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INTRODUÇÃO A S ISTEMAS ELÉTRICOS D E POTÊNCIA

mercado editorial, a Blucher mantém um sólido compromisso com a ciência e a democratização do conhecimento.

SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA ■ CIRCUITOS TRIFÁSICOS ■ COMPONENTES SIMÉTRICAS ■ DESEQUILÍBRIOS EM REDES ELÉTRICAS ■ CURTO-CIRCUITO EM REDES ELÉTRICAS

Seu catálogo, com mais de 1.500 títulos, foi reconhecido com 24 prêmios Jabuti e inclui obras adotadas por professores de destaque em diversas áreas. Conheça mais livros de Engenharia em:

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O livro se destina a estudantes de graduação e pós-graduação em cursos de Engenharia Elétrica com ênfase em Sistemas de Potência. É também ferramenta de apoio ao profissional que atua nessa área e deseja aprofundar seu conhecimento na análise de tais sistemas.

O que você vai encontrar: • Análise de circuitos trifásicos equilibrados e desequilibrados. • Representação de máquinas elétricas através de valores por-unidade (com particular destaque aos transformadores de potência).

Esta obra, desde sua primeira edição, com seu conteúdo didático que aborda os principais temas dos sistemas elétricos de potência, vem contribuindo significativamente para a formação de diversas gerações de engenheiros que atuam no setor elétrico brasileiro.

Eduardo Cesar Senger Professor Associado – Escola Politécnica da USP

CARLOS CÉSAR BARIONI DE OLIVEIRA HERNÁN PRIETO SCHMIDT NELSON KAGAN ERNESTO JOÃO ROBBA

CONTEÚDO Apresentação

Circuitos trifásicos

Valores percentuais e por unidade

Componentes simétricas

Componentes de Clarke

Exercícios

INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA

E esta nova edição tornou o livro ainda mais atrativo do ponto de vista didático, ampliando seu potencial como ferramenta de aprendizagem e consolidando-o como uma referência ainda mais indicada para a formação de estudantes e profissionais da área.

INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA

Este livro é uma introdução aos sistemas elétricos de potência. Os tópicos foram agrupados em quatro grandes temas: sistemas trifásicos, valores por-unidade, componentes simétricas e componentes de Clarke. Nesta terceira edição, foi feita ampla revisão do Capítulo 5, em que são apresentados exercícios relativos a esses temas. Foi implementada ainda uma nova versão do programa CompSim (disponível para download no site da editora Blucher), o qual apresenta ao leitor vários tipos de problemas, solicita os principais resultados e avalia a exatidão das respostas fornecidas.

OLIVEIRA | SCHMIDT KAGAN | ROBBA

Com mais de 70 anos de história no

Componentes simétricas

• Estudo de desequilíbrios em redes elétricas por meio de componentes simétricas. • Análise de redes elétricas em condições de defeito (curto-circuito). Saiba mais sobre o livro

3ª edição revista e ampliada

Capa SCHMIDT - Introdução a sistemas elétricos 3ed.indd Todas as páginas

16/05/2026 16:25

Carlos César Barioni de Oliveira Professor doutor (EPUSP)

Hernán Prieto Schmidt Professor associado (EPUSP)

Nelson Kagan Professor titular (EPUSP)

Ernesto João Robba Professor emérito (EPUSP)

INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA COMPONENTES SIMÉTRICAS 3a edição revista e ampliada

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Introdução a sistemas elétricos de potência: componentes simétricas © 2026 Carlos César Barioni de Oliveira; Hernán Prieto Schmidt; Nelson Kagan; Ernesto João Robba Editora Edgard Blücher Ltda. Publisher Edgard Blücher Editor Eduardo Blücher Coordenador editorial Rafael Fulanetti Coordenação de produção Ana Cristina Garcia Produção editorial Maísa Kawata Diagramação Roberta Pereira de Paula Preparação de texto Maurício Katayama Revisão de texto Helena Simões Miranda Capa Juliana Midori Horie Imagem da capa Gerador trifásico e sua representação através de componentes simétricas, elaborada pelos autores

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Heytor Diniz Teixeira, CRB-8/10570 Rua Pedroso Alvarenga, 1245, 4 o andar 04531-934 – São Paulo – SP – Brasil Tel.: 55 11 3078-5366 contato@blucher.com.br www.blucher.com.br

Introdução a sistemas elétricos de potência : componentes simétricas / Carlos César Barioni de Oliveira et al. – 3. ed. rev. ampl. – São Paulo : Blucher, 2026. 600 p. : il. Bibliografia ISBN 978-85-212-2467-9 (Impresso)

Segundo o Novo Acordo Ortográfico, conforme 6. ed.

ISBN 978-85-212-3061-8 (Eletrônico – Epub)

do Vocabulário Ortográfico da Língua Portuguesa,

ISBN 978-85-212-2976-6 (Eletrônico – PDF)

Academia Brasileira de Letras, julho de 2021. 1. Engenharia elétrica. 2. Sistemas elétricos de potência. 3. Circuitos elétricos. I. Título. II. Oliveira, Carlos César Barioni de. É proibida a reprodução total ou parcial por quaisquer CDU 621.3

Índice para o catálogo sistemático: 1. Engenharia elétrica

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CDU 621.3

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Sumário

Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Circuitos trifásicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Sistemas trifásicos simétricos e equilibrados com carga equilibrada – Ligações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Sistemas trifásicos simétricos e equilibrados com cargas desequilibradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Sistemas trifásicos com indutâncias mútuas quaisquer . . . . . . . . . . . 1.5 Sistemas trifásicos simétricos ou assimétricos com cargas desequilibradas conhecidas as tensões nos terminais da carga . . . . . 1.6 Potência em sistemas trifásicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Representação de redes trifásicas por diagrama unifilar . . . . . . . . . . 1.8 Modelos para representação da carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 17

98 105 131 134 142

2. Valores percentuais e por unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Representação de máquinas elétricas em valores por unidade . . . . .

143 143 144 154

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27 57 68

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Introdução a sistemas elétricos de potência: componentes simétricas

2.4 Mudança de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Representação de transformadores quando não na relação 1:1 . . . . . 2.6 Aplicação de valores “por unidade” a circuitos trifásicos com carga equilibrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Vantagens e aplicações dos valores “por unidade” . . . . . . . . . . . . . . Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

190 197 215 244 248

3. Componentes simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Teorema fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Mudança no primeiro fasor da sequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Aplicação a sistemas trifásicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Representação de redes por seus diagramas sequenciais . . . . . . . . . 3.6 Resolução de redes trifásicas simétricas e equilibradas com carga desequilibrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

249 249 250 256 259 306

4. Componentes de Clarke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Componentes de Clarke ou componentes modais . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Leis de Kirchhoff em termos de componentes de Clarke . . . . . . . . . . 4.3 Representação dos elementos da rede em componentes de Clarke . . 4.4 Potência em termos das componentes de Clarke . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Resolução de redes trifásicas simétricas com um desequilíbrio . . . . . Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

381 381 392 402 407 408 415

5. Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Exercícios de circuitos trifásicos (Capítulo 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Exercícios de valores por unidade (Capítulo 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Exercícios de componentes simétricas (Capítulo 3) . . . . . . . . . . . . . 5.5 Exercícios de componentes de Clarke (Capítulo 4) . . . . . . . . . . . . . .

417 417 419 478 526 586

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346 380

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CAPÍTULO 1

Circuitos trifásicos

1.1 INTRODUÇÃO 1.1.1 Preâmbulo As primeiras linhas de transmissão de energia elétrica surgiram no final do século XIX, e, inicialmente, destinavam-se exclusivamente ao suprimento de sistemas de iluminação. A utilização desses sistemas para o acionamento de motores elétricos fez com que as “companhias de luz” se transformassem em “companhias de força e luz”. Esses sistemas operavam em baixa tensão e em corrente contínua, e foram rapidamente substituídos por linhas monofásicas em corrente alternada. Dentre os motivos que propiciaram essa mudança, podemos citar: (i) o uso dos transformadores, que possibilitou a transmissão de energia elétrica em níveis de tensão muito maiores do que aqueles utilizados na geração e na carga, reduzindo as perdas no sistema, permitindo a transmissão em longas distâncias; e (ii) o surgimento dos geradores e motores em corrente alternada, construtivamente mais simples e mais baratos que as máquinas em corrente contínua. Entre os sistemas em corrente alternada, o trifásico tornou-se o mais conveniente, por razões técnicas e econômicas

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Introdução a sistemas elétricos de potência: componentes simétricas

(como a transmissão de potência com menor custo e a utilização dos motores de indução trifásicos), e passou a ser o padrão para a geração, transmissão e distribuição de energia em corrente alternada. Por outro lado, as cargas ligadas aos sistemas trifásicos podem ser trifásicas ou monofásicas. As cargas trifásicas normalmente são equilibradas, ou seja, são constituídas por três impedâncias iguais, ligadas em estrela ou em triângulo. As cargas monofásicas, por exemplo, as cargas de instalações residenciais, por sua vez, podem introduzir desequilíbrios no sistema, resultando em cargas trifásicas equivalentes desequilibradas. Neste capítulo vamos definir os sistemas polifásicos e estudar em particular os sistemas trifásicos. Inicialmente, vamos apresentar uma série de definições importantes, que serão utilizadas ao longo de todo o livro. Nas Seções 1.2, 1.3, 1.4 e 1.5, iremos apresentar métodos de cálculo para a análise de sistemas trifásicos. Na Seção1.2 vamos analisar os circuitos trifásicos alimentando cargas trifásicas equilibradas, ligadas por meio das duas formas possíveis, em estrela e em triângulo. Nessa seção, para facilitar a compreensão do leitor, vamos desconsiderar as indutâncias mútuas existentes entre os fios da linha. Na Seção 1.3, ainda mantendo essa hipótese simplificadora, vamos analisar os sistemas trifásicos simétricos e equilibrados alimentando cargas desequilibradas, conhecendo-se as tensões nos terminais dos geradores. Na Seção 1.4, apresentaremos o caso geral de sistemas com desequilíbrios na linha e na carga. Na Seção 1.5 analisaremos alguns casos particulares de sistemas trifásicos desequilibrados em que são conhecidas as tensões nos terminais da carga. Na Seção 1.6 iremos estudar potência em sistemas trifásicos. Definiremos os conceitos de potência ativa, reativa e aparente, e métodos para a sua medição e análise. Na Seção 1.7 apresentaremos a forma de representação dos elementos constituintes de um sistema trifásico por meio de diagramas unifilares. Na Seção 1.8 apresentaremos os modelos utilizados para a representação da carga, em função de sua natureza, e que irão determinar a potência absorvida pela carga em função da tensão em seus terminais.

1.1.2 Definições gerais Definimos como “sistema de tensões polifásico e simétrico” (a n fases) um sistema de tensões do tipo:

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Circuitos trifásicos

e1 EM cos t 1 e2 EM cos t 2 n 2 e3 EM cos t 2 n

(1.1)

...................................... n 1 en EM cos t 2 n onde n é um número inteiro qualquer não menor que três. Em particular, quando n=3, dizemos que o sistema é trifásico. Da definição de sistema polifásico, observamos que tais sistemas são constituídos por um conjunto de n cossenoides de mesmo valor máximo, EM, e com uma defasagem de 2p/n rad entre duas tensões sucessivas quaisquer. As tensões e correntes nos sistemas trifásicos são representadas por fasores. Isto é, podemos representar o sistema trifásico: e1 EM cos t e EM e j t j 2 3 j t e2 EM cos t 2 3 e EM e e j 2 3 j t e3 EM cos t 4 3 EM cos t 2 3 e EM e e

pelos fasores E1 E j 0 E | 0 1 3 E 2 E cos 2 3 j sen 2 3 E j E | 120 2 2 1 3 E 3 E cos 2 3 j sen 2 3 E j E | 120 2 2 em que E = EM

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2 representa o valor eficaz da tensão.

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Introdução a sistemas elétricos de potência: componentes simétricas

Ao longo deste capítulo iremos apresentar métodos para a solução de circuitos trifásicos em diversas condições, envolvendo as tensões no início do sistema (nos terminais dos geradores), as linhas utilizadas para a transmissão da energia até a carga, e a carga conectada no final da linha. Para tanto, definimos: (1-a) Sistema de tensões trifásico simétrico: sistema trifásico em que as tensões nos terminais dos geradores são senoidais, de mesmo valor máximo, e defasadas entre si de 2p/3 rad ou 120o elétricos. (1-b) Sistema de tensões trifásico assimétrico: sistema trifásico em que as tensões nos terminais dos geradores não atendem a pelo menos uma das condições apresentadas em (1-a). (2-a) Linha (ou rede) trifásica equilibrada: linha (ou rede) trifásica, constituída por 3 ou 4 fios (3 fios de fase ou 3 fios de fase e 1 fio de retorno), na qual se verificam as seguintes relações: impedâncias próprias dos fios de fase iguais entre si: Z= Z= ZCC = Z P ; AA BB Z= ZCA = Z M ; impedâncias mútuas entre os fios de fase iguais entre si: Z= AB BC impedâncias mútuas entre os fios de fase e o fio de retorno iguais (para sistema . a 4 fios): Z AG Z BG ZCG Z M ●

●

(2-b) Linha (ou rede) trifásica desequilibrada: linha (ou rede) trifásica, constituída por 3 ou 4 fios (3 fios de fase ou 3 fios de fase e 1 fio de retorno), na qual não se verifica pelo menos uma das relações apresentadas em (2-a). (3-a) Carga trifásica equilibrada: carga trifásica constituída por 3 impedâncias complexas iguais, ligadas em estrela ou em triângulo. (3-b) Carga trifásica desequilibrada: carga trifásica na qual não se verifica a condição descrita em (3-a). Muitas vezes iremos identificar o sistema de forma resumida. Assim, por exemplo, quando nos referirmos a um sistema trifásico simétrico e equilibrado com carga desequilibrada, estaremos tratando de um sistema de tensões trifásico simétrico, com uma linha trifásica equilibrada, alimentando uma carga trifásica desequilibrada.

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Circuitos trifásicos

1.1.3 Obtenção de sistemas polifásicos – Sequência de fase Nos terminais de uma bobina que gira com velocidade angular constante, no interior de um campo magnético uniforme, surge uma tensão senoidal cuja expressão é: e EM cos t , em que q representa o ângulo inicial da bobina. Ou melhor, adotando-se a origem dos tempos coincidente com a direção do vetor indução, q representa o ângulo formado pela direção da bobina com a origem dos tempos no instante t=0. Assim, é óbvio que, se dispusermos sobre o mesmo eixo três bobinas deslocadas entre si de 2p/3 rad e girarmos o conjunto com velocidade angular constante, no interior de um campo magnético uniforme, obteremos nos seus terminais um sistema de tensões de mesmo valor máximo e defasadas entre si de 2p/3 rad, conforme a Figura 1.1.

A N

eBN

eAN S

eCN

3 2

t 2

C N

–EM

(a) Bobinas do gerador

Figura 1.1

(b) Valores instantâneos das tensões

Obtenção de um sistema trifásico de tensões.

Definimos, para um sistema polifásico simétrico, sequência de fase como sendo a ordem pela qual as tensões das fases passam pelo seu valor máximo. Por exemplo, no sistema trifásico da Figura 1.1, a sequência de fase é A-B-C, uma vez que as tensões passam consecutivamente pelo valor máximo na ordem A-B-C. Evidentemente, uma alteração cíclica não altera a sequência de fase, isto é, a sequência A-B-C é

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Introdução a sistemas elétricos de potência: componentes simétricas

a mesma que B-C-A e que C-A-B. À sequência A-B-C é dado o nome sequência direta ou sequência positiva, e à sequência A-C-B, que coincide com C-B-A e B-A-C, dá-se o nome de sequência inversa ou sequência negativa.

EXEMPLO 1.1 – Um sistema trifásico simétrico tem sequência de fase B-A-C e VC 220 | 40 V . Pedimos determinar as tensões VA e VB . SOLUÇÃO: Sendo a sequência de fase B-A-C, a primeira tensão a passar pelo valor máximo será vB, a qual será seguida, na ordem, por vA e vC. Portanto, deverá ser: v B VM cos t , v A VM cos t 2 3 , vC VM cos t 4 3 , em que q representa o ângulo inicial ou a rotação de fase em relação à origem. No instante t=0, temos: v B VM cos , v A VM cos 2 3 , vC VM cos 4 3 . Sendo V = VM

2 , fasorialmente temos:

VB V | , VA V | 2 3 , VC V | 4 3. Por outro lado, sendo dado VC 220 | 40 V , resulta: V 220 V ; 120 40 ou 80 , e, portanto, VB 220 | 80 V , VA 220 | 200 V , VC 220 | 40 V . Chegaríamos ao mesmo resultado raciocinando com o diagrama fasorial. De fato, lembramos que o valor instantâneo de uma grandeza cossenoidal é dado pela projeção do fasor que a representa (utilizando como módulo o valor máximo) sobre o eixo real, fazendo com que os fasores girem no sentido anti-horário com velocidade angular w (vetores girantes). Evidentemente, poderemos imaginar os vetores girantes fixos e o eixo real girando com velocidade angular w no sentido horário. Em tais condições, a origem deverá sobrepor-se consecutivamente a VB , VA e VC

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Circuitos trifásicos

(Figura 1.2), ou seja, VB está adiantado de 120o sobre VA, e este está adiantado de 120o sobre VC. Portanto, deverá ser: VA 220 | 120 40 220 | 160 220 | 200 V VB 220 | 200 120 220 | 80 V .

Vc VA

120o 40o

Origem

120o

Figura 1.2 Diagrama de fasores para o Exemplo 1.1.

1.1.4 Operador a Ao definirmos os sistemas trifásicos, vimos que, entre as grandezas que os caracterizam, há uma rotação de fase de ±120o; portanto é bastante evidente que pensemos num operador que, aplicado a um fasor, perfaça tal rotação de fase. Assim, definimos o operador a, que é um número complexo de módulo unitário e argumento 120o, de modo que, quando aplicado a um fasor qualquer, transforma-o em outro de mesmo módulo e adiantado de 120o. Em outras palavras, 1 3 1| 120 j . 2 2

(1.2)

No tocante à potenciação, o operador a possui as seguintes propriedades:

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Introdução a sistemas elétricos de potência: componentes simétricas

1 1| 120 2 . 1| 120 .1| 120 1| 120 3 2 . 1| 120 .1| 120 1| 0 4 3 . 1| 0 .1| 120 1| 120 Genericamente:

1| 0 1| 0

3n 3

3n 1 3n . 1| 120

(1.3)

3n 2 3n . 2 2 1| 120 em que n é um número inteiro, positivo e maior ou igual a zero. Além disso, observamos que: 1

1 1 1| 120 2 1| 120

1 1 1| 0 . 3 1 | 0

Genericamente, com n inteiro, positivo e maior ou igual a zero, resulta: 3n

1 3 1| 0 o 3n 1| 0

3 1 3n 1 2

1 3 3n 2 2 .

3n 1

3n 2

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(1.4)

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Circuitos trifásicos

Além dessas, o operador a possui ainda a propriedade: 1 2 1| 0 1| 120 1| 120 0 ,

(1.5)

que é muito importante e será amplamente utilizada neste livro.

EXEMPLO 1.2 – Calcular o valor de a2 – a. SOLUÇÃO: Da definição do operador a, temos: 1 3 1 3 2 1| 120 1| 120 j j 3 j 3 | 90 . 2 2 2 2 Na Figura 1.3, obtivemos o valor de a2 – a graficamente. a

–a

a 2 – a = – 3 j

Figura 1.3 Determinação gráfica de a2 – a.

1.1.5 Sequências Definimos sequência como sendo um conjunto ordenado de três fasores. Assim,  ,M  eM  ; definiremos a suponhamos que sejam dados três fasores quaisquer: M A B C sequência constituída por essa terna de fasores e a representaremos por MA. De modo geral, indicaremos uma sequência por uma matriz-coluna na qual os elementos da 1a, 2a e 3a linhas correspondem, respectivamente, aos 1o, 2o e 3o fasores da terna de fasores. Isto é,

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CAPÍTULO 2

Valores percentuais e por unidade

2.1 INTRODUÇÃO Os valores percentuais e os valores por unidade – também chamados de valores pu – correspondem a uma mudança de escala das grandezas principais em sistemas elétricos: tensão, corrente, potência e impedância. Como veremos, tal mudança facilita sobremaneira o cálculo de redes, especialmente quando existem transformadores nos sistemas em estudo. Inicialmente apresentamos as definições de valores percentuais e valores por unidade. Em seguida desenvolvemos a representação de máquinas elétricas em valores pu, tais como transformadores de dois ou mais enrolamentos e máquinas rotativas. Posteriormente estudamos a representação de transformadores com relação de transformação em pu diferente de 1:1, a qual permite considerar os casos de choque de bases (quando há fechamento de malha na rede elétrica em determinadas circunstâncias) e de transformadores com comutador de variação (tap changer). Na parte correspondente às aplicações de valores pu analisamos em detalhe os circuitos trifásicos simétricos com carga equilibrada. Ao fim do capítulo apresentamos uma discussão em perspectiva considerando as vantagens de utilizarmos valores pu em sistemas de potência.

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Introdução a sistemas elétricos de potência: componentes simétricas

2.2 DEFINIÇÕES Os valores percentuais e por unidade (pu) ou, ainda, normalizados correspondem simplesmente a uma mudança de escala nas grandezas principais (tensão, corrente, potência e impedância). Para relacionarmos o módulo dessas quatro grandezas elétricas em circuitos monofásicos, dispomos de duas relações físicas independentes: V Z I

(2.1)

S V I

(2.2)

Por essa razão, ao trabalharmos com valores pu devemos sempre definir duas grandezas fundamentais dentre as quatro grandezas, atribuindo-lhes correspondentes valores que designaremos por valores de base. Os valores de base para as duas outras grandezas (grandezas derivadas) resultam imediatamente das relações acima. Assim, por exemplo, se fixarmos valores de base para tensão e potência, qualquer outra tensão ou potência será expressa como uma percentagem (valor percentual) ou uma fração dessa grandeza (valor pu). Formalmente temos: = Vbase V= S1 . 1 e Sbase Assim, uma tensão qualquer, V, é expressa por: v%

V 100 (v percentual), Vbase

V pu (v por unidade). Vbase

Analogamente, uma potência qualquer, S, é expressa por: s%

S Sbase S

Sbase

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100 (s percentual),

pu (s por unidade).

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Valores percentuais e por unidade

Para corrente e impedância temos, em vista das Equações (2.1) e (2.2), os seguintes valores de base: 2 Sbase Vbase Vbase = , Zbase = . Vbase Ibase Sbase

= Ibase

Analogamente, qualquer corrente ou impedância será expressa por: S Z pu e z % 100 z Z base 2 Zbase Vbase

I Ibase

Vbase pu e i% 100 i. Sbase

EXEMPLO 2.1 – Calcular, no circuito da Figura 2.1, a tensão necessária no gerador para manter a tensão na carga em 200 V. Sabemos que a carga absorve 100 kVA com cos j = 0,8 indutivo e que a impedância da linha é (0,024 + j0,080) W. SOLUÇÃO: (a) Valores de base Fixaremos como valores de base o valor da potência aparente absorvida pela carga e o da tensão na carga, isto é, = Sbase 100 = kVA 105 VA, Vbase = 200 V .

i=1

0,024 + 0,080 j + E –

V = 200

(a) Circuito

Figura 2.1

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+ 100 kVA e% cos = 0,8 –

v=1

Pap = 1 cos = 0,8

(b) Circuito em valores pu

Circuito para o Exemplo 2.1.

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146

Introdução a sistemas elétricos de potência: componentes simétricas

As bases para a corrente e a impedância são dadas por: Ibase

Sbase 100 103 500 A, Vbase 200

Zbase

2 Vbase 4.104 0, 4 . Sbase 105

(b) Resolução do circuito Temos: S = V .I . Logo, S Sbase

V .I V I , Sbase Vbase Ibase

isto é, s = v.i. Em tudo que se segue, as letras minúsculas indicarão o valor da grandeza em “por unidade”. Logo, i=

s S /Sbase 1 = = = 1 pu. v V /Vbase 1

Adotaremos a corrente na carga com fase zero, isto é, i 1|0 1 j0 pu. Como o fator de potência da carga é 0,8 indutivo, ou seja, j = 36,9o, resulta: v v | 1| 36, 9 pu.

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Valores percentuais e por unidade

147

A tensão no gerador é dada por: E V I.Z . Dividindo ambos os membros por Vbase = Zbase Ibase, resulta: E V I Z , Vbase Vbase Ibase Zbase isto é, e v i.z , sendo Z 0, 024 j0, 080 0, 0835| 73, 3 . Logo, z

Z 0, 0835 | 73, 3 0.209 | 73, 3 pu Zbase 0, 4

Z 0, 024 0, 08 j 0, 060 j0, 200 pu. Zbase 0, 4 0, 4

Portanto, e 1| 36, 9 1, 0 0, 209 | 73, 3 , isto é, e 1. 0, 8 j0, 6 1. 0, 060 j0, 200 0, 860 j0, 800 1,175| 42, 9 pu.

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148

Introdução a sistemas elétricos de potência: componentes simétricas

Exprimindo e em volt, temos: E e.Vbase 1,175| 42, 9 200 235| 42, 9 V . (c) Diagrama de fasores Na Figura 2.2 construímos o diagrama de fasores adotando como escalas: 1 cm = 65 V, 1 cm = 150 A.

E V

Figura 2.2

43o

Diagrama de fasores para o Exemplo 2.1.

Passamos para o diagrama de fasores em valores por unidade, fixando as escalas: Tensão: 1 cm =

65 = 0, 325 pu, 200

Corrente: 1 cm =

150 = 0, 3 pu. 500

EXEMPLO 2.2 – Um gerador alimenta uma carga por meio de uma linha. Sabendo-se que: (1) a tensão no gerador é 220 V – 60 Hz; (2) a carga é de impedância constante e absorve 10 kW, fator de potência 0,7 indutivo, quando alimentada por tensão de 200 V; (3) a impedância da linha é (1,28 + j0,80) W. Pedimos determinar: (a) a tensão na carga; (b) a potência fornecida pelo gerador; (c) a capacitância de um capacitor, ligado em paralelo com a carga, que torne unitário o fator de potência do conjunto (carga + capacitor);

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Valores percentuais e por unidade

149

(d) a tensão na carga e a potência fornecida pelo gerador após a correção do fator de potência; (e) diagrama de fasores do circuito. SOLUÇÃO: (a) Tensão na carga Adotaremos os seguintes valores de base: = Vbase 200 = V e Sbase 10 kVA. A potência ativa absorvida pela carga quando alimentada por tensão de 200 V, expressa em por unidade, vale: P 10 = = 1 pu. Sbase 10

= p

Além disso, 200 = 1 pu. 200

= v Sendo

P VI cos , dividindo-se ambos os membros por Sbase, resulta: p

P Sbase

VI cos V I cos vi cos . Sbase Vbase Ibase

Logo, a corrente na carga para tensão de 200 V é dada por: i

p 1 1, 429 pu. v cos 1. 0, 7

Portanto, o módulo da impedância é dado por: z

Z V I 1, 0 v base 0, 7 pu. Zbase I Vbase i 1, 429

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150

Introdução a sistemas elétricos de potência: componentes simétricas

O fator de potência da carga é 0,7 indutivo. Portanto, sendo sen arc cos 0,7 = 0,714, resulta: z 0, 7. 0, 700 j0, 714 0, 490 j0, 500 0, 700 | 45, 6 pu. Para calcular a corrente fornecida pelo gerador temos: e z L z i e, sendo: z L 1, 28 j0, 80

104 0, 320 j0, 200 pu, 2002

z z L 0, 810 j0, 700 1, 071| 40, 8 pu, e

220 | 0 1,100 | 0 pu, 200

resulta: i

1,100 | 0 1, 071| 40, 8

1, 027 | 40, 8 pu.

Finalmente, a tensão na carga é dada por:  1, 027 | 40, 8 0, 700 | 45, 6 0, 719 | 4, 8 pu. v iz (b) Potência fornecida pelo gerador Antes da correção do fator de potência, temos na carga e no gerador as potências s e sG , cujos valores são:  * 0, 719 | 4, 8 1, 027 | 40, 8 0, 738 | 45, 6 0, 516 j0, 527 pu, s vi  * 1,1| 0 1, 027 | 40, 8 1,130 | 40, 8 0, 855 j0, 738 pu. sG ei

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Valores percentuais e por unidade

(c) Correção do fator de potência da carga Alimentando-se a carga com 200 V, esta absorve potência reativa, dada por: q p tan 1, 0 tan 45, 6 1, 0 1, 021 1, 021 pu. Como queremos que o fator de potência da carga seja unitário, devemos ligar em paralelo um banco de capacitores que absorva potência reativa qc dada por: q C 1, 021 pu, que corresponde a uma capacitância de: C

QC V 2

qC Sbase V 2

1, 021 104 677 F . 2002 2 60

A potência complexa para tensão de 200 V passará a ser: s p jq jq C p j0 1, 0 pu, ou seja, com tal tensão, absorverá a corrente i

p 1, 0 1, 0 pu. v cos 1, 0 1, 0

Finalmente, a impedância da associação em paralelo da carga com os condensadores vale: z

v 1, 0 j0 pu. i

(d) Tensão na carga e potência fornecida pelo gerador após a correção do fator de potência Temos, após a correção do fator de potência, z z L 1, 0 0, 320 j0, 200 1, 320 j0, 200 1, 335| 8, 6 ,

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152

Introdução a sistemas elétricos de potência: componentes simétricas

donde: i

1,100 | 0 e 0, 824 | 8, 6 pu. z z L 1, 335| 8, 6

Portanto,  0, 824 | 8, 6 1, 0 | 0 0, 824 | 8, 6 pu. v iz Após a correção do fator de potência, os valores de potência complexa na carga e no gerador passam a ser: s

* vi

0, 824 | 8, 6 0, 824 | 8, 6

* ei

1,1| 0 0, 824 | 8, 6

0, 679 j0 pu,

0, 906 | 8, 6

0, 896 j0,135 pu.

(e) Diagrama de fasores Na Figura 2.3 está representado o diagrama de fasores do circuito.

vL = izL e

irL

ixL

ir e vL = izL i (a) Antes da correção do fator de potência

Figura 2.3

Miolo_SCHMIDT_cap2.indd 152

ir = v

ixL

(b) Depois da correção do fator de potência

Diagrama de fasores para o Exemplo 2.2.

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CAPÍTULO 3

Componentes simétricas

3.1 INTRODUÇÃO Neste capítulo apresentamos a teoria de componentes simétricas e suas aplicações em sistemas elétricos de potência. Partimos do teorema fundamental das componentes simétricas e demonstramos a existência e unicidade de uma sequência direta, uma inversa e uma nula que representam uma dada sequência de fasores de um sistema trifásico. Aplicamos então as componentes simétricas em sistemas trifásicos, procurando interpretar o significado de cada componente e verificar relações entre as componentes simétricas das grandezas de fase e de linha. Estudamos também a aplicação de componentes simétricas para a resolução de circuitos trifásicos, analisando as leis de Kirchhoff, o cálculo de potências em componentes e as transformações de impedâncias da rede em impedâncias sequenciais. Para tanto, verificamos a representação de vários elementos por suas impedâncias sequenciais, quais sejam, linhas de transmissão, transformadores, geradores e cargas equilibradas. Mostramos que, mesmo com sistemas trifásicos simétricos e equilibrados, temos vantagens significativas decorrentes da aplicação das componentes simétricas. Em sequência, analisamos as aplicações mais interessantes de componentes simétricas, que permitem a resolução de redes trifásicas simétricas e equilibradas

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250

Introdução a sistemas elétricos de potência: componentes simétricas

com um ponto de desequilíbrio, que incluem a análise de diferentes cargas desequilibradas e dos curto-circuitos típicos, e aberturas monopolar ou bipolar em um dado ponto da rede.

3.2 TEOREMA FUNDAMENTAL Dada uma sequência VA qualquer, vamos demonstrar a existência e a unicidade de uma sequência direta, uma inversa e uma nula que, somadas, reproduzem a sequência dada. Em outras palavras, demonstraremos que uma sequência qualquer pode ser decomposta nessas três sequências e que essa decomposição é única. As três sequências são designadas por componentes simétricas da sequência dada. Pelo quanto foi definido, devemos ter: 1 V0 1 V1 V2 VA 1 VA VB V0 1 V1 2 V2 V0 2V1 V2 . 2 V V 2V VC 1 1 2 0 Porém, V0 1 1 V0 V1 V2 1 V0  2  2 V0 V1 V2 1 V1 T V1 V V 2V 1 2 V V2 1 2 2 0 em que a matriz T é dada por: 1 1 T 1 2 1

1 , 2

que é designada por matriz de transformação de componentes simétricas. Temos, então, que 1 1 V0 VA 1 V0   2  VB 1 V1 T V1 . VC 1 2 V2 V2

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(3.1)

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251

Componentes simétricas

A Equação (3.1) mostra que sendo as sequências V0, V1 e V2, dadas por: 1  V0 V0 1 1

1 V1 V1 2

1 V2 V2 , 2

existe uma única sequência VA = V0 + V1 + V2. Quando a sequência VA é dada, para demonstrarmos a existência de V0, V1 e V2 será suficiente demonstrar que a matriz T é não singular, isto é, que existe a matriz T–1. Invertendo a matriz T, obtemos:

1 1 1 1 2 1 . 3 2 1

(3.2)

Portanto, pré-multiplicando a Equação (3.1) por T–1, obtemos: 



VC

V2

VA V0 V0 V0   1  1  T VB T T V1 U V1 V1 ,

isto é, VA VB VC 3 1 1 1 VA V0 VA VB 2VC  1 2  . V1 3 1 VB 3 2   V2 V 1 C VA 2VB VC 3

(3.3)

Das Equações (3.1) e (3.3), notamos que, dada uma sequência VA, existem (e são únicas) as sequências V0, V1 e V2, tais que VA = V0 + V1 + V2. Da análise da Equação (3.3), notamos também que, para a obtenção do fasor V0, é suficiente tomar um terço do fasor correspondente à soma dos três fasores dados. Para o cálculo de V1, tomamos um terço da soma do primeiro fasor da sequência dada com o segundo rodado de 120o e com o terceiro rodado de 240o (ou – 120o ).

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252

Introdução a sistemas elétricos de potência: componentes simétricas

Analogamente, V2 é dado por um terço da soma do primeiro com o segundo rodado de 240o, e com o terceiro rodado de 120o.

EXEMPLO 3.1 – Dada a sequência: o VA 120 | 0 VA = VB 380 | 90o , VC 380 | 90o

decompô-la analítica e graficamente em suas componentes simétricas. SOLUÇÃO: (a) Resolução analítica: da Equação (3.3), temos que: 1 1 V0  1 V1 3 1 1 2 V2

120| 00 380| 900 380| 900 1 120| 00 1 2 380| 900 120| 00 380| 300 380| 300 3 0 0 0 380| 900 120| 0 380| 210 380| 210

ou seja, 1 V0 (120| 00 380| 900 380| 900 ) 40| 00 3 1 V1 (120| 00 380| 300 380| 300 ) 259,393| 00 3 1 V2 (120| 00 380| 2100 380| 2100 ) 179,393|1800 3 donde: 0 1 1 VA 120| 0 1  0 0 0 2 0 VB 380| 90 40| 0 1 260| 0 180| 180 . 2 VC 380| 900 1

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253

Componentes simétricas

(b) Resolução gráfica: na Figura 3.1a, representamos a sequência dada. Nas Figuras 3.1b, 3.1c e 3.1d estão determinados os fasores V0, V1 e V2 . Para a determinação de V0 tomamos 1/3 da soma VA + VB + VC . Para a determinação de V1, tomamos 1/3 da soma de VA com aVB e com a2VC . Finalmente, para a determinação de V2 , tomamos 1/3 da soma de VA com a2VB e com aVC.

∙ VC

∙ VA

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ VA = VA + VB + VC = 3 V0 (b) Determinação de V0

∙ VB

(a) Sequência dada ∙ VC

VC ∙ VB

∙ 2 VB

∙ VA VB + 2 VC

∙ 3Vl

∙ 2 VC

Figura 3.1

Miolo_SCHMIDT_cap3.indd 253

∙ VA

∙ 3V2 ∙ ∙ 2 VB + VC

∙ VC

(d) Determinação de V2

∙ VB

Determinação gráfica das componentes simétricas.

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254

Introdução a sistemas elétricos de potência: componentes simétricas

EXEMPLO 3.2 – Dadas as componentes simétricas V0 = 100| 300 , V1 = 220| 00 e V2 100| 600 , pedimos determinar a sequência VA analítica e graficamente. SOLUÇÃO: (a) Resolução analítica: temos que VA Vo V1 V2 , ou seja: 1 1 1 1 VA 1   2   2 VB 1 V0 V1 V2 1 2 1 VC 1

1 V0 V1 . 2 V2

isto é, VA 1 1  2 VB 1 VC 1

1 100| 300 100| 300 220| 00 100| 600 220| 00 100| 300 220| 1200 100| 600 , 2 100| 600 100| 300 220| 1200 100| 1800

donde: 0 VA 356, 6 36, 6 j 358, 5| 5, 9 VA VB 26, 6 53, 9 j 60,1| 63, 70 . VC 123, 4 240, 5 j 270, 3| 117,10

(b) Resolução gráfica: nas Figuras 3.2a, 3.2b e 3.2c representamos, respectivamente, V0, V1 e V2. Nas Figuras 3.2d, 3.2e e 3.2f representamos, respectivamente, as componentes de fase: VA V0 V1 V2 , V V 2V V , B

VC V0 V1 2V2 . Finalmente, na Figuras 3.2g representamos a sequência VA.

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255

Componentes simétricas

VAO

VA1

VAO

30o

VAO

VA1 1o

(a) Sequência zero 2o 2o

2 VA1 (b) Sequência direta

VA2

VA1 3o

VAO

VA2

2 VA2 VA = VAO + VA1 + VA2 VA2

(d) Determinação de VA

VAO

VA1

+ = V AO VC

VA2

+ V A1

2 V A2

2 VA2 VC

VB = VAO + 2 VA1 + VA2

2 VA1

VA1

VAO

(e) Determinação de VB

(f) Determinação de VC VA1 VAO

VA2 VA

VA2

2 VA1

(g) Termo de fasores

Figura 3.2 Determinação gráfica de VA.

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256

Introdução a sistemas elétricos de potência: componentes simétricas

Com base na decomposição de uma sequência VA em suas componentes simétricas, definimos: V= 0; sequência de trifásico simétrico: é aquela em que V= o 2    sequência de trifásico puro: é aquela em que V1 0, V2 0, Vo 0; sequência de trifásico impuro: é aquela em que V1 ≠ 0, V2 ≠ 0, Vo ≠ 0. ●

●

3.3 MUDANÇA NO PRIMEIRO FASOR DA SEQUÊNCIA Vamos analisar como variam as componentes simétricas de uma dada sequência quando a substituímos por outra obtida por uma rotação cíclica de seus fasores; isto é, tomemos as sequências: VA 1 1 VA VB 1 2 VC 1

1 VA0 VB 1 1  VA1 , VB VC 1 2 VA 1 2 VA2

VC 1 1 VC VA 1 2 VB 1

1 VC 0 VC1 . 2 VC 2

1 VB 0 VB1 , 2 VB 2

Determinaremos as relações existentes entre as componentes simétricas das três sequências dadas. Para tanto, observamos que: 1 1 1 VA VA0 VA 1  2  1  VA1 3 1 VB T VB , 1 2 V VA2 VC C VB VC 0 VC VB 0  1  1   VB1 T VC e VC1 T VA . VA VB VC 2 VB 2

(3.4)

Desenvolvendo o produto da primeira linha das Equações (3.4), obtemos: 1 1 1 VA0 (VA VB VC ), VB 0 (VB VC VA ), VC 0 (VC VA VB ), 3 3 3

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Componentes simétricas

257

donde concluímos que:   V= A 0 V= B 0 VC 0 .

(3.5)

Analogamente, desenvolvendo a segunda linha das Equações (3.4), obtemos: 1 VA1 (VA VB 2VC ), 3 1 1 VB1 (VB VC 2VA ) ( VB 2VC VA ) 2 , 3 3 1 1 VC1 (VC VA 2VB ) ( 2VC VA VB ) , 3 3 isto é, VB1 2VA1 e VC1 VA1 2VB1 .

(3.6)

Dessa forma, mostramos que a cada rotação cíclica na ordem dos fasores que compõem a sequência dada corresponde uma rotação de a2 na componente simétrica de sequência direta. Finalmente, desenvolvendo a terceira linha das Equações (3.4), obtemos: 1 VA2 (VA 2VB VC ), 3 1 1 VB 2 (VB 2VC VA ) ( 2VB VC VA ) , 3 3 1 1 2 VC 2 (VC VA VB ) ( VC VA 2VB ) 2 , 3 3 isto é, VB 2 VA2 e VC 2 2VA2 VB 2 .

(3.7)

Dessa forma, mostramos que, a cada rotação cíclica na ordem de fasores que compõem a sequência dada, corresponde uma rotação de a na componente simétrica de sequência inversa. Matricialmente, temos:

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Introdução a sistemas elétricos de potência: componentes simétricas

VA 1 1 VA VB 1 2 VC 1

1 VA0 VA1 , 2 VA2

VB 1 1 VB VC 1 2 VA 1

1 VA0 1 2VA1 1 2 VA2 1 1 VA0 1 VA1 1 2 2VA2 1

VC 1 1 VC VA 1 2 VB 1

2 1 1 2

VA0 2 VA1 , 1 VA2 2 VA0 1 VA1 . VA2

Poderíamos ter chegado diretamente a esses resultados, pois a uma rotação nos elementos da sequência VA deve corresponder a mesma rotação nos elementos correspondentes da linha da matriz T.

EXEMPLO 3.3 – Dada a sequência: 0 VA 300| 0  VA = VB 200 3| 300 , VC 200 3| 300

pedimos determinar: (a) suas componentes simétricas; (b) as componentes simétricas de VB; (c) as componentes simétricas de VC. SOLUÇÃO: Temos: 1 VA0 (300| 00 200 3| 300 200 3| 300 ) 3 1 VA1 (300| 00 200 3| 900 200 3| 900 ) 3 1 VA2 (300| 00 200 3| 1500 200 3| 1500 ) 3

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300| 00 100| 00 100| 1800 .

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CAPÍTULO 4

Componentes de Clarke

4.1 COMPONENTES DE CLARKE OU COMPONENTES MODAIS 4.1.1 Apresentação Em 1917, W. W. Lewis, no artigo “Short circuit currents on grounded neutral systems”, publicado na General Electric Revue, introduziu, pela primeira vez, o emprego das componentes modais, componentes zero, alfa e beta, que apresentaremos nas seções subsequentes como componentes de Clarke, no cálculo de tensões e correntes numa rede em que há um defeito fase-terra, resultando uma grande simplificação no processo de cálculo. Ainda com a designação de componentes modais, foram objeto de artigos publicados em 1931 e 1938, porém, somente em 1938, com o artigo “Problems solved by modified symmetrical components”, publicado por Edith Clarke na General Electric Revue (v. 41, n. 11-12, nov./dez. 1938), é que houve a difusão de seu emprego e passaram a ser conhecidas por componentes de Clarke, em homenagem ao trabalho de Edith Clarke. Este capítulo, em que nos ocuparemos do estudo das componentes de Clarke ou modais, está estruturado basicamente do mesmo modo que o correspondente às componentes simétricas, isto é, apresentaremos inicialmente o teorema de transformação das componentes de fase em componentes de Clarke, demonstrando a

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22/04/2026 21:16:00

382

Introdução a sistemas elétricos de potência: componentes simétricas

existência e unicidade da matriz de transformação. A seguir, analisaremos as implicações nas componentes de Clarke da mudança cíclica dos fasores da sequência e as relações entre seus valores de fase e de linha. O passo seguinte será no sentido de estabelecermos as relações existentes entre componentes de Clarke e simétricas. Finalmente, ocupar-nos-emos das aplicações das componentes de Clarke ao estudo de redes, analisando, em termos de componentes de Clarke, as leis de Kirchhoff e a representação das impedâncias e dos componentes da rede. Ao longo deste capítulo apresentaremos alguns exercícios resolvidos, que têm por objetivo esclarecer os conceitos introduzidos, e no Capítulo 5 apresentaremos conjuntos de exercícios que permitam a familiarização do leitor com os conceitos apresentados.

4.1.2 Teorema fundamental Dada uma sequência Va qualquer, vamos demonstrar a existência e unicidade de três sequências, que são designadas por sequência zero, alfa e beta e, somadas, reproduzem a dada. Em outras palavras, demonstraremos que uma sequência qualquer pode ser decomposta nas três sequências e que essa decomposição é única. Essas três sequências são designadas por componentes de Clarke. Assim, seja:

0 VA 1 1    1 1 2 V 3 2 V V V B 0 VC 1 1 2 3 2 1 1 0 V0 V0 1 1 2 3 2 V TC V V 1 2 3 2 V 1

onde a matriz TC, que representa a matriz de transformação das componentes de Clarke para as de fase, é dada por: TC

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1 2

3 2 . 3 2 0

(4.1)

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383

Componentes de Clarke

Em termos de equações, temos: VA V0 V 1 3  VB V0 V V 2 2 3  1 VC V0 V V . 2 2

(4.2)

O determinante da matriz TC vale 3 3 2, portanto, admite inversa, que representa a matriz de transformação de componentes de fase para componentes de Clarke, dada por: 1 1 TC 1 2 3 0

1 1 3

(4.3)

isto é: 1 V0 VA 1  1  V T V B C 3 2 V VC 0

1 1 3

1 VA 1 VB . 3 VC

(4.4)

A partir das Equações (4.2) podemos chegar ao mesmo resultado, isto é, somando-as, membro a membro, obtemos: 1 V0 VA VB VC . 3 Obtemos a componente alfa subtraindo da 1a, multiplicada por 2, a 2a e 3a, isto é: 1 V 2VA VB VC . 3

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Introdução a sistemas elétricos de potência: componentes simétricas

Finalmente, obtemos a componente beta subtraindo da 2a a 3a, isto é:

3  1 V 0VA 3VB 3VC VB VC . 3 3 Em resumo, as Equações (4.1) e (4.4) demonstram que a matriz de transformação existe e é única. A matriz TC, tal como foi definida, não é ortogonal (matriz ortogonal é aquela matriz real cuja transposta coincide com sua inversa), portanto, como veremos em seção subsequente, a potência não é um invariante. Observamos, tal como foi feito nas componentes simétricas, que podemos definir matriz TC′ dada por: 1 TC 3

32 3 2 0

cuja transposta coincide com sua inversa, isto é: 1 TC TC t 3

1 32 3 3 2 0

1 2 U . 3 2 1

Entretanto, adotaremos, como a maioria dos autores, a matriz de transformação TC.

EXEMPLO 4.1 – Pedimos determinar as componentes de Clarke de uma sequência direta de tensões de fase, EAN, com tensão E AN= E = 200| 0 V . SOLUÇÃO: A sequência é dada por: E A E AN

E BN

t E CN 1 2

200| 0 .

Logo,

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Componentes de Clarke

E E 0 1 2 0 3 E  E 2 2 E 200| 0 V 3 E E 2 jE 200| 90 V . 3

Salientamos que, no caso particular de um trifásico simétrico, as componentes alfa e beta nada mais são que a decomposição do trifásico dado segundo um par de eixos ortogonais, com o primeiro eixo coincidente com o primeiro fasor da sequência dada. Assim, a partir da projeção dos três vetores da sequência dada, utilizando os coeficientes da matriz TC, determinam-se a componente alfa, pela projeção no eixo coincidente com o primeiro fasor da sequência, e a componente beta, pela projeção no eixo em quadratura (Figura 4.1). E0 = 0 E

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E0 = 0

E 2

EB +

EC +

E 2

EC +

3 E 2 +

2 E 2 +

E C

E E A

E B

Figura 4.1

E C

E A = 0

E = E A +

E C

E A = 0

E A

E B

E A

E B

Decomposição de uma sequência direta em componentes de Clarke.

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386

Introdução a sistemas elétricos de potência: componentes simétricas

4.1.3 Relações entre componentes de fase e de Clarke Inicialmente observamos que a componente de sequência zero apresenta o mesmo significado que a correspondente às componentes simétricas, isto é, para uma sequência de tensões de fase assimétrica, numa rede em estrela, representa o deslocamento do centro-estrela. Evidentemente para a sequência das tensões de linha seu valor será obrigatoriamente nulo. Por outro lado, para uma sequência de correntes de fase assimétricas, representa um terço da corrente de retorno pelo neutro. Para analisarmos as componentes alfa e beta vamos considerar, sem perda de generalidade, que as sequências de tensões de fase e de linha, de um trifásico assimétrico qualquer, são dadas por: VBN

t VCN

VL VAB VBC

t VCA

VF VAN

onde a componente alfa é dada, pela Equação (4.4), por: V fase (2VAN VBN VCN ) / 3. Mas, sendo: 3V0 fase VAN VBN VCN ou VAN 3V0 fase VBN VCN , resulta: V fase VAN V0 fase

(4.5)

isto é, a componente alfa é dada pela diferença entre o primeiro fasor da sequência e a componente de sequência zero. Por outro lado, a componente beta, Equação (4.4), é expressa por: V VBN VCN / 3 VBC / 3

(4.6)

e é dada pelo segundo fasor da sequência das componentes de linha dividido por raiz de 3.

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Componentes de Clarke

No caso da sequência das tensões de linha, sendo a componente de sequência zero obrigatoriamente nula, a componente alfa coincidirá com o primeiro fasor da sequência. A componente beta é obtida pela diferença entre os 2o e 3o fasores da sequência dada dividida por raiz de 3. Das relações apresentadas, notamos que, nas componentes de Clarke, ao alterarmos ciclicamente os fasores que compõem a sequência de fase, não teremos, como ocorria nas componentes simétricas, relação fixa entre as componentes alfa e beta. Isto é, sendo as sequências: VAN VAN

VBN

t VCN

VBN VBN

VCN

t VAN

VCN VCN

VAN

t V BN

às quais corresponderão componentes alfa e beta dadas por: Seq. AN:

V VAN V0

V VBC / 3

Seq. BN:

V VBN V0

V VCA / 3

Seq. CN:

V VCN V0

V VAB / 3

onde observamos, por serem os fasores quaisquer, que não há relação fixa entre as componentes de Clarke quando variarmos ciclicamente os fasores que compõem a sequência. Destacamos que, no caso particular de um trifásico simétrico, as relações são as mesmas que ocorriam nas componentes simétricas.

EXEMPLO 4.2 – Numa carga ligada em estrela temos, nas fases A, B e C, as seguintes correntes, em ampere: 30, 30j e –30j, respectivamente. Pedimos calcular as componentes de Clarke das correntes de fase e de linha. SOLUÇÃO: As componentes de Clarke das correntes de fase são dadas por: I0 F IAB IBC ICA / 3 30 30 j 30 j / 3 10| 0 A I F 2 IAB IBC ICA / 3

I F IBC ICA / 3

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60 30 j 30 j / 3 20| 0 A 30 j 30 j / 3 34, 64| 90 A.

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388

Introdução a sistemas elétricos de potência: componentes simétricas

Para esse caso, as componentes de Clarke das correntes de linha coincidem com as das correntes de fase. Cada uma das componentes representa (Figura 4.2): (1) Componente zero Três correntes iguais nas três fases, que retornam por terra. (2) Componente alfa Corrente Ia que flui pela fase A e retorna pelas fases B e C com valores iguais a Ia 2. (3) Componente beta Corrente que flui pela fase B e retorna pela C. Na hipótese da mesma carga ligada em triângulo, com as correntes das fases AB, BC e CA iguais às fornecidas, teríamos as correntes de linha dadas por: IA IAB ICA I I I

30 j 30 42, 43| 135 A

IC ICA IBC

30 j 30 j 60| 90 A.

30 30 j 42, 43| 45 A

E as componentes de Clarke das correntes de linha são dadas por: I0linha IA IB IC / 3 0 I linha 2 IA IB IC / 3 I linha IB IC / 3

IA 42, 43| 45 A 30 90 j / 3 54, 77|108,43 A.

I A = I = 20 I A = 0

IA = 30

A’

I0 = 10

A’

30 j

B’

–30 j

C’

I B = I /2 = 10 I B = 30 j

IB = 30 j

B’

I0 = 10 I C = I /2 = 10 I C = 30 j

IC = 30 j

C’

IA + IB + IC = 30

N’

I0 = 10

3I0 = 30

N’

Figura 4.2 Componentes de Clarke da corrente.

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Componentes de Clarke

4.1.4 Relações entre componentes de Clarke e simétricas Retomemos o teorema fundamental de componentes simétricas, que exprime a relação entre a sequência das componentes de fase, de tensões ou correntes, e a de componentes simétricas: IA 1 1  2 I B 1 IC 1

1 I0 I1 2 I2

que nos fornece: IA I0 I1 I2 , I I 2 I I , B

2 IC I0 I1 2 I2 .

(4.7)

Nas Equações (4.7), substituindo o valor de a, na forma cartesiana, e fatorando as partes reais e imaginárias, obtemos: IA I0 I1 I2 , 1 3  1 3  IB I0 j I1 j I 2 , 2 2 2 2 1 3  1 3  IC I0 j I1 j I 2 , 2 2 2 2 ou seja, IA I0 I1 I2 0 I1 I2 j, 1 3   IB I0 I1 I2 I1 I2 j, 2 2 1 3   IC I0 I1 I2 I1 I2 j. 2 2

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(4.8)

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Introdução a sistemas elétricos de potência: componentes simétricas

Da comparação das Equações (4.2) e (4.8) obtemos, imediatamente: I I1 I2 , I I I j,

(4.9)

ou, ainda, 1 I1 I jI , 2 1 I2 I jI . 2

(4.10)

Podemos alcançar o mesmo resultado com a equação matricial: IABC T012 I012 T0 I0 , em que T012 T e T0 TC são as matrizes de transformação de componentes simétricas e de Clarke, respectivamente, para componentes de fase, e IABC , I012 e I0 são as sequências dos valores das componentes de fase, simétricas e de Clarke, respectivamente. Assim, obtemos: I012 T012 1T0 I0 e I0 T0 1T012 I012 que, desenvolvida, fornecer-nos-á: 1 I0  I1 0 I2 0

0 1 2 1 2

0 I0 1 I0 1  j I e I 0 2  I 0 1 I j 2

0 1 j

0 I0 1 I1 . j I2

(4.11)

As Equações (4.9) e (4.10) representam a transformação entre componentes de Clarke e simétricas. Na Figura 4.3 estão representadas, graficamente, as Equações (4.9) e (4.10).

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CAPÍTULO 5

Exercícios

5.1 INTRODUÇÃO 5.1.1 Apresentação geral Neste capítulo dedicar-nos-emos ao desenvolvimento de exercícios referentes aos quatro capítulos precedentes. Apresentaremos inicialmente o programa CompSim e, em seguida, exercícios correspondentes aos Capítulos 1, 2, 3 e 4 organizados da seguinte forma: exercícios analíticos, de múltipla escolha, resolvidos e propostos. No caso dos Capítulos 1, 2 e 3, apresentaremos ainda exercícios resolvidos pelo programa CompSim, nos quais o leitor fornece as respostas aos quesitos propostos e o programa verifica tais respostas e informa sobre o acerto ou erro.

5.1.2 Programa CompSim O programa CompSim foi desenvolvido para operar em plataforma Microsoft Windows e está disponível para download diretamente do site da Editora Blucher. A Figura 5.1 apresenta a tela inicial do programa, destacando-se os itens do menu principal.

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Figura 5.1

Introdução a sistemas elétricos de potência: componentes simétricas

Tela inicial do programa CompSim.

Os itens identificados por “trifásicos equil.”, “valores pu” e “comp. simétricas” permitem executar os módulos responsáveis por exercícios de circuitos trifásicos simétricos e equilibrados (Capítulo 1), valores por unidade (Capítulo 2) e componentes simétricas (Capítulo 3), respectivamente. O item “trifásicos deseq.” permite realizar o cálculo de uma rede contando com gerador simétrico alimentando linha e carga desequilibradas. O item “conversão” permite converter matrizes e sequências de fasores em termos de uma representação (componentes de fase, simétricas ou de Clarke) para qualquer uma das outras duas representações. Por fim, o item “ajuda” permite obter informações sobre o livro, sobre os autores e sobre o programa CompSim, além de exibir o manual do usuário do programa (cujo acesso também é possível a partir da tela inicial). O manual do usuário descreve detalhadamente todos os módulos do programa CompSim e deverá ser consultado sempre que surgirem dúvidas em relação à execução do programa.

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Exercícios

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O programa CompSim permite salvar os dados do exercício atual em arquivo permanente. Dessa forma, o leitor poderá recuperar qualquer exercício salvo anteriormente e resolvê-lo novamente. Esse recurso é implementado pelos itens “Ler de Arquivo” e “Salvar em Arquivo”, presentes em todos os módulos do programa. Todos os exercícios resolvidos por meio do programa CompSim neste capítulo estão incluídos no instalador do programa. Assim, por exemplo, ao Exercício 5.2.32 corresponde o arquivo Exercicio_5-2-32.dat, o qual pode ser lido com o módulo Circuitos trifásicos simétricos e equilibrados, conforme mostra a Figura 5.2.

Figura 5.2 Leitura do arquivo de dados correspondente ao Exercício 5.2.32.

5.2 EXERCÍCIOS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS (CAPÍTULO 1) 5.2.1 Apresentação Nesta seção, em que nos dedicaremos ao desenvolvimento de exercícios de circuitos trifásicos, apresentamos um conjunto de exercícios propostos e exemplos de exercícios, com detalhamento da metodologia utilizada, resolvidos por meio dos programas computacionais. Os exercícios propostos subdividem-se em: (i) analíticos, nos quais solicitamos a demonstração de relações; (ii) tipo teste de múltipla escolha, nos quais apresentamos cinco alternativas de respostas à questão enunciada; (iii) exemplos típicos resolvidos; e (iv) exemplos sem resolução.

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Introdução a sistemas elétricos de potência: componentes simétricas

5.2.2 Exercícios analíticos 5.2.1 – Demonstrar, analiticamente e por meio de diagrama de fasores, as relações: 1 3 | 150 2 1 3 | 150 2 j 3 4 5 3 | 90 . 5.2.2 – Determinar, analiticamente e por meio de diagrama de fasores, os fasores:

10 | 40 1 20 | 30 2

70| 55 2 1 85| 30 2 . 5

5.2.3 Exercícios do tipo teste de múltipla escolha 5.2.3 – Numa carga equilibrada ligada em triângulo e alimentada por um trifásico assimétrico e equilibrado, podemos afirmar que: (1) A soma das tensões de fase na carga é sempre nula. (2) A soma das correntes de fase não é nula. (3) A soma das correntes de linha não é nula. (4) Sendo a sequência de fase direta, a corrente da linha A é obtida pela expressão IA IAB 3 | 30 . (5) Nenhuma das alternativas anteriores. 5.2.4 – Um trifásico simétrico a três fios alimenta uma carga desequilibrada ligada em estrela com o centro-estrela isolado. Podemos afirmar que: (1) A tensão de fase da carga, em módulo, é igual à de linha sobre 3. (2) A tensão VNN ’ é sempre diferente de zero. (3) As correntes nas três linhas estão defasadas entre si de 120. (4) Aterrando-se o centro-estrela da carga, as correntes de linha não se alteram. (5) Nenhuma das alternativas anteriores. 5.2.5 – Para um sistema trifásico que alimenta carga equilibrada com impedância, por fase, Z, é verdadeira a afirmação: (1) A rotação de fase entre a corrente IA e a tensão VAB independe da sequência de fase. (2) A corrente de linha é igual à de fase qualquer que seja a ligação da carga. (3) Determinamos o módulo da corrente de carga pela relação I = V Z , sendo V o módulo da tensão VAB. (4) A soma das correntes de linha é zero. (5) Nenhuma das alternativas anteriores.

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Exercícios

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5.2.6 – Um sistema trifásico simétrico, a 4 fios, com tensão de linha de 220 V, alimenta uma carga ligada em estrela aterrada constituída pelas impedâncias Z A 10 , Z B 10 j , ZC 10 j . Sendo a sequência de fase B-C-A, podemos afirmar que a corrente no fio neutro vale: (1) 9,3 A. (2) 60 A. (3) 34,7 A. (4) 38 A. (5) Nenhuma das alternativas anteriores. 5.2.7 – Um sistema trifásico alimenta várias cargas equilibradas ligadas em paralelo. Podemos afirmar que: (1) A potência aparente fornecida ao conjunto das cargas é igual à soma das potências aparentes de cada carga. (2) O fator de potência do conjunto das cargas é obtido dividindo-se a soma das potências ativas fornecidas às cargas pela soma das potências aparentes. ∗ (3) A potência complexa fornecida a cada carga é dada pela expressão 3 VAB IA, na qual VAB representa a tensão entre as linhas A e B e IA a corrente na linha A. (4) O fator de potência do conjunto é dado pela expressão cos arctg Qi Pi , em que ∑ Qi e ∑ Pi são, respectivamente, a soma algébrica das potências reativas e ativas fornecidas à carga. (5) Nenhuma das alternativas anteriores. 5.2.8 – Uma carga trifásica equilibrada, alimentada por trifásico simétrico, absorve 3800 W e –3800 VAr. Sendo a sequência de fase C-B-A e VAB 220| 40 V , podemos afirmar que a corrente IA vale: (1) 14,1| 115° A. (2) 14,1| 25° A. (3) 14,1| 55° A. (4) Não é possível calcular a corrente, pois não conhecemos o modo de ligação da carga. (5) Nenhuma das alternativas anteriores. 5.2.9 – Num sistema trifásico simétrico com carga equilibrada, sabemos que VAB V | e IA I| 30 . Podemos afirmar que: (1) A carga é capacitiva e seu fator de potência vale 0,5. (2) A carga é puramente resistiva. (3) A potência ativa fornecida à carga vale 0,5 VI.

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Introdução a sistemas elétricos de potência: componentes simétricas

(4) A potência aparente fornecida à carga vale 3VI. (5) Nenhuma das alternativas anteriores. 5.2.10 – Num sistema trifásico com carga equilibrada ligamos dois wattímetros com as bobinas amperométricas nas linhas A e B, e as voltimétricas entre essas linhas e a C. Sendo a carga indutiva, podemos afirmar que: (1) Quando a sequência de fase for A-B-C, será W1 > W2. (2) Quando a sequência de fase for A-C-B, será W1 > W2. (3) As leituras nos wattímetros independem da sequência de fase. (4) A leitura de um dos wattímetros será negativa desde que o fator de potência da carga seja menor que 0,5. (5) Nenhuma das alternativas anteriores. 5.2.11 – Num sistema trifásico, ligamos dois wattímetros com as bobinas amperométricas em dois fios de linha e as voltimétricas entre esses fios e o terceiro fio de linha. Podemos afirmar que: (1) Tratando-se de trifásico assimétrico a 3 fios com carga desequilibrada, a potência fornecida à carga não é igual à soma das leituras dos wattímetros. (2) Tratando-se de trifásico simétrico a 4 fios com carga equilibrada, a potência fornecida à carga não é igual à soma das leituras dos wattímetros. (3) Tratando-se de trifásico simétrico a 4 fios com carga desequilibrada, a potência fornecida à carga é igual à soma das leituras dos wattímetros. (4) Dadas as leituras dos wattímetros, podemos determinar o fator de potência e a natureza da carga. (5) Nenhuma das alternativas anteriores. 5.2.12 – Num sistema trifásico com carga equilibrada, ligamos um wattímetro com a bobina amperométrica na linha A e a voltimétrica entre as linhas B e C. Podemos afirmar, sabendo que o wattímetro tem o zero no centro da escala, que: (1) Quando a leitura for negativa, a carga será capacitiva. (2) Os reativos fornecidos à carga valem, em módulo, 3 x leitura do wattímetro. (3) Os reativos fornecidos à carga valem, em módulo, 3 x leitura do wattímetro. (4) A leitura do wattímetro vale VL I L cos 30 . (5) Nenhuma das alternativas anteriores.

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Exercícios

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5.2.13 – Para um indicador de sequência de fase, é verdadeira a afirmação: (1) Pode ser utilizado em trifásicos assimétricos. (2) O voltímetro que der a leitura maior corresponderá à tensão que estiver adiantada de 120 em relação à tensão aplicada ao capacitor. (3) Num trifásico simétrico a 4 fios, para determinarmos a sequência de fase, devemos ligar o centro-estrela do indicador de sequência de fase ao quarto fio (neutro). (4) Quando a admitância do capacitor for aproximadamente igual à admitância interna dos voltímetros, com a fase A ligada ao capacitor, a leitura do voltímetro ligado à fase B será maior que a do ligado à fase C, desde que a sequência de fase seja A-B-C. (5) Nenhuma das alternativas anteriores.

5.2.4 Exercícios resolvidos 5.2.14 – Num sistema trifásico simétrico, com sequência de fase C-B-A, a tensão entre os pontos B e C é 380| 45 V. Pedimos que sejam determinadas as tensões de linha e fase. Repetir a questão para: VAB 220 | 35 V , VCA 220 | 45 V , VAB 220 | 45 V , VBC 220 | 65 V , VBC 220 | 35 V . SOLUÇÃO: (a) Tensões de linha Sendo a sequência de fase C-B-A, deverá ser: VCA V | , VBC V | 120 , VAB V | 120 , mas sendo: VBC 380 | 45 V , deverá ser: V V 380 V e 120 45 ,

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Introdução a sistemas elétricos de potência: componentes simétricas

e, então, 75 . Logo, VCA 380 | 75 V , VBC 380 | 45 V , VAB 380 | 195 380 | 165 V . Para a resolução gráfica, por meio do diagrama de fasores, construímos o fasor VBC atrasado de 45 em relação à origem. Como os fasores giram em sentido anti-horário e o fasor VAB deve ser o próximo a passar pelo valor máximo, construímo-lo atrasado de 120 em relação a VBC . Analogamente, construímos VCA atrasado de 120 em relação a VAB (Figura 5.3). (b) Tensões de fase Para a determinação analítica das tensões de fase, lembramos que dispomos somente de duas equações relacionando três incógnitas, isto é, as três equações abaixo não são independentes, pois, sendo VAB VBC VCA 0, uma das equações é linearmente dependente das outras duas. VAB VAN VBN V V V BC

VCA VCN VAN . Levantamos a indeterminação impondo um valor para a soma das tensões de fase, isto é, VAN VBN VCN Vdesl da qual resulta: VBN Vdesl VAN VCN VAB VAN VBN 2VAN VCN Vdesl V V V CA

1 VAN VAB VCA Vdesl 3

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Exercícios

que nos permite determinar, impondo que Vdesl = 0, 1 VAN 380 | 195 380 | 75 219, 4| 135 V 3

ou, então, sendo a sequência de fase inversa, VAN

VAB 3 | 30

380 | 195 3 | 30

219, 4| 135 V , VBN VAN , VCN 2 VAN .

Graficamente, construímos inicialmente o triângulo das tensões de linha, que é equilátero, e fixamos o ponto N, correspondente ao centro-estrela, no baricentro do triângulo (Vdesl = 0). · VCA

· VCA

· VCN N

Origem dos ângulos

· VAN

45o

· VAB

· VBN

· VBC B

· VBC

Figura 5.3 Diagrama de fasores para o Exercício 5.2.14.

5.2.15 – Uma carga trifásica equilibrada, ligada em triângulo, é alimentada por trifásico simétrico com sequência de fase B-A-C. Conhecendo-se a corrente IBC 22 | 40 A, pedimos determinar as correntes de fase e linha. Repetir o exercício para: IAB 15| 20 A, ICA 15| 45 A, IBC 15| 45 A , I 38 | 50 A, I 38 | 30 A , I 38 | 50 A A

e para sequência de fase direta.

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Introdução a sistemas elétricos de potência: componentes simétricas

SOLUÇÃO: (a) Correntes de fase Sendo IBC 22| 40 A, e a sequência de fase inversa (B-A-C), resulta: IAB 22 | 40 120 22 | 80 A, I 22 | 40 120 22 | 160 A. CA

(b) Correntes de linha IA IAB 3 | 30 38 | 50 A, IB IBC 3 | 30 38 | 70 A, IC ICA 3 | 30 38 | 170 A. 5.2.16 – Um sistema trifásico simétrico alimenta uma carga equilibrada ligada em estrela. Sendo fornecidas a impedância de fase da carga (6,0 + 8,0j ), a tensão de linha (220 V - 60 Hz) e a sequência de fase (direta), pedimos: (a) As correntes de fase e linha. (b) O fator de potência da carga. (c) A potência complexa fornecida à carga. (d) As leituras em dois wattímetros ligados conforme o esquema da Figura 5.4. A

±A ±V

±V C ±A

Figura 5.4

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Circuito para o Exercício 5.2.16.

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