EDSON DENNER LEONEL
ASPECTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA
Aspectos teóricos da mecânica da fratura
Edson Denner Leonel
Aspectos teóricos da mecânica da fratura
Aspectos teóricos da mecânica da fratura © 2026 Autores Editora Edgard Blücher Ltda. Publisher Edgard Blücher Editor Eduardo Blücher Coordenação editorial Rafael Fulanetti Coordenação de produção Ana Cristina Garcia Produção editorial Marcel Iha Revisão de texto MPMB Diagramação Malu Vallim Capa Juliana Midori Horie
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Heytor Diniz Teixeira, CRB-8/10570 Rua Pedroso Alvarenga, 1245, 4 andar o
04531-934 – São Paulo – SP – Brasil Tel.: 55 11 3078-5366 contato@blucher.com.br www.blucher.com.br Segundo o Novo Acordo Ortográfico, conforme 6. ed. do Vocabulário Ortográfico da Língua Portuguesa, Academia Brasileira de Letras, julho de 2021. É proibida a reprodução total ou parcial por quaisquer meios sem autorização escrita da editora. Todos os direitos reservados pela Editora Edgard Blücher Ltda.
Leonel, Edson Denner Aspectos teóricos da mecânica da fratura / Edson Denner Leonel. – São Paulo : Blucher, 2026. 426 p. : il. Bibliografia ISBN 978-85-212-2933-9 (Impresso) ISBN 978-85-212-2937-7 (Eletrônico – Epub) ISBN 978-85-212-3065-6 (Eletrônico – PDF) 1. Mecânica das estruturas. 2. Fratura elástico linear. 3. Engenharia de estruturas. 4. Mecânica da fratura. 5. Mecânica dos sólidos deformáveis. 6. Fadiga. 7. Mecânica do dano. 8. Fratura anisotrópica. 9. Propagação de fissuras. 10. Fratura não linear. I. Título. CDU 624.01 Índice para catálogo sistemático: 1. Teoria do direito CDU 34.01
Para Tânia, Laura e Miguel
Avanços em engenharia e ciências matemáticas usualmente surgem de um sentimento de insatisfação, assim como a ostra responde aos grãos de areia. Resta-nos esperar por futuras pérolas. – Giulio Maier
Sumário
Prefácio.....................................................................................................................................
11
CAPÍTULO 1 Domínios elásticos e inelásticos.......................................................................................
13
CAPÍTULO 2 Tópicos elementares da teoria da plasticidade. Elastoplasticidade unidimensional ......................................................................................................................
47
CAPÍTULO 3 Tópicos elementares da mecânica do dano ................................................................
69
CAPÍTULO 4 A mecânica da fratura..........................................................................................................
99
CAPÍTULO 5 Funções complexas de tensão .........................................................................................
111
10
Aspectos teóricos da mecânica da fratura
CAPÍTULO 6 Termodinâmica do processo de propagação da fissura .........................................
149
CAPÍTULO 7 Mecânica da fratura aplicada a materiais dúcteis .....................................................
197
CAPÍTULO 8 Mecânica da fratura aplicada ao concreto ...................................................................
239
CAPÍTULO 9 Mecânica da fratura aplicada à madeira .......................................................................
285
CAPÍTULO 10 A fadiga dos materiais..........................................................................................................
313
Anexo A..................................................................................................................................... Anexo B ..................................................................................................................................... Anexo C..................................................................................................................................... Anexo D .................................................................................................................................... Anexo E...................................................................................................................................... Anexo F...................................................................................................................................... Anexo G ....................................................................................................................................
343 365 373 381 385 391 403
Referências..............................................................................................................................
407
Prefácio
A busca pela compreensão de como, por que e quando os materiais falham é um dos pilares mais desafiadores e fascinantes da engenharia e da ciência dos materiais. Longe de ser um evento súbito e isolado, a falha mecânico-material é o culminar de processos complexos que ocorrem em diferentes escalas e sob as mais diversas condições de solicitação. Esta obra nasce do propósito de mapear esses processos, oferecendo um guia sólido, coeso e didático para desvendar tais fenômenos. O livro foi estruturado para apresentar teorias que descrevem, de forma consistente e rigorosa, os caminhos que levam um componente estrutural ao colapso. Para isso, o texto divide-se harmonicamente em dois grandes campos: A abordagem do contínuo: onde os critérios de falha, a elastoplasticidade e a mecânica do dano assumem a continuidade material para prever a degradação e a falha em macroescala. A abordagem discreta: onde a mecânica da fratura cumpre o papel essencial de incorporar e tratar as descontinuidades materiais (como trincas e fissuras) de forma discreta. Ao longo das páginas, o leitor encontrará formulações capazes de descrever tanto materiais isótropos como anisótropos, adaptando-se a cenários que en-
12
Aspectos teóricos da mecânica da fratura
volvem desde pequenas frações de plastificação até extensas zonas de processos inelásticos. Este livro não é apenas fruto de uma compilação teórica; ele é o resultado de uma jornada de dedicação contínua. As reflexões, métodos e abordagens aqui reunidos consolidam os esforços envidados pelo autor desde 2004, quando ele foi desafiado a calcular o estado de tensão na extremidade de uma trinca. Foram mais de duas décadas de pesquisa, docência e refinamento, que agora se traduzem em um texto linear e acessível. O conteúdo desta obra foi cuidadosamente pensado para estudantes, engenheiros e pesquisadores que estão fazendo o seu primeiro contato com as teorias de previsão e descrição da falha. Este livro visa fornecer o instrumental analítico e o pensamento crítico necessários para que a próxima geração de pesquisadores possa não apenas prever a falha, mas também inovar na criação de estruturas mais seguras, sustentáveis e eficientes. Tenha uma excelente e transformadora leitura. Edson Denner Leonel
CAPÍTULO 1
Domínios elásticos e inelásticos
1.1 APRESENTAÇÃO Desde a Antiguidade, o ser humano envida esforços na busca por respostas e soluções consistentes para os problemas presentes em seu cotidiano. Muitas das respostas e soluções dão origem a demandas por produtos, manufaturas e serviços, os quais possibilitam maior conforto, comodidade e maior eficiência nos triunfos sobre os desafios do cotidiano. Tais demandas são desafiadoras para pesquisadores e engenheiros, pois tornam-se cada vez mais complexas à medida que a sociedade evolui. No contexto da Engenharia de Estruturas, por exemplo, engenheiros e pesquisadores devem propor novas abordagens e estratégias e aprimorar teorias existentes para a representação do comportamento mecânico dos materiais que compõem a estrutura de produtos e manufaturas, uma vez que as crescentes demandas impulsionam o desenvolvimento de novos materiais e de sistemas estruturais alternativos. Tais tarefas usualmente requerem também o aprimoramento de estratégias e técnicas numéricas, que possibilitam soluções aproximadas incorporando as descrições fenomenológicas teóricas.
14
Aspectos teóricos da mecânica da fratura
A descrição realista e precisa do comportamento mecânico-material é de extrema importância nos projetos de Engenharia de Estruturas. Além de predizer a evolução das deformações no sistema estrutural em função da variação da intensidade dos carregamentos externos atuantes, o que possibilita a avaliação do comportamento estrutural, essa descrição permite a caracterização de valores limites para os carregamentos atuantes. Portanto, a avaliação do comportamento estrutural envolve também a descrição dos processos de falha material, que conduzem à previsão sobre eventuais cenários de falha e configurações de colapso. Enfatiza-se que a predição da falha é imprescindível para a adequada escolha de materiais e da geometria/arranjo dos elementos estruturais. Isso é particularmente importante em estruturas estaticamente indeterminadas, onde a configuração de colapso depende da rigidez das vinculações e dos elementos estruturais envolvidos. Destaca-se que as consequências de falhas estruturais podem ser enormes, tanto do ponto de vista financeiro e de perdas de vidas humanas como do ponto de vista social e ambiental. Portanto, essas falhas devem ser adequadamente previstas, quantificadas e evitadas por engenheiros e pesquisadores. O texto a seguir apresenta aspectos introdutórios relacionados às teorias que descrevem os processos de falha material. Devido ao caráter extenso do tema, o objetivo não é exaurir a discussão sobre nenhuma dessas teorias, mas sim fornecer uma visão geral sobre as abordagens atualmente utilizadas, o que possibilitará ao leitor, no futuro, o aprofundamento autônomo sobre os temas de seu interesse.
1.2 L IMIARES ENTRE REGIMES ELÁSTICO E INELÁSTICO. CRITÉRIOS DE FALHA eneralidades 1.2.1 G Engenheiros e pesquisadores têm o primeiro contato com a representação da falha mecânico-material ainda nos cursos de graduação. Particularmente nas disciplinas Mecânica dos Sólidos e Resistência dos Materiais, o colapso mecânico-material vem sendo caracterizado por meio de critérios de falha. Nesse contexto, é necessário especificar os materiais para a composição de uma estrutura ou de um sistema estrutural, os quais devem suportar a intensidade das tensões mobilizadas pelos carregamentos externos atuantes, ou seja, suportar a intensidade da interação mecânica entre os microcomponentes do material. Como cada material possui uma capacidade própria/parti-
CAPÍTULO 2
Tópicos elementares da teoria da plasticidade. Elastoplasticidade unidimensional
2.1 BREVE HISTÓRICO O marco inicial da teoria da plasticidade ocorreu com o trabalho de Tresca (1864), o qual versa sobre o processo de extrusão em metais. Nesse trabalho, foi apresentado um critério de falha (critério de Tresca) segundo o qual um metal deforma-se plasticamente quando a tensão de cisalhamento máxima absoluta atinge um valor limite resistente. Saint-Venant (1870) apresentou as relações constitutivas, para estados planos, de um material rígido-plástico. Saint-Venant propôs também uma regra de fluxo para este caso. Von Mises (1913) apresentou um critério de falha que tem como base a limitação sobre a tensão octaédrica de cisalhamento (invariante de tensões desviadoras). Em Von Mises (1928) é efetuada a generalização dos conceitos apresentados em Von Mises (1913) para permitir a adoção de uma função arbitrária na descrição do fluxo plástico (regra de fluxo não associativa). Além disso, Von Mises apresentou uma relação entre a direção da deformação plástica e a superfície
48
Aspectos teóricos da mecânica da fratura
de plastificação, definindo a regra de fluxo plástico. Prandtl (1924) incluiu nas equações desenvolvidas por Saint-Venant/Von Mises a componente elástica da deformação, conceituando o modelo elastoplástico, e Reuss (1930) fez a extensão para o caso tridimensional. O foco das discussões, nos trabalhos previamente mencionados, envolvia o comportamento rígido ou elastoplástico perfeito. As relações constitutivas para materiais que apresentam o fenômeno do encruamento (hardening) foram desenvolvidas posteriormente, podendo-se citar o trabalho de Melan (1938). Nas décadas de 1940 e 1950 houve intensa pesquisa voltada ao desenvolvimento dos conceitos básicos da chamada Teoria Clássica da Plasticidade em Metais. Prager (1949) definiu relações constitutivas para materiais com encruamento e superfícies de plastificação regulares. Foram também formulados e discutidos conceitos importantes como: função de carregamento (ou plastificação), incorporação dos efeitos mecânicos associados às condições de carregamento e de descarregamento, condição de consistência e a de irreversibilidade da deformação plástica. A inter-relação entre a convexidade da superfície de carregamento, a regra da normalidade em relação ao incremento de deformação plástica e a unicidade da solução do problema de valor de contorno associado foram claramente estabelecidos. A partir desses conceitos, Drucker (1951) propôs o chamado Postulado da Estabilidade de um material, o que permitiu provar a unicidade da solução tanto para materiais elastoplásticos perfeitos quanto para os que sofrem encruamento. Na sequência deste capítulo será apresentada uma breve descrição sobre a teoria da elastoplasticidade unidimensional. Obviamente que não se pretende exaurir o tema aqui, mas apenas ilustrar sua aplicação em casos unidimensionais. Treliças planas serão utilizadas para este propósito. Maiores detalhes sobre teoria da plasticidade e formulações elastoplásticas podem ser consultados em Chen e Han (1988), Simo e Hughes (1997) e nos trabalhos citados nos itens a seguir.
2.2 F UNDAMENTOS Macroscopicamente, o comportamento plástico de um material surge quando são observadas deformações irreversíveis, ou seja, não recuperáveis ou
CAPÍTULO 3
Tópicos elementares da mecânica do dano
3.1 I NTRODUÇÃO Diversos materiais de utilização corrente em aplicações de engenharia são expostos a condições mecânicas e/ou ambientais severas durante sua vida útil. Tais ações externas, por sua vez, desencadeiam mudanças na microestrutura interna dos materiais levando, na grande maioria dos casos, a reduções de resistência e de durabilidade. Assumindo válida a hipótese de continuidade material, torna-se complexa a definição de um parâmetro que descreva a evolução da degradação mecânico-material adequadamente em função da variação do carregamento externo. Esta observação é especialmente importante quando comportamentos de softening são predominantes, ou seja, quando se observa uma redução da tensão resistente do material com o aumento das deformações após a tensão de pico. Este parâmetro deve refletir e quantificar consistentemente as reduções progressivas de rigidez, resistência e consequentemente de integridade do material e da estrutura à medida que as deformações evoluem em função da intensidade do carregamento externo. Destaca-se que a teoria da plasticidade, superficialmente descrita no Capítulo 2, não incorpora consistentemente a descrição dos processos de degradação mecânico-material quando condições de softening são
70
Aspectos teóricos da mecânica da fratura
preponderantes. A descrição desse fenômeno via plasticidade requer a definição de um parâmetro de resistência material negativo, traduzida pelo módulo elastoplástico tangente do material no trecho de encruamento. Como este módulo não deve assumir valores negativos, devido à consistência física do material, a teoria requer a utilização de parâmetros fisicamente inconsistentes, o que não a torna apta para a representação do fenômeno. Nesse contexto surgiu a mecânica do dano, como uma extensão natural da teoria da plasticidade, tendo como objetivo o desenvolvimento de modelos para a descrição do comportamento mecânico de materiais expostos a níveis de degradação mecânica em regimes preponderantes de softening. Conforme apresenta Lemaitre e Chaboche (1990), o desenvolvimento da mecânica do dano iniciou-se em 1958 quando Kachanov (1958) publicou o primeiro trabalho dedicado as variáveis de dano contínuas. Em seguida, Rabotnov (1969) sugeriu que as perdas de resistência material decorrentes da fissuração fossem incluídas em tais variáveis. Posteriormente a chamada mecânica do dano contínuo foi formalizada com base na termodinâmica dos processos irreversíveis por Lemaitre e Chaboche (1985). A mecânica do dano possibilita a descrição consistente da influência da degradação mecânica desencadeada por descontinuidades na resistência do material. Para isso, Kachanov (1958) descreveu o processo de degradação da integridade do material por meio de um escalar denominado parâmetro de dano, D. Assim, apesar de simples, a penalização isótropa fornecida por D sobre as propriedades materiais permitiu a determinação de valores limites para carregamentos externos e de configurações de falha estrutural. A abordagem é particularmente eficiente em estruturas unidimensionais, como treliças, pórticos e eixos. No entanto, com o desenvolvimento/evolução das pesquisas nesse domínio, modelos de dano mais completos e realistas vêm sendo naturalmente apresentados na literatura. Nestes modelos, a degradação mecânica vem sendo descrita por um tensor de dano ao invés de um simples escalar. Além disso, descrições dos campos mecânicos de forma local ou não local possibilitam representações de fenômenos particulares como a localização, por exemplo. Na sequência deste capítulo serão discutidos, sem a pretensão de esgotar o tema, os modelos de dano de Mazars e de dano concentrado. Tais abordagens possuem eficiência comprovada na descrição dos processos de falha material envolvendo estruturas de concreto.
CAPÍTULO 4
A mecânica da fratura
4.1 MOTIVAÇÃO Antes de dar início às discussões sobre os temas pertencentes ao domínio da mecânica da fratura, deve-se colocar a seguinte questão: o que motivou o desenvolvimento da mecânica da fratura? A partir da Revolução Industrial, diversos equipamentos e máquinas foram desenvolvidos com o objetivo de produzir bens, serviços e manufaturas cada vez melhor elaborados. Destacam-se, no período, o desenvolvimento da máquina a vapor no séc. XVII, embarcações a vapor, locomotivas e motor a explosão no séc. XIX. À medida que a sociedade demandava produtos e serviços mais sofisticados e complexos surgia também a necessidade do desenvolvimento de equipamentos que tornassem possível sua produção em grande escala. Este ciclo permanece até hoje. Assim, a sociedade demanda produtos e serviços mais robustos e completos, os quais são desenvolvidos pela indústria, possibilitando a criação de novas demandas pela sociedade. Com o surgimento de manufaturas cada vez mais completas, ocorreram diversas falhas mecânicas a elas relacionadas. Tais falhas estavam associadas, certamente, à utilização de novos materiais, processos ineficientes de manu-
100
Aspectos teóricos da mecânica da fratura
fatura de novos materiais, estruturas com geometrias não convencionais para a época, métodos executivos insuficientes, materiais com resistência deficiente aos efeitos de intempéries tais como temperatura e umidade e métodos de análise mecânica insuficientes. Diversos acidentes envolvendo ferrovias, elevadores, caldeiras, entre outros, eram noticiados semanalmente (se não diariamente) naquela época. Assim, a busca por explicações consistentes para as possíveis causas desses acidentes foi a motivação inicial para o desenvolvimento da mecânica da fratura. Atualmente, os conceitos propostos pela mecânica da fratura tornaram-se importantes e robustos para a compreensão, a prevenção e a explicação consistente de diversos tipos de falhas mecânicas. Portanto, o conhecimento dos diversos aspectos dessa teoria e de suas ferramentas é de grande importância para os engenheiros de estruturas, os quais propõem e desenvolvem procedimentos que objetivam a prevenção de falhas mecânicas.
4.2 N OTAS HISTÓRICAS E CURIOSIDADES Com o intuito de ilustrar a dimensão dos problemas estruturais enfrentados no passado, serão listados alguns acidentes de grande repercussão. Esses acidentes poderiam ser evitados caso os conhecimentos da mecânica da fratura fossem aplicados. l
l
l
l
l
O primeiro vôo de longa duração teve de ser postergado em duas semanas devido à fratura de um dos rotores da aeronave. No séc. XX, mais de 24 pontes colapsaram. Dentre elas destacam-se a ponte soldada sobre o canal de Hasselt na Bélgica em 1938 e a King’s Bridge localizada em Melbourne, Austrália, em 1962. Desde a Segunda Guerra Mundial, mais de 200 aviões civis apresentaram falhas fatais devido à ação de fissuras, as quais cresceram por fadiga. Além disso, três aviões comerciais Comet falharam em menos de um ano de serviço pelo mesmo motivo, causando grande número de perdas de vidas humanas. Diversas fissuras foram identificadas em estruturas de usinas nucleares. Tais fissuras podem gerar vazamento de material radioativo, causando danos ambientais enormes. Dos aproximadamente 2.500 navios Liberty produzidos para a Segunda Guerra Mundial, 145 falharam em serviço e 700 apresentaram danos que impossibilitaram sua utilização. O uso de soldas e efeitos térmicos decor-
CAPÍTULO 5
Funções complexas de tensão
5.1 INTRODUÇÃO Os problemas da elasticidade plana contendo concentradores de tensão foram discutidos inicialmente na literatura por Kirsch e Inglis (Anexo C). Com base na extensão destes trabalhos, pôde-se efetuar a modelagem mecânico-material de corpos fissurados planos assumindo-se a fissura como uma descontinuidade física (material) unidimensional, ou seja, como uma linha descontínua cujas faces superpostas pertencem ao contorno do corpo. Consequentemente, a distância entre as faces da fissura é nula e as tensões em sua extremidade são singulares. A influência nas grandezas mecânicas associadas à presença de uma fissura em um corpo plano pode ser estudada, inicialmente, utilizando o problema de uma chapa tracionada contendo um furo elíptico, conforme apresentado no Capítulo 4. Percebe-se que à medida que o raio inferior da elipse tende a zero, esta degenera-se para a descontinuidade descrita anteriormente. Esses tipos de problema, onde uma ou mais de suas grandezas não apresentam valor finito, são denominados problemas singulares. A mecânica da fratura elástico linear analítica utiliza soluções singulares para a descrição do comportamento mecânico elástico de corpos deformá-
112
Aspectos teóricos da mecânica da fratura
veis contendo fissuras. Porém, a singularidade das tensões na extremidade da fissura, resultado da aplicação de um carregamento finito, é inconsistente com a visão do engenheiro de estruturas, profissional que observa que os materiais possuem resistência mecânica finita. Essa inconsistência encontrada na teoria da mecânica da fratura elástico linear analítica é contornada excluindo-se da análise mecânica uma pequena região ao redor da ponta da fissura, a qual é conhecida como zona de processos inelásticos. Justifica-se esse procedimento devido aos processos inelásticos serem altamente localizados no entorno da ponta da fissura, os quais governam o comportamento mecânico dessa pequena região. Deve-se destacar que, como são inelásticos e envolvem dissipação de energia, esses processos estão além do alcance da aplicabilidade da teoria da mecânica dos materiais elástica. Dessa forma, as soluções da mecânica da fratura elástico linear analítica não são aplicáveis dentro da zona de processos inelásticos, embora considerem sua influência. Consequentemente, quão menor for a extensão da zona de processos inelásticos, mais fielmente as soluções fornecidas pela mecânica da fratura elástico linear analítica predizem o comportamento mecânico-material. Idealmente, neste caso, a zona de processos inelásticos deve ser composta exclusivamente pelo ponto localizado na ponta da fissura. Deve-se destacar que, na análise dos processos de fratura em materiais dúcteis, a extensão da zona de processo depende da tensão de escoamento do material. Já em materiais quase frágeis, a extensão da zona de processos inelásticos está associada à tensão de tração resistente do material, sendo sua resistência residual reduzida progressivamente à medida que a deformação evolui. Com relação à aplicação de funções de tensão para a solução de problemas singulares na elasticidade plana, deve-se destacar Williams (1952), o qual foi o primeiro a realizar tal feito. Williams resolveu o problema mecânico relacionado a um prisma tracionado, cujas tensões atuantes em uma de suas extremidades eram singulares. Esse problema foi resolvido por meio da determinação de uma função de tensão de Airy escrita em coordenadas polares. Porém, ele descobriu que a utilização desse tipo de função de tensão não é adequada/robusta para a análise de problemas gerais envolvendo singulares. A solução geral para os problemas singulares passa pela determinação e utilização de funções de tensão de origem complexa.
CAPÍTULO 6
Termodinâmica do processo de propagação da fissura
6.1 INTRODUÇÃO A criação de novas superfícies de fissura, e consequente separação material, é causada pela ruptura das ligações mecânicas dos componentes materiais em decorrência da concentração de tensão observada no corpo, a qual decorre da presença de fissuras. Com o objetivo de analisar as condições relacionadas à estabilidade ao crescimento das fissuras e sua propagação, Griffith formulou esse problema por meio de um balanço de energia. Griffith postulou que uma condição necessária para o crescimento de uma fissura localizada em um material perfeitamente frágil, ou criação de novas superfícies de fissura, envolve a transferência/dissipação de energia potencial elástica do corpo para a formação de novas superfícies de fissura. Dessa forma, quando o material não é capaz de absorver a energia fornecida pelo carregamento externo, ocorre a transferência de energia potencial elástica para energia de superfície, a qual é responsável pelo surgimento de novas faces de fissura. Nesse caso, existe dissipação da energia excedente e consequente degradação mecânica do material. Quando a energia de superfície do material e o tamanho da fissura são conhecidos, o critério baseado em energia pode
150
Aspectos teóricos da mecânica da fratura
prever a intensidade mínima do carregamento externo que provoca a fratura do corpo. Por meio de seu balanço de energia, Griffith resolveu o paradoxo de Inglis, o qual previa tensões infinitas na extremidade da fissura independentemente da intensidade do carregamento aplicado. Conforme as equações apresentadas no Capítulo 5, um corpo fissurado não era capaz de sustentar sua integridade sob a ação de qualquer intensidade de carregamento externo.
6.2 B ALANÇO DE ENERGIA DE GRIFFITH
Energia Total, U
O fenômeno da fratura envolve o crescimento instável das descontinuidades materiais (fissuras) pré-existentes em um corpo. Dessa forma, neste processo, novas superfícies para as fissuras são criadas à medida que a propagação ocorre, caracterizando um processo não conservativo de energia. Portanto, a realização de um balanço de energia e a procura pelo ponto a partir do qual a variação de energia total em relação ao comprimento da fissura é nula foi a solução encontrada por Griffith para a modelagem do crescimento instável das fissuras, conforme ilustra a Figura 6.1. O ponto de instabilidade ilustrado nesta figura indica o limiar resistente material, a partir do qual a fissura tem sua extensão aumentada e consequentemente o corpo dissipa energia, apresentando, portanto, variação de energia total negativa.
Instabilidade
a cr
Comprimento Fissura
Figura 6.1 Evolução da energia com o aumento do comprimento da fissura.
Empregando a Primeira Lei da Termodinâmica, lei da conservação de energia, é possível explicitar as parcelas de energia que compõem o sistema corpo fissurado/carregamento externo. Segundo esta lei, verifica-se que a variação de energia fornecida pelos carregamentos externos (trabalho associado a estes), somado à variação de energia térmica aplicada ao corpo é
CAPÍTULO 7
Mecânica da fratura aplicada a materiais dúcteis
7.1 INTRODUÇÃO A zona de processos inelásticos contempla uma porção material localizada à frente da extremidade da fissura onde ocorrem os processos de dissipação de energia, os quais resultam na degradação mecânico-material e na propagação da fissura. Para materiais de comportamento mecânico frágil, os campos de tensão e de deslocamento na região próxima à extremidade da fissura podem ser mensurados utilizando funções complexas de tensão, conforme discutido anteriormente. Por meio de tais funções, verifica-se que tensões, deformações e deslocamentos são singulares exatamente na ponta da fissura. Isso ocorre pelo fato de a zona de processos inelásticos nesses materiais ser formada idealmente apenas pelo ponto localizado na ponta da fissura. Assim, a verificação sobre a estabilidade (instabilidade) com relação à propagação da fissura é efetuada, nesses materiais, pelos fatores de intensidade de tensão, os quais refletem a energia disponível para o crescimento das fissuras. Deve-se enfatizar que para regiões distantes da ponta da fissura, as tensões e os deslocamentos, assim como as grandezas que resultam destes, são determinados consistentemente por meio dos termos de alta ordem da série de Williams.
198
Aspectos teóricos da mecânica da fratura
Porém, o que ocorre quando a estrutura analisada é composta por um material de comportamento mecânico dúctil? Nessa situação, como deve ser modelada a zona de processo? A tensão de escoamento do material elimina singularidades de tensão? Nos materiais dúcteis, quando o estado de tensão na região próxima à extremidade da fissura supera a resistência elástica do material, observa-se a presença de deformações permanentes no corpo. Consequentemente, verifica-se a presença da plastificação do material. Dentro da zona onde a plastificação é observada, as soluções analíticas determinadas com base nas funções complexas de Westergaard não tem validade, uma vez que as premissas elásticas não são atendidas. No entanto, as soluções analíticas apresentadas nos capítulos anteriores podem ser empregadas para a obtenção de soluções aproximadas de problemas de fratura envolvendo materiais dúcteis. Nesse caso, as respostas obtidas serão mais representativas à medida que a condição de plastificação em pequena escala for atendida, isto é, à medida que a zona de processo do material for suficientemente pequena comparativamente às demais dimensões significativas da estrutura fissurada ou à extensão da própria fissura. Além disso, a abordagem da mecânica da fratura elastoplástica permite a proposição de correções sobre as soluções elásticas, o que a torna muito útil na solução de problemas do cotidiano da engenharia.
7.2 E XTENSÃO DA ZONA PLÁSTICA 7.2.1 Tratamento da zona plástica com abordagem inicial intuitiva A extensão da zona de processo em materiais dúcteis pode ser inicialmente estimada com base nas soluções determinadas a partir das funções complexas de tensão de Westergaard. Considerando, por exemplo, o problema fundamental de Griffith apresentado no Capítulo 5, sabe-se que as tensões normais orientadas ao longo do eixo y são dadas por: σy =
σ ∞ πa
θ θ 3θ cos 1+ sen sen 2 2 2 2 πr
(7.1)
sendo σ ∞ é a força de superfície remotamente aplicada. Assumindo que a avaliação de y seja efetuada para pontos localizados ao longo da posição y 0 , a expressão anterior pode ser simplificada como:
CAPÍTULO 8
Mecânica da fratura aplicada ao concreto
8.1 O CONCRETO ESTRUTURAL O concreto, material compósito formado pela junção de agregado graúdo, agregado miúdo, cimento, água e aditivos, é um dos materiais mais utilizados no domínio da engenharia civil. O custo associado, o fácil acesso aos seus componentes além de não requer mão de obra altamente especializada para sua confecção (ao contrário do aço) o que permite sua utilização, inclusive, em regiões com menores recursos econômico e humano, explicam sua ampla utilização. Quando unido ao aço, dá origem ao concreto armado, material também compósito que tem suas propriedades mecânicas superiores às do concreto simples. Apesar de sua ampla utilização, o concreto apresenta comportamento mecânico substancialmente complexo, em consequência da não homogeneidade de sua microestrutura interna. Dessa forma, fatores como falha parcialmente frágil, diferentes respostas mecânicas a solicitações de tração e de compressão e relação tensão-deformação não linear encontram explicação em sua intrincada estrutura interna.
8.1. O concreto O concreto é o material mais empregado em aplicações estruturais e um dos materiais mais utilizados no mundo. O consumo de concreto só é menor
240
Aspectos teóricos da mecânica da fratura
que o da água no planeta, sendo aproximadamente seis bilhões de toneladas/ano (Mehta; Monteiro, 1994). Esse elevado consumo pode ser atribuído a algumas propriedades do concreto, que o tornam adequado em diversas aplicações: ●
●
●
●
Resistência à água: Os elementos estruturais compostos por concreto possuem resistência mecânica/química quando submetidos à ação da água. Esta propriedade o faz adequado como material constituinte de barragens, tanques e condutos de água, como pode ser observado no Brasil e em grande parte do mundo. Se corretamente executado, a durabilidade dessas estruturas pode ser consideravelmente longa como se observa em condutos de água ainda existentes na Itália e em reservatórios na Grécia. Facilidade de adequação a formas complexas: O concreto fresco apresenta consistência plástica que o permite fluir por fôrmas de geometria complexa. Pode-se constatar essa propriedade em inúmeras estátuas e monumentos dispersos ao redor do mundo. Inclusive em vasos e barcos, como nas primeiras aplicações desse material. Economicamente acessível: Dos materiais estruturais correntemente utilizados no contexto da engenharia de estruturas, o concreto é o que apresenta menor custo além de ser o mais facilmente disponível no canteiro. Segundo estudos realizados por Mehta e Monteiro (1994) estima-se que o preço por quilograma de concreto possa chegar a R$ 0,06 em algumas regiões. Na nossa região, o quilograma de concreto usinado custa em torno de R$ 5,80 (em 2022). Além disso, grande quantidade de resíduos industriais pode ser reciclada no concreto, tornando-o ainda adequado do ponto de vista de conservação de recursos naturais e sustentabilidade. Mecanicamente aplicável: A sua deficiente resistência à tração pode ser solucionada com o acoplamento ao aço, conduzindo ao concreto armado.
Apesar de todas essas vantagens em relação à utilização do concreto, o conhecimento de suas propriedades físicas e de seu comportamento mecânico quando submetido à diversas combinações de tensões ainda merece atenção especial dos pesquisadores ao redor do mundo. O concreto é um material composto, consistindo de uma matriz de aglomerante sobre a qual estão dispersas partículas de agregados. Sua estrutura altamente não homogênea faz com que o concreto apresente características marcantes como falha parcialmente frágil, relação tensão-deformação não linear, diferentes reações e
CAPÍTULO 9
Mecânica da fratura aplicada à madeira
9.1 C ONSIDERAÇÕES INICIAIS A utilização da madeira com a finalidade estrutural é observada desde a antiguidade. Devido à acessibilidade, disponibilidade e custo desse tipo de material, seu emprego em coberturas, telhados, escadas e embarcações, por exemplo, é largamente observado. Além disso, a criatividade/competência do ser humano na capacitação de mão de obra especializada e produção de equipamentos para o desenvolvimento de estruturas de madeira deve ser também destacado. Atualmente, as aplicações da madeira estão relacionadas também à sustentabilidade e ao uso racional de recursos naturais, temas de grande relevância diante do cenário de mudanças climáticas globais. Durante o passar dos anos, a utilização da madeira tem sido consideravelmente diversificada. Obviamente, durante o período, as técnicas de construção, dimensionamento e reparo, de aprimoramento em relação à sua resistência ao meio ambiente e intempéries evoluíram. As propriedades mecânicas da madeira, as quais podem ser descritas com base em três eixos mutuamente perpendiculares, variam pontualmente devido à sua composição, orientação de suas fibras e à sua forma de crescimento.
286
Aspectos teóricos da mecânica da fratura
Portanto, devido à complexa organização de sua microestrutura interna, observa-se uma grande diferença de resistência e de rigidez material entre essas três direções, o que torna a descrição isotrópica para o comportamento mecânico material não adequada. Assim, a madeira pode ser classificada como um material anisotrópico, a qual pode ter seu comportamento mecânico simplificadamente descrito por meio de um modelo ortótropo. As madeiras podem ser classificadas em monocotiledôneas ou coníferas e dicotiledôneas. As coníferas (resinosas ou softwoods) possuem a maioria de suas células organizadas longitudinalmente, sendo constituídas por traqueídeos e raios celulares. Já as dicotiledôneas (folhosas ou hardwoods) possuem maior diferenciação celular, com arranjos mais complexos, os quais são constituídos principalmente por fibras, parênquimas, vasos e raios. Devido a sua complexa microestrutura interna, a madeira apresenta comportamento mecânico distinto segundo solicitações orientadas nas direções paralela e perpendicular ao sentido de crescimento de suas fibras internas. As propriedades físicas tais como: umidade, densidade, retratibilidade e resistência ao fogo são também afetadas pela complexa estrutura interna desse material. A resistência à tração normal às fibras diminui com o aumento da umidade da madeira sendo maior na direção radial que na tangencial. Em relação à retração, ela diminui com o aumento da umidade da madeira, sendo menor na direção longitudinal (axial) se comparada às direções radial e tangencial. A madeira é um material não homogêneo que naturalmente apresenta em sua microestrutura interna defeitos de continuidade física em diversas escalas: macro, meso, micro e até nano. Além disso, devido ao desenvolvimento natural desse material durante o crescimento do tronco das árvores, fibras longitudinais ao longo do eixo do tronco podem ser observadas. Entre os principais defeitos e heterogeneidades verificados na madeira destacam-se os nós, as microfissuras, os poros e as ligações entre as paredes das fibras longitudinais. As fibras longitudinais, assim como os demais fatores da morfologia da madeira, influenciam substancialmente seu comportamento mecânico e seus modos de falha. A interface dessas fibras é considerada pouco resistente em relação à resistência de suas paredes celulares. Devido a essa fragilidade e também aos outros defeitos internos do material, a fratura é o principal modo de falha verificado nas estruturas de madeira. Portanto, dentre as teorias de falhas utilizadas para a descrição do colapso mecânico da madeira, observa-se que a Mecânica da Fratura é a que melhor representa os
CAPÍTULO 10
A fadiga dos materiais
10.1 A SPECTOS HISTÓRICOS A palavra fadiga é originária do vocábulo latim fatigare que significa cansar. Apesar de comumente associada ao estado físico e mental de seres humanos, esse termo é largamente aceito e empregado no vocabulário de engenharia para designar degradação mecânica e falha em materiais sujeitos ao regime de cargas cíclicas. A fadiga pode ser definida como o conjunto de processos necessários para a mudança das propriedades internas de materiais, devido a aplicações repetidas de ciclos de tensões e deformações, em especial às mudanças que causam fissuração e falha. O primeiro estudo relacionado à fadiga em metais foi desenvolvido por Albert (1838), o qual conduziu testes em correntes utilizadas em minas. Depois desse trabalho, o interesse no estudo da fadiga dos materiais cresceu. No entanto, este interesse ocorreu, principalmente, devido ao grande aumento no uso de materiais metálicos, particularmente em ferrovias e estruturas de pontes. A primeira pesquisa detalhada sobre fadiga em metais iniciou-se, segundo Smith (1910), em 1842 após um catastrófico acidente ferroviário próximo a Versalhes, França, que culminou com a perda de diversas vidas
314
Aspectos teóricos da mecânica da fratura
humanas. A causa do acidente foi atribuída à falha, por fadiga, do eixo frontal de uma locomotiva. Rankine (1843) observou que estruturas que apresentam entalhes geométricos (concentradores de tensão) são mais sensíveis aos efeitos mecânicos da fadiga. Assim, nessas estruturas, falhas estruturais ocorrem após um número de ciclos de carregamento menor que em estruturas que não apresentam esta característica. Tal observação parece clara atualmente à luz dos conhecimentos da mecânica da fratura, uma vez que os detalhes geométricos fazem com que os ciclos de carregamento introduzam oscilações de tensão de valor elevado. Pesquisas em fratura e fadiga foram conduzidas por Braithwaite (1854), o qual empregou o termo fadiga exclusivamente para denotar a fissuração em metais sob a ação de cargas cíclicas. Entretanto, a introdução do termo fadiga para designar fissuração e colapso em estruturas é creditada a Poncelet (1839), o qual estudou a falha em ligações metálicas. Wöhler (1860) caracterizou o comportamento mecânico de materiais em solicitação cíclica por meio de curvas do tipo “s-N”, relacionando tensão máxima ao número de ciclos para a falha. Gerber (1874) pesquisou metodologias para o desenvolvimento de projetos considerando os efeitos da fadiga. Suas contribuições incluem uma metodologia para o cálculo da vida útil em estruturas sujeitas a diferentes níveis de tensões cíclicas. O fato de a possibilidade do limite elástico, em metais sujeitos a carregamentos cíclicos, ser diferente do observado em estados monotônicos de carregamento foi introduzida por Bauschinger (1886). Além de confirmar alguns resultados de Wöhler (1860), seu trabalho identifica a ocorrência de ciclos de amolecimento e encruamento (softening e hardening) nos carregamentos reversos. Basquim (1910) propôs leis empíricas para a caracterização de curvas “s-N” de metais. Seu trabalho mostrou que curvas em escala log x log, de tensão por número de ciclos, resultam em uma relação linear para estados de tensão próximos à resistência do material. A partir de 1920, os estudos no tema fadiga envolveu maior número de pesquisadores e linhas de atuação. Nesse período podem ser destacados McAdam (1926) que estudou fadiga sob corrosão em metais. Modelos de acumulação de dano para falha sob fadiga foi alvo das pesquisas de Palmgren (1924). Os efeitos de entalhes e concentradores de tensão em carregamentos monotônico e cíclicos foram estudados por Neuber (1946), enquanto a fadi-
ASPECTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA MECÂNICA DA FRATURA ELÁSTICO-LINEAR ■ MECÂNICA DA FRATURA NÃO LINEAR ■ FADIGA ■ MECÂNICA DO DANO ■ ELASTOPLASTICIDADE
Aspectos teóricos da mecânica da fratura apresenta teorias que descrevem de maneira consistente os processos de falha mecânico-material. Critérios de falha, elastoplasticidade e mecânica do dano preveem a falha em macroescala, assumindo continuidade material, enquanto a mecânica da fratura cumpre esse papel incorporando de forma discreta as descontinuidades materiais. São tratados materiais isótropos ou anisótropos, com pequenas ou extensas zonas de processos inelásticos. Esta obra é resultado dos esforços envidados pelo autor desde 2004 na compreensão dos processos de falha estrutural. Seu conteúdo é destinado a estudantes e pesquisadores que farão o primeiro contato com as teorias de previsão e descrição da mecânica da fratura.
O que você vai encontrar: • Fundamentos da mecânica da fratura elástico-linear • Fundamentos da mecânica da fratura não linear • Exemplos resolvidos e códigos computacionais para a solução de problemas em regime linear e não linear • Fadiga e suas aplicações • Mecânica do dano contínuo • Solução não linear usando modelo de dano de Mazars • Elastoplasticidade unidimensional • Critérios de resistência e suas limitações
Conheça mais livros em:
. com.br
“A modelagem consistente da deterioração material é vital para análises de integridade estrutural. Esta obra aborda as teorias de plasticidade, dano e fratura, trazendo exemplos resolvidos e códigos computacionais. É uma leitura indispensável para pesquisadores e profissionais de engenharia que atuam no projeto estrutural.” Sergio P. B. Proença Professor titular na Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo (EESC-USP)
EDSON DENNER LEONEL Engenheiro, pesquisador e professor, com atuação destacada em Engenharia de Estruturas. É professor titular no Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, onde se dedica à proposição de modelos para a descrição da falha mecânico-material com ênfase particular na propagação de fissuras. É reconhecido por suas abordagens não lineares da mecânica da fratura, usualmente acopladas ao Método dos Elementos de Contorno.