Física do movimento para engenharia

FÍSICA DO MOVIMENTO PARA ENGENHARIA

mercado editorial, a Blucher mantém um sólido compromisso com a ciência e a democratização do conhecimento.

MECÂNICA CLÁSSICA ■ DINÂMICA DA TRANSLAÇÃO ■ CINEMÁTICA VETORIAL ■ EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ■ DINÂMICA DA ROTAÇÃO

Seu catálogo, com mais de 1.500 títulos, foi reconhecido com 24 prêmios Jabuti e inclui obras adotadas por professores de destaque em diversas áreas. Conheça mais livros de Engenharia em:

Com enfoque na modelagem de situações mecânicas reais, incluindo soluções numéricas usando linguagem Python, o livro é organizado de modo que conceitos matemáticos sejam introduzidos conforme a solução dos problemas exija. Em linguagem amigável e didática, mas também rigorosa, conceitos são apresentados sempre contextualizados, buscando maior compreensão e assimilação do aprendizado.

A engenharia é a heroína incógnita que constrói usinas geradoras de energia, aviões, estradas, pontes, computadores, estações de telecomunicações e tantas maravilhas que nos rodeiam. Seu domínio é elemento essencial de soberania e seu ensino, missão que requer dedicação e domínio do conhecimento científico. Inserir o desenvolvimento tecnológico na aprendizagem da engenharia não dispensa seus conteúdos, sem os quais o estudo é vazio e resumido ao uso inocente de algoritmos. Aqui, três autores com formação científica sólida e domínio da didática trazem ao leitor os fundamentos da mecânica, apresentados com rigor e ilustrados de maneira lúdica pelo uso da moderna tecnologia. José Roberto Castilho Piqueira Professor titular (EPUSP) Membro efetivo da Academia Nacional de Engenharia

O que você vai encontrar: • Modelagem mecânica • Equações diferenciais • Simulações numéricas • Sistemas de coordenadas e cinemática vetorial • Trabalho, energia e momento linear • Dinâmica da rotação • Equilíbrio estático • Energia cinética de rotação e momento angular

FABIO S. EL HAGE Engenheiro, mestre e doutor pela Escola Politécnica da USP.

RODRIGO CARARETO Engenheiro, mestre e doutor pela Escola Politécnica da USP.

CARLOS N. MARMO Engenheiro, mestre e doutor pela Escola Politécnica da USP.

FÍSICA DO MOVIMENTO PARA ENGENHARIA

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Física do Movimento para Engenharia é um livro de mecânica clássica destinado a estudantes de engenharia e graduandos em ciências exatas em geral. O livro cobre a teoria newtoniana desde o movimento de pontos materiais até a análise da rotação e translação de corpos rígidos.

HAGE | CARARETO | MARMO

Com mais de 70 anos de história no

FABIO SISMOTTO EL HAGE RODRIGO CARARETO CARLOS NEHEMY MARMO

CONTEÚDO Prefácio

1. Conceitos fundamentais da mecânica clássica

2. Taxa de variação: um conceito fundamental em física

3. Sistemas de coordenadas e álgebra vetorial

FÍSICA DO MOVIMENTO PARA ENGENHARIA Incluindo modelagem e simulação em Python

4. Modelando e simulando sistemas mecânicos

5. 6. 7. 8. 9.

Cinemática vetorial do ponto material Trabalho e energia em translação pura Momento linear Dinâmica da rotação Momento angular

Saiba mais sobre o livro

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12/05/2026 12:25

Fabio Sismotto El Hage Rodrigo Carareto Carlos Nehemy Marmo

FÍSICA DO MOVIMENTO PARA ENGENHARIA Incluindo modelagem e simulação em Python

Física do movimento para engenharia: incluindo modelagem e simulação em Python © 2026 Fabio Sismotto El Hage, Rodrigo Carareto e Carlos Nehemy Marmo Editora Edgard Blücher Ltda. Publisher Edgard Blücher Editor Eduardo Blücher Coordenador editorial Rafael Fulanetti Coordenadora de produção Ana Cristina Garcia Preparação de texto Sérgio Nascimento Diagramação Roberta Pereira de Paula Revisão de texto Denise Pisaneschi Capa Juliana Midori Horie Imagem da capa Simulação de um pêndulo cônico com resistência do ar; elaborada pelos autores.

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Heytor Diniz Teixeira, CRB-8/10570 Rua Pedroso Alvarenga, 1245, 4 o andar

5El Hage, Fabio Sismotto

04531-934 – São Paulo – SP – Brasil

Física do movimento para engenharia / Fabio Sismotto El Hage, Rodrigo Carareto, Carlos Nehemy Marmo. – São Paulo : Blucher, 2026.

Tel.: 55 11 3078-5366 contato@blucher.com.br www.blucher.com.br

704 p. : il. Bibliografia ISBN 978-85-212-2791-5 (Impresso)

Segundo o Novo Acordo Ortográfico, conforme 6. ed. do Vocabulário Ortográfico da Língua Portuguesa, Academia Brasileira de Letras, julho de 2021.

É proibida a reprodução total ou parcial por quaisquer

ISBN 978-85-212-2788-5 (Eletrônico – Epub) ISBN 978-85-212-2789-2 (Eletrônico – PDF) 1. Física. 2. Mecânica – Fundamentos. 3. Taxa de variação – Conceito. 4. Equações diferenciais. 5. Cinemática (Física). 6. Dinâmica (Física). 7. Sistemas de coordenadas (Física). 8. Sistemas mecânicos (Física). 9. Cinemática vetorial. I. Título. II. Carareto, Rodrigo. III. Marmo, Carlos Nehemy. CDU 53

meios sem autorização escrita da editora. Todos os direitos reservados pela Editora Edgard Blücher Ltda.

Índice para o catálogo sistemático: 1. Física

CDU 53

Conteúdo

PREFÁCIO....................................................................................................................................

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1.

CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA CLÁSSICA.......................................

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1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

19 25 26 28 29 70 75 88

Um pouco de história: da mecânica de Aristóteles a Einstein.......................... Grandezas escalares e vetoriais................................................................................ Leis de Newton (ou leis do movimento).................................................................. O que é força?................................................................................................................. Tipos e natureza das principais forças.................................................................... Referenciais inerciais e não inerciais....................................................................... Exercícios......................................................................................................................... Respostas dos exercícios............................................................................................

2. TAXA DE VARIAÇÃO: UM CONCEITO FUNDAMENTAL EM FÍSICA ....................... 95 2.1 Taxa de variação média................................................................................................ 97 2.2 Taxa de variação instantânea..................................................................................... 101 2.3 Velocidade e aceleração são taxas de variação instantâneas......................... 106 2.4 A 2ª lei de Newton é uma equação diferencial...................................................... 111

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2.5 Equações diferenciais e resolução numérica: o método de Euler................... 116 2.6 Causa e consequência do movimento: dinâmica e cinemática....................... 123 2.7 Exercícios......................................................................................................................... 129 2.8 Respostas dos exercícios............................................................................................ 136 3. SISTEMAS DE COORDENADAS E ÁLGEBRA VETORIAL.......................................... 139 3.1 Operações básicas com vetores e versores........................................................... 142 3.2 Sistemas de coordenadas e o conceito de versor................................................ 147 3.3 Aceleração tangencial e radial – duas medidas de variação da velocidade.... 166 3.4 Raio de curvatura e inclinação de uma trajetória................................................. 175 3.5 Aprofundamento: dedução da expressão do raiode curvatura....................... 189 3.6 Exercícios......................................................................................................................... 197 3.7 Respostas dos exercícios............................................................................................ 218 4. MODELANDO E SIMULANDO SISTEMAS MECÂNICOS............................................ 223 4.1 Modelando e simulando sistemas mecânicos...................................................... 225 4.2 Método de Euler em Python....................................................................................... 226 4.3 Lançamento oblíquo com resistência do ar........................................................... 230 4.4 Pêndulo simples com resistência do ar e validação............................................ 237 4.5 Pêndulo cônico com resistência do ar..................................................................... 249 4.6 Sistema massa-mola.................................................................................................... 258 4.7 Carrinho em uma montanha-russa com resistência do ar................................ 263 4.8 O esqueitista na gangorra............................................................................................ 271 4.9 Exercícios......................................................................................................................... 279 4.10 Respostas dos exercícios............................................................................................ 286 5. CINEMÁTICA VETORIAL DO PONTO MATERIAL........................................................ 291 5.1 Cinemática vetorial de um ponto material em coordenadas cartesianas ... 295 5.2 Cinemática vetorial de um ponto material em coordenadas polares............ 318 5.3 Velocidade relativa e as transformações de Galileu ........................................... 326 5.4 Exercícios ........................................................................................................................ 334 5.5 Respostas dos exercícios ............................................................................................ 352

Conteúdo

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6. TRABALHO E ENERGIA EM TRANSLAÇÃO PURA ..................................................... 357 6.1 Introduzindo os conceitos de trabalho e energia................................................. 361 6.2 Produto escalar entre dois vetores........................................................................... 376 6.3 Formalização matemática do conceito de trabalho de uma força ao longo de um deslocamento........................................................................................ 383 6.4 Potência e rendimento................................................................................................. 393 6.5 Trabalho do peso, da força elástica e teorema da energia potencial............. 397 6.6 Teorema da energia potencial (TEP)........................................................................ 411 6.7 Teorema da energia cinética (TEC).......................................................................... 413 6.8 Teorema da energia mecânica (TEM)...................................................................... 417 6.9 Exercícios......................................................................................................................... 424 6.10 Respostas dos exercícios............................................................................................ 447 7. MOMENTO LINEAR ........................................................................................................... 451 7.1 Definição de momento linear e princípio fundamental da dinâmica............. 453 7.2 Teorema do Impulso aplicado a um corpo ............................................................ 457 7.3 Conservação do momento linear de um corpo .................................................... 459 7.4 Momento linear e teorema do impulso aplicados a um sistema ..................... 461 7.5 Centro de massa de um sistema de corpos .......................................................... 466 7.6 Teorema do movimento do centro de massa (baricentro) ............................... 468 7.7 Aprofundamento: sistemas de massa variável .................................................... 472 7.8 Choques, colisões e explosões ................................................................................. 480 7.9 Exercícios ........................................................................................................................ 495 7.10 Respostas dos exercícios ............................................................................................ 523 8. DINÂMICA DA ROTAÇÃO................................................................................................. 529 8.1 Introduzindo o conceito de torque........................................................................... 534 8.2 Dinâmica de rotação de um corpo rígido ............................................................... 552 8.3 Equilíbrio estático.......................................................................................................... 564 8.4 Energia mecânica e potência na dinâmica de rotação....................................... 573 8.5 Modelando problemas de translação e rotação .................................................. 577 8.6 Aprofundamento: pseudotrabalho .......................................................................... 589 8.7 Exercícios ........................................................................................................................ 595 8.8 Respostas dos exercícios............................................................................................ 621

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9. MOMENTO ANGULAR ...................................................................................................... 625 9.1 Definição de momento angular de um ponto material e de um corpo rígido...................................................................................................................... 627 9.2 Impulso do torque e variação do momento angular em sistemas de corpos ......................................................................................................................... 632 9.3 Sistema angularmente isolado .................................................................................. 641 9.4 Momento angular durante choques ........................................................................ 649 9.5 Momento angular de um corpo rígido em translação e rotação ...................... 656 9.6 Giroscópio e precessão ............................................................................................... 668 9.7 Aprofundamento: relação generalizada entre o momento angular e a velocidade angular ....................................................................................................... 672 9.8 Exercícios ........................................................................................................................ 677 9.9 Respostas dos exercícios ............................................................................................ 697 SOBRE OS AUTORES................................................................................................................ 703

Prefácio

A confecção do presente livro tem uma história que se inicia na década de 1990, quando nós três ingressamos na Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. Embora em anos diferentes e em turmas diferentes, nossos destinos se cruzariam no curso Anglo Vestibulares da rua Tamandaré, no bairro da Liberdade, em São Paulo. Como plantonistas, e depois como professores de física do curso pré-vestibular ainda enquanto nos graduávamos em engenharia, passamos a compartilhar cada vez mais não só o interesse pela física, mas também pelo seu ensino. Coordenada pelo Prof. José Roberto Castilho Piqueira, atualmente professor titular da USP, a equipe de física do Anglo se reunia aos sábados pela manhã para assistir a seminários de física ministrados pelos próprios membros da equipe. O ambiente de desafios e aprendizagens nesses seminários foi extremamente rico para nossa formação. Na Universidade de São Paulo, o curso de mecânica era ministrado no primeiro semestre, em paralelo com a disciplina de cálculo I. Enquanto aprendíamos os conceitos de limites nesta disciplina, o(a) professor(a) de física já resolvia integrais e apresentava as leis da mecânica na forma diferencial. O aprendizado de física em nível superior nos foi assim bastante árduo, fazendo com que fosse necessário buscar nos livros e em notas de aulas muitos dos conceitos não explicados, isso em uma época em que não havia YouTube ou Google. Seguimos por caminhos diferentes no ensino da física, na engenharia e na academia até que, em 2015, o Prof. Fábio Orfali, também politécnico e ex-professor do

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Anglo, nos convidou para fazer parte de um incrível desafio: integrar o corpo docente da nova engenharia do Insper, instituição de ensino superior sem fins lucrativos e bastante conhecida pelos cursos de administração e economia. O curso estava sendo planejado a muitas mãos e com a consultoria de uma prestigiosa instituição americana: o Olin College of Engineering, em Boston, EUA. Foi um período de muito aprendizado e de muitos questionamentos sobre o que e como ensinar. As disciplinas eram planejadas com base em objetivos de aprendizagem em vez de listas de conteúdos e o aprendizado deveria ser sempre em contexto, com aplicações práticas na medida do possível. Surgiu assim na engenharia do Insper o curso de Física do Movimento, a partir do qual escrevemos este livro. Em primeiro lugar, precisávamos pensar em um modo de iniciar o estudo da física para alunos de primeiro ano de engenharia sem a linguagem formal do cálculo diferencial e integral, a qual deveria ser introduzida gradualmente à medida que apreendida pelos alunos na disciplina de cálculo (no Insper, essa disciplina se chama Matemática da Variação). Pensando sobre como aprendemos física e, agora, como a ensinamos na graduação, algumas diferenças nos são notáveis. Além da questão supracitada de iniciar o curso sem falar em integrais ou derivadas, nos parece muito mais didático iniciar a mecânica clássica pela dinâmica, que trata do estudo das causas do movimento, do que pela cinemática, como ocorre na maioria dos livros e cursos de física na graduação. Iniciar com a dinâmica nos permitiu usar todo o potencial da compreensão do conceito de taxa de variação para explicar o significado de velocidade e aceleração instantâneas, além de podermos enunciar a segunda lei de Newton como uma equação diferencial de segunda ordem, e que pode ser resolvida numericamente usando o método de Euler. Tradicionalmente, equações diferenciais são estudadas em semestres ou anos posteriores ao aprendizado de mecânica, o que nos parecia bastante inapropriado sob o ponto de vista didático. A segunda lei de Newton é uma equação diferencial e, para a maioria dos problemas reais, será muito complexo ou impossível se chegar a uma solução analítica. Como dissemos, inspirados pelos cursos do Olin College e também pela nova atmosfera da engenharia do Insper, adotamos como premissa a introdução de novos conceitos apenas na medida em que são necessários para sua aplicação. Por exemplo, os versores são introduzidos apenas quando explicamos os sistemas de coordenadas, o produto escalar apenas quando falamos de trabalho, o produto vetorial quando falamos de torque.

Prefácio

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Acreditamos ainda que o estudo da física é muito mais eficaz quando simulações e gráficos podem ser produzidos em computador e, por isso, dedicamos um capítulo inteiro a simulações computacionais de casos clássicos e bastante reais (Capítulo 4), considerando a resistência do ar. Embora tenhamos elaborado simulações em linguagem Python, elas são traduzíveis para Matlab ou Excel. No Capítulo 1, iniciamos com uma introdução histórico-filosófica sobre a mecânica newtoniana, mas também discutimos as leis de Newton e o conceito de força em níveis de classificação diferentes. No Capítulo 2, introduzimos o conceito de taxa de variação, sua relação com equações diferenciais e a conexão que proporciona entre a cinemática e a dinâmica. No Capítulo 3, introduzimos os sistemas de coordenadas e suas relações com a solução de problemas físicos, mesmo sem ainda usar a cinemática vetorial. No Capítulo 4, como dissemos, trazemos exemplos de modelagens reais, resolvendo numericamente equações diferenciais e construindo trajetórias e curvas horárias usando simulações. No Capítulo 5, formalizamos a cinemática vetorial, momento em que já podemos derivar e integrar analiticamente usando as três dimensões do espaço e o tempo. No Capítulo 6, apresentamos os teoremas de trabalho e energia nas suas formas integral e diferencial, recorrendo aos conceitos de posição, velocidade e aceleração aprendidos anteriormente. No Capítulo 7, introduzimos os teoremas do impulso e momento linear, também usando cálculo diferencial e integral, fazendo a transição da modelagem por ponto material para corpo rígido. Nos Capítulos 8 e 9, finalizamos o livro com os conceitos mais complexos da dinâmica de rotação e do momento angular. Trata-se, assim, de um curso de mecânica clássica bastante compatível com as disciplinas de Física I ou “Physics 101” ministradas em diferentes universidades no Brasil e no exterior. Esperamos, com este livro, poder dar uma efetiva contribuição ao aprendizado da mecânica clássica de um modo gradual, didático e aplicado, mas também rigoroso. Boa leitura! Fabio, Rodrigo e Carlos Janeiro/2026

CAPÍTULO 1

Conceitos fundamentais da mecânica clássica

A mecânica clássica é o conjunto de leis e princípios proposto por Isaac Newton em 1687, incluindo os teoremas deduzidos a partir dessas leis. Trata-se de uma teoria científica que explica e prevê o movimento de objetos macro e microscópicos, desde grãos de poeira e gotículas de água, até projéteis, peças de máquinas e objetos astronômicos, como naves espaciais, planetas, estrelas e galáxias.

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Fundamental para o desenvolvimento das ciências naturais e da engenharia, a teoria newtoniana do movimento possibilitou grande parte do avanço tecnológico dos últimos trezentos anos. Será a mecânica clássica válida em todas as situações? CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO CAPÍTULO A mecânica clássica é sinônimo de mecânica newtoniana, uma vez que as três leis de Newton são a base de todos os teoremas desenvolvidos no paradigma desta teoria. Publicada em 1687, a mecânica newtoniana substituiu o paradigma milenar aristotélico, base de explicação do movimento até então. Em 1905, com a publicação de artigos sobre a teoria da relatividade, Einstein propõe uma nova camada de compreensão da natureza, explicando toda a mecânica clássica e também as anomalias não explicadas por ela. Apesar de haver um limite claro ao seu poder explanatório, a mecânica clássica é e será usada pela engenharia para explicar e prever fenômenos macroscópicos com altíssima precisão, desde que as análises se restrinjam a velocidades muito menores que a velocidade da luz. Na mecânica clássica, há grandezas escalares e vetoriais, sendo as primeiras representadas por apenas um número real, enquanto as segundas necessitam de dois ou três números reais para representá-las, dependendo das dimensões do espaço considerado. As três leis de Newton são: 1ª lei – Todo corpo permanece em movimento retilíneo e uniforme, ou em repouso, a menos que a resultante das forças nele aplicadas seja não nula. 2ª lei – A resultante de forças que agem em um corpo é igual à massa vezes a aceleração   desse corpo (R m a ). ●

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3ª lei – Para toda força de ação de um corpo A em um corpo B, existe uma força de reação de B em A, na mesma direção, com a mesma intensidade, mas em sentido oposto.

Não é possível definir precisamente o que é força. De acordo com a 2ª lei de Newton, força é aquilo que, aplicado exclusivamente a um corpo, lhe causará aceleração. As forças macroscópicas podem ser agrupadas em dois conjuntos: forças de contato e forças de campo. As forças de contato são: Força normal: contrária à tendência de penetração, sempre perpendicular à superfície de contato. Força de tração: contrária à tendência de separação, sempre na direção do fio/cabo por meio do qual ela atua. Força de atrito: contrária à tendência de escorregamento ou ao próprio escorregamento, sempre paralela à superfície de contato.

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Força elástica: contrária à deformação de um objeto elástico (normalmente uma mola), podendo ser contrária a sua compressão ou extensão. Força de resistência do ar: contrária à velocidade relativa do corpo em relação ao fluido no qual ele está imerso. Força de empuxo hidrostático: em um fluido em repouso, contrária à força gravitacional, surge quando um corpo está imerso em um fluido. As forças de campo são: Força gravitacional: força de atração entre dois corpos quaisquer. É a força que permite descrever a órbita dos planetas e também o movimento de queda livre nas proximidades da superfície da Terra. Força eletromagnética: força eletrostática entre duas cargas, podendo ser de atração ou repulsão, e força magnética, sempre existente quando uma carga elétrica em movimento adentra uma região de campo magnético com certa angulação.

Toda posição, velocidade e aceleração é medida em relação a um referencial (um sistema de coordenadas). Quando esse referencial está em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme em relação a outro, diz-se que o referencial é inercial. Quando o referencial possui aceleração, conforme medida em relação a outro, o referencial é dito não inercial. Para que a 2ª lei de Newton seja válida em referenciais não inerciais, é necessário lançar mão de forças fictícias, para as quais a 3ª lei de Newton não é válida.

1.1 UM POUCO DE HISTÓRIA: DA MECÂNICA DE ARISTÓTELES A EINSTEIN A mecânica é o estudo do movimento e de suas causas, formando um corpo de conhecimento desde os gregos antigos. Aristóteles, o grande filósofo que foi discípulo de Platão e mentor de Alexandre, o Grande, descreveu as causas do movimento por meio de ideias relacionadas à sua filosofia, mas que não se baseavam em procedimentos minimamente semelhantes ao que hoje conhecemos por método científico. Para Aristóteles, uma pedra caía porque “buscava” seu lugar natural, que seria o solo, composto majoritariamente pelo elemento terra, um dos quatro presentes no paradigma grego sobre a natureza. Empédocles, um filósofo pré-socrático, já havia dito, antes de Aristóteles, que todos os corpos materiais eram composições de quatro elementos: terra, água, ar e fogo, sendo o primeiro o mais pesado, e o último o mais leve.

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Em seu livro A física, Aristóteles lança mão de explicações racionais para os fenômenos observados na natureza, entre os quais o movimento. Para ele, o movimento poderia ser de dois tipos: natural ou violento. Movimentos naturais seriam aqueles que não requerem nenhuma causa para ocorrer, como é o caso da pedra que cai sobre o solo, ou o movimento circular da Lua em torno da Terra. Por sua vez, movimentos violentos seriam aqueles que necessitariam de uma causa externa, uma “força”1 que os manteria em movimento. Vale ressaltar que a visão aristotélica, como a dos gregos antigos, era geocêntrica e não universal, no sentido de que as leis da natureza seriam diferentes na Terra (reino sublunar) e no espaço (reino supralunar). A filosofia aristotélica, continuada na escolástica eclesiástica de Santo Tomás de Aquino, constituiu o paradigma para o estudo do movimento até meados do século XVII, sendo o pano de fundo de explicações de todo tipo para os movimentos observados. Um exemplo interessante é a explicação aristotélica para o movimento de uma flecha lançada ao ar, que constituiria um movimento violento causado pela corda do arco que a impulsiona. Enquanto a corda aplica uma “força” à flecha, a causa do movimento é bem identificada. Contudo, quando ela já está viajando no ar, qual seria a “força” causadora do movimento? A explicação aristotélica é a de que o ar faz um movimento circular muito rápido, partindo da frente da flecha e retornando de modo a empurrar sua extremidade traseira para a frente. Nesse paradigma, qualquer movimento não natural teria de ser causado por uma “força” (uma causa), sem a qual o corpo pararia imediatamente. Foi Galileu Galilei, no século XVII, o primeiro a desafiar o paradigma aristotélico, introduzindo um procedimento inédito no estudo dos fenômenos físicos: o experimento.2 Por meio da observação controlada e sistemática, o que envolve a medição de espaços e tempos, por exemplo, Galileu foi capaz de testar a validade de uma explicação (ou uma hipótese, como diríamos atualmente). Por exemplo, introduzindo um conceito totalmente novo, a inércia, Galileu observou que não era necessária a presença de uma força para que um corpo permanecesse em movimento, uma constatação que se chocava frontalmente com as ideias de Aristóteles. Do mesmo modo, Galileu percebeu que corpos em queda livre têm a mesma variação de velocidade (ou seja, a mesma aceleração), independentemente de suas massas,

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Usamos “força” entre aspas quando nos referimos à física pré-newtoniana porque o conceito moderno de força, proposto por Galileu e aperfeiçoado por Newton, não existia. Alguns estudiosos argumentam que Aristóteles fazia sim experimentos, como dissecar animais ou misturar substâncias diferentes. No entanto, estamos nos referindo aqui ao conceito moderno de experimento controlado, com o objetivo de testar hipóteses.

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chegando a essa conclusão a partir de supostos lançamentos3 de corpos de massas diferentes do alto da Torre de Pisa. Embora revolucionárias, as descobertas de Galileu não foram suficientes para constituir uma explicação completa (ou uma teoria geral) sobre as causas do movimento, algo alcançado alguns anos mais tarde por um jovem inglês chamado Isaac Newton, que nasceu um ano após a morte de Galileu, em 1643. Newton, um jovem prodígio que desvendou as leis da mecânica clássica aos 25 anos de idade, foi capaz de revolucionar a física em bases nunca antes testemunhadas. Suas três leis do movimento, associadas à sua lei da gravitação universal, formaram a base para explicações de quaisquer movimentos, sejam eles na superfície da Terra ou no espaço sideral, quebrando definitivamente a ideia milenar de que havia duas realidades, uma terrena e outra cósmica. Hannah Arendt, em seu livro A condição humana, argumenta que a invenção do telescópio, realizada por Hans Lippershey em 1608 e aperfeiçoada por Galileu Galilei um ano depois, foi um dos três gatilhos mais importantes na construção do paradigma moderno. Pela primeira vez na história, as observações de astros e estrelas permitiram o desenvolvimento de uma perspectiva na qual a Terra se inseria em uma cadeia universal de leis físicas capazes de explicar, ao mesmo tempo, tanto as órbitas celestes quanto o movimento de uma pedra lançada ao ar. Essas leis universais foram formalizadas por Newton, aos 44 anos de idade, em seu livro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, conhecido por Principia. A principal mudança de paradigma em relação à física aristotélica foi a de que o movimento não precisa de uma força para ocorrer. Corpos em movimento têm a tendência natural de permanecer em movimento retilíneo e uniforme (com velocidade constante), a não ser que uma resultante não nula de forças altere a direção ou a intensidade da velocidade. Trata-se de uma nova forma de pensar, pois estamos nos referindo a uma lei universal que alude não ao conceito de velocidade em si, mas ao de sua taxa de variação no tempo. Newton não tinha à sua disposição os conceitos matemáticos para descrever com precisão aquilo que havia descoberto, ampliando ainda mais sua grandeza quando, além de revolucionar a física, criou também a fundamentação do que hoje conhecemos por cálculo integral e diferencial. A partir do século XVII, as leis de Newton para o movimento e para a gravidade foram aplicadas a tudo o que se podia ver ou medir, embora o mais rápido que

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Há uma controvérsia entre estudiosos sobre o fato de Galileu ter feito ou não experimentos na Torre de Pisa. De acordo com Vincenzo Viviani (discípulo e biógrafo de Galileu), isso realmente ocorreu. No entanto, de acordo com o renomado filósofo russo Alexandre Koyré, esses experimentos nunca teriam ocorrido, sendo, na verdade, “experimentos mentais”.

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alguém pudesse se mover naquela época fosse a cavalo, ou caindo de um penhasco. Mesmo assim, as leis de Newton explicavam a Lua girando em torno da Terra e a Terra girando em torno do Sol, além de, mais tarde, explicarem também o movimento das luas de Júpiter ao seu redor. Como dito anteriormente, não era apenas uma lei das coisas que giravam em torno do Sol, mas uma lei universal. A mecânica newtoniana, assim, constituiu a base conceitual das engenharias por quatro séculos, sendo utilizada como “a teoria” subjacente à construção de edificações, automóveis, navios, aviões e máquinas de todos os tipos e aplicações, um verdadeiro sucesso em explicar e prever fenômenos, alçando a ciência a um patamar inédito nas sociedades modernas. Contudo, aprendemos, no início do século XX, à medida que nossos métodos e ferramentas se tornaram cada vez mais precisos, que as leis de Newton falhavam em alguns casos. William Herschel, um astrônomo inglês que nasceu na Alemanha em 1738, descobriu o planeta Urano, o sétimo a partir do Sol, por acidente, depois que as leis da gravidade de Newton haviam sido publicadas. A partir daquele momento, os astrônomos poderiam prever também a órbita de Urano. Porém, logo perceberam que a órbita do novo planeta não estava seguindo as leis de Newton. Haveriam eles encontrado os limites, isto é, a distância máxima em relação ao Sol até a qual as leis de Newton seriam válidas? Outros astrônomos, no entanto, acreditavam que as leis de Newton eram gerais e que deveriam funcionar sempre e em qualquer lugar do universo. Então, em vez de sugerir que as leis de Newton estavam falhando, alguns cientistas propuseram que suas leis eram, sim, válidas, e que um outro planeta haveria de estar por lá, ainda a ser descoberto, cuja gravidade estaria afetando a órbita de Urano. Assim, a pergunta foi invertida: onde deveria estar tal planeta, e qual seria sua massa, de tal modo a criar o desvio medido na órbita de Urano conforme previam as leis de Newton? Esses cálculos foram feitos e publicados por Urbain Le Verrier, um astrônomo francês. Johann Gottfried Galle, no observatório de Berlim, na Alemanha, de posse desses cálculos, apontou o telescópio para o local exato no céu que os cálculos indicavam e, em 1846, Netuno, o oitavo planeta a partir do Sol, estava lá, esperando para ser descoberto. A descoberta de Netuno constituiu um feito enorme para as leis de Newton, dando-lhes ainda mais credibilidade. Foi então que, mais tarde, quando os astrônomos puderam mapear as trajetórias dos planetas com maior precisão, observaram que as leis de Newton não estavam conseguindo explicar a órbita de Mercúrio. Com base no que havia acontecido previamente com Netuno, sugeriu-se a introdução de um novo planeta ainda não observado: o planeta Vulcano, que haveria de

CAPÍTULO 2

Taxa de variação: um conceito fundamental em física

Na fotografia, você observa um velocímetro, que é um instrumento capaz de medir a taxa de variação instantânea do espaço percorrido por um automóvel. Conhecendo-se o valor instantâneo da velocidade em um dado instante, é possível prever quanto de espaço será percorrido nos próximos segundos? E nas próximas horas?

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CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO CAPÍTULO A taxa de variação média de uma variável X é dada pela equação: TVM

X t t X t

t Que pode ser rearranjada algebricamente de modo a expressar uma equação a diferenças: X t t X t TVM t A taxa de variação instantânea de uma variável X é calculada utilizando-se o conceito de limite: TVI lim

X t t X t t

t 0

A TVI é conhecida por derivada de X em relação ao tempo t, ou seja: dX dt A 2ª lei de Newton é uma equação diferencial. Tomando s como a variável unidimensional que representa o deslocamento, m sendo a massa do corpo e R a resultante de forças, a 2ª lei pode ser escrita na forma: TVI =

d2s 1 = R dt 2 m A qual pode ser substituída por duas equações diferenciais de primeira ordem: ds =v dt dv 1 = R dt m A maioria dos problemas físicos reais não possui solução analítica para as equações diferenciais, ou elas são muito complexas de ser obtidas. O método de Euler nada mais é que uma solução numérica para equações diferenciais. A partir das equações diferenciais da 2ª lei de Newton, podemos aproximar as equações diferenciais por equações a diferenças: s t t s t v t t v t t v t

R t m

À solução das equações a diferenças, dá-se o nome de funções paramétricas do movimento, as quais são discretas para soluções numéricas e contínuas para soluções analíticas (exatas).

97

Taxa de variação: um conceito fundamental em física

2.1 TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA Um dos conceitos mais importantes em física, mas também em muitas outras áreas do conhecimento, é o de taxa de variação. Taxa de variação nada mais é que a razão entre duas variações em distintas unidades. A taxa de variação mais comum em física é a taxa de variação temporal, na qual o denominador é uma variação de tempo. Vamos imaginar que conhecemos o número de habitantes de um país ao longo do tempo, conforme ilustra a Figura 2.1. Nela, t = 0 se refere ao ano inicial da série temporal, assim como P 0 se refere à população do ano inicial. Para esse exemplo, suponha que queiramos calcular a taxa de variação média da população entre os anos t e t t . Se considerarmos t = 5 anos e t 2 anos , calcularemos a taxa de variação média entre t = 5 e t = 7 anos . [

]

( +Δ )

Δ

( ) Δt

(0)

+Δ

[

]

Figura 2.1 Gráfico da população de um país em função do tempo. A população P(0) é a população no início da série, sendo que t = 0 significa apenas que estamos nos referindo ao ano inicial, que poderia ser, por exemplo, 1921.

Supondo que P 5 2.000.000 habitantes , e que P 7 2.010.000 habitantes , a taxa de variação será: Taxa de variação

2.010.000 2.000.000 7 5

5.000 habitantes /ano

A taxa de variação entre dois instantes quaisquer é denominada taxa de variação média. No exemplo populacional, sabemos que, em média, a população aumenta em 5.000 habitantes a cada ano. Formalmente, a Equação (2.1) define a taxa de variação média para um intervalo de tempo ∆t. TVM

P t t P t t

(2.1)

98

Física do Movimento para Engenharia

É importante notar que a taxa de variação média só pode ser calculada se conhecermos quais os valores da variável em estudo tanto em t como em t t . Em outras palavras, só poderemos calcular a taxa de variação de uma variável se ambos os valores, P t e P t t , já existirem. É possível denominar esse cálculo como ex-post,1 ou seja, após ambos os valores terem ocorrido. Se, porventura, já conhecermos a taxa de variação média ex-ante,2 poderemos estimar tanto o valor da variável no futuro como o tempo que será necessário para que algo ocorra. No exemplo populacional, se conhecermos a priori a taxa de variação média, podemos estimar a população no instante t t a partir da população no instante t. A Equação (2.2) é conhecida como equação a diferenças, e nada mais é do que um rearranjo algébrico da Equação (2.1). P t t P t TVM t

(2.2)

Vamos a um exemplo bastante corriqueiro no qual poderemos usar a Equação (2.2) para estimar algo útil ao nosso dia a dia. Por exemplo, quando fazemos o download de um arquivo na internet, é muito comum que vejamos uma janela como a ilustrada na Figura 2.2.

Taxa de variação média Figura 2.2

●

●

●

Janela com informações sobre o download de um arquivo.

Observe que são apresentadas as seguintes informações: 6, 9 MB /s – trata-se da taxa de variação da transferência de um arquivo. 373 MB de 510 MB – sabemos que já foram baixados 373 MB de um total de 510 MB. 19 segundos restantes – o navegador estima que o download terminará em 19s.

1

Do latim, “depois do fato ocorrido”.

2

Do latim, “antes do fato ocorrido”.

99

Taxa de variação: um conceito fundamental em física

Podemos nos perguntar que conta o navegador fez para estimar o tempo restante do download. Simples: ele usou uma hipótese e o conceito de taxa de variação média. A hipótese foi de que a velocidade de download, que é a taxa de variação dos dados baixados no tempo, seria constante, o que pode não ser verdade (e já sabemos disso, pois muitas vezes a previsão do tempo de download não se cumpre, dado que a velocidade não permanece a mesma). Usando a Equação (2.2), mas agora mudando a letra “P” para “D”, referente a dados, podemos escrever: D t t D t TVM t 510 373 6, 9 t O que nos permite calcular ∆t: t 19, 86s Com certeza, o programa que apresenta essa informação na Figura 2.2, dado que se trata de uma estimativa, arredondou o tempo estimado para 19s. Sabemos, por experiência, que o erro dessa estimativa é grande, mas por quê? Ora, porque não podemos garantir que a velocidade de download permaneça a mesma durante os 19s , hipótese adotada pelo código do programa que faz o download. Se, por exemplo, em vez de tentarmos estimar o tempo para baixar todos os 510 MB a partir dos 373 MB já baixados, tentássemos estimar quanto tempo levaria para baixar 400 MB, o intervalo de tempo calculado teria um erro maior ou menor em relação ao tempo para se baixar os 510 MB ? Certamente menor! E se tentássemos estimar o tempo que levaria para baixar 374 MB, sabendo que já baixamos 373 MB , o erro da estimativa seria ainda menor? Sim, com certeza! Por que isso acontece? Estamos lidando com o conceito de taxa de variação temporal, o que significa que estamos sempre levando em consideração o tempo para fazermos nossos cálculos. Quando as variações, tanto da variável de interesse como do próprio tempo, são pequenas, podemos ter mais certeza das estimativas que estamos fazendo, uma vez que é mais difícil mudar bruscamente a taxa de variação média em intervalos de tempo pequenos. Mudando o foco da estimativa futura da variação de tempo para a quantidade (no nosso exemplo, MB), usando a Equação (2.2) poderíamos dizer que, quanto menor é o intervalo de tempo, mais precisa será a estimativa dos dados futuros a serem baixados. Essa relação entre a precisão da estimativa e um menor intervalo de tempo tem tudo a ver com o conceito que iremos construir na Seção 2.2.

100

Física do Movimento para Engenharia

Antes de tratarmos da taxa de variação instantânea, é importante mencionar que poderíamos calcular taxas de variação médias tanto para variáveis contínuas como para variáveis discretas. Uma variável contínua é aquela em que há infinitos valores atribuíveis a essa variável entre dois valores quaisquer. Por exemplo, quantos valores possíveis de tempo existem entre t = 1s e t = 2s ? A resposta é: infinitos. O mesmo não ocorre para variáveis discretas, como seria o caso da população de um país, que é mensurada anualmente. Em física do movimento, trabalharemos sempre com variáveis contínuas, como tempo, espaço, velocidade, aceleração, força, energia, entre outras. Aplicação em um problema A taxa de variação média de uma variável cresce linearmente com a própria variável, definida pela expressão: TVM

Y 0, 2Y t

Mostre que a solução analítica Y t para t 1 é uma progressão geométrica de razão 1, 2. Solução: Devemos lembrar que a taxa de variação média está relacionada à equação a diferenças: Y t t Y t TVM t Para t 1 e TVM 0, 2Y t , temos: Y t 1 Y t 0, 2Y t Colocando Y t em evidência, chegamos a: Y t 1 1, 2 Y t A equação a diferenças também é válida para o passo seguinte, ou seja: Y t 2 1, 2 Y t 1 O que nos permite escrever: Y t 2 1, 22 Y t

CAPÍTULO 3

Sistemas de coordenadas e álgebra vetorial

Sistemas de coordenadas são necessários para descrever a posição, velocidade e aceleração de objetos no decorrer do tempo. Por se tratar de grandezas vetoriais, faz-se necessário o uso das propriedades da álgebra vetorial para descrever corretamente as relações entre essas variáveis e as leis de Newton.

140

Física do Movimento para Engenharia

Os robôs manipuladores são largamente utilizados na indústria moderna, realizando tarefas com precisão e velocidade. Vários sistemas de coordenadas e as relações matemáticas entre eles são a base para a programação desses robôs. Seria possível imaginar um sistema de coordenadas que acompanhasse um robô (ou seu braço) o tempo todo? CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO CAPÍTULO As operações com vetores são necessárias para que possamos equacionar as leis da mecânica corretamente. Neste capítulo, usaremos as seguintes operações: ●

●

●

Multiplicação de um vetor por um número, cujo resultado pode impactar o módulo e o sentido do vetor, mas nunca a sua direção. Soma de vetores, que pode ser realizada geometricamente, utilizando-se a regra do paralelogramo, ou algebricamente, somando-se as componentes em cada direção de um sistema de coordenadas. Subtração de vetores, que se reduz à soma de vetores considerando a multiplicação por     −1. Por exemplo, A − B corresponde à soma A 1 B .

Cinco sistemas de coordenadas são bastante utilizados em física: os sistemas cartesiano, normal-tangente, polar, cilíndrico e esférico. A seguir, são apresentadas as coordenadas de cada sistema, seus respectivos versores associados e os vetores infinitesimais de deslocamento. Sistema de coordenadas

Coordenadas

Versores

Infinitesimal de deslocamento

Cartesiano

x, y, z

î , ĵ , kˆ

dr dx î dy ĵ dz kˆ

Normal-tangente

n, t

nˆ, tˆ

dr ds tˆ

Polar

r, q

rˆ,qˆ

ds dr rˆ rdq qˆ

Cilíndrico

r, q, z

rˆ, qˆ, zˆ

ds dr rˆ rdq qˆ dz zˆ

Esférico

r, q, j

rˆ, qˆ, jˆ

ds dr rˆ rdj jˆ r sen j dq qˆ

141

Sistemas de coordenadas e álgebra vetorial

A aceleração vetorial em um sistema de coordenadas polar de raio r é dada por duas componentes, uma tangencial e outra radial ao movimento:    a aq ar a

dv ˆ v 2 q rˆ dt r

Em movimentos circulares, as acelerações tangencial e radial também podem ser descritas dq dw d 2q em função do ângulo q, sendo a velocidade angular w = e a aceleração angular . = dt dt dt 2 Assim: dw ˆ d 2q ˆ aq rq 2 rq dt dt ar

w 2 r rˆ

dq dt

2

r rˆ

Toda trajetória contida em um plano (ou seja, em duas dimensões) pode ser representada por uma inclinação e por uma curvatura. A inclinação de uma trajetória y x é dada por dy dy = tan a, sendo a tan 1 . dx dx O raio de curvatura em uma trajetória y x , definido como o inverso da curvatura, é: 3

dy 2 2 1 dx R d2y dx 2 Usando o sistema de coordenadas normal-tangente em duas dimensões, podemos, a cada ponto, representar a trajetória por um círculo de raio de curvatura R, que a tangencia em um ponto que possui inclinação a . A aceleração vetorial do corpo pode ser representada, neste ponto, por: dv at tˆ dt v2 an nˆ R dv v2 é a taxa de variação da intensidade do vetor velocidade, enquanto é a taxa de variação dt R de sua direção.

142

Física do Movimento para Engenharia

3.1 OPERAÇÕES BÁSICAS COM VETORES E VERSORES 3.1.1 Força, aceleração, velocidade e posição: grandezas vetoriais Já introduzimos no Capítulo 1 o conceito de que força é uma grandeza vetorial (assim como velocidade, aceleração e posição), o que significa dizer que ela possui intensidade (um número real), direção e sentido. Por sua vez, as grandezas escalares possuem apenas uma intensidade (um número real) e um sinal, sem relação alguma com uma direção do espaço. São grandezas escalares: massa, temperatura, energia, pressão, fluxo e tantas outras, para as quais não faz sentido a pergunta “para onde?”. Para as grandezas vetoriais, é perfeitamente possível respondê-la. Repetindo o que introduzimos no Capítulo 1, muitos estudantes de física confundem os conceitos de direção e sentido relacionados às grandezas vetoriais. Direção é a característica comum a um feixe de retas paralelas, enquanto sentido se refere à possível orientação espacial atribuída a cada uma delas. Por exemplo: direção horizontal, sentido para a direita ou para a esquerda; direção vertical, sentido para cima ou para baixo. Já explicamos também que as grandezas vetoriais são representadas por uma    letra acompanhada de uma seta, tal como em ‘A’, ‘F ’ ou ‘ X’, e que podemos somar     ou subtrair vetores usando representações como ‘A + F ’, ou ‘ X − A’. Mais adiante, aprenderemos dois tipos diferentes de “produto” entre dois vetores: o produto escalar e o produto vetorial. Quanto à divisão, esta é uma operação que não existe entre dois vetores. Por ora, vamos nos concentrar nas seguintes operações entre vetores: multiplicação de um vetor por um número, soma e subtração.

3.1.2 Multiplicação de um vetor por um número Considere o vetor dado pela Figura 3.1.

⃗

Figura 3.1

Vetor qualquer.

143

Sistemas de coordenadas e álgebra vetorial

 Ao multiplicarmos o vetor A por 2, obrigatoriamente teremos um vetor de mesma direção, mesmo sentido, porém com o dobro da intensidade, conforme a Figura 3.2.

2⃗

Figura 3.2 Vetor multiplicado por escalar positivo.

 Poderíamos também multiplicar o vetor A por um número negativo, por exemplo, −2, o que resultaria em um vetor com o dobro da intensidade, mas com sentido  oposto ao do vetor A, conforme ilustra a Figura 3.3.

−2 ⃗

Figura 3.3 Vetor multiplicado por escalar negativo.

Reforçando: quando multiplicamos um vetor por um número, sua direção nunca é alterada, apenas sua intensidade e, caso o número multiplicador seja negativo, seu sentido.

3.1.3 Representação de um vetor no espaço Antes de prosseguirmos com as operações de soma e subtração vetorial, precisamos discutir a representação de um vetor no espaço (o desenho que fazemos para representá-lo). Considere os dois vetores da Figura 3.4: se eles têm a mesma direção (as direções das semirretas paralelas), o mesmo sentido e a mesma intensidade, mesmo que desenhados em pontos diferentes (A e B), são, matematicamente, o mesmo vetor.

144

Física do Movimento para Engenharia

A

B

Figura 3.4

Mesmo vetor em pontos diferentes.

Assim, é importante compreender que poderemos desenhar um vetor em qualquer ponto do espaço, algo que será muito útil quando representarmos forças, acelerações e velocidades em diagramas de corpo livre.

3.1.4 Soma de dois vetores Considere os dois vetores da Figura 3.5.

⃗ ⃗

Figura 3.5

  Vetores A e B.

  Para somá-los, realizando a operação A + B , podemos lançar mão de uma solução geométrica (não algébrica) denominada “regra do paralelogramo”, por meio da qual rearranjamos os dois vetores de modo que partam de um mesmo ponto (e pode ser qualquer ponto), conforme a Figura 3.6.

⃗

⃗ Figura 3.6

Vetores desenhados no mesmo ponto.

CAPÍTULO 4

Modelando e simulando sistemas mecânicos

Problemas físicos reais exigem a modelagem e simulação de equações diferenciais, na grande maioria das vezes resolvidas numericamente. Muitas equações diferenciais não têm solução algébrica, ou são excessivamente complexas, o que torna a solução numérica bem mais simples e eficiente.

224

Física do Movimento para Engenharia

Na imagem, você observa o experimento de um lançamento oblíquo com trajetória capturada pelo software Tracker (livre e de código aberto, disponível em: https://physlets.org/tracker). Será que um lançamento oblíquo de um corpo de isopor tem a mesma trajetória que o de um corpo de metal? CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO CAPÍTULO Como estudamos no Capítulo 2, a maioria dos problemas em mecânica clássica pode ser solucionada desde que saibamos escrever suas equações diferenciais do movimento. No sistema cartesiano de coordenadas, as velocidades nas direções x, y e z são: vx =

dx dt

vy =

dy dt

vz =

dz dt

Sendo as acelerações, nas três direções, dadas por: = ax

dvx d 2 x = = Rx /m dt dt 2

= ay

dvy d 2 y = = Ry /m dt dt 2

= az

dvz d 2 z = = Rz /m dt dt 2

Usando o método de Euler, podemos aproximar as equações diferenciais usando as equações a diferenças para um ∆t pequeno: x t t x t vx t t y t t y t vy t t z t t z t vz t t vx t t vx t

dvx t t dt

225

Modelando e simulando sistemas mecânicos

vy t t vy t

dvy

vz t t vz t

dvz t t dt

dt

t t

Neste capítulo, analisaremos problemas clássicos estudados na física, solucionando-os numericamente. Consideraremos a força de resistência do ar na maioria deles, criando um modelo que seja o mais realista possível.

4.1 MODELANDO E SIMULANDO SISTEMAS MECÂNICOS Uma das habilidades mais versáteis e estruturantes a ser desenvolvida por um(a) engenheiro(a) é a capacidade de modelar e simular sistemas físicos, a fim de explicar e prever fenômenos naturais. No contexto deste livro, estamos nos referindo a sistemas mecânicos, cujas equações derivam das leis de Newton para o movimento. Em mecânica, a modelagem se inicia por meio da construção de diagramas de corpo livre, que nos permitem analisar as forças atuantes em um corpo, suas leis, direções e sentidos. A partir de então, são construídas as equações diferenciais do movimento, provenientes da 2ª lei de Newton em direções independentes do espaço, expressas em sua forma diferencial. Como vimos no Capítulo 2, podemos usar o método de Euler para solucionar numericamente equações diferenciais do movimento, obtendo a posição e a velocidade de um corpo no tempo, o que nos permitirá explicar ou prever movimentos de objetos, como corpos lançados ao ar, corpos em movimento presos por cordas e elásticos, propulsionados por forças de atrito, aerodinâmicas etc. Embora as simulações que faremos neste capítulo possam ser implementadas em qualquer linguagem e usando qualquer ferramenta computacional, faremos referências a códigos desenvolvidos em linguagem Python, por ser uma linguagem bastante versátil para implementar soluções numéricas de problemas físicos. Caso queira trabalhar com os códigos em Python, recomendamos baixar o pacote Anaconda, disponibilizado de forma gratuita em: https://www.anaconda.com/download. Importante mencionar que neste capítulo, com exceção do “esqueitista na ganagorra”, trataremos de resolução de sistemas mecânicos sem rotação, consistentes com a modelagem por ponto material. No entanto, a estrutura para solução numérica de equações diferenciais é igualmente aplicável a variáveis angulares na modelagem por corpo rígido, como veremos nos Capítulos 8 e 9. A implementação do

226

Física do Movimento para Engenharia

método de Euler e a estrutura de simulação discutidas neste capítulo permitirão ao leitor solucionar numericamente problemas que considerem translação e rotação.

4.2 MÉTODO DE EULER EM PYTHON O método de Euler, como vimos no Capítulo 2, é um algoritmo recursivo, que inicia o cálculo das funções paramétricas discretas pela condição inicial, caminhando passo a passo até o cálculo das variáveis referentes ao último instante de análise. Neste livro, não temos intenção de explicar as estruturas básicas de programação, algo que o leitor pode encontrar de forma abundante em livros, vídeos e tutoriais. Pretendemos simplesmente lançar mão de um código que possa ser adaptado para todas as simulações relacionadas às equações diferenciais do movimento. Para isso, vamos iniciar supondo que tenhamos feito o diagrama de corpo livre de um corpo qualquer, e que, a partir dele, obtivemos as seguintes equações diferenciais de um movimento em duas dimensões ( x e y ): d2x 2 1 dt 2 d y 2 y 10 dt 2 Como vimos no Capítulo 2, para aplicarmos o método de Euler na resolução numérica dessas equações diferenciais, precisaremos desdobrá-las em quatro equações diferenciais de primeira ordem (primeira derivada), como ilustradas no Sistema (4.1). dx dt v x dv x 1 dt dy vy dt dv y 2 y 10 dt

(4.1)

Vamos considerar também que as condições iniciais do nosso problema sejam dadas pelo Sistema (4.2). Por enquanto, estamos interessados na solução matemática das equações diferenciais em (4.1), sem nos importarmos com seu significado físico.

227

Modelando e simulando sistemas mecânicos

x 0 1 v x 0 0 y 0 6 v y 0 0

(4.2)

No restante deste capítulo, modelaremos alguns sistemas físicos de modo a, partindo do diagrama de corpo livre, construirmos as equações diferenciais do movimento (como as dadas em (4.1)). Com exceção do “esqueitista na gangorra”, a resolução numérica de todos os sistemas mecânicos aqui analisados será exatamente a dv dv y , que serão específicas mesma, diferindo apenas as equações diferenciais x e dt dt para cada problema. No código a seguir, implementaremos o método de Euler para resolver as equações diferenciais do Sistema (4.1). Os comentários em linguagem Python são precedidos pelo caractere “#”. Assim, é possível copiar linha a linha o código (que também é disponibilizado no link ao final do quadro), incluindo os comentários, de modo que seja executado em qualquer compilador Python. Neste livro, usamos o Jupyter Notebook. # O código abaixo importa as bibliotecas necessárias para a execução # do algoritmo import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # Vamos declarar as variáveis relacionadas ao tempo dt = 1e-4 #Nosso Δt=1*10^-4, ou 0,1ms Tmax = 10 #Nosso tempo máximo será 10s, o que nos dará 100.000 pontos T = np.arange(0,Tmax, dt) #Esse código cria uma lista – uma # sequência de números – com todos os instantes de tempo de nossa # análise. # Listas das variáveis que constituem as funções paramétricas, # que são os resultados da solução numérica das equações diferenciais X = [0]*len(T) Vx = [0]*len(T) Y = [0]*len(T) Vy = [0]*len(T)

228

Física do Movimento para Engenharia

# Condições iniciais do problema: temos 4 variáveis X0 = 1 Vx0 = 0 Y0 = 6 Vy0 = 0 # Preenchimiento das posições iniciais das listas com as condi# ções iniciais X[0] = X0 Vx[0] = Vx0 Y[0] = Y0 Vy[0] = Vy0 # Aplicando o método de Euler com o laço de repetição while # Inicia-se o contador em zero i=0 # A estrutura While executa até que a condição não seja mais # satisfeita while(i<len(T)-1): # Equações diferenciais do movimento - note que “i” é o # contador dXdt = Vx[i] dVxdt = 1 dYdt = Vy[i] dVydt = -2*Y[i] + 10 #Método de Euler propriamente dito X[i+1] = X[i] +dXdt *dt Vx[i+1] = Vx[i]+dVxdt*dt Y[i+1] = Y[i] +dYdt *dt Vy[i+1] = Vy[i]+dVydt*dt # É preciso incrementar o contador para calcularmos o # próximo ponto i = i+1

CAPÍTULO 5

Cinemática vetorial do ponto material

O principal objetivo da cinemática é o de descrever o movimento dos corpos, ou seja, determinar a posição, a velocidade e a aceleração de todos os pontos de um corpo em qualquer instante. Um exemplo, é o estudo dos automóveis que transitam em uma rodovia.

292

Física do Movimento para Engenharia

Como os automóveis transitam por uma rodovia cuja trajetória é conhecida, a abordagem escalar já é suficiente para se estudar os seus movimentos. Assim, as informações espaço (s ), velocidade escalar instantânea (v) e aceleração escalar instantânea (a) são suficientes para descrever o movimento de um automóvel qualquer em determinado instante (t).

Para estudar a posição, velocidade e aceleração de um avião, seria suficiente a abordagem escalar? CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO CAPÍTULO I) Cinemática vetorial em coordenadas cartesianas A figura seguinte mostra um ponto material que se movimenta em uma trajetória tridimensional orientada g, cuja origem dos espaços é S = 0.

⃗

S=0

⃗

̂

̂

O

⃗

293

Cinemática vetorial do ponto material

O movimento de P, cujas coordenadas cartesianas são x x t , y y t e z z t , pode ser descrito pelos vetores:   Posição r r t , que indica onde o ponto material P está em um determinado instante. ●

r

●

xî

yĵ

z k̂

 Note que o vetor r parte da origem O do sistema cartesiano e aponta para P.   Velocidade instantânea v v t , que indica para onde o ponto material P se movimenta e com que rapidez em determinado instante. v

dr dt

dx î dt

dy ĵ dt

dz k̂ dt

 O vetor v é tangente à trajetória e seu sentido é o mesmo do movimento de P. Além disso, sua intensidade é o módulo da velocidade linear do ponto material P, ou seja,  ds . v= v= dt   Aceleração instantânea a a t , que indica se a rapidez do ponto material P aumenta, diminui ou permanece constante e/ou, ainda, se sua trajetória é retilínea ou curvilínea.

●

a

dv dt

d 2r dt 2

d2x î dt 2

d2y ĵ dt 2

d2z ˆ k dt 2

  O vetor posição r pode ser obtido a partir do vetor velocidade v, e esse, a partir do vetor  aceleração a:  dr t    v t r t v t dt dt  dv t    a t v t a t dt dt Note que, para essas integrais, fica implícito o fato de que devemos determinar as cons  tantes correspondentes às primitivas r e v. Essas constantes podem ser determinadas conhecendo-se esses vetores em instantes específicos, por exemplo, no instante t = 0. II) Cinemática vetorial em coordenadas polares A figura seguinte mostra um ponto material P que se movimenta em uma trajetória circug lar contida no plano Oxy.

294

Física do Movimento para Engenharia

̂ ⃗ ⃗ ⃗

⃗

⃗

̂

O

origem dos espaços

O movimento de P, cujas coordenadas polares são r r t constante e q q t , pode ser descrito vetorialmente como segue:

r r rˆ v v q̂ a at

ac

at qˆ ac rˆ

Note que: ●

s s t e q q t são, respectivamente, o espaço e o ângulo coordenada de P. Eles podem ser relacionados pela definição de radiano s = q r . No SI: s m, q m/m rad e

r m. ●

v=

ds dq ew = são, respectivamente, as velocidades linear e angular de P. Elas podem dt dt

ser relacionadas pela expressão v = w r. No SI: v m/s e w rad /s . ●

●

●

dv d 2 s dw d 2q e são, respectivamente, as acelerações linear e angular de = = dt dt 2 dt dt 2 dw r . No SI: a m/s2 e P. Elas podem ser relacionadas pela expressão a = dt dw 2 dt rad /s . dw v2 at = r e ac w 2 r são, respectivamente, os valores algébricos das aceleradt r ções tangencial e centrípeta de P. No SI: at [ac ] m/s2 .

= a

a at2 ac2 é o módulo do vetor aceleração de P.

295

Cinemática vetorial do ponto material

5.1 CINEMÁTICA VETORIAL DE UM PONTO MATERIAL EM COORDENADAS CARTESIANAS A seguir, utilizaremos o sistema cartesiano de coordenadas (descrito no Capítulo 3) para estudar os movimentos de pontos materiais. Iniciaremos definindo o vetor posição de um ponto em um determinado instante. Em seguida, utilizando os conceitos de taxa de variação temporal, definiremos as velocidades vetoriais média e instantânea, bem como as acelerações média e instantânea desse ponto. Por simplicidade, faremos todas as deduções considerando que os movimentos ocorram no plano. No entanto, em cada seção, faremos as devidas extensões de conceitos e resultados para o caso mais geral, que é aquele em que o ponto material se movimenta no espaço tridimensional.

5.1.1 Vetor posição

  O vetor posição r r t de um ponto material P em um instante t é definido como o vetor que parte da origem O do sistema cartesiano e aponta para o ponto P nesse instante. Se considerarmos, por simplicidade, que esse ponto se movimenta por uma trajetória g contida no plano Oxy, teremos a representação ilustrada na Figura 5.1.

( ) ⃗

O

Figura 5.1

( )

Vetor posição de um ponto material P.

Na Figura 5.1, x t e y t são as funções que descrevem a abscissa e a ordenada do ponto P a todo instante t, ou seja, são as funções paramétricas do movimento que estudamos no Capítulo 2. Note que, no SI, x t y t m, sendo que t s. Para relacionar o vetor posição desse ponto material com as funções paramétri cas que descrevem as suas coordenadas, decomporemos o vetor r nas direções dos eixos coordenados, como segue:

296

Física do Movimento para Engenharia

⃗

̂

O

⃗

⃗

̂ Figura 5.2 Componentes vetoriais do vetor posição de um ponto material P.

  A partir da Figura 5.2, podemos expressar o vetor posição r r t em função de     suas componentes vetoriais rx rx t e ry ry t , conforme a Equação (5.1) :    (5.1) r rx ry E assim, utilizando a base (î, ĵ ) de versores do sistema cartesiano, chegamos à Equação (5.2). r x t î y t ĵ (5.2) Conhecendo-se as componentes algébricas x e y do vetor posição, é possível determinar a distância entre o ponto material P e a origem O, a qual corresponde  ao módulo do vetor posição r e pode ser determinada pela aplicação do teorema de Pitágoras, conforme a Equação (5.3).  r x2 y2

(5.3)

Também é possível determinar, por trigonometria, a medida q q t do ângulo coordenada que o vetor posição forma com o eixo Ox , dado pela Equação (5.4). y q tan 1 x

(5.4)

 Além disso, conhecendo-se a intensidade do vetor posição r e a medida q do ângulo coordenada que ele forma com o eixo Ox , é possível determinar as componentes algébricas x e y desse vetor. Isso pode ser realizado, por trigonometria, por meio das Equações (5.5) e (5.6).  x = r cos(q ) (5.5)

CAPÍTULO 6

Trabalho e energia em translação pura

Neste capítulo estudaremos as grandezas físicas, leis e teoremas que explicam os processos de transferência e transformação de energia ocorridos em fenômenos como o do movimento do carrinho de montanha-russa ao longo de sua trajetória.

358

Física do Movimento para Engenharia

Tipicamente, em uma montanha-russa, um ou mais carrinhos são guinchados por meio de um motor elétrico até um determinado ponto de uma pista. A partir desse ponto, que é o mais alto de todo o percurso, o carrinho é abandonado, percorrendo a pista com grande velocidade, passando por descidas, subidas e loops. Quem fornece energia para o carrinho de modo que ele possa percorrer todo o percurso sem parar no meio? CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO CAPÍTULO O trabalho de uma força ao longo de um deslocamento pode ser calculado para um caso específico, quando a força é constante e o deslocamento retilíneo, e para o caso geral: Caso específico (força constante e o deslocamento retilíneo)

●

⃗

⃗ Nesse caso, o trabalho é dado pelo produto escalar entre a força e o vetor deslocamento:     WF F d F d cos(a )   No SI, WF F d Nm J . Se a força e o deslocamento forem expressos em coordenadas cartesianas: F Fx î Fy ĵ Fz kˆ

e d d x î dy ĵ d z kˆ

Então:   WF F d Fx d x Fy dy Fz d z

359

Trabalho e energia em translação pura

●

Caso geral ⃗

⃗

No caso geral, independentemente de a força ser constante ou variável e de a trajetória ser retilínea ou curvilínea, o trabalho é dado pela integral de linha da força ao longo da trajetória:   WF F dr

O trabalho da resultante é a soma dos trabalhos das forças que compõem a resultante: N     R F1 F2 FN WR WFi i 1

Potência é definida como a taxa de variação temporal de energia transferida ou transformada em um determinado processo: Pm P=

E (potência média) t

dE (potência instantânea) dt

No SI, P J /s W . Como o processo de transferência ou de transformação de energia é sempre intermediado por uma força, a potência pode também ser expressa como o produto escalar entre a força e o vetor velocidade dessa força (essa velocidade representa o deslocamento da força no espaço):   PF F v Sendo o trabalho uma transformação de energia, podemos escrever: PF

dWF WF PF dt dt

360

Física do Movimento para Engenharia

O rendimento de uma máquina é definido como o quociente entre os módulos das potências útil e total, a útil sendo a diferença entre os módulos das potências total e dissipada: h

|Pu | |Pt |Pd |Pt | |Pt |

Note que o rendimento é sempre inferior a 100%. De acordo com o teorema da energia potencial, o trabalho de uma força conservativa é igual ao oposto da variação da energia potencial. No caso da força gravitacional (peso): WP Ep ,grav , sendo Ep ,grav = mgh E no caso da força elástica: WFelast Ep ,elast , sendo Ep ,elast =

kx 2 2

Tanto o peso quanto a força elástica são forças conservativas. Portanto, seus trabalhos não dependem da trajetória do corpo. De acordo com o teorema da energia cinética, o trabalho da resultante é igual à variação da energia cinética: WR Ec, sendo Ec =

mv 2 2

De acordo com o teorema da energia mecânica, o trabalho das forças não conservativas é igual à variação da energia mecânica: WFnão conserv Em , sendo Em Ec Ep A força de contato, representada pelas suas componentes atrito e normal, a tração e a resistência do ar são exemplos de forças não conservativas, o que significa que seus trabalhos dependem da trajetória do corpo. Se o trabalho das forças não conservativas for nulo, a energia mecânica do sistema se conserva: WFnão conserv 0 Em 0 Em constante Nesse caso, o sistema é denominado conservativo e vale a seguinte relação: Emi Emf Eci Epi Ecf Epf Essa expressão é conhecida como lei da conservação da energia mecânica.

Trabalho e energia em translação pura

361

6.1 INTRODUZINDO OS CONCEITOS DE TRABALHO E ENERGIA O que é energia? Apesar de ser um termo muito utilizado por todos nós, energia é um conceito abstrato e de difícil definição. Sabemos, por exemplo, que energia é uma grandeza física que está associada ao movimento dos corpos (ao movimento propriamente dito ou à potencialidade de movimento) e que ela também pode ser transportada por meio de ondas mecânicas ou eletromagnéticas. Sabemos ainda que não é possível criar ou destruir energia. Ela somente pode ser transformada de uma modalidade em outra ou, então, transferida, por exemplo, de um corpo a outro. Como estudaremos neste capítulo, a transferência ou transformação de energia sempre ocorre por meio da aplicação de forças em corpos que se movimentam, e a grandeza física que mede a quantidade de energia transferida ou transformada em um determinado movimento é denominada trabalho. Na física, existem apenas duas categorias de energia: cinética (do grego kinetikós, “que se move”) e potencial (do latim potentia, “aquele que tem possibilidade de vir a ser”). Assim, podemos dizer que o conceito de energia está relacionado ao movimento ou à possibilidade de realização de movimento. Embora existam diferentes modalidades de energia, como veremos na Seção 6.1.1, todas elas podem ser classificadas nessas duas categorias. Na física, é comum que os modelos teóricos sejam subdivididos de acordo com a natureza dos fenômenos estudados, dando origem assim à mecânica, eletromagnetismo, termodinâmica, óptica e assim por diante. Do mesmo modo, é comum separar os modelos teóricos de acordo com a magnitude das velocidades e massas estudadas (mecânica clássica ou relatividade) ou de acordo com o tamanho dos corpos envolvidos (mecânica clássica ou mecânica quântica). Em todas essas subdivisões da física, há análises relacionadas à energia, as quais devem convergir para um entendimento integrado e complexo. Nesta obra, como discutimos no Capítulo 1, estamos trabalhando com a mecânica clássica, o que implica validade e grande precisão para prever e explicar fenômenos macroscópicos em velocidades muito menores que a velocidade da luz. Assim, estudaremos o conceito de energia no contexto desse modelo teórico. Na mecânica clássica, denominaremos energia mecânica a soma das energias cinética e potencial de um corpo ou de um conjunto de corpos. Trata-se da energia associada ao movimento propriamente dito e à posição dos corpos macroscópicos, desde que implique potencialidade de movimento. Discorrendo um pouco mais sobre as duas categorias que constituem a energia mecânica, podemos dizer que a energia cinética estará presente em qualquer corpo que estiver em movimento de translação e/ou rotação. Ondas mecânicas também têm a capacidade de transferir energia cinética de um lugar a outro em um meio material.

362

Física do Movimento para Engenharia

A

Figura 6.1

B

C

A: ciclistas percorrendo a pista. B: o pião girando. C: as battling ropes oscilando possuem energia cinética.

Já a energia potencial será característica de um corpo que está em uma situação a partir da qual é possível produzir movimento. No âmbito da mecânica clássica, há, fundamentalmente, três tipos de energia potencial, cada uma associada a um diferente tipo de força: gravitacional, elástica e elétrica. É importante observar que energia potencial é um conceito relacionado a dois ou mais corpos (ou a um sistema de corpos). A

B

C

Figura 6.2 A: se o container for abandonado, ele entrará em movimento. Isso indica que ele possui energia potencial gravitacional. B: se a ponta do elástico esticado for solta, ele relaxará, entrando em movimento; isso indica que ela possui energia potencial elástica. C: se o balão eletrizado for descarregado, os fios de cabelo voltam à posição original; isso indica que o sistema possui energia potencial elétrica.

Note que, na realidade, a energia potencial elástica de um corpo distendido ou comprimido corresponde, microscopicamente, às energias potenciais elétricas dos átomos ou moléculas que compõem esse corpo que está deformado. Apesar de o conceito de energia potencial elástica ser muito útil na resolução de problemas, podemos dizer que na mecânica clássica existem, fundamentalmente, apenas dois tipos de energia potencial: gravitacional e elétrica. A seguir, abordaremos qualitativamente as modalidades de energia e trabalho para, na sequência, formalizarmos matematicamente o seu estudo com o auxílio do cálculo diferencial-integral e da álgebra linear.

CAPÍTULO 7

Momento linear

Para analisar e modelar choques, colisões e explosões, o conceito de momento linear é fundamental. Momento linear, impulso, choques e explosões serão os temas deste capítulo.

452

Física do Movimento para Engenharia

Na fotografia, você observa um teste de absorção de impacto realizado com frequência pela indústria automobilística. No passado, os carros amassavam menos quando colidiam. Você saberia explicar por que o fato de amassarem mais é melhor para a segurança dos ocupantes? CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO CAPÍTULO Momento linear de um corpo é uma grandeza vetorial definida pelo produto da massa pela velocidade do corpo:   p = mv  No SI, p = kg m/s Em um corpo, a derivada temporal do momento linear é igual à resultante de forças que agem sobre ele:  dp  =R dt Em um corpo, a integral da resultante no tempo é igual à variação de seu momento linear: t2









R dt p t p t p 2

1

t1

Em um sistema de N corpos, o centro de massa é a média das posições de cada parte i do sistema, ponderada pela massa mi de cada parte:  N mr  i 1 i i rCM N i 1mi Em um sistema de N corpos, a soma dos momentos lineares é igual ao momento linear do centro de massa do sistema: N

N

i 1

i 1

    mi vi vCM mi M vCM pCM

453

Momento linear

Em um sistema de N corpos, a derivada do momento linear do centro de massa é igual à resultante de forças externas ao sistema:  dpCM  = Rext dt Em um sistema de N corpos, a integral da resultante externa no tempo é igual à variação do momento linear do centro de massa do sistema: t2









R dt p t p t p ext

CM

2

CM

1

CM

t1

Em um sistema ou corpo de massa variável, que perde ou ganha um diferencial de mas sa dm a uma velocidade relativa vr, a derivada do momento linear do sistema é a soma de dois termos:   dp dv dm  m vr dt dt dt

7.1 DEFINIÇÃO DE MOMENTO LINEAR E PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA DINÂMICA

 Já aprendemos no Capítulo 5 que, dado o vetor posição r t de um ponto material, podemos determinar facilmente o vetor velocidade e o vetor aceleração correspon dentes ao movimento desse ponto. Se o vetor r for um vetor em três dimensões descrito no sistema cartesiano (Equação (7.1)), podemos determinar o vetor velocidade derivando o vetor posição (Equação (7.2)), assim como o vetor aceleração derivando o vetor velocidade (Equação (7.3)).

a t

r t

x t î

v t

dr dt

dv dt

d 2r dt 2

y t ĵ z t k̂

(7.1)

dy dz ĵ k̂ dt dt

(7.2)

dx î dt

d2x î dt 2

d2 y d2z ˆ ĵ k dt 2 dt 2

(7.3)

454

Física do Movimento para Engenharia

 Na equação do vetor posição r t , x t , y t e z t são o que denominamos equações paramétricas do movimento, e a composição dessas três equações simultaneamente nos permite descrever a trajetória do movimento no espaço. A Figura    7.1 representa os vetores r , v e a de um certo ponto material, além da trajetória descrita pelas equações paramétricas, em linha tracejada.

̂ ̂

⃗

⃗ ⃗

Figura 7.1

Vetores posição, velocidade e aceleração de um corpo no sistema cartesiano de coordenadas.

Já aprendemos no Capítulo 1 que a 2ª lei de Newton, em sua forma vetorial e usando o sistema cartesiano, pode ser descrita pelas Equações (7.4), (7.5) ou (7.6).   R =ma

(7.4)

  d 2r R=m 2 dt

(7.5)

d2x R m î dt 2

d2 y d2z ˆ ĵ k dt 2 dt 2

(7.6)

Um conceito fundamental neste capítulo será o de quantidade de movimento. Nos cursos de física e de engenharia, quantidade de movimento é mais comumente conhecida por momento linear. O momento linear é definido como o produto da massa pelo vetor velocidade. Em notação vetorial (sim, momento linear é um ve tor), o momento linear p é dado pela Equação (7.7), sendo sua direção e sentido os

455

Momento linear

mesmos da velocidade (na física clássica, não existe massa negativa). Observe também a Figura 7.2, que ilustra o vetor momento linear na mesma direção e sentido  da velocidade. No SI, p = kg m/s.

̂ ̂

⃗

⃗ ⃗

Figura 7.2

⃗

Momento linear tem a mesma direção e sentido do vetor velocidade.

   dr = p m= v m dt

(7.7)

Sendo a massa do ponto material constante, ao derivar a equação do momento linear em relação ao tempo, chegamos à Equação (7.8).     dp d mv dv d 2r  (7.8) m m 2 R dt dt dt dt Ou seja, a derivada temporal do momento linear de um corpo é igual à resultante de forças que agem sobre ele, como descrito pela Equação (7.9).  dp R= (7.9) dt Sabemos que a resultante tem mesma direção e sentido da aceleração, como pode ser observado na Figura 7.3.

456

Física do Movimento para Engenharia

̂

̂

⃗

⃗ ⃗

Figura 7.3

⃗

Momento linear tem a mesma direção e sentido do vetor velocidade.

A Equação (7.9) é conhecida por princípio fundamental da dinâmica (PFD), e é   uma equação mais geral do que R = ma, pois nos permite trabalhar com sistemas de corpos, incluindo situações de ganho ou perda de massa. Na Seção 7.7, trataremos de sistemas de massa variável. Isaac Newton descreveu sua segunda lei do movimento no revolucionário livro Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, de 1687, mais conhecido por Principia, usando as seguintes palavras: “A mudança do movimento é proporcional à força motora aplicada, e ocorre ao longo da linha reta na qual a força é aplicada”.1 Newton não usou a expressão “taxa de variação no tempo” da quantidade de movimento, mas é consenso que foi isso que ele quis dizer, dada sua definição prévia de quantidade de movimento. Ele também não usava a palavra resultante de forças, embora estivesse se referindo a uma única força agindo sobre um corpo. A Equação (7.9), então, remete à 2ª lei de Newton expressa por ele mesmo em pala  vras, o que torna curioso o fato de que Newton nunca escreveu R = ma . Como    p = mv , derivando-se o momento linear p chegamos à Equação (7.10), já conhecida.   dp dv  = R = m =ma (7.10) dt dt

1

Tradução livre de “A change in motion is proportional to the motive force impressed and takes place along the straight line in which that force is impressed”. Isaac Newton, The Principia, University of California Press, 1999.

CAPÍTULO 8

Dinâmica da rotação

Nós já desenvolvemos todas as ferramentas necessárias e suficientes para o estudo do movimento de pontos materiais: as leis de Newton para o movimento, as equações descritivas do movimento por meio da cinemática vetorial, as definições de trabalho, energia, potência e os teoremas que relacionam essas grandezas e, ainda, as definições de impulso, momento linear e o teorema que os relaciona. Utilizando esse corpo de conhecimentos já adquiridos, conseguiríamos, por exemplo, estudar movimentos tão complexos quanto o de uma bola de futebol que é chutada rumo ao gol, como ilustra a fotografia estroboscópica seguinte.

530

Física do Movimento para Engenharia

Nesse caso, se conhecermos as condições iniciais da bola e as características das forças nela aplicadas, tanto durante quanto após o chute, conseguiremos descrever, com boa precisão, o movimento dessa bola até o gol. Note que também conseguiríamos fazer o oposto, ou seja, estudar as características dinâmicas da bola, uma vez que conheçamos o seu movimento. No entanto, as teorias estudadas até agora não são suficientes para estudar, por exemplo, o movimento de um braço robótico de uma linha de produção industrial, como ilustrado a seguir.

Como é possível imaginar, quando um braço movimenta uma determinada carga para um ponto mais distante de sua base, os esforços a que ele está submetido aumentam. Mas, se o peso da carga é sempre o mesmo, por que isso ocorre?

531

Dinâmica da rotação

CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO CAPÍTULO O torque (ou momento) de uma força em relação a um ponto é calculado segundo duas abordagens distintas. Abordagem algébrica (útil para estudos simplificados)

●

Linha de ação de ⃗

⃗

,

 Nesse caso, o torque da força F em relação ao ponto O, que pode ser arbitrariamente convencionado positivo se ela tende a rotacionar o corpo no sentido anti-horário e negativo no caso contrário, é dado por t F ,0 F l sen(a )

●

No SI: t F ,0 F l Nm. Abordagem vetorial (válida para qualquer caso)

⃗ ,

⃗ ⃗

532

Física do Movimento para Engenharia

 Nesse caso, o torque da força F em relação ao ponto O é dado pelo produto vetorial entre o vetor posição e a força:    t F ,O rO F Cujo sentido é determinado pela regra da mão direita. A intensidade do torque pode ser    obtida pela expressão t F ,0 = rO F sen(a ). Se os vetores posição e força estiverem descritos em função de suas coordenadas cartesianas, o produto vetorial que expressa o torque fica determinado pelo seguinte determinante: t F ,O

rO F

î

ĵ

rO ,x Fx

rO ,y Fy

kˆ rO ,z Fz

A dinâmica de rotação de um corpo rígido é descrita por uma equação análoga à 2ª lei de Newton para um ponto material, igualando o torque resultante externo à aceleração angular multiplicada pelo momento de inércia do corpo:   dw t Rext ,O = IO dt O momento de uma partícula em relação a um ponto O é dado por IO = m rO2 , em que m é a massa da partícula e rO é a distância entre a partícula e o ponto O. Momentos de inércia de corpos rígidos podem ser determinados caso a caso, mediante deduções, ou por meio de consultas a tabelas, sendo o momento de inércia de um corpo rígido em relação a um eixo 0 calculado como: I0 r02dm A estática do corpo rígido consiste na análise da resultante de forças e, também, de torques quando ambos são iguais a zero. As equações do equilíbrio são:   Rext 0 equilíbrio de forças e equilíbrio estático   t Rext ,O 0 equilíbrio de torques emrelação a qualquer ponto

533

Dinâmica da rotação

Apoios e vínculos são os elementos de ligação entre as partes de uma estrutura ou entre uma estrutura e o meio externo. Sua finalidade é restringir um ou mais movimentos de translação e/ou rotação por meio da aplicação de forças e/ou torques. Os principais tipos de apoio bidimensionais (com suas reações de vínculo), ilustradas a seguir, são: apoio fixo, apoio móvel e apoio engaste. APOIO FIXO

APOIO MÓVEL

APOIO ENGASTE

Quando estudamos corpos rígidos que podem transladar e/ou rotacionar, devemos analisar a energia mecânica considerando rotação e translação. A energia mecânica de um corpo rígido sem características elétricas pode ser definida pela seguinte expressão: Em EcT EcR ,O Ep ,grav Ep ,elast

●

●

Em que: 2 m vCM é a energia cinética de translação. Nessa expressão, m é a massa do corpo EcT = 2 rígido e vCM é a velocidade do centro de massa do corpo. I w2 EcR ,CM = CM é a energia cinética de rotação em relação ao eixo que passa pelo centro 2 de massa. Nessa expressão, ICM é o momento de inércia do corpo rígido em relação ao eixo que passa pelo centro de massa e w é a sua velocidade angular em relação a esse mesmo eixo.

●

●

Ep ,grav = m g hCM é a energia potencial gravitacional. Nessa expressão, m é a massa do corpo rígido, g é a intensidade do campo gravitacional e hCM é a altura do centro de massa do corpo rígido em relação a um plano horizontal de referência. k x2 Ep ,elast = é a energia potencial elástica. Nessa expressão, k é constante elástica da 2 mola e m é a sua deformação.

534

Física do Movimento para Engenharia

8.1 INTRODUZINDO O CONCEITO DE TORQUE A Figura 8.1 ilustra uma situação muito comum, que é a de uma pessoa desatarraxando uma porca com uma chave.

Força

Rotação

Figura 8.1

A aplicação de uma força em uma chave acoplada a uma porca pode provocar a rotação do conjunto.

A prática nos mostra que, quanto mais intensa for a força aplicada, mais facilmente a porca será desatarraxada. Outra conclusão que podemos obter experimentalmente é que, se mudarmos a posição do ponto de aplicação da força, segurando a chave a uma distância maior da porca, podemos desatarraxá-la mais facilmente, como ilustrado na Figura 8.2.

Força mais intensa

Força menos intensa

Rotação

Rotação

Figura 8.2 Se a distância entre o ponto de aplicação da força e a porca aumentar, a força necessária para provocar a rotação do conjunto poderá ser menos intensa.

CAPÍTULO 9

Momento angular

Unidades de medida inercial (UMI) são dispositivos capazes de medir acelerações e velocidades angulares de corpos de maneira autônoma, o que possibilita o cálculo das velocidades e deslocamentos sem uso de sistemas como o GPS (Global Positioning System). Fornecendo medições com imensa precisão, são fundamentais para a indústria aeronáutica e aplicações militares.

626

Física do Movimento para Engenharia

O princípio de funcionamento de muitas UMIs está intimamente relacionado ao comportamento do momento angular de peças que permanentemente rotacionam dentro das unidades. Já aprendemos que, na ausência de forças externas, o momento linear de um sistema se conserva. Analogamente, será que, na ausência de torques externos, o momento angular de um sistema se conservaria? CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO CAPÍTULO Momento angular de um ponto material em relação a um ponto de referência O é uma grandeza vetorial definida pelo produto vetorial entre a posição (vetor que vai de 0 à posição do ponto material) e o momento linear do ponto:    L0 r0 mv Para um corpo rígido, o momento angular pode ser calculado, em situações particulares, utilizando-se a expressão:   L =Iw A derivada temporal do momento angular de um corpo é igual ao torque resultante que age sobre ele:  dL  = tR dt

627

Momento angular

A integral no tempo do torque resultante em um corpo é igual à variação de seu momento angular: t2









t � dt L t L t L R

2

1

t1

Em um sistema de N corpos, a soma dos momentos angulares é igual ao momento angular do sistema:  N Ls � Li i 1

Em um sistema de N corpos, a taxa de variação temporal do momento angular do sistema é igual à soma vetorial dos torques externos:    N N dLi d Li dLs  ext dt dt i 1 dt i 1 Em um sistema de N corpos, a integral no tempo do torque externo resultante é igual à variação do momento angular do sistema. t2



t1 ext R

   dt Ls t2 Ls t1 Ls

9.1 DEFINIÇÃO DE MOMENTO ANGULAR DE UM PONTO MATERIAL E DE UM CORPO RÍGIDO No Capítulo 8, estudamos a rotação de corpos rígidos em torno de um eixo. Para isso, definimos o torque de uma força como sendo o produto vetorial entre o vetor posição do ponto de aplicação da força, em relação a um ponto de referência O, e a própria força. Já o torque resultante, também em relação a esse ponto de referência, é dado pela soma vetorial dos torques aplicados a esse corpo, como expresso na Equação (9.1).    t R ,O rO F (9.1) Vimos também, no Capítulo 7, que a resultante das forças aplicadas a um ponto material é igual à taxa de variação temporal do seu momento linear, equação conhecida como princípio fundamental da dinâmica, reescrita na Equação (9.2).  dp R= (9.2) dt

628

Física do Movimento para Engenharia

Analisando as Equações (9.1) e (9.2), uma pergunta que poderíamos nos propor é a seguinte: qual seria a grandeza cuja taxa de variação temporal é igual ao torque resultante aplicado a um certo corpo rígido?  d? tR = dt Essa é uma pergunta de grande importância, uma vez que conhecer uma grandeza cuja taxa de variação temporal se relaciona a outra grandeza constitui informação muito útil para a construção de modelos físicos. Para encontrarmos essa grandeza, vamos considerar inicialmente um ponto material de massa m e posição  r0 em relação a um sistema cartesiano de coordenadas, sujeito a forças de modo que  a resultante seja R, como ilustra a Figura 9.1.

̂ ⃗

Figura 9.1

Ponto material sujeito a uma resultante.

Vamos nos referir à grandeza vetorial procurada (que responde à nossa pergun  ta) como L. Sabemos que a taxa de variação temporal de L deve ser exatamente  igual a t R ,O , torque resultante em relação ao ponto O, como mostra a Equação (9.3). Importante mencionar que, como estamos nos referindo a um ponto material, todas as forças nele atuantes estão aplicadas em seu centro de massa (pois ele não  possui rotação em torno de seu CM), sendo o vetor posição de todas elas iguais a rO . Assim, o torque da resultante, em relação ao ponto O, será igual ao torque resultante de todas as forças em relação a esse mesmo ponto.     dL   t R ,O rO R rO m a (9.3) dt  Como a derivada temporal de L resulta em um produto vetorial, proporemos  que L deva também ser o resultado de um produto vetorial. Ainda, uma vez que a   derivada temporal de L resulta em uma aceleração, L deve ser proporcional a uma

629

Momento angular

 velocidade. Vamos, então, testar a definição de L em relação a um ponto O como dada pela Equação (9.4), a qual envolve um produto vetorial e uma velocidade.    LO rO m v

(9.4)

Derivando-se a Expressão (9.4), sendo a regra do produto também válida para o produto vetorial, chegamos à Equação (9.5).    dLO drO dv   m v rO m (9.5) dt dt dt   dr  dv  Como O = v e = a , substituindo esses termos na Equação (9.5), chegamos dt dt à Equação (9.6).  dLO     v m v rO m a dt

(9.6)

Já sabemos que o produto vetorial entre dois vetores de mesma direção resulta   no vetor nulo, como ocorre com o termo v × m v . Consequentemente, a Equação (9.6) pode ser simplificada, resultando em:  dLO      rO m a rO R R ,O dt Assim, para um ponto material, encontramos uma grandeza cuja taxa de variação temporal é igual ao torque resultante em relação a um ponto de referência O. A essa grandeza, damos o nome de momento angular de um ponto material em relação a um ponto O, definida pela Equação (9.4), reescrita a seguir.    LO rO m v Repare que o momento angular nada mais é que o produto vetorial entre a posição e o momento linear do ponto material, ou seja:    LO rO p É importante chamar a atenção para o fato de que o momento angular de um ponto material é uma grandeza vetorial que depende de um ponto de referência, a partir do qual definimos o vetor posição. Sendo assim, o momento angular sempre é calculado em relação a um ponto arbitrário (mas conveniente), previamente definido e muitas vezes denominado “polo” (por exemplo, o polo O).

630

Física do Movimento para Engenharia

Até aqui, consideramos apenas um ponto material, mas o momento angular, como será visto na Seção 9.2, poderá ser calculado para um conjunto de corpos (um sistema). Podemos também expandir a definição de momento angular para corpos extensos e rígidos, considerando-os como uma somatória de infinitos pontos materiais.  Nesse caso, o torque resultante t R ,O aplicado ao corpo será o somatório de torques das resultantes de cada parte  i, em relação ao mesmo ponto (ou polo). Por sua vez, o momento angular total LO de um corpo rígido, em relação a um polo O, será a somatória dos momentos angulares de cada partícula i do corpo. As Equações (9.7) e (9.8) formalizam o que acabamos de descrever.   N N dLi ,O dLO   t R ,O t i ,O dt i 1 i 1 dt N  N    LO Li ,O ri ,O mi vi i 1

i 1

(9.7) (9.8)

No limite, para N , a Equação (9.8) se reduz a uma integral definida, sendo M a massa total do corpo rígido, conforme Equação 9.9. M    LO rO vdm

(9.9)

0

Sendo o torque resultante em um corpo rígido igual à taxa de variação do momento angular desse corpo, então, de acordo com o teorema fundamental do cálculo, podemos chegar ao teorema fundamental do impulso para rotação de um corpo rígido, expresso pela Equação (9.10). t2



t

R ,O

   dt LO t 2 LO t1 LO

(9.10)

t1

9.1.1 Momento angular e velocidade angular de um corpo rígido Vamos analisar uma situação já estudada no Capítulo 8, em que um corpo rígido rotaciona em torno de um eixo fixo que passa pelo ponto O, de maneira que todos os pontos do corpo descrevem um movimento circular, como ilustra a Figura 9.2.

FÍSICA DO MOVIMENTO PARA ENGENHARIA

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MECÂNICA CLÁSSICA ■ DINÂMICA DA TRANSLAÇÃO ■ CINEMÁTICA VETORIAL ■ EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ■ DINÂMICA DA ROTAÇÃO

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A engenharia é a heroína incógnita que constrói usinas geradoras de energia, aviões, estradas, pontes, computadores, estações de telecomunicações e tantas maravilhas que nos rodeiam. Seu domínio é elemento essencial de soberania e seu ensino, missão que requer dedicação e domínio do conhecimento científico. Inserir o desenvolvimento tecnológico na aprendizagem da engenharia não dispensa seus conteúdos, sem os quais o estudo é vazio e resumido ao uso inocente de algoritmos. Aqui, três autores com formação científica sólida e domínio da didática trazem ao leitor os fundamentos da mecânica, apresentados com rigor e ilustrados de maneira lúdica pelo uso da moderna tecnologia. José Roberto Castilho Piqueira Professor titular (EPUSP) Membro efetivo da Academia Nacional de Engenharia

O que você vai encontrar: • Modelagem mecânica • Equações diferenciais • Simulações numéricas • Sistemas de coordenadas e cinemática vetorial • Trabalho, energia e momento linear • Dinâmica da rotação • Equilíbrio estático • Energia cinética de rotação e momento angular

FABIO S. EL HAGE Engenheiro, mestre e doutor pela Escola Politécnica da USP.

RODRIGO CARARETO Engenheiro, mestre e doutor pela Escola Politécnica da USP.

CARLOS N. MARMO Engenheiro, mestre e doutor pela Escola Politécnica da USP.

FÍSICA DO MOVIMENTO PARA ENGENHARIA

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Física do Movimento para Engenharia é um livro de mecânica clássica destinado a estudantes de engenharia e graduandos em ciências exatas em geral. O livro cobre a teoria newtoniana desde o movimento de pontos materiais até a análise da rotação e translação de corpos rígidos.

HAGE | CARARETO | MARMO

Com mais de 70 anos de história no

FABIO SISMOTTO EL HAGE RODRIGO CARARETO CARLOS NEHEMY MARMO

CONTEÚDO Prefácio

1. Conceitos fundamentais da mecânica clássica

2. Taxa de variação: um conceito fundamental em física

3. Sistemas de coordenadas e álgebra vetorial

FÍSICA DO MOVIMENTO PARA ENGENHARIA Incluindo modelagem e simulação em Python

4. Modelando e simulando sistemas mecânicos

5. 6. 7. 8. 9.

Cinemática vetorial do ponto material Trabalho e energia em translação pura Momento linear Dinâmica da rotação Momento angular

Saiba mais sobre o livro

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