Edicíon para el maestro Álgebra 1, volumen 1 ISBN: 979-8-33081-841-9
Publicado por Accelerate Learning Inc., 5177 Richmond Ave, Suite 800, Houston, TX 77056. Derechos de reproducción © 2025 por Accelerate Learning Inc. Todos los derechos reservados. Ninguna parte de esta publicación debe ser reproducida o distribuida de ninguna manera o por ningún medio; ni almacenada en una base datos o en un sistema de recuperación sin el consentimiento previo por escrito de Accelerate Learning Inc, el cual incluye, pero no está limitado, a cualquier red electrónica u a otro tipo de almacenamiento o de transmisión electrónica; o medio de difusión para el aprendizaje a distancia. Visítenos en www.stemscopes.com para obtener más información.
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Tabla de contenido Guía de implementación STEMscopes Math........................................................ 3
Introducció a álgebra 1....................................................................................... 26
ALCANCE 1 Propiedades de las funciones........................................................... 54
ALCANCE 2 Resolver ecuaciones........................................................................ 100
ALCANCE 3 Resolver desigualdades................................................................... 140
ALCANCE 4 Ecuaciones de valor absoluto y desigualdades.................................. 178
ALCANCE 5 Secuencias aritméticas y geométricas.............................................. 220
ALCANCE 6 Funciones lineales........................................................................... 262
ALCANCE 7 Desigualdades lineales.................................................................... 316
ALCANCE 8 Sistemas de ecuaciones.................................................................. 356
ALCANCE 9 Sistemas de desigualdades.............................................................. 408
ALCANCE 10 Funciones derivadas de relaciones lineales..................................... 446
© Accelerate Learning Inc. - Todos los derechos reservados
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Accelerate Learning Inc. produce STEMscopes™, un completo currículo de STEM orientado a resultados y soluciones de desarrollo profesional. Creado por maestros para maestros, STEMscopes Math es adaptable, accesible y apoya la enseñanza en cualquier tipo de ambiente de aprendizaje.
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STEMscopes Math es un programa flexible que se puede implementar de diferentes maneras: en aulas, con un dispositivo por estudiante, o en un entorno tradicional de clase. Los libros impresos que imitan la plataforma digital están disponibles para la compra, y los recursos en línea pueden imprimirse y distribuirse. Con una gran cantidad de recursos que incluyen actividades basadas en juegos y manipulativos virtuales, los estudiantes tienen muchas oportunidades para colaborar, pensar de forma crítica y adquirir nuevos conocimientos sobre conceptos matemáticos. El andamiaje, la diferenciación y la instrucción en grupos pequeños son fáciles de implementar y permiten que los estudiantes exploren diversas formas de abordar las matemáticas en contextos del mundo real.
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Filosofía y principios orientadores Mundo real, contexto relevante
que los estudiantes vean cómo los conceptos matemáticos se desarrollan y se relacionan entre sí en lugar de experimentarlos como habilidades desconectadas.
STEMscopes Math reconoce que un problema importante en las aulas de matemáticas es la desconexión entre el conocimiento de los procedimientos y saber cuándo aplicarlos a situaciones cotidianas. Los estudiantes deben desarrollar una comprensión más profunda de las matemáticas para razonar ante una situación, recopilar la información necesaria y usar la mecánica matemática para llegar a una respuesta razonable. Proporcionar múltiples experiencias en contextos del mundo real ayuda a los estudiantes a identificar cuándo ciertas habilidades son útiles. STEMscopes Math se basa en escenarios del mundo real. Nuestras actividades y tareas prácticas y atractivas exponen a los estudiantes a situaciones relevantes donde se necesita la habilidad matemática durante todo el proceso de aprendizaje.
Para promover la rigurosidad, los estudiantes participan en un aprendizaje guiado por investigaciones en el que exploran contextos familiares, hacen preguntas auténticas y desarrollan estrategias que conducen a una comprensión matemática abstracta. Estas experiencias garantizan que los conceptos matemáticos, los cálculos y las aplicaciones tengan un propósito genuino y estén conectados con el mundo real. Al integrar la comprensión conceptual, la fluidez procedimental y la aplicación, STEMscopes Math ayuda a los estudiantes a construir una base sólida en matemáticas.
Enseñanza centrada en ideas fundamentales STEMscopes Math está diseñado para motivar a los estudiantes a explorar ideas fundamentales interconectadas, permitiéndoles indagar a profundidad en conceptos matemáticos clave. Estas ideas sirven como base del aprendizaje matemático, conectando diversos conocimientos de manera consistente y proporcionando puntos focales significativos para las investigaciones. A través del trabajo colaborativo, se desarrolla la comprensión de estas ideas de manera multidimensional, respondiendo así a las diversas necesidades de aprendizaje. El programa aborda las ideas fundamentales a partir de tres puntos esenciales: los estándares para la práctica matemática (el cómo), que guían el desarrollo del pensamiento matemático y la resolución de problemas; las conexiones de contenido (el qué), que definen el conocimiento matemático con el que los estudiantes interactúan; y los motores de investigación (el por qué), que dan propósito y contexto al aprendizaje. Esta estructura asegura que aprendan conceptos matemáticos, vean su relevancia, los apliquen en diferentes contextos y desarrollen una comprensión profunda y conectada de la materia.
Enfoque CRA CRA significa concreto, representacional y abstracto. Al aprender una nueva habilidad, los estudiantes usan materiales concretos cuidadosamente seleccionados para desarrollar su comprensión del nuevo concepto o habilidad. A medida que aprenden con los modelos físicos, comienzan a dibujar una variedad de representaciones pictóricas que reflejan su trabajo con los objetos concretos. Luego, se les enseña a traducir estos modelos a representaciones abstractas con símbolos y algoritmos. El modelo CRA se suele subutilizar en las aulas de secundaria. Sin embargo, el uso de materiales concretos para introducir nuevos conceptos brinda a los estudiantes mejores oportunidades para elaborar sus propios modelos mentales y crear estrategias para ideas matemáticas.
Comprensión de conceptos y sentido numérico Los estudiantes tienen más probabilidades de retener y aplicar correctamente las matemáticas si entienden cómo y por qué funcionan diferentes procedimientos. Al comprender las razones, pueden calcular con mayor precisión y determinar si una respuesta es razonable. Aunque las bases se establecen en la educación primaria, el sentido numérico debe ampliarse y cultivarse en las aulas de secundaria. La comprensión de conceptos lleva al desarrollo del sentido numérico de los estudiantes. Esto implica la capacidad de estimar, trabajar mentalmente con números y detectar respuestas irracionales. Los estudiantes con una comprensión profunda de conceptos y un fuerte sentido numérico cuentan con las herramientas necesarias para razonar matemáticamente y resolver problemas en el mundo real.
Enfoque, coherencia y rigurosidad STEMscopes Math apoya el enfoque, la coherencia y el rigor al brindar a los estudiantes oportunidades significativas para explorar conceptos matemáticos, establecer conexiones entre ideas y desarrollar una comprensión profunda de la materia. El programa destaca el enfoque al estructurar el aprendizaje alrededor de progresiones críticas en lugar de estándares aislados, lo que permite a los estudiantes participar en investigaciones que facilitan una comprensión matemática razonable a lo largo del tiempo. La coherencia se establece diseñando alcances que conectan múltiples estándares en una progresión natural, asegurando
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STEMscopes Math promueve la comprensión de conceptos al basar las nociones y procedimientos matemáticos en un contexto significativo. Los errores computacionales suelen ser el resultado de errores en la aplicación de un procedimiento formal. Aprender a calcular de manera aislada ayuda a los estudiantes a enfocarse en la operación y no en lo que tiene sentido dentro de una situación.
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fomentan la exploración, la discusión y el razonamiento. Las lecciones están diseñadas en torno a ideas fundamentales, asegurando que se investiguen conceptos matemáticos importantes de maneras que conectan con experiencias y conocimientos previos. El programa fomenta la participación inclusiva mediante el uso de representaciones variadas, actividades prácticas y conversaciones estructuradas que dan pie a múltiples perspectivas y enfoques. Las tareas abiertas y multidimensionales ofrecen niveles desafiantes apropiados mientras los estudiantes colaboran con sus compañeros para compartir estrategias y construir conocimiento. Las discusiones matemáticas están estructuradas para valorar las contribuciones de cada uno y dan prioridad al razonamiento y la justificación por encima de, simplemente, obtener la respuesta correcta. Además, anima a los estudiantes a hacer preguntas, explorar patrones numéricos y analizar datos, desarrollando así las habilidades necesarias para comprender temas relevantes en su entorno. A través de su enfoque en la accesibilidad, la colaboración y el aprendizaje impulsado por la curiosidad, STEMscopes Math ofrece un ambiente equitativo donde todos pueden verse a sí mismos como matemáticos capaces.
Uso de manipulativos STEMscopes Math ofrece diversas oportunidades para usar manipulativos, es decir, objetos físicos para interactuar y explorar los conceptos matemáticos. A medida que desarrollan competencia, los estudiantes dependen menos de los materiales concretos y se vuelven capaces de usar modelos pictóricos, estrategias mentales y representaciones abstractas. El uso de objetos del mundo real y manipulativos es especialmente beneficioso para los estudiantes multilingües, ya que la investigación demuestra que favorece el desarrollo del idioma meta y la adquisición del conocimiento académico.
Conocimiento del contenido para maestros y familias La capacidad de los maestros y padres/tutores para ayudar a los estudiantes a comprender las matemáticas depende de su propio entendimiento de la materia. Muchos la aprendieron de manera diferente a como se enseña ahora, y pueden necesitar apoyo para entender los cambios. Los modelos y estrategias presentados pueden parecer desconocidos para los maestros y las familias. STEMscopes Math ofrece recursos adicionales y conocimientos básicos para los maestros, así como cartas informativas para los padres/tutores que les ayudan a comprender los conceptos que se están ofreciendo.
Exploración colaborativa El trabajo colaborativo no solo refleja mejor situaciones del mundo real, sino que es una herramienta pedagógica poderosa. En las aulas que usan nuestro currículo, los estudiantes trabajan juntos y aprenden unos de otros, con el maestro como facilitador. Al colaborar, razonan matemáticamente a través de una variedad de actividades como proponer ideas y debatir la mejor solución a un problema. Al escuchar el pensamiento y la lógica de otros, observan diferentes maneras de resolver un problema. Pedirles que expliquen y justifiquen sus ideas desarrolla sus habilidades comunicativas y les permite reflexionar sobre su propio entendimiento. En el programa, se incorporan esquemas de oración y otras estrategias para que estudiantes con distintos niveles de competencia lingüística puedan participar de manera significativa en oportunidades de aprendizaje colaborativo.
Lenguaje académico Se aprende vocabulario académico al conectar nuevas palabras con conocimientos y experiencias previas. Para lograr fluidez académica, se necesitan oportunidades para comunicarse usando ese vocabulario. STEMscopes Math les ofrece múltiples oportunidades para que planteen sus ideas informalmente con sus compañeros y con el maestro, así como para expresar su razonamiento por escrito. Las actividades de exploración incluyen guías para el maestro sobre cómo conectar el vocabulario académico con las experiencias del estudiante durante la instrucción. También incluyen iniciadores de conversación para que los maestros inviten a los estudiantes a comunicar sus ideas con un lenguaje académico. Las estrategias integradas ayudan a los estudiantes multilingües mientras adquieren nuevo vocabulario.
Fluidez computacional La fluidez no se limita a memorizar hechos o seguir procedimientos. A medida que los estudiantes comprenden una variedad de conceptos matemáticos, van construyendo su conjunto de herramientas. Ser fluido en matemáticas significa aplicar estrategias y procesos para resolver problemas con precisión, eficiencia y flexibilidad. Esta fluidez se desarrolla con el tiempo, a medida que los estudiantes interactúan con diversos problemas y evalúan las estrategias usadas para resolverlos.
Referencias About Teaching Mathematics, Marilyn Burns Mathematical Mindsets, Jo Boaler Principles to Actions, NCTM Connecting Research with Practice, NCTM
Promoción de la equidad
Principles and Standards, NCTM Knowing What We Teach and Teaching What We Know, NCTM (Glenda Lappan)
STEMscopes Math promueve la equidad al brindar oportunidades significativas para que todos se involucren con las matemáticas mediante tareas abiertas y relacionadas con el mundo real que
Practical Guidelines for the Education of English Language Learners: Research-Based Recommendations for Instruction and Academic Interventions, D. J. Francis, M. Rivera, N. Lesaux, M. Kieffer, and H. Rivera Guided Math, Laney Sammons
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Aspectos destacados de STEMscopes Math ------
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A lo largo del plan de estudios, en los niveles de unidad y lección, utilizamos una variedad de tareas diseñadas como evaluaciones formativas y sumativas. Nuestros recursos no solo incluyen la evaluación instruccional y la orientación para su implementación eficaz, sino que ofrecen apoyo para que maestros y estudiantes analicen los resultados y los utilicen para facilitar el progreso.
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Una característica clave del plan de estudios STEMscopes Math es la intencionalidad de nuestro diseño curricular según el curso, la unidad y la lección de cada nivel. Esto incluye el alcance, la secuencia y el ritmo, así como la lógica que los respalda. También ofrecemos materiales y orientación para quienes brindan apoyo a los maestros y a otros participantes en el uso eficaz de los recursos curriculares.
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STEMscopes Math ofrece una variedad de recursos que promueven el apoyo de todos los aprendices; eso incluye andamiajes para los estudiantes multilingües en distintos niveles de dominio así como para aquellos que aún no han demostrado dominio matemático en un concepto, y enriquecimiento para quienes sí lo han demostrado. Además, cuenta con materiales para los estudiantes basados en la instrucción diferenciada y componentes que ofrecen orientación para los maestros en el uso de recursos que garantizan la equidad en la instrucción. Una característica esencial del enfoque utilizado por STEMscopes Math es brindar a los estudiantes oportunidades frecuentes para participar en prácticas que demuestren su dominio de los estándares y garantizar que requieran de un nivel cada vez más profundo de comprensión con el tiempo. Además, el plan de estudios está diseñado para que los estudiantes se encuentren con los mismos conceptos fundamentales en diferentes grados y en distintos contextos. Al acceder a los conocimientos previos y utilizar un lenguaje y materiales consistentes, garantizamos que se establezcan conexiones y reconozcan patrones que hagan que los conceptos sean significativos y duraderos. Una característica clave de cómo STEMscopes Math desarrolla el pensamiento matemático es nuestro enfoque para equilibrar el conocimiento conceptual y el procedimental. En primer lugar, el plan requiere que los estudiantes analicen, evalúen y eventualmente creen sus propios modelos mentales para representar conceptos matemáticos y luego los usen para resolver problemas únicos. En segundo lugar, ofrece oportunidades para practicar procedimientos matemáticos con el fin de desarrollar aplicaciones eficientes, flexibles y precisas. En tercer lugar, está diseñado para que el conocimiento conceptual y el procedimental reciban la misma importancia y atención, y este equilibrio se comunica implícita y explícitamente tanto a estudiantes como a maestros. STEMscopes Math ofrece múltiples oportunidades para que los estudiantes participen en la resolución independiente de problemas y los invita a reflexionar, explicar y justificar diferentes enfoques y soluciones. Nuestros materiales apoyan a los maestros para que guíen de los estudiantes en este proceso, incluyendo cómo proporcionar retroalimentación explicativa y diversos andamiajes lingüísticos que ayuden a los estudiantes a perseverar y superar posibles conceptos erróneos.
STEMscopes Math se enfoca en la calidad y no en la cantidad. La enseñanza de las matemáticas debe formar a solucionadores de problemas y pensadores críticos para toda la vida. Las investigaciones muestran que esto no se logra dando a los estudiantes múltiples páginas de ejercicios repetitivos. En su lugar, se fomenta en las conversaciones profundas, la comprensión conceptual y las conexiones culturalmente diversas con el mundo real cuando los estudiantes practican el contenido mediante pocas tareas enfocadas hacia un propósito definido.
Los recursos de STEMscopes Math incluyen instrucciones y orientación para la implementación eficaz de las lecciones y la facilitación de una amplia variedad de métodos de enseñanza. Encontrará guías que le ayudarán a formular preguntas de calidad, brindar retroalimentación a partir de las respuestas de los estudiantes y responder ante los posibles errores de concepto que puedan presentarse. Nuestros materiales integrados ofrecen orientación para la instrucción diferenciada, el enriquecimiento y las actividades de extensión, así como para el uso de los recursos con el fin de garantizar una instrucción equitativa.
STEMscopes Math ofrece múltiples herramientas para apoyar la planificación educativa. En el documento de secuencia y alcance se proporciona una vista de todo el año escolar para cada nivel de grado. También se incluyen guías para la planificación de lecciones y calendarios sugeridos para la enseñanza de los temas. Aunque se utilizó la progresión natural de las matemáticas para determinar el orden y el ritmo de enseñanza, nuestros temas están diseñados para ser flexibles y pueden usarse en cualquier orden.
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Diseño del currículo y estructura de la lección STEMscopes Math está basado en una filosofía de enseñanza que promueve la comprensión conceptual de las matemáticas a través de la exploración práctica, la indagación, el descubrimiento y el análisis. Cada lección incluye una serie de investigaciones y actividades, de modo que los estudiantes aprenden haciendo y se involucran completamente en el proceso. El desarrollo intencional de conceptos y habilidades fortalece la capacidad de los estudiantes para hacer conexiones relevantes y aplicar lo aprendido en contextos del mundo real. Las lecciones están diseñadas según el modelo instruccional basado en la investigación de las 5E + IA (por sus siglas en inglés), que incluye: Atraer, Explorar, Explicar, Elaborar, Evaluar, Intervención y Aceleración. Cada componente de este ciclo de instrucción cuenta con recursos específicos que apoyan la comprensión de los conceptos matemáticos por parte de los estudiantes y la enseñanza eficaz por parte de los maestros.
Alineación a los estándares
STEMscopes Math está estrictamente alineado con los estándares estatales comunes de para matemáticas, con los estándares de desarrollo del idioma inglésy con las prácticas matemáticas esenciales.
Alineación a los estándares estatales comunes de para matemáticas
Cada unidad, o alcance, está alineada estrictamente con uno o más de los estándares estatales comunes de para matemáticas. Tanto los estándares centrales como los de conexión se abordan en cada tema y se presentan claramente en la página principal de esa lección. Cada tema contiene elementos diseñados para desarrollar la comprensión conceptual de los estudiantes sobre cada estándar.
Estándares para la práctica matemática
Las prácticas matemáticas están integradas en todo nuestro currículo con el objetivo de desarrollar habilidades básicas que formen pensadores matemáticos eficaces. Estos estándares sirven como un puente entre el contenido y saber cómo y cuándo aplicarlo. MP.1 Comprender los problemas y perseverar en su resolución.
Alilneación a los estándares de desarrollo del idioma inglés
MP.2 Razonar de manera abstracta y cuantitativa.
En cada tema, se brindan múltiples oportunidades para que los estudiantes demuestren lo que han aprendido y exploren nuevos conceptos a través de las cuatro modalidades lingüísticas: escuchar, hablar, leer y escribir. Los maestros también tienen acceso a sugerencias de enunciados de oración, apoyos visuales y andamiajes diseñados para estudiantes con varios niveles de dominio del inglés. Todas las actividades están basadas en un enfoque aditivo hacia la adquisición del lenguaje, que valora y aprovecha el idioma del estudiante como un recurso. Además, en alineación con investigaciones educativas recientes, STEMscopes Math enfatiza el desarrollo del lenguaje académico como parte fundamental del éxito de los estudiantes multilingües en desarrollo. Se reconoce que esta población usa estratégicamente todo su repertorio lingüístico (es decir, todos los idiomas que domina) para distintos propósitos en su aprendizaje.
MP.3 Construir argumentos válidos y examinar el razonamiento de otros. MP.4 Representar con las matemáticas. MP.5 Usar herramientas apropiadas estratégicamente. MP.6 Ser preciso. MP.7 Buscar y utilizar la estructura. MP.8 Buscar y expresar regularidad en el razonamiento repetido.
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La investigación sobre el comportamiento en la resolución de problemas indica que los pensadores eficaces practican hábitos identificables cuando se enfrentan a un problema y no conocen la respuesta. El objetivo de las prácticas matemáticas es desarrollar los buenos hábitos de un matemático. Nuestras lecciones están diseñadas en función de los hábitos de los pensadores eficaces en matemáticas. Es decir, la habilidad que ellos tienen para resolver problemas cuando se enfrentan a una situación compleja. Estos comportamientos rara vez se aplican de manera aislada; por el contrario, los usan en conjunto en diversas situaciones. Por ejemplo, al escuchar con atención, un matemático demuestra respeto por los demás, comprende lo que escucha y reconoce el uso preciso del lenguaje. Cuando los estudiantes se enfrentan a problemas complejos, se les anima a aplicar uno de los hábitos de un matemático, o más, al preguntar: ¿Qué es lo más eficaz que puedo hacer en este momento?. Integrar estos hábitos fomenta la colaboración, promueve el pensamiento de orden superior y ayuda a los estudiantes a desarrollar habilidades sólidas para la resolución de problemas.
Progresión y fundamentos del curso Cada alcance en STEMscopes Math está cuidadosamente diseñado para construir sobre conocimientos previos, asegurando una transición fluida entre conceptos y promoviendo una comprensión profunda e integral de las matemáticas. Este enfoque estructurado prepara a los estudiantes para enfrentar desafíos matemáticos futuros y aplicar sus conocimientos a situaciones del mundo real. Cada nivel de grado incluye áreas de enfoque que destacan los temas matemáticos principales que se abordarán durante el año escolar. Estas áreas se fundamentan en la progresión dentro y entre los dominios de la materia y enfatizan las conexiones entre los temas principales, lo cual proporciona un enfoque integrado a la enseñanza de las matemáticas. Puedes encontrar descripciones completas de los fundamentos de cada curso en la sección de Recursos para el maestro dentro de los temas correspondientes a cada nivel de grado.
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Evaluaciones STEMscopes Math incluye múltiples oportunidades para realizar diferentes tipos de evaluaciones estudiantiles, tales como evaluaciones diagnósticas, formativas y sumativas. Cada una está cuidadosamente alineada a los estándares y puede usarse para recopilar datos que informen la instrucción y apoyen el aprendizaje de los estudiantes. Acceso a conocimientos previos (Diagnóstica) Breve actividad de sondeo para evaluar los conocimientos previos antes de abordar el contenido del alcance. Boleto de salida (Formativa) Evaluación rápida sobre lo que aprendieron en cada Exploración. Muestra lo que sabes (Formativa) Tarea de práctica independiente que permite a los estudiantes demostrar su aprendizaje. Decide and Defend (Formativa) Evaluación de respuesta abierta que invita a los estudiantes a razonar matemáticamente y justificar sus ideas con evidencias. Lista de verificación de observación (Diagnóstica o formativa) Lista de conceptos y habilidades que el maestro y el estudiante pueden usar para reflexionar sobre el progreso del estudiante y establecer objetivos. Prueba de habilidades (Formativa o sumativa) Evaluación basada en estándares para determinar la habilidad para resolver problemas matemáticos de manera eficiente y precisa. Tareas basadas en los estándares (Sumativa) Evaluación de opción múltiple alineada a los estándares, en la que los estudiantes demuestran dominio del contenido. Mostrar y contar (Diagnóstica o sumativa) Evaluación rápida en rúbrica individual o pequeños grupos con manipulativos o siguiendo indicaciones del maestro.
Preguntas mejoradas con tecnología (Sumativa) Evaluación diseñada para que los estudiantes respondan a tipos de preguntas que no se pueden resolver con lápiz y papel. Tarea de representación matemática (Formativa o sumativa) Actividad individual o colaborativa que permite resolver un problema significativo en un contexto del mundo real. Intervención en grupos pequeños: Revisión (Formativa) Tarea de práctica independiente para evaluar el dominio del contenido después de la intervención en grupos pequeños. Intervención en grupos pequeños: Revisión rápida (Formativa) Evaluación breve e independiente para verificar el dominio del contenido después de una intervención en grupo pequeño. Revisión práctica de habilidades: Verificación (Formativa) Evaluación previa a la intervención en grupo pequeño que permite identificar el nivel de dominio de los estudiantes. Evaluaciones de referencia (Diagnóstica o sumativa) Evaluaciones de principio, mitad y final de año que ofrecen datos significativos que pueden informar la instrucción. Evaluaciones de medición del crecimiento (Diagnóstica o sumativa) Evaluaciones previas y posteriores diseñadas para hacerle seguimiento al crecimiento de los estándares de nivel de grado desde el principio hasta el final del año.
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Apoyo de la administración y de los asesores instruccionales Alcance y secuencia
● Los maestros pueden elegir entre las demás actividades según las necesidades de los estudiantes.
Estos documentos están disponibles en la sección de Recursos para el maestro dentro de cada grado. La progresión natural de las matemáticas fue el factor principal para determinar el orden de los alcances. El número total de días de instrucción para cada tema se basa en el Calendario sugerido del alcance. El tiempo asignado puede ajustarse según las necesidades de los estudiantes o las guías de ritmo individuales.
Para un calendario de instrucción de más de 180 días, se sugieren las siguientes opciones: ● Seguir el ritmo sugerido en nuestras guías de planificación de lecciones y calendarios de alcance. ● Usar los elementos de las secciones Intervención y Aceleración para ayudar a reforzar la comprensión del contenido. ● Utilizar elementos como las Tarea basada en problemas, los Constructores de fluidez y los Tableros de opciones como actividades de extensión colaborativas.
Calendario sugerido del alcance
Cada alcance incluye un calendario sugerido que contiene recursos de planificación, ritmo, práctica y opciones de evaluación. Los calendarios están basados en un bloque de matemáticas de 90 minutos para primaria y de 45 minutos para secundaria, pero pueden ajustarse eligiendo los elementos a completar y el tiempo dedicado a las actividades.
Guías de planificación
Las guías de planificación están disponibles para cada grupo de grados en nuestra sección de Fundamentos dentro de los Recursos para el maestro. Están divididas en opciones tanto para grupos completos como para grupos pequeños, y ofrecen ejemplos basados en la cantidad variable de Exploraciones en un alcance.
Opciones de varios calendarios instruccionales Los documentos de Secuencia y alcance están basados en un calendario de instrucción típico de 180 días. Para modificarlo, según un número diferente de días de instrucción, se pueden agregar o eliminar actividades.
Preparación del maestro y orientación para la planificación
Para un calendario de instrucción de 165 días, se sugieren las siguientes opciones: ● Enseñar con las actividades esenciales resaltadas en nuestras guías de planificación de lecciones incluidas en el dentro de la Caja de recursos del maestro. Si el tiempo es limitado, enseñe solo estas actividades para cubrir completamente los estándares. ● Ajustar el ritmo según la cantidad de Exploraciones incluidas en el alcance. ● Mandar los Boletos de salida y las hojas de Muestra lo que sabes como tarea para cada Exploración completada, en lugar de havcer las actividades en clase.
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Nuestras guías para el maestro lo ayudan a navegar las actividades fundamentales de cada alcance, mientras proporcionan sugerencias para la facilitación, orientación, recordatorios y un espacio para registrar notas sobre los distintos elementos del alcance. Estos materiales se incluyen como un recurso para imprimir en el elemento Visión general del alcance o están disponibles para su compra como una guía de año completo por nivel de grado.
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Acciones fundamentales del maestro Existen, por supuesto, muchos factores que afectan el aprendizaje dentro del aula. Las investigaciones indican que, de todos ellos, las acciones del maestro tienen el mayor impacto. Si bien reconocemos que muchos de esos factores están fuera de nuestro control, creemos que lo que hacen los docentes en el aula es un elemento que sí se puede cambiar de manera positiva. Al explorar STEMscopes Math, observará que muchas de las técnicas, procedimientos, procesos y actividades están incluidas en la categoría de acciones fundamentales del maestro, y promueven el logro estudiantil. Hacer una lista y explicación detallada de todas estas acciones va más allá del alcance de este documento y probablemente no sería útil para quienes están tratando de apoyar a los docentes. En su lugar, ofrecemos nuestra lista de principios rectores de las mejores prácticas. Todas las acciones docentes que se aplican a lo largo de nuestro currículo siguen estas directrices. Estas normas, a su vez, están basadas en nuestra filosofía pedagógica central: el constructivismo. El constructivismo es una teoría amplia que intenta describir y explicar cómo las personas adquieren conocimiento, y propone un enfoque radicalmente distinto al de la enseñanza tradicional. Desde la perspectiva constructivista, el aprendizaje es un proceso autorregulado que consiste en integrar modelos personales existentes del mundo con nuevos conocimientos obtenidos a través de interacciones con fenómenos del mundo real en contextos significativos. Esto conduce a la construcción activa de nuevas representaciones de la realidad, mediadas por la actividad social, que incluyen el diálogo y el debate. Los principios rectores de las mejores prácticas, que se basan en nuestra fundamentación teórica constructivista y que guían el desarrollo de nuestro currículo, se describen a continuación: Mundo real: Los estudiantes necesitan interactuar con fenómenos auténticos del mundo real en un contexto que sea relevante y motivador para ellos, y que represente de forma razonable el trabajo de los expertos.
Comunidades de aprendizaje: Los estudiantes deben tener oportunidades para interactuar con sus pares y colaborar en la construcción compartida del conocimiento.
Indagación: Se debe ofrecer a los estudiantes oportunidades para formular preguntas y diseñar formas de explorarlas y responderlas.
Reflexión y diálogo: Los estudiantes necesitan reflexionar sobre su propio entendimiento a través de un diálogo significativo con ellos mismos, con sus compañeros y con el maestro.
Macro-contextos: Los estudiantes deben contar con tiempo suficiente para explorar conceptos en una amplia variedad de contextos y enfoques, con el fin de reconocer patrones y aplicar el aprendizaje a situaciones nuevas.
○ Autonomía del estudiante: Los alumnos se involucran más, se sienten más motivados y aprenden mejor cuando tienen oportunidades de tomar decisiones y dirigir su propio aprendizaje. ○ Evaluación auténtica y retroalimentación: La evaluación que refleja con precisión los conocimientos y habilidades de los estudiantes es esencial para ofrecerles una visión clara de sus fortalezas y de las áreas que necesitan mejorar.
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Observations
El maestro...
MANOS
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BOCAS
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le da la mano a un estudiante al entrar al aula; estable el tono para el comportamiento esperado al modelar las conductas deseadas; y asiste a los estudiantes con las tareas sin hacer el trabajo por ellos.
escucha a los estudiantes sin interrumpir y presta atención a señales que indiquen el nivel de comprensión del estudiante.
se mueve por el aula y conversa con cada estudiante; utiliza un tono positivo y responde de manera apropiada, sin sarcasmo ni dureza. El maestro da el ejemplo con una actitud positiva, incluso cuando uno o más estudiantes intentan faltar al respeto a la clase.
establece el tono para el comportamiento esperado al modelar las conductas deseadas. El maestro puede ofrecer opciones a los estudiantes según sus intereses personales.
se siente cómodo para moverse por el aula y atender sus necesidades; comprende los procedimientos y rutinas esperadas para manejar asuntos del aula.
escucha al maestro para recibir información e instrucciones; escucha las ideas de sus compañeros sin interrumpir ni mostrar desacuerdo de manera grosera. El estudiante sabe cómo expresar un punto de vista diferente sin atacar personalmente a un compañero o al maestro.
conversa con el maestro sobre su vida personal. También se siente cómodo al compartir ideas relacionadas con el contenido con sus pares. No hay temor a ser ridiculizado o avergonzado si comete un error. Los estudiantes confían en que pueden decir lo que piensan.
trabaja arduamente para cumplir con las expectativas establecidas por el maestro. Comprende que el fracaso es parte del éxito y se sienten cómodos cometiendo errores.
nota que todos los estudiantes están activamente involucrados en el proceso de aprendizaje. Pueden estar moviéndose por el aula.
nota que los estudiantes están escuchándose entre sí y a su maestro.
nota que los estudiantes pueden estar hablando con el maestro sobre su partido de fútbol del fin de semana, el maestro puede estar compartiendo una historia sobre sus hijos, o los estudiantes hablando de sus vidas personales.
nota que los estudiantes pueden hacer preguntas sin temor a equivocarse. El observador debe percibir un ambiente de completa seguridad y confianza.
El estudiante...
El observador...
Seguimiento del progreso académico de los estudiantes Como educadores, dedicamos mucho tiempo a recopilar datos sobre el desempeño de nuestros estudiantes. Sin embargo, las acciones que tomamos después de haber recolectado esos datos pueden marcar la diferencia entre ser un buen maestro y ser uno excelente. Una evaluación no tiene valor si no se analiza y no se permite que influya en la instrucción. El análisis de datos puede proporcionar una visión clara de lo que los estudiantes saben, lo que deberían saber y qué se puede hacer para atender sus necesidades académicas. Según la Asociación Nacional de Directores de Escuelas Primarias (NAESP, por sus siglas en inglés), el uso de datos es un ciclo continuo que implica la recopilación de múltiples fuentes de información, la interpretación de datos para formular hipótesis sobre estrategias que aumenten el rendimiento estudiantil y la implementación de cambios en la instrucció para poner a prueba dichas hipótesis. Cuando un maestro logra analizar eficazmente los datos de sus estudiantes, se observan los siguientes beneficios: ●
La enseñanza se alinea con las necesidades de los estudiantes.
●
El maestro puede priorizar el tiempo de instrucción.
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Se ofrece instrucción en grupos pequeños para atender habilidades, procesos y contenidos específicos que los estudiantes necesitan (lo que los ayuda a avanzar).
●
El maestro recopila datos de diversas fuentes para obtener una comprensión más completa de las necesidades de sus estudiantes. Los estudiantes desarrollan la capacidad de monitorear su propio progreso académico
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Evaluaciones Fuera del Alcance Inmediato Nuestro programa de matemáticas incluye múltiples oportunidades para medir el progreso de los estudiantes a lo largo del tiempo a partir de evaluaciones de referencia y de medición de crecimiento. Estas evaluaciones pueden aplicarse a nivel de aula, escuela o distrito y están diseñadas para abordar múltiples estándares al mismo tiempo. Los datos recopilados pueden usarse para verificar si los estudiantes están en camino de cumplir sus metas académicas, si es necesario implementar intervenciones o hacer ajustes en la instrucción. Aunque pueden usarse como preparación para el informe de fin de año que se presenta en una evaluación sumativa, su propósito principal debe ser guiar la instrucción y facilitar intervenciones oportunas cuando sea necesario.
Evaluaciones de referencia
Evaluación final
Existen tres evaluaciones de referencia para cada nivel de grado, desde jardín de infancia hasta álgebra I. Cada una proporciona datos significativos que pueden usarse para informar y ajustar la enseñanza en el aula.
Esta mide todos los estándares del nivel de grado actual y puede usarse para predecir el desempeño de los estudiantes en las evaluaciones estatales.
Evaluación inicial El objetivo de esta evaluación es medir el dominio de los estándares previamente aprendidos por los estudiantes. Es decir, determinar los estándares del grado anterior. Se recomienda consultar las actividades de intervención del grado anterior para volver a enseñar los estándares que aún no han sido dominados. Además, explore los elementos Acceso a conocimientos previos y Constructor de bases fundamentales dentro de la sección Atraer del alcance actual para actividades adicionales de práctica.
Evaluación intermedia En esta evaluación se mide una combinación de estándares del nivel de grado actual y del grado anterior. Consulte el Alcance y secuencia del grado correspondiente para asegurar que la evaluación se administre después de que los estudiantes hayan tenido la oportunidad de aprender los estándares evaluados.
Desde 2.o grado hasta álgebra I, las evaluaciones de referencia pueden administrarse en línea o impresas. Sin embargo, se recomienda su aplicación en línea, ya que ofrece al maestro acceso inmediato a una amplia variedad de datos. Para jardín de infancia y 1.o grado, se recomienda aplicar las evaluaciones en formato impreso y que sean leídas en voz alta por el maestro.
Evaluaciones de medición decrecimiento Nuestras evaluaciones de medición de crecimiento están elaboradas y alineadas por MetaMetrics Inc. y se incluyen desde jardín de infancia hasta álgebra I. Están diseñadas para medir el progresoo con los estándares del grado, desde el inicio hasta el final del año escolar, y reportan una medida Quantile® en sus resultados.
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Medidas Quantile® ¿Qué es una medida Quantile®? El Marco Quantile® para matemáticas mide tanto la dificultad del contenido como la preparación del estudiante para aprender nuevos conceptos de la materia. Al conocer la dificultad matemática de materiales específicos y las habilidades de cada estudiante, usted puede: • Identificar las destrezas matemáticas que un estudiante está listo para aprender. • Enfocar la instrucción con tareas y materiales apropiados para su nivel. • Monitorear el crecimiento de los estudiantes en matemáticas a lo largo del tiempo. • Predecir el rendimiento en evaluaciones de alto impacto. • Comunicar y colaborar con estudiantes y familias sobre el progreso en matemáticas. Las evaluaciones que se usan en los 50 estados están vinculadas al Marco Quantile® y reportan las medidas Quantile® de los estudiantes: un número seguido por la letra Q. La escala Quantile® va desde matemático emergente (por debajo de 0Q) hasta más de 1600Q. A medida que aumenta la medida Quantile® de un estudiante, los conceptos matemáticos que está listo para aprender se vuelven más complejos. La investigación indica que se necesita trabajar en matemáticas alrededor de 1350Q para estar preparado para la universidad y la vida profesional. Las medidas Quantile® describen la habilidad matemática y no el grado escolar. Dentro de un mismo grado, habrá un rango de medidas Quantile® entre los estudiantes.
Cómo usan los maestros las medidas Quantile® Apoyan a estudiantes en todos los niveles
El Marco Quantile® define más de 550 destrezas y conceptos matemáticos. Cada uno tiene una medida que muestra cuán difícil es un concepto en relación con los demás. Con el Marco Quantile® usted puede identificar vacíos en la comprensión conceptual de los estudiantes que pueden frustrar o impedir su éxito. También puede encontrar temas de enriquecimiento matemático para quienes estén preparados para mayores desafíos. Al revisar los resultados, verá que algunos estudiantes están listos para destrezas de nivel superior, mientras que otros necesitan dominar los prerrequisitos. Los más avanzados pueden estar listos para ir más allá de la destreza enfocada y trabajar en algo más complejo. Diferenciando la instrucción
Con las diversas herramientas asociadas al Marco Quantile®, los maestros pueden usar las medidas Quantile® para diferenciar la instrucción y atender la amplia gama de habilidades presentes en un aula. De esta manera, se facilita el trabajo con estudiantes que tienen dificultades, ya que podrá identificar actividades y recursos que fortalezcan sus destrezas prerrequisito y su comprensión conceptual. De igual forma, podrá identificar actividades y recursos que le permitan planear la instrucción en torno a destrezas y conceptos enfocados o próximos a desarrollar por los estudiantes que necesitan enriquecimiento.
Para más detalles sobre las medidas Quantile®, consulte la información sobre Quantile® en los Recursos para el maestro.
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Apoyos Diferenciación Creemos que la diferenciación no tiene por qué ser difícil. STEMscopes Math ayuda a que los estudiantes logren sus metas de aprendizaje con actividades únicas diseñadas para satisfacer el nivel en el que se encuentran (deficiente, promedio o dominante) en cuanto a conocimientos y destrezas. Estas asignaciones son ideales para estaciones de trabajo en grupos pequeños o para la práctica individual. Una ventaja de nuestro plan de estudios es que los maestros tienen acceso a los niveles de grado anteriores y posteriores, lo cual les permite variar la instrucción según sea necesario. En la Guía de instrucciones andamiadas de cada alcance, encontrará una lista de las diferentes rutas a elegir. ● Otra característica clave de nuestro currículo es que incluye actividades de intervención y extensión (Aceleración). El maestro puede individualizar fácilmente sus planes con la Guía de instrucciones andamiadas que encuentra en cada alcance, para responder a su clase usando los datos de sus estudiantes.
Apoyos Lingüísticos Multilingües Cada salón de clases es un mundo ricamente tejido de experiencias y lenguajes diversos. Para promover la equidad en el aula, STEMscopes Math ha integrado estrategias y herramientas basadas en la investigación que apoyan a los estudiantes multilingües en distintos niveles de dominio del idioma, con un enfoque aditivo centrado en lo que los estudiantes sí pueden hacer. En el plan de estudios, hemos creado oportunidades para que participen en un aprendizaje auténtico a través de la comunicación multimodal, incluyendo andamiajes para quienes se encuentran en la fase de preproducción de su proceso de adquisición del idioma.
Progreso en la adquisición del idioma
El proceso de adquisición de un nuevo idioma es único para cada estudiante. Un error común es pensar que este proceso es lineal. Sin embargo, la adquisición del idioma es continua y abierta, y varía en los diferentes dominios lingüísticos (escuchar, hablar, leer y escribir), según factores como el contexto o la situación en la que participa el estudiante y el nivel de familiaridad con el tema. Los niveles de competencia por dominio, disponibles en los Recursos para el maestro, ofrecen una visión general de cómo se aplica el idioma en los diferentes ámbitos, así como métodos y herramientas para brindar apoyo. Las destrezas y estrategias se construyen unas sobre otras a medida que los estudiantes avanzan en los distintos niveles.
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Recursos y Herramientas
En el plan de estudios hemos integrado recursos para apoyar tanto a los maestros como a las familias. A continuación, se describen algunas características y elementos que se pueden usar para apoyar a los estudiantes en su nivel y brindar a las familias y cuidadores la oportunidad de participar en el aprendizaje. Niveles de competencia por dominio: aquí encontrará una vista general de la aplicación del lenguaje en las diferentes competencias según los niveles de dominio. Los maestros pueden usar esta herramienta para identificar el nivel de inglés de un estudiante analizando cómo interpreta y produce el lenguaje.
Glosario visual/Vocabulario ilustrado: los estudiantes pueden combinar representaciones visuales con términos matemáticos utilizando un lenguaje accesible y apropiado para su edad.
Trabajar con palabras: esta actividad abierta permite a los estudiantes asumir la responsabilidad y el control de su vocabulario en expansión. También fomenta la creación de conexiones personales y relevantes con los nuevos términos de diversas maneras, como la identificación de cognados.
Videos de aprendizaje virtual (J–5): estos videos, dirigidos a los estudiantes, desglosan las destrezas y conceptos principales. Así, todos en casa pueden participar en las actividades a su propio ritmo e incorporar objetos familiares. De este modo, los estudiantes aplican su propio lenguaje a las matemáticas.
Inicios/estructuras de oraciones: los estudiantes pueden practicar cómo participar en un diálogo con propósito. Estas frases pueden usarse con distintos fines, como pedir aclaraciones, defender su razonamiento o explicar sus respuestas.
Prueba de habilidades: este recurso utiliza únicamente los números. Permite a los maestros evaluar la comprensión del material sin que el idioma represente una barrera. Mis pensamientos de matemáticas / Cuento de matemática (J–5): estos elementos literarios ofrecen a los estudiantes la oportunidad de practicar la lectura y escritura en torno a las matemáticas. Así, aplican estrategias para apoyar la comprensión y practican el vocabulario matemático y situacional.
Funciones integradas de accesibilidad: a lo largo del currículo, hemos incorporado herramientas que permiten a los estudiantes escuchar la lectura de un texto, encontrar definiciones de palabras en el momento, tomar notas y resaltar palabras o frases.
Tareas basadas en problemas / Tareas de representación matemática: estos elementos colaborativos permiten a los estudiantes resolver problemas significativos en contextos del mundo real. Brindan la oportunidad de apropiarse del aprendizaje y retan a los estudiantes a realizar cálculos y a considerar los problemas desde distintas perspectivas.
Cartas para llevar a casa: cada alcance incluye una carta dirigida a los cuidadores en la que se explica, en términos simples, el contenido de la lección, incluyendo su vocabulario. También incluye una sección de actividades llamada Ta Te Ti, Intenta esto en casa, para los grados de primaria y matemáticas fuera del aula en secundaria, que los estudiantes pueden realizar junto a sus familias. Esta carta está disponible en dos idiomas.
Numeracidad diaria: esta sección ofrece a los estudiantes la oportunidad de trabajar en su flexibilidad para pensar en números y estrategias, y también al grupo para escuchar y dialogar sobre matemáticas de manera estructurada como una comunidad de aprendizaje.
Apoyos lingüísticos: dentro de cada lección de Exploración, incluímos una variedad de recursos y estrategias que pueden aplicarse durante la lección para estudiantes en cualquier nivel de dominio. Estos apoyos abarcan todos los dominios lingüísticos.
Ciencia de datos: los estudiantes refinan sus ideas matemáticas mientras se refuerza el uso preciso del lenguaje y se introducen nuevos términos a través de un diálogo productivo centrado en un conjunto de datos.
Conexiones lingüísticas: cada alcance incluye actividades de conexiones lingüísticas en tres niveles de dominio. Estas actividades se adaptan al nivel de cada estudiante y brindan a los maestros indicaciones para ayudar a la comprensión de cada dominio del lenguaje.
Rutinas de conversación estructurada: los estudiantes participan en intercambios orales a partir de una pregunta o consigna, utilizando rutinas que facilitan conversaciones estructuradas.
Manipulativos virtuales: los estudiantes pueden usarlos a lo largo del currículo para justificar sus respuestas cuando su lenguaje expresivo sea limitado. También sirven como herramientas para crear conexiones significativas entre los términos de vocabulario y las destrezas matemáticas.
Estrategias de vocabulario: los estudiantes participan en un juego de vocabulario usando estrategias para establecer conexiones entre palabras y conceptos importantes.
STEMscopes Math también incluye una variedad de recursos en español y materiales multilingües para apoyar a la población diversa de estudiantes en su salón de clases. LEARNING THE LEADER in STEM EDUCATION
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Traducción y adaptación al español
Nuestro enfoque para el desarrollo de la versión en español para los estudiantes no es una simple traducción literal. Contamos con un equipo de traductores, expertos lingüísticos y especialistas en educación bilingüe que trabajan para ofrecer materiales adaptados, de manera que los estudiantes hispanohablantes tengan el mismo acceso al contenido de nuestro currículo.
Programas bilingües o de doble inmersión STEMscopes Math es un currículo basado en la investigación, los estándares, los objetivos de aprendizaje y el uso de datos, con un alto nivel de rigor académico, lo que lo hace especialmente adecuado para salones de doble inmersión. Nuestro enfoque constructivista puede adaptarse a cualquier modelo de aprendizaje e incluye instrucción con andamiajes y recursos que sitúan al estudiante en el centro a través de actividades auténticas y prácticas. Nuestros productos cuentan con apoyos visuales y sugerencias de andamiaje lingüístico para que los maestros atiendan las necesidades de los estudiantes multilingües en todos los niveles de dominio. Además, gran parte de nuestros materiales y recursos han sido traducidos y adaptados al español cuando corresponde. Esto brinda a los docentes en programas bilingües herramientas para realizar puentes lingüísticos y análisis contrastivo entre el inglés y el español. Todos los materiales dirigidos a los estudiantes están disponibles tanto en inglés como en español. Esto permite a los docentes en programas de doble inmersión ofrecer oportunidades para que los estudiantes usen todo su repertorio lingüístico y planifiquen momentos explícitos de transferencia lingüística dentro del aula. Entre un 30 % y 40 % del vocabulario son cognados entre inglés y español; este porcentaje aumenta a aproximadamente 70 % en el vocabulario académico de matemáticas y ciencias debido al origen latino del español. En particular, los elementos Vocabulario ilustrado, Vocabulario interactivo y Esquema de anclaje ayudan a sentar las bases para que los educadores fomenten la transferencia lingüística positiva, no solo de vocabulario específico, sino también de patrones morfológicos (como prefijos y sufijos). Otros elementos, como nuestros Cuentos de matemáticas, fueron originalmente escritos en inglés y posteriormente adaptados al español. Estas historias ofrecen otra oportunidad para que los maestros en un programa bilingüe planifiquen de manera explícita el puente lingüístico, incluyendo la consideración de transferencias positivas y negativas entre la gramática y la fonética. Finalmente, los esquemas de anclaje pueden usarse para implementar una estrategia Anticipación/Visualización/Revisión en la cual la anticipación y la revisión se realizan en un idioma, mientras que la mayor parte de la lección (la visualización) se lleva a cabo en el otro idioma.
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Diversidad y equidad STEMscopes Math se dedica a atender los retos de la diversidad y la equidad en nuestro programa. Hemos diseñado STEMscopes Math para que sea más accesible y responda a estilos de aprendizaje únicos y a una amplia variedad de necesidades estudiantiles.
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Práctica y tarea de matemáticas Cuando sus estudiantes necesitan práctica, scopes Math se enfoca en la calidad y no en la cantidad. El propósito principal de la enseñanza de las matemáticas es desarrollar solucionadores de problemas de por vida y pensadores críticos. Las investigaciones demuestran que esto no se logra al darles a los estudiantes múltiples páginas de ejercicios repetitivos. En cambio, se fomentan conversaciones profundas, comprensión conceptual y conexiones con el mundo real cuando los estudiantes practican el contenido mediante tareas matemáticas enriquecidas. Estos son algunos ejemplos donde puede encontrar prácticas significativas y relacionadas con el mundo real dentro de STEMscopes Math: •
Carta para llevar a casa: Ta Te Ti (Primaria) Tablero de actividades para practicar un concepto, incluido al final de la carta para llevar a casa.
•
Carta para llevar a casa: Matemáticas fuera del salón (Secundaria) Ejemplos de conceptos matemáticos usados en la vida cotidiana para conversar en familia. Están incluidos al final de la carta para llevar a casa.
Práctica interactiva Juego para practicar las habilidades establecidas por los estándares del alcance. •
Crea el tuyo Tarea abierta que reta a los estudiantes a usar sus habilidades recientes para crear algo nuevo.
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Muestra lo que sabes Tarea de práctica independiente que permite a los estudiantes demostrar lo que han aprendido en cada Exploración.
¿Qué prefieres? Actividad enriquecedora en la que los estudiantes usan razonamiento matemático y creatividad para justificar sus respuestas.
•
Mis pensamientos de matemáticas Colección de preguntas diseñadas para que los estudiantes expliquen en sus diarios cuáles son sus razonamientos y reflexionen sobre su aprendizaje.
Tarea basada en problemas Tarea independiente o colaborativa que permite a los estudiantes resolver un problema desafiante y significativo en un contexto del mundo real.
•
Revisión en espiral Historia breve para captar el interés del estudiante con cuatro problemas sobre habilidades aprendidas previamente.
Conexiones profesionales Actividad que introduce a los estudiantes a carreras y experiencias cotidianas que destacan los conceptos matemáticos aprendidos en clase.
•
Matemáticas de hoy Exploración de conexiones reales y aplicaciones del contenido matemático a través de medios interactivos facilitados por Associated Press.
Prueba de habilidades Evaluación breve para determinar la capacidad para calcular de manera eficiente y precisa.
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Estación de conexión Actividad práctica de matemáticas vinculada a los estándares de ciencias o estudios sociales.
Decide y defiende Evaluación abierta para razonar matemáticamente y respaldar sus ideas con evidencia.
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Tablero de opciones Actividades que los estudiantes pueden elegir o que se les pueden asignar según los conceptos matemáticos que se estén aprendiendo en clase.
Revisión: Intervención en grupo pequeño Evaluación corta que mide el dominio del estudiante después de una intervención.
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Cuento de matemáticas Texto de lectura que apoya la alfabetización y amplía la capacidad para identificar la información necesaria para resolver problemas.
Constructor de fluidez Juegos independientes y en pareja, además de otras actividades que ofrecen a los estudiantes formas atractivas de practicar nuevos conceptos.
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Tarea de representación matemática Actividad independiente o colaborativa para resolver un problema desafiante y significativo en un contexto del mundo real.
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Navegando el currículo digital
Barra de navegación principal INICIO
ALCANCE (¡COMIENCE AQUÍ!)
ESTUDIANTES
Vea las lecciones y los marcadores personalizados en su panel.
Acceda a todo el contenido de las lecciones y a los recursos de apoyo para maestros.
PLANIFICACIÓN
ESTÁNDARES
Administre las cuentas de los estudiantes, cree grupos de clase y supervise el progreso de las tareas y las calificaciones.
Cree planes de lección y colabore con otros maestros de STEMscopes.
Vea un desglose de los estándares y habilidades estatales de matemáticas.
MÁS Seleccione entre una amplia variedad de evaluaciones, acceda a libros electrónicos o solicite ayuda.
Alcances
Los alcances (unidades) están organizados en cuadrículas para que pueda ver fácilmente todas las lecciones disponibles. Filtre por grado, dominio o palabra clave para encontrar un alcance específico. Además, acceda fácilmente a los siguientes elementos: •
Recursos para maestros por nivel de grado
•
Numeración diaria
•
Fluidez en hechos matemáticos
VISTAZO A UN ALCANCE Después de seleccionar un alcance (unidad), revise los recursos de planificación e instrucción. La barra de herramientas blanca en la parte superior le permite acceder a todas las funciones y beneficios de STEMscopes Math.
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INICIO
ATRAER
Desarrolle su propio conocimiento del contenido, analice los estándares estatales y obtenga una comprensión completa de todo lo que ofrece el alcance en la sección Inicio. Algunos de los recursos a los que puede acceder incluyen:
La sección Atraer se enfoca en establecer las bases del aprendizaje mediante una evaluación previa y en captar el interés hacia el contenido. Puede preparar a los estudiantes y planificar cómo diferenciar la enseñanza para las próximas lecciones con los siguientes elementos:
• •
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Visión general del alcance: Un vistazo a cómo se implementará el modelo 5E + IA en una lección específica. Carta para llevar a casa : Incluye una actividad atractiva de Ta Te Ti: Inténtalo en casa.
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Acceso a conocimientos previos: Evalúe a los estudiantes sobre contenido de grados anteriores.
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Constructor de bases fundamentales: Ofrece oportunidades para volver a enseñar y repasar las habilidades previas necesarias.
•
Captar interés: Aprenda cómo utilizar estos atractivos videos de 10 a 30 segundos escaneando el código QR.
Guía de instrucción andamiada: Una herramienta integrada que ayuda a diferenciar la enseñanza según los datos de evaluación de crecimiento MAP.
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EXPLORAR El corazón del alcance y donde vive el contenido nuevo se encuentra en la sección Explorar que ofrece actividades prácticas con andamiaje, oportunidades para el discurso matemático enriquecedor y el razonamiento de los estudiantes, además de herramientas para monitorear el progreso. Los materiales incluidos en la sección Explorar son:
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Manipulativo virtual: Herramientas digitales fáciles de usar directamente en la plataforma.
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Boleto de salida: Evaluaciones de comprensión para determinar si los estudiantes están listos para la sección Explicar o si necesitan recursos de Intervención.
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Apoyos lingüísticos: Recursos que ayudan a los estudiantes multilingües y eliminan barreras mientras aprenden el lenguaje matemático.
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Apoyos pedagógicos: Estrategias e ideas para usar durante la sección Explorar que apoyan a los estudiantes en desarrollo.
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EXPLICAR Muestra lo que sabes: Práctica atractiva para que los estudiantes trabajen de forma independiente en la habilidad desarrollada en Explorar.
Complementando la sección Explorar, Explicar ofrece recursos que ayudan a los estudiantes a formar conexiones auténticas y consolidar su aprendizaje. Hay una variedad de actividades disponibles, entre ella:: •
Vocabulario ilustrado: Herramientas para que los estudiantes aprendan y apliquen nueva terminología matemática.
• Mis pensamientos de matemáticas: Promueve el uso del diario matemático, incorporando conceptos, procedimientos y reflexiones. •
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Esquema de anclaje: Descubra cómo los estudiantes pueden reflexionar sobre nuevas habilidades, ideas y vocabulario con carteles de referencia al escanear el código QR.
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ELABORAR
EVALUAR
La sección Elaborar facilita la diferenciación con actividades listas para usar, ideales para centros de aprendizaje y estaciones de trabajo, y también útiles para repasar contenidos previamente aprendidos. Algunos de los recursos favoritos incluyen:
Revise y recopile datos en la sección Evaluar. Desde evaluaciones basadas en estándares hasta preguntas abiertas de razonamiento, hay una opción para cada estilo de aprendizaje. Incluso puede crear sus propias evaluaciones con la herramienta Constructor de evaluación. Las evaluaciones específicas para sus matemáticos incluyen:
•
Ciencia de datos: Discurso estudiantil centrado en el análisis de un conjunto de datos.
•
Práctica interactiva: Juegos divertidos y atractivos para que los estudiantes refuercen sus conocimientos matemáticos.e
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Conexiones profesionales: Introducción a carreras relacionadas con las matemáticas y a las habilidades del siglo XXI necesarias para tener éxito.
•
Cuento de matemáticas: Un texto de lectura con nivel Lexile apropiado para que los estudiantes practiquen la resolución de problemas y mejoren la comprensión lectora.
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•
Preguntas mejoradas con tecnología: Preguntas digitales no convencionales, como respuesta múltiple, secuencia, tabla de coordenadas, completar espacios en blanco, clasificación y gráficos de barras.
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Decide y defiende: Brinda a los estudiantes oportunidades para explicar y justificar su razonamiento matemático por escrito.
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Prueba de habilidades: Evalúa a los estudiantes sobre contenido nuevo o puede usarse como práctica adicional.
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INTERVENIR
ACELERACIÓN
La sección Intervenir incluye actividades prácticas diseñadas para resolver malentendidos conceptuales de los estudiantes mientras fortalecen sus habilidades matemáticas. ¿Mencionamos que también es una excelente herramienta para volver a enseñar y preparar evaluaciones? Estos son algunos de los recursos que pueden ayudar a cerrar la brecha de rendimiento:
¿Están sus estudiantes listos para ir más allá de lo que acaban de aprender? En la sección Aceleración, pueden participar en actividades que los invitan a pensar más profundamente sobre el contenido y sus aplicaciones. Explore algunas formas de acelerar el aprendizaje en su salón de clases:
•
Ayudas suplementarias: Organizadores gráficos de fácil acceso, con anotaciones que indican si pueden usarse en evaluaciones basadas en estándares.
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Intervención en grupo pequeño: Actividades diseñadas para enfocar, volver a enseñar y reevaluar habilidades y conceptos.
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Matemáticas de hoy: Ofrece a los estudiantes la oportunidad de aplicar lo aprendido a contenido del mundo real y de alto interés proporcionado por The Associated Press.
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Crea el tuyo: Permite a los estudiantes poner a prueba su creatividad mediante tareas como escribir una canción o crear un juego que amplíe su pensamiento y utilice habilidades del nivel DOK-4.
Revisión: Oportunidad de reevaluación de habilidades y contenidos cubiertos desde segundo grado en adelante.
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ÁLGEBRA 1 INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA 1
ÁLGEBRA 1
INTRODUCCIÓN A ÁLGEBRA 1 Recuerde que la formación de un hábito requiere mucha repetición, así que cuantos más ejemplos en tiempo real puedan ver los estudiantes, mejor. Utilice un lenguaje común, sea específico cuando ofrezca ejemplos, y se dará cuenta de que la clase empezará a hacer lo mismo. De este modo, se esforzarán más por aplicar los hábitos de un matemático en el aula. Comprender los hábitos Por definición, un problema es cualquier pregunta, tarea o fenómeno para el que no tenemos inmediatamente una respuesta o solución. Las investigaciones sobre el comportamiento en la resolución de problemas indican que los pensadores competentes practican hábitos identificables cuando se les presenta un problema complejo y no conocen inmediatamente la respuesta. A continuación se presentan 8 hábitos de los pensadores competentes en matemáticas. Son los comportamientos de resolución de problemas que siguen los matemáticos cuando se enfrentan a un problema complejo. Estos comportamientos rara vez se abordan de forma aislada; más bien, se emplean en conjunto para diversas situaciones. Por ejemplo, cuando escuchan atentamente, respetan a los demás, entienden lo que oyen y reconocen el lenguaje preciso.
Poner los hábitos en práctica: ¿Cómo llevarlo a cabo? Los hábitos de un matemático pueden usarse como herramientas de enseñanza integradas a juegos en pareja como constructores de fluidez y actividades independientes y en pequeños grupos que proporcionan a los estudiantes una forma atractiva de practicar conceptos matemáticos. La integración de estos hábitos puede fomentar la colaboración y ayudar a los estudiantes a desarrollar el pensamiento de orden superior y la capacidad de resolución de problemas. Las siguientes indicaciones para el maestro ayudan a los estudiantes a comprender y buscar conexiones con los hábitos de un matemático. ¿Cómo facilito? • «¿Qué puedes aprender de esto?».
Los matemáticos.. • s on curiosos. • s on personas organizadas y con iniciativa que se ponen a trabajar de inmediato.
Los matemáticos son curiosos. Los matemáticos son emprendedores organizados que se ponen a trabajar de inmediato.
• pueden compartir sus ideas y soluciones con los demás.
• «¿Qué sabes ya sobre el problema?». • «¿Cómo puedes aprovechar tus éxitos anteriores con problemas como éste?». • «¿Qué recursos tienes disponibles o necesitas generar?».
• son respetuosos, escuchan a los demás y trabajan juntos. • p ueden entender las matemáticas y ver las conexiones que tiene la materia en el mundo real. erseveran en las tareas difíciles y tienen una mentalidad de • p crecimiento. • s e esfuerzan por la exactitud y la precisión. • se trazan objetivos. Cuando se enfrentan a problemas complejos, los estudiantes deben esforzarse por emplear uno o más de los hábitos de un matemático preguntándose: «Qué es lo más eficaz que puedo hacer en este momento?». ¿Qué deben hacer los maestros? Para aumentar su capacidad de encontrar sentido y buscar conexiones con los hábitos de un matemático, los estudiantes necesitan una práctica deliberada y una atención centrada. Tomarse sólo unos minutos al día para enfatizar sobre la importancia de los comportamientos de resolución de problemas de los pensadores competentes es beneficioso. No sólo es un proceso rápido, sino que también da grandes recompensas porque los estudiantes que aplican los 8 hábitos tienen más éxito con el contenido. • Haga que los estudiantes se sientan bienvenidos y establezca el tono del día con un hábito de los matemáticos, como introducción rápida a la lección. De este modo, los estudiantes tendrán un hábito en su mente mientras trabajan con el contenido. • A medida que observe que los estudiantes utilizan los hábitos de los matemáticos, señálelos, explique lo que ve, diga cómo pueden conectarse con futuros éxitos y elógielos. Los estudiantes empezarán a reconocer el éxito que les proporciona el uso de los hábitos, lo que les ayudará a detectarlos y utilizarlos más a menudo. • Señalar los hábitos de un matemático es una buena estrategia si se pierde el foco de la lección o actividad. Deténgase y señale el reto que está observando, y relaciónelo con un hábito que no se esté utilizando. Al día siguiente, comience la clase con una aplicación rápida de ese hábito.
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Los matemáticos pueden compartir su pensamiento y sus soluciones con los demás. Los matemáticos son respetuosos, escuchan a los demás y trabajan juntos.
• «¿Cómo afecta este problema a los demás?». • «¿Cómo podemos resolverlo juntos?». • «¿Qué puedes aprender de los demás que te ayude a ser un mejor solucionador de problemas?».
• «¿Cómo puedes dar sentido a este problema?». Los matemáticos pueden dar sentido a las matemáticas y ver sus conexiones con el mundo real. Los matemáticos perseveran en las tareas difíciles y tienen una mentalidad de crecimiento.
• «¿Cómo podrías ver la situación de otra manera?». • «¿Cómo puedes recurrir a las estrategias de resolución de problemas que has aprendido?». • «¿Cómo puedes ver este problema desde una nueva perspectiva?».
• «¿Cómo puedes explicar este problema para hacerlo más claro y preciso?».
Los matemáticos se esfuerzan por conseguir exactitud y precisión. Los matemáticos se fijan objetivos.
• «¿Cómo podrías descomponer este problema en las partes que lo componen y desarrollar una estrategia para comprender y cumplir cada paso?». • «¿De qué eres consciente con este problema en términos de tus creencias, valores y objetivos?». • «¿De qué sentimientos o emociones eres consciente que podrían estar bloqueando o mejorando tu progreso?».
Planificación El orden de los hábitos de un matemático no es importante. El maestro puede elegirlos en cualquier orden. Sólo es importante que ese hábito se relacione con la habilidad o el contenido que los estudiantes están trabajando en ese momento.
ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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INTRODUCCIÓN ÁLGEBRA 1 LÁNZATE AL ÁLGEBRA A 1 ÁLGEBRA
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN
INVESTIGAR FUNCIONES
MODELAR CON FUNCIONES
CONOCIÉNDONOS: LO QUE NO HICE ESTE VERANO En esta atractiva actividad, los estudiantes expresan lo que les habría gustado hacer antes de que comenzaran las clases. • Dibujan su actividad extraescolar favorita sin levantar el lápiz, con el objetivo de que su compañero adivine la actividad. • Se turnan para adivinar la actividad representada, fomentando la comunicación y la conexión.
SISTEMAS DE ECUACIONES
• La clase vuelve a reunirse para compartir las actividades favoritas de los demás, haciendo hincapié en la diversión y la interacción.
INVESTIGAR DATOS
CARACTERÍSTICAS CAPTAR INTERÉS: NORMAS DEL AULA DE LAS FUNCIONES
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
Los estudiantes entablan un debate sobre la importancia de las normas del aula en la clase de matemáticas y colaboran para crear normas adicionales para un entorno de aprendizaje óptimo. • Los estudiantes eligen y debaten la importancia de las normas del aula existentes, como explicar lo que piensan y participar activamente. • Entablan conversaciones en grupo para explorar el valor de cometer errores y la comunicación respetuosa. • Después de participar en las actividades de «Explorar», revisan y perfeccionan las normas de clase basándose en sus experiencias. • La actividad resaltan la importancia de la participación inclusiva y la perseverancia en el aprendizaje de las matemáticas.
ACTIVIDADES DE EXPLORAR EXPLORACIÓN 1: SÉ CURIOSO
EXPLORACIÓN 3: DAR SENTIDO A LAS MATEMÁTICAS
Los estudiantes participan en una tarea diseñada para despertar su curiosidad y mejorar sus habilidades de resolución de problemas.
Los estudiantes participan en una tarea diseñada para fomentar la lucha productiva y desarrollar una mentalidad de crecimiento en matemáticas.
• Los estudiantes trabajan en parejas con una «Tarjeta de tareas», una pizarra y un marcador borrable para explorar y resolver un problema.
• Trabajan en parejas para explorar y resolver una tarea matemática utilizando una «Tarjeta de tareas».
• Se proyecta una «Tarjeta de tareas», incitando a los estudiantes a compartir observaciones y preguntas.
• Se proyecta la tarea y se anima a los estudiantes a discutir y dar sentido al problema sin orientación directa.
• A medida que los estudiantes colaboran, son guiados por preguntas para evaluar su comprensión y progreso.
• Los maestros facilitan la actividad haciendo preguntas orientadoras para evaluar la comprensión y fomentar la reflexión.
• Una sesión de charla de matemáticas permite revisar los procesos de resolución de problemas y reflexionar sobre las experiencias de aprendizaje.
• Después de la tarea, se realiza una charla de matemáticas para compartir experiencias, estrategias y resultados del aprendizaje.
EXPLORACIÓN 2: COMUNICAR EFECTIVAMENTE
EXPLORACIÓN 4: BUSCAR PRECISIÓN Y EXACTITUD
Los estudiantes participan en una exploración colaborativa del razonamiento matemático a través de un «Enunciado diario de aritmética».
Los estudiantes participan en una tarea diseñada para enfatizar la importancia de la precisión y la exactitud en la comunicación matemática y el autoanálisis.
• Los estudiantes observan y analizan representaciones visuales, identificando patrones, similitudes y diferencias.
• Los estudiantes trabajan en parejas para completar una tarea que requiere una cuidadosa comunicación y análisis.
• Utilizan señales no verbales para comunicar su nivel de comprensión y compartir ideas con sus compañeros.
• Se proyecta una «Tarjeta de tareas» y los estudiantes utilizan un cuaderno para documentar su trabajo.
• A través de preguntas guiadas, los estudiantes revisan y evalúan el razonamiento detrás de diferentes representaciones.
• Después de la tarea, tiene lugar una charla de matemáticas, que permite a los estudiantes debatir sus observaciones y la importancia de la comunicación precisa en esta materia.
• Una charla de matemáticas permite a los estudiantes reflexionar sobre su aprendizaje y articular sus procesos de pensamiento.
ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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• La actividad concluye con un «Esquema de anclaje» para consolidar el aprendizaje y proporcionar retroalimentación.
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INTRODUCCIÓN A ÁLGEBRA 1
INICIO: CONTENIDO DE APOYO ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
CONTENIDO DE APOYO Se explorarán los hábitos de un matemático a medida que los estudiantes se familiarizan con las siguientes habilidades: • Funciones o relaciones exponenciales • Expresiones equivalentes • Escala • Patrones • Escritura de ecuaciones lineales • Teorema de Pitágoras • Datos • Números irracionales Los maestros y los estudiantes construyen una comunidad de matemáticos en el aula. Los estudiantes desarrollan valor y una mentalidad de crecimiento mediante el esfuerzo productivo, la construcción de significado y la perseverancia a través de la resolución de problemas. Para quienes necesitan apoyo adicional antes de entrar en el primer alcance, los maestros los vuelven a involucrar con el contenido de nivel de grado anterior.
CONOCIMIENTOS PREVIOS Un objetivo valioso de cada maestro de matemáticas es ayudar a los estudiantes a pensar en sí mismos como matemáticos que disfrutan y participan activamente en las matemáticas. Para alcanzar este objetivo, los maestros deben establecer rutinas y procedimientos coherentes que apoyen la enseñanza y el aprendizaje y crear una comunidad que tenga objetivos de aprendizaje comunes y coopere para alcanzarlos. Para ayudar a los estudiantes a participar activamente en las matemáticas, deben seguir los hábitos efectivos de un matemático, como la curiosidad, la exactitud, la precisión, el respeto y la perseverancia, así como desarrollar una mentalidad de crecimiento. En su trabajo pionero en los campos de la psicología y la neurociencia, la Dra. Carol S. Dweck acuñó el término mentalidad de crecimiento, según el cual las personas tienen ideas sobre su propio potencial. Algunos creen que su inteligencia es más o menos fija y que pueden trabajar con matemáticas o no. Los estudiantes son más propensos a rendirse fácilmente cuando tienen una mentalidad fija, mientras que los estudiantes con una mentalidad de crecimiento son persistentes y siguen adelante, incluso cuando el trabajo es difícil. La mentalidad de una persona puede incluso afectar a sus logros. Cambiar la mentalidad es posible, y al introducir o revisar los hábitos de un matemático en este alcance, los estudiantes comenzarán a construir una mentalidad de crecimiento o a cambiar una mentalidad existente.
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CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
• Los estudiantes pueden creer que la inteligencia, el talento u otras cualidades son innatas e inmutables. • Los estudiantes pueden pensar que hay «gente matemática» y «gente no matemática». • Los estudiantes pueden evitar los retos para evitar el fracaso. • Los estudiantes pueden ver los errores como fracasos en lugar de oportunidades de aprendizaje. • Los estudiantes pueden pensar que sólo hay una respuesta o camino de solución.
EN ESTE ALCANCE Para los estudiantes, una experiencia exitosa con las matemáticas comienza con lo básico: cómo ser un matemático; cómo hablar matemáticamente; y cómo registrar, modelar y compartir su pensamiento. Este alcance está dedicado a construir una comunidad en el aula de matemáticas y a introducir o revisar los hábitos de un matemático. Los estudiantes desarrollarán y perfeccionarán estos importantes hábitos a través de interacciones con los diferentes elementos de este alcance y de los alcances futuros. Los matemáticos.. 1. son curiosos. 2. son personas organizadas y con iniciativa que se ponen a trabajar de inmediato. 3. pueden compartir su pensamiento y sus soluciones con los demás. 4. son respetuosos, escuchan a los demás y trabajan juntos. 5. pueden dar sentido a las matemáticas y ver las conexiones de las matemáticas con el mundo real. 6. perseveran en las tareas difíciles y tienen una mentalidad de crecimiento. 7. se esfuerzan por la exactitud y la precisión. 8. se fijan objetivos.
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INTRODUCCIÓN A ÁLGEBRA 1
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
SER CURIOSO
Los estudiantes sienten una curiosidad natural por el mundo que les rodea. Al proporcionar tareas abiertas que tengan múltiples puntos de entrada y vías de solución, los maestros pueden aprovechar esta curiosidad natural y fomentar la creación de sensaciones en el aula de matemáticas. SER ORGANIZADO Y EMPRENDEDOR
Los estudiantes aprenden mejor a través del enfoque concreto-representacional-abstracto (CRA) y se benefician de tener materiales prácticos para explorar conceptos matemáticos. Quienes pueden organizar y llevar un registro de estos materiales de manera significativa ganarán comprensión al utilizarlos. A continuación, los estudiantes empiezan a hacer representaciones pictóricas que reflejan su trabajo con los objetos concretos. Luego, pueden traducir estos modelos en representaciones abstractas con símbolos y algoritmos. Rete y enseñe a los estudiantes a ser emprendedores. Las personas con iniciativa son aquellas que se ponen a trabajar en cuanto tienen todos los materiales. No necesitan indicaciones ni recordatorios adicionales para ponerse a trabajar; simplemente lo hacen. COMPARTIR EL PENSAMIENTO CON LOS DEMÁS
Los estudiantes deben ser capaces de comunicarse matemáticamente entre sí. Esto implica ser capaces de verbalizar sus razonamientos, construir argumentos viables y criticar los razonamientos de los demás. Deben tener oportunidades para leer, escribir y hablar de matemáticas. SER RESPETUOSOS, ESCUCHAR A LOS DEMÁS Y TRABAJAR JUNTOS
Los maestros involucran a los estudiantes en tareas que promuevan el razonamiento y la resolución de problemas. Facilitan el discurso que mueve a los estudiantes hacia una comprensión compartida de las matemáticas. Los estudiantes deben respetar los puntos de vista y las soluciones de los demás. Escuchando activamente a su maestro y a sus compañeros, pueden elaborar su comprensión individual y profundizar en su propio conocimiento. DAR SENTIDO A LAS MATEMÁTICAS Y VER LAS CONEXIONES CON EL MUNDO REAL Y SUS PROPIAS VIDAS
PERSEVERAR EN LAS TAREAS DIFÍCILES Y TENER UNA MENTALIDAD DE CRECIMIENTO
Las tareas de este alcance y de alcances futuros proporcionan a los estudiantes retos apropiados, fomentan la perseverancia en la resolución de problemas y apoyan el esfuerzo productivo en matemáticas. ESFORZARSE POR LA EXACTITUD Y LA PRECISIÓN
¿Qué tan exacta debe ser la respuesta? Los estudiantes deben ser capaces de determinar cuándo una estimación es suficiente y cuándo una respuesta debe ser precisa. Pueden verificar los resultados resolviendo de distintas maneras. Incluyen detalles como etiquetas, unidades o vocabulario preciso cuando resuelven problemas o comparten su pensamiento con los demás. Los errores deben verse como oportunidades de aprendizaje y crecimiento, y hay que animarlos a revisar su trabajo cuando sea necesario. ESTABLECER OBJETIVOS
Una enseñanza eficaz de las matemáticas establece objetivos claros para el aprendizaje. Los maestros son conscientes de la progresión del aprendizaje y usan los objetivos para orientar sus decisiones didácticas. Los estudiantes deben fijarse objetivos, hacer un seguimiento de su progreso y celebrar el éxito cuando se alcanzan esos objetivos.
AVANCES Los estudiantes aplicarán estos hábitos a lo largo del año y los desarrollarán y perfeccionarán con el tiempo. Este alcance sirve de introducción al curso escolar, pero también puede usarse y revisarse cuando sea necesario. Boaler, Jo. “Growth Mindset.” YouCubed.org, Stanford Graduate School of Education. Consultado el 23 de marzo de 2023. https://www.youcubed.org/resource/ growth-mindset/. Dweck, Carol S. Mindset: The New Psychology of Success. Ballantine Books, 2006. Mira, Amy. Principles to Actions: Ensuring Mathematical Success for All. National Council of Teachers of Mathematics, 2014.
Los estudiantes deben participar activamente en dar sentido a las tareas matemáticas mediante el uso de diversas estrategias y representaciones, justificando soluciones, haciendo conexiones con conocimientos previos o contextos y experiencias familiares, y teniendo en cuenta el razonamiento de los demás.
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ATRAER: CONOCIÉNDONOS Launch into Algebra I
CÓMO EMPEZAR
CONOCIÉNDONOS: LO QUE NO HICE ESTE VERANO DESCRIPCIÓN Los estudiantes crean declaraciones extravagantes y creativas sobre lo que les hubiera gustado hacer antes de que se reanudaran las clases. Los compañeros se reúnen y eligen la declaración favorita de su compañero para compartirla con la clase.
MATERIALES
What I Didn’t Do This Summer I didn’t win first place for my water ski routine.
I didn’t spend all day on my latest video game.
IMPRIMIBLE
• 1 ejemplo del maestro (por clase) REUTILIZABLE
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase)
I didn’t go snowboarding and break my leg.
CONSUMIBLE
• 1 hoja de papel en blanco (por alumno)
PREPARACIÓN
• Planifique proyectar el «Ejemplo del maestro».
EJEMPLO DE MAESTRO
• Dé una hoja de papel en blanco a cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Proyecte el «Ejemplo del maestro» y léalo en voz alta. Explique que los estudiantes escribirán de tres a cinco oraciones sobre cosas que no hicieron durante el verano. Asegúrese de que entienden el contexto de la actividad. A continuación, elija una afirmación y explique algo más sobre usted, por ejemplo: «No fui a hacer snowboard ni me rompí una pierna. Esto demuestra que me encanta ser aventurero, pero suelo ser propenso a los accidentes». Siéntase libre de crear y sustituir sus propias afirmaciones, y escríbalas en la pizarra para dar a los estudiantes la oportunidad de conocerle. 2. Entregue una hoja blanca de papel a los estudiantes y dé instrucciones para que escriban sus oraciones. 3. Después de unos 5 minutos, forme parejas, y pídales que revisen las afirmaciones de cada uno. Cada estudiante elige su oración favorita y el compañero explica más cosas sobre sí mismo. 4. Después de 5-7 minutos, cada uno presenta a su compañero y comparte su oración favorita. «Ésta es María. Este verano no se la comieron los tiburones porque le tiene miedo al mar».
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INTRODUCCIÓN A ÁLGEBRA 1 Launch into STEMscopes Math
Question Prompts What are your most memorable experiences in math? Explain why you remember them. You may include both positive and negative memories. What have your math teachers done in the past that helped you or made you enjoy coming to class? What do you wish they had done differently? In what ways have you used math outside of school? What do you like about learning math? What do you dislike? In what area of math do you feel the most confident? In what area do you want to improve? Think about your future career. How do you see incorporating math into your goals?
PREGUNTAS
ATRAER: AUTOBIOGRAFÍA MATEMÁTICA
CALIBRAR LAS EXPERIENCIAS MATEMÁTICAS PREVIAS
AUTOBIOGRAFÍA MATEMÁTICA DESCRIPCIÓN Los estudiantes comparten sus historias describiendo su trayectoria como aprendices y hacedores de matemáticas.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 juego de enunciados de respuesta (por clase) REUTILIZABLES
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase)
PREPARACIÓN
• Planifique la proyección de los «Enunciados de preguntas». • Organice la clase en círculo o de otra forma para que los estudiantes puedan verse entre sí y al orador.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Proyecte las preguntas y preséntelas a los estudiantes. Asegúrese de que entienden el contexto de la tarea y permítales compartir lo que notan y lo que se preguntan. 2. Pida a los estudiantes que hablen con un compañero y se turnen para responder y debatir las preguntas. Dígales que, utilizando las preguntas como guía, deberían estar preparados para compartir con la clase su autobiografía matemática o una reflexión sobre sus experiencias con las matemáticas y cómo se ven a sí mismos como estudiantes durante unos 3 minutos.
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INTRODUCCIÓN A ÁLGEBRA 1
ATRAER: CONSTRUCTOR DE BASES FUNDAMENTALES
Launch into Algebra I
RELLENAR LOS ESPACIOS
Mystery Sequence Cards
CONSTRUCTOR DE BASES ACCEDER AL CONOCIMIENTO PREVIO DE OCTAVO GRADO
Cut the cards apart, and sequence them from the starting equation to the solution.
Describir y resolver ecuaciones lineales en una variable con una solución, infinitas soluciones o ninguna solución.
x=1
DESCRIPCIÓN
−x – 8 = −3x – 6
Start
Los estudiantes trabajarán en parejas para poner las tarjetas en un orden lógico para mostrar los pasos.
2x – 8 = −6
1
−4( 4 x + 2) = −3(x + 2)
MATERIALES IMPRESAS
• 1 juego de tarjetas de secuencia misteriosa (por pareja)
−x – 8 = −3(x + 2)
2x = 2
REUTILIZABLES
• 1 par de tijeras (por pareja)
PREPARACIÓN
• Planifique que los estudiantes trabajen en parejas.
TARJETAS DE SECUENCIA MISTERIOSA
• Imprima un juego de «Tarjetas de secuencia misteriosa» para cada pareja. Si lo desea, plastifíquelas para utilizarlas en el futuro.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE AYUDA 1. Coloque a los estudiantes en parejas y pídales que trabajen juntos para cortar las tarjetas y ordenarlas en una secuencia lógica. Pida a los estudiantes que justifiquen su razonamiento. 2. Cada pareja compara su secuencia con la de otro grupo. Pregunte: «¿Tienes que repensar y revisar tu secuencia o te mantienes firme?».
POSIBLES IDEAS PRECONCEBIDAS
• Es posible que los estudiantes no recuerden cómo manipular las variables en la ecuación. Solución sugerida: Recuérdeles que las variables que son términos semejantes pueden combinarse de la misma manera que los números. Anime a los estudiantes a modelar la resolución de ecuaciones con fichas de álgebra para crear una comprensión concreta del aislamiento de variables. • El idioma inglés tiene muchas palabras que tienen múltiples significados. Solución sugerida: Para eliminar cualquier confusión, asegúrese de que los estudiantes comprendan la siguiente palabra. Palabra
Como
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Posible pensamiento del estudiante
Nuestra intención
En contexto
«Me gusta la clase de matemáticas».
Los términos semejantes comparten la misma variable elevada a la misma potencia.
7a y a son términos semejantes a y pueden combinarse para formar 8a.
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ATRAER: CAPTAR INTERÉS LECCIÓN PARA CAPTAR INTERÉS
CAPTAR INTERÉS: NORMAS DEL AULA DESCRIPCIÓN
a.
Los estudiantes discuten el valor de las diferentes normas en la clase de matemáticas y hacen una lluvia de ideas sobre normas adicionales que harán que la experiencia en el aula sea la mejor posible para todos.
«¿Por qué es importante cometer errores?». Las respuestas pueden variar. Los errores nos ayudan a aprender.
b.
«¿Qué haría que te sintieras más cómodo cometiendo un error en clase de matemáticas?». Las respuestas pueden variar. Saber que nos ayudaremos mutuamente y que no nos reiremos unos de otros me haría sentir más cómodo.
c.
«¿Cómo podemos estar respetuosamente de acuerdo o en desacuerdo? ¿Qué frases o palabras podemos decir?». Las respuestas pueden variar. Podemos utilizar la charla responsable. Estoy de acuerdo contigo porque... No estoy de acuerdo contigo porque..
d.
«¿Cómo sería la clase de matemáticas si nadie participara?». Las respuestas pueden variar. Sería aburrida y más difícil de aprender.
e.
«¿Cómo sería la clase de matemáticas si sólo participaran las mismas personas?». Las respuestas pueden variar. Sería aburrida, y no todos tendrían las mismas oportunidades de aprender.
MATERIALES IMPRESO • 1 juego de tarjetas de normas de la clase (por clase) CONSUMIBLE • 1 pieza grande de papel milimetrado (por clase)
PREPARACIÓN
• Prepare un «Esquema de anclaje» en papel milimetrado titulado «Nuestras normas de la comunidad matemática», y enumere las siguientes normas: (1) Explica lo que piensas. (2) Haz preguntas. (3) Muestra acuerdo o desacuerdo respetuosamente. (4) Participa. (5) Comete errores. (6) Intenta aprender: No pasa nada por no saber. (7) Más rápido no significa mejor. • Coloque las tarjetas de normas de la clase por la sala. Lamínelas para usarlas en el futuro.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA 1 Presente esta actividad hacia el principio del alcance. La clase la retomará después de que hayan completado las tareas de «Explorar» correspondientes. 2 Lea el siguiente escenario a la clase: «Es importante establecer normas para la clase cada año. Las normas son pautas que creamos juntos para determinar cómo queremos funcionar como comunidad de estudiantes . En el aula hay posibles normas que podemos poner en práctica como clase. Dentro de un momento, elegirás una norma que te parezca especialmente importante y te situarás cerca de ella. Las normas a elegir son las siguientes: “Explica lo que piensas,” “haz preguntas”, “muestra acuerdo o desacuerdo respetuosamente”, “participa”, “comete errores”, “intenta aprender: no pasa nada por no saber”, “más rápido no significa mejor”. Les daré unos minutos para que piensen qué norma es la más importante. Ahora, uno, dos, tres. ¡Elijan!».
6 Después del debate en clase, muestre el «Esquema de anclaje» titulado «Nuestras normas de la comunidad matemática». Pregunte a los estudiantes si añadirían alguna otra norma. A continuación, anote las normas que mencionen en el papel milimetrado con un rotulador del mismo color. 7 Explique que los estudiantes aprenderán más sobre cómo es la clase de matemáticas y cómo ser un gran matemático a través de las actividades de aprendizaje de este tema. 8 Continúe con las actividades de «Eploración».
3 Los estudiantes se levantan de sus asientos y se dirigen a la norma que consideren más importante. 4 Anime a quienes eligieron la misma norma a que hablen entre ellos sobre las razones por las que prefirieron esa norma. 5 Organice un debate con todo el grupo en el que compartan por qué una norma concreta es la más importante. Utilice las siguientes preguntas para ayudarles a reflexionar sobre sus elecciones:
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ATRAER: CAPTAR INTERÉS PARTE II: DESPUÉS DE LA EXPLORACIÓN 1 Después de que los estudiantes hayan completado las actividades de exploración de este tema, muestre nuevamente el «Esquema de anclaje» titulado «Nuestras normas de la comunidad matemática». 2. Pregunte a los estudiantes qué podrían agregar a sus normas ahora que han tenido algo de tiempo para trabajar como matemáticos. 3. Registre sus respuestas con un nuevo color de marcador en el «Esquema de anclaje».
b.
«¿En qué te benefició cometer errores durante las actividades de “Explorar”?». Las respuestas pueden variar. Cuando compartí mis ideas incorrectas con el grupo, pudimos utilizarlas como punto de partida para llegar a una solución correcta.
c.
«¿Por qué debemos perseverar y no rendirnos?». Creer en nosotros mismos cambia lo que podemos hacer. Los errores y los retos son buenos para nuestro cerebro.
d.
«¿Cómo te ayudó el hecho de tener normas a trabajar con tu grupo?». Las respuestas pueden variar. Sabía cuáles eran las expectativas de nuestra clase. Por ejemplo, cuando mi compañero me recordó que no estaba usando mi voz interior, no me enfadé. Simplemente dije “vale” y bajé la voz.
e.
«¿Cómo te sentiste cuando una parte de la Exploración fue difícil?». Las respuestas pueden variar. Como sé que los errores ayudan a mi cerebro a crecer, hice mi mejor suposición, y luego mi compañero y yo pudimos averiguar en qué nos habíamos equivocado y corregir nuestra respuesta.
4. Discuta la importancia de las normas que la clase generó utilizando las siguientes preguntas guía: a.
«¿Por qué es importante que todos tengan la oportunidad de participar?». Las respuestas pueden variar. Animar a todos a participar da a todos la oportunidad de compartir su perspectiva y comprometerse profundamente con las matemáticas.
5. Cuelgue el «Esquema de anclaje» para futuras consultas.
Explain your thinking.
Agree or disagree respectfully.
Make mistakes.
Ask questions.
Participate.
Seek to learn: It’s OK not to know.
Fastest does not mean best.
Other
TARJETAS DE NORMAS DE AULA
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EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
Launch into Algebra I
House of Cards
LECCIÓN PEDAGÓGICA
Below is an image of a “house” of playing cards with three levels. How many playing cards would you need for a 10-level house?
EXPLORACIÓN 1: SÉ CURIOSO DESCRIPCIÓN Los estudiantes exploran una tarea que despierta su curiosidad.
MATERIALES ● ●
How about 20 levels? 57 levels? 100 levels? How would you design your own house of cards?
HOJA DE RUTA
IMPRESA
• 1 tarjeta de tareas (por pareja) REUTILIZABLE
• 1 pizarra blanca para estudiantes (por pareja) • 1 marcador borrable (por pareja) • 1 proyector o cámara de documentos (por clase)
PREPARACIÓN
• Planifique la proyección de la «Tarjeta de tareas». • Imprima la «Tarjeta de tareas» y colóquela en un protector de hojas para cada pareja. • Empareje a cada estudiante con un compañero.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• Describe el proceso que tú y tu compañero usaron para resolver el problema. Las respuestas variarán. Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: ◦ «¿En qué se pareció o en qué se diferenció su proceso del de los demás?». Las respuestas variarán.
1. Entregue a cada pareja una pizarra y un marcador borrable.
• «¿Qué pregunta de ampliación te pareció más interesante?». Las respuestas pueden variar.
2. Proyecte la «Tarjeta de tareas» y preséntela a los estudiantes. Asegúrese de que entienden el contexto y permítales compartir lo que observan y lo que se preguntan.
• «¿Cómo te ayudó su propia curiosidad en la tarea?». Las respuestas pueden variar. Me dieron ganas de trabajar en ello. Quería probar algunas de mis ideas.
3. Entregue una «Tarjeta de tareas» a cada pareja y pídales que empiecen a trabajar con sus compañeros. 4. Mientras trabajan, controle y evalúe su comprensión con las siguientes preguntas orientadoras: a. «¿Qué has intentado que no funcionó?». Las respuestas pueden variar. b. «¿Dónde te has atascado?». Las respuestas pueden variar. c. «¿Qué has averiguado hasta ahora?». Las respuestas pueden variar.
• «¿Por qué fue útil empezar de inmediato aunque no estuvieras seguro de cómo obtener la respuesta final?». Las respuestas pueden variar. Pude probar diferentes cosas al principio de la clase y poner a prueba algunas ideas. Aunque no todas funcionaron, pude basarme en mis primeras ideas y en las de los demás para generar caminos hacia una solución.
DESPUÉS DE EXPLORAR 1. Completen un «Esquena de anclaje» como clase.
5. «Basándote en lo que tienes hasta ahora, ¿cuál crees que será la solución?». Las respuestas pueden variar. 6. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
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INTRODUCCIÓN A ÁLGEBRA 1
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Launch into Algebra I
LECCIÓN PEDAGÓGICA
A
EXPLORACIÓN 2: COMUNICAR EFECTIVAMENTE DESCRIPCIÓN
B
Los estudiantes exploran una tarea que les brinda la oportunidad de compartir su pensamiento y evaluar el razonamiento de los demás.
C
MATERIALES
How many ways can you visualize each expression?
IMPRESO
• 1 enunciado diario de aritmética (por clase)
EJERCICIO DIARIO DE ARITMÉTICA
REUTILIZABLE
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase)
PREPARACIÓN Planifique la proyección del «Enunciado diario de aritmética».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Proyecte el «Enunciado diario de matemáticas» a la clase. Los estudiantes no deben llevar nada consigo para esta actividad. 2. Conceda a los estudiantes un minuto mientras observan las imágenes. Discuta las siguientes preguntas orientadoras. a.
«¿Qué observas en cada representación?». Las respuestas pueden variar.
b.
«¿Qué patrones observan?». Las respuestas pueden variar.
c.
«¿Qué similitudes y diferencias observas?». Las respuestas variarán.
3. Cuando formule las preguntas anteriores, los estudiantes pueden dar discretamente una de las siguientes respuestas no verbales: a.
Puño cerrado al pecho: «Todavía estoy pensando».
b.
Puño al pecho, pulgar hacia arriba: «Tengo una idea/ estrategia». Durante este tiempo, los estudiantes siguen buscando diferentes ideas y estrategias.
c.
Puño al pecho, de dos a cinco dedos hacia arriba: «Tengo más ideas/estrategias». El número de dedos mostrados representa el número de ideas/ estrategias que tienen
4. Pida a varios estudiantes que compartan las ideas en las que se basan sus observaciones. Para animarlos a elaborar sus respuestas y a repetir y ampliar las ideas de los demás, utilice las siguientes preguntas: a.
«¿Qué característica hace diferente a una representación?». Las respuestas pueden variar.
b.
«¿En qué se parecen estas representaciones?». Las respuestas pueden variar.
c.
«¿Hay otra forma de explicar un patrón o resultado que haya compartido un compañero?». Las respuestas variarán.
d.
«¿Qué nuevas conclusiones puedes sacar?». Las respuestas pueden variar.
5. Pídales que discutan qué representación no se parece a las demás y pregunte a la clase si están de acuerdo o no. Pueden indicar si están de acuerdo extendiendo los dedos meñique y pulgar y agitando las manos de un lado a otro. Dé los siguientes enunciados para que compartan su pensamiento: a. «Estoy de acuerdo porque..». b. «No estoy de acuerdo porque..». c. «¿Puedes explicar por qué tú..?». 6. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• «¿Cómo describirías lo que acabamos de hacer como clase?». Las respuestas pueden variar. Todos hemos reflexionado sobre el tema y hemos compartido diferentes ideas. Nos escuchamos unos a otros y decidimos si estábamos de acuerdo o no y explicamos por qué. • «¿Por qué puede ser útil compartir ideas de esta manera?». Las respuestas pueden variar. Podríamos aprender unos de otros. Otro estudiante puede tener una idea en la que yo no pensé.
DESPUÉS DE EXPLORAR 1. Complete el «Esquema de anclaje» como clase.
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INTRODUCCIÓN A ÁLGEBRA 1
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Launch into Algebra I
Field Perimeter Which is larger: the perimeter if all sides of field 1 get 30% larger or the perimeter if all sides of field 2 get 30% smaller?
LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 3: DAR SENTIDO A LAS MATEMÁTICAS DESCRIPCIÓN Los estudiantes exploran una tarea que les brinda la oportunidad de experimentar el esfuerzo productivo y fomentar una mentalidad de crecimiento a medida que dan sentido a las ideas matemáticas.
MATERIALES HOJA DE RUTA
IMPRESOS
• 1 tarjeta de tareas (por pareja) REUTILIZABLES
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase) CONSUMIBLES
• 1 hoja de papel para cuaderno (por pareja)
PREPARACIÓN
• Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad. • Proyecte la «Tarjeta de tareas». • Imprima una «Tarjeta de tareas» para cada pareja.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Coloque a los estudiantes en parejas y entregue una hoja de papel de cuaderno a cada una. 2. Proyecte la «Tarjeta de tareas» y preséntela a los estudiantes. Asegúrese de que entienden el contexto y lo que se les pide que hagan. Intente proporcionar acceso a la tarea sin dar ideas sobre cómo resolverla. 3. Entregue una «Tarjeta de tareas» a cada pareja y pídales que empiecen a trabajar. 4. Mientras trabajan, controle y evalúe activamente su comprensión usando estas preguntas orientadoras: a. «¿Qué progresos has hecho hasta ahora?». Las respuestas pueden variar. b. «¿Dónde te has atascado?». Las respuestas pueden variar. c. «¿Dónde has visto algo así antes?». Las respuestas pueden variar. 5. Después de la «Exploración», invite a la clase a un charla de matemática para compartir sus observaciones y aprendizajes.
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• «¿Qué te ha ayudado a ti y a tu compañero a completar esta tarea?». Las respuestas pueden variar. Usamos lo que hemos aprendido para resolverlo. • «¿Tú y tu compañero dieron con la solución de inmediato?». Las respuestas pueden variar. No, al principio estábamos confundidos. Tuvimos que hablar sobre nuestras ideas y decidir cuáles tenían sentido antes de poder escribir nada. • «¿Cómo cambió tu respuesta a medida que trabajabas?». Las respuestas variarán. Añadimos más detalles después de hablarlo. Escuchamos a otro par de estudiantes compartir una idea que tenía mucho sentido, así que la añadimos a nuestra explicación. • «¿Qué sentiste cuando terminaste tu explicación?». Las respuestas pueden variar. Nos sentimos aliviados porque era difícil y no estábamos seguros de poder hacerlo. Estábamos emocionados porque lo habíamos resuelto. • Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: ◦ «Aunque la tarea era difícil, ustedes siguieron adelante y probaron nuevas ideas. «¿Por qué es útil esto como matemático?». Las respuestas pueden variar. Cuando hacemos cosas difíciles, aprendemos algo nuevo y nos convertimos en mejores solucionadores de problemas. Los matemáticos a veces tienen que resolver problemas difíciles y complicados, pero si siguen adelante, eventualmente pueden resolverlos.
DESPUÉS DE EXPLORAR 1. Complete un «Esquema de anclaje» como clase.
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INTRODUCCIÓN A ÁLGEBRA 1
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4
Launch into Algebra I
Pattern Building LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 4: BUSCAR LA PRECISIÓN Y LA EXACTITUD
Below is a pattern made up of tiles. In at least two different ways, write how the pattern is growing. Sketch the next figure, and then explain how you know how many tiles would be in figure 25.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes exploran una tarea que pone de relieve la necesidad de precisión y exactitud en la forma de comunicar sobre matemáticas y de analizar su propio trabajo.
MATERIALES
HOJA DE RUTA
IMPRESOS
• 1 tarjeta de tareas (por clase) REUTILIZABLES
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase) CONSUMIBLES
• 1 hoja de papel de cuaderno (por pareja)
PREPARACIÓN
• Planee que los estudiantes trabajen en parejas para esta actividad. • Proyecte la «Tarjeta de tareas». • Imprima la «Tarjeta de tareas» para cada pareja.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Forme parejas de estudiantes y entregue una hoja de papel de cuaderno a cada una. 2. Proyecte la «Tarjeta de tareas» y preséntela a los estudiantes. 3. Entrega a cada pareja una «Tarjeta de tareas» y pídales que comiencen a trabajar. 4. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• «¿Qué sucedió cuando cometiste un error? ¿Cómo te diste cuenta de que habías cometido un error?». Las respuestas pueden variar. Mi compañero compartió una idea que contradecía mi pensamiento actual y me hizo reconsiderar.
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Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: • «¿Por qué comunicar tus ideas matemáticas es tan importante como las respuestas?». Las respuestas variarán. La respuesta final en sí no ayuda a tu compañero a comprender el tema más profundamente, pero una explicación detallada y bien comunicada puede ayudar a aumentar la comprensión del material por parte de todos. • «¿Por qué es importante ser preciso y exacto al hablar de matemáticas?». Las respuestas pueden variar. Si no eres preciso y exacto, es posible que no expliques bien tu trabajo o lo que piensas. Los demás pueden malinterpretar lo que intentas decir. • «¿Por qué es importante la precisión cuando completamos nuestro trabajo?». Las respuestas pueden variar. Es fácil cometer un pequeño error que puede conducir a una solución inexacta. Dedicar tiempo a trabajar con cuidado y comprobar nuestro trabajo puede ayudarnos a ser más precisos en la resolución de problemas. Un trabajo preciso facilita la identificación correcta de los patrones que vemos. • «¿Qué preguntas de ampliación podrías desarrollar y responder basándote en la actividad?». Las respuestas pueden variar.
DESPUÉS DE EXPLORAR 1. Completen el «Esquema de anclaje» como clase.
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INTRODUCCIÓN A ÁLGEBRA 1
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE
ANCLAR EL APRENDIZAJE DE LOS ESTUDIANTES
ESQUEMA DE ANCLAJE DESCRIPCIÓN
EXPLORACIÓN 2: COMUNICAR EFECTIVAMENTE
El esquema de anclaje destaca los procesos de pensamiento, las habilidades y los comportamientos que promueven una cultura de investigación y aprendizaje matemático en el aula.
1. Después de la exploración, haga estas preguntas: a.
«¿Qué expectativas tienes para las discusiones en clase?». Las respuestas pueden variar. Espero que levantemos la mano para hablar, que hablemos de uno en uno, que escuchemos a los compañeros que están hablando y que demos a todos la oportunidad de hablar.
b.
«¿Qué te hace sentir respetado cuando compartes tus ideas? ¿Cuáles son las formas eficaces de participación?». Las respuestas pueden variar. Me siento respetado cuando los demás demuestran que me prestan atención, tienen en cuenta lo que digo y no se hacen los distraídos. Para crecer y demostrar que participo, también necesito escuchar activamente. Tengo que considerar si estoy de acuerdo con la persona que habla, y tengo que ser capaz de explicar mi razonamiento.
EXPLORACIÓN 1: SÉ CURIOSO 1. Después de la exploración, escriba «Los matemáticos..» en la parte superior del esquema. (Use el «Ejemplo de esquema de anclaje» como referencia mientras crea el gráfico con sus estudiantes). Plantee las siguientes preguntas: a.
«¿Cómo te sentiste cuando empezamos a hablar de la tarea?». Las respuestas pueden variar. Me preguntaba cómo podríamos resolverlo. Tenía algunas ideas que quería probar.
b.
«¿Qué hiciste cuando tú y tu compañero recibisteis la tarea?». Las respuestas pueden variar. Hablamos de nuestras ideas y empezamos a intentar resolverlo.
c.
«¿Qué tenía que ver esta actividad con ser matemático?». Las respuestas pueden variar. Trabajamos juntos en un problema matemático.
2. Los estudiantes pueden pensar que ser matemático significa que sólo se resuelven problemas matemáticos. Haga hincapié en que se comportaron como matemáticos porque sintieron curiosidad por la tarea y trabajaron con prontitud para resolverla. a.
Invite a un estudiante a escribir que los matemáticos son curiosos y a otro estudiante a escribir que los matemáticos son personas organizadas y con iniciativa que se ponen a trabajar de inmediato.
2. Destaque que los estudiantes se comportaron como matemáticos porque compartieron sus ideas y escucharon respetuosamente a los demás. Trabajaron juntos para desarrollar una variedad de soluciones a la pregunta. a.
3. Haga la siguiente pregunta: a.
3. Discuta las siguientes preguntas: a.
b.
«¿Cómo podrían estos dos hábitos ser útiles para un matemático?». Las respuestas pueden variar. Si sientes curiosidad por algo, querrás saber más sobre ello o intentarás resolverlo. Si empiezas enseguida, podrás hacer más con tu tiempo y no perderlo. «¿Cuáles son los posibles obstáculos que pueden limitar tu curiosidad como matemático? ¿Cómo puedes superarlos?». Las respuestas pueden variar. Cuando no tengo éxito en matemáticas, me resulta difícil sentir curiosidad o terminar el trabajo. Para despertar mi curiosidad, puedo buscar formas de conectar las matemáticas con mi vida. También puedo buscar nuevas estrategias que tengan más sentido.
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Invite a un estudiante a escribir que los matemáticos pueden compartir su pensamiento y sus soluciones con los demás. Invite a otro estudiante a escribir que los matemáticos son respetuosos, escuchan a los demás y trabajan juntos.
«¿Cómo podrían estos dos hábitos ser útiles para un matemático?». Las respuestas pueden variar. Si compartes tus ideas, puedes ayudar a los demás a aprender. Todo el mundo piensa de forma diferente, y escuchar las ideas de los demás puede ayudarte a pensar en algo de una manera nueva. Se nos ocurrieron más ideas cuando trabajamos juntos y compartimos nuestros pensamientos.
EXPLORACIÓN 3: DAR SENTIDO A LAS MATEMÁTICA 1. Después de la exploración, haga estas preguntas: a.
«¿Qué te ayudó a ti y a tu compañero a comenzar esta tarea?». Las respuestas pueden variar. Pensamos en lo que hemos aprendido. Hablamos sobre nuestras ideas y descubrimos lo que tenía más sentido.
b.
Cuando se quedaron atascados, «¿qué estrategias o recursos usaron o consideraron utilizar?». Las respuestas pueden variar. Pensamos en lo que habíamos aprendido. Hablamos de nuestras ideas y descubrimos lo que tenía más sentido. Hablamos con otro grupo sobre sus ideas. Cuando una idea no funcionó, pensamos en ella de manera diferente e intentamos otra cosa.
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INTRODUCCIÓN A ÁLGEBRA 1
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE 2. Destaque que los estudiantes se comportaron como matemáticos porque establecieron conexiones entre las ideas y trabajaron para dar sentido a las matemáticas. Aunque la tarea era difícil, siguieron adelante e intentaron cosas nuevas. a.
Invite a un estudiante a escribir que los matemáticos pueden dar sentido a las matemáticas y ver las conexiones con las matemáticas en el mundo real. Invite a otro estudiante a escribir que los matemáticos perseveran en las tareas difíciles y tienen una mentalidad de crecimiento.
3. Discuta las siguientes preguntas: a.
«¿Por qué es importante la perseverancia para un matemático?». Perseverancia significa que siguen adelante e intentan cosas nuevas aunque la tarea sea difícil.
b.
«¿Qué crees que significa tener una mentalidad de crecimiento?». Significa que sabes que puedes aprender haciendo cosas difíciles.
c.
«¿Cómo podrían ser útiles estos hábitos para un matemático?». Las respuestas pueden variar. A veces no sé cómo empezar un problema o una tarea. Cuando eso ocurre, puedo pensar en lo que ya sé y utilizarlo para encontrar ideas. Si una tarea me supone un reto, sé que significa que tengo algo nuevo que aprender y que puedo convertirme en un mejor matemático si no me rindo.
EXPLORACIÓN 4: BUSCAR PRECISIÓN Y EXACTITUD
Anchor Chart Example
Mathematicians… ● are curious.
I notice… I wonder…
● are organized self-starters who get to work right away.
I need… I could try…
● can share their thinking and solutions with others.
I think… I know… because…
● are respectful, listen to others, and work together.
I heard you say… What if we… What do you think?
● can make sense of math and see connections to math in the real world.
I understand that… This is like…
● persevere with difficult tasks and have a growth mindset. ● strive for accuracy and precision. ● set goals.
I want to get better at… I can improve by…
I can do this. Doing hard things helps me learn.
How can I clearly explain my thinking? How can I check my work?
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
1. Después de la exploración, discuta las siguientes preguntas: a.
«¿Qué estrategias utilizaste para determinar el patrón y escribirlo?». Las respuestas pueden variar. Creamos nuestro propio dibujo y utilizamos fichas de papel para crear el patrón. Escribí un patrón y mi compañero lo comprobó para ver si coincidía con nuestra representación.
b.
«¿Qué ocurría si no éramos exactos o precisos?». Las respuestas pueden variar. Cometimos un error o una suposición incorrecta que nos llevó a una respuesta incorrecta.
2. Haga hincapié en que los estudiantes se comportaron como matemáticos porque escucharon atentamente las instrucciones, las siguieron con exactitud y comunicaron las ideas con precisión. a.
Invite a un estudiante a escribir que los matemáticos se esfuerzan por ser exactos y precisos.
3. Discuta las siguientes preguntas: a.
«¿Qué herramientas o estrategias se le ocurren para asegurarse de que su trabajo es preciso y exacto?». Las respuestas pueden variar: una calculadora, escribir de forma limpia y ordenada en mi papel de borrador, etiquetar mi trabajo, utilizar reglas y comprobar mi trabajo.
b.
«¿Cómo podrían ser útiles estos hábitos para un matemático?». Las respuestas pueden variar. Ser preciso y exacto en la forma de comunicarse ayuda a los demás a entender lo que se quiere decir. Completar su trabajo con precisión puede ayudarles a cometer menos errores.
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INTRODUCCIÓN A ÁLGEBRA 1
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA
DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DE LOS ESTUDIANTES
LIBRETA INTERACTIVA DESCRIPCIÓN Los estudiantes toman notas, crean modelos, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase utilizando la actividad y el cuaderno.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por estudiante) REUTILIZABLE
• 1 barra de pegamento (por estudiante) • 1 par de tijeras (por estudiante) • 1 cuaderno de espiral o de composición (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Imprima el «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Proporcione un cuaderno de espiral o de composición a cada alumno. 2. Los estudiantes pegan la primera página del impreso en el exterior de su cuaderno de espiral o de composición. 3. Ayude a los estudiantes a numerar las páginas de sus cuadernos. Las páginas de referencia de la parte delantera pueden numerarse con números romanos, y las páginas de contenido que siguen pueden numerarse empezando por la uno en el lado derecho del cuaderno.
a. matemáticos podrían intentar resolver un problema?». Los matemáticos pueden crear una imagen o un diagrama, utilizar la estimación, buscar patrones o utilizar una calculadora para intentar resolver un problema. b. «¿Cómo pueden los matemáticos explicar a los demás lo que han aprendido?». Los matemáticos pueden escribir una explicación o hacer un dibujo. c. «¿Qué puede hacer un matemático para resolver un problema si se queda atascado?». Los matemáticos pueden hacer preguntas o crear un plan para resolver un problema. d. «¿De qué otras formas podemos ser buenos matemáticos en clase?». Podemos tomarnos nuestro tiempo y comprobar nuestro trabajo. 6. Pida a los estudiantes que completen el ejercicio para romper el hielo “¡Descúbreme!”. Anímeles a hablar con el mayor número posible de compañeros. Asegúrese de que todos tienen alguien con quien hablar y de que todos tienen voz. Después de la actividad, los estudiantes pegan la página en la página VI de sus cuadernos. 7. Los estudiantes utilizan las pestañas separadoras para cada alcance. Recortan una pestaña y escriben en ella el nombre del alcance o la idea principal. A continuación, pueden pegar la pestaña en la parte superior de la primera página de ese alcance para facilitar su consulta. 8. Estas libretas interactivas se pueden utilizar como referencia durante el trabajo independiente y se pueden enviar a casa al final del año como registro del aprendizaje de los estudiantes.
4. Los estudiantes pegan el índice en la página I (la segunda página de su cuaderno de espiral o de composición). Pueden saltar hasta cuatro páginas para continuar con el índice, según sea necesario. 5. Los estudiantes pegan la página «Matemáticos» en la página VI en el lado derecho de sus cuadernos. Pegan la página «Lo que hace un buen matemático» en la página V (el lado izquierdo de sus cuadernos). Entre todos, generen ideas sobre lo que los buenos matemáticos harían durante la clase. Utilicen las siguientes preguntas como guía:
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INTRODUCCIÓN A ÁLGEBRA 1
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA
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Contents Page Number
My Math Notebook
Title
This notebook belongs to
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Mathematicians… ● are curious.
What Good Mathematicians Do With your class, discuss examples of what good mathematicians do. Create a list from your discussion in the following space.
● are organized self-starters who get to work right away. ● can share their thinking and solutions with others. ● are respectful, listen to others, and work together. ● can make sense of math and see connections to math in the real world.
Create a doodle from the thoughts you listed.
● persevere with difficult tasks and have a growth mindset. ● strive for accuracy and precision. ● set goals.
FOLLETO DEL ALUMNO
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INTRODUCCIÓN A ÁLGEBRA 1
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA
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Figure Me Out
Divider Tabs
Use one operation in each box to create a math problem for your peers to determine the answers. I am ____ years old.
My birthday is on ____/_____/_____.
I’m a mathematician.
My favorite number is…
I have _____ letters in my name.
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FOLLETO DEL ALUMNO
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INTRODUCCIÓN A ÁLGEBRA 1
ELABORAR: APLICA LO QUE SABES APLICACIÓN DE LOS CONOCIMIENTOS
APLICA LO QUE SABES: ESCRIBE ECUACIONES LINEALES DESCRIPCIÓN Los estudiantes trabajan en pequeños grupos para jugar a un juego de construcción de fluidez y aplicar los hábitos de un matemático aprendidos en las actividades de «Explorar» y «Explicar». En esta actividad, los estudiantes jugarán ¡A pescar! para resolver problemas matemáticos.
Go Fish! Instruction Sheet Play this game with a partner. You Will Need 1 Set of Go Fish! Cards (per pair) How to Play 1. Shuffle the Go Fish! Cards. 2.
Pass out five cards to each player.
3.
Place the rest of the deck in a pile on the table.
4.
Players take turns asking each other for either the answer to match one of the problem cards or the problem card to match one of the answer cards. If the opponent has the matching card, the opponent must give it to the player. If the opponent does not have the matching card, the other player must pick a card from the deck.
5.
The winner is the player with the most matches when all of the cards are gone.
MATERIALES IMPRESO
• 1 hoja de instrucciones de ¡A pescar!(por pareja) • 1 juego de cartas ¡A pescar!(por pareja) REUTILIZABLE
• 1 sobre o bolsa (por pareja)
PREPARACIÓN
• Haga copias a doble cara de las tarjetas ¡A pescar! • Lamínelas para que duren más. • Recorte las tarjetas individuales y colóquelas en un sobre o bolsa para facilitar su distribución y limpieza. • Coloque a los estudiantes en parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo barajar las cartas. 2. Muestre con un alumno cómo jugar. a. Reparte cinco cartas a cada jugador. b. Coloca el resto del mazo en un montón sobre la mesa. c. Los jugadores se preguntan por turnos si la respuesta coincide con una de las cartas de problema o si la carta de problema coincide con una de las cartas de respuesta. Si el adversario tiene la carta correspondiente, debe dársela al jugador. Si el oponente no tiene la carta correspondiente, el otro jugador debe coger una carta del mazo. d. El ganador es el jugador con más coincidencias cuando se acaban todas las cartas.
HOJA DE INSTRUCCIONES
4. Después del juego, invite a la clase a compartir sus observaciones y aprendizajes. a. Mirando el «Esquema de anclaje», «¿qué hábito(s) has practicado con este juego?». Las respuestas pueden variar. Practicamos el hábito 1 porque teníamos curiosidad por saber cómo jugar y ganar el juego. Practicamos el hábito 2 porque nos entusiasmó comenzar de inmediato y mantuvimos todas las tarjetas organizadas. Practicamos el hábito 3 porque compartimos nuestras estrategias. Practicamos el hábito 4 porque tuvimos que trabajar juntos para ganar. Hemos practicado el hábito 5 porque este juego nos ayuda a recordar los datos y eso nos servirá algún día en nuestro trabajo. Hemos practicado el hábito 6 porque teníamos que seguir intentándolo aunque al principio no consiguiéramos muchos aciertos. Hemos practicado el hábito 7 porque teníamos que ser precisos para que las tarjetas coincidieran. Practicamos el hábito 8 porque nos fijamos el objetivo de conseguir al menos cuatro coincidencias, y lo conseguimos. b. «Cuando trabajas en grupo, ¿qué hábito es el más importante?». Las respuestas pueden variar. c. «¿Qué hábito te resultó más fácil?». Las respuestas pueden variar. d. «¿Qué hábito te resultó difícil?». Las respuestas pueden variar.
3. Vigile a los estudiantes para asegurarse de que encuentran las coincidencias correctas.
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INTRODUCCIÓN A ÁLGEBRA 1
EVALUAR: ESTABLECER LOS OBJETIVOS Launch into STEMscopes Math
OBJETIVOS
ESTABLECER METAS DEL ESTUDIANTE
Student Goal Setting My Math Goals
I can…
I can…
I can…
DESCRIPCIÓN
• Los estudiantes fijan objetivos basadas en los hábitos de un matemático.
I met my goal. I can…
I met my goal. I can…
I met my goal. I can…
MATERIALES
• 1 documento titulado «Establecer metas del estudiante» (por alumno)
PREPARACIÓN I met my goal. I can…
I met my goal. I can…
I met my goal. I can…
• Imprima una copia del documento titulado «Establecer metas del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN I met my goal.
I met my goal.
I met my goal.
I will reach my goal by ______________________________________________________.
ESTABLECER METAS DEL ESTUDIANTE
1. Proyecte o imprima las afirmaciones “Yo puedo” para el alcance. 2. En las casillas provistas en su documento titulado «Establecer metas del estudiante», los estudiantes escriben las afirmaciones «Yo puedo» que desean establecer como objetivos. Pueden utilizar bocetos para visualizar sus objetivos. 3. Trabaje con los estudiantes para completar la frase de la parte inferior del folleto escribiendo cómo piensan alcanzar sus objetivos. 4. Recuerde a los estudiantes que vuelvan a sus objetivos a lo largo del alcance para controlar su progreso. Los estudiantes marcan cada objetivo a medida que lo logran. 5. Coloque cada objetivo del estudiante en una carpeta para que los estudiantes puedan consultarlo durante todo el año escolar.
ENUNCIADOS «YO PUEDO» PARA LOS HÁBITOS DE UN MATEMÁTICO • Puedo ser curioso.
• Puedo ser organizado con mis materiales de matemática. • Puedo comenzar a trabajar de inmediato. • Puedo compartir mis ideas y soluciones con los demás. • Puedo ser respetuoso, escuchar a los demás y trabajar junto con mi compañero o grupo pequeño. • Puedo encontrarle sentido a las matemáticas y ver las conexiones con el mundo real. • Puedo perseverar en tareas difíciles. • Puedo tener una mentalidad de crecimiento. • Puedo esforzarme por lograr exactitud y precisión en mi trabajo. • Puedo fijarme objetivos. ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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INTRODUCCIÓN A ÁLGEBRA 1
INTERVENIR: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Launch into STEMscopes Math
Troubleshooting Prompts
RESOLVER
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DESCRIPCIÓN Los estudiantes razonan con sus grupos sobre formas de resolver problemas relacionados con los hábitos de un matemático.
What would you do if someone in your group was distracted or off task? What if your group member’s strategy is faster and they solve the problem before you? What if someone in your group gives up too easily and won’t try another solution? What if someone in your group won’t give you a turn? What if you do not agree with someone in your group? What if your group is stuck and not sure what to do next?
MATERIALES IMPRESOS
• 1 juego de preguntas para la resolución de problemas (por clase) REUTILIZABLES
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase, opcional) • 1 juego de rotuladores (por grupo) CONSUMIBLES
• 6 hojas grandes de papel milimetrado (por clase)
PREPARACIÓN
• Planifique que los estudiantes trabajen en grupos de cuatro o cinco. • Planifique la proyección de las preguntas para la resolución de problemas.
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Question 1
What would you do if someone in your group was distracted or off task?
• Prepare seis hojas grandes de papel milimetrado. Escriba una pregunta de resolución de problemas en la parte superior de cada hoja. Si lo desea, imprima y pegue con cinta adhesiva cada pregunta en el papel milimetrado. • Dé un juego de rotuladores a cada grupo.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Explique a los estudiantes que la clase estudiará algunos problemas que pueden surgir mientras trabajamos juntos en matemáticas y desarrollamos nuestros hábitos de matemáticos. 2. Divida a los estudiantes en grupos de cuatro o cinco. Dé cada hoja de papel milimetrado a un grupo. 3. Conceda a los estudiantes un minuto mientras examinan la pregunta de la hoja de papel milimetrado de su grupo. 4. Los estudiantes discuten la pregunta en el papel milimetrado de su grupo y anotan cómo responderían. Deben estar preparados para compartir sus ideas con la clase.
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Question 2
What if your group member’s strategy is faster and they solve the problem before you? INDICACIONES PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
5. Haga que cada grupo participe en un recorrido por la galería para discutir las respuestas de los otros grupos y responder a cada cartel con sus pensamientos.
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INTRODUCCIÓN A ÁLGEBRA 1
INTERVENIR: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Launch into STEMscopes Math
Question 3
Launch into STEMscopes Math
Question 4
What if someone in your group gives up too easily and won’t try another solution?
What if someone in your group won’t give you a turn?
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Question 5
Launch into STEMscopes Math
Question 6
What if you do not agree with someone in your group?
What if your group is stuck and not sure what to do next?
INDICACIONES PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
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INTRODUCCIÓN A ÁLGEBRA 1
INTERVENIR: REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES Launch into Algebra I
CORREGIR Y VOLVER A ENSEÑAR
REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES: DATOS DE DOS VARIABLES DESCRIPCIÓN Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para la intervención.
Checkup 1.
For the scatterplot on the right, what is the relationship between variables x and y? The pattern is a downward-sloped line, which is a negative correlation. As x increases, y decreases.
2.
Identify any outliers on this scatterplot. One data point at (15, 10) is much smaller in value than the other data points and is separated from the diagonal cluster.
3.
Interpret the bivariate data below. Describe any trends. There is no pattern in this bivariate data because all of the dots are widely scattered. There is no correlation between the two variables.
MATERIALES IMPRESOS
4.
• 1 repaso (por alumno) • 1 control (por alumno) • 1 lista de control del maestro (por maestro)
PREPARACIÓN
5.
• Imprima un «Repaso» y un «Control» para cada alumno.
Create a scatterplot for the data in the table for a tadpole’s age in weeks and its tail length in millimeters (mm). Age (weeks)
0
1
2
3
4
Tail Length (mm)
70
55
40
25
10
Draw a best line of fit, and write an equation for this relationship. y = −15x + 70 y-intercept = 70 Change in y = 55 – 70 = −15 = −15 Change in x 1–0 1
1
• También puede hacer grupos de tres o cuatro para que los estudiantes realicen el repaso juntos. • Si lo desea, imprima un ejemplo de esquema de anclaje de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que utilicen sus libretas interactivas como recurso. • También puede imprimir cualquiera de los materiales de ayuda complementarios para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
Launch into Algebra I
6.
Describe the correlation between the x and y variables on this scatterplot.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE AYUDA 1. Entregue un «Repaso» a cada estudiante. 2. Los estudiantes completan el «Repaso» como actividad de intervención o de forma independiente. a. También puede dividir a los estudiantes en pequeños grupos de tres o cuatro para trabajar las destrezas de repaso. Utilícelo como ayuda para reforzar la enseñanza.
The best line of fit shows an upward slope, so this is a positive correlation. As x increases, y increases. 7.
8.
3. Entregue un «Control» a cada alumno. 4. Cada estudiante completa el «Control» de forma independiente. 5. Analice los resultados del «Control»utilizando la «Lista de control del maestro» para identificar qué estudiantes necesitan un repaso adicional y quienes han dominado los conceptos.
What is the slope of the best line of fit? Change in y = 500 – 400 = 100 = 100 Change in x 5–4 1 What does that slope tell you about the relationship between x and y if x represented the number of months and y represented the amount of money in savings? Savings increased at a rate of $100 per month.
9.
What does the y-intercept tell you about the relationship between months and the amount of money saved? The y-intercept is $100, which means the savings account started with $100 already in the account.
10.
Write an equation for the best line of fit for the scatterplot in question 6. y = 100x + 100 2
REPASO CLAVE DE RESPUESTAS
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INTRODUCCIÓN A ÁLGEBRA 1
INTERVENIR: REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES Launch into Algebra I
CORREGIR Y VOLVER A ENSEÑAR
Checkup 1.
What kind of number has repeating digits when expanded in decimal form? A rational number
2.
Use long division to find the value of 33 to six decimal places. Next, find how many unique repeating digits the decimal has, and list the digits. There are 2 unique repeating digits, 0 and 9.
3.
Perform decimal expansion on the value 0.9 to six decimal places. 0.900000
REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES: NÚMEROS IRRACIONALES
3
DESCRIPCIÓN Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para la intervención.
If the decimal value has repeating digits, write it as a reduced fraction. 9 10
4.
For each of the following values, state whether the value is rational or irrational and why. a. 69 b. 1 c. 0.123 d. 111
1
The values 69, 111, and 0.123 are rational because each value can be written as a fraction, and each value has repeating digits in decimal form. The value is irrational because it cannot be written as a fraction, and it does not have repeating digits in decimal form. 5.
Use a calculator to find , and round the answer to the nearest tenth. 2.2 State the two whole numbers that this value lies between on a number line. 2 and 3
6.
Given that lie? 3 and 4
7.
Given where each number lies on the number line, how does ? is less than .
lies between
and
IMPRESOS
• 1 repaso (por alumno) • 1 control (por alumno)
, between which whole numbers must
• 1 lista de control del maestro (por maestro) compare with
PREPARACIÓN 1
Launch into Algebra I
8.
Use a calculator to calculate 8 19.6
, and round the answer to the nearest tenth.
Given that 8 8 lie?
lies between 8
and 8
• Si lo desea, imprima un ejemplo de esquema de anclaje de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que utilicen sus libretas interactivas como recurso.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE AYUDA
Given where each number lies on the number line, how does 8 8 ? 8
• También puede hacer grupos de tres o cuatro para que los estudiantes realicen el repaso juntos.
, between which whole numbers must
8 and 16 10.
• Imprima un «Repaso» y un «Control» para cada alumno.
• También puede imprimir cualquiera de los materiales de ayuda complementarios para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
Next, state the two whole numbers the new value lies between on a number line. 19 and 20 9.
MATERIALES
is greater than 8
1. Entregue un «Repaso» a cada estudiante.
compare with
2. Los estudiantes completan el «Repaso» como actividad de intervención o de forma independiente.
.
a. También puede dividir a los estudiantes en pequeños grupos de tres o cuatro para trabajar las destrezas de repaso. Utilícelo como ayuda para reforzar la enseñanza. 3. Entregue un «Control» a cada alumno. 4. Cada estudiante completa el «Control» de forma independiente.
2
5. Analice los resultados del «Control»utilizando la «Lista de control del maestro» para identificar qué estudiantes necesitan un repaso adicional y quienes han dominado los conceptos.
REPASO CLAVE DE RESPUESTAS
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INTRODUCCIÓN A ÁLGEBRA 1
INTERVENIR: REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES CORREGIR Y VOLVER A ENSEÑAR
REPASO Y PRÁCTICA: TEOREMA DE PITÁGORAS DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE AYUDA
Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para la intervención.
1. Entregue un «Repaso» a cada estudiante. 2. Los estudiantes completan el «Repaso» como actividad de intervención o de forma independiente.
MATERIALES
a. También puede dividir a los estudiantes en pequeños grupos de tres o cuatro para trabajar las destrezas de repaso. Utilícelo como ayuda para reforzar la enseñanza.
IMPRESOS
• 1 repaso (por alumno) • 1 control (por alumno)
3. Entregue un «Control» a cada alumno.
• 1 lista de control del maestro (por maestro)
4. Cada estudiante completa el «Control» de forma independiente.
PREPARACIÓN
• Imprima un «Repaso» y un «Control» para cada alumno. • También puede hacer grupos de tres o cuatro para que los estudiantes realicen el repaso juntos. • Si lo desea, imprima un ejemplo de esquema de anclaje de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que utilicen sus libretas interactivas como recurso.
5. Analice los resultados del «Control»utilizando la «Lista de control del maestro» para identificar qué estudiantes necesitan un repaso adicional y quienes han dominado los conceptos.
• También puede imprimir cualquiera de los materiales de ayuda complementarios para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
Launch into Algebra I
Launch into Algebra I
6.
Checkup
a2 + b2
c2
Does a2 + b2 = c2?
Use the Pythagorean theorem to determine the shortest distance between the two points on the coordinate grid. Round to the nearest tenth.
a2 + b2 = c2 102 + x2 = (12.5)2 100 + x2 = 156.25 x2 = 156.25 – 100 = 56.25 x = 7.5 cm
Use the Pythagorean theorem to determine whether the side lengths form a right triangle.
Side Lengths
Determine the length of the unknown measurement.
Launch into Algebra I
9.
8 Horizontal distance = _______ units 11 Vertical distance = ________units a2 + b2 = c2
Is it a right triangle?
8 2 + ____ 112 = ____ c2 ____ 1.
8, 14, 17
64 + 196
289
No
No
2.
20, 99, 101
400 + 9,801
10,201
Yes
Yes
7.
c2 64 121 _______ + _______ = _______ c2 185 ________ = ________
a 2 + b2 = c2 302 + 222 = c2 900 + 484 = c2 1,384 = c2 37.2 mm = c
Each set of numbers in questions 3 and 4 represents the side lengths of a triangle. Circle the set of numbers that forms a right triangle. Show your work. 3.
A square pyramid is shown. If its height is 30 mm, what is its slant height to the nearest tenth?
13.6 c = __________ 13.6 units Distance between point A and point B: _____________
48, 55, 72 a2 + b2 = 482 + 552 = 2,304 + 3,025 = 5,329 c2 = 722 = 5,184 ≠ 5,329
10. 9 Horizontal distance = _______ units 8.
4.
2
2
2
2
15, 36, 39 a + b = 15 + 36 = 225 + 1,296 = 1,521 c2 = 392 = 1,521
The rectangular prism has a height of 18 cm. The base of the prism has a diagonal length of 11 cm. How long is the diagonal that stretches from the upper-left corner to the lower-right corner of the prism? Round to the nearest tenth. 2
5.
2
5 Vertical distance = ________units a2 + b2 = c2
2
a +b =c 182 + 112 = c2 324 + 121 = c2 445 = c2 21.1 cm = c
What is the shortest distance between Jamal’s house and the arcade? a 2 + b2 = c2 (0.8)(0.8) + (1.5)(1.5)= c2 0.64 + 2.25 = c2 2.89 = c2 1.7 miles = c
5 2 = ____ c2 ____ + ____ 92
81 + _______ c2 25 _______ = _______ 106 c2 ________ = ________ c = __________ 10.3 10.3 units Distance between point A and point B: _____________
1
2
3
REPASO CLAVE DE RESPUESTAS
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INTRODUCCIÓN A ÁLGEBRA 1
INTERVENIR: REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES Launch into Algebra I
CORREGIR Y VOLVER A ENSEÑAR
Checkup
REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES: TASA DE VARIACIÓN
Find the rate of change (m) and the initial value (b), where y = mx + b. Explain.
+4 +4
Slope = 20 or 5 4 y-intercept = 20
Weeks of Exercise
Pounds Lost
0
10
4
12
8
14
12
16
+2
DESCRIPCIÓN
+2
Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para la intervención.
Slope = 2 or 1 4 2 y-intercept = 10
1.
Rate of change: $5 per lawn
3.
2.
Initial value: $20
4.
1
MATERIALES
Rate of change: 2 of a pound lost per week Initial value: 10 pounds
IMPRESOS
− 1 ( 0, −3) + 2 (−1, −1) (−2, 1) −1 (−3, 3) + 2
y = −4x Slope = −4 y-intercept = 0
• 1 repaso (por alumno) • 1 control (por alumno) • 1 lista de control del maestro (por maestro)
Slope = −2 1 y-intercept = −3
5.
Rate of change: −4y for each x
7.
Rate of change: −2y for each x
6.
Initial value: 0
8.
Initial value: −3
PREPARACIÓN 1
• Imprima un «Repaso» y un «Control» para cada alumno. • También puede hacer grupos de tres o cuatro para que los estudiantes realicen el repaso juntos.
Launch into Algebra I
A day care charges a $25 membership fee to join plus $45 every month. Initial value
9.
Rate of change: $45 per month
10.
Initial value: $25
• Si lo desea, imprima un ejemplo de esquema de anclaje de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que utilicen sus libretas interactivas como recurso. • También puede imprimir cualquiera de los materiales de ayuda complementarios para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
Rate of change
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE AYUDA 1. Entregue un «Repaso» a cada estudiante. 2. Los estudiantes completan el «Repaso» como actividad de intervención o de forma independiente. a. También puede dividir a los estudiantes en pequeños grupos de tres o cuatro para trabajar las destrezas de repaso. Utilícelo como ayuda para reforzar la enseñanza. 3. Entregue un «Control» a cada alumno. 4. Cada estudiante completa el «Control» de forma independiente. 2
REPASO CLAVE DE RESPUESTAS
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5. Analice los resultados del «Control»utilizando la «Lista de control del maestro» para identificar qué estudiantes necesitan un repaso adicional y quienes han dominado los conceptos.
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INTRODUCCIÓN A ÁLGEBRA 1
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Launch into Algebra I
OPCIONES PARA SEGUIR APRENDIENDO
TABLERO DE OPCIONES
Launch into Algebra I Choose one or more extension activities from the table below.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes explorarán las conexiones con el mundo real y las aplicaciones del contenido matemático a través de interacciones con actividades atractivas.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 tablero de opciones con autoevaluación (por estudiante) • 1 juego de apuntes de actividades (por estudiante) REUTILIZABLE
• Tecnología (si corresponde)
Curiosity Connection
History of Mathematics
There is a famous number pattern that appears in multiple fields of mathematics. Research the many mathematicians who have used this pattern.
Real-World Connection
Tuva
How can you use technology to represent large data sets? What conclusions about the world can you draw from the data and its representation?
Perseverance and Mindset Connection
Communication Connection
Handshakes
Pattern Recognition
You will engage in an activity and develop multiple strategies and approaches to find a solution.
Understand how different people see and communicate pattern growth.
Accuracy and Precision Connection
Goal Setting
Binary Numbers
The numbers we are used to using are in what is called a base-ten system. Computers use a base two called binary that you will explore in this activity.
Algebra I Goals
Outline your goals this year and the ways in which you will share your brilliance and find success.
PREPARACIÓN
• Imprima un «Tablero de opciones» y un juego de «Apuntes de actividades» para cada estudiante.
TABLERO DE OPCIONES
• Imprima una «Autoevaluación del tablero de opciones» para cada estudiante. • Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» por estudiante. 2. Dé tiempo para que examinen el «Tablero de opciones» y seleccionen las actividades que les gustaría explorar. 3. Anime a los estudiantes a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya los «Apuntes de actividades» correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del «Tablero de opciones», haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su pensamiento matemático y su esfuerzo en el proyecto que eligieron.
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INTRODUCCIÓN A ÁLGEBRA 1
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ÁLGEBRA 1 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
ÁLGEBRA 1
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES ACTIVIDADES DE EXPLORAR EXPLORACIÓN 1: RELACIONES Y FUNCIONES
ESTÁNDARES CLAVE Comprender el concepto de función y utilizar la notación de función. • Comprender que una función de un conjunto (llamado dominio) a otro conjunto (llamado rango) asigna a cada elemento del dominio exactamente un elemento del rango. Si f es una función y x es un elemento de su dominio, entonces f(x) denota la salida de f correspondiente a la entrada x. La gráfica de f es la gráfica de la ecuación y = f(x). • Usar notación de funciones, evaluar funciones para entradas en sus dominios e interpretar enunciados que usan notación de funciones en términos de un contexto. Interpretar funciones que surgen en aplicaciones en términos del contexto. • Relacionar el dominio de una función con su gráfica y, cuando sea aplicable, con la relación cuantitativa que describe. Por ejemplo, si la función h da el número de horas-persona que se necesitan para montar n motores en una fábrica, entonces los números enteros positivos serían un dominio apropiado para la función. • Calcular e interpretar la tasa de variación media de una función (presentada simbólicamente o en forma de tabla) en un intervalo especificado. Estimar la tasa de cambio a partir de una gráfica. *Este alcance se centra en la linealidad.
ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: ENCUENTRA LAS PAREJAS EN EL SALÓN Los estudiantes participarán en una actividad de emparejamiento de tarjetas para evaluar su comprensión de un estándar matemático previo e identificar cualquier concepto erróneo. • Los estudiantes escribirán números en un papel y los utilizarán para emparejar tarjetas numeradas con tarjetas con letras alrededor de la habitación. • Caminarán por el aula para encontrar y emparejar las tarjetas correspondientes. • Los estudiantes discutirán su razonamiento y emparejamientos con un compañero. CAPTAR INTERÉS Los estudiantes explorarán la notación de funciones relacionándola con un escenario real que implique la carga de un teléfono. • Presenta el escenario con un vídeo y guía a los estudiantes para que observen y cuestionen los aspectos matemáticos de la carga de un teléfono. • Facilita un debate sobre la notación de funciones y su aplicación al escenario, animando a los estudiantes a interpretar enunciados matemáticos. • Guía a los estudiantes a través de las actividades de Exploración para profundizar en su comprensión de la notación de funciones.
Los estudiantes explorarán las propiedades de las funciones y no funciones a través de representaciones algebraicas para desarrollar una definición de función y distinguir entre funciones continuas y discretas. • Los estudiantes analizarán las entradas y salidas de máquinas widget para identificar las que funcionan mal. • Colaborarán en grupos para justificar su razonamiento para determinar las máquinas que funcionan y las que no. • Los estudiantes participarán en charlas matemáticas para discutir las observaciones y refinar su comprensión de las funciones. • Completarán un «Boleto de salida» para evaluar su comprensión del concepto de funciones. EXPLORACIÓN 2: EVALUAR FUNCIONES Los estudiantes evaluarán e interpretarán funciones lineales y cuadráticas usando la notación de funciones en varios contextos. • Los estudiantes analizarán gráficas y datos para completar reportes sobre la migración de las tortugas, usando la notación de funciones para completar la información faltante. • Los estudiantes colaborarán en grupos para evaluar funciones para valores dados y determinar entradas para salidas específicas. • Los estudiantes participarán en Charlas de Matemáticas para discutir observaciones y profundizar su comprensión de la notación de funciones y sus aplicaciones. • Los estudiantes completarán un «Boleto de salida» para demostrar su comprensión de la evaluación de funciones y la interpretación de la notación de funciones. EXPLORACIÓN 3: TASA DE CAMBIO PROMEDIO Los estudiantes calcularán e interpretarán las tasas promedio de cambio en intervalos específicos, conectarán estas tasas a través de diferentes representaciones y harán generalizaciones sobre los comportamientos de las funciones en el tiempo. • Los estudiantes analizarán datos de ventas para calcular los cambios en el tiempo y registrarán sus hallazgos en sus diarios. • Los estudiantes colaborarán en grupos para comparar datos y hacer recomendaciones basadas en las tasas de cambio promedio calculadas. • Los estudiantes participarán en charlas de matemáticas para discutir observaciones y compartir ideas sobre las tasas de cambio promedio. • Los estudiantes completarán un «Boleto de salida» para demostrar su comprensión del concepto de tasas de cambio promedio. EXPLORACIÓN 4: DOMINIO Y RANGO Los estudiantes explorarán y determinarán los dominios y rangos de funciones, diferenciarán entre datos discretos y continuos, y aplicarán estos conceptos a escenarios del mundo real. • Analizarán tablas y gráficas para identificar entradas y salidas, usando este análisis para hacer recomendaciones para la planeación de eventos. • Colaborar en grupos para clasificar y emparejar gráficos con los dominios y rangos correspondientes, utilizando tijeras y pegamento para organizar la información. • Participar en charlas de matemáticas para discutir las observaciones y profundizar la comprensión de los conceptos de dominio y rango. • Completar un «Boleto de salida» para demostrar la comprensión y aplicar las habilidades recién adquiridas para resolver problemas.
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES ALGEBRA 1
ALCANCE GRANDES IDEAS
CONCEPTOS CLAVE • Puedo determinar si una relación es una función. • Puedo identificar y explicar que cada función tiene un dominio y un rango correspondiente. • Puedo utilizar la notación de funciones. • Puedo determinar un dominio y un rango razonables para situaciones del mundo real. • Puedo evaluar funciones cuando la entrada se da como un valor numérico, una expresión algebraica o un gráfico.
PREGUNTAS FUNDAMENTALES • «¿Qué información se necesita para determinar si una relación es una función?». • «¿Cómo se determina si cada elemento del dominio corresponde exactamente a un elemento del rango?». • «¿Cómo puede utilizarse la notación de función para identificar los elementos del dominio y/o del rango?». • «¿Sobre qué valores de entrada es la función creciente, decreciente o constante?».
• Puedo interpretar funciones y relacionarlas con contextos del mundo real. • Puedo calcular la tasa de variación media de una función (presentada simbólicamente o en forma de tabla) a lo largo de un intervalo especificado. • Puedo utilizar la tasa de variación media y relacionarla con la determinación de la pendiente. • Puedo interpretar la tasa de variación media de una función (presentada simbólicamente o en forma de tabla) a lo largo de un intervalo especificado basándome en el contexto.
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
INICIO: CONTENIDO DE APOYO ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
CONTENIDO DE APOYO Comprender el concepto de función y utilizar la notación de función. • Comprender que una función de un conjunto (llamado dominio) a otro conjunto (llamado rango) asigna a cada elemento del dominio exactamente un elemento del rango. Si f es una función y x es un elemento de su dominio, entonces f(x) denota la salida de f correspondiente a la entrada x. La gráfica de f es la gráfica de la ecuación y = f(x). • Utilizar notación de funciones, evaluar funciones para entradas en sus dominios e interpretar enunciados que utilizan notación de funciones en términos de un contexto. Interpretar funciones que surgen en aplicaciones en términos del contexto. • Relacionar el dominio de una función con su gráfica y, en su caso, con la relación cuantitativa que describe. Por ejemplo, si la función h da el número de horas-persona que se necesitan para montar n motores en una fábrica, entonces los números enteros positivos serían un dominio apropiado para la función. • Calcular e interpretar la tasa de variación media de una función (presentada simbólicamente o en forma de tabla) en un intervalo especificado. Estimar la tasa de cambio a partir de una gráfica. Este alcance se enfoca en lo lineal.
CONOCIMIENTOS PREVIOS En grados anteriores, los estudiantes utilizaron relaciones funcionales para crear modelos lineales y determinar la tasa de cambio. Los estudiantes han reconocido y explicado una función como cada valor de entrada devuelve exactamente un valor de salida, y el par ordenado representa la entrada y la salida.
CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
• Los estudiantes a los que se les enseña la notación de funciones en forma aislada no siempre entienden que esta notación representa un par ordenado y tiene significado en términos del contexto. Del mismo modo, los estudiantes a los que se les enseñan funciones continuas y discretas en contexto desarrollan una mejor comprensión de cuándo y por qué se utilizan los tipos. • Los estudiantes confunden con frecuencia «cada valor de entrada devuelve exactamente un valor de salida» con el significado de «cada valor de salida devuelve exactamente un valor de entrada».
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• Con frecuencia, los estudiantes confunden f(x) con «f veces x» . Esta interpretación incorrecta puede llevar a conclusiones falsas utilizando la propiedad distributiva. Por ejemplo, un estudiante puede llegar a la falsa conclusión de que f(x - 2) es lo mismo que f(x) - f(2). • Los estudiantes suelen pensar que todas las funciones utilizan f, x, y y. Cuando se encuentran por primera vez con una representación como d(t) = 3t, no les resulta familiar.
EN ESTE ALCANCE En este nivel de grado, los estudiantes ampliarán su comprensión de las funciones como entrada y salida a conjuntos que representan el dominio y el rango. Los estudiantes serán capaces de crear ejemplos de lo que es y lo que no es una función usando una variedad de representaciones, como una tabla, una gráfica, símbolos o una descripción verbal. Los estudiantes serán capaces de determinar la tasa media de cambio a partir de un gráfico, una tabla o una representación algebraica. Dado el contexto, los estudiantes interpretarán el significado de los enunciados en notación de función. Términos clave • función: una relación especial entre valores; cada valor de entrada devuelve exactamente un valor de salida. • conjunto: una colección de hechos organizados, normalmente en forma numérica, pero también puede darse en palabras, medidas o descripciones. • dominio: el conjunto de todas las posibles entradas (x valores) de una función. • rango: el conjunto de todas las posibles salidas, o y valores, de una relación o función. • elemento: cualquier número o valor distinto que forme parte de un conjunto. • salida: el resultado de la entrada colocada en la función. • entrada: conjunto de valores suministrados a una función. • ecuación: enunciado matemático que muestra que dos expresiones son iguales entre sí. • notación de función: forma de representar y, el valor dependiente en una relación, como f(x), léase "f de x" donde f nombra la función. • tasa media de cambio: cambio total de los valores de la función (valores de salida) dividido por el cambio en los valores de entrada. • simbólicamente: compuesto de símbolos numéricos y algebraicos para formar una ecuación • intervalo: cantidad de tiempo que pasa de un período de tiempo al siguiente; distancia entre dos puntos.
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
APLICAR LAS PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes dan sentido a descripciones verbales de funciones e identifican sus gráficas representativas, dominios y rangos con base en la información dada. • MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes utilizan datos del mundo real de tablas y gráficos para encontrar tasas promedio de cambio y luego utilizan esta información para hacer recomendaciones y predicciones sobre la situación. • MP.3 Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de los demás: Los estudiantes critican la afirmación de otro estudiante usando su comprensión de encontrar la tasa promedio de cambio para justificar y apoyar su argumento. • MP.4 Modelar con matemáticas: Los estudiantes utilizan ecuaciones y gráficas para modelar descripciones verbales de funciones y evalúan las funciones para representar los datos y hacer predicciones sobre valores futuros. • MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas: Los estudiantes usan gráficas, tablas y descripciones escritas para escribir y analizar funciones. También tienen en cuenta todos los datos proporcionados para escribir funciones que representen los datos con precisión. • MP.6 Prestar atención a la precisión: Los estudiantes atienden a la precisión cuando encuentran el dominio y el rango de una función dada. Analizan descripciones escritas, tablas y gráficas para encontrar el dominio y el rango más precisos. • MP.7 Buscar y utilizar la estructura: Los estudiantes aplican sus conocimientos sobre la evaluación de una expresión para evaluar una función, reconociendo que el proceso es el mismo y que la notación f(x) es el nombre de la función y no una operación. • MP.8 Buscar y expresar regularidades en razonamientos repetidos: Los estudiantes generalizan sobre qué tipos de funciones son discretas y continuas y reconocen el tipo de función a partir de la información dada. Por ej., al ver los valores de dominio y rango listados, concluyen que una función es discreta.
RELACIONES Y FUNCIONES Los estudiantes aprenderán que una función es una relación especial entre valores en la que cada elemento del dominio corresponde exactamente a un elemento del rango. Serán capaces de determinar si una relación es una función a través de múltiples representaciones, incluyendo verbalmente, por tabla, por gráfica o simbólicamente. Los estudiantes deben centrarse en que cada entrada produzca exactamente una salida, independientemente de la representación de la función. Los estudiantes explorarán las representaciones y crearán reglas para definir una función. Evite la enseñanza directa de atajos como la prueba de la línea vertical. En su lugar, permita que los estudiantes desarrollen primero esa teoría para promover una comprensión más profunda.
Gráfico
Tabla
Diagrama de Mapeo
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INICIO: CONTENIDO DE APOYO
DESCRIPCIÓN VERBAL a. Función: Dominic registra la cantidad de nieve caída, en centímetros, durante un periodo de cuatro horas.
C.
b. No es una función: Pinton Middle School registra la cantidad de tiempo que tardan 40 estudiantes en llegar a la escuela y la distancia a la que viven de la escuela. Los estudiantes también determinarán si las funciones son continuas o discretas. Las variables continuas pueden tomar cualquier valor en cualquier punto del intervalo. Las variables discretas sólo pueden tomar ciertos valores a lo largo del intervalo.
Discreta
Continua
Número de niños en una clase
Cantidad de lluvia
Número de votos en unas elecciones
Velocidad del viento
Número de coches en el aparcamiento
Peso de tu perro
Ejemplo: «¿Cuál de las siguientes relaciones representa una función?». A.
D. Todas las relaciones anteriores son funciones. La respuesta correcta es A. Cada valor de x sólo tiene un valor de y. La opción de respuesta B no es una función porque el valor x de 5 se repite. La opción de respuesta C no es una función porque es una línea vertical con valores x que se repiten. Ejemplo: La función h = 4,000 - 600m da la altura, h, de una paracaidista en pies después de haber estado cayendo durante m minutos. «¿Es este un ejemplo de discreto o continuo?». Esto es continuo. La entrada debe utilizarse para determinar si una situación puede representarse mediante una función discreta o continua. La entrada m representa minutos. El tiempo es continuo y será ininterrumpido mientras dure la caída del paracaidista.
B.
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x
y
3
6
4
6
5
7
5
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
EVALUACIÓN DE FUNCIONES
TASA DE CAMBIO PROMEDIO
Una ventaja fundamental de la notación de funciones es que la conexión entre el dominio y el rango está incorporada en la notación. Por ejemplo, la notación g(3) significa «el valor de salida de g cuando el valor de entrada es 3». Los estudiantes evaluarán funciones lineales y cuadráticas, en notación de funciones, dados uno o más elementos en el dominio. Los estudiantes sustituirán un valor dado por la variable en una función y simplificarán utilizando el orden de las operaciones. Es posible que los estudiantes no estén familiarizados con el formato de estos problemas. Los estudiantes están acostumbrados a sustituir con la variable igual a un número, como x = 5. Se entiende la intención cuando alguien dice «la función f(x)». Sin embargo, para discutir o llamar a la función por su nombre, deberíamos decir «la función f, donde f(x) = 2x - 5» o simplemente «la función f». Los estudiantes también interpretarán la notación de función en contextos.
La pendiente es una característica física de un gráfico. La tasa de cambio describe cómo cambia la función y no está conectada a ninguna representación específica. Los estudiantes calcularán e interpretarán la tasa de cambio promedio en intervalos específicos. El objetivo es relacionar la tasa de cambio con las distintas representaciones y con el contexto. En el caso de las funciones no lineales, las tasas de cambio no son constantes, por lo que podemos usar las tasas de cambio promedio a lo largo de un intervalo para discutir cómo cambian las funciones no lineales a lo largo de un intervalo específico o para hacer una generalización acerca del comportamiento a lo largo del tiempo.
Ejemplo: La función w relaciona la altura en centímetros de Guillermo con su edad en meses. «¿Qué significa w(18) = 80? ¿Qué significa w(12)? ¿Qué significa w(x) = 66?». w(18) = 80 significa que William medía 80 cm cuando tenía 18 meses. w(12) significa la altura que tenía William cuando tenía 12 meses. w(x) = 66 significa la edad que tenía William cuando medía 66 cm. Ejemplo: Dado que f(x) = 3x + 4 y g(x) = x2-7x + 2, halla f(1) + g(1). La respuesta correcta es 3. Para f(1), los estudiantes sustituirían 1 en la ecuación f(x) = 3x + 4. Así, 3(1) + 4 significa la edad de William cuando tenía 66 cm de altura. Por tanto, 3(1) + 4 = 7. Para g(1), los estudiantes sustituirían 1 en la ecuación g(x) = x2 - 7x + 2. Entonces, (1)2 - 7(1) + 2 = -4. A continuación, los estudiantes sumarán 7 + -4 para obtener la respuesta final de 3.
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f(b)-f(a)
Tasa de cambio promedio = ________ b-a Ejemplo: El Servicio Meteorológico Nacional registró la temperatura en Albuquerque, Nuevo México, durante varias horas y mostró lo que encontró en la siguiente tabla. Horas después de la medianoche
Temperatura en ℉
0
84
3
78
4
75
6
73
«¿En qué intervalo de tiempo disminuye la temperatura más rápidamente?». a. Entre la medianoche y las 3:00 a. m. b. Entre las 3:00 a. m. y las 4:00 a. m. c. Entre las 4:00 a. m. y las 6:00 a. m. La respuesta correcta es B. Entre las 3:00 a. m. y las 4:00 a. m. , la tasa media de cambio es -3, lo que significa que la temperatura bajó tres grados por hora. De medianoche a las 3:00 a. m. , la temperatura descendió dos grados por hora, y de las 4:00 a. m. a las 6:00 a. m., la temperatura descendió un grado por hora.
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
INICIO: CONTENIDO DE APOYO Ejemplo: «¿En qué intervalo tiene la función h(x) una tasa de variación media negativa?».
Ejemplo: Paolo cobra $25 la hora por dar clases particulares de matemáticas. «¿Cuál es el dominio de cuánto dinero puede ganar Paolo dando clases particulares de matemáticas?». a. El conjunto de todos los números reales b. El conjunto de todos los números enteros positivos c. El conjunto de todos los números reales mayores o iguales que 0 d. El conjunto de todos los números enteros mayores o iguales que 0
a. De -9 a -6 b. De -6 a -4 c. De -2 a 4 d. De 3 a 6 La respuesta correcta es B. La tasa de variación media se calcula utilizando dos puntos: (-6, 9) y (-4, 4). cambio en y ________ ___________ = 4 - 9 = ___ -5 = -2.5 cambio en x
-4 - (-6)
2
DOMINIO Y RANGO Los estudiantes determinarán el dominio y rango de funciones lineales y escribirán esos valores usando desigualdades. Los estudiantes también determinarán el dominio y el rango en relación con el contexto de un problema. El dominio es el conjunto de todos los valores de entrada y el rango es el conjunto de todos los valores de salida. Utilizar un contexto simple para discutir la noción de dominio de una función permite a los estudiantes reconocer que las limitaciones en el conjunto de números que representan el dominio son relativas al contexto, no a la función. Por ej., si la función g(x) = 11x representa el coste de las entradas de un cine local, el dominio se limita a números enteros. La limitación del dominio se debe a la situación, no a la función.
La respuesta correcta es C. La variable independiente, o input, es el tiempo dando clases particulares. El tiempo es continuo y no negativo. Paolo puede ganar $0 si trabaja 0 horas. Las opciones A y B no se ajustan al contexto porque incluyen números negativos, y Paolo no puede trabajar horas negativas. La opción D no funciona porque Paolo podría trabajar fracciones de hora y ganar valores que no son enteros.
AVANCES Los estudiantes continuarán explorando el dominio y el rango con funciones cuadráticas y exponenciales más adelante en Álgebra 1. En Álgebra 2, los estudiantes continuarán desarrollando estas habilidades escribiendo el dominio y el rango de una función en notación de intervalo, desigualdades y notación de conjunto. También describirán y analizarán la relación entre una función y su inversa (cuadrática y raíz cuadrada, logarítmica y exponencial), incluyendo la(s) restricción(es) sobre el dominio, que restringirá(n) su rango. En grados posteriores, los estudiantes estudiarán la tasa instantánea de cambio.
Ejemplo: «¿Cuál es el rango de la gráfica de abajo?».
a. -6 < y ≤ 3 b. -6 ≤ y < 3 c. -2 < y ≤ 6 d. -2 ≤ y < 6 La respuesta correcta es C. Los valores de las opciones de respuesta A y B representan los valores usados para describir el dominio de la gráfica, así que podemos eliminar esas opciones. La opción de respuesta D tiene las desigualdades cambiadas. -2 es un círculo abierto, por lo que es menor que y. 6 es un círculo cerrado, por lo que es mayor o igual que y. 60
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO ANÁLISIS PROFUNDO DE LOS ESTÁNDARES
CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES Comprender el concepto de función y utilizar la notación de función. • Comprender que una función de un conjunto (llamado dominio) a otro conjunto (llamado rango) asigna a cada elemento del dominio exactamente un elemento del rango. Si f es una función y x es un elemento de su dominio, entonces f(x) denota la salida de f correspondiente a la entrada x. La gráfica de f es la gráfica de la ecuación y = f(x). • Usar notación de funciones, evaluar funciones para entradas en sus dominios e interpretar enunciados que usan notación de funciones en términos de un contexto. Interpretar funciones que surgen en aplicaciones en términos del contexto. • Relacionar el dominio de una función con su gráfica y, en su caso, con la relación cuantitativa que describe. Por ejemplo, si la función h da el número de horaspersona que se necesitan para montar n motores en una fábrica, entonces los números enteros positivos serían un dominio apropiado para la función. • Calcular e interpretar la tasa de variación media de una función (presentada simbólicamente o en forma de tabla) en un intervalo especificado. Estimar la tasa de cambio a partir de un gráfico. Nota: Este alcance se centra en la linealidad.
DESGLOSAR EL ESTÁNDAR VERBOS: ¿QUÉ DEBERÍAN HACER LOS ESTUDIANTES? • comprender: captar el significado de. • utilizar: aplicar una estrategia. • evaluar: determinar o calcular el valor numérico de algo. • interpretar: explicar el significado de. • relacionar: encontrar o mostrar la conexión entre dos o más cosas. • calcular: determinar la cantidad de algo matemáticamente. • estimar: predecir un tamaño, cantidad o valor aproximado de algo; estrategia utilizada a menudo para resolver un problema.
SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBEN CONOCER LOS ESTUDIANTES? • función: una relación especial entre valores; cada valor de entrada devuelve exactamente un valor de salida. • conjunto: un grupo de números u objetos únicos llamados miembros o elementos. • dominio: el conjunto de todos los posibles valores de entrada, o x, de una relación o función. • rango: el conjunto de todos los posibles valores de salida, o y , de una relación o función. • elemento: cualquier número o valor distinto que forma parte de un conjunto. • salida: el resultado de la entrada colocada en la función. • entrada: conjunto de valores suministrados a una función. • gráfico: una representación visual de los datos. • ecuación: un enunciado matemático que muestra que dos expresiones son iguales entre sí. • relación cuantitativa: la relación entre magnitudes. • notación de funciones: una forma de representar y, el valor dependiente en una relación, como f(x), léase «f de x» donde f nombra la función. • tasa media de cambio: cambio total de los valores de la función (valores de salida) dividido por el cambio en los valores de entrada. • simbólicamente: consistente en símbolos numéricos y algebraicos para formar una ecuación. • tabla: una tabla que contiene datos que se muestran en columnas y filas. • intervalo: la cantidad de tiempo que pasa de un periodo de tiempo al siguiente; la distancia entre dos puntos.
IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA
• En grados anteriores, los estudiantes usaron relaciones funcionales para crear modelos lineales y determinar la tasa de cambio. Reconocieron y explicaron una función como «cada valor de entrada devuelve exactamente un valor de salida», y el par ordenado representa la entrada y la salida. • En este nivel, ampliarán su comprensión de las funciones como entrada y salida a conjuntos que representan el dominio y el rango. • En este grado, los estudiantes deben ser capaces de crear ejemplos de lo que es y lo que no es una función utilizando una variedad de representaciones tales como una tabla, un gráfico, símbolos o una descripción verbal.
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO • Los estudiantes a los que se les enseña la notación de funciones de forma aislada no siempre entienden que esta notación representa un par ordenado y tiene un significado en función del contexto. Del mismo modo, los estudiantes a los que se les enseñan funciones continuas y discretas en contexto desarrollan una mejor comprensión de cuándo y por qué se utilizan los tipos. • Los estudiantes confunden con frecuencia que «cada a valor de entrada le corresponde exactamente un valor de salida» con el significado de «cada valor de salida corresponde exactamente a un valor de entrada». • Los estudiantes confunden con frecuencia f(x) con el significado de «f tantas veces x». Los estudiantes suelen pensar que todas las funciones utilizan f, x, y y. Cuando se encuentran por primera vez con una representación como d(t) = 3t, no les resulta familiar.
ALINEACIÓN VERTICAL GRADO
ESTÁNDAR Entender que una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. La gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados formados por una entrada y la salida correspondiente. Comparar propiedades de dos funciones representadas cada una de una manera diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas o mediante descripciones verbales). Por ejemplo, dada una función lineal representada por una tabla de valores y una función lineal representada por una expresión algebraica, determinar qué función tiene la mayor tasa de cambio.
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Construir una función para modelar una relación lineal entre dos cantidades. Determinar la tasa de variación y el valor inicial de la función a partir de la descripción de una relación o de dos (x,y) valores, incluso leyéndolos en una tabla o en una gráfica. Interpretar la tasa de cambio y el valor inicial de una función lineal en términos de la situación que modela, y en términos de su gráfica o de una tabla de valores. Describir cualitativamente la relación funcional entre dos cantidades analizando una gráfica (por ejemplo, si la función es creciente o decreciente, lineal o no lineal). Dibujar una gráfica que muestre las características cualitativas de una función que se ha descrito verbalmente. Entender que una función de un conjunto (llamado dominio) a otro conjunto (llamado rango) asigna a cada elemento del dominio exactamente un elemento del rango. Si f es una función y x es un elemento de su dominio, entonces f(x) denota la salida de f correspondiente a la entrada x. La gráfica de f es la gráfica de la ecuación y = f(x).
Álgebra
Utilizar notación de funciones, evaluar funciones para entradas en sus dominios e interpretar enunciados que utilicen notación de funciones en términos de un contexto. Relacionar el dominio de una función con su gráfica y, en su caso, con la relación cuantitativa que describe. Por ejemplo, si la función h da el número de horas-persona que se necesitan para montar n motores en una fábrica, entonces los números enteros positivos serían un dominio apropiado para la función. Calcular e interpretar la tasa de variación media de una función (presentada simbólicamente o en forma de tabla) en un intervalo especificado. Estimar la tasa de cambio a partir de una gráfica. Reconocer que las secuencias son funciones, a veces definidas recursivamente, cuyo dominio es un subconjunto de los números enteros. Por ejemplo, la sucesión de Fibonacci se define recursivamente por f(0) = f(1) = 1, f(n + 1) = f(n) + f(n - 1) para n ≥ 1. En el caso de una función que modela una relación entre dos magnitudes, interpreta las características principales de gráficas y tablas en términos de las magnitudes, y dibuja gráficas que muestren las características principales a partir de una descripción verbal de la relación. Las características clave incluyen: interceptos; intervalos en los que la función es creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos; simetrías; comportamiento final; y periodicidad. Graficar funciones expresadas simbólicamente y mostrar las características clave de la gráfica, a mano en casos sencillos y utilizando tecnología para casos más complicados. Graficar funciones lineales y cuadráticas y mostrar interceptos, máximos y mínimos.
Álgebra
Graficar funciones de raíz cuadrada, raíz cúbica y funciones definidas a trozos, incluyendo funciones escalonadas y funciones de valor absoluto. Graficar funciones exponenciales y logarítmicas, mostrando interceptos y comportamiento final, y funciones trigonométricas, mostrando período, línea media y amplitud. Comparar propiedades de dos funciones representadas cada una de una manera diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas o por descripciones verbales). Por ejemplo, dada una gráfica de una función cuadrática y una expresión algebraica para otra, decir cuál tiene el máximo mayor. Identificar el efecto en la gráfica de sustituir f(x) por f(x) + k, kf(x), f(kx), y f(x + k) para valores concretos de k (tanto positivos como negativos); hallar el valor de k dadas las gráficas. Experimentar con casos e ilustrar una explicación de los efectos en la gráfica utilizando la tecnología. Incluir el reconocimiento de funciones pares e impares a partir de sus gráficas y expresiones algebraicas para ellas. Construir funciones lineales y exponenciales, incluyendo secuencias aritméticas y geométricas, dada una gráfica, una descripción de una relación o dos pares de entrada-salida (incluir la lectura de éstas a partir de una tabla).
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA MONITOREAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA La guía de instrucción andamiada se proporciona para que el maestro pueda planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones de alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que lleva a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos basados en los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere a los maestros a permitir que todos los estudiantes experimenten con «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades». Estos elementos cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar. 0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
80 % - 100 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil pueden trabajar en contenido de nivel de grado con apoyos de instrucción.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones del alcance, complete los siguientes pasos: 1 Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 2 Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante con base en sus datos de evaluación. 3 Haga clic en el enlace directo al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1.
Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante.
2.
Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención.
3.
Acceda a la «guía de instrucción andamiada» en la sección «inicio» del alcance.
4.
Haga clic en el enlace directo al material recomendado para el estudiante.
La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Operaciones y pensamiento algebraico Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • ¡Bam! Prueba de habilidades
(Refuerzo del grado anterior)
8 - Funciones
Usar notación de funciones, evaluar funciones para entradas en sus dominios e interpretar enunciados que usan notación de funciones en términos de un contexto.
0 % - 25 %
0 % - 25 %
(Refuerzo del grado anterior)
Entender que una función de un conjunto (llamado dominio) a otro conjunto (llamado rango) asigna a cada elemento del dominio exactamente un elemento del rango. Si f es una función y x es un elemento de su dominio, entonces f(x) denota la salida de f correspondiente a la entrada x. La gráfica de f es la gráfica de la ecuación y = f(x).
8 - Funciones Repaso de habilidades y práctica Constructor de fluidez • ¡Bam! Prueba de habilidades
Alg. 1: Propiedades de las funciones Acceso a conocimiento previos Constructor de fluidez Alg. 1: Propiedades de las funciones
Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (preguntas 1, 2) • Repaso (sección determinar si una relación es una función)
25 % - 50 %
25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyo)
Constructor de fluidez
• Revisión (preguntas 1, 3, 4)
(Nivel de grado con apoyo)
Repaso y práctica de habilidades
Acceso a conocimiento previos
Alg. 1: Propiedades de las funciones
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(Nivel de grado)
Alg. 1: Propiedades de las funciones
50 % - 80 % 80 % - 100 %
Alg. 1: Propiedades de las funciones Tablero de opciones
Vocabulario interactivo
(Ampliación del nivel de grado)
(Nivel de grado)
50 % - 80 % 80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
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• Concentración
• Revisión (preguntas 5, 6)
Vocabulario con imágenes
Vocabulario interactivo Constructor de fluidez
• Repaso (sección evaluar valores de funciones)
Alg. 1: Propiedades de las funciones
Vocabulario con imágenes Libreta interactiva
• Revisión rápida (preguntas 3, 4)
Libreta interactiva Constructor de fluidez • Concentración Ciencia de datos
Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA Calcular e interpretar la tasa de cambio promedio de una función (presentada simbólicamente o como una tabla) en un intervalo específico. Estimar la tasa de cambio a partir de una gráfica. 8 - Tasa de cambio Repaso y práctica de habilidades
Repaso de habilidades y práctica Constructor de fluidez • ¡Bam! Prueba de habilidades
0 % - 25 %
Constructor de fluidez
• Revisión (preguntas 2, 9, 10)
(Nivel de grado con apoyo)
• Repaso (sección determinar dominio y rango de funciones)
25 % - 50 %
• Revisión rápida (pregunta 1)
• Primer contacto Prueba de habilidades
Repaso de habilidades y práctica • Revisión rápida (pregunta 5) • Repaso (calcular la tasa de cambio promedio de la sección de funciones) • Revisión (preguntas 7, 8)
Alg. 1: Propiedades de las funciones
Vocabulario con imágenes
Vocabulario interactivo
Vocabulario interactivo Práctica interactiva • ¡Atrapa ese robot! Constructor de fluidez
Vocabulario con imágenes
Alg. 1: Propiedades de las funciones
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80 % - 100 %
¿Qué preferirías? Tablero de opciones
Práctica interactiva • ¡Atrapa ese robot! Constructor de fluidez • Concentración Ciencia de datos
(Ampliación del nivel de grado)
80 % - 100 %
Práctica interactiva
Alg. 1: Propiedades de las funciones
Ciencia de datos (Ampliación del nivel de grado)
• ¡A pescar!
Alg. 1: Propiedades de funciones
Repaso y práctica de habilidades
• Concentración
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Constructor de fluidez
Acceso a conocimiento previos
50 % - 80 %
(Nivel de grado con apoyo) (Nivel de grado)
50 % - 80 %
25 % - 50 %
Alg. 1: Propiedades de las funciones
(Nivel de grado)
0 % - 25 %
(Refuerzo del grado anterior)
8 - Funciones
(Refuerzo del grado anterior)
Relaciona el dominio de una función con su gráfica y, en su caso, con la relación cuantitativa que describe. Por ej., si la función h(n) da el número de horas-persona que toma ensamblar n motores en una fábrica, entonces los números enteros positivos serían un dominio apropiado para la función.*
Alg. 1: Propiedades de las funciones ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
ATRAER: ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS
EVALUAR PREVIAMENTE EL CONOCIMIENTO DE LOS ESTUDIANTES
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: ENCUENTRA LAS PAREJAS EN EL SALÓN ESTÁNDAR PREVIO
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Entender que una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. La gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados que consisten en una entrada y la salida correspondiente.
1. Pida a los estudiantes que escriban los números 1, 2, 3 y 4 en una hoja de papel. 2. Pida a los estudiantes que caminen por la sala con sus papeles. Mientras caminan por la sala, deben ver las tarjetas numeradas y emparejarlas con las tarjetas con letras.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes emparejarán tarjetas numeradas con tarjetas con letras colocadas alrededor del salón para demostrar su conocimiento del estándar previo. Este elemento está diseñado para descubrir los conceptos erróneos de los estudiantes; no debe tomarse para una calificación.
3. Permita que los estudiantes compartan su pensamiento con un compañero. a. La tarjeta 1 coincide con la tarjeta B b. La tarjeta 2 coincide con la tarjeta A c. La tarjeta 3 coincide con la tarjeta D
MATERIALES
d. La tarjeta 4 coincide con la tarjeta C
IMPRESOS
4. Si los estudiantes tienen dificultades para completar esta tarea, pase al «Constructor de bases fundamentales» con el fin de llenar este vacío en el conocimiento previo antes de pasar a otras partes del alcance.
• 1 tarjetas de «Emparejar alrededor del salón» (por clase)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de las tarjetas de emparejar alrededor del salón.
IDENTIFICACIÓN DE CONCEPTOS ERRÓNEOS • Los estudiantes pueden tener dificultades para recordar cómo identificar funciones. Es beneficioso permitir que los estudiantes investiguen los patrones que ven cuando observan juntos tablas, gráficos y ecuaciones.
• Cuelga las tarjetas en un orden aleatorio alrededor del salón.
Properties of Functions
Properties of Functions
Tarjeta 1: Encuentra las parejas en el salón
Tarjeta 2: Encuentra las parejas en el salón
Esta gráfica representa una función.
Esta gráfica no representa una función.
Properties of Functions
Tarjeta 3: Encuentra las parejas en el salón
Properties of Functions
Tarjeta 4: Encuentra las parejas en el salón
1
2
3
4
Properties of Functions
Properties of Functions
Properties of Functions
Properties of Functions
Tarjeta A: Encuentra las parejas en el salón
Tarjeta B: Encuentra las parejas en el salón
5
Tarjeta C: Encuentra las parejas en el salón
Tarjeta D: Encuentra las parejas en el salón
{−3, −1, 0, 2, 4}
{−4, −2, 0, 2, 4}
6
7
8
EMPAREJA LAS TARJETAS DEL SALÓN
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
ATRAER: CAPTAR INTERÉS LECCIÓN PARA CAPTAR INTERÉS
CAPTAR INTERÉS DESCRIPCIÓN Los estudiantes relacionarán la notación de funciones con una situación del mundo real.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 propiedades de las funciones (por clase) REUTILIZABLES
• 1 video de fenómenos (por clase)
Propiedades de las funciones
Las siguientes afirmaciones sobre el teléfono de Mark son verdaderas, donde f(t) es la cantidad de carga en el teléfono después de t minutos.
1. f(100) – f(90) < f(30) – f(20) 2. f(150) – f(115) = 0
PREPARACIÓN
• Planee mostrar el video. • Prepárese para proyectar las «Propiedades de las funciones» para que toda la clase lo vea. • Prepárese para presentar el escenario y para animar a los estudiantes a pensar en cómo resolverlo. Prepárese para pasar a las actividades de «Exploración», regresando a la actividad de «Captar el interés» con los nuevos conocimientos adquiridos.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA
1. Presente esta actividad hacia el comienzo del alcance. La clase la retomará y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades de «Explorar» correspondientes. 2. Explique la situación mientras muestra el vídeo que tiene detrás. Mark está cargando su teléfono después de que se apagara. Está pensando en cómo modelar la cantidad de carga que tiene el teléfono a medida que pasa el tiempo. 3. Haga las siguientes preguntas: «¿Qué observas? ¿Qué te preguntas? ¿Dónde puedes ver matemáticas en esta situación?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. Las respuestas de los estudiantes variarán. Creo que la cantidad de carga aumenta a un ritmo constante. Creo que la carga se estabilizará cuando se acerque al 100 %. Creo que tardará dos horas en cargarse completamente. Me pregunto cuánto tardará el teléfono en cargarse al 80 %. Me pregunto cuánto tardará en encenderse el teléfono muerto.
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES 5. Explique a los estudiantes que Mark hizo un seguimiento de la carga de su teléfono y escribió un par de enunciados para describir lo que estaba ocurriendo. Haga las siguientes preguntas: a.
DOK-1 «¿Por qué el primer enunciado matemático tiene un símbolo de desigualdad?». Permita que los estudiantes compartan sus ideas. Las respuestas de los estudiantes variarán. La cantidad de carga durante un intervalo es menor que otra cantidad de carga.
b.
DOK-1 «¿Qué representa la parte "f(100) - f(90)" de esta oración matemática?». La carga después de 100 minutos menos la carga después de 90 minutos.
6. Comparta con los estudiantes que la siguiente pregunta guía será utilizada a lo largo del tema: «¿Cómo desarrollamos una taquigrafía matemática?». 7. Complete las actividades de «Exploración». PARTE II: DESPUÉS DE LA EXPLORACIÓN 1. Vuelva a mostrar el video fenómenos y replantee el problema. 2. Consulte las «Propiedades de las funciones» y haga las siguientes preguntas: a.
DOK-1 «¿Tienen más sentido estos enunciados con notación de funciones después de las Exploraciones?». Sí, puedo interpretar esta notación en el contexto del teléfono que se carga.
b.
DOK-2 «¿Qué estrategias utilizarías para explicar por qué estos enunciados tienen sentido?». Escribiría cada enunciado matemático como una frase completa y averiguaría cómo tiene sentido teniendo en cuenta lo que sé sobre la carga del teléfono.
c.
DOK-2 «¿Qué significa f(100) - f(90) < f(30) f(20)?». El teléfono aumenta su cantidad de carga menos entre los minutos 90 y 100 que entre los minutos 20 y 30.
d.
DOK-2 «¿Qué significa para f(150) - f(115) = 0?». Es probable que el teléfono ya haya alcanzado la carga completa después de 115 minutos.
4. Proyecte las «Propiedades de las funciones».
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 1: RELACIONES Y FUNCIONES DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizarán las propiedades de las funciones y no funciones a través de diversos tipos de representaciones algebraicas con el fin de desarrollar la definición de una función. Los estudiantes también serán capaces de descifrar entre funciones continuas y discretas.
ESTÁNDARES DE PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.3 Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros: Los estudiantes analizarán problemas y utilizarán supuestos matemáticos, definiciones y resultados establecidos para construir argumentos. • MP.4 Modelar con matemáticas: Los estudiantes aplicarán las matemáticas que conocen para resolver problemas de la vida cotidiana. • MP.8 Buscar y expresar regularidades en razonamientos repetidos: Los estudiantes comprenderán la aplicación más amplia de los patrones y verán la estructura en situaciones similares.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de tarjetas de artilugios (por estudiante) • 1 ticket de salida (por 2 estudiantes) REUTILIZABLE
• 1 par de tijeras (por estudiante) • 1 barra de pegamento (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 2 o 3 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima un juego de «Tarjetas de artilugios» para cada estudiante. • Imprima un documento de «Boleto de salida» para cada 2 estudiantes. Recórtelos a media página para que cada alumno tenga uno. • Reúna tijeras y barras de pegamento para cada estudiante.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Lea el siguiente escenario a la clase: ¡Felicidades! Te acaban de contratar a tiempo parcial en la nueva fábrica de widgets de tu ciudad. Es tu primer día de trabajo. El empleado del turno de noche te ha dejado una nota en la que te dice que una de las tres máquinas de widgets que tienes a tu cargo funciona mal y no produce widgets según los estándares de la fábrica, ¡pero no te ha dicho cuál! Analice las entradas y salidas de cada máquina para identificar la máquina de widgets que funciona mal y así poder apagarla para repararla. 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Explique que trabajarán con sus grupos para analizar las entradas y salidas de cada máquina de widgets para determinar cuáles son las dos máquinas que funcionan y cuál es la máquina que no funciona correctamente. 4. A medida que colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar la comprensión: a. DOK-1 «¿Qué se entiende por el término entrada?». Significa el conjunto de valores suministrados a una función. También representa el dominio de una función. b. DOK-1 «¿Qué significa el término output?». Significa el conjunto resultante de valores basados en la entrada de la función. También representa el rango de una función. c. DOK-2 «¿Qué patrones puedes identificar en las máquinas que funcionan correctamente?». Cada entrada se corresponde con una sola salida. 5. Evite confirmar las elecciones de los grupos para las máquinas que funcionan y las que no. Permita que tomen sus propias decisiones y justificaciones basándose en sus observaciones. Está bien que los estudiantes diagnostiquen mal las máquinas en este punto. La idea errónea se aclarará durante la charla de matemáticas. 6. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte I y responder a las preguntas que siguen. 7. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta el momento.
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Properties of Functions Explore 1
¿Qué widgets (artilugios) funcionan? Parte I
Analiza las máquinas de artilugios a continuación para determinar qué dos máquinas funcionan y qué características se requieren para que un artilugio sea aprobado por los estándares de fábrica.
Máquina A
Entrada 2 gotas 5 gotas 7 gotas
2. Entregue un juego de tarjetas de artilugios a cada estudiante.
Máquina B
Salida 1 artilugio 9 artilugios 13 artilugios
Máquina C
Entrada 1 gota 3 gotas 9 gotas
Entrada 3 gotas 3 gotas 8 gotas
3. Explique que trabajarán con sus grupos para analizar la información dada sobre cada máquina para decidir si las máquinas funcionan correctamente o no. También justificarán su elección en cada tarjeta.
Salida 1 artilugio 5 artilugios 2 artilugios
4. Anime a los estudiantes a analizar, clasificar y colaborar con sus grupos antes de pegar las tarjetas en sus columnas correspondientes. 5. Mientras colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientadoras para evaluar la comprensión:
Salida 1 artilugio 1 artilugio 14 artilugios
1.
¿Qué dos máquinas crees que funcionan correctamente? ¿Qué patrones encontraste entre esas dos máquinas?
2.
¿Qué máquina no funciona correctamente y debe apagarse?
3.
¿Qué tiene de diferente la máquina que no funciona correctamente?
a. DOK-1 En la tarjeta etiquetada como «Máquina H», «¿qué representan las dos flechas que salen del 1 en la columna Dominio?». Las dos flechas representan que el valor 1 aparece dos veces. 1
DIARIO DEL ESTUDIANTE
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 «¿Cómo determinó tu grupo la máquina que no funcionaba correctamente?». Nos dimos cuenta de que la máquina B era la única que tenía la misma entrada (3 blobs) resultando en diferentes salidas (1 widget y 5 widgets). No tenía sentido que pusieras la misma entrada en la máquina pero los resultados fueran diferentes. • DOK-2 «¿Qué condiciones deben cumplirse para que se considere que una máquina funciona?». La máquina funciona si cada valor de entrada devuelve exactamente un valor de salida. PARTE II
1. Lea el siguiente escenario a la clase: Ahora que la máquina B se ha parado, tu supervisor sospecha que otras máquinas de widgets de la fábrica también pueden estar funcionando mal. Te ha pedido que analices el resto de las máquinas de widgets para determinar si es necesario parar alguna más por no funcionar correctamente. Asegúrate de justificar tu razonamiento de por qué funciona o no cada máquina para informar a tu supervisor.
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b. DOK-1 En la tarjeta etiquetada «Máquina D», «¿cuántos valores de salida se muestran cuando x = 2?». Hay dos valores de salida cuando x = 2. Los valores son 1 y -1. Los valores son 1 y -1. c. DOK-1 En las tarjetas etiquetadas como «Máquina F» y «Máquina G», «¿dónde ves los valores de entrada y salida?». Los valores de entrada están representados por la coordenada x, y los valores de salida están representados por la coordenada y. d. DOK-1 «¿Cuál es la regla que creamos para identificar las máquinas que funcionan?». Cada entrada debe corresponderse exactamente con una salida. 6. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen. 7. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
CHARLA DE MATEMÁTICAS Properties of Functions Explore 1
Parte II
Analiza cada tarjeta de artilugio del documento «Tarjetas de artilugios» y determina si cada máquina funciona correctamente o no. Indica tu razonamiento en el lado derecho de cada tarjeta. Recorta las tarjetas y pégalas en las columnas correspondientes a continuación. Máquinas de artilugios que funcionan
Pega aquí las tarjetas de artilugios que funcionan.
Máquinas de artilugios que no funcionan
Properties of Functions Explore 1
Reflexiona
2.
Resume tus hallazgos generales sobre las máquinas de artilugios que no funcionaban correctamente.
3.
¿Es posible que una máquina de artilugios en funcionamiento tenga solo un valor de salida? Explica.
Recoge todas las respuestas. (-1, 1) y (-1, -1) (0, 1) y (0, -1) (1, 1) y (1, -1) (2, 1) y (2, -1)
• DOK-2 «¿Qué notas sobre la ubicación de cada par de coordenadas? ¿Qué te dice esto sobre las gráficas de las funciones?».Cada par de coordenadas está situado en la misma recta vertical. Si una gráfica contiene dos puntos en la misma línea vertical, entonces los datos no pueden ser una función.
2
Resume tus hallazgos generales sobre las máquinas de artilugios que funcionaban correctamente.
• DOK-1 Encuentra la «Tarjetas de artilugios» para la máquina D. «¿Cuáles son dos puntos en la gráfica que te indican que ésta no es una máquina widget que funciona?». ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
Pega aquí las tarjetas de artilugios que no funcionan.
1.
• DOK-1 «¿Cómo pudiste determinar las entradas y salidas para las máquinas D y E?».Miré los pares ordenados de las coordenadas en cada gráfico. La x-coordenada representa la entrada, y la y-coordenada representa la salida.
• DOK-1 «¿Qué estrategias usaste para determinar qué máquinas estaban funcionando?».Para cada máquina, miré las entradas. Si ninguna de las entradas se repetía, entonces la máquina funcionaba correctamente. Si las entradas se repetían, comprobaba las salidas. Cada entrada tenía que estar emparejada exactamente con una salida. 8. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de realizar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez completado, haga que cada estudiante llene su «Libreta interactiva».
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Los estudiantes pueden confundir si deben analizar entradas o salidas al determinar si una expresión es una función. Crear un gráfico básico de entradas mapeadas a salidas o graficar coordenadas puede ayudarlos. 2. Pueden no prestar atención a los números negativos y positivos cuando evalúan y/o grafican entradas y sus correspondientes salidas. Refuerce este concepto reflejando el trabajo en gráficos para ayudarlos a confrontar cualquier inconsistencia. 3
DIARIO DEL ESTUDIANTE
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3. Los estudiantes pueden tener problemas graficando puntos en un sistema de coordenadas y pueden necesitar que se les recuerden las convenciones usadas para graficar correctamente.
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias siguientes para saber cómo apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes. Se les proporcionará apoyos previos a la lectura (organizadores gráficos, diagramas de formas y vocabulario preenseñado) para ayudarles en la comprensión lectora. Principiante: Antes de la lección, dé una lista del vocabulario nuevo que encontrarán en la lección junto con imágenes que indiquen el significado de los términos. Anime a los estudiantes a subrayar los términos y a releer sus definiciones a medida que los vayan encontrando en sus diarios. Los términos clave que deben incluirse son entrada, salida, dominio, rango, relación, función, continua, y discreta. Intermedia: Antes de la lección, ofrezca notas guiadas que incluyan imágenes y diagramas junto con definiciones incompletas de los nuevos términos que encontrarán en la «Exploración». A medida que avancen en la lección, anímeles a completar las definiciones. Los términos clave a incluir son entrada, salida, dominio, rango, relación, función, continua, y discreta. Avanzada: Antes de la lección, dé notas guiadas que incluyan imágenes y diagramas junto con definiciones incompletas de los nuevos términos que encontrarán en la «Exploración». A medida que los estudiantes avancen en la lección, anímeles a completar las definiciones. Los términos clave a incluir son entrada, salida, dominio, rango, relación, función, continua, y discreta.
Properties of Functions Part 1
Relaciones y funciones Completar los espacios en blanco para que cada tabla represente una función. 1.
3.
x
1
y
2
x
4
6 5
3
9
4
5
y
2.
3 4.
3
1
5
x
1
y
9
3
5
1
4
x
0
y
0.8
0.4
7 0.9
5.
Una función contiene los puntos (3, 7), (4, 3), (10, 8) y (1, 2). ¿Cuál de los siguientes puntos no puede estar también en la función? A. (5, 7) B. (4, 5) C. (−1, 10) D. (2, 2)
6.
Una función contiene los puntos (10, 7), (9, 6), (8, 0), and (7, 3). ¿Cuál de los siguientes puntos no puede estar también en la función? A. (4, 7) B. (3, 6) C. (12, 0) D. (8, 8) 1
Properties of Functions Part 1
Encierra con un círculo todas las imágenes que representan una función.
7.
10.
12.
8.
x
10
20
20
40
50
y
15
25
35
45
55
9.
11.
13.
x
15
20
25
30
y
1
3
5
7
14.
2
Properties of Functions Explore 1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1)
Relaciones y funciones Boleto de salida 1.
A continuación, encierra con un círculo todas las imágenes que representen funciones. (3, 4) (5, 3) (5, 5) (5, 6)
2.
Alyssa y Maura discutían sobre las dos imágenes a continuación. Maura cree que ambas imágenes representan funciones, ya que la imagen B es solo el círculo completo de la imagen A. ¿Estás de acuerdo con el razonamiento de Maura? Imagen B Imagen A ¿Por qué sí o por qué no?
Properties of Functions Explore 1
Relaciones y funciones Boleto de salida 1.
A continuación, encierra con un círculo todas las imágenes que representen funciones. (3, 4) (5, 3) (5, 5) (5, 6)
2.
Alyssa y Maura discutían sobre las dos imágenes a continuación. Maura cree que ambas imágenes representan funciones, ya que la imagen B es solo el círculo completo de la imagen A. ¿Estás de acuerdo con el razonamiento de Maura? Imagen A Imagen B ¿Por qué sí o por qué no?
BOLETO DE SALIDA
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 2: EVALUAR FUNCIONES DESCRIPCIÓN Los estudiantes evaluarán funciones lineales y cuadráticas en notación de funciones e interpretarán la notación de funciones dentro de varios contextos.
ESTÁNDARES DE PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.3 Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros: Los estudiantes analizarán problemas y utilizarán supuestos matemáticos, definiciones y resultados establecidos para construir argumentos. • MP.4 Modelar con matemáticas: Los estudiantes aplicarán las matemáticas que conocen para resolver problemas de la vida cotidiana. • MP.8 Buscar y expresar regularidades en razonamientos repetidos: Los estudiantes comprenderán la aplicación más amplia de los patrones y verán la estructura en situaciones similares.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 2 o 3 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima un «Boleto de salida» para cada 2 estudiantes. Corte los boletos de salida a media página para que cada alumno tenga uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Lea el siguiente escenario a la clase: Recientemente ha obtenido un puesto de asistente de zoólogo en el zoológico de su localidad. El zoólogo jefe, el Dr. Angola, le ha asignado su primer proyecto de investigación, en el que debe averiguar más información sobre el comportamiento migratorio de las tortugas laúd. El equipo del Dr. Angola ha recopilado datos para seguir la distancia recorrida por un nido de tortugas laúd a lo largo del tiempo. Los datos se muestran en un gráfico, pero usted debe interpretar el gráfico y utilizar la información para completar el informe sobre la migración de las tortugas laúd. 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Explique que trabajarán con sus grupos para analizar la información relativa a la migración de las tortugas en el gráfico. Los estudiantes idearán una estrategia para completar los datos que faltan en el informe sobre la migración de las tortugas laúd y responderán a las preguntas que siguen en la parte I en sus diarios. 4. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientadoras para evaluar la comprensión: a. DOK-1 «¿Cómo puedes utilizar f(5) = 50 para ayudarte a rellenar el espacio en blanco de f(___) = 80?». En la fila A, el 5 representa los días que se tardó en recorrer 50 millas. Así que en la fila B, 8 debe ir en el espacio en blanco porque tardó 8 días en recorrer 80 millas. El número entre paréntesis debe representar los días. b. DOK-1 «¿Qué representa la coordenada (8, 80) en la gráfica?». La coordenada (8, 80) significa que las tortugas viajaron 80 millas en 8 días. 5. Conceda a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte I y responder a las preguntas que siguen. 6. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta el momento.
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Properties of Functions Explore 2
Rastreador de tortugas Parte I
Analiza la siguiente gráfica que muestra los datos recopilados por el equipo de la Dra. Angola. Usa la gráfica y los datos para completar el informe de la Dra. Angola.
PARTE II
1. Lea el siguiente escenario a la clase: Las tortugas laúd no son la única especie de tortuga marina que el equipo de la Dra. Angola ha estado siguiendo. La Dra. Angola quedó tan satisfecha con su informe sobre las tortugas laúd que les ha pedido que completen el informe sobre la migración multiespecie. El equipo ha desarrollado funciones para representar las distancias recorridas durante cualquier cantidad de tiempo para cada especie estudiada.
Informe: Migración de la tortuga laúd A
(5, 50)
f(5) = 50
Después de 5 días, las tortugas habían viajado 50 millas.
B
(8, 80)
f(___) = 80
Después de ____ días, las tortugas habían viajado 80 millas.
C
(10, 100) f(10) = ____
Después de 10 días, las tortugas habían viajado ____ millas.
D
Después de ____ días, las tortugas habían viajado ____ millas.
E
Después de ____ días, las tortugas habían viajado ____ millas.
F
Después de ____ días, las tortugas habían viajado ____ millas.
2. Explique que trabajarán con sus grupos para evaluar funciones para el valor dado o encontrar la entrada para una salida dada. Los estudiantes utilizarán estos cálculos para completar el informe sobre la migración multiespecífica en la parte II de sus diarios. 1
DIARIO DEL ESTUDIANTE
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 Normalmente, un número junto a un paréntesis representa una multiplicación. «¿Es ése el caso aquí?». Explica.Aquí, el número dentro del paréntesis nos está diciendo la entrada, o x-coordenada. • DOK-2 «¿Cuál es la diferencia entre f(20) y f(x) = 20?».f(20) nos pide encontrar la distancia recorrida después de 20 días, mientras que f(x) = 20 nos pide encontrar el número de días en que las tortugas recorrieron 20 millas. • DOK-1 Al considerar la función de la pregunta 1, f(x) = 8x, «¿cuál es la variable dependiente (salida) y cuál es la variable independiente (entrada)?».La variable dependiente es f(x), que representa la distancia recorrida. Este es el valor de la salida. La variable independiente es x, que representa el número de días. Esto representa el valor de la entrada. • DOK-2 «¿En qué se diferencia f(x) = 8x de y = 8x? ¿En qué se parecen?».Ambos representan el mismo patrón y pueden utilizarse indistintamente.
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3. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar la comprensión: a. DOK-1 «¿Qué significa f(14)?». Significa evaluar la función dada con una entrada de 14. b. DOK-1 Una vez que calculas que f(14) = 576, «¿cómo determinas qué número representa los días y qué número representa las millas recorridas?». Sé que 14 es la variable de entrada o independiente, y 576 es la variable de salida o dependiente. En este escenario, el número de días es la variable independiente, y el número de millas recorridas es la variable dependiente. c. DOK-1 «¿Cómo evalúas una función que tiene más de una x (por ejemplo, g(x) = (x + 4) (x - 2))?». Sustituyo la entrada dada por cada aparición de x y luego utilizo el orden de las operaciones para simplificar. d. DOK-2 Si f(14) representa la distancia recorrida por flatbacks en 14 días y g(14) representa la distancia recorrida por greens en 14 días, «¿qué representaría f(14) + g(14)?». Esto representaría la distancia combinada recorrida por flatbacks y greens en 14 días. 4. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen. 5. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2
CHARLA DE MATEMÁTICAS Properties of Functions Explore 2
1.
La Dra. Angola está más interesada en la sección de la gráfica que contiene los puntos D, E y F, ya que cree que las tortugas continuarán con esta tendencia durante los próximos días. Completa la siguiente función para representar la relación entre la cantidad de días y la distancia recorrida en esta sección de la gráfica.
2.
Usa tu ecuación de la pregunta 1 para predecir la distancia recorrida por las tortugas después de 36 días.
f(x) = _______
• DOK-2 «¿Es posible evaluar una función usando un número negativo? ¿Tiene sentido en este caso?». Explica.Sí, es posible. Sustituirías y simplificarías igual que lo harías con un número positivo. Sin embargo, no tiene sentido en este escenario porque nuestras entradas representan días, y las tortugas no pueden viajar por una cantidad negativa de días.
Parte II
Evalúa las funciones para el valor dado o encuentra la entrada para una salida dada. Completa el informe de múltiples especies para la Dra. Angola. Informe: Migración de múltiples especies Tortugas planas f(x) = 4(x – 2)2
f(14) = ____
Tortugas marinas a(x) = 7x
a(x) = 126 x = ____
Tortugas bobas l(x) = x2 + 5x
l(9) = ____
Tortugas carey h(x) = 18x
h(x) = 54 x = ____
Tortugas verdes g(x) = (x + 4)(x – 2)
g(6) = ____
Tortugas loras k(x) = 16x + 10
k(x) = 170 x = ____
Después de ____ días, las tortugas
• DOK-2 «¿Cuáles son algunas ventajas de usar notación de funciones?».La notación de funciones es más flexible que usar "y = ." Es más fácil seguir la pista de diferentes funciones en el mismo escenario usando notación de funciones: f(x), g(x), h(x), etc.
planas habían viajado ____ millas. Después de ____ días, las tortugas marinas habían viajado ____ millas. Después de ____ días, las tortugas bobas habían viajado ____ millas.
6. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
Después de ____ días, las tortugas carey habían viajado ____ millas. Después de ____ días, las tortugas verdes habían viajado ____ millas. Después de ____ días, las tortugas loras habían viajado ____ millas. 2
Properties of Functions Explore 2
Considera la función t(x) = x2 + 8x − 4. a. Encuentra t(−4).
b.
Si t(x) representa la distancia recorrida por las tortugas espalda de diamante a lo largo del tiempo, ¿tiene sentido t(−4)? Explica.
2.
La Dra. Angola explicó que las tortugas marinas y las tortugas bobas a menudo nadan durante 3 días y luego se toman un descanso. Ella quiere saber la distancia total recorrida por estas dos especies después de 3 días. Utiliza las funciones del informe sobre la migración de múltiples especies, evalúa a(3) + l(3).
3.
¿Por qué un estudiante podría pensar que f(x) significa multiplicar f por x?
4.
Explica qué significa «evalúa g(5)» con tus propias palabras.
5.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de realizar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez completado, haga que cada estudiante llene su «Libreta interactiva».
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Los estudiantes pueden tener dificultades para entender cómo evaluar funciones para un valor dado de x. Puede ser útil resaltar (o subrayar/ usar un color diferente) para escribir x y luego, al sustituir el valor de x, usar ese mismo color para cada instancia de x.
Reflexiona 1.
• DOK-2 Para las tortugas de espalda plana, f(20) > f(15). Explica qué significa esto en contexto y qué te dice esta información sobre la gráfica de f(x).Puesto que f(20) > f(15), las tortugas de lomo plano han viajado más lejos después de 20 días que después de 15 días. En una gráfica, la salida, o el valor de y, cuando x = 20 sería mayor que el valor de y cuando x = 15.
2. Los estudiantes pueden tener dificultades para entender que f(x) puede representarse por y. Refuerce que son lo mismo. 3. Los estudiantes pueden no entender que “x” representa la «entrada« y “y” representa la «salida» de la «Exploración 1». Refuerce la conexión entre la entrada y la salida. Refuerce la conexión entre la entrada de la función como representación del valor x y la salida como representación del valor y en el plano de coordenadas. Luego revise la prueba de la línea vertical para mostrar que es o no es una función.
¿En qué se diferencia resolver la ecuación f(x) = 10 de evaluar la expresión f(10)?
3
4. Los estudiantes pueden suponer, basándose en la comprensión de entrada/salida de la «Exploración 1», que f(x) representa una función discreta. Refuerce que f(x) es realmente sólo y y que, en estos casos, x y y pueden ser todos números reales y son continuos para estos propósitos.
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Properties of Functions Explore 2
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE
Evaluar funciones Boleto de salida 1.
2.
La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes.
Usa la gráfica para determinar los siguientes valores: a. h(2) = _____ b.
h(7) = _____
c.
h(x) = −3, x = _____
Los estudiantes utilizarán técnicas de aprendizaje como la elaboración de mapas conceptuales, el dibujo, la comparación, el contraste, la memorización y el repaso para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado.
Dado que f(x) = 3x y g(x) = x2 − 7x + 2, encuentra los siguientes valores: a.
f(2) = _____
b.
g(−1) = _____
c.
f(2) + g(−1) = _____
Properties of Functions Explore 2
Intermedio: Como actividad posterior a la clase, pide a los estudiantes que creen cuadrados de vocabulario para los términos función y evaluar. Los cuadrados de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), No ejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes las definiciones y los ejemplos, pero anímelos a reescribir las definiciones con sus propias palabras.
Evaluar funciones Boleto de salida 1.
2.
Usa la gráfica para determinar los siguientes valores: a. h(2) = _____ b.
h(7) = _____
c.
h(x) = −3, x = _____
Avanzado: Como actividad posterior a la lección, pida a los estudiantes que creen cuadrados de vocabulario para los términos función y evaluar. Los cuadros de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), No ejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes las definiciones, pero anímelos a reescribirlas con sus propias palabras.
Dado que f(x) = 3x y g(x) = x2 − 7x + 2, encuentra los siguientes valores: a.
f(2) = _____
b.
g(−1) = _____
c.
f(2) + g(−1) = _____
Principiante: Como actividad posterior a la clase, guíe a los estudiantes en la creación de cuadros de vocabulario para los términos función y evaluar. Completa en clase las siguientes secciones de los cuadros de vocabulario: Definición, Ejemplo (problema matemático) y No ejemplo. Pida a los estudiantes que creen su propia imagen para cada término.
BOLETO DE SALIDA
Properties of Functions Part 2
Properties of Functions Part 2
6.
Evaluar funciones Rodrigo escribía un informe sobre el aumento del uso de los teléfonos celulares. Encontró esta gráfica de datos sobre la cantidad de usuarios de teléfonos inteligentes en EE. UU.
7.
8. 1.
Si usamos f(x) para describir estos datos como una función, ¿qué variable representa x?
2.
f(2012) = __________
3.
f(2016) = __________
4.
Si f(x) = 140 millones, entonces x = _________.
5.
Evalúa f(2020) – f(2010) y describe lo que representa en su contexto.
Considera la función g(x) = 3x – 1 a.
¿Qué es x si g(x) = 2?
b.
¿Qué es x si g(x) = −4?
Properties of Functions Part 2
9.
Crea una gráfica que represente el siguiente escenario de mareas. Deja que x = 0 represente la medianoche cuando la marea está en un punto alto de 9 pies en el puerto. A las 3 a. m., la marea está en su punto medio de 5 pies y a las 6 a. m., la marea en el puerto alcanza un mínimo de 1 pie. 6 horas más tarde la marea vuelve a alcanzar su máximo de 9 pies, y 6 horas después la marea vuelve a estar en el mínimo de 1 pie. Grafica la altura del agua en el puerto si la marea continúa de acuerdo a este patrón.
10.
La gráfica que has creado se llama función trigonométrica y oscila o viaja hacia arriba y hacia abajo. Si la función que has graficado en la novena pregunta se denomina f(x), ¿cómo podrías determinar el valor de f(36) basándote en las características clave de la gráfica que has creado?
Dado que a(x) = x² + 5x + 6 y b(x) = 4x – 10, encuentra las soluciones de las siguientes ecuaciones: a.
a(3) = _____
b.
b(3) = _____
c.
a(3) – b(3) = _____
d.
= _____
Usa la tabla de la derecha para responder las preguntas de abajo. a.
g(2) = ____
b.
h(
) = 10
c.
g(1) = ____
d.
h(3) – g(5) = ____
e.
g(
)=2
f.
g(
) · h(4) = 40
x
g(x)
h(x)
1
5
2
2
4
4
3
3
6
4
2
8
5
1
10
1
2
3
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 2)
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 3: TASA DE CAMBIO PROMEDIO DESCRIPCIÓN Los estudiantes calcularán e interpretarán las tasas de cambio promedio en intervalos especificados. Los estudiantes conectarán las tasas de cambio a través de representaciones y harán generalizaciones acerca de los comportamientos de las funciones a través del tiempo.
ESTÁNDARES DE PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.3 Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros: Los estudiantes analizarán problemas y utilizarán supuestos matemáticos, definiciones y resultados establecidos para construir argumentos. • MP.4 Modelar con matemáticas: Los estudiantes aplicarán las matemáticas que conocen para resolver problemas de la vida cotidiana. • MP.8 Buscar y expresar regularidades en razonamientos repetidos: Los estudiantes comprenderán la aplicación más amplia de los patrones y verán la estructura en situaciones similares.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I 1. Lea el siguiente escenario a la clase: Formas parte del comité de planificación de eventos estudiantiles de tu escuela. Este comité se encarga de planificar las jornadas de celebración estudiantil que tendrán lugar periódicamente a lo largo del curso escolar. Tu equipo se encarga de pedir la comida para los eventos y quieres asegurarte de elegir alimentos que hayan demostrado ser populares entre los estudiantes durante las épocas en las que tendrán lugar las jornadas. Para planificar qué artículos comprar, necesita analizar las ventas de alimentos del año anterior e identificar los cambios promedio en las ventas para períodos específicos. 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Explique que trabajarán con sus grupos para analizar los datos provistos para las ventas de hamburguesas y porciones de pizza. Calcularán los cambios en las ventas a lo largo del tiempo y completarán la información para cada tipo de alimento. Los estudiantes registrarán su trabajo en sus diarios. 4. Mientras colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar la comprensión: a.
DOK-2 «¿Qué significaría obtener un número negativo para la columna de cambio en las ventas por mes?». Un número negativo en esa columna significaría que la tasa de ventas estaría disminuyendo durante ese período de tiempo.
b.
DOK-1 «¿Qué aspecto tendría la pendiente de esa línea cuando se representa gráficamente?». La línea tendría una pendiente negativa. La pendiente iría cuesta abajo al graficar de izquierda a derecha.
c.
DOK-2 Si estuvieras hallando el promedio de 4 números, dividirías el total entre 4. «¿Cómo se relaciona esto con hallar el cambio promedio en las ventas?». Divido el cambio total por el número de meses en el intervalo. Esto es exactamente como calcular el promedio.
d.
DOK-2 En la gráfica de ventas de rebanadas de pizza, «¿qué información necesita saber para poder calcular un cambio promedio en las ventas por mes del mes 3 al mes 5?». Miraría el cambio en ventas y el cambio en meses. Dividiría el cambio en las ventas por el cambio en los meses para obtener el cambio promedio en las ventas por mes.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de tarjetas de opciones de comida y bebida (por grupo) • 1 boleto de salida (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 2 o 3 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» y un «Boleto de salida» para cada alumno. • Imprima un juego de tarjetas de opciones de comida y bebida, en cartulina para mayor durabilidad, para cada grupo. No corte las tarjetas, ya que los estudiantes compararán las dos opciones de cada categoría.
5. Conceda a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte I y responder a las preguntas que siguen. 6. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta el momento.
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1/9/26 1:31 PM
ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Properties of Functions Explore 3
Comida divertida de viernes Parte I
Analiza los datos de ventas de hamburguesas y los datos de ventas de rebanadas de pizza. Usa los datos para completar las tablas y responde las preguntas que siguen.
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-3 Al calcular el cambio en el número de ventas cada mes, «¿qué cosas necesitas tener en cuenta?».Necesito tener en cuenta el período de tiempo. Si no estoy calculando el cambio promedio en las ventas de un mes al mes siguiente, entonces necesitaré dividir por el número de meses. También necesito prestar atención a la escala de los ejes.
Ventas de hamburguesas Período de tiempo
Cambio en las ventas
Cambio en meses
Cambio promedio en ventas por mes
Del mes 1 al mes 2
200
1
200 hamburguesas por mes
Del mes 2 al mes 3
______ hamburguesas por mes
Del mes 3 al mes 4
______ hamburguesas por mes
Del mes 4 al mes 7
______ hamburguesas por mes
Del mes 5 al mes 9
______ hamburguesas por mes
• DOK-2 «¿En qué se parece el cambio promedio en las ventas a la pendiente?».Calculé el cambio promedio en las ventas exactamente como calcularía la pendiente. Encontré el cambio en las salidas y lo dividí entre el cambio en las entradas.
1
Properties of Functions Explore 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Cantidad de ventas
400
550
600
500
350
400
400
300
400
Ventas de rebanadas de pizza Período de tiempo
Cambio en las ventas
Cambio en meses
2. Entregue un juego de tarjetas de opciones de comida y bebida a cada grupo de estudiantes.
Cambio promedio en ventas por mes
Del mes 2 al mes 3
______ rebanadas de pizza por mes
Del mes 3 al mes 5
______ rebanadas de pizza por mes
Del mes 5 al mes 9
______ rebanadas de pizza por mes
1.
El primer Día de Celebración Estudiantil ocurrirá después del tercer mes de clases. ¿Qué alimento tuvo las mayores ventas promedio por mes del mes 2 al mes 3?
2.
El último Día de Celebración Estudiantil ocurrirá hacia el final del año escolar y se basará en el cambio promedio en las ventas por mes del mes 5 al mes 9. ¿Qué alimento se debe comprar? Explica.
PARTE II
1. Lea el siguiente escenario a la clase: Para todos los Días de Celebración Estudiantil, el comité quiere ofrecer una opción de comida saludable, un postre y una bebida. Se le han proporcionado datos para estas tres categorías basados en las ventas del año pasado. Analice los datos y realice los cálculos necesarios para hacer su recomendación para cada una de las tres categorías.
Gráfica de ventas de rebanadas de pizza
Mes
• DOK-2 «¿En qué se diferencia el cambio promedio en las ventas de la pendiente?».Una función lineal tiene la misma pendiente sin importar el intervalo que esté observando. Los datos de ventas de porciones de pizza y de hamburguesas no eran lineales porque no tenían una tasa de cambio constante. Pude encontrar el cambio promedio en las ventas cuando me dieron intervalos específicos.
3. Explique que trabajarán con sus grupos para comparar los datos de las dos opciones de cada categoría. Los estudiantes seguirán las instrucciones de la página 3 de sus diarios, realizarán los cálculos necesarios y harán una recomendación para cada categoría.
2
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Properties of Functions Explore 3
4. Mientras colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientadoras para evaluar la comprensión: a. DOK-2 «¿Cómo puedes determinar qué opción de comida saludable tuvo el mayor índice medio de cambio del mes 1 al mes 5 con sólo mirar los gráficos?». Como los intervalos de tiempo son los mismos y la escala de los gráficos es la misma, puedo comparar los gráficos. Puedo decir que la gráfica de Salad tiene un mayor incremento en ventas del mes 1 al mes 5. b. DOK-2 «¿En qué se parece el cálculo de la tasa de cambio promedio al cálculo de la pendiente de una línea?». Son similares porque estoy viendo el cambio en el valor y dividido por el cambio en el valor x. Con una función lineal, no importa qué parte de la gráfica observe, la pendiente es consistente. Con gráficas no lineales, debo prestar mucha atención a los intervalos.
Parte II
Usa las tarjetas de opciones de alimentos y bebidas del documento «Tarjetas de opciones de alimentos y bebidas» para analizar las ventas del año anterior para las siguientes opciones. Realiza los cálculos correspondientes y luego selecciona la opción para tu recomendación. Opciones saludables Basa tu recomendación en la tasa de cambio promedio más alta del mes 1 al mes 5. Tasa de cambio promedio durante el período de tiempo especificado: a.
Ventas de ensalada:
b.
Ventas de enrollado de pollo:
Recomendación: Opciones de postre Basa tu recomendación en la tasa de cambio promedio más alta del intervalo 2 ≤ x ≤ 9. Tasa de cambio promedio durante el período de tiempo especificado: a.
Ventas de brownies de chocolate:
b.
Ventas de paletas heladas:
Recomendación: Opciones de bebidas Basa tu recomendación en el costo total más bajo de 50 galones de bebida. Usa el costo promedio por galón para completar los valores que faltan en la tabla. Galones de limonada que se necesitan
Costo total ($)
10
Galones de jugo de lima que se necesitan 1
25
c. DOK-1 «¿Cómo se calcula la tasa unitaria cuando se da una tasa?». Tengo que dividir la cantidad asociada con la variable dependiente entre la cantidad asociada con la variable independiente.
$32.50 $175.00
50 Recomendación: 3
d. DOK-2 «¿En qué se parece esto al cálculo de la tasa de cambio promedio?». Es lo mismo que calcular la tasa de variación media. Sé que los costes de la bebida serán lineales. e. DOK-1 «¿Qué meses debería analizar para el intervalo 2 ≤ x ≤ 9?». Esta notación me dice que debo analizar el cambio en las ventas del mes 2 al mes 9. 5. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen.
Costo total ($)
Properties of Functions Explore 3
Reflexiona 1.
¿En qué se parecen la pendiente y la tasa de cambio promedio? ¿En qué se diferencian?
2.
Kamille analizaba los datos de ventas de sodas vendidas durante el año anterior. Los datos de las ventas se muestran en la siguiente gráfica.
6. Después de la exploración, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. Kamille afirmó que la tasa promedio de cambio del mes 8 al mes 10 fue de 50 sodas por mes. ¿Es precisa su afirmación? Justifica tu respuesta.
3.
Dibuja el segmento de recta que muestra la tasa de cambio promedio de los meses 2 a 10 y luego encuentra el valor y explícalo en contexto.
4
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Por qué es útil usar tasas de cambio promedio en gráficas no lineales?».Las gráficas no lineales no tienen tasas de cambio constantes, así que usar el promedio sobre un intervalo puede ayudar a generalizar el comportamiento de la función. • DOK-2 «¿Cómo calculaste la tasa de cambio promedio dentro de cada conjunto de datos? ¿Qué regla general se te ocurre que podría ayudar en cualquier escenario?».Calcula el cambio en las salidas a lo largo de un intervalo específico, y divide ese número por el cambio en las entradas a lo largo del mismo intervalo. 7. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídeles que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez completado, haga que cada estudiante llene su «Libreta interactiva».
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Los estudiantes pueden olvidar calcular tasas de cambio como una razón de dos números y pueden olvidar el denominador. Refuerce la idea de una tasa dando ejemplos de unidades (por ej., millas por hora, ciclos por minuto) donde una medida divide a otra. 2. Es posible que los estudiantes no presten atención a los signos negativos o positivos frente a las pendientes cuando grafican. Anime a los estudiantes a pensar en lo que significa cada número antes de graficarlo para que puedan verificarlo ellos mismos después de terminar. 3. Los estudiantes pueden no entender la diferencia entre tasa de cambio promedio y tasa de cambio instantánea. Anímelos a pensar en coches que circulan por una carretera y que cambian constantemente de velocidad en función de lo que ocurre a su alrededor. Una velocidad instantánea podría oscilar entre 0 mph y su velocidad máxima, mientras que una velocidad media no sería ni 0 ni su velocidad máxima. 4. Los estudiantes pueden tener dificultades para interpretar gráficos para determinar tasas medias de cambio. Anímeles a elegir puntos que puedan ayudarles a evaluar estas tasas de cambio y asegúrese de que cualquier número que calculen tiene sentido basándose en el gráfico. En particular, asegúrese de que el valor calculado tiene el signo correcto.
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes. Los estudiantes utilizarán técnicas de aprendizaje como mapas conceptuales, dibujar, comparar, contrastar, memorizar y repasar para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado. Principiante: Como actividad posterior a la lección, guíe a los estudiantes en la creación de un cuadrado de vocabulario para el término tasa media de cambio. Completa en clase las siguientes secciones del cuadrado de vocabulario: Definición, Ejemplo (problema matemático) y No ejemplo. Haga que los estudiantes creen su propia imagen para el término. Intermedio: Como actividad posterior a la clase, pide a los estudiantes que creen un cuadrado de vocabulario para el término tasa media de variación. Los cuadros de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), No ejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes la definición y el ejemplo, pero anímelos a reescribir la definición con sus propias palabras. Avanzado: Como actividad posterior a la lección, pida a los estudiantes que creen un cuadrado de vocabulario para el término promedio tasa de cambio. Los cuadros de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), No ejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes la definición, pero anímelos a reescribirla con sus propias palabras. Properties of Functions Explore 3
Tasa de cambio promedio Boleto de salida 1.
2.
La función g(x) se representa en la siguiente tabla. ¿Cuál es la tasa de cambio promedio de esta función en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1? A.
−1
B.
−2
x
C.
1
−2
0
D.
2
−1
−4
0
−6
1
−6
2
−4
g(x)
¿Qué intervalo a continuación daría como resultado una tasa de cambio promedio de −2.5? A.
De −9 a −6
B.
De −6 a −4
C.
De −2 a 4
D.
De 3 a 6
BOLETO DE SALIDA ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3
Properties of Functions Part 3
Properties of Functions Part 3
Al final de la temporada, Tanya puso las tasas promedio de tiempo de los nadadores y se sintió muy orgullosa de los progresos que habían hecho. Utiliza los datos de abajo para responder las preguntas.
Tasa promedio de cambio Tanya ha conseguido un nuevo trabajo como entrenadora de la liga de verano de natación para un grupo de edad más joven. Ella planifica los entrenamientos para sus chicos; a continuación aparecen sus objetivos generales para la cantidad promedio de yardas que ellos deben nadar cada semana. Utiliza los datos para completar la tabla y responde las preguntas de abajo.
4.
Período
Semanas 1a3
Semanas 3a4
Semanas 1a5
Semanas 3a8
A. B. C. D.
Semanas 8 a 10
Tasa promedio de cambio en yardas por semana
5.
¿Qué significa que la tasa de cambio sea negativa en este escenario?
2.
¿Qué intervalo de una semana tiene el mayor aumento de yardas si observamos la gráfica? ¿Cuál es la tasa de cambio para ese intervalo?
6.
Entre las semanas 1 y 2 Entre las semanas 4 y 5 Entre las semanas 7 y 8 Entre las semanas 6 y 9
¿Cuál fue la tasa de cambio entre las semanas 8 y 10? A. B. C. D.
1.
3.
¿Durante qué período la tasa promedio de cambio fue de −10 segundos por semana?
5 segundos por semana −5 segundos por semana 10 segundos por semana −10 segundos por semana
¿Parece razonable que si la temporada se prolongara durante otras 10 semanas, la tasa de cambio podría ser la misma que entre las semanas 8 y 10? Explica por qué sí o por qué no.
Elige dos semanas entre las que la tasa promedio de cambio sea 0. 2
1
Properties of Functions Part 3
Usa las siguientes gráficas para responder las preguntas 7–9.
7.
¿Cuál función tiene la mayor tasa promedio de cambio de x = 0 a x = 4? A. f(x) B. g(x) C. h(x)
8.
¿Cuál de las siguientes opciones tiene el menor valor? A. Tasa promedio de cambio de f(x) de x = 3 a x = 4 B. Tasa promedio de cambio de g(x) de x = 1 a x = 2 C. Tasa promedio de cambio de g(x) de x = −4 a x = 3 D. Tasa promedio de cambio de h(x) de x = −3 a x = 0
9.
Selecciona todos los escenarios siguientes en los que la tasa promedio de cambio es 0. A. Tasa promedio de cambio de f(x) de x = 2 a x = 4 B. Tasa promedio de cambio de f(x) de x = −3 a x = 3 C. Tasa promedio de cambio de g(x) de x = −2 a x = 2 D. Tasa promedio de cambio de g(x) de x = −1 a x = 2 E. Tasa promedio de cambio de h(x) de x = 0 a x = 3 F. Tasa promedio de cambio de h(x) de x = −4 a x = 4 3
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 3)
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 4: DOMINIO Y RANGO DESCRIPCIÓN Los estudiantes determinarán los dominios y rangos de funciones y escribirán esos valores usando formatos apropiados. También determinarán el dominio y el rango en relación con el contexto de un problema y serán capaces de diferenciar entre situaciones discretas y continuas.
ESTÁNDARES DE PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.3 Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros: Los estudiantes analizarán problemas y utilizarán supuestos matemáticos, definiciones y resultados establecidos para construir argumentos. • MP.4 Modelar con matemáticas: Los estudiantes aplicarán las matemáticas que conocen para resolver problemas de la vida cotidiana. • MP.8 Buscar y expresar regularidades en razonamientos repetidos: Los estudiantes comprenderán la aplicación más amplia de los patrones y verán la estructura en situaciones similares.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de tarjetas de eventos (por estudiante) • 1 boleto de salida (por 2 estudiantes) REUTILIZABLE
• 1 par de tijeras (por estudiante) • 1 barra de pegamento (por estudiante)
PREPARACIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Lea la siguiente situación a la clase: El comité de planificación de eventos estudiantiles tiene un evento más que planificar para el año, la fiesta de fin de curso. Usted está a cargo del seguimiento de la venta de entradas durante los 7 días previos al evento para poder informar sobre la asistencia prevista al evento. Este número es necesario para que el comité pueda estar seguro de tener suficiente comida y premios. También te encargas de hacer un seguimiento de la asistencia de estudiantes durante las 4 horas que dura el evento, de modo que puedas ayudar al comité a determinar si la fiesta del año que viene debe ampliarse. Los datos que has recopilado se representan en tablas y gráficos. Utiliza los datos para hacer tus recomendaciones al comité de planificación del evento estudiantil. 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Explique a los estudiantes que trabajarán con sus grupos para analizar las tablas y los gráficos y luego responderán a las preguntas sobre entradas y salidas. Utilizarán este análisis para apoyar sus recomendaciones sobre la venta de entradas y la asistencia en sus diarios. 4. Mientras colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientadoras para evaluar la comprensión: a.
DOK-1 «¿Cuál es la variable independiente?». La variable x es la variable independiente.
b.
DOK-1 «¿Qué variable es la variable dependiente?». La variable y es la variable dependiente.
c.
DOK-3 «¿Querrías conectar los puntos de la gráfica para la venta de entradas? ¿Por qué sí o por qué no?». No, no quiero conectar los puntos en este gráfico porque sólo recogí datos para días específicos, y no hay nada que indique que las ventas fueron continuas.
d.
DOK-3 «¿Por qué estaría bien conectar los puntos en el gráfico para el número de estudiantes que asistieron al evento?». Esta gráfica muestra el número de personas en el evento durante un intervalo de tiempo específico. Dado que el tiempo está en constante movimiento, conectar los puntos está bien.
• Separe la clase en grupos de 2 o 3 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» y un juego de tarjetas de sucesos para cada uno. • Imprima un «Boleto de salida» para cada 2 estudiantes. Recorte los boletos de salida a media página para que cada estudiante tenga uno. • Reúna tijeras y pegamento para cada estudiante.
5. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte I y responder a las preguntas que siguen. 6. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta ahora.
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 CHARLA DE MATEMÁTICAS Properties of Functions Explore 4
¡Fiesta de fin de año!
Parte I
Ventas de boletos La venta de boletos comenzó lenta, pero aumentó en un margen mayor cada día. Los datos que recopilaste se organizaron en una tabla y una gráfica. Analiza los datos para responder las preguntas y haz tu recomendación al comité. Día
Cantidad de ventas de boletos
1
10
2
12
3
16
4
21
5
38
◦ Explique lo siguiente a la clase: En álgebra, definimos el conjunto de entradas como el dominio. Cuando te preguntan por el dominio de una función, estás buscando los posibles valores x, o entradas. • DOK-2 «¿Qué palabra usamos para describir los posibles valores y?».Los valores y también se llaman salidas.
6
72
7
140
1.
¿Cuáles son las posibles entradas para esta situación?
2.
¿Tienen sentido los decimales en esta situación? ¿Por qué sí o por qué no?
3.
¿Cuáles son los valores de las salidas de la situación? ¿Qué representan?
4.
¿Serían posibles valores negativos en esta situación? ¿Por qué sí o por qué no?
5.
Con base en los datos recopilados, ¿cuántos estudiantes deberían anticipar en este evento? ¿Cuál es tu recomendación para la comida y los premios?
◦ Explique lo siguiente a la clase: En álgebra, definimos el conjunto de salidas como el rango. Cuando te preguntan por el rango de una función, estás buscando los posibles valores y, o salidas.
1
Properties of Functions Explore 4
Asistencia La cantidad de estudiantes en la fiesta de fin de año aumentó continuamente hasta la hora 2, cuando la cantidad de asistentes alcanzó su punto máximo. Después de la hora 2, la cantidad de estudiantes en el evento disminuyó continuamente hasta el final del evento en la hora 4. Los datos que recopilaste se organizaron en una tabla y una gráfica. Analiza los datos para responder las preguntas y haz tu recomendación al comité. Hora
• DOK-2 «¿Qué palabra usamos para describir los posibles valores x?».Los valores x también se llaman entradas.
Cantidad de estudiantes
0
0
1
300
2
400
3
300
4
0
6.
¿Pueden describirse las posibles entradas al enumerar todos los valores posibles? ¿Por qué sí o por qué no?
7.
Describe las posibles entradas con el uso de las desigualdades.
8.
¿Describir los posibles resultados al enumerar todos los valores posibles es la forma más eficiente de describir los posibles resultados? ¿Por qué sí o por qué no?
9.
Describe las posibles salidas con el uso de las desigualdades.
10. Según los datos recopilados, ¿recomendarías que la fiesta de fin de año del próximo año se extienda a 5 horas de duración? Explica.
2
• DOK-2 Diríamos que el dominio de la venta de entradas es discreto y el dominio de la asistencia al evento es continuo. «¿Qué podrían significar estas palabras?». Piensa en las diferencias de los gráficos de estos dos conjuntos de datos. Continuo significaría que el dominio podría ser cualquier valor entre los puntos de datos (por ejemplo, 1,5 horas). Los puntos de datos del gráfico se conectaron con una línea. Discreto debe significar que el dominio está restringido a puntos de datos específicos. Los puntos de datos en la gráfica no estaban conectados. • DOK-3 «¿Qué significa que el dominio de una función puede estar restringido si la función representa una situación del mundo real?». Da un ejemplo.Es un recordatorio de que tengo que considerar lo que es razonable para una situación. Cuando una función sólo representa una relación y no está en contexto, las únicas restricciones son las restricciones matemáticas. Un ejemplo de un dominio restringido podría ser un estudiante caminando a casa desde la escuela a un ritmo constante. Vive a 1 milla de la escuela. Si representamos la distancia como una función del tiempo, el tiempo estaría limitado. El mínimo es 0 porque el tiempo negativo no tiene sentido, y el máximo estaría limitado porque su casa está a una distancia fija y viaja a un ritmo constante. Si consideráramos la representación algebraica sin un contexto, el dominio no estaría limitado. • DOK-3 «¿Qué puede ser útil para identificar si una función es discreta o continua?».Si hay una gráfica, observe si los puntos están conectados o no. Si el dominio y el rango están escritos sin gráfica, mire si los valores están enumerados o escritos usando desigualdades.
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 PARTE II
1. Lea la siguiente situación a la clase: Gracias a tu magnífico trabajo y a tus recomendaciones sobre la fiesta de fin de curso, el comité de planificación de eventos estudiantiles te ha elegido como presidente para organizar todos los actos del año que viene. En la última reunión del año, los miembros del comité se estaban repartiendo las tarjetas de datos de los eventos de este año. Torpemente, las tarjetas de eventos se mezclaron mientras los miembros las pasaban por la mesa. Utiliza tus conocimientos para clasificar la información y organizarla para el comité. 2. Distribuya un juego de tarjetas de eventos, tijeras y pegamento a cada estudiante. 3. Haga que los estudiantes recorten las tarjetas. 4. Explique que trabajarán con sus grupos para clasificar las tarjetas y emparejar cada gráfico con un dominio y rango correspondientes. Los estudiantes pegarán sus propias tarjetas en sus diarios. 5. Mientras colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar la comprensión: a. DOK-1 «¿Qué significa cuando ves un círculo abierto en un punto específico de la función?». Un círculo abierto significa que ese valor en particular no está incluido en su dominio o rango. b. DOK-1 «¿Qué significa cuando ves un círculo cerrado en un punto específico de la función?». Un círculo cerrado significa que ese valor en particular está incluido en su dominio o rango. También significa que ese valor es el último valor del conjunto.
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿En qué se diferencia el dominio de una representación algebraica del dominio de una situación?».El dominio de una representación algebraica sólo está limitado por el álgebra o la representación. El dominio de una situación está limitado por la situación y el álgebra utilizada para representar la situación. • DOK-3 «¿Es posible tener un dominio restringido y un rango no restringido? ¿Por qué o por qué no?». No, el rango son las restricciones de la variable dependiente. Puesto que la variable independiente está restringida, las variables dependientes correspondientes también estarían restringidas. • DOK-2 «¿Cómo se puede saber si el valor de un punto final se va a incluir en un conjunto solución cuando se observan desigualdades?».Si la desigualdad es menor que (<) o mayor que (>), entonces el valor no se incluirá. Si la desigualdad es menor o igual que (≤) o mayor o igual que (≥), entonces el valor se incluirá. 8. Cuando los estudiantes terminen, pídeles que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 9. Regresa a la sección de «Captar interés» e instruya a los estudiantes para que usen sus habilidades recién adquiridas para completar exitosamente la actividad.
6. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen. 7. Después de la exploración, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
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EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4
Properties of Functions Explore 4
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Fiesta en el patio
Parte II
Recorta las tarjetas de eventos del documento «Tarjetas de eventos», mira la información de cada tarjeta y decide a qué evento pertenece. Una vez que hayas decidido, pega cada tarjeta en el lugar apropiado a continuación.
Se ha reservado un tanque de agua para la fiesta en el patio. Debe llenarse a una velocidad de 2.5 pulgadas por segundo. Se usa la ecuación y = 2.5x y se ha determinado que tomará 60 segundos llenar el tanque.
Gramos de caramelo El comité de planificación de eventos estudiantiles vende caramelos la última semana de clases. La ecuación y = 2.5x se usa para calcular la ganancia. Se ha determinado que necesitan vender entre 55 y 60 gramos de caramelos para cumplir con su meta de ganancias.
Pega el dominio y rango aquí.
Pega el dominio y rango aquí.
Pega la gráfica aquí.
Pega la gráfica aquí. Empareja cada una de las gráficas restantes con su dominio y rango correctos. Luego, pega las tarjetas de eventos en los espacios a continuación.
Lanzamiento de huevo
El evento de lanzamiento de huevo resultó en que el huevo del ganador alcanzó una altura de 150 pies y aterrizó a una distancia de 8 pies de la plataforma de inicio.
Pega el dominio y rango aquí.
Pega la gráfica aquí.
Pega la gráfica aquí.
Pega la gráfica aquí.
Pega el dominio y rango aquí.
Pega el dominio y rango aquí.
Pega el dominio y rango aquí.
Pega la gráfica aquí.
4
3
Properties of Functions Explore 4
Reflexiona 1.
¿Qué tipos de situaciones serían discretas? Enumera algunos ejemplos.
2.
¿Qué tipos de situaciones serían continuas? Enumera algunos ejemplos.
3.
¿Por qué hacemos una lista cuando escribimos el dominio y rango de situaciones discretas?
4.
¿Por qué escribimos el dominio y el rango de una situación continua con el uso de una desigualdad?
5.
Dibuja una gráfica cuyo dominio sea 1 ≤ x < 5 y cuyo rango sea −2 < y ≤ 2.
5
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de realizar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez que la clase haya completado, pida a cada estudiante que complete su «Libreta interactiva».
Properties of Functions Explore 4
Dominio y rango Boleto de salida Aditya estaba parado en una plataforma con vista a un lago que estaba ubicada a 10 metros sobre la superficie del agua. Lanzó una roca desde su ubicación al agua de abajo. Usa la gráfica para responder las siguientes preguntas. 1.
¿Cuál es el dominio de esta función?
2.
¿Cuál es el rango de esta función?
3.
¿Cuántos segundos tardó la roca en caer al agua?
4.
¿Esta función es continua o discreta? Explica.
Dominio y rango Boleto de salida
Aditya estaba parado en una plataforma con vista a un lago que estaba ubicada a 10 metros sobre la superficie del agua. Lanzó una roca desde su ubicación al agua de abajo. Usa la gráfica para responder las siguientes preguntas. ¿Cuál es el dominio de esta función?
2.
¿Cuál es el rango de esta función?
3.
¿Cuántos segundos tardó la roca en caer al agua?
4.
¿Esta función es continua o discreta? Explica.
BOLETO DE SALIDA
APOYOS DIDÁCTICOS 1. Pueden tener dificultades para nombrar el dominio y el rango de una gráfica que es discreta. Anime a los estudiantes a considerar los tramos de la gráfica que son continuos y luego a escribir el dominio y el rango para ellos individualmente. 2. Los estudiantes pueden no entender que las expresiones pueden tener un dominio y un rango independientemente de si son funciones. Use el ejemplo x = 1, que no es una función, donde el dominio es sólo x = 1, y el rango son todos los números reales.
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4. Pueden tener dificultades para determinar si los puntos finales deben incluirse en las desigualdades. Anima a los estudiantes a introducir esos puntos finales para comprobar si crean un enunciado verdadero.
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo del lenguaje de los estudiantes.
Properties of Functions Explore 4
1.
3. Es posible que los estudiantes no tengan cuidado con los puntos finales de círculos cerrados y abiertos al determinar el dominio y el rango. Anímelos a practicar tanto la escritura del dominio y el rango basándose en ejemplos graficados como el uso de un dominio y rango dados para crear un gráfico apropiado.
Se les proporcionará apoyos previos a la lectura (organizadores gráficos, diagramas de formas y vocabulario preenseñado) para ayudarlos en la comprensión de la lectura. Principiante: Como actividad previa a la lección, guíelos en la creación de cuadrados de vocabulario para los términos dominio y rango. Complete en clase las siguientes secciones de los cuadrados de vocabulario: Definición, Ejemplo (problema matemático) y No ejemplo. Pida a los estudiantes que creen sus propias imágenes para los términos. Intermedio: Como actividad previa a la clase, pida a los estudiantes que creen cuadrados de vocabulario para los términos dominio y rango. Los cuadrados de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), No ejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes las definiciones y los ejemplos, pero anímelos a reescribir las definiciones con sus propias palabras. Avanzado: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que creen cuadrados de vocabulario para los términos dominio y rango. Los cuadrados de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), No ejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes las definiciones y los ejemplos, pero anímelos a reescribir las definiciones con sus propias palabras.
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4
Properties of Functions Part 4
Properties of Functions Part 4
A Samuel se le encargó la tarea de analizar la cantidad de mascotas que tiene cada cliente. Él hizo una tabla con la cantidad de clientes y la cantidad de mascotas que cada uno tiene. Responde las preguntas de abajo con sus datos.
Dominio y rango Samuel trabaja en la oficina de un veterinario, un cliente tiene dos cachorros de 18 meses, Polly y Teo. Usa la tabla y el diagrama de sus pesos para responder las preguntas. Edad en meses 2
5
3
11
4
15
6
18
8
21
12
25
18 1.
Peso de Polly
30
¿Es viable enumerar todas las entradas posibles de esta función? Explícalo.
2.
¿Es el peso de Polly una función continua o discreta?
3.
¿Cuál es el dominio del peso de Polly?
4.
¿Cuál es el rango del peso de Polly?
5.
¿Cuál es el dominio del peso de Teo?
6.
¿Cuál es el rango del peso Teo?
Cantidad de mascotas
Cantidad de clientes
1
45
2
89
3
62
4
23
5
15
6
4
7
2
8
1
7.
¿Es viable enumerar todas las entradas posibles de esta función? De ser así, escríbelas.
8.
¿Tendría sentido tener números negativos o números decimales para los valores de entrada? Explícalo.
9.
¿Cuál es el dominio de esta función?
10.
¿Cuál es el rango de esta función?
2
1
Properties of Functions Part 4
11.
Empareja las siguientes gráficas con la expresión de rango adecuada. Opciones de rango −1 ≤ y ≤ 1 Todos números reales −2 ≤ y ≤ 2 0≤y 0<y
Rango:
Rango:
Rango:
Rango:
Rango: 3
MUESTRA LO QUE SABES ( PARTE 4)
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE
CONSOLIDAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
ESQUEMA DE ANCLAJE
Propiedades de las funciones Una función es una relación especial entre valores, donde cada valor de entrada corresponde exactamente a un valor de salida.
DESCRIPCIÓN Este gráfico de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Esta es una herramienta para apoyar la instrucción y anclar el aprendizaje de los estudiantes a lo largo del alcance.
“f de x es igual a x menos uno y cinco décimos.”
MATERIALES
• 1 hoja de papel cuadriculado
¡En una función, cada valor de x tiene un solo valor de y! DOMINIO: Conjunto de todos los valores de entrada
PREPARACIÓN
RANGO: Conjunto de todos los valores de salida
●
El DOMINIO de esta gráfica es −6 < x ≤ 3. El RANGO de esta gráfica es −2 < y ≤ 6. Tasa promedio de cambio = cambio en y cambio en x
• 1 juego de marcadores multicolores
La tasa promedio de cambio de esta línea es 6 – 3 , la cual es igual a 1. 3–0
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
Imprima el ejemplo de esquema de anclaje (opcional).
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. El ejemplo de esquema de anclaje puede usarse como referencia antes de crear el «Esquema de anclaje» de la clase con los estudiantes. Esta actividad debe estar dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje. 2. A medida que los estudiantes trabajen en el alcance, colaboren para añadir piezas al esquema de anclaje. Formule las siguientes preguntas: a. «¿Qué estrategia utilizamos para resolver este problema?». b. «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?». 3. Continúe añadiendo habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada exploración para resaltar el contenido importante. 4. Explique a los estudiantes que pueden utilizar este esquema como herramienta de apoyo para su aprendizaje. También pueden pegar una copia del esquema de anclaje en sus cuadernos para utilizarla como referencia durante todo el año. 5. Algunos esquema de anclaje sólo se mostrarán durante ese alcance o grupo de alcances, mientras que otras permanecerán expuestas durante todo el año escolar.
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA Properties of Functions
DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
LIBRETA INTERACTIVA
Instrucciones ● Recorta el plano cartesiano y la tabla, y pega en tu cuaderno. ● Llena la tabla con tres pares coordinados para la función h(x) = 2x. ● Grafica los tres puntos en el plano cartesiano y conecta para formar una línea.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase utilizando la actividad y el cuaderno.
x
h(x)
MATERIALES IMPRESO
●
1 folleto del estudiante (por estudiante)
PREPARACIÓN ●
Imprima una copia del folleto del estudiante por alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Prepare una «Libreta interactiva» con un cuaderno de espiral o de composición para cada estudiante. Los estudiantes pueden utilizar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades.
Instrucciones ● Contesta las preguntas en la página de notas a continuación. ● Recorta la página de notas y pega en tu cuaderno. ¿Es h(x) = 2x una función? ¿Por qué sí o por qué no?
Si h(x) = 2x representa la cantidad de dinero que Pedro recibe al perder x dientes. ●
¿Cuál es el dominio de la función?
●
¿Cuál es el rango de la función?
FOLLETO DEL ESTUDIANTE
2. En el «Folleto del estudiante» se ofrecen instrucciones para cada actividad. 3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos interactivos. 4. Las libretas ineractivas pueden utilizarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO PALABRAS QUE HAY QUE CONOCER
VOCABULARIO ILUSTRADO Función
Notación de función
Elemento
Conjunto
Relación especial entre valores; cada valor de entrada devuelve exactamente un valor de salida
Forma de representar y, el valor dependiente en una relación, como f(x), leer «f de x» donde f nombra la función
Cualquier número o valor distinto que es parte de un conjunto
Grupo de números únicos u objetos llamados miembros o elementos
2
3
4
5
Función lineal
Desigualdad
Desigualdad lineal
Función cuadrática
Relación que cuando se grafica es una línea recta
Oración matemática que usa símbolos como <, ≤, > o ≥ para comparar dos cantidades
Desigualdad que implica una función lineal
Función que se puede escribir en la forma f(x) = ax² + bx + c = 0, donde a, b, y c son números reales y a ≠ 0, o en la forma f(x) = a(x – h)² + k, donde a, h y k son números reales y a ≠ 0
6
7
8
9
Función exponencial
Relación cuantitativa
Tasa de cambio
Intervalo
Función en la forma de f(x) = abˣ donde a y b son números reales y a ≠ 0, b ≠ 1, yb>0
Relación entre magnitudes
Tasa que muestra cómo cambia una cantidad en relación con otra
El conjunto de valores de entrada continuo en el cual los datos de salida de una función pueden incrementarse, decrementarse o ser constantes
10
Plano cartesiano
11
Eje X
Dos rectas numéricas perpendiculares, llamadas eje X y eje Y, que se intersecan en el punto (0, 0) y crean cuatro cuadrantes; también llamado gráfico, cuadrícula de coordenadas o plano de coordenadas
Recta numérica horizontal en un plano de coordenadas 14
12
13
Eje Y
Cuadrante
Recta numérica vertical en un plano de coordenadas
Una de las cuatro secciones del plano de coordenadas, formada por la intersección del eje X y el eje Y
15
16
17
Origen
Par ordenado
Coordenada X
Coordenada Y
Punto central de un plano de coordenadas, donde el eje X y el eje Y se cruzan, ubicado en (0, 0)
Ubicación de un solo punto en un plano de coordenadas donde el primer y segundo valor representan la posición relativa al eje X y al eje Y, respectivamente (x, y); conocido también como par de coordenadas
Primer término en un par ordenado; proporciona la ubicación a lo largo del eje X dentro del plano de coordenadas
Segundo término en un par ordenado; proporciona la ubicación a lo largo del eje Y dentro del plano de coordenadas
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO
Discreto
Continuo
Dominio
Datos que no pueden contener los valores de números reales entre puntos de datos; los puntos de datos no están conectados
Datos que pueden contener cualquier valor numérico real entre puntos de datos. Los puntos de datos se pueden conectar 22
Set
Range
El conjunto de todas las posibles entradas (valores x) de una función 23
The set of all possible output, or y values, of a relation or function 24
Entrada
Salida
25
Prueba de recta vertical Función
A group of unique numbers or objects called members or elements
Conjunto de valores suministrados a una función 26
Manera visual de saber si una recta es una función; si cualquier recta vertical interseca la gráfica más de una vez, entonces la gráfica no es una función
Resultado de la entrada colocada en la función 27
No es una función
28
29
Cero
Valor de x cuando una expresión es igual a cero; es la coordenada X de la intersección con el eje X del gráfico de la expresión 30
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ
Hoja de instrucciones de Concentración Este juega es para jugar en pareja. Necesitarás 1 conjunto de tarjetas del juego Concentración (por pareja) Instrucciones del juego 2. Barajea las tarjetas y colócalas boca abajo para formar una matriz de 4 × 6.
DESARROLLAR LA FLUIDEZ CONCEPTUAL
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes jugarán a un juego de concentración.
MATERIALES 3.
El jugador 1 voltea dos tarjetas para tratar de encontrar un pareo. Un pareo es un problema con su respuesta correcta. Los problemas deberán resolverse para determinar que respuestas respuestas se parean.
4.
Si el jugador 1 empareja un problema con la respuesta correcta, entonces el jugador 1 se queda con el conjunto emparejado y toma otro turno.
5.
Si el jugador 1 no encuentra ningún pareo, vuelve a colocar las tarjetas boca abajo y es el turno del siguiente jugador.
6.
Los jugadores continúan tomando turnos hasta que se hayan encontrado todas los pareos.
7.
El jugador que termine con más tarjetas ganará el juego.
IMPRESOS
• 1 hoja de instrucciones de concentración (por pareja) • 1 juego de tarjetas de concentración (por pareja) REUTILIZABLES
• 1 sobre o bolsa (por pareja)
PREPARACIÓN
• Haga copias a doble cara de las tarjetas de concentración. • Lamínalas para que duren más.
HOJA DE INSTRUCCIONES
• Recorta las tarjetas individuales y colócalas en un sobre o bolsa para facilitar su distribución y limpieza. • Coloque a los estudiantes en parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo barajar las tarjetas y colocarlas boca abajo en una matriz de 4 × 6. 2. Modele cómo jugar el juego con un estudiante. a. El jugador 1 voltea 2 tarjetas para tratar de encontrar una coincidencia. Una coincidencia es un problema con su respuesta correcta. Será necesario resolver los problemas para determinar las respuestas que coinciden. b. Si el jugador 1 encuentra un problema con la respuesta correcta, entonces el jugador 1 se queda con el conjunto coincidente y toma otro turno. c. Si el jugador 1 no encuentra una coincidencia, entonces vuelve a colocar las tarjetas boca abajo y es el turno del siguiente jugador. d. Los jugadores continúan tomando turnos hasta que se hayan encontrado todas las coincidencias. e. Gana el jugador que reúna la mayor cantidad de tarjetas. 3. Distribuya los materiales. A continuación, pida a los estudiantes que barajen las cartas y las coloquen boca abajo. 4. Vigile a los estudiantes para asegurarse de que encuentran las parejas correctas.
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
ELABORAR: REVISIÓN EN ESPIRAL Properties of Functions
REPASAR CONCEPTOS PREVIOS
REVISIÓN EN ESPIRAL: EXPLORACIÓN DEL ESPACIO DESCRIPCIÓN Los estudiantes repasan contenidos de grados anteriores o actuales para ayudar a apoyar su trabajo en el alcance actual y fortalecer las habilidades necesarias para alcances posteriores.
Exploración del espacio El ser humano siempre ha querido descubrir los misterios del espacio. ¿Hasta dónde llega el universo? ¿Pueden los humanos vivir en otro planeta? ¿Cómo sabemos si la estrella sigue ahí si su luz tarda tanto en llegar hasta nosotros? Los humanos han desarrollado una tecnología increíble que nos ha permitido aprender sobre el espacio al enviar humanos, robots, naves espaciales y más al espacio para su exploración. Sus tareas son desarrollar un nuevo casco espacial, lanzar un cohete al espacio, navegar un dron espacial y calcular el tiempo que tarda la luz en alcanzar varios objetos en el espacio. ¡Abróchate el cinturón y ponte las botas espaciales!
REPASO EN ESPIRAL ENFOCADO EN LA PREGUNTA • Pregunta 1
◦ Grado 8: Identificar funciones a partir de representaciones múltiples. • Pregunta 2 ◦ Grado 7: Usar la comprensión de las operaciones para resolver problemas que involucran números racionales. • Pregunta 3
1
◦ Grado 7: Determinar si un valor dado hace que una ecuación o desigualdad sea verdadera. • Pregunta 4 ◦ Grado 8: Resolver ecuaciones de una variable.
Properties of Functions
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada estudiante.
1.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anime a los estudiantes a tratar de responder a las preguntas de forma independiente sin utilizar regrados externos para ver lo que saben. Invite a los estudiantes a anotar ideas o fragmentos que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas. 3. Utilice las preguntas de repaso en espiral como calentamiento en clase, o envíelas a casa como deberes. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos.
Vuelas de forma remota un dron espacial en Marte desde la Estación Espacial Internacional. Al navegar con el dron, debe seguir un camino que represente y en función de x. ¿Qué gráfica muestra esta relación?
A.
B.
C.
D.
3.
Venus está a 6 minutos luz del Sol. Si x = 6, ¿cuál desigualdad es verdadera? A.
2x + 7 > 20
B.
5x – 12 > 17
C.
−10x + 50 > 10
D.
5 3 x + 4 > 14
2.
La visera protectora del casco tiene una superficie de 120 centímetros cuadrados. Es demasiado angosto para que los astronautas tengan una buena visión periférica, por lo que debe aumentar el área del visor 1 a . ¿Cuál será el área de la 5 nueva visera?
4.
Cohete Sombra Z usa la siguiente fórmula para calcular una salida segura de la atmósfera de la Tierra al espacio: 4(x – 6) = 20. ¿Qué valor de x hace que esta ecuación sea verdadera?
4. Consulte la sección enfoque por pregunta del repaso en espiral para evaluar los conocimientos de contenido de los estudiantes o su necesidad de una mayor intervención. Si es necesario repasar más, utilice los constructores de fluidez en los alcances apropiados. 5. El capstone incluye una parte del alcance actual para que los estudiantes vean la conexión y relevancia de su aprendizaje previo con el alcance actual.
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FOLLETO DEL ESTUDIANTE
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS ANÁLISIS DE DATOS
CIENCIA DE DATOS Ciencia de datos es un breve debate en clase basado en un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. la parte I incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los estudiantes en contexto.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizarán, interpretarán y generarán conjuntos de datos, además de responder a preguntas basadas en los datos.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 conjunto de datos (por clase) REUTILIZABLES
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase) • 1 marcador (por clase) CONSUMIBLES
• 1 trozo de papel milimetrado (por clase)
PREPARACIÓN
• Prepárese para proyectar el conjunto de datos a la clase. • Reúna un trozo de papel milimetrado y un marcador.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE APOYO PARTE I
PARTE II
1. Repase cómo evaluar una función para un valor en su dominio, y escriba lo que los estudiantes recuerden en el papel cuadriculado. 2. Plantee las siguientes preguntas: a. La función mostrada en la gráfica es f(x) = ______ -60 + 120. x+0.5 Define las variables de la función. x es el tiempo, en horas, que ha estado cargando el teléfono, y f(x) es el porcentaje de carga de la batería. b. «¿Qué dominio tiene sentido dado el contexto del problema?». Explica. x ≥ 0; el número de horas no puede ser negativo, pero puede ser un valor decimal. c. «¿Qué rango tiene sentido dado el contexto del problema?». Explícalo. 0 ≤ y ≤ 100; La carga de la batería no puede ser negativa, ni puede superar el 100 %. d. Halla la tasa de cambio en la carga de la batería
f(1)-f(0)
entre x = 0 y x = 1. Muestre su trabajo. m = ______ 1-0 -60 -60 + 120 = ___ + 120 = -40 + 120 = 80; f(1) = _____ 1+0.5 1.5 -60 -60 + 120 = ___ + 120 = -120 + 120 = 0; f(0) = _____ 0+0.5 0.5
= 80 % por hora m = ____ 80-0 1-0
e. Explique visualmente cómo sabe que la tasa media de variación es mayor en el intervalo entre x = 0.5 y x = 1.5 que en el intervalo entre x = 1.5 y x = 2.5. La gráfica aumenta a un ritmo mayor durante el primer intervalo, y el cambio en la duración de la batería es mayor al principio del proceso de carga. f. Halla el ritmo de cambio en la carga de la batería entre x = 1 y x = 2. Redondea a la centésima más próxima. Muestra tu trabajo. f(2)-f(1)
1. Proyecte el conjunto de datos y prepárese para anotar las observaciones de los estudiantes.
; m = ______ 2-1
2. Haga las siguientes preguntas:
-60 -60 + 120 = ___ + 120 = -40 + 120 = 80; f(1) = _____ 1+0,5 1.6
a. «¿Qué observas en este conjunto de datos?». b. «¿Qué representa este conjunto de datos?». c. «¿Qué categorías se incluyen en este conjunto de datos?». d. «¿Qué representa la expresión f(x)?». e. «¿Qué tan bien parece modelar la curva los puntos de datos?». f. «¿Qué preguntas tiene acerca de los datos?».
-60 -60 + 120 = ___ + 120 = -24 + 120 = 96; f(2) = _____ 2+0,5 2,5
= __ 16 = 16 % por hora m = _____ 96-80 2-1 1
g. «¿A qué porcentaje esperas que esté la carga de la batería después de 45 minutos?». Redondea a la centésima más cercana. Muestra tu trabajo. 45 minutos = 0.75 hora; -60 -60 f(0.75) = _______ + 120 = ____ + 120 = -48 + 120 = 72 % 0.75+0.5 1.25 h. «¿Cuánto tiempo esperas que tarde la carga de la batería en alcanzar el 90 %?». Muestra tu trabajo. -60 + 120 90 = ____ x+0.5 -60 -30 = ____ x+0.5
-30(x + 0.5) = -60 -30x - 15 = -60 -30x = -45 x = 1.5 horas
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE OBSERVACIÓN EVALUACIÓN DE HABILIDADES
LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede utilizarse como evaluación formativa para los maestroes y como autoevaluación para los estudiantes.
3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo. 4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
5. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el Manual del maestro.
• 1 material para el maestro (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Imprima un material para el maestro y un folleto del estudiante para cada estudiante.
6. Las notas anecdóticas proporcionadas en la hoja para el maestro pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
7. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la Guía de instrucción de andamiaje en la sección Inicio de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
1. Distribuya un folleto del estudiante a cada estudiante. 2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Explorar» y «Explicar» del alcance, evalúe formativamente su progreso tomando notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
Properties of Functions
Estándares para la práctica matemática
Propiedades de las funciones Habilidad o concepto clave
¿Cómo podrías demostrar que sabes esto?
Puedo entender que una función de un conjunto (llamado dominio) a otro conjunto (llamado rango) asigna a cada elemento del dominio exactamente un elemento del rango.
❏ ❏ ❏ ❏ ❏
Represéntalo. Dibújalo. Aplícalo. Habla sobre esto. Escribe sobre esto.
Puedo utilizar la notación de funciones para evaluar funciones para entradas en sus dominios e interpretar enunciados que utilizan la notación de funciones en relación con un contexto.
❏ ❏ ❏ ❏ ❏
Represéntalo. Dibújalo. Aplícalo. Habla sobre esto. Escribe sobre esto.
Puedo relacionar el dominio de una función con su gráfica y, cuando corresponda, con la relación cuantitativa que describe.
Puedo calcular e interpretar la tasa promedio de cambio de una función (presentada simbólicamente o en forma de tabla) a lo largo de un intervalo especificado. Puedo estimar la tasa de cambio a partir de una gráfica.
❏ ❏ ❏ ❏ ❏
Represéntalo. Dibújalo. Aplícalo. Habla sobre esto. Escribe sobre esto.
❏ ❏ ❏ ❏ ❏
Represéntalo. Dibújalo. Aplícalo. Habla sobre esto. Escribe sobre esto.
Properties of Functions
¿Cómo te calificarías a ti mismo?
Puedo dar sentido a los problemas y perseverar en resolverlos.
¿Cómo te calificarías a ti mismo?
Puedo razonar de forma abstracta y cuantitativa.
¡Lo tengo! ¡Ya casi!
Puedo construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros.
¡Todavía no!
Puedo representar con matemáticas.
¡Lo tengo!
Puedo utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas.
¡Ya casi! ¡Todavía no!
Puedo prestar atención a la precisión.
¡Lo tengo!
Puedo buscar y utilizar estructuras.
¡Ya casi!
Puedo buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos.
¡Todavía no!
Reflexiona sobre tu pensamiento, aprendizaje y trabajo en este alcance. ¡Lo tengo!
¿Qué objetivos te has propuesto? ¿En qué has mejorado en este alcance? ___________________________________________________________________
¡Ya casi!
___________________________________________________________________
¡Todavía no!
¿Tienes nuevos objetivos? ¿Dónde quieres mejorar en el próximo alcance? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 1
2
FOLLETO DEL ESTUDIANTE
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
EVALUAR: MAPA DE CALOR ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
MAPA DE CALOR DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
1. Distribuya un mapa de calor a cada estudiante junto con los lápices de color rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s). 2. Los estudiantes utilizan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el mapa de calor. Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los estudiantes colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, los estudiantes colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, colorean el cuadro correspondiente de rojo.
MATERIALES
• 1 mapa de calor (por estudiante) • 1 lápiz rojo (por estudiante) • 1 lápiz azul (por estudiante) • 1 lápiz naranja (por estudiante)
3. Anime a los estudiantes a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se perdió con más frecuencia o un estándar que han dominado claramente, y utilizar esta información para reflexionar y establecer metas en la tabla proporcionada.
PREPARACIÓN
• Determine si los estudiantes analizarán su prueba de habilidades, la evaluación basada en estándares o ambas. • Imprima un mapa de calor para cada estudiante.
4. Consulte la guía de instrucción andamiada que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
• Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
Properties of Functions
Properties of Functions
Consulta tus respuestas en la tabla «Prueba de habilidades». Colorea de verde los cuadros de preguntas correctas y colorea según la siguiente clave los cuadros de preguntas incorrectas. Azul: Error de cálculo
Naranja: Explicación
Consulta tus respuestas en la tabla «Evaluación basada en estándares». Colorea de verde los cuadros de preguntas correctas y colorea según la siguiente clave los cuadros de preguntas incorrectas.
Preguntas de reflexión
Rojo: Error de concepto
1. ¿Con qué habilidad te has sentido más seguro? ¿Por qué?
Azul: Error de cálculo
2. ¿Qué habilidad te ha parecido más desafiante? ¿Por qué?
Naranja: Explicación
Rojo: Error de concepto
Evaluación basada en estándares
Prueba de habilidades Estándares
Properties of Functions
Estándares
Preguntas
Comprende que una función de un conjunto (llamado el dominio) a otro conjunto (llamado el rango) asigna a cada elemento del dominio exactamente un elemento del rango. Si f es una función y x es un elemento de su dominio, entonces f(x) denota la salida de f correspondiente a la entrada x. La gráfica de f es la gráfica de la ecuación y = f(x).
1
Utiliza la notación de funciones, evalúa funciones para entradas en sus dominios e interpreta declaraciones que utilizan la notación de funciones en términos de un contexto.
5
6
7
Relaciona el dominio de una función con su gráfica y, cuando corresponda, con la relación cuantitativa que describe.
1
2
3
Calcula e interpreta la tasa de cambio promedio de una función (presentada simbólicamente o en una tabla) en un intervalo específico. Estima la tasa de cambio de una gráfica.
8
9
10
2
3
4
3. ¿Qué tipo de error cometiste con más frecuencia?
4. ¿Cómo puedes evitar esos errores en el futuro?
4
1
2
Preguntas
Comprende que una función de un conjunto (llamado el dominio) a otro conjunto (llamado el rango) asigna a cada elemento del dominio exactamente un elemento del rango. Si f es una función y x es un elemento de su dominio, entonces f(x) denota la salida de f correspondiente a la entrada x. La gráfica de f es la gráfica de la ecuación y = f(x).
3
5
Utiliza la notación de funciones, evalúa funciones para entradas en sus dominios e interpreta declaraciones que utilizan la notación de funciones en términos de un contexto.
2
9
Relaciona el dominio de una función con su gráfica y, cuando corresponda, con la relación cuantitativa que describe.
1
10
Calcula e interpreta la tasa de cambio promedio de una función (presentada simbólicamente o en una tabla) en un intervalo específico. Estima la tasa de cambio de una gráfica.
4
6
8
7
3
MAPA DE CALOR
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
INTERVENCIÓN: REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES Properties of Functions
REFORZAR Y VOLVER A ENSEÑAR
REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES DESCRIPCIÓN
Revisión 1.
¿Es una función? ¿Por qué sí o por qué no?
Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para intervención.
4.
Da un ejemplo de una función que tiene un dominio de todos los números reales y un rango de todos los números reales.
5.
Para la función h(x) = –7x + 9, determina el valor de x cuando h(x) = 2.
6.
La función t está definida por t(x) = –1.3x2 – 2x + 5.71. Evalúa t(4).
7.
Cuál es el promedio de la tasa de cambio de la función f sobre el intervalo
MATERIALES IMPRESOS
2.
• 1 evaluación rápida (por estudiante)
Dominio: Rango:
• 1 repaso (por estudiante) • 1 evaluación de control (por estudiante)
3.
• 1 lista de verificación para el maestro (por profesor)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de la evaluación rápida, el repaso y la evaluación de control por estudiante.
Determina el dominio y rango de la función graficada en la pregunta 1.
La función g contiene 5 pares ordenados en un conjunto que describe la función. . Función g {(1, 4), (5, 1), (6, 1), (9, 3), (x, y)}
¿Cuál de los siguientes pares ordenados no puede ser incluido en el conjunto?
• Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar la revisión.
A.
(2, 6)
B.
(6, 5)
C.
(3, 4)
D.
(7, 2)
–1 ≤ x ≤ 2? x
–1
0
1
2
3
f(x)
–2
0
2
–1
–8
1
• Si lo desea, imprima un ejemplo del esquema de anclaje de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que usen la libreta interactiva como regrado. • Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayuda complementarios para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
Properties of Functions
8.
La gráfica muestra el número de visitantes que recibe un museo durante 6 días. De acuerdo con la gráfica, ¿Cuál es la tasa promedio de cambio entre el día 2 y el día 5?
9.
Un lugar para acampar tiene un cargo por servicio de $10, y $12 por noche por alquiler de las tiendas. Si x representa el número de noches, y el costo total por acampar es representado por c(x) = 12x + 10. ¿Cuál es un dominio razonable para esta situación?
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. De una copia de la evaluación rápida a cada estudiante. 2. Cada uno debe completarla de forma independiente. 3. Use la rúbrica de habilidades al final de la evaluación rápida para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional en las habilidades.
A. B. C. D.
4. Distribuya una copia del repaso a cada estudiante. 5. Cada uno debe completar el repaso como actividad de intervención o como actividad independiente. a. Si lo desea, reúna a los estudiantes en pequeños grupos para trabajar en las destrezas de repaso. Use el repaso como ayuda para la reenseñanza.
10.
Múltiplos de 12 Enteros positivos Número racionales Números enteros
Los 3 hijos de la señora Jones vienen por el descanso de la primavera, y ella desea llevarlos al parque de diversiones. Hay un cargo familiar de $35 para tener un acceso rápido al parque y el boleto por persona cuesta $90. Si x representa el número de boletos comprados y el costo total es representado por f(x) = 90x + 35. ¿Cuál es un rango razonable para esta situación? A. B. C. D.
{1, 2, 3, 4, 5} {125, 215, 305, 395} 3≤x≤7 35 ≤ y ≤ 395
6. Distribuya una copia de la evaluación de control a cada estudiante. 7. Cada estudiante debe completarla de forma independiente. 8. Analice los resultados de la evaluación de control utilizando la lista de verificación para el maestro para identificar a quienes necesitan un repaso adicional y quienes han alcanzado el dominio de los conceptos.
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EVALUACIÓN DE CONTROL
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
ACELERACIÓN: ¿QUÉ PREFERIRÍAS? Properties of Functions
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
¿QUÉ PREFERIRÍAS?: PROYECTO DE HISTORIA
Proyecto de Historia Usa razonamiento matemático y la creatividad para justificar tu respuesta a la pregunta, ¿qué prefieres? En su clase de Historia, a Carolina se le asigna un proyecto que debe entregarse exactamente en dos semanas. Ella estima que el proyecto le tomará aproximadamente 7 horas para completarlo. Carolina delibera si tratará de completar una cierta cantidad de trabajo todos los días hasta terminar el proyecto (Opción A) o si esperará hasta el día anterior a la fecha de entrega del proyecto y se queda despierta hasta tarde hasta que finalice el proyecto (Opción B). ¿Preferirías elegir la Opción A o la Opción B? Justifica tu razonamiento con matemáticas.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
MATERIALES IMPRESORA
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 rúbrica (por maestro)
PREPARACIÓN
• Imprima un folleto del estudiante por alumno. • Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
1
FOLLETO DEL ESTUDIANTE
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un folleto del estudiante a cada alumno. 2. Anime a los estudiantes a mirar sus folletos del estudiante de las exploraciones si necesitan repasar habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros. 4. Utilice la rúbrica proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Properties of Functions
OPCIONES PARA EL APRENDIZAJE CONTINUO
TABLERO DE OPCIONES DESCRIPCIÓN Los estudiantes exploran las conexiones con el mundo real y las aplicaciones del contenido matemático a través de interacciones con actividades atractivas.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 tablero de opciones (por estudiante) • 1 juego de hojas de actividades (por estudiante) • 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante) REUTILIZABLE
• Tecnología (si corresponde)
PREPARACIÓN
Propiedades de las funciones Elige una o varias actividades de extensión de la siguiente tabla. Conexión profesional
Científicos de control climático
Investiga el campo profesional de la ciencia de control climático. Tu investigación debe responder las preguntas proporcionadas. Crea una presentación para compartir tu investigación con la clase.
Conexión financiera
Tienda de emparedados
Conexión con el arte
Estrellita dónde estás
Utiliza una función matemática para transponer una pieza musical de una tonalidad a otra.
Conexión con las ciencias
Migración de patos
Utilizamos las matemáticas cada día en nuestro mundo financiero. Completa el folleto para explorar cómo nuestro tema de matemáticas actual se relaciona con nuestro mundo financiero.
Relaciona las matemáticas y las ciencias al interpretar una gráfica que muestra la relación entre la distancia y el tiempo durante la migración de patos.
Conexión matemática
Matemáticos en primer plano
Explorar funciones
Explora las funciones claves de dos nuevos tipos de funciones a través de tablas y gráficas antes de estudiarlas a profundidad en futuros grados.
Leonhard Euler
Busca varios artículos de noticias o investigaciones que incluyan el trabajo de Leonhard Euler. Crea un cartel informativo, un diorama o un discurso para presentar el trabajo de este matemático relacionado con las funciones.
• Imprima un tablero de elección y un juego de hojas de actividades para cada estudiante. • Imprima una autoevaluación del tablero para cada estudiante.
TABLERO DE OPCIONES
• Planifica con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del tablero de opciones.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un tablero de opciones a cada estudiante. 2. Conceda tiempo a los estudiantes para examinar el tablero de opciones y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anime a los estudiantes a intentar al menos tres actividades del tablero de opciones. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del tablero de opciones, haga que los estudiantes completen una autoevaluación del tablero para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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ÁLGEBRA 1: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
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ÁLGEBRA 1 RESOLVER ECUACIONES
ÁLGEBRA 1
RESOLVER ECUACIONES
ESTÁNDARES CLAVE Crear ecuaciones que describan números o relaciones. • Crear ecuaciones e inecuaciones en una variable, incluidas aquellas con de valor absoluto y utilizarlas para resolver problemas. Incluir ecuaciones derivadas de funciones lineales y cuadráticas, y de funciones racionales y exponenciales sencillas. • Representar restricciones mediante ecuaciones o inecuaciones, y mediante sistemas de ecuaciones y/o inecuaciones e interpretar las soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de representación. Por ejemplo, representar inecuaciones que describan restricciones nutricionales y de costo en combinaciones de diferentes alimentos. • Reorganizar fórmulas para resaltar una cantida de interés, al utilizar el mismo razonamiento que en la resolución de ecuaciones. Por ejemplo, reordenar la ley de Ohm V = IR para resaltar la resistencia R. Entender la resolución de ecuaciones como un proceso de razonamiento y explicar el razonamiento. • Explicar cada paso en la resolución de una ecuación simple como consecuencia de la igualdad de números afirmada en el paso anterior, a partir de la suposición de que la ecuación original tiene solución. Construir un argumento viable para justificar un método de solución. Resolver ecuaciones e inecuaciones en una variable. • Resolver ecuaciones e inecuaciones lineales en una variable, incluidas las ecuaciones con coeficientes representados por letras. Construir nuevas funciones a partir de funciones existentes. • Encontrar funciones inversas. • Resolver una ecuación de la forma f(x) = c para una función simple f que tiene una inversa y escribir una expresión para la inversa. *Este alcance se centra en las funciones lineales.
ESTÁNDARES DE CONEXIÓN Comprender el concepto de función y utilizar la notación de función. • Comprender que una función de un conjunto (llamado dominio) a otro conjunto (llamado rango) asigna a cada elemento del dominio exactamente un elemento del rango. Si f es una función y x es un elemento de su dominio, entonces f(x) denota la salida de f correspondiente a la entrada x. La gráfica de f es la gráfica de la ecuación y = f(x). • Utilizar la notación de funciones, evaluar funciones para entradas en sus dominios e interpretar enunciados que utilizan la notación de funciones en términos de un contexto.
ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: DE ACUERDO O EN DESACUERDO Los estudiantes evaluarán las respuestas de sus compañeros a una pregunta matemática, determinarán si están de acuerdo o en desacuerdo y justificarán su razonamiento. • Evaluarán y decidirán de forma independiente si están de acuerdo o en desacuerdo con las respuestas de sus compañeros. • Participar en discusiones en parejas para compartir y justificar su razonamiento. • Rotar las parejas para discutir con varios compañeros de clase.
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CAPTAR INTERÉS Los estudiantes conectarán con resolver ecuaciones a un escenario de rompecabezas del mundo real para mejorar su comprensión de las soluciones matemáticas. • Presentar el escenario con un video y animar a los estudiantes a observar y cuestionar la situación, relacionándola con conceptos matemáticos. • Facilitar un debate sobre lo que constituye una solución a una ecuación, y animar a los estudiantes a compartir sus pensamientos e ideas. • Guiar a los estudiantes a través de actividades de exploración para desarrollar estrategias para resolver ecuaciones, centrándose en la comprensión y la aplicación.
ACTIVIDADES DE EXPLORACIÓN EXPLORACIÓN 1: RESOLVER ECUACIONES DE VARIOS PASOS Los estudiantes escribirán, representarán y resolverán de forma colaborativa ecuaciones de varios pasos al analizar y comparar estrategias para identificar los métodos más eficientes. • Los estudiantes trabajarán en grupos para representar y resolver ecuaciones basadas en escenarios de la vida real al utilizar pasos algebraicos documentados en sus diarios. • Analizarán diferentes estrategias para resolver ecuaciones al conversar sobre la eficiencia y corrección de cada método durante las charlas de matemáticas. • Los estudiantes explorarán el uso de fracciones y decimales en ecuaciones y determinarán el enfoque más eficiente para diferentes escenarios. • Completarán un «Boleto de salida» para demostrar su comprensión y contribuir a un esquema de anclaje de la clase y una «Libreta interactiva» para la reflexión y la consolidación del aprendizaje. EXPLORACIÓN 2: RESOLVER ECUACIONES LITERALES Los estudiantes resolverán ecuaciones literales al aplicar su comprensión de ecuaciones algebraicas para aislar una variable específica. • Los estudiantes colaborarán en grupos para resolver rompecabezas con figuras como variables y aplicarán propiedades de igualdad para aislar la figura del círculo. • Los estudiantes pasarán de resolver rompecabezas basados en figuras a resolver ecuaciones literales, centrándose en aislar una variable específica. • Los estudiantes participarán en debates para comparar estrategias y reflexionar sobre las similitudes entre resolver rompecabezas y ecuaciones algebraicas. • Los estudiantes completarán un «Boleto de salida» para demostrar su comprensión de la resolución de ecuaciones literales y participarán en una charla de matemáticas para compartir sus experiencias de aprendizaje. EXPLORACIÓN 3: FUNCIONES INVERSAS Los estudiantes explorarán y comprenderán el concepto y la aplicación de funciones inversas a través de la resolución de problemas en colaboración y el razonamiento matemático. • Los estudiantes analizarán conjuntos de datos para identificar relaciones y construir argumentos sobre funciones inversas. • Colaborarán en grupos para descifrar un cifrado inverso mediante su comprensión de las funciones inversas. • Los estudiantes crearán y resolverán funciones inversas, aplicándolas a escenarios del mundo real y rompecabezas matemáticos. • Participarán en discusiones para compartir observaciones y estrategias, al mejorar su comprensión de las funciones inversas.
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ÁLGEBRA RESOLVER ECUACIONES RESOLVER1:ECUACIONES ALGEBRA 1
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES INVESTIGAR FUNCIONES
MODELAR CON FUNCIONES
SISTEMAS DE ECUACIONES
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
CONCEPTOS CLAVE
PREGUNTAS FUNDAMENTALES
• Puedo escribir ecuaciones lineales en una variable.
• «¿Qué significa ser una solución viable de una ecuación?».
• Puedo resolver ecuaciones lineales en una variable.
• «¿Qué significa ser una solución no viable de una ecuación?».
• Puedo usar ecuaciones lineales en una variable para resolver problemas. • Puedo representar los valores razonables de una situación con una ecuación.
• «¿En qué se parece la resolución de una ecuación con coeficientes variables a la resolución de una ecuación con coeficientes numéricos?».
• Puedo interpretar soluciones para responder preguntas sobre el contexto. • Puedo resolver ecuaciones multivariables para reordenar y resaltar una cantidad de interés. • Puedo usar los nombres de las propiedades como ayuda para justificar los pasos realizados al resolver ecuaciones lineales y comenzar por asumir que las ecuaciones son iguales. • Puedo resolver ecuaciones lineales con coeficientes variables. • Puedo encontrar la inversa de una función lineal.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO «¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?».
CONTENIDOS DE APOYO Crear ecuaciones que describan números o relaciones. • Crear ecuaciones e inecuaciones en una variable, incluidas las de valor absoluto y utilizarlas para resolver problemas. Incluir ecuaciones que surjan de funciones lineales y cuadráticas y de funciones racionales y exponenciales sencillas. • Representar restricciones mediante ecuaciones o inecuaciones, y mediante sistemas de ecuaciones y/o inecuaciones e interpretar las soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de representación. Por ejemplo, representar inecuaciones que describan restricciones nutricionales y de costo en combinaciones de diferentes alimentos. • Reorganizar fórmulas para resaltar una cantidad de interés, al utilizar el mismo razonamiento que en la resolución de ecuaciones. Por ejemplo, reordenar la ley de Ohm V = IR para resaltar la resistencia R. Entender la resolución de ecuaciones como un proceso de razonamiento y explicar el razonamiento. • Explicar cada paso en la resolución de una ecuación simple como consecuencia de la igualdad de números afirmada en el paso anterior, a partir de la suposición de que la ecuación original tiene solución. Construir un argumento viable para justificar un método de solución. Resolver ecuaciones e inecuaciones en una variable. • Resolver ecuaciones e inecuaciones lineales en una variable, incluidas las ecuaciones con coeficientes representados por letras.
Construir nuevas funciones a partir de funciones existentes. • Encontrar funciones inversas. ◦ Resolver una ecuación de la forma f(x) = c para una función simple f que tiene una inversa y escribir una expresión para la inversa. Por (x + 1) (x - 1)
ejemplo, f(x) = 2x³ o f(x) = _______ para x ≠ 1.
• Pueden usar métodos inexactos al mover números y variables al lado opuesto del signo igual. • Los estudiantes que comienzan la lección con conceptos erróneos sobre el significado del signo igual o de los signos negativos tienen dificultades para aprender a resolverlas. Sin embargo, si mejoran su conocimiento de esas características en el transcurso de la lección, aumenta su aprendizaje de los procedimientos correctos. • Los estudiantes pueden tener dificultades al resolver ecuaciones literales, incluso cuando pueden resolver una ecuación similar de una sola variable.
EN ESTE ALCANCE En este alcance, los estudiantes deben continuar el desarrollo de su capacidad para aplicar las propiedades de las operaciones para resolver ecuaciones de varios pasos. Deben ser capaces de utilizar modelos, construir argumentos de igualdad y explicar por qué una ecuación o modelo es equivalente al realizar operaciones para aislar una variable. Deben ser capaces de determinar y explicar las restricciones de las ecuaciones que representan una situación contextual, incluida la razonabilidad de una solución. Deben establecer conexiones entre la resolución de ecuaciones con coeficientes numéricos y la resolución de ecuaciones con coeficientes variables. Deben ser capaces de reordenar fórmulas, incluida la búsqueda de la inversa, para resaltar una variable y explicar los pasos utilizados. Deben establecer conexiones con la resolución de ecuaciones y el reordenamiento de fórmulas. Los estudiantes usarán un enfoque conceptual de los inversos y verificarán que son inversos mediante la sustitución. TÉRMINOS A CONOCER
• ecuación: un enunciado matemático que muestra que dos expresiones son iguales entre sí. • variable: una letra o símbolo que toma el lugar de un número que puede cambiar; una letra que puede representar un número desconocido o un conjunto de números.
Este alcance se enfoca en lo lineal.
• función lineal: una relación que cuando se grafica es una línea recta.
CONOCIMIENTOS PREVIOS
• restricción: una condición que la solución debe satisfacer.
En grados anteriores, los estudiantes crearon y resolvieron ecuaciones lineales de una variable, aprendieron y aplicaron las propiedades de las operaciones y razonaron con desigualdades. Los estudiantes han utilizado una variedad de fórmulas, incluidas, pero no limitado a interés simple, las conversiones de temperatura y perímetro.
CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
• Es común que los estudiantes confundan las representaciones simbólicas para frases como«3 menos que un número» y «3 es menos que un número». Además, los estudiantes también pueden representar erróneamente «3 menos que un número» como 3 – x.
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• sistema de ecuaciones: dos o más ecuaciones con dos o más variables. • fórmula: una afirmación o regla matemática escrita con símbolos. • igualdad: un estado en el que dos cantidades o dos expresiones matemáticas tienen el mismo valor. • solución: cualquier número que hace que una ecuación sea verdadera. • coeficiente: el número colocado directamente delante de una variable que te dice que multipliques ese número por la variable.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO
APLICACIÓN DE PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes analizan ecuaciones, trazan estrategias para resolver las ecuaciones y luego resuelven para encontrar el valor de las variables. Analizan ecuaciones para determinar las formas mejores y más eficientes de resolverlas. • MP.2 Razonamiento abstracto y cuantitativo: Los estudiantes descontextualizan un escenario para representarlo con una ecuación, resuelven la ecuación y relacionan el valor con el contexto del escenario. • MP.3 Dar sentido a los problemas y perseverar en su solución: Los estudiantes analizan el trabajo de otros estudiantes para determinar la exactitud de sus respuestas y la eficiencia en la resolución y justifican sus argumentos. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes escriben ecuaciones para representar escenarios del mundo real, resuelven las ecuaciones y relacionan los valores con el contexto de los problemas para evaluar la validez de sus respuestas. • MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas: Los estudiantes utilizan fichas de álgebra para proporcionar una representación visual de la resolución de ecuaciones, lo que les permite comprender mejor lo que sucede matemáticamente porque ven la cancelación de las partes. • MP.6 Atender a la precisión: Los estudiantes atienden a la precisión cuando explican qué pasos siguieron al resolver una ecuación y cuando justifican su proceso de resolución para hallar el valor de la variable. • MP.7 Buscar y utilizar estructuras: Los estudiantes utilizan su comprensión de las operaciones inversas para evaluar estrategias para resolver ecuaciones. Analizan el trabajo y determinan las formas más eficientes de resolver problemas. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes descubren que los mismos procesos y pasos necesarios para resolver ecuaciones de varios pasos se utilizan para resolver ecuaciones literales. Aplican su comprensión de las operaciones inversas para manipular ecuaciones para la variable deseada.
ECUACIONES DE UNA VARIABLE EN VARIOS PASOS Los estudiantes representarán y justificarán el proceso para resolver ecuaciones de varios pasos. Explicarán su proceso al utilizar propiedades y vocabulario matemático apropiado. Los estudiantes comprobarán sus soluciones con la sustitución y graficarán la solución en una recta numérica. Comenzarán con problemas que incluyan distribución y/o variables en ambos lados. Los estudiantes se encontrarán con problemas que tienen una solución, ninguna solución e infinitas soluciones. Ejemplo: Jana terminaba su tarea de matemáticas mientras desayunaba. Para resolver una ecuación, tenía que representar y justificar cada paso. Justo cuando terminaba, su hermano derramó leche sobre su papel. Ayúdala a determinar las piezas que faltan en su papel y luego escribe un párrafo para analizar si este fue el método más eficiente y si hubo algún error.
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Justifica cada paso
2 (x – 3) = –10
Dado
2x – 6 = –10
Distributive property of multiplication over addition
2x – 6 + 6 = –10 + 6
Propiedad de igualdad de la adición
2x + 0 = –4
Combina términos similares
2x = –4
Identidad aditiva
2x –4 2 = 2
Division property of equality
=
1x = –2
Simplifica
=
x = –2
Identidad de la multiplicación
=
=
=
=
=
=
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Proceso algebraico
Representa cada paso
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO
Proceso algebraico
Representa cada paso
2 (x – 3) = –10
Justifica cada paso Dado
=
Ejemplo: La fórmula C = P(1 + T) representa el costo de un artículo, C, en términos del precio original del artículo, P y el tipo impositivo en forma decimal, T. «¿Por qué podría ser necesario escribir la fórmula en términos de P?».
2x – 6 = –10
Propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma
=
2x – 6 + 6 = –10 + 6
Propiedad de igualdad de la adición
2x + 0 = –4
Combina términos similares
2x = –4
Identidad aditiva
2x –4 2 = 2
Propiedad de igualdad de la división
=
1x = –2
Simplifica
=
x = –2
Identidad de la multiplicación
=
Reescríbela en términos de P. Esta fórmula podría tener que escribirse en términos de P si alguien intentara determinar el precio original de un artículo cuando se conocen el costo y el tipo impositivo. C P = _____ 1+T
INVERSA DE ECUACIONES LINEALES =
=
=
Este no era el método más eficiente, ya que si se utilizaba primero la propiedad de división de la igualdad, se obtendrían solo seis pasos. El método elegido por Jana requería ocho pasos. En el trabajo de Jana no había ningún error. Sin embargo, no utilizó la sustitución para comprobar su solución y no trazó su solución en una recta numérica. Esos pasos deben ser incluidos.
ECUACIONES LITERALES Los estudiantes comenzarán a resolver una ecuación familiar de dos pasos para una sola variable. A continuación, los estudiantes resolverán una ecuación similar que solo contiene variables. Determinarán las similitudes en el proceso de resolver una ecuación de una sola variable a una ecuación multivariable similar. A este ejercicio inicial le seguirán ejercicios contextuales que incluyen fórmulas como interés simple, perímetro, área de un triángulo, área de un trapecio, fórmulas de física (distancia d = vt, Ley de Ohm V = IR), la fórmula Fahrenheit/Celsius, etc. Los estudiantes explicarán con sus propias palabras su proceso de solución para reordenar la fórmula.
Los estudiantes empezarán con un ejemplo de la vida real de hacer y deshacer. Esto podría explorarse al utilizar un mapa para describir cómo van de un lugar a otro y luego dar instrucciones para volver a la ubicación original. De este modo, los estudiantes empezarán a desarrollar su proceso de reflexión sobre el proceso de deshacer. A continuación, los estudiantes explorarán la búsqueda de la inversa de ejemplos contextuales, como una ecuación que muestra cómo la temperatura Fahrenheit es una función de Celsius y resolver para C, al encontrar la fórmula de la inversa. Encontrarán inversas de ecuaciones lineales, explicarán el proceso y describirán el significado o la utilidad de cada ecuación. Comprobarán funciones inversas mediante sustitución. Determinarán la inversa y verificarán mediante sustitución al analizar una variedad de contextos como conversión de temperatura, conversiones de medidas, fórmulas de perímetro, área o volumen, costo y cantidad de invitados. Ejemplo: En 2016-2017, la matrícula en el colegio comunitario de Maricopa era de $86 por hora de crédito. Todos los estudiantes que se inscribían para tomar clases también debían pagar una cuota de inscripción de $15. Escribe una ecuación para determinar la matrícula en términos de horas crédito donde m representa el costo total de la matrícula en dólares y c representa la cantidad de horas crédito asignadas. Luego encuentra la inversa y explica lo que representa. Utiliza la sustitución para verificar que las ecuaciones son inversas. m = 15 + 86c m-15 c = _____ 86
m-15 m = 15 + 86 ( _____ ) Sustituye por c. 86
m = 15 + (m-15) Explica el proceso y los resultados. m = 15 + (-15 + m) Propiedad conmutativa de la suma m = (15 + -15) + m Propiedad asociativa de la suma m = m
Simplifica mediante la suma.
Las ecuaciones anteriores son inversas porque, al verificarlas mediante sustitución, resultan m = m. Esto demuestra que la ecuación escrita en términos de c deshace las operaciones de la ecuación escrita en términos de m.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO Ejemplo: Pauline y D'marcus planean un banquete de bodas en un salón de banquetes. Les cuesta una tarifa base de $500 y $35 por invitado. Si su presupuesto para los gastos del salón se limita a $1,000, establece el costo en función del número de invitados. A continuación, determina la ecuación de la función inversa y explica cómo el dominio de la función original está relacionado con el rango de la función inversa. c = 500 + 35g
Ejemplo: La función A y la función B se muestran en el siguiente diagrama. «¿Son estas funciones inversas? ¿Cómo lo sabes?».
c-500 i = _______ 35
La entrada de la función original es i, el número de invitados. La salida de la función inversa es i, el número de invitados. Dado que el dominio es el conjunto de números razonables para la variable de entrada o independiente, y el rango es el conjunto de números razonables para la variable de salida o dependiente, se puede identificar a partir de las dos primeras afirmaciones que el dominio de la función original es el mismo que el rango de la función inversa.
Sí, las funciones A y B son inversas. Cada entrada de la función A es una salida de la función B cuando la salida de la función A se usa como entrada para la función B.
AVANCES Resolver ecuaciones y encontrar inversas es un tema central en todos los cursos de matemáticas. En Álgebra 2, los estudiantes resolverán y explorarán inversiones de funciones cúbicas, racionales, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, entre otras.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO PROFUNDIZAR EN LAS NORMAS
CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES Crear ecuaciones que describan números o relaciones. • Crear ecuaciones e inecuaciones en una variable, incluidas aquellas con de valor absoluto y utilizarlas para resolver problemas. Incluir ecuaciones derivadas de funciones lineales y cuadráticas, y de funciones racionales y exponenciales sencillas. • Representar restricciones mediante ecuaciones o inecuaciones, y mediante sistemas de ecuaciones y/o inecuaciones e interpretar las soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de representación. Por ejemplo, representar inecuaciones que describan restricciones nutricionales y de costo en combinaciones de diferentes alimentos. • Reorganizar fórmulas para resaltar una cantidad de interés, al utilizar el mismo razonamiento que en la resolución de ecuaciones. Por ejemplo, reordenar la ley de Ohm V = IR para resaltar la resistencia R. Entender la resolución de ecuaciones como un proceso de razonamiento y explicar el razonamiento. • Explicar cada paso en la resolución de una ecuación simple como consecuencia de la igualdad de números afirmada en el paso anterior, a partir de la suposición de que la ecuación original tiene solución. Construir un argumento viable para justificar un método de solución. Resolver ecuaciones e inecuaciones en una variable. • Resolver ecuaciones e inecuaciones lineales en una variable, incluidas las ecuaciones con coeficientes representados por letras. Construir nuevas funciones a partir de funciones existentes. • Encontrar funciones inversas. ◦ Resolver una ecuación de la forma f(x)= c para una función simple f que tiene una inversa y escribir una expresión para la inversa. Por ejemplo, f(x) =2x³ o (x+1) (x-1)
f(x) = ______ para x ≠ 1. Nota: Este alcance se centra en los verbos lineales.
DESGLOSAR EL ESTÁNDAR VERBOS: ¿QUÉ DEBERÍAN ESTAR HACIENDO LOS ESTUDIANTES?
• encontrar: descubrir; resolver. • crear: hacer algo desde cero. • describir: escribir o contar los detalles de. • usar: aplicar una estrategia. • resolver: encontrar un valor que responda a una pregunta y/o que haga verdadera una ecuación. • representar: mostrar cómo se relacionan los términos; representar algo más
• reorganizar: cambiar el orden, la posición o la hora de arreglos ya realizados. • destacar: enfatizar. • entender: captar el significado de. • explicar: explicar acciones o sucesos diciendo por qué. • construir: construir a partir de dos o más partes. • justificar: probar que un resultado o conclusión es correcto o razonable. SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBEN CONOCER LOS ESTUDIANTES?
• ecuación: enunciado matemático que muestra que dos expresiones son iguales entre sí. • variable: letra o símbolo que ocupa el lugar de un número que puede cambiar; una letra que puede representar un número desconocido o un conjunto de números. • función lineal: relación que cuando se grafica es una línea recta. • restricción: condición que debe satisfacer la solución. • sistema de ecuaciones: dos o más ecuaciones con dos o más variables. • fórmula: declaración o regla matemática escrita con símbolos. • cantidad: número o cantidad; una cantidad que dice cuánto. • igualdad: estado en el que dos cantidades o dos expresiones matemáticas tienen el mismo valor. • suposición: declaración que se toma como verdadera para servir como premisa o punto de partida para razonamientos y argumentos adicionales. • solución: cualquier número que hace verdadera una ecuación. • argumento: valor que debe proporcionarse para obtener el resultado de la función. • coeficiente: número que se coloca directamente antes de una variable que le indica que multiplique ese número por la variable. • función inversa: función que deshace la acción de otra función. • expresión (expresión algebraica): números, variables y símbolos agrupados sin un signo igual para mostrar una relación.
• interpretar: explicar el significado de
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
IMPLICACIONES PARA LA INSTRUCCIÓN
• En grados anteriores, los estudiantes crearon y resolvieron ecuaciones en una variable, crearon y resolvieron ecuaciones lineales, aprendieron y aplicaron las propiedades de las operaciones y razonaron con desigualdades. • En grados anteriores, cuando los estudiantes determinaban que se introducía una solución, utilizaban la sustitución para determinar si un número dado en un conjunto especificado hace que una ecuación sea verdadera. Si los estudiantes han confiado en este método para ayudarles a resolver ecuaciones, tendrán dificultades para identificar y justificar qué propiedades se utilizan para resolver una ecuación en particular. • En este nivel de grado, los estudiantes se basarán en su capacidad para aplicar las propiedades de las operaciones para manipular expresiones para resolver ecuaciones de varios pasos y desigualdades. Los estudiantes deben basarse en su experiencia previa con coeficientes numéricos para aplicar las mismas propiedades a coeficientes variables. • Los estudiantes deben ser capaces de determinar y explicar restricciones para ecuaciones que representan una situación contextual. Los estudiantes deben determinar si una solución es razonable para un contexto dado y explicar por qué sí o por qué no. • Los estudiantes deben ser capaces de reordenar fórmulas para resaltar una variable y explicar los pasos utilizados. Los estudiantes deben hacer conexiones con la resolución de ecuaciones y el reordenamiento de fórmulas. • Los estudiantes deben ampliar su conocimiento de funciones para encontrar la inversa de funciones. • Los estudiantes deben ser capaces de usar modelos, construir argumentos de igualdad y explicar por qué una ecuación o modelo es equivalente al realizar operaciones para aislar una variable. GRADO
ESTÁNDAR Entender la resolución de una ecuación o desigualdad como un proceso de respuesta a una pregunta: «¿qué valores de un conjunto especificado, si los hay, hacen que la ecuación o desigualdad sea verdadera?». Usar la sustitución para determinar si un número dado en un conjunto especificado hace que una ecuación o desigualdad sea verdadera. Usar variables para representar números y escribir expresiones al resolver un problema matemático o del mundo real; entender que una variable puede representar un número desconocido o, según el propósito, cualquier número en un conjunto especificado.
6
Resolver problemas matemáticos y de la vida real al escribir y resolver ecuaciones de la forma x + p = q y px = q para los casos en que p, q y x sean todos números racionales no negativos. Usar variables para representar dos cantidades en un problema del mundo real que cambian en relación una con otra; escribir una ecuación para expresar una cantidad, considerada como la variable dependiente, en términos de la otra cantidad, considerada como la variable independiente. Analizar la relación entre las variables dependiente e independiente mediante gráficas y tablas, y relacionarlas con la ecuación. Por ejemplo, en un problema que implique movimiento a velocidad constante, enumere y grafique pares ordenados de distancias y tiempos, y escriba la ecuación d = 65t para representar la relación entre distancia y tiempo. Utilizar variables para representar cantidades en un problema matemático o del mundo real, y construir ecuaciones y desigualdades sencillas para resolver problemas al razonar sobre las cantidades.
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a. Resolver problemas de palabras que conduzcan a ecuaciones de la forma px + q = r y p(x + q) = r, donde p, q, y r son números racionales específicos. Resolver ecuaciones de estas formas con fluidez. Comparar una solución algebraica con una solución aritmética e identificar la secuencia de las operaciones utilizadas en cada planteamiento. Por ejemplo, el perímetro de un rectángulo es 54 cm. Su longitud es de 6 cm. «¿Cuál es su ancho?».
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
Resolver ecuaciones lineales en una variable.
8
a. Poner ejemplos de ecuaciones lineales en una variable con una solución, con infinitas soluciones o sin solución. Demostrar cuál de estas posibilidades es el caso transformando sucesivamente la ecuación dada en formas más sencillas, hasta que resulte una ecuación equivalente de la forma x = a, a = a, o a = b (donde a y b son números distintos). b. Resolver ecuaciones lineales con coeficientes de números racionales, incluyendo ecuaciones cuyas soluciones requieran expandir expresiones usando la propiedad distributiva y juntando términos semejantes. Crear ecuaciones e inecuaciones en una variable, incluyendo aquellas con valor absoluto, y usarlas para resolver problemas. Incluir ecuaciones que surjan de funciones lineales y cuadráticas, y funciones racionales y exponenciales simples. Representar restricciones mediante ecuaciones o inecuaciones, y mediante sistemas de ecuaciones y/o inecuaciones, e interpretar soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelización. Por ejemplo, representar inecuaciones que describan restricciones nutricionales y de coste en combinaciones de diferentes alimentos.
Álgebra
Reorganizar fórmulas para resaltar una cantidad de interés, utilizando el mismo razonamiento que en la resolución de ecuaciones. Por ejemplo, reordenar la ley de Ohm V = IR para resaltar la resistencia R.
Explicar cada paso en la resolución de una ecuación simple como consecuencia de la igualdad de números afirmada en el paso anterior, partiendo de la suposición de que la ecuación original tiene solución. Construir un argumento viable para justificar un método de solución.
Resolver ecuaciones e inecuaciones lineales en una variable, incluyendo ecuaciones con coeficientes representados por letras.
Crear ecuaciones en dos o más variables para representar relaciones entre cantidades; graficar ecuaciones en ejes de coordenadas con etiquetas y escalas. Representar restricciones mediante ecuaciones o inecuaciones, y mediante sistemas de ecuaciones y/o inecuaciones, e interpretar soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelación. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de coste en combinaciones de diferentes alimentos.
Álgebra
Resolver ecuaciones racionales y radicales sencillas en una variable, y dar ejemplos que muestren cómo pueden surgir soluciones extrañas. Resolver ecuaciones cuadráticas en una variable.
Explicar por qué las coordenadas x de los puntos de intersección de las gráficas de las ecuaciones y = f(x) y y = g(x) son las soluciones de la ecuación f(x) = g(x); hallar las soluciones de forma aproximada, por ejemplo, usando tecnología para graficar las funciones, hacer tablas de valores o encontrar aproximaciones sucesivas. Incluya casos en los que f(x) y/o g(x) sean funciones lineales, polinómicas, racionales, de valor absoluto, exponenciales y logarítmicas.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA MONITOREAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA La guía de instrucción andamiada se proporciona para que los maestros puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones del alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que ayuda a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de la evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos según los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere que todos los estudiantes experimenten con los elementos: «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades», ya que cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar. 0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil pueden trabajar en contenido de nivel de grado con apoyos de instrucción.
80 % - 100 % Ampliación del nivel de grado Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» individual para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 2. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante de acuerdo con sus datos de evaluación. 3. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la sección «Scaffolded Instruction Guide» en el menú desplegable «Home» del alcance. 4. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Repaso y práctica de habilidades • ¡Arregla el error! Práctica interactiva • Misión del droide
0 % - 25 %
Constructor de fluidez
Prueba de habilidades
(Refuerzo del grado anterior)
8 - Resolución de ecuaciones lineales
Representar restricciones mediante ecuaciones o inecuaciones, y mediante sistemas de ecuaciones y/o inecuaciones e interpretar las soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de representación. Por ejemplo, representar inecuaciones que describan restricciones nutricionales y de costo en combinaciones de diferentes alimentos. 8 - Resolver pares de ecuaciones lineales Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • ¡Arregla el error! Práctica interactiva • Misión del droide Prueba de habilidades
Alg.I - Resolver ecuaciones
25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyos)
50 % - 80 %
(Nivel de grado)
Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (pregunta 1) • Repaso (sección de escribir, representar y resolver ecuaciones de varios pasos) • Revisión (preguntas 1, 2, 5)
Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo
Alg.I - Resolver ecuaciones Tablero de opciones
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80 % - 100 %
Alg.I - Resolver ecuaciones
(Ampliación del nivel de grado)
(Refuerzo del grado anterior) (Nivel de grado con apoyos) (Nivel de grado)
(Ampliación del nivel de grado)
80 % - 100 %
50 % - 80 %
25 % - 50 %
0 % - 25 %
Crear ecuaciones e inecuaciones en una variable, incluidas aquellas con de valor absoluto y utilizarlas para resolver problemas. Incluir ecuaciones derivadas de funciones lineales y cuadráticas, y de funciones racionales y exponenciales sencillas.
Alg.I - Resolver ecuaciones Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales
Alg.I - Resolver ecuaciones Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Ciencia de datos
Alg.I - Resolver ecuaciones Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • ¡Arregla el error! Práctica interactiva
0 % - 25 %
8 - Resolución de ecuaciones lineales
• Misión del droide
25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyos)
50 % - 80 %
Prueba de habilidades
Alg.I - Resolver ecuaciones Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (pregunta 2) • Repaso (sección resolver ecuaciones literales) • Revisión (preguntas 4, 6, 7)
Alg.I - Resolver ecuaciones Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Constructor de fluidez • ¡A pescar!
(Refuerzo del grado anterior)
Explicar cada paso en la resolución de una ecuación simple como consecuencia de la igualdad de números afirmada en el paso anterior, a partir de la suposición de que la ecuación original tiene solución. Construir un argumento viable para justificar un método de solución.
(Nivel de grado)
(Refuerzo del grado anterior) (Nivel de grado con apoyos) (Nivel de grado)
50 % - 80 %
25 % - 50 %
0 % - 25 %
Reorganizar fórmulas para resaltar una cantidad de interés, al utilizar el mismo razonamiento que en la resolución de ecuaciones. Por ejemplo, reordenar la ley de Ohm V = IR para resaltar la resistencia R.
8 - Resolución de ecuaciones lineales Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • ¡Arregla el error! Práctica interactiva • Misión del droide Prueba de habilidades
Alg.I - Resolver ecuaciones Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (pregunta 3) • Repaso (sección de escribir, representar y resolver ecuaciones de varios pasos)
Alg.I - Resolver ecuaciones Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva
¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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(Ampliación del nivel de grado)
Alg.I - Resolver ecuaciones
80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
80 % - 100 %
Ciencia de datos
Alg.I - Resolver ecuaciones ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Encontrar funciones inversas. Resolver una ecuación de la forma f(x)= c para una función simple f que tiene una inversa y escribe una expresión para la inversa. Por ejemplo, f(x) =2x³ o (x+1) f(x) = ______ para x ≠ 1. (x-1)
8 - Resolución de ecuaciones lineales
8 - Funciones
Repaso y práctica de habilidades
Práctica interactiva • Misión del droide Prueba de habilidades
0 % - 25 %
• ¡Arregla el error!
Alg.I - Resolver ecuaciones Acceso a conocimientos previos Repaso y práctica de habilidades
Prueba de habilidades 8 - Resolución de ecuaciones lineales Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • ¡Arregla el error! Práctica interactiva
• Repaso (sección de escribir, representar y resolver ecuaciones de varios pasos) • Revisión (preguntas 1, 2, 3, 5, 9)
(Nivel de grado con apoyos)
• Revisión rápida (pregunta 4)
Vocabulario interactivo
Alg.I - Resolver ecuaciones Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (pregunta 5) • Repaso (sección de ecuaciones lineales inversas) • Revisión (preguntas 8, 10)
Libreta interactiva
• ¡A pescar! Ciencia de datos
Alg.I - Resolver ecuaciones ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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(Ampliación del nivel escolar)
Constructor de fluidez
50 % - 80 %
• Cerradura y llave
(Nivel de grado)
Práctica interactiva
80 % - 100 %
50 % - 80 %
(Nivel de grado)
• ¡Bam!
Prueba de habilidades
Vocabulario ilustrado
80 % - 100 %
Constructor de fluidez
• Misión del droide
Constructor de bases fundamentales
Alg.I - Resolver ecuaciones
(Ampliación del nivel de grado)
(Refuerzo del grado anterior)
Repaso y práctica de habilidades
Constructor de fluidez
25 % - 50 %
0 % - 25 % 25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyos)
(Refuerzo del grado anterior)
Resolver ecuaciones e inecuaciones lineales en una variable, incluidas las ecuaciones con coeficientes representados por letras..
Alg.I - Resolver ecuaciones Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo
Alg.I - Resolver ecuaciones ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES
ATRAER: ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS Solve Equations
EVALUAR PREVIAMENTE EL CONOCIMIENTO DE LOS
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: ACUERDO O DESACUERDO
Agree or Disagree Decide whether you agree or disagree with each student in the following scenarios, and circle the corresponding word. Justify your answer. 1.
ESTÁNDAR PREVIO
Shalyn said that the solution to 8z + 6 = 7z + 4 would be z = –2. Agree
Resolver ecuaciones lineales en una variable.
Disagree
DESCRIPCIÓN
Reasoning:
2.
Los estudiantes leerán diferentes respuestas de estudiantes a una pregunta planteada sobre el estándar previo, decidirán si están de acuerdo o en desacuerdo con el estudiante y explicarán su razonamiento.
Kiy thinks that the first step to solving x – 4 = –2(2x + 7) is to add 2 to both sides. Agree
Disagree
MATERIALES
Reasoning:
3.
IMPRESOS
Austin got a = 16 as the solution to the equation 6 = Agree
• 1 acuerdo o desacuerdo (por estudiante)
a + 2. 4
PREPARACIÓN
Disagree
• Imprima una copia de «Acuerdo o desacuerdo» para cada estudiante.
Reasoning:
1
DE ACUERDO O EN DESACUERDO
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Pida a los estudiantes que realicen la actividad «Acuerdo o desacuerdo» de forma independiente. 2. Una vez que los estudiantes hayan realizado la actividad solos, pídales que se pongan de pie. 3. Pida a todos los estudiantes que caminen por el aula con las manos en alto en posición de «chocar los cinco». 4. Cuando usted lo indique, los estudiantes se detendrán y chocarán los cinco con la persona que tengan más cerca. Ésta será su compañero. 5. Permita que tengan un par de minutos para que comenten juntos sus respuestas y justificaciones. 6. A continuación, puede continuar tantas veces como quiera con diferentes parejas. 7. Comente las respuestas en clase. Permita que los estudiantes expliquen su razonamiento para cada problema. a.
De acuerdo con Shalyn
b.
En desacuerdo con Kiy
c.
De acuerdo con Austin
8. Si tienen dificultades para completar esta tarea, pase al «Constructor de bases fundamentales» con el fin de llenar este vacío en los conocimientos previos antes de pasar a otras partes del alcance.
IDENTIFICACIÓN DE CONCEPTOS ERRÓNEOS • Los estudiantes pueden tener dificultades para recordar las reglas para resolver ecuaciones (orden de las operaciones). Necesitan entender que para resolver una variable desconocida, deben completar las operaciones inversas de lo que se ve en la ecuación. Por ejemplo, si vemos una suma en la ecuación, debemos utilizar la resta para resolver esa parte. • Si los estudiantes tienen dificultades con las representaciones algebraicas abstractas, proporcióneles fichas de álgebra para que representen la resolución.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES
ATRAER: CAPTAR INTERÉS Solve Equations
LECCIÓN PARA CAPTAR INTERÉS
CAPTAR INTERÉS DESCRIPCIÓN Los estudiantes relacionarán la resolución de ecuaciones con una situación del mundo real.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 resolver ecuaciones (por clase) REUTILIZABLES
• 1 video de fenómenos (por clase)
PREPARACIÓN
• Planifique la proyección del video. • Prepárese para proyectar «Resolver ecuaciones» para que toda la clase lo vea. • Prepárese para presentar el escenario y para animar a los estudiantes a pensar en cómo resolverlo. Prepárese para pasar a las actividades de exploración y regresar a «Captar interés» con los nuevos conocimientos adquiridos una vez que se hayan completado las exploraciones.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
RESOLVER ECUACIONES
5. Comunique a los estudiantes que a lo largo del tema se utilizará la siguiente pregunta orientativa: «¿Qué significa que un valor sea una solución?». Su objetivo es comparar las imágenes del rompecabezas con el objetivo y el resultado de resolver una ecuación. Realice las siguientes preguntas: a.
DOK-2 «¿Cómo sabremos que hemos encontrado una solución a esta ecuación?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. Las respuestas de los estudiantes variarán. Podemos introducir la solución para x y ver si se cumple la ecuación.
b.
DOK-2 «¿Cuántas respuestas son posibles para esta solución?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. Las respuestas de los estudiantes variarán. Un número para x. Números infinitos. No hay soluciones.
PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA
1. Presente esta actividad hacia el comienzo del alcance. La clase retomará la actividad y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades correspondientes a «Explorar». 2. Explique la situación mientras muestra el video detrás de usted. Jasmin completa un gran rompecabezas y busca algunas piezas que faltan en una sección que ha creado. Quiere saber cuándo puede estar segura de haber encontrado la pieza correcta. 3. Formule las siguientes preguntas a los estudiantes: «¿Qué observas? ¿Qué se preguntan? ¿Dónde puedes ver matemáticas en esta situación?». Permita que los estudiantes compartan sus ideas. Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Observo que solo cabe una pieza en un lugar determinado. Veo que hay otras piezas por ahí. Me pregunto cuántas piezas tiene el rompecabezas. Me pregunto cuánto tardaré en completarlo. Podría haber matemáticas en la velocidad a la que se completa el rompecabezas o en las rotaciones de las piezas para que encajen. 4. Proyecte el video «Resolver ecuaciones».
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6. Pase a completar las actividades de «Explorar». PARTE II: DESPUÉS DE EXPLORAR
1. Muestre nuevamente el video de fenómenos y vuelva a plantear el problema. 2. Refiérase a «Resolver ecuaciones» y realice las siguientes preguntas: a.
DOK-1 «¿Te sientes más seguro de resolver esta ecuación después de las exploraciones?». Sí, tengo estrategias cuando las ecuaciones tienen coeficientes negativos y fracciones.
b.
DOK-2 «¿Qué estrategias utilizarías para resolver esta ecuación?». Las respuestas pueden variar. Distribuiría el -2 en el lado izquierdo y multiplicaría ambos lados de la ecuación por 2 para que ya no haya una fracción en la ecuación.
c.
DOK-2 «¿Cómo se compara tu solución con encontrar la pieza correcta del rompecabezas?». El valor x de ⅛ es el único valor que hará que la ecuación sea verdadera cuando se sustituya por x, al igual que solo hay una pieza del rompecabezas que encajará perfectamente en un lugar determinado.
d.
DOK-2 «¿Sientes que tienes una sólida comprensión de la resolución de ecuaciones?». Las respuestas variarán en función del éxito de los estudiantes durante la actividad y de su nivel de confianza.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 LECCIÓN DIDÁCTICA
EXPLORACIÓN 1: RESOLVER ECUACIONES DE VARIOS PASOS DESCRIPCIÓN Los estudiantes escribirán, representarán y resolverán de forma colaborativa ecuaciones de varios pasos al analizar y comparar estrategias para identificar los métodos más eficientes.
ESTÁNDARES DE PRÁCTICA MATEMÁTICA • MP.2 Razonamiento abstracto y cuantitativo: Los estudiantes darán sentido a las cantidades y sus relaciones. Los estudiantes serán capaces de descontextualizar y contextualizar relaciones cuantitativas.
• MP.3 Dar sentido a los problemas y perseverar en su solución: Los estudiantes analizarán problemas y utilizarán supuestos matemáticos enunciados, definiciones y resultados establecidos para construir argumentos. Los estudiantes justificarán sus conclusiones con ideas matemáticas. Los estudiantes escucharán los argumentos de los demás y formularán preguntas útiles para determinar si un argumento tiene sentido. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes comprenderán que es una forma de razonar cuantitativa y abstractamente. Los estudiantes aplicarán las matemáticas que conocen para resolver problemas de la vida cotidiana. Los estudiantes representarán las matemáticas para describir una situación ya sea con una ecuación o un diagrama e interpretarán los resultados de una situación matemática.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Lea la siguiente situación a la clase: «Los hermanos Diego y Andrés ahorran el dinero que ganan en verano para comprar un coche nuevo para compartir. Durante las primeras semanas, deciden pasear perros por su barrio. Al final de cada semana, los hermanos se reúnen para comprobar sus ganancias. Aunque los hermanos trabajaban por separado, siempre llevaban a casa la misma cantidad de dinero al final de cada semana». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para analizar la información dada para cada semana y determinar cuánto cobraban Diego y Andrés por cada perro paseado. Los estudiantes representarán, explicarán y escribirán los pasos algebraicos en sus diarios. 4. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar la comprensión: a.
DOK-1 Utilizar fichas de álgebra es una forma de representar la resolución de ecuaciones. «¿Qué otros modelos podría utilizar?». Podría hacer un bosquejo rápido con palitos para la x, signos más para números enteros positivos y signos menos para números enteros negativos.
b.
DOK-1 En la semana 2, Diego paseó 4 perros y gastó $2 en golosinas en cada uno de los dos días. «¿Cómo se representa esto en una ecuación? ¿Por qué?». Esto se representa por 2(4x - 2). El 2 delante del paréntesis significa 2 grupos de 4x - 2.
c.
DOK-2 «¿Qué representa tu solución en términos de la situación?». Cada solución representa la cantidad de dinero que los hermanos cobraban por perro.
d.
DOK-2 «¿Cómo sabes qué operaciones utilizar para aislar la variable?». Invierto las operaciones al comennzar con cualquier cosa fuera del paréntesis. Al aislar la variable, siempre invierto la suma y la resta antes de invertir la multiplicación o la división.
e.
DOK-2 «¿Cómo puede confirmar que tu solución es correcta?». Puedo sustituir mi solución en la ecuación original. Si la solución hace que la ecuación sea verdadera, entonces es correcta.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes) REUTILIZABLES
• 1 juego de fichas de álgebra (opcional)
PREPARACIÓN
• Separae la clase en grupos de 2 o 3 estudiantes. • Imprima un documento «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima un documento «Boleto de salida» para cada pareja. Recorte los boletos de salida de media página para que cada estudiante tenga uno. • Opcionalmente, reúne un juego de fichas de álgebra para cada grupo.
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5. Permita a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte I y luego invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
Solve Equations Explore 1
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Todos en tu grupo resolvieron cada ecuación mediante exactamente las mismas estrategias?». Explica. Algunas personas usaron más pasos que otras. Algunas personas movieron enteros primero y algunas personas movieron x términos primero. Algunos usaron la propiedad distributiva y otros dividieron.
Summer Savings
Part I
Use the information given for each week to determine how much Diego and Andrew charged for each dog they walked. Sketch a model with algebra tiles, explain in words, and write out the algebraic steps to justify your answer. Week 1: Diego walked 8 dogs and spent $4 on dog treats, and Andrew walked 7 dogs and received $8 in tips. At the end of the week, the brothers had the exact same amount of money. Let x represent how much Diego and Andrew charged for each dog walked during week 1. Model:
Explanation:
8x – 4 = 7x + 8 – 7x – 7x
PARTE II
x = 12 Add positive 4 to both sides.
x = 12
1
Solve Equations Explore 1
Week 2: Diego was only able to work 2 days. Each day, he walked 4 dogs and spent $2 on treats. Andrew worked for the whole week, walked 6 dogs, and received $14 in tips. At the end of the week, the brothers had the exact same amount of money. Let x represent how much Diego and Andrew charged for each dog walked during week 2. Model:
1. Lea la siguiente situación a la clase: «Diego y Andrés se cansaron de pasear perros en medio del calor, así que decidieron probar otras profesiones para ganar dinero. Se dieron cuenta de lo conveniente que era ganar la misma cantidad de dinero cada semana y decidieron continuar con esta tendencia. Durante las semanas 4 y 5, los hermanos escribieron y resolvieron ecuaciones cuando calculaban sus ganancias semanales. Diego y Andrés conversaban continuamente porque uno tardaba más en resolver o porque sus ecuaciones no parecían iguales. Ayuda a los hermanos a resolver sus discusiones al analizar su trabajo».
Explanation:
a.
DOK-2 «¿Qué notas en la estructura de las ecuaciones?». Diego usó fracciones, mientras que Andrés usó una combinación de fracciones y decimales.
b.
DOK-2 «¿Es mejor usar fracciones o decimales al resolver ecuaciones?». Ambos son útiles en diferentes situaciones. Puedo mirar los otros números de la ecuación para saber cuál sería más eficiente usar. Puedo despejar fracciones a multiplicar por un múltiplo de los denominadores, lo que ayuda con la eficiencia.
c.
DOK-2 «¿Multiplicar ambos lados de la ecuación de la semana 4 por el MCD para despejar la ecuación de fracciones sería más eficiente que el método que usó Diego?». Son solo 4 pasos, así que no es más eficiente. Podría ser un método preferido para los estudiantes a quienes no les gusta tratar con fracciones.
d.
DOK-2 «¿Cómo puede saber cuándo combinar términos que contienen la misma variable o cuándo usar operaciones inversas?». Si los términos semejantes están en el mismo lado del signo igual, debemos combinar los términos como están escritos. Si los términos semejantes están en lados opuestos del signo igual, se utilizan operaciones inversas para «mover» uno de los términos al otro lado. Esto se hace al utilizar un par cero: cuando se suma o resta el par cero en cada lado de la ecuación se cancelará un lado y se «moverá» al otro lado.
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Algebraic steps:
Remove 6x from both sides.
2(4x – 2) = 6x + 14 8x – 4 = 6x + 14 – 6x – 6x
Add positive 4 to both sides.
2x – 4 = 14 +4 +4
Divide both sides into 2 groups.
2x = 18 2 2
x=9
x=9
Week 3: Diego was hired by the Cortinez family to walk their dogs for a week. He was paid a flat fee of $100 from the Cortinez family and also walked 5 additional dogs. Andrew worked overtime to walk 30 dogs. At the end of the week, the brothers had the exact same amount of money. Let x represent how much Diego and Andrew charged for each dog walked during week 3. a.
Write and solve an equation to represent this situation.
b.
What does the solution mean in terms of the situation? The brothers charged $4 per dog during week 3.
100 + 5x = 30x 100 = 25x 4=x
2
2. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para leer los escenarios semanales y analizar las ecuaciones de cada hermano y sus estrategias para resolver. 3. Mientras los estudiantes colaboran en su trabajo, controle su comprensión mediante las siguientes preguntas orientadoras:
x–4=8 +4 +4
Remove 7x from both sides.
• DOK-2 Si usaste diferentes estrategias, «¿obtuviste diferentes soluciones?». Explica. No, todos obtuvimos la misma solución. Mientras uses estrategias correctas, tu solución será correcta. • DOK-1 «¿Qué puedes hacer para ser más eficiente cuando resuelves ecuaciones?». Puedo tratar de simplificar o combinar términos similares primero. Puedo analizar el problema y determinar de qué lado restar x términos para que el coeficiente de x se mantenga positivo.
Algebraic steps:
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS e.
DOK-1 «¿Cuál fue el primer paso de Diego en la resolución de la semana 5? ¿Quépropiedad usó?». Diego usó la propiedad distributiva como su primer paso para resolver.
f.
DOK-1 «¿Es este el único primer paso que funcionará? ¿Por qué sí o por qué no?». No, la mayoría de las ecuaciones pueden resolverse en una variedad de órdenes y aún así dar como resultado la solución correcta. Diego podría haber combinado primero los términos semejantes.
4. Permita que los estudiantes tengan tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas de reflexión que siguen. 5. Después de la exploración, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
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1/9/26 1:31 PM
ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES Solve Equations Explore 1
Part II
Each brother wrote and solved an equation to represent their different jobs for the rest of the summer. Read each scenario, and then analyze Diego’s and Andrew’s equations and strategies for solving. Week 4: The boys tried waiting tables at different restaurants. Diego
1.
In which step did each brother use additive inverses to solve? Diego used additive inverses going from step 1 to step 2, and Andrew used additive inverses going from step 4 to step 5.
2.
What are the differences between the strategies each brother used to solve? Andrew used fractions and decimals, while Diego used only fractions.
3.
Which brother’s work was more efficient? Explain. Diego’s work was more efficient. Andrew had to use more steps than Diego.
1 earned $24.75 per shift plus of all combined tips. Andrew earned 4 1 $47.46 per shift plus of all combined tips. 6
Diego’s Work
Andrew’s Work
Step 1: 24.75 + 1 x = 47.46 + 1 x 4 6 Step 2: 1 x = 22.71 + 1 x 4 6 Step 3: 1 x = 22.71 12
x Step 1: 0.25x + 24.75 = 6 + 47.46
Step 4: x = 272.52
Step 4: 1.5x – 136.26 = x
Step 2: 0.25x – 22.71 = x 6 Step 3: 6(0.25x – 22.71) = x
Step 5: −136.26 = −0.5x Step 6: 272.52 = x
4.
What does the solution mean in terms of the situation? $272.52 was the total amount of combined tips at each restaurant.
3
Solve Equations Explore 1
Week 5: Diego and Andrew decided to tutor some students from the elementary school. Diego held 3 sessions per day. At each session, he tutored 3 students and spent $1.25 on coffee. Diego was also charged $15 per day to rent a workspace. Andrew held 2 sessions per day, where he tutored 5 students at each session. Andrew spent $33.75 on workspace rental and $20 on snacks for his students. Diego’s Work
Andrew’s Work
3(3x – 1.25) – 15 = 2(5x) – 33.75 – 20 9x – 3.75 – 15 = 10x – 33.75 – 20 9x – 3.75 + 5 = 10x – 33.75 9x – 3.75 + 38.75 = 10x 9x + 35 = 10x 9x = 10x – 35 −1x = −35 x = 35
3(3x – 1.25) – 15 = 2(5x) – 33.75 – 20 9x – 3.75 – 15 = 10x – 33.75 – 20 9x – 18.75 = 10x – 53.75 −18.75 = 1x – 53.75 35 = 1x 35 = x
1.
In which step did each brother use the division property of equality to solve? They both used the division property of equality as their last step to isolate the variable.
2.
What are the differences between the strategies each brother used to solve? Andrew combined like terms on each side of the equal sign. Diego used inverse operations to remove terms one at a time. Andrew also kept the coefficient of x positive.
3.
Which brother’s work was more efficient? Explain. Andrew’s work was more efficient. By combining like terms initially, he reduced the number of steps needed to isolate the variable.
4.
What does the solution mean in terms of the situation? The brothers charged $8.75 per student for tutoring. 4
Solve Equations Explore 1
Reflect 1.
One of the equations below is true for all values of x. Which one is it, and how do you know? A. 2x – 12 = 2(x – 6) B. 2x – 12 = 2x + 12 Equation A is true for all values of x because if you distribute the 2 on the right hand side, the equation becomes 2x – 12 = 2x – 12, so any value that you plug in for x will make the left and right sides of the equation equal.
2.
Diego says that the equation 2x + 10 = 6x + 10 has no solutions. Do you agree with him? Diego is incorrect because x = 0 will be a solution of the equation. If you subtract 2x on both sides and then subtract 10 on both sides, you are left with 0 = 4x. After dividing both sides by 4, x = 0.
3.
Andrew is solving an equation with fractions on both sides. Explain what he did to go from step 1 to step 2 and why it was helpful. Andrew’s Work Step 1: 1 (2x – 12) = 1 (72 + 5x) 3
3
Step 2: 2x – 12 = 72 + 5x Explanation: Andrew likely multiplied both sides by 3 in step 2. This eliminates all fractions and makes the equation easier to solve.
4.
How many strategies are there for solving equations? How do you know which strategy is best? There are multiple strategies for solving equations. Depending on the equation, some strategies are more efficient than others. No matter which strategy you choose, you should always end with the same solution.
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Cómo puedes probar que una solución es correcta para una ecuación?». Puedo sustituir mi solución de nuevo en la ecuación original. Si la solución hace que la ecuación sea verdadera, entonces es correcta. • DOK-2 «Describe las propiedades de igualdad que Diego usó para resolver la ecuación de la semana 4». Diego usó la propiedad de multiplicación de igualdad y la propiedad de sustracción de igualdad. 6. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de realizar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez completado, haga que cada estudiante llene su «Libreta interactiva».
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Los estudiantes pueden tener dificultad para traducir problemas escritos a ecuaciones. Practique a crear problemas escritos basados en ecuaciones para que los estudiantes se acostumbren a la nomenclatura. Por ejemplo, 2x + 3 = 13 podría ser «tres más que el doble de la edad de Joe es 13». El es lo mismo que =, y así sucesivamente. 2. Los estudiantes pueden olvidar hacer las operaciones inversas en ambos lados de la ecuación y no solo en uno. Explique que las ecuaciones son como balanzas y que si se quita un peso de un lado de la balanza, el otro lado caerá inmediatamente. Para hacer equivalencias en las ecuaciones, es necesario quitar pesos iguales de ambos lados de la balanza. 3. Es posible que intenten resolver las variables en el orden incorrecto. Explique que cuando invertimos las operaciones para aislar las variables, necesitamos movernos en el orden inverso al que lo haríamos normalmente. Por ej., 2x + 3 = 13. Si tuviéramos el valor de x, primero multiplicaríamos 2 por ese número y luego sumaríamos 3. Como no tenemos x, tenemos que movernos en el orden inverso: restar 3 y luego dividir por 2.
5
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Solve Equations Part 1
APOYOS LINGÜÍSTICOS La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta exploración. Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes. Los estudiantes utilizarán palabras en inglés de alta frecuencia para identificar experiencias cotidianas, incluido el recuento con información sencilla, que puede apoyarse en elementos visuales o en el lenguaje utilizado habitualmente en el entorno del salón de clases.
Solve Multistep Equations Solve the following equations. 1.
2x + 4 = 10 2x = 6 x=3
4.
Sultan was solving the equation below but did not get the right answer. Examine his work, and find his error. Show him how to do the problem correctly.
5 – 3x = −1 −3x = −6 x=2
Sultan’s Work
4x – 8 = 4 +8 +8 4x 4
= 12 2
= 12 4
x=3
x=6 5.
4a + 9 = 5 4a = −4 a = −1
Correct Solution
2x – 8 = 4 +8 +8 2x 2
3.
3x – 8 = 4 – x +x +x
3x – 8 = 4 – x –x –x
Principiante: Antes de la clase, muestre a los estudiantes diapositivas de grupos familiares que incluyan hermanos. Pregunte a los estudiantes: «¿Tienes hermanos? ¿Cuántos? ¿Cuántos hermanos? ¿Cuántos hermanas?». Anímelos a responder con frases completas. Intermedio: Antes de la clase, muestre a los estudiantes diapositivas de grupos familiares que incluyan hermanos. Pregunte a los estudiantes: «¿Tienes hermanos? ¿Cuántos? ¿Cuántos hermanos? ¿Cuántos hermanas?». Haga participar a los estudiantes con preguntas adicionales, como «¿Se pelean a veces tu y tus hermanos? ¿Quién es mayor?». Anímelos a responder con frases completas.
2.
Lim and Niko are both solving the same equation. They compared their work, and although they both got the same solution, they went about it in different ways. Did Lim or Niko do the problem incorrectly? Lim
Niko
1 3 (x + 6) = 4 1 x+2=4 3 1 x=2 3
1 (x + 6) = 4 3
x + 6 = 12 x=6
x=6
Avanzado: Antes de la clase, muestre a los estudiantes diapositivas de grupos familiares que incluyan hermanos. Pregunte a los estudiantes: «¿Tienes hermanos? ¿Cuántos? ¿Cuántos hermanos? ¿Cuántos hermanas?». Haga participar a los estudiantes con preguntas adicionales, como «¿Se pelean a veces tu y tus hermanos? ¿Quién es mayor?». Anímelos a responder con frases completas.
1
They both did the problem correctly. Lim distributed the 3 first and then solved, whereas Niko multiplied both sides by 3 to get rid of the 1 . Both methods are 3 valid. 1
Solve Equations Explore 1
Solve Multistep Equations Exit Ticket Diego’s steps for solving an equation are to the right. Determine in which step, if any, Diego made his first mistake, and circle the error. A. B. C. D.
Step 1 Step 2 Step 3 No mistake
Solve Equations Part 1
6.
5x – 3(2x + 7) = 2x + 9 Step 1: 5x – 6x + 21 = 2x + 9 Step 2: −x + 21 = 2x + 9 Step 3: 21 = 3x + 9 Step 4: 12 = 3x Step 5: 4 = x
Sort the following equations by whether they have no solutions, 1 solution, or an infinite number of solutions. For the equations with one solution, provide that solution. 2x – 1 = 9
5x + 1 = 5x – 7
2x + 5 = 2(x + 2) + 1
3x + 4 = 3(x + 1) + 1
−3x + 7 = 2(x + 1)
x+8=x
5 – x = 2x + 8
2(2x + 3) = 4x + 10
2(2x + 3) = 4x + 6
No Solution
1 Solution
Infinite Solutions
2x – 1 = 9 5x + 1 = 5x – 7
3x + 4 = 3(x + 1) + 1 x=5
Solve Equations Explore 1
−3x + 7 = 2(x + 1) x+8=x
Solve Multistep Equations Exit Ticket Diego’s steps for solving an equation are to the right. Determine in which step, if any, Diego made his first mistake, and circle the error. A. B. C. D.
Step 1 Step 2 Step 3 No mistake
2x + 5 = 2(x + 2) + 1 x=1 5 – x = 2x + 8
2(2x + 3) = 4x + 10
Step 1: 5x – 6x + 21 = 2x + 9 Step 2: −x + 21 = 2x + 9 Step 3: 21 = 3x + 9 Step 4: 12 = 3x Step 5: 4 = x
2(2x + 3) = 4x + 6 x = −1
5x – 3(2x + 7) = 2x + 9 7.
Raul ordered a bunch of pizza for his party. He has 20 slices of pizza. Write an equation that shows each of his x friends would get 2 slices of they split the pizza evenly and solve for x. 2=
20 x
x = 10 2
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
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MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 2: RESOLVER ECUACIONES LITERALES DESCRIPCIÓN Los estudiantes resolverán ecuaciones literales para una variable dada y utilizarán el mismo razonamiento que el empleado en la resolución de ecuaciones algebraicas.
ESTÁNDARES DE PRÁCTICA MATEMÁTICA • MP.2 Razonamiento abstracto y cuantitativo: Los estudiantes darán sentido a las cantidades y a sus relaciones. Los estudiantes serán capaces de descontextualizar y contextualizar relaciones cuantitativas.
• MP.3 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes analizarán problemas y utilizarán supuestos matemáticos, definiciones y resultados establecidos para construir argumentos. Los estudiantes justificarán sus conclusiones con ideas matemáticas. Los estudiantes escucharán los argumentos de los demás y formularán preguntas útiles para determinar si un argumento tiene sentido. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes comprenderán que es una forma de razonar cuantitativa y abstractamente. Los estudiantes aplicarán las matemáticas que conocen para resolver problemas de la vida cotidiana. Los estudiantes representarán las matemáticas para describir una situación ya sea con una ecuación o un diagrama e interpretarán los resultados de una situación matemática.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de tarjetas de códigos (por grupo) • 1 juego de discos de acertijos (por grupo) • 1 boleto de salida (por 2 estudiantes) REUTILIZABLES
• 2 bolsas resellables (por grupo)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 2 o 3 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima un juego de «Tarjetas de códigos» para cada grupo de estudiantes. Recorte las tarjetas de nivel 1 y colóquelas en una bolsa resellable etiquetada como «Nivel 1». Recorte las tarjetas del nivel 2 y colóquelas en una bolsa resellable con la etiqueta «Nivel 2». Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para utilizarlas en el futuro. • Imprima un juego de discos de acertijos para cada grupo. Puede imprimir a doble cara para ahorrar papel. Si lo desea, imprima en cartulina y plastifique para uso en el futuro. • Imprima un «Boleto de salida» para cada pareja. Corte los boletos de salida de media página para que cada estudiante tenga uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Su grupo ha sido encerrado en la Mazmorra del álgebra, y la única manera de escapar es usar sus conocimientos de resolución de ecuaciones para resolver los discos de acertijos de cada nivel». 2. Entregue un juego de «Tarjetas de código» de nivel 1 a cada grupo. 3. Indique a los estudiantes que extiendan las tarjetas de código. Realice la siguiente pregunta: a.
DOK-2 «¿Qué observan en las ecuaciones de las tarjetas de códigos de nivel 1?». Noté que no hay números ni variables en estas ecuaciones, solo figuras.
4. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 5. Entregue el acertijo de nivel 1 a cada grupo. 6. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para resolver cada acertijo al aislar el ◯. Los estudiantes aplicarán sus conocimientos sobre la resolución de ecuaciones para resolver los acertijos de la parte I en sus diarios. 7. Una vez que los estudiantes resuelvan un acertijo, esbozarán el código en la última columna de la tabla de la página 1. Los grupos colocarán la tarjeta de código correspondiente en el disco de acertijos del nivel 1.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Solve Equations Explore 2
8. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientadoras para evaluar la comprensión: a.
DOK-2 «¿Cómo puedes aplicar tus conocimientos sobre resolución de ecuaciones a la resolución de estos acertijos?». Puedo tratar cada figura como una variable. Cada figura es un término diferente. Luego, puedo aplicar las propiedades de la igualdad para resolver.
b.
DOK-1 «¿Qué es x + x?». 2x
c.
DOK-2 «¿Cómo puede ayudarte este pensamiento con el acertijo D?». Como hay 2 círculos, pensé en ellos como términos semejantes. Por lo tanto, cuando tenía ◯ + ◯, eso equivalía a 2◯.
9. Permita que los estudiantes tengan tiempo suficiente para completar la parte I y, a continuación, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje. 10. Los grupos deben entregar al maestro su disco de acertijos de nivel 1 completado para poder pasar al nivel 2.
Crack the Code Part I
Solve each equation for the ◯, and then find the matching Code Card and place it on the Level 1 Puzzle Dial. Use the workspace as needed. Once all of the codes are found, present the completed Level 1 Puzzle Dial to your teacher. Puzzle A
Workspace
Code
Work will vary.
B
C
D
CHARLA DE MATEMÁTICAS
1
• DOK-2 «¿Cuáles son las similitudes y diferencias entre resolver estos acertijos y resolver ecuaciones algebraicas?». Los procesos para resolver ambos eran exactamente los mismos. La diferencia es que estos acertijos usan figuras en lugar de variables y números. • DOK-2 «¿Podrías haber resuelto una figura diferente al círculo?». Explica. Sí, podría haber resuelto para cualquier figura, pero las instrucciones eran resolver para el círculo. • DOK-2 «¿Cuáles fueron algunas de las estrategias que tu grupo utilizó para resolver estos acertijos?». Sustituí cada figura por una variable diferente. Así me resultaba más fácil resolverlo algebraicamente. Al final, traduje las variables de mi solución de nuevo a figuras. • DOK-1 «¿Cómo sería si sustituyeras el acertijo C por variables?». El acertijo C sería a(b + c) = c.
Solve Equations Explore 2
Part II
Solve each literal equation for the specified variable, and then find the Code Card that matches your solution. Place the cards on the Level 2 Puzzle Dial. Use the workspace provided. Once all of the codes are found, present the completed Level 2 Puzzle Dial to your teacher. Puzzle
P = 2l + 2w Solve for w.
• DOK-2 «Haz una lluvia de ideas sobre algunas ecuaciones literales que hayas usado en la escuela». A = πr2, A = lw, P = 4s, d = __rt , ...
Code
w = ____________
F y = mx + b Solve for x.
Explique lo siguiente a la clase: Cuando tienes una ecuación que consta principalmente de variables, se llama ecuación literal. Puedes resolver ecuaciones literales para una variable dada, o cantidad de interés, con los mismos procesos que en la resolución de ecuaciones algebraicas.
Workspace
E
x = ____________
G A = 1 bh 2
Solve for b.
b = ____________
H I = prt Solve for p.
p = ____________
3
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120
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Solve Equations Explore 2
PARTE II 1.
What are the similarities and differences between solving these puzzles and solving algebraic equations? These puzzles were made of shapes. I used the same steps as solving equations, but there were no numbers or variables in these puzzles.
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Tu grupo superó el nivel 1, pero el nivel 2 es definitivamente más desafiante. Los acertijos del nivel 2 son ecuaciones literales del mundo de las matemáticas. ¿Podrá tu grupo descifrar el código del nivel 2 para poder escapar?».
2.
Let’s replace the shapes in puzzle A with the variables a, b, and c. What would the solution be? How did your process for solving change?
2. Distribuya un juego de «Tarjetas de código» del nivel 2 y un «Disco de acertijos» del nivel 2 a cada grupo. Los estudiantes aún deben tener sus diarios de la parte I.
Reflect
a
+
b
=
c
3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para resolver cada ecuación literal para la variable especificada. Se proporciona un espacio de trabajo en sus diarios.
c–b a = ____________
My process for solving was exactly the same. I just replaced the square with c and the triangle with b. 3.
4. Una vez que los estudiantes resuelvan un acertijo, escribirán el código en la última columna de la tabla de la página 3. Los grupos colocarán la tarjeta de código correspondiente en el cuaderno. Los grupos colocarán la tarjeta de código correspondiente en el cuadrante de acertijos de nivel 2.
How would the code for puzzle C change if you were to solve for the triangle instead?
The solution would be as follows:
5. Mientras los estudiantes colaboran en su trabajo, controle su comprensión haciéndoles las siguientes preguntas orientadoras:
2
a.
DOK-2 «Para el acertijo E, «¿cómo decidiste tu primer paso?». Pensé en lo que haría si se tratara de una ecuación algebraica. Sabía que debía eliminar el término 2l antes de dividir por el coeficiente de w.
b.
DOK-2 «¿Fue ese el único primer paso?». Explica. No, podría haber dividido ambos lados por 2, pero eso sería menos eficiente.
6. Permita que los estudiantes tengan tiempo suficiente para completar la parte II y respondan a las preguntas de reflexión que siguen. Solve Equations Explore 2
Reflect 1.
What can be calculated using this formula? This formula is used to find the perimeter of a rectangle.
b.
What variables need to be given in order for the formula to be solved as is? The length and width of the rectangle must be given.
c.
2.
8. Después de la exploración, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
Consider the formula P = 2l + 2w. a.
7. Los grupos deben entregar su disco de acertijos de nivel 2 completado al maestro para poder «descifrar el código» con éxito.
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Puedes comprobar la solución de una ecuación literal sustituyéndola en la ecuación original?». Explica. Sí, puedo, pero no es muy eficiente y se vuelve muy complicado ya que hay muchas variables en estas ecuaciones.
What could be found if you were given the perimeter and the length? Given the perimeter and length, I could calculate the width.
Why would it be beneficial to know how to manipulate literal equations? It would be beneficial because I may not always be given a value for the isolated variable. But if I have other values, I can manipulate the equation to be more useful.
• DOK-2 «Describe las propiedades de igualdad que tu grupo usó para resolver el acertijo G». Mi grupo usó la propiedad de multiplicación de igualdad y la propiedad de división de igualdad. • DOK-3 «¿Por qué sería beneficioso saber cómo manipular ecuaciones literales?». Sería beneficioso porque no siempre se me puede dar un valor para la variable aislada. Pero si tengo otros valores, puedo manipular la ecuación para que sea más útil. 9. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Solve Equations Explore 2
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de realizar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez completado, haga que cada estudiante llene su «Libreta interactiva».
Solve Literal Equations Exit Ticket In baseball, a player’s fielding percentage, F, is calculated using the formula F=
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Algunos estudiantes pueden tener dificultad para traducir entre formas y variables. Recuerde a los estudiantes que todas estas representaciones son formas de mostrar un valor desconocido. 2. Los estudiantes pueden tener dificultad para manipular ecuaciones literales. Anímelos a elegir números en lugar de variables para diversas cantidades y luego a manipular la ecuación porque a veces los números hacen que las ecuaciones sean más tangibles. 3. Los estudiantes pueden tener dificultad para traducir problemas escritos a ecuaciones. Practique la creación de problemas escritos basados en ecuaciones para que los estudiantes se acostumbren a la nomenclatura. Por ejemplo, 2x + 3 = 13 podría ser «tres más que el doble de la edad de Joe es 13». El es lo mismo que =, y así sucesivamente. 4. Los estudiantes pueden olvidar hacer las operaciones inversas en ambos lados de la ecuación y no solo en uno. Explique que las ecuaciones son como balanzas y que si se quita un peso de un lado de la balanza, el otro lado caerá inmediatamente. Para hacer equivalencias en las ecuaciones, es necesario quitar pesos iguales de ambos lados de la balanza.
A+P N
, where A is the number of assists, P is the number of putouts, and N is
the number of chances. Which of the following represents the equation in terms of P? A.
P = FN – A
C.
P = FA – N
B.
P = F(N – P)
D.
P=F–A–N
Solve Equations Explore 2
Solve Literal Equations Exit Ticket In baseball, a player’s fielding percentage, F, is calculated using the formula F=
A+P , where A is the number of assists, P is the number of putouts, and N is N
the number of chances. Which of the following represents the equation in terms of P? A.
P = FN – A
C.
P = FA – N
B.
P = F(N – P)
D.
P=F–A–N
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
5. Es posible que los estudiantes intenten resolver las variables en el orden incorrecto. Explique que cuando invertimos las operaciones para aislar las variables, necesitamos movernos en el orden inverso al que lo haríamos normalmente. Por ejemplo, 2x + 3 = 13. Si tuviéramos el valor de x, primero multiplicaríamos 2 por ese número y luego sumaríamos 3. Como no tenemos x, tenemos que movernos en el orden inverso: restar 3 y luego dividir por 2.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Solve Equations Part 2
APOYOS LINGÜÍSTICOS La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta exploración. Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes.
Solve Literal Equations Fynn is doing homework for his physics class. He has been given the equation below. d = vt
distance = velocity · time
Se les proporcionará apoyos previos a la lectura (organizadores gráficos, diagramas de formas y vocabulario preenseñado) para ayudarlos con la comprensión lectora.
Use this equation to help Fynn solve his homework problems. 1.
2.
Nia biked 60 km in 5 hours. What is the velocity of her bike ride? a.
Solve the distance formula for the variable v.
b.
What is the value of d? d = 60 km
c.
What is the value of t? t = 5 hr.
d.
Solve for the velocity of her bike ride.
Principiante: Como actividad previa a la clase, comente la palabra literal y proporcione ejemplos con imágenes. A continuación, pida a los estudiantes que escriban la definición y creen una ilustración para la palabra literal. Intermedio: Como actividad previa a la clase, comente la palabra literal y proporcione ejemplos. A continuación, pida a los estudiantes que completen un cuadro de vocabulario para la palabra literal. Los cuadros de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: «Definición», «Ejemplo (problema matemático)», «No ejemplo (o antónimo)» e «Imagen (o dibujo)». Proporcione a los estudiantes la definición.
v = 12 km per hr. She wants to increase her velocity to 15 km per hr. How long will Nia need to ride to travel the same 60 km? a.
Solve the distance formula for the variable t.
b.
What is the value of d? d = 60 km
c.
What is the value of v? v = 15 km per hr.
d.
Determine the length of time she was on her bike ride.
t = 4 hr. 1
Solve Equations Part 2
3.
4.
The standard form for a linear equation is Ax + By = C. a.
Rewrite the equation by solving for y.
b.
What is this form of the equation called? This is called the slope-intercept form of the equation.
c.
What is the slope of the line from part a? The slope is
d.
What is the y-intercept? The y-intercept is
Rewrite the equation by solving for y.
b.
What is the slope of the equation? The slope of the equation is
c.
What is the y-intercept? The y-intercept is 2.
.
Solve the following 2 equations for the variable given. a.
b. Solve for b. b = 4A – a – c – d
6.
.
.
Use the equation 2x + 3y = 6 to answer the following questions. a.
5.
Avanzado: Como actividad previa a la clase, comente la palabra literal y proporcione ejemplos. A continuación, pida a los estudiantes que completen un cuadro de vocabulario para la palabra literal. Los cuadros de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: «Definición», «Ejemplo (problema matemático)», «No ejemplo (o antónimo)» e «Imagen (o dibujo)».
V = lwh Solve for w.
Gabriella is planning a road trip and is computing the cost of gas and how far she can go. She has come up with the formula below.
G is the cost of the gas for the trip. F is the cost per gallon of gas. M is the number of miles to be driven. P is the miles per gallon that her car will get. If she knows how much money she has to spend on gas, the cost per gallon for the gas, and the miles per gallon that her car gets, what variable should she solve for to know how far she can drive? Compute the new equation. She would want to solve for the variable M since that is the number of miles to be driven. The new equation would be . 2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 2) CLAVE DE RESPUESTAS
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123
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 3: FUNCIONES INVERSAS
Solve Equations Explore 3
Inverse Cipher
Part I
Analyze each data set, and use the information to answer the questions that follow. Data Set 1
DESCRIPCIÓN Los estudiantes encontrarán y describirán el significado o la utilidad de las funciones inversas.
ESTÁNDARES DE PRÁCTICA MATEMÁTICA • MP.2 Razonamiento abstracto y cuantitativo: Los estudiantes darán sentido a las cantidades y sus relaciones. Los estudiantes serán capaces de descontextualizar y contextualizar relaciones cuantitativas.
• MP.3 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes analizarán problemas y utilizarán supuestos matemáticos, definiciones y resultados establecidos para construir argumentos. Los estudiantes justificarán sus conclusiones con ideas matemáticas. Los estudiantes escucharán los argumentos de los demás y formularán preguntas útiles para determinar si un argumento tiene sentido. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes comprenderán que es una forma de razonar cuantitativa y abstractamente. Los estudiantes aplicarán las matemáticas que conocen para resolver problemas de la vida cotidiana. Los estudiantes representarán las matemáticas para describir una situación ya sea con una ecuación o un diagrama e interpretarán los resultados de una situación matemática.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 cifra inversa (por grupo) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes) REUTILIZABLE
• 1 marcador borrable (por grupo) • 1 protector de hoja (por grupo)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 2 o 3 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima una cifra inversa para cada grupo. Lamine o coloque cada documento «Cifra inversa» en un protector de hojas para que los estudiantes puedan escribir en él con un marcador borrable. • Imprima un «Boleto de salida» para cada pareja. Recorte los boletos de salida de media página para que cada estudiante tenga uno. • Tenga a mano un marcador borrable para cada estudiante.
124
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Data Set 2 s
p
p
s
0
0
0
0
1
4
4
1
2
8
8
2
3
12
12
3
4
16
16
4
1.
Write an equation that gives the value of s in terms of p.
p = 4s
2.
Write an equation that gives the value of p in terms of s.
s=
3.
How are these equations similar? How are they different? These equations both use the number 4. They are different because they use opposite operations—multiplication and division.
p 4
1
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Lea la siguiente situación a la clase: «He descubierto un acertijo de cifrado en el oscuro abismo que es nuestro armario de matemáticas. Se llama cifrado inverso, pero voy a necesitar ayuda para descifrar el código». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para analizar los dos conjuntos de datos y utilizarán esa información para responder a las preguntas que siguen. Completar la parte I ayudará a los estudiantes a descifrar el cifrado inverso en la parte II. 4. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar la comprensión: a. DOK-1 «¿Cómo puedes escribir una ecuación para datos representados en un gráfico o tabla?». Puedo observar la relación entre las entradas y las salidas. Puedo pensar qué operaciones matemáticas se realizan en cada entrada para obtener la salida correspondiente. b. DOK-2 «¿Qué notas en las columnas de entrada y salida de las tablas?». Están intercambiadas. En el conjunto de datos 1, s es la entrada y p es la salida, pero en el conjunto de datos 2, p es la entrada y s es la salida. c. DOK-1 «En el conjunto de datos 1, ¿qué representa el par ordenado (4, 16)?». Significa que un cuadrado con una longitud lateral de 4 pulgadas tiene un perímetro de 16 pulgadas. d. DOK-1 «En el conjunto de datos 2, ¿qué representa el par ordenado (16, 4)?». Significa que un cuadrado con un perímetro de 16 pulgadas debe tener una longitud lateral de 4 pulgadas.
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1/9/26 1:31 PM
ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3
Solve Equations Explore 3
Reflect 1.
2.
How are the tables similar for these data sets? How are they different? The tables have all the same numbers and show values that indicate the value of p is 4 times the value of s. The difference is the columns in the table for data set 1 are switched in the table for data set 2. The table for data set 2 shows s in the right column where in data set 1 it is on the left.
Evaluate the equation for data set 1 for s = 12. Evaluate the equation for data set 2 when p = 48. p
p = 4s p = 4(12) = 48
s= 4
5.
p
s= 3 6.
4.
7.
s = 48 = 12
What does this mean in context? This means that a square with a side length of 12 will have a perimeter of 48, and a square with a perimeter of 48 will have a side length of 12.
8.
How are the tables similar for these data sets? Why do you think this happens? These data points are opposites. I think this happens because you are just working in the opposite direction. The outputs become inputs, and the inputs become outputs.
The perimeter for a rectangle with a width of 5 and unknown length can be given by the equation p = 2l + 10. Rewrite the equation so that l is the output and not the input. l=
4
3.
The function for the perimeter of an equilateral triangle is p = 3s. What is the function for side length in terms of perimeter (solve for s)?
p – 10 2
What do you notice about the operations in the original equation, where p is the output, compared to the equation you created, where l is the output? The two equations contain inverse operations of each other. When p is the output, you multiply the input by 2 and then add ten. When l is the output, you subtract 10 from the input and then divide by 2.
The functions
and
CHARLA DE MATEMÁTICAS
are
inverses of each other. Why do you think that is? The functions have inverse operations, and we create the function g(x) when solving for the input of f(x). 2
Solve Equations Explore 3
Part II
Use the given function to create the inverse function. Then, find the value of each puzzle sentence to find the code to use on the Inverse Cipher. Puzzle
Roman Numeral
Code
Original function:
The side length of a square when the perimeter is 1,200
I
300
p = 4s
The perimeter of a square when the side length is 300
II
1,200
The side length of a square when the perimeter is 444
III
111
The perimeter of a square when the side length is 5.5
IV
22
Inverse function: 1
s= 4 p
Original function: 9
F = 5 C + 32 Inverse function: C=
5 9
(F – 32)
Puzzle
Roman Numeral
The temperature in Celsius when it is 50 degrees Fahrenheit
V
Code 10
The temperature in Fahrenheit when it is 10 degrees Celsius
VI
50
The temperature in Celsius when it is 68 degrees Fahrenheit
VII
20
The temperature in Fahrenheit when it is 20 degrees Celsius
VIII
68 3
Solve Equations Explore 3
Puzzle Original function:
Roman Numeral
Code
The value of f(x) when x = 30
IX
15
f(x) = 2
The value of f −1(x) when x = 15
X
30
Inverse function:
The value of f(x) when x = 24
XI
12
f −1(x) = 2x
The value of f −1(x) when x = 12
XII
24
x
Why is it useful to be able to find the inverse of a function? It is useful if you are given the output and asked to calculate the input.
2.
Create your own original function, and find the inverse function. Exchange papers with someone in your group to check your work. Answers will vary. Sample answer below. Original function
Inverse function
x+4 f(x) = _________________
x–4 f −1(x) = _________________
• DOK-2 «¿Por qué crees que ocurre esto?». Creo que esto ocurre porque trabajas en la dirección opuesta. Las salidas se convierten en entradas y las entradas en salidas. Explique lo siguiente: Las funciones inversas son funciones que se invierten, y la salida de la función original se convierte en la entrada de la nueva función. Las funciones inversas se pueden escribir al cambiar las variables de entrada y salida (por ej.: p = 4s y p s =___ ). Las funciones inversas también pueden 4 escribirse en notación de función al sustituir f(x) por x f-1(x) (ej: f(x) = 4x y f-1(x) = ___ ). Al igual que cuando 4 resolvimos para una variable en ecuaciones literales, si resolvemos para la variable de entrada, entonces ahora es nuestra salida. • DOK-1 «¿Son las ecuaciones de la pregunta 6 funciones inversas?». Explica. Sí, son funciones inversas. Una función es la segunda función invertida. 1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Creo que nos hemos acercado un paso más a descifrar este acertijo. Apuesto a que este cifrado tiene algo que ver con las funciones inversas, ya que se llama cifrado inverso. Utiliza tus nuevos conocimientos sobre funciones inversas para encontrar el código del cifrado inverso».
4
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
• DOK-2 «¿Cuáles son las similitudes y diferencias entre las tablas de estos 2 conjuntos de datos?». Ambas tablas contienen los mismos valores. La diferencia es que las entradas y salidas están invertidas. En el conjunto de datos 1, s es la entrada y p es la salida, pero en el conjunto de datos 2, p es la entrada y s es la salida.
PARTE II
Reflect 1.
5. Permita que los estudiantes tengan tiempo suficiente para completar la parte I, y luego invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje.
2. Distribuya un documento «Cifrado inverso» y un marcador borrable a cada grupo. 3. Cada grupo debe tener aún su diario del estudiante de la parte I. 4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para crear funciones inversas para cada función original. Los estudiantes utilizarán la función correspondiente para resolver cada frase del acertijo y obtener los códigos para el cifrado inverso. 5. Una vez que los estudiantes encuentren todos los códigos, utilizarán el cifrado inverso para responder el acertijo.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Solve Equations Explore 3
6. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice la siguiente pregunta guía para evaluar la comprensión: a. DOK-2 «¿Cómo deshaces la función p = 4s?». Divido ambos lados por 4. b. DOK-2 «¿Cómo se relaciona hallar la función inversa con resolver ecuaciones literales?». Puedo pensar en hallar la función inversa como si resolviera una ecuación literal para la variable de entrada. c. DOK-2 «¿Cómo puedes hallar la longitud lateral de un cuadrado cuando el perímetro es 444?». Puedo usar la función inversa que se usa cuando se da el perímetro y sustituir 444 por p. 7. Permita que los estudiantes tengan tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen. 8. Recuerde a los estudiantes que usen sus códigos calculados para responder al acertijo del cifrado inverso. 9. Una vez que los estudiantes hayan resuelto el acertijo del cifrado inverso, pídales que presenten la respuesta al maestro. 10. Después de la exploración, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
Inverse Functions Exit Ticket Parvati claims that f(x) = 3x – 2 and f −1(x) = 2x – 3 are inverse functions. Is Parvati’s claim correct? Justify your answer using mathematics. Parvati is not correct. If I substitute x = 2 into f(x) = 3x – 2, I get f(x) = 4. If I substitute x = 4 into f −1(x) = 2x – 3, I do not get 2. I get 5. These are not inverse functions. Parvati could also solve for the input of f(x) and see that the new function does not match f −1(x). The correct inverse would be
.
Solve Equations Explore 3
Inverse Functions Exit Ticket Parvati claims that f(x) = 3x – 2 and f −1(x) = 2x – 3 are inverse functions. Is Parvati’s claim correct? Justify your answer using mathematics. Parvati is not correct. If I substitute x = 2 into f(x) = 3x – 2, I get f(x) = 4. If I substitute x = 4 into f −1(x) = 2x – 3, I do not get 2. I get 5. These are not inverse functions. Parvati could also solve for the input of f(x) and see that the new function does not match f −1(x). The correct inverse would be
.
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Qué estrategia utilizaste para encontrar el valor de f⁻1(x) cuando x = 15?». Sé que f⁻1(x) es notación inversa. Así que una vez que encontré la función inversa, sustituí 15 por x. • DOK-2 «¿Cómo podrías encontrar una función inversa si la función original se presentara en una tabla o gráfica?». Primero tendría que escribir una ecuación que represente la tabla o la gráfica. Luego, podría crear la función inversa como de costumbre. • Comparte algunas de las funciones originales e inversas que creaste. Creé f(x) = x + 4 y f⁻1(x) = x - 4. • DOK-2 «¿Cómo puedes determinar si una función es inversa de la original?». Puedo elegir una entrada y sustituirla en la función original para obtener una salida. Luego, cambio las coordenadas para que la entrada se convierta en la salida y viceversa. ◦ f(x) = x + 4 y f⁻1(x) = x - 4 ◦ f(2) = x + 4 f⁻1(6) = x - 4 ◦ f(2) = 2 + 4 f⁻1(6) = 6 - 4 ◦ f(2) = 6 f⁻1(6) = 2 11. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 12. Regrese a «Captar interés» e instruya a los estudiantes a usar sus habilidades recién adquiridas para completar exitosamente la actividad.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Solve Equations Part 3
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
Inverse Functions 1.
• Asegúrese de realizar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez completado, haga que cada estudiante llene su «Libreta interactiva».
Use the equation f(x) = 2x + 1 to answer the following questions. a.
What is the inverse of f(x)?
b.
Graph both f(x) and f –1(x) on the grid below.
APOYOS PEDAGÓGICOS
c.
1. Los estudiantes pueden tener dificultades con las funciones inversas porque necesitan cambiar la entrada y la salida para resolver. Anímelos a usar letras diferentes de x y y u otras etiquetas y notaciones si les ayuda a hacer las cosas más claras para ellos.
What do you notice about the points on each of the functions? f(x)
(−2, −3)
(−1, −1)
(0, 1)
(1, 3)
f –1(x)
(−3, −2)
(−1, −1)
(1, 0)
(3, 1)
The values for f –1(x) are the flipped values of f(x). So (0, 1) becomes (1, 0), and (1, 3) becomes (3, 1). 2.
The data points on the graph below represent a function. Graph the points of the inverse of that function.
2. Pueden tener dificultad al evaluar f inversas en una tabla. Ayude a los estudiantes a conectar las operaciones inversas con el acto de definir una función que toma los valores de salida de la función original y los convierte en las entradas originales.
APOYOS LINGÜÍSTICOS
1
Solve Equations Part 3
3.
p = 10n – 1,000 n is the number of tickets sold, and p is the profit made on the production.
4.
a.
Find the inverse of the function. Describe what the inverse function tells you and what the variable represents. In this new function, n is the number of tickets sold, and x is the total profit on the production.
Intermedio: Antes de la clase, dibuje en la pizarra o muestre imágenes de diferentes tipos de inversas. Explique que hoy los estudiantes aprenderán a encontrar la inversa de una función dada. Pida a los estudiantes que creen un cuadrado de vocabulario para la palabra inversa. Los cuadrados de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: «Definición», «Oración», «Imagen» y «No ejemplo». Proporcione la definición a los estudiantes.
Maria is finding the inverse of the function . She knows she made an error. Help Maria find her error, and show her the correct way to find the inverse. Maria’s Work
Los estudiantes utilizarán el apoyo de pistas visuales, compañeros y maestros para desarrollar el vocabulario, la estructura del lenguaje y los conocimientos previos necesarios para comprender un texto escrito. Principiante: Antes de la lección, dibuje en la pizarra o muestre imágenes de diferentes tipos de inversos. Utilice el término inverso en una frase y Anímelos a utilizarlo también en una frase. Explique que hoy los estudiantes aprenderán a encontrar la inversa de una función dada.
The drama club is putting on a production and will be selling tickets for $10 each. They have to pay $1,000 for the theater. The amount of profit they will make can be written as the function below.
b.
La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta exploración. Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo del lenguaje de los estudiantes.
Correction
Avanzado: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que trabajen en grupos para escribir y representar bosquejos sobre algo que nunca debería invertirse. Proporcióneles un escenario para empezar, como la forma en que llevamos la ropa (si invertir es llevarla al revés). Anímelos a que expliquen en sus bosquejos por qué algunas cosas no deberían invertirse. 2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 3) CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE Solve Equations
CONSOLIDAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
ESQUEMA DE ANCLAJE
Property of Equality Do unto one side of the equation what you do to the other!
DESCRIPCIÓN Un esquema de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Se trata de una herramienta para apoyar la instrucción y anclar el aprendizaje de los estudiantes a lo largo del alcance.
MATERIALES
• 1 hoja de papel cuadriculado • 1 juego de marcadores multicolores
Literal Equations
2(x – 2) = −12
Given
2x – 4 = −12
Distributive property
2x – 4 + 4 = −12 + 4
Addition property of equality
2x = −8
Combine like terms.
2x = −8 2 2
Division property of equality
1x = −4
Simplify.
x = −4
Solve for m. When you have only variables, you still follow all the same rules for solving equations.
Solve. 3x – 2 = −11
Multiplicative identity
Model the equation.
Use the inverse operation(s).
Use the inverse operation(s) to isolate the variable. x = −3
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del ejemplo de «Esquema de anclaje», si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. El ejemplo de esquema puede utilizarse como referencia antes de crear el «Esquema de anclaje» de la clase con los estudiantes. Esta actividad debe ser dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje. 2. A medida que los estudiantes trabajen en el alcance, colaboren para añadir piezas al esquema de anclaje. Realice las siguientes preguntas orientadoras: a. «¿Qué estrategia utilizamos para resolver este problema?». b. «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?». 3. Agregue más habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada exploración para resaltar el contenido importante. 4. Explique que pueden utilizar este gráfico como herramienta de apoyo para su aprendizaje. Los estudiantes también pueden pegar una copia del ejemplo de «Esquema de anclaje» en sus cuadernos para utilizarla como referencia a lo largo del año. 5. Algunos esquemas de anclaje solo se mostrarán durante un alcance o grupo de alcances concretos, mientras que otras permanecerán expuestas durante todo el curso escolar.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA Solve Equations
Instructions ● Cut out the table below, and glue or tape it into your notebook. ● Cut out the equation and justification cards below. ● Glue or tape the cards into their correct places in the table in order to solve the equation and explain the steps of the solution.
10 – 2(x + 2) = 24
Given Distributive property Combine like terms.
−2x + 6 – 6 = 24 – 6
LIBRETA INTERACTIVA DESCRIPCIÓN Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase al usar la actividad y la libreta.
MATERIALES
−2x = 18 −2x = 18 −2 −2
IMPRESO Simplify.
x = −9
DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
Multiplicative identity
PREPARACIÓN 1x = −9
10 – 2x – 4 = 24
Subtraction property of equality
Combine like terms.
−2x + 6 = 24
Division property of equality
FOLLETO DEL ESTUDIANTE
• Imprima una copia del «Folleto del estudiante» para cada uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Prepare una «Libreta interactiva» al usar un cuaderno de espiral o de composición para cada uno. Los estudiantes pueden utilizar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades. 2. Las instrucciones para cada actividad se proporcionan en el «Folleto del estudiante». 3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos. 4. Las libretas interactivas pueden utilizarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO PALABRAS QUE HAY QUE CONOCER
VOCABULARIO ILUSTRADO Distributive Property
Variable
Constant
Addition Property of Equality
The mathematical property which states that multiplying the sum or difference of a group of terms by a number or variable is the same as multiplying each term by a number or variable and then adding or subtracting the products
A letter or symbol that takes the place of a number that can change; a letter that can stand for an unknown number or a set of numbers
A fixed number that stands alone in an equation or expression
The mathematical property which states that adding the same number to each side of an equation gives us an equivalent equation
2
Subtraction Property of Equality
The mathematical property that states that subtracting the same number from each side of an equation gives us an equivalent equation
13
12
11
Multiplication Property of Equality
Division Property of Equality
Unit Rate
The mathematical property that states that multiplying the same number by each side of an equation gives us an equivalent equation
The mathematical property that states that dividing both sides of an equation by the same number gives us an equivalent equation
A rate with a denominator of 1 that shows how many units of the first type correspond to one unit of the second type
14
16
15
17
Slope
Combine Like Terms
Coefficient
Term
How steep a line is; represented as m in the slope-intercept equation
To add together terms that have the same variable(s), including their exponent
The number placed directly before a variable that tells you to multiply that number by the variable
In an algebraic expression, a number or variable, or a product or quotient of numbers and variables
3
18
4
5
Solution
Direct Variation
Proportional Relationship
Constant of Proportionality
Any number that makes an equation true
A relationship between two variables including a constant (k)
When two quantities have the same ratio
The positive constant, usually denoted k, that relates two quantities in the form y = kx.
6
7
8
9
Constant of Variation
The constant (unchanged) ratio of two quantities; in direct variation, it is usually denoted as k 10
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ
Go Fish! Instruction Sheet Play this game with a partner. You Will Need 1 Set of Go Fish! Cards (per pair) How to Play 1. Shuffle the Go Fish! Cards. 2.
Pass out five cards to each player.
3.
Place the rest of the deck in a pile on the table.
4.
Players take turns asking each other for either the answer to match one of the problem cards or the problem card to match one of the answer cards. If the opponent has the matching card, the opponent must give it to the player. If the opponent does not have the matching card, the other player must pick a card from the deck.
5.
The winner is the player with the most matches when all of the cards are gone.
DESARROLLAR LA FLUIDEZ CONCEPTUAL
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: RESOLVER ECUACIONES DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes jugarán a ¡A pescar! para resolver problemas matemáticos.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 hoja de instrucciones de ¡A pescar! (por pareja) • 1 conjunto de tarjetas de ¡A pescar! (por pareja) REUTILIZABLES
• 1 sobre o bolsa (por pareja)
PREPARACIÓN
• Haga copias a doble cara de las tarjetas de ¡A pescar! • Lamínelas para que duren más.
HOJA DE INSTRUCCIONES
• Recorte las tarjetas individuales y colóquelas en un sobre o bolsa para facilitar su distribución y limpieza. • Coloque a los estudiantes en parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo mezclar las tarjetas. 2. Muestre cómo jugar al juego con un estudiante. a. Reparta cinco cartas a cada jugador. b. Coloque el resto del conjunto en un montón sobre la mesa. c. Los jugadores se preguntan por turnos si la respuesta coincide con una de las tarjetas de problema o si la tajeta de problema coincide con una de las tarjetas de respuesta. Si el adversario tiene la tarjeta correspondiente, debe dársela al jugador. Si el oponente no tiene la tarjeta correspondiente, el otro jugador debe tomar una tarjeta del conjunto. d. El ganador es el jugador con más coincidencias cuando se acaban todas las tarjetas. 3. Supervise a los estudiantes para asegurarse de que encuentren las coincidencias correctas.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES
ELABORAR: REVISIÓN EN ESPIRAL Solve Equations
REVISAR CONCEPTOS ANTERIORES
REVISIÓN EN ESPIRAL: ACADEMIA DE BOMBEROS DESCRIPCIÓN Los estudiantes repasan contenidos anteriores o del grado actual para ayudar a apoyar su trabajo en el alcance actual y fortalecer las habilidades necesarias para alcances posteriores.
Firefighter Academy It’s time for a celebration. Your big sister is graduating from the fire academy! She has completed a basic firefighter training program designed to provide firefighters with the knowledge and skills to perform their job safely, effectively, and efficiently. Some basic firefighter skills include pulling hose lines, raising ladders, tying knots, rescuing, salvaging, and being knowledgeable about ventilation, forcible entry, and the water supply. The training program also provides knowledge like fire behavior and firefighting tactics. Your sister persevered through a grueling process, both mentally and physically. You are so proud to host a celebration party for her graduation from the fire academy!
REVISIÓN EN ESPIRAL CENTRADA EN LA PREGUNTA • Pregunta 1
◦ ALG I: Determinar el dominio y el rango de una función lineal. • Pregunta 2 ◦ ALG I: Determinar el dominio y el rango de una función cuadrática. 1
• Pregunta 3 ◦ Grado 8: Resolver ecuaciones de una variable. • Pregunta 4 ◦ Grado 7: Resolver desigualdades de una variable.
Solve Equations
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada uno.
1.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Your sister was helping put out a live fire. The graph shows the remaining oxygen levels in her tank as a function of x, the time in minutes. What is the domain and range of this function?
2.
On average, a 100-foot section of 5-inch fire hose weighs 110 pounds when it is empty. Firefighters are practicing carrying the fire hose over a hill. What is the domain that represents this situation?
1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a tratar de responder a las preguntas de forma independiente sin utilizar recursos externos para ver lo que saben. Invite a los estudiantes a anotar ideas o fragmentos que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas. 3. Utilice las preguntas de revisión en espiral como calentamiento en clase, o envíelas a casa como deberes. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos. 4. Consulte la sección «Revisión en espiral centrada en la pregunta» para evaluar los conocimientos de contenido de los estudiantes o su necesidad de una mayor intervención. Si es necesario repasar más, utilice los «Constructores de fluidez» en los alcances apropiados. 5. El proyecto final incluye una parte del alcance actual para que los estudiantes vean la conexión y la relevancia de su aprendizaje previo con el actual.
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The answer is domain {0 ≤ x ≤ 20} and range {0 ≤ y ≤ 30}. 3.
Your mom and your stepmom come together to plan and budget for the graduation party. Your mom agrees to pay $20 per person plus a $100 contribution. Your stepmom agrees to give a one-time contribution of $450, but wants to be reimbursed $15 for every person that attends. What value of x would make this equation true so that each family member contributes an equal amount?
The answer is domain {0 ≤ x ≤ 40}. 4.
A local chicken sandwich shop is catering for the party. The total cost compared to the budget is depicted by the inequality 7.27x + 56.50 ≤ 300, where x represents the number of adult guests. What is the solution set for the inequality?
20x + 100 = 450 – 15x
The answer is x = 10.
The answer is x ≤ 33; 33 or less adult guests. 2
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS ANALIZAR DATOS
CIENCIA DE DATOS La ciencia de datos consiste en un breve debate en clase sobre un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. la parte I incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje en contexto.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizan, interpretan y generan conjuntos de datos, además de responder preguntas basadas en los datos.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 conjunto de datos (por clase) REUTILIZABLES
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase) • 1 marcador (por clase) CONSUMIBLES
• 1 trozo de papel milimetrado (por clase)
PREPARACIÓN
• Prepárese para proyectar el conjunto de datos en la clase. • Tenga a mano un trozo de papel milimetrado y un marcador.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Proyecte el conjunto de datos y prepárese para anotar las observaciones de los estudiantes. 2. Realice las siguientes preguntas: a. «¿Qué observas en este conjunto de datos?». b. «¿Qué representa este conjunto de datos?». c. «¿Qué categorías se incluyen en este conjunto de datos?». d. «¿Qué significa ingresos?». e. «¿Es posible que los ingresos finales superen el valor predicho por la ecuación?». f. «¿Qué preguntas tienes sobre los datos?».
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PARTE II
1. Repase las propiedades de la igualdad y cómo utilizar las operaciones inversas para resolver una ecuación de dos pasos y escribae lo que los estudiantes recuerden en el papel milimetrado. 2. Realice las siguientes preguntas: a. «¿Puede el valor de y ser igual a 0?». Explica. No; si se resuelve la ecuación para x cuando y = 0, se obtiene un valor negativo para x, lo que no tiene sentido en el contexto del problema. b. «¿Cuáles son las restricciones de las variables, dado el contexto del problema?». x son los ingresos de la película durante la primera semana después de su estreno. Como los ingresos no pueden ser negativos, x ≥ 0. y son los ingresos finales de la película. Como y = 318 cuando x = 0, la restricción es y ≥ 318. Sin embargo, es probable que esta ecuación solo se aplique a las grandes superproducciones, ya que 318 millones de dólares es una cantidad enorme. Por lo tanto, es posible que la ecuación solo se aplique a películas que ganen al menos 50 millones de dólares durante su semana de estreno. c. «Si una película tiene unos ingresos de 280 millones de dólares durante su primera semana, «¿cuáles esperarías que fueran sus ingresos finales?». Muestra tu trabajo». 586.8 millones de dólares; y = 0.96x + 318 = 0.96(280) + 318 = 268.8 + 318 = 586.8 d. «Si una película tiene unos ingresos finales de 690 millones de dólares, «¿cuáles esperarías que hubieran sido sus ingresos durante su primera semana?». Muestra tu trabajo». 387.5 millones de dólares; 690 = 0.96x + 318; 372 = 0.96x; 387.5 = x e. «Si una película obtiene la mitad de su recaudación final en la primera semana tras su estreno, «¿cuál es su recaudación final?». Redondea a la décima más cercana. Muestra tu trabajo». Unos 611.5 millones de dólares; y = 0.96(0,5y) + 318; y = 0.48y + 318; 0.52y = 318; y = 611.5 f. «¿Cuál es la inversa de la ecuación y = 0.96x + 318, y qué representan las x-318 variables?». y = _______ o y = 1.04x 0,96 331.25, donde x son los ingresos finales de la película e y son los ingresos obtenidos durante la primera semana tras el estreno.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS
LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN DESCRIPCIÓN Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede utilizarse como evaluación formativa para los maestros y como autoevaluación para los estudiantes.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo. 4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje. 5. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el «Folleto del maestro».
• 1 folleto del maestro (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del maestro» y un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Folleto del estudiante» a cada uno. 2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Explorar» y «Explicar» del alcance, evalúe formativamente su progreso tomando notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
6. Las notas anecdóticas proporcionadas en el «Folleto del maestro» pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares. 7. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la «Guía de instrucción andamiada» en la sección «Inicio» de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
Solve Equations
Solve Equations
Solve Equations How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Create equations and inequalities in one variable including ones with absolute value and use them to solve problems. Include equations arising from linear and quadratic functions, and simple rational and exponential functions. Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or non-viable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods. Rearrange formulas to highlight a quantity of interest, using the same reasoning as in solving equations. For example, rearrange Ohm’s law V = IR to highlight resistance R.
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Solve Equations
Standards for Mathematical Practice
Solve Equations Notes and Feedback
How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Explain each step in solving a simple equation as following from the equality of numbers asserted at the previous step, starting from the assumption that the original equation has a solution. Construct a viable argument to justify a solution method. Solve linear equations and inequalities in one variable, including equations with coefficients represented by letters.
Find inverse functions. a. Solve an equation of the form f(x) = c for a simple function f that has an inverse and write an expression for the inverse. For example, f(x) = 2x³ or f(x) = (x + 1)/(x - 1) for x ≠ 1.
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Notes and Feedback
Make sense of problems and persevere in solving them
Notes and Feedback
Reason abstractly and quantitatively Construct viable arguments and critique the reasoning of others Model with mathematics Use appropriate tools strategically
Attend to precision Look for and make use of structure Look for and express regularity in repeated reasoning
1
Consider these reflection questions in this scope.
2
●
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them?
●
What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
3
FOLLETO DEL MAESTRO
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES
EVALUAR: MAPA DE CALOR
ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
MAPA DE CALOR DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
1. Dé un «Mapa de calor» a cada estudiante junto con lápices de colores rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s).
MATERIALES
• 1 mapa de calor (por estudiante)
2. Los estudiantes utilizan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el «Mapa de calor». Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los estudiantes colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, los estudiantes colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, los estudiantes colorean el cuadro correspondiente de rojo.
• 1 lápiz de color rojo (por estudiante) • 1 lápiz de color azul (por estudiante) • 1 lápiz de color naranja (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Determine si los estudiantes analizarán su «Prueba de habilidades», la «Evaluación basada en estándares», o ambas. • Imprima un «Mapa de calor» para cada estudiante.
3. Anímelos a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a utilizar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada.
• Tenga a mano lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
4. Consulte la «Guía de instrucción andamiada» que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
Solve Equations
Solve Equations
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key.
Red – misconception
Blue – miscalculation
Reflection Questions
Skills Quiz Standards
Solve Equations
1. Which skill did you feel most confident with? Why?
Questions
Orange – explanation
Standards
Create equations and inequalities in one variable including ones with absolute value use them to solve problems. Include equations arising from linear and quadratic functions, and simple rational and exponential functions.
4
Create equations and inequalities in one variable including ones with absolute value use them to solve problems. Include equations arising from linear and quadratic functions, and simple rational and exponential functions.
Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or non-viable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods.
10
Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or non-viable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods.
Rearrange formulas to highlight a quantity of interest, using the same reasoning as in solving equations. For example, rearrange Ohm’s law V = IR to highlight resistance R.
7
Rearrange formulas to highlight a quantity of interest, using the same reasoning as in solving equations. For example, rearrange Ohm’s law V = IR to highlight resistance R.
8
Explain each step in solving a simple equation as following from the equality of numbers asserted at the previous step, starting from the assumption that the original equation has a solution. Construct a viable argument to justify a solution method.
Explain each step in solving a simple equation as following from the equality of numbers asserted at the previous step, starting from the assumption that the original equation has a solution. Construct a viable argument to justify a solution method. Solve linear equations and inequalities in one variable, including equations with coefficients represented by letters.
3. Which type of error did you most commonly make?
1
2
5
4. How can you avoid those errors in the future?
Solve linear equations and inequalities in one variable, including equations with coefficients represented by letters.
6
9 Find inverse functions. a. Solve an equation of the form f(x)= c for a simple function f that has an inverse and write an expression for the inverse. For example, f(x) = 2x³ or f(x) = (x + 1)/(x - 1) for x ≠ 1.
Find inverse functions. a. Solve an equation of the form f(x)= c for a simple function f that has an inverse and write an expression for the inverse. For example, f(x) = 2x³ or f(x) = (x + 1)/(x - 1) for x ≠ 1.
3 1
Red – misconception
Standards-Based Assessment
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
2
Questions
1
10
Not Assessed
5
6
3
2
4
8
9
7
3
MAPA DE CALOR
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES
INTERVENIR: REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES REMEDIAR Y VOLVER A ENSEÑAR
REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES DESCRIPCIÓN
• Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayudas suplementarias para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para intervención.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
MATERIALES
1. Dé una copia de la «Revisión rápida» a cada estudiante. 2. Cada uno debe completarla de forma independiente.
IMPRESO
• 1 repaso (por estudiante)
3. Use la guía de evaluación de habilidades al final de la «Revisión rápida» para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional.
• 1 revisión general (por estudiante)
4. Distribuya una copia del «Repaso» a cada uno.
• 1 revisión rápida (por estudiante)
5. Cada estudiante debe completar el «Repaso» como actividad de intervención o de forma independiente.
• 1 lista de verificación para el maestro (por maestro)
a.
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de la «Revisión rápida», el «Repaso» y la «Revisión general» para cada estudiante.
Si lo desea, reúna a los estudiantes en pequeños grupos para trabajar en las destrezas de repaso. Utilice el «Repaso» como ayuda para la reenseñanza.
6. Distribuya una copia de la «Revisión general» a cada uno. 7. Cada estudiante debe completarla de forma independiente.
• Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar el «Repaso».
8. Analice los resultados de la «Revisión general» al usar la «Lista de verificación para el maestro» para identificar quienes necesitan un repaso adicional y quienes han alcanzado el dominio de los conceptos.
• Si lo desea, imprima un ejemplo del «Esquema de anclaje» de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que usen la «Libreta interactiva» como recurso.
Solve Equations
5.
Checkup 1.
2.
Solve Equations
Nineteen more than three times a number is forty-six. a.
Write an equation that can be used to determine the number, n. 3n + 19 = 46
b.
Use the equation to find the value of the number, n. 3n + 19 = 46 3n = 27 n=9
6.
9.
Complete the table below, matching the equation with the correct model. Use the choices shown in the answer bank. Use the letter of the correct choice to fill in the blank provided. Answer Bank
A.
B.
E.
F.
Miranda knows the formula for finding distance is d = vt, where v is the average speed and t is time taken. Rewrite the formula to find the time, t.
a.
Write an equation that can be used to determine the number, x.
b.
Use the equation to determine the number.
A. B. C.
C.
3x + 6 = –6 –6 –6
G.
D.
3x + 2 = –6
H.
F
B
2(3x + 16) = 20 3x + 16 = 10 3x = –6 x = –2
When 5w – 12z = 3w + 8z is solved for w, what is the result?
3x + 6 = –6
3(x + 2) = –6
Two-fifths of the sum of three times a number, x, and sixteen is four.
7.
3.
The equation c = 35,500 + 280d can be used to calculate the total income, c, of Amanda, who works at a bridal boutique. If d represents the number of bridal dresses sold, how many dresses will Amanda need to sell in order to make a total income of $48,660? c = 35,500 + 280d 48,660 = 35,500 + 280d 13,160 = 280d d = 47 dresses
Solve Equations
The volume of a rectangular pyramid can be found using the formula V= lwh, where l is the length of the base, w is the width of the base, and h is the height of the pyramid. Rewrite the formula to find the width of the base, w, of the rectangular pyramid.
3x + 6 – 6 = –6 – 6
E
3x + 0 = –12
A 8.
4.
Decide whether each function and the given inverse are correct. Select “Inverse” or “Not Inverse” for each pair of functions. Function Pairs
Solve for x if rx – 5x = qx + 9.
Inverse
10.
✔
w = 20z w = 10z
x = –4
H
Not Inverse
✔
, then f–1(x) is equal to which of the following options?
If A.
B.
C.
D.
✔
D. 1
2
3
COMPROBACIÓN CLAVE DE RESPUESTAS
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1/9/26 1:31 PM
ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES
Solve Equations
ACELERACIÓN: ¿QUÉ PREFERIRÍAS? RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Temperature Conversions Use mathematical reasoning and creativity to justify your answer to the Would You Rather question. In the US, temperatures reported in Celsius do not mean much tangibly to the average person, as temperatures are much more commonly reported in Fahrenheit. Conversely, outside the US, temperatures are more commonly reported in Celsius. Frank works at the US Embassy in London and has to convert from Celsius to Fahrenheit often. Catia works at the British Embassy in the US and has to convert to Celsius often. The equation to convert temperatures from Celsius (C) to Fahrenheit (F) 9 is F= C+32. Catia solved the equation for the variable C to convert from Fahrenheit 5 (F) to Celsius (C). Would you rather have Frank’s job or Catia’s job converting temperatures? Justify your reasoning with mathematics.
¿QUÉ PREFERIRÍAS?: CONVERSIONES DE TEMPERATURA DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 guía de evaluación (por maestro)
The following statements are sample answers: I would rather have Frank’s job converting to Fahrenheit. The conversion equation is easier to compute in my head because it involves just dividing by 5. If I wanted to convert F to C, I would use 5 C= (F–32). Dividing by 9 isn’t as easy to compute in my head.
PREPARACIÓN
9
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno.
I would rather have Catia’s job converting to Celsius because in conversions, I only 5 need to deal with fractions as the last step (multiplying by at the end). In 9 converting to F, unless C is divisible by 5, I will have a fraction (or decimal) that still needs to be added to 32.
• Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea. 1
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a mirar sus folletos de «Explorar» si necesitan repasar habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros. 4. Utilice la guía de evaluación proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Solve Equations
OPCIONES PARA SEGUIR APRENDIENDO
TABLERO DE OPCIONES
Solve Equations Choose one or more extension activities from the table below.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes explorarán las conexiones con el mundo real y las aplicaciones del contenido matemático a través de interacciones con actividades atractivas.
MATERIALES IMPRESO
• 1 tablero de opciones (por estudiante)
Career Connection
Physician Assistant
Research the career field of a physician assistant. Your research must answer the provided questions. Create a presentation to relay your research to the class.
Science Connection
Temperature
Explore the connection between math and science by solving equations to convert temperatures from Fahrenheit to Celsius and vice versa.
Analogies
Technology Connection
Solving Equations
Graphing Calculator
Complete the analogies to demonstrate an understanding of solving equations.
Use a graphing calculator to solve equations.
Mathematician Spotlight
Financial Connection
Diophantus
Grocery Store Earnings
• 1 juego de hojas de actividades (por estudiante) • 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante) REUTILIZABLE
• Tecnología (si corresponde)
Search for several news articles or research papers that involve Diophantus’s work. Create an informational poster, a diorama, or a speech to convey this mathematician’s work as it relates to solving equations.
We use math every day in our financial world. Explore how our current math topic connects to our financial world by completing the handout.
PREPARACIÓN
• Imprima un «Tablero de opciones» y un juego de hojas de actividades para cada estudiante. • Imprima una «Autoevaluación del tablero» para cada estudiante.
TABLERO DE OPCIONES
• Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» a cada estudiante. 2. Dé tiempo a los estudiantes para examinar el «Tablero de opciones» y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anímelos a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del tablero, haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER ECUACIONES
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<<GRADO>> RESOLVER INECUACIONES
ÁLGEBRA 1
RESOLVER DESIGUALDADES ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: DOS VERDADES Y UNA MENTIRA
ESTÁNDARES CLAVE Crear ecuaciones que describan números o relaciones. • Crear ecuaciones e desigualdades en una variable, incluidas las de valor absoluto, y utilizarlas para resolver problemas. Incluir ecuaciones que surjan de funciones lineales y cuadráticas, y funciones racionales y exponenciales simples. Resolver ecuaciones e desigualdades en una variable. • Resolver ecuaciones e desigualdades lineales en una variable, incluyendo ecuaciones con coeficientes representados por letras. *Este alcance se centra en lo lineal.
ESTÁNDARES DE CONEXIÓN Crear ecuaciones que describan números o relaciones. • Representar restricciones mediante ecuaciones o desigualdades, y mediante sistemas de ecuaciones y/o desigualdades, e interpretar las soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelización. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de coste en combinaciones de diferentes alimentos. • Reorganizar fórmulas para resaltar una cantidad de interés, utilizando el mismo razonamiento que en la resolución de ecuaciones. Por ejemplo, reordenar la ley de Ohm V = IR para resaltar la resistencia R. Entender la resolución de ecuaciones como un proceso de razonamiento y explicar el razonamiento. • Explicar cada paso en la resolución de una ecuación simple como consecuencia de la igualdad de números afirmada en el paso anterior, partiendo de la suposición de que la ecuación original tiene solución. Construir un argumento viable para justificar un método de solución.
Los estudiantes participarán en una actividad de «Dos verdades y una mentira» para identificar conceptos erróneos sobre un estándar matemático previo. • Los estudiantes leerán y analizarán tres enunciados para identificar dos verdades y una mentira. • Debatirán su razonamiento con un compañero para comparar sus conclusiones. • Los estudiantes justificarán su elección de la mentira ante la clase. CAPTAR INTERÉS Los estudiantes explorarán la resolución de desigualdades a través de un escenario del mundo real que involucra una competencia de Jog-a-thon. • Los estudiantes verán un video y expondrán un escenario que involucra corredores para identificar elementos matemáticos y formular preguntas. • Analizarán una oración matemática con símbolos de desigualdad para comprender sus componentes y relevancia para el escenario. • Los estudiantes participarán en actividades de Exploración para profundizar su comprensión de la resolución de desigualdades.
ACTIVIDADES DE EXPLORAR EXPLORACIÓN 1: RESOLVER DESIGUALDADES CON VARIABLES EN AMBOS LADOS Los estudiantes utilizarán desigualdades para comparar los costos de los juegos, resolverlos e interpretar las soluciones en su contexto. • Los estudiantes analizarán y resolverán desigualdades relacionadas con los costos de los juegos, registrando su trabajo en los «Diarios del estudiante». • Los estudiantes colaborarán en grupos para explorar las estaciones de publicidad, sopesando los pros y los contras de las opciones de juego utilizando desigualdades. • Los estudiantes participarán en «Charlas de matemáticas» para contar sus hallazgos y razonamientos, enfocándose en las propiedades y soluciones de las desigualdades. • Los estudiantes completarán un «Boleto de salida» para demostrar su comprensión de la resolución e interpretación de desigualdades en contextos del mundo real. EXPLORACIÓN 2: RESUELVE DESIGUALDADES CON LA PROPIEDAD DISTRIBUTIVA Y FRACCIONES Los estudiantes explorarán promedios de calificaciones y el uso de desigualdades para hacer predicciones modelando y resolviendo desigualdades, incluyendo la propiedad distributiva y fracciones. • Los estudiantes analizarán y calcularán promedios usando datos de calificaciones dados. • Los estudiantes modelarán y resolverán desigualdades para predecir resultados de calificaciones. • Los estudiantes colaborarán en grupos para criticar y justificar razonamientos matemáticos. • Los estudiantes usarán herramientas estratégicas y estimación para identificar y corregir errores en sus soluciones. EXPLORACIÓN 3: RESOLVER DESIGUALDADES COMPUESTAS Los estudiantes explorarán la escritura y resolución de desigualdades compuestas para determinar medidas de cajas aceptables y rechazadas. • Los estudiantes harán una lluvia de ideas y darán ejemplos de dimensiones de cajas aceptables y rechazadas usando desigualdades compuestas. • Los estudiantes trabajarán en grupos para crear y registrar desigualdades compuestas para programar tamaños de cajas aceptables. • Los estudiantes usarán rectas numéricas para representar visualmente y analizar medidas de cajas aceptables y rechazadas. • Los estudiantes participarán en charlas de matemáticas para compartir observaciones y refinar su comprensión de conjunciones y disyunciones en desigualdades.
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ÁLGEBRA RESOLVER 1: RESOLVER INECUACIONES DESIGUALDADES <<GRADE>>I
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES
SISTEMAS DE ECUACIONES
CONCEPTOS CLAVE • Puedo escribir desigualdades lineales en una variable. • Puedo resolver desigualdades lineales en una variable, incluyendo desigualdades compuestas. • Puedo usar desigualdades lineales en una variable para resolver problemas. • Puedo determinar si una inecuación tiene múltiples soluciones, una solución o ninguna solución. • Puedo resolver desigualdades lineales con coeficientes variables.
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PREGUNTAS FUNDAMENTALES • «¿En qué se parece la resolución de desigualdades a la de ecuaciones?». • «¿En qué se diferencia la resolución de desigualdades de la de ecuaciones?». • «¿Cómo se representan gráficamente las soluciones de las desigualdades?». • «¿Cómo puedo saber si una inecuación tiene varias soluciones, una solución o ninguna solución?».
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER DESIGUALDADES
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
CONTENIDOS DE APOYO Crear ecuaciones que describan números o relaciones. • Crear ecuaciones e desigualdades en una variable, incluidas las de valor absoluto, y utilizarlas para resolver problemas. Incluir ecuaciones que surjan de funciones lineales y cuadráticas y de funciones racionales y exponenciales sencillas. Resolver ecuaciones e desigualdades en una variable. • Resolver ecuaciones e desigualdades lineales en una variable, incluyendo ecuaciones con coeficientes representados por letras. Este alcance se enfoca en lo lineal.
CONOCIMIENTOS PREVIOS En grados anteriores, los estudiantes crearon y resolvieron desigualdades en una variable, crearon y resolvieron ecuaciones lineales, aprendieron y aplicaron las propiedades de las operaciones y razonaron con desigualdades. Los estudiantes también reconocieron una nueva consideración importante en la resolución de desigualdades: Multiplicar o dividir ambos lados de una desigualdad por un número negativo invierte el orden de la comparación que representa.
CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
• Los estudiantes pueden confundir las representaciones simbólicas de frases como «3 menos que un número» y «3 es menos que un número». Los estudiantes también pueden representar erróneamente «3 menos que un número» como 3 – x. • Los estudiantes a menudo malinterpretan u olvidan cambiar la dirección del símbolo de desigualdad cuando resuelven una desigualdad con un coeficiente negativo. • Si los estudiantes tienen problemas para resolver desigualdades que tienen un coeficiente negativo, comience comparando números, como 5 > 3. Luego, compare 5(–1) > 3(–1), y haga que los estudiantes determinen si esto es cierto.
EN ESTE ALCANCE En este alcance, los estudiantes deben ser capaces de crear, resolver y graficar desigualdades de múltiples pasos y compuestas de una sola variable. Tendrán más éxito si pueden ampliar su comprensión de la creación, resolución y graficación de desigualdades de dos pasos y una sola variable de niveles de grado anteriores. Los estudiantes deben ser capaces de resolver y justificar el proceso de resolución de desigualdades, incluyendo desigualdades con coeficiente negativo. Los estudiantes deben usar y explicar las herramientas apropiadas para modelar y resolver desigualdades. TÉRMINOS A CONOCER • desigualdad: una oración matemática que usa símbolos como <, ≤, >, o ≥ para comparar dos cantidades. • variable: una letra o símbolo que toma el lugar de un número que puede cambiar; una letra que puede representar un número desconocido o un conjunto de números. • ecuación: enunciado matemático que muestra que dos expresiones son iguales entre sí. • función lineal: una relación que cuando se representa gráficamente es una línea recta. • coeficiente: el número colocado directamente delante de una variable que indica que hay que multiplicar ese número por la variable. 142
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APLICAR LAS PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes analizan un escenario que compara dos tiendas diferentes, escriben y resuelven una desigualdad lineal para encontrar el valor de la variable, y luego evalúan la desigualdad para comparar qué tienda tiene el mejor precio. • MP.2 Razonan abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes descontextualizan escenarios para crear desigualdades lineales que representen los escenarios. Resuelven la inecuación y relacionan la solución con el contexto. • MP.3 Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros: Los estudiantes utilizan su comprensión de la resolución de desigualdades para justificar y apoyar qué opción de juego elegirían en un escenario dado. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes modelan escenarios del mundo real usando desigualdades lineales mientras escriben y resuelven desigualdades para encontrar las puntuaciones que un grupo de estudiantes necesita para obtener calificaciones específicas. • MP.5 Usar herramientas apropiadas estratégicamente: Los estudiantes usan rectas numéricas para ayudar a representar conjuntos de soluciones para desigualdades compuestas y reconocen que las rectas numéricas ayudan a visualizar las posibles soluciones para una inecuación. • MP.6 Atender a la precisión: Los estudiantes grafican con precisión desigualdades en rectas numéricas. Grafican con precisión conjuntos de soluciones utilizando la notación correcta, círculos abiertos y cerrados, y flechas para indicar la dirección. • MP.7 Buscar y hacer uso de la estructura: Los estudiantes utilizan su comprensión de las operaciones inversas y la resolución de ecuaciones para entender cómo resolver desigualdades lineales. Reconocen que el proceso es el mismo excepto cuando se cambia el signo de la desigualdad. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes generalizan sobre las gráficas de las desigualdades compuestas. Reconocen que las desigualdades y incluyen todos los valores entre el valor máximo y el mínimo, mientras que las desigualdades o incluyen todos los valores mayores que el valor máximo y menores que el valor mínimo.
DESIGUALDADES CON VARIABLES EN AMBOS LADOS Los estudiantes continuarán su aproximación algebraica. Utilizarán una posible solución para comprobar su solución cuando resuelvan algebraicamente. Los estudiantes determinarán si un número es solución de la inecuación. También compararán dos métodos para resolver un problema y determinarán la lógica correcta o errónea, así como el enfoque más ventajoso. Ejemplo: «¿Cuál es el conjunto solución para −4x + 10 ≥ 5x + 55?». a.
x≥5
b.
x ≥ 45
c.
x ≤ −5
d.
x ≥ −45
La respuesta correcta es C. El estudiante que seleccionó A no dividió correctamente por un coeficiente negativo. ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER DESIGUALDADES
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO
DESIGUALDADES QUE INCLUYEN LA PROPIEDAD DISTRIBUTIVA Y FRACCIONES Los estudiantes resolverán problemas que involucren la propiedad distributiva. Utilizarán la propiedad distributiva para resolver problemas con fracciones. También explorarán otros métodos para resolver problemas con fracciones, como encontrar un denominador común que también involucra el uso de la propiedad distributiva si el numerador tiene más de un término. Ejemplo: «¿Qué desigualdad describe todas las soluciones de 5(3 − x) < −2x + 6?». a.
x < −9
b.
x>3
c.
x < −3
d.
x>7
La respuesta correcta es B. El estudiante que seleccionó A no distribuyó correctamente el 5. El estudiante que seleccionó C no dividió correctamente por un coeficiente negativo, o combinó incorrectamente un término variable negativo y positivo. Ejemplo: La siguiente es una solución incorrecta del estudiante a la x–4 desigualdad, ____ x–2 ≤ ____ . 6 9 x–2 ____ ____ ≤ x–4 6 9 2 ____ x–2 3 ____ __ Paso 1: 2 9 ≤ __ x–4 3 6 3x–4 Paso 2: _____ 2x–2 ≤ _____ 18 18
Paso 3: 2x – 2 ≤ 3x – 4 Paso 4: 2x ≤ 3x + 2 Paso 5: −1x ≤ 2 Paso 6: x ≤ −2 Identifique en qué paso se produjo el primer error matemático y explique por qué es matemáticamente incorrecto. El primer error matemático se produjo en el Paso 2. Esto es incorrecto porque el 2 debería haberse distribuido entre ambos términos del numerador para dar como resultado 2x – 4.. Del mismo modo, el 3 debería haberse distribuido entre ambos términos del numerador para obtener 3x – 12..
SELECCIÓN DE UN MÉTODO Los estudiantes compartirán los métodos de solución en parejas o con la clase. Los estudiantes ajustarán su enfoque al método más ventajoso. Al explorar otras estrategias, los estudiantes se exponen a ideas y métodos que pueden ser más eficientes que los métodos que han estado utilizando. Los estudiantes explorarán la resolución de problemas algebraicos y contextuales, teniendo en cuenta el objetivo de utilizar estrategias eficientes. Los estudiantes también practicarán la búsqueda del conjunto solución a una desigualdad razonando sobre su composición y sus partes. En la desigualdad, 0.25x > 5x, podemos razonar que la única manera de que 0.25 veces un número sea mayor que cinco veces el mismo número es que la variable, x, sea negativa. Por lo tanto, la solución es x < 0. Ejemplo: Las entradas para un concierto cuestan $35,50 cada una, más una comisión única de $12. Un club español tiene un presupuesto de $438 para gastar en entradas de conciertos. «¿Cuántas entradas de concierto, x, puede comprar el club español?». Escribe una desigualdad que pueda usarse para determinar los posibles valores de x para esta situación. Resuelve la desigualdad y da tres posibles soluciones en contexto. «¿En qué cambiaría tu planteamiento si quisieran gastar al menos $400?». 438 ≥ 35.50x + 12 x ≤ 12 Las respuestas variarán. Tres números enteros cualesquiera entre 0 y 12, ambos inclusive, serían adecuados. El club español podría comprar 0 entradas, 5 entradas o 12 entradas. Si querían gastar al menos 400 $, la desigualdad habría sido menor o igual que 400. El símbolo sería el opuesto al utilizado en el escenario anterior. Las soluciones posibles habrían sido infinitas porque sería el conjunto solución x ≥ 10.9. Esto significaría que podrían comprar 11 o más boletos. Ejemplo: Susan y Joseph estaban decidiendo una estrategia para resolver la siguiente desigualdad. 3(x + 2) ≤ 9 Cada uno ha descrito el primer paso que cree mejor. Susan
Joseph
Primero dividiría cada lado de la desigualdad por 3.
Primero, distribuiría el 3 entre cada término del paréntesis.
DESIGUALDADES COMPUESTAS Se darán a los estudiantes desigualdades inclusivas y excluyentes y se les pedirá que den ejemplos de soluciones de cada una. Los estudiantes usarán esta base para resolver algebraicamente desigualdades compuestas así como graficar e interpretar las soluciones. Ejemplo: Si x es un número entero, «¿cuál es el conjunto solución de −1 ≤ x ≤ 2?». a.
{0, 1}
b.
{−1, 0, 1, 2}
c.
{0, 1, 2}
d.
{−1, 0, 1}
La respuesta correcta es B. Ejemplo: Resolver y graficar el conjunto solución. −2 < 3 + 5x < 13 −1 < x < 2
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«¿Quién ha descrito el primer paso más ventajoso? ¿Por qué es más ventajoso?». Susan seleccionó el primer paso más ventajoso porque solo habría un paso más para terminar de resolver. Usando el método de Joseph, tendríamos dos pasos más para terminar de resolver. Por eso el método de Joseph no es el más ventajoso.
AVANCES En el futuro, los estudiantes usarán las desigualdades compuestas para dar sentido a las desigualdades de valor absoluto. Este material es también un prerrequisito común para encontrar funciones inversas, incluyendo la relación inversa de funciones exponenciales y logarítmicas. En Álgebra 2, los estudiantes resolverán desigualdades racionales y radicales.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER DESIGUALDADES
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO PROFUNDIZACIÓN EN LAS NORMAS
CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES Crear ecuaciones que describan números o relaciones. • Crear ecuaciones e desigualdades en una variable, incluyendo aquellas con valor absoluto, y utilizarlas para resolver problemas. Incluir ecuaciones que surjan de funciones lineales y cuadráticas, y de funciones racionales y exponenciales sencillas. • Representar restricciones mediante ecuaciones o desigualdades, y mediante sistemas de ecuaciones y/o desigualdades, e interpretar las soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelización. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de costo en combinaciones de diferentes alimentos. Resolver ecuaciones e desigualdades en una variable. • Resolver ecuaciones e desigualdades lineales en una variable, incluyendo ecuaciones con coeficientes representados por letras. Nota: Este alcance se enfoca en lineales.
DISECCIONANDO EL ESTÁNDAR VERBOS: ¿QUÉ DEBEN HACER LOS ESTUDIANTES?
• crear: hacer algo desde cero. • describir: escribir o contar los detalles de. • usar: aplicar una estrategia. • representar: mostrar cómo se relacionan los términos; representar algo más. • interpretar: explicar el significado de. • resolver: encontrar un valor que responda a una pregunta y/o haga que una ecuación sea verdadera. SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBEN CONOCER LOS ESTUDIANTES? • desigualdad: una oración matemática que utiliza símbolos como <, ≤, >, o ≥ para comparar dos cantidades. • variable: una letra o símbolo que ocupa el lugar de un número que puede cambiar; una letra que puede representar un número desconocido o un conjunto de números. • ecuación: un enunciado matemático que muestra que dos expresiones son iguales entre sí. • función lineal: una relación que cuando se representa gráficamente es una línea recta. • restricción: una condición que la solución debe satisfacer. • sistema de ecuaciones: dos o más ecuaciones con dos o más variables. • solución: cualquier número que hace que una ecuación sea verdadera.
IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA
• En grados anteriores, los estudiantes crearon y resolvieron desigualdades en una variable, crearon y resolvieron ecuaciones lineales, aprendieron y aplicaron las propiedades de las operaciones y razonaron con desigualdades. Los estudiantes también reconocieron una nueva consideración importante en la resolución de desigualdades: multiplicar o dividir ambos lados de una inecuación por un número negativo invierte el orden de la comparación que representa. • En este nivel de grado, los estudiantes deben ser capaces de crear, resolver y graficar desigualdades de múltiples pasos y compuestas de una sola variable. Los estudiantes tendrán más éxito si pueden ampliar su comprensión de la creación, resolución y graficación de desigualdades de una sola variable de dos pasos de los niveles de grado anteriores. • Los estudiantes deben ser capaces de resolver y justificar el proceso para resolver desigualdades, incluyendo desigualdades con un coeficiente negativo. Los estudiantes deben utilizar y explicar las herramientas adecuadas para modelizar y resolver desigualdades. • Los estudiantes a menudo malinterpretan u olvidan cambiar la dirección del símbolo de la inecuación cuando resuelven una inecuación con coeficiente negativo. «Los estudiantes desarrollan más confusiones y malentendidos si se hace hincapié en cambiar la dirección del símbolo de desigualdad cuando se divide por un negativo». Los estudiantes empiezan a asociar incorrectamente dividir con cambiar la dirección del símbolo de desigualdad. Use frases como «al multiplicar (o dividir) por un negativo, hemos volteado al otro lado de la recta numérica, por lo que también debemos voltear la dirección del símbolo de desigualdad». Esto ayudará a evitar los conceptos erróneos señalados anteriormente. • Si los estudiantes tienen problemas para resolver desigualdades que tienen un coeficiente negativo, empiece comparando números, como 5 > 3. Luego compare 5(-1) > 3(-1), y haga que los estudiantes determinen si esto es cierto. Es cierto que -5 no es mayor que -3. Podemos ver que al multiplicar por un negativo, nos hemos pasado al otro lado de la recta numérica. Experiencias sencillas como ésta deben llevar a los estudiantes a resolver desigualdades sencillas como -3x < 12 or x/−4 > 2 y ver qué sucede cuando cambian el símbolo de desigualdad, así como cuando no cambian el símbolo de desigualdad. Permita que los estudiantes investiguen varios ejemplos y saquen una conclusión sobre qué método produce soluciones viables y por qué ocurre esto.
• coeficiente: el número colocado directamente delante de una variable que te dice que multipliques ese número por la variable.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER DESIGUALDADES
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
ALINEACIÓN VERTICAL GRADO
ESTÁNDAR Comprender el orden y el valor absoluto de los números racionales. a
Interpretar los enunciados de desigualdad como enunciados sobre la posición relativa de dos números en un diagrama de línea numérica. Por ejemplo, interpretar -3 > -7 como un enunciado de que -3 está ubicado a la derecha de -7 en una recta numérica orientada de izquierda a derecha.
b Escribir, interpretar y explicar enunciados de orden para números racionales en contextos del mundo real. Por ejemplo, escribir -3 °C > -7 °C para expresar el hecho de que -3 °C es más cálido que -7 °C.
6
Entender la resolución de una ecuación o desigualdad como un proceso de respuesta a una pregunta: «¿qué valores de un conjunto especificado, si los hay, hacen que la ecuación o desigualdad sea verdadera?». Utilizar la sustitución para determinar si un número dado de un conjunto especificado hace que una ecuación o desigualdad sea verdadera. Utilizar variables para representar números y escribir expresiones al resolver un problema matemático o de la vida real; comprender que una variable puede representar un número desconocido o, dependiendo del propósito, cualquier número de un conjunto especificado. Escribir una desigualdad de la forma x > c o x < c para representar una restricción o condición en un problema del mundo real o matemático. Reconocer que las desigualdades de la forma x > c o x < c tienen infinitas soluciones; representar las soluciones de dichas desigualdades en diagramas de líneas numéricas. Utilizar variables para representar cantidades en un problema matemático o del mundo real, y construir ecuaciones e desigualdades sencillas para resolver problemas razonando sobre las cantidades.
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a Resolver problemas de palabras que conduzcan a desigualdades de la forma px + q > r o px + q < r, donde p, q, y r son números racionales específicos. Grafica el conjunto solución de la desigualdad e interprétalo en el contexto del problema. Por ejemplo: Como vendedor, te pagan $50 semanales más $3 por venta. Esta semana quieres que tu paga sea de al menos $100. Escribe una desigualdad para el número de ventas que necesitas hacer, y describe las soluciones. Crea ecuaciones y desigualdades en una variable, incluyendo las de valor absoluto, y úsalas para resolver problemas. Incluir ecuaciones que surjan de funciones lineales y cuadráticas, y funciones racionales y exponenciales simples.
Álgebra
Representar restricciones mediante ecuaciones o desigualdades, y mediante sistemas de ecuaciones y/o desigualdades, e interpretar las soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelización. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de coste en combinaciones de diferentes alimentos. Resolver ecuaciones e desigualdades lineales en una variable, con ecuaciones con coeficientes representados por letras.
Álgebra
Graficar las soluciones a una inecuación lineal en dos variables como un semiplano (excluyendo el límite en el caso de una inecuación estricta), y graficar el conjunto solución a un sistema de desigualdades lineales en dos variables como la intersección de los semiplanos correspondientes.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER DESIGUALDADES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA MONITOREAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA La guía de instrucción andamiada se proporciona para que los maestros puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones del alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que ayuda a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de la evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos según los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere que todos los estudiantes experimenten con los elementos: «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades», ya que cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar. 0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
80 % - 100 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil pueden trabajar en contenido de nivel de grado con apoyos de instrucción.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» individual para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 2. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante de acuerdo con sus datos de evaluación. 3. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la sección «Scaffolded Instruction Guide» en el menú desplegable «Home» del alcance. 4. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER DESIGUALDADES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
(Refuerzo del grado anterior)
0 % - 25 %
Crear ecuaciones e desigualdades en una variable, incluidas las de valor absoluto, y utilizarlas para resolver problemas. Incluir ecuaciones que surjan de funciones lineales y cuadráticas, y funciones racionales y exponenciales simples.
8 - Resolución de ecuaciones lineales Repaso de habilidades y práctica Constructor de fluidez • ¡Arregla el error! Práctica interactiva • Droid quest
(Nivel de grado con apoyos) (Nivel de grado)
(Ampliación del nivel de grado)
80 % - 100 %
50 % - 80 %
25 % - 50 %
Prueba de habilidades
Álgebra I - Resolver desigualdades Acceso a conocimientos previos Constructor de fluidez Repaso y práctica de habilidades • Comprobación (Pregunta 6)
Álgebra I - Resolver desigualdades Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Ciencia de datos
Álgebra I - Resolver desigualdades ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER DESIGUALDADES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
0 % - 25 %
(Refuerzo del grado anterior)
25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyos)
50 % - 80 %
(Nivel de grado)
80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
Representar las restricciones mediante ecuaciones o desigualdades, y mediante sistemas de ecuaciones y/o desigualdades, e interpretar las soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelización. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de coste en combinaciones de diferentes alimentos.
6 - Ecuaciones y desigualdades Repaso de habilidades y práctica Prueba de habilidades
Álgebra I - Resolver desigualdades Constructor de fluidez Repaso de habilidades y práctica • Revisión (Pregunta 6)
Álgebra I - Resolver desigualdades Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Ciencia de datos
Álgebra I - Resolver desigualdades ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER DESIGUALDADES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
(Refuerzo del grado anterior) (Nivel de grado con apoyos) (Nivel de grado) (Ampliación del nivel de grado)
80 % - 100 %
50 % - 80 %
25 % - 50 %
0 % - 25 %
Resolver ecuaciones y desigualdades lineales en una variable, incluyendo ecuaciones con coeficientes representados por letras.
8 - Resolver ecuaciones lineales Repaso de habilidades y práctica Constructor de fluidez • ¡Arregla el error! Práctica Interactiva • Búsqueda del Droide Prueba de habilidades
Álgebra I - Resolver desigualdades Acceso a conocimientos previos Constructor de fluidez Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (Preguntas 1-5) • Repaso (sección Resolver desigualdades de dos pasos, sección Resolver desigualdades con variables en ambos lados, sección Resolver desigualdades incluyendo la propiedad distributiva y sección Resolver desigualdades compuestas) • Revisión (Preguntas 1-5 y 7-10)
Álgebra I - Resolver desigualdades Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva Constructor de fluidez ¡Bam!
Álgebra I - Resolver desigualdades ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER DESIGUALDADES
ATRAER: ACCEDER A LOS CONOCIMIENTOS PREVIOS Solve Inequalities
EVALUAR PREVIAMENTE LOS CONOCIMIENTOS DE LOS ESTUDIANTES
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: DOS VERDADES Y UNA MENTIRA ESTÁNDAR PREVIO Usa variables para representar cantidades en un problema matemático o del mundo real, y construye ecuaciones y desigualdades simples para resolver problemas razonando sobre las cantidades.
Two Truths and a Lie Read each statement. Identify the two truths with check marks and the one lie with an X.
The value of x is at most 3.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes identificarán dos verdades y una mentira leyendo afirmaciones sobre el estándar previo. Este elemento está diseñado para descubrir los conceptos erróneos de los estudiantes; no debe tomarse para una calificación.
2.5 is a possible value for x
MATERIALES IMPRESO
• 1 dos verdades y una mentira (por estudiante o por grupo) 1
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de dos verdades y una mentira para cada estudiante o grupo.
DOS VERDADES Y UNA MENTIRA
• Puede dividir a los estudiantes en grupos de dos o tres.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE APOYO 1. Lea el enunciado en voz alta a la clase. 2. Conceda 2 minutos a los estudiantes para que lean los tres enunciados y determinen las dos verdades y la mentira. 3. Pida a los estudiantes que compartan con un compañero de hombro cómo marcaron su hoja y por qué. 4. Conceda de 2 a 5 minutos de debate. 5. Pida a los estudiantes que justifiquen sus elecciones para la mentira. a. La tercera afirmación es incorrecta. Las palabras «como máximo».significan menos que o igual a. Por lo tanto, 3 debe incluirse en el conjunto de soluciones. 6. Si los estudiantes tienen dificultades para completar esta tarea, pase al «Constructor de la base» con el fin de llenar este vacío en el conocimiento previo antes de pasar a otras partes del alcance.
IDENTIFICACIÓN DE CONCEPTOS ERRÓNEOS • Los estudiantes pueden pensar que solo los números enteros pueden ser soluciones de desigualdades. Es útil hacer que los estudiantes creen una recta numérica que refleje las respuestas de solo números enteros versus una recta numérica que incluya todos los valores.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER DESIGUALDADES
ATRAER: CAPTAR INTERÉS Solve Inequalities
LECCIÓN PARA CAPTAR INTERÉS
CAPTAR INTERÉS
20 ≤ 215 – 24x ≤ 40
DESCRIPCIÓN Los estudiantes relacionarán la resolución de desigualdades con una situación del mundo real.
MATERIALES REUTILIZABLES
• 1 video de fenómenos (por clase) • 1 resolver desigualdades (por clase) RESOLVER DESIGUALDADES
PREPARACIÓN
• Planifique la proyección del vídeo. • Prepare la proyección de «Resolver desigualdades» para que la vea toda la clase. • Prepárese para presentar el escenario y anímelos a pensar en cómo resolverlo. Prepárese para pasar a las actividades de «Explorar», regresando a la actividad «Captar interés» con los nuevos conocimientos adquiridos una vez que se hayan completado las exploraciones.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA 1. Presente esta actividad hacia el comienzo del alcance. La clase retomará la actividad y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades de «Explorar» correspondientes. 2. Lea el siguiente escenario mientras muestra el video detrás de usted: El condado de Márquez organiza su Jog-a-thon anual a beneficio de organizaciones benéficas locales. El Jog-a-thon es una competición de trote, en la que los competidores corren todo lo que pueden. Cuando ya no pueden correr más y tienen que parar, quedan fuera de la competición. El Jog-a-thon entrega $2,000 a la organización benéfica de cada corredor cuando quedan entre 20 y 40 corredores en el recorrido. Al comienzo del Jog-a-thon hay 215 participantes, que abandonan a un ritmo de 24 corredores por hora. Su objetivo es ganar el premio en metálico de 2,000 dólares para una organización benéfica de concienciación sobre el autismo. 3. Haga las siguientes preguntas a los estudiantes: «¿Qué observas? ¿Qué se preguntan? ¿Dónde puedes ver matemáticas en esta situación?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. Las respuestas de los estudiantes pueden variar. He aquí algunos ejemplos de respuestas de los estudiantes: Observo que el premio se concede cuando quedan entre 20 y 40 corredores en el recorrido. Me pregunto si habrá premios adicionales para los corredores que lleguen primero, segundo, tercero, etc. Me he dado cuenta de que si 24 corredores abandonan por hora, solo tendrías que correr durante unas 9 horas para ser el último corredor en pie (225 ÷ 25 = 9). Me pregunto cuántas horas se necesitan para ganar el premio. Me pregunto si corres demasiado tiempo, «¿pierdes el premio?». 4. Proyecto resolver desigualdades.
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5. Explique que el equipo del Jog-a-thon sugirió que esta oración matemática podría utilizarse para calcular el número de horas que un corredor necesitaría permanecer en la competición para recibir el premio por su obra benéfica. Haga las siguientes preguntas: a.
DOK-1 «¿Por qué esta oración matemática tiene dos símbolos de desigualdad?». Permita que los estudiantes compartan sus ideas. Las respuestas de los estudiantes variarán. Ejemplo de respuesta de un estudiante: Como el premio se entrega cuando quedan entre 20 y 40 corredores, la expresión va entre dos símbolos de desigualdad.
b.
DOK-1 «¿Qué representa la parte ”215 – 24x” de esta oración matemática?». 215 representa el número de corredores al comienzo del Jog-a-thon, y − 24x representa la tasa a la que los corredores están abandonando la competencia (24 corredores por hora).
6. Completa las actividades de «Explorar». PARTE II: DESPUÉS DE EXPLORAR
1. Muestra el video «Fenómenos» nuevamente, y replantea el problema. 2. Consulte «Resolver desigualdades» y comente las siguientes preguntas: a. DOK-1 «¿Esta desigualdad tiene más sentido después de las exploraciones?». Sí, esto se llama una desigualdad compuesta. b. DOK-1 «¿Qué estrategias usarías para resolver esta desigualdad compuesta?». Dividiría la desigualdad compuesta en dos partes y resolvería cada parte. c. DOK-1 «¿Esta desigualdad representa conjunción y/o disyunción? ¿Cómo se sombrearía la gráfica de esta desigualdad?». Esta desigualdad representa la conjunción. El gráfico estaría sombreado entre dos valores. d. DOK-1 «¿Crees que comprendes bien la resolución de desigualdades?». Las respuestas variarán en función del éxito de los estudiantes durante la actividad y de su nivel de confianza.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 1: RESOLVER DESIGUALDADES CON VARIABLES EN AMBOS LADOS
Solve Inequalities Explore 1
1.
Zahra created the inequality 24 – 4x ≥ 5 to model the number of bargain games that she can purchase. Explain the coefficients in the inequality. Zahra started with $24 and will subtract $4 for each game she buys from the bargain bin. She wants this amount to be at least $5 after making her purchases.
2.
Solve the inequality. Start by adding 4x to each side. Use the related equation to solve the inequality. 24 – 4x ≥ 5 + 4x + 4x 24 ≥ 5 + 4x –5 –5 19 ≥ 4x 4 4 4.75 ≥ x
DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizarán desigualdades para comparar los costes de diferentes opciones de juego. Los estudiantes resolverán las desigualdades e interpretarán sus soluciones en el contexto de las situaciones presentadas.
Video Games
Part I
3.
Explain your solution in Zahra’s context. The solution indicates that Zahra can purchase 4.75 video games or fewer. Since you cannot buy a fraction of a game, she can really purchase 4 games, at most, from the bargain bin to ensure that she has $5 left.
4.
Solve the inequality again. Start by subtracting 24 from each side. Do your answers match? 24 – 4x ≥ 5 – 24 – 24 – 4x ≥ – 19 −4 −4 x ≤ 4.75 My answer matches, but I had to make sure that I flipped the inequality sign when I divided by −4. The inequality statement would not have made sense in context if I did not flip the inequality sign as I solved.
5.
When do you need to flip the sign of an inequality when you solve? When you multiply or divide both sides by a negative coefficient.
6.
Why are the solutions to −x < 8 different from the solutions to x < −8? The solutions to x < −8 are all values to the left of −8 on the number line. When I test these values, like x = −10 into −x < 8, the result is −(−10) < 8 which simplifies to 10 < 8, which is a false statement. The negative coefficient changes the direction of the inequality, so the solutions to −x < 8 are all values greater than −8. 1
ESTÁNDARES DE PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.3 Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros: Los estudiantes analizarán problemas y utilizarán supuestos matemáticos, definiciones y resultados establecidos para construir argumentos. Los estudiantes justificarán conclusiones con ideas matemáticas. Los estudiantes escucharán los argumentos de otros y harán preguntas útiles para determinar si un argumento tiene sentido. • MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas apropiadas: Los estudiantes utilizarán las herramientas disponibles, reconociendo los puntos fuertes y las limitaciones de cada una. Los estudiantes utilizarán la estimación y otros conocimientos matemáticos para detectar posibles errores. • MP.6 Atender a la precisión: Los estudiantes se comunicarán con precisión con los demás y utilizarán un lenguaje matemático claro cuando comenten o escriban sobre sus razonamientos. El maestro identificará las respuestas incompletas y pedirá a los estudiantes que revisen sus respuestas.
MATERIALES
Solve Inequalities Explore 1
Part II Advertisement A 1.
– 10x – 10x 55 < 62 – 2x – 62 – 62 −7 < −2x −2 −2 3.5 > x
2.
Which store would be cheaper if Zahra buys the following number of games? a.
3 bargain games: Game Shop is cheaper because 55 + 10(3) < 62 + 8(3).
b.
4 bargain games: Retro Games is cheaper because 55 + 10(4) > 62 + 8(4).
Which of these stores do you prefer for buying games, and why? Answers will vary. I prefer Retro Games because it is cheaper when you buy 4 or more games.
2
Solve Inequalities Explore 1
Advertisement B 5.
Write an inequality in the table to represent the situation.
6.
Solve the inequality. Write the solution in the table. 60 + 8x ≥ 62 + 8x – 8x – 8x 60 + 0 ≥ 62 – 60 – 60 0 ≥ 2 ✘ False
Inequality 20 + 40 + 8x ≥ 62 + 8x Solution Set No Solution
7.
Why can’t the solutions to this inequality be graphed on a number line? Explain your answer in context of the two game companies. The inequality yielded a false statement no matter what the value of x is. This means that there are no number of games that could be purchased that would make Game Shop more expensive. No matter how many bargain games I purchase, Game Shop will always be the cheaper option.
8.
Game Shop’s membership promotion plus one new game costs less than the cost of one game at Retro Games. Since the bargain games are the same price at both stores, it will always be cheaper to buy the games at Game Shop .
9.
Which store do you prefer, and why? Answers will vary. I prefer Game Shop since it is always $2 cheaper than Retro Games. Since I can buy at either store for almost the same price, I would pick the one with the most games to choose from.
• Imprima un «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima 2 juegos de «Estaciones de anuncios» a una cara. Si lo desea, imprímalos en cartulina y plastifíquelos para utilizarlos en el futuro.
x < 3.5
4.
• 2 juegos de estaciones de anuncios (por clase)
• Separe la clase en 8 grupos para completar esta actividad.
Solution Set
How can your number line be used to determine when Game Shop will be cheaper than Retro Games? The shaded area on our number line represents all of the solutions that make Game Shop the cheaper option. It is cheaper when buying 3 or fewer games.
• 1 diario del estudiante (por alumno)
PREPARACIÓN
55 + 10(1) < 62 + 8(1) 65 < 70 ✔ True x < 3.5
Inequality 55 + 10x < 62 + 8x
3.
IMPRESOS
• 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes)
Solve the inequality, and then test a point to make sure your inequality symbol faces the correct direction. Write your answer, and complete the number line in the table. 55 + 10x < 62 + 8x Test point: x = 1
3
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
• Cree 8 estaciones por toda la clase con un anuncio en cada estación. • Imprima un «Boleto de salida» para cada pareja. Recórtelos a media página para que cada estudiante tenga uno.
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EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
Solve Inequalities Explore 1
Advertisement C 10.
11.
On the table, write an inequality to represent this situation, where x represents the number of months Zahra uses each subscription. Solve the inequality. 15 + 10 + 5x ≥ 25 + 5x 25 + 5x ≥ 25 + 5x – 5x – 5x 25 + 0 ≥ 25 – 25 – 25 0 ≥ 0 ✔ True All real numbers
Inequality 15 + 10 + 5x ≥ 25 + 5x
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE APOYO
Solution Set All real numbers
PARTE I
12.
What would the solution set to this inequality look like on a number line? Explain your answer in the context of the two game companies. Solving the inequality yielded a statement that was always true regardless of the value of x. This means that all numbers on the number line would be shaded and, according to advertisement C, both subscription services always cost the same amount.
13.
Which of these subscription services do you prefer, and why? Answers will vary. I prefer Hollywood Games because their fee structure is more straightforward.
4
Solve Inequalities Explore 1
2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno.
Advertisement D 14.
15.
16.
Solve the inequality, and then test a point to make sure your inequality symbol faces the correct direction. Write your answer, and complete the number line in the table. 10 + 5x ≤ 25 + 4x – 4x – 4x Test point: x = 0 10 + 1x ≤ 25 10 + 5(0) ≤ 25 + 5(0) – 10 – 10 10 ≤ 25 ✔ True x ≤ 15 x ≤ 15
3. Continúe leyendo a los estudiantes: Zahra creó la desigualdad para calcular el número de juegos de oferta que podía comprar.
Inequality 10 + 5x ≤ 25 + 4x Solution Set
4. Los estudiantes registrarán su trabajo en sus diarios.
x ≤ 15
5. Anímelos a hacer conexiones entre el trabajo actual y las ecuaciones y desigualdades de una variable que han resuelto previamente.
Describe the meaning of your solution in terms of the situation. My solution was x ≤ 15. This means that for a subscription of 15 months or less, Games, Games, Games costs the same amount or less than Hollywood Games. Which subscription would cost more if you subscribed for the following number of months?
6. Supervise a los estudiantes mientras colaboran en su trabajo. Utilice las siguientes preguntas guía para evaluar su comprensión:
a. 5 months: Hollywood Games; 10 + 5(5) ≤ 25 + 5(5) b. 15 months: The cost is equal. 10 + 5(15) = 25 + 5(15)
17.
1. Lea la siguiente situación a la clase: «El hermanastro de Zahra ha decidido regalarle su consola de videojuegos porque está haciendo las maletas y preparándose para irse a la universidad. Zahra solo tiene 24 dólares para gastar en videojuegos, pero no está segura de si quiere gastar todo su dinero. Los juegos nuevos cuestan $25, pero ha encontrado una caja de ofertas que tiene juegos por $4. Zahra quiere asegurarse de que le quedan $5 después de hacer sus compras de videojuegos. Ayude a Zahra a determinar sus opciones para la cantidad de juegos de oferta que puede comprar».
Which of these subscription services do you prefer, and why? Answers will vary. I prefer Games, Games, Games because it has a lower initial cost, and I will know if I like it by the time it becomes more expensive. 5
Solve Inequalities Explore 1
Reflect 1.
How does the solution look different when the result is all real numbers or no solutions? In these situations, the variable will have a coefficient of zero and only a number will be on both sides of the inequality. This means that the side of the inequality that is larger is not dependent on x.
2.
How would you describe solving inequalities with a negative coefficient to a friend who missed class today? When solving inequalities with a negative coefficient, you’ll need to divide to isolate the variable. When you divide an inequality by a negative number, you need to be sure to change the direction of the inequality symbol. You could also add the variable with a negative coefficient on both sides to create a term with a positive coefficient on the opposite side of the inequality.
3.
How can substitution be used to verify the solution set? Substitution can be used to verify the solution set by taking several values assumed to be in the solution set and plugging them into the original inequality to see if it produces a true statement. If all values tested produce a true statement, then the solution set is most likely correct.
4.
Which game purchasing option would you choose? Use mathematics to justify your answer. Answers will vary. I would choose Hollywood Games because I could subscribe for 22 months, and over the next 22 months, I’ll be sure to get money for grades and my birthday to purchase something else. None, I don’t like to play video games, and it is a waste of money.
6
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
a. DOK-2 «¿Qué tipos de soluciones tienen sentido en el contexto de Zahra?». Aunque la desigualdad tiene soluciones a lo largo de la recta numérica real, solo los números enteros tienen sentido para las posibles compras de videojuegos. b. DOK-2 «¿Qué representa cada término de la desigualdad?». El 24 representa la cantidad de dinero que Zahra tiene para gastar. El -4x representa la cantidad gastada en los juegos de oferta de $4 y esta cantidad tiene que ser mayor que $5 para que a Zahra le quede al menos esa cantidad. c. DOK-2 «¿Por qué una desigualdad representa mejor esta situación?». Estamos considerando una situación que tiene varias soluciones. No estamos buscando un punto específico; estamos buscando todos los valores que son mayores o iguales a cinco. d. DOK-2 «¿Por qué se usa un círculo cerrado para graficar el conjunto de soluciones?». Un círculo cerrado muestra que ese número está incluido. El símbolo de desigualdad tiene una barra de igual a en la parte inferior que muestra que debe incluir ese número. e. DOK-2 «¿Qué notaste diferente al resolver la desigualdad cuando no moviste el término lineal de -4x al otro lado?». Necesitaba voltear la dirección de la desigualdad o la respuesta no hubiera sido correcta. 7. Deles suficiente tiempo para completar la parte I, y luego invite a la clase a una «Charla de matemáticas» para compartir sus observaciones y aprendizajes.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Solve Inequalities Explore 1
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Preferiste sumar 4x a ambos lados o restar 24, y por qué?». Preferí sumar el 4x porque no tenía que dividir por un coeficiente negativo. • DOK-2 «¿Por qué cambia el sentido de una desigualdad cuando multiplicas ambos lados por un número negativo?». Se dice que dos desigualdades tienen el sentido opuesto si los signos de desigualdad apuntan en la dirección opuesta. Multiplicar por un número negativo cambia en qué lado del cero está el número. Por ejemplo, si tenemos 3 < 7 y multiplicamos ambos lados por −1 para obtener −3 y −7, siguen estando a la misma distancia de cero; ahora −7 está más a la izquierda que −3 en una recta numérica, por lo que el sentido de la desigualdad debe cambiar. Terminaríamos con la desigualdad −3 > −7. • DOK-3 La propiedad de adición de la desigualdad afirma que podemos sumar cualquier número a ambos lados de una desigualdad para producir una desigualdad equivalente. Basándote en tu trabajo de la parte I, «¿qué crees que afirma la propiedad de multiplicación de la desigualdad?». La propiedad multiplicativa de la desigualdad afirma que podemos multiplicar cualquier número positivo por ambos lados de una desigualdad para producir una desigualdad equivalente. Si multiplicamos cualquier número negativo a ambos lados de una desigualdad, se produce una desigualdad de sentido contrario. Una desigualdad de sentido opuesto significa que la desigualdad original y la desigualdad resultante apuntan en la dirección opuesta.
Solve Inequalities with Variables on Both Sides Exit Ticket Solve the inequality below, and graph the solution on the number line. Be sure to test a point to ensure that your inequality symbol faces the correct direction. –2(x – 3) > 18 – 4x –2x + 6 > 18 – 4x 2x + 6 > 18 2x > 12 x>6
Test point: x = 0 –2(0 – 3) > 18 – 4(0) 6 > 18 ✘ False x>6
Solve Inequalities Explore 1
Solve Inequalities with Variables on Both Sides Exit Ticket Solve the inequality below, and graph the solution on the number line. Be sure to test a point to ensure that your inequality symbol faces the correct direction. –2(x – 3) > 18 – 4x –2x + 6 > 18 – 4x 2x + 6 > 18 2x > 12 x>6
Test point: x = 0 –2(0 – 3) > 18 – 4(0) 6 > 18 ✘ False x>6
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE OPCIONES
PARTE II
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Como novata en el mundo de los juegos, Zahra no tenía ni idea de cuántas opciones de juego había. Para ayudarle a sopesar los pros y los contras de cada opción de juego, decidió representar la situación con una desigualdad y un gráfico relacionado. Los anuncios están colocados por toda la sala. Visita cada una de las Estaciones de anuncios para ayudar a Zahra a sopesar los pros y los contras de cada opción de juego». 2. Deben tener aún sus «Diarios del estudiante». 3. Haga que miren alrededor de la sala para fijarse en la ubicación de las «Estaciones de anuncios». Explíqueles que hay dos grupos de las mismas «Estaciones de anuncios» colocadas en las paredes para que ninguna estación esté demasiado congestionada. Indique a los estudiantes que solo completen un grupo de estaciones (A-D). 4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para ayudar a Zahra a sopesar los pros y los contras examinando cada anuncio y analizando la información. Los estudiantes deben utilizar el espacio previsto en sus diarios para organizar la información de los anuncios.
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EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
5. Supervise a los estudiantes mientras colaboran en su trabajo. Utilice las siguientes preguntas orientadoras para evaluar su comprensión: a. DOK-2 La desigualdad muestra que 62 + 8x es mayor. «¿Qué representa 62 + 8x? ¿Por qué la desigualdad muestra que 62 + 8x es mayor?». 62 + 8x representa el costo de los juegos de oferta en «Retro Games». La pregunta se plantea cuando la tienda «Game» es más barata, lo que significa que «Retro Games» es la cantidad mayor. (Esta pregunta se puede ajustar y plantear para cualquier desigualdad de la parte II.) b. DOK-2 «¿Cómo decidiste qué números del folleto eran constantes y cuáles debían tener una variable adjunta en la desigualdad que has planteado?». Los valores que eran pagos únicos eran constantes, pero los valores que representaban un costo por mes o por juego de oferta comprado que se repetiría tenían una variable adjunta en la desigualdad. (Esta pregunta se puede ajustar y hacer para cualquier desigualdad en la parte II.) c. DOK-1 «¿Qué palabras te hacen saber que una desigualdad que estás creando debería tener una o igual a adjunta en lugar de ser estrictamente mayor que o menor que?». Frases como «al menos» y «no más que» indican que los valores que hacen que las cantidades sean iguales deben incluirse en el conjunto solución. d. DOK-3 «¿Cómo sabes si la desigualdad no tiene soluciones o si todos los números reales son soluciones?». Las desigualdades que producen estos conjuntos de soluciones ocurren cuando al resolver se eliminan todas las variables y nos quedamos con una oración numérica que es verdadera o falsa. e. DOK-3 «¿Por qué se necesitó un punto de prueba para resolver la ecuación relacionada para el anuncio A, pero no se necesitó un punto de prueba para resolver la desigualdad para el anuncio B?». Al resolver una desigualdad, ayuda probar un punto para verificar qué lado sombrear o dónde existen las soluciones. Para el anuncio B, no había soluciones, por lo que no tuvimos que determinar qué lado de la recta numérica requería sombreado. 6. Concédales tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen.
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Cómo sabes si una desigualdad no tiene solución?». Al resolver la inecuación, termino con una afirmación que nunca es cierta independientemente de x, como 32 < 15. • DOK-2 «¿Cómo sabrías cuando la solución de una inecuación son todos números reales?». Observa que debes evitar llamar a este escenario soluciones infinitas porque todas las soluciones de desigualdades abiertas tienen un número infinito de valores. Al resolver la inecuación, termino con una afirmación que siempre es cierta independientemente de x, como 70 < 190. • DOK-2 Al resolver una inecuación con variables en ambos lados, «¿pueden evitarse los coeficientes negativos?». Explique. Sí, se pueden evitar si se mueven las variables y se combinan estratégicamente. Por ejemplo, si tienes 5x en un lado y 3x y en el otro, restando 3x en cada lado evitarías un coeficiente negativo. Si restas 5x en cada lado, crearías un coeficiente negativo y tendrías que cambiar la dirección de la desigualdad cuando dividimos por -2. • DOK-1 Al graficar el conjunto solución, «¿cuándo se usa un círculo abierto y cuándo un círculo cerrado?». Se usa un círculo abierto cuando no se incluye el punto límite. Se usa un círculo cerrado cuando se incluye el punto límite. • DOK-2 «¿En qué se parece la resolución de desigualdades con variables en ambos lados a la resolución de ecuaciones con variables en ambos lados?». Si se usa una ecuación relacionada, es exactamente el mismo proceso hasta el final, cuando se necesita un punto de prueba. Si no se utiliza una ecuación relacionada, es lo mismo a menos que haya un coeficiente negativo. Si hay un coeficiente negativo, la desigualdad cambiará de dirección al multiplicar o dividir por une. negativo. 8. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez creado, pida a cada estudiante que complete su «Libreta interactiva».
7. Después de la «Exploración», invite a la clase a una «Charla de matemáticas» para compartir sus observaciones y aprendizajes.
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EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Solve Inequalities Part 1
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Los estudiantes pueden encontrar soluciones a sus problemas de palabras que no funcionan en la vida real. Anímelos a definir las variables para que sepan qué cantidad están buscando y a considerar cuál es el dominio apropiado para la situación; por ej., no solo como números reales, sino más bien como números enteros positivos (dependiendo del problema). Cuando comprueben sus soluciones después de resolver el problema, deben comprobar si coinciden con las definiciones de las variables. Alternativamente, los estudiantes deben comprobar si sus soluciones tienen sentido dadas las restricciones del problema. 2. Los estudiantes pueden olvidar invertir el sentido de la desigualdad si dividen por un número negativo. Si lo prefieren, anímelos a mover los términos con coeficientes hacia el lado que permite que sean positivos. Por ej., si 1 < -x + 5, pueden mover la variable al lado izquierdo y no preocuparse por cambiar la dirección de la desigualdad.
Solve Inequalities with Variables on Both Sides Solve each inequality, and graph the solution. 1.
4. y≥1
b>8
2.
5. 0 < −3 ✘ No solution
58 > 0 ✔ All real numbers
3.
6. 0>0✘ No solution
c ≤ −7
3. Pueden tener problemas para determinar qué lado de una recta numérica podría representar soluciones. Anima a los estudiantes a usar puntos de prueba para determinar qué lado satisface la desigualdad.
1
APOYOS LINGÜÍSTICOS La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo del lenguaje de los estudiantes.
Solve Inequalities Part 1
Solve the problems below. 7.
Jamarion and Grace analyzed the solved inequality below.
Se proporcionará apoyos previos a la lectura (organizadores gráficos, diagramas de formas y vocabulario preenseñado) para ayudar con la comprensión lectora. Principiante: Antes de la lección, proporcione una lista del vocabulario nuevo que encontrarán en la «Exploración» junto con imágenes que signifiquen el significado de los términos. Anímelos a subrayar los términos y a releer sus definiciones a medida que los vayan encontrando en sus diarios del estudiante. Los términos clave que deben incluirse son coeficiente, variable, desigualdad, conjunto solución, recta numérica, sustitución, y propiedad multiplicativa de la desigualdad. Intermedio: Antes de la lección, proporcione notas guiadas que incluyan imágenes y diagramas junto con definiciones incompletas de los nuevos términos que encontrarán en la «Exploración». A medida que los estudiantes avancen en la lección, anímeles a completar las definiciones. Los términos clave a incluir son coeficiente, variable, desigualdad, conjunto solución, recta numérica, sustitución, y propiedad multiplicativa de la desigualdad. Avanzado: Antes de la lección, proporcione notas guiadas que incluyan imágenes y diagramas junto con definiciones incompletas de los nuevos términos que encontrarán en la «Exploración». A medida que los estudiantes avancen en la lección, anímeles a completar las definiciones. Los términos clave a incluir son coeficiente, variable, desigualdad, conjunto solución, recta numérica, sustitución, y propiedad multiplicativa de la desigualdad.
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−4 + 4x ≤ −24 + 4x + 20 −4 + 4x ≤ −4 + 4x 4x ≤ 0 + 4x 0x ≤ 0 0≤0
Grace claims that the inequality has no solution, while Jamarion thinks that all real numbers are solutions. Which student is correct? Justify your reasoning with mathematics. Jamarion is correct. The inequality is solved correctly, and because the inequality symbol is inclusive, 0 ≤ 0 is a true statement. 8.
During a science experiment, two plastic beakers cracked and started leaking water onto the lab table. Beaker A has 1,000 milliliters of water in it and is leaking at a rate of 10 milliliters per minute. Beaker B has 800 milliliters of water in it and is leaking at a rate of 5 milliliters per minute. a.
Write and solve an inequality to determine how many minutes, m, it will take for beaker A to have less water in it than beaker B. 1,000 – 10m < 800 – 5m −10m < −200 – 5m −5m < −200 m > 40
b.
Will beaker A have less water than beaker B at 40 minutes? Explain. No. At 40 minutes, the two beakers will have the same amount—600 mL.
2
MUESTRA LO QUE SABES - PARTE 1 CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 2: RESOLVER DESIGUALDADES CON LA PROPIEDAD DISTRIBUTIVA Y LAS FRACCIONES DESCRIPCIÓN Los estudiantes explorarán el promedio de notas y el uso de desigualdades para hacer predicciones. Los estudiantes modelarán y resolverán desigualdades incluyendo la propiedad distributiva y fracciones.
ESTÁNDARES DE PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.3 Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros: Los estudiantes analizarán problemas y utilizarán supuestos matemáticos, definiciones y resultados establecidos para construir argumentos. Los estudiantes justificarán conclusiones con ideas matemáticas. Los estudiantes escucharán los argumentos de otros y harán preguntas útiles para determinar si un argumento tiene sentido. • MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas apropiadas: Los estudiantes utilizarán las herramientas disponibles, reconociendo los puntos fuertes y las limitaciones de cada una. Los estudiantes utilizarán la estimación y otros conocimientos matemáticos para detectar posibles errores. • MP.6 Atender a la precisión: Los estudiantes se comunicarán con precisión con los demás y utilizarán un lenguaje matemático claro cuando comenten o escriban sobre sus razonamientos. El maestro identificará las respuestas incompletas y pedirá a los estudiantes que revisen sus respuestas.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes) • 1 juego de tarjetas «Notas de gimnasia» (por grupo)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima un juego de tarjetas de «Notas de gimnasia» para cada grupo. Recorte las tarjetas. Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para utilizarlas en el futuro.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Comience la exploración una «Charla de matemáticas» para comentar el cálculo de promedios. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 «¿Cómo encuentras el promedio de tres números?». Suma los tres números y divide entre tres. • DOK-1 «¿Cómo sabes que hay que dividir entre tres?». Sé dividir por tres porque hay tres números. • DOK-2 Si tus notas son 100, 100 y 100, «¿cuál es el promedio? ¿Cómo lo sabes?». La media sería 100. 300 dividido por 3 es 100. Al promediar tres números que son iguales, el promedio también será igual. • DOK-2 Si tus calificaciones son 100, 50 y 75, «¿cuál es el promedio? ¿Cómo lo sabes?». La media sería 75. 225 dividido por 3 es 75. 50 es 25 menos que 75, y 100 es 25 más que 75. Por lo tanto, 75 es el número central, o promedio. PARTE I
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Pari, Elizabeth y Tomás son estudiantes de la escuela secundaria “Lake High School”. Están tratando de averiguar si es posible que cada uno de ellos obtenga una A en la clase de gimnasia. En LHS, una A es un 90 o más. Las calificaciones de gimnasia en LHS se determinan promediando las calificaciones semanales de los estudiantes. Ayúdelos a averiguar si todos pueden sacar A». 2. Distribuya un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Distribuya la tarjeta de calificaciones de gimnasia de Pari a cada grupo. 4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para analizar la tarjeta de calificaciones de gimnasia de Pari. Utilizarán las notas de Pari que aparecen en la tarjeta para completar la parte I de sus «Diarios del estudiante».
• Imprima un «Boleto de salida» para cada pareja. Recortelos de media página para que cada estudiante tenga uno.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2
Solve Inequalities Explore 2
Part II
What Grade Is Needed?
Complete the table, and determine what possible grades each student needs to earn in week 5 to average a 90 or better on their progress report.
Part I 1.
Write an expression to determine Pari’s current average in gym class. Then, find her current average for weeks 1–4.
2.
Complete the table.
Pari’s 5th Grade
3.
Expression to Determine 5-Week Average
5-Week Average
Yes
No
50
80
x
70
84
x
80
86
x
90
88
x
Elizabeth
Write and solve an equation to determine the grade Pari needs to earn a 90 exactly.
Exactly a 90?
How would this be different if you were solving to figure out what grade she needs to earn a 90 or better? We would use an inequality because we would be looking for a range of numbers, not one number exactly.
5.
Write the inequality to represent the scenario in question 4.
Inequality to Determine Grade Needed to Average a 90 or Better
What grade does Elizabeth need in week 5 to earn a 90 average or better? Show all work.
370 + x ≥ 450 x ≥ 80 Elizabeth needs an 80 or higher in week 5 to earn a 90 average or better.
1
2
Solve Inequalities Explore 2
Solve Inequalities Explore 2
Tomas Prediction of Grade Needed for Week 5
Equation to Determine Grade Needed to Average a 90 Exactly
Since her current average is 92.5, I think she will need an 88 or higher to earn an A.
4.
Equation to Determine Grade Needed to Average a 90 Exactly
Prediction of Grade Needed for Week 5
Average of Weeks 1–4
Pari needs to earn a 100 in the 5th week to earn a 90 exactly.
x
Average of Weeks 1–4
Solve Inequalities Explore 2
Inequality to Determine Grade Needed to Average a 90 or Better
Since his current average is 93.75, I think he will need a grade higher than 85 to earn an A.
At the end of the term, Tomas remembered calculating his gym grade for progress reports, and wanted to do the same thing to determine his final term grade in English. 1.
Tomas wants to earn a B for his final grade in English. If he earns an 80 on the final week’s assessment, will his final grade be a B?
2.
What grades could Tomas earn on his final week assessment in English to end the term with at least an 80 so that he has a B? Set up an inequality, and solve. New average: Inequality: 710 + x ≥ 800 x ≥ 90 Tomas needs to score at least a 90 in the final week in order to earn a B for the term.
What grade does Tomas need in week 5 to earn a 90 average or better? Show all work. 3.
Explain why the inequality would help Tomas determine what average he needed during the last five weeks of the term to bring his grade up to a B after he received his five-week progress report average. The numerator is the total sum of all of Tomas’s tests. The 342 represents the sum from the first five weeks, and 5x represents the total points earned after five weeks with an average score of x. Once this sum is divided by each of the ten weeks, the result must be at least 80.
4.
Solve the inequality from question 3.
375 + x ≥ 450 x ≥ 75 Tomas needs a 75 or higher in week 5 to earn a 90 average or better.
342 + 5x ≥ 800 5x ≥ 458 x ≥ 91.6
3
4
Solve Inequalities Explore 2
Reflect 1.
How did you approach solving an inequality that was written as a fraction? Is there another way?
I used the reciprocal to create an equation without a fraction. When there was a fraction with a denominator of 5, I multiplied both sides by 5. When there is a fraction with multiple terms in the numerator and one number in the denominator, the only way to rewrite the equation without a fraction is to multiply both sides by the denominator or a multiple of the denominator.
2.
How did you approach solving an inequality for Tomas’s gym grade compared to his English grade? The structure of both inequalities was the same with a total amount of points earned so far plus the variable final grade in the numerator of the fraction. The denominator for the gym progress report was only 5 because it covered five weeks, while the denominator was 10 for the English grade because it covered all ten weeks of the term. Tomas had a different goal for his grade in each class so the value on the other side of the inequality was different.
3.
Are all 3 students able to earn an A in gym class? Which student needs the highest grade? Yes, all 3 students are able to earn an A. Pari needs the highest grade. She needs to make a 100 or better to earn an A on her progress report.
5
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2
5. Supervise a los estudiantes mientras colaboran en su trabajo. Utilice las siguientes preguntas orientadoras para evaluar su comprensión: a. DOK-1 «¿Cómo supiste dividir por 4 para hallar el promedio actual de Pari en la clase de gimnasia?». Sabía que tenía que dividir por 4 porque hay 4 números. b. DOK-1 «¿Podría escribirse la expresión para hallar el promedio actual de Pari con distribución? ¿Qué número se utilizaría para el 1 coeficiente?». Sí, el coeficiente sería __ . 4 c. DOK-2 «¿Cómo cambiaría la expresión si quisiéramos saber la media de 5 notas?». Sumaríamos 5 números y dividiríamos por 5.
d. DOK-1 «¿Cómo sabías que había que dividir por 5 para determinar su media de 5 semanas?». Sabía que había que dividir por 5 porque hay 5 números. e. DOK-1 «¿Podría escribirse la expresión usando la distribución? ¿Qué número se utilizaría para 1 el coeficiente?». Sí, el coeficiente sería __ . 5
f. DOK-2 Veo que escribiste cada grado en la expresión para determinar el promedio de 5 semanas. «¿Cómo podría simplificarlo para que tenga que escribir menos cada vez?». Podría sumar las calificaciones de las semanas 1 a 4 porque serán las mismas cada vez. Usaría 350 en lugar de 100 + 100 + 100 + 50.
g. DOK-2 «¿Cómo supiste que la variable debía sumarse al numerador y no al denominador?». El número que se sumaba a 350 cambiaba cada vez. Ese es el valor que variaba, así que supe que debía usar la variable en el numerador, donde el valor cambiaba cada vez. h. DOK-2 Al resolver la ecuación para x, «¿cuál fue tu primer paso? ¿Cómo supo que debía multiplicar por 5 antes de restar 350?». El primer paso es multiplicar por 5. Cuando hay una constante en el denominador, es como tener paréntesis alrededor del numerador, así que tenemos que eliminar el coeficiente antes de considerar cualquier operación dentro del paréntesis (en este caso, el numerador). i. DOK-3 «¿Hay otras formas de resolver esta ecuación? ¿Hay algún método más ventajoso?». Podríamos repartir el coeficiente. Este no es el método más ventajoso porque lleva más pasos distribuir a ambos términos y deshacer después la multiplicación para aislar la variable. Es más ventajoso utilizar la multiplicación por un recíproco para eliminar el coeficiente. j. DOK-2 «¿Cómo supiste qué símbolo de desigualdad usar? ¿Cómo supo que debía usar un símbolo de desigualdad inclusivo?». El problema decía «90 o mejor». Este lenguaje me dijo que 90 está incluido en las soluciones, así que supe que debía usar una desigualdad inclusiva que tiene la parte igual a. 6. Permita a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte I, y luego invite a la clase a una «Charla de matemáticas» para compartir sus observaciones y aprendizaje. ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 «¿Podría escribirse la expresión utilizando la distribución? ¿Qué número se utilizaría para el 1 coeficiente?». Sí, el coeficiente sería __ . 5
• DOK- «¿Crees que escribiendo la expresión usando una fracción y una distribución será más fácil o más difícil de resolver?». Explica. Creo que lo haría más difícil de resolver porque creo que las fracciones son difíciles.Creo que serían los mismos pasos para resolver porque simplemente multiplicaríamos por 5, de la misma manera que hicimos para el que ya resolvimos. • DOK-1 «¿Cómo podríamos representar esta solución en una recta numérica? ¿Qué valores estarían sombreados? ¿Sombrearíamos el 100?». Sombrearíamos todos los números de 100 en adelante. Usaríamos un círculo cerrado (sombreado) para 100. • DOK-2 «¿Cuáles son las soluciones razonables para esta situación? ¿Es razonable 250? ¿Son razonables los decimales?». Explica. La única solución razonable sería 100. 100 es la nota más alta posible. Las soluciones razonables serían 100 y más. 250 no parece razonable porque eso sería crédito extra más que una nota de clase normal. Las soluciones razonables serían de 100 a 150 porque 50 puntos de crédito extra es razonable. Los decimales serían razonables porque algunos maestros dan calificaciones que son decimales. • DOK-2 «¿Cómo decidiste la dirección de la desigualdad?». El problema decía "90 o mejor". Es otra forma de decir 90 o más. Para indicar que queremos algo mayor que 90, usaríamos una desigualdad que apuntara a 90. • DOK-3 «¿Cómo tendría que ser diferente el escenario para que la desigualdad apuntara en la otra dirección?». El escenario debería buscar calificaciones de 90 o menos. PARTE II
1. Distribuya las tarjetas de calificaciones de gimnasia restantes a cada grupo. 2. Cada grupo debe tener la tarjeta de calificaciones de gimnasia de Pari de la parte I de la exploración. 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para usar las tarjetas de calificaciones de gimnasia para calcular la información de las calificaciones de Elizabeth y Tomas. 4. Señale a la clase que resolver desigualdades es similar a resolver ecuaciones. Siempre pueden resolver la ecuación y utilizar los puntos de prueba para determinar la solución adecuada. Otra opción es resolver la desigualdad si ese es su método preferido. 5. Los estudiantes trabajarán juntos usando las tarjetas de calificaciones de gimnasia para modelar y determinar la respuesta al escenario y registrar su trabajo en sus diarios del estudiante.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Solve Inequalities Explore 2
6. Supervise a los estudiantes mientras colaboran en su trabajo. Utilice las siguientes preguntas orientativas para evaluar su comprensión: a. DOK-1 «¿Prevés que Elizabeth necesitará una nota más alta o más baja que Pari en la quinta semana para obtener un sobresaliente? ¿Por qué?». Creo que Elizabeth no necesitará obtener una nota tan alta en clase de gimnasia como Pari en la quinta semana porque su rendimiento fue mejor que el de Pari durante las cuatro primeras semanas.
Solve Inequalities with the Distributive Property and Fractions Exit Ticket Solve the inequality, and select all of the values that are a solution to the inequality. Show all of your work.
A.
7
B.
10
C.
13
D.
18
b. DOK-2 «¿Cómo se comparará la desigualdad de la nota de gimnasia de Elizabeth con la desigualdad de la nota de Pari?». La configuración será similar, excepto que Elizabeth ha ganado más puntos hasta ahora, por lo que la constante en el numerador será mayor. c. DOK-1 «¿Cómo puedes crear una desigualdad equivalente para la nota de Elizabeth que no contenga fracciones?». Multiplica ambos lados por 5. d. DOK-1 «¿De qué manera la multiplicación de ambos lados por 5 usa operaciones inversas para ayudar a resolver la desigualdad?». La expresión 370 + x está siendo dividida por 5 así que tenemos que usar la operación inversa y dividir por 5 para obtener 370 + x por sí mismo. e. DOK-1 «¿Predices que Tomas necesitará una nota más alta o más baja que Elizabeth y Pari en la quinta semana de la clase de gimnasia para obtener una A?». Creo que Tomas puede obtener una nota más baja en la quinta semana que Elizabeth y Pari y aún así obtener una A. f. DOK-1 «¿Qué tiene que ser diferente en la desigualdad para la nota final de inglés de Tomas?». Hay diez semanas en el trimestre, por lo que el denominador es 10. Tomás aspira a un notable en lugar de un sobresaliente, por lo que la fracción debería ser mayor o igual a 80 en lugar de 90. g. DOK-2 «¿Crees que este tipo de inecuación funcionaría para determinar qué notas necesitaría un estudiante sin importar cuántas semanas hayan pasado?». Las desigualdades que hemos creado podrían ayudarnos a encontrar qué nota o nota media necesitamos en cualquier momento del trimestre. Solo tendríamos que ajustar los valores de nuestra fracción y cambiar la nota objetivo que queremos obtener. 7. Concédales tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas de reflexión que siguen. 8. Después de la «Exploración», invite a la clase a una «Charla de matemáticas» para compartir sus observaciones y aprendizajes.
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Solve Inequalities Explore 2
Solve Inequalities with the Distributive Property and Fractions Exit Ticket Solve the inequality, and select all of the values that are a solution to the inequality. Show all of your work.
A.
7
B.
10
C.
13
D.
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BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-3 Compara y contrasta la resolución de ecuaciones con fracciones con la resolución de desigualdades que involucran fracciones. Todos los pasos son iguales a menos que haya un coeficiente negativo. Si hay un coeficiente negativo, resuelves la desigualdad como una ecuación y usas un punto de prueba para determinar la dirección de la desigualdad o recuerdas cambiar la desigualdad al multiplicar o dividir por un negativo. • DOK-2 «¿Cómo pudiste escribir una expresión para el promedio después de 5 semanas aunque todavía no tenías los valores de cinco grados?». Escribí el valor de la quinta semana como la variable x y lo sumé para determinar la suma de cinco semanas. • DOK-2 «¿Cuál sería tu primer paso para resolver la 3+5x
desigualdad _____ 17 < 4+x y por qué?». Multiplicaría ambos
lados de la desigualdad por 17 para crear una desigualdad equivalente que no tenga una fracción. • DOK-2 «¿Cuál sería tu primer paso para resolver la desigualdad – __ 51 (12 – 4x) < 4 + x y por qué?». Yo multiplicaría ambos lados de la desigualdad por – 5 para crear una desigualdad sin fracciones y no 1 tener que repartir el – _5 Tendría que invertir el signo de desigualdad si realizara esta operación. • DOK-3 «¿Cuál es otro escenario del mundo real en el que tendría más sentido usar una desigualdad que una ecuación?». Tendría más sentido usar una desigualdad si alguien estuviera tratando de averiguar cómo obtener una ganancia de $300. Querrían obtener al menos $300 de ganancia. Querrían ganar por lo menos $300, no exactamente $300, así que una desigualdad sería más apropiada que una ecuación.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Solve Inequalities Part 2
9. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
Solve Inequalities with the Distributive Property and Fractions
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
Solve each inequality, and graph the solution. 1.
4. d≥0
k≥2
2.
Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez creado, haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva».
APOYOS PEDAGÓGICOS
5. x > −8
1. Los estudiantes pueden tener dificultades para entender cómo resolver variables cuando toda la ecuación se divide por un número. Asegúrese de que hayan visto varias estrategias que podrían ayudarlos a abordar esta situación.
j ≤ 16
3.
2. Los estudiantes pueden olvidar dividir por el número de términos para encontrar el promedio. Recuérdeles que, al igual que para promediar 2 números es necesario dividir entre 2, para promediar x números es necesario dividir entre x.
6. f ≥ −8
m>
1
Solve Inequalities Part 2
7.
Los estudiantes utilizarán el apoyo de pistas visuales, compañeros y maestros para desarrollar el vocabulario, la estructura del lenguaje y los conocimientos previos necesarios para comprender el texto escrito.
2(l + w) ≤ 72 2(20.5 + w) ≤ 72 41 + 2w ≤ 72 2w ≤ 31 w ≤ 15.5
Clementine and Sora discussed the inequality below.
Clementine claimed that the first step in solving should be to multiply both sides of the inequality by 3. Sora wanted to divide both sides of the inequality by 2 as his first step. With which student do you agree? Use mathematics to justify your answer. Answers will vary. While both suggestions could be used as a first step, I would prefer to use Clementine’s method. Multiplying both sides by 3 would get rid of the fraction and make the numbers easier to work with. If I use Sora’s step first, I would have to divide a fraction by 2, and that would not result in friendly numbers.
2
MUESTRA LO QUE SABES - PARTE 2 CLAVE DE RESPUESTAS
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APOYOS LINGÜÍSTICOS La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo del lenguaje de los estudiantes.
Mr. Gutierrez wants a rectangular wooden border around the new vegetable garden he is building. He has 72 feet of lumber to use for the border. He knows the length of his garden needs to be 20.5 feet long. Use the formula for perimeter, P = 2(l + w), to calculate the width options for Mr. Gutierrez’s garden. The garden can have a width of 15.5 ft. or less.
8.
3. Los estudiantes pueden olvidar invertir el sentido de la desigualdad al dividir entre un número negativo. Si lo prefieren, anímelos a mover los términos con coeficientes hacia el lado que les permite ser positivos. Por ej., si 1 < -x + 5, los estudiantes pueden mover la variable al lado izquierdo y no preocuparse por la dirección de la desigualdad.
Principiante: Como actividad previa a la lección, enseñe la palabra «media» realizando una encuesta en clase sobre sus edades y determinando la edad media. A continuación, guíelos en la creación de un cuadro de vocabulario para el término media con las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), Ausencia de ejemplo (o antónimo) e Imagen (imagen o dibujo). Pida a los estudiantes que creen su propia imagen para el término. Intermedio: Como actividad previa a la lección, enseñe la palabra «media» realizando una encuesta en clase sobre sus edades y determinando la edad media. A continuación, pida que creen un cuadro de vocabulario para el término media con las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), No-ejemplo e Imagen (imagen o dibujo). Proporcione a los estudiantes la definición, pero pídales que la reescriban con sus propias palabras. Avanzado: Como actividad previa a la lección, enseñe a los estudiantes la palabra «media» realizando una encuesta en clase sobre sus edades y determinando la edad media. A continuación, pida que creen un cuadro de vocabulario para el término media con las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), Sin ejemplo (o antónimo) e Imagen (dibujo o imagen). Proporcione a los estudiantes la definición, pero pídales que la reescriban con sus propias palabras.
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EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 3: RESOLVER DESIGUALDADES COMPUESTAS DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes explorarán la escritura y resolución de desigualdades compuestas.
PARTE I
ESTÁNDARES DE PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.3 Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros: Los estudiantes analizarán problemas y utilizarán supuestos matemáticos, definiciones y resultados establecidos en la construcción de argumentos. Los estudiantes justificarán conclusiones con ideas matemáticas. Los estudiantes escucharán los argumentos de otros y harán preguntas útiles para determinar si un argumento tiene sentido. • MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas apropiadas: Los estudiantes utilizarán las herramientas disponibles, reconociendo los puntos fuertes y las limitaciones de cada una. Los estudiantes utilizarán la estimación y otros conocimientos matemáticos para detectar posibles errores. • MP.6 Atender a la precisión: Los estudiantes se comunicarán con precisión con los demás y utilizarán un lenguaje matemático claro cuando comenten o escriban sobre sus razonamientos. El maestro identificará las respuestas incompletas y pedirá a los estudiantes que revisen sus respuestas.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes) • 1 programación informática (por estudiante) • 1 caja impresa (por grupo)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes. • Imprima la «Programación informática» y un «Diario del estudiante» para cada alumno. • Tenga a mano una «Caja impresa» para cada grupo. • Imprima un «Boleto de salida» para cada pareja. Recórtelos de media página para que cada estudiante tenga uno.
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1. Lea el siguiente escenario a la clase: «“Boxes R Us” es una empresa que fabrica cajas para embalar productos como perfumes y juguetes. La empresa afirma que cada caja que fabrica estará dentro del 5 % de la anchura, longitud y altura solicitadas de la caja. Te han contratado para que escribas desigualdades compuestas que puedan utilizarse para programar el ordenador. Estas le dirán al computador qué tamaños son aceptables y qué tamaños son inaceptables y deben rechazarse porque no están dentro de los parámetros permitidos. Chris Di, diseñador de perfumes, ha creado un nuevo perfume que ha tenido grandes ventas durante el último año. Le gustaría actualizar la caja en la que se envasa el frasco. Le gustaría que la caja tuviera una anchura de 30 milímetros, una longitud de 50 milímetros y una altura de 70 milímetros. 2. Haga una lluvia de ideas con los estudiantes sobre algunos ejemplos de alturas aceptadas y rechazadas. Formule las siguientes preguntas: a. DOK-1 «¿Cómo podrías hallar el 10 % de un número? ¿Cómo podrías usar ese valor para hallar el 5 % del mismo número?». El 10 % de un número de 2 dígitos es aproximadamente el dígito en el lugar de las decenas. Para hallar el 5 % de un número, tomarías la mitad del número en el lugar de las decenas. b. DOK-1 «¿Crees que una altura de 77 milímetros sería aceptada o rechazada? ¿Por qué?». Creo que sería rechazada porque es 7 más que 70, que es un 10 % más, y solo permiten una diferencia del 5 %. c. DOK-1 «¿Crees que una altura de 68 milímetros sería aceptada o rechazada? ¿Por qué?». Creo que sería aceptada porque es 2 menos que 70, que es menos que una diferencia del 5 %. 3. Distribuya la «Programación de computadoras» y un «Diario del estudiante» a cada alumno. 4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para completar la parte I en sus «Diarios del estudiante». Crearán desigualdades compuestas que pueden usarse para programar la computadora para medidas de cajas aceptadas y rechazadas. Estas desigualdades se registrarán en «Programación informática».
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3
5. Supervise a los estudiantes mientras colaboran en su trabajo. Utilice las siguientes preguntas guía para evaluar su comprensión: a. DOK-1 «¿Cómo se encuentra el 5 % de un número?». Multiplica el número por 0.05. b. DOK-2 «¿Por qué usaríamos una desigualdad en lugar de una ecuación?». Las ecuaciones se usan para representar situaciones donde hay una solución exacta, y esta situación tiene muchos valores posibles que son medidas aceptables. La desigualdad representa todos los valores posibles, no solo uno. c. DOK-2 «¿Qué representa cada término de la desigualdad?». El número que se resta de la variable es la medida ideal, y el número del otro lado de la desigualdad es la tolerancia. d. DOK-1 «¿Cuál es la anchura máxima aceptable? ¿Cómo lo sabes?». 31.5 mm porque la tolerancia es de 1.5 mm, así que añadí la tolerancia a la medida ideal de 30 mm. e. DOK-1 «¿Cuál es la anchura mínima aceptable? ¿Cómo lo sabes?». 28.5 mm porque la tolerancia es de 1,5 mm, así que resté la tolerancia al ideal de 30 mm. f. DOK-1 «¿Cuál es la longitud máxima aceptable? ¿Cómo lo sabes?». 52,5 mm porque la tolerancia es de 2.5 mm, así que sumé la tolerancia al ideal de 50 mm. g. DOK-1 «¿Cuál es la longitud mínima aceptable? ¿Cómo lo sabes?». 47.5 mm porque la tolerancia es de 2,5 mm, así que resté la tolerancia al ideal de 50 mm. h. DOK-1 «¿Cuál es la altura máxima aceptable? ¿Cómo lo sabes?». 73.5 mm porque la tolerancia es de 3,5 mm, así que sumé la tolerancia al ideal de 70 mm. i. DOK-1 «¿Cuál es la altura mínima aceptable? ¿Cómo lo sabes?». 66,5 mm porque la tolerancia es de 3.5 mm, así que resté la tolerancia del ideal de 70 mm. j. DOK-3 «¿Cómo podrías representar todas las posibles anchuras, alturas o longitudes aceptables sin usar la palabra y sino usando una desigualdad?». Podríamos escribirlo como un rango: mínimo ≤ variable ≤ máximo, 28.5 ≤ a ≤ 31.5. k. DOK-3 «¿Cómo podrías representar todas las posibles anchuras, alturas o longitudes aceptables en una recta numérica?». Necesitaría sombrear todos los números entre los valores mínimo y máximo aceptables.
6. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte I, y luego invite a la clase a una «Charla de matemáticas» para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Por qué usaríamos desigualdades con tolerancia positiva y negativa?». La tolerancia es cuánto puede variar la medida. El valor ideal puede aumentar en esa cantidad o disminuir en esa cantidad. • DOK-2 Las desigualdades compuestas se usan para expresar una conjunción o disyunción de desigualdades. «¿Qué te dicen los prefijos en conjunción y disyunción?». Dis- significa «aparte», y con- significa «con». • DOK-2 «¿Cuál es la diferencia entre las desigualdades compuestas que usaste para describir cajas aceptables comparadas con las que usaste para describir cajas inaceptables?». Todas las cajas aceptables tienen desigualdades unidas para formar un rango continuo de valores, mientras que las cajas inaceptables están representadas por desigualdades que no se cruzan y están por encima o por debajo de un cierto valor. • DOK-3 Usando el prefijo como pista, «¿las desigualdades o que representan valores fuera de un rango son una conjunción o una disyunción?». Una disyunción serían desigualdades compuestas que están separadas, y una conjunción serían desigualdades compuestas que están juntas, así que las desigualdades que están fuera del rango serían una disyunción. PARTE II
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «La caja que vas a recibir se ha creado utilizando los datos que has introducido en el programa informático. El departamento de control de calidad selecciona cajas al azar y mide cada una para determinar si será una caja aceptada o si será rechazada. El departamento de control de calidad tiene poco personal y necesitan tu ayuda». 2. Distribuya una caja impresa a cada grupo de estudiantes. 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para determinar si la caja será aceptada o si será rechazada y mostrarán su pensamiento en líneas numéricas.
l. DOK-2 «¿Qué valores no son soluciones de la desigualdad compuesta 28.5 ≤ a y a ≤ 31.5?». Todos los valores por debajo de 28.5 o por encima de 31.5. ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Solve Inequalities Explore 3
4. Supervise a los estudiantes mientras colaboran en su trabajo. Utilice las siguientes preguntas orientativas para evaluar su comprensión:
3.
a. DOK-1 «¿Cómo sabes si una medida es aceptable?». Una medida es aceptable si se encuentra entre el valor mínimo y el valor máximo. b. DOK-2 «¿Los valores para alturas aceptables se describirían usando una conjunción o una disyunción? ¿Cómo lo sabes?». Los valores para alturas aceptables se describirían usando una conjunción. Sé que sería una conjunción porque estamos describiendo números que están entre el mínimo y el máximo. c. DOK-1 «¿Cómo sabes si una medida debe ser rechazada?». Una medida debe ser rechazada si es mayor que el valor máximo o menor que el valor mínimo.
The computer needs a compound inequality to describe the acceptable measurements for the boxes. The programmer has created inequality templates for calculating acceptable measurements. Write and solve inequalities for calculating the acceptable measurements for the boxes, with a representing the acceptable measurements.
Since this is the intersection of two sets, we will use the conjunction word and. −Tolerance ≤ Acceptable – Ideal
Width
Length
Height
−1.5 ≤ a – 30 + 30 + 30 28.5 ≤ a −2.5 ≤ a – 50 + 50 + 50 47.5 ≤ a −3.5 ≤ a – 70 + 70 + 70 66.5 ≤ a
Acceptable – Ideal ≤ Tolerance
a – 30 ≤ 1.5 + 30 + 30 a ≤ 31.5
AND
a – 50 ≤ 2.5 + 50 + 50 a ≤ 52.5
AND
a – 70 ≤ 3.5 + 70 + 70 a ≤ 73.5
AND
Possible extension: 28.5 ≤ a ≤ 31.5, 47.5 ≤ a ≤ 52.5, 66.5 ≤ a ≤ 73.5 4.
Enter the inequalities found in question 3 onto Computer Programming.
d. DOK-2 «¿Los valores de las alturas rechazadas se describirían usando una conjunción o una disyunción? ¿Cómo lo sabes?». Los valores de las alturas rechazadas se describirían usando una disyunción. Sé que sería una disyunción porque estamos describiendo números que son mayores que el máximo o menores que el mínimo.
2
Solve Inequalities Explore 3
1.
5.
Boxes R Us
Part I
Solve Inequalities Explore 3
The machine that is making the boxes for Chris Di needs to know the ideal box measurement and the tolerance for each measurement. The tolerance is how much the measurement can vary from the ideal measurement. Compute the tolerance, and enter the value for each measurement in the table on the computer image below.
The computer needs a compound inequality to describe the unacceptable measurements for the boxes it will reject. The programmer has created inequality templates for calculating unacceptable measurements. Write and solve inequalities for calculating the unacceptable measurements for the boxes, with r representing the unacceptable measurements.
Since this is a union of two sets, we will use the disjunction word or. Unacceptable – Ideal < −Tolerance
Ideal (mm)
Tolerance (mm)
Width
30
1.5
Length
50
2.5
Height
70
Width – 30(0.05) = 1.5 Length – 50(0.05) = 2.5 Height – 70(0.05) = 3.5
3.5
Unacceptable – Ideal > Tolerance
Width
r – 30 < −1.5 + 30 + 30 r < 28.5
OR
r – 30 > 1.5 + 30 + 30 r > 31.5
Length
r – 50 < −2.5 + 50 + 50 r < 47.5
OR
r – 50 > 2.5 + 50 + 50 r > 52.5
Height
r – 70 < −3.5 + 70 + 70 r < 66.5
OR
r – 70 > 3.5 + 70 + 70 r > 73.5
2. Would the following widths be accepted or rejected? Justify your answer. Width
Accepted
Rejected
Reasoning
29 mm
❏
❏
It has to be within 1.5 mm of 30, and it is only 1 mm smaller than the ideal of 30.
32.5 mm
❏
❏
It has to be within 1.5 mm of 30, and it is 2.5 mm larger than the ideal of 30.
30 mm
❏
❏
It has to be within 1.5 mm of 30, and it is exactly the ideal width of 30.
30.75 mm
❏
❏
It has to be within 1.5 mm of 30, and it is only 0.75 mm larger than the ideal of 30.
6.
Enter the inequalities found in question 5 onto the Computer Programming handout.
1
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Solve Inequalities Explore 3
Part II 7.
Show your thinking on a number line. Highlight the acceptable range in yellow and rejected values in pink. Place an X on the value of the dimension of the box.
5. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas de reflexión que siguen. 6. Después de la «Exploración», invite a la clase a una «Charla de matemáticas» para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 Nombra y describe el tipo de desigualdad que se usa para representar un rango de números entre los valores mínimo y máximo. Esta es una conjunción. Se graficaría sombreando entre los valores mínimo y máximo.
8.
Will the box be accepted or rejected? If it is rejected, what needs to change so it will be accepted? The box will be rejected. The height needs to be shorter in order to be within the acceptable range.
4
Solve Inequalities Explore 3
Reflect 1.
2.
What connections can you make between the compound inequality and the graph of the solutions? When the compound inequality represents the limits within the tolerance, the graph is shaded between the minimum and maximum acceptable values. When the compound inequality represents the limits outside of the acceptable values, the graph is shaded to the left of the minimum acceptable value and to the right of the maximum acceptable value. Another machine was programmed to produce a box with a 10 in. height. It produced a box that was 11 inches tall. If this is an acceptable box with a height of 11 inches, which of the following could be the tolerance? Select all that apply. ❏ ❏ ❏ ❏ ❏
3.
1% 5% 8% 10% 12%
SS NA-Math TE A1-V1.indb 165
• DOK-2 «¿Qué observas en el gráfico de la conjunción (desigualdades compuestas que usan la palabra y)?». Se grafican sombreando entre los valores mínimo y máximo aceptables. • DOK-2 Cuando pensabas en qué valores eran aceptables, «¿pensabas en qué tan cerca estaban del ideal, o pensabas en los valores mínimo y máximo aceptables en la recta numérica?». Pensaba en lo cerca que estaba el valor del ideal. Sabía que 31 mm estaba a menos de 1.5 mm de 30 mm para la anchura. 7. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 8. Vuelva a la sección «Captar interés» y pida a los estudiantes que utilicen sus habilidades recién adquiridas para completar con éxito la actividad.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Algunos estudiantes pueden tener dificultades para comprender qué parte de una recta numérica debe sombrearse dada una desigualdad compuesta. Anime a los estudiantes que tengan dificultades con esto a probar puntos de prueba para cada región aplicable para ver qué funciona y qué no.
5
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• DOK-2 «¿Qué notas acerca de graficar la disyunción (desigualdades compuestas que usan la palabra o)?». Se grafican sombreando dos líneas, una que va a la izquierda y otra que va a la derecha. Parten de los valores mínimo y máximo aceptables.
Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez creado, haga que cada estudiante complete individualmente su «Libreta interactiva».
Would the inequality describing acceptable heights of the box be a conjunction using the word and, or would it be a disjunction using the word or? How do you know? The inequality describing acceptable heights of the box would be a conjunction because it is expressing the acceptable values between two numbers.
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
• DOK-1 Nombra y describe el tipo de desigualdad que se usa para representar un conjunto de números que está fuera de un rango de números. Esta es una disyunción. Se graficaría sombreando fuera de los valores mínimo y máximo.
2. Los estudiantes pueden tener dificultades para entender si se debe usar una conjunción o una disyunción. Anímelos a considerar el contexto del problema y si tiene sentido que las respuestas encajen dentro de un límite que tiene un máximo y un mínimo o que las respuestas encajen fuera de ese límite y solo puedan estar en una región mayor o menor que un rango especificado en el medio. 165
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Solve Inequalities Part 3
APOYOS LINGÜÍSTICOS La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes.
Solve Compound Inequalities Solve each inequality, graph the solution, and answer the question that follows. 1.
A medida que adquieran más inglés, los estudiantes proporcionarán descripciones verbales específicas y precisas. Principiante: Como actividad previa a la lección, encierre los objetos en cajas de distintos tamaños. Disponga de una diapositiva que enumere los posibles objetos de la caja. Los estudiantes pueden agitar la caja y adivinar qué objeto hay dentro. Explique que la lección de hoy tratará sobre las cajas. Intermedio: Como actividad previa a la lección, encierre objetos en cajas de distintos tamaños. Disponga de una diapositiva que enumere los posibles objetos de la caja. Los estudiantes pueden agitar la caja y adivinar qué objeto hay dentro. Anímelos a describir lo que piensan sobre el objeto. Por ejemplo: «Creo que el objeto es redondo». Explique que el tema de hoy serán las cajas.
The inequality 6 < h + 2 < 9 represents the number of hours, h, Tomas spent doing homework last week. a.
Solve for h. 6<h+2<9 6 < h + 2 and 4<h and 4<h<7
b.
Graph the solution set.
h+2<9 h<7
c. Is it possible for Tomas to have spent 6.5 hours doing homework last week? Explain. Yes. The solution set is all real numbers between 4 and 7, including decimal answers. It is possible to study for 6.5 hours. 2.
The inequality −1 + b > 4 or 2b + 7 ≤ 11 represents the balance of Tino’s lunch account, b, in dollars. a. Solve for b. b > 5 or 2b ≤ 4 b > 5 or b ≤ 2
b.
Graph the solution set.
c. Would negative numbers be included in the solution set? Explain. Yes, negative numbers are included because b ≤ 2 is part of the solution set. Account balances can go below $0. 3.
The inequality −33 ≤ −7f – 12 < −26 represents the height requirements in feet, f, of a toddler play area. a. Solve for f. b. Graph the solution set. −33 ≤ −7f – 12 and −7f – 12 < −26 −21 ≤ −7f and −7f < −14 3≥f and f > 2 2<f≤3 c. Could a toddler who was 2 feet tall play in the toddler play area? Explain. No, because 2 is not included in the solution set. Heights greater than, but not equal to, 2 are included.
Avanzado: Como actividad previa a la lección, encierre los objetos en cajas de distintos tamaños. Disponga de una diapositiva que enumere los posibles objetos de la caja. Los estudiantes pueden agitar la caja y adivinar qué objeto hay dentro. Anímelos a describir lo que piensan sobre el objeto. Por ejemplo: «Creo que el objeto es redondo». Explique que la actividad de hoy versará sobre cajas.
1
Solve Inequalities Part 3 Solve Inequalities Explore 3
Write a compound inequality to represent each situation. 4.
Solve Compound Inequalities Exit Ticket 1.
Most iguanas live where the temperature ranges from 77°F to 96°F, inclusive. Write a compound inequality to represent the temperatures, t, where iguanas do NOT typically live. t < 77 or t > 96
Pressure on a rectangular platform can be determined by the following formula: pressure = force . Write and solve an inequality to determine what the force, in area newtons, would need to be to result in a pressure of 500 to 800 units on a
5.
platform with an area of 8 m2.
Catalana chicks that incubate below 24°C or above 32°C rarely hatch. Write a compound inequality to represent the temperatures, t, at which the chicks should be incubated. 24 < t < 32
2.
Would a force of 6,000 newtons produce a pressure in the solution set? Explain. A force of 6,000 newtons is in the solution set. I know it is in the solution set because 6,000 is between 4,000 and 6,400.
Solve Inequalities Explore 3
6.
Interstate 20 has a minimum posted speed limit of 40 miles per hour and a maximum posted speed limit of 75 miles per hour. Write a compound inequality to represent the speed, s, at which you should travel to avoid getting a ticket. 40 ≤ s ≤ 75
Solve Compound Inequalities Exit Ticket 1.
Pressure on a rectangular platform can be determined by the following formula: pressure = force . Write and solve an inequality to determine what the force, in area newtons, would need to be to result in a pressure of 500 to 800 units on a platform with an area of 8 m2.
2.
Would a force of 6,000 newtons produce a pressure in the solution set? Explain. A force of 6,000 newtons is in the solution set. I know it is in the solution set because 6,000 is between 4,000 and 6,400.
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS 166
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2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 3) CLAVE DE RESPUESTAS ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER DESIGUALDADES
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE
ANCLAR EL APRENDIZAJE DE LOS ESTUDIANTES
ESQUEMA DE ANCLAJE
Solve Inequalities
DESCRIPCIÓN Un esquema de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Se trata de una herramienta para apoyar la instrucción y anclar el aprendizaje de los estudiantes a lo largo del alcance.
MATERIALES
• 1 hoja de papel cuadriculado • 1 juego de marcadores multicolores
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del ejemplo de «Esquema de anclaje», si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. El ejemplo de esquema puede utilizarse como referencia antes de crearlo. Esta actividad debe ser dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje. EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
2. A medida que los estudiantes trabajen en el alcance, colaboren para agregar piezas al «Esquema de anclaje». Formule las siguientes preguntas orientadoras: a. «¿Qué estrategia utilizamos para resolver este problema?». b. «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?». 3. Continúe añadiendo habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada «Exploración» para resaltar el contenido importante. 4. Explique que pueden utilizar este gráfico como herramienta de apoyo para su aprendizaje. Los estudiantes también pueden pegar una copia del ejemplo del esquema en sus cuadernos para utilizarla como referencia a lo largo del año. 5. Algunos «Esquemas de anclaje» solo se mostrarán durante un alcance o grupo de alcances concretos, mientras que otras permanecerán expuestas durante todo el curso escolar.
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167
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER DESIGUALDADES
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DE LOS ESTUDIANTES
LIBRETA INTERACTIVA
Solve Inequalities
Instructions ● Cut out the cards below. ● Match each inequality to its solution set, and glue the cards next to each other in your notebook.
x < −2
x≥2
3>x≥1
−3 < x ≤ 1
DESCRIPCIÓN Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase al usar la actividad y la libreta.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del «Folleto del estudiante» para cada uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Prepare una «Libreta interactiva» al usar un cuaderno de espiral o de composición para cada uno. Los estudiantes pueden utilizar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades.
Solve Inequalities
Instructions ● Cut out the cards below. ● Put the steps for solving the inequality x – 3 < −3(x – 5) in order, and glue them into your notebook. ● Choose the correct graphical representation of the solution, and glue or tape it into your notebook. ● You will not use all of the cards to solve the inequality.
x – 3 < −3(x – 5)
18 < −4x
x – 3 < −3x – 5
4.5 > x
−3 < −4x + 15
0.22 < x
4.5 < x
−18 < −4x
3x – 3 < 15
x – 3 < −3x + 15
2. Las instrucciones para cada actividad se proporcionan en el «Folleto del estudiante». 3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos. 4. Las libretas interactivas pueden utilizarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
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FOLLETO DEL ESTUDIANTE
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER DESIGUALDADES
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO PALABRAS PARA SABER
VOCABULARIO ILUSTRADO
Less Than
Greater Than
Solution Set
Smaller than another (e.g., 432 < 501)
More than another (e.g., 49 > 12)
A set of numbers that makes an inequality statement true 3
2
4
Inequality
Less Than or Equal To
Greater Than or Equal To
A mathematical sentence that uses symbols such as <, ≤, >, or ≥ to compare two quantities
Smaller than or the same as another
More than or the same as another
5
6
7
Inequality Phrase
Phrase representing each of the inequalities 8
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER DESIGUALDADES
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ DESARROLLAR LA FLUIDEZ CONCEPTUAL
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: RESOLVER DESIGUALDADES DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes se turnan para sacar tarjetas de problemas de un tarro y adivinar la respuesta.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 hoja de instrucciones ¡Bam! (por pareja) • 1 juego de tarjetas ¡Bam! ¡(por pareja) REUTILIZABLES
• 1 tarro u otro recipiente (por pareja) • 1 cronómetro (por maestro)
PREPARACIÓN
Bam! Instruction Sheet Play this game with a partner. You Will Need 1 Set of Bam! Cards (per pair) 1 Jar or other container (per pair) How to Play 1. Fold the cards in half, and place them in the jar. 2. Player 1 pulls out a card from the jar and hands it to player 2. 3. Player 2 will read the question aloud for player 1 to solve. 4. Player 2 can check the answer from player 1 at the bottom of the card. 5. If a player gets a problem correct, they keep the card. If they are incorrect, the other player keeps the card. 6. Note: If the card contains an image such as a graph or a number line, the player asking the question can show the image while covering up the answer with their hand. 7. If a player pulls out a Bam! picture card, all of that player’s cards go back into the jar. 8. Players take turns pulling cards from the jar and answering questions until time is up. 9. Players must try to get as many cards as they can before time is up. 10. The player with the most cards wins.
• Haga copias a doble cara de las tarjetas ¡Bam!. Si lo desea, puede imprimirlas en cartulina para que duren más. • Recorte las tarjetas individuales. • Ponga a los estudiantes en parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
HOJA DE INSTRUCCIONES
3. Establezca un límite de tiempo. Cuando se acabe el tiempo, ganará el estudiante que tenga más tarjetas.
1. Muestre a los estudiantes cómo doblar las tarjetas y colocarlas en el frasco.
4. Distribuya los materiales e indique a los estudiantes que empiecen cuando empiece el cronómetro.
2. Muestre con un estudiante cómo jugar.
5. Supervise a los estudiantes para asegurarse de que resuelven los problemas correctamente.
a. El jugador 1 saca una tarjeta del frasco y se la entrega al jugador 2. b. El jugador 2 leerá la pregunta en voz alta para que el jugador 1 la resuelva. c. El jugador 2 puede comprobar la respuesta del jugador 1 en la parte inferior de la tarjeta. d. Si un jugador acierta un problema, se queda con la tarjeta. ¡Si es incorrecta, el otro jugador se queda con la tarjeta. e. Nota: Si la tarjeta contiene una imagen, como un gráfico o una recta numérica, el jugador que hace la pregunta puede mostrar la imagen mientras tapa la respuesta con la mano. f. Si un jugador saca una tarjeta ¡Bam! todas las cartas de ese jugador vuelven al bote. g. Los jugadores se turnan para sacar cartas del bote y responder a las preguntas hasta que se acabe el tiempo. h. Los jugadores deben intentar conseguir tantas cartas como puedan antes de que se acabe el tiempo. i. El jugador con más cartas gana. 170
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER DESIGUALDADES
ELABORAR: REVISIÓN EN ESPIRAL Solve Inequalities
REPASAR CONCEPTOS ANTERIORES
Cafeteria Changes As student council president, you ran on the platform of improving the conditions in the school cafeteria. The student body is looking to your leadership to partner with the school administration and the school parent-teacher organization to make your platform become a reality by the end of the current school year. The first order of business is updating the lunch menu, which still serves the same dreary food from when your parents were in middle school. Next, you are planning to purchase flexible seating and charging stations for the cafeteria. Last, you are partnering with the school's technology department to increase wireless internet access in the cafeteria. Can you get this all done before the winter holiday?
REVISIÓN EN ESPIRAL: CAMBIOS EN LA CAFETERÍA DESCRIPCIÓN Los estudiantes repasan contenidos previos o actuales del grado para ayudar a apoyar su trabajo en el alcance actual y fortalecer las habilidades necesarias para alcances posteriores.
REVISIÓN EN ESPIRAL ENFOCADA EN LA PREGUNTA • Pregunta 1
◦ ÁLG I: Resolver ecuaciones lineales en una variable. • Pregunta 2 ◦ ÁLG I: Determinar si las relaciones son funciones. • Pregunta 3 1
◦ ÁLG I: Determinar el dominio y rango de funciones exponenciales. • Pregunta 4
Solve Inequalities
1.
The linear equation −(5w + 10) = −4(16 – w), where w is the number of wireless internet access points, can be used to calculate how many access points would improve the signal in the cafeteria. What is the solution to this equation?
2.
One school furniture company allows you to customize the tables and seating arrangements. You have to pick an option that represents y as a function of x. Which option do you choose? A
B
The answer is w = 6. 3.
In a presentation to the school administration and the parent-teacher organization, you show that the profits for changing the chicken nugget recipe are exponential. Write an inequality to represent the domain of the function shown.
The answer is x ≥ 0.
x
3
4
5
6
y
4
8
4
8
x
2
3
3
6
y
6
5
8
7
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a tratar de responder las preguntas independientemente sin usar recursos externos para ver lo que saben. Invite a los estudiantes a anotar ideas o fragmentos que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas.
The answer is table A. 4.
The table shows the linear relationship between the number of spicy chip bags sold, x, and the total cost of the spicy chip bags, y. Based on the table, how much does 1 bag of spicy chips cost?
x
3
4
9
y
$3.90
$5.20
$11.70
3. Utilice las preguntas de repaso en espiral como calentamiento en clase, o envíelas a casa como deberes. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos.
The answer is $1.30 per bag. 2
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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◦ Grado 8: Usar datos para determinar la tasa de cambio y el punto de corte con el eje «y» en problemas del mundo real.
4. Consulte la sección «Revisión en espiral enfocada en la pregunta» para evaluar los conocimientos de contenido de los estudiantes o su necesidad de una mayor intervención. Si es necesario repasar más, utilice los constructores de fluidez en los alcances apropiados. 5. El proyecto final incluye una parte del alcance actual para que los estudiantes vean la conexión y la relevancia de su aprendizaje previo con el actual.
171
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER DESIGUALDADES
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS
Solve Inequalities
ANALIZAR DATOS
CIENCIA DE DATOS Ciencia de datos es un breve debate en clase basado en un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. La parte I incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los estudiantes en contexto.
DESCRIPCIÓN
Brazier, Yvette. “How much should I weigh for my height and age?” Medical News Today, January 18, 2020. https://www.medicalnewstoday.com/articles/323446
Los estudiantes analizarán, interpretarán y generarán conjuntos de datos, además de responder preguntas basadas en los datos.
MATERIALES IMPRESO
• 1 conjunto de datos (por clase) REUTILIZABLES
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase) • 1 marcador (por clase) CONSUMIBLE
• 1 trozo de papel milimetrado (por clase)
PREPARACIÓN
• Prepárese para proyectar el conjunto de datos para la clase. • Reúna un trozo de papel milimetrado y un rotulador.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
1
CONJUNTO DE DATOS
PARTE II
1. Repase la resolución de desigualdades y escriba lo que los estudiantes recuerden en el papel milimetrado. 2. Haga las siguientes preguntas: a. «¿Cómo se relaciona este conjunto de datos con las desigualdades?». b. Escribe una desigualdad compuesta que involucre la sección de Peso normal de la tabla de IMC. c. Sarai usó la desigualdad 133 ≤ w ≤ 153 para representar todos los pesos, w, que están en la categoría de obesos. «¿Estás de acuerdo con la afirmación de Sarai?». Explícalo. 3. Invite a los estudiantes a realizar una lluvia de ideas sobre preguntas relacionadas con las desigualdades que podrían responderse a partir de este conjunto de datos.
PARTE I
1. Proyecte el conjunto de datos y prepárese para anotar las observaciones de los estudiantes. 2. Haga las siguientes preguntas: a. «¿Qué observa en este conjunto de datos?». b. «¿Qué representa este conjunto de datos?». c. «¿Qué categorías se incluyen en este conjunto de datos?». d. «¿Cuál es la relación entre las dos variables?». e. «¿Qué preguntas tiene sobre los datos?».
172
SS NA-Math TE A1-V1.indb 172
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER DESIGUALDADES Solve Inequalities
EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS
Solve Inequalities Skill or Key Concept Create equations and inequalities in one variable including ones with absolute value and use them to solve problems. Include equations arising from linear and quadratic functions, and simple rational and exponential functions. Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or non-viable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods. Solve linear equations and inequalities in one variable, including equations with coefficients represented by letters.
How was the skill or concept observed?
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN
LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN
Notes and Feedback
DESCRIPCIÓN Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede utilizarse como evaluación formativa para los maestros y como autoevaluación para los estudiantes.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 folleto del maestro (por estudiante)
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del maestro» y un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
1
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Folleto del estudiante» a cada uno.
Solve Inequalities
Standards for Mathematical Practice
Notes and Feedback
Make sense of problems and persevere in solving them Reason abstractly and quantitatively
3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
Construct viable arguments and critique the reasoning of others Model with mathematics Use appropriate tools strategically
Attend to precision
4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje.
Look for and make use of structure Look for and express regularity in repeated reasoning
5. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el «Folleto del maestro».
Consider these reflection questions in this scope. ●
●
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them? What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
2
FOLLETO DEL MAESTRO
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2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Explorar» y «Explicar» del alcance, evalúe formativamente su progreso tomando notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
6. Las notas anecdóticas proporcionadas en el «Folleto del maestro» pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares. 7. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la «Guía de instrucción andamiada» en la sección «Inicio» de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
173
1/9/26 1:31 PM
ÁLGEBRA 1: RESOLVER DESIGUALDADES
EVALUAR: MAPA DE CALOR
ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
MAPA DE CALOR DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
MATERIALES
• 1 mapa de calor (por estudiante) • 1 lápiz de color rojo (por estudiante)
Solve Inequalities
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
Skills Quiz Standards
Questions
Create equations and inequalities in one variable including ones with absolute value and use them to solve problems. Include equations arising from linear and quadratic functions, and simple rational and exponential functions.
Solve linear equations and inequalities in one variable, including equations with coefficients represented by letters.
• 1 lápiz de color azul (por estudiante) • 1 lápiz de color naranja (por estudiante)
Red – misconception
6
7
8
1
2
3
5
9
10
4
Reflection Questions 1. Which skill did you feel most confident with? Why?
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
3. Which type of error did you most commonly make?
4. How can you avoid those errors in the future?
PREPARACIÓN
• Determine si los estudiantes analizarán su «Prueba de habilidades», la «Evaluación basada en estándares», o ambas. • Imprima un «Mapa de calor» para cada estudiante. • Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
1
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Dé un «Mapa de calor» a cada estudiante junto con lápices de colores rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s). 2. Los estudiantes utilizan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el «Mapa de calor». Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los estudiantes colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, los estudiantes colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, los estudiantes colorean el cuadro correspondiente de rojo. 3. Anímelos a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a utilizar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada. 4. Consulte la «Guía de instrucción andamiada» que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
Solve Inequalities
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
Red – misconception
Standards-Based Assessment Standards
Questions
Create equations and inequalities in one variable including ones with absolute value and use them to solve problems. Include equations arising from linear and quadratic functions, and simple rational and exponential functions.
Solve linear equations and inequalities in one variable, including equations with coefficients represented by letters.
7
8
9
1
2
3
4
5
6b
7
10
6a 10
Reflection Questions 1. Which skill did you feel most confident with? Why?
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
3. Which type of error did you most commonly make?
4. How can you avoid those errors in the future?
2
MAPA DE CALOR
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SS NA-Math TE A1-V1.indb 174
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1/9/26 1:31 PM
ÁLGEBRA 1: RESOLVER DESIGUALDADES
INTERVENIR: REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES Solve Inequalities
REFORZAR Y VOLVER A ENSEÑAR
REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES
Checkup 1.
Solve the inequality −7d + 9 ≤ 23.
DESCRIPCIÓN
−7d + 9 ≤ 23 −7d ≤ 14 d ≥ −2 2.
Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para intervención.
Solve the inequality 6w – 11 > −7 – 2w. 6w – 11 > −7 – 2w 8w – 11 > −7 8w > 4 w>1 2
3.
MATERIALES
Which graph represents the solution set for the inequality below? 12 – 5z < −8z – 21
IMPRESO
• 1 revisión rápida (por estudiante)
A.
• 1 repaso (por estudiante)
B.
• 1 revisión general (por estudiante)
C.
• 1 lista de verificación para el maestro (por maestro)
D. 4.
Which solution set represents the inequality −3(−7s + 4) < 5s + 4? Circle the correct answer choice. A.
s>1
B.
s < −1
C.
s>2
D.
s<1
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de la «Revisión rápida», el «Repaso» y la «Revisión general» para cada estudiante.
1
Solve Inequalities
5.
Find the solution set for the inequality 5(−x – 4) – 3 ≥ −2(2x + 4) – 7. 5(−x – 4) – 3 ≥ −2(2x + 4) – 7 −5x – 20 – 3 ≥ −4x – 8 – 7 −5x – 23 ≥ −4x – 15 – 23 ≥ x – 15 −8 ≥ x or x ≤ – 8
6.
William needs at least 228 dollars for new jeans. He has already saved 36 dollars. He earns 24 dollars an hour at his job. Write an inequality that represents the situation. 24x + 36 ≥ 228 Solve the inequality that you wrote for question 6 to see how many hours William will need to work to buy jeans. 24x + 36 ≥ 228 24x ≥ 192 x ≥ 8 hours Diana solved an inequality. Her work is shown below. What mistake, if any, did Diana make? Step 1: 2(−x + 9) – x > −8x + 4 Step 2: −2x – 18 – x > −8x + 4 Step 3: −3x – 18 > −8x + 4 Step 4: −18 > −11x + 4 Step 5: −22 > −11x Step 6: 2 < x In step 4, Diana moved the 3x across the inequality sign by subtracting instead of adding.
7.
8.
9.
In question 8, why did Diana flip the inequality sign in the last step? Diana flipped the inequality sign in the last step because if you divide or multiply both sides of the inequality by a negative number, then the inequality must change directions.
10.
Find the solution set for the inequality −21 > −3(x + 2) ≥ −15. −21 > −3(x + 2) −3(x + 2) ≥ −15 −21 > −3x – 6 −3x – 6 ≥ −15 −15 > −3x −3x ≥ −9 5<x x≤3 5<x≤3
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• Si lo desea, imprima un ejemplo del «Esquema de anclaje» de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que usen la «Libreta interactiva» como recurso. • Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayudas suplementarias para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Dé una copia de la «Revisión rápida» a cada estudiante. 2. Cada uno debe completarla de forma independiente. 3. Use la rúbrica de habilidades al final de la «Revisión rápida» para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional. 4. Distribuya una copia del «Repaso» a cada uno. 5. Cada estudiante debe completar el «Repaso» como actividad de intervención o de forma independiente. a.
Si lo desea, reúna a los estudiantes en pequeños grupos para trabajar en las destrezas de repaso. Utilice el «Repaso» como ayuda para la reenseñanza.
6. Distribuya una copia de la «Revisión general» a cada uno. 7. Cada estudiante debe completarla de forma independiente. 2
EVALUACIÓN DE CONTROL CLAVE DE RESPUESTAS
• Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar el «Repaso».
8. Analice los resultados de la «Revisión general» al usar la «Lista de verificación para el maestro» para identificar quienes necesitan un repaso adicional y quienes han alcanzado el dominio de los conceptos.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER DESIGUALDADES
ACELERACIÓN: ¿QUÉ PREFERIRÍAS? Solve Inequalities
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
¿QUÉ PREFERIRÍAS?: MEDIAS DE PRUEBA DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
Test Averages Use mathematical reasoning and creativity to justify your answer to the Would You Rather question. Student A has test grades of 90, 89, 92, and 95. Student B has test grades of 72, 89, 81, and 80. Student A needs to have a test average of at least 90 to meet their goal of an A in the class. Student B needs to have a test average of at least 80 to meet their goal of a B in the class. Would you rather take the next test as Student A or Student B? Justify your reasoning with mathematics.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 rúbrica (por maestro)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno. • Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
The following statements are sample answers: I would prefer to be Student A because an A is possible only for Student A. Even if Student B made a 100 on the test, they would still have a B average. Student A needs a minimum of an 84 on the test to receive an A in the class. I would prefer to be Student B because Student B needs to make a 78 on the test to meet their goal. Student A needs to make an 84. It is easier to earn a 78 than an 84.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a mirar sus folletos de «Explorar» si necesitan repasar habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros.
1
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
4. Utilice la rúbrica proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER DESIGUALDADES
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Solve Inequalities
OPCIONES PARA EL APRENDIZAJE CONTINUO
TABLERO DE OPCIONES
Solve Inequalities Choose one or more of the extension activities from the table below. Career Connection
Science Connection
Nurse
Tomorrow’s Temperature
Research the career field of nursing. Your research must answer the provided questions. Create a presentation to relay your research to the class.
Explore the connection between math and science by solving the given compound inequality and answering the questions.
Create Your Own
Kitchen Connection
Write Your Own Story
Lasagna Dinner
Create your own real-world word problem for the given inequality. Follow the criteria on the handout to write your scenario, and then answer the questions.
Inequalities can be used in the kitchen when using recipes and making grocery lists. Read the scenario, and answer the questions on the handout.
Mathematician Spotlight
Financial Connection
Thomas Harriot
Search for several news articles or research papers that involve Thomas Harriot’s work. Create an informational poster, diorama, or speech to convey this mathematician’s work as it relates to inequalities.
Skate Factory
We use math every day in our financial world. Explore how our current math topic connects to our financial world by completing the handout.
TABLERO DE OPCIONES
DESCRIPCIÓN Los estudiantes explorarán las conexiones con el mundo real y las aplicaciones del contenido matemático a través de interacciones con actividades atractivas.
MATERIALES IMPRESO
• 1 tablero de opciones (por estudiante) • 1 juego de hojas de actividades (por estudiante) • 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante) REUTILIZABLE
• Tecnología (si corresponde)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Tablero de opciones» y un juego de hojas de actividades para cada estudiante. • Imprima una «Autoevaluación del tablero» para cada estudiante. • Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» a cada estudiante. 2. Dé tiempo a los estudiantes para examinar el «Tablero de opciones» y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anímelos a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del tablero, haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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<<GRADO>> ECUACIONES Y DESIGUALDADES DE VALOR ABSOLUTO ÁLGEBRA 1
ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: DE ACUERDO O EN DESACUERDO
ESTÁNDARES CLAVE Crear ecuaciones que describan números o relaciones. • Crear ecuaciones y desigualdades en una variable, incluidas las de valor absoluto, y usarlas para resolver problemas. Incluir ecuaciones que surjan de funciones lineales y cuadráticas y funciones racionales y exponenciales simples. Resolver ecuaciones y desigualdades en una variable. • Resolver ecuaciones y desigualdades lineales en una variable, incluso ecuaciones con coeficientes representados por letras. • Resolver ecuaciones y desigualdades en una variable que involucren valor absoluto, al graficar las soluciones e interpretándolas en contexto.
Los estudiantes evaluarán y debatirán las respuestas de sus compañeros a una pregunta matemática, al determinar si están de acuerdo o en desacuerdo y al proporcionar un razonamiento. • Los estudiantes evalúan de forma independiente y deciden si están de acuerdo o en desacuerdo con las respuestas de sus compañeros. • Los estudiantes participan en debates con sus compañeros para compartir y justificar su razonamiento. • Los estudiantes participan en múltiples intercambios con sus compañeros para explorar diversas perspectivas. CAPTAR INTERÉS Los estudiantes explorarán Ecuaciones y desigualdades de valor absoluto relacionándolas con un escenario del mundo real que involucra el empaque de manzanas con una tolerancia especificada. • Presente el escenario con el uso de un video y plantee las implicaciones matemáticas del proceso de empaque de manzanas. • Involucre a los estudiantes en la identificación y debate de los conceptos matemáticos presentes en el escenario, enfocándose en el valor absoluto y la tolerancia. • Guíe a los estudiantes a través del proceso de creación de una desigualdad de valor absoluto para representar el escenario, al enfatizar el valor central y la tolerancia.
ACTIVIDADES DE EXPLORACIÓN EXPLORACIÓN 1: RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE LA FORMA |X - B| = C
ESTÁNDARES DE CONEXIÓN Crear ecuaciones que describan números o relaciones. • Representar restricciones mediante ecuaciones o desigualdades, y mediante sistemas de ecuaciones y/o desigualdades, e interpretar soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelización. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de coste en combinaciones de diferentes alimentos. Entender la resolución de ecuaciones como un proceso de razonamiento y explicar el razonamiento. • Explicar cada paso en la resolución de una ecuación simple como consecuencia de la igualdad de números afirmada en el paso anterior, a partir de la suposición de que la ecuación original tiene solución. Construir un argumento viable para justificar un método de solución. *Este alcance se centra en el valor absoluto.
Los estudiantes explorarán ecuaciones de valor absoluto al conectar expresiones algebraicas con descripciones verbales, al crear representaciones visuales en rectas numéricas y al desarrollar algoritmos de solución simbólica. • Los estudiantes crearán representaciones visuales de problemas de valor absoluto en rectas numéricas para identificar soluciones. • Los estudiantes desarrollarán y registrarán ecuaciones de valor absoluto que describan escenarios dados. • Los estudiantes resolverán ecuaciones de valor absoluto simbólicamente al considerar distancias en ambas direcciones. EXPLORACIÓN 2: RESOLVER DESIGUALDADES DE VALOR ABSOLUTO Los estudiantes extenderán su comprensión del valor absoluto a desigualdades al crear representaciones visuales en una recta numérica, al escribir soluciones a partir de valores críticos y desarrollar un algoritmo para resolver estas desigualdades simbólicamente. • Los estudiantes trabajarán en grupos para representar visualmente desigualdades de valor absoluto en una recta numérica e identificar soluciones. • Desarrollarán y registrarán desigualdades de valor absoluto para describir escenarios dados en sus diarios del estudiante». • Los estudiantes explorarán y articularán el razonamiento detrás del resolver desigualdades de valor absoluto sin depender únicamente de reglas memorizadas. • Participarán en debates para compartir observaciones y refinar su comprensión de conjunciones y disyunciones en el contexto de desigualdades de valor absoluto. EXPLORACIÓN 3: REPRESENTAR Y RESOLVER CON VALOR ABSOLUTO Los estudiantes aplicarán su comprensión del valor absoluto como una medida de distancia de un centro para resolver problemas del mundo real al representar especificaciones de diseño y tolerancias con el uso de ecuaciones y desigualdades. • Los estudiantes trabajarán en grupos para traducir los valores de diseño y tolerancias en ecuaciones de valor absoluto o desigualdades, al registrar su trabajo en el «Diario del estudiante». • Ellos determinarán el centro y la tolerancia de los puntos finales dados o valores críticos, al usar estos para representar y resolver problemas. • Los estudiantes participarán en charlas de matemáticas para debatir sus observaciones y comprensión de los conceptos de valor absoluto. EXPLORACIÓN 4: RESOLVER ECUACIONES Y DESIGUALDADES DE LA FORMA D|AX - B| + E = C Los estudiantes resolverán ecuaciones y desigualdades complejas de valor absoluto, representarán soluciones y comprenderán las condiciones para los diferentes tipos de soluciones. • Los estudiantes aislarán el término de valor absoluto en ecuaciones y desigualdades con el uso de manipulación algebraica. • Ellos reescribirán ecuaciones de valor absoluto como dos ecuaciones separadas para encontrar soluciones. • Los estudiantes determinarán la cantidad de soluciones basadas en el valor del término constante. • Ellos colaborarán en grupos para resolver problemas y debatir su razonamiento durante las charlas de matemáticas.
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ÁLGEBRA 1: ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES ECUACIONES Y DESIGUALDADES DE VALOR ABSOLUTO <<GRADE>>
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES
SISTEMAS DE ECUACIONES
CONCEPTOS CLAVE
PREGUNTAS FUNDAMENTALES
• Puedo escribir ecuaciones de valor absoluto en una variable.
• «¿En qué se parece la resolución de ecuaciones de valor absoluto a la resolución de ecuaciones?».
• Puedo resolver ecuaciones de valor absoluto en una variable.
• «¿En qué se diferencia la resolución de ecuaciones de valor absoluto de la resolución de ecuaciones?».
• Puedo usar ecuaciones de valor absoluto en una variable para resolver problemas.
• «¿Cómo se puede representar una ecuación de valor absoluto en la recta numérica?».
• Puedo determinar si una desigualdad de valor absoluto tiene múltiples soluciones, una solución o ninguna solución.
• «¿Cómo se puede usar una recta numérica para verificar si una desigualdad de valor absoluto tiene varias soluciones, una solución o ninguna solución?».
• Puedo escribir desigualdades de valor absoluto en una variable. • Puedo resolver desigualdades de valor absoluto en una variable.
• «¿Cómo se representa la media, o número central, de una situación en una ecuación de valor absoluto?».
• Puedo usar desigualdades de valor absoluto en una variable para resolver problemas. • Puedo determinar si una desigualdad de valor absoluto tiene múltiples soluciones, una solución o ninguna solución.
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ÁLGEBRA 1: ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES
INICIO: CONTENIDO DE APOYO ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
CONTENIDO DE APOYO Crear ecuaciones que describan números o relaciones. • Crear ecuaciones y desigualdades en una variable, incluidas las de valor absoluto, y usarlas para resolver problemas. Incluir ecuaciones derivadas de funciones lineales y cuadráticas y de funciones racionales y exponenciales sencillas. Resolver ecuaciones y desigualdades en una variable. • Resolver ecuaciones y desigualdades lineales en una variable, incluso ecuaciones con coeficientes representados por letras. • Resolver ecuaciones y desigualdades de una variable que involucren valor absoluto, al graficar las soluciones e interpretándolas en contexto. Este alcance se enfoca en el valor absoluto. CONOCIMIENTO PREVIO En grados anteriores, los estudiantes exploraron el concepto de valor absoluto. Aprendieron que el valor absoluto es la distancia desde cero, y usaron el valor absoluto para determinar las distancias de segmentos de recta horizontales o verticales que cruzan cuadrantes en el plano de coordenadas.
CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
• Los estudiantes a menudo malinterpretan u olvidan cambiar la dirección del símbolo de desigualdad cuando resuelven una desigualdad con un coeficiente negativo. • Los estudiantes a veces malinterpretan que, cuando la ecuación de valor absoluto es igual a 1, hay dos soluciones, y cuando es igual a 0, hay una solución. Los estudiantes a menudo determinan incorrectamente que «igual a 1» es una solución y que «igual a 0» no es ninguna solución. • Incluso con múltiples experiencias en grados anteriores, es común que los estudiantes confundan las representaciones simbólicas para frases como «3 menos que un número» y «3 es menos que un número». • Los estudiantes confunden cuándo usar desigualdades compuestas inclusivas (y) vs. exclusivas (o) al resolver desigualdades de valor absoluto. • De grados anteriores, algunos estudiantes tienen la idea errónea de que el valor absoluto hace que el número sea positivo. Es esencial asegurarse de que todos los estudiantes entiendan el valor absoluto como la distancia desde cero.
EN ESTE ALCANCE En este alcance, los estudiantes resolverán ecuaciones de una variable y desigualdades que involucran el valor absoluto. Los estudiantes graficarán las soluciones y las interpretarán en contexto. Los estudiantes evaluarán la ecuación de valor absoluto con el uso de la solución para determinar si es una solución o una solución extraña. Los estudiantes crearán y explicarán desigualdades y ecuaciones de primer grado de una sola variable que representen una situación representada por el valor absoluto. Los estudiantes deberán usar y explicar las herramientas apropiadas para representar y resolver ecuaciones y desigualdades de valor absoluto.
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TÉRMINOS CLAVE
• ecuación: enunciado matemático que muestra que dos expresiones son iguales entre sí; una oración matemática que usa números, uno o más símbolos de operación y un signo igual • valor absoluto: la distancia a la que se encuentra un número del cero en una recta numérica; también se denomina magnitud de un número; nunca es negativo • desigualdad: una oración matemática que usa símbolos como <, ≤, >, o ≥ para comparar dos cantidades; una oración matemática que compara dos expresiones desiguales con el uso de uno de los símbolos de desigualdad <, >, ≤, ≥, o ≠ • contexto: la situación en la que algo se encuentra o sucede
APLICAR LAS PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes analizan escenarios, crean rectas numéricas y ecuaciones que representan los escenarios y resuelven los problemas basándose en Las ecuaciones que crearon. Aplican sus soluciones al problema y comprueban la validez de sus soluciones. • MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes descontextualizan escenarios para representar situaciones en una recta numérica y en ecuaciones de valor absoluto y desigualdades de valor absoluto. Usan Las ecuaciones y desigualdades para encontrar los valores aceptables deseados en función del contexto. • MP.3 Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros: Los estudiantes construyen argumentos para explicar por qué la solución de una desigualdad de la forma x - 5 > c son todos números reales. Justifican su razonamiento al usar su comprensión de los valores absolutos. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes modelan situaciones del mundo real con el uso de Ecuaciones y desigualdades de valor absoluto, usan estas representaciones para encontrar la tolerancia y los valores deseados, aplican los valores a la situación y analizan la validez de la solución. • MP.5 Usar herramientas apropiadas estratégicamente: Los estudiantes usan las rectas numéricas para comprender mejor Las ecuaciones y desigualdades de valor absoluto y para representar la solución de la ecuación o desigualdad de valor absoluto. • MP.6 Prestar atención a la precisión: Los estudiantes prestan atención a la precisión mientras modelan escenarios del mundo real al usar valores absolutos y usan con precisión diferentes formas de medida en los escenarios dados. • MP.7 Buscar y hacer uso de la estructura: Los estudiantes buscan y aplican sus conocimientos sobre el valor absoluto para reconocer cuándo la solución de una desigualdad de valor absoluto son todos los números reales. Usan el significado y la estructura del valor absoluto para resolver eficazmenty desigualdades de valor absoluto. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes reconocen y aplican su comprensión de la resolución de ecuaciones de valor absoluto al resolver desigualdades de valor absoluto. Resuelven ecuaciones de valor absoluto al escribir dos ecuaciones para eliminar las barras de valor absoluto y luego aplican este método a la Resolver desigualdades de valor absoluto al escribir dos inecuaciones de valor absoluto.
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ÁLGEBRA 1: ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
RESOLVER ECUACIONES Y DESIGUALDADES DE LA FORMA |X - B| = C
REPRESENTAR Y RESOLVER CON VALOR ABSOLUTO
Los estudiantes comenzarán a representar el valor absoluto cuando el centro o punto de anclaje es cero. Esta será su base para comprender y representar el valor absoluto cuando el centro o punto de anclaje no es cero. Las ecuaciones y desigualdades de valor absoluto serán una extensión de su experiencia anterior con el valor absoluto como la distancia desde cero. Los estudiantes ampliarán su comprensión conceptual inicial para darse cuenta de que la distancia entre dos valores es el valor absoluto de su diferencia (la distancia de x a b es |x - b|. Los estudiantes aprenderán primero a relacionar la expresión algebraica, |x - b| = c, con la frase verbal, «x está a c unidades de b en cualquier dirección». A continuación, harán una representación visual en una recta numérica. Luego, los estudiantes pueden escribir la solución a partir de los valores críticos representados. Finalmente, después de desarrollar una comprensión profunda del modo visual, la descripción verbal y la representación simbólica, los estudiantes desarrollarán un algoritmo para resolver ecuaciones y desigualdades de valor absoluto simbólicamente. Del mismo modo, al trabajar con desigualdades de valor absoluto al usar el enfoque de transformación, los estudiantes conectarán la expresión algebraica, |x - b| < c, con la frase verbal, «la distancia de x a b es menor que c». Los estudiantes también serán capaces de representar e identificar cuándo hay dos, una o cero soluciones, así como cuándo las inecuaciones no tienen solución o todas las soluciones son de números reales.
Los estudiantes usarán su comprensión del valor absoluto como la distancia desde el centro para representar y resolver problemas de la vida real. Comenzarán con problemas que dan el centro y la tolerancia. Luego, podrán abordar problemas que den los puntos finales o valores críticos. Al abordar problemas que dan los valores críticos, los estudiantes encontrarán el centro o promedio de los valores críticos, y luego usarán el centro y un valor crítico para determinar la tolerancia o distancia desde el centro.
Ejemplo: Describir la situación representada y escribir una ecuación de valor absoluto para representar la situación.
x está a 8 unidades de 15 en cualquier dirección, |x - 15|= 8. Los estudiantes que intercambiaron incorrectamente el 8 y el 15 en la descripción verbal o en la ecuación no comprenden que 15 es el número central o punto de anclaje. Ejemplo: Dibuja un modelo para representar este valor absoluto. Resuelve la desigualdad algebraicamente y grafica el conjunto solución. |x + 3| ≥ 5 |x + 3| ≥ 5 x + 3 ≥ 5 o x + 3 ≤ -5 x≥2 x ≤ -8
Ejemplo: Un maquinista debe producir un rodamiento que esté dentro de 0.01 pulgadas del diámetro correcto de 5.0 pulgadas. Con el uso de x como el diámetro del rodamiento, escriba este enunciado con el uso de notación de valor absoluto. La respuesta correcta es |x - 5| ≤ 0.01. Los estudiantes que respondan con |x - 0.01| ≤ 5 pueden malinterpretar el valor absoluto y representar el centro/ la media como 0.01. Los estudiantes que responden con |x - 0.01| ≥ 5 no representan el rango de números entre. Usaron una desigualdad que representa los números en cada extremo. Ejemplo: En la prueba de matemáticas más reciente, los estudiantes obtuvieron puntajes entre 65 y 97. Escribe un enunciado con el uso de la notación de valor absoluto para mostrar las puntuaciones mínima y máxima. La respuesta correcta es |x - 81| = 16. Los estudiantes que responden con |x - 97| = 65 o |x - 65| = 97 no hallaron la media y la tolerancia de la situación dada. Los estudiantes que responden con |x - 16| = 81 pueden malinterpretar el valor absoluto y representar el centro/ promedio como 16.
RESOLVER ECUACIONES Y DESIGUALDADES DE LA FORMA |AX - B| = C Al abordar problemas en los que a no es 1, los estudiantes pueden pensar en esto como la sustitución de una única variable con el coeficiente 1 por algo complejo. Dado que la solución representa Ax y no x, se recupera el coeficiente original. El último paso es dividir cada solución por el coeficiente A. Finalmente, después de desarrollar una comprensión profunda del modo visual, la descripción verbal y la representación simbólica, los estudiantes desarrollarán un algoritmo para resolver ecuaciones y desigualdades de valor absoluto simbólicamente. Los estudiantes también serán capaces de representar e identificar cuando hay dos, una o cero soluciones, así como cuando las desigualdades no tienen solución o todas las soluciones son números reales.
Ejemplo: «¿Para qué valor de c tendría esta ecuación una solución?». |0.7x + 2.35| = c a. -1 b. 0 c. 1 d. Ninguna de las anteriores. Todas Las ecuaciones de valor absoluto tienen 2 soluciones. ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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ÁLGEBRA 1: ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES
INICIO: CONTENIDO DE APOYO La opción correcta es B. Los estudiantes que seleccionaron A pueden haber determinado incorrectamente que un número negativo tiene 1 solución. Los estudiantes que seleccionaron C pueden haber determinado incorrectamente que un valor absoluto igual a uno tiene 1 solución. Los estudiantes que seleccionaron D muestran un malentendido general sobre la resolución de ecuaciones de valor absoluto. Ejemplo: «¿Cuál de las siguientes opciones representa con exactitud la solución |2x + 5| ≤ 7?». a. x ≤ -6 y x ≤ 1 b. x ≥ -6 o x ≤ 1 c.
d.
La opción correcta es C. Los estudiantes que seleccionaron A no cambiaron la dirección de la desigualdad al resolver. Los estudiantes que seleccionaron B resolvieron la inecuación correctamente pero usaron la inecuación compuesta incorrecta. Los estudiantes que seleccionaron D resolvieron la desigualdad correctamente pero graficaron la desigualdad compuesta incorrecta.
RESOLVER ECUACIONES Y DESIGUALDADES DE LA FORMA D |AX - B| + E = C Abordar ecuaciones complejas de valor absoluto será en gran medida un ejercicio de resolución con el uso de un enfoque algebraico. Los estudiantes comenzarán a aislar el valor absoluto y usar el algoritmo desarrollado previamente para resolver ecuaciones y desigualdades de valor absoluto. Los estudiantes también serán capaces de representar e identificar cuando hay dos, una o cero soluciones, así como cuando las desigualdades no tienen solución o todas las soluciones de números reales.
Ejemplo: «¿Cuál de los siguientes está incluido en el conjunto solución de la desigualdad 30 < 2 |3x + 4| - 8?». a. -7 b. 0 c. 5 d. 7 La opción correcta es D. El conjunto solución son todos los números mayores que 5 o menores que -7.66... D es la única solución que se ajusta a ese criterio. 30 < 2 |3x + 4| - 8 38 < 2 |3x + 4| 19 < |3x + 4| 19 < 3x + 4 o -19 > 3x + 4 15 < 3x -23 > 3x 5 < x -7.666... > x Los estudiantes que han elegido A pueden haber olvidado cambiar el sentido de la desigualdad al dividir o multiplicar por un negativo. También pueden haber confundido -7 con menos de -7.67. Los estudiantes suelen cometer errores mentales al ordenar números negativos cuando no los grafican en una recta numérica. Los estudiantes que seleccionaron B pueden haber olvidado cambiar la dirección de la desigualdad al dividir o multiplicar por un negativo. Los estudiantes que seleccionaron C incluyeron el número 5 por error. Se trata de una desigualdad excluyente. Ejemplo: Determinar la cantidad de soluciones de la ecuación 3 + 5 |0.7x + 2.35| = 8. a. Sin soluciones reales b. 1 solución c. 2 soluciones d. Infinitas soluciones La opción correcta es C. Los estudiantes que seleccionaron A pueden haber combinado incorrectamente 3 y 5, y luego restado 8 en cada lado para resultar en valor absoluto igual a 0. Pueden haber determinado incorrectamente que esto significa que había 0 soluciones. Los estudiantes que seleccionaron B pueden haber combinado incorrectamente 3 y 5, y luego restado 8 en cada lado para obtener un valor absoluto igual a 0. Pueden haber interpretado correctamente que esto significa que había 1 solución, o pueden haber restado correctamente 3 y dividido por 5 para obtener un valor absoluto igual a 1. Entonces, pueden haber determinado incorrectamente que esto significa que había 0 soluciones. Entonces, pueden haber determinado incorrectamente que esto significa que había 1 solución. Los estudiantes que seleccionaron D probablemente adivinaron porque Las ecuaciones de valor absoluto no tienen infinitas soluciones.
AVANCES Usar este enfoque transformacional prefigura las traslaciones con el uso de cambios de parámetros más adelante en álgebra 1. En álgebra 2, l continuarán el desarrollo de su comprensión de la resolución de ecuaciones, incluso combinaciones de funciones lineales, polinómicas, racionales, radicales, de valor absoluto y exponenciales. La sustitución de una variable única por algo complejo es una estrategia que se usará más adelante en trigonometría y cálculo.
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ÁLGEBRA 1: ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
ANÁLISIS PROFUNDO DE LOS ESTÁNDARES
CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES Crear ecuaciones que describan números o relaciones. • Crear ecuaciones y desigualdades en una variable, incluso aquellas con valor absoluto, y usarlas para resolver problemas. Incluir ecuaciones que surjan de funciones lineales y cuadráticas, y de funciones racionales y exponenciales sencillas. • Representar restricciones mediante ecuaciones o inecuaciones, y mediante sistemas de ecuaciones y/o inecuaciones, e interpretar las soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelización. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de coste en combinaciones de diferentes alimentos.
Resolver ecuaciones y desigualdades en una variable. • Resolver ecuaciones y desigualdades lineales en una variable, incluso ecuaciones con coeficientes representados por letras. • Resolver ecuaciones y desigualdades de una variable en las que intervenga el valor absoluto, al graficar las soluciones e interpretándolas en contexto. Nota: Este alcance se centra en el valor absoluto.
DESGLOSAR EL ESTÁNDAR VERBOS: ¿QUÉ DEBEN HACER LOS ESTUDIANTES?
• crear: hacer algo de la nada • describir: escribir o contar los detalles de • usar: aplicar una estrategia • representar: mostrar cómo se relacionan los términos; representar otra cosa • interpretar: para explicar el significado de • resolver: para encontrar un valor que responda a una pregunta y/o haga cierta una ecuación • graficar: para trazar un conjunto de puntos en un plano de coordenadas • interpretar: para explicar el significado de SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBEN CONOCER LOS ESTUDIANTES?
• ecuación: enunciado matemático que muestra que dos expresiones son iguales entre sí • valor absoluto: distancia a la que se encuentra un número del cero en una recta numérica; también se denomina magnitud de un número; nunca es negativo • desigualdad: enunciado matemático que usa símbolos como <, ≤, > o ≥ para comparar dos cantidades
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• variable: una letra o símbolo que toma el lugar de un número que puede cambiar; una letra que puede representar un número desconocido o un conjunto de números • función lineal: una relación que cuando se representa gráficamente es una línea recta • restricción: una condición que la solución debe satisfacer • sistema de ecuaciones: dos o más ecuaciones con dos o más variables • solución: cualquier número que hace que una ecuación sea verdadera • coeficiente: el número colocado directamente antes de una variable que te dice que multipliques ese número por la variable • solución: cualquier número que hace que una ecuación sea verdadera • contexto: la situación en la que algo se encuentra o sucede
IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA
• En grados anteriores, los estudiantes exploraron el concepto de valor absoluto. También aprendieron que el valor absoluto es la distancia de cero. Sin embargo, algunos estudiantes tienen la idea errónea de que el valor absoluto hace que el número sea positivo. Esta idea errónea no les servirá cuando exploren el valor absoluto en álgebra. Es esencial asegurarse de que todos los estudiantes entiendan el valor absoluto como la distancia desde cero. • En este grado, deben ser capaces de crear y explicar inecuaciones y ecuaciones de primer grado, de una sola variable, que representen una situación representada por el valor absoluto. Los estudiantes deben usar y explicar las herramientas apropiadas para representar y resolver ecuaciones y desigualdades de valor absoluto. • Los estudiantes deben resolver ecuaciones y desigualdades de una sola variable que involucren valor absoluto. Representar gráficamente las soluciones e interpretarlas en su contexto. Deben evaluar la ecuación de valor absoluto con el uso de la solución para determinar si es una solución o una solución extraña. • Considere el siguiente problema: |3x - 2| = 5. Típicamente, a los estudiantes se les enseña a convertir esto en dos ecuaciones, 3x - 2 = 5 y 3x - 2 = -5, y resolver cada una para x. Hay alguna justificación matemáticamente válida para este enfoque. «¿Qué significa estar a 3x - 2 unidades de cero?». Conceptualmente, este método no tiene sentido más allá del simple caso de |x| = c, donde c es cualquier número real positivo. Se sugiere seguir el enfoque conceptual para resolver el valor absoluto y no confiar únicamente en el método algorítmico mencionado anteriormente.
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ALINEACIÓN VERTICAL GRADO
ESTÁNDAR Entender que los números positivos y negativos se usan juntos para describir cantidades que tienen direcciones o valores opuestos (por ejemplo, temperatura por encima / por debajo de cero, elevación por encima / por debajo del nivel del mar, créditos/débitos, carga eléctrica positiva/negativa); usar números positivos y negativos para representar cantidades en contextos del mundo real, al explicar el significado de 0 en cada situación.
Entender un número racional como un punto en la recta numérica. Ampliar los diagramas de la recta numérica y los ejes de coordenadas conocidos de grados anteriores para representar puntos en la recta y en el plano con coordenadas numéricas negativas.
6
a.
Reconocer los signos opuestos de los números como indicadores de ubicaciones en lados opuestos del 0 en la recta numérica; reconocer que el opuesto del opuesto de un número es el número mismo, p. ej, -(-3) = 3, y que 0 es su propio opuesto.
b.
Comprender los signos de números en pares ordenados como indicadores de ubicaciones en cuadrantes del plano de coordenadas; reconocer que cuando dos pares ordenados difieren sólo por los signos, las ubicaciones de los puntos están relacionadas por reflexiones a través de uno o ambos ejes.
c.
Encontrar y posicionar números enteros y otros números racionales en un diagrama de recta numérica horizontal o vertical; encontrar y posicionar pares de números enteros y otros números racionales en un plano de coordenadas.
Entender el ordenamiento y valor absoluto de números racionales. a.
Interpretar declaraciones de desigualdad como declaraciones acerca de la posición relativa de dos números en un diagrama de recta numérica.
b.
Escribir, interpretar y explicar enunciados de orden para números racionales en contextos del mundo real.
c.
Entender el valor absoluto de un número racional como su distancia de 0 en la recta numérica; interpretar el valor absoluto como magnitud para una cantidad positiva o negativa en una situación del mundo real.
d.
Distinguir las comparaciones del valor absoluto de las afirmaciones sobre el orden.
Usar variables para representar números y escribir expresiones al resolver un problema matemático o de la vida real; comprender que una variable puede representar un número desconocido o, según el propósito, cualquier número de un conjunto específico. Resolver problemas matemáticos y del mundo real al escribir y resolver ecuaciones de la forma x + p = q y px = q para casos en los que p, q, y x sean todos números racionales no negativos.
Escribir una desigualdad de la forma x > c o x < c para representar una restricción o condición en un problema matemático o del mundo real. Reconocer que las desigualdades de la forma x > c o x < c tienen infinitas soluciones; representar las soluciones de dichas desigualdades en diagramas de líneas numéricas.
Aplicar y ampliar conocimiento previo de suma y resta para sumar y restar números racionales; representar sumas y restas en un diagrama de recta numérica horizontal o vertical. a.
Describir situaciones en las que cantidades opuestas se combinan para formar 0.
b.
Entender p + q como el número situado a una distancia |q| de p, en sentido positivo o negativo depende de si q es positivo o negativo. Demostrar que un número y su opuesto tienen suma 0 (son inversos aditivos). Interpretar sumas de números racionales dal escribir contextos del mundo real.
c.
Entender la resta de números racionales como la suma del inverso aditivo, p - q = p+(-q). Demostrar que la distancia entre dos números racionales en la recta numérica es el valor absoluto de su diferencia, y aplicar este principio en contextos del mundo real.
d.
Aplicar propiedades de las operaciones como estrategias para sumar y restar números racionales.
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GRADO
ESTÁNDAR Usar variables para representar cantidades en un problema matemático o de la vida real, y construir ecuaciones y desigualdades sencillas para resolver problemas al razonar sobre las cantidades. a.
Resolver problemas de palabras que conduzcan a ecuaciones de la forma px + q = r y p(x + q) = r, donde p, q, y r son números racionales específicos. Resolver ecuaciones de estas formas con fluidez. Comparar una solución algebraica con una solución aritmética, al identificar la secuencia de las operaciones usadas en cada planteamiento.
Resolver problemas de palabras que conduzcan a desigualdades de la forma px + q > r o px + q < r, donde p, q, y r son números racionales específicos. Graficar el conjunto solución de la desigualdad e interpretarlo en el contexto del problema.
7
Aplicar y extender los conocimientos previos de multiplicación y división y de fracciones para multiplicar y dividir números racionales. a.
Entender que la multiplicación se extiende de fracciones a números racionales al requerir que las operaciones satisfagan las propiedades de las operaciones, particularmente la propiedad distributiva, al llevar a productos como (-1)(-1) = 1 y las reglas para multiplicar números con signo. Interpretar productos de números racionales al escribir contextos del mundo real.
b.
Comprender que los números enteros pueden dividirse, siempre que el divisor no sea cero, y que todo cociente de números enteros (con divisor distinto de cero) es un número racional. Si p y q son enteros, entonces –p*q = (–p)q = p(–q). Interpreta cocientes de números racionales describiendo contextos del mundo real.
c.
Aplicar propiedades de las operaciones como estrategias para multiplicar y dividir números racionales.
d.
Convertir un número racional a decimal con el uso de la división larga; saber que la forma decimal de un número racional termina en 0 o eventualmente se repite.
Resolver problemas matemáticos y del mundo real que involucren las cuatro operaciones con números racionales. Crear ecuaciones y desigualdades en una variable, incluso aquellas con valor absoluto, y usarlas para resolver problemas. Incluir ecuaciones que surjan de funciones lineales y cuadráticas, y funciones racionales y exponenciales simples. Representar restricciones mediante ecuaciones o inecuaciones, y mediante sistemas de ecuaciones y/o inecuaciones, e interpretar soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelización. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de costo en combinaciones de diferentes alimentos. Álgebra Resolver ecuaciones y desigualdades lineales en una variable, incluso ecuaciones con coeficientes representados por letras.
Resolver ecuaciones y desigualdades de una variable que involucren valor absoluto, al graficar las soluciones e interpretándolas en contexto.
Crear ecuaciones que describan números o relaciones
Álgebra
a.
Crear ecuaciones y desigualdades en una variable y usarlas para resolver problemas.
b.
Crear ecuaciones en dos o más variables para representar relaciones entre cantidades
c.
Representar restricciones mediante ecuaciones o inecuaciones, y mediante sistemas de ecuaciones y/o inecuaciones, e interpretar las soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelización.
Explicar por qué las coordenadas x de los puntos donde se cruzan las gráficas de Las ecuaciones y = f(x) y y = g(x) son las soluciones de la ecuación f(x) = g(x); encontrar las soluciones de forma aproximada, por ejemplo con el uso de tecnología para graficar las funciones, hacer tablas de valores o encontrar aproximaciones sucesivas. Incluya casos en los que f(x) y/o g(x) sean funciones lineales, polinómicas, racionales, de valor absoluto, exponenciales y logarítmicas. Grafique la raíz cuadrada, la raíz cúbica y las funciones definidas a trozos, incluidas las funciones escalonadas y las funciones de valor absoluto.
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INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA MONITOREAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA La guía de instrucción andamiada se proporciona para que los maestros puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones del alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que ayuda a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de la evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos según los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere que todos los estudiantes experimenten con los elementos: «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades», ya que cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar. 0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
80 % - 100 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyoss
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil pueden trabajar en contenido de Nivel de grado con apoyoss de instrucción.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» individual para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 2. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante de acuerdo con sus datos de evaluación. 3. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la sección «Scaffolded Instruction Guide» en el menú desplegable «Home» del alcance. 4. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
8 - Resolver ecuaciones lineales Constructor de fluidez • ¡Corrige el error! Práctica interactiva • Misión del droide
0 % - 25 %
Repaso y práctica de habilidades
Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (pregunta 3) • Repaso (sección representar y solucionar valor absoluto dado el centro y la distancia o dados los extremos)
25 % - 50 %
Alg. I - Ecuaciones y desigualdades de valor absoluto
(Nivel de grado con apoyos)
Prueba de habilidades
(Refuerzo del grado anterior)
Representar restricciones mediante ecuaciones o desigualdades, y mediante sistemas de ecuaciones y/o desigualdades, e interpretar soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelización. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de costo en combinaciones de diferentes alimentos.
Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Constructor de fluidez • ¡A pescar!
(Nivel de grado)
Alg. I - Ecuaciones y desigualdades de valor absoluto
Constructor de fluidez • ¡Corrige el error! 8 - Resolución de pares de ecuaciones lineales Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Correspondencia de coordenadas Alg. I - Ecuaciones y desigualdades de valor absoluto Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (pregunta 3) • Repaso (sección representar y solucionar valor absoluto dado el centro y la distancia o dados los extremos)
Tablero de opciones
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(Ampliación del nivel de grado)
Alg. I - Ecuaciones y desigualdades de valor absoluto
Alg. I - Ecuaciones y desigualdades de valor absoluto Vocabulario ilustrado Vocabulario Interactivo Constructor de fluidez • ¡A pescar! Ciencia de datos
80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
Repaso y práctica de habilidades
• Revisión general (preguntas 1, 4 y 5)
Ciencia de datos
80 % - 100 %
8 - Resolver ecuaciones lineales
• Revisión general (preguntas 4 y 5)
50 % - 80 %
0 % - 25 % 25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyoss) (Nivel de grado)
50 % - 80 %
(Refuerzo del grado anterior)
Crear ecuaciones y desigualdades en una variable, incluidas las de valor absoluto, y usarlas para resolver problemas. Incluir ecuaciones que surjan de funciones lineales y cuadráticas, y funciones racionales y exponenciales simples.
Alg. I - Ecuaciones y desigualdades de valor absoluto Tablero de opciones
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INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Resolver ecuaciones y desigualdades lineales en una variable, incluso ecuaciones con coeficientes representados por letras.
0 % - 25 %
(Refuerzo del grado anterior)
Resolver ecuaciones y desigualdades de una variable que involucren valor absoluto, al graficar las soluciones e interpretándolas en contexto. 8 - Resolver ecuaciones lineales Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • ¡Corrige el error! Práctica interactiva • Misión del droide
(Nivel de grado con apoyoss)
25 % - 50 %
Prueba de habilidades
Alg. I - Ecuaciones y desigualdades de valor absoluto Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (preguntas 1, 2, 4, & 5) • Repaso (resolver ecuaciones y desigualdades de valor absoluto de la forma |x - b| = c, resolver ecuaciones y desigualdades de valor absoluto de la forma |ax - b| = c y resolver ecuaciones y desigualdades de valor absoluto de la forma d|ax - b| + e = c) • Revisión general (preguntas 2, 3, 4, 6, 7, 8 y 9)
(Nivel de grado)
50 % - 80 %
Alg. I - Ecuaciones y desigualdades de valor absoluto Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva Constructor de fluidez • ¡A pescar!
(Ampliación del nivel de grado)
80 % - 100 %
Ciencia de datos
Alg. I - Ecuaciones y desigualdades de valor absoluto ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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ATRAER: ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS Absolute Value Equations and Inequalities
EVALUAR PREVIAMENTE EL CONOCIMIENTO DEL ESTUDIANTE
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: DE ACUERDO O EN DESACUERDO
Agree or Disagree Decide whether you agree or disagree with each student in the following scenarios, and circle the corresponding word. Justify your answer. 1.
Shalyn said that
would be equal to Agree
ESTÁNDAR PREVIO
.
Entender la resta de números racionales como la suma del inverso aditivo, p - q = p + (-q). Demostrar que la distancia entre dos números racionales en la recta numérica es el valor absoluto de su diferencia, y aplicar este principio en contextos del mundo real.
Disagree
Reasoning:
2.
Kiy decided that was impossible to simplify because absolute values cannot be negative. Agree
DESCRIPCIÓN
Disagree
Los estudiantes leerán diferentes respuestas de estudiantes a una pregunta planteada basada en el estándar previo, decidirán si están de acuerdo o en desacuerdo con el estudiante y explicarán su razonamiento.
Reasoning:
3.
Agustin announced that Agree
would be equal to
.
MATERIALES
Disagree
IMPRESO
Reasoning:
• 1 documento «De acuerdo o en desacuerdo» (por estudiante) 1
DE ACUERDO O EN DESACUERDO
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de «De acuerdo o en desacuerdo» para cada estudiante.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Indique a los estudiantes que completen «De acuerdo o en desacuerdo» de forma independiente. 2. Una vez que los estudiantes hayan completado la actividad por su cuenta, pídales que se pongan de pie. 3. Pida a todos los estudiantes que caminen por el salón con las manos en alto en posición de «chocar los cinco». 4. Cuando usted lo indique, los estudiantes se detendrán y chocarán los cinco con la persona que tengan más cerca. Ésta será su pareja. 5. Conceda a los estudiantes un par de minutos para que planteen juntos sus respuestas y justificaciones. 6. A continuación, puede continuar tantas veces como quiera con diferentes parejas. 7. Plantee las respuestas en clase. Permita que los estudiantes expliquen su razonamiento para cada problema. a.
De acuerdo con Shalyn
b.
En desacuerdo con Kiy
c.
De acuerdo con Agustín
8. Si los estudiantes tienen dificultades para completar esta tarea, pase al «Constructor de bases fundamentales» con el fin de llenar este vacío en el conocimiento previo antes de pasar a otras partes del alcance.
IDENTIFICAR CONCEPTOS ERRÓNEOS
• Puede ayudar a los estudiantes pensar en las barras de valor absoluto como si tuvieran propiedades similares a los paréntesis. • Enfatice que el valor absoluto es la distancia de un número con respecto a cero, en lugar de basarse en el término «positivo».
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ÁLGEBRA 1: ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES
ATRAER: CAPTAR INTERÉS Absolute Value Equations and Inequalities
LECCIÓN MOTIVADORA
CAPTAR INTERÉS DESCRIPCIÓN Los estudiantes relacionarán ecuaciones y desigualdades de valor absoluto con una situación del mundo real.
A manufacturing company sends boxes of apples to grocery stores around the country. Each box is designed to contain 140 apples with a tolerance of 5%. Write an inequality to express how many apples could be in each box.
MATERIALES IMPRESO • 1 ecuaciones y desigualdades de valor absoluto (por clase) REUSABLE • 1 video de fenómenos (por clase)
ECUACIONES Y DESIGUALDADES DE VALOR ABSOLUTO
PREPARACIÓN
• Planifique la proyección del video. • Prepárese para proyectar ecuaciones y desigualdades de valor absoluto para que lo vea toda la clase. • Prepárese para presentar el escenario y anímelos a pensar en cómo resolverlo. Prepárese para pasar a las actividades de «Exploración», al regresar a la actividad «Captar interés» con los conocimientos recién adquiridos después de que se hayan completado las exploraciones.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA 1. Presente esta actividad hacia el comienzo del alcance. La clase retomará la actividad y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades «Explorar» correspondientes. 2. Explique la situación mientras muestra el video detrás de usted. Una empresa manufacturera envía cajas de manzanas a tiendas de comestibles de todo el país. Cada caja está diseñada para contener 140 manzanas con una tolerancia del 5 %. 3. Formule a los estudiantes las siguientes preguntas: «¿Qué observas? ¿Qué se preguntan? ¿Dónde puedes ver matemáticas en esta situación?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Me pregunto cuántas manzanas pasan por la fábrica cada día. Observo que la máquina clasificadora y su estructura tienen muchas partes. Me pregunto cómo se mueven y clasifican las manzanas. Me pregunto si podríamos calcular cuánto tiempo se tardaría en empaquetar una determinada cantidad de manzanas. Me pregunto cuántas manzanas cabrían en cada caja por encima de la cantidad de 140. 4. Proyecte «Ecuaciones y desigualdades de valor absoluto». 5. Explique que la empresa quiere una única desigualdad que demuestre la cantidad de manzanas posibles en cada caja. Plantee las siguientes preguntas: a.
DOK-1 «¿Podría la cantidad de manzanas en una caja dada ser menor que 140? ¿Más de 140?». Permita que los estudiantes compartan sus ideas. Las respuestas de los estudiantes variarán. Mientras el valor no sea más de un 5 % superior a 140 o un 5 % inferior a 140, el valor sería aceptado. Los clientes no querrían recibir menos de 140, y la empresa no querría regalar más de 140.
b.
DOK-2 «¿Por qué el valor absoluto podría ser una herramienta útil en este escenario?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. Las respuestas de los estudiantes variarán. Dado que la cantidad de manzanas podría ser mayor o menor que 140, el valor absoluto mostraría la distancia en cualquier dirección.
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6. Comunique a los estudiantes que la siguiente pregunta guía se usará a lo largo de todo el tema: «¿Cómo representamos escenarios con un máximo y un mínimo establecidos?». 7. Complete las actividades de «Exploración». PARTE II: DESPUÉS DE EXPLORAR 1. Vuelva a mostrar el video de fenómenos y replantee el problema. 2. Consulte «Ecuaciones y desigualdades de valor absoluto» y plantee las siguientes preguntas: a.
DOK-2 «¿Qué palabras del escenario te llevan a crear una desigualdad de valor absoluto?». La situación implica una tolerancia, lo que significa que hay un valor central así como una cantidad máxima y mínima aceptable de manzanas en cada caja.
b.
DOK-2 «¿Qué estrategias usarías para crear esta desigualdad?». Pondría el valor central de 140 dentro de la expresión del valor absoluto y calcularía lo que es el 5 % de 140.
c.
DOK-2 «¿Cuál es la desigualdad que modela este escenario?». |x - 140| ≤ 7 porque 7 es el 5 % de 140. Esta desigualdad tiene solución cuando x está entre 133 y 147.
d.
DOK-1 «¿Tiene sentido tu respuesta a la pregunta?». Estos valores tienen sentido para posibles cantidades de manzanas porque el número puede no ser exacto, pero está dentro de un rango en el que la tienda de comestibles no se sentiría decepcionada y la empresa no perdería demasiados beneficios.
e.
DOK-1 «¿Sientes que tienes una sólida comprensión de la creación y resolución de ecuaciones y desigualdades de valor absoluto?». Las respuestas variarán en función del éxito de los estudiantes durante la actividad y de su nivel de confianza.
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ÁLGEBRA 1: ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 1: RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE LA FORMA |X - B| = C DESCRIPCIÓN Los estudiantes conectarán la expresión algebraica |x - b| = c a la frase verbal "x es c unidades de b en cualquier dirección," harán una representación visual en una recta numérica, y escribirán la solución a partir de los valores críticos trazados. Los estudiantes también desarrollarán un algoritmo para resolver ecuaciones de valor absoluto simbólicamente.
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes darán sentido a las cantidades y sus relaciones. Los estudiantes serán capaces de descontextualizar (representar una situación simbólicamente y manipular los símbolos) y contextualizar (hacer significados de los símbolos en un problema) relaciones cuantitativas. Los estudiantes comprenderán los significados de las cantidades y serán flexibles en el uso de las operaciones y sus propiedades. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes aplicarán las matemáticas que conocen para resolver problemas de la vida cotidiana. Los estudiantes representarán las matemáticas para describir una situación con una ecuación, interpretarán los resultados de una situación matemática y reflexionarán sobre si los resultados tienen sentido, posiblemente al mejorar o al revisar el modelo.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 tapete de trabajo para la recta numérica (por grupo) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes) REUSABLE
• 1 marcador de borrado en seco (por grupo) • 1 protector de hojas (por grupo)
PREPARACIÓN
• Divida la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima un «Boleto de salida» para cada pareja. Recórtelos a media página para que cada estudiante tenga uno. • Imprima un «Tapete de trabajo de recta numérica» para cada grupo en cartulina para que sea más duradera. Colóquela dentro de un protector de hojas para crear una superficie que se pueda borrar.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «La empresa de transportes Envíos para ti garantiza una entrega rápida y a domicilio de todos sus paquetes. La empresa está en problemas porque un repartidor se ha confundido y ha entregado toda una ruta de paquetes en las direcciones equivocadas dela calle Mirto. Como todas las direcciones cambian por unidades de 1, Envíos para ti pensó que esto tendría fácil solución. Envíos para ti pidió a todos los que recibieron el paquete equivocado que pusieran una nota adhesiva en la parte delantera de la caja para indicar la dirección entregada y dónde vive el destinatario correcto. En lugar de indicar la nueva dirección, los clientes escribieron la distancia a la que vive el destinatario. Por favor, ¡ayude a Envíos para ti a averiguar dónde debe ir cada paquete!». 2. Distribuya un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Distribuya el «Tapete de trabajo de la recta numérica» y un marcador de borrado en seco a cada grupo. 4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para crear una representación visual del problema dado al usar la recta numérica del tapete de trabajo. A partir de la representación visual, identificarán las soluciones. Luego desarrollarán una ecuación de valor absoluto para describir el problema. Anotarán su trabajo en el «Diario del estudiante». 5. Evite dar a los estudiantes una regla como «Resuelve dos ecuaciones en las que una sea igual a un positivo y otra a un negativo». Si un estudiante menciona la regla de un positivo y un negativo como estrategia, invítelo a explicar por qué funciona. Si usan una regla sin entender por qué funciona, pueden acabar aplicándola o recordándola mal. Queremos que los estudiantes comprendan que el valor absoluto es la distancia a cero. Del mismo modo, en ecuaciones básicas de valor absoluto de la forma |x - b| = c, queremos que los estudiantes entiendan que esto representa x es c unidades desde b en cualquier dirección. Si los estudiantes usan la memorización de una regla sin razonar, es muy probable que olviden un procedimiento memorizado para un caso especial.
• Reúne un marcador de borrado en seco para cada grupo.
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ÁLGEBRA 1: ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 6. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guías para evaluar la comprensión: a. DOK-2 En la recta numérica que se muestra en el tapete de trabajo, «¿qué punto marcas primero?». Marco la dirección donde se entregó. b. DOK-2 «¿Cómo encuentras las posibles direcciones del destinatario correcto?». Cuento la cantidad de casas de distancia en ambas direcciones y marco esos dos puntos. c. DOK-2 «¿Cómo puedes mostrar el aumento en 4 unidades y la disminución en 4 unidades en la recta numérica?». Puedes mostrar que aumentaste en 4 unidades al mostrar que te moviste 4 unidades a la derecha; de manera similar, puedes mostrar que disminuiste en 4 unidades al mostrar que te moviste 4 unidades a la izquierda. d. DOK-2 Si x al estar a 4 unidades de 0 se escribe como |x - 0| = 4, «¿cómo escribes x al estar a 4 unidades de 12?». |x - 12| = 4 e. DOK-2 «¿Cómo puedes comprobar tus soluciones?». Puedo sustituir estos valores de x de nuevo en la ecuación del valor absoluto y verificar que la ecuación es verdadera. 7. Conceda a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte I y responder a las preguntas que siguen. 8. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje hasta el momento. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Cómo se escribe la distancia entre x y el número central, b?». En este contexto, b es la dirección donde se entregó el paquete por error. La distancia se escribe como valor absoluto, |x - b|. • DOK-2 El centro, b, se llama a veces punto de anclaje. «¿Por qué crees que se llama punto de anclaje?». Creo que se llama punto de anclaje porque es el primer número que trazamos en la recta numérica y el resto se basa en ese número. • DOK-2 Si sabes que la distancia es igual a c, «¿cuál es la ecuación de valor absoluto que describe la situación?». |x - b| = c • DOK-2 Cuando determinas el valor de x, «¿cuál es tu proceso?». Encuentro las posibles direcciones correctas de dónde debería haber sido entregado el paquete al mostrar la dirección de entrega como número central, y las posibles direcciones son c unidades en cualquier dirección.
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• DOK-3 Al volver a la idea de que |x| es la distancia entre x y 0, de modo que 0 es el punto de referencia o centro, para |x - b|, el número central o punto de referencia está ahora desplazado «¿hacia qué lugar?». El nuevo punto de referencia es b, o lo que llamamos el punto ancla. • DOK-2 Para encontrar ambas soluciones a x b=c algebraicamente, debemos considerar c unidades en cada dirección. «¿Qué dos ecuaciones podrían usarse para determinar las soluciones algebraicamente? ¿En qué se parecen y en qué se diferencian? ¿Qué representan las diferencias?». Necesito resolver Las ecuaciones x - b = -c o x - b = c. Ambas ecuaciones tienen la misma expresión a la izquierda. Una ecuación tiene c, y la otra tiene -c; esto muestra c unidades en cualquier dirección. Las dos ecuaciones representan el valor absoluto en la ecuación original. PARTE II
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Después de la confusión en la entrega de paquetes a casas en la calle Mirto, Envíos para ti necesita asegurarse de hacer un trabajo mucho mejor en las entregas a sus clientes comerciales. Golosinas Heladas espera un gran envío, y es fundamental que Envíos para ti mantenga temperaturas de almacenamiento adecuadas en sus camiones refrigerados para que los productos no se estropeen en tránsito. También necesitan asignar la furgoneta adecuada para manejar el tamaño del envío. Por favor, ayude a Envíos para ti a planificar en consecuencia». 2. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para resolver problemas que se describen con palabras, se muestran como un gráfico en una recta numérica o se presentan como una ecuación de valor absoluto. Cada problema se presentará de una de las tres maneras, y los estudiantes completarán las otras dos representaciones además de encontrar las soluciones. Los estudiantes registrarán su trabajo en sus diarios del estudiante». 3. Evite dar a los estudiantes una regla del tipo: «Resuelve dos ecuaciones en las que una sea igual a un positivo y otra a un negativo». Si un estudiante menciona la regla de un positivo y un negativo como estrategia, invítelo a explicar por qué funciona. Si usan una regla sin entender por qué funciona, pueden acabar aplicándola o recordándola mal. Queremos que los estudiantes comprendan que el valor absoluto es la distancia a cero. Del mismo modo, en ecuaciones básicas de valor absoluto de la forma |x - b| = c, queremos que los estudiantes entiendan que esto representa x es c unidades desde b en cualquier dirección. Si los estudiantes usan la memorización de una regla sin razonar, es muy probable que olviden un procedimiento memorizado para un caso especial.
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ÁLGEBRA 1: ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
Absolute Value Equations and Inequalities Explore 1
Part II
Delivery Dilemma
Using word descriptions, number lines, and absolute value equations, solve the following problems in order to help Ship2U keep Frosty Treats as a satisfied customer.
Part I
1.
Read the notes on the parcels, and use the work mat to figure out possible addresses where the correct recipients live. Then, write an absolute value equation that describes each scenario. 1.
Absolute Value Equations and Inequalities Explore 1
Complete the statement below. 4 units from 12 x is __ __ in either direction.
2.
Delivered to 12 Myrtle Lane Recipient x lives 4 houses away.
x = 16 Myrtle Lane Write an equation that describes the scenario. |x – 12| = 4
4.
Complete the statement below. 3 units from __ 8 in either direction. x is __
5.
Write the possible addresses for the recipient. x = 5 Myrtle Lane x = 11 Myrtle Lane Write an equation that describes the scenario. |x – 8| = 3
b.
Write an absolute value equation that represents the situation. |x – 50| = 5
c.
What are the possible shipment sizes that Ship2U must transport? Maximum number of boxes: 55
Delivered to 8 Myrtle Lane Recipient x lives 3 houses away.
Ice cream needs to be in a freezer with an ideal temperature as indicated on the thermometer.
a.
Complete the statement below. 3 The temperature must not be more than __°C away from –27 ___°C.
b.
Write an absolute value equation that describes the requirement. |x + 27| = 3
c.
What are the maximum and minimum temperatures for transport? Minimum temperature: x = −30°C Maximum temperature: x = −24°C
1
3
Absolute Value Equations and Inequalities Explore 1
Absolute Value Equations and Inequalities Explore 1
3. 7.
Complete the statement below. 3 units from 15 x is __ __ in either direction.
8.
Write the possible addresses for the recipient.
Delivered to 15 Myrtle Lane Recipient x lives 3 houses away.
Graph the description above on the number line.
Minimum number of boxes: 45
2.
6.
a.
Write the possible addresses for the recipient. x = 8 Myrtle Lane
3.
Frosty Treats ordered 50 boxes of ice cream sandwiches from their supplier, but the supplier’s shipping department sent a message saying that there was a mistake and the shipment size was off by 5 boxes.
The following equation describes the street that the delivery driver is traveling on and how many streets over Frosty Treats is from her current location. |x – 10| = 6 a.
Complete the statement below. 6 The delivery driver is currently on 10 __th Street, and Frosty Treats is __ streets over.
b.
Plot the solutions to the given equation on the number line below.
c.
What are the two possible streets where the delivery address is located? 4th Street or 16th Street
x = 12 Myrtle Lane x = 18 Myrtle Lane 9.
Write an equation that describes the scenario. |x – 15| = 3
Reflect
10.
Complete the statement below. 5 units from __ 6 in either direction. x is __
11.
Write the possible addresses for the recipient. x = 1 Myrtle Lane x = 11 Myrtle Lane
12.
Write an equation that describes the scenario. |x – 6| = 5
Delivered to 6 Myrtle Lane Recipient x lives 5 houses away.
1.
What is the anchor point in the absolute value equation |x – b| = c, and where is it when you graph your solutions on a number line? The anchor point is b, and it is directly in the middle of the solutions of the absolute value equation.
2.
Why are there often two solutions to absolute value equations? Absolute value equations ask us to find the difference from an anchor point, and the distance could be greater than or less than the anchor point.
3.
What is the process to solve a linear absolute value equation using a number line? What is the process to solve algebraically? To solve using a number line, plot the center number, b, and then go c units in either direction. Those numbers in either direction are the solutions. To solve algebraically, write the equation as the disjunction of two linear equations, x – b = −c and x – b = c, and solve each equation.
2
4
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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ÁLGEBRA 1: ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Absolute Value Equations and Inequalities Explore 1
4. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guías para evaluar la comprensión: a. DOK-2 En el problema 1, «¿cuál es el punto de anclaje o centro?». 50 b. DOK-2 «¿Cómo se escribe la diferencia entre la cantidad de cajas realmente enviadas, x, y el punto de anclaje?». |x - 50| c. DOK-2 «¿A cuánto equivale esa diferencia?». 5
Solving Equations of the Form |x – b| = c Exit Ticket 1.
Which statement correctly represents the absolute value equation |a – 5| = 15? A. B. C. D.
2.
a is 5 units from 15. 5 is a units from 15. a is 15 units from 5. None of the above
What are the solutions to the equation? a = −10 or 20
d. DOK-2 «¿Cuáles son las dos ecuaciones a resolver?». x - 50 = -5 y x - 50 = 5. e. DOK-2 En el problema 2, «¿cuál es el número central, o promedio?». Es la temperatura ideal de -27 °C. f. DOK-2 Si x es la temperatura máxima o mínima permitida, «¿cómo se escribe la diferencia, o distancia en el termómetro, entre x y el punto de anclaje o media?». |x - (-27)| = |x + 27|
Absolute Value Equations and Inequalities Explore 1
Solving Equations of the Form |x – b| = c Exit Ticket 1.
g. DOK-2 «¿A cuánto equivale esta diferencia?». 3 °C h. DOK-2 «¿Cuáles son las dos ecuaciones a resolver?». x + 27 = -3 y x + 27 = 3 i. DOK-2 «¿Por qué las soluciones de Las ecuaciones de valor absoluto se escriben como una disyunción?». Las soluciones se escriben con el uso de la palabra o porque ambos valores satisfacen la ecuación: uno u otro puede ser correcto. j. DOK-2 En el problema 3, al mirar la ecuación de valor absoluto que se da, «¿cuál es el punto de anclaje, o el número actual de la calle donde está el conductor?». 10 k. DOK-2 «¿A cuántas calles del punto de anclaje está la dirección de entrega en cualquier dirección?». 6 l. DOK-2 «¿Cuáles son las dos ecuaciones a resolver?». x - 10 = -6 y x - 10 = 6 5. Conceda a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen. 6. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 Además de describir con palabras o escribir una ecuación de valor absoluto, «¿cuál es otra forma útil de ilustrar este tipo de problemas?». Es útil hacer una representación visual en una recta numérica. • DOK-2 Cuando el número central es un valor negativo, como -1, «¿qué expresión representa los números desconocidos? ¿En qué se diferencia de la expresión para un número central positivo?». La distancia es |x - (- 1)| = |x + 1|. Esto es diferente de la expresión para un número de centro positivo porque cuando el centro es positivo la expresión usa un símbolo de resta.
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SS NA-Math TE A1-V1.indb 194
Which statement correctly represents the absolute value equation |a – 5| = 15? A. B. C. D.
2.
a is 5 units from 15. 5 is a units from 15. a is 15 units from 5. None of the above
What are the solutions to the equation? a = −10 or 20
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
• DOK-2 Describa en palabras el significado de la ecuación |x - 10| = 37, e identifique el número central, o promedio. x está a 37 unidades de 10 en cualquier dirección. El número central es 10. • DOK-3 «¿Cuándo tendría una ecuación de valor absoluto menos de dos soluciones?». La ecuación de valor absoluto tendría menos de dos soluciones si fuera igual a cero o a un número negativo. • DOK-3 Dé un ejemplo de una ecuación de valor absoluto que tendría una solución. «¿Cómo sabe que sólo tiene una solución?». |x - 50| = 0 sólo tendría una solución porque significa cero unidades desde 50 en cualquier dirección, así que sólo hay una solución posible. 7. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de realizar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez completado, pida a cada estudiante que complete su «Libreta interactiva» .
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ÁLGEBRA 1: ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Absolute Value Equations and Inequalities Part 1
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Los estudiantes pueden tener dificultades para recordar que en la afirmación abs(x - b) = c, que x está c unidades de b en lugar de x está b unidades de c. Anímelos a pensar que el signo de valor absoluto entero significa distancia, por lo que la distancia en este caso es c. Por lo tanto, x y b están a c unidades de distancia entre sí.
Solving Equations of the Form |x – b| = c 1.
Streets that run parallel north to south are numbered from 1 to 20. Your friend tells you about a great new store three streets over from 10th Street, but she does not tell you in which direction. Figure out its possible location, x. a.
3 x is ____ streets over from 10th ____ Street.
b.
10 Plot the possible locations by using the anchor point at ____.
c.
Which streets could the store be on? The store could be on 7th Street or 13th Street.
d.
Write an absolute value equation to represent the scenario. |x – 10| = 3
Plot the possible solutions on the number lines, and write absolute value equations for the following two problems.
2.
x is 10 units from 40.
3.
|x – 40| = 10
APOYOS LINGÜÍSTICOS
x is 1.5 units from −0.5.
La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo del lenguaje de los estudiantes.
|x + 0.5| = 1.5
1
Absolute Value Equations and Inequalities Part 1
4.
5.
Write the equation(s) you need to solve |x – 6| = 2, and then solve. x–6=2
x – 6 = −2
x=2+6=8
x = −2 + 6 = 4
Write the equation(s) you need to solve |x – 11| = 0, and then solve. x – 11 = 0 x = 11
6.
7.
8.
x + 10 = 5
x + 10 = −5 x = −5 – 10 = −15
Complete the table. Absolute Value Equation
Number of Solutions
|x – 4| = 20
2
|x – 7| = −7
0
|x + 9.3| = 0
1
|x + 32| = −60
0
|x| = 12
2
|x – 21| = 0
1
What is true about each absolute value equation that has one solution? The absolute value expression is equal to 0.
2
MUESTRA LO QUE SABE (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS
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Los estudiantes usarán técnicas visuales, contextuales y lingüísticas para apoyar su adquisición del lenguaje hablado. Principiante: Como actividad previa a la clase, proporcione tarjetas por parejas para un juego de emparejamiento. Un tipo de tarjeta tendrá representaciones de palabras que los estudiantes encontrarán en este alcance. El otro tipo de tarjetas contendrá las propias palabras. Los estudiantes se turnarán para dar la vuelta a los pares de tarjetas y encontrar una coincidencia. Las palabras que deben incluirse son paquete, dirección, destinatario, remitente, entrega, ruta, y envío. Intermedio: Como actividad previa a la clase, proporcione tarjetas por parejas para un juego de emparejamiento. Un tipo de tarjeta tendrá una palabra que encontrarán en este alcance junto con una imagen que represente la palabra. El otro tipo de tarjeta tendrá una descripción de la palabra. Por turnos, los estudiantes darán la vuelta a los pares de tarjetas para encontrar una coincidencia. Un ejemplo de coincidencia sería la descripción «Un ___ es otro nombre para un paquete» y la palabra paquete. Las palabras que deben incluirse son paquete, dirección, destinatario, remitente, entrega, ruta, y envío.
Write the equation(s) you need to solve |x + 10| = 5, and then solve.
x = 5 – 10 = −5
2. Los estudiantes que tengan problemas con el álgebra siempre pueden comprobar su trabajo al hacer una gráfica. Por ejemplo, si abs(x - 12) = 4, entonces en una recta numérica, traza el número 12, y luego traza una distancia de 4 en ambas direcciones-así 12 + 4 y 12 - 4. Simplifica y x = 16 u 8.
Avanzado: Como actividad previa a la clase, proporcione, por parejas, un sobre y un trozo de papel y pídales que envíen una tarjeta a un familiar. En el sobre, pídales que escriban su dirección y la del familiar (si no la saben, pueden rellenarla en casa). Los estudiantes deben identificar en el sobre dónde va cada dirección, quién es el destinatario, quién es el remitente, etc.
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ÁLGEBRA 1: ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Absolute Value Equations and Inequalities Explore 2
LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 2: RESOLVER DESIGUALDADES DE VALOR ABSOLUTO
Part I
DESCRIPCIÓN
1.
Al aprender a conectar la expresión algebraica |x - b| = c con la frase verbal «x es c unidades desde b en cualquier dirección», los estudiantes extenderán ahora esa comprensión a desigualdades de valor absoluto. Los estudiantes harán de nuevo una representación visual en una recta numérica y luego escribirán la solución a partir de los valores críticos trazados. Después de integrar el modo visual, la descripción verbal y la representación simbólica, los estudiantes desarrollarán un algoritmo para resolver desigualdades de valor absoluto simbólicamente.
The Delivery Dilemma Continues Addresses along Myrtle Lane number from 1 to 20. Use the notes on the parcels, the work mat, and the following questions to figure out possible addresses where the correct recipients live. Complete the statement below. 5 units from 10 x is more than __ __ in either direction. 2.
Write the possible addresses for the recipient. 1, 2, 3, 4, 16, 17, 18, 19, or 20 Myrtle Lane
3.
Write an inequality that describes the scenario. |x – 10| ＞ 5
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes darán sentido a las cantidades y sus relaciones. Los estudiantes serán capaces de descontextualizar (representar una situación simbólicamente y manipular los símbolos) y contextualizar (hacer significados de los símbolos en un problema) relaciones cuantitativas. Los estudiantes comprenderán los significados de las cantidades y serán flexibles en el uso de las operaciones y sus propiedades. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes aplicarán las matemáticas que conocen para resolver problemas de la vida cotidiana. Los estudiantes representarán las matemáticas para describir una situación con una ecuación, interpretarán los resultados de una situación matemática y reflexionarán sobre si los resultados tienen sentido, posiblemente al mejorar o al revisar el modelo.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 tapete de trabajo para la recta numérica (por grupo) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes) REUSABLE
• 1 marcador de borrado en seco (por grupo) • 1 protector de hojas (por grupo)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima un «Boleto de salida» para cada pareja. Recorte los «Boleto de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno. • Imprima un «Tapete de trabajo de recta numérica» para cada grupo en cartulina para que dure más. Colóquela dentro de un protector de hojas para crear una superficie borrable.
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4.
Delivered to 10 Myrtle Lane Recipient x lives more than 5 houses away.
Complete the statement below. 3 units from 15 x is not more than __ __ in either direction.
Delivered to 15 Myrtle Lane Recipient x lives not more than 3 houses away.
5.
Write the possible addresses for the recipient. 12, 13, 14, 15, 16, 17, or 18 Myrtle Lane
6.
Write an inequality that describes the scenario. |x – 15| ≤ 3 1
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «La empresa de envíos, Correo Rápido, tiene problemas porque se le cayeron un montón de etiquetas de sus paquetes de camino a su entrega en la calle Mirto. Los conductores de la empresa hicieron todo lo posible para entregar los paquetes en las casas correctas, pero no podían estar seguros. Tienen toda la información de los paquetes en sus ordenadores y, basándose en el tamaño de cada paquete, envían a sus conductores de reparto su mejor suposición sobre dónde se suponía que debían ir los paquetes. Ayude a los conductores a determinar las posibles direcciones a las que debería haber ido cada paquete». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Distribuya un «Tapete de trabajo de recta numérica» y un marcador de borrado en seco a cada grupo. 4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para crear una representación visual del problema dado al usar la recta numérica del tapete de trabajo. A partir de la representación visual, identificarán las soluciones. Luego desarrollarán una desigualdad de valor absoluto para describir el problema. Anotarán su trabajo en sus diarios del estudiante».
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ÁLGEBRA 1: ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Absolute Value Equations and Inequalities Explore 2
5. Evite dar a los estudiantes una regla del tipo: «Resuelve dos inecuaciones donde en una usamos la inecuación original y un positivo y en la otra le damos la vuelta a la inecuación y usamos un negativo». Si un estudiante menciona la regla de un positivo y un negativo como estrategia, invítale a explicar por qué funciona. Si usan una regla sin entender por qué funciona, pueden acabar aplicándola o recordándola mal. Queremos que los estudiantes entiendan que el valor absoluto es la distancia a cero. Del mismo modo, en las desigualdades básicas de valor absoluto de la forma |x - b| > c, queremos que los estudiantes entiendan que esto representa que x está a más de c unidades de b en cualquier dirección. Si los estudiantes usan la memorización de una regla sin razonar, es muy probable que olviden un procedimiento memorizado para un caso especial.
Part II
Using word descriptions, number line graphs, and absolute value inequalities, solve the following problems in order to make sure the pizza parlor delivery is successful. 1.
2.
The pizza parlor has requested 200 lb. of frozen pizza dough give or take 10 lb. They want enough to meet their expected diners’ orders but not so much that they won’t be able to use it all before it spoils. a.
Graph the description above on the number line.
b.
Write an absolute value inequality that represents the situation. |x – 200| ≤ 10
c.
What is the shipment weight range that Ship2U must transport? 190–210 lb. or 190 ≤ x ≤ 210
The frozen dough must be kept at a certain temperature to prevent it from getting freezer burn or spoiling. The equation below describes the danger zone for the dough. |x + 2.0| ＞ 1.5 a.
The ideal temperature for the dough is −2.0°F ____. The temperature of the dough can vary from that by no more than 1.5°F ____.
b.
Represent the given inequality on the number line below by graphing the danger zone.
c.
What is the danger zone range? x ＜ −3.5°F or x ＞ −0.5°F
6. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar la comprensión:
2
a.
DOK-2 En la recta numérica que se muestra en el tapete de trabajo, «¿qué punto marcas primero?». Marco la dirección donde se entregó.
b.
DOK-2 «¿Cómo encuentras las posibles direcciones de los destinatarios correctos?». Cuento la cantidad de casas que hay en ambas direcciones y marco esos dos puntos.
c.
DOK-2 «¿Cómo podemos mostrar el aumento en 5 unidades y la disminución en 5 unidades en la recta numérica?». Podemos mostrar que aumentamos en 5 unidades al mostrar que nos movimos 5 unidades hacia la derecha; de manera similar, podemos mostrar que disminuimos en 5 unidades al mostrar que nos movimos 5 unidades hacia la izquierda.
d.
DOK-3 «¿Existen sólo dos soluciones para este problema, o hay múltiples soluciones? ¿Cómo lo sabes?». Hay múltiples soluciones porque el contexto del problema establece más de 5 casas de distancia. Para que hubiera sólo dos soluciones, tendría que decir que está a 5 casas de distancia.
e.
DOK-3 «¿Cómo se vería en la recta numérica si las soluciones estuvieran entre dos números?». Sombrearíamos entre dos números.
f.
DOK-3 «¿Cómo se vería si las soluciones fueran más que el número mayor o menos que el número menor?». Sombrearíamos a la derecha del número mayor y a la izquierda del número menor en todas partes excepto entre los dos valores.
g.
DOK-2 «¿Dirías que las soluciones están entre los dos números o dirías que la solución está fuera de los dos números?». La solución está fuera de los dos números.
h.
DOK-2 Si x al estar a 5 unidades de 10 se escribe como |x - 10| = 5, «¿cómo se escribe que la distancia entre x y 10 es mayor que 5 unidades?». |x - 10| > 5
i.
DOK-2 «¿Existen múltiples direcciones que cumplan este criterio?». Sí, hay múltiples direcciones posibles a las que puede pertenecer el paquete.
Absolute Value Equations and Inequalities Explore 2
Reflect 1.
How would you put into words what the absolute value inequality below conveys? |x – b| ≤ c The distance of x from point b is less than or equal to c units.
2.
What compound inequality could be used to determine the solution for |x – b| ≤ c? x ≤ b + c and x ≥ b – c or b – c ≤ x ≤ b + c
3.
What is the process to solve an absolute value inequality using a number line? What is the process to solve algebraically? To solve using a number line, plot the center number, b, and then go c units in either direction. Shade between the two numbers for a conjunction and outside the two numbers for a disjunction. To solve algebraically, write the inequality as a compound inequality that uses either the word and or the word or. When written as a compound inequality, it won’t use absolute value symbols. Solve the compound inequality.
4.
5.
How is solving an absolute value inequality similar to solving an absolute value equation? How is it different? The process is similar because the absolute value equation or inequality has to be rewritten in a form that doesn’t include absolute value symbols. The process is different because the equation only uses an equal sign (disjunction), and the inequality uses conjunctions and disjunctions.
Explain why the solution of |x – 5| ＞ c is all real numbers if c is a negative number. Since the absolute value of any number is always nonnegative, it is always greater than any negative number. So, all real numbers satisfy the inequality.
3
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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7. Conceda tiempo suficiente a los estudiantes para completar la parte I y responder a las preguntas que siguen. 8. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta el momento.
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ÁLGEBRA 1: ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Absolute Value Equations and Inequalities Explore 2
CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-2 En una ecuación de valor absoluto o desigualdad de la forma |x - b| = c, «¿cuál es el punto de anclaje, o número central?». El número central es b.
Solving Absolute Value Inequalities Exit Ticket
• DOK-2 «¿Qué representa c?». Representa la distancia entre la variable y el número central, b.
Solve the inequality algebraically or by using a number line.
• DOK-2 Para una desigualdad de valor absoluto, «¿puede la solución tener más de 2 valores? ¿Por qué sí o por qué no?». Sí porque los escenarios no dan la cantidad exacta de casas de distancia; dan un enunciado más que o menos que. Para tener sólo 2 soluciones, la nota en la caja tendría que dar la cantidad exacta de casas.
|x – 4| > 5 −(x – 4) > 5
or
x < −1
x–4>5 x>9
• DOK-2 «¿Cuáles son las tres maneras de representar una ecuación o desigualdad de valor absoluto?».
Absolute Value Equations and Inequalities Explore 2
• Descripción verbal • Gráfica en una recta numérica • Algebraicamente (ecuación o desigualdad) PARTE II 1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Envíos para ti quiere mantener satisfechos a todos sus clientes comerciales. El envío de helados se entregó con éxito a Golosinas Heladas. Ahora Envíos para ti usa su transporte refrigerado para hacer una entrega a una pizzería local. Por favor, ayúdeles a confirmar el tamaño correcto del pedido y la refrigeración adecuada durante el transporte». 2. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para resolver problemas que se describen con palabras, se muestran como un gráfico en una recta numérica o se presentan como una ecuación de valor absoluto. Cada problema se presentará de una de las tres formas, y los estudiantes completarán las otras dos representaciones además de encontrar las soluciones. Los estudiantes registrarán su trabajo en sus diarios del estudiante».
Solving Absolute Value Inequalities Exit Ticket Solve the inequality algebraically or by using a number line. |x – 4| > 5 −(x – 4) > 5 x < −1
or
x–4>5 x>9
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
3. Evite dar a los estudiantes una regla del tipo: «Resuelve dos inecuaciones en las que en una utilicemos la inecuación original y un positivo y en la otra le demos la vuelta a la inecuación y utilicemos un negativo». Si un estudiante menciona la regla de un positivo y un negativo como estrategia, invítelo a explicar por qué funciona. Si usan una regla sin entender por qué funciona, pueden acabar aplicándola o recordándola mal. Queremos que los estudiantes entiendan que el valor absoluto es la distancia a cero. Del mismo modo, en las desigualdades básicas de valor absoluto de la forma |x - b| > c, queremos que los estudiantes entiendan que esto representa que x está a más de c unidades de b en cualquier dirección. Si los estudiantes usan la memorización de una regla sin razonar, es muy probable que olviden un procedimiento memorizado para un caso especial.
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ÁLGEBRA 1: ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 4. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guías para evaluar la comprensión: a.
DOK-2 En el problema 1, «¿cuál es el número central? ¿Cómo lo sabes?». 200 es el número central porque es la cantidad ideal.
b.
DOK-2 Sea x el peso de la masa de pizza congelada realmente enviada. «¿Qué expresión puede usarse para representar la diferencia entre el peso de la masa realmente enviada y la cantidad ideal?». |x - 200|
c.
DOK-2 «¿Cuál es la tolerancia de variación en el peso de la masa de pizza congelada?». Debe ser menor o igual a 10 libras del peso pedido.
d.
DOK-3 «¿Hay alguna desigualdad compuesta que pueda usarse para determinar los posibles pesos aceptables de la masa de pizza congelada? ¿Cómo lo sabe?». Como las soluciones del escenario satisfacen tanto -10 ≤ x - 200 como x - 200 ≤ 10, usaríamos la desigualdad compuesta -10 ≤ x - 200 ≤ 10. El escenario describe que el peso debe ser menor o igual a 10 libras del ideal. Como el rango es menor o igual que la distancia desde el centro en cualquier dirección, eso me dice que debe estar entre dos valores. Comparte lo siguiente con la clase: Cuando creamos una desigualdad compuesta a partir de dos afirmaciones que deben ser ambas verdaderas juntas porque nuestras soluciones se encuentran entre dos valores, se llama conjunción.
e.
DOK-2 Cuando la desigualdad compuesta se escribe como una conjunción para representar este escenario, tiene un valor positivo en un lado y un valor negativo en el otro. «¿Qué representan estos valores?». Representan 10 unidades en cualquier dirección desde el centro, que aumenta en 10 unidades y disminuye en 10 unidades.
f.
DOK-2 «¿Cómo puedes comprobar tu solución?». Puedo sustituir un valor dentro del rango de x que he encontrado como mi solución en la desigualdad de valor absoluto y verificar que la desigualdad es verdadera.
g.
DOK-2 En el problema 2, «¿cuál es el punto de anclaje?». Es la temperatura ideal de -2.0.
h.
DOK-2 Al graficar la zona de peligro, «¿se incluyen o excluyen los puntos extremos? ¿Cómo se indica eso en una recta numérica?». No, no se incluyen porque la desigualdad es menor que, no menor que o igual a. Para indicarlo en una recta numérica, los puntos se dibujan como círculos abiertos.
i.
DOK-2 Sea x la temperatura real de la masa. «¿Qué expresión puede usarse para representar la diferencia entre la temperatura real de la masa y la temperatura ideal?». La diferencia puede escribirse como menos un negativo, |x - (-2.0)|, o equivalentemente como más un positivo, |x + 2.0|.
j.
DOK-2 «¿Cuál es la tolerancia de variación de la temperatura?». Es la región en la que la diferencia es inferior a 1.5 grados Fahrenheit.
k.
DOK-2 «¿Qué desigualdad compuesta puede usarse para determinar las posibles temperaturas aceptables de la masa de pizza? ¿Cómo lo sabes?». Como las soluciones satisfacen la desigualdad x + 2.0 < -1.5 o la desigualdad x + 2.0 > 1.5, simplemente escribimos la desigualdad compuesta con el uso de la palabra o: x + 2.0 < -1.5 o x + 2.0 > 1.5. El escenario describe dos extremos como la zona de peligro cuando dice más de 1.5 grados en cualquier dirección. Comparte lo siguiente con la clase: Cuando creamos una desigualdad compuesta a partir de dos enunciados que uno u otro deben ser verdaderos porque tenemos valores fuera de un rango establecido, se llama disyunción.
l.
DOK-2 Cuando la desigualdad compuesta se escribe como una disyunción para representar este escenario, muestra que la diferencia es menor que -1.5 o que la diferencia es mayor que 1.5. «¿Qué representan estos valores? ¿Por qué se usan desigualdades diferentes?». Estos valores representan la distancia de la temperatura ideal en cualquier dirección: -1.5 representa a la izquierda de la ideal, y 1.5 representa a la derecha de la ideal. Se usan desigualdades diferentes porque para describir los valores inferiores a 1.5 unidades a la izquierda del ideal usaríamos un símbolo menor que. Del mismo modo, para describir los valores superiores a 1.5 unidades a la derecha del ideal usaríamos un símbolo mayor que.
5. Conceda tiempo suficiente a los estudiantes para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen. 6. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-2 Para la desigualdad de valor absoluto |x - b| ＜ c, «¿el conjunto solución es una conjunción o una disyunción?». El conjunto solución está dentro de los puntos críticos pero no incluye dichos puntos, por lo que es una conjunción. • DOK-2 Para la desigualdad de valor absoluto |x - b| ＞ c, «¿es el conjunto solución una conjunción o una disyunción?». El conjunto solución está fuera de los puntos críticos y no incluye esos puntos, así que es una disyunción. • DOK-2 «¿Cuál es el proceso para resolver una desigualdad de valor absoluto con el uso de una recta numérica?». Para resolver con el uso de una recta numérica, traza el número central, b, y luego ve c unidades en cualquier dirección. Sombree entre los dos números para una conjunción y fuera de los dos números para una disyunción. • DOK-2 «¿Cuál es el proceso para resolver una desigualdad de valor absoluto algebraicamente?». Para resolver algebraicamente, escribe la desigualdad como una desigualdad compuesta que usa las palabras y o las palabras o. Cuando se escribe como una inecuación compuesta, no usa símbolos de valor absoluto. Resuelve la desigualdad compuesta. 7. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
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ÁLGEBRA 1: ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Absolute Value Equations and Inequalities Part 2
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez completado, haga que cada estudiante llene su «Libreta interactiva» .
Solving Absolute Value Inequalities Graph the solutions for x on the number lines, and write corresponding absolute value inequalities for the following problems. 1.
x is less than or equal to 6 units from 12 in either direction.
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Los estudiantes que tienen problemas con el álgebra siempre pueden verificar su trabajo al graficar. Por ejemplo, si abs (x - 12) < 4, entonces en una recta numérica, traza el número 12, y luego traza una distancia 4 en ambas direcciones, así que 12 + 4 y 12 - 4. Simplifica, y los puntos extremos se encuentran en la recta numérica. Simplifica, y los puntos finales son 16 y 8. En este caso, la distancia es menor que 4, por lo que el área sombreada debe estar entre 8 y 16 porque esa distancia es menor que 4. 2. Si los estudiantes tienen problemas para entender qué áreas sombrear en una recta numérica, anímelos a usar puntos de prueba en cada región posible.
|x – 12| ≤ 6 1.
x is more 10 units from −5 in either direction.
|x + 5| > 10 2.
x is less than or equal to 3 units from −4.5 in either direction.
|x + 4.5| ≤ 3 3.
x is more than 1.2 units from 7 in either direction.
APOYOS LINGÜÍSTICOS La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Vea las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo del lenguaje de los estudiantes.
|x – 7| > 1.2
1
Los estudiantes usarán técnicas de aprendizaje como mapas conceptuales, dibujar, comparar, contrastar, memorizar y repasar para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado. Principiante: Como actividad previa a la lección, guíe a los estudiantes en la creación de un cuadrado de vocabulario para el término valor absoluto. Completa las siguientes secciones del cuadrado de vocabulario como clase: Definición, Ejemplo (problema matemático) y Sin ejemplo. Pida a los estudiantes que creen su propia imagen para el término. Intermedio: Como actividad previa a la clase, pide a los estudiantes que creen un cuadrado de vocabulario para el término valor absoluto. Los cuadrados de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), Sin ejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes la definición y el ejemplo, pero anímelos a reescribir la definición con sus propias palabras. Avanzado: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que creen un cuadrado de vocabulario para el término valor absoluto. Los cuadrados de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), Sin ejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes la definición, pero anímelos a reescribirla con sus propias palabras.
Absolute Value Equations and Inequalities Part 2
5.
Write the compound inequality you need to solve |x – 3| < 4, and solve. Is this a conjunction or a disjunction? x–3<4
and
x<7
−(x –3) < 4 x – 3 > −4 x > −1
−1 < x < 7 The solutions are all values of x greater than −1 and less than 7. This is a conjunction. 6.
Write the compound inequality you need to solve |x + 5| ≥ 1, and solve. Is this a conjunction or a disjunction? x+5≥1
or
−(x + 5) ≥ 1 x + 5 ≤ −1
x ≥ −4
x ≤ −6
The solutions are all values of x less than or equal to −6 or greater than or equal to −4. This is a disjunction. 7.
What is the solution for |x – b| ≥ 0, where b is some constant value (anchor point)? x is the set of all real numbers.
8.
Create an absolute value inequality where all of the solutions are negative. Show how you know you are correct. Answers will vary. |x + 2| < 1 has a solution set of −3 < x < −1.
2
DEMUESTRA LO QUE SABE (PARTE 2) CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 3: REPRESENTAR Y RESOLVER CON VALOR ABSOLUTO DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes usarán su comprensión del valor absoluto como la distancia desde el centro para representar y resolver problemas de la vida real. Comenzarán con problemas que dan el centro y la tolerancia. Luego, podrán abordar problemas que den los puntos finales o valores críticos. Al abordar problemas que dan los valores críticos, los estudiantes encontrarán el centro, o el promedio de los valores críticos, y luego usarán el centro y un valor crítico para determinar la tolerancia, o distancia desde el centro.
PARTE I
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para representar un problema de diseño al traducir un valor de diseño dado y su tolerancia permisible en una ecuación o desigualdad de valor absoluto. Registrarán su trabajo en sus diarios del estudiante».
• MP.2 Razonamiento abstracto y cuantitativo: Los estudiantes darán sentido a las cantidades y sus relaciones. Los estudiantes serán capaces de descontextualizar (representar una situación simbólicamente y manipular los símbolos) y contextualizar (hacer significados de los símbolos en un problema) relaciones cuantitativas. Los estudiantes comprenderán los significados de las cantidades y serán flexibles en el uso de las operaciones y sus propiedades. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes aplicarán las matemáticas que conocen para resolver problemas de la vida cotidiana. Los estudiantes representarán las matemáticas para describir una situación con una ecuación, interpretarán los resultados de una situación matemática y reflexionarán sobre si los resultados tienen sentido, posiblemente al mejorar o al revisar el modelo.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 3 ó 4 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima un «Boleto de salida» por cada 2 estudiantes. Recorte los «Boleto de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno.
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1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Los ingenieros de Motores Premier diseñan un nuevo automóvil. Las especificaciones deben estar claramente definidas antes de que el nuevo modelo entre en producción. El corazón del automóvil es su motor, por lo que Motores Premier debe diseñar cuidadosamente todos los componentes y proporcionar especificaciones detalladas para la fabricación. Ayude a los ingenieros a analizar los requisitos y a tomar las mejores decisiones de diseño». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno.
4. Evite dar a los estudiantes una regla del tipo: «Resuelve dos inecuaciones en las que en una utilicemos la inecuación original y un positivo y en la otra le demos la vuelta a la inecuación y utilicemos un negativo». Si un estudiante menciona la regla de un positivo y un negativo como estrategia, invítelo a explicar por qué funciona. Si usan una regla sin entender por qué funciona, pueden acabar aplicándola o recordándola mal. Queremos que los estudiantes comprendan que el valor absoluto es la distancia a cero. Del mismo modo, en las desigualdades básicas de valor absoluto de la forma |x - b| > c queremos que los estudiantes entiendan que esto representa que x está a más de c unidades de b en cualquier dirección. De forma similar, en ecuaciones básicas de valor absoluto de la forma |x - b| = c, queremos que los estudiantes entiendan que esto representa que x está a c unidades de b en cualquier dirección. Si los estudiantes usan la memorización de una regla sin razonar, es muy probable que olviden un procedimiento memorizado para un caso especial.
5. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar la comprensión: a. DOK-2 «¿Puede ser negativa la distancia entre el centro y la longitud real?». No, la distancia siempre es positiva (la dirección es positiva o negativa), así que se escribe como una expresión de valor absoluto. b. DOK-2 «¿Por qué hay dos ecuaciones que resolver para encontrar los puntos extremos?». Para resolver la ecuación de valor absoluto, necesito representar la tolerancia en cualquier dirección desde el centro. c. DOK-2 Cuando la distancia entre el punto de anclaje y la longitud real tiene que estar dentro de una tolerancia, «¿qué signo de desigualdad es apropiado?». Como la distancia debe estar dentro de una tolerancia, el signo menor o igual que es apropiado.
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ÁLGEBRA 1: ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Absolute Value Equations and Inequalities Explore 3
6. Conceda tiempo suficiente a los estudiantes para completar la parte I y responder a las preguntas que siguen. 7. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta el momento.
A Fine Ride Part I
The connecting rod for the engine transfers power from the pistons to the crankshaft. It is to be made of forged steel with a length of 6 ± 0.001 inches as shown in the diagram. 1.
What is the center number, or anchor point? What is the tolerance, or units from center in either direction? The center is 6, and the tolerance is 0.001.
2.
Graph the anchor point, and show the tolerance on the number line below.
3.
Let L represent the actual length of the connecting rod. Write an expression that can be used to represent the difference between the actual length of the connecting rod and the ideal length. |L – 6|
4.
Write the absolute value equation that describes the design limits for the length of the connecting rod. |L – 6| = 0.001
5.
Solve the absolute value equation algebraically to determine the maximum and minimum acceptable lengths for the connecting rod. L – 6 = −0.001 L – 6 = 0.001 L = 5.999 L = 6.001
6.
Write an absolute value inequality that represents all of the possible acceptable values for the length of the connecting rod. Then, show all of the possible solutions on the number line from question 2. |L – 6| ≤ 0.001
CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-2 Cuando se dan los puntos extremos (valores máximo y mínimo), «¿cómo se puede determinar el centro?». El centro es la media de los puntos extremos. Se sumarían ambos puntos finales y se dividirían por 2. • DOK-2 Cuando se especifica que un parámetro de diseño, x, es el valor b, más o menos una cantidad c (la tolerancia), «¿cuál es la forma de la desigualdad?». |x - b| ≤ c • DOK-2 «¿Qué dos ecuaciones se usan para determinar los puntos finales?». x - b = -c y x - b = c PARTE II 1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Motores Premier quiere producir un nuevo vehículo que funcione de forma eficiente y fiable, pero también quiere que el conductor y los pasajeros tengan un viaje cómodo. Esto requiere un diseño cuidadoso del interior y sus sistemas. Debe haber espacio suficiente para que los ocupantes del vehículo puedan sentarse cómodamente y, al mismo tiempo, el conductor debe poder alcanzar los pedales, el volante y los mandos. Ayude a definir estos requisitos».
1
2. Aún deben tener sus diarios del estudiante». 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para representar un problema de diseño al traducir los puntos finales del rango permisible de un valor de diseño en una ecuación de valor absoluto o desigualdad. Registrarán su trabajo en sus diarios del estudiante». 4. Evite dar a los estudiantes una regla del tipo: «Resuelve dos inecuaciones en las que en una utilicemos la inecuación original y un positivo y en la otra le demos la vuelta a la inecuación y utilicemos un negativo». Si un estudiante menciona la regla de un positivo y un negativo como estrategia, invítelo a explicar por qué funciona. Si usan una regla sin entender por qué funciona, pueden acabar aplicándola o recordándola mal. Queremos que los estudiantes entiendan que el valor absoluto es la distancia a cero. Del mismo modo, en las inecuaciones básicas de valor absoluto de la forma |x - b| > c, queremos que los estudiantes entiendan que esto representa que x está a más de c unidades de b en cualquier dirección. Del mismo modo, en ecuaciones básicas de valor absoluto de la forma |x - b| = c, queremos que los estudiantes entiendan que esto representa que x está a c unidades de b en cualquier dirección. Si los estudiantes usan la memorización de una regla sin razonar, es muy probable que olviden un procedimiento memorizado para un caso especial.
Absolute Value Equations and Inequalities Explore 3
Part II The minimum distance between the back of the seat and the dashboard must be 18 inches, and the maximum distance is 30 inches. The average distance is 24 inches. 1.
What is the anchor point, or center number? 24 inches
2.
Graph the center number and end points on the number line below.
3.
What is the tolerance? To calculate the tolerance, find the distance between the center number and an endpoint. The tolerance is 6 inches.
4.
Show the tolerance on the number line provided.
5.
Let D represent the actual distance between the back of the seat and the dashboard. Write an expression that represents the difference between the actual distance and the ideal distance. |D – 24|
6.
Write an absolute value equation that describes the design limits for the separation between the back of the seat and the dashboard. Then, give the maximum and minimum values. |D – 24| = 6 Minimum: 18 inches Maximum: 30 inches
7.
Write an absolute value inequality that defines the range of possible separation distances between the back of the seat and the dashboard. Then, show all of the possible solutions on the number line from question 2. |D – 24| ≤ 6
5. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice la siguiente pregunta guía para evaluar la comprensión: a.
DOK-1 «¿Cuáles son los puntos finales? ¿Cómo pueden calcularse?». Son los valores mínimo y máximo del intervalo de valores posibles. Pueden calcularse al hallar la suma y la diferencia del número central y la tolerancia.
b.
DOK-2 «¿Qué es la media, o punto de anclaje?». Es el promedio de los dos puntos extremos.
c.
DOK-2 «¿Cómo se puede determinar la tolerancia para la ecuación o desigualdad de valor absoluto?». Determina la diferencia entre el máximo y el promedio o el promedio y el mínimo.
d.
DOK-2 «¿Cómo puedes comprobar tu respuesta?». Puedo sustituir los valores extremos dados en la ecuación de valor absoluto y verificar que la ecuación es verdadera.
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DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Absolute Value Equations and Inequalities Explore 3
6. Conceda tiempo suficiente a los estudiantes para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen.
Proper air circulation is an important comfort feature in a vehicle. Occupants want to be able to adjust the direction of the air vents to their preferences. The diagram shows the range of positions for the vents. 1.
What are the endpoints? −15° to 55°, where 0° is horizontal
2.
What is the average angle? −15 + 55 2
=
7. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje. CHARLA DE MATEMÁTICAS
40
• DOK-2 En lugar de usar el centro y la tolerancia, «¿qué otra cosa podrías usar para desarrollar una ecuación de valor absoluto o una desigualdad para representar un problema?». Podría usar los puntos finales del rango aceptable.
2
20° 3.
Graph the center number and end points on the number line below.
• DOK-2 «¿Cómo encuentras el centro a partir de los puntos finales?». Hallo el promedio de los puntos extremos. 4.
What is the tolerance for the angle of the air vents? 35°
5.
Let A represent the actual angle of the air vents. Write an absolute value inequality that represents all possible angles that a vehicle occupant can adjust the vent. |A – 20| ≤ 35
6.
Graph the solution set of the inequality on the number line in question 3.
• DOK-2 «¿Cómo se halla la tolerancia a partir del centro y de los puntos extremos?». Calculo la distancia desde el centro a un punto final. 8. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA 3
• Asegúrese de realizar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez completado, pida a cada estudiante que complete su «Libreta interactiva» .
Absolute Value Equations and Inequalities Explore 3
Absolute Value Equations and Inequalities Explore 3
Reflect 1.
2.
Use the number line below to complete the following steps: a. Label the location that would represent the average number with the word average. b. Circle the part or parts of the number line that represent the tolerance.
What do the endpoints of a range represent? The minimum and maximum values of the range
3.
How can you find the anchor point when you have the maximum and minimum? The anchor point must be directly in the center of the maximum and minimum, so you can find the average of the maximum and minimum.
4.
Create a scenario that would lead to an absolute value inequality, and then write the corresponding inequality. Answers will vary. The scenario should include a minimum and maximum or a center and tolerance level.
5.
How do you write an absolute value inequality when given the center and tolerance? Plug the numbers into the formula x – b = c. The center is b, and the tolerance is c. Adjust the equal sign to represent the description for the inequality.
6.
How do you write an absolute value inequality when given only the endpoints? When given the endpoints, calculate the average of the endpoints to find the center. Then, find the difference between the center (b) and the endpoints to find the tolerance (c).
Modeling and Solving with Absolute Value Exit Ticket Premier Motors will introduce two models of their new design, the base model and the deluxe LX model. Market research has shown that each model will appeal to a different age range. Complete the missing information in the table below. Model
Target Age
Tolerance
Min. and Max. Ages
Inequality
Base
28
±4
24 and 32
|x – 28| ≤ 4
LX
36.5
±6.5
30 and 43
|x – 36.5| ≤ 6.5
Absolute Value Equations and Inequalities Explore 3
Modeling and Solving with Absolute Value Exit Ticket Premier Motors will introduce two models of their new design, the base model and the deluxe LX model. Market research has shown that each model will appeal to a different age range. Complete the missing information in the table below. Model
Target Age
Tolerance
Min. and Max. Ages
Inequality
Base
28
±4
24 and 32
|x – 28| ≤ 4
LX
36.5
±6.5
30 and 43
|x – 36.5| ≤ 6.5
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BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Absolute Value Equations and Inequalities Part 3
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Los estudiantes pueden tener dificultades para recordar que en la afirmación abs(x - b) = c, x está c unidades de b en lugar de x está b unidades de c. Anímelos a pensar que el signo de valor absoluto entero significa distancia, por lo que la distancia en este caso es c. Por lo tanto, x y b están a c unidades de distancia. 2. Los estudiantes que tengan problemas con el álgebra siempre pueden comprobar su trabajo al hacer una gráfica. Por ejemplo, si abs(x - 12) < 4, entonces en una recta numérica, traza el número 12, y luego traza una distancia de 4 en ambas direcciones, así 12 + 4 y 12 - 4. Simplifica y los puntos extremos estarán a una distancia de 4 en ambas direcciones. Simplifica, y los puntos finales son 16 y 8. En este caso, la distancia es menor que 4, por lo que el área sombreada debe estar entre 8 y 16 porque esa distancia es menor que 4.
Modeling and Solving Absolute Value 1.
2.
APOYOS LINGÜÍSTICOS La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad «Explorar». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo del lenguaje de los estudiantes.
A food processing facility fills boxes with 25 oz. of cereal within a ±0.25 oz. tolerance. a.
If x is the amount of cereal in a given box, plot the range of possible values of x on the number line.
b.
What are the minimum and maximum amounts of cereal (endpoints on the plot) that could be in the box? Minimum = 24.75 oz. Maximum = 25.25 oz.
c.
Write an inequality that represents the possible values for x. |x – 25| ≤ 0.25
The ideal temperature range for dry food storage is shown on the number line.
a.
What is the center point (or anchor point) of this range? 60°F
b.
What are the maximum and minimum temperatures (endpoints) for this ideal range? minimum = 50°F, maximum = 70°F
c.
What is the tolerance (the distance between the center and an endpoint)? 10°F
d.
Write an inequality that represents the possible values for x. |x – 60| ≤ 10 1
Los estudiantes usarán el apoyo de pistas visuales, compañeros y maestros para desarrollar el vocabulario, la estructura del lenguaje y los conocimientos previos necesarios para comprender un texto escrito. Principiante: Como actividad previa a la clase, los estudiantes se pondrán a la espalda una profesión desconocida para ellos. Recibirán una hoja con nombres, dibujos y descripciones de posibles carreras junto con una lista de posibles preguntas de sí o no para hacer sobre su carrera. Los estudiantes harán cualquiera de estas preguntas para determinar su carrera misteriosa. Asegúrese de incluir ingeniero como opción, ya que los estudiantes se encontrarán con esta profesión en «Explorar».
Absolute Value Equations and Inequalities Part 3
3.
4.
The number of birthday cake orders, x, received at a bakery is between 14 and 46 per week. a.
What are the endpoints of the range of x? 14, 46
b.
What is the average number of orders per week? 30
c.
What is the tolerance? 16
d.
Write an inequality that describes the possible values of x. |x – 30| ≤ 16
The elevation below ground level, x, of an underground cave has a range given by the inequality below. |x + 140| ≤ 95 feet a.
Intermedio: Como actividad previa a la lección, los estudiantes tendrán una carrera desconocida para ellos pegada en la espalda y se les entregará una hoja con las posibles carreras y sus descripciones. Los estudiantes harán a sus compañeros una serie de preguntas de sí o no para determinar su carrera misteriosa. Asegúrese de incluir ingeniero como opción, ya que los estudiantes se encontrarán con esta profesión en «Explorar». Avanzado: Como actividad previa a la lección, los estudiantes tendrán una profesión desconocida pegada en la espalda. Se escribirá una lista de las posibles carreras en la pizarra o se les proporcionará en una hoja. Los estudiantes harán a sus compañeros una serie de preguntas de sí o no para determinar su carrera misteriosa. Asegúrate de incluir ingeniero como opción, ya que los estudiantes se encontrarán con esta profesión en la Exploración.
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SS NA-Math TE A1-V1.indb 204
b. c.
d. 5.
What is the average depth (center of range)? −140 feet What is the tolerance? 95 feet Plot the possible values of x on the number line.
What are the minimum and maximum depths? Minimum = −235 feet, Maximum = −45 feet
|x – 0.3| ≤ 1.2 a.
What are the two equations to solve in order to find the endpoints of the range of x? x – 0.3 = −1.2 and x – 0.3 = 1.2
b.
What are the endpoints? −0.9, 1.5
2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 3) CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 4: RESOLVER ECUACIONES Y DESIGUALDADES DE LA FORMA D|AX - B| + E = C DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes resolverán ecuaciones y desigualdades complejas de valor absoluto de la forma d|ax - b| + e = c. Comenzarán a aislar el término de valor absoluto y luego usarán el método desarrollado previamente para resolver x. Los estudiantes también representarán e identificarán cuándo hay dos, una o cero soluciones a una igualdad de valor absoluto, así como cuándo las desigualdades no tienen solución o soluciones de todos los números reales.
PARTE I
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes darán sentido a las cantidades y sus relaciones. Los estudiantes serán capaces de descontextualizar (representar una situación simbólicamente y manipular los símbolos) y contextualizar (hacer significados de los símbolos en un problema) relaciones cuantitativas. Los estudiantes comprenderán los significados de las cantidades y serán flexibles en el uso de las operaciones y sus propiedades. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes aplicarán las matemáticas que conocen para resolver problemas de la vida cotidiana. Los estudiantes representarán las matemáticas para describir una situación con una ecuación, interpretarán los resultados de una situación matemática y reflexionarán sobre si los resultados tienen sentido, posiblemente al mejorar o al revisar el modelo.
MATERIALES IMPRESO • 1 diario del estudiante (por alumno)
1. Lea la siguiente situación a la clase: «Una asociación regional de maestros celebra un congrado anual de matemáticas. Han reclutado voluntarios para que ayuden a comprobar las respuestas de los estudiantes el día del congrado. El congrado se desarrolla como un congrado de ortografía en el que sólo los estudiantes que dan las respuestas correctas pasan a la siguiente ronda. Ayude a determinar quién continúa más allá de la ronda semifinal ofreciéndose voluntario para verificar las respuestas que dan los estudiantes concursantes». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para resolver ecuaciones de valor absoluto y registrar su trabajo en sus diarios del estudiante». 4. Evite dar a los estudiantes una regla como: «Resuelve dos ecuaciones donde una es igual a un positivo y otra es igual a un negativo». Si un estudiante menciona la regla de un positivo y un negativo como estrategia, invítelo a explicar por qué funciona. Si usan una regla sin entender por qué funciona, pueden acabar aplicándola o recordándola mal. Queremos que los estudiantes comprendan que el valor absoluto es la distancia al centro. En ecuaciones básicas de valor absoluto de la forma |ax - b| = c, queremos que los estudiantes entiendan que c representa la distancia desde el centro en cualquier dirección. Por lo tanto, para promover una comprensión conceptual del valor absoluto, el valor de c se usará como la parte que puede ser positiva o puede ser negativa. Si los estudiantes usan la memorización de una regla sin razonar, es muy probable que olviden un procedimiento memorizado para un caso especial. 5. A medida que los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar la comprensión: a.
DOK-2 Para obtener una ecuación de la forma conocida |ax - b| = c, «¿qué haces primero?». Aíslo la expresión de valor absoluto |ax - b| en un lado de la ecuación mediante manipulación algebraica y agrupo otros términos como la constante c.
b.
DOK-2 «¿Cuántas ecuaciones hay que escribir para representar y resolver una ecuación de valor absoluto de la forma |ax - b| = c? ¿Cuáles son esas ecuaciones?». Hay dos ecuaciones para mostrar la distancia desde el centro en cualquier dirección. Las ecuaciones son ax - b = -c y ax - b = c.
c.
DOK-2 Si una expresión de valor absoluto con la variable x es igual a un valor negativo, «¿existen soluciones reales para x? ¿Por qué sí o por qué no?». No, un valor absoluto siempre tiene que ser positivo.
d.
DOK-2 Si una expresión de valor absoluto con la variable x es igual a cero, «¿cuántas soluciones reales hay para x?». Una
• 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 3 ó 4 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima un «Boleto de salida» por cada 2 estudiantes. Recorte los «Boleto de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno.
6. Conceda tiempo suficiente a los estudiantes para completar la parte I y responder a las preguntas que siguen. 7. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta el momento.
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ÁLGEBRA 1: ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Absolute Value Equations and Inequalities Explore 4
CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-2 Dada una ecuación o desigualdad de valor absoluto de la forma d|ax - b| + e = c, «¿cuál es el primer paso para resolverla?». El primer paso es aislar el trozo |ax - b| mediante manipulación algebraica de forma que obtenga la ecuación de la forma |ax - b| = f, donde f es algún término constante.
Part II
Check the contestants’ answers to determine the winner of this year’s contest. 1.
Determine if the responses for question 1 are correct. Question 1 How do you know an absolute value equation doesn’t have a solution?
• DOK-2 «¿Cuál es el segundo paso?». Reescriba la ecuación de valor absoluto como dos ecuaciones de la forma ax - b = -f y ax - b = f. Luego, resuelva las dos ecuaciones. • DOK-2 Si f es positiva, «¿cuántas soluciones reales hay?». Hay dos soluciones reales. • DOK-2 Si f es igual a cero, «¿cuántas soluciones reales hay?». Hay una solución real. • DOK-2 Si f es negativo, «¿cuántas soluciones reales hay?». No hay soluciones reales. PARTE II 1. Lea la siguiente situación a la clase: «Sólo quedan dos concursantes para la ronda final, que decidirá el ganador del congrado regional de matemáticas de este año. Para la ronda final, los dos concursantes restantes recibirán una serie de tres preguntas que pondrán a prueba su comprensión y su precisión. A continuación se celebrará una ronda de bonificación que determinará el premio concedido este año. Ayude a verificar las respuestas de los concursantes». 2. Los estudiantes deben tener todavía sus diarios del estudiante».
2
Absolute Value Equations and Inequalities Explore 4
Absolute Value Equations and Inequalities Explore 4
2.
And the Winner Is …
Part I
Question 2 Describe how you begin to solve the equation below.
For this semifinal round, contestants are given a set of problems involving absolute value equations. You will need to check their final answers and how they arrived at their answers. Develop an answer key by working out the solutions below. First Contest Equation 1.
5 + 4|2x – 1| = 3
2|3x – 6| + 4 = 22
Show the steps to isolate the absolute value expression. 2|3x – 6| = 22 – 4 = 18 |3x – 6| =
18 =9 2
2.
Solve for x. 3x – 6 = −9 3x = −3 x = −1 or 5
3.
How would the first steps be the same and how would they be different if this had been an inequality? It would still be necessary to first isolate the absolute value term. In the algebraic manipulation, multiplying or dividing by a negative value will change the direction of the inequality.
4.
Determine which absolute value equation has no solution. a. |x + 3| – 10 = 20 c. 11 + 2|4x + 1| = 21 b.
5.
Determine if the responses for question 2 are correct.
20 + |5x + 2| = 3
3x – 6 = 9 3x = 15
d.
4|x – 2| + 1 = 5
Given the absolute value equation 8|x – 3| – 4 = −4, determine how many solutions it has. How do you know? There is only one solution. If I isolate the absolute value term |x – 3| on the left, all that remains on the right is zero. Typically, when we rewrite the absolute value equation as two equations, we would use the constant on the right to show c units in either direction, but 0 units in either direction is only one possibility. 3
1
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Absolute Value Equations and Inequalities Explore 4
3. 4.
3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para resolver inecuaciones de valor absoluto. Registrarán su trabajo en sus diarios del estudiante».
Determine if the responses for question 3 are correct. Check the contestants’ work step-by-step. Circle all errors.
4. Evite dar a los estudiantes una regla del tipo: «Resuelve dos ecuaciones en las que una sea igual a un positivo y otra a un negativo». Si un estudiante menciona la regla de un positivo y un negativo como estrategia, invítelo a explicar por qué funciona. Si usan una regla sin entender por qué funciona, pueden acabar aplicándola o recordándola mal. Queremos que los estudiantes comprendan que el valor absoluto es la distancia al centro. En ecuaciones básicas de valor absoluto de la forma |ax - b| = c, queremos que los estudiantes entiendan que c representa la distancia desde el centro en cualquier dirección. Por lo tanto, para promover una comprensión conceptual del valor absoluto, el valor de c se usará como la parte que puede ser positiva o puede ser negativa. Si los estudiantes usan la memorización de una regla sin razonar, es muy probable que olviden un procedimiento memorizado para un caso especial.
Question 3 Solve
6 + |7x + 3| 4
≤ 12.
5. A medida que los estudiantes colaboran, monitoree su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar la comprensión: a.
4
DOK-1 Cuando se dividen o multiplican ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, «¿qué le sucede al signo de desigualdad?». Se invierte. «menor o igual que» se convierte en «mayor o igual que» y viceversa.
6. Conceda tiempo suficiente a los estudiantes para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen. 7. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS
Absolute Value Equations and Inequalities Explore 4
5.
6.
Tally the total number of correct answers for questions 1–3. Which contestant is the winner? Contestant 2 is the winner!
• DOK-2 Dada una ecuación o desigualdad de valor absoluto de la forma d|ax - b| + e = c, «¿a qué forma quieres transformarla con el uso de manipulación algebraica?». Quiero transformarlo a la forma |ax - b| = f, donde f es algún término constante. • DOK-2 Para una desigualdad de valor absoluto de la forma |ax b| < 0, «¿cuántas soluciones hay?». No hay soluciones reales. • DOK-2 Para una desigualdad de valor absoluto de la forma |ax - b| ≥ 0, «¿cuántas soluciones hay?». Hay un número infinito de soluciones reales.
The winning contestant is asked to determine the number of solutions to the equation. 9|4x + 9| ≥ 0 If the contestant answers correctly, they will win a bonus of $20 in addition to the winning prize of $50.
8. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
The winning contestant says that there are an infinite number of solutions. Do they win the bonus prize? Yes, they win the bonus prize for answering correctly.
9. Regrese al «Captar interés» e instruya a los estudiantes a usar sus habilidades recién adquiridas para completar exitosamente la actividad. Reflect 1.
Given an absolute value equation or inequality of a general form, d|ax – b| + e = c, what is the first step to solve it? The first step is to isolate the absolute value term |ax – b| on one side of the equation or inequality and gather the remaining terms and coefficient on the other side using algebraic manipulation.
2.
What is the second step to determine the solutions to the equation? Rewrite the absolute value equation as two related equations.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de realizar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez completado, haga que cada estudiante llene su «Libreta interactiva» .
APOYOS PEDAGÓGICOS
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DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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1. Algunos estudiantes pueden tener dificultades para entender qué hacer si hay un coeficiente delante del término x dentro del valor absoluto. Pregunte a los estudiantes cómo resolverían si todo en el valor absoluto fuera igual a otra variable, como u. Pídales que realicen los mismos pasos hasta que hayan aislado u, puedan reemplazarlo con la expresión de la variable original y puedan resolver la ecuación o desigualdad que no tiene un símbolo de valor absoluto. 2. Si los estudiantes tienen problemas para entender qué áreas sombrear en una recta numérica, anímelos a usar puntos de prueba en cada región posible.
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ÁLGEBRA 1: ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Absolute Value Equations and Inequalities Part 4
APOYOS LINGÜÍSTICOS La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes.
Solving Equations and Inequalities of the Form d|ax – b| + e = c 1.
Los estudiantes usarán los conocimientos previos como vínculo para comprender el idioma inglés. Principiante: Como actividad previa a la lección, organice un congrado de matemáticas compuesto por preguntas de los alcances anteriores. Haga que los estudiantes pasen por rondas sucesivas como en un congrado de ortografía hasta que haya un ganador. Explíqueles que la lección de hoy consistirá en un congrado de matemáticas.
For a Halloween party, the event planners want to purchase 600 pieces of candy to distribute, give or take 60 pieces. They decide to buy 20 bags of candy. Each bag has exactly x pieces. a.
Write an inequality in terms of x to represent the scenario. |20x – 600| ≤ 60
b.
Write the two equations that must be solved, and solve them. Then, write the solution for x as a compound inequality. −(20x – 600) ≤ 60
and
20x – 600 ≤ 60
20x – 600 ≥ −60 20x ≥ 540
20x ≤ 660
x ≥ 27
x ≤ 33
27 ≤ x ≤ 33
Intermedio: Como actividad previa a la lección, organice un congrado de matemáticas compuesto por preguntas de los alcances anteriores. Haga que los estudiantes pasen por rondas sucesivas como en un congrado de ortografía hasta que haya un ganador. Explique que la explicación de hoy consistirá en un congrado de matemáticas.
c.
2.
Avanzado: Como actividad previa a la lección, organice un congrado de matemáticas compuesto por preguntas de los alcances anteriores. Haga que los estudiantes pasen por rondas sucesivas como en un congrado de ortografía hasta que haya un ganador. Explique que la lección de hoy consistirá en un congrado de matemáticas.
Interpret this solution in the context of the question. Each bag must have between 27 and 33 pieces of candy in it for the event planners to reach their purchase goal.
Place the corresponding letter for each equation into the column that correctly gives the number of solutions for that equation. a.
2|x + 5| = 13
b.
8 + |5 + 3y| = 5
c.
20 – |2z – 3| = 20
d.
17|t – 1| + 3 = 54
2 Solutions
1 Solution
No Solutions
a, d
c
b
1
Absolute Value Equations and Inequalities Explore 4
Solving Equations and Inequalities of the Form d|ax – b| + e = c Exit Ticket
Absolute Value Equations and Inequalities Part 4
Solve each absolute value equation or inequality for the unknown variable. 3.
−3|x + 2| + 5 > 2 −3|x + 2| > −3 |x + 2| < 1 −(x + 2) < 1 x + 2 > −1 x > −3
Solve the inequality, and then graph it on the number line. 7|3x – 1| + 10 ≥ 24
x+2<1 and −3 < x < −1
x < −1
x ≤ − 1 or x ≥ 1 3
−
4.
1 3
1
|10t – 0.5| = 2 10t – 0.5 = −2
10t – 0.5 = 2
10t = −1.5 t = −0.15 Absolute Value Equations and Inequalities Explore 4
7|3x – 1| + 10 ≥ 24
t = 0.25
5. 15 + |x – 9| ≥ 15 |x – 9| ≥ 0
Solving Equations and Inequalities of the Form d|ax – b| + e = c Exit Ticket Solve the inequality, and then graph it on the number line.
10t = 2.5 or
The solution set is all real numbers because the distance between x and 9 can be any nonnegative value. 6.
4|5y + 2| + 34 ≤ 10 |5y + 2| ≤ −6 There are no solutions.
x ≤ − 1 or x ≥ 1 3
−
1 3
1 2
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
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MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 4) CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE
CONSOLIDAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
ESQUEMA DE ANCLAJE
Absolute Value Equations and Inequalities
|x – b| = c tells us that x is c units from b in either direction!
x is 8 units from 15 in either direction.
Absolute Value Equation
DESCRIPCIÓN Un esquema de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Se trata de una herramienta para apoyar la instrucción y consolidar el aprendizaje del estudiante a lo largo del alcance.
MATERIALES
• 1 hoja de papel cuadriculado • 1 juego de marcadores multicolores
PREPARACIÓN Absolute Value Inequality
• Imprima una copia del «Ejemplo de esquema de anclaje», si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
1. El ejemplo de esquema de anclaje puede usarse como referencia antes de crear el «Esquema de anclaje» de la clase con los estudiantes. Esta actividad debe ser dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje. 2. A medida que los estudiantes trabajen en el alcance, colaboren para añadir piezas al esquema de anclaje. Formule las siguientes preguntas guías: a. «¿Qué estrategia usamos para resolver este problema?». b. «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?». 3. Añada habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada «Exploración» para resaltar el contenido importante. 4. Explique que pueden usar este gráfico como herramienta de apoyo para su aprendizaje. Los estudiantes también pueden pegar una copia del ejemplo de esquema de anclaje en sus cuadernos para usarla como referencia a lo largo del año. 5. Algunos esquemas de anclaje sólo se mostrarán durante un alcance o grupo de alcances concretos, mientras que otras permanecerán expuestas durante todo el grado escolar.
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ÁLGEBRA 1: ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
LIBRETA INTERACTIVA
Absolute Value Equations and Inequalities
Instructions ● Cut out the top and bottom of the flipbook. Make sure to cut the flaps on the dotted lines. Fold back the flaps on the solid lines. ● Glue or tape the bottom of the flipbook into your notebook first. ● Place glue or tape where instructed, and add the top of the flipbook. ● Lift up the flaps, and fill in the blank spaces to complete the flipbook.
Top
|2x – 5| > 7
DESCRIPCIÓN Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase al usar la actividad y la libreta.
Solve graphically.
Words
Solve algebraically.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del «Folleto del estudiante» para cada uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Prepare una «Libreta interactiva» al usar un cuaderno de espiral o de composición para cada uno. Los estudiantes pueden usar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades.
Absolute Value Equations and Inequalities
Bottom
Place glue here. 2x is greater than
Solve the inequality graphically.
Solve the inequality algebraically.
Solution: ____________________
Solution: ____________________
_____ units from _____ in either direction.
2. Las instrucciones para cada actividad se proporcionan en el «Folleto del estudiante». 3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos. 4. Las libretas interactivas pueden usarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
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FOLLETO PARA EL ESTUDIANTE
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ÁLGEBRA 1: ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO VOCABULARIO CLAVE
VOCABULARIO ILUSTRADO
Absolute Value
Absolute Value Equation
The distance a number is from zero on a number line; also called the magnitude of a number; never negative
An equation in which x is c units from b in either direction 3
2
Absolute Value Inequality
Combine Like Terms
An inequality in which the distance from x to b is less than/greater than c
To add together terms that have the same variable(s), including their exponent 5
4
Coefficient
Term
The number placed directly before a variable that tells you to multiply that number by the variable
In an algebraic expression, a number or variable, or a product or quotient of numbers and variables 6
7
Solution
Any number that makes an equation true 8
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ÁLGEBRA 1: ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ DESARROLLAR LA FLUIDEZ CONCEPTUAL
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: VALOR ABSOLUTO DE UNA VARIABLE DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes jugarán a ¡A pescar! para resolver problemas matemáticos.
MATERIALES
Go Fish! Instruction Sheet Play this game with a partner. You Will Need 1 Set of Go Fish! Cards (per pair) How to Play 1. Shuffle the Go Fish! Cards. 2.
Pass out five cards to each player.
3.
Place the rest of the deck in a pile on the table.
4.
Players take turns asking each other for either the answer to match one of the problem cards or the problem card to match
IMPRESO
one of the answer cards. If the opponent has the matching card, the opponent must give it to the player. If the opponent
• 1 hoja de instrucciones de ¡A pescar! (por pareja) • 1 conjunto de tarjetas del juego ¡A pescar! (por pareja) REUSABLE
does not have the matching card, the other player must pick a card from the deck. 5.
The winner is the player with the most matches when all of the cards are gone.
• 1 sobre o bolsa (por pareja)
PREPARACIÓN
• Haga copias a doble cara de las tarjetas ¡A pescar! a doble cara. • Lamínelas para que duren más. • Recorte las tarjetas individuales y colóquelas en un sobre o bolsa para facilitar su distribución y limpieza.
HOJA DE INSTRUCCIONES
• Coloque a los estudiantes en parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo barajar las tarjetas. 2. Muestre con un estudiante cómo jugar. a. Reparte cinco cartas a cada jugador. b. Coloca el resto del mazo en una pila sobre la mesa. c. Los jugadores se preguntan por turnos si la respuesta coincide con una de las tarjetas de problema o si la carta de problema coincide con una de las tarjetas de respuesta. Si el adversario tiene la carta correspondiente, debe dársela al jugador. Si el oponente no tiene la carta correspondiente, el otro jugador debe tomar una tarjeta del mazo. d. El ganador es el jugador con más coincidencias cuando se acaban todas las tarjetas. 3. Supervise a los estudiantes para asegurarse de que encuentran las coincidencias correctas.
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ÁLGEBRA 1: ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES
ELABORAR: REVISIÓN EN ESPIRAL Absolute Value Equations and Inequalities
REPASAR CONCEPTOS PREVIOS
REVISIÓN EN ESPIRAL: CLUB DE NIÑERAS
Babysitting Club Three friends, Aarush, Dalia, and Yume, are starting a summer babysitting club in their neighborhood. They will soon be advertising to their neighbors by posting advertisements near the community mailboxes. Before posting this advertisement to their neighborhoods’ residents, the friends need to hash out some details to ensure they are successful.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes repasan contenidos previos o actuales del grado para ayudar a apoyar su trabajo en el alcance actual y fortalecer las habilidades necesarias para alcances posteriores.
REVISIÓN EN ESPIRAL CENTRADA EN LA PREGUNTA • Pregunta 1
• ALG I: Resolver ecuaciones lineales en una variable. • Pregunta 2 • ALG I: Resolver desigualdades lineales en una variable. • Pregunta 3
1
• Grado 8: Usar aproximaciones racionales de números irracionales para comparar el tamaño de números irracionales, ubicarlos aproximadamente en un diagrama de recta numérica y estimar el valor de expresiones. • Pregunta 4
Absolute Value Equations and Inequalities
1.
Over the weekend, Aarush was paid $14 per hour and received a tip of $10.00, while Yume was paid $15 per hour, but spent $6 on supplies. At the end of the weekend, both babysitters had the same amount of money. Solve the equation below to determine the number of hours, h, each babysitter worked.
2.
14h + 10 = 15h – 6
The club enlisted the help of another friend, Clara, for a busy weekend of babysitting. Each of the babysitters worked the following number of hours for the weekend:
Aarush, 8 1 hours
Yume, 8 3 hours
Dalia, 8.15 hours
Clara,
2
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno.
The answer is 5x + $25 ≥ $112.50. x ≥ $17.50
The answer is 16 hours. 3.
A group of parents from the neighborhood want the Babysitting Club to babysit all of their kids together for a parents’ night out. Write and solve an inequality to represent how much the club will have to charge per hour, x, in order to make at least $112.50 if the club members babysit for 5 hours and they expect $25 in tips.
4.
2. Anímelos a tratar de responder a las preguntas de forma independiente sin usar recursos externos para ver lo que saben. Invite a los estudiantes a anotar ideas o fragmentos que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas.
Last month, Yume made a total of $317.50 babysitting. If she charged $8.50 per hour and made an extra $20 in tips, how many hours did she babysit?
8
3. Utilice las preguntas de revisión en espiral como calentamiento en clase, o envíelas a casa como tarea. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos.
43 hours 5
Plot each of the four babysitters’ hours on the number line below.
The answer is 35 hours. 2
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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• Grado 7: Resolver problemas de palabras que conduzcan a ecuaciones de la forma px + q = r y p(x + q) = r, donde p, q, y r son números racionales específicos.
4. Consulte la sección «Revisión en espiral centrada en la pregunta» para evaluar los conocimientos de contenido de los estudiantes o su necesidad de una mayor intervención. Si es necesario repasar más, utilice el «Constructor de fluidez» en los alcances apropiados. 5. El capítulo final incluye una parte de este alcance para que los estudiantes vean la conexión y relevancia de su aprendizaje previo con el actual.
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ÁLGEBRA 1: ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS
Absolute Value Equations and Inequalities
Expanding Outlet Stores
ANÁLISIS DE DATOS
CIENCIA DE DATOS Ciencia de datos es un breve debate en clase basado en un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. la parte I incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los estudiantes en contexto.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizarán, interpretarán y generarán conjuntos de datos, además de responder preguntas basadas en los datos.
1
MATERIALES
CONJUNTO DE DATOS
IMPRESO • 1 conjunto de datos (por clase)
c.
La tabla muestra la distancia de seis ciudades desde Austin. «¿Cuál de las ciudades se encuentra dentro de los parámetros de distancia para que Pet Care Express considere la posibilidad de abrir una tienda de descuentos en ellas?».
REUSABLE • 1 proyector o cámara de documentos (por clase) • 1 marcador (por clase) CONSUMIBLE • 1 trozo de papel milimetrado (por clase)
Abiline
216 mi
Corpus Christi
217 mi
Dallas
195 mi
Fort Worth
189 mi
Midland
316 mi
San Antonio
79 mi
PREPARACIÓN
• Prepárese para proyectar el conjunto de datos para la clase. • Reúna un trozo de papel milimetrado y un marcador.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I 1. Proyecte el conjunto de datos y prepárese para anotar las observaciones de los estudiantes. 2. Plantee las siguientes preguntas: a.
«¿Qué observa en este conjunto de datos?».
b.
«¿Qué representa este conjunto de datos?».
c.
«¿Qué categorías se incluyen en este conjunto de datos?».
d.
«¿Qué información adicional necesitas que no se proporcione en el conjunto de datos?».
e.
«¿Qué otros factores podrían afectar la decisión de la empresa sobre en qué ciudades colocar más tiendas outlet?».
f.
«¿Qué preguntas tienes sobre los datos?».
PARTE II 1. Repase cómo escribir y resolver ecuaciones de valor absoluto, y escriba lo que los estudiantes recuerden en el papel milimetrado.
Abilene, Dallas y Fort Worth d. En la actualidad, el transporte de mercancías de Austin a Houston cuesta 138 dólares. Pet Care Express no espera que las tarifas de transporte adicionales sean inferiores al 25 % de su valor actual, ni puede permitirse más del 25 % de los costes de transporte actuales. «¿Qué ecuación de valor absoluto puede ayudarle a determinar el rango de costes aceptables para transportar mercancías a una de las tres ubicaciones que cumplen sus parámetros de distancia?». |x - 138| ≤ 0.25(138) e. «¿Cuál es la solución de la ecuación que escribió en la parte d?». Muestre su trabajo. |x - 138| < 0.25(138) |x - 138| < 34.50 -34.50 ≤ x - 138 ≤ 34.50 103.50 ≤ x ≤ 172.50 f. El director financiero determina que por cada milla adicional por encima de las 165 millas entre el centro de distribución y la tienda de descuentos, los costes de transporte aumentarán en $1.28. «¿Cuál de las tres ciudades que cumplen las restricciones de distancia de la empresa también cumplen sus restricciones de costes?». Utilice la tabla para organizar su trabajo.
2. Plantee las siguientes preguntas: a.
b.
«¿Qué ecuación de valor absoluto puede ayudarte a determinar el rango de distancias que puede haber entre una ciudad y el centro de distribución en Austin?». |x 165| ≤ 0.31(165) «¿Cuál es la solución de la ecuación que escribiste en la parte a?». Muestra tu trabajo. |x - 165| ≤ 0.31(165) |x - 165| ≤ 51.15 -51.15 ≤ x - 165 ≤ 51.15 113.85 ≤ x ≤ 216.15
214
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Ubicación
Distancia adicional
Coste adicional
Coste total
Abiline
51 mi
$65.28
$203.28
Dallas
30 mi
$38.40
$176.40
Fort Worth
24 mi
$30.72
$168.72
Fort Worth
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ÁLGEBRA 1: ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES Absolute Value Equations and Inequalities
EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS
Absolute Value Equations and Inequalities How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Create equations and inequalities in one variable including ones with absolute value and use them to solve problems. Include equations arising from linear and quadratic functions, and simple rational and exponential functions.
❏ ❏ ❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving Discussion Written explanation
Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or non-viable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods.
❏ ❏ ❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving Discussion Written explanation
Solve linear equations and inequalities in one variable, including equations with coefficients represented by letters.
❏ ❏ ❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving Discussion Written explanation
Solve one-variable equations and inequalities involving absolute value, graphing the solutions and interpreting them in context.
❏ ❏ ❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving Discussion Written explanation
LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN
Notes and Feedback
DESCRIPCIÓN Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede usarse como evaluación formativa para los maestros y como autoevaluación para los estudiantes.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 folleto del maestro (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del maestro» y un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Folleto del estudiante» a cada uno. 1
Absolute Value Equations and Inequalities
Standards for Mathematical Practice
Notes and Feedback
Make sense of problems and persevere in solving them
Construct viable arguments and critique the reasoning of others
4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje.
Model with mathematics Use appropriate tools strategically
Attend to precision
5. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el «Folleto del maestro».
Look for and make use of structure Look for and express regularity in repeated reasoning
6. Las notas anecdóticas proporcionadas en el «Folleto del maestro» pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares.
Consider these reflection questions in this scope.
●
2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Explorar» y «Explicar» del alcance, evalúe formativamente su progreso al tomar notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo. 3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
Reason abstractly and quantitatively
●
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them? What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
2
7. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la «Guía de instrucción andamiada» en la sección «Inicio» de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
FOLLETO DEL MAESTRO
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ÁLGEBRA 1: ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES
EVALUAR: MAPA DE CALOR ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
MAPA DE CALOR DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
1. Dé un «Mapa de calor» a cada estudiante junto con lápices de colores rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s). 2. Los estudiantes usan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el «Mapa de calor». Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los estudiantes colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, los estudiantes colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, los estudiantes colorean el cuadro correspondiente de rojo.
MATERIALES
• 1 mapa de calor (por estudiante) • 1 lápiz de color rojo (por estudiante) • 1 lápiz de color azul (por estudiante) • 1 lápiz de color naranja (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Determine si los estudiantes analizarán su «Prueba de habilidades», la «Evaluación basada en estándares», o ambas.
3. Anímelos a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a usar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada.
• Imprima un «Mapa de calor» para cada estudiante. • Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
4. Consulte la «Guía de instrucción andamiada» que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
Absolute Value Equations and Inequalities
Absolute Value Equations and Inequalities
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key.
Reflection Questions
Red – misconception
1. Which skill did you feel most confident with? Why?
Absolute Value Equations and Inequalities
Blue – miscalculation
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
Skills Quiz Standards Create equations and inequalities in one variable including ones with absolute value and use them to solve problems. Include equations arising from linear and quadratic functions, and simple rational and exponential functions. Solve linear equations and inequalities in one variable, including equations with coefficients represented by letters.
Solve one-variable equations and inequalities involving absolute value, graphing the solutions and interpreting them in context.
Orange – explanation
Red – misconception
Standards-Based Assessment Questions
Standards
6
7
1
2
3
4
5
8
9
10
3. Which type of error did you most commonly make?
4. How can you avoid those errors in the future?
9b
10
Solve linear equations and inequalities in one variable, including equations with coefficients represented by letters.
1
2
3
4
5
6
7
8
9a
9c
9d
Solve one-variable equations and inequalities involving absolute value, graphing the solutions and interpreting them in context.
Not Assessed
1
2
Questions
Create equations and inequalities in one variable including ones with absolute value and use them to solve problems. Include equations arising from linear and quadratic functions, and simple rational and exponential functions.
3
MAPA DE CALOR
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ÁLGEBRA 1: ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES
Absolute Value Equations and Inequalities
INTERVENIR: REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES REFORZAR Y VOLVER A ENSEÑAR
Checkup 1.
a.
x is 12 units from 20.
b.
|x – 20| = 12 2.
DESCRIPCIÓN
|x + 3| = 4.5
–10
B.
10
C.
8
D.
Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para intervención.
–8
Solve each inequality, and then graph it on a number line. a.
|x + 1| > 7
b.
x + 1 > 7 or x + 1 < –7 x>6 or x < –8
4.
x is 4.5 units from –3.
Which values are solutions to the equation |x – 9| = 1? Select two that apply. A.
3.
REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES
Plot the solutions on the number line, and write an absolute value equation for each statement.
|x – 2| ≤ 5 x – 2 ≥ –5 and x – 2 ≤ 5 x ≥ –3 and x ≤ 7 –3 ≤ x ≤ 7
MATERIALES IMPRESO
The average distance of Earth from the Sun is 93 million miles. The distance varies by 1.7 million miles. What are the maximum and minimum distances of Earth from the Sun? |x – 93| = 1.7 x – 93 = 1.7 x – 93 = –1.7 x = 94.7 x = 91.3
• 1 revisión rápida (por estudiante) • 1 repaso (por estudiante)
The maximum and minimum distances of Earth from the Sun are 94.7 million and 91.3 million miles respectively.
• 1 revisión general (por estudiante) 1
Absolute Value Equations and Inequalities
5.
Your personal trainer tells you that your weight loss should be between 28 and 38 pounds to win a free training session. Write an absolute value inequality that models your weight loss. 28 < x < 38 Center = 28 + 38 = 33 2 Tolerance = 38 – 28 = 5 2 |x – 33| < 5
6.
8.
–8
B.
0
C.
2
D.
• Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayudas suplementarias para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
Which of the following is a solution to the equation 4|5p – 8| + 11 = 19? –2
B.
1.2
C.
0.8
D.
• Imprima una copia de la «Revisión rápida», el «Repaso» y la «Revisión general» para cada estudiante.
• Si lo desea, imprima un ejemplo del «Esquema de anclaje» de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que usen la «Libreta interactiva» como regrado.
8
Solve the inequality |3w + 15| > 6, and then graph it on the number line. 3w + 15 > 6 or 3w + 15 < –6 3w > –9 or 3w < –21 w > –3 or w < –7
A.
PREPARACIÓN
• Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar el «Repaso».
Which values are solutions to the equation |6z – 24| = 24? Select two that apply. A.
7.
• 1 lista de verificación para el maestro (por maestro)
8
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 2
1. Dé una copia de la «Revisión rápida» a cada estudiante. 2. Cada uno debe completarla de forma independiente.
Absolute Value Equations and Inequalities
9.
Susan solved the inequality below. In which step did her first mistake occur?
4. Distribuya una copia del «Repaso» a cada uno.
Step 1: –8|2g – 5| – 3 ≤ –27 Step 2: –8|2g – 5| ≤ –24
5. Cada estudiante debe completar el «Repaso» como actividad de intervención o de forma independiente.
Step 3: |2g – 5| ≥ 3 Step 4: 2g – 5 ≥ 3 or 2g – 5 ≥ –3 Step 5: g ≥ 4 or g ≥ 1
a.
Susan made the mistake in step 4. She did not flip the inequality sign to ≤ in the second part of the solution.
10.
3. Use la rúbrica de habilidades al final de la «Revisión rápida» para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional.
Complete the table. Absolute Value Equation
Number of Solutions
|x – 9| = 25
2
|h + 11| = –8
0
|t + 7.5| = 0
1
|3x + 9.3| = 0
1
|x| = 19
2
–2|y – 5| – 11 = 3
0
Si lo desea, reúna a los estudiantes en pequeños grupos para trabajar en las destrezas de repaso. Utilice el «Repaso» como ayuda para la reenseñanza.
6. Distribuya una copia de la «Revisión general» a cada uno. 7. Cada estudiante debe completarla de forma independiente. 8. Analice los resultados de la «Revisión general» al usar la «Lista de verificación para el maestro» para identificar quienes necesitan un repaso adicional y quienes han alcanzado el dominio de los conceptos. 3
REVISIÓN GENERAL CLAVE DE RESPUESTAS ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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ÁLGEBRA 1: ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES
ACELERACIÓN: ¿QUÉ PREFERIRÍAS? Absolute Value Equations and Inequalities
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
¿QUÉ PREFERIRÍAS?: REGALO DE CUMPLEAÑOS DESCRIPCIÓN Los estudiantes usan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
Birthday Gift Use mathematical reasoning and creativity to justify your answer to the Would You Rather question. The Haddigan Furniture Company builds custom stools that have to be 61 cm tall, with no more than 4.5 cm error, modeled by the equation |x–61|≤4.5. Haddigan sells each chair for $65. Hannah’s Chair Company creates custom chairs that have to be 61 cm tall, with no more than 0.5 cm error, modeled by the equation |x–61|≤0.5. Hannah’s sells each chair for $85 each. When choosing a company to furnish chairs for your 80 cm tall kitchen counter, would you rather buy from Haddigan or Hannah’s? Justify your reasoning with mathematics.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 rúbrica (por maestro)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno. • Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
The following statements are sample answers: I would rather buy from Haddigan. The chairs are cheaper, so I would save money. The chairs could range from 56.5 cm to 65.5 cm in height. If they were too tall or too short, I would exchange that stool for another one. I would rather buy from Hannah’s. While they are more expensive, my stools will be more uniform in height. The stools will only range from 60.5 cm to 61.5 cm tall. Haddigan’s stools could be too short for a person to reach the counter (56.5 cm) or too tall for a person to fit (65.5 cm).
1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a mirar sus folletos de «Explorar» si necesitan repasar habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros.
1
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
4. Utilice la rúbrica proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
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ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Absolute Value Equations and Inequalities
OPCIONES PARA EL APRENDIZAJE CONTINUO
TABLERO DE OPCIONES
Absolute Value Equations and Inequalities Choose one or more extension activities from the table below. Career Connection
Science Connection
Geophysicist
Mean Cell Volume
Research the career field of geophysics. Your research must answer the provided questions. Create a presentation to relay your research to the class.
Explore the connection between math and science by writing a relevant absolute value inequality.
Create Your Own
Kitchen Connection
Write Your Own Story
Candy Bag
Create your own real-world word problem for the given inequality. Follow the criteria on the handout to write your scenario, and then answer the questions.
Absolute value equations can be used in the kitchen when representing quantities expected in food products. Read the scenario, and answer the questions on the handout.
Mathematician Spotlight
Financial Connection
Karl Weierstrass
Search for several news articles or research papers that involve Karl Weierstrass’s work. Create an informational poster, a diorama, or a speech to convey this mathematician’s work as it relates to absolute value.
Outdoor Adventure
We use math every day in our financial world. Explore how our current math topic connects to our financial world by completing the handout.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes explorarán las conexiones con el mundo real y las aplicaciones del contenido matemático a través de interacciones con actividades atractivas.
MATERIALES IMPRESO
• 1 tablero de opciones (por estudiante) • 1 juego de hojas de actividades (por estudiante) • 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante) REUSABLE
• Tecnología (si corresponde)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Tablero de opciones» y un juego de hojas de actividades para cada estudiante. • Imprima una «Autoevaluación del tablero» para cada estudiante.
TABLERO DE OPCIONES
• Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» a cada estudiante. 2. Dé tiempo a los estudiantes para examinar el «Tablero de opciones» y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anímelos a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del tablero, haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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<<GRADO>> SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS ÁLGEBRA 1
SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: ACUERDO O DESACUERDO
ESTÁNDARES CLAVE Construir una función que modele una relación entre dos cantidades. • Escribir una función que describa una relación entre dos cantidades. • Determinar una expresión explícita, un proceso recursivo o pasos para el cálculo a partir de un contexto. • Combinar tipos de funciones estándar utilizando operaciones aritméticas. Por ejemplo, construir una función que modele la temperatura de un cuerpo que se enfría añadiendo una función constante a una exponencial decreciente, y relacionar estas funciones con el modelo. • Escribir secuencias aritméticas y geométricas tanto recursivamente como con una fórmula explícita, utilizarlas para modelar situaciones, y traducir entre las dos formas. Construir y comparar modelos lineales, cuadráticos y exponenciales y resolver problemas. • Distinguir entre situaciones que pueden modelarse con funciones lineales y con funciones exponenciales. • Demostrar que las funciones lineales crecen por diferencias iguales en intervalos iguales, y que las funciones exponenciales crecen por factores iguales en intervalos iguales. • Reconocer situaciones en las que una cantidad cambia a una tasa constante por intervalo unitario en relación con otra. • Reconocer situaciones en las que una cantidad crece o decrece a una tasa porcentual constante por intervalo unitario en relación con otra. • Construir funciones lineales y exponenciales, incluyendo secuencias aritméticas y geométricas, dada una gráfica, una descripción de una relación, o dos pares de entrada-salida (incluye leerlas de una tabla). • Observar, mediante gráficas y tablas, que una cantidad que aumenta exponencialmente acaba superando a una cantidad que aumenta linealmente, cuadráticamente o (de forma más general) como una función polinómica. Interpretar expresiones de funciones en términos de la situación que modelan. • Interpretar los parámetros de una función lineal o exponencial en términos de un contexto. [Lineal y exponencial de forma f(x) = bˣ + k]
Los estudiantes evaluarán y discutirán varias respuestas de los estudiantes a una pregunta de matemáticas, determinando si están Acuerdo o desacuerdo y proporcionando un razonamiento. • Evalúan y completan de forma independiente la actividad «Acuerdo o desacuerdo». • Participan en discusiones entre compañeros para comparar y justificar sus respuestas. • Participan en múltiples intercambios entre compañeros para explorar diversas perspectivas. CAPTAR INTERÉS Los estudiantes explorarán secuencias aritméticas y geométricas relacionándolas con un escenario real de colocación de baldosas. • Los estudiantes verán un video para presentar el escenario de colocación de baldosas y discutirán sus observaciones y preguntas. • Analizarán y compararán dos ecuaciones que representan secuencias aritméticas y geométricas. • Los estudiantes participarán en actividades de «Explorar» para profundizar su comprensión de las reglas y patrones de secuencias.
ACTIVIDADES DE EXPLORAR EXPLORACIÓN 1: IDENTIFICAR Y CONSTRUIR SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS Los estudiantes analizarán los datos para diferenciar entre secuencias aritméticas y geométricas y escribirán ecuaciones explícitas para encontrar los enésimos términos en estas secuencias. • Los estudiantes trabajarán en grupos para analizar las configuraciones de apilamiento de vasos y determinar cuáles cumplen con los criterios de las secuencias aritméticas y geométricas. • Los estudiantes colaborarán para crear ecuaciones explícitas para secuencias, utilizando patrones identificados en las configuraciones. • Los estudiantes participarán en charlas de matemáticas para comentar las observaciones y profundizar su comprensión de las estructuras secuenciales. • Los estudiantes completarán un «Boleto de salida» para demostrar su comprensión de las secuencias aritméticas y geométricas y su capacidad para escribir ecuaciones explícitas.
ESTÁNDARES DE CONEXIÓN
EXPLORACIÓN 2: CREAR ECUACIONES RECURSIVAS Y EXPLÍCITAS
Comprender el concepto de función y utilizar la notación de función.
Los estudiantes explorarán secuencias aritméticas y geométricas construyendo fórmulas recursivas y convirtiéndolas en fórmulas explícitas.
• Comprender que una función de un conjunto (llamado dominio) a otro conjunto (llamado rango) asigna a cada elemento del dominio exactamente un elemento del rango. Si f es una función y x es un elemento de su dominio, entonces f(x) denota la salida de f correspondiente a la entrada x. La gráfica de f es la gráfica de la ecuación y = f(x). • Usar notación de funciones, evaluar funciones para entradas en sus dominios e interpretar enunciados que usan notación de funciones en términos de un contexto. Interpretar funciones que surgen en aplicaciones en términos del contexto. • Relacionar el dominio de una función con su gráfica y, cuando sea aplicable, con la relación cuantitativa que describa. Por ejemplo, si la función h(n) da el número de horas por persona que se tarda en montar n motores en una fábrica, entonces los números enteros positivos serían un dominio apropiado para la función. Resolver ecuaciones e inecuaciones en una variable. • Resolver ecuaciones y desigualdades lineales en una variable, incluyendo ecuaciones con coeficientes representados por letras. Construir nuevas funciones a partir de funciones existentes. • Encontrar funciones inversas. • Resolver una ecuación de la forma f(x) = c para una función simple f que tiene una inversa y escribir una expresión para la inversa. Por ejemplo, f(x)
• Los estudiantes analizarán gráficos de crecimiento de vegetales para identificar patrones y construir fórmulas recursivas. • Los estudiantes colaborarán en grupos para convertir fórmulas recursivas en ecuaciones explícitas. • Los estudiantes completarán tablas de datos usando ecuaciones recursivas y crearán ecuaciones explícitas para el crecimiento de frutas. • Los estudiantes participarán en charlas de matemáticas para comentar observaciones y refinar su comprensión de ecuaciones de secuencias. EXPLORACIÓN 3: INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO Los estudiantes aplicarán su comprensión de porcentajes y series para desarrollar fórmulas explícitas para secuencias aritméticas y geométricas a través de un escenario de cuenta de ahorros. • Los estudiantes analizarán las opciones de la cuenta de ahorros para determinar los saldos futuros utilizando secuencias aritméticas y geométricas. • Los estudiantes colaborarán en grupos para explorar y registrar sus hallazgos en los «Diarios del Estudiante». • Los estudiantes participarán en discusiones guiadas para profundizar su comprensión del interés simple y compuesto. • Los estudiantes completarán un «Boleto de Salida» para demostrar su comprensión de los conceptos y participarán en una charla de matemáticas para compartir sus ideas.
(x + 1)
= 2x³ o f(x) = ______ para x ≠ 1. (x - 1)
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ÁLGEBRA 1: SECUENCIAS Y GEOMÉTRICAS SECUENCIAS ARITMÉTICASARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS <<GRADE>>
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES INVESTIGAR FUNCIONES
SISTEMAS DE ECUACIONES
MODELAR CON FUNCIONES
CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
CONCEPTOS CLAVE • Puedo distinguir entre cambios aditivos y multiplicativos dadas representaciones numéricas, algebraicas o contextuales. • Puedo escribir una regla o función que describa una relación entre dos cantidades determinando una expresión explícita, un proceso recursivo o pasos para el cálculo a partir de un contexto. • Puedo traducir entre fórmulas recursivas y explícitas. • Puedo usar secuencias aritméticas y geométricas para modelar, responder preguntas relacionadas y hacer predicciones sobre problemas del mundo real.
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PREGUNTAS FUNDAMENTALES • «¿Cuál es la diferencia entre secuencias aritméticas y geométricas?». • «¿Cómo se sabe si una regla es explícita o recursiva?». • «¿Cuáles son las ventajas y desventajas de una regla recursiva frente a una regla explícita?». • «¿Cómo se compara una cantidad que aumenta exponencialmente con otras funciones que podrían representar una cantidad que aumenta?».
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ÁLGEBRA 1: SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
CONTENIDOS DE APOYO Construir una función que modele una relación entre dos cantidades. • Escribir una función que describa una relación entre dos cantidades. ◦ Determinar una expresión explícita, un proceso recursivo o pasos para el cálculo a partir de un contexto. • Escribir secuencias aritméticas y geométricas tanto recursivamente como con una fórmula explícita, usarlas para modelar situaciones y traducir entre las dos formas. Construir y comparar modelos lineales, cuadráticos y exponenciales y resolver problemas. • Distinguir entre situaciones que pueden modelarse con funciones lineales y con funciones exponenciales. ◦ Demostrar que las funciones lineales crecen por diferencias iguales en intervalos iguales y que las funciones exponenciales crecen por factores iguales en intervalos iguales. ◦ Reconocer situaciones en las que una cantidad cambia a una tasa constante por intervalo unitario en relación con otra. ◦ Reconocer situaciones en las que una cantidad crece o decrece a una tasa porcentual constante por intervalo unitario con respecto a otra. • Construir funciones lineales y exponenciales, incluyendo secuencias aritméticas y geométricas, dadas una gráfica, una descripción de una relación, o dos pares de entradasalida (incluyendo la lectura de estos de una tabla). • Observar, usando gráficas y tablas, que una cantidad que aumenta exponencialmente eventualmente excede a una cantidad que aumenta linealmente, cuadráticamente, o (más generalmente) como una función polinomial. Interpretar expresiones para funciones en términos de la situación que modelan. Interpretar los parámetros en una función lineal o exponencial en términos de un contexto. [Lineal y exponencial de la forma f(x) = bˣ + k].
CONOCIMIENTOS PREVIOS En grados anteriores, los estudiantes modelaron, interpretaron y resolvieron ecuaciones con base en el contexto de una situación. Los estudiantes modelaron datos de un diagrama de dispersión o una tabla usando ecuaciones lineales. Los estudiantes resolvieron ecuaciones que implicaban distribución y reordenamiento de términos semejantes. Utilizaron triángulos semejantes para explicar por qué la pendiente, m, es la misma entre dos puntos distintos de una recta no vertical e identificaron funciones que no son lineales.
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CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
• Al aprender sobre reglas recursivas, los estudiantes pueden verbalizar una regla para 5, 8, 11, 14, ... como «sumar 3» y crear incorrectamente una función explícita como f(x) = x + 3 y no reconocer que la tasa de cambio es tres. Errores similares son comunes con una función exponencial (secuencias geométricas). Si un estudiante determina que la regla es «multiplicar por 4», puede escribir incorrectamente g(x) = 4x. Hacer que los estudiantes establezcan conexiones entre la forma del gráfico, los pares ordenados y la regla puede ayudar a evitar este tipo de error. De manera similar, cuando los estudiantes están tratando de identificar y reconocer los diferentes tipos de tasas por intervalo unitario, es útil usar tablas y gráficas para investigar la forma de la gráfica y relacionar la forma de la gráfica con el tipo de tasa por intervalo unitario. • Cuando los estudiantes están construyendo funciones, es importante que las funciones se creen a partir de tablas, puntos de datos, descripciones verbales y gráficas. Los problemas deben estar mezclados para que los estudiantes no dependan de títulos o etiquetas para saber el tipo de función presentada. Si a los estudiantes se les presenta un grupo de problemas que son todos secuencias aritméticas y luego un grupo de problemas que son todos secuencias geométricas, los estudiantes no están desarrollando las habilidades para determinar qué tipo de información es modelada por una función lineal (aritmética) o exponencial (geométrica). • Los estudiantes pueden tener problemas con el subíndice en Aₙ= Aₙ₋1 + d. Usar otras notaciones puede ser útil para crear fluidez para diferentes contextos y para construir conexiones entre los conceptos de funciones y secuencias. Otras notaciones útiles son la notación Siguiente/Ahora y la notación de funciones. Siguiente = Ahora + Diferencia y f(n + 1) = f(n) + d • Los estudiantes pueden tener problemas para diferenciar entre encontrar un término especificado para una función definida explícitamente y una función definida recursivamente. Usando tablas para organizar el trabajo, los estudiantes deben practicar escribiendo conjuntos de términos para cada secuencia, comparando sus cálculos para la regla explícita y la regla de función, y luego generalizando lo que han hecho.
EN ESTE ALCANCE En este nivel de grado, los estudiantes ampliarán su comprensión de la pendiente para reconocer la tasa constante o la tasa porcentual constante por intervalo unitario. Los estudiantes también reconocerán y probarán qué situaciones pueden ser modeladas y representadas por funciones lineales (secuencias aritméticas) y funciones exponenciales (secuencias geométricas). Los estudiantes ampliarán su experiencia previa de construcción y modelización de funciones lineales para construir y modelizar con funciones lineales (secuencias aritméticas) y exponenciales (secuencias geométricas) dada una gráfica, una descripción o dos pares ordenados. Los estudiantes deben ser capaces de observar y explicar que una cantidad que aumenta exponencialmente acaba superando a una cantidad que aumenta linealmente, cuadráticamente o como una función polinómica. Los estudiantes lo entienden mejor cuando se les da una situación contextual para explorar.
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ÁLGEBRA 1: SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
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TÉRMINOS CLAVE
• función: una relación especial entre valores; cada valor de entrada devuelve exactamente un valor de salida. • tasa media de cambio: el cambio total de los valores de la función (valores de salida) dividido por el cambio en los valores de entrada • intervalo: la cantidad de tiempo que pasa de un periodo de tiempo al siguiente; la distancia entre dos puntos • fórmula explícita: una fórmula para encontrar el enésimo término de una secuencia • fórmula recursiva: una fórmula que define cada término de una secuencia utilizando el término o términos precedentes • operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación y división • secuencia aritmética: una secuencia en la que los términos sucesivos difieren en el mismo número d, llamado diferencia común donde d ≠ 0
• sucesión geométrica: sucesión en la que la razón de términos sucesivos es una constante r, llamada razón común, donde r ≠ 0 y r ≠ 1 • diferencias iguales sobre intervalos iguales: cómo crece una función lineal o la tasa de cambio de una función lineal; el cambio en la variable dependiente sobre un intervalo es igual al cambio en la variable dependiente sobre un intervalo del mismo tamaño en cualquier parte de la función • factores iguales sobre intervalos iguales: cómo crece o decrece una función exponencial; el factor de crecimiento de una función exponencial • tasa constante por intervalo unitario relativo a otro: cómo crece o decrece una función lineal • tasa porcentual constante por intervalo unitario relativo a otro: cómo crece o decrece una función exponencial; el factor de crecimiento de una función exponencial
APLICAR LAS PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes analizan los datos para crear fórmulas recursivas y explícitas y, a continuación, utilizan las fórmulas para hallar los valores deseados. Aplican los valores deseados al contexto de los datos y comprueban su validez. • MP.2 Razonamiento abstracto y cuantitativo: Los estudiantes descontextualizan escenarios o tablas para escribir fórmulas representativas explícitas o recursivas. Tras aplicar las fórmulas, responden a preguntas sobre los valores futuros de una secuencia en su contexto. • MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros: Los estudiantes determinan si una secuencia es aritmética o geométrica y justifican su razonamiento utilizando valores matemáticos y una descripción del movimiento de la secuencia. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes utilizan fórmulas de interés simple y compuesto para modelizar situaciones del mundo real y hallar los valores futuros de las cuentas. A continuación, aplican estos valores al contexto de la situación para determinar qué cuenta tiene mayor rentabilidad. • MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas: Los estudiantes utilizan calculadoras según sea necesario cuando exploran y calculan el interés simple y compuesto. • MP.6 Atender a la precisión: Los estudiantes prestan atención a la precisión cuando encuentran valores en cuentas utilizando interés simple o compuesto. Convierten con precisión porcentajes a decimales y redondean a la centésima cuando tratan con dinero. • MP.7 Buscar y utilizar estructuras: Los estudiantes buscan patrones en los datos para determinar el tipo de secuencia. También utilizan un tipo dado de secuencia para escribir una secuencia aritmética o geométrica. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes reconocen el uso de secuencias al examinar el interés simple y el interés compuesto. Utilizan fórmulas explícitas que aprendieron para secuencias aritméticas y geométricas y aplican su comprensión a las fórmulas de interés simple y compuesto.
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IDENTIFICAR Y CONSTRUIR SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS Los estudiantes identificarán diferentes tipos de secuencias reconociendo patrones en listas de números. También usarán información sobre secuencias, como términos y diferencias entre términos, para construir fórmulas para esas secuencias. Los estudiantes utilizarán fórmulas para construir las secuencias en forma de lista. Los estudiantes reconocerán que las diferencias entre secuencias aritméticas y secuencias geométricas son diferencias constantes y razones constantes, respectivamente.
Esto no es ni aritmético ni geométrico porque la diferencia entre cada término es, respectivamente, 1, 2, 3, 4, ... Esto significa que no hay diferencia común. Tampoco se multiplica cada término por el mismo número cada vez para obtener un cociente común que sea el mismo. Ejemplo: Decide si la situación representa una serie aritmética o geométrica y justifica tu razonamiento.
La fórmula explícita de una sucesión aritmética se define como sigue:
a. Un experimento científico consiste en medir periódicamente el número de células de moho presentes en un trozo de pan. Al principio del experimento, hay 40 células de moho. Cada vez que se hace una observación periódica, el número de células de moho se ha triplicado. Se trata de una secuencia geométrica porque existe una relación constante de 3.
An = A1 + (n - 1) d An es el término n de la sucesión. A1 es el primer término de la sucesión. n es el número del término. d es la diferencia común entre términos.
b. June adquiere un teléfono móvil de prepago. Inicialmente, ella tiene un saldo de $50.00 en el teléfono. Cada minuto de conversación cuesta $0.25. Esta es una sucesión aritmética porque hay una diferencia constante de −0.25.
Una secuencia aritmética es una secuencia cuyos términos subsecuentes tienen una diferencia común. Esto significa que la diferencia entre un término y su término subsiguiente es un número constante (racional o irracional, real o imaginario, positivo o negativo).
Una sucesión geométrica es una sucesión cuyos términos subsiguientes tienen una razón común. En otras palabras, los términos subsiguientes se encuentran multiplicando los términos anteriores por un número distinto de cero (racional o irracional, real o imaginario, positivo o negativo). La fórmula explícita de una sucesión geométrica se define como sigue: An = A1(r)n - 1 An es el n-ésimo término de la sucesión. A1 es el primer término de la sucesión. n es el número del término. r es la razón común entre términos. Ejemplo: Identifica si la siguiente secuencia es aritmética, geométrica o ninguna de las dos, y justifica. Si la sucesión es aritmética o geométrica, halla el décimo término. a. 5, 3, 1, -1, ... Esta es una sucesión aritmética porque la diferencia común es −2 (al sumar −2 a cada término se obtiene el siguiente). Para encontrar el décimo término, sustituye A₁ = 5, n = 10 y d = −2 en la fórmula. Aₙ = A1 + (n – 1)d A10 = 5 + (10 – 1)(−2) A10 = 5 + (−18) A10 = −13 1
1
1
, __ , − __8 , … b. 1, − __ 2 4
Se trata de una sucesión geométrica porque el cociente común es - __ 21 (cada término subsiguiente se multiplica por - __21 para obtener el término siguiente). Para hallar el décimo término, sustituya A1 = 1 1, n = 10, r = - __ en la fórmula. 2
Aₙ = A1(r)ⁿ – 1 1
A10 = 1(− __ )10 ⁻ 1 2
1 A10 = 1(− __ )9 2 1 __ A10 = 1(− 2 )10 ⁻ 1 1 A10 = − ____ 512
TRADUCE FÓRMULAS RECURSIVAS Y EXPLÍCITAS Una definición recursiva de una secuencia define una secuencia en términos de términos previos, y todos los términos previos necesitan ser determinados para encontrar los términos posteriores. Los estudiantes utilizarán tanto fórmulas recursivas, An = A(ₙ ₋ 1) + d, donde A1 es el primer término y n es un número entero mayor que 1, como explícitas, An = A1 + (n - 1) d, para una secuencia aritmética. También utilizarán las fórmulas recursiva, An = rAn ⁻ 1, donde A1 es el primer término y n es un número entero mayor que 1, y explícita, An = A1rn ⁻ 1, para una sucesión geométrica. Utilizar una fórmula recursiva para encontrar un término lejano en una secuencia puede resultar tedioso. Por ejemplo, para encontrar el término 50 de una secuencia utilizando una fórmula recursiva habría que encontrar desde el término 1 hasta el término 49, y luego se podría determinar el término 50. Utilizando una fórmula explícita, el término 50 se encontraría en el término 49. Utilizando una fórmula explícita, el término 50 puede determinarse sin calcular ningún otro término. Tanto las fórmulas recursivas como las explícitas para una secuencia aritmética utilizan la diferencia común y el primer término para crear la fórmula específica para una secuencia aritmética dada. Para traducir de una fórmula explícita a una fórmula recursiva para una secuencia aritmética, la diferencia común y el primer término se obtendrán de la fórmula explícita y se utilizarán para crear la fórmula recursiva. Para pasar de una fórmula recursiva a una fórmula explícita para una secuencia aritmética, la diferencia común y el primer término se obtendrán de la fórmula recursiva y se utilizarán para crear la fórmula explícita. Del mismo modo, tanto las fórmulas recursivas como las explícitas para una secuencia geométrica utilizan el cociente común y el primer término para crear la fórmula específica de una secuencia geométrica dada. Para pasar de una fórmula explícita a una fórmula recursiva o viceversa, hay que identificar la razón común y el primer término y, a continuación, utilizar esos valores para formular el otro tipo de fórmula.
c. 9, 10, 12, 15, 19, …
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INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO El interés simple y el compuesto se utilizan con frecuencia en el mundo de las finanzas para determinar las ganancias al cabo de determinados periodos de tiempo. El interés simple es el que se calcula una vez al año. Para calcularlo, se utiliza la siguiente ecuación:
Fórmulas recursivas
I = Prt I es el interés devengado. P es el principal (importe inicial). r es el tipo de interés (expresado en decimales). t es el tiempo en años. Recordemos que con las secuencias geométricas, An = A1 r ⁿ⁻1. Los intereses simples son un tipo de secuencia geométrica en la que A1 es el valor del principal, r es el tipo de interés, y t es n - 1.
⋅
Los intereses compuestos son intereses que se capitalizan varias veces al año. Para calcular el importe final devengado, se utiliza la siguiente ecuación:
Ejemplo: Convertir la siguiente secuencia definida recursivamente en una secuencia definida explícitamente. A1 = 7 Aₙ+1 = 2 ⋅ An
La fórmula recursiva es una fórmula geométrica. El cociente común es el coeficiente de 2. El primer término es la constante de 7. Esos valores se sustituyen en la fórmula explícita de una sucesión geométrica. An = A1 ⋅ rⁿ⁻1 An = 7 ⋅ 2ⁿ⁻1
Ejemplo: La fórmula explícita de una sucesión aritmética es f(n) = 5 + 22(n - 1). Completa los valores que faltan en la fórmula recursiva de la sucesión.
De la fórmula explícita, f(1) = 5 y d = 22. La fórmula recursiva sería
r nt A = P(1 + ___ n ) A es el importe final. P es el capital. r es el tipo de interés (expresado en decimales). n es el número de capitalizaciones anuales. t es el número total de años.
Ejemplo: Sally invirtió $1,500 en una nueva inversión que devenga un interés anual del 5 %. «¿Cuánto interés ganó al cabo de 3 años?». El interés anual es un caso de interés simple. Por lo tanto, se utiliza la fórmula I = Prt. I = 1,500 0.05 3 I = $225
⋅
⋅
Ejemplo: Yaniv quiere comprarse un ordenador nuevo y necesita 2,000 dólares. Para ahorrar para uno en los próximos 2.5 años, invierte en una cuenta que rinde un 3 % compuesto trimestralmente. «¿Cuánto dinero tendría que invertir para alcanzar su objetivo?». Redondea al céntimo más próximo. Se trata de un problema de interés compuesto porque el dinero ya no se capitaliza anualmente, sino trimestralmente (4 veces al año). Necesitamos hallar la cantidad principal. r A = P(1 + __ n ) ⁿᵗ
0.03 2,000 = P(1 + _____ ) 4 4
P = $1,856.01
⋅ 2.5
AVANCES En este curso, los estudiantes construirán sobre su comprensión de series geométricas y harán conexiones con funciones exponenciales. En cursos futuros, los estudiantes analizarán series aritméticas y geométricas, que son sumas de secuencias. Estas series serán inicialmente finitas, pero también incluirán series infinitas (con términos infinitos). Las series infinitas introducirán conceptos básicos de cálculo para determinar integrales.
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ANÁLISIS PROFUNDO DE LOS ESTÁNDARES
CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES
DESGLOSAR EL ESTÁNDAR
Construir una función que modele una relación entre dos cantidades.
VERBOS: ¿QUÉ DEBERÍAN HACER LOS ESTUDIANTES?
• Reconocer que las secuencias son funciones, a veces definidas recursivamente, cuyo dominio es un subconjunto de los números enteros. Por ejemplo, la sucesión de Fibonacci se define recursivamente por r 𝑓(0) = 𝑓(1) = 1, 𝑓(n + 1) = 𝑓(n) + 𝑓(n - 1) para n ≥ 1.
• Escribir una función que represente una relación entre dos cantidades. ◦ Determinar una expresión explícita, un proceso recursivo o pasos para el cálculo a partir de un contexto. ◦ Combinar tipos de funciones estándar utilizando operaciones aritméticas. Por ejemplo, construir una función que modele la temperatura de un cuerpo que se enfría añadiendo una función constante a una exponencial decreciente, y relacionar estas funciones con el modelo. • Escribir secuencias aritméticas y geométricas tanto recursivamente como con una fórmula explícita, usarlas para modelar situaciones y traducir entre las dos formas.
Construir y comparar modelos lineales, cuadráticos y exponenciales y resolver problemas. • Distinguir entre situaciones que pueden modelarse con funciones lineales y con funciones exponenciales. ◦ Demostrar que las funciones lineales crecen por diferencias iguales en intervalos iguales y que las funciones exponenciales crecen por factores iguales en intervalos iguales. ◦ Reconocer situaciones en las que una cantidad cambia a una tasa constante por intervalo unitario con respecto a otra. ◦ Reconocer situaciones en las que una cantidad crece o decrece a una tasa porcentual constante por intervalo unitario con respecto a otra. • Construir funciones lineales y exponenciales, incluyendo secuencias aritméticas y geométricas, dadas una gráfica, una descripción de una relación, o dos pares de entrada-salida (incluyendo la lectura de estos de una tabla). • Observar usando gráficas y tablas que una cantidad que aumenta exponencialmente eventualmente excede a una cantidad que aumenta linealmente, cuadráticamente, o (más generalmente) como una función polinomial. Interpretar expresiones para funciones en términos de la situación que modelan. • Interpretar los parámetros en una función lineal o exponencial en términos de un contexto.
• crear: hacer algo de la nada • describir: escribir o contar los detalles de • interpretar: explicar el significado de • graficar: trazar un conjunto de puntos en un plano de coordenadas • construir: construir (algo) juntando partes o materiales • escribir: registrar un enunciado matemático • determinar: resolver; averiguar • combinar: unir • relacionar: encontrar o mostrar la conexión entre dos o más cosas • representar: mostrar con una representación pictórica o una expresión numérica • utilizar: aplicar una estrategia • traducir: cambiar de una forma a otra • edificar: construir a partir de dos o más partes • comparar: observar las semejanzas y diferencias entre las cosas • resolver: hallar un valor que responda a una pregunta y/o haga verdadera una ecuación • distinguir: reconocer o comprender la diferencia entre dos cosas • demostrar: demostrar que una afirmación es verdadera • reconocer: ver y comprender • leer: mirar y comprender el significado de (material escrito o impreso) interpretando mentalmente los caracteres o símbolos que lo componen • observar: darse cuenta de algo y considerarlo importante • razonar: pensar, comprender y formarse juicios lógicos sobre algo SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBEN CONOCER LOS ESTUDIANTES? • relación: la regla en un patrón • fórmula: una afirmación o regla matemática escrita con símbolos • cantidad: un número o cantidad; una cantidad que dice cuánto • función: una relación especial entre valores; cada valor de entrada devuelve exactamente un valor de salida • contexto: la situación en la que algo se encuentra o sucede • simbólicamente: consistente en símbolos numéricos y algebraicos para formar una ecuación • tabla: un gráfico que contiene datos que se muestran en columnas y filas • intervalo: la cantidad de tiempo que pasa de un periodo de tiempo al siguiente; la distancia entre dos puntos • gráfico: una representación visual de datos • fórmula explícita: una fórmula para encontrar el enésimo término de una secuencia
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• fórmula recursiva: fórmula que define cada término de una secuencia utilizando el término o términos precedentes • operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación y división • secuencia aritmética: secuencia en la que los términos sucesivos difieren en el mismo número d, denominada diferencia común donde d ≠ 0 • secuencia geométrica: secuencia en la que la razón de los términos sucesivos es una constante r, llamada razón común, donde r ≠ 0 y r ≠ 1 • función lineal: una relación que cuando se representa gráficamente es una línea recta • función cuadrática: una función que puede escribirse de la forma f(x) = ax2 + bx + c = 0, donde a, b, y c son números reales y a ≠ 0, o de la forma f(x)=a(x-h)2 + k, donde a, h, y k son números reales y a ≠ 0 • función exponencial: una función de la forma de f(x)= abx donde a y b son números reales y a ≠ 0, b ≠ 1, y b > 0 • diferencias iguales sobre intervalos iguales: cómo crece una función lineal o la tasa de cambio de una función lineal; el cambio en la variable dependiente sobre un intervalo es igual al cambio en la variable dependiente sobre un intervalo del mismo tamaño en cualquier parte de la función. • tasa constante por intervalo unitario relativo a otro: cómo crece o decrece una función lineal • tasa porcentual constante por intervalo unitario relativo a otro: cómo crece o decrece una función exponencial; el factor de crecimiento de una función exponencial • par entrada-salida: un par ordenado en el que la entrada corresponde a la variable independiente en la columna izquierda de una tabla de funciones y la salida corresponde a la columna derecha de una tabla de funciones; un par ordenado se determina evaluando la función utilizando la entrada. • polinomio: una expresión matemática que consiste de varios términos • parámetro: una cantidad que influencia la salida o el comportamiento de un objeto matemático pero que se ve como si se mantuviera constante
IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA
• En niveles de grados anteriores, los estudiantes representaron, interpretaron y resolvieron ecuaciones basadas en el contexto de una situación. Los estudiantes representaron datos de un diagrama de dispersión o una tabla usando ecuaciones lineales. Los estudiantes resolvieron ecuaciones que implicaban distribución y reordenamiento de términos semejantes. Los estudiantes usaron triángulos similares para explicar por qué la pendiente m es la misma entre dos puntos distintos en una línea no vertical e identificaron funciones que no son lineales. • En este nivel de grado, los estudiantes ampliarán su comprensión de la pendiente para reconocer la tasa constante o la tasa porcentual constante por intervalo unitario. Los estudiantes también reconocerán y probarán que situaciones pueden ser modeladas y representadas por funciones lineales (secuencias aritméticas) y funciones exponenciales (secuencias geométricas).
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• En este nivel de grado, los estudiantes ampliarán su experiencia previa de construir y representar funciones lineales para construir y modelar con funciones lineales (secuencia aritmética) y exponenciales (secuencia geométrica) dada una gráfica, una descripción o dos pares ordenados. • En este nivel de grado, los estudiantes deben ser capaces de observar y explicar que una cantidad que aumenta exponencialmente eventualmente excede a una cantidad que aumenta linealmente, cuadráticamente o como una función polinómica. Esto lo entienden mejor los estudiantes cuando se les da una situación contextual para explorar. • Al aprender sobre reglas recursivas, los estudiantes pueden verbalizar una regla para 5, 8, 11, 14, ... como «sumar 3» y crear incorrectamente una función explícita como f(x) = x + 3 y no reconocer que la tasa de cambio es tres. Errores similares son comunes con una función exponencial (secuencias geométricas). Si un estudiante determina que la regla es «multiplicar por 4», entonces puede escribir incorrectamente g(x) = 4x. Hacer que los estudiantes establezcan conexiones entre la forma del gráfico, los pares ordenados y la regla puede ayudar a evitar este tipo de error. De manera similar, cuando los estudiantes están tratando de identificar y reconocer los diferentes tipos de tasas por intervalo unitario, es útil usar tablas y gráficas para investigar la forma de la gráfica y relacionar la forma de la gráfica con el tipo de tasa por intervalo unitario. • Cuando los estudiantes están construyendo funciones, es importante que las funciones se creen a partir de tablas, puntos de datos, descripciones verbales y gráficas. Los problemas deben mezclarse para que los estudiantes no dependan de títulos o etiquetas para saber el tipo de función que se presenta. Si a los estudiantes se les presenta un grupo de problemas que son todos secuencias aritméticas y luego un grupo de problemas que son todos secuencias geométricas, entonces los estudiantes no están desarrollando las habilidades para determinar qué tipo de información es modelada por una función lineal (aritmética) o exponencial (geométrica). • Al estudiar funciones y determinar que una cantidad que aumenta exponencialmente eventualmente excede a una cantidad que aumenta como un polinomio, es útil utilizar la tecnología para modelar funciones y acercar o alejar la imagen para mostrar el punto donde las funciones se cruzan. • Los estudiantes pueden tener problemas con el subíndice en Aₙ = A n- 1 + d. El uso de otras notaciones puede ayudar a crear fluidez para diferentes contextos y ayudar a construir conexiones entre los conceptos de funciones y secuencias. Otras notaciones útiles son la notación siguiente/ahora y la notación de función. Siguiente = Ahora + Diferencia y f(n + 1) = f(n) + d
• Los estudiantes pueden tener problemas para diferenciar entre encontrar un término especificado para una función definida explícitamente y una función definida recursivamente. Mientras utilizan tablas para organizar el trabajo, los estudiantes deben practicar escribiendo conjuntos de términos para cada secuencia, comparando sus cálculos para la regla explícita y la regla de función, y luego generalizando lo que han hecho.
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ALINEACIÓN VERTICAL GRADO 6
ESTÁNDAR Utilizar variables para representar números y escribir expresiones al resolver un problema matemático o de la vida real; comprender que una variable puede representar un número desconocido o, según el propósito, cualquier número de un conjunto específico. Utilizar variables para representar cantidades en un problema matemático o de la vida real, y construir ecuaciones y desigualdades sencillas para resolver problemas razonando sobre las cantidades. Reconocer y representar relaciones proporcionales entre cantidades.
7
a.
Decidir si dos cantidades están en relación proporcional, por ejemplo probando relaciones equivalentes en una tabla o representándolas en un plano de coordenadas y observando si la gráfica es una línea recta que pasa por el origen.
b.
Identificar la constante de proporcionalidad (tasa unitaria) en tablas, gráficas, ecuaciones, diagramas y descripciones verbales de relaciones proporcionales.
c.
Representar relaciones proporcionales mediante ecuaciones.
Explicar qué significa un punto (x, y) de la gráfica de una relación proporcional en términos de la situación, con especial atención a los puntos (0,0) y(1, r) donde r es la tasa unitaria. Entender que una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. La gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados formado por una entrada y la salida correspondiente. Comparar las propiedades de dos funciones representadas cada una de una manera diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas o mediante descripciones verbales). 8
Interpretar la ecuación y = mx+ b como definición de una función lineal, cuya gráfica es una línea recta; dar ejemplos de funciones que no son lineales. Describir cualitativamente la relación funcional entre dos cantidades analizando una gráfica (por ejemplo, si la función es creciente o decreciente, lineal o no lineal). Dibujar una gráfica que muestre las características cualitativas de una función descrita verbalmente. Construir una función para modelizar una relación lineal entre dos magnitudes. Determinar la tasa de variación y el valor inicial de la función a partir de la descripción de una relación o de dos valores (x, y), incluso a partir de una tabla o un gráfico. Interpretar la tasa de cambio y el valor inicial de una función lineal en términos de la situación que modela, y en términos de su gráfica o una tabla de valores. Reconocer que las secuencias son funciones, a veces definidas recursivamente, cuyo dominio es un subconjunto de los números enteros. Por ejemplo, la sucesión de Fibonacci se define recursivamente por 𝑓(0) = 𝑓(1) = 1, 𝑓(n + 1) = 𝑓(n) + 𝑓(n - 1) para n ≥ 1. Escribir una función que represente una relación entre dos cantidades. a.
Determinar una expresión explícita, un proceso recursivo o pasos para el cálculo a partir de un contexto.
b.
Combinar tipos de funciones estándar utilizando operaciones aritméticas. Por ejemplo, construir una función que modele la temperatura de un cuerpo que se enfría añadiendo una función constante a una exponencial decreciente, y relacionar estas funciones con el modelo.
Escribir secuencias aritméticas y geométricas tanto recursivamente como con una fórmula explícita, usarlas para modelar situaciones, y traducir entre las dos formas. Álgebra
Distinguir entre situaciones que pueden modelarse con funciones lineales y con funciones exponenciales. a.
Demostrar que las funciones lineales crecen por diferencias iguales sobre intervalos iguales, y que las funciones exponenciales crecen por factores iguales sobre intervalos iguales.
b.
Reconocer situaciones en las que una cantidad cambia a una tasa constante por intervalo unitario con respecto a otra.
c.
Reconocer situaciones en las que una cantidad crece o decrece con una tasa porcentual constante por intervalo unitario en relación con otra.
Construir funciones lineales y exponenciales, incluyendo secuencias aritméticas y geométricas, dada una gráfica, una descripción de una relación, o dos pares de entrada-salida (incluyendo la lectura de estos a partir de una tabla). Observar usando gráficas y tablas que una cantidad que crece exponencialmente eventualmente excede a una cantidad que crece linealmente, cuadráticamente, o (más generalmente) como una función polinómica. Interpretar los parámetros de una función lineal o exponencial en términos de un contexto.
Utilizar las propiedades de los exponentes para interpretar expresiones de funciones exponenciales. Álgebra 2
Construir y comparar modelos lineales, cuadráticos y exponenciales y resolver problemas. a. Para modelos exponenciales, expresar como logaritmo la solución de ab a la ct potencia = d donde a, c, y d son números y la base b es 2, 10, o e; evaluar el logaritmo utilizando la tecnología.
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INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA MONITOREAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA La guía de instrucción andamiada se proporciona para que los maestros puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones del alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que ayuda a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de la evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos según los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere que todos los estudiantes experimenten con los elementos: «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades», ya que cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar. 0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
80 % - 100 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil pueden trabajar en contenido de nivel de grado con apoyos de instrucción.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» individual para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 2. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante de acuerdo con sus datos de evaluación. 3. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la sección «Scaffolded Instruction Guide» en el menú desplegable «Home» del alcance. 4. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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229
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ÁLGEBRA 1: SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Constructor de fluidez • ¡A Pescar! Práctica interactiva
0 % - 25 %
Repaso y práctica de habilidades
• Primer contacto Prueba de habilidades
Alg.I - Secuencias aritméticas y geométricas Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (Preguntas 2-6) • Repaso (Secuencias aritméticas/geométricas, Traducir de fórmulas recursivas a explícitas, Interés simple y compuesto)
25 % - 50 %
Acceso a conocimientos previos
• Evaluación de control (Preguntas 3-10)
Combina tipos de funciones estándar utilizando operaciones aritméticas. Por ejemplo, construye una función que modele la temperatura de un cuerpo que se enfría añadiendo una función constante a una exponencial decreciente, y relaciona estas funciones con el modelo.
(Refuerzo del grado anterior)
8 - Tasa de cambio
8 - Funciones Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • ¡Bum! Prueba de habilidades
Alg.I - Secuencias aritméticas y geométricas Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (Preguntas 2-6) • Repaso (Secuencias aritméticas/geométricas, Traducir de fórmulas recursivas a explícitas, Interés simple y compuesto) • Evaluación de control (Preguntas 3-10)
Alg.I - Secuencias aritméticas y geométricas
Vocabulario ilustrado
Vocabulario ilustrado
Vocabulario interactivo Libreta interactiva Constructor de fluidezr • Arregla el error
(Nivel de grado)
Alg.I - Secuencias aritméticas y geométricas 50 % - 80 %
0 % - 25 % 25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyos) (Nivel de grado)
50 % - 80 %
Determinar una expresión explícita, un proceso recursivo o pasos para el cálculo a partir de un contexto.
(Refuerzo del grado anterior)
a.
d.
(Nivel de grado con apoyos)
Escribir una función que describa una relación entre dos cantidades.
Escriba una función que describa una relación entre dos cantidades.
Vocabulario interactivo Libreta interactiva Constructor de fluidezr • Arregla el error
¿Qué preferirías? Tablero de opciones
230
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80 % - 100 %
Alg.I - Secuencias aritméticas y geométricas
Ciencia de datos
(Ampliación del nivel de grado)
80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
Ciencia de datos
Alg.I - Secuencias aritméticas y geométricas ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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1/9/26 1:32 PM
ÁLGEBRA 1: SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Distinguir entre situaciones que se pueden modelar con funciones lineales y con funciones exponenciales.
Escribir secuencias aritméticas y geométricas tanto recursivamente como con una fórmula explícita, usarlas para modelar situaciones y traducir entre las dos formas.
a.
Demostrar que las funciones lineales crecen por diferencias iguales en intervalos iguales, y que las funciones exponenciales crecen por factores iguales en intervalos iguales.
b.
Reconocer situaciones en las que una cantidad cambia a una tasa constante por intervalo unitario en relación con otra.
c.
Reconocer situaciones en las que una cantidad crece o decrece a una tasa porcentual constante por intervalo unitario en relación con otra.
8 - Tasa de cambio
8 - Comparar funciones
Repaso y práctica de habilidades
Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez
• ¡A pescar!
•
Práctica interactiva
•
• Primer contacto Prueba de habilidades
Constructor de fluidezr • Concentración
0 % - 25 %
8 - Representar relaciones funcionales Repaso y práctica de habilidades
Concentración
Práctica interactiva
Práctica interactiva • ¿Cuál es mi función?
(Refuerzo del grado anterior)
0 % - 25 %
(Refuerzo del grado anterior)
Constructor de fluidez
Prueba de habilidades
Unión de funciones
Prueba de habilidades 8 - Tasa de cambio Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez •
¡A pescar!
Práctica interactiva •
Primer contacto
Cuestionario de habilidades 8 - Representar relaciones funcionales
Repaso y práctica de habilidades • Repaso (Secuencias aritméticas/geométricas, Traducir de fórmulas recursivas a explícitas) 25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyos)
Vocabulario interactivo Libreta interactiva Constructor de fluidezr
Tablero de opciones
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Repaso y práctica de habilidades •
Revisión rápida (Preguntas 1-6)
•
Repaso (Secuencias aritméticas/geométricas, Interés simple y compuesto)
•
Evaluación de control (Preguntas 1-10)
(Nivel de grado)
Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva Constructor de fluidezr •
Arregla el error
Ciencia de datos
Alg.I - Secuencias aritméticas y geométricas ¿Qué preferirías?
Alg.I - Secuencias aritméticas y geométricas
Alg.I - Secuencias aritméticas y geométricas 50 % - 80 %
• Arregla el error
¿Cuál es mi línea?
Cuestionario de habilidades
• Evaluación de control (Preguntas 3-10)
Ciencia de datos (Ampliación del nivel de grado)
•
• Revisión rápida (Preguntas 2-6)
Vocabulario ilustrado
Concentración
Práctica interactiva
(Ampliación del nivel de grado)
(Nivel de grado)
50 % - 80 %
•
Acceso a conocimientos previos
Alg.I - Secuencias aritméticas y geométricas
80 % - 100 %
Constructor de fluidez
Alg.I - Secuencias aritméticas y geométricas
80 % - 100 %
(Nivel de grado con apoyos)
25 % - 50 %
Repaso y práctica de habilidades
Alg.I - Secuencias aritméticas y geométricas ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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1/9/26 1:32 PM
ÁLGEBRA 1: SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Observar mediante gráficos y tablas que una cantidad que aumenta exponencialmente eventualmente supera a una cantidad que aumenta linealmente, cuadráticamente o (más generalmente) como una función polinómica.
8 - Tasa de cambio Constructor de fluidez • ¡A pescar! Práctica interactiva • Primer contacto
0 % - 25 %
0 % - 25 %
(Refuerzo del grado anterior)
Repaso y práctica de habilidades
Prueba de habilidades 8 - Patrones en datos de dos variables Repaso y práctica de habilidades
(Refuerzo del grado anterior)
Construir funciones lineales y exponenciales, incluyendo secuencias aritméticas y geométricas, dada una gráfica, una descripción de una relación, o dos pares de entrada-salida (incluir la lectura de estos de una tabla).
8 - Modelar relaciones de funciones Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Concentración Práctica interactiva • ¿Cuál es mi línea? Prueba de habilidades
Constructor de fluidezr
25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyos)
50 % - 80 %
(Nivel de grado)
80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
• ¡Bum!
25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyos)
Prueba de habilidades Alg.I - Secuencias aritméticas y geométricas Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (Preguntas 2-6) • Repaso (Secuencias aritméticas/geométricas, Traducir de fórmulas recursivas a explícitas, Interés simple y compuesto)
50 % - 80 %
Repaso y práctica de destrezas • Comprobación (Pregunta 6)
• Evaluación de control (Preguntas 3-10)
Alg.I - Secuencias aritméticas y geométricas (Nivel de grado)
Alg.I - Secuencias aritméticas y geométricas
Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva Constructor de fluidezr
Alg.I - Secuencias aritméticas y geométricas Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo
• Arregla el error
80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
Ciencia de datos
Alg.I - Secuencias aritméticas y geométricas ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
232
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Alg.I - Secuencias aritméticas y geométricas Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
(Refuerzo del grado anterior) (Nivel de grado con apoyos)
25 % - 50 %
0 % - 25 %
Interpretar los parámetros de una función lineal o exponencial en términos de un contexto. [Lineal y exponencial de la forma f (x) = bˣ + k].
8 - Tasa de cambio Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • ¡A Pescar! Práctica interactiva • Primer contacto Prueba de habilidades
Alg.I - Secuencias aritméticas y geométricas Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (Preguntas 2-6) • Repaso (Secuencias aritméticas/geométricas, Traducir de fórmulas recursivas a explícitas, Interés simple y compuesto) • Evaluación de control (Preguntas 3-10)
(Nivel de grado)
50 % - 80 %
Alg.I - Secuencias aritméticas y geométricas Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva Constructor de fluidezr • Arregla el error
(Ampliación del nivel de grado)
80 % - 100 %
Ciencia de datos
Alg.I - Secuencias aritméticas y geométricas ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
ATRAER: ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS Arithmetic and Geometric Sequences
EVALUAR PREVIAMENTE LOS CONOCIMIENTOS DE LOS ESTUDIANTES
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: ACUERDO O DESACUERDO
Agree or Disagree Amount of Gas in Sam’s Motorcycle (gallons)
ESTÁNDAR PREVIO Identificar la constante de proporcionalidad (tasa unitaria) en tablas, gráficos, ecuaciones, diagramas y descripciones verbales de relaciones proporcionales.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes leerán diferentes respuestas de estudiantes a una pregunta planteada sobre el estándar previo, decidirán si están de acuerdo o en desacuerdo con el estudiante y explicarán su razonamiento.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 Acuerdo o desacuerdo (por estudiante)
Miles Traveled
2
80
4
120
6
160
Decide whether you agree or disagree with each statement in the following scenarios, and circle the corresponding word. Justify your answer. 1.
Sam can travel up to 50 miles on 3 gallons of gas. Agree
Disagree
Reasoning:
2.
The dependent variable is miles traveled. Agree
Disagree
Reasoning:
3.
Sam can travel 360 miles on 14 gallons of gas. Agree
Disagree
Reasoning:
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de «Acuerdo o desacuerdo» para cada estudiante.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE APOYO 1. Pida a los estudiantes que realicen la actividad «Acuerdo o desacuerdo» de forma independiente. 2. Una vez que los estudiantes hayan realizado la actividad solos, pídales que se pongan de pie. 3. Pida a todos los estudiantes que caminen por el aula con las manos en alto en posición de chocar los cinco. 4. Cuando usted lo indique, los estudiantes se detendrán y chocarán los cinco con la persona que tengan más cerca. Ésta será su pareja. 5. Conceda a los estudiantes un par de minutos para que comenten juntos sus respuestas y justificaciones.
1
ACUERDO O DESACUERDO
IDENTIFICACIÓN DE CONCEPTOS ERRÓNEOS
• Los estudiantes pueden confundir las variables independiente y dependiente. Recuerde a los estudiantes que la variable dependiente tiene que depender de algo más. En este escenario, la cantidad de gasolina que tiene la motocicleta determina qué tan lejos puede viajar Sam. • Entiendan que una vez que encuentren la tasa de cambio (pendiente) pueden averiguar las respuestas a los números 1 y 3.
6. A continuación, puede continuar tantas veces como quiera con diferentes parejas. 7. Comente las respuestas en clase. Permita que los estudiantes expliquen su razonamiento para cada problema. a. En desacuerdo b. De acuerdo c. En desacuerdo 8. Si los estudiantes tienen dificultades para completar esta tarea, realice el ejercicio «Constructor de bases fundamentales» para llenar el vacío en los conocimientos previos antes de pasar a otras partes del alcance.
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ÁLGEBRA 1: SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
ATRAER: CAPTAR INTERÉS Arithmetic and Geometric Sequences
LECCIÓN PARA CAPTAR INTERÉS
CAPTAR INTERÉS
Option 1: An = 5 + 5(n – 1)
DESCRIPCIÓN
Option 2: An = 5(2n – 1)
Los estudiantes relacionarán secuencias con una situación del mundo real.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 secuencias aritméticas y geométricas (por clase) SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
PREPARACIÓN
• Planee mostrar el video. • Prepárese para proyectar «Secuencias aritméticas y geométricas» para que toda la clase las vea. • Prepárese para presentar el escenario y para animar a los estudiantes a pensar en cómo resolverlo. Prepárese para pasar a las actividades de «Explorar», y regrese a la actividad «Captar interés» con los nuevos conocimientos adquiridos una vez que se hayan completado las exploraciones.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA 1. Presente esta actividad al comienzo del alcance. La clase retomará la actividad y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades correspondientes a «Explorar». 2. Explique la situación mientras muestra el vídeo detrás de usted. «Un centro comunitario local está colocando un nuevo patrón de baldosas para cubrir sus suelos. Cada fila contiene cinco baldosas, y el patrón sigue creciendo a medida que llenan más y más el suelo». 3. Haga las siguientes preguntas a los estudiantes: «¿Qué les llama la atención? ¿Qué se preguntan? ¿Dónde puedes ver matemáticas en esta situación?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Me he dado cuenta de que las fichas se repiten una y otra vez. Me pregunto cuánto tiempo durarán las baldosas. Podríamos calcular cuántas baldosas se necesitan para llenar un área determinada. Me pregunto si las baldosas se colocan a un ritmo constante. 4. Proyecte «Secuencias aritméticas y geométricas». 5. Explique que el equipo del proyecto del centro comunitario creó dos números potenciales de baldosas que se colocan en el suelo después de cada día. Comente las siguientes preguntas: a.
b.
DOK-1 «¿En qué se parecen y en qué se diferencian las dos ecuaciones?». Permita que los estudiantes compartan sus ideas. Las respuestas de los estudiantes variarán. Ambas ecuaciones tienen un 5. Una ecuación implica la adición de la misma cantidad y la otra implica la multiplicación de la misma cantidad. DOK-2 «¿Qué ecuación representa un crecimiento más rápido de las baldosas?». La opción 2 eventualmente representa un crecimiento más rápido de las baldosas después de que las dos comienzan con los mismos dos valores iniciales. Una vez que n = 3, está claro que la opción 2 crece más rápido ya que su valor de 20 es mayor que el valor de la opción 1.
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REUTILIZABLES
• 1 vídeo de fenómenos (por clase)
6. Comunique a los estudiantes que la siguiente pregunta guía se utilizará a lo largo de todo el tema: «¿Cómo generamos reglas a partir de patrones?». 7. Pase a completar las actividades de «Explorar». PARTE II: DESPUÉS DE EXPLORAR
1. Vuelva a mostrar el video de fenómenos y replantee el problema. 2. Consulta «Secuencias aritméticas y geométricas» y Plantee las siguientes preguntas: a. DOK-1 «¿Tienen más sentido estas ecuaciones después de las exploraciones?». Sí, la primera ecuación representa una secuencia aritmética, y la segunda ecuación, una secuencia geométrica. b. DOK-1 «¿Qué determina si una secuencia es aritmética o geométrica?». Las secuencias aritméticas tienen una diferencia común entre los términos, y las secuencias geométricas tienen un factor común entre los términos. c. DOK-2 «¿Qué tipo de ecuación tiene más sentido para colocar baldosas en un centro comunitario?». Las respuestas pueden variar. Las baldosas colocadas en el suelo del centro comunitario probablemente crecerán a un ritmo constante, por lo que la secuencia aritmética es la que tiene más sentido. Si más y más personas se unen al proyecto, entonces una secuencia geométrica podría tener sentido si los trabajadores del centro comunitario pueden encontrar una manera de colocar el doble de baldosas que el día anterior. d. DOK-2 «¿Qué representan los números en cada una de las ecuaciones?». En la ecuación An = 5 + 5(n - 1), el 5 inicial es el número de baldosas colocadas al cabo de un día y el 5 siguiente es el número de baldosas añadidas cada día. En la ecuación An = 5(2n - 1), el 5 es el número de baldosas colocadas el primer día y el 2 es el factor común, lo que significa que el número de baldosas se duplica cada día. e. DOK-1 «¿Consideras que comprendes bien las secuencias?». Las respuestas variarán en función del éxito de los estudiantes durante la actividad y de su nivel de confianza.
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ÁLGEBRA 1: SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 1: IDENTIFICAR Y CONSTRUIR SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizarán datos para distinguir entre secuencias aritméticas y geométricas. Los estudiantes escribirán ecuaciones explícitas para encontrar los n términos en secuencias aritméticas y geométricas.
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes interpretarán y comprenderán el significado de un problema buscando puntos de partida y analizando lo que se les da. Los estudiantes verán relaciones entre varias representaciones. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes aplicarán las matemáticas que conocen para resolver problemas de la vida cotidiana. Los estudiantes representarán las matemáticas para describir una situación ya sea con una ecuación o un diagrama e interpretarán los resultados de una situación matemática. Los estudiantes reflexionarán sobre si su resultado tiene sentido, posiblemente mejorando o revisando el modelo. • MP.7 Buscar y utilizar estructuras: Los estudiantes buscarán la estructura general y los patrones en las matemáticas. Los estudiantes verán las cosas complicadas como objetos individuales o como compuestos de varios objetos. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes comprenderán la aplicación más amplia de los patrones y verán la estructura en situaciones similares. Los estudiantes verán el proceso general del problema y seguirán prestando atención a los detalles.
MATERIALES IMPRESOS • 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de tarjetas para apilar vasos (por grupo) • 1 juego de tablas para apilar vasos (por grupo) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes) REUTILIZABLE
• 1 bolsa resellable (por grupo)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 2 o 3 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» para cada uno. • Imprima un juego de «Tarjetas para apilar vasos» para cada grupo de estudiantes. Recorte las tarjetas y colóquelas dentro de una bolsa con cierre etiquetada como "Parte I".
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Su equipo se ha ofrecido voluntario para organizar y juzgar el torneo de apilar copas de la escuela secundaria. El juez principal afirma que no todas estas secuencias de montajes de apilamiento siguen los criterios para cada ronda de la competición. Ayuda al juez principal a determinar qué montajes cumplen los criterios para la ronda 1 y la ronda 2». 2. Entregue «Diario del estudiante» a cada uno. 3. Entregue una bolsa de «Tarjetas para apilar vasos» a cada grupo. 4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para analizar los cuatro montajes de apilamiento de vasos en las «Tarjetas para apilar vasos» para determinar qué montajes cumplen los criterios para la ronda 1 y qué montajes cumplen los criterios para la ronda 2 de la competición. Los estudiantes anotarán su trabajo en sus «Diarios del estudiante». 5. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientadoras para evaluar la comprensión: a. DOK-1 «¿Qué permanece constante en cada uno de los montajes de vasos?». El número de vasos que se suman, restan, multiplican o dividen permanece constante y nunca cambia en cada configuración de vasos. b. DOK-2 «¿Qué cambios observas en cada una de las configuraciones de vasos?». Algunas configuraciones de vasos aumentan, mientras que otras disminuyen. Algunos de los montajes de vasos aumentan o disminuyen sumando o restando el mismo número entre cada pila. Otras configuraciones de vasos aumentan o disminuyen multiplicando o dividiendo por el mismo número entre cada pila. 6. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte I y responder a las preguntas que siguen. 7. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta ahora.
• Imprima un juego de «Tablas para apilar vasos» para cada grupo de estudiantes. • Imprima un «Boleto de salida» para cada pareja. Corte los «Boletos de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno.
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1/9/26 1:32 PM
ÁLGEBRA 1: SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
Arithmetic and Geometric Sequences Explore 1
Arithmetic and Geometric Sequences Explore 1
7.
Who Stacks Up?
Look for patterns in the Cup Stacking Charts to help you complete the first four columns of the table, answer the questions, and determine the missing number of cups for the next terms. Do not attempt to fill in the blank in the last column until after you have answered question 11.
Competitor 2
Part I
Look for patterns in the Cup Stacking Cards. Use those patterns to help you answer the questions to determine which setups are allowed for each round of the competition. 1.
Round 1 of the cup stacking tournament must use setups that increase or decrease by the same number of cups each time. Which setups can be used in round 1? Setups 1 and 4
2.
By how much do each of these stacking setups differ? Setup 1 differs by adding 2 each time. Setup 4 differs by adding 3 each time.
3.
Round 2 of the cup stacking tournament must use setups that are multiplied or divided by the same number each time. Which setups can be used in round 2? Setups 2 and 3
4.
What are the numbers that are multiplied or divided in each of these stacking cup setups? Setup 2 is multiplied by 3 each time. Setup 3 is divided by 2 each time.
5.
Sketch a cup stacking setup that meets the criteria for round 1. Answers will vary.
a.
Identify the constant number of cups being added to or subtracted from each stack. Answers will vary.
b.
How many cups would be in the 4th stack? Answers will vary.
c.
Can you easily predict the number of cups needed in the 100th stack? Explain. No, you can’t easily predict the number because it would take a very long time to calculate the number of cups one stack at a time.
Number of Cups in the First Term
Pattern/ Common Ratio
Fifth Term
Fifth Term Work
100th Term Work
3
Multiply by 2
48
2·2·2·2 3 · (_______) or 3 · (24)
99 3·2
8.
What is the rule or pattern in Competitor 2’s table that led you to the fifth term? The number of cups doubles from the original 3 in each successive term.
9.
Starting at the first term, how many times would you need to multiply by 2 to get to the 2nd term? How many times would you need to multiply by 2 to get to the 5th term? You would need to multiply by 2 once to get to the 2nd term. You multiply by 2 four times to the starting value of 3 to get to the fifth term.
10.
What is another way to write the multiplication you expressed for the fifth term in question 9? 24
11.
How many times do you think we would need to double the starting value of 3 to get to the 100th term? Why? Use your answer to fill in the blank in the last column of the table. You would have to multiply the first term by two 99 times in order to find the 100th term because we need to double one fewer 3 than the term number.
12.
How could you represent the number of times you would need to double the starting value of 3 in order to get the nth term? n – 1. It is one fewer than the term number.
13.
Write an equation or rule that will determine the number of cups for competitor 2, and use your equation to find the 12th term. Answers may vary. Number of cups = 3 · 2n – 1 The 12th term is 6,144.
1
Arithmetic and Geometric Sequences Explore 1
Part II 1.
Arithmetic and Geometric Sequences Explore 1
Reflect
Look for patterns in the Cup Stacking Charts to help you complete the first four columns of the table, answer the questions, and determine the missing number of cups for the next terms. Do not attempt to fill in the blank in the last column until after you have answered question 4.
1.
If the competition involves making 12 stacks, which competitor’s equation seems more realistic? Competitor 1’s equation seems more realistic because 38 cups in their 12th stack is much more attainable than competitor 2, whose terms grew much more quickly and predicted 6,144 cups in their 12th stack.
2.
Why did the rules you generated for the nth term of each competitor both contain (n – 1)? Both rules contain the expression n – 1 for the nth term because you add the common difference or multiply the common ratio by the first term one fewer times than the actual term number you want to find.
3.
What are two ways to know if a sequence is arithmetic? You know a sequence is arithmetic if you are always adding or subtracting the same number to get the value of the next term. You also know a sequence is arithmetic if you subtract the value of two consecutive terms and always get the same number.
4.
What are two ways to know if a sequence is geometric? You know a sequence is geometric if you are always multiplying or dividing by the same number to get the value of the next term. You also know a sequence is geometric if you divide the value of two consecutive terms and always get the same number.
5.
Compare and contrast arithmetic and geometric sequences. Both arithmetic and geometric sequences follow a pattern which can be used to determine the nth term. Arithmetic sequences have a constant difference, where the value of the nth term increases or decreases by adding or subtracting the same number each time. Geometric sequences have a constant ratio, where the value of the nth term increases or decreases by multiplying or dividing by the same number each time.
6.
Is 3, 3, 3, 3 a geometric sequence? Why or why not? Yes, it is a geometric sequence because there is a growth factor of 1. Each term of 3 multiplied by the constant ratio of 1 will produce the following value of 3.
Competitor 1 Number of Cups in the First Term 6 2.
Pattern/ Common Difference Add 3
Fifth Term
Fifth Term Work
100th Term Work
18
4 6 + 3(___) or 6+3+3+3+3
99 6 + 3(___)
3
What is the rule or pattern in Competitor 1’s table that led you to the fifth term? Three cups get added to the original 6 in each term.
3.
Starting at the first term, how many times would you need to add 3 to get to the 2nd term? How many times would you need to add 3 to get to the 5th term? You would need to add 3 once to get to the 2nd term. You add 3 four times to the starting value of 6 to get to the fifth term.
4.
How many times do you think we would need to add 3 to the starting value of 6 to get to the 100th term? Why? Use your answer to fill in the blank in the last column of the table. You would have to add 3 to the first term 99 times in order to find the 100th term because we need to add one fewer 3 than the term number.
5.
How could you represent the number of times you would need to add 3 to the starting value of 6 in order to get the nth term? n – 1. It is one fewer than the term number.
6.
Write an equation or rule that can be used to find the nth term, and then use your equation to find the 12th term. Answers may vary. Number of cups = 6 + 3(n – 1) The 12th term is 39. 2
4
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Arithmetic and Geometric Sequences Explore 1
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 «¿Cuáles son las dos maneras en que las configuraciones de apilar tazas muestran un cambio?». Pueden cambiar sumando o restando el mismo número de tazas o multiplicando o dividiendo el mismo número de tazas entre cada pila de tazas. • DOK-2 «Los matemáticos llaman a estos cambios diferencia común o razón constante. ¿Qué término crees que se aplica a la suma/resta? ¿Qué término crees que se aplica a la multiplicación/división? ¿Por qué?». La diferencia común se aplica al cambio de sumar/restar porque la palabra diferencia es la palabra para la respuesta cuando restas. La razón constante se aplica al cambio de multiplicar/dividir porque la palabra razón es una palabra clave que implica fracciones o proporciones en matemáticas. • DOK-1 «Los matemáticos llaman a las secuencias con una diferencia común secuencias aritméticas. Las secuencias con un cociente constante reciben el término secuencias geométricas. «¿Cuáles de las configuraciones de la pila de vasos son aritméticas y cuáles geométricas?». Las configuraciones 1 y 4 son secuencias aritméticas. Las configuraciones 2 y 3 son secuencias geométricas. • DOK-1 «Si predecir el número de tazas que se necesitarían para la pila 100 es demasiado difícil, ¿qué crees que podría usarse para determinar la respuesta fácilmente?». Crear una ecuación en la que sustituyas el valor del n término sería una forma fácil de determinar cuántos vasos se necesitan para construir la pila número 100. Los matemáticos llaman a estas ecuaciones explícitas. Las ecuaciones explícitas te permiten calcular cualquier término de una secuencia aritmética o geométrica sin conocer el valor de los términos anteriores. PARTE II
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Ahora el juez principal confía en su equipo para empezar a juzgar algunas competiciones de apilamiento de vasos. En la ronda 2, los competidores deben apilar en secuencias, y el juez necesita registrar el número de tazas apiladas por cada competidor. Tu equipo juzga a dos competidores antes de darse cuenta de que ha dejado de registrar después de 4 términos. Por suerte, el juez principal os dice que no os preocupéis; podéis calcular cualquier término para la secuencia de cada competidor. ¿Puedes averiguar cómo salvar la reputación de los miembros de tu equipo como buenos jueces?». 2. Entregue un juego de gráficos de apilamiento de copas a cada grupo de estudiantes. 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para analizar las «Tablas para apilar vasos» y determinar el valor del quinto término que falta en la configuración de apilamiento de vasos de cada competidor. 4. Los estudiantes trabajarán juntos para usar los patrones identificados en la configuración de apilamiento de vasos de cada competidor para crear una ecuación explícita que pueda usarse para encontrar cualquier n término y registrar su trabajo en sus «Diarios del estudiante».
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SS NA-Math TE A1-V1.indb 238
Identifying and Constructing Arithmetic and Geometric Sequences Exit Ticket Which equation represents an arithmetic sequence that has a common difference of 3 and a first term of 9? A.
An = 1 + 3(n – 1)
B.
An = 9 + 3(n – 1)
C.
An = 1 + 9(n – 1)
D.
An = 3 + 9(n – 1)
Arithmetic and Geometric Sequences Explore 1
Identifying and Constructing Arithmetic and Geometric Sequences Exit Ticket Which equation represents an arithmetic sequence that has a common difference of 3 and a first term of 9? A.
An = 1 + 3(n – 1)
B.
An = 9 + 3(n – 1)
C.
An = 1 + 9(n – 1)
D.
An = 3 + 9(n – 1)
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
5. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientadoras para evaluar la comprensión: a. DOK-1 «¿Cuáles son los dos tipos de secuencias?». Aritméticas y geométricas b. DOK-1 «¿Qué secuencia tiene una diferencia común y qué secuencia tiene una razón constante?». La aritmética tiene una diferencia común y la geométrica tiene una razón constante. c. DOK-2 «Si conoces el número de vasos en la cuarta pila y conoces la diferencia común o razón constante, ¿cómo puedes determinar el número de vasos en la quinta pila (o quinto término)?». Para determinar cuántos vasos debe haber en el quinto montón, toma el número de vasos del cuarto montón y súmale o réstale la diferencia común o multiplícalo o divídelo por la razón constante. d. DOK-1 «¿Cuál es una manera más eficiente de escribir 3 sumado a sí mismo cuatro veces?». Utiliza la multiplicación, por tanto 3 - 4. e. DOK-1 «¿Cuál es la forma más eficiente de escribir 2 multiplicado por sí mismo cuatro veces?». Usa un exponente, así 24. f. DOK-2 «¿Cómo puedes crear una ecuación explícita para determinar cualquier n término de la configuración de apilamiento de vasos de cada competidor?». Para crear una ecuación explícita que funcione para cualquier n término para cada competidor, necesitas incluir el d o r y el primer término, así como considerar en qué término comienzas a sumar, restar, multiplicar o dividir. ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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ÁLGEBRA 1: SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Arithmetic and Geometric Sequences Part 1
6. Conceda a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte II y responder las preguntas que siguen.
Identify and Construct Arithmetic and Geometric Sequences
7. Después de la «Exploración» invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje.
Determine whether each situation below represents an arithmetic or geometric sequence. Justify your reasoning. 1.
You complete a finance project for your economics class. You start the month with $50. Each week, you earn a quarter of the total in your account. This is a geometric sequence because there is a constant ratio of 1 .
CHARLA DE MATEMÁTICAS
4
2.
Your economics partner’s finance project started with $50. Each week, their account grows by $15. This is an arithmetic sequence because there is a constant difference of $15.
3.
A workout bike costs $599. The subscription program costs $49.99 per month. This is an arithmetic sequence because there is a constant difference of $49.99.
4.
Ishaan wants to move up from the junior varsity to the varsity swim team. He has been swimming laps for 30 minutes a day. He decides that each day for the next two weeks he will increase his practice time by 5 minutes. This is an arithmetic sequence because there is a constant difference of 5.
5.
You are observing the burn rate for various kinds of oak wood. You start with a whole log of wood. It loses 1 of its size every 10 minutes. 3 4 This is a geometric sequence because there is a constant ratio of .
6.
Which equation represents an arithmetic sequence that has a common difference of 19 and a first term of −4?
Explique lo siguiente a la clase: «Cuando escribamos una ecuación para una sucesión, usaremos la fórmula que tiene como resultado An. La fórmula explícita para una sucesión aritmética es An = A1 + d(n - 1), donde A1 es el primer término y d es la diferencia común. La fórmula explícita para una sucesión geométrica es An = A1(r)n - 1, donde A1 es el primer término y r es el cociente común».
4
7.
A.
An = 1 + 19(n – 1)
B.
An = 19 + −4(n – 1)
C.
An = 1 + −4(n – 1)
D.
An = −4 + 19(n – 1)
Determine the 11th term for the equation you found in question 6. 186
1
Arithmetic and Geometric Sequences Part 1
8.
Identify whether each of the following sequences is arithmetic, geometric, or neither, and justify your response. If the sequence is arithmetic or geometric, find the 10th term.
a. 13, 3, −7, −17, … This is an arithmetic sequence because the common difference is −10 (adding −10 to each term gives the next term). To find the 10th term, substitute A1= 13, n = 10, and d = −10 into the formula. An = A1 + (n – 1)d A10 = 13 + (10 – 1)(−10) A10 = 13 + (−90) A10 = −77
An = A1(r)n – 1 A10 = 6(−3)10 – 1 A10 = 6(−3)9 A10 = 6(−3)9 A10 = −118,098 c. 1, 5, 10, 16, 23, … This is neither because the difference between each term is, respectively, 4, 5, 6, 7… This means there is no common difference. Each term is also not multiplied by the same number every time to get a common ratio. Create a new scenario for an arithmetic sequence. Then, find the equation and 10th term. Arithmetic scenario: Answers will vary. The scenario should contain an initial value and a constant difference. Equation and 10th term: Answers will vary. The equation should follow the formula An = A1 + (n – 1)d using values from their scenario. Check student work for the 10th term in which they substitute n = 10.
2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS
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• DOK-2 «¿Cuáles son los valores de A1 y d de la pregunta 6 de la parte II de tu «Diario del estudiante»? ¿Cómo habría cambiado esta ecuación si la diferencia común hubiera sido 7?». El valor de A1 era 6, y el valor de d era 3. Si la diferencia común hubiera sido 7, habría escrito una ecuación con un coeficiente de 7, no de 3. • DOK-2 «¿Cuáles son los valores de A1 y r de la pregunta 13 del «Diario del estudiante»en la parte II? ¿Cómo habría cambiado esta ecuación si el cociente común hubiera sido 4?». El valor de A1 era 3, y el valor de r era 2. Si la razón común hubiera sido 4, habría escrito una ecuación con base 4, no 2. • DOK-2 «Describa la diferencia entre secuencias aritméticas y geométricas». Las secuencias aritméticas tienen una diferencia constante, donde el valor del n término aumenta o disminuye sumando o restando el mismo número cada vez. Las secuencias geométricas tienen una razón constante, donde el valor del n término aumenta o disminuye multiplicando o dividiendo por el mismo número cada vez. • DOK-2 «¿Por qué es útil poder escribir ecuaciones para secuencias aritméticas y geométricas?». Escribir ecuaciones es útil para encontrar el valor de un n término que requeriría una cantidad excesiva de sumas, restas, multiplicaciones o divisiones. Las ecuaciones le permiten encontrar el valor simplemente introduciendo el n término para encontrar el valor correcto.
b. 6, −18, 54, −162, … This is a geometric sequence because the common ratio is −3 (each subsequent term is multiplied by −3 to get the next term). To find the 10th term, substitute A1 = 6, n = 10, and r = −3 into the formula.
9.
• DOK-1 «Las fórmulas para una secuencia geométrica y una aritmética tienen una salida de Una. ¿Qué variable usaste cuando escribiste Las ecuaciones en las preguntas 6 y 13?». Sólo escribí las palabras "número de tazas".
• DOK-3 «Si se le da una secuencia aritmética donde la diferencia común aumenta con cada término, ¿cómo podría identificar esto dentro de la ecuación? ¿Cómo podrías saber si una secuencia geométrica aumenta con cada término por su razón constante?». Podrías saber si una secuencia aritmética aumenta o disminuye con cada término observando si el valor de d es positivo o negativo dentro de la ecuación. Puedes saber si una secuencia geométrica es creciente o decreciente con cada término observando si el valor de r es un número entero o una fracción. Una fracción significa que los términos están disminuyendo.
8. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
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ÁLGEBRA 1: SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Haga que los estudiantes completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. Complete el «Esquema de anclaje» como clase. Haga que cada estudiante llene su «Libreta interactiva».
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Los estudiantes pueden tener dificultad para recordar cuáles son secuencias aritméticas y geométricas. Recuerde a los estudiantes que las secuencias aritméticas tienen una constante (diferencia común) que se suma o se resta en cada paso. Las secuencias geométricas implican multiplicación/división y tienen un cociente constante. 2. Los estudiantes pueden tener dificultades para determinar el n término de una secuencia. Anímeles a que lo averigüen sumando la diferencia común/ multiplicando por el cociente constante tantas veces como sea necesario hasta llegar al término en cuestión. A continuación, comprueba ese término con el que obtienen al crear la ecuación An. Ayude a los estudiantes a centrarse en los patrones de creación de cada término sucesivo. 3. Los estudiantes pueden tener dificultades para determinar si una secuencia dada es aritmética o geométrica. Anímelos a encontrar tanto diferencias comunes como cocientes constantes entre términos sucesivos y a ver cuál funciona más adelante en la secuencia.
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APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes. Los estudiantes utilizarán los conocimientos previos como vínculo para comprender la lengua inglesa. Principiante: Como actividad previa a la clase, muestre a los estudiantes un vídeo de una competición de apilar vasos. A continuación, pida a los estudiantes que realicen un desafío cronometrado de apilar vasos para que adquieran conocimientos previos para esta actividad de «Explorar». Intermedio: Como actividad previa a la clase, muestre a los estudiantes un vídeo de una competición de apilar vasos. A continuación, pida a los estudiantes que realicen un desafío cronometrado de apilar vasos para proporcionarles conocimientos previos para esta actividad de «Explorar». Avanzado: Como actividad previa a la clase, muestre a los estudiantes un vídeo de una competición de apilar vasos. A continuación, pídales que realicen un desafío cronometrado de apilamiento de vasos para que adquieran conocimientos previos para esta actividad de «Explorar».
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ÁLGEBRA 1: SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 2: CREAR ECUACIONES RECURSIVAS Y EXPLÍCITAS DESCRIPCIÓN Los estudiantes construirán fórmulas recursivas para secuencias aritméticas y geométricas. Los estudiantes convertirán fórmulas recursivas en explícitas.
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes interpretarán y comprenderán el sentido de un problema buscando puntos de partida y analizando lo que se les da. Los estudiantes verán relaciones entre varias representaciones. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes aplicarán las matemáticas que conocen para resolver problemas de la vida cotidiana. Los estudiantes representarán las matemáticas para describir una situación ya sea con una ecuación o un diagrama e interpretarán los resultados de una situación matemática. Los estudiantes reflexionarán sobre si su resultado tiene sentido, posiblemente mejorando/revisando el modelo. • MP.7 Buscar y utilizar estructuras: Los estudiantes buscarán la estructura general y los patrones en las matemáticas. Los estudiantes verán las cosas complicadas como objetos individuales o como compuestos de varios objetos. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes comprenderán la aplicación más amplia de los patrones y verán la estructura en situaciones similares. Los estudiantes verán el proceso general del problema y seguirán prestando atención a los detalles.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de gráficos de vegetales (por grupo) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 2 o 3 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante»para cada uno. • Imprima un juego de «Gráficos de vegetales» para cada grupo de estudiantes. Si lo desea, imprímalos en cartulina y plastifíquelos para utilizarlos en el futuro. • Imprima un «Boleto de salida» para cada pareja. Recorte los «Boletos de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno.
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PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I 1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Este verano, has decidido construir un huerto y plantar un surtido de frutas y verduras. Uno de tus objetivos es cultivar suficientes tomates y judías verdes para que tu abuela prepare su famoso guiso de tomate y judías verdes. Hoy has recibido una llamada de tu abuela diciendo que necesita los tomates y las judías verdes en 7 días para hacer la cazuela. ¿Cultivarás suficientes tomates y judías verdes a tiempo para que tu abuela haga la cazuela?». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada uno. 3. Entregue un juego de «Gráficos de vegetales» a cada grupo. 4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para analizar los gráficos de hortalizas y responder a las preguntas para determinar si cultivarán suficientes tomates y judías verdes para la cazuela de su abuela. Los estudiantes registrarán su trabajo en sus «Diarios del estudiante». 5. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar la comprensión: a.
DOK-1 «¿Cómo sabes que las judías verdes no tienen una diferencia común?». El número de judías verdes aumenta en cantidades cada vez mayores a medida que pasa el tiempo, y la gráfica no forma una línea.
b.
DOK-1 «¿Qué te dice una diferencia común o una razón constante sobre un conjunto de datos? ¿Cómo te ayuda esto al escribir una ecuación?». La diferencia común y la razón constante te muestran el patrón que sigue un conjunto de datos. Esto significa que debe incluirse al escribir la ecuación para que la ecuación funcione para determinar el valor de cualquier término en el conjunto de datos dado.
c.
DOK-2 «¿Qué símbolos matemáticos pueden usarse para representar estos cambios, y cómo puedes usarlos para hacer predicciones para datos desconocidos?». Los símbolos de suma, resta, multiplicación y división pueden usarse para mostrar estos cambios. Puedes identificar estas operaciones matemáticas dentro de un conjunto dado de datos (secuencias, gráficos y tablas) y utilizarlas en ecuaciones para encontrar el valor de cualquier término desconocido.
6. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte I y responder a las preguntas que siguen. 7. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla matemática para compartir sus observaciones y aprendizajes.
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ÁLGEBRA 1: SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Arithmetic and Geometric Sequences Explore 2
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 «¿Cómo puedes determinar el número que falta de tomates y judías verdes para los días 5 y 6?». Identificas la diferencia común o razón constante en la gráfica y continúas sumando, restando, multiplicando o dividiendo para determinar el valor del término siguiente hasta que encuentres el valor para los días 5 y 6. • DOK-2 «¿Qué tres elementos se deben incluir al crear una ecuación que se basa en el valor del término anterior?». Debes incluir el término anterior (representado por Aₙ - 1), la operación matemática que se está haciendo, y la diferencia común o razón constante. • DOK-3 Los matemáticos llaman ecuaciones recursivas a Las ecuaciones que requieren el valor del término anterior para determinar el valor del siguiente término. Compare y contraste ecuaciones recursivas con lo que ya sabe sobre ecuaciones explícitas. Hay diferencias comunes y relaciones constantes tanto en Las ecuaciones recursivas como en las explícitas. Las ecuaciones recursivas requieren el valor del término anterior para determinar el valor del término siguiente. Las ecuaciones explícitas no requieren que conozcas el valor del término anterior.
6.
Complete the table below to help you answer the following questions. Tomatoes Day
Previous Math Operation Value
Workspace
Output
6
30
+5
30 + 5 = 35
35 tomatoes
7
35
+5
35 + 5 = 40
40 tomatoes
7.
How did you determine how many tomatoes will have grown by day 7? I added 5 to the previous day’s tomato count (35 + 5) to know the tomato count for the next day.
8.
Write an equation to find the number of tomatoes, An, using the number of tomatoes grown on the previous day, An – 1. An = An – 1 + 5; A1 = 10
9.
Complete the table below to help you answer the following questions. Green Beans Day
Previous Math Operation Value
Workspace
Output
6
80
·2
80 · 2 = 160
160 green beans
7
160
·2
160 · 2 = 320
320 green beans
10.
How did you determine how many green beans will have grown by day 7? I multiplied the previous day’s green bean count by 2 to know the green bean count for the next day (2 · 160).
11.
Write an equation to find the number of green beans, An, using the number of green beans grown on the previous day, An – 1. An = 2 · An – 1; A1 = 5
12.
If your grandma needs 40 tomatoes and 300 green beans on day 7, will you have enough tomatoes and green beans? Yes 2
Arithmetic and Geometric Sequences Explore 2
Arithmetic and Geometric Sequences Explore 2
Part II
Growing Great Veggies!
1.
Use the recursive equation below to complete the table, and determine if you’ll have enough strawberries in time for your aunt. Strawberries
Part I
Recursive equation: An = An – 1 + 7
Analyze the Vegetable Graphs and answer the questions to determine if you’ll grow enough tomatoes and green beans for your grandma. 1.
2.
3.
4.
5.
What common difference or constant ratio do you notice in each of the graphs? The tomato count increases by 5 each day. The green bean count doubles with each day. What mathematical operations can you use to represent the tomato growth and the green bean growth? Addition by 5 (or +5) for tomatoes; multiplication by 2 (or ·2) for green beans
Term (n)
Output
Day 1
15 strawberries
Day 2
22 strawberries
Day 3
29 strawberries
Day 4
36 strawberries
Determine the number of tomatoes and green beans for days 5 and 6, and then record the data in the table. Day
5
6
Number of Tomatoes
30
35
Number of Green Beans
80
160
How did you determine the number of tomatoes that will be available for harvest on day 6? Take the number of tomatoes that were available on day 5 (which was 30), and add 5 more to it. How did you determine the number of green beans that will be available for harvest on day 6? Take the number of green beans that were available on day 5 (which was 80), and multiply it by 2.
2.
Would it be efficient to calculate the number of strawberries on day 10 using the recursive equation? Why or why not? It would not be efficient because it would require many calculations. If we write an equation in explicit form, we will only need to do one calculation.
3.
Complete the table below to efficiently calculate the number of strawberries on day 10. Arithmetic or Geometric (Circle one.)
Value of d or r
First Term
Explicit Equation
Day 10
Arithmetic Geometric
d=7
15
An = 15 + 7(n – 1)
78 strawberries
1
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
242
SS NA-Math TE A1-V1.indb 242
3
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Arithmetic and Geometric Sequences Explore 2
PARTE II 4.
Use the recursive equation below to complete the table, and determine if you’ll have enough strawberries and blueberries in time for your aunt.
1. Lea la siguiente situación a la clase: «Tu tía se ha enterado de lo deliciosa que estaba la famosa cazuela de tomate y judías verdes de tu abuela y ahora te pide ayuda para cultivar fresas y arándanos para hacer su mermelada especial. Te encantaría ayudar a tu tía, pero te preocupa no poder cultivar suficientes fresas y arándanos para ella. Afortunadamente, has estado llevando un registro del crecimiento de tus frutas en una tabla de datos y estás seguro de que puedes calcular cuántas fresas y arándanos tendrás para tu tía cuando los necesite. ¿Tendrás suficientes?».
Blueberries Recursive equation: An = 2 · An – 1
5.
6.
7.
Term (n)
Output
Day 1
3 blueberries
Day 2
6 blueberries
Day 3
12 blueberries
Day 4
24 blueberries
What are the benefits and drawbacks of using this equation compared to the explicit formula? This equation more clearly shows what is happening between each term, and we can quickly tell that it is a geometric sequence because of the multiplication. It is harder to figure out the value of the 100th term because it would require also calculating the first 99 terms. Complete the table below to efficiently calculate the number of blueberries on day 10. Arithmetic or Geometric (Circle one.)
Value of d or r
First Term
Explicit Equation
Day 10
Arithmetic Geometric
r=2
3
An = 3 · 2n – 1
1,536 blueberries
2. Los estudiantes deben tener todavía sus «Diarios del estudiante». 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para analizar Las ecuaciones recursivas dadas para las fresas y los arándanos para completar las secciones que faltan en las tablas de datos. 4. Los estudiantes trabajarán juntos para crear una ecuación explícita para determinar la cantidad de cada fruta en el día 10 y registrar su trabajo en sus «Diarios del estudiante».
Your aunt needs 75 strawberries and 1,000 blueberries to make her special jam. Will you have enough of each fruit on Day 10? How do you know? Yes, I will have grown 78 strawberries and 1,536 blueberries by Day 10. 4
Arithmetic and Geometric Sequences Explore 2
Reflect 1.
What are the ways you can tell if a sequence is arithmetic or geometric from a list and a graph? From a list, you can look for a pattern and see whether you add or multiply by a common amount to get to the next term. From a graph, an arithmetic sequence will look like a line, and a geometric sequence will curve and change by different amounts.
2.
Once you determine the recursive equation for a sequence, must you always know the value of the previous term (An – 1) before finding the next term? Why or why not? Yes, you must always know the value of the previous term (An – 1) with a recursive equation because the previous term is needed to find the value of the current term.
3.
What are the two types of equations used with sequences, and how do they differ? The two types of equations are explicit and recursive. The difference between these equations is that recursive equations require you to know the value of the previous term (An – 1) in order to find the value of the current term. Explicit equations don’t require you to know the previous term value; rather, you can find the value of any given term.
4.
If you were given an equation, how could you tell if it is recursive? Recursive equations require the value of the previous term (An – 1) and the common difference/constant ratio.
5.
If you were given an equation, how could you tell if it is explicit? Explicit equations do not require knowledge of the previous term. You can substitute any input into an explicit formula and find the output directly.
5. Mientras los estudiantes colaboran, monitoree su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar la comprensión: a. DOK-2 «¿Por qué la ecuación recursiva por sí sola no es suficiente información para completar la tabla?». Puesto que una fórmula recursiva se basa en el término anterior, hay que darle un número de partida para poder empezar. b. DOK-1 «¿Cómo puedes utilizar la ecuación dada para determinar las secciones que faltan en las tablas de datos?». Sustituimos la entrada anterior en la ecuación recursiva para determinar el valor del término siguiente. c. DOK-2 «¿Cómo puede utilizar las tablas de datos completadas para crear una ecuación explícita?». Identificamos si se trata de una secuencia aritmética o geométrica, y luego utiliza el valor d o r y el primer término dentro de la formación de tu ecuación explícita. 6. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen. 7. Después de la «Exploración» iinvite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
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ÁLGEBRA 1: SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
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CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 «¿Cuáles son los dos tipos de ecuaciones que se pueden usar para secuencias aritméticas y geométricas?». Ecuaciones recursivas y explícitas • DOK-3 «¿Cómo puedes usar una ecuación recursiva para crear una ecuación explícita?». Puedes analizar los datos en una tabla para identificar los elementos necesarios al crear una ecuación explícita: el primer término, la diferencia común/cociente constante, y si es aritmética o geométrica.
Create Recursive and Explicit Equations Exit Ticket Use the sequence below to construct a recursive equation, and then convert it to an explicit equation. 5, 9, 13, 17… Recursive: An = An – 1 + 4; A1 = 5 Explicit: An = 5 + 4(n – 1)
8. Cuando los estudiantes terminen, pídeles que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Haga que los estudiantes completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. Complete el «Esquema de anclaje» como clase. Haga que cada estudiante llene su «Libreta interactiva».
Arithmetic and Geometric Sequences Explore 2
Create Recursive and Explicit Equations Exit Ticket Use the sequence below to construct a recursive equation, and then convert it to an explicit equation. 5, 9, 13, 17… Recursive: An = An – 1 + 4; A1 = 5 Explicit: An = 5 + 4(n – 1)
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Los estudiantes pueden tener dificultad para escribir ecuaciones recursivas. Anímelos a decir en voz alta lo que sucede en cada paso y luego a escribir Las ecuaciones basándose en lo que dicen. Por ejemplo, "crear cualquier término en la secuencia sumando 2 al término anterior" puede ser Aₙ = A n- 1 + 2.
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
2. Los estudiantes pueden tener dificultades para crear ecuaciones explícitas basadas en ecuaciones recursivas (o viceversa). Anima a los estudiantes a crear una tabla con suficientes términos para ayudarles a escribir ecuaciones.
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ÁLGEBRA 1: SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Arithmetic and Geometric Sequences Part 2
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE
Create Recursive and Explicit Equations
La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes.
Fynn is cutting paper for an art project. The paper roll is 30 feet long, and Fynn is cutting off 4 ft. sections. 1.
Determine whether the situation should be modeled with an arithmetic or geometric sequence. Justify your choice. The situation is an arithmetic sequence. Each term is found by subtracting the previous term by a constant.
2.
Complete the table for the first 4 cuts Fynn completes.
3.
n
1
2
3
4
An
26
22
18
14
Los estudiantes utilizarán los conocimientos previos como vínculo para comprender la lengua inglesa.
Use the table to construct a recursive equation, and then convert it to an explicit equation. a.
Recursive equation: An = An – 1 – 4; A1 = 26
b.
Explicit equation: An = 26 – 4(n – 1)
4.
Fynn needs to make sure he saves 6 inches for a separate project he is working on. How many 4 in. pieces can Fynn cut and still have the 6 inches remaining? Fynn can make 6 four in. cuts and still have 6 inches remaining. 6 = 26 – 4(n – 1) –20 = –4(n – 1) 5=n–1 6=n
5.
Suppose Fynn’s art project requires him to cut 3.5 in. pieces. He ends up with 2 inches remaining. How many 3.5 in. pieces does he have? Fynn will have 8 3.5 in. pieces. 2 = 26.5 – 3.5(8 – 1)
1
Principiante: Antes de la clase, hable de su comida favorita con la clase. Describa la comida, incluyendo su sabor (por ejemplo, dulce, salado). A continuación, anímelos a describir su comida favorita preguntándoles: «¿Cuál es tu comida favorita?». Anímelos a responder utilizando frases completas, como «Mi comida favorita es __». Intermedio: Antes de la clase, hable de su comida favorita con la clase. Describa la comida, incluyendo su sabor (por ejemplo, dulce, salado). A continuación, anímelos a describir su comida favorita preguntándoles: «¿Cuál es tu comida favorita?» «¿Sabes cocinarla?». Anímelos a responder utilizando frases completas, como «Mi comida favorita es __. Sí, sé cocinarla. Los ingredientes principales son ___». Avanzado: Como actividad previa a la clase, pida a los estudiantes que describan su comida favorita y escriban una lista de ingredientes para ella. Pida a los estudiantes que compartan sus listas en voz alta.
Arithmetic and Geometric Sequences Part 2
6.
7.
8.
Suppose Fynn’s art project requires him to cut one-half of what is remaining after each cut. Construct a recursive equation, and then convert it to an explicit equation. a.
Recursive equation:
b.
Explicit equation:
Considering question 6, complete the table for the first 4 cuts Fynn makes. n
1
2
3
4
An
15
7.5
3.75
1.875
Fynn’s art teacher left two separate plans for Fynn. Complete the table to help him lay out the information he needs to make the first few cuts. An = 47 – 5(n – 1)
Explicit Formula A1 = 50
A1 = 47 An = An – 1 – 5
Geometric
Arithmetic
n=1
50
47
n=2
12.5
42
n=3
3.125
37
Recursive Formula Type of Sequence
9.
Which of the two plans given by Fynn’s teacher will produce the least leftover paper? Justify your answer. The geometric sequence will produce the least leftover paper. The arithmetic sequence will have 2 inches left because 2 = 47 – 5(10 – 1). Since the cuts are 5 in. cuts, no more can be taken. In the geometric sequence, A4 = 0.78125.
2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 2) CLAVE DE RESPUESTAS
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SS NA-Math TE A1-V1.indb 245
245
1/9/26 1:32 PM
ÁLGEBRA 1: SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Arithmetic and Geometric Sequences Explore 3
LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 3: INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizarán sus conocimientos sobre porcentajes y series para crear fórmulas explícitas tanto para secuencias aritméticas como geométricas.
New Car Savings Accounts
Compound Interest
• MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes aplicarán las matemáticas que conocen para resolver problemas de la vida cotidiana. Los estudiantes representarán las matemáticas para describir una situación ya sea con una ecuación o un diagrama e interpretarán los resultados de una situación matemática. Los estudiantes reflexionarán sobre si su resultado tiene sentido, posiblemente mejorando/ revisando el modelo. • MP.7 Buscar y utilizar estructuras: Los estudiantes buscarán la estructura general y los patrones en las matemáticas. Los estudiantes verán las cosas complicadas como objetos individuales o como compuestos de varios objetos.
MATERIALES IMPRESOS
Bank of the States
246
SS NA-Math TE A1-V1.indb 246
1
$100
2
$109
2
$108
3
$118
3
$116.64
4
$127
4
$125.97
How does the 8% compound interest show up in the Banking-R-Us table? The amount in the compound interest account gets multiplied by 1.08 each year, which is an 8% increase.
4.
During the fourth year, the simple interest savings account has more money than the compound interest savings account. Do you expect that savings account to have more money going forward? Answers may vary. In year 5, the Banking-R-Us account will have more money and will grow by more than the Bank of the States account each year.
1
Arithmetic and Geometric Sequences Explore 3
5.
Which savings account balance could be modeled with an arithmetic sequence, and which one could be modeled with a geometric sequence? How do you know? Bank of the States is represented with an arithmetic sequence because it has a common difference of 9. Banking-R-Us is represented with a geometric sequence because it has a common ratio of 1.08.
6.
Complete the tables below that start with $500 in year one. Bank of the States
Banking-R-Us
n
Sn
n
Sn
1
$500
1
$500
2
$545
2
$540
3
$590
3
$583.20
4
$635
4
$629.86
5
$680
5
$680.24
6
$725
6
$734.66
7.
Write an explicit equation to model Sn for the simple interest account. Sn = 500 + 45(n – 1)
8.
Explain how someone could find the common difference from the scenario without having to create the table. The $45 that gets added each year comes from taking 9% of the initial investment of $500. You could multiply (500)(0.09) to get 45.
9.
Write an explicit equation to model Sn for the compound interest account. Sn = 500(1.08)n – 1
10.
Explain how someone could find the common ratio from the scenario without having to create the table. The 1.08 that gets multiplied by the amount in the account each year comes from increasing the value by 8%. An 8% increase gives 108% of the previous value, which is 1.08 as a decimal.
• Separe la clase en grupos de 2 o 3 estudiantes.
• Reúna una calculadora para cada grupo.
$100
3.
• 1 bolsa resellable (por grupo)
• Imprima un «Boleto de salida» para cada pareja. Recorte los «Boletos de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno.
Sn
1
How does the 9% simple interest show up in the Bank of the States table? 9% of the initial $100 is $9. Each year, $9 is added to the account.
REUTILIZABLE
• Imprima un juego de «Tarjetas de opciones de cuentas de ahorro» para cada grupo de estudiantes. Recorte las tarjetas y colóquelas dentro de una bolsa con cierre. Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para utilizarlas en el futuro.
n
2.
• 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes)
• Imprima un «Diario del estudiante»para cada alumno.
Sn
What do you notice about the differences between the amounts in the savings accounts at each bank? Answers may vary. The simple interest table increases by the same amount each year, and the compound interest table goes up by more each year.
• 1 juego de tarjetas de opciones de cuentas de ahorro (por grupo)
PREPARACIÓN
Banking-R-Us
n
1.
• 1 diario del estudiante (por alumno)
• 1 calculadora (por grupo)
Increase your total amount of money by the same percentage each year.
Below are two tables for someone who invested $100 at each bank. Bank of the States provides 9% simple interest, and Banking-R-Us provides 8% compound interest. Use the questions below to help you analyze the two types of accounts.
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes interpretarán y comprenderán el sentido de un problema buscando puntos de partida y analizando lo que se les da. Los estudiantes verán relaciones entre varias representaciones.
Add the same percentage of your initial investment to your total amount of money each year.
Simple Interest
2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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1/9/26 1:32 PM
ÁLGEBRA 1: SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Arithmetic and Geometric Sequences Explore 3
11.
What if your parents had invested $500 on the day you were born into either of these accounts. Which bank would you recommend? Would you have enough for a new car on your 16th birthday? Answers may vary. I would recommend Banking-R-Us because a geometric sequence will increase faster and overtake an arithmetic sequence, even though Bank of the States gives a higher percentage. There would be $1,850.00 at the start of the 17th year, right after I turn 16. This does not seem to be enough for a new car. It would be enough to purchase a reasonable used car, or it could be used as a down payment on a new car.
Below are formulas you could use to create sequences to model the amount of money in your account based on the starting, or principal amount, P; the growth rate, r, as a decimal; and the number of years, n, that you invest. With this formula, you have your starting amount for year n = 1.
12.
Simple Interest Formula
Compound Interest Formula
Sn = P + (rP)(n – 1)
Sn = P(1 + r)n – 1
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Lea la siguiente situación a la clase: «Como regalo de graduación, tus padres te han dado 500 dólares. Quieres comprarte un coche y has decidido depositar el dinero en una cuenta de ahorro para ganar intereses y así tener suficiente dinero para la compra. Has investigado un poco y has encontrado 2 tipos diferentes de cuentas de ahorro en bancos distintos. Examina la información de los folletos y determina cuánto dinero tendrás después de 5 años en cada cuenta y cuál te haría ganar más dinero». 2. Entregue «Diario del estudiante» a cada uno. 3. Distribuya las «Tarjetas de opciones de cuentas de ahorro» y una calculadora a cada grupo.
If you go to a third bank that offers 7% simple interest and you want to place $200 in the account as principal, what equation would model the amount in the account? Sn = 200 + (0.07 · 200)(n – 1) = 200 + 14(n – 1)
4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para analizar cada opción de cuenta y registrar su trabajo en sus «Diarios del estudiante».
13.
How would the equation change if you were offered the 7% as compounding interest and still invested $200? Sn = 200(1 + 0.07)n – 1 = 200(1.07)n – 1
14.
Your friend Bonnie shows you the equation Sn = 1,200 + 60(n – 1) that she uses to model the amount in her savings account. Based on her equation, what interest rate does her bank offer, and does she receive simple or compound interest? Bonnie gets simple interest because her equation is an arithmetic sequence. She invested $1,200, so the interest rate times 1,200 equals 60, which is the common difference. r(1,200) = 60 r = 0.05 The rate Bonnie gets is 5%.
5. Mientras los estudiantes colaboran, controle su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar la comprensión: a.
DOK-1 «¿Cómo se reescriba un porcentaje como decimal?». Se divide el porcentaje por 100 para obtener la forma decimal.
b.
DOK-3 «Si el interés ganado en una cuenta de ahorros de interés simple sólo se basa en el depósito inicial, ¿cambiará ese interés de un año a otro?». No, el interés permanecerá exactamente igual de un año a otro si el interés sólo se gana sobre el depósito inicial.
c.
DOK-3 «Si el interés ganado en una cuenta de ahorros sólo se basa en el depósito inicial, «¿cuánto se ganará cada año?». Si el interés sólo se gana sobre el depósito inicial, la cantidad ganada cada año será la cantidad del depósito inicial multiplicada por la forma decimal del tipo de interés.
d.
DOK-3 «Si el interés ganado en una cuenta de ahorros se capitaliza anualmente basándose en lo que había en la cuenta ese año, ¿cambiará la cantidad del interés añadido de un año a otro?». Sí, el importe de los intereses aumentará porque aumenta el saldo de la cuenta de ahorros.
e.
DOK-3 Si los intereses de una cuenta de ahorros se capitalizan anualmente, ¿cómo se calcula el importe de los intereses de un año determinado?». Se toma el saldo en la cuenta para ese año y se multiplica por la forma decimal del 100 % más la tasa de interés.
f.
DOK-1 «¿Cuál es la diferencia entre una fórmula recursiva y una fórmula explícita?». Una fórmula recursiva utiliza el valor del término anterior para calcular el término siguiente. Una fórmula explícita no utiliza el término anterior. Calcula el término directamente.
g.
DOK-4 «Si quieres saber cuál sería el valor de un saldo más los intereses, ¿cómo lo calcularías?». Podrías calcular el interés y luego sumarlo al saldo, o podrías sumar 1 a la forma decimal del interés y luego multiplicarlo por el saldo.
h.
DOK-3 «Para el Banco de los Estados, después de n número de años, ¿cuántos depósitos a interés se habrán realizado?». n - 1 depósitos
i.
DOK-3 «Para el Banco-R-Us, después de n años, ¿cuántas veces se habrá multiplicado el depósito original por el tipo de interés?». n - 1 veces
3
Arithmetic and Geometric Sequences Explore 3
Reflect 1.
2.
If you looked at a bank statement for a savings account that showed a table for how much was in the account for ten years, how could you tell if the bank offered simple or compound interest? If the amount in the savings account followed an arithmetic sequence and increased by the same amount each year and you can find a common difference, then the bank was offering simple interest. If the amount in the account followed a geometric sequence and increased by a common ratio each year, then the bank was offering compound interest.
In the following explicit formula for an arithmetic sequence representing a savings account, what is the initial deposit, and what is the interest rate? Sn = 1,500 + (90)(n – 1) The initial deposit is $1,500, and the interest rate is 6%.
3.
In the following explicit formula for a geometric sequence representing a savings account, what is the initial deposit, and what is the interest rate? Sn = 2,000(1.05)n – 1 The initial deposit is $2,000, and the interest rate is 5%.
4.
If you left that $500 that you had in year 1 in the 8% compounding interest account at Banking-R-Us for 40 years, how much money would be in the account? How many times larger than your initial investment is S40? S40 = 500(1.08)40 – 1 = 500(1.08)39 = $10,057.65 This is more than 20 times as large as your initial investment!
4
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247
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ÁLGEBRA 1: SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Arithmetic and Geometric Sequences Explore 3
6. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la exploración y responder a las preguntas que siguen. 7. Después de la «Exploración» inicie una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-3 «¿Cómo se conecta el interés simple con las secuencias aritméticas?». Para el interés simple, se agrega la misma cantidad cada año, como una secuencia aritmética. Usando una fórmula recursiva, tendrías que calcular todos los términos hasta 100 para saber cuál sería el término 100. • DOK-3 «¿Cómo se relaciona el interés compuesto con las secuencias geométricas?». Cuando el interés se compone anualmente, se multiplica por el mismo factor cada año como una secuencia geométrica. • DOK-2 «¿Qué crece más rápido con el tiempo, el interés simple o el interés compuesto? ¿Cómo lo sabes?». El interés compuesto crece más rápido con el tiempo porque la cantidad que añades a tu cuenta aumenta cada año. • DOK-3 «¿Qué pasaría si olvidaras el 1 en la fórmula del interés compuesto y multiplicaras tu cantidad principal por (0.08)n - 1 en lugar de (1.08)n - 1?». Si la razón común fuera 0.08 en lugar de 1.08, entonces la cantidad estaría disminuyendo cada año. 8. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de Salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
Simple and Compound Interest Exit Ticket A bank is offering a savings account that has a simple interest rate of 7% per year. A person makes an initial principal investment of $3,500 in year one. Write an explicit equation for this situation, and then determine how much money they will have in year 25. Sn = 3,500 + 3,500 ･ 0.07(n – 1) S25 = $9,380
Arithmetic and Geometric Sequences Explore 3
Simple and Compound Interest Exit Ticket A bank is offering a savings account that has a simple interest rate of 7% per year. A person makes an initial principal investment of $3,500 in year one. Write an explicit equation for this situation, and then determine how much money they will have in year 25. Sn = 3,500 + 3,500 ･ 0.07(n – 1) S25 = $9,380
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
9. Regrese a la sección «Captar interés» e instruya a los estudiantes a usar sus habilidades recién adquiridas para completar exitosamente la actividad.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Haga que los estudiantes completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. Complete el «Esquema de anclaje» como clase. Haga que cada estudiante llene su «Libreta interactiva».
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Los estudiantes pueden tener dificultad para determinar el incremento porcentual de una función. Por ejemplo, si el multiplicador constante es 1.3, podrían restar 1 y obtener 3 %. En cambio, los estudiantes pueden multiplicar por 100 primero y luego restar 100 (%) para obtener 30. 2. Los estudiantes pueden tener dificultades con la idea de interés simple y compuesto y el interés en general. Puede ser útil proporcionarles información bancaria básica y explicarles por qué las cuentas devengan intereses y por qué se pagan intereses por los préstamos.
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ÁLGEBRA 1: SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Arithmetic and Geometric Sequences Part 3
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE
Simple and Compound Interest
La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes.
You have your eyes set on an out-of-state college that brags about how it lowers tuition for students every year through financial assistance. You see the poster showing its past tuition rates.
Se les proporcionará apoyos previos a la lectura (organizadores gráficos, diagramas de formas y vocabulario preenseñado) para ayudarles con la comprensión lectora.
1.
Write an explicit formula for the tuition. An = 60,000(0.98)n – 1
2.
If the assistance and the trend continues, what can you expect tuition to cost when you attend 3 years after this flyer is released? A6 = $54,235.25
3.
If you hope to graduate in five years, how much more would tuition be during your first year compared to your fifth year? A0 − A5 = $60,000 − $55,342.09 = $4,657.91.
4.
If you want to know how long you would have to attend until the cost is under $50,000, how many years do you need to attend? A11 = $49,024.37, so you would need to continue to attend 8 years after the flyer is released.
Principiante: Antes de la lección, proporcione a los estudiantes una lista del vocabulario nuevo que encontrarán en la exploración junto con imágenes que signifiquen el significado de los términos. Anímelos a subrayar los términos y a releer sus definiciones a medida que los vayan encontrando en sus «Diarios del estudiante». Los términos clave que deben incluir son interés, interés simple, interés compuesto, saldo, tipo, y principal. Intermedio: Antes de la lección, proporcione a los estudiantes notas guiadas que incluyan imágenes y diagramas junto con definiciones incompletas de los nuevos términos que encontrarán en la exploración. A medida que los estudiantes avancen en la lección, anímeles a completar las definiciones. Los términos clave que deben incluir son interés, interés simple, interés compuesto, saldo, tasa, y principal. 1
Arithmetic and Geometric Sequences Part 3
5.
Avanzado: Antes de la lección, proporcione a los estudiantes notas guiadas que incluyan imágenes y diagramas junto con definiciones incompletas de los nuevos términos que encontrarán en la exploración. A medida que los estudiantes avancen en la lección, anímeles a completar las definiciones. Los términos clave a incluir son interés, interés simple, interés compuesto, saldo, tasa, y principal.
Several years back, your family started the search for the best bank to put money in to invest for you for college. They invested a couple of years before you were born, giving the $2,500 they invested 20 years to grow. Examine the investment opportunities your family narrowed down as the best to choose from. Write an explicit or recursive formula, where P is the initial principal amount, r is the interest rate, n is the number of times interest is calculated, and Sn is the savings account balance. Finally, determine how much money would be in the bank when you graduate.
Promotion
Bank A
Bank B
Simple interest rate of 6% annually on savings accounts
5% interest rate compounded annually on savings accounts
$2,500
$2,500
Year One Amount Year Two Amount Year Three Amount
Formula
Amount at Graduation 6.
2,500 + 2,500(0.06) = $2,650
2,500 + 2,500(0.05) = 2,500(1.05) = $2,625
2,650 + 2,500(0.06) = 2,500 + 2,500(0.06)(2) = $2,800
2,625(1.05) = 2,500(1.05)2 = $2,756.25
Sn = 2,500 + (0.06・2500)(n – 1) Sn = 2,500 + (150)(n – 1)
Sn = 2,500(1 + 0.05)n – 1 Sn = 2,500(1.05)n – 1
S20 = $5,350
S20 = $6,317.38
Your family is disappointed in the results of their investment. They hoped to give you $10,000. Since bank B gave a larger amount in year 20, how much money would they have had to initially invest to make the $10,000 a reality? 10,000 = P(1.05)20 – 1 P = 3,957.34 2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 3) CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE
CONSOLIDAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
ESQUEMA DE ANCLAJE DESCRIPCIÓN Un esquema de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Se trata de una herramienta para apoyar la instrucción y consolidar el aprendizaje del estudiante a lo largo del alcance.
Arithmetic and Geometric Sequences An arithmetic sequence is a sequence whose terms have a common difference.
A geometric sequence is a sequence whose terms have a common ratio. 1, 2, 4, 8, 16, ...
−1, 2, 5, 8, ... Explicit Formulas
MATERIALES
• 1 hoja de papel cuadriculado • 1 juego de marcadores multicolores Recursive Formulas
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del ejemplo del «Esquema de anclaje», si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. El ejemplo de esquema puede utilizarse como referencia antes de crear uno en la clase. Esta actividad debe ser dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje. 2. A medida que los estudiantes trabajen en el alcance, colaboren para agregar piezas al «Esquema de anclaje». Formule las siguientes preguntas orientadoras:
Interest on principal only
Simple interest
Interest on principal AND previously earned interest
Compound interest
A = ending amount I = interest earned P = principal r = interest rate (expressed as a decimal) n = number of compoundings per year t = total number of years
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
a. «¿Qué estrategia utilizamos para resolver este problema?». b. «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?». 3. Continúe añadiendo habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada exploración para resaltar el contenido importante. 4. Explique que pueden utilizar este gráfico como herramienta de apoyo para su aprendizaje. Los estudiantes también pueden pegar una copia del ejemplo de «Esquema de anclaje» en sus cuadernos para utilizarla como referencia a lo largo del año. 5. Algunos «Esquema de anclaje» sólo se mostrarán durante un alcance o grupo de alcances concretos, mientras que otras permanecerán expuestas durante todo el curso escolar.
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SS NA-Math TE A1-V1.indb 250
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ÁLGEBRA 1: SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA
Arithmetic and Geometric Sequences
Instructions ● Cut out the cards below and the organizer on the next page. ● Glue or tape the organizer into your notebook. ● Match each problem with the formula you would use to solve it, and glue the cards next to each other in the organizer. ● Solve each problem in the blank workspace.
Travis invested $2,500 into a new investment yielding 6% annual interest. How much interest did he earn after 4 years? Find the 20th term in this sequence: 53, 49, 45, 41, …
Find the 10th term in this sequence: 324, 108, 36, 12, …
Shelly invested $3,200 into an account yielding 4% interest compounded quarterly. How much interest did she earn after 4 years?
DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DE LOS ESTUDIANTES
LIBRETA INTERACTIVA DESCRIPCIÓN Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase al usar la actividad y la libreta.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
Arithmetic and Geometric Sequences
Problem
Formula
Problem
Formula
Problem
Formula
Problem
Formula
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del «Folleto del estudiante» para cada uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Prepare una «Libreta interactiva» al usar un cuaderno de espiral o de composición para cada uno. Los estudiantes pueden utilizar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades. 2. Las instrucciones para cada actividad se proporcionan en el «Folleto del estudiante». 3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos.
FOLLETO DEL ESTUDIANTE
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4. Las libretas interactivas pueden utilizarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
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ÁLGEBRA 1: SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO VOCABULARIO CLAVE
VOCABULARIO ILUSTRADO Interval
Increasing/Decreasing
Positive/Negative Interval
The set of continuous input values on which a function’s outputs could be increasing, decreasing, or constant
A function is increasing if f(b) > f(a) and decreasing if f(b) < f(a) for any two input values a and b
Positive intervals are those above the x-axis; negative intervals are those below the x-axis.
2
3
4
Relative Maximum
Relative Minimum
End Behavior
A point that is higher than the points directly beside it on both sides 3-5 image
A point that is lower than the points directly beside it on both sides
The trend the graph follows as x approaches infinity in the negative and positive directions 7
6
5
Periodicity
Percent Rate of Change
Exponential Growth
The tendency of a function to repeat itself in a regular pattern at established intervals
The percentage increase or decrease of an amount over a unit of time, denoted by r
The change that occurs when an original amount is increased by a consistent rate over a period of time
8
9
10
Exponential Decay
The process of reducing an amount by a consistent percentage rate over a period of time 11
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ÁLGEBRA 1: SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO
Scatterplot
Line of Best Fit (Trend Line)
Association
A series of plotted points that show the relationship between two sets of data
A line that best represents the data on a scatterplot
The form (linear/nonlinear), direction (positive/negative/none), and strength (weak/moderate/strong) seen between two variables in a scatterplot
12
14
13
Slope
Rate of Change
Y-Intercept
How steep a line is; represented as m in the slope-intercept equation
The rate that shows how one quantity changes in relation to another quantity
The point on a graph of an equation where the line crosses the y-axis 16
15
17
Constant
Correlation Coefficient
Causation
A fixed number that stands alone in an equation or expression
A number r that describes how closely the points in a scatterplot are related, where −1 ≤ r ≤ 1
The action of one event causing another event to occur
18
19
20
Regression
The process of drawing a line through data in a scatterplot 21
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253
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ÁLGEBRA 1: SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ DESARROLLAR LA FLUIDEZ CONCEPTUAL
Fix the Mistake! Answer Key
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: SECUENCIAS Card Number
Math Expert or Fix the Mistake
1
Fix the mistake
The fourth sequence is neither arithmetic nor geometric.
2
Fix the mistake
The recursive formula should be A1 = 12; An = An + 1 + 3
3
Fix the mistake
4
Fix the mistake
• 1 hoja de registro para el estudiante (por alumno)
5
Math expert
• 1 clave de respuestas de ¡Arregla el error! (por pareja)
6
Fix the mistake
7
Math expert
8
Fix the mistake
DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes jugarán al juego ¡Arregla el error!
MATERIALES IMPRESOS
• 1 hoja de instrucciones ¡Arregla el error! (por pareja) • 1 juego de tarjetas ¡Arregla el error! (por pareja)
Justification
1,536
41
REUTILIZABLE
• 1 sobre o bolsa con cierre (por pareja)
PREPARACIÓN
$244,351.88
• Haga copias a doble cara de las tarjetas ¡Arregla el error! • Lamínelas para que duren más. • Recorte cada una de las tarjetas y colóquelas en un sobre o bolsa resellable para facilitar su distribución y limpieza. • Imprima una «Hoja de registro del estudiante» ¡Arregla el error! para cada alumno. • Imprima una «Clave de respuestas ¡Arregla el error!» para cada pareja de estudiantes. Doble la clave de respuestas de modo que las respuestas queden cubiertas pero el título aparezca en la parte superior de la página. • Coloque a los estudiantes en parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE APOYO 1. Muestre a los estudiantes cómo barajar las cartas y colocarlas boca abajo en una pila. 2. Represente con un estudiante cómo jugar. a. Baraje las cartas y colóquelas boca abajo en una pila entre los jugadores. b. El jugador 1 voltea una carta. Ambos jugadores analizan el problema y determinan si la solución proporcionada al problema es correcta y el estudiante que la ha contestado es un experto en matemáticas o si la solución es incorrecta y es necesario corregir el error.
1
HOJA DE REGISTRO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
e. Los jugadores deben rellenar la «Hoja de registro del estudiante» de ¡Arregla el error! mientras juegan. (Los jugadores deben rellenar la fila de la «Hoja de registro del estudiante» de ¡Arregla el error! que corresponda al número de cada tarjeta). f. Una vez analizadas todas las tarjetas, los estudiantes utilizan la «Clave de respuestas ¡Arregla el error!» para comprobar sus respuestas. g. El jugador con más respuestas correctas es el ganador. 3. Distribuya los materiales del juego. A continuación, indique a los estudiantes que barajen las cartas y las coloquen boca abajo en una pila entre los jugadores. 4. Vigile a los estudiantes para asegurarse de que encuentran y registran las respuestas correctas a cada carta utilizando la «Hoja de registro del estudiante» de ¡Arregla el error!
c. Los jugadores se turnan para dar la vuelta a una tarjeta cada vez. d. Los jugadores continúan turnándose hasta que se han resuelto todas las tarjetas.
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ÁLGEBRA 1: SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
ELABORAR: REVISIÓN EN ESPIRAL Arithmetic and Geometric Sequences
REPASER CONCEPTOS PREVIOS
REVISIÓN EN ESPIRAL: ¡VAMOS AL CINE!
Let’s Go to the Movies! Popcorn, movies, and everything in between! A new movie theater has finally opened, and Yessenia plans to see the second installment of a superhero movie franchise. Yessenia’s dads have a rule that her chores unlock her allowance. So, she has to complete all of her core chores, including cleaning her room, doing her laundry, cleaning the dishes on her designated day, and vacuuming the house. Outside of the core chores, Yessenia can earn extra money doing agreed-upon additional jobs. Some of the jobs are washing, drying, and folding the family laundry. Another is mowing and weed-trimming the lawn. Yessenia can also choose chores such as walking the dogs, washing her parents’ cars, and preparing meals. The most Yessenia can earn in a week is $25. Yessenia ultimately earned enough money to splurge at the movie theater, paying for tickets, popcorn, drinks, and candy!
DESCRIPCIÓN Los estudiantes repasen contenidos anteriores o actuales del grado para ayudar a apoyar su trabajo en el alcance actual y fortalecer las habilidades necesarias para alcances posteriores.
REVISIÓN EN ESPIRAL CENTRADA EN LA PREGUNTA • Pregunta 1
◦ ALG I: Determinar el dominio y el rango de una función lineal. • Pregunta 2 ◦ Grado 8: Determinar la tasa de cambio de una función a partir de múltiples representaciones. • Pregunta 3 1
◦ Grado 8: Construir una función para modelar una relación lineal entre dos cantidades. • Pregunta 4
Arithmetic and Geometric Sequences
1.
The graph shows how much money Yessenia started with and the rate at which she earned more money. What are the domain and range of this function for this situation?
2.
What is the slope of the graph below?
◦ ALG I: Resolver inecuaciones lineales en una variable.
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del Estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del Estudiante» a cada alumno. 5
The answer is domain: 0 ≤ x ≤ 13.6 and range: 8 ≤ y ≤ 25. 3.
2. Anímelos a tratar de responder a las preguntas de forma independiente sin utilizar recursos externos para ver lo que saben. Invítelos a anotar ideas o fragmentos que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas.
The answer is 4 .
Yessenia’s dads pay her per hour for mowing their 5 acres, and they give a flat fee to weed trim along the driveway. Her dads use this table to aid in calculating Yessenia’s pay. What equation represents this relationship?
Number of Hours Worked, x
1
3
5
7
Yessenia’s Pay, y
7
13
19
25
4.
In planning how to splurge at the movie theater, Yessenia used a number line. How would you help Yessenia represent a solution to the inequality 6 + 4.25x ≤ 31.5?
3. Utilice las preguntas de revisión en espiral como calentamiento en clase, o envíelas a casa como tarea. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos.
The answer is y = 3x + 4. 2
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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4. Consulte la sección «Revisión en espiral centrada en la pregunta» para evaluar los conocimientos de contenido de los estudiantes o su necesidad de una mayor intervención. Si es necesario repaser más, utilice la sección «Constructor de fluidez» de los alcances apropiados. 5. El objetivo final incluye una parte de este alcance para que los estudiantes vean la conexión y relevancia de su aprendizaje previo con el actual.
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ÁLGEBRA 1: SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS ANÁLISIS DE DATOS
CIENCIA DE DATOS Ciencia de datos es un breve debate en clase basado en un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. la parte I incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los estudiantes en contexto.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizarán, interpretarán y generarán conjuntos de datos, además de responder a preguntas basadas en los datos.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 conjunto de datos (por clase) REUTILIZABLES
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase) • 1 rotulador (por clase) CONSUMIBLES
• 1 trozo de papel milimetrado (por clase)
PREPARACIÓN
• Prepárese para proyectar el conjunto de datos para la clase. • Reúna un trozo de papel milimetrado y un rotulador.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE APOYO PARTE I
1. Proyecte el conjunto de datos y prepárese para anotar las observaciones de los estudiantes. 2. Haga clic en Línea y seleccione Gráfico de líneas. 3. Arrastre Año al eje x. 4. Arrastre PIB real y Deuda pública anual de EE.UU. al eje y. 5. Plantee las siguientes preguntas: a. «¿Qué notas sobre este conjunto de datos?». b. «¿Qué representa este conjunto de datos?». c. «¿Qué categorías se incluyen en este conjunto de datos?». d. «¿Qué representan un círculo y un diamante en el gráfico?». e. «¿Qué significa PIB real?». f. «¿Qué preguntas tienes sobre los datos?».
PARTE II
1. Repase las diferencias entre secuencias aritméticas y geométricas, y escriba lo que los estudiantes recuerden en el papel milimetrado. 2. Haga las siguientes preguntas: a. Al comparar la Deuda Pública Anual de EE.UU. y el PIB Real, «¿cuál podría representarse más estrechamente mediante una secuencia aritmética, y cuál mediante una secuencia geométrica?». La Deuda Pública Anual de EE.UU. podría representarse más fielmente mediante una secuencia geométrica, y el PIB Real podría modelizarse más fielmente mediante una secuencia aritmética. b. En el año 2000, «¿cuál era la Deuda Pública Anual de EE.UU. y el PIB Real?». La Deuda Pública Anual de EE.UU. era de 5.67 billones de dólares, y el PIB Real era de 12.68 billones de dólares. c. «¿En qué año la Deuda Pública de EE.UU. supera al PIB Real?». 2012 d. «¿Cómo resumiría los datos que representan la Deuda Pública Anual de EE.UU.?». La Deuda Pública Anual de EE.UU. comienza aumentando muy lentamente antes de aumentar rápidamente de una manera que se asemeja al crecimiento de una secuencia geométrica y finalmente supera el valor del PIB Real en 2012. e. «¿Cómo resumiría los datos que representan el PIB Real?». El PIB Real aumenta a un ritmo relativamente constante de forma que se asemeja a una secuencia aritmética. El PIB Real se mantiene por encima de la Deuda Pública Anual de EE.UU. hasta el año 2012. PARTE III
1. Haga clic en Barra y seleccione Gráfico de Barras de Valores. 2. Haga las siguientes preguntas: a. «¿En qué se parecen los datos mostrados en este formato a como se mostraban en el gráfico lineal?». Cada barra tiene una altura que es la misma que el valor y de cada punto en el gráfico lineal. b. «¿En qué se diferencia?». Cuando los datos se representan como un gráfico de barras, tiene que haber dos gráficos separados porque no se pueden superponer uno encima del otro como en el gráfico lineal. c. «¿Qué información es más fácil de encontrar en el gráfico de barras?». Es más fácil ver la tendencia a lo largo del tiempo. d. «¿Qué información es más fácil de encontrar en el gráfico lineal?». Es más fácil ver pequeños cambios en los datos.
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ÁLGEBRA 1: SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN EVALUACIÓN DE HABILIDADESEVALUACIÓN
LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Folleto del estudiante» a cada uno.
Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede utilizarse como evaluación formativa para los maestros y como autoevaluación para los estudiantes.
2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Explorar» y «Explicar» del alcance, evalúe formativamente su progreso tomando notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
• 1 folleto del maestro (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del maestro» y un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje. 5. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el «Folleto del maestro». 6. Las notas anecdóticas proporcionadas en el «Folleto del maestro» pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares. 7. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la «Guía de instrucción andamiada» en la sección «Inicio» de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
Arithmetic and Geometric Sequences
Arithmetic and Geometric Sequences How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Write a function that describes a relationship between two quantities. a. Determine an explicit expression, a recursive process, or steps for calculation from a context.
Write a function that describes a relationship between two quantities. b. Combine standard function types using arithmetic operations. For example, build a function that models the temperature of a cooling body by adding a constant function to a decaying exponential, and relate these functions to the model. Write arithmetic and geometric sequences both recursively and with an explicit formula, use them to model situations, and translate between the two forms.
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏ ❏ ❏
Arithmetic and Geometric Sequences
Arithmetic and Geometric Sequences
Notes and Feedback
How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Distinguish between situations that can be modeled with linear functions and with exponential functions. a. Prove that linear functions grow by equal differences over equal intervals, and that exponential functions grow by equal factors over equal intervals. Distinguish between situations that can be modeled with linear functions and with exponential functions. b. Recognize situations in which one quantity changes at a constant rate per unit interval relative to another. Distinguish between situations that can be modeled with linear functions and with exponential functions. c. Recognize situations in which a quantity grows or decays by a constant percent rate per unit interval relative to another.
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
1
Arithmetic and Geometric Sequences
Arithmetic and Geometric Sequences
Standards for Mathematical Practice
Arithmetic and Geometric Sequences
Notes and Feedback
How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Construct linear and exponential functions, including arithmetic and geometric sequences, given a graph, a description of a relationship, or two input-output pairs (include reading these from a table). Observe using graphs and tables that a quantity increasing exponentially eventually exceeds a quantity increasing linearly, quadratically, or (more generally) as a polynomial function. Interpret the parameters in a linear or exponential function in terms of a context. [Linear and exponential of form f(x) = bˣ + k]
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Notes and Feedback
Make sense of problems and persevere in solving them
Notes and Feedback
Reason abstractly and quantitatively Construct viable arguments and critique the reasoning of others Model with mathematics Use appropriate tools strategically
2
Attend to precision Look for and make use of structure Look for and express regularity in repeated reasoning
Consider these reflection questions in this scope.
3
●
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them?
●
What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
4
FOLLETO DEL MAESTRO
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257
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ÁLGEBRA 1: SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
EVALUAR: MAPA DE CALOR
EVALUACIÓN DE HABILIDADESEVALUACIÓN
MAPA DE CALOR PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
1. Dé un «Mapa de calor» a cada estudiante junto con lápices de colores rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s).
MATERIALES
• 1 mapa de calor (por estudiante)
2. Los estudiantes utilizan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el «Mapa de calor». Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los estudiantes colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, los estudiantes colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, los estudiantes colorean el cuadro correspondiente de rojo.
• 1 lápiz de color rojo (por estudiante) • 1 lápiz de color azul (por estudiante) • 1 lápiz de color naranja (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Determine si los estudiantes analizarán su «Prueba de habilidades», la «Evaluación basada en estándares», o ambas. • Imprima un «Mapa de calor» para cada estudiante.
3. Anímelos a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a utilizar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada.
• Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
4. Consulte la «Guía de instrucción andamiada» que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
Arithmetic and Geometric Sequences
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
Arithmetic and Geometric Sequences
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key.
Red – misconception
Blue – miscalculation
Orange – explanation
Skills Quiz Questions
Standards
6
7
9
10
Distinguish between situations that can be modeled with linear functions and with exponential functions. a. Prove that linear functions grow by equal differences over equal intervals, and that exponential functions grow by equal factors over equal intervals. Distinguish between situations that can be modeled with linear functions and with exponential functions. b. Recognize situations in which one quantity changes at a constant rate per unit interval relative to another. Distinguish between situations that can be modeled with linear functions and with exponential functions. c. Recognize situations in which a quantity grows or decays by a constant percent rate per unit interval relative to another.
Blue – miscalculation
8
3
Observe using graphs and tables that a quantity increasing exponentially eventually exceeds a quantity increasing linearly, quadratically, or (more generally) as a polynomial function.
1
Interpret the parameters in a linear or exponential function in terms of a context. [Linear and exponential of form f(x) = bˣ + k.]
5
4
1. Which skill did you feel most confident with? Why?
2
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
4. How can you avoid those errors in the future?
2
1
Blue – miscalculation
Red – misconception
Standards
Questions
7a
Construct linear and exponential functions, including arithmetic and geometric sequences, given a graph, a description of a relationship, or two input-output pairs (include reading these from a table).
2
4
5b
Observe using graphs and tables that a quantity increasing exponentially eventually exceeds a quantity increasing linearly, quadratically, or (more generally) as a polynomial function.
Not Assessed
6
7b
9
Interpret the parameters in a linear or exponential function in terms of a context. [Linear and exponential of form f(x) = bˣ + k.]
Not Assessed
Distinguish between situations that can be modeled with linear functions and with exponential functions. a. Prove that linear functions grow by equal differences over equal intervals, and that exponential functions grow by equal factors over equal intervals.
1
5a
Distinguish between situations that can be modeled with linear functions and with exponential functions. b. Recognize situations in which one quantity changes at a constant rate per unit interval relative to another.
3b
5a
Distinguish between situations that can be modeled with linear functions and with exponential functions. c. Recognize situations in which a quantity grows or decays by a constant percent rate per unit interval relative to another.
1
2
Orange – explanation
Standards-Based Assessment Questions
Write arithmetic and geometric sequences both recursively and with an explicit formula, use them to model situations, and translate between the two forms.
1 3. Which type of error did you most commonly make?
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key.
Red – misconception
Standards Write a function that describes a relationship between two quantities. a. Determine an explicit expression, a recursive process, or steps for calculation from a context.
5
Reflection Questions Not Assessed
Orange – explanation
Arithmetic and Geometric Sequences
Standards-Based Assessment Questions
Construct linear and exponential functions, including arithmetic and geometric sequences, given a graph, a description of a relationship, or two input-output pairs (include reading these from a table).
10
Write arithmetic and geometric sequences both recursively and with an explicit formula, use them to model situations, and translate between the two forms.
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key.
Red – misconception
Skills Quiz
Standards Write a function that describes a relationship between two quantities. a. Determine an explicit expression, a recursive process, or steps for calculation from a context.
Arithmetic and Geometric Sequences
3a
8
10
Reflection Questions
3
1. Which skill did you feel most confident with? Why?
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
3. Which type of error did you most commonly make?
4. How can you avoid those errors in the future?
4
MAPA DE CALOR
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ÁLGEBRA 1: SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
INTERVENIR: REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES Arithmetic and Geometric Sequences
CORREGIR Y VOLVER A ENSEÑAR
REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES
Checkup For questions 1 and 2, determine whether each situation should be modeled with an arithmetic or a geometric sequence. Explain why. 1.
Heavy rain in Dylan’s town caused the river to rise. The river rose three inches the first day. Each day after, it rose twice as much as the previous day. This is a geometric sequence. There is a constant multiplier of 2. Twice as much means it is multiplying by 2 every time.
2.
A side of an apartment building is shaped like a steep staircase. The windows are arranged in columns. The first column has 3 windows, the next has 6, and then 9, and so on. Since the differences are constant, this is an arithmetic sequence. There is an increase of three windows per column.
IMPRESO
3.
Nathan is training to run a marathon. He runs 18 miles his first week of training. Each week, he increases the number of miles he runs by 5 miles. An = 18 + 5(n − 1)
4.
Emily wants to host a party. She invites a friend and posts the invite on social media. It's just the two of them for the first hour. Then, the number of guests triples every hour thereafter. An = 2(3)n – 1
5.
Look at the following sequence:
b.
Construct the formula to find the nth term. An = A1(r)n−1 A1 = 4, r = −3 An = 4(−3)n−1
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de la «Revisión rápida», el «Repaso» y la «Revisión general» para cada estudiante.
Arithmetic and Geometric Sequences
19
12
5
−2
−9
n
1
2
3
4
5
1. Dé una copia de la «Revisión rápida» a cada estudiante.
The explicit formula of an arithmetic sequence is f(n) = −8 + 14(n – 1). Complete the missing values in the recursive formula of the sequence.
2. Cada uno debe completarla de forma independiente.
−8 f(1) = __________ f(n) = f(n − 1) + ______ 14 8.
9.
Use the sequence below to construct a recursive equation, and then convert it to an explicit equation. −8, −24, −72, −216, … Recursive equation Explicit equation r = 3; A1 = −8 r = 3; A1 = −8 An = r(An – 1) An = A1(rn – 1) An = 3An – 1, A1 = −8 An = −8(3)n – 1 Kim invests $6,350 and has that amount during year one of investment. Which expression models how much money Kim has during year 10 if she earns 4% simple interest annually? A. B. C.
10.
A10 = 6,350 + 8(25,400) A9 = 6,350 + 8(254) A10 = 6,350 + 9(254)
Hamza invested $7,280 into an account and has that amount of money during the first year. The account earns 4.5% interest compounded annually. Use the explicit equation to find the balance he will have in his account in year 13. An = A1(rn−1) A13 = 7,280(1.045)13−1 A13 = $12,346.02
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SS NA-Math TE A1-V1.indb 259
3. Use la rúbrica de habilidades al final de la «Revisión rápida» para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional. 4. Distribuya una copia del «Repaso» a cada uno. 5. Cada estudiante debe completar el «Repaso» como actividad de intervención o de forma independiente. a. Si lo desea, reúna a los estudiantes en pequeños grupos para trabajar en las destrezas de repaso. Utilice el «Repaso» como ayuda para la reenseñanza. 6. Distribuya una copia de la «Revisión general» a cada uno. 7. Cada estudiante debe completarla de forma independiente.
2
REVISIÓN GENERAL CLAVE DE RESPUESTAS
• Si lo desea, imprima un ejemplo del «Esquema de anclaje» de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que usen la «Libreta interactiva» como recurso.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Since the differences are constant, this is an arithmetic sequence. The common difference is −7 because An decreases by 7 for every n. An = 19 – 7(n – 1). 7.
• Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar el «Repaso».
• Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayudas suplementarias para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
Identify whether the given table represents an arithmetic or a geometric sequence. Determine the common difference or common ratio. Then, write an explicit formula for the sequence. An
• 1 repaso (por estudiante) • 1 lista de verificación para el maestro (por maestro)
1
6.
• 1 revisión rápida (por estudiante) • 1 revisión general (por estudiante)
4, −12, 36, −108, 324, … Identify whether the sequence is arithmetic, geometric, or neither, and justify your answer. This is a geometric sequence where each term is being multiplied by −3.
Esta actividad está diseñada para repaser los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para intervención.
MATERIALES
For questions 3 and 4, write an equation that represents each situation.
a.
DESCRIPCIÓN
8. Analice los resultados de la «Revisión general» al usar la «Lista de verificación para el maestro» para identificar quienes necesitan un repaso adicional y quienes han alcanzado el dominio de los conceptos.
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ÁLGEBRA 1: SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
ACELERACIÓN: ¿QUÉ PREFERIRÍAS? Arithmetic and Geometric Sequences
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
¿QUÉ PREFERIRÍAS?: COMPETICIÓN DE TIRO CON ARCO DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
Target Archery Competition Use mathematical reasoning and creativity to justify your answer to the Would You Rather question. Campers at Mt. Helena Summer Camp practice target archery. Archers shoot a set of 5 arrows at a target and receive points based on where their arrows land. When competing, a pair of archers must agree to use one of two different targets. The first target includes ring sections whose radii increase in size arithmetically. The second target includes ring sections whose radii increase in size geometrically. A chart of points for each target is shown on the next page. Note that any arrows that fall outside of the target are worth 0 points. Would you rather compete using the arithmetic or geometric target? Justify your reasoning with mathematics.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 rúbrica (por maestro)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno. • Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
The following statements are sample answers: I would rather compete using the arithmetic target because I’m not great at archery, and I would get relatively more credit for hitting any region on the target than I would with the geometric target. This is because the weight distribution of points is more evenly spaced throughout the target, as the difference in points from the previous ring is an arithmetic sequence. I would rather compete using the geometric target because I’m great at archery, and I would get relatively more credit for hitting the center region than any other region on the target compared to the arithmetic target. This is because the weight distribution of points is much more weighted toward the center rings, as the difference in points from the previous ring is a geometric sequence.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno.
1
2. Anímelos a mirar sus folletos de «Explorar» si necesitan repaser habilidades.
Arithmetic and Geometric Sequences
3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros. 4. Utilice la rúbrica proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
Radius
Points
Loss of Points from Previous Ring
r
64
-
2r
49
15
3r
36
13
4r
25
11
5r
16
9
6r
9
7
7r
4
5
8r
1
3
Radius
Points
Loss of Points from Previous Ring
r
64
-
2r
16
48
4r
4
12
8r
1
3
2
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Arithmetic and Geometric Sequences
OPCIONES PARA EL APRENDIZAJE CONTINUO
TABLERO DE OPCIONES
Arithmetic and Geometric Sequences Choose one or more extension activities from the table below. Career Connection
Arts Connection
Cryptologist
Nested Art
Research the career field of cryptology. Your research must answer the provided questions. Create a presentation to relay your research to the class.
Explore the connection between math and art by creating a piece of art that contains a hidden sequence.
Create Your Own
Kitchen Connection
Write Your Own Pattern
Stacked Cups
Create your own block pattern and write corresponding sequences that can be used to generate your pattern. Mathematician Spotlight
Carl Friedrich Gauss
Search for several news articles or research papers that involve Carl Friedrich Gauss’s work. Create an informational poster, a diorama, or a speech to convey this mathematician’s work as it relates to arithmetic and geometric sequences.
Use a formula to represent the height of stacked cups in the kitchen cupboard.
Financial Connection
Vehicle Shopping
We use math every day in our financial world. Explore how our current math topic connects to our financial world by completing the handout.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes explorarán las conexiones con el mundo real y las aplicaciones del contenido matemático a través de interacciones con actividades atractivas.
MATERIALES IMPRESO
• 1 tablero de opciones (por estudiante) • 1 juego de hojas de actividades (por estudiante) • 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante) REUTILIZABLE
• Tecnología (si corresponde)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Tablero de opciones» y un juego de hojas de actividades para cada estudiante. • Imprima una «Autoevaluación del tablero» para cada estudiante.
TABLERO DE OPCIONES
• Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» a cada estudiante. 2. Dé tiempo a los estudiantes para examinar el «Tablero de opciones» y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anímelos a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del tablero, haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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ÁLGEBRA 1 FUNCIONES LINEALES
ÁLGEBRA 1
FUNCIONES LINEALES ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: REALIDAD O FICCIÓN
ESTÁNDARES CLAVE Crear ecuaciones que describan números o relaciones.
Los estudiantes participarán en una actividad de «Realidad o ficción» para abordar conceptos erróneos sobre un estándar matemático previo, desplazándose a los lados designados del aula en función de sus respuestas a las indicaciones. • Los estudiantes escucharán las indicaciones leídas en voz alta y decidirán si son realidad o ficción.
•
Crear ecuaciones en dos o más variables para representar relaciones entre cantidades; representar ecuaciones en ejes de coordenadas con etiquetas y escalas.
• Los estudiantes se desplazarán físicamente al lado designado del aula que corresponda a su elección.
•
Representar restricciones mediante ecuaciones o desigualdades, y mediante sistemas de ecuaciones y/o desigualdades, e interpretar soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelización. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de coste en combinaciones de diferentes alimentos.
• Los estudiantes discutirán su razonamiento con sus compañeros para explorar diferentes perspectivas.
Representar y resolver ecuaciones e inecuaciones gráficamente. •
Entender que la gráfica de una ecuación en dos variables es el conjunto de todas sus soluciones trazadas en el plano de coordenadas, a menudo formando una curva (que podría ser una recta).
Entender el concepto de función y utilizar la notación de función. •
Reconocer que las secuencias son funciones, a veces definidas recursivamente, cuyo dominio es un subconjunto de los números enteros. Por ejemplo, la sucesión de Fibonacci se define recursivamente por f(0) = f(1) = 1, f(n + 1) = f(n) + f(n - 1) para n ≥ 1.
Interpretar funciones que surgen en aplicaciones en términos del contexto. •
Para una función que representa una relación entre dos cantidades, interpretar características clave de gráficas y tablas en términos de las cantidades, y dibujar gráficas que muestren características clave dada una descripción verbal de la relación. Las características clave incluyen intersecciones; intervalos en los que la función es creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos; simetrías; comportamiento final; y periodicidad.
Analizar funciones utilizando diferentes representaciones. •
Representar funciones expresadas simbólicamente y mostrar las características clave de la gráfica, a mano en casos sencillos y utilizando tecnología para casos más complicados. •
•
Representar funciones lineales y cuadráticas y mostrar intersecciones, máximos y mínimos.
Comparar propiedades de dos funciones representadas cada una de una manera diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas o mediante descripciones verbales). Por ejemplo, dada una gráfica de una función cuadrática y una expresión algebraica para otra, decir cuál tiene el máximo mayor.
Construir nuevas funciones a partir de funciones existentes. •
Identificar el efecto en la gráfica de sustituir f(x) por f(x) + k, kf(x), f(kx) y f(x + k) para valores específicos de k (tanto positivos como negativos); encontrar el valor de k dadas las gráficas. Experimentar con casos e ilustrar una explicación de los efectos en la gráfica utilizando la tecnología. Incluir el reconocimiento de funciones pares e impares a partir de sus gráficas y expresiones algebraicas para ellas.
Construir y comparar modelos lineales, cuadráticos y exponenciales y resolver problemas. •
Construir funciones lineales y exponenciales, incluyendo secuencias aritméticas y geométricas, dada una gráfica, una descripción de una relación o dos pares de entrada-salida (incluir la lectura de estos a partir de una tabla).
Interpretar expresiones para funciones en términos de la situación que representan. •
Interpretar los parámetros en una función lineal o exponencial en términos de un contexto. [Lineal y exponencial de la forma f(x) = bx + k] *Este alcance se centra en la lineal.
CAPTAR INTERÉS Los estudiantes participarán en una actividad para hacer predicciones utilizando funciones lineales mediante el análisis de un escenario en el que un barco militar apunta con un láser a un satélite. • Los estudiantes verán un vídeo para presentar el escenario e identificar los elementos matemáticos implicados. • Discutirán y compartirán observaciones y preguntas sobre el escenario, centrándose en la aplicación de funciones lineales. • Los estudiantes predecirán y justificarán qué trayectoria lineal alcanzará con éxito el objetivo mediante el análisis de pendientes, intersecciones y ecuaciones.
ACTIVIDADES DE EXPLORAR EXPLORACIÓN 1: SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y FUNCIONES LINEALES Los estudiantes explorarán la relación entre secuencias aritméticas y ecuaciones lineales mediante el análisis de los costes de alquiler de bicicletas para determinar la mejor oferta. • Los estudiantes trabajarán en grupos para escribir secuencias aritméticas y funciones lineales a partir de los datos proporcionados. • Analizarán y compararán dominios discretos y continuos en el contexto de escenarios de alquiler de bicicletas. • Los estudiantes participarán en debates para criticar el razonamiento y construir argumentos sobre la conveniencia de utilizar secuencias aritméticas frente a funciones lineales. EXPLORACIÓN 2: COMPARACIÓN DE FUNCIONES LINEALES Los estudiantes analizarán y compararán diferentes representaciones de funciones para determinar la opción de asignación más favorable. • Los estudiantes clasificarán y ordenarán gráficas con base en características como pendiente e intersecciones. • Los estudiantes participarán en conversaciones de grupo para criticar y construir argumentos matemáticos.
ESTÁNDARES DE CONEXIÓN
• Los estudiantes identificarán características clave de funciones a partir de varias representaciones, incluyendo gráficas, tablas y ecuaciones.
Comprender el concepto de función y utilizar la notación de función.
• Los estudiantes completarán un «Boleto de salida» para demostrar su comprensión de la comparación de representaciones de funciones.
•
•
Comprender que una función de un conjunto (llamado dominio) a otro conjunto (llamado rango) asigna a cada elemento del dominio exactamente un elemento del rango. Si f es una función y x es un elemento de su dominio, entonces f(x) denota la salida de f correspondiente a la entrada x. La gráfica de f es la gráfica de la ecuación y = f(x). Usar notación de funciones, evaluar funciones para entradas en sus dominios e interpretar enunciados que usan notación de funciones en términos de un contexto.
Construir una función que modele una relación entre dos cantidades. •
Escribir una función que describa una relación entre dos cantidades. •
Determinar una expresión explícita, un proceso recursivo o pasos para el cálculo a partir de un contexto.
Interpretar funciones que surgen en aplicaciones en términos del contexto. •
Relacionar el dominio de una función con su gráfica y, en su caso, con la relación cuantitativa que describa. Por ejemplo, si la función h da el número de horas por persona que se necesitan para montar n motores en una fábrica, entonces los números enteros positivos serían un dominio apropiado para la función.
•
Calcular e interpretar la tasa de variación media de una función (presentada simbólicamente o en forma de tabla) en un intervalo especificado. Estimar la tasa de cambio a partir de una gráfica.
Construir una función que reoresente una relación entre dos cantidades. •
Escribir una función que describa una relación entre dos cantidades. •
Determinar una expresión explícita, un proceso recursivo o pasos para el cálculo a partir de un contexto.
Crear ecuaciones que describan números o relaciones. •
Crear ecuaciones e inecuaciones en una variable, incluyendo aquellas con valor absoluto y utilizarlas para resolver problemas. Incluir ecuaciones que surjan de funciones lineales y cuadráticas y funciones racionales y exponenciales simples.
Resolver ecuaciones e inecuaciones en una variable. •
EXPLORACIÓN 2: FORMA PUNTO-PENDIENTE Los estudiantes explorarán transformaciones de funciones lineales comparando diferentes representaciones y aplicando razonamiento matemático para resolver problemas. • Los estudiantes trabajarán en grupos para identificar joyas en un mapa determinando la pendiente desde un punto de partida y registrando sus hallazgos. • Los estudiantes representarán líneas y analizarán puntos en la línea para automatizar el proceso de excavación usando ecuaciones. • Los estudiantes representarán ecuaciones, identificarán características clave y determinarán qué joyas se pueden recolectar a lo largo de una ruta dada. EXPLORACIÓN 4: TRANSFORMACIONES LINEALES Los estudiantes explorarán transformaciones de funciones lineales a través de contextos del mundo real que involucran servicios de suscripción. • Los estudiantes trabajarán en grupos para escribir y analizar funciones basadas en folletos de servicios de suscripción. • Colaborarán para comprender el impacto de los cambios en las tasas y los valores iniciales en los gráficos. • Los estudiantes participarán en charlas de matemáticas para comentar observaciones y razonamientos sobre transformaciones de funciones. • Completarán un «Boleto de salida» para demostrar su comprensión de los conceptos aprendidos.
Resolver ecuaciones e inecuaciones lineales en una variable, incluyendo ecuaciones con coeficientes representados por letras.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES1 FUNCIONES LINEALES ÁLGEBRA
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES INVESTIGAR FUNCIONES
SISTEMAS DE ECUACIONES
MODELAR CON FUNCIONES
CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
CONCEPTOS CLAVE • Puedo justificar la relación entre un gráfico, una tabla, una ecuación y una situación. • Puedo identificar características clave de funciones lineales dadas una variedad de representaciones. • Puedo identificar soluciones y no soluciones de funciones lineales. • Puedo representar una función lineal, incluyendo la creación de los rótulos y las escalas, dada cualquier representación. • Puedo explicar el significado de las soluciones de funciones lineales utilizando el contexto del problema. • Puedo utilizar el método gráfico para resolver o estimar las soluciones de ecuaciones y desigualdades complejas. • Puedo identificar valores de entrada y salida razonables y no razonables. • Puedo identificar y hacer conexiones entre secuencias aritméticas y funciones lineales. • Puedo identificar similitudes y diferencias para clasificar gráficas de funciones lineales en categorías basadas en mis propias observaciones. • Puedo identificar características clave de funciones lineales. • Puedo identificar y describir transformaciones verticales y horizontales de la función lineal primaria dada cualquier representación. • Puedo identificar y describir transformaciones verticales y horizontales de cualquier función lineal dada cualquier representación.
PREGUNTAS FUNDAMENTALES • «¿Cómo se reconocen las características clave de una función lineal?». • «¿Cuándo es un par ordenado (x, y) una solución de una función lineal? ¿Cuándo no es una solución?». • «¿Cómo se puede utilizar una tabla para representar gráficamente una función lineal? ¿Una ecuación? ¿Una descripción verbal?». • «¿Cómo se determinan las escalas de los ejes al crear una gráfica?». • «¿Cómo se determina si una función pertenece a la familia de las funciones lineales?». • «¿Cómo cambia la ecuación de una función primaria lineal si se desplaza -k unidades horizontalmente?». • «¿En qué se parecen las secuencias aritméticas y las funciones lineales?». • «¿En qué se diferencian las secuencias aritméticas y las funciones lineales?». • «¿Cómo se relaciona la forma de pendiente puntual con las transformaciones de la función primaria lineal?».
• Puedo hacer conexiones entre una ecuación en forma de pendiente puntual y las transformaciones verticales u horizontales.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
INICIO: CONTENIDO DE APOYO ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
CONTENIDO DE APOYO Crear ecuaciones que describan números o relaciones. • Crear ecuaciones en dos o más variables para representar relaciones entre cantidades; representar ecuaciones en ejes de coordenadas con etiquetas y escalas. • Representar restricciones mediante ecuaciones o inecuaciones y mediante sistemas de ecuaciones y/o inecuaciones, e interpretar soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelización. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de coste en combinaciones de diferentes alimentos. Representar y resolver ecuaciones e inecuaciones gráficamente. • Entender que la gráfica de una ecuación en dos variables es el conjunto de todas sus soluciones trazadas en el plano de coordenadas, a menudo formando una curva (que podría ser una recta). Construir nuevas funciones a partir de funciones existentes. • Identificar el efecto en la gráfica de sustituir f(x) por f(x) + k, kf(x), f(kx), y f(x + k) para valores concretos de k (tanto positivos como negativos); hallar el valor de k, dadas las gráficas. Experimentar con casos e ilustrar una explicación de los efectos en la gráfica utilizando la tecnología. Incluir el reconocimiento de funciones pares e impares a partir de sus gráficas y expresiones algebraicas para ellas. Comprender el concepto de función y utilizar la notación de función. • Reconocer que las secuencias son funciones, a veces definidas recursivamente, cuyo dominio es un subconjunto de los números enteros. Por ejemplo, la sucesión de Fibonacci se define recursivamente por f(0) = f(1) = 1, f(n + 1) = f(n) + f(n - 1) para n 1 Interpretar funciones que surgen en aplicaciones en términos del contexto. • Para una función que modela una relación entre dos cantidades, interpretar características clave de gráficas y tablas en términos de las cantidades, y bosquejar gráficas que muestren características clave dada una descripción verbal de la relación. Las características clave incluyen intersecciones; intervalos en los que la función es creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos; simetrías; comportamiento final; y periodicidad. Analizar funciones utilizando diferentes representaciones. • Representar funciones expresadas simbólicamente y mostrar las características clave de la gráfica, a mano en casos sencillos y utilizando tecnología para casos más complicados. ◦ Representar funciones lineales y cuadráticas y mostrar intersecciones, máximos y mínimos.
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• Comparar las propiedades de dos funciones representadas cada una de una manera diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas o mediante descripciones verbales). Por ejemplo, dada una gráfica de una función cuadrática y una expresión algebraica para otra, decir cuál tiene el máximo mayor. Construir y comparar modelos lineales, cuadráticos y exponenciales y resolver problemas. • Construir funciones lineales y exponenciales, incluyendo secuencias aritméticas y geométricas, dada una gráfica, una descripción de una relación, o dos pares de entrada-salida (incluyendo la lectura de estos a partir de una tabla). Interpretar expresiones para funciones en términos de la situación que modelan. • Interpretar los parámetros en una función lineal o exponencial en términos de un contexto. [Lineal y exponencial de la forma f(x)= bˣ + k] Este alcance se enfoca en lo lineal.
CONOCIMIENTOS PREVIOS En grados anteriores, los estudiantes determinaron si una ecuación o un conjunto de pares ordenados eran lineales y determinaron si una gráfica era creciente, decreciente, lineal o no lineal. Los estudiantes han distinguido entre relaciones proporcionales y no proporcionales utilizando tablas y gráficas. Los estudiantes han creado, resuelto e interpretado una función lineal basándose en el contexto dada una tabla, una gráfica, una descripción o un modelo algebraico. Los estudiantes han construido una función lineal a partir de una descripción, dos pares ordenados, una tabla, una gráfica o un diagrama de dispersión. Los estudiantes han generado y verificado expresiones equivalentes, reescrito expresiones para comprender cómo se relacionan las cantidades con el contexto y resuelto ecuaciones que implican distribución y reordenación de términos semejantes. Además, han comparado propiedades de funciones representadas de distintas formas. También han utilizado triángulos semejantes para comparar pendientes y comprender que una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. Los estudiantes han resuelto gráficamente sistemas de dos ecuaciones lineales y comprenden que el punto de intersección es la solución.
CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
• Los estudiantes pueden creer que toda relación es una función. • Los estudiantes pueden intercambiar la pendiente y la intersección en y al crear ecuaciones. • Los estudiantes pueden no entender lo que representan las variables en una ecuación. • Los estudiantes pueden encontrar incorrectamente la pendiente usando recorrido sobre elevación en lugar de recorrido sobre elevación. • Los estudiantes pueden usar la intersección en x para b, en lugar de la la intersección en y.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
• Los estudiantes pueden tener problemas para reconocer las restricciones de una situación dada. Si se pide a los estudiantes que examinen el gráfico y determinen dónde los valores no son razonables, a menudo tienen más éxito. • Los estudiantes a menudo reconocen sólo las soluciones enteras representadas por la línea o curva trazada en el plano de coordenadas. • Además pueden tener dificultades con el uso de etiquetas y escalas apropiadas al representar.
EN ESTE ALCANCE En este alcance, los estudiantes ampliarán su comprensión de una función y las propiedades de las funciones para identificar las características clave y representar las restricciones de los modelos lineales. Ampliarán su comprensión de la resolución de sistemas gráficamente para resolver o estimar las soluciones de ecuaciones complejas. Los estudiantes ampliarán su comprensión de reordenar y reescribir ecuaciones para traducir ecuaciones lineales entre formas (estándar, punto-pendiente y pendiente-intersección). Los estudiantes deben ser capaces de ampliar su experiencia en la construcción de una función lineal para utilizar la estructura de cada forma para identificar los atributos clave de la función lineal que representa. Los estudiantes harán conexiones entre funciones lineales y secuencias aritméticas. TÉRMINOS A CONOCER
• ecuación: un enunciado matemático que muestra que dos expresiones son iguales entre sí • relación: la regla en un patrón • variable: una letra o símbolo que toma el lugar de un número que puede cambiar; una letra que puede representar un número desconocido o un conjunto de números.
• cantidad: un número o cantidad; una cantidad que dice cuánto • gráfico: una representación visual de datos • ejes de coordenadas: dos rectas numéricas perpendiculares llamadas eje x y eje y, que se cruzan en el punto (0, 0) y crean cuatro cuadrantes • escalas (intervalo a escala): escala de medida utilizada en un gráfico en la que la distancia entre marcas es igual y las marcas se cuentan por un valor constante • dominio: conjunto de todas las posibles entradas, o valores x, de una relación o función • restricciones: restricciones que deben imponerse a las variables utilizadas en ecuaciones/desigualdades que modelan situaciones del mundo real • desigualdad: una oración matemática que utiliza símbolos como <, ≤, >, o ≥ para comparar dos cantidades • solución: cualquier número que hace que una ecuación sea verdadera • plano de coordenadas: dos rectas numéricas perpendiculares, llamadas eje x y eje y, que se cruzan en el punto (0, 0) y crean cuatro cuadrantes; también llamado gráfico, cuadrícula de coordenadas o plano cartesiano • representaciones: Diferentes formas matemáticas de representar una relación o una función • característica clave: característica única de una función o familia de funciones que puede utilizarse para representar gráficamente una función o describir una función • intersección: el punto o puntos en los que una función o relación corta un eje • valor máximo: el lugar en el que una función alcanza su punto más alto, o vértice, en una gráfica • valor mínimo: el lugar en el que una función alcanza su punto más bajo, o vértice, en una gráfica
APLICAR LAS PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes hacen conexiones entre la fórmula explícita para secuencias aritméticas y la forma pendiente-intersección y usan su conocimiento de secuencias aritméticas para construir y entender la forma pendiente-intersección de una función lineal. • MP.2 Razonamiento abstracto y cuantitativo: Los estudiantes descontextualizan las opciones de servicios de suscripción para el streaming de vídeo para comparar precios a lo largo del tiempo y utilizan descripciones verbales para escribir ecuaciones y comparar características clave. • MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros: Los estudiantes justifican su elección de ingresos por subsidios comparando características de diferentes opciones de subsidios, como interseccionesy pendiente, para apoyar su explicación. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes modelan servicios de suscripción en ecuaciones utilizando sus descripciones de precios y utilizan Las ecuaciones para comparar los precios de los servicios a lo largo del tiempo. • MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas: Los estudiantes utilizan reglas para trazar rectas y asegurarse de que encuentran con precisión los puntos de la recta deseada. Luego utilizan la recta para determinar qué puntos son soluciones de la función lineal. • MP.6 Atender a la precisión: Los estudiantes prestan atención a la precisión cuando grafican líneas y trazan puntos con exactitud y luego utilizan el gráfico para responder preguntas sobre la función lineal representada. • MP.7 Buscar y utilizar estructuras: Los estudiantes deconstruyen ecuaciones de funciones lineales para encontrar detalles específicos sobre las funciones. Determinan las características clave necesarias para la representación gráfica, como la pendiente, un punto o dos puntos. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes reconocen que diferentes formas de ecuaciones lineales requieren diferente información, usan la información para simplificar el proceso de escribir una ecuación de una función lineal analizando lo que se les da, y seleccionan la ecuación basándose en la información proporcionada.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
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SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y FUNCIONES LINEALES Los estudiantes establecerán conexiones entre la fórmula explícita de una secuencia aritmética, An = A1 + (n - 1) d, y la forma pendiente-intersección de una ecuación lineal, y = mx + b. Una secuencia aritmética es una lista de números que tiene una diferencia constante entre cada par de números consecutivos. Tanto las funciones lineales como las secuencias aritméticas tienen una tasa de cambio constante. En una función lineal, la tasa de cambio constante se llama pendiente. En una sucesión aritmética, la tasa de cambio constante se denomina diferencia constante. La diferencia constante se utiliza para describir patrones tanto crecientes como decrecientes. Se dice que la sucesión es creciente cuando la diferencia entre los términos consecutivos es positiva. Se dice que la sucesión es decreciente cuando la diferencia entre los términos consecutivos es negativa.
La fórmula explícita de una sucesión aritmética puede determinarse mediante dos puntos de la gráfica de una sucesión o un punto de la gráfica y su diferencia constante. Esto es similar a determinar una función lineal a partir de dos pares ordenados o un par ordenado y la pendiente. Los estudiantes representarán, determinarán el dominio y el rango, y analizarán qué forma representa mejor la situación. Las funciones lineales tienen un dominio que se define para todos los números reales. Las secuencias aritméticas tienen un dominio que se define para los números naturales. Una secuencia aritmética es discreta, pero una función lineal es continua. Por lo tanto, una secuencia aritmética se puede representar como una función lineal con un dominio discreto. Cuando una función lineal representa una sucesión aritmética, se denomina sucesión lineal. Sin embargo, una función lineal continua no puede representarse como una secuencia aritmética.
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Ejemplo: Usa la siguiente tabla para escribir una secuencia aritmética en forma explícita, y luego usa la tabla para escribir una ecuación en forma pendiente-intersección. Tiempo en horas (x)
0
1
2
3
4
Distancia desde casa
500
445
390
335
?».
An = 500 + (n - 1) (-55) y = -55 x + 500 a. «¿En qué se pareció el proceso para cada ecuación?». Ambas ecuaciones requirieron encontrar la diferencia constante o pendiente, -55. Ambas ecuaciones requieren el primer término o valor inicial/la intersección en y, 500. b. «¿En qué difiere el proceso?». El proceso es diferente porque Las ecuaciones usan vocabulario diferente para la misma característica (diferencia constante y pendiente). La forma explícita comienza con n = 1 para el primer término, y la pendiente-intersección comienza con x = 0 para el valor inicial. Esto es siempre cierto para las dos formas. Término (n)
1
2
3
4
5
Tiempo en horas (x)
0
1
2
3
4
Distancia desde casa
500
445
390
335
?
a. «¿Dan Las ecuaciones el mismo resultado al encontrar el valor que falta en la tabla?». El valor que falta es 280, y tanto la secuencia aritmética en forma explícita como la ecuación en forma pendiente-intersección dan el mismo resultado. b. «¿Qué función es la mejor representación para esta situación?». La ecuación en forma pendienteintersección es la mejor representación para esta situación porque la situación tiene un dominio razonable de valores que incluyen números entre los enteros de la tabla. El tiempo es continuo y las secuencias aritméticas no son continuas, por lo que no sería la mejor representación para esta situación. La secuencia aritmética no es un buen ajuste porque sólo está modelando la distancia como una función de la posición en la secuencia, pero la forma pendiente-intersección está modelando la distancia como una función del tiempo.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
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COMPARACIÓN DE FUNCIONES LINEALES Los estudiantes serán capaces de analizar una representación dada de una función y compararla con otro tipo de representación de una función diferente. Por ejemplo, se le puede pedir a un estudiante que compare la gráfica de f(x) con la ecuación de g(x). Serán capaces de analizar una variedad de representaciones de muchas funciones diferentes y determinar cómo categorizarlas y compararlas basándose en las características clave de las funciones dadas. Los estudiantes tienen amplia experiencia con funciones lineales y utilizarán el conocimiento previo para analizar, comparar y categorizar. Además, calcularán o determinarán la pendiente y/o el valor inicial a partir de cualquier representación. Existen múltiples formas de categorizar y comparar grupos de funciones. El énfasis aquí es que los estudiantes creen y desarrollen su sistema para comparar y categorizar las funciones y sean capaces de explicar o justificar la comparación o categorías. El propósito de este enfoque es activar el conocimiento previo, reforzar las conexiones e identificar los conceptos erróneos. Los estudiantes identificarán los atributos clave de las funciones presentadas gráfica, algebraica, verbal y tabularmente. Los estudiantes determinarán qué información puede obtenerse de cada representación y comprenderán cómo las representaciones trabajan juntas para representar las mismas o diferentes funciones.
Ejemplo: «¿Qué dos funciones tienen la misma pendiente?».
8
f(x)
En una tabla, la pendiente se halla utilizando la fórmula de la pendiente y dos puntos. (y–y1) ______ (16–8) ___ 7 _____ = = 8 = __ (x–x1) (14–0) 14 4
a. x
Las opciones A y D tienen la misma pendiente de 7/4.
0
16 14
24 28
32 42
40 56
b.
c. Julie sale a 8 millas de casa y viaja a 4.7 millas por hora.
En una ecuación escrita en forma estándar, la ecuación debe traducirse a la forma pendiente-intersección, y la pendiente se representa mediante m. 4y - 7x = 12 4y = 7x + 12 7 y = __ x + 12 4
TRANSFORMACIONES Los estudiantes explorarán transformaciones de funciones lineales a través de la comparación de sus representaciones. Los estudiantes representarán funciones que son similares, con sólo un parámetro cambiado. Luego, compararán las funciones para hacer generalizaciones sobre las transformaciones de funciones. Los estudiantes compararán con la función primaria, pero también con otras funciones de la familia de funciones lineales. Una función primaria es la función más sencilla de toda la familia de funciones que conserva la forma de toda la familia. Una familia de funciones es un grupo de funciones que comparten la misma forma para sus gráficas y el mismo grado mayor. Los estudiantes descubrirán los patrones de las traslaciones y dilataciones verticales y horizontales y serán capaces de explicar cómo se representa algebraicamente el cambio en la gráfica.
d. 4y - 7x = 12
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
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TRASLACIÓN VERTICAL Y HORIZONTAL Una familia de funciones es un grupo de funciones que tienen características similares. La función original o básica se llama función primaria. Una función primaria puede transformarse mediante cambios verticales y horizontales. Cuando una función lineal se traslada, toda la línea mantiene su orientación y sólo se desplaza vertical u horizontalmente. La línea entera se desplaza porque ambas coordenadas x- y/o y- cambian por una constante. Una traslación vertical cambiará el valor de y de cada punto de la gráfica de la función en la misma cantidad. Gráficamente, esta traslación vertical cambiará la x-intersección y la intersección en y de una función lineal. Algebraicamente, una traslación vertical es una constante sumada o restada de la salida, y valor, de la función original. Una traslación horizontal cambiará el valor x de cada punto de la gráfica de la función en la misma cantidad. Gráficamente, una traslación horizontal cambiará la x-intersección y la intersección en y de una función lineal. Algebraicamente, una traslación horizontal es una constante sumada o restada del valor de entrada, x, de la función original. Las traslaciones también se llaman desplazamientos.
Notación de la función
Tipo de transformación
Cambio de coordenada
f(x) = d
Traslación vertical hacia arriba d unidades
(x, y + d)
f(x) - d
Traslación vertical hacia abajo d unidades
(x, )
f(x + c)
Traslación horizontal izquierda c unidades
(x + c, y)
f(x - c)
Traslación horizontal derecha c unidades
(x - c, y)
1 x + 1 que se muestra Ejemplo: En la gráfica de f(x) = ___ 2 a continuación, «¿qué método utilizarías para reflejar esta gráfica sobre el eje x?».
a. Multiplica las entradas de f(x) por -1. b. Multiplica las salidas de f(x) por -1.
1 . c. Multiplique las entradas de f(x) por __
d.
2
1 Multiplique las salidas de f(x) por __ . 2
La respuesta correcta es B. Multiplique los resultados de f(x) por -1 porque una reflexión sobre el eje x significa que tiene que cambiar las coordenadas y al lado opuesto de la gráfica. Las coordenadas pasan a ser (x, -f(x)) para la gráfica g(x) = -f(x). Ejemplo: Represente f(x) = x y g(x) = -2x + 3 en la cuadrícula de abajo. Describa las transformaciones de la gráfica de f(x) a la gráfica de g(x). La gráfica se estira verticalmente por un factor de 2 porque | m | > 1. La gráfica se refleja sobre el eje x- porque m es negativo y también se traslada (desplaza) verticalmente 3 unidades hacia arriba porque se ha sumado 3.
DILATACIONES Y REFLEXIONES Las dilataciones son transformaciones que pueden estirar o comprimir una función por algún factor k. Cuando k es negativo, causa una reflexión. Una dilatación vertical cambia cada valor y de una función por algún factor k. Si k es mayor que 1, entonces hay un estiramiento vertical. Si 0 < k < 1, se produce una dilatación horizontal. Si k < 0 (es decir, es negativo), se produce una reflexión respecto al eje y. Gráficamente, una dilatación o reflexión horizontal modifica la pendiente y puede cambiar la intersección con el eje x y la intersección con el eje y de una función lineal. Dilataciones y Reflexiones -f(x)
y-d
(x, (-1)y)
f(-x)
Reflexión sobre el eje y.
((-1)x, y)
k. f(x)
k > 1 estiramiento vertical, 0 < k < 1 compresión vertical
(x, (k)y)
f(kx)
k > 1 compresión horizontal, 0 < k < 1 estiramiento horizontal
((k)x, y)
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FORMA PUNTO-PENDIENTE Los estudiantes compararán una función escrita en forma pendiente-intersección con la misma función escrita en forma punto-pendiente. Compararán cada ecuación con la gráfica de la función y sacarán conclusiones sobre los componentes de la forma punto-pendiente. También explorarán transformaciones de funciones escritas en forma punto-pendiente y compararán estos cambios con reflexiones previas sobre transformaciones. Los estudiantes investigarán una propiedad especial de las transformaciones de funciones lineales. Las funciones lineales son continuas y tienen infinitas rectas. Hay un número infinito de traslaciones verticales y horizontales para trasladar una función lineal a otra función lineal. Podríamos describir la función f(x) = 2x + 3 como un estiramiento vertical por un factor de 2 y un desplazamiento vertical de 3 unidades hacia arriba desde la función primaria. Otra función, g(x) = 2(x + 1) + 1 podría describirse como un estiramiento vertical por un factor de 2, un desplazamiento horizontal a la izquierda de 1 unidad y un desplazamiento vertical hacia arriba de 1 unidad desde la función primaria. Otra función, h(x) = 2(x + 2) - 1 podría describirse como un estiramiento vertical por un factor de 2, un desplazamiento horizontal a la izquierda de 2 unidades, y un desplazamiento vertical hacia abajo de 1 unidad de la función primaria. Algebraicamente, estas 3 funciones parecen diferentes, y las traslaciones identificadas son diferentes. Sin embargo, si distribuimos y combinamos términos semejantes en cada una de las funciones, g(x) y h(x), obtenemos la primera función f(x). Esta propiedad especial de las funciones lineales puede modelarse físicamente con un popote u otro objeto recto y rígido sobre una cuadrícula de coordenadas. Todas las funciones tienen dilataciones «hermanas». Esto ocurre cuando una dilatación vertical y una horizontal producen el mismo resultado. Por ejemplo, j(x) = 3x se describiría como una dilatación vertical por un factor de 3. El mismo gráfico puede ser producido por una compresión horizontal por un factor de 3 (k(x) = (3x), por ejemplo). No hay infinitas formas posibles de dilatar una función con el mismo resultado. Sólo hay una dilatación horizontal que puede hacer la misma transformación que una dilatación vertical, y viceversa.
Ejemplo: Las funciones y = 2x + 1 y y - 7 = 2(x - 3) representan cada una una transformación de la función primaria. Conner cree que la función primaria se desplazó hacia arriba 1 unidad y se estiró verticalmente por un factor de 2. Marta cree que la función primaria se desplazó hacia la derecha 3 unidades, se desplazó hacia arriba 7 unidades y se estiró verticalmente por un factor de 2. Sigue los siguientes pasos para investigar quién tenía razón. a. Gráfica y = 2x + 1.
b. Describa la transformación de la función primaria. La función madre se desplaza una unidad hacia arriba y se dilata un factor de 2. c. Gráfica y - 7 = 2(x - 3).
d. Describa la transformación de la función madre. Esta función primaria se traslada a la derecha 3 unidades, se traslada hacia arriba 7 unidades y se dilata por un factor de 2. e. «¿Qué información de transformación se puede obtener de la función y - 7 = 2(x - 3) cuando se escriba en esta forma?». La forma puntopendiente es y - y1= m(x - x1). La m representa la pendiente, que también significa dilatación. (x1, y1) representa un punto por el que pasa la recta. Si la función primaria pasa por (0, 0) y se desplaza hasta (3, 7), tiene sentido que se produzca una traslación hacia la derecha 3 y hacia arriba 7.
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APLICACIONES DE LAS TRANSFORMACIONES Los estudiantes utilizarán contextos del mundo real para explorar las transformaciones de funciones lineales. Los estudiantes compararán transformaciones de la función madre y de otras funciones lineales. Los estudiantes usarán, explicarán y aplicarán una variedad de transformaciones. Analizarán los trabajos realizados en busca de errores y los corregirán. Los estudiantes usarán transformaciones para mostrar cómo cambió una situación. Por ejemplo, si la tasa de cambio en un contexto aumenta, el estudiante mostraría eso usando un estiramiento vertical. En el contexto, la intersección en x y la intersección en y representan los límites superior e inferior de la entrada, respectivamente. Si se aumentaran tanto el límite superior como el inferior de una situación, el estudiante lo demostraría utilizando un desplazamiento horizontal hacia la derecha o un desplazamiento vertical hacia arriba. Si sólo se aumentara el límite superior o el inferior, el estudiante lo demostraría mediante una dilatación.
AVANCES Los estudiantes aplicarán habilidades lineales a funciones no lineales a lo largo de álgebra 1. Los estudiantes también examinarán factores lineales de cuadráticas. Los estudiantes transformarán funciones cuadráticas y exponenciales más adelante en álgebra 1. En álgebra 2, los estudiantes continuarán manipulando funciones lineales y no lineales. En cursos futuros, usarán transformaciones para analizar muchas familias de funciones. Cuando se trabaja con funciones trigonométricas, las transformaciones son particularmente importantes para analizar la amplitud y el período.
Ejemplo: Una tienda de alquiler de coches alquila coches por $20 al día. La función f(x) = 20x representa la cuota diaria de alquiler para x días. La empresa decide añadir una tarifa única de $10 en concepto de limpieza. Escriba la función g(x), que da el nuevo coste por día, como una transformación de f(x). «¿Cómo se compararía la gráfica de g(x) con la de f(x)?». La función g(x) se modelaría mediante g(x) = 20x + 10. La gráfica de g(x) sería una traslación vertical hacia arriba de 10 unidades.
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INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO ÁLISIS PROFUNDO DE LOS ESTÁNDARES
CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES Crear ecuaciones que describan números o relaciones. • Crear ecuaciones en dos o más variables para representar relaciones entre cantidades; representar ecuaciones en ejes de coordenadas con etiquetas y escalas. • Representar restricciones mediante ecuaciones o inecuaciones y mediante sistemas de ecuaciones y/o inecuaciones, e interpretar soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelización. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de coste en combinaciones de diferentes alimentos. Representar y resolver ecuaciones e inecuaciones gráficamente. • Entender que la gráfica de una ecuación en dos variables es el conjunto de todas sus soluciones trazadas en el plano de coordenadas, a menudo formando una curva (que podría ser una recta). Construir una función que modele una relación entre dos cantidades. • Escribir una función que represente una relación entre dos cantidades. ◦ Determinar una expresión explícita, un proceso recursivo o pasos para el cálculo a partir de un contexto. Construir nuevas funciones a partir de funciones existentes. • Identificar el efecto en la gráfica de sustituir f (x) por f (x) + k, kf(x), f (kx), y f(x + k) para valores concretos de k (tanto positivos como negativos); hallar el valor de k, dadas las gráficas. Experimentar con casos e ilustrar una explicación de los efectos en la gráfica utilizando la tecnología. Incluir el reconocimiento de funciones pares e impares a partir de sus gráficas y expresiones algebraicas para ellas. Comprender el concepto de función y utilizar la notación de función. • Reconocer que las secuencias son funciones, a veces definidas recursivamente, cuyo dominio es un subconjunto de los números enteros. Por ejemplo, la sucesión de Fibonacci se define recursivamente por f(0) = f(1) = 1, f(n + 1) = f(n) + f(n - 1) para n ≥ 1 Interpretar funciones que surgen en aplicaciones en términos del contexto. • Para una función que modela una relación entre dos cantidades, interpretar las características clave de gráficas y tablas en términos de las cantidades, y dibujar gráficas que muestren las características clave dada una descripción verbal de la relación. Las características clave incluyen intersecciones; intervalos en los que la función es creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos; simetrías; comportamiento final; y periodicidad.
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• Relacionar el dominio de una función con su gráfica y, en su caso, con la relación cuantitativa que describa. Por ejemplo, si la función h(n) da el número de horaspersona que se tarda en montar n motores en una fábrica, entonces los números enteros positivos serían un dominio apropiado para la función. Analizar funciones utilizando diferentes representaciones. • Representar funciones expresadas simbólicamente y mostrar las características clave de la gráfica, a mano en casos sencillos y utilizando tecnología para casos más complicados. ◦ Representar funciones lineales y cuadráticas y mostrar intersecciones, máximos y mínimos. • Comparar propiedades de dos funciones representadas cada una de una manera diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas o mediante descripciones verbales). Por ejemplo, dada una gráfica de una función cuadrática y una expresión algebraica para otra, decir cuál tiene el máximo mayor. Construir y comparar modelos lineales, cuadráticos y exponenciales y resolver problemas. • Construir funciones lineales y exponenciales, incluyendo secuencias aritméticas y geométricas, dadas una gráfica, una descripción de una relación, o dos pares de entradasalida (incluyendo la lectura de estos a partir de una tabla). Interpretar expresiones para funciones en términos de la situación que modelan. • Interpretar los parámetros en una función lineal o exponencial en términos de un contexto. Nota: Este alcance se centra en las funciones lineales.
DESGLOSAR EL ESTÁNDAR VERBOS: ¿QUÉ DEBERÍAN HACER LOS ESTUDIANTES?
• entender: captar el significado de • usar: aplicar una estrategia • reconocer: ver y entender • interpretar: explicar el significado de • esbozar: hacer un dibujo aproximado de • crear: hacer algo desde cero • describir: escribir o contar los detalles de • representar: mostrar cómo se relacionan los términos; representar otra cosa • escribir: registrar un enunciado matemático • determinar: resolver; averiguar • construir: construir (algo) juntando piezas o materiales
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INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO • identificar: reconocer y establecer qué es algo • relacionar: encontrar o mostrar la conexión entre dos o más cosas • representar: trazar un conjunto de puntos en un plano de coordenadas • encontrar: descubrir; resolver • experimentar: probar diferentes maneras de hacer algo • ilustrar: aclarar algo con ejemplos • modelar: mostrar con una representación pictórica o una expresión numérica • resolver: encontrar un valor que responda a una pregunta y/o haga que una ecuación sea verdadera • analizar: explorar y explicar • mostrar: representar un número • comparar: observar las similitudes y diferencias entre las cosas • trazar: indicar la posición en la que se encuentra un número con respecto al cero en una recta numérica o con respecto al origen en un plano de coordenadas SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBEN CONOCER LOS ESTUDIANTES? • función: una relación especial entre valores; cada valor de entrada devuelve exactamente un valor de salida • notación de función: una forma de representar y, el valor dependiente en una relación, como f(x), léase "f de x" donde f nombra la función • secuencia: una disposición ordenada de números u objetos • fórmula explícita: fórmula para hallar el término enésimo de una secuencia • fórmula recursiva: fórmula que define cada término de una secuencia utilizando el término o términos precedentes • contexto: situación en la que se encuentra o sucede algo • dominio: conjunto de todas las posibles entradas (x valores) de una función • subconjunto: conjunto cuyos elementos están contenidos dentro de otro conjunto • número entero: cualquiera de los números enteros positivos, números enteros negativos y cero; cualquier miembro del conjunto de todos los números enteros y sus opuestos • secuencia de Fibonacci: secuencia de números en la que cada número de la secuencia es igual a la suma de los dos números que le preceden
• característica clave: una característica única de una función o familia de funciones que puede utilizarse para representar gráficamente una función o describir una función • gráfico: una representación visual de datos • tabla: un gráfico que contiene datos que se muestran en columnas y filas • intersección: el punto o puntos en los que una función o relación corta un eje • máximo relativo: un punto que es más alto que los puntos situados directamente a su lado en ambos lados • mínimo relativo: un punto que es más bajo que los puntos situados directamente a su lado en ambos lados • simetría: una propiedad intrínseca de un objeto matemático que hace que permanezca invariable bajo ciertas clases de transformaciones • comportamiento final: la tendencia que sigue la gráfica a medida que x se aproxima al infinito en las direcciones negativa y positiva • ecuación: enunciado matemático que muestra que dos expresiones son iguales entre sí • desigualdad: enunciado matemático que utiliza símbolos como <, ≤, >, o ≥ para comparar dos cantidades • sistema de ecuaciones: dos o más ecuaciones con dos o más variables • sistema de inecuaciones: dos o más inecuaciones con dos o más variables • función par: cuando x se sustituye por -x en una función y la función se simplifica, la función resultante será idéntica a la función original. • función impar: cuando en una función se sustituye x por -x y se simplifica la función, los términos de la función resultante tienen signos opuestos a los de la función original. • expresión algebraica: números, variables y símbolos agrupados sin un signo igual para mostrar una relación • parámetro: una cantidad que influye en la salida o el comportamiento de un objeto matemático pero que se considera constante • función lineal: una relación que cuando se representa gráficamente es una línea recta • variable: una letra o símbolo que ocupa el lugar de un número que puede cambiar; una letra que puede representar un número desconocido o un conjunto de números • ejes de coordenadas: dos rectas numéricas perpendiculares, denominadas eje x y eje y, que se cruzan en el punto (0, 0) y crean cuatro cuadrantes
• relación: la regla en un patrón
• intervalo escalado: escala de medida utilizada en una gráfica en la que la distancia entre marcas es igual y las marcas se cuentan por un valor constante
• relación cuantitativa: la relación entre magnitudes
• restricción: una condición que la solución debe satisfacer
• número entero: cualquiera de los números enteros positivos, números enteros negativos y cero; cualquier miembro del conjunto de todos los números enteros y sus opuestos
• plano de coordenadas: dos rectas numéricas perpendiculares llamadas eje x y eje y, que se cruzan en el punto (0,0) y crean cuatro cuadrantes; también llamado gráfico, cuadrícula de coordenadas o plano cartesiano.
• cantidad: un número o cantidad; una cantidad que dice cuánto
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INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO • representación: una relación general que expresa similitudes o equivalencias entre objetos o estructuras matemáticas • valor máximo: el lugar donde una función alcanza su punto más alto, o vértice, en una gráfica • valor mínimo: el lugar donde una función alcanza su punto más bajo, o vértice, en una gráfica
IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA
• En grados anteriores, los estudiantes determinaron si una ecuación o un conjunto de pares ordenados eran lineales y si una gráfica era creciente, decreciente, lineal o no lineal. Los estudiantes construyeron funciones lineales para modelar una situación y utilizaron la ecuación lineal para resolver problemas. Los estudiantes utilizaron triángulos semejantes para comparar pendientes y comprendieron que una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. Los estudiantes compararon propiedades de funciones representadas de distintas formas. También han resuelto gráficamente sistemas de dos ecuaciones lineales y han comprendido que el punto de intersección es la solución. Los estudiantes estudiaron funciones en las que cada entrada tiene sólo una salida. • En grados anteriores, los estudiantes generaron y verificaron expresiones equivalentes, reescribieron expresiones para comprender cómo se relacionan las cantidades con el contexto y resolvieron ecuaciones que implicaban la distribución y el reordenamiento de términos semejantes. Los estudiantes construyeron una función lineal dada una descripción, dos pares ordenados, una pendiente y un punto, una tabla, un gráfico o un diagrama de dispersión. Además, interpretaron la tasa de cambio y el valor inicial de una función lineal en términos de la situación, un gráfico o una tabla. • En este grado, los estudiantes ampliarán su comprensión de una función lineal para incluir la comparación de una función lineal con la función lineal primaria. Ampliarán su experiencia previa de comparar propiedades de dos funciones lineales representadas de diferentes maneras para comparar funciones lineales y describir las transformaciones. Los estudiantes ampliarán su comprensión de las funciones y sus propiedades para identificar las características clave y representar las restricciones de los modelos lineales. Los estudiantes ampliarán su comprensión de la resolución de sistemas gráficamente para resolver o estimar las soluciones de ecuaciones complejas. • En este nivel de grado, los estudiantes ampliarán su comprensión de reordenar y reescribir ecuaciones para traducir ecuaciones lineales entre formas (estándar, puntopendiente y pendiente-intersección). Deben ser capaces de ampliar su experiencia de construir una función lineal para utilizar la estructura de cada forma para identificar los atributos clave de la función lineal que representa. • Deben ser capaces de hacer conexiones entre secuencias aritméticas y funciones lineales, categorizar funciones lineales basadas en sus transformaciones de la función primaria o de cualquier función lineal, determinar y describir las transformaciones de la función lineal primaria dada cualquier representación, e identificar características clave relativas a las transformaciones.
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• Los estudiantes deben ser capaces de representar una función lineal dada cualquier representación, usar etiquetas y escalas apropiadas al representar, usar una gráfica para explicar e identificar soluciones y no soluciones de funciones lineales, identificar valores de entrada y salida razonables y no razonables, y explicar el significado de soluciones a funciones lineales usando el contexto del problema. • Los estudiantes pueden tener problemas con el subíndice en An = An-1 + d. Usar otras notaciones puede ser útil para crear fluidez para diferentes contextos y para construir conexiones entre los conceptos de funciones y secuencias. Otras notaciones que son útiles son la notación Siguiente/ Ahora y la notación de función. Siguiente = Ahora + Diferencia y f(n+1) = f(n) + d • Con las transformaciones horizontales se producen frecuentes errores de concepto. El uso de la tecnología para explorar qué ocurre con los distintos valores ayuda a los estudiantes a desarrollar la comprensión de las dilataciones y traslaciones horizontales. Se sugiere utilizar la tecnología y representar gráficamente la función madre y una o más transformaciones. Etiquetar estas transformaciones también ayudará a los estudiantes a construir la comprensión correcta. • Los estudiantes a veces continúan creando ecuaciones con una sola variable. Más encuentros con situaciones contextuales con cantidades distintas (como el tiempo y la distancia) pueden ayudar a los estudiantes que están luchando con la creación de ecuaciones de dos variables. • Los estudiantes a menudo reconocen las soluciones enteras representadas por la línea o curva trazada en el plano de coordenadas. Los estudiantes a menudo necesitan estímulo o andamiaje para reconocer las soluciones no enteras representadas. • Los estudiantes pueden tener problemas para reconocer las restricciones de una situación dada. Los estudiantes suelen tener más éxito si se les pide que examinen la gráfica y determinen dónde los valores no son razonables. • Cuando se da una ecuación en forma pendienteintersección con la intersección en y escrita como fracción, los estudiantes a veces confunden la intersección en y con la pendiente. Esto ocurre por el pensamiento procedimental de que la pendiente es siempre una fracción. Esto se puede resolver haciendo que los estudiantes comparen las gráficas con la función simbólica para identificar la pendiente y el intersección como fracciones y números enteros.
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ALINEACIÓN VERTICAL GRADO
ESTÁNDAR Escribir, leer y evaluar expresiones en las que las letras representan números.
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a.
Escribir expresiones que registren operaciones con números y con letras que representan números.
b.
Evaluar expresiones en valores específicos de sus variables. Incluir expresiones que surjan de fórmulas utilizadas en problemas del mundo real. Realizar operaciones aritméticas, incluyendo aquellas que involucran exponentes de números enteros, en el orden convencional cuando no hay paréntesis para especificar un orden particular (Orden de Operaciones). Por ejemplo, utilizar las fórmulas V = s3 y A = 6s2 para hallar el volumen y la superficie de un cubo con 1 . lados de longitud s = __ 2
Utilizar variables para representar dos cantidades en un problema del mundo real que cambian en relación una con otra; escribir una ecuación para expresar una cantidad, considerada como la variable dependiente, en términos de la otra cantidad, considerada como la variable independiente. Analizar la relación entre las variables dependiente e independiente mediante gráficas y tablas, y relacionarlas con la ecuación. Por ejemplo, en un problema que involucre movimiento a velocidad constante, enlistar y representar pares ordenados de distancias y tiempos, y escribir la ecuación d = 65t para representar la relación entre distancia y tiempo.
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Comprender que reescribir una expresión en diferentes formas en el contexto de un problema puede arrojar luz sobre el problema y cómo se relacionan las cantidades en él. Por ejemplo, a + 0.05a = 1.05a significa que «aumentar un 5 %» es lo mismo que «multiplicar por 1.05». Utilizar variables para representar cantidades en un problema matemático o del mundo real, y construir ecuaciones y desigualdades sencillas para resolver problemas razonando sobre las cantidades. Representar relaciones proporcionales, interpretando la tasa unitaria como la pendiente del gráfico. Comparar dos relaciones proporcionales diferentes representadas de formas distintas. Por ejemplo, comparar una gráfica distanciatiempo con una ecuación distancia-tiempo para determinar cuál de dos objetos en movimiento tiene mayor velocidad.
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Utilizar triángulos semejantes para explicar por qué la pendiente m es la misma entre dos puntos distintos cualesquiera de una recta no vertical en el plano de coordenadas; deducir la ecuación y = mx para una recta que pasa por el origen y la ecuación y = mx + b para una recta que intercepta el eje vertical en b. Resolver sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables algebraicamente, y estimar soluciones representando las ecuaciones. Resolver casos sencillos por inspección. Por ejemplo, 3x + 2y = 5 y 3x + 2y = 6 no tienen solución porque 3x + 2y no pueden ser simultáneamente 5 y 6. Crear ecuaciones en dos o más variables para representar relaciones entre cantidades; representar ecuaciones en ejes de coordenadas con rótulos y escalas.
Álgebra
Representar restricciones mediante ecuaciones o inecuaciones y mediante sistemas de ecuaciones y/o inecuaciones, e interpretar soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de representación. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de coste en combinaciones de diferentes alimentos. Comprender que la gráfica de una ecuación en dos variables es el conjunto de todas sus soluciones trazadas en el plano de coordenadas, a menudo formando una curva (que podría ser una recta). Elegir y producir una forma equivalente de una expresión para revelar y explicar propiedades de la cantidad representada por la expresión. Crear ecuaciones en dos o más variables para representar relaciones entre cantidades; representar ecuaciones en ejes de coordenadas con etiquetas y escalas.
Álgebra
Representar restricciones mediante ecuaciones o inecuaciones y mediante sistemas de ecuaciones y/o inecuaciones, e interpretar soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelización. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de costo en combinaciones de diferentes alimentos. Resolver sistemas de ecuaciones lineales de manera exacta y aproximada (por ejemplo, con gráficas), enfocándose en pares de ecuaciones lineales en dos variables.
Álgebra 2
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Crear ecuaciones en dos o más variables para representar relaciones entre cantidades.
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INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA MONITOREAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA La guía de instrucción andamiada se proporciona para que los maestros puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones del alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que ayuda a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de la evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos según los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere que todos los estudiantes experimenten con los elementos: «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades», ya que cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar. 0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
80 % - 100 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil pueden trabajar en contenido de nivel de grado con apoyos de instrucción.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» individual para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 2. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante de acuerdo con sus datos de evaluación. 3. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la sección «Scaffolded Instruction Guide» en el menú desplegable «Home» del alcance. 4. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
8 - resolver pares de ecuaciones lineales Constructor de fluidez • ¡Arregla el error! Práctica interactiva • Búsqueda de droides
0 % - 25 %
Repaso y práctica de habilidades
Prueba de habilidades
Alg.I - Funciones lineales Acceso a conocimientos previos Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (preguntas 1,5) • Repaso (comparar funciones lineales, forma punto-curva, transformaciones de líneas/aplicaciones de transformaciones)
25 % - 50 %
Constructor de bases fundamentales
• Evaluación de control (preguntas 1, 4-9)
(Refuerzo del grado anterior)
Representar las restricciones mediante ecuaciones o desigualdades, y mediante sistemas de ecuaciones y/o desigualdades, e interpretar las soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelización. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de coste en combinaciones de diferentes alimentos.
(Nivel de grado con apoyos)
(Refuerzo del grado anterior) (Nivel de grado con apoyos)
25 % - 50 %
0 % - 25 %
Crear ecuaciones en dos o más variables para representar relaciones entre cantidades; representar ecuaciones en ejes de coordenadas con etiquetas y escalas.
• Lanzamiento de carga Constructor de fluidez • ¡Bam!
50 % - 80 %
Vocabulario interactivo Práctica interactiva
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80 % - 100 %
Tablero de opciones
• ¡Arregla el error! Práctica interactiva • Búsqueda de droides Prueba de habilidades
Alg.I - Funciones lineales Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (preguntas 1,2,5) • Repaso (comparar funciones lineales, forma punto-curva, transformaciones de líneas/aplicaciones de transformaciones) • Evaluación de control (pregunta 1)
Vocabulario con imágenes Vocabulario interactivo Práctica interactiva • Lanzamiento de carga Constructor de fluidez Ciencia de datos
(Ampliación del nivel de grado)
(Ampliación del nivel de grado)
80 % - 100 %
¿Qué preferirías?
Constructor de fluidez
• ¡Bam!
Ciencia de datos
Alg.I - Funciones lineales
Repaso y práctica de habilidades
Alg.I - Funciones lineales
Vocabulario con imágenes (Nivel de grado)
(Nivel de grado)
50 % - 80 %
Alg.I - Funciones lineales
8 - Resolver pares de ecuaciones lineales
Alg.I - Funciones lineales ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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1/9/26 1:32 PM
ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Entender que la gráfica de una ecuación en dos variables es el conjunto de todas sus soluciones trazadas en el plano de coordenadas, a menudo formando una curva (que podría ser una línea).
8 - Relaciones proporcionales Repaso y práctica de habilidades
0 % - 25 %
(Refuerzo del grado anterior)
Constructor de fluidez • ¡Arregla el error! Práctica interactiva • Evaluación de velocidad del robot Prueba de habilidades 8 - Resolver pares de ecuaciones lineales Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • ¡Arregla el error! Práctica interactiva • Búsqueda de droides
(Nivel de grado con apoyos)
25 % - 50 %
Prueba de habilidades Alg.I -Funciones lineales Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (pregunta 2) • Repaso (comparar funciones lineales, forma punto-pendiente, transformaciones de líneas/aplicaciones de transformaciones) • Evaluación de control (preguntas 2-7, 9,10) Alg.I - Funciones lineales (Nivel de grado)
50 % - 80 %
Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva Práctica interactiva • Lanzamiento de carga Constructor de fluidez • ¡Bam!
(Ampliación del nivel de grado)
80 % - 100 %
Ciencia de datos
Alg.I - Funciones lineales ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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SS NA-Math TE A1-V1.indb 277
277
1/9/26 1:32 PM
ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Escriba una función que represente una relación entre dos cantidades.
Repaso y práctica de habilidades • ¡A pescar! Práctica interactiva • Primer contacto
0 % - 25 %
Constructor de fluidez
(Refuerzo del grado anterior)
Repaso y práctica de habilidades
8 - Tasa de cambio
Constructor de fluidez • ¡Bam! Prueba de habilidades Alg.I - Propiedades de las funciones Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Concentración Práctica interactiva • ¡Atrapa ese Robot!
Alg.I - Funciones lineales Repaso y práctica de habilidades
Prueba de habilidades
• Evaluación de control (preguntas 1, 7 y 8)
(Nivel de grado con apoyos)
• Repaso (secuencias aritméticas y funciones lineales)
25 % - 50 %
• Revisión rápida (preguntas 1 y 5) Alg.I - Funciones lineales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (pregunta 3) • Repaso (forma punto-curva, transformaciones de líneas/aplicaciones de transformaciones) • Evaluación de control (preguntas 4,7,10)
Vocabulario con imágenes Constructor de fluidez • ¡Bam!
Alg.I - Funciones lineales Tablero de opciones
278
SS NA-Math TE A1-V1.indb 278
(Ampliación del nivel de grado)
Vocabulario interactivo
(Nivel de grado)
Alg.I - Funciones lineales 50 % - 80 %
(Refuerzo del grado anterior) (Nivel de grado con apoyos) (Nivel de grado)
8 - Funciones
80 % - 100 %
80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
50 % - 80 %
25 % - 50 %
0 % - 25 %
a. Determina una expresión explícita, un proceso recursivo o pasos para el cálculo a partir de un contexto.
Identificar el efecto en la gráfica de sustituir f (x) por f (x)+ k, kf (x), f (kx) y f (x + k) para valores concretos de k (tanto positivos como negativos); hallar el valor de k dadas las gráficas. Experimentar con casos e ilustrar una explicación de los efectos en la gráfica utilizando la tecnología. Incluir el reconocimiento de funciones pares e impares a partir de sus gráficas y expresiones algebraicas para ellas.
Alg.I - Funciones lineales Vocabulario con imágenes Vocabulario interactivo Libreta interactiva
Alg.I - Funciones lineales Tablero de opciones
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1/9/26 1:32 PM
ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Repaso y práctica de habilidades
Repaso y práctica de habilidades
Práctica interactiva • ¡Atrapa ese Robot! Prueba de habilidades
0 % - 25 %
• Concentración
(Refuerzo del grado anterior)
Constructor de fluidez
Constructor de fluidez
• Concentración Práctica interactiva • ¿Cuál es mi recta? Prueba de habilidades Alg.I - Propiedades de las funciones Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Concentración Práctica interactiva
Alg.I - Funciones lineales
• ¡Atrapa ese robot!
Repaso y práctica de habilidades
25 % - 50 %
• Evaluación de control (preguntas 1,8)
Alg.I - Funciones lineales
(Nivel de grado con apoyos)
Prueba de habilidades
• Repaso (secuencias aritméticas y funciones lineales)
Vocabulario con imágenes
Alg.I - Funciones lineales Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (preguntas 1,2,4) • Repaso (comparar funciones lineales/ forma punto-curva/transformaciones de líneas/aplicaciones de transformaciones) • Evaluación de control (preguntas 2-7, 9, 10) Alg.I - Funciones lineales
Vocabulario interactivo 50 % - 80 %
(Nivel de grado)
Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva Práctica interactiva • Lanzamiento de carga Constructor de fluidez • ¡Bam! Ciencia de datos
Alg.I - Funciones lineales Tablero de opciones
(Ampliación del nivel de grado)
(Refuerzo del grado anterior) (Nivel de grado con apoyos) (Nivel de grado)
8 - Modelar relaciones de funciones
Alg.I - Propiedades de las funciones
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SS NA-Math TE A1-V1.indb 279
Para una función que representa una relación entre dos cantidades, interpretar las características clave de gráficos y tablas en términos de las cantidades, y dibujar gráficos que muestren las características clave dada una descripción verbal de la relación. Las características clave incluyen: intersecciones; intervalos en los que la función es creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos; simetrías; comportamiento final; y periodicidad.
80 % - 100 %
80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
50 % - 80 %
25 % - 50 %
0 % - 25 %
Reconocer que las secuencias son funciones, a veces definidas recursivamente, cuyo dominio es un subconjunto de los números enteros. Por ejemplo, la sucesión de Fibonacci se define recursivamente por f(0) = f(1) = 1, f(n + 1) = f(n) + f(n - 1) para n≥1.
Alg.I - Funciones lineales ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
279
1/9/26 1:32 PM
ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Representar funciones expresadas simbólicamente y mostrar las características clave de la gráfica, a mano en casos sencillos y usando tecnología para casos más complicados. a. Representar funciones lineales y cuadráticas y mostrar intersecciones, máximos y mínimos. 8 - Funciones
Repaso y práctica de habilidades • Concentración Prueba de habilidades
0 % - 25 %
Constructor de fluidez
(Refuerzo del grado anterior)
Repaso y práctica de destrezas
Alg.I - Propiedades de Funciones
Constructor de fluidez • ¡Bam! Prueba de habilidades Alg.I - Propiedades de las funciones Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Concentración Práctica interactiva • ¡Atrapa ese Robot!
Alg.I - Funciones lineales
• Evaluación de control (Preguntas 8 y 9)
25 % - 50 %
• Repaso (Secuencias Aritméticas y Funciones Lineales
Alg.I - Funciones lineales
(Nivel de grado con apoyos)
Prueba de habilidades
Repaso y práctica de habilidades
Vocabulario con imágenes
Acceso a conocimientos previos Constructor de fundamentos Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (preguntas 2,3) • Repaso (comparar funciones lineales, forma punto-curva, transformaciones de líneas/aplicaciones de transformaciones) • Evaluación de control (preguntas 2-4, 7, 9, 10)
50 % - 80 %
(Nivel de grado)
Vocabulario con imágenes
Constructor de fluidez • ¡Bam!
Alg.I - Funciones lineales
Alg.I - Funciones lineales
Vocabulario interactivo
Vocabulario interactivo Libreta interactiva Práctica interactiva • Lanzamiento de carga Constructor de fluidez • ¡Bam!
Alg.I - Funciones lineales Tablero de opciones
280
SS NA-Math TE A1-V1.indb 280
(Ampliación del nivel de grado)
Ciencia de datos 80 % - 100 %
(Refuerzo del grado anterior) (Nivel de grado con apoyos) (Nivel de grado)
(Ampliación del nivel de grado)
80 % - 100 %
50 % - 80 %
25 % - 50 %
0 % - 25 %
Relaciona el dominio de una función con su gráfica y, en su caso, con la relación cuantitativa que describa. Por ejemplo, si la función h(n) da el número de horaspersona que toma ensamblar n motores en una fábrica, entonces los números enteros positivos serían un dominio apropiado para la función.
Alg.I - Funciones lineales ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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1/9/26 1:32 PM
ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Construir funciones lineales y exponenciales, incluyendo secuencias aritméticas y geométricas, dada una gráfica, una descripción de una relación, o dos pares de entrada-salida (incluir la lectura de estos de una tabla). 8 - Tasa de cambio
Constructor de fluidez • Concentración Práctica interactiva • Unión de funciones
0 % - 25 %
Repaso y práctica de habilidades
Prueba de habilidades
(Refuerzo del grado anterior)
Repaso y práctica de habilidades
8 - Comparar Funciones
Constructor de fluidez • ¡A pescar! Práctica interactiva • Primer contacto Prueba de habilidades 8 - Patrones en datos de dos variables Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • ¡Bam!
Alg.I - Funciones lineales Constructor de bases fundamentales • Revisión rápida (pregunta 2) • Repaso (comparar funciones lineales/ forma punto-curva) • Evaluación de control (preguntas 2,3)
25 % - 50 %
Repaso y práctica de habilidades
(Nivel de grado con apoyos)
Prueba de habilidades
Acceso a conocimientos previos
Alg.I - Funciones lineales
• ¡Bam!
(Nivel de grado)
Vocabulario interactivo Constructor de fluidez
Alg.I - Funciones lineales Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (preguntas 1,5) • Repaso (comparar funciones lineales/ forma punto-curva/transformaciones de líneas/aplicaciones de transformaciones) • Evaluación de control (preguntas 1,8)
Alg.I - Funciones lineales
Vocabulario ilustrado 50 % - 80 %
(Refuerzo del grado anterior) (Nivel de grado con apoyos) (Nivel de grado)
50 % - 80 %
25 % - 50 %
0 % - 25 %
Comparar las propiedades de dos funciones representadas cada una de una manera diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas o mediante descripciones verbales). Por ejemplo, dada una gráfica de una función cuadrática y una expresión algebraica para otra, decir cuál tiene el máximo mayor.
Vocabulario con imágenes Vocabulario interactivo Práctica interactiva • Lanzamiento de carga Constructor de fluidez
Alg.I - Funciones lineales Tablero de opciones
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SS NA-Math TE A1-V1.indb 281
80 % - 100 %
Ciencia de datos
(Ampliación del nivel de grado)
(Ampliación del nivel de grado)
80 % - 100 %
• ¡Bam!
Alg.I - Funciones lineales ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
281
1/9/26 1:32 PM
ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
(Refuerzo del grado anterior) (Nivel de grado con apoyos)
25 % - 50 %
0 % - 25 %
Interpretar los parámetros de una función lineal o exponencial en términos de un contexto. [Lineal y exponencial de forma f (x)= bˣ + k]
8 - Tasa de cambio Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • ¡A pescar! Práctica interactiva • Primer contacto Prueba de habilidades
Alg.I - Funciones lineales Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (Preguntas 1,2,5) • Repaso (comparar funciones lineales/forma punto-curva/transformaciones de líneas/aplicaciones de transformaciones) • Evaluación de control (Preguntas 7-9)
(Nivel de grado)
50 % - 80 %
Alg.I - Funciones lineales Vocabulario con imágenes Vocabulario interactivo Práctica interactiva • Lanzamiento de carga Constructor de fluidez • ¡Bam!
(Ampliación del nivel de grado)
80 % - 100 %
Ciencia de datos
Alg.I - Funciones lineales ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
282
SS NA-Math TE A1-V1.indb 282
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1/9/26 1:32 PM
ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
ATRAER: ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS
EVALUAR PREVIAMENTE EL CONOCIMIENTO DEL ESTUDIANTE
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: REALIDAD O FICCIÓN ESTÁNDAR PREVIO
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Construir una función para modelar una relación lineal entre dos cantidades. Determinar la tasa de cambio y el valor inicial de la función a partir de la descripción de una relación o a partir de dos (x, y) valores, incluyendo la lectura de estos a partir de una tabla o de una gráfica. Interpretar la tasa de cambio y el valor inicial de una función lineal en términos de la situación que modela, y en términos de su gráfico o una tabla de valores.
1. Designe un lado de la sala como el lado de la realidad y el otro lado como el de la ficción. Indique a los estudiantes que se muevan a un lado de la sala según piensen que la pregunta es realidad o ficción. 2. Lea la primera pregunta y permita que los estudiantes se muevan a diferentes lados de la sala.
DESCRIPCIÓN
3. Pida a los estudiantes que comenten su razonamiento con sus compañeros.
Los estudiantes escucharán las indicaciones sobre el estándar anterior y comunicarán si creen que las indicaciones son realidad o ficción caminando hacia los lados designados del aula. Este elemento está diseñado para descubrir los conceptos erróneos de los estudiantes; no debe tomarse para una calificación.
4. Antes de leer la siguiente pregunta, permita que los estudiantes vuelvan a sus puntos de partida. 5. Repita el procedimiento con las preguntas restantes.
MATERIALES
a.
La consigna 1 es ficción.
b.
La consigna 2 es realidad.
c.
La consigna 3 es ficción.
6. Si los estudiantes tienen dificultades para completar esta tarea, realice el ejercicio «Constructor de bases fundamentales» para llenar el vacío en los conocimientos previos antes de pasar a otras partes del alcance.
IMPRESO
• 1 tarjetas realidad o ficción (por clase)
PREPARACIÓN
IDENTIFICACIÓN DE CONCEPTOS ERRÓNEOS
• Imprima una copia de «Tarjetas realidad o ficción» para leer en voz alta a los estudiantes.
• Los estudiantes pueden tener dificultades para identificar la pendiente a partir de un gráfico sin puntos designados. Recuerde a los estudiantes que deben calcular la pendiente utilizando las coordenadas exactas por las que pasa la recta.
• Otra opción es proyectar las preguntas con un proyector digital.
Linear Functions
Linear Functions
Fact or Fiction
Fact or Fiction
Prompt 1 1 The slope of this line is . 3
Fact or Fiction
Prompt 2 The equation of this line is y = 0.5x – 3.
1
Linear Functions
Prompt 3 The slope of this line is 2.
2
3
REALIDAD O FICCIÓN
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SS NA-Math TE A1-V1.indb 283
283
1/9/26 1:32 PM
ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
ATRAER: CAPTAR INTERÉS Linear Functions
LECCIÓN PARA CAPTAR INTERÉS
Which line passes through the point (510, 341)?
CAPTAR INTERÉS DESCRIPCIÓN Los estudiantes harán predicciones basadas en funciones lineales.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 funciones Lineales (por clase) REUTILIZABLES
FUNCIONES LINEALES
• 1 video de fenómenos (por clase)
PREPARACIÓN
• Planee mostrar el video. • Prepárese para proyectar las «Funciones Lineales» para que toda la clase las vea. • Prepárese para presentar el escenario y para animar a los estudiantes a pensar en cómo resolverlo. Prepárese para pasar a las actividades de «Explorar», y regresen a la actividad «Captar interés» con los nuevos conocimientos adquiridos una vez que se hayan completado las exploraciones.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA
1. Presente esta actividad al comienzo del alcance. La clase retomará la actividad y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades correspondientes a «Explorar». 2. Explique la situación mientras muestra el vídeo que tiene detrás. «Una nave militar intenta alcanzar un satélite enemigo con un rayo láser». 3. Formule a los estudiantes las siguientes preguntas: «¿Qué observas? ¿Qué se preguntan? ¿Dónde puedes ver matemáticas en esta situación?». Permita que los estudiantes compartan sus ideas. Las respuestas pueden variar. Observo que el láser parece una línea. Observo que la nave militar tarda en apuntar. Me pregunto qué pasaría con los láseres en el espacio. Me pregunto qué habilidades matemáticas necesitaría para asegurarme de que el láser le da al satélite. 4. Proyecte «Funciones lineales».
5. Explique que su trabajo consiste en hacer una predicción sobre las líneas y justificar su respuesta. Comente las siguientes preguntas: a.
DOK-1 «¿Qué información necesitarías para responder a la pregunta?». Permita que los estudiantes compartan sus ideas. Las respuestas de los estudiantes variarán. Podríamos usar las pendientes, intersecciones en y, y ecuaciones de cada línea para ayudarnos a responder la pregunta.
b.
DOK-1 «¿Cómo podrían las habilidades usadas para responder esta pregunta conectarse con el satélite y el láser?». El satélite está lejos, y tendríamos que ser capaces de programar el barco militar para disparar el láser en la línea o trayectoria correcta para dar en el satélite. Podemos ver la trayectoria inicial de cada línea, pero no podemos ver la gráfica para valores grandes de x .
c.
DOK-2 «¿Por qué la gráfica es un método ineficiente para responder a esta pregunta?». Tendríamos que extender cada una de las gráficas muy lejos para verificar qué línea pasa por (510, 341).
d.
Explique que usaremos diferentes formas de líneas a lo largo de los alcances y que deben dedicar tiempo a decidir qué forma es más útil en cada nuevo escenario.
e.
Pase a completar las actividades de «Explorar»
PARTE II: DESPUÉS DE EXPLORAR
1. Vuelva a mostrar el video de fenómenos y replantee el problema. 2. Refiérase a «Funciones Lineales», y plantee las siguientes preguntas: a. DOK-1 «¿Qué habilidades puedes usar para responder esta pregunta?». Podría hallar la pendiente de cada recta usando dos puntos y luego escribir ecuaciones lineales en forma puntopendiente o pendiente-intersección. b. DOK-1 «¿Qué recta pasa por (510, 341)?». La línea azul. c. DOK-1 Escriba la ecuación de la línea correcta 2 2 de dos maneras diferentes. __ x+1 and y−341= __ 3 3 (x–510). d. DOK-1 «¿Consideras que comprendes bien las funciones lineales?». Las respuestas variarán en función del éxito de los estudiantes durante la actividad y de su nivel de confianza.
284
SS NA-Math TE A1-V1.indb 284
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1/9/26 1:32 PM
ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 1: SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y FUNCIONES LINEALES Tenga en cuenta que para completar esta exploración, los estudiantes deben haber completado las exploraciones del alcance Secuencias aritméticas y geométricas. Esta exploración está diseñada para conectar la forma pendiente-intersección del trabajo de los estudiantes de 8º grado con el trabajo de la secuencia aritmética del alcance anterior.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes harán conexiones entre la fórmula explícita de una secuencia aritmética, An = A1 + (n - 1) (d), y la forma pendiente-intersección de una ecuación lineal, y = mx + b.
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes verán relaciones entre varias representaciones. • MP.2 Razonamiento abstracto y cuantitativo: Los estudiantes serán capaces de descontextualizar y contextualizar relaciones cuantitativas. • MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros: Los estudiantes analizarán problemas y utilizarán supuestos matemáticos, definiciones y resultados establecidos para construir argumentos. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes serán capaces de simplificar un problema complejo e identificar cantidades importantes para buscar relaciones. Los estudiantes aplicarán las matemáticas que conocen para resolver problemas de la vida cotidiana.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I 1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Durante sus vacaciones, su familia decide alquilar bicicletas. Hay muchas tiendas en las que tu familia puede alquilar, ¡y quieres conseguir la mejor oferta! Tienes que averiguar en qué tienda te sale más barato montar en bici durante un día entero (8 horas). Tu madre dice que una secuencia aritmética es mejor para representar el coste de las bicicletas, y tu padre dice que una ecuación lineal es más razonable para representar el coste de las bicicletas. «¿Quién tiene razón y por qué?». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para escribir secuencias aritméticas y funciones lineales a partir de la tabla dada y responder a las preguntas que siguen. 4. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar la comprensión: a.
DOK-2 «¿Llamarías a este dominio discreto o continuo? ¿Por qué?». Las respuestas pueden variar. Yo lo llamaría un dominio discreto porque sólo está definido para números enteros.
b.
DOK-2 «¿En qué se parecen las secuencias aritméticas y las funciones lineales?». Ambas usan la pendiente/diferencia común y punto de partida/la intersección en y.
c.
DOK-2 «¿En qué se diferencian las secuencias aritméticas y las funciones lineales? ¿Puedes relacionar los valores de cada representación con el escenario?». La configuración de Las ecuaciones es diferente. Las funciones lineales empiezan en x = 0, mientras que las secuencias aritméticas empiezan en n = 1. Ambas incluyen la tarifa de $10 por hora.
d.
DOK-2 «¿En qué se diferencia representar una función con un dominio discreto de representar una función con un dominio continuo?». Las funciones con un dominio discreto serán puntos en la cuadrícula, mientras que las funciones con un dominio continuo serán una línea o curva.
e.
DOK-3 «¿Tendría sentido escribir la ecuación para la tienda de bicicletas en notación recursiva? ¿Por qué sí o por qué no?». Las respuestas pueden variar. La notación recursiva requiere usar el término anterior para determinar el término siguiente, por lo que su uso requiere más trabajo en comparación con la escritura de una ecuación en notación explícita.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de tarjetas de la tienda de bicicletas (por grupo) • 1 boleto de salida (por estudiante) REUTILIZABLE
• 1 bolsa resellable (por grupo)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante»y un «Boleto de salida» para cada alumno. • Imprima un juego de «Tarjetas de la tienda de bicicletas» para cada grupo. Recorte las tarjetas y colóquelas dentro de una bolsa resellable con la etiqueta «Parte II». Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para utilizarlas en el futuro.
ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
SS NA-Math TE A1-V1.indb 285
5. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte I y responder a las preguntas que siguen. 6. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta el momento.
285
1/9/26 1:32 PM
ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Linear Functions Explore 1
CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-2 «¿En qué se parece el proceso para escribir estas ecuaciones?». Ambas formas requieren que encuentres la pendiente/diferencia común y el punto de partida. • DOK-2 «¿Cómo es el proceso diferente para estas ecuaciones?». La secuencia aritmética empieza con n = 1, mientras que la pendiente-intersección empieza con x = 0. • DOK-3 «¿Qué tipo de función sería mejor si buscas un alquiler para sólo parte de una hora? ¿Por qué?». La lineal sería mejor porque tiene un dominio continuo que incluye partes de la hora, no sólo la hora completa. • DOK-3 «¿Qué función (aritmética o lineal) sería mejor si sólo puedes alquilar por horas completas? ¿Por qué?». La aritmética es razonable para representar situaciones con un dominio discreto. Sin embargo, se podría utilizar una función lineal si restringimos el dominio.
Pedal It Out! Part I
Your parents called the first shop, Bikes Galore. They organized the cost of bikes per full hour of rental in a table. Use the table to answer the questions below.
1.
1
2
3
60
70
80
Complete the table below to represent the cost of bikes at Bikes Galore. Arithmetic Sequence An = A1 + (n – 1)(d)
Linear Equation y = mx + b
Equation
An = 60 + (n – 1)(10)
y = 10x + 50
Domain
{1, 2, 3 …}
x≥1
Range
{60, 70, 80 …}
y ≥ 60
2.
How is the domain of the arithmetic sequence different than the domain of the linear equation? Arithmetic sequences have a domain of natural numbers, whereas linear covers real numbers. Linear would be continuous, whereas arithmetic would be discrete.
3.
Your mom said that the most accurate type of function to represent this situation is arithmetic, and your dad said linear is better for this situation. Who is correct? Explain your thinking. Mom would be correct because the situation for this shop only allows rentals at full hours. Since the linear function is continuous, it wouldn’t best represent this situation.
PARTE II
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Tus padres llamaron al resto de tiendas de bicicletas y recopilaron información. Te pidieron que analizaras los datos y encontraras la opción más barata».
Time (hours) Cost (dollars)
2. Entregue un juego de tarjetas de tiendas de bicicletas a cada grupo de estudiantes. 3. Aún deben tener sus «Diarios del estudiante».
1
4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para identificar si deben escribir secuencias aritméticas o funciones lineales para las otras 4 tiendas de bicicletas y registrar sus respuestas en sus «Diarios del estudiante». También hallarán el coste para 8 y 4.5 horas. Una vez completado, los estudiantes decidirán qué tienda de bicicletas sería la mejor para 8 y 4.5 horas de alquiler. 5. A medida que los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar la comprensión: a.
DOK-1 «Cuando la tienda de bicicletas dice que redondeará a la hora más cercana, ¿cómo afecta esto al dominio?». Redondear a la hora más cercana significa que no calcularán los cargos por horas parciales o por minuto. Esa política significa que la función que representa el costo tendrá un dominio discreto.
b.
DOK-1 «¿Cómo se determina si es aritmética o lineal?». El dominio se usa para determinar si una función es discreta o continua.
c.
DOK-1 «¿Calcularán todas las tiendas de bicicletas el coste de 4.5 horas?». Explícalo. Bikes n' More y Wheels Are Us no calcularán los cargos por 4.5 horas porque siempre redondean a la hora entera más cercana.
6. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas de reflexión que siguen. 7. Después de la «Exploración» inicie una charla matemática para compartir sus observaciones y aprendizajes.
Linear Functions Explore 1
4.
Use both functions to find the cost for 8 hours. Do they give the same value? Why or why not? Arithmetic: $130 Linear: $130 Yes, they give the same value because both equations represent the situation. Furthermore, we can show that the equations are equivalent if we simplify the arithmetic sequence An = 10n + 50.
5.
Graph each function below to model the cost of renting a bike at the first bike shop. Label and scale as appropriate. Arithmetic
Linear
6.
Which graph is the most reasonable representation of the situation? Explain. The arithmetic graph is the most reasonable because the shop only lets you rent whole hours. Linear would work if the shop would let you rent for parts of an hour.
7.
Your aunt is wondering if writing the equation in recursive notation would make it easier to determine the cost for 8 hours. Represent this situation using recursive notation, determine f(8), and then explain if this notation is easier than explicit when determining the cost for 8 hours. f(0) = 50 f(n + 1) = f(n) + 10 f(8) = 130 This is not easier because to get to the cost for 8 hours, all of the hours before had to be calculated. That’s a lot of work when it could be a simple explicit equation. 2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS 286
SS NA-Math TE A1-V1.indb 286
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1/9/26 1:32 PM
ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Linear Functions Explore 1
CHARLA DE MATEMÁTICAS
Part II
Complete the table to help you analyze and organize the data from your parents. Bikes n’ More
2 Wheels Only Wheels Are Us
Does this situation have a discrete or continuous domain? Explain.
Continuous Discrete because because the the shop rounds shop doesn’t up to the round up to the nearest hour nearest hour
Discrete because the shop rounds up to the nearest hour
Continuous because the shop doesn’t round up to the nearest hour
Is this situation best represented by an arithmetic or linear function? Explain.
Arithmetic because the table only has whole numbers for x values, meaning it has a discrete domain
Linear because the table has real numbers with decimals, meaning it has a continuous domain
Arithmetic because the graph has specific points but not a line, which shows us it is discrete
Linear because the shop allows you to pay for in-between hours, meaning it is continuous
Function
An = 45 + (n – 1)10
y = 20x + 20
An = 25 + (n – 1)25
y = 10x + 40
Cost for 8 Hours
$115
$180
$200
$120
$110
Not possible or $125 for 5 hours
$85
Not possible Cost for 4.5 or $85 for 5 Hours hours
• DOK-2 «¿Hubo una tienda de bicicletas donde no pudiste encontrar el costo por 4.5 horas?». Si es así, «¿por qué no?». Bikes n' More y Wheels Are Us. Tenían un dominio discreto y eran aritméticas, por lo que no podías encontrar un valor intermedio.
Pedals and More
• DOK-2 «¿Cuándo utilizarías secuencias aritméticas?». Siempre que el dominio sea discreto • DOK-2 «¿Cuándo usarías funciones lineales?». Siempre que el dominio sea continuo • DOK-3 Crea algunos ejemplos de situaciones en las que utilizarías secuencias aritméticas en lugar de funciones lineales. Niños/personas, tiempos específicos (sólo días, horas completas, etc.), equipaje o boletos • DOK-3 Crea algunos ejemplos de situaciones en las que usarías funciones lineales en lugar de secuencias aritméticas. Cualquier cosa que tenga que ver con el tiempo, el dinero o las distancias
1.
Which shop would be the best option for 8 hours? Explain. Bikes n’ More would be the best because they have the lowest price for 8 full hours.
2.
Which shop would be the best option for 4.5 hours? Explain. Pedals and More would be the best because Bikes n’ More doesn’t charge by the half-hour. Or, Bikes n’ More would be best because even if they round up to the 5th hour, it is still the cheapest.
8. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar su comprensión del concepto.
3
Linear Functions Explore 1
Linear Functions Explore 1
Reflect 1.
How are arithmetic sequences and linear functions similar? They both use the common difference/slope and the initial amount (y-intercept).
2.
How are they different? Arithmetic sequences start at 1, whereas linear functions start at 0. Arithmetic sequences can only work for problems with discrete domains, whereas linear functions work for continuous domains.
Arithmetic Sequences and Linear Functions Exit Ticket 1.
3.
What is the linear word for common difference? Slope
4.
What is the linear word for initial amount? y-intercept
5.
Your friend was absent today. Explain to them the similarities and differences between arithmetic sequences and linear functions. Include how you know when to use which function. They are similar because they both have a starting amount as well as a common change from piece to piece. They are different because of the situations in which you use them. Also, arithmetic sequences start at an n value of 1, where linear functions start where y = 0. Arithmetic sequences can only be used when you have a discrete domain (no in-between values). Linear functions are used for continuous domains (in-between values).
2.
Use the data to answer the following questions. Number of Tickets
1
2
3
4
Cost (dollars)
26
30
34
38
a.
Is this data best represented by an arithmetic sequence or a linear function? Why? It is best represented by an arithmetic sequence because generally only whole number tickets are sold/purchased, so a discrete domain makes the most sense.
b.
Write the equation for the arithmetic sequence or linear function. An = 26 + (n – 1)(4)
c.
Cost for 20 tickets: $102
Use the data to answer the following questions. Time (hours)
1
1.5
2
2.5
Cost (dollars)
26
30
34
38
a.
Is this data best represented by an arithmetic sequence or a linear function? Why? It is best represented by a linear function because time is continuous, and linear functions have a continuous domain.
b.
Write the equation for the arithmetic sequence or linear function. y = 8x + 18
c.
Cost for 20 hours: $178
4
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
SS NA-Math TE A1-V1.indb 287
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS 287
1/9/26 1:32 PM
ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Linear Functions Part 1
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Haga que los estudiantes completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. Complete el «Esquema de anclaje» como clase. Haga que cada estudiante llene su «Libreta interactiva».
Arithmetic Sequences and Linear Functions 1.
The local family fun park offers many activities. Compare pricing for two of the choices. There is a miniature golf course. It costs $3 to rent a putter and golf ball, with an additional charge of 50 cents per hole played. Another option is to ride a paddleboat around the large adjoining lake. The cost is $2 for the boat plus 20 cents per minute. a.
Would an arithmetic sequence or a linear function best represent the miniature golf pricing, and why? Which would best represent the paddleboat pricing, and why? An arithmetic sequence would best represent the pricing for golf because the cost is based on the discrete number of holes played. There is no pricing based on a partial hole. A linear function would best represent the paddleboat pricing because the cost is a function of time, which is continuous.
b.
Write an expression for the cost, g, of playing golf, where n is the number of holes completed. gn = 3 + 0.5n
c.
Write an expression for the cost, b, of riding the paddleboat around the lake, where t is the amount of time in minutes on the water. b(t) = 2 + 0.2t
d.
How would the graph of the cost to play golf compare to the graph of the cost to ride a paddleboat? The graph of the cost to play golf would have cost on the y-axis and the number of holes played on the x-axis, and the graph would be a set of discrete points. The graph of the cost to ride the paddleboat would also have cost on the y-axis, but it would have time on the x-axis and would be a continuous line.
e.
Would the cost of playing a full round (18 holes) of golf be more or less expensive than the same amount of time (60 minutes) cruising around the lake? Golf would be less expensive, at $12, compared to the boat ride, at $14.
APOYOS DIDÁCTICOS 1. Es posible que los estudiantes no comprendan la diferencia entre funciones discretas y continuas y, por lo tanto, no distingan entre secuencias aritméticas y funciones lineales. Anímelos a pensar en cómo cada función/secuencia define «medios pasos», o cuándo n = 1,5, 2,5, etc. y x = 1,5, 2,5, etc. 2. Los estudiantes pueden tener dificultades para seguir la pista de diferentes gráficos cuando se trazan en la misma cuadrícula de coordenadas. Anímelos a utilizar diferentes colores para crear cada gráfico y luego a etiquetar cada gráfico.
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo del lenguaje de los estudiantes.
1
Los estudiantes compartirán información con sus compañeros mientras participan en una actividad de aprendizaje cooperativo. Principiante: Antes de la lección, comparta con la clase una experiencia de vacaciones que hayas tenido. Describa todos los preparativos que tuvo que hacer para su viaje (por ejemplo, reservar un vuelo, reservar un hotel). Muestre imágenes de diferentes aspectos de los preparativos (por ejemplo, hotel, taxi) y de diferentes lugares de vacaciones (por ejemplo, Disneylandia, Gran Cañón). A continuación, anímelos a compartir una experiencia de viaje que hayan tenido o que esperen tener utilizando la siguiente raíz de frase: «Me gustaría ir de vacaciones a ___ porque ___». Intermedio: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que realicen una encuesta a un compañero de clase sobre sus preferencias de vacaciones. Entre las posibles preguntas de la encuesta se incluyen las siguientes: 1. «¿Cuáles son tus vacaciones soñadas?». (Las posibles opciones de respuesta incluyen quedarse en casa o explorar una ciudad). 2. «¿Qué medio de transporte prefieres en vacaciones?». (Por ejemplo, autobús, coche de alquiler, tren, a pie) 3. «¿Qué duración deberían tener las vacaciones ideales?». (Un fin de semana, semanas, meses) Después de que los estudiantes realicen las encuestas, Haga un sondeo de las respuestas en clase. Avanzado: Como actividad previa a la clase, pide a los estudiantes que diseñen en grupos las vacaciones de sus sueños y creen un anuncio o spot publicitario para ellas.
288
SS NA-Math TE A1-V1.indb 288
Linear Functions Part 1
2.
The local frozen yogurt shop charges $1 for a bowl and then 30 cents per ounce. a.
b.
c.
Would an arithmetic sequence or a linear function best represent the cost of the frozen yogurt, and why? A linear function would best represent the pricing because the yogurt can be purchased in any amount, not just in specific (discrete) weights. Write an expression for the cost, C, of the frozen yogurt, where w is the weight of the frozen yogurt in ounces. C = 1 + 0.3w Each bowl can hold a maximum of 16 oz. Plot the cost, c(w). d.
e.
3.
What are the domain, range, and slope of the linear function? The domain is 0 ≤ w ≤ 16, the range is 1.00 ≤ C ≤ 5.80, and the slope is 0.30. How much would a 10 oz. cup of frozen yogurt cost? $4.00
A movie theater in town is offering a summer pass for $60. With the pass, you can see one movie every Saturday before 6:00 p.m. for each of the 10 weeks of summer. A total of $6 is deducted from the pass every time you go to a movie. a. Would an arithmetic sequence or a linear function best represent the balance on the pass? An arithmetic sequence would best represent the balance because the value is based on the discrete number of movies still to watch. b. Write an expression for the balance, B, of the pass, where n is the number of weeks. Bn = 60.00 – (6.00)n c.
Plot the sequence.
d.
What is the value of the pass at week 4? $36.00 2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
1/9/26 1:32 PM
ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 2: COMPARACIÓN DE FUNCIONES LINEALES DESCRIPCIÓN Los estudiantes serán capaces de analizar una representación dada de una función y compararla con otro tipo de representación de una función diferente.
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes verán relaciones entre diversas representaciones. • MP.2 Razonamiento abstracto y cuantitativo: Los estudiantes serán capaces de descontextualizar y contextualizar relaciones cuantitativas. • MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros: Los estudiantes analizarán problemas y utilizarán supuestos matemáticos, definiciones y resultados establecidos para construir argumentos. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes serán capaces de simplificar un problema complejo e identificar cantidades importantes para buscar relaciones. Los estudiantes aplicarán las matemáticas que conocen para resolver problemas de la vida diaria.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de gráficas de opciones de asignación (por grupo) • 1 juego de tarjetas de opciones de asignación (por grupo) • 1 boleto de salida (por estudiante) REUTILIZABLES
• 2 Bolsas resellables (por grupo)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante»y un «Boleto de salida» para cada alumno. • Imprima un juego de «Gráficas de opciones de asignación» para cada grupo de estudiantes. Recorte los gráficos y colóquelos dentro de una bolsa resellable etiquetada como «Parte I». Si lo desea, imprímalos en cartulina y plastifíquelos para utilizarlos en el futuro.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Tu familia quiere que empieces a recibir una paga, ¡y te han dado libertad para elegir la configuración que quieras! ¡El truco es que te han dado las opciones como representaciones de funciones algebraicas! Comienza clasificando los gráficos para ver qué representaciones muestran las mesadas que podrían ser las más ideales». 2. Entregue «Diario del estudiante» a cada uno. 3. Entregue un juego de «Gráficas de opciones de asignación» a cada grupo. 4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para clasificar los gráficos en función de ciertas características. Cuando proceda, los estudiantes deberán ordenarlas. (Los gráficos con características compartidas pueden mostrarse con una barra entre ellos.) 5. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar la comprensión: a. DOK-1 «¿Cómo encuentras la pendiente en los gráficos?». Puedes encontrar dos puntos e identificar el ascenso/descenso entre ellos. Puedes encontrar dos puntos y hallar la pendiente a mano utilizando la fórmula. Puedes encontrar dos puntos e introducirlos en la regresión lineal en la calculadora. b. DOK-1 «¿Cómo encuentras los interseccionesen los gráficos?». Los interseccionesson donde las líneas cruzan el eje. Así que la intersección en y cruza el eje y, y la intersección en x cruza el eje x. 6. Dale a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte I y contestar las preguntas que siguen. 7. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje hasta el momento.
• Imprima un juego de «Tarjetas de opciones de asignación» para cada grupo de estudiantes. Corte las tarjetas y colóquelas dentro de una bolsa resellable con la etiqueta «Parte II». Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para utilizarlas en el futuro.
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SS NA-Math TE A1-V1.indb 289
289
1/9/26 1:32 PM
ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Linear Functions Explore 2
CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-1 «¿Cuáles son las diferentes maneras en que podemos encontrar la pendiente en una gráfica?». Puedes encontrar dos puntos e identificar la subida/bajada entre ellos. Puedes encontrar dos puntos y encontrar la pendiente a mano usando la fórmula. Puedes encontrar dos puntos e introducirlos en la regresión lineal en la calculadora.
Allowance, Please! Part I 1.
Pendiente negativa = gráfica decreciente
• DOK-2 Al considerar una opción de asignación, «¿qué gráficos eliminó?». Explica. Eliminé los gráficos con pendiente negativa porque no quiero regalar mi dinero. Quiero que me regalen el dinero. PARTE II 1. Lea la siguiente situación a la clase: «Como nadie quiere perder dinero, ¡sólo vamos a mirar las gráficas que muestran opciones de asignación con pendiente positiva! Sin embargo, tus padres te dan algunas opciones más para tu asignación utilizando diferentes representaciones. Responderás algunas preguntas sobre las tarjetas restantes para averiguar qué opción de asignación podrías querer!». 2. Entregue un juego de «Tarjetas de opciones de asignación» a cada grupo. 3. Los estudiantes deben tener aún sus «Diarios del estudiante» y los «Gráficas de opciones de asignación» con pendientes positivas. 4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para responder las preguntas de la parte II sobre las diferentes representaciones. Puede ser útil que los estudiantes identifiquen la pendiente, las intersecciones en x y las intersecciones en y en todas las tarjetas antes de responder las preguntas. 5. Mientras los estudiantes colaboran, controle su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar la comprensión: a.
DOK-2 «¿Cómo puede determinarse la pendiente o intersección en y a partir de la descripción verbal?». La cantidad inicial es la intersección en y, y la pendiente es la asignación semanal o tasa de cambio.
b.
DOK-2 «¿Cómo puede determinarse la pendiente o intersección en y a partir de la tabla?». La pendiente puede encontrarse usando la fórmula de la pendiente, el cambio en y dividido por el cambio en x. La intersección en y puede mostrarse en la tabla, o la ecuación puede escribirse para determinar la intersección en y.
c.
DOK-2 Para Las ecuaciones en forma estándar, «¿puedes identificar la pendiente inmediatamente?». No, primero tenemos que aislar y, y luego podemos encontrar la pendiente.
290
SS NA-Math TE A1-V1.indb 290
Word for This Key Feature
Allowance Option
Least to greatest initial value
y-intercept
D, E, F, H, G, B, A/C
Which option takes the greatest number of weeks to break even?
x-intercept
H
Which options have a positive weekly allowance?
Slope
A, D, F, G
Which options are decreasing?
Slope
B, C, E, H
Description in Context
• DOK-1 Cuando observas la gráfica con una pendiente positiva, «¿es creciente o decreciente? ¿Y una pendiente negativa?». Pendiente positiva = gráfica creciente;
• DOK-2 Cuando consideras una opción de asignación que tiene una pendiente negativa, «¿qué significa eso acerca de la asignación? ¿Es una buena opción? ¿Por qué sí o por qué no?». La pendiente negativa significa que estaría pagando a alguien, por lo que no es una buena opción para una asignación. Pagar a alguien es lo contrario de una asignación.
The first step in identifying the best allowance for you is to analyze the Allowance Options Graphs. Complete the table below to help you sort the graphs based on certain characteristics.
2.
Find two allowance options with the same weekly allowance but different starting amounts. A and G or D and F
3.
Which allowance options start with the same amount of money? A and C
4.
Which allowance options would be the least desirable? Why? Answer may vary. B, C, E, and H because they are all decreasing (losing money)
5.
Your cousin said you should consider all of the allowance options as viable options. Separate the graphs into two categories, and use the categories to justify why you agree or disagree. Answers may vary. I separated the graphs into positive and negative slopes. The negative slope graphs would not be a good option because giving money away is the opposite of an allowance. 1
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS 6. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas de reflexión que siguen. 7. Después de la «Exploración» inicie una charla matemática para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-1 «Al comparar diferentes representaciones de funciones lineales, ¿qué características clave es útil identificar?». Pendiente, la intersección en y, y x-intersecciones • DOK-1 «¿Cómo encontramos la pendiente en representaciones lineales (una gráfica, una tabla, un problema de palabras, una ecuación)?». ◦ Gráfica: Identifica la subida sobre la bajada de dos puntos en la línea de una gráfica. ◦ Tabla: Cambio en y dividido por el cambio en x ◦ Problema de palabras: El valor que está cambiando por unidad de entrada ◦ Ecuación: Una vez que se aísla y, la pendiente es el coeficiente de x. 8. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el «Boleto de Salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Haga que los estudiantes completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. Complete el «Esquema de anclaje» como clase. Haga que cada estudiante llene su «Libreta interactiva».
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1/9/26 1:32 PM
ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Linear Functions Explore 2
APOYOS DIDÁCTICOS
Part II
1. Es posible que los estudiantes no tengan cuidado con el signo de la pendiente y se les debe animar a que miren el gráfico para determinar si es una pendiente positiva o negativa para que puedan comprobar su trabajo.
Use the following questions to help you analyze all of the allowance options with a positive slope. 1.
Which allowance option has the highest starting amount? Which has the lowest starting amount? Option M has the highest, and option D has the lowest.
2.
Are both of these good options for your allowance? Why or why not? Option D is not a good option because it starts in the negative.
3.
Which allowance options have a negative y-intercept? What does that mean in terms of this situation? Options D, F, J, and L—it means you started out by owing someone money.
4.
Which allowance option has the highest x-intercept? Which has the lowest x-intercept? Option D has the highest, and option M has the lowest.
5.
Which allowance option would have a maximum of $52 after 12 weeks? Which would have a maximum of $62 after 12 weeks? Option G would have a maximum of $52, and option I would have a maximum of $62.
2. Los estudiantes pueden confundirse al encontrar pendientes de líneas verticales. En primer lugar, tenga en cuenta que al calcular el cambio vertical/ cambio horizontal, como el cambio horizontal es 0, la pendiente no está definida. En segundo lugar, recuerde a los estudiantes que una recta con una pendiente indefinida no es, por definición, una función.
6.
Are both of these good options for your allowance? Is one better than the other? Explain. These are both good options because they both have a positive rate of change. Option I is the better of the two options because it has a higher maximum.
7.
What ordered pair represents that after 6 weeks, you will have 8 dollars? What ordered pair represents that after 9 weeks, you will have 14 dollars? Which function contains these solutions? How do you know? (6, 8) and (9, 14); function F has solutions of (6, 8) and (9, 14). We know this by looking at the graph and identifying the points on the line.
2
3. Los estudiantes pueden confundirse al encontrar pendientes de rectas horizontales. Recuérdeles que estas pendientes no son las mismas que las de las rectas verticales porque el cambio vertical es 0, el cambio horizontal es infinito y, por lo tanto, la pendiente es 0. 4. Los estudiantes pueden confundirse acerca de qué puntos elegir en un gráfico o una tabla para determinar la pendiente. Anímelos a probar diferentes conjuntos de puntos porque cualquier par dará la misma pendiente, y luego pregúnteles qué puntos fueron los más fáciles de usar y por qué.
Linear Functions Explore 2
Linear Functions Explore 2
Reflect
Comparing Linear Functions Exit Ticket
1.
Which function would you pick for your allowance? Why? I would pick option I because this option has the greatest value after 12 weeks.
2.
When answering questions involving graphs, tables, words, and equations, what key features can help you compare them accurately? Slope, y-intercept, and x-intercept
3.
When comparing the slope of a graph of a function to the slope represented by a table of a different function, what would you do? Identify the slope of the table by finding the change in y over the change in x. Then, find the slope of the graph by completing rise over run.
4.
What can be determined about an allowance option given the equation? How does this compare to the information that can be determined given a graph or table? The slope, x-intercept, and y-intercept can be determined. It can also be evaluated at any value. The information that can be determined given a graph or table is the same, but depending on what portion of the graph is given or what ordered pairs are in the table, it may require writing an equation or extending the table/graph to determine the slope, x-intercept, and y-intercept.
1.
Select two functions that have the same slope. A.
x
−1
0
1
2
f(x)
−16
−12
−8
−4
B.
2.
C.
Julia’s family spent $40 at the movies, where the cost of popcorn is $4 and the cost of tickets is $5 each.
D.
12x + 3y = 21
Describe how you know which two functions have the same slope. On the graph, I can count to determine rise over run; m = −4. The equation in answer choice D can be put in slope-intercept form; y = −4x + 7. Both have a slope of −4.
3
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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SS NA-Math TE A1-V1.indb 291
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
291
1/9/26 1:32 PM
ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Linear Functions Part 2
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes.
Comparing Linear Functions Compare the four functions below. A.
B.
U−Pick orchard charges $3 for admission and then $1.20 per pound of apples picked.
C.
D.
x
0
4
8
12
y
−1
0
1
2
Los estudiantes utilizarán el apoyo de pistas visuales, compañeros y maestros para desarrollar el vocabulario, la estructura lingüística y los conocimientos previos necesarios para comprender un texto escrito. Principiante: Como actividad previa a la clase, cree un juego de mesa llamado «Asignación» en el que los estudiantes aterricen en diferentes espacios y ganen dinero sacando a pasear a los perros, cortando el césped, etc., o pierdan dinero comprando aperitivos, yendo al cine, etc. El estudiante con más dinero neto al final de la partida ganará dinero. Gana el estudiante que tenga más dinero neto al final del juego. Intermedio: Como actividad previa a la clase, crea un juego de mesa llamado «Asignación» en el que los estudiantes aterricen en diferentes espacios y ganen dinero haciendo varias tareas o trabajos de su elección o pierdan dinero gastándolo como quieran. Los estudiantes serán responsables de determinar sus tareas/trabajos y cuánto dinero deben ganar por cada uno. También son responsables de determinar cómo gastarán el dinero y cuánto costará cada cosa. Gana el estudiante que tenga más dinero neto al final del juego. Avanzado: Como actividad previa a la clase, los estudiantes realizarán una encuesta sobre cuánto dinero ganan realizando diversos trabajos y cuánto gastan en diversos artículos/salidas. A continuación, determinarán si sus asignaciones tienen sentido en función de sus gastos.
1.
Which function has the steepest slope? A
2.
Which function has a negative slope? C
3.
Which function has the greatest y-intercept? C
4.
Which function has negative x-intercepts? B
5.
Which functions have positive x-intercepts? A, C, D
6.
Which function passes through the point (5, 9)? B 1
Linear Functions Part 2
7.
Match the equations to the graphs. a.
a(x) = 0.5x + 4
b.
b(x) = x + 2
c.
c(x) = 3x + 2
b
8.
a
c
Draw a new line on the graph that will never intersect the line already plotted. a.
Write the equation for this new line. (Student answers will vary, but the slope of the line should be − 1 .)
b.
How does the slope of the new line compare to the original line? The slope is the same because the lines are parallel.
3
9.
10.
A gas can weighs 9 lb. empty and can hold 5 gallons of gas. Gasoline weighs 6 lb. per gallon. a.
Write an equation to describe the weight, W, of the can when it has x gallons of gas in it. W(x) = 9 + 6x 0≤x≤5
b.
How much gas is in the can when it weighs 33 lb.? 4 gallons
Which function has the steeper slope? A.
x
−1
0
1
2
f(x)
−11/4
−2
−5/4
−1/2
B. 3x – 2y = 5
2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 2) CLAVE DE RESPUESTAS
292
SS NA-Math TE A1-V1.indb 292
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1/9/26 1:32 PM
ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 3: FORMA PUNTO-PENDIENTE DESCRIPCIÓN Los estudiantes explorarán transformaciones de funciones lineales a través de comparaciones de sus representaciones.
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes verán relaciones entre diversas representaciones. • MP.2 Razonamiento abstracto y cuantitativo: Los estudiantes serán capaces de descontextualizar y contextualizar relaciones cuantitativas. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes serán capaces de simplificar un problema complejo e identificar cantidades importantes para observar relaciones. Los estudiantes aplicarán las matemáticas que conocen para resolver problemas de la vida cotidiana. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes generalizarán una fórmula después de cálculos numéricos repetidos.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 mapa del tesoro de jewel island (por grupo) • 1 boleto de salida (por 2 estudiantes) REUTILIZABLE
• 1 marcador de borrado en seco (por grupo) • 1 protector de hojas (por grupo) • 1 alambre de felpa o borde recto (por grupo)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 2 o 3 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante»para cada uno. • Imprima un «Boleto de salida» para cada pareja. Recorte los «Boletos de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno. • Imprima un «Mapa del tesoro de Jewel Island», en cartulina para mayor durabilidad, para cada grupo de estudiantes. Colócalo dentro de un protector de hojas para crear una superficie que se pueda borrar.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Te han dado un mapa del tesoro con diferentes tesoros y lugares colocados por todas partes. Tienen una máquina especial que puede excavar eficazmente en busca de tesoros sin destruirlos, pero sólo puede moverse en línea recta una vez que comienza a excavar». 2. Entregue «Diario del estudiante» a cada uno. 3. Distribuya un «Mapa del tesoro de Jewel Island», un rotulador de borrado en seco y un alambre de felpa a cada grupo. 4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para identificar qué joya recogerían si viajaran desde un determinado punto de partida con una pendiente dada. Explique a los alumnos que deben registrar su trabajo en sus «Diarios del estudiante». 5. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar la comprensión: a. DOK-1 «¿Cómo encontramos la pendiente entre dos puntos?». La hallamos usando la pendiente sobre el recorrido en una gráfica o y₂−y₁ con la fórmula m = _____ x₂−x₁ usando los puntos de las coordenadas. b. DOK-2 «¿Qué es cierto sobre todos los puntos de una recta?». La pendiente entre dos puntos cualesquiera de la recta debe ser siempre la misma. 6. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte I y responder a las preguntas posteriores. PARTE II
1. Lea la siguiente situación a la clase: «Estás cansado de dirigir la máquina excavadora tú solo y quieres automatizar la excavación. Todavía tenemos algunas joyas que no hemos podido alcanzar, y queremos ser capaces de introducir una ecuación para que nuestra máquina la utilice para excavar». 2. Los estudiantes deben tener todavía sus «Mapa del tesoro de Jewel Island», marcadores de borrado en seco, alambre de felpa y «Diarios del Estudiante». 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para representar cada línea en la parte II y hacer determinaciones sobre otros puntos en la línea. Indíqueles que anoten sus respuestas en sus «Diarios del estudiante».
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293
1/9/26 1:32 PM
ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 4. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientadoras para evaluar la comprensión: a. DOK-1 «¿Podemos utilizar la fórmula de la pendiente sin tener puntos de coordenadas numéricas?». Sí, podemos usar variables o coordenadas numéricas. b. DOK-2 «¿Cómo puedes saber si un nuevo punto estará en la línea entre el triángulo amarillo y la lágrima azul?». El nuevo punto también tiene que tener una pendiente de -__ 3 5 entre él y el triángulo amarillo. c. DOK-2 «¿Dónde aparece la pendiente en tu ecuación final?». La pendiente es el coeficiente delante de la expresión con x. d. DOK-2 «¿Cómo aparece el punto de coordenadas del triángulo amarillo en la ecuación?». El opuesto del punto de coordenadas está al lado de la variable respectiva. e. DOK-2 «¿Cómo puedes determinar si un punto se encuentra en la gráfica de cualquier ecuación?». Sustituye el punto de coordenada y comprueba si hace que la ecuación sea cierta. f. DOK-2 «¿Cómo se relacionan las rectas representadas por Las ecuaciones de las preguntas 9 y 10?». Las dos ecuaciones representan la misma recta. Tienen la misma pendiente y sólo comienzan o anclan en un punto diferente a lo largo de la recta. 5. Conceda a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen. 6. Después de completar la parte II, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje. CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-2 «¿Cómo pueden dos ecuaciones diferentes representar la misma recta?». Son ecuaciones equivalentes que se expresan de manera diferente. • DOK-2 Esta forma de ecuaciones lineales se llama forma punto-pendiente. «¿Por qué crees que esta forma recibió ese nombre?». La ecuación muestra claramente la coordenada de un punto en la recta y la pendiente de la recta. • DOK-2 «¿Por qué fue más fácil y eficiente crear una ecuación en forma punto-pendiente que en forma pendiente-intersección?». Ya teníamos un punto en la recta y no teníamos que resolver la intersección en y. PARTE III
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Todavía tenemos algunas joyas que no hemos podido alcanzar. Tú y tu compañero introducirán una ecuación en el GPS para llegar a las joyas». 2. Los estudiantes deben tener todavía sus «Mapa del tesoro de Jewel Island», marcadores de borrado en seco, alambres de felpa y «Diarios del Estudiante».
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3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para representar cada línea de la parte III, identificar las características clave de cada ecuación y qué joyas recogerían en esa ruta. Indíqueles que anoten sus respuestas en sus «Diarios del estudiante». 4. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientadoras para evaluar la comprensión: a.
DOK-1 «Cuando se representa gráficamente la ecuación y - 4 = -2(x + 7), ¿cómo se relaciona la ecuación con el punto (-7, 4) de la recta?». El punto existe en la recta, y la ecuación usa el opuesto de esos mismos números junto a su variable correspondiente.
b.
DOK-1 «Cuando te dan dos joyas, ¿qué información necesitas encontrar primero?». Necesitamos encontrar la pendiente entre sus dos puntos de coordenadas.
c.
DOK-2 «¿Por qué es fácil sustituir el punto inicial en la ecuación punto-pendiente?». Las coordenadas crean un inverso aditivo y hacen que cada lado de la ecuación sea igual a 0.
5. Conceda a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte III y contestar las preguntas que siguen. 6. Después de la «Exploración» inivite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-3 «¿Por qué hay infinitas maneras de escribir la ecuación de una línea simple en forma puntopendiente?». Puedes usar cualquiera de los infinitos puntos de la recta junto con la pendiente para crear una ecuación de la forma y - k = m(x - h). • DOK-2 «¿Son dos puntos suficiente información para escribir la ecuación de una recta? ¿Por qué sí o por qué no?». Sí, porque sólo hay una recta entre esos dos puntos, y puedes encontrar la pendiente entre ellos y luego usar cualquiera de los dos para escribir una ecuación en forma punto-pendiente. • DOK-2 «¿Por qué los valores en una ecuación punto-pendiente se parecen al opuesto del punto de coordenadas por el que pasa la ecuación?». Cuando se introduce el punto de coordenada, cada lado de la ecuación se convierte en 0, por lo que los valores de Las ecuaciones deben ser la inversa aditiva. 7. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Haga que los estudiantes completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. Complete el «Esquema de anclaje» como clase. Haga que cada estudiante llene su «Libreta interactiva».
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3
Linear Functions Explore 3
Part II Part I
Jewel Island Treasure!
1.
Use your chenille stem to create a line from the yellow triangular jewel to the blue teardrop jewel. Write an equation of the line connecting the yellow triangular jewel and the blue teardrop in the form y = mx + b. Which of the values is easy to find, and which is difficult by looking at the graph? We can calculate the slope by finding the rise and run, but it is hard to see exactly what the y-intercept is.
2.
Since we don’t have an equation that is easy to create, we will have to use the slope to check if other potential coordinates with jewels will also lie on the line. Complete the table below.
Use the Treasure Map to answer the following questions. 1.
You begin your hunt for treasure at the origin and quickly find a round pink diamond in Quadrant IV where the shovel is depicted. What is the slope of the line you traveled along to reach this point? −1
2.
Had there been another gemstone at the point (2, −3), would you have picked it up on your way from the origin to the round pink diamond? I would not have picked it up because it is not on the line from (0, 0) to (4, −4). The slope from the origin to (2, −3) is −1.5 and not −1.
3.
From the round pink diamond, you now start digging toward the third quadrant along a line that has a slope of . Will you pick up another stone? Use slope to justify why or why not. I will pick up the round purple jewel that lies on the point (−4, −2) because the slope between (−4, −2) and the round pink diamond at (4, −4) is
4.
5.
If you continue digging along this path past the round purple stone, would you pick up a jewel at the point (−12, 0)? I would pick up a jewel at the point (−12, 0) if I continued along the line from the round pink diamond to the round purple jewel. The slope between (−12, 0) and the purple jewel matches the slope between the two gems we already found.
Slope Calculation
Slope Value
Is the end point on the line?
Starting Point
End Point
Yellow triangle (−9, 7)
Blue teardrop (6, −2)
Yes
Yellow triangle (−9, 7)
(−19, 15)
No
Yellow triangle (−9, 7)
(26, −13)
No
Yellow triangle (−9, 7)
(51, −29)
Yes
Yellow triangle (−9, 7)
(x, y)
−
3.
What is true about every point that ends up on the line? The slope between the point and the yellow triangle must be
4.
What equation would have to be true in order to make the point (x, y) also end up on the line? The slope value expression would have to equal .
After traveling from one point to another, how can you predict if you would pick up another jewel along the same path? I can calculate the slope between the new point and one of the current jewel locations and see if it matches the slope between the two gems I already found.
2
Linear Functions Explore 3
2.
Multiply both sides of the equation you created in question 4 by the denominator containing x to reveal a new equation for the line passing through the yellow triangle and blue teardrop jewels.
6.
How do the values in this equation connect to the work you did in the table in question 2? The starting point was (−9, 7), and there is a minus 7 next to the y variable and a 9 next to the x variable. The desired slope of is also in the equation.
7.
Use your equation from question 5 to determine if (21, −11) is on the line.
8.
You now want to tell the machine an equation so it will dig up the orange and green jewels in the first quadrant, as well as any other jewels along that path. What is the slope between the two jewels in Quadrant I? Slope between green triangular jewel and orange jewel:
9.
Write an equation for the slope between the point (x, y) and the green triangular jewel if you know that (x, y) is also on the line. Then, multiply both sides by the denominator that includes x.
10.
Write an equation for the slope between the point (x, y) and the orange jewel if you know that (x, y) is also on the line. Then, multiply both sides by the denominator that includes x.
11.
Isolate y in both of your equations from questions 9 and 10. What do you notice? y – 1 = 2x – 6 y – 5 = 2x – 10 y = 2x – 5 y = 2x – 5 Both equations are the same because they represent the same line.
3
Linear Functions Explore 3
Reflect
Part III
Use the Treasure Map and the equations below to help determine a path to treasure! Graph the new line, and list the color and shape of treasures you reach. Be sure to graph the entire line to see if you get any jewels! Complete the table.
GPS Equation
5.
−18 = −18 Since the equality statement is true, the point is on the line.
.
1
1.
Linear Functions Explore 3
Linear Functions Explore 3
Color of Jewel at Starting Point
Any Other Jewels?
y – 4 = −2(x + 7)
Light blue diamond
Purple circle
y + 8 = 2(x – 2)
Silver stone and coins
Pink circle
y + 2 = −1(x – 6)
Blue teardrop
Orange heart
Red oval
Purple circle
Substitute the coordinates of the red oval into the equation you created. What do you notice? The red oval lies on (−1, 9).
0 = 0. The point is easy to check and see that it will be on the line since it makes both sides of the equation equal 0.
1.
Create an equation of a line that passes through the point (5.2, −8.3) and has a slope of −10. y + 8.3 = −10(x – 5.2)
2.
How can you write the equation of a line when given two points? First, you need to find the slope between the two points. After finding the slope, you can use either one of the points as the values of (h, k) in the equation y – k = m(x – h).
3.
What key information can you extract from the equation y – k = m(x – h)? You immediately know the slope is m and that a point on the line is (h, k).
4.
A line with a slope of 2 and a y-intercept at (0, −6) would have an equation in slope-intercept form of y = 2x – 6. Write the equation using point-slope form, and show that the two are equivalent. y + 6 = 2(x – 0) y + 6 = 2x y = 2x – 6
5.
Why might it be more efficient to write the equation of a line in point-slope form instead of using slope-intercept form? When might slope-intercept form be a better choice? If you do not know the y-intercept of an equation or it is hard to see on a graph, then point-slope form would be more efficient. If a scenario provides an initial or starting amount, then slope-intercept form would be more efficient.
6.
Find the slope, m, between the points (h, k) and (x, y). How does this connect to the point-slope linear form?
If you multiply both sides of the equation by the denominator on the right, you have derived the point-slope form.
4
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3
APOYOS DIDÁCTICOS
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE
1. Los estudiantes pueden estar confundidos sobre qué puntos elegir en un gráfico o tabla para determinar la pendiente. Anímelos a probar diferentes conjuntos de puntos, ya que cualquier par dará la misma pendiente, y luego pregúnteles qué puntos fueron los más fáciles de usar y por qué.
La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes. Los estudiantes utilizarán técnicas visuales, contextuales y lingüísticas para apoyar su adquisición del lenguaje hablado.
2. Los estudiantes pueden no tener cuidado con el signo de la pendiente y se les debe animar a mirar el gráfico para determinar si se trata de una pendiente positiva o negativa para que puedan comprobar su trabajo.
Principiante: Como actividad previa a la lección, organice una búsqueda del tesoro en el aula (o en el exterior, si el tiempo lo permite). Esconda por la clase dibujos preimpresos de joyas, con los nombres de las joyas debajo de cada dibujo. Cree un mapa del tesoro basado en la ubicación de las joyas y pida a los estudiantes que trabajen en grupos para encontrarlas. Los estudiantes practicarán diciendo en voz alta los nombres de las joyas a medida que las encuentren.
3. Los estudiantes pueden tener dificultades para representar una línea cuando se les da un punto y una pendiente donde el punto no es la intersección en y. Anímelos a encontrar otros puntos de la recta partiendo del punto dado y utilizando después la pendiente. La representación gráfica en papel cuadriculado puede ser de gran ayuda.
Intermedio: Como actividad previa a la clase, pida a los estudiantes que escondan por el aula dibujos preimpresos de joyas, con los nombres de las joyas debajo de cada dibujo. A continuación, pídales que creen mapas del tesoro que permitan a un compañero localizar cada gema. Pida a los estudiantes que practiquen diciendo en voz alta los nombres de las joyas a medida que las encuentran. Avanzado: Como actividad previa a la lección, pida a la mitad de la clase que cree un mapa del tesoro de la clase, que podrían utilizar para esconder dibujos de joyas etiquetados con los nombres respectivos de las joyas. A continuación, pida a la otra mitad de la clase que esconda las joyas según los mapas del tesoro. A continuación, el primer grupo de estudiantes debe encontrar el tesoro escondido utilizando los mapas que han creado.
Linear Functions Explore 3
Point-Slope Form Exit Ticket
Linear Functions Part 3
y – 5 = 4(x – 3)
B.
y – 7 = 3(x – 6)
C.
y + 5 = 4(x + 6)
D.
y + 5 = 4(x – 3)
Linear Functions Explore 3
Point-Slope Form Exit Ticket Which of the lines below passes through the points (3, −5) and (6, 7)?
a.
x
−6
3
9
12
36
y
10
7
5
4
−4
b.
a.
Pick two different points from the table, and evaluate the slope m. Work may vary.
b.
Select a point from the table, and write an equation for the line in point-slope form. Answers will vary.
c.
Select any other point, and write another equation in point-slope form. Answers will vary.
d.
Show that the equations are equivalent. In slope-intercept form, the equations become
y – 5 = 4(x + 3)
For the three equations below, write the slope of the line, m, and a point that you know is on the line.
y – 7 = 3(x – 6)
a.
y + 7 = 4(x + 6) y + 5 = 4(x – 3)
c.
4.
Is the point (3, 7) also on that line? Show how you know. (7 – 5) = 2(3 – 2) 2 = 2, so (3, 7) is also on that line.
Two points on a line are (−2, 6) and (3, −4). a.
Write the equation for this line in point-slope form.
Answers for the equation may vary. y – 6 = −2(x + 2) b.
A. C.
Write the equation for this line in point-slope form.
Answers for the equation may vary. y – 5 = 2(x – 2)
B. D.
2.
Two points on a line are (2, 5) and (5, 11).
A linear function is described in the following table.
Which of the lines below passes through the points (3, −5) and (6, 7)? A.
3.
Point-Slope Form 1.
Linear Functions Part 3
Is the point (1, 3) also on that line? Show how you know. (3 – 6) = −2(1 + 2) −3 ≠ −6, so (1, 3) is not on that line.
y + 5 = −12(x + 1) m = −12 (−1, −5)
(2, −5) b.
y – 3 = 4(x – 5) m = 4 (5, 3) 1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
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MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 3) CLAVE DE RESPUESTAS
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EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 4:TRANSFORMACIONES LINEALES DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizarán contextos del mundo real para explorar transformaciones de funciones lineales.
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes verán relaciones entre varias representaciones. • MP.2 Razonamiento abstracto y cuantitativo: Los estudiantes serán capaces de descontextualizar y contextualizar relaciones cuantitativas. • MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros: Los estudiantes analizarán problemas y utilizarán supuestos matemáticos, definiciones y resultados establecidos para construir argumentos. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes serán capaces de simplificar un problema complejo e identificar cantidades importantes para buscar relaciones. Los estudiantes aplicarán las matemáticas que conocen para resolver problemas de la vida cotidiana.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de folletos de servicios de suscripción (por grupo) • 1 juego de folletos de servicios de suscripción con descuento (por grupo) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» para cada uno. • Imprima un «Boleto de salida» para cada pareja. Recorte los «Boletos de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno. • Imprima un juego de «Folletos de servicios de suscripción» , en cartulina para que duren, para cada grupo. • Imprima un juego de «Folletos de servicios de suscripción con descuento», en cartulina para que duren, para cada grupo.
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PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Está considerando la posibilidad de suscribirse a 4 servicios de streaming de vídeo. Tiene que decidir cuál le conviene más desde el punto de vista económico. Los 4 servicios ofrecen los programas que te interesa ver». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada uno. 3. Entregue un juego de «Folletos de servicios de suscripción» a cada grupo. 4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para escribir las funciones de cada uno de los diferentes servicios de suscripción. Indíqueles que anoten sus respuestas en sus «Diarios del estudiante». 5. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientadoras para evaluar la comprensión: a. DOK-1 «¿Qué información del folleto te da la tasa de cambio? ¿La intersección en y?». La cuota mensual es la tasa de variación, y la cuota de apertura o única es la intersección en y. b. DOK-1 «¿Cómo sabes dónde va la variable en tu función?». Como x representa meses, va con el coste por mes. c. DOK-2 Si un servicio de streaming tiene una cuota de instalación de $50 y otro tiene una cuota de instalación de $100, «¿en qué se diferenciarán las gráficas de esas situaciones?». Tendrán diferentes y-intercepciones-una gráfica tendrá una intersección en y de 50, y la otra tendrá una intersección en y de 100. d. DOK-1 Si un servicio de streaming tiene un costo mensual de $10 y otro tiene un costo mensual de $5, «¿cómo serán diferentes las gráficas de esas situaciones?». La línea que representa el costo mensual de $10 será más empinada que la línea que representa el costo mensual de $5. 6. Permita a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte I y contestar a las preguntas que siguen. 7. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta ahora.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Linear Functions Explore 4
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «Cuando la tasa de cambio aumenta o disminuye, ¿cómo cambia la gráfica de la función?». Cuando la tasa de cambio aumenta, la gráfica se hace más empinada porque representa un estiramiento vertical. Cuando la tasa de cambio disminuye, la gráfica se vuelve menos inclinada porque representa una compresión vertical. • DOK-2 «Cuando el valor inicial aumenta o disminuye, ¿cómo cambia eso la gráfica de la función?». Cuando se aumenta el valor inicial, la gráfica se desplaza hacia arriba porque representa una traslación vertical. Cuando se disminuye el valor inicial, la gráfica se desplaza hacia abajo porque representa una traslación vertical. • DOK-3 «¿Cómo cambiarían las respuestas a las preguntas si Kulu fuera la función original a partir de la cual se transforma?». En lugar de describir los cambios a partir de 10x, tendrías que describir los cambios a partir de 15x + 50. Cualquier pendiente menor que 15 sería una compresión vertical, mientras que cualquier pendiente mayor que 15 sería un estiramiento vertical. Cualquier la intersección en y menor que 50 movería la gráfica hacia abajo, mientras que mayor que 50 movería la la intersección en y hacia arriba.
Video Subscription Services Part I 1.
Use the Subscription Service Flyers to write equations to represent the cost of the video services. Let x represent the number of months. Kulu Function: k(x) = 15x + 50 FunFlix Function: f(x) = 10x
Glamazon Prime Function: g(x) = 5x + 100 IDBb Function: i(x) = 10x + 20
Funflix was the first subscription service. Use the following questions to help you describe how the functions for the other companies are a transformation of f(x). 2.
Describe the transformation from f(x) to i(x). What does that mean in the context of the situation? It is a shift up 20 units. In the situation, that means adding a one-time fee of $20.
3.
Describe the transformation from f(x) to k(x). What does that mean in the context of the situation? It is a vertical stretch by a factor of 1.5 and a shift up of 50 units. In terms of the situation, this means that the monthly fee is 1.5 times more and there is a one-time fee of $50.
4.
Describe the transformation from f(x) to g(x). What does that mean in the context of the situation? It is a vertical compression by a factor of 0.5 and a shift up of 100 units. In terms of the situation, this means that the monthly fee is 0.5 times smaller and there is a one-time fee of $100.
5.
Which choice is the best for a year of service? Explain. FunFlix is the best choice. It would be the cheapest at only $120 for the year.
1
PARTE II
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Desafortunadamente, antes de que pudieras elegir un servicio, algunos de los proveedores hicieron algunos ajustes a sus planes. Glamazon Prime y FunFlix ya no tienen los programas que quieres ver. Por otro lado, Kulu e IDBb ofrecen descuentos. Analiza la nueva información para tomar una buena decisión financiera y seleccionar un servicio de streaming». 2. Entregue a cada grupo un juego de V«Folletos de servicios de suscripción con descuento». 3. Los estudiantes deben tener aún sus juegos de «Folletos de servicios de suscripción» y sus «Diarios del estudiante». 4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para escribir las nuevas funciones y responder preguntas basadas en los cambios. Explique que registrarán su trabajo en sus «Diarios del estudiante».
Linear Functions Explore 4
Part II
Use the Discount Subscription Service Flyers to write a function that represents the new discounted prices, and then answer the questions to help you determine which is the ideal service for the year. Kulu
IDBb
Original function: k(x) = 15x + 50 New function: y = 10x + 10
Original function: i(x) = 10x + 20 New function: y = 5x + 50
Describe the transformation from the original function to the new function. The slope will become less steep, and the y-intercept will decrease.
Describe the changes to the slope and y-intercept. The slope will become less steep, and the y-intercept will increase.
What do the transformations mean in terms of the situation? The slope will be vertically compressed by , and the y-intercept will shift down by 40.
What do the transformations mean in terms of the situation? The slope will be vertically compressed by 0.5, and the y-intercept will shift up by 30.
Original domain: 0 ≤ x ≤ 12 New domain: 0 ≤ x ≤ 12
Original domain: 0 ≤ x ≤ 12 New domain: 0 ≤ x ≤ 12
Original range: 50 ≤ y ≤ 230 New range: 10 ≤ y ≤ 130 Do the transformations change the domain or range? If so, what transformation causes the change? Yes, the range changes. Both the change in slope and y-intercept affect the range. The slope of the original function was (increased or decreased), and that Circle one.
transformation made the graph of the function (steeper or less steep). Circle one.
Original range: 20 ≤ y ≤ 140 New range: 50 ≤ y ≤ 110 Do the transformations change the domain or range? If so, what transformation causes the change? Yes, the range changes. Both the change in slope and y-intercept affect the range. The slope of the original functions was 0.5 and that multiplied by ___, transformation made the graph of the function (steeper or less steep). Circle one.
2
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EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Linear Functions Explore 4
Reflect 1.
How does changing the slope affect the graph? Changing the slope of the situation affects the slope of the graph. It will either stretch or compress vertically.
2.
The graph of m is shown on the grid. Given f(x) = x and m(x) = af(x), what is the value of a?
4.
5.
a = _____
How would the domain change if you decided to get pricing for 24 months instead of the original 12-month plan? The maximum value of the domain will increase from 12 to 24.
a. DOK-1 «¿Qué características clave se están ajustando aquí?». La pendiente y la intersección en y se están ajustando. b. DOK-3 «El rango de esta función representa el coste de instalación a 0 meses hasta el coste total de instalación y todas las cuotas mensuales a 12 meses. ¿Por qué el aumento de la cuota de apertura aumentaría tanto el mínimo como el máximo del intervalo?». Dado que la cuota de alta está incluida en el coste total en el mes cero y en el coste total en el mes 12, cualquier cambio en la cuota de alta aumentaría los costes mínimo y máximo.
The slope and y-intercept were changed from the graph of f to make the graph of g as shown below. Fill in the blanks to describe the changes. The slope of f was multiplied by ____, and the y-intercept was (increased or decreased) by Circle one.
7 _____ to make the graph of g.
3.
5. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar la comprensión:
How would the range change if you were being charged an additional fee for an upgraded package? The minimum and maximum y values would increase.
3
c. DOK-1 «El rango de esta función representa el coste de alta en 0 meses hasta el coste total de alta y todas las cuotas mensuales en 12 meses. «¿Por qué el aumento de la cuota mensual sólo modifica el valor máximo del intervalo?». Dado que el mínimo del intervalo sólo representa la cuota de alta, el valor mínimo del intervalo no cambiará cuando se modifique la cuota mensual. El costo total a 12 meses incluye las cuotas mensuales y la instalación, así que el valor máximo del rango cambiará cuando se cambie la cuota mensual. 6. Permita a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte II y contestar las preguntas que siguen.
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Linear Functions Explore 4
7. Después de la «Exploración» invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje. CHARLA DE MATEMÁTICAS
Linear Transformations Exit Ticket A bounce house company rents the Jump-O-Rama for $35 an hour. The function f(x) = 35x represents the rental fee for x hours. The company decides to add a one-time $50 fee for cleaning. 1.
Write the function g(x). g(x) = 35x + 50
2.
How would the graph of g(x) compare to that of f(x)? The graph of g(x) would shift up 50 units from the graph of f(x).
Linear Functions Explore 4
Linear Transformations Exit Ticket A bounce house company rents the Jump-O-Rama for $35 an hour. The function f(x) = 35x represents the rental fee for x hours. The company decides to add a one-time $50 fee for cleaning. 1.
Write the function g(x). g(x) = 35x + 50
2.
How would the graph of g(x) compare to that of f(x)? The graph of g(x) would shift up 50 units from the graph of f(x).
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• DOK-1 «Si la intersección en y fuera lo único que cambiara y se desplazara 5 hacia arriba, «¿cómo afectaría eso al rango?». Todas las partes del rango también se desplazarían 5 hacia arriba. • DOK-2 «Inventa una situación que afectaría/cambiaría el dominio». Cualquier cambio en el período de tiempo de un año de un abono cambiaría el dominio. • DOK-1 «¿Cómo afecta a la pendiente de la gráfica cambiar la pendiente en la ecuación?». Aumentar la pendiente en la ecuación hace que la pendiente de la gráfica sea más pronunciada. Disminuir la pendiente en la ecuación hace que la pendiente en la gráfica sea menos inclinada. • DOK-2 «Cuando se aumenta o disminuye la tasa de cambio, «¿cómo cambia eso la gráfica de la función?». Cuando la tasa de cambio se incrementa, la gráfica se vuelve más empinada porque representa un estiramiento vertical. Cuando la tasa de cambio disminuye, la gráfica se vuelve menos inclinada porque representa una compresión vertical. • DOK-2 «Cuando el valor inicial aumenta o disminuye, ¿cómo cambia la gráfica de la función?». Cuando se aumenta el valor inicial, la gráfica se desplaza hacia arriba porque representa una traslación vertical. Cuando se disminuye el valor inicial, la gráfica se desplaza hacia abajo porque representa una traslación vertical.
299
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Linear Functions Part 4
8. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Haga que los estudiantes completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. Complete el «Esquema de anclaje» como clase. Haga que cada estudiante llene su «Libreta interactiva».
Linear Transformations 1.
The parent function y = x has been shifted on the graph. Student A thinks the function shifted right. Student B thinks it shifted down. Who is correct? Why? Student A: A shift right is equivalent to substituting (x – 4) for x in the parent function, or y = (x – 4). Student B: A shift down is equivalent to subtracting 4 from y, or y = x – 4. Both equations are equivalent to the equation of the shifted function, so both students are correct.
2.
The parent function y = x has been reflected on the graph. Student A thinks the function was reflected over the x-axis. Student B thinks it was reflected over the y-axis. Who is correct? Why? Student A: A reflection over the x-axis is equivalent to y = −x. Student B: A reflection over the y-axis is equivalent to y = (−x). Both equations are equivalent to the equation of the shifted function, so both students are correct.
3.
A hiker begins hiking at an elevation of 2,000 ft. and gains 1,000 ft. for every hour of the hike. a. Write an equation to represent the elevation gained as a function of time. y = 1,000t + 2,000 (t ≥ 0)
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Los estudiantes pueden tener dificultades para seguir la pista de diferentes gráficos cuando se trazan en la misma cuadrícula de coordenadas. Anímelos a usar diferentes colores para crear cada gráfica y luego etiquetar cada gráfica. 2. Los estudiantes pueden tener dificultad para conectar las gráficas con su contexto. Anímelos a etiquetar los ejes y definir las variables que utilizan. 3. Los estudiantes pueden tener dificultades para encontrar cambios en Las ecuaciones algebraicamente. Anímelos a factorizar los coeficientes para obtener (x - a) o (y - b) aislados. Por ejemplo, si y = 3x - 2, para hallar el 2 desplazamiento en x, factorice el 3: y = 3(x – __ ). Entonces 3 el desplazamiento es a la derecha 2/3 de unidades.
b.
If his friend leaves one hour later on the same hike, what would the transformed equation be, and how would the graph change? The line would shift right by 1, and the transformed equation would be y = 1,000(t – 1) + 2,000 (t ≥ 1).
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes.
Linear Functions Part 4
4.
The line y = x – 3 has been transformed on the graph. a.
Has there been a vertical shift, stretch, or compression? How do you know? No, there has not been because the y-intercept is the same.
b.
Has there been a horizontal shift, stretch, or compression? How do you know? Yes, the slope and x-intercept have changed.
c.
What is the transformation? The line has been horizontally compressed by a factor of 2.
d.
Write an equation for the transformed line. y = 2x – 3
Los estudiantes utilizarán técnicas visuales, contextuales y lingüísticas para apoyar su adquisición del lenguaje hablado. Principiante: Como actividad previa a la lección, organice una búsqueda del tesoro en el aula (o en el exterior, si el tiempo lo permite). Esconde por el aula dibujos preimpresos de joyas con los nombres que aparecen debajo de cada dibujo. Cree un mapa del tesoro basado en la ubicación de las joyas y pida a los estudiantes que trabajen en grupos para encontrarlas. Pida a los estudiantes que practiquen diciendo los nombres de las joyas en voz alta a medida que las encuentran. Intermedio: Como actividad previa a la clase, pida a los estudiantes que escondan por el aula dibujos preimpresos de joyas, con los nombres de las joyas debajo de cada dibujo. A continuación, pídales que creen mapas del tesoro que permitan a un compañero localizar cada gema y que practiquen diciendo en voz alta los nombres de las joyas a medida que las encuentran. Avanzado: Como actividad previa a la lección, solicite a la mitad de la clase que cree un mapa del tesoro de la clase, que podrían utilizar para esconder dibujos de joyas etiquetados con los nombres respectivos de las joyas. A continuación, pida a la otra mitad de la clase que esconda las joyas según los mapas del tesoro. A continuación, el primer grupo de estudiantes debe encontrar el tesoro escondido utilizando los mapas que han creado.
1
5.
Complete the table and fill in the blank below by using the graph where g(x) is a translation of f(x). x
f(x)
g(x)
0
−5.0
−10.0
1
−2.5
−7.5
2
0.0
−5.0
3
2.5
2.5
4
5.0
5.0
−5 g(x) = f(x) + ___ 2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 4) CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE
Linear Functions
CONSOLIDAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTEESTUDIANTES
ESQUEMA DE ANCLAJE DESCRIPCIÓN
Slope-Intercept Form
y = mx + b b: the y-intercept; the point where the line crosses the y-axis m: slope of the line; change in y change in x
Un esquema de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Se trata de una herramienta para apoyar la instrucción y consolidar el aprendizaje del estudiante a lo largo del alcance.
MATERIALES
• 1 hoja de papel cuadriculado • 1 juego de marcadores multicolores
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del ejemplo de «Esquema de anclaje», si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. El ejemplo de esquema puede utilizarse como referencia antes de crear el «Esquema de anclaje» de la clase con los estudiantes. Su creación debe ser dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje. 2. A medida que los estudiantes trabajen en el alcance, colaboren para agregar piezas al «Esquema de anclaje». Formule las siguientes preguntas orientadoras: a. «¿Qué estrategia utilizamos para resolver este problema?». b. «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?». 3. Continúe añadiendo habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada exploración para resaltar el contenido importante. 4. Explique que pueden utilizar este gráfico como herramienta de apoyo para su aprendizaje. Los estudiantes también pueden pegar una copia del ejemplo de «Esquema de anclaje» en sus cuadernos para utilizarla como referencia a lo largo del año. 5. Algunos «Esquemas de anclaje» sólo se mostrarán durante un alcance o grupo de alcances concretos, mientras que otras permanecerán expuestas durante todo el curso escolar.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA Linear Functions
DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
LIBRETA INTERACTIVA DESCRIPCIÓN
Instructions ● Cut out the coordinate plane, and glue or tape it into your notebook. ● Graph the function f(x) = x using a colored pencil. ● Translate the line vertically 3 units. Draw the line with a different colored pencil, and label it with its function. ● Dilate the original line by a factor of 2. Draw the line with a different colored pencil, and label it with its function.
Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase al usar la actividad y la libreta.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del «Folleto del estudiante» para cada uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Prepare una «Libreta interactiva» al usar un cuaderno de espiral o de composición para cada uno. Los estudiantes pueden utilizar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades.
Instructions ● Explain the differences between translating a line and dilating a line. ● Cut out the rectangle, and glue or tape it into your notebook.
Explain the differences between translation and dilation. _____________________________________________________ _____________________________________________________ _____________________________________________________ _____________________________________________________
FOLLETO DEL ESTUDIANTE
2. Las instrucciones para cada actividad se proporcionan en el «Folleto del estudiante». 3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos. 4. Las libretas interactivas pueden utilizarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO VOCABULARIO CLAVE
VOCABULARIO ILUSTRADO Arithmetic Sequence
Linear Parent Function
Solution
A sequence where the successive terms differ by the same number d, called the common difference, where d ≠ 0
The simplest equation of the linear function, y = x or f(x) = x
Any number that makes an equation true
2
11
Coordinate Plane
Two perpendicular number lines, called the x-axis and the y-axis, that intersect at the point (0, 0) and create four quadrants; also called a graph, coordinate grid, or Cartesian plane 13
12
Algebraic Expression
Standard Form (Linear)
Point-Slope Form
Slope-Intercept Form
Numbers, variables, and symbols grouped together without an equal sign to show a relationship
Ax + By = C, where A, B, and C are constants and A and B are not both 0
An equation written in the form of y – y₁ = m(x – x₁), where m is the slope and (x₁, y₁) is any point contained in the line
A way to write the equation of a line so that it is easy to view the slope and y-intercept of the line; y = mx + b
14
15
16
Slope
Domain
Range
How steep a line is; represented as m in the slope-intercept equation
The set of all possible input (x values) of a function
The set of all possible output, or y values, of a relation or function 3
18
17
Constraint
A condition that the solution must satisfy 5
4
X-Intercept
Y-Intercept
End Behavior
Parameter
The x-coordinate or coordinates where a graph intersects the x-axis, identified as (x, 0)
The point on a graph of an equation where the line crosses the y-axis
The trend the graph follows as x approaches infinity in the negative and positive directions
A quantity that influences the output or behavior of a mathematical object but is viewed as being held constant
6
8
7
9
Exponential Function
A function in the form of f(x) = abˣ where a and b are real numbers and a ≠ 0, b ≠ 1, and b > 0 10
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ DESARROLLAR LA FLUIDEZ CONCEPTUAL
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: FUNCIONES LINEALES DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes se turnan para sacar tarjetas de problemas de un tarro y adivinar la respuesta.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 hoja de instrucciones ¡bam! (por pareja) • 1 juego de ¡Bam! ¡(por pareja) REUTILIZABLES
• 1 tarro u otro recipiente (por pareja) • 1 cronómetro (por maestro)
Bam! Instruction Sheet Play this game with a partner. You Will Need 1 Set of Bam! Cards (per pair) 1 Jar or other container (per pair) How to Play 1. Fold the cards in half, and place them in the jar. 2. Player 1 pulls out a card from the jar and hands it to player 2. 3. Player 2 will read the question aloud for player 1 to solve. 4. Player 2 can check the answer from player 1 at the bottom of the card. 5. If a player gets a problem correct, they keep the card. If they are incorrect, the other player keeps the card. 6. Note: If the card contains an image such as a graph or a number line, the player asking the question can show the image while covering up the answer with their hand. 7. If a player pulls out a Bam! picture card, all of that player’s cards go back into the jar. 8. Players take turns pulling cards from the jar and answering questions until time is up. 9. Players must try to get as many cards as they can before time is up. 10. The player with the most cards wins.
PREPARACIÓN
• Haga copias a doble cara de las «Tarjetas ¡Bam!». Si lo desea, puede imprimirlas en cartulina para que duren más. • Recorte las tarjetas individuales.
HOJA DE INSTRUCCIONES
• Ponga a los estudiantes por parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo doblar las tarjetas y colocarlas en el frasco. 2. Represente cómo jugar el juego con un estudiante. a.
El jugador 1 saca una tarjeta del frasco y se la Entregue al jugador 2.
b.
El jugador 2 leerá la pregunta en voz alta para que el jugador 1 la resuelva.
c.
El jugador 2 puede comprobar la respuesta del jugador 1 en la parte inferior de la tarjeta.
d.
Si un jugador acierta un problema, se queda con la tarjeta. Si es incorrecta, el otro jugador se queda con la tarjeta.
e.
Nota: Si la tarjeta contiene una imagen, como un gráfico o una recta numérica, el jugador que hace la pregunta puede mostrar la imagen mientras tapa la respuesta con la mano.
f.
Si un jugador saca una «Tarjeta ¡Bam!» todas las cartas de ese jugador vuelven al tarro.
g.
Los jugadores se turnan para sacar cartas del tarro y responder a las preguntas hasta que se acabe el tiempo.
h.
Los jugadores deben intentar conseguir tantas cartas como puedan antes de que se acabe el tiempo.
i.
El jugador con más cartas gana.
3. Establezca un límite de tiempo. Cuando se acabe el tiempo, ganará el estudiante que tenga más tarjetas. 4. Distribuya los materiales e indique a los estudiantes que comiencen cuando empiece el cronómetro. 5. Supervise a los estudiantes para asegurarse de que resuelven los problemas correctamente.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
ELABORAR > REVISIÓN DE SPIRALED Linear Functions
REVISAR CONCEPTOS PREVIOS
REVISIÓN EN ESPIRAL: DE ACAMPADA CON SU FAMILIA
Camping with Your Family Camping has always been a way for your family and extended family to connect. You pick a new state park to visit each year. Your family looks explicitly for parks that are great places for swimming or hiking. Some of your favorite state parks have been those where you can float on an inner tube and jump from rope swings into the calm, crystal clear river. Your family loves to track hiking efforts, and your record hike is 6 miles up the side of a rocky mountain. While camping, you also study nature, picnic, canoe, fish, play miniature golf, go geocaching, and ride bikes.
DESCRIPCIÓN
Your mom is pregnant this year, though, so instead of primitive camping, your family needs to reserve a screened shelter or cabin. There are certain benefits to a screened shelter, such as it fits more people inside on cots or air mattresses, and the location of screened shelters is closer to the park’s store, pavilion, showers, and the river. In contrast, the cabin is beneficial because it offers more privacy, air conditioning, and heating, and it has a full restroom and shower. Where should your family book their camping trip, and should you stay in a screened shelter or cabin?
Los estudiantes repasan contenidos anteriores o actuales del grado para ayudar a apoyar su trabajo en el alcance actual y fortalecer las habilidades necesarias para alcances posteriores.
REVISIÓN EN ESPIRAL CENTRADA EN LA PREGUNTA • Pregunta 1
◦ Grado 8: Derivar la ecuación y = mx + b para una línea que intercepta el eje vertical en b. para una línea que intercepta el eje vertical en b. • Pregunta 2 1
◦ Grado 8: Determinar la tasa de cambio y el valor inicial de una función. • Pregunta 3 ◦ ALG I: Evaluar funciones para entradas en sus dominios.
Linear Functions
1.
Find the equation of the line represented by the following image of the mountain.
The answer is y = 3.
1 x + 1. 3
Your family is going to play miniature golf at the state park. The cost for your family is represented by the function f(x) = 12(x – 4), where x represents the number of family members playing miniature golf. Find f(11) to determine the total cost for 11 family members to play miniature golf.
The answer is $84.
2.
◦ ALG I: Crear ecuaciones e inecuaciones en una variable, y usarlas para resolver problemas.
While studying the tree population at the state park, you learn that the bald cypress tree grows about the same number of inches each year. Using the table below, what is the rate of change of the average height of a bald cypress tree with respect to its age?
Age of Bald Cypress Tree in Years
2
5
9
20
Average Height in Inches
28
70
126
280
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del Estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del Estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a tratar de responder las preguntas independientemente sin usar recursos externos para ver lo que saben. Invite a los estudiantes a anotar ideas o fragmentos que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas.
The answer is 14 inches per year. 4.
The state park has a small store where you can purchase extra food and supplies. The store has ice cream treats for $1.75 each and s’more sets for $13.50 each. Your family has $40 to spend on treats. Write an equation to represent the number of ice cream treats they can buy if they buy two s’mores sets.
3. Utilice las preguntas de revisión en espiral como calentamiento en clase, o envíelas a casa como tarea. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos.
The answer is 40 = 1.75x + 27. 2
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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◦ Pregunta 4
4. Consulte la sección «Revisión en espiral centrada en la pregunta» para evaluar los conocimientos de contenido de los estudiantes o su necesidad de una mayor intervención. Si es necesario repasar más, utilice el «Constructor de fluidez» en los alcances apropiados. 5. El objetivo final incluye una parte de este alcance para que los estudiantes vean la conexión y relevancia de su aprendizaje previo.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS ANÁLISIS DE DATOS
CIENCIA DE DATOS Ciencia de datos es un breve debate en clase basado en un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. la parte I incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los estudiantes en contexto.
PARTE II 1. Repase cómo escribir la ecuación de una recta dados dos puntos, y escriba lo que los estudiantes recuerden en el papel milimetrado. 2. Comente las siguientes cuestiones: a.
«La capacidad máxima del parque de atracciones es de 60,000 visitantes. Escribe pares ordenados (x, y) para representar esta situación cuando x es el número de visitantes en miles e y es el tiempo medio de espera para la montaña rusa Super Duper Looper en minutos. El tráfico bajo se produce cuando el parque está lleno al 25 %, el tráfico moderado se produce cuando el parque está lleno al 50 %, el tráfico intenso se produce cuando el parque está lleno al 75 % y el tráfico muy intenso se produce cuando el parque está al máximo de su capacidad». (15, 45), (30, 75), (45, 120), (60, 200)
b.
«Traza los puntos en el plano de coordenadas. Traza la recta que mejor se ajuste».
DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizarán, interpretarán y generarán conjuntos de datos, además de responder a preguntas basadas en los datos.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 conjunto de datos (por clase) REUTILIZABLES
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase) • 1 rotulador (por clase) CONSUMIBLES
• 1 trozo de papel milimetrado (por clase)
PREPARACIÓN
• Prepárese para proyectar el conjunto de datos para la clase. • Reúna un trozo de papel milimetrado y un rotulador.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Proyecte el conjunto de datos y prepárese para anotar las observaciones de los estudiantes. 2. Plantee las siguientes preguntas: a.
«¿Qué observas en este conjunto de datos?».
b.
«¿Qué representa este conjunto de datos?».
c.
«¿Qué categorías se incluyen en este conjunto de datos?».
d.
«¿Se proporciona suficiente información para formular pares ordenados que representen la situación?».
e.
«¿Qué otra información sería útil conocer?».
f.
«¿Qué preguntas tienes sobre los datos?».
c. Use dos puntos en su línea de mejor ajuste para escribir la ecuación de la recta. Las respuestas pueden variar. Ejemplo de respuesta utilizando los puntos (20, 50) y (64, 200): 200–50
150
m = _______ = ____ ≈ 3.4; 44 64–20
50 = 3.4(20) + b 50 = 68 + b b = –18 y = 3.4x – 18 or y – 50 = 3.4(x – 20) d. «¿Cuál es el tiempo de espera previsto para la montaña rusa cuando hay 37,500 clientes en el parque?». y = 3,4(37,5) 18 ≈ 110 minutos e. Si el tiempo de espera es de 68 minutos, «¿cuántos clientes hay aproximadamente en el parque?». 68 = 3.4x - 18; 86 = 3.4x; x ≈ 25,000 visitantes f. «¿Cuál es la intersección x y qué significa en el contexto de esta situación?». 0 = 3.4x - 18; 18 = 3.4x; x ≈ 5.3; La intersección x es (5.3, 0). Significa que sólo hay tiempo de espera para la montaña rusa si hay más de 5,300 visitantes en el parque.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES Linear Functions
EVALUACIÓN DE HABILIDADES
Linear Functions How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Create equations in two or more variables to represent relationships between quantities; graph equations on coordinate axes with labels and scales.
Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or non-viable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods. Understand that the graph of an equation in two variables is the set of all its solutions plotted in the coordinate plane, often forming a curve (which could be a line).
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN
LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN
Notes and Feedback
DESCRIPCIÓN Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede utilizarse como evaluación formativa para los maestros y como autoevaluación para los estudiantes.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) ❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
• 1 folleto del maestro (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del maestro» y un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
1
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Folleto del estudiante» a cada uno.
Linear Functions
Linear Functions How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Write a function that describes a relationship between two quantities. a. Determine an explicit expression, a recursive process, or steps for calculation from a context.
Identify the effect on the graph of replacing f(x) by f(x) + k, kf(x), f(kx), and f(x + k) for specific values of k (both positive and negative); find the value of k given the graphs. Experiment with cases and illustrate an explanation of the effects on the graph using technology. Include recognizing even and odd functions from their graphs and algebraic expressions for them. Recognize that sequences are functions, sometimes defined recursively, whose domain is a subset of the integers. For example, the Fibonacci sequence is defined recursively by f(0) = f(1) = 1, f(n + 1) = f(n) + f(n – 1) for n ≥ 1.
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Notes and Feedback
3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo. 4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje. 5. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el «Folleto del maestro». 6. Las notas anecdóticas proporcionadas en el «Folleto del maestro» pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares.
2
FOLLETO DEL MAESTRO
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2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Explorar» y «Explicar» del alcance, evalúe formativamente su progreso tomando notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
7. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la «Guía de instrucción andamiada» en la sección «Inicio» de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
307
1/9/26 1:32 PM
ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN
Linear Functions
Linear Functions
Linear Functions Skill or Key Concept For a function that models a relationship between two quantities, interpret key features of graphs and tables in terms of the quantities, and sketch graphs showing key features given a verbal description of the relationship. Key features include: intercepts; intervals where the function is increasing, decreasing, positive, or negative; relative maximums and minimums; symmetries; end behavior; and periodicity. Relate the domain of a function to its graph and, where applicable, to the quantitative relationship it describes. For example, if the function h(n) gives the number of person-hours it takes to assemble n engines in a factory, then the positive integers would be an appropriate domain for the function. Graph functions expressed symbolically and show key features of the graph, by hand in simple cases and using technology for more complicated cases. a. Graph linear and quadratic functions and show intercepts, maxima, and minima.
How was the skill or concept observed?
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Linear Functions Notes and Feedback
How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Compare properties of two functions each represented in a different way (algebraically, graphically, numerically in tables, or by verbal descriptions). For example, given a graph of one quadratic function and an algebraic expression for another, say which has the larger maximum. Construct linear and exponential functions, including arithmetic and geometric sequences, given a graph, a description of a relationship, or two input-output pairs (include reading these from a table). Interpret the parameters in a linear or exponential function in terms of a context. [Linear and exponential of form f(x) = bˣ + k]
3
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Notes and Feedback
4
Linear Functions
Standards for Mathematical Practice
Notes and Feedback
Make sense of problems and persevere in solving them Reason abstractly and quantitatively Construct viable arguments and critique the reasoning of others Model with mathematics Use appropriate tools strategically
Attend to precision Look for and make use of structure Look for and express regularity in repeated reasoning
Consider these reflection questions in this scope. ●
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them?
●
What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
5
FOLLETO DEL MAESTRO
308
SS NA-Math TE A1-V1.indb 308
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1/9/26 1:32 PM
ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
EVALUAR: MAPA DE CALOR
Linear Functions
EVALUACIÓN DE HABILIDADESEVALUACIÓN
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
MAPA DE CALOR
Red – misconception
Skills Quiz Standards
DESCRIPCIÓN
Questions
Create equations in two or more variables to represent relationships between quantities; graph equations on coordinate axes with labels and scales.
Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
8
Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or non-viable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods. Understand that the graph of an equation in two variables is the set of all its solutions plotted in the coordinate plane, often forming a curve (which could be a line). Identify the effect on the graph of replacing f(x) by f(x) + k, kf(x), f(kx), and f(x + k) for specific values of k (both positive and negative); find the value of k given the graphs. Experiment with cases and illustrate an explanation of the effects on the graph using technology. Include recognizing even and odd functions from their graphs and algebraic expressions for them. Recognize that sequences are functions, sometimes defined recursively, whose domain is a subset of the integers. For example, the Fibonacci sequence is defined recursively by f(0) = f(1) = 1, f(n + 1) = f(n) + f(n – 1) for n ≥ 1. For a function that models a relationship between two quantities, interpret key features of graphs and tables in terms of the quantities, and sketch graphs showing key features given a verbal description of the relationship. Key features include: intercepts; intervals where the function is increasing, decreasing, positive, or negative; relative maximums and minimums; symmetries; end behavior; and periodicity.
3
9
MATERIALES
• 1 mapa de calor (por estudiante)
4
• 1 lápiz de color rojo (por estudiante) • 1 lápiz de color azul (por estudiante)
5
• 1 lápiz de color naranja (por estudiante) 10
11
PREPARACIÓN
12
• Determine si los estudiantes analizarán su «Prueba de habilidades», la «Evaluación basada en estándares», o ambas.
6
1
• Imprima un «Mapa de calor» para cada estudiante. 1
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Linear Functions
1. Dé un «Mapa de calor» a cada estudiante junto con lápices de colores rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s).
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
Red – misconception
2. Los estudiantes utilizan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el «Mapa de calor». Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los estudiantes colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, los estudiantes colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, los estudiantes colorean el cuadro correspondiente de rojo.
Skills Quiz Standards
Questions
Graph functions expressed symbolically and show key features of the graph, by hand in simple cases and using technology for more complicated cases. a. Graph linear and quadratic functions and show intercepts, maxima, and minima.
1
2
Compare properties of two functions each represented in a different way (algebraically, graphically, numerically in tables, or by verbal descriptions). For example, given a graph of one quadratic function and an algebraic expression for another, say which has the larger maximum.
6
7
Construct linear and exponential functions, including arithmetic and geometric sequences, given a graph, a description of a relationship, or two input-output pairs (include reading these from a table).
1
10
Interpret the parameters in a linear or exponential function in terms of a context. [Linear and exponential of form f(x) = bˣ + k].
8
11
• Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
3. Anímelos a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a utilizar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada.
12
4. Consulte la «Guía de instrucción andamiada» que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
2
MAPA DE CALOR
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309
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
EVALUAR: MAPA DE CALOR
Linear Functions
Linear Functions
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Reflection Questions 1. Which skill did you feel most confident with? Why?
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
Orange – explanation
Red – misconception
Standards-Based Assessment Standards
3. Which type of error did you most commonly make?
Questions
Create equations in two or more variables to represent relationships between quantities; graph equations on coordinate axes with labels and scales.
9
Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or non-viable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods.
3
Understand that the graph of an equation in two variables is the set of all its solutions plotted in the coordinate plane, often forming a curve (which could be a line).
4. How can you avoid those errors in the future?
Not Assessed
Identify the effect on the graph of replacing f(x) by f(x) + k, kf(x), f(kx), and f(x + k) for specific values of k (both positive and negative); find the value of k given the graphs. Experiment with cases and illustrate an explanation of the effects on the graph using technology. Include recognizing even and odd functions from their graphs and algebraic expressions for them.
7b
Recognize that sequences are functions, sometimes defined recursively, whose domain is a subset of the integers. For example, the Fibonacci sequence is defined recursively by f(0) = f(1) = 1, f(n + 1) = f(n) + f(n – 1) for n ≥ 1.
6c
For a function that models a relationship between two quantities, interpret key features of graphs and tables in terms of the quantities, and sketch graphs showing key features given a verbal description of the relationship. Key features include: intercepts; intervals where the function is increasing, decreasing, positive, or negative; relative maximums and minimums; symmetries; end behavior; and periodicity.
7a
3
8
10
4
Linear Functions
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
Red – misconception
Standards-Based Assessment Standards
Questions
Graph functions expressed symbolically and show key features of the graph, by hand in simple cases and using technology for more complicated cases. a. Graph linear and quadratic functions and show intercepts, maxima, and minima.
2
8
Compare properties of two functions each represented in a different way (algebraically, graphically, numerically in tables, or by verbal descriptions). For example, given a graph of one quadratic function and an algebraic expression for another, say which has the larger maximum.
1
4
Construct linear and exponential functions, including arithmetic and geometric sequences, given a graph, a description of a relationship, or two input-output pairs (include reading these from a table).
6a
6b
Interpret the parameters in a linear or exponential function in terms of a context. [Linear and exponential of form f(x) = bˣ + k].
7c
9
5
5
MAPA DE CALOR
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
INTERVENIR: REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES REFORZAR Y VOLVER A ENSEÑAR
REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES DESCRIPCIÓN Esta actividad está diseñada para repaser los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para intervenir.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 revisión rápida (por estudiante) • 1 repaso (por estudiante) • 1 revisión general (por estudiante) • 1 lista de verificación para el maestro (por maestro)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de la «Revisión rápida», el «Repaso» y la «Revisión general» para cada estudiante. • Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar el «Repaso». • Si lo desea, imprima un ejemplo del «Esquema de anclaje» de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que usen la «Libreta interactiva» como recurso. • Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayudas suplementarias para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Dé una copia de la «Revisión rápida» a cada estudiante. 2. Cada uno debe completarla de forma independiente. 3. Use la rúbrica de habilidades al final de la «Revisión rápida» para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional. 4. Distribuya una copia del «Repaso» a cada uno. 5. Cada estudiante debe completar el «Repaso» como actividad de intervención o de forma independiente. a. Si lo desea, reúna a los estudiantes en pequeños grupos para trabajar en las destrezas de repaso. Utilice el «Repaso» como ayuda para la reenseñanza. 6. Distribuya una copia de la «Revisión general» a cada uno. 7. Cada estudiante debe completarla de forma independiente. 8. Analice los resultados de la «Revisión general» al usar la «Lista de verificación para el maestro» para identificar quienes necesitan un repaso adicional y quienes han alcanzado el dominio de los conceptos.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
INTERVENIR: REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES
Linear Functions
2.
Checkup 1.
Linear Functions
k(x)
0
15
1.7
4.8
Time in Hours (x)
0
1
2
3
4
2.5
0
Level of Water
127
180
233
286
?
3
–3
a. Which function has a greater slope? j(x) ____
a.
How was the process for writing each equation similar? Both equations required finding the constant difference or slope of 53.
b.
How was the process different? The process was different because the equations use different vocabulary for the same feature, constant difference and slope. The explicit form starts with n = 1 for the first term, and the slope-intercept form includes the output when x = 0 for the initial value.
c.
d.
j(x) b. Which function has a greater x-intercept? ____ k(x) c. Which function has a greater y-intercept? ____
3.
Which of the functions has the greatest y-intercept?
Do the equations give the same result when finding the missing value in the table? The missing value is 339. Both the arithmetic sequence in explicit form and the equation in slope-intercept form give the same result.
A.
The line that has a slope of 8 and passes through (–1, 3).
B.
7x – 3y = 12
C.
h(x) = –4x
D.
Which function is the best representation for this situation? The equation in slope-intercept form is the better representation for this situation because the situation has a reasonable domain of values that include numbers between the integers in the table. Time is continuous and arithmetic sequences are not continuous so it would not be the best representation for this situation. The arithmetic sequence is not a good fit because it is only modeling the level of water as a function of the position in the sequence, but the slope-intercept form is modeling the level of water as a function of time.
4.
x
–3
1
5
y
16
12
8
The linear parent function, f(x) = x, was shifted 4 units to the left, stretched vertically by a factor of 5, and translated 3 units down. Write an equation for the new function. y = 5(x + 4) – 3
1
2
Linear Functions
Linear Functions
Write the equation of a line that passes through the point (31, –97) and has a slope of –2.
Use the following information for questions 8 and 9.
y + 97 = –2(x – 31)
6. Write the equation of the line that passes through the points (–5, 3) and (10, –3).
This information describes the charges for Amanda’s babysitting service: ●1 hour $8.00 ●2 hours $11.00 ●5 hours $20.00 ●7 hours $26.00 Note that 1 hour is the minimum amount of time she will work. 8.
Slope = –3 – 3 = –2 10 –(–5) 5 y – y1 = m(x – x1)
7.
x
j(x) = 7(x – 3)
Use the table below to write an arithmetic sequence in explicit form, and then use the table to write an equation in slope-intercept form. Answer the questions that follow.
Arithmetic sequence: An = 180 + 53(n – 1) Slope-intercept form: y = 53x + 127
5.
Compare the functions j(x) and k(x).
Represent the above information in an arithmetic sequence. Then, determine the domain and range. a. Write an arithmetic sequence to model the babysitting fees. An = 8 + 3(n – 1) b. Determine the domain and range. Domain: Natural numbers {1, 2, 3, 4 …} Range: {8, 11, 14, 17, 20, 23 …}
A lake near the Arctic Circle is covered by a 3 m thick sheet of ice during the cold winter months. When spring arrives, the warm air gradually melts the ice, causing its thickness to decrease at a constant rate. The function f(x) = –0.5x represents the amount of ice that melts per week during spring.
9.
Represent the above information in a linear equation using slope-intercept form. Then, determine the domain and range.
a.
Write the function g(x) to represent the amount of sheet ice remaining. g(x) = –0.5x + 3
a. Write a linear equation in slope-intercept form to model the babysitting fees. y = 3x + 5
b.
How would the graph of g(x) compare to that of f(x)? The graph of g(x) would shift up 3 units from the graph of f(x).
b. Determine the domain and range. Domain: x ≥ 1 Range: y ≥ 8
c.
How does changing the slope affect the graph? Changing the slope will either vertically stretch or vertically compress the graph.
d.
How will the graph change if the ice melts at a constant rate of 1 meter per week? The original graph will be stretched by a factor of 2 and become more steep.
10.
Which graphed line represents a function whose slope is steeper than the function 3y = 12x + 15? j(x)
3
4
REVISIÓN GENERAL CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
ACELERACIÓN: ¿QUÉ PREFERIRÍAS? Linear Functions
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
¿QUÉ PREFERIRÍAS?: RECAUDACIÓN DE FONDOS PARA CARAMELOS
Candy Fundraiser Use mathematical reasoning and creativity to justify your answer to the Would You Rather question. For a fundraiser for a theater project at their school, Jasmine and Jamal have decided to purchase different types of candies at wholesale prices, which they will then sell to classmates at a 50% markup. Jasmine found that one company was willing to sell her packages of candy at $0.50 per package of 20 pieces, shipped to her at a flat rate of $10 if she bought a minimum of 300 packages. Jamal found that he can buy the same packages of candy at $0.60 per package, shipped to him at a flat rate of $15, but there is no minimum number of packages he must buy in advance. Would you rather buy from the company that Jasmine found or buy from the company that Jamal found? Justify your reasoning with mathematics.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 rúbrica (por maestro)
PREPARACIÓN
The following statements are sample answers: I would pick Jasmine’s company. If they each bought 300 packages, Jasmine’s expense would be $160 while Jamal’s expense would be $195.
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno.
I would pick Jamal’s company because I don’t think I could sell 300 candies, so buying that much would be a waste. Jamal could order about 242 candies and have the same out-of-pocket cost as Jasmine. That’s fewer candies to sell and less money out of pocket.
1
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
• Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a mirar sus folletos de «Explorar» si necesitan repaser habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros. 4. Utilice la rúbrica proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Linear Functions
OPCIONES PARA EL APRENDIZAJE CONTINUO
TABLERO DE OPCIONES DESCRIPCIÓN Los estudiantes explorarán las conexiones con el mundo real y las aplicaciones del contenido matemático a través de interacciones con actividades atractivas.
MATERIALES IMPRESO
• 1 tablero de opciones (por estudiante) • 1 juego de hojas de actividades (por estudiante) • 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante) REUTILIZABLE
• Tecnología (si corresponde)
Linear Functions Choose one or more extension activities from the table below. Career Connection
Heart Specialist
Research the career field of a heart specialist. Your research must answer the provided questions. Create a presentation to relay your research to the class.
Technology Connection
PhET Simulation
Predict how changing two points affects the line and the equation of the line.
Create Your Own
Analogies
Write Your Own Pattern
Graphs of Linear Functions
Create your own pattern, and write corresponding functions that can be used to generate your pattern.
Solve the analogies to demonstrate an understanding of the characteristics of graphing linear functions.
Geometry Connection
Financial Connection
Geometric Formulas
Gym Memberships
Connect familiar geometric formulas to linear functions.
We use math every day in our financial world. Explore how our current math topic connects to our financial world by completing the handout.
PREPARACIÓN
• Imprima un «Tablero de opciones» y un juego de hojas de actividades para cada estudiante. • Imprima una «Autoevaluación del tablero» para cada estudiante.
TABLERO DE OPCIONES
• Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» a cada estudiante. 2. Dé tiempo a los estudiantes para examinar el «Tablero de opciones» y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anímelos a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del tablero, haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES LINEALES
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ÁLGEBRA 1 DESIGUALDADES LINEALES
ÁLGEBRA 1
DESIGUALDADES LINEALES ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: CUATRO ESQUINAS
ESTÁNDARES CLAVE Crear ecuaciones que describan números o relaciones. • Representar restricciones mediante ecuaciones o desigualdades, y mediante sistemas de ecuaciones y/o desigualdades, e interpretar las soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelización. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de coste en combinaciones de diferentes alimentos. Representar y resolver ecuaciones y desigualdades gráficamente. • Graficar las soluciones a una desigualdad lineal en dos variables como un semiplano (excluyendo el límite en el caso de una desigualdad estricta), y graficar el conjunto de soluciones de un sistema de desigualdades lineales en dos variables como la intersección de los semiplanos correspondientes.
ESTÁNDARES DE CONEXIÓN
Los estudiantes participan en una conversación sobre el documento «Cuatro esquinas» para explorar su comprensión de las desigualdades lineales e identificar conceptos erróneos. • Los estudiantes eligen una imagen de la esquina que mejor represente las desigualdades lineales después de un breve período de reflexión. • Los estudiantes conversan sobre su razonamiento con sus compañeros en el grupo de la esquina elegido. • La clase vuelve a reunirse para compartir y explicar sus representaciones elegidas. CAPTAR INTERÉS Los estudiantes explorarán y aplicarán las desigualdades lineales a un escenario del mundo real relacionado con la venta de entradas para conciertos. • Presente el escenario del mundo real utilizando un vídeo y pida a los estudiantes que identifiquen elementos matemáticos en la situación. • Facilite una conversación sobre la representación gráfica de las desigualdades lineales y sus componentes, como el sombreado y los valores de los ejes. • Guíe a los estudiantes a través de las actividades de «Exploración» para profundizar en su comprensión de las desigualdades lineales y sus aplicaciones.
Crear ecuaciones que describan números o relaciones. • Crear ecuaciones y desigualdades en una variable, incluidas las de valor absoluto, y utilizarlas para resolver problemas. Incluir ecuaciones que surjan de funciones lineales y cuadráticas y de funciones racionales y exponenciales simples. Resolver ecuaciones y desigualdades en una variable. • Resolver ecuaciones y desigualdades lineales en una variable, incluyendo ecuaciones con coeficientes representados por letras.
ACTIVIDADES DE EXPLORACIÓN EXPLORACIÓN 1: SOLUCIONES DE DESIGUALDADES LINEALES Los estudiantes utilizarán la sustitución para verificar si un par ordenado es una solución, modelarán estos pares en una cuadrícula de coordenadas y comprenderán el concepto de semiplano sombreado. • Los estudiantes sustituirán valores en ecuaciones para determinar si los pares ordenados son soluciones. • Trazarán pares ordenados en una cuadrícula de coordenadas para visualizar soluciones y no soluciones. • Los estudiantes participarán en conversaciones grupales para desarrollar reglas para sombrear el semiplano y justificar su razonamiento. • Analizarán e interpretarán la línea de límite y las regiones sombreadas para hacer recomendaciones basadas en las matemáticas para un escenario del mundo real. EXPLORACIÓN 2: GRAFICAR DESIGUALDADES LINEALES Los estudiantes usarán una desigualdad lineal para graficar e interpretar soluciones, comparando desigualdades escritas en diferentes formas, mientras aplican prácticas matemáticas. • Los estudiantes trabajarán en grupos para interpretar y graficar una desigualdad lineal relacionada con un escenario del mundo real. • Utilizarán puntos de prueba para determinar qué áreas del gráfico deben sombrearse, desarrollando su propia comprensión de las reglas de graficación. • Los estudiantes participarán en conversaciones para compartir observaciones y hacer recomendaciones basadas en sus interpretaciones. • Completarán preguntas de reflexión y un «Boleto de salida» para evaluar su comprensión del concepto. EXPLORACIÓN 3: ESCRIBIR DESIGUALDADES LINEALES Los estudiantes analizarán el gráfico de una desigualdad lineal para determinar la ecuación y la desigualdad correspondientes, utilizando estas representaciones para interpretar soluciones en contexto. • Los estudiantes colaborarán en grupos para interpretar gráficas y registrar sus hallazgos en los «Diarios del estudiante». • Los estudiantes usarán puntos de prueba para desarrollar reglas para sombrear regiones e identificar cuándo usar líneas sólidas o punteadas. • Los estudiantes evaluarán diferentes gráficas para hacer recomendaciones basadas en evidencia matemática. • Los estudiantes participarán en charlas de matemáticas para conversar sobre observaciones y profundizar su comprensión de las desigualdades lineales.
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ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES1 DESIGUALDADES LINEALES ÁLGEBRA
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES
SISTEMAS DE ECUACIONES
CONCEPTOS CLAVE
PREGUNTAS FUNDAMENTALES
• Puedo determinar si un par ordenado es una solución o no es una solución dada una desigualdad o gráfica de una desigualdad.
• ¿Cómo sabemos cuándo usar una línea discontinua o una línea continua al graficar una desigualdad lineal?
• Puedo graficar desigualdades lineales dada una desigualdad o descripción verbal.
• ¿Cuándo puede existir una solución en el límite de una desigualdad lineal?
• Puedo escribir desigualdades lineales dada una gráfica o descripción verbal.
• ¿Qué significa ser una solución de una desigualdad lineal?
• ¿Qué significa usar un punto de prueba para determinar el sombreado de una desigualdad lineal? • ¿Qué tipos de puntos de prueba serían más fáciles de usar que otros? • ¿En qué tipo de escenario del mundo real usaría alguien una desigualdad inclusiva? ¿Una desigualdad exclusiva?
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ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
CONTENIDOS DE APOYO Crear ecuaciones que describan números o relaciones. • Representar restricciones mediante ecuaciones o desigualdades, y mediante sistemas de ecuaciones y/o desigualdades, e interpretar las soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelización. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de coste en combinaciones de diferentes alimentos.
Representar y resolver ecuaciones y desigualdades gráficamente. • Graficar las soluciones a una desigualdad lineal en dos variables como un semiplano (excluyendo el límite en el caso de una desigualdad estricta), y graficar el conjunto de soluciones de un sistema de desigualdades lineales en dos variables como la intersección de los semiplanos correspondientes.
CONOCIMIENTO PREVIO En grados anteriores, los estudiantes resolvieron problemas escritos que conducen a ecuaciones y desigualdades de una variable. Han resuelto ecuaciones y desigualdades que pueden resolverse usando dos pasos. Han interpretado soluciones en contexto y graficado soluciones en una recta numérica. Anteriormente, en álgebra 1, los estudiantes resolvieron y graficaron ecuaciones de una variable en varios pasos, así como resolvieron y graficaron desigualdades de una variable en varios pasos.
CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
• Los estudiantes pueden carecer del conocimiento del significado simbólico de los signos de desigualdad. Algunos estudiantes han aprendido «trucos» en grados anteriores que no recuerdan con precisión. Asegúrese de abordar el significado de los signos de desigualdad.
EN ESTE ALCANCE Los estudiantes deben ser capaces de identificar soluciones viables y no viables algebraicamente, gráficamente y dado un contexto. Los estudiantes tendrán experiencia trabajando con contextos en los que sus soluciones son viables y no viables dentro de ese contexto, y explicando su razonamiento verbalmente y por escrito. Los estudiantes serán capaces de determinar la desigualdad lineal a partir de una gráfica. También serán capaces de representar gráficamente desigualdades lineales a partir de una representación simbólica o contextual. TÉRMINOS CLAVE
• restricción: una condición que la solución debe satisfacer • desigualdad: una oración matemática que usa símbolos como <, ≤, >, o ≥ para comparar dos cantidades • sistema de desigualdades: dos o más desigualdades con dos o más variables • conjunto de soluciones: conjunto de números que hacen verdadera una desigualdad • desigualdad lineal: una desigualdad que implica una función lineal • línea de límite: una línea que corresponde a la función que divide el plano de coordenadas en dos mitades • intersección: punto en el que se cruzan dos rectas
• Es posible que los estudiantes no comprendan la conexión entre < y ≤ al observar círculos abiertos y cerrados en la recta numérica y líneas punteadas versus líneas sólidas en un gráfico. • Los estudiantes pueden tener dificultades para combinar términos semejantes y reordenar ecuaciones, en particular cuando se produce la multiplicación y división de un negativo. • Los estudiantes pueden confundir el hecho de que el uso de habilidades de manipulación de ecuaciones significa que una desigualdad es lo mismo que una ecuación. Reducir una desigualdad a un conjunto de soluciones puede o no mostrar una solución. Por ejemplo, x < 5 no incluye cinco como solución. • Los estudiantes pueden creer que las soluciones de las desigualdades son también desigualdades. Es importante tener en cuenta los momentos en los que la solución es un único punto, un intervalo o ninguna solución. • Los estudiantes pueden tener dificultades para determinar si un valor está en el conjunto de soluciones cuando miran una gráfica. Enseñe a los estudiantes a verificar su respuesta tanto gráfica como matemáticamente.
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ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO
APLICAR LAS PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes perseveran cuando resuelven problemas para encontrar las calificaciones necesarias para obtener el promedio deseado en un grado. Encuentran el promedio actual, escriben la ecuación y la desigualdad que produciría el promedio deseado y luego resuelven la desigualdad para determinar la calificación necesaria. • MP.2 Razonar de manera abstracta y cuantitativa: Los estudiantes resuelven una desigualdad basada en el contexto, la relacionan con el contexto y luego analizan la validez del valor encontrado para determinar la solución apropiada. • MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros: Los estudiantes explican su razonamiento y los pasos seguidos para resolver ecuaciones lineales, colaboran con sus compañeros y conversan sobre ideas para resolver problemas. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes escriben y resuelven desigualdades para representar escenarios dados. Después de resolver una desigualdad, determinan la validez de la solución relacionándola con el contexto. • MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas: Los estudiantes utilizan papel y lápiz para resolver desigualdades algebraicamente y grafican las soluciones utilizando una recta numérica. Se requiere pensamiento crítico porque deben procesar cada paso para encontrar su solución. • MP.6 Atender a la precisión: Los estudiantes prestan atención a la precisión cuando resuelven y grafican desigualdades y se enfocan en tener el signo de desigualdad correcto para asegurar que su conjunto de soluciones sea preciso. • MP.7 Buscar y utilizar estructuras: Mientras resuelven la misma desigualdad de dos formas diferentes utilizando métodos que han aprendido previamente, los estudiantes se dan cuenta y aplican el hecho de que el signo de la desigualdad debe cambiarse al dividir o multiplicar por un número negativo. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes generalizan el aspecto de las gráficas de desigualdades compuestas. Concluyen que la gráfica de una conjunción está entre el mínimo y el máximo y que la gráfica de una disyunción está a la izquierda del mínimo y a la derecha del máximo.
SOLUCIONES Y NO SOLUCIONES Los estudiantes determinarán si un par ordenado es una solución o no es una solución de una desigualdad. Las soluciones se pueden determinar utilizando la gráfica o la desigualdad. Dada una gráfica, se debe localizar el par ordenado. Si el punto se encuentra en la región sombreada o en la recta de una desigualdad inclusiva (≥, ≤) es una solución. Dada una desigualdad, se debe sustituir el par ordenado por los valores x e y de la desigualdad. La desigualdad debe evaluarse de modo que sólo haya un número en cada lado de la desigualdad. Si el par ordenado cumple la desigualdad, es una solución de la desigualdad. Las desigualdades que son inclusivas (≥, ≤) incluyen puntos de la recta en el conjunto de soluciones, frente a las desigualdades que son exclusivas (>, <), que no incluyen puntos de la recta en el conjunto de soluciones.
a. (-4, 10) b. (1, 9) c. (5, -2) d. (-8, -2) La respuesta correcta es C. Trazando los puntos en la gráfica, se puede determinar que (5, -2) es la única coordenada que se encuentra en la región sombreada de la desigualdad.
Ejemplo: ¿Cuál de los siguientes representa un par ordenado que está en el conjunto de soluciones de la gráfica de abajo?
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ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO Ejemplo: ¿Qué coordenada está en el conjunto de 3 soluciones de la desigualdad y ≥ __ x + 3? 7 a. (-7, 0) b. (-4, 1)
Ejemplo: Graficar la ecuación y ≥ -3x + 2. Marcar una solución y una no solución en la gráfica y demostrar algebraicamente por qué cada punto es una solución frente a una no solución.
c. (2, -5) d. (0, 1) 3 x La respuesta correcta es A. Usando sustitución, y ≥ __ 7 3 __ + 3 se convierte en 0 ≥ 7 (−7) + 3. 3 0 ≥ __ (−7) + 3 7 0 ≥ −3 + 3
0 ≥ 0 es una afirmación verdadera, por lo que el punto (−7, 0) satisface la desigualdad. Ejemplo: Cinda y Jolie quieren donar dinero a un refugio de animales local. Para recaudar fondos, venden collares y pendientes hechos por ellas mismas. Los collares cuestan $8 y los pendientes $5. Su objetivo es donar al menos $100. Si venden 5 collares y 10 pendientes, ¿cumplirán su objetivo? Esta situación puede representarse mediante la desigualdad 8n + 5e ≥ 100. Vender 5 collares y 10 pendientes significaría n = 5 y e = 10. Utilizar la sustitución en la desigualdad y simplificar. 8n + 5e ≥ 100 8(5) + 5(10) ≥ 100 40 + 50 ≥ 100 90 ≥ 100 90 no es mayor o igual que 100, por lo que no habrían cumplido su objetivo. Vender 5 collares y 10 pendientes no es una solución viable a este problema.
GRAFICAR DESIGUALDADES LINEALES Los estudiantes graficarán desigualdades lineales en un plano de coordenadas. Inicialmente, seguirán los mismos métodos que para graficar ecuaciones lineales. Si la desigualdad está escrita en forma pendiente-intersección, los estudiantes identificarán la intersección y la pendiente y comenzarán a graficar. Si la desigualdad está escrita en forma estándar, los estudiantes pueden determinar las intersecciones x e y mediante sustitución o reescribiendo la desigualdad en forma pendiente-intersección. Los estudiantes pueden usar su conocimiento de cómo probar una solución frente a una no solución para determinar qué semiplano sombrear. Los estudiantes también pueden usar puntos de prueba de problemas contextuales para determinar el sombreado y los conjuntos de soluciones.
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Para verificar las soluciones, los estudiantes sustituirán los valores en la ecuación y ≥ -3x + 2 de la siguiente manera: y ≥ -3x + 2 con (0, 5)
y ≥ -3x + 2 con (1, -8)
5 ≥ -3(0) + 2
-8 ≥ -3(1) + 2
5≥2
-8 ≥ -1
Solución (afirmación verdadera)
No es una solución (afirmación falsa)
Ejemplo: Graficar la desigualdad 4x - 7y < 14. Para la intersección x, sea y = 0. 4x - 7(0) < 14 4x < 14 x < 14/4 x < 3.5 Para la intersección y, sea x = 0. 4(0) - 7y < 14 -7y < 14 y > -2 Trazar las intersecciones x e y en la gráfica y unirlas con una línea discontinua. Determinar qué región sombrear seleccionando un punto de prueba, (0, 0). 4x - 7y < 14 4(0) - 7(0) < 14 0 < 14, que es una afirmación verdadera. Por lo tanto, el conjunto de soluciones contiene (0, 0), y el sombreado debe estar por encima de la línea.
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ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO
ESCRIBIR DESIGUALDADES LINEALES A PARTIR DE UNA GRÁFICA Los estudiantes escribirán desigualdades lineales en forma pendiente-intersección a partir de una gráfica. Los estudiantes identificarán la pendiente y la intersección y usando la línea de límite en la gráfica para escribir la desigualdad. Para determinar la desigualdad correcta, primero determinar si la línea de límite es inclusiva o excluyente. Las desigualdades que son inclusivas (≥, ≤) incluyen puntos de la recta en el conjunto de soluciones, frente a las desigualdades que son exclusivas (>, <), que no incluyen puntos de la recta en el conjunto de soluciones. Los gráficos que utilizan una línea discontinua o punteada son excluyentes, y los gráficos que utilizan una línea continua son inclusivos. Por último, determinar si la desigualdad debe ser mayor que o menor que. Identificar un par ordenado del semiplano sombreado. Sustituir el par ordenado en la desigualdad parcialmente completa. Evaluar la oración numérica de cada lado da la información para determinar si la desigualdad debe ser mayor que o menor que. Ejemplo: Escribir la desigualdad lineal representada por la gráfica.
Ejemplo: Comparar y contrastar las gráficas de las relaciones siguientes. Relación A: y = 2x + 3 Relación B: y > 2x + 3 Las gráficas de las relaciones A y B tienen ambas la misma línea de límite de y = 2x + 3. Esto significa que tiene la misma pendiente e intersección y. La gráfica de la relación A incluye todos los puntos de la recta y = 2x + 3. La gráfica de la relación B no incluye el punto sobre la recta y = 2x + 3 porque usa una desigualdad que excluye la línea de límite. La gráfica de la relación B incluye todos los pares ordenados sobre la línea de límite, mientras que la relación A sólo incluye los pares ordenados sobre la línea de límite.
ESCRIBIR DESIGUALDADES LINEALES A PARTIR DE UNA DESCRIPCIÓN VERBAL Los estudiantes escribirán desigualdades lineales a partir de descripciones verbales. Los estudiantes determinarán qué símbolos de desigualdad deben usarse para cada escenario. Los estudiantes pueden colaborar para hacer una lluvia de ideas de palabras que coincidan con las frases de desigualdad, pero los estudiantes siempre deben centrarse en el contexto del escenario en lugar de confiar sólo en una lista. > • •
Mayor que
•
Más largo que
•
La intersección y de la función es (0, 4) y la pendiente es 1. Por lo tanto, y ? x + 4 es la forma intersecciónpendiente de la desigualdad. La línea discontinua indica una desigualdad excluyente (> o <). Identificar un punto de prueba en el semiplano sombreado. Un par ordenado en el semiplano sombreado es (-1, 5). Sustituir el par ordenado en la desigualdad parcialmente completa. 5 ? -1 + 4. Evaluar cada lado. 5 ? 3. Como 5 es mayor que 3, debe usarse el símbolo mayor que, lo que resulta en la desigualdad y > x + 4. Algunos estudiantes pueden notar que el área sombreada está por encima de la línea, por lo que se usa el símbolo mayor que. Esta es una conclusión matemáticamente correcta y es apropiada si el estudiante lo descubre y puede explicarlo.
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Más que
Por encima de
≥ •
Mínimo
•
Como mínimo
•
No es menor que
•
No es más pequeño que
< •
Más pequño que
•
Menor que
•
Por debajo de
≤ •
Máximo
•
Como máximo
•
No más que
•
No es mayor que
Ejemplo: El puesto de comida del baile de la escuela cobra $3 por una caja de dulces y $4 por un combo compuesto por una bebida y palomitas de maíz. Gerardo puede gastar un máximo de $12. a. Escribir una desigualdad que represente todas las combinaciones posibles de b, el número de cajas de dulces, y c, el número de combos que Gerardo podría comprar. Esta situación se puede modelar mediante la desigualdad, 3b + 4c ≤ 12, donde b representa el número de cajas de dulces y c representa el número de combos. b. ¿Es posible que Gerardo compre 3 combos? ¿Por qué sí o por qué no?. Sí, Gerardo puede comprar 3 combos, pero eso le dejaría sin dinero para dulces.
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ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO
MÚLTIPLES REPRESENTACIONES DE DESIGUALDADES LINEALES Los estudiantes escribirán desigualdades lineales a partir de múltiples representaciones, incluyendo tablas, gráficos y descripciones verbales. Los estudiantes también harán conexiones entre las diversas representaciones. Proporcionar problemas ricos, basados en el contexto, es clave para desarrollar una comprensión más profunda del significado detrás de las desigualdades lineales. Ejemplo: Danny y Laura van a poner en marcha su propio negocio de lavado de perros. Al principio, piensan que no pueden gastar más de $25 al mes en champú para perros y bandanas. Una tienda local de artículos para mascotas vende botellas tamaño cuarto de champú a $3.00 la botella y paquetes de bandanas para perros a $2.00 el paquete.
a. Escribir una desigualdad algebraica para representar el límite de gasto de Danny y Laura. 3x + 2y ≤ 25 b. Graficar la desigualdad.
Ejemplo: El límite de peso de un ascensor en el edificio de apartamentos de Jackson es de 900 libras. La tabla muestra combinaciones de adultos, a, y niños, c, que pueden compartir el ascensor en el límite de peso basado en sus pesos medios. El ascensor también podría contener 2 adultos y 4 niños. Escribir una desigualdad para describir cuántos adultos y niños pueden compartir el ascensor dentro de su límite de peso. Utilizando dos puntos de la tabla, (0, 12) y (1, 9), se (9−12) (1−0)
3 −__ = calcula la pendiente de la siguiente manera: ______= 1
−3
La coordenada y de la intersección y es 12. La desigualdad puede escribirse como y ? -3x + 12. Utilizar el punto de prueba (2, 4) para sustituir en la desigualdad para determinar el símbolo. Sabemos que será una desigualdad inclusiva porque el límite de peso puede ser igual a 900. y ? -3x + 12 4 ? -3(2) + 12 4 ? -6 + 12 4≤6 La desigualdad es «menor o igual que», así que la respuesta final es y ≤ -3x + 12.
AVANCES
c. Crear una tabla de las compras posibles que estén por debajo del límite. Botellas de champú para perros
5 paquetes de bandanas
5
5
2
9
1
4
4
5
Más adelante en álgebra 1, los estudiantes graficarán el conjunto de soluciones a sistemas de desigualdades. En álgebra 2, los estudiantes formularán sistemas de al menos dos desigualdades lineales en dos variables. También resolverán sistemas de dos o más desigualdades lineales en dos variables.
Al escribir una desigualdad a partir de una tabla, los estudiantes usarán dos coordenadas para calcular la pendiente de la línea de límite e identificar la coordenada y de la intersección y. Los estudiantes escribirán la desigualdad en forma pendienteintersección y determinarán el símbolo de desigualdad que se usará basándose en un punto de prueba en el conjunto de soluciones. a
c
0
12
1
9
3
3
4
0
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ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO ANÁLISIS PROFUNDO DE LOS ESTÁNDARES
CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES Crear ecuaciones que describan números o relaciones. • Representar restricciones mediante ecuaciones o desigualdades, y mediante sistemas de ecuaciones y/o desigualdades, e interpretar las soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelización. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de coste en combinaciones de diferentes alimentos. Representar y resolver ecuaciones y desigualdades gráficamente. • Graficar las soluciones a una desigualdad lineal en dos variables como un semiplano (excluyendo el límite en el caso de una desigualdad estricta), y graficar el conjunto de soluciones de un sistema de desigualdades lineales en dos variables como la intersección de los semiplanos correspondientes.
DESGLOSAR EL ESTÁNDAR VERBOS: ¿QUÉ DEBERÍAN HACER LOS ESTUDIANTES?
• crear: hacer algo de la nada • representar: mostrar cómo se relacionan los términos; simbolizar algo • interpretar: explicar el significado de • resolver: encontrar un valor que responda a una pregunta y/o haga que una ecuación sea verdadera • graficar: trazar un conjunto de puntos en un plano de coordenadas SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBERÍAN CONOCER LOS ESTUDIANTES?
• ecuación: enunciado matemático que muestra que dos expresiones son iguales entre sí • restricción: condición que debe satisfacer la solución • desigualdad: enunciado matemático que utiliza símbolos como <, ≤, > o ≥ para comparar dos cantidades
• variable: una letra o símbolo que toma el lugar de un número que puede cambiar; una letra que puede representar un número desconocido o un conjunto de números • semiplano: una región plana que consiste en todos los puntos a un lado de una línea recta infinita, y ningún punto al otro lado • línea de límite: una línea que corresponde a la función que divide el plano de coordenadas en dos mitades • desigualdad estricta: una desigualdad que no tiene condiciones de igualdad; la desigualdad estricta es mayor que o menor que • intersección: el punto en el que dos rectas se cruzan
IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA
• En grados anteriores, los estudiantes resolvieron ecuaciones y resolvieron y graficaron desigualdades en rectas numéricas. • En este grado, los estudiantes ampliarán su comprensión de la resolución de ecuaciones y desigualdades para resolver y graficar desigualdades en un plano de coordenadas, mostrando qué parte del plano representa el conjunto de soluciones. • Los estudiantes deben ser capaces de identificar soluciones viables y no viables algebraicamente, gráficamente y cuando se les da un contexto. • Los estudiantes necesitarán tener experiencia trabajando con contextos en los que sus soluciones son tanto viables como no viables dentro de ese contexto, así como tener la oportunidad de practicar explicando su razonamiento verbalmente y por escrito. • Algunos estudiantes pueden sentir que deben ser capaces de decir mentalmente dónde se encuentra el conjunto de soluciones después de graficar un sistema de desigualdades. Normalizar utilizando puntos de prueba para encontrar el conjunto de soluciones ayudará a los estudiantes.
• sistema de ecuaciones: dos o más ecuaciones con dos o más variables • sistema de desigualdades: dos o más desigualdades con dos o más variables • solución: cualquier número que hace cierta una ecuación • conjunto de soluciones: un conjunto de números que hace cierta una afirmación de desigualdad • desigualdad lineal: una desigualdad que implica una función lineal
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ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
ALINEACIÓN VERTICAL GRADO
ESTÁNDAR
Entender la resolución de una ecuación o desigualdad como un proceso de respuesta a una pregunta: ¿qué valores de un conjunto especificado, si los hay, hacen que la ecuación o desigualdad sea verdadera?. Utilizar la sustitución para determinar si un número dado de un conjunto especificado hace que una ecuación o desigualdad sea verdadera.
6
Utilizar variables para representar números y escribir expresiones al resolver un problema matemático o del mundo real; comprender que una variable puede representar un número desconocido o, dependiendo del propósito, cualquier número de un conjunto especificado.
Escribir una desigualdad de la forma x > c o x < c para representar una restricción o condición en un problema del mundo real o matemático. Reconocer que las desigualdades de la forma x > c o x < c tienen infinitas soluciones; representar las soluciones de dichas desigualdades en diagramas de rectas numéricas.
7
Resolver problemas escritos que conduzcan a desigualdades de la forma px + q > r o px + q < r, donde p, q, y r son números racionales específicos. Grafica el conjunto de soluciones de la desigualdad e interprétalo en el contexto del problema.
8
Resolver ecuaciones lineales con coeficientes de números racionales, incluyendo ecuaciones cuyas soluciones requieran expandir expresiones usando la propiedad distributiva y juntando términos semejantes.
Álgebra
Resolver ecuaciones lineales y desigualdades en una variable, incluyendo ecuaciones con coeficientes representados por letras.
Representar restricciones mediante ecuaciones o desigualdades, y mediante sistemas de ecuaciones y/o desigualdades, e interpretar las soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelización. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de coste en combinaciones de diferentes alimentos. Álgebra Graficar las soluciones a una desigualdad lineal en dos variables como un semiplano (excluyendo el límite en el caso de una desigualdad estricta), y graficar el conjunto de soluciones de un sistema de desigualdades lineales en dos variables como la intersección de los semiplanos correspondientes.
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ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA MONITOREAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA La guía de instrucción andamiada se proporciona para que los maestros puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones del alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que ayuda a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de la evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos según los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere que todos los estudiantes experimenten con los elementos: «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades», ya que cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar. 0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
80 % - 100 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil pueden trabajar en contenido de nivel de grado con apoyos de instrucción.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» individual para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 2. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante de acuerdo con sus datos de evaluación. 3. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la sección «Scaffolded Instruction Guide» en el menú desplegable «Home» del alcance. 4. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Constructor de fluidez • ¡Arregla el error! Práctica interactiva • Misión del droide Prueba de habilidades
Alg.I - Desigualdades lineales Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (Pregunta 3, 4) • Repaso (Escribir desigualdades lineales desde una sección de descripción verbal) • Revisión general (4, 5, 7, 8, 9)
(Nivel de grado con apoyos)
Repaso y práctica de habilidades
0 % - 25 %
8 - Resolución de pares de ecuaciones lineales
(Refuerzo del grado anterior)
Graficar las soluciones a una desigualdad lineal en dos variables como un semiplano (excluyendo el límite en el caso de una desigualdad estricta), y graficar el conjunto de soluciones de un sistema de desigualdades lineales en dos variables como la intersección de los semiplanos correspondientes.
25 % - 50 %
(Refuerzo del grado anterior) (Nivel de grado con apoyos)
25 % - 50 %
0 % - 25 %
Representar restricciones mediante ecuaciones o desigualdades, y mediante sistemas de ecuaciones y/o desigualdades, e interpretar las soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelización. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de coste en combinaciones de diferentes alimentos.
8 - Resolución de pares de ecuaciones lineales Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • ¡Arregla el error! Práctica interactiva • Misión del droide Prueba de habilidades
Alg.I - Desigualdades lineales Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (Pregunta 5) • Repaso (Sección de graficar desigualdades lineales) • Revisión general (Preguntas 1, 6, 10)
Alg.I - Desigualdades lineales
Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva Constructor de fluidez
50 % - 80 %
(Nivel de grado)
50 % - 80 %
Alg.I - Desigualdades lineales
(Nivel de grado)
Vocabulario ilustrado
• ¡Bum!
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(Ampliación del nivel de grado)
Tablero de opciones
Práctica interactiva • El Cryptex Constructor de fluidez Ciencia de datos
80 % - 100 %
80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
¿Qué preferirías?
Libreta interactiva
• ¡Bum!
Ciencia de datos
Alg.I - Desigualdades lineales
Vocabulario interactivo
Alg.I - Desigualdades lineales ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES
ATRAER: ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS EVALUAR PREVIAMENTE EL CONOCIMIENTO DEL ESTUDIANTE
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: CUATRO ESQUINAS ESTÁNDAR PREVIO
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE APOYO
Usar variables para representar cantidades en un problema matemático o del mundo real, y construir ecuaciones y desigualdades simples para resolver problemas razonando sobre las cantidades.
1. Pida a los estudiantes que miren las cuatro esquinas y piensen qué imagen de esquina explica mejor las desigualdades lineales. 2. Conceda 2 minutos de tiempo para pensar. 3. Pida a los estudiantes que pasen a la imagen de la esquina que eligieron. Pida a los estudiantes de cada grupo que conversen sobre por qué eligieron esa imagen.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes hablarán con sus compañeros de clase sobre su comprensión del estándar previo a través de una conversación sobre el documento «Cuatro esquinas». Este elemento está diseñado para descubrir los conceptos erróneos de los estudiantes; no debe tomarse para una calificación.
4. Conceda de 2 a 5 minutos de conversación en las imágenes de las esquinas. Después de que los estudiantes hayan conversado sobre por qué eligieron sus respuestas, hable sobre las respuestas con la clase y permita que los estudiantes expliquen sus representaciones del problema.
MATERIALES IMPRESO
5. Si los estudiantes tienen dificultades para completar esta tarea, realice el elemento «Constructor de bases fundamentales» para reforzar conocimientos previos antes de pasar a otras partes del alcance.
• 1 diapositivas «Cuatro esquinas» (por clase)
PREPARACIÓN
• Imprima el documento de las diapositivas «Cuatro esquinas».
IDENTIFICACIÓN DE CONCEPTOS ERRÓNEOS
• La diapositiva 4 representa una desigualdad/solución correcta.
• Cuelgue las diapositivas en cuatro zonas distintas del aula, fácilmente visibles para todos.
Linear Inequalities
• Los estudiantes pueden tener dificultades para recordar que cuando se usa «menor o igual que» o «mayor o igual que», la solución debe incluirse en el conjunto.
Linear Inequalities
Linear Inequalities
Linear Inequalities
Four Corners – Slide 1
Four Corners – Slide 2
Four Corners – Slide 3
Four Corners – Slide 4
A local bakery has a daily operating cost of $1,500, plus a cost of $10 per cake that they make. If a cake sells for $25, determine the minimum number of cakes, c, that the bakery must sell each day to earn a profit.
The inequality x > −14 includes −14 in the solution set.
At gym A, there is a startup fee of $18, and each month costs $25. At gym B, the startup fee is $3, but each month after is $30. The inequality 18 + 25x ≤ 3 + 30x can be used to find after how many months gym A would be more expensive.
The statement, “The value of x is at least −8,” can be written as x ≥ −8.
Inequality: 1,500 + 10c > 25c
1
2
3
4
CUATRO ESQUINAS
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ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES
ATRAER: CAPTAR INTERÉS Linear Inequalities
LECCIÓN MOTIVADORA
CAPTAR INTERÉS DESCRIPCIÓN Los estudiantes relacionarán las desigualdades lineales con una situación del mundo real.
MATERIALES IMPRESO
• 1 desigualdades lineales (por clase) REUTILIZABLE
• 1 video del fenómeno (por clase)
PREPARACIÓN
• Planifique mostrar el fenómeno. • Prepárese para proyectar el documento «Desigualdades lineales» para que toda la clase las vea. • Prepárese para presentar el escenario y para alentar a los estudiantes a pensar en cómo resolverlo. Prepárese para pasar a las actividades de la sección «Explorar», regresando a la actividad «Captar interés» con los nuevos conocimientos adquiridos una vez que se hayan completado las «Exploraciones».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA
1. Presente esta actividad hacia el principio del alcance. La clase retomará la actividad y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades correspondientes de la sección «Explorar». 2. Explique la situación mientras muestra el video detrás de usted. «Una sala de conciertos vende dos tipos de entradas. Hay entradas de pista por $25 y entradas de balcón por $15. La sala quiere ganar al menos $18,000 por cada concierto que celebre». 3. Formule a los estudiantes las siguientes preguntas: «¿Qué observas? ¿Qué te preguntas? ¿Dónde puedes ver matemáticas en este escenario?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. Las respuestas pueden variar. Noto que los asientos de pista cuestan más dinero. Me pregunto cuántas personas caben en la sala. Me pregunto si hay VIP adicionales o paquetes de artículos promocionales que la sala use para ganar más dinero. Me pregunto si hay más asientos en la zona de pista o en el balcón. 4. Proyecte el documento «Desigualdades lineales».
DESIGUALDADES LINEALES 5. Explique que la sala de conciertos quiere saber cuántas entradas de cada tipo podría vender para alcanzar su objetivo de ingresos. Converse sobre las siguientes preguntas con la clase: a.
DOK-1 «¿Por qué tiene sombreado este gráfico? ¿Dónde más has visto sombreado en matemáticas?». Permita que los estudiantes compartan sus ideas. Las respuestas pueden variar. Sombreamos rectas numéricas para desigualdades de una sola variable. La sala quiere ganar por lo menos $18,000, así que podría ganar exactamente $18,000 o más y aún así cumplir con su meta de ingresos.
b.
DOK-1 «¿Puedes decir qué representan los valores en cada eje?». Permita que los estudiantes compartan todas las ideas. Las respuestas pueden variar. El eje x es el número de entradas de pista vendidas, y el eje y es el número de entradas de balcón vendidas.
6. Explique que a lo largo del alcance harán conexiones entre ecuaciones lineales y resolución de desigualdades con una variable con el tema actual de desigualdades lineales. 7. Complete las actividades de la sección «Explorar». PARTE II: DESPUÉS DE EXPLORAR 1. Vuelva a mostrar el video del fenómeno y replantee el problema. 2. Refiérase al documento «Desigualdades lineales» y converse sobre las siguientes preguntas: a.
DOK-1 «¿Tiene más sentido esta gráfica después de las “Exploraciones”?». Sí, la gráfica es de una desigualdad lineal, y la línea sólida y cualquier parte de la gráfica que esté sombreada son las soluciones.
b.
DOK-1 «¿Qué estrategias usarías para crear una desigualdad que coincida con esta gráfica?». Determinaría la ecuación de la línea de límite y luego probaría el punto (0, 0) para asegurarme de que el símbolo de desigualdad se colocó de modo que (0, 0) no sea una solución.
c.
DOK-1 «¿Es más fácil crear una desigualdad lineal en forma de intersección de pendiente o en forma estándar?». Forma estándar porque tenemos una cantidad dada que estamos tratando de alcanzar en $18,000.
d.
DOK-1 «¿Sientes que tienes una sólida comprensión de las desigualdades lineales?». Las respuestas pueden variar según el éxito de los estudiantes durante la actividad y su nivel de confianza.
3. Si el tiempo lo permite, desafíe a los estudiantes a crear un escenario que pueda describirse usando una gráfica, una tabla o una descripción verbal; luego, pídales que escriban una desigualdad lineal a partir de su gráfica, tabla o descripción verbal. 328
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ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 1: SOLUCIONES DE DESIGUALDADES LINEALES DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizarán la sustitución para determinar si un par ordenado es una solución. Los estudiantes modelarán estos pares ordenados en una cuadrícula de coordenadas y formalizarán el significado del semiplano sombreado.
ESTÁNDARES DE LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes verán relaciones entre diversas representaciones. Los estudiantes relacionarán situaciones actuales con conceptos o habilidades aprendidas previamente y conectarán ideas matemáticas entre sí. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes representarán las matemáticas para describir una situación, ya sea con una ecuación o un diagrama, e interpretarán los resultados de una situación matemática. • MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas: Los estudiantes utilizarán modelos matemáticos para visualizar y analizar información. Los estudiantes utilizarán herramientas tecnológicas para profundizar en la comprensión de las matemáticas. Los estudiantes utilizarán la estimación y otros conocimientos matemáticos para detectar posibles errores.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 cuadrícula de datos de la clase (por clase) • 1 boleto de salida (por estudiante) REUTILIZABLE
• 1 marcador (por grupo) • 1 proyector o cámara de documentos (por clase)
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Jahzara va a empezar pronto las clases de conducir y esto le ha hecho pensar en ahorrar dinero para comprarse un coche. Empezó a hacer joyas hace unos años, cuando no encontraba el diseño de color adecuado para combinar con su ropa favorita. Ha decidido convertir esta afición en un negocio y hacer joyas para venderlas en el mercado local cada semana este verano. Por supuesto, hay costes iniciales, y Jahzara tiene $500 para empezar este negocio. Los materiales de cada pulsera cuestan $2 y los de cada collar $3. Jahzara planea vender cada pulsera a $8 y cada collar a $15. Está segura de que venderá todas sus creaciones porque la comunidad necesita joyas únicas. ¿Cuántas joyas de cada tipo debería hacer? ¿Qué recomendaciones le darías a Jahzara y qué argumento basado en las matemáticas utilizarías para convencerla de que tu recomendación es razonable?». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para generar un argumento basado en las matemáticas para hacer una recomendación a Jahzara y registrar su trabajo en sus «Diarios del estudiante». Continúe explicando que, a medida que los estudiantes trabajen, les pedirá que coloquen algunos datos en la «Cuadrícula de datos de la clase» que se encuentra en la pizarra. 4. Absténgase de dar reglas como «sombrear debajo de la línea para menos que». Anímelos a utilizar puntos de prueba. Permita que los estudiantes desarrollen esta regla por su cuenta si pueden explicar por qué funciona y en qué situaciones no funcionará (cuando el coeficiente de y es negativo).
CONSUMIBLE
• 1 hoja de papel cuadriculado para gráficos (por clase, opcional)
PREPARACIÓN
• Separe a la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes. • Imprima los documentos «Diario del estudiante» y «Boleto de salida» para cada estudiante. • Imprima un documento «Cuadrícula de datos de la clase» para la clase. • Prepárese para proyectar el documento «Cuadrícula de datos de la clase» sobre una superficie en la que los estudiantes puedan escribir. Si proyectar la cuadrícula no es una opción, puede crear una cuadrícula en una hoja de papel cuadriculado.
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ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Linear Inequalities Explore 1
5. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice la siguiente actividad y las preguntas guía para evaluar su comprensión: a.
b.
c.
d.
Mientras se desplaza por el aula, busque a los estudiantes que hayan terminado la pregunta 4 en sus «Diarios del estudiante». Invite a los estudiantes a colocar al menos una ✗ y un ● en la «Cuadrícula de datos de la clase». Entregue el marcador al estudiante cuando lo invite a colocar sus datos en la «Cuadrícula de datos de la clase». DOK-2 «¿Cómo sabes si un par ordenado representa un escenario que está por encima del presupuesto, por debajo del presupuesto o cumple con el presupuesto?». Tienes que usar el valor x para hacer los cálculos para los materiales de la pulsera y el valor y para hacer los cálculos para los materiales del collar. Luego, debes sumarlos para ver si es mayor, menor o igual a $500. DOK-1 «¿Cómo decidiste qué símbolo de desigualdad usar para representar los costos iniciales de Jahzara?». Cuando hay un presupuesto, tenemos que permanecer por debajo o igual a ese valor, así que sabía que la desigualdad debía abrirse hacia el número que representa el presupuesto. DOK-2 «Si trazamos un punto en el plano de coordenadas, ¿cómo podemos saber si es o no una solución?». Parece que están agrupados. Si elijo un punto al azar y está cerca de una ✗, probablemente también sea un punto que represente un escenario en el que sería demasiado para los costes de puesta en marcha de Jahzara. Del mismo modo, si elijo un punto al azar y está cerca de un ●, probablemente también sea un punto que represente un escenario en el que sería justo o no demasiado para su presupuesto.
e.
DOK-2 «¿Qué representan los dos conjuntos de puntos; ✗ frente a ●?». Las ✗ representan nosoluciones, y los ● representan soluciones.
f.
DOK-2 «¿Cómo podemos graficar una ecuación en forma estándar?». Encuentra las x-intersecciones y las y-intersecciones, y conéctalas. La línea de límite debe pasar por todos los puntos que sean exactamente iguales a $500.
g.
DOK-2 «¿Cómo podemos saber dónde comienza la región solución y dónde termina la región no solución?». Hay un límite, como cuando resolvimos desigualdades de una variable. En las desigualdades de una variable, es el número representado por la ecuación relacionada. En las desigualdades lineales, es la recta representada por la ecuación relacionada.
h.
DOK-3 «En la pregunta 7, dice que sombreemos el semiplano. ¿Qué es un semiplano?». El semiplano es cuando una recta separa la cuadrícula de coordenadas en dos regiones. Cada región es un semiplano.
i.
DOK-3 «¿En qué se parece sombrear un semiplano a sombrear una recta numérica cuando se resuelven desigualdades de una variable?». Al resolver desigualdades, las soluciones se sombrean. Los números y pares ordenados que están sombreados son soluciones de la desigualdad.
6. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar las preguntas 1-11 en sus «Diarios del estudiante».
330
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Jewelry-Making Start-Up Costs Use the information listed below to determine if each ordered pair represents a scenario that is over budget, under budget, or meets budget for the amount of money Jahzara has available for her start-up costs. Let x represent the number of bracelets and y represent the number of necklaces. ● ● ●
Jahzara has $500 to spend on start-up costs. Materials for each bracelet cost $2. Materials for each necklace cost $3.
1.
Calculate the cost of supplies for each given situation. Determine if the costs of supplies are over budget, under budget, or meet the budget. Then, select 5 different ordered pairs and complete the same calculations. Answers will vary for ordered pairs of choice. A graph of solutions is provided in the teacher instructions. Equations and Calculations
Over Budget
Under Budget
Meets Budget
(20, 10)
20(2) + 10(3) = 70
❏
❏
❏
(120, 60)
120(2) + 60(3) = 420
❏
❏
❏
(220, 20)
220(2) + 20(3) = 500
❏
❏
❏
(30, 160)
30(2) + 160(3) = 540
❏
❏
❏
(40, 140)
40(2) + 140(3) = 500
❏
❏
❏
(200, 40)
200(2) + 40(3) = 520
❏
❏
❏
❏
❏
❏
❏
❏
❏
❏
❏
❏
❏
❏
❏
❏
❏
❏ 1
Linear Inequalities Explore 1
8.
Why do you think this coordinate axis only shows positive x and y values? Since the variables represent the number of bracelets and the number of necklaces, it wouldn’t make sense to consider buying a negative number of something.
9.
Fill in the boxes to describe the constraints you identified using inequalities. x≥
0
y≥
0
10.
What does the ordered pair (100, 50) mean in this situation? This means she buys enough supplies for 100 bracelets and 50 necklaces. It will cost $350 in start-up costs for 100 bracelets and 50 necklaces. This is less than her budget of $500.
11.
What does the ordered pair (200, 100) mean in this situation? This means she buys enough supplies for 200 bracelets and 100 necklaces. It will cost $700 in start-up costs for 200 bracelets and 100 necklaces. This is more than her budget of $500.
3
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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1/9/26 1:32 PM
ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Linear Inequalities Explore 1
2.
Write an inequality to represent the start-up costs. Let x represent the number of bracelets and y represent the number of necklaces. 2x + 3y ≤ 500
3.
Write a related equation to represent the start-up costs if Jahzara spends exactly $500. Let x represent the number of bracelets and y represent the number of necklaces. 2x + 3y = 500
4.
Plot the ordered pairs from the previous page on the coordinate axis provided. ● Use an ✗ to identify ordered pairs that are over budget. ● Use a ● to identify ordered pairs that are under budget or meet the budget.
5.
Graph the related equation from question 3.
6.
What do you notice about the ✗s and ●s? The ✗s are on one side of the line, and the ●s are on the other side or exactly on the line.
7.
On the coordinate axis, shade the half-plane that contains all of the points that make your inequality true.
7. El siguiente gráfico muestra el conjunto de soluciones para el número de pulseras y collares que Jahzara puede crear basándose en sus costes iniciales.
8. Después de completar la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje hasta el momento. Los estudiantes no deben completar las preguntas de reflexión hasta después de la charla de matemáticas. 2
Linear Inequalities Explore 1
Reflect 1.
Give three ordered pairs that are solutions. Are these in the shaded or unshaded half-plane? Ordered pairs will vary. (100, 100), (10, 10), and (60, 110) are all in the shaded half-plane.
2.
What do you know about all of the coordinates in the shaded half-plane? Everything in the shaded half-plane is a solution and will make the inequality true if we substitute their values for the proper variables. The ordered pair (54.2, 11.9) is in the shaded half-plane. Is this a reasonable solution? Why or why not? This is not a reasonable solution because it doesn’t make sense to buy supplies for a partial bracelet or necklace. That would be wasteful.
4.
What do you know about all of the coordinates in the unshaded half-plane? Everything in the unshaded half-plane is not a solution and will make the inequality false if we substitute their values for the proper variables.
5.
Jahzara is selling the necklaces for $15 each and the bracelets for $8 each. How many bracelets and necklaces should she make? Her dad suggested the same number of each, maybe 100 and 100. Her aunt suggested making more necklaces because she is charging more for those. Jahzara was thinking she should make more bracelets because they take less time to make.
I would recommend making more necklaces because it doesn’t cost much more for the supplies, but she makes a lot more money when selling them. I would suggest buying supplies to make 40 bracelets and 140 necklaces. It would cost $500 to buy the supplies, but when she sells them, she will make $2,420. Compare that to the following example, where making more bracelets makes less money when she sells them. If she makes 190 bracelets and 40 necklaces, it would cost $500 to buy the supplies, but when she sells them, she will make $2,120. If the goal is to make money, I recommend making more necklaces than bracelets.
4
SS NA-Math TE A1-V1.indb 331
• DOK-2 «Una vez que supiste dónde estaba la línea de límite, ¿cómo decidiste qué lado de la recta representaba la región solución?». Esta situación era sobre el presupuesto de Jahzara, así que tenían que ser los valores que cumplieran el presupuesto o estuvieran por debajo del presupuesto.
• DOK-2 «¿Qué significa la intersección vertical del gráfico?». El número de collares para los que puede comprar material si no compra material para las pulseras.
How many bracelets and necklaces would you recommend Jahzara make? Support your answer with a math-based argument. Answers will vary. All acceptable answers will have a math-based argument.
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• DOK-3 «Al resolver desigualdades de una variable, usamos una ecuación relacionada para encontrar el punto límite. ¿Qué crees que representa la ecuación relacionada de una desigualdad de dos variables?». La ecuación relacionada se usa para encontrar el límite, pero para las desigualdades lineales, el límite es una recta, mientras que para las desigualdades de una variable, el límite es un punto/número.
• DOK-2 «En esta situación, ¿qué significa un punto sobre la recta?». Una combinación de pulseras y collares para los que Jahzara podría tener materiales si gastara todo su presupuesto.
3.
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Qué nos dice la intersección horizontal del gráfico?». El número de pulseras para las que puede comprar material si no compra material para collares. • DOK-3 «Tanto (10, 160) como (235, 10) están en la región solución. Ambos puntos significan un total de $500 gastados en materiales. ¿Hay alguna diferencia en la opción elegida?». No hay diferencia en cuanto al total gastado en costes de puesta en marcha. Podría haber diferencia en términos de cuánto gana cuando las vende o cuánto tiempo le lleva hacerlas. • DOK-3 «Todos los puntos de la región sombreada representan números de pulseras y collares que están dentro del presupuesto de Jahzara. ¿Son todas estas opciones igual de buenas y deseables?». Probablemente no; por ejemplo, pares como (7, 4) y (5, 2) probablemente no sean deseables porque significan menos producto que vender y, por tanto, menos dinero que ganar. El punto (0, 0) también está en la región de la solución, pero no comprar materiales probablemente no sea deseable porque no ayudaría a Jahzara a alcanzar sus objetivos monetarios.
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ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Linear Inequalities Explore 1
9. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para completar las preguntas de reflexión y hacer una recomendación basada en las matemáticas para Jahzara. 10. Señale a la clase que al hacer una recomendación basada en las matemáticas, deben usar las matemáticas para respaldar su sugerencia.
Solutions of Linear Inequalities Exit Ticket Jennifer wants to make earrings and wallets for her family for the holidays. She has a budget of $40. The following graph represents the number of earrings and wallets she can afford to make.
11. Luego, los estudiantes trabajarán juntos para completar las preguntas de reflexión y registrar su trabajo en sus «Diarios del estudiante». 12. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar su comprensión: a.
DOK-2 «¿Cómo supiste que tus pares ordenados eran soluciones?». Las soluciones a esta situación son los valores que son justos o no demasiado. Usamos ● para representar esos puntos. Estos son pares ordenados del semiplano sombreado.
b.
DOK-2 «¿Cómo supiste que tus pares ordenados no eran soluciones?». Los pares ordenados que no eran soluciones de esta situación eran los valores que eran demasiado. Usamos ✗ para representar esos puntos. Eran pares ordenados del semiplano no sombreado.
c.
DOK-3 «¿Cómo supiste qué matemáticas usar para apoyar tu recomendación?». Las respuestas pueden variar según la recomendación y las matemáticas usadas.
13. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar las preguntas de reflexión. 14. Después de las preguntas de reflexión, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje.
1.
Give 3 examples of numbers of wallets and earrings that are possible for Jennifer to make. Then, write your values as ordered pairs. Answers will vary. Any integer pair in the shaded region or on the boundary line is a correct answer.
2.
Give 3 examples of ordered pairs that are not solutions. Explain one of the ordered pairs in the context of Jennifer’s crafts. Answers will vary. Any ordered pair not in the shaded region is a correct answer. For example, Jennifer does not have the budget to make 9 earrings and 6 wallets. Jennifer is making gifts for 12 relatives. 2 gifts will be wallets, and the other gifts will be earrings. Does this work for her budget? Explain how much it would cost her. She does have enough money. The ordered pair (10, 2) is on the boundary line and would cost her $40 exactly.
3.
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-2 «Al resolver desigualdades de una variable, la recta numérica se sombrea para mostrar una representación gráfica del conjunto de soluciones. ¿En qué se parece esto a sombrear el semiplano cuando se resuelven desigualdades lineales?». Al resolver desigualdades, se sombrean las soluciones. Los números y pares ordenados que aparecen sombreados son soluciones de la desigualdad. Esto es cierto tanto para las desigualdades lineales como para las de una variable. • DOK-2 «¿Es más fácil determinar si un par ordenado es la solución de una desigualdad lineal cuando te dan una gráfica o cuando te dan una situación descrita con palabras? ¿Por qué?». Es más fácil determinar soluciones dada una gráfica porque es más rápido encontrar un par de coordenadas que calcular la multiplicación u otras operaciones. • DOK-2 «Al resolver desigualdades de una variable, usamos una ecuación relacionada para encontrar el punto límite. ¿Qué crees que representa la ecuación relacionada de una desigualdad de dos variables?». Representa el límite. En este caso, el límite es una recta, no un punto. • DOK-1 «¿Cómo sabemos dónde estaría la línea de límite para cualquier gráfica de una desigualdad lineal?». Es la gráfica de una ecuación relacionada. • DOK-1 «En general, para cualquier desigualdad lineal, ¿cómo podríamos averiguar qué lado de la línea de límite contiene las soluciones?». Podríamos probar uno o más pares de valores en cada lado y ver si, cuando se sustituyen por las variables, hacen que la desigualdad sea verdadera. 15. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
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ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Linear Inequalities Part 1
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
Solutions of Linear Inequalities Carolyn is planning a bake sale to raise money for an upcoming trip for her daughter’s class. The trip will cost $600. They will be selling cookies, which will be $2 each, and cake pops, which will be $4 each. 1.
Determine whether each ordered pair represents a scenario that will meet the fundraising goal. Then, select 5 more pairs (different than the given ones), and indicate if they will raise enough money to fund the class trip. Ordered Pair
Workspace
Solution
Nonsolution
(150, 100)
150(2) + 100(4) = 700
▢
▢
(75, 50)
75(2) + 50(4) = 350
▢
▢
(100, 100)
100(2) + 100(4) = 600
▢
▢
(50, 75)
50(2) + 75(4) = 400
▢
▢
(150, 150)
150(2) + 150(4) = 900
▢
▢
(150, 75)
150(2) + 75(4) = 600
▢
▢
▢
▢
▢
▢
▢
▢
▢
▢
▢
▢
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. A los estudiantes se les puede dificultar determinar si deben sombrear ciertas partes de la gráfica. Anímelos a usar puntos de prueba para verificar si las áreas deben sombrearse. 2. Los estudiantes pueden olvidar usar líneas discontinuas para representar > o <. Recuérdeles que, al graficar > o < en una recta numérica, se utilizan círculos abiertos. La línea discontinua es análoga al círculo abierto. 3. A los estudiantes se les puede dificultar conectar las gráficas con su contexto. Anímelos a etiquetar sus ejes y a definir sus variables.
Answers will vary for ordered pairs. A graph of solutions is provided in question 4.
1
Linear Inequalities Part 1
2.
Write an inequality to represent the money the bake sale will raise. Let x represent the number of cookies sold, and let y represent the number of cake pops sold. 2x + 4y ≥ 600
3.
Write a related equation to represent the bake sale proceeds if it makes exactly $600. Let x represent the number of cookies sold, and let y represent the number of cake pops sold. 2x + 4y = 600
4.
Plot the data on the coordinate grid provided. ● Use an ✗ to identify ordered pairs that do not meet the fundraising goal. ● Use a ● to identify ordered pairs that are just right or exceed the fundraising goal. ● Graph the related equation from question 3. ● On the coordinate grid, shade the part of the plane that contains all of the points that make your inequality true.
5.
William wants to go to the fair and has $20 to spend. The thrill rides cost $5 each, and the smaller rides cost $2. This scenario can be modeled by the inequality 5t + 2s ≤ 20, where t represents the number of thrill rides and s represents the number of smaller rides. a.
Can William afford to ride 4 thrill rides? Explain. Yes, 4 thrill rides would cost $20. William would not be able to ride any of the smaller rides.
b.
Is the ordered pair (5, −3) a reasonable solution for this scenario? No, (5, −3) is not a reasonable solution because, while those numbers make the inequality true, William cannot ride −3 smaller rides. 2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS
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SS NA-Math TE A1-V1.indb 333
1. Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» junto con toda la clase. Una vez creado, pida a cada estudiante que complete su «Libreta interactiva».
4. A los estudiantes se les puede dificultar comprender que existen infinitas soluciones para la gráfica de una desigualdad porque hay infinitos puntos incluidos en el conjunto de soluciones. Sin embargo, en muchas situaciones del mundo real, las soluciones son finitas debido a limitaciones materiales. Por ejemplo, si x o y es un número entero positivo menor que cierta cantidad, eso hace que el número de soluciones posibles sea finito. Repase con los estudiantes que necesitan verificar cualquier solución que obtengan dentro del contexto.
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Exploración». Revise las estrategias que aparecen a continuación para conocer maneras de apoyar el desarrollo del lenguaje de los estudiantes. A medida que los estudiantes escuchan activamente e interactúan durante la instrucción, adquirirán estructuras del lenguaje, expresiones y vocabulario básico y académico. Principiante: Como actividad previa a la lección, lea en voz alta un artículo sobre cómo iniciar un negocio mientras los estudiantes leen junto con usted. Anímelos a resaltar cualquier palabra que no conozcan. Converse sobre las palabras desconocidas con toda la clase. Defina términos relacionados con los negocios que los estudiantes encontrarán en la «Exploración», tales como costo inicial, presupuesto y suministro. Intermedio: Como actividad previa a la lección, lea en voz alta un artículo sobre cómo iniciar un negocio mientras los estudiantes leen junto con usted. Anímelos a resaltar cualquier palabra que no conozcan. Converse sobre las palabras desconocidas con toda la clase. Defina términos relacionados con los negocios que los estudiantes encontrarán en la «Exploración», tales como costo inicial, presupuesto y suministro. Avanzado: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que tomen turnos para leer en voz alta un artículo sobre cómo iniciar un negocio. Anímelos a resaltar cualquier palabra que no conozcan. Converse sobre las palabras desconocidas con toda la clase. Defina términos relacionados con los negocios que los estudiantes encontrarán en la «Exploración», tales como costo inicial, presupuesto y suministro.
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1/9/26 1:32 PM
ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 2: GRAFICAR DESIGUALDADES LINEALES
Linear Inequalities Explore 2
Jewelry Time Use the given information to help Jahzara interpret the meaning of the inequality. ● ● ● 1.
Complete the table to explain the meanings of the terms and inequality symbol. 15x + 40y ≤ 4,320 15x
DESCRIPCIÓN Los estudiantes usarán una desigualdad lineal para graficar e interpretar soluciones en contexto. Los estudiantes compararán desigualdades escritas de diferentes maneras.
Inequality from the app: 15x + 40y ≤ 4,320 Let x represent the number of bracelets made. Let y represent the number of necklaces made.
Meaning
2.
40y
This represents the unit This represents the unit rate for making rate for making bracelets. This means necklaces. This means Jahzara can make 1 Jahzara can make 1 bracelet in 15 minutes. necklace in 40 minutes.
≤
4,320
This means the time spent making jewelry has to be less than or equal to the available time.
This is the maximum number of minutes Jahzara can spend making jewelry over the next 9 weeks.
Justify, using unit analysis, why 8 hours a week for 9 weeks is represented by 4,320. 9 weeks · 8 hours/week = 72 hours 72 hours · 60 minutes/hour = 4,320 minutes
ESTÁNDARES DE LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes verán relaciones entre diversas representaciones. Los estudiantes relacionarán situaciones actuales con conceptos o habilidades aprendidas previamente y conectarán ideas matemáticas entre sí.
1
Linear Inequalities Explore 2
3.
Explain how the app’s inequality, 15x + 40y ≤ 4,320, differs from the related equation 15x + 40y = 4,320. The inequality represents all of the values of bracelets and necklaces that will take up to 4,320 minutes to make, while the equation only includes the combinations that will take Jahzara exactly 4,320 minutes.
4.
Jahzara’s aunt ran the same data in a computer program she uses for work and was given a different inequality.
• MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes representarán las matemáticas para describir una situación, ya sea con una ecuación o un diagrama, e interpretarán los resultados de una situación matemática. • MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas: Los estudiantes utilizarán modelos matemáticos para visualizar y analizar información. Los estudiantes utilizarán herramientas tecnológicas para profundizar en la comprensión de las matemáticas. Los estudiantes utilizarán la estimación y otros conocimientos matemáticos para detectar posibles errores.
MATERIALES IMPRESO
Jahzara’s Inequality
Aunt’s Inequality
15x + 40y ≤ 4,320
8y ≤ 864 – 3x
a.
Are the inequalities equivalent? Why or why not? Yes, they are equivalent. I know they are equivalent because if I start with Jahzara’s inequality and subtract 15x from both sides and then divide everything by 5, I get her aunt’s inequality.
b.
Do the inequalities have the same solution set? Why or why not? They have the same solution set because they are equivalent inequalities. If they were both graphed, it would be exactly the same graph with the same solution set.
5.
Give an example of an ordered pair that contains integers and satisfies the inequality but is not a reasonable solution. Answers will vary. Any ordered pair with at least one negative number would be considered correct. (−2, 8)
6.
What additional constraints are needed so that the region containing the solutions only contains reasonable solutions? Explain your reasoning. The additional constraints would be x ≥ 0 and y ≥ 0. These are the correct constraints because negative numbers don’t make sense for number of bracelets and necklaces made. 2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Separe a la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes. • Imprima los documentos «Diario del estudiante» y «Boleto de salida» para cada estudiante.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Jahzara ha estado considerando los costes de puesta en marcha de su negocio de joyería, pero se da cuenta de que también tiene una cantidad limitada de tiempo para hacer las joyas. Jahzara utiliza una aplicación en su teléfono para gestionar su agenda. Introduce datos sobre el tiempo que tarda en hacer una pulsera y un collar. Su aplicación le da una desigualdad para representar todo el tiempo disponible que tiene durante las próximas 9 semanas para hacer joyas. Ayuda a Jahzara a averiguar qué significa esta desigualdad y a determinar las cantidades razonables de tiempo que puede dedicar a hacer cada tipo de joya».
3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para ayudar a Jahzara a interpretar la desigualdad de la aplicación, ayudarla a interpretar las soluciones en contexto y registrar sus trabajos en sus «Diarios del estudiante». 4. Absténgase de dar reglas como «sombrear debajo de la línea para menos que». Anímelos a utilizar puntos de prueba. Permita que los estudiantes desarrollen esta regla por su cuenta si pueden explicar por qué funciona y en qué situaciones no funcionará (cuando el coeficiente de y es negativo).
2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno.
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ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES Linear Inequalities Explore 2
7.
Graph the related equation from question 3.
8.
On the grid, shade the half-plane that contains all of the points that make your inequality true.
9.
Would the point (40, 93) be a reasonable test point to determine where to shade? Why or why not? This is an ordered pair on the boundary line. If an ordered pair is on the line, it will not be able to help us determine which side of the boundary contains the solutions. To determine which side, we would need to use a point in the half-plane that is not on the boundary line.
e. DOK-3 «¿Cómo sabes si los números negativos y/o los decimales son soluciones razonables?». Esto debe analizarse en función de la situación. Algunas situaciones tendrán sentido con números negativos, mientras que otras no. Lo mismo ocurre con los decimales. Por ejemplo, los decimales tienen sentido cuando se habla del tiempo o de la distancia, pero no lo tienen cuando se habla de la venta de entradas o de las joyas fabricadas.
3
Linear Inequalities Explore 2
Reflect 1.
Both (8, 105) and (280, 3) are in the solution region. Both points mean a total of 4,320 minutes were spent on making jewelry. Does it make a difference which option is chosen? Why or why not? Answers will vary. As long as the student provides justification, they could determine that there is or is not a difference. It makes a difference which option is chosen because the start-up costs for necklaces are much higher than the start-up costs for bracelets.
2.
All of the points in the shaded region represent numbers of bracelets and necklaces that are within Jahzara's budget. Are all of these options equally good and desirable? Give an example to support your position, and explain. Answers will vary. They are not all equally good and desirable. Jahzara is trying to make money, so an ordered pair like (4, 9) would not be as good as (55, 80) because making only 13 pieces of jewelry would not yield much money after she sells them.
3.
How many of each type should Jahzara make? What recommendations would you give to Jahzara, and what math-based argument would you use to convince her that your recommendation is reasonable? Answers will vary. All acceptable answers will have a math-based argument. Answers do not need to include all restrictions, but they may be used as part of the math-based argument. I would recommend making more necklaces because it doesn’t cost much more for the supplies, but she makes a lot more money when selling them. I would suggest making 50 bracelets and 89 necklaces. This is within her budget of start-up costs, she will make decent money, and it is within her time limitations. It would take Jahzara 4,310 minutes of the available 4,320 minutes available to make 50 bracelets and 89 necklaces. The start-up costs to make 50 bracelets and 89 necklaces would be $367, but when she sells them, she will make $1,735. If the goal is to make money, I recommend making more necklaces than bracelets.
4
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
5. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar su comprensión: a. DOK-1 «¿Cómo podría utilizarse el análisis unitario para determinar el número de pulgadas en algún número de millas?». El número de millas necesitaría multiplicarse por el número de pies por 1 milla, seguido de multiplicar por el número de pulgadas por 1 pie. b. DOK-2 «¿Cómo sabes qué coeficiente representa la tasa unitaria para hacer pulseras?». La variable x representa el número de pulseras; por lo tanto, el coeficiente de x representaría la tasa unitaria para hacer pulseras. c. DOK-2 «¿Cómo sabes qué coeficiente representa la tasa unitaria para hacer collares?». La variable y representa el número de collares; por lo tanto, el coeficiente de y representaría la tasa unitaria para hacer collares. d. DOK-2 «¿Crees que sería más fácil graficar la desigualdad de Jahzara o la desigualdad de su tía? ¿Por qué?». Las respuestas pueden variar. Creo que sería más fácil graficar la desigualdad de su tía porque sólo toma un paso aislar la variable y, y luego está lista para graficarse. Cuando Las ecuaciones tienen forma de intersección de pendiente, me resulta más fácil graficarlas. ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2
6. Conceda a los estudiantes el tiempo suficiente para completar la «Exploración» y responder a las preguntas que siguen. 7. Después de completar la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta el momento. Los estudiantes aún no deben haber completado las preguntas de reflexión. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 «¿Cómo sabemos dónde estaría la línea de límite para cada gráfica?». Es la gráfica de una ecuación relacionada. • DOK-1 «Para cualquier desigualdad, ¿cómo averiguamos qué lado de la recta contiene las soluciones?». Probamos uno o más pares de valores en cada lado y vemos si, cuando se sustituyen por las variables, hacen que la desigualdad sea verdadera. • DOK-2 «Para cualquier situación, ¿cómo sabemos qué soluciones son razonables?». Una cosa que siempre hay que considerar es si los decimales tienen sentido o si la solución debería limitarse sólo a números enteros positivos o a todos los números enteros. También hay que entender la situación. Por ejemplo, en la situación de Jahzara, hacer un pequeño número de piezas de joyería encaja en el conjunto de soluciones, pero no tendría sentido porque ella está tratando de ganar dinero, y no ganaría mucho dinero sólo haciendo unas pocas piezas de joyería. 8. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para completar las preguntas de reflexión y hacer una recomendación para Jahzara. 9. A continuación, los estudiantes trabajarán juntos para completar las preguntas de reflexión, hacer una recomendación para Jahzara y registrar su trabajo en sus «Diarios del estudiante». 10. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar su comprensión: a. DOK-2 «¿Cómo decidiste qué opciones eran buenas y deseables?». Las respuestas pueden variar. Decidí qué opciones eran buenas y deseables teniendo en cuenta el dinero que ganaría vendiendo esas opciones, ya que la razón por la que está haciendo y vendiendo joyas es para ganar dinero. b. DOK-3 «¿Cómo supiste qué matemáticas utilizar para apoyar tu recomendación?». Las respuestas pueden variar según la recomendación y las matemáticas utilizadas. 335
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ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Linear Inequalities Explore 2
11. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar las preguntas de reflexión. 12. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿En qué se diferencia la resolución de una desigualdad lineal de la resolución de una ecuación lineal?». Para resolver una desigualdad lineal, necesitamos usar un punto de prueba para determinar qué semiplano contiene las soluciones y luego sombrear las soluciones. El comienzo, donde graficamos la ecuación relacionada, es exactamente el mismo que resolver una ecuación lineal. • DOK-2 «Explique por qué no se debe elegir un punto en la línea de límite como punto de prueba». Para determinar qué semiplano contiene soluciones, necesitamos probar un punto en el semiplano que no esté en la línea de límite. • DOK-2 «¿Cómo podemos crear la gráfica de una desigualdad lineal cuando está dada en una forma desconocida (2y < 5x + 8 por ejemplo)?». Tendríamos que poner la ecuación relacionada en forma estándar y usar los interceptos para graficar o poner la ecuación relacionada en forma pendiente-intercepto y usar la pendiente y y-intercepto para graficar. Para determinar dónde sombrear, podríamos sustituir los puntos en la desigualdad original o en nuestra forma equivalente.
Graphing Linear Inequalities Exit Ticket
A homeowner is interested in low-maintenance materials for her yard. She is considering artificial turf and gravel. The artificial turf is on sale for $12 per square foot, and the gravel is $4 per square foot. She has $2,000 to spend on the materials. This situation can be represented by the inequality 12x + 4y ≤ 2,000, where x represents the square feet of artificial turf, and y represents the square feet of gravel. 1.
What is the related equation, and how does it connect to the inequality’s graph? 12x + 4y = 2,000 will be the boundary line of the half-plane solution region.
2.
Graph the inequality.
3.
The point (80.5, 200.5) is a solution to the inequality. Does this solution make sense in this context? (80.5, 200.5) is a reasonable solution because it is possible to have fractions of a square foot. The area of the lawn might not be an integer number of square feet.
4.
Give an example of an ordered pair that is not a reasonable solution, and explain why it is not reasonable. Answers will vary. (0, −100) is not reasonable because you cannot purchase a negative amount of material. Other solutions might be unreasonable if they fit the budget but do not match the square footage of the yard.
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
13. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» junto con toda la clase. Una vez creado, pida a cada estudiante que complete su «Libreta interactiva».
Linear Inequalities Part 2
Graphing Linear Inequalities Sid is planning to host a picnic for his friends. He has $60 to spend. Everyone will get chips and drinks, but he wants to give them each a choice of a hamburger or a hot dog. A hamburger meal will cost $6 each, and a hot dog meal will cost $3 each. 1.
Write a related equation for the cost of the picnic. Let x represent the number of hamburger meals, and let y represent the number of hot dog meals. 6x + 3y = 60
2.
Sid is trying to determine how many people he can invite. Does it seem like inviting 25 people will be within his budget? Why or why not? No, even if everyone got the cheaper hot dog meal, represented by the ordered pair (0, 25), the cost would be $75, which is over his budget.
3.
After isolating y, which inequality represents this scenario? Why? y ≤ 60 – 6x
y ≤ 20 – 2x
The second inequality is equivalent to 6x + 3y ≤ 60. You first subtract 6x from both sides, and then you divide both sides by 3.
4.
Give an example of an ordered pair that satisfies the inequality and is a reasonable solution. Provide evidence that your ordered pair is a solution. Answers will vary. Students should provide an ordered pair of natural numbers, and they should show work substituting the values of the point into the inequality.
5.
Give an example of an ordered pair that satisfies the inequality but is not a reasonable solution. Explain your answer. Answers will vary. Any pair with a negative number will be considered correct. This is not a reasonable solution because you cannot have a negative number of meals ordered. 1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 2) CLAVE DE RESPUESTAS 336
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ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Linear Inequalities Part 2
6.
APOYOS PEDAGÓGICOS
Graph your inequality from question 1 in the grid below. Label the x-axis and y-axis, and shade the area of the grid that makes your inequality true.
1. A los estudiantes se les puede dificultar determinar si deben sombrear ciertas partes de la gráfica. Anímelos a usar puntos de prueba para verificar si las áreas deben sombrearse. 2. Los estudiantes pueden olvidar usar líneas discontinuas para representar > o <. Recuérdeles que, al graficar > o < en una recta numérica, se utilizan círculos abiertos. La línea discontinua es análoga al círculo abierto. 3. A los estudiantes se les puede dificultar conectar las gráficas con su contexto. Anímelos a etiquetar sus ejes y a definir sus variables.
7.
Sasha is babysitting to earn enough money to buy a new phone. The phone costs $500. She has 2 families she sits for. One family has 1 child, and Sasha charges $8 per hour. The second family has 4 children, and Sasha charges $13 per hour. a.
Write an inequality to represent the hours she will need to work to save up the money she needs. 8x + 13y ≥ 500
b.
Would 30 hours with the first family and 20 hours with the second family earn enough money for her? Explain. Yes, she would earn 8(30) + 13(20) = 500, which is exactly the amount she needs.
c.
On a graph of this inequality, would you shade above or below the line? Why? You would shade above the line because she needs to raise an amount more than or equal to $500.
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE 2
Linear Inequalities Part 2
8.
Examine the inequalities below. Is the point (0, 0) in the solution region? Shade the solution region for each graph.
Inequality
Is (0, 0) in the solution region?
3x + y ≥ 4
No
y < 2x + 1
Yes
x + 2y < 6
Yes
y ≥ 3x – 2
Solution Region
3
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La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Exploración». Revise las estrategias que aparecen a continuación para conocer maneras de apoyar el desarrollo del lenguaje de los estudiantes. Los estudiantes seleccionarán de manera eficaz palabras sueltas y frases cortas para expresar opiniones, ideas y sentimientos mientras participan en conversaciones académicas apropiadas para su grado. Principiante: Antes de la lección, comparta una presentación con imágenes de distintos tipos de lugares que representen diferentes industrias. Por ejemplo, un hotel para representar la industria hotelera, un centro deportivo para representar el cuidado personal o una tienda departamental para representar el comercio minorista. Pregunte a los estudiantes: «Si usted pudiera ser dueño de un negocio, ¿qué tipo de negocio sería y por qué?». Intermedio: Antes de la lección, comparta una presentación con imágenes de distintos tipos de lugares que representen diferentes industrias. Por ejemplo, un hotel para representar la industria hotelera, un centro deportivo para representar el cuidado personal o una tienda departamental para representar el comercio minorista. Pregunte a los estudiantes: «Si usted pudiera ser dueño de un negocio, ¿qué tipo de negocio sería y por qué?».
Yes
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 2) CLAVE DE RESPUESTAS
4. A los estudiantes se les puede dificultar comprender que existen infinitas soluciones para la gráfica de una desigualdad porque hay infinitos puntos incluidos en el conjunto de soluciones. Sin embargo, en muchas situaciones del mundo real, las soluciones son finitas debido a limitaciones materiales. Por ejemplo, si x o y es un número entero positivo menor que cierta cantidad, eso hace que el número de soluciones posibles sea finito. Repase con los estudiantes que necesitan verificar cualquier solución que obtengan dentro del contexto.
Avanzado: Antes de la lección, comparta una presentación con imágenes de distintos tipos de lugares que representen diferentes industrias. Por ejemplo, un hotel para representar la industria hotelera, un centro deportivo para representar el cuidado personal o una tienda departamental para representar el comercio minorista. Pregunte a los estudiantes: «Si usted pudiera ser dueño de un negocio, ¿qué tipo de negocio sería y por qué?».
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ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Linear Inequalities Explore 3
LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 3: ESCRIBIR DESIGUALDADES LINEALES
Jewelry Income Part I
Analyze the graph to explain what the computer program has calculated for Jahzara’s jewelry income goal.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizarán la gráfica de una desigualdad lineal para determinar la ecuación y la desigualdad relacionadas. Los estudiantes utilizarán las representaciones para interpretar las soluciones en contexto.
ESTÁNDARES DE LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes verán relaciones entre diversas representaciones. Los estudiantes relacionarán situaciones actuales con conceptos o habilidades aprendidas previamente y conectarán ideas matemáticas entre sí. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes representarán las matemáticas para describir una situación, ya sea con una ecuación o un diagrama, e interpretarán los resultados de una situación matemática.
1.
What do the x- and y-intercepts of the dashed line tell you within the context of this situation? Since the y-intercept is (0, 80), it means that if she sells 80 necklaces and 0 bracelets, she will almost meet her income goal. Since the x-intercept is (150, 0), it means that if she sells 150 bracelets and 0 necklaces, she will almost meet her income goal.
2.
Why do you think the boundary line on the graph is dashed and not solid? Points on the line, such as (0, 80), give Jahzara exactly $1,200, but she wants more than $1,200, so this point and others on the line are not actually solutions. 1
• MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas: Los estudiantes utilizarán modelos matemáticos para visualizar y analizar información. Los estudiantes utilizarán herramientas tecnológicas para profundizar en la comprensión de las matemáticas. Los estudiantes utilizarán la estimación y otros conocimientos matemáticos para detectar posibles errores.
MATERIALES IMPRESO
Linear Inequalities Explore 3
Work through the problems below, and make a final recommendation on the number of bracelets and necklaces Jahzara should make in order to meet her income goal. 3.
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de Salida (por estudiante)
8 15 ___ > 1,200 ___x + ___y 4.
How did you determine the coefficients to place in your equation? I used the x- and y-intercepts on the graph. For example, the y-intercept of the boundary line is (0, 80), and I could substitute that point into the related equation and solve for the coefficient in front of y.
5.
How did you decide what inequality symbol to use? We know that we want the income to be greater than $1,200, so we have to decide between > and ≥. The > symbol is correct because the income expression cannot equal $1,200; it must exceed that value.
6.
Does the ordered pair (60, 48) satisfy the inequality? The point is not a solution to the inequality because when substituted into the inequality, the statement is 1,200 > 1,200, which is false.
7.
Does the ordered pair (40.5, 70.5) satisfy the inequality? Is it a reasonable solution? Why or why not? It does satisfy the inequality because when you substitute it into the inequality, it results in 1,381.5 on the left side. 1,381.5 is larger than 1,200, but it is not reasonable because selling half of a bracelet or half of a necklace is not reasonable. When people make a purchase, they expect a complete necklace or bracelet.
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes. • Imprima los documentos «Diario del estudiante» y «Boleto de Salida» para cada estudiante.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Jahzara ha decidido utilizar un programa informático para realizar un seguimiento de sus ventas. Ha introducido la información de sus productos en el programa y éste ha generado un gráfico. Quiere utilizar el gráfico para decidir cuántos collares y pulseras fabricar. Su objetivo es obtener unos ingresos de más de $1,200. ¿Cuántas joyas de cada tipo crees que debería hacer? Ayúdala a interpretar el gráfico y dale un argumento matemático para convencerla de que tu recomendación es razonable».
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Fill in the blanks to create an inequality that represents the situation on the graph.
2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Linear Inequalities Explore 3
Part II
Jahzara looked up other jewelry sellers on her computer program to compare their income goals. 1.
Write an inequality for each of the graphs below. Each seller she researched has the same target of $1,200 that Jahzara has. Seller A
Equation: 10x + 25y ≥ 1,200 or
4. Absténgase de dar reglas como «sombrear por debajo de la línea para menos que». Anímelos a utilizar puntos de prueba. Permita que los estudiantes desarrollen esta regla por su cuenta si pueden explicar por qué funciona y en qué situaciones no funcionará (cuando el coeficiente en y es negativo).
Equation: 12x + 20y > 1,200 or
2.
Which seller has a goal of more than $1,200? How do you know? Seller B has a goal of more than $1,200, and I can tell because the boundary line of exactly $1,200 is dotted, so the points it contains are not solutions.
3.
How would you describe the income goal of the other seller? Seller A wants to make at least $1,200.
4.
Which seller charges more for a necklace? Seller A charges $25 dollars for a necklace, and seller B charges $20.
5. A medida que los estudiantes colaboran, monitoree su trabajo y use las siguientes preguntas guía para evaluar su comprensión:
3
Linear Inequalities Explore 3
Reflect 1.
How can we tell if points along the boundary line are solutions? Graphically, when the related equation is represented by a dashed line, the points on the line are not part of the solution. When the related equation is represented by a solid line, the points on the boundary line are solutions.
2.
Are all of the solutions in the shaded half-plane reasonable solutions? No, only whole numbers are reasonable solutions in this situation. Decimals and negative numbers don’t make sense to use to represent the number of bracelets and necklaces made or sold.
3.
How can the graph of an inequality be used to write an inequality and related equation? The boundary line on the graph can be used to determine the related equation and if the inequality includes the boundary line. Once the equation is determined, the shaded region or unshaded region and a test point would be used to determine the direction of the inequality. I would test a point like (0, 0) because the math with zero is simple. If it is unshaded, I would choose an inequality to make it false. If (0, 0) is shaded, I would choose an inequality to make it true.
4.
2. Entregue un «Diario del estudiante a cada estudiante». 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para interpretar el gráfico y registrar su trabajo en sus «Diarios del estudiante».
Seller B
a. DOK-1 «¿Cómo determinas si debes usar un círculo abierto o cerrado al graficar desigualdades en una recta numérica?». Las desigualdades inclusivas (mayor que o igual a o menor que o igual a) me dicen que use un círculo sólido porque el valor está incluido en el conjunto de soluciones. Las desigualdades excluyentes (mayor que o menor que) me dicen que use un círculo abierto porque el valor está excluido del conjunto de soluciones. b. DOK-2 «¿Cómo podría traducirse esto al graficar desigualdades en un plano de coordenadas?». Al graficar en un plano de coordenadas, el valor se reemplaza por una línea, de modo que la línea continua representaría las desigualdades inclusivas. Para las desigualdades exclusivas, la recta tendría que tener interrupciones. c. DOK-2 «¿Qué notas en la recta? ¿En qué se diferencia de los gráficos anteriores? ¿Qué crees que significa?». En este gráfico, la línea es discontinua, mientras que en otros gráficos era continua. Creo que esto significa que utilizaremos una desigualdad diferente. La recta está abierta como un círculo abierto, así que deberíamos usar los símbolos de desigualdad > o <. d. DOK-2 «¿Por qué los puntos de esta recta se llaman “casi suficientes”, pero en otras situaciones se llamaban “sólo suficientes”?». Los puntos de esta recta no son soluciones. Su meta es ganar más de $1,200. Los puntos en la recta representan combinaciones que ganarían un ingreso de exactamente $1,200, que es casi suficiente para alcanzar su meta.
How many of each type of jewelry should Jahzara make? What recommendations would you give to Jahzara, and what math-based argument would you use to convince her that your recommendation is reasonable? Answers will vary. All acceptable answers will need a math-based argument. Answers do not need to include all restrictions, but they may be used as part of the math-based argument.
e. DOK-2 «¿Cómo podrías usar los interceptos para determinar los coeficientes de las ecuaciones?». Sustituir los interceptos x- y y- en la ecuación Ax + By = 1,200 para determinar los coeficientes.
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DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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6. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte I y responder a las preguntas que siguen. 7. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta el momento.
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ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Linear Inequalities Explore 3
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Cómo decidiría si la línea de límite debe ser continua o discontinua?». Si la situación incluye los puntos de la línea de límite, usaría una línea continua. Si la situación no incluye los puntos de la línea de límite, utilizaría una línea discontinua.
Writing Linear Inequalities Exit Ticket The graph below shows the profit Jessica makes from selling drawings and paintings when her total profit is more than $600.
• DOK-2 «En esta situación, ¿qué significa un punto en la línea?». Significa una combinación de pulseras y collares vendidos para obtener unos ingresos de exactamente $1,200. Esto es casi suficiente para alcanzar su meta. • DOK-2 «En esta situación, ¿qué significa un punto en la región sombreada?». Significa una combinación de pulseras y collares vendidos para ganar más de $1,200. Estos son pares ordenados que representan posibles combinaciones que alcanzarían su meta. • DOK-2 «En esta situación, ¿qué significa un punto en la región no sombreada?». Significa una combinación de pulseras y collares vendidos para ganar menos de $1,200. Se trata de pares ordenados que representan posibles combinaciones que no alcanzarían su objetivo.
1.
Write an inequality to represent this situation. 3x + 6y > 600
2.
Give two ordered pairs in the shaded region. Do they make the inequality true? Are they reasonable solutions? Why or why not? Answers will vary. Any ordered pair in the shaded region is acceptable. Points on the boundary line are not in the shaded region. If the correct inequality was written in question 1, they should make the inequality true. If the values are whole numbers in the ordered pairs, then they are reasonable. If they are negative or decimals, they are not reasonable. It could also be argued that something like (1,000,000, 1,000,000) is a whole number in the shaded region, but not reasonable.
PARTE II
1. Lea la siguiente escenario a la clase: «Para poder establecer una meta de ingresos bien fundamentada, Jahzara busca los gráficos de ingresos de otros vendedores de joyas. Evaluarás dos nuevos gráficos antes de hacer una recomendación a Jahzara sobre el número de pulseras y collares que debería fabricar para cumplir su objetivo de ingresos. Asegúrate de apoyar tu recomendación con evidencia matemática de tu “Diario del estudiante”». 2. Aún deben tener sus «Diarios del estudiante». 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para escribir una desigualdad, determinar soluciones razonables, reflexionar y hacer una recomendación a Jahzara. 4. Absténgase de dar reglas como «sombrear debajo de la línea para menos que». Anímelos a utilizar puntos de prueba. Permita que los estudiantes desarrollen esta regla por su cuenta si pueden explicar por qué funciona y en qué situaciones no funcionará (cuando el coeficiente de y es negativo).
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
5. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar su comprensión: a. DOK-3 «Dado que la gráfica del vendedor A tiene una intersección x mayor que la del vendedor B, ¿significa eso que el vendedor A cobra más o menos por las pulseras?». El vendedor A cobra menos por una pulsera porque una intersección x mayor significa que este vendedor necesita vender más pulseras para llegar a $1,200. b. DOK-1 «¿Qué diferencias notas en cada gráfica?». Las gráficas tienen interceptos diferentes, y la línea de límite de una es sólida y discontinua para la otra. c. DOK-2 «¿Qué te dice la línea discontinua sobre el vendedor B?». El vendedor B quiere ganar más de $1,200, igual que Jahzara. d. DOK-2 «¿Es razonable vender la mitad de una pulsera o un collar? Explique». No es razonable porque la gente espera comprar un producto completo.
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1/9/26 1:32 PM
ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 6. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas de reflexión que siguen.
8. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
7. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
9. Regrese a «Captar interés» e instruya a los estudiantes para que usen sus habilidades recién adquiridas para completar exitosamente la actividad.
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 «Al mirar la gráfica de una desigualdad lineal, ¿cómo sabes si los puntos de la recta son soluciones?». La gráfica mostrará una línea de límite sólida si son soluciones y una línea punteada si no son soluciones. • DOK-1 «Cuando observas una desigualdad lineal algebraica, ¿cómo sabes si la gráfica debe tener una línea de límite sólida o punteada?». La gráfica tendrá una línea de límite sólida si la desigualdad tiene un símbolo de desigualdad menor o igual que (≤) o mayor o igual que (≥). La gráfica tendrá una línea de límite discontinua si la desigualdad tiene un símbolo de desigualdad menor que (<) o mayor que (>). • DOK-2 «Cuando tienes la gráfica que muestra las soluciones de una desigualdad lineal, ¿cómo determinas la ecuación del límite?». Para determinar la ecuación de la línea de límite, podríamos usar la forma pendiente-intercepto para escribir la ecuación relacionada. Determine el intercepto en y y la pendiente y sustituya en y = mx + b. Si ya conocemos la restricción o el valor objetivo, podemos usar los interceptos y la forma estándar Ax + By = C.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» junto con toda la clase. Una vez creado, pida a cada estudiante que complete su «Libreta interactiva».
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Los estudiantes pueden no prestar atención a las líneas punteadas versus las sombreadas en los gráficos cuando escriben ecuaciones. Anímelos a escribir todos los detalles que noten en un gráfico para que puedan referirse a él cuando creen una ecuación. 2. Los estudiantes pueden tener dificultades para determinar si una ecuación debe ser >/ >= o / >= o 3. Los estudiantes pueden tener dificultades para escribir una ecuación de la línea de límite si no han dominado las unidades anteriores. Recuerde a los estudiantes las diferentes formas lineales.
• DOK-3 «¿Cree que es posible que Jahzara cuadruplique su inversión? ¿Por qué sí o por qué no?». Sí creo que es posible, pero se limitará a muy pocos pares ordenados para alcanzar su objetivo basándose en las otras limitaciones. Sí creo que puede cuadruplicar su inversión porque el sombreado llega hasta el infinito, así que sus ingresos son ilimitados. • DOK-3 «¿Qué desigualdad, y > 2x + 5 o y < 2x + 5, tiene más soluciones? Explícalo». Ambas desigualdades tienen un número infinito de soluciones. Ninguna tiene más soluciones que la otra. Los conjuntos de soluciones son opuestos, pero un conjunto no tiene más elementos que el otro.
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ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Linear Inequalities Part 3
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de Explore. Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes. Los estudiantes compartirán información con sus compañeros mientras participan en una actividad de aprendizaje cooperativo.
2.
Based on the x-intercept, calculate the cost of a night in the hotel room. Explain your answer. If they only stay at the hotel, they can stay for 5 nights for $500. Therefore, a night at the hotel must cost $100.
3.
Based on the y-intercept, calculate the cost of a night of camping. Explain your answer. If they only camp, they can stay 25 nights for $500. Therefore, a night of camping must cost $20.
4.
Write the inequality to represent the situation. 100x + 20y ≤ 500
5.
Now examine the following graph, and compare it to the one on the previous page.
Principiante: Como actividad previa a la lección, proporcione a los alumnos una lista de palabras. Pida a los alumnos que trabajen en parejas para decidir qué palabras describen las cualidades de un empresario de éxito. Las palabras y frases pueden incluir trabajador, perezoso, inteligente, investiga, pide ayuda, y desorganizado. Intermedio: Como actividad previa a la lección, comparta cinco cualidades de un empresario de éxito. Pida a los alumnos que compartan otras cualidades para añadirlas a la lista.
a.
How are the graphs different? The boundary line in the second graph is dashed instead of solid.
b.
What would this mean in this situation? In this situation, it would mean that Monique and her friends had to spend less than but not equal to $500 on their lodging.
Avanzado: Como actividad previa a la lección, pida a los alumnos que trabajen en grupos para crear una lista de cualidades que deben tener los empresarios de éxito. A continuación, pídales que la compartan con la clase.
2
Linear Inequalities Part 3
Linear Inequalities Part 3
6.
Writing Linear Inequalities
Examine the two graphs below, and complete the table to create equations of the inequalities. Graph A
Graph B
Monique is planning a graduation trip for her friends and herself. They have each been saving up for years and have a total of $500 to use for lodging. They want to spend some of the nights in a hotel, and they also found a really nice campground that is a lot cheaper to stay at for some nights. They will do a combination of the two. The graph below is an analysis of the cost for spending a different number of nights at each place while staying within their budget.
1.
What are the ordered pairs of the x- and y-intercepts of the graph, and what do they indicate? The x-intercept is at (5, 0) and indicates that if they only stayed at the hotel, they could stay for 5 nights. The y-intercept is at (0, 25) and indicates that if they did no nights at the hotel, they could spend 25 nights camping.
Graph A
Graph B
Equation for the Boundary Line
y=x+3
y = −2x + 4
Inequality That Matches the Graph
y≥x+3
y < −2x + 4
Use a point to verify the solution.
Answer will vary but should be a point in the shaded region.
Answer will vary but should be a point in the shaded region.
1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 3) CLAVE DE RESPUESTAS 342
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3
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 3) CLAVE DE RESPUESTAS ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE Linear Inequalities
CONSOLIDAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
ESQUEMA DE ANCLAJE DESCRIPCIÓN Un esquema de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Se trata de una herramienta para apoyar la instrucción y consolidar el aprendizaje del estudiante a lo largo del alcance.
MATERIALES
• 1 hoja de papel cuadriculado • 1 conjunto de marcadores multicolores
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
PREPARACIÓN
• Imprima un documento «Ejemplo de esquema de anclaje», si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. El «Ejemplo de esquema de anclaje» puede utilizarse como referencia antes de crear el esquema de anclaje de la clase con los estudiantes. Esta actividad debe ser dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje. 2. A medida que los estudiantes trabajen en el alcance, colaboren para añadir piezas al esquema de anclaje. Formule las siguientes preguntas orientativas: a. «¿Qué estrategia utilizamos para resolver este problema?». b. «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?». 3. Continúe añadiendo habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada «Exploración» para resaltar el contenido importante. 4. Explique que pueden utilizar este gráfico como herramienta de apoyo para su aprendizaje. Los estudiantes también pueden pegar una copia del «Ejemplo de esquema de anclaje» en sus cuadernos para utilizarla como referencia a lo largo del año. 5. Algunos esquemas de anclaje sólo se mostrarán durante un alcance o grupo de alcances concretos, mientras que otros permanecerán expuestos durante todo el curso escolar.
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ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA Linear Inequalities
DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DE LOS ESTUDIANTES
LIBRETA INTERACTIVA DESCRIPCIÓN Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase al usar la actividad y la libreta.
MATERIALES IMPRESO
Instructions ● Cut out the table below, and glue or tape it into your notebook. ● For Table 1, decide what line type goes with each example (solid or dashed) and which direction the solution set would be for shading (above or below), and write the words in each box. ● For Table 2, fill in the boxes with the words and phrases that correspond with each symbol. Table 1 y>
y<
y≥
y≤
Line Shade Table 2 >
<
≥
≤
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del «Folleto del estudiante» para cada uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Prepare una «Libreta interactiva» al usar un cuaderno de espiral o de composición para cada uno. Los estudiantes pueden utilizar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades.
Instructions ● Cut out the box to the right, and glue or tape it into your notebook. ● Graph the equation y < −2x + 2. Mark a solution and a nonsolution on the graph, and show algebraic proof for why each point is a solution versus a nonsolution in the workspace.
2. Las instrucciones para cada actividad se proporcionan en el «Folleto del estudiante». 3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos. 4. Las libretas interactivas pueden utilizarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
Linear Inequalities
Instructions ● Fill in the missing information in each box using your knowledge about linear inequalities. ● Cut out the table below, and glue or tape it into your notebook.
Inequality
Graph
Is it a solution? (circle one) (0, 0)
yes
no
(4, −2)
yes
no
(0, −2)
yes
no
(1, −2)
yes
no
(−3, 3)
yes
no
(5, −3)
yes
no
(2, 0)
yes
no
(4, −2)
yes
no
FOLLETO DEL ESTUDIANTE
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ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO VOCABULARIO CLAVE
VOCABULARIO ILUSTRADO
Constraint
Half-Plane
Strict Inequality
A condition that the solution must satisfy
A planar region consisting of all points on one side of an infinite straight line, and no points on the other side
An inequality that has no equality conditions; the strict inequality is either greater than or less than.
2
12
11
Less Than
Greater Than
Solution Set
Smaller than another (e.g., 432 < 501)
More than another (e.g., 49 > 12)
A set of numbers that makes an inequality statement true 4
3
5
Inequality Notation
Less Than or Equal To
Greater Than or Equal To
Notation in which the solution is represented by an inequality statement
Smaller than or the same as another
More than or the same as another
6
Inequality Phrase
Boundary Line
Phrase representing each of the inequalities
A line that corresponds to the function that divides the coordinate plane into two halves 9
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8
7
10
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ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ DESARROLLAR FLUIDEZ CONCEPTUAL
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: DESIGUALDADES LINEALES DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes se turnan para sacar tarjetas de problemas de un frasco y adivinar la respuesta.
MATERIALES IMPRESO
• 1 hoja de instrucciones ¡Bum! (por pareja) • 1 conjunto de «Tarjetas del juego ¡Bum!» (por pareja) REUTILIZABLE
• 1 frasco u otro recipiente (por pareja) • 1 cronómetro (por maestro)
Bam! Instruction Sheet Play this game with a partner. You Will Need 1 Set of Bam! Cards (per pair) 1 Jar or other container (per pair) How to Play 1. Fold the cards in half, and place them in the jar. 2. Player 1 pulls out a card from the jar and hands it to player 2. 3. Player 2 will read the question aloud for player 1 to solve. 4. Player 2 can check the answer from player 1 at the bottom of the card. 5. If a player gets a problem correct, they keep the card. If they are incorrect, the other player keeps the card. 6. Note: If the card contains an image such as a graph or a number line, the player asking the question can show the image while covering up the answer with their hand. 7. If a player pulls out a Bam! picture card, all of that player’s cards go back into the jar. 8. Players take turns pulling cards from the jar and answering questions until time is up. 9. Players must try to get as many cards as they can before time is up. 10. The player with the most cards wins.
PREPARACIÓN
• Haga copias a doble cara del documento «Tarjetas del juego ¡Bum!». Si lo desea, puede imprimirlas en cartulina para que duren más.
HOJA DE INSTRUCCIONES
• Recorte las tarjetas individuales. • Ponga a los estudiantes en parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo doblar las tarjetas y colocarlas en el frasco. 2. Modele cómo jugar con un estudiante. a.
El jugador 1 saca una tarjeta del frasco y se la entrega al jugador 2.
b.
El jugador 2 leerá la pregunta en voz alta para que el jugador 1 la resuelva.
c.
El jugador 2 puede comprobar la respuesta del jugador 1 en la parte inferior de la tarjeta.
d.
Si un jugador acierta un problema, se queda con la tarjeta. ¡Si es incorrecta, el otro jugador se queda con la tarjeta.
e.
Nota: Si la tarjeta contiene una imagen, como un gráfico o una recta numérica, el jugador que hace la pregunta puede mostrar la imagen mientras tapa la respuesta con la mano.
f.
3. Establezca un límite de tiempo. Cuando se acabe el tiempo, ganará el estudiante que tenga más tarjetas. 4. Distribuya los materiales e indique a los estudiantes que empiecen cuando inicia el cronómetro. 5. Supervise a los estudiantes para asegurarse de que resuelven los problemas correctamente.
Si un jugador saca una tarjeta con la imagen
¡Bum! todas las cartas de ese jugador
vuelven al frasco. g.
Los jugadores se turnan para sacar tarjetas del frasco y responder a las preguntas hasta que se acabe el tiempo.
h.
Los jugadores deben intentar conseguir tantas tarjetas como puedan antes de que se acabe el tiempo.
i.
El jugador con más tarjetas gana.
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ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES
ELABORAR: REVISIÓN EN ESPIRAL Linear Inequalities
REVISAR CONCEPTOS PREVIOS
REVISIÓN EN ESPIRAL: CAOS EN KICKBALL
Kickball Chaos The neighborhood dads started weekly kickball games with their friends and family members. The game always begins innocently enough. The littlest kids get to be team captains. Team captains divide the teams evenly. Everyone gets a turn at striking the ball and at being the pitcher. Kickball is played similarly to baseball. Two teams face off on a diamond-shaped playing field with three bases plus a home plate. The pitcher gently rolls an inflated rubber ball to the kicker on the other team, who tries to kick the ball and run around the bases. A team member in the outfield can get a runner out by holding the ball and touching a base before the runner does or by throwing the ball towards the runner and hitting them. Just as in baseball, a pitch may be a strike or a ball, a kick may be fair or foul, three strikes make an out, and three outs mean the teams must switch. What always happens when they play, though, is the balls come flying and knock kids over, so they are tumbling and laughing. They start to bunt or kick cherry bombs. They guard players against reaching the next base. The whole game goes from competitive play to chaos.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes repasan contenidos anteriores o del grado actual para ayudar a apoyar su trabajo en el alcance actual y fortalecer las habilidades necesarias para alcances posteriores.
REVISIÓN EN ESPIRAL CENTRADA EN LA PREGUNTA • Pregunta 1
◦ Grado 7: Reescribir expresiones en formas equivalentes. • Pregunta 2 ◦ ALG I: Identificar transformaciones de la función lineal básica. • Pregunta 3 1
◦ Grado 8: Calcular la razón de cambio de una función lineal. • Pregunta 4 ◦ ALG I: Escribir ecuaciones lineales en dos variables.
Linear Inequalities
PREPARACIÓN 1.
Team stats are recorded during the kickball games by your grandma. Based on her findings, your team kicking average can be represented by the expression 420a2 – 72a. Which of the following is an equivalent expression?
A.
12a(35a – 6)
B.
12a(35a + 6)
C.
12(35a – 6)
2.
A.
f(x) is steeper than g(x).
B.
g(x) is steeper than f(x).
C.
f(x) is shifted vertically 3 units.
D.
g(x) is shifted vertically 3 units.
The answer is A.
The answer is B.
3.
4.
A section of the kickball field is shown. First base is marked by the coordinate (14, −5), and second base is marked by the coordinate (0, 2). What is the rate of change of the line that runs through first base and second base?
• Imprima un documento «Folleto del estudiante» para cada alumno.
The speed of your little brother as he runs around the bases for a home run is best represented by the function f(x) = x. Your speed is best represented by g(x) = 3f(x). Which statement best describes how the graphs of f(x) and g(x) are related?
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a tratar de responder a las preguntas de forma independiente sin utilizar recursos externos para ver lo que saben. Invite a los estudiantes a anotar ideas o fragmentos que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas.
Home plate is marked by the coordinate (1, −18), and first base is marked by the coordinate (14, −5). What equation matches the path a runner must take from home plate to first base?
3. Utilice las preguntas de revisión en espiral como calentamiento en clase, o envíelas a casa como tarea. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos.
A. y + 15 = 4(4x + 16) B. y + 15 =
1 (4x + 16) 4
C. y + 15 = 1 (4x − 16) 4
The answer is −0.5.
The answer is C. 2
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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4. Consulte la sección «Revisión en espiral centrada en la pregunta» para evaluar los conocimientos de contenido de los estudiantes o su necesidad de una mayor intervención. Si es necesario repasar más, utilice los «Constructores de fluidez» en los alcances apropiados. 5. El proyecto final incluye una parte de este alcance para que los estudiantes vean la conexión y relevancia de su aprendizaje previo con el actual.
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ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS ANALIZAR DATOS
CIENCIA DE DATOS Ciencia de datos es una breve conversación en clase basada en un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. La parte I incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los estudiantes en contexto.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizan, interpretan y generan conjuntos de datos, además de responder a preguntas basadas en los datos.
MATERIALES
PARTE II
1. Repase cómo resolver y graficar desigualdades lineales en dos variables, y escriba lo que los estudiantes recuerden en el papel de rotafolio. 2. Converse sobre las siguientes preguntas: a. «Escribe una desigualdad para representar la situación usando las variables que 115 + 5x - 40 ____________ definiste en la parte I». y ≤ 3
b. «Simplifica la desigualdad que escribiste en 5 x + 25 la parte a». y ≤ __ 3
c. «Grafica la desigualdad en el plano de coordenadas».
IMPRESO
• 1 conjunto de datos (por clase) REUTILIZABLE
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase) • 1 marcador (por clase) CONSUMIBLE
• 1 hoja de papel de rotafolio (por clase)
PREPARACIÓN
• Prepárese para proyectar el documento «Conjunto de datos» para la clase. • Reúna una hoja de papel de rotafolio y un marcador.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Proyecte el «Conjunto de datos» y prepárese para anotar las observaciones de los estudiantes. 2. Converse sobre las siguientes preguntas: a. «¿Qué observas en este conjunto de datos?». b. «¿Qué representa este conjunto de datos?». c. «¿Qué categorías se incluyen en este conjunto de datos?». d. «¿Se puede modelar mejor la relación mediante una ecuación o una desigualdad? Explícalo». Una desigualdad porque la cantidad gastada en los amigos restantes no tiene por qué agotar todos los fondos. e. «¿Cómo definirías las variables en esta situación?». Sea x el número de semanas que la persona ahorra, y sea y la cantidad de dinero que la persona puede gastar en cada amigo.
d. «¿Qué restricciones deberías incluir para representar con precisión esta situación? Explica». x ≥ 0 e y ≥ 0; La persona no puede ahorrar durante un número negativo de semanas, ni gastar una cantidad negativa de dinero en cada amigo. e. «¿Cuántas semanas necesitaría ahorrar la persona para poder gastar al menos $40 en cada amigo?». 9 semanas f. «¿Qué es la intersección y y qué significa en el contexto de esta situación?». La intersección de y es (0, 25), y significa que si la persona no dedica tiempo adicional a ahorrar dinero, aún podría gastar $25 en regalos para cada amigo.
f. «¿Qué preguntas tienes sobre los datos?». 348
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ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES Linear Inequalities
EVALUACIÓN DE HABILIDADES
Linear Inequalities How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or non-viable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods. Graph the solutions to a linear inequality in two variables as a half-plane (excluding the boundary in the case of a strict inequality), and graph the solution set to a system of linear inequalities in two variables as the intersection of the corresponding half-planes.
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE OBSERVACIÓN
LISTA DE CONTROL DE LA OBSERVACIÓN
Notes and Feedback
DESCRIPCIÓN ❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede utilizarse como evaluación formativa para los maestros y como autoevaluación para los estudiantes.
MATERIALES IMPRESO ❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 folleto del maestro (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del maestro» y un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1
Linear Inequalities
Standards for Mathematical Practice
Notes and Feedback
Make sense of problems and persevere in solving them
3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
Reason abstractly and quantitatively Construct viable arguments and critique the reasoning of others Model with mathematics Use appropriate tools strategically
4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje.
Attend to precision Look for and make use of structure
5. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el «Folleto del maestro».
Look for and express regularity in repeated reasoning
Consider these reflection questions in this scope.
6. Las notas anecdóticas proporcionadas en el «Folleto del maestro» pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares.
●
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them?
●
What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
2
FOLLETO DEL MAESTRO
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1. Distribuya un «Folleto del estudiante» a cada uno. 2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Explorar» y «Explicar» del alcance, evalúe formativamente su progreso tomando notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
7. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la «Guía de instrucción andamiada» en la sección «Inicio» de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
349
1/9/26 1:32 PM
ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES
EVALUAR: MAPA DE CALOR
ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
MAPA DE CALOR
Linear Inequalities
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
Red – misconception
Skills Quiz
DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
MATERIALES
• 1 mapa de calor (por estudiante) • 1 lápiz de color rojo (por estudiante) • 1 lápiz de color azul (por estudiante) • 1 lápiz de color naranja (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Determine si los estudiantes analizarán su «Prueba de habilidades», la «Evaluación basada en estándares», o ambas. • Imprima un «Mapa de calor» para cada estudiante.
Standards
Questions
Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or non-viable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods. Graph the solutions to a linear inequality in two variables as a half-plane (excluding the boundary in the case of a strict inequality), and graph the solution set to a system of linear inequalities in two variables as the intersection of the corresponding half-planes.
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Reflection Questions 1. Which skill did you feel most confident with? Why?
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
3. Which type of error did you most commonly make?
4. How can you avoid those errors in the future?
• Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
1
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Dé un «Mapa de calor» a cada estudiante junto con lápices de colores rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s). 2. Los estudiantes utilizan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el «Mapa de calor». Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los estudiantes colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, los estudiantes colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, los estudiantes colorean el cuadro correspondiente de rojo.
Linear Inequalities
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
Red – misconception
Standards-Based Assessment Standards
Questions
Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or non-viable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods. Graph the solutions to a linear inequality in two variables as a half-plane (excluding the boundary in the case of a strict inequality), and graph the solution set to a system of linear inequalities in two variables as the intersection of the corresponding half-planes.
1
5
6
8a
8c
9
2
3
4
7
8b
10
3. Anímelos a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a utilizar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada.
1. Which skill did you feel most confident with? Why?
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
4. Consulte la «Guía de instrucción andamiada» que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
3. Which type of error did you most commonly make?
4. How can you avoid those errors in the future?
Reflection Questions
2
MAPA DE CALOR
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1/9/26 1:32 PM
ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES
INTERVENIR: REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES Linear Inequalities
REMEDIAR Y VOLVER A ENSEÑAR
REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES
Checkup 1.
Which graph best represents the solution to the inequality f(x) < 2x – 3? A.
DESCRIPCIÓN
B.
Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para intervención.
MATERIALES IMPRESO C.
D.
• 1 Revisión rápida (por estudiante) • 1 repaso (por estudiante) • 1 revisión general (por estudiante) • 1 lista de verificación para el maestro (por maestro)
2.
PREPARACIÓN
For your selected answer in question 1, state the x-intercept, the y-intercept, a point in the solution set, and a point not in the solution set.
• Imprima una copia de la «Revisión rápida», el «Repaso» y la «Revisión general» para cada estudiante.
x-intercept: (1.5, 0) y-intercept: (0, –3) A point in the solution set: Answers may vary. (3, –1) A point not in the solution set: Answers may vary. (1, 4) 1
Linear Inequalities
3.
• Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar el «Repaso». • Si lo desea, imprima un ejemplo del «Esquema de anclaje» de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que usen la «Libreta interactiva» como recurso. • Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayudas suplementarias para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
A linear inequality is modeled in the graph.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Dé una copia de la «Revisión rápida» a cada estudiante. 2. Cada uno debe completarla de forma independiente. 3. Use la rúbrica de habilidades al final de la «Revisión rápida» para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional. 4. Distribuya una copia del «Repaso» a cada uno.
Enter a number or symbol into the boxes to complete the inequality. y
4.
≥
5. Cada estudiante debe completar el «Repaso» como actividad de intervención o de forma independiente.
0.5 x + 4
Ethan is a wrestler trying to make weight. He currently weighs 224 lb. He wants to lose 3 lb. per week. a.
Write the equation of the linear inequality that describes how many weeks it will take him to weigh less than 182 lb., using w for the number of weeks. 224 – 3w < 182
b.
Would it be possible for Ethan to weigh less than 182 lb. in 11 weeks? Justify your answer using the inequality. Answers may vary. No, it would not be possible if he only loses three pounds per week. 224 – 3(11) < 182 191 < 182
a.
Si lo desea, reúna a los estudiantes en pequeños grupos para trabajar en las destrezas de repaso. Utilice el «Repaso» como ayuda para la reenseñanza.
6. Distribuya una copia de la «Revisión general» a cada uno. 7. Cada estudiante debe completarla de forma independiente.
2
8. Analice los resultados de la «Revisión general» al usar la «Lista de verificación para el maestro» para identificar quienes necesitan un repaso adicional y quienes han alcanzado el dominio de los conceptos.
REVISIÓN GENERAL CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES
INTERVENIR: REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES
Linear Inequalities
Use the following information to answer questions 5–9.
Linear Inequalities
8.
Give 3 examples of ordered pairs that are not solutions. Explain one of the ordered pairs in the context of Alishba’s purchase. Answers will vary. Any ordered pair not in the shaded region is a correct answer. Alishba does not have the budget to buy 4 packs of cheese and 2 packs of bread crumbs.
9.
Would it be reasonable for Alishba to purchase 2 packs of cheese and 4 packs of bread crumbs with $20? Justify your position using evidence from the graph or from the inequality. No, it would not be reasonable. The point (2,4) is not in the shaded portion of the graph. Also, 7(2) + 4(4) is greater than 20.
10.
Graph the solution to the linear inequality
Alishba plans to make mozzarella sticks for snacks. She is out of mozzarella cheese and bread crumbs and needs to go to the grocery store. Each pack of mozzarella cheese is $7, and each pack of bread crumbs is $2. Alishba only has $20.00 to spend. 5.
Write the equation of the linear inequality that describes this scenario. Use m to represent the packs of mozzarella cheese and b to represent the packs of bread crumbs. 7m + 2b ≤ 20
6.
Graph the inequality below to determine how much of each item she can buy.
7.
Give 3 examples of numbers of packs of cheese and packs of bread crumbs that Alishba can purchase. Then, write your values as an ordered pair. Answers will vary. Any integer pair in the shaded region or on the boundary line is a correct answer. 3
.
a.
State a point in the solution set. Answers will vary. Any point in the shaded region is acceptable. Points on the dashed line are not acceptable answers. (–8, 5) or (1, –1)
b.
State a point that is not in the solution set. Answers will vary. Any point not in the shaded region is acceptable. Points on the dashed line are also acceptable answers. (0, –4) or (2, –6) 4
REVISIÓN GENERAL CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES
ACELERACIÓN: ¿QUÉ PREFERIRÍAS? Linear Inequalities
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
¿QUÉ PREFERIRÍAS?: DIRIGIR UNA PANADERÍA
Running a Bakery
Use mathematical reasoning and creativity to justify your answer to the Would You Rather question. Aisha owns a bakery and needs to decide whether to focus on baking breads or baking 1 pastries. She sells her breads for $15 each, and spends of that price on ingredient 1 5 costs. She sells her pastries for $3 each, and spends of that on ingredient costs. If 3 you were Aisha and needed to earn a minimum of $300 per day to stay in business, would you rather focus more of your time baking breads or pastries? Note that a batch of 20 pastries takes roughly 3 hours from start to finish and a batch of 5 loaves of bread takes at least double that time from start to finish.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
MATERIALES IMPRESO
12b + 2p ≥ 300 represents Aisha’s situation. She would need to sell a maximum of 25 breads per day or 150 pastries per day.
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 rúbrica (por maestro)
The following statements are sample answers: I would focus on pastries because it would take less time to bake pastries. More customers would buy the cheaper pastries than the more expensive breads.
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno.
I would focus on breads. While breads take longer to bake, I would have to sell fewer. This means I would not have to rely on a lot of customers coming in to the bakery. I could meet my goal with fewer people.
• Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
1
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a mirar sus folletos de «Explorar» si necesitan repasar habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros. 4. Utilice la rúbrica proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
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ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Linear Inequalities
OPCIONES PARA SEGUIR APRENDIENDO
TABLERO DE OPCIONES DESCRIPCIÓN Los estudiantes explorarán las CONEXIÓN CON EL MUNDO REAL y las aplicaciones del contenido matemático a través de interacciones con actividades atractivas.
MATERIALES IMPRESO
• 1 tablero de opciones (por estudiante) • 1 conjunto de hojas de actividades (por estudiante) • 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante) REUTILIZABLE
• Tecnología (si corresponde)
PREPARACIÓN
Linear Inequalities Choose one or more extension activities from the table below. Career Connection
Technology Connection
Aeronautical Engineer
Visualizing Solutions
Research the career field of aeronautical engineering. Your research must answer the provided questions. Create a presentation to relay your research to the class.
Use technology to graph linear inequalities and to visualize their solution sets.
Create Your Own
Kitchen Connection
Write Your Own Story
Baking Sweets
Choose a linear inequality that the given data satisfies. Then, create your own real-world scenario to match that inequality.
Inequalities can be used in the kitchen when planning the amount of food to make and following recipes. Read the scenario, and answer the questions on the handout.
Mathematician Spotlight
Financial Connection
Thomas Harriot
Search for several news articles or research papers that involve Thomas Harriot’s work. Create an informational poster, a diorama, or a speech to convey this mathematician’s work as it relates to linear inequalities.
Part-Time Income
We use math every day in our financial world. Explore how our current math topic connects to our financial world by completing the handout.
• Imprima un «Tablero de opciones» y un conjunto de hojas de actividades para cada estudiante. • Imprima una «Autoevaluación del tablero» para cada estudiante.
TABLERO DE OPCIONES
• Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» a cada estudiante. 2. Dé tiempo a los estudiantes para examinar el «Tablero de opciones» y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anímelos a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del tablero, haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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ÁLGEBRA 1: DESIGUALDADES LINEALES
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ÁLGEBRA 1 SISTEMAS DE ECUACIONES
ÁLGEBRA 1
SISTEMAS DE ECUACIONES ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: NO PERTENECE
ESTÁNDARES CLAVE Crear ecuaciones que describan números o relaciones. • Representar restricciones mediante ecuaciones o desigualdades, y mediante Sistemas de ecuaciones y/o desigualdades, e interpretar soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelado. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de costo en combinaciones de diferentes alimentos. Resolver Sistemas de ecuaciones. • Demostrar que, dado un sistema de dos ecuaciones en dos variables, la sustitución de una ecuación por la suma de esa ecuación y un múltiplo de la otra produce un sistema con las mismas soluciones. • Resolver Sistemas de ecuaciones lineales de forma exacta y aproximada (por ejemplo, con gráficos), centrándose en pares de ecuaciones lineales en dos variables. Representar y resolver ecuaciones e inecuaciones gráficomente. • Entender que el gráfico de una ecuación en dos variables es el conjunto de todas sus soluciones trazadas en el plano de coordenadas, a menudo formando una curva (que podría ser una recta). • Explicar por qué las coordenadas x de los puntos de intersección de los gráficos de Las ecuaciones y = f(x) e y = g(x) son las soluciones de la ecuación f(x) = g(x); hallar las soluciones de forma aproximada, por ej., utilizando la tecnología para representar gráficamente las funciones, hacer tablas de valores o encontrar aproximaciones sucesivas. Incluir casos en los que f(x) y/o g(x) sean funciones lineales, polinómicas, racionales, de valor absoluto, exponenciales y logarítmicas. *Este alcance se centra en las funciones lineales.
ESTÁNDARES DE CONEXIÓN Resolver ecuaciones e inecuaciones en una variable. • Resolver ecuaciones e inecuaciones lineales en una variable, incluyendo ecuaciones con coeficientes representados por letras. Crear ecuaciones que describan números o relaciones.
Los estudiantes analizarán tablas para identificar la opción que no encaja con las demás, con el objetivo de revelar conceptos erróneos. • Distribuya el folleto «No pertenece» a cada estudiante o grupo. • Explique la tarea de identificar el valor atípico entre las cuatro opciones de cada tabla. • Guíe a los estudiantes para determinar y justificar qué opción no encaja. • Facilite un debate final para abordar cualquier malentendido. CAPTAR INTERÉS Los estudiantes explorarán la resolución de Sistemas de ecuaciones a través de un escenario del mundo real que involucra a dos perros corriendo en la nieve. • Presente el escenario con un video y anímelos a observar y cuestionar la situación matemáticamente. • Facilite un debate sobre cómo el escenario puede ser representado por un sistema de ecuaciones, alentando a los estudiantes a identificar variables y ecuaciones. • Revise el escenario con el conocimiento recién adquirido, alentando a los estudiantes a aplicar métodos como la sustitución o la representación gráfica para resolver el sistema.
ACTIVIDADES DE EXPLORACIÓN EXPLORACIÓN 1: RESOLVER SISTEMAS USANDO GRÁFICOS Y TABLAS Los estudiantes usarán gráficos y tablas para resolver Sistemas de ecuaciones y aproximar soluciones usando tablas. • Los estudiantes escribirán ecuaciones para diferentes opciones y las graficarán en una cuadrícula. • Los estudiantes completarán tablas y analizarán datos para determinar mejores ofertas. • Los estudiantes identificarán intersecciones de ecuaciones e interpretarán sus significados. EXPLORACIÓN 2: RESOLVER SISTEMAS UTILIZANDO SUSTITUCIÓN Los estudiantes utilizarán la sustitución para resolver Sistemas de ecuaciones colaborando en grupos para analizar la información salarial, definir variables, escribir ecuaciones y determinar los salarios de los jugadores. • Los estudiantes trabajarán en grupos para analizar la información salarial dada y definir variables para las ecuaciones. • Escribirán dos ecuaciones para cada escenario y utilizarán la sustitución para resolver las variables desconocidas. • Los estudiantes registrarán sus hallazgos en sus «Diarios del estudiante» y debatirán su razonamiento con sus compañeros. • Participarán en una charla de matemáticas para compartir observaciones y reflexionar sobre la eficiencia del método de sustitución en comparación con otros métodos de resolución. EXPLORACIÓN 3: INTRODUCCIÓN A LA ELIMINACIÓN Los estudiantes usarán el método de eliminación para resolver Sistemas de ecuaciones por medio de la colaboración en grupos, análisis de escenarios y aplicación de razonamiento matemático. • Los estudiantes trabajarán en grupos para determinar los costos de los artículos usando el método de eliminación y registrarán sus hallazgos en los «Diarios del estudiante».
• Crear ecuaciones e inecuaciones en una variable incluyendo aquellas con valor absoluto y utilizarlas para resolver problemas. Incluir ecuaciones que surjan de funciones lineales y cuadráticas, y funciones racionales y exponenciales simples.
• Los estudiantes participarán en charlas de matemáticas para compartir observaciones y analizar el razonamiento, mejorando su comprensión de la resolución de Sistemas de ecuaciones.
• Reorganizar fórmulas para resaltar una cantidad de interés, utilizando el mismo razonamiento que en la resolución de ecuaciones. Por ejemplo, reordenar la ley de Ohm V = IR para resaltar la resistencia R.
Los estudiantes usarán el método de eliminación para resolver Sistemas de ecuaciones creando pares de ceros a través de la multiplicación y la colaboración.
Entender la resolución de ecuaciones como un proceso de razonamiento y explicar el razonamiento. • Explicar cada paso en la resolución de una ecuación simple como consecuencia de la igualdad de números afirmada en el paso anterior, partiendo de la suposición de que la ecuación original tiene solución. Construir un argumento viable para justificar un método de solución. Construir nuevas funciones a partir de funciones existentes. • Encontrar funciones inversas. • Resolver una ecuación de la forma f(x) = c para una función simple f que tenga una inversa y escribir una expresión para la inversa.
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• Analizarán y debatirán problemas matemáticos, utilizando preguntas guía para profundizar la comprensión del proceso de eliminación.
EXPLORACIÓN 4: RESOLVER SISTEMAS USANDO ELIMINACIÓN
• Los estudiantes trabajarán en grupos para determinar el número de monedas o billetes usando la eliminación por combinación lineal. • Multiplicarán ecuaciones por factores para crear pares de ceros y resolver por variables. • Los estudiantes registrarán su trabajo y razonamiento en sus «Diarios del estudiante». • Participarán en una charla de matemáticas para debatir sus observaciones y resultados de aprendizaje. EXPLORACIÓN 5: SELECCIONAR MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS Los estudiantes explorarán y determinarán el método más eficiente para resolver Sistemas de ecuaciones lineales a través de la resolución y análisis de problemas en colaboración. • Los estudiantes trabajarán en grupos para analizar escenarios y decidir sobre el mejor método para resolver Sistemas de ecuaciones, registrando sus hallazgos en sus «Diarios del estudiante». • Justificarán sus métodos elegidos comparando diferentes enfoques e identificando el más eficiente basado en la estructura de las ecuaciones. • Los estudiantes participarán en debates para analizar y refinar su razonamiento, asegurando una comunicación precisa de las ideas matemáticas.
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ÁLGEBRA SISTEMAS DE ECUACIONES SISTEMAS1:DE ECUACIONES ÁLGEBRA 1
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES
SISTEMAS DE ECUACIONES
CONCEPTOS CLAVE • Puedo determinar la solución de un sistema lineal graficando la ecuación dada, pares ordenados o descripción verbal. • Puedo identificar la solución de un sistema lineal dada una gráfico. • Puedo resolver sistemas lineales algebraicamente usando métodos como sustitución y eliminación. • Puedo escribir un sistema de ecuaciones lineales dada cualquier representación.
PREGUNTAS FUNDAMENTALES • ¿Cómo se determina la solución de un sistema de ecuaciones? • ¿Cómo se elige el mejor método para resolver Sistemas de ecuaciones? • ¿Qué aspecto tiene el gráfico de un sistema lineal sin soluciones? • ¿Qué aspecto tiene el gráfico de un sistema lineal con infinitas soluciones?
• Puedo identificar soluciones razonables y no razonables dado el contexto de la situación. • Puedo justificar el método seleccionado para resolver un sistema lineal. • Puedo resolver sistemas lineales usando una variedad de métodos con una solución, ninguna solución o infinitas soluciones.
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
CONTENIDOS DE APOYO Crear ecuaciones que describan números o relaciones. • Representar restricciones mediante ecuaciones o desigualdades y mediante Sistemas de ecuaciones y/o desigualdades, e interpretar las soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelado. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de costo en combinaciones de diferentes alimentos. Resolver Sistemas de ecuaciones. • Demostrar que, dado un sistema de dos ecuaciones en dos variables, la sustitución de una ecuación por la suma de esa ecuación y un múltiplo de la otra produce un sistema con las mismas soluciones. • Resolver Sistemas de ecuaciones lineales de forma exacta y aproximada (por ejemplo, con gráficos), centrándose en pares de ecuaciones lineales en dos variables. Representar y resolver ecuaciones e inecuaciones gráficomente. • Entender que el gráfico de una ecuación en dos variables es el conjunto de todas sus soluciones trazadas en el plano de coordenadas, a menudo formando una curva (que podría ser una recta). • Explicar por qué las coordenadas x de los puntos de intersección de los gráficos de Las ecuaciones y = f(x) y y = g(x) son las soluciones de la ecuación f(x) = g(x); hallar las soluciones de forma aproximada, por ejemplo, usando tecnología para graficar las funciones, hacer tablas de valores o encontrar aproximaciones sucesivas. Incluya casos en los que f(x) y/o g(x) sean funciones lineales, polinómicas, racionales, de valor absoluto, exponenciales y logarítmicas. Este alcance se enfoca en las funciones lineales.
CONOCIMIENTOS PREVIOS En grados anteriores, los estudiantes han practicado una variedad de habilidades que involucran ecuaciones lineales. Han resuelto y graficado Sistemas de ecuaciones lineales graficándolas e interpretando la intersección como la solución del sistema.
CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
• Los estudiantes tienden a tener la mayor dificultad para entender por qué funciona la resolución por eliminación. Utilizar un enfoque gráfico y mostrar que todas Las ecuaciones (incluidos los múltiplos y la combinación de ecuaciones) tienen gráficamente el mismo punto de intersección ayuda a aclarar por qué funciona la eliminación. • Los estudiantes suelen tener dificultades para comunicar la solución de una ecuación. Los estudiantes podrían decir «cualquier punto de la recta» en lugar de «infinitas soluciones». Cuando usan la frase infinitas soluciones, puede que no quede claro si se refieren a todas las soluciones de la cuadrícula de coordenadas o a una sección específica.
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EN ESTE ALCANCE En este alcance, los estudiantes deben ser capaces de resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando una variedad de métodos que incluye, pero no limita, a la representación gráfica , sustitución y eliminación. Los estudiantes deben ser capaces de resolver Sistemas de ecuaciones utilizando una variedad de métodos y explicar por qué se eligió el método. Los estudiantes deben ser capaces de encontrar una solución aproximada cuando sea apropiado, utilizando gráficos y tablas. Los estudiantes deben ser capaces de resolver sistemas sin solución, con una solución o con infinitas soluciones, y explicar el significado de la solución en su contexto. Los estudiantes deben ser capaces de utilizar técnicas de optimización para determinar el beneficio máximo o las condiciones óptimas en función del contexto del problema. TÉRMINOS CLAVE
• ecuación: un enunciado matemático que muestra que dos expresiones son iguales entre sí. • restricción: una condición que la solución debe satisfacer. • sistema de ecuaciones: dos o más ecuaciones con dos o más variables. • solución: cualquier número que hace que una ecuación sea verdadera. • contexto: la situación en la que algo se encuentra o sucede. • variable: una letra o símbolo que ocupa el lugar de un número que puede cambiar; una letra que puede representar un número desconocido o un conjunto de números. • múltiplo: producto de dos números enteros; los números que resultan de multiplicar un número entero por el conjunto de números enteros. • ecuación lineal: una ecuación en la que ninguna variable tiene una potencia mayor que 1; la forma general es y = mx + b, donde m = pendiente y b = y-intercepto. • plano de coordenadas: dos rectas numéricas perpendiculares, llamadas eje x y eje y, que se cruzan en el punto (0, 0) y crean cuatro cuadrantes; también llamado gráfico, cuadrícula de coordenadas o plano cartesiano. • coordenada x: el primer término de un par ordenado; proporciona la ubicación a lo largo del eje x dentro del plano de coordenadas. • líneas de intersección: líneas que se cruzan en un punto. • función: una relación especial entre valores; cada valor de entrada devuelve exactamente un valor de salida.
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO
APLICAR LAS PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes analizan un sistema de ecuaciones lineales para determinar un punto de entrada y planificar una ruta de solución. Buscan las características clave de Las ecuaciones para elegir el método más eficiente para resolver el problema. • MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes resuelven Sistemas de ecuaciones lineales basándose en contextos del mundo real, relacionan las soluciones con sus contextos y determinan su validez. • MP.3 Construir argumentos viables y analizar el razonamiento de otros: Los estudiantes explican por qué un sistema de ecuaciones no puede tener exactamente dos soluciones y utilizan sus conocimientos de representación gráfica de Sistemas de ecuaciones lineales para apoyar sus explicaciones. • MP.4 Modelar con matemáticas: Los estudiantes modelan situaciones de viaje utilizando Sistemas de ecuaciones. Resuelven los Sistemas de ecuaciones utilizando sus métodos preferidos y relacionan sus soluciones con el contexto. • MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas: Los estudiantes utilizan papel y lápiz para resolver Sistemas de ecuaciones mediante sustitución y eliminación, completando las operaciones a mano para visualizar el proceso de resolución. • MP.6 Prestar atención a la precisión: Los estudiantes prestan atención a la precisión cuando resuelven Sistemas de ecuaciones mediante gráficos. A medida que grafican con precisión las rectas, pueden identificar correctamente los puntos de intersección. • MP.7 Buscar y hacer uso de la estructura: Los estudiantes analizan Sistemas de ecuaciones y determinan, observando la estructura de Las ecuaciones del sistema, qué método -sustitución, eliminación o representación gráfica - es el más eficiente para resolverlos. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes generalizan que los Sistemas de ecuaciones que tienen una ecuación en la que una variable está aislada pueden resolverse eficientemente utilizando el método de sustitución. Aplican este conocimiento posteriormente al analizar varios Sistemas de ecuaciones.
RESOLVER USANDO GRÁFICOS Y TABLAS Los estudiantes comenzarán representando Sistemas de ecuaciones lineales gráficomente. Esta será su base para comprender y representar las soluciones de los Sistemas de ecuaciones lineales. Los estudiantes tendrán alguna experiencia previa con la resolución de sistemas lineales, y esto debe ser una extensión de esa experiencia. Se puede acceder a esta experiencia previa presentando una pregunta del tipo «Encuentra dos ecuaciones diferentes que verifican el punto (5, -2). Describe la relación de los gráficos de tus ecuaciones». Los estudiantes desarrollarán una comprensión y harán conexiones entre el tipo de sistema, el número de soluciones y la interpretación gráfico, como se muestra en la tabla. Tipo de sistema lineal
Número de soluciones
Interpretaciones gráficos
Independientes
Una
Las líneas se cruzan en un punto.
Dependientes
Infinitas
Misma línea
Inconsistentes
Cero
Líneas paralelas
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Los estudiantes utilizarán métodos gráficos con y sin tecnología. Los estudiantes utilizarán aproximaciones para resolver Sistemas de ecuaciones lineales utilizando una tabla. Al utilizar tablas para estimar soluciones a un sistema de ecuaciones lineales, los estudiantes compararán los valores de «y» para determinar cuándo se cruzan las líneas. Luego hallarán la distancia entre los valores y para determinar si la solución está exactamente entre o más cerca de uno de los valores investigados. Por último, los estudiantes verificarán su solución a cada problema sustituyendo la solución en el sistema. Al aproximar una solución gráficamente o a partir de una tabla, los estudiantes deben comprender que la revisión general mediante la sustitución de la solución en el sistema dará una ecuación aproximadamente igual.
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO Ejemplo: Crea una tabla utilizando la tecnología para aproximar la solución del sistema. Verifica la aproximación mediante una gráfico. Utiliza el espacio proporcionado para registrar, explicar y dibujar tus datos.
x
y1
y2
0
6
–3
1
4
1
2
2
5
3
0
9
Este es el punto de intersección porque y1 > y2 arriba y y1 < y2 abajo. Las líneas deben cruzarse entre estos valores.
SUSTITUCIÓN Los estudiantes comenzarán debatiendo y explorando cuándo la sustitución será más ventajosa que la representación gráfico. En general, los estudiantes deben llegar a la conclusión de que la sustitución es más ventajosa cuando Las ecuaciones no son adecuadas para ser graficadas fácilmente o cuando no están en una forma que pueda ser graficada fácilmente. La sustitución es más ventajosa cuando al menos una ecuación se resuelve para una variable o puede resolverse para una variable en un solo paso. Al resolver sistemas lineales utilizando la sustitución, se animará a los estudiantes a utilizar estrategias visuales como el subrayado o el resaltado para mostrar lo que se utilizará para la sustitución y dónde se sustituirá. Cada problema de ejemplo debe concluir con la sustitución de la solución en el sistema para verificar que es la solución correcta. Ejemplo: «¿Cuál es el valor de x en la solución del sistema de ecuaciones?». 3x = 2y + 14 y = -6x + 18
Dado que y1 es mayor que y2 para x valores 0 y 1, pero y1 es menor que y2 para x valores 2 y 3, la solución está entre x = 1 y x = 2. Comparando la diferencia de los valores de y en x = 1 y x = 2, veo que están a igual distancia, por lo que es probable que la solución esté a igual distancia entre 1 y 2. He utilizado la calculadora para mostrar el valor de ambas ecuaciones en x = 1.5 y y1 y y2 igual 3. La solución es (1.5, 3).
a. ___ 10 3
b. -2 c. ___ 12 5
d. ___ 32 15 La respuesta correcta es A. La segunda ecuación puede sustituirse en la primera y luego simplificarse. 3 = 2y + 14 3x = 2(-6x + 18) + 14 3x = -12x + 36 + 14 3x = -12x + 50 15x = 50 10 x = ___ 3
Este gráfico muestra la intersección en (1.5, 3).
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO
ELIMINACIÓN Los estudiantes comenzarán debatiendo y explorando cuándo la eliminación será más ventajosa que la representación gráfica o la sustitución. Generalmente, la eliminación será más ventajosa cuando Las ecuaciones tengan la misma forma o una forma similar y tengan variables que formen un par cero cuando se combinen usando la suma. Los estudiantes desarrollarán una comprensión de la alineación de términos similares en una ecuación con los términos similares en la otra ecuación haciendo conexiones con la alineación de números por valor posicional para sumar y restar números de varios dígitos. Los estudiantes multiplicarán por un 1 negativo y luego sumarán para crear un par cero según sea necesario. Se anima a los estudiantes a desarrollar aquí estrategias eficientes y a explorar las sugerencias de los compañeros. Cada problema de ejemplo debe concluir con la sustitución de la solución en el sistema para verificar que es la solución correcta.
Ejemplo: El viernes, el autobús de esquí recorrió 8 veces la ruta de la línea azul y 5 veces la ruta de la línea amarilla, recorriendo una distancia total de 24.5 millas. El sábado, el autobús de esquí recorrió 11 veces la ruta de la línea azul y 7 veces la ruta de la línea amarilla, recorriendo un total de 34 millas. «¿Cuál es la longitud de cada ruta en millas?». Escribe un sistema de ecuaciones y resuélvelo usando el método de eliminación. La ruta de la línea azul mide 1.5 millas. La ruta de la línea amarilla mide 2.5 millas. Esta situación puede ser modelada por el sistema, 8b + 5y = 24.5 y 11b + 7y = 34, donde b es la longitud de la ruta de la línea azul y y es la longitud de la ruta de la línea amarilla. 8b + 5y = 24.5→ 7(8b + 5y = 24.5)→ 56b + 35y = 171.5 11b + 7y = 34 → -5(11b + 7y = 34)→ -55b - 35y = -170
Ejemplo: «¿Cuál es la solución del sistema de ecuaciones?». 2x + 3y = 6 -3y + x = 9 8 a. (-1, ___ ) 3
b = 1.5 millas
b. (-3, -4) 4 c. (5, - ___ )
d.
3 ___ (8, - 1 ) 3
La respuesta correcta es C. Las ecuaciones se pueden reescribir con los términos iguales apilados.
El valor de y puede determinarse sustituyendo b = 1.5 en cualquiera de las dos ecuaciones. 8b + 5y = 24.5 8(1.5) + 5y = 24.5 12 + 5y = 24.5 5y = 12.5 y = 2.5 millas
ESCRIBIR Y RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES Los estudiantes escribirán un sistema de dos ecuaciones lineales que describan las restricciones de las variables para un problema dado. La solución, x = 5, se puede sustituir en cualquiera de las dos ecuaciones para calcular el valor de y. 2 + 3y = 6 2(5) + 3y = 6 10 + 3y = 6 3y = -4 4 y = - ___
Ejemplo: En un partido de baloncesto, Marlene hizo 16 tiros de campo. Cada uno de los tiros valía 2 o 3 puntos, y Marlene anotó un total de 39 puntos. Sea x el número de tiros de 2 puntos e y el número de tiros de 3 puntos. Escribe un sistema de ecuaciones en términos de x e y para modelar la situación, y luego usa el sistema para determinar cuántos tiros de 3 puntos hizo Marlene en el partido. x + y = 16
3
4 La solución del sistema es (5, - __ ) . 3
2x + 3y = 39 x=9yy=7 Marlene hizo siete tiros de 3 puntos. Los estudiantes que sólo dan una respuesta numérica no han demostrado que entiendan la solución en su contexto. Un error frecuente es que los estudiantes encuentren primero el valor de x y se detengan ahí. Si un estudiante da una respuesta de nueve tiros de 3 puntos, probablemente no continuó para resolver el valor de y, o no entiende cómo el modelo se relaciona con el contexto.
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO
SELECCIONAR UN MÉTODO Después de que los estudiantes hayan explorado la resolución de Sistemas de ecuaciones mediante gráficos, sustitución y eliminación, analizarán qué tipos de sistemas se prestan a ciertos métodos. Los estudiantes comprenderán que se puede utilizar cualquier método para resolver un sistema y que siempre se obtendrá la misma respuesta. Sin embargo, el objetivo de esta sección es que los estudiantes comparen y contrasten qué método sería más eficiente para un sistema determinado. El último paso de cada método debe ser comprobar la solución. Debería ser aceptable mostrar el trabajo para este paso una vez, pero incluir el paso para cada método. Ejemplo: Considera los siguientes Sistemas de ecuaciones. Identifica el método más eficiente para resolverlos y explica tu razonamiento.
Ejemplo: Luis vendía productos de panadería en un mercado de agricultores. Al final del día, recoge la caja y ve un billete de un dólar en el suelo, junto a su puesto. Se pregunta si el dólar está dentro de la caja o no. Aquel día, Luis sólo vendía galletas y pan. El precio de las galletas individuales era de 3 dólares y el del pan, de 5. Vendió los 31 productos de panadería que llevó al mercado de agricultores. Miró dentro de la caja y encontró 126 dólares. ¿Pertenece el dólar a la caja o no? Explica tu razonamiento. El dólar pertenece a la caja. Este problema puede modelarse mediante el sistema 3c + 5b = 126 y c + b = 31, donde c es el número de galletas vendidas y b es el número de barras de pan vendidas. c = 31 - b. 3c + 5b = 126 3(31 - b) + 5b = 126
Sistema
y = -3x + 3
x + 3y = -2
3x - 2y = 22
93 - 3b + 5b = 126
y = 2x - 7
x = -5y + 3
2x + 5y = 2
93 + 2b = 126 2b = 33 b = 16.5
Método más eficiente para resolver
Gráficos
Razonamiento
Ambas ecuaciones están en una forma lista para graficar. Caben fácilmente en una cuadrícula. También tienen una solución entera que se puede identificar fácilmente.
Sustitución
Eliminación o combinación
Una ecuación se resuelve para una variable. La solución es un decimal, por lo que graficarla a mano sería una estimación.
Ambas ecuaciones están en forma estándar y tienen variables semejantes en posiciones correspondientes. Estas ecuaciones en forma estándar tienen puntos de corte fraccionarios, por lo que serán difíciles de graficar a mano con precisión.
Si b = 16.5, c = 14.5. Esta no es una solución razonable teniendo en cuenta el contexto. Sin embargo, si el dólar se pusiera en la caja, el sistema cambiaría a 3c + 5b = 127 y c + b = 31. Cuando se resuelve este sistema, se comprueba que se vendieron 14 galletas y 17 piezas de pan. Esta es una solución razonable basada en el contexto.
AVANCES Resolver sistemas de ecuaciones lineales y entender que la solución es el par ordenado que satisface ambas ecuaciones es una habilidad que se usa a menudo para entender los tipos de sistemas que los estudiantes estudiarán en el futuro. En álgebra 1, los estudiantes también graficarán y analizarán sistemas, incluyendo sistemas de desigualdades lineales y sistemas cuadráticos lineales. En álgebra 2, los estudiantes formularán Sistemas de ecuaciones, incluyendo sistemas que consisten en tres ecuaciones lineales en tres variables.
El método más eficiente será el que utilice menos pasos para resolverlos. Las respuestas pueden variar, pero los estudiantes deben justificar por qué es el más ventajoso y especificar por qué el método elegido requiere el menor número de pasos.
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ANÁLISIS PROFUNDO DE LOS ESTÁNDARES
CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES Crear ecuaciones que describan números o relaciones. • Representar restricciones mediante ecuaciones o desigualdades, y mediante Sistemas de ecuaciones y/o desigualdades, e interpretar las soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelado. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de costo en combinaciones de diferentes alimentos. Resolver Sistemas de ecuaciones. • Demostrar que, dado un sistema de dos ecuaciones en dos variables, la sustitución de una ecuación por la suma de esa ecuación y un múltiplo de la otra produce un sistema con las mismas soluciones. • Resolver Sistemas de ecuaciones lineales exacta y aproximadamente (por ejemplo, con gráficos), centrándose en pares de ecuaciones lineales en dos variables. Representar y resolver ecuaciones e inecuaciones gráficomente. • Entender que el gráfico de una ecuación en dos variables es el conjunto de todas sus soluciones trazadas en el plano de coordenadas, a menudo formando una curva (que podría ser una recta). • Explicar por qué las coordenadas x de los puntos de intersección de los gráficos de Las ecuaciones y = f(x) y y = g(x) son las soluciones de la ecuación f(x) = g(x); hallar las soluciones de forma aproximada, por ejemplo, usando tecnología para graficar las funciones, hacer tablas de valores o encontrar aproximaciones sucesivas. Incluir casos en los que f(x) y/o g(x) sean funciones lineales, polinómicas, racionales, de valor absoluto, exponenciales y logarítmicas. Nota: Este alcance se centra en las funciones lineales.
DESGLOSAR EL ESTÁNDAR VERBOS: ¿QUÉ DEBERÍAN HACER LOS ESTUDIANTES?
• crear: hacer algo desde cero. • representar: mostrar cómo se relacionan los términos; representar algo más. • interpretar: explicar el significado de. • resolver: encontrar un valor que responda a una pregunta y/o haga que una ecuación sea verdadera. • demostrar: demostrar que una afirmación es cierta. • entender: comprender el significado de. • explicar: explicar acciones o sucesos explicando por qué.
SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBEN CONOCER LOS ESTUDIANTES?
• ecuación: enunciado matemático que muestra que dos expresiones son iguales entre sí. • restricción: condición que debe satisfacer la solución. • desigualdad: enunciado matemático que utiliza símbolos como <, ≤, >, o ≥ para comparar dos cantidades. • sistema de ecuaciones: dos o más ecuaciones con dos o más variables. • sistema de inecuaciones: dos o más inecuaciones con dos o más variables. • solución: cualquier número que hace cierta una ecuación. • contexto: la situación en la que se encuentra o sucede algo. • variable: una letra o símbolo que ocupa el lugar de un número que puede cambiar; una letra que puede representar un número desconocido o un conjunto de números. • suma: la solución al sumar dos o más números; la respuesta a un problema de suma. • múltiplo: producto de dos números enteros; uno de los números que resultan de multiplicar un número entero por el conjunto de números enteros. • ecuación lineal: una ecuación en la que ninguna variable tiene una potencia mayor que 1; la forma general es y = mx + b, donde m = pendiente y b = y-intercepto. • gráfico: representación visual de datos. • plano de coordenadas: dos rectas numéricas perpendiculares denominadas eje x y eje y, que se cruzan en el punto (0, 0) y crean cuatro cuadrantes; también denominado gráfico, cuadrícula de coordenadas o plano cartesiano. • coordenada x: el primer término de un par ordenado; proporciona la ubicación a lo largo del eje x dentro del plano de coordenadas en un plano de coordenadas. • líneas que se cruzan: líneas que se cruzan en un punto. • función: una relación especial entre valores: cada valor de entrada devuelve exactamente un valor de salida. • tabla: un gráfico que contiene datos que se muestran en columnas y filas.
• encontrar: descubrir; resolver. • hacer: crear ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
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IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA
• En grados anteriores, los estudiantes practicaron una variedad de habilidades que involucran ecuaciones lineales. Resolvieron y graficaron Sistemas de ecuaciones lineales e interpretaron los resultados de la intersección como la solución del sistema. • En este nivel de grado, los estudiantes deben ser capaces de resolver un sistema de ecuaciones lineales y usar sus propias palabras para verificar que reemplazar una ecuación por la suma de esa ecuación y un múltiplo de la otra produce un sistema con las mismas soluciones. El método de eliminación para resolver Sistemas de ecuaciones lineales utiliza la propiedad de adición de la igualdad. La experiencia previa de los estudiantes con la propiedad de adición de la igualdad debe respaldar su explicación. • Los estudiantes deben ser capaces de determinar cuándo es adecuada una solución exacta o una solución aproximada. Los estudiantes deben ser capaces de encontrar soluciones aproximadas utilizando gráficos y tablas. Los estudiantes deben ser capaces de resolver Sistemas de ecuaciones utilizando varios métodos y explicar por qué se eligió el método. Los estudiantes deben ser capaces de resolver sistemas sin solución, con una solución o con infinitas soluciones y explicar lo que significa la solución en el contexto. • En este grado, los estudiantes deben ser capaces de utilizar técnicas de optimización para determinar el máximo beneficio o las condiciones óptimas basadas en el contexto del problema. • Es importante pedir a los estudiantes que interpreten la intersección de los gráficos como la solución del sistema de ecuaciones y explicar el significado de ese punto en el mundo real. Los estudiantes también deben interpretar lo que significan los valores por debajo y por encima del punto de intersección en el contexto dado. • Los estudiantes deben practicar el uso de diferentes estrategias para resolver ecuaciones. Los estudiantes pueden tener una estrategia favorita en la que confiar, por lo que se les debe pedir que utilicen estrategias con las que a veces se sientan menos cómodos. Pídales también que utilicen respuestas aproximadas. El enfoque debe estar en reconocer situaciones que se presten para una estrategia en particular.
ALINEACIÓN VERTICAL GRADO
ESTÁNDAR Usar variables para representar números y escribir expresiones al resolver un problema matemático o del mundo real; entender que una variable puede representar un número desconocido o, dependiendo del propósito que se tenga, cualquier número en un conjunto específico.
6
Entender la resolución de una ecuación o desigualdad como un proceso de respuesta a una pregunta: ¿Qué valores de un conjunto específico, si los hay, hacen que la ecuación o desigualdad sea verdadera? Utilizar la sustitución para determinar si un número dado de un conjunto específico hace que una ecuación o desigualdad sea cierta. Resolver ecuaciones lineales en una variable. a
Dar ejemplos de ecuaciones lineales en una variable con una solución, infinitas soluciones o sin solución. Demostrar cuál de estas posibilidades es el caso transformando sucesivamente la ecuación dada en formas más sencillas, hasta que resulte una ecuación equivalente de la forma x = a, a = a, o a = b (donde a y b son números diferentes).
b Resolver ecuaciones lineales con coeficientes de números racionales, incluyendo ecuaciones cuyas soluciones requieren expandir expresiones usando la propiedad distributiva y juntando términos semejantes. 8
Analizar y resolver pares de ecuaciones lineales simultáneas. a Comprender que las soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables corresponden a puntos de intersección de sus gráficos, porque los puntos de intersección satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente. b Resolver sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables algebraicamente, y estimar soluciones graficando las ecuaciones. Resolver casos sencillos por inspección. Por ejemplo, 3x + 2y = 5 y 3x + 2y = 6 no tienen solución porque 3x + 2y no pueden ser simultáneamente 5 y 6. c Resolver problemas matemáticos y del mundo real que den lugar a dos ecuaciones lineales en dos variables. Por ejemplo, dadas las coordenadas de dos pares de puntos, determinar si la recta que pasa por el primer par de puntos intersecta a la recta que pasa por el segundo par.
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INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
GRADO
ESTÁNDAR Representar restricciones mediante ecuaciones o inecuaciones, y mediante Sistemas de ecuaciones y/o inecuaciones, e interpretar las soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelado. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de costo en combinaciones de diferentes alimentos.
Demostrar que, dado un sistema de dos ecuaciones en dos variables, la sustitución de una ecuación por la suma de esa ecuación y un múltiplo de la otra produce un sistema con las mismas soluciones.
Álgebra
Resolver Sistemas de ecuaciones lineales de forma exacta y aproximada (por ejemplo, con gráficos), centrándose en pares de ecuaciones lineales en dos variables.
Comprender que el gráfico de una ecuación en dos variables es el conjunto de todas sus soluciones trazadas en el plano de coordenadas, a menudo formando una curva (que podría ser una recta).
Explicar por qué las coordenadas x de los puntos de intersección de los gráficos de las ecuaciones y = f(x) e y = g(x) son las soluciones de la ecuación f(x) = g(x); hallar las soluciones de forma aproximada, por ejemplo, usando tecnología para graficar las funciones, hacer tablas de valores o encontrar aproximaciones sucesivas. Incluir casos en los que f(x) y/o g(x) sean funciones lineales, polinómicas, racionales, de valor absoluto, exponenciales y logarítmicas.
Álgebra
Representar restricciones mediante ecuaciones o desigualdades, y mediante Sistemas de ecuaciones y/o desigualdades, e interpretar soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelado.
Explicar por qué las coordenadas x de los puntos donde se cruzan los gráficos de Las ecuaciones y = f(x) e y = g(x) son las soluciones de la ecuación f(x) = g(x); hallar las soluciones de forma aproximada, por ej., utilizar la tecnología para representar gráficamente las funciones, hacer tablas de valores o encontrar aproximaciones sucesivas. Incluir casos en los que f(x) y/o g(x) sean funciones lineales, polinómicas, racionales, de valor absoluto, exponenciales y logarítmicas.
Álgebra 2
Representar un sistema de ecuaciones lineales como una única ecuación matricial en una variable vectorial.
Encontrar la inversa de una matriz, si existe, y utilizarla para resolver Sistemas de ecuaciones lineales (utilizando tecnología para matrices de dimensión 3 × 3 o superiores).
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA MONITOREAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA La guía de instrucción andamiada se proporciona para que los maestros puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones del alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que ayuda a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de la evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos según los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere que todos los estudiantes experimenten con los elementos: «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades», ya que cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar. 0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
80 % - 100 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil pueden trabajar en contenido de nivel de grado con apoyos de instrucción.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» individual para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 2. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante de acuerdo con sus datos de evaluación. 3. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la sección «Scaffolded Instruction Guide» en el menú desplegable «Home» del alcance. 4. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
• ¡Corregir el error! Práctica interactiva • Misión del droide
Alg.I - Sistemas de ecuaciones Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades
25 % - 50 %
Prueba de habilidades
• Revisión general (Preguntas 1, 3, 4, 6-10)
Alg.I - Sistemas de ecuaciones Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Constructor de fluidez • Coincidencia de coordenadas
(Nivel de grado con apoyos)
Constructor de fluidez
(Nivel de grado)
Repaso de habilidades y práctica
0 % - 25 %
8 - Resolver pares de ecuaciones lineales
(Refuerzo del grado anterior)
Demostrar que, dado un sistema de dos ecuaciones en dos variables, reemplazar una ecuación por la suma de esa ecuación y un múltiplo de la otra, produce un sistema con las mismas soluciones.
50 % - 80 %
(Refuerzo del grado anterior) (Nivel de grado con apoyos) (Nivel de grado)
50 % - 80 %
25 % - 50 %
0 % - 25 %
Representar las restricciones mediante ecuaciones o desigualdades, y mediante Sistemas de ecuaciones y/o desigualdades, e interpretar las soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelado. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de costo en combinaciones de diferentes alimentos.
8 - Resolver pares de ecuaciones lineales Repaso de habilidades y práctica Constructor de fluidez • ¡Corregir el error! Práctica interactiva • Misión del droide Prueba de habilidades
Alg.I - Sistemas de ecuaciones Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión general (Preguntas 3, 4, 5, 6, 8)
Alg.I - Sistemas de ecuaciones Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo
¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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(Ampliación del nivel de grado)
Alg.I - Sistemas de ecuaciones
80 % - 100 %
80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
Ciencia de datos
Alg.I - Sistemas de ecuaciones Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Entender que el gráfico de una ecuación en dos variables es el conjunto de todas sus soluciones trazadas en el plano de coordenadas, a menudo formando una curva (que podría ser una línea). 8 - Relaciones proporcionales
8 - Resolver pares de ecuaciones lineales
Repaso de habilidades y práctica
Repaso de habilidades y práctica • ¡Corregir el error! Práctica interactiva • Misión del droide Prueba de habilidades
Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales
• Evaluación de velocidad del robot Prueba de habilidades 8 - Resolver pares de ecuaciones lineales Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • ¡Corregir el error!
Prueba de habilidades
25 % - 50 %
• Revisión general (Preguntas 1-10)
Práctica interactiva
• Misión del droide
• Revisión rápida (Preguntas 1-3) • Repaso (Sección: Resolver sistemas usando gráficos y tablas. Sección: resolver sistemas usando sustitución. Sección: resolver sistemas usando eliminación, Sección: seleccionar métodos para resolver sistemas).
• ¡Corregir el error!
Práctica interactiva
Repaso y práctica de habilidades
(Nivel de grado con apoyos)
(Nivel de grado con apoyos)
25 % - 50 %
Alg.I - Sistemas de ecuaciones
(Refuerzo del grado anterior)
Constructor de fluidez
Constructor de fluidez
0 % - 25 %
(Refuerzo del grado anterior)
0 % - 25 %
Resolver sistemas de ecuaciones lineales de manera exacta y aproximada (por ejemplo, con gráficos), enfocándose en pares de ecuaciones lineales en dos variables.
Alg.I - Sistemas de ecuaciones Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales
Alg.I - Sistemas de ecuaciones
Libreta interactiva Práctica interactiva • Den paso a los pingüinos Constructor de fluidez • Coincidencia de coordenadas
(Nivel de grado)
Vocabulario interactivo 50 % - 80 %
(Nivel de grado)
50 % - 80 %
Vocabulario ilustrado
Alg.I - Sistemas de ecuaciones Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo
¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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80 % - 100 %
Alg.I - Sistemas de ecuaciones
(Ampliación del nivel de grado)
(Ampliación del nivel de grado)
80 % - 100 %
Ciencia de datos
Alg.I - Sistemas de ecuaciones Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Explicar por qué las coordenadas x de los puntos donde se cruzan los gráficos de Las ecuaciones y = f (x) e y = g (x) son las soluciones de la ecuación f (x)= g (x); encontrar las soluciones de forma aproximada, por ejemplo, utilizando tecnología para representar gráficamente las funciones, hacer tablas de valores o encontrar aproximaciones sucesivas. Incluir casos en los que f (x) y/o g (x) sean funciones lineales, polinómicas, racionales, de valor absoluto, exponenciales y logarítmicas. 8 - Relaciones proporcionales Repaso y práctica de habilidades (Refuerzo del grado anterior)
0 % - 25 %
Constructor de fluidez • ¡Corregir el error! Práctica interactiva • Evaluación de velocidad del robot Prueba de habilidades 8 - Resolver pares de ecuaciones lineales Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • ¡Corregir el error! Práctica interactiva • Misión del droide
(Nivel de grado con apoyos) (Nivel de grado)
50 % - 80 %
25 % - 50 %
Prueba de habilidades
Alg.I - Sistemas de ecuaciones Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (Pregunta 1) • Repaso (Sección: Resolver sistemas usando gráficos y tablas) • Revisión general (Preguntas 1, 2, 9, 10)
Alg.I - Sistemas de ecuaciones Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Constructor de fluidez • Coincidencia de coordenadas
80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
Ciencia de datos
Alg.I - Sistemas de ecuaciones Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
ATRAER: ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS Systems of Equations
EVALUAR PREVIAMENTE EL CONOCIMIENTO DEL ESTUDIANTE
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: NO PERTENECE ESTÁNDAR PREVIO Analizar y resolver pares de ecuaciones lineales simultáneas.
Does Not Belong Determine which letter does not belong in each group, and explain your thinking. A
C
y = 2x + 5
3y – 6x = 15
2y = 8 + 4x
10 = 2y – 4x
B
D
5y = 10x – 2
7y = 14x + 35
−y = 5 – 2x
10y = 5x + 20
DESCRIPCIÓN Los estudiantes examinarán una serie de tablas basadas en el estándar previo y determinarán qué opción «No pertenece» al grupo. Este elemento está diseñado para descubrir los conceptos erróneos de los estudiantes; no debe tomarse para una calificación.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto «No pertenece» (por estudiante o grupo)
PREPARACIÓN
Letter ______ does not belong because ___________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________
• Imprima una copia del folleto «No pertenece» para cada estudiante o grupo.
1
• Puede colocar a los estudiantes en grupos de dos o tres. Systems of Equations
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya una copia del folleto «No pertenece» a cada estudiante o grupo. 2. Explique que cada tabla del folleto contiene cuatro opciones. Tres de las opciones van juntas, mientras que una no pertenece. 3. Pida a los estudiantes que determinen qué letra «No pertenece» a cada grupo y que expliquen lo que piensan. ◦ En la primera página: La D no pertenece. A, B y C tienen la misma pendiente, m = 2. ◦ En la segunda página: C no pertenece. A, B y D tienen la misma y-intercepción, b = 7.
Does Not Belong Determine which letter does not belong in each group, and explain your thinking. A
C
y = 7 + 4x
2y = 14x + 7
y = 7x + 7
y = 7x + 14
B
D
y = −3x + 7
y = 7 + 1.5x
2y = 10x + 14
−y = 3x – 7
4. Concluya dirigiendo un debate. 5. Si los estudiantes tienen dificultades para completar esta tarea, realice el «Constructor de bases fundamentales» para llenar este vacío de conocimientos previos antes de pasar a otras partes del alcance.
Letter ______ does not belong because ___________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________
2
NO PERTENECE
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ATRAER: CAPTAR INTERÉS Systems of Equations
LECCIÓN MOTIVADORA
CAPTAR INTERÉS DESCRIPCIÓN Los estudiantes relacionarán la resolución de sistemas de ecuaciones con una situación del mundo real.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 sistemas de ecuaciones (por clase) REUTILIZABLES SISTEMAS DE ECUACIONES
• 1 video de fenómenos (por clase)
PREPARACIÓN
• Planifique la proyección del video. • Prepárese para proyectar «Sistemas de ecuaciones» para que lo vea toda la clase. • Prepárese para presentar el escenario y animar a los estudiantes a pensar en cómo resolverlo. Prepárese para pasar a las actividades de «Exploración», regresando a la actividad de «Captar interés» con los nuevos conocimientos adquiridos una vez que se hayan completado las «Exploraciones».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA
1. Introduzca esta actividad hacia el comienzo del alcance. La clase retomará la actividad y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades de la sección «Explorar» correspondientes. 2. Explique la situación mientras muestra el video detrás de usted. «Un perro golden retriever grande es perseguido por un perro salchicha más pequeño en la nieve. ¿Crees que el perro salchicha lo alcanzará? En caso afirmativo, ¿Cuándo?». 3. Haga las siguientes preguntas a los estudiantes: «¿Qué observas? ¿Qué se preguntan? ¿Dónde puedes ver matemáticas en esta situación?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Observo que el perro más pequeño parece moverse más rápido. Observo que ambos perros se mueven en la misma dirección. Me pregunto si podríamos calcular la velocidad de cada perro. Me pregunto qué distancia ha recorrido cada perro durante el video. Me pregunto si los perros se mueven a una velocidad constante. 4. Proyecte el video «Sistemas de ecuaciones».
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5. Explique que este sistema de ecuaciones puede representar a los perros corriendo. Realice las siguientes preguntas: ◦ DOK-1 «¿Por qué este escenario requiere dos ecuaciones?». Necesitamos representar a los dos perros del video. ◦ DOK-2 «¿Qué ecuación crees que representa a cada perro?». Permita que los estudiantes compartan sus ideas. Las respuestas de los estudiantes variarán. La ecuación de arriba representa al perro más grande porque tiene más ventaja. La ecuación inferior representa al perro más pequeño porque tiene una mayor velocidad. ◦ DOK-1 «¿Qué crees que significan x e y en este escenario?». Creo que x es el tiempo que pasa, probablemente en segundos según el video. Creo que y representa la distancia recorrida por cada uno de los perros desde un punto de referencia u otro punto de partida. 6. Comparta con los estudiantes que la siguiente pregunta guía se utilizará a lo largo del tema: «¿Cómo resolvemos dos ecuaciones a la vez?». 7. Complete las actividades de «Exploración». PARTE II: DESPUÉS DE EXPLORAR
1. Vuelva a mostrar el video del fenómeno y vuelve a plantear el problema. 2. Consulte «Sistemas de ecuaciones» y comente las siguientes preguntas: ◦ DOK-2 «¿Cómo resolverías este sistema de ecuaciones después de las “Exploraciones”?». Utilizaría la sustitución o graficaría ambas rectas utilizando la tecnología y buscaría el punto de intersección. ◦ DOK-1 «¿El perro más pequeño alcanza al perro más grande?». Sí, después de un poco menos de 16 segundos, siempre y cuando ambos continúen al mismo ritmo. ◦ DOK-1 «¿Sientes que tienes una sólida comprensión de los “Sistemas de ecuaciones”?». Las respuestas variarán en función del éxito de los estudiantes durante la actividad y de su nivel de confianza. 371
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Systems of Equations Explore 1
LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 1: RESOLVER SISTEMAS UTILIZANDO GRÁFICOS Y TABLAS DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizarán gráficos y tablas para resolver sistemas de ecuaciones. Los estudiantes aproximarán soluciones usando tablas.
To Wash or Not to Wash? Part I
Use the information about the Gas Galore special to write equations, complete the table, and graph both options on the grid provided. Once completed, analyze the data and answer the questions that follow. 2x + 5 Cost of gas with a car wash: y1 = ______________ 2.5x Cost of gas without a car wash: y2 = ______________
ESTÁNDARES DE LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.3 Construir argumentos viables y analizar el razonamiento de otros: Los estudiantes analizarán problemas y utilizarán supuestos matemáticos establecidos, definiciones y resultados establecidos en argumentos de construcción. Los estudiantes justificarán conclusiones con ideas matemáticas. Los estudiantes compararán dos argumentos y determinarán la lógica correcta o errónea. • MP.6 Atender a la precisión: Los estudiantes calcularán con eficiencia y precisión. Los estudiantes se comunicarán con precisión con los demás y tratarán de utilizar un lenguaje matemático claro cuando realicen sus razonamientos.
1.
x
y1
0
5
y2 0
4
13
10
8
21
20
12
29
30
16
37
40
20
45
50
24
53
60
28
61
70
If you need 24 gallons of gas, would you get the car wash? Explain. Yes, it would make the total cost cheaper, plus I would have a clean car!
2.
Which option would you choose if you needed 10 gallons of gas? Why? The cost for 10 gallons of gas would be the same with either option. Answers will vary. I would choose the car wash option because I would pay the same amount and receive a bonus car wash.
• MP.7 Buscar y utilizar estructuras: Los estudiantes aplicarán reglas matemáticas generales a situaciones concretas. Los estudiantes buscarán la estructura general y los patrones en las matemáticas.
1
MATERIALES IMPRESOS
Systems of Equations Explore 1
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de «Tarjetas de opciones de gasolineras» (por grupo) • 1 boleto de salida (por estudiante) REUTILIZABLE
Part II
For each gas station option, write an equation, sketch the line, and complete the table. Compare each gas station option to the Gas Galore data provided below to determine which gas station would be a better option if you need 12 gallons of gas. Gas Galore or Fuel N’ More Gas Galore equation
• 1 bolsa resellable (por grupo)
PREPARACIÓN
Sketch
Table
y = 2x + 5 Fuel N’ More equation: y = 3x + 3
• Separe la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» y un «Boleto de salida» para cada alumno. • Imprima un juego de «Tarjetas de opciones de gasolineras», en cartulina para mayor durabilidad, para cada grupo de estudiantes. Recorte las tarjetas y colóquelas dentro de una bolsa resellable con la etiqueta «Parte II».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
a. b.
2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno.
372
SS NA-Math TE A1-V1.indb 372
GG
FNM
0
5
3
2
9
9
4
13
15
6
17
21
8
21
27
Which gas station is cheaper for 12 gallons of gas? Gas Galore At what cost and amount of gas will both gas stations be the same? Both gas stations will charge $9 for 2 gallons of gas. Gas Galore or Fillin’ Station
Gas Galore equation
Sketch
Table
y = 2x + 5 Fillin’ Station equation: y = 2x + 5
«PARTE I» 1. Lea la siguiente situación a la clase: «Mientras conduces por la carretera, oyes el temido "ding ding" de tu coche. Miras hacia abajo y te das cuenta de que no tienes combustible. Entras en la gasolinera más cercana, Gas Galore, donde te das cuenta de que tienen una oferta especial: "Lava el coche por $5 y llévate la gasolina por $2 el litro". Si no lavas el coche, la gasolina te costará $2.50por litro. Si necesitas 24 galones de gasolina para llenar el tanque, ¿Qué opción te conviene más?».
x
a. b.
x
GG
FS
0
5
5
2
9
9
4
13
13
6
17
17
8
21
21
Which gas station is cheaper for 12 gallons of gas? They are the same. At what cost and amount of gas will both gas stations be the same? Both gas stations cost the same for any amount of gas. 2
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1/9/26 1:32 PM
ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Systems of Equations Explore 1
3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para escribir una ecuación para cada opción, completar la tabla y graficar ambas opciones en la cuadrícula proporcionada en sus «Diarios del estudiante». Recuerde a los estudiantes que presten mucha atención a qué opción es y1 y qué opción es y2. Los estudiantes analizarán los datos y responderán a las preguntas que siguen.
Gas Galore or Gas ‘Er Up Gas Galore equation
Sketch
Table
y = 2x + 5 Gas ‘Er Up equation: y = 2x + 7
a. b.
x
GG
0
5
GEU 7
4
13
15
8
21
23
12
29
31
16
37
39
4. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar la comprensión:
Which gas station is cheaper for 12 gallons of gas? Gas Galore At what cost and amount of gas will both gas stations be the same? These two gas stations will never have an amount of gas that costs the same.
◦ DOK-1 «¿Cómo determinaste la ecuación para cada opción?». El lavado de coches es una tarifa única, por lo que no tendría una variable asociada. El precio por galón tiene una variable porque el número de galones cambiará el costo de ese artículo.
Gas Galore or Gas and Go Gas Galore equation
Sketch
Table
y = 2x + 5 Gas and Go equation: y = 1.5x + 10
a. b.
x
GG
G and G
0
5
10
4
13
16
8
21
22
12
29
28
16
37
34
◦ DOK-2 Explique su proceso para completar la tabla y graficar cada opción. Las respuestas variarán. Algunos estudiantes pueden graficar usando la pendiente y la intersección con el eje y, y luego completar la tabla leyendo las coordenadas de la gráfico. Otros pueden sustituir valores en Las ecuaciones para completar la tabla y luego trazar esos pares ordenados en el gráfico.
Which gas station is cheaper for 12 gallons of gas? Gas and Go At what cost and amount of gas will both gas stations be the same? Both gas stations will charge $25 for 10 gallons of gas.
3
5. Conceda a los estudiantes suficiente tiempo para completar la «Parte I» y responder a las preguntas que siguen. 6. Después de completar la «Parte I» , invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje hasta el momento. CHARLA DE MATEMÁTICAS
Systems of Equations Explore 1
Reflect 1.
Did every pair of equations have one intersection? Explain. No, one pair of equations was parallel and did not intersect. Another pair of equations was graphed on top of each other.
2.
Is it possible for a system of linear equations to have exactly two solutions? Why or why not? If two lines intersect more than once, then they must be on top of each other and coincide. When lines intersect once, they get farther apart from each other as they move away from the point of intersection, so there could not be another point of intersection.
3.
How can you identify the intersection of a system of equations from a table? The intersection will be where the y values for both of the equations are the same.
4.
How can you use a table to approximate the solution to a system of equations? Focus on the y values in the table. Identify where the values switch (y1 is greater/less than y2, but then the values switch and y2 is greater/less than y1), and then estimate based on how far apart the values are. Use substitution of the values to plug in to the system, and verify the solution.
5.
Design a pair of linear equations whose graphs never intersect. y1 = _______________ y2 = _______________ Answers will vary. In slope-intercept form, the slope of each line students create should be the same, but the y-intercept should be different.
4
• DOK-1 «¿Cuál es la intersección de estas dos rectas, y qué significa ese par ordenado en términos del escenario?». La intersección es (10, 25). La intersección representa el punto en el cual el costo de la misma cantidad de gasolina sería el mismo para ambas opciones. Para 10 galones de gasolina, costará 25 $ para ambas opciones. • DOK-1 «¿Dónde cae esa intersección en la tabla?». No aparece en la tabla, pero está entre puntos que sí aparecen (entre x = 8 y x = 12). • DOK-1 « Analiza la tabla. ¿Qué patrones observas con los valores y de cada opción antes y después de la intersección?». Cuando x es menor o igual que 8, los valores de y1 son mayores que y2. Cuando x es mayor o igual que 12, los valores de y2 son mayores que y1. La intersección debe estar comprendida entre x = 8 y x = 12. • DOK-2 «¿Cómo podrías utilizar los valores y de la tabla para determinar la intersección?». Si sé que la intersección está entre x = 8 y x = 12, puedo elegir valores para x para sustituir en cada ecuación para ver si los resultados son iguales.
Explique lo siguiente a la clase: Cuando se trabaja con dos o más ecuaciones lineales simultáneamente, los matemáticos llaman a esto un sistema de ecuaciones. El punto de intersección se llama solución porque satisface ambas ecuaciones simultáneamente.
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SS NA-Math TE A1-V1.indb 373
373
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Systems of Equations Explore 1
PARTE II 1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Justo al final de la calle hay un cruce con una gasolinera en cada esquina. ¡Ahora sí que tienes opciones! Analiza los datos para determinar qué opciones de gasolineras serían mejores que Gas Galore si sólo necesita 12 galones de gasolina. Además, determina a qué costo y para qué cantidad de gasolina ambas gasolineras serán iguales».
Solve Systems Using Graphs and Tables Exit Ticket 1.
2. Entregue un juego de «Tarjetas de opciones de gasolineras» a cada grupo de estudiantes.
Identify the solution to the system shown. Show the solution on the graph and on the table. y1 = 3x + 9 y2 = 4x + 7
x
y1
0
9
7
(2, 15)
1
12
11
2
15
15
3
18
19
3. Cada grupo debe tener aún sus «Diarios del estudiante» y debe pasar a la «Parte II». 4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para analizar las otras opciones de gasolineras, escribir una ecuación, crear un esquema y completar la tabla. Compararán cada opción con Gas Galore para determinar qué gasolinera sería la mejor opción para comprar 12 galones de gasolina. Los estudiantes también identificarán la intersección de cada par de ecuaciones y determinarán lo que eso significa en el escenario. 5. Señale a la clase que como decidimos que el lavado de autos sería la mejor opción, usaremos esa ecuación como la comparación para la estación de Gas Galore (y1 de la «Parte I» ).
Different systems of equations are represented in the tables in questions 2–4. Identify the number of solutions for each system, and explain your reasoning. 2.
x
y1
y2
0
1
1
3.
4.
x
y1
y2
x
y1
y2
−2
−1
5
5
−5
2
4
2
0
0
7
7
−4
4
6
2
3
2
1
9
9
−3
6
8
3
4
4
2
11
11
−2
8
10
One solution: (3, 4)
Infinitely many solutions because all y-values are the same.
6. Mientras los estudiantes colaboran, monitoree su trabajo y use las siguientes preguntas guía para evaluar la comprensión: ◦ DOK-2 «¿Por qué dos ecuaciones se conocen como un sistema de ecuaciones?». Cuando se trabaja con más de una ecuación simultáneamente, los matemáticos llaman a esto un sistema de ecuaciones. ◦ DOK-2 «¿Por qué se refiere a la intersección como la solución del sistema?». La intersección es la coordenada que satisface ambas ecuaciones. Si la intersección hace que cada ecuación sea verdadera, entonces también es la solución. ◦ DOK-2 «¿Cómo puedes determinar la intersección a partir de la tabla Combustible y más?». Puedo ver que ambas gasolineras tienen la coordenada (2, 9) en la tabla. Esto significa que (2, 9) es la intersección. Esta coordenada hace que ambas ecuaciones sean verdaderas. ◦ DOK-2 «Cuando tienes un sistema de ecuaciones, ¿Cómo puedes comprobar si tu solución es correcta?». Podrías buscar el punto de intersección en el gráfico y encontrar un punto en común en la tabla de cada ecuación. También podrías sustituir el punto en ambas ecuaciones y comprobar que hace que ambas ecuaciones sean verdaderas. ◦ DOK-2 «¿Un sistema de ecuaciones tiene que tener una intersección?». Explica. No, los gráficos de Las ecuaciones podrían ser paralelas y nunca se intersectarían. Los gráficos de Las ecuaciones también podrían estar una sobre la otra, lo que significa que son la misma línea. En este caso tampoco habría punto de intersección.
374
SS NA-Math TE A1-V1.indb 374
y2
No solution because both equations have the same slope, so they are parallel lines.
«BOLETO DE SALIDA» CLAVE DE RESPUESTAS
7. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la «Parte II» y responder a las preguntas que siguen. 8. Después de realizar la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje. CHARLA MATEMÁTICA
• DOK-1 «¿Cómo determinaste qué opciones eran mejores que Gas Galore?». Miré el gráfico o la tabla para determinar qué opciones eran más baratas para 12 galones de gasolina. • DOK-1 «¿Qué notaste en los gráficos de Combustible y más y Gasolina y listo?». Ambas gráficos contenían un punto de intersección. 9. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y «LIBRETA INTERACTIVA»
• Asegúrese de realizar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez completado, pida a cada estudiante que complete su «Libreta interactiva» .
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES Systems of Equations Part 1
Solve Systems Using Graphs and Tables
APOYOS PEDAGÓGICOS
Identify the solution to the system of equations shown. Show the solution on the graph and in the table. 1.
y1 = 2x y2 = −x + 6
Solution: (2, 4)
2.
x
y1
y2
0
0
6
1
2
5
2
4
4
3
6
3
Complete the table so that there would be an infinite number of solutions. x
y1
y2
1
2
2
3
6
6
5
10
10
7
14
14
3.
1. Los estudiantes pueden tener dificultades para seguir la pista de diferentes gráficos cuando se trazan en la misma cuadrícula de coordenadas. Anímelos a utilizar diferentes colores para crear cada gráfico y luego etiquetar cada gráfico. 2. Los estudiantes pueden tener dificultades para conectar los gráficos de nuevo a su contexto. Anímelos a identificar sus ejes y definir sus variables.
Complete the table so that there would be no solution.
There are many possible answers, but y2 must be parallel to y1.
x
y1
y2
0
10
8
1
9
7
2
8
6
3
7
5 1
Systems of Equations Part 1
4.
Cassandra was looking at the prices for getting a taxi. She found 2 companies. The first one charges a $5 pickup fee and then $2.50 per mile driven. The second company only has a $3 pickup fee, but the cost per mile is $3.00. a.
Write the equations to represent the costs of the two taxi services. y1 = 2.5x + 5 y2 = 3x + 3
b.
Complete the table, and graph the solutions.
c.
Miles
y1
y2
0
5
3
2
10
9
4
15
15
6
20
21
8
25
27
10
30
33
La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje es apoyada en esta actividad de «Exploración». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo del lenguaje de los estudiantes. Se les proporcionará apoyos previos a la lectura (organizadores gráficos, diagramas de formas y vocabulario preenseñado) para ayudarlos en la comprensión de la lectura.
Use your graph to approximate the solution to the system of equations. In this scenario, what does the solution tell Cassandra? The solution is approximately (4, 15). This tells Cassandra that if she is going less than 4 miles, she should use the second taxi service, as that one will be cheaper. But if she is going more than 4 miles, she should use the first service. If she is going exactly 4 miles, the prices are the same.
Systems of Equations Part 1
Your job is to solve the equation yet. a. Use technology to graph to the original equation.
. Sketch the graphs below and determine the solution
Fill out the tables below to approximate the solution to the equation x2 + 3x – 10 = |x – 1| – 10. x
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
f(x) = x2 + 3x – 10
0
–6
–10
–12
–12
–10
–6
0
8
g(x) = |x – 1| – 10
–4
–5
–6
–7
–8
–9
–10
–9
–8
Since the function switches from f(x) > g(x) to g(x) > f(x) between x = –5 and x = –4 and from g(x) > f(x) to f(x) > g(x) between x = 0 and x = 1, there is a solution on each of these two intervals. I will approximate one solution at x = –4.2 because the solution will be closer to x = –4 than x = –5 and I will approximate the other solution at x = 0.2 since the solution will be closer to x = 0 than x = 1. 3
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS
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SS NA-Math TE A1-V1.indb 375
Principiante: Como actividad previa a la lección, guíe a los estudiantes en la creación de un cuadrado de vocabulario para el término «Sistema de ecuaciones». Complete las siguientes secciones del cuadrado de vocabulario como clase: Definición, ejemplo (problema matemático) y No ejemplo. Pida a los estudiantes que creen su propia imagen para cada término. Intermedio: Como actividad previa a la clase, pida a los estudiantes que creen un cuadrado de vocabulario para el término «Sistema de ecuaciones». Los cuadrados de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, ejemplo (problema matemático), No ejemplo e imagen. Proporcione a los estudiantes la definición y el ejemplo, pero anímelos a reescribir la definición con sus propias palabras.
even though you have not studied rational or logarithmic equations and
The solution to the equation is x = 2 because the graphs f(x) and g(x) intersect at (2, 1) which means that when x = 2 is substituted into the left and right side of the equation, both sides will equal 1 and the equation is true.
6.
3. Los estudiantes pueden tener dificultad para determinar intersecciones basadas en tablas cuando las intersecciones no son aparentes. Anímelos a encontrar al menos un rango de valores de x e y donde debe haber una intersección y luego tratar de sustituir esos valores en Las ecuaciones de las rectas para ver si son soluciones.
APOYOS LINGÜÍSTICOS
2
5.
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
Avanzado: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que creen un cuadrado de vocabulario para el término «Sistema de ecuaciones». Los cuadrados de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, ejemplo (problema matemático), No ejemplo e imagen. Proporcione a los estudiantes la definición y el ejemplo, pero anímeles a reescribir la definición con sus propias palabras.
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Systems of Equations Explore 2
LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 2: RESOLVER SISTEMAS USANDO SUSTITUCIÓN
Bills and Basketballs Part I
Use the information below to determine how much each player is currently getting paid.
DESCRIPCIÓN
Henry’s and Tomas’s total salaries combined from last year were $30 million.
Los estudiantes utilizarán la sustitución para resolver sistemas de ecuaciones.
ESTÁNDARES DE LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.3 Construir argumentos viables y analizar el razonamiento de otros: Los estudiantes analizarán problemas y utilizarán supuestos matemáticos, definiciones y resultados establecidos en argumentos de construcción. Los estudiantes justificarán conclusiones con ideas matemáticas. Los estudiantes compararán dos argumentos y determinarán la lógica correcta o errónea. • MP.6 Atender a la precisión: Los estudiantes calcularán con eficiencia y precisión. Los estudiantes se comunicarán con precisión con los demás y tratarán de utilizar un lenguaje matemático claro cuando realicen sus razonamientos.
Last year, Tomas made $10 million.
1.
Equations 1 and 2 are given in the table below to represent this situation. What do the variables represent? Write this information in the Variables column.
2.
Which equation gives Tomas’s salary in terms of millions of dollars? Equation 2 shows T = 10, which means Tomas’s salary is 10 million dollars.
3.
Use the information on the papers and the given equations to determine Henry’s current salary. Show your work in the Substitution to Solve column. Variables
H = Henry’s salary T = Tomas’s salary
Equation 1 H + T = 30
Equation 2
Substitution to Solve H + 10 = 30 H = 20
T = 10
4.
Write a sentence to explain your solution in context. Henry made 20 million dollars.
5.
Check your answer using substitution or graphing. H + T = 30 20 + 10 = 30 30 = 30 ✔
1
• MP.7 Buscar y utilizar estructuras: Los estudiantes aplicarán reglas matemáticas generales a situaciones concretas. Los estudiantes buscarán la estructura general y los patrones en las matemáticas.
MATERIALES IMPRESOS
Systems of Equations Explore 2
To prepare contracts for next year, use the pieces of paper you found below. They show what the manager was thinking for next year.
• 1 diario del estudiante (por alumno)
Henry’s and Tomas’s total salaries combined will equal $45 million.
• 1 juego de «tarjetas de información salarial» (por grupo) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes) REUTILIZABLE
• 1 bolsa resellable (por grupo)
6.
Identify the variables for this situation in the Variables column in the table below.
7.
Write an equation for their combined salaries in the Equation 1 column.
8.
Write an equation for Tomas’s salary in terms of Henry’s salary in the Equation 2 column.
9.
Which equation has a variable already isolated? Using this equation, what expression could be substituted into the other equation? Equation 2 has T isolated. This can be used to substitute H – 22 into equation 1 for T.
10.
Use substitution to solve, and record your work in the Substitution to Solve column.
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima un juego de «Tarjetas de información salarial», en cartulina para que duren, para cada grupo de estudiantes. Recorte las tarjetas y colóquelas en una bolsa resellable etiquetada como «Parte II». • Imprima un «Boleto de salida» por cada 2 estudiantes. Corte los «Boletos de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno.
Tomas will make $22 million less than Henry.
Variables H = Henry’s salary T = Tomas’s salary
Equation 1
Equation 2
H + T = 45
T = H – 22
Substitution to Solve H + H – 22 = 45 H = 33.5
11.
Use substitution to determine the value of T. T = 11.5
12.
How much will Henry make? 33.5 million
13.
How much will Tomas make? 11.5 million
14.
Write a sentence to describe the solution in context. Answers may vary. Tomas will make 11.5 million, and Henry will make 33.5 million.
2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
376
SS NA-Math TE A1-V1.indb 376
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Systems of Equations Explore 2
Part II 1.
Use the information on the Salary Information Cards about Yuto’s and Alexander’s salaries to figure out how much these players are getting paid. Remember that each number really represents millions!
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Yuto’s and Alexander’s Salaries Variables: A = Alexander’s salary Y = Yuto’s salary
Equations: A=Y–1 2Y + 3A = 17
PARTE I
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Acabas de hacerte cargo del equipo de baloncesto Hoopers, pero los libros de contabilidad son un desastre. Tienes que averiguar cuánto cobra cada jugador, pero el entrenador que te precedió sólo te dejó pequeños trozos de papel con información. Utiliza los trozos que te han dejado para averiguar cuánto cobra cada uno».
Which equation has an isolated variable? A = Y – 1 Use substitution to solve. 2Y + 3 (Y – 1) = 17 2Y + 3Y – 3 = 17 5Y = 20 Y=4 A=4–1 A=3
Alexander’s salary: 3 million
2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno.
Yuto’s salary: 4 million
3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para determinar la información sobre los salarios del año pasado utilizando las pistas de los trozos de papel, y luego planificarán los salarios de este año.
Write a sentence to describe your solution in context. Answers will vary. Yuto makes 4 million, and Alexander makes 3 million.
3
4. Explique que cuando planifiquen este año, trabajarán con sus grupos para definir sus variables, escribir dos ecuaciones, identificar cuánto dinero gana cada jugador y registrar su trabajo en sus «Diarios del estudiante».
Systems of Equations Explore 2
2.
Systems of Equations Explore 2
Reflect
Use the information on the Salary Information Cards about Andres’s and Lashawn’s salaries to figure out how much these players are getting paid. Remember that each number really represents millions!
1.
What does it mean to be a solution to a system of equations? It means the ordered pair satisfies both equations.
2.
Explain how to use substitution in the system below without fully isolating a variable. Equation 1: 4x = 5y Equation 2: 4x + 3y = 17 5y could be substituted into equation 2 in place of 4x to get 5y + 3y = 17.
Andres’s and Lashawn’s salaries Variables: A = Andres’s salary L = Lashawn’s salary
Equations: A–L=6 A + 2L = 15
3.
Choose an equation, and isolate a variable. A–L=6 A=L+6
System 1
System 2
System 3
4a – b = 50 5a + b = 21
4e + 5f = 20 4e + 33 = 8f
3m + n = 5 n = 4m – 2
Answers will vary. With some rearranging, all systems could be solved by substitution without cumbersome computation. System 3 would be most conducive to solving by substitution because the second equation already has an isolated variable.
Use substitution to solve. L + 6 + 2L = 15 3L + 6 = 15 3L = 9 L=3
4.
A=3+6 A=9
Lashawn’s salary: 3 million
Choose a system of equations from the table below, and make a case for why you would or would not choose to solve that system using substitution.
What characteristic(s) indicate(s) that a system of equations can be solved efficiently using substitution? A system of equations can be efficiently solved using substitution if you have one equation with an isolated variable, or each equation has the same variable/coefficient combination. For example, System 2 in the previous question has 2 equations with 4e. This makes substitution fairly efficient.
Andres’s salary: 9 million
Write a sentence to describe your solution in context. Answers will vary. Lashawn’s salary is 3 million, and Andres has a salary of 9 million.
4
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5
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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1/9/26 1:32 PM
ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Systems of Equations Explore 2
5. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientadoras para evaluar la comprensión: ◦ DOK-1 «¿Cómo identificaste las variables que necesitarías?». Las respuestas variarán. Como nos pidieron que determináramos el salario, utilicé T para Tomás y E para Enrique. ◦ DOK-2 «Explica cómo determinaste el salario de Enrique». Las respuestas pueden variar. Sustituye 10 para Tomás para identificar que el de Enrique es 20. ◦ DOK-2 «Explica cómo la sustitución de 10 en la ecuación 1 permite resolverla». Cuando sustituyo 10 en la ecuación 1, tengo una ecuación con una sola variable. Esto es algo que sé cómo resolver. ◦ DOK-1 «¿Cómo se pueden comprobar las respuestas?». Sustituye la solución del sistema de ecuaciones. Asegúrate de que satisface Las ecuaciones del sistema. ◦ DOK-2 «Explica cómo determinaste el salario de Enrique». Escribí dos ecuaciones, sustituí la segunda en la primera para resolver E, y luego sustituí E para resolver T. ◦ DOK-2 «¿Cómo decidiste hacer tu ecuación E = T - 22 o T = E - 22?». El salario de Enrique es mayor, así que tuve que restar 22 a su salario para igualar el salario de Tomás. ◦ DOK-2 «Explica cómo la sustitución de E - 22 en la ecuación 1 permite resolverla». Cuando sustituyo E - 22 en la ecuación 1, se forma una ecuación con una sola variable. Puedo combinar términos semejantes y resolver ya que sólo hay una variable única. ◦ DOK-2 «Explica cómo se puede determinar el valor de la segunda variable usando la sustitución después de conocer el valor de la primera variable». Puedo usar la sustitución, y cuando sustituyo el valor en cualquiera de las dos ecuaciones, tengo una ecuación con una sola variable. Sé cómo resolver una ecuación con una sola variable. 6. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la «Parte I» y responder a las preguntas que siguen. 7. Después de completar la «Parte I» , invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta el momento.
Solve Systems Using Substitution Exit Ticket Identify the solution to the following system of equations using substitution. 5x + 4y = −12 y = −2x – 9 5x + 4(−2x – 9) = −12 y = −2(−8) – 9 5x − 8x – 36 = −12 y = 16 – 9 −3x – 36 = −12 y=7 −3x = 24 x = −8 Solution: (−8, 7) Systems of Equations Explore 2
Solve Systems Using Substitution Exit Ticket Identify the solution to the following system of equations using substitution.
5x + 4(−2x – 9) = −12 5x − 8x – 36 = −12 −3x – 36 = −12 −3x = 24 x = −8
5x + 4y = −12 y = −2x – 9 y = −2(−8) – 9 y = 16 – 9 y=7
Solution: (−8, 7)
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-2 «¿Qué proceso usaste para determinar los salarios?». Primero, identifiqué las variables identificando las partes de información que son desconocidas en ambas oraciones. Luego, escribí dos ecuaciones, una para cada oración. Entonces me di cuenta de que la segunda ecuación ya estaba resuelta para una variable, así que introduje E - 22 en la primera ecuación para tener una ecuación con una sola variable. A partir de ahí, pude resolver E y luego volver a introducir ese valor para resolver T. • DOK-2 «¿Cómo cambiarían los pasos de este problema si no hubiera ya una variable por sí misma?». Primero necesitarías resolver una variable en una de Las ecuaciones y luego completar los pasos. • DOK-3 «Si estuvieras resolviendo un sistema de ecuaciones y la ecuación 1 fuera 3x + 5y = 11 y la ecuación 2 fuera 3x = 10 + 2y, ¿Qué se podría sustituir en la ecuación 1 para 3x? Explícalo». Podría sustituir la expresión 10 + 2y en la ecuación 1. Dado que la ecuación 2 establece que el valor de 3x es equivalente a 10 + 2y, podemos utilizar 10 + 2y en lugar de 3x. • DOK-3 «¿Qué le ocurre a una ecuación con 2 variables en un sistema cuando se utiliza la sustitución? ¿Cómo se resuelve?». Cuando usamos la sustitución para resolver un sistema, tomamos una ecuación que tiene 2 variables y usamos la sustitución, y entonces tenemos una ecuación con sólo 1 variable. Resolver una ecuación con 1 variable se puede resolver algebraicamente.
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 PARTE II
1. Lea la siguiente situación a la clase: «Encuentras más papelitos por tu nueva oficina para ayudarte a calcular los salarios de los demás jugadores. Utiliza los trozos de papel para escribir Las ecuaciones de cada jugador y, a continuación, calcula cuánto cobra cada uno. Ten en cuenta que cada número que se muestra representa en realidad millones de dólares». 2. Entregue un juego de «Tarjetas de información salarial» a cada grupo de estudiantes. 3. Los estudiantes deben seguir teniendo sus «Diarios del estudiante». 4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para utilizar las «Tarjetas de información salarial» e identificar cuánto cobra cada jugador. Definirán sus variables, escribirán dos ecuaciones y encontrarán la solución para cada jugador en las 4 tarjetas. 5. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar la comprensión: ◦ DOK-2 «¿Qué expresión utilizarás para resolver por sustitución los salarios de Yuto y Alexander?». Usaré Y - 1 para sustituir. ◦ DOK-2 «¿Cómo podría transformarse una ecuación como 2x + y = 10 para que la variable y quede aislada?». Restaría 2x de cada lado para obtener y = -2x + 10. ◦ DOK-2 Al resolver el sistema para los salarios de Andrés y Lashawn, «¿qué necesitas hacer primero antes de poder hacer una sustitución?». Necesito resolver una de Las ecuaciones para una de las variables, y luego puedo usar la sustitución. ◦ DOK-2 «¿Qué expresión usarás para resolver por sustitución los salarios de Andrés y Lashawn?». Las posibles respuestas incluyen las siguientes afirmaciones: Usaría L + 6 para sustituir. Usaría -2L + 15 para sustituir. ◦ DOK-2 Explica tu proceso para resolver los problemas. Las respuestas pueden variar. En el sistema que creé para los salarios de Yuto y Alexander, ya hay una variable aislada, así que puedo utilizarla rápidamente en la otra ecuación. En el sistema que creé para los salarios de Andrés y Lashawn, no hay una variable aislada, por lo que necesito aislar una variable en cualquiera de Las ecuaciones antes de sustituir. 6. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la «Parte II» y responder a las preguntas que siguen.
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Cuál fue el paso extra necesario para resolver el sistema para los salarios de Andrés y Lashawn?». Las ecuaciones no estaban preparadas inmediatamente para la sustitución, así que tuve que aislar una variable primero antes de usar la sustitución. • DOK-2 «¿Cuándo sería eficiente este método?». Este método sería eficiente cuando tienes una ecuación con una variable por sí misma o una variable que se puede aislar fácilmente. • DOK-2 «¿En qué se diferencia este método de los gráficos/tablas (Exploración 1)?». Los gáficos/tablas son a veces más rápido, requiere menos cálculos escritos en papel y te da una solución inmediata. La sustitución requiere más cálculos escritos y te da un valor y luego el otro. • DOK-2 «¿Por qué crees que este método se llama sustitución?». Se llama sustitución porque se sustituye un valor o expresión para crear una nueva ecuación con una sola variable que podemos resolver. 8. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de realizar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez creado, haga que cada estudiante llene su «Libreta interactiva» .
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Los estudiantes pueden determinar incorrectamente los puntos de intersección algebraicamente. Anímelos a comprobar siempre su trabajo algebraicamente en ambas ecuaciones cuando hayan terminado. 2. Los estudiantes pueden tener problemas con el concepto de sustituir una ecuación en otra para resolver una variable. Anímelos a usar paréntesis donde sustituyen expresiones para que quede más claro lo que están haciendo. 3. Los estudiantes pueden no darse cuenta de que a veces las sustituciones pueden ser simples. Por ejemplo, al resolver el sistema de ecuaciones 7x - 2y = 15 y -2y = 10 - 3x, no hay necesidad en este punto de resolver para y en la segunda ecuación porque la otra ecuación ya contiene -2y.
7. Después de realizar la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Systems of Equations Part 2
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Exploración». Consulte las estrategias siguientes para saber cómo apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes.
Solve Systems Using Substitution 1.
Los estudiantes se apoyarán en pistas visuales, compañeros y maestros para desarrollar el vocabulario, la estructura lingüística y los conocimientos previos necesarios para comprender un texto escrito. Principiante: Como actividad previa a la clase, proporcione a los estudiantes tarjetas por parejas para un juego de emparejamiento. Un tipo de tarjeta tendrá la imagen de un deporte y el otro tipo de tarjeta tendrá el nombre del deporte. Los estudiantes se turnarán para dar vuelta los pares de tarjetas y encontrar una coincidencia.
2.
Intermedio: Como actividad previa a la clase, proporcione a los estudiantes tarjetas por parejas para un juego de emparejamiento. Una tarjeta tendrá la imagen y el nombre de un deporte, y la tarjeta de la pareja tendrá una descripción del deporte. Por ejemplo, «En este deporte, puedes hacer un home run» se emparejará con el béisbol. Los estudiantes se turnarán para dar vuelta los pares de tarjetas y encontrar una coincidencia. Avanzado: Como actividad previa a la clase, haga que los estudiantes trabajen juntos en grupos de 3-4 para enumerar tantos deportes como sea posible en dos minutos. Los grupos obtienen un punto por cada nombre de deporte no repetido, y cualquier grupo que enumere el «deporte misterioso» (baloncesto) obtiene cinco puntos adicionales. Gana el equipo con más puntos al final.
William and Carlos went to the taco truck for lunch. William ordered 2 burritos and 3 tacos, and his order totaled $14. Carlos ordered 1 burrito and 4 tacos, and his order totaled $12. a.
Write the equations to represent the orders. Let b represent the price of a burrito, and let t represent the price of a taco. 2b + 3t = 14 b + 4t = 12
b.
Pick one of the two equations, and solve for one of the variables. Answers will vary. One possible solution is b = 12 – 4t.
c.
Substitute this into the second equation. Answers will vary. One possible solution is 2(12 – 4t) + 3t = 14.
d.
Solve for the 2 variables. How much is each of the menu items? The solution to the system is (4, 2), so burritos are $4 each, and tacos are $2 each.
Two numbers add to 12, and one number is 5 times the other number. a.
Write the equations to determine the two numbers. x + y = 12 y = 5x
b.
Which equation has an isolated variable? The equation y = 5x has an isolated variable.
c.
Solve the system of equations. What are the 2 numbers? The two numbers are 10 and 2.
1
Systems of Equations Part 2
3.
4.
Solve the following systems of equations by using substitution. a.
8x + 7y = 43 y = 7 – 2x The solution is (1, 5).
b.
x = 11 + y 2x + y = 19 The solution is (10, −1).
c.
2x – y = 2 y=x+4 The solution is (6, 10).
d.
y=x–2 x – 2y = 5 The solution is (−1, −3).
e.
3x – y = 5 y = 3x No solution
f.
3x – y = 0 y = 3x Infinite number of solutions
Martina and Camila both started to solve the following system for homework. Explain which strategy is more efficient and why. 7x = 35 + y 7x + 4y = 10 Martina’s Work
Camila’s Work
7x = 35 + y
7x = 35 + y (35 + y) + 4y = 10 5y = −25 y = −5
35 + y + 4y = 10 35 + 5y = 10 5y = −25 y = −5 Camila’s strategy is more efficient. Because the first equation gives what 7x is equal to and the second equation uses 7x, there is no need to solve for x; you can just substitute 7x into the second equation. 2
MUESTRA LO QUE SABES PARTE 2 CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 3: INTRODUCCIÓN A LA ELIMINACIÓN DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizarán el método de eliminación, combinación lineal, para resolver sistemas de ecuaciones.
ESTÁNDARES DE LA PRÁCTICA MATEMÁTICA •
MP.3 Construir argumentos viables y analizar el razonamiento de otros: Los estudiantes analizarán problemas y utilizarán supuestos matemáticos establecidos, definiciones y resultados establecidos en argumentos de construcción. Los estudiantes justificarán conclusiones con ideas matemáticas. Los estudiantes compararán dos argumentos y determinarán si la lógica es correcta o errónea.
•
MP.6 Atención a la precisión: Los estudiantes calcularán con eficiencia y precisión. Los estudiantes se comunicarán con precisión con los demás y tratarán de utilizar un lenguaje matemático claro cuando realicen sus razonamientos.
•
MP.7 Buscar y utilizar estructuras: Los estudiantes aplicarán reglas matemáticas generales a situaciones concretas. Los estudiantes buscarán la estructura general y los patrones en las matemáticas.
MATERIALES IMPRESOS
◦
DOK-1 «¿Qué es un par cero?». Un par de números que, cuando se suman, son iguales a cero.
◦
DOK-1 «En las expresiones 2B + 1Q y 1B + 1Q, ¿Hay términos semejantes?». Si es así, «¿Cuáles son?». Sí, hay términos semejantes. 2B y 1B son términos semejantes. 1Q y 1Q también son términos semejantes.
◦
DOK-2 «¿Qué ocurrió cuando se sumaron las ecuaciones? ¿Fue útil hacerlo?». Obtuvimos una nueva ecuación con dos variables, Q y B. No, no podemos resolver una ecuación con 2 variables.
◦
DOK-2 «¿Qué sucedió cuando se restaron las ecuaciones? ¿Fue útil hacerlo?». Los términos con Q tenían el mismo coeficiente. Cuando se restaron, el resultado fue cero. Así que Q no es necesario en la nueva ecuación. El resultado es una ecuación con una variable, B. Esto fue útil porque sabemos cómo resolver una ecuación con una variable.
◦
DOK-2 «Después de resolver para una variable, ¿cómo elegirás una ecuación para resolver el segundo valor?». Como Las ecuaciones forman un sistema, cualquiera de Las ecuaciones puede usarse para sustituir y resolver.
◦
DOK-2 Explica tu proceso para resolver. Las respuestas variarán. La única diferencia entre los dos recibos es un taco de desayuno, así que restamos los dos totales y calculamos que la diferencia entre ellos es un taco de desayuno. Luego, cuando sepamos el costo de 1 taco de desayuno, podemos sustituir ese valor para identificar el costo del queso.
◦
DOK-1 «¿Cómo podemos comprobar nuestras respuestas?». Al sustituir la solución en ambas ecuaciones del sistema de ecuaciones. Si la solución satisface ambas ecuaciones, es la solución. El sistema también podría graficarse, y la intersección podría usarse para verificar la solución.
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de tarjetas de información salarial (por grupo) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes) REUTILIZABLE • 1 bolsa resellable (por grupo)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima un juego de «Tarjetas de información salarial», en cartulina para que duren, para cada grupo de estudiantes. Recorte las tarjetas y colóquelas dentro de una bolsa resellable con la etiqueta «Parte II». • Imprima un «Boleto de salida» por cada 2 estudiantes. Recorte los «Boletos de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I 1. Lea la siguiente situación a la clase: «Acabas de conseguir un trabajo como camarero en un restaurante local, pero has olvidado que tu jefe te pidió que anotaras cuánto cuesta cada artículo. Agarras rápidamente los recibos antes de salir e intentas averiguar cuánto cuesta cada artículo». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para determinar cuánto cuesta cada artículo de la primera serie de recibos y que registrarán su trabajo en sus «Diarios del estudiante». 4. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientadoras para evaluar la comprensión: ◦ DOK-1 «¿Qué es un coeficiente?». Un coeficiente es un factor multiplicativo en algún término de un polinomio. Suele ser el número que precede a una variable.
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5. Permita a los estudiantes suficiente tiempo para completar la «Parte I» , incluyendo la tabla, y responder las preguntas que siguen. 6. Después de completar la «Parte I» , invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta el momento.
CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-3 «¿Por qué sumar ecuaciones ayuda cuando se resuelve un sistema como 3x - y = 5 y 2x + y = 9, pero sumar ecuaciones no ayuda cuando se resuelve un sistema como 4a - 7b = 25 y 6a + 8b = 19?». En el primer sistema, terminamos con una ecuación con una variable cuando las sumamos porque y e -y son un par cero. En el segundo sistema, terminamos con una ecuación con dos variables desconocidas cuando las sumamos porque las variables a y b tienen coeficientes diferentes en ambas ecuaciones. • DOK-2 «¿Dónde se intersectarían estas rectas para este sistema de ecuaciones si las graficáramos? ¿Cómo lo sabes?». Se intersectarían en (0.75, 3.50). Esto se basa en la solución que encontramos: 1 taco cuesta 0.75 $ y 1 orden de queso cuesta 3.50. $ • DOK-1 «¿La solución hace que ambas ecuaciones sean verdaderas?». Sí, las soluciones de un sistema deben satisfacer ambas ecuaciones. • DOK-2 Suponte que usaste la combinación lineal para resolver un sistema de ecuaciones y terminaste con una ecuación como 2B = 10. «¿Cómo resolverías para B?». Como la ecuación sólo tiene una variable, la usaríamos para resolverla. Dividiríamos ambos lados por 2 para hallar el valor de B. 381
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Systems of Equations Explore 3
PARTE II 1. Lea la siguiente situación a la clase: «Han entrado otros 4 clientes mientras estaban trabajando. Identifiquen también cuánto cuesta cada uno de esos artículos antes de que puedan fichar su salida del día!».
The Working Waiter Part I
Use the receipts and the following questions to help you determine the price of each item ordered.
2. Entregue una bolsa de «Tarjetas de información salarial»s a cada grupo.
Receipt Order 433
3. Los estudiantes deben tener todavía sus «Diarios del estudiante».
1 Breakfast taco 1 Queso
4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para identificar los costos de los otros artículos en los recibos. 5. Luego, los estudiantes trabajarán juntos para identificar las variables, escribir ecuaciones, resolver el valor de cada artículo enumerado y registrar su trabajo en sus «Diarios del estudiante». 6. Mientras los estudiantes colaboran, controle su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar la comprensión: ◦ DOK-2 «¿El reembolso del costo de un artículo aumentará o disminuirá la factura total?». Explique. Un reembolso es lo opuesto a una compra, por lo que el reembolso disminuirá la cuenta total y se puede mostrar usando la resta.
Receipt Order 434 2 Breakfast tacos 1 Queso
Total: $4.25
Total: $5.00
Thank you for your patronage!
Thank you for your patronage!
1.
Define the variables. b is the cost of a breakfast taco, and q is the cost of an order of queso.
2.
Write a system of equations to represent these two receipts. 2b + 1q = 5.00 1b + 1q = 4.25
3.
Does either variable have the same coefficient in each equation? Yes, q has a coefficient of 1 in both equations.
◦ DOK-2 «¿Cómo decidiste qué representarán tus variables?». Como estamos buscando el costo de hamburguesas y papas fritas, sé que mis variables representarán eso.
1
◦ DOK-2 «¿Cómo puedes verificar que tu solución es correcta?». La solución puede verificarse usando la sustitución o un gráfico. ◦ DOK-2 «Una vez que has determinado el valor de una variable, ¿Has encontrado la solución del sistema? ¿Por qué sí o por qué no?». La solución de un sistema de ecuaciones es un par ordenado. Determinar el valor de una variable no nos da la solución. Para determinar la solución, se necesitan los valores de ambas variables.
Systems of Equations Explore 3
4.
◦ DOK-2 «¿Cómo decidiste lo que representarán tus variables?». Como estamos buscando el costo del queso a la parrilla y de las papas fritas, sabía que mis variables representarían eso. ◦ DOK-2 «¿Alguna de las variables tiene el mismo coeficiente? ¿Cómo nos ayudará esto a resolver el sistema de ecuaciones?». La variable T tiene un coeficiente de 2 en ambas ecuaciones. Esto nos ayudará a resolver el sistema porque podemos usar combinaciones lineales para eliminar esa variable. ◦ DOK-2 Explica tu proceso para encontrar el costo de cada artículo. Las respuestas pueden variar. Primero, hallé la diferencia entre las variables con diferentes coeficientes y los costos totales. Luego, dividí los costos por el coeficiente restante para hallar el costo de un artículo y usé eso para sustituir en una ecuación para hallar el costo restante. 7. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la «Parte II» y responder las preguntas que siguen. 8. Después de realizar la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemática para compartir sus observaciones y aprendizajes.
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Complete the table below to explore what happens to the system when using linear combination. Linear Combination Adding
Linear Combination Subtracting
System
2b + 1q = 5.00 + 1b + 1q = 4.25
2b + 1q = 5.00 – (1b + 1q = 4.25)
New Equation
3b + 2q = 9.25
Did the combination result in an equation with only one variable?
No, it gave us an equation with 2 variables.
1b = 0.75 Yes, it gave us an equation with only one variable.
5.
Why did only one of the linear combinations result in an equation with only one variable? In the linear combination that had subtraction, 1q and −1q make a zero pair. That variable was zero in the new equation, leaving just b. In the linear combination involving addition, both variables still have positive coefficients.
6.
What is the cost of a breakfast taco? $0.75
7.
Use substitution to determine the cost of an order of queso. $3.50
8.
Check your work! Substitute the cost of a taco and the cost of an order of queso into the orders, and make sure you get the correct total. Show your work. 0.75 + 3.50 = 4.25 4.25 = 4.25 ✔ 2(0.75) + 3.50 = 5.00 5.00 = 5.00 ✔
2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Systems of Equations Explore 3
CHARLA DE MATEMÁTICAS
Part II
• DOK-2 «En general, ¿Cómo se elimina una variable?». Determina si alguna de las variables tiene el mismo coeficiente. Si tienen el mismo coeficiente con los mismos signos, entonces se restan Las ecuaciones para eliminar una variable. Si tienen el mismo coeficiente con signos opuestos, se suman Las ecuaciones para eliminar una variable.
Use the Receipt Cards to figure out how much each item costs. Be sure to define your variables, write your equations, and write the cost for each item.
Order Numbers 435 and 436 Variables: h = hamburger f = fries
Equations: 3h – f = 6.50 2h + f = 5.00
• DOK-2 «¿Cuándo sería ventajosa la eliminación usando combinaciones lineales?». La eliminación usando combinaciones lineales sería ventajosa cuando tienes una variable que tiene el mismo coeficiente en ambas ecuaciones.
Will adding or subtracting these equations result in an equation with one variable? Why? Adding these equations will result in an equation with one variable because −1f and 1f as written in the system of equations are a zero pair.
• DOK-3 «¿En qué se diferencia este método de los otros métodos que hemos aprendido?». Los gráficos/tablas son a veces más rápidos, requiere menos cálculos escritos, y te dan una solución aproximada. La sustitución incluye trabajo algebraico como la eliminación. Te dan el valor de una variable y luego se usa la sustitución para encontrar la segunda. La eliminación puede ser más rápida si las variables se anulan. Al igual que la sustitución, la eliminación te da el valor de una variable y luego utiliza la sustitución para encontrar la segunda.
Solve the system. Show your work. Exact work will vary. 3h – f = 6.50 + 2h + f = 5.00 5h = 11.50 h = 2.30 2(2.30) + f = 5.00 4.60 + f = 5.00 f = 0.40
Cost of one hamburger: $2.30
Cost of one order of fries: $0.40
3
9. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
Systems of Equations Explore 3
Systems of Equations Explore 3
Reflect 1.
What advice would you give a student who is using linear combination to eliminate a variable and solve a system if they end up with one equation with two variables? Answers will vary. I would suggest they try subtracting if they had first tried adding or vice versa. If that didn’t work, I would suggest they try a different method because not all systems are set up to be solved using this method.
2.
Choose a system of equations from the table below, and make a case for why you would or would not choose to solve that system using linear combination.
Order Numbers 441 and 442 Variables: g = grilled cheese t = tater tots
Equations: 2g + 2t = 7.00 3g + 2t = 8.25
Will adding or subtracting these equations result in an equation with one variable? Why? Subtracting these equations will result in an equation with one variable because both equations have + 2t. When the equations are subtracted, it will create a zero pair.
System 1
System 2
System 3
4a – b = 50 5a + b = 21
4e + 5f = 20 4e + 11f = 33
3m + n = 5 n = 4m – 2
Answers will vary. Systems 1 and 2 can be solved using linear combination to eliminate a variable, system 1 by adding and system 2 by subtracting. System 3 could be solved using linear combination if the second equation were rearranged to standard form. This system would be the least efficient choice.
Solve the system. Show your work. Exact work will vary.
3.
3g + 2t = 8.25 – 2g + 2t = 7.00 g = 1.25
How does the diagram shown below relate to linear combination using addition? In this case, would this linear combination help solve the system? Why or why not? = $5.00
2(1.25) + 2t = 7.00 2.50 + 2t = 7.00 2t = 4.50 t = 2.25
= $4.25 = $9.25
Cost of one grilled cheese: $1.25
This image shows the system we completed in Part I. This did not help solve the system because when adding the equations, it resulted in another equation with 2 variables.
Cost of one order of tater tots: $2.25
2b + 1q = 5.00 + 1b + 1q = 4.25 3b + 2q = 9.25 4
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Systems of Equations Explore 3
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de realizar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez creado, haga que cada estudiante llene su «Libreta interactiva» .
Introduction to Elimination Exit Ticket Solve the system of equations using elimination. x + 2y = 8 x + 7y = 33
APOYOS PEDAGÓGICOS
x + 2y = 8 – (x + 7y = 33) −5y = −25 y=5
1. Los estudiantes pueden no prestar atención a los signos de los coeficientes cuando usan la eliminación. Siempre Anímelos a revisar su trabajo una vez que encuentren las soluciones.
Solution: (−2, 5)
2. Al multiplicar ecuaciones por constantes para usar la eliminación, los estudiantes pueden no recordar multiplicar todos los términos de las ecuaciones. Pida a los estudiantes que comprueben que han realizado esta multiplicación correctamente, especialmente si las soluciones no tienen sentido. 3. Algunos estudiantes pueden olvidar que la solución de un sistema de ecuaciones es un par ordenado y no sólo un número. Recuerde a los estudiantes que comprueben el número de variables que están resolviendo para cada problema y pregúnteles si tienen respuestas adecuadas"
x + 2(5) = 8 x + 10 = 8 x = −2
Systems of Equations Explore 3
Introduction to Elimination Exit Ticket Solve the system of equations using elimination. x + 2y = 8 x + 7y = 33 x + 2y = 8 −(x + 7y = 33) −5y = −25 y=5
APOYOS LINGÜÍSTICOS
x + 2(5) = 8 x + 10 = 8 x = −2
Solution: (−2, 5)
La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Exploración». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo del lenguaje de los estudiantes.
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
Los estudiantes demostrarán comprensión del idioma inglés a través de la lectura compartida, el resumen, la respuesta a preguntas y la toma de notas. Principiante: Como actividad previa a la clase, pida a los estudiantes que representen y reciten una representación previamente elaborada sobre cómo pedir comida en un restaurante. Intermedio: Como actividad previa a la clase, proporcione a los estudiantes diferentes menús de restaurantes reales. Haga que los estudiantes realicen con sus compañeros las siguientes preguntas sobre el menú: 1) ¿Qué pedirías del menú? 2) ¿Qué NO pedirías del menú? 3) ¿Qué tipo de restaurante es? (por ejemplo, italiano, español) ¿Cómo lo sabes? 4) ¿El restaurante es barato o caro? ¿Por qué lo crees?
Systems of Equations Part 3
Introduction to Elimination 1.
Avanzado: Como actividad previa a la clase, proporcione a los grupos de estudiantes diferentes menús de restaurantes reales. Pida a los estudiantes que realicen con sus compañeros las siguientes preguntas sobre el menú: 1) ¿Qué pedirías del menú? 2) ¿Qué NO pedirías del menú? 3) ¿De qué tipo de restaurante se trata? (por ejemplo, italiano, español) ¿Cómo lo sabes? 4) ¿El restaurante es barato o caro? ¿Por qué crees que lo es?
Stephan is selling tickets for his band concert. He sold one set to his parents. They bought 3 adult tickets and 1 child ticket for $36. His aunt bought another set of tickets. She got 3 adult tickets and 2 child tickets for $42. a.
What are the variables for the system of equations? A is the cost of an adult ticket. C is the cost of a child ticket.
b.
Write the equations to represent Stephan’s ticket sales. 3A + C = 36 3A + 2C = 42
c.
Do you think it would be easier to add or subtract the two equations? Why? I think it would be easier to subtract because you can eliminate the A variable this way.
d.
Solve the equations. How much does an adult ticket cost, and how much does a child ticket cost? An adult ticket costs $10, and a child ticket costs $6.
For problems 2−7, solve by using elimination. 2.
3x + 3y = −12 9x – 3y = 24 (1, −5)
3.
−5x + 3y = 2 5x + 5y = 30 (2, 4)
4.
6x – 4y = −6 6x + 4y = −30 (−3, −3)
5.
6x + 5y = 4 6x – 7y = −20 (−1, 2)
6.
−2x + 3y = −12 4x + 3y = 24 (6, 0)
7.
x – y = 11 y + 2x = 19 (10, −1)
1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 3) CLAVE DE RESPUESTAS 384
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 4: RESOLVER SISTEMAS USANDO ELIMINACIÓN DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizarán el método de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones. Los estudiantes necesitarán multiplicar por 1 o 2 factores para crear nueva(s) ecuación(es) con coeficientes que creen un par cero para usar el método.
ESTÁNDARES DE LA PRÁCTICA MATEMÁTICA • MP.3 Construir argumentos viables y analizar el razonamiento de otros: Los estudiantes analizarán problemas y utilizarán supuestos matemáticos establecidos, definiciones y resultados establecidos en argumentos de construcción. Los estudiantes justificarán conclusiones con ideas matemáticas. Los estudiantes compararán dos argumentos y determinarán la lógica correcta o errónea.
• MP.6 Atender a la precisión: Los estudiantes calcularán con eficiencia y precisión. Los estudiantes se comunicarán con precisión con los demás y tratarán de utilizar un lenguaje matemático claro cuando realicen sus razonamientos. • MP.7 Buscar y utilizar estructuras: Los estudiantes aplicarán reglas matemáticas generales a situaciones concretas. Los estudiantes buscarán la estructura general y los patrones en las matemáticas.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de tarjetas de cajero bancario «Parte I» (por grupo) • 1 juego de tarjetas de cajero bancario «Parte II (por grupo) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes) REUTILIZABLES
• 2 bolsas resellables (por grupo)
PREPARACIÓN
• Divida a la clase en grupos de 2 o 3 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima un «Boleto de salida» por cada 2 estudiantes. Recorte los «Boletos de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno. • Imprima un juego de «Tarjetas de cajero bancario Parte I» , en cartulina para que duren, para cada grupo de estudiantes. Corte las tarjetas y colóquelas dentro de una bolsa resellable etiquetada como «Parte I». • Imprima un juego de «Tarjetas de cajero bancario Parte II, en cartulina para mayor durabilidad, para cada grupo de estudiantes. Corte las tarjetas y colóquelas dentro de una bolsa resellable con la etiqueta «Parte II».
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PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I 1. Lea la siguiente situación a la clase: «Trabajas como cajero en un banco donde la gente trae sus monedas para ingresarlas en sus cuentas. Lamentablemente, el contador de monedas está estropeado y el sistema sólo permite introducir el número de monedas. ¡Tendrás que averiguar cuántas monedas de cada tipo te dan para ingresarlas en las cuentas!». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Entregue una bolsa de «Tarjetas de cajero bancario - Parte I» a cada grupo. 4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para averiguar cuántas monedas trajeron los clientes al banco utilizando la eliminación por combinación lineal y registrando su trabajo en sus «Diarios del estudiante». 5. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar la comprensión: ◦ DOK-2 «Una vez que has determinado el valor de una variable, ¿Has encontrado la solución del sistema? ¿Por qué sí o por qué no?». El valor de una variable no resuelve el sistema. La solución de un sistema de ecuaciones es un par ordenado, por lo que debe determinarse tanto el valor de x como el de y. ◦ DOK-2 «¿Resolver primero x en lugar de y dará la misma solución?». Explique. Dará la misma solución. La solución no cambia basado en el método usado para resolver. ◦ DOK-2 «¿Cómo sabes qué factor usar cuando multiplicas una ecuación para crear un par cero?». Uso un factor que cree una nueva ecuación que haga un par cero con la otra ecuación original. ◦ DOK-2 «¿Puede, el factor usado para multiplicar una ecuación, ser una fracción? ¿Puede ser un número negativo?». Explica. El factor usado para multiplicar una ecuación puede ser cualquier número real. Sin embargo, el uso de fracciones generalmente hace que la nueva ecuación sea más difícil de usar al resolver. Mientras los factores se multipliquen correctamente a cada término en ambos lados de la ecuación y la combinación lineal se haga sin errores, dará la solución correcta, aun cuando el factor sea una fracción o un número negativo. ◦ DOK-2 «Explica tu proceso para resolver». Las respuestas variarán. Con suerte, los estudiantes identificarán que multiplicar la ecuación de la moneda por 10 les ayudará a usar la eliminación para encontrar las monedas de 25 centavos y que luego pueden volver a sustituir el valor para resolver las monedas de 10 centavos. ◦ DOK-1 «¿Cómo compruebas tu respuesta?». Introduzco la solución del sistema y me aseguro de que es correcta para ambas ecuaciones.
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Systems of Equations Explore 4
6. Conceda a los estudiantes suficiente tiempo para completar la «Parte I» y contestar las preguntas que siguen.
6.
7. Después de completar la «Parte I» , invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta ahora. CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-3 «¿En qué se diferencian estas ecuaciones de Las ecuaciones de la “Exploración 3”?». Las ecuaciones no están configuradas con coeficientes que crean pares de ceros, por lo que no se pueden eliminar sin trabajo adicional. • DOK-2 «¿Qué paso adicional se requiere para resolver los sistemas de hoy que no se necesitaba anteriormente?». Los sistemas anteriores no requerían multiplicar una (o ambas) de Las ecuaciones por un factor para lograr que tuvieran un par cero. • DOK-3 «¿Por qué multiplicar ambos lados de una ecuación por el mismo factor no cambia el sistema?». Como ambos lados de la ecuación se cambian por el mismo factor, la ecuación sigue siendo equivalente. Por lo tanto, el sistema es equivalente.
Determine the numbers that could be used to create the simplified money equations A and B for Shanaya, and write your answers on the blank lines in the table. Money Equation A
Money Equation B
Multiplication
2 (0.10d + 0.50h = 3.5) ____
−10 ____ (0.10d + 0.50h = 3.5)
Simplified Equation
0.20d + 1h = 7
−1d – 5h = −35
7.
Why would it be helpful to have 1h in money equation A and −1d in money equation B? It would be helpful because in the other equation for how many coins, the coefficients for h and d are 1. Creating new equations that also have a coefficient of 1 or −1 is helpful because we can then solve the system using elimination by linear combination.
8.
Use money equation A or money equation B to write a new system that can be solved using elimination by linear combination. d + h = 15 0.20d + h = 7
9.
or
Solve one of the systems to determine the number of dimes and half-dollars Shanaya brought to the bank. d + h = 15 −(0.20d + h = 7) 0.8d = 8 d = 10
• DOK-3 «¿Por qué reemplazar una ecuación por la suma de esa ecuación y un múltiplo de la otra no cambia la solución del nuevo sistema?». Como todos los pasos de la eliminación son reversibles, el nuevo sistema puede manipularse para recrear el anterior, lo que lleva a que ambos tengan las mismas soluciones.
d + h = 15 −1d – 5h = −35
d + h = 15 + −1d – 5h = −35 –4h = −20 h=5
d = 10, h = 5 10 dimes and 5 half-dollars
2
Systems of Equations Explore 4
Part II
Coins Everywhere! Part I 1.
Create three new equations by multiplying Fynn’s money equation by the coefficients 5, −10, and 20. Money Equation A
Systems of Equations Explore 4
Money Equation B
1.
Write the equation for Jessica’s situation that has the smaller coefficients. 2x – 3y = 1
2.
In order to solve the system by first eliminating the x variable, what factor should we choose so the new system has an equivalent equation with a coefficient of 5 for the x variable? Why would it be helpful to have a coefficient of 5 for the x variable?
Money Equation C
Multiplication 5(0.10d + 0.05n = 4) −10(0.10d + 0.05n = 4) 20(0.10d + 0.05n = 4) Simplified Equation
0.5d + 0.25n = 20
−1d – 0.5n = −40
2d + 1n = 80
2.
Using technology, graph Fynn’s original money equation and the simplified money equations A, B, and C on the same grid. How many lines do you see? How can you explain this? Only one line is visible. They are all equivalent equations. When the equation was multiplied by a factor on both sides, the equation stayed balanced and produced the same line when graphed. These are all equivalent equations.
3.
Write three new systems in the table below where the second equation for each system is the simplified money equation A, B, or C from the table above.
4.
5.
System A
System B
System C
d + n = 50 0.5d + 0.25n = 20
d + n = 50 −1d – 0.5n = −40
d + n = 50 2d + 1n = 80
3.
1d = 30 d = 30
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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SS NA-Math TE A1-V1.indb 386
d + n = 50 30 + n = 50 n = 20
New System
____(2x – 3y = 1)
No integer solution
5x + 10y = 55
5x + 10y = 55
5x + 10y = 55
In order to solve the system by first eliminating the y variable, what factor should we choose so the new system has an equivalent equation with a coefficient of 10 for the y variable? Why would it be helpful to have a coefficient of 10 for the y variable? Original System
Multiplication
New System
2x – 3y = 1
____(2x – 3y = 1)
No integer solution
5x + 10y = 55
5x + 10y = 55
5x + 10y = 55
Since the equation has a coefficient of 3 for the variable y, there is not an integer that can be used to create an equivalent equation where the coefficient is 10. If we use a fractional factor, the equation would become more difficult to combine with the second equation. It would be helpful to have a coefficient of 10 in the new equation because that would make a zero pair with the 10y in Jessica’s money equation.
Use system A, B, or C to determine how many coins Fynn brought to the bank. System B solution System C solution d + n = 50 2d + 1n = 80 −1d – 0.5n = −40 d + n = 50 d + n = 50 d + 20 = 50 d = 30
Multiplication
2x – 3y = 1
Since the equation has a coefficient of 2 for the variable x, there is not an integer that can be used to create an equivalent equation where the coefficient is 5. If we used a fraction as our factor, the equation would become more difficult to combine with the second equation. It would be helpful to have a coefficient of 5 in the new equation because that would make a zero pair with the 5x in Jessica’s money equation.
Which system could be solved most easily by elimination using linear combination? Explain. Systems B and C could be solved by elimination using linear combination because they have variables with the same coefficient. System B has 1d and −1d, so adding would create a zero pair. System C has 1n and 1n, so subtraction would create a zero pair.
0.5n = 10 n = 20
Original System
4.
If Jessica’s equation representing how many dollar bills was multiplied by 5 and Jessica’s equation representing how much her bills are worth was multiplied by −2, would this create a new system where we could eliminate the x variable? Yes, the equations would be equivalent to the original system, and adding the two new equations would eliminate the x variable.
1
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Systems of Equations Explore 4
PARTE II 5.
Create an equivalent system for Jessica’s situation that has a zero pair for x, and complete the table. Original System
−2 ____(5x + 10y = 55)
8.
9.
Original System
Multiplication
New System
2x – 3y = 1
10 ____(2x – 3y = 1)
20x – 30y = 10
3 ____(5x + 10y = 55)
15x + 30y = 165
2. Entregue un juego de «Tarjetas de cajero bancario - Parte II a cada grupo de estudiantes. 3. Aún deben tener sus «Diarios del estudiante».
In order to determine a solution to the system that represents Andres’s situation using elimination by linear combination, would you multiply one equation or both? How do you know? Both equations will need to be multiplied because 4 is not a factor of 5, and 8 is not a factor of 20. Create an equivalent system for Andres’s situation that has a zero pair for f, and complete the table. Original System
Multiplication
New System
4f + 8t = 76
5 ____(4f + 8t = 76)
20f + 40t = 380
5f + 20t = 175
−4 (5f + 20t = 175) ____
−20f – 80t = −700
Create an equivalent system for Andres’s situation that has a zero pair for t, and complete the table. Original System
10.
10x – 15y = 5 −10x – 20y = −110
Create an equivalent system for Jessica’s situation that has a zero pair for y, and complete the table.
5x + 10y = 55 7.
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Ahora el contador de billetes tiene problemas. Determine el número de billetes que ingresaron para ingresar los depósitos en la computadora».
New System
5 ____(2x – 3y = 1)
2x – 3y = 1 5x + 10y = 55 6.
Multiplication
Multiplication
4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para calcular el número de billetes que ingresó cada cliente. Utilizarán las preguntas para guiar su trabajo y pensamiento. 5. Luego, los estudiantes trabajarán juntos para completar la «Parte II» y registrar su trabajo en sus «Diarios del estudiante». 6. Mientras los estudiantes colaboran, controle su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar la comprensión: a
DOK-3 «¿Cómo sabes qué factores utilizar al multiplicar ambas ecuaciones para crear un par cero?». Para crear un par cero, Las ecuaciones pueden multiplicarse por un factor igual al coeficiente de la otra ecuación. Un método alternativo sería determinar el mínimo común múltiplo de los coeficientes y multiplicar la ecuación por un factor que crearía una nueva ecuación con el mínimo común múltiplo como coeficiente.
b
DOK-2 Explica tu proceso para resolver. Las respuestas variarán.
New System
4f + 8t = 76
10 ____(4f + 8t = 76)
40f + 80t = 760
5f + 20t = 175
−4 ____(5f + 20t = 175)
−20f – 80t = −700
Use elimination by linear combination to solve the system that represents Andres’s situation. 3 five-dollar bills and 8 twenty-dollar bills
4
i. Identificar los coeficientes de las dos variables. Systems of Equations Explore 4
Reflect 1.
Explain below how you would describe to a peer who missed class today how to solve a system of equations using multiplication to create a new system that can be solved by elimination. 1. 2. 3. 4.
Identify the coefficients of the two variables. Determine if there is a set of zero pairs. a. If not, determine what factor to multiply by to efficiently create a new system that has a set of zero pairs. Use elimination to cancel the zero pairs, and solve for the first variable. Use the known variable to substitute into one of the original equations, and determine the value of the second variable.
2.
How will the new system make it easier to solve? The new system will allow the x variables or y variables to cancel out quickly, which will help us solve for a variable.
3.
Will eliminating x give a different solution than eliminating y? Why or why not? No, both methods should give you the same solution—you will just find the variables in a different order.
4.
How is this method different from the elimination method in Explore 3? There is a step to complete first before using the steps from Explore 3. The systems that do not already have a zero pair need to be multiplied by a factor to create a zero pair. Then, finish with the steps from elimination in Explore 3.
ii. Determinar si hay un conjunto de pares cero. a
Si no, determinar por qué factor multiplicar para crear eficientemente un nuevo sistema que tenga un conjunto de pares cero.
iii. Usar la eliminación para cancelar los pares cero, y resolver la primera variable. iv. Usar la variable conocida para sustituir en una de Las ecuaciones originales, y determine el valor de la segunda variable. c. DOK-2 Explica tu proceso para decidir qué variable cancelar. Las respuestas pueden variar. Decidí cancelar _____ porque en la ecuación de la moneda, tenía un coeficiente de 1, así que rápidamente pude hacer que esa ecuación coincidiera con el otro coeficiente. 7. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la «Parte II» y responder a las preguntas que siguen. 8. Después de realizar la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Systems of Equations Explore 4
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-3 «Al elegir los factores para multiplicar por ambas ecuaciones, ¿Hay más de una opción? ¿Cómo sabes si es la mejor opción?». Sí, hay más de una opción. Cualquier múltiplo común de los coeficientes creará un par cero. El mínimo común múltiplo de los coeficientes será la opción más eficiente ya que Las ecuaciones tendrán números más pequeños. • DOK-2 «¿Cuándo sería ventajoso resolver sistemas por eliminación?». Este método sería ventajoso cuando se tiene un sistema de ecuaciones con una variable que se puede multiplicar por un factor para crear eficientemente un par cero. • DOK-3 «¿En qué se diferencia este método de los otros métodos que hemos aprendido?». Los gráficos/tablas son a veces más rápidos, requieren menos cálculos escritos y te dan una solución inmediata. La sustitución requiere más cálculos escritos y te da un punto y luego el segundo. La eliminación puede ser más rápida si las variables se anulan. Tienes que tener variables que se cancelen para utilizarlo. Este método también te da una parte de la solución a la vez. 9. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
Solve Systems Using Elimination Exit Ticket Solve the system of equations using elimination. −2x + 3y = 27 x + 5y = 32 −2x + 3y = 27 2(x + 5y = 32)
−2x + 3y = 27 + 2x + 10y = 64 13y = 91 y=7
x + 5(7) = 32 x + 35 = 32 x = −3
Solution: (−3, 7)
Systems of Equations Explore 4
Solve Systems Using Elimination Exit Ticket Solve the system of equations using elimination. −2x + 3y = 27 x + 5y = 32 −2x + 3y = 27 2(x + 5y = 32)
−2x + 3y = 27 + 2x + 10y = 64 13y = 91 y=7
x + 5(7) = 32 x + 35 = 32 x = −3
Solution: (−3, 7)
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de realizar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez que lo hayan completado , haga que cada estudiante llene su «Libreta interactiva» .
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Los estudiantes pueden no prestar atención a los signos de los coeficientes cuando usan la eliminación. Siempre Anímelos a revisar su trabajo una vez que encuentren las soluciones. 2. Al multiplicar ecuaciones por constantes para usar la eliminación, los estudiantes pueden no recordar multiplicar todos los términos de las ecuaciones. Pida a los estudiantes que comprueben que han realizado esta multiplicación correctamente, especialmente si las soluciones no tienen sentido. 3. Algunos estudiantes pueden olvidar que la solución de un sistema de ecuaciones es un par ordenado y no sólo un número. Recuerde a los estudiantes que comprueben el número de variables que están resolviendo para cada problema y pregúnteles si tienen respuestas adecuadas.
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Systems of Equations Part 4
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE
Solve Systems Using Elimination Greenway High School science teacher Mr. Leman is planning a field trip to the planetarium. He will be taking groups on 2 different days and is calculating the transportation he will need for the trip. He can use buses, which hold 50 students, and vans, which hold 10 students. How many of each type of vehicle will he need to order? ● ●
On Tuesday, he will have 230 students and will be using 7 vehicles. On Wednesday, he will have 180 students and will be using 6 vehicles.
Tuesday
Wednesday
b is the number of buses. v is the number of vans.
b is the number of buses. v is the number of vans.
System of Equations
50b + 10v = 230 b+v=7
50b + 10v =180 b+v=6
New System
50b + 10v = 230 50b + 50v = 350
50b + 10v = 180 50b + 50v = 300
b = 4, v = 3
b = 3, v = 3
Variables
Solution
Los estudiantes utilizarán técnicas visuales, contextuales y lingüísticas para apoyar su adquisición del lenguaje hablado. Principiante: Como actividad previa a la clase, pida a los estudiantes que representen y reciten una representación previamente elaborada. La representación puede tratar de una situación como abrir una cuenta corriente o sacar dinero. Incluya palabras que los estudiantes verán y oirán en la «Exploración», como cajero, depósito, cuenta, y billetes. Pida a los estudiantes que subrayen estas palabras y comenten sus significados.
Solve the following problems using elimination. 1.
8x – 5y = 5 −4x – 3y = 3 (0, −1)
2.
−x + 7y = 19 3x – 2y = −19 (−5, 2)
3.
4x + 15y = 17 x – 5y = 13 (8, −1)
4.
−2x – y = −6 x + 2y = −6 (6, −6)
5.
4x – 9y = 11 −3x + 7y = −9 (−4, −3)
6.
2x + 7y = 13 3x + 6y = 15 (3, 1)
1
Systems of Equations
7.
La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Exploración». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes.
We want to show why elimination works. Namely that creating a new system that is the sum of multiples of the original equation will still have the same solutions as the original system. a. Explain graphically why the two systems below are equivalent. 8x – 5y = 5 and 8x – 5y = 5 −4x – 3y = 3 8x + 6y = –6 The system has the same first equation and the second system is just a multiple of the first. When you multiply a line by a constant, it produces the exact same line on a graph so the two lines involved in the system are the same. b.
Since we showed that taking multiples of equations does not change the system, we now have to show that adding equations together does not change the system. If we call the solution to the system below (a, b), where the x-value that satisfies both equations is a and the corresponding y-value is b, explain why the solution would remain the same once the new system is created using the sum of two of the equations. 8x – 5y = 5 and 8x – 5y = 5 −4x – 3y = 3 4x – 8y = 8 The point (a, b) makes both equations in the first system true so we need to show that it also makes both equations in the second system true, and, thus, is a solution to the new system. We know that the point (a, b) solves the first equation so we need to show that is also is a solution for the second equation. We can rewrite the left side of the second equation as follows: 4x – 8y = (8x – 4x) + (–5y – 3y) = 8x – 5y + –4x – 3y If we substitute a in for x and b in for y, the first two terms must equal 5 since they match the left side of the first equation in the system and the second two terms must equal 3 since they match the second equation of the original system. (8a – 5b) + (–4a – 3b) = 5 + 3 = 8, which shows that (a, b) is a solution to the second equation and second system, just like the first.
c.
How could we use the reasoning from parts a and b to show that replacing one equation by the sum of that equation and a multiple of the other produces a system with the same solutions? There was nothing special about the particular coefficients of the equations in the system that we used so this method of checking would be true for all systems in two variables.
Intermedio: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que representen y reciten una representación previamente elaborada. La representación puede tratar sobre una situación como abrir una cuenta corriente o sacar dinero. Incluya palabras que los estudiantes verán y oirán en la «Exploración», como cajero, depósito, cuenta, y billetes. Pida a los estudiantes que resalten estas palabras y comenten sus significados. Avanzado: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que representen y reciten una representación previamente elaborada. La representación puede tratar de una situación como abrir una cuenta corriente o sacar dinero. Incluya palabras que los estudiantes verán y oirán en la «Exploración», como cajero, depósito, cuenta y billetes. Pida a los estudiantes que subrayen estas palabras y escriban definiciones con sus propias palabras.
2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 4) CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 5 Systems of Equations Explore 5
LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORA 5: SELECCIONAR MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DESCRIPCIÓN Los estudiantes determinarán el método más eficiente para resolver un sistema de ecuaciones lineales.
ESTÁNDARES DE LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.3 Construir argumentos viables y analizar el razonamiento de otros: Los estudiantes analizarán problemas y utilizarán supuestos matemáticos, definiciones y resultados establecidos en la construcción de argumentos. Los estudiantes justificarán conclusiones con ideas matemáticas. Los estudiantes compararán dos argumentos y determinarán si la lógica es correcta o errónea. • MP.6 Atención a la precisión: Los estudiantes calcularán con eficiencia y precisión. Los estudiantes se comunicarán con precisión con los demás y tratarán de utilizar un lenguaje matemático claro cuando realicen sus razonamientos. • MP.7 Buscar y utilizar estructuras: Los estudiantes aplicarán reglas matemáticas generales a situaciones concretas. Los estudiantes buscarán la estructura general y los patrones en las matemáticas.
MATERIALES IMPRESOS
Water Town Travels Part I
Use the Water Town Travel Research Cards to determine the most efficient method to solve the system of equations used to represent each topic. Mark your answers in the table below, and justify your choices. Do not solve the systems. Topic
Graph or Table
Airline tickets
Substitution Elimination
X
Hotel rooms
X
Tickets to Water Town
Food at Water Town
X
• 1 boleto de salida (por estudiante) REUTILIZABLE
• 1 bolsa resellable (por grupo)
PREPARACIÓN
X
Some systems could have more than one efficient method. If a student can justify their choice, an alternate method than one shown is acceptable.
1
Systems of Equations Explore 5
Part II
Solve each system using two different methods. Analyze the methods used to solve to identify which method was the most efficient, and explain why. Do both methods give the same solution to the system of equations? Why or why not? Answers may vary. Use the space provided to answer the questions and show your work. Tickets to Water Town c=a–8 a + c = 40 Method 1: Substitution
Method 2: Elimination
a + (a – 8) = 40 2a = 48
a + c = 40 –a+c=–8 2c = 32
a = 24
c = 16
c = 24 – 8
a + 16 = 40
c = 16
a = 24
• Divida la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» y un «Boleto de salida» para cada alumno. Imprima un juego de «Tarjetas de investigación del viaje a la ciudad del agua», en cartulina para que duren, para cada grupo de estudiantes. Recorte las tarjetas y colóquelas dentro de una bolsa resellable con la etiqueta «Parte I».
Elimination is the most efficient method when neither of the equations have an isolated variable. Using a graph or table is an efficient method when the coefficients are decimals.
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de tarjetas de investigación del viaje a la ciudad del agua (por grupo)
Elimination is the most efficient method when neither of the equations have an isolated variable. Substitution is the most efficient method when one of the equations has an isolated variable.
X
Souvenirs
Justification Using a graph or table is the most efficient method when the system is set up with the dependent variable by itself for both equations.
Solution Adults: 24 Children: 16
Solution Adults: 24 Children: 16
Which method was the most efficient? Why? Substitution was the most efficient because the system was already set up for it; c was already isolated.
Do both methods give the same solution to the system of equations? Why or why not? Yes, both gave the solution 24 adults and 16 children. The system should give the same solution.
2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
390
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1/9/26 1:33 PM
ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 5 Systems of Equations Explore 5
Food at Water Town 1h + 1f = 7 2h + 1f = 11 Method 2: Substitution h=7–f
Method 1: Elimination −h – f = −7 2h + f = 11 h =4
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
2(7 – f) + f = 11 14 – 2f + f = 11
4+f=7
PARTE I
−f = −3
f=3
f=3
1. Lea la siguiente situación a la clase: «Estás planeando un viaje al parque temático “Ciudad del agua”. Necesitas tomar las mejores decisiones financieras a medida que planificas las diferentes partes de tu viaje. Utiliza las tarjetas que has creado mientras investigabas para ayudarte».
h=7–3 h=4
Solution Hamburger: $4 Fries: $3
Solution
2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno.
Hamburger: $4 Fries: $3
3. Entrega una bolsa de «Tarjetas de investigación del viaje a la ciudad del agua» a cada grupo.
Which method was the most efficient? Why? Elimination was the most efficient because the system was set up with the variables on the same side.
Do both methods give the same solution to the system of equations? Why or why not? Yes, both gave the solution hamburgers are $4 and fries are $3. The system should give the same solution.
3
4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para leer cada situación, determinar el mejor método para resolver el sistema y registrar su trabajo en sus «Diarios del estudiante». Pueden marcar con una cruz o una X cómo resolverían el sistema. Una vez que hayan decidido cuál es el mejor método, deberán justificarlo basándose en la configuración del sistema.
Systems of Equations Explore 5
Systems of Equations Explore 5
Reflect
Describe how you know when each method will be the most efficient to solve a system of equations. Then, create your own example of a system that would be ideal when using that method.
Souvenirs y = 15.25x y = 13.75x + 9
Method
Method 1: Graphing
Method 2: Substitution
y = 15.25x
15.25x = 13.75x + 9 – 13.75x – 13.75x
y = 13.75x + 9
1.5x = 9
Graph or table
x=6 y = 15.25(6)
Description A system would be solved most efficiently using a graph or table when both equations already have one variable (the dependent variable) isolated. It is easier to use this method than substitution when the coefficients are decimals.
Your Example y = 2.4x – 5.1 y = 3.9x + 4.7
y = 91.50 A system would be solved most efficiently using substitution when one equation already has one isolated variable.
y = 2x – 5 −3x + y = 4
Substitution
Solution T-shirts: 6 Cost: $91.50
Solution T-shirts: 6 Cost: $91.50
Which method was the most efficient? Why? Graphing was the most efficient because the system was already set up for it; y was already isolated in both equations.
Elimination
Do both methods give the same solution to the system of equations? Why or why not? Yes, both gave the solution 6 T-shirts and a cost of $91.50. The system should give the same solution.
A system would be solved most efficiently using elimination when both equations have both variables on the same side together, and the constant is isolated. Elimination is ideal when the variable y has the same coefficient in both equations.
−2x + y = −5 −3x + y = 4
5
4
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 5 Systems of Equations Explore 5
5. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientadoras para evaluar la comprensión: ◦ DOK-2 «¿Qué tipo de ecuación es fácil de representar gráficomente?». Las ecuaciones que están en forma de intersección de pendiente son fáciles de graficar. ◦ DOK-2 «¿Qué método sería el más eficiente si una (o ambas) ecuación(es) tiene(n) una variable aislada?». El método más eficiente sería la sustitución. ◦ DOK-2 «Si ambas ecuaciones tienen una variable aislada, ¿Cuándo sería más eficiente la sustitución que la representación gráfica ?». La representación gráfica podría funcionar si ambas tienen una variable aislada, pero la representación gráfica no es eficiente si la respuesta no es un número entero. ◦ DOK-2 «Cuando ambas ecuaciones están en forma estándar pero no tienen coeficientes comunes, ¿Seguiría siendo la eliminación el método más eficiente?». Explica. La eliminación seguiría siendo el método más eficiente porque, generalmente, aislar una variable para graficarla o sustituirla produciría fracciones. Trabajar con fracciones es tedioso y lento.
Select Methods to Solve Systems Exit Ticket Identify the most efficient method for solving the systems of equations below. 1.
A. B. C.
2a + b = 7 2a – b = 5
Graph or table Substitution Elimination
3.
A. B. C.
7. Después de completar la «Parte I» , invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 «¿Cómo decides qué método se debe usar?». El método usado se basa en la forma que tienen las ecuaciones. • DOK-2 «Cuando observas un sistema de ecuaciones, ¿Qué te ayuda a decidir qué método usar para resolver?». Si ambas ecuaciones tienen la misma variable aislada, entonces usar un gráfico o tabla (o sustitución) es lo más eficiente. Si una ecuación tiene una variable aislada, lo más eficaz es la sustitución. Si no hay variables aisladas y Las ecuaciones están en forma estándar, la eliminación es el método más eficaz.
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4.
A. B. C.
c=d–7 c + d = 15
Graph or table Substitution Elimination
c = 2b + 3 c = 3b – 4
Graph or table Substitution Elimination
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
◦ DOK-2 Explícame tu proceso para seleccionar un método. Las respuestas variarán. 6. Permita a los estudiantes suficiente tiempo para completar la «Parte I» y contestar las preguntas que siguen.
A. B. C.
a = 0.55b – 2.5 a = 2.15b + 7.7
Graph or table Substitution Elimination
2.
PARTE II
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Has decidido conducir y hacer tu viaje en un día. Ya no necesitas la información de la aerolínea ni del hotel. Utilizando los tres puntos restantes que has investigado (entradas a la “Ciudad del agua”, comida y souvenirs), resuelve cada sistema para determinar los costos implicados». 2. Los estudiantes deben tener todavía las «Tarjetas de investigación del viaje a la ciudad del agua» y sus «Diarios del estudiante». 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para resolver los sistemas, analizar los métodos utilizados para resolverlos y registrar su trabajo en sus «Diarios del estudiante».
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 5
4. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientadoras para evaluar la comprensión: ◦ DOK-2 «¿Qué tipo de ecuación es fácil de representar gráficamente?». Las ecuaciones que están en forma de intersección de pendiente son fáciles de graficar. ◦ DOK-2 «¿Qué método sería el más eficiente si una (o ambas) ecuación(es) tiene(n) una variable aislada?». El método más eficiente sería la sustitución. ◦ DOK-2 «Si ambas ecuaciones tienen una variable aislada, ¿Cuándo sería más eficiente la sustitución que la representación gráfica?». La representación gráfica podría funcionar si ambas tienen una variable aislada, pero la representación gráfica sin tecnología no es eficiente si la respuesta no es un número entero. ◦ DOK-2 « Cuando ambas ecuaciones están en forma estándar pero no tienen coeficientes comunes, ¿Seguiría siendo la eliminación el método más eficiente?». Explica. La eliminación seguiría siendo el método más eficiente porque, generalmente, aislar una variable para graficarla o sustituirla produciría fracciones. Trabajar con fracciones es tedioso y lento. ◦ DOK-2 Explica tu proceso de selección de un método. Las respuestas variarán. ◦ DOK-1 «¿Los dos métodos de resolución dan la misma solución al sistema? ¿Por qué sí o por qué no?». Sí, puesto que Las ecuaciones iniciales son las mismas, todos los métodos darán la misma solución. Sólo hay una solución que satisfará el sistema de ecuaciones que representa estas situaciones. 5. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la «Parte II» y las preguntas que siguen.
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Realmente importa el método que utilices?». Sí y no. Los métodos seleccionados basados en la forma del sistema de ecuaciones deben ser eficientes. Si resuelves usando el método sugerido, será menos trabajo. Sin embargo, puedes utilizar cualquier método y obtener la misma solución. • DOK-2 «¿Qué método prefieres y por qué?». Intenta dar ejemplos con tu respuesta. Las respuestas variarán. 7. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 8. Regrese a la sección «Captar interés» e instruya a los estudiantes para que usen sus habilidades recién adquiridas para completar exitosamente la actividad.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de realizar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez creado, haga que cada estudiante llene su «Libreta interactiva» .
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Los estudiantes pueden tener dificultades para determinar qué método de resolución de un sistema es el más apropiado para un sistema dado. Ayude a los estudiantes a identificar patrones y criterios que hacen que ciertas formas de resolución sean más fáciles que otras. 2. Los estudiantes pueden no revisar su trabajo porque asumen que si el álgebra funciona fácilmente, entonces es correcta. Anime siempre a los estudiantes a comprobar su trabajo algebráicamente y, si es posible, a representar gráficamente las rectas y ver si la solución coincide con el gráfico.
6. Después de realizar la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemática para compartir sus observaciones y aprendizajes.
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 5 Systems of Equations Part 5
APOYOS LINGÜÍSTICOS La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Exploración». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo del lenguaje de los estudiantes. Los estudiantes utilizarán técnicas de aprendizaje como mapas conceptuales, dibujos, comparaciones, contrastes, memorización y repasos para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado. Principiante: Antes de la lección, guíe a los estudiantes en la creación de una hoja de resumen sobre los diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones (es decir, tablas, gráficos, sustitución y eliminación). La hoja del resumen debe incluir una descripción escrita de cada método y un ejemplo de cada método. Después de la lección, los estudiantes pueden agregar descripciones a su hoja acerca de cuándo es mejor utilizar un método en particular (por ejemplo, si ambas ecuaciones tienen la misma variable aislada, entonces utilizar una tabla, un gráfico o una sustitución es lo más eficiente). Intermedio: Antes de la lección, pida a los estudiantes que creen una hoja de resumen sobre los diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones (es decir, tablas, gráficos, sustitución y eliminación). La hoja del resumen debe incluir una descripción escrita de cada método y un ejemplo de cada método. Después de la lección, los estudiantes pueden añadir descripciones a su hoja sobre cuándo es mejor utilizar un método concreto (por ejemplo, si ambas ecuaciones tienen la misma variable aislada, entonces utilizar una tabla, un gráfico o una sustitución es lo más eficiente).
Select Methods to Solve Systems Determine which method would be best for solving each system of equations, and give the solution. Show your work, and use the blank graph below if using the graphing method. System of Equations
5x + 2y = 9 x – 2y = 9
5x – 2y = 16 y=x–5
Method
2x + 5y = 11 3x – 4y = −18
Workspace
Solution (3, −3)
Elimination
5x + 2y = 9 x – 2y = 9 6x =18 x=3 3 – 2y = 9 −2y = 6 y = −3 y=x–5 5x – 2(x – 5) = 16 3x + 10 = 16 x=2 y = 2 – 5 = −3
(2, −3)
Substitution
(−2, 3)
Elimination
6x +15y = 33 6x – 8y = −36 23y = 69 y=3 2x + 5(3) = 11 2x = −4 x = −2
(1, 2)
y = 2x y=x+1
Graphing
1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 5) CLAVE DE RESPUESTAS
Avanzado: Antes de la lección, pida a los estudiantes que elaboren una hoja de resumen sobre los diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones (es decir, tablas, gráficos, sustitución y eliminación). La hoja del resumen debe incluir una descripción escrita de cada método y un ejemplo de cada método. Después de la lección, los estudiantes pueden añadir descripciones a su hoja sobre cuándo es mejor utilizar un método concreto (por ejemplo, si ambas ecuaciones tienen la misma variable aislada, lo más eficaz es utilizar una tabla, un gráfico o una sustitución).
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE
CONSOLIDAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
Systems of Equations Graphing
Substitution
Elimination
Use when both equations are in a form that is ready to graph and will fit easily on a grid.
Use when one equation is already solved for a variable.
Use when both equations are in standard form and have variables in corresponding positions.
y = −2x + 6 y = 4x – 3
3x = 2y + 14 y = −6x + 18
2x + 3y = 6 −3y + x = 9
The intersection of the lines at (1.5, 3) shows the solution of the equations.
The second equation has been substituted into the first and simplified.
The solution, x = 5, can be substituted into either equation to calculate the y value.
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
ESQUEMA DE ANCLAJE DESCRIPCIÓN Un esquema de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Se trata de una herramienta para apoyar la instrucción y consolidar el aprendizaje del estudiante a lo largo del alcance.
MATERIALES
• 1 hoja de papel cuadriculado • 1 juego de marcadores multicolores
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del ejemplo del «Esquema de anclaje», si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. El ejemplo de esquema puede utilizarse como referencia antes de crear el «Esquema de anclaje» de la clase con los estudiantes. Esta actividad debe ser dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje. 2. A medida que los estudiantes trabajan en el alcance, y colaboran para añadir piezas al «Esquema de anclaje», formule las siguientes preguntas orientadoras : ◦ «¿Qué estrategia utilizamos para resolver este problema?». ◦ «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?». 3. Continúe añadiendo habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada «Exploración» para resaltar el contenido importante. 4. Explique que pueden utilizar este gráfico como herramienta de apoyo para su aprendizaje. Los estudiantes también pueden pegar una copia del ejemplo del «Esquema de anclaje» en sus cuadernos para utilizarlo como referencia a lo largo del año. 5. Algunos «Esquemas de anclaje» sólo se mostrarán durante un alcance o grupo de alcances concretos, mientras que otras permanecerán expuestas durante todo el ciclo escolar.
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA
DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
LIBRETA INTERACTIVA DESCRIPCIÓN Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase al usar la actividad y la libreta.
Systems of Equations
Instructions ● Cut out the top and bottom pieces of the flipbook. Make sure to cut the flaps on the dotted lines. Fold back the flaps on the solid lines. ● Glue the bottom of the flipbook into your notebook. ● Place glue or tape where instructed, and add the top of the flipbook. ● Lift the flap, and complete the example for each solving method to complete the flipbook.
Solving Systems of Equations
Graphing
Substitution Elimination
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del «Folleto del estudiante» para cada uno.
Systems of Equations
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Prepare un «Libreta interactiva» al usar un cuaderno de espiral o de composición para cada uno. Los estudiantes pueden utilizar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades.
Place glue here. y = 2x + 2
−5x + 2y = 9
3y + 2x = 6
y=x–1
y = 7x
5y – 2x = 10
2. Las instrucciones para cada actividad se proporcionan en el «Folleto del estudiante». 3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos. 4. Las libretas interactivas pueden utilizarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
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FOLLETO PARA EL ESTUDIANTE
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO VOCABULARIO CLAVE
VOCABULARIO ILUSTRADO
Constraint
Half-Plane
Strict Inequality
A condition that the solution must satisfy
A planar region consisting of all points on one side of an infinite straight line, and no points on the other side
An inequality that has no equality conditions; the strict inequality is either greater than or less than.
2
12
11
Less Than
Greater Than
Solution Set
Smaller than another (e.g., 432 < 501)
More than another (e.g., 49 > 12)
A set of numbers that makes an inequality statement true 4
3
5
Inequality Notation
Less Than or Equal To
Greater Than or Equal To
Notation in which the solution is represented by an inequality statement
Smaller than or the same as another
More than or the same as another
6
Inequality Phrase
Boundary Line
Phrase representing each of the inequalities
A line that corresponds to the function that divides the coordinate plane into two halves 9
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8
7
10
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ DESARROLLAR FLUIDEZ CONCEPTUAL
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: SISTEMAS DE ECUACIONES DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes jugarán a un juego de «Pareo de coordenadas».
MATERIALES IMPRESOS
• 1 hoja de instrucciones de «Pareo de coordenadas» (por pareja) • 1 juego de tarjetas de «Pareo de coordenadas» (por pareja)
Coordinate Match Instruction Sheet Play this game with a partner. You Will Need 1 Set of Coordinate Match Cards (per pair) How to Play 1. Shuffle the cards, and place them facedown in an array. 2.
Player 1 flips over two cards to try to find a match.
3.
If player 1 matches a card with an ordered pair to a corresponding description of the coordinate location, then they keep the matched set and take another turn. (All locations start from the origin.)
4.
If player 1 does not find a match, then they place the cards
5.
Players continue taking turns until all of the matches have
6.
The player who collects the most cards wins.
facedown again, and it is the next player's turn. been found.
REUTILIZABLES
• 1 sobre o bolsa (por pareja)
PREPARACIÓN
• Haga copias a doble cara de las «Tarjetas de pareo de coordenadas». • Lamínlas para que duren más.
HOJA DE INSTRUCCIONES
• Recorte las tarjetas individuales y colóquelas en un sobre o bolsa para facilitar su distribución y limpieza. • Coloque a los estudiantes en parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo barajar las tarjetas y colocarlas boca abajo en una cuadrícula 2. Muestre con un estudiante cómo jugar. ◦ El jugador 1 voltea dos tarjetas para tratar de encontrar una coincidencia. ◦ Si el jugador 1 hace coincidir una tarjeta con un par ordenado con una descripción correspondiente de la ubicación de coordenadas, entonces se queda con el conjunto coincidente y toma otro turno. (Todas las localizaciones empiezan desde el origen). ◦ Si el jugador 1 no encuentra ninguna coincidencia, vuelve a colocar las tarjetas boca abajo y es el turno del siguiente jugador. ◦ Los jugadores siguen turnándose hasta que se hayan encontrado todas las coincidencias. ◦ Gana el jugador que reúna más tarjetas. 3. Distribuya los materiales. A continuación, pida a los estudiantes que barajen las tarjetas y las coloquen boca abajo. 4. Supervise a los estudiantes para asegurarse de que encuentran las parejas correctas.
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
ELABORAR: REVISIÓN EN ESPIRAL Systems of Equations
REVISAR CONCEPTOS PREVIOS
REVISIÓN EN ESPIRAL: ELIMINATORIAS DE FÚTBOL
Football Playoffs Getting to the playoffs is a huge deal. This season, there have been some close calls where Sahil’s team tied or won the game during the last few plays, and everyone was on the edge of their seats. As Sahil’s team comes to the close of the regular season, they have to ensure they earn enough points to keep their team’s standing. If they lose their spot, they cannot go to the playoffs.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes repasan contenidos previos o actuales del grado para apoyar su trabajo en el alcance actual y fortalecer las habilidades necesarias para alcances posteriores.
Sahil’s football team has trained harder than ever. The coach has worked with Sahil and the rest of the offensive line on new plays. They have drilled and completed two-a-day training sessions during their week off of school. Will Sahil’s team make it to the playoffs?
REVISIÓN EN ESPIRAL CENTRADA EN LA PREGUNTA • Pregunta 1
◦ ALG I: Crear ecuaciones en dos o más variables. • Pregunta 2 ◦ ALG I: Resolver ecuaciones lineales con una variable. • Pregunta 3 1
◦ ALG I: Determinar el dominio y rango de una función cuadrática. • Pregunta 4
Systems of Equations
1.
The kicker is trying to make a field goal for three points. What equation, parallel to the y-axis, would make the football go through the field goal?
2.
◦ ALG I: Comprender que el gráfico de una ecuación con dos variables es el conjunto de todas sus soluciones trazadas en el plano de coordenadas.
PREPARACIÓN
It was windy! The coach changed the play to account for the strength and direction of the wind using the equation 1.75(2x – 12) = 28, where x was the distance between the quarterback and the receiver for a successful catch. What value of x makes this equation true?
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno.
The answer is x = 15. 3.
A football is kicked from ground level, and its path is modeled by the quadratic function below. f(x) is the football’s height above the ground in yards, and x is the time in seconds. What is the range of the function for this situation?
The answer is 0 ≤ y ≤ 26.
2. Anímelos a responder a las preguntas de forma individual sin utilizar recursos externos para ver lo que saben. Invite a los estudiantes a anotar ideas o fragmentos que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas.
The answer is x = 14. 4.
Sahil’s team needs exactly 20 more points to make the playoffs. They get 2 points per win and 1 point per tie. The graph shows the linear relationship between wins and ties. Using the ordered pair (wins, ties), see if the team can make the playoffs with 6 wins and 6 ties. What about 8 wins and 4 ties?
3. Utilice las preguntas de «Revisión en espiral» como calentamiento en clase, o envíelas a casa como tareas. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos.
The answer is (6, 6) and no; (8, 4) and yes. 2
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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4. Consulte la sección «Revisión en espiral centrada en la pregunta» para evaluar los conocimientos de contenido de los estudiantes o su necesidad de una mayor intervención. Si es necesario repasar más, utilice la sección de «Constructor de fluidez» en los alcances apropiados. 5. El trabajo final incluye una parte de este alcance para que los estudiantes vean la conexión y relevancia de su aprendizaje previo con el actual.
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS ANALIZAR DE DATOS
CIENCIA DE DATOS Ciencia de datos es un breve debate en clase basado en un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. La «Parte I» incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los estudiantes en contexto.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizarán, interpretarán y generarán conjuntos de datos, además de responder a preguntas basadas en los datos.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 conjunto de datos (por clase) REUTILIZABLES
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase) • 1 marcador (por clase) CONSUMIBLES
• 1 trozo de papel milimetrado (por clase)
PREPARACIÓN
• Prepárese para proyectar el “Conjunto de datos” para la clase. • Reúna un trozo de papel milimetrado y un marcador.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Proyecte el «Conjunto de datos» y prepárese para anotar las observaciones de los estudiantes. 2. Realice las siguientes preguntas: ◦ «¿Qué notas acerca de este conjunto de datos?». ◦ «¿Qué representa este conjunto de datos?».
PARTE II
1. Repase cómo resolver un sistema de ecuaciones y escriba lo que los estudiantes recuerden en el papel milimetrado. 2. Realice las siguientes preguntas: ◦ «Escribe un sistema de ecuaciones para modelar esta situación. Asegúrate de definir tus variables». Sea d la cantidad que gana un vendedor por vender un paquete nacional e i la cantidad que gana un vendedor por vender un paquete internacional. 52d + 12i = 26.640 30d + 30i = 32.100 ◦ Resuelve el sistema. Muestra tu trabajo. Se muestra un ejemplo de trabajo. 5(52d + 12i = 26.640) →→→→→ 260d + 60i = 133.200
-2(30d + 30i = 32.100) →→→→ -60d - 60i = -64.200 200d = 69,000 d = 345
30(345) + 30i = 32.100 30i = 21.750 i = 725
◦ «¿Qué significa la solución en el contexto del problema?». Un vendedor gana $345 por cada paquete vacacional nacional vendido y $725 por cada paquete vacacional internacional vendido. ◦ «¿Cuánto ganaría un vendedor vendiendo 41 paquetes nacionales y 27 paquetes internacionales?». $33,720 ◦ Explique otra forma en que podría haber resuelto el sistema de ecuaciones. Respuesta de ejemplo: Podrías resolver la segunda ecuación para i (i = -d + 1,070) y sustituir esa expresión en la primera ecuación para i [52d + 12(-d + 1,070) = 26,640]. Luego, puedes resolver esta ecuación para d y sustituir el valor de d en cualquiera de las dos ecuaciones originales para resolver i. O bien, puedes poner ambas ecuaciones en forma de intersección de pendiente, graficarlas y encontrar su punto de intersección.
◦ «¿Qué categorías se incluyen en este conjunto de datos?». ◦ «¿Qué tipo de paquete -doméstico o internacional- esperarías que costara más?». ◦ «¿Cómo interpretarías la solución del sistema de ecuaciones representado por esta situación?». ◦ «¿Qué preguntas tienes sobre los datos?».
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN EVALUACIÓN DE HABILIDADES
LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN
DESCRIPCIÓN
Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede utilizarse como evaluación formativa para los maestros y como autoevaluación para los estudiantes.
3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo. 4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
5. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el «Folleto del maestro».
• 1 folleto del maestro (por estudiante)
PREPARACIÓN
6. Las notas anecdóticas proporcionadas en el «Folleto del maestro» pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares.
• Imprima un «Folleto del maestro» y un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Folleto del estudiante» para cada uno. 2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Explorar» y «Explicar» del alcance, evalúe formativamente su progreso tomando notas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en grupos pequeños.
7. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la «Guía de instrucción andamiada» en la sección «Inicio» de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
Systems of Equations
Systems of Equations
Systems of Equations Skill or Key Concept Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or non-viable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods. Prove that, given a system of two equations in two variables, replacing one equation by the sum of that equation and a multiple of the other produces a system with the same solutions. Solve systems of linear equations exactly and approximately (e.g., with graphs), focusing on pairs of linear equations in two variables.
How was the skill or concept observed?
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Systems of Equations
Standards for Mathematical Practice
Systems of Equations
Notes and Feedback
Skill or Key Concept Understand that the graph of an equation in two variables is the set of all its solutions plotted in the coordinate plane, often forming a curve (which could be a line).
Explain why the x-coordinates of the points where the graphs of the equations y = f(x) and y = g(x) intersect are the solutions of the equation f(x) = g(x); find the solutions approximately, e.g., using technology to graph the functions, make tables of values, or find successive approximations. Include cases where f(x) and/or g(x) are linear, polynomial, rational, absolute value, exponential, and logarithmic functions.
How was the skill or concept observed? ❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Notes and Feedback
Make sense of problems and persevere in solving them
Notes and Feedback
Reason abstractly and quantitatively Construct viable arguments and critique the reasoning of others Model with mathematics Use appropriate tools strategically
Attend to precision ❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
Look for and make use of structure
❏ ❏
Discussion Written explanation
Look for and express regularity in repeated reasoning
1
Consider these reflection questions in this scope.
2
●
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them?
●
What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
3
FOLLETO DEL MAESTRO
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
EVALUAR: MAPA DE CALOR
ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
MAPA DE CALOR DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
1. Dé un «Mapa de calor» a cada estudiante junto con lápices de colores rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s). 2. Los estudiantes utilizan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el «Mapa de calor». Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los estudiantes colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, los estudiantes colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, los estudiantes colorean el cuadro correspondiente de rojo.
MATERIALES
• 1 mapa de calor (por estudiante) • 1 lápiz de color rojo (por estudiante) • 1 lápiz de color azul (por estudiante) • 1 lápiz de color naranja (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Determine si los estudiantes analizarán su «Prueba de habilidades», la «Evaluación basada en estándares», o ambas.
3. Anímelos a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a utilizar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada.
• Imprima un «Mapa de calor» para cada estudiante.
4. Consulte la «Guía de instrucción andamiada» que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
• Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
Systems of Equations
Systems of Equations
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key.
Red – misconception
Standards
1. Which skill did you feel most confident with? Why?
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
3
Orange – explanation
Standards Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or non-viable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods.
4
Not Assessed
Solve systems of linear equations exactly and approximately (e.g., with graphs), focusing on pairs of linear equations in two variables.
1
2
5
Understand that the graph of an equation in two variables is the set of all its solutions plotted in the coordinate plane, often forming a curve (which could be a line).
7
8
9
Red – misconception
Standards-Based Assessment
Questions
Prove that, given a system of two equations in two variables, replacing one equation by the sum of that equation and a multiple of the other produces a system with the same solutions.
Explain why the x-coordinates of the points where the graphs of the equations y = f(x) and y = g(x) intersect are the solutions of the equation f(x) = g(x); find the solutions approximately, e.g., using technology to graph the functions, make tables of values, or find successive approximations. Include cases where f(x) and/or g(x) are linear, polynomial, rational, absolute value, exponential, and logarithmic functions.
Blue – miscalculation
Reflection Questions
Skills Quiz
Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or non-viable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods.
Systems of Equations
3. Which type of error did you most commonly make?
Prove that, given a system of two equations in two variables, replacing one equation by the sum of that equation and a multiple of the other produces a system with the same solutions.
4. How can you avoid those errors in the future?
6
1
2
2
7
4
Solve systems of linear equations exactly and approximately (e.g., with graphs), focusing on pairs of linear equations in two variables.
3
Understand that the graph of an equation in two variables is the set of all its solutions plotted in the coordinate plane, often forming a curve (which could be a line).
5
Explain why the x-coordinates of the points where the graphs of the equations y = f(x) and y = g(x) intersect are the solutions of the equation f(x) = g(x); find the solutions approximately, e.g., using technology to graph the functions, make tables of values, or find successive approximations. Include cases where f(x) and/or g(x) are linear, polynomial, rational, absolute value, exponential, and logarithmic functions.
10
Questions
6
8
9
10
1
3
MAPA DE CALOR
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
INTERVENIR: REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES Systems of Equations
REFORZAR Y VOLVER A ENSEÑAR
REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES
Checkup 1.
Identify the solution to the system shown. Show the solution on the graph and on the table. y1 = –x + 8 y2 = 5x – 4 x
y1
y2
0
8
–4
1
7
1
2
6
6
3
5
11
4
4
16
DESCRIPCIÓN Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para intervención.
MATERIALES IMPRESO
• 1 revisión rápida (por estudiante) • 1 repaso (por estudiante)
Solution: (2, 6) 2. a.
• 1 revisión general (por estudiante)
Different systems of equations are represented in each table. Identify the number of solutions for each system, and explain your reasoning. x
y1
y2
x
y1
y2
0
1
1
9
1
–2
16
9
–1
9
2
17
17
0
3
25
25
1
Infinitely many solutions because all y values are the same.
b.
x
y1
y2
–17
–2
2
–7
–13
–1
4
–5
2
–9
0
6
–3
–5
–5
1
8
–1
One solution: (1, –5) because y1 = y2 only when x = 1.
c.
• 1 lista de verificación el maestro (por maestro)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de la «Revisión rápida», del «Repaso» y de la «Revisión general» para cada estudiante.
No solution because both equations have the same slope, so they are parallel 1 lines.
Systems of Equations
3.
The perimeter of a rectangle is 110 cm. Its length is 7 cm longer than the width. a.
Write a system of linear equations that would be used to represent this situation. Let l represent the length and w represent the width of the rectangle. 2l + 2w = 110 l=w+7
b.
Find the dimensions of the rectangle. 2l + 2w = 110 2(w + 7) + 2w = 110 2w + 14 + 2w = 110 4w + 14 = 110 4w = 96 w = 24 cm
• Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar el «Repaso». • Si lo desea, imprima un ejemplo del «Esquema de anclaje» de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que usen la «Libreta interactiva» como recurso. • Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayudas suplementarias para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Dé una copia de la «Revisión rápida» a cada estudiante. 2. Cada uno debe completarla de forma individual.
l=w+7 l = 24 + 7 l = 31 cm
3. Use la rúbrica de habilidades al final de la «Revisión rápida» para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional. 4. Distribuya una copia del «Repaso» a cada uno.
4.
5. Cada estudiante debe completar el «Repaso» como actividad de intervención o de forma individual.
Susan and her sister earned money shoveling snow over winter break. Altogether, they shoveled for a total of 43 hours. Susan charged her customers $15 per sidewalk, and her sister charged $12 per sidewalk. If they earned $579 in total, how many hours did each girl spend shoveling? Let x represent the number of hours Susan worked and y represent the number of hours her sister worked. x + y = 43 15 (x + y = 43) 15x + 15y = 645 – (15x + 12y = 579) 15x + 12y = 579 15x + 12y = 579 3y = 66 y = 22 x + y = 43 x + 22 = 43 x = 21 Susan worked 21 hours, and her sister worked 22 hours.
a. Si lo desea, reúna a los estudiantes en pequeños grupos para trabajar en las destrezas de repaso. Utilice el «Repaso» como ayuda para la reenseñanza. 6. Distribuya una copia de la «Revisión general» a cada uno. 7. Cada estudiante debe completarla de forma individual. 2
REVISIÓN GENERAL CLAVE DE RESPUESTAS
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8. Analice los resultados de la «Revisión general» al usar la «Lista de verificación para el maestro» para identificar quienes necesitan un repaso adicional y quienes han alcanzado el dominio de los conceptos.
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
INTERVENIR: REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES
Systems of Equations
Systems of Equations
Use the given information for questions 5 and 6.
Use the given information for questions 9 and 10.
The system of equations shown below was graphed on a coordinate plane. When the two linear equations were graphed, they intersected at one point.
A small company makes laptops and sells them online. The company has a business model where the cost, in dollars, to make x laptops is given by the equation shown in the table. The revenue, in dollars, made by selling x laptops is given by the equation shown in the table. The break-even point is the point where the cost and revenue equations intersect.
–7x + 5y = 47 2x + 3y = 22 5.
When solving this system, it would be most advantageous to use the method of solving by _______________ because it would require the fewest steps. elimination
6.
Solve the system. –7x + 5y = 47 2x + 3y = 22
2 (–7x + 5y = 47) 7 (2x + 3y = 22)
–14x + 10y = 94 + 14x + 21y = 154 31y = 248 y=8
2x + 3y = 22 2x + 3(8) = 22 2x = –2 x = –1 7.
8.
9.
Some students want to order shirts with their school logo. One company charges $11.25 per shirt plus a setup fee of $35. Another company charges $10.75 per shirt plus a $42 fee. Let s represent the number of shirts and t represent the total cost. For what number of shirts would the cost be the same? t = 11.25s + 35 10.75s + 42 = 11.25s + 35 t = 10.75s + 42 7 = 0.5s 14 = s The cost will be the same for 14 shirts.
Cost
Revenue
y = 5x + 90
y = 10x
Represent this data using a table of values. x
Cost
0
90
0
10
140
100
14
160
140
18
180
180
26
220
260
Revenue
10. Graph the cost and revenue equations on the coordinate plane, and find the number of laptops the company must sell to break even.
Identify the method that would be most efficient for solving each of the following systems of equations.
a.
5p + q = 27 p = –2q
b.
8v + 3w = 22 –7v + w = 17
c.
w = –12.5z + 7.5 w = –14.8z +16.7
A. B. C.
Graphing/tables Substitution Elimination
A. B. C.
Graphing/tables Substitution Elimination
A. B. C.
Graphing/tables Substitution Elimination
The company must sell 18 laptops to break even. 3
4
REVISIÓN GENERAL CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
ACELERACIÓN: ¿QUÉ PREFERIRÍAS? Systems of Equations
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
¿QUÉ PREFERIRÍAS?: DINERO DE BOLSILLO
Pocket Money Use mathematical reasoning and creativity to justify your answer to the Would You Rather question. Honyu has $25 in his pocket, consisting of 24 bills or coins. Some are $5 bills, and some are quarters. Cici has $20 in her pocket, consisting of 21 bills or coins. Some are $1 bills, and some are half-dollars ($0.50 each). Would you rather carry Honyu’s or Cici’s money in your pocket over the course of the day? Justify your reasoning with mathematics.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
MATERIALES For Honyu, 5B + .25Q = 25 and B + Q = 24, where B is $5 bills and Q is quarters. This means Honyu has 4 $5 bills and 20 quarters. For Cici, B + 0.5H = $20 and B + H = 21, where B is $1 bills and H is half-dollars. This means Cici has 19 $1 bills and 2 half-dollars. The following statements are sample answers: I would prefer to be Honyu because he has more coins in his pocket, and I like to hear them jingle as I walk. I’m also headed to a gaming arcade where quarters are needed. I would prefer to be Cici because dollar bills are much lighter in weight than coins, and I don’t want to have to carry around so much weight over the course of the day.
1
IMPRESOS
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 rúbrica (por maestro)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno. • Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno.
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE OPCIONES
2. Anímelos a mirar sus folletos de «Explorar» si necesitan repasar habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros. 4. Utilice la rúbrica proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Systems of Equations
OPCIONES PARA SEGUIR APRENDIENDO
TABLERO DE OPCIONES
Systems of Equations Choose one or more extension activities from the table below.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes explorarán las conexiones con el mundo real y las aplicaciones del contenido matemático a través de interacciones con actividades atractivas.
MATERIALES IMPRESO
• 1 tablero de opciones (por estudiante) • 1 juego de hojas de actividades (por estudiante) • 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante) REUTILIZABLE
• Tecnología (si corresponde)
Career Connection
Budget Analyst
Arts Connection
Stick-Figure Dance
Research the career field of budget analysis. You must answer the provided questions. Create a presentation to relay your research to the class.
Create systems of equations by graphing. Then, create a second set to have a stick-figure dance.
Science Connection
Kitchen Connection
Boat Trip
Explore the connection between math and science by solving the system of equations to find the speed of a boat and the speed of the current.
Trail-Mix Recipe
Systems of equations can be used when reading recipes to make foods, like trail mix. Read the scenarios, and answer the questions on the handout.
Mathematics Connection
Financial Connection
Systems Proof
Making Investments
Prove that a new system in two variables created with one equation from an original system and the sum of that equation and a multiple of the other equation have the same solutions as the original system.
We use math every day in our financial world. Explore how our current math topic connects to our financial world by completing the handout.
PREPARACIÓN
• Imprima un «Tablero de opciones» y un juego de hojas de actividades para cada estudiante.
TABLERO DE OPCIONES
• Imprima una «Autoevaluación del tablero» para cada estudiante. • Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» a cada estudiante. 2. Dé tiempo a los estudiantes para examinar el «Tablero de opciones» y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anímelos a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del tablero, haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES
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ÁLGEBRA 1 SISTEMAS DE DESIGUALDADES
ÁLGEBRA 1
SISTEMAS DE DESIGUALDADES ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: RELACIONA POR EL SALÓN
ESTÁNDARES CLAVE Crear ecuaciones que describan números o relaciones. • Representar restricciones mediante ecuaciones o inecuaciones, y mediante sistemas de ecuaciones y/o inecuaciones, e interpretar las soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelización. Por ejemplo, representar inecuaciones que describan restricciones nutricionales y de coste en combinaciones de diferentes alimentos. Representar y resolver ecuaciones e inecuaciones gráficamente. • Graficar las soluciones a una inecuación lineal en dos variables como un semiplano (se excluye el límite en el caso de una inecuación estricta), y graficar el conjunto solución a un sistema de inecuaciones lineales en dos variables como la intersección de los semiplanos correspondientes.
Los estudiantes participarán en una actividad de emparejamiento de tarjetas para evaluar su comprensión de un estándar matemático previo e identificar cualquier concepto erróneo. • Los estudiantes escribirán los números en una hoja de papel para prepararse para la actividad. • Caminarán por la habitación para emparejar las tarjetas numeradas con las tarjetas de letras correspondientes. • Los estudiantes debatirán su razonamiento con un compañero para reforzar su comprensión. • Si surgen dificultades, procederán a una actividad de «Constructor de bases fundamentales» para abordar las lagunas en los conocimientos previos. CAPTAR INTERÉS Los estudiantes explorarán y resolverán un problema del mundo real que implique Sistemas de desigualdades para determinar las estrategias de producción óptimas para una empresa de tejidos de punto. • Los estudiantes verán un video y debatirán las limitaciones y los factores de beneficio implicados en la producción de sombreros y bufandas. • Analizarán el escenario al identificar y formular los Sistemas de desigualdades relevantes.
ESTÁNDARES DE CONEXIÓN
• Los estudiantes graficarán las desigualdades para encontrar la región factible y determinar las cantidades óptimas de producción.
Resolver ecuaciones e inecuaciones en una variable.
• Evaluarán diferentes estrategias y soluciones para maximizar la ganancia al tener en cuenta las restricciones.
• Resolver ecuaciones e inecuaciones lineales en una variable, incluso ecuaciones con coeficientes representados por letras. Crear ecuaciones que describan números o relaciones. • Crear ecuaciones e inecuaciones en una variable incluso aquellas con valor absoluto y utilizarlas para resolver problemas. Incluir ecuaciones que surjan de funciones lineales y cuadráticas, y funciones racionales y exponenciales simples. • Reorganizar fórmulas para resaltar una cantidad de interés, al usar el mismo razonamiento que en la resolución de ecuaciones. Por ejemplo, reordenar la ley de Ohm V = IR para resaltar la resistencia R. Entender la resolución de ecuaciones como un proceso de razonamiento y explicar el razonamiento. • Explicar cada paso en la resolución de una ecuación simple como consecuencia de la igualdad de números afirmada en el paso anterior, a partir de la suposición de que la ecuación original tiene solución. Construir un argumento viable para justificar un método de solución. Construir nuevas funciones a partir de funciones existentes. • Encontrar funciones inversas. • Resolver una ecuación de la forma f(x) = c para una función simple f que tenga una inversa y escribir una expresión para la inversa.
ACTIVIDADES DE EXPLORACIÓN EXPLORACIÓN 1: SISTEMAS DE DESIGUALDADES Los estudiantes utilizarán gráficos para analizar y resolver Sistemas de desigualdades en contextos del mundo real. • Los estudiantes trabajarán en grupos para interpretar tarjetas gráficas e identificar restricciones relacionadas con los costes iniciales y los objetivos de ingresos. • Modelarán Sistemas de desigualdades al usar ecuaciones y diagramas para explorar posibles soluciones. • Los estudiantes graficarán desigualdades en cuadrículas de coordenadas para visualizar regiones de solución superpuestas. • Participarán en debates para comparar métodos y compartir ideas sobre estrategias eficientes de resolución de problemas. EXPLORACIÓN 2: PROGRAMACIÓN LINEAL Los estudiantes utilizarán gráficas de desigualdades y el principio de vértice de la programación lineal para determinar soluciones óptimas para maximizar o minimizar una función objetivo en un escenario contextual. • Los estudiantes analizarán restricciones y graficarán desigualdades para identificar la región factible para posibles soluciones. • Colaborarán en grupos para evaluar combinaciones de productos al usar la sustitución en la función objetivo para determinar los niveles de beneficio. • Los estudiantes aplicarán el principio del vértice para identificar qué vértices de la región factible maximizan o minimizan la función objetivo. • Participarán en debates para reflexionar sobre sus conclusiones y completarán preguntas de reflexión para consolidar su comprensión de los conceptos de programación lineal.
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ÁLGEBRA SISTEMAS DE DESIGUALDADES SISTEMAS1:DE DESIGUALDADES ÁLGEBRA 1
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES
SISTEMAS DE ECUACIONES
CONCEPTOS CLAVE • Puedo resolver sistemas de inecuaciones lineales mediante gráficas.
PREGUNTAS FUNDAMENTALES • «¿En qué se diferencia la representación gráfica de sistemas de inecuaciones lineales de la representación gráfica de sistemas de ecuaciones lineales?».
• Puedo identificar pares ordenados que son soluciones y que no son soluciones de un sistema de inecuaciones lineales.
• «¿Cómo puedo determinar si un par ordenado satisface el sistema de inecuaciones?».
• Puedo determinar las soluciones razonables dada una descripción contextual.
• «¿Cómo puede existir una solución en la frontera de un sistema de inecuaciones lineales?».
• Puedo diferenciar entre resolver sistemas de ecuaciones lineales y sistemas de inecuaciones lineales y luego seleccionar un método apropiado y resolver.
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE DESIGUALDADES
INICIO: CONTENIDO DE APOYO ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
CONTENIDO DE APOYO Crear ecuaciones que describan números o relaciones. • Representar restricciones mediante ecuaciones o desigualdades y mediante sistemas de ecuaciones y/o desigualdades, e interpretar las soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelización. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de coste en combinaciones de diferentes alimentos. Representar y resolver ecuaciones e inecuaciones gráficamente. • Graficar las soluciones a una inecuación lineal en dos variables como un semiplano (se excluye el límite en el caso de una inecuación estricta), y graficar el conjunto de soluciones a un sistema de inecuaciones lineales en dos variables como la intersección de los semiplanos correspondientes.
CONOCIMIENTOS PREVIOS En grados anteriores, los estudiantes resolvieron sistemas de ecuaciones y graficaron inecuaciones de una variable en rectas numéricas. En este nivel de grado, ampliarán su comprensión de estos temas para resolver Sistemas de desigualdades lineales al graficar en un plano de coordenadas e identificar qué parte del plano representa el conjunto solución.
CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
• Cuando los estudiantes usan puntos de prueba, pueden desarrollar su propia generalización de que cuando una desigualdad es de la forma y < 1, sombrearán por debajo de la línea límite. Esta generalización es aceptable si los estudiantes desarrollan esta idea y pueden explicar por qué funciona. • Usar marcadores o lápices de diferentes colores para sombrear el conjunto de soluciones de cada desigualdad puede ayudar a los estudiantes a aprender a visualizar dónde se encuentra la intersección de las soluciones en el plano de coordenadas. • Los estudiantes pueden tener la tendencia a detenerse una vez que encuentran un punto que es una solución para una ecuación y no comprobar si es una solución para la otra. • Los estudiantes pueden confundir cuándo usar una línea punteada o una línea sólida. • Los estudiantes pueden confundir qué semiplano sombrear.
ALCANCE ACTUAL En este grado, los estudiantes deben ser capaces de identificar soluciones viables y no viables dentro del contexto dado y explicar su razonamiento verbalmente y por escrito. Los estudiantes deben poder usar un punto de prueba para determinar qué semiplano sombrear y explicar cómo determinaron qué semiplano es el conjunto de soluciones para una desigualdad. Los estudiantes deben ser capaces de resolver sistemas de dos o más inecuaciones lineales para resolver problemas. Los estudiantes deben ser capaces de resolver gráficamente. TÉRMINOS CLAVE
• ecuación: una declaración matemática que muestra que dos expresiones son iguales entre sí • restricción: una condición que la solución debe satisfacer • desigualdad: una oración matemática que usa símbolos como <, ≤, >, o ≥ para comparar dos cantidades • sistema de ecuaciones: dos o más ecuaciones con dos o más variables • sistema de inecuaciones: dos o más inecuaciones con dos o más variables • solución: cualquier número que hace cierta una ecuación • conjunto solución: un conjunto de números que hace cierta una afirmación de desigualdad • desigualdad lineal: una inecuación que implica una función lineal • variable: una letra o símbolo que toma el lugar de un número que puede cambiar; una letra que puede representar un número desconocido o un conjunto de números • semiplano: una región plana que consiste en todos los puntos a un lado de una línea recta infinita, y ningún punto al otro lado • línea límite: línea que corresponde a la función que divide el plano de coordenadas en dos mitades • desigualdad estricta: desigualdad que no tiene condiciones de igualdad; la desigualdad estricta es mayor que o menor que. • intersección de los semiplanos correspondientes: la región donde se solapan todas las inecuaciones lineales del sistema; la región donde existen las soluciones del sistema de inecuaciones
• Los estudiantes pueden no reconocer que la solución al sistema de desigualdades es la región incluida por ambas desigualdades, no sólo una.
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APLICAR LAS PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes analizan un sistema de desigualdades lineales, lo grafican y luego determinan un conjunto de soluciones a partir del gráfico. Reconocen que graficar el sistema de desigualdades lineales ayuda a dar sentido a las restricciones y soluciones. • MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes descontextualizan un escenario para crear un sistema de inecuaciones lineales, resuelven el sistema y relacionan el conjunto de soluciones con el contexto del escenario. • MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros: Los estudiantes explican por qué al cambiar un valor en un sistema de inecuaciones lineales cambia el par ordenado que representa el mínimo o el máximo de una función objetivo. Usan gráficos para justificar y apoyar su explicación. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes modelan escenarios del mundo real al usar sistemas de inecuaciones lineales. Escriben el sistema de inecuaciones lineales, resuelven para encontrar el conjunto de soluciones y relacionan las soluciones con el contexto del escenario.
SOLUCIONES RAZONABLES Los estudiantes también determinarán si un par ordenado está en el conjunto solución de un sistema de dos inecuaciones. Lo determinarán al usar la sustitución en ambas inecuaciones o localizar el punto en la gráfica del sistema. Los estudiantes determinarán si una solución es razonable dado el contexto de la situación. Por ejemplo, si la variable independiente representa el tiempo, no sería razonable incluir los pares ordenados con un valor negativo para la entrada. Los estudiantes se centrarán principalmente en problemas en una situación contextual para comprender el significado de una solución a un sistema de inecuaciones. Ejemplo: Melissa no puede trabajar más de 10 horas a la semana en sus dos trabajos. Cuidar niños paga $5 por hora y cortar el césped paga $8 por hora. Melissa necesita ganar al menos $56 semanales para pagar sus facturas. Esta relación se puede modelar mediante el sistema de desigualdades que se representa gráficamente a continuación, donde x representa las horas que pasa cuidando niños, y y representa las horas que pasa al cortar el césped.
• MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas: Los estudiantes practican graficar sistemas de inecuaciones lineales con el uso de gráficos y marcadores de borrado en seco y descubren cómo graficar ambas inecuaciones en el mismo gráfico muestra el conjunto de soluciones para el sistema. • MP.6 Prestar atención a la precisión: Los estudiantes prestan atención a la precisión cuando grafican y sombrean sistemas de inecuaciones lineales. Grafican y sombrean con precisión ambas inecuaciones para obtener el conjunto de soluciones correcto. • MP.7 Buscar y utilizar la estructura: Los estudiantes reconocen que el principio del vértice de la programación lineal es la forma más eficiente de determinar el valor mínimo o máximo de una función objetivo. Exploran las numerosas posibilidades de la región factible antes de descubrir que utilizar los vértices es lo más eficiente. • MP.8 Buscar y expresar regularidades en razonamientos repetidos: Los estudiantes generalizan que el conjunto solución de un sistema de inecuaciones lineales es un área que tiene sombreado de ambas inecuaciones. Reconocen que un par ordenado que es solución para ambas inecuaciones también es válido para ambas inecuaciones cuando se evalúa.
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Determina si cada par ordenado a continuación es una solución del sistema. Describe cómo determinaste si era una solución del sistema. Explica el significado de cada par ordenado de abajo en el contexto de la situación. a.
(8, 1) La coordenada (8, 1) no está en el conjunto solución porque no está en la región sombreada superpuesta. La coordenada (8, 1) está en la región sombreada para una desigualdad pero no para las dos. Esto significa que si Melissa cuida a los niños 8 horas y 1 hora de cortar el césped, trabajará menos de 10 horas pero no ganará al menos $56.
b.
(4, 6) La coordenada (4, 6) está en el conjunto solución porque está en la región sombreada superpuesta. Como (4, 6) está en la línea continua, se considera parte de la región sombreada superpuesta. Esto significa que si Melissa cuida por 4 horas niños y 6 horas de cortar el césped, ganará al menos $56 y trabajará menos de 10 horas.
c.
(1.5, 7) La coordenada (1.5, 7) está en el conjunto solución porque está en la región sombreada superpuesta. Esto significa que si Melissa dedica 1.5 horas a cuidar niños y 7 horas a cortar el césped, ganará al menos $56 y trabajará menos de 10 horas.
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INICIO: CONTENIDO DE APOYO Ejemplo: Una tienda online de electrónica debe vender al día impresoras y ordenadores por valor de $2,500 como mínimo. Cada impresora cuesta $50 y cada ordenador $500. La tienda puede enviar un máximo de 15 artículos al día. Sea x la cantidad de impresoras vendidas y enviadas. Sea y el número de ordenadores vendidos y enviados. Las siguientes desigualdades describen esta situación. x + y ≤ 15 50x + 500y ≥ 2,500 «¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?». a. La tienda puede vender 10 impresoras y 4 ordenadores para cumplir sus objetivos. b. La tienda puede vender 5 impresoras y 10 ordenadores para cumplir sus objetivos. c. La tienda puede vender 8 impresoras y 8 ordenadores para cumplir sus objetivos. d. La tienda puede vender 20 impresoras para cumplir sus objetivos. La respuesta correcta es B. Cada opción de respuesta puede sustituirse en las inecuaciones y evaluarse para determinar si hace que ambas inecuaciones sean verdaderas. La opción B es la única que hace que ambas desigualdades sean verdaderas. 5 + 10 ≤ 15 50(5) + 500(10) ≥ 2,500 15 ≤ 15 5,250 ≥ 2,500
Sustituye el par ordenado (5, 10) en ambas desigualdades. Evalúa el lado izquierdo de las desigualdades.
(5, 10) satisface la desigualdad x + y ≤ 15 porque 15 es menor o igual que 15. El símbolo es inclusivo, por lo que 15 es igual a 15. El símbolo es inclusivo, por lo que 15 se incluye como valor que satisface la desigualdad. (5, 10) satisface la desigualdad 50x + 500y ≥ 2,500 porque 5,250 es mayor o igual que 2,500. Como ambas desigualdades hacen una afirmación verdadera, el par ordenado (5, 10) satisface el sistema de desigualdades.
FORMA PENDIENTE-INTERSECCIÓN Los estudiantes se basarán en las habilidades para graficar inecuaciones lineales para graficar sistemas de dos inecuaciones lineales. Graficar inecuaciones en forma pendiente-intersección es casi idéntico a graficar ecuaciones lineales en forma pendiente-intersección. La intercepción y se traza en la gráfica, y la pendiente se usa para crear otro punto. Se traza una línea recta a través de los dos puntos. Si el símbolo de desigualdad es inclusivo, ≥ o ≤, se utiliza una línea continua. Si el símbolo de desigualdad es excluyente, > o <, se utiliza una línea punteada. Los estudiantes deben utilizar puntos de prueba para determinar el sombreado. También deben incorporarse inecuaciones verticales y horizontales. Cuando se grafican dos inecuaciones, el conjunto solución es la porción de la gráfica que está doblemente sombreada o superpuesta. Es importante que los estudiantes sombreen lo suficiente como para reconocer el doble sombreado. Los estudiantes escribirán un sistema de inecuaciones dado un problema en contexto. Los estudiantes se centrarán en problemas en una situación contextual para comprender el significado de un sistema de inecuaciones. Los estudiantes examinarán sistemas de inecuaciones lineales que representen contextos del mundo real. Los estudiantes no sólo realizarán gráficos para encontrar el conjunto de soluciones, sino que también tendrán en cuenta las restricciones impuestas al conjunto de soluciones por el escenario. Las restricciones son límites añadidos que se aplican al sistema a través del contexto. Por ejemplo, el tiempo y la distancia nunca serán negativos, por lo que los gráficos se limitan al primer cuadrante. Ejemplo: El club de teatro de un instituto organiza su producción teatral anual. Hay un máximo de 800 entradas para el espectáculo. El costo de las entradas es de $6 antes del día de la función y $9 el día de la función. Para cubrir los gastos del espectáculo, el club debe vender al menos 5,000 dólares en entradas. Sea x la cantidad de entradas vendidas antes del día del espectáculo y y la cantidad de entradas vendidas el día del espectáculo. Las siguientes desigualdades representan esta situación.
y ≤ -x + 800
6 y ≥ -___ x + 555.56 9
El club vende 440 entradas antes del día del espectáculo. «¿Es posible vender suficientes entradas adicionales el día del espectáculo para cubrir al menos los gastos del mismo?». Justifique su respuesta. Es posible vender suficientes entradas adicionales el día de la exposición para cubrir al menos los gastos de la misma. Si se sustituye 440 por x, se obtienen las siguientes desigualdades. y ≤ 360 y ≥ 262.22 Esto da un límite superior y un límite inferior para los posibles valores de y. Cualquier número entero entre 263 y 360 sería una posible cantidad de entradas vendidas el día del espectáculo para hacer frente a los gastos y mantenerse dentro de los límites de la cantidad de entradas que se permite vender. El otro enfoque es un enfoque gráfico. Si este sistema se graficara en una cuadrícula de coordenadas o al usar tecnología, los estudiantes podrían identificar posibles pares ordenados que contengan 440 para la entrada dentro de la región sombreada superpuesta.
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INICIO: CONTENIDO DE APOYO Ejemplo: Gráfica del sistema de inecuaciones lineales. y > -2x + 6 y<x-3
La respuesta correcta es A. El lado izquierdo del conjunto solución está limitado por la desigualdad y ≤ x - 2. Es una línea continua con el conjunto solución sombreado por debajo de la línea. El lado derecho del conjunto solución está limitado por la desigualdad y < -3x - 6. Es una línea punteada con el conjunto solución sombreado por debajo de la línea. Es una línea punteada con el conjunto solución sombreado por debajo de la línea. Se podría utilizar un punto de prueba para determinar qué sistema se representa gráficamente. Sin embargo, este no es el método más eficiente porque todos los sistemas dados como opciones de respuesta necesitarían ser probados con el punto de prueba.
FORMA ESTÁNDAR
El conjunto solución está etiquetado en la gráfica anterior. El conjunto solución para el sistema es donde el sombreado se superpone para las dos inecuaciones. Las desigualdades ya están en forma de intersección de pendiente, así que los estudiantes las graficarían como cualquier otra ecuación lineal, excepto que usarían líneas punteadas o discontinuas para representar las desigualdades excluyentes. Usa el punto de prueba (0, 0) para determinar el sombreado. y > -2x + 6 0 > -2(0) + 6 0 > 6 no es un enunciado verdadero, así que (0, 0) no está en el conjunto solución para la desigualdad y > -2x + 6 y no debe sombrearse. Por lo tanto, sombrea por encima de la línea. y<x-3 0<0-3 0 < -3 no es un enunciado verdadero, por lo que (0, 0) no está en el conjunto solución de la desigualdad y < x - 3 y no debe sombrearse. Por lo tanto, sombrea por debajo de la línea. Ejemplo: La solución de un sistema de inecuaciones lineales se muestra en la gráfica. «¿Qué sistema representa mejor el gráfico?».
Los estudiantes graficarán sistemas de dos inecuaciones lineales y determinarán conjuntos de soluciones. Cuando se presenten desigualdades en forma estándar, los estudiantes traducirán la ecuación a la forma pendiente-intersección para encontrar la pendiente y intercepción y. Hacer que los estudiantes practiquen la transformación de una ecuación lineal de forma estándar a forma pendiente-intersección les permitirá hacer conexiones con el proceso de transformación de una desigualdad lineal en forma estándar a una desigualdad lineal en forma pendiente-intersección. Los estudiantes también determinarán si un par ordenado se encuentra en el conjunto solución de un sistema de inecuaciones. Lo determinarán al usar la sustitución en ambas inecuaciones o localizar el punto en la gráfica del sistema. Los estudiantes escribirán un sistema de inecuaciones dado un problema en contexto. Los estudiantes se centrarán en problemas en una situación contextual para comprender el significado de un sistema de inecuaciones. Los estudiantes examinarán sistemas de inecuaciones lineales que representen contextos del mundo real. Los estudiantes no sólo realizarán gráficos para encontrar el conjunto de soluciones, sino que también tendrán en cuenta las restricciones impuestas al conjunto de soluciones por el escenario. Las restricciones son límites añadidos que se aplican al sistema a través del contexto. Por ejemplo, el tiempo y la distancia nunca serán negativos, por lo que los gráficos se limitan al primer cuadrante. Los estudiantes han descubierto a través de la investigación que el signo de una desigualdad se invertirá cada vez que cada lado se multiplica o divide por un número negativo. Ejemplo: El Sr. Zan necesita al menos 3 libras de fruta fresca para hacer magdalenas según su receta familiar secreta. Las fresas cuestan $4 por libra y los plátanos $3 por libra. El Sr. Zan sólo tiene $21 para gastar en fruta.
a. Escribe un sistema de desigualdades lineales para representar esta situación con el uso de f para las libras de fresas y p para las libras de plátanos. f+p≥3 4f + 3p ≤ 21 a. y ≤ x - 2 y < -3x - 6 b. y ≥ x - 2 y < -3x - 6 c. y ≤ x - 2 y > -3x - 6 d. y < x - 2 y ≤ -3x - 6
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b. «¿Cuáles de las siguientes representan restricciones en esta situación?». Seleccione todas las que correspondan. a. f < b b. p ≥ 0 c. f = b d. f ≥ 0 La respuesta es B y D. Ambas desigualdades se aplican porque las libras de fruta no pueden ser negativas.
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INICIO: CONTENIDO DE APOYO c. Grafica el sistema de inecuaciones incluso las restricciones.
Se usaría una línea sólida al graficar porque esta desigualdad usa un símbolo de desigualdad inclusivo. El área debajo de esta línea es el conjunto de soluciones para esta desigualdad.
Observa que el símbolo de desigualdad se volteó cuando ambos lados se dividieron por -1. Se usaría una línea sólida al graficar porque esta desigualdad usa un símbolo de desigualdad inclusiva. El área sobre esta línea es el conjunto de soluciones para esta desigualdad. La sección donde se superponen las dos áreas sombreadas es el conjunto de soluciones para el sistema de desigualdades.
d. «¿Qué significa el par ordenado (4, 1) en términos de la situación?». Significa que el Sr. Zan compra 4 libras de fresas y 1 libra de plátanos. e. Con el uso de la coordenada (4, 1), «¿cuánto gastaría el Sr. Zan en fruta?». Sustituye las coordenadas x y y en la desigualdad 4f + 3p ≤ 21. 4(4) + 3(1) ≤ 21 16 + 3 ≤ 21 19 ≤ 21 El Sr. Zan gastaría $19 en fruta si comprara 4 libras de fresas y 1 libra de plátanos.
Ejemplo: Un sistema de inecuaciones lineales se muestra parcialmente graficado. 2x + y ≤ -5 3x - y < -2
Ejemplo: Grafica el siguiente sistema de inecuaciones y sombrea el conjunto solución. 2x + 4y ≤ 12 3x - y ≤ 2
«¿Cuál de los siguientes pares ordenados se encuentra en el conjunto solución del sistema de inecuaciones lineales que se representa gráficamente?». a. (-1, 3) b. (-2, -5) c. (3, -2) d. (-4, 3) La respuesta correcta es D. El conjunto solución puede determinarse al completar el sombreado de las inecuaciones graficadas. El punto (-4, 3) es la única coordenada que se encuentra en el conjunto solución.
El conjunto solución está etiquetado en la gráfica de arriba. Primero habría que cambiar cada una de estas inecuaciones a la forma pendiente-intersección.
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Otro enfoque para esta pregunta es sustituir cada par ordenado en ambas inecuaciones y ver si ambas son afirmaciones verdaderas. Para el punto (-4, 3): 2x + y ≤ -5
3x - y < -2
2(-4) + 3 ≤ -5
3(-4) - 3 < -2
-8 + 3 ≤ -5
-12 - 3 < -2
-5 ≤ -5
-15 < -2
VERDADERO
VERDADERO
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INICIO: CONTENIDO DE APOYO Ejemplo: Aruda se ha marcado unos objetivos de forma física para este año. Quiere hacer al menos 180 minutos de ejercicio y quemar al menos 1,215 calorías a la semana. Ha elegido correr y saltar a la cuerda como formas de ejercicio. El sistema de desigualdades puede utilizarse para representar los objetivos de Aruda, donde c son los minutos dedicados a correr y s son los minutos dedicados a saltar a la cuerda. c + s ≥ 180 9c + 4.5s ≥ 1,215 «¿Cuál es el mínimo de minutos enteros que Aruda debe correr y saltar a la cuerda para cumplir sus objetivos?». La menor cantidad de minutos que Aruda podría ejercitarse para cumplir sus objetivos sería 90 minutos de correr y 90 minutos de saltar a la cuerda. Las inecuaciones pueden traducirse a la forma pendienteintersección y graficarse a mano o con la calculadora gráfica. Introduce Las ecuaciones en y1 y y2 al usar las variables x y y. Cambia el tipo de gráfico de línea continua a «mayor o igual que». c + s ≥ 180 pasa a s ≥ -c + 180 pasa a y ≥ -x + 180 9c + 4.5s ≥ 1,215 pasa a s ≥ -2c + 270 sería y ≥ -2x + 270
El punto de intersección es la mínima cantidad de cuerda para correr y saltar. Para encontrar el punto de intersección siga los siguientes pasos: 1. GRÁFICA: Asegúrese de que la gráfica esté visible. Los estudiantes pueden necesitar alejar el zoom o cambiar los parámetros en la pestaña de la ventana. 2. 2ND > CALC > 5: intersección > mueva el grador hacia la intersección y presione Enter tres veces.
AVANCES En álgebra 2, los estudiantes resolverán, graficarán e interpretarán desigualdades de valor absoluto. Los estudiantes ampliarán sus habilidades mediante la determinación de posibles soluciones en el conjunto de soluciones de sistemas de dos o más inecuaciones lineales en dos variables. Los estudiantes formularán y resolverán sistemas de dos o más inecuaciones lineales. También resolverán inecuaciones cuadráticas.
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ANÁLISIS PROFUNDO DE LOS ESTÁNDARES
CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES Crear ecuaciones que describan números o relaciones. • Representar restricciones mediante ecuaciones o desigualdades, y mediante sistemas de ecuaciones y/o desigualdades, e interpretar las soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelización. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de coste en combinaciones de diferentes alimentos. Representar y resolver ecuaciones e inecuaciones gráficamente. • Graficar las soluciones a una inecuación lineal en dos variables como un semiplano (se excluye el límite en el caso de una inecuación estricta), y graficar el conjunto solución a un sistema de inecuaciones lineales en dos variables como la intersección de los semiplanos correspondientes.
DESGLOSAR EL ESTÁNDAR VERBOS: ¿QUÉ DEBERÍAN HACER LOS ESTUDIANTES?
• crear: hacer algo de la nada • representar: mostrar cómo se relacionan los términos; representar otra cosa • interpretar: explicar el significado de • resolver: encontrar un valor que responda a una pregunta y/o haga que una ecuación sea verdadera • graficar: trazar un conjunto de puntos en un plano de coordenadas SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBEN CONOCER LOS ESTUDIANTES?
• ecuación: enunciado matemático que muestra que dos expresiones son iguales entre sí • restricción: condición que debe satisfacer la solución • desigualdad: enunciado matemático que utiliza símbolos como <, ≤, > o ≥ para comparar dos cantidades • sistema de ecuaciones: dos o más ecuaciones con dos o más variables • sistema de inecuaciones: dos o más inecuaciones con dos o más variables • solución: cualquier número que hace cierta una ecuación
• semiplano: región plana que consiste en todos los puntos a un lado de una línea recta infinita, y ningún punto al otro lado • línea límite: una línea que corresponde a la función que divide el plano de coordenadas en dos mitades • desigualdad estricta: una desigualdad que no tiene condiciones de igualdad; la desigualdad estricta es mayor que o menor que • intersección de los semiplanos correspondientes: la región donde se superponen todas las desigualdades lineales del sistema; la región donde existen las soluciones del sistema de desigualdades
IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA
• En grados anteriores, los estudiantes resolvieron sistemas de ecuaciones y resolvieron y graficaron desigualdades de una variable en rectas numéricas. En este nivel de grado, los estudiantes ampliarán su comprensión de estos temas con el fin de resolver sistemas de inecuaciones lineales al graficar en un plano de coordenadas e al identificar qué parte del plano representa el conjunto solución. • En este nivel de grado, los estudiantes deben ser capaces de identificar soluciones viables y no viables dentro del contexto dado y explicar su razonamiento verbalmente y por escrito. Los estudiantes deben ser capaces de usar un punto de prueba para determinar qué semiplano sombrear, y deben explicar cómo determinaron qué semiplano es el conjunto solución de una desigualdad. Los estudiantes deben ser capaces de utilizar sistemas de 3 o más inecuaciones lineales para resolver problemas. • Utilizar marcadores/lápices de diferentes colores para sombrear el conjunto solución de cada inecuación puede ayudar a los estudiantes a aprender a visualizar dónde se encuentra la intersección de las soluciones en el plano de coordenadas. • Cuando los estudiantes usan puntos de prueba, pueden desarrollar su propia generalización de que «cuando una desigualdad es de la forma y<, sombrearé por debajo de la línea límite». Esta generalización es aceptable si los estudiantes desarrollan esta idea y pueden explicar por qué funciona.
• conjunto solución: un conjunto de números que hace cierta una inecuación • inecuación lineal: una inecuación que implica una función lineal • variable: una letra o símbolo que ocupa el lugar de un número que puede cambiar; una letra que puede representar un número desconocido o un conjunto de números
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ALINEACIÓN VERTICAL GRADO
ESTÁNDAR Entender la resolución de una ecuación o desigualdad como un proceso de respuesta a una pregunta: «¿qué valores de un conjunto específico, si los hay, hacen que la ecuación o desigualdad sea verdadera?». Utilizar la sustitución para determinar si una cantidad dada de un conjunto específico hace que una ecuación o desigualdad sea verdadera.
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Utilizar variables para representar números y escribir expresiones al resolver un problema matemático o del mundo real; comprender que una variable puede representar un número desconocido o, depende del propósito, cualquier número de un conjunto específico.
Escribir una desigualdad de la forma x > c o x < c para representar una restricción o condición en un problema del mundo real o matemático. Reconocer que las desigualdades de la forma x > c o x < c tienen infinitas soluciones; representar las soluciones de dichas desigualdades en diagramas de líneas numéricas.
Resolver problemas de palabras que conduzcan a desigualdades de la forma px + q > r o 7
Álgebra
px + q < r, donde p, q, y r son números racionales específicos. Grafica el conjunto solución de la desigualdad e interprétalo en el contexto del problema. Por ejemplo: Como vendedor, te pagan $50 semanales más $3 por venta. Esta semana quieres que tu paga sea de al menos $100. Escribe una desigualdad para la cantidad de ventas que necesitas hacer, y describe las soluciones.
Resuelve ecuaciones lineales y desigualdades en una variable, incluso ecuaciones con coeficientes representados por letras.
Representa restricciones mediante ecuaciones o desigualdades, y mediante sistemas de ecuaciones y/o desigualdades, e interpreta las soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelización. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de coste en combinaciones de diferentes alimentos. Álgebra Graficar las soluciones a una desigualdad lineal en dos variables como un semiplano (se excluye el límite en el caso de una desigualdad estricta), y graficar el conjunto solución a un sistema de desigualdades lineales en dos variables como la intersección de los semiplanos correspondientes.
Álgebra 2
Representar restricciones mediante ecuaciones o inecuaciones, y mediante sistemas de ecuaciones y/o inecuaciones, e interpretar soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelización. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de coste en combinaciones de diferentes alimentos.
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INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA MONITOREAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA La guía de instrucción andamiada se proporciona para que los maestros puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones del alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que ayuda a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de la evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos según los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere que todos los estudiantes experimenten con los elementos: «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades», ya que cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar. 0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
80 % - 100 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil pueden trabajar en contenido de nivel de grado con apoyos de instrucción.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» individual para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 2. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante de acuerdo con sus datos de evaluación. 3. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la sección «Scaffolded Instruction Guide» en el menú desplegable «Home» del alcance. 4. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Constructor de fluidez • ¡Corrige el error! Práctica interactiva
(Refuerzo del grado anterior)
Repaso y práctica de habilidades
0 % - 25 %
8 - Resolución de pares de ecuaciones lineales
Grafíca las soluciones de una desigualdad lineal en dos variables como un semiplano (se excluye el límite en el caso de una desigualdad estricta), y grafíca el conjunto de soluciones de un sistema de desigualdades lineales en dos variables como la intersección de los semiplanos correspondientes.
• Misión del droide
Alg. I - Sistemas de desigualdades Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (preguntas 1 y 3) • Repaso (Determinar soluciones razonables en contexto, usar el principio de vértice para maximizar la función objetiva)
(Nivel de grado con apoyos)
Prueba de habilidades
Acceso a conocimientos previos
8 - Resolución de pares de ecuaciones lineales Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • ¡Corrige el error! Práctica interactiva • Misión del droide Prueba de habilidades
25 % - 50 %
0 % - 25 % 25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyos)
(Refuerzo del grado anterior)
Representar las restricciones mediante ecuaciones o desigualdades, y mediante sistemas de ecuaciones y/o desigualdades, e interpretar las soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelización. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de coste en combinaciones de diferentes alimentos.
• Revisión general (preguntas 1, 2, 4, 5 y 6)
Alg. I - Sistemas de desigualdades Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (pregunta 2) • Repaso (sección graficar sistemas de desigualdades en forma estándar) • Revisión (preguntas 3 y 7)
Alg. I - Sistemas de desigualdades
Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Constructor de fluidez • ¡Corrige el error!
(Nivel de grado)
Alg. I - Sistemas de desigualdades
50 % - 80 %
50 % - 80 %
(Nivel de grado)
Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva Práctica interactiva • Minería de asteroides Constructor de fluidez
Alg. I - Sistemas de desigualdades ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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(Ampliación del nivel de grado)
Ciencia de datos
80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado de grado)
80 % - 100 %
• Corrige el error
Alg. I - Sistemas de desigualdades ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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1/9/26 1:33 PM
ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE DESIGUALDADES
ATRAER: ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS
EVALUACIÓN PREVIA DE LOS CONOCIMIENTOS DE LOS ESTUDIANTES
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: ENCUENTRA LAS PAREJAS EN EL SALÓN ESTÁNDAR PREVIO Resolver problemas de palabras que conduzcan a desigualdades de la forma px + q > r o px + q < r, donde p, q, y r son números racionales específicos. Represente gráficamente el conjunto solución de la desigualdad e interprételo en el contexto del problema. El siguiente problema es un ejemplo: Como vendedor, te pagan $50 semanales más $3 por venta. Esta semana, quieres que tu paga sea de al menos $100. Escriba una desigualdad para la cantidad de ventas que necesita hacer y describa las soluciones.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Pida a los estudiantes que escriban los números 1, 2 y 3 en una hoja de papel. 2. Pida a los estudiantes que caminen por la sala con sus papeles. A medida que caminan por la sala, deben ver las tarjetas numeradas y emparejarlas con las tarjetas con letras. 3. Permita que los estudiantes compartan su pensamiento con un compañero.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes emparejarán tarjetas numeradas con tarjetas con letras colocadas alrededor del salón para demostrar su conocimiento del estándar anterior. Este elemento está diseñado para descubrir los conceptos erróneos de los estudiantes; no debe tomarse para una calificación.
a.
La tarjeta 1 empareja con la tarjeta C
b.
La tarjeta 2 empareja con la tarjeta B
c.
La tarjeta 3 empareja con la tarjeta A
4. Si los estudiantes tienen dificultades para completar esta tarea, pase al «Constructor de bases fundamentales» para llenar este vacío en el conocimiento previo antes de pasar a otras partes del alcance.
IDENTIFICACIÓN DE CONCEPTOS ERRÓNEOS
MATERIALES
• Los estudiantes pueden tener dificultades para recordar que para resolver desigualdades, aún deben usar el orden de las operaciones y combinar términos semejantes.
IMPRESO
• 1 tarjeta encuentra las parejas en el salón (por clase)
• Los estudiantes pueden no recordar que la recta numérica correcta representa todas las soluciones de una desigualdad.
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de las «Tarjetas encuentra las parejas en el salón». • Cuelga las tarjetas en orden aleatorio por la sala.
• Los estudiantes pueden tener dificultades para recordar que cuando se usa «menor o igual que» o «mayor o igual que», la solución debe incluirse en el conjunto.
Systems of Inequalities
Match Around the Room – Card 1
Systems of Inequalities
Match Around the Room – Card 3
Systems of Inequalities
Match Around the Room – Card B
1
3
5
Systems of Inequalities
Systems of Inequalities
Systems of Inequalities
Match Around the Room – Card 2
Colt has a jug of flat soda that he wants to pour down the drain. The jug contains 48 ounces of soda. He pours out 1.5 ounces of liquid every second. Find the solution set that represents the number of seconds at which the jug will contain more than 36 ounces of soda.
Match Around the Room – Card A
Match Around the Room – Card C
Raul bought a plane ticket to New York City for $355. He will stay in the city for 5 days. Raul wants to budget the same amount of spending money for each day of his trip, and he wants to spend no more than $1,000 total. Find the solution set for the amount of money Raul could spend per day of his trip.
4x – 2 ≤ 10
2
4
6
PAREJAS EN EL MUNDO
420
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE DESIGUALDADES
ATRAER: CAPTAR INTERÉS LECCIÓN MOTIVADORA
CAPTAR INTERÉS DESCRIPCIÓN Los estudiantes relacionarán Sistemas de desigualdades con una situación del mundo real.
Systems of Inequalities
MATERIALES
P(x, y) = 10x + 12y
IMPRESO
4x + 6y ≤ 180 3x + 2y ≤ 70 x≥0 y≥0
• 1 sistemas de desigualdades (por clase) REUTILIZABLE
• 1 video de fenómenos (por clase)
PREPARACIÓN
• Planifique la proyección del video. • Prepárese para proyectar sistemas de desigualdades para que toda la clase lo vea. • Prepárese para presentar el escenario y para animar a los estudiantes a pensar en cómo resolverlo. Prepárese para pasar a las actividades de «Exploración», al regresar a la actividad «Captar interés» con los conocimientos recién adquiridos una vez que se hayan completado las exploraciones.
SISTEMAS DE DESIGUALDADES 5. Explique que la empresa de tejidos quiere saber cuántas unidades de cada artículo puede fabricar para no sobrepasar sus límites y maximizar sus beneficios. Plantee las siguientes preguntas:
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
a.
DOK-1 «¿Por qué tendría que haber múltiples desigualdades?». Permita que los estudiantes compartan sus ideas. Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Ejemplo de respuesta de un estudiante: Como el tiempo y el dinero son factores limitantes, hay una desigualdad para cada uno.
b.
DOK-1 «¿Qué representa la parte «10x + 12y» de esta oración matemática?». La cantidad de ganancia obtenida por cada sombrero vendido más la cantidad de ganancia obtenida por cada bufanda vendida.
PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA 1. Presente esta actividad hacia el comienzo del alcance. La clase retomará la actividad y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades correspondientes a «Explorar». 2. Explique la situación mientras muestra el video que tiene detrás. Una empresa de tejidos de punto vende los gorros y bufandas que produce. A la empresa le cuesta $4 y tarda 3 horas en hacer cada gorro. A la empresa le cuesta $6 y tarda 2 horas en fabricar cada bufanda. La empresa tiene un presupuesto operativo de $180 y 70 horas esta semana para producir sombreros y bufandas. Cada venta de sombreros genera un beneficio neto de $10 y cada venta de bufandas genera un beneficio neto de $12. «¿Cuántas unidades de cada artículo deberían fabricar esta semana para maximizar sus beneficios?». 3. Haga las siguientes preguntas a los estudiantes: «¿Qué observas? ¿Qué se preguntan? ¿Dónde puedes ver matemáticas en esta situación?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Observo que cuesta más hacer una bufanda, pero no se tarda tanto. Observo que la empresa gana más dinero por cada venta de bufanda que por cada venta de sombrero. Me pregunto si tenemos que adivinar y comprobar diferentes opciones. Me pregunto si se venderán tantos gorros y bufandas como quiere la empresa. Me pregunto si es más limitante la restricción de tiempo o la de dinero. 4. Proyecto «Sistemas de desigualdades».
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6. Comparta con los estudiantes que la siguiente pregunta guía se utilizará durante todo el tema: «¿Cómo garantizamos el mejor resultado frente a determinadas restricciones?». 7. Complete las actividades de «Exploración». PARTE II: DESPUÉS DE EXPLORAR 1.
Vuelva a mostrar el video fenómenos y vuelva a plantear el problema.
2.
Consulte «Sistemas de desigualdades» y plantee las siguientes preguntas: a.
DOK-1 «¿Este sistema de desigualdades tiene más sentido después de las exploraciones?». Sí, puedo graficar cada una de las desigualdades en una cuadrícula de coordenadas.
b.
DOK-1 «¿Qué estrategias usarías para resolver este desafío?». Graficaría cada una de las inecuaciones para determinar la región de soluciones que representa todas las combinaciones posibles de sombreros y bufandas que la compañía puede hacer dadas las restricciones. A continuación, sustituiría los vértices de cada región en la ecuación de ganancias y vería qué punto arroja el valor más alto.
c.
DOK-2 «¿Cuántos sombreros y bufandas debería fabricar la empresa esta semana para maximizar los beneficios? ¿Crees que es una buena idea?». Hacer 6 sombreros y 26 bufandas maximizaría los beneficios dentro de las limitaciones dadas, pero puede que no satisfaga las necesidades de los clientes de la empresa.
d.
DOK-1 «¿Consideras que comprendes bien los Sistemas de desigualdades?». Las respuestas variarán en función del éxito de los estudiantes durante la actividad y de su nivel de confianza.
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Systems of Inequalities Explore 1
LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 1: SISTEMAS DE DESIGUALDADES DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizarán gráficas de inecuaciones para determinar soluciones en contexto. Los estudiantes modelarán sistemas de desigualdades con soluciones y sin soluciones.
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.1 Encontrar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes relacionarán situaciones actuales con conceptos o habilidades aprendidas previamente y conectarán ideas matemáticas entre sí. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes representarán las matemáticas para describir una situación ya sea con una ecuación o un diagrama e interpretarán los resultados de una situación matemática.
Jahzara’s Jewelry Costs and Income Part I
Use the Graph Cards that represent the constraints for Jahzara’s start-up costs and the constraints for her projected income to determine some possible combinations of bracelets and necklaces she could make. 1.
Write an inequality to represent the constraint for the start-up costs. 2x + 3y ≤ 500
2.
Determine which ordered pairs satisfy the constraint for the start-up costs. Ordered Pair
Yes
(80, 50)
✓
(105, 102) (140, 60)
No ✓
✓
3.
Write an inequality to represent the constraint for the income. 8x + 15y ≥ 1,500
4.
Determine which ordered pairs satisfy the constraint for the income. Ordered Pair
Yes
(80, 50)
No ✓
(120, 70)
✓
(60, 68)
✓
5.
Why does (80, 50) satisfy the start-up constraint but not the income constraint? It is in the shaded region for the start-up graph, but it is not in the shaded region for the income graph.
6.
Determine at least one ordered pair that satisfies both constraints. Explain how you know. Answers will vary. (100, 60) satisfies both constraints because it is in the shaded region on both graphs. I know this because I used a dry-erase marker to graph the income constraints on top of the constraints for the start-up costs.
7.
What does this pair of numbers represent in this situation? This represents a combination of necklaces and bracelets that will satisfy both constraints. 1
• MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas: Los estudiantes utilizarán modelos matemáticos para visualizar y analizar información.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de tarjetas gráficas (por grupo)
Systems of Inequalities Explore 1
Part II
The graph represents the constraints of Jahzara’s start-up costs. 1.
On the graph, represent the constraints of the new income goal.
2.
Determine at least three ordered pairs that satisfy both constraints. Explain how you know. Answers will vary. (50, 120), (150, 60), and (200, 30) satisfy both constraints because they are in the shaded region on both graphs. I know this because I graphed the income constraints on top of the constraints for the start-up costs to find the overlapping shaded region.
3.
What do these ordered pairs represent in this situation? They represent a combination of necklaces and bracelets that will satisfy both constraints.
4.
The equation 6x + 12y = P is used to determine Jahzara’s profit. Which of the following combinations would have the greatest profit?
• 1 boleto de salida (por estudiante) REUTILIZABLE
• 1 marcador de borrado en seco (por grupo) • 2 protectores de hojas (por grupo)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 2 o 3 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» y un «Boleto de salida» para cada alumno. • Imprima un juego de «Tarjetas gráficas» en cartulina para que duren más. Coloque cada página dentro de un protector de hojas transparente para crear una superficie que se pueda borrar. • Reúna un marcador de borrado en seco para cada grupo.
(250, 0)
(0, 166)
(0, 133) 2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
422
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Systems of Inequalities Explore 1
Jahzara has changed her income goal once again. Now, she wants her income to be at least $2,600. She is still thinking she should sell the bracelets for $8 each and the necklaces for $15 each. Help her determine combinations of bracelets and necklaces to reach this new income goal. The graph represents the constraints of Jahzara’s start-up costs. 5.
On the graph, represent the constraints of the new income goal.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
6.
Determine at least one ordered pair that satisfies both constraints. Explain how you know. There are not any ordered pairs that satisfy both constraints because there is not an overlap in the shaded regions for both constraints.
7.
What does this represent in this situation? This represents that there is not a combination of necklaces and bracelets that will satisfy both constraints. Jahzara cannot stay within her start-up cost budget and also earn an income of at least $2,600. 3
Systems of Inequalities Explore 1
Reflect 1.
If an ordered pair is in the shaded region of one linear inequality but not the other linear inequality, is it a solution to the system of linear inequalities? No, the ordered pair has to be in the shaded region of both inequalities to be a solution to the system of inequalities.
2.
What is the most efficient way to determine all of the solutions to a system of linear inequalities? The most efficient way is to graph both inequalities on the same coordinate grid. Checking ordered pairs by substituting or by looking at each graph individually is very inefficient.
3.
What does it mean if there is not an overlapping region when a system of linear inequalities is graphed? If there is no overlapping region when graphing a system of linear inequalities, then there are no solutions to the system of linear inequalities. There are no ordered pairs that satisfy both inequalities.
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Jahzara intenta averiguar cuál es la mejor combinación de pulseras y collares que puede fabricar y vender para maximizar sus ganancias. Sabe que tendrá gastos iniciales para poner en marcha su negocio y que tiene que cobrar lo suficiente por cada artículo para obtener ganancias. Dispone de un máximo de $500 para los gastos iniciales. Los materiales de cada pulsera cuestan $2, y los de cada collar, $3. Jahzara prevé vender las pulseras a $8 cada una y los collares a $15 cada uno. Su objetivo es ganar al menos 1,500 dólares. El programa informático de la empresa doméstica de Jahzara imprimió dos gráficas para representar las limitaciones de los costes iniciales y el objetivo de ingresos. Ayude a Jahzara a determinar algunas combinaciones posibles de pulseras y collares que podría hacer para satisfacer todas sus restricciones». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Distribuya un juego de «Tarjetas gráficas» y un marcador de borrado en seco a cada grupo. 4. Conceda a los estudiantes un minuto para hacer observaciones sobre las tarjetas gráficas. Evite decir a los estudiantes lo que muestran las gráficas. Esto deben descubrirlo los estudiantes a lo largo de la parte I. 5. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para analizar las limitaciones de los costes iniciales y el objetivo de ingresos de Jahzara y determinar las posibles combinaciones de collares y pulseras que podría hacer. Los estudiantes anotarán su trabajo en sus diarios del estudiante».
4
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Systems of Inequalities Explore 1
6. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guías para evaluar la comprensión: a. DOK-1 «¿Cómo determinaste la desigualdad para representar la restricción?». Las respuestas pueden variar. Utilicé la información del escenario. Jahzara puede gastar un máximo de $500, así que sabía que eso significaría que la desigualdad sería menor o igual a $500. Utilicé la información del gráfico para escribir la desigualdad. Como los valores estaban sombreados menos que la intercepción y y la intercepción x, supe que debía usar el símbolo menor o igual que. b. DOK-2 «¿Hay más de una manera de determinar si el par ordenado satisface la restricción?». Sí, el par ordenado se puede encontrar en la gráfica que se nos dio, o se puede sustituir en la desigualdad. Si está en la zona sombreada, cumple la restricción. Si al sustituirla se obtiene una afirmación verdadera, satisface la restricción. c. DOK-2 «¿Qué significa el par ordenado de la pregunta 5 en el contexto de la situación?». Significa que se fabrican y venden 80 pulseras y 50 collares. Esto es posible en términos de los costos iniciales, pero esto no cumple con la restricción de ingresos, por lo que no cumple con la meta de ingresos.
Systems of Inequalities Exit Ticket Students are hosting a car wash as a fundraiser for their trip. Their goal is to raise at least $350. The students are charging $5 to wash cars and $10 to wash SUVs or trucks. It takes them 8 minutes to wash and dry each car and 14 minutes to wash and dry each SUV or truck. The car wash fundraiser will be open for business for 10 hours. 1.
Write a system of inequalities to represent these constraints. 5x + 10y ≥ 350 8x + 14y ≤ 600
2.
Graph the system of inequalities.
3.
Determine at least three ordered pairs that satisfy both constraints. Explain how you know. Answers will vary. (10, 32), (40, 19), and (70, 2) satisfy both constraints because they are in the shaded region on both graphs. I know this because I graphed the time constraints and the constraints for the fundraising goal to find the overlapping shaded region.
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
7. A medida que los estudiantes completan la parte I, tome una muestra de un grupo que graficó una desigualdad sobre la otra para compartirla durante la charla de matemáticas. Si ningún estudiante escogió este método, demuéstrelo durante la «Charla de matemáticas».
• DOK-2 Los estudiantes utilizaron diversos métodos. Algunos probaron los pares ordenados sustituyéndolos en la inecuación para comprobar si la afirmación era verdadera. «¿Fue más eficiente probar los pares ordenados en ambas inecuaciones o graficar ambas restricciones en la misma cuadrícula de coordenadas?». Explícalo.
8. Conceda a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte I y contestar las preguntas que siguen.
• DOK-2 Los estudiantes utilizaron diversos métodos. Algunos estudiantes encontraron cada coordenada en cada gráfico y luego decidieron si era una solución. «¿Fue más eficiente identificar los pares ordenados en la región sombreada en ambas gráficas o graficar ambas restricciones en la misma cuadrícula de coordenadas?».
9. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje hasta el momento. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Por qué creen que sólo el cuadrante I está sombreado en ambos gráficos?». • DOK-2 Este es el trabajo de un compañero de clase. «¿Qué notas en la región sombreada del gráfico que hicieron con el marcador de borrado en seco?». Tenga en cuenta que si ningún estudiante tiene una muestra para compartir, debes demostrar este método aquí. La gráfica que han hecho con el marcador de borrado en seco representa las soluciones de la otra desigualdad. Se solapa con la región sombreada del gráfico impreso.
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• DOK-3 «¿En qué se parece un sistema de ecuaciones lineales a un sistema de inecuaciones lineales? ¿En qué se diferencian?». • DOK-3 «¿Por qué necesitamos usar un sistema de inecuaciones lineales para representar las soluciones a esta situación en lugar de sólo inecuaciones individuales?».
Explique lo siguiente a la clase: Dos inecuaciones que representan las restricciones en la misma situación forman un sistema de inecuaciones lineales. Las soluciones de un sistema de inecuaciones son todos los puntos de la región en la que se solapan las gráficas, porque esos puntos representan todos los pares de valores que hacen que ambas inecuaciones sean verdaderas.
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 PARTE II
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Después de pensarlo, Jahzara quiere que sus ingresos sean mayores, por lo que se plantea nuevos objetivos de ingresos. Ahora quiere que sus ingresos sean de al menos 2,000 dólares. Piensa que debería vender las pulseras a $8 cada una y los collares a $15 cada uno. Ayúdala a determinar combinaciones de pulseras y collares para alcanzar su nuevo objetivo de ingresos». 2. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para analizar el nuevo objetivo de ingresos de Jahzara y determinar combinaciones razonables de collares y pulseras que podría hacer para alcanzar ese objetivo. 3. Los estudiantes trabajarán juntos para explorar los escenarios y registrar su trabajo en sus diarios del estudiante». 4. A medida que los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar la comprensión: a. DOK-1 Al graficar las restricciones para el nuevo objetivo de ingresos de Jahzara, «¿qué cuadrante o cuadrantes deberías sombrear? ¿Por qué?». Todas las soluciones serán números enteros, así que sólo debería sombrear el primer cuadrante. b. DOK-2 «¿Sería (250, 0) una solución cuando el objetivo de ingresos de Jahzara es de $2,000? ¿Por qué sí o por qué no?». Sí, es una solución porque está en la recta de ambas inecuaciones y ambas inecuaciones son inclusivas, así que los puntos de la recta son soluciones.
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Cuál es el método más eficiente para representar todas las soluciones de un sistema de desigualdades lineales?». • DOK-3 «¿Por qué debes usar ambas desigualdades para determinar las combinaciones de pulseras y collares que Jahzara debe producir?». 7. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de realizar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez completado, haga que cada estudiante llene su «Libreta interactiva».
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Los estudiantes pueden tener dificultades para seguir la pista de diferentes gráficos cuando se trazan en la misma cuadrícula de coordenadas. Anímelos a usar diferentes colores para crear cada gráfica y luego etiquetar cada gráfica. 2. Los estudiantes pueden tener dificultad para conectar las gráficas con su contexto. Anímelos a etiquetar sus ejes y definir sus variables. 3. Los estudiantes pueden estar confundidos acerca de cómo determinar qué soluciones se ajustan a ambos gráficos. Anímelos a elegir puntos de prueba para determinar si las regiones deben incluirse en el conjunto de soluciones.
c. DOK-2 «¿En qué cuadrante(s) se superponen las gráficas cuando la meta de ingresos de Jahzara es $2,600? ¿Qué significa esto en términos de la situación?». Sólo se superponen en el cuadrante II. En esta situación, el cuadrante II no contiene soluciones razonables, por lo que la región superpuesta sí contiene soluciones a la representación algebraica que no son razonables en el contexto. 5. Conceda tiempo suficiente a los estudiantes para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen. 6. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Systems of Inequalities Part 1
APOYOS LINGÜÍSTICOS La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes. Se les proporcionará apoyos previos a la lectura (organizadores gráficos, diagramas de formas y vocabulario preenseñado) para ayudarlos en la comprensión lectora. Principiante: Como actividad previa a la lección, guíe a los estudiantes en la creación de un cuadrado de vocabulario para el término sistema de desigualdad. Completa en clase las siguientes secciones del cuadrado de vocabulario: Definición, Ejemplo (problema matemático) y Sin ejemplo. Haga que los estudiantes creen su propia imagen para el término.
Systems of Inequalities Kala just graduated and is creating a budget so she can move to a new apartment with her friends. She has 2 part-time jobs. The first job is working as a hostess at a local restaurant, and it pays $12/hour. The second job is doing housekeeping at a hotel, which pays $10/hour. She wants to keep her total work hours a week to 45 hours or less, and she has determined that she needs at least $400 a week to pay all of her bills. 1.
Write an inequality to represent the constraint of Kala’s income. 12x + 10y ≥ 400
2.
Write an inequality to represent the constraint of the number of hours Kala wants to work. x + y ≤ 45
3.
Which of the following ordered pairs meet these two constraints individually? Which ones meet both constraints?
Intermedio: Como actividad previa a la clase, pide a los estudiantes que creen un cuadrado de vocabulario para el término sistema de desigualdad. Los cuadrados de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), Sin ejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes la definición y el ejemplo, pero anímelos a reescribir la definición con sus propias palabras. Avanzado: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que creen un cuadrado de vocabulario para el término sistema de desigualdad. Los cuadrados de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), Sin ejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes la definición y el ejemplo, pero anímelos a reescribir la definición con sus propias palabras.
Ordered Pair
Meets Income Constraint
Meets Hours Constraint
Meets Both Constraints
(30, 10)
❏
❏
❏
(20, 30)
❏
❏
❏
(10, 20)
❏
❏
❏
(20, 20)
❏
❏
❏
(10, 40)
❏
❏
❏
(0, 30)
❏
❏
❏
1
Systems of Inequalities Part 1
4.
Graph the inequalities. Be sure to include the shading to indicate the constraints. Plot the data points from question 3 to verify that your answers were correct for that problem.
5.
Kala and her friends are looking into a different apartment complex that is brand-new. They love it, but it would bring Kala’s monthly expenses up to $500 from $400. Write the new system of inequalities for the new apartment. 12x +10y ≥ 500 x + y ≤ 45
6.
Graph this new set of inequalities.
7.
Does this change Kala’s ability to meet both her income and hours constraints? Explain. Although it is still possible that Kala could afford the new apartment, there is a smaller number of hour combinations that would meet both constraints. This would make it very difficult for her to sustain this budget. 2
DEMUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS
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SS NA-Math TE A1-V1.indb 426
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1/9/26 1:33 PM
ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 2: PROGRAMACIÓN LINEAL DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizarán gráficas de inecuaciones para determinar soluciones en contexto. Los estudiantes desarrollarán y utilizarán el principio del vértice de la programación lineal para minimizar y maximizar la función objetivo.
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes relacionarán situaciones actuales con conceptos o habilidades previamente aprendidas y conectarán ideas matemáticas entre sí. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes representarán las matemáticas para describir una situación ya sea con una ecuación o un diagrama e interpretarán los resultados de una situación matemática. • MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas: Los estudiantes utilizarán modelos matemáticos para visualizar y analizar información.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 gráfica de la clase (por clase, impreso tamaño póster) • 1 juego de tarjetas de combinaciones de joyas (por clase) • 1 lista de restricciones (por grupo) • 1 conjunto del maestro (por clase) • 1 boleto de salida (por estudiante) REUTILIZABLE
• 1 juego de marcadores: 1 rojo, 1 amarillo y 1 verde (por estudiante) CONSUMIBLE
• 1 juego de calcomanías de puntos: 1 rojo, 1 amarillo y 1 verde (por grupo) • 1 juego de calcomanías de puntos: 1 rojo, 1 amarillo y 1 verde (por clase)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en 6 grupos. • Imprima un «Diario del estudiante» y un «Boleto de salida» para cada alumno. • Imprima una copia tamaño póster de la «Gráfico de la clase» para cada clase. Si no es posible imprimir una copia tamaño póster, recree el gráfico en una hoja grande de papel cuadriculado. • Fije la «Gráfica de la clase» a la pared. • Imprima la lista de restricciones para cada grupo. Si lo desea, imprímala en cartulina y plastifíquela para utilizarla en el futuro. • Imprima un juego de «Tarjetas de combinaciones de joyas» para la clase. Recorte las tarjetas. Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para utilizarlas en el futuro. • Reúna un juego de calcomanías de puntos para cada grupo. • Reúna un juego de calcomanías de puntos para la clase. • Reúna un juego de marcadores para cada estudiante.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Lea la siguiente situación a la clase: «Hemos explorado varias limitaciones relacionadas con el negocio de joyería de Jahzara. Ahora, vamos a considerar todas las restricciones para ayudar a Jahzara a determinar qué combinación de collares y pulseras maximizará su ganancia y qué combinación minimizará su ganancia». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Entregue la «Lista de restricciones» a cada grupo. 4. Conceda tiempo a los estudiantes para leer las restricciones de la «Lista de restricciones». 5. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para analizar las restricciones y ayudar a Jahzara a encontrar la combinación de collares y pulseras que maximice y minimice la ganancia. Los estudiantes anotarán su trabajo en sus diarios del estudiante».
• 1 hoja de papel cuadriculado (por clase, opcional)
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Systems of Inequalities Explore 2
6. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guías para evaluar la comprensión: a. DOK-1 «¿Está el eje x o y incluido en la región de la solución? ¿Por qué sí o por qué no?». En base a las otras restricciones, ambos ejes pueden ser incluidos. Después de determinar las regiones de solapamiento, el único eje que se incluye es el eje x. El eje y no es parte de la región sombreada superpuesta.
Maximizing Profit Part I 1.
Write the inequality and related equation for each constraint in the table below. Start-up Constraint
Inequality Related Equation
2x + 3y ≤ 500 2x + 3y = 500
Income Constraint
Time Constraint
Other Constraint(s)
8x + 15y ≥ 1,800 15x + 40y ≤ 4,320
x≥0 y≥0
8x + 15y = 1,800 15x + 40y = 4,320
x and y must be greater than zero and exist in the set of whole numbers.
2. 3. 4.
Graph the related equations, taking into consideration other constraints. Shade the solution region. Label the approximate vertices of the solution region using coordinates with whole numbers.
5.
Without making any calculations, predict which combination of bracelets and necklaces in the solution set will maximize her profit and which combination will minimize her profit. Answers will vary.
b. DOK-1 «¿Cómo determinaste la región solución? ¿Qué forma tiene?». Sabía por las desigualdades que debía sombrear el semiplano menor que las restricciones de arranque y tiempo y que debía sombrear el semiplano mayor que la restricción de ingresos. Sabía que la región factible sólo existiría en el primer cuadrante debido a las otras restricciones. La región donde se superponen todas es un cuadrilátero. c. DOK-2 «¿Cómo decidió qué combinación de collares y pulseras predecir?». Las respuestas pueden variar. Elegí el par ordenado que tenía el mayor valor para la cantidad de collares vendidos, ya que ella gana más dinero al vender collares. d. DOK-2 «¿Por qué necesitamos pensar en todas las desigualdades de esta situación y encontrar las soluciones del sistema en lugar de considerar sólo desigualdades individuales?». Si hay más de una restricción que debe cumplirse, entonces necesitamos encontrar valores que satisfagan todas las inecuaciones. e. DOK-2 «¿Qué representa una solución al sistema de inecuaciones en este escenario?». Cualquier solución del sistema de inecuaciones representa una combinación de collares y pulseras que Jahzara puede fabricar y con la que se mantiene por debajo de su presupuesto de costes iniciales, fabrica lo suficiente para cumplir su objetivo de ingresos y vende lo suficiente para cumplir su objetivo de ingresos.
1
Systems of Inequalities Explore 2
Part II 1.
Use your group’s Jewelry Combinations Card to determine the profit for each using substitution and the objective function for profit, 6x + 12y = P.
2.
Classify each profit as high (green), medium (yellow), or low (red) value according to the legend on your card.
3.
Write the profit value on the appropriate sticker color.
4.
Place your group’s stickers on the Class Graph on the corresponding ordered pair.
5.
Use color-coded markers to sketch the class results on the graph below.
f. DOK-3 «¿Cuántas combinaciones cumplen todas las restricciones al mismo tiempo?». Hay demasiadas para contarlas, pero yo calcularía entre 500 y 1,000 combinaciones. Dado que previamente establecimos que los decimales no tienen sentido, las combinaciones se limitan a pares ordenados que usan sólo números enteros en la región factible. 7. Conceda tiempo suficiente a los estudiantes para completar la parte I y responder a las preguntas que siguen. 8. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta el momento.
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2
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Systems of Inequalities Explore 2
CHARLA DE MATEMÁTICAS
6.
Is there a color pattern? If so, describe the pattern. Yes, green is upper right, red is lower left, and yellow is in the middle.
7.
If we read the values written on the green stickers, which one has the highest value? The upper right vertex, (201, 32), has the highest value.
8.
If we examine the values written on the red stickers, which one has the lowest value? The lower left vertex, (225, 0), has the lowest value.
9.
What conclusion can you draw from examining the values written on the stickers for the minimum and maximum values of the objective function? When looking for a minimum or maximum value of an objective function, check the vertices of the solution set. The vertices will minimize or maximize the objective function.
• DOK-2 Estima cuántas combinaciones posibles hay en el conjunto de soluciones. «¿Cómo lo sabes?». x Explique lo siguiente a la clase: La región que contiene las soluciones también se llama región factible. • DOK-2 «¿Sería razonable comprobar cada par ordenado del conjunto de soluciones para determinar cuál minimiza o maximiza la ganancia? ¿Por qué sí o por qué no?». PARTE II
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Por cada pulsera que vende, Jahzara obtiene una ganancia de $6. Por cada collar que vende, obtiene una ganancia de $12. La ganancia se puede determinar con el uso de la ecuación 6x + 12y = P. Como verificar cada par ordenado sería extremadamente tedioso, dividamos el trabajo para verificar varias combinaciones de joyas y ver si podemos encontrar un patrón en las ganancias. Esto le permitirá ayudar a Jahzara a determinar qué combinaciones maximizarán y minimizarán su ganancia». 3
Systems of Inequalities Explore 2
Reflect 1.
What is the most efficient method to determine the minimum or maximum value of an objective function? The vertex principle of linear programming is the most efficient method because the minimum or maximum always occurs at a vertex, and there are a limited number of vertices for any given feasible region.
2.
The graph shows the upper left vertex of the feasible region. a. Why wasn’t the exact coordinate (75.789, 79.579) used? This coordinate isn’t a reasonable combination of bracelets and necklaces because it isn’t a whole number. b.
c.
3.
Why wasn’t the coordinate (75, 79) used? This coordinate isn’t in the feasible region. We can’t consider combinations outside the feasible region.
2. Distribuya un juego de calcomanías, un juego de marcadores y una tarjeta de combinaciones de joyas a cada grupo de estudiantes. 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para determinar si cada combinación de joyas produce un beneficio de valor bajo, medio o alto. Los estudiantes utilizarán una calcomanía de puntos codificada por colores (rojo, amarillo o verde) para marcar cada combinación de joyas en la «Gráfica de la clase». 4. Indique a los estudiantes que utilicen la sustitución y la función objetivo para la ganancia, 6x + 12y = P, para hallar la ganancia de cada combinación de joyas. Señale a los estudiantes que la «Gráfica de la clase» se encuentra en la pared, y que es allí donde colocarán sus calcomanías. En cada tarjeta hay una leyenda de ganancias codificada por colores.
Justify why the coordinate (77, 79) was used to approximate the vertex. This is the coordinate using whole numbers closest to the vertex in the feasible region. If the income goal was increased to $2,000, would it change the ordered pair that maximized or minimized the objective function? Would it change the shape of the feasible region? Sketch a graph to show your thinking. If the income goal was increased to $2,000, it would change the ordered pair that minimized the objective function, but it would not change the ordered pair that maximizes the objective function. The shape of the new feasible region would be a triangle, not a quadrilateral.
4
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Systems of Inequalities Explore 2
5. Utilice el «conjunto del maestro» para modelar el proceso para una combinación de joyas. a.
Paso 1: Sustituya una combinación de joyas en la función objetivo para la ganancia, 6x + 12y = P. 110 pulseras y 64 collares 6x + 12y = P 6(110) + 12(64) = 1,428
b.
Paso 2: Utilice la leyenda de ganancias para determinar si la ganancia representa un valor bajo, medio o alto. $1,428 cae en el rango bajo ($1,300 a $1,430).
c.
Paso 3: Elija la calcomanía correspondiente y escriba la ganancia en la calcomanía.
Linear Programming Exit Ticket A nail salon schedules an appointment for a basic manicure for 30 minutes and a deluxe manicure for 1 hour. Each nail technician can schedule a maximum workday of 8 hours. The nail salon wants to schedule no more than 5 deluxe manicures each day per nail technician. Each basic manicure costs $25, and each deluxe manicure costs $60. What number of each type of appointment produces the maximum income per nail technician? 1.
Graph the inequalities that represent the constraints. Let x represent the number of basic manicure appointments and y represent the number of deluxe manicure appointments. 0.5x + y ≤ 8 x≥0 y≤5 y≥0
2.
Write the objective function. 25x + 60y = I Find the number of each type of appointment that produces the maximum income per nail technician. (6, 5), 6 basic manicures and 5 deluxe manicures What is the maximum income? $450
3. 4.
d.
Paso 4: Coloque la calcomanía en el par ordenado que corresponda con la combinación inicial de joyas. Coloque la calcomanía en (110, 64).
6. Los grupos pueden empezar a trabajar cuando estén listos. Si los grupos no están listos, deben trabajar con los ejemplos amarillo y verde del «conjunto del maestro».
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
7. Mientras los estudiantes colaboran, monitoree su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar la comprensión: a.
DOK-1 «¿Cómo nos ayudan estos gráficos a determinar si 100 pulseras y 20 collares es una solución razonable?». Podemos usar los gráficos para identificar si esta combinación se encuentra en la región sombreada superpuesta.
b.
DOK-2 «¿Qué observas sobre la ubicación de las calcomanías verdes en el gráfico de la clase?». Las calcomanías verdes, que representan beneficios de valor alto, se encuentran en la parte superior derecha de la región factible.
c.
DOK-2 «¿Qué observa en la ubicación de las calcomanías rojas del gráfico de clase?». Las calcomanías rojas, que representan la ganancia de valor bajo, se encuentran en la parte inferior izquierda de la región factible.
d.
DOK-2 «¿Por qué crees que utilizamos coordenadas dentro de la región factible y los vértices para evaluar la función objetivo?». Puesto que intentamos determinar los beneficios mínimo y máximo, necesitamos utilizar soluciones razonables. Las soluciones razonables están en la región factible y en las líneas continuas. Como todas las líneas son continuas, los vértices son soluciones razonables. Por lo tanto, sólo usamos soluciones razonables para minimizar o maximizar la función objetivo.
8. Conceda tiempo suficiente a los estudiantes para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen.
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 9. Después de completar la parte II, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje hasta el momento. Los estudiantes no deben completar las preguntas de reflexión hasta después del «Charla de matemáticas». CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-3 «¿Qué conclusiones sacaste de los patrones?». Explique lo siguiente a la clase: «Esta conclusión a la que llegamos se llama principio del vértice de la programación lineal. Significa que si una función objetivo tiene un valor máximo o mínimo, debe ocurrir en uno o más de los vértices de la región factible». • DOK-2 Describe con tus propias palabras qué pares ordenados deben usarse para maximizar una función objetivo. • DOK-2 Describa cómo reconocer cuándo ha encontrado el valor máximo de una función objetivo. • DOK-2 «¿Cómo puede nuestro trabajo con sistemas de ecuaciones ayudarnos a encontrar los puntos de esquina o vértices?». 10. Los estudiantes aún deben tener la «Lista de restricciones», sus «Tarjetas de combinaciones de joyas» y sus diarios del estudiante». 11. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para completar las preguntas de reflexión en sus diarios del estudiante». 12. Señale a la clase que la pregunta 3 les pide que bosquejen un gráfico. Explique que los bocetos no tienen que ser exactos, sólo aproximados. 13. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar la comprensión: a.
DOK-2 «¿Es más eficiente probar todas las soluciones posibles o sólo los vértices de la región factible?». Generalmente, hay más soluciones en la región factible que vértices. Según el principio del vértice de la programación lineal, los valores mínimo y máximo siempre se dan en un vértice, por lo que lo más sensato es probar sólo los puntos donde se darán los valores mínimo o máximo.
b.
DOK-2 Si cambiara el vértice situado cerca de las calcomanías verdes, «¿cambiaría la situación de la coordenada que maximiza la función objetivo?». Sí, el valor máximo está situado en un vértice, por lo que si se cambiara el vértice donde se maximiza la función objetivo, cambiaría el valor máximo de la función objetivo.
14. Conceda tiempo suficiente a los estudiantes para completar las preguntas de reflexión. 15. Después de completar la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-3 Describa cómo encontrar las coordenadas de los vértices de la región factible si la intersección de las restricciones no es una solución razonable. • DOK-3 «¿Cambia siempre el valor mínimo o máximo de la función objetivo si cambia una restricción? ¿Cambia a veces?». Explícalo. • DOK-2 «¿Se te ocurre alguna situación en la que queramos minimizar la función objetivo?». • DOK-2 «¿Es posible que un problema de programación lineal no tenga solución?». Pon un ejemplo para apoyar tu respuesta. • DOK-3 «¿Podríamos minimizar o maximizar una función objetivo sin graficar?». En caso afirmativo, «¿cómo crees que lo harías?». 16. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 17. Regrese al «Captar interés» e instruya a los estudiantes para que usen sus habilidades recién adquiridas para completar exitosamente la actividad.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de realizar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez completado, pida a cada estudiante que complete su «Libreta interactiva» .
c. DOK-2 Si cambiara el vértice situado cerca de las calcomanías rojas, «¿cambiaría la situación de la coordenada que minimiza la función objetivo?». Sí, el valor mínimo está situado en un vértice, por lo que si se cambiasen los vértices donde se minimiza la función objetivo, cambiaría el valor mínimo de la función objetivo.
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE DESIGUALDADES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Systems of Inequalities Part 2
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Los estudiantes pueden tener dificultades para seguir la pista de diferentes gráficos cuando se trazan en la misma cuadrícula de coordenadas. Anímelos a usar diferentes colores para crear cada gráfico y luego a etiquetar cada gráfico. 2. Los estudiantes pueden tener dificultades para conectar los gráficos con su contexto. Anímelos a etiquetar sus ejes y a definir sus variables. 3. Los estudiantes pueden estar confundidos sobre cómo determinar qué soluciones se ajustan a múltiples gráficos. Anímelos a elegir puntos de prueba para determinar si las regiones deben incluirse en el conjunto de soluciones. 4. Los estudiantes pueden olvidar usar líneas sólidas o discontinuas al graficar las desigualdades. Anímelos a probar los puntos de la línea límite para ver si cumplen los criterios de la hipótesis.
Linear Programming The Shasta High School Booster Club is hosting a dinner to raise money for new football equipment. They will be selling both adult and child tickets. They want to make at least $1,200 from the dinner. Adult tickets will have a profit of $10 each, and child tickets will make $5 each. The venue for the dinner can hold, at most, a total of 240 guests. They have a food budget of $1,200. The cost of food for the adults will be $10 each, and it will cost $3 for the food for each child. 1.
Write the inequality and related equation for each constraint in the table below. Profit Constraint
Total Ticket Sales Constraint
Food Budget Constraint
Other Constraint(s)
Inequality
10x + 5y ≥ 1,200
x + y ≤ 240
10x + 3y ≤ 1,200
x≥0 y≥0
Related Equation
10x + 5y = 1,200
x + y = 240
10x + 3y = 1,200
x and y must be greater than zero and exist in the set of whole numbers.
2.
Graph the related equations on the following page, taking into consideration other constraint(s).
3.
Shade the solution region.
4.
Label the approximate vertices of the solution region using coordinates with whole numbers. If giving an approximate coordinate, make sure it falls within the shaded region. 1
Systems of Inequalities Part 2
5.
Fill in the table below to determine the profit at each of the vertices. Vertex
(120, 0)
(0, 240)
(68, 171)
Profit
$1,200
$1,200
$1,535
6.
What is the maximum profit for the fundraiser given all of the constraints? The maximum occurs at (68, 171), selling 68 adult tickets and 171 child tickets.
7.
Does this occur where you would have expected looking at the graph? Explain. Yes, that vertex is the one that is farthest away from the minimum profit line. The other two vertices are on the line, indicating they will have the minimum allowed profit.
2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 2) CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE DESIGUALDADES
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE Systems of Inequalities
Negative strawberries is impossible, but you could pick 0.
ESQUEMA DE ANCLAJE
Strawberries cost $4 per pound, and bananas cost $3 per pound.
Needs at least 3 pounds of strawberries and bananas
Solutions must satisfy ALL inequalities in the system!
Negative bananas is impossible, but you could pick 0.
solution set
CONSOLIDAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
DESCRIPCIÓN Un esquema de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Se trata de una herramienta para apoyar la instrucción y consolidar el aprendizaje del estudiante a lo largo del alcance.
MATERIALES
• 1 hoja de papel cuadriculado
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
• 1 juego de marcadores multicolores
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del ejemplo de esquema de anclaje, si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. El ejemplo de esquema de anclaje puede utilizarse como referencia antes de crear el «Esquema de anclaje» de la clase con los estudiantes. Esta actividad debe ser dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje. 2. A medida que los estudiantes trabajen en el alcance, colaboren para añadir piezas al esquema de anclaje. Formule las siguientes preguntas guías: a. «¿Qué estrategia utilizamos para resolver este problema?». b. «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?». 3. Añada habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada «Exploración» para resaltar el contenido importante. 4. Explique que pueden utilizar este gráfico como herramienta de apoyo para su aprendizaje. Los estudiantes también pueden pegar una copia del ejemplo de esquema de anclaje en sus cuadernos para utilizarla como referencia a lo largo del año. 5. Algunos esquemas de anclaje sólo se mostrarán durante un alcance o grupo de alcances concretos, mientras que otros permanecerán expuestos durante todo el grado escolar.
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE DESIGUALDADES
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA Systems of Inequalities
DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
LIBRETA INTERACTIVA DESCRIPCIÓN
Instructions ● Solve the following system of inequalities by graphing on the coordinate plane. y≤x–2 3y – 15 > −9x ● Don’t forget to shade the graph to show the solution set. ● Cut out the coordinate plane, and glue or tape it into your notebook.
Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase al usar la actividad y la libreta.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del «Folleto del estudiante» para cada uno.
Instructions ● Explain how to find the solution set of a system of inequalities. ● Cut out the rectangle, and glue or tape it into your notebook.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Prepare una «Libreta interactiva» al usar un cuaderno de espiral o de composición para cada uno. Los estudiantes pueden utilizar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades.
FOLLETO PARA EL ESTUDIANTE
2. Las instrucciones para cada actividad se proporcionan en el «Folleto del estudiante». 3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos. 4. Las libretas interactivas pueden utilizarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
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EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO VOCABULARIO CLAVE
VOCABULARIO ILUSTRADO
Linear Inequality
Variable
An inequality that involves a linear function
A letter or symbol that takes the place of a number that can change; a letter that can stand for an unknown number or a set of numbers
Solution Set
A set of numbers that makes an inequality statement true 2
4
3
Intersection
Half-Plane
Constraint
The point at which two lines cross
A planar region consisting of all points on one side of an infinite straight line, and no points on the other side
A condition that the solution must satisfy 6
5
Slope-Intercept Form
Equation
A way to write the equation of a line so that it is easy to view the slope and y-intercept of the line; y = mx + b
A mathematical statement that shows that two expressions are equal to each other 8
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7
9
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE DESIGUALDADES
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ DESARROLLAR LA FLUIDEZ CONCEPTUAL
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: SISTEMAS DE DESIGUALDADES DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes jugarán al juego ¡Corrige el error!
MATERIALES
Fix the Mistake! Answer Key Card Number
Math Expert or Fix the Mistake
1
Math expert
2
Fix the mistake
y > 2x + 4 and y < 2x – 3
3
Fix the mistake
(0, −3) is not a solution.
4
Math expert
5
Math expert
6
Math expert
7
Fix the mistake
One grass-cutting job and 12 dog-sitting jobs would earn $164, which would mean a ✓ in the yes column.
8
Fix the mistake
Region B should be shaded.
IMPRESO
• 1 hoja de instrucciones de ¡Corrige el error! (por pareja) • 1 juego de tarjetas ¡Corrige el error! (por pareja) • 1 hoja de registro del estudiante (por alumno) • 1 clave de respuestas de ¡Corrige el error! (por pareja) REUTILIZABLE
• 1 sobre o bolsa con cierre (por pareja)
PREPARACIÓN
• Haga copias a doble cara de las tarjetas ¡Corrige el error!
1
HOJA DE REGISTRO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
• Lamínelas para que duren más. • Recorte cada una de las tarjetas y colóquelas en un sobre o bolsa resellable para facilitar su distribución y limpieza. • Imprima una «Hoja de registro del estudiante ¡Corrige el error!» para cada estudiante. • Imprima una hoja «Clave de respuestas de ¡Corrige el error!» para cada pareja de estudiantes. Dobla la clave de respuestas de modo que las respuestas queden cubiertas pero el título aparezca en la parte superior de la página. • Coloque a los estudiantes en parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo barajar las tarjetas y colocarlas boca abajo en una pila.
Justification
f.
Una vez analizadas todas las tarjetas, los estudiantes usan la hoja de clave de respuestas ¡Corrige el error! para verificar sus respuestas.
g.
El jugador con más respuestas correctas es el ganador.
3. Distribuya los materiales del juego. A continuación, indique a los estudiantes que barajeen las tarjetas y las coloquen boca abajo en una pila en medio de los jugadores. 4. Supervise a los estudiantes para asegurarse de que encuentran y registran las respuestas correctas a cada tarjeta al usar la hoja de registro del estudiante de ¡Corrige el error!.
2. Muestre cómo jugar el juego con un estudiante. a.
Barajea las tarjetas y Colóquelas boca abajo en una pila en medio de los jugadores.
b.
El jugador 1 voltea una tarjeta. Ambos jugadores analizan el problema y determinan si la solución proporcionada al problema es correcta y el estudiante que la respondió es un experto en matemáticas o si la solución es incorrecta y es necesario corregir el error.
c.
Los jugadores se turnan para voltear una tarjeta a la vez.
d.
Los jugadores tomarán turnos hasta que se hayan resuelto todas las tarjetas.
e.
Los jugadores deben completar la hoja de registro de ¡Corrige el error! del estudiante mientras juegan (los jugadores deben completar la fila de la hoja de registro de ¡Corrige el error! del estudiante que corresponda a cada número de tarjeta).
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE DESIGUALDADES
ELABORAR: REVISIÓN EN ESPIRAL Systems of Inequalities
REVISAR CONCEPTOS PREVIOS
REVISIÓN EN ESPIRAL: TENER UN PERRO
Getting a Dog Aarohi has always wanted a dog. Aarohi is responsible and hardworking. She is independent, so her parents never have to remind her to clean up or do chores. Sometimes, Aarohi helps her mom with her stepbrother and sister. By all accounts, Aarohi is ready for a dog.
DESCRIPCIÓN
Aarohi knows that there is more to caring for a dog than snuggles. Dogs need to eat daily; they need to be washed and groomed. Walking and cleaning up after a dog is a daily occurrence. Dogs also cost money, not only to adopt one into your family but also to pay for food, treats, toys, beds, and dog supplies, plus vet visits and medications. Aarohi’s parents will pay for most of that, but there is an expectation that Aarohi will contribute $15 per month toward her dog’s monthly costs. The only things left for Aarohi to do are to choose the right type of dog for her and her family and then research how to become the best dog trainer ever!
Los estudiantes repasan contenidos anteriores o del grado actual para ayudar a apoyar su trabajo en el alcance actual y fortalecer las habilidades necesarias para alcances posteriores.
REVISIÓN EN ESPIRAL CENTRADA EN LA PREGUNTA • Pregunta 1
• ALG I: Graficar desigualdades lineales en dos variables. • Pregunta 2 • Grado 8: Determinar la tasa de cambio y el valor inicial de una función a partir de múltiples representaciones. 1
• Pregunta 3 • ALG I: Escribir secuencias geométricas y usarlas para modelar situaciones. • Pregunta 4
Systems of Inequalities
1.
Aarohi’s family wants a dog that is part poodle. Looking at several breeds, Aarohi realizes that the solution set to the graphed inequality will help her family choose a dog that falls within their parameters. Which inequality is graphed?
2.
A. 2x + 3y ≥ 2
Aarohi is already so excited and starts to map out the routes that she will walk with her dog on a coordinate plane. The neighborhood map shows a sidewalk that runs from the mailbox at (5, 8) and the park at (10, 10). What is the equation of the line where the sidewalk is on the map?
• Grado 7: Resolver problemas matemáticos y del mundo real que involucren las cuatro operaciones con números racionales.
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
B. 3y – 3x ≥ 4 C. −3y + x ≤ −6
1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. The answer is
The answer is C. 3.
Now Aarohi’s sister and stepbrother want their own dogs! Should the family get more dogs? Use the sequence an = 3a(n-1) to find the cost of adding more dogs, where n is a whole number greater than 1, and a1 = 5. What would the first three terms in the sequence be?
The answer is 5, 15, and 45.
4.
2. Anímelos a tratar de responder las preguntas independientemente sin usar recursos externos para ver lo que saben. Invite a los estudiantes a anotar ideas o fragmentos que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas.
.
Aarohi had 30 cups of chicken-flavored dog food and 20 cups of salmon-flavored dog food. She noticed that her dog ate 2 cups each morning and 1.5 cups each evening for 7 days. Using the expression (30 + 20) – 7(2 + 1.5), calculate how many cups of dog food were left at the end of the seven days.
3. Utilice las preguntas de revisión en espiral como calentamiento en clase, o envíelas a casa como tarea. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos.
The answer is 25.5 cups. 2
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE OPCIONES
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4. Consulte la sección «Revisión en espiral centrada en la pregunta» para evaluar los conocimientos de contenido de los estudiantes o su necesidad de una mayor intervención. Si es necesario repasar más, utilice el «Constructor de fluidez» en los alcances apropiados. 5. El capítulo final incluye una parte del alcance para que los estudiantes vean la conexión y relevancia de su aprendizaje previo con el actual.
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE DESIGUALDADES
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS
Systems of Inequalities
Food Choices
ANÁLISIS DE DATOS
CIENCIA DE DATOS Ciencia de datos es un breve debate en clase basado en un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. la parte I incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los estudiantes en contexto.
DESCRIPCIÓN
"Calories per Gram of Fat," New Health Advisor for Daily Health Care, New Health Advisor, April 13, 2022, https://www.newhealthadvisor.org/Calories-per-Gram-of-Fat.html. Nall, Rachel. 2017. "What is a Good Carb-to-Protein Ratio?” Healthfully, July 18, 2017. https://healthfully.com/493904-what-is-a-good-carb-to-protein-ratio.html. 1
Los estudiantes analizarán, interpretarán y generarán conjuntos de datos, además de responder a preguntas basadas en los datos.
MATERIALES IMPRESO
• 1 conjunto de datos (por clase) REUTILIZABLE
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase) • 1 marcador (por clase)
CONJUNTO DE DATOS
PARTE II 1. Repase el uso de un gráfico para mostrar la solución de un sistema de desigualdades en dos variables, y escriba lo que los estudiantes recuerden en el papel milimetrado. 2. Debatir las siguientes preguntas: a.
«¿Qué representa el sistema de desigualdades?». El sistema de inecuaciones da pautas sobre la cantidad de calorías que una persona debe consumir de proteínas en un día en función de la cantidad total de calorías que desea consumir y la cantidad de calorías que consume de hidratos de carbono.
b.
«¿Cómo se puede resolver un sistema de inecuaciones?». Grafíca las rectas representadas por el sistema, al usar una línea continua para ≥ y una línea punteada para <. Luego, sombrea por encima de la recta para ≥ y por debajo de la recta para <. La solución está donde se superponen las regiones sombreadas.
c.
Grafíca la solución.
CONSUMIBLES
• 1 trozo de papel milimetrado (por clase)
PREPARACIÓN
• Prepárese para proyectar el conjunto de datos para la clase. • Reúna un trozo de papel milimetrado y un marcador.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Proyecta el conjunto de datos y prepárate para anotar las observaciones de los estudiantes. 2. Plantee las siguientes preguntas: a. «¿Qué observas en este conjunto de datos?». b. «¿Qué representa este conjunto de datos?». c. «¿Qué categorías se incluyen en este conjunto de datos?». d. «¿Cuántas calorías diarias se recomiendan para una persona promedio?». e. «¿Por qué crees que las constantes en las desigualdades son diferentes?». f. «¿Qué preguntas tienes sobre los datos?».
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE DESIGUALDADES
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS
d. Rhea desayuna una tortilla cargada, tostadas con mantequilla y arándanos, y almuerza un emparedado club, papas fritas y una manzana. «¿Qué podría cenar Rhea sin salirse de las recomendaciones?». Comida
Calorías de carbohidratos
Calorías de proteínas
Manzana
76
0
Papa asada con crema agria
132
16
Arándanos
56
8
Brócoli a la cazuela
64
92
Hamburguesa con queso
140
168
Alitas de pollo
0
108
Helado
212
32
Tortilla cargada
24
124
Avena en hojuelas
96
24
Pizza
164
48
Papas fritas
108
12
Espaguetis con salsa de carne
368
72
Tostadas con mantequilla
100
24
Emparedado club
328
184
e. «¿Cómo podrían ajustarse estas desigualdades a lo largo del tiempo para diferentes personas?». Las respuestas variarán. Las personas ajustarán su ingesta calórica en función de sus objetivos de forma física y ejercicio y de su metabolismo, que puede cambiar a medida que envejecen. Ninguna recomendación calórica será un modelo único para todos, pero puede proporcionar una orientación.
Las respuestas pueden variar. Hamburguesa con queso
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE DESIGUALDADES
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN
Systems of Inequalities
EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS
LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN DESCRIPCIÓN Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede utilizarse como evaluación formativa para los maestros y como autoevaluación para los estudiantes.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 folleto del maestro (por estudiante)
PREPARACIÓN
Systems of Inequalities How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or non-viable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods. Graph the solutions to a linear inequality in two variables as a half-plane (excluding the boundary in the case of a strict inequality), and graph the solution set to a system of linear inequalities in two variables as the intersection of the corresponding half-planes.
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Notes and Feedback
• Imprima un «Folleto del maestro» y un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
1
1. Distribuya un «Folleto del estudiante» a cada uno. 2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Explorar» y «Explicar» del alcance, evalúe formativamente su progreso al tomar notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo. 3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo. 4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje. 5. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el «Folleto del maestro». 6. Las notas anecdóticas proporcionadas en el «Folleto del maestro» pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares. 7. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la «Guía de instrucción andamiada» en la sección «Inicio» de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
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Systems of Inequalities
Standards for Mathematical Practice
Notes and Feedback
Make sense of problems and persevere in solving them Reason abstractly and quantitatively Construct viable arguments and critique the reasoning of others Model with mathematics Use appropriate tools strategically
Attend to precision Look for and make use of structure Look for and express regularity in repeated reasoning
Consider these reflection questions in this scope. ●
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them?
●
What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
2
FOLLETO DEL MAESTRO
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE DESIGUALDADES
EVALUAR: MAPA DE CALOR
Systems of Inequalities
ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
MAPA DE CALOR
Red – misconception
Skills Quiz Standards
Questions
Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or non-viable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods. Graph the solutions to a linear inequality in two variables as a half-plane (excluding the boundary in the case of a strict inequality), and graph the solution set to a system of linear inequalities in two variables as the intersection of the corresponding half-planes.
4
5
6
8
9
10
1
2
3
DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
7
MATERIALES
• 1 mapa de calor (por estudiante) • 1 lápiz de color rojo (por estudiante) • 1 lápiz de color azul (por estudiante)
Reflection Questions 1. Which skill did you feel most confident with? Why?
• 1 lápiz de color naranja (por estudiante)
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
3. Which type of error did you most commonly make?
PREPARACIÓN
• Determine si los estudiantes analizarán su «Prueba de habilidades», la «Evaluación basada en estándares», o ambas.
4. How can you avoid those errors in the future?
• Imprima un «Mapa de calor» para cada estudiante.
1
• Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN Systems of Inequalities
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
Red – misconception
2. Los estudiantes usan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el «Mapa de calor». Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los estudiantes colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, los estudiantes colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, los estudiantes colorean el cuadro correspondiente de rojo.
Standards-Based Assessment Standards
Questions
Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or non-viable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods. Graph the solutions to a linear inequality in two variables as a half-plane (excluding the boundary in the case of a strict inequality), and graph the solution set to a system of linear inequalities in two variables as the intersection of the corresponding half-planes.
2
4
5a
5c
5d
5e
7
10
1
3
5b
6
8
9
3. Anímelos a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a utilizar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada.
Reflection Questions 1. Which skill did you feel most confident with? Why?
3. Which type of error did you most commonly make?
1. Dé un «Mapa de calor» a cada estudiante junto con lápices de colores rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s).
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
4. Consulte la «Guía de instrucción andamiada» que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
4. How can you avoid those errors in the future?
2
MAPA DE CALOR
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE DESIGUALDADES
INTERVENIR: REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES Systems of Inequalities
REFORZAR Y VOLVER A ENSEÑAR
REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES DESCRIPCIÓN Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para intervención.
MATERIALES IMPRESO
Checkup For questions 1–5, refer to the information below. Yasmine and Alina are tailors. They make suits and dresses each week. Yasmine does all of the cutting, and Alina does all of the sewing. Each suit takes 4 hours of cutting and 3 hours of sewing. Each dress takes 6 hours of cutting and 9 hours of sewing. Neither tailor works more than 54 hours a week. 1.
Write a system of inequalities describing this situation, using s, to represent the number of hours worked on suits, and d, to represent the number of hours worked on dresses. 4s + 6d ≤ 54 3s + 9d ≤ 54
2.
Which of the following represents constraints in this situation? Select all that apply. A. s≥0 B. s=d C. d ≥ –1 D. d≥0
3.
Graph the inequalities that represent the situation.
4.
What does the ordered pair (10, 1) mean in terms of this situation? This means Yasmine and Alina worked 10 hours on suits and 1 hour on dresses.
5.
Is (–1, 6) a viable solution for this situation? Justify your answer. No, because Yasmine and Alina cannot work –1 hours.
• 1 revisión rápida (por estudiante) • 1 repaso (por estudiante) • 1 revisión general (por estudiante) • 1 lista de verificación para el maestro (por maestro)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de la «Revisión rápida», el «Repaso» y la «Revisión general» para cada estudiante. • Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar el «Repaso».
1
• Si lo desea, imprima un ejemplo del «Esquema de anclaje» de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que usen la «Libreta interactiva» como recurso. • Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayudas suplementarias para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Systems of Inequalities
For questions 6–10, refer to the information below. Dylan at The Explorers Den rents canoes and kayaks to people to float down the Colorado River. He has $33,000 to purchase new boats. The canoes cost $550 each and rent for $27/day, and the kayaks costs $825 each and rent for $38/day. He only has room for 45 boats in his shop. 6.
Write a system of inequalities describing this situation, using c, for the number of canoes, and k, for the number of kayaks. 550c + 825k ≤ 33,000 c + k ≤ 45
7.
Graph the inequalities that represent the situation.
8.
Write the objective function. R = 27c + 38k
9.
How many of each type of boat should he buy to maximize his revenue? (15, 30). Dylan should buy 15 canoes and 30 kayaks to maximize his revenue.
10.
What is his maximum revenue per day with the given purchasing and space constraints? $1,545
1. Dé una copia de la «Revisión rápida» a cada estudiante. 2. Cada uno debe completarla de forma independiente. 3. Use la rúbrica de habilidades al final de la «Revisión rápida» para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional. 4. Distribuya una copia del «Repaso» a cada uno. 5. Cada estudiante debe completar el «Repaso» como actividad de intervención o de forma independiente. a.
Si lo desea, reúna a los estudiantes en pequeños grupos para trabajar en las destrezas de repaso. Utilice el «Repaso» como ayuda para la reenseñanza.
6. Distribuya una copia de la «Revisión general» a cada uno. 7. Cada estudiante debe completarla de forma independiente. 8. Analice los resultados de la «Revisión general» al usar la «Lista de verificación para el maestro» para identificar quienes necesitan un repaso adicional y quienes han alcanzado el dominio de los conceptos.
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2
REVISIÓN GENERAL CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE DESIGUALDADES
ACELERACIÓN: ¿QUÉ PREFERIRÍAS? Systems of Inequalities
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Car Wash Fundraiser Use mathematical reasoning and creativity to justify your answer to the Would You Rather question. Eighth graders have decided to run a carwash fundraiser to buy some new computers for their school. They want to make at least $1,000. For customers who have prepaid, they are charging $15. For customers who come and pay on the day of the fundraiser, they are charging $20. The students expect to be able to wash a maximum of 100 cars based on supplies and their location. If 40 customers have prepaid, and it is still several days before the event, would you rather promote getting more prepaid customers or just wait until the day of the fundraiser and hope enough people come? Justify your reasoning with mathematics and the graph provided.
¿QUÉ PREFERIRÍAS?: RECAUDACIÓN DE FONDOS DE LAVADO DE AUTOS DESCRIPCIÓN Los estudiantes usan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 rúbrica (por maestro) To represent this situation, 15P + 20D ≥ 1,000 and P + D ≤ 100, where P is prepaid customers, and D is customers who pay on the day of the fundraiser. According to the graph, you’d need a minimum of 67 prepaid customers, or at least 27 more than what you have so far. Or, you’d need a minimum of an additional 20 customers who come on the day of the fundraiser. The following statements are sample answers: I’d prefer to get more prepaid customers because then I wouldn’t need to worry anymore that we would make enough profit. Also, anyone who came on the day of the fundraiser would be a bonus. I’d prefer to wait until the day of the event and make sure we properly advertised, as I think that 20 customers will come regardless.
1
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno. • Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno.
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
2. Anímelos a mirar sus folletos de «Explorar» si necesitan repasar habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros. 4. Utilice la rúbrica proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE DESIGUALDADES
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Systems of Inequalities
OPCIONES PARA EL APRENDIZAJE CONTÍNUO
TABLERO DE OPCIONES DESCRIPCIÓN Los estudiantes explorarán las conexiones con el mundo real y las aplicaciones del contenido matemático a través de interacciones con actividades atractivas.
MATERIALES IMPRESO
• 1 tablero de opciones (por estudiante) • 1 juego de hojas de actividades (por estudiante) • 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante) REUTILIZABLE
• Tecnología (si corresponde)
PREPARACIÓN
Systems of Inequalities Choose one or more extension activities from the table below. Career Connection
Arts Connection
Actuary
Stained Glass
Research the career field of an actuary. Your research must answer the provided questions. Create a presentation to relay your research to the class.
Create a stained-glass window pattern by graphing the solutions to systems of inequalities and shading with your color choices.
Create Your Own
Kitchen Connection
Write Your Own Story
Hiking Snack
Create your own real-world word problem for the given system of inequalities. Follow the criteria on the handout to write your scenario, and then solve the problem.
Systems of inequalities can be used in the kitchen when making recipes and shopping for ingredients. Read the scenario, and answer the questions on the handout.
Mathematician Spotlight
Financial Connection
Joseph Fourier
Search for several news articles or research papers that involve Joseph Fourier’s work. Create an informational poster, a diorama, or a speech to convey this mathematician’s work as it relates to systems of inequalities.
Pay Your Bills
We use math every day in our financial world. Explore how our current math topic connects to our financial world by completing the handout.
• Imprima un «Tablero de opciones» y un juego de hojas de actividades para cada estudiante. • Imprima una «Autoevaluación del tablero» para cada estudiante.
TABLERO DE OPCIONES
• Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» a cada estudiante. 2. Dé tiempo a los estudiantes para examinar el «Tablero de opciones» y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anímelos a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del tablero, haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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ÁLGEBRA 1: SISTEMAS DE DESIGUALDADES
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ÁLGEBRA 1 FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES ÁLGEBRA 1
FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: DOS VERDADES Y UNA MENTIRA Los estudiantes se comprometerán a identificar dos verdades y una mentira a partir de enunciados sobre un estándar matemático previo para abordar conceptos erróneos.
ESTÁNDARES CLAVE
• Los estudiantes leerán y analizarán tres enunciados para identificar las dos verdades y una mentira.
Interpretar funciones que surgen en aplicaciones en términos del contexto.
• Los estudiantes conversarán sobre sus selecciones y razonamientos con el compañero de al lado.
• Para una función que modela una relación entre dos cantidades, interpretar características clave de gráficas y tablas en términos de las cantidades, y bosquejar gráficas que muestren características clave dada una descripción verbal de la relación. Las características clave incluyen: interceptos; intervalos en los que la función es creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos; simetrías; comportamiento final; y periodicidad. Analizar funciones utilizando diferentes representaciones. • Graficar funciones expresadas simbólicamente y mostrar las características clave de la gráfica, a mano en casos sencillos y utilizando tecnología para casos más complicados. • Graficar funciones de raíz cuadrada, raíz cúbica y funciones definidas por partes, incluyendo funciones escalonadas y funciones de valor absoluto. Construir nuevas funciones a partir de funciones existentes. • Identificar el efecto en la gráfica de reemplazar f(x) por f(x) + k, kf(x), f(kx) y f(x + k) para valores específicos de k (tanto positivos como negativos); encontrar el valor de k dadas las gráficas. Experimentar con casos e ilustrar una explicación de los efectos en la gráfica utilizando la tecnología. Incluir el reconocimiento de funciones pares e impares a partir de sus gráficas y expresiones algebraicas para ellas. *Este alcance se centra en funciones de valor absoluto, escalonadas y definidas por partes.
ESTÁNDARES DE CONEXIÓN Comprender el concepto de función y utilizar la notación de función. • Utilizar la notación de función, evaluar funciones para entradas en sus dominios e interpretar enunciados que utilizan la notación de función en términos de un contexto. • Reconocer que las secuencias son funciones, a veces definidas recursivamente, cuyo dominio es un subconjunto de los números enteros. Por ejemplo, la sucesión de Fibonacci se define recursivamente por f(0) = f(1) = 1, f(n + 1) = f(n) + f(n - 1) para n ≥ 1. Interpretar funciones que surgen en aplicaciones en términos del contexto. • Relacionar el dominio de una función con su gráfica y, en su caso, con la relación cuantitativa que describe. Por ejemplo, si la función h da el número de horas-persona que se necesitan para montar n motores en una fábrica, entonces los números enteros positivos serían un dominio apropiado para la función. Analizar funciones utilizando diferentes representaciones. • Comparar propiedades de dos funciones representadas cada una de una manera diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas o mediante descripciones verbales). Por ejemplo, dada una gráfica de una función cuadrática y una expresión algebraica para otra, decir cuál tiene el máximo mayor. Construir y comparar modelos lineales, cuadráticos y exponenciales y resolver problemas. • Construir funciones lineales y exponenciales, incluyendo secuencias aritméticas y geométricas, dada una gráfica, una descripción de una relación, o dos pares de entrada-salida (incluyendo la lectura de estos a partir de una tabla). Interpretar expresiones para funciones en términos de la situación que modelan. • Interpretar los parámetros en una función lineal o exponencial en términos de un contexto. [Lineal y exponencial de forma f(x) = bx + k].
• Los estudiantes justificarán su elección de la mentira en una conversación en clase. CAPTAR INTERÉS Los estudiantes explorarán la creación de nuevas funciones a partir de componentes lineales a través de un escenario del mundo real que involucra etapas de construcción. • Introduzca el escenario mostrando un video e incitando a los estudiantes a observar y cuestionar los aspectos matemáticos del proceso de construcción. • Proyecte y converse sobre una función compleja derivada de relaciones lineales, alentando a los estudiantes a analizar e interpretar los componentes de la función. • Guíe a los estudiantes a través de actividades de «Exploración» para profundizar su comprensión de la construcción de nuevas funciones a partir de ecuaciones conocidas.
ACTIVIDADES DE EXPLORACIÓN EXPLORACIÓN 1: FUNCIONES ESCALONADAS Los estudiantes explorarán el uso de funciones escalonadas para representar conjuntos de datos, graficar estas funciones a partir de tablas o descripciones, e identificar información clave a partir de gráficas de funciones escalonadas. • Los estudiantes analizarán datos de rutas de autobús para determinar la eficiencia de una ruta de autobús escolar utilizando funciones escalonadas. • Harán gráficas de funciones escalonadas basándose en datos dados y descripciones verbales, registrando su trabajo en los «Diarios del estudiante». • Los estudiantes evaluarán rutas de autobús alternativas usando gráficas y descripciones proporcionadas para recomendar la mejor opción. EXPLORACIÓN 2: FUNCIONES LINEALES DEFINIDAS POR PARTES Los estudiantes harán gráficas de funciones lineales definidas por partes analizando datos de lectura, escribiendo funciones y relacionando gráficas con funciones. • Los estudiantes trabajarán en grupos para calcular las tasas de lectura y graficarlas en un período de tiempo específico. • Los estudiantes identificarán y registrarán funciones por partes analizando gráficas y ecuaciones. • Los estudiantes organizarán y emparejarán gráficas con funciones correspondientes usando «Tarjetas de lectura semanales». EXPLORACIÓN 3: FUNCIONES DE VALOR ABSOLUTO Los estudiantes crearán una tabla de valores y graficarán la función principal de valor absoluto f(x) = |x|, conectándola con gráficas por partes exploradas previamente. • Los estudiantes analizarán escenarios y representarán información de múltiples maneras, registrando sus hallazgos en «Diarios del estudiante». • Los estudiantes colaborarán en grupos para escribir funciones para gráficas de valor absoluto y verificarán su trabajo usando «Tarjetas de ecuaciones de la aplicación». • Los estudiantes usarán herramientas gráficas para visualizar y analizar la función de valor absoluto, identificando características clave como el vértice y la pendiente. EXPLORACIÓN 4: TRASLACIÓN DE FUNCIONES DE VALOR ABSOLUTO Los estudiantes graficarán traslaciones de funciones de valor absoluto e identificarán características claves a través de la resolución de problemas y análisis colaborativos. • Los estudiantes usarán calculadoras gráficas para graficar funciones de valor absoluto y determinar cuáles funciones pueden resolver escenarios dados. • Ellos trabajarán en grupos para analizar los efectos de diferentes transformaciones en las gráficas y registrarán sus hallazgos en sus «Diarios del estudiante». • Los estudiantes participarán en charlas de matemáticas para conversar sobre sus observaciones y profundizar su comprensión de las transformaciones de funciones. EXPLORACIÓN 5: TRANSFORMAR FUNCIONES DE VALOR ABSOLUTO Los estudiantes explorarán transformaciones de funciones de valor absoluto graficando, identificando características clave, describiendo transformaciones y escribiendo ecuaciones. • Los estudiantes trabajarán en grupos para graficar funciones y determinar qué funciones pueden romper cerraduras en un escenario dado. • Identificarán y describirán las transformaciones de funciones de valor absoluto comparadas con la función principal. • Los estudiantes escribirán nuevas ecuaciones de funciones basadas en características clave y transformaciones identificadas.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DE RELACIONES LINEALES1 FUNCIONES DERIVADASDERIVADAS DE RELACIONES LINEALES ALGEBRA
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES INVESTIGAR FUNCIONES
MODELAR CON FUNCIONES
CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
CONCEPTOS CLAVE
PREGUNTAS FUNDAMENTALES
• Puedo graficar una función de valor absoluto dada una ecuación en forma de vértice.
• ¿Qué características clave puedes identificar en la ecuación de una función de valor absoluto?
• Puedo identificar y describir características clave de una función de valor absoluto dada una gráfica o ecuación en forma de vértice.
• ¿Cuáles son las diferencias entre cómo aparecerían una traslación horizontal positiva y una traslación vertical positiva en una ecuación de valor absoluto?
• Puedo identificar y describir transformaciones verticales y horizontales (traslaciones, dilataciones y reflexiones) de la función principal de valor absoluto dada una gráfica o ecuación.
• ¿Qué restricciones se dan al representar gráficamente una función por partes?
• Puedo graficar funciones por partes compuestas de funciones lineales. • Puedo graficar una función de valor absoluto cuando se escribe como una función por partes.
• ¿Cómo puede representarse la misma función como una ecuación de valor absoluto y como una función por partes? • ¿En qué se parece una función escalonada a una función por partes?
• Puedo graficar funciones escalonadas dada una función constante por partes.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
CONTENIDOS DE APOYO Construir nuevas funciones a partir de funciones existentes. • Identificar el efecto en la gráfica de reemplazar f(x) por f(x) + k, kf(x), f(kx) y f(x + k) para valores específicos de k (tanto positivos como negativos); encontrar el valor de k dadas las gráficas. Experimentar con casos e ilustrar una explicación de los efectos en la gráfica utilizando la tecnología. Incluir el reconocimiento de funciones pares e impares a partir de sus gráficas y expresiones algebraicas para ellas. Interpretar funciones que surgen en aplicaciones en términos del contexto. • Para una función que modela una relación entre dos cantidades, interpretar características clave de gráficas y tablas en términos de las cantidades, y bosquejar gráficas que muestren características clave dada una descripción verbal de la relación. Las características clave incluyen: interceptos; intervalos en los que la función es creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos; simetrías; comportamiento final; y periodicidad. Analizar funciones utilizando diferentes representaciones. • Graficar funciones expresadas simbólicamente y mostrar las características clave de la gráfica, a mano en casos sencillos y utilizando tecnología para casos más complicados. ◦ Graficar funciones de raíz cuadrada, raíz cúbica y funciones definidas por partes, incluyendo funciones escalonadas y funciones de valor absoluto. Este alcance se centra en funciones de valor absoluto, escalonadas y definidas por partes.
CONOCIMIENTO PREVIO En grados anteriores, los estudiantes experimentaron la graficación de funciones lineales y entendieron que una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. Los estudiantes deben entender la pendiente y el concepto de funciones crecientes y decrecientes. Los estudiantes deben estar familiarizados con el valor absoluto, que representa la distancia entre un valor y cero. Los estudiantes también deben tener experiencia con exponentes y raíces cuadradas.
CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS • Los estudiantes pueden graficar una porción limitada del gráfico y no ver todas las características del gráfico completo.
• Los estudiantes pueden confundir las coordenadas x- e y-. Asegúrese de que los estudiantes sepan que x es el valor de entrada e y es el valor de salida. • Los estudiantes pueden tener problemas para entender cuándo usar un punto abierto o cerrado cuando grafican funciones definidas por partes. • Los estudiantes pueden tener problemas para entender que la coordenada en x en el vértice de la función de valor absoluto es la opuesta a la x en la función.
EN ESTE ALCANCE En este alcance, los estudiantes examinarán nuevas familias de funciones, incluyendo valor absoluto, y funciones por partes. Los estudiantes aprenderán las características de cada familia de funciones. Los estudiantes podrán relacionar ecuaciones de valor absoluto con ecuaciones por partes. Los estudiantes serán capaces de transformar e identificar características clave de funciones de valor absoluto. TÉRMINOS CLAVE
• función: una relación especial entre valores; cada valor de entrada devuelve exactamente un valor de salida. • función par: cuando se sustituye x por -x en una función y se simplifica la función, la función resultante será idéntica a la función original. • función impar: cuando se sustituye x por -x en una función y se simplifica la función, los términos de la función resultante tienen signos opuestos a los de la función original. • intercepción: punto o puntos en los que una función o relación interseca un eje. • intervalo positivo/negativo: los intervalos positivos son los que están por encima del eje x; los intervalos negativos son los que están por debajo del eje x. • función por partes: una función que se define mediante fórmulas diferentes en entradas diferentes. • función de valor absoluto: una función que contiene una expresión algebraica dentro de símbolos de valor absoluto. • función escalonada: una función definida por partes en la que la fórmula de cada parte es una constante.
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INICIO: CONTENIDOS DE APOYO
APLICAR LAS PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes analizan los datos de un escenario para graficar y escribir ecuaciones para una función por partes y determinan los intervalos para cada ecuación de la función para representar con precisión el escenario. • MP.2 Razonar de manera abstracta y cuantitativa: Los estudiantes descontextualizan situaciones mientras trabajan con funciones por partes. Utilizan la descripción verbal de un escenario para escribir funciones que representan diferentes partes de la función por partes. • MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros: Los estudiantes utilizan sus conocimientos sobre el valor absoluto y Las ecuaciones por partes para explicar y justificar cómo podrían representar la misma gráfica. Construyen su argumento analizando y explicando las similitudes entre el valor absoluto y Las ecuaciones por partes. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes modelan escenarios en gráficas y ecuaciones y analizan los datos de rutas de autobuses o páginas leídas para determinar las gráficas y funciones por partes que representan los escenarios. • MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas: Los estudiantes utilizan calculadoras gráficas para graficar rápidamente funciones de valor absoluto y comparar y descubrir cómo diferentes operaciones cambian la gráfica de la función. • MP.6 Atender a la precisión: Los estudiantes prestan atención a la precisión cuando analizan transformaciones de funciones de valor absoluto y cuando analizan las operaciones y los valores utilizados para desplazar con precisión la gráfica según sea necesario. • MP.7 Buscar y utilizar estructuras: Los estudiantes aplican generalizaciones sobre cómo las operaciones transforman la gráfica de un valor absoluto a funciones que han sido transformadas de múltiples maneras. Transforman la gráfica de la función principal observando las operaciones utilizadas en la ecuación para desplazar o hacer más estrecha o ancha la gráfica. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes exploran y descubren cómo diferentes operaciones en una función de valor absoluto cambian la gráfica cuando se compara con la función principal y luego generalizan acerca de estas transformaciones.
FUNCIONES ESCALONADAS Algunas funciones vienen en partes. Los estudiantes graficarán funciones definidas por partes que son esencialmente colecciones de partes discretas. Los estudiantes explorarán escenarios del mundo real modelados por funciones escalonadas para determinar cómo se verán las gráficas. Los estudiantes también evaluarán y encontrarán el dominio y rango de estas funciones. Es crucial que los estudiantes conversen sobre los escenarios y den sentido al contexto del problema. Se deben considerar las restricciones dentro de cada escenario.
b.
Representar gráficamente la función.
c.
¿Es C una función de t? Explica tu razonamiento. Sí, C es una función de t. Para cada tiempo de aparcamiento dado, hay exactamente una carga.
d.
¿Es t una función de C? Explica tu razonamiento. No, t no es función de C. Hay varios tiempos que corresponden a la misma tarifa. Por ejemplo, 75 minutos y 100 minutos tienen ambos una carga de $2 porque son más de una hora pero menos de dos horas.
Ejemplo: Un aparcamiento cobra $1 por cada hora o fracción, hasta un máximo diario de $10. Sea C(t) el coste en dólares de aparcar durante t minutos. a.
Completar la tabla.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO Ejemplo: Un electricista trabaja en una obra a una tarifa de $40 por hora o fracción de hora. En otras palabras, cobrará $40 desde su llegada hasta la primera hora, y luego $40 por la segunda hora, y así sucesivamente. a. Graficar la cantidad que cobra el electricista, y, en dólares como una función del número de horas que trabaja.
Ejemplo: Los tipos impositivos cambian a medida que aumenta la cantidad de los ingresos. Una persona que gane hasta $20,000 tributa a un tipo impositivo del 20 %. Los ingresos entre $20,000 y $50,000 se gravan al 25 %. Para todo lo que gane por encima de $50,000, un individuo tributa al 30 %. Calcular los impuestos pagados P(e), para las ganancias e. a. Completar la siguiente tabla.
b. Graficar la función. b. ¿Cuánto cobra por trabajar 3.5 horas?. El electricista cobraría $160 por trabajar 3.5 horas. c. ¿Cuál es el dominio apropiado para esta función?. Dominio: x ≥ 0
FUNCIONES LINEALES DEFINIDAS POR PARTES Los estudiantes graficarán funciones lineales definidas por partes. Cuando se grafican funciones por partes, es importante que cada fórmula se aplique en su propio dominio. Lo mismo ocurre al evaluar estas funciones. Los estudiantes deben utilizar la función correspondiente con valores en cada dominio. Ejemplo: La principal compañía de telefonía móvil cobra por la cantidad de datos utilizados. La función a continuación representa el costo de transferir datos.
a. Graficar la función en la cuadrícula proporcionada.
c. Usando la gráfica, ¿cuánto pagaría de impuestos un individuo que ganara $100,000?. P (100,000) = 20,000(.2) + 30,000(.25) + 50,000(.3) = $26,500
FUNCIONES DE VALOR ABSOLUTO
b.
Evaluar f(2.2). f(2.2) = 27 Al evaluar, debes asegurarte de que estás usando la ecuación correspondiente para el valor x. 2.2 caería en el dominio de la segunda ecuación, 10d + 5. 10(2.2) + 5 = 27
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Los estudiantes crearán una tabla de valores y graficarán la función principal de valor absoluto, f(x) = |x|. Los estudiantes relacionarán esto con las gráficas por partes que han explorado previamente. Los estudiantes pueden llegar a la conclusión de que la salida para todas las entradas será positiva. Se trata de una idea que se explorará a lo largo de toda la clase.
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INICIO: CONTENIDOS DE APOYO Ejemplo: a. Graficar f(x) = |x|.
TRASLACIÓN DE FUNCIONES DE VALOR ABSOLUTO Los estudiantes graficarán traslaciones de funciones de valor absoluto e identificarán las características clave. Los estudiantes trabajarán aquí con traslaciones verticales y horizontales. Continúe comparando estas funciones con la función principal de valor absoluto, f(x) = x. Permita que los estudiantes usen una calculadora gráfica para explorar los cambios de parámetros en la misma cuadrícula. Comparar f(x) = |x| y f(x) = |x + 3|.
b. Reescribir la función como una función definida por partes.
Ejemplo: a. Crear una tabla de valores y graficar f(x) = |x + 4|.
Comparar f(x) = |x| y f(x) = |x + 3|.
b. Reescribir la función como una función definida por partes.
Los estudiantes deben notar similitudes en la traslación de funciones de valor absoluto y la traslación de funciones cuadráticas.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO Ejemplo: La función g(x) = |x| + 8 es una traslación de la función principal de valor absoluto, f(x) = |x|. ¿Cuál es el vértice de g(x)?.
Ejemplo: Graficar la función j(x), y describir las transformaciones a partir de la función principal f(x) = |x|.
g(x)representa un desplazamiento vertical hacia arriba de 8 unidades. El vértice de g(x) sería (0, 8).
j(x) = 2|x + 3|
Ejemplo: Representar gráficamente la función dada e identificar las principales características indicadas. f(x) = |x - 1| + 3
El coeficiente 2 representa un estiramiento vertical, y el +3 representa un desplazamiento horizontal 3 unidades a la izquierda. Ejemplo: Graficar la función k(x), y describir las transformaciones de la función principal f(x) = x. a. Vértice: (1, 3)
1 k(x) = - ___ |x - 4| + 4 2
b. intercepto(s) con el eje x: ninguno c. intercepto con el eje y: (0, 4) d. Eje de simetría: x = 1 e. Intervalo sobre el que aumenta la gráfica: x ≥ 1 f. Intervalo sobre el cual la gráfica disminuye: x ≤ 1
TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES DE VALOR ABSOLUTO Los estudiantes graficarán e identificarán características clave de transformaciones de funciones de valor absoluto. Los estudiantes explorarán la reflexión, dilatación, traslación y combinaciones de estas transformaciones. Los estudiantes buscarán formas de reflejar la gráfica de f(x) = x. Haga que descubran cómo la gráfica no sólo puede moverse sino también tener un estiramiento o encogimiento vertical. Al final deberían entender la fórmula f(x) = a|x - h| + k, donde (h, k) es el vértice. x = h es la línea de simetría, y a determina si la función principal se estira o encoge verticalmente. Dar tiempo a los estudiantes para que exploren con la tecnología es crucial para comprender la manipulación de estos gráficos.
El coeficiente negativo representa una reflexión vertical. 1
representa una compresión vertical. El El coeficiente de __ 2
-4 dentro de las barras de valor absoluto representa un
desplazamiento horizontal a la derecha de 4 unidades. El +4 después de las barras de valor absoluto representa un desplazamiento vertical hacia arriba 4 unidades.
AVANCES En álgebra 2, los estudiantes representarán y resolverán ecuaciones e inecuaciones que involucren valor absoluto. Los estudiantes resolverán sistemas de ecuaciones que involucran el valor radical y absoluto. Los estudiantes graficarán funciones trigonométricas y extenderán el dominio usando el círculo unitario. Los estudiantes también modelarán fenómenos periódicos con funciones trigonométricas.
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INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO ANÁLISIS PROFUNDO DE LOS ESTÁNDARES
CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES
DESGLOSAR EL ESTÁNDAR
Construir nuevas funciones a partir de funciones existentes.
VERBOS: ¿QUÉ DEBERÍAN HACER LOS ESTUDIANTES?
• Identificar el efecto en la gráfica de reemplazar f(x) por f(x) + k, kf(x), f(kx) y f(x + k) para valores específicos de k (tanto positivos como negativos); encontrar el valor de k dadas las gráficas. Experimentar con casos e ilustrar una explicación de los efectos en la gráfica utilizando la tecnología. Incluir el reconocimiento de funciones pares e impares a partir de sus gráficas y expresiones algebraicas para ellas. Comprender el concepto de función y utilizar la notación de funciones. • Utilizar la notación de funciones, evaluar funciones para entradas en sus dominios e interpretar enunciados que utilizan la notación de funciones en términos de un contexto. Interpretar funciones que surgen en aplicaciones en términos del contexto. • Para una función que modela una relación entre dos cantidades, interpretar características clave de gráficas y tablas en términos de las cantidades, y bosquejar gráficas que muestren características clave dada una descripción verbal de la relación. Las características clave incluyen: interceptos; intervalos en los que la función es creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos; simetrías; comportamiento final; y periodicidad. • Relacionar el dominio de una función con su gráfica y, en su caso, con la relación cuantitativa que describe. Por ejemplo, si la función h(n) da el número de horas-persona que se tarda en montar n motores en una fábrica, entonces los números enteros positivos serían un dominio apropiado para la función. Analizar funciones utilizando diferentes representaciones. • Graficar funciones expresadas simbólicamente y mostrar las características clave de la gráfica, a mano en casos sencillos y utilizando tecnología para casos más complicados. ◦ Graficar funciones de raíz cuadrada, raíz cúbica y funciones definidas por partes, incluyendo funciones escalonadas y funciones de valor absoluto. Nota: Este alcance se centra en funciones de valor absoluto, escalonadas y definidas por partes.
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• fabricar: construir (algo) juntando piezas o materiales. • identificar: reconocer y establecer qué es algo. • encontrar: descubrir; resolver. • utilizar: aplicar una estrategia. • evaluar: determinar o calcular el valor numérico de algo. • interpretar: explicar el significado de. • experimentar: probar diferentes maneras de hacer las cosas. • ilustrar: aclarar algo con ejemplos. • esbozar: hacer un dibujo aproximado de. • relacionar: encontrar o mostrar la conexión entre dos o más cosas. • analizar: explorar y explicar. • graficar: trazar un conjunto de puntos en un plano de coordenadas. • mostrar: representar un número. SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBERÍAN CONOCER LOS ESTUDIANTES?
• función: una relación especial entre valores; cada valor de entrada devuelve exactamente un valor de salida. • gráfico: una representación visual de datos. • notación de función: una forma de representar y, el valor dependiente en una relación, como f(x), léase «f de x» donde f nombra la función. • entrada: conjunto de valores suministrados a una función. • dominio: el conjunto de todas las posibles entradas (x valores) de una función. • relación cuantitativa: la relación entre magnitudes. • número positivo: un número que es mayor que cero. • número negativo: un número que es menor que cero. • función par: cuando x se sustituye por -x en una función y la función se simplifica, la función resultante será idéntica a la función original. • función impar: cuando en una función se sustituye x por -x y se simplifica la función, los términos de la función resultante tienen signos opuestos a los de la función original. • contexto: situación en la que se encuentra o sucede algo. • tabla: gráfico que contiene datos que se muestran en columnas y filas.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO • intercepción: punto o puntos en los que una función o relación interseca un eje. • intervalo positivo/negativo: intervalos positivos son los que están por encima del eje x; intervalos negativos son los que están por debajo del eje x. • máximo relativo: un punto que es más alto que los puntos situados directamente a su lado en ambos lados. • mínimo relativo: un punto que es más bajo que los puntos situados directamente a su lado en ambos lados. • simetría: una propiedad intrínseca de un objeto matemático que hace que permanezca invariable bajo ciertas clases de transformaciones. • comportamiento final: la tendencia que sigue la gráfica a medida que x se aproxima al infinito en las direcciones negativa y positiva. • valor máximo: el lugar donde una función alcanza su punto más alto, o vértice, en una gráfica. • valor mínimo: el lugar donde una función alcanza su punto más bajo, o vértice, en una gráfica. • función por partes: una función que se define mediante fórmulas diferentes en entradas diferentes. • función de valor absoluto: una función que contiene una expresión algebraica dentro de símbolos de valor absoluto. • función escalonada: una función definida por partes en la que la fórmula de cada parte es una constante.
IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA
• En grados anteriores, los estudiantes experimentaron la graficación de funciones lineales y entendieron que una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. • En este grado, los estudiantes ampliarán su comprensión de la graficación de funciones lineales para graficar funciones por partes compuestas de funciones lineales. Ellos ampliarán su comprensión de la entrada y la salida tal como se define por una función por partes. • Los estudiantes deben ser capaces de explicar un proceso eficiente para graficar funciones por partes y para determinar sus dominios y rangos. Deben ser capaces de relacionar las funciones por partes con las funciones de valor absoluto. • Empezar con funciones escalonadas es esencial para que los estudiantes comprendan las funciones por partes. Esto les permite centrarse en el dominio de la función y la gráfica resultante sin tener que considerar la pendiente o la intersección con el eje y. • Una característica de una función por partes es la importancia de considerar el dominio y el rango de la función. Los estudiantes pueden necesitar un repaso del dominio y el rango en vista de cómo tendrán que utilizarlos para pensar en este tipo de funciones. • Dependiendo de lo poco que hayan trabajado los estudiantes con la resolución de funciones de valor absoluto, pueden necesitar un repaso de los conceptos de valor absoluto. • Ayudar a los estudiantes a entender los contextos del mundo real modelados por funciones por partes les ayudará a entender cómo representarlas gráficamente, así como a encontrar su dominio y rango. Podrán asignar un significado de la vida real al dominio y rango de las piezas de la gráfica. • Puede ayudar a los estudiantes comparar los efectos de trasladar gráficas de valor absoluto verticalmente con los efectos de alterar una gráfica por partes de una función de valor absoluto. Pueden aplicar las reglas generales que han desarrollado a las gráficas por partes de la misma forma que las han aplicado a las gráficas anteriores. Al escribir una función de valor absoluto con una traslación vertical, es útil poder identificar la representación algebraica en la función.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
ALINEACIÓN VERTICAL GRADO
ESTÁNDAR
8
Construir una función para modelar una relación lineal entre dos cantidades. Determinar la razón de cambio y el valor inicial de la función a partir de la descripción de una relación o de dos (x,y) valores, incluyendo la lectura de éstos a partir de una tabla o gráfica. Interpretar la tasa de cambio y el valor inicial de una función lineal en términos de la situación que modela, y en términos de su gráfica o de una tabla de valores. Describir cualitativamente la relación funcional entre dos cantidades analizando una gráfica (por ejemplo, si la función es creciente o decreciente, lineal o no lineal). Dibujar una gráfica que muestre las características cualitativas de una función que se ha descrito verbalmente. Identificar el efecto en la gráfica de reemplazar f(x) por f(x) + k, kf(x), f(kx) y f(x + k) para valores específicos de k (tanto positivos como negativos); encontrar el valor de k dadas las gráficas. Experimentar con casos e ilustrar una explicación de los efectos en la gráfica utilizando la tecnología. Incluir el reconocimiento de funciones pares e impares a partir de sus gráficas y expresiones algebraicas para ellas. Utilizar la notación de función, evaluar funciones para entradas en sus dominios e interpretar enunciados que utilizan la notación de función en términos de un contexto.
Álgebra
Para una función que modela una relación entre dos cantidades, interpretar características clave de gráficas y tablas en términos de las cantidades, y bosquejar gráficas que muestren características clave dada una descripción verbal de la relación. Las características clave incluyen: interceptos; intervalos en los que la función es creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos; simetrías; comportamiento final; y periodicidad. Relacionar el dominio de una función con su gráfica y, en su caso, con la relación cuantitativa que describe. Por ejemplo, si la función h da el número de horas-persona que se necesitan para montar n motores en una fábrica, entonces los números enteros positivos serían un dominio apropiado para la función. Graficar funciones expresadas simbólicamente y mostrar las características clave de la gráfica, a mano en casos sencillos y utilizando tecnología para casos más complicados. Graficar funciones de raíz cuadrada, raíz cúbica y funciones definidas por partes, incluyendo funciones escalonadas y funciones de valor absoluto. _
3 _
x1 , f(x) = x3, f(x) = √x , f(x) = b a la x potencia, f(x) = |x|, y f(x) = Graficar las funciones f(x) = √x , f(x) = __ logb(x) donde b is 2, 10 y e, y cuando corresponda, analizar los atributos clave como dominio, rango, interceptos, simetrías, comportamiento asintótico, y máximo y mínimo dado un intervalo. Describir y analizar la relación entre una función y su inversa (cuadrática y raíz cuadrada, logarítmica y exponencial), incluyendo la restricción o restricciones sobre el dominio, que restringirán su rango.
Álgebra 2
Utilizar la composición de dos funciones, incluyendo las restricciones necesarias sobre el dominio, para determinar si las funciones son inversas entre sí. Determinar los efectos sobre los atributos clave en las gráficas de f(x) = b a la potencia x y f(x) = logb(x) donde b es 2, 10, y e cuando f(x) se sustituye por af(x), f(x) + d, y f(x - c) para valores reales positivos y negativos específicos de a, c y d. Analizar el efecto en las gráficas de f(x) = x3 y f(x) = 3x cuando f(x) se sustituye por af(x), f(bx), f(x - c), y f(x) + d para valores reales positivos y negativos específicos de a, b, c y d. Analizar el efecto en las gráficas de f(x) = |x| cuando f(x) se sustituye por af(x), f(bx), f(x - c), y f(x) + d para valores reales positivos y negativos específicos de a, b, c y d.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA MONITOREAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA La guía de instrucción andamiada se proporciona para que los maestros puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones del alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que ayuda a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de la evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos según los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere que todos los estudiantes experimenten con los elementos: «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades», ya que cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar. 0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
80 % - 100 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil pueden trabajar en contenido de nivel de grado con apoyos de instrucción.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» individual para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 2. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante de acuerdo con sus datos de evaluación. 3. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la sección «Scaffolded Instruction Guide» en el menú desplegable «Home» del alcance. 4. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
8 - Modelar relaciones de funciones
Repaso y práctica de habilidades
Repaso y práctica de habilidades
Constructor de fluidez
Constructor de fluidez
• Concentración
• ¡Atrapa ese robot!
Alg.I - Funciones derivadas de relaciones lineales Repaso y práctica de habilidades
• Concentración Práctica interactiva • ¿Cuál es mi recta? Prueba de habilidades Alg.I - Propiedades de las funciones Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Concentración Práctica interactiva
• Repaso (Crear y evaluar funciones escalonadas)
• ¡Atrapa ese robot! Prueba de habilidades
Alg.I - Funciones derivadas de relaciones lineales
(Nivel de grado con apoyos)
25 % - 50 %
• Revisión general (Preguntas 3, & 8)
Alg.I - Funciones derivadas de relaciones lineales Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (Pregunta 1) • Revisión general (Preguntas 1, 4, 6)
Vocabulario ilustrado Ciencia de datos
(Nivel de grado)
Vocabulario interactivo
50 % - 80 %
Alg.I - Funciones derivadas de relaciones lineales Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva Constructor de fluidez • Concentración Ciencia de datos
Alg.I - Funciones derivadas de relaciones lineales ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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(Ampliación del nivel de grado)
(Nivel de grado con apoyos) (Nivel de grado)
(Ampliación del nivel de grado)
80 % - 100 %
50 % - 80 %
25 % - 50 %
Prueba de habilidades
0 % - 25 %
Práctica interactiva
(Refuerzo del grado anterior)
Alg.I - Propiedades de las funciones
80 % - 100 %
(Refuerzo del grado anterior)
0 % - 25 %
Utilizar la notación de función, evaluar funciones para entradas en sus dominios e interpretar enunciados que utilizan la notación de función en términos de un contexto.
Para una función que modela una relación entre dos cantidades, interpretar características clave de gráficas y tablas en términos de las cantidades, y bosquejar gráficas que muestren características clave dada una descripción verbal de la relación. Las características clave incluyen: interceptos; intervalos en los que la función es creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos; simetrías; comportamiento final; y periodicidad.
Alg.I - Funciones derivadas de relaciones lineales ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Graficar funciones expresadas simbólicamente y mostrar las características clave de la gráfica, a mano en casos sencillos y utilizando tecnología para casos más complicados. b. Graficar funciones de raíz cuadrada, raíz cúbica y funciones definidas por partes, incluyendo funciones escalonadas y funciones de valor absoluto. 8 - Funciones
Alg.I - Propiedades de las funciones Constructor de fluidez Prueba de habilidades
0 % - 25 %
• Concentración
Alg.I - Funciones derivadas de relaciones lineales
(Refuerzo del grado anterior)
Repaso y práctica de habilidades
Repaso y práctica de habilidades
Constructor de fluidez • ¡Bum! Prueba de habilidades Alg.I - Propiedades de las funciones Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Concentración Práctica interactiva • ¡Atrapa ese Robot! Prueba de habilidades
• Repaso (Funciones lineales definidas por partes) 25 % - 50 %
• Revisión general (Pregunta 2)
(Nivel de grado con apoyos)
Repaso y práctica de habilidades
Alg.I - Funciones derivadas de relaciones lineales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (Pregunta 1) • Revisión general (Preguntas 1, 4, 6)
Alg.I - Funciones derivadas de relaciones lineales
Ciencia de datos
50 % - 80 %
Vocabulario interactivo
(Nivel de grado)
Vocabulario ilustrado
Alg.I - Funciones derivadas de relaciones lineales Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva Constructor de fluidez • Concentración
Alg.I - Funciones derivadas de relaciones lineales ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
458
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(Ampliación del nivel de grado)
Ciencia de datos
80 % - 100 %
(Refuerzo del grado anterior) (Nivel de grado con apoyos) (Nivel de grado) (Ampliación del nivel de grado)
80 % - 100 %
50 % - 80 %
25 % - 50 %
0 % - 25 %
Relacionar el dominio de una función con su gráfica y, en su caso, con la relación cuantitativa que describe. Por ejemplo, si la función h da el número de horaspersona que se necesitan para montar n motores en una fábrica, entonces los números enteros positivos serían un dominio apropiado para la función.
Alg.I - Funciones derivadas de relaciones lineales ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Identificar el efecto en la gráfica de reemplazar f(x) por f(x) + k, kf(x), f(kx) y f(x + k) para valores específicos de k (tanto positivos como negativos); encontrar el valor de k dadas las gráficas. Experimentar con casos e ilustrar una explicación de los efectos en la gráfica utilizando la tecnología. Incluir el reconocimiento de funciones pares e impares a partir de sus gráficas y expresiones algebraicas para ellas. 8 - Funciones (Refuerzo del grado anterior)
0 % - 25 %
Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • ¡Bum! Prueba de habilidades Alg.I - Propiedades de las funciones Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Concentración Práctica interactiva • ¡Atrapa ese Robot!
(Nivel de grado)
25 % - 50 % 80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
50 % - 80 %
(Nivel de grado con apoyos)
Prueba de habilidades
Alg.I - Funciones derivadas de relaciones lineales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (Preguntas 4, 5) • Repaso (sección «Transformar funciones de valor absoluto») • Revisión general (Preguntas 9, 10)
Alg.I - Funciones derivadas de relaciones lineales Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Constructor de fluidez • Concentración
Alg.I - Funciones derivadas de relaciones lineales Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
ATRAER: ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS Functions Derived from Linear Relationships
EVALUAR PREVIAMENTE EL CONOCIMIENTO DEL ESTUDIANTE
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: DOS VERDADES Y UNA MENTIRA ESTÁNDAR PREVIO Describir cualitativamente la relación funcional entre dos cantidades analizando una gráfica (por ejemplo, si la función es creciente o decreciente, lineal o no lineal). Bosquejar una gráfica que muestre las características cualitativas de una función que ha sido descrita verbalmente.
Two Truths and a Lie Read each statement. Identify the two truths with check marks and the one lie with an X. Lindsey and Lalo have a pool that they are trying to fill. As they started filling the pool, they realized the pool has a hole in it and water is draining out of the pool. The graph below represents their attempt at filling the pool.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes identificarán dos verdades y una mentira al leer los enunciados sobre el estándar previo. Este elemento está diseñado para descubrir los conceptos erróneos de los estudiantes; no debe tomarse para una calificación.
MATERIALES
One interval where the function is increasing is 8 to 10. One interval where the function is decreasing is 10 to 12. At 9 seconds, the amount of water in the pool is increasing. During the interval from 4 to 8 seconds, the pool is steadily losing water.
IMPRESO
• 1 dos verdades y una mentira (por estudiante o por grupo)
1
DOS VERDADES Y UNA MENTIRA
PREPARACIÓN
• Imprima un documento «Dos verdades y una mentira» para cada estudiante o cada grupo. • Puede dividir a los estudiantes en grupos de dos o tres.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Lea la pregunta en voz alta a la clase. 2. Conceda 2 minutos a los estudiantes para que lean las tres afirmaciones y determinen las dos verdades y la mentira. 3. Pida a los estudiantes que compartan con el compañero de al lado cómo marcaron sus hojas y por qué. 4. Conceda de 2 a 5 minutos de conversación. 5. Pida a los estudiantes que justifiquen su elección de la mentira. a. La tercera afirmación es incorrecta porque la función no disminuye de forma constante durante el intervalo de 4 a 8. En lugar de ello, la piscina pierde agua y la función disminuye de forma constante. Por el contrario, la piscina pierde agua y luego comienza a llenarse de nuevo. 6. Si los estudiantes tienen dificultades para completar esta tarea, realice el elemento «Constructor de bases fundamentales» para reforzar conocimientos previos antes de pasar a otras partes del alcance.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
ATRAER: CAPTAR INTERÉS Functions Derived from Linear Relationships
LECCIÓN MOTIVADORA
Graph the function below.
CAPTAR INTERÉS DESCRIPCIÓN Los estudiantes relacionarán la creación de nuevas funciones a partir de componentes lineales con un escenario del mundo real.
MATERIALES IMPRESO
• 1 funciones derivadas de relaciones lineales (por clase) FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
REUTILIZABLE
• 1 vídeo del fenómeno (por clase)
PREPARACIÓN
• Planifique mostrar el video. • Prepárese para proyectar el documento «Funciones derivadas de relaciones lineales» para que toda la clase las vea. • Prepárese para presentar el escenario y para alentar a los estudiantes a pensar en cómo resolverlo. Prepárese para pasar a las actividades de la sección «Explorar», regresando a la actividad «Captar interés» con los nuevos conocimientos adquiridos una vez que se hayan completado las «Exploraciones».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA
1. Presente esta actividad hacia el principio del alcance.
La clase retomará la actividad y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades correspondientes de la sección «Explorar».
2. Explique la situación mientras muestra el video detrás de usted. Se trata de crear nuevas funciones a partir de funciones ya estudiadas. 3. Formule las siguientes preguntas a los estudiantes: «¿Qué observas? ¿Qué se preguntan? ¿Dónde puedes ver matemáticas en esta situación?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Observo que el edificio tiene diferentes partes y componentes. Observo que hay diferentes etapas de construcción en función de la parte del edificio que se está creando. Me pregunto cuánto tiempo lleva cada parte de la construcción. Me pregunto si los distintos pisos deben construirse de forma diferente. Me pregunto si el ritmo de construcción es diferente para las distintas partes de la obra. 4. Proyecte el documento «Funciones derivadas de relaciones lineales». 5. Explique que la complicada ecuación que ven es una sola función. Converse sobre las siguientes preguntas: a.
DOK-2 «¿Cómo determinaría la salida cuando x = 5? ¿Y cuando x = 0?». Permita que los estudiantes compartan sus ideas. Las respuestas de los estudiantes variarán. Yo usaría la ecuación inferior cuando x = 5 y la tercera ecuación cuando x = 0.
b.
DOK-1 «¿Qué crees que significa cada enunciado de desigualdad después del “si”?». Estos son los valores de x donde la salida está determinada por las expresiones correspondientes que están en la misma línea.
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6. Explique que a lo largo del alcance, usaremos ecuaciones que ya entendemos para construir nuevas funciones. 7. Complete las actividades de la sección «Explorar». PARTE II: DESPUÉS DE EXPLORAR
1. Muestre el video del fenómenos nuevamente y vuelva a plantear el problema. 2. Consulte el documento «Funciones derivadas de relaciones lineales» y converse sobre las siguientes preguntas: a. DOK-1 «¿Esta complicada función tiene más sentido después de las “Exploraciones”?». Sí, esta es una función por partes y cada una de las cuatro ecuaciones sobre el dominio dado. b. DOK-1 «¿Qué estrategias usarías para graficar esta función por partes?». Consideraría cada una de las cuatro ecuaciones por separado y sustituiría los puntos finales del dominio en el que existen, prestando atención a si debo o no usar un círculo abierto o cerrado como punto final. c. DOK-1 «¿Cómo determinas dónde hay círculos abiertos en tu gráfica?». Cuando el dominio es menor que un valor pero no igual a él, como la segunda ecuación en x = 0, llega hasta el punto desde un lado pero no lo incluye, por lo que hay un círculo abierto. d. DOK-1 «¿Crees que tienes una sólida comprensión de las funciones derivadas de relaciones lineales?». Las respuestas pueden variar en función del éxito de los estudiantes durante la actividad y de su nivel de confianza.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Functions Derived from Linear Relationships Explore 1
LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 1: FUNCIONES ESCALONADAS DESCRIPCIÓN Los estudiantes comprenderán la necesidad de funciones escalonadas para representar determinados conjuntos de datos. Graficarán funciones escalonadas dada una gráfica o una descripción verbal. También serán capaces de identificar información clave dada una gráfica de una función escalonada.
Bus Route Optimization Part I: Original Bus Route Analysis
The data you have collected is shown in the following table of values, where d is the distance from the starting point in kilometers, and s is the total number of students on the bus at that point. d
1
3
4
6
7
s
3
7
9
13
15
1.
Plot the data provided in the table on the graph.
2.
What kind of function could best represent the plotted data? Sketch an approximation of the best fit function. The function looks linear.
ESTÁNDARES DE PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes representarán las matemáticas para describir una situación ya sea con una ecuación o un diagrama e interpretarán los resultados de una situación matemática. • MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas: Los estudiantes utilizarán las herramientas disponibles y reconocerán las fortalezas y limitaciones de cada una. Los estudiantes utilizarán herramientas tecnológicas para profundizar en su comprensión de las matemáticas. Los estudiantes utilizarán modelos matemáticos para visualizar y analizar información. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes verán cálculos repetidos y buscarán generalizaciones y atajos. Los estudiantes comprenderán la aplicación más amplia de patrones y verán la estructura en situaciones similares.
1
PREPARACIÓN DEL VÍDEO
Functions Derived from Linear Relationships Explore 1
MATERIALES IMPRESO
Your partner decided to keep track of the number of passengers more carefully instead of just checking at each stop. Use the graph to determine how many people are on the bus after traveling 0.5 km, 2 km, 5 km, and 8 km. 0 students, 3 students, 9 students, and 15 students
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 conjunto de «Tarjetas de rutas alternativas del autobús» (por grupo) • 1 conjunto de «Gráficas de rutas alternativas del autobús» (por grupo) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes) REUTILIZABLE
• 1 bolsa resellable (por grupo)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes. • Imprima un documento «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima un documento «Boleto de salida» cada 2 estudiantes. Recorte los «Boletos de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno. • Imprima un documento «Gráficas de rutas alternativas del autobús» para cada grupo de estudiantes. Si lo desea, imprímalos en cartulina y plastifíquelos para utilizarlos en el futuro. • Imprima un documento «Tarjetas de rutas alternativas del autobús» para cada grupo de estudiantes. Corte las tarjetas y colóquelas dentro de una bolsa resellable con la etiqueta «Parte II». Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para utilizarlas en el futuro.
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3.
Use the graph from your partner to complete the table.
Distance Traveled (d)
Number of Students on the Bus (s)
0
0
0.5
0
1
3
2
3
3
7
3.5
7
3.9
7
4
9
4.1
9
5
9
5.9
9
6
13
6.5
13
7
15
1st bus stop
2nd bus stop
3rd bus stop
4th bus stop
4.
Was your function on the first page a better representation of the situation than your partner’s step function? Why or why not? No, a linear function is inaccurate. I assumed the s should increase as a continuous, linear function. In fact, there is no increase in s between the bus stops because no additional students board the bus between stops.
5th bus stop 2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
Functions Derived from Linear Relationships Explore 1
Part II: Alternative Bus Route Analysis
Use the following questions to help you analyze each option for the bus route. 1.
Analyze the descriptions for options B and C, and then label each graph on the Bus Route Alternatives Graphs with B or C.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Option B 2. How did you determine which graph would represent option B? Answers may vary. Since the description said there was a stop at 1 km and 3 students would board, I looked for the graph that included the point (1, 3).
PARTE I: ANÁLISIS ORIGINAL DE LA RUTA DE AUTOBÚS
3.
How many students are on the bus during the interval 3.5 ≤ d < 6? 10 students
4.
Use a compound inequality to write an interval that describes the distances when the bus has 15 students. 6≤d<7
5.
How many stops does the bus make? 3
6.
Write 4 equations to represent each line on the graph. y = 0, y = 3, y = 10, and y = 15
7.
This entire graph can be represented by one function called a piecewise function. Match each of your equations with the correct interval to complete the piecewise function below. 0
if
0≤d<1
3
if
1≤d<3
10
if
3.5 ≤ d < 6
15
if
6≤d<7
2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno.
s=
8.
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Tú y tus compañeros fueron contratados para analizar la eficiencia de una ruta de autobús escolar matutina y decidir si tiene sentido hacer algunos cambios en la ruta. Has recopilado datos sobre dónde suben los estudiantes al autobús en términos de d, la distancia desde el establo del autobús y cuántos estudiantes en total hay en el autobús en cada parada». 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para analizar la información sobre una ruta de autobús. Anotarán su trabajo en sus «Diarios del estudiante».
If it takes the bus 2 minutes to drive each kilometer along the route and 1 minute for each stop, how long does it take for the bus to complete its route? Driving: 7 km · 2 min. per km = 14 min. Stopping: 3 stops · 1 min. per stop = 3 min. Total: 14 min. + 3 min. = 17 min. 3
Functions Derived from Linear Relationships Explore 1
Option C 9. How did you determine which graph would represent option C? Answers may vary. Since the table had the ordered pair (3, 10), I picked the graph that also included that point. 10.
How many students are on the bus during the interval 0 ≤ d < 3? 0 students
11.
Use a compound inequality to write an interval that describes the distances when the bus has 12 students. 4.5 ≤ d < 5.5
12.
How many stops does the bus make? 4
13.
Write 5 equations to represent each line on the graph. y = 0, y = 10, y = 12, y = 14, and y = 15
14.
Write a piecewise function to represent the graph for option C.
s=
0
if
0≤d<3
10
if
3 ≤ d < 4.5
12
if
4.5 ≤ d < 5.5
14
if
5.5 ≤ d < 6
15
if
6≤d<7
Functions Derived from Linear Relationships Explore 1
Reflect
15.
If it takes the bus 1.5 minutes to drive each kilometer on this route and averages 1.5 minutes for each stop since the first stop has so many people, how long does it take the bus to complete its route now? Driving: 7 km · 1.5 min. per km = 10.5 min. Stopping: 4 stops · 1.5 min. per stop = 6 min. Total: 10.5 min. + 6 min. = 16.5 min.
16.
Which option is the most efficient and fair? Explain. Answers may vary. The original option is longer and makes more stops, but that means students likely are closer to each stop, making it the most convenient. Option C is the fastest, so it is the best.
1.
How is the equation of a piecewise function related to the graph? The equation is an algebraic representation of all of the ordered pairs on the graph. If the graph has 4 lines, then the piecewise equation will have 4 parts to represent the 4 lines.
2.
Is the following statement true or false: Given a set of points, all of the points should connect to form the simplest-fitting function. Explain based on your results from Part I. False. In Part I of this Explore, we learned that while the simplest-fitting function should have been linear, in actuality the function was a more complex function that has breaks or jumps in its graph.
3.
How does the range of the piecewise functions you explored today differ from other functions you have studied previously? The range is specific integers and is not continuous like other functions we have studied before this.
4.
How were you able to determine whether a given bus route was a good option? Explain. Answers will vary. Students need to take into account the number of stops made by the bus; the time it takes the bus to complete its route; the impacts of each of those variables on the students, bus driver, parents, etc.
4
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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5
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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1/9/26 1:33 PM
ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Functions Derived from Linear Relationships Explore 1
4. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientativas para evaluar su comprensión: a.
b.
c.
d.
e.
DOK-1 «¿Cómo determinaste la función de mejor ajuste para los datos?». Las respuestas pueden variar. Lo grafiqué y luego vi que los puntos podían conectarse fácilmente con una función lineal. DOK-3 «¿Cuántos estudiantes deben estar en el autobús inmediatamente antes de la parada 2, y cuántos estudiantes están en el autobús inmediatamente después de esa parada? ¿Cómo puedes registrar esa información en el gráfico que se te ha dado?». El número de estudiantes en el autobús antes de la parada 2 es de 3 estudiantes. El número de estudiantes en el autobús después de la parada 2 es de 7 estudiantes. DOK-2 «¿Cuál es la diferencia entre la función que graficaste en la pregunta 1 y la función que analizaste en las preguntas 3 y 4?». La función lineal es sólo una línea recta, mientras que la función que analizamos parece una serie de líneas planas. DOK-2 «¿Cuál es la diferencia en el dominio/ rango de cada una de esas funciones?». En ambas funciones, el dominio es el mismo; sin embargo, el rango en la función lineal representa todos los números positivos. El rango en la función escalonada representa valores enteros específicos. DOK-3 «¿Por qué esta función lineal de mejor ajuste no es una representación exacta del escenario?». La función lineal de mejor ajuste no tomó en cuenta lo que sucede entre cada uno de los puntos, lo que resultó ser una parte crucial para entender el gráfico.
5. Concede a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte I y responder a las preguntas que siguen. 6. Después de completar la parte I, invita a la clase a un charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta el momento. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-3 «¿Cuándo fue útil analizar los datos basándose en un gráfico en lugar de una tabla?». En nuestro caso, una representación visual de los datos mostró más claramente el comportamiento general de la función para que pudiéramos determinar el tipo de función que mejor se ajustaba. • DOK-3 «¿Cuándo fue útil analizar los datos en base a un gráfico en lugar de una tabla?». Fue más fácil agregar puntos a nuestro gráfico porque esos puntos podían ser calculados numéricamente. • DOK-4 «¿Cuáles son otros ejemplos en los que las funciones escalonadas pueden ser buenos modelos para escenarios? ¿Qué hace que esos escenarios sean especiales?». Cualquier escenario del mundo real que incluya información discreta puede representarse como una función escalonada. Por ejemplo, las horas de los relojes digitales pueden entenderse como discretas, actualizándose sólo una vez por minuto (o segundo). La tensión de salida de los componentes electrónicos, que se encienden o se apagan sin nada entre medias, también puede considerarse discreta.
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SS NA-Math TE A1-V1.indb 464
Step Functions Exit Ticket If p represents the power output of a flashlight over time, t, during what time intervals is the flashlight turned on? 0≤t≤1 2≤t≤3 4≤t≤5 All inequalities could have < signs as well.
Functions Derived from Linear Relationships Explore 1
Step Functions Exit Ticket If p represents the power output of a flashlight over time, t, during what time intervals is the flashlight turned on? 0≤t≤1 2≤t≤3 4≤t≤5 All inequalities could have < signs as well.
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
• DOK-2 «Utilizamos una función por partes para modelizar a los estudiantes en el autobús. La función por partes podría representarse usando ecuaciones que dan intervalos para cada parte de la gráfica. ¿Por qué crees que se indican los intervalos y qué aspecto tendría la gráfica si no se indicara el intervalo?». Sin los intervalos, la gráfica tendría líneas que la atravesarían por completo, lo que representaría mal la situación. Tampoco sería una función, ya que una entrada podría tener varias salidas. Los intervalos son importantes porque cada línea horizontal sólo describe el número de estudiantes en el autobús durante un tiempo específico. • DOK-2 «¿Cuál es la forma general de las funciones que analizaste en las preguntas 3, 4 y 5?». La función parece escalones: una serie de líneas planas en diferentes valores de y. ◦ Explique lo siguiente a la clase: «La función que has creado se llama función escalonada. Se llama así porque se parece un poco a los escalones. Ten en cuenta, sin embargo, que una función escalonada no siempre aumenta constantemente como las que acabas de crear y analizar. Más bien, sólo tiene una serie de líneas planas que cambian ocasionalmente las coordenadas y para diferentes conjuntos de coordenadas x. Una función escalonada se escribe como y = [x].
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1/9/26 1:33 PM
ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 PARTE II: ANÁLISIS DE RUTAS DE AUTOBÚS ALTERNATIVAS
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Tu jefe te ha pedido que analices ideas alternativas para la ruta de autobús que analizaste en la parte I. ¿Cuál de sus ideas podría funcionar mejor? Se da el tiempo típico para recorrer la ruta y cada parada que hace el autobús añade 1 minuto al trayecto. Tu jefe te ha proporcionado gráficos y descripciones, pero los gráficos no están titulados. ¿Qué ruta recomendarías?». 2. Distribuya a cada grupo un conjunto de «Tarjetas de rutas alternativas del autobús» y «Gráficas de rutas alternativas del autobús». 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para determinar cuál de las rutas de autobús es la mejor basándose en sus análisis matemáticos. Utilizarán la información proporcionada por las tarjetas y los gráficos para responder a las preguntas. Registrarán su trabajo en sus «Diarios del estudiante». 4. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientativas para evaluar su comprensión: a. DOK-1 «¿Cuántos estudiantes hay en total en el autobús?». 15 b. DOK-2 «¿Qué te dice el número de líneas horizontales del gráfico?». Sin incluir la primera línea horizontal (donde s = 0), las líneas horizontales representan el número de paradas realizadas por el autobús. c. DOK-1 «¿En qué parada sube el autobús el mayor número de estudiantes?». En la opción B suben 7 en la segunda parada. En la opción C suben 10 estudiantes en la primera parada. d. DOK- 2 «¿Qué relación hay entre el número de estudiantes que suben al autobús y el valor de s?». s es la suma de los estudiantes que suben al autobús en cada parada. e. DOK-3 «¿Cómo puedes calcular el tiempo que tarda el autobús en completar su recorrido?». Suma el tiempo adicional que tarda en hacer cada una de las paradas al tiempo que tarda en recorrerla. f. DOK-3 «¿Cómo puedes determinar si una ruta es una buena ruta?». Las respuestas pueden variar. Estoy considerando el número de paradas que hace el autobús; el tiempo que tarda el autobús en completar su ruta; las repercusiones de cada una de ellas en los estudiantes, el conductor del autobús, los padres, etc. Mientras que una ruta presenta desafíos a padres y estudiantes, la otra presenta desafíos al conductor. Sin embargo, los desafíos para los padres y los estudiantes tienen un mayor impacto global, por lo que lo tuve más en cuenta a la hora de hacer una recomendación. 5. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen.
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-3 «¿En qué se diferencia el comportamiento general de una función escalonada de otras funciones que has aprendido hasta ahora?». Una función escalonada tiene líneas horizontales discretas que dividen la función en muchas partes. Hasta ahora, sólo hemos visto funciones continuas. • DOK-3 «¿Qué debe ser cierto acerca de los puntos finales de las funciones escalonadas que se te dieron o que tú mismo creaste para que se consideren funciones?». Los puntos finales de cada uno de los pasos no pueden tener la misma coordenada en x para diferentes y valores. • DOK-4 «¿Es posible que el dominio de una función escalonada sean todos los números reales? Explique». Sí, una función escalonada puede tener pasos tan amplios como quiera, desde infinito negativo hasta infinito positivo. • DOK-4 «¿Es posible que el rango de una función escalonada sean todos los números reales? Explique». No, para que los pasos se consideren pasos, tiene que haber una ruptura entre líneas horizontales. Esto significa que los pasos serán sólo números discretos y no pueden ser todos números reales. • DOK-2 «¿Se te ocurren otros ejemplos en los que se utilizaría una función escalonada?». Lugares como la oficina de correos cobran una cantidad para un rango de pesos y luego saltan los precios para un rango diferente de pesos. 7. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» junto con toda la clase. Una vez creado, haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva».
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Los estudiantes pueden tener problemas para graficar una función escalonada porque nunca han visto una antes, y pueden inclinarse a hacer que parezca lineal. Anímelos a usar tablas para calcular todas las salidas basadas en entradas variadas y a no actuar sobre suposiciones acerca de cómo puede verse la gráfica. 2. Los estudiantes pueden tener dificultades para entender el dominio y el rango de las funciones escalonadas porque el dominio puede ser continuo, pero el rango es discreto. Anímelos a mirar la gráfica de las funciones escalonadas para determinar tanto el dominio como el rango.
6. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Functions Derived from Linear Relationships Part 1
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Exploración». Revise las estrategias que aparecen a continuación para conocer maneras de apoyar el desarrollo del lenguaje de los estudiantes.
Step Functions Your basketball coach uses a stopwatch and makes players run ladders for every 2 minutes or fraction thereof that they are late to practice. Let L(t) be the number of ladders run for t seconds late in the graph below.
Los estudiantes usarán apoyos visuales, a sus compañeros y a los maestros para desarrollar el vocabulario, la estructura lingüística y los conocimientos previos necesarios para comprender un texto escrito. Principiante: Como actividad previa a la clase, muestre a los estudiantes imágenes con nombres de diferentes medios de transporte (por ejemplo, coche, tren, autobús, avión). A continuación, entregue a los estudiantes una hoja con la pregunta «¿Cómo vas al colegio?» en la parte superior. Debajo de la pregunta habrá un banco de palabras con diferentes medios de transporte. Después de la pregunta y del banco de palabras habrá dos columnas: una titulada «Nombre» y la otra «Transporte». Pida a los estudiantes que escriban los nombres de sus compañeros y el tipo de transporte que utilizan para ir al colegio. Resuma los resultados en clase. Intermedio: Como actividad previa a la clase, los estudiantes jugarán al juego «Encuentra a alguien que...» En este juego, los estudiantes recibirán una hoja de papel con una lista de afirmaciones y deberán encontrar a un compañero de clase al que se aplique cada afirmación. Ejemplos de enunciados podrían ser los siguientes: «Encuentra a alguien que tomó un taxi la semana pasada», «Encuentra a alguien a quien le da miedo viajar en avión», «Encuentra a alguien que ha montado en moto». Avanzado: Como actividad previa a la clase, los estudiantes jugarán al juego «Encuentra a alguien que...» En este juego, los estudiantes recibirán una hoja de papel con una lista de afirmaciones y deberán encontrar a un compañero al que se aplique la afirmación. Ejemplos de enunciados podrían ser los siguientes: «Encuentra a alguien que tomó un taxi la semana pasada», «Encuentra a alguien a quien le da miedo viajar en avión», «Encuentra a alguien que ha montado en moto».
1.
Complete the table. t (seconds)
60
120
240
360
420
480
L(t) (ladders run)
0
1
2
3
3
4
2.
How did you decide the output when t = 240? What does the output mean in the context of the basketball practice? The output when t = 240 is 2 because there is a closed circle at (240, 2) and an open circle at (240, 1). This means that if you are exactly four minutes late, you have to run two ladders.
3.
Is L a function of t? Explain your reasoning. Yes, L is a function of t. For every second late, there is exactly one ladder assigned. 1
Functions Derived from Linear Relationships Part 1
4.
Using your graph, how many ladders would the coach have you run if you were 601 seconds late? 5 ladders
5.
What is an appropriate domain for this function? x ≥ 0
6.
What is an appropriate range for this function? y could be all whole numbers.
7.
The coach posts a new graph for players to know how many ladders they will run. Identify the new domain and range. What scenario could cause this change? Domain: x ≥ −360 Range: y: {−3, −2, −1, 0, 1, 2 …} The coach allows players that are early to bank or gift less ladders for being late.
8.
The coach also has ladder drills as a part of practice. If L represents the number of ladders over time in minutes, t, during what time intervals are ladders run? 0≤t≤1 2≤t≤3 4≤t≤5
9.
On Wednesdays, the coach knows that several players have a required study hall that ends later and that players need a couple more minutes to make it to practice. He allows the players 3 extra minutes. For every minute late, the players need to run an extra ladder. Graph what the new function is for Wednesday practice.
2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS
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1/9/26 1:33 PM
ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 2: FUNCIONES LINEALES DEFINIDAS POR PARTES DESCRIPCIÓN Los estudiantes graficarán funciones lineales definidas por partes.
ESTÁNDARES DE PRÁCTICA MATEMÁTICA • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes representarán las matemáticas para describir una situación ya sea con una ecuación o un diagrama e interpretarán los resultados de una situación matemática.
• MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas: Los estudiantes utilizarán las herramientas disponibles y reconocerán las fortalezas y limitaciones de cada una. Los estudiantes utilizarán herramientas tecnológicas para profundizar en su comprensión de las matemáticas. Los estudiantes utilizarán modelos matemáticos para visualizar y analizar información. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes verán cálculos repetidos y buscarán generalizaciones y atajos. Los estudiantes comprenderán la aplicación más amplia de patrones y verán la estructura en situaciones similares.
PREPARACIÓN DEL VIDEO MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 conjunto de «Tarjetas de lectura semanales» (por grupo) • 1 boleto de salida (por estudiante) REUTILIZABLE
• 4 lápices de diferentes colores (por grupo) • 1 bolsa resellable (por grupo)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes. • Imprima los documentos «Diario del estudiante» y «Boleto de salida» para cada uno. • Imprima un documento «Tarjetas de lectura semanales» para cada grupo de estudiantes. Recorte las tarjetas y colóquelas dentro de una bolsa resellable con la etiqueta «Parte II». Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para utilizarlas en el futuro.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Jacob y Scarlett tienen que terminar de leer un libro de 100 páginas para su clase de inglés esta semana. Tienen un examen el viernes, así que tienen hasta el jueves por la noche para terminar el libro. Analice sus datos de lectura para determinar qué tan rápido deberán leer el jueves por la noche para terminar». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Distribuya lápices de colores a cada grupo. 4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para identificar los índices de lectura de ambos estudiantes por día y graficar esos índices para el período de tiempo en la página 2. Pídales que registren su trabajo en la página 2. Indíqueles que anoten su trabajo en sus «Diarios del estudiante». 5. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientadoras para evaluar su comprensión: a. DOK-1 «¿Cómo estás calculando la tasa unitaria en horas por día?». Estoy tomando el total de páginas y dividiéndolas por el tiempo total. b. DOK-2 «¿Cómo sabes en qué par ordenado comenzará la línea?». Las respuestas pueden variar. Sé que la línea para las horas 1 a 3 empezará en (1, 30) porque ahí es donde terminaba la otra línea. También sé que ha leído 30 páginas en total después de 1 hora, así que la coordenada para terminar la primera línea es (1, 30). c. DOK-1 «¿Cómo sabes el total de páginas leídas?». Sé el total de páginas sumando las páginas leídas cada día. Esto también se muestra en el gráfico por el valor y de la coordenada en la última sección del gráfico. 6. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte I y responder a las preguntas que siguen. 7. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta ahora.
• Reúna 4 lápices de colores diferentes para cada grupo.
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1/9/26 1:33 PM
ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 «Explica cómo graficaste la lectura por semana». Identifiqué los índices por día y luego grafiqué para esa cantidad de horas. Respuesta alternativa: Tracé los puntos desde las páginas iniciales hasta las páginas finales para la cantidad de tiempo, y luego conecté los puntos. • DOK-1 «¿En qué se diferencian estas gráficas de las gráficas que hemos visto antes?». Estas gráficas siguen tendencias lineales pero están divididas en diferentes partes. En lugar de ser una función para todo el período de tiempo, las funciones cambian en diferentes períodos de tiempo.
Functions Derived from Linear Relationships Explore 2
Time Is Ticking … Part I 1.
Jacob recorded the number of pages he read each day as well as the time he read. Identify his rate per hour, and complete the table. Day
Description
Unit Rate
Monday
Jacob read 30 pages in one hour.
30 pg./hr.
Tuesday
Jacob was distracted by TV, so he only read 16 pages in two hours.
8 pg./hr.
Wednesday
Jacob was unable to read any pages. (Graph this rate for one hour.)
0 pg./hr.
2.
Graph Jacob’s reading on the graph. Record each day in a different color.
3.
How many pages did he read in all? 46
4.
How many pages does he have left to read? 54
5.
If he has 3 hours blocked out on Thursday night to read the remaining pages, what would that rate be? Graph that rate on the graph. 18 pg./hr.
6.
Write an equation to represent Jacob’s rate from hours 0 to 1 and an equation for hours 3 to 4. f(x) = 30x g(x) = 0x + 46 = 46
Jacob’s Reading Graph
1
PARTE II 1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Jacob y Scarlett están intentando averiguar cómo planificar mejor sus horarios de lectura en el futuro. Decidieron escribir funciones para sus gráficos. También hicieron tarjetas de notas para empezar a analizar sus datos, pero a Jacob se le cayeron las suyas de camino a la biblioteca. Ayúdeles a escribir sus funciones y, a continuación, ayude a Jacob a poner las tarjetas en orden».
Functions Derived from Linear Relationships Explore 2
7.
Scarlett recorded the number of pages she read each day as well as the time she read. Identify her rate per hour, and complete the table. Day
2. Entregue un conjunto de «Tarjetas de lectura semanales» a cada grupo de estudiantes. 3. Aún deben tener sus «Diarios del estudiante». 4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para completar las piezas que faltan de las funciones por partes y organizar las tarjetas. 5. Señale a la clase que sólo faltan algunas piezas y que deben referirse a las gráficas y ecuaciones de la parte I. Los estudiantes trabajarán a continuación con sus grupos para completar las piezas que faltan de las funciones por partes y organizar las tarjetas.
Description
Unit rate
Monday
Scarlett read 25 pages in one hour.
25 pg./hr.
Tuesday
Scarlett was unable to read any pages. (Graph this rate for one hour.)
0 pg./hr.
Scarlett read 45 pages in two hours.
22.5 pg./hr.
Wednesday 8.
Graph Scarlett’s reading on the graph. Record each day in a different color.
9.
How many pages did she read in all? 70
10.
How many pages does she have left? 30
11.
If she has three hours blocked out on Thursday night to read the remaining pages, what would that rate be? Graph that rate on the graph. 10 pg./hr.
12.
Write an equation to represent Scarlett’s rate from hours 0 to 1 and an equation for hours 1 to 2. f(x) = 25x g(x) = 0x + 25 = 25
Scarlett’s Reading Graph
2
6. A continuación, los estudiantes trabajarán con sus grupos para relacionar las gráficas con las funciones en las «Tarjetas de lectura semanales» y registrarán su trabajo en sus «Diarios del estudiante». 7. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar su comprensión: a.
b.
DOK-1 «¿Cómo puedes determinar la ecuación de una parte de una función por partes si no cruza el eje y?». Puedo identificar 2 puntos en la recta y usarlos para encontrar la pendiente y escribir una ecuación. Luego, necesito identificar el intervalo para esa parte de la gráfica. DOK-1 «¿Te parece más fácil empezar con la gráfica y emparejarla con la función o empezar con la función y emparejarla con la gráfica? Explique por qué». Las respuestas pueden variar en función de las preferencias de los estudiantes. Escuche atentamente sus explicaciones para descubrir si realmente entienden lo que están haciendo.
8. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas de reflexión que siguen. 9. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
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Functions Derived from Linear Relationships Explore 2
Part II 1.
Using Jacob’s and Scarlett’s graphs, complete the missing parts of the piecewise functions. Scarlett
Jacob
2.
Jacob recorded his reading over the next month on note cards, but he accidentally dropped them. Use the Weekly Reading Cards to match the graphs with their functions, and complete the table. Week
Graph
Function Notation
1
A
g(x)
2
B
e(x)
3
C
h(x)
4
D
f(x) 3
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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1/9/26 1:33 PM
ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES Functions Derived from Linear Relationships Explore 2
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2
Reflect 1.
Your friend was absent today. Explain the process for graphing piecewise functions to them. Identify the interval that applies to the function. Plug in points from the interval into the function. Graph the points, and connect them to graph the function. Repeat for the other functions and their respective intervals.
2.
Explain how the < and ≤ symbols are graphed. A less than sign (<) has an open dot. A less than or equal to sign (≤) has a closed dot.
3.
How can we determine how many equations we will have to create for a piecewise function based on the graph? We create a new function for each distinct piece. These pieces are often disjointed and easy to see, but sometimes the graph is continuous at the point where it switches functions. In our examples, whenever there was a change in slope, we needed to create a new function.
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 «Al graficar funciones por partes, ¿cómo puedes usar los intervalos para ayudarte?». Introduzco los extremos de los intervalos en la función para identificar los puntos que puedo usar. Trazo esos puntos, y luego los conecto para graficar la función. • DOK-1 «Explica las diferencias en la gráfica para los signos < y ≤». < significa un punto abierto, mientras que ≤ significa un punto cerrado en la gráfica. 4
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
Functions Derived from Linear Relationships Explore 2
Linear Piecewise-Defined Functions Exit Ticket Which piecewise function represents the graph shown?
• DOK-2 «Las ecuaciones para piezas lineales que escribimos hoy estaban todas en forma pendiente-intersección. ¿Cómo podríamos haber usado la forma punto-pendiente en su lugar?». Para cada segmento de recta, encontramos la pendiente y luego tuvimos que usar la gráfica o calcular la intercepción y. Si encontramos la pendiente, m, y la pieza lineal comienza en (4, 30), entonces la ecuación sería y = m(x - 4) + 30, y no tendríamos que hacer ningún otro cálculo. 10. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» junto con toda la clase. Una vez creado, haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva».
APOYOS PEDAGÓGICOS
A.
B.
C.
D.
1. Los estudiantes pueden tener dificultades para escribir ecuaciones para cada pieza de Las ecuaciones por partes. Anímelos a considerar extender las rectas si esto les ayuda a escribir una ecuación general antes de enfocarse en el dominio. 2. Los estudiantes pueden necesitar repasar las desigualdades para describir con precisión el dominio de las funciones por partes.
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
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1/9/26 1:33 PM
ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Functions Derived from Linear Relationships Part 2
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Exploración». Revise las estrategias que aparecen a continuación para conocer maneras de apoyar el desarrollo del lenguaje de los estudiantes.
Linear Piecewise-Defined Functions 1.
Team A
Los estudiantes utilizarán técnicas de aprendizaje como la elaboración de mapas conceptuales, el dibujo, la comparación, el contraste, la memorización y el repaso para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado. Principiante: Como actividad posterior a la clase, guíe a los estudiantes en la creación de un cuadro de vocabulario para el término función definida por partes. Complete las siguientes secciones del cuadro de vocabulario como clase: Definición, Ejemplo (problema matemático) y Ausencia de ejemplo. Pida a los estudiantes que creen su propia imagen para el término. Intermedio: Como actividad posterior a la clase, pida a los estudiantes que creen un cuadro de vocabulario para el término función definida por partes. Los cuadros de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), Ausencia de ejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes la definición y el ejemplo, pero anímelos a reescribir la definición con sus propias palabras. Avanzado: Como actividad posterior a la lección, pida a los estudiantes que creen un cuado de vocabulario para el término función definida por partes. Los cuadros de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), Ausencia de ejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes la definición, pero anímelos a reescribirla con sus propias palabras.
The science club has 2 teams working to get the best race car for a tournament. The teams are working to get the cars to travel the longest amount of time on the least amount of battery. The teams have their completed workups in various stages. Finalize the information for both teams by completing the graph, equations, and experiment scenarios. Team B
Graph
Equations We lost half of the battery power in the first 10 minutes. Experiment Scenarios
The battery was turned off for the next 10 minutes. The battery was turned on at 40%, and we lost the rest of the battery power over the last 40 minutes.
When did each car reach 30%?
We lost 20 percent of the battery power in the first 40 minutes. The battery was turned off for a 20 min. adjustment. The battery was turned back on at 60%, and then we traveled for 20 minutes.
A(30) = 30%
B(70) = 30%
1
Functions Derived from Linear Relationships Part 2
The team is also working on creating a fast-charging battery. The equations for their project are below.
2.
When the team graphs their experiments, how will the points at x = 5 be drawn? Select two statements that correctly describe how the points should be graphed. A. B. C. D.
Open circle at (5, 2) Closed circle at (5, 2) Open circle at (5, 1) Closed circle at (5, 1)
3.
Graph the function of the fast-charging battery below.
4.
Evaluate f(7).
2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 2) CLAVE DE RESPUESTAS
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1/9/26 1:33 PM
ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 3: FUNCIONES DE VALOR ABSOLUTO DESCRIPCIÓN Los estudiantes crearán una tabla de valores y graficarán la función principal de valor absoluto f(x) = |x|. Los estudiantes relacionarán esto con las gráficas por partes que han explorado previamente.
ESTÁNDARES DE PRÁCTICA MATEMÁTICA • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes representarán las matemáticas para describir una situación ya sea con una ecuación o un diagrama e interpretarán los resultados de una situación matemática.
• MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas: Los estudiantes utilizarán las herramientas disponibles y reconocerán las fortalezas y limitaciones de cada una. Los estudiantes utilizarán herramientas tecnológicas para profundizar en su comprensión de las matemáticas. Los estudiantes utilizarán modelos matemáticos para visualizar y analizar información. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes verán cálculos repetidos y buscarán generalizaciones y atajos. Los estudiantes comprenderán la aplicación más amplia de patrones y verán la estructura en situaciones similares.
PREPARACIÓN DEL VIDEO MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 conjunto de «Tarjetas de ecuaciones de la aplicación» (por grupo) • 1 boleto de salida (por estudiante) REUTILIZABLE
• 1 sobre (por grupo)
PREPARACIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Molly y su hermano, Brandon, tienen diferentes técnicas de gestión del dinero. Molly tiene $10. Se da cuenta de que en la tienda de la esquina tienen su bebida favorita a $1. Empieza a comprar una bebida cada día. Cuando se queda sin dinero, decide hacer algunas tareas en casa para volver a ganar dinero. Cada día que hace tareas, gana $1, y así sigue hasta que vuelve a tener $10. Brandon, el hermano de Molly, corta el césped una vez al día por $5. Cuando tiene $50, empieza a ir a ver una película cada día y se gasta $5 cada día. Analiza su información para hacerles una recomendación sobre cómo mejorar su administración del dinero». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para analizar los escenarios y representar la información de múltiples maneras. Indíqueles que registren su trabajo en sus «Diarios del estudiante». 4. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice la siguiente pregunta guía para evaluar su comprensión: a. DOK-1 «¿Cómo estás calculando Las ecuaciones para los diferentes dominios?». Para la primera parte, ella comienza con $10 y luego pierde $1 por día, así que puse -x + 10. Para la segunda parte, primero la grafiqué, y luego noté que la gráfica sigue la ecuación x 10 porque ella ya había perdido $10. 5. Conceda a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte I y responder las preguntas que siguen. 6. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta el momento.
• Separe la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes. • Imprima los documentos «Diario del estudiante» y «Boleto de salida» para cada estudiante. • Imprima el documento «Tarjetas de ecuaciones de la aplicación» para cada grupo de estudiantes. Recorte las tarjetas y colóquelas dentro de un sobre etiquetado como «Parte II». Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para utilizarlas en el futuro.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Functions Derived from Linear Relationships Explore 3
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 «¿En qué se diferencian las gráficas de Molly y Brandon de las gráficas que hemos visto hasta ahora?». Las gráficas tienen forma de V. Siguen la misma pendiente hacia arriba y hacia abajo.
Absolutely out of Money! Part I 1.
Create a graph to represent Molly’s situation.
2.
Fill in the equations for the specified intervals, and complete the table.
• DOK-1 «¿Qué operación/herramienta matemática hemos visto que nunca produce una salida negativa?. Pista: Hallamos distancias desde un punto central o valor ancla». El valor absoluto de cualquier expresión siempre dará una respuesta no negativa. • DOK-2 «¿Qué día(s) de la gráfica correspondería(n) con la ecuación de valor absoluto 6 = |x - 10|?». El día 4 y el día 16 son entradas que están a 6 del centro en 10, y ambos tienen una salida de $6. ◦ Es importante ayudar a los estudiantes a ver que el valor absoluto proporcionó soluciones en ambos lados de la gráfica. El objetivo es conectar cómo una ecuación de valor absoluto produjo dos ecuaciones lineales regulares para que resolvamos, y de manera similar, las dos funciones por partes que creamos pueden provenir de una sola función de valor absoluto.
x
f(x)
0
10
4
6
8
2
10
0
12
2
16
6
20
10
3.
Explain the trend of this graph in terms of the situation. For the first half of the time, she is losing money. Once she gets to $0, she starts earning money again.
4.
What do you notice about all of the y values of this graph? What does that mean for this specific situation? They are all positive, which means she lost and gained money but never owed anyone money. They also decrease and then increase at a constant rate, so she spends consistently and then saves consistently as well.
1
◦ Se aconseja que en este momento muestre a los estudiantes la función principal y = |x| en el pizarrón a través de una calculadora gráfica o Desmos para ayudar a los estudiantes a ver en qué se están basando para la parte II. PARTE II
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Los padres de Molly y Brandon los animan a entender y gestionar su dinero. Todos están de acuerdo en que una aplicación sería la mejor manera de hacerlo. La aplicación que han comprado requiere que los datos se introduzcan en forma de ecuación de valor absoluto. Necesita el vértice de la función, la pendiente de la recta y la dirección de la apertura. Ayuda a Molly y Brandon a analizar los gráficos de la parte I y a introducir los datos en la aplicación».
Functions Derived from Linear Relationships Explore 3
5.
Create a graph to represent Brandon’s situation.
6.
Fill in the equations for the specified intervals, and complete the table.
x
2. Entregue un conjunto de «Tarjetas de ecuaciones de la aplicación» a cada grupo de estudiantes. Explica a los estudiantes que abrirán los sobres cuando hayan terminado la parte II para comprobar sus respuestas y que los sobres no deben abrirse hasta que hayan escrito ambas ecuaciones. 3. Los estudiantes deben tener aún sus «Diarios del estudiante».
f(x)
0
0
4
20
8
40
10
50
12
40
16
20
20
0
7.
4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para ayudar a Brandon y Molly a utilizar la app.
How is Brandon’s graph different than Molly’s? Brandon’s graph opens down, whereas Molly’s graph opens up. Brandon’s graphed lines are steeper than Molly’s.
8.
5. Señale a la clase que sólo faltan algunas piezas y que necesitan referirse a los gráficos de la parte I.
Explain the similarities and differences between Brandon’s slopes of the piecewise function. Both of the graphs have a slope of 5, but one is positive and one is negative.
9.
What would you recommend Molly and Brandon do to help improve their money management? Are your recommendations for both people the same or different? Answers will vary. I would suggest that both of them do activities that will earn them income before they reach $0.
6. Luego, los estudiantes trabajarán con sus grupos para escribir la función para los gráficos de valor absoluto en la parte I para Molly y Brandon y registrar su trabajo en sus «Diarios del estudiante».
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2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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1/9/26 1:33 PM
ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Functions Derived from Linear Relationships Explore 3
7. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientativas para evaluar su comprensión:
Part II 1.
Complete the information on the app for Molly.
2.
Use the information to create your own absolute value equation. Use the equation f(x) = a|x – h| + k, where a is the slope and direction of opening, h is the x value of the vertex, and k is the y value of the vertex.
a. DOK-1 «¿Has encontrado botones en la calculadora para representar gráficamente la función valor absoluto?. En caso afirmativo, explique». Sí, en Desmos, puedo escribir «abs» o utilizar los símbolos | | encima de la tecla de retorno. En una calculadora TI, cuando estés listo para ingresar las barras de valor absoluto, haz clic en el botón de matemáticas, usa la flecha derecha una vez y luego elige la opción que dice «abs(». Esto te dará las barras de valor absoluto que necesitas para escribir la función.
a=1 h = 10 k=0 Equation: y = 1|x – 10| + 0 3.
Verify your absolute value equation using technology to graph.
4.
Compare your equation to the one the app created. Are both correct? Explain. Answers will vary based on students’ original equations.
b. DOK-1 «¿Cómo sabes dónde está el vértice en el gráfico?». Es el punto donde los valores de y cambian sus patrones, donde la gráfica cambia de creciente a decreciente o de decreciente a creciente. Para este gráfico, también se puede denominar el punto en la V. 8. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen. 3
9. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
Functions Derived from Linear Relationships Explore 3
5.
Complete the information on the app for Brandon.
6.
Use the information to create your own absolute value equation. Use the equation f(x) = a|x – h| + k, where a is the slope and direction of opening, h is the x value of the vertex, and k is the y value of the vertex.
Functions Derived from Linear Relationships Explore 3
Reflect 1.
What would the absolute value equation look like if the vertex was at (−2, 0), the graph opened up, and the slope of the increasing portion was 1 ? Graph 2 this on the grid. f(x) = 1 |x + 2| 2
a = −5 h = 10 k = 50 Equation: y = −5|x – 10 | + 50 7.
8.
Verify your absolute value equation using technology to graph.
2.
Explain how an equation for a piecewise function and an equation for an absolute value function are related and can represent the same graph. Answers may vary. They are two ways of writing the same thing. At least one equation from the piecewise function is very similar to what is seen when written as an absolute value function. I noticed for Brandon’s equations that we would need to factor out a 5 to start to see the resemblance, but the equations represent the same thing, so it makes sense that they have similarities.
3.
When turning the absolute value function f(x) = a|x – h| + k into a piecewise function, what would the slopes of the two linear pieces be? The slopes would be a and −a.
Compare your equation to the one the app created. Are both correct? Explain. Answers will vary based on students’ original equations.
4
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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5
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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1/9/26 1:33 PM
ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Functions Derived from Linear Relationships Explore 3
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 «Describe la función principal de una gráfica de valor absoluto». El vértice está en el origen. La pendiente es 1, y se abre. • DOK-1 «Explica cómo graficar una función de valor absoluto en la calculadora». En y =, haz clic en Matemáticas, flecha derecha, escoge la opción «abs(», y luego escribe la función entre las barras de valor absoluto.
Absolute Value Functions Exit Ticket Fill in the blanks to write a piecewise-defined equation and an absolute value equation to represent the function graphed below.
• DOK-1 «¿En qué se diferencia escribir una función de valor absoluto de escribir una función por partes?». Al escribir una función de valor absoluto, usamos el vértice. Cuando la escribimos usando notación por partes, usamos la ecuación de cada línea. • DOK-2 «¿Cuándo se pueden escribir dos funciones por partes como una función de valor absoluto?». Cuando dos rayos crean una forma de V continua; uno de los rayos tendrá la pendiente opuesta y será un reflejo del otro.
Absolute Value Equation f(x) = |
x–2
Piecewise-Defined Equation
|
10. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» junto con toda la clase. Una vez creado, haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva».
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Los estudiantes pueden tener dificultad para conectar la idea de una ecuación por partes con una ecuación de valor absoluto. Anímelos a mirar una gráfica de una función de valor absoluto y pregúnteles cómo podrían ver dos funciones separadas en la gráfica. 2. Los estudiantes pueden tener dificultad para convertir algebraicamente entre una ecuación por partes y una ecuación de valor absoluto. Anímelos a representar gráficamente dos rectas completas y pregúnteles qué partes de cada una necesitan para que coincida con la función de valor absoluto.
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SS NA-Math TE A1-V1.indb 474
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1/9/26 1:33 PM
ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Functions Derived from Linear Relationships Part 3
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE
Absolute Value Functions Consider the function graphed below. 1.
Write an absolute value equation and a piecewise-defined equation to represent the function graphed below.
La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Exploración». Revise las estrategias que aparecen a continuación para conocer maneras de apoyar el desarrollo del lenguaje de los estudiantes. Los estudiantes utilizarán los conocimientos previos como vínculo para comprender la lengua inglesa.
Absolute value equation f(x) = | 2.
3.
x+6
Principiante: Como actividad previa a la lección, muestre a los estudiantes imágenes representativas de diferentes artículos que podrían incluirse en un presupuesto (por ejemplo, alquiler, coches, comestibles, gasolina) o excluirse de un presupuesto (por ejemplo, un caballo, una suscripción a un canal de películas). Para cada artículo, converse sobre por qué sería importante incluirlo o excluirlo del presupuesto.
Piecewise-defined equation
|
Create a table of values for the function. x
f(x)
−6
0
−4
2
−2
4
0
6
Describe a possible scenario that would result in this function. Answers will vary. Six days before a trip, you spend all of the money you have saved. Then, you put extra money in the bank and have the money restored on the day of your trip. 1
Functions Derived from Linear Relationships Part 3
Avanzado: Como actividad previa a la lección, proporcione a los grupos de estudiantes una hoja de presupuesto junto con una lista de posibles partidas presupuestarias y sus rangos de precios (por ejemplo, el alquiler podría ser de 1,200-1,500 dólares). Diga a los estudiantes que tienen unos ingresos de $2,500 al mes. Pida a los estudiantes que decidan en grupo cuánto dinero quieren destinar a partidas presupuestarias concretas.
You have a route you run during soccer practice as a warm-up. The function is graphed below.
4.
Intermedio: Como actividad previa a la lección, entregue a los estudiantes dos tarjetas: una con la palabra NECESARIO y otra con la palabra INNECESARIO. Muestre a los estudiantes imágenes representativas de diferentes artículos que podrían incluirse o excluirse de un presupuesto (por ejemplo, alquiler, coches, comestibles, gasolina, un caballo, una suscripción a un canal de películas). Para cada elemento, pida a los estudiantes que levanten una u otra tarjeta. Pida a algunos estudiantes que defiendan su postura.
Use the information to create your own absolute value equation. Use the equation f(x) = a|x – h| + k, where a is the slope and direction of the opening, h is the x value of the vertex, and k is the y value of the vertex. a=
1 2
h=2 k=1
Equation: 5.
Rewrite the equation as a piecewise-defined equation.
6.
What is the axis of symmetry? x=2
7.
What is the vertex of the function? What does it indicate? The vertex is (2, 1). It indicates that, at 2 tenths of an hour, 1 mile has been run.
8.
How long does the team run for their warm-up? Two miles
t
2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 3) CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Functions Derived from Linear Relationships Explore 4
LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 4: TRASLACIÓN DE FUNCIONES DE VALOR ABSOLUTO
Time to Escape! Part I 1.
The function y = |x| is shown. Use technology to graph the functions below, and then circle the function that would smash through the lock.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes graficarán traslaciones de funciones de valor absoluto e identificarán las características clave.
a(x) = |x – 3| b(x) = |x + 3|
ESTÁNDARES DE PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes serán capaces de simplificar un problema complejo e identificar cantidades importantes para buscar relaciones. Los estudiantes aplicarán las matemáticas que conocen para resolver problemas de la vida cotidiana.
c(x) = |x| – 3
2.
• MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas apropiadas: Los estudiantes utilizarán las herramientas disponibles y reconocerán las fortalezas y limitaciones de cada una. Los estudiantes utilizarán herramientas tecnológicas para profundizar en su comprensión de las matemáticas. Los estudiantes utilizarán modelos matemáticos para visualizar y analizar información.
The function y = |x| is shown. Use technology to graph the functions below, and then circle the function that would smash through the lock.
d(x) = |x| + 4 e(x) = |x + 4| f(x) = |x – 4|
1
• MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes verán cálculos repetidos y buscarán generalizaciones y atajos. Los estudiantes comprenderán la aplicación más amplia de patrones y verán la estructura en situaciones similares.
PREPARACIÓN DEL VIDEO
Functions Derived from Linear Relationships Explore 4
3.
The function y = |x| is shown. Use technology to graph the functions below, and then circle the function that would smash through the lock.
MATERIALES g(x) = |x| – 2
IMPRESO
h(x) = |x – 2|
• 1 diario del estudiante (por alumno)
j(x) = |x| + 2
• 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes) REUTILIZABLE
• 1 calculadora gráfica (por estudiante)
4.
The function y = |x| is shown. Use technology to graph the functions below, and then circle the function that would smash through the lock.
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes.
k(x) = |x| – 4
• Imprima un documento «Diario del estudiante» para cada alumno.
m(x) = |x| + 4 n(x) = |x – 4|
• Imprima un documento «Boleto de salida» cada 2 estudiantes. Recorte los «Boletos de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno. • Reúna una calculadora gráfica para cada estudiante.
5.
For an absolute value function, f(x) = |x – h| + k, explain what positive and negative h and k values do to the graph. Positive h moves it right; negative h moves it left. Positive k moves it up; negative k moves it down.
2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Functions Derived from Linear Relationships Explore 4
Part II 1.
The function y = |x| is shown. Graph the function that would appear to reflect off the mirror and break through both locks. Identify the key features to help you plan your equation, and then write the equation. Transformations: Shifts right 2, shifts up 1
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Vertex: (2, 1) x-intercepts: None
PARTE I
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Estás encerrado en una habitación e intentas escapar. Hay 4 cerraduras en la habitación que necesitas utilizar el láser para abrir. Debes ajustar las funciones mostradas para utilizar el láser de manera que la trayectoria parezca golpear el espejo y luego atravesar la cerradura».
y-intercept: (0, 3) Axis of symmetry: x = 2 Equation: g(x) = |x – 2| + 1 2.
The function y = |x| is shown. Graph the function that would appear to reflect off the mirror and break through both locks. Identify the key features to help you plan your equation, and then write the equation. Transformations: Shifts left 2, shifts down 4
2. Distribuya un «Diario del estudiante» y una calculadora gráfica a cada estudiante.
Vertex: (−2, −4)
3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para graficar las funciones utilizando la tecnología e identificar qué función atravesará la cerradura mostrada. Indíqueles que anoten sus respuestas en sus «Diarios del estudiante».
x-intercepts: (−6, 0) and (2, 0) y-intercept: (0, −2) Axis of symmetry: x = −2 Equation: g(x) = |x + 2| – 4 3
Functions Derived from Linear Relationships Explore 4
Reflect 1.
Use the function g(x) = |x – h| + k. Where would the vertex be? The vertex will shift to (h, k).
2.
Use the function k(x) = |x + 3| – 4. Describe the transformations from the parent function f(x) = |x|, and identify the vertex, axis of symmetry, and intercepts.
Vertex: (−3, −4)
5. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte I y responder a las preguntas que siguen.
Axis of symmetry: x = −3 x-intercepts: (−7, 0) and (1, 0)
6. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje hasta el momento.
y-intercept: (0, −1) Write a function for an absolute value graph that shifts to the right and down. Answers will vary. y = |x – 5| – 3
4.
Write a function for an absolute value graph that shifts to the left and up. Answers will vary. y = |x + 5| + 3
5.
The graphs of f(x) = |x| + 3 and g(x) = |x + 3| both pass through the point (0, 3) and have lots of other points in common. What about the graphs is different? Where are the points that they do not have in common? The function f is shifted up from the parent function, and the function g is shifted to the left. The two graphs overlap in the first quadrant but share no points in the second quadrant. Students may draw a sketch to explain.
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 «Para la función de valor absoluto y = |x - h| + k, explique lo que los valores positivos y negativos h y k hacen a la gráfica». Positivo h la mueve a la derecha; negativo h la mueve a la izquierda. • Positivo k la mueve hacia arriba; negativo k la mueve hacia abajo. 4
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a. DOK-1 «¿Cómo se relacionan las ubicaciones del espejo/vértice y los números utilizados en Las ecuaciones que atraviesan la cerradura?». El par ordenado para la ubicación del espejo/ vértice es el mismo número que se usa en la ecuación. b. DOK-2 «¿Hay otras ecuaciones de valor absoluto que también romperían la cerradura?». Las respuestas pueden variar. En la pregunta 1, f(x) = |x| + 3 también funcionaría, o podríamos diseñar una función que se abra hacia abajo.
Transformation: Shift to the left 3 and down 4
3.
4. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar su comprensión:
• DOK-2 «¿Cómo puedes comprobar que tu ecuación desplazada romperá el candado?». Sustituyo el punto sobre el que se encuentra la cerradura en la función de valor absoluto y compruebo si se cumple la ecuación.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Functions Derived from Linear Relationships Explore 4
PARTE II
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Felicitaciones: ¡han roto todas las cerraduras de la sala uno y pueden pasar a la sala siguiente! Para esta habitación, tienen que romper dos cerraduras al mismo tiempo, pero el espejo es más pequeño». 2. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para graficar las funciones, identificar las características clave y usarlas para escribir las nuevas funciones. Indíqueles que anoten sus respuestas en sus «Diarios del estudiante».
Translate Absolute Value Functions Exit Ticket Identify the vertex and transformations for the function g(x) = |x + 2| – 3. Vertex: (−2, −3) Transformations: Shift left 2 and down 3
3. A medida que los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice la siguiente pregunta guía para evaluar su comprensión: a. DOK-1 «¿Importa el orden en el que realizas los desplazamientos?». No, puedes realizar los desplazamientos horizontales y los desplazamientos verticales en cualquier orden. 4. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen.
Functions Derived from Linear Relationships Explore 4
Translate Absolute Value Functions Exit Ticket Identify the vertex and transformations for the function g(x) = |x + 2| – 3. Vertex: (−2, −3) Transformations: Shift left 2 and down 3
5. Después de la «Exploración», invite a la clase a un charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 «Usa la función g(x) = |x - h| + k. ¿Dónde estaría el vértice?». El vértice estaría en (h, k).
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
6. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» junto con toda la clase. Una vez creado, haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva».
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Functions Derived from Linear Relationships Part 4
APOYOS PEDAGÓGICOS Translate Absolute Value Functions 1.
You and your friends are working in an escape room. You are stuck on a puzzle that requires you to reflect light and hit certain places to reveal a clue. Your starting point and ending point must be where the vertex hits. Points X, Y, and Z need the right half of the light to hit them for the clues. Determine which equations will set the laser at the correct points.
N(x) = |x + 6|
H(x) = |x – 2|
R(x) = |x| – 2
E(x) = |x – 1|
A(x) = |x + 1|
I(x) = |x – 7|
B(x) = |x| + 2
T(x) = |x + 2|
C(x) = |x + 7|
P(x) = |x – 6|
1. Si los estudiantes tienen dificultades para identificar transformaciones basadas en la ecuación, pídales que prueben los puntos para ver si hacen que la ecuación sea verdadera. 2. Cuando los estudiantes examinan gráficas, pueden tener dificultades para crear ecuaciones que coincidan. Anímelos a sustituir los puntos de la gráfica en la ecuación que proponen para ver si coinciden.
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE El siguiente estándar de competencia en lengua inglesa se apoya en esta actividad de «Exploración». Revise las estrategias que aparecen a continuación para conocer maneras de apoyar el desarrollo del lenguaje de los estudiantes.
Record the functions that will lead you through the puzzle, and use the function names to discover the item that holds the next clue. Start
Point X
Vertex B(x) = |x| + 2
Point Y
Point Z
End
Right Half of Beam E(x) = |x – 1|
N(x) = |x + 6|
C(x) = |x + 7|
Se proporcionarán a los estudiantes apoyos previos a la lectura (organizadores gráficos, diagramas de formas y vocabulario preenseñado) para ayudarlos en la comprensión lectora.
Vertex H(x) = |x – 2|
Circle the item that holds the next clue in the room: chair, ranch dressing, beach picture, teacher guide, bench 1
Functions Derived from Linear Relationships Part 4
2.
Under your clue, you find the next clue. You need to determine the combination for a lock. You have determined that three coordinates will give you the three two-digit numbers you need. What are the coordinates for the vertex of each equation? a. b. c.
3.
y-intercept: (0, 1) y-intercept: (0, 5) y-intercept: (0, 14)
g(x) = |x + 5| – 4 g(x) = |x − 2| + 3 g(x) = |x + 6| + 8
x-intercepts: (−9,0) and (−1,0) x-intercepts: None x-intercepts: None
You heard the lock click for the first two numbers, but it did not open for the last. In one last-ditch effort, your friend suggests trying the axis of symmetry for the last two equations. What is the axis of symmetry for each equation? a. b.
6.
g(x) = |x + 5| – 4 g(x) = |x − 2| + 3 g(x) = |x + 6| + 8
That combination does not work either. You are almost out of time. You believe it is supposed to be the x-intercepts. What are the x-intercepts for each equation? a. b. c.
5.
Vertex: (−5, −4) Vertex: (2, 3) Vertex: (−6, 8)
That combination does not work. Your friend believes that maybe it was supposed to be the y-intercept. What is the y-intercept of each equation? a. b. c.
4.
g(x) = |x + 5| – 4 g(x) = |x – 2| + 3 g(x) = |x + 6| + 8
g(x) = |x – 2| + 3 g(x) = |x + 6| + 8
Axis of symmetry: x = 2 Axis of symmetry: x = −6
The lock clicks and reveals one final puzzle. There are tiles you have to walk on, but only certain ones are “safe.” To escape, you need to know how to shift from the parent function f(x) = |x| to g(x) = |x + 1| + 5. What is the transformation to follow? Left one, up five
Principiante: Como apoyo previo a la lección, proporcione a los estudiantes una hoja de vocabulario que incluya los términos, definiciones e imágenes de transformación, reflexión, traslación, vertical y horizontal. Pida a los estudiantes que repasen la hoja y formulen preguntas antes de la lección. Intermedio: Como apoyo previo a la lección, proporcione a los estudiantes una hoja de vocabulario que incluya definiciones incompletas de los términos transformación, reflexión, traslación, vertical y horizontal. Incluya un banco de palabras con los términos y las palabras que faltan en sus definiciones. La hoja debe incluir también las imágenes correspondientes a las definiciones. Pida a los estudiantes que trabajen con un compañero para utilizar pistas contextuales y conocimientos previos de alcances anteriores para completar la hoja. Avanzado: Como apoyo previo a la lección, proporcione a los estudiantes una hoja de vocabulario que incluya definiciones incompletas de los términos transformación, reflexión, traslación, vertical y horizontal. Incluya un banco de palabras con los términos y las palabras que faltan en sus definiciones. La hoja debe incluir también las imágenes correspondientes a las definiciones. Pida a los estudiantes que trabajen con un compañero para utilizar pistas contextuales y conocimientos previos de alcances anteriores para completar la hoja.
2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 4) CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 5 Functions Derived from Linear Relationships Explore 5
LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 5: TRANSFORMAR FUNCIONES DE VALOR ABSOLUTO
Part I 1.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes graficarán transformaciones de funciones de valor absoluto, identificarán las características clave, describirán las transformaciones y escribirán las ecuaciones.
The function y = |x| is shown. Use technology to graph the functions below, and then circle the function that would correctly place the laser on the north wall and smash through the locks.
a(x) = 3|x|
ESTÁNDARES DE PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes serán capaces de simplificar un problema complejo e identificar cantidades importantes para buscar relaciones. Los estudiantes aplicarán las matemáticas que conocen para resolver problemas de la vida cotidiana.
Time to Escape! Advanced
b(x) = 0.2|x| c(x) = 2|x|
2.
• MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas apropiadas: Los estudiantes utilizarán las herramientas disponibles y reconocerán las fortalezas y limitaciones de cada una. Los estudiantes utilizarán herramientas tecnológicas para profundizar en su comprensión de las matemáticas. Los estudiantes utilizarán modelos matemáticos para visualizar y analizar información.
The function y = |x| is shown. Use technology to graph the functions below, and then circle the function that would smash through the locks.
a(x) = 3|x| b(x) = 0.2|x| c(x) = −|x|
• MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes verán cálculos repetidos y buscarán generalizaciones y atajos. Los estudiantes comprenderán la aplicación más amplia de patrones y verán la estructura en situaciones similares.
1
PREPARACIÓN DEL VIDEO
Functions Derived from Linear Relationships Explore 5
MATERIALES IMPRESO
3.
• 1 diario del estudiante (por alumno)
The function y = |x| is shown. Use technology to graph the functions below, and then circle the function that would smash through the locks.
• 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes) REUTILIZABLE
a(x) = 4|x|
• 1 calculadora gráfica (por estudiante)
b(x) = 0.5|x| c(x) = −|x|
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes. • Imprima un documento «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima un documento «Boleto de salida» cada 2 estudiantes. Recorte los «Boletos de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno. • Reúna una calculadora gráfica para cada estudiante.
4.
Describe what a value in front of the absolute value function does to the graph. Explain positive values greater than 1 and less than 1 as well as negative values. The value in front corresponds with the slope of one piece of the function. A positive greater than 1 will stretch the graph vertically. A positive less than 1 will compress the graph vertically. A negative value will reflect the graph over the x-axis.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I 1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Están encerrados en una habitación e intentan escapar. Hay 6 cerraduras en la habitación que necesitas utilizar el láser para abrir, y puedes abrir dos de ellas al mismo tiempo. Debes ajustar las funciones mostradas para utilizar el láser de manera que la trayectoria parezca romper una cerradura, golpear el espejo y luego atravesar la otra cerradura». 2. Distribuya un «Diario del estudiante» y una calculadora gráfica a cada estudiante.
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2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 5 Functions Derived from Linear Relationships Explore 5
3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para representar gráficamente las funciones e identificar qué función atravesará los candados mostrados. Indíqueles que anoten sus respuestas en sus «Diarios del estudiante».
Part II 1.
The function y = |x| is shown. Graph the function that would appear to reflect off the mirror and break through both locks. Identify the key features below to help you plan your equation, and then write the equation. Transformations: Shifts up 4, reflects over the x-axis, stretches 2
4. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientativas para evaluar su comprensión:
Vertex: (0, 4) x-intercepts: (−2, 0) and (2, 0) y-intercept: (0, 4)
a. DOK-1 «¿Cómo se comparan estas gráficas con la función principal?». Los gráficos son más anchos o más estrechos. Tienen estiramientos o compresiones verticales.
Axis of symmetry: x = 0 Equation: g(x) = −2|x| + 4
2.
The function y = |x| is shown. Graph the function that would appear to reflect off the mirror and break through both locks. Identify the key features below to help you plan your equation, and then write the equation.
b. DOK-2 «¿Cómo podrías comprobar si tu función transformada romperá los candados?». Podría sustituir los puntos en los que se encuentran los candados y ver si hacen que la ecuación sea verdadera.
Transformations: Shifts right 2, shifts down 3, compresses 0.5 Vertex: (2, −3) x-intercepts: (−4, 0) and
5. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte I y responder a las preguntas que siguen.
(8, 0) y-intercept: (0, −2) Axis of symmetry: x = 2 Equation: g(x) = 0.5|x – 2| – 3 3
6. Después de completar la parte I, invite a la clase a una Charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta ahora.
Functions Derived from Linear Relationships Explore 5
Functions Derived from Linear Relationships Explore 5
3.
The function f(x) = |x – 2| + 3 is shown. Graph the function that would appear to reflect off the mirror and break through both locks. Identify the transformations needed to shift f(x) to g(x), write g(x) as a transformed function of f(x), and write the explicit function g(x).
Reflect 1.
Use the function g(x) = a|x – h| + k. Describe the changes to the vertex of f(x) = |x| for g(x). The vertex will shift to (h, k).
Transformations from f(x) to g(x): Reflect x-axis Shift left 5 Shift up 1
2.
Use the function k(x) = 2|x – 4| + 6. Describe the transformations from the parent function f(x) = |x|, and identify the vertex, axis of symmetry, and intercepts. Transformation: Shift to the right 4 and up 6, vertical stretch of 2
Write g(x) as a transformation of f(x).
Vertex: (4, 6)
−f(x + 5 ) + 1 g(x) = _________________
Axis of symmetry: x = 4
Write the actual function for g(x).
x-intercepts: None
−|x + 3| + 4 g(x) = _________________ 4.
The function f(x) = 2|x| – 5 is shown. Graph the function that would appear to reflect off the mirror and break through both locks. Identify the transformations needed to shift f(x) to g(x), write g(x) as a transformed function of f(x), and write the explicit function g(x). Transformations from f(x) to g(x): Vertical Stretch (3/2) Shift right 3 Shift up 3 Write g(x) as a transformation of f(x). 1.5f(x – 3 ) + 3 g(x) = _________________
y-intercept: (0, 14) 3.
Write a function for an absolute value graph that shifts to the left and down with a vertical stretch. Answers will vary. y = 3|x + 5| – 3
4.
Write a function for an absolute value graph that shifts to the right and up with a reflection over the x-axis and a vertical compression. Answers will vary. y = −0.5|x – 4| + 3
5.
Translate the function f(x) = 2|x – 4| + 3 to the left 5 units and down 2 units. Write the new function g(x) to represent these translations. g(x) = 2|x + 1| + 1
Write the actual function for g(x). 3|x – 3| – 2 g(x) = __________________ 4
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 5 Functions Derived from Linear Relationships Explore 5
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 «Para la función de valor absoluto y = a|x - h| + k, explique lo que los valores positivos y negativos a hacen a la gráfica». Un valor positivo a mayor que 1 realiza un estiramiento vertical. Un valor positivo a menor que 1 pero mayor que 0 realiza una compresión vertical. Un valor negativo a realiza una reflexión sobre el eje x.
Transform Absolute Value Functions Exit Ticket Which statement is not true about the function f(x) = −2|x – 3| + 5? A. B. C. D.
• DOK-2 «¿Cómo se conecta la pendiente con el valor de a en la ecuación del valor absoluto?». La pendiente de una de las partes lineales de la gráfica del valor absoluto será a, y la otra parte tendrá una pendiente de -a.
The function opens downward. The vertex of the function is located at (3, 5). The function has a vertical stretch of 2. The function shifts left 3 and up 5 from the parent function.
Functions Derived from Linear Relationships Explore 5
PARTE II
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Felicitaciones: ¡han roto todas las cerraduras de la sala uno y pueden pasar a la sala siguiente! En esta sala, tienen que romper dos cerraduras al mismo tiempo, pero las cerraduras se han movido a diferentes lugares de la sala». 2. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para representar gráficamente las funciones, identificar las características clave y utilizarlas para escribir la nueva función. Indíqueles que anoten sus respuestas en sus «Diarios del estudiante». 3. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice la siguiente pregunta guía para evaluar su comprensión:
Transform Absolute Value Functions Exit Ticket Which statement is not true about the function f(x) = −2|x – 3| + 5? A. B. C. D.
The function opens downward. The vertex of the function is located at (3, 5). The function has a vertical stretch of 2. The function shifts left 3 and up 5 from the parent function.
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
a. DOK-1 «¿Importa el orden en el que realizas los cambios?». Sí, sería necesario completar una reflexión antes de realizar cualquier cambio vertical. 4. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen. 5. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Cuál es la diferencia entre escribir la función g(x) versus escribir g(x) como una función de f(x)?». La función g(x) es un desplazamiento de la función principal. Escribir g(x) como una función de f(x) significa que sólo listarías los cambios que ocurren de la función f a la función g. • DOK-1 «¿Cómo pueden las características clave ayudarte a escribir la ecuación?». El vértice puede usarse para ayudar a escribir la función en forma de vértice. Los valores x e y de las coordenadas serán los h y k en la ecuación. Encontrar la pendiente puede ayudar a identificar a. 6. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídeles que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 5 Functions Derived from Linear Relationships Part 5
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
Transform Absolute Value Functions 1.
You and your friends are in an escape room. Your current puzzle requires you to adjust a lantern so its beam hits a poster. Work through the key features of the graph to determine the equation needed to make the lantern light up. Transformations: Shifts up 1, reflects over the x-axis, vertically stretches by 2
APOYOS PEDAGÓGICOS
Vertex: (0, 1)
1. Los estudiantes pueden pensar que valores mayores para a en y = a - abs(x - h) + k darían un mayor estiramiento horizontal. Recuérdeles que a coincide con la pendiente absoluta de las pendientes de cada parte de la función.
x-intercepts: (−0.5, 0) and (0.5, 0) y-intercept: (0, 1) Axis of symmetry: x = 0 Equation: g(x) = −2|x| + 1
2.
2. Si los estudiantes tienen problemas para realizar varias transformaciones a la vez, anímalos a dibujar las gráficas de las transformaciones individuales de una en una para que no se sientan abrumados y vean todos los pasos intermedios.
The clue reads to shine the lantern from the last poster to the one on the opposite wall. Work through the key features of the graph to determine the equation needed to light the lantern. Transformations: Shifts down 3, left 2; vertically stretches by 3
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE
Vertex: (−2, −3) x-intercepts: (−3, 0) and (−1, 0) y-intercept: (0, 3) Axis of symmetry: x = −2 Equation: g(x) = 3|x + 2| – 3 1
Functions Derived from Linear Relationships Part 5
You find the last puzzle to open the door lock. It is a combination lock. Determine which statement is not true for each equation to know the letters you need to open the final lock. 3.
Which statement is not true about the function f(x) = 0.25|x + 2| + 9? A. B. C. D.
4.
5.
The function opens downward. The vertex of the function is located at (4, 1). The function has a vertical stretch of 3. The function shifts left 4 and up 1 from the parent function.
The function opens downward. The vertex of the function is located at (7, −1). The function has a vertical stretch of 2. The function shifts left 7 and down 1 from the parent function.
Which statement is not true about the function f(x) = −0.75|x + 3| + 5? A. B. C. D.
The function opens downward. The vertex of the function is located at (−3, 5). The function has a vertical compression from the parent function. The function shifts right 3 and up 5 from the parent function.
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 5) CLAVE DE RESPUESTAS
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La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Exploración». Revise las estrategias que aparecen a continuación para conocer maneras de apoyar el desarrollo del lenguaje de los estudiantes. Los estudiantes utilizarán técnicas de aprendizaje como mapas conceptuales, dibujar, comparar, contrastar, memorizar y repasar para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado. Principiante: Como actividad posterior a la lección, guíe a los estudiantes en la creación de una hoja de resumen sobre la función de valor absoluto, f(x) = a|x - h| + k. Los estudiantes deben indicar qué variable da lugar a una traslación horizontal frente a una traslación vertical, a un estiramiento vertical frente a una compresión vertical y a una reflexión. A continuación, deben dar ejemplos de cada tipo de transformación. Los estudiantes también deben anotar en su hoja que una función de valor absoluto tiene un vértice en (h, k) y una pendiente igual a a. Intermedia: Como actividad posterior a la lección, pida a los estudiantes que creen una hoja de resumen sobre la función de valor absoluto, f(x) = a|x - h| + k. Los estudiantes deben indicar qué variable da lugar a una traslación horizontal frente a una traslación vertical, a un estiramiento vertical frente a una compresión vertical y a una reflexión. A continuación, deben dar ejemplos de cada tipo de transformación. Los estudiantes también deben anotar en su hoja que una función de valor absoluto tiene un vértice en (h, k) y una pendiente igual a a.
Which statement is not true about the function f(x) = −2|x + 7| – 1? A. B. C. D.
7.
The function opens upward. The vertex of the function is located at (6, −5). The function has a horizontal stretch of 3. The function shifts right 6 and down 5 from the parent function.
Which statement is not true about the function f(x) = −3|x – 4| + 1? A. B. C. D.
6.
The function opens downward. The vertex of the function is located at (−2, 9). The function has a vertical compression from the parent function. The function shifts left 2 and up 9 from the parent function.
Which statement is not true about the function f(x) = 3|x – 6| – 5? A. B. C. D.
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» junto con toda la clase. Una vez creado, haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva».
2
Avanzada: Como actividad posterior a la lección, pida a los estudiantes que creen una hoja de resumen sobre la función de valor absoluto, f(x) = a|x - h| + k. Los estudiantes deben indicar qué variable da lugar a una traslación horizontal frente a una traslación vertical, a un estiramiento vertical frente a una compresión vertical y a una reflexión. A continuación, deben dar ejemplos de cada tipo de transformación. Los estudiantes también deben anotar en su hoja que una función de valor absoluto tiene un vértice en (h, k) y una pendiente igual a a.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE CONSOLIDAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
ESQUEMA DE ANCLAJE DESCRIPCIÓN Un esquema de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Se trata de una herramienta para apoyar la instrucción y consolidar el aprendizaje del estudiante a lo largo del alcance.
MATERIALES
Functions Derived from Linear Relationships Absolute Value Parent Function Step Function a piecewisedefined function where each piece’s formula is a constant
Linear PiecewiseDefined Function a function that is defined by different formulas at different inputs
Can be written as f(x) = |x|
OR
Transform an absolute value function.
• 1 hoja de papel cuadriculado • 1 conjunto de marcadores multicolores
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
PREPARACIÓN
• Imprima un documento «Ejemplo de esquema de anclaje», si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. El «Ejemplo de esquema de anclaje» puede utilizarse como referencia antes de crear el esquema de anclaje de la clase con los estudiantes. Esta actividad debe ser dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje. 2. A medida que los estudiantes trabajen en el alcance, colaboren para añadir piezas al esquema de anclaje. Formule las siguientes preguntas orientativas: a. «¿Qué estrategia utilizamos para resolver este problema?». b. «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?». 3. Continúe añadiendo habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada «Exploración» para resaltar el contenido importante. 4. Explique que pueden utilizar este gráfico como herramienta de apoyo para su aprendizaje. Los estudiantes también pueden pegar una copia del «Ejemplo de esquema de anclaje» en sus cuadernos para utilizarla como referencia a lo largo del año. 5. Algunos esquemas de anclaje sólo se mostrarán durante un alcance o grupo de alcances concretos, mientras que otros permanecerán expuestos durante todo el curso escolar.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES Functions Derived from Linear Relationships
Instructions ● Cut out the top and bottom of the flipbook. Make sure to cut the flaps on the dotted lines. Fold back the flaps on the solid lines. ● Glue or tape the bottom of the flipbook into your notebook first. ● Place glue or tape where instructed, and add the top of the flipbook. ● Lift up the flaps, and graph each equation on the coordinate plane to complete the flipbook.
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA
DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DE LOS ESTUDIANTES
LIBRETA INTERACTIVA
Top
Functions Derived from Linear Relationships
DESCRIPCIÓN Linear Piecewise-Defined Function
Step Function
Absolute Value Function
Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase al usar la actividad y la libreta.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) Functions Derived from Linear Relationships
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del «Folleto del estudiante» para cada uno.
Bottom
Place glue here.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Prepare una «Libreta interactiva» al usar un cuaderno de espiral o de composición para cada uno. Los estudiantes pueden utilizar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades. 2. Las instrucciones para cada actividad se proporcionan en el «Folleto del estudiante».
FOLLETO DEL ESTUDIANTE
3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos. 4. Las libretas interactivas pueden utilizarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO VOCABULARIO CLAVE
VOCABULARIO ILUSTRADO Piecewise Function
Increasing/Decreasing
Step Function
A function that is defined by different formulas at different inputs
A function is increasing if f(b) > f(a) and decreasing if f(b) < f(a) for any two input values a and b.
A piecewise-defined function where each piece’s formula is a constant
2
11
3
Absolute Value Function
Horizontal Translation
Vertical Translation
A function that contains an algebraic expression within absolute value symbols
A shift in the base of the graph to the left or right
A shift in the base of the graph up or down
4
5
6
Vertical Dilation
Horizontal Dilation
Vertex
Expansion or contraction in the vertical direction
The act of expanding or contracting in the horizontal direction
The minimum or maximum point in a quadratic function; identified as (h, k)
7
8
9
Axis of Symmetry
The line that divides a figure into two identical parts that are mirror images of each other 10
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ
Concentration Instruction Sheet Play this game with a partner. You Will Need 1 Set of Concentration Cards (per pair)
How to Play 1. Shuffle the cards, and place them facedown to form a 4 × 6 array.
DESARROLLAR FLUIDEZ CONCEPTUAL
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: VALOR ABSOLUTO DE DOS VARIABLES DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes jugarán al juego Concentración.
MATERIALES IMPRESO 2.
Player 1 flips over two cards to try to find a match. A match is a problem with its correct answer. Problems will need to be solved in order to determine matching answers.
3.
If player 1 matches a problem with the correct answer, then player 1 keeps the matched set and takes another turn.
4.
If player 1 does not find a match, then they place the cards
5.
Players continue taking turns until all of the matches have
facedown again, and it is the next player's turn. been found. 6.
The player who collects the most cards wins.
• 1 hoja de instrucciones de concentración (por pareja) • 1 conjunto de «Tarjetas del juego Concentración» (por pareja) REUTILIZABLE
• 1 sobre o bolsa (por pareja)
PREPARACIÓN
• Haga copias a doble cara del documento «Tarjetas del juego Concentración». • Lamínelas para que duren más.
HOJA DE INSTRUCCIONES
• Recorte las tarjetas individuales y colóquelas en un sobre o bolsa para facilitar su distribución y limpieza. • Coloque a los estudiantes en parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo barajar las tarjetas y colocarlas boca abajo en una matriz de 4 × 6. 2. Modele cómo jugar con un estudiante. a. El jugador 1 voltea 2 tarjetas para tratar de encontrar una coincidencia. Una coincidencia es un problema con su respuesta correcta. Será necesario resolver los problemas para determinar las respuestas que coinciden. b. Si el jugador 1 encuentra un problema con la respuesta correcta, entonces el jugador 1 se queda con el conjunto coincidente y toma otro turno. c. Si el jugador 1 no encuentra una coincidencia, entonces vuelve a colocar las tarjetas boca abajo y es el turno del siguiente jugador. d. Los jugadores continúan tomando turnos hasta que se hayan encontrado todas las coincidencias. e. Gana el jugador que reúna la mayor cantidad de tarjetas. 3. Distribuya los materiales. A continuación, pida a los estudiantes que barajen las cartas y las coloquen boca abajo. 4. Vigile a los estudiantes para asegurarse de que encuentren las parejas correctas.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
ELABORAR: REVISIÓN EN ESPIRAL Functions Derived from Linear Relationships
REVISAR CONCEPTOS PREVIOS
REVISIÓN EN ESPIRAL: SUPER ALTO EN EL CIELO DESCRIPCIÓN Los estudiantes repasan contenidos anteriores o del grado actual para ayudar a apoyar su trabajo en el alcance actual y fortalecer las habilidades necesarias para alcances posteriores.
Super-High in the Sky Paola was never more scared in her life. The whole grade was traveling by bus for a field trip. It was a two-hour, sticky, hot bus ride to Outer Limits Amusement Park. Paola’s best friend, Joshua, double-triple-dog-dared her to ride the Launchpad roller coaster. Does it go all the way to the clouds? Will she be able to touch a cloud? She better not drink any sodas or eat any snacks beforehand! Will she be able to claim one of those “I Survived” shirts they hand out to all of the brave humans who ride the roller coaster? Hopefully, because if she doesn’t complete her double-triple-dog-dare, she has to eat day-old macaroni and cheese.
REVISIÓN EN ESPIRAL CENTRADA EN LA PREGUNTA • Pregunta 1
◦ Grado 8: Describir la relación funcional entre dos cantidades mediante el análisis de un gráfico. • Pregunta 2 ◦ ALG I: Entender que cada elemento del dominio corresponde exactamente a un elemento del rango. • Pregunta 3
1
◦ Grado 8: Entender que una función es una regla que asigna exactamente una salida a cada entrada.
Functions Derived from Linear Relationships
• Pregunta 4 ◦ ALG I: Resolver ecuaciones lineales e inecuaciones en una variable.
1.
PREPARACIÓN
The Gemini roller coaster has two carts that race to the finish. If Joshua rode in the blue cart and Paola rode in the green coaster, who won the race?
• Imprima un documento «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a tratar de responder a las preguntas de forma independiente sin utilizar recursos externos para ver lo que saben. Invite a los estudiantes a anotar ideas o fragmentos que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas. 3. Utilice las preguntas de revisión en espiral como calentamiento en clase, o envíelas a casa como tarea. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos. 4. Consulte la sección «Revisión en espiral centrada en la pregunta» para evaluar los conocimientos de contenido de los estudiantes o su necesidad de una mayor intervención. Si es necesario repasar más, utilice los «Constructores de fluidez» en los alcances apropiados. 5. El proyecto final incluye una parte de este alcance para que los estudiantes vean la conexión y relevancia de su aprendizaje previo con el actual.
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2.
The field trip chaperone is buying everyone sodas for $1.50 each, plus she is ordering an extra-large pepperoni pizza for $14.99. Complete the table to show the total cost, t, when the chaperone orders s sodas.
s
2
4
6
8
t
17.99
20.99
23.99
26.99
4.
Based on Paola’s previous experiences, she knows that she can only eat so many gummy snacks before she rides this daunting roller coaster. What is the solution set to the inequality listed below, in which x represents the number of gummy snacks Paola can safely eat?
The answer is Joshua. 3.
The roller coaster’s architect most notably used part of a linear function in the design plans. Coordinates of the function are displayed in the table. Write the linear function the architect used in function notation.
x
−1
0
1
3
f(x)
−9
−4
1
11
The answer is f(x) = 5x – 4.
3x – 9 ≥ 5x – 25
The answer is x ≤ 8; Paola can safely eat 0 to 8 gummy snacks. 2
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS ANALIZAR DATOS
CIENCIA DE DATOS Ciencia de datos es una breve conversación en clase basada en un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. La parte I incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los estudiantes en contexto.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizarán, interpretarán y generarán conjuntos de datos, además de responder a preguntas basadas en los datos.
MATERIALES IMPRESO
• 1 conjunto de datos (por clase) REUTILIZABLE
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase) • 1 marcador (por clase) CONSUMIBLE
• 1 hoja de papel de rotafolio (por clase)
PREPARACIÓN
• Prepárese para proyectar el «Conjunto de datos» para la clase. • Reúna una hoja de papel de rotafolio y un marcador.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Proyecte el «Conjunto de datos» y prepárese para anotar las observaciones de los estudiantes.
2. Converse sobre las siguientes cuestiones: a. «Escribe una función definida por partes, f(x), para la ruta 1». 9 si 0 ≤ x ≤ 4 – 2/5x + 53/5 si 4 < x < 9 1/2x + 5/2 si 9 ≤ x ≤ 15 1/10 x + 17/2 si 15 < x ≤ 20 b. «Escriba una función definida por partes, g(x), para la ruta 2». 1/2 x + 1 si 0 ≤ x ≤ 4 3 si 4 < x < 17 –2/3 x + 43/3 si 17 ≤ x ≤ 20 c. «La ciudad decide añadir una tercera ruta de autobús, definida por la siguiente función». – 3/2 x + 7 si 0 ≤ x ≤ 2 x + 2 si 2 ≤ x < 3 5 si 3 ≤ x < 10 1/2 x si 10 ≤ x < 16 -x + 24 si 16 ≤ x ≤ 20 Añada la ruta 3 al gráfico siguiente.
2. Converse sobre las siguientes preguntas: a. «¿Qué observas en este conjunto de datos?». b. «¿Qué representa este conjunto de datos?». c. «¿Qué categorías se incluyen en este conjunto de datos?». d. «¿Cómo se escribe la ecuación de una recta horizontal?». e. «¿Cómo se escribe la ecuación de una recta cuando no se puede ver su intersección y?». a. «¿Qué preguntas tienes sobre los datos?». PARTE II
1. Repase cómo representar gráficamente una función definida por partes y cómo escribir la ecuación de una recta dados dos puntos, y escriba lo que los estudiantes recuerden en el papel de rotafolio. ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS
LISTA DE CONTROL DE LA OBSERVACIÓN DESCRIPCIÓN Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede utilizarse como evaluación formativa para los maestros y como autoevaluación para los estudiantes.
3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
MATERIALES
4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje.
IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 folleto del maestro (por estudiante)
5. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el «Folleto del maestro».
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del maestro» y un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Folleto del estudiante» a cada uno. 2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Explorar» y «Explicar» del alcance, evalúe formativamente su progreso tomando notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
Functions Derived from Linear Relationships
Functions Derived from Linear Relationships How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Use function notation, evaluate functions for inputs in their domains, and interpret statements that use function notation in terms of a context.
For a function that models a relationship between two quantities, interpret key features of graphs and tables in terms of the quantities, and sketch graphs showing key features given a verbal description of the relationship. Key features include: intercepts; intervals where the function is increasing, decreasing, positive, or negative; relative maximums and minimums; symmetries; end behavior; and periodicity. Relate the domain of a function to its graph and, where applicable, to the quantitative relationship it describes. For example, if the function h(n) gives the number of person-hours it takes to assemble n engines in a factory, then the positive integers would be an appropriate domain for the function.
❏ ❏ ❏ ❏ ❏
❏ ❏ ❏ ❏ ❏
❏ ❏ ❏ ❏ ❏
6. Las notas anecdóticas proporcionadas en el «Folleto del maestro» pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares. 7. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la «Guía de instrucción andamiada» en la sección «Inicio» de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
Functions Derived from Linear Relationships
Functions Derived from Linear Relationships
Standards for Mathematical Practice
Functions Derived from Linear Relationships
Notes and Feedback
How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Graph functions expressed symbolically and show key features of the graph, by hand in simple cases and using technology for more complicated cases. b. Graph square root, cube root, and piecewise-defined functions, including step functions and absolute value functions.
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving Discussion Written explanation
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving Discussion Written explanation
Identify the effect on the graph of replacing f(x) by f(x) + k, kf(x), f(kx), and f(x + k) for specific values of k (both positive and negative); find the value of k given the graphs. Experiment with cases and illustrate an explanation of the effects on the graph using technology. Include recognizing even and odd functions from their graphs and algebraic expressions for them.
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Notes and Feedback
Make sense of problems and persevere in solving them
Notes and Feedback
Reason abstractly and quantitatively Construct viable arguments and critique the reasoning of others Model with mathematics Use appropriate tools strategically
Attend to precision Look for and make use of structure
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
1
Look for and express regularity in repeated reasoning
Consider these reflection questions in this scope.
2
●
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them?
●
What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
3
FOLLETO DEL MAESTRO
490
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1/9/26 1:33 PM
ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
EVALUAR: MAPA DE CALOR
ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
MAPA DE CALOR DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
1. Dé un «Mapa de calor» a cada estudiante junto con lápices de colores rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s). 2. Los estudiantes utilizan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el «Mapa de calor». Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los estudiantes colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, los estudiantes colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, los estudiantes colorean el cuadro correspondiente de rojo.
MATERIALES
• 1 mapa de calor (por estudiante) • 1 lápiz de color rojo (por estudiante) • 1 lápiz de color azul (por estudiante) • 1 lápiz de color naranja (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Determine si los estudiantes analizarán su «Prueba de habilidades», la «Evaluación basada en estándares», o ambas.
3. Anímelos a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a utilizar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada.
• Imprima un «Mapa de calor» para cada estudiante. • Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
4. Consulte la «Guía de instrucción andamiada» que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
Functions Derived from Linear Relationships
Functions Derived from Linear Relationships
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key.
Red – misconception 1. Which skill did you feel most confident with? Why?
Standards
Graph functions expressed symbolically and show key features of the graph, by hand in simple cases and using technology for more complicated cases. b. Graph square root, cube root, and piecewise-defined functions, including step functions and absolute value functions. Identify the effect on the graph of replacing f(x) by f(x) + k, kf(x), f(kx), and f(x + k) for specific values of k (both positive and negative); find the value of k given the graphs. Experiment with cases and illustrate an explanation of the effects on the graph using technology. Include recognizing even and odd functions from their graphs and algebraic expressions for them.
Blue – miscalculation
Reflection Questions
Skills Quiz
For a function that models a relationship between two quantities, interpret key features of graphs and tables in terms of the quantities, and sketch graphs showing key features given a verbal description of the relationship. Key features include: intercepts; intervals where the function is increasing, decreasing, positive, or negative; relative maximums and minimums; symmetries; end behavior; and periodicity.
Functions Derived from Linear Relationships
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
Orange – explanation
Red – misconception
Standards-Based Assessment
Questions
Standards For a function that models a relationship between two quantities, interpret key features of graphs and tables in terms of the quantities, and sketch graphs showing key features given a verbal description of the relationship. Key features include: intercepts; intervals where the function is increasing, decreasing, positive, or negative; relative maximums and minimums; symmetries; end behavior; and periodicity.
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
3. Which type of error did you most commonly make?
4. How can you avoid those errors in the future?
1
2
Questions
6
9
10
Graph functions expressed symbolically and show key features of the graph, by hand in simple cases and using technology for more complicated cases. b. Graph square root, cube root, and piecewise-defined functions, including step functions and absolute value functions.
1
2
5
Identify the effect on the graph of replacing f(x) by f(x) + k, kf(x), f(kx), and f(x + k) for specific values of k (both positive and negative); find the value of k given the graphs. Experiment with cases and illustrate an explanation of the effects on the graph using technology. Include recognizing even and odd functions from their graphs and algebraic expressions for them.
3
4
7
8
3
MAPA DE CALOR
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SS NA-Math TE A1-V1.indb 491
491
1/9/26 1:33 PM
ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
INTERVENIR: REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES Functions Derived from Linear Relationships
REMEDIAR Y VOLVER A ENSEÑAR
REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES
Checkup 1.
DESCRIPCIÓN Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para intervención.
A storage facility charges $60 per month for a small unit. Graph the total cost, C(t), of the unit as a function of time, t, over a 5-month period.
2.
MATERIALES
Nia makes $300 per week at her summer job. At 5 weeks, she receives a $120 bonus. After 8 weeks, her job ends, and she relaxes for the next two weeks. Create a linear piecewise function, E(t), that models her earnings over the 10 weeks of summer.
E(t) =
300t 300t + 120 2,520
0≤t<5 5≤t＜8 8 ≤ t ≤ 10
IMPRESO
• 1 revisión rápida (por estudiante) • 1 repaso (por estudiante) • 1 revisión general (por estudiante)
3.
What is the value of f(3) as shown in the graph below? f(3) = 2.5
4.
Sketch g(x) = −|x + 5| – 8.
5.
Where is the vertex located for f(x) = 3|x + 3| + 2? (–3, 2)
• 1 lista de verificación para el maestro (por maestro)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de la «Revisión rápida», el «Repaso» y la «Revisión general» para cada estudiante. • Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar el «Repaso».
1
• Si lo desea, imprima un ejemplo del «Esquema de anclaje» de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que usen la «Libreta interactiva» como recurso. • Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayudas suplementarias para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
Functions Derived from Linear Relationships
6.
Graph f(x) as indicated below. f(x) =
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
–3 – x+1 2x – 10
7.
–6 ≤ x < –2 –2 ≤ x ≤ 3 3 < x ≤ 4.5
Which line matches each equation? B
|x – 2| + 1.5
A
2|x – 2| + 1.5
1. Dé una copia de la «Revisión rápida» a cada estudiante. 2. Cada uno debe completarla de forma independiente. 3. Use la rúbrica de habilidades al final de la «Revisión rápida» para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional.
8.
Kyra has savings, S(t), totaling $75. She makes several purchases. At the end of two weeks, she has spent all of her money. The amount of savings over the two-week period is shown in the graph to the right. a. How much money did Kyra have at day 5? $45 b. On what day did Kyra make a $25 purchase? Day 12
9.
Describe how the parent function f(x) = |x – 1| + 3 is transformed to produce g(x) = |x + 2| – 1. f(x) is shifted left 3 and down 4.
10.
Do the functions f(x) = |x + 4| + 10 and g(x) = –3|x + 4| + 10 have the same vertex? Do they open in the same direction? Yes, both f(x) and g(x) have their vertex at (–4, 10), but f(x) opens up and g(x) opens down.
4. Distribuya una copia del «Repaso» a cada uno. 5. Cada estudiante debe completar el «Repaso» como actividad de intervención o de forma independiente. a. Si lo desea, reúna a los estudiantes en pequeños grupos para trabajar en las destrezas de repaso. Utilice el «Repaso» como ayuda para la reenseñanza. 6. Distribuya una copia de la «Revisión general» a cada uno.
2
7. Cada estudiante debe completarla de forma independiente. 8. Analice los resultados de la «Revisión general» al usar la «Lista de verificación para el maestro» para identificar quienes necesitan un repaso adicional y quienes han alcanzado el dominio de los conceptos. 492
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COMPROBACIÓN CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
ACELERACIÓN: ¿QUÉ PREFERIRÍAS? Functions Derived from Linear Relationships
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Student Council Tees Use mathematical reasoning and creativity to justify your answer to the Would You Rather question. You were put in charge of the annual T-shirt fundraiser for the Student Council. Two T-shirt companies have given bids for Student Council T-shirt costs. You are in charge of determining the markup on the shirts to calculate your profit. There are 40 people on the Student Council, but you can sell to anyone. The bids are represented by the piecewise functions in the table below. Would you rather order from Ree’s Tees or Swift Printing, Co.? Justify your reasoning with mathematics.
Ree’s Tees
¿QUÉ PREFERIRÍAS?: CAMISETAS DEL CONSEJO DE ESTUDIANTES DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
Swift Printing, Co.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 rúbrica (por maestro) The following statements are sample answers: I would order from Ree’s Tees because I want to raise as much money as possible. I know I can sell 40 shirts to the Student Council members, but I will also sell to classmates, friends, and family. I want the most shirts for the cheapest price. I think I can sell 200 shirts, so my cost would be $1,600.
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno. • Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
I would order from Swift Printing, Co. because I think I will sell between 50 and 100 shirts, making my cost lower with Swift ($450 and up). With Ree’s, I would spend $500 for 50 shirts.
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FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE OPCIONES
PREPARACIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a mirar sus folletos de «Explorar» si necesitan repasar habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros. 4. Utilice la rúbrica proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Functions Derived from Linear Relationships
OPCIONES PARA SEGUIR APRENDIENDO
TABLERO DE OPCIONES DESCRIPCIÓN Los estudiantes explorarán las conexiones con el mundo real y las aplicaciones del contenido matemático a través de interacciones con actividades atractivas.
MATERIALES IMPRESO
• 1 tablero de opciones (por estudiante) • 1 conjunto de hojas de actividades (por estudiante) • 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante) REUTILIZABLE
• Tecnología (si corresponde)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Tablero de opciones» y un conjunto de hojas de actividades para cada estudiante. • Imprima una «Autoevaluación del tablero» para cada estudiante.
Functions Derived from Linear Relationships Choose one or more extension activities from the table below. Career Connection
Color Expert
Research the career field of color expertise. Your research must answer the provided questions. Create a presentation to relay your research to the class.
Science Connection
Weather Forecast
Explore the connection between math and science by solving the given piecewise function and answering the questions.
Create Your Own
Kitchen Connection
Write Your Own Story
Baking Brownies
Create your own real-world word problem for the given equation. Follow the criteria on the handout to write your scenario, and then answer the questions.
Piecewise functions can be used in the kitchen when using recipes. Read the scenario, and answer the questions on the handout.
Mathematician Spotlight
Financial Connection
Gottfried Leibniz
Search for several news articles or research papers that involve Gottfried Leibniz’s work. Create an informational poster, a diorama, or a speech to convey this mathematician’s work as it relates to functions.
Plumber Fees
We use math every day in our financial world. Explore how our current math topic connects to our financial world by completing the handout.
TABLERO DE OPCIONES
• Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» a cada estudiante. 2. Dé tiempo a los estudiantes para examinar el «Tablero de opciones» y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anímelos a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del tablero, haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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Edicíon para el maestro Álgebra 1, volumen 2 ISBN: 979-8-33080-746-8
Publicado por Accelerate Learning Inc., 5177 Richmond Ave, Suite 800, Houston, TX 77056. Derechos de reproducción © 2025 por Accelerate Learning Inc. Todos los derechos reservados. Ninguna parte de esta publicación debe ser reproducida o distribuida de ninguna manera o por ningún medio; ni almacenada en una base datos o en un sistema de recuperación sin el consentimiento previo por escrito de Accelerate Learning Inc, el cual incluye, pero no está limitado, a cualquier red electrónica u a otro tipo de almacenamiento o de transmisión electrónica; o medio de difusión para el aprendizaje a distancia. Visítenos en www.stemscopes.com para obtener más información.
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Tabla de contenido ALCANCE 11 Exponentes racionales................................................................... 2
ALCANCE 12 Funciones exponenciales............................................................... 42
ALCANCE 13 Transformar funciones exponenciales............................................ 96
ALCANCE 14 Operaciones con polinomios.......................................................... 140
ALCANCE 15 Gráficas de funciones cuadráticas.................................................. 176
ALCANCE 16 Factores de polinomios.................................................................. 228
ALCANCE 17 Transformar funciones cuadráticas................................................ 284
ALCANCE 18 Resolver cuadráticas..................................................................... 328
ALCANCE 19 La fórmula cuadrática.................................................................... 370
ALCANCE 20 Estadísticas................................................................................... 412
ALCANCE 21 Representar datos......................................................................... 462
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ÁLGEBRA 1 EXPONENTES RACIONALES
ÁLGEBRA 1
EXPONENTES RACIONALES ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: EMPAREJAR ALREDEDOR DEL SALÓN
ESTÁNDARES CLAVE Extender las propiedades de los exponentes a los exponentes racionales. • Explica cómo la definición del significado de los exponentes racionales se deriva de extender las propiedades de los exponentes enteros a esos valores, lo que permite una notación para los radicales en términos de exponentes racionales. Por ej., definimos 1 __ 5 3 como la raíz cúbica de 5 porque queremos que se cumpla que 1 1 1 __ __ __ (5 3 )³ = 5 (3 )3, de modo que 5 (3 )3 debe ser igual a 5.
Los estudiantes participarán en una actividad de emparejamiento para revisar e identificar conceptos erróneos relacionados con un estándar matemático previo. • Los estudiantes escribirán números en una hoja de papel para prepararse para la actividad. • Caminarán alrededor del salón para emparejar tarjetas numeradas con sus correspondientes tarjetas con letras. • Los estudiantes discutirán su razonamiento y emparejamientos con un compañero. • Si surgen dificultades, los estudiantes pasarán a una actividad de «Constructor de bases fundamentales» para abordar las brechas de conocimiento. CAPTAR INTERÉS
• Reescribir expresiones que implican radicales y exponentes racionales utilizando las propiedades de los exponentes.
Los estudiantes explorarán y harán predicciones sobre el significado y la evaluación de exponentes racionales a través de actividades guiadas y discusiones.
Utilizar las propiedades de los números racionales e irracionales.
• Introducir el concepto de exponentes racionales y animar a los estudiantes a hacer predicciones y observaciones iniciales.
• Explicar por qué la suma o el producto de dos números racionales es racional; que la suma de un número racional y un número irracional es irracional; y que el producto de un número racional distinto de cero y un número irracional es irracional.
• Facilitar una discusión sobre cómo las reglas de exponentes previamente aprendidas se aplican a los exponentes racionales. • Guiar a los estudiantes a través de actividades de «Explorar» para profundizar su comprensión de los exponentes racionales. • Revisar las predicciones iniciales y resolver el problema original con los conocimientos recién adquiridos de las actividades de «Explorar».
ACTIVIDADES DE EXPLORAR EXPLORACIÓN 1: FRACCIONES COMO EXPONENTES Los estudiantes explorarán las propiedades de los exponentes fraccionarios y su relación con los radicales, utilizando calculadoras gráficas y la resolución colaborativa de problemas para descubrir reglas de simplificación eficientes. • Los estudiantes trabajarán en grupos para convertir expresiones entre formas de exponentes y radicales, registrando sus hallazgos en los Diarios del Estudiante. • Utilizarán calculadoras gráficas para explorar y simplificar expresiones con exponentes racionales. • Los estudiantes participarán en discusiones para criticar el razonamiento y construir argumentos sobre las propiedades de los exponentes. • Participarán en charla de matemáticas para compartir observaciones y consolidar su comprensión de la relación entre exponentes y radicales. EXPLORACIÓN 2: SIMPLIFICAR RAÍCES CUADRADAS Los estudiantes simplificarán expresiones radicales identificando pares de factores, multiplicando coeficientes y aplicando razonamiento matemático para resolver problemas que involucren números cuadrados no perfectos. • Trabajarán en grupos para simplificar expresiones para longitudes de lado de parcelas de jardín y registrarán sus hallazgos en diarios del estudiante. • Analizarán y emparejarán factores para crear cuadrados perfectos, simplificándolos a coeficientes fuera del radical. • Los estudiantes participarán en charla de matemáticas para discutir sus observaciones y criticar el razonamiento de otros. • Completarán un «Boleto de salida» para demostrar su comprensión de la simplificación de expresiones radicales. EXPLORACIÓN 3: SIMPLIFICAR EXPRESIONES DE RAÍCES CUADRADAS Los estudiantes simplificarán expresiones radicales identificando patrones y aplicando reglas matemáticas a la multiplicación y división de radicales, incluyendo aquellas con variables. • Trabajarán en grupos para calcular el área total de jardines combinados y determinar el número de bolsas de fertilizante necesarias, registrando sus hallazgos en sus diarios del estudiante. • Los estudiantes explorarán e identificarán patrones en la multiplicación y división de radicales, utilizando preguntas guía para profundizar su comprensión. • Los estudiantes experimentarán con sumas y productos de números racionales e irracionales, documentando sus observaciones y conclusiones. • Los estudiantes participarán en charla de matemáticas para discutir sus hallazgos y refinar su comprensión de la simplificación de expresiones radicales.
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ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES EXPONENTES RACIONALES ÁLGEBRA 1
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES INVESTIGAR FUNCIONES
SISTEMAS DE ECUACIONES
CONCEPTOS CLAVE
PREGUNTAS FUNDAMENTALES
• Puedo utilizar las reglas del cero, negativo, producto, cociente y potencia para simplificar exponentes racionales.
• «¿Cómo determino el orden de trabajo al simplificar exponentes racionales?».
• Puedo transformar de radicales a exponentes racionales y viceversa.
• «¿En qué se parecen las propiedades de los exponentes enteros a las de los exponentes racionales?».
• Puedo explicar cómo la definición del significado de exponentes racionales se sigue de extender las propiedades de exponentes enteros a esos valores.
• «¿Qué ocurre cuando realizamos operaciones matemáticas con números racionales e irracionales?».
• Puedo explicar los resultados al sumar y multiplicar con números racionales e irracionales.
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ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
CONTENIDO DE APOYO Extender las propiedades de los exponentes a los exponentes racionales. • Explicar cómo la definición del significado de los exponentes racionales se deriva de extender las propiedades de los exponentes enteros a esos valores, lo que permite una notación para los radicales en términos de exponentes racionales. 1 __ Por ejemplo, definimos 5 3como la raíz cúbica de 1 1 __ __ 5 porque queremos que (5 3)³ = 5 (3)3se cumpla, de 1 __ modo que 5 (3)3debe ser igual a 5. • Reescribir expresiones que incluyen radicales y exponentes racionales utilizando las propiedades de los exponentes. Usar las propiedades de los números racionales e irracionales. • Explicar por qué la suma o el producto de dos números racionales es racional; por qué la suma de un número racional y un número irracional es irracional; y por qué el producto de un número racional distinto de cero y un número irracional es irracional.
CONOCIMIENTO PREVIO En grados anteriores, los estudiantes trabajaron con exponentes enteros. Ya habían sido introducidos a las raíces cuadradas. Conocieron los enteros positivos para explicar el valor posicional en quinto grado, mediante el uso de propiedades de exponentes enteros para generar expresiones equivalentes. Los estudiantes también determinaron previamente si los números eran racionales o irracionales.
DEAS ERRÓNEAS Y OBSTÁCULOS
• Los estudiantes a menudo confunden un exponente fraccionario negativo con la idea de que la base es negativa. Es útil que los estudiantes usen una gráfica para evaluar la función o estimar su valor si esta es su confusión. Un exponente positivo indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma. Un exponente negativo indica cuántas veces se divide la base entre sí misma.
EN ESTE ALCANCE En este nivel de grado, los estudiantes deben poder explicar el significado de los exponentes fraccionarios (radicales) en distintos contextos y en términos de radicales y raíces. Los estudiantes traducirán entre la forma radical y la forma exponencial. Determinarán la diferencia entre calcular un valor, como la raíz cuadrada de 9, y encontrar el conjunto de soluciones de una ecuación relacionada, como x² = 9. Los estudiantes deben comprender qué ocurre cuando un número entero se eleva a una potencia negativa. TÉRMINOS QUE DEBEN CONOCER
• exponente: notación matemática que indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma; también llamado potencia • exponente racional: un exponente que puede expresarse como __ m n para reescribir una expresión radical, donde m y n son enteros, m representa la n __ m __ potencia de la base y n representa la raíz; x n = √x m • exponente entero: un número entero positivo o negativo, o cero, que indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma • radical: un símbolo que indica la raíz de una cantidad • raíz cúbica: mero que, al multiplicarse por sí mismo tres veces, produce el número dado • expresión: números, variables y símbolos agrupados sin un signo igual para mostrar una relación • número racional: un número que puede escribirse a como una fracción de enteros __ b , donde b ≠ 0; un número que puede expresarse como la razón de dos enteros • número irracional: un número decimal que no puede expresarse como una fracción, que no es imaginario y que no se repite ni termina
• Si los estudiantes tienen dificultades para usar cualquiera de las propiedades de los exponentes racionales, trabaje un ejemplo paralelo usando exponentes enteros. Esto les da algo familiar con lo cual comparar la expresión.
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ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO
APLICACIÓN DE LAS PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en resolverlos: Los estudiantes perseveran para encontrar la cantidad total de fertilizante que necesitan para sus áreas de jardinería. Determinan la necesidad de usar las dimensiones dadas en forma radical para encontrar el área de cada jardín, sumarlas y dividir entre el área que cubre cada bolsa de fertilizante para obtener el número de bolsas necesarias. • MP.2 Razonar de manera abstracta y cuantitativa: Los estudiantes usan las dimensiones proporcionadas en forma radical para encontrar el área de un jardín y luego utilizan ese valor para determinar la cantidad de fertilizante necesaria según el contexto. • MP.3 Elaborar argumentos viables y criticar el razonamiento de otros: Los estudiantes critican el razonamiento del trabajo de otros compañeros al simplificar radicales. Analizan el trabajo de dos estudiantes para determinar quién tiene la razón y usan su comprensión de cómo simplificar radicales para respaldar su explicación. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes encuentran el área de un jardín usando las dimensiones proporcionadas y luego determinan la cantidad de fertilizante necesaria según el contexto. • MP.5 Usar herramientas apropiadas estratégicamente: Los estudiantes usan calculadoras para evaluar expresiones y descubrir patrones y relaciones entre trabajar con exponentes racionales y trabajar con exponentes enteros. • MP.6 Atender a la precisión: Los estudiantes usan su comprensión de la relación entre exponentes racionales y radicales para pasar con precisión y exactitud de escribir expresiones con exponentes racionales a escribir expresiones con radicales. • MP.7 Buscar y hacer uso de la estructura: Los estudiantes usan su conocimiento de las operaciones con exponentes para descubrir la relación entre los exponentes racionales y la notación radical, y para encontrar una manera más eficiente de simplificar expresiones dadas en cualquiera de las dos formas. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en el razonamiento repetido: Los estudiantes exploran los exponentes racionales y descubren una manera más eficiente de evaluar expresiones usando las reglas de exponentes, como la regla de potencia a potencia, para transformar el exponente dado en exponentes racionales más simples.
EXPONENTES RACIONALES Los estudiantes explorarán expresiones con exponentes racionales para descubrir reglas más eficientes para simplificar estas expresiones. Toda regla que se aplica a los exponentes enteros también se aplica a los exponentes racionales. Los estudiantes necesitan explorar los patrones asociados con los exponentes racionales. Permita que los estudiantes usen una calculadora gráfica para explorar las expresiones en la tabla y hacer observaciones. 1 __
1 __
1 __
1 __
4 2
100 2
8 3
125 3
2
10
2
5
Ejemplo: «¿Cuál es la forma simplificada de ( 9x4) 2 ?». 1 __
a
9x2
b
18x2
c
4.5x2
d
3x2
La respuesta correcta es D. La regla de los exponentes 1 __ racionales nos indica que (9x4) 2 es lo mismo que la raíz 4 cuadrada de(9x ). __
________
(9x4) 2→ √ 9x 4 →√ 3 ⋅ x 2 ⋅x 2 → 3x2 1 __
Los estudiantes deben notar la relación entre el
exponente __ 1 y la raíz cuadrada, así como entre el 2
1 y la raíz cúbica. Anime a los estudiantes a exponente __ 3
2 . pensar en lo que significaría un exponente racional de __ 3
Los estudiantes deben construir su propia comprensión de los exponentes racionales, en lugar de simplemente memorizar una fórmula. Con el tiempo, los estudiantes podrán traducir entre exponentes racionales y la notación con radicales.
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INICIO: CONTENIDOS DE APOYO 1 Ejemplo: El lado de un cuadrado mide 5 __ unidades. Si el 3 área del cuadrado puede hallarse mediante la ecuación A = s2, «¿cuál de las siguientes no representa el área del cuadrado en unidades cuadradas?». 1 __
CUADRADOS PERFECTOS _
Ejemplo: Simplifica √128 . _
La respuesta es 8√2 . Enumera todos los factores de 128, buscando el mayor cuadrado perfecto que sea factor.
a. 25 3 unidades cuadradas 3 _
b. √25 unidades cuadradas 3 __
c. √5 2 unidades cuadradas 1 __
d. 5 6 unidades cuadradas La respuesta correcta es D. La opción D no representa el área del cuadrado. Se aplica la propiedad de multiplicación de exponentes: A = s2 A = (5 3)2 1 __
3 __
3_
A = 5 3= √5 2 = √ 25 = 25 3 2 __
1 __
64 es el mayor cuadrado perfecto factor de 128. Toma la raíz cuadrada de 64 y sácala fuera del radical. El factor restante se queda dentro del radical. _
SIMPLIFICAR RAÍCES CUADRADAS CON RADICANDOS ENTEROS Un número que tiene una raíz cuadrada entera se llama cuadrado perfecto. Los estudiantes simplificarán expresiones radicales que involucren números que no siempre sean cuadrados perfectos. Los estudiantes simplificarán estas expresiones buscando pares de factores dentro de los números. Multiplicarán cualquier coeficiente por los números adicionales que se muevan fuera del símbolo radical durante el proceso de simplificación.
_
Ejemplo: Cami estaba simplificando la expresión radical
3 _
√150 . Se muestra su trabajo. 3 _ Paso 1: √150 3 _
Paso 2: √25 ⋅ 6
3 ___________
Paso 3: √5 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 2 5 _
Paso 4: √3 ⋅ 2 5 _
Árbol de Factores
_
Ejemplo: Simplificar √96 _
La respuesta es 4√6 . Se utiliza un árbol de factores para determinar la factorización prima de 96. _
_
√ 128 = √64 ⋅ 2 = 8√2
___________
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 √ 96 = √
Paso 5: √6
«¿Qué error, si lo hubo, cometió Cami al simplificar, y en qué paso cometió el error?». El error ocurrió en el Paso 4. Al poner un 5 delante del símbolo radical (que representa la raíz cuadrada de 5 ⋅ 5), se olvidó de multiplicarlo por el 3 que había. La respuesta _ debería ser 15√6 .
Encierra los pares de factores primos. Para cada par de factores primos, escribe uno de los factores fuera del radical. Uno de los factores representa la raíz cuadrada del par. Finalmente, simplifica los factores primos tanto dentro como fuera del radical.
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ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO
SIMPLIFICAR EXPRESIONES DE RAÍZ CUADRADA Los estudiantes simplificarán expresiones radicales que impliquen multiplicación y división. Los estudiantes buscarán patrones en los números para desarrollar métodos de _ _ simplificación. Los estudiantes descubrirán que a ⋅ √b = √ _ √ab . Los radicandos pueden contener variables. _
_
Ejemplo: √10 ⋅ √20_. La respuesta_ es 10_ √2 . _ _ Simplifique √ 10 ⋅ √ 20 se puede reescrito como √ 10 ⋅ √ 20 . _
_
___________
_
_
√10 ⋅ √ 20 = √ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2 ⋅ 5√2 = 10√2
Ejemplo: Jonae está repintando_la pared de su dormitorio. La longitud de la pared es de 8√6 unidades y la anchura 1 __ es de 3 ⋅ 8 2 unidades. «¿Cuál es el área total en unidades cuadradas que pintará Jonae?». Deja tu respuesta en la forma radical más sencilla. A = lw _ 1 __ A = 8√6 2 _⋅ 3 ⋅_8 A = 8√6_ ⋅ 3√8 A = 24√48
SIMPLIFICAR EXPRESIONES CON RAÍCES CÚBICAS Los estudiantes simplificarán expresiones que incluyan raíces cúbicas utilizando las propiedades de los exponentes. Los estudiantes tomarán las habilidades aprendidas al trabajar con raíces cuadradas y las aplicarán y modificarán para trabajar con raíces cúbicas. Al simplificar raíces cúbicas, los estudiantes buscarán factores que aparezcan tres veces debajo del radical. Es importante permitir que los estudiantes descubran que los radicandos de raíces cúbicas pueden ser negativos, a diferencia de los radicandos de raíces cuadradas. Los radicandos pueden contener variables. 3 _
Ejemplo: √729 . Usando factorización prima, los factores primos de 729 son 9 ⋅ 9 ⋅ 9. 3_
3_
√ 729 = √ 9 ⋅ 9 ⋅ 9 = 9 Simplifica El volumen de un cubo se representa mediante la ecuación V = s3. Si el volumen del cubo es 512x3 unidades cúbicas, «¿cuál es la longitud de un lado del cubo en unidades?».
_
A = 24√16 ⋅ 3 _
A = 4 ⋅ 24√3 _
A = 96√3 unidades cuadradas
La longitud de un lado del cubo es 8x unidades. Sustituye 512x3 en la ecuación para V. V = s3 512x3= s3
Los estudiantes también explorarán las propiedades de los números racionales e irracionales. Descubrirán que la suma o la diferencia de dos números racionales siempre es un número racional. La suma o la diferencia de dos números irracionales siempre es un número irracional. La suma o el producto de un número racional y un número irracional siempre es un número irracional. Ejemplo: ¿Qué expresión da como resultado un número racional? _
_
36 a. √121 − √ _
_
b. √7 ⋅ √3 _
_
_
_
c. √ 30 ÷ √ 200
d. 3√5 + 2√5
3 ______
3 _
√512x 3 = √s
3 ___________________
3_
8 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ x ⋅ x ⋅ x = √ s √
8x = s
AVANCES Los estudiantes continuarán trabajando con exponentes con funciones cuadráticas y exponenciales en Álgebra I. En Álgebra II, extenderán este conocimiento al manipular funciones logarítmicas. Los estudiantes conectarán las propiedades de las funciones logarítmicas con las propiedades de los exponentes.
La respuesta correcta es la A. La suma o la diferencia de dos números racionales siempre es un número racional. Las demás opciones de respuesta involucran números irracionales.
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ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO PROFUNDIZAR EN LAS NORMAS
CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES Extender las propiedades de los exponentes a los exponentes racionales. • Explicar cómo la definición del significado de los exponentes racionales se sigue de extender las propiedades de los exponentes enteros a esos valores, permitiendo una notación para radicales en términos de exponentes racionales. Por ejemplo 1 __ definimos 5 3como la raíz cúbica de 5 porque 1 1 __ __ queremos que (5 3)³ = 5 (3)3se cumpla, de modo que 1 (__ )3 5 3 debe ser igual a 5. • Reescribir expresiones que incluyan radicales y exponentes racionales utilizando las propiedades de los exponentes. Utilizar las propiedades de los números racionales e irracionales. • Explicar por qué la suma o el producto de dos números racionales es racional; que la suma de un número racional y un número irracional es irracional; y que el producto de un número racional distinto de cero y un número irracional es irracional.
DESGLOSAR EL ESTÁNDAR VERBOS: ¿QUÉ DEBERÍAN HACER LOS ESTUDIANTES?
• extender: hacer que algo continúe más allá de donde se muestra, como continuar una recta numérica para incluir más números • explicar: dar cuenta de acciones o sucesos explicando las razones • definir: marcar los límites de algo • reescribir: escribir algo de forma diferente SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBEN CONOCER LOS ESTUDIANTES?
• exponente: notación matemática que indica el número de veces que el número base se multiplica por sí mismo; también llamado potencia • exponente racional: un exponente que puede m expresarse como ___ n como una forma de reescribir una expresión radical donde m y n son números enteros y m representa la potencia de la base y n m __
n __
√
representa la raíz; x n = x m • exponente entero: número entero positivo o negativo o cero que indica el número de veces que una base se multiplica por sí misma • radical: símbolo que indica la raíz de una cantidad
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• raíz cúbica: número que, multiplicado por sí mismo tres veces, produce el número dado • expresión: números, variables y símbolos agrupados sin signo igual para mostrar una relación • suma: la solución cuando se suman dos o más números • producto: la solución cuando se multiplican dos o más números • número racional: un número que puede escribirse a como una fracción de números enteros __ b , donde b ≠ 0; un número que puede escribirse como un cociente usando dos números enteros • número irracional: un número decimal que no puede expresarse como fracción, no es imaginario y no se repite ni termina
IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA
• En grados anteriores, los estudiantes trabajaron con exponentes enteros. Comenzaron explorando los exponentes enteros positivos y pasaron a utilizar las propiedades de los exponentes enteros para generar expresiones equivalentes. • En este grado,deben ampliar su comprensión de esas propiedades y aplicarlas a los exponentes racionales. • Los estudiantes deben ser capaces de explicar el significado de los exponentes fraccionarios en diferentes contextos, Explicar el significado de los exponentes racionales en términos de radicales y raíces, reescribir formas radicales y exponenciales, y determinar la diferencia entre calcular un valor como la raíz cuadrada de 9 y encontrar el conjunto de soluciones de una ecuación relacionada, como x2 = 9. • Si los estudiantes tienen dificultades para utilizar alguna de las propiedades de los exponentes racionales, trabaje un ejemplo paralelo utilizando exponentes enteros para dar a los estudiantes algo familiar con lo que puedan comparar la expresión. • Dé a los estudiantes problemas que proporcionen un contexto para utilizar exponentes racionales. Los cálculos de volumen son un ejemplo. • Los estudiantes a menudo confunden un exponente fraccionario negativo con que la base es negativa. Si este es un concepto erróneo, podría ser útil hacer que los estudiantes utilicen un gráfico para evaluar la función o estimar el valor.
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ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
ALINEACIÓN VERTICAL GRADO 6
ESTÁNDAR Escribir y evaluar expresiones numéricas que involucren exponentes de números enteros.
Aplicar y ampliar conocimientos previos de suma y resta para sumar y restar números racionales; representar sumas y restas en un diagrama numérico horizontal o vertical. 7 Aplicar y ampliar conocimientos previos de multiplicación y división y de fracciones para multiplicar y dividir números racionales. Saber que los números que no son racionales se llaman irracionales. Comprender informalmente que cada número tiene una expansión decimal; para números racionales mostrar que la expansión decimal se repite eventualmente, y convertir una expansión decimal que se repite eventualmente en un número racional.
8
Usar aproximaciones racionales de números irracionales para comparar el tamaño de números irracionales, ubicarlos aproximadamente en un diagrama de línea numérica, y estimar el valor de _ _ expresiones (por ejemplo, π2). Por ejemplo, truncando la expansión decimal de √2 , mostrar que √2 está entre 1 y 2, y después entre 1,4 y 1.5, y Explicar cómo continuar para obtener mejores aproximaciones. Conocer y aplicar las propiedades de los exponentes enteros para generar expresiones numéricas equivalentes. Por ejemplo 32 × 3 -5= 3 -3 = (__ 1 ) 3 = ___ 1 . 3
27
Utilizar los símbolos de raíz cuadrada y raíz cúbica para representar soluciones a ecuaciones de la forma x2 = p y x3 = p, donde p es un número racional positivo. Evaluar raíces _ cuadradas de pequeños cuadrados perfectos y raíces cúbicas de pequeños cubos perfectos. Saber que √2 es irracional. Explicar cómo la definición del significado de los exponentes racionales se sigue de extender las propiedades de los exponentes enteros a esos valores, permitiendo una notación para radicales en 1 __ términos de exponentes racionales. Por ejemplo definimos que 5 3es la raíz cúbica de 5 porque queremos 1 1 1 __ __ __ que 5 (3)³ = (5 3)³ se mantenga para que (5 3)³ sea igual a 5. Álgebra
Reescribir expresiones que impliquen radicales y exponentes racionales utilizando las propiedades de los exponentes. Explicar por qué la suma o el producto de dos números racionales es racional; que la suma de un número racional y un número irracional es irracional; y que el producto de un número racional distinto de cero y un número irracional es irracional.
Álgebra
Comprender que los polinomios forman un sistema análogo a los números enteros, es decir, son cerrados bajo las operaciones de suma, resta y multiplicación; sumar, restar y multiplicar polinomios.
Álgebra II
Graficar la raíz cuadrada, raíz cúbica y funciones definidas a trozos, incluyendo funciones escalonadas y funciones de valor absoluto.
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ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA CONTROLAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIONES La guía de instrucción andamiada se proporciona para que los maestros puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones del alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que ayuda a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de la evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos según los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere que todos los estudiantes experimenten con los elementos: «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades», ya que cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar. 0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
80 % - 100 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percenti pueden trabajar en contenido de nivel de grado con apoyos de instrucción.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» individual para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 2. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante de acuerdo con sus datos de evaluación. 3. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la sección «Scaffolded Instruction Guide» en el menú desplegable «Home» del alcance. 4. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Explicar cómo la definición del significado de los exponentes racionales se sigue de extender las propiedades de los exponentes enteros a esos valores, permitiendo una notación para radicales en términos de exponentes racionales. Por 1 1 1 1 __ __ __ __ ejemplo definimos que 5 3 es la raíz cúbica de 5 porque queremos que 5 (3)³ = (5 3)³ se mantenga para que (5 3)³ sea igual a 5. 8 - Raíces cuadradas y raíces cúbicas Repaso y práctica de habilidades
0 % - 25 %
(Refuerzo del grado anterior)
Constructor de fluidez • Concentración Práctica interactiva • Despegue Prueba de habilidades 8 - Exponentes enteros Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • ¡A pescar! Interactive Practice • Llave y candado
(Nivel de grado con apoyo) (Nivel de grado)
(Ampliación del nivel de grado)
80 %-100 %
50 % - 80 %
25 % - 50 %
Prueba de habilidades
Alg.I -Exponentes racionales Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales
Alg.I -Exponentes racionales Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo
Alg.I -Exponentes racionales Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Explique por qué la suma o el producto de dos números racionales es racional; que la suma de un número racional y un número irracional es irracional; y que el producto de un número racional distinto de cero y un número irracional es irracional.
8 - Raíces cuadradas y raíces cúbicas
• Concentración Práctica interactiva • Despegue
(Nivel de grado con apoyo) (Nivel de grado)
(Ampliación del nivel de grado)
25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyo)
Alg.I -Exponentes racionales
Alg.I -Exponentes racionales
Constructor de fluidez • ¡A pescar!
Alg.I -Exponentes racionales Acceso a conocimientos previos
Alg.I -Exponentes racionales Repaso y práctica de habilidades • Repaso (sección siimplificar expresiones de raíces cuadradas)
Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Repaso ráido (Preguntas 1-6) • Repaso (sección: definir y evaluar expresiones con exponentes racionales, sección: simplificar raíces cuadradas y sección: simplificar expresiones con raíz cuadrada) • Evaluación (preguntas 1-10)
(Nivel de grado)
25 % - 50 %
Repaso y práctica de habilidades
Prueba de habilidades
(Ampliación del nivel de grado)
• Concentración
8 - Exponentes enteros
• Llave y candado
50 % - 80 %
Constructor de fluidez
Prueba de habilidades
Interactive practice
80 %-100 %
8 - raíces cuadradas y raíces cúbicas
50 % - 80 %
0 % - 25 %
(Refuerzo del grado anterior)
Constructor de fluidez
0 % - 25 %
Repaso y práctica de habilidades
(Refuerzo del grado anterior)
Reescribir expresiones que involucren radicales y exponentes racionales usando las propiedades de los exponentes.
Alg.I -Exponentes racionales
Libreta interactiva
Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva
Alg.I -Exponentes racionales Tablero de opciones
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80 %-100 %
Ciencia de datos
Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES
ATRAER: ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS EVALUACIÓN PREVIA DE LOS CONOCIMIENTOS DE LOS ESTUDIANTES
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: EL PARTIDO DE LA HABITACIÓN ESTÁNDAR PREVIO
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Conocer y aplicar las propiedades de los exponentes enteros para generar expresiones numéricas 1 1 equivalentes. Por ejemplo 32 ⋅ 3 -5= 3 -3 = (_ ) 3 = ___ . 3
1. Pida a los estudiantes que escriban los números 1, 2 y 3 en una hoja de papel.
27
DESCRIPCIÓN Los estudiantes emparejarán tarjetas numeradas con tarjetas con letras colocadas en el aula para demostrar su conocimiento de la norma anterior. Este elemento está diseñado para descubrir los conceptos erróneos de los estudiantes; no debe tomarse para una calificación.
2. Pida a los estudiantes que caminen por la sala con sus papeles. Mientras caminan por la sala, deben ver las tarjetas numeradas y emparejarlas con las tarjetas con letras. 3. Permita que los estudiantes compartan su pensamiento con un amigo. a. La tarjeta 1 empareja con la tarjeta B. b. La tarjeta 2 empareja con la tarjeta C.
MATERIALES
c. La tarjeta 3 empareja con la tarjeta A.
IMPRESOS
• 1 tarjetas para emparejar alrededor del salón (por clase)
PREPARACIÓN
4. Si los estudiantes tienen dificultades para completar esta tarea, pase al «Constructor de bases fundamentales» para llenar este vacío en el conocimiento previo antes de pasar a otras partes del alcance.
IDENTIFICACIÓN DE CONCEPTOS ERRÓNEOS
• Imprima una copia de las tarjetas para emparejar alrededor del salón.
• Los estudiantes pueden tener dificultades para recordar las reglas del producto. Es beneficioso permitir que los estudiantes investiguen los patrones cuando trabajan con exponentes con la misma base. Anime a los estudiantes a construir reglas basadas en patrones observados.
• Cuelgue las tarjetas en orden aleatorio por la sala.
Rational Exponents
Rational Exponents
Match Around the Room – Card 1
Match Around the Room – Card 3
32 · 3−3
(32)−3
Rational Exponents
Match Around the Room – Card B
1_ 3
1
3
5
Rational Exponents
Rational Exponents
Rational Exponents
Match Around the Room – Card 2
Match Around the Room – Card A
Match Around the Room – Card C
1_ 36
34 ÷ 33 2
3 4
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PARTIDOS EN TODO EL MUNDO
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ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES
ATRAER: CAPTAR INTERÉS Rational Exponents
LECCIÓN DE CAPTAR INTERÉS
CAPTAR INTERÉS DESCRIPCIÓN Los estudiantes harán predicciones sobre el significado de los exponentes racionales.
a.
b.
c.
d.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 exponentes racionales (por clase)
PREPARACIÓN
• Prepárese para proyectar exponentes racionales para que toda la clase lo vea. • Prepárese para presentar el escenario y para animar a los estudiantes a pensar en cómo resolverlo. Prepárese para pasar a las actividades de exploración, regresando a la actividad de captar interés con los nuevos conocimientos adquiridos después de que se hayan completado las exploraciones.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
EXPONENTES RACIONALES
4. Explique a los estudiantes que el objetivo del alcance será determinar cómo abordamos los exponentes que no son enteros y averiguar cómo podemos utilizar las reglas de exponentes aprendidas previamente para ayudarnos. Discuta las siguientes preguntas: a.
DOK-1 «¿Cómo pensamos al evaluar 82?». Multiplicar 8 por sí mismo dos veces.
b.
DOK-2 «¿Cómo podemos Explicar por qué 80 = 1?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. Las respuestas de los estudiantes variarán. Podemos usar patrones de los valores de expresiones exponenciales o considerar que 82 dividido por 82 debe ser igual a 1 y también es igual a 80 basándonos en nuestras reglas de exponentes.
c.
DOK-2 «¿Qué predicciones puedes hacer sobre el valor de 8 2/3?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. Las respuestas de los estudiantes variarán. Creo que el valor será menor que 8. Creo que el valor será mayor que 1.
PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA
1. Presente esta actividad hacia el comienzo del alcance. La clase retomará resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades explorar correspondientes. 2. Explique la situación mientras muestra exponentes racionales detrás de usted. «¿Cómo podemos dar sentido a la cuarta ecuación?». 3. Formule las siguientes preguntas: «¿Qué observas? ¿Qué se preguntan? ¿Dónde puedes ver matemáticas en esta situación?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Observo que 82 significa multiplicar 8 por sí mismo dos veces. Observo que los exponentes negativos crean fracciones pequeñas cuando la base es 8. Me pregunto por qué 80 es igual a 1. Me pregunto si la fracción como exponente creará un valor superior a 1. Me pregunto si las reglas de exponentes todavía funcionan con exponentes como fracciones. Me pregunto cómo se conectan el numerador y el denominador con el valor final.
5. Complete las actividades de exploración. PARTE II: POST-EXPLORACIÓN
1. Consulte exponentes racionales, y haga las siguientes preguntas: a.
DOK-1 «¿La evaluación de la última expresión tiene más sentido después de las Exploraciones?». Sí, el numerador de la fracción en el exponente es el valor al que elevo 8, y el denominador es la raíz que necesito tomar.
b.
DOK-3 «¿Cómo puedes Explicar por qué un exponente 1 de ___ tiene que ser el mismo que tomar la raíz 2 cuadrada?». Las respuestas pueden variar. Utilizando la 1 1 __ __ potencia de una ley de potencia, ( 8 2) 2 = 81 = 8._ (8 2) 2 también __ __ 12 12 es igual a 64 . Sabemos que 64 = 8, y que el √ 64 = 8 también.
c.
DOK-1 «¿Cuáles son las dos formas de evaluar 8 3 ? 8 3 = 2 __
3
__ 2
d.
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_
_
2 __
√8 = √ 64 = 4 or 8 = ( √ 8 ) = ( 2) = 4 3
__ 23
3
2
2
DOK-1 «¿Consideras que comprendes bien los exponentes racionales?». Las respuestas variarán en función del éxito de los estudiantes durante la actividad y de su nivel de confianza.
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ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 LECCIÓN DIDÁCTICA
EXPLORACIÓN 1: FRACCIONES COMO EXPONENTES DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes ampliarán sus conocimientos sobre las propiedades de los exponentes para incluir el significado de los exponentes fraccionarios. También descubrirán la relación entre las notaciones de exponentes radicales y racionales. Los estudiantes explorarán expresiones con exponentes racionales para descubrir reglas más eficientes para simplificar estas expresiones. Cada regla que se aplica a los exponentes enteros se aplica a los exponentes racionales. Deben explorar los patrones asociados a los exponentes racionales. Permita que utilicen una calculadora gráfica para explorar las expresiones de la tabla y hacer observaciones.
PARTE I
ESTÁNDARES DE PRÁCTICA MATEMÁTICA
4. Explique a los estudiantes que trabajarán con sus grupos para descubrir cómo escribir exponentes como radicales y viceversa. Registrarán su trabajo en sus diarios del estudiante.
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes relacionarán situaciones actuales con conceptos o habilidades aprendidas previamente y conectarán ideas matemáticas entre sí. • MP.3 Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros: Los estudiantes analizarán problemas y utilizarán supuestos matemáticos, definiciones y resultados establecidos para construir argumentos. Los estudiantes escucharán los argumentos de otros y harán preguntas útiles para determinar si un argumento tiene sentido. • MP.7 Buscar y hacer uso de la estructura: Los estudiantes aplicarán reglas matemáticas generales a situaciones concretas. Los estudiantes buscarán la estructura general y los patrones en las matemáticas.
MATERIALES
1. Lea el siguiente escenario a la clase: Krishna y Mateo están completando un experimento para su clase de ciencias que depende del tamaño del radio de las canicas. Necesitan determinar qué canicas tienen el mismo radio en varias empresas. Cada fabricante tiene una forma diferente de registrar el radio, en exponentes, radicales o números enteros. Han Recortedo las dimensiones de cada paquete. Utiliza tus conocimientos de exponentes para determinar qué canicas son iguales en todos los fabricantes. 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Entregue una bolsa de Tarjetas de radio de fabricante a cada grupo.
5. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar la comprensión de los estudiantes: a.
DOK-1 «¿Qué significa cuando hay un exponente entero?». Cuando hay un exponente entero, n, multiplicamos la base por sí misma n veces.
b.
DOK-2 DOK-2 «¿Qué significa cuando tenemos un exponente elevado a un exponente?». Cuando tenemos un exponente elevado a exponente, como (xa)b, multiplicamos xa por sí mismo b veces.
c.
DOK-2 «¿Cómo se puede combinar un exponente elevado a exponente en un único exponente?». Se pueden combinar multiplicando los 2 exponentes.
d.
DOK-1 «¿Cuál es cualquier base elevada a la potencia 0?». 1
e.
DOK-1 «¿Cuál es la base elevada a la primera potencia?». Sí mismo
f.
DOK-1 «¿Qué ocurre cuando la base se eleva a la segunda potencia?». La base se eleva al cuadrado o se multiplica por sí misma.
g.
DOK-1 «¿Por qué fracción tendría que multiplicar 16 para 1 obtener 4?». __4
IMPRESOS
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de tarjetas de radio del fabricante (por grupo) • 1 boleto de salida (por 2 estudiantes) REUTILIZABLE
• 1 bolsa resellable (por grupo) • 1 calculadora gráfica (por grupo)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 2 o 3 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» para cada uno. • Imprima un «Boleto de salida» para pareja. Recorte los boletos de salida de media página para que cada estudiante tenga uno. • Imprima un juego de tarjetas de radio de fabricante para cada grupo de estudiantes. Recorte las tarjetas y colócalas dentro de una bolsa resellable etiquetada como "Parte I". Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para utilizarlas en el futuro.
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h.
DOK-2 «¿Cuál es el patrón y cómo pasamos de un término al siguiente en la secuencia?». Multiplicar por un cuarto.
i.
DOK-1 Para ayudar en la ordenación, «¿qué bases son iguales?». Hay cuatro de base 8 y dos de base 9.
j.
DOK-1 «¿Cuál es la potencia a la que se eleva la base?». 2
k.
DOK-1 «¿Cuánto es 9 a la segunda potencia?». 81
l.
DOK-1 «¿Cuál es la raíz por la que se eleva 81?». 4
m.
DOK-1 «¿Qué número expresado 4 veces como factor tiene como producto 81?». 3
n.
DOK-1 «¿Podríamos utilizar el mismo proceso para las otras tarjetas?». Sí
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ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Rational Exponents Explore 1
6. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte I y responder a las preguntas que siguen.
Going Marbles Part I
7. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes hasta el momento.
1.
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Cambian las propiedades de los exponentes si se trata de un exponente fraccionario o entero?». No, las propiedades de los exponentes no cambian dependiendo de si el exponente es un número entero o una fracción. • DOK-1 «¿Qué es un número racional?». Un número racional es cualquier número que pueda representarse a mediante un cociente, como ___ . b
Krishna is working with an equation where the variables are in the exponent. Fill in the table below, and describe any patterns that you see.
3 _
• DOK-1 «¿Qué generalización descubriste con respecto a los exponentes racionales?». El numerador sigue siendo el exponente de la base, pero el denominador es el índice del radical. PARTE II
1. Lee el siguiente escenario a la clase: Krishna y Mateo comienzan a trabajar en sus experimentos. Primero tienen que reescribir sus conclusiones para que coincidan con la forma en que el fabricante muestra los radicales. A continuación, comienzan su reto de un experimento con una canica pequeña de radio desconocido. Se les pide que determinen el radio de la canica utilizando un vaso de precipitados para medir el volumen y la fórmula 4 V = ___ πr3. Utilizaron el vaso de precipitados para 3 determinar que el volumen de la canica era de 113 mL (113 cm cúbicos). No se pusieron de acuerdo sobre la fórmula
3.
4.
x
0
f(x) = 4x
1
1 2
4
2 8
16
Krishna is still uneasy about why . Mateo worked on another method to determine how to evaluate these fractional exponents. Help complete his work below. a. Use the power rule for exponents to evaluate . b.
Just evaluate the inside of the expression form.
c.
Explain how we could use Mateo’s work to figure out the value of . The value of must equal 3 if we use the transitive property from our work in parts a and b.
Use the information from the questions above to fill in the table to the right.
to create an equivalent
2
3
1
Rational Exponents Explore 1
5.
What relationship can you think of that turns 4 into 2 and turns 9 into 3? 1 The square root of 4 is 2, and the square root of 9 is 3. The exponent of 2 matches finding the square root of the base.
6.
Rewrite these expressions using radicals.
7.
Krishna feels good about exponents of
1
, but evaluating expressions with 2 exponents of 3 is still confusing. Complete the work below to help her 2
understand 3 .
8.
2
a.
Explain why is equivalent to . Using the power rule of exponents to multiply the 1 by 3, the two 2 expressions are the same.
b.
Evaluate
c.
Use your answers to parts a and b to evaluate
by first evaluating the expression inside of the parentheses.
9.
.
With what Krishna and Mateo have seen, they decide to sort the Manufacturer Radius Cards. Use the new tools at your disposal to determine which radii are the same, and record the matches in the table below. Marble Mania
√
2. Entregue una calculadora gráfica a cada grupo.
3 64
1
1 __ 3V ) 3= r es correcta, y que debían utilizar. Krishna dijo (___ 4π 3 ___ 3V = r es correcta. «¿Quién tiene razón y por Mateo dijo ___ 4π
qué? ¿Cuál es el radio de la canica?».
2 16
The output values get multiplied by 2 each time x increases by 2 .
• DOK-1 «¿Qué es una raíz cuadrada? ¿Cómo se escribe con exponente fraccionario?». La raíz cuadrada de un número es el número que multiplicado por sí mismo nos 1 da el número original.___ potencia es lo mismo que una 2 raíz cuadrada. 1 • DOK-2 Dado que la __ potencia es lo mismo que un 2 1 1 radical con índice 2, «¿qué podría hacer un __ La Una ___ 3 3 potencia es lo mismo que un radical con índice 3 y también se conoce como raíz cúbica.
1 4
How could Krishna fill in the table below for the same function if she wants a multiplicative pattern to still hold? Explain how she could predict the new output values.
• DOK-2 «¿Cuál sería un ejemplo de número irracional?». _
0 1
The output values get multiplied by 4 each time x increases by 1. 2.
• DOK-2 «¿Se consideraría un número entero un número racional?». Un número entero se considera un número racional porque se puede representar con un cociente 4 . haciendo que el denominador sea 1, como ___ 1 Algunos ejemplos de números irracionales son π,√2 , √4 .
x f(x) = 4x
Mega Marbles
Marbles R Us
Radius 1
A
E
I
Radius 2
D
H
C
Radius 3
G
B
F
What generalization could you make about exponents and rational exponents? The numerator remains the exponent for the base, but the denominator applies to the radical. 2
3. Los estudiantes deben seguir teniendo sus diarios del estudiante. DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE OPCIONES
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ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Rational Exponents Explore 1
4. Explique que trabajarán con sus grupos para reescribir una expresión como radical o exponente y registrar su trabajo en sus diarios del estudiante.
Part II 1.
Mateo completed the first half of the experiments. Krishna was out sick and said she would help finish writing their results to match the manufacturers’ radius specifications. Help Krishna finish the results for the first half of their experiment by completing the table. Experiment Result
2.
Marble Mania (expressed as radical)
5. Señale a la clase que pueden utilizar sus conocimientos de la parte I para cambiar la forma de la expresión de exponente a radical o viceversa.
Mega Marble (expressed as exponent)
6. Luego, los estudiantes trabajarán juntos para escribir expresiones en la forma más simple. 7. Mientras los estudiantes colaboran, monitoree su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar la comprensión de los estudiantes:
Mateo is reflecting on his work and believes he made an error in the second experiment. He believes he should have written the Marble Mania radius as . Help Krishna explain why he was correct originally. In the first experiment, the power of a power property is applied, and the 1
a. DOK-1 Cuando un exponente se eleva a otro exponente, «¿qué operación se utiliza para simplificar los exponentes? ¿Por qué?». Se usa la multiplicación de las potencias debido a la propiedad de potencia de una potencia.
5
exponents are multiplied: 5 ᐧ 2 = 2 . In the second experiment, the radicals are being multiplied so we can add the exponents. When the radicals are written as a fraction, we have 3.
1 1 3 + = . 2 4 4
Krishna thought the formula they should use to determine the radius of the marble was
, and Mateo thought it was
. Which student
b. DOK-1 Cuando se multiplican exponentes, «¿qué operación se usa para simplificar los exponentes? ¿Por qué?». Se utiliza la suma de las potencias debido a la propiedad de producto de potencias.
was right? Explain. They were both right because 4.
1 3
power is the same as the cube root.
What is the radius of their marble, given that they discovered the volume is 113 cm3? Give your answer three ways: using a fractional exponent, using a radical, and the decimal approximation to the nearest whole number using technology. The radius will be cm, cm, r ≈ 3 cm. 3
c. DOK-1 «¿Qué exponente es igual a una raíz cuadrada?». __21
d. DOK-1 «¿Qué exponente es igual a una raíz cúbica?». __ 1 3
Rational Exponents Explore 1
We have been looking at rational exponents in this Explore. What exactly is a rational number? A rational number is any number that can be written as a ratio of integers, like
2.
Explain why the expression is equivalent to both and . Using the power rule of exponents, I could multiply the exponents in either of the second two expressions to create the exponent of 2 .
g. DOK-3 «¿Son iguales o diferentes las potencias de un tercio y las raíces cúbicas?». Explique . Serían iguales porque el denominador se aplica al radical y el numerador es el exponente de la base dentro del radical. h. DOK-1 Al sustituir V, utilizando el orden de las operaciones, «¿cuál será tu primer paso?». Hallar el producto de 113 y 3.
3
3.
4.
Evaluate both and by starting with the inside of the expression to show that each produces the same result.
Why do you think solvers often choose to evaluate
by using
i. DOK-1 Examinando la nueva fracción, 339 «¿puede _____ simplificarse? ¿Cómo lo sabes?». 4 No, porque 4 no es un factor de 339.
instead of
? makes the value smaller before raising it to a power of 2, whereas
j.
makes the value larger first, which makes it potentially harder to find the cube root. 5.
3
f. DOK-1 «¿Cuál es el radical en la segunda ecuación?». Es una raíz cúbica.
Reflect 1.
e. DOK-1 Examinando las ecuaciones de radios que debaten los compañeros, «¿cuál es el exponente en la primera ecuación?». __1
Explain how to write with a single exponent. First, rewrite the roots as rational exponents, and then use the power rule and product rule for exponents.
DOK-2 Puesto que no se puede simplificar, «¿hay algún paso más?». Explique . No, porque las instrucciones dicen que hay que dejarlo en forma radical, y los únicos pasos que quedan tienen que ver con pi y el exponente.
8. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen.
4
9. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE OPCIONES
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17
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ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Rational Exponents Explore 1
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Qué observación puedes hacer sobre las relaciones entre las expresiones, los exponentes y los radicales?». Las reglas de los exponentes se aplican a los radicales al simplificar las expresiones.
Fractions as Exponents Exit Ticket Select all of the expressions that are equivalent to
• DOK-1 «¿Qué es una raíz cúbica?». La raíz cúbica de un número es el número que multiplicado por sí mismo 3 veces nos da el número original.
A.
9
B.
6
C.
3
.
D. E. F.
• DOK-2 «¿Quién tenía razón, Krishna o Mateo? ¿Por 1 qué?». ___ potencia es lo mismo que la raíz cúbica. 3
• DOK-3 «¿Cuál fue tu predicción de la evaluación 3 3 __ __ de 4 2 ? 8 porque se puede escribir 4 2 como __ 1 (4 2) 3, que es (2)3, que es igual a 8. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
Rational Exponents Explore 1
Fractions as Exponents Exit Ticket Select all of the expressions that are equivalent to
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
A.
9
B.
6
C.
3
D.
• Asegúrese de completarel «Esquema de anclaje» como clase. Una vez terminado, pida que cada estudiante complete su Libreta interactiva.
E. F.
APOYOS INSTRUCTIVOS
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE OPCIONES
1. Los estudiantes pueden confundir varios 1 __ -3 conceptos y tratar de simplificar 3 3 como 3 o viceversa. Anime a los estudiantes a que, en cuanto vean una fracción en el exponente, piensen automáticamente en raíz cuadrada o raíz cúbica, etc. 2. Los estudiantes pueden tener dificultades para simplificar exponentes fraccionarios que no sean raíces cuadradas rectas o raíces cúbicas que incluyan un numerador distinto de 1. Por ejemplo, 3 __ 9 2 . Los estudiantes pueden descomponer el 1 exponente para que sea ___ · 3 para facilitar la 2 simplificación.
.
Rational Exponents Part 1
Fractions as Exponents 1.
Using the expressions below, complete the table so that all of the expressions in each row are equivalent. 2
5
9
8
Original Expression
3
Equivalent Expressions 2 9 3 5 8
2.
Complete the table below to give the equivalent rational and radical forms of the expressions, and then simplify the expressions. Rational Exponent Form Radical Form Simplified Form
3
4
4
27
1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE OPCIONES 18
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ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Rational Exponents Part 1
3.
4.
Tony is building an aquarium for his marine biology class. The volume of the aquarium is 8 ft.3 and is a cube. a.
What is the formula for the volume of a cube, where V is the variable for volume and x is the variable for the length of the side of the cube? V = x3
b.
Solve for x in your equation above. Leave your answer in radical form.
c.
Rewrite your expression for x in rational form.
d.
Since Tony was given 8 ft.3 as the volume of the aquarium, what is the length of each side?
, not
Principiante: Antes de la lección, proporcione a los estudiantes una hoja de referencia incompleta para las leyes de los exponentes. La hoja debe tener un banco de palabras con las diferentes leyes, definiciones de las leyes y ejemplos. Haga que los estudiantes completen la hoja escribiendo la ley apropiada para cada definición y ejemplo proporcionado.
.
2
Rational Exponents Part 1
5.
We are going to create the graph of a new function using your knowledge of expressions with fractions as exponents. a. Fill in the table below for . x
b.
6.
0
1
4
9
16
0
1
2
3
4
Plot the points from your table to graph
La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo del lenguaje de los estudiantes. Los estudiantes utilizarán técnicas de aprendizaje como mapas conceptuales, dibujar, comparar, contrastar, memorizar y repasar para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado.
Morgan was simplifying the expression but got the wrong answer. Which step contains the error Morgan made? What should that step be? Step 1 Step 2 Step 3 (3)2 Step 4 9 Step 2 is wrong; it should be
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE
Intermedio: Antes de la lección, proporcione a los estudiantes una hoja de referencia incompleta para las leyes de los exponentes. La hoja debe tener un banco de palabras de las diferentes leyes, definiciones de las leyes y ejemplos. Haga que los estudiantes completen la hoja escribiendo la ley apropiada para cada definición y ejemplo proporcionado. Avanzado: Como actividad previa a la lección, proporcione a cada estudiante una hoja de papel en la que habrá escrita una ley de exponentes (por ejemplo, la ley de la potencia de cero), la definición de una ley o un ejemplo de una ley. Los estudiantes recorrerán el aula en busca de compañeros que tengan la ley, definición o ejemplo correspondiente.
.
We are going to create the graph of a new function using your knowledge of expressions with fractions as exponents. a. Fill in the table below for . x
b.
–27
–8
–1
0
1
8
27
–3
–2
–1
0
1
2
3
Plot the points from your table to graph
.
3
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE OPCIONES ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Rational Exponents Explore 2
LECCIÓN DIDÁCTICA
EXPLORACIÓN 2: SIMPLIFICACIÓN DE RAÍCES CUADRADAS
Garden Roots Part I 1.
Complete the table below using your knowledge of square roots and factoring to compute the length of each side of the two gardens
DESCRIPCIÓN Un número que tiene una raíz cuadrada entera se llama cuadrado perfecto. Los estudiantes simplificarán expresiones radicales que involucran números que pueden no ser cuadrados perfectos. Los estudiantes simplificarán estas expresiones buscando pares de factores dentro de los números. Los estudiantes multiplicarán cualquier coeficiente por cualquier número adicional que se mueva delante del símbolo radical durante el proceso de simplificación.
Radishes
4
25
8
2
5
Length of Each Side As a Product of Prime Factors Common Terms Paired
Simplified
2.
• MP.3 Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros: Los estudiantes analizarán problemas y utilizarán supuestos matemáticos, definiciones y resultados establecidos para construir argumentos. Los estudiantes escucharán los argumentos de otros y harán preguntas útiles para determinar si un argumento tiene sentido. • MP.7 Buscar y hacer uso de la estructura: Los estudiantes aplicarán reglas matemáticas generales a situaciones concretas. Los estudiantes buscarán la estructura general y los patrones en las matemáticas.
Tomatoes
Area of Garden
ESTÁNDARES DE PRÁCTICA MATEMÁTICA • MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes relacionarán situaciones actuales con conceptos o habilidades aprendidas previamente y conectarán ideas matemáticas entre sí.
Carrots
What is the difference between simplifying the square root of 25 and simplifying the square root of 8? When simplifying the square root of 25, we were able to pair up all of the factors. For the square root of 8, there was one factor left over that had to be left as a radicand. 1
Rational Exponents Explore 2
Part II 1.
Use the Garden Signs Cards to complete the table. Determine the radical expression that represents the length and width of the garden plot. Write each radicand as its prime factors, and then give the expression for length and width in simplest radical form. Radical
MATERIALES
Prime Factorization
Simplest Radical Form
Lettuce
IMPRESOS
Potatoes
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de tarjetas de señales de jardín (por grupo)
Green Beans
• 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes) Strawberries
REUTILIZABLES
• 1 bolsa resellable (por grupo)
Cucumbers
PREPARACIÓN
Bell Peppers
• Separa la clase en grupos de 2 o 3 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» para cada uno. • Imprima un «Boleto de salida»para cada 2 estudiantes. Recorte los boletos de salida de media página para que cada estudiante tenga uno. • Imprima un juego de tarjetas de señales de jardín para cada grupo de estudiantes. Recorte las tarjetas y colócalas dentro de una bolsa resellable con la etiqueta "Parte II". Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para utilizarlas en el futuro.
20
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2.
In another garden, there is squash with a radical expression of to represent the width. Charlotte believes this simplifies to . Joshua believes the area simplifies to . Who is correct and why? Joshua because simplifies to . I believe once the factorization of 45 is complete, the original 5 would need to be multiplied with the 3 that comes out of the radical.
2
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1/9/26 1:41 PM
ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Rational Exponents Explore 2
3.
Fernando thought it took too long to write out the prime factorization of 72 and wants to consider a different way to simplify . Which of the options below is more useful, and why? Option A: Option B: Option B is more useful because it quickly can become the final simplest form of since 36 is a perfect square.
4.
Fernando is trying to rework finding the simplest form for options below would be more efficient? Option A: Option B:
. Which of the
Option A is more efficient because 100 is a larger perfect square, so it becomes more quickly than option B.
5.
After looking at these more efficient ways, with your guidance, Fernando tried to simplify . Explain Fernando’s steps in each option, and decide which one is more efficient in your opinion. Option A: Option B:
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Lea la siguiente situación a la clase: Charlotte y Joshua van a plantar huertos cuadrados en su colegio como parte de una clase de ecología. Van a empezar con 3 cultivos: zanahorias, tomates y rábanos. Después de investigar cuánto espacio necesita cada una de estas hortalizas para crecer, han decidido que necesitan 4 pies cuadrados para las zanahorias, 25 pies cuadrados para los tomates y 8 pies cuadrados para los rábanos. Determine la longitud de los lados de cada huerto. 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno.
In option A, Fernando combined the two radicals into one and then factored the 50 with the largest perfect square of 25. Option B separates the square root of 10 using its prime factorization and then combines the two square roots of 5 to get the final simplification. Answers will vary regarding which option students prefer and find more efficient.
3. Explique a los estudiantes que trabajarán con sus grupos para simplificar la expresión de la longitud de cada lado del huerto y registrar su trabajo en sus diarios del estudiante. 4. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar la comprensión de los estudiantes:
3
Rational Exponents Explore 2
a.
DOK-1 «¿Cómo sabemos la longitud, L, del lado de cada huerto dada el área, A?». Los jardines tienen _ forma cuadrada. El área de un cuadrado es A = L2, o L= √A .
b.
DOK-2 «¿Por qué queremos emparejar factores?». Queremos emparejar factores para crear cuadrados perfectos. Los cuadrados perfectos se simplificarán a un número entero y se pueden reescribir como el coeficiente del radical.
c.
DOK-1 Cuando hay un par, «¿qué haces con él?». Simplificarlo y reescribirlo como el coeficiente del radical.
d.
DOK-1 Si hay factores que no se pueden quitar, «¿qué pasa con ellos?». Permanecen como el radicando.
Reflect 1.
In this Explore, we have been using radical notation. Rewrite the steps for the lettuce bed calculations using just rational exponents.
5. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte I y responder a las preguntas que siguen.
2.
Does writing the calculations in exponential form versus radical form make any real difference in performing the calculations? No, the calculations are the same; it is simply a different way to notate it. A radical can be written as a fractional exponent.
3.
After rewriting with fractional exponents, identify 2 places in question 1 where the laws of exponents were used. The product of powers law was used in the second step to combine the 1st power of both threes. The power of a power property was used in the last step to multiply one-half and two.
4.
We have been looking at areas that are always positive numbers, but would you get a real number if you try to take the square root of a negative number? Why or why not? You cannot get a real number if you take the square root of a negative number because no real number multiplied by itself can give you a negative number. Two positive numbers will multiply together to get a positive number, and two negative numbers will multiply to get a positive number.
• DOK-1 «¿Cómo sabes si un número es un factor primo?». Un número es un factor primo si los únicos números enteros por los que se puede dividir en partes iguales son él mismo y 1.
5.
What does it mean when we say a number is a perfect square? How do perfect squares relate to the problems we have done in this Explore? A perfect square is a number whose square root is an integer. We have been grouping perfect squares to be able to simplify and rewrite the expression with a coefficient outside of the radical.
• DOK-2 «¿Todos los radicales se simplifican a un número entero?». Explique por qué sí o por qué no. No, si es un cuadrado perfecto, entonces será un número entero. Si no es un cuadrado perfecto, entonces quedarán factores como el radicando.
6. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes hasta el momento. CHARLA DE MATEMÁTICAS
4
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• DOK-1 «¿Cuál es una buena manera de determinar todos los factores de un número?». Una buena manera de llevar la cuenta de la factorización es crear un árbol de factores, trabajando hacia abajo hasta tener todos los números primos.
21
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ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Rational Exponents Explore 2
PARTE II
1. Lee la siguiente situación a la clase: Ahora que las 2 primeras verduras están creciendo bien, Charlotte y Joshua quieren añadir más productos. Han creado carteles para ayudarles a etiquetar sus huertos. Cada letrero de jardín tiene el tipo de producto y el área de la parcela del jardín. 2. Entregue un juego de Tarjetas de letreros de jardín a cada grupo de estudiantes.
Simplifying Square Roots Exit Ticket Write the following in simplest radical form. 1.
2.
3. Los estudiantes deben tener sus diarios del estudiante. 4. Explique a los estudiantes que trabajarán con sus grupos para escribir expresiones para las longitudes, simplificar las longitudes y registrar su trabajo en sus diarios del estudiante. 5. A medida que los estudiantes colaboran, controle su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar la comprensión de los estudiantes: a. DOK-1 «¿Crees que el orden de tus factores importa? ¿Por qué o por qué no?». No, el orden de los factores no importa porque se multiplican, y se pueden multiplicar números en cualquier orden (propiedad conmutativa de la multiplicación). b. DOK-1 «¿Qué operación se produce entre los factores sacados del radical y el radical?». Multiplicación c. DOK-1 Si hay algún número fuera del radical antes de simplificarlo, «¿qué debes hacer con los coeficientes adicionales que resultaron al simplificar el radical?». Multiplícalos por los coeficientes originales para simplificarlos a un solo coeficiente. d. DOK-2 Utilizando tu análisis del debate de Charlotte y Joshua sobre el squash, «¿por qué Joshua tendría razón?». Explique. El número fuera del radical está multiplicando. Cuando sacamos factores, los multiplicamos. Tiene sentido que si ya existe un número fuera del radical, multipliquemos los factores que sacamos con él para obtener un nuevo producto. 6. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen. 7. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Se les ocurre alguna situación en la que podría ser mejor tener un número en la forma no simplificada?». Si quisieras comparar el tamaño de dos expresiones, es más fácil hacerlo antes de simplificar los radicales.
Rational Exponents Explore 2
Simplifying Square Roots Exit Ticket Write the following in simplest radical form. 1.
2.
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE OPCIONES
• DOK-2 Al sacar la raíz cuadrada de un número, emparejamos los factores para crear cuadrados perfectos. «¿Qué crees que haríamos si estuviéramos simplificando una raíz cúbica?». Si estuviéramos simplificando una raíz cúbica, crearíamos grupos de 3 factores semejantes en lugar de los 2 que utilizamos en una raíz cuadrada. • DOK-2 Aplica tus conocimientos a la pregunta de reflexión 2. «¿Qué diferencias, si las hay, crees que presentarán las variables?». No creo que haya diferencias. En lugar de números, se usarán variables, pero se aplicará el mismo proceso de encontrar factores. 8. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de completarel «Esquema de anclaje» como clase. Una vez terminado, pida a cada estudiante que complete su Libreta interactiva.
• DOK-2 «¿Cuál crees que podría ser una ventaja de tener un radical simplificado?». Una ventaja es que permite sumar radicales ya que pueden tener radicandos semejantes.
22
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ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Rational Exponents Part 2
APOYOS DIDÁCTICOS 1. Los estudiantes pueden tener dificultades para sacar del radicando sólo los números que tienen cuadrados perfectos y factores adicionales. Anime a los estudiantes a asegurarse de que todas las expresiones que crean son equivalentes y que no se están saltando pasos al escribir todos los factores dentro del radical antes de sacar la raíz.
Simplifying Square Roots Simplify the following square roots. Show all of your work, including the factorization of the expression you choose. 1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
2. Al simplificar números a partir del radicando, por ejemplo la raíz cuadrada de 36, los estudiantes pueden no saber qué hacer con los factores (3 y 2) y pueden intentar sumarlos en lugar de multiplicarlos. Anime a los estudiantes a recordar el ejemplo de 36 = 3² · 2², donde la raíz cuadrada es 3 · 2 = 6 y los factores se multiplican cuando salen del radicando.
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE
10.
1
11.
La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad Explorar. Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo del lenguaje de los estudiantes. Se proporcionará a los estudiantes apoyos previos a la lectura (organizadores gráficos, diagramas de formas y vocabulario preenseñado) para ayudarlos con la comprensión lectora.
Rational Exponents Part 2
Principiante: Antes de la lección, proporcione a los estudiantes una hoja de referencia que represente, etiquete y defina el radical y el radicando de una raíz cuadrada.
Clara is designing a new tile wall in her bathroom. She is looking at decorative tiles and needs to find one that is a square and has a side length between 5 and 8 inches. Calculate the side length of each tile based on the area given, and then use technology to give the length of the side rounded to the nearest whole number. a. What is the formula for the area of a square? A = L2 b. Solve for length in this equation. c. Complete the tables below to find the length of the side of each tile.
Intermedio: Antes de la lección, proporcione a los estudiantes una hoja de referencia que represente, etiquete y defina el radical y el radicando de una raíz cuadrada.
Daffodil
Length of the side Side written as a product of factors Simplified radical
Area = 12 in.2
Lily
Rounded to the nearest inch
3 inches
Avanzado: Antes de la lección, proporcione a los estudiantes una hoja de referencia que represente y defina el radical y el radicando de una expresión de raíz cuadrada. Haga que los estudiantes etiqueten las partes radical y radicando de la raíz cuadrada.
Length of the side Side written as a product of factors Simplified radical
Area = 75 in.2
Rose
Rounded to the nearest inch
9 inches
Length of side Side written as a product of factors Simplified radical
Area = 45 in.2 d.
Rounded to the nearest inch
7 inches
Which tile should Clara use if she wants it to be between 5 and 8 inches? Clara should use the tile with the rose on it.
2
DEMUESTRA LO QUE SABES (PARTE 2) CLAVE DE OPCIONES
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ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Rational Exponents Explore 3
LECCIÓN DIDÁCTICA
EXPLORACIÓN 3: SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES DE RAÍZ CUADRADA DESCRIPCIÓN Los estudiantes simplificarán expresiones radicales que involucren multiplicación y división. Buscarán patrones en los números para desarrollar métodos de _ simplificación. Los estudiantes descubrirán que a · √ _ _ √b = √ ab . Los radicandos también pueden contener variables.
Growing Garden Roots Part I 1.
In determining how many bags of fertilizer we need, what is the first calculation we need to make? First, we need to determine how many square feet of garden there will be.
2.
Complete the table to find the area of each of the 3 different gardens. Radish
Expanded Form Coefficients Multiplied Radicands Multiplied
3.
• MP.3 Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros: Los estudiantes analizarán problemas y utilizarán supuestos matemáticos, definiciones y resultados establecidos para construir argumentos. Los estudiantes escucharán los argumentos de otros y harán preguntas útiles para determinar si un argumento tiene sentido. • MP.7 Buscar y hacer uso de la estructura: Los estudiantes aplicarán reglas matemáticas generales a situaciones concretas. Los estudiantes buscarán la estructura general y los patrones en las matemáticas.
Radicals Simplified
4・2
Area Expression Simplified
8
What are the similarities and differences between the simplified area expressions? The simplified area expression for the radish garden doesn’t have a radical, but garden 1 and garden 2 have radicals. The radicand for garden 1 is the same as the radicand for garden 2.
1
Rational Exponents Explore 3
4.
The garden club needs the total combined area of all of the gardens. They need to identify the gardens that have like radicands. Which gardens have an expression for area with like radicands? What is the total combined area of garden 1 and garden 2? Garden 1 and garden 2 have a like radicand of 3.
5.
Find the total combined area of the three gardens, give the answer in radical form, and then use technology to give an approximation to the nearest integer. , 320 sq. ft.
6.
If they need one bag of fertilizer per 100 sq. ft. of garden, how many bags will they need? They will need 4 bags of fertilizer.
7.
The students wondered if they could generate a generic expression that could help with plans for next year. The groundskeeper suggested using variables. If they estimate an area of and a depth of , what would be the volume as a simplified radical expression?
8.
Help the garden club simplify one more expression for volume:
MATERIALES IMPRESOS
Garden 2
Area Expression
ESTÁNDARES DE PRÁCTICA MATEMÁTICA • MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes relacionarán situaciones actuales con conceptos o destrezas previamente aprendidos y conectarán ideas matemáticas entre sí.
Garden 1
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 2 ó 3 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» para cada uno. • Imprima un «Boleto de salida»para cada 2 estudiantes. Corte los boletos de salida de media página para que cada estudiante tenga uno.
.
2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE OPCIONES
24
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1/9/26 1:41 PM
ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Rational Exponents Explore 3
Part II 1.
Help Agustin and the garden club. Use the space below to experiment with sums and products of rational and irrational numbers. Pick two numbers, find the sum or product when possible, and then determine if the result is rational or irrational. Rational Numbers
b.
c.
d.
e.
f.
The sum of a rational number and a rational number is rational. +
=
+
=
Sums will vary.
❏ Rational
❏ Irrational
❏ Rational
❏ Irrational
The sum of a rational number and an irrational number is irrational. +
=
+
=
Sums will vary.
❏ Rational
❏ Irrational
❏ Rational
❏ Irrational
The sum of an irrational number and an irrational number is irrational. +
=
+
=
Sums will vary.
❏ Rational
❏ Irrational
❏ Rational
❏ Irrational
The product of a rational number and a rational number is rational. ・
=
・
=
Products will vary.
❏ Rational
❏ Irrational
❏ Rational
❏ Irrational
2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Explique a los estudiantes que trabajarán con sus grupos para determinar cuántas bolsas de fertilizante necesitarán y registrarán su trabajo en sus diarios del estudiante.
The product of a rational number and an irrational number is irrational. ・
=
・
=
Products will vary.
❏ Rational
❏ Irrational
❏ Rational
❏ Irrational
The product of an irrational number and an irrational number is irrational. ・
=
・
=
Products will vary.
❏ Rational
❏ Irrational
❏ Rational
❏ Irrational
PARTE I
1. Lea el siguiente escenario a la clase: A medida que continúan los preparativos para el Club de Jardinería de la Escuela Secundaria Oak Woods, se decidió que tenía más sentido combinar todos los jardines pequeños, excepto los rábanos, en _2 jardines más grandes. El primer jardín será 5_ √6 · _ 10 _√2 pies cuadrados. y el segundo será 10√2 · 4 √6 pies cuadrados. El siguiente paso es determinar cuánto fertilizante y tierra vegetal necesitarán. Las instrucciones indican que necesitarán una bolsa de fertilizante por cada 100 pies cuadrados de jardín. «¿Cuántas bolsas necesitarán?».
Irrational Numbers
7, , 0, 1 a.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
3
Rational Exponents Explore 3
2.
3.
Based on your experiments, decide if each statement is sometimes true, always true, or never true. a.
The sum of a rational number and a rational number is rational. ᫅ Sometimes true ᫅ Always true ᫅ Never true
b.
The sum of a rational number and an irrational number is irrational. ᫅ Sometimes true ᫅ Always true ᫅ Never true
c.
The sum of an irrational number and an irrational number is irrational. ᫅ Sometimes true ᫅ Always true ᫅ Never true
d.
The product of a rational number and a rational number is rational. ᫅ Sometimes true ᫅ Always true ᫅ Never true
e.
The product of a rational number and an irrational number is irrational. ᫅ Sometimes true ᫅ Always true ᫅ Never true
f.
The product of an irrational number and an irrational number is irrational. ᫅ Sometimes true ᫅ Always true ᫅ Never true For the 3 statements that you selected “sometimes true,” explain to Agustin using a counterexample why this doesn’t always work. Statement c is only sometimes true because I found the sum of and . This resulted in a rational number of zero. Statement e is only sometimes true because the product of 0 and was 0. This product is a rational number. Statement f is only sometimes true because the product of and is 1. This product is a rational number.
Rational Exponents Explore 3
Reflect 1.
When simplifying a square root, if the radicand is a variable that has a power that is an even whole number, will it simplify to an expression with or without a radical? Explain. If the power is even, it will simplify to an expression without a radical. If the power is even, every variable will have a “pair,” so they will all simplify to variables without a radical.
2.
When simplifying a square root, if the radicand is a variable that has a power that is an odd whole number, will it simplify to an expression with or without a radical? Explain. If the power is odd, it will simplify to an expression with a radical. The radicand will just be one variable because all of the other variables will have had a pair. An odd number is just plus one from an even, so the extra plus one will still remain in the radicand.
3.
Consider the product of rational and irrational factors. Decide if the product will sometimes or always be rational or irrational. Justify your answer with an example. Sometimes or Always True Irrational ・ Irrational = Irrational
Sometimes
Irrational ・ Rational = Irrational
Sometimes
Rational ・ Rational = Rational
Always
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DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE OPCIONES
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Example
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DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE OPCIONES
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ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Rational Exponents Explore 3
4. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientativas para evaluar la comprensión de los estudiantes: a.
b. c. d. e.
f.
g.
h.
DOK-1 «¿Cómo determinamos el área total combinada de los 3 jardines?». Calculamos el área de cada jardín (largo por ancho) y luego las sumamos. DOK-1 como _ «¿Cómo podríamos expandir un radical _ 5√ 7 ? ». Podríamos escribirlo como 5 · √ 7 . _
_
_
_
Simplifying Square Root Expressions Exit Ticket Simplify the following expressions. 1. 2. 3.
DOK-1 Cómo se podría simplificar √ 2 · √ 2 ? Multiplica _ los radicandos y obtendrás √ 4 , que es igual a 2.
rational or irrational? Explain your reasoning. Is the product of and This product is rational. Both factors are rational, and the product of two rational numbers is always rational.
DOK-1 «¿Cómo podrías simplificar ». Multiplica _ √ 2 · √ 3 ? los radicandos, y eso te daría √6 .
Rational Exponents Explore 3
DOK-2 Si sumaras 5 y x, «¿podrían combinarse estos términos?». En caso negativo, «¿cómo darías la respuesta?». No, porque no tienen la x en común. Lo dejarías como 5 + x. DOK-2 Si queremos saber el número de bolsas que necesitamos, «¿podemos redondear como hacemos normalmente, redondeando hacia abajo un decimal inferior a 0.5? ¿Por qué sí o por qué no?». Tenemos que redondear hacia arriba porque, si no, no tendremos suficiente abono.
Simplifying Square Root Expressions Exit Ticket Simplify the following expressions. 1. 2. 3.
rational or irrational? Explain your reasoning. Is the product of and This product is rational. Both factors are rational, and the product of two rational numbers is always rational.
x2
DOK-1 «¿Es posible combinar ____ de forma que sólo y2 tenga un exponente?». Sí, las reglas de los exponentes x 2 __ nos dicen que sería igual a ( y ) . DOK-1 «¿Cómo _podríamos aplicar las leyes de los √x_ exponentes a ___ para poder combinarlos en una √ y expresión con un único radical?». Puesto que una raíz cuadrada es lo mismo que una potencia de la mitad, podemos aplicar las__leyes de los exponentes para x_ reescribirla como y .
√
5. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte I y responder a las preguntas que siguen. 6. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes hasta el momento. CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-2 «¿En qué se parece multiplicar 2 radicales a multiplicar 2 variables con coeficientes, como 3x y 2x2?». El proceso es similar porque en ambos se agrupan los elementos semejantes. Con las variables, primero se multiplican los números enteros y luego se combinan las variables. (3 - 2)(x - x2). Al multiplicar radicales, primero se multiplican los enteros y luego se combinan los radicales. • DOK-2 Si un radicando se puede escribir como un cuadrado perfecto, «¿se simplificará a una expresión con o sin radical?». Explique. Se simplificará a una expresión sin radical porque el cuadrado perfecto se simplificará a una variable o entero.
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BOLETO DE SALIDA CLAVE DE OPCIONES PARTE II
1. Lea la siguiente situación a la clase: Agustín, un estudiante del club de jardinería, notó que en la primera expresión con variables, tanto la expresión para el área como la expresión para la profundidad incluían un radical, pero el producto no. Pidió a otros miembros del club de jardinería que analizaran esta situación y le ayudaran a resumir lo que ocurre. Agustín sugirió examinar la suma y el producto de varios números. Quiere utilizar algunos números racionales y algunos irracionalesal numbers. Ayude a Agustín y al club de jardinería a experimentar y a encontrar algunos patrones. 2. Aún deben tener sus diarios del estudiante. 3. Explique a los estudiantes que trabajarán con sus grupos para experimentar con las sumas y los productos de números racionales e irracionales y registrarán su trabajo en sus diarios del estudiante.
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ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3
4. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientativas para evaluar la comprensión de los estudiantes: a.
DOK-1 Para el enunciado a, «¿qué números racionales has sumado? ¿Cómo decidiste qué números elegir? ¿La suma fue racional o irracional?». Las respuestas pueden variar. Elegí 0 y 1 para sumar. Elegí los números más fáciles. La suma fue racional.
b.
DOK-1 Para el enunciado b, «¿qué número racional y qué número irracional sumaste? ¿Cómo decidiste qué números elegir? ¿La suma era racional o irracional?». Las respuestas pueden variar. Elegí 0 y π para sumar. Elegí los números más fáciles. La suma era irracional.
c.
DOK-1 Para el enunciado c, «¿qué números irracionales sumaste? ¿Cómo decidiste qué números elegir? ¿La suma era racional o _ irracional?». Las _ respuestas pueden variar. Elegí √ 3 y - √ 3 para sumar. Eran opuestos y crearían un par cero, así que parecían fáciles. La suma era racional.
d.
DOK-1 Para el enunciado d, «¿qué números racionales multiplicaste? ¿Cómo decidiste qué números elegir? ¿El producto era racional o irracional?». Las respuestas pueden variar. Elegí 0 y 1 para multiplicar. Elegí los números más fáciles. El producto era racional.
e.
DOK-1 Para el enunciado e, «¿qué número racional y qué número irracional multiplicaste? ¿Cómo decidiste qué números elegir? ¿El producto era racional o irracional?». Las respuestas pueden variar. Elegí 0 y π para multiplicar. Cero por un número siempre es cero, así que parecía muy fácil. El producto era racional.
f.
DOK-1 Para el enunciado f, «¿qué números irracionales multiplicaste? ¿Cómo decidiste qué números elegir? ¿El producto era racional o irracional?». Las respuestas _ 1_ pueden variar. Elegí √ 3 y ___ para multiplicar. Parecían √ 3 fáciles porque son recíprocos. El producto fue racional.
5. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen. 6. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 Describa con sus propias palabras cómo se hace para multiplicar expresiones que contienen radicales. • DOK-2 Considere el producto de dos números irracionales. «¿Será siempre irracional el producto?». Da un ejemplo de por qué sí o por qué no. A veces será cierto, pero hay veces que el producto será un _ _ número entero. √2 · √2 = 2 7. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 8. Vuelva al Captar interés y pida a los estudiantes que utilicen sus habilidades recién adquiridas para completar con éxito la actividad.
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ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de completarel «Esquema de anclaje» como clase. Una vez terminado, pida a cada estudiante que complete su Libreta interactiva.
APOYOS DIDÁCTICOS 1. Para problemas como simplificar (4x2 y⁻3)2, si los estudiantes ponen primero y3 en el denominador, pueden confundirse al elevar el término al cuadrado. Recuérdeles que cuando las fracciones se elevan a un exponente, todos los términos de la fracción necesitan elevarse a ese exponente. 2. Para problemas como 2x⁻2, los estudiantes pueden pensar que el exponente también se aplica al coeficiente del término x. Aclare que sin paréntesis el exponente sólo se aplica al término x. 3. Del mismo modo, para problemas como (5x2)3, los estudiantes necesitan cubicar cada término entre paréntesis, incluido el 5.
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de Explore. Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo del lenguaje de los estudiantes. Los estudiantes utilizarán técnicas de aprendizaje como mapas conceptuales, dibujar, comparar, contrastar, memorizar y repasar para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado. Principiante: Como actividad posterior a la clase, guíe a los estudiantes en la creación de una hoja resumen de cómo simplificar una expresión de raíz cuadrada. Por ejemplo, podrían enunciar los siguientes pasos: 1) Encontrar la factorización prima del radicando; 2) Escribir cada radicando en su forma más simple; y así sucesivamente. Los estudiantes deben incluir en su hoja un ejemplo en el que etiqueten los pasos según corresponda. Intermedio: Como actividad posterior a la lección, guíe a los estudiantes en la creación de una hoja resumen de cómo simplificar una expresión de raíz cuadrada. Por ejemplo, podrían indicar los siguientes pasos: 1) Encontrar la factorización prima del radicando; 2) Escribir cada radicando en su forma más simple; y así sucesivamente. Los estudiantes deben incluir en su hoja un ejemplo en el que etiqueten los pasos según corresponda. Avanzado: Como actividad posterior a la lección, pide a los estudiantes que creen una hoja resumen de cómo simplificar una expresión de raíz cuadrada. Por ejemplo, podrían indicar los siguientes pasos: 1) Encontrar la factorización primaria del radicando; 2) Escribir cada radicando en su forma más simple; y así sucesivamente.
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ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3
Rational Exponents Part 3
Rational Exponents Part 3
11.
Simplifying Square Root Expressions
Chloe is looking for a new apartment and wants to compare the amount of living space in the units at West Park Square and Main Tower Apartments. Complete the table by calculating the area of each room, and then adding up the total living area for each of the apartments. Leave your answers in radical form.
Combine the radicals in each expression, and then match with the simplified form. West Park Square
Main Tower Apartments
1. Living Room
Dimensions
2. Area
4
3.
Kitchen
4.
Dimensions
Area
5. Bedroom
6.
7.
Dimensions
Area
12
Total Living Space
8.
9.
10.
2
1
Rational Exponents Part 3
12.
The area of a square is 200 square feet. What is the side length of the square? Write your answer in simplest radical form. A = s2 200 = s2
13.
What is the perimeter of the square? Is your answer a rational or irrational number? The perimeter is the sum of irrational numbers, which leads to an irrational value.
14.
If I create a rectangle with a width that is the same as the side length of the square and a length of , what is the area of the rectangle? Is this number rational or irrational? 80 ft.2
15.
What is the side length of a square whose area is 48x2y5? Write your answer in simplest radical form.
3
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 3) CLAVE DE OPCIONES
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ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES
EXPLIQUE R: ESQUEMA DE ANCLAJE ANCLAR EL APRENDIZAJE DE LOS ESTUDIANTES
ESQUEMA DE ANCLAJE
Rational Exponents
3 · 3 · 3 · 3 = 34 Rational Exponent Base
Exponent (power): the number of times the base number should be multiplied by itself
Radical Notation
What is the simplified form of
Remember!
?
A POSITIVE exponent tells how many times to multiply the base.
Rewrite the rational exponent using radical notation. Factor the terms if possible. Use the definition of a root to simplify. 3x2
What is the simplified form of
?
A NEGATIVE exponent tells how many times to divide the base.
Rewrite the expression as one radical. Factor the numbers in the radical. Use the definition of a root to simplify. →
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
DESCRIPCIÓN Este esquema de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Esta es una herramienta para apoyar la instrucción y anclar el aprendizaje de los estudiantes a lo largo del alcance.
MATERIALES
• 1 hoja de papel cuadriculado • 1 juego de marcadores multicolores
PREPARACIÓN
• Imprima el ejemplo de esquema de anclaje (opcional)
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. El ejemplo de «Esquema de anclaje» puede usarse como referencia antes de crear el esquema de la clase con los estudiantes. Esta actividad debe estar dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje. 2. A medida que los estudiantes trabajen en el alcance, colaboren para añadir piezas al esquema de anclaje. Formule las siguientes preguntas orientadoras: a. «¿Qué estrategia utilizamos para resolver este problema?». b. «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?». 3. Continúe añadiendo habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada «Exploración» para resaltar el contenido importante. 4. Explique a los estudiantes que pueden utilizar este gráfico como herramienta de apoyo para su aprendizaje. También pueden pegar una copia del «Esquema de anclaje» en sus cuadernos para utilizarla como referencia durante todo el año. 5. Algunas tablas de anclaje sólo se mostrarán durante ese alcance o grupo de alcances, mientras que otras permanecerán expuestas durante todo el año escolar.
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ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES
EXPLIQUE R: LIBRETA INTERACTIVA DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DE LOS ESTUDIANTES
Rational Exponents
Instructions ● Cut out the cards below. ● Match each expression to its equivalent expression, and glue the cards next to each other in your notebook.
LIBRETA INTERACTIVA DESCRIPCIÓN Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase utilizando la actividad y la libreta.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
PREPARACIÓN
FOLLETO DEL ESTUDIANTE
• Imprima una copia del «Folleto del estudiante» para cada uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Prepare una «Libreta interactiva» utilizando un cuaderno de espiral o de composición para cada uno. Los estudiantes pueden utilizar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades. 2. En el «Folleto del estudiante» se ofrecen instrucciones para cada actividad. 3. Dé tiempo para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos. 4. Las libretas interactivas pueden utilizarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
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ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES
EXPLIQUE R: VOCABULARIO ILUSTRADO PALABRAS QUE HAY QUE CONOCER
VOCABULARIO ILUSTRADO
Square Root
Radical
Cube Root
A number that, when multiplied by itself, produces the given number
A symbol that indicates the root of a quantity
A number that, when multiplied by itself three times, produces the given number
2
4
3
Exponent
Integer
Expression
A mathematical notation that indicates the number of times the base number is multiplied by itself; also called power
Any one of the positive whole numbers, negative whole numbers, and zero; any member of the set of all whole numbers and their opposites
Numbers, variables, and symbols grouped together without an equal sign to show a relationship
5
Radicand
Simplify
The value inside the radical symbol
To replace a numerical expression with the simplest name for its value by using the substitution principle 8
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7
6
9
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ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ DESARROLLAR LA FLUIDEZ CONCEPTUAL
Go Fish! Instruction Sheet
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: SIMPLIFICAR RADICALES
Play this game with a partner.
DESCRIPCIÓN
How to Play 1. Shuffle the Go Fish! Cards.
En esta actividad, los estudiantes jugarán ¡A pescar! para resolver problemas matemáticos.
You Will Need 1 Set of Go Fish! Cards (per pair)
2.
Pass out five cards to each player.
3.
Place the rest of the deck in a pile on the table.
4.
Players take turns asking each other for either the answer to match one of the problem cards or the problem card to match
MATERIALES
one of the answer cards. If the opponent has the matching card, the opponent must give it to the player. If the opponent
IMPRESOS
does not have the matching card, the other player must pick a
• 1 hoja de instrucicones de ¡A pescar! (por pareja) • 1 juego de tarhetas ¡A pescar! (por pareja)
card from the deck. 5.
The winner is the player with the most matches when all of the cards are gone.
REUTILIZABLES
• 1 sobre o bolsa (por pareja)
PREPARACIÓN
• Haga copias a doble cara de las tarjetas ¡A pescar! • Lamínalas para que duren más. • Recorte las tarjetas individuales y colócalas en un sobre o bolsa para facilitar su distribución y limpieza.
HOJA DE INSTRUCCIONES
• Coloca a los estudiantes en parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo barajar las cartas. 2. Muestre con un estudiante cómo jugar. a. Reparte cinco cartas a cada jugador. b. Coloca el resto del mazo en un montón sobre la mesa. c. Los jugadores se preguntan por turnos si la respuesta coincide con una de las cartas de problema o si la carta de problema coincide con una de las cartas de respuesta. Si el adversario tiene la carta correspondiente, debe dársela al jugador. Si el oponente no tiene la carta correspondiente, el otro jugador debe coger una carta del mazo. d. El ganador es el jugador con más coincidencias cuando se acaban todas las cartas. 3. Vigile a los estudiantes para asegurarte de que encuentran las coincidencias correctas.
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ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES
ELABORAR: REVISIÓN EN ESPIRAL Rational Exponents
REVISAR CONCEPTOS ANTERIORES
REVISIÓN EN ESPIRAL: AVENTURA DE GEOCACHING
Geocaching Adventure Geocaching is the world’s biggest treasure hunt, and Vincent’s favorite teacher is hosting a new after-school club for geocaching! Vincent’s interest in joining the geocaching club grows as he learns more about it. Geocaching stretches a person to their limits—physically and mentally. For example, as Vincent’s teacher explains, geocachers are given clues, puzzles, and coordinates to help them find their treasure. Sometimes the terrain is rugged, sometimes it’s steep or rocky, and sometimes it is the top of a tree!
DESCRIPCIÓN
Geocaching is not only a great way for Vincent to learn more about his hometown, but it also allows him to learn more about the wonders of the world. Without a doubt, Vincent will join the geocaching club, and he will soak up every adventure out there!
Los estudiantes repasan contenidos previos o actuales del grado para ayudar a apoyar su trabajo en el alcance actual y fortalecer las habilidades necesarias para alcances posteriores.
REPASO EN ESPIRAL ENFOQUE POR PREGUNTA • Pregunta 1
◦ ALG I: Escribir y resolver sistemas de ecuaciones lineales a partir de representaciones múltiples. • Pregunta 2 ◦ ALG I: Crear ecuaciones en dos o más variables. • Pregunta 3 1
◦ ALG I: Crear ecuaciones en dos o más variables. • Pregunta 4
Rational Exponents
1.
A map that shows the location of a rare cache is shown on the graph of a system of equations. What is the system of equations represented by this graph?
2.
◦ ALG I: Analizar y resolver pares de ecuaciones lineales simultáneas.
PREPARACIÓN
Vincent’s next geocaching coordinates say that he should travel in a straight path parallel to y = 2.5x + 6 and through the coordinates (4, 3). What is the equation in slope-intercept form that represents the path Vincent should follow?
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada uno.
The answer is 3.
.
Vincent’s next geocaching path is modeled by the equation . A clue pops up and tells him to turn left at the coordinate (3, 0) to follow a path perpendicular to the one he is on now. What is the equation of Vincent’s new path in slope-intercept form?
The answer is
.
2. Anime a los estudiantes a intentar responder a las preguntas de forma independiente sin utilizar recursos externos para ver lo que saben. Invite a los estudiantes a anotar ideas o cualquier fragmento que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas.
The answer is y = 2.5x – 7. 4.
The equations 8x – 4y = −16 and 6x + 5y = −12 represent a system of equations in which the solution is the location of Vincent’s diamond-level cache. Graph the system of equations to determine its solution.
3. Utilice las preguntas de repaso en espiral como calentamiento en clase, o envíelas a casa como deberes. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos.
The answer is (−2, 0).
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FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE OPCIONES
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4. Consulte la sección de pregunta del repaso en espiral para evaluar los conocimientos de contenido de los estudiantes o su necesidad de una mayor intervención. Si es necesario repasar más, utilice los constructores de fluidez en los alcances apropiados. 5. El Capstone incluye una parte del alcance actual para que los estudiantes vean la conexión y relevancia de su aprendizaje previo con el alcance actual.
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ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS ANÁLISIS DE DATOS
CIENCIA DE DATOS Ciencia de datos es un breve debate en clase basado en un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. La parte I incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los estudiantes en contexto.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizarán, interpretarán y generarán conjuntos de datos, además de responder a preguntas basadas en los datos.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 conjunto de datos (por clase) REUTILIZABLES
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase) • 1 rotulador (por clase) CONSUMIBLES
• 1 trozo de papel milimetrado (por clase)
PREPARACIÓN
• Prepárese para proyectar el «Conjunto de datos» para la clase. • Reúne un trozo de papel milimetrado y un rotulador.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Proyecte el conjunto de datos TUVA y prepárate para anotar las observaciones de los estudiantes. 2. Haga clic en «Hist» y luego seleccione «Histograma de frecuencia». 3. Arrastre «Mensajes de texto recibidos ayer» al eje x.
PARTE II
1. Repasa las propiedades de los exponentes racionales y escribe lo que los estudiantes recuerden en el papel cuadriculado. 2. Abre Vista de tabla en la parte inferior del gráfico para ver los datos del año y el porcentaje de miembros de consejos de administración de empresas que son mujeres. Cierra la función de tabla para ver mejor el gráfico. 3. Haga clic en el icono de Datos Modelo y seleccione f(x). 4. Escriba la ecuación y = 0.5(1.2)x-2000 + 10.6 en y = . Puede que tengas que empezar seleccionando a-bx y después teclear el "-2000" en el exponente y añadir un "+c" en la barra de ecuaciones antes de rellenar los valores a = 0.5, b = 1.2, c = 10.6. 5. Haga las siguientes preguntas: a. «¿En qué medida coincide la ecuación con los datos?». En general, se ajusta muy bien; sin embargo, parece sobrestimar ligeramente el número de mujeres que trabajaban como miembros de consejos de administración de empresas en 2000. b. «¿Por qué cree que los datos no se ajustan perfectamente?». Se trata de un experimento del mundo real, por lo que nuestro modelo ofrece una buena imagen general sin coincidir perfectamente con todos los puntos de datos. c. «¿Cómo podríamos utilizar el modelo para hacer inferencias sobre el porcentaje de miembros de consejos de administración de empresas que son mujeres en los años en los que no hay puntos de datos dados?». Podríamos sustituir valores en nuestro modelo para estimar el porcentaje de miembros de consejos de administración de empresas que son mujeres.
4. Discuta las siguientes preguntas: a. «¿Qué nota acerca de este conjunto de datos?». b. «¿Qué representa este conjunto de datos?». c. «¿Qué representa una barra sobre estos datos?». d. «¿Qué preguntas tienes sobre los datos?».
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ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS
6. Encuentre y cuando x = 2005. y = 0.5(1.2)2005-2000 + 10.6 = y = 0.5(1.2)5 + 10.6 ≈ 11.84. 7. Evalúe y en la ecuación y = 0.5(1.2)3.5 + 10.6, y explique lo que significa en el contexto de estos datos. y = 11,55, y esto representa el porcentaje del modelo de miembros de consejos de administración de empresas que eran mujeres en junio de, o a mediados de, 2003. a. Explique cómo calcular (1.2)3.5. Sugerencia: puedes reescribir el exponente como una __ 7 __ fracción.(1.2)3.5=(1.2) 2= √ 1 .2 7. 8. Calcula el valor de y en la ecuación y = 0.5(1.2)23.25 + 10.6 y explica su significado en el contexto de estos datos. y = 45.27, y este valor representa la predicción del modelo.para el porcentaje de miembros de consejos de administración de empresas que son mujeres en marzo de, o un cuarto del camino, 2023. 9. Completa la tabla reescribiendo las expresiones con exponentes decimales con exponentes fraccionarios y luego radicales. Exponente decimal
Exponente fraccionario
Exponente radical
2 1.25
2 4
√2 5 o (√2 5)
5 2.4
5 5
√5 12 o (√ 5 )12
10 5.5
1 0 2
√ 10 11 o (√10 )11
5 __
12 __
11 __
4 __
4 __
5 __
5_
__
_
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PARTE III
1. Haga clic en el lápiz de edición situado junto a Ocupación de liderazgo. 2. Desmarque Miembros del consejo corporativo y, a continuación, marque Gobernadores estatales. 3. Haga clic en el icono Datos modelo y seleccione f(x). 4. Introduzca la ecuación y = 2.5(1.05) x-1980, en la barra y =. 5. Evalúe y en la ecuación y = 2.5(1.05)11.75, y explique lo que significa en el contexto de estos datos. y = 4.44, y esto representa el porcentaje del modelo de gobernadores estatales que eran mujeres en septiembre de, o tres cuartos del camino, 1991. 6. Evalúe y en la ecuación y = 2.5(1.05) 43.5, y explique lo que significa en el contexto de estos datos. y = 20.88, y esto representa la predicción del modelo para el porcentaje de gobernadores estatales que son mujeres en junio de, o a mediados de, 2023. a.
Explique cómo calcular (1.05) 43.5. Sugerencia: puedes reescribir el exponente como fracción. __ 87 __ (1.05)43.5 = (1.05) 2 = √ 10.5 87.
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ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES
EVALUAR: LISTA DE CONTROL DE LA OBSERVACIÓN
Rational Exponents
EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS
LISTA DE CONTROL DE LA OBSERVACIÓN DESCRIPCIÓN Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede utilizarse como evaluación formativa para los maestros y como autoevaluación para los estudiantes.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 folleto del maestro (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del maestro» y un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Folleto del estudiante» a cada uno. 2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Explorar» y «Explique r» del alcance, evalúe formativamente su progreso tomando notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo. 3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo. 4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje.
Rational Exponents How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Explain how the definition of the meaning of rational exponents follows from extending the properties of integer exponents to those values, allowing for a notation for radicals in terms of rational exponents. For example, we define 5⁽¹/³⁾ to be the cube root of 5 because we want (5⁽¹/³⁾)³ = 5⁽¹/³⁾³ to hold, so (5⁽¹/³⁾)³ must equal 5. Rewrite expressions involving radicals and rational exponents using the properties of exponents. Explain why the sum or product of two rational numbers is rational; that the sum of a rational number and an irrational number is irrational; and that the product of a non-zero rational number and an irrational number is irrational.
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
1
Rational Exponents
Standards for Mathematical Practice
Notes and Feedback
Make sense of problems and persevere in solving them Reason abstractly and quantitatively Construct viable arguments and critique the reasoning of others Model with mathematics Use appropriate tools strategically
Attend to precision
5. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el «Folleto del maestro».
Look for and make use of structure
6. Las notas anecdóticas proporcionadas en la hoja para el maestro pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares.
Consider these reflection questions in this scope.
7. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la «Guía de instrucción andamiada» en la sección «Inicio» de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
Notes and Feedback
Look for and express regularity in repeated reasoning
●
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them?
●
What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
2
FOLLETO PARA EL MAESTRO
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ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES
EVALUAR: MAPA DE CALOR ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
MAPA DE CALOR DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
1. Dé un «Mapa de calor» a cada alumno junto con lápices de color rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s).
MATERIALES
• 1 mapa de calor (por estudiante)
2. Los estudiantes utilizan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el «Mapa de calor». Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los estudiantes colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una Explique ción, los estudiantes colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, los estudiantes colorean el cuadro correspondiente de rojo.
• 1 lápiz de color rojo (por estudiante) • 1 lápiz de color azul (por estudiante) • 1 lápiz de color naranja (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Determine si los estudiantes analizarán su prueba de destrezas, la evaluación basada en estándares o ambas.
3. Anime a los estudiantes a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a utilizar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada.
• Imprima un «Mapa de calor» para cada estudiante. • Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
4. Consulte la «Guía de instrucción andamiada» que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
Rational Exponents
Rational Exponents
Rational Exponents
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key.
Red – misconception 1. Which skill did you feel most confident with? Why?
Skills Quiz Standards
Blue – miscalculation
Reflection Questions
Questions
Explain how the definition of the meaning of rational exponents follows from extending the properties of integer exponents to those values, allowing for a notation for radicals in terms of rational exponents. For example, we define 5(1/3) to be the cube root of 5 because we want (5(1/3))³ = 5(1/3)³ to hold, so (5(1/3))³ must equal 5.
8
9
10
Rewrite expressions involving radicals and rational exponents using the properties of exponents.
1
2
3
5
6
7
Explain why the sum or product of two rational numbers is rational; that the sum of a rational number and an irrational number is irrational; and that the product of a non-zero rational number and an irrational number is irrational.
3. Which type of error did you most commonly make?
4
Orange – explanation
Red – misconception
Standards-Based Assessment
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
4. How can you avoid those errors in the future?
Standards
Questions
Explain how the definition of the meaning of rational exponents follows from extending the properties of integer exponents to those values, allowing for a notation for radicals in terms of rational exponents. For example, we define 5(1/3) to be the cube root of 5 because we want (5(1/3))³ = 5(1/3)3 to hold, so (5(1/3))³ must equal 5.
Not Assessed
Rewrite expressions involving radicals and rational exponents using the properties of exponents.
1
2
3
4
5
6
7
8
9 Not Assessed
Explain why the sum or product of two rational numbers is rational; that the sum of a rational number and an irrational number is irrational; and that the product of a non-zero rational number and an irrational number is irrational.
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MAPA DE CALOR
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ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES
INTERVENIR: REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES Rational Exponents
REMEDIAR Y VOLVER A ENSEÑAR
REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES
Checkup Rewrite the following expressions using radicals.
DESCRIPCIÓN Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para intervención.
MATERIALES IMPRESOS
1. 2. Simplify each expression. 3.
8
4.
4x
Simplify each of the radical expressions.
• 1 revisión rápida (por estudiante)
5.
• 1 repaso (por estudiante)
6.
• 1 revisión (por estudiante) • 1 lista de revisión del maestro(por maestro)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de la «Revisión rápida», el «Repaso» y la «Hoja de revisión» para cada estudiante.
7.
Rewrite each expression in its most simplified form. 8. 9. 10.
• Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar el «Repaso». • Si lo desea, imprima un ejemplo del «Esquema de anclaje» de la sección «Explique r» o pida a los estudiantes que usen la «Libreta interactiva» como recurso.
REPASO CLAVE DE OPCIONES
• Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayuda complementarios para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Dé una copia de la «Revisión rápida» a cada estudiante. 2. Cada uno debe completarla de forma independiente. 3. Use la rúbrica de habilidades al final de la «Revisión rápida» para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional. 4. Distribuya una copia del «Repaso» a cada uno. 5. Cada estudiante debe completar el «Repaso» como actividad de intervención o de forma independiente. a. Si lo desea, reúna a los estudiantes en pequeños grupos para trabajar en las destrezas de repaso. Utilice el «Repaso» como ayuda para la reenseñanza. 6. Distribuya una copia de la «Revisión» a cada uno. 7. Cada estudiante debe completarla de forma independiente. 8. Analice los resultados de la «Revisión» utilizando la «Lista de control del maestro» para identificar quienes necesitan un repaso adicional y quienes han alcanzado el dominio de los conceptos.
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ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES
ACELERACIÓN: ¿QUÉ PREFERIRÍAS? Rational Exponents
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Savings Account
¿QUÉ PREFERIRÍAS?: CUENTA DE AHORRO
Use mathematical reasoning and creativity to justify your answer to the Would You Rather question. Nani, a 9th grader (age 14), wants to deposit money she has earned into a savings account to save some money, ideally for college but maybe also for other expenses before then. She has $1,000. At Bank 1, she could earn 3% compounded tri-annually (three times per year). However, she would not be able to withdraw any money from her account until she turns 18. At Bank 2, she could earn 2% compounded annually (once per year). She could withdraw money from her account any time she likes. The r compound interest formula is as follows: A = P(1 + n )nt. If you were Nani, would you rather deposit money into an account at Bank 1 or Bank 2? Justify your reasoning with mathematics.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
At Bank 1, after four years (when she turns 18), Nani would have $1,126.83 in her account. At Bank 2, she would have $1,082.43 in her account. This is a difference of $44.40 between the two accounts after 4 years.
• 1 rúbrica (por maestro)
The following statements are sample answers: I would prefer to earn more money after 4 years, and would prefer to deposit money into an account at Bank 1.
PREPARACIÓN
$44.40 is not a big difference between accounts, and maybe I’d want to withdraw some money before I went to college. Therefore, I’d deposit money into an account at Bank 2.
1
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE OPCIONES
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno. • Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anime a los estudiantes a mirar sus folletos de «Explorar» si necesitan repasar habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros. 4. Utilice la rúbrica proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
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ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Rational Exponents
OPCIONES PARA SEGUIR APRENDIENDO
TABLERO DE OPCIONES
Rational Exponents Choose one or more extension activities from the table below.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes explorarán las conexiones con el mundo real y las aplicaciones del contenido matemático a través de interacciones con actividades atractivas.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 tablero de opciones (por estudiante) • 1 juego de «Hojas de actividades» (por estudiante) • 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante) REUTILIZABLE
• Tecnología (si corresponde)
Career Connection
Computer Programmer
Research the career field of computer programming. Your research must answer the provided questions. Create a presentation to relay your research to the class.
Science Connection
Pendulum Swing
Explore the connection between math and science by evaluating rational exponents and answering the questions.
Equivalent Representations
Kitchen Connection
Simplifying
Wedding Cake
Use your ability to rewrite fractional exponents and simplify radicals to create equivalent expressions.
Rational exponents can be used in the kitchen when computing volumes. Read the scenario, and answer the questions on the handout.
Mathematician Spotlight
Geometry Connection
Nicole Oresme
Search for several news articles or research papers that involve Nicole Oresme’s work. Create an informational poster, a diorama, or a speech to convey this mathematician’s work as it relates to rational exponents.
Diagonal Lengths
Find the lengths of the diagonals of four squares. What patterns do you notice when you put your answers in simplest radical form?
PREPARACIÓN
• Imprima un «Tablero de opciones» y un juego de «Hojas de actividades» para cada estudiante.
TABLERO DE OPCIONES
• Imprima una autoevaluación del tablero para cada estudiante. • Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del Tablero de opciones.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 9. Distribuya un «Tablero de opciones» a cada estudiante. 10. Dé tiempo para examinar el «Tablero de opciones» y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 11. Anime a los estudiantes a intentar al menos tres actividades. 12. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 13. Al finalizar cada actividad del tablero, haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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ÁLGEBRA 1: EXPONENTES RACIONALES
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ÁLGEBRA 1 FUNCIONES EXPONENCIALES
ÁLGEBRA 1
FUNCIONES EXPONENCIALES ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: NO PERTENECE Los estudiantes analizarán tablas para identificar qué opción no pertenece, con el objetivo de revelar y abordar conceptos erróneos.
ESTÁNDARES CLAVE Crear ecuaciones que describan números o relaciones. •
Crear ecuaciones e inecuaciones con una variable, incluidas las de valor absoluto, y utilizarlas para resolver problemas. Incluir ecuaciones derivadas de funciones lineales y cuadráticas, así como funciones racionales y exponenciales simples.
Interpretar funciones que surgen de aplicaciones en términos de su contexto. •
Calcular e interpretar la tasa de cambio promedio de una función (presentada simbólicamente o como una tabla) sobre un intervalo especificado. Estimar la tasa de variación a partir de una gráfica.
Analizar funciones con diferentes representaciones. •
Graficar funciones expresadas simbólicamente y mostrar las características clave de la gráfica, a mano en casos sencillos y con el uso de la tecnología para casos más complicados. •
•
Graficar funciones exponenciales y logarítmicas, mostrando interceptos y comportamiento final, y funciones trigonométricas, mostrando período, línea media y amplitud.
Escribir una función definida por una expresión en formas diferentes pero equivalentes para revelar y explicar diferentes propiedades de la función. •
Usar las propiedades de los exponentes para interpretar expresiones para funciones exponenciales. Por ejemplo, identificar la tasa porcentual de cambio en funciones como y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, y clasificarlas como representativas de crecimiento o decrecimiento exponencial.
Construir y comparar modelos lineales y exponenciales, y resolver problemas. •
Construir funciones lineales y exponenciales, incluidas secuencias aritméticas y geométricas, dadas una gráfica, una descripción de una relación, o dos pares de entrada-salida (incluyendo la lectura de estos a partir de una tabla).
Interpretar expresiones para funciones en términos de la situación que modelan. •
Interpretar los parámetros en una función lineal o exponencial en términos de un contexto. [Lineal y exponencial de la forma f(x) = bx + k] *Este alcance se centra en la exponencial.
ESTÁNDARES DE CONEXIÓN Crear ecuaciones que describan números o relaciones. •
Crear ecuaciones en dos o más variables para representar relaciones entre cantidades; graficar ecuaciones en ejes de coordenadas con etiquetas y escalas.
Representar y resolver ecuaciones e inecuaciones gráficamente. •
Comprender que la gráfica de una ecuación en dos variables es el conjunto de todas sus soluciones trazadas en el plano de coordenadas, a menudo al formar una curva (que podría ser una recta).
Comprender el concepto de función y utilizar la notación de función. •
•
Comprender que una función de un conjunto (llamado dominio) a otro conjunto (llamado rango) asigna a cada elemento del dominio exactamente un elemento del rango. Si f es una función y x es un elemento de su dominio, entonces f(x) denota la salida de f correspondiente a la entrada x. La gráfica de f es la gráfica de la ecuación y = f(x). Usar notación de funciones, evaluar funciones para entradas en sus dominios e interpretar enunciados que usan notación de funciones en términos de un contexto.
Interpretar funciones que surgen en aplicaciones en términos del contexto. •
Para una función que modela una relación entre dos cantidades, interpretar características clave de gráficas y tablas en términos de las cantidades, y bosquejar gráficas que muestren características clave dada una descripción verbal de la relación. Las características clave incluyen: interceptos; intervalos en los que la función es creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos; simetrías; comportamiento final; y periodicidad.
•
Relacionar el dominio de una función con su gráfica y, en su caso, con la relación cuantitativa que describe. Por ejemplo, si la función h da el número de horas-persona que se tarda en montar n motores en una fábrica, entonces los números enteros positivos serían un dominio apropiado para la función.
Construir una función que modele una relación entre dos cantidades. •
Escribir una función que describa una relación entre dos cantidades.
•
Determinar una expresión explícita, un proceso recursivo o pasos para el cálculo a partir de un contexto.
Construir y comparar modelos lineales, cuadráticos y exponenciales, y resolver problemas. •
•
Distinguir entre situaciones que pueden modelarse con funciones lineales y con funciones exponenciales. •
Demostrar que las funciones lineales crecen por diferencias iguales a lo largo de intervalos iguales, y que las funciones exponenciales crecen por factores iguales a lo largo de intervalos iguales.
•
Reconocer situaciones en las que una cantidad cambia a una tasa constante por intervalo unitario con respecto a otra.
•
Reconocer situaciones en las que una cantidad crece o decrece a una tasa porcentual constante por intervalo unitario con respecto a otra.
Observar mediante gráficos y tablas que una cantidad que crece exponencialmente eventualmente excede a una cantidad que crece linealmente, cuadráticamente o (más generalmente) como una función polinómica.
• Distribuya el folleto «No pertenece» a cada estudiante o grupo. • Guíe a los estudiantes para que identifiquen el valor atípico en cada tabla y articulen su razonamiento. • Facilite un debate para explorar diferentes perspectivas y aclarar malentendidos. CAPTAR INTERÉS Los estudiantes explorarán las funciones exponenciales al modelar el rápido crecimiento de las algas en un estanque bajo condiciones específicas de temperatura. • Los estudiantes verán un video para introducir el escenario del mundo real del crecimiento de las algas y comentarán sus observaciones y preguntas. • El maestro proyectará, explicará las funciones exponenciales y destacará las diferencias entre el crecimiento exponencial y lineal. • Los estudiantes participarán en actividades de «Exploración» para profundizar su comprensión de la modelización del crecimiento exponencial.
ACTIVIDADES DE EXPLORAR EXPLORACIÓN 1: ATRIBUTOS DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES En esta actividad, los estudiantes analizan gráficas de funciones exponenciales para identificar características clave y aplicar su comprensión de las gráficas lineales a estos nuevos contextos. • Los estudiantes examinan y comparan gráficas de funciones exponenciales para identificar interceptos, intervalos y comportamiento final. • Los estudiantes colaboran en grupos para analizar datos de experimentos de crecimiento de microbios y registrar sus hallazgos. • Los estudiantes usan ecuaciones para completar tablas y gráficas, al comparar datos nuevos con resultados previos para determinar resultados. • Los estudiantes participan en charlas de matemáticas para discutir observaciones y profundizar su comprensión de funciones exponenciales. EXPLORACIÓN 2: DOMINIO Y RANGO Los estudiantes exploran el dominio y el rango de las funciones exponenciales, se centran en todo el gráfico y debaten sobre las asíntotas por primera vez. • Los estudiantes analizan y comparan el dominio y el rango de las funciones exponenciales con los de las funciones lineales. • Los estudiantes trabajan en grupos para examinar escenarios con las tarjetas de bacterias escolares y registrarán sus hallazgos en los «Diarios del estudiante». • Los estudiantes participarán en discusiones para entender el concepto de asíntotas y su impacto en la gráfica de funciones exponenciales. • Los estudiantes participan en «Charlas de matemáticas» para compartir observaciones y consolidar su comprensión de dominio y rango en contextos del mundo real. EXPLORACIÓN: 3: VALOR INICIAL Y MULTIPLICADOR CONSTANTE En esta actividad matemática, los estudiantes exploran funciones exponenciales al identificar valores iniciales y multiplicadores constantes, analizan patrones en tablas de datos y comprenden los procesos de crecimiento y decrecimiento. • Los estudiantes trabajan en grupos para revisar la información en las tarjetas del cuaderno del guardabosques y registran sus hallazgos en los «Diarios del estudiante». • Los estudiantes utilizan calculadoras gráficas para verificar los datos y profundizar su comprensión de las funciones exponenciales. • Los estudiantes participarán en «Charlas de matemáticas» para discutir sus observaciones y puntos de vista sobre el crecimiento exponencial y la decadencia. • Los estudiantes completan un «Boleto de salida» para demostrar su comprensión de los conceptos aprendidos durante la actividad. EXPLORACIÓN 4: ESCRIBIR FUNCIONES EXPONENCIALES Los estudiantes escriben y analizan funciones exponenciales para modelar escenarios del mundo real, al enfocarse en identificar valores iniciales, multiplicadores constantes, y distinguir entre crecimiento y decrecimiento. • Analizan tablas de datos para determinar valores iniciales y multiplicadores constantes para funciones exponenciales. • Colaboran en grupos para escribir funciones exponenciales en la forma f(x)=ab^x al basarse en escenarios del mundo real. • Organizan y categorizan información con las tarjetas de población animal para conectar descripciones, tablas, gráficos y ecuaciones. • Participan en debates para compartir observaciones y profundizar en la comprensión del crecimiento exponencial y la decadencia.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES FUNCIONES EXPONENCIALES ALGEBRA 1
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES INVESTIGAR FUNCIONES
SISTEMAS DE ECUACIONES
MODELAR CON FUNCIONES
CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
CONCEPTOS CLAVE
PREGUNTAS FUNDAMENTALES
• Puedo utilizar las partes de una función exponencial para identificar características clave.
• «¿Cómo se relacionan los puntos de la gráfica con las soluciones de la ecuación?».
• Puedo interpretar los parámetros de una función exponencial en términos de su contexto.
• «¿Cuál es la diferencia entre el valor inicial y el multiplicador constante en una relación exponencial?».
• Puedo identificar un dominio y un rango razonables dada una función exponencial o una situación modelada por una función exponencial.
• «¿Qué tipo de función (lineal, cuadrática o exponencial) tendría una tasa media de cambio mayor en un intervalo extremadamente grande?».
• Puedo escribir una ecuación exponencial dada una gráfica, una tabla, dos pares ordenados o una descripción de una relación.
• «¿Un tipo de función superaría a las demás?».
• Puedo crear y resolver una función exponencial para resolver problemas.
• «¿Cómo se pueden determinar el valor inicial y el multiplicador constante a partir de cualquier representación?».
• Puedo graficar funciones exponenciales para resaltar características clave dada una ecuación. • Puedo encontrar la tasa de cambio promedio de una función exponencial sobre un intervalo dado. • Puedo explicar lo que significa ser una solución a una ecuación exponencial y cómo se representa en una gráfica.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES
INICIO: CONTENIDO DE APOYO ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
CONTENIDO DE APOYO Crear ecuaciones que describan números o relaciones. • Crear ecuaciones e inecuaciones en una variable, incluidas las de valor absoluto, y utilizarlas para resolver problemas. Incluir ecuaciones que surjan de funciones lineales y cuadráticas, y de funciones racionales y exponenciales sencillas. Interpretar las funciones que surgen en las aplicaciones en función del contexto. • Calcular e interpretar la tasa de variación media de una función (presentada simbólicamente o en forma de tabla) en un intervalo especificado. Estimar la tasa de cambio a partir de una gráfica. Analizar funciones con diferentes representaciones. • Graficar funciones expresadas simbólicamente y mostrar características clave de la gráfica, a mano en casos sencillos con el uso de la tecnología para casos más complicados. ◦ Graficar funciones exponenciales y logarítmicas, mostrar interceptos y comportamiento final, y funciones trigonométricas, así como período, línea media y amplitud. Construir y comparar modelos lineales y exponenciales y resolver problemas. • Construir funciones lineales y exponenciales, que incluyan secuencias aritméticas y geométricas, dada una gráfica, una descripción de una relación, o dos pares de entrada-salida (incluir la lectura de estos a partir de una tabla). Interpretar expresiones para funciones en términos de la situación que modelan. • Interpretar los parámetros en una función lineal o exponencial en términos de un contexto. [Lineal y exponencial de la forma f(x) = bx + k]. Nota: Este alcance se centra en la exponencial.
CONOCIMIENTOS PREVIOS En grados anteriores, los estudiantes utilizaron la notación científica y las propiedades de los exponentes con base numérica. Los estudiantes han reescrito una expresión en diferentes formas en el contexto de un problema para arrojar luz sobre los problemas y cómo se relacionan las cantidades en él. Los estudiantes han comparado las propiedades de dos funciones, cada una representada de una forma diferente. Los estudiantes han explicado qué significa un par ordenado en función de la situación.
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CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
• Puede ayudar a los estudiantes con las propiedades de los exponentes para transformar funciones exponenciales si trabajan con ellas al usar exponentes escritos primero (3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 en lugar de 35). Esto ayuda a los estudiantes a ver lo que sucede y a utilizar su comprensión previa de las operaciones para ayudarles a dar sentido a las propiedades de los exponentes. • Los estudiantes deben tener experiencia con una variedad de funciones exponenciales que modelen diferentes tipos de situaciones para que desarrollen experiencia e interpreten muchos contextos diferentes. • La comprensión de los estudiantes de la pendiente puede ser un punto de partida para pensar en la tasa media de cambio a lo largo de un intervalo en una función exponencial. • Dé a los estudiantes diferentes tipos de gráficos para comparar, en muchas representaciones diferentes, como ecuaciones, gráficos, tablas de valores y descripciones verbales. Ayudará a los estudiantes a desarrollar una sólida comprensión de lo que hace que algo sea una función exponencial si algunos de estos ejemplos son funciones cuadráticas o funciones lineales. Los estudiantes deben ser capaces de determinar si una función es lineal, cuadrática o exponencial basándose en cualquiera de las formas. • Pida regularmente a los estudiantes que expliquen verbalmente qué significan los números de una solución de una función exponencial en términos del contexto del problema. Hacer que discutan esto con sus compañeros les da la oportunidad de criticar el proceso o entenderlo de una manera diferente.
EN ESTE ALCANCE En este nivel de grado, los estudiantes ampliarán su comprensión del modelado con funciones lineales con el fin de modelar con funciones exponenciales. Los estudiantes ampliarán su comprensión de las propiedades de los exponentes con el fin de transformar funciones exponenciales. Los estudiantes ampliarán su comprensión de las características clave de las funciones lineales y cuadráticas para mejorar su experiencia con las funciones exponenciales. Los estudiantes deben ser capaces de Representar una situación al usar una función exponencial e identificar las partes individuales de una expresión para interpretarlas en su contexto. Los estudiantes deben ser capaces de utilizar las reglas de los exponentes para reescribir funciones exponenciales que representen un contexto, como la vida media y el interés compuesto. Los estudiantes deben ser capaces de identificar la función exponencial que corresponde a una gráfica, describir las características clave de la función, esbozar gráficas sencillas a mano y utilizar la tecnología para representar gráficamente funciones exponenciales más complejas. ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES
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TÉRMINOS CLAVE • ecuación: enunciado matemático que muestra que dos expresiones son iguales entre sí. • desigualdad: enunciado matemático que utiliza símbolos como <, ≤, > o ≥ para comparar dos cantidades. • variable: una letra o símbolo que ocupa el lugar de un número que puede cambiar; una letra que puede representar un número desconocido o un conjunto de números. • valor absoluto: la distancia a la que se encuentra un número del cero en una recta numérica; también se denomina magnitud de un número; nunca es negativo. • función: una relación especial entre valores; cada valor de entrada devuelve exactamente un valor de salida. • función lineal: una relación que cuando se representa gráficamente es una línea recta • función cuadrática: una función que puede escribirse de la forma f(x) = ax2 + bx + c = 0 donde a, b, y c son números reales y a ≠ 0, o de la forma f(x) = a(x - h)2+ k, donde a, h, y k son números reales y a ≠ 0. • función exponencial: una función de la forma de f(x) = abx donde a y b son números reales y a ≠ 0, b ≠1, y b > 0. • gráfico: una representación visual de datos. • expresión (expresión algebraica): números, variables y símbolos agrupados sin signo igual para mostrar una relación. • término: un número, una variable o un producto de números y variables en una expresión separados por suma, resta o, a veces, división. • factor: número o expresión algebraica por el que se puede dividir otro número o expresión algebraica sin que quede un resto. • coeficiente: número colocado directamente delante de una variable que indica que hay que multiplicar ese número por la variable. • exponente: notación matemática que indica el número de veces que el número base se multiplica por sí mismo; también se denomina potencia. • tasa de cambio: la tasa que muestra cómo cambia una cantidad en relación con otra. • intervalo: la cantidad de tiempo que pasa de un periodo de tiempo al siguiente; la distancia entre dos puntos. • intercepción: el punto o puntos en los que una función o relación interseca un eje. • comportamiento final: la tendencia que sigue la gráfica a medida que x se aproxima al infinito en las direcciones negativa y positiva. • sucesión aritmética: una sucesión en la que los términos sucesivos difieren en el mismo número d, llamado diferencia común, donde d ≠ 0. • sucesión geométrica: una secuencia en la que el cociente de los términos sucesivos es una constante r, denominada cociente común, donde r ≠ 0 y r ≠ 1. • par entrada-salida: un par ordenado en el que la entrada corresponde a la variable independiente en la columna izquierda de una tabla de funciones y la salida corresponde a la columna derecha de una tabla de funciones; un par ordenado se determina evaluando la función utilizando la entrada. • parámetro: una cantidad que influye en la salida o el comportamiento de un objeto matemático pero que se considera que se mantiene constante. • contexto: la situación en la que se encuentra o sucede algo.
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APLICAR LAS PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes analizan tablas y gráficas, identifican valores clave, escriben funciones exponenciales a partir de los datos y encuentran valores basados en sus hallazgos. Predicen tendencias futuras y comparan diferentes conjuntos de datos y representaciones. • MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes descontextualizan escenarios, los modelan con ecuaciones exponenciales y luego usan Las ecuaciones para determinar valores futuros basados en el contexto. • MP.3 Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros: Los estudiantes justifican sus respuestas al comparar gráficas y sus multiplicadores constantes, analizan tablas de diferentes funciones y usan sus hallazgos para apoyar sus explicaciones. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes crean funciones exponenciales basadas en datos del mundo real, las evalúan y aplican los valores que encontraron al contexto del problema. • MP.5 Usar herramientas apropiadas estratégicamente: Los estudiantes utilizan calculadoras según sea necesario para determinar los valores iniciales y los multiplicadores constantes de las funciones exponenciales. • MP.6 Prestar atención a la precisión: Los estudiantes atienden a la precisión mientras modelan escenarios del mundo real con funciones exponenciales y usan con precisión diferentes formas de medida en los escenarios dados. • MP.7 Buscar y utilizar estructuras: Los estudiantes buscan y utilizan la estructura al analizar tablas de datos para averiguar si existe un multiplicador constante. A continuación, utilizan sus conclusiones para comparar funciones y predecir valores futuros. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes reconocen que el valor inicial y el multiplicador en datos dados son necesarios para construir funciones exponenciales, ven la conexión entre el valor inicial y el multiplicador en secuencias geométricas y funciones exponenciales, y construyen sobre este conocimiento para analizar datos proporcionados y crear ecuaciones exponenciales.
ATRIBUTOS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Los estudiantes examinarán gráficas de funciones exponenciales e identificarán características clave como asíntotas, interceptos, intervalos crecientes y decrecientes, y comportamiento final. Los estudiantes se basarán en el conocimiento de las gráficas lineales y cuadráticas y aplicarán lo que sea aplicable a las gráficas de funciones exponenciales. La asíntota horizontal es una nueva función para los estudiantes de Álgebra 1. La asíntota horizontal de una función exponencial es una línea horizontal que representa un valor y particular al que la función exponencial se acercará mucho pero nunca será igual.
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INICIO: CONTENIDO DE APOYO Inicialmente, los estudiantes compararán una función lineal con una función exponencial y harán observaciones sobre la forma de las exponenciales. y = 2x y = 2x
Los estudiantes descubrirán que la variable como exponente significa que la función crece exponencialmente con un multiplicador constante en lugar de a un ritmo constante. Los estudiantes compararán funciones lineales y exponenciales para determinar que una función exponencial superará a una función lineal.
Ejemplo: Grafica la siguiente función exponencial e identifica la intersección y. y = 3x Crea una tabla de coordenadas y sustituye los valores en la ecuación para x. Los estudiantes usarán las propiedades de los exponentes para calcular los valores de y, o pueden usar una calculadora. Traza las coordenadas y crea una curva suave que conecte los puntos.
La intersección y es (0, 1). Ejemplo: Se muestra la gráfica de una función exponencial d .
a. Identifica la y-intercepción. La y-intercepción es (0, 3). b. Identifica la recta que mejor representa una asíntota horizontal de la gráfica. La asíntota es y = 0. La gráfica de la recta se acerca mucho a esa recta. c. Como x → ∞, y________ → d. Como x → - ∞, y_______ → 0
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INICIO: CONTENIDO DE APOYO Ejemplo: Decide si la situación representa una función lineal o exponencial y justifica tu razonamiento. a. Una biblioteca tiene 7.000 libros y está añadiendo 200 libros más cada año. Esto es lineal porque hay un multiplicador constante de 200 cada año.
Ejemplo: La gráfica muestra una función que representa la población de ratas, y, en una gran ciudad a lo largo de un número de años, x.
b. Hay 18.000 búhos en la naturaleza. Cada década, el número de búhos se reduce a la mitad. Esto es exponencial porque hay un multiplicador 1 constante de ___ . 2
DOMINIO Y RANGO Los estudiantes identificarán el dominio y el rango de las funciones exponenciales. Los estudiantes extenderán su pensamiento a toda la forma de la gráfica, no sólo a la parte que es visible. Los estudiantes recordarán sus experiencias con el dominio y el rango con funciones lineales y cuadráticas, y aplicarán esas habilidades a las exponenciales. El dominio es el conjunto de todos los valores de entrada y el rango es el conjunto de todos los valores de salida. El dominio de todas las funciones exponenciales, f(x) = abx, es el conjunto de todos los números reales. El rango de una función exponencial está limitado por la asíntota horizontal. Cuando la función exponencial modela una situación del mundo real, se pueden añadir restricciones al dominio y al rango. Ejemplo: Grafica la función e identifica el dominio y el rango. y = 1.5(3)x+ 4 Crea una tabla de valores, grafica y dibuja una curva suave para conectar.
«¿Qué opción representa el rango de la población de ratas en la situación?». a. y ≤ 25,000 b. y ≥ 0 c. y ≤ 28 d. Todos los números reales La respuesta correcta es A. El rango es el conjunto de y valores menores o iguales a 25,000.
PARTES DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL Los estudiantes identificarán e interpretarán el valor inicial y el multiplicador constante. Buscarán patrones en las funciones exponenciales y sus datos representados en tablas. Los estudiantes notarán que hay un multiplicador constante que corresponde a un valor en la función. Empezarán a hacer observaciones sobre el crecimiento y la decadencia.
Ejemplo: A un tigre se le administra un tranquilizante para que los cuidadores del zoo puedan administrar al animal las vacunas adecuadas. El número de miligramos de medicamento que quedan en la sangre del tigre se basa en el número de horas transcurridas desde que se inyectó el medicamento. Este escenario se modela mediante la función f(x) = 500(0.75)x. a. «¿Qué significa 500 en la función?». a = 500. 500 es el valor inicial. Inicialmente se inyectaron 500 miligramos de medicamento en el tigre.
El dominio es el conjunto de todos los números reales. Hay una asíntota horizontal en y = 4. El rango es y > 4.
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b. «¿Cuál es el significado de 0,75 en la función?». b = 0,75. 0,75 es el multiplicador constante. La cantidad de medicamento que queda en la sangre disminuye en un factor de 0,75 cada hora.
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ESCRIBIR FUNCIONES EXPONENCIALES
SECUENCIAS GEOMÉTRICAS
Los estudiantes escribirán funciones exponenciales para modelar situaciones del mundo real. Los estudiantes analizarán tablas de datos, calcularán el valor inicial y el multiplicador constante, y escribirán funciones exponenciales. Las funciones exponenciales se escribirán en la forma f(x) = abx. Establecerán conexiones entre el término b y si la función representa crecimiento o decaimiento.
Una secuencia geométrica es una sucesión de números en la que cada término es el resultado de multiplicar el término anterior por un cociente constante. Los estudiantes establecerán conexiones entre la fórmula explícita de una secuencia geométrica, An = Ar n -1, y una ecuación exponencial de la forma y = abx. Los estudiantes relacionarán las secuencias geométricas con las funciones exponenciales y reconocerán que la razón constante es lo mismo que el multiplicador constante. La razón constante se utiliza para describir patrones crecientes y decrecientes. Los estudiantes escribirán reglas para secuencias geométricas e identificarán los términos de una secuencia geométrica dada en forma de función. La fórmula explícita de una sucesión geométrica puede determinarse mediante dos puntos de la gráfica de una sucesión o un punto de la gráfica y su razón constante. Esto es similar a determinar una función exponencial a partir de dos pares ordenados o un par ordenado y el multiplicador constante.
El crecimiento exponencial ocurre cuando b > 1. El valor de la variable dependiente crece a medida que aumenta el valor de la variable independiente. El decaimiento exponencial ocurre cuando 0 < b < 1. El valor de la variable dependiente decae a medida que aumenta el valor de la variable independiente.
Ejemplo: La familia Kazmier añadió un nuevo bebé a la familia y 10 personas lo supieron. La familia colgó una foto en las redes sociales y cada minuto se triplica el número de personas que conocen al nuevo bebé. Escribe una función que dé el número total de personas que vieron la foto p(m) después de m minutos de que la foto se publicara en las redes sociales. El valor inicial de esta función es a = 10 y la tasa de crecimiento es b = 3. Al usar la sustitución y la forma estándar para una función exponencial, f(x) = abx, la función p(m) = 10 3x representa este escenario.
⋅
Ejemplo: Determina si la tabla representa un crecimiento exponencial o un decrecimiento exponencial. A continuación, escriba la función en forma f(x) = abx.
Los estudiantes graficarán, determinarán el dominio y el rango, y analizarán qué forma modela mejor la situación. Las funciones exponenciales tienen un dominio definido para todos los números reales. Las secuencias geométricas tienen un dominio que se define para los números naturales. Una sucesión geométrica es discreta, pero una función lineal es continua. Por lo tanto, una sucesión geométrica se puede representar como una función lineal con un dominio discreto. Cuando una función lineal representa una sucesión geométrica, se denomina sucesión exponencial. Sin embargo, una función exponencial continua no puede representarse como una sucesión geométrica. Las fórmulas explícitas permiten a los estudiantes calcular el valor de cualquier término de una secuencia sin calcular todos los términos. Las fórmulas recursivas dan a los estudiantes el primer término de la secuencia, f(1) o a1, y la regla patrón para calcular cualquier término a partir del término que le precede. Este alcance se centra en la fórmula explícita.
Esta tabla representa el decaimiento exponencial. La tabla muestra que los valores de salida disminuyen exponencialmente a medida que los valores de entrada aumentan. El multiplicador constante o relación constante se determina dividiendo cada valor de salida por su valor de salida precedente. Para esta tabla, b = 0.1. Cuando 0 < b < 1, la función representa un decaimiento exponencial. El valor inicial es la intersección y, que puede identificarse en la tabla como (0, 100), por lo que a = 100. f(x) = abx k(x) = 100 0 ⋅ 0.1x 48
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Ejemplo: Utiliza la siguiente tabla para escribir una sucesión geométrica en forma explícita y, a continuación, utiliza la tabla para escribir una ecuación en forma exponencial.
Cantidad de elemento restante en gramos
0
1
2
3
4
5
300
150
75
37.5
18.75
?».
Ejemplo: Se ha observado un aumento del número de termitas. Los inspectores de viviendas tomaron datos durante 7 días seguidos. Registraron los siguientes datos: 5, 10, 20, 40, 80, 160 y 320 respectivamente. «¿Se trata de un dato aritmético o geométrico? ¿Cuántas termitas esperarías contar al día siguiente?». Haga una lista de los términos y determina si existe un cociente constante.
⋅
An = 300 0.5n -1
⋅
El cociente constante es 2.
f(x) = 300 0.5t a.
«¿Cómo fue similar el proceso para cada ecuación?».
Ambas ecuaciones requieren encontrar el cociente constante de 0.5 o el factor multiplicador/decreciente constante de 0,5.
b. «¿En qué se diferenció el proceso?». Término (n)
1
2
3
4
5
6
Tiempo en años (f)
0
1
2
3
4
5
Cantidad de elemento restante en gramos
300
150
Tiempo en años (t)
a. El exponente de la secuencia aritmética y el de la ecuación exponencial son diferentes. Como se muestra en la tabla anterior, el término (n) es 1 mayor que el tiempo (t). La forma explícita comienza con n = 1 para el primer término, y la ecuación exponencial comienza con t = 0 para el primer término. Esto es siempre cierto para las dos formas. b. «¿Las ecuaciones dan el mismo resultado al encontrar el valor que falta en la tabla?». El valor que falta es 9.375, y tanto la secuencia geométrica en forma explícita como la ecuación exponencial dan el mismo resultado. c. «¿Qué función es la mejor representación para esta situación?». La ecuación exponencial es la mejor representación para esta situación porque la situación tiene un dominio razonable de valores que incluye números entre los enteros de la tabla. El tiempo es continuo y las secuencias geométricas no son continuas, por lo que no sería la mejor representación para esta situación. La secuencia geométrica no es un buen ajuste porque sólo modela la cantidad de elemento restante como una función de la posición en la secuencia, pero la ecuación exponencial modela la cantidad de elemento restante como una función del tiempo.
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Ejemplo: Decide si la situación representa una serie aritmética o geométrica y justifica tu razonamiento. a. Un experimento científico consiste en medir periódicamente el número de células de moho presentes en un trozo de pan. Al principio del experimento, hay 40 células de moho. Cada vez que se hace una observación periódica, el número de células de moho se triplica. Se trata de una sucesión geométrica porque hay un cociente constante de 3. b. June adquiere un teléfono móvil de prepago. Inicialmente, tiene un saldo de 50 dólares en el teléfono. Cada minuto de conversación cuesta $0.25. Esta es una secuencia aritmética porque hay una diferencia constante de -0.25.
AVANCES Los estudiantes transformarán y modelarán situaciones con funciones exponenciales más adelante en álgebra 1. En álgebra 2, los estudiantes resolverán ecuaciones exponenciales usando las propiedades de los logaritmos. Los estudiantes desarrollarán funciones exponenciales más complejas para escenarios del mundo real. En cursos posteriores, se estudia la notación de suma, que se utiliza mucho al definir la integral definida y al aproximar integrales definidas. La suma es la adición de una secuencia de números de cualquier tipo, llamados sumandos.
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CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES Crear ecuaciones que describan números o relaciones. • Crear ecuaciones e inecuaciones en una variable, que incluya aquellas con valor absoluto, y utilizarlas para resolver problemas. Incluir ecuaciones que surjan de funciones lineales y cuadráticas, así como funciones racionales y exponenciales simples. • Crear ecuaciones en dos o más variables para representar relaciones entre cantidades; graficar ecuaciones en ejes de coordenadas con etiquetas y escalas. Representar y resolver ecuaciones y desigualdades gráficamente. • Entender que la gráfica de una ecuación en dos variables es el conjunto de todas sus soluciones trazadas en el plano de coordenadas, a menudo formando una curva (que podría ser una recta).
Analizar funciones con diferentes representaciones. • Graficar funciones expresadas simbólicamente y mostrar las características clave de la gráfica, a mano en casos sencillos y con el uso de tecnología para casos más complicados. ◦ Graficar funciones exponenciales y logarítmicas, mostrar interceptos y comportamiento final, y funciones trigonométricas, así como período, línea media y amplitud. ◦ Utilizar las propiedades de los exponentes para interpretar expresiones de funciones exponenciales. Por ejemplo, identificar la tasa de cambio porcentual en funciones como y = t ___ (1.02)ᵗ, y = (0.97)ᵗ, y = (1.01)12ᵗ, e y = (1.2) 10, y clasificarlos como representativos de un crecimiento exponencial o de un decaimiento.
Construir una función que modele una relación entre dos cantidades.
Construir y comparar modelos lineales y exponenciales, y resolver problemas.
• Escribir una función que describa una relación entre dos cantidades.
• Distinguir entre situaciones que pueden modelarse con funciones lineales y con funciones exponenciales.
Interpretar funciones que surjan de aplicaciones en términos del contexto. • Para una función que modele una relación entre dos cantidades, interpretar características clave de gráficas y tablas en términos de las cantidades, y dibujar gráficas que muestren características clave dada una descripción verbal de la relación. Las características clave incluyen: interceptos; intervalos en los que la función es creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos; simetrías; comportamiento final; y periodicidad. • Relacionar el dominio de una función con su gráfica y, en su caso, con la relación cuantitativa que describe. Por ejemplo, si la función h(n) da el número de horas-persona que se tarda en montar n motores en una fábrica, entonces los números enteros positivos serían un dominio apropiado para la función. • Calcular e interpretar la tasa de variación media de una función (presentada simbólicamente o en forma de tabla) en un intervalo especificado. Estimar la tasa de cambio a partir de una gráfica. Interpretar la estructura de expresiones. • Interpretar expresiones que representan una cantidad en términos de su contexto. ◦ Interpretar partes de una expresión, como términos, factores y coeficientes. ◦ Interpretar expresiones complicadas al ver una o más de sus partes como una sola entidad. Por ejemplo, interpretar P(1 + r)n como el producto de P y un factor que no depende de P. 50
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◦ Saber que las funciones lineales crecen por diferencias iguales en intervalos iguales y que las funciones exponenciales crecen por factores iguales en intervalos iguales. ◦ Reconocer situaciones en las que una cantidad cambia a una tasa constante por intervalo unitario en relación con otra. ◦ Reconocer situaciones en las que una cantidad crece o decrece por un factor constante por intervalo unitario en relación con otra. • Construir funciones lineales y exponenciales, que incluyan secuencias aritméticas y geométricas, dadas una gráfica, una descripción de una relación, o dos pares de entrada-salida (incluir la lectura de estos de una tabla). • Observar con gráficas y tablas que una cantidad que aumenta exponencialmente eventualmente excede a una cantidad que aumenta linealmente, cuadráticamente, o (más generalmente) como una función polinómica. Interpretar expresiones para funciones en términos de la situación que modelan. • Interpretar los parámetros de una función lineal o exponencial en función de un contexto. [Lineal y exponencial de la forma f(x) = bx + k] *Este alcance se centra en la exponencial.
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DESGLOSAR EL ESTÁNDAR VERBOS: ¿QUÉ DEBERÍAN HACER LOS ESTUDIANTES?
• crear: hacer algo de la nada. • usar: aplicar una estrategia. • representar: mostrar cómo se relacionan los términos; representar otra cosa. • trazar: indicar la posición de un número respecto a cero en una recta numérica o respecto al origen en un plano de coordenadas. • esbozar: hacer un dibujo aproximado de. • resolver: hallar un valor que responda a una pregunta o que cumpla una ecuación. • entender: comprender el significado de. • relacionar: hallar o mostrar cómo se combinan los números y las operaciones para hallar soluciones. • describir: escribir o contar los detalles de. • calcular: determinar matemáticamente la cantidad de algo. • interpretar: explicar el significado de. • estimar: predecir el tamaño, la cantidad o el valor aproximado de algo; estrategia utilizada a menudo para resolver un problema. • escribir: registrar un enunciado matemático. • analizar: explorar y explicar. • graficar: trazar un conjunto de puntos en un plano de coordenadas. • mostrar: representar un número. • comparar: observar las semejanzas y diferencias entre las cosas. • construir: producir algo a partir de dos o más partes. • distinguir: reconocer o comprender la diferencia entre dos cosas. • conocer: capacidad de identificar y comprender una idea, fórmula o habilidad. • modelar: mostrar con una representación pictórica o una expresión. • reconocer: ver y comprender. • observar: darse cuenta de algo y considerarlo importante.
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SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBEN CONOCER LOS ESTUDIANTES? • ecuación: enunciado matemático que muestra que dos expresiones son iguales entre sí. • desigualdad: enunciado matemático que utiliza símbolos como <, ≤, > o ≥ para comparar dos cantidades. • variable: una letra o símbolo que ocupa el lugar de un número que puede cambiar; una letra que puede representar un número desconocido o un conjunto de números. • valor absoluto: la distancia a la que se encuentra un número del cero en una recta numérica; también se denomina magnitud de un número; nunca es negativo. • función: una relación especial entre valores; cada valor de entrada devuelve exactamente un valor de salida. • función lineal: una relación que cuando se representa gráficamente es una línea recta. • función cuadrática: una función que puede escribirse de la forma f(x) = ax2 + bx + c = 0, donde a, b, y c son números reales y a ≠ 0, o de la forma f(x) = a(x-h)2 + k, donde a, h, y k son números reales y a ≠ 0. • función exponencial: una función de la forma de f(x) = abx donde a y b son números reales y a ≠ 0, b ≠ 1, y b > 0. • relación cuantitativa: • ejes de coordenadas: dos rectas numéricas perpendiculares, denominadas eje xrelación entre magnitudes y eje y, que se cruzan en el punto (0, 0) y crean cuatro cuadrantes. • intervalo escalar: escala de medida utilizada en un gráfico en la que la distancia entre marcas es igual y las marcas se cuentan por un valor constante. • gráfico: representación visual de datos. • solución: cualquier número que hace que una ecuación sea verdadera. • plano de coordenadas: dos rectas numéricas perpendiculares llamadas eje x y eje y, que se cruzan en el punto (0, 0) y crean cuatro cuadrantes; también llamado gráfico, cuadrícula de coordenadas o plano cartesiano. • cantidad: un número o cantidad; una cantidad que dice cuánto. • expresión (expresión algebraica): números, variables y símbolos agrupados sin signo igual para mostrar una relación. • término: en una expresión algebraica, un número o variable, o un producto o cociente de números y variables. • factores: expresiones que se multiplican entre sí para obtener un polinomio; factores que aparecen en la forma de ax + b y no se pueden factorizar más. • coeficiente: número colocado directamente delante de una variable que indica que hay que multiplicar ese número por la variable.
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INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO • tasa de cambio: tasa que muestra cómo cambia una cantidad en relación con otra. • intercepción: punto o puntos en los que una función o relación interseca un eje. • intervalo: conjunto de valores de entrada continuos en los que las salidas de una función pueden ser positivas, negativas o constantes. • simetría: una propiedad intrínseca de un objeto matemático que hace que permanezca invariable bajo ciertas clases de transformaciones. • valor máximo: el lugar donde una función alcanza su punto más alto, o vértice, en un gráfico. • valor mínimo: el lugar donde una función alcanza su punto más bajo, o vértice, en un gráfico. • comportamiento final: la tendencia que sigue el gráfico a medida que x se aproxima a infinito en las direcciones negativa y positiva. • tasa media de cambio: el cambio total de los valores de la función (valores de salida) dividido por el cambio en los valores de entrada. • secuencia aritmética: una secuencia en la que los términos sucesivos difieren en el mismo número d, llamada diferencia común donde d ≠ 0. • secuencia geométrica: secuencia en la que la razón de los términos sucesivos es una constante r, llamada razón común donde r ≠ 0 y r ≠ 1. • par entrada-salida: un par ordenado en el que la entrada corresponde a la variable independiente en la columna izquierda de una tabla de funciones y la salida corresponde a la columna derecha de una tabla de funciones; un par ordenado se determina evaluando la función con la entrada. • parámetro: una cantidad que influye en la salida o en el comportamiento de un objeto matemático pero que se considera que se mantiene constante. • contexto: la situación en la que algo se encuentra o sucede. • diferencias iguales sobre intervalos iguales: cómo crece una función lineal o la tasa de cambio de una función lineal; el cambio en la variable dependiente sobre un intervalo es igual al cambio en la variable dependiente sobre un intervalo del mismo tamaño en cualquier parte de la función. • factores iguales sobre intervalos iguales: cómo crece o decrece una función exponencial; el factor de crecimiento de una función exponencial. • crecimiento exponencial: el cambio que se produce cuando una cantidad original se incrementa en un porcentaje constante durante un periodo de tiempo. • decrecimiento exponencial: el proceso de reducción de una cantidad en un porcentaje constante durante un periodo de tiempo.
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IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA
• En grados anteriores, los estudiantes utilizaron la notación científica y las propiedades de los exponentes con base numérica. Los estudiantes escribieron una expresión en diferentes formas en el contexto de un problema para arrojar luz sobre los problemas y cómo se relacionan las cantidades en ellos. Compararon las propiedades de dos funciones representadas de forma diferente. Los estudiantes también explicaron lo que significa un par ordenado en términos de la situación. • En este nivel de grado, los estudiantes ampliarán su comprensión del modelado con funciones lineales para modelar con funciones exponenciales. Los estudiantes ampliarán su comprensión de las propiedades de los exponentes para graficar funciones exponenciales. • Los estudiantes deben ser capaces de modelar una situación al usar una función exponencial e identificar las partes individuales de una expresión para interpretarlas en contexto. Los estudiantes deben ser capaces de utilizar las reglas de los exponentes para reescribir funciones exponenciales que representen un contexto, como la vida media o el interés compuesto. Los estudiantes deben ser capaces de identificar la función exponencial que corresponde a una gráfica, describir las características clave de la función, dibujar gráficas sencillas a mano y utilizar la tecnología para hacer gráficas de funciones exponenciales más complejas. • Puede ser útil transformar funciones exponenciales escribiendo primero los exponentes (3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 en lugar de 35) para ayudar a los estudiantes con las propiedades de los exponentes. Esto ayuda a los estudiantes a ver lo que está sucediendo y les permite utilizar su comprensión previa de las operaciones para ayudarles a dar sentido a las propiedades de los exponentes. • Los estudiantes deben tener experiencia con una variedad de funciones exponenciales que modelan muchos tipos diferentes de situaciones para que experimenten la interpretación de muchos contextos diferentes. • Dé a los estudiantes diferentes tipos de gráficos en muchas representaciones para comparar, tales como ecuaciones, gráficos, tablas de valores y descripciones verbales. Ayudará a los estudiantes a desarrollar una sólida comprensión de lo que hace que algo sea una función exponencial si algunos de estos ejemplos son funciones cuadráticas o funciones lineales. Los estudiantes deben ser capaces de determinar si una función es lineal, cuadrática o exponencial basándose en cualquiera de las formas. • Pida regularmente a los estudiantes que expliquen verbalmente qué significan los números de una solución de una función exponencial en términos del contexto del problema. Hacer que debatan esto con sus compañeros les da la oportunidad de criticar el proceso y entenderlo de una manera diferente. ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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ALINEACIÓN VERTICAL GRADO
ESTÁNDAR Escribir y evaluar expresiones numéricas que involucren exponentes de números enteros. Escribir, leer y evaluar expresiones en las que las letras representan números. a. Escribir expresiones que registren operaciones con números y con letras que representan números.
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b. Evaluar expresiones en valores específicos de sus variables. Incluir expresiones que surgen de fórmulas utilizadas en problemas del mundo real. Realizar operaciones aritméticas, incluidas las que implican exponentes de números enteros, en el orden convencional cuando no hay paréntesis para especificar un orden concreto (orden de las operaciones). Por ejemplo, utilizar las fórmulas V = s3 y A = 6s2 para hallar el volumen y la superficie de un cubo con lados de longitud s = __ 1 . 2
Usar variables para representar dos cantidades en un problema del mundo real que cambian en relación una con otra; escribir una ecuación para expresar una cantidad, considerada como la variable dependiente, en términos de la otra cantidad, considerada como la variable independiente. Analizar la relación entre las variables dependiente e independiente mediante gráficas y tablas, y relacionarlas con la ecuación. Por ejemplo, en un problema que involucre movimiento a velocidad constante, enlistar y graficar pares ordenados de distancias y tiempos, y escribir la ecuación d = 65t para representar la relación entre distancia y tiempo. Comprender que reescribir una expresión en diferentes formas en el contexto de un problema puede arrojar luz sobre el problema y cómo se relacionan las cantidades en él. Por ejemplo, a + 0.05a = 1.05a significa que «aumentar un 5 %» es lo mismo que «multiplicar por 1.05»
7
Usar variables para representar cantidades en un problema matemático o del mundo real, y construir ecuaciones y desigualdades simples para resolver problemas razonando sobre las cantidades. Reconocer y representar relaciones proporcionales entre cantidades. Usar relaciones proporcionales para resolver problemas de razones y porcentajes de varios pasos. Ejemplo: interés simple, impuestos, sobreprecios y rebajas, gratificaciones y comisiones, honorarios, porcentaje de aumento y disminución, porcentaje de error. Conocer y aplicar las propiedades de los exponentes enteros para generar expresiones numéricas equivalentes. Graficar relaciones proporcionales, al interpretar la tasa unitaria como la pendiente del gráfico. Comparar dos relaciones proporcionales diferentes representadas de formas distintas. Por ejemplo, comparar una gráfica distancia-tiempo con una ecuación distancia-tiempo para determinar cuál de dos objetos en movimiento tiene mayor velocidad. Entender que una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. La gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados formado por una entrada y la salida correspondiente.
8
Interpretar la ecuación y = mx + b como definición de una función lineal, cuya gráfica es una línea recta; dar ejemplos de funciones que no son lineales. Por ejemplo, la función A = s2 que da el área de un cuadrado en función de la longitud de sus lados no es lineal porque su gráfica contiene los puntos (1,1), (2,4) y (3,9), que no están en una línea recta. Construir una función para modelar una relación lineal entre dos cantidades. Determinar la tasa de variación y el valor inicial de la función a partir de la descripción de una relación o de dos valores (x, y), incluso leyéndolos en una tabla o en un gráfico. Interpretar la tasa de cambio y el valor inicial de una función lineal en términos de la situación que modela, y en términos de su gráfica o de una tabla de valores. Describir cualitativamente la relación funcional entre dos cantidades al analizar una gráfica (por ejemplo, si la función es creciente o decreciente, lineal o no lineal). Bosquejar una gráfica que muestre las características cualitativas de una función que ha sido descrita verbalmente.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES
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GRADO
ESTÁNDAR
Resolver ecuaciones y desigualdades lineales en una variable, incluida ecuaciones con coeficientes representados por letras.
Representar restricciones mediante ecuaciones o desigualdades, y mediante sistemas de ecuaciones y/o desigualdades, e interpretar soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelación.
Utilizar notación de funciones, evaluar funciones para entradas en sus dominios e interpretar enunciados que utilizan notación de funciones en términos de un contexto.
Comprender que una función de un conjunto (llamado dominio) a otro conjunto (llamado rango) asigna a cada elemento del dominio exactamente un elemento del rango. Si f es una función y x es un elemento de su dominio, entonces f(x) denota la salida de f correspondiente a la entrada x. La gráfica de f es la gráfica de la ecuación y = f(x).
Álgebra
Reconocer que las secuencias son funciones, a veces definidas recursivamente, cuyo dominio es un subconjunto de los números enteros. Por ejemplo, la sucesión de Fibonacci se define recursivamente por f(0) = f(1) = 1, f(n + 1) = f(n) + f(n - 1) para n ≥ 1.
Para una función que modela una relación entre dos cantidades, interpretar características clave de gráficas y tablas en términos de las cantidades, y bosquejar gráficas que muestren características clave dada una descripción verbal de la relación. Las características clave incluyen: interceptos; intervalos en los que la función es creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos; simetrías; comportamiento final; y periodicidad.
Escribir una función que describa una relación entre dos cantidades.
Escribir secuencias aritméticas y geométricas tanto recursivamente como con una fórmula explícita, utilizarlas para Representar situaciones, y traducir entre las dos formas.
Distinguir entre situaciones que se pueden Representar con funciones lineales y con funciones exponenciales. a. Distinguir entre situaciones que se pueden Representar con funciones lineales y con funciones exponenciales.
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GRADO
ESTÁNDAR Crear ecuaciones e inecuaciones en una variable, incluidas las de valor absoluto, y utilizarlas para resolver problemas. Incluir ecuaciones que surjan de funciones lineales y cuadráticas, y funciones racionales y exponenciales simples. Crear ecuaciones en dos o más variables para representar relaciones entre cantidades; graficar ecuaciones en ejes de coordenadas con etiquetas y escalas. Comprender que la gráfica de una ecuación en dos variables es el conjunto de todas sus soluciones trazadas en el plano de coordenadas, a menudo formando una curva (que podría ser una recta). Interpretar expresiones que representan una cantidad en términos de su contexto. a. Interpretar partes de una expresión, como términos, factores y coeficientes. b. Interpretar expresiones complicadas viendo una o más de sus partes como una sola entidad. Por ejemplo, interpretar P(1 + r)n como el producto de P y un factor que no depende de P. Escribir una función que describa una relación entre dos cantidades. Para una función que modele una relación entre dos cantidades, interpretar características clave de gráficas y tablas en términos de las cantidades, y bosquejar gráficas que muestren características clave dada una descripción verbal de la relación. Las características clave incluyen: interceptos; intervalos en los que la función es creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos; simetrías; comportamiento final; y periodicidad. Relacionar el dominio de una función con su gráfica y, en su caso, con la relación cuantitativa que describe. Por ejemplo, si la función h(n) da el número de horas-persona que se tarda en montar n motores en una fábrica, entonces los números enteros positivos serían un dominio apropiado para la función.
Álgebra
Calcular e interpretar la tasa de variación media de una función (presentada simbólicamente o en forma de tabla) en un intervalo especificado. Estimar la tasa de cambio a partir de una gráfica. Graficar funciones expresadas simbólicamente y mostrar características clave de la gráfica, a mano en casos sencillos y usar tecnología para casos más complicados. e. Graficar funciones exponenciales y logarítmicas, al mostrar interceptos y comportamiento final, y funciones trigonométricas, mostrar periodo, línea media y amplitud. Escribir una función definida por una expresión en formas diferentes pero equivalentes para revelar y explicar diferentes propiedades de la función. a. Utilizar las propiedades de los exponentes para interpretar expresiones de funciones exponenciales. Por ejemplo, identificar la tasa porcentual de cambio en funciones como y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, e t ___ y = (1.2) 10 , y clasificarlas como representativas de crecimiento o decaimiento exponencial. Distinguir entre situaciones que pueden modelarse con funciones lineales y con funciones exponenciales. b. Reconocer situaciones en las que una cantidad cambia a un ritmo constante por intervalo unitario con respecto a otra. c. Reconocer situaciones en las que una cantidad crece o decrece en un factor constante por intervalo unitario con respecto a otra. Construir funciones lineales y exponenciales, incluir secuencias aritméticas y geométricas, dadas una gráfica, una descripción de una relación, o dos pares de entrada-salida (incluida la lectura de estos de una tabla). Observar con gráficas y tablas que una cantidad que aumenta exponencialmente eventualmente excede a una cantidad que aumenta linealmente, cuadráticamente, o (más generalmente) como una función polinomial. Interpretar los parámetros en una función lineal o exponencial en términos de un contexto. [Lineal y exponencial de la forma f(x) = bx + k]
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INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
GRADO
ESTÁNDAR Elegir y producir una forma equivalente de una expresión para revelar y explicar propiedades de la cantidad representada por la expresión. c. Utilizar las propiedades de los exponentes para transformar expresiones de funciones 1 ___ exponenciales. Por ejemplo, la expresión 1.15ᵗ puede reescribirse como (1.1.5 12) 12ᵗ ≈ 1.01212ᵗ para revelar el tipo de interés mensual equivalente aproximado si el tipo anual es del 15 %.
Crear ecuaciones en dos o más variables para representar relaciones entre cantidades; graficar ecuaciones en ejes de coordenadas con rótulos y escalas.
Álgebra
Comparar propiedades de dos funciones representadas cada una de una manera diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas o mediante descripciones verbales). Por ejemplo, dada una gráfica de una función cuadrática y una expresión algebraica para otra, decir cuál tiene el máximo mayor.
Identificar el efecto en la gráfica de sustituir f(x) por f(x) + k, kf(x), f(kx), y f(x + k) para valores concretos de k (tanto positivos como negativos); hallar el valor de k dadas las gráficas. Experimentar con casos e ilustrar una explicación de los efectos en la gráfica con el uso de la tecnología. Incluir el reconocimiento de funciones pares e impares a partir de sus gráficas y expresiones algebraicas para ellas.
Representar datos sobre dos variables cuantitativas en un diagrama de dispersión y describir cómo se relacionan las variables. a. Ajustar una función a los datos; utilizar funciones ajustadas a los datos para resolver problemas en el contexto de los datos. Utilizar funciones dadas o elegir una función sugerida por el contexto. Enfatizar modelos lineales, cuadráticos y exponenciales. Derivar la fórmula para la suma de una serie geométrica finita (cuando el cociente común no es 1), y usar la fórmula para resolver problemas. Por ejemplo, calcular los pagos de una hipoteca.
Graficar funciones expresadas simbólicamente y mostrar las características clave de la gráfica a mano en casos sencillos, y con el uso de la tecnología para casos más complicados. Álgebra 2
d. Graficar funciones racionales, al identificar ceros y asíntotas cuando se dispone de factorizaciones adecuadas, y al mostrar el comportamiento final. e. Graficar funciones exponenciales y logarítmicas, al mostrar interceptos y comportamiento final, y funciones trigonométricas, al mostrar periodo, línea media y amplitud.
Comprender la relación inversa entre exponentes y logaritmos y utilizar esta relación para resolver problemas que involucren logaritmos y exponentes.
Para modelos exponenciales, expresar como logaritmo la solución de abct = d donde a, c, y d son números y la base b es 2, 10, o e; evaluar el logaritmo con el uso de la tecnología.
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INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA MONITOREAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA La guía de instrucción andamiada se proporciona para que los maestros puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones del alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que ayuda a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de la evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos según los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere que todos los estudiantes experimenten con los elementos: «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades», ya que cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar. 0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
80 % - 100 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil pueden trabajar en contenido de nivel de grado con apoyos de instrucción.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» individual para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 2. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante de acuerdo con sus datos de evaluación. 3. Haga clic en el alcance directo de la plataforma en línea para acceder al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la sección «Scaffolded Instruction Guide» en el menú desplegable «Home» del alcance. 4. Haga clic en el alcance directo de la plataforma en línea para acceder al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
b.
Interpretar expresiones complicadas al considerar una o más de sus partes como una única entidad. Por ejemplo, interpretar P(l+r)n como el producto de P y un factor que no depende de P.
Crear ecuaciones e inecuaciones en una variable, incluidas las de valor absoluto, y utilizarlas para resolver problemas. Incluir ecuaciones que surjan de funciones lineales y cuadráticas, y funciones racionales y exponenciales simples.
7 - Expresiones Constructor de fluidez • ¡Arregla el error! Práctica interactiva
0 % - 25 %
Revisión y prueba de habilidades
• Cerradura y llave Prueba de habilidades
Revisión y prueba de habilidades • Revisión (sección Atributos de las funciones exponenciales, sección Identificar el valor inicial y multiplicador constante) • Revisión (Preguntas 2, 6)
(Nivel de grado con apoyos)
Alg.I - Funciones exponenciales • Evaluación de control (preguntas 1-3)
8 - Raíces cuadradas y raíces cúbicas Revisión y prueba de habilidades Constructor de fluidez • Concentración Práctica interactiva • Despegue Prueba de habilidades
25 % - 50 %
25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyos)
(Refuerzo del grado anterior)
Interpretar partes de una expresión, como términos, factores y coeficientes.
0 % - 25 %
a.
(Refuerzo del grado anterior)
Interpretar expresiones que representan una cantidad en función de su contexto.
Alg.I - Funciones exponenciales Revisión y prueba de habilidades • Revisión (Identificar el valor inicial y el multiplicador constante) • Evaluación de control (pregunta 8)
Alg.I - Funciones exponenciales
Libreta interactiva Práctica interactiva • Laboratorio de identificación de bacterias Constructor de fluidez
(Nivel de grado)
Alg.I - Funciones exponenciales
Vocabulario interactivo 50 % - 80 %
(Nivel de grado)
50 % - 80 %
Vocabulario ilustrado
Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Práctica interactiva • Laboratorio de identificación de bacterias Ciencia de datos
• ¡A pescar!
¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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(Ampliación del nivel de grado)
Alg.I - Funciones exponenciales
80 % - 100 %
80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
Ciencia de datos
Alg.I - Funciones exponenciales ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Comprender que la gráfica de una ecuación en dos variables es el conjunto de todas sus soluciones trazadas en el plano de coordenadas, a menudo formando una curva (que podría ser una recta.
8 - Razón de cambio Revisión y prueba de habilidades
Revisión y prueba de habilidades
Constructor de fluidez
Constructor de fluidez • Concentración Prueba de habilidades Alg.I - Funciones exponenciales Revisión y prueba de habilidades • Revisión rápida (pregunta 4) • Revisión (sección Escribir funciones exponenciales)
(Refuerzo del grado anterior)
Alg.I - Funciones lineales
0 % - 25 %
(Refuerzo del grado anterior) (Nivel de grado con apoyos)
25 % - 50 %
0 % - 25 %
Crear ecuaciones en dos o más variables para representar relaciones entre cantidades; graficar ecuaciones en ejes de coordenadas con etiquetas y escalas.
• Evaluación de control (preguntas 8, 9 y 10)
25 % - 50 %
• Laboratorio de identificación de bacterias
Prueba de habilidades 8 - Resolución de pares de ecuaciones lineales Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • ¡Arregla el error!
Prueba de habilidades
Constructor de fluidez
(Nivel de grado con apoyos)
(Nivel de grado)
50 % - 80 %
Práctica interactiva
• Prueba de velocidad de robot
• ¡Atrapa ese robot!
Vocabulario ilustrado Libreta interactiva
Práctica interactiva
Práctica interactiva
Alg.I - Funciones exponenciales Vocabulario interactivo
• ¡Arregla el error!
Alg.I - Funciones exponenciales Acceso a conocimientos previos Constructor de fluidez
(Nivel de grado)
Alg.I - Funciones exponenciales Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Ciencia de datos
¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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80 % - 100 %
Alg.I - Funciones exponenciales (Ampliación del nivel de grado)
(Ampliación del nivel de grado)
80 % - 100 %
Ciencia de datos
50 % - 80 %
• ¡A pescar!
Alg.I - Funciones exponenciales Tablero de opciones
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INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
8 - Modelar relaciones de funciones
Prueba de habilidades
• Concentración Práctica interactiva • ¿Cuál es mi línea? Prueba de habilidades Alg.1 - Propiedades de las funciones Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Concentración Práctica interactiva
Alg.I - Funciones exponenciales
• ¡Atrapa ese robot!
• Revisión rápida (Pregunta 4)
Prueba de habilidades
• Revisión (sección Escribir funciones exponenciales) 25 % - 50 %
• Prueba de control (Preguntas 8, 9 y 10)
Vocabulario interactivo Libreta interactiva
(Nivel de grado con apoyos)
Revisión y prueba de habilidades
Práctica interactiva • Laboratorio de identificación de bacterias
Ciencia de datos
50 % - 80 %
• ¡A pescar!
Revisión y prueba de habilidades • Revisión rápida (preguntas 1, 3, & 5) • Revisión (sección de Atributos de funciones exponenciales, Sección de dominio y rango de funciones exponenciales, sección de identificación del valor inicial y multiplicador constante) • Prueba de control (preguntas 1, 2, 4, & 6)
Vocabulario ilustrado (Nivel de grado)
Constructor de fluidez
Alg.I - Funciones exponenciales
Alg.I - Funciones exponenciales Vocabulario interactivo Libreta interactiva Práctica interactiva • Laboratorio de identificación de bacterias Contructor de fluidez • ¡A pescar! Ciencia de datos
Alg.I - Funciones exponenciales ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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(Ampliación del nivel de grado)
(Nivel de grado)
50 % - 80 %
0 %-25
• ¡Bam!
(Refuerzo del grado anterior)
Constructor de fluidez
Vocabulario ilustrado
80 % - 100 %
Constructor de fluidez
Revisión y prueba de habilidades
Alg.I - Funciones exponenciales
(Ampliación del nivel de grado)
Revisión y prueba de habilidades
Alg.I - Funciones exponenciales
80 % - 100 %
(Refuerzo del grado anterior) (Nivel de grado con apoyos)
25 % - 50 %
0 %-25
Escribe una función que describa una relación entre dos cantidades.
Para una función que modela una relación entre dos cantidades, interpretar las características clave de gráficos y tablas en términos de las cantidades, y dibujar gráficos que muestren las características clave dada una descripción verbal de la relación. Las características clave incluyen: interceptos; intervalos en los que la función es creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos; simetrías; comportamiento final; y periodicidad.
Alg.I - Funciones exponenciales Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
0 %-25
(Refuerzo del grado anterior)
25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyos)
50 % - 80 %
(Nivel de grado)
Alg.I - Funciones exponenciales
(Extendiendo el Nivel de Grado)
(Refuerzo del grado anterior) (Nivel de grado con apoyo) (Nivel de grado)
Calcular e interpretar la tasa de variación media de una función (presentada simbólicamente o en forma de tabla) en un intervalo especificado. Estimar la tasa de cambio a partir de una gráfica.
Alg.I - Funciones exponenciales
Alg.1 - Propiedades de las funciones Revisión y prueba de habilidades Constructor de fluidez • Concentración Prueba de habilidades
Alg.I - Funciones exponenciales Revisión y prueba de habilidades • Revisión (sección Dominio y rango de funciones exponenciales)
Alg.I - Funciones exponenciales Vocabulario ilustrativo Vocabulario interactivo Ciencia de datos
Alg.I - Funciones exponenciales Tablero de opciones
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80 % - 100 %
0 % -25 % 25 % - 50 % 80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
50 % - 80 %
Relacionar el dominio de una función con su gráfica y, en su caso, con la relación cuantitativa que describe. Por ejemplo, si la función h(n) da el número de horaspersona que toma ensamblar n motores en una fábrica, entonces los números enteros positivos serían un dominio apropiado para la función.
Alg.1 - Propiedades de las funciones Revisión y prueba de habilidades Prueba de habilidades
Alg.I - Funciones exponenciales Revisión y prueba de habilidades • Revisión (Identifique la sección valor inicial y multiplicador constante)
Ciencia de datos
Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
8 - Funciones Revisión y prueba de habilidades Constructor de fluidez • ¡Bam! Examen de habilidades
(Refuerzo del grado anterior)
(Refuerzo del grado anterior)
0 % - 25 %
e. Graficar funciones exponenciales y logarítmicas, al mostrar interceptos y comportamiento final, y funciones trigonométricas, a través de la muestra de período, línea media y amplitud.
Utilizar las propiedades de los exponentes para interpretar expresiones de funciones exponenciales. Por ejemplo, identificar la tasa porcentual de cambio en funciones comoy = (1.02)t, y = (0.97)t, e y = (1.01)12t, t ___ y = (1.2) 10 , y clasificarlas como representativas de crecimiento o decaimiento exponencial.
0 % - 25 %
Graficar funciones expresadas simbólicamente y mostrar características clave de la gráfica a mano, en casos sencillos y con el uso de la tecnología para casos más complicados.
7 - Expresiones Revisión y prueba de habilidades Constructor de fluidez • ¡Arregla el error! Práctica interactiva • Cerradura y llave
• Prueba de control (pregunta 4)
(Nivel de grado)
50 % - 80 %
Alg.I - Funciones exponenciales Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva Constructor de fluidez
(Nivel de grado con apoyos)
• Revisión (sección Dominio y rango de funciones exponenciales)
(Nivel de grado)
Revisión y prueba de habilidades
25 % - 50 %
Alg.I - Funciones exponenciales
50 % - 80 %
(Nivel de grado con apoyos)
25 % - 50 %
Prueba de habilidades Alg.I - Funciones exponenciales Acceso a conocimientos previos Constructor de fluidez Revisión y prueba de habilidades • Revisión (sección Escribir funciones exponenciales) • Prueba de control (preguntas 3, 5 y 7)
Alg.I - Funciones exponenciales Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Ciencia de datos
• ¡A pescar!
Tablero de opciones
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(Ampliación del nivel de grado)
Alg.I - Funciones exponenciales
80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
80 % - 100 %
Ciencia de datos
Alg.I - Funciones exponenciales ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Distinguir entre situaciones que se pueden modelar con funciones lineales y con funciones exponenciales. a. Saber que las funciones lineales crecen por diferencias iguales en intervalos iguales y que las funciones exponenciales crecen por factores iguales en intervalos iguales. b. Reconocer situaciones en las que una cantidad cambia a una tasa constante por intervalo unitario en relación con otra.
Construir funciones lineales y exponenciales, incluida las secuencias aritméticas y geométricas, dada una gráfica, una descripción de una relación, o dos pares de entrada-salida (incluir la lectura de estos de una tabla).
8 - Tasa de cambio
Revisión y prueba de habilidades
Repaso y práctica de habilidades
Constructor de fluidez
Generador de fluidez
Práctica interactiva • Unión de funciones
Alg.I - Funciones exponenciales Constructor de fluidez • Revisión (Atributos de las funciones exponenciales, sección Identifique el valor inicial y el multiplicador constante, sección Escribir funciones exponenciales) • Prueba de control (preguntas 4, 5 y 8)
Prueba de habilidades 8 - Patrones en datos bivariados Repaso y práctica de habilidades Generador de fluidez
Libreta interactiva Práctica interactiva • Laboratorio de identificación de bacterias
(Nivel de grado)
Vocabulario interactivo
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• Prueba rápida (pregunta 4) • Revisión (sección Escribir funciones exponenciales) • Prueba de control (preguntas 8-10)
Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Práctica interactiva • Laboratorio de identificación de bacterias Constructor de fluidez
Ciencia de datos
80 % - 100 %
Tablero de opciones
Repaso y práctica de habilidades
• ¡A pescar!
(Ampliación del nivel de grado)
Alg.I - Funciones exponenciales
Alg.I - Funciones exponenciales
Alg.I - Funciones exponenciales
Vocabulario ilustrado
Ciencia de datos (Ampliación del nivel de grado)
• Primer contacto
Revisión y prueba de habilidades
50 % - 80 %
(Nivel de grado)
50 % - 80 %
Práctica interactiva
Prueba de habilidades
Alg.I - Funciones exponenciales
80 % - 100 %
• ¡A pescar!
• ¡Bam!
Acceso a conocimientos previos
25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyos)
25 % - 50 %
Prueba de habilidades
0 % - 25 %
• Concentración
(Refuerzo del grado anterior)
8 - Comparar funciones
(Nivel de grado con apoyos)
(Refuerzo del grado anterior)
0 % - 25 %
c. Reconocer situaciones en las que una cantidad crece o decrece por un factor constante por intervalo unitario en relación con otra.
Alg.I - Funciones exponenciales Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Interpretar los parámetros de una función lineal o exponencial en términos de un contexto. [Lineal y exponencial de la forma f (x)= bˣ + k]
8 - Tasa de cambio Constructor de fluidez • ¡A pescar! Práctica interactiva • Primer contacto
0 % - 25 %
Prueba de habilidades 8 - Patrones en datos bivariados Revisión y práctica de habilidades • ¡Bam!
Alg.I - Funciones exponenciales Revisión y práctica de habilidades
25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyo)
Prueba de habilidades
25 % - 50 %
8 - Tasa de cambio Revisión y prueba de habilidades Constructor de fluidez • ¡A pescar! Práctica interactiva • Primer contacto Prueba de habilidades
Constructor de fluidez
• Revisión (sección Atributos de las funciones exponenciales) • Prueba de control (pregunta 10)
(Nivel de grado con apoyos)
(Refuerzo del grado anterior)
0 % - 25 %
Revisión y prueba de habilidades
(Refuerzo del grado anterior)
Observa, mediante gráficos y tablas, que una cantidad que aumenta exponencialmente supera a una cantidad que aumenta linealmente, cuadráticamente o (de forma más general) como una función polinómica.
Alg.I - Funciones exponenciales Revisión y prueba de habilidades • Revisión (identifique la sección Valor inicial y multiplicador constante) • Prueba de contro (preguntas 5 y 7)
Vocabulario interactivo
(Nivel de grado)
Vocabulario ilustrado
50 % - 80 %
Alg.I - Funciones exponenciales
Libreta interactiva
Tablero de opciones
64
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(Ampliación del nivel de grado)
Alg.I - Funciones exponenciales
Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Práctica interactiva • Laboratorio de identificación de bacterias Ciencia de datos
80 % - 100 %
(Nivel de grado)
(Ampliación del nivel de grado)
80 % - 100 %
50 % - 80 %
Alg.I - Funciones exponenciales
Alg.I - Funciones exponenciales ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES
ATRAER: ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS EVALUAR PREVIAMENTE EL CONOCIMIENTO DEL ESTUDIANTE
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: NO PERTENECE ESTÁNDAR PREVIO
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Usar relaciones proporcionales para resolver problemas de razones y porcentajes de varios pasos. Los ejemplos incluyen interés simple, impuestos, aumentos y disminuciones de precio, propinas y comisiones, tarifas, aumento y disminución porcentual, error porcentual.
1. Reparta «No pertenece» a cada estudiante o grupo. 2. Explique que cada cuadro del folleto contiene cuatro opciones. Tres de las opciones van juntas, mientras que una no pertenece. 3. Pida a los estudiantes que determinen qué letra no pertenece a cada grupo y que expliquen lo que piensan.
DESCRIPCIÓN
◦ La primera página: B no pertenece. A, C y D suman 400, B no.
Los estudiantes examinarán una serie de tablas basadas en el estándar anterior y determinarán qué opción no pertenece al grupo. Este elemento está diseñado para descubrir los conceptos erróneos de los estudiantes, no debe tomarse para una calificación.
◦ La segunda página: D no pertenece. A, B y C son equivalentes, D no. ◦ La tercera página: B no pertenece. A, C y D tienen una respuesta que es igual a 36 %
MATERIALES
4. Concluya dirigiendo un debate. 5. Si los estudiantes tienen dificultades para completar esta tarea, pase al «Constructor de bases fundamentales» para llenar este vacío en el conocimiento previo antes de pasar a otras partes del alcance.
IMPRESO
• 1 no pertenece (por estudiante o por grupo)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de «No pertenece» para cada estudiante o grupo.
IDENTIFICAR CONCEPTOS ERRÓNEOS
• En la segunda página, un concepto erróneo puede ser que 64 % es 6.4 como decimal. Anímelos a utilizar «64 por ciento» y «64 de cada 100». Los estudiantes pueden entonces leer 64/100 como «64 centésimas», que es 0,64.
• Puede colocar a los estudiantes en grupos de dos o tres.
Exponential Functions
Exponential Functions
Exponential Functions
Does Not Belong
Does Not Belong
Does Not Belong
Determine which letter does not belong in each group, and explain your thinking.
Determine which letter does not belong in each group, and explain your thinking.
Determine which letter does not belong in each group, and explain your thinking.
A
B
50% of 800
600 decreased by 25%
C
D
100 increased by 300%
A
33.3% of 1,200
B
64%
16/25
C
D
0.64
6.4
A
C
The price of a video game was $100, but now it is $64. What is the percent decrease?
Suzan’s cell phone bill for her family was $200 per month this year. The cell phone company informed her that her bill would be increasing to $272 per month next year. By what percentage is her monthly payment increasing next year?
B
D
Janet purchased a pair of shoes for $72. When she went back to the store a week later, she saw the same shoes were on sale for $36. What percent did the shoe price decrease?
Ramos spent $50 on gas last month. Due to an increase in gas prices, he spent $68 this month. What was the percent increase?
Letter ______ does not belong because ___________________________
Letter ______ does not belong because ___________________________
Letter ______ does not belong because ___________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
1
2
3
NO PERTENECE
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES
ATRAER: CAPTAR INTERÉS Exponential Functions
LECCIÓN PARA CAPTAR INTERÉS
CAPTAR INTERÉS DESCRIPCIÓN Los estudiantes relacionarán las funciones exponenciales con una situación del mundo real.
MATERIALES
The number of fluorescent algae cells in a pond grows five times bigger each hour on days when the temperature is above 95°F. Three hours after the temperature reached 95°, marine biologists found 500 algae cells in the pond.
Time (t) in Hours Number of Cells (N(t))
0
1
2
3
4
5
6
500
Model: N(t) = ___________
IMPRESO
• 1 funciones exponenciales (por clase)
FUNCIONES EXPONENCIALES
REUTILIZABLES
• 1 video de fenómenos (por clase)
PREPARACIÓN
• Planee mostrar el video. • Prepárese para proyectar las «Funciones exponenciales» para que toda la clase las vea. • Prepárese para presentar el escenario y para animar a los estudiantes a pensar en cómo resolverlo. • Prepárese para pasar a las actividades de «Exploración», regresando a la actividad «Captar interés» con los nuevos conocimientos adquiridos después de que se hayan completado las «Exploraciones».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA
1. Presente esta actividad hacia el comienzo del alcance. La clase retomará la actividad y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades «Exploración» correspondientes. 2. Explique la situación mientras muestra el vídeo que tiene detrás. Los biólogos marinos estudian el crecimiento de las algas en un estanque local. Observan que las células de las algas crecen mucho más rápidamente a temperaturas más cálidas. Quieren modelar y predecir el crecimiento de las algas durante los días en que hay temperaturas superiores a 95 °F. 3. Formule a los estudiantes las siguientes preguntas: «¿Qué observas? ¿Qué se preguntan? ¿Dónde puedes ver matemáticas en esta situación?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Observo que las células parecen multiplicarse. Observo que el crecimiento es rápido. Me pregunto cuántas células hay. Me pregunto a qué velocidad se produce el crecimiento. Me pregunto qué tamaño tendrán las células. Me pregunto si seremos capaces de crear una ecuación que corresponda al crecimiento celular de las algas. 4. Proyecte «Funciones exponenciales».
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5. Explique que el objetivo del alcance será examinar cómo modelar el crecimiento multiplicativo rápido. Formule las siguientes preguntas: a. DOK-1 «¿En qué se diferenciarán los valores de esta tabla de los de una tabla que muestre un crecimiento lineal?». En una tabla lineal, los valores aumentarían en una cantidad constante, pero eso no sucederá en esta tabla porque el número de celdas se multiplica a sí mismo por 5 cada hora, en lugar de crecer en el mismo valor cada hora. b. DOK-1 «¿Cómo predices que la ecuación del modelo será diferente de una ecuación lineal?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. Las respuestas de los estudiantes variarán. Creo que la y-intercepción seguirá siendo importante. No creo que haya signos de suma o resta. No creo que el modelo contenga un valor de pendiente. 6. Completae las actividades de «Exploración» . PARTE II: DESPUÉS DE EXPLORAR
1. Muestre de nuevo el video de fenómenos y vuelva a plantear el problema. 2. Consulte «Funciones exponenciales» y formule las siguientes preguntas: a. DOK-1 «¿Tiene más sentido la idea de crecimiento exponencial después de las exploraciones?». Sí, cuando las tablas crecen por un factor común, tenemos crecimiento exponencial. b. DOK-1 «¿Qué estrategias utilizarías para crear un modelo para el crecimiento de las algas?». Encontraría el valor inicial y luego usaría la ecuación y = a(bx). c. DOK-1 «¿Qué ecuación usarías para modelar este crecimiento?». Esta desigualdad representa la conjunción. La gráfica tendría sombreado entre dos valores. d. DOK-1 «¿Consideras que tienes una sólida comprensión de las funciones exponenciales?». Las respuestas variarán según el éxito de los estudiantes durante la actividad y su nivel de confianza.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 1: ATRIBUTOS DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes examinarán gráficas de funciones exponenciales e identificarán características clave como interceptos, intervalos crecientes y decrecientes, y comportamiento final. Los estudiantes se basarán en el conocimiento de las gráficas lineales y aplicarán lo que sea aplicable a las gráficas de funciones exponenciales.
PARTE I
ESTÁNDARES DE PRÁCTICA MATEMÁTICA • MP.2 Razonamiento abstracto y cuantitativo: Los estudiantes darán sentido a las cantidades y sus relaciones. Los estudiantes crearán representaciones lógicas de los problemas.
1. Lea el siguiente escenario a la clase: ¡Que comience el juego! Estás realizando un experimento en tu clase de ciencias en el que analizas el comportamiento de diferentes tipos de colonias de microbios dentro de placas de Petri. El experimento se ha organizado a modo de competición, en la que el microbio que crezca más rápido será coronado ganador de los Juegos de los microbios. Los microbios han tenido 3 días en clase para competir por el título. Para empezar, tendrán que comparar el crecimiento de sus dos primeros concursantes, el microbio A y el microbio B.
• MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes aplicarán las matemáticas que conocen para resolver problemas de la vida cotidiana. Los estudiantes representarán las matemáticas para describir una situación ya sea con una ecuación o un diagrama, e interpretarán los resultados de una situación matemática.
4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para analizar la información del microbio A y del microbio B y registrar su trabajo en sus «Diarios del estudiante».
• MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes verán cálculos repetidos y buscarán generalizaciones y atajos. Los estudiantes comprenderán la aplicación más amplia de los patrones y verán la estructura en situaciones similares.
a. DOK-1 «¿Tiene cada gráfico una x-intercepción?». No, sólo el microbio A muestra una x-intercepción en el gráfico.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de tarjetas de juegos de microbios (por grupo) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 2 o 3 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima un «Boleto de salida» para cada pareja. Recorte los boletos de salida de media página para que cada estudiante tenga uno. • Imprima un juego de tarjetas de juegos con microbios, en cartulina para que duren más, para cada grupo de estudiantes. Corte las tarjetas.
2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Entregue las tarjetas de los Juegos de los microbios a cada grupo.
5. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar su comprensión:
b. DOK-2 «¿Qué observas en la forma de cada gráfico?». El microbio A está graficado como una línea recta, y el microbio B está graficado como una línea curva. c. DOK-3 «¿Cuál es el patrón observado en los valores y para el microbio A?». Los valores y aumentan en una suma de 3 por cada aumento de 1 en los valores x . d. DOK-3 «¿Cuál es el patrón observado en los valores y para el microbio B?». Los valores y aumentan en un múltiplo de 3 por cada aumento de 1 en los valores x. e. DOK-2 «¿Cómo podrías utilizar la tabla o la gráfica para resolver 4x = 16 y qué significa en el contexto?». Para resolver 4x = 16, busca en qué parte del gráfico o de la tabla el resultado es 16. En el contexto, esto significa que en este modelo, se necesitan dos días para llegar a 16 microbios. 6. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte I y responder a las preguntas que siguen. 7. Después de completar la parte I, invite a la clase a una «Charla de matemáticas» para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta el momento.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Qué notas sobre la variable en cada una de las dos ecuaciones?». El x se usa como multiplicador en la ecuación para el microbio A. En la ecuación para el microbio B, el x se usa como exponente. • DOK-3 Compara el crecimiento de la función lineal con la función con un exponente variable. «¿Cuál aumenta más rápidamente?». Explique por qué ocurre esto. La función con exponente variable crece más rápidamente. Elevar un número a una potencia mayor que 1 siempre hará que un número aumente (o disminuya) más de lo que lo haría una simple multiplicación o suma. Explique lo siguiente a la clase: las funciones que cambian en función de un exponente variable se llaman funciones exponenciales.
Exponential Functions Explore 1
Microbe Games: May the Best Microbe Win!
2.
What is the y-intercept for each microbe population? Write it as an ordered pair. (0, 1) for A and B
3.
What does the y-intercept represent in this situation? It represents the initial value for each microbe population.
4.
Look at the x-axis on each graph. Do both functions have an x-intercept? If not, describe the graph of the function as it relates to the x-axis. Is it getting closer, getting farther, touching, not touching, crossing, or curving back upward? Microbe A has an x-intercept. Microbe B would continue to get closer and closer to 0 but never actually pass 0 on the x-axis.
a. DOK-1 «¿A qué microbio de la parte I se parece más la gráfica del microbio C?». Microbio B. b. DOK-2 «¿En qué se parecen los gráficos del microbio C y del microbio D? ¿En qué se diferencian?». Son similares en el sentido de que a la derecha del eje y crecen rápidamente hacia el infinito. Son diferentes porque el microbio D también tiene un trozo que va hacia la izquierda del eje y-hacia el infinito negativo. El microbio D es lineal, mientras que el microbio C es curvo y aumenta cada vez más en lugar de una cantidad constante. 6. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen.
CHARLA DE MATEMÁTICAS
Use the Microbe Games Cards to review the information you have collected about your first two contestants, microbe A and microbe B, and answer the following questions. Which microbe seems to be growing faster? How do you know this? Microbe B seems to be growing faster. If we look at the number of microbes in each dish at the end of the three-day period, microbe B is significantly larger than microbe A.
5. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientativas para evaluar su comprensión:
7. Después de la «Exploración», invite a la clase a una «Charla de matemáticas» para compartir sus observaciones y aprendizajes.
Part I
1.
4. Señale a la clase que tendrán que revisar las tablas y los gráficos de cada microbio para llegar al «ganador» general.
• DOK-2 Describe qué es una función exponencial con tus propias palabras. Una función exponencial es una función que tiene una base elevada a un exponente, x.
1
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
PARTE II
1. Lea el siguiente escenario a la clase: Para la ronda 2, compararás los resultados de sus concursantes tercero y cuarto, el microbio C y el microbio D, con los de sus dos primeros concursantes. Sin embargo, esta vez sólo se le ha dado la ecuación para el crecimiento de cada microbio en los últimos 3 días. Utiliza Las ecuaciones para rellenar las tablas y el gráfico, ¡y averigua quién será el ganador final!
• DOK-3 «¿Cuál es la diferencia entre una tasa constante y un multiplicador constante?». Una tasa constante significa que el valor cambia en la misma cantidad durante intervalos iguales. Por ejemplo, cada vez que se incrementa en 1 en el eje x, se agrega 3 en el eje y. Un multiplicador constante significa que el valor cambia en el mismo múltiplo cada vez. Por ejemplo, cada vez que aumentas en 1 en el eje x, multiplicas por 3 en el eje y. • DOK-3 Crea una ecuación para un microbio que aumentaría más rápidamente que el microbio C, y = 4x. y = 5x 8. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídeles que completen la Boleta de Salida para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
2. Los estudiantes aún deben tener sus tarjetas de juegos de microbios de la parte I. 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para rellenar la información de las tablas y el gráfico únicamente con Las ecuaciones proporcionadas. Compararán la información del microbio C y el microbio D con la información del microbio A y el microbio B de la parte I. A continuación, registrarán todo el trabajo en sus «Diarios del estudiante».
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
Exponential Functions Explore 1
Part II 1.
Complete the tables of values for these functions.
2.
Graph each function on the graph, and connect the points.
3.
Circle the y-intercept on the tables and graph.
Microbe C
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez creado, pida a cada estudiante que complete su «Libreta interactiva».
Microbe D
c(x) = 4x
c(x)
x
d(x) = 5x + 4
d(x)
−2
4−2
1 16
−2
5(−2) + 4
−6
−1
4−1
1 4
−1
5(−1) + 4
−1
0
40
1
0
5(0) + 4
4
1
41
4
1
5(1) + 4
9
2
42
16
2
5(2) + 4
14
3
43
64
3
5(3) + 4
19
x
Exponential Functions Explore 1 2
Exponential Functions Explore 1
Microbe C
Microbe D
c(x) = 4x
d(x) = 5x + 4
4.
What is the y-intercept of each function? Microbe C: (0, 1) Microbe D: (0, 4)
5.
What is happening to c(x) and d(x) as x approaches infinity on the graph? c(x) is also approaching infinity. d(x) is also approaching infinity.
6.
What is happening to c(x) and d(x) as x approaches negative infinity on the graph? c(x) is approaching 0. d(x) is approaching negative infinity.
7.
Which microbe is increasing most rapidly, microbe C or microbe D? Microbe C is increasing most rapidly.
8.
Considering the function that represents the growth of the function, why do you think one microbe is growing faster than the other. Microbe C is growing faster because raising 4 to a power is going to be a bigger number over time than raising a number to the second power. For example, 4 to the power of 10 is much bigger than 10 to the second power.
Attributes of Exponential Functions Exit Ticket The graph of the exponential function y = 2(3x) is shown. a.
Identify the y-intercept. The y-intercept is (0, 2).
b.
What happens when the input is a negative number? The output is a small, positive fraction.
c.
→∞ As x → ∞, y _______
d.
→0 As x → −∞, y _______
Exponential Functions Explore 1
3
Exponential Functions Explore 1
Reflect 1.
Which microbe is increasing most rapidly and would be crowned the winner of the Microbe Games? Explain how you know. Microbe C would be crowned the winner because it grew most rapidly. I can see the graph of microbe C is growing most rapidly because if I were to lay it on the same grid as another microbe, it would get steeper faster. The graph of microbe C would overtake all other microbes. I can also see this in the table—when x = 3, microbe C has the largest value.
2.
Considering the mathematical representations, why did this microbe increase most rapidly and win? The factors that helped microbe C increase at the fastest rate were that it had an exponent of x, and it had the greatest value as a base, which was 4.
3.
Why did microbe D not grow as quickly as microbe C, even though the numbers in the equation were just as large? Microbe D had a slope of 5, so it increased by the same amount each time, while the values for microbe C increase by more and more each time.
4.
Did these exponential functions have x-intercepts? Why or why not? No, they did not have x-intercepts because when the inputs were negative, the outputs became smaller and smaller fractions and were never 0 or negative.
5.
What can we conclude about the growth of a function when we see a variable being used as an exponent? The function is going to increase rapidly.
Attributes of Exponential Functions Exit Ticket The graph of the exponential function y = 2(3x) is shown. a.
Identify the y-intercept. The y-intercept is (0, 2).
b.
What happens when the input is a negative number? The output is a small, positive fraction.
c.
→∞ As x → ∞, y _______
d.
→0 As x → −∞, y _______
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
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DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Exponential Functions Part 1
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Los estudiantes pueden tener dificultades para relacionar las gráficas con su contexto. Anímelos a etiquetar sus ejes y definir sus variables. 2. Los estudiantes pueden confundir las gráficas exponenciales como y = xc donde c es un número real. Ayude a los estudiantes a ver cómo cambia el exponente en los gráficos exponenciales a través de tablas.
Attributes of Exponential Functions Use the graph of y = 8x to answer the questions.
APOYOS LINGÜÍSTICOS La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Exploración». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo del lenguaje de los estudiantes. Los estudiantes utilizarán el conocimiento previo como vínculo para comprender el idioma inglés. Principiante: Antes de la actividad «Exploración», muestre a los estudiantes un video sobre microbios para ayudarles a comprender el concepto.
1.
What is happening as x approaches infinity? y is also approaching infinity.
2.
What is happening as x approaches negative infinity? y approaches 0.
3.
Is there a y-intercept of this function? If so, what is it? If not, why not? Yes, there is a y-intercept at (0, 1).
4.
Is there an x-intercept of this function? If so, what is it? If not, why not? There is no x-intercept. When you substitute negative x values into the equation, the outputs are smaller and smaller fractions that never reach zero or negative output values.
Intermedio: Antes de la «Exploración», muestre a los estudiantes un vídeo sobre microbios para ayudarles a comprender el concepto.
1
Avanzado: Antes de la «Exploración», comparta con los estudiantes al menos 10 datos interesantes sobre los microbios que viven en el cuerpo humano.
Exponential Functions Part 1
Use the following graph to answer the questions.
5.
The graph shows 3 lines. Two of them are labeled y = 2x and y = 4x. By looking at how they are related, do you think the solid line is y = 1x, y = 3x, or y = 5x? Explain your answer. I think the solid line is most likely y = 3x because 3 is between 2 and 4, and the solid graph is above y = 2x and below y = 4x when x > 0.
6.
What can you say about how quickly a function will increase by looking at the base of the exponent? The higher the base of the exponent, the more quickly the function will increase.
7.
At what point are all of these equations equal? Why? All of these functions are equal at x = 0 because any number raised to the power of zero is equal to 1. It does not matter what the base is.
8.
Which statements about the equation y = 12x are true? Select all that apply. ❏ The y-intercept of this function is (1, 0). ❏ The x-intercept of this function is (0, 1). ❏ The function approaches infinity as x approaches infinity. ❏ The equation that the function approaches is y = 0. 2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORA 2: DOMINIO Y ALCANCE DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes identificarán el dominio y el rango de las funciones exponenciales. Los estudiantes extenderán su pensamiento a toda la forma de la gráfica, no sólo a la parte que es visible, y discutirán las asíntotas por primera vez. Los estudiantes recordarán sus experiencias con el dominio y el rango con funciones lineales y aplicarán esas habilidades a las exponenciales.
PARTE I
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.2 Razonamiento abstracto y cuantitativo: Los estudiantes darán sentido a las cantidades y sus relaciones. Los estudiantes crearán representaciones lógicas de problemas. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes aplicarán las matemáticas que conocen para resolver problemas de la vida cotidiana. Los estudiantes representarán las matemáticas para describir una situación ya sea con una ecuación o un diagrama e interpretarán los resultados de una situación matemática. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes verán cálculos repetidos y buscarán generalizaciones y atajos. Los estudiantes comprenderán la aplicación más amplia de patrones y verán la estructura en situaciones similares.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de tarjetas de bacterias escolares (por grupo) • 1 boleto de salida (por estudiante) REUTILIZABLE
• 1 bolsa resellable tamaño cuarto de galón (por grupo)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 2 o 3 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» y un «Boleto de salida» para cada estudiante. • Imprima un juego de tarjetas de bacterias escolares, en cartulina para que duren, para cada grupo de estudiantes. Corte las tarjetas y colóquelas dentro de una bolsa con cierre de un cuarto de galón. Etiqueta la bolsa resellable como «Parte II».
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1. Lea el siguiente escenario a la clase: Anteriormente observamos el crecimiento de microbios y determinamos que la función que crecía más rápido tenía una variable en el exponente y la base más grande. Esto se llama una función exponencial. Afortunadamente, tenemos formas de combatir el crecimiento de las bacterias que examinaremos hoy. 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para revisar la información de las tarjetas de bacterias escolares y registrar su trabajo en sus «Diarios del estudiante». 4. Recuerde a los estudiantes que un dominio no restringido es observar todos los valores x desde el infinito negativo hasta el infinito positivo, mientras que un dominio restringido dará un rango específico de valores para observar. 5. A medida que los estudiantes colaboran, monitoree su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar su comprensión: a. DOK-1 «¿En qué se diferencia este gráfico de un gráfico lineal?». Este gráfico es curvo y disminuye cada vez menos a medida que x aumenta. b. DOK-1 «¿En qué se diferencia este gráfico de los gráficos del juego de microbios? ¿Qué notas acerca del rango cuando el dominio no está restringido?». Este gráfico es decreciente, y el dominio es x ≥ 0. c. DOK-2 «Si se extrae el 70 % cada minuto, ¿por qué nunca quedará una cantidad negativa?». Cuando se quita el 70 %, siempre quedará el 30 %, aunque ese 30 % sea cada vez más pequeño. d. A medida que los estudiantes completen la pregunta 2, observe cuándo una función se aproxima a un valor y que no alcanza del todo a medida que los valores x se aproximan al infinito negativo o positivo. A esta línea la llamamos asíntota. Esta gráfica tiene una asíntota horizontal en y = 0. e. DOK-2 «¿Cómo afecta al rango la restricción del dominio?». El rango tiene dos valores fijos como puntos finales cuando el dominio está restringido entre dos valores. 6. Conceda a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte I y contestar las preguntas que siguen. 7. Después de completar la parte I, invite a la clase a una «Charla de matemáticas» para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta ahora.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Exponential Functions Explore 2
CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-2 «¿Por qué los valores x grandes nunca producen un valor por debajo de 0 para la función f(x) = 100(0.3)ˣ?». Cuando x es un valor grande como 1.000, la expresión 100(0.3) 1,000se calcula con la multiplicación de 0,3 por sí mismo 1.000 veces, y después por 100. Como todos estos factores son positivos, el resultado será un número positivo a pesar de estar cerca de 0.
Combating Bacteria Growth Part I
Students spray their desks with an antibacterial solution at the end of each day. The average desk has 100 microbes before the solution is sprayed, and the solution kills 70% of the microbes every minute.
• DOK-2 «¿Dónde está la asíntota horizontal en esta gráfica, y cómo puedes saberlo?». La asíntota horizontal está en y = 0 porque la gráfica se acerca cada vez más al eje x- sin alcanzarlo nunca. • DOK-2 «¿Cuándo puede haber restricciones añadidas en el dominio y rango de las funciones exponenciales?». Puede haber restricciones adicionales cuando el ejemplo modela una situación del mundo real. Por ejemplo, puede haber restricciones adicionales cuando los valores de entrada negativos no son aceptables.
1.
Describe the graph as time elapses. The graph starts with a y-intercept of (0, 100) and rapidly decreases. The y values get closer and closer to 0 over time.
2.
• DOK-3 «¿Qué significa tener un dominio y rango razonables?». Significa que restingue los valores de entrada y salida para incluir solamente valores que tienen sentido para el escenario que se examina.
Does the graph appear to ever reach exactly 0 or negative values? Find f(15) to check your hypothesis. The graph never reaches 0 or goes below the x-axis. f(15) = 0.000001, which means there are essentially no traces of bacteria after 15 minutes.
3.
If the domain is restricted to the first three minutes (0 ≤ x ≤ 3), what is the range of this graph? What about when the domain is all values greater than or equal to 0 (0 ≤ x)? Since f(0) = 100 and f(3) = 2.7, the range would be 2.7 ≤ y ≤ 100. If the graph continued toward positive infinity, the y values would get closer and closer to 0 without ever touching it, so the range would be 0 < y ≤ 100.
PARTE II 1. Lea el siguiente escenario a la clase: Recoges muestras de bacterias de varios lugares de la escuela para determinar un dominio y un rango razonables para cada una.
1
2. Entregue un juego de tarjetas de bacterias escolares a cada grupo. 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para identificar un dominio y un rango razonables para cada escenario en las tarjetas de bacterias escolares y registrarán su trabajo en sus «Diarios del estudiante». Anímelos a rellenar la tabla de las tarjetas para ayudarles a tomar sus decisiones. 4. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientativas para evaluar su comprensión: a.
DOK-1 «¿Cómo puedes identificar rápidamente si hay restricciones en un dominio o rango?». Si hay un valor establecido dentro de la desigualdad
b.
DOK-1 «¿Cuáles serían el dominio y el rango para las bacterias del lavabo del baño si el dominio no estuviera restringido?». Dominio: Todos los números reales; Rango: y >0
c.
d.
DOK-3 «¿Por qué el dominio y el rango de la bacteria del lavabo tienen un valor extremo superior e inferior, pero el dominio y el rango de la bacteria del teclado del ordenador de la biblioteca no?». En el escenario del lavabo del baño, hay un intervalo de tiempo especificado. Para el escenario del teclado del ordenador de la biblioteca, no lo hay; sólo indica que el número de bacterias está disminuyendo a lo largo de "x" horas. DOK-3 Para las bacterias de la mesa del almuerzo, «¿por qué el dominio incluye 0, pero el rango no?». El dominio incluye 0 porque ahí es donde vemos la y-intercepción, o nuestro valor inicial. También se refiere al tiempo "0 horas". Sin embargo, el rango no puede ser 0 porque hay una asíntota horizontal en y = 0. Esto significa que la población de bacterias seguirá disminuyendo, pero nunca desaparecerá por completo.
Exponential Functions Explore 2
Part II
You have strategically collected samples from four different locations, and now you must review your data and establish a reasonable domain and range to be able to complete your lab report. ● Determine whether the bacteria represents a growth or decay function. ● Establish a reasonable domain and range for each scenario.
Location
Growth or Decay
Domain
Range
Restroom sink
Growth
0≤x≤4
300 ≤ y ≤ 4,800
Library computer keyboard
Decay
0≤x
0 < y ≤ 405
Lunch table
Decay
0≤x≤9
1 ≤ y ≤ 500
Hallway water fountain
Growth
0<x
3≤y
1.
What did you have to take into consideration to determine a reasonable domain and range? Answers may vary. I had to look at the variables in the scenario to see if an unrestricted or restricted domain was the most appropriate. I then had to look at the intervals that were given and decide what the values would be within those intervals.
2.
Would you use negative input or output values in any of these scenarios? Explain. No, each scenario is dealing with a number of bacteria over time, so both of those units must remain positive.
2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Exponential Functions Explore 2
5. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen.
Reflect 1.
How can you tell where an exponential graph has a horizontal asymptote? One side of the graph will get closer and closer to a y value without ever touching it. The horizontal line containing this y value is the asymptote.
2.
When is it beneficial to look at unrestricted domains? It is beneficial when you are trying to get a sense of the behavior of the entire function, not just the part that you see on the graph.
3.
When is it beneficial to look at restricted domains? It is beneficial when you are looking at real-world scenarios in which a negative input would not make sense. For example, when looking at growth over a period of several days, you would not look at a negative value for the number of days.
4.
6. Después de la «Exploración», invite a la clase a una «Charla de matemáticas» para compartir sus observaciones y aprendizajes.
Do the initial value or constant multiplier have any role in determining the restrictions on the domain and range of an exponential function? No, the restrictions are based on the scenario and the purpose for interpreting the data.
CHARLA MATEMÁTICA
• DOK-1 «¿Qué significa si se le da un dominio o rango que tiene valores distintos del infinito positivo al negativo o todos los números reales?». Esto significa que el dominio y/o rango es restringido. • DOK-2 «¿Cuándo es beneficioso observar dominios restringidos?». Es beneficioso cuando se observan escenarios del mundo real en los que una entrada negativa no tendría sentido. Por ejemplo, cuando se observa el crecimiento en un período de varios días, no se consideraría un valor negativo para el número de días. 7. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
3
Exponential Functions Explore 2
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez creado, haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva».
APOYOS PEDAGÓGICOS Domain and Range Exit Ticket The function m(x) = 3(0.5)x + 1 can be used to represent the behavior of a certain type of medication inside the human body over a period of 3 hours from the time of ingestion. Create a table of values, graph the function, and draw a smooth curve to connect. Then, identify both the unrestricted and restricted domains and ranges.
x
2. Los estudiantes pueden tener dificultades con la idea de una asíntota. Ayúeles a usar tablas y razonamiento algebraico para explicar su existencia en la gráfica de funciones exponenciales.
m(x)
0
4
1
2.5
2
1.75
3
1.375
1. Los estudiantes pueden asumir que es posible determinar el dominio y el rango con sólo mirar el gráfico; sin embargo, recuérdeles a los estudiantes que a veces el contexto puede limitar el dominio y el rango más que eso.
Unrestricted
Restricted
Domain
−∞ < x < ∞
0≤x≤ 3
Range
y>1
1.375 ≤ y ≤ 4
Would it make the most sense to use an unrestricted or restricted domain for this scenario? Explain your thinking. It would make the most sense to use a restricted domain. The scenario explains that the model is only appropriate for the first three hours. The amount of medication in the body would tend toward 0 over time and not 1.
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Exponential Functions Part 2
APOYOS LINGÜÍSTICOS La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Exploración». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes. Los estudiantes utilizarán técnicas de aprendizaje como la elaboración de mapas conceptuales, el dibujo, la comparación, el contraste, la memorización y el repaso para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado. Principiante: Como actividad previa a la lección, repase el dominio y el rango al guiar a los estudiantes en la realización de un diagrama de Venn que compare y contraste los dos términos. Incluya un banco de palabras del que los estudiantes puedan elegir frases o palabras para completar el diagrama. Las frases posibles incluyen «el conjunto de todos los valores de entrada posibles», «la amplitud de una función» y «la altura y la profundidad de una función».
Domain and Range Danielle is collecting clothes for a local charity. She is tracking the total numbers of shoes, pants, and shirts that she has received. The different clothing items are coming in at very different rates, and she computed approximate formulas for the functions. Although she is mostly interested in tracking for the first 30 days, she hopes to continue her efforts indefinitely. Use the data table and graph to fill in the blanks in the chart below. When determining the unrestricted range, remember to consider what the shape of the type of graph is when x is negative. Shoes 6x
Shirts 1.28x – 1
0
0
0
0
5
30
150
2
10
60
300
11
15
90
450
40
20
120
600
138
25
150
750
478
30
180
900
1,645
Intermedio: Como actividad previa a la lección, repase el dominio y el rango guiando a los estudiantes en la realización de un diagrama de Venn que compare y contraste los dos términos. Incluya un banco de palabras del que los estudiantes puedan elegir frases o palabras para completar el diagrama. Las frases posibles incluyen «el conjunto de todos los valores de entrada posibles», «la amplitud de una función» y «la altura y la profundidad de una función». Avanzado: Como actividad previa a la lección, repase el dominio y el rango haciendo que los estudiantes completen un diagrama de Venn que compare y contraste los dos términos. Incluya un banco de palabras del que los estudiantes puedan elegir frases o palabras para completar el diagrama. Las frases posibles incluyen «el conjunto de todos los valores de entrada posibles», «la amplitud de una función» y «la altura y la profundidad de una función».
Pants 30x
Clothing Item
Type of Graph
Range when Domain Is −∞ < x < ∞
Range when Domain Is 0≤x<∞
Range when Domain Is 0 ≤ x ≤ 30
Shoes
Linear
−∞ < y < ∞
0≤y<∞
0 ≤ y ≤ 180
Pants
Linear
−∞ < y < ∞
0≤y<∞
0 ≤ y ≤ 900
Shirts
Exponential
−1 < y < ∞
0≤y<∞
0 ≤ y ≤ 1,645 1
Exponential Functions Part 2
Read the following two scenarios, and answer the questions that follow. 1.
2.
Sam is thinking about selling his car. The value of the car can be depicted by an exponential function with the purchase price of $20,000 at a time equal to zero. The value depreciates with time and approaches $800. a.
Does this represent a growth or decay function? Decay
b.
What is the domain of this function? 0 ≤ x < ∞
c.
What is the range of the function? 800 < y ≤ 20,000
Stacy deposited $1,000 in the bank. The bank pays her 3% interest annually on her balance, and the amount she has can be represented by an exponential function. a.
3.
Does this represent a growth or decay function? Growth
b.
What is the domain of this function? 0 ≤ x < ∞
c.
What is the range of this function? 1,000 ≤ y < ∞
Complete the table below for the function questions that follow.
, and then answer the
x
−10
−2
−1
0
1
2
10
f(x)
1,021
1
−1
−2
−2.5
−2.75
−2.999
a.
Does this represent a growth or decay function? Decay
b.
What is the domain of this function? −∞ < x < ∞
c.
What is the range of this function? −3 < y < ∞
2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 2) CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORA 3: VALOR INICIAL Y MULTIPLICADOR CONSTANTE DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes identificarán e interpretarán el valor inicial y el multiplicador constante. Los estudiantes buscarán patrones en las funciones exponenciales y sus datos representados en tablas. Los estudiantes notarán que hay un multiplicador constante que corresponde a un valor en la función y comenzarán a hacer observaciones sobre el crecimiento y la disminución.
PARTE I
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes darán sentido a las cantidades y sus relaciones. Los estudiantes crearán representaciones lógicas de los problemas. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes aplicarán las matemáticas que conocen para resolver problemas de la vida cotidiana. Los estudiantes representarán las matemáticas para describir una situación ya sea con una ecuación o un diagrama e interpretarán los resultados de una situación matemática. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes verán cálculos repetidos y buscarán generalizaciones y atajos. Los estudiantes comprenderán la aplicación más amplia de patrones y verán la estructura en situaciones similares.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de tarjetas del cuaderno del guardabosques (por grupo) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes) REUTILIZABLE
• 1 calculadora gráfica (por estudiante) • 1 bolsa resellable (por grupo)
PREPARACIÓN
• Separa la clase en grupos de 2 o 3 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima un «Boleto de salida» para cada pareja. Recorte los boletos de salida de media página para que cada estudiante tenga uno. • Imprima una copia de las tarjetas del cuaderno del guardabosques en cartulina para que duren más. Corte las tarjetas y colóquelas en una bolsa con cierre.
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1. Lea el siguiente escenario a la clase: ¡Felicidades! Acabas de conseguir tu plaza como becario de verano en el Parque Nacional de Yellowstone, la región de Estados Unidos con mayor concentración de mamíferos. Para que te familiarices con el parque, el jefe de los guardabosques te ha dado algunas páginas de su cuaderno con información relativa a determinadas poblaciones de animales del parque. Deben revisar esta información e informar a los guardaparques sobre el impacto que los lobos han tenido en otras poblaciones de mamíferos en los años posteriores a su reintroducción en el área. 2. Distribuya un «Cuaderno del estudiante» y una calculadora gráfica a cada estudiante. 3. Distribuya las tarjetas del cuaderno del guardabosques. 4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para revisar la información de las tarjetas del cuaderno del guardabosques y registrar su trabajo en sus «Cuadernos del estudiante». Pueden utilizar la calculadora gráfica para comprobar cualquier parte de la información presentada en las tarjetas del cuaderno del guardabosque o para ayudar a profundizar su comprensión. 5. A medida que los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar su comprensión: a. DOK-1 «En la ecuación que representa la población de lobos, ¿dónde ves representado el valor inicial?». (0, 20); el valor 20 b. DOK-2 «¿Qué crees que representa el valor 1.25 en la ecuación?». 1.25 representa el porcentaje que la población de lobos aumenta cada año. c. DOK-1 «En la ecuación que representa la población de alces, ¿dónde ves representado el valor inicial?». (0, 12,000); el valor de 12,000 es el valor inicial. d. DOK-2 «¿Qué crees que representa el valor 0.75 en la ecuación?». 0.75 representa el porcentaje que la población de alces disminuye cada año. e. DOK-1 «¿Cómo puedes determinar el porcentaje de aumento o disminución a partir del multiplicador constante?». Sé que 1 es 100 %, así que puedo mirar el valor del multiplicador constante y compararlo con 1. Si el multiplicador constante es menor que 1, es una disminución. Si es mayor que 1, es un aumento. f. DOK-3 «¿Cuándo esperarías ver que la población de lobos empieza a asentarse en términos de tamaño?». Podríamos esperar que la población de lobos se asiente cuando la zona haya alcanzado su capacidad de carga. Esto significa que la naturaleza se ha equilibrado en términos de proporción depredador/presa.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 6. Conceda a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte I y responder a las preguntas que siguen. 7. Después de completar la parte I, invite a la clase a una «Charla de matemáticas» para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta el momento.
Exponential Functions Explore 3
Park Ranger Intern Part I
Use the questions below to help you understand the information on the notebook pages about the wolves and elk in Yellowstone. Then, fill in the ranger log, and give your insight. 1.
Identify the y-intercept of each graph. What does each represent in the context of this scenario? (0, 20); the number of wolves that were reintroduced to Yellowstone National Park. (0, 12000); the number of elk that were present in Yellowstone National Park at the time the wolves were reintroduced to the area.
2.
The tables from the Ranger’s Notebook Cards show equal units of growth in the input columns. Determine the difference of change and if it is a constant rate of change for each output. Determine the factor of change and if it is a constant factor of change for each output. Complete the table below.
Difference of Change for Each Output
«CHARLA DE MATEMÁTICAS»
• DOK-1 «¿Cuáles son las características clave de las funciones exponenciales?». Las funciones exponenciales incluyen una razón común. Esto significa que los valores y están siendo multiplicados por una cantidad común en cada intervalo igual. Las gráficas de las funciones exponenciales son siempre crecientes o siempre decrecientes y siempre incluirán una asíntota horizontal. • DOK-1 «¿Qué es el valor inicial con respecto a las funciones exponenciales?». El valor inicial es el punto de partida para el conjunto de datos que está examinando. El valor inicial también se puede llamar la y-intercepción. • DOK-1 «¿Qué es el multiplicador constante en relación con las funciones exponenciales?». El multiplicador constante es el factor en el que una función exponencial crece o decrece. PARTE II
1. Lea el siguiente escenario a la clase: En el Parque Nacional de Yellowstone viven más de 100 especies de aves. Los guardabosques y los equipos de servicios del parque han hecho todo lo posible para Representar el crecimiento y el declive de varias especies diferentes. Su trabajo consiste en interpretar sus modelos y recomendar qué especies necesitan protección urgente. 2. Recuerde a los estudiantes que deben continuar completando sus respuestas en sus «Diarios del estudiante».
Wolves
25 – 20 = 5 31 – 25 = 6 39 – 31 = 8
Elk
9,000 – 12,000 = −3,000 6,750 – 9,000 = −2,250 5,063 – 6,750 = −1,687
Constant Rate of Change?
Factor of Change for Each Output
Constant Factor of Change?
❏ ❏
Yes No
25 ÷ 20 = 1.25 31 ÷ 25 = 1.24 ≈ 1.25 39 ÷ 31 ≈ 1.25
❏ ❏
Yes No
❏ ❏
Yes No
9,000 ÷ 12,000 = 0.75 6,750 ÷ 9,000 = 0.75 5,063 ÷ 6,750 ≈ 0.75
❏ ❏
Yes No
1
Exponential Functions Explore 3
3.
4.
Linear functions grow by the same rate of change per unit of horizontal growth. Exponential functions grow by the same factor per unit of horizontal growth. Are the functions that represent the wolf and elk populations linear or exponential? Explain. They are both exponential functions because the ordered pairs for wolves all have 1.25 for their factor of change, and the ordered pairs for elk all have 0.75 for their factor of change. Since they have constant factors of change, they are exponential functions by the definition given here. Where do you see this ratio (factor of change) represented in each equation? What must this mean about that value? This ratio is the same as the value inside of the parentheses and is the base of the exponential part of the equation. This means that it is the value the previous term is multiplied by to get the next term.
5.
The base, b, of an exponential function of the form f(x) = a · bx is the ratio, or factor of change. How is the constant multiplier (factor of change) related to the common ratio of a geometric sequence? They are both the base of the equation. In the exponential function, it is base b; in the geometric sequence written in explicit form, it is the base r. A ratio and multiplier are both a factor of growth or decay.
6.
Complete the ranger log, and give the head ranger insight about the impact the wolves may have had on other mammal populations in the years following their arrival.
Wolves
Elk
Initial Value
20
12,000
Population Increasing or Decreasing?
Increasing
Decreasing
Constant Multiplier
1.25
0.75
Percent Increase or Decrease
25% increase
25% decrease 2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
4. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen. 5. Después de la «Exploración», invite a la clase a una «Charla de matemáticas» para compartir sus observaciones y aprendizajes.
3. A medida que los estudiantes colaboran en su trabajo, controle su comprensión formulando las siguientes preguntas orientadoras: a. DOK-1 «¿Qué parte de la ecuación necesitas mirar para identificar si la población está creciendo o decayendo?». La base de la exponencial b. DOK-1 «¿Qué parte de la ecuación necesitas mirar para identificar la y-intercepción?». La constante delante de la ecuación c. DOK-2 «¿Por qué el número delante de la ecuación f(x) = a(bx) es la y-intercepción?». Cuando x = 0, f(0) = a(b0), y b0 = 1, entonces f(0) = a. d. DOK-2 «¿Cómo puedes determinar el incremento o decremento porcentual de una función?». Necesitas determinar cuánto mayor o menor que 1 es el multiplicador constante.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES Exponential Functions Explore 3
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3
Part II
There are many birds that also call Yellowstone their home. Use the population models below for each of the birds to answer the questions that follow. Bird
Model
Bird
Model
Peregrine falcon
P(x) = 52(1.04)x
Woodpecker
W(x) = 135(1.02)x
Golden eagle
G(x) = 14(0.94)x
Sandhill crane
S(x) = 52(0.98)x
Osprey
O(x) = 65(1.08)x
Chickadee
C(x) = 800(1.12)x
Loon
L(x) = 100(0.64)x
Raven
R(x) = 580(1.24)x
1.
Identify all of the bird populations that are increasing. How do you know? The populations of the peregrine falcon, osprey, woodpecker, chickadee, and raven are all increasing because the constant multiplier or base in each of their equations is greater than 1.
2.
Identify all of the bird populations that are decreasing. How do you know? The populations of the golden eagle, loon, and sandhill crane are all decreasing because the constant multiplier or base in each of their equations is less than 1.
3.
Choose one of the increasing models, and state the percent increase each year. Answers will vary. The peregrine falcon population is increasing by 4% each year.
4.
Choose one of the decreasing models, and state the percent decrease each year. Answers will vary. The golden eagle population is decreasing by 6% each year.
5.
Which bird has the greatest starting population? What is that population? The chickadee has the largest starting population at 800.
6.
Which bird population is decreasing the fastest and may need special environmental protections? The loon population is decreasing the fastest since it has the smallest constant multiplier.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez que la clase haya completado el Cuadro de anclaje, haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva» .
APOYOS DIDÁCTICOS 3
Exponential Functions Explore 3
Reflect 1.
Based on your analysis of the information provided by the park rangers, what can you conclude about the reintroduction of wolves to the park? The reintroduction of wolves to the park caused an exponential decline in the elk population.
2.
In your ranger log, you noted that the elk population was decreasing by 25% each year. If the value of the constant multiplier is 0.75, how did you calculate the 25%? If we use 100% as our standard, meaning no change is occurring in population size, our constant multiplier would be 1. Since we know that the population is decreasing and the value provided was 0.75, we can only get to that value by subtracting as follows: 1 – 0.75 = 0.25. If we examine that equation, we can see that we removed 0.25 or 25% from the initial population. This is where the 25% comes from.
3.
In your ranger log, you also noted that the wolf population was increasing by 25% each year. Explain how you calculated that value. Using the same reasoning as presented in the previous question, since the indicator of no change would be a value of 1 and we see that the constant multiplier is 1.25, this means that we had to add 0.25 to 1. We know that 0.25 is 25%; thus, there was a 25% increase in the wolf population each year based on the data.
4.
Would it make sense for the wolf population to keep increasing exponentially for an undefined amount of time? Explain. No, if the wolves kept increasing exponentially, without bound, they would eat all of their food sources and we would see the wolves start to die off eventually.
5.
What conclusions can be made about the constant multiplier in any exponential function? If the constant multiplier is greater than 1, the exponential function will show growth. If the constant multiplier is less than 1, the exponential function will show decay.
4
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
1. Los estudiantes pueden suponer que el decaimiento exponencial implica un multiplicador constante negativo. Anímelos a crear una tabla con un multiplicador constante negativo y varios valores enteros para los exponentes para explorar qué sucede con los resultados en esos casos. 2. Los estudiantes pueden estar confundidos acerca de cómo determinar las asíntotas horizontales. Anímelos a crear una tabla con valores de exponente cada vez mayores y a considerar el comportamiento final. 3. Los estudiantes pueden confundir la y-intercepción en la ecuación y = a(bx). Los estudiantes deben intentar sustituir x = 0 y recordar que cualquier expresión elevada a la potencia de 0 es igual a 1. 4. Los estudiantes pueden tener dificultades para determinar el incremento porcentual de una función. Por ejemplo, si el multiplicador constante es 1,3, podrían restar 1 y obtener 3 %. En cambio, los estudiantes pueden multiplicar por 100 primero y luego restar 100 (%) para obtener 30.
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Por qué la base, o multiplicador constante, de 1.7 no significa que la población crece un 7 por ciento cada año?». Las funciones exponenciales incluyen una razón común. Esto significa que los valores y están siendo multiplicados por una cantidad común en cada intervalo igual. Las gráficas de las funciones exponenciales son siempre crecientes o siempre decrecientes y siempre incluirán una asíntota horizontal. • DOK-2 «¿Por qué la base, o multiplicador constante, de 0.7 no significa que la función decrece un 70 % cada año?». El valor inicial es el punto de partida del conjunto de datos que estás examinando. El valor inicial también se puede llamar la y-intercepción. 6. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen la «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Exponential Functions Part 3
APOYOS LINGÜÍSTICOS La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Exploración». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo del lenguaje de los estudiantes.
Initial Value and Constant Multiplier Rosewood school district has been growing quickly and needs to build 2 new high schools. It is your job to determine which areas are growing the fastest so that the new schools can be built in those locations. Examine the data from the last 4 years of enrollment, and answer the questions that follow.
Se proporcionará apoyos previos a la lectura (organizadores gráficos, diagramas de formas y vocabulario preenseñado) para ayudar con la comprensión lectora. Principiante: Antes de la lección, proporcione a los estudiantes una hoja de referencia que etiquete y defina las diferentes partes de una ecuación exponencial (es decir, el valor inicial, el multiplicador constante, la variable independiente x, y la variable dependiente y). Intermedio: Antes de la lección, proporcione a los estudiantes una hoja de referencia que etiquete y defina las diferentes partes de una ecuación exponencial (es decir, el valor inicial, el multiplicador constante, la variable independiente x, y la variable dependiente y). Avanzado: Antes de la lección, proporcione a los estudiantes una hoja de referencia incompleta de las partes de una ecuación exponencial. A medida que avanzan en la lección, los estudiantes deben etiquetar el valor inicial y el multiplicador constante y escribir las definiciones apropiadas.
1.
Green Meadow High School
Highland Park High School
Martinez High School
1
1,000
1,200
800
2
1,150
1,320
890
3
1,323
1,452
980
4
1,521
1,597
1,070
Complete the table below to get the numbers needed to determine which schools are experiencing linear or exponential growth. Show the factor rounded to the nearest 100th. Difference of Change for Each Ordered Pair
Factor of Change for Each Ordered Pair
Linear or Exponential?
Green Meadow High School
1,150 – 1,000 = 150 1,323 – 1,150 = 173 1,521 – 1,323 = 198
1,150 ÷ 1,000 = 1.15 1,323 ÷ 1,150 = 1.15 1,521 ÷ 1,323 = 1.15
Exponential
Highland Park High School
1,320 – 1,200 = 120 1,452 – 1,320 = 132 1,597 – 1,452 = 145
1,320 ÷ 1,200 = 1.1 1,452 ÷ 1,320 = 1.1 1,597 ÷ 1,452 = 1.1
Exponential
Martinez High School
890 – 800 = 90 980 – 890 = 90 1,070 – 980 = 90
890 ÷ 800 = 1.11 980 ÷ 890 = 1.1 1,070 ÷ 980 = 1.09
Linear 1
Exponential Functions Part 3
Exponential Functions Explore 3
Initial Value and Constant Multiplier Exit Ticket
2.
Which school is experiencing linear growth? Explain how you know this. Martinez High School is experiencing linear growth because the increase in enrollment was 90 each year; that did not change. The ratio between years was not constant; it decreased each year.
3.
Which schools are experiencing exponential growth? Explain how you know this. Green Meadow High School and Highland Park High School are both experiencing exponential growth. This is apparent because although the number of new students each year increased, the ratio of their enrollments stayed the same.
4.
Based on your calculations, the two new high schools should be placed near which two existing schools? Why? The two new high schools should be placed near Green Meadow High School and Highland Park High School because those are the ones that are growing exponentially. Their enrollment will increase more quickly, and they will be the ones to overflow first.
5.
Do you think these rates of growth will continue indefinitely? What kind of situation might make schools grow for a while and then stay at a fairly constant size? Answers will vary, but one possibility would be that new subdivisions or apartment complexes have been built in the school district. The schools will all grow until the new housing is full. Once full, the number of students in the schools will stay fairly level.
6.
The equation y = 1,000(1.15)x would represent the enrollment for which high school? What do the numbers 1,000 and 1.15 represent? The equation represents the enrollment for Green Meadow High School. 1,000 is the initial value, and 1.15 is the constant multiplier.
Shoshana receives 5% annual interest on the money in her savings account. Her account had $500 in it initially, and it is represented by the following function. f(x) = 500(1.05)x 1.
Circle the initial value, and underline the constant multiplier.
2.
What does the 500 represent in the function? $500 is the initial value. $500 is the original amount in her account.
3.
What does the 1.05 represent in the function? 1.05 is the constant multiplier. Shoshana’s account increases by 5%, and 5% more than the original 100% is 1.05 when written as a decimal.
Exponential Functions Explore 3
Initial Value and Constant Multiplier Exit Ticket Shoshana receives 5% annual interest on the money in her savings account. Her account had $500 in it initially, and it is represented by the following function. f(x) = 500(1.05)x 1.
Circle the initial value, and underline the constant multiplier.
2.
What does the 500 represent in the function? $500 is the initial value. $500 is the original amount in her account.
3.
What does the 1.05 represent in the function? 1.05 is the constant multiplier. Shoshana’s account increases by 5%, and 5% more than the original 100% is 1.05 when written as a decimal.
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS 78
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2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 3) CLAVE DE RESPUESTAS ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 4: ESCRIBIR FUNCIONES EXPONENCIALES DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes escribirán funciones exponenciales para modelar situaciones del mundo real. Analizarán tablas de datos, calcularán los valores iniciales y los multiplicadores constantes, y escribirán funciones exponenciales. Las funciones exponenciales se escribirán en la forma f(x)=abx. Relacionarán el término b con el hecho de que la función represente crecimiento o decrecimiento.
PARTE I
ESTÁNDARES DE PRÁCTICA MATEMÁTICA • MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes darán sentido a las cantidades y a sus relaciones. Los estudiantes crearán representaciones lógicas de los problemas.
• MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes aplicarán las matemáticas que conocen para resolver problemas de la vida cotidiana. Representarán las matemáticas para describir una situación ya sea con una ecuación o un diagrama e interpretarán los resultados de una situación matemática. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes verán cálculos repetidos y buscarán generalizaciones y atajos. Comprenderán la aplicación más amplia de patrones y verán la estructura en situaciones similares.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de tarjetas de pistas de los guardabosques (por grupo) • 1 juego de tarjetas de población animal (por grupo) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes) REUTILIZABLES
• 2 bolsas resellables (por grupo)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 2 o 3 estudiantes.
1. Escriba la siguiente secuencia geométrica en la pizarra: 3, 6, 12, 24, 48... 2. Formule las siguientes preguntas: a. DOK-1 «¿Cómo se determina el primer término y la razón común de una sucesión geométrica?». El primer término es el primer valor de la sucesión. La razón común se halla dividiendo cada término por el término precedente. b. DOK-1 «¿Las sucesiones geométricas son representaciones continuas o discretas?». Las secuencias geométricas son representaciones discretas. 3. Explique que parte de su exploración de hoy requerirá que utilicen cosas que saben sobre las secuencias geométricas. 4. Lea el siguiente escenario a la clase: Ahora que ya están instalados, el guardabosques jefe les ha asignado un proyecto de investigación para el verano. Tu tarea consiste en determinar si otras poblaciones de mamíferos han aumentado o disminuido desde la reintroducción de los lobos. Para ello, necesitarás convertirte en un experto en la identificación de valores iniciales y porcentajes de aumento/disminución (factor de cambio) dentro de las poblaciones. 5. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 6. Entregue las tarjetas de sugerencias del guardabosques a cada grupo. 7. Explique a los estudiantes que trabajarán con sus grupos para identificar las características clave de las funciones exponenciales, y que utilizarán esas características para escribir Las ecuaciones correspondientes. Anotarán su trabajo en sus «Diarios del estudiante»
• Imprima un «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima un «Boleto de salida» para cada pareja. Recorte los boletos de salida de media página para que cada estudiante tenga uno. • Imprima un juego de tarjetas de consejos Ranger, en cartulina para que duren más, para cada grupo de estudiantes. Corte las tarjetas y colóquelas dentro de una bolsa con cierre. Etiquete la bolsa como Parte I. • Imprima un juego de arjetas de población animal, en cartulina para mayor durabilidad, para cada grupo de estudiantes. Corte las tarjetas, barájelas y métalas en una bolsa con cierre. Etiquete la bolsa Parte II.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 8. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientativas para evaluar su comprensión: a. DOK-1 «¿Cómo determinas el multiplicador constante, b?». Divida cada resultado por el resultado anterior si el cambio en los valores de entrada es 1. b. DOK-1 «¿Cómo determina la razón común de una secuencia geométrica?». Divida cada término por el término precedente.
Exponential Functions Explore 4
Use the Ranger Hint Cards and tables below to help you calculate the initial value and constant multiplier for each animal. Answer the questions to help you write an exponential function equation for each animal. Round all decimals to the nearest hundredth, if necessary. 1.
e. DOK-1 «¿Cuándo vemos crecimiento exponencial dentro de una función con respecto al valor b?». El crecimiento exponencial ocurre cuando b > 1. f. DOK-1 «¿Cuándo vemos un decaimiento exponencial dentro de una función con respecto al valor b?». El decaimiento exponencial ocurre cuando 0 < b < 1. 9. Deles a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte I y contestar las preguntas que siguen. 10. Después de completar la parte I, invite a la clase a una «Charla de matemáticas» para compartir sus observaciones y aprendizaje hasta el momento. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Cómo determinas si hay un factor constante de cambio y no una tasa constante de cambio?». La tasa de cambio constante ocurre si hay factores iguales en intervalos iguales. Si la función crece o decrece en una tasa porcentual constante por intervalo unitario, entonces hay un factor constante de cambio, llamado multiplicador constante. • DOK-2 «¿Cómo podrías crear una desigualdad que muestre cuándo la población de pumas alcanza al menos 60 y qué significarían las soluciones?». La desigualdad sería 15(1.28)ˣ > 60 y x nos diría en qué años la población de pumas sería superior a 60. PARTE II
1. Lea el siguiente escenario a la clase: ¡Oh, no! Accidentalmente dejaste tu bitácora de guardabosques afuera durante la noche, ¡y el viento se llevó todas tus notas! Has recogido todas las hojas de papel, pero ahora están todas mezcladas. Tendrás que clasificarlas para volver a poner en orden todos tus datos e informar al guardabosques principal para presentar tu investigación de verano. 2. Entregue un juego de Tarjetas de Población Animal a cada estudiante. 3. Cada grupo debe tener todavía las Tarjetas de Sugerencias para Guardaparques de la parte I si deciden usarlas para guiarse. 80
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In the tables below, show the process for calculating the constant multiplier.
Cougar
Coyote
Years since Reintroduction
Population
Years since Reintroduction
0
15
0
1 2 3 4
> 19.2 ÷ 15 = 1.28 19.2 ≈ 19 > 24.58 ÷ 19.2 ≈ 1.28 24.58 ≈ 25 > 31.46 ÷ 24.58 ≈ 1.28 31.46 ≈ 31 > 40.26 ÷ 31.46 ≈ 1.28 40.26 ≈ 40
1 2 3 4
Population 50
> 47 ÷ 50 = 0.94 > 44.18 ÷ 47 = 0.94 > 41.53 ÷ 44.18 ≈ 0.94 41.53 ≈ 42 > 39.04 ÷ 41.53 ≈ 0.94 39.04 ≈ 39 47
44.18 ≈ 44
2.
What are the constant multipliers and initial values for the cougar and coyote populations? Cougar: 1.28 and 15 Coyote: 0.94 and 50
3.
How does the initial value of an exponential function compare to the first term of a geometric sequence? If we were determining the first term of a geometric sequence, it would be the same as the initial value in this scenario.
4.
How does finding the constant multiplier of an exponential function compare to finding the common ratio of a geometric sequence? The process is the same. We divide the value by the previous value to determine both the constant multiplier and the common ratio.
c. DOK-1 «¿Cómo determina el valor inicial de una función exponencial?». El valor inicial es el valor de la función cuando la entrada es cero. d. DOK-1 «¿Cómo se determina el primer término de una secuencia geométrica?». El primer término es el primer valor de la secuencia.
Park Ranger Intern, Continued
Part I
1
Exponential Functions Explore 4
5.
How are exponential functions and geometric sequences different? Geometric sequences are discrete representations, whereas exponential functions can be continuous or discrete depending on how the domain is restricted.
6.
How is the constant multiplier related to the percent increase or decrease? The percent increase/decrease is the value that is either added or subtracted from one. This happens after the percentage has been converted to decimal form.
7.
How can the constant multiplier be used to determine if the exponential function is characterized by growth or decay? If the constant multiplier is greater than 1, it will show growth. If the constant multiplier is between 0 and 1, it will show decay.
8.
Complete the table.
Initial Value (a)
Percent Increase or Decrease
Constant Multiplier (b)
Growth or Decay
Exponential Function Equation f(x) = abx
Cougar
15
28%
1.28
Growth
f(x) = 15(1.28)x
Coyote
50
6%
0.94
Decay
f(x) = 50(0.94)x
9.
If the output values have an increasing or decreasing pattern, what can that tell you about the constant multiplier? If the values in the table show the output is decreasing, the constant multiplier will be less than one. If the output values are increasing, the constant multiplier will be greater than one.
10.
How can the constant multiplier be used to determine the percent increase or percent decrease? If given the constant multiplier, you can change it to a percent and then find the difference that value is from 100%.
2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para organizar las tarjetas en conjuntos. Cada conjunto de tarjetas debe incluir una descripción escrita, una tabla, un gráfico y una ecuación. 5. Registrarán su trabajo en sus «Diarios del estudiante». Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientadoras para evaluar su comprensión: a. DOK-1 Si nos fijamos en las nutrias de río, «¿cuáles son algunas formas de llegar de 100 a 150 matemáticamente?». Suma 50 o multiplica por 1.5. b. DOK-1 «¿Cuál de esas formas podrías usar de forma coherente para llegar de 150 a 225?». Multiplica por 1.5. c. DOK-1 «¿Qué observas en el tamaño de la población del borrego cimarrón?». La población disminuye con el tiempo. d. DOK-1 «¿Cuáles son algunas formas de llegar de 400 a 360?». Restar 40 o multiplicar por 0.9. e. DOK-1 «¿Cuál de esas formas podrías usar sistemáticamente para llegar de 360 a 324?». Multiplicar por 0.9. f. DOK-1 Si el multiplicador constante es 0.9, «¿cuál es el porcentaje de aumento/ disminución?». 10 % de disminución. ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES Exponential Functions Explore 4
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4
Part II 1.
Reorganize your Animal Population Cards so you can give your final report to the head ranger. Fill in each column of the table below with the letter of the card that corresponds with each written description. Then, fill in the constant multiplier, initial value, and equation for each row. Animal Card
Graph Card
Table Card
Equation Card
Constant Multiplier
Initial Value
Equation
A – Bison
X
R
L
1.12
30
f(x) = 30(1.12)x
B – Grizzly
S
P
G
1.13
12
f(x) = 12(1.13)x
C – Jackrabbit
W
O
K
1.5
400
f(x) = 400(1.5)x
D – Otter
T
N
J
1.5
100
f(x) = 100(1.5)x
E – Sheep
V
Q
H
0.9
400
f(x) = 400(0.9)x
F – Bat
U
M
I
0.9
1,000
f(x) = 1,000(0.9)x
7. Después de la «Exploración», invite a la clase a una «Charla de matemáticas» para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA MATEMÁTICA
2.
Once your table is filled in, circle all of the increasing functions.
3.
What is the percent decrease in each of the decreasing functions? The constant multiplier is the component of the equation that causes an exponential function to either be increasing or decreasing. When the constant multiplier is greater than one, the function will be increasing. When the constant multiplier is less than one, the function will be decreasing. The difference between the constant multiplier and one is the percentage of increase/decrease.
4.
Does the initial value have any influence on if a function will be increasing or decreasing? Why or why not? The initial value has no impact in whether or not the function will be increasing or decreasing. It only allows us to see the starting point.
• DOK-1 «¿Qué tienen en común todas las funciones exponenciales crecientes?». Un multiplicador constante que es mayor que uno. 3
Exponential Functions Explore 4
Reflect 1.
When thinking about writing exponential functions in an equation, which value is considered the base? The constant multiplier is the base.
2.
If the population size is increasing by 50%, why is the growth factor written as 1.5 in the equation? 50% as a decimal is 0.5, and we have to add that to 1, which is the base in the equation.
3.
How are geometric sequences and exponential functions similar? How are they different? The initial value of an exponential function is the same as the first term of the geometric sequence. The constant multiplier of an exponential function is the same as the common ratio of the geometric sequence. Geometric sequences are only discrete representations of data. Exponential functions can be discrete or continuous depending on how the domain is restricted or not restricted.
4.
If a peer were absent today, how would you explain to them how to use a table or description of a scenario to write an exponential equation to represent the data. First, determine the initial value. This will be the coefficient of the exponential equation. Next, determine the constant multiplier. This can be done using ratios or using the percent increase/decrease. The constant multiplier will be the base of the exponential equation. The exponent of the exponential equation will be the independent variable, and the output will be the dependent variable.
5.
If you know an exponential function has a y-intercept of (0, 40) and passes through the point (2, 90), how could you write an equation in the form y = a(bx)? We know that a = 40 because that is the initial amount, so we could substitute in the point (2, 90) to determine b. 90 = 40(b2) 2.25 = b2 1.5 = b, so the equation is y = 40(1.5x).
Exponential Functions Explore 4
0
1,000
1
500
2 3
1.
> 500 ÷ 1,000 = 0.5 > 250 ÷ 500 = 0.5 250 > 125 ÷ 250 = 0.5 125
2.
Does the table represent exponential growth or decay? Explain how you know without doing calculations. This table is representing exponential decay. The table shows the output values decreasing exponentially as the input values are increasing.
Write the equation to represent the data. f(x) = 1,000(0.5)x
Exponential Functions Explore 4
Write Exponential Functions Exit Ticket x
f(x)
0
1,000
1
500
2 3
1.
> 500 ÷ 1,000 = 0.5 > 250 ÷ 500 = 0.5 250 > 125 ÷ 250 = 0.5 125
2.
• DOK-2 «¿En qué se parecen las secuencias geométricas y las funciones exponenciales?». El valor inicial de una función exponencial es el mismo que el primer término de la sucesión geométrica. El multiplicador constante de una función exponencial es el mismo que el cociente común de la secuencia geométrica. 9. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 10. Regrese a la sección «Captar interés» e instruya a los estudiantes a usar sus habilidades recién adquiridas para completar exitosamente la actividad.
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez creado, haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva».
APOYOS PEDAGÓGICOS
Write Exponential Functions Exit Ticket f(x)
4
• DOK-1 «¿Qué tienen en común todas las funciones exponenciales decrecientes?». Un multiplicador constante que está entre cero y uno.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
x
6. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen.
Does the table represent exponential growth or decay? Explain how you know without doing calculations. This table is representing exponential decay. The table shows the output values decreasing exponentially as the input values are increasing.
Write the equation to represent the data. f(x) = 1,000(0.5)x
1. Los estudiantes pueden asumir que el decaimiento exponencial implica un multiplicador constante negativo. Anímelos a crear una tabla con un multiplicador constante negativo y varios valores enteros para los exponentes con el fin de explorar qué sucede con los resultados en esos casos. 2. Los estudiantes pueden tener dificultades para determinar el incremento porcentual de una función. Por ejemplo, si el multiplicador constante es 1.3, podrían restar 1 y obtener 3 %. En cambio, los estudiantes pueden multiplicar por 100 primero y luego restar 100 (%) para obtener 30. 3. Al hacer la conexión entre secuencias geométricas y funciones exponenciales, los estudiantes pueden confundir los primeros términos de cada una. El valor inicial de una función exponencial es cuando x = 0. El primer término de una sucesión geométrica es cuando n = 1. Esto se debe a que n y x representan dos variables diferentes: n cuenta los términos y debe ser un número entero positivo, mientras que x puede ser cualquier número real.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Exponential Functions Part 4
APOYOS LINGÜÍSTICOS La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Exploración». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo del lenguaje de los estudiantes.
3.
Los estudiantes utilizarán técnicas de aprendizaje como mapas conceptuales, dibujo, comparación, contraste, memorización y repaso para adquirir vocabulario básico y acorde a su nivel de grado. Principiante: Como actividad previa a la lección, guíe a los estudiantes en la creación de un cuadrado de vocabulario para el término función exponencial. Complete las siguientes secciones del cuadrado de vocabulario como clase: Definición, Ejemplo (problema matemático) y No-ejemplo. Haga que los estudiantes creen su propia imagen para el término. Intermedio: Como actividad previa a la clase, pide a los estudiantes que creen un cuadrado de vocabulario para el término función exponencial. Los cuadrados de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), No-ejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes la definición y el ejemplo, pero anímelos a reescribir la definición con sus propias palabras.
4.
Marshall bought a car for $25,000, and it depreciates in value by 10% each year. a.
What are the y-intercept and growth factor of the situation? The y-intercept is (0, 25000), and the growth factor is 0.9.
b.
Create a function, f(x), to model this scenario. Use your function to find the value of the car after five years. f(x) = 25,000(0.9)x and f(5) = 25,000(0.9)5 = 14,762.25 The value of the car is $14,762.25.
c.
Carli also bought a car for $25,000, but it only depreciates in value by 5% each year. Write a function, g(x), to model the value of Carli’s car. g(x) = 25,000(0.95)x
d.
After five years, what will the difference in value be between Carli’s and Marshall’s cars? g(5) – f(5) = 25,000(0.95)5 – 25,000(0.9)5 = 19,344.52 – 14,762.25 = 4,582.27 Carli’s car will be worth about $4,582 more than Marshall’s car after five years.
Write a function that matches the graph.
Avanzado: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que creen un cuadrado de vocabulario para el término función exponencial. Los cuadrados de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), No-ejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes la definición y el ejemplo, pero anímelos a reescribir la definición con sus propias palabras.
2
Exponential Functions Part 4
Exponential Functions Part 4
Write Exponential Functions 1.
5.
A biologist has been studying the wildlife in a pond for 3 years. The number of minnows in the pond has been recorded in the following table. Year
0
1
2
3
Number of Minnows
1,000
1,200
1,440
1,728
a.
What is the initial value of the data? 1,000
b.
Determine if there is a constant multiplier. Show your work. If there is, what is it?
6.
They are all equal, so the constant multiplier is 1.2. c. 2.
How would we express the data as function c(x)? c(x) = 1,000(1.2)x
The number of bass in the pond has been represented with the function b(x) = 450(1.15)x. a.
What is the initial value of this function? 450
b.
What is the constant multiplier? What does that mean for the number of bass in the pond? The constant multiplier is 1.15. This means that the number of bass in the pond is increasing by 15% each year.
c.
Based on the value of the constant multiplier, is the colony of bass growing or declining? Explain. The constant multiplier is 1.15, which is greater than 1; therefore it is a growth exponential function.
d.
7.
What is the average rate of change of the population of bass from x = 0 to x = 3? Round to the nearest whole number. What does this mean? This means that, on average, there was an increase of 78 bass per year for the first three years.
Which of the following equations could represent the function in the graph? A.
f(x) = 10(1.5)x
B.
f(x) = 5(1.5)x
C.
f(x) = 10(0.8)x
D.
f(x) = 5(0.8)x
Which of the following equations represent exponential decay? Select all that apply. A.
g(x) = 100(0.12)x
B.
g(x) = 6(1.3)x
C.
g(x) = 34(0.8)x
D.
g(x) = 3(1.97)x
If h(x) = 20(1.6)x represents the number of sunfish in the pond, where x is in number of years, then which of the following statements are true? Select all that apply. A.
h(x) has a y-intercept at (20, 0).
B.
h(x) is an exponential growth function.
C.
The number of sunfish will increase by 1.6% each year.
D.
The initial number of sunfish in the pond was 20.
E.
There is an asymptote at y = 0.
3
1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 4) CLAVE DE RESPUESTAS 82
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MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 4) CLAVE DE RESPUESTAS ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE Exponential Functions
CONSOLIDAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
ESQUEMA DE ANCLAJE DESCRIPCIÓN Un esquema de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Se trata de una herramienta para apoyar la instrucción y anclar el aprendizaje de los estudiantes a lo largo del alcance.
MATERIALES
• 1 hoja de papel cuadriculado
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
• 1 juego de marcadores multicolores
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del ejemplo de esquema de anclaje, si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. El ejemplo de esquema puede utilizarse como referencia antes de crear el de la clase. Esta actividad debe ser dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje. 2. A medida que los estudiantes trabajen en el alcance, colaboren para añadir piezas al esquema de anclaje. Formule las siguientes preguntas orientadoras: a. «¿Qué estrategia utilizamos para resolver este problema?». b. «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?». 3. Continúe añadiendo habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada «Exploración» para resaltar el contenido importante. 4. Explique que pueden utilizar este gráfico como herramienta de apoyo para su aprendizaje. Los estudiantes también pueden pegar una copia del ejemplo del esquema en sus cuadernos para utilizarla como referencia a lo largo del año. 5. Algunos esquemas de anclaje sólo se mostrarán durante un alcance o grupo de alcances concretos, mientras que otras permanecerán expuestas durante todo el curso escolar.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA Exponential Functions
DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
LIBRETA INTERACTIVA DESCRIPCIÓN Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase al usar la actividad y la libreta.
Instructions ● Cut out the function cards, and then decide if the information on the card represents growth or decay within the function. ● Once you have the cards divided into two groups, glue or tape them onto the organizer. ● Glue or tape the organizer into your notebook.
Growth
Decay
x
f(x)
0
1
1
2
2
4
3
8
4
16
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
PREPARACIÓN
x
f(x)
−2
4
−1
2
0
1
1
0.5
2
0.25
• Imprima una copia del folleto del estudiante para cada uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Prepare una «Libreta interactiva» al usar un cuaderno de espiral o de composición para cada uno. Los estudiantes pueden utilizar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades. 2. Las instrucciones para cada actividad se proporcionan en el «Folleto del estudiante». 3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos. 4. Las libretas interactivas pueden utilizarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
Exponential Functions
Instructions ● Use the function to complete the steps of the task below. ● Cut out the task, and glue or tape it into your notebook.
Use the function below to complete the task. Step 1: Circle the initial value in red and the constant multiplier in green in the equation.
Step 3: Plot the points on the graph. Step 4: Draw a smooth curve to connect the points.
Step 2: Complete the table, and then use the table to write a geometric sequence in explicit form. x
f(x)
−1 0
Step 5: Use a highlighter to identify the horizontal asymptote on the graph.
1
Step 6: Identify the y-intercept using a blue colored pencil.
2 3
Step 7: Identify the domain and range.
Explicit form: ___________________________
Domain: ______________________ Range: _______________________
FOLLETO PARA EL ESTUDIANTE
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO VOCABULARIO CLAVE
VOCABULARIO ILUSTRADO
Domain
Geometric Sequence
Recursive Process
The set of all possible input (x values) of a function
A sequence in which the ratio of successive terms is a constant r, called the common ratio where r ≠ 0 and r ≠ 1
The calculation of the next number in a sequence by repeated application of a rule 11
2
12
Range
Exponential Function
Inequality
The set of all possible output, or y values, of a relation or function
A function in the form of f(x) = abˣ where a and b are real numbers and a ≠ 0, b ≠ 1, and b > 0
A mathematical sentence that uses symbols such as <, ≤, >, or ≥ to compare two quantities 4
3
5
Inequality Notation
Y-Intercept
Asymptote
Notation in which the solution is represented by an inequality statement
The point on a graph of an equation where the line crosses the y-axis
A line that a graph approaches but never crosses as the value of a variable becomes extremely large or small 7
6
Exponential Growth
Exponential Decay
The change that occurs when an original amount is increased by a consistent rate over a period of time
The process of reducing an amount by a consistent percentage rate over a period of time 9
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10
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ DESARROLLAR LA FLUIDEZ CONCEPTUAL
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: FUNCIONES EXPONENCIALES DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes jugarán a ¡A pescar! para resolver problemas matemáticos.
Go Fish! Instruction Sheet Play this game with a partner. You Will Need 1 Set of Go Fish! Cards (per pair) How to Play 1. Shuffle the Go Fish! Cards. 2.
Pass out five cards to each player.
3.
Place the rest of the deck in a pile on the table.
4.
Players take turns asking each other for either the answer to match one of the problem cards or the problem card to match
MATERIALES
one of the answer cards. If the opponent has the matching card, the opponent must give it to the player. If the opponent
IMPRESO
• 1 hoja de instrucciones ¡A pescar! (por pareja) • 1 un juego ¡A pescar! (por pareja)
does not have the matching card, the other player must pick a card from the deck. 5.
The winner is the player with the most matches when all of the cards are gone.
REUTILIZABLES
• 1 sobre o bolsa (por pareja)
PREPARACIÓN
• Haga copias de las tarjetas ¡A pescar! a doble cara. • Lamínelas para que duren más. • Recorte las tarjetas individuales y colóquelas en un sobre o bolsa para facilitar su distribución y limpieza.
HOJA DE INSTRUCCIONES
• Coloque a los estudiantes en parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo barajar las cartas. 2. Modele cómo jugar al juego con un estudiante. a. Reparte cinco cartas a cada jugador. b. Coloque el resto del mazo en un montón sobre la mesa. c. Los jugadores se preguntan por turnos si la respuesta coincide con una de las cartas de problema o si la carta de problema coincide con una de las cartas de respuesta. Si el adversario tiene la carta correspondiente, debe dársela al jugador. Si el oponente no tiene la carta correspondiente, el otro jugador debe coger una carta del mazo. d. El ganador es el jugador con más coincidencias cuando se acaban todas las cartas. 3. Supervise a los estudiantes para asegurarte de que encuentran las coincidencias correctas.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES
ELABORAR: REVISIÓN EN ESPIRAL Exponential Functions
REPASAR CONCEPTOS PREVIOS
REVISIÓN EN ESPIRAL: CRÍTICA GASTRONÓMICA
Food Critic Carter is a food blogger. A food blogger is a writer who travels to restaurants to taste food, inspect the process by which food is made, and offer recommendations for blog readers. Carter says that anonymity is vital, so they do not give a restaurant any notice before they arrive. Picking a restaurant is a process because they only blog about restaurants where there is a story to tell that will connect with Carter's audience. Carter's tab is not limitless. Carter's employer has a budget for each meal, and Carter can visit roughly three restaurants per month on that budget. They do not order the most expensive items on the menu, but rather, they try to order meals as an ordinary diner would. Carter loves their job. They love bringing people out into the community to try new foods at new restaurants. In Carter's free time, they enjoy participating in food challenges. Next week, Carter will eat a monster burger that weighs as much as a newborn baby!
DESCRIPCIÓN Los estudiantes repasan contenidos previos o actuales del grado para ayudar a apoyar su trabajo en el alcance actual y fortalecer las habilidades necesarias para alcances posteriores.
REVISIÓN EN ESPIRAL CENTRADA EN LA PREGUNTA • Pregunta 1
◦ ALG I: Resolver ecuaciones cuadráticas con una variedad de métodos. • Pregunta 2 ◦ ALG I: Reescribir expresiones que involucren radicales y exponentes racionales con las propiedades de los exponentes. • Pregunta 3 1
◦ ALG I: Factorizar una expresión cuadrática. • Pregunta 4
Exponential Functions
◦ ALG I: Resolver sistemas de ecuaciones lineales en problemas matemáticos y del mundo real.
PREPARACIÓN 1.
Carter is visiting a small diner. The number of seats in the diner is modeled by the expression 3x2 – 7x, where x represents the number of tables. How many tables are there if there are 40 seats total?
The answer is 5 tables. 3.
The chef at a restaurant needs help factoring this expression: 2x2 – x – 15. Can you help the chef before a kitchen disaster occurs?
The answer is (2x + 5)(x – 3).
2.
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada uno.
The expression helps a restaurant manager schedule enough employees on a busy night, which happens to be the same night Carter visits. Simplify the expression for all positive values of a and b.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a tratar de responder a las preguntas de forma independiente sin utilizar recursos externos para ver lo que saben. Invite a los estudiantes a anotar ideas o fragmentos que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas.
The answer is 11a2b9. 4.
Carter noticed a large group at the table next to them. The group purchased a total of 13 items from the drinks and appetizers sections of the menu. Each drink was $1.60, and each appetizer was $8.95. If the total cost of drinks and appetizers was $64.90, how many drinks were ordered?
3. Utilice las preguntas de repaso en espiral como calentamiento en clase, o envíelas a casa como deberes. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos. 4. Consulte la sección «Revisión en espiral centrada en la pregunta» para evaluar los conocimientos de contenido de los estudiantes o su necesidad de una mayor intervención. Si es necesario repasar más, utilice los Constructores de fluidez en los alcances apropiados.
The answer is 7 drinks. 2
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE OPCIONES
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5. El proyecto final incluye una parte de este alcance para que los estudiantes vean la conexión y relevancia de su aprendizaje previo con el actual.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS ANÁLIZAR DATOS
CIENCIA DE DATOS Ciencia de datos es un breve debate en clase basado en un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. La parte I incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los estudiantes en contexto.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizarán, interpretarán y generarán conjuntos de datos, además de responder a preguntas basadas en los datos.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 conjunto de datos (por clase) REUTILIZABLES
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase) • 1 marcador (por clase) CONSUMIBLES
• 1 trozo de papel milimetrado (por clase)
PREPARACIÓN
• Prepárese para proyectar el conjunto de datos para la clase. • Reúna un trozo de papel milimetrado y un marcador.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
2. Formule las siguientes preguntas: a.
Completa la tabla para determinar el tamaño de la población inicial de bacterias. Tiempo (minutos)
Tamaño de la población
0
2.235
20
4.470
40
8.940
60
17.880
80
35.760
100
71.520
120
143.040
140
286.080
La población inicial contenía 2.235 bacterias. b. Amanda dice que los datos pueden modelarse mediante f(t) = 2.235(2)3t. Marty dice que los datos pueden modelarse mediante g(t) = 2.235(__ 31 )2t, donde t se mide en horas para ambos modelos. «¿Quién tiene razón?». Explique tu razonamiento. Amanda tiene razón. Primero, convierte 60 minutos a 1 hora, y luego evalúa cada función en t = 1. f(1) = 2.235(2)3(1) = 2.235(8) = 17.880 1 2(1) g(1) = 2.235(__ ) = 2.235(__19 ) = 248.33 17.880 3 Evaluando la función de Amanda para f(1) se obtiene el mismo valor que el que corresponde a 60 minutos en la tabla. c. Grafica la función exponencial que modela el crecimiento de la bacteria.
PARTE I
1. Proyecte el conjunto de datos y prepárese para anotar las observaciones de los estudiantes. 2. Formule las siguientes preguntas: a. «¿Qué observas en este conjunto de datos?». b. «¿Qué representa este conjunto de datos?». c. «¿Qué categorías se incluyen en este conjunto de datos?». d. «¿Cómo te ayuda a determinar la población inicial conocer el período de duplicación?». e. «¿En qué unidad de tiempo se mide la variable t en una ecuación exponencial?». f. «¿Qué preguntas tienes sobre los datos?». PARTE II
1. Repase cómo evaluar ecuaciones exponenciales para valores dados de la variable independiente, y escriba lo que los estudiantes recuerden en el papel milimetrado.
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d. «¿Cuáles son el dominio y el rango del modelo?». El dominio es t ≥ 0, y el rango es f(t) ≥ 2.235.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE OBSERVACIÓN Exponential Functions
EVALUACIÓN DE HABILIDADES
Exponential Functions How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Create equations and inequalities in one variable, including ones with absolute value, and use them to solve problems. Include equations arising from linear and quadratic functions, and simple rational and exponential functions Create equations in two or more variables to represent relationships between quantities; graph equations on coordinate axes with labels and scales.
Understand that the graph of an equation in two variables is the set of all its solutions plotted in the coordinate plane, often forming a curve (which could be a line).
Interpret expressions that represent a quantity in terms of its context a. Interpret parts of an expression, such as terms, factors, and coefficients.
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN
Notes and Feedback
DESCRIPCIÓN Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede utilizarse como evaluación formativa para los maestros y como autoevaluación para los estudiantes.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 folleto del maestro (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del maestro» y un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
1
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Folleto del estudiante» a cada uno.
Exponential Functions
Exponential Functions How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Interpret expressions that represent a quantity in terms of its context b. Interpret complicated expressions by viewing one or more of their parts as a single entity. For example, interpret P(l+r)n as the product of P and a factor not depending on P. Write a function that describes a relationship between two quantities.
For a function that models a relationship between two quantities, interpret key features of graphs and tables in terms of the quantities, and sketch graphs showing key features given a verbal description of the relationship. Key features include: intercepts; intervals where the function is increasing, decreasing, positive, or negative; relative maximums and minimums; symmetries; end behavior; and periodicity.
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Notes and Feedback
3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo. 4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje. 5. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el «Folleto del maestro». 2
FOLLETO DEL MAESTRO
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2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Explorar» y «Explicar» del alcance, evalúe formativamente su progreso tomando notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
6. Las notas anecdóticas proporcionadas en el «Folleto del maestro» pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares. 7. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la «Guía de instrucción andamiada» en la sección «Inicio» de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE OBSERVACIÓN
Exponential Functions
Exponential Functions
Exponential Functions How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Relate the domain of a function to its graph and, where applicable, to the quantitative relationship it describes. For example, if the function h gives the number of person-hours it takes to assemble n engines in a factory, then the positive integers would be an appropriate domain for the function. Calculate and interpret the average rate of change of a function (presented symbolically or as a table) over a specified interval. Estimate the rate of change from a graph.
Graph functions expressed symbolically and show key features of the graph, by hand in simple cases and using technology for more complicated cases. e. Graph exponential and logarithmic functions, showing intercepts and end behavior, and trigonometric functions, showing period, midline, and amplitude.
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Exponential Functions
Notes and Feedback
Write a function defined by an expression in different but equivalent forms to reveal and explain different properties of the function. b. Use the properties of exponents to interpret expressions for exponential functions. For example, identify percent rate of change in functions such as y = (1.02)t , y = (0.97)t , y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, and classify them as representing exponential growth or decay. Distinguish between situations that can be modeled with linear functions and with exponential functions. b. Recognize situations in which one quantity changes at a constant rate per unit interval relative to another. Distinguish between situations that can be modeled with linear functions and with exponential functions. c. Recognize situations in which a quantity grows or decays by a constant percent rate per unit interval relative to another.
How was the skill or concept observed?
Construct linear and exponential functions, including arithmetic and geometric sequences, given a graph, a description of a relationship, or two input-output pairs (include reading these from a table). Observe using graphs and tables that a quantity increasing exponentially eventually exceeds a quantity increasing linearly, quadratically, or (more generally) as a polynomial function. Interpret the parameters in a linear or exponential function in terms of a context. [Linear and exponential of form f(x) = bˣ + k]
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Notes and Feedback
3
4
Exponential Functions
Exponential Functions
Standards for Mathematical Practice
Exponential Functions Skill or Key Concept
How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept
Notes and Feedback
Make sense of problems and persevere in solving them
Notes and Feedback
Reason abstractly and quantitatively Construct viable arguments and critique the reasoning of others Model with mathematics Use appropriate tools strategically
Attend to precision Look for and make use of structure Look for and express regularity in repeated reasoning
Consider these reflection questions in this scope. ●
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them?
●
What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
5
6
FOLLETO DEL MAESTRO
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES
EVALUAR: MAPA DE CALOR ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
MAPA DE CALOR DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
1. Dé un «Mapa de calor» a cada estudiante junto con lápices de colores rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s). 2. Los estudiantes usan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el «Mapa de calor». Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, colorean el cuadro correspondiente de rojo.
MATERIALES
• 1 mapa de calor (por estudiante) • 1 lápiz de color rojo (por estudiante) • 1 lápiz de color azul (por estudiante) • 1 lápiz de color naranja (por estudiante)
PREPARACIÓN
3. Anímelos a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a usar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada.
• Determine si los estudiantes analizarán su «Prueba de habilidades» o la «Evaluación basada en estándares», o ambas. • Imprima un «Mapa de calor» para cada estudiante.
4. Consulte la «Guía de instrucción andamiada» que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
• Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
Exponential Functions
Exponential Functions
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
1. Which skill did you feel most confident with? Why?
Skills Quiz Questions
1
Calculate and interpret the average rate of change of a function (presented symbolically or as a table) over a specified interval. Estimate the rate of change from a graph. Graph functions expressed symbolically and show key features of the graph, by hand in simple cases and using technology for more complicated cases. e. Graph exponential and logarithmic functions, showing intercepts and end behavior, and trigonometric functions, showing period, midline, and amplitude. Construct linear and exponential functions, including arithmetic and geometric sequences, given a graph, a description of a relationship, or two input-output pairs (include reading these from a table). Interpret the parameters in a linear or exponential function in terms of a context. [Linear and exponential of form f(x) = bˣ + k.]
Blue – miscalculation
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
Red – misconception
2
3
Standards Create equations and inequalities in one variable, including ones with absolute value, and use them to solve problems. Include equations arising from linear and quadratic functions, and simple rational and exponential functions.
7
3. Which type of error did you most commonly make?
Not Assessed
1
2
9
10
1
2
4
6
4. How can you avoid those errors in the future?
5
1
2
6
4b
Graph functions expressed symbolically and show key features of the graph, by hand in simple cases and using technology for more complicated cases. e. Graph exponential and logarithmic functions, showing intercepts and end behavior, and trigonometric functions, showing period, midline, and amplitude.
3
5
1
7
2
4a
Interpret the parameters in a linear or exponential function in terms of a context. [Linear and exponential of form f(x) = bˣ + k.]
2
Questions
Calculate and interpret the average rate of change of a function (presented symbolically or as a table) over a specified interval. Estimate the rate of change from a graph.
Construct linear and exponential functions, including arithmetic and geometric sequences, given a graph, a description of a relationship, or two input-output pairs (include reading these from a table).
7
8
1
Orange – explanation
Standards-Based Assessment
Standards Create equations and inequalities in one variable, including ones with absolute value, and use them to solve problems. Include equations arising from linear and quadratic functions, and simple rational and exponential functions.
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key.
Reflection Questions
Red – misconception
Exponential Functions
8
10
9
3
MAPA DE CALOR
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES
INTERVENIR: REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES REMEDIAR Y VOLVER A ENSEÑAR
REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para intervención.
1. Dé una copia de la «Revisión rápida» a cada estudiante. 2. Cada uno debe completarla de forma independiente.
MATERIALES • 1 revisión rápida (por estudiante)
3. Use la rúbrica de habilidades al final de la «Revisión rápida» para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional.
• 1 revisión (por estudiante)
4. Distribuya una copia de «Revisión» a cada uno.
IMPRESO
• 1 revisión general (por estudiante) • 1 lista de verificación para el maestro (por maestro)
5. Cada estudiante debe completar la «Revisión» como actividad de intervención o de forma independiente. a. Si lo desea, reúna a los estudiantes en pequeños grupos para trabajar en las destrezas de repaso. Utilice la «Revisión» como ayuda para la reenseñanza.
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de la «Revisión rápida», la «Revisión» y la «Revisión general» para cada estudiante. • Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar la «Revisión». • Si lo desea, imprima un ejemplo del «Esquema de anclaje» de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que usen la «Libreta interactiva» como recurso. • Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayudas suplementarias para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
6. Distribuya una copia de la «Revisión general» a cada uno. 7. Cada estudiante debe completarla de forma independiente. 8. Analice los resultados de la «Revisión general» al usar la «Lista de verificación para el maestro» para identificar quienes necesitan un repaso adicional y quienes han alcanzado el dominio de los conceptos.
Exponential Functions
4.
Checkup 1.
Exponential Functions
Graph the function, and identify the domain and range. f(x) = 5(2)x + 2
8.
Domain: –∞ < x < ∞
Below is the graph of the function f(x) = 4(0.5)x. Identify the key features listed. a. b. c. d. e. f. g.
Exponential Functions
Range: y > 2
A piece of land was purchased for $98,000. Research shows that the land has an average yearly depreciation rate of 18.5%. a. Write a function that will determine the value, v(t), of the land t years after purchase. v(t) = 98,000(0.815)t b.
y-intercept: (0, 4) Domain: all real numbers Range: y > 0 Growth factor: 0.5 Horizontal asymptote: y = 0 →0 As x →∞, y_______. →∞ As x → −∞, y______.
9.
Determine, to the nearest dollar, the value of the land after 8 years. $19,076
An exponential function, f(x), is graphed on the grid. Write the equation of f(x).
f(x) = 2(0.25)x
2.
A population of bacteria in a petri dish, p(x), can be modeled by the function p(x) = 160(1.032)x, where x represents the number of days since the population was first counted. a. Explain what 160 represents in the context of the problem. 160 represents the initial quantity of bacteria in the petri dish when the population was first counted.
6.
What is the y-intercept of the exponential function h(x) = 71(0.11)x ? (0, 71)
7.
The value, v(t), of a house depreciates according to the function v(t) = p(0.79)t, where p is the purchase price of the house and t is the time, in years, since the house was purchased. What is the percentage that the house decreases by each year? Justify your answer. The value of the house decreases by 21% each year. 1 – 0.79 = 0.21 0.21 is 21%.
Which statements about the graph of y = 8(0.35)x are NOT true? Select all that apply. A. B. C. D.
3.
5.
b.
The equation of the asymptote is x = 0. The coordinates of the x-intercept are (0, 0.35). The coordinates of the y-intercept are (0, 8). The graph includes the point (1, 35).
Look at the table below of an exponential function. x
0
1
2
3
f(x)
9
3.6
1.44
0.576
What is r, the rate of growth or decay? r = 0.4 1
Explain what 1.032 represents in the context of the problem. 1.032 represents a 3.2% population growth per day.
10.
2
Determine if the table represents exponential growth or exponential decay. Then, write the function in f(x) = abx form. x
0
1
2
f(x)
56.8
73.84
95.992
The table shows the output values increasing exponentially as the input values are increasing. The constant multiplier or constant ratio is determined by dividing each output value by its preceding output value. For this table, b = 1.3. When b > 1, the function represents exponential growth. The initial value is the y-intercept, which can be identified in the table as (0, 56.8), so a = 56.8. f(x) = abx = 56.8(1.3)x 3
COMPROBACIÓN CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES
ACELERACIÓN: ¿QUÉ PREFERIRÍAS? Exponential Functions
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
¿QUÉ PREFERIRÍAS?: PRODUCCIÓN DE PLÁSTICO
Plastic Production Use mathematical reasoning and creativity to justify your answer to the Would You Rather question. Plastic production increases exponentially around the world every year. Polyethylene terephthalate (PET) plastic, a common material used for plastic water bottles, takes approximately 450 years to break down. In 2015, 33 million tons were produced, and the production growth rate is approximately 5% per year. Polypropylene (PP) plastic, a common material used for plastic straws, takes approximately 200 years to break down. In 2015, 68 million tons were produced, and the production growth rate is approximately 4.4% per year. Would you rather run a recycling campaign to encourage people to recycle PET- or PP-based plastics? Justify your reasoning with mathematics.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 folleto del estudiante (por alumno) The following statements are sample answers: I would prefer to run a recycling campaign to encourage people to recycle PP plastic because PP has an initial production value more than double that of PEP, and it will take longer for PET to catch up in growth, so it is better to lower the growth rate where total production is already more significant.
• 1 rúbrica (por maestro)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno.
I would prefer to run a recycling campaign to encourage people to recycle PET because the time it takes for PET to degrade is more than twice that of PP, which means the environmental impact is more significant, and it is more important to reduce the effective annual growth rate.
• Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
1
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno.
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE OPCIONES
2. Anímelos a mirar sus folletos de «Exploración» si necesitan repasar habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros. 4. Utilice la rúbrica proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
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ÁLGEBRA 1: FUNCIONES EXPONENCIALES
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Exponential Functions
OPCIONES PARA SEGUIR APRENDIENDO
TABLERO DE OPCIONES
Exponential Functions Choose one or more extension activities from the table below.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes explorarán las conexiones con el mundo real y las aplicaciones del contenido matemático a través de interacciones con actividades atractivas.
MATERIALES IMPRESO
• 1 tablero de opciones (por estudiante) • 1 juego de hojas de actividades (por estudiante) • 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante) REUTILIZABLE
• Tecnología (si corresponde).
Career Connection
Demographer
Science Connection
Bacterial Growth
Research the career field of demography. Your research must answer the provided questions. Create a presentation to relay your research to the class.
In the right conditions, bacteria can multiply very quickly. Use the information given to answer questions about bacterial growth.
Technology Connection
Create Your Own
Graphing Calculator
Use the graphing calculator to graph the given exponential function. Then, use the graph to answer the questions.
Exponential Function
Create your own exponential function. Make a table; graph the function; and find the domain, range, and horizontal asymptote.
Mathematician Spotlight
Kitchen Connection
John Napier
Tempering Chocolate
Search out several news articles or research papers that involve John Napier’s work. Create an informational poster, a diorama, or a speech to convey this mathematician’s work as it relates to exponential functions.
Exponential functions can be used in the kitchen when tempering chocolate. Read the scenario, and answer the questions on the handout.
PREPARACIÓN
• Imprima un «Tablero de opciones» y un juego de hojas de actividades para cada estudiante. • Imprima una «Autoevaluación del tablero» para cada estudiante.
TABLERO DE OPCIONES
• Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» a cada estudiante. 2. Dé tiempo a los estudiantes para examinar el «Tablero de opciones» y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anímelos a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del tablero, haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en el proyecto.
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ÁLGEBRA 1 TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES EXPONENCIALES ÁLGEBRA 1
TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: REALIDAD O FICCIÓN Los estudiantes participarán en una actividad de realidad o ficción para abordar conceptos erróneos sobre un estándar matemático previo, al moverse a los lados designados del aula en función de sus respuestas a las indicaciones.
ESTÁNDARES CLAVE
• Los estudiantes escucharán las preguntas leídas en voz alta por el maestro y decidirán si cada una es realidad o ficción.
Construir nuevas funciones a partir de funciones existentes. •
Identificar el efecto en la gráfica de sustituir f(x) por f(x) + k, kf(x), f(kx), y f(x + k) para valores específicos de k (tanto positivos como negativos); encontrar el valor de k dadas las gráficas. Experimentar con casos e ilustrar una explicación de los efectos en la gráfica con el uso de la tecnología. Incluir el reconocimiento de funciones pares e impares a partir de sus gráficas y expresiones algebraicas para ellas.
Interpretar funciones que surgen en aplicaciones en términos del contexto. •
Para una función que modela una relación entre dos cantidades, interpretar características clave de gráficas y tablas en términos de las cantidades, y bosquejar gráficas que muestren características clave dada una descripción verbal de la relación. Las características clave incluyen interceptos; intervalos en los que la función es creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos; simetrías; comportamiento final; y periodicidad.
Analizar funciones con diferentes representaciones. •
Comparar propiedades de dos funciones representadas cada una de una manera diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas, o por descripciones verbales). Por ejemplo, dada una gráfica de una función cuadrática y una expresión algebraica para otra, decir cuál tiene el máximo mayor.
Escribir expresiones en formas equivalentes para resolver problemas. •
Elegir y producir una forma equivalente de una expresión para revelar y explicar propiedades de la cantidad representada por la expresión. •
Usar las propiedades de los exponentes para transformar expresiones de funciones 1 ___
exponenciales. Por ejemplo, la expresión 1,15t puede reescribirse como (1.15 12 )12t ≈ 1,01212t para revelar el tipo de interés mensual equivalente aproximado si el tipo anual es del 15 %.
Nota: Este enalce se centra en la exponencial.
• Se moverán físicamente al lado designado de «Realidad» o «Ficción» del aula para indicar su elección. • Los estudiantes discutirán su razonamiento con sus compañeros para explorar diferentes perspectivas y aclarar la comprensión. LECCIÓN MOTIVADORA Los estudiantes explorarán la transformación de funciones exponenciales al conectarlas con transformaciones de formas aprendidas en grados anteriores. • Introduzca el concepto con un video y debata cómo las transformaciones se aplican tanto a formas como a funciones. • Facilite una conversación sobre transformaciones observadas en gráficas y relaciónelas con el conocimiento previo de transformaciones de funciones. • Revise el problema inicial y el video, anímelos a aplicar su nuevo conocimiento para resolver ecuaciones de transformación.
ACTIVIDADES DE EXPLORAR EXPLORACIÓN 1: COMPARAR REPRESENTACIONES LINEALES Y EXPONENCIALES Los estudiantes crearán y analizarán funciones lineales y exponenciales usando varias representaciones para comparar sus características clave y entender sus aplicaciones en el mundo real.
ESTÁNDARES DE CONEXIÓN
• Los estudiantes trabajarán en grupos usando gráficas y tablas para determinar cuánto tiempo pueden estudiar juntas Lucy y Hannah a partir de los niveles de cafeína en su organismo.
Representar y resolver ecuaciones e inecuaciones gráficamente.
• Identificarán valores iniciales y crearán ecuaciones para funciones lineales y exponenciales a partir de puntos de datos dados.
•
Comprender que la gráfica de una ecuación en dos variables es el conjunto de todas sus soluciones trazadas en el plano de coordenadas, a menudo formando una curva (que podría ser una recta).
Analizar funciones con diferentes representaciones. •
Graficar funciones expresadas simbólicamente y mostrar las características clave de la gráfica, a mano en casos sencillos y con el uso de la tecnología para casos más complicados. •
Graficar funciones exponenciales y logarítmicas, mostrando interceptos y comportamiento final, y funciones trigonométricas, mostrando período, línea media y amplitud.
Construir una función que modele una relación entre dos cantidades. •
Escribir una función que describa una relación entre dos cantidades.
•
Combinar tipos de funciones estándar usando operaciones aritméticas. Por ejemplo, construir una función que modele la temperatura de un cuerpo que se enfría añadiendo una función constante a una exponencial decreciente, y relacionar estas funciones con el modelo.
Construir y comparar modelos lineales y exponenciales y resolver problemas. •
•
Distinguir entre situaciones que pueden modelarse con funciones lineales y con funciones exponenciales. •
Demostrar que las funciones lineales crecen por diferencias iguales en intervalos iguales, y que las funciones exponenciales crecen por factores iguales en intervalos iguales.
•
Reconocer situaciones en las que una cantidad cambia a una tasa constante por intervalo unitario en relación con otra.
•
Reconocer situaciones en las que una cantidad crece o decrece por un factor constante por intervalo unitario en relación con otra.
Construir funciones lineales y exponenciales, incluyendo secuencias aritméticas y geométricas, dadas una gráfica, una descripción de una relación, o dos pares de entrada-salida (incluyendo la lectura de estos a partir de una tabla).
Interpretar expresiones para funciones en términos de la situación que modelan. •
Interpretar los parámetros en una función lineal o exponencial en términos de un contexto. [Lineal y exponencial de forma f(x) = bˣ + k].
• Explorarán el crecimiento y decaimiento exponencial examinando ecuaciones, gráficas y tablas para identificar patrones y asíntotas. • Los estudiantes participarán en debates para comparar diferentes representaciones de funciones exponenciales y compartir sus observaciones en una «Charla de matemáticas». EXPLORACIÓN 2: DILATAR EXPONENCIALES Los estudiantes analizarán funciones exponenciales a través de ecuaciones y gráficas para identificar transformaciones, enfocándose en dilataciones verticales y horizontales. • Los estudiantes trabajarán en grupos para determinar la presencia de sospechosos en una escena del crimen a través del análisis de curvas de enfriamiento y al registrar sus hallazgos en el «Diario del estudiante». • Participarán en discusiones guiadas para explorar los efectos de los valores iniciales y coeficientes en la forma de las curvas exponenciales. • Los estudiantes participarán en una de «Charla de matemáticas» para compartir observaciones y profundizar su comprensión de las dilataciones horizontales y verticales. • Completarán un «Boleto de salida» para demostrar su comprensión de los conceptos mencionados durante la actividad. EXPLORACIÓN 3: TRANSFORMAR EXPONENCIALES Los estudiantes analizarán funciones exponenciales para identificar transformaciones con ecuaciones, gráficas y tablas. • Los estudiantes trabajarán en grupos para relacionar funciones exponenciales con sus transformaciones al moverse por el salón de clases. • Registrarán sus hallazgos y razonamientos en sus «Diarios del estudiante». • Los estudiantes participarán en una «Charla de matemáticas» para comentar estrategias y observaciones sobre transformaciones. • Completarán un «Boleto de salida» para demostrar su comprensión del concepto.
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR EXPONENCIALES TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONESFUNCIONES EXPONENCIALES ALGEBRA 1
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES INVESTIGAR FUNCIONES
MODELAR CON FUNCIONES
CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
CONCEPTOS CLAVE • Puedo identificar y describir las características clave de una función exponencial. • Puedo describir las conexiones y similitudes de cualquier representación de una función exponencial. • Puedo utilizar las simetrías o la falta de ellas para reconocer e identificar funciones pares e impares • Puedo identificar y describir reflexiones verticales y horizontales a partir de la función matriz exponencial. • Puedo identificar y describir traslaciones verticales y horizontales a partir de la función madre exponencial.
PREGUNTAS FUNDAMENTALES • «¿En qué se parecen las transformaciones de la función madre exponencial a las transformaciones de otras familias de funciones?». • «¿En qué se parecen y en qué se diferencian las transformaciones horizontales y verticales?». • «¿Cómo se puede determinar una función par o impar a partir de una gráfica? ¿A partir de una ecuación?». • «¿En qué se diferencian los modelos lineales de los exponenciales?».
• Puedo identificar y describir dilataciones verticales y horizontales a partir de la función madre exponencial. • Puedo modelar con funciones lineales y exponenciales, y comparar ambas.
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES
INICIO: CONTENIDO DE APOYO ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
CONTENIDO DE APOYO Interpretar funciones que surgen en aplicaciones en términos del contexto. • Para una función que modela una relación entre dos cantidades, interpretar características clave de gráficas y tablas en términos de las cantidades, y bosquejar gráficas que muestren características clave dada una descripción verbal de la relación. Las características clave incluyen interceptos; intervalos en los que la función es creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos; simetrías; comportamiento final; y periodicidad. Analizar funciones con diferentes representaciones. • Comparar propiedades de dos funciones representadas cada una de una manera diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas, o por descripciones verbales). Por ejemplo, dada una gráfica de una función cuadrática y una expresión algebraica para otra, decir cuál tiene el máximo mayor. Construir nuevas funciones a partir de funciones existentes. • Identificar el efecto en la gráfica de sustituir f(x) por f(x) + k, kf(x), f(kx), y f(x + k) para valores concretos de k (tanto positivos como negativos); hallar el valor de k dadas las gráficas. Experimentar con casos e ilustrar una explicación de los efectos en la gráfica utilizando la tecnología. Incluir el reconocimiento de funciones pares e impares a partir de sus gráficas y expresiones algebraicas para ellas. Escribir expresiones en formas equivalentes para resolver problemas. • Elegir y producir una forma equivalente de una expresión para revelar y explicar propiedades de la cantidad representada por la expresión. ◦ Utilizar las propiedades de los exponentes para transformar expresiones de funciones exponenciales. Por ejemplo, la expresión 1 ___ 1,15ᵗ puede reescribirse como (1.15 12) 12ᵗ ≈ 1,01212ᵗ para revelar el tipo de interés mensual equivalente aproximado si el tipo anual es del 15 %. Este enlace se centra en la exponencial.
CONOCIMIENTOS PREVIOS Los estudiantes trabajaron con funciones lineales en grados anteriores, por lo que deben tener una comprensión de la notación de funciones y algunas de las características clave de las gráficas de funciones. Su experiencia con funciones que no son lineales se limita a categorizar las funciones como lineales y no lineales.
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CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
• Es posible que los estudiantes tengan dificultades para identificar si diferentes representaciones indican funciones diferentes o la misma función. Todas las representaciones de funciones deben estar claramente etiquetadas. • Los estudiantes suelen tener ideas erróneas sobre las traslaciones y las dilataciones horizontales. Cuando se les da una ecuación como f(x) = 3ˣ+2, este concepto erróneo hará que describan un desplazamiento a la derecha cuando en realidad representa un desplazamiento a la izquierda dos unidades con respecto a la función padre.
EN ESTE ALCANCE En este nivel de grado, los estudiantes deben ser capaces de graficar funciones exponenciales simples a partir de funciones existentes a mano, y utilizar lo que saben acerca de los cambios de parámetros de la función padre para graficar una función transformada. Los estudiantes deben ser capaces de utilizar múltiples representaciones de funciones exponenciales y comparar las propiedades de las funciones en diferentes representaciones. Los estudiantes deben ser capaces de identificar las funciones de crecimiento y decaimiento, así como comparar el crecimiento de las funciones lineales y exponenciales. TÉRMINOS CLAVE
• función exponencial: una función en la forma de f(x) = abˣ donde a y b son números reales y a ≠ 0, b ≠ 1, y b > 0. • crecimiento exponencial: el cambio que se produce cuando una cantidad original se incrementa en un porcentaje constante durante un periodo de tiempo. • decaimiento exponencial: el proceso de reducción de una cantidad en un porcentaje constante durante un periodo de tiempo. • función lineal: una relación que cuando se representa gráficamente es una línea recta. • comportamiento final: la tendencia que sigue el gráfico a medida que x se aproxima al infinito en dirección negativa y positiva. • asíntota: una línea a la que un gráfico se aproxima pero nunca cruza a medida que el valor de una variable se hace extremadamente grande o pequeño. • intercepción: el punto o puntos en los que una función o relación interseca un eje. • contexto: la situación en la que algo se encuentra o sucede.
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES
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APLICAR LAS PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes usan su conocimiento de cómo se transforman las funciones exponenciales para relacionarlas con ecuaciones, gráficas y descripciones escritas. Dan sentido a un problema que implica cómo se ha transformado una función. • MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes descontextualizan escenarios, los modelan con ecuaciones exponenciales y lineales, y utilizan datos dados para construir ecuaciones lineales y exponenciales que representen cada situación. • MP.3 Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros: Los estudiantes justifican su elección respecto a quién cometió un crimen basándose en sus descubrimientos matemáticos, a través del análisis de gráficas de funciones exponenciales para determinar y apoyar su elección. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes construyen funciones lineales y exponenciales que modelan un escenario del mundo real que involucra el consumo de cafeína. • MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas apropiadas: Los estudiantes utilizan la tecnología para confirmar sus hallazgos cuando descubren tipos de transformaciones de funciones exponenciales. • MP.6 Prestar atención a la precisión: Los estudiantes prestan atención a la precisión cuando emparejan ecuaciones, descripciones escritas y gráficas de funciones exponenciales y leen con precisión las gráficas para determinar cómo se ha transformado cada función a partir de la función madre. • MP.7 Buscar y hacer uso de la estructura: Los estudiantes reconocen que las partes de una función exponencial describen diferentes maneras en que la función se transforma a partir de su función madre. También reconocen que en la función y=abc(x-h)+k, las variables c, h y k indican los tipos de transformaciones que se han producido. • MP.8 Buscar y expresar regularidades en razonamientos repetidos: Los estudiantes analizan funciones exponenciales y generalizan que las variables c, h y k en la función y=a b c (x - h)+k indican transformaciones específicas: La variable c representa un estiramiento vertical, una compresión vertical o una reflexión; h representa una traslación horizontal; y k representa una traslación vertical.
COMPARAR FUNCIONES LINEALES Y EXPONENCIALES Los estudiantes modelarán relaciones con modelos lineales y exponenciales y determinarán qué modelo es el más apropiado. Cuando se dan dos puntos, los estudiantes pueden encontrar modelos lineales y exponenciales que contengan los puntos, pero el contexto puede informar si un modelo es mejor que el otro para hacer predicciones. Ejemplo: Un sitio web tiene 50 visitantes el día 1 y 200 visitantes el día 3 como se describe en la siguiente tabla. Día
Número de visitantes del sitio web
1
50
3
200
Crea un modelo lineal y exponencial para estos datos. «¿Qué modelo te parece más probable?».
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Modelo lineal: 200 - 50 150 Pendiente = __________ = _____ = 75. 3-1 2 Ecuación: y - 50 = 75(x - 1) o y = 75x - 25 Modelo exponencial: b = 2 y = a(2x) 50 = a(21) 25 = a y = 25(2x) El modelo lineal parece más probable porque el modelo exponencial predice que habría miles de visitantes en las próximas dos semanas y ese tipo de crecimiento especialmente rápido parece improbable. Ejemplo: Decide si la situación representa una función lineal o exponencial y justifica tu razonamiento. a. Una biblioteca tiene 7000 libros y está añadiendo 200 libros más cada año. Esto es lineal porque hay una tasa de cambio constante de 200 cada año. b. Hay 18.000 búhos en libertad. Esto es exponencial porque hay un multiplicador constante de 12.
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COMPARAR REPRESENTACIONES EXPONENCIALES Los estudiantes compararán dos funciones exponenciales de maneras diferentes. Pueden ser gráficas, ecuaciones, tablas o descripciones verbales. Compararán las características clave de las funciones. Esto incluye comparar funciones exponenciales en contexto e identificar cómo los atributos representan la situación.
Ejemplo: La vida media de la cafeína en el cuerpo humano promedio es de unas 5 horas. La siguiente ecuación, f(x), representa la cantidad de cafeína en el cuerpo humano promedio a lo largo del tiempo. El gráfico, g(x), modela la cantidad de cafeína en el cuerpo humano promedio a partir de una dosis inicial diferente. x __
f(x) = 100 ⋅ (0,5) 5
Ejemplo: La siguiente tabla contiene puntos encontrados en una función exponencial continua f(x). La función g está definida por g(x) = 5 ⋅ 2x. x
-2
-1
0
1
2
f(x)
0.75
1.5
3
6
12
«¿Qué afirmaciones se aplican?». a. Función f tiene un valor inicial mayor y ambas funciones tienen una asíntota en y = 0. b. Función f tiene un valor inicial menor y ambas funciones tienen una asíntota en y = 0. c. Función f tiene un valor inicial mayor y ambas funciones tienen una asíntota en x = 0. d. La función f tiene un valor inicial menor y ambas funciones tienen una asíntota en x = 0. La respuesta correcta es b. Los estudiantes que seleccionaron a pueden haber interpretado que la base de 2 es el valor inicial, y cuando lo compararon con el valor inicial de 3 mostrado en la tabla, concluyeron incorrectamente que f tiene un valor inicial mayor. Los estudiantes también pueden haber interpretado que el primer valor mostrado en la tabla es el valor inicial. Los estudiantes que seleccionaron c interpretaron incorrectamente que las funciones tienen una asíntota vertical. Los estudiantes también pueden haber determinado incorrectamente el valor inicial; véase la descripción anterior. Los estudiantes que seleccionaron d cometieron los dos errores descritos anteriormente.
«¿Qué afirmaciones son ciertas?». Selecciona todas las que correspondan. a. La situación modelada por la función f muestra que inicialmente se consumió más cafeína. b. La situación modelada por la función f muestra que inicialmente se consumió menos cafeína. c. La situación modelada por la función f muestra que quedan 50 mg de cafeína después de 10 horas. d. La situación modelada por la función g muestra 50 mg de cafeína restante después de 5 horas. e. Ambas funciones muestran más de 12 mg de cafeína restante después de un día completo. Las opciones correctas son b y d. Los estudiantes que seleccionaron a determinaron incorrectamente el valor inicial. Los estudiantes que no seleccionaron b determinaron incorrectamente el valor inicial. Los estudiantes que seleccionaron c evaluaron la ecuación incorrecta para f(10). Los estudiantes que no seleccionaron d evaluaron incorrectamente la gráfica para g(5). Los estudiantes que seleccionaron e pueden haber determinado incorrectamente el número de horas de un día y/o evaluado incorrectamente las funciones.
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TRANSFORMAR EXPONENCIALES
TRANSFORMAR EXPONENCIALES
Los estudiantes analizarán funciones exponenciales dadas como una ecuación, gráfica o tabla e identificarán las transformaciones. Se abordarán las transformaciones a partir de la función exponencial padre y las transformaciones a partir de una función exponencial.
Los estudiantes analizarán funciones exponenciales dadas como ecuación, gráfica o tabla, e identificarán las transformaciones. Se abordarán las transformaciones a partir de la función exponencial padre y las transformaciones a partir de cualquier función exponencial. Se abordarán todas las transformaciones y se incluirán transformaciones en contexto.
Ejemplo: Dada la ecuación h(x) = 2ˣ⁻3 + 4, describe las transformaciones a partir de la función exponencial padre. a.
Desplazada a la izquierda 3 unidades y desplazada hacia arriba 4 unidades
b.
Desplazada a la derecha 3 unidades y desplazada hacia arriba 4 unidades
c.
Desplazada a la derecha 3 unidades y desplazada hacia abajo 4 unidades
d.
Desplazada hacia abajo 3 unidades y desplazada a la derecha 4 unidades
Ejemplo: Leroy y Patricia invirtieron dinero en bancos diferentes. Leroy invirtió dinero en el Banco A como lo describe la función A(x). Patricia invirtió dinero en el Banco B como describe la función B(x). A(x) = 500(1.028)x
B(x) = 600(1.018)x
«¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?». a
La opción correcta es b. Los estudiantes que seleccionaron a identificaron incorrectamente la traslación horizontal. Este es el error más común. Los estudiantes que seleccionaron c identificaron incorrectamente la traslación vertical. Los estudiantes que seleccionaron d invirtieron las traslaciones horizontal y vertical.
Patricia invirtió inicialmente 100 dólares más que Leroy, y Leroy gana intereses a un tipo más alto.
b
Patricia invirtió inicialmente 10 dólares más que Leroy, y Leroy gana intereses a un tipo más bajo.
DILATAR EXPONENCIALES
c
Los estudiantes analizarán funciones exponenciales dadas como una ecuación, gráfica o tabla, e identificarán las transformaciones. Las dilataciones incluirán reflexiones horizontales y verticales.
Patricia invirtió inicialmente 100 dólares menos que Leroy, y Leroy gana intereses a una tasa más baja.
d
Patricia invirtió inicialmente 0,01 dólares menos que Leroy, y Leroy gana intereses a una tasa más baja.
Se abordarán las transformaciones a partir de la función exponencial padre y las transformaciones a partir de cualquier función exponencial. Ejemplo: Las tablas siguientes muestran una función, f(x), y su transformación, g(x) = k ⋅ f(x).
La opción correcta es a. Los estudiantes que seleccionaron b pueden haber usado el valor inicial para determinar que Leroy está ganando intereses a una tasa más baja. También pueden haber usado 1.028 y 1.018 para determinar incorrectamente una diferencia de 10. Los estudiantes que seleccionaron c utilizaron el valor inicial para determinar una diferencia de 100 y el factor de crecimiento para determinar el tipo de interés. Sin embargo, utilizaron incorrectamente la función A(x) para representar la inversión de Patricia y B(x) para representar la inversión de Leroy. Los estudiantes que seleccionaron d usaron incorrectamente el factor de crecimiento para determinar la inversión inicial y usaron el valor inicial para determinar la tasa de interés más baja.
AVANCES
«¿Cuál es el valor de k?».
En cursos futuros, los estudiantes usarán transformaciones para analizar muchas familias de funciones. Cuando se trabaja con funciones trigonométricas, las transformaciones son particularmente importantes para analizar la amplitud y el período.
a. 2 b. 1 c. -1 d. -2 La respuesta correcta es d. Cada valor de y en f(x) se multiplica por -2 para obtener los valores de y en g(x).
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO ANÁLISIS PROFUNDO DE LOS ESTÁNDARES
CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES Construir una función que modele una relación entre dos cantidades. • Escribir una función que describa una relación entre dos cantidades. ◦ Combinar tipos de funciones estándar con operaciones aritméticas. Por ejemplo, construir una función que modele la temperatura de un cuerpo que se enfría añadiendo una función constante a una exponencial decreciente, y relacionar estas funciones con el modelo. Interpretar funciones que surgen en aplicaciones en términos del contexto. • Para una función que modela una relación entre dos cantidades, interpretar características clave de gráficas y tablas en términos de las cantidades, y bosquejar gráficas que muestren características clave dada una descripción verbal de la relación. Las características clave incluyen interceptos; intervalos donde la función es creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos; simetrías; comportamiento final; y periodicidad. Analizar funciones con diferentes representaciones. • Escribir una función definida por una expresión en formas diferentes pero equivalentes para revelar y explicar diferentes propiedades de la función. ◦ Usar las propiedades de los exponentes para interpretar expresiones para funciones exponenciales. Por ej., identificar el porcentaje de cambio en funciones como y = (1.02)ᵗ, y = (0.97)ᵗ, t ___ y = (1.01)12ᵗ, e y = (1.2) 10, y clasifícarlas como representativas de crecimiento exponencial o decrecimiento. • Comparar las propiedades de dos funciones representadas de forma diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas o mediante descripciones verbales). Por ejemplo, dada una gráfica de una función cuadrática y una expresión algebraica para otra, decir cuál tiene el máximo mayor. Construir nuevas funciones a partir de funciones existentes. • Identificar el efecto en la gráfica de sustituir f(x) por f(x) + k, kf(x), f(kx), y f(x + k) para valores concretos de k (tanto positivos como negativos); hallar el valor de k dadas las gráficas. Experimentar con casos e ilustrar una explicación de los efectos en la gráfica utilizando la tecnología. Incluir el reconocimiento de funciones pares e impares a partir de sus gráficas y expresiones algebraicas para ellas.
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Construir y comparar modelos lineales y exponenciales y resolver problemas. • Distinguir entre situaciones que pueden modelarse con funciones lineales y con funciones exponenciales. ◦ Saber que las funciones lineales crecen por diferencias iguales en intervalos iguales y que las funciones exponenciales crecen por factores iguales en intervalos iguales. ◦ Reconocer situaciones en las que una cantidad cambia a una tasa constante por intervalo unitario en relación con otra. • Construir funciones lineales y exponenciales, así como secuencias aritméticas y geométricas, dadas una gráfica, una descripción de una relación, o dos pares de entrada-salida (incluye la lectura de estos a partir de una tabla). Interpretar expresiones para funciones en términos de la situación que modelan. • Interpretar los parámetros de una función lineal o exponencial en función de un contexto. [Lineal y exponencial de la forma f(x) = bˣ + k] Nota: Este enlace se centra en la exponencial.
DESGLOSAR EL ESTÁNDAR VERBOS: ¿QUÉ DEBERÍAN HACER LOS ESTUDIANTES?
• escribir: registrar un enunciado matemático. • describir: escribir o contar los detalles de. • combinar: unir • usar: aplicar una estrategia. • interpretar: explicar el significado de. • bosquejar: hacer un dibujo aproximado de. • analizar: explorar y explicar. • explicar: dar cuenta de acciones o sucesos diciendo las razones. • construir: construir (algo) juntando piezas o materiales. • identificar: reconocer y establecer qué es algo. • encontrar: descubrir; resolver. • experimentar: probar distintas formas de hacer las cosas. • ilustrar: aclarar algo con ejemplos. • comparar: observar las semejanzas y diferencias entre los elementos.
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SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBEN CONOCER LOS ESTUDIANTES?
• función: una relación especial entre valores; cada valor de entrada devuelve exactamente un valor de salida. • relación: la regla en un patrón. • cantidad: un número o cantidad; una cantidad que dice cuánto. • operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación y división. • gráfico: una representación visual de datos. • tabla: un gráfico que contiene datos que se muestran en columnas y filas. • intercepción: el punto o puntos en los que una función o relación interseca un eje. • intervalo: la cantidad de tiempo que pasa de un periodo de tiempo al siguiente; la distancia entre dos puntos. • máximo relativo: un punto que es más alto que los puntos situados directamente a su lado en ambos lados. • mínimo relativo: un punto que es más bajo que los puntos situados directamente a su lado en ambos lados. • simetría: una propiedad intrínseca de un objeto matemático que hace que permanezca invariable bajo ciertas clases de transformaciones. • comportamiento final: la tendencia que sigue el gráfico a medida que x se aproxima al infinito en las direcciones negativa y positiva. • función exponencial: una función en la forma de f(x)= abˣ donde a y b son números reales y a ≠ 0, b ≠ 1, y b > 0 • crecimiento exponencial: el cambio que ocurre cuando una cantidad original se incrementa en una tasa consistente durante un período de tiempo. • decaimiento exponencial: el proceso de reducción de una cantidad en un porcentaje constante durante un período de tiempo. • tasa de cambio: la tasa que muestra cómo cambia una cantidad en relación con otra cantidad.
IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA
• En niveles de grado anteriores, los estudiantes tuvieron experiencia con relaciones proporcionales como el interés simple. Los estudiantes tuvieron experiencia reescribir una expresión en diferentes formas en el contexto de un problema, y arrojaron luz sobre el problema y cómo se relacionan las cantidades en él. En grados anteriores, los estudiantes trabajaron con funciones lineales y deben tener una comprensión de la notación de funciones y algunas de las características clave de los gráficos de funciones. La experiencia de los estudiantes con funciones no lineales se limita a categorizar las funciones como lineales y no lineales. • En este nivel de grado, los estudiantes deben ser capaces de graficar funciones exponenciales simples a partir de funciones existentes a mano y utilizar lo que saben acerca de los cambios de parámetros de la función padre para graficar una función transformada. Los estudiantes deben ser capaces de utilizar múltiples representaciones de funciones exponenciales. Los estudiantes deben ser capaces de identificar funciones de crecimiento y decrecimiento, así como explicar su proceso y representar la tasa como una tasa porcentual de cambio. • Asegúrese de dar a los estudiantes funciones para trabajar que representen múltiples contextos con el fin de darles experiencia en la interpretación de diversas situaciones matemáticas. • Los estudiantes comenzarán comparando funciones exponenciales antes de pasar a la identificación de transformaciones de la función padre. • El uso de ejemplos reales de crecimiento y decrecimiento exponencial ayuda a los estudiantes a entender lo que significan esos términos y les ayuda a interpretar las tasas de crecimiento y decrecimiento dentro de un contexto del mundo real. • Hacer que los estudiantes utilicen software de gráficos les permite ver muchos ejemplos y sacar conclusiones sobre los efectos en los gráficos sin tener que centrarse en cómo graficarlos.
• función par: cuando x se sustituye por -x en una función y ésta se simplifica, la función resultante será idéntica a la función original. • función impar: cuando x se sustituye por -x en una función y ésta se simplifica, los términos de la función resultante tienen signos opuestos a los de la función original. • número positivo: número mayor que cero. • número negativo: número menor que cero. • descripción verbal: enunciado que representa algo con palabras. ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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ALINEACIÓN VERTICAL GRADO
ESTÁNDAR
Comparar las propiedades de dos funciones representadas cada una de una manera diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas o mediante descripciones verbales). Por ejemplo, dada una función lineal representada por una tabla de valores y una función lineal representada por una expresión algebraica, determinar cuál función tiene la mayor tasa de cambio.
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Construir una función para modelar una relación lineal entre dos cantidades. Determinar la tasa de cambio y el valor inicial de la función a partir de la descripción de una relación o de dos valores (x, y), incluso si se leen en una tabla o en un gráfico. Interpretar la tasa de cambio y el valor inicial de una función lineal en términos de la situación que modela, y en términos de su gráfica o de una tabla de valores.
Describir cualitativamente la relación funcional entre dos cantidades al analizar una gráfica (por ejemplo, si la función es creciente o decreciente, lineal o no lineal). Dibujar una gráfica que muestre las características cualitativas de una función que se ha descrito verbalmente.
Interpretar expresiones que representan una cantidad en términos de su contexto. a
Interpretar partes de una expresión, como términos, factores y coeficientes.
b Interpretar expresiones complicadas viendo una o más de sus partes como una sola entidad. Por ejemplo, interpretar como el producto de P y un factor que no depende de P.
Álgebra
Representar restricciones mediante ecuaciones o inecuaciones, y mediante sistemas de ecuaciones y/o inecuaciones, e interpretar soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelización.
Usar notación de funciones, evaluar funciones para entradas en sus dominios, e interpretar declaraciones que usan notación de funciones en términos de un contexto.
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GRADO
ESTÁNDAR Para una función que modela una relación entre dos cantidades, interpretar características clave de gráficas y tablas en términos de las cantidades, y bosquejar gráficas que muestren características clave dada una descripción verbal de la relación. Las características clave incluyen interceptos; intervalos donde la función es creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos; simetrías; comportamiento final; y periodicidad. Escribir una función definida por una expresión en formas diferentes pero equivalentes, para revelar y explicar diferentes propiedades de la función. b
Usar las propiedades de los exponentes para interpretar expresiones para funciones exponenciales. Por ejemplo, identificar la tasa de cambio porcentual en funciones como y = (1.02)t, y = (0.97)t, t ___ y = (1.01)12t, e y = (1.2) 10, y calsificar como representativos del crecimiento exponencial o del decaimiento.
Escribir una función que describa una relación entre dos cantidades. a
Álgebra
Combinar tipos de funciones estándar con operaciones aritméticas. Por ejemplo, construir una función que modele la temperatura de un cuerpo que se enfría añadiendo una función constante a una exponencial decreciente, y relacionar estas funciones con el modelo.
Comparar propiedades de dos funciones representadas cada una de una manera diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas o mediante descripciones verbales). Por ejemplo, dada una gráfica de una función cuadrática y una expresión algebraica para otra, decir cuál tiene el máximo mayor. Identificar el efecto en la gráfica de sustituir f(x) por f(x) + k, kf(x), f(kx), y f(x + k) para valores concretos de k (tanto positivos como negativos); hallar el valor de k dadas las gráficas. Experimentar con casos e ilustrar una explicación de los efectos en la gráfica con el uso de la tecnología. Incluir el reconocimiento de funciones pares e impares a partir de sus gráficas y expresiones algebraicas para ellas.
Distinguir entre situaciones que pueden modelarse con funciones lineales y con funciones exponenciales. a
Demostrar que las funciones lineales crecen por diferencias iguales en intervalos iguales, y que las funciones exponenciales crecen por factores iguales en intervalos iguales.
b
Reconocer situaciones en las que una cantidad cambia a una tasa constante por intervalo unitario en relación con otra.
Construir funciones lineales y exponenciales, que incluye secuencias aritméticas y geométricas, dadas una gráfica, una descripción de una relación, o dos pares de entrada-salida (incluye leerlas de una tabla). Interpretar los parámetros en una función lineal o exponencial en términos de un contexto. [Lineal y exponencial de la forma f(x) = bx + k]. Álgebra 2
Crear ecuaciones en dos o más variables para representar relaciones entre cantidades. Graficar funciones exponenciales y logarítmicas, mostrando interceptos y comportamiento final, y funciones trigonométricas, mostrando período, línea media y amplitud.
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INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA MONITOREAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA La guía de instrucción andamiada se proporciona para que los maestros puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones del alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que ayuda a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de la evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos según los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere que todos los estudiantes experimenten con los elementos: «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades», ya que cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar. 0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
80 % - 100 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil pueden trabajar en contenido de nivel de grado con apoyos de instrucción.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» individual para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 2. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante de acuerdo con sus datos de evaluación. 3. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la sección «Scaffolded Instruction Guide» en el menú desplegable «Home» del alcance. 4. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Escribir una función que describa una relación entre dos cantidades.
Alg.I - Propiedades de las funciones Prueba de habilidades Alg.I - Funciones lineales Revisión y práctica de habilidades Prueba de habilidades
0 % - 25 %
Revisión y práctica de habilidades
(Refuerzo del grado anterior)
8 - Funciones
Alg.I - Transformar funciones exponenciales
• Evaluación rápida (pregunta 10)
Constructor de fluidez • Concentración Ciencia de datos
(Nivel de grado)
Vocabulario ilustrado Libreta interactiva
• ¡Bam! Prueba de habilidades Alg.I - Propiedades de las funciones Revisión y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Concentración Práctica interactiva • ¡Atrapa ese robot!
Acceso a conocimientos previos Constructor de fluidez Revisión y práctica de habilidades • Evaluación rápida (preguntas 1-6) • Revisión (Traslados y dilataciones de funciones exponenciales, sección de Transformaciones múltiples de funciones exponenciales) • Evaluación rápida (preguntas 4, 6-10)
Alg.I - Transformar funciones exponenciales Vocabulario interactivo
Constructor de fluidez
Alg.I - Transformar funciones exponenciales
(Nivel de grado con apoyos)
• Revisión (sección de Traslados y dilataciones de funciones exponenciales, sección de Transformaciones múltiples de funciones exponenciales)
Revisión y práctica de habilidades
Prueba de habilidades
Revisión y práctica de habilidades
25 % - 50 %
0 % - 25 %
Combinar tipos de funciones estándar con el uso de operaciones aritméticas. Por ejemplo, construir una función que modele la temperatura de un cuerpo que se enfría al añadir una función constante a una exponencial decreciente, y relacionar estas funciones con el modelo.
50 % - 80 %
(Nivel de grado)
25 % - 50 %
50 % - 80 %
(Nivel de grado con apoyos)
(Refuerzo del grado anterior)
b
Identificar el efecto en la gráfica de sustituir f (x) por f (x)+ k, kf (x), f (kx) y f (x + k) para valores concretos de k (tanto positivos como negativos); hallar el valor de k dadas las gráficas. Experimentar con casos e ilustrar una explicación de los efectos en la gráfica con el uso de la tecnología. Incluir el reconocimiento de funciones pares e impares a partir de sus gráficas y expresiones algebraicas para ellas.
Alg.I - Transformar funciones exponenciales Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva Constructor de fluidez • Concentración
Tablero de opciones
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(Ampliación del nivel de grado)
Alg.I - Transformar funciones exponenciales
80 % - 100 %
80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
Ciencia de datos
Alg.I - Transformar funciones exponenciales Tablero de opciones
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INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Para una función que modela una relación entre dos cantidades, interpretar las características clave de gráficos y tablas en términos de las cantidades, y dibujar gráficos que muestren las características clave, dada una descripción verbal de la relación. Las características clave incluyen: interceptos; intervalos donde la función es creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos; simetrías; comportamiento final; y periodicidad.
Escribir una función definida por una expresión en formas diferentes pero equivalentes para revelar y explicar diferentes propiedades de la función. b
• Concentración Práctica interactiva • ¿Cuál es mi línea? Prueba de habilidades
Constructor de fluidez Práctica interactiva • ¡Atrapa ese robot!
Revisión y práctica de habilidades Constructor de fluidez • ¡Arregla el error! Práctica interactiva • Cerradura y llave
Alg.I - Transformar funciones exponenciales Revisión y práctica de habilidades • Evaluación rápida (pregunta 10)
Constructor de bases fundamentales
Alg.I - Transformar funciones exponenciales
(Nivel de grado)
Acceso a conocimientos previos
50 % - 80 %
Alg.I - Transformar funciones exponenciales Alg.I - Transformar funciones exponenciales Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Ciencia de datos
Vocabulario interactivo
Alg.I - Transformar funciones exponenciales Tablero de opciones
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(Ampliación del nivel de grado)
Vocabulario ilustrado
80 % - 100 %
(Nivel de grado)
(Nivel de grado con apoyos) (Ampliación del nivel de grado)
80 % - 100 %
50 % - 80 %
25 % - 50 %
Prueba de habilidades
(Nivel de grado con apoyos)
Revisión y práctica de habilidades • Concentración
7 - Expresiones
Prueba de habilidades
Alg.1 - Propiedades de las funciones
25 % - 50 %
(Refuerzo del grado anterior)
0 % - 25 %
Constructor de fluidez
0 % - 25 %
Revisión y práctica de habilidades
(Refuerzo del grado anterior)
8 - Modelar relaciones de funciones
Utilizar las propiedades de los exponentes para interpretar expresiones de funciones exponenciales. Por ejemplo, identificar el porcentaje de cambio en funciones como y = t ___ (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, e y = (1.2) 10, y clasificar según representen un crecimiento exponencial o un decaimiento.
Alg.I - Transformar funciones exponenciales Tablero de opciones
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INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Distinguir entre situaciones que se pueden modelar con funciones lineales y con funciones exponenciales. a Saber que las funciones lineales crecen por diferencias iguales en intervalos iguales y que las funciones exponenciales crecen por factores iguales en intervalos iguales.
c
Reconocer situaciones en las que una cantidad crece o decrece por un factor constante por intervalo unitario en relación con otra.
• Concentración Práctica interactiva
0 %- 25 %
Constructor de fluidez
• Unión de funciones
Alg.I - Transformar funciones exponenciales Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales
(Refuerzo del grado anterior)
Revisión y práctica de habilidades
8 - Comparar funciones Revisión y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Concentración Práctica interactiva • Unión de funciones Prueba de habilidades
25 % - 50 %
25 % - 50 %
Reconocer situaciones en las que una cantidad cambia a una tasa constante por intervalo unitario en relación con otra.
8 - Comparar funciones
Prueba de habilidades (Nivel de grado con apoyos)
b
(Nivel de grado con apoyos)
0 % - 25 %
(Refuerzo del grado anterior)
Comparar las propiedades de dos funciones representadas cada una de una manera diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas o mediante descripciones verbales). Por ejemplo, dada una gráfica de una función cuadrática y una expresión algebraica para otra, decir cuál tiene el máximo mayor.
Alg.I - Transformar funciones exponenciales Acceso a conocimientos previos Revisión y práctica de habilidades • Evaluación rápida (preguntas 1-3) • Revisión (sección Comparar representaciones lineales y exponenciales)
Alg.I - Transformar funciones exponenciales Tablero de opciones
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(Nivel de grado)
Vocabulario interactivo
50 % - 80 %
Vocabulario ilustrado
80 % - 100 %
Alg.I - Transformar funciones exponenciales
(Ampliación del nivel de grado)
(Nivel de grado) (Ampliación del nivel de grado)
80 % - 100 %
50 % - 80 %
• Revisión (preguntas 1-3)
Alg.I - Transformar funciones exponenciales Constructor de fluidez • Concentración Ciencia de datos
Alg.I - Transformar funciones exponenciales Tablero de opciones
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INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Prueba de habilidades
Alg.I - Transformar funciones exponenciales
• Revisión (sección Comparar representaciones lineales y exponenciales)
25 % - 50 %
• Evaluación rápida (preguntas 1-3)
Ciencia de datos
Alg.I - Transformar funciones exponenciales Tablero de opciones
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(Ampliación del nivel de grado)
• Concentración
50 % - 80 %
• Revisión (preguntas 1-3)
Constructor de fluidez
8 - Comparar funciones Revisión y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Concentración Práctica interactiva • Unión de funciones Prueba de habilidades Alg.I - Secuencias aritméticas y geométricas Revisión y práctica de habilidades Prueba de habilidades
Acceso a conocimientos previos Repaso de habilidades y práctica
(Refuerzo del grado anterior)
Repaso de habilidades y práctica
(Nivel de grado con apoyos)
Alg.I - Secuencias aritméticas y geométricas
(Nivel de grado)
Prueba de habilidades
0 %-25 %
• Bam
80 % - 100 %
0 %-25 %
Constructor de fluidez
(Nivel de grado con apoyos)
25 % - 50 %
[Lineal y exponencial de la forma f(x) = bˣ + k]
Repaso de habilidades y práctica
(Nivel de grado)
50 % - 80 %
Interpretar los parámetros en una función lineal o exponencial en términos de un contexto.
Alg.I - Funciones lineales
Alg.I - Transformar funciones exponenciales
(Ampliación del nivel de grado)
80 % - 100 %
(Refuerzo del grado anterior)
Construir funciones lineales y exponenciales, incluir secuencias aritméticas y geométricas, dada una gráfica, una descripción de una relación, o dos pares de entrada-salida (incluir la lectura de estos de una tabla).
Alg.I - Transformar funciones exponenciales Revisión y práctica de habilidades • Revisión (sección Comparar representaciones lineales y exponenciales) • Evaluación de control (preguntas 1-3)
Alg.I - Transformar funciones exponenciales Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Ciencia de datos
Alg.I - Transformación de funciones exponenciales ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES
ATRAER: ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS EVALUAR PREVIAMENTE EL CONOCIMIENTO DEL ESTUDIANTE
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: REALIDAD O FICCIÓN ESTÁNDAR PREVIO
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Describir cualitativamente la relación funcional entre dos cantidades al analizar una gráfica (por ejemplo, si la función es creciente o decreciente, lineal o no lineal). Dibujar una gráfica que muestre las características cualitativas de una función que se ha descrito verbalmente.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes escucharán las indicaciones sobre el estándar anterior y comunicarán si creen que las indicaciones son realidad o ficción al caminar hacia los lados designados del aula. Este elemento está diseñado para descubrir los conceptos erróneos de los estudiantes; no debe tomarse para una calificación.
MATERIALES IMPRESO
• 1 juego de preguntas de realidad o ficción (por clase)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de preguntas de realidad o ficción para leer en voz alta a los estudiantes.
1. Designe un lado del aula como el lado de la realidad y el otro lado como el de la ficción. Indique a los estudiantes que se muevan a un lado de la sala según piensen que la pregunta es realidad o ficción. 2. Lea la pregunta y permita que los estudiantes se muevan a diferentes lados de la sala. 3. Pida a los estudiantes que comenten su razonamiento con sus compañeros. 4. Antes de leer la siguiente pregunta, permita que los estudiantes regresen a su punto de partida. 5. Repita con las preguntas restantes. a.
La pregunta 1 es ficción. La función tiene 3 x-interceptos.
b.
La pregunta 2 es realidad.
c.
La pregunta 3 es ficción. Las y-interceptas son (0, -1) y (0, 1).
6. Si los estudiantes tienen dificultades para completar esta tarea, pase al «Constructor de fundamentos» para llenar este vacío en el conocimiento previo antes de pasar a otras partes del alcance.
CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
• Los estudiantes pueden estar confundidos de las x- y y- interceptas. • Recuerde a los estudiantes que el máximo es el punto más alto de la función y el mínimo es el más bajo.
• Otra opción es proyectar las preguntas con un proyector digital.
• Las diapositivas de vocabulario ilustrado ayudarán a los ayudarán a tener una comprensión visual del vocabulario.
Transform Exponential Functions
Transform Exponential Functions
Fact or Fiction
Prompt 3 The y-intercepts are (1, 0) and (−1, 0).
Prompt 2 The function has a minimum at (0, −6).
Prompt 1 The function below has 2 x-intercepts.
1
Transform Exponential Functions
2
3
REALIDAD O FICCIÓN
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ATRAER: CAPTAR INTERÉS Transform Exponential Functions
LECCIÓN PARA CAPTAR INTERÉS
CAPTAR INTERÉS DESCRIPCIÓN Los estudiantes conectarán la transformación de funciones exponenciales con las transformaciones de formas de grados anteriores.
MATERIALES IMPRESO
• 1 transformación de funciones exponenciales (por clase) REUTILIZABLES
• 1 video de fenómenos (por clase)
PREPARACIÓN
• Planee mostrar el video.
TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES EXPONENCIALES
5. Explique que verán cómo pueden mover funciones en el plano de coordenadas a lo largo de este alcance. Plantee las siguientes preguntas: a.
DOK-1 «¿Qué transformaciones de la función original en negro ven en este gráfico?». Permita que los estudiantes compartan sus ideas. Las respuestas de los estudiantes variarán. La gráfica azul es una reflexión. Todas las gráficas han sido traducidas. La función púrpura se voltea sobre el eje y la función roja es tres unidades menor que la función negra.
b.
DOK-1 «¿Qué transformaciones de funciones anteriores como la función padre del valor absoluto f(x) = |x| recuerdas?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. Las respuestas de los estudiantes variarán. Un signo negativo delante conducía a una reflexión. Un número añadido al final desplazaba la función hacia arriba. La función g(x) = |x - 4| desplazaría la función padre cuatro unidades a la derecha.
• Prepárese para proyectar la «Transformación de funciones exponenciales» para que toda la clase la vea. • Prepárese para presentar el escenario y para animar a los estudiantes a pensar en cómo resolverlo. Prepárese para pasar a las actividades de «Exploración», al regresar a la actividad «Captar interés» con los nuevos conocimientos adquiridos después de que se hayan completado las «Exploraciones».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
6. Completa las actividades de «Exploración».
PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA
PARTE II: DESPUÉS DE EXPLORAR
1. Presente esta actividad hacia el comienzo del alcance. La clase retomará la actividad y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades de «Exploración» correspondientes.
1. Vuelva a mostrar el vídeo de fenómenos y replantee el problema.
2. Explique la situación mientras muestra el video detrás de usted. Andrea ha jugado a juegos en los que transformaba formas. Se pregunta cómo puede hacer lo mismo con funciones en el plano de coordenadas. 3. Formule las siguientes preguntas a los estudiantes: «¿Qué observas? ¿Qué se preguntan? ¿Dónde puedes ver matemáticas en esta situación?». Permita que los estudiantes compartan sus ideas. Sus respuestas pueden variar. Observo que las fichas de la imagen pueden girar. Observo que las fichas pueden desplazarse de izquierda a derecha a medida que se mueven hacia abajo. Que las formas no pueden reflejarse en un solo movimiento. Me pregunto si las formas pueden girar en ambas direcciones. Me pregunto cómo funciona la programación para hacer que las formas se muevan como el usuario quiere. 4. Proyecto: Transformar funciones exponenciales.
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2. Refiérase a «Transformación de funciones exponenciales», y plantee las siguientes preguntas: a.
DOK-1 «¿Tienen más sentido estas gráficas después de las “Exploraciones”?». Sí, todas son transformaciones de la función padre f(x) = 2x.
b.
DOK-1 «¿Qué estrategias usaríar para crear ecuaciones para las funciones roja, azul y morada?». Identificaría las transformaciones de cada una y luego ajustaría la función f(x) hasta que haya creado una coincidencia.
c.
DOK-1 «¿Cómo puedes distinguir en una ecuación si una función se ha reflejado sobre el eje x o y?». f(x) es una reflexión sobre el eje x, y f(-x) es una reflexión sobre el eje y.
d.
DOK-1 «¿Cuáles son Las ecuaciones de g(x), h(x) y j(x)?».g(x) = 2x – 3, h(x) = 2(−(x + 4)) + 1 o h(x) = 2−x – 4 + 1; j(x) = −2x – 1 + 2
e.
DOK-1 «¿Consideras que comprendes bien las transformaciones de las funciones exponenciales?». Las respuestas variarán en función del éxito de los estudiantes en la actividad y de su nivel de confianza.
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 1: COMPARAR LAS REPRESENTACIONES LINEAL Y EXPONENCIAL DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes crearán funciones lineales y exponenciales. También examinarán funciones exponenciales a partir de diferentes representaciones. Éstas pueden ser gráficas, ecuaciones, tablas o descripciones escritas. Compararán características clave de las funciones. Esto incluye comparar funciones exponenciales en contexto e identificar cómo los atributos representan la situación.
PARTE I
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes verán relaciones entre diversas representaciones. Los estudiantes relacionarán situaciones actuales con conceptos o habilidades aprendidas previamente y conectarán ideas matemáticas entre sí. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes aplicarán las matemáticas que conocen para resolver problemas de la vida cotidiana. Los estudiantes serán capaces de simplificar un problema complejo e identificar cantidades importantes para buscar relaciones. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes verán cálculos repetidos y buscarán generalizaciones y atajos. Los estudiantes comprenderán la aplicación más amplia de los patrones y verán la estructura en situaciones similares.
MATERIALES
1. Lea la siguiente situación a la clase: A Lucy le encanta tomar café. A medida que la cafeína del café abandona su organismo, sufre un colapso, lo que significa que experimenta una mayor fatiga y una menor productividad. La cantidad de cafeína en el organismo de Lucy a lo largo del tiempo se representa en el gráfico adjunto. Lucy tiene mañana un examen importante para el que todavía tiene que estudiar. Se toma dos tazas grandes de café y espera que le sirva para las próximas 10 horas. Su rendimiento es óptimo cuando tiene al menos 25 mg de cafeína en el organismo. «¿Seguirá Lucy con energía y alerta para estudiar después de 10 horas?». Lucy le pide a su compañera de clase Hannah que estudie con ella. Hannah también bebe café, y la cantidad de cafeína en el organismo de Hannah a lo largo del tiempo se muestra en una tabla. Hannah está alerta y se encuentra en un estado óptimo cuando tiene al menos 25 mg de cafeína en su organismo. «¿Podrá mantenerse despierta y estudiar con Lucy?». En caso afirmativo, «¿durante cuánto tiempo?». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para determinar durante cuánto tiempo Lucy y Hannah pueden estudiar juntas y registrar su trabajo en sus «Diarios del estudiante». 4. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientativas para evaluar su comprensión: a.
DOK-1 «¿Cuál es el valor inicial de una función exponencial?». El valor inicial es el valor de salida cuando el valor de entrada es cero.
b.
DOK-2 «¿Cómo encontraría el valor inicial en una gráfica?». Busca la y-intercepción.
c.
DOK-2 «¿Cómo identificaría el valor inicial en una tabla?». Busca el valor de salida correspondiente cuando la entrada es 0.
d.
DOK-1 Señala el par ordenado en la tabla donde la cantidad de cafeína es 25 mg. «¿Cuál es el tiempo correspondiente?». 10 horas.
e.
DOK-1 Señala el par ordenado en la gráfica donde la cantidad de cafeína es 25 mg. «¿Cuál es el tiempo correspondiente?». 10 horas.
f.
DOK-2 «¿En qué se diferencia el descenso de Lucy del de Hannah?». Lucy experimenta un descenso lineal, mientras que el de Hannah es exponencial.
g.
DOK-2 «¿Cómo podemos usar el punto inicial y otro punto para escribir la ecuación de una recta?». Si usamos la forma pendiente-intercepto, y = mx + b, podemos usar el valor inicial como b y calcular la pendiente entre los dos puntos para m.
h.
DOK-2 «¿Qué información necesitamos para escribir una ecuación exponencial en la forma y = a(bx)?». Necesitamos la cantidad inicial y el factor de crecimiento/ decrecimiento o multiplicador constante.
IMPRESOS
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de tarjetas de escenarios (por grupo) • 1 boleto de salida (por estudiante) REUTILIZABLE
• 1 bolsa resellable (por grupo)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 2 o 3 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» y un «Boleto de salida» para cada estudiante. • Imprima un juego de tarjetas de escenarios, en cartulina para que duren, para cada grupo de estudiantes. Corte las tarjetas y colóquelas dentro de una bolsa con cierre. Etiquete la bolsa como «Parte II».
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Transform Exponential Functions Explore 1
5. Conceda a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte I y contestar las preguntas que siguen. 6. Después de completar la parte I, invite a la clase a una «Charla de matemáticas» para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta el momento.
Got Coffee? Part I
The amount of caffeine in Lucy’s body over time is modeled by the table below. The amount of caffeine in Hannah’s body over time is modeled by the graph below. Hannah Lucy
CHARLA DE MATEMÁTICAS
Time (hours)
Amount of Caffeine (mg)
0
100
2
85
4
70
6
55
8
40
10
25
14
10
• DOK-1 «¿Cuál es el valor inicial para una función exponencial?». El valor inicial es el valor de salida cuando el valor de entrada es cero. • DOK-2 «¿Cómo encontraría el valor inicial en una gráfica?». Busca la y-intercepción, donde el x valor del par ordenado es cero. • DOK-2 «¿Cómo identificaría el valor inicial en una tabla?». Busque el valor de salida correspondiente cuando la entrada es 0. • DOK-3 «¿Cómo crearía una ecuación exponencial basada en dos puntos?». Primero, usa la y-intercepción para conocer el valor inicial. Luego, sustituye el otro punto en la ecuación y resuelve para el multiplicador constante. • DOK-2 «¿En qué se diferencia crear una ecuación exponencial de encontrar una ecuación lineal? ¿En qué se parece?». Necesito encontrar la pendiente para crear una función lineal y necesito averiguar el multiplicador constante para crear una ecuación exponencial. Ambas ecuaciones usan el valor inicial o y-intercepción. • DOK-2 «¿En qué se diferencia una gráfica que decrece linealmente de una gráfica que decrece exponencialmente?». Una gráfica lineal disminuirá a la misma velocidad para siempre. Una gráfica exponencial decrecerá cada vez menos y se acercará a una asíntota horizontal que nunca alcanzará.
1.
Who consumed more caffeine initially, Lucy or Hannah? How much more? Explain. Lucy and Hannah each initially consumed the same amount of caffeine, 100 mg.
2.
How did Lucy’s amount of caffeine change compared to Hannah’s? Lucy’s amount of caffeine reduced by a constant amount, while Hannah’s went down by less and less as time went on.
3.
Both Lucy and Hannah start to lose energy when their levels of caffeine dip below 25 mg. What’s the maximum amount of time that they can optimally study together? Why? 10 hours is optimal because they both will lose energy and “crash” after that.
4.
Lucy and Hannah both have the same amount of caffeine in their systems at 0 and 10 hours. Who has more caffeine in between those times? Lucy’s linear decrease will remain higher than Hannah’s exponential decay between 0 and 10 hours.
Transform Exponential Functions Explore 1
Based on Lucy’s and Hannah’s caffeine consumption, it seems that a linear and exponential function can both pass through the same two points. 5.
PARTE II
1. Lea el siguiente escenario a la clase: Lucy decide experimentar al tomar diferentes cantidades de cafeína para ver cuál es la menor cantidad que puede beber que le permita mantenerse despierta durante 10 horas. Responda a una serie de preguntas basadas en las cuatro tarjetas de situación hipotética para determinar los modelos de la cantidad de cafeína que Lucy podría beber.
6.
Henry senses a crash coming when he has 80 mg of caffeine in his system, so he starts to drink more caffeine. After two hours, he has 125 mg in his system. a.
If Henry drinks gradually for two hours, the amount of caffeine will increase linearly. Calculate the slope for your equation by using the amount of caffeine in Henry’s system for the first two hours.
b.
What would the y-intercept of your equation be? (0, 80)
c.
Write the equation to model Henry’s caffeine intake if it increases linearly. y = 22.5x + 80
d.
If Henry slowly drinks more and more coffee, the amount of caffeine in his system will increase exponentially. What would the initial amount of caffeine be? a = 80
e.
Substitute the amount of caffeine in Henry’s system after two hours to solve for b, and write a model in the form y = a(bx). 125 = 80b2 b = 1.25 y = 80(1.25x)
Hannah and Lucy’s friend Charlotte started off with 150 mg. After 2 hours, Charlotte had 96 mg in her system. a.
If the amount of caffeine in Charlotte’s body decreases at a linear rate, write the equation that models her caffeine levels in the form y = mx + b, where y is the number of mg of caffeine in Charlotte’s body and x is time in hours. b = 150 and y = −27x + 150
b.
If the amount of caffeine in Charlotte’s body decreases at an exponential rate, write the equation that models her caffeine levels in the form y = a(bx), where y is the number of mg of caffeine in Charlotte’s body and x is time in hours. a = 150, and to find b, 96 = 150b2 0.64 = b2 0.8 = b x y = 150(0.8)
2. Entregue un juego de tarjetas de situación hipotética a cada grupo de estudiantes. 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para responder a una serie de preguntas basadas en las cuatro tarjetas de situación hipotética para determinar la cantidad óptima de cafeína que Lucy debería beber.
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Transform Exponential Functions Explore 1
4. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientativas para evaluar su comprensión:
Part II
Use the questions that follow to analyze the Scenario Cards. 1.
Complete the table below. Scenario
Initial Dose (mg)
Rate of Exponential Decay
Asymptotes y = 10
A
200
0.5
B
400
0.5
y=0
C
600
0.5
y=0
D
800
0.5
y = 50
2.
How could you tell from the equation in scenario D that it did not have a horizontal asymptote at y = 0? The 50 added on at the end of the equation means that even as the value of 800(0.5)t gets smaller and smaller as t increases, the value will still be over 50.
3.
Write equations for scenarios B and C since you know the initial dose, the rate of decay, and that the asymptote is at y = 0. Scenario B: f(t) = 400(0.5)t Scenario C: f(t) = 600(0.5)t
4.
How would you change the equation in scenario D so that it matches scenario A? Scenario D: f(t) = 800(0.5)t + 50 For scenario A, the horizontal asymptote is at y = 10, so the 50 would have to become a 10. To determine the coefficient in front when t = 0, the value is 200. This means the 800 would have to become 190 to work in this scenario. Scenario A: f(t) = 190(0.5)t + 10
5.
Transform Exponential Functions Explore 1
Reflect
The table below contains points found on a continuous exponential function f(x). The function g is defined by g(x) = 0.04x. x
−4
−3
−2
0
1
2
3
4
f(x)
0.625
0.125
0.25
1
2
4
8
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Which function demonstrates exponential growth, and which function demonstrates exponential decay? Explain. f(x) demonstrates exponential growth because as x increases, the values for f(x) increase. The constant multiplier for g(x) is less than 1, which will result in a decreasing function, demonstrating exponential decay. 2.
DOK-1 «¿Cómo se determina el valor inicial de una ecuación exponencial?». Sustituya 0 por x, y calcule el valor.
b.
DOK-1 «¿Cómo puedes saber si una función exponencial demuestra decaimiento o crecimiento exponencial observando su ecuación?». El multiplicador constante será menor que 1 si la función demuestra decaimiento exponencial y mayor que 1 si la función demuestra crecimiento exponencial.
c.
DOK-2 «¿Cómo puedes saber si una función exponencial demuestra decaimiento o crecimiento exponencial observando su gráfica?». La gráfica de la función será decreciente de izquierda a derecha si es decrecimiento exponencial o creciente de izquierda a derecha si es crecimiento exponencial.
d.
DOK-2 «¿Cómo puedes saber si una función exponencial demuestra decrecimiento o crecimiento exponencial mirando su tabla?». Demuestra decaimiento exponencial si, a medida que los valores de entrada aumentan, los valores de salida disminuyen y crecimiento exponencial si los valores de entrada aumentan a medida que los valores de salida aumentan.
e.
DOK-2 «¿Cómo determino la(s) asíntota(s) de una función exponencial a partir de su ecuación?». Una función de la forma f(x) = a ・(bx) + k siempre tiene una asíntota horizontal en y = k.
In the new scenario E, the rate of decay is the same as the other scenarios, but the horizontal asymptote is y = 75 and the initial dose is 500 mg. Write an equation to match this new scenario. We know that the equation will take the form f(t) = a(0.5)x + 75 because the rate is the same and the horizontal asymptote is at y = 75. To find a, we can substitute the point (0, 500) into the equation. 500 = a(0.5)0 + 75 500 = a(1) + 75 425 = a, so the equation for scenario E is f(t) = 425(0.5)t + 75. 3
1.
a.
Order the following exponential functions from least to greatest asymptote.
A
B
h(x) = 2x – 3
C x
f(x)
−2
4
−1
2
0
1
1
0.5
2
0.25
4
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6. Después de la «Exploración», invite a la clase a una «Charla de matemáticas» para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-3 «¿Qué estrategias utilizaste para comparar diferentes representaciones de funciones exponenciales?». Convertir una representación a otra para facilitar la comparación (por ejemplo, encuentra la ecuación de una gráfica y compárarla con una ecuación dada, o colocar todos los valores en una tabla para fines de comparación). • DOK-2 «¿Cómo sabes cuando una función exponencial no tiene una asíntota en y = 0?». Hay un valor constante sumado o restado al final de la ecuación.
A < C < B (y = −3) (y = 0) (y = 1)
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
5. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas de reflexión que siguen.
• DOK-2 Describe cómo resolver a en la ecuación y = a(bˣ) + k cuando conoces el factor de crecimiento/decrecimiento, la asíntota horizontal y la intersección y. Sustituye el factor de crecimiento/decrecimiento por b y luego la asíntota horizontal por k. Luego, sustituye la intersección y en la ecuación y resuelve por a. 7. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
APOYOS LINGÜÍSTICOS
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez creado, haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva».
APOYOS DIDÁCTICOS 1. Los estudiantes pueden suponer que el decaimiento exponencial implica un multiplicador constante negativo. Anímelos a crear una tabla con un multiplicador constante negativo y varios valores enteros para los exponentes para explorar qué sucede con los resultados en esos casos.
La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Exploración». Vea las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo del lenguaje de los estudiantes. Los estudiantes utilizarán técnicas de aprendizaje como mapas conceptuales, dibujar, comparar, contrastar, memorizar y repasar para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado.
2. Los estudiantes pueden suponer, basándose en esta exploración, que pueden crear ecuaciones exponenciales basadas solo en dos puntos porque y = a - bx; sin embargo, si hay una asíntota horizontal distinta de cero, entonces la ecuación requiere y = a - bx + k, y necesitarían un tercer punto (o saber cuál es la asíntota horizontal). Anímelos a prestar atención a las asíntotas horizontales y a no asumir que saben dónde están sin información explícita. 3. Los estudiantes pueden olvidar incluir un valor negativo para a si la gráfica se voltea sobre el eje x-. Anima a los estudiantes a prestar atención a los signos esperados de todos los valores para que puedan realizar autocomprobaciones.
Principiante: Como actividad posterior a la clase, guíe a los estudiantes para que completen un diagrama de Venn, que compare y contraste las funciones lineales y exponenciales. Incluya un banco de palabras del que los estudiantes puedan elegir frases o palabras para completar el diagrama. Las frases posibles incluyen «es siempre creciente o siempre decreciente», «tiene una tasa de cambio constante» y «tiene una asíntota». Intermedio: Como actividad posterior a la clase, pida a los estudiantes que completen un diagrama de Venn que compare y contraste las funciones lineales y exponenciales. Incluya un banco de palabras del que los estudiantes puedan elegir frases o palabras para completar el diagrama. Las frases posibles incluyen «es siempre creciente o siempre decreciente», «tiene una tasa de cambio constante» y «tiene una asíntota». Avanzado: Como actividad posterior a la clase, pida a los estudiantes que completen un diagrama de Venn que compare y contraste las funciones lineales y exponenciales. Incluya un banco de palabras del que los estudiantes puedan elegir frases o palabras para completar el diagrama. Las frases posibles incluyen «es siempre creciente o siempre decreciente», «tiene una tasa de cambio constante» y «tiene una asíntota».
Transform Exponential Functions Explore 1
Comparing Linear and Exponential Representations Exit Ticket Compare the key features of the function f and the function h. Then, answer the question below. x
f(x)
−1
48
0
12
1
−24
2
−60
x
h(x) = 2(7 )
Transform Exponential Functions Part 1
Comparing Linear and Exponential Representations 1.
Use the table to answer the questions below. a.
If f(x) is a linear function, write the equation of the line in the form f(x) = mx + b, and then graph it below. f(x) = 4x + 2
b.
If f(x) is an exponential function, write the equation of the curve in the form f(x) = abx, and then graph it below. f(x) = 2(3x)
Transform Exponential Functions Part 1
2.
x
f(x)
0
2
1
6
Molly is planting trees for community service. The community center she is working for already planted 5 trees before she started. By Molly’s second day, there were 24 trees planted. a.
x
0
1
2
3
4
E(x)
6
12
24
48
96
b.
Which statement is true? A.
Function f has a smaller y-intercept than function h.
B.
Function f has a greater y-intercept than function h.
C.
Both functions demonstrate exponential growth.
D.
Both functions have asymptotes at y = 0.
c.
As x increases, how does the rate of change for each version of the function differ? The linear version always has a rate of change of 4, but the rate of change for the exponential function continues to grow as x gets larger.
d.
Identify any asymptotes of either graph. The exponential version has an asymptote at y = 0.
e.
How could use use your graph to solve the equation 4x + 2 = 2(3x)? I would look for the points of intersection of the graphs of f(x) = 4x + 2 and g(x) = 2(3x) which occur at (0, 2) and (1, 6). Since these points are on both graphs, the x-values must make the equation true so the solutions are x = 0 and x = 1.
Complete the table below as if the number of trees planted grows exponentially.
Complete the table below as if the number of trees planted grows linearly. x
0
1
2
3
4
L(x)
6
15
24
33
42
c.
Write an equation for E(x) in the form E(x) = abx, and use it to predict the number of trees planted after 10 days of community service. E(x) = 6(2x) E(10) = 6(210) = 6(1,024) = 6,144 trees
d.
Write an equation for L(x) in the form L(x) = mx + b, and use it to predict the number of trees planted after 10 days of community service. L(x) = 9x + 6 L(10) = 9(10) + 6 = 90 + 6 = 96 trees
e.
Which model seems more realistic for the 10 days Molly is volunteering, and why? The linear model seems more realistic because it is highly unlikely there is room for Molly to plant thousands of trees.
1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
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2
DEMUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 2: DILATAR EXPONENCIALES DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizarán funciones exponenciales dadas como una ecuación o gráfica e identificarán la transformación; se enfocarán en dilataciones verticales y horizontales.
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.1 Darán sentido a los problemas y perseverarán en resolverlos: Los estudiantes verán relaciones entre diversas representaciones. Los estudiantes relacionarán situaciones actuales con conceptos o habilidades aprendidas previamente y conectarán ideas matemáticas entre sí. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes aplicarán las matemáticas que conocen para resolver problemas de la vida cotidiana. Los estudiantes serán capaces de simplificar un problema complejo e identificar cantidades importantes para buscar relaciones. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes verán cálculos repetidos y buscarán generalizaciones y atajos. Comprenderán la aplicación más amplia de patrones y verán la estructura en situaciones similares.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por estudiante) • 1 juego de tarjetas de curvas de enfriamiento (por grupo) REUTILIZABLES
• 1 marcador de borrado en seco (por grupo) • 2 protectores de hojas (por grupo)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en parejas de 2 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» y un «Boleto de salida para cada estudiante». • Imprima una copia de las tarjetas de curvas de enfriamiento, en cartulina para mayor durabilidad, para cada grupo de estudiantes. Coloque las tarjetas dentro de protectores de hojas para crear superficies borrables.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Lea el siguiente escenario a la clase: El detective Ace investiga un delito que ocurrió hace 3 horas en una cafetería. Los tres sospechosos dicen que estuvieron en la cafetería solo en las últimas 2 horas. Para determinar el número de horas que cada sospechoso estuvo presente, el detective Ace toma la temperatura actual de cada una de sus bebidas y la compara con la curva de enfriamiento de esa bebida. «¿Están diciendo todos la verdad? ¿Quién, si es que alguien, será atrapado en una mentira?». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Entregue una tarjeta de curvas de enfriamiento de la parte I a cada grupo. 4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para determinar qué sospechoso estuvo en la cafetería durante el momento del crimen y registrar su trabajo en sus «Diarios del estudiante». 5. A medida que los estudiantes colaboran, controle su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar su comprensión: a. DOK-1 «¿En qué parte del gráfico encontrarías la temperatura inicial?». La temperatura inicial será el valor de y para x = 0. b. DOK-2 A medida que aumentan los valores iniciales (40, 90, 110, etc.), «¿qué le sucede a la curva?». La curva se estira hacia arriba a lo largo del eje y. La coordenada que representa el valor inicial tiene un valor x mayor. Parece que ocurre lo mismo a lo largo de la curva. c. DOK-1 «¿Cuál es la temperatura de una taza de café que ha estado enfriándose durante 1 hora? ¿Cómo lo sabes?». La temperatura es de unos 103 grados. La gráfica de la función que representa la temperatura del café a medida que se enfría pasa por el punto (1, 103). d. DOK-2 «¿Cómo determinarías a partir de la gráfica la cantidad de tiempo que se ha estado enfriando cada bebida?». Identifica la temperatura actual de la bebida en la tabla de las notas del detective, y luego encuentra el valor x correspondiente para esa temperatura. El valor x será el número de horas que la bebida ha estado enfriándose. 6. Concédeles tiempo suficiente para completar la parte I y responder a las preguntas que siguen. 7. Después de completar la parte I, invite a la clase a una «Charla de matemáticas» para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta ahora.
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1/9/26 1:41 PM
ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Transform Exponential Functions Explore 2
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 A medida que aumentan los valores iniciales (40, 90, 110, etc.), «¿qué le ocurre a la curva?». La curva se estira hacia arriba a lo largo del eje y. • DOK-2 «¿Qué crees que le ocurrirá a la curva a medida que el valor inicial se acerque a valores entre 0 y 1?». La curva se comprimirá cada vez más, casi hasta el punto de parecerse a una línea recta horizontal.
Spill the Tea! Part I
Analyze the Cooling Curves Card for tea, coffee, and hot chocolate. The detective’s notes below provides additional information about each beverage and the suspect who drank it.
Detective’s Notes Suspect
• DOK-2 «¿Cómo definirías una dilatación horizontal?». Una dilatación horizontal se produce cuando la curva se estira o se comprime con respecto al eje x, de lado a lado. • DOK-2 «¿Cómo transformaría el signo negativo en y = -abˣ la función padre?». Reflejaría la gráfica sobre el eje x-. • DOK-2 «¿Impactaría un reflejo el efecto que a tiene sobre la función padre?». No, un estiramiento vertical seguirá ocurriendo cuando la magnitud de a sea mayor que 1, y una compresión vertical ocurrirá cuando la magnitud de a esté entre 0 y 1. PARTE II
1. Lea el siguiente escenario a la clase: Con el sospechoso B capturado con éxito, el detective Ace está listo para su siguiente caso. Tres sospechosos, D, E y F, fueron encontrados sentados en sus coches, cerca de la escena del crimen. Todos afirman haber estado sentados en sus coches entre 2 y 4 horas con los motores apagados, y que el crimen se cometió hace aproximadamente una hora. El detective Ace toma la temperatura de cada uno de los motores y la compara con la curva de refrigeración de cada tipo de motor para determinar el tiempo que cada coche ha estado parado. «¿Qué descubrirá? ¿Sorprenderá a alguien en una mentira?».
Beverage
Current Temperature (°F)
A
Tea
100
B
Coffee
75
C
Hot chocolate
75
1.
Use the cooling curve to determine the temperature of each beverage when each suspect received it. Tea: 180°F; coffee: 160°F; hot chocolate: 110°F
2.
Consider each of the equations and their graphs. If there was a fourth beverage and its equation was I(t) = 130(0.37)t + 70, where would that curve be located on the graph with respect to the other curves? Why? It would be above the curve for T(t) = 110(0.37)t + 70 because as the value in front increases, the y-intercept increases due to the vertical stretch.
3.
Based on the cooling curves and the detective’s notes, how long was each suspect at the coffee shop? Suspect A: ≈ 1.5 hours; suspect B: ≈ 2.5 hours; suspect C: ≈ 2 hours
4.
Which suspect was caught in a lie? Why? Suspect B because he was at the shop for more than 2 hours
1
Transform Exponential Functions Explore 2
Part II
Analyze the Cooling Curves Card for the engines of the suspects’ cars. The detective’s notes provide additional information about the engines.
2. Entregue una tarjeta de curva de enfriamiento de la parte II a cada grupo de estudiantes.
Detective’s Notes
3. Aún deben tener sus «Diarios del estudiante». 4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para determinar cuál es la coartada más cuestionable del sospechoso y registrarán su trabajo en sus «Diarios del estudiante».
Suspect
Current Temperature (°F)
D
100
E
100
F
100
1.
If you compare function D to function F, the coefficient of x changes from 2 to 0.5. What happens to the curve on the graph? The curve is straighter and less steep, like someone pulled on the top and bottom to stretch it. Pulling horizontally is a horizontal stretch.
2.
Given the formula y = a・b cx + k, what value would c need to be in order to result in a horizontal stretch? What value would c need to be in order to result in a horizontal compression? Horizontal stretch: 0 < c < 1; horizontal compression: c > 1
3.
Which engine is cooling at the fastest rate? Engine D
4.
Based on the current temperature of each engine, for how long has each car been cooling? Suspect D ≈ 1 hour; suspect E ≈ 2 hours; suspect F ≈ 3.5 hours
5.
Which suspect was caught in a lie? Why? Suspect D because his car was cooling for less than 2 to 4 hours
2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS 118
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES
EXPLORA: EXPLORACIÓN 2 Transform Exponential Functions Explore 2
5. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientativas para evaluar su comprensión:
Reflect 1.
Compare and contrast vertical and horizontal dilations. Vertical Dilations Differences
Horizontal Dilations Similarities
Differences
a.
For y = a・bX, vertical A coefficient greater than 1 For y = b cx, a horizontal compression occurs when (for a or c) will result in a compression occurs when 0 < a < 1, and a vertical steeper graph. c > 1, and a horizontal stretch occurs when a > 1. stretch occurs when A coefficient between 0 0 < c < 1. and 1 (for a or c) will result in a less steep graph.
DOK-2 Compare las tres ecuaciones de las gráficas. «¿En qué se parecen y en qué se diferencian las tres ecuaciones?». Todos los aspectos de Las ecuaciones son iguales, excepto el coeficiente de x.
b.
DOK-2 «¿Qué impacto crees que tiene el coeficiente de x en la forma de la curva?». Cuanto menor sea el coeficiente de x, más estirada estará la curva con respecto al eje horizontal.
Use the functions f(x) = 3x and g(x) = 9(3x) to answer the questions below.
c.
DOK-2 Dada la ecuación y = bcx, «¿para qué valores del coeficiente c crees que la curva tiene más pendiente, valores mayores que 1 o valores entre 1 y 0? ¿Por qué?». La curva es más pronunciada para valores superiores a 1 porque el gráfico se comprime cada vez más y, por tanto, es más pronunciado para los demás valores de c, que son 1 y 2 en este gráfico.
d.
DOK-2 «¿Cómo determinarías a partir del gráfico la cantidad de tiempo que ha estado enfriándose cada coche?». Identifique la temperatura actual del motor a partir de las notas del detective, y luego encuentre el valor x correspondiente para esa temperatura. El valor x será el número de horas que el coche ha estado enfriándose.
Changes the value of the y-coordinate
2.
Both result in compression Changes the value of the or stretching of the curve. x-coordinate
a.
What kind of transformation took place to turn f(x) into g(x) = 9(3x)? A vertical stretch by a factor of 9
b.
Explain why the expression 3x+2 is equivalent to 3x(32). Using the power rule of exponents, you can add the exponents together in the expression where the two terms are multiplied to turn it into a term with a single exponent.
c.
Evaluate the part of the expression 3x(32) inside the parentheses, and use your work to explain why 3x+2 is equivalent to 9(3x). 3x+2 = 3x(32) = 3x(9) = 9(3x)
d.
What is the shift from f(x) = 3x to h(x) = 3x+2? The shift would be moved 2 units left.
You just proved that transforming the function f(x) = 3x with a shift 2 units to the left is the same as a vertical stretch with a factor of 9! You can use technology to plot both g(x) and h(x) on the same graph to confirm.
3
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
Transform Exponential Functions Explore 2
Dilations of Exponentials Exit Ticket 1.
The graph below shows that the two functions f(x) and g(x) = af(x). a.
Is g(x) a horizontal or vertical dilation? How do you know? This is a vertical dilation. I know it is vertical because I can see the y-intercept changed. Vertical dilations change the y value of coordinates.
b.
Use inequalities to describe the possible value of a. The value of a must be greater than 1 because it stretches f(x) vertically, so a > 1.
2.
Explain what transformation occurred to turn f(x) = 2x into g(x) = 2−x. f(x) is flipped over the y-axis to become g(x).
3.
Explain why g(x) = 2−x and h(x) = (0.5)x are equivalent forms and would produce the same graph if you rewrite 2−x as (2−1)x. g(x) = 2−x = (2−1)x = (0.5)x = h(x)
6. Concédales tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas de reflexión que siguen. 7. Después de la «Exploración», invite a la clase a una «Charla de matemáticas» para compartir sus observaciones y aprendizaje. CHAT MATEMÁTICO
• DOK-2 «¿Qué impacto crees que tiene el coeficiente de x en la forma de la curva?». Cuanto menor sea la magnitud del coeficiente de x, más estirada estará la curva con respecto al eje horizontal. • DOK-2 Dada la ecuación y = bᶜˣ, «¿para qué valores de c crees que la gráfica está más inclinada y, por tanto, comprimida?». Para valores c > 1, la gráfica se comprime con respecto al eje x. • DOK-2 Dada la ecuación y = bᶜˣ, «¿para qué valores de c crees que la gráfica se vuelve más plana y, por tanto, se estira?». Para valores 0 < c < 1, la gráfica se estira con respecto al eje x. • DOK-2 Dada la ecuación y = b-ᶜˣ, «¿qué impacto tendrá el signo negativo?». Reflejará la gráfica sobre el eje y. • DOK-2 «¿Cambia tal reflejo el impacto de c?». No, seguirá produciéndose un estiramiento horizontal cuando la magnitud de c esté entre cero y 1, y una compresión horizontal cuando la magnitud sea mayor que 1. • DOK-2 «¿Qué observas en los valores para los que se producen compresiones y estiramientos horizontales y verticales?». Son opuestos. Para constantes mayores que 1, ocurren compresiones horizontales, mientras que ocurren estiramientos verticales. Y para constantes entre 0 y 1, ocurren estiramientos horizontales, mientras que ocurren compresiones verticales.
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2
APOYOS LINGÜÍSTICOS
8. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Exploración». Consulte las estrategias siguientes para saber cómo apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
Los estudiantes se apoyarán en pistas visuales, compañeros y maestros para desarrollar el vocabulario, la estructura lingüística y los conocimientos previos necesarios para comprender un texto escrito.
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez creado, haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva».
Principiante: Como actividad previa a la clase, pida a los estudiantes que se conviertan en «detectives de palabras» por parejas. Entregue a cada pareja una tarjeta que contenga una imagen y una palabra de vocabulario relacionada con ser detective (por ejemplo, investigar, detective, misterio, descubrir). Encargue a las parejas que encuentren la tarjeta con la definición escondida en el aula. Cuando se hayan recogido todas las tarjetas, Explique que serán detectives y ayudarán a resolver un crimen en la «Exploración» de hoy.
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Los estudiantes pueden olvidar incluir un valor negativo para los valores de todas las transformaciones si el gráfico se voltea sobre el eje x- o y-. Anímelos a prestar atención a los signos esperados de todos los valores para que puedan realizar autocomprobaciones.
Intermedio: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que se conviertan en «detectives de palabras» por parejas. Entregue a cada pareja de estudiantes una tarjeta que contenga una imagen y una palabra de vocabulario relacionada con ser detective (por ejemplo, investigar, detective, misterio, descubrir). Encargue a las parejas que encuentren la tarjeta con la definición escondida en el aula. Cuando se hayan recogido todas las tarjetas, Explique que serán detectives y ayudarán a resolver un crimen en la «Exploración» de hoy.
2. Los estudiantes pueden tener dificultades para entender qué ocurre cuando el valor de c es menor que 1 o mayor que 1 al examinar ecuaciones de la forma y = a - bc - x. Los estudiantes pueden reescribir la ecuación como y = a - (bc)x y evaluar bc para comparar el crecimiento de la función con y = a - bx.
Avanzado: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que hagan una sopa de letras cronometrada con vocabulario relacionado con ser detective (investigar, detective, misterio, descubrir). Gana el primero que encuentre más palabras en 3 minutos. Una vez declarado el ganador, preguntéles si tienen dudas sobre alguna de las palabras. Explique que los estudiantes serán detectives y ayudarán a resolver un crimen en la sección «Exploración» de hoy.
Transform Exponential Functions Part 2
4.
Creating Equivalent Exponentials 1.
2.
3.
Transform Exponential Functions Part 2
Graph the equations f(x) = 3x and g(x) = 9(3x) on the axes below.
8.
Use the exponential functions in the table below to answer the questions that follow. f(x) = 3(5x)
g(x) = −3(5x)
h(x) = (5x) + 1
j(x) = 5x + 2
k(x) = −3(5x) + 1
m(x) = 4(5x) – 1
The population of dogs in a small town is modeled by the function f(t) = 2,500(1.01)12t where t is the number of years since 2020. Rewrite the function so that the exponent in front of t is 1 and determine the percent increase in the number of dogs each year. f(t) = 2,500(1.01)12t = 2,500(1.0112)x = 2,500(1.1268)x This indicates a yearly increase of 12.68%.
a.
Which functions have y-intercepts at (0, 3)? Show how you know you are correct. f(x), j(x), and m(x) because f(0) = j(0) = m(0) = 3
b.
Which functions have negative y-intercepts? Show how you know you are correct. g(x) and k(x) because g(0) = −3 and k(0) = −2
c.
Which functions do not have horizontal asymptotes at y = 0, and how do you know? h(x), j(x), k(x), and m(x) because they all have a constant term added or subtracted
5.
What do you notice about g(x) compared to f(x)? Be sure to discuss the horizontal asymptote and y-intercept in your response. The y values of g(x) are all nine times larger than the values of f(x). The y-intercept of g(x) is (0, 9) compared to (0, 1) for f(x). The horizontal asymptote for both functions is y = 0.
6.
Which of the following functions is equivalent to g(x)? Show how you know you are correct.
Write an equation for an exponential function, n(x), that also has a base of 5, a y-intercept of (0, −2), and a horizontal asymptote at y = 2. n(x) = −4(5x) + 2
A. B. C. D.
Identify the y-intercept and horizontal asymptote of the equation below. y-intercept: (0, 10) Horizontal asymptote: y = 4
Transform Exponential Functions
p(x) = 6(5x) + 4
h(x) = 3(9x) h(x) = 9x + 3 h(x) = 3x + 2 h(x) = 3x – 2
h(x) = 3x + 2 = 3x(32) = 9(3x) = g(x) 7.
1
Buck argues that the graphs of y = 4−2x and y = ( )x are equivalent. Is he 16 correct? Why or why not? Buck is correct because 4−2x = (4−2)x = ( 1 )x. 16
1
2
3
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 2) CLAVE DE RESPUESTAS 120
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 3: TRANSFORMAR EXPONENCIALES DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizarán funciones exponenciales dadas como ecuaciones, gráficas o tablas e identificarán las transformaciones.
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes verán relaciones entre diversas representaciones. Los estudiantes relacionarán situaciones actuales con conceptos o habilidades aprendidas previamente y conectarán ideas matemáticas entre sí. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes aplicarán las matemáticas que conocen para resolver problemas de la vida cotidiana. Los estudiantes serán capaces de simplificar un problema complejo e identificar cantidades importantes para buscar relaciones. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes verán cálculos repetidos y buscarán generalizaciones y atajos. Los estudiantes comprenderán la aplicación más amplia de patrones y verán la estructura en situaciones similares.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de tarjetas de funciones fuera de control (por clase) • 1 boleto de salida (por 2 estudiantes) CONSUMIBLES
• 1 rollo de cinta adhesiva (por clase)
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PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 2 o 3 estudiantes. • Asigne a cada grupo un número par entre 1 y 12. Este será su punto de partida para la parte I. • Asigne a cada grupo un número impar entre 1 y 12. Este es su punto de partida para la parte II. • Imprima un «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima un «Boleto de salida» para cada pareja. Recorte los «Boletos de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno. • Imprima un conjunto de tarjetas de función fuera de control en cartulina para mayor durabilidad. • Use cinta adhesiva para asegurar las tarjetas de función fuera de control en orden numérico alrededor del aula.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: TRANSFORMACIONES SIMPLES
1. Lea el siguiente escenario a la clase: ¡Las funciones exponenciales de Hinata están fuera de control! Están tan fuera de control que están esparcidas por todo el aula. Ayuda a Hinata a recuperar el orden emparejando cada función con su transformación. Hinata sabrá que ha emparejado con éxito cada función con su transformación cuando llegue de nuevo a su posición de partida. 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Entregue el punto de partida para cada grupo. 4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para abordar la indicación de la función exponencial fuera de control en su tarjeta de partida asignada. Una vez que determinen la transformación, buscarán la respuesta en otra tarjeta. La tarjeta con la respuesta les presentará su siguiente función exponencial fuera de control. Repetirán este proceso hasta llegar a su posición inicial. Los estudiantes anotarán su trabajo en sus «Diarios del estudiante».
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Transform Exponential Functions Explore 3
5. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientativas para evaluar su comprensión: a.
DOK-3 Al intentar determinar las posibles traslaciones verticales de una función exponencial dada una gráfica, «¿qué estrategias podrías utilizar?». La parte más fácil de identificar son los desplazamientos verticales porque es más obvio cuando la asíntota se ha desplazado hacia arriba o hacia abajo.
b. DOK-3 Al tratar de determinar las posibles dilataciones de una función exponencial dada una gráfica, «¿qué estrategias podrías usar?». La y-intercepción cambia cuando hay una dilatación vertical; ese es un buen punto de partida. También me fijo en lo rápido o lento que aumenta la gráfica en comparación con la función madre; esto me indicaría un estiramiento o una compresión. Si la función es decreciente, esto me dice que hubo una reflexión. c. DOK-3 Al tratar de determinar las posibles traslaciones horizontales de una función exponencial dada una gráfica, «¿qué estrategias podrías usar?». Para la función padre, la y-intercepción está en (0, 1) pero si la función tiene una y-intercepción diferente, eso indica que puede haber habido un desplazamiento horizontal a la izquierda o a la derecha. d. DOK-3 Al intentar determinar las posibles traslaciones verticales de una función exponencial dada una tabla, «¿qué estrategias podrías utilizar?». Observar si la diferencia entre los valores correspondientes y para un valor dado x es consistente (yTraslación - yPadre). Si la diferencia es positiva, se trata de una traslación vertical hacia arriba. Si la diferencia es negativa, es una traslación vertical hacia abajo. e. DOK-3 Al intentar determinar la posible traslación horizontal de una función exponencial dada una tabla, «¿qué estrategias podrías utilizar?». Para determinar una posible traslación horizontal, observar si se repiten diferentes y valores entre la función transformada y la función padre para diferentes x valores. Si es así, reste entre sí los valores x que dan el mismo resultado (xTransformada - xPadre). Si la diferencia consistente es positiva, se trata de una traslación horizontal hacia la derecha. Si la diferencia consistente es negativa, se trata de una traslación horizontal hacia la izquierda. f. DOK-3 Al intentar determinar las posibles dilataciones de una función exponencial dada una tabla, «¿qué estrategias podrías utilizar?». Comparar los valores y de la función transformada con los valores y de la función madre para un valor dado x. Si el cociente de los valores y es constante, entonces se ha producido una posible
Wait! How Did We Get Here? Part I: Single Transformations
Your teacher will give your group an even number between 1 and 12 as your starting position. Each correct answer will lead you to your next question.
Out-of-Control Exponential Function Card
Description of the Transformation of the Out-of-Control Function
Card with Transformation
8
Reflected across the y-axis
6
6
Stretched vertically by a factor of 2
4
4
Shifted down 2 units
2
2
Shifted left 2 units
12
12
Stretched horizontally by a factor of 0.5
10
10
Compressed horizontally by a factor of 2
8
1
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
g. DOK-2 Al evaluar la transformación que ha sufrido una ecuación, «¿cuáles son algunas características clave y qué indican?». Dada la ecuación, y = a - bc(x - h)+ k, el valor inicial, a, indica un estiramiento vertical si a > 1 o una compresión vertical si 0 < a < 1. Si a es negativo, se produce una reflexión a través del eje x. c indica un estiramiento horizontal si 0 < c < 1 o una compresión si c > 1. Si c es negativo, hay una reflexión a través del eje y. h indica un desplazamiento horizontal a la izquierda si h es negativo o un desplazamiento horizontal a la derecha si h es positivo (observar que el signo de la ecuación se invierte dependiendo del signo de h). Si k es positivo, se produce un desplazamiento vertical hacia arriba. Si k es negativo, hay un desplazamiento vertical hacia abajo. 6. Conceda a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte I. 7. Después de completar la parte I, invite a la clase a una «Charla de matemáticas» para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta el momento.
y
Traducción ). dilatación vertical (_______ y Padre
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Transform Exponential Functions Explore 3
CHARLA DE MATEMÁTICAS Part II: Multiple Transformations
• DOK-3 Al tratar de determinar la transformación de una función exponencial a partir de una gráfica, «¿qué estrategias podrías usar?». La parte más fácil de identificar es el desplazamiento vertical porque es más obvio cuando la asíntota se ha desplazado hacia arriba o hacia abajo. La siguiente parte a observar es la rapidez o lentitud con que aumenta la gráfica en comparación con la función madre; esto nos indicaría que se ha producido una dilatación o compresión. Después de identificar los desplazamientos verticales y las dilataciones, encuentra la y-intercepción. Para la función padre, la y-intercepción está en (0, 1), pero si la función tiene una y-intercepción diferente, eso indica que puede haber habido un desplazamiento horizontal a la izquierda o a la derecha. Si la relación constante es 0 < a < 1, entonces se trata de una compresión vertical. Si la razón constante es a > 1, entonces es un estiramiento vertical.
Your teacher will give your group an odd number between 1 and 12 as your starting position. Each correct answer will lead you to your next question
Out-of-Control Exponential Function Card
Description of the Transformation of the Out-of-Control Function
Card with Transformation
5
Stretched horizontally by a factor of 0.33 and shifted up 10 units
3
3
Compressed vertically by a factor of 0.33 and shifted down 10 units
1
1
Reflected across the x-axis and stretched vertically by a factor of 2
7
7
y = 5x + 2.5 + 1
9
9
y = 5−x – 1
11
11
Shifted right 10 units and shifted up 3 units
5
2
Transform Exponential Functions Explore 3
Reflect 1.
2.
Given the parent function y = b x and the transformed function y = a・b c(x − h) + k, complete the table below. Position
Vocabulary
Effect on the Parent Function
a
Initial value
Vertical stretch, compress, or reflect
b
Constant multiplier
c
Coefficient
h
Constant
Horizontal translation
k
Constant
Vertical translation
• DOK-2 Al evaluar la transformación que ha sufrido una ecuación, «¿cuáles son algunas características clave, y qué indican?». Dada la ecuación, y = a - bc(x - h)+ k, el valor inicial, a, indica un estiramiento vertical si a > 1 o una compresión vertical si 0 < a < 1. Si a es negativo, se produce una reflexión a través del eje x. c indica un estiramiento horizontal si 0 < c < 1 o una compresión si c > 1. Si c es negativo, hay una reflexión a través del eje y. h indica un desplazamiento horizontal a la izquierda si h es negativo o un desplazamiento horizontal a la derecha si h es positivo (observar que el signo de la ecuación se invierte dependiendo del signo de h). Si k es positivo, se produce un desplazamiento vertical hacia arriba. Si k es negativo, hay un desplazamiento vertical hacia abajo. PARTE II: TRANSFORMACIONES MÚLTIPLES
1. Lea el siguiente escenario a la clase: Hinata ha podido controlar 6 transformaciones sencillas, pero ha descubierto que hay otras 6 funciones exponenciales ¡que están aún más fuera de control! ¡Han sufrido múltiples transformaciones! Ayuda a Hinata a recuperar el orden al emparejar cada función matriz con su transformación.
Remains unchanged Horizontal stretch, compress, or reflect
In your own words, how would you define a translation? A translation is a horizontal shift of the parent function left or right or a vertical shift of the parent function up or down. Translations are rigid motion, which means the shape doesn’t change, and just the position changes.
2. Entregue el punto de partida impar a cada grupo.
3.
In your own words, how would you define a dilation? A dilation is the horizontal or vertical stretching or compressing of a function by a factor. This is not rigid motion, which means the shape changes.
3. Los estudiantes deben tener aún sus «Diarios del estudiante».
4.
How is a translation similar to or different from a dilation? The addition and subtraction symbols in an equation signify a translation, whereas dilations are indicated by coefficients and initial values, which are multiplied.
5.
Create an exponential equation that has 3 or more transformations. Then, describe the transformations. Answers will vary.
3
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4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para abordar el tema de la función exponencial fuera de control en la tarjeta de partida que se les ha asignado. Una vez que determinen la transformación, buscarán la respuesta en otra tarjeta. La tarjeta con la respuesta les presentará su siguiente función exponencial fuera de control. Repetirán este proceso hasta llegar a su posición inicial. Los estudiantes anotarán su trabajo en sus «Diarios del estudiante». 5. A continuación, los estudiantes trabajarán juntos para resolver las transformaciones y anotarán su trabajo en sus «Diarios del estudiante».
123
1/9/26 1:41 PM
d
≈≈ ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Transform Exponential Functions Explore 3
6. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientativas para evaluar su comprensión: a. DOK-3 Si una ecuación ha sufrido múltiples transformaciones, «¿cómo abordarías la determinación de las transformaciones?». Una estrategia es empezar de izquierda a derecha, identificar el valor inicial, luego el coeficiente de x, etc. Abordar cada transformación de una en una.
Transformations of Exponentials Exit Ticket 1.
Given the transformed function y = a・b c(x – h) + k, what’s a value of a that would result in a vertical compression? Answers will vary. Any value of a that is 0 < a < 1 is correct.
2.
Write the equation for the function that results when the parent function y = 10x is compressed horizontally by a factor of 5, stretched vertically by a factor of 2, and shifted down 1 unit. y = 2(105x) – 1
b. DOK-2 «¿Cómo puede saber si se ha producido una reflexión sobre el eje x- o y- dada la ecuación, y = a - bc(x - h)+ k?». Si a es negativo, se produce una reflexión sobre el eje x-. Si c es negativo, se produce una reflexión sobre el eje y. 7. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas de reflexión que siguen. 8. Después de la «Exploración», invita a la clase a una «Charla de matemáticas» para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Qué operaciones o signos clave indican los diferentes tipos de transformaciones?». Cuando hay multiplicación, hay dilatación; cuando hay suma o resta, hay traslación. Un signo negativo delante del coeficiente o del valor inicial indica una reflexión. • DOK-2 «¿En qué se parece o en qué se diferencia una traslación de una dilatación?». Tanto las traslaciones como las dilataciones resultan en transformaciones de la función exponencial. Sin embargo, diferentes operaciones señalan cada transformación. La suma y la resta indican una traslación, y las traslaciones desplazan la función hacia arriba y hacia abajo o de lado a lado, mientras que la multiplicación señala una dilatación, que estira o comprime la función horizontal o verticalmente. Las traslaciones son rígidas, lo que significa que la forma de la función se mantiene, mientras que las dilataciones no son rígidas; cambian la forma de la función. • DOK-2 «¿Qué impacto tiene una reflexión sobre el tamaño y la forma de una función?». No tiene ningún impacto. Una reflexión simplemente hace que una función se voltee sobre una línea, y mantiene así su forma y tamaño. • DOK-2 «¿Qué impacto tiene una reflexión sobre una dilatación?». No tiene ningún impacto. Una reflexión simplemente resulta en que una función se voltea sobre una línea, y mantiene así su forma y tamaño. Por lo tanto, actúa independientemente de una dilatación. 9. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
Transform Exponential Functions Explore 3
Transformations of Exponentials Exit Ticket 1.
Given the transformed function y = a・b c(x – h) + k, what’s a value of a that would result in a vertical compression? Answers will vary. Any value of a that is 0 < a < 1 is correct.
2.
Write the equation for the function that results when the parent function y = 10x is compressed horizontally by a factor of 5, stretched vertically by a factor of 2, and shifted down 1 unit. y = 2(105x) – 1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez creado, haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva».
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Si los estudiantes tienen problemas para realizar múltiples transformaciones a la vez, anímelos a dibujar los gráficos de las transformaciones individuales uno a la vez para que no se sientan abrumados y vean todos los pasos intermedios. 2. Cuando grafiquen ecuaciones con múltiples transformaciones, anímelos a enumerar las transformaciones que están presentes y el orden en que las realizarán para ayudar a organizar su pensamiento. 3. Cuando los estudiantes examinan las gráficas, pueden tener dificultades para conectar las transformaciones con las ecuaciones. Los estudiantes pueden empezar por ordenar qué transformaciones afectan a los valores x y cuáles afectan a los valores y.
10. Regrese a «Captar interés» e instruya a los estudiantes a usar sus habilidades recién adquiridas para completar exitosamente la actividad.
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Transform Exponential Functions Part 3
APOYOS LINGÜÍSTICOS La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Exploración». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes.
Transformations of Exponentials 1.
2.
Compare the exponential functions shown on the graph. a.
Is g(x) a vertical or horizontal dilation of f(x)? How do you know? It is a horizontal dilation because the initial value did not change.
b.
Is it a stretch or a compression? It is a stretch.
c.
If, in this case, f(x) = bx and g(x) = abcx, what is known about a and c? a = 1 and 0 < c < 1
Define g(x) in terms of f(x).
3.
Los estudiantes utilizarán técnicas visuales, contextuales y lingüísticas para apoyar la adquisición del lenguaje hablado. Principiante: Como actividad previa a la lección, represente diferentes transformaciones con movimientos corporales. Por ejemplo, un estiramiento vertical puede representarse estirándose hacia arriba. Juegue a «El maestro dice», en el que usted da una instrucción y los estudiantes hacen el movimiento.
Sketch the following translated exponential functions onto the graph. a.
y = (0.5)(x – 2)
b.
y = (0.5)(x – 2) + 3
g(x) = A. B. C. D.
f(x) + 3 f(x – 3) f(x) – 3 f(x + 3) 1
Transform Exponential Functions Part 3
4.
5.
Avanzado: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que trabajen con un compañero. Entregue a cada pareja de estudiantes dos dados y a cada pareja tres tarjetas con transformaciones específicas. Pida a un compañero de cada pareja que saque una tarjeta y tire los dados. Por ejemplo, un miembro de la pareja puede sacar una tarjeta que diga «desplazamiento horizontal a la derecha», y tirar un tres. Con esta instrucción, el otro miembro de la pareja se desplazará 3 pasos hacia la derecha desde su posición inicial. Haga que las parejas se turnen para seguir las instrucciones y compruebe si acaban muy separados o muy juntos.
Complete the table where g(x) is the described transformation of f(x). f(x)
Transformation
g(x)
(0.25)x + 2
Reflect about the y−axis; shift down 2
(0.25) – x
(0.19) ⋅ 5(x – 3)
Shift up 1 and right 1
(0.19) ⋅ 5(x – 4) + 1
3 ⋅ 2x
Reflect about the x−axis; compress vertically by a factor of 3
−2 ⋅ 2x
2(x – 1)
Stretch vertically by a factor of 3; shift left 4
3 ⋅ 2(x + 3)
Intermedio: Como actividad previa a la clase, haga que los estudiantes trabajen con un compañero. Dé a cada pareja de estudiantes dos dados y a cada pareja tres tarjetas con transformaciones específicas. Pida a un compañero de cada pareja que saque una tarjeta y tire los dados. Por ejemplo, un miembro de la pareja puede sacar una tarjeta que diga «desplazamiento horizontal a la derecha», y tirar un tres. Con esta instrucción, el otro miembro de la pareja se desplazará 3 pasos hacia la derecha desde su posición inicial. Pida a los compañeros que se turnen para seguir las instrucciones y compruebe si acaban muy separados o muy juntos.
Graph g(x) if it is a transformation of f(x) that has been shifted to the right 1 unit and vertically stretched by a factor of 2.
2
DEMUESTRA LO QUE SABES (PARTE 3) CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE CONSOLIDAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
ESQUEMA DE ANCLAJE DESCRIPCIÓN Un esquema de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Se trata de una herramienta para apoyar la instrucción y anclar el aprendizaje de los estudiantes a lo largo del alcance.
MATERIALES
NOTE: The parent function for all examples is
Transform Exponential Functions Transformation Vertical translation Horizontal translation Vertical stretch Vertical compression
f(x) Notation
Examples
f(x) + k
3 units up 6 units down
f(x – h)
2 units right 1 unit left
af(x)
Stretch by 6 Compression by 1 2 Stretch by 5 Compression by 1 3
Horizontal stretch Horizontal compression
Reflection
−f(x)
Across x-axis
f(−x)
Across y-axis
PARENT FUNCTION
• 1 hoja de papel cuadriculado • 1 juego de marcadores multicolores
a and b are real numbers, and a ≠ 0, b ≠ 1, and b > 0.
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del ejemplo de esquema de anclaje, si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. El ejemplo de esquema puede utilizarse como referencia antes de crear el de la clase. Esta actividad debe ser dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje. 2. A medida que los estudiantes trabajen en el alcance, colaboren para añadir piezas al «Esquema de anclaje». Formule las siguientes preguntas orientadoras: a. «¿Qué estrategia utilizamos para resolver este problema?». b. «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?». 3. Continúe añadiendo habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada «Exploración» para resaltar el contenido importante. 4. Explique que pueden usar este gráfico como herramienta de apoyo para su aprendizaje. Los estudiantes también pueden pegar una copia del ejemplo de «Esquema de anclaje» en sus cuadernos para utilizarlo como referencia durante el año. 5. Algunos «Esquemas de anclaje» solo se mostrarán durante un alcance o grupo de alcances concretos, mientras que otras permanecerán expuestas durante todo el curso escolar.
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA Transform Exponential Functions
DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
Instructions ● Cut out the organizer below, and glue or tape it into your notebook. ● Given the parent function , describe the transformations for each equation from the exponential parent function, and then sketch the graph on the coordinate plane.
Equation
Transformation
Graph
LIBRETA INTERACTIVA DESCRIPCIÓN Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase al usar la actividad y la libreta.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del «Folleto del estudiante» para cada uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Prepare una «Libreta interactiva» al usar un cuaderno de espiral o de composición para cada uno. Los estudiantes pueden utilizar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades. 2. Las instrucciones para cada actividad se proporcionan en el «Folleto del estudiante». Transform Exponential Functions
Instructions ● Cut out the work mat below, and glue or tape it into your notebook. ● Cut out the cards below, and sort them based on the information given. ● Once you are finished sorting, glue or tape them down on the work mat.
Parent Function
Glue equation here.
Glue equation here.
Glue equation here.
Glue equation here.
Glue transformation here.
Glue transformation here.
Glue transformation here.
Glue transformation here.
Reflection across y-axis
Shift down 3 units
Vertical stretch by factor of 4
Shift right 2 units
3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos. 4. Las libretas interactivas pueden utilizarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
FOLLETO PARA EL ESTUDIANTE
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO VOCABULARIO CLAVE
VOCABULARIO ILUSTRADO Interval
Exponential Decay
Vertical Reflection
Horizontal Reflection
The set of continuous input values on which a function’s outputs could be increasing, decreasing, or constant
The process of reducing an amount by a consistent percentage rate over a period of time
A reflection over a horizontal line such as the x-axis
A reflection over a vertical line such as the y-axis
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2
12
13
Translation
Dilation
X-Intercept
Y-Intercept
Moving a figure along a line for a specific distance
A type of transformation where a scale factor is used to enlarge or reduce the distances in the original image
The x-coordinate or coordinates where a graph intersects the x-axis, identified as (x, 0)
The point on a graph of an equation where the line crosses the y-axis
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Increasing/Decreasing
Positive/Negative Interval
Relative Maximum
Relative Minimum
A function is increasing if f(b) > f(a) and decreasing if f(b) < f(a) for any two input values a and b.
Positive intervals are those above the x-axis; negative intervals are those below the x-axis.
A point that is higher than the points directly beside it on both sides
A point that is lower than the points directly beside it on both sides
3
4
5
6
3-5 image
End Behavior
Periodicity
Percent Rate of Change
Exponential Growth
The trend the graph follows as x approaches infinity in the negative and positive directions
The tendency of a function to repeat itself in a regular pattern at established intervals
The percentage increase or decrease of an amount over a unit of time, denoted by r
The change that occurs when an original amount is increased by a consistent rate over a period of time
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ
Concentration Instruction Sheet Play this game with a partner. You Will Need 1 Set of Concentration Cards (per pair)
How to Play 1. Shuffle the cards, and place them facedown to form a 4 × 6 array.
DESARROLLAR LA FLUIDEZ CONCEPTUAL
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: EXTENSIONES EXPONENCIALES DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes jugarán a un juego de concentración.
MATERIALES 2.
Player 1 flips over two cards to try to find a match. A match is a problem with its correct answer. Problems will need to be solved in order to determine matching answers.
3.
If player 1 matches a problem with the correct answer, then
4.
If player 1 does not find a match, then they place the cards
player 1 keeps the matched set and takes another turn. facedown again, and it is the next player's turn. 5.
Players continue taking turns until all of the matches have been found.
6.
The player who collects the most cards wins.
IMPRESOS
• 1 hoja de «Instrucciones de concentración» (por pareja) • 1 juego de tarjetas de Concentración (por pareja) REUTILIZABLE
• 1 sobre o bolsa (por pareja)
PREPARACIÓN
• Haga copias a doble cara de las tarjetas de «Concentración».
HOJA DE INSTRUCCIONES
• Lamínelas para que duren más. • Recorte las tarjetas individuales y colóquelas en un sobre o bolsa para facilitar su distribución y limpieza. • Coloque a los estudiantes en parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo barajar las tarjetas y colocarlas boca abajo en una matriz de 4 × 6. 2. Muestre con un estudiante cómo jugar. a. El jugador 1 voltea 2 tarjetas para tratar de encontrar una coincidencia. Una coincidencia es un problema con su respuesta correcta. Será necesario resolver los problemas para determinar las respuestas que coinciden. b. Si el jugador 1 encuentra un problema con la respuesta correcta, entonces el jugador 1 se queda con el conjunto coincidente y toma otro turno. c. Si el jugador 1 no encuentra una coincidencia, entonces vuelve a colocar las tarjetas boca abajo y es el turno del siguiente jugador. d. Los jugadores toman turnos hasta que se hayan encontrado todas las coincidencias. e. Gana el jugador que reúna la mayor cantidad de tarjetas. 3. Distribuya los materiales. A continuación, pida a los estudiantes que barajen las cartas y las coloquen boca abajo. 4. Vigile a los estudiantes para asegurarse de que encuentran las parejas correctas.
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES
ELABORAR: REVISIÓN EN ESPIRAL Transform Exponential Functions
REVISAR CONCEPTOS PREVIOS
REVISIÓN EN ESPIRAL: AUTOMATIZACIÓN DEL HOGAR DESCRIPCIÓN Los estudiantes repasan contenidos previos o actuales del grado para ayudar a apoyar su trabajo en el alcance actual y fortalecer las habilidades necesarias para alcances posteriores.
REVISIÓN EN ESPIRAL CENTRADA EN LA PREGUNTA
Home Automation How would it help if all of the devices in your home were wireless internet-capable? Of course, you have your computers and smartphones, but what about everything else? Can clocks, speakers, lights, doorbells, cameras, window blinds, appliances, refrigerators, etc. be internet accessible? How about if those devices could all communicate, send you information, and take your commands? It's not science fiction; it's home automation. With a voice command or one touch, you can personalize your home experience by turning up the music to your favorite playlist, set the thermostat to your ideal sleeping temperature, lock the doors, and arm the security system. You can check cameras to see who's ringing the doorbell while you are in the next room or the next time zone. Home automation is an innovative living experience. In no time, you may start to question how you ever lived without it. Homes of all types, from tiny to large and new to old, benefit from home automation in power and performance. There are many smart-home product categories. Which products support your best living experience?
• Pregunta 1
◦ ALG I: Identificar ceros de polinomios. • Pregunta 2 ◦ ALG I: Comprender que en una función, cada elemento del dominio corresponde exactamente a un elemento del rango. • Pregunta 3
1
◦ ALG I: Escribir secuencias aritméticas y geométricas tanto recursivamente como con una fórmula explícita.
Transform Exponential Functions
• Pregunta 4 ◦ ALG I: Sumar, restar y multiplicar polinomios.
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
1.
Two automated, outdoor twinkle-light systems are compared using the following quadratic equations:
●
Automatic: 6x2 – 11x – 10 = 0
●
Smart-home: 4x2 + 5x – 6 = 0
2.
You can set home automation for a robot vacuum cleaner that runs for 5 hours when fully charged. The function f(x) = 5x represents how many square feet are cleaned every minute. Graph the function, and state its domain.
Which option has the higher positive value for x?
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a tratar de responder las preguntas independientemente sin usar recursos externos para ver lo que saben. Invítelos anotar ideas o fragmentos que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas. 3. Use las preguntas de «Revisión en espiral» como calentamiento en clase, o envíelas a casa como deberes. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar sus conocimientos previos. 4. Consulte la sección «Revisión en espiral centrada en la pregunta» para evaluar los conocimientos de contenido de los estudiantes o su necesidad de una mayor intervención. Si es necesario repasar más, utilice los «Constructores de fluidez» en los alcances apropiados. 5. El «Proyecto final» incluye una parte de este alcance para que los estudiantes vean la conexión y relevancia de su aprendizaje previo con el actual.
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The answer is automatic. 3.
An automatic iced tea maker calculates how much iced tea to make using the following arithmetic sequence: a1 = 3, a2= 7, a3 = 11, a4 = 15, and a5 = 19. Based on this information, what is the value of a125?
The answer is 499.
The answer is domain {0 ≤ x < 300}. 4.
You can set a smart refrigerator to notice when you are low on essentials like milk and eggs. Using weight distribution and in-the-fridge product recognition cameras, the refrigerator orders these items for you. It uses the expression (20 + 14r + 5r2) + (−3r2 – 9 + 8r). Write this expression in simplest form.
The answer is 2r2 + 22r + 11. 2
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE OPCIONES
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS ANÁLIZAR DATOS
CIENCIA DE DATOS «Ciencia de datos» es un breve debate en clase basado en un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. La parte I incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los estudiantes en contexto.
PREPARACIÓN
DESCRIPCIÓN
PARTE I
Los estudiantes analizarán, interpretarán y generarán conjuntos de datos, además de responder a preguntas basadas en los datos.
MATERIALES IMPRESO
• 1 conjunto de datos (por clase) REUTILIZABLES
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase) • 1 rotulador (por clase) CONSUMIBLES
• 1 trozo de papel milimetrado (por clase)
• Prepárese para proyectar el conjunto de datos para la clase. • Reúna un pedazo de papel cuadriculado y un marcador.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Proyecte el conjunto de datos TUVA, y prepárese para anotar las observaciones de los estudiantes. 2. Haga clic en Punto. 3. Arrastre Temperatura al eje x. 4. Arrastre Z en 500 Barra al eje y. 5. Plantee las siguientes preguntas: a. «¿Qué observas en este conjunto de datos?». b. «¿Qué representa este conjunto de datos?». c. «¿Qué representa un punto sobre estos datos?». d. «¿Qué preguntas tienes sobre los datos?». PARTE II
1. Repase las características de la gráfica de las funciones exponenciales y escriba lo que los estudiantes recuerden en el papel cuadriculado. 2. Abra vista de tabla en la parte inferior de la gráfica y desplácese hacia la derecha para ver los valores de Z en 500 Bar. (Z es el factor de compresibilidad, y bar es una unidad métrica de presión.) 3. Haga clic en el ícono Datos del modelo y seleccione f(x). 4. Escriba la ecuación y = 3.5(0.985)x + 1.2 en y = . 5. Plantee las siguientes preguntas: a. «¿Qué tan bien concuerda la ecuación con los datos?». En general, se ajusta muy bien; sin embargo, la recta parece ir por debajo de los puntos con el dominio de 250 a 600. b. «¿Por qué crees que los datos no se ajustan perfectamente?». Se trata de un experimento del mundo real, y podría haber factores que provoquen ligeros cambios en los datos recogidos. c. «¿Representa este gráfico un crecimiento exponencial o un decaimiento?». Representa decaimiento porque a medida que una variable aumenta, la otra disminuye. d. A medida que aumenta la temperatura, «¿a qué parecen aproximarse los valores de Z a 500 Bar?». Las respuestas pueden variar. Ejemplos de respuestas: Los datos se acercarán a 1 o el valor de Z puede llegar a ser inferior a 1. El modelo se aproxima a 1,2.
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS
6. Supongamos que los puntos (0,8) y (2, 200) están en una gráfica exponencial. Escribe la función exponencial de la forma y = a(b)x que pasa por esos puntos. y = a(b)x Sustituye (0, 8) por (x, y). 8 = a(b)0 8=a y = 8(b)x Sustituya (2, 200) en lugar de (x, y). 200 = 8(b)2 25 = b2 5=b y = 8(5)x PARTE III - EXPLORACIÓN DE DATOS
1. Haga clic en el icono Modelar datos y seleccione f(x). 2. Haga clic en Añadir nueva función e introduzca la misma ecuación, y = 3.5(0.985)x + 1.2, en y = para la función 2. a. Cambia 1.2 por 2 en la segunda ecuación, y comenta qué ocurre con la gráfica. La gráfica se desplazó hacia arriba, y la función ahora se aproxima a 2 a medida que aumenta la temperatura. b. Cambia 2 por 1 en la segunda ecuación, y comenta lo que sucede con la gráfica. La gráfica se desplazó hacia abajo, y la función ahora se aproxima a 1 a medida que aumenta la temperatura.
e. Cambia x - 200 a .5x en el exponente de la segunda ecuación, y comenta lo que sucede con la gráfica. La gráfica se estiró horizontalmente. f. Cambia 0.5x por 2.5x en la segunda ecuación, y debate lo que sucede con la gráfica. La gráfica se comprimió horizontalmente. g. Cambia 2.5x de nuevo a x y cambia 3.5 a -3.5 en la segunda ecuación, y comenta lo que sucede con la gráfica. La gráfica se reflejó sobre la recta y = 1.2. h. Cambia -3.5 por 6 en la segunda ecuación, y comenta lo que sucede con la gráfica. La gráfica se estiró verticalmente desde la asíntota en y = 1.2. i. Cambia 6 por 0.5 en la segunda ecuación, y comenta lo que sucede con la gráfica. La gráfica se comprimió verticalmente desde la asíntota en y = 1.2.
c. Cambia 1 de nuevo a 1.2 y cambia x a x + 100 en el exponente de la segunda ecuación, y debate lo que sucede con la gráfica. La gráfica se desplazó 100 unidades a la izquierda. d. Cambia x por x - 200 en el exponente de la segunda ecuación, y comenta lo que sucede con la gráfica. La gráfica se ha desplazado 200 unidades a la derecha.
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES Transform Exponential Functions
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN EVALUACIÓN DE DESEMPEÑO
Transform Exponential Functions How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Write a function that describes a relationship between two quantities. b. Combine standard function types using arithmetic operations. For example, build a function that models the temperature of a cooling body by adding a constant function to a decaying exponential, and relate these functions to the model. Identify the effect on the graph of replacing f(x) by f(x) + k, kf(x), f(kx), and f(x + k) for specific values of k (both positive and negative); find the value of k given the graphs. Experiment with cases and illustrate an explanation of the effects on the graph using technology. Include recognizing even and odd functions from their graphs and algebraic expressions for them.
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN
Notes and Feedback
DESCRIPCIÓN Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede utilizarse como evaluación formativa para los maestros y como autoevaluación para los estudiantes.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 folleto del maestro (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del maestro» y un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1
Transform Exponential Functions
Transform Exponential Functions How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept For a function that models a relationship between two quantities, interpret key features of graphs and tables in terms of the quantities, and sketch graphs showing key features given a verbal description of the relationship. Key features include: intercepts; intervals where the function is increasing, decreasing, positive, or negative; relative maximums and minimums; symmetries; end behavior; and periodicity. Write a function defined by an expression in different but equivalent forms to reveal and explain different properties of the function. b. Use the properties of exponents to interpret expressions for exponential functions. For example, identify percent rate of change in functions such as y = (1.02)t , y = (0.97)t , y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, and classify them as representing exponential growth or decay.
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Notes and Feedback
1. Distribuya un «Folleto del estudiante» a cada uno. 2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Exploración» y «Explicar» del alcance, evalúe formativamente su progreso tomando notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo. 3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo. 4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje. 5. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el «Folleto del maestro». 6. Las notas anecdóticas proporcionadas en el «Folleto del maestro» pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares.
2
7. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la «Guía de instrucción andamiada» en la sección «Inicio» de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
FOLLETO DEL MAESTRO
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN
Transform Exponential Functions
Transform Exponential Functions
Standards for Mathematical Practice
Transform Exponential Functions How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Compare properties of two functions each represented in a different way (algebraically, graphically, numerically in tables, or by verbal descriptions). For example, given a graph of one quadratic function and an algebraic expression for another, say which has the larger maximum. Distinguish between situations that can be modeled with linear functions and with exponential functions.
Construct linear and exponential functions, including arithmetic and geometric sequences, given a graph, a description of a relationship, or two input-output pairs (include reading these from a table). Interpret the parameters in a linear or exponential function in terms of a context. [Linear and exponential of form f(x) = bˣ + k]
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Notes and Feedback
Make sense of problems and persevere in solving them
Notes and Feedback
Reason abstractly and quantitatively Construct viable arguments and critique the reasoning of others Model with mathematics Use appropriate tools strategically
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Attend to precision Look for and make use of structure Look for and express regularity in repeated reasoning
Consider these reflection questions in this scope. ●
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them?
●
What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
3
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FOLLETO DEL MAESTRO
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES
EVALUAR: MAPA DE CALOR ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
MAPA DE CALOR DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
1. Dé un «Mapa de calor» a cada estudiante junto con lápices de colores rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s). 2. Los estudiantes usan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el «Mapa de calor». Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los estudiantes colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, los estudiantes colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, los estudiantes colorean el cuadro correspondiente de rojo.
MATERIALES
• 1 mapa de calor (por estudiante) • 1 lápiz de color rojo (por estudiante) • 1 lápiz de color azul (por estudiante) • 1 lápiz de color naranja (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Determine si los estudiantes analizarán su «Prueba de habilidades», la «Evaluación basada en estándares», o ambas.
3. Anímelos a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a utilizar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada.
• Imprima un «Mapa de calor» para cada estudiante. • Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
4. Consulte la «Guía de instrucción andamiada» que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
Transform Exponential Functions
Transform Exponential Functions
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key.
Reflection Questions
Red – misconception
Skills Quiz
1. Which skill did you feel most confident with? Why?
Standards Identify the effect on the graph of replacing f(x) by f(x) + k, kf(x), f(kx), and f(x + k) for specific values of k (both positive and negative); find the value of k given the graphs. Experiment with cases and illustrate an explanation of the effects on the graph using technology. Include recognizing even and odd functions from their graphs and algebraic expressions for them.
3
9
10
5
Standards
7
4. How can you avoid those errors in the future?
For a function that models a relationship between two quantities, interpret key features of graphs and tables in terms of the quantities, and sketch graphs showing key features given a verbal description of the relationship. Key features include: intercepts; intervals where the function is increasing, decreasing, positive, or negative; relative maximums and minimums; symmetries; end behavior; and periodicity.
Not Assessed
2
Choose and produce an equivalent form of an expression to reveal and explain properties of the quantity represented by the expression. c. Use the properties of exponents to transform expressions for exponential functions. For example the expression 1.15t can be written as (1.15t/12)12t = 1.01212t to reveal the approximate equivalent monthly interest rate if the annual rate is 15%.
4
6
Orange – explanation
Compare properties of two functions each represented in a different way (algebraically, graphically, numerically in tables, or by verbal descriptions). For example, given a graph of one quadratic function and an algebraic expression for another, say which has the larger maximum.
8
Choose and produce an equivalent form of an expression to reveal and explain properties of the quantity represented by the expression. c. Use the properties of exponents to transform expressions for exponential functions. For example the expression 1.15t can be written as (1.15t/12)12t = 1.01212t to reveal the approximate equivalent monthly interest rate if the annual rate is 15%.
Not Assessed
1
Red – misconception
Standards-Based Assessment
Identify the effect on the graph of replacing f(x) by f(x) + k, kf(x), f(kx), and f(x + k) for specific values of k (both positive and negative); find the value of k given the graphs. Experiment with cases and illustrate an explanation of the effects on the graph using technology. Include recognizing even and odd functions from their graphs and algebraic expressions for them.
3. Which type of error did you most commonly make?
For a function that models a relationship between two quantities, interpret key features of graphs and tables in terms of the quantities, and sketch graphs showing key features given a verbal description of the relationship. Key features include: intercepts; intervals where the function is increasing, decreasing, positive, or negative; relative maximums and minimums; symmetries; end behavior; and periodicity. Compare properties of two functions each represented in a different way (algebraically, graphically, numerically in tables, or by verbal descriptions). For example, given a graph of one quadratic function and an algebraic expression for another, say which has the larger maximum.
Blue – miscalculation
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
Questions
1
Transform Exponential Functions
2
Questions
1
2
7
8
5
9
3
4
9
10
6
Not Assessed
3
MAPA DE CALOR
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES
INTERVENIR: REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES Transform Exponential Functions
REFORZAR Y VOLVER A ENESEÑAR
REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES DESCRIPCIÓN
Checkup
Use the information below for questions 1–4.
Andre was studying the rate of growth of 2 sets of cells in his biology experiment. Although they have the same number of cells initially and at 3 days, cell line A is growing linearly and cell line B is growing exponentially. 1.
Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para intervención.
MATERIALES
2.
Day
0
1
2
3
4
Cell Line A
200
500
800
1,100
1,400
Cell Line B
200
400
800
1,600
3,200
What are the equations that represent these two growth patterns? Cell line A: y = 300x + 200 Cell line B: y = 200(2x)
IMPRESOS
• 1 revisión rápida (por estudiante)
Compute the number of cells that would be expected for each day for both cell lines.
3.
Graph both cell line growths.
4.
If Andre had started with 300 cells initially, what would the equation for cell line B be? Would this create a vertical or a horizontal dilation of the data? The new equation would be y = 300(2x). This would create a vertical dilation.
• 1 repaso (por estudiante) • 1 revisión general (por estudiante) • 1 lista de verificación para el maestro (por maestro)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de la «Revisión rápida», el «Revisión» y la «Revisión general» para cada estudiante. • Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar la «Revisión». • Si lo desea, imprima un ejemplo del «Esquema de anclaje» de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que usen la «Libreta interactiva» como recurso. • Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayudas suplementarias para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1 Dé una copia de la «Revisión rápida» a cada estudiante. 2 Cada uno debe completarla de forma independiente. 3 Use la rúbrica de habilidades al final de la «Revisión rápida» para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional. 4 Distribuya una copia de «Revisión» a cada uno.
1
Transform Exponential Functions
5.
Identify the y-intercept and horizontal asymptote of the equation b(x) = 4(3x) + 2. y-intercept: (0, 6) Horizontal asymptote: y = 2
6.
Write an equation for an exponential function a(x) that also has a base of 2, a y-intercept of (0, 1), and a horizontal asymptote at y = 3. a(x) = –2(2x) + 3
7.
Describe how the graph of f(x) = 2x would compare to g(x) = 2–x. g(x) would be the same as f(x) but reflected about the y-axis.
Use the function f(x) = 2x + 1 to answer questions 8 and 9. 8.
Explain the transformation that takes f(x) to g(x) = –(2x + 2). g(x) would take f(x) and reflect it about the x-axis and shift 1 unit to the left.
9.
Give the equation of h(x) that transforms f(x) with a stretch factor of 3 and a shift to the right of 4. h(x) = 3(2x – 3)
10.
The graph shows f(x) = 2–2x. Add the graphs of g(x) and h(x) where g(x) transforms f(x) with a horizontal stretch of c = , and h(x) transforms f(x) with that same horizontal stretch along with a shift up of 1.
5 Cada estudiante debe completar la «Revisión» como actividad de intervención o de forma independiente. a Si lo desea, reúna a los estudiantes en pequeños grupos para trabajar en las destrezas de repaso. Utilice el «Revisión» como ayuda para la reenseñanza. 6 Distribuya una copia de la «Revisión general» a cada uno. 7 Cada estudiante debe completarla de forma independiente. 8 Analice los resultados de la «Revisión general» al usar la «Lista de verificación para el maestro» para identificar quienes necesitan un repaso adicional y quienes han alcanzado el dominio de los conceptos.
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COMPROBACIÓN CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES
ACELERACIÓN: ¿QUÉ PREFERIRÍAS? Transform Exponential Functions
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
¿QUÉ PREFERIRÍAS?: COMPRAR UN COCHE
Purchasing a Car Use mathematical reasoning and creativity to justify your answer to the Would You Rather question. Your family is considering purchasing a car. A new model of the car they are considering costs $25,000. This car depreciates by 15% every year. Would you rather buy a new model or a 5-year-old model of this car? Justify your reasoning with mathematics.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
After 5 years, the $25,000 car is worth approximately $11,092.63. After 5 years, the 5-year-old car is worth approximately $4,921.86.
• 1 rúbrica (por maestro)
The following statements are sample answers: I would prefer to buy a 5-year-old car because I would lose $11,092.63 – $4,921.86 = $6,170.77 over 5 years instead of $25,000 – $11,092.63 = $13,907.37 over that same time. I would prefer to buy the new car because, while I would lose over twice the amount of money buying new instead of used, it would be worth it. The older car is more likely to need repairs, replacement parts, and pricey maintenance.
1
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE OPCIONES
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno. • Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a mirar sus folletos de «Explorar» si necesitan repasar habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros. 4. Utilice la rúbrica proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
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a
s ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Transform Exponential Functions
OPCIONES PARA SEGUIR APRENDIENDO
TABLERO DE OPCIONES
Transform Exponential Functions Choose one or more extension activities from the table below.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes explorarán las conexiones con el mundo real y las aplicaciones del contenido matemático a través de interacciones con actividades atractivas.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 tablero de opciones (por estudiante) • 1 juego de hojas de actividades (por estudiante) • 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante) REUTILIZABLE
• Tecnología (si corresponde)
Career Connection
Pharmacist
Kitchen Connection
Product Temperature
Research the career field of pharmacy. Your research must answer the provided questions. Create a presentation to relay your research to the class.
Explore the connection between math and kitchen directions by writing an exponential function and answering the questions.
Create Your Own
Science Connection
Write Your Own Puzzle
Create your own matching puzzle for exponential functions. Follow the criteria on the handout to write your puzzle, and then play the game.
Cell Growth
Exponential functions can be used to model the growth of different cells. Read the scenario, and answer the questions on the handout.
Mathematician Spotlight
Arts Connection
Joost Bürgi
Function Drawing
Search for several news articles or research papers that involve Joost Bürgi’s work. Create an informational poster, a diorama, or a speech to convey this mathematician’s work as it relates to exponential functions.
Artists use repetition in art. Create a work of art based on exponential function transformations you create.
PREPARACIÓN
• Imprima un «Tablero de opciones» y un juego de hojas de actividades para cada estudiante. • Imprima una «Autoevaluación del tablero» para cada estudiante.
TABLERO DE OPCIONES
• Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» a cada estudiante. 2. Dé tiempo a los estudiantes para examinar el «Tablero de opciones» y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anímelos a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del tablero, haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES
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<<GRADE>> OPERACIONES CON POLINOMIOS
ÁLGEBRA 1
OPERACIONES CON POLINOMIOS ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: SIEMPRE, A VECES, NUNCA
ESTÁNDARES CLAVE Realizar operaciones aritméticas con polinomios. • Comprender que los polinomios forman un sistema análogo al de los números enteros, es decir, son cerrados bajo las operaciones de suma, resta y multiplicación; sumar, restar y multiplicar polinomios. Interpretar la estructura de expresiones. • Interpretar expresiones que representan una cantidad en términos de su contexto. • Interpretar partes de una expresión, como términos, factores y coeficientes. • Interpretar expresiones complicadas considerando una o más de sus partes como una entidad única. Por ejemplo, interpretar P(1 + r)n como el producto de P y un factor que no depende de P. *Este alcance se centra en la cuadrática.
Los estudiantes participan en la actividad «Siempre, a veces, nunca» para evaluar la veracidad de enunciados matemáticos, con el objetivo de identificar y abordar conceptos erróneos sin calificar. • Distribuya tarjetas y explique la tarea de determinar la veracidad de los enunciados como siempre, a veces o nunca verdaderos. • Facilite a los estudiantes la justificación de sus respuestas a través de conversaciones en parejas o en grupo. • Anime a los voluntarios a compartir su razonamiento con la clase, centrándose en la explicación de los enunciados «A veces»". CAPTAR INTERÉS Los estudiantes conectarán las operaciones polinómicas con un escenario del mundo real que involucra el cercado de paneles solares. • Presente el escenario mostrando un video y explicando el problema del cercado de paneles solares, alentando a los estudiantes a pensar críticamente para resolverlo. • Facilite una conversación sobre observaciones y preguntas acerca del escenario, guiando a los estudiantes para que conecten las operaciones de números enteros con las expresiones polinómicas. • Involucre a los estudiantes en actividades de «Explorar» para profundizar su comprensión de las operaciones polinómicas y sus aplicaciones.
ACTIVIDADES DE EXPLORAR EXPLORACIÓN 1: SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS Los estudiantes usarán mosaicos de álgebra para interpretar, definir y modelar la suma y resta de polinomios. • Los estudiantes colaborarán en grupos para emparejar mosaicos de álgebra con términos de polinomios y justificar sus elecciones. • Organizarán y seleccionarán piezas de arte usando mosaicos de álgebra para modelar expresiones polinómicas de antes y después. • Los estudiantes crearán sus propias piezas de arte en mosaico usando mosaicos de álgebra y registrarán su trabajo en los «Diarios del Estudiante». • Participarán en charlas de matemáticas para comentar observaciones y profundizar su comprensión de las operaciones polinómicas. EXPLORACIÓN 2: MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS CON MODELOS Los estudiantes usarán la propiedad distributiva y modelos de área para simplificar expresiones que involucran la multiplicación de expresiones de grado dos. • Los estudiantes identificarán y organizarán multiplicandos, multiplicadores y productos usando fichas de álgebra y registrarán sus hallazgos en los «Diarios del Estudiante». • Los estudiantes usarán Brainingcamp para modelar imágenes creadas por fichas de álgebra y compararlas con modelos de área. • Los estudiantes participarán en charlas de matemáticas para comentar observaciones y aprendizaje sobre el proceso de multiplicación y sus propiedades. • Los estudiantes completarán un «Boleto de salida» para demostrar su comprensión de la simplificación de expresiones usando la propiedad distributiva. EXPLORACIÓN 3:MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Los estudiantes multiplicarán polinomios usando modelos de área y desarrollarán estrategias eficientes mientras colaboran en grupos para completar proyectos de diseño arquitectónico. • Los estudiantes analizarán y registrarán su trabajo en proyectos de diseño de patios usando modelos de área para multiplicar polinomios. • Colaborarán en grupos para identificar y combinar términos semejantes dentro de sus productos polinómicos. • Los estudiantes participarán en charlas de matemáticas para comentar observaciones y estrategias para la multiplicación de polinomios. • Completarán un boleto de salida para demostrar su comprensión de los conceptos de multiplicación de polinomios. EXPLORACIÓN 4: PRODUCTOS ESPECIALES Los estudiantes explorarán patrones en binomios que conducen a productos especiales, aprendiendo técnicas de multiplicación eficientes más allá del modelo de área. • Los estudiantes colaborarán en grupos para identificar y analizar patrones en la multiplicación de binomios. • Aplicarán la propiedad distributiva para simplificar expresiones y resolver códigos de compuerta. • Los estudiantes observarán y registrarán patrones en sus «Diarios del estudiante», enfocándose en trinomios cuadrados perfectos y diferencias de cuadrados. • Participarán en charlas de matemáticas para comentar observaciones y profundizar su comprensión de estructuras polinómicas.
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ÁLGEBRA 1: OPERACIONES CON POLINOMIOS OPERACIONES POLINÓMICAS <<GRADE>>
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES
SISTEMAS DE ECUACIONES
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
CONCEPTOS CLAVE • Puedo escribir una ecuación polinómica en forma estándar. • Puedo identificar partes de una expresión. • Puedo interpretar partes de una expresión en términos de su contexto. • Puedo Representar operaciones polinómicas. • Puedo sumar y restar polinomios de grado uno y dos. • Puedo multiplicar polinomios de grado uno que resulten en un polinomio de segundo grado.
PREGUNTAS FUNDAMENTALES • «¿En qué se parecen las operaciones con polinomios a las operaciones con números enteros?». • «¿Cómo se relaciona el nombre de la regla del producto especial diferencia de cuadrados con el modelo del polinomio diferencia de cuadrados?». • «¿Cómo se relaciona el nombre de la regla del producto especial trinomio cuadrado perfecto con el modelo del trinomio cuadrado perfecto?».
• Puedo usar patrones para aplicar reglas especiales de productos, como diferencia de cuadrados y trinomios cuadrados perfectos. • Puedo seleccionar un método para sumar, restar y multiplicar polinomios y luego explicar o mostrar cómo los polinomios forman un sistema cerrado.
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ÁLGEBRA 1: OPERACIONES CON POLINOMIOS
INICIO: CONTENIDO DE APOYO ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
CONTENIDO DE APOYO Realizar operaciones aritméticas con polinomios. • Comprender que los polinomios forman un sistema análogo al de los números enteros, es decir, son cerrados bajo las operaciones de suma, resta y multiplicación; sumar, restar y multiplicar polinomios. Interpretar la estructura de expresiones. • Interpretar expresiones que representan una cantidad en términos de su contexto. ◦ Interpretar partes de una expresión, como términos, factores y coeficientes. ◦ Interpretar expresiones complicadas considerando una o más de sus partes como una entidad única. Por ejemplo, interpretar P(1 + r)n como el producto de P y un factor que no depende de P. Este alcance se enfoca en cuadráticas.
CONOCIMIENTOS PREVIOS
EN ESTE ALCANCE En este nivel de grado, los estudiantes ampliarán su comprensión de las propiedades de las operaciones para explicar el concepto de clausura en sus propias palabras y proporcionar ejemplos de casos que muestran que los polinomios son cerrados bajo la suma, resta y multiplicación. Los estudiantes deben ser capaces de explicar e identificar factores, coeficientes, términos diferentes y términos semejantes. Los estudiantes deben ser capaces de identificar las partes de una expresión para dar sentido e interpretar expresiones complicadas. TÉRMINOS CLAVE • polinomio: una expresión matemática formada por varios términos • expresión: números, variables y símbolos agrupados sin signo igual para mostrar una relación • contexto: la situación en la que se encuentra o sucede algo
En grados anteriores, los estudiantes aplicaron las propiedades de las operaciones para generar expresiones equivalentes. Los estudiantes han distribuido y factorizado un solo término y ahora aplicarán ese conocimiento a polinomios.
• término: en una expresión algebraica, un número o variable, o un producto o cociente de números y variables
CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
• coeficiente: el número colocado directamente delante de una variable que indique que hay que multiplicar ese número por la variable
• Los estudiantes que tienen lagunas o conceptos erróneos en su comprensión de las operaciones aritméticas con números enteros pueden experimentar dificultades con este alcance. Estas habilidades se utilizan para realizar operaciones aritméticas con polinomios. Dependiendo de su nivel de comprensión o de la falta de ella, pueden necesitar tiempo adicional para aprender las operaciones aritméticas aquí.
• factores: expresiones que se multiplican entre sí para obtener un polinomio; factores que aparecen en la forma de ax + b y no se pueden factorizar más
• Ayudará a los estudiantes a aprender las palabras de vocabulario término, coeficiente, y factores si se utilizan constantemente en el aula a medida que se comenten los polinomios en el contexto de esta lección.
APLICAR LAS PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes utilizan fichas de álgebra para conceptualizar las operaciones con polinomios y manipulan las fichas mientras aprenden a sumar, restar y multiplicar polinomios. • MP.2 Razonamiento abstracto y cuantitativo: Los estudiantes representan el área de elementos dados utilizando polinomios. Se les dan las dimensiones de una piscina en términos de monomios y binomios y representan el área utilizando un polinomio. • MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros: Los estudiantes justifican su razonamiento respecto a qué herramienta es mejor para determinar el área de una estructura utilizando la multiplicación de polinomios. Utilizan su comprensión de las fichas de álgebra y el modelo de área para apoyar su elección del método. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes usan polinomios para modelar las áreas de dos patios traseros, analizando los detalles dados para encontrar las longitudes y anchuras y multiplicándolas para encontrar el área deseada. • MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas: Los estudiantes utilizan fichas de álgebra para ver la suma y resta de polinomios, cómo las fichas se niegan entre sí y cómo lo que queda es la solución. • MP.6 Atender a la precisión: Los estudiantes atienden a la precisión cuando comunican el proceso en el que suman, restan y multiplican polinomios. Explican cómo realizar las operaciones con precisión para que otros estudiantes adquieran conocimiento del proceso. • MP.7 Buscar y utilizar estructuras: Los estudiantes ven cómo el modelo de área es similar a la propiedad distributiva al multiplicar polinomios y usan su conocimiento previo de la propiedad distributiva para profundizar su comprensión de la multiplicación de binomios. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes descubren y utilizan atajos al multiplicar binomios de diferencia de cuadrados y al elevar al cuadrado un binomio. Encuentran razonamientos repetidos cuando usan el modelo de área y pueden aplicarlo para encontrar más rápidamente el producto.
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ÁLGEBRA 1: OPERACIONES CON POLINOMIOS
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
INTERPRETAR EXPRESIONES Una expresión algebraica contiene uno o más términos algebraicos en una frase. El vocabulario esencial utilizado para hablar de polinomios es grado de un polinomio, coeficiente, variable, constante, y términos. Estas palabras se utilizan con frecuencia cuando se comunican ideas matemáticas relacionadas con expresiones polinómicas.
Ejemplo: Simplifica la siguiente expresión: 4(−6)+8– (−2)/15–7+2
Simplifica primero la expresión en el numerador y luego simplifica el denominador. La respuesta puede escribirse como una fracción en la forma más simple o como un decimal. Los estudiantes deben estar familiarizados con el orden de las operaciones para simplificar expresiones numéricas. Conocido por las siglas PEMDAS, el orden de las operaciones es: Paréntesis, Exponentes, Multiplicación y División en orden de izquierda a derecha, y Adición y Sustracción en orden de izquierda a derecha. Los estudiantes repaserán la simplificación de expresiones que involucran números racionales. Ejemplo: «Andy abrió una cuenta e hizo un depósito inicial de $315 dólares. Cada semana después de la primera, retira $21 para sus gastos. Si el número de semanas desde que abrió su cuenta está representado por w, ¿qué expresión podría usarse si quisiera averiguar cuánto dinero le queda después de ocho semanas?».
a
315 - 28w
b
315 - 28(w - 1)
c
315 + 28w
d
315w - 28
La respuesta correcta es B. Esta ecuación representa «cada semana después de la primera semana» utilizando (w - 1) porque Andy no retirará dinero la primera semana. Ejemplo: «Al multiplicar polinomios para una tarea de matemáticas, Juan encontró que el producto era -4x + 8x2 + 5. Luego tuvo que indicar el coeficiente principal de este polinomio. Juan escribió -4. ¿Estás de acuerdo con la respuesta de Juan? Explique tu razonamiento». Juan no ha dado el coeficiente principal. Para determinar el coeficiente principal, es necesario escribir el polinomio en forma estándar. El polinomio escrito en forma estándar sería 8 x 2 - 4x + 5. Ahora el primer coeficiente es el coeficiente principal. El coeficiente principal correcto es 8.
SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS Los estudiantes sumarán y restarán expresiones polinómicas de grado uno y dos. Sumar polinomios es simplemente combinar términos semejantes. Al restar polinomios, los estudiantes deben distribuir el signo de resta a cada término que se resta. Los estudiantes deben sumar o restar términos semejantes y luego escribir los términos en orden descendente. Ejemplo: «Simplifica la expresión (4.8k2 + 18kj - 15) + (7.2kj + 12)». (4.8k2 + 18kj - 15) + (7.2kj + 12) 4.8k2 + 18kj - 15 + 7.2kj + 12 4.8k2 + 25.2kj - 3 Como estamos sumando polinomios, los paréntesis no importan aquí. Los estudiantes identificarán los términos semejantes y los combinarán. 18kj puede combinarse con 7.2kj, y -15 puede combinarse con 12. Ejemplo: «Rojan tiene (4x + 10) tarjetas de béisbol. Su mejor amigo, Josiah, viene con (-3x + 20) tarjetas de béisbol. ¿Cuántas tarjetas de béisbol tendrán los amigos juntos?». (4x + 10) + (-3x + 20) 4x + 10 + (-3x) + 20 x + 30 tarjetas Este es un problema de adición porque se pide a los estudiantes que encuentren el total. Los estudiantes identificarán los términos semejantes y los combinarán. Ten cuidado al combinar positivos y negativos, ya que se siguen aplicando las reglas matemáticas. Ejemplo: «Randall pasea perros para ganar dinero extra. El lunes ganó 2x2 + 5x - 3 dólares paseando perros. El martes ganó 4x - 7 dólares paseando perros. ¿Cuánto más ganó el lunes que el martes?». Este es un problema de resta. Los estudiantes deben restar la cantidad ganada el martes de la cantidad ganada el lunes. La situación puede modelarse mediante la expresión, (2x2 + 5x - 3) - (4x - 7). El signo de resta debe distribuirse a cada término en el segundo binomio porque estás multiplicando cada término por -1. Como el 7 ya es negativo, distribuye el signo de resta a cada término en el segundo binomio. Como el 7 ya es negativo, al distribuir el signo de resta el 7 se convierte en positivo. Luego, los estudiantes identificarán los términos semejantes y los combinarán. (2x2 + 5x - 3) - (4x - 7) 2x2 + 5x - 3 - 4x + 7 2x2 + x + 4
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ÁLGEBRA 1: OPERACIONES CON POLINOMIOS
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
MULTIPLICAR MONOMIO POR POLINOMIO
PRODUCTOS ESPECIALES
Los estudiantes recordarán habilidades de alcances anteriores que involucran la multiplicación de expresiones de grado uno. Los estudiantes aplicarán la propiedad distributiva para simplificar expresiones que implican la multiplicación de expresiones de grado dos. El orden de las operaciones sigue siendo válido y las respuestas deben escribirse en orden descendente. Se puede utilizar un modelo de área para representar la multiplicación de cada término.
Los productos especiales son simplemente casos especiales de multiplicación de ciertos tipos de binomios. Estos ciertos tipos de problemas de multiplicación de binomios producen resultados que se llaman productos especiales porque tienen términos predecibles. Aunque la propiedad distributiva siempre puede usarse para multiplicar cualquier binomio, reconocer binomios que producen productos especiales proporciona una estrategia más eficiente. A los estudiantes se les debe dar la oportunidad de explorar y buscar patrones en los números en lugar de darles las reglas de los productos especiales.
Ejemplo: «Multiplica los siguientes pares de polinomios».
a
3 y (4x - 5)
ELEVAR AL CUADRADO UN BINOMIO . b
Ejemplo: «Completa la tabla elevando al cuadrado cada binomio».
El producto es 12x2 - 15x
(x + 5)2
x2 + 10x + 25
1 x y (4x2 - 10x + 20) __ 2
(x - 3)2
x2 - 6x + 9
(2x + 5)2
4x2 + 20x + 25
(2x - 3)2
4x2 - 12x + 9
Crea una regla para elevar binomios al cuadrado. c
El producto es 2x3 - 5x2 + 10x.
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Los estudiantes pasarán de multiplicar monomios a multiplicar polinomios con varios términos. Los polinomios pueden contener múltiples variables, coeficientes de números reales y exponentes de números enteros. Se seguirán utilizando modelos de área para multiplicar hasta que los estudiantes desarrollen estrategias más eficientes. Ejemplo: «Amia está plantando flores en su jardín triangular y necesita saber cuánta tierra comprar para cubrir el jardín. El área 1 de un triángulo se halla utilizando la fórmula A = __ bh, donde b es la 2 base y h es la altura. El jardín tiene una base de (3x - 5) y una altura de (8 - 4x). Escriba una expresión en la forma más simple para representar el área del jardín en unidades cuadradas. 1
A = __ bh 2 1
A = __ (3x - 5)(8 - 4x) 2 La multiplicación es conmutativa, así que multiplica en el orden que quieras.
(3x - 5)(8 - 4x) = 24x - 40 - 12x2 + 20x Debes combinar términos semejantes y escribir la expresión en orden descendente. -12 2 + 44x - 40 Esta expresión aún debe multiplicarse por ½.
Observo que el primer término es siempre el primer término del binomio elevado al cuadrado, el segundo término es dos veces el primer término del binomio multiplicado por el segundo término del binomio, y el tercer término es el segundo término del binomio elevado al cuadrado. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS Ejemplo: «Completa la tabla multiplicando los binomios. (x + 5)(x - 5)
x2 - 25
(x - 3)(x + 3)
x2 - 9
(2x + 5)(2x - 5)
4x2 - 25
(2x - 3)(2x + 3)
4x2 - 9
Describe tus observaciones. Crea una regla para multiplicar factores como éstos ». Observo que el primer término de la respuesta es el primer término del binomio al cuadrado, y el segundo término de la respuesta es el producto del último término de cada binomio. Los términos medios se anulan entre sí porque uno es positivo y el otro negativo. La respuesta resulta de la diferencia de dos cuadrados. (a + b)(a - b) = a2 - b2
AVANCES Estas habilidades se desarrollarán más a lo largo de Álgebra 1 cuando se trabaje con cuadráticas. En álgebra 2, los estudiantes continuarán multiplicando polinomios de mayor grado. También manipularán expresiones con exponentes racionales e integrales.
El área del jardín es -6x2 + 22x - 20 unidades cuadradas. 144
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ÁLGEBRA 1: OPERACIONES CON POLINOMIOS
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO ANÁLISIS PROFUNDO DE LOS ESTÁNDARES
CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES Realizar operaciones aritméticas con polinomios. • Comprender que los polinomios forman un sistema análogo al de los números enteros, es decir, son cerrados bajo las operaciones de suma, resta y multiplicación; sumar, restar y multiplicar polinomios. Interpretar la estructura de expresiones. • Interpretar expresiones que representan una cantidad en términos de su contexto. ◦ Interpretar partes de una expresión, como términos, factores y coeficientes. ◦ Interpretar expresiones complicadas considerando una o varias de sus partes como una única entidad. Por ejemplo, interpretar P(1 + r)n como el producto de P y un factor que no depende de P. Nota: Este alcance se centra en la cuadrática.
DESGLOSAR EL ESTÁNDAR VERBOS: ¿QUÉ DEBERÍAN HACER LOS ESTUDIANTES?
• realizar: llevar a cabo una tarea • comprender: captar el significado de • interpretar: explicar el significado de • utilizar: aplicar una estrategia SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBEN CONOCER LOS ESTUDIANTES?
• polinomio: una expresión matemática formada por varios términos • operación: uno de los procesos matemáticos de suma, resta, multiplicación, división y exponenciación
IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA
• En grados anteriores, los estudiantes aplicaron las propiedades de las operaciones para generar expresiones equivalentes. • En este grado, los estudiantes ampliarán su comprensión de las propiedades de las operaciones para explicar el cierre en sus propias palabras. También proporcionarán ejemplos de casos que demuestren que los polinomios son cerrados bajo la suma, resta y multiplicación. • En este nivel de grado, los estudiantes deben ser capaces de explicar e identificar factores, coeficientes, términos diferentes y términos semejantes. Además, deben ser capaces de identificar las partes de una expresión para dar sentido e interpretar expresiones complicadas. Los estudiantes deben poder proporcionar ejemplos y contraejemplos de las propiedades de los números racionales e irracionales. • Los estudiantes que tengan lagunas o conceptos erróneos en su comprensión de las operaciones aritméticas con números enteros pueden experimentar dificultades con este alcance. Estas destrezas se utilizan para realizar operaciones aritméticas con polinomios. Dependiendo de su nivel de comprensión, o de la falta de ella, los estudiantes pueden necesitar tiempo adicional para aprender las operaciones aritméticas aquí. • Ayudará a los estudiantes a aprender las palabras de vocabulario término, coeficiente y factores si se usan de manera consistente en el salón de clases a medida que se comenten los polinomios en el contexto de esta lección.
• entero: cualquiera de los números enteros positivos, números enteros negativos y cero; cualquier miembro del conjunto de todos los números enteros y sus opuestos • expresión: números, variables y símbolos agrupados sin signo igual para mostrar una relación • cantidad: un número o cantidad; una cantidad que indique cuánto • contexto: la situación en la que se encuentra o sucede algo • término: en una expresión algebraica, un número o variable, o un producto o cociente de números y variables • factores: expresiones que se multiplican entre sí para obtener un polinomio; factores que aparecen en forma de ax + b y no se pueden factorizar más • coeficiente: el número colocado directamente delante de una variable que indique que hay que multiplicar ese número por la variable
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ÁLGEBRA 1: OPERACIONES CON POLINOMIOS
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
ALINEACIÓN VERTICAL GRADO
ESTÁNDAR Escribir, leer y evaluar expresiones en las que las letras representan números. a
Escribir expresiones que registren operaciones con números y con letras que representan números.
6 Aplicar las propiedades de las operaciones para generar expresiones equivalentes.
Aplicar y ampliar conocimientos previos de suma y resta para sumar y restar números racionales; representar sumas y restas en un diagrama numérico horizontal o vertical.
Aplicar y ampliar conocimientos previos de multiplicación y división y de fracciones para multiplicar y dividir números racionales. 7 Aplicar propiedades de las operaciones como estrategias para sumar, restar, factorizar y expandir expresiones lineales con coeficientes racionales.
Comprender que reescribir una expresión en diferentes formas en el contexto de un problema puede arrojar luz sobre el problema y cómo se relacionan las cantidades en él. PPor ejemplo, a + 0.05a = 1.05a significa que «aumentar un 5 %» es lo mismo que «multiplicar por 1.05»..
8
Realizar operaciones con números expresados en notación científica, incluyendo problemas en los que se utilice tanto la notación decimal como la científica. Utilizar notación científica y elegir unidades de tamaño apropiado para mediciones de cantidades muy grandes o muy pequeñas (por ejemplo, utilizar milímetros por año para la extensión del fondo marino). Interpretar la notación científica generada por la tecnología.
Comprender que los polinomios forman un sistema análogo a los números enteros, es decir, son cerrados bajo las operaciones de suma, resta y multiplicación; sumar, restar y multiplicar polinomios. Álgebra
Interpretar expresiones que representan una cantidad en términos de su contexto. a Interpretar partes de una expresión, como términos, factores y coeficientes. b Interpretar expresiones complicadas considerando una o más de sus partes como una sola entidad. Por ejemplo, interpretar P(1 + r)n como el producto de P y un factor que no depende de P.
Álgebra 2
Extender las identidades polinómicas a los números complejos.
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ÁLGEBRA 1: OPERACIONES CON POLINOMIOS
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA MONITOREAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA La guía de instrucción andamiada se proporciona para que los maestros puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones del alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que ayuda a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de la evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos según los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere que todos los estudiantes experimenten con los elementos: «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades», ya que cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar. 0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
80 % - 100 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil pueden trabajar en contenido de nivel de grado con apoyos de instrucción.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» individual para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 2. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante de acuerdo con sus datos de evaluación. 3. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la sección «Scaffolded Instruction Guide» en el menú desplegable «Home» del alcance. 4. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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ÁLGEBRA 1: OPERACIONES CON POLINOMIOS
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Interpretar expresiones que representan una cantidad en términos de su contexto. a Interpretar partes de una expresión, como términos, factores y coeficientes.
8 - Exponentes enteros Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • ¡A Pescar! Práctica interactiva • Cerradura y Llave
(Refuerzo del grado anterior)
b
0 % - 25 %
(Refuerzo del grado anterior)
0 % - 25 %
Comprender que los polinomios forman un sistema análogo a los números enteros, es decir, son cerrados bajo las operaciones de suma, resta y multiplicación; sumar, restar y multiplicar polinomios.
Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión Rápida (Preguntas 1-6) • Repaso (Sección de suma y resta de polinomios, Sección de multiplicación de polinomios, Sección de productos especiales de binomios)
(Nivel de grado con apoyos)
Acceso a conocimientos previos
Constructor de fluidez • ¡Arregla el error! Práctica interactiva • Cerradura y llave
Alg.I - Operaciones con polinomios Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales
Vocabulario con imágenes Vocabulario interactivo Libreta interactiva Constructor de fluidez • Concentración
(Nivel de grado)
• Evaluación de control (Preguntas 1-10)
50 % - 80 %
(Nivel de grado)
Repaso y práctica de habilidades
Alg.I - Operaciones con polinomios
Alg.I - Operaciones con polinomios 50 % - 80 %
7 - Expresiones
Prueba de habilidades
25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyos)
25 % - 50 %
Prueba de habilidades
Interpretar expresiones complicadas considerando una o más de sus partes como una sola entidad. Por ejemplo, interpretar P(1 + r)ⁿ como el producto de P y un factor que no depende de P.
Alg.I - Operaciones con polinomios Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo
¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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(Ampliación del nivel de grado)
Alg.I - Operaciones con polinomios
80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
80 % - 100 %
Ciencia de datos
Alg.I - Operaciones con polinomios Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: OPERACIONES CON POLINOMIOS
ATRAER: ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS EVALUAR PREVIAMENTE EL CONOCIMIENTO DEL ESTUDIANTE
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: SIEMPRE, A VECES, NUNCA ESTÁNDAR PREVIO
4. Pida a los estudiantes que justifiquen sus respuestas ante un compañero de codo o dentro de sus grupos. Elija voluntarios para que expliquen sus razonamientos a todo el grupo. En el caso de las afirmaciones «A veces», los estudiantes deben ser capaces de explicar cuándo son verdaderas. Pregunte a los estudiantes cómo reescribirían los enunciados para que fueran siempre verdaderos o nunca verdaderos.
Aplicar las propiedades de las operaciones para generar expresiones equivalentes.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes jugarán «Siempre, a veces, nunca» para determinar si las afirmaciones o aseveraciones basadas en el estándar previo son algunas veces verdaderas, siempre verdaderas o nunca verdaderas. Este elemento está diseñado para descubrir los conceptos erróneos de los estudiantes; no debe tomarse para una calificación.
5. A continuación se proporcionan los enunciados de los escenarios y las respuestas: • El orden en que se suman dos términos diferentes no importa. A • Cuando se multiplican dos términos, la solución tiene un grado mayor. S
MATERIALES
• Un número y su recíproco, al multiplicarse, serán iguales a 1. A
IMPRESO
• El orden en que se dividen dos términos diferentes no importa. N
• 1 siempre, a veces, nunca (por estudiante o por grupo)
• Cuando se dividen dos términos, la solución tiene un grado menor. S
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de «Siempre, a veces, nunca» para cada estudiante o grupo. Tenga en cuenta que el documento impreso incluye una versión en color y otra en blanco y negro. Seleccione la versión que mejor se adapte a su aula. • Recorte un juego de tarjetas para cada estudiante o grupo. • Considere la posibilidad de plastificarlas para utilizarlas varias veces.
• El orden en que se restan dos términos diferentes no importa. N 6. Si los estudiantes tienen dificultades para completar esta tarea, realice el ejercicio «Constructor de bases fundamentales» para llenar el vacío en los conocimientos previos antes de pasar a otras partes del alcance.
IDENTIFICACIÓN DE CONCEPTOS ERRÓNEOS
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE APOYO 1. Distribuya las tarjetas «Siempre, a veces, nunca» a los estudiantes. 2. Explique que va a leerles/proyectarles una serie de afirmaciones y que ellos determinarán si cada afirmación es a veces cierta, siempre cierta o nunca cierta. 3. Después de un tiempo de reflexión, los estudiantes muestran las tarjetas con sus respuestas y deben ser capaces de justificar sus respuestas.
• Los estudiantes pueden pensar que un término siempre tiene que tener una variable unida a él. Por lo tanto, en el segundo ejemplo, pueden pensar que la respuesta correcta es «Siempre». Pídales que piensen en situaciones como (9x)(2) = 18x. El grado no cambia en este caso, por lo que la respuesta correcta para el segundo ejemplo es, de hecho, «A veces». • El mismo concepto puede aplicarse al dividir términos. Ofrezca un ejemplo como (10x) ÷ 5 = 2x para ayudar a los estudiantes a comprender. • Los estudiantes también pueden confundir las propiedades conmutativa y asociativa que se aplican a la suma y la multiplicación pero no a la resta o la división.
Polynomial Operations
Polynomial Operations
Always, Sometimes, Never
Always, Sometimes, Never
ALWAYS
ALWAYS
SOMETIMES
● The order in which two different terms are added does not matter. ● When two terms are multiplied, the solution has a higher degree. ● A number and its reciprocal, when multiplied, will equal 1. ● The order in which two different terms are divided does not matter.
SOMETIMES
NEVER
● When two terms are divided, the solution has a lower degree. ● The order in which two different terms are subtracted does not matter.
NEVER 1
Polynomial Operations
2
3
SIEMPRE, A VECES, NUNCA
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ÁLGEBRA 1: OPERACIONES CON POLINOMIOS
ATRAER: CAPTAR INTERÉS Polynomial Operations
LECCIÓN PARA CAPTAR INTERÉS
CAPTAR INTERÉS
Width: 2x + 150
DESCRIPCIÓN
Length: 41x
Los estudiantes relacionarán las operaciones polinómicas con una situación del mundo real.
MATERIALES IMPRESOS • 1 Operaciones Polinómicas (por clase)
Area: ________ Perimeter: _______
REUTILIZABLES • 1 video de Fenómenos (por clase)
OPERACIONES CON POLINOMIOS
PREPARACIÓN
• Planee mostrar el video. • Prepárese para proyectar «Operaciones Polinómicas» para que toda la clase lo vea. • Prepárese para presentar el escenario y para animar a los estudiantes a pensar en cómo resolverlo. Prepárese para pasar a las actividades de «Explorar», regresando a la actividad «Captar interés» con los nuevos conocimientos adquiridos una vez que se hayan completado las exploraciones.
b.
DOK-2 «¿Qué tipo de números tendrían sentido para sustituir x?». Valores positivos que serían fáciles de medir para la gente de la granja
c.
DOK-1 «¿Qué representa 150 en la ecuación de la anchura, y por qué se le añade "2x"?». Los 150 representan la longitud del panel solar, y el término adicional representa el espacio a cada lado del panel antes de la valla.
6. Pase a completar las actividades de «Explorar»
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
PARTE II: DESPUÉS DE EXPLORAR
PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA
1. Vuelva a mostrar el video de fenómenos y replantee el problema.
1. Presente esta actividad al comienzo del alcance. La clase retomará la actividad y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades correspondientes a «Explorar». 2. Explique la situación mientras muestra el vídeo que tiene detrás. «Una granja local instala paneles solares para generar más energía. Hay paneles de 150 pies de largo que necesitan ser cercados para que no sean molestados por los animales. Los paneles deben estar separados entre sí para que no se tapen la luz unos a otros y también deben estar lo suficientemente lejos de la valla para que se pueda realizar el mantenimiento rutinario. Si la distancia entre los paneles y la valla es x, escriba una expresión para el área y el perímetro de la valla rectangular para los paneles solares». 3. Haga las siguientes preguntas a los estudiantes: «¿Qué observas? ¿Qué se preguntan? ¿Dónde puedes ver matemáticas en esta situación?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Observo que la longitud de un panel solar es de 150 pies y ese valor está en la expresión de la anchura. Observo que hay 40 paneles y la longitud es 41x. Observo que en el vídeo la longitud parece mayor que la anchura. Me pregunto por qué la longitud no es 40x ya que hay 40 paneles. Me pregunto cómo encontrar el área y el perímetro sin valores numéricos.
2. Consulte «Operaciones con polinomios» y plantee las siguientes preguntas: a.
DOK-1 «¿Qué estrategias usarías para encontrar el área y el perímetro?». Combinaría términos semejantes y sumaría para el perímetro y usaría la propiedad distributiva para multiplicar los términos para el área.
b.
DOK-2 «¿Cómo se conecta el trabajo requerido para encontrar el perímetro y el área con expresiones polinómicas con el trabajo con números enteros?». Las operaciones de suma y resta funcionan de manera similar con los coeficientes de términos semejantes. La multiplicación es similar, ya que podemos usar un modelo de área para ayudar a distribuir.
c.
DOK-1 «¿Cuáles son el perímetro y el área de la cerca?». El perímetro es 86x + 300 pies, y el área es 82x2 + 6,150x pies cuadrados.
d.
DOK-1 «¿Sientes que tienes una sólida comprensión de las operaciones polinómicas?». Las respuestas variarán en función del éxito de los estudiantes durante la actividad y de su nivel de confianza.
4. Proyecte «Operaciones con polinomios». 5. Explique que el objetivo de esta unidad es conectar las operaciones con números enteros con las operaciones con expresiones polinómicas. Haga las siguientes preguntas: a.
DOK-1 «¿Cómo encuentras el perímetro y el área de un rectángulo?». Suma la longitud de los cuatro lados para el perímetro, o duplica la suma de la longitud y el ancho. Multiplica la longitud por la anchura para determinar el área.
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ÁLGEBRA 1: OPERACIONES CON POLINOMIOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 1: SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS DESCRIPCIÓN Los estudiantes interpretarán y definirán las fichas de álgebra. Los estudiantes modelarán la suma y resta de polinomios usando fichas de álgebra.
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.5 Usar apropiadamente herramientas estratégicas: Los estudiantes utilizarán modelos matemáticos para visualizar y analizar información. Utilizarán las herramientas disponibles y reconocerán los puntos fuertes y las limitaciones de cada una. • MP.6 Atender a la precisión: Los estudiantes calcularán con eficiencia y precisión. Los estudiantes comprenderán el significado de los símbolos utilizados en matemáticas y etiquetarán las cantidades adecuadamente. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes verán cálculos repetidos y buscarán generalizaciones y atajos. Los estudiantes comprenderán las aplicaciones más amplias de los patrones y verán las estructuras en situaciones similares.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de tarjetas de colección antes y después (por grupo) • 1 boleto de salida (por 2 estudiantes) REUTILIZABLES
• 1 juego de fichas de álgebra (por estudiante) • 1 juego de lápices de colores (por grupo) • 16 cajones (pueden ser cajas, sobres, carpetas, etc.) (por clase)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante»para cada uno. • Imprima un «Boleto de salida» para cada pareja. Recorte los «Boletos de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno. • Imprima un juego de «Tarjetas de colección antes y después», en cartulina para mayor durabilidad, para cada grupo de estudiantes. Recorte las tarjetas y colóquelas en cajas repartidas por el aula. Etiqueta cada caja con la letra correspondiente, A-P. • ¡Hagalo digital! Haga que los estudiantes exploren o presenten sus soluciones utilizando manipulativos virtuales. Los manipulativos usados en esta lección se pueden encontrar en el menú desplegable de la sección «Explorar» y se pueden asignar digitalmente a los estudiantes.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE APOYO PARTE I
1. Lea la siguiente situación a la clase: «Usted ha sido contratado por una galería de arte para ayudar a curar mosaicos de arte del gran artista Álgebra Matemática. El artista ha dejado instrucciones para ayudarte a montar cada obra de arte, pero no han incluido una leyenda ni imágenes. La galería de arte quiere que usted interprete las instrucciones del artista para ensamblar correctamente cada pieza». 2. Entregue «Diario del estudiante» a cada uno. 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para relacionar cada pieza de mosaico con un término y luego justificarán su elección y registrarán su trabajo en sus «Diarios del estudiante». 4. A medida que los estudiantes colaboran, controle su trabajo y utilice la siguiente pregunta guía para evaluar su comprensión: a. DOK-1 «¿Cómo se encuentra el área de un cuadrado o rectángulo?». Para encontrar el área, se multiplica la longitud por la anchura. 5. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte I y responder a las preguntas que siguen. 6. Cuando los estudiantes terminen la parte I, entregue un juego de «Fichas de álgebra» a cada estudiante. 7. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta el momento.
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ÁLGEBRA 1: OPERACIONES CON POLINOMIOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Polynomial Operations Explore 1
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Qué pasaría si la baldosa azul tuviera unas dimensiones de x unidades por x unidades? ¿Qué término representaría?». El azulejo tendría un área de x2 unidades. Representaría x2. • DOK-2 «¿Y si la baldosa verde tuviera unas dimensiones de x unidades por 1 unidad? ¿Qué término representaría?». La baldosa tendría un área de x unidades al cuadrado. Representaría la variable x. • DOK-2 «¿Qué se necesitaría para representar 4?». Representa esto con tus fichas de álgebra. Para representar 4, usaríamos 4 fichas amarillas. • DOK-3 «¿Qué se necesitaría para representar el opuesto de 4?». Modela esto con tus fichas de álgebra. Usaríamos el lado opuesto de las fichas amarillas. El opuesto de 4 serían 4 fichas cuadradas rojas pequeñas. • DOK-2 «¿Qué se necesitaría para representar 3A?». Modela esto con tus fichas de álgebra. Para representar 3A, usaríamos 3 rectángulos verdes. • DOK-3 «¿Qué se necesitaría para representar el opuesto de 3A?». Modela esto con tus fichas de álgebra. Utilizaríamos fichas rojas de la misma dimensión que 3A. Esta sería una forma de representar -3A porque el opuesto de 3 es 3 negativo. • DOK-2 «¿Qué haría falta para representar 2A2?». Modela esto con tus fichas de álgebra. Para representar 2A2, usaríamos dos cuadrados azules grandes. • DOK-3 «¿Qué se necesitaría para representar el opuesto de 2A2?». Modela esto con tus fichas de álgebra. Usaríamos el lado opuesto de la ficha A2. El opuesto de 2A2 serían dos grandes cuadrados rojos. • DOK-3 «Si el cuadrado azul tiene A unidades en todos sus lados y el rectángulo verde tiene una dimensión de A unidades, ¿cómo se comparan esos lados? ¿Cuál es más largo?». Como ambos tienen una medida de A unidades, tienen la misma longitud. Ninguno es más largo porque tienen la misma medida.
Mosaic Art Part I
Algebra Mathematica has given each mosaic art piece a title that includes the terms below, and they used the pieces shown below to make the art. The artist did not indicate which term goes with which tile piece. Match each tile piece to a term, and justify your choice.
Term
Yellow Square
Green Rectangle
Blue Square
Justification
A2
❏
❏
❏
The blue square has dimensions of A units by A units. The area is A · A units squared. This is the only piece that can be represented by A2 because A · A = A2.
A
❏
❏
❏
The green rectangle has dimensions of A units by 1 unit. The area is A units squared because A · 1 = A.
1
❏
❏
❏
The yellow square has dimensions of 1 unit by 1 unit. The area is 1 unit squared because 1 · 1 = 1. 1
Polynomial Operations Explore 1
Part II
Complete the table by writing the letter that corresponds to each crate to organize the art.
Set Name
Before Title
Before Mosaic
After Title
After Mosaic
Thrice Duce
Crate:
A
Crate:
P
Crate:
L
Crate:
E
Missing Middle
Crate:
K
Crate:
D
Crate:
J
Crate:
G
Opposites 7 to 1
Crate:
C
Crate:
O
Crate:
F
Crate:
M
So Odd
Crate:
H
Crate:
B
Crate:
I
Crate:
N
• DOK-2 «¿Qué ocurre cuando se combinan un número y su opuesto?». Se llaman pares cero y son iguales a cero. También se puede decir que son pares cero y se anulan.
2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: OPERACIONES CON POLINOMIOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Polynomial Operations Explore 1
PARTE II Part III
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «La colección de piezas en la que estás trabajando primero se llama "Colección antes y después". Te han dicho que la pieza de antes es bastante desorganizada, y que la pieza de después es una pieza minimalista, organizada y ordenada. Cada obra de arte tiene un título antes, una pieza de mosaico antes, un título después y una pieza de mosaico después. Las obras se embalaron y enviaron cuidadosamente en cajas. Las cajas se Entregueron y almacenaron en la sala. Visite cada caja para recuperar una obra de arte y comience a organizar la colección».
Create your own piece for the Before and After Collection. Before Title
After Title
Answers will vary. The before title should be adding or subtracting polynomials algebraically. The after title should be the result of the addition or subtraction.
Before Mosaic
2. Los estudiantes deben tener aún las «Fichas de álgebra» y sus «Diarios del estudiante».
After Mosaic
3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para organizar la colección. Deberán recuperar una obra de arte de cada caja y organizar el arte de modo que cada conjunto con nombre tenga un título antes (expresión algebraica), un mosaico antes, un título después y un mosaico después. Registrarán su trabajo en sus «Diarios del estudiante».
Answers will vary. The before and after mosaics should be models of the algebraic representations using algebra tiles.
3
Polynomial Operations Explore 1
Compare and contrast simplifying the expressions in the diagram below. (2x + 3y) – 4(x + y)
This uses different letters for different variables.
2.
(2a2 + 3a) – 4(a2 + a)
They both use the same coefficients and operations. The steps to simplify will be the same.
5. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientadoras para evaluar su comprensión: a. DOK-1 «¿Cómo sabes si debes sumar o restar los polinomios?». Cuando haya un símbolo de suma entre los polinomios, sumaremos. Cuando haya un símbolo de resta entre los polinomios, restaremos.
Reflect 1.
4. Señale a la clase que representar los mosaicos del antes con las fichas de álgebra podría ayudarles a averiguar los mosaicos del después y los títulos del después.
b. DOK-2 «¿Por qué todas las fichas son rojas si el polinomio es a2 + 2a + 3?». Todos los coeficientes son positivos, así que «¿por qué se usan fichas rojas?». Las fichas son rojas porque se resta cada término del polinomio. Para mostrar la resta, usamos el lado opuesto de la ficha.
This uses the same letters for different variables, but they have different exponents.
c. DOK-2 Este título dice 2A2 más 2A. «¿Los combinamos? ¿Por qué sí o por qué no?». Las variables tienen la misma letra, pero tienen distinto exponente. Como tienen exponente distinto, no son términos semejantes y no los combinamos.
How would you explain subtracting polynomials to a peer who was absent today? Subtracting polynomials is combining like terms with one extra step in the beginning. The extra step is to distribute the negative or subtraction symbol. Step 1. Distribute the subtraction symbol. That will change the sign of everything in parentheses. Step 2. Combine like terms.
d. DOK-1 «¿Cómo se usa la propiedad distributiva al restar polinomios?». El símbolo de la resta se distribuye como un coeficiente de uno negativo.
4
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e. DOK-2 Si un título anterior se evaluara cuando a = 3 y el correspondiente título posterior se evaluara cuando a = 3, «¿tendrían el mismo resultado? ¿Por qué sí o por qué no?». Tendrían el mismo resultado porque son expresiones equivalentes. Cuando se evalúan expresiones equivalentes utilizando el mismo número, siempre producirán el mismo resultado.
153
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ÁLGEBRA 1: OPERACIONES CON POLINOMIOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Polynomial Operations Explore 1
6. Cuando vea que los estudiantes están terminando de organizar su colección, pídales que vean si pueden encontrar un significado detrás del nombre de la colección. Thrice Duce tiene un titulo posterior con tres doses. Missing Middle tiene un título posterior sin término medio, sólo A2 y una constante. Opposites 7 to 1 tiene 7 fichas A2 al principio, pero usando pares opuestos, acabamos con sólo 1 ficha A2. Así que Impares tiene un título posterior con todos los coeficientes impares. 7. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen.
Adding and Subtracting Polynomials Exit Ticket
Perform the indicated operation, and provide your result. Draw a model to represent the operation and result. Algebraic Representation
Operation
(2x2 + 3x + 5) – (3x2 + 1x + 4)
Result
−x2 + 2x + 1 Since area model wasn’t specified in the instructions, any model can be used.
8. Después de completar la parte II, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta ahora. CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-2 «¿Con qué empezaste? ¿Elegiste un mosaico y luego buscaste el título, o elegiste un título y luego buscaste el mosaico? ¿Qué te resultó más fácil?». Las respuestas variarán. • DOK-3 «¿Cómo se utilizaron los mosaicos para representar la resta?». Para representar la resta de un polinomio, se voltearon las fichas. Si se trataba de restar un positivo, la ficha se mostraba con la cara roja hacia arriba. Si representaba la resta de un negativo, la ficha se mostraba con el lado positivo hacia arriba.
Polynomial Operations Explore 1
Adding and Subtracting Polynomials Exit Ticket
Perform the indicated operation, and provide your result. Draw a model to represent the operation and result. Algebraic Representation
Operation
(2x2 + 3x + 5) – (3x2 + 1x + 4)
Result
−x2 + 2x + 1
2. Distribuya lápices de colores a cada estudiante. 3. Los estudiantes deben seguir teniendo sus «Diarios del estudiante» y las «Tarjetas de la Colección Antes y Después». 4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para crear sus propias piezas para la Colección Antes y Después. 5. Señala a la clase que sus piezas deben ser únicas, pero que pueden inspirarse en las obras de arte de la colección original. 6. A continuación, los estudiantes trabajarán juntos para crear sus propias piezas para la colección Antes y Después y registrarán su trabajo en sus «Diarios del estudiante». 7. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientativas para evaluar su comprensión: a. DOK-1 «¿Crees que será más fácil empezar dibujando un modelo de mosaico o creando el título? ¿Por qué?». Las respuestas variarán. A algunos estudiantes les resultará más fácil empezar por el modelo, mientras que otros preferirán la representación algebraica. Si a un estudiante le cuesta empezar, pídele que saque unas fichas y empiece a hacer una maqueta. Recuérdales que se trata de su creación, por lo que su mosaico no puede estar equivocado. 154
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Model
Since area model wasn’t specified in the instructions, any model can be used.
PARTE III
1. Lea la siguiente situación a la clase: «Algebra Matemática está tan impresionada por tu trabajo que se ha ofrecido como mentor para ayudarte a completar tu propia pieza de arte en mosaico que se incluirá en la Colección Antes y Después. Utiliza los mosaicos proporcionados para crear tu obra para la Colección Antes y Después. A continuación, dibuja tu obra de arte en el espacio proporcionado».
Model
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
8. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte III y responder a las preguntas que siguen. 9. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje. CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-2 «¿Cómo se compara la suma y la resta de polinomios con la suma y la resta con números enteros?». Al igual que los números enteros, cuando se suman y restan polinomios, el resultado siempre es un polinomio. Los coeficientes con términos semejantes se combinan exactamente igual que los números enteros. • DOK-2 «¿Es posible sumar o restar polinomios y que el resultado no sea un polinomio?». Como combinamos términos semejantes en los polinomios, el resultado sigue teniendo variables elevadas a números naturales con coeficientes, por lo que sigue siendo un polinomio. • DOK-2 Compara y contrasta combinar términos semejantes con sumar y restar polinomios. Sumar polinomios es lo mismo que combinar términos semejantes. Restar polinomios tiene un paso extra para distribuir el signo negativo. • DOK-2 «¿Son x2 y x términos semejantes? ¿Cómo lo sabes?». No, x2 y x no son términos semejantes porque tienen exponentes diferentes. Los términos semejantes son la misma letra o letras con exactamente los mismos exponentes. 10. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el «Boleto de Salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
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ÁLGEBRA 1: OPERACIONES CON POLINOMIOS Polynomial Operations Part 1
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE
Adding and Subtracting Polynomials 1.
Complete the table. Draw models to represent the operations, or write algebraic operations. Determine the sums or differences as indicated, and write your answers in standard form. Algebraic Representation
Model
Result
(x2 + 3x + 2) – (3x2 + x + 4)
11x + 1
(3x2 – 4x) + (2x2 – 2x – 3) + (x + 3) 2.
La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias que se indiquen a continuación para saber cómo apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes.
Model of Result
−2x2 + 2x – 2
(2x2 + 6x + 1) + (−2x2 + 5x)
Los estudiantes utilizarán el apoyo de pistas visuales, compañeros y maestros para desarrollar el vocabulario, la estructura lingüística y los conocimientos previos necesarios para comprender un texto escrito.
5x2 – 5x
Examine the final result in the table. A classmate argues that the answer is 0. Using the model, explain the correct result. My classmate believes 5x2 – 5x is 0 because they are not recognizing the powers are different. The tiles show x2 as triangles and x as circles. The expression cannot be simplified to a constant. 1
Polynomial Operations Part 1
Simplify the expressions. Determine the sums and differences as indicated. Write your answers in standard form. 3.
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
(7b2 + 2b) – 3(b2 + b) 4b2 – b
4. (8x + 4) – 4x(x + 6) −4x2 – 16x + 4
5.
[y(2y + 1) + (y + 3)] – (7y2 + 4y – 8) −5y2 – 2y – 5
6. −(x2 + 2x – 3) – [(4x2 + 5x – 6) + (7x – 8)] −5x2 – 14x + 17
7.
Your friend has (4c + 9w) video games. You have 5 shelves of (c + w) video games. How many video games do you have altogether? (4c + 9w) + 5(c + w) 9c + 14w
8.
Construct a problem using addition. The simplified expression must contain 3 terms and a leading coefficient of 2. Answers will vary. (a2 + 9b + 1) + (a2 + b) 2a2 + 10b + 1
9.
Construct a difference of expressions problem where the solution is 2x2 + 5. Each expression in your problem must have three terms. Answers will vary. (10x2 + 5x + 25) – (8x2 + 5x + 20) 2x2 + 5 2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Haga que los estudiantes completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. Complete el «Esquema de anclaje» como clase. Haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva».
APOYOS PEDAGÓGICOS
Principiante: Como actividad previa a la clase, pida a los estudiantes que creen una «Galería de Arte Matemático» haciendo collages con fotos Recórtelas de revistas. Los collages representarán palabras de vocabulario que los estudiantes encontrarán o necesitarán conocer para la exploración. Por ejemplo, un estudiante puede recortar una montaña para representar la pendiente. La lista de vocabulario puede incluir sumar, restar, variable, coeficiente, área, longitud, anchura, unidades, y opuesto. Intermedio: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que creen una «Galería de Arte Matemático» creando collages con imágenes Recórtelas de revistas. Los collages representarán palabras de vocabulario que los estudiantes encontrarán o necesitarán conocer para la exploración. Por ejemplo, un estudiante puede recortar una montaña para representar la pendiente. La lista de vocabulario puede incluir sumar, restar, variable, coeficiente, área, longitud, anchura, unidades, y opuesto. Avanzado: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que creen una «Galería de Arte Matemático» haciendo collages con fotos Recórtelas de revistas. Los collages representarán palabras de vocabulario que los estudiantes encontrarán o necesitarán conocer para la exploración. Por ejemplo, un estudiante puede recortar una montaña para representar la pendiente. La lista de vocabulario puede incluir sumar, restar, variable, coeficiente, área, longitud, anchura, unidades, y opuesto.
1. Los estudiantes pueden tener dificultades para entender si los términos se consideran términos semejantes cuando tienen diferentes valores exponenciales, como x, x², y x³. Si los estudiantes intentan sumar x y x², anímeles a pensar en valores específicos para x, y pregúnteles si pueden sumar esos valores. Por ejemplo, «¿5 + 5² = 10?». Como la respuesta es no, x + x² no puede ser 2x. 2. Es posible que los estudiantes necesiten un repaso del orden de las operaciones.
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ÁLGEBRA 1: OPERACIONES CON POLINOMIOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Polynomial Operations Explore 2
LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 2: MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS CON MODELOS
1.
Los estudiantes aplicarán la propiedad distributiva para simplificar expresiones que implican la multiplicación de expresiones de grado dos. Se puede utilizar un modelo de área para representar la multiplicación de cada término.
Set A
Set B
2A2 + 2A + 3
A2 + 6A – 1
Multiplier (factor)
3
2
Product
6A2 + 6A + 9
2A2 + 12A – 2
Image for the Series
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.6 Atender a la precisión: Los estudiantes calcularán con eficiencia y precisión. Los estudiantes comprenderán el significado de los símbolos utilizados en matemáticas y etiquetarán las cantidades adecuadamente.
Complete the product and image for set B in the table below.
Multiplicand (factor)
DESCRIPCIÓN
• MP.5 Usar apropiadamente herramientas estratégicas: Los estudiantes utilizarán modelos matemáticos para visualizar y analizar información. Utilizarán las herramientas disponibles y reconocerán los puntos fuertes y las limitaciones de cada una.
Times Up Collection
Part I
2.
Multi-term multiplication can be done using an array. Fill in the product below, and explain how you know where to write each part of your answer. Each term of the polynomial written across the top gets multiplied by 2. The array functions as an area model where the product on the inside is the result of multiplying the terms along the length and width of each box.
2 3.
• MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes verán cálculos repetidos y buscarán generalizaciones y atajos. Los estudiantes comprenderán las aplicaciones más amplias de los patrones y verán las estructuras en situaciones similares.
A2
+ 6A
–1
2A2
12A
−2
What would the algebraic representation for the product be if set A had been lost in transit? Explain your reasoning. The total product would be −6A² – 6A – 9. If this part of the order had been lost in transit, it would mean the art gallery would have the opposite; thus, we would have to multiply that portion by −3 instead of +3 like we did originally.
1
MATERIALES IMPRESO • 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes) Polynomial Operations Explore 2
REUTILIZABLE • 1 juego de fichas de álgebra (por estudiante) • 1 juego de lápices de colores (por grupo)
Part II 1.
PREPARACIÓN
Multiplicand (factor)
• Separe la clase en grupos de 2 o 3 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante»para cada uno. • Imprima un «Boleto de salida» para cada pareja. Corte los boletos de salida de media página para que cada estudiante tenga uno. • ¡Hagalo digital! Haga que los estudiantes exploren o presenten sus soluciones utilizando manipulativos virtuales. Los manipulativos usados en esta lección se pueden encontrar en el menú desplegable de la sección «Explorar» y se pueden asignar digitalmente a los estudiantes.
Set C
Set D
2x – 7
4x + 5
Multiplier (factor)
3x
2x
Product
6x2 – 21x
8x2 + 10x
Image for the Series
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
2x
–7
6x²
−21x
Array
PARTE I 1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Debido a la popularidad de ciertas piezas de la Colección Antes y Después, la galería de arte ha creado una nueva colección llamada "Times Up Collection". Esta nueva colección utiliza determinados conjuntos de la Colección Antes y Después. La galería de arte ha encargado todos los materiales necesarios para crear la nueva colección, y te ha pedido que organices las fichas basándote en las descripciones del artista. Cada conjunto de la colección tiene 3 piezas: el multiplicando (factor), el multiplicador (factor) y el producto. Las tres piezas pueden utilizarse para crear una imagen para la serie».
Complete the table to help organize sets C and D of the Times Up Collection.
3x
2x
156
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+5 10x
2.
How does the array area model compare to the image for the series? They both show the multiplicand and multiplier on the left and top. They both show the product in the middle, or interior.
3.
How can the method of vertical multiplication with multi-digit numbers be used to multiply polynomials? For example, 45 times 2 can be written as shown. Show or explain how this method can be used to multiply 4x + 5 times 2x. 1 45 × 2 90
4x + 5 × 2x 8x2 + 10x
2. Entregue un «Diario del estudiante» y un juego de «Fichas de álgebra» a cada estudiante. 3. Entregue un juego de lápices de colores a cada grupo.
4x 8x²
2
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ÁLGEBRA 1: OPERACIONES CON POLINOMIOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Polynomial Operations Explore 2
Reflect 1.
Show or explain how an array could be used to multiply 3A2 + 7A – 10 times 4A.
4A
3A²
+ 7A
– 10
12A3
28A²
−40A
5. Señale a la clase que pueden utilizar Brainingcamp para representar las imágenes creadas por las fichas de álgebra.
2.
Could vertical multiplication be used to multiply 3A2 + 7A – 10 times 4A? Why or why not? It could be used. It would be like multiplying a 3-digit number by a 1-digit number with the 4A getting distributed to each of the three terms.
3.
Explain what is different about finding the sum of 3A2 + 7A – 10 plus 4A compared to finding the product of 3A2 + 7A – 10 times 4A. When adding, we combine like terms so the 4A only goes with the 7A to get our sum. When multiplying, the 4A gets distributed to all three terms.
4.
5.
Why do you think an area model might be better than algebra tiles in situations where you are multiplying large quantities? Algebra tiles could take quite a bit of time to draw out, especially when multiplying large values.
How would you explain the process of multiplying a monomial by a polynomial to someone who had never done it before? Answers may vary. a. First, you should identify how many terms you have in your polynomial to help set up your area model. b. Next, set up your area model with the monomial on the left-hand side and the polynomial, separated into individual terms, at the top. c. Then, use the distributive property to multiply each term in the polynomial by the monomial. d. Last, look to see if you need to combine like terms, and then rewrite your simplified expression.
3
Polynomial Operations Explore 2
x x
x²
Product:
b. 2 2x
x² + 2x
−3
−3 and 4x² – 2x + 5 4x²
– 2x
5
−12x²
6x
−15
Product:
−12x² + 6x – 15
x
Product:
b.
x
2
x²
2x
x² + 2x
−3
−3 and 4x² – 2x + 5 4x²
– 2x
5
−12x²
6x
−15
Product:
−12x² + 6x – 15
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c.
DOK-1 «¿Cómo se escriba el producto de un monomio y un polinomio?». En orden descendente por grado
7. Permita a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte I y contestar las preguntas que siguen. 8. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje hasta ahora. CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-1 «¿Qué propiedad se está usando durante este proceso de multiplicar polinomios?». Se está usando la propiedad distributiva.
• DOK-1 «¿Cómo sabes cómo armar tu modelo de área?». Observa los dos factores que estás multiplicando. Si el primer factor es un monomio, sólo necesitas una fila. Si el segundo factor es un binomio, necesitarás dos columnas, pero si el segundo factor es un trinomio, necesitarás tres columnas.
2. Los estudiantes deben tener aún sus «Fichas de álgebra» y sus «Diarios del estudiante».
4. Señale a la clase que pueden utilizar Brainingcamp para modelar las imágenes creadas por las fichas de álgebra.
6. Mientras los estudiantes colaboran, controle su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar su comprensión:
Multiply the following pairs of polynomials using area models. x and x + 2
DOK-1 «¿Qué ocurre cuando multiplicamos un valor negativo por un número negativo?». El producto es positivo.
5. A continuación, los estudiantes trabajarán juntos para terminar de armar los dos conjuntos finales de la Colección Times Up y registrar su trabajo en sus «Diarios del estudiante».
Multiplying Polynomials with Models Exit Ticket a.
b.
3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos y la información proporcionada para identificar el multiplicando, el multiplicador y el producto para cada conjunto de arte y registrar su trabajo en sus «Diarios del estudiante».
Polynomial Operations Explore 2
1.
DOK-1 «¿Qué sucede cuando multiplicamos un valor positivo por un número negativo?». El producto es negativo.
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Hay dos conjuntos finales en la colección Times Up. Utilice las expresiones algebraicas del artista para determinar el producto, la imagen y el conjunto asociado para cada conjunto».
Multiply the following pairs of polynomials using area models. x and x + 2
a.
PARTE II
Multiplying Polynomials with Models Exit Ticket a.
6. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar su comprensión:
• DOK-2 «¿Crees que el proceso cambiaría si tuviéramos otra fila en nuestra matriz?». No, el proceso seguiría siendo el mismo. Seguiríamos usando la propiedad distributiva y sólo multiplicaríamos una fila a la vez.
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
1.
4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos y la información proporcionada para identificar el multiplicando, el multiplicador y el producto para cada conjunto de arte y registrar su trabajo en sus «Diarios del estudiante».
a.
DOK-1 «¿Cómo puedes saber de inmediato cuál será el término más alto de tu producto?». Observa los dos términos más altos de cada factor y utiliza las propiedades de los exponentes para sumar el grado de cada término. Por ejemplo, x2 multiplicado por x2 daría como resultado x4.
7. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen. 8. Después de la «Exploración» inicie una charla matemática para compartir sus observaciones y aprendizajes.
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ÁLGEBRA 1: OPERACIONES CON POLINOMIOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Polynomial Operations Part 2
CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-2 «Compara y contrasta el método de las fichas de álgebra y el método del modelo de área de matrices». Si colocas el multiplicando y el multiplicador en el mismo orden al multiplicar, los mosaicos de álgebra y los modelos de área terminarán pareciéndose mucho. En términos generales, el término x2 está en la esquina superior izquierda, las constantes están en la esquina inferior derecha, y cualquier término x está en las esquinas alternas. Las fichas de álgebra son la representación visual, mientras que el modelo de área es la representación numérica de la multiplicación. Otra diferencia entre los dos es que los azulejos de álgebra son más limitados en lo que pueden representar. Por ejemplo, sólo pueden mostrar polinomios con una variable. • DOK-1 «Describa el proceso que utilizó para averiguar cómo sería el producto de las piezas de arte». Miré el término de mayor grado para cada factor que estaba multiplicando. Sabía, basándome en las propiedades de los exponentes, que si multiplicaba una x por una x, obtendría x2. Tuve que mirar los componentes de esa manera para determinar cómo se vería cada obra de arte al final. 9. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Haga que los estudiantes completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. Complete el «Esquema de anclaje» como clase. Haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva»..
Multiplying Polynomials with Models Use area models, as applicable, to solve the following questions. 1.
You are working to determine how much paint you will need to paint your room. The length of the first wall is 4y + 8. The height of each wall in your room is 4y. What is the area of the first wall? 16y2 + 32y
2.
There are two total walls the size of the first wall. What is the area of the two walls? 32y2 + 64y
3.
The size of the adjacent wall is 3 of the length of the first wall. What is the 4 area of the adjacent wall? 12y2 + 24y
4.
There are two total walls the size of the adjacent wall. What is the area of the two adjacent walls? 24y2 + 48y
5.
The ceiling is separated into 4 squares. Each square has an area of 2y + 9. What is the total area of the ceiling? 8y + 36
6.
How much total area will need to be painted? 56y2 + 120y + 36 (32y2 + 64y) + (24y2 + 48y) + (8y + 36) = 56y2 + 120y + 36 1
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Los estudiantes pueden olvidar multiplicar los coeficientes cuando multiplican polinomios. Recuerde a los estudiantes que si -1 - 2 = -2, entonces -x - 2x = -2x². 2. Al multiplicar términos con las mismas bases, los estudiantes pueden olvidar sumar exponentes y pueden dejar términos sin simplificar. Anímelos a simplificar los términos tanto como sea posible para que puedan combinar términos similares.
Polynomial Operations Part 2
7.
You and your friends are reviewing for your upcoming test. The first problem is 1 finding the product of 2 x and −2x + 30 by using an area model. You solved it with a horizontal area model. Your friend solved it by using a vertical area model. Will your simplified expressions match? Use area models to justify your answer. Yes, the answers will match. Vertical or horizontal area models will have the same product.
8.
Complete the following area models. What do you notice?
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Vea las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo del lenguaje de los estudiantes. Los estudiantes utilizarán técnicas de aprendizaje como mapas conceptuales, dibujar, comparar, contrastar, memorizar y repaser para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado. Principiante: Como actividad previa a la lección, guíe a los estudiantes en la creación de un cuadrado de vocabulario para el término propiedad distributiva. Completa las siguientes secciones del cuadrado de vocabulario como clase: Definición, Ejemplo (problema matemático) y No-ejemplo. Haga que los estudiantes creen su propia imagen para el término. Intermedio: Como actividad previa a la clase, pide a los estudiantes que creen un cuadrado de vocabulario para el término propiedad distributiva. Los cuadrados de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), No-ejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes la definición y el ejemplo, pero anímelos a reescribir la definición con sus propias palabras.
When multiplying by x, the power of each term in the trinomial increases by 1. 9.
Complete the following area models. What do you notice?
When multiplying by x2, the power of each term in the trinomial increases by 2. 10.
What generalization can you make based on questions 8 and 9? When multiplying by a variable, the power of the other terms will each increase by the amount of the exponent of that variable.
11.
Your friends are arguing about what the answer will be for this problem: −(5w2 – 5w). One friend believes there is no solution because once the subtraction in the parentheses is completed, the answer is 0, and there is no such thing as a negative 0. Another friend believes that the distributive property needs to be completed, and the answer will be −5w2 + 5w. Who is correct? Justify your answer. The second friend is correct because the negative is representing −1. See the area model. The first friend combined unlike terms that do not have the same exponent in order to get 0. 2
Avanzado: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que creen un cuadrado de vocabulario para el término propiedad distributiva. Los cuadrados de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), No-ejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes la definición y el ejemplo, pero anímelos a reescribir la definición con sus propias palabras. 158
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MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 2) CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: OPERACIONES CON POLINOMIOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 3: MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes multiplicarán polinomios con varios términos. Los polinomios pueden contener múltiples variables, coeficientes de números reales y exponentes de números enteros. Se seguirán utilizando modelos de área para multiplicar hasta que los estudiantes desarrollen estrategias más eficientes.
PARTE I
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.5 Usar apropiadamente herramientas estratégicas: Los estudiantes utilizarán modelos matemáticos para visualizar y analizar información. Utilizarán las herramientas disponibles y reconocerán los puntos fuertes y las limitaciones de cada una. • MP.6 Atender a la precisión: Los estudiantes calcularán con eficiencia y precisión. Los estudiantes comprenderán el significado de los símbolos utilizados en matemáticas y etiquetarán las cantidades adecuadamente. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes verán cálculos repetidos y buscarán generalizaciones y atajos. Los estudiantes comprenderán las aplicaciones más amplias de los patrones y verán las estructuras en situaciones similares.
MATERIALES
1. Lea el siguiente escenario a la clase: Estás realizando unas prácticas de verano en una empresa local de arquitectura paisajista. Últimamente han estado muy ocupados con proyectos y te han pedido que ayudes a los arquitectos con algunos de ellos. Para empezar, revisarás los planos del patio trasero de la familia Challa. La empresa ha tenido que hacer algunos ajustes recientes a sus planos originales. Revisen los planos de la piscina y el jardín antes de emprender sus propios proyectos. 2. Entregue «Diario del estudiante» a cada uno. 3. Distribuya las Tarjetas de diseño del patio trasero familiar a cada grupo. 4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para analizar el proyecto del patio trasero de la familia Challa y registrar su trabajo en sus «Diarios del estudiante». 5. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar su comprensión: a.
DOK-2 «¿Cuál es el grado resultante cuando se multiplica un término de grado uno por un término de grado uno, como x por x?». El producto resultante es un término de grado dos.
b.
DOK-2 «¿Cuál es la importancia de rodear con un círculo los términos semejantes en tu modelo de área?». Es importante para que no olvides combinarlos en tu producto simplificado.
c.
DOK-1 «¿Dónde ves los términos semejantes en el modelo de área?». Los veo en las casillas superior derecha e inferior izquierda. Son diagonales entre sí.
IMPRESOS • 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de tarjetas de diseño de patio familiar (por grupo) • 1 juego de tarjetas de proyecto de verano (por grupo) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes) REUTILIZABLES • 2 bolsas resellables (por grupo)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 2 o 3 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante»para cada uno. • Imprima un «Boleto de salida» para cada pareja. Recorte los «Boletos de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno. • Imprima un juego de «Tarjetas de diseño de patio familiar» para cada grupo. Recorte cada juego de tarjetas y colóquelas dentro de una bolsa resellable etiquetada como «Parte I». Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para utilizarlas en el futuro. • Imprima un juego de «Tarjetas de proyectos de verano» para cada grupo. Recorte cada juego de tarjetas y colóquelas dentro de una bolsa resellable con la etiqueta «Parte II». Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para utilizarlas en el futuro.
6. Concede a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte I y contestar las preguntas que siguen. 7. Después de completar la parte I, invite a la clase a una Charla de Matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje hasta el momento. CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-1 «¿Ves alguna similitud o diferencia entre el modelo de área para multiplicar binomios y la matriz para multiplicar números de dos dígitos?». Sí, el método es el mismo. Para multiplicar números de dos cifras, combinamos todos los números dentro de la matriz. Para el modelo de área binomial, sólo combinamos los términos semejantes. PARTE II 1. Lea el siguiente escenario a la clase: Ahora que han terminado con éxito el proyecto de la familia Challa, la empresa de arquitectura les ha encargado dos proyectos más para completar. 2. Distribuya las Tarjetas de Proyecto de Verano a cada grupo de estudiantes. 3. Aún deben tener sus «Diarios del estudiante». 4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para determinar la información necesaria para cada proyecto y registrar su trabajo en sus «Diarios del estudiante».
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ÁLGEBRA 1: OPERACIONES CON POLINOMIOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 • DOK-2 «¿En qué se diferencia la multiplicación de polinomios de la multiplicación de números enteros?». Al igual que los números enteros, cuando se multiplican polinomios, el resultado es siempre un polinomio. Los términos se distribuyen y combinan de la misma manera que los enteros.
5. A medida que los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientativas para evaluar su comprensión: c
DOK-1 «¿Cuál fue el paso extra que tuvisteis que completar en el proyecto del huerto?». Tuvimos que tomar el producto de
• DOK-2 «¿Es posible multiplicar dos polinomios juntos y que el resultado no sea un polinomio?». A medida que multiplicamos polinomios, los coeficientes y exponentes en las variables probablemente cambiarán, pero los resultados seguirán siendo un polinomio ya que los exponentes serán números naturales y los coeficientes seguirán siendo reales.
1
. O bien, multiplicar la base y la altura y luego multiplicarlo por __ 2 1
multipliqué la altura por __ , y luego multipliqué el resultado 2
por la base. d
DOK-1 «¿Hubo términos parecidos para combinar en el modelo de área que creaste en el proyecto del huerto que
• DOK-3 «¿Cómo se compara la multiplicación de polinomios con la multiplicación con números enteros?». Al igual que los números enteros, cuando se multiplican polinomios, el resultado es siempre un polinomio. Los términos se distribuyen y combinan de la misma manera que los números enteros.
1
multiplicado por un polinomio? ¿Por qué crees que fue __ 2
es?». No, no había. No teníamos más de una fila de términos, así que no habría términos semejantes que necesitaran combinarse.
8. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
6. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen. 7. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Haga que los estudiantes completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. Complete el «Esquema de anclaje» como clase. Haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva»..
CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-2 «¿Qué tendrías que considerar en el proyecto del jardín en términos de suelo?». Al plantar, tienes que tener capas de tierra, así que podrías tener que considerar también la altura del jardín. • DOK-2 «Si consideraras la altura en el proyecto del jardín, ¿qué encontrarías y cómo podrías pensar que se representaría como un polinomio?». Necesitaríamos una tercera expresión para el volumen, y podríamos esperar ver un polinomio de grado 3 para representar el volumen.
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Los estudiantes pueden tener dificultades para llevar la cuenta de todos los términos que necesitan ser multiplicados. Por ejemplo, para (a + b) - (c + d + e), para los estudiantes que tengan problemas, cree dos filas o modelos de área antes de multiplicar y luego combinar cualquier término similar.
• DOK-2 «Al multiplicar números enteros de varios dígitos, ¿es el uso de una matriz la única manera, o hay múltiples métodos?». Si hay otros métodos, «¿podrían funcionar también para multiplicar polinomios?». Explícalo. No, la matriz no es el único método. También existe la multiplicación vertical. Esto también podría funcionar para multiplicar polinomios.
2. Al multiplicar términos con las mismas bases, los estudiantes pueden olvidar sumar exponentes y pueden dejar términos sin simplificar. Anima a los estudiantes a simplificar los términos tanto como sea posible para que puedan combinar términos semejantes.
Polynomial Operations Explore 3
Polynomial Operations Explore 3
Polynomial Operations Explore 3
Part II
Use the Summer Project Cards to complete the steps below. 1. Draw a sketch of each design proposal with the dimensions labeled. 2. Calculate the area of each project using an area model. 3. Circle any entries in the area models that contain like terms. 4. Write the terms from the area models. 5. Write the simplified products.
Assist the Architect Part I
Use the Family Backyard Design Cards to answer the questions below. 1. Use the tiles sketched on the architect’s plans to determine the algebraic expressions for the width factor, length factor, and area. Complete the table below to demonstrate to the lead architect that you understand their diagram.
2.
3.
Project
Width Factor
Length Factor
Area
A
x–4
x+2
x² – 4x + 2x – 8
B
2x – 1
x+3
2x² – 1x + 6x – 3
Formula: A = bh
The lead architect has now asked you to demonstrate how to find the algebraic expressions using area models or arrays. Complete the arrays below, and circle any boxes that contain like terms.
If needed, would you be able to draw representations using algebra tiles for both the family pool and the vegetable garden? Explain your reasoning. You would only be able to create a representation using algebra tiles for the family pool project. The vegetable garden would be possible for the first half of the calculations only, when you are multiplying the factors 5x – 3 and 4 – 8x. When you get to the second half of the problem, where you have to divide the product in half, you would not be able to represent that accurately with algebra tiles.
2.
When using an area model, can you identify any similarities to the distributive property? Use the factors 2x + 3 and 3x + 5 and an area model to help explain.
Area model:
Write the terms from the area model. 12x² – 3x + 12x – 3 Simplified product for the area: 12x² + 9x – 3 Formula: A =
1 bh 2
Vegetable Garden
Sketch: Project A
1.
Family Pool
Sketch:
Another intern is having trouble with the project sketches. The lead architect asks you to explain how the tiles sketched on the plans represent the algebraic expressions. What do you tell the other intern? The tiles sketched outside the pool area and garden are the tiles used to represent the factors for length and width. The tiles sketched inside represent the area. Each large square is x² units, each rectangle is x units, and each small square is 1 unit. The shaded grey area represents a negative value.
Reflect
Area model:
We can see that the 2x is being distributed to the 3x and the 5 first to create 6x² and 10x. Then, the 3 is being distributed to the 3x and 5 as well to create 9x and 15.
Project B 3.
Use an area model or written description to explain why (x + 1) times (x + 1) is not x² + 1. There are missing terms from this product. The terms from the area model should be x² + x + x + 1 which simplifies to x² + 2x + 1.
Write the terms from the area model. −20x² + 12x + 10x – 6 Simplified product for the area: −20x² + 22x – 6 1
2
3
UN «DIARIO DEL ESTUDIANTE» CLAVE DE RESPUESTAS 160
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ÁLGEBRA 1: OPERACIONES CON POLINOMIOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE Polynomial Operations Part 3
La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes. Los estudiantes utilizarán técnicas de aprendizaje como la elaboración de mapas conceptuales, el dibujo, la comparación, el contraste, la memorización y el repaso para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado.
Multiplying Polynomials 1.
Match the dimensions of the phone cases listed at the bottom of the page with the sizes (areas) of the phones. Use area models to justify your answers.
Principiante: Como actividad previa a la lección, guíe a los estudiantes en la creación de un cuadrado de vocabulario para el término polinomio. Completa las siguientes secciones del cuadrado de vocabulario como clase: Definición, Ejemplo (problema matemático) y No-ejemplo. Pida a los estudiantes que creen su propia imagen para el término. Intermedio: Como actividad previa a la clase, pide a los estudiantes que creen un cuadrado de vocabulario para el término polinomio. Los cuadrados de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), Sinejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes la definición y el ejemplo, pero anímelos a reescribir la definición con sus propias palabras. Avanzado: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que creen un cuadrado de vocabulario para el término polinomio. Los cuadrados de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), Sinejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes la definición y el ejemplo, pero anímelos a reescribir la definición con sus propias palabras.
Case A 10x² – 7x – 3
Case B 10x² + 21x + 9
Case C 3x² + 16x – 35
Polynomial Operations Part 3
2.
Multiplying Polynomials Exit Ticket A rectangular swimming pool is 7x – 8 units long and 3x + 5 units wide. What is the area of the pool in square units? Use an area model to solve. –8
3x
21x²
−24x
5
35x
−40
Case E x² – 9
1
Polynomial Operations Explore 3
7x
Case D 3x² – 10x – 25
Your friends are creating pockets for the backs of phones to sell as a fundraiser. They ask you to double-check their math. Determine if they completed the steps correctly. If they made an error, correct their mistake.
My friends did not find half of the base. Once half of the base is found, it is multiplied with the height. They also did not keep like terms. The correct work and area are as follows: −12y² + 2y + 80
Area: 21x² + 11x – 40 sq. units
Polynomial Operations Explore 3
Multiplying Polynomials Exit Ticket
3.
You decide to buy a glass screen to protect the front of your phone. You need to determine the area of your phone, using your phone screen, so that you can buy the correct size. What is the area of the front of your phone? Use an area model to solve.
A rectangular swimming pool is 7x – 8 units long and 3x + 5 units wide. What is the area of the pool in square units? Use an area model to solve. 7x
–8
3x
21x²
−24x
5
35x
−40
Area: 21x² + 11x – 40 sq. units 2
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
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MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 3) CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: OPERACIONES CON POLINOMIOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 4: PRODUCTOS ESPECIALES DESCRIPCIÓN Los estudiantes identificarán patrones en binomios que producen productos especiales. Reconocerán que estos binomios tienen términos predecibles y, por lo tanto, hay formas más eficientes de multiplicarlos que usar un modelo de área.
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.5 Usar apropiadamente herramientas estratégicas: Los estudiantes utilizarán modelos matemáticos para visualizar y analizar información. Utilizarán las herramientas disponibles y reconocerán los puntos fuertes y las limitaciones de cada una. • MP.6 Atender a la precisión: Los estudiantes calcularán con eficiencia y precisión. Los estudiantes comprenderán el significado de los símbolos utilizados en matemáticas y etiquetarán las cantidades adecuadamente. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes verán cálculos repetidos y buscarán generalizaciones y atajos. Los estudiantes comprenderán las aplicaciones más amplias de los patrones y verán las estructuras en situaciones similares.
2. Distribuya un «Diario del estudiante», un juego de «Tarjetas de código de puerta» y un par de tijeras a cada estudiante. Entregue una barra de pegamento a cada grupo. 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para identificar los patrones que ven al multiplicar estos tipos de binomios. Los estudiantes aplicarán sus conocimientos sobre la propiedad distributiva y la simplificación de expresiones para resolver cada pieza del rompecódigos de la parte I. 4. Señale a la clase que necesitarán cortar su juego de tarjetas de códigos de compuerta antes de comenzar su trabajo. 5. Los estudiantes trabajarán juntos para simplificar cada compuerta en la columna de la izquierda y el código correspondiente en la columna de la derecha y simplificarán cada código. Compartirán sus ideas con sus grupos y registrarán su trabajo en sus «Diarios del estudiante». 6. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar su comprensión: a.
DOK-1 «¿Qué tipos de polinomios estamos multiplicando?». Binomios
b.
DOK-1 «¿Qué tipos de polinomios estamos viendo como producto de la multiplicación de binomios?». Trinomios
c.
DOK-1 «¿Qué observas en los dos binomios que se están multiplicando juntos en todas las casillas de la puerta?». Son el mismo binomio.
d.
DOK-1 «¿Cuál es una forma más corta de escribir 3 · 3 · 3 · 3?». Una forma más corta de escribirlo es utilizar exponentes, por lo que la expresión 3 · 3 · 3 · 3 se escribiría como 34.
e.
DOK-1 «¿Cuál es una forma más corta de escribir A · A · A?». Una forma más corta de escribirlo es utilizar exponentes, por lo que la expresión A · A · A se escribiría como A3.
f.
DOK-2 «Al elevar al cuadrado un término que tiene una variable y un coeficiente, ¿por qué es importante escribirlo utilizando paréntesis? ¿Qué pasaría si no escribiéramos esta situación con paréntesis?». Es importante usar paréntesis en este tipo de situación porque quieres asegurarte de que sabes elevar al cuadrado tanto la variable como el coeficiente. Si nos olvidamos de poner los paréntesis alrededor de todo el término, sólo significa elevar al cuadrado la variable y no el coeficiente.
g.
DOK-2 «Al comparar las dos compuertas en la primera página de la parte I, ¿qué notas entre la compuerta y el código?». Las respuestas pueden variar. Observo que la primera puerta utiliza la suma y la segunda la resta. Observo que los signos de operación de la primera puerta y del código son todos de suma. La segunda compuerta usa sólo la resta, pero el código tiene suma y resta.
h.
DOK-2 «¿Por qué crees que vemos suma en la segunda expresión del código en la primera página de la parte I?». Cuando multiplicas dos términos negativos juntos, se crea un término positivo. Podemos ver que cada uno de los círculos de la puerta correspondiente tiene un valor negativo. Por lo tanto, si multiplicamos un círculo negativo por un círculo negativo, nuestro resultado sería un círculo positivo al cuadrado.
MATERIALES IMPRESO • 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de tarjetas de código de puerta (por estudiante) • 1 boleto de salida (por 2 estudiantes) REUTILIZABLE • 1 barra de pegamento (por grupo) • 1 par de tijeras (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 2 o 3 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante»y un juego de «Tarjetas con el código de la puerta» para cada estudiante. • Imprima un «Boleto de salida» para cada pareja. Recorte los «Boletos de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno. • Reúna un par de tijeras para cada estudiante y una barra de pegamento para cada grupo.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I 1. Lea el siguiente escenario a la clase: «¡Caramba! Te has dejado el teléfono en el pupitre en tu clase de álgebra y te has dado cuenta de dónde estaba cuando has llegado a casa. Has vuelto a la escuela con dos amigos, pero todo el mundo se ha ido excepto una persona del personal de recepción. Te han informado de que mantenimiento ha bloqueado todas las puertas del interior del colegio, por lo que te será imposible volver a tu clase a menos que tú y tus amigos podáis descifrar los códigos de las puertas para desbloquear cada una de las cuatro puertas que llevan a tu clase. Para recuperar tu teléfono, tienes que desbloquear cuatro puertas distintas simplificando cada una de ellas y su código correspondiente».
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7. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte I y responder a las preguntas que siguen 8. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta ahora.
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ÁLGEBRA 1: OPERACIONES CON POLINOMIOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4
Polynomial Operations Explore 4
Polynomial Operations Explore 4
Gate
Code Breakers
Workspace
Polynomial Operations Explore 4
Code
3.
What similarities and differences did you observe between simplifying each gate and its corresponding code and simplifying expressions? Each gate and code were using shapes instead of variables. I used the same process I would normally use when simplifying expressions.
Card F
4.
If we look at the first gate, , and replace the square with the variable x and the circle with the number 3, what is the new solution? Show your work in the space below.
Part I 1.
Use the Gate Code Cards to unlock the gates. Glue or tape the correct matches in the appropriate boxes below. Use the workspace as needed. Note that not all of the Gate Code Cards will be used. Gate
Workspace
Card A
Code
(x + 3)(x + 3) x² + 3x + 3x + 9 x² + 6x + 9 Gate
Gate
Workspace
Code
Card J
Card E
Workspace
Card C
Code
2.
Card G
Card I
Card K
1.
Sample work provided.
Complete the table by breaking the codes for the remaining four gates listed. Gate
(x + 5)(x – 5)
(3w + 7)(3w – 7)
(2y – z)(2y + z)
(4x + 9)(4x – 9)
2.
6.
If we look at the last gate, , and replace the square with the variable x and the circle with the number 2, what is the new solution? Show your work in the space below.
2
Polynomial Operations Explore 4
Part II
Did your process change from the first time you simplified this expression when it was only shapes? No, I used the same process as the first time, except this time I used numbers and variables instead of shapes.
(3x – 2)(3x – 2) 9x² – 6x – 6x + 4 9x² – 12x + 4
What series of steps did your group come up with for cracking each gate code? 1. Square the first term. 2. Multiply the two terms inside the parentheses together, and then double that amount. 3. Square the second term.
1
5.
Workspace
x² – 5x + 5x – 25
9w² – 21w + 21w – 49
4y² + 2yz – 2yz – z²
16x² – 36x + 36x – 81
3
Polynomial Operations Explore 4
Reflect 1.
Explain how you would use patterns to multiply (3x + 2y)(3x – 2y) without having to use an area model or write out all of the steps. I know that when you multiply binomials that have the same terms but opposite signs (conjugates), the result will be the first term squared minus the second term squared without a middle term. (3x + 2y)(3x – 2y) = (3x)² – (2y)² = 9x² – 4y²
2.
Explain why there is no middle term when multiplying expressions in the form (a + b)(a – b). The two middle terms will always be opposite of each other and create a 0 pair. (a + b)(a – b) = a² + ab – ab – b² = a² – b²
3.
When squaring a binomial, how is the middle term of the product related to the terms in the binomial? You may use the expansion of (x + 7)² to help explain your answer. The middle term is double the product of the two terms in the binomial. For example, (x + 7)² = x² + 14x + 49. The middle term of 14x is twice the value of x times 7.
Code
x² – 25
9w² – 49
4y² – z²
16x² – 81
What series of steps did your group come up with for cracking each gate code? 1. Square the first term. 2. Square the second term. 3. Subtract the second term from the first term. 4
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DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: OPERACIONES CON POLINOMIOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-1 «Usando números, ¿cuál es un ejemplo de un cuadrado perfecto?». 3 · 3 = 9, 5 · 5 = 25, 7 · 7 = 49 • DOK-2 «¿Cómo se aplica el concepto de cuadrados perfectos a los binomios que vimos en la parte I?». El concepto es el mismo. Un cuadrado perfecto significa que un valor particular se multiplica por sí mismo. Con los binomios de la parte I, podemos observar que tenemos dos binomios idénticos que se multiplican juntos. • DOK-1 «En la parte I, vimos dos binomios idénticos que se multiplicaban juntos, y los relacionamos con cuadrados perfectos. Si vemos que el producto simplificado es un trinomio, ¿cómo podemos llamarlo?». Podemos llamarlo trinomio cuadrado perfecto. PARTE II 1. Lea la siguiente situación a la clase: «¡Éxito! Has recuperado tu teléfono y ahora tienes que volver a salir de la escuela, pero hay un problema: no puedes salir por donde has entrado porque los conserjes están fregando el pasillo del que acabas de salir. Miras a tu alrededor y encuentras una ruta alternativa para salir, pero ahora tendrás que desbloquear algunas puertas más. Estas puertas son un poco diferentes a las de la primera serie, así que coge a tus amigos y ¡ve a descifrar esos códigos!». 2. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para establecer qué patrones están presentes en la multiplicación de esta nueva serie de binomios. 3. Señala a la clase que sólo están utilizando variables, coeficientes y constantes. Ya no usarán las figuras para representar cada problema. 4. Luego, los estudiantes trabajarán juntos para resolver cada código de puerta y crear una lista de pasos que se aplicarían a cualquier situación en la que estén presentes estos tipos de binomios y registrarán su trabajo en sus «Diarios del estudiante». 5. A medida que los estudiantes colaboran, controle su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar su comprensión: a.
DOK-2 «¿Qué tienen de diferente los binomios que vemos en la parte II en comparación con los binomios que vimos en la parte I?». Los binomios son casi idénticos. En la parte I, vimos dos binomios idénticos que usaban el mismo signo de operación para separar los dos términos. En la parte II, vemos que los signos de operación que separan los términos son diferentes. Un conjunto de paréntesis usa suma, mientras que el otro usa resta.
b.
DOK-1 «¿Qué patrones están presentes en todos los códigos de la parte II?». El producto consiste en dos términos cuadrados perfectos separados por un signo de resta.
c.
DOK-1 «¿Qué notas acerca de los términos medios al completar la multiplicación en la parte II?». Los términos medios son un par cero y se cancelan entre sí cuando simplificamos porque uno es positivo y el otro es negativo.
6. Concede a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte II y responder las preguntas que siguen. 7. Después de la «Exploración» invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
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CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-3 Los polinomios resultantes en la parte II eran todos binomios. «¿Qué observas en cada uno de los términos? ¿Cómo podemos nombrar este tipo de situación?». Cada término es un cuadrado perfecto y están separados por un símbolo de resta. Podemos llamar a esta situación diferencia de dos cuadrados. • DOK-2 «En los ejemplos de esta parte de la Exploración, se multiplicaron dos binomios y el resultado siguió siendo un binomio. ¿Es posible multiplicar dos binomios y que el resultado no sea algún tipo de polinomio?». No, porque hemos visto que los polinomios son cerrados bajo suma, resta y multiplicación. Así que incluso si estos productos especiales difieren ligeramente de otros resultados que hemos visto, el resultado siempre será un polinomio. 8. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el «Boleto de Salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Haga que los estudiantes completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. Complete el «Esquema de anclaje» como clase. Haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva»..
APOYOS DIDÁCTICOS 1. Es posible que los estudiantes no simplifiquen completamente los términos, lo que significará que los términos similares no se combinen correctamente. Anímelos a simplificar los términos tanto como sea posible para que puedan combinar términos similares si es pertinente. 2. Los estudiantes pueden tener la tentación de reconocer patrones y luego proceder inmediatamente a las respuestas porque reconocen los patrones. Anímelos a que muestren su trabajo para esta actividad de «Explorar» y a que escriban todos los términos antes de simplificarlos para que puedan adquirir más práctica con estos productos especiales y ser más flexibles cuando exploren casos más complicados.
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes. Los estudiantes utilizarán el apoyo de pistas visuales, compañeros y maestros para desarrollar el vocabulario, la estructura lingüística y los conocimientos previos necesarios para comprender un texto escrito. Principiante: Como actividad previa a la clase, coloque por el aula notas adhesivas con números. Pida a los estudiantes que recorran el aula con un compañero para recoger todas las notas adhesivas que sean cuadrados perfectos. Gana el equipo que reúna más. Permita que los estudiantes utilicen calculadoras si es necesario. Después de la actividad, guíe a los estudiantes para que escriban una definición del término cuadrado perfecto. Intermedio: Como actividad previa a la clase, coloque por el aula notas adhesivas con números escritos en ellas. Pida a los estudiantes que recorran el aula con un compañero para recoger todas las notas adhesivas que sean cuadrados perfectos. Gana el equipo que reúna más. Si es necesario, los estudiantes pueden utilizar calculadoras. Después de la actividad, pida a los estudiantes que escriban una definición del término cuadrado perfecto. Avanzado: Como actividad previa a la clase, coloque notas adhesivas con números escritos por toda la clase. Pida a los estudiantes que recorran el aula con un compañero para recoger todas las notas adhesivas que sean cuadrados perfectos. Gana el equipo que reúna más. Si es necesario, los estudiantes pueden utilizar calculadoras. Después de la actividad, pida a los estudiantes que escriban una definición del término cuadrado perfecto. ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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ÁLGEBRA 1: OPERACIONES CON POLINOMIOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4
Polynomial Operations Part 4
Polynomial Operations Part 4
Special Products 1.
Expand each of the multiplication expressions below. Show work as necessary. A. (x + 4)2
B. (x + 4)(x – 4)
x² + 8x + 16 E. (x – 2)
2
x² – 4x + 4
x² – 16 F. (x + 2)(x – 8) x² – 6x – 16
C. (x – 8)2
Multiply (4x + y)(4x – y). 16x² – y²
9.
Abigail and Bobby are both trying to factor 25x² – 100x + 100. Abigail says that it is a perfect square and can be factored as (5x – 10)2. Bobby sees that 25 goes into every term, so he takes out the greatest common factor to create 25(x2 – 4x + 4). Who is correct? Justify your answer. Both Abigail and Bobby have correctly factored the expression. Bobby still has a perfect square trinomial that he could continue to factor, and Abigail could factor out a 5 from each of her (5x – 10) factors. Both could continue their correct work to get 25(x – 2)2 as the most simplified factored form.
10.
A picture frame has side lengths of 10b + 16c inches. The width of the frame is b + 2c inches. What is the area of the glass plate in the frame? (8b + 12c)(8b + 12c) = 64b² + 192bc + 144c² square inches
11.
A square pool has a patio width of x feet all of the way around. The pool is 4x – 5y feet. What is the area of the pool and patio combined? (6x – 5y)(6x – 5y) = 36x² – 60xy + 25y² square feet
D. (x + 2)(x – 2)
x² – 16x + 64 G. (x + 2)
8.
x² – 4
2
H. (x – 4)(x – 4)
x² + 4x + 4
x² – 8x + 16
Select all of the options from above that make each statement true. 2.
When expanded, this(these) expression(s) will have no middle term. B, D
3.
When expanded, this(these) expression(s) will have a middle term of ±8x. A, H
4.
When expanded, this(these) expression(s) will have a negative constant term. B, D, F
5.
When expanded, this(these) expression(s) will have a negative middle term. C, E, F, H
6.
When expanded, this(these) expression(s) will have the same middle coefficient and constant. G
7.
When expanded, this(these) expression(s) will have all terms with the same sign. A, F, G
1
2
MUESTRA LO QUE SABES - PARTE 4 CLAVE DE RESPUESTAS
Polynomial Operations Explore 4
Special Products Exit Ticket Simplify each of the following expressions using your knowledge of special products. 1. (a – b)² A. B. C. D.
2. (3a + 5)(3a – 5)
a² + b² a² − b² a² – 2ab + b² a² + 2ab + b²
9a² – 25
Polynomial Operations Explore 4
Special Products Exit Ticket Simplify each of the following expressions using your knowledge of special products. 1. (a – b)² A. B. C. D.
2. (3a + 5)(3a – 5)
a² + b² a² – b² a² – 2ab + b² a² + 2ab + b²
9a² – 25
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: OPERACIONES CON POLINOMIOS
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE CONSOLIDAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
Polynomial Operations
ESQUEMA DE ANCLAJE DESCRIPCIÓN Un esquema de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Se trata de una herramienta para apoyar la instrucción y consolidar el aprendizaje del estudiante a lo largo del alcance.
MATERIALES
• 1 hoja de papel cuadriculado • 1 juego de marcadores multicolores
PREPARACIÓN
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
• Imprima una copia del ejemplo de «Esquema de anclaje», si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. El ejemplo de esquema puede utilizarse como referencia antes de crear el de la clase. Su creación debe ser dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje. 2. A medida que los estudiantes trabajen en el alcance, colaboren para agregar piezas al «Esquema de anclaje». Formule las siguientes preguntas orientadoras: a. «¿Qué estrategia utilizamos para resolver este problema?». b. «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?». 3. Continúe añadiendo habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada exploración para resaltar el contenido importante. 4. Explique que pueden utilizar este gráfico como herramienta de apoyo para su aprendizaje. Los estudiantes también pueden pegar una copia del ejemplo de «Esquema de anclaje» en sus cuadernos para utilizarla como referencia a lo largo del año. 5. Algunos «Esquemas de anclaje» sólo se mostrarán durante un alcance o grupo de alcances concretos, mientras que otras permanecerán expuestas durante todo el curso escolar.
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ÁLGEBRA 1: OPERACIONES CON POLINOMIOS
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA Polynomial Operations
DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE Instructions ● Cut out the organizer, and glue or tape it into your notebook. ● Match the product to the correct binomial pair, and glue or tape it into the corresponding box.
(x + 5)(x – 5)
Glue product here.
4x² – 9
(x + 5)²
Glue product here.
x² – 25
(x – 3)(x + 3)
Glue product here.
x² + 10x + 25
(2x + 5)(2x – 5)
Glue product here.
x² – 6x + 9
(x – 3)²
Glue product here.
x² – 9
(2x – 3)(2x + 3)
Glue product here.
4x² + 20x + 25
(2x + 5)²
Glue product here.
4x² – 12x + 9
(2x – 3)²
Glue product here.
4x² – 25
LIBRETA INTERACTIVA DESCRIPCIÓN Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase al usar la actividad y la libreta.
MATERIALES IMPRESO
Polynomial Operations
Instructions ● Solve each of the problems below using the specified method. ● Once you have the final product, circle the coefficients in blue, circle the variables in red, and circle the constant in green. ● Cut out the organizer, and glue or tape it into your notebook.
Solve using algebra tiles.
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del «Folleto del estudiante» para cada uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Prepare una «Libreta interactiva» al usar un cuaderno de espiral o de composición para cada uno. Los estudiantes pueden utilizar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades. 2. Las instrucciones para cada actividad se proporcionan en el «Folleto del estudiante». 3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos. 4. Las libretas interactivas pueden utilizarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
Solve using an area model.
FOLLETO DEL ESTUDIANTE
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ÁLGEBRA 1: OPERACIONES CON POLINOMIOS
ELABORAR: REVISIÓN EN ESPIRAL Polynomial Operations
REVISAR CONCEPTOS PREVIOS
REVISIÓN EN ESPIRAL: CORRER A CAMPO TRAVIESA DESCRIPCIÓN Los estudiantes repasen contenidos previos o actuales del grado para ayudar a apoyar su trabajo en el alcance actual y fortalecer las habilidades necesarias para alcances posteriores.
Cross Country Running Sakura was on the cross country team in middle school, and now she is the team captain of the junior varsity team in high school. Sakura rallies her teammates and gets them pumped up for their races. Girls cross country teams run approximately 2 miles, or 3,200 meters, in a typical race event. Sakura recently heard about running races for charity. Running for charity means that Sakura can combine her love of running with her passion for giving back to others. She will sign up for a race in honor of a charity, and her friends and family can donate to the charity. Some of the races that Sakura is considering are distances of 5 kilometers, 10 kilometers, or 13.1 kilometers. Training for these races varies due to the length of the race. Each week builds in more and more miles until just before the race.
REVISIÓN EN ESPIRAL CENTRADA EN LA PREGUNTA • Pregunta 1
◦ ALG I: Calcular la tasa de cambio de una función lineal. • Pregunta 2 ◦ ALG I: Representar desigualdades lineales en dos variables. • Pregunta 3 1
◦ ALG I: Crear ecuaciones en dos variables. • Pregunta 4 ◦ ALG I: Reescribir expresiones que involucren radicales y exponentes racionales usando las propiedades de los exponentes.
PREPARACIÓN
Polynomial Operations
1.
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a tratar de responder las preguntas independientemente sin usar recursos externos para ver lo que saben. Invite a los estudiantes a anotar ideas o fragmentos que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas. 3. Utilice las preguntas de revisión en espiral como calentamiento en clase, o envíelas a casa como tarea. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos. 4. Consulte la sección «Revisión en espiral centrada en la pregunta» para evaluar los conocimientos de contenido de los estudiantes o su necesidad de una mayor intervención. Si es necesario repasar más, utilice el «Constructor de fluidez» en los alcances apropiados. 5. El objetivo final incluye una parte de este alcance para que los estudiantes vean la conexión y relevancia de su aprendizaje previo.
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The table shows the relationship between the number of minutes Sakura has run and her total distance at that time. If Sakura keeps up this pace, how many kilometers will she have run after 60 minutes?
2.
The equation d = 0.16m can be used to calculate d, the distance Sakura runs in m, minutes. Which graph best represents the solution set if Sakura wants to run faster than her usual pace of 0.16 km per minute?
A. Number of Minutes
10
20
30
40
Distance (km)
1.6
3.2
4.8
6.4
The answer is 9.6 km. 3.
Sakura and her friend shopped for new running socks and water bottles. Sakura paid $54 for 4 pairs of running socks and 2 water bottles. Her friend paid $11 more than Sakura for 3 pairs of running socks and 5 water bottles. Write a system of equations that can be used to find the price in dollars of each pair of running socks, x, and each water bottle, y.
The answer is 4x + 2y = 54 and 3x + 5y = 65.
B.
The answer is A. 4.
The expression below signifies the combined results for Sakura’s cross country team. Write the expression in simplest form.
The answer is 64x13. 2
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: OPERACIONES CON POLINOMIOS
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS ELABORAR: CIENCIA DE DATOS
CIENCIA DE DATOS Ciencia de datos es un breve debate en clase basado en un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. La parte I incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los estudiantes en contexto.
DESCRIPCIÓN
PARTE II 1. Repase las partes de una expresión y cómo combinar términos semejantes, y escriba lo que los estudiantes recuerden en el papel milimetrado. 2. Comente las siguientes cuestiones: a
Los estudiantes analizarán, interpretarán y generarán conjuntos de datos, además de responder a preguntas basadas en los datos.
MATERIALES
b
IMPRESOS
c
• 1 conjunto de datos (por clase) REUTILIZABLES
Sin calcular la distancia, escriba una expresión que modele el coste del recorrido basándose en el consumo de combustible y el salario del conductor. d d __ · g+ __ s × r f
d
«¿Cuáles son los términos de tu expresión?». __ · g f d and __ s · r «¿Cuál es la unidad apropiada para utilizar en la expresión?». Explica. La expresión es una d millas f millas por galón
· g $ por galón medida de dólares. _______________
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase)
d millas s millas por galón galónes ______ $ $ horas _____ millas · _______ · galónes + millas · ______ · millas millas hora
+ _______________ · r $ por hora
• 1 rotulador (por clase) CONSUMIBLES
En primer término, las millas y los galones se anulan, dejando los dólares. En el segundo término, las millas y las horas se cancelan, dejando dólares.
• 1 trozo de papel milimetrado (por clase)
PREPARACIÓN
• Prepárese para proyectar el conjunto de datos para la clase. • Reúna un trozo de papel milimetrado y un rotulador.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
a.
Calcula la distancia total de la gira, con la banda comenzando en Tallahassee y terminando en Tallahassee. 6,111 millas
d
Entre Tallahassee y Pittsburgh, la velocidad promedio del autobús de la gira es de 65 millas por hora y el autobús consume alrededor de 12 millas por galón. Sustituye las variables correspondientes por los
1. Proyecte el conjunto de datos y prepárese para anotar las observaciones de los estudiantes.
2,629
2. Comente las siguientes preguntas:
valores conocidos y simplifica la expresión. ______ · g 15 2,629 + ______ · r = 76.92g +14.2r 60
a.
«¿Qué observa en este conjunto de datos?».
b.
«¿Qué representa este conjunto de datos?».
b.
c.
«¿Qué categorías se incluyen en este conjunto de datos?».
«¿Cómo se llaman los números en tu expresión simplificada?». Coeficientes
c.
d.
«¿Qué costes cree que se asociarían a la salida de gira de un grupo de música?».
«¿Por qué no puedes simplificar más la expresión?». 76.92g y 14.2r no son términos semejantes, por lo que no pueden combinarse.
e.
«¿Cuál de las variables del conjunto de datos podría sustituir por una constante?». Explique tu respuesta.
e.
f.
«¿Qué preguntas tienes sobre los datos?».
Entre Pittsburgh y Sacramento, la velocidad media del autobús turístico es de 60 millas por hora y el autobús consume unas 15 millas por galón. Sustituye las variables correspondientes por los 2,629 valores conocidos y simplifica la expresión. _____ · g 15 2,629
Polynomial Operations
Touring Costs
+ _____ · r = 175.27g + 43.28r 60
f.
Combina tus expresiones de la parte e y la parte i para el viaje completo de Tennessee a Sacramento. 76.92g + 14.2r + 175.27g + 43.2882r = 252.19g + 57.4802r
g.
Entre Sacramento y Tallahassee, la velocidad media del autobús turístico es de 70 millas por hora y la tarifa por hora del conductor es de 28,50 $. Sustituye los valores conocidos por las variables 2,559 2,559 apropiadas y simplifica tu expresión. ______ · g + ______ 70 2,559g f
· 28.50 = _______ + 1,041.88
h. 1
CONJUNTO DE DATOS
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f
Nombra las partes de esta expresión. Los términos 2,559g f
son _______ and 1,041.88. La constante es 1,041,88.
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ÁLGEBRA 1: OPERACIONES CON POLINOMIOS
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN
Polynomial Operations
ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN DESCRIPCIÓN Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede utilizarse como evaluación formativa para los maestros y como autoevaluación para los estudiantes.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 folleto del maestro (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del maestro» y un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
Polynomial Operations How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Understand that polynomials form a system analogous to the integers, namely, they are closed under the operations of addition, subtraction, and multiplication; add, subtract, and multiply polynomials. Interpret expressions that represent a quantity in terms of its context. a. Interpret parts of an expression, such as terms, factors, and coefficients.
Interpret expressions that represent a quantity in terms of its context. b. Interpret complicated expressions by viewing one or more of their parts as a single entity. For example, interpret P(1 + r)ⁿ as the product of P and a factor not depending on P.
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Notes and Feedback
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 3. Distribuya un «Folleto del estudiante» a cada uno. 4. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Explorar» y «Explicar» del alcance, evalúe formativamente su progreso tomando notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo. 5. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo. 6. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje. 7. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el «Folleto del maestro». 8. Las notas anecdóticas proporcionadas en el «Folleto del maestro» pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares. 9. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la «Guía de instrucción andamiada» en la sección «Inicio» de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
1
Polynomial Operations
Standards for Mathematical Practice
Notes and Feedback
Make sense of problems and persevere in solving them Reason abstractly and quantitatively Construct viable arguments and critique the reasoning of others Model with mathematics Use appropriate tools strategically
Attend to precision Look for and make use of structure Look for and express regularity in repeated reasoning
Consider these reflection questions in this scope. ●
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them?
●
What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
2
FOLLETO DEL MAESTRO
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ÁLGEBRA 1: OPERACIONES CON POLINOMIOS
EVALUAR: MAPA DE CALOR EVALUACIÓN DE HABILIDADES
MAPA DE CALOR DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
1. Dé un «Mapa de calor» a cada estudiante junto con lápices de colores rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s).
MATERIALES
2. Los estudiantes utilizan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el «Mapa de calor». Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los estudiantes colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, los estudiantes colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, los estudiantes colorean el cuadro correspondiente de rojo.
• 1 mapa de calor (por estudiante) • 1 lápiz de color rojo (por estudiante) • 1 lápiz de color azul (por estudiante) • 1 lápiz de color naranja (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Determine si los estudiantes analizarán su «Prueba de habilidades», la «Evaluación basada en estándares», o ambas.
3. Anímelos a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a utilizar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada.
• Imprima un «Mapa de calor» para cada estudiante. • Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
4. Consulte la «Guía de instrucción andamiada» que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
Polynomial Operations
Polynomial Operations
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key.
Red – misconception
Understand that polynomials form a system analogous to the integers, namely, they are closed under the operations of addition, subtraction, and multiplication; add, subtract, and multiply polynomials.
1. Which skill did you feel most confident with? Why?
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
1
6
7
8
3. Which type of error did you most commonly make?
Not Assessed
3
4
Red – misconception
Standards Understand that polynomials form a system analogous to the integers, namely, they are closed under the operations of addition, subtraction, and multiplication; add, subtract, and multiply polynomials.
9
2
Orange – explanation
Standards-Based Assessment
Questions
Interpret expressions that represent a quantity in terms of its context. a. Interpret parts of an expression, such as terms, factors, and coefficients. Interpret expressions that represent a quantity in terms of its context. b.Interpret complicated expressions by viewing one or more of their parts as a single entity. For example, interpret P(1 + r)ⁿ as the product of P and a factor not depending on P.
Blue – miscalculation
Reflection Questions
Skills Quiz Standards
Polynomial Operations
4. How can you avoid those errors in the future?
5
10
1
2
Questions
1
5
6
8
9
10
Interpret expressions that represent a quantity in terms of its context. a. Interpret parts of an expression, such as terms, factors, and coefficients.
2
3
Interpret expressions that represent a quantity in terms of its context. b.Interpret complicated expressions by viewing one or more of their parts as a single entity. For example, interpret P(1 + r)ⁿ as the product of P and a factor not depending on P.
4
7
3
MAPA DE CALOR
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ÁLGEBRA 1: OPERACIONES CON POLINOMIOS
INTERVENIR: REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES
Polynomial Operations
REFORZAR Y VOLVER A ENSEÑAR
REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES DESCRIPCIÓN Esta actividad está diseñada para repaser los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para intervención.
MATERIALES IMPRESO
Checkup Simplify the expressions. Determine the sum and difference as indicated. Write your answer in standard form. 1.
−10(v2 + v) + (3v2 + 9v) –7v2 – v
2.
–2x(x2 + 2) + [(3x3 + 8x2 – 6x + 2) + (7x – 8)] x3 + 8x2 – 3x – 6
Use the triangle below for questions 3 and 4.
3.
Your friend wants to know the perimeter of the garden above. He believes it can only be written using addition. a.
Write and find the perimeter as a sum. 6b – 8c + 6b – 8c + 4b + 12c = 16b – 4c
b.
Write and find the perimeter in a way that involves operations other than only addition. If it is not possible, explain why not. 2(6b – 8c) + 4b + 12c = 16b – 4c
• 1 revisión rápida (por estudiante) • 1 repaso (por estudiante) • 1 revisión general (por estudiante) • 1 lista de verificación para el maestro (por maestro)
1
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de la «Revisión rápida», el «Repaso» y la «Revisión general» para cada estudiante.
Polynomial Operations
4.
a.
• Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar el «Repaso». • Si lo desea, imprima un ejemplo del «Esquema de anclaje» de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que usen la «Libreta interactiva» como recurso. • Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayudas suplementarias para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
Your friend now needs to calculate the area. Write and find the area of the triangle. (4b + 12c)(3b – 9c) = 6b2 – 54c2
b.
Your friend decides to instead put two triangles together at the base to form a square. What would be the area of the square? (6b – 8c)(6b – 8c) = 36b2 – 96bc + 64c2
For questions 5 and 6, solve using an area model. Show all work. 5.
x(30x – 72)
25x2 – 60x 6.
(3y2 + 7y + 4)(y2 – 1)
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Dé una copia de la «Revisión rápida» a cada estudiante.
3y4 + 7y3 + y2 – 7y – 4
2. Cada uno debe completarla de forma independiente.
2
3. Use la rúbrica de habilidades al final de la «Revisión rápida» para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional. 4. Distribuya una copia del «Repaso» a cada uno.
Polynomial Operations
7.
5. Cada estudiante debe completar el «Repaso» como actividad de intervención o de forma independiente. a. Si lo desea, reúna a los estudiantes en pequeños grupos para trabajar en las destrezas de repaso. Utilice el «Repaso» como ayuda para la reenseñanza. 6. Distribuya una copia de la «Revisión general» a cada uno.
Binomials
Special Products
Not Special Products
Product
✔
x2 + 3mx + 3xz + 9mz
(x + 3z)(x + 3m)
8.
(y + 4r)(4r + y)
✔
y2 + 8ry + 16r2
(5g – 3h)(5g + 3h)
✔
25g2 – 9h2
A carpenter is making a square table. The side length of the tabletop is 20w + 15h. Write and solve an equation to find the amount of material the carpenter needs for the tabletop. (20w + 15h)2 = 400w2 + 600hw + 225h2
9.
A square frame has an interior glass length of 8y – 3z inches. The width of the frame itself is y inches. What is the area of the frame and glass combined? (10y – 3z)(10y – 3z) = 100y2 – 60yz + 9z2 square inches
7. Cada estudiante debe completarla de forma independiente. 8. Analice los resultados de la «Revisión general» al usar la «Lista de verificación para el maestro» para identificar quienes necesitan un repaso adicional y quienes han alcanzado el dominio de los conceptos.
Determine whether the binomials below are cases of special products. Then, multiply to find the product of the binomials.
10.
Determine which binomials multiply to create 36f2 – 64g2. A. B. C. D.
(6f + 8g)(6f – 8g) (6f + 8g)2 (6f – 8g)2 Not enough information is given.
3
REVISIÓN GENERAL CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: OPERACIONES CON POLINOMIOS
ACELERACIÓN: ¿QUÉ PREFERIRÍAS? Polynomial Operations
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
¿QUÉ PREFERIRÍAS?: OPORTUNIDADES DE VOLUNTARIADO
Volunteer Opportunities Use mathematical reasoning and creativity to justify your answer to the Would You Rather question. As a volunteer for a humanitarian organization, you are needed to help with some renovations at a local park and playground. The community garden and the sandbox both need new borders installed around the outside of each. Considering the dimensions of the garden and the sandbox, would you rather help with the garden or the sandbox? Justify your reasoning with mathematics.
Garden
DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
Sandbox
MATERIALES IMPRESOS
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 rúbrica (por maestro) The following statements are sample answers: I would rather work on the garden. The perimeter of the garden can be represented by 10x + 6. When I substituted values for x, this perimeter was longer than the perimeter of the sandbox. I want to work on the larger project! I would rather work on the sandbox. The perimeter of the sandbox can be represented by 11x + 4. When I substituted values for x, this perimeter was shorter than the garden. I want to work on the shorter project so I can get another project accomplished after this.
1
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno. • Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a mirar sus folletos de «Explorar» si necesitan repaser habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros. 4. Utilice la rúbrica proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
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ÁLGEBRA 1: OPERACIONES CON POLINOMIOS
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Polynomial Operations
OPCIONES PARA EL APRENDIZAJE CONTINUO
TABLERO DE OPCIONES DESCRIPCIÓN Los estudiantes explorarán las conexiones con el mundo real y las aplicaciones del contenido matemático a través de interacciones con actividades atractivas.
MATERIALES IMPRESO
• 1 tablero de opciones (por estudiante) • 1 juego de hojas de actividades (por estudiante) • 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante) REUTILIZABLE
• Tecnología (si corresponde)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Tablero de opciones» y un juego de hojas de actividades para cada estudiante. • Imprima una «Autoevaluación del tablero» para cada estudiante. • Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
Polynomial Operations Choose one or more extension activities from the table below. Career Connection
Technology Connection
Restaurant Owner
PhET Simulation
Arts Connection
Equivalent Representations
Research the career field of a restaurant owner. Your research must answer the provided questions. Create a presentation to relay your research to the class.
Algebraic Art
Simplify and interpret expressions.
Operations
Create a piece of artwork with algebra tiles, and represent your design using an algebraic expression.
Use polynomial operations to create equivalent expressions.
Mathematician Spotlight
Financial Connection
Al-Samaw’al
Picture Frame Options
Search for several news articles or research papers that involve Al-Samaw’al’s work. Create an informational poster, a diorama, or a speech to convey this mathematician’s work as it relates to polynomial operations.
We use math every day in our financial world. Explore how our current math topic connects to our financial world by completing the handout.
TABLERO DE OPCIONES
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» a cada estudiante. 2. Dé tiempo a los estudiantes para examinar el «Tablero de opciones» y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anímelos a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del tablero, haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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ÁLGEBRA 1: OPERACIONES CON POLINOMIOS
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<<GRADO>> GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS ÁLGEBRA 1
GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: MATCH AROUND THE ROOM
ESTÁNDARES CLAVE Representar y resolver ecuaciones e inecuaciones gráficamente. • Entender que la gráfica de una ecuación en dos variables es el conjunto de todas sus soluciones trazadas en el plano de coordenadas, a menudo formando una curva (que podría ser una recta). Interpretar la estructura de expresiones. • Interpretar expresiones que representan una cantidad en términos de su contexto. • Interpretar partes de una expresión, como términos, factores y coeficientes. Interpretar funciones que surgen en aplicaciones en términos del contexto. • Para una función que modela una relación entre dos cantidades, interpretar características clave de gráficas y tablas en términos de las cantidades, y dibujar gráficas que muestren características clave dada una descripción verbal de la relación. Las características clave incluyen intersecciones; intervalos en los que la función es creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos; simetrías; comportamiento final; y periodicidad. • Relacionar el dominio de una función con su gráfica y, en su caso, con la relación cuantitativa que describe. Por ejemplo, si la función h da el número de horas-persona que se tarda en montar n motores en una fábrica, entonces los números enteros positivos serían un dominio apropiado para la función. • Calcular e interpretar la tasa de variación media de una función (presentada simbólicamente o en forma de tabla) a lo largo de un intervalo especificado. Estimar la tasa de cambio a partir de una gráfica. Analizar funciones utilizando diferentes representaciones. • Graficar funciones expresadas simbólicamente y mostrar las características clave de la gráfica, a mano en casos sencillos y utilizando tecnología para casos más complicados. • Graficar funciones lineales y cuadráticas y mostrar intersecciones, máximos y mínimos. *Este alcance se centra en las cuadráticas.
ESTÁNDARES DE CONEXIÓN Comprender el concepto de función y utilizar la notación de función. • Comprender que una función de un conjunto (llamado dominio) a otro conjunto (llamado rango) asigna a cada elemento del dominio exactamente un elemento del rango. Si f es una función y x es un elemento de su dominio, entonces f(x) denota la salida de f correspondiente a la entrada x. La gráfica de f es la gráfica de la ecuación y = f(x). • Utilizar la notación de funciones, evaluar funciones para entradas en sus dominios e interpretar enunciados que utilizan la notación de funciones en términos de un contexto.
Los estudiantes participarán en una actividad de emparejamiento de tarjetas para evaluar su comprensión de un estándar matemático previo, centrándose en la identificación de conceptos erróneos sin calificar. • Los estudiantes escribirán números en un papel para prepararse para la tarea de emparejamiento. • Circularán por la sala para emparejar tarjetas numeradas con sus correspondientes tarjetas con letras. • Los estudiantes discutirán su razonamiento con sus compañeros para facilitar la comprensión. CAPTAR INTERÉS Los estudiantes explorarán las funciones cuadráticas relacionándolas con el escenario real del lanzamiento de un cohete. • Presenta el escenario utilizando un video y anima a los estudiantes a observar y cuestionar los elementos matemáticos involucrados. • Proyecta y discute gráficas de funciones cuadráticas, resaltando las diferencias con las gráficas lineales y su relevancia para modelar la trayectoria de vuelo del cohete.
ACTIVIDADES DE EXPLORAR EXPLORACIÓN 1: CARACTERÍSTICAS Y ATRIBUTOS CLAVES Los estudiantes explorarán escenarios de movimiento de la vida real modelados por funciones cuadráticas, identificando las características clave de las parábolas a través del análisis de gráficas. • Los estudiantes trabajarán en grupos para analizar gráficas de funciones cuadráticas que representan saltos en patineta, identificando características como intersecciones, vértices y ejes de simetría. • Participarán en discusiones guiadas para profundizar su comprensión de la simetría y los puntos clave de las parábolas. • Los estudiantes aplicarán sus conocimientos a nuevos escenarios que involucran saltos en bicicleta de montaña y clavados en acantilados, utilizando gráficos para determinar los resultados de la competencia. EXPLORACIÓN 2: RAÍCES, CEROS, INTERSECCIONES X Y SOLUCIONES Los estudiantes analizarán gráficos de funciones cuadráticas y ecuaciones en forma factorizada para identificar ceros, intersecciones x, soluciones y raíces. • Los estudiantes trabajarán en grupos para examinar la relación entre los ceros y los factores lineales usando Tarjetas de Resultados y registrarán sus hallazgos en los diarios del estudiante. • Participarán en discusiones guiadas para profundizar su comprensión de cómo los intersecciones x se relacionan con los factores de la función cuadrática. • Los estudiantes analizarán ecuaciones factorizadas para determinar las raíces y soluciones, usando preguntas guía para apoyar su razonamiento. EXPLORACIÓN 3: ESCRIBIR ECUACIONES EN FÓRMULA DE VÉRTICE Los estudiantes escribirán funciones cuadráticas en forma de vértice y las convertirán a forma estándar mientras analizan escenarios del mundo real que involucran puentes colgantes. • Los estudiantes trabajarán en grupos para analizar un escenario dado y crear ecuaciones que modelen los cables de soporte para puentes colgantes. • Usarán sus diarios para registrar su trabajo y hallazgos mientras exploran las relaciones entre las diferentes formas de ecuaciones cuadráticas. • Los estudiantes completarán una Página del Arquitecto llenando la información faltante y respondiendo preguntas sobre escenarios de puentes adicionales. EXPLORACIÓN 4: RESOLUCIÓN DE A EN FUNCIONES CUADRÁTICAS Los estudiantes escribirán funciones cuadráticas en forma estándar o factorizada usando soluciones reales o gráficas y un tercer punto para encontrar el coeficiente 'a'. • Los estudiantes analizarán un escenario que involucre un túnel parabólico para bosquejar la parábola y registrar su trabajo. • Colaborarán en grupos para determinar las raíces y el vértice de la función cuadrática. • Los estudiantes usarán la sustitución para encontrar el coeficiente 'a' introduciendo un tercer punto en la ecuación. EXPLORACIÓN 5: IDENTIFICACIÓN DE CARACTERÍSTICAS CLAVE Y FUNCIONES CUADRÁTICAS EQUIVALENTES Los estudiantes analizarán funciones cuadráticas en vértice y formas factorizadas para identificar características clave y determinar si diferentes ecuaciones representan la misma función reescribiéndolas en forma estándar. • Los estudiantes colaborarán en grupos para identificar las características clave de Las ecuaciones cuadráticas y determinar su equivalencia. • Los estudiantes utilizarán métodos algebraicos para reescribir ecuaciones en forma estándar para la comparación. • Los estudiantes participarán en discusiones guiadas para profundizar su comprensión de las relaciones entre las diferentes formas de ecuaciones cuadráticas.
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ÁLGEBRA DE 1: GRÁFICAS DECUADRÁTICAS FUNCIONES CUADRÁTICAS GRÁFICAS FUNCIONES <<GRADE>>
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES INVESTIGAR FUNCIONES
SISTEMAS DE ECUACIONES
MODELAR CON FUNCIONES
CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
CONCEPTOS CLAVE
PREGUNTAS FUNDAMENTALES
• Puedo identificar e interpretar las características clave de una función cuadrática a partir de un gráfico o una tabla.
• «¿En qué se parecen las raíces, los ceros, los intersecciones x y las soluciones? ¿En qué se diferencian?».
• Puedo dibujar un gráfico de una función cuadrática que muestre las características clave dada una descripción verbal.
• «¿Cómo se relacionan los factores de una ecuación cuadrática y los ceros de la misma función cuadrática?».
• Puedo identificar un dominio y un rango razonables de una situación representada por una función cuadrática. • Puedo identificar y establecer conexiones entre las raíces, los ceros, las intersecciones x y las soluciones de una función cuadrática.
• «¿Cómo se pueden identificar las características clave de una función cuadrática a partir de una tabla o una gráfica?». • «¿Cómo se relacionan las representaciones de las funciones cuadráticas?».
• Puedo escribir una función cuadrática dados los ceros y luego traducirla a la forma estándar.
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
CONTENIDOS DE APOYO Representar y resolver ecuaciones e inecuaciones gráficamente. • Entender que la gráfica de una ecuación en dos variables es el conjunto de todas sus soluciones trazadas en el plano de coordenadas, a menudo formando una curva (que podría ser una recta). Interpretar la estructura de expresiones. • Interpretar expresiones que representan una cantidad en términos de su contexto. ◦ Interpretar partes de una expresión, como términos, factores y coeficientes. Interpretar funciones que surgen en aplicaciones en términos del contexto. • Para una función que modela una relación entre dos cantidades, interpretar características clave de gráficas y tablas en términos de las cantidades, y dibujar gráficas que muestren características clave dada una descripción verbal de la relación. Las características clave incluyen intersecciones; intervalos en los que la función es creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos; simetrías; comportamiento final; y periodicidad. • Relacionar el dominio de una función con su gráfica y, en su caso, con la relación cuantitativa que describe. Por ejemplo, si la función h da $el número de horas-persona que se tarda en montar n motores en una fábrica, entonces los números enteros positivos serían un dominio apropiado para la función. • Calcular e interpretar la tasa de variación media de una función (presentada simbólicamente o en forma de tabla) a lo largo de un intervalo especificado. Estimar la tasa de cambio a partir de una gráfica. Analizar funciones usando diferentes representaciones. • Graficar funciones expresadas simbólicamente y mostrar características clave de la gráfica, a mano en casos sencillos y usando tecnología para casos más complicados. ◦ Graficar funciones lineales y cuadráticas y mostrar intersecciones, máximos y mínimos. Este alcance se enfoca en las cuadráticas.
CONOCIMIENTOS PREVIOS En grados anteriores, los estudiantes desarrollaron el entendimiento de que reescribir una expresión en diferentes formas en el contexto de un problema puede arrojar luz sobre el problema y cómo se relacionan las cantidades en él. Los estudiantes han desarrollado la comprensión de que una función asigna a cada entrada exactamente una salida. Los estudiantes han explicado qué significa un par ordenado en la gráfica de una relación proporcional en función de la situación. Los estudiantes han comparado propiedades de funciones representadas de distintas formas.
CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
• Los estudiantes a menudo piensan que una solución de x = 0 no es una respuesta válida, cuando sólo significa que el vértice de la ecuación cuadrática descansa sobre el eje x. • Los estudiantes a menudo confunden las palabras raíces, ceros, soluciones e x-intersecciones y no se dan cuenta de que esas palabras pueden usarse indistintamente para describir las x-intersecciones de la cuadrática. • Exponer a los estudiantes a contextos donde las cuadráticas modelan muchos tipos diferentes de situaciones ayudará a construir su comprensión de la relación entre el gráfico y el conjunto de soluciones de una ecuación de dos variables.
EN ESTE ALCANCE En este grado, los estudiantes ampliarán su comprensión de la pendiente como la tasa de cambio de una función lineal. Los estudiantes deben reconocer que los factores lineales son los ceros de una función cuadrática. Al establecer cada uno de los factores lineales igual a cero, los estudiantes pueden resolver los intersticios x de la función cuadrática. Los estudiantes deben ser capaces de representar soluciones a una ecuación de dos variables utilizando una gráfica, interpretar una gráfica basándose en el contexto de la situación, relacionar conjuntos de soluciones dadas como gráficas y tablas, utilizar la tecnología para visualizar e interpretar los pares ordenados como el conjunto de soluciones. Deben ser capaces de interpretar los términos de una ecuación así como las características de la gráfica en el contexto de una situación. Deben ser capaces de utilizar con flexibilidad múltiples representaciones de funciones e identificar sus características principales. TÉRMINOS A CONOCER
• sistema de ecuaciones: dos o más ecuaciones con dos o más variables • ecuación lineal: una ecuación en la que ninguna variable tiene una potencia mayor que 1; la forma general es y = mx + b, donde m = pendiente y b = y-intersección. • ecuación cuadrática: una ecuación que puede escribirse en la forma de ax2 + bx + c = 0 donde a, b y c son números reales y a ≠ 0 • variable: una letra o símbolo que ocupa el lugar de un número que puede cambiar; una letra que puede representar un número desconocido o un conjunto de números • ecuación: un enunciado matemático que muestra que dos expresiones son iguales entre sí • desigualdad: enunciado matemático que utiliza símbolos como <, ≤, > o ≥ para comparar dos cantidades • conjunto: grupo de números u objetos únicos llamados miembros o elementos • coordenada x: primer término de un par ordenado; proporciona la ubicación a lo largo del eje x dentro del plano de coordenadas
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO
• líneas que se cruzan: líneas que se cruzan en un punto • solución: cualquier número que hace que una ecuación sea verdadera • función lineal: una relación que cuando se representa gráficamente es una línea recta • expresión (expresión algebraica): números, variables y símbolos agrupados sin un signo igual para mostrar una relación • coeficiente: el número colocado directamente delante de una variable que indica que hay que multiplicar ese número por la variable • término: un número, una variable o un producto de números y variables en una expresión separados por suma, resta o, a veces, división • factor: Número o expresión algebraica por el que se puede dividir otro número o expresión algebraica sin que quede un resto • intervalo positivo/negativo: los intervalos positivos son los que están por encima del eje x; los intervalos negativos son los que están por debajo del eje x. • máximo relativo: un punto que es más alto que los puntos situados directamente a su lado en ambos lados • mínimo relativo: un punto que es más bajo que los puntos situados directamente a su lado en ambos lados.
• simetría: propiedad intrínseca de un objeto matemático que hace que permanezca invariable bajo ciertas clases de transformaciones • comportamiento final: tendencia que sigue el gráfico a medida que x se aproxima al infinito en las direcciones negativa y positiva • dominio: el conjunto de todos los posibles valores de entrada (x valores) de una relación o función • tasa media de cambio: cambio total de los valores de la función (valores de salida) dividido por el cambio en los valores de entrada • intervalo: la cantidad de tiempo que pasa de un periodo de tiempo al siguiente; la distancia entre dos puntos • función cuadrática: una función que puede escribirse de la forma f(x) = ax2 + bx + c = 0 donde a, b, y c son números reales y a ≠ 0, o de la forma f(x) = a(x - h)2+ k, donde a, h, y k son números reales y a ≠ 0 • valor máximo: el lugar donde una función alcanza su punto más alto, o vértice, en una gráfica. • valor mínimo: el lugar donde una función alcanza su punto más bajo, o vértice, en un gráfico • intercepción: el punto o puntos en los que una función o relación corta un eje • tasa de cambio: la tasa que muestra cómo cambia una cantidad en relación con otra cantidad
APLICACIÓN DE PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes utilizan datos en forma de gráfico para determinar las raíces y escribir una ecuación que represente los datos. Primero dan sentido a la gráfica para determinar las coordenadas de las raíces y luego determinan qué fórmula utilizar para escribir con precisión la ecuación. • MP.2 Razonan abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes contextualizan datos de gráficas para describir un escenario. Buscan puntos específicos para encontrar detalles sobre el escenario, incluyendo la altura máxima, la altura inicial y el tiempo pasado en el aire. • MP.3 Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros: Los estudiantes justifican qué forma de una función cuadrática debe usarse con ciertos datos y explican qué datos pueden determinarse cuando se da una función cuadrática en una forma específica. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes utilizan ecuaciones para modelar los cables de soporte de puentes colgantes. Se les dan características específicas sobre cada puente y determinan la ecuación cuadrática que cumple con precisión los criterios. • MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas: Los estudiantes utilizan calculadoras gráficas para escribir funciones cuadráticas en forma estándar o factorizada y calculan los valores que faltan para asegurar que una ecuación representa con precisión un escenario. • MP.6 Prestar atención a la precisión: Los estudiantes analizan detenidamente las gráficas para encontrar con precisión las características clave de las funciones cuadráticas, incluyendo el mínimo, el máximo, las intercepciones, el eje de simetría y el vértice. • MP.7 Buscar y hacer uso de la estructura: Los estudiantes descomponen ecuaciones de funciones cuadráticas para encontrar detalles específicos sobre las funciones y determinar características clave necesarias para graficar, como intersecciones o el vértice. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes reconocen que formas específicas de funciones cuadráticas son más fáciles de escribir cuando se les dan detalles específicos sobre la función y luego usan esta información para simplificar el proceso de escribir una ecuación de una función cuadrática.
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO
ATRIBUTOS DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS Los estudiantes podrán reconocer que la forma de una función cuadrática es una parábola y podrán identificar características clave como x-intercepción, y-intercepción, ceros, valor máximo, valor mínimo, vértice y eje de simetría.
Ejemplo: Responde a las siguientes preguntas sobre los atributos de la función cuadrática que se muestra a continuación.
El vértice es un punto que es el valor extremo de la parábola. Si la parábola se abre hacia arriba, el vértice es el punto más bajo y representa el valor mínimo. Si la parábola se abre hacia abajo, el vértice es el punto más alto y representa el valor máximo. a
«¿Cuál es el vértice?». (2, 16)
b
«¿El vértice es un valor mínimo o máximo?». Explica. El vértice es un valor máximo porque es el punto más alto de la gráfica ya que la parábola se abre hacia abajo.
c «¿Cuál es la y-intercepción?». (0, 12) d
«¿Cuáles son las x-interceptadas?». (-2, 0) y (6, 0)
e
«¿Cuál es el eje de simetría?». x = 2
Ejemplo: Un estudiante afirma que la función cuadrática mostrada en la gráfica tiene un máximo en (-1, 0) porque toda la gráfica se encuentra sobre el eje x-. «¿Es correcto o incorrecto?». Explica.
La intersección x es el punto(s) donde la parábola cruza el eje x-axis. Una función cuadrática puede tener 0, 1 o 2 x-intersecciones. El cero de una función cuadrática es el valor de entrada que resulta en un valor de salida de 0. Los ceros son los mismos que la x-coordenada de la x-intercepción. Una función cuadrática puede tener 0, 1 o 2 ceros. La y-intercepción es el punto donde la parábola cruza el y-eje. El eje de simetría también se llama línea de simetría. La parábola es una imagen especular de sí misma al otro lado de la línea de simetría. Cualquier par ordenado en la parábola puede reflejarse sobre el eje de simetría, y se alinearía con otro punto de la parábola. Las intersecciones de x están a igual distancia del eje de simetría.
Es incorrecto. (-1, 0) es en realidad un punto mínimo porque es el punto más bajo de la función y ningún otro valor estará por debajo de él. Las funciones cuadráticas positivas tienen valores mínimos porque se abren hacia arriba. Las funciones cuadráticas negativas tienen valores máximos porque se abren hacia abajo. Ejemplo: Una función cuadrática tiene un vértice situado en (3, 7) y una x-intercepción de (10, 0). «¿Tiene esta función 1 o 2 raíces?». Explica. Esta función tiene dos raíces. La única posibilidad de que una función tenga una raíz es que el vértice esté en el eje x. En esta función, el vértice se encuentra en (3, 7), que no está en el eje x. Si esta función tiene 2 raíces, «¿dónde está la otra raíz?». Explica tu proceso. La otra raíz está situada en (-4, 0). Como el vértice está situado en (3, 7), el eje de simetría es x = 3. La intersección dada x está a siete unidades del eje de simetría, así que la otra intersección x está a siete unidades en la otra dirección.
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO
DOMINIO Y RANGO El dominio es el conjunto de todos los valores de entrada, y el rango es el conjunto de todos los valores de salida. Los estudiantes descubrirán a través de la investigación que el dominio de una función cuadrática es siempre todos los números reales. El rango está limitado por el vértice y depende de si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo. En situaciones reales, el dominio y el rango pueden estar limitados por restricciones del entorno. Por ejemplo, el tiempo y la distancia no pueden ser negativos. Para todas las funciones cuadráticas f(x) = ax2+ bx + c, con un vértice de (h, k): Dominio: Todos los números reales Rango: • Si a > 0, f(x) ≥ k • Si a < 0, f(x) ≤ k Los estudiantes estudiarán 3 formas principales de una ecuación cuadrática. Forma estándar
Forma de vértice
Forma factorizada
f(x) = ax2+ bx + c
f(x) = a(x -h)2 + k
f(x) = a(x - r1)(x - r2) donde r1 y r2 son las raíces
Los estudiantes usarán la multiplicación binomial para reescribir una ecuación dada en forma de vértice o factorizada a forma estándar. Ejemplo: Usa la información proporcionada para escribir la función en forma estándar y determinar el dominio y rango. Forma estándar g(x) = -3x2 + 12x - 5
Forma y vértice
Forma factorizada
Dominio y rango
g(x) = -3(x - 2)2+ 7
Dominio: todos los números reales
Vértice en (2, 7)
Rango: y ≤ 7
f(x) = 2x2 - 8x - 10
f(x) = 2(x - 5)(x + 1)
Dominio: todos los números reales
Vértice en (2, -18)
Rango: y ≥ -18
Ejemplo: «¿Cuál es el dominio y el rango de la función cuadrática que se muestra a continuación?».
a
Dominio: todos los números reales Rango: y < 3
b
Dominio: x ≤ 3 Rango: todos los números reales
c Dominio: y < 3 Rango: todos los números reales d Dominio: todos los números reales Rango: y ≤ 3 La respuesta correcta es la D. Las opciones de respuesta B y C pueden eliminarse porque todas las cuadráticas deben tener un dominio de todos los números reales. C también es incorrecta porque utiliza valores de y para el dominio en lugar de valores de x. La opción de respuesta A es incorrecta porque debería ser ≤ en lugar de <.
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO Ejemplo: Se deja caer una pelota desde lo alto de un edificio que mide 70 pies de altura. La altura sobre el suelo puede representarse mediante la ecuación h(t) = -16t2 + 64. Grafique la función para determinar cuál de las siguientes representa mejor un dominio razonable para el tiempo durante el cual la pelota está en el aire. a
-2 ≤ t ≤ 2
b
-4 ≤ t ≤ 2
c
0≤t≤2
d
0≤t≤4
Ejemplo: Se representa gráficamente la función cuadrática f(x) = (x + 1)(x - 3).
La respuesta correcta es C. Las opciones de respuesta A y B deben eliminarse inmediatamente porque el dominio representa el tiempo, y el tiempo no puede ser negativo. Cuando la pelota está sobre el edificio a 70 pies en el aire, el tiempo es 0. Cuando la pelota toca el suelo, la altura es 0. Sustituye 0 por h(t) y resuelve. Para graficar la función, crea una tabla de valores. Traza la coordenada y conecta con una línea curva suave.
a
«¿Cuáles son los ceros de la función?». -1 y 3
b «¿Qué notas sobre los ceros y los factores del polinomio?». Los ceros son los valores que harían cada binomio igual a cero. Ejemplo: Halla las x-interceptadas de la función cuadrática x2 - 2.5x + 6 = 0. Las intersecciones x son -1.5 y 4. Como esta función cuadrática está en forma estándar, los estudiantes se apoyarán en la tecnología para hacer la gráfica. Los estudiantes pueden introducir la ecuación en la calculadora gráfica y encontrar las x-interceptadas. Los x-intersecciones son donde la parábola cruza el eje x, lo que significa que las coordenadas serán (x, 0). La intersección de y = x2 - 2.5x + 6 y y = 0 producirá los x-intersecciones. Los pasos para encontrar los x-intersecciones en una calculadora gráfica son los siguientes: 1. Y =
RAÍCES, CEROS, INTERSECCIONES X Y SOLUCIONES Los estudiantes identificarán los ceros, x-intersecciones, soluciones y raíces de una función cuadrática. Los estudiantes también calcularán estos valores algebraicamente y utilizando la calculadora gráfica. Si se les da una gráfica, los estudiantes pueden identificar los ceros visualmente. Permita que los estudiantes examinen la relación entre los ceros de una función cuadrática y sus factores lineales. Los estudiantes descubrirán que los ceros de una función cuadrática resultan de establecer cada factor lineal igual a 0 y luego resolver para x.
2. Introduce x2 - 2.5x + 6 en y1 y 0 en y2. 3. GRAPH > 2ND > CALC > 5:intersect 4. Mueva el cursor cerca de una x-intercepción. Pulsa Intro tres veces. 5. Repite los pasos 3 y 4 para encontrar la otra x-intercepción. Ejemplo: «¿Cuáles son las soluciones de la función cuadrática f(x) = 2(x + 4)(x + 3)?». Las soluciones son x = -4, x = -3. x+4=0x+3=0 Establezca cada factor lineal igual a 0. x = -4 x = -3 Resuelva para x.
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO Ejemplo: Completa la información que falta en la tabla. Raíz/raíces
Cero(s)
Intersección(es) X
Solución(es)
Factores
5
x=5
(5, 0)
x=5
(x - 5)(x - 5)
3 y -2
x = 3, x = -2
(3, 0) y(-2, 0)
x = 3, x = -2
(x - 3)(x + 2) xml-ph-003
4y (2, 0)
x = 2, x = -1
(x + 1)(x - 2)
7y1
x = 7, x = 1
(1, 0) y (7, 0)
x = 7, x = 1
(x - 7)(x - 1)
0 y -9
x = 0, x = -9
(-9, 0) y (0, 0)
x = 0, x = -9
x ( 0)
ESCRIBIR FUNCIONES CUADRÁTICAS Los estudiantes escribirán funciones cuadráticas en forma estándar o factorizada cuando se les den soluciones reales o gráficas de las funciones. Si se les dan los ceros de las funciones, los estudiantes pueden crear factores lineales y usar la propiedad distributiva para escribir las funciones en forma estándar. Pueden comprobar sus ecuaciones utilizando una calculadora gráfica para comparar las características clave de las parábolas. Dos funciones pueden tener los mismos ceros pero no crear las mismas gráficas. Los estudiantes no deben olvidar el coeficiente a al escribir las ecuaciones. Los estudiantes usarán un tercer punto para encontrar a. Ejemplo: La gráfica de una función cuadrática g(x) tiene ceros en 3 y -1. La gráfica también pasa por el punto (-2, -9). «¿Cuál es la función en forma estándar?». En forma estándar, la función es g(x) = -1.8x2 - 3.6x + 5.4. 1. Usa los ceros para escribir factores lineales. x = 3 x = -1 x-3=0x+1=0 Los factores lineales son (x - 3) y (x + 1). 2. Escribe la función g(x) como producto de sus factores lineales. g(x) = (x - 3)(x + 1) 3. Sustituye las coordenadas x- y y- de (-2, -9) en la función para ver si la ecuación satisface ese punto. g(x) = (x - 3)(x + 1) -9 = (-2 - 3)(-2 + 1) -9 = -5 -1 -9≠5 La tercera coordenada (-2, -9) no satisface la ecuación. Esto significa que falta un coeficiente a: g(x) = a(x - 3)(x + 1). 4. Sustituye las coordenadas x- y y- de (-2, -9) en la función g(x) = a(x - 3)(x + 1) y resuelve para a. -9 = a(-2 - 3)(-2 + 1) -9 = 5a 9 - ___ =a 5 5. Utiliza la propiedad distributiva y el valor de a para escribir g(x) en forma estándar. 9 (x) = -___ (x - 3)(x + 1) 5
9 ( x2+ 2x – 3) g(x) = - __ 5
gx2 - 3,6x + 5.
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO
ESCRITURA DE ECUACIONES EN FORMA DE VÉRTICE Los estudiantes escribirán funciones cuadráticas en forma de vértice y traducirán entre forma estándar y forma de vértice. La forma de vértice de una función cuadrática es f(x) = a(x - h)2 + k. Los estudiantes recordarán cómo escribir ecuaciones lineales en forma de vértice y en qué situaciones esa forma resultó beneficiosa. Del mismo modo, examinarán la información dada y determinarán qué forma es más eficiente para trabajar. Si se les da el vértice de la parábola, pueden crear una ecuación en forma de vértice y usar otro punto dado en la parábola para determinar el valor de a.
Ejemplo: La función cuadrática j(x) se modela mediante la ecuación j(x) = -5(x + 2)2 + 50. «¿Qué opción representa la misma función escrita en forma estándar?». a j(x) = -5x2 + 20x +30 b
j(x) = -5x2 - 20x + 30
c j(x) = -5x2 + 20x - 50 d
j(x) = -5x2 - 20x - 50
«¿Cuál es la intersección y de la función?».y-intersección es fácilmente visible cuando la ecuación se escribe en forma estándar. La propiedad distributiva y las propiedades del álgebra se utilizan para simplificar la expresión. j(x) = -5(x + 2)2 + 50 j(x) = -5(x + 2)(x + 2) + 50 j(x) = -5(x2 + 4x + 4) + 50 j(x) = -5x2 - 20x - 20 + 50 j(x) = -5x2 - 20x + 30
AVANCES
Ejemplo: Escribe una ecuación en forma de vértice para una cuadrática con vértice (2, 5) que pasa por el punto (4, -3). La respuesta correcta es y = -2(x - 2)2 + 5. Los estudiantes sustituirán valores específicos para el vértice y el punto en la recta para calcular el valor a . Esto es necesario para escribir una ecuación para la función. Sustituye h = 2, k = 5, x = 4, y y = 3 en la forma de vértice y = a(x - h)2 + k. Resuelve para a. Una vez calculado a , sustituye ese valor y el vértice (h, k) de nuevo en la forma de vértice.
En álgebra 2, los estudiantes continuarán desarrollando estas habilidades escribiendo ecuaciones de una parábola usando atributos dados, incluyendo vértice, foco, directriz, eje de simetría y dirección de apertura. Transformarán funciones cuadráticas de forma estándar a forma de vértice para identificar los diferentes atributos de f(x). Los estudiantes también escribirán el dominio y rango de una función en notación de intervalo, desigualdades y notación de conjunto. Los estudiantes determinarán los factores lineales y cuadráticos de una expresión polinómica de grado tres y de grado cuatro, incluyendo la factorización de la suma y diferencia de dos cubos y la factorización por agrupación.
y = a(x - h)2 + k -3 = a(4 - 2)2 + 5 -3 = a(2)2 + 5 -3 = 4a + 5 -8 = 4a -2 = a y = -2(x - 2)2 + 5
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INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO PROFUNDIZACIÓN EN LAS NORMAS
CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES Representar y resolver ecuaciones e inecuaciones gráficamente. • Entender que la gráfica de una ecuación en dos variables es el conjunto de todas sus soluciones trazadas en el plano de coordenadas, a menudo formando una curva (que podría ser una recta). Interpretar la estructura de expresiones. • Interpretar expresiones que representan una cantidad en términos de su contexto. ◦ Interpretar partes de una expresión, como términos, factores y coeficientes. Interpretar funciones que surgen en aplicaciones en términos del contexto. • Para una función que modela una relación entre dos cantidades, interpretar características clave de gráficas y tablas en términos de las cantidades, y bosquejar gráficas que muestren características clave dada una descripción verbal de la relación. Las características clave incluyen intersecciones; intervalos en los que la función es creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos; simetrías; comportamiento final; y periodicidad. • Relacionar el dominio de una función con su gráfica y, en su caso, con la relación cuantitativa que describe. Por ejemplo, si la función h da el número de horas-persona que se tarda en montar n motores en una fábrica, entonces los números enteros positivos serían un dominio apropiado para la función. Analizar funciones utilizando diferentes representaciones. • Graficar funciones expresadas simbólicamente y mostrar las características clave de la gráfica, a mano en casos sencillos y utilizando tecnología para casos más complicados. ◦ Graficar funciones lineales y cuadráticas y mostrar intersecciones, máximos y mínimos. Nota: Este alcance se centra en las cuadráticas.
DISECCIONAR EL ESTÁNDAR VERBOS: ¿QUÉ DEBERÍAN HACER LOS ESTUDIANTES? • representar: mostrar cómo se relacionan los términos; representar otra cosa • entender: captar el significado de
SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBEN CONOCER LOS ESTUDIANTES? • ecuación cuadrática: una ecuación que puede escribirse en la forma de ax2 + bx + c = 0, donde a, b, y c son números reales ya≠0 • variable: una letra o símbolo que ocupa el lugar de un número que puede cambiar; una letra que puede representar un número desconocido o un conjunto de números • ecuación: enunciado matemático que demuestra que dos expresiones son iguales entre sí • desigualdad: enunciado matemático que utiliza símbolos como <, ≤, > o ≥ para comparar dos cantidades • conjunto: un grupo de números u objetos únicos llamados miembros o elementos • plano de coordenadas: dos rectas numéricas perpendiculares llamadas eje x y eje y, que se cruzan en el punto (0, 0) y crean cuatro cuadrantes; también llamado gráfico, cuadrícula de coordenadas o plano cartesiano • coordenada x: el primer término de un par ordenado; proporciona la ubicación a lo largo del eje x dentro del plano de coordenadas • punto: un punto que representa un punto específico en una recta numérica o plano de coordenadas; un objeto geométrico sin dimensión utilizado para indicar una ubicación • gráfico: una representación visual de datos • solución: cualquier número que hace que una ecuación sea verdadera • tabla: un gráfico que contiene datos que se muestran en columnas y filas • función lineal: una relación que cuando se representa gráficamente es una línea recta • expresión (expresión algebraica): números, variables y símbolos agrupados sin un signo igual para mostrar una relación • contexto: la situación en la que algo se encuentra o sucede • coeficiente: el número colocado directamente delante de una variable que indica que hay que multiplicar ese número por la variable • término: en una expresión algebraica, un número o variable, o un producto o cociente de números y variables • factores: expresiones que se multiplican entre sí para obtener un polinomio; factores que aparecen en la forma de ax + b y no se pueden factorizar más
• bosquejar: hacer un dibujo aproximado de
• intervalo positivo/negativo: intervalos positivos son los que están por encima del eje x-; intervalos negativos son los que están por debajo del eje x.
• relacionar: encontrar o mostrar la conexión entre dos o más cosas
• máximo relativo: un punto que es más alto que los puntos directamente a su lado en ambos lados
• calcular: determinar matemáticamente la cantidad de algo
• mínimo relativo: un punto que es más bajo que los puntos directamente a su lado en ambos lados
• interpretar: explicar el significado de
• estimar: predecir aproximadamente el tamaño, la cantidad o el valor de algo; estrategia utilizada a menudo para resolver un problema • graficar: trazar un conjunto de puntos en un plano de coordenadas • mostrar: representar un número
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• simetría: una propiedad intrínseca de un objeto matemático que hace que permanezca invariable bajo ciertas clases de transformaciones • comportamiento final: la tendencia que sigue la gráfica a medida que x se acerca a infinito en las direcciones negativa y positiva.
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INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO • dominio: el conjunto de todos los posibles valores de entrada (x valores) de una función • tasa media de cambio: el cambio total de los valores de la función (valores de salida) dividido por el cambio en los valores de entrada • intervalo: la cantidad de tiempo que pasa de un período de tiempo al siguiente; la distancia entre dos puntos • función cuadrática: una función que puede escribirse de la forma f(x) = ax2 + bx + c = 0 donde a, b y c son números reales y a ≠ 0, o de la forma f(x) = a(x-h)2 + k, donde a, h y k son números reales y a ≠ 0 • valor máximo: el lugar donde una función alcanza su punto más alto, o vértice, en un gráfico • valor mínimo: el lugar donde una función alcanza su punto más bajo, o vértice, en un gráfico • intercepción: el punto o puntos en los que una función o relación corta un eje • tasa de cambio: la tasa que muestra cómo cambia una cantidad en relación con otra cantidad IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA • En grados anteriores, los estudiantes desarrollaron la comprensión de que reescribir una expresión en diferentes formas en el contexto de un problema puede arrojar luz sobre el problema y cómo se relacionan las cantidades en él. Los estudiantes desarrollaron la comprensión de que una función asigna a cada entrada exactamente una salida. Los estudiantes explican qué significa un par ordenado en la gráfica de una relación proporcional en función de la situación. Los estudiantes han comparado propiedades de funciones representadas de distintas formas.
• En este grado, los estudiantes ampliarán su comprensión de la pendiente como la tasa de cambio de una función lineal. Este conocimiento previo puede ser referenciado para ayudarlos a calcular la tasa de cambio promedio sobre un intervalo en una función cuadrática. • Los estudiantes deben ser capaces de representar soluciones a una ecuación de dos variables utilizando una gráfica, interpretar una gráfica basándose en el contexto de la situación, relacionar conjuntos de soluciones dadas como gráficas y tablas, utilizar la tecnología para visualizar e interpretar los pares ordenados como el conjunto de soluciones. Deben ser capaces de interpretar los términos de una ecuación así como las características de la gráfica en el contexto de una situación. Los estudiantes deben ser capaces de utilizar múltiples representaciones de funciones de forma flexible e identificar sus características clave. • Exponer a los estudiantes a contextos en los que las cuadráticas modelan muchos tipos diferentes de situaciones ayudará a construir su comprensión de la relación entre la gráfica y el conjunto solución de una ecuación de dos variables. • Los estudiantes pueden suponer que las soluciones de Las ecuaciones de dos variables son números enteros. Se trata de un error común que puede abordarse animando a los estudiantes a debatir y criticar el razonamiento de sus compañeros sobre los conjuntos de soluciones y las formas de representar estos conjuntos en el plano de coordenadas. • Utilizar e ilustrar con frecuencia las palabras del vocabulario ayudará a los estudiantes a visualizarlas y les permitirá esbozar gráficas basadas en descripciones verbales y matemáticas de las relaciones que están graficando. • Dar tiempo a los estudiantes para que utilicen y exploren la tecnología que se espera que utilicen para hacer gráficas, ya sea en una calculadora, un ordenador o una tableta. Muchos de los estándares en este alcance sugieren utilizar la tecnología para interpretar gráficos, así como graficar o aproximar gráficos a mano.
ALINEACIÓN VERTICAL GRADO
ESTÁNDAR Escribir, leer y evaluar expresiones en las que las letras representan números. a
Escribir expresiones que registren operaciones con números y con letras que representan números. Por ejemplo, expresar el cálculo "Restar y de 5" como 5 - y.
Escribir, leer y evaluar expresiones en las que las letras representan números. c 6
Evaluar expresiones en valores específicos de sus variables. Incluir expresiones que surjan de fórmulas utilizadas en problemas del mundo real. Realizar operaciones aritméticas, incluyendo aquellas que involucran exponentes de números enteros, en el orden convencional cuando no hay paréntesis para especificar un orden particular (Orden de Operaciones). Por 1
2 . ejemplo, utilizar las fórmulas V = s3 yA = 6 s2 para hallar el volumen y la superficie de un cubo con lados de longitud s = __
Usar variables para representar dos cantidades en un problema del mundo real que cambian en relación una con otra; escribir una ecuación para expresar una cantidad, considerada como la variable dependiente, en términos de la otra cantidad, considerada como la variable independiente. Analizar la relación entre las variables dependiente e independiente mediante gráficas y tablas, y relacionarlas con la ecuación. Por ejemplo, en un problema que involucre movimiento a velocidad constante, enlistar y graficar pares ordenados de distancias y tiempos, y escribir la ecuación d = 65t para representar la relación entre distancia y tiempo. Comprender que reescribir una expresión en diferentes formas en el contexto de un problema puede arrojar luz sobre el problema y cómo se relacionan las cantidades en él. Por ejemplo, a + 0,05a = 1,05a significa que "aumentar un 5 %" es lo mismo que "multiplicar por 1,05". 7 Utilizar variables para representar cantidades en un problema matemático o del mundo real, y construir ecuaciones y desigualdades sencillas para resolver problemas razonando sobre las cantidades.
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INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
ALINEACIÓN VERTICAL (CONTINUADO) GRADO
ESTÁNDAR
Interpretar la ecuación y = mx + b como definición de una función lineal, cuya gráfica es una línea recta; dar ejemplos de funciones que no son lineales. Por ejemplo, la función A = s2 que da el área de un cuadrado en función de la longitud de sus lados no es lineal porque su gráfica contiene los puntos (1,1), (2,4) y (3,9), que no están en una línea recta.
Representar gráficamente relaciones proporcionales, interpretando la tasa unitaria como la pendiente de la gráfica. Compara dos relaciones proporcionales diferentes representadas de formas distintas. Por ejemplo, comparar una gráfica distancia-tiempo con una ecuación distancia-tiempo para determinar cuál de dos objetos en movimiento tiene mayor velocidad.
8
Entender que una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. La gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados que consiste en una entrada y la salida correspondiente.
Construir una función para modelar una relación lineal entre dos cantidades. Determinar la tasa de variación y el valor inicial de la función a partir de la descripción de una relación o de dos valores (x, y), incluso leyéndolos en una tabla o en una gráfica. Interpretar la tasa de cambio y el valor inicial de una función lineal en términos de la situación que modela, y en términos de su gráfica o de una tabla de valores.
Describir cualitativamente la relación funcional entre dos cantidades analizando una gráfica (por ejemplo, si la función es creciente o decreciente, lineal o no lineal). Dibujar una gráfica que muestre las características cualitativas de una función que se ha descrito verbalmente.
Interpretar expresiones que representan una cantidad en términos de su contexto. b
Interpretar partes de una expresión, como términos, factores y coeficientes.
Entender que los polinomios forman un sistema análogo a los números enteros, es decir, que son cerrados bajo las operaciones de suma, resta y multiplicación; sumar, restar y multiplicar polinomios.
Crear ecuaciones en dos o más variables para representar relaciones entre cantidades; graficar ecuaciones en ejes de coordenadas con etiquetas y escalas. Álgebra Representar restricciones mediante ecuaciones o desigualdades, y mediante sistemas de ecuaciones y/o desigualdades, e interpretar soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelación. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de coste en combinaciones de diferentes alimentos.
Comprender que una función de un conjunto (llamado dominio) a otro conjunto (llamado rango) asigna a cada elemento del dominio exactamente un elemento del rango. Si f es una función y x es un elemento de su dominio, entonces f(x) denota la salida de f correspondiente a la entrada x. La gráfica de f es la gráfica de la ecuación y = f(x).
Usar notación de funciones, evaluar funciones para entradas en sus dominios e interpretar enunciados que usan notación de funciones en términos de un contexto.
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INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
ALINEACIÓN VERTICAL (CONTINUADO) GRADO
ESTÁNDAR Comprender que la gráfica de una ecuación en dos variables es el conjunto de todas sus soluciones trazadas en el plano de coordenadas, a menudo formando una curva (que podría ser una recta). Interpretar expresiones que representan una cantidad en términos de su contexto. b
Álgebra
Interpretar partes de una expresión, como términos, factores y coeficientes.
Para una función que modela una relación entre dos cantidades, interpretar características clave de gráficas y tablas en términos de las cantidades, y dibujar gráficas que muestren características clave dada una descripción verbal de la relación. Las características clave incluyen intersecciones; intervalos en los que la función es creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos; simetrías; comportamiento final; y periodicidad. Relacionar el dominio de una función con su gráfica y, en su caso, con la relación cuantitativa que describe. Por ejemplo, si la función h da el número de horas-persona que se tarda en montar n motores en una fábrica, entonces los números enteros positivos serían un dominio apropiado para la función. Graficar funciones expresadas simbólicamente y mostrar las características clave de la gráfica, a mano en casos sencillos y utilizando tecnología para casos más complicados. a
Graficar funciones lineales y cuadráticas y mostrar intersecciones, máximos y mínimos.
Escribir una función definida por una expresión en formas diferentes pero equivalentes para revelar y explicar diferentes propiedades de la función. a
Utilizar el proceso de factorización y completar el cuadrado en una función cuadrática para mostrar ceros, valores extremos y simetría de la gráfica, e interpretarlos en términos de un contexto.
Comparar propiedades de dos funciones representadas cada una de una manera diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas o mediante descripciones verbales). Por ejemplo, dada una gráfica de una función cuadrática y una expresión algebraica para otra, decir cuál tiene el máximo mayor. Identificar el efecto en la gráfica de sustituir f(x) por f(x) + k, kf(x), f(kx), y Álgebra
f(x + k) para valores concretos de k (tanto positivos como negativos); hallar el valor de k dadas las gráficas. Experimentar con casos e ilustrar una explicación de los efectos en la gráfica utilizando la tecnología. Incluir el reconocimiento de funciones pares e impares a partir de sus gráficas y expresiones algebraicas para ellas. Observar usando gráficas y tablas que una cantidad que aumenta exponencialmente eventualmente excede a una cantidad que aumenta linealmente, cuadráticamente o (más generalmente) como una función polinómica. Representar datos sobre dos variables cuantitativas en un diagrama de dispersión y describir cómo se relacionan las variables. a
Ajustar una función a los datos; usar funciones ajustadas a los datos para resolver problemas en el contexto de los datos. Utilizar funciones dadas o elegir una función sugerida por el contexto. Enfatizar modelos lineales, cuadráticos y exponenciales.
Relacionar el dominio de una función con su gráfica y, cuando sea aplicable, con la relación cuantitativa que describe.
Álgebra 2
Graficar funciones expresadas simbólicamente y mostrar características clave de la gráfica, a mano en casos sencillos y usando tecnología para casos más complicados. a
Graficar funciones polinómicas, identificando los ceros cuando se disponga de factorizaciones adecuadas, y mostrando el comportamiento final.
b
Graficar funciones racionales, identificando los ceros y las asíntotas cuando se disponga de factorizaciones adecuadas, y mostrando el comportamiento final.
c
Graficar funciones exponenciales y logarítmicas, mostrando los intersecciones y el comportamiento final, y funciones trigonométricas, mostrando el periodo, la línea media y la amplitud.
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INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA MONITOREAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA La guía de instrucción andamiada se proporciona para que los maestros puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones del alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que ayuda a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de la evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos según los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere que todos los estudiantes experimenten con los elementos: «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades», ya que cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar. 0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
80 % - 100 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil pueden trabajar en contenido de nivel de grado con apoyos de instrucción.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» individual para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 2. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante de acuerdo con sus datos de evaluación. 3. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la sección «Scaffolded Instruction Guide» en el menú desplegable «Home» del alcance. 4. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Interpretar expresiones que representan una cantidad en términos de su contexto. a Interpretar partes de una expresión, como términos, factores y coeficientes.
8 - Relaciones proporcionales
• ¡Arregla el error! Práctica interactiva • Prueba de velocidad de robot
• ¡Arregla el error!
(Nivel de grado con apoyos)
Alg.I - Gráficas de funciones cuadráticas
Alg.I - Gráficas de funciones cuadráticas
25 % - 50 %
Constructor de fluidez
Acceso a conocimientos previos
(Nivel de grado con apoyos)
Repaso y práctica de habilidades
(Nivel de grado)
Constructor de bases fundamentales
Práctica interactiva • Bloqueo y llave
Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (preguntas 3, 4, 5) • Repaso (encontrar características clave de la sección de funciones cuadráticas, escribir ecuaciones en la sección de intercepción y forma de vértice, resolver a en la sección de funciones cuadráticas, identificar y crear ecuaciones cuadráticas equivalentes) • Revisión (preguntas 1, 4, 5, 7-9)
Repaso y práctica de habilidades • Repaso (resolver para a en la sección de funciones cuadráticas, sección de identificar y crear ecuaciones cuadráticas equivalentes)
Vocabulario con imágenes
• Revisión (preguntas 4, 7)
(Nivel de grado)
Alg.I - Gráficas de funciones cuadráticas
50 % - 80 %
• Revisión rápida (Preguntas 3, 5)
Vocabulario con imágenes
• ¡Bam!
¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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Libreta interactiva Práctica interactiva • Expreso de la Estación Espacial Constructor de fluidez Ciencia de datos
Constructor de fluidez
Alg.I - Gráficas de funciones cuadráticas
Vocabulario interactivo
• Bam!
Vocabulario interactivo
80 % - 100 %
25 % - 50 %
• ¡Arregla el error!
Alg.I - Gráficas de funciones cuadráticas
Prueba de habilidades
50 % - 80 %
Constructor de fluidez
8 - Resolución de pares de ecuaciones lineales
• Búsqueda del droide
(Ampliación del nivel escolar)
Repaso de habilidades y práctica
Prueba de habilidades
Práctica interactiva
80 % - 100 %
7 - Expresiones
Prueba de habilidades
(Ampliación del nivel de grado)
(Refuerzo del grado anterior)
0 % - 25 %
Constructor de fluidez
0 % - 25 %
Repaso y práctica de habilidades
(Refuerzo del grado anterior)
Comprender que la gráfica de una ecuación en dos variables es el conjunto de todas sus soluciones trazadas en el plano de coordenadas, a menudo formando una curva (que podría ser una recta).
Alg.I - Gráficas de funciones cuadráticas ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Relaciona el dominio de una función con su gráfica y, en su caso, con la relación cuantitativa que describe. Por ejemplo, si la función h da el número de horas-persona que se necesitan para ensamblar n motores en una fábrica, entonces los números enteros positivos serían un dominio apropiado para la función.
8 - Modelar relaciones de funciones
• Concentración Práctica interactiva • ¿Cuál es mi recta? Prueba de habilidades Alg.I - Propiedades de las funciones Repaso y práctica de destrezas
Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales
8 - Funciones Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • ¡Bam! Prueba de habilidades
Alg.I - Gráficas de funciones cuadráticas Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales
Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (preguntas 1-3) • Repaso (sección identifica y usa el vértice, sección escribe ecuaciones en forma de intersección y vértice) • Revisión (preguntas 2-4, 6, 7, 10) Alg.I - Gráficas de funciones cuadráticas Vocabulario con imágenes
50 % - 80 %
(Nivel de grado con apoyos)
Alg.I - Gráficas de funciones cuadráticas
Vocabulario interactivo
Alg.I - Gráficas de funciones cuadráticas Vocabulario con imágenes Vocabulario interactivo Libreta interactiva Ciencia de datos
Libreta interactiva Práctica interactiva Expreso de la Estación Espacial Constructor de fluidez • ¡Bam! Ciencia de datos
Alg.I - Gráficas de funciones cuadráticas ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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80 % - 100 %
25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyos)
Prueba de habilidades
(Nivel de grado)
(Nivel de grado)
• ¡Atrapa ese robot!
(Ampliación del nivel de grado)
25 % - 50 %
• Concentración Práctica interactiva
80 % - 100 %
50 % - 80 %
Constructor de fluidez
(Ampliación del nivel de grado)
0 % - 25 %
(Refuerzo del grado anterior)
Constructor de fluidez
0 % - 25 %
Repaso y práctica de destrezas
(Refuerzo del grado anterior)
Para una función que modela una relación entre dos cantidades, interpretar las características clave de gráficos y tablas en términos de las cantidades, y dibujar gráficos que muestren las características clave dada una descripción verbal de la relación. Las características clave incluyen: intersecciones; intervalos en los que la función es creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos; simetrías; comportamiento final; y periodicidad.
Alg.I - Gráficas de funciones cuadráticas ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Graficar funciones expresadas simbólicamente y mostrar las características clave de la gráfica, a mano en casos sencillos y usando tecnología para casos más complicados. a
Graficar funciones lineales y cuadráticas y mostrar intersecciones, máximos y mínimos.
8 - Funciones Repaso y práctica de destrezas
Repaso y práctica de habilidades • ¡A Pescar! Práctica interactiva • Primer contacto Prueba de habilidades
0 % - 25 %
Constructor de fluidez
(Refuerzo del grado anterior)
8 - Tasa de cambio
Constructor de fluidez • ¡Bam! Examen de destrezas Alg.I - Propiedades de funciones Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Concentración Práctica interactiva • ¡Atrapa ese Robot! Prueba de habilidades
Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales
25 % - 50 %
Alg.I - Gráficas de funciones cuadráticas
(Nivel de grado con apoyos)
0 % - 25 % 25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyos)
(Refuerzo del grado anterior)
Calcular e interpretar la tasa de variación media de una función (presentada simbólicamente o en forma de tabla) a lo largo de un intervalo especificado. Estimar la tasa de cambio a partir de un gráfico.
Alg.I - Gráficas de funciones cuadráticas Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Repaso (sección escribir ecuaciones en forma de intersección y vértice) • Revisión (Pregunta 6)
Vocabulario con imágenes Vocabulario interactivo Constructor de fluidez • ¡Bam!
(Nivel de grado)
Vocabulario con imágenes Alg.I - Gráficas de funciones cuadráticas
50 % - 80 %
50 % - 80 %
(Nivel de grado)
Alg.I - Gráficas de funciones cuadráticas Vocabulario interactivo Libreta interactiva Práctica interactiva Expreso de la Estación Espacial Constructor de fluidez • ¡Bam!
Tablero de opciones
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80 % - 100 %
Alg.I - Gráficas de funciones cuadráticas
(Ampliación del nivel de grado)
(Ampliación del nivel de grado)
80 % - 100 %
Ciencia de datos
Alg.I - Gráficas de funciones cuadráticas ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS Graphs of Quadratic Functions
Match Around the Room – Card 1 x
y
−5
2
−4
−1
−3
−2
−2
−1
−1
2
ATRAER: ACCEDER A LOS CONOCIMIENTOS PREVIOS
EVALUAR PREVIAMENTE LOS CONOCIMIENTOS DE LOS ESTUDIANTES
ACCEDER A LOS CONOCIMIENTOS PREVIOS: COINCIDIR EN LA SALA ESTÁNDAR PREVIO Entender que una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. La gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados que consisten en una entrada y su correspondiente salida.
DESCRIPCIÓN 1
Graphs of Quadratic Functions
Match Around the Room – Card 2
Los estudiantes emparejarán tarjetas numeradas con tarjetas con letras colocadas alrededor del salón para demostrar su conocimiento del estándar previo. Este elemento está diseñado para descubrir los conceptos erróneos de los estudiantes; no debe tomarse para una calificación.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 tarjetas para emparejar alrededor del salón (por clase)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de las Tarjetas para emparejar alrededor del salón.
2
PARTIDO POR LA HABITACIÓN
• Cuelgue las tarjetas en un orden aleatorio alrededor del salón.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Pida a los estudiantes que escriban los números 1, 2 y 3 en una hoja de papel. 2. Pida a los estudiantes que caminen alrededor del salón con sus papeles. Mientras caminan, deben ver las tarjetas numeradas y emparejarlas con las tarjetas con letras. 3. Permita que los estudiantes compartan su pensamiento con un compañero. a. La tarjeta 1 coincide con la tarjeta 2 b. La tarjeta 3 coincide con la tarjeta A c. La tarjeta B coincide con la tarjeta C 4. Si los estudiantes tienen dificultades para completar esta tarea, pase al «Constructor de bases fundamentales» para llenar este vacío en el conocimiento previo antes de pasar a otras partes del alcance.
IDENTIFICACIÓN DE CONCEPTOS ERRÓNEOS
• Los estudiantes pueden tener dificultades para encontrar las x- y y-interceptadas. Ayúdelos a identificar esos puntos mediante preguntas eficaces. • Las diapositivas de vocabulario con imágenes pueden ayudar a los estudiantes a recordar las palabras mediante conexiones visuales.
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
ATRAER: CAPTAR INTERÉS LECCIÓN DE CAPTAR INTERÉS
Graphs of Quadratic Functions
CAPTAR INTERÉS DESCRIPCIÓN Los estudiantes relacionarán funciones cuadráticas con una situación del mundo real.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 gráficas de funciones cuadráticas (por clase) REUTILIZABLES
• 1 video de fenómenos (por clase)
PREPARACIÓN
• Planee mostrar el video. • Prepárese para proyectar las «Gráficas de funciones cuadráticas» para que toda la clase las vea. • Prepárese para presentar el escenario y animar a los estudiantes a pensar en cómo resolverlo. Prepárese para pasar a las actividades de «Exploración», regresando a la actividad «Captar interés» con los nuevos conocimientos adquiridos después de que se hayan completado las exploraciones.
GRÁFICAS DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
b. DOK-1 «¿Por qué este gráfico podría modelar bien la trayectoria de vuelo del cohete?». El cohete despega a gran velocidad antes de alcanzar una altura máxima y finalmente caer al suelo. c. DOK-1 «¿Qué características de la ecuación te llaman la atención?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. Las respuestas de los estudiantes variarán. El signo negativo inicia la ecuación. El signo más 2 al final parece coincidir con la y-intercepción.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
6. Complete las actividades de la «Exploración».
PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA
PARTE II: DESPUÉS DE EXPLORAR
1. Presente esta actividad hacia el comienzo del alcance. La clase retomará la actividad y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades de «Explorar» correspondientes.
1. Muestre el video de fenómenos nuevamente y vuelva a plantear el problema.
2. Explique la situación mientras muestra el video detrás de usted. Los estudiantes están lanzando modelos de cohetes en el campo detrás de su escuela para la clase de física. 3. Haga las siguientes preguntas a los estudiantes: «¿Qué observas? ¿Qué se preguntan? ¿Dónde puedes ver matemáticas en esta situación?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Observo que el cohete aumenta cada vez menos a medida que pasa el tiempo. Me pregunto cuál será la altura máxima. Me pregunto dónde aterrizará el cohete y cuándo. Observo la trayectoria curva del cohete ya que no sube a una velocidad constante. 4. Proyecte gráficas de funciones cuadráticas. 5. Explique que el objetivo a lo largo del alcance será explorar una nueva gráfica y extraer información importante de las ecuaciones. Haga las siguientes preguntas: a. DOK-1 «¿En qué se diferencia esta gráfica de una gráfica lineal?». Permita que los estudiantes compartan sus ideas. Las respuestas de los estudiantes variarán. No tiene una tasa constante. Tiene un punto máximo. Tiene una línea de simetría. Tiene dos x-intersecciones. Es a la vez creciente y decreciente. 194
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2. Consulte las «Gráficas de funciones cuadráticas» y plantee las siguientes preguntas: a. DOK-1 «¿Esta gráfica y ecuación tienen más sentido después de las exploraciones?». Sí, esta gráfica es una parábola, y Las ecuaciones donde la variable tiene un exponente de 2 crean estas gráficas. b. DOK-1 «¿Qué características clave podrías querer encontrar en esta gráfica?». Podría identificar el vértice, el eje de simetría, x-interceptadas, y y-interceptadas. c. DOK-1 «¿Qué característica revela rápidamente esta ecuación?». Es fácil determinar la y-intercepción a partir de esta ecuación porque está en forma estándar. d. DOK-2 Si sabes que las x-intercepciones de la gráfica están en (-0.005, 0) y (24.005, 0), «¿cómo podrías encontrar el vértice?». El vértice debe tener un valor x en medio de estos dos puntos. Así que el valor x del vértice es 12 y podría sustituir x = 12 en la ecuación para encontrar la y-coordenada del vértice, o la altura máxima que alcanza el cohete. e. DOK-1 «¿Consideras que comprendes bien las gráficas de las funciones cuadráticas?». Las respuestas variarán en función del éxito de los estudiantes durante la actividad y de su nivel de confianza.
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 LECCIÓN INSTRUCTIVA
EXPLORACIÓN 1: CARACTERÍSTICAS Y ATRIBUTOS CLAVE DESCRIPCIÓN Los estudiantes estudiarán el movimiento en escenarios de la vida real que es descrito por una función cuadrática. Al estudiar las gráficas de este movimiento, reconocerán que la forma de una función cuadrática es una parábola y podrán identificar características clave como la x-intercepción, y-intercepción, ceros, valor máximo, valor mínimo, vértice y eje de simetría.
ESTÁNDARES DE PRÁCTICA MATEMÁTICA
5. Mientras los estudiantes colaboran, facilite su debate y utilice las siguientes preguntas orientadoras para evaluar su comprensión: a.
DOK-2 «¿Qué letra representa la posición de aterrizaje de Amari? ¿Cuántos segundos después de su salto aterrizó?». El punto E representa su posición de aterrizaje. Aterrizó 8 segundos después de su salto.
b.
DOK-2 «¿Qué letra representa el punto máximo del salto de Amari? ¿Cómo se puede determinar la coordenada x?». El punto C representa el pico del salto de Amari. Dado que el salto completo duró 8 segundos y que las notas de los jueces indican que el pico fue exactamente a la mitad, esto significaría que el pico fue a los 4 segundos, a la mitad entre el inicio y el final (el vértice está exactamente entre las raíces).
c.
DOK-2 «¿Qué letra representa la altura y el tiempo de Amari 1 segundo antes de su pico? ¿Cuál es la x-coordenada de este punto? ¿Cómo lo sabes?». El punto B representa la altura y el tiempo de Amari 1 segundo antes de su pico. La x-coordenada de este punto es 3 porque el pico ocurrió a los 4 segundos, y el punto B está 1 segundo antes del pico.
d.
DOK-2 Como la gráfica es simétrica con respecto al máximo, «¿qué punto es la coordenada espejo para el punto D? ¿Cómo lo sabes?». El punto B es la coordenada espejo porque si lo dobláramos por la mitad, se alinearían.
e.
DOK-2 Puesto que la curva es simétrica, «¿qué sabes de la distancia horizontal entre los puntos B y C comparada con la distancia horizontal entre los puntos C y D? ¿Qué sabes de la altura vertical entre B y D?». La distancia horizontal, o diferencia de tiempo, es la misma. La altura vertical es la misma.
f.
DOK-2 «¿Qué letra representa el punto máximo del salto de Harry? ¿Cómo se puede determinar el par ordenado?». El punto C representa el pico del salto de Harry. El par ordenado puede determinarse usando las notas de los jueces. Como el eje horizontal es el tiempo y las notas de los jueces dicen 3 segundos, la coordenada x es 3. Como el eje vertical es la altura y las notas de los jueces dicen 9 pies, la coordenada y es 9. El par ordenado para el punto C es (3, 9).
g.
DOK-2 «¿Cómo se puede usar el punto máximo para determinar los puntos A y E? ¿Podría hacerse si la gráfica no fuera simétrica?». Como la gráfica es simétrica con respecto al punto máximo, sabemos que los puntos A y E están a igual distancia del máximo. El máximo ocurrió a los 3 segundos. Sabemos que el salto comenzó a los 0 segundos. Como el punto A ocurrió 3 segundos antes del máximo, sabemos que el punto E ocurrió 3 segundos después del máximo. El punto E ocurrió a los 6 segundos. Esto no podría hacerse si la gráfica no fuera simétrica.
h.
DOK-2 Puesto que la gráfica es simétrica respecto al máximo, «¿qué punto es la coordenada especular del punto D? ¿Cómo lo sabes?». El punto B es la coordenada especular porque si lo dobláramos por la mitad, se alinearían.
i.
DOK-2 «¿Cómo se puede usar el punto D para determinar la coordenada del punto B?». Como son coordenadas espejo, sabemos que se han producido a la misma altura o tienen la misma y-coordenada. Podemos usar la distancia que hay entre el punto D y el centro de la parábola para determinar B. Como D ocurrió 2 segundos después del máximo, sabemos que el punto B ocurrió 2 segundos antes del máximo, lo que nos da una x-coordenada de 1.
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes verán relaciones entre diversas representaciones. • MP.2 Razonamiento abstracto y cuantitativo: Los estudiantes prestarán atención al significado de las cantidades, no sólo a cómo calcularlas.
• MP.6 Prestar atención a la precisión: Los estudiantes comprenderán el significado de los símbolos utilizados en matemáticas y etiquetarán las cantidades adecuadamente.
MATERIALES IMPRESOS • 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» y un «Boleto de salida» para cada estudiante.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Lea el siguiente escenario a la clase: Crush Games,
el evento de deportes de acción más importante del mundo, se celebrará en su estado natal este año. Una de las pruebas de los Juegos Crush de este verano es el salto en monopatín. Has sido seleccionado entre miles de aspirantes para trabajar como voluntario. Ayudarás a llevar el registro y a identificar al ganador de la competición. Para cumplir con tus deberes como guardián voluntario de registros, debes usar los datos de las notas de los jueces para completar la tarjeta del concursante y ayudar a determinar el ganador.
2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada uno. 3. Explique a los estudiantes que trabajarán con sus grupos para analizar gráficos de funciones cuadráticas que modelen los saltos en patineta de los concursantes y registren su trabajo en sus diarios. 4. Señale a la clase que cada gráfico trazará la altura del salto en función del tiempo.
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Graphs of Quadratic Functions Explore 1
6. Conceda a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte I y contestar las preguntas que siguen.
2.
Use the sketch of the jump and the judges’ notes to complete the contestant card. Identify the ordered pairs of points A–E and the hang time.
7. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta el momento.
Harry, Skateboard Finalist (0, 0) A: ________ (1, 5) B: ________
CHARLA DE MATEMÁTICAS
(3, 9) C: ________
• DOK-2 La forma de la gráfica de la función cuadrática que describe el movimiento de la patineta se llama parábola. «¿Es simétrica una parábola?». Sí
(5, 5) D: ________ (6, 0) E: ________ Time spent in the air:
• DOK-2 El eje de simetría es una línea vertical que divide la parábola en dos partes iguales que son la imagen especular una de la otra. «¿Por qué punto (A, B, C, D o E) de la gráfica pasaría?». C • DOK-2 El vértice de una parábola es el punto donde el eje de simetría se cruza con la parábola. «¿Qué punto es el vértice (A, B, C, D o E)?». C
6 ______ seconds
Judges’ Notes Use the information below to identify the coordinates above.
• DOK-2 «¿Dónde está el máximo?». El máximo está en el vértice.
●
Harry reached a maximum height of 9 feet after 3 seconds.
●
Harry’s jump was perfectly symmetrical when measuring time vs. height.
• DOK-2 Si la parábola se volteara y se abriera hacia arriba, «¿dónde estaría el mínimo?». Estaría en el vértice.
●
Harry crossed point D after 5 seconds at a height of 5 feet.
3.
Which skateboard finalist won the hang time award for being in the air the longest? Amari
• DOK-2 Si la parábola se trazara en un sistema de coordenadas xy-, «¿dónde estarían los intersecciones x- y y- (A, B, C, D, o E)?». La y-intercepción estaría en A. Las x-intercepciones estarían en A y E. • DOK-2 La parábola es una gráfica de la altura en función del tiempo. «¿En qué punto la altura es cero, es decir, cuáles son las raíces de la función altura?». Los tiempos en los puntos A y E son las raíces.
2
Graphs of Quadratic Functions Explore 1
Graphs of Quadratic Functions Explore 1
Part II 1.
Crush Games Part I 1.
Use the data shown in the picture that was collected by the analyst to complete each contestant card. Aalia, Dirt Bike Finalist
Use the sketch of the jump and the judges’ notes to complete the contestant card. Identify the ordered pairs of points B–E and the hang time.
Manuela, Dirt Bike Finalist
Amari, Skateboard Finalist (0, 0) A: ________ (3, 15) B: ________ (4, 16) C: ________ (5, 15) D: ________ (8, 0) E: ________ Time spent in the air: 8 ______ seconds
Judges’ Notes ●
Amari was in the air for 8 seconds. Use this information to determine the coordinates of point E.
●
The peak of Amari’s jump was timed to be exactly halfway through his jump and was 16 feet high. Use this information to determine the coordinates of point C.
●
One second before his maximum height, he was 15 feet above the ground. Use this information to determine the coordinates of point B.
●
Amari’s jump was perfectly symmetrical when measuring time vs. height. Use this information to determine the coordinates of point D.
(12, 0) Reasonable root(s): ________
(0, 7) y-intercept: ________
(5, 20) Vertex: ________
(7, 0) Reasonable root(s): ________
x=5 Axis of symmetry: ________
Minimum or maximum (Circle one.)
What does the point (0, 10) represent in regard to the jump? It represents that she was 10 meters off the ground when she started the jump at zero seconds.
Manuela’s jump was perfectly symmetrical. Use the property of symmetry to determine Manuela’s height at 5 seconds.
2.
12 _______ meters
Which dirt bike finalist won the hang time award for being in the air the longest? Aalia
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DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE OPCIONES
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DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE OPCIONES
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Graphs of Quadratic Functions Explore 1
3.
PARTE II
Use the data shown in the picture that was collected by the analyst to complete each contestant card. Aditi, Cliff Diving Finalist
1. Lea el siguiente escenario a la clase: Los saltos en moto de cross y los saltos desde acantilados también son competiciones de los Juegos Crush. En tu puesto de voluntario, ayudarás a llevar el registro y a identificar a los ganadores de las competiciones de saltos en moto de cross y saltos desde acantilados. Para cumplir con tus deberes como registrador voluntario, debes usar los datos de las notas de los jueces para completar la tarjeta del concursante y ayudar a determinar el ganador.
Yume, Cliff Diving Finalist
2. Los estudiantes deben tener aún sus diarios. 3. Explique a los estudiantes que trabajarán con sus grupos para analizar gráficas de funciones cuadráticas que modelan los saltos de los concursantes en bicicleta todo terreno y los clavados en acantilados. (8.5, −42.25) Vertex: ______________
(3, 0) and (10, 0) x-intercept(s): ________________
Minimum or maximum (Circle one.)
(0, 30) y-intercept: ________
x = 8.5 Axis of symmetry: ________
Minimum or maximum (Circle one.)
How long was Aditi under water?
What depth did Yume reach?
13 ________ seconds
4.
4. Señale a la clase que cada gráfica trazará la altura del salto en función del tiempo o la profundidad de la inmersión en función del tiempo. 5. Los estudiantes trabajarán juntos para completar las tarjetas de los concursantes y registrar su trabajo en sus diarios. 6. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar su comprensión:
−12.25 feet ________
a.
DOK-2 «¿Qué representa el par ordenado (-2, 0) en la gráfica del salto de Aalia? ¿Es razonable?». Explique. Representa que Aalia estaba a 0 pies sobre el suelo a los -2 segundos. Esto no es razonable porque no medimos el tiempo usando negativos. Además, no sabemos que ella estaba subiendo la colina en ese momento. Podría haber estado esperando en la cima de la colina o en otro lugar. Su aproximación al salto no está representada por la misma función que el salto.
b.
DOK-2 «¿Cómo se pueden usar las raíces dadas para determinar el x valor del vértice?». Como el vértice está exactamente entre las raíces, podemos encontrar el punto medio contando en una recta numérica o promediando los valores x de las raíces.
c.
DOK-2 El eje de simetría es una recta vertical imaginaria que pasa por el vértice. Si el vértice estuviera situado en (3, 5), «¿cómo se puede utilizar el valor x para escribir la ecuación de la recta vertical que representa el eje de simetría?». Si hubiera una recta vertical que pasara por el punto (3, 5), debe tener una ecuación de x = 3 porque el valor x del par ordenado es 3.
d.
DOK-2 Puesto que la gráfica es simétrica respecto al máximo, «¿qué punto es la coordenada espejo del punto en el que Manuela está a 5 segundos? ¿Cómo lo sabes?». El punto (1, 12) es la coordenada espejo porque si lo dobláramos por la mitad, se alinearían. El valor x de (1, 12) es 2 segundos antes del máximo, y el valor x de 5 segundos es 2 segundos después del máximo.
e.
DOK-2 «¿Se tarda más en alcanzar la altura máxima del salto o en volver a bajar?». Se tarda más en volver a bajar desde la altura máxima hasta el suelo.
f.
DOK-2 «¿Cómo se pueden utilizar el mínimo y el punto en el que Yume sale del agua para determinar el punto en el que entra en el agua?». Como el mínimo está exactamente entre las raíces, podemos determinar que sale del agua 3,5 segundos después de su mínimo, por lo que entró en el agua 3,5 segundos antes de su mínimo. Como 6.5 - 3.5 es 3, ella entró al agua 3 segundos después de comenzar su zambullida.
g.
DOK-2 «¿Cómo se pueden usar las raíces de la zambullida de Aditi para determinar el valor x del vértice?». Como el vértice está exactamente entre las raíces, el valor x de las raíces se puede promediar para determinar el valor x del vértice.
h.
DOK-2 El eje de simetría es una línea vertical imaginaria que pasa por el vértice. «¿Dónde se encuentra el vértice para la inmersión de Aditi y cómo se puede utilizar para escribir la ecuación de la recta vertical que representa el eje de simetría?». El vértice está situado en el punto (8,5, -42,25). Debe tener una ecuación de x = 8,5 porque el valor de x del par ordenado es 8,5.
Which cliff diving finalist spent the most time under water? Aditi
4
Graphs of Quadratic Functions Explore 1
Reflect 1.
What shape is the graph of a quadratic function, and what are some of the graph’s key features? The shape is a parabola. The graph is symmetrical and has a maximum or minimum point called the vertex.
2.
How are the vertex and axis of symmetry connected? The axis of symmetry always passes through the vertex, so the x-coordinate of the vertex matches the axis of symmetry.
3.
If the parabola opens upward, what can you say about the vertex? If it opens downward, what can you say? If the parabola opens upward, the vertex is the minimum value. If the parabola opens downward, the vertex is the maximum value.
4.
The point (3, 4) lies on a parabola whose axis of symmetry is x = 1. What other point must also lie on the parabola, and why? You may want to draw a sketch. A parabola is symmetric about the axis of symmetry, so the point (−1, 4) must lie on the parabola because it is the mirror image of (3, 4) reflected across the axis of symmetry.
5.
How many x-intercepts could a quadratic function plotted on the xy plane (a parabola) have? The graph of a parabola could have 0, 1, or 2 x-intercepts, also known as zeros.
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Graphs of Quadratic Functions Explore 1
7. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen. 8. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
Key Features and Attributes Exit Ticket The graph shown has only part of a parabola. The minimum is shown.
CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-2 Describa cómo se podría identificar o aproximar el máximo para una función cuadrática representada por una tabla de valores. El máximo o mínimo se refiere al valor y de los pares ordenados. Para identificarlo a partir de una tabla, identificaríamos el punto que fuera el valor máximo o mínimo. Para saber si el valor extremo en la tabla representa el vértice de la cuadrática, también querríamos verificar que hay valores menores o mayores para los valores de entrada a cada lado del máximo o mínimo respectivamente. • DOK-2 Para una función cuadrática representada por una tabla de valores, «¿cómo se podrían identificar o aproximar las raíces?». Las raíces ocurren cuando el valor de y es cero. Si la tabla no mostrara y valores de cero, las raíces ocurrirían donde el valor de y cambia de positivo a negativo o viceversa. • DOK-3 Si una función cuadrática fuera descrita por una tabla de pares ordenados, describa cómo se vería esa tabla. A medida que los valores de x aumentaran, los valores correspondientes de y aumentarían y luego en algún momento disminuirían, o los valores de y primero disminuirían y luego aumentarían. • DOK-2 Para una ecuación cuadrática, la gráfica es una parábola. Si se traza en un sistema de coordenadas xy, a partir de lo que sabes sobre la forma de una parábola, «¿cuál es el número máximo de raíces que puede tener la función cuadrática (es decir, cuántas veces podría la parábola cruzar el eje x)?». El número máximo de raíces de una ecuación cuadrática es dos. 9. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que rellenen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
1.
Use the symmetry of the parabola to sketch the missing section of the parabola.
2.
Mark a dot on the graph for the vertex. What is the value of the vertex? (3, −4)
3.
Sketch the axis of symmetry. What is the equation for the axis of symmetry? x=3
4.
Mark triangles for the x-intercepts. Give the ordered pairs for the x-intercepts. (1, 0) and (5, 0)
5.
Mark a square for the y-intercept. Give the ordered pair for the y-intercept. (0, 5)
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE OPCIONES
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de completar el esquema de anclaje como clase. Una vez creado, haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva» .
APOYOS INSTRUCTIVOS 1. Al determinar el eje de simetría de una parábola, los estudiantes pueden encontrar el vértice y luego confundirse sobre si usar la coordenada x o y como base para la línea de simetría. Anima a los estudiantes a representar gráficamente la parábola y, a continuación, a pensar si el eje de simetría debe ser una recta vertical u horizontal y qué tienen en común todos los puntos de esa recta. 2. Cuando los estudiantes estén determinando el rango de una parábola, anímales a representar gráficamente la parábola en primer lugar y a considerar si se abre hacia arriba o hacia abajo. 3. Los estudiantes pueden confundirse sobre el número de raíces de una parábola que no pasa por el eje x. Recuérdales que piensen en ejemplos como el de la parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo. Recuérdales que piensen en ejemplos como y = x² + 3. Para cualquier valor de x, y debe ser al menos 3, lo que significa que la parábola nunca puede pasar por el eje x y no puede tener ninguna raíz.
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Graphs of Quadratic Functions Part 1
APOYOS A LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE La siguiente Estrategia de Adquisición del Lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias siguientes para saber cómo apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes.
Key Features and Attributes Your physics class is taking a trip to a theme park. Your friend is terrified of roller coasters and asks you to collect the data to complete the drawings and analysis. 1.
You sketch the first half of the roller coaster. Use the symmetry of the parabola to sketch the missing section of the parabola.
2.
What is the vertex? Notate it with a circle. What does it represent? The vertex is at (10, 0). It describes that at 10 seconds, the coaster is at 0 meters. This is a minimum that shows the drop.
3.
4.
What is the equation for the axis of symmetry? x = 10 What is the y-intercept? What does it represent? (0, 50); it shows that at the beginning of the ride, the roller coaster is at 50 meters.
5.
At what time(s) is the roller coaster at 40 meters? Approximately 1 second and 19 seconds
6.
What is the range of the graph of this portion of the roller coaster? 0 ≤ y ≤ 50
Los estudiantes utilizarán los conocimientos previos como vínculo para comprender la lengua inglesa. Principiante: Antes de la clase, muestre a los estudiantes vídeos de patinadores y ciclistas haciendo saltos. Explique que van a analizar dichos saltos en la exploración de hoy. Intermedio: Antes de la clase, muestre a los estudiantes videoclips de patinadores y ciclistas haciendo saltos. Explique que analizarán estos saltos en el Explore de hoy. Avanzado: Antes de la clase, muestre a los estudiantes videoclips de patinadores y ciclistas haciendo saltos. Explique que analizarán estos saltos en la exploración de hoy.
1
Graphs of Quadratic Functions Part 1
The roller coaster returns to ground level at 35 seconds. In another 5 seconds, it reaches the top of the next drop of 30 meters. 7.
What is the value of the vertex of the parabola modeling this portion of the roller coaster? Is this a minimum or maximum? Justify how you know. (40, 30); this is a maximum because the parabola opens downward.
8.
What is the equation for the axis of symmetry? x = 40
9.
Sketch the parabola. Use the symmetry of the parabola to identify key points.
10.
What are the x-intercepts? What do they represent? (35, 0) and (45, 0); at 35 seconds, the climb starts; at 45 seconds, the drop is over.
11.
How long is the drop for this part of the ride? 5 seconds
12.
When the roller coaster is above 20 meters, most of the park can be seen. When is the coaster at this height? For approximately how long would a rider be able to view most of the park? At about 37 and 43 seconds, the coaster is at 20 meters. The rider would be able to view most of the park for about 6 seconds.
13.
At 10 meters, a video starts and ends to record the drop. When does the computer begin and end the video? Approximately how long is the video? Explain. About 8 seconds; the video starts at about 36 seconds and ends at 44 seconds. 2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Graphs of Quadratic Functions Explore 2
LECCIÓN INSTRUCTIVA
EXPLORACIÓN 2: RAÍCES, CEROS, INTERSECCIONES X Y SOLUCIONES DESCRIPCIÓN
Crush Games Continued Part I 1.
Use the table to help you analyze the Results Card.
Los estudiantes analizarán gráficas de funciones cuadráticas y ecuaciones cuadráticas en forma factorizada para identificar ceros, x-intersecciones, soluciones y raíces de una función cuadrática.
Ajani
ESTÁNDARES DE PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.1 Encontrar sentido a los problemas y perseverar en su solución: Los estudiantes verán las relaciones entre varias representaciones. • MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes prestarán atención al significado de las cantidades, no sólo a cómo calcularlas. • MP.6 Prestar atención a la precisión: Los estudiantes comprenderán el significado de los símbolos utilizados en matemáticas y etiquetarán las cantidades adecuadamente.
Point A
Point E
(0, 0)
(8, 0)
Ordered Pair
Point A tells me that Ajani started the jump at 0 seconds.
Point E tells me that Ajani landed his jump 8 seconds after the time began.
Meaning in Context
2.
How are the ordered pairs for point A and point E related to the equation? The x values of the ordered pairs are the opposite signs of the factors of the equation.
3.
What is the x value of the vertex? How does this value relate to the ordered pairs for points A and E? The x value is 4. This value is at equal distance from both roots, 0 and 8.
4.
The data you recorded with your stopwatch showed that Ajani started the jump at zero seconds, was at the maximum height at 4 seconds, and landed at 8 seconds. Did the digital results match what you recorded? How many total seconds was Ajani in the air? Yes, they matched. He was in the air for 8 seconds total.
MATERIALES
1
IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de tarjetas de resultados (por grupo)
Graphs of Quadratic Functions Explore 2
• 1 boleto de salida (por estudiante) REUTILIZABLE
• 1 protector de hojas (por grupo)
Part II
Analyze the information on the Results Card to answer the questions below. 1.
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes.
Ordered Pair
• Imprima un «Diario del estudiante» y un «Boleto de salida» para cada estudiante.
Meaning in Context
• Imprima un juego de tarjetas de resultados, en cartulina para mayor durabilidad, para cada grupo de estudiantes. Colóquelas dentro de un protector de hojas.
How is the ordered pair related to the equation?
Ordered Pair
PARTE I
2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada uno.
Isaac
Niko
(0, 0)
(2, 0)
Point A tells me that Isaac started the jump at 0 seconds.
Point A tells me that Niko started 2 seconds after the time began.
The x values of the ordered pairs are the opposite signs of the factors of the equation.
Point E
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Lea la siguiente situación a la clase: Una tienda de skate local patrocina un concurso de saltos en monopatín abierto a todo el mundo durante una próxima competición profesional. Ajani decidió participar en el concurso y, después de varios saltos de práctica, su salto final fue grabado para ser juzgado. Como voluntario para el concurso, se le ha encomendado la tarea de analizar el salto, comprobar los resultados digitales para asegurarse de que Las ecuaciones representan los tiempos de inicio y final correctos, y dar la información al juez principal.
Use the table to organize the information about points A and E for Isaac’s and Niko’s jumps. Point A
Meaning in Context
How is the ordered pair related to the equation?
2.
Isaac
Niko
(6, 0)
(8.5, 0)
Point E tells me that Isaac landed his jump 6 seconds after the time began.
Point E tells me that Niko landed his jump 8.5 seconds after the time began.
The x values of the ordered pairs are the opposite signs of the factors of the equation.
What is the time at which Isaac achieved his maximum jump height? What is the time at which Niko achieved his maximum jump height? Isaac’s maximum height was at 3 seconds. Niko’s maximum height was at 5.25 seconds. 2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE OPCIONES
3. Distribuya una Tarjeta de Resultados de la parte I a cada grupo de estudiantes. 200
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Graphs of Quadratic Functions Explore 2
4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para analizar la tarjeta de resultados para examinar la relación entre los ceros de una función cuadrática y sus factores lineales y registrar su trabajo en sus diarios.
Reflect 1.
The results you recorded with your stopwatch are shown below. Did the digital results match what you recorded for all of the finalists? If not, was the error in your recording or the digital recording? How do you know? Point A
Point C
Point E
Ajani
0 seconds
4 seconds
8 seconds
Isaac
0 seconds
2.5 seconds
6 seconds
Niko
2 seconds
6 seconds
8.5 seconds
5. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar su comprensión:
The error was in my recording of point C for Isaac and Niko. Point C represents the maximum, and the maximum is always exactly between the roots. I am certain points A and E are correct because my results match the digital results. If I find the number exactly between 0 and 6, it is 3. If I find the number exactly between 2 and 8.5, it is 5.25.
2.
3.
The winner was the finalist who had a qualifying jump that was 7 seconds or longer in duration. Which skateboard finalist won the award? Ajani is the winner, as his jump duration was 8 seconds.
a. DOK-1 Coloque un cuadrado alrededor de x-intersecciones/raíces/ceros, y rotúlelos. Los estudiantes deben colocar cuadrados alrededor de (0, 0) y (8, 0) y etiquetarlos como x-intersecciones/ raíces/ceros. b. DOK-1 «¿Qué representan los x-intersecciones en la gráfica?». Los x-intersecciones representan las raíces/ceros/solución del gráfico.
Determine the factors for each graph using the roots. Then, write a possible equation for each graph using the factors.
c. DOK-1 Identifica los x-intersecciones en el gráfico. Los x-intersecciones están en (0, 0) y (8, 0).
Factors: (x + 2) and (x + 5) y = –(x + 2)(x + 5)
Factors: (x – 2) and (x – 5) y = –(x – 2)(x – 5) 3
d. DOK-1 «¿Qué te dicen los paréntesis en la función cuadrática acerca de la gráfica?». Los paréntesis tienen x - 0 y x - 8 dentro. Esto significa que nos dan la información sobre las x-interceptadas/raíces/ceros/ soluciones ya que la gráfica también está cortando el x-eje en 0 y 8. 6. Dé suficiente tiempo para completar la parte I y contestar las preguntas que siguen.
Graphs of Quadratic Functions Explore 2
4.
5.
Describe the differences between the roots of the graphs in question 3. How are their factors similar, and how are they different? The graphs have the same roots, but they are different signs: 2 vs. −2 and 5 vs. −5. The factors have a similar relationship. Both equations have a factor with a constant of 2, but one is positive and one is negative. Would both of the equations below have roots at the origin? Why or why not? y = 8x(x – 4)
y = x(x + 1)
They would both have a root at the origin because they both have a monomial factor.
7. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje hasta ahora. CHARLA DE MATEMÁTICAS
Explique lo siguiente a la clase: En una ecuación de función cuadrática, las expresiones dentro de los paréntesis son los factores de la función cuadrática. Estos factores nos dicen sobre las intersecciones x/raíces/ceros/soluciones de la gráfica. • DOK-3 «¿Qué te dicen las x-intercepciones/raíces/ ceros sobre el salto de Ajani?». Las x-intercepciones/ raíces/ceros me dicen sobre la hora en que Ajani comenzó el salto y la hora en que Ajani tocó el suelo al final del salto. PARTE II
4
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE OPCIONES
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1. Lea el siguiente escenario a la clase: Isaac y Niko decidieron presentarse también al concurso y, tras varios saltos de práctica, sus saltos finales fueron grabados para ser juzgados. Desgraciadamente, la máquina funcionó mal y sólo dio la ecuación y ningún gráfico. Como voluntario del concurso, se te ha encomendado la tarea de analizar el salto, comprobar los resultados digitales para asegurarte de que Las ecuaciones representan los tiempos de inicio y final correctos, y dar la información al juez principal. 2. Entregue una tarjeta de resultados de la parte II a cada grupo de estudiantes. 3. Los estudiantes deben tener todavía sus Tarjetas de Resultados de la parte I y sus Diarios del Estudiante.
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Graphs of Quadratic Functions Explore 2
4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para analizar Las ecuaciones factorizadas que representan los saltos de Isaac y Niko para responder a las preguntas que siguen y registrar su trabajo en sus diarios.
Roots, Zeros, x-intercepts, and Solutions Exit Ticket A dolphin jumps out of the water. The graph shows its projectile motion.
5. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar su comprensión: a. DOK-1 «¿Qué partes de las funciones cuadráticas te dan información sobre las raíces/soluciones/ceros?». Las expresiones (x - 0) y (x - 6) me dan información sobre las raíces/ soluciones/ceros. b. DOK-1 Identifica las x-interceptadas en la gráfica. Las x-interceptadas están en (0, 0) y (6, 0). 6. Permita a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte II y contestar las preguntas que siguen. 7. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje.
1.
Identify the x-intercepts of the graph. (1,0) and (15,0)
2.
Circle the time at which the dolphin landed in the water. At 5 seconds
3.
At 15 seconds
At 10 seconds
Write a possible equation for this function. y = −(x – 1)(x – 15)
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• Explique lo siguiente a la clase: Las raíces de una función son los intersecciones x. Por definición, la coordenada y de los puntos situados en el eje x es cero. Por lo tanto, para encontrar las raíces de una función cuadrática, establecemos cada factor lineal igual a 0 y luego resolvemos para x. Las raíces, ceros, intersecciones x y soluciones son los signos opuestos de los factores. • DOK-3 «¿Qué notas acerca de los ceros y los factores del polinomio?». Los ceros son los valores que harían cada binomio igual a 0. • DOK-1 «¿Cuál es la diferencia entre un cero, una raíz y una solución de una función?». Cero es el valor de x donde una expresión es igual a cero; es la x-coordenada de la x-intercepción de la gráfica. La solución es el valor que satisface la ecuación; se llaman raíces, x-intersecciones, o ceros. • DOK-3 «¿Cómo encontrarás las soluciones de la función cuadrática y = (x - 0)(x - 6)?». Las raíces, ceros, x-intersecciones, y soluciones son los signos opuestos de los factores. Puedo ver que la gráfica corta el eje x en 0 y 6. 8. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídeles que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE OPCIONES
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de completar el esquema de anclaje como clase. Una vez creado, haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva» .
APOYOS INSTRUCTIVOS 1. Los estudiantes pueden estar confundidos acerca del número de raíces de una parábola que no pasa por el eje x. Recuérdeles que piensen en ejemplos como y = x 2 + 3. Recuérdeles que piensen en ejemplos como y = x2 + 3. Para cualquier valor de x, y debe ser al menos 3, lo que significa que la parábola nunca puede pasar por el eje x y no puede tener ninguna raíz. 2. Al analizar ecuaciones parabólicas, los estudiantes pueden equivocarse al determinar los ceros porque olvidan cambiar el signo. Por ejemplo, si y = (x - a) (x - b), pueden decir que los ceros son -a y -b. Anímelos a escribir x - a = 0 y x - b = 0 para ver que los ceros son en realidad a y b. 3. Los estudiantes pueden pasar por alto los ceros si tienen una situación como y = x(x - a). Anima a los estudiantes a escribir todos los factores como x - (constante) para que no se les escape este cero. Así, en este ejemplo, escriba y = (x - 0)(x - a).
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Graphs of Quadratic Functions Part 2
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE
Roots, Zeros, x-intercepts, and Solutions
La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo del lenguaje de los estudiantes.
Use the factor bank to write the factors for each graph. Factor Bank x
(x + 1)
(x – 1)
(x + 3)
(x – 3)
Los estudiantes utilizarán técnicas de aprendizaje como mapas conceptuales, dibujos, comparaciones, contrastes, memorización y repaso para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado.
1.
(x + 1)(x + 3)
2.
(x – 1)(x – 3)
3.
x(x + 3)
4.
(x – 1)(x + 1)
1
Graphs of Quadratic Functions Part 2
5.
The quadratic function g is graphed on the xy-coordinate grid. Which of the following could be the zeros of the quadratic function g? Select all that apply. ❏ g(x) = (x + 2)(x + 4) ❏ g(x) = (x + 2)(x – 4) ❏ g(x) = (x – 2)(x – 4) ❏ g(x) = (x – 3)(x + 6) ❏ g(x) = (x – 3)(x – 6) ❏ g(x) = (x + 3)(x – 6)
6.
Explain how you know which ordered pairs could be the zeros of the quadratic function g. The zeros will have opposite signs because the roots are on opposite sides of the y-axis. The root on the negative side is closer to zero than the root on the positive side.
7.
The quadratic function h has roots that are both negative. What factors could be possible if both roots are negative? Give an example. If both roots are negative, then the factors will both be positive. For example, if the roots are −5 and −10, the factors would be (x + 5) and (x + 10).
8.
The quadratic function k is graphed on the xy-coordinate grid. Write a set of possible factors that could be used to represent the quadratic function h. Answers may vary. k(x) = (x – 2)(x – 4)
9.
Explain how you know what the factors of the quadratic function k should look like. Both roots are positive, so the factors will have x minus a value.
10.
Circle all of the quadratic functions that have an x-intercept of (3, 0).
Principiante: Antes de la lección, repase las características clave de una gráfica de una función cuadrática guiando a los estudiantes en la creación de una hoja de referencia. La hoja de referencia debe incluir un banco de palabras y espacios para que los estudiantes etiqueten las características clave de la gráfica. También debe incluir definiciones para las que los estudiantes puedan escribir el término apropiado del banco de palabras. Las características clave incluyen x-intersecciones, y-intersecciones, ceros, raíces, soluciones, un máximo, un mínimo, un vértice, un eje de simetría y una parábola. Intermedio: Antes de la lección, repase las características clave de la gráfica de una función cuadrática haciendo que los estudiantes creen una hoja de referencia. La hoja de referencia debe incluir espacios para etiquetar las características de la gráfica y definiciones para que los estudiantes puedan escribir el término apropiado. Las características clave incluyen x-intersecciones, y-intersecciones, ceros, raíces, soluciones, un máximo, un mínimo, un vértice, un eje de simetría y una parábola. Si es necesario, anima a los estudiantes a consultar la Exploración anterior para completar su hoja de referencia. Avanzado: Antes de la lección, repase las características clave de la gráfica de una función cuadrática haciendo que los estudiantes creen una hoja de referencia. La hoja de referencia debe incluir espacios para etiquetar las características de la gráfica y definiciones para que los estudiantes puedan escribir el término apropiado. Las características clave incluyen x-intersecciones, y-intersecciones, ceros, raíces, soluciones, un máximo, un mínimo, un vértice, un eje de simetría y una parábola. Si es necesario, anima a los estudiantes a consultar la Exploración anterior para completar su hoja de referencia.
y = (x + 14)(x – 3) y = 3x(x – 10) y = (x + 3)(x + 3) y = x(x − 3) 2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 2) CLAVE DE OPCIONES
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 LECCIÓN INSTRUCTIVA
EXPLORACIÓN 3: ESCRIBIR ECUACIONES EN FORMA DE VÉRTICE DESCRIPCIÓN Los estudiantes escribirán funciones cuadráticas en forma de vértice y las reescribirán en forma estándar.
4. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientadoras para evaluar su comprensión: a.
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes verán las relaciones entre varias representaciones.
DOK-1 «¿Cuántas raíces tiene esta parábola?». Sólo hay una raíz, ya que la gráfica toca el eje x sólo una vez.
b.
• MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes prestarán atención al significado de las cantidades, no sólo a cómo calcularlas.
DOK-2 «¿En qué punto de la curva está el vértice de la parábola?». El vértice será el mínimo (punto más bajo) de la gráfica.
c.
DOK-2 «¿Qué te dice el punto medio entre las torres de apoyo acerca de la distancia desde cada torre de apoyo?». Si está a mitad de camino, está exactamente en el medio, por lo que está a igual distancia de ambas torres de apoyo.
d.
DOK-2 Si el punto medio está a 65 m de una torre de apoyo, «¿cómo podría usarse para hallar la distancia total?». Si el punto medio está a 65 m de una torre de apoyo, entonces también debe estar a 65 m de la otra torre de apoyo. Si multiplicamos 65 por 2, obtenemos la distancia total.
e.
DOK-2 Puesto que el vértice está exactamente entre las dos torres, «¿a qué distancia está del eje y? ¿Es éste el valor x del vértice o el valor y del vértice?». El vértice está a 65 pies de la torre izquierda o del eje y. Este valor de 65 es el valor x del vértice.
f.
DOK-2 Dado que el cable toca la calzada, «¿cuál es el valor y de la coordenada del vértice?». El valor y sería 0 ya que está a 0 pies por encima de la calzada.
g.
DOK-2 El valor y del par ordenado da la distancia por encima de la superficie. «¿Cambia esto la ubicación del punto medio entre las torres de soporte?». El valor y cambia la posición verticalmente y no afecta la distancia horizontal o el punto medio.
h.
DOK-2 Al redondear al número entero más cercano, «¿cuándo debe redondearse el número hacia arriba y cuándo debe permanecer igual?». Si el decimal es 5 décimas o más, redondee hacia arriba; si el decimal es menos de 5 décimas, manténgalo igual.
i.
DOK-2 «¿Cuál fue la salida más grande? ¿Cuál fue la salida más pequeña?». 18 y 0
j.
DOK-2 «¿Qué pasó con el valor dentro del paréntesis cuando la entrada fue 42? ¿Cómo afectó esto a la salida?». Cuando 42 era la entrada, el valor dentro del paréntesis era cero. Esto hizo que la salida fuera cero porque cualquier cosa multiplicada por cero es cero.
k.
DOK-2 Cuando el cable de soporte toca la superficie, «¿cuál es un posible valor y del par ordenado?». Al tocar la superficie estaría a 0 m por encima de la carretera, por lo que el valor de y sería 0.
l.
DOK-2 «¿Cómo puedes hacer una conjetura para la entrada que dará el menor valor posible?». Explique. Usa un número en la ecuación porque el último problema usó un número en la ecuación.
m.
DOK-2 Para el segundo puente, «¿qué pasó con el valor dentro del paréntesis cuando la entrada fue 35? ¿Cómo afectó esto a la salida?». Cuando 35 era la entrada, el valor dentro del paréntesis era cero. Esto hizo que la salida fuera cero porque cualquier cosa multiplicada por cero es cero.
ESTÁNDARES DE PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.6 Prestar atención a la precisión: Los estudiantes comprenderán el significado de los símbolos utilizados en matemáticas y etiquetarán las cantidades de forma adecuada.
MATERIALES IMPRESOS • 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 página del arquitecto (por estudiante) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» y una Página del arquitecto para cada estudiante. • Imprima un «Boleto de salida» para cada pareja. Recorte los boletos de salida de media página para que cada estudiante tenga uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE APOYO PARTE I 1. Lea la siguiente situación a la clase: Estás trabajando como becario en un estudio de arquitectura. Su nuevo cliente quiere ecuaciones para modelar los cables de soporte de varios puentes colgantes. Se le pide que analice los puentes y Las ecuaciones que representan las alturas de los cables como funciones de las distancias desde las torres del oeste. El primer puente que se le pide que analice especifica que el cable del puente colgante está suspendido en forma de parábola entre dos torres. La parte superior de las torres está a 18 metros por encima de la calzada. Los cables tocan la calzada a mitad de camino entre las torres. El segundo puente que se le pide que analice especifica que la parte superior de las torres está a 12 metros por encima de la calzada. Los cables tocan la calzada a mitad de camino entre las torres. Analice Las ecuaciones y los puentes para explicar las relaciones y demostrar que tiene los conocimientos necesarios para trabajar en el proyecto del cliente. 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada uno. 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para analizar la información del escenario y ayudar al estudio de arquitectura a crear una ecuación para modelar los cables de soporte y registrar su trabajo en sus diarios.
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1/9/26 1:42 PM
ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3
Graphs of Quadratic Functions Explore 3
Suspension Bridges
Graphs of Quadratic Functions Explore 3
4. 5.
Sketch the support wire on the diagram according to the specifications. Label the height.
6.
The equation h = 0.01(d – 42)² models the height of the support wire as a function of the distance from the west tower. Find the output of the equation when d = 0, d = 42, and d = 80. Round to the nearest whole number. The outputs are 18, 0, and 14 respectively.
7.
Which input makes the equation the largest? The input of 0 makes the equation the largest.
Graphs of Quadratic Functions Explore 3
11. 12.
Sketch the support wire on the diagram according to the specifications. Label the height.
13.
The equation h = 0.01(d – 35)² models the height of the support wire as a function of the distance from the west tower. Use the guess-and-check method to determine the distance from the west tower that makes the height as small as possible. Show all of your calculations and work. What is the smallest output you can get? Answers will vary.
Part I
1.
How could the location of the vertex be used to determine the total distance of the bridge? We know that the cable touches the surface midway between the support towers. We know it is the same distance from the vertex to the left support tower and the vertex to the right support tower. Those two distances can be used to determine the total distance.
2.
If the vertex of the wire in the picture was at (65, 0), how long would the bridge be? Explain, and label the distance. The bridge would be 130 m across because there would be 65 m on each side of the vertex to give a total distance of 130 m.
3.
Would the total distance be different if the vertex was at (65, 10)? Why or why not? The total distance of the bridge would not be different. There would still be 65 m on both sides of the vertex. The 10 would represent that the cable is 10 m above the surface, and that wouldn’t change the length of the bridge.
8.
Which input makes the equation the smallest? Why do you think that is? The input of 42 makes the equation the smallest. This makes sense because when I input 42, I get 0 inside the parentheses. Anything times zero is zero. It makes sense that this will be the smallest output because any other number squared will yield a positive result.
9.
Which input makes sense for the middle? Explain. An input of 42 makes sense for the middle because we know that the support wire touches the ground midway between the towers.
10.
Label the distance across based on your middle, and substitute that value into the equation to determine the height.
Check your second guess. h = 0.01(35 – 35)² h=0
14.
Which input makes sense for the middle? Explain. An input of 35 makes sense for the middle because we know that the support wire touches the ground midway between the towers.
15.
Label the distance across.
16.
Describe a rule that can be used to determine what input will make the smallest output for the equation in the form of y = a(x − h)². The value of x should be the opposite of h so the quantity inside the parentheses is zero. This will give the smallest output for the equation.
2
3
Graphs of Quadratic Functions Explore 3
Graphs of Quadratic Functions Explore 3
Graphs of Quadratic Functions Explore 3
Use the guess-and-check method to determine the distance from the west tower that makes the height as small as possible. Show all of your calculations and work, and then record your answers on the Architect’s Page. What is the smallest output you can get?
0 First guess: d = ___
10 Second guess: d = ___
Check your first guess. h = 0.05(0 – 10)² + 2 h=7
Check your second guess. h = 0.05(10 – 10)² + 2 h=2
6.
What is the coordinate of the vertex of the parabola that models this suspension wire? How is this related to the equation? (10, 2) The x value makes the inside of the parentheses equal 0, and the y value is the constant outside the parentheses.
Reflect
Bridge 3 5. The equation h = 0.03(d + 40)² + 5 models the height of the support wire as a function of the distance from the west tower. Answers will vary.
Bridge 1 1. The equation h = 0.05(d – 10)² + 2 models the height of the support wire as a function of the distance from the west tower. Answers will vary.
40 First guess: d = ___
Second guess: d = −40 ___
Check your first guess. h = 0.03(40 + 40)² + 5 h = 197
Check your second guess. h = 0.03(−40 + 40)² + 5 h=5
1.
What is the coordinate of the vertex of the parabola that models this suspension wire? How is this related to the equation? (−40, 5) The x value makes the inside of the parentheses equal 0, and the y value is the constant outside the parentheses.
Bridge 4 7. Your final task during your internship is to complete the Architect’s Page by creating an equation for bridge 4. Use the picture below to guide you. Write a possible equation for this bridge, and explain how the equation represents the lowest point of the wire.
Bridge 2 3. The equation h = 0.025(d − 20)² + 4 models the height of the support wire as a function of the distance from the west tower. Answers will vary.
4.
35 Second guess: d = ___
1
Part II
2.
0 First guess: d = ___ Check your first guess. h = 0.01(0 – 35)² h = 12
20 First guess: d = ___
4 Second guess: d = ___
Check your first guess. h = 0.025(20 − 20)² + 4 h=4
Check your second guess. h = 0.025(4 − 20)² + 4 h = 10.4
What is the coordinate of the vertex of the parabola that models this suspension wire? How is this related to the equation? (20, 4) The x value makes the inside of the parentheses equal 0, and the y value is the constant outside the parentheses.
The quadratic function f(x) is modeled by the equation f(x) = −5(x + 2)² + 50. a.
What is the vertex? (−2, 50)
b.
What is the y-intercept of the function? The y-intercept is (0, 30).
2.
Explain why substituting in x = −2 will give the function f(x) = (x + 2)2 – 5 its lowest value. When x = −2, the expression inside of the parentheses equals 0, and that is the smallest value that (x + 2)2 can take since any other value squared would equal a positive number.
3.
Why did knowing the vertex of the bridge’s suspension wire tell us how long the bridge was? The vertex had to be in the center of the bridge because parabolas are symmetrical. The total distance was twice the x value of the vertex.
4.
How can you find and explain the vertex of an equation in the form y = a(x – h)2 + k? The x value of the vertex must be h because that is the value that will make the inside of the parentheses equal to 0. The y value of the vertex is k because when you plug x = h into the equation, y = k.
h = 0.03(d + 32)² + 18 Since the lowest point on the support wire is to the left of the y-axis, the equation needs to use plus or minus a negative inside the parentheses. The coordinate for the lowest point on the wire is (−32, 18) because the distance across is 64 m. This makes x = −32 right in the middle of the bridge, where the vertex must be. If you substitute x = −32 into the equation above, y = 18.
4
5
6
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Graphs of Quadratic Functions Explore 3
5. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte I y responder a las preguntas que siguen. 6. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta el momento.
Writing Equations in Vertex Form Exit Ticket 1.
The graph of a quadratic function has a vertex at (3, 8). What is a possible equation for this function? Answers will vary. y = −2(x – 3)² + 8
2.
What is the vertex of the equation y = 4(x + 6)2 – 10? (−6, −10)
CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-2 «¿Cómo se relaciona la ecuación con el valor x del vértice?». El número que se resta dentro del paréntesis es el mismo que el valor x del vértice. El valor x hará que la expresión dentro del paréntesis sea igual a 0. • DOK-2 «¿Por qué la entrada que hace cero la cantidad dentro del paréntesis es el punto más bajo de la parábola?». La salida será la más baja cuando la cantidad dentro del paréntesis sea la más baja. Puesto que elevar un número al cuadrado siempre lo hará positivo, el número más pequeño posible es cero. PARTE II 1. Lea el siguiente escenario a la clase: Su próximo trabajo como pasante es examinar otros cuatro puentes en el portafolio y determinar la información basada en Las ecuaciones que los arquitectos más experimentados han creado.
Graphs of Quadratic Functions Explore 3
Writing Equations in Vertex Form Exit Ticket 1.
The graph of a quadratic function has a vertex at (3, 8). What is a possible equation for this function? Answers will vary. y = −2(x – 3)² + 8
2.
What is the vertex of the equation y = 4(x + 6)2 – 10? (−6, −10)
2. Los estudiantes deben tener aún sus diarios. 3. Entregue una «Página del arquitecto» a cada estudiante. 4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para analizar la información proporcionada para cada puente completando la información que falta en la «Página del arquitecto» y respondiendo preguntas en sus diarios.
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE OPCIONES
5. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar su comprensión: a.
b.
DOK-1 El valor y del par ordenado da la distancia sobre la superficie. «¿Cambia esto la ubicación del punto medio entre las torres de apoyo?». El valor y cambia la posición verticalmente y no afecta a la distancia horizontal o al punto medio. DOK-2 «¿Cómo decides qué números adivinar como valores de entrada?». Quiero que el interior de los paréntesis sea igual a 0 para que el término elevado al cuadrado sea lo más pequeño posible.
c.
DOK-2 «¿Cómo puedes estar seguro de que tu valor es lo más pequeño posible?». Si el término elevado al cuadrado es igual a 0, entonces el valor no puede ser más pequeño.
d.
DOK-1 «¿Cómo se conecta el valor y del vértice con la ecuación?». Es la constante en el exterior de la ecuación.
e.
DOK-2 Una vez que has determinado el vértice, «¿cómo puedes saber la distancia total del puente?». La longitud del puente es el doble de lo que el valor x del vértice está del origen.
Graphs of Quadratic Functions Part 3
Writing Equations in Vertex Form 1.
Use the number bank to determine the values to graph each quadratic function shown, and fill in the blanks. Number Bank 3
−3
5
−5
a.
f(x) = (x – 3)2 – 5
b.
g(x) = (x + 3)2 – 5
c.
h(x) = −(x + 3)2 + 5
d.
a(x) = −(x – 3)2 + 5
6. Concédales tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen. 7. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. 1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 3) CLAVE DE OPCIONES
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Graphs of Quadratic Functions Part 3
CHARLA DE MATEMÁTICAS 2.
Sort each quadratic function in the equation bank based on the quadrant location of the vertex, and fill in the columns of the quadrant table.
• DOK-2 «¿Cómo puedes encontrar el vértice de una ecuación de la forma y = a(x - h)2 + k?». El valor x del vértice es el valor h que hará que el interior del paréntesis sea igual a 0. El valor y del vértice es k.
Equation Bank a(x) = (x – 2)2 – 8 b(x) = (x + 2)2 + 8 c(x) = −(x + 2)2 + 8
Quadrant I
Quadrant II
Quadrant III
Quadrant IV
e(x)
b(x) c(x)
d(x)
a(x) f(x)
• DOK-1 Si el vértice de una ecuación cuadrática está en (-50, 7), «¿cuál es una posible ecuación de la parábola?». y = (x + 50)2 + 7 es una posible ecuación.
d(x) = −(x + 2)2 – 8
8. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
e(x) = 3(x – 2)2 + 8 f(x) = −5(x – 2)2 – 8
3.
Explain how you know where to place each quadratic function. In the equation y = a(x – h)2 + k, (h, k) is the vertex.
4.
The quadratic function g is graphed below. Write 2 possible quadratic functions. Justify your answers. Answers will vary. g(x) = (x – 2)2 – 8 g(x) = 7(x – 1)2 – 6 The vertex is in Quadrant IV. The graph opens upward.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez creado, haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva» .
APOYOS INSTRUCTIVOS
2
1. Al determinar el vértice de una parábola basándose en la forma del vértice, los estudiantes pueden equivocarse al determinar los signos de los valores x y y. Por ejemplo, en y = a(x - h)² + k, los estudiantes pueden escribir (h, -k), o (-h, k). Anímelos a sustituir el vértice propuesto en la ecuación para asegurarse de que se crea un enunciado verdadero. 2. Los estudiantes pueden cometer errores por descuido al multiplicar el término al cuadrado en forma de vértice. Recuerde a los estudiantes que deben asegurarse de sumar el valor k al término cuadrado, que es un término similar a h².
Graphs of Quadratic Functions Part 3
5.
Circle all of the quadratic functions that will have a vertex of (−4, 2). j(x) = 2(x – 4)2 – 2
k(x) = 2(x + 4)2 + 2
l(x) = − 1 (x + 4)2 + 2
m(x) = − 1 (x – 4)2 – 2
2
3. Los estudiantes pueden confundirse al pensar que una parábola con un coeficiente negativo tiene un máximo, mientras que una parábola con un coeficiente positivo tiene un mínimo. Anímelos a pensar y crear gráficos para comprobar su pensamiento. 4. Los estudiantes pueden estar confundidos de que infinitas parábolas pueden tener el mismo vértice. Anímelos a graficar en calculadoras lo que sucede cuando cambia el coeficiente a de y = a(x - h)² + k.
2
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE La siguiente Estrategia para la Adquisición del Lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes. Los estudiantes utilizarán los conocimientos previos como vínculo para comprender la lengua inglesa. Principiante: Antes de la clase, muestre a los estudiantes imágenes de diferentes puentes colgantes. Comparta con los estudiantes que en la Exploración de hoy analizarán los cables de suspensión de dichos puentes. Intermedio: Antes de la clase, muestre a los estudiantes imágenes de diferentes puentes colgantes. Indique a los estudiantes que en la exploración de hoy analizarán los cables de suspensión de dichos puentes. 3
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 3) CLAVE DE OPCIONES
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Avanzado: Antes de la clase, muestre a los estudiantes imágenes de diferentes puentes colgantes. Indique a los estudiantes que en la exploración de hoy analizarán los cables colgantes de dichos puentes.
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Graphs of Quadratic Functions Explore 4
LECCIÓN INSTRUCTIVA
EXPLORACIÓN 4: RESOLUCIÓN DE A EN FUNCIONES CUADRÁTICAS
Tunnel Design
Part I
Use the parabola below to model the tunnel opening and answer the questions that follow.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes escribirán funciones cuadráticas en forma estándar o factorizada cuando se les den soluciones reales o gráficas de las funciones. Los estudiantes usarán un tercer punto para encontrar a.
ESTÁNDARES DE PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.1 Encontrar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes verán relaciones entre diversas representaciones.
1.
The firm’s intern starts by creating the equation y = x2 + 8. What about the intern’s model is successful, and what features need to change? The intern created an equation that has the correct vertex, but the intern’s equation opens upward when it needs to open downward.
• MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes prestarán atención al significado de las cantidades, no sólo a cómo calcularlas.
2.
An associate at the architecture firm adjusted the intern’s equation to y = −x2 + 8. Does this equation match the points labeled on your graph? The equation does pass through (0, 8), but it does not pass through (4, 0) because when x = 4, the y value of this equation would be −8.
3.
The lead architect knows that the first two attempts were close and suggests that the team find a coefficient to put in front of the equation so it goes through each of the points since −1 did not quite work. Find the value of a in the equation y = ax2 + 8 so that it passes through the x-intercepts and the vertex. Substitute (4, 0) into the equation y = ax2 + 8. 0 = a(4)2 + 8 0 = 16a + 8 −8 = 16a
• MP.6 Prestar atención a la precisión: Los estudiantes comprenderán el significado de los símbolos utilizados en matemáticas y etiquetarán las cantidades adecuadamente.
MATERIALES
, so the correct equation is
IMPRESOS
1
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes) REUTILIZABLES
Graphs of Quadratic Functions Explore 4
• 1 calculadora gráfica (por estudiante)
PREPARACIÓN
Use the parabola below to model the tunnel opening, where the x- and y-axes measure distance in meters, and answer the questions that follow.
• Separe la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» para cada uno. • Imprima un «Boleto de salida» para cada pareja. Córtelo a media página para que cada estudiante tenga uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE APOYO
(−6, 4)
PARTE I 1. Lea la siguiente situación a la clase: Los arquitectos están investigando para construir un nuevo túnel parabólico, por lo que necesitan examinar otros túneles y las funciones cuadráticas utilizadas para modelar las aberturas de los túneles. Un túnel tiene una abertura parabólica de 8 m de ancho medida de lado a lado a lo largo del suelo. La entrada del túnel tiene una altura de 8 m medida en el punto más alto del centro. El estudio de arquitectura necesita desarrollar una ecuación que represente la abertura del túnel para producir dibujos y planos precisos. Ayude al arquitecto a desarrollar Las ecuaciones que se utilizarán para los dibujos y planos. 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada uno. 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para analizar el escenario y utilizar los detalles del túnel para dibujar la parábola en la cuadrícula y registrar su trabajo en sus diarios.
(6, 4)
(−8, 0)
(8, 0)
4.
Since we know the two x-intercepts and don’t know the vertex, what form would be easiest to create the equation with? Factored form
5.
Write an equation that passes through both x-intercepts. Answers may vary. y = (x + 8)(x – 8)
6.
Solve for the coefficient in your equation so that your model also has a height of 4 m when it is 6 m away from the center. y = a(x + 8)(x – 8) 4 = a(6 + 8)(6 – 8) 4 = a(14)(−2) 4 = −28a
7.
Use your equation to determine the maximum height of this tunnel.
, so the correct equation is
.
2
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Graphs of Quadratic Functions Explore 4
4. A medida que los estudiantes colaboran, monitoree su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar su comprensión:
Part II
The architecture firm needs a graph and an equation to model a tunnel that has an opening that goes through the points (7, 0), (−7, 0), and (3, 8). 1.
Sketch the parabola on the coordinate grid to represent the opening of the tunnel. Label the x-intercepts.
a.
DOK-2 Describa la dirección en que se abre la parábola del pasante. El túnel del pasante se abre hacia arriba.
b.
DOK-2 «¿Qué pares ordenados representarían dónde los lados izquierdo y derecho del túnel se encuentran con el suelo si está centrado en x = 0?». La izquierda será (-4, 0), y la derecha será (4, 0).
c.
DOK-2 Describe la ubicación de las raíces del modelo del pasante. El modelo del becario no cruza el eje x-; por lo tanto, no tiene raíces reales.
d.
DOK-2 Describa cómo determinar la salida del modelo del becario para una entrada dada. Si la entrada fuera 2, pondríamos 2 en lugar de x. Cuadra 2, toma el opuesto, y luego suma 8 para obtener la salida.
e.
DOK-2 «¿Cuál es el par ordenado para el punto más alto en la gráfica de la abertura del túnel? ¿Cómo se relaciona con la ecuación?». El par ordenado es (0, 8), y esto se relaciona con la ecuación porque cero se resta de la cantidad de x, y 8 se suma al final.
f.
DOK-2 «¿Cómo se pueden usar las raíces/ceros/xintersecciones para escribir los factores lineales?». Los factores lineales son x más el opuesto de cada raíz.
g.
DOK-2 «¿Cómo se pueden usar los factores lineales para escribir una ecuación en forma factorizada?». Las ecuaciones cuadráticas se escribirían como el producto de los factores lineales.
h.
DOK-2 «¿Cada punto de una recta o curva es una solución de la ecuación que representa la recta o curva? ¿Por qué sí o por qué no?». Cada punto de la curva es una solución de la ecuación que representa la curva. Por definición, un par ordenado que satisface la ecuación es una solución de la ecuación.
i.
DOK-2 «¿Cómo determinas si tu par ordenado satisface la ecuación?». Para determinar si mi par ordenado satisface la ecuación, necesitaría sustituirlo en la ecuación y ver si hace un enunciado verdadero.
j.
DOK-2 «¿Cómo se relacionan las raíces de 8 y -8 con los factores en la ecuación?». Las raíces son signos opuestos de los factores, así que la raíz de 8 tendría un factor de (x - 8), y la raíz de -8 tendría un factor de (x + 8).
k.
DOK-2 Cuando una ecuación cuadrática se escribe en forma factorizada como y = a(x + 8)(x - 8) «¿cómo se puede determinar el valor del coeficiente, a, cuando hay otras dos variables, x y y?». Tendríamos que utilizar un punto de la parábola para sustituir x y y. Eso dejaría una ecuación con una sola variable.
l.
DOK-2 «¿Qué valor de x está exactamente entre las raíces? ¿Cómo nos ayudará esto a encontrar el vértice?». El valor x exactamente entre las raíces es 0. Esto nos ayudará a encontrar el vértice porque podemos sustituir este valor en la ecuación y encontrar el valor y para el par ordenado del vértice.
(7, 0)
(−7, 0)
2.
Write an equation in factored form, and then determine the value of a that would model the opening of the tunnel shown. y = a(x + 7)(x – 7) 8 = a(3 + 7)(3 – 7) 8 = a(10)(−4) 8 = a(−40) a = −0.2 y = −0.2(x + 7)(x – 7)
3.
Use your equation to determine the vertex of the parabola. Adjust your sketch if needed. y = −0.2(0 + 7)(0 – 7) y = −0.2(−7)(7) y = 9.8 Vertex: (0, 9.8) 3
Graphs of Quadratic Functions Explore 4
Reflect 1.
Compare and contrast the methods to determine the coefficient when given the x-intercepts and when given the vertex. Writing the equation is different because when given the x-intercepts, the equation will be in factored form, but when given the vertex, the equation will be in vertex form. Once the basic equation is written, the general idea is the same. We will use an ordered pair to substitute for x and y, and then solve for a, which is the coefficient.
2.
How did substitution help us solve for the full equation of a parabola when given the graph? We first used the key points, either the vertex or x-intercepts, to determine the structure of the equations, and then we substituted in another point to make sure our equation matched the graph.
3.
Can an exact equation be determined to represent the parabola if only the roots are known? Why or why not? No, an exact equation cannot be determined because a third point on the parabola is needed to find the value of the coefficient. An equation can be approximated in factored form, but the value of the coefficient can only be determined if there is a third point on the parabola that is known.
5. Concede a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte I y responder a las preguntas que siguen 4
6. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta ahora.
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Graphs of Quadratic Functions Explore 4
CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-2 «¿Qué significa cuando el par ordenado no satisface la ecuación?». Significa que la ecuación no representa una parábola que pasa por las raíces exactas y el punto adicional. • DOK-2 «¿Cómo se usó la sustitución para determinar el coeficiente de la ecuación cuadrática?». Se introdujo un punto que no se usó para escribir la ecuación para x y y. Eso crea una ecuación con una sola variable, a. Esta ecuación se puede resolver, y el valor de a es el coeficiente de la ecuación cuadrática.
Solving for a in Quadratic Functions Exit Ticket The graph of a quadratic function has x-intercepts at (−4, 0) and (5, 0). The graph also passes through the point (6, 6). Write a quadratic equation in factored form to represent this parabola. y = 0.6(x + 4)(x – 5)
• DOK-2 «¿Cuándo se puede usar el vértice como los valores para sustituir y determinar el coeficiente de la ecuación cuadrática?». El vértice, o cualquier punto que no sea una raíz, se puede usar para sustituir cuando la ecuación está en forma factorizada. • DOK-2 «¿Cuándo se puede usar una raíz para sustituir y determinar el coeficiente de la ecuación cuadrática?». La raíz, o cualquier punto distinto del vértice, puede usarse para sustituir cuando la ecuación está en forma de vértice. • DOK-2 Todas las parábolas tienen un coeficiente que puede hacer que la parábola se estire o se comprima. Esto nos permitirá ajustar la ecuación para que pase por las raíces exactas y el punto adicional. «¿Cómo podemos utilizar y = a(x - 3)(x + 3) y el punto adicional para determinar el valor de a?». Si sustituimos los valores x y y del punto de coordenadas, tendremos una ecuación con una incógnita, a. A continuación, podemos simplificar y resolver para a.
Graphs of Quadratic Functions Explore 4
Solving for a in Quadratic Functions Exit Ticket The graph of a quadratic function has x-intercepts at (−4, 0) and (5, 0). The graph also passes through the point (6, 6). Write a quadratic equation in factored form to represent this parabola. y = 0.6(x + 4)(x – 5)
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE OPCIONES
PARTE II 1. Lea el siguiente escenario a la clase: El estudio de arquitectura necesita desarrollar una ecuación precisa para representar la abertura del túnel para producir dibujos y planos precisos. Ayude al arquitecto a refinar la ecuación que se utilizará para los dibujos y planos.
e.
DOK-2 «¿Cada punto de una recta o curva es una solución de la ecuación que representa la recta o curva? ¿Por qué sí o por qué no?». Cada punto de la curva es una solución de la ecuación que representa la curva. Por definición, un par ordenado que satisface la ecuación es una solución de la ecuación.
f.
DOK-2 «¿Cómo puedes utilizar la simetría de una parábola para hacer un cuarto punto y bosquejar un gráfico más preciso?». Podemos reflejar (3, 8) sobre el eje y y también usar (-3, 8) para bosquejar la gráfica.
DOK-2 «¿Cómo determinas si tu par ordenado satisface la ecuación?». Para determinar si mi par ordenado satisface la ecuación, necesitaría sustituirlo en la ecuación y ver si hace un enunciado verdadero.
g.
DOK-2 «¿Cómo se relacionan las raíces de 7 y -7 con los factores de la ecuación?». Las raíces son signos opuestos del factor, de modo que la raíz de 7 tendría un factor de (x - 7), y la raíz de -7 tendría un factor de (x + 7).
DOK-1 «¿Cómo verificarás si tu punto elegido satisface la ecuación?». Sustituiré los valores x y y para resolver la ecuación. Si el punto satisface la ecuación, ambos lados tendrán la misma respuesta.
h.
DOK-2 «¿Cómo puedes usar tu calculadora gráfica para verificar que la ecuación completa representa una parábola que incluye los 4 pares ordenados del escenario?». Podemos ingresar la ecuación en nuestra calculadora y usar la tabla para verificar que los puntos existen en la parábola.
2. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para analizar el escenario y utilizar los detalles del túnel para bosquejar la parábola en la cuadrícula y registrar su trabajo en sus diarios. 3. A medida que los estudiantes colaboran, controle su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar su comprensión: a.
b.
c.
DOK-2 «¿Cuáles son los valores posibles para sustituir x y y?». Los valores posibles son 3 y 8 o -3 y 8.
d.
DOK-2 Una vez determinado el valor de a, «¿cómo se puede utilizar para escribir una ecuación que represente la apertura del túnel?». Sustituiríamos el valor que encontramos para a en la ecuación y = a(x - 7)(x + 7).
210
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4. Concede a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte II y responder las preguntas que siguen. 5. Después de completar la parte II, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta ahora.
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b
olero
ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Graphs of Quadratic Functions Part 4
CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-3 «¿Crearán las mismas gráficas dos funciones que tengan los mismos ceros? ¿Por qué sí o por qué no?». Dos funciones pueden tener los mismos ceros pero no siempre crearán las mismas gráficas ya que las parábolas pueden abrirse hacia arriba o hacia abajo a través de los mismos ceros. Los ceros serán los mismos, pero las funciones serán diferentes dependiendo de los valores de los coeficientes.
Solving for a in Quadratic Functions 1.
Write two different equations that each have a vertex at (5, −10). Answers will vary. y = 5(x – 5)2 – 10 and y = −2(x – 5)2 – 10
2.
Consider a parabola with a vertex at (5, −10) that also has a y-intercept at (0, 65). What is the complete equation in vertex form? y = 3(x – 5)2 – 10
3.
You find that a parabola has intercepts at (6, 0) and (4, 0). Write two different possible equations for this parabola. Answers will vary. y = (x – 4)(x – 6) and y = 10(x – 4)(x – 6)
4.
The parabola that has intercepts at (6, 0) and (4, 0) also has a vertex of (5, 7). Write the equation for this parabola in intercept form. y = −7(x – 4)(x – 6)
5.
A parabola has an x-intercept at (−1, 0) and a vertex at (3, 4). Where must the other x-intercept be? You may use the graph to help you. (7, 0)
6.
• DOK-3 «¿Crearán las mismas gráficas dos funciones que tengan el mismo vértice? ¿Por qué sí o por qué no?». Dos funciones pueden tener el mismo vértice pero no siempre crearán las mismas gráficas ya que las parábolas pueden abrirse hacia arriba o hacia abajo por el mismo vértice. Las funciones pueden tener los mismos vértices, pero las gráficas de las funciones serán diferentes dependiendo de los valores de los coeficientes. • DOK-2 «¿Qué componentes necesitas para escribir funciones cuadráticas cuando se conoce(n) la(s) x-intercepción(es)?». Para escribir cualquier función cuadrática, necesito las raíces y un tercer punto que exista en la parábola.
Write an equation for this parabola in both vertex and factored forms.
• DOK-2 «¿Qué componentes necesitas para escribir funciones cuadráticas cuando se conoce el vértice?». Necesito el vértice y un segundo punto que exista en la parábola.
1
6. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
Graphs of Quadratic Functions Part 4
7.
You and your friend are working on determining a in a parabola that has a vertex at (−5, 5) and an intercept at (−6, 0). Your friend quickly works through and says that a = 5. You tell them before looking at their work that you know they made an error. Review their work to find their error, and tell them where their mistake is. How can you tell so quickly before looking at their work? Step 1: y = a(x – h)2 + k Step 2: 0 = a(−6 + 5)2 – 5 Step 3: 0 = a(−1)2 – 5 Step 4: 5 = a
If the vertex is at (−5, 5) and an x-intercept is at (−6, 0), then the parabola is opening downward. This means that the a is negative and not positive. For question 7, what is the correct equation in vertex form? y = −5(x + 5)2 + 5
9.
You are trying to write the equation of the graph pictured to the right, but you need more information. Write an equation to match this graph once you find out that the y-intercept is at (0, −24). y = −2(x – 2)(x – 6)
10.
Use your equation to determine the vertex of the parabola. The vertex must be in between the x-intercepts so it has an x value of 4. We can substitute x = 4 into the equation from question 9 to determine the y-coordinate of the vertex. y = −2(4 – 2)(4 – 6) y = −2(2)(−2) y=8 Vertex: (4, 8)
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1. Después de que los estudiantes encuentren el valor de a, es posible que olviden verificar su trabajo. Anímelos a introducir puntos conocidos de la parábola en la ecuación de la recta para comprobar que su solución funciona.
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje es apoyada en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes. Los estudiantes utilizarán los conocimientos previos como vínculo para comprender el idioma inglés. Principiante: Antes de la clase, muestre a los estudiantes imágenes de diferentes túneles parabólicos. Comente con los estudiantes por qué creen que esos túneles se llaman parabólicos. Explique que en la exploración de hoy analizarán este tipo de túneles.
2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 4) CLAVE DE OPCIONES
APOYOS DIDÁCTICOS
2. Si a los estudiantes se les dan dos ceros para una parábola pero no el vértice, puede que no se den cuenta de que tienen alguna información sobre el vértice. Anímelos a graficar la parábola para ver qué información pueden determinar basándose en la simetría.
In step 2, the k should have been substituted as a positive 5.
8.
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez creado, haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva» .
Intermedio: Antes de la clase, muestre a los estudiantes imágenes de diferentes túneles parabólicos. Comente con los estudiantes por qué creen que estos túneles se llaman parabólicos. Comparta con los estudiantes que en la «Exploración» de hoy analizarán dichos túneles. Avanzado: Antes de la clase, muestre a los estudiantes imágenes de diferentes túneles parabólicos. Comente con los estudiantes por qué creen que esos túneles se llaman parabólicos. Explique que en la exploración de hoy analizarán este tipo de túneles. 211
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 5 LECCIÓN INSTRUCTIVA
EXPLORACIÓN 5: IDENTIFICAR CARACTERÍSTICAS CLAVE Y FUNCIONES CUADRÁTICAS EQUIVALENTES DESCRIPCIÓN Los estudiantes identificarán las características clave de las funciones cuadráticas a partir de ecuaciones en forma de vértice o en forma factorizada. Los estudiantes usarán las características clave para determinar si Las ecuaciones representan la misma función. Las ecuaciones equivalentes se verificarán reescribiendo ambas en forma estándar.
4. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientadoras para evaluar su comprensión: a.
DOK-2 «¿En qué forma está la ecuación de Hanna? ¿Qué atributo se puede determinar fácilmente a partir de esta forma?». La ecuación de Hanna está en forma factorizada. Las intersecciones de x pueden determinarse fácilmente a partir de los factores.
b.
DOK-2 «¿En qué forma está la ecuación de Yume? ¿Qué atributo se puede determinar fácilmente a partir de esta forma?». La ecuación de Yume está en forma de vértice. El vértice puede determinarse fácilmente a partir de esta forma utilizando el valor de h y k.
c.
DOK-2 «¿Qué valor x corresponde al momento en que el detector de movimiento comienza a registrar?». Cuando el valor x es cero es el momento en que el detector de movimiento empieza a registrar.
d.
DOK-1 «¿Qué característica clave describe el momento en que el detector de movimiento dejó de registrar el movimiento?». La raíz más a la derecha o x-intersección representa el momento en que el detector de movimiento dejó de registrar.
e.
DOK-2 «¿Puede determinarse fácilmente esta característica clave a partir de la ecuación de Yume? ¿Por qué sí o por qué no?». Las raíces no pueden determinarse fácilmente a partir de la ecuación de Yume porque su ecuación está en forma de vértice, no en forma factorizada.
f.
DOK-1 «¿Qué característica clave describe la distancia máxima recorrida?». El vértice describe la distancia máxima recorrida.
g.
DOK-2 «¿Puede determinarse fácilmente esta característica clave a partir de la ecuación de Yume? ¿Por qué sí o por qué no?». El vértice se puede determinar fácilmente a partir de la ecuación de Yume porque su ecuación está en forma de vértice, y los valores de h y k se pueden usar para determinar el par ordenado para el vértice.
h.
DOK-2 «¿Qué forma de una ecuación cuadrática muestra la y-intercepción de la cuadrática? ¿Están Las ecuaciones de Hanna o Yume en esa forma?». Cuando una ecuación cuadrática está en forma estándar, la y-intercepción se determina fácilmente usando el valor de c. Las ecuaciones de Hanna y Yume no están en esa forma.
i.
DOK-3 «¿Las ecuaciones de Hanna y Yume están en la misma forma? ¿Cómo dificulta esto la comparación de atributos?». No tienen la misma forma. Esto dificulta la comparación de atributos porque se pueden determinar fácilmente diferentes atributos a partir de las diferentes formas.
ESTÁNDARES DE PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes verán relaciones entre diversas representaciones. • MP.2 Razonan abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes prestarán atención al significado de las cantidades, no sólo a cómo calcularlas. • MP.6 Prestar atención a la precisión: Los estudiantes comprenderán el significado de los símbolos utilizados en matemáticas y etiquetarán las cantidades adecuadamente.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 giario del estudiante (por alumno) • 1 gráfico de distancias de Hanna y Yume (por estudiante) • 1 boleto de salida (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante», un «Boleto de salida» y la «Gráfica de distancias de Hanna y Yume» para cada estudiante.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Lea la siguiente situación a la clase: Hanna y Yume utilizaron un detector de movimiento para registrar su distancia en función del tiempo. El detector de movimiento da los resultados en forma de ecuación. Hanna dice que viajó durante más tiempo y Yume dice que viajó más lejos. Utiliza Las ecuaciones del detector de movimiento para ayudar a Hanna y a Yume a determinar quién tiene razón. 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada uno. 3. Explique a los estudiantes que trabajarán con sus grupos para ayudar a Hanna y a Yume a comprender las características clave para determinar quién tiene razón y registrar su trabajo en sus diarios.
212
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5. Concédales tiempo suficiente para completar la parte I y responder a las preguntas que siguen. 6. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta el momento.
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 5
Graphs of Quadratic Functions Explore 5
Graphs of Quadratic Functions Explore 5
Graphs of Quadratic Functions Explore 5
Part II Hanna
Motion Detector Madness
The equation y = −0.5(x + 1)(x – 7) represents Hanna’s distance from the motion detector as a function of time.
Yume 2
y = −0.5(x – 3) + 8
y = −0.5(x + 1)(x – 7)
1.
Determine the x-intercepts by visual inspection. What does this mean in context? (−1, 0) and (7, 0) The negative intercept doesn’t make sense because it represents a negative value for time. The positive intercept represents when Hanna was 0 meters from the motion detector after 7 seconds.
2.
Determine the equation for the axis of symmetry. x = 3
3.
Use the axis of symmetry to determine the vertex. What does this mean in context? (3, 8) The vertex gives the maximum distance from the motion detector. It represents that after 3 seconds, Hanna was 8 meters from the motion detector.
4.
Use substitution to determine the y-intercept. What does this mean in context? (0, 3.5) The y-intercept gives the initial value. A y-intercept of 3.5 means Hanna started 3.5 meters from the motion detector.
5.
Graph the x-intercepts, vertex, axis of symmetry, and y-intercept on Hanna and Yume’s Distance Graph. Use the properties of reflection to graph a 5th point. Then, sketch the parabola.
Part I
Use the equations from Hanna and Yume to answer the questions below. The equations express distance from the motion detector as a function of time.
1.
2.
Hanna
Yume
y = −0.5(x + 1)(x – 7)
y = −0.5(x – 3)2 + 8
5.
6.
Which equation can be used to readily determine the x-intercepts on the horizontal axis? Which equation can be used to readily determine the vertex? Using Hanna’s equation in factored form, we can readily identify the x-intercepts. Yume’s equation is in vertex form, so the values of h and k give the coordinate of the vertex.
7.
How long was Hanna’s movement recorded by the motion detector? How do you know? Hanna’s equation shows an x-intercept of 7. That corresponds to a time of 7 seconds. Her movement was recorded for 7 seconds.
3.
Does Yume’s equation readily show how long her movement was recorded by the motion detector? Explain. It does not; her equation is in vertex form. The vertex is readily identified when the equation is in vertex form.
4.
What was the maximum distance Yume traveled from the motion detector? How do you know? The maximum of Yume’s function is (3, 8); this point represents that at a time of 3 seconds, Yume was 8 meters from the motion detector.
8.
Does Hanna’s equation readily show the maximum distance she traveled from the motion detector? Explain. It does not. Hanna’s equation is in factored form, and the roots are easily identified when the equation is in factored form. Which equation, if any, readily shows the y-intercept on the vertical axis? Explain. Neither equation readily shows the y-intercept. The y-intercept is easily identified when the equation is in standard form. These equations are in factored form and vertex form. Can these equations be used to readily determine who traveled farthest from the motion detector and who traveled for the longest amount of time? Why or why not? Hanna’s equation can be used to easily determine how long she traveled, but Yume’s equation isn’t written in factored form, so it would require more work to determine how long she traveled. Yume’s equation can be used to easily determine her maximum distance from the motion detector. However, Hanna’s equation isn’t in vertex form, so it would require more work to determine her maximum distance. Hanna and Yume are helping their friends Marty and Jessica. Which form would be ideal for Marty’s quadratic equation to represent his distance traveled if you knew he traveled a maximum distance of 10 meters from the motion detector after 3 seconds? Which form would be ideal for Jessica’s equation if you knew she traveled for a total of 5 seconds? Explain. Marty’s information is represented by the vertex and would be easiest to write in vertex form. Jessica’s information is represented by the roots or x-intercepts and would be easiest to write in factored form.
1
2
Graphs of Quadratic Functions Explore 5
10.
List the ordered pair or equation for each attribute for Hanna and Yume’s functions. Hanna
Yume (−1, 0) and (7, 0)
Roots
(−1, 0) and (7, 0)
Axis of Symmetry
x=3
x=3
Vertex
(3, 8)
(3, 8)
y-intercept
(0, 3.5)
(0, 3.5)
4th Point
(6, 3.5)
(6, 3.5)
11.
What does this tell you about the functions? This tells me the functions are overlapping. They produce the same graph.
12.
What do you expect to see if both equations are written in standard form? Since they produce the same graph, I would expect the equations are equivalent. If they are written in the same form, they should be the same.
13.
Rewrite both equations in standard form. y = −0.5(x + 1)(x – 7) y = −0.5(x – 3)2 + 8 y = −0.5(x2 – 6x + 9) + 8 y = −0.5(x2 – 6x – 7) y = −0.5x2 + 3x + 3.5 y = −0.5x2 + 3x – 4.5 + 8 y = −0.5x2 + 3x + 3.5
14.
Who traveled the farthest from the motion detector, and who traveled for the most amount of time? How do you know? Both students traveled the same distance away and for the same amount of time. I know this because their functions have the same vertex and roots.
The equation y = −0.5(x – 3)2 + 8 represents Yume’s distance from the motion detector as a function of time. 6.
Determine the equation for the axis of symmetry by visual inspection. x = 3
7.
Determine the vertex by visual inspection. (3, 8)
8.
Use substitution to determine the y-intercept. y = −0.5(0 – 3)2 + 8 y = −0.5(−3)2 + 8 y = −0.5(9) + 8 y = −4.5 + 8 y = 3.5 (0, 3.5)
9.
Determine the x-intercepts by substituting and solving. 0 = −0.5(x – 3)2 + 8 −8 = −0.5(x – 3)2 16 = (x – 3)2 ±4 = x – 3 x = 7 or x = −1 (−1, 0) and (7, 0)
3
Graphs of Quadratic Functions Explore 5
Reflect 1.
How can you find the vertex of a function that is written in factored form? When a function is written in factored form, the roots are easily determined. We can use the roots to determine the axis of symmetry because the AOS is always exactly between the roots. Finally, use the x value from the AOS to substitute into the equation and find the y value of the vertex. The x and y values are the x and y of the ordered pair that describes the vertex.
2.
Which quadratic form makes it easiest to find the y-intercept, and why? The y-intercept can be determined easily by plugging zero in for x. However, the standard form of a quadratic equation can be used to determine the y-intercept by visual inspection since c is the y value of the y-intercept.
3.
If you were asked to identify the maximum or minimum of a quadratic equation, which form would you want to use, and why? I would prefer to have the equation in vertex form because the values of h and k are the x and y values of the ordered pair that describes the vertex.
4.
How can you tell if two equations are equivalent when they are written in different forms? When two equations are written in different forms, they can be rewritten in the same form to determine if they are equivalent.
5.
If two equations have the same vertex and the same roots, will they have equivalent equations? Why or why not? The two equations may be written in different forms, but they will always be equivalent forms of each other, which we could check by converting them both to standard form.
6.
Sketch as many quadratic functions as you can that all have the following attributes. Then, write the equation(s) to represent the function(s) graphed. Vertex (1, −4)
x-intercepts (−1, 0)
(3, 0)
y = (x – 1)2 – 4 y = (x + 1)(x – 3)
4
5
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE OPCIONES
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 5 Graphs of Quadratic Functions Explore 5
CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-3 «¿Cuál es la relación entre el vértice y las raíces de una función cuadrática?». El vértice está exactamente entre las raíces. • DOK-2 «¿Cómo se pueden usar las raíces para determinar el valor x del vértice?». El valor x del vértice es la media del valor x de las raíces.
Identifying Key Features and Equivalent Quadratic Equations Exit Ticket 1.
Identify the key features for each quadratic function.
• DOK-1 «¿Cuál es el valor y de todas las intersecciones x?». El valor y de todas las x-interceptadas es cero. • DOK-2 «¿Cómo se puede usar el valor y de las raíces para determinar las raíces cuando se da una ecuación en forma de vértice?». El valor de y de todas las raíces es cero, así que se puede sustituir cero por el valor de y, y se puede resolver la ecuación para x. • DOK-1 «¿Cuál es el valor de x de todas las y-interceptadas?». El valor x de todas las y-interceptadas es cero. PARTE II 1. Lea el siguiente escenario a la clase: Hanna y Yume no pudieron determinar quién viajó más lejos o quién viajó más tiempo sólo inspeccionando visualmente sus ecuaciones. Utilice el álgebra para ayudarles a identificar sus atributos y determinar quién viajó más lejos y quién viajó más tiempo.
Function A
Function B
y = (x + 1)(x – 5)
y = (x – 1)(x – 5) (1, 0) and (5, 0)
Root(s)
(−1, 0) and (5, 0)
Axis of Symmetry
x=2
x=3
Vertex
(2, −9)
(3, −4)
y-intercept
(0, −5)
(0, 5)
2.
Determine which function is equivalent to y = (x – 3)2 – 4. Function B is equivalent.
3.
Verify the equivalent equations by rewriting them in standard form. y = (x – 3)2 – 4 y = (x – 1)(x – 5) y = x2 – 6x + 9 – 4 y = x2 – 6x + 5 y = x2 – 6x + 5
2. Entregue una «Gráfica de distancias de Hanna y Yume» a cada estudiante. 3. Los estudiantes aún deben tener sus diarios. 4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para identificar las características clave para determinar quién está en lo correcto. 5. Luego, los estudiantes trabajarán juntos para identificar las características clave para determinar quién es el correcto y registrarán su trabajo en sus diarios. 6. Mientras los estudiantes colaboran, controle su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar su comprensión: a.
DOK-3 «¿Cómo se relaciona el valor x de la intersección x con el factor?». El valor de x es el opuesto de la constante del factor.
b.
DOK-2 «¿Cómo puedes encontrar el valor de x que está exactamente entre las intersecciones de x?». El valor que está exactamente entre dos números se puede encontrar hallando el promedio de los dos números.
c.
DOK-2 «¿Cómo se puede usar la ecuación del eje de simetría para determinar la coordenada del vértice?». La ecuación para el eje de simetría puede usarse para sustituir en la ecuación cuadrática. Cuando se evalúa la ecuación cuadrática, se obtiene el valor y del vértice.
g.
h.
i.
DOK-1 «¿Cuál es el valor x de todas las intersecciones y? ¿Cómo se puede usar esto para determinar la y-intercepción?». El valor x de todas las intersecciones y es 0. DOK-1 «¿Qué punto debe reflejarse para crear un 5.º punto en la gráfica?». La y-intercepta debe ser reflejada para crear un 5.º punto. DOK-1 «¿El valor de h o k da la información para que la ecuación represente el eje de simetría?». El valor de h es la constante en la ecuación para el eje de simetría.
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE OPCIONES j.
DOK-1 «¿Cuál es el valor de y de todas las x-interceptadas? ¿Cómo se puede usar esto para determinar las x-interceptadas?». El valor y de todas las x-interceptadas es 0. Esto se puede sustituir por y en una ecuación cuadrática y, cuando se resuelve para x, dará el valor de las raíces.
k.
DOK-2 Si dos funciones cuadráticas pasan por los mismos puntos en múltiples lugares, «¿qué te dice esto sobre las funciones?». Las funciones deben estar superpuestas.
l.
DOK-2 Al reescribir la ecuación de Yume, «¿primero elevarías al cuadrado el factor o distribuirías el coeficiente? ¿Cómo lo sabes?». Primero, eleva el factor al cuadrado porque el orden de las operaciones dice que hay que evaluar los exponentes antes que la multiplicación.
7. Dé a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen. 8. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-2 Describe dos maneras de determinar si Las ecuaciones cuadráticas son equivalentes. Las ecuaciones se pueden reescribir en la misma forma, o se pueden identificar y comparar las características clave. • DOK-2 «¿Qué método es más eficiente?». Reescribir ecuaciones dadas en forma factorizada o en forma de vértice a la forma estándar es el método más eficiente. 9. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 10. Regrese al Captar interés e instruya a los estudiantes para que usen sus habilidades recién adquiridas para completar exitosamente la actividad.
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 5 Graphs of Quadratic Functions Part 5
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
Identifying Key Features and Equivalent Quadratic Functions 1.
2.
• Asegúrese de completar el esquema de anclaje como clase. Una vez creado, haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva» .
Use the equation f(x) = (x + 3)2 – 25 to answer the questions below. a.
vertex form. This quadratic equation is in _______
b.
Rewrite the equation in standard form. f(x) = x2 + 6x – 16
c.
Rewrite the equation in factored form. f(x) = (x + 8)(x – 2)
d.
Identify the vertex, y-intercept, and x-intercepts of f(x) using each of the forms as appropriate. Vertex: (−3, −25) y-intercept: (0, −16) x-intercepts: (−8, 0) and (2, 0)
APOYOS INSTRUCTIVOS 1. Los estudiantes pueden cometer errores por descuido al multiplicar el término cuadrado en forma de vértice. Recuerde a los estudiantes que se aseguren de sumar el valor k al término cuadrado, que es un término similar a h². 2. Los estudiantes pueden confundirse al saber que hay infinitas parábolas que pueden tener el mismo vértice. Anímelos a graficar en calculadoras lo que sucede cuando cambia el coeficiente a en y = a(x - h)² + k.
Use the equation g(x) = (x – 1)2 – 4 to answer the questions below. a.
Rewrite the equation in standard form. g(x) = x2 – 2x – 3
b.
Rewrite the equation in factored form. g(x) = (x + 1)(x – 3)
c.
Identify the vertex, y-intercept, and x-intercepts of f(x). Vertex: (1, −4) y-intercept: (0, −3) x-intercepts: (−1, 0) and (3, 0)
d.
Graph g(x).
3. Si los estudiantes tienen dificultades para determinar algebraicamente las diferentes partes clave de la función, pídales que grafiquen la parábola e intenten determinar las partes clave basándose en la gráfica.
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE
1
Graphs of Quadratic Functions Part 5
3.
a.
y = (x – 3)2 – 4 y = (x + 3)2 – 4
c.
y = x2 + 6x + 5
d.
y = x2 + 5x + 5
e.
y = (x – 1)(x – 5)
f.
y = (x + 1)(x + 5)
Intermedio: Antes de la lección, pida a los estudiantes que creen una hoja de referencia que incluya las tres formas de una ecuación cuadrática: forma de vértice, forma estándar y forma factorizada. Debajo de cada forma, pida a los estudiantes que escriban las características clave que pueden determinarse fácilmente a partir de esa forma (por ejemplo, la y-intercepción puede determinarse fácilmente a partir de la forma estándar).
Use the functions below to answer the questions that follow. f(x) = 2(x + 1)2 – 18
g(x) = (2x – 4)(x + 4)
4.
What is the y-intercept of each graph? f(0) = −16 and g(0) = −16, so the y-intercept for both is (0, −16).
5.
Jazmin believes the two functions are equivalent, but Amara believes that there is no way that the equations could be so different and produce the same graph. Who is correct, and why? Jazmin is correct because when you expand both equations, you get f(x) = g(x) = 2x2 + 4x – 16.
6.
What are the vertex and x-intercepts of each graph? Both graphs are the same, so we can use f(x) to determine that the vertex of the equivalent functions is (−1, −18), and we can use g(x) to determine the x-intercepts, which are (2, 0) and (−4, 0).
Los estudiantes utilizarán técnicas de aprendizaje como mapas conceptuales, dibujos, comparaciones, contrastes, memorización y repasos para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado. Principiante: Antes de la lección, guíe a los estudiantes en la creación de una hoja de referencia que incluya las tres formas de una ecuación cuadrática: forma de vértice, forma estándar y forma factorizada. Debajo de cada forma, pida a los estudiantes que escriban las características clave que pueden determinarse fácilmente a partir de esa forma (por ejemplo, la y-intercepción puede determinarse fácilmente a partir de la forma estándar).
Select all of the correct equations for the graph below.
b.
La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo del lenguaje de los estudiantes.
Avanzado: Antes de la lección, pida a los estudiantes que creen una hoja de referencia que incluya las tres formas de una ecuación cuadrática: forma de vértice, forma estándar y forma factorizada. Debajo de cada forma, pida a los estudiantes que escriban las características clave que pueden determinarse fácilmente a partir de esa forma (por ejemplo, la y-intercepción puede determinarse fácilmente a partir de la forma estándar).
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MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 5) CLAVE DE OPCIONES
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE ANCLAR EL APRENDIZAJE DE LOS ESTUDIANTES
ESQUEMA DE ANCLAJE DESCRIPCIÓN Un esquema de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Se trata de una herramienta para apoyar la instrucción y anclar el aprendizaje de los estudiantes a lo largo del alcance.
MATERIALES
Graphs of Quadratic Functions x-intercepts (−1, 0) and (3, 0)
axis of symmetry x=1
y-intercept (0, −3)
vertex (1, −4)
• 1 hoja de papel cuadriculado • 1 juego de marcadores multicolores
Domain: Set of all possible x-values (inputs) of a function
Range: Set of all possible y-values (outputs) of a function
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del ejemplo de «Esquema de anclaje», si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. El ejemplo de esquema de anclaje puede utilizarse como referencia antes de crear el de la clase. Esta actividad debe ser dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje. 2. A medida que los estudiantes trabajen en el alcance, colaboren para añadir piezas al «Esquema de anclaje». Formule las siguientes preguntas orientadoras:
Quadratic functions can be written in three different forms, depending on the information you have about the function.
where the vertex is (h, k)
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
a. «¿Qué estrategia utilizamos para resolver este problema?». b. «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?». 3. Continúe añadiendo habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada «Exploración» para resaltar el contenido importante. 4. Explique que pueden utilizar este gráfico como herramienta de apoyo para su aprendizaje. Los estudiantes también pueden pegar una copia del ejemplo del esquema en sus cuadernos para utilizarla como referencia a lo largo del año. 5. Algunos esquemas de anclaje sólo se mostrarán durante un alcance o grupo de alcances concretos, mientras que otras permanecerán expuestas durante todo el curso escolar.
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA
Graphs of Quadratic Functions
Instructions ● Cut out the task card, and glue or tape it into your notebook. ● Read the scenario, analyze the graph and table, and then complete the tasks. ● Highlight the zeros of the function in yellow. ● Draw a line for the axis of symmetry in red. ● Label the vertex in blue.
DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DE LOS ESTUDIANTES
LIBRETA INTERACTIVA
Jasper is standing on a rock ledge that overlooks a lake. He tosses a rock straight up with a velocity of 48 feet per second. The rock leaves his hand at a point 64 feet above the surface of the lake. The rock travels upward and then falls into the lake. The graph and table represent the height above the water, h(t), as a function of the time, t, in seconds after Jasper releases the rock. What is a reasonable domain for this scenario? Time (t)
Height (h(t))
0
64
1
96
2
96
3
64
4
0
What is a reasonable range for this scenario?
What is the maximum height the rock reaches?
Write the equation for this scenario in the following forms: ●
Standard form: _________________________________
●
Vertex form: ___________________________________
●
Factored form: _________________________________
DESCRIPCIÓN Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase al usar la actividad y la libreta.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) FOLLETO DEL ESTUDIANTE
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del «Folleto del estudiante» para cada uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Prepare una «Libreta interactiva» al usar un cuaderno de espiral o de composición para cada uno. Los estudiantes pueden utilizar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades. 2. Las instrucciones para cada actividad se proporcionan en el «Folleto del estudiante». 3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos. 4. Las libretas interactivas pueden utilizarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO PALABRAS QUE HAY QUE CONOCER
VOCABULARIO ILUSTRADO
Increasing/Decreasing
Positive/Negative Interval
A function is increasing if f(b) > f(a) and decreasing if f(b) < f(a) for any two input values a and b.
Positive intervals are those above the x-axis; negative intervals are those below the x-axis. 2
3
Relative Maximum
Relative Minimum
A point that is higher than the points directly beside it on both sides
A point that is lower than the points directly beside it on both sides 4
5
Axis of Symmetry
End Behavior
The line that divides a figure into two identical parts that are mirror images of each other
The trend the graph follows as x approaches infinity in the negative and positive directions 6
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ DESARROLLAR LA FLUIDEZ CONCEPTUAL
Bam! Instruction Sheet
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: FUNCIONES CUADRÁTICAS
Play this game with a partner. You Will Need 1 Set of Bam! Cards (per pair) 1 Jar or other container (per pair) How to Play 1. Fold the cards in half, and place them in the jar. 2. Player 1 pulls out a card from the jar and hands it to player 2. 3. Player 2 will read the question aloud for player 1 to solve. 4. Player 2 can check the answer from player 1 at the bottom of the card. 5. If a player gets a problem correct, they keep the card. If they are incorrect, the other player keeps the card. 6. Note: If the card contains an image such as a graph or a number line, the player asking the question can show the image while covering up the answer with their hand. 7. If a player pulls out a Bam! picture card, all of that player’s cards go back into the jar. 8. Players take turns pulling cards from the jar and answering questions until time is up. 9. Players must try to get as many cards as they can before time is up. 10. The player with the most cards wins.
DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes se turnan para sacar tarjetas de problemas de un tarro y adivinar la respuesta.
MATERIALES IMPRESOS • 1 Hoja de instrucciones Bam! (por pareja) • 1 juego de ¡Bam! (por pareja) REUTILIZABLES • 1 tarro u otro recipiente (por pareja) • 1 cronómetro (por maestro)
PREPARACIÓN
• Haga copias a doble cara de las tarjetas ¡Bam! . Si lo desea, puede imprimirlas en cartulina para que duren más. • Recorte las tarjetas individuales. • Ponga a los estudiantes en parejas.
HOJA DE INSTRUCCIONES
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo doblar las tarjetas y colocarlas en el frasco. 2. Muestre cómo jugar. a.
El jugador 1 saca una tarjeta del frasco y se la Entregue al jugador 2.
b.
El jugador 2 leerá la pregunta en voz alta para que el jugador 1 la resuelva.
c.
El jugador 2 puede comprobar la respuesta del jugador 1 en la parte inferior de la tarjeta.
d.
Si un jugador acierta un problema, se queda con la tarjeta. ¡Si es incorrecta, el otro jugador se queda con la tarjeta.
e.
Nota: Si la tarjeta contiene una imagen, como un gráfico o una recta numérica, el jugador que hace la pregunta puede mostrar la imagen mientras tapa la respuesta con la mano.
f.
Si un jugador saca una tarjeta Bam! todas las cartas de ese jugador vuelven al tarro.
g.
Los jugadores se turnan para sacar cartas del tarro y responder a las preguntas hasta que se acabe el tiempo.
h.
Los jugadores deben intentar conseguir tantas cartas como puedan antes de que se acabe el tiempo.
i.
El jugador con más cartas gana.
3. Establezca un límite de tiempo. Cuando se acabe el tiempo, ganará el estudiante que tenga más tarjetas. 4. Distribuya los materiales e indique a los estudiantes que comiencen cuando empiece el cronómetro. 5. Supervise a los estudiantes para asegurarse de que resuelven los problemas correctamente.
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
ELABORAR: REVISIÓN EN ESPIRAL Graphs of Quadratic Functions
REPASAR CONCEPTOS ANTERIORES
REVISIÓN EN ESPIRAL: CARRERAS DE COCHES DESCRIPCIÓN Los estudiantes repasan contenidos de grados anteriores o actuales para ayudar a apoyar su trabajo en el alcance actual y fortalecer las habilidades necesarias para alcances posteriores.
REPASO EN ESPIRAL ENFOCADO EN LA PREGUNTA
Auto Racing Auto racing is a motorsport competition where drivers race in automobiles. The first recorded auto race occurred as early as 1867. Many of the earliest events were simply reliability trials to prove these new machines were a suitable mode of transportation. They soon became an important way for automobile makers to showcase their automobiles. By the 1930s, car manufacturers were creating specialized racing cars. There are now numerous categories of auto racing, each with different rules, regulations, and specifications. Stock-car racing, drag racing, off-road racing, and kart racing are among the most popular types of auto racing. Aerodynamics, suspensions, brakes, tires, and engines contribute significantly to auto drivers’ abilities to win races. Gabriel is entering a soapbox racing contest in which he is applying what he knows about auto racing to design a soapbox car that is sure to take home the cash prize.
• Pregunta 1
◦ Grado 8: Determinar la tasa de cambio y el valor inicial de una función. • Pregunta 2 ◦ Grado 7: Comprender que reescribir una expresión en diferentes formas en el contexto de un problema puede arrojar luz sobre el problema y cómo se relacionan las cantidades en él. • Pregunta 3
1
◦ ALG I: Reescribir expresiones que involucran radicales y exponentes racionales usando las propiedades de los exponentes. • Pregunta 4 ◦ ALG I: Graficar el conjunto solución a un sistema de desigualdades lineales en dos variables como la intersección de los semiplanos correspondientes.
Graphs of Quadratic Functions
1.
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada uno.
Weight of Driver
44
47
49
Weight of Soapbox
156
153
151
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a intentar responder a las preguntas de forma independiente sin utilizar recursos externos para ver lo que saben. Invite a los estudiantes a anotar ideas o fragmentos que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas.
This table represents the linear relationship between the weight of the driver and the weight of the soapbox car. Write an equation to represent this relationship.
The answer is y = −x + 200 or x + y = 200. 3.
Gabriel’s design plans call for a part represented by (x31)(x6)4, and his cousin, Pierce, has plans that only show xp. If Gabriel and Pierce should have the same plans, what is the value of p?
3. Utilice las preguntas de repaso en espiral como calentamiento en clase, o envíelas a casa como deberes. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos. 4. Consulte la sección «Revisión en espiral enfocada en la pregunta» para evaluar los conocimientos de contenido de los estudiantes o su necesidad de una mayor intervención. Si es necesario repasar más, utilice los Constructores de fluidez en los alcances apropiados. 5. El Capstone incluye una parte de este alcance para que los estudiantes vean la conexión y relevancia de su aprendizaje previo con el actual.
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2.
Gabriel’s speed as he goes downhill is represented by the quadratic expression 9x2 – 12x + 4. Which of the following is an equivalent expression? A.
3x
B.
6(x2 – 2x + 1)
C.
3x(3x – 2)
D.
(3x – 2)2
The answer is D. 4.
The total weight of a driver and his soapbox must be less than 200 pounds. This relationship is represented by the inequality x + y < 200. The inequality 1 45x + y > 150 represents the 2 total weight needed to achieve a desirable speed.
Graph the solution set so Gabriel can design his soapbox car accordingly.
The answer is p = 55. 2
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS ANÁLISIS DE DATOS
CIENCIA DE DATOS Ciencia de datos es un breve debate en clase basado en un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. La parte I incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los estudiantes en contexto.
DESCRIPCIÓN
PARTE II 1. Repase cómo graficar ecuaciones cuadráticas y sus características, y escriba lo que los estudiantes recuerden en el papel cuadriculado. 2. Plantee las siguientes preguntas: a.
«¿Cuánto más ancho es el Túnel 1 que el Túnel 2?». (Utiliza metros como unidades.) Muestra tu trabajo. Para determinar el ancho del Túnel 1, encuentra los ceros de la función. 0 = -0.8066x2 + 4.4364x 0 = -0.8066x(x - 5.5) x = 0 y x = 5.5 Por lo tanto, el Túnel 1 es 5.5 - 4.3 = 1.2 metros más ancho que el Túnel 2.
b.
«¿Cuánto más alto es el Túnel 2 que el Túnel 1?». Muestra tu trabajo. Para determinar la altura del Túnel 1, halla el vértice de la función. El valor x del vértice se encuentra directamente entre
Los estudiantes analizarán, interpretarán y generarán conjuntos de datos, además de responder a preguntas basadas en los datos.
MATERIALES IMPRESOS • 1 conjunto de datos (por clase) REUTILIZABLES • 1 proyector o cámara de documentos (por clase) • 1 rotulador (por clase)
0+5.5
las interseccionesx por lo que x = _______ = 2.75 2
CONSUMIBLES
f(2.75) = -0.8066(2.752) + 4.4364(2.75) = 6.1
• 1 trozo de papel milimetrado (por clase)
Por lo tanto, el túnel 2 es 7.3 - 6.1 = 1.2 metros más
PREPARACIÓN
alto que el túnel 1.
• Prepárese para proyectar el conjunto de datos para la clase.
c.
Calcula f(1) y f(5). f(1) = -0.8066(12) + 4.4364(1) = 3.6298 f(5) = -0.8066(52) + 4.4364(5) = 2.017
d.
Utiliza los ceros, el vértice y los puntos de x = 1 y x = 5 para dibujar la gráfica del Túnel 1 en el plano de coordenadas.
• Reúna un trozo de papel milimetrado y un rotulador.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE APOYO PARTE I 1. Proyecte el conjunto de datos y prepárate para anotar las observaciones de los estudiantes. 2. Plantee las siguientes preguntas: a.
«¿Qué observas en este conjunto de datos?».
b.
«¿Qué representa este conjunto de datos?».
c.
«¿Qué categorías están incluidas en este conjunto de datos?».
d.
«¿Cómo puedes encontrar las intercepciones de una parábola cuando se da su ecuación?».
e.
«¿Cómo puedes encontrar el vértice de una parábola cuando se da su ecuación?».
f.
«¿Qué preguntas tienes sobre los datos?». Graphs of Quadratic Functions
Train Tunnels
"Railway Tunnelling: Size and Shape of a Tunnel," BrainKart.com, Raghavan G., April 13, 2022, https://www.brainkart.com/article/Railway-Tunnelling--Size-and-Shape-of-a-Tunnel_4378/.
1
CONJUNTO DE DATOS
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS
LISTA DE CONTROL DE LA OBSERVACIÓN DESCRIPCIÓN
3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede utilizarse como evaluación formativa para los maestros y como autoevaluación para los estudiantes.
4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
3. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el «Folleto del maestro».
• 1 folleto del maestro (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del maestro» y un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
4. Las notas anecdóticas proporcionadas en el «Folleto del maestro» pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
5. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la «Guía de instrucción andamiada» en la sección «Inicio» de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
1. Distribuya un «Folleto del estudiante» a cada uno. 2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Explorar» y «Explicar» del alcance, evalúe formativamente su progreso tomando notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
Graphs of Quadratic Functions
Graphs of Quadratic Functions How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Understand that the graph of an equation in two variables is the set of all its solutions plotted in the coordinate plane, often forming a curve (which could be a line). Interpret expressions that represent a quantity in terms of its context. a. Interpret parts of an expression, such as terms, factors, and coefficients. For a function that models a relationship between two quantities, interpret key features of graphs and tables in terms of the quantities, and sketch graphs showing key features given a verbal description of the relationship. Key features include: intercepts; intervals where the function is increasing, decreasing, positive, or negative; relative maximums and minimums; symmetries; end behavior; and periodicity.
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Graphs of Quadratic Functions
Graphs of Quadratic Functions
Notes and Feedback
How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Relate the domain of a function to its graph and, where applicable, to the quantitative relationship it describes. For example, if the function h gives the number of person-hours it takes to assemble n engines in a factory, then the positive integers would be an appropriate domain for the function. Calculate and interpret the average rate of change of a function (presented symbolically or as a table) over a specified interval. Estimate the rate of change from a graph. Graph functions expressed symbolically and show key features of the graph, by hand in simple cases and using technology for more complicated cases. a. Graph linear and quadratic functions and show intercepts, maxima, and minima.
1
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Graphs of Quadratic Functions
Graphs of Quadratic Functions
Standards for Mathematical Practice
Graphs of Quadratic Functions
Notes and Feedback
How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Write a function defined by an expression in different but equivalent forms to reveal and explain different properties of the function. b. Rewrite quadratic functions to show zeros, extreme values, and symmetry of the graph, and interpret these in terms of a real-world context.
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Notes and Feedback
Make sense of problems and persevere in solving them
Notes and Feedback
Reason abstractly and quantitatively Construct viable arguments and critique the reasoning of others Model with mathematics Use appropriate tools strategically
Attend to precision Look for and make use of structure Look for and express regularity in repeated reasoning
Consider these reflection questions in this scope.
2
3
●
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them?
●
What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
4
FOLLETO DEL MAESTRO
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
EVALUAR: MAPA DE CALOR ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
MAPA DE CALOR DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
1. Dé un «Mapa de calor» a cada estudiante junto con lápices de colores rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s).
MATERIALES
2. Los estudiantes utilizan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el «Mapa de calor». Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los estudiantes colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, los estudiantes colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, los estudiantes colorean el cuadro correspondiente de rojo.
• 1 mapa de calor (por estudiante) • 1 lápiz de color rojo (por estudiante) • 1 lápiz de color azul (por estudiante) • 1 lápiz de color naranja (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Determine si los estudiantes analizarán su «Prueba de habilidades», la «Evaluación basada en estándares», o ambas.
3. Anímelos a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a utilizar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada.
• Imprima un «Mapa de calor» para cada estudiante. • Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
4. Consulte la «Guía de instrucción andamiada» que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
Graphs of Quadratic Functions
Graphs of Quadratic Functions
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key.
Reflection Questions
Red – misconception
1. Which skill did you feel most confident with? Why?
Skills Quiz
Graphs of Quadratic Functions
Blue – miscalculation
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
Orange – explanation
Standards
Questions
Standards
Understand that the graph of an equation in two variables is the set of all its solutions plotted in the coordinate plane, often forming a curve (which could be a line).
Not Assessed
Understand that the graph of an equation in two variables is the set of all its solutions plotted in the coordinate plane, often forming a curve (which could be a line).
Interpret expressions that represent a quantity in terms of its context. a. Interpret parts of an expression, such as terms, factors, and coefficients. For a function that models a relationship between two quantities, interpret key features of graphs and tables in terms of the quantities, and sketch graphs showing key features given a verbal description of the relationship. Key features include: intercepts; intervals where the function is increasing, decreasing, positive, or negative; relative maximums and minimums; symmetries; end behavior; and periodicity.
Questions
3
Interpret expressions that represent a quantity in terms of its context. a. Interpret parts of an expression, such as terms, factors, and coefficients.
3 3
4
7
8
9
10
Relate the domain of a function to its graph and, where applicable, to the quantitative relationship it describes. For example, if the function h(n) gives the number of person-hours it takes to assemble n engines in a factory, then the positive integers would be an appropriate domain for the function.
2
5
Calculate and interpret the average rate of change of a function (presented symbolically or as a table) over a specified interval. Estimate the rate of change from a graph.
6
Graph functions expressed symbolically and show key features of the graph, by hand in simple cases and using technology for more complicated cases. a. Graph linear and quadratic functions and show intercepts, maxima, and minima.
Red – misconception
Standards-Based Assessment
1
7
9
10
3. Which type of error did you most commonly make?
For a function that models a relationship between two quantities, interpret key features of graphs and tables in terms of the quantities, and sketch graphs showing key features given a verbal description of the relationship. Key features include: intercepts; intervals where the function is increasing, decreasing, positive, or negative; relative maximums and minimums; symmetries; end behavior; and periodicity.
4. How can you avoid those errors in the future?
8
1
2
10 Not Assessed
2
4
Relate the domain of a function to its graph and, where applicable, to the quantitative relationship it describes. For example, if the function h(n) gives the number of person-hours it takes to assemble n engines in a factory, then the positive integers would be an appropriate domain for the function.
1
5
Calculate and interpret the average rate of change of a function (presented symbolically or as a table) over a specified interval. Estimate the rate of change from a graph.
8
Graph functions expressed symbolically and show key features of the graph, by hand in simple cases and using technology for more complicated cases. a. Graph linear and quadratic functions and show intercepts, maxima, and minima.
6
7
9
3
MAPA DE CALOR
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
INTERVENIR: REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES Graphs of Quadratic Functions
CORREGIR Y VOLVER A ENSEÑAR
REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES DESCRIPCIÓN Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para intervención.
MATERIALES
Checkup 1.
For the parabola described by the quadratic equation y = (x + 1.2)2 – 5, give the coordinates of the vertex and the y-intercept. Vertex: (–1.2, –5) y = (0 + 1.2)2 – 5 = –3.56 y-intercept = (0, –3.56)
2.
Write the factored form of the quadratic equation for the parabola shown on the graph to the right by adding the appropriate signs to the expression below. – 3)(x __ + 2.5) y = (x __
3.
IMPRESO
For a parabola that opens up with a vertex at (–5.2, 3.3) and a y-intercept at (0, 7), how many x-intercepts does the graph have? Zero 4.
• 1 revisión rápida (por estudiante) • 1 repaso (por estudiante)
Write the vertex form of the quadratic equation for the parabola shown on the graph to the left. –2 = a(0 + 1)2 – 4 a=2 y = 2(x + 1)2 – 4
• 1 revisión general (por estudiante) • 1 lista de verificación para el maestro (por maestro)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de la «Revisión rápida», el «Repaso» y la «Revisión general» para cada estudiante.
5.
Determine whether the following two quadratic equations correspond to the same parabola. y = 3(x + 2)2 – 27 y = 3(x – 1)(x + 5) y = 3(x2 + 4x + 4) – 27 y = 3(x2 + 4x – 5) y = 3x2 + 12x – 15 y = 3x2 + 12x – 15 Yes, they describe the same parabola.
• Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar el «Repaso».
1
• Si lo desea, imprima un ejemplo del «Esquema de anclaje» de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que usen la «Libreta interactiva» como recurso. • Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayudas suplementarias para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
Graphs of Quadratic Functions
6.
Graph the quadratic equation with a vertex at (2.5, –4.5) and a zero at x = 4. a.
Sketch the axis of symmetry.
b.
Is the vertex a maximum or a minimum? Minimum
c.
What is the location of the additional zero? x=1
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Dé una copia de la «Revisión rápida» a cada estudiante. 2. Cada uno debe completarla de forma independiente.
7.
3. Use la rúbrica de habilidades al final de la «Revisión rápida» para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional. 4. Distribuya una copia del «Repaso» a cada uno. 5. Cada estudiante debe completar el «Repaso» como actividad de intervención o de forma independiente. a. Si lo desea, reúna a los estudiantes en pequeños grupos para trabajar en las destrezas de repaso. Utilice el «Repaso» como ayuda para la reenseñanza. 6. Distribuya una copia de la «Revisión general» a cada uno. 7. Cada estudiante debe completarla de forma independiente. 8. Analice los resultados de la «Revisión general» al usar la «Lista de verificación para el maestro» para identificar quienes necesitan un repaso adicional y quienes han alcanzado el dominio de los conceptos.
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A parabola intersects the x-axis at (1, 0) and (4, 0) and the y-axis at (0, –4.8). Write a quadratic equation in factored form to describe the parabola. y = a(x – 1)(x – 4) –4.8 = a(0 – 1)(0 – 4) a = –1.2 y = –1.2(x – 1)(x – 4)
8.
Write a possible equation for a parabola with its vertex at (–3, 2.2). Answers will vary. y = 2(x + 3)2 + 2.2
9.
Rewrite y = 2(x + 1)(x – 2) in vertex form. y = 2(x2 – x – 2) = 2((x2 – x + ) – – 2) = 2(x – )2 –
10.
Which of the following options cannot be factors of the quadratic function plotted on the graph to the right? A.
x+1
B.
x
C.
x–5
D.
x+5 2
REPASO CLAVE DE OPCIONES
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
ACELERACIÓN: ¿QUÉ PREFERIRÍAS? Graphs of Quadratic Functions
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Fireworks Display Use mathematical reasoning and creativity to justify your answer to the Would You Rather question. For the Fourth of July this year, the local municipality decided to put on a fireworks display. There are two fireworks companies who have offered their fireworks for the event. Phenomenal Fireworks advertises a flight path modeled by h = −5(t – 5)2 + 127, where h is height and t is time. Fierce Fireworks advertises a flight path modeled by h = −5(t – 4)2 + 150, where h is height and t is time. Given the flight paths, would you rather use Phenomenal Fireworks or Fierce Fireworks for this event? Justify your reasoning with mathematics. A blank graph is provided.
¿QUÉ PREFERIRÍAS?: FUEGOS ARTIFICIALES DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 rúbrica (por maestro)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno.
The following statements are sample answers: I would rather use Phenomenal Fireworks. While they do not go as high—maximum at (5, 127)—they are in the air longer (10–11 seconds). I would rather use Fierce Fireworks. These fireworks reach a higher maximum (4, 150), even though they are not in the air as long (9–10 seconds).
• Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno.
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
2. Anímelos a mirar sus folletos de «Explorar» si necesitan repasar habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros. 4. Utilice la rúbrica proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Graphs of Quadratic Functions
OPCIONES PARA EL APRENDIZAJE CONTINUO
TABLERO DE OPCIONES DESCRIPCIÓN Los estudiantes explorarán las conexiones con el mundo real y las aplicaciones del contenido matemático a través de interacciones con actividades atractivas.
MATERIALES IMPRESO
• 1 tablero de opciones (por estudiante) • 1 juego de hojas de actividades (por estudiante) • 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante) REUTILIZABLE
• Tecnología (si corresponde)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Tablero de opciones» y un juego de hojas de actividades para cada estudiante.
Graphs of Quadratic Functions Choose one or more extension activities from the table below. Career Connection
Analogies
Civil Engineer
Graphs of Quadratic Functions
Research the career field of civil engineering. Your research must answer the provided questions. Create a presentation to relay your research to the class.
Solve the analogies to demonstrate an understanding of the characteristics of graphing quadratic functions.
Create Your Own
Arts Connection
Write Your Own Story
Hidden Parabolas
Create your own real-world crush game event for the given attributes of a quadratic function. Follow the criteria on the handout to write your scenario, and then answer the questions.
After graphing parabolas, transform the graphs into a piece of art that contains the parabolas you’ve created.
Mathematician Spotlight
Technology Connection
Menaechmus
Search out several news articles or research papers that involve Menaechmus’s work. Create an informational poster, a diorama, or a speech to convey this mathematician’s work as it relates to graphs of quadratic functions.
Fore!
Using a graphing calculator, investigate the trajectory of a golf ball by using your knowledge of graphs of quadratic functions.
• Imprima una «Autoevaluación del tablero» para cada estudiante. • Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
TABLERO DE OPCIONES
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» a cada estudiante. 2. Dé tiempo a los estudiantes para examinar el «Tablero de opciones» y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anímelos a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del tablero, haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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ÁLGEBRA 1: GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
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<<GRADO>> FACTORES DE POLINOMIOS
ÁLGEBRA 1
FACTORES DE POLINOMIOS ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: REALIDAD O FICCIÓN En esta actividad, los estudiantes determinarán si las preguntas sobre un estándar matemático previo son realidad o ficción desplazándose a las áreas designadas en el salón, al facilitar el debate y descubrir conceptos erróneos.
ESTÁNDARES CLAVE Interpretar la estructura de expresiones. • Usar la estructura de una expresión para identificar formas de reescribirla. Escribir expresiones en formas equivalentes para resolver problemas. • Elegir y producir una forma equivalente de una expresión para revelar y explicar propiedades de la cantidad representada por la expresión. • Factorizar una expresión cuadrática para revelar los ceros de la función que define. • Completar el cuadrado de una expresión cuadrática para revelar el valor máximo o mínimo de la función que define. Analizar funciones con el uso de diferentes representaciones. • Escribir una función definida por una expresión en formas diferentes pero equivalentes para revelar y explicar diferentes propiedades de la función. • Usar el proceso de factorizar y completar el cuadrado en una función cuadrática para mostrar ceros, valores extremos, y simetría de la gráfica, e interpretar estos en términos de un contexto. *Este alcance se enfoca en cuadráticas.
ESTÁNDARES DE CONEXIÓN Realizar operaciones aritméticas con polinomios. • Comprender que los polinomios forman un sistema análogo al de los números enteros, es decir, son cerrados bajo las operaciones de suma, resta y multiplicación; sumar, restar y multiplicar polinomios. Interpretar la estructura de expresiones. • Interpretar expresiones que representan una cantidad en términos de su contexto. • Interpretar partes de una expresión, como términos, factores y coeficientes. • Interpretar expresiones complicadas al considerar una o más de sus partes como una entidad única. Por ejemplo, interpretar P(1 + r)n como el producto de P y un factor que no depende de P. Usar las propiedades de los números racionales e irracionales. • Explicar por qué la suma o el producto de dos números racionales es racional; que la suma de un número racional y un número irracional es irracional; y que el producto de un número racional distinto de cero y un número irracional es irracional.
• Los estudiantes escucharán las preguntas leídas en voz alta por el maestro. • Se desplazarán físicamente al lado «Realidad» o «Ficción» del salón según su criterio. • Los estudiantes participarán en debates entre parejas para explicar su razonamiento. CAPTAR INTERÉS Los estudiantes conectarán el concepto de factorización de polinomios con un escenario del mundo real que involucra a mecánicos de automóviles. • Presente el escenario con un video y guíe a los estudiantes para que observen y cuestionen la situación. • Proyecte y explique el proceso de descomposición de polinomios, al fomentar el debate de los estudiantes sobre los desafíos. • Facilite las actividades de «Exploración» donde los estudiantes practiquen la factorización de polinomios.
ACTIVIDADES DE EXPLORACIÓN EXPLORACIÓN 1: FACTORIZACIÓN CON EL USO DE MODELOS Los estudiantes participarán en una actividad para factorizar trinomios al usar fichas de álgebra y modelos de área, para mejorar su comprensión de las estructuras y relaciones matemáticas. • Los estudiantes colaborarán en grupos para representar y ensamblar fichas de álgebra en rectángulos, al seguir reglas específicas para explorar el concepto de factorización de trinomios. • Registrarán sus observaciones y descubrimientos en el «Diario del estudiante», al usar fichas de álgebra para visualizar y analizar las relaciones entre el área y las dimensiones. • Los estudiantes participarán en charlas de matemáticas para debatir sus estrategias y puntos de vista, al comparar diferentes métodos de factorización y la comprensión de las limitaciones de las fichas de álgebra. EXPLORACIÓN 2: FACTORIZACIÓN CON EL USO DE PATRONES Los estudiantes investigarán patrones en Factores de polinomios para desarrollar estrategias para identificar productos especiales. • Los estudiantes analizarán trinomios en forma estándar y sus factores para identificar patrones y relaciones. • Los estudiantes colaborarán en grupos para explorar técnicas de factorización para trinomios cuadrados perfectos y diferencias de cuadrados. • Los estudiantes clasificarán expresiones cuadráticas con el uso de los materiales proporcionados y registrarán sus hallazgos en el «Diario del estudiante». EXPLORACIÓN 3: INTRODUCCIÓN: COMPLETAR EL CUADRADO Los estudiantes factorizarán polinomios para completar el cuadrado con el uso de fichas de álgebra y modelos de área, al participar en la resolución de problemas en colaboración y en debates matemáticos. • Los estudiantes usarán fichas de álgebra para representar y visualizar expresiones polinómicas. • Colaborarán en grupos para resolver problemas y debatir sus hallazgos. • Los estudiantes analizarán e identificarán patrones en expresiones polinómicas y sus formas factorizadas. EXPLORACIÓN 4: AVANZADO: COMPLETAR EL CUADRADO Los estudiantes factorizarán polinomios al completar el cuadrado con el uso de fichas de álgebra y modelos de área, mientras participan en la resolución de problemas en colaboración y en debates matemáticos. • Los estudiantes trabajarán en grupos para usar fichas de álgebra y modelos de área para factorizar polinomios y completar patrones de bloques cuadrados. • Ellos registrarán sus hallazgos y expresiones algebraicas en sus diarios», con el uso de preguntas guiadas para profundizar la comprensión. • Los estudiantes participarán en charlas de matemáticas para compartir observaciones y aprender sobre la relación entre ecuaciones de área y dimensión. EXPLORACIÓN 5 - ECUACIONES CUADRÁTICAS: CARACTERÍSTICAS CLAVES Los estudiantes explorarán y analizarán ecuaciones cuadráticas para ayudar a Taio y Myra a entender las cuadráticas para su próximo examen. • Los estudiantes colaborarán en grupos para clasificar y organizar tarjetas de notas relacionadas con funciones cuadráticas. • Analizarán ecuaciones cuadráticas de diferentes formas para identificar características clave como el vértice, las raíces y la intersección y. • Los estudiantes usarán modelos y herramientas matemáticas para visualizar y profundizar su comprensión de las funciones cuadráticas. • Participarán en debates para compartir observaciones y puntos de vista sobre la estructura y los patrones de Las ecuaciones cuadráticas.
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ÁLGEBRA 1: DE POLINOMIOS FACTORES DEFACTORES POLINOMIOS <<GRADE>>
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES FUNCTION INVESTIGATIONS
MODEL WITH FUNCTIONS
FEATURES OF FUNCTIONS
CONCEPTOS CLAVE • Puedo factorizar trinomios con el uso de fichas de álgebra. • Puedo factorizar trinomios cuando a es 1. • Puedo factorizar trinomios cuando a no es 1. • Puedo reconocer patrones para factorizar, como diferencia de cuadrados, trinomio Cuadrado perfecto y factorizar trinomios cuando a es 1. • Puedo factorizar para identificar características clave. • Puedo completar el cuadrado con el uso de un modelo de área. • Puedo completar el cuadrado algebraicamente.
PREGUNTAS FUNDAMENTALES • «¿Cómo se relaciona el nombre de la técnica completar el cuadrado con el modelo de completar el cuadrado?». • «¿En qué se diferencia factorizar cuando a es 1 de factorizar cuando a no es 1?». • «¿En qué se parece multiplicar y dividir números enteros a multiplicar y factorizar cuadráticas?». • «¿Qué características clave son más evidentes en la ecuación después de completar el cuadrado?». • «¿Qué características clave son más evidentes en la ecuación después de factorizar?».
• Puedo completar el cuadrado para identificar características clave.
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
INICIO: CONTENIDO DE APOYO ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
CONTENIDOS DE APOYO Interpretar la estructura de las expresiones. • Usar la estructura de una expresión para identificar formas de reescribirla. Escribir expresiones en formas equivalentes para resolver problemas. • Elegir y producir una forma equivalente de una expresión para revelar y explicar propiedades de la cantidad representada por la expresión. • Factorizar una expresión cuadrática para revelar los ceros de la función que define. • Completar el cuadrado de una expresión cuadrática para revelar el valor máximo o mínimo de la función que define. Analizar funciones con el uso de diferentes representaciones. • Escribir una función definida por una expresión en formas diferentes pero equivalentes para revelar y explicar diferentes propiedades de la función. • Usar el proceso de factorizar y completar el cuadrado en una función cuadrática para mostrar ceros, valores extremos y simetría de la gráfica, e interpretarlos en términos de un contexto. • Reescribir funciones cuadráticas para mostrar ceros, valores extremos y simetría de la gráfica, e interpretarlos en términos de un contexto del mundo real. Este alcance se enfoca en cuadráticas.
CONOCIMIENTO PREVIO En grados anteriores, los estudiantes reescribieron expresiones lineales y numéricas para entender cómo se relacionan las cantidades. Han identificado cuando expresiones de una variable y lineales son equivalentes con el uso de propiedades de las operaciones. Han creado expresiones y funciones lineales para representar una situación. Los estudiantes han encontrado x interceptos de funciones lineales.
CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
• Los estudiantes pueden cometer errores al distribuir o combinar términos semejantes; esto es más común al distribuir o combinar con números negativos. • Los estudiantes pueden distribuir incorrectamente el exponente a ambos términos en un binomio que se eleva al cuadrado, o tomar incorrectamente la raíz cuadrada de un binomio para factorizarlo. • Los estudiantes que no establecieron conexiones sólidas entre ceros/soluciones y factores pueden interpretar incorrectamente la constante del factor como la solución. Por ejemplo, cuando el factor es (x 2), un estudiante puede decir incorrectamente x = -2 cuando la solución es x = 2.
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ALCANCE ACTUAL En este alcance, los estudiantes usarán modelos, gráficos y representaciones algebraicas para establecer conexiones y desarrollar una comprensión de los conceptos matemáticos y su significado en el contexto de una situación. Los estudiantes reescribirán ecuaciones y expresiones cuadráticas para usar la estructura de la forma factorizada para identificar ceros, y la forma de vértice para identificar el valor extremo y el eje de simetría. Los estudiantes adquirirán experiencia con las formas de una cuadrática y serán capaces de discernir qué forma es la más eficiente para la tarea. También desarrollarán la comprensión de que la forma más útil no siempre es la más simple. Los estudiantes usarán patrones, modelos y procesos algebraicos para factorizar y completar el cuadrado. TÉRMINOS CLAVE
• expresiones equivalentes: expresiones que nombran el mismo número sin importar qué valor se sustituya para la variable • expresión cuadrática: una expresión que involucra un término al cuadrado, por ejemplo, x2 + 1, o un término producto, por ejemplo, 3xy - 2x + 1 • cero: el único número entero que no es ni negativo ni positivo y es su propio opuesto • valor máximo: el lugar donde una función alcanza su punto más alto, o vértice, en una gráfica • valor mínimo: el lugar donde una función alcanza su punto más bajo, o vértice, en un gráfico • representaciones múltiples: diferentes formas matemáticas de representar una relación o una función • factorización: encontrar expresiones que puedan multiplicarse entre sí para dar la expresión en un lado de la ecuación • completar el cuadrado: el proceso usado para formar un trinomio Cuadrado perfecto con el fin de encontrar la(s) solución(es) al tomar la raíz cuadrada • función cuadrática: una función que puede escribirse de la forma f(x) = ax2+ bx + c = 0 donde a, b, y c son números reales y a ≠ 0, o de la forma f(x) = a(x - h)2+ k, donde a, h, y k son números reales y a ≠ 0 • simetría: propiedad intrínseca de un objeto matemático que hace que permanezca invariable bajo ciertas clases de transformaciones • contexto: situación en la que se encuentra o sucede algo.
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
APLICAR LAS PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes dan sentido a los problemas al usar fichas de álgebra para comprender y conceptualizar la factorización de trinomios al completar el cuadrado. • MP.2 Razonan abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes manipulan trinomios de la forma estándar a la forma factorizada y pasan de una representación de una función cuadrática a otra representación de una función cuadrática. • MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros: Los estudiantes analizan el trabajo de otros estudiantes mientras factorizan con el uso de modelos de área, al buscar errores y proporcionar retroalimentación y correcciones. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes usan un modelo de área para representar la relación entre un polinomio y sus factores. Convierten el polinomio en sus factores y usan los factores dados para hallar el polinomio. • MP.5 Usar estratégicamente las herramientas apropiadas: Los estudiantes usan fichas de álgebra para explorar la factorización de trinomios. Las fichas de álgebra son ayudas visuales que ayudan a todos los estudiantes a comprender el proceso de factorización de polinomios. • MP.6 Prestar atención a la precisión: Los estudiantes prestan atención a la precisión cuando encuentran características clave de funciones cuadráticas a partir de una gráfica. Encuentran puntos específicos en la gráfica y los usan para encontrar otras características, como el eje de simetría y la ecuación de la función cuadrática en forma de vértice. • MP.7 Buscar y usar la estructura: Los estudiantes buscan y descubren un patrón al completar el cuadrado, al determinar b b )2 y restar (__ que para completarlo deben sumar (__ ) 2 de la expresión. 2
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• Buscar y expresar regularidades en razonamientos repetidos: Los estudiantes notan que los trinomios cuadrados perfectos son productos de dos binomios iguales multiplicados entre sí. También reconocen que los trinomios de diferencia de cuadrados son productos de los mismos binomios, pero con signos de operación opuestos que separan los términos y luego usan este conocimiento para factorizar rápidamente trinomios cuadrados perfectos y trinomios de diferencia de cuadrados.
FACTORIZACIÓN CON EL USO DE MODELOS Los estudiantes comenzarán a explorar la factorización de trinomios con el uso de un modelo de área. La experiencia previa de los estudiantes con el uso del modelo de área para multiplicar números de varios dígitos, factorizar un número entero compuesto y multiplicar binomios permitirá conexiones relevantes al usar un modelo de área para factorizar trinomios. Para multiplicar números de dos cifras, los estudiantes los descomponen en decenas y unidades. Del mismo modo, para multiplicar binomios, los estudiantes los descomponen en x términos y constantes. Después de que los estudiantes se sientan cómodos con el uso de modelos de área para multiplicar binomios, estarán más preparados para usar modelos de área para factorizar. Al factorizar con el uso de modelos de área, los estudiantes usan las fichas para formar un rectángulo. De forma similar a los factores de un número entero compuesto, la altura y el ancho representan los factores. Los estudiantes también se encontrarán con cuadráticas que no se factorizan. Esta es una oportunidad para empezar a preguntarse qué otros métodos están disponibles si la factorización no funciona.
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FICHAS DE ÁLGEBRA
Las fichas de álgebra representan constantes (tanto positivas como negativas), variables y sus opuestos, y el cuadrado dr la variable y su opuesto. Para factorizar, los estudiantes construirán una matriz rectangular con las fichas. La longitud y el ancho de la matriz son los factores del polinomio. Puede ser útil repasar un modelo de área con el uso de números enteros para que los estudiantes recuerden la relación entre factores y producto. Dé tiempo a los estudiantes para manipular las fichas y explorar. Fomente los debates entre los estudiantes cuyas matrices estén orientadas de forma diferente. La multiplicación es conmutativa, por lo que el orden de los factores no importa.
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Ejemplo: Dado el polinomio x2 + 5x + 6, usa fichas de álgebra para factorizar. Los factores son (x + 3) y (x + 2). Usa fichas de álgebra para construir una matriz rectangular. Las fichas necesarias son una x2 fichas, 5x fichas y 6 fichas de unidad. Una vez que las fichas están configuradas en un rectángulo, las dimensiones de cada borde exterior representan los dos factores de la cuadrática. Una vez que los estudiantes tengan más experiencia con esto, pueden organizar la información para que coincida con la primera parte de la oración con el uso de una notación más simple como ___ × ___ = -12 ___ + ___ = 1 -3 × 4 = -12 -3 + 4 = 1 MODELO DE ÁREA
Un modelo de área es otra herramienta para factorizar polinomios. Los estudiantes usan los términos del polinomio, escritos en forma estándar ax2+ bx + c para llenar el área del modelo. El término x2 siempre va en la casilla superior izquierda y el término constante va en la casilla inferior derecha. Las otras dos casillas deben sumar el término medio del polinomio.
Usa el par de factores encontrado para reescribir la cuadrática como 2x2+ 4x - 3x - 6. Introduce los dos términos medios en el modelo de área.
Factoriza el GCF de cada fila y columna, y escríbelos en el exterior de la caja. Típicamente se escriben como la altura a la izquierda y el ancho en la parte superior, pero la colocación no cambiará los resultados.
Ejemplo: Factor 2x2 + x - 6. Los factores son (x + 2) y (2x - 3). Coloca el primer y el último término en las casillas designadas en el modelo de área.
Similar al modelo de área con el uso de fichas de álgebra, esto produce un rectángulo con altura de x + 2 y ancho de 2x - 3. Este modelo muestra 2x2 + x - 6 = (x + 2)(2x - 3). Ejemplo: «¿Cuál sería el mejor modelo para factorizar 3ab + 6a + 2b + 10, el modelo de área o las fichas de álgebra?». Explique por qué has elegido ese modelo. Las dos casillas vacías deben sumar + x. Hay infinitas combinaciones de términos que suman + x. Para completar el modelo de área, los términos deben sumar b y multiplicar a ×c. Al principio, puede ser útil crear una tabla con columnas de producto objetivo y suma objetivo. Busque un par de factores que sea igual al producto objetivo y, a continuación, calcule la suma de cada par. Sólo habrá un par de factores que sea igual tanto al producto objetivo como a la suma objetivo.
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El mejor modelo sería el modelo de área. Este modelo puede acomodar 2 variables diferentes. El modelo de fichas de álgebra sólo puede representar la factorización de polinomios de segundo grado con una variable. Dado que esta expresión tiene dos variables, el modelo de ficha de álgebra no es una opción.
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
Ejemplo: Luis y Víctor usan modelos de área para factorizar la cuadrática g(x). «¿Quién encontró los factores correctos?». Identifica y corrige los errores si los hay. g(x) = 6x2 + 17x + 5
Establecer conexiones entre el modelo de fichas de álgebra y el modelo algebraico también resulta útil a la hora de desarrollar y analizar los patrones. Una vez que los estudiantes desarrollan un patrón, están listos para detectar un error en un problema y usar el patrón para factorizar. Los estudiantes analizarán y desarrollarán patrones para factorizar el mayor factor común, trinomios cuando a es 1, y casos especiales incluso diferencias de cuadrados y trinomios cuadrados perfectos. Los estudiantes verificarán que tienen los factores correctos con el uso de la multiplicación. Esto también refuerza el concepto de que la factorización es la anulación de la multiplicación. Los estudiantes también se encontrarán con cuadráticas que no se factorizan. Esta es una oportunidad para empezar a preguntarse qué otros métodos están disponibles si la factorización no funciona. Trinomios cuadrados perfectos a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 Binomios cuadrados perfectos a2 - b2 = (a + b)(a - b) Ejemplo: «¿Cuál de las siguientes opciones muestra los factores de 4a2 + 16a + 16?».
Víctor modeló el cuadrático correctamente. Luis puede haber contado mal porque su modelo muestra 18 fichas positivas x y 2 negativas x. Esto daría como resultado 16x como término medio. Parece que rellenó correctamente con 5 fichas unitarias y tenía un espacio vacío que rellenó incorrectamente con una ficha unitaria negativa. Además, como las fichas x de la izquierda son negativas y las x de arriba son positivas, todas las fichas unitarias deberían haber sido negativas. Es incorrecto usar una combinación de fichas unitarias positivas y negativas para representar factores de un cuadrático.
a
(a + 2)(a - 2)
b
(4a + 2)(4a - 2)
c
4(a + 2)(a + 2)
d
(4a + 4)(4a + 4)
La respuesta correcta es C. Debe reconocerse un factor común de 4 en cada término. Factoriza el FCM de 4. 4(a2 + 4a + 4) Usa el patrón «multiplica a c y suma a b» para factorizar con el uso de matemáticas mentales.
FACTORIZACIÓN CON EL USO DE PATRONES
2×2=4y2+2=4
Los estudiantes explorarán patrones encontrados en los Factores de polinomios. Los estudiantes necesitan analizar las relaciones entre polinomios y sus factores para descubrir estrategias para productos especiales. Incluso si los estudiantes no ven un patrón, el aprendizaje tiene lugar en el debate y el análisis. Colorear Las ecuaciones puede ayudar a reconocer el patrón cuando los estudiantes no lo identifican inicialmente.
4(a + 2)(a + 2) Ejemplo: «¿Cuál de las siguientes expresiones se puede factorizar al usar una propiedad especial del producto?». Seleccione todas las que correspondan. a 3 + 6b + 3b2 b 2x2 + 4x + 6 c 49n2 - 56n + 16 d x2 - 25 e 2 + x2 A, C y D pueden factorizarse al usar una propiedad especial del producto. a 3 + 6b + 3b2 = 3(1 + b2)
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b
49n2 - 56n + 16 = (7n - 4)2
c
x2 - 25 = (x + 5)(x - 5)
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
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Ejemplo: Al multiplicar un binomio por otro binomio, hay que multiplicar cuatro veces. «¿Por qué a veces el resultado final es de sólo tres términos? ¿Podría el resultado final ser alguna vez de sólo dos términos?». En caso afirmativo, da un ejemplo de cómo el resultado final podría ser sólo dos términos. Generalmente, al multiplicar dos binomios, hay una variable común. A menudo, se usa la variable x . Cuando se multiplican los binomios, dos de los cuatro términos son términos semejantes y pueden combinarse para formar un único término que contenga x. El resultado final podría ser de sólo dos términos si los términos semejantes son pares cero. Esto ocurre en el siguiente ejemplo: (x - 2)(x + 2) = x2 - 4.
COMPLETAR EL CUADRADO Los estudiantes factorizarán polinomios al completar el cuadrado. Se pueden usar fichas de álgebra o modelos de área. FICHAS DE ÁLGEBRA
Las fichas de álgebra usan la misma convención cuando se usan para completar el cuadrado. La altura y el ancho representan los factores. Las fichas usadas en el modelo representan la expresión cuadrática. Hay tres posibilidades para completar el cuadrado. La situación ideal es cuando la cuadrática es un cuadrado perfecto y no requiere ninguna modificación. Una segunda posibilidad es tener una expresión cuadrática que tenga lo suficiente para ser un cuadrado perfecto y además tenga de más. Una tercera posibilidad es tener una expresión cuadrática que no tiene suficiente y se deben usar pares de ceros para completar el cuadrado. Cuando se usan modelos para completar el cuadrado, el proceso es sencillo para los cuadrados perfectos y cuando hay fichas de sobra. Cuando no haya fichas suficientes, los estudiantes usarán pares cero para generar fichas suficientes para completar el cuadrado. Extra
No suficiente
x2 - 2x + 1
x2 - 4x + 7
x2 - 6x + 3
Esto crea un cuadrado perfecto con cero fichas unitarias extra.
Añade suficientes pares cero al modelo para completar el cuadrado con las fichas unitarias positivas.
Paso extra
Modelo de ficha de álgebra
Forma estándar
Cuadrado perfecto
Esto crea un cuadrado perfecto con cero fichas unitarias extra.
Forma del vértice
Esto crea un cuadrado perfecto con 6 fichas unitarias negativas extra. (x - 1)2 + 0
(x - 2)2 + 3
(x - 3)2 - 6
o (x - 12)
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MODELO DE ÁREA
Usar un modelo de área para completar el cuadrado es un buen puente desde el modelo de fichas de álgebra hasta la representación algebraica. Es un gran organizador para ayudar a los estudiantes a desarrollar las reglas que se usan para completar el cuadrado algebraicamente. x2 - 4x + 7 Usa la misma plantilla de modelo de área, pero agrega un círculo adicional para mostrar el pensamiento. Esto no es obligatorio, pero es útil para mostrar todos los pasos del proceso y el pensamiento del estudiante. El término de segundo grado irá en el recuadro superior izquierdo. Intentamos averiguar qué constante se necesita para completar el cuadrado, así que pondremos un signo de interrogación en la esquina inferior derecha, y en el círculo pondremos la constante de la expresión. Un cuadrado tiene la misma altura y ancho, así que distribuiremos el término de primer grado uniformemente entre la casilla superior derecha y la casilla inferior izquierda.
Dado el modelo de área parcialmente completado, sabemos que la altura y la longitud son (x - 2).
Ahora podemos determinar qué constante se necesita para completar este cuadrado. Para determinar este número en la esquina inferior derecha, multiplicamos las constantes de la altura y el ancho.
Hay 7 unidades en esta expresión. Usaremos 4 de ellas para completar el cuadrado, y habrá 3 extra.
El modelo de área muestra un cuadrado perfecto con dimensiones de (x - 2) y (x - 2) con 3 unidades extra.
Esta es la expresión escrita en forma de vértice.
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(x - 2)2 + 3 = x2 - 4x + 7
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
MÉTODO ALGEBRAICO
x2 + 10x + 9
Factorice un factor común mayor si la expresión tiene un factor común distinto de 1. Si el coeficiente principal es negativo, factorice un 1 negativo o un factor común mayor negativo. Agrupe el término de primer y segundo grado. Éstos se usarán para hacer un trinomio cuadrado perfecto.
x2 + 10x + 9 (x2 + 10x) + 9 (x2 + 10x + ?) + 9
Determina qué constante completaría el cuadrado. Recuerda, un cuadrado perfecto se vería así: x2 + 10x + ? = (x + ??)2
b Generalmente, se usa la fórmula (__ ) 2 para encontrar el número que completa el 2 cuadrado.
Usa un par cero para completar el cuadrado.
10 (___ ) 2= 25 2
Usa el par cero de + 25 y -25. (x2 + 10x + 25) + 9 - 25
Factoriza el trinomio.
(x + 5)2 + 9 - 25
Combina términos semejantes.
(x + 5)2 - 16
Ejemplo: «¿Qué polinomio representan las fichas? ¿Cuántas fichas se necesitan para completar el cuadrado?». Completa el modelo y escribe la expresión después de completar el cuadrado.
Las fichas representan la expresión x2 - 6x + 7. El modelo necesita 2 fichas de unos positivos para completar el cuadrado y 2 fichas de unos negativos adicionales. El modelo completo es el siguiente:
Esto muestra la adición de 2 pares cero al modelo.
Esto muestra el cuadrado completado con 2 fichas unos positivas y las 2 fichas negativas adicionales. La expresión después de completar el cuadrado es (x - 3)2 - 2.
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
FACTORIZAR Y COMPLETAR EL CUADRADO PARA IDENTIFICAR CARACTERÍSTICAS CLAVE Los estudiantes determinarán y usarán el método más eficiente para analizar una situación e identificar características clave. En general, la intersección y es fácilmente identificable a partir de la forma estándar, f(x) = ax2+ bx + c. Sin embargo, puede identificarse a partir de cualquier forma al sustituir cero por la variable independiente y simplificar para determinar el valor de la variable dependiente. Al identificar características clave como el vértice y el eje de simetría, esto se identifica fácilmente cuando la expresión o ecuación está en forma de vértice, f(x) = ax - h2 + k. En el contexto, el vértice es el máximo o mínimo de una situación. Las raíces se encuentran a igual distancia del eje de simetría, por lo que éste puede usarse para identificar el punto medio entre las raíces o los límites superior e inferior de la entrada. Al identificar características clave como las intersecciones x y los ceros, esto se identifica fácilmente cuando la expresión o ecuación está en forma factorizada, f(x) = a(x - r1) (x - r2), donde r1y r2 son las raíces. A menudo, la forma factorizada se escribe con una incluida en uno o más de los factores. Ambas versiones son útiles. Típicamente, la forma factorizada de una cuadrática se escribe como dos factores binomiales o un factor monomial y un factor binomial. En el contexto, las intersecciones x son el límite inferior y superior de los posibles valores de la entrada. Ejemplo: El área, A, en pies cuadrados, de una ubicación rectangular en un almacén viene dada por la función A(x) = -2x2 + 16x, donde x es el ancho, en pies, de la ubicación.
Ejemplo: El área, A, de un corral de cerdos en una granja puede representarse mediante la ecuación A = -2x2 + 20x, donde x es el ancho, en pies, del corral. «¿Cuáles son las intersecciones de x y qué representan?». Las intersecciones de x son (0, 0) y (20, 0). Representan el límite inferior y superior de los posibles valores del ancho del corral. Ejemplo: El área, A, de un corral de cerdos en una granja puede representarse mediante la ecuación A = -2x2 + 20x, donde x es el ancho, en pies, del corral. «¿Cuál es el ancho del corral, en pies, que da el área máxima? ¿Cuál es el área máxima?». El ancho de 5 pies da un área máxima de 50 pies cuadrados. Ejemplo: «¿Qué forma se puede usar para revelar los ceros de la función f(n) = -12n2 - 11n + 15?». a f(n) = -n (12n - 11) + 15 b f(n) = (-4n + 3)(3n + 5) c
f(n) = -12(n - 1)2 + 15
d
f(n) = -(4n + 3)(3n + 5)
La respuesta correcta es B. Ejemplo: Reescribe la función f(x) = x2 + 4x - 4 en forma de vértice al completar el cuadrado, y luego determina la ubicación del vértice. La respuesta es f(x) = (x + 2)2 - 8. Halla el vértice.
Si la función se representa gráficamente en un plano de coordenadas, «¿qué afirmación sería cierta?». a
Las intersecciones x de la función son 0 y 4, que son el límite inferior y el límite superior de los valores posibles de la longitud de la ubicación.
b
Las intersecciones x de la función son 0 y 4, que son el límite inferior y el límite superior para los posibles valores del ancho de la ubicación.
c
Las intersecciones x de la función son 0 y 8, que son el límite inferior y el límite superior para los posibles valores de la longitud de la ubicación.
d
Las intersecciones x de la función son 0 y 8, que son el límite inferior y el límite superior para los posibles valores del ancho de la ubicación.
La respuesta correcta es D. Ejemplo: El área, A, en pies cuadrados, de una ubicación rectangular en un almacén está dada por la función A(x) = -2x2 + 16x, donde x es el ancho, en pies, de la ubicación. El proceso de completar el cuadrado puede usarse para calcular el ancho, en pies, de la ubicación que da un área máxima. «¿Cuál es el valor que falta?». A = -2x2 + 16x A = -2(x - 4)2 + ?. El valor que falta es 32.
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f(x) = a(x - h)2 + k Vértice:(h, k) f(x) = (x + 2)2 Vértice: (-2, -8)
AVANCES En cursos futuros, los estudiantes encontrarán soluciones de cuadráticas, que incluirán soluciones complejas. Los estudiantes usarán patrones para factorizar polinomios de grado 3 y mayores. Los estudiantes usarán el teorema del resto y comprenderán que el cociente y el divisor son factores del polinomio, y que el dividendo es el polinomio mismo. Determinar las soluciones de los cuadráticos es una base importante para entender el teorema Fundamental del Álgebra en cursos futuros. Los estudiantes usarán completar el cuadrado para encontrar el centro y el radio de un círculo dado por una ecuación. Los estudiantes también usarán completar el cuadrado para reescribir y analizar ecuaciones de secciones cónicas.
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO ANÁLISIS PROFUNDO DE LOS ESTÁNDARES
CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES Interpretar la estructura de expresiones. • Usar la estructura de una expresión para identificar formas de reescribirla. Escribir expresiones en formas equivalentes para resolver problemas. • Elegir y producir una forma equivalente de una expresión para revelar y explicar propiedades de la cantidad representada por la expresión. • Factorizar una expresión cuadrática para revelar los ceros de la función que define. • Completar el cuadrado de una expresión cuadrática para revelar el valor máximo o mínimo de la función que define. Analizar funciones al usar diferentes representaciones. • Escribir una función definida por una expresión en formas diferentes pero equivalentes para revelar y explicar diferentes propiedades de la función. • Usar el proceso de factorizar y completar el cuadrado en una función cuadrática para mostrar ceros, valores extremos y simetría de la gráfica, e interpretarlos en términos de un contexto.
DESGLOSAR EL ESTÁNDAR VERBOS: ¿QUÉ DEBEN HACER LOS ESTUDIANTES?
• interpretar: explicar el significado de • usar: aplicar una estrategia • identificar: reconocer y establecer qué es algo • escribir: registrar un enunciado matemático • reescribir: escribir algo de otra manera • resolver: encontrar un valor que responda a una pregunta y/o haga verdadera una ecuación • elegir: seleccionar • producir: hacer • revelar: descubrir o mostrar • explicar: explicar acciones o sucesos al decir por qué • factorizar: dividir en números o expresiones que al multiplicarse dan el número o expresión original • completar el cuadrado: formar un trinomio cuadrado perfecto con el fin de encontrar la(s) solución(es) al sacar la raíz cuadrada • analizar: explorar y explicar • mostrar: representar un número
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SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBEN CONOCER LOS ESTUDIANTES?
• expresión: números, variables y símbolos agrupados sin signo igual para mostrar una relación • expresiones equivalentes: expresiones que nombran el mismo número independientemente del valor que se sustituya por la variable • expresión cuadrática: una expresión que implica un término al cuadrado, por ejemplo, x² + 1, o un término producto, por ejemplo, 3xy - 2x + 1 • cero: el valor de x donde una expresión es igual a cero; es la coordenada x de la intercepción x de la gráfica de la expresión • función: una relación especial entre valores; cada valor de entrada devuelve exactamente un valor de salida • valor máximo: el lugar donde una función alcanza su punto más alto, o vértice, en una gráfica • valor mínimo: el lugar donde una función alcanza su punto más bajo, o vértice, en un gráfico • representaciones múltiples: diferentes formas matemáticas de representar una relación o una función • factorización: encontrar expresiones que puedan multiplicarse entre sí para dar la expresión en un lado de la ecuación • completar el cuadrado: el proceso usado para formar un trinomio cuadrado perfecto con el fin de encontrar la(s) solución(es) al tomar la raíz cuadrada • función cuadrática: una función que puede escribirse de la forma f(x) = ax² + bx + c = 0, donde a, b, y c son números reales y a ≠ 0, o en la forma f(x) = a(x - h)² + k, donde a, h, y k son números reales y a ≠ 0 • simetría: una propiedad intrínseca de un objeto matemático que hace que permanezca invariable bajo ciertas clases de transformaciones • contexto: la situación en la que algo se encuentra o sucede
IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA
• En niveles de grado anteriores, los estudiantes crearon funciones para mostrar relaciones lineales, pero los estudiantes tienen experiencia limitada al escribir la misma función de maneras diferentes y equivalentes. • En este nivel de grado, los estudiantes ampliarán su comprensión de la reescritura de una expresión en diferentes formas en el contexto de un problema y arrojarán luz sobre el problema y cómo se relacionan las cantidades en él. La experiencia previa de los estudiantes les ayudará a entender la traducción entre las formas de una ecuación cuadrática para identificar las características clave y esbozarlas en un gráfico.
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
• Los estudiantes deben ser capaces de explicar cómo identificar el valor extremo, el eje de simetría y los ceros de una gráfica dada la forma del vértice. Los estudiantes deben ser capaces de explicar cómo identificar el valor extremo, el eje de simetría y los ceros de una gráfica a partir de la forma estándar (general) de una cuadrática o cómo transformar la representación algebraica para encontrar estas características clave. Los estudiantes deben ser capaces de usar formas equivalentes de ecuaciones cuadráticas para resolver problemas basados en una situación. • Proporcionar a los estudiantes experiencia en el uso de modelos y representaciones algebraicas les ayudará a desarrollar su comprensión de la factorización y el completar del cuadrado. Del mismo modo, ver la factorización como deshacer la multiplicación ayudará a desarrollar su comprensión de la factorización. • A veces es útil que los estudiantes escriban los factores de la constante cuando comienzan a factorizar. Ayuda a ver las combinaciones que podrían combinarse para hacer el término bx. • Hacer conexiones entre la factorización y los ceros de una gráfica es importante para que los estudiantes vean el propósito de la factorización y entiendan el significado de los factores. • Proporcionar a los estudiantes experiencia con el trabajo con cuadráticas escritas en forma estándar, forma factorizada y forma de vértice les permitirá entender los beneficios de cada forma. • Hacer que los estudiantes expliquen con frecuencia sus procesos de solución y por qué eligieron usar una forma particular de una expresión cuadrática les ayudará a desarrollar su comprensión de las características que resalta cada forma.
ALINEACIÓN VERTICAL GRADO
ESTÁNDAR
6
Aplicar las propiedades de las operaciones para generar expresiones equivalentes.
7
Comprender que reescribir una expresión en diferentes formas en el contexto de un problema puede arrojar luz sobre el problema y cómo se relacionan las cantidades en él.
8
Usar los símbolos de raíz cuadrada y raíz cúbica para representar soluciones a ecuaciones de la forma x2 = p y x3 = p, donde p es un número racional positivo. Evaluar raíces cuadradas de pequeños cuadrados perfectos y raíces cúbicas de pequeños cubos perfectos. Saber que 2 es irracional. Interpretar expresiones que representan una cantidad en términos de su contexto.
Álgebra
Para una función que modela una relación entre dos cantidades, interpretar características clave de gráficas y tablas en términos de las cantidades, y bosquejar gráficas que muestren características clave dada una descripción verbal de la relación. Las características clave incluyen: interceptos; intervalos en los que la función es creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos; simetrías; comportamiento final; y periodicidad. Usar la estructura de una expresión para identificar formas de reescribirla.
Elegir y producir una forma equivalente de una expresión para revelar y explicar propiedades de la cantidad representada por la expresión.
Álgebra
a
Factorizar una expresión cuadrática para revelar los ceros de la función que define.
b
Completar el cuadrado de una expresión cuadrática para revelar el valor máximo o mínimo de la función que define.
Escribir una función definida por una expresión en formas diferentes pero equivalentes para revelar y explicar diferentes propiedades de la función. a
Usar el proceso de factorizar y completar el cuadrado en una función cuadrática para mostrar ceros, valores extremos y simetría de la gráfica, e interpretarlos en términos de un contexto.
Usar la estructura de una expresión para identificar formas de reescribirla. Identificar ceros de polinomios cuando se dispone de factorizaciones adecuadas, y usar los ceros para construir una gráfica aproximada de la función definida por el polinomio. Álgebra 2 Demostrar identidades polinómicas y usarlas para describir relaciones numéricas. Graficar funciones polinómicas, al identificar ceros cuando se dispone de factorizaciones adecuadas, y mostrar el comportamiento de los extremos.
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INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA MONITOREAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA La guía de instrucción andamiada se proporciona para que los maestros puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones del alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que ayuda a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de la evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos según los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere que todos los estudiantes experimenten con los elementos: «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades», ya que cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar. 0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
80 % - 100 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil pueden trabajar en contenido de nivel de grado con apoyos de instrucción.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» individual para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 2. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante de acuerdo con sus datos de evaluación. 3. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la sección «Scaffolded Instruction Guide» en el menú desplegable «Home» del alcance. 4. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Elige y produce una forma equivalente de una expresión para revelar y explicar propiedades de la cantidad representada por la expresión. Usa la estructura de una expresión para identificar formas de reescribirla.
• Concentración Práctica interactiva • Despegue Prueba de habilidades 8 - Exponentes enteros
Alg. I - Factores de polinomios Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales
(Nivel de grado)
Repaso y práctica de destrezas Constructor de fluidez • ¡Corrige el error! Práctica interactiva • Cerradura y llave Prueba de habilidades
Alg. I - Factores de polinomios Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (Pregunta 6) • Repaso (sección determinar ragos claves de funciones cuadráticas) • Revisión general (preguntas 5, 8, 9 y 10)
• Revisión general (preguntas 1-10)
50 % - 80 %
• Repaso (sección expresiones de factor cuadrático, sección completar el cuadrado y sección determinar rasgos claves de funciones cuadráticas)
(Nivel de grado)
• Revisión rápida (preguntas 1, 2, 3, 4, 5, 6)
Alg. I - Factores de polinomios 50 % - 80 %
7 - Expresiones
Repaso y práctica de habilidades Alg. I - Factores de polinomios Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Constructor de fluidez • ¡Corrige el error! Ciencia de datos
Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva Constructor de fluidez • ¡Corrige el error! Ciencia de datos
Alg. I - Factores de polinomios Qué preferirías Tablero de opciones
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80 % - 100 %
(Nivel de grado con apoyos)
25 % - 50 %
Prueba de habilidades
25 % - 50 %
• ¡A pescar!
(Nivel de grado con apoyos)
Constructor de fluidez
• Cerradura y llave
(Ampliación del nivel de grado)
Completa el cuadrado de una expresión cuadrática para revelar el valor máximo o mínimo de la función que define.
Repaso y práctica de habilidades
Práctica interactiva
80 % - 100 %
b
(Ampliación del nivel de grado)
(Refuerzo del grado anterior)
0 % - 25 %
Constructor de fluidez
0 % - 25 %
Repaso y práctica de habilidades
Factoriza una expresión cuadrática para revelar los ceros de la función que define.
(Refuerzo del grado anterior)
8 - Raíces cuadradas y raíces cúbicas
a
Alg. I - Factores de polinomios Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Escribir una función definida por una expresión en formas diferentes pero equivalentes para revelar y explicar diferentes propiedades de la función.
0 % - 25 % 25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyos)
50 % - 80 %
(Nivel de grado)
80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
(Refuerzo del grado anterior)
a
Usar el proceso de factorizar y completar el cuadrado en una función cuadrática para mostrar ceros, valores extremos y simetría de la gráfica, e interpretarlos en términos de un contexto.
7 - Expresiones Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • ¡Corrige el error! Práctica interactiva • Cerradura y Llave Prueba de habilidades
Alg. I - Factores de polinomios Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales
Alg. I - Factores de polinomios Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Ciencia de datos
Alg. I - Factores de polinomios Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
Factors of Polynomials
Fact or Fiction
ATRAER: ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS EVALUAR PREVIAMENTE EL CONOCIMIENTO DEL ESTUDIANTE
Prompt 1
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: REALIDAD O FICCIÓN
The value of the expression 32 · 40 · 16 is 0.
ESTÁNDAR PREVIO Escribe y evalúa expresiones numéricas que involucren exponentes de números enteros.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes escucharán las indicaciones sobre el estándar previo y comunicarán si creen que las indicaciones son realidad o ficción al caminar hacia los lados designados del salón. Este elemento está diseñado para descubrir los conceptos erróneos de los estudiantes; no debe tomarse para una calificación. 1
MATERIALES IMPRESO
Factors of Polynomials
• 1 Instrucciones de realidad o ficción (por maestro)
PREPARACIÓN
Fact or Fiction
• Imprima una copia de Instrucciones de realidad o ficción para leer en voz alta a sus estudiantes.
Prompt 2
The value of the expression 2(3 + 3)2 ÷ (5 – 3)3 is 9.
• Otra opción es proyectar las instrucciones con un proyector digital.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Designe un lado del salón como el lado de los hechos y el otro como el lado de la ficción. Indique a los estudiantes que se muevan a un lado de la sala según piensen que la pregunta es realidad o ficción. 2. Lea la pregunta y permita que los estudiantes se muevan a diferentes lados de la sala. 3. Pida a los estudiantes que planteen su razonamiento con sus compañeros. 2
4. Antes de leer la siguiente pregunta, permita que los estudiantes regresen a sus puntos de partida. 5. Repita con las preguntas restantes.
Factors of Polynomials
Fact or Fiction Prompt 3
a.
La pregunta 1 es ficción.
b.
La pregunta 2 es una realidad.
c.
La pregunta 3 es una realidad.
6. Si los estudiantes tienen dificultades para completar esta tarea, pase al «Constructor de bases fundamentales» para llenar este vacío en el conocimiento previo antes de pasar a otras partes del alcance.
The value of the expression 12 – 4(3 – 8) – 5 is 27.
IDENTIFICAR CONCEPTOS ERRÓNEOS
• Los estudiantes pueden tener dificultades para recordar el orden de las operaciones y el uso de la propiedad distributiva, especialmente cuando se distribuyen valores negativos. • Los estudiantes pueden necesitar que se les recuerden las reglas de los exponentes y que cualquier número elevado a la potencia de 0 es 1, no 0.
3
• Si los estudiantes tienen dificultades para recordar las reglas de los exponentes, resulta útil hacer una demostración al usar patrones numéricos: 23 = 8, 22 = 4, 21 = 2, 20 = 1
REALIDAD O FICCIÓN
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
ATRAER: CAPTAR INTERÉS Factors of Polynomials
LECCIÓN MOTIVADORA
CAPTAR INTERÉS
a. 120 = (23)(3)(5) b. x2 + 15x + 56 = ____ c. x2 – 3x – 70 = _____ d. x2 – 24x + 144 = ___
DESCRIPCIÓN Los estudiantes relacionarán la factorización de polinomios con una situación del mundo real.
MATERIALES IMPRESO • 1 factores de polinomios (por clase)
FACTORES DE POLINOMIOS
REUSABLE • 1 video de fenómenos (por clase)
c.
PREPARACIÓN
• Planee mostrar el video. • Prepárese para proyectar «Factores de polinomios» para que toda la clase lo vea. • Prepárese para presentar el escenario y para alentar a los estudiantes a pensar en cómo resolverlo. Prepárese para pasar a las actividades de «Exploración», al regresar a la actividad «Captar interés» con los nuevos conocimientos adquiridos una vez que se hayan completado las exploraciones.
DOK-1 «¿Cómo crees que debería actuar el mecánico con el carro de Greg?». Para responder a esta pregunta no es necesario tener conocimientos sobre carros. «¿Cómo abordarías tú el reto?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Creo que el mecánico debería examinar las partes más pequeñas del carro cada vez. Creo que el mecánico debería buscar señales de determinados problemas del carro. Creo que el mecánico debería empezar por mirar el motor. Creo que el mecánico debería comenzar por buscar los problemas más comunes que tienen otras personas.
6. Complete las actividades de «Exploración».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
PARTE II: DESPUÉS DE EXPLORAR
PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA
1. Vuelva a mostrar el video fenómenos y vuelva a plantear el problema.
1. Presente esta actividad hacia el comienzo del alcance. La clase retomará la actividad y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades «Explorar» correspondientes. 2. Explique la situación mientras muestra el video detrás de usted. A Greg se le estropea el carro de repente y lo lleva al mecánico. Antes de que el mecánico eche un vistazo, Greg piensa en todo lo que podría estar mal en el carro. Piensa en cómo abordará el mecánico este reto. 3. Haga las siguientes preguntas a los estudiantes: «¿Qué observas? ¿Qué se preguntan? ¿Dónde puedes ver las matemáticas en esta situación?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Me he dado cuenta de que el mecánico parece trabajar bajo el capó del carro. Me pregunto cuántos años tiene el carro. Me pregunto qué parte del carro no funciona. Me pregunto qué habrá comprobado primero el mecánico. Me pregunto cómo varía el costo de la reparación en función de la parte del carro que no funciona. Me pregunto si hay alguna prueba que el mecánico pueda hacer. 4. Proyecte «Factores de polinomios».
2. Consulte «Factores de polinomios» y plantee las siguientes preguntas: a.
DOK-1 «¿Los factores tienen más sentido después de las exploraciones?». Sí, los binomios se multiplican para crear el trinomio inicial.
b.
DOK-1 «¿Qué estrategias usarías para factorizar los polinomios?». Buscaría dos valores que sumen el coeficiente del término medio y multipliquen al producto de los dos coeficientes exteriores. Luego crearía un modelo de área.
c.
DOK-1 «¿Qué trinomio representa un producto especial, y cómo lo sabes?». La parte d es un trinomio Cuadrado perfecto porque la mitad del coeficiente al cuadrado del término medio es el término constante.
d.
DOK-1 «¿Cuáles son las expresiones factorizadas equivalentes de cada polinomio?». x2 + 15x + 56 = (x + 8) (x + 7); x2 - 3x - 70 = (x - 10)(x + 7); x2 - 24x + 144 = (x - 12)2
e.
DOK-2 «¿Cómo ayuda la factorización a descomponer un polinomio complejo de la misma manera que el mecánico tiene que examinar una máquina compleja?». Los factores de estos polinomios son términos lineales que podemos usar para determinar raíces de un polinomio. Un mecánico examina las piezas individuales de un coche y puede determinar lo que hay que arreglar al examinarlo pieza por pieza en lugar de como un proyecto desalentador.
f.
DOK-1 «¿Consideras que comprendes bien la factorización de polinomios?». Las respuestas variarán en función del éxito de los estudiantes durante la actividad y de su nivel de confianza.
5. Explique que el objetivo del alcance será descomponer polinomios grandes y complicados en partes que sean más fáciles de entender e interpretar. Plantee las siguientes preguntas: a.
DOK-1 «¿Cómo se descompone el 120?». El 120 se escribe con sus factores primos. Los números primos pequeños del lado derecho se multiplican todos por 120.
b.
DOK-1 «¿Por qué puede ser más difícil descomponer las expresiones polinómicas grandes?». Permita que los estudiantes compartan sus ideas. Las respuestas de los estudiantes variarán. Es menos obvio lo que multiplica al polinomio cuadrático. Hay tres términos a considerar en lugar de un número.
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 1: FACTORIZACIÓN CON EL USO DE MODELOS DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes explorarán la factorización de trinomios al usar fichas de álgebra y modelos de áreas.
PARTE I
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes monitorearán su progreso y cambiarán su enfoque si es necesario. Los estudiantes verán relaciones entre varias representaciones. • MP.5 Usar herramientas apropiadas estratégicamente: Los estudiantes usarán herramientas tecnológicas para profundizar en la comprensión de las matemáticas. Los estudiantes usarán modelos matemáticos para visualizar y analizar información. • MP.7 Buscar y hacer uso de la estructura: Los estudiantes buscarán la estructura general y los patrones en las matemáticas. Los estudiantes verán las cosas complicadas como objetos individuales o como compuestos de varios objetos.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 tapete de factorización de fichas de álgebra (por grupo) • 1 juego de tarjetas de piezas de arte (por grupo) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes) REUSABLE
• 1 juego de fichas de álgebra (por grupo) • 1 bolsa resellable (por grupo)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 2 o 3 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima un «Tapete de factorización de fichas de álgebra» para cada grupo. Si lo deseas, imprímalo en cartulina y plastifíquelo para usarlo en el futuro. • Imprima un juego de «Tarjetas de obras de arte» para cada grupo. Recorte las tarjetas y colóquelas dentro de una bolsa resellable. Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para usarlas en el futuro. • Imprima un «Boleto de salida» para cada pareja. Recorte los boletos de salida de media página para que cada estudiante tenga uno. • Reúna un juego de fichas de álgebra para cada grupo. • ¡Digitalízate! Haga que los estudiantes exploren o presenten sus soluciones al usar manipulativos virtuales. Los manipulativos usados en esta lección se pueden encontrar en el menú desplegable «Explorar» y se pueden asignar digitalmente a los estudiantes.
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1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Preparas una exhibición de arte en tu escuela en la que se presentará la obra de un artista que usa fichas de álgebra para formar mosaicos. Los mosaicos son cuadros hechos con piezas más pequeñas de mosaico, vidrio u otro material como las fichas de álgebra. La artista te enviará cada obra en piezas y tú deberás ensamblarlas al seguir las instrucciones y determinar las dimensiones de la obra». 2. Distribuya las fichas de álgebra y el «Tapete de factorización de fichas de álgebra» a cada grupo de estudiantes. 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para representar un rectángulo de 16 unidades cuadradas. 4. Conceda tiempo suficiente a los estudiantes para completar la tarea y luego invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 «¿Cuál es el área del rectángulo?». 16 unidades cuadradas • DOK-1 «¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?». Las posibles respuestas incluyen 16 × 1, 1 × 16, 2 × 8, 8 × 2, o 4 × 4. • DOK-1 «¿Qué dimensiones se verían como un cuadrado?». 4 × 4 se vería como un cuadrado porque cada dimensión es la misma y 42 es 16. Las otras dimensiones crearían rectángulos. • DOK-2 «¿Por qué hay diferentes respuestas posibles?». La longitud y el ancho del rectángulo son los factores del número. Hay diferentes combinaciones de factores que se multiplican para ser igual a 16. Además, la multiplicación es conmutativa, por lo que el orden de los factores no importa. 5. Lea la siguiente situación a la clase: «La artista no proporcionó una imagen del arte ensamblado. Dio las siguientes tres reglas para crear el mosaico»: a. Las fichas de álgebra deben estar dispuestas en forma de rectángulo. b. El/los cuadrado(s) grande(s) debe(n) estar en la esquina superior izquierda del rectángulo. c. El/los cuadrado(s) pequeño(s) debe(n) estar en la esquina inferior derecha del rectángulo. Sigue estas reglas para montar las obras de arte y prepara la colección para exponerla en la exposición de arte. 6. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 7. Entregue un juego de «Tarjetas de obras de arte» a cada grupo de estudiantes. 245
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Factors of Polynomials Explore 1
8. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para organizar las fichas con el fin de preparar la exposición de arte y registrar su trabajo en sus diarios». 9. Señale a los estudiantes el significado de las fichas de álgebra. La ficha cuadrada grande tiene unas dimensiones de x unidades por x unidades y representa x2. Cuando el cuadrado grande es un cuadrado sombreado, representa -x2. El rectángulo tiene unas dimensiones de x unidades por 1 unidad y representa x. Cuando el rectángulo está sombreado, representa -x. El cuadrado pequeño tiene unas dimensiones de 1 unidad por 1 unidad y representa 1. Cuando el cuadrado pequeño está sombreado representa -1.
3.
Can every quadratic trinomial expression be factored? If yes, explain. If no, provide an example. No. Examples will vary. It is impossible to make a rectangle with algebra tiles for x2 + x + 1.
4.
The art below fell off of the display, and there are two pieces missing. The total area was x2 + x – 2.
a.
What are the two missing pieces? What do they represent? The missing pieces are a shaded rectangle and a white rectangle. They represent x and −x.
b.
What are the dimensions in factored form? (x + 2)(x – 1)
2
Factors of Polynomials Explore 1
Part II
Framing the Art
Part I
Factors of Polynomials Explore 1
1.
The artist orders a frame for a work of art with an area of 2x2 + 7x + 6. Based on the rules from the artist, you know where to place the large and small squares. Sketch where the remaining algebra tiles should be placed.
2.
Use the sketch to complete the area model below. Write the dimensions on the area model. Check your answer using multiplication with the blank area model.
Use the Art Pieces Cards to complete the following steps. 1. Arrange the algebra tiles to form a mosaic. The algebra tiles must be arranged in the shape of a rectangle. The large square(s) must be in the upper left corner of the rectangle, and the small square(s) must be in the lower right corner of the rectangle. 2. Use the algebra tiles and Algebra Tiles Factoring Mat to determine the correct arrangement of tiles. Then, complete the table.
Art
Total Area in Standard Form
Sketch of Assembled Mosaic
Dimensions in Factored Form
Checked Answer (Multiply.) (x + 3)(x + 2) = x2 + 5x + 6
Area: 2x2 + 7x + 6
Check using multiplication.
Students may use the area model created by the sketch or another method.
A
x2 + 5x + 6
(x + 3)(x + 2)
B
2x2 + 7x + 5
(2x + 5)(x + 1)
Students may use the area model created by the sketch or another method.
C
x2 – 5x + 4
(x – 4)(x – 1)
Students may use the area model created by the sketch or another method.
D
x2 + x + 1
Cannot be factored
Cannot be factored
(2x + 5)(x + 1) = 2x2 + 7x + 5
(x – 4)(x – 1) = x2 – 5x + 4
Look for relationships to explain how to use the area model. 3. What is the relationship between the first degree term, 7x, and the first degree terms you wrote inside the area model? 3x + 4x = 7x. The sum of the first degree terms must be 7. 4.
Cannot form a rectangle
How are the second degree term and the constant, 2x2 and 6, related to the first degree terms you wrote in the area model? 3x · 4x = 12x2 because the two numbers must multiply to equal the constant, 6, and add to equal the first degree term, 7x. I could not use 2x · 6x = 12x2 because these do not add to 7x.
1
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
246
9798330818402 SSM CA25 A1 TE V2 TEXT.indb 246
3
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Factors of Polynomials Explore 1
5.
Complete the area models below to determine the dimensions of the art with the given areas. Check your answers using multiplication with the blank area models. Area: 4x2 + 8x + 3
Area: 2x2 + x – 6
Check using multiplication.
a. DOK-1 «¿Cuáles son las dimensiones de cada ficha de álgebra?». Las fichas dex2 tienen dimensiones de x y x. Las fichas de x tienen dimensiones de 1 y x. Las fichas de la unidad tienen dimensiones de 1 y 1. b. DOK-1 «¿Cuál es el área de las fichas del arte A?». Explique tu razonamiento. El área es x2 + 5x + 6 porque hay una ficha cuadrada grande que representa x2, cinco fichas rectangulares que representan 5x, y seis fichas cuadradas pequeñas que representan 6.
Check using multiplication.
4
Factors of Polynomials Explore 1
Reflect 1.
Tomas and Paola each factored the expression 2x2 + 9x + 10 using an area model. Which student is correct? Explain your reasoning. Tomas
Paola
Both students are correct. Multiplication is commutative, so the order of the factors does not change the product. 2.
3.
Nyah is struggling to calculate the dimensions of x2 + 2x – 3 using algebra tiles. She has arranged the algebra tiles, but she cannot make a rectangle.
a.
Show Nyah how to factor x2 + 2x – 3 using an area model.
b.
How can Nyah factor the expression using algebra tiles? She needs to add a zero pair of 1x and −1x to complete the rectangle.
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d. DOK-1 Después de haber colocado las fichas para formar un rectángulo, «¿cómo puedes determinar las dimensiones del marco de la obra de arte?». Observa la longitud y el ancho del rectángulo más grande. Los lados «más largos» de las fichas de álgebra representan x, y los lados «más cortos» de las fichas de álgebra representan 1. Suma cada ficha para determinar la longitud y el ancho. e. DOK-2 «¿Cómo se pueden colocar las fichas de manera que sigan todas las reglas?». Recuerda que deben usarse todas las fichas algebraicas y que no debe haber ningún espacio. Las respuestas pueden variar. Puedo mover estos rectángulos para tener algunos a cada lado. Entonces, las piezas formarán un rectángulo y no habrá espacios.
g. DOK-2 En esta actividad, «¿hay sólo una manera correcta de formar un rectángulo?». Si sigues las reglas dla artista, sólo hay una manera de formar un rectángulo. La diferencia entre mi compañero y yo es que yo armé mi rectángulo en orientación vertical, y mi compañero armó el rectángulo en orientación horizontal.
5
ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
c. DOK-1 «¿Qué fichas de álgebra deben colocarse primero en el tapete de factorización de fichas de álgebra?». Primero, coloca el cuadrado grande, o x2, en la esquina superior izquierda. En segundo lugar, coloca los 6 cuadrados pequeños en la esquina inferior derecha. La disposición de los cuadrados pequeños no está clara ahora. Tenemos que investigar más para determinar si las fichas cuadradas pequeñas forman un rectángulo de 1 × 6 o de 2 × 3.
f. DOK-1 «¿Cómo calculas el área total de la pieza de arte?». Suma el área de cada ficha de álgebra al combinar términos similares.
Describe when algebra tiles or an area model is more useful for factoring. Algebra tiles are useful to visualize how to factor. An area model is useful for negative numbers, large numbers, or expressions that are difficult to visualize.
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
10. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guías para evaluar su comprensión:
11. Conceda tiempo suficiente a los estudiantes para completar la parte I y responder las preguntas que siguen. 12. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta el momento.
247
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Factors of Polynomials Explore 1
CHARLA DE MATEMÁTICAS
Factoring Using Models Exit Ticket Calculate the dimensions of an art piece with an area of 2x2 – 3x – 5. Show your work using the area model.
248
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2x
−5
Dimensions:
Factors of Polynomials Explore 1
Factoring Using Models Exit Ticket Calculate the dimensions of an art piece with an area of 2x2 – 3x – 5. Show your work using the area model. 2x
–5
2x2
−5x
+1
a. DOK-2 «¿Cuál es la relación entre el término b, 7x, y los números que escribiste en el modelo de área?». 3 + 4 = 7. Por lo tanto, los dos números deben sumar para ser iguales a b. b. DOK-2 «¿Cuál es la relación entre los valores de a = 2 y c = 6 y los otros coeficientes que escribiste en el modelo de área?». Ambos conjuntos de números son pares de factores para 12. 2 × 6 = 12, y 3 × 4 = 12. c. DOK-2 Resume el proceso de rellenar las casillas del modelo de área. El cuadrado superior izquierdo es ax2. El cuadrado inferior derecho es c. Los dos números de los cuadrados restantes deben sumarse para ser iguales a b y multiplicarse para ser iguales al producto de a y c. d. DOK-2 «¿Cuál es la relación entre cada fila/columna y las dimensiones?». Cada término de la dimensión es el FCM de cada fila/columna. e. DOK-1 «¿Qué método usas para encontrar los dos coeficientes en los cuadrados superior derecho / inferior izquierdo?». Los dos coeficientes deben sumarse para ser iguales a b y multiplicarse para ser iguales a ac. f. DOK-1 «¿Qué método usas para hallar las dimensiones del rectángulo?». Cada término de la dimensión es el FCM de cada fila/columna.
−5x
2x – 5 and x + 1
PARTE II
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Lo has hecho tan bien al exponer la obra de la artista que quiere contratarte para que seas su ayudante. La artista te proporcionará el área total de su arte, y tú usarás modelos de área para ayudarte a determinar las dimensiones de los marcos. Quieres encontrar una manera más eficiente de determinar las dimensiones de los marcos en lugar de construir cada pieza de arte. Usa un modelo de área para ayudarte a encontrar rápidamente las dimensiones de cada marco». 2. Explique a los estudiantes que trabajarán con sus grupos para determinar una manera más eficiente de representar el área, la longitud y el ancho de la obra de arte y registrar su trabajo en sus diarios». 3. Mientras los estudiantes colaboran, Supervise su trabajo y usa las siguientes preguntas guía para evaluar su comprensión:
2x2
x
• DOK-2 «¿Cuándo son las fichas de álgebra un modelo útil para la factorización?». Predecir por qué las fichas de álgebra podrían no ser útiles. Las fichas de álgebra son útiles para visualizar cómo se relaciona el área con sus dimensiones. Es útil para reescribir una expresión de la forma estándar a la forma factorizada. Las fichas de álgebra pueden no ser útiles si la expresión no puede formar un rectángulo. Por ejemplo, una expresión podría ser primitiva. Las fichas de álgebra no son útiles para expresiones con números muy grandes, expresiones con más de una variable o expresiones de grados mayores que 2.
–5
+1
• DOK-1 Describe el proceso que usaste para encontrar las piezas que faltan en la obra de arte de la parte I. Los términos x suman 1x. Ya hay 1x, así que sólo se puede añadir 0. Tengo que añadir 1x y -1x, lo que es añadir un par cero.
2x x
• DOK-2 «¿Puede cada expresión trinomial cuadrática ser factorizada con el uso de fichas de álgebra?». No. Por ejemplo, es imposible hacer un rectángulo con fichas de álgebra para x2 + x + 1 porque el trinomio no se puede factorizar. Tampoco puedes factorizar expresiones que contengan decimales o fracciones con fichas de álgebra.
2x
−5
Dimensions: 2x – 5 and x + 1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
Factors of Polynomials Part 1
Factoring Using Models 1.
Algebra tiles are used to model the polynomial below. 2x2 – 7x + 3 In each case, explain what part of the model is correct and what part is incorrect. Case
A
B
Model
Dimensions in Factored Form
(x + 1)(x + 3)
(2x + 1)(x + 3)
Correct or Incorrect Explanation It correctly models the constant term 3, but the model does not give a leading coefficient of 2 or the correct coefficient of −7 for the linear term.
It correctly models the constant term 3 and the leading coefficient of 2, but the sign of the linear term is wrong. It should be −7, not 7.
The model is correct. C
(2x – 1)(x – 3)
1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Factors of Polynomials Part 1
4. Conceda tiempo suficiente a los estudiantes para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen. 2.
Compare the following similar polynomials. a.
5. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
The two polynomials differ only in terms of the sign of the linear term. Factor each by completing the area models below.
CHARLA DE MATEMÁTICAS
b.
c.
How did the change of the sign on the linear term affect the area model and the resulting factorization? The model had to account for the negative linear term while maintaining the positive sign of the constant term. Therefore, the signs in both factors changed to negative. Next, consider the case where only the sign of the constant term changes.
• DOK-2 Compare y contraste el método de las fichas de álgebra y el método del modelo de área. Las fichas de álgebra y los modelos de área tienen formatos similares. El término x2 está en la esquina superior izquierda, los términos constantes están en la esquina inferior derecha y los términos x están en las otras esquinas. El modelo de área es una representación numérica de las fichas de álgebra. Los mosaicos de álgebra están más limitados en cuanto a lo que pueden representar. Por ejemplo, sólo pueden mostrar polinomios con una variable. 6. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
x2 + 6x – 8
How does this affect the area model? It is not possible to use the area model because the polynomial cannot be factored.
2
• Asegúrese de completar el esquema de anclaje como clase. Una vez creado, haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva» .
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Ayude a los estudiantes a usar árboles de factores y otros modelos para generar diferentes conjuntos de factores que puedan ser más útiles durante diferentes problemas y situaciones. 2. Ayude a los estudiantes a llevar la cuenta de los coeficientes negativos con fichas de modelado.
Factors of Polynomials Part 1
3.
Answer the questions for the polynomial below. 2x2 – 15x – 38 a.
Would it be better to use algebra tiles or an area model to factor? Why? It would be better to use an area model because the numbers involved are somewhat large.
b.
What is the factored form of this polynomial? Show your work, and check your answer.
= 2x2 + 4x – 19x – 38 = 2x2 – 15x – 38
Complete the rectangles by filling in the missing algebra tiles, and determine which one can be used to correctly model and factor the given polynomial. Write the polynomial in factored form.
Los estudiantes usarán el conocimiento previo como vínculo para comprender el idioma inglés.
Intermedio: Como actividad previa a la clase, muestre a los estudiantes diapositivas de pinturas y esculturas y organice un debate en clase. Pregunte a los estudiantes: «¿Qué te gusta de la obra de arte?». Anímelos a responder al usar frases completas, como «Me gusta __ porque __». A continuación, explique que la situación de hoy tendrá lugar en una galería de arte y muestre a los estudiantes una imagen de una galería de arte.
2x2 – 7x – 4
(2x + 1)(x – 4) 3
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS
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La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje es apoyada en esta actividad «Explorar». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo del lenguaje de los estudiantes.
Principiante: Como actividad previa a la clase, muestre a los estudiantes diapositivas de pinturas y esculturas y organice un debate en clase. Pregunte a los estudiantes: «¿Qué les gusta de la obra de arte?». Anímelos a responder al usar frases completas, como «Me gusta __ porque __». A continuación, explique que la situación de hoy tendrá lugar en una galería de arte y muestre a los estudiantes una imagen de una galería de arte.
(2x – 19)(x + 2)
4.
APOYOS LINGÜÍSTICOS
Avanzado: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que compartan con usted los nombres de los artistas que conocen. A continuación, muestre a los estudiantes una serie de diapositivas y pregúnteles qué tipo de artista realiza o crea el tipo de arte que se muestra. Por ejemplo, un escultor crea una escultura. Explique que la escena de hoy tendrá lugar en una galería de arte y muestre a los estudiantes una imagen de una galería de arte.
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 2: FACTORIZACIÓN CON EL USO DE PATRONES DESCRIPCIÓN Los estudiantes explorarán patrones encontrados en los «Factores de polinomios. Los estudiantes analizarán las relaciones entre polinomios y sus factores para descubrir estrategias para productos especiales.
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes monitorearán su progreso y cambiarán su enfoque si es necesario. Los estudiantes verán relaciones entre varias representaciones.
Factors of Polynomials Explore 2
Super Sleuth Part I
Your boss has separated the calling cards into 3 pods as listed below.
Positive – Positive Pod 1.
Determine the pattern to complete the missing values on the calling cards.
2.
Describe the pattern in the Positive – Positive Pod. The numbers on the left and right are both positive, so they multiply to make a positive on the top and add to make a positive on the bottom.
Positive – Negative Pod 3.
Determine the pattern to complete the missing values on the calling cards.
4.
Describe the pattern in the Positive – Negative Pod. The numbers on the left and right are always one positive and one negative, so they multiply to make a negative on the top and add to make a positive or negative on the bottom.
Negative – Negative Pod 5.
Determine the pattern to complete the missing values on the calling cards.
6.
Describe the pattern in the Negative – Negative Pod. The numbers on the left and right are always negative, so they multiply to make a positive on the top and add to make a negative on the bottom.
1
• MP.5 Usar herramientas apropiadas estratégicamente: Los estudiantes usarán herramientas tecnológicas para profundizar en la comprensión de las matemáticas. Los estudiantes usarán modelos matemáticos para visualizar y analizar información. • MP.7 Buscar y hacer uso de la estructura: Los estudiantes buscarán la estructura general y los patrones en las matemáticas. Los estudiantes verán las cosas complicadas como objetos individuales o como compuestos de varios objetos.
Factors of Polynomials Explore 2
a = 1 Trinomial House ax2 + bx + c 7.
Now that you have decoded the calling cards, use the information your boss compiled below to decode and apprehend members of the a = 1 trinomial family. Complete the table, and answer the questions.
Bandit in Standard Form
x2 + 7x + 10
x2 + 1x – 6
Target Product
10
−6
4
Target Sum
7
1
−5
(x + 2)(x + 5)
(x – 2)(x + 3)
(x – 1)(x – 4)
x2 – 5x + 4
MATERIALES IMPRESO
Calling Card
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de carteles «Se buscan bandidos cuadráticos» (por estudiante) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes) REUSABLE • 1 barra de pegamento (por grupo) • 1 par de tijeras (por estudiante)
Bandit in Factored Form 8.
Which term(s) is(are) used to determine the target product? ax2 and c or c
9.
Which term(s) is(are) used to determine the target sum? bx
10.
Describe how standard form and factored form are related. Factored form uses the numbers that multiply to c and add to b.
11.
Will this work for all quadratics where a = 1? Why or why not? Yes, this is the reverse of multiplying binomials. When multiplying binomials, the constants multiply to make c and add to make b.
Congratulations! You have discovered a pattern for the a = 1 trinomial family. They are out of business and officially apprehended! 2
PREPARACIÓN •
Separe la clase en grupos de 2 o 3 estudiantes.
•
Imprima un «Diario del estudiante» para cada alumno.
•
Imprima un «Boleto de salida» para cada pareja. Recorte los «Boleto de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno.
•
Imprima un juego de carteles de «Se buscan bandidos cuadráticos» para cada estudiante.
•
Reúne una barra de pegamento para cada grupo y un par de tijeras para cada estudiante.
Factors of Polynomials Explore 2
Part II
Perfect Square Trinomial House ax2 + bx + c
1.
Use the information your boss compiled below to decode and apprehend members of the perfect square trinomial house. Complete the table, and answer the questions.
Bandit in Standard Form
x2 + 10x + 25
x2 + 14x + 49
Target Product
25
49
9
Target Sum
10
14
−6
Bandit in Factored Form
(x + 5)(x + 5)
(x + 7)(x + 7)
(x – 3)(x – 3)
Bandit as a Perfect Square
(x + 5)2
(x + 7)2
(x – 3)2
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
x2 – 6x + 9
PARTE I 1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Te han contratado como superdetective de álgebra. La empresa de detectives te ha asignado el aprendizaje de los patrones de la familia criminal conocida como la familia Cuadráticas misteriosas. ¡Es esencial que les ayudes a reconocer los patrones y a predecir la forma factorizada antes de que estas Cuadráticas misteriosas se descontrolen y se apoderen del mundo!. La familia Cuadráticas misteriosas está separada en casas, y algunas casas tienen grupos más pequeños llamados «cápsulas». La empresa te ha pedido que primero investigues y determines los patrones de la casa del trinomio a = 1. Los bandidos dejan estas tarjetas de presentación de diamantes en cada escena del crimen. “¿Cuál es el patrón? ¿Cuáles son los valores que faltan?”». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno.
250
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Calling Card
2.
3.
How is the name perfect square trinomial related to the pattern of a factored perfect square trinomial? A perfect square trinomial, when in factored form, is one factor squared. That is why it is called a perfect square trinomial. Which of the following statements best describes the pattern of factoring a perfect square trinomial? ❏ If half of c squared is b, then the constant in the factors is half of c. ❏ If half of b is the square root of c, then the constant in the factors is half ✔ of b. ❏ If the square root of c is 2 more than b, then the constant in the factors is the square root of c. 3
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1/9/26 1:42 PM
ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2
Factors of Polynomials Explore 2
Difference of Squares House ax2 + bx + c
4.
or
ax2 – c
3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para analizar las relaciones entre un trinomio en forma estándar, ax2 + bx + c donde a = 1, y sus factores. Los estudiantes anotarán sus respuestas y explicaciones en sus diarios».
Use the information your boss compiled below to decode and apprehend members of the difference of squares house. Complete the table, and answer the questions.
Bandit in Standard Form
x2 + 0x – 25
x2 – 16
4x2 – 9
Target Product
−25
−6
−36
Target Sum
0
0
0
4. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guías para evaluar su comprensión: a.
How is the name difference of squares related to the pattern of the quadratic in standard form? When a difference of squares quadratic is in standard form, it is the difference of two terms that are perfect squares.
DOK-2 «¿Puedes combinar números de la tarjeta de presentación al usar operaciones aritméticas básicas (+, -, ×, ÷) para obtener otros números de la tarjeta?». Sí, puedo combinar dos de los números al usar tanto la suma como la multiplicación para obtener los otros dos números.
b.
Would a2 – b2 be considered a difference of squares quadratic? Why or why not? Yes, it would be a difference of squares quadratic because it is subtracting two terms. a squared is a perfect square, and b squared is a perfect square. It meets all of the criteria or the pattern.
DOK-2 «¿Cómo se pueden usar los números de la izquierda y de la derecha para determinar el número de arriba?». Su producto es el número de arriba.
c.
DOK-2 «¿Cómo se pueden usar los números de la izquierda y de la derecha para determinar el número de abajo?». Su suma es el número inferior.
d.
DOK-2 Si no conocieras los números de la izquierda y la derecha, «¿cómo podría ayudarte el número superior a reducir las opciones?». Las únicas posibilidades para la izquierda y la derecha tendrían que ser factores del número superior. Enumerar los factores daría una lista corta de posibilidades.
e.
DOK-2 «¿Cómo se puede determinar si ambos factores son positivos?». Si el producto objetivo y la suma objetivo son positivos, entonces ambos factores son positivos.
f.
DOK-2 «¿Cómo se puede determinar si ambos factores son negativos?». Si el producto objetivo es positivo y la suma objetivo es negativa, entonces ambos factores serán negativos.
g.
DOK-2 «¿Cómo se puede determinar si un factor es positivo y un factor es negativo?». Si el producto objetivo es negativo, entonces un factor es positivo y el otro es negativo.
h.
DOK-2 Cuando un factor es positivo y un factor es negativo, «¿cómo se determina qué número debe tener qué signo?». Si la suma objetivo es positiva, entonces el factor mayor es positivo. Si la suma objetivo es negativa, entonces el factor mayor es negativo.
i.
DOK-1 «¿Qué es un trinomio?». Un trinomio es un polinomio con tres términos. Esos términos pueden ser constantes, variables o variables elevadas a un exponente no negativo.
j.
DOK-2 Al transformar la forma estándar a la forma factorizada, «¿cuál es el primer paso?». El primer paso es determinar los factores de c.
k.
DOK-2 Una vez que se han determinado los factores de c, «¿cuál es el siguiente paso para escribir la expresión en forma factorizada?». El siguiente paso es determinar qué conjunto de factores suma b.
l.
DOK-2 «¿Cómo sabemos que tenemos los números correctos para escribir la expresión en forma factorizada?». Sabemos que son los números correctos si cumplen los criterios de producto objetivo y suma objetivo.
m.
DOK-2 «¿Por qué se usa la multiplicación para verificar que los factores son correctos?». Se usa la multiplicación porque factorizar es lo opuesto a multiplicar. Para verificar, usamos el proceso opuesto, similar a verificar un hecho de división con multiplicación.
Calling Card
Bandit in Factored Form 5.
6.
(x + 5)(x – 5)
(x + 4)(x – 4)
(2x + 3)(2x – 3)
4
Factors of Polynomials Explore 2
Part III 1.
To apprehend the remaining quadratic bandits, paste each of the Quadratic Bandits Wanted Posters into the correct family in the table below.
a = 1, Trinomials in Standard Form House
Difference of Squares House
Perfect Square Trinomial House
x2 + 6x + 5
x2 – 9
x2 + 4x + 4
x2 + 1x – 30
x2 – 4
x2 – 26x + 169
x2 – 9x + 14
x2 – 225
x2 – 12x + 36
x2 – 19x + 90
x2 – 144
x2 – 18x + 81
x2 – 121
5
Factors of Polynomials Explore 2
Reflect 1.
What patterns did you notice? How is this helpful? The factored form of the original quadratic, x2 + bx + c, uses the numbers that multiply to c and add to b as the constants in the binomial factors. This helps to narrow down the possibilities.
2.
Explain why the two constant values inside factors of x2 – 10x + 24 must both be negative. The constant values will multiply together to get positive 24, so they are either both positive or both negative. Since they will add to –10, both values must be negative.
3.
How did you decide which quadratic expressions were perfect square trinomials and which were a difference of squares? The perfect square trinomials have three terms, and the constant term is a perfect square. I could multiply a binomial by itself to create the perfect square trinomial. The difference of squares have two terms and always have a subtraction sign.
4.
How can you check that a quadratic has been factored correctly? I can multiply the factors together to confirm that their product is the original quadratic.
5.
Complete the sentences to describe the process of transforming a quadratic equation or expression from standard form to factored form. To determine possible factors, I first try to– list all of the factors of the constant, c. Next, I think about– which set of factors will add to b.
5. Permita a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte I y contestar las preguntas que siguen.
I know I have an equivalent expression in factored form if– the constants in the factors multiply to c and add to b. To verify that the expression in factored form is equivalent to the original expression in standard form, I can– multiply the factors to see if I get the original expression in standard form.
6
6. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje hasta el momento.
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Factors of Polynomials Explore 2
CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-2 «¿Cómo se puede usar la multiplicación para comprobar si la forma factorizada es equivalente a la cuadrática dada en forma estándar?». Multiplicar los factores binomiales es la operación inversa de factorizar la cuadrática original en forma estándar. Si la factorización se hizo correctamente, la multiplicación de esos factores debe producir la cuadrática original. • DOK-2 «¿En qué difiere la factorización con el uso de patrones cuando c no es positivo?». Las dos constantes en la forma factorizada tendrán signos opuestos.
Factoring Using Patterns Exit Ticket For each quadratic listed in the table, place a check mark in front of all of the descriptors that apply. Factor the quadratics, and write your answers in factored form. x2 + 4x – 21
x2 – 8x + 16
9x2 – 25
❏ a=1 ❏ a=1 ❏ a=1 ❏ Perfect square trinomial ❏ Perfect square trinomial ❏ Perfect square trinomial ❏ Difference of squares ❏ Difference of squares ❏ Difference of squares Factored form:
Factored form:
Factored form:
(x – 3)(x + 7)
(x – 4)2 or (x – 4)(x – 4)
(3x – 5)(3x + 5)
• DOK-2 «¿Cuál es la diferencia entre factorizar con el uso de patrones cuando b no es positivo?». Una o ambas constantes en la forma factorizada tendrán signo negativo. • DOK-1 «¿Cómo se pueden determinar los números cuadrados perfectos?». Los números cuadrados perfectos son números que son el producto de dos enteros iguales, Por ejemplo: 4 × 4 = 16, 5 × 5 = 25, 6 × 6 = 36, 7 × 7 = 49 y así sucesivamente.
Factors of Polynomials Explore 2
Factoring Using Patterns Exit Ticket For each quadratic listed in the table, place a check mark in front of all of the descriptors that apply. Factor the quadratics, and write your answers in factored form. x2 + 4x – 21
PARTE II 1. Lea la siguiente situación a la clase: «Tuviste tanto éxito con la casa del trinomio a = 1 que la empresa te ha nombrado detective principal para investigar las 2 casas del crimen restantes de la familia Cuadráticas misteriosas. Usa la información que tu jefe recopiló para detener a las familias criminales».
x2 – 8x + 16
9x2 – 25
❏ a=1 ❏ a=1 ❏ a=1 ❏ Perfect square trinomial ❏ Perfect square trinomial ❏ Perfect square trinomial ❏ Difference of squares ❏ Difference of squares ❏ Difference of squares Factored form:
Factored form:
Factored form:
(x – 3)(x + 7)
(x – 4)2 or (x – 4)(x – 4)
(3x – 5)(3x + 5)
2. Explique a los estudiantes que trabajarán con sus grupos para identificar patrones para factorizar cuadráticas que son trinomios cuadrados perfectos o que son la diferencia de cuadrados. Los estudiantes registrarán su trabajo en sus diarios».
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
Factors of Polynomials Part 2
3. A medida que los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice la siguiente pregunta guía para evaluar su comprensión: a.
DOK-2 En trinomios cuadrados perfectos y diferencia de cuadrados, «¿qué términos son números cuadrados perfectos?». ax2 y c
Factoring Using Patterns 1.
Which of the following is a perfect square trinomial? Factor it. A. B.
4. Conceda a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte II y responder las preguntas que siguen. 5. Después de completar la parte II, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta el momento.
x2 – 12x + 36 x2 + 8x + 12
C. D.
x2 – 7x + 8 x2 + 2x – 15
x2 − 12x + 36 = (x – 6)2
2.
If a quadratic is a difference of squares, what is true about the coefficient b in the standard form ax2 + bx + c? b = 0 because the linear term cannot be a perfect square.
3.
Which of the following is a difference of squares? Factor it. A. B.
x2 – 10x + 25 9x2 – 4
C. D.
x2 + 64 5x2 – 49
9x2 – 4 = (3x + 2)(3x – 2)
1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 2) CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Factors of Polynomials Part 2
4.
CHARLA DE MATEMÁTICAS
Factor the polynomials.
Standard Form
Factored Form
x2 – x – 12
(x + 3)(x – 4)
x2 – 16x + 64
(x – 8)2
• DOK-2 Describa el patrón para factorizar cuadráticos en la casa del trinomio cuadrado perfecto. En la casa del trinomio cuadrado perfecto, el producto es positivo y un número cuadrado perfecto, así que el término constante es idéntico en ambos factores. Esa constante puede ser positiva o negativa.
Check the answer.
Workspace: Students should show work using a model or multiplication. (x + 3)(x – 4) = x2 + 3x – 4x – 12 = x2 – x – 12
• DOK-2 Describe el patrón para factorizar cuadráticos en la casa de la diferencia de cuadrados. En la casa de la diferencia de cuadrados, el producto es un cuadrado perfecto negativo, por lo que los términos constantes de los dos factores tienen el mismo valor absoluto (magnitud) pero con signos opuestos.
Workspace: Students should show work using a model or multiplication. (x – 8)2 = (x – 8)(x – 8) = x2 – 8x – 8x + 64 = x2 – 16x + 64
• DOK-3 Una de estas cuadráticas no pertenece a la casa a = 1 trinomio, pero sí pertenece a la familia. «¿Cuál es? ¿Qué tiene de diferente esta cuadrática?».
Workspace: x2 – 7x + 3
Cannot be factored
16x2 – 9
(4x + 3)(4x – 3)
—
«¿Podríamos usar un patrón para factorizar esta cuadrática? ¿Cuál es el patrón?». El cuadrático 4x2 - 9 no pertenece a la casa a = 1 trinomio porque a ≠ 1 en este caso. Sin embargo, esta cuadrática es la diferencia de dos cuadrados. En este caso, (2x)2 = 4x2 y 32 = 9, por lo que hay un patrón. Para ax2 - c donde a y c son _ ambos números cuadrados perfectos, la forma factorizada es (√ ax _ _ _ – √c )(√ ax + √c ).
Workspace: Students should show work using a model or multiplication. (4x + 3)(4x – 3) = 16x2 + 12x – 12x – 9 = 16x2 – 9
2
Factors of Polynomials Part 2
5.
For the polynomials of form x2 + bx + c in the table, determine if (x + 3) is a factor.
Polynomial in Standard Form 2
Is (x + 3) a factor?
Factored Form (x + 3)(x – 3)
x –9
Yes
x2 – 36
No
(x + 6)(x – 6)
x2 + x – 6
Yes
(x + 3)(x – 2)
x2 + 6x + 9
Yes
(x + 3)2
x2 + 4x – 12
No
(x + 6)(x – 2)
x2 + 3
No
—
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Usted ha detenido a los principales actores de las casas del crimen. Sin embargo, algunos miembros no fueron descubiertos hasta después de concluir la investigación inicial. Examina los carteles de busqueda y determine a qué casa pertenece cada cuadrático para que puedan ser detenidos y acusados». 2. Distribuya un juego de «Carteles de “Se buscan bandidos cuadráticos”» y un par de tijeras a cada estudiante. Entregue una barra de pegamento a cada grupo. 3. Pida a los estudiantes que recorten los «Carteles de “Se buscan bandidos cuadráticos”». 4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para clasificar los cuadráticos como (1) trinomios en forma estándar, ax2 + bx + c donde a = 1; (2) diferencia de cuadrados; o (3) trinomios cuadrados perfectos. Los estudiantes pegarán los carteles en sus diarios». 5. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar su comprensión:
3
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 2) CLAVE DE RESPUESTAS
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PARTE III
a.
DOK-1 «¿Qué casa está formada sólo por cuadráticas que son una diferencia de dos términos?». La casa de la diferencia de cuadrados incluye cuadráticos que son la diferencia de dos términos.
b.
DOK-1 «¿Qué otra casa está formada por cuadráticos que tienen un cuadrado perfecto como término constante pero tienen más de dos términos?». La casa del trinomio cuadrado perfecto incluye cuadráticas que tienen un cuadrado perfecto para c pero que también tienen un término bx.
6. Conceda tiempo suficiente a los estudiantes para completar la parte III y responder a las preguntas que siguen. Invite a cada grupo a factorizar una expresión cuadrática de cada casa. 7. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2
CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-2 «¿Por qué es útil entender las relaciones entre una cuadrática y sus factores?». Al entender las relaciones, me permite ver patrones. Conocer esos patrones reduce la cantidad de opciones posibles para las constantes que tengo que considerar en los factores binomiales. Esto puede hacer que la factorización sea más rápida y fácil. 8. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez creado, haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva» .
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Puede ser difícil verificar el trabajo de un paso al siguiente en esta exploración. Al final, asegúrate de comprobar que la multiplicación de los factores completos da como resultado el problema original. 2. Dado que los estudiantes están explorando patrones a través del razonamiento repetido, ayúdales a ver las conexiones entre los coeficientes al llevar una cuenta de los ejemplos que los estudiantes han factorizado en un lugar que todos puedan ver.
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APOYOS LINGÜÍSTICOS La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias siguientes para saber cómo apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes. Los estudiantes usarán el apoyo de pistas visuales, compañeros y maestros para desarrollar el vocabulario, la estructura lingüística y los conocimientos previos necesarios para comprender el texto escrito. Principiante: Como actividad previa a la clase, pida a los estudiantes que se conviertan en «detectives de palabras» por parejas. Entregue a cada pareja de estudiantes una tarjeta que contenga una imagen y una palabra de vocabulario relacionada con ser detective (por ejemplo, investigar, detective, misterio, descubrir). Encargue a las parejas que encuentren la tarjeta con la definición escondida en el salón. Cuando se hayan recogido todas las tarjetas, Explique que serán los detectives del álgebra en la exploración de hoy. Intermedio: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que se conviertan en «detectives de palabras» por parejas. Entregue a cada pareja de estudiantes una tarjeta que contenga una imagen y una palabra de vocabulario relacionada con ser detective (por ejemplo, investigar, detective, misterio, descubrir). Encargue a las parejas que encuentren la tarjeta con la definición escondida en el salón. Cuando se hayan recogido todas las tarjetas, Explique que serán los detectives del álgebra en la exploración de hoy. Avanzado: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que realicen una sopa de letras cronometrada con vocabulario relacionado con ser detective (por ejemplo, investigar, detective, misterio, descubrir). Gana el primer estudiante que encuentre más palabras en 3 minutos. Una vez anunciado el ganador, pregunte a los estudiantes si tienen dudas sobre alguna de las palabras. Explíqueles que ellos serán los detectives del álgebra en la actividad «Explorar» de hoy.
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Factors of Polynomials Explore 3
LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 3: INTRODUCCIÓN : COMPLETAR EL CUADRADO
Perfectly Square Part I 1.
Write an expression in terms of x, the length, for the length and width of Miranda’s square block pattern that is 5 inches longer than the standard square block pattern. x + 5 length x + 5 width
2.
Use the linear factors to write an equation in terms of x for the area of the square block pattern Miranda will use. A(x) = (x + 5)2 or A(x) = (x + 5)(x + 5)
3.
When Miranda draws her square block pattern, it looks like this. How many rectangles are on each side of the large square?
DESCRIPCIÓN Los estudiantes factorizarán polinomios al completar el cuadrado con el uso de fichas de álgebra y modelos de área.
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA • MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes monitorearán su progreso y cambiarán su enfoque si es necesario. Los estudiantes verán relaciones entre varias representaciones.
There are 5 rectangles below the large square, and there are 5 rectangles to the right of the large square.
4.
How is this diagram related to the expressions for length and width from question 1? The side of the big square is length x. The rectangles have dimensions of x units by 1 unit, and the narrow side represents 1 unit. So the rectangles represent the +5 of the dimensions. 1
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 tapete de factorización de fichas de álgebra (por estudiante) • 1 tarjeta de órdenes de acolchado (por estudiante) • 1 Charla de matemáticas - Otras expresiones de área y dimensión (por clase) • 1 boleto de salida (por estudiante) REUSABLE
• MP.5 Usar herramientas apropiadas estratégicamente: Los estudiantes usarán herramientas tecnológicas para profundizar en la comprensión de las matemáticas. Los estudiantes usarán modelos matemáticos para visualizar y analizar información. • MP.7 Buscar y hacer uso de la estructura: Los estudiantes buscarán la estructura general y los patrones en las matemáticas. Los estudiantes verán las cosas complicadas como objetos individuales o como compuestos de varios objetos.
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 2 o 3 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante», un «Tapete de factorización de fichas de álgebra» y un «Boleto de salida» para cada estudiante. • Imprima un juego de «Tarjetas de pedidos de colchas» para cada estudiante. • Imprima un «Charla de matemáticas: Otras expresiones de área y dimensión» • Reúna una barra de pegamento y un juego de fichas de álgebra para cada grupo.
• 1 juego de fichas de álgebra (por grupo)
• Reúna un par de tijeras para cada estudiante.
• 1 Par de tijeras (por estudiante)
• Prepárese para proyectar el «Charla de matemáticas: Otras expresiones de área y dimensión» para que la clase lo vea.
• 1 barra de pegamento (por grupo) • 1 proyector o cámara de documentos (por clase)
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• ¡Digitalízate! Haga que los estudiantes exploren o presenten sus soluciones al usar manipulativos virtuales. Los manipulativos usados en esta lección se pueden encontrar en el menú desplegable «Explorar» y se pueden asignar digitalmente a los estudiantes.
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Factors of Polynomials Explore 3
Use the Quilt Orders Cards to complete the tables and answer the questions. 1. Help Miranda put the ripped quilt orders back together using the information in each order. Glue or tape the pieces of the order in the correct locations. You will have extra pieces.
Order
Orders for Abuela Florencia’s Quilts
Dimensions
1. Lea la siguiente situación a la clase: «Miranda aprenderá a hacer una colcha con su abuela Florencia. La abuela Florencia es una ingeniera jubilada, por lo que a menudo usa patrones y expresiones algebraicas para diseñar sus colchas. La abuela Florencia empieza cada colcha al planificar los patrones de los bloques individuales. Sus diseños se basan en cuadrados perfectos. Los cuadrados pueden ser más grandes o más pequeños para que pueda hacer colchas de cualquier tamaño que quepan en una cama o en el regazo. Ella llama x a la longitud del lado del cuadrado estándar, y determina que el área del cuadrado estándar es A(x)=x2. Las colchas de la abuela son muy populares y se agotan todos los meses cuando las vende en el mercado de pulgas. La abuela le dice a Miranda que le enseñará a hacer una colcha. Miranda quiere una colcha que mida 5 pulgadas más que el cuadrado estándar. La abuela usa expresiones algebraicas para describir cada patrón de bloques cuadrados. Ayuda a Miranda a describir su patrón de bloques cuadrados con expresiones algebraicas».
Part II
Area
PARTE I
Myra ordered a quilt for her daughter. She wants a quilt that has squares 4 inches larger than the standard square.
Kofi ordered a quilt for himself. He wants a quilt that has squares 3 inches larger than the standard square.
A(x) = (x + 4)(x + 4)
A(x) = (x + 3)(x + 3)
A(x) = (x + 4)2
A(x) = (x + 3)2
A(x) = x2 + 8x + 16
A(x) = x2 + 6x + 9
Diagram
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno.
3
3. Entregue un juego de fichas de álgebra a cada grupo. 4. Invite a la clase a una charla de matemáticas para debatir las fichas de álgebra. Factors of Polynomials Explore 3
Factors of Polynomials Explore 3
5.
2.
Use the questions to complete the table by describing how the area equation is related to the square block pattern. Miranda’s square block pattern is shown below. Question
x2
+ 10x
+ 25
Describe the portion of the area of the square block pattern this term represents.
The diagram shows one large square with area of x2.
The rectangles represent an area of x. There are 10 rectangles, five on each side.
The small squares have an area of 1, and the diagram shows 25 small squares.
Explain why all three It represents an area of x2 + 10x + 25 because it shows all of the pieces listed above. terms are needed to describe the area of the entire square block pattern.
It appears there were 4 orders because Miranda found some partial expressions for area. Read the order carefully, and glue or tape the diagrams in the correct locations. Then, complete the table by finishing the equation and writing the expression in two forms. Order 3
Order 4
x2 – 10x + ___
x2 + 4x + ___
A(x) = x2 – 10x + 25
A(x) = x2 + 4x + 4
A(x) = (x – 5)(x – 5)
A(x) = (x + 2)(x + 2)
A(x) = (x – 5)2
A(x) = (x + 2)2
Diagram
How does the equation Using the equation in question 2, we can multiply in question two on the x + 5 times x + 5 and result in the same previous page relate to polynomial of x2 + 10x + 25. the equation A(x) = x2 + 10x + 25? Area
Dimensions
4
2
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Factors of Polynomials Explore 3
CHARLA DE MATEMÁTICAS
Miranda organized some of the expressions used so far. She has lined up each area expression, ax2 + bx + c, with the corresponding dimension expression, (x + h)2. Area Expression
x2 + 8x + 16
x2 + 6x + 9
x2 – 10x + 25
Dimension Expression
(x + 4)2
(x + 3)2
(x – 5)2
• DOK-1 «¿Cuáles son las dimensiones de cada tipo de ficha?». El cuadrado grande mide x unidades por x unidades. El rectángulo mide x unidades por 1 unidad. Los cuadrados pequeños miden 1 unidad por 1 unidad.
3.
Miranda believes she has noticed a pattern and can determine h using the value of b. Is there a pattern? If there is a pattern, describe the pattern and show how the value of b can be used to determine the value of h. The pattern is to divide the value of b by 2 to find the value of h.
4.
Miranda believes there is another pattern. She thinks the value of h can be used to find the value of c. Is there a pattern? If there is a pattern, describe the pattern and show how the value of h can be used to determine the value of c. The value of h can be squared to determine the value of c: 42 = 16, 32 = 9, (−5)2 = 25.
5.
Miranda begins to wonder if b can be used to determine the value of c. Describe how b can be used to determine the value of c, and give one example to show how the value of b can be used to determine the value of c. If we take the value of b and divide by 2 and then square that number, we will get the value of c. In x2 + 6x + 9, 6 ÷ 2 = 3, and then 32 = 9.
• DOK-2 Usa fichas de 4 unidades para formar un cuadrado perfecto. «¿Cuáles son las dimensiones del cuadrado? ¿Qué multiplicación muestra esto?». Las dimensiones del cuadrado son 2 unidades por 2 unidades. Esto muestra 2 por 2, o 2 al cuadrado. • DOK-2 Usa 9 fichas unitarias para formar un cuadrado perfecto. «¿Cuáles son las dimensiones del cuadrado? ¿Qué multiplicación muestra esto?». Las dimensiones del cuadrado son 3 unidades por 3 unidades. Esto muestra 3 por 3, o 3 al cuadrado. • DOK-2 Usa 16 fichas unitarias para formar un cuadrado perfecto. «¿Cuáles son las dimensiones del cuadrado? ¿Qué multiplicación muestra esto?». Las dimensiones del cuadrado son 4 unidades por 4 unidades. Esto muestra 4 por 4, o 4 al cuadrado. • DOK-3 Los 3 primeros números cuadrados perfectos son 4, 9 y 16. «¿Por qué son números cuadrados perfectos? ¿Cuál es el dato matemático relacionado para determinar estos números?». Estos son números cuadrados perfectos porque pueden modelar un cuadrado perfecto. Se pueden determinar al elevar un número a la segunda potencia.
5
• DOK-3 «¿Cómo se determinarían los siguientes 3 números cuadrados perfectos? ¿Cuáles son los 3 siguientes números cuadrados perfectos?». Los siguientes 3 números cuadrados perfectos se determinarían al calcular 5 al cuadrado, 6 al cuadrado y 7 al cuadrado. Los 3 siguientes números cuadrados perfectos son 25, 36 y 49.
Factors of Polynomials Explore 3
Factors of Polynomials Explore 3
Reflect 6.
1.
Miranda thought she could use an array with the algebraic terms to show the square block diagram because drawing so many little squares and rectangles is tedious. Is the array an equivalent representation? Why or why not? Area Equation
Dimension Equation
A(x) = x2 + 14x + 49
A(x) = (x + 7)2
Square Block Pattern
x2 + 20x + 100
Array
x2
7x
7x
49
Help Miranda complete the arrays and dimension equations in the table below.
Area Equation
A(x) = x2 + 16x + 64
A(x) = x2 – 8x + 16
2.
When is using a diagram to complete the square unreasonable? Explain. It is unreasonable when the b value or c value gets large. It is unreasonable to draw 100 small squares like x2 + 20x + 100 would have required. It is also unreasonable if b is an odd number. Accurately modeling parts of a tile is hard.
3.
How can you use the value of b to determine the value of c? If we take the value of b and divide by 2 and then square that number, we will get the value of c. In x2 + 6x + 9, 6/2 = 3, and then 32 = 9.
4.
How are the given polynomial and the diagram related? What would need to happen to the polynomial before being able to complete the square using the equation?
A(x) = x2 – 6x + 9
x2
8x
x2
−4x
x2
−3x
8x
64
−4x
16
−3x
9
Array
Dimension Equation
A(x) = (x + 8)2
A(x) = (x – 4)2
x2 + 16x + 8
Yes, this would make a perfect square No, this would not make a perfect square block pattern. 16/2 = 8, block pattern. 20/2 = 10, 102 = 100 82 = 64, but the expression shows +8, so this isn’t the correct value for c to make a perfect square block pattern.
The array shows an equivalent representation. The lower right corner is the number of small squares. The boxes that have 7x represent the number of rectangle tiles. The upper left corner shows x2, which is the same as 1x2. The diagram shows one large square that represents x2. The x + 7 would represent the dimensions of the block pattern and the array. 7.
Abuela gave Miranda 2 more orders. She only gave her the area expression. Help Miranda decide if these are going to make a perfect square block pattern, and write your answers in the table. Justify why or why not.
A(x) = 2x2 + 16x + 32 If the GCF is factored out of the polynomial, we would get A(x) = 2(x2 + 8x + 16). This relates to the diagram because there are two perfect square diagrams. That is what the GCF relates to. Before completing the square of a given polynomial, we have to factor out the GCF.
A(x) = (x – 3)2
6
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DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS 257
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Factors of Polynomials Explore 3
5.
6.
Explíqueles que trabajarán con sus grupos para ayudar a Miranda con sus patrones de bloques cuadrados y expresiones algebraicas. Las fichas de álgebra pueden usarse para representar patrones de bloques cuadrados y pueden ser útiles para responder preguntas. Explique que anotarán su trabajo en sus diarios». Mientras los estudiantes colaboran, monitoree su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar su comprensión: a. DOK-1 «¿Cómo se muestra algebraicamente cinco más que un número?». Como más que indica adición, usaríamos una variable más 5. b. DOK-1 «¿Cómo se muestra el área de un cuadrado? ¿Se puede mostrar con el uso de un exponente? ¿Se puede mostrar con el uso de la multiplicación?». El área de un cuadrado se puede mostrar con el uso de la longitud de un lado al cuadrado. También se puede mostrar como multiplicación al multiplicar la longitud de un lado por la longitud de un lado. c. DOK-2 «¿Cuáles son las dimensiones de las fichas de álgebra?». El cuadrado grande mide x por x, los rectángulos miden x por 1 unidad, y los cuadrados pequeños miden 1 unidad por 1 unidad. d. DOK-2 Si te dieran 1 cuadrado grande, 10 rectángulos y 25 cuadrados pequeños, «¿cómo podrías expresar el área del patrón de bloques cuadrados?». El área del patrón de bloques cuadrados sería la suma de todos los cuadrados. Usaríamos x2 + 10x + 25 porque x2 representa el área del cuadrado grande, 10x representa el área del rectángulo y 25 representa el área del cuadrado pequeño. e. DOK-2 Describe cómo sabes qué fichas de álgebra usar para representar la expresión x2 + 10x + 25. Sabemos que x2 está representada por una ficha cuadrada grande, x está representada por una ficha rectangular y las constantes están representadas por las fichas cuadradas pequeñas. Basándonos en esta ecuación, necesitaríamos una baldosa grande, 10 fichas rectangulares y 25 fichas cuadradas pequeñas. f. DOK-2 Si sabes que el área de un patrón de bloques cuadrados se describe mediante la expresión (x + 5)2, «¿cómo podrías encontrar una expresión equivalente para el área del patrón de bloques cuadrados?». Podríamos multiplicar x + 5 por sí mismo para determinar un cuadrático equivalente en forma estándar.
7.
Conceda tiempo suficiente a los estudiantes para completar la parte I y responder a las preguntas que siguen
8.
Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta el momento.
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Completing the Square – Introduction Exit Ticket Complete the table by determining if the polynomial is a perfect square. If it is, factor using an array to complete the square. Polynomial Perfect Square
Why or why not?
x2 – 30x + 196
x2 + 42x + 441
Yes
Yes
No
This is not a perfect square because half of −30 is −15, and −15 squared is 225. The constant should be 225, not 196, for a perfect square.
If yes, factor using an array to complete the square.
No
Half of 42 is 21. 21 squared is 441. The constant is 441.
x2
21x
21x
441
(x + 21)2
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 Si te dieran 1 cuadrado grande, 4 rectángulos y 4 cuadrados pequeños, «¿cómo podrías expresar el área del patrón de bloques cuadrados?». El área del patrón de bloques cuadrados sería la suma de todos los cuadrados. Usaríamos x2 + 4x + 4 porque x2 representa el área del cuadrado grande, 4x representa el área del rectángulo y 4 representa el área del cuadrado pequeño. • DOK-2 Describe cómo sabes qué fichas de álgebra usar para representar la expresión x2 + 4x + 4. Sabemos que x2 está representada por una ficha cuadrada grande, x está representada por una ficha rectangular, y las constantes están representadas por las fichas cuadradas pequeñas. Basándonos en esta ecuación, necesitaríamos una ficha grande, 4 fichas rectangulares y 4 fichas cuadradas pequeñas. • DOK-1 «¿Cómo se podría escribir (x + 1)2 como multiplicación?». Multiplicaríamos x + 1 por sí mismo: (x + 1)(x + 1). • DOK-2 Si sabes que el área de un patrón de bloques cuadrados se describe mediante la expresión (x + 1)2, «¿cómo podrías encontrar una expresión equivalente para el área del patrón de bloques cuadrados?». Podríamos multiplicarla por sí misma para determinar una cuadrática equivalente en forma estándar.
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3
PARTE II 1. Lea el siguiente escenario a la clase: «La hermana menor de Miranda rompió los pedidos que hay que completar para los clientes del próximo mercado de pulgas. Ayuda a Miranda a relacionar los pedidos de Myra y Kofi con Las ecuaciones y diagramas correctos. Luego, ayude a Miranda a determinar qué patrones se producen, si es que se produce alguno». 2. Distribuya un juego de «Tarjetas de pedidos de colchas» y un par de tijeras a cada estudiante. 3. Reparta una barra de pegamento a cada grupo de estudiantes. 4. Pida a los estudiantes que recorten las «Tarjetas de pedidos de colchas». 5. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para ayudar a Miranda a dar sentido a los pedidos y describir patrones que puedan usarse para hacer el proceso más eficiente. Explique que pegarán o pegarán con cinta adhesiva las tarjetas a la página para las preguntas 1 y 2. 6. Señale a la clase que les sobrarán tarjetas después de la pregunta 1. Las tarjetas sobrantes deberán usarse para la pregunta 2. Las tarjetas sobrantes se usarán para la pregunta 2. 7. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guías para evaluar su comprensión: a.
DOK-2 «¿Cómo se relacionan Las ecuaciones para el área y las dimensiones?». Las respuestas variarán. Los binomios usados en la ecuación de las dimensiones pueden multiplicarse para obtener la ecuación del área.
b.
DOK-2 «¿Cuál es el resultado si el valor de b se divide por 2? ¿Se usa la mitad del valor de b en una expresión?». Los resultados variarán. La mitad del valor de b se usa en la expresión de la dimensión.
c.
DOK-2 En el patrón de bloques cuadrados, el cuadrado grande representa x2, y los cuadrados pequeños representan unidades. «¿Cómo se representan estos términos en el arreglo?». En el arreglo, vemos x2 en la esquina superior izquierda y las unidades en la esquina inferior derecha.
d.
DOK-3 «¿Qué notas acerca del patrón de bloques cuadrados y del arreglo? ¿En qué se parecen?». Explique cómo la posición de las fichas en el patrón de bloques cuadrados se relaciona con la posición de los términos en el arreglo. Observo que la ficha cuadrada x y el término cuadrado x están ambos en la parte superior izquierda. También observo que las fichas unitarias están en la parte Inferior derecha del patrón de bloques cuadrados y que la constante de la ecuación del área está en la parte Inferior derecha de la matriz. Del mismo modo, las fichas x se dividen uniformemente entre la parte superior derecha y la parte Inferior izquierda del patrón de bloques cuadrados. En la matríz, el término que incluye x se divide uniformemente entre la parte superior derecha y la parte inferior izquierda de la matríz.
e.
DOK-3 Explique cómo podrías usar el valor de b para determinar si una ecuación de área es un cuadrado perfecto. Si usamos el valor de b y encontramos la mitad, eso nos da la constante en el binomio, h. Si elevamos al cuadrado el valor de h, entonces tenemos el valor de c si la ecuación es un cuadrado perfecto.
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8. Conceda tiempo suficiente a los estudiantes para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen. 9. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje. CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-2 «¿Cómo se relaciona la cantidad total de rectángulos en el patrón de bloques cuadrados con la constante, h, en la expresión de dimensión?». El valor de la constante, h, en la expresión de dimensión se puede determinar al encontrar la mitad de la cantidad total de rectángulos. • DOK-2 «¿Cómo se relaciona la constante, c, en la expresión de área con la cantidad de cuadrados pequeños en el patrón de bloques cuadrados?». El valor de la constante, c, es el mismo que la cantidad de cuadrados pequeños en el patrón de bloques cuadrados. Muestre «Charla de matemáticas: Otras expresiones de área y dimensión» para la clase, y luego haga las siguientes preguntas. • DOK-3 Miranda también examinó otras expresiones de área y dimensión que encontró entre los pedidos anteriores. «¿Funciona el patrón para estas expresiones? ¿Puede usarse el valor de b para determinar el valor de h? ¿Por qué sí o por qué no?». El patrón funciona para estas expresiones. Siempre funcionará porque b representa la cantidad total de rectángulos, y h representa la cantidad de rectángulos en cada lado cuando se distribuyen uniformemente. Si están distribuidos uniformemente, la mitad va en cada lado. Basándonos en las muestras mostradas, esto funciona cuando b es positivo y negativo. • DOK-3 «¿Funciona esto para la otra expresión que Miranda encontró en órdenes anteriores? ¿Se puede usar el valor de h para determinar el valor de c? ¿Por qué sí o por qué no?». Este patrón sí funciona con estas expresiones. Funciona porque h es la cantidad de rectángulos de cada lado. La cantidad de rectángulos en cada lado define la cantidad de fichas unitarias que se necesitarán. Los cuadrados pequeños son h unidades por h unidades, por lo que tendría sentido que h2 podría usarse para determinar la cantidad de cudrados unitarios. 10. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de completar el esquema de anclaje como clase. Una vez creado, haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva» .
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Al determinar cuadrados perfectos, los estudiantes siempre deben multiplicar el cuadrado para asegurarse de que obtienen la ecuación original. 2. Los estudiantes pueden tener problemas para entender por qué tienen que completar el cuadrado. Muéstreles ecuaciones en forma estándar y de vértice, y pregúnteles qué ecuación hace más fácil encontrar un máximo o un mínimo.
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Factors of Polynomials Part 3
APOYOS LINGÜÍSTICOS
2.
La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo del lenguaje de los estudiantes.
Answer the questions given the incomplete trinomial below. 4x2 + 12x + __ a.
How can algebra tiles be arranged to create a square pattern and determine the missing constant value to make it a perfect square trinomial? Sketch the pattern.
b.
What constant term will make the trinomial a perfect square? 9
c.
Write the perfect square trinomial in both standard and perfect square forms. 4x2 + 12x + 9 = (2x + 3)2
Los estudiantes usarán técnicas de aprendizaje como mapas conceptuales, dibujar, comparar, contrastar, memorizar y repasar para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado. Principiante: Como actividad previa a la lección, coloque en el salón hojas de papel que contengan un trinomio cuadrado perfecto o su forma factorizada. Pida a los estudiantes que busquen la forma factorizada de cada trinomio. Anímelos a usar sus calculadoras si es necesario. Después de la búsqueda, plantee por qué estos polinomios en particular se llaman trinomios cuadrados perfectos y plantee cualquier patrón que los estudiantes hayan notado.
3.
Answer the questions given the incomplete trinomial below. x2 – __x + 144
Intermedio: Como actividad previa a la lección, coloque en el salón hojas de papel que contengan un trinomio cuadrado perfecto o su forma factorizada. Pida a los estudiantes que busquen la forma factorizada de cada trinomio. Anímelos a usar sus calculadoras si es necesario. Después de la búsqueda, plantee por qué estos polinomios en particular se llaman trinomios cuadrados perfectos, y plantee cualquier patrón que los estudiantes hayan notado.
a.
Complete the array to determine the missing coefficient in order to make it a perfect square trinomial, and then write the perfect square form.
x2 – 24x + 144 = (x – 12)2
Avanzado: Como actividad previa a la lección, coloque en el salón hojas de papel que contengan un trinomio cuadrado perfecto o su forma factorizada. Pida a los estudiantes que busquen la forma factorizada de cada trinomio. Anímelos a usar sus calculadoras si es necesario. Después de la búsqueda, plantee por qué estos polinomios en particular se llaman trinomios cuadrados perfectos, y plantee cualquier patrón que los estudiantes hayan notado.
b.
How does the constant term, 144, relate to the coefficient of the linear term, −24, in the standard form? 144 is the square of half of the coefficient. 2
Factors of Polynomials Part 3
4.
Completing the Square – Introduction 1.
In order to determine the missing value that will make x2 + 4x + __ a perfect square trinomial, algebra tiles are arranged as follows:
a.
What is wrong with this model? The tiles as arranged will not make a square model. The tiles that represent the linear term, 4x, need to be evenly divided.
b.
Make a sketch of how the tiles should be arranged, and add the tiles that are missing.
c.
Factors of Polynomials Part 3
Write the perfect square trinomial in both standard and factored forms. x2 + 4x + 4 = (x + 2)2
Complete the table.
Standard Form
Is this a perfect square trinomial?
If yes, write it as a perfect square.
If not, justify why not.
x2 – 18x + 81
Yes
(x – 9)2
—
x2 – 22x + 121
Yes
(x – 11)2
—
x2 + 8x + 64
No
—
The constant term would have to change to 16, or the linear term would have to be 16x.
x2 + 8x – 16
No
—
The constant term of a perfect square cannot be negative.
x2 + 12x + 36
Yes
(x + 6)2
—
1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 3) CLAVE DE RESPUESTAS
260
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3
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 3) CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4
Factors of Polynomials Explore 4
Perfectly Square
Part I 1.
LECCIÓN PEDAGÓGICA
Use the Bags of Fabric Cards to complete the table to help Miranda.
EXPLORACIÓN 4: AVANZADO: COMPLETAR EL CUADRADO
Square Block Patterns
Area Equation
Miranda’s Bag
Bag 1
Bag 2
A(x) = x2 + 6x + 13
A(x) = x2 + 4x + 10
A(x) = x2 + 2x + 4
DESCRIPCIÓN
Diagram of Square Block Pattern
Number of Extra Fabric Squares
Los estudiantes factorizarán polinomios al completar el cuadrado al usar fichas de álgebra y modelos de área.
4
6
3
A(x) = x2 + 6x + 9 + 4
A(x) = x2 + 4x + 4 + 6
A(x) = x2 + 2x + 1 + 3
Area Equation Underline the term that represents the extra fabric squares. Dimension Equation
2
A(x) = (x + 3) + 4
2
A(x) = (x + 2) + 6
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
2
A(x) = (x + 1) + 3 1
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes monitorearán su progreso y cambiarán su enfoque si es necesario. Los estudiantes verán relaciones entre varias representaciones. • MP.5 Usar herramientas apropiadas estratégicamente: Los estudiantes usarán herramientas tecnológicas para profundizar en la comprensión de las matemáticas. Los estudiantes usarán modelos matemáticos para visualizar y analizar información. • MP.7 Buscar y hacer uso de la estructura: Los estudiantes buscarán la estructura general y los patrones en las matemáticas. Los estudiantes verán las cosas complicadas como objetos individuales o como compuestos de varios objetos.
MATERIALES IMPRESO
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
• 1 diario del estudiante (por alumno)
PARTE I
• 1 tapete de factorización de fichas de álgebra (por grupo)
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «La abuela Florencia le dio a Miranda tela para hacer colchas y pedidos para hacer patrones de bloques cuadrados. La abuela es muy exigente y quiere que se contabilice toda la tela. Miranda tiene que usar la notación algebraica para describir cuántas piezas usó y cuántas sobrarón después de crear el patrón de bloques cuadrados. Usa las piezas de la bolsa 1 y de la bolsa 2 de la abuela Florencia para ayudar a Miranda a hacer el patrón de bloques cuadrados, y registra tu información en la tabla como lo hizo Miranda».
• 1 conjunto de tarjetas de bolsos de tela (por grupo) • 1 boleto de salida (por estudiante) REUSABLE
• 1 bolsa resellable (por grupo) • 1 juego de fichas de álgebra (por grupo)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 2 o 3 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» y un «Boleto de salida» para cada estudiante. • Imprima un «Tapete de factorización de fichas de álgebra» para cada grupo. Si lo deseas, imprímalo en cartulina y plastifíquelo para usarlo en el futuro. • Imprima un conjunto de «Tarjetas de bolsos de tela» para cada grupo. Recorte las tarjetas y colóquelas dentro de una bolsa resellable etiquetada como «Parte II». Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para usarlas en el futuro.
2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Distribuya un juego de fichas de álgebra, un «Tapete de factorización de fichas de álgebra» y un conjunto de «Tarjetas de bolsos de tela» a cada grupo. 4. Explique a los estudiantes que trabajarán con sus grupos para ayudar a Miranda con sus patrones de bloques cuadrados y expresiones algebraicas. Luego, registrarán su trabajo en sus diarios». 5. Haga que los estudiantes saquen la «Tarjeta de bolso de Miranda». Diga a los estudiantes que esta tarjeta ya ha sido resuelta como ejemplo para ellos en la tabla de sus diarios del estudiante».
• Reúna un juego de fichas de álgebra para cada grupo. • ¡Digitalízate! Haga que los estudiantes exploren o presenten sus soluciones al usar manipulativos virtuales. Los manipulativos usados en esta lección se pueden encontrar en el menú desplegable «Explorar» y se pueden asignar digitalmente a los estudiantes.
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4
6. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guías para evaluar su comprensión: a. DOK-1 En los bolsos de tela, «¿cuáles son los valores del cuadrado grande, los rectángulos y los cuadrados pequeños?». El cuadrado grande representa x2. Cada rectángulo representa x. Cada cuadrado pequeño representa la constante 1.
Factors of Polynomials Explore 4
2.
Miranda showed there were 4 extra fabric squares by underlining the +4. How are the +9 and +4 in the area equation A(x) = x2 + 6x + 9 + 4 related to the +13 in the previous area equation of A(x) = x2 + 6x + 13? 9 and 4 add to 13. If we work backward, we can see they split 13 into two parts. One part (the 9) represents the fabric squares to complete the square block pattern, and the other part (the 4) represents the extra fabric squares.
3.
How is the number of extra fabric squares related to the number after the parentheses that is added or subtracted in the dimension equation? The number of extra fabric squares is the same as the number after the parentheses in the dimension equation.
4.
Miranda wants to use arrays for these patterns that have larger numbers. Help her complete the missing parts in the table. Area Equation
b. DOK-2 «¿Cuántos cuadrados pequeños tiene Miranda en su bolso? ¿Cuántos necesita para completar el patrón de bloques? ¿Cuántos le quedan después de completarlo?». Empieza con 13, usa 9 para completar el patrón y le sobran 4.
A(x) = x2 + 24x + 146
A(x) = x2 – 18x + 91
A(x) = (x + 12)2 + 2
A(x) = (x – 9)2 + 10
Array
Dimension Equation
2
c. DOK-2 «¿Cuál es el área del patrón de bloques que crea Miranda?». El área es (x + 3)2. d. DOK-2 «¿Cómo se representan los cuadrados extra en la ecuación de dimensión?». Esta cantidad se añade al área del patrón de bloques para obtener la ecuación de dimensión completa y tener en cuenta todo el material. e. DOK-2 Cuando se usa una matriz, «¿qué va en la casilla superior izquierda?». El término x2 va en la casilla superior izquierda.
Factors of Polynomials Explore 4
Part II 1.
Square Block Patterns
Diagram of Square Block Pattern
6 small squares
How many small squares will Miranda take out of the supply closet?
6 small squares
Area equation showing the number taken out of the supply closet
j. DOK-2 «¿Dónde aparece esta cantidad extra en la ecuación de dimensión?». La ecuación de dimensión es la suma del área del arreglo y esta cantidad extra. 7. Permita a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte I y contestar las preguntas que siguen. 8. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje.
262
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A(x) = x2 + 6x + 5 4 small squares 4 small squares
2
A(x) = x2 + 4x + 1 3 small squares 3 small squares
2
A(x) = x + 8x + 10 + 6 – 6
A(x) = x + 6x + 5 + 4 – 4
A(x) = x2 + 4x + 1 + 3 – 3
A(x) = x2 + 8x + 16 – 6
A(x) = x2 + 8x + 9 – 4
A(x) = x2 + 4x + 4 – 3
A(x) = (x + 4)2 – 6
A(x) = (x + 3)2 – 4
A(x) = (x + 2)2 – 3
Diagram of Complete Square Block Pattern
g. DOK-2 En el problema 4, el cuadrado tiene igual altura y anchura. «¿Cuál es el valor de la dimensión del lado?». x + 12
i. DOK-2 Para tener en cuenta todo el material en la ecuación de área original, «¿qué cantidad queda después de completar el término constante en la casilla inferior derecha, y dónde se puede registrar esta cantidad extra?». La ecuación de área original tenía un término constante de 146, por lo que queda 2 después de tomar 144, y esta cantidad extra restante se puede registrar en el círculo debajo de la matriz.
A(x) = x2 + 8x + 10
Area Equation How many small squares does the square block pattern need?
f. DOK-2 «¿Qué va en las casillas superior derecha e inferior izquierda de la matriz?». El término lineal que incluye x se divide uniformemente entre esas dos casillas.
h. DOK-2 «¿Cómo se determina el valor de la casilla inferior derecha de la matriz, y cuál es?». El valor es el cuadrado del término constante de la dimensión lateral, 12, que es 144.
Complete the table to help Miranda.
Dimension Equation
3
Factors of Polynomials Explore 4
2.
3.
4.
Miranda showed there were 6 fabric squares she needed from the supply closet by underlining the −6. In the area equation A(x) = x2 + 8x + 10 + 6 – 6, why did Miranda add 6 and subtract 6? She had to show how many she needed to add and how many were taken from the supply closet. Algebraically speaking, the equation must remain unchanged, so we must use a zero pair. Adding 6 and subtracting 6 creates a zero pair. How is the number of fabric squares taken from the supply closet related to the number after the parentheses that is added or subtracted in the dimension equation? The number of fabric squares is the same as the number after the parentheses in the dimension equation. Miranda wants to use arrays again for these patterns that have larger numbers. Help her complete the missing parts in the table. Area Equation
A(x) = x2 + 30x + 200
Workspace
A(x) = x2 – 16x + 30
15 · 15 = 225
−8 · −8 ___ = 64
We have 200, so we have 25 less than what we need.
30 We have ____, so we have 34 less than what we need.
Array
Dimension Equation
A(x) = (x + 15)2 – 25
A(x) = (x – 8)2 – 34 4
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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1/9/26 1:42 PM
ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4
Factors of Polynomials Explore 4
5.
Miranda wants to represent this pattern algebraically. Help her complete the missing parts of the table. Algebraic Representation
How are the representations related?
x2 + 8x + 10
Both show the polynomial x2 + 8x + 10.
(x2 + 8x) + 10
The algebraic representation uses parentheses, and the model moved the small squares to show it is grouping the first- and second-degree terms.
16 + 10 – ___ 16 (x2 + 8x + ___)
The algebraic representation added and subtracted 16. The model shows this by adding 16 unshaded and shaded small squares.
CHARLA DE MATEMÁTICAS
Model
• DOK-2 «¿Cómo se relaciona la ecuación del área con una ecuación cuadrática en forma estándar?». La ecuación de área es una ecuación cuadrática en forma estándar, y = ax2 + bx + c. • DOK-2 «¿Cómo se relaciona la ecuación de dimensión con una ecuación cuadrática en forma de vértice?». La ecuación de cota es una ecuación cuadrática en forma de vértice y = (x - h)2 + k. • DOK-2 «¿Cómo se establecen los términos lineales o x mosaicos en el patrón de bloques?». El valor de h es la mitad de b, por lo que la mitad de las fichas x se disponen a cada lado del mosaico x2.
The algebraic representation combined like terms, and the model removed the zero pairs of small squares to show combining the constants.
16 – ___ 6 (x2 + 8x + ___)
The algebraic representation shows the dimensions of the perfect square as a linear factor squared.
4 2 – ___ 6 (x + ___)
5
Factors of Polynomials Explore 4
6.
PARTE II
Miranda wants to represent this pattern algebraically. Help her complete the missing parts of the table. Algebraic Representation
How are the representations related?
Model
2x2 + 12x + 7
Both show the polynomial 2x2 + 12x + 7.
(2x2 + 12x) + 7
The algebraic representation uses parentheses, and the model moved the small squares to show it is grouping the first- and second- degree terms.
2(x2 + 6x) + 7
The algebraic representation factored 2 from the first- and second-degree terms, and the model made 2 groups to show this.
9 18 2(x2 + 6x + ___) + 7 – ___
The algebraic representation added and subtracted 16. The model shows this by adding 16 unshaded and shaded small squares.
9 – ___ 11 2(x2 + 6x + ___)
The algebraic representation combined like terms, and the model removed the zero pairs of small squares to show combining the constants.
3 2 – ___ 11 2(x + ___)
• DOK-2 «¿Cómo puedes determinar el valor de k a partir de h y c? ¿Cuál sería en términos de b y c?». El valor de k es la diferencia de c - h2, o el término constante original de la ecuación del área, c, menos la cantidad constante necesaria para completar el cuadrado, h2. Desde h = b/2, entonces k = c (b/2)2.
1. Como la prima de Miranda también ayuda a la abuela. Ha construido patrones de bloques cuadrados parciales y no tiene tiempo de terminar. Ayude a Miranda a decidir cuántos cuadrados unitarios necesita del armario de suministros de la abuela para terminar cada patrón de bloques cuadrados y regístrelos algebraicamente para la abuela. 2. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para ayudar a Miranda con sus patrones de bloques cuadrados y expresiones algebraicas. Luego, registrarán su trabajo en sus diarios». 3. Mientras los estudiantes colaboran, controle su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar su comprensión:
The algebraic representation shows the dimensions of the perfect square as a linear factor squared.
a.
DOK-2 «¿La ecuación inicial del área dada representa un bloque de patrón cuadrado completo?». No, representa el bloque parcialmente completado que se muestra en el diagrama superior.
b.
DOK-1 «¿Qué representa el sombreado en el diagrama?». Las piezas sombreadas tienen un valor negativo.
c.
DOK-2 «¿Son equivalentes los dos diagramas dados en cada columna? ¿Por qué sí o por qué no?». Sí, son equivalentes porque se sumó (sin sombrear) y se restó (sombreados) una cantidad igual de cuadrados pequeños.
d.
DOK-2 «¿Es la ecuación de dimensión equivalente a la ecuación de área? ¿Por qué sí o por qué no?». Sí, son equivalentes porque el término constante que debía agregarse para completar el término cuadrado también se restó, lo que mantiene la equivalencia.
e.
DOK-2 En los diagramas de matriz, «¿qué debe ser cierto acerca del término en el recuadro inferior derecho y el término en el círculo?». Deben sumar el término constante original en la ecuación del área.
f.
DOK-3 En el problema 4, «¿qué tipo de patrón de bloques cuadrados representa A(x)? ¿Cuántos representa?». Representa dos patrones de bloques cuadrados idénticos que necesitan cada uno 4 cuadrados pequeños adicionales.
6
Factors of Polynomials Explore 4
Reflect 1.
Orders can be written in either standard form, x2 + bx + c, or vertex form, (x + h)2 + k. Describe how c and h can be used to determine k, the number of blocks that will be left over. The constant terms in each equation must be equivalent, so c = h2 + k. That means that k = c – h2.
2.
How do you determine what number needs to be added to complete the square for x2 + bx? When you add a number, do you always have to subtract the same number? Why or why not? To complete the square, I need to add , but I also need to subtract that same number so that the new expression is equivalent. x2 + bx =
3.
Two students were trying to complete the square. Who did it incorrectly? Explain their mistake. Student B did it incorrectly because they didn’t consider the factor of 2 when they added the zero pair to complete the square.
Student A f(x) =
2x2 + 4x + 7
Student B f(x) =
2x2 + 4x + 7
=
2(x2 + 2x) + 7
=
2(x2 + 2x) + 7
=
2(x2 + 2x + _ ) + 7 – _
=
2(x2 + 2x + _ ) + 7 – _
=
2(x2 + 2x + 1) – 2 + 7
=
2(x2 + 2x + 1) – 1 + 7
=
2(x2 + 2x + 1) + 5
=
2(x2 + 2x + 1) + 6
=
2(x + 1)2 + 5
=
2(x + 1)2 + 6
7
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
4. Conceda tiempo suficiente a los estudiantes para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen. 5. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
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EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Factors of Polynomials Explore 4
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Cuales son dos métodos que se pueden usar para visualizar al completar el cuadrado?». Hacer un diagrama de bloques o usar una matriz son dos métodos que se pueden usar. • DOK-2 Si la ecuación involucra cantidades grandes, «¿cuál es más apropiado usar y por qué?». El método del arreglo es mejor porque sería tedioso dibujar una gran cantidad de cajas y rectángulos para un diagrama de bloques. • DOK-2 Al completar el cuadrado para representar una expresión cuadrática, hay tres posibilidades: (1) la cuadrática es un cuadrado perfecto; (2) la expresión cuadrática tiene suficiente para hacer un cuadrado perfecto con un término constante extra que sobra; o (3) «¿cuál es la tercera posibilidad?». La expresión cuadrática no tiene suficiente, por lo que se debe agregar un término constante pero también restar para mantener la equivalencia.
Completing the Square – Advanced Exit Ticket Rewrite each quadratic in vertex form using an array to complete the square. x2 – 26x + 180
x2 + 50x + 500
(x – 13)2 + 11
(x + 25)2 – 125
• DOK-2 «¿Cómo describirías completar el cuadrado a un amigo que faltó a clase hoy?». Da los pasos como parte de tu descripción. 1. Si hay un coeficiente inicial, factorízalo. 2. Agrupa los términos de primer y segundo grado. 3. Con el uso de un par cero, suma y resta una constante para completar el cuadrado formado por los términos de primer y segundo grado. 4. Escribe la expresión en forma de vértice: a(x + b)2 + k. 6. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídeles que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez creado, haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva» .
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Al completar el cuadrado, los estudiantes pueden olvidar dividir por la mitad el coeficiente delante del término x antes de elevar al cuadrado. Anime siempre a los estudiantes a comprobar su trabajo al multiplicar el cuadrado y verificar que obtienen la ecuación original. 2. Los estudiantes pueden olvidar incluir coeficientes negativos en sus factores; anímeles a comprobar su trabajo al multiplicar el cuadrado y verificar que obtienen la ecuación original.
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EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Factors of Polynomials Part 4
APOYOS LINGÜÍSTICOS La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes.
Completing the Square – Advanced 1.
Explain the connection between the representations below. and
Los estudiantes usarán técnicas de aprendizaje como la elaboración de mapas conceptuales, el dibujo, la comparación, el contraste, la memorización y el repaso para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado.
(Answers will vary. Students may use algebra or a model.) Algebra:
Equivalent Model:
x2 + 4x + 1 = x2 + 4x + 4 – 4 + 1 = (x + 2)2 – 3 This is represented by the model above.
Tiles can be added to create an equivalent model as shown.
Explanation: The model is three unit pieces short from being (x + 2)2. 2.
Principiante: Como actividad posterior a la clase, guíe a los estudiantes en la creación de una hoja de resumen titulada «Cómo completar el cuadrado». La hoja debe incluir un problema de ejemplo en el que se indique y describa cada paso. Intermedio: Como actividad posterior a la lección, pida a los estudiantes que creen una hoja de resumen titulada «Cómo completar el cuadrado». La hoja debe incluir un problema de ejemplo en el que se indique y describa cada paso.
This represents (x + 2)2 – 3.
Rewrite the quadratic expression in vertex form by using an array to complete the square.
1
Avanzado: Como actividad posterior a la lección, pida a los estudiantes que creen una hoja de resumen titulada «Cómo completar el cuadrado». La hoja debe incluir un ejemplo de problema en el que se indique y describa cada paso.
Factors of Polynomials Part 4
3.
Rewrite the quadratic expression in vertex form by using an array to complete the square.
4.
The quadratic equation given in standard form is plotted on the graph. y = x2 – 8x + 15
a.
What is the location of the vertex as shown on the graph? (4, −1)
b.
Use an array to complete the square, and transform the quadratic equation into vertex form.
c.
Does the vertex point (h, k) from the vertex form y = (x – h)2 + k agree with the vertex seen in the graph? Yes What are the two methods for determining the vertex of a quadratic written in standard form? Graph the quadratic equation, or complete the square to rewrite it in vertex form.
d.
2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 4) CLAVE DE RESPUESTAS ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Factors of Polynomials Explore 5
LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 5: ECUACIONES CUADRÁTICAS (CARACTERÍSTICAS CLAVES)
DESCRIPCIÓN
There’s a Test? Part I 1.
Taio and Myra started by graphing f(x) = 2x2 – 3 and g(x) = −(x – 1)2 + 4 on their graphing calculators. Myra noticed that one parabola opened upward and one opened downward. Explain to Taio and Myra what caused this, and give examples to illustrate your explanation. Include how you know from an equation if a parabola has a maximum or minimum.
Los estudiantes determinarán y usarán el método más eficiente para analizar una situación e identificar las características clave.
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes Superviserán su progreso y cambiarán su enfoque si es necesario. Los estudiantes verán relaciones entre varias representaciones.
A positive or negative leading coefficient determines if the parabola will open upward or downward. The function f(x) = 2x2 – 3 has a positive leading coefficient. This means that the coefficient a is greater than zero; thus, the parabola opens upward. When a parabola opens upward, the graph has a minimum. The function g(x) = −(x – 1)2 + 4 has a negative leading coefficient. This means the coefficient a is less than zero. Thus, the parabola opens downward. When a parabola opens downward, the graph has a maximum. (Illustrations may vary.)
• MP.5 Usar herramientas apropiadas estratégicamente: Los estudiantes usarán herramientas tecnológicas para profundizar en la comprensión de las matemáticas. Los estudiantes usarán modelos matemáticos para visualizar y analizar información.
1
• MP.7 Buscar y hacer uso de la estructura: Los estudiantes buscarán la estructura general y los patrones en las matemáticas. Los estudiantes verán las cosas complicadas como objetos individuales o como compuestos de varios objetos.
MATERIALES IMPRESO
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
• 1 diario del estudiante (por alumno)
PARTE I
• 1 juego de tarjetas de notas (por estudiante)
1. Lea la siguiente situación a la clase: «Taio y Myra han trabajado juntos para entender las cuadráticas para la próxima prueba del miércoles. Han usado la tecnología en casa cuando practicaban para su examen de matemáticas. El maestro les acaba de decir hoy que no habrá uso de la tecnología en la prueba. Ayuda a Taio y Myra a dar sentido a las cuadráticas que investigan».
• 1 juego de tarjetas suplementarias (por grupo, opcional) • 1 boleto de salida (por estudiante) REUSABLE
• 1 bolsa resellable (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Divida la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» y un «Boleto de salida» para cada estudiante. • Imprima un juego de «Tarjetas de notas» para cada grupo. Recorte las tarjetas y colóquelas dentro de una bolsa resellable con la etiqueta «Parte II». Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para usarlas en el futuro.
2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Explique que explorarán y analizarán ecuaciones cuadráticas y ayudarán a Taio y Myra a dar sentido a las cuadráticas para su examen. Los estudiantes registrarán su trabajo en sus diarios».
• Si lo desea, imprima un juego de «Tarjetas suplementarias» para cada grupo de estudiantes para usarlas en la parte II. Estas tarjetas son imágenes más grandes de los Gráficos A y B.
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2.
Next, Taio graphed m(x) = −(x – 1)2 + 4 and h(x) = −(x + 3)2 + 4 on the same screen and noticed that the graphs were very similar. Explain to Taio and Myra how the values in the equation connect to the graph. Since both functions are given in vertex form, y = (x – h)2 + k, we know that the point (h, k) is the vertex of the parabola. In the equations for h(x) and m(x), we can identify that they have the same value for k. This is why both vertices have a y value of 4. Both parabolas open downward because of the negative leading coefficient.
3.
4.
The next equation Taio and Myra review is j(x) = (x – 2)(x – 8). Before they use their calculators to see a graph of this equation, what points do you already know will be on the graph? The function j(x) is written in factored form. The roots of a function can be most easily identified when an equation is in factored form. The roots are the opposite of the linear factors when a function is written in factored form. We know that j(x) will have x-intercepts at (2, 0) and (8, 0).
Taio and Myra realized that they could quickly find the vertices or x-intercepts from the functions m(x), h(x), and j(x). They wondered what strategies they could use to find this point from an equation in a different form, such as k(x) = x2 – 6x + 8. Completing the square could be used to rewrite the function in vertex form. Once the function is in vertex form, the vertex can be determined using the values of h and k. Factoring could be used to determine the x-intercepts and then to find the vertex since the vertex is exactly between the roots. The steps to determine the vertex by factoring would be to rewrite in factored form, determine the roots, average the roots to find the x value of the vertex, and then plug the x value of the vertex into the equation to determine the y value of the vertex.
2
4. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guías para evaluar su comprensión: a.
DOK-1 «¿De qué forma es la ecuación f(x) = 2x2 - 3?». La ecuación está en forma estándar.
b.
DOK-1 «¿De qué forma es la ecuación g(x) = -(x - 1)2 + 4?». La ecuación está en forma de vértice.
c.
DOK-1 «¿Cuál es el coeficiente principal de f(x)?». El coeficiente principal es 2.
d.
DOK-1 «¿Cuál es el coeficiente principal de g(x)?». El coeficiente principal es -1.
e.
DOK-1 Cuando una función cuadrática se abre hacia arriba, «¿tiene un mínimo o un máximo?». Tiene un mínimo.
f.
DOK-1 «¿Qué tienen en común Las ecuaciones h(x) y m(x)?». Ambas están escritas en forma de vértice, ambas tienen un coeficiente principal negativo y ambas tienen la misma constante añadida.
g.
DOK-1 «¿Cuál es la relación entre las raíces y el vértice de una parábola?». El vértice está exactamente entre las raíces.
h.
DOK-1 «¿Qué forma de una ecuación cuadrática es más eficiente para determinar el vértice?». La forma del vértice es la más eficiente porque el vértice se identifica fácilmente de h y k.
5. Conceda a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte I y contestar las preguntas que siguen. Factors of Polynomials Explore 5
CHARLA DE MATEMÁTICAS
Part II
• DOK-1 «¿Cuándo tiene una parábola un mínimo?». Cuando una parábola se abre hacia arriba, la gráfica tiene un mínimo.
Use the questions to help you organize the Note Cards and help Taio and Myra find a pattern so they don’t fail their test! 1. 2.
3.
4.
6. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje hasta ahora.
Circle the y-intercept on the graph. Find the cards that show this y-intercept as an ordered pair and in the equation written in standard form.
Graph A
y-intercept
Standard Form
• DOK-1 «¿Cuál es el valor de a cuando una parábola tiene un mínimo?». Cuando una parábola tiene un mínimo, el valor de a > 0.
(0 , −5)
y = x² – 4x – 5
• DOK-1 «¿Cuándo una parábola tiene un máximo?». Cuando una parábola se abre hacia abajo, la gráfica tiene un máximo. • DOK-1 «¿Cuál es el valor de a cuando una parábola tiene un máximo?». Cuando una parábola tiene un máximo, el valor de a < 0.
How does the equation in standard form show the y-intercept? The equation in standard form shows the y-intercept at the end. The constant is the y-intercept.
• DOK-2 «¿Cómo usarás la ecuación en forma factorizada para encontrar las raíces de la ecuación?». La forma factorizada de la ecuación nos dice las raíces, en otras palabras, la intersección en x. Las raíces tienen el signo opuesto de los factores lineales.
Complete the table by factoring the quadratic function and determining the zeros. Workspace
Factored Form
Zeros
y = x² – 4x – 5 y = x² – 5x + x – 5 y = x(x – 5) + 1(x – 5) y = (x + 1)(x – 5)
y = (x + 1)(x – 5)
(−1, 0) and (5, 0)
• DOK-2 «¿Cómo usarás la ecuación en forma de vértice para encontrar el vértice de la gráfica?». Compararé la ecuación dada en forma de vértice con y = (x - h)2 + k. El punto (h, k) me indicará el vértice de la parábola.
5.
How are the factors related to the zeros? The constant in the linear factor is the opposite of the x value in the ordered pair for the zeros.
6.
How can the zeros be used to determine the x value of the vertex? Since the vertex is exactly between the roots, the x value of both roots can be averaged to determine the x value of the vertex.
• DOK-2 «¿Cómo usarás la ecuación en forma estándar para encontrar la intersección y?». Puedo encontrar la intercepción y al mirar el coeficiente c de la ecuación en forma estándar.
3
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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EXPLORAR: EXPLORACIÓN 5 Factors of Polynomials Explore 5
PARTE II
1. Lea la siguiente situación a la clase: «Taio y Myra tienen un examen de matemáticas el miércoles. Myra hizo tarjetas de notas para que ambos pudieran estudiarlas antes del examen. Sin embargo, se le cayeron accidentalmente cuando iba a estudiar, ¡y las notas se mezclaron!» 2. Reparte un juego de «Tarjetas de notas» a cada grupo de estudiantes. Opcionalmente, distribuya un juego de «Tarjetas suplementarias» a cada grupo.
7. 8.
9.
5. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar su comprensión: a. DOK-1 «¿En qué eje se encuentra la intersección y?». Se encuentra en el eje y. b. DOK-1 «¿Qué tiene en común el valor y de la intersección y con la función cuadrática en forma estándar?». El valor y del vértice es la constante al final de la ecuación cuando se escribe en forma estándar. c. DOK-1 «¿Qué patrón se puede usar para factorizar una ecuación cuadrática cuando a es 1?». El patrón de determinar qué números se multiplican a c y se suman a b, esos dos números se usarán en los factores lineales. d. DOK-1 «¿Qué tienen en común los factores lineales y los ceros?». Usan los mismos números pero son de signos opuestos. e. DOK-1 «¿Cuál es la relación entre las raíces y el vértice de una parábola?». El vértice está exactamente a mitad de camino entre las raíces. f. DOK-1 «¿Tiene la primera gráfica un máximo o un mínimo?». La gráfica tiene un mínimo. g. DOK-1 «¿Cuál será el valor del coeficiente de una gráfica con un mínimo?». El valor de a > 0. h. DOK-1 «¿La segunda gráfica tiene un máximo o un mínimo?». La gráfica B tiene un máximo. i. DOK-1 «¿Cuál será el valor del coeficiente de una gráfica con un máximo?». El valor de a < 0. j. DOK-1 «¿En qué punto de una parábola se encuentra el vértice?». El vértice es el mínimo o el máximo. Es el punto de inflexión donde la curva pasa de creciente a decreciente o viceversa.
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Vertex Form
Vertex
y = −2(x + 1)² + 8
(−1 , 8)
Graph B
Find the card that shows the axis of symmetry for this function, and attach it below. Axis of Symmetry
3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para clasificar las «Tarjetas de notas» para ayudar a Taio y Myra a organizarse para estudiar. 4. Luego, los estudiantes trabajarán juntos para analizar las funciones cuadráticas y registrar su trabajo en sus diarios».
Circle the vertex on the graph. Find the cards that show this vertex and the vertex of the function in an equation in vertex form, and attach the cards in the appropriate columns below.
x = −1
10.
How can the vertex be used to determine the axis of symmetry? The axis of symmetry always passes through the vertex of the parabola. The x-coordinate of the vertex is the equation of the axis of symmetry of the parabola.
11.
Find the card that rewrites this function in standard form, and attach it below. Standard Form
y = −2x² – 4x + 6
4
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
k. DOK-1 «¿Qué relación hay entre el eje de simetría y la coordenada del vértice?». El eje de simetría es la recta vertical que pasa por el vértice. Para crear la ecuación, usa el valor x del vértice. l. DOK-1 «¿Qué sucede si una función cuadrática en forma de vértice se expande al multiplicar el factor lineal, distribuir y simplificar?». La nueva función sería una función cuadrática en forma estándar. m. DOK-1 «¿Cómo sabes si una ecuación cuadrática está en forma estándar?». Se escribe con los términos yendo del mayor grado al menor, y no hay factores lineales, sólo términos. n. DOK-1 Al completar el cuadrado, «¿cuál es el paso después de agrupar los términos de primer y segundo grado?». A continuación, calculamos qué número completará el cuadrado creado por los términos de primer y segundo grado. Sumamos ese número dentro del paréntesis y restamos ese número fuera del paréntesis, al crear un par cero y mantener la ecuación equilibrada.
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 5 Factors of Polynomials Explore 5
12.
Help Taio and Myra find a pattern so they don’t fail their test! Find the remaining Note Card with an equation in standard form, and attach it below. Standard Form
6. Conceda tiempo suficiente a los estudiantes para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen. 7. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
y = x² + 12x + 4
CHARLA DE MATEMÁTICAS 13.
Complete the table by completing the square, and find the card with the equivalent equation written in vertex form. Attach the appropriate card in the Vertex Form column below. Workspace y = x² + 12x + 4 y = (x² + 12x) + 4 y = (x² + 12x + 36) + 4 − 36 y = (x + 6)² – 32
• DOK-1 «¿Por qué punto pasa el eje de simetría?». El eje de simetría pasa por el vértice, o el máximo/ mínimo.
Vertex Form
y = (x + 6)² – 32
Compare and contrast the equations in standard form and vertex form. Both forms show the a value is 1. The equation in standard form shows the y-intercept, and the equation in vertex form shows the vertex. 14.
Complete the table by determining the axis of symmetry and attaching the appropriate card in the Axis of Symmetry column below. Explain how the vertex can be used to determine the axis of symmetry. Explanation
Axis of Symmetry
The axis of symmetry always passes through the vertex of the parabola. The x-coordinate of the vertex is the equation of the axis of symmetry of the parabola.
x = −6
5
Factors of Polynomials Explore 5
Reflect 1.
How is the y-intercept on the graph related to the equation y = ax² + bx + c? The coefficient c in the quadratic equation in standard form, y = ax² + bx + c, tells us about the y-intercept. Similarly, the equation y = 2x² – 12x + 10 tells us that the graph intersects the y-axis at (0, 10).
2.
How is the vertex on the graph related to the equation y = (x – h)2 + k? If we compare y = (x + 7)² + 5 with y = (x – h)2 + k, we know that the point (h, k) is the vertex of the parabola. In this equation, we can see that the value of h is −7, and the value of k is 5.
• DOK-2 «¿Cómo usarás la ecuación en forma estándar para encontrar las raíces de la ecuación?». Usaré el método de factorización para convertir la ecuación en forma estándar a forma factorizada para encontrar las raíces de la ecuación. • DOK-2 «¿Cómo usarás la ecuación en forma estándar para encontrar el vértice de la gráfica?». Usaré el método de completar el cuadrado para convertir la ecuación en forma estándar a forma de vértice para encontrar el vértice de la gráfica. • DOK-2 «¿Cómo usarás la ecuación en forma factorizada o en forma de vértice para encontrar la intercepción y?». Sustituiré cero por la variable independiente y simplificaré para determinar el valor de la variable dependiente. • DOK-2 «¿Cuál es la relación entre las intersección en x y el vértice?». El eje de simetría se encuentra equidistante de cada uno de las intersecciones x y pasa a través del vértice. Por lo tanto, el valor x del vértice está a medio camino entre los valores de las intersección en x. 8. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
3.
How are the roots on the graph related to the equation y = (x – p)(x – q)? The factored form of the equation tells us the roots—in other words, the x-intercepts. All quadratic equations in factored form will tell us about the roots of the equation (the x-intercepts). Sample equation y = (x + 1)(x – 5) has roots of −1 and 5.
4.
How can the vertex, roots, y-intercept, and axis of symmetry be determined from a quadratic equation in standard form? To determine the vertex and axis of symmetry from a quadratic equation in standard form, it must be changed to vertex form first by completing the square. To determine the roots from a quadratic equation in standard form, it must be changed for factored form by factoring the quadratic. To determine the y-intercept from a quadratic equation in standard form, it does not need to change forms. The coefficient c in the quadratic equation in standard form, y = ax² + bx + c, tells us about the y-intercept.
9. Vuelva al «Captar interés» e indique a los estudiantes que usen sus habilidades recién adquiridas para completar con éxito la actividad.
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EXPLORAR: EXPLORACIÓN 5
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
APOYOS LINGÜÍSTICOS
APOYOS PEDAGÓGICOS
Los estudiantes compartirán información con sus compañeros mientras participan en una actividad de aprendizaje cooperativo.
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez creado, haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva» .
1. Al determinar el vértice de una parábola basándose en la forma del vértice, los estudiantes pueden equivocarse al determinar los signos de los valores x y y. Por ejemplo, en y = a(x - h)² + k, los estudiantes pueden escribir (h, -k) o (-h, k). Anime a los estudiantes que tengan dificultades para reescribir la forma de vértice a sustituir el vértice propuesto en su ecuación para asegurarse de que crea un enunciado verdadero. 2. Los estudiantes pueden confundirse al saber que una parábola con un coeficiente negativo tiene un máximo, mientras que una parábola con un coeficiente positivo tiene un mínimo. Anímelos a crear gráficas a mano y con tecnología para hacer avanzar su pensamiento.
La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias siguientes para saber cómo apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes.
Principiante: Como actividad previa a la lección, repase el vocabulario clave al proporcionar a cada estudiante una hoja de papel. En el papel habrá una palabra de vocabulario, una definición o un ejemplo. Los estudiantes irán por el salón para buscar compañeros que tengan la definición, palabra o ejemplo correspondiente. Cuando todos los estudiantes estén agrupados, colóquense en círculo como clase y pida a cada equipo que comparta su palabra y definición. Los términos clave incluyen vértice, parábola, máximo, mínimo, intersección y, ceros, coeficiente, eje de simetría, forma estándar, forma de vértice, y forma factorizada. Intermedio: Como actividad previa a la clase, repase el vocabulario clave al proporcionar a cada estudiante una hoja de papel. En el papel habrá una palabra de vocabulario, una definición o un ejemplo. Los estudiantes irán por el salón para buscar compañeros que tengan la definición, palabra o ejemplo correspondiente. Cuando todos los estudiantes estén agrupados, colóquense en círculo como clase y pida a cada equipo que comparta su palabra y definición. Los términos clave incluyen vértice, parábola, máximo, mínimo, intersección y, ceros, coeficiente, eje de simetría, forma estándar, forma de vértice, y forma factorizada. Avanzado: Como actividad previa a la lección, repase el vocabulario clave al escribir los términos clave dispersos en la pizarra. Divida a los estudiantes en dos equipos. Lea en voz alta una definición, tras lo cual los estudiantes de ambos equipos correrán hacia la pizarra con un matamoscas para identificar y golpear primero la palabra correspondiente. Los términos clave incluyen vértice, parábola, máximo, mínimo, intersección y, ceros, coeficiente, eje de simetría, forma estándar, forma de vértice, y forma factorizada.
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 5
Factors of Polynomials Explore 5
Quadratic Equations – Key Features Exit Ticket Complete the table by using the standard form of the quadratic equation to determine the key features. Use the key features to sketch the graph. Equation in Standard Form y = x2 – 2x – 8 Workspace:
Workspace:
Workspace:
y = x2 – 2x – 8 y = x2 + 2x – 4x – 8 y = x(x + 2) – 4(x + 2) y = (x + 2)(x − 4)
y = x2 – 2x – 8 y = (x2 – 2x) – 8 y = (x2 – 2x + 1) – 8 – 1 y = (x – 1)2 – 9
y = x2 – 2x – 8 y = (0)2 – 2(0) – 8 y = −8
Roots: −2 and 4
Vertex: (1, −9)
y-intercept: (0, −8)
Sketch the graph.
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
Factors of Polynomials Part 5
2.
Quadratic Equations – Key Features 1.
y = x2 + 2x – 15 What is the y-intercept? The y-intercept is at (0, −15).
b.
Does the curve open up or down? It opens up because the leading coefficient is positive.
c.
Complete the square in order to write the equation in vertex form. y=
Answer the questions for the quadratic equation in standard form below. y = −2x2 + 4x – 3
Answer the questions for the quadratic equation in standard form below.
a.
Factors of Polynomials Part 5
a.
What is the y-intercept? The y-intercept is at (0, −3).
b.
Does the curve open up or down? It opens down because the leading coefficient is negative.
c.
Complete the square in order to write the equation in vertex form. y=
−2x2 + 4x – 3
= −2(x2 – 2x) – 3 = −2(x2 – 2x + 1) + 2(1) – 3
x2 + 2x – 15
= −2(x – 1)2 – 1
= (x2 + 2x + 1) – 1 – 15 = (x + 1)2 – 16
d.
Where is the vertex? Is the vertex a minimum or a maximum? The vertex at (1, −1) is a maximum because the curve opens downward.
d.
Where is the vertex? Is the vertex a minimum or a maximum? The vertex at (−1, −16) is a minimum because the curve opens upward.
e.
e.
Use the area model to factor x2 + 2x – 15. Then, rewrite the equation in factored form.
What is the axis of symmetry? x=1
f.
What are the x-intercepts? There are none because the curve has a maximum at y = −1 (vertex).
f.
What are the x-intercepts? The x-intercepts are (−5, 0) and (3, 0). 1
2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 5) CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE CONSOLIDAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
Factors of Polynomials
ESQUEMA DE ANCLAJE DESCRIPCIÓN Un esquema de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Se trata de una herramienta para apoyar la instrucción y consolidar el aprendizaje del estudiante a lo largo de la lección.
MATERIALES
• 1 hoja de papel cuadriculado • 1 juego de marcadores multicolores
PREPARACIÓN
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
• Imprima una copia del ejemplo de esquema de anclaje, si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. El ejemplo de esquema de anclaje puede usarse como referencia antes de crear el esquema de anclaje de la clase con los estudiantes. Esta actividad debe ser dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje. 2. A medida que los estudiantes trabajen en la lección, colaboren para añadir piezas al esquema de anclaje. Formule las siguientes preguntas guías: a. «¿Qué estrategia usamos para resolver este problema?». b. «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?». 3. Añada habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada exploración para resaltar el contenido importante. 4. Explique que pueden usar este gráfico como herramienta de apoyo para su aprendizaje. Los estudiantes también pueden pegar una copia del ejemplo de esquema de anclaje en sus cuadernos para usarla como referencia a lo largo del año. 5. Algunos esquemas de anclaje sólo se mostrarán durante un alcance o grupo de alcances concretos, mientras que otras permanecerán expuestos durante todo el grado escolar.
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA Factors of Polynomials
DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE Instructions ● Solve each problem using the specified method. ● Cut out the organizer below, and glue or tape it into your notebook.
Grouping 2x² + 17x + 21
Grouping 21x² – 14x + 7
Difference of Squares 36x² – 81
Difference of Squares 144x² – 49
LIBRETA INTERACTIVA DESCRIPCIÓN Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase al usar la actividad y la libreta.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
PREPARACIÓN Area Model 9x² – 6x + 1
Area Model x² – 5x – 36
• Imprima una copia del «Folleto del estudiante» para cada uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Prepare una «Libreta interactiva» al usar un cuaderno de espiral o de composición para cada uno. Los estudiantes pueden usar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades. Factors of Polynomials
Instructions ● Cut out each equation, and match it to the corresponding algebra tiles model. Then, glue or tape them onto the organizer. ● Cut out the organizer, and glue or tape it into your notebook.
Glue equation here.
Glue equation here.
Glue equation here.
Glue equation here.
Glue equation here.
Glue equation here.
A. (2x – 1)(x – 4) = 2x² – 9x + 4
B. (2x – 3)(x – 2) = 2x² – 7x + 6
C. (2x + 1)(x – 2) = 2x² – 3x – 2
D. (2x + 3)(x – 2) = 2x² – x – 6
E. (2x + 1)(x + 2) = 2x² + 5x + 2
F. (2x + 1)(x + 4) = 2x² + 9x + 4
2. Las instrucciones para cada actividad se proporcionan en el «Folleto del estudiante». 3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos. 4. Las libretas interactivas pueden usarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
FOLLETO DEL ESTUDIANTE
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EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO VOCABULARIO CLAVE
VOCABULARIO ILUSTRADO X-Intercept
Y-Intercept
Greatest Common Factor
The x-coordinate or coordinates where a graph intersects the x-axis, identified as (x, 0)
The point on a graph of an equation where the line crosses the y-axis
The largest same factor of two or more numbers
10
12
11
Difference of Two Squares
Perfect Square Trinomial
The difference of two squares, such as a² – b² being factored into (a + b)(a – b)
A trinomial whose factored form is the square of a binomial; takes the form ax² + bx + c and satisfies the condition b² = 4ac 13
Function
A special relationship between values; each input value gives back exactly one output value. 2
14
Complete the Square
Zero
Factors
The process used to form a perfect square trinomial for the purpose of finding the solution(s) by taking the square root
The value of x where an expression is equal to zero; this is the x-coordinate of the x-intercept of the expression’s graph
Expressions that are multiplied together to get a polynomial; factors that appear in the form of ax + b and cannot be factored further
3
5
4
Minimum Value
Maximum Value
Axis of Symmetry
The place where a function reaches its lowest point, or vertex, on a graph
The place where a function reaches its highest point, or vertex, on a graph
The line that divides a figure into two identical parts that are mirror images of each other 7
6
8
Vertex
The minimum or maximum point in a quadratic function, identified as (h, k) 9
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ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ DESARROLLAR LA FLUIDEZ CONCEPTUAL
Fix the Mistake! Answer Key Card Number
Math Expert or Fix the Mistake
Justification
1
Fix the mistake
16x2 – 49x cannot be factored by using the difference of two squares method.
2
Fix the mistake
Ayomide is correct.
3
Math expert
4
Fix the mistake
5
Math expert
6
Fix the mistake
7
Math expert
8
Fix the mistake
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: REESCRIBIR CUADRÁTICAS DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes jugarán al juego ¡Corrige el error!
MATERIALES IMPRESO Factors: (4x – 5)(4x + 5)
• 1 hoja de instrucciones ¡Corrige el error! (por pareja) • 1 juego de tarjetas ¡Corrige el error! (por pareja) • 1 hoja de registro del estudiante (por alumno)
−1 and 7 are the correct zeros. Since t = −1 does not make sense in context, it should be concluded that the company made $0 in revenue during month 7.
• 1 hoja de respuestas de ¡Corrige el error! (por pareja) REUSABLE
• 1 sobre o bolsa resellable (por pareja) (x – 9)(x + 8)
1
HOJA DE REGISTRO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
PREPARACIÓN
• Haga copias a doble cara de las tarjetas ¡Corrige el error!. • Lamínelas para que duren más. • Recorte cada una de las tarjetas y colóquelas en un sobre o una bolsa resellable para facilitar su distribución y limpieza. • Imprima una «Hoja de registro del estudiante ¡Corrige el error!» para cada estudiante. • Imprima una «Hoja de respuestas de ¡Corrige el error!» para cada pareja de estudiantes. Dobla la clave de respuestas de modo que las respuestas queden cubiertas pero el título aparezca en la parte superior de la página. • Coloque a los estudiantes en parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo barajar las tarjetas y colocarlas boca abajo en una pila. 2. Muestre cómo jugar el juego con un estudiante. a. Baraje las tarjetas y colóquelas boca abajo en una pila entre los jugadores. b. El jugador 1 voltea una tarjeta. Ambos jugadores analizan el problema y determinan si la solución dada al problema es correcta y el estudiante que la ha contestado es un experto en matemáticas o si la solución es incorrecta y es necesario corregir el error.
d. Los jugadores se turnan hasta que se hayan resuelto todas las tarjetas. e. Los jugadores deben completar la hoja de registro del estudiante ¡Corrige el error! mientras juegan. (Los jugadores deben completar la fila de la hoja de registro del estudiante de ¡Corrige el error! que corresponda a cada número de tarjeta). que corresponda al número de cada tarjeta). f. Una vez analizadas todas las tarjetas, los estudiantes usan la clave de respuestas de ¡Corrige el error! para verificar sus respuestas. g. El jugador con más respuestas correctas es el ganador. 3. Distribuya los materiales del juego. A continuación, indica a los estudiantes que barajeen las tarjetas y las coloquen boca abajo en una pila entre los jugadores. 4. Supervise a los estudiantes para asegurarse de que encuentran y registran las respuestas correctas a cada carta al usar la hoja de registro del estudiante ¡Corrige el error!.
c. Los jugadores se turnan para dar la vuelta a una tarjeta cada vez.
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ELABORAR: REVISIÓN EN ESPIRAL Factors of Polynomials
REPASAR CONCEPTOS ANTERIORES
REVISIÓN EN ESPIRAL: COMPETENCIA DE MAGDALENAS DESCRIPCIÓN Los estudiantes repasan contenidos previos o actuales del grado para ayudar a apoyar su trabajo en el alcance actual y fortalecer las habilidades necesarias para alcances posteriores.
Cupcake Contest The school morning announcements team is hosting a series in the culinary arts classroom. They are broadcasting students participating in a cupcake-baking contest. In the first episode, Jerome, Lia, and Sav compete with the requirement to incorporate a floral arrangement. In the second episode, the winner of the first competition, Jerome, and two new contestants, Isaac and Matilde, have to use a mystery ingredient in their final product. The mystery ingredient is a cookie! In the last episode, Jerome is still hanging on strong, and he competes against Luna and Stella. For this episode, something about their cupcakes must be supersized, including the number of cupcakes. The winner is chosen based on cupcake sales during lunch! Whoever has the most sales wins!
REVISIÓN EN ESPIRAL CENTRADA EN LA PREGUNTA • Pregunta 1 • ALG I: Resolver ecuaciones lineales en una variable. • Pregunta 2 • Grado 8: Derivar la ecuación y = mx + b para una línea que intercepta el eje vertical en b. • Pregunta 3 • Grado 8: Determinar el valor inicial de una función a partir de múltiples representaciones. • Pregunta 4 • ALG I: Resolver sistemas de ecuaciones lineales en problemas matemáticos y del mundo real.
1
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Factors of Polynomials
1.
1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a tratar de responder a las preguntas de forma independiente sin usar recursos externos para ver lo que saben. Invite a los estudiantes a anotar ideas o fragmentos que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas. 3. Utilice las preguntas de revisión en espiral como calentamiento en clase, o envíelas a casa como tarea. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos. 4. Consulte la sección «Revisión en espiral centrada en la pregunta» para evaluar los conocimientos de contenido de los estudiantes o su necesidad de una mayor intervención. Si es necesario repasar más, utilice el «Constructor de fluidez» en los alcances apropiados.
Jerome is increasing the size of his recipe so he can make the most cupcakes. If the cups of flour is represented by x, how many cups of flour does Jerome need?
The answer is 30 cups. 3.
The relationship between the number of cupcakes frosted and the total grams of sugar used is shown on the graph below. What does the y-intercept mean in terms of this scenario?
2.
A graph shows the relationship between baking time and temperature. What equation is best represented by this graph?
The answer is 4.
.
Jerome and Luna sold cupcakes side by side. The first customer spent $27 and bought 10 cupcakes from Jerome and 6 from Luna. The second customer spent $26 total and bought 8 cupcakes from Jerome and 7 from Luna. How much did Jerome charge per cupcake?
5. El capítulo final incluye una parte del alcance para que los estudiantes vean la conexión y relevancia de su aprendizaje previo con el actual. The answer is that an unfrosted cupcake contains 10 grams of sugar.
The answer is $1.50 per cupcake. 2
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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ELABORAR: CIENCIA DE DATOS ANÁLISIS DE DATOS
CIENCIA DE DATOS Ciencia de datos es un breve debate en clase basado en un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. La parte I incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los estudiantes en contexto.
DESCRIPCIÓN
PARTE II 1. Repase cómo encontrar las características clave de las gráficas de funciones cuadráticas a partir de ecuaciones de diferentes formas, y escriba lo que los estudiantes recuerden en el papel milimetrado. 2. Plantee las siguientes preguntas: a.
«¿Qué información puedes deducir de la ecuación que representa el porcentaje de estadounidenses blancos que han sido arrestados?». Si es posible, interpreta la información en su contexto. La ecuación está en forma de vértice. La coordenada x del vértice es 14.5. Esto significa que 14.5 años después de 1980, o en algún momento de 1994, se detuvo al mayor porcentaje de población blanco desde 1980. El 5 % de la población blanca fue este porcentaje máximo.
b.
«¿Qué información puedes deducir de la ecuación que representa el porcentaje de estadounidenses de raza negra que han sido arrestados?». Si es posible, interpreta la información en su contexto. La ecuación está en forma factorizada. Muestra que los ceros están en (43, 0) y (-16.5, 0). El cero negativo no tiene ningún significado práctico. El cero en 43 implica que en 2023, el 0 % de la población negra será arrestada.
c.
Encuentra el vértice de la ecuación que modela el porcentaje de personas negras arrestadas. Muestra tu trabajo. El valor x del vértice se encuentra directamente entre -16.5 + 43 las intersecciones x, así que x = __________ =13.25 f(x) = 2 -0.016(x - 43)(x + 16.5) = -0.016(x2 - 26.5x - 709.5) = -0.016x2 + 0.424x + 11.352 b 0.424 - ___ =- _________ = 13.25 2a 2(-0.016) f(13.25) = -0.016(13.25 - 43)(13.25 + 16.5) = -0.016(-29.75)(29.75) = 14.161 El vértice de la función es (13.25, 14.161).
d.
«¿Es útil esta información?». Explica. Sí; muestra que 13.25 años después de 1980, o en algún momento durante 1993, el mayor porcentaje de la población negra, cerca del 14 %, fue arrestada.
e.
Encuentra los ceros de la ecuación en forma de vértice que modela el porcentaje de blancos arrestados en un año dado. Muestra tu trabajo. 0 = -0.005(x - 14.5)2 + 5 -5 = -0.005(x - 14.5)2 1,000 = (x - 14.5)2 ±31.62 = x - 14.5 14.5 ± 31.62 = x Los ceros están en (-17.12, 0) y (46.12, 0).
f.
«¿Es útil esta información?». Explícalo. No; el cero negativo no tiene ningún significado práctico. El cero en 46.12 implica que para 2026, 0 % de la población blanca será arrestada.
g.
«¿Qué ecuación en forma rápida proporcionó información más útil y por qué?». La ecuación en forma de vértice proporcionó más información porque los ceros del modelo representan un momento en el que no se detiene a nadie, y este resultado parece poco probable.
h.
«¿Crees que los modelos son realistas más allá de 2030? ¿Por qué o por qué no?». No; los modelos muestran que en algún momento entre 2020 y 2030 no se detendrá a nadie de la población blanca o negra, o un porcentaje negativo de la población blanca y negra, ninguna de las dos cosas tiene sentido.
Los estudiantes analizarán, interpretarán y generarán conjuntos de datos, además de responder preguntas basadas en los datos.
MATERIALES IMPRESO • 1 conjunto de datos (por clase) REUSABLE • 1 proyector o cámara de documentos (por clase) • 1 marcador (por clase) CONSUMIBLES • 1 trozo de papel milimetrado (por clase)
PREPARACIÓN
• Prepárese para proyectar el conjunto de datos para la clase. • Reúna un trozo de papel milimetrado y un marcador.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I 1. Proyecte el conjunto de datos y prepárese para anotar las observaciones de los estudiantes. 2. Plantee las siguientes preguntas: a.
«¿Qué observa en este conjunto de datos?».
b.
«¿Qué representa este conjunto de datos?».
c.
«¿Qué categorías se incluyen en este conjunto de datos?».
d.
«¿Qué información revela la forma factorizada de un polinomio?».
e.
«¿Qué aspecto tiene la forma de vértice de una ecuación cuadrática? ¿Cómo puedes determinar el vértice de una parábola cuando la ecuación está dada en esta forma?».
f.
«¿Qué preguntas tienes sobre los datos?». Factors of Polynomials
Arrest Records
"Arrests," USA FACTS, USAFacts, April 13, 2022,https://usafacts.org/data/topics/security-safety/crime-and-justice/crime-and-police/arrests/.
1
CONJUNTO DE DATOS
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS
LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN DESCRIPCIÓN Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede usarse como evaluación formativa para los maestros y como autoevaluación para los estudiantes.
3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
MATERIALES
4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje.
IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 folleto del maestro (por estudiante)
PREPARACIÓN
5. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el «Folleto del maestro».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
6. Las notas anecdóticas proporcionadas en el «Folleto del maestro» pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares.
• Imprima un «Folleto del maestro» y un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
1. Distribuya un «Folleto del estudiante» a cada uno. 2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Explorar» y «Explicar» del alcance, evalúe formativamente su progreso al tomar notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
7. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la «Guía de instrucción andamiada» en la sección «Inicio» de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
Factors of Polynomials
Factors of Polynomials How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Use the structure of an expression to identify ways to rewrite it.
Choose and produce an equivalent form of an expression to reveal and explain properties of the quantity represented by the expression. a. Factor a quadratic expression to reveal the zeros of the function it defines. Choose and produce an equivalent form of an expression to reveal and explain properties of the quantity represented by the expression. b. Complete the square in a quadratic expression to reveal the maximum or minimum value of the function it defines.
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Factors of Polynomials
Factors of Polynomials
Standards for Mathematical Practice
Factors of Polynomials
Notes and Feedback
How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Write a function defined by an expression in different but equivalent forms to reveal and explain different properties of the function. a. Use the process of factoring and completing the square in a quadratic function to show zeros, extreme values, and symmetry of the graph, and interpret these in terms of a context. Write a function defined by an expression in different but equivalent forms to reveal and explain different properties of the function. b. Rewrite quadratic functions to show zeros, extreme values, and symmetry of the graph, and interpret these in terms of a real-world context.
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Notes and Feedback
Make sense of problems and persevere in solving them
Notes and Feedback
Reason abstractly and quantitatively Construct viable arguments and critique the reasoning of others Model with mathematics Use appropriate tools strategically
Attend to precision
1
Look for and make use of structure Look for and express regularity in repeated reasoning
Consider these reflection questions in this scope.
2
●
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them?
●
What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
3
FOLLETO DEL MAESTRO
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
EVALUAR: MAPA DE CALOR ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
MAPA DE CALOR DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
1. Dé un «Mapa de calor» a cada estudiante junto con lápices de colores rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s).
MATERIALES
• 1 mapa de calor (por estudiante)
2. Los estudiantes usan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el «Mapa de calor». Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los estudiantes colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, los estudiantes colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, los estudiantes colorean el cuadro correspondiente de rojo.
• 1 lápiz de color rojo (por estudiante) • 1 lápiz de color azul (por estudiante) • 1 lápiz de color naranja (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Determine si los estudiantes analizarán su «Prueba de habilidades», la «Evaluación basada en estándares», o ambas.
3. Anímelos a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a usar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada.
• Imprima un «Mapa de calor» para cada estudiante. • Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
4. Consulte la «Guía de instrucción andamiada» que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
Factors of Polynomials
Factors of Polynomials
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key.
Red – misconception
Standards
Choose and produce an equivalent form of an expression to reveal and explain properties of the quantity represented by the expression. a. Factor a quadratic expression to reveal the zeros of the function it defines. Choose and produce an equivalent form of an expression to reveal and explain properties of the quantity represented by the expression. b. Complete the square in a quadratic expression to reveal the maximum or minimum value of the function it defines. Write a function defined by an expression in different but equivalent forms to reveal and explain different properties of the function. a. Use the process of factoring and completing the square in a quadratic function to show zeros, extreme values, and symmetry of the graph, and interpret these in terms of a context.
1. Which skill did you feel most confident with? Why?
Questions
Orange – explanation
7
9
1
2
3
4
5
6
8
7
Standards
9
10
Choose and produce an equivalent form of an expression to reveal and explain properties of the quantity represented by the expression. a. Factor a quadratic expression to reveal the zeros of the function it defines.
3. Which type of error did you most commonly make?
4. How can you avoid those errors in the future?
Choose and produce an equivalent form of an expression to reveal and explain properties of the quantity represented by the expression. b. Complete the square in a quadratic expression to reveal the maximum or minimum value of the function it defines. Write a function defined by an expression in different but equivalent forms to reveal and explain different properties of the function. a. Use the process of factoring and completing the square in a quadratic function to show zeros, extreme values, and symmetry of the graph, and interpret these in terms of a context. Write a function defined by an expression in different but equivalent forms to reveal and explain different properties of the function. b. Rewrite quadratic functions to show zeros, extreme values, and symmetry of the graph, and interpret these in terms of a real-world context.
Not Assessed
1
Red – misconception
Standards-Based Assessment
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
Use the structure of an expression to identify ways to rewrite it.
5
Write a function defined by an expression in different but equivalent forms to reveal and explain different properties of the function. b. Rewrite quadratic functions to show zeros, extreme values, and symmetry of the graph, and interpret these in terms of a real-world context.
Blue – miscalculation
Reflection Questions
Skills Quiz
Use the structure of an expression to identify ways to rewrite it.
Factors of Polynomials
2
Questions
1
4a
3
10
6
8
9
2
4b
5
7
3
MAPA DE CALOR
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
INTERVENIR: REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES Factors of Polynomials
REFORZAR Y VOLVER A ENSEÑAR
REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES
Checkup Rewrite the quadratic expression in factored form.
DESCRIPCIÓN
1.
Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para intervención.
MATERIALES
(4u – 1)2
2.
• 1 repaso (por estudiante) • 1 revisión general (por estudiante)
3(2n – 1)(n + 5)
Rewrite the quadratic expression in vertex form. 3.
x2 + 6x + 8 x2 + 6x + 9 – 9 + 8
• 1 lista de verificación para el maestro (por maestro)
PREPARACIÓN
6n2 + 27n – 15 3(2n2 + 9n – 5)
IMPRESO
• 1 revisión rápida (por estudiante)
16u2 – 8u + 1
(x + 3)2 – 1
4.
• Imprima una copia de la «Revisión rápida», el «Repaso» y la «Revisión general» para cada estudiante.
5p2 + 20p – 60 5(p2 + 4p) – 60 5(p2 + 4p + 4) – 5(4) – 60
• Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar el «Repaso».
5(p + 2)2 – 80
• Si lo desea, imprima un ejemplo del «Esquema de anclaje» de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que usen la «Libreta interactiva» como recurso. • Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayudas suplementarias para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
1
Factors of Polynomials
Rewrite the quadratic expression to identify the key feature(s). 5.
1. Dé una copia de la «Revisión rápida» a cada estudiante. 2. Cada uno debe completarla de forma independiente. 3. Use la rúbrica de habilidades al final de la «Revisión rápida» para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional.
6.
7.
4. Distribuya una copia del «Repaso» a cada uno. 5. Cada estudiante debe completar el «Repaso» como actividad de intervención o de forma independiente. a. Si lo desea, reúna a los estudiantes en pequeños grupos para trabajar en las destrezas de repaso. Utilice el «Repaso» como ayuda para la reenseñanza.
8.
8. Analice los resultados de la «Revisión general» al usar la «Lista de verificación para el maestro» para identificar quienes necesitan un repaso adicional y quienes han alcanzado el dominio de los conceptos.
x-intercept(s)
(x – 4)2
(4, 0)
–(x – 7)2 + 34
y-intercept
–x2 + 14x – 15
(0, –15)
(x – 5)(x – 2)
y-intercept
x2 – 7x + 10
(0, 10)
x2 – 10x + 16
x-intercept(s)
(x – 2)(x – 8)
(2, 0) and (8, 0)
(x – 5)2 – 9
9.
6. Distribuya una copia de la «Revisión general» a cada uno. 7. Cada estudiante debe completarla de forma independiente.
x2 – 8x + 16
(5, –9)
2(x + 1)2 – 8
y-intercept
2x2 + 4x – 6
(0, −6)
2(x – 1)(x + 3)
10.
x-intercept(s)
(–3, 0) and (1, 0)
(x – 5)(x – 11)
y-intercept
x2 – 16x + 55
(0, 55)
(x – 8)2 – 9
vertex
vertex
(8, –9) 2
REVISIÓN GENERAL CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
ACELERACIÓN: ¿QUÉ PREFERIRÍAS? Factors of Polynomials
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
¿QUÉ PREFERIRÍAS?: CONSTRUIR UN JARDÍN
Building a Garden During World War II, many countries encouraged citizens to start gardening to help supplement food rations. The USA urged people to create Victory Gardens after the events at Pearl Harbor. The recent pandemic drew many people to hobbies such as gardening and growing produce. According to psychology research, gardening can help boost your mood and calm your worries, especially in stressful times. You intend to build a rectangular-shaped garden in your backyard. However, you mixed up the directions. Now you are unsure which dimensions will yield the shape you want. After contemplation, would you rather make a rectangular garden with Dimensions A or Dimensions B? Dimensions A
Dimensions B
180x2 – 108x 18x(10x – 6) 3x(60x – 36) 9(2x)(10x – 6)
(x + 13)(x – 4) 49x2 – 36 (7x + 6)(7x + 6) 2 x + 9x – 52
DESCRIPCIÓN Los estudiantes usan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 rúbrica (por maestro)
The following statements are sample answers: I would rather choose Dimensions A. When I rewrite the expressions using the distributive property, I can tell they are all equivalent (180x2 – 108x), yielding a square-shaped garden. A square is a rectangle.
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno.
I would rather choose Dimensions B. When I factor x2 + 9x – 52, I get (x + 13)(x – 4), so I know those two sides are equivalent. I also realized that 49x 2 – 36 is the difference of two squares (7x + 6)(7x + 6), making those two sides equivalent. Having two pairs of equal sides means I can create a rectangular-shaped garden.
• Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a mirar sus folletos de «Explorar» si necesitan repasar habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros. 4. Utilice la rúbrica proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Factors of Polynomials
OPCIONES PARA EL APRENDIZAJE CONTINUO
TABLERO DE OPCIONES DESCRIPCIÓN Los estudiantes explorarán las conexiones con el mundo real y las aplicaciones del contenido matemático a través de interacciones con actividades atractivas.
MATERIALES IMPRESO
• 1 tablero de opciones (por estudiante) • 1 juego de hojas de actividades (por estudiante) • 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante) REUSABLE
• Tecnología (si corresponde)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Tablero de opciones» y un juego de hojas de actividades para cada estudiante.
Factors of Polynomials Choose one or more extension activities from the table below. Career Connection
Science Connection
Astronomer
Rising and Setting Sun
Research the career field of astronomy. Your research must answer the provided questions. Create a presentation to relay your research to the class.
Explore the connection between math and science by solving the given compound inequality and answering the questions.
Create Your Own
Kitchen Connection
Write Your Own Story
Julio’s Catering
Create your own real-world word problem for the given polynomial. Follow the criteria on the handout to write your scenario, and then answer the questions.
Factors of polynomials can be used to set up arrays of tables. Read the scenario, and answer the questions on the handout.
Mathematician Spotlight
Financial Connection
François Viète
Search for several news articles or research papers that involve François Viète’s work. Create an informational poster, a diorama, or a speech to convey this mathematician’s work as it relates to polynomials.
Fencing the Pasture
We use math every day in our financial world. Explore how our current math topic connects to our financial world by completing the handout.
• Imprima una «Autoevaluación del tablero» para cada estudiante. • Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
TABLERO DE OPCIONES
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» a cada estudiante. 2. Dé tiempo a los estudiantes para examinar el «Tablero de opciones» y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anímelos a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del tablero, haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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ÁLGEBRA 1: FACTORES DE POLINOMIOS
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<<GRADO>> TRANSFORMADA DE FUNCIONES CUADRÁTICAS ÁLGEBRA 1
TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: DE ACUERDO O EN DESACUERDO
ESTÁNDARES CLAVE Interpretar la estructura de las expresiones. • Interpretar expresiones que representan una cantidad en función de su contexto. • Interpretar expresiones complicadas al considerar una o varias de sus partes como una sola entidad. Por ejemplo, interpretar P(1 + r)n como el producto de P y un factor que no depende de P. Escribir expresiones en formas equivalentes para resolver problemas. • Elegir y producir una forma equivalente de una expresión para revelar y explicar propiedades de la cantidad representada por la expresión. • Completar el cuadrado de una expresión cuadrática para revelar el valor máximo o mínimo de la función que define. Construir nuevas funciones a partir de funciones existentes. • Identificar el efecto en la gráfica de sustituir f(x) por f(x) + k , kf(x), f(kx), y f(x + k) para valores específicos de k (tanto positivos como negativos); encontrar el valor de k dadas las gráficas. Experimentar con casos e ilustrar una explicación de los efectos en la gráfica al usar la tecnología. Incluir el reconocimiento de funciones pares e impares a partir de sus gráficas y expresiones algebraicas para ellas. Analizar funciones con el uso de diferentes representaciones. • Graficar funciones expresadas simbólicamente y mostrar características clave de la gráfica, a mano en casos sencillos y al usar tecnología para casos más complicados. • Graficar funciones lineales y cuadráticas y mostrar interceptos, máximos y mínimos. • Comparar propiedades de dos funciones cada una representada de manera diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas o por descripciones verbales). Por ejemplo, dada una gráfica de una función cuadrática y una expresión algebraica para otra, decir cuál tiene el máximo mayor. *Este alcance se centra en la cuadrática.
Los estudiantes evaluarán las respuestas de sus compañeros a una pregunta matemática, determinarán si están de acuerdo o en desacuerdo y justificarán su razonamiento. • Analizarán y decidirán de manera independiente si están de acuerdo o en desacuerdo con las respuestas de sus compañeros. • Participarán en debates con sus compañeros para compartir y justificar su razonamiento. • Participarán en múltiples intercambios con sus compañeros para explorar diversas perspectivas. CAPTAR INTERÉS Los estudiantes explorarán la transformación de funciones cuadráticas relacionándolas con un escenario real de snowboard. • Presentar el escenario de snowboard y mostrar un video para que los estudiantes identifiquen los elementos matemáticos. • Facilitar una debate sobre cómo las funciones cuadráticas pueden representar la trayectoria del snowboarder a través de las puertas. • Guiar a los estudiantes a través de la exploración de transformaciones de funciones cuadráticas en un plano de coordenadas.
ACTIVIDADES DE «EXPLORACIÓN» EXPLORACIÓN 1: TRANSFORMACIONES DE CUADRÁTICAS Los estudiantes analizarán funciones cuadráticas para identificar transformaciones al usar ecuaciones, gráficas y tablas. • Los estudiantes trabajarán en grupos para graficar ecuaciones y determinar transformaciones necesarias para que puntos específicos alcancen objetivos. • Los estudiantes usarán calculadoras gráficas para verificar si Las ecuaciones contienen los puntos deseados y registrarán sus hallazgos en los «Diario del estudiante». • Los estudiantes identificarán y aplicarán desplazamientos horizontales y verticales para mover vértices a puntos objetivo, al usar preguntas guías para evaluar la comprensión. • Los estudiantes participarán en una charla de matemáticas para debatir sus observaciones y completar un «Boleto de salida» para demostrar su comprensión de las transformaciones.
ESTÁNDARES DE CONEXIÓN
EXPLORACIÓN 2: DILATACIONES DE CUADRÁTICAS
Representar y resolver ecuaciones y desigualdades gráficamente.
Los estudiantes analizarán funciones cuadráticas para identificar transformaciones a través de ecuaciones, gráficas y tablas.
• Entender que la gráfica de una ecuación en dos variables es el conjunto de todas sus soluciones trazadas en el plano de coordenadas, a menudo al formar una curva (que podría ser una recta). Interpretar la estructura de expresiones. • Interpretar expresiones que representan una cantidad en términos de su contexto. • Interpretar partes de una expresión, como términos, factores y coeficientes. Entender el concepto de función y utilizar la notación de función. • Entender que una función de un conjunto (llamado dominio) a otro conjunto (llamado rango) asigna a cada elemento del dominio exactamente un elemento del rango. Si f es una función y x es un elemento de su dominio, entonces f(x) denota la salida de f correspondiente a la entrada x. La gráfica de f es la gráfica de la ecuación y = f(x). • Utilizar notación de funciones, evaluar funciones para entradas en sus dominios e interpretar enunciados que usan notación de funciones en términos de un contexto. Interpretar funciones que surgen en aplicaciones en términos del contexto. • Para una función que representa una relación entre dos cantidades, interpretar características clave de gráficas y tablas en términos de las cantidades, y bosquejar gráficas que muestren características clave dada una descripción verbal de la relación. Las características clave incluyen interceptos; intervalos en los que la función es creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos; simetrías; comportamiento final; y periodicidad.
• Los estudiantes trabajarán en grupos para graficar ecuaciones y determinar transformaciones que alineen un punto rojo con una bellota. • Los estudiantes usarán calculadoras gráficas para verificar puntos en funciones cuadráticas y evaluar los efectos de los coeficientes en el ancho y la dirección de la gráfica. • Los estudiantes participarán en debates para entender el impacto de los coeficientes en las transformaciones de funciones, al incluir reflexiones y dilataciones. • Los estudiantes completarán un «Boleto de salida» para demostrar su comprensión de las transformaciones cuadráticas y participarán en una charla de matemáticas para compartir ideas. EXPLORACIÓN 3: TRANSFORMACIONES DE CUADRÁTICAS Los estudiantes analizarán funciones cuadráticas en varias formas para identificar transformaciones. • Los estudiantes trabajarán en grupos para graficar ecuaciones y determinar las transformaciones necesarias para lograr resultados específicos. • Los estudiantes usarán calculadoras gráficas para verificar puntos y transformaciones en funciones cuadráticas. • Los estudiantes participarán en debates para compartir observaciones y estrategias para identificar y aplicar transformaciones. • Los estudiantes completarán una Boleta de Salida para demostrar su comprensión de las transformaciones cuadráticas.
• Relacionar el dominio de una función con su gráfica y, en su caso, con la relación cuantitativa que describe. Por ejemplo, si la función h da la cantidad de horas/persona que se tarda en montar n motores en una fábrica, entonces los números enteros positivos serían un dominio apropiado para la función. • Calcular e interpretar la tasa de variación media de una función (presentada simbólicamente o en forma de tabla) a lo largo de un intervalo especificado. Estimar la tasa de cambio a partir de una gráfica.
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ÁLGEBRA 1: DE TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS TRANSFORMACIÓN FUNCIONES CUADRÁTICAS <<GRADE>>
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES
INVESTIGAR FUNCIONES
SISTEMAS DE ECUACIONES
MODELAR CON FUNCIONES
CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
CONCEPTOS CLAVE
PREGUNTAS FUNDAMENTALES
• Puedo escribir una ecuación cuadrática en forma de vértice dado el vértice y un punto.
• «¿En qué se parecen las transformaciones horizontales y verticales? ¿Diferentes?».
• Puedo reescribir ecuaciones de funciones cuadráticas de la forma de vértice a la forma estándar.
• «¿Cómo pueden reescribirse Las ecuaciones de funciones cuadráticas de forma de vértice a forma estándar y viceversa?».
• Puedo reescribir una ecuación cuadrática de la forma estándar a la forma de vértice. • Puedo identificar y describir traslaciones verticales y horizontales de la función cuadrática madre dada una gráfica o ecuación.
• Si se da una ecuación en forma factorizada, «¿cómo podría escribirse la ecuación en forma de vértice?».
• Puedo identificar y describir dilataciones y reflexiones verticales y horizontales de la función cuadrática madre dada una gráfica o ecuación. • Puedo graficar una función cuadrática dadas las transformaciones de la función principal.
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
INICIO: CONTENIDO DE APOYO ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
CONTENIDO DE APOYO Interpretar la estructura de las expresiones. • Interpretar expresiones que representan una cantidad en función de su contexto. • Interpretar expresiones complicadas al considerar una o varias de sus partes como una sola entidad. Por ejemplo, interpretar P(1 + r)n como el producto de P y un factor que no depende de P. Escribir expresiones en formas equivalentes para resolver problemas. • Elegir y producir una forma equivalente de una expresión para revelar y explicar propiedades de la cantidad representada por la expresión. • Completar el cuadrado de una expresión cuadrática para revelar el valor máximo o mínimo de la función que define. Construir nuevas funciones a partir de funciones existentes. • Identificar el efecto en la gráfica de sustituir f(x) por f(x) + k, kf(x), f(kx), y f(x + k) para valores concretos de k (tanto positivos como negativos); hallar el valor de k dadas las gráficas. Experimentar con casos e ilustrar una explicación de los efectos en la gráfica al usar la tecnología. Incluir el reconocimiento de funciones pares e impares a partir de sus gráficas y expresiones algebraicas para ellas. Analizar funciones al usar diferentes representaciones. • Graficar funciones expresadas simbólicamente y mostrar características clave de la gráfica, a mano en casos sencillos y al usar tecnología para casos más complicados. • Graficar funciones lineales y cuadráticas y mostrar interceptos, máximos y mínimos. • Comparar propiedades de dos funciones cada una representada de manera diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas o por descripciones verbales). Por ejemplo, dada una gráfica de una función cuadrática y una expresión algebraica para otra, decir cuál tiene el máximo más grande.
CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
• En un alcance anterior, se introdujo la forma de vértice de una función cuadrática. Esta forma se usa para identificar las transformaciones de la función principal. Ser capaz de completar el cuadrado es esencial para transformar una ecuación de la forma estándar a la forma de vértice para identificar las transformaciones. • Es esencial que los estudiantes identifiquen cuando diferentes representaciones están etiquetadas para indicar diferentes funciones o si representan la misma función. Todas las representaciones de funciones deben estar claramente etiquetadas. • Los estudiantes suelen tener ideas erróneas sobre las traslaciones y dilataciones horizontales. Cuando se les da una ecuación como f(x) = (x + 3), este concepto erróneo hará que describan un desplazamiento a la derecha cuando en realidad representa un desplazamiento a la izquierda de tres unidades de la función principal.
EN ESTE ALCANCE En este alcance, los estudiantes deben ser capaces de graficar e identificar características clave a mano dada una función cuadrática simple y usar cambios de parámetros de las funciones madre para graficar una función cuadrática transformada. Los estudiantes deben ser capaces de identificar el efecto en la gráfica al aplicar transformaciones a cualquier función cuadrática (al incluir la función principal). Los estudiantes deben ser capaces de usar múltiples representaciones de funciones cuadráticas y hacer conexiones entre las representaciones. TÉRMINOS CLAVE
• función cuadrática: una función que puede escribirse de la forma f(x) = ax2 + bx + c = 0, donde a, b, y c son números reales y a ≠ 0, o de la forma f(x) = a(x-h)2+ k, donde a, h, y k son números reales y a ≠ 0 • representaciones múltiples: diferentes formas matemáticas de representar una relación o una función • intercepción: el punto o puntos en los que una función o relación interseca un eje • valor máximo: el lugar donde una función alcanza su punto más alto, o vértice, en una gráfica
Este alcance se enfoca en la cuadrática.
• valor mínimo: el lugar donde una función alcanza su punto más bajo, o vértice, en una gráfica
CONOCIMIENTOS PREVIOS
• vértice: el punto mínimo o máximo en una función cuadrática; identificado como (h, k)
Los estudiantes trabajaron con funciones lineales en grados anteriores, por lo que deben tener una comprensión de algunas de las características clave de las gráficas de funciones. Los estudiantes tienen experiencia previa en el uso de tablas, gráficas y ecuaciones cuando trabajan con relaciones lineales. Los estudiantes han comparado las propiedades de dos funciones lineales que se representan de formas diferentes. Su experiencia con funciones que no son lineales se limita a categorizar las funciones como lineales y no lineales.
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• comportamiento final: la tendencia que sigue la gráfica a medida que x se aproxima al infinito en las direcciones negativa y positiva • decreciente (pendiente negativa): la medida de la inclinación de una línea que muestra la inclinación hacia abajo de izquierda a derecha • creciente (pendiente positiva): la medida de la inclinación de una línea que muestra la inclinación hacia arriba de izquierda a derecha
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
APLICAR LAS PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes usan su conocimiento de cómo se transforman las funciones cuadráticas para construir ecuaciones basadas en gráficas. Le dan sentido al problema al analizar la gráfica y al encontrar cómo se ha transformado la función para escribir la ecuación. • MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes construyen funciones cuadráticas a partir de descripciones escritas y analizan las descripciones para representar los problemas mediante ecuaciones. • MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros: Los estudiantes describen los efectos del valor de a en la función y = a(bx)2 y justifican su razonamiento al usar las propiedades de la multiplicación.
• MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes construyen ecuaciones cuadráticas para representar gráficas dadas de transformaciones y construyen nuevas funciones al usar su conocimiento de cómo las partes de la ecuación afectan a la función principal. • MP.5 Usar estratégicamente las herramientas adecuadas: Los estudiantes usan calculadoras gráficas para explorar traslaciones de funciones cuadráticas. Exploran qué ocurre con la gráfica al cambiar los valores de h y k en la función y = (x - h)2 + k. • MP.6 Prestar atención a la precisión: Los estudiantes prestan atención a la precisión cuando escriben ecuaciones de funciones cuadráticas que se han transformado a partir de las funciones principales y determinan con precisión los valores necesarios al usar la gráfica de la ecuación para que coincida con las transformaciones. • MP.7 Buscar y utilizar la estructura: Los estudiantes reconocen que las partes de una función cuadrática describen diferentes maneras en que se transforma a partir de la función principal y que en la función y = (x - h)2 + k, las variables h y k indican los tipos de traslaciones que se han producido a partir de la función principal. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes analizan funciones cuadráticas y generalizan que las variables a y b en la función y = a(bx)2 indican transformaciones concretas. La variable a representa un estiramiento vertical, compresión vertical o reflexión, y la variable b representa un estiramiento o compresión horizontal.
COMPARAR REPRESENTACIONES DE CUADRÁTICAS Los estudiantes compararán dos funciones cuadráticas de formas diferentes. Pueden ser gráficas, ecuaciones, tablas o descripciones verbales. Compararán las características clave de las funciones. Esto incluye Comparar funciones cuadráticas en contexto e identificar cómo los atributos representan la situación. Ejemplo: La figura muestra una gráfica de la función f(x) en el plano de coordenadas xy, con un vértice en (1, 9) y los ceros en -2 y 4.
La función g está definida por g(x) = -3x2 + 8. «¿Cuáles afirmaciones son verdaderas?». Seleccione todas las que sean aplicables. a
f(-2) es mayor que g(-2).
b
f(-1) es menor que g(-1).
c
f(0) es igual a g(0).
d
f(1) es menor que g(1).
e
f(2) es mayor que g(2).
Las opciones correctas son A, C y E. Los estudiantes que no seleccionaron A probablemente cometieron un error de procedimiento y evaluaron la función g(x) incorrectamente. Al elevar al cuadrado un número negativo, el resultado es positivo. Los estudiantes que no seleccionaron C probablemente tuvieron un malentendido conceptual al interpretar incorrectamente que las funciones eran iguales. Ambas funciones contienen el par ordenado (0, 8), por lo que estas funciones son iguales en 0. Los estudiantes también podrían haber cometido un error de procedimiento y multiplicado por cero incorrectamente; ocasionalmente un estudiante podría calcular -3 . 0 = -3 y haber concluido incorrectamente g(0 ) = 5. Los estudiantes que no seleccionaron E probablemente tienen un malentendido conceptual de la evaluación y comparación de valores de funciones, o adivinaron. Rara vez se producen errores de cálculo que lleven a este resultado. ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
Ejemplo: Dos estudiantes lanzaron modelos de cohetes. La siguiente tabla representa la altura en función del tiempo para el cohete A. La siguiente descripción describe los datos tomados para el cohete B. Cohete A Tiempo (en segundos)
Altura (en pies)
5
704
8
819.2
11
704
14
358.4
16
0
TRASLACIÓN HORIZONTAL
Cohete B •
Después de 4 segundos, el cohete estaba a una altura de 704 pies.
•
Después de 7.5 segundos, el cohete estaba a una altura de 900 pies.
•
Después de 11 segundos, el cohete estaba a una altura de 704 pies.
«¿Qué afirmación sobre los cohetes es cierta?». a
El cohete A alcanzó una altura mayor y estuvo en el aire más tiempo que el cohete B.
b
El cohete A no llegó tan alto y estuvo en el aire más tiempo que el cohete B.
c
El cohete A no alcanzó tanta altura y estuvo en el aire menos tiempo que el cohete B.
d e
El cohete A alcanzó una altura mayor y estuvo en el aire menos tiempo que el cohete B. Ambos cohetes alcanzaron la misma altura.
La opción correcta es B. Los estudiantes que seleccionaron A identificaron correctamente que el cohete A estuvo en el aire más tiempo que el cohete B, pero identificaron incorrectamente la altura. Pueden haber usado el tiempo en segundos en el vértice para comparar. En este caso, el cohete A tiene un máximo a los 8 segundos y el cohete B tiene un máximo a los 7.5 segundos. Los estudiantes que seleccionaron C identifiaron incorrectamente tanto el máximo como la intersección x en el contexto. Los estudiantes que seleccionaron D identificaron correctamente la altura máxima, pero no el tiempo de vuelo. Los estudiantes que seleccionaron E pudieron haber usado la altura de ambos cohetes en 11 segundos.
Ejemplo: La intersección y de la parábola representada por f(x) = x2 - 4x + 3 tiene coordenadas (0, 3). «¿Cuáles de las siguientes podrían ser coordenadas de un punto de la parábola definida por g(x) = f(x - 5)?». a
(5, 3)
b
(0, -2)
c
(-3, 0)
d
(-5, 3)
e
(-9, 3)
La respuesta correcta es A. La traslación desplazaría f(x) hacia la derecha 5 unidades. Así, el punto que estaba en (0, 3) estaría ahora situado en (5, 3). Ejemplo: José golpea una pelota de golf desde un tee en el suelo. La siguiente gráfica muestra la altura de la pelota en función del tiempo. «¿Cómo sería diferente la altura de esta pelota si José se hubiera parado en una plataforma de 10 pies de altura?».
TRANSFORMACIONES DE CUADRÁTICAS Los estudiantes analizarán funciones cuadráticas dadas como una ecuación, gráfica o tabla e identificarán las transformaciones. Se abordarán las transformaciones a partir de la función cuadrática padre y las transformaciones a partir de cualquier función cuadrática. Traducciones
a
La pelota de golf de José habría alcanzado una altura máxima de 10,119 pies.
f(x) + k
Desplazamiento hacia arriba k unidades.
b
La pelota de golf de José habría alcanzado una altura máxima de 57 pies.
f(x) - k
Desplazamiento hacia abajo k unidades.
c
f(x + k)
Desplazamiento hacia la izquierda k unidades.
La pelota de golf de José habría alcanzado una altura máxima de 30 pies.
d
f(x - k)
Después de 15 segundos, el cohete estaba a una altura de 0 pies.
La pelota de golf de José habría alcanzado una altura máxima de 104 pies.
TRASLACIÓN VERTICAL
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La respuesta correcta es C. La traslación desplazaría la parábola hacia arriba en 10 unidades, al hacer el nuevo vértice (57, 30). Los estudiantes que seleccionaron A sumaron incorrectamente 10 al valor contenido en la primera intercepción x. Los estudiantes que seleccionaron B sumaron incorrectamente 10 al valor x del vértice. El valor x representa los segundos y no cambiaría si aumentamos la altura inicial. Los estudiantes que seleccionaron D sumaron incorrectamente 10 al valor contenido en la segunda intercepción x.
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
DILATACIONES DE CUADRÁTICAS
TRANSFORMACIONES DE CUADRÁTICAS
Los estudiantes analizarán funciones cuadráticas dadas como una ecuación, gráfica o tabla e identificarán las transformaciones. Las dilataciones incluirán reflexiones horizontales y verticales.
Los estudiantes analizarán funciones cuadráticas dadas como una ecuación, gráfica o tabla e identificarán las transformaciones. Se abordarán las transformaciones a partir de la función cuadrática padre y las transformaciones a partir de cualquier función cuadrática. Se abordarán todas las transformaciones y se incluirán transformaciones en contexto.
Se abordarán las transformaciones a partir de la función cuadrática padre y las transformaciones a partir de cualquier función cuadrática. Dilataciones -f(x)
Reflejar sobre el eje x.
f(-x)
Reflejar sobre el eje y.
k × f(x)
k > 1 estiramiento vertical, 0 < k < 1 compresión vertical
f(kx)
k > 1 compresión horizontal, 0 < k < 1 estiramiento horizontal
Ejemplo: Se pidió a los estudiantes que describieran las transformaciones de la función q(x) = 2(x + 1)2 - 3 a partir de la función matriz. Dos estudiantes compartieron las siguientes respuestas. Amelia
Luis
La función fue estirada verticalmente por un factor de 2, desplazada a la izquierda 1 unidad, y desplazada hacia abajo 3 unidades.
La función fue estirada horizontalmente por un factor de 2, desplazada a la derecha 1 unidad, y desplazada hacia abajo 3 unidades.
«¿Quién era correcto?».
Ejemplo: La figura muestra las gráficas de las funciones f(x) = x2 - 10x + 25 y g(x). Los tres puntos indicados tienen coordenadas enteras.
a
Amelia
b
Luis
c
Ambos eran correctos.
d
Ninguno era correcto.
La opción correcta es A. Los estudiantes que seleccionaron B identificaron incorrectamente el estiramiento vertical como horizontal y el desplazamiento a la izquierda como desplazamiento a la derecha. Los estudiantes que eligieron C cometieron el mismo error que se ha indicado anteriormente, pero al seleccionar esta respuesta indicaron que perciben que un estiramiento horizontal y vertical son lo mismo, así como que un desplazamiento a la izquierda y a la derecha son lo mismo. Los estudiantes que seleccionaron D probablemente adivinaron.
AVANCES Si g(x) = k - f(x), «¿cuál es el valor de k?». a
3
b
2
c
-2
d
-3
Los estudiantes compararán y transformarán funciones exponenciales en alcances posteriores de Álgebra 1. En grados futuros, los estudiantes usarán transformaciones para analizar muchas familias de funciones. Cuando se trabaja con funciones trigonométricas, las transformaciones son particularmente importantes para analizar la amplitud y el período.
La opción correcta es D. La parábola se refleja a través del eje x indicar que k es negativo. La parábola se estira verticalmente, y el punto marcado está a tres unidades del vértice. Los estudiantes que seleccionaron A no incluyeron el negativo para reflejar la gráfica sobre el eje y. Los estudiantes que seleccionaron B contaron incorrectamente a qué distancia del vértice está la coordenada marcada y no incluyeron el negativo para reflejar la gráfica. Los estudiantes que eligieron C contaron incorrectamente a qué distancia del vértice está la coordenada marcada. ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO ANÁLISIS PROFUNDO DE LOS ESTÁNDARES
CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES Interpretar la estructura de expresiones. • Interpretar expresiones que representan una cantidad en términos de su contexto. • Interpretar expresiones complicadas al considerar una o más de sus partes como una entidad única. Por ejemplo, interpretar P(1 + r)n como el producto de P y un factor que no depende de P. Escribir expresiones en formas equivalentes para resolver problemas. • Elegir y producir una forma equivalente de una expresión para revelar y explicar propiedades de la cantidad representada por la expresión. • Completar el cuadrado de una expresión cuadrática para revelar el valor máximo o mínimo de la función que define. Construir nuevas funciones a partir de funciones existentes. • Identificar el efecto en la gráfica de sustituir f(x) por f(x) + k, kf(x), f(kx), y f(x + k) para valores concretos de k (tanto positivos como negativos); hallar el valor de k dadas las gráficas. Experimentar con casos e ilustrar una explicación de los efectos en la gráfica al usar la tecnología. Incluir el reconocimiento de funciones pares e impares a partir de sus gráficas y expresiones algebraicas para ellas. Analizar funciones al usar diferentes representaciones. • Graficar funciones expresadas simbólicamente y mostrar características clave de la gráfica, a mano en casos sencillos y al usar tecnología para casos más complicados. • Graficar funciones lineales y cuadráticas y mostrar interceptos, máximos y mínimos. • Comparar propiedades de dos funciones cada una representada de manera diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas o por descripciones verbales). Por ejemplo, dada una gráfica de una función cuadrática y una expresión algebraica para otra, decir cuál tiene el máximo más grande. Nota: Este alcance se centra en las cuadráticas.
DESGLOSAR EL ESTÁNDAR VERBOS: ¿QUÉ DEBERÍAN HACER LOS ESTUDIANTES? • crear: hacer algo de la nada • interpretar: explicar el significado de • escribir: registrar un enunciado matemático • elegir: seleccionar • producir: hacer
• completar el cuadrado: proceso utilizado para formar un trinomio cuadrado perfecto con el fin de encontrar la(s) solución(es) al tomar la raíz cuadrada • encontrar: descubrir; resolver • experimentar: probar diferentes maneras de hacer las cosas • ilustrar: aclarar algo con ejemplos • analizar: explorar y explicar • graficar: trazar un conjunto de puntos en un plano de coordenadas • mostrar: representar un número • comparar: observar las semejanzas y diferencias entre las cosas SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBEN CONOCER LOS ESTUDIANTES? • expresión (expresión algebraica): números, variables y símbolos agrupados sin signo igual para mostrar una relación • contexto: la situación en la que se encuentra o sucede algo • forma equivalente: expresiones que tienen el mismo valor cuando introducimos el mismo valor o valores para la variable o variables • expresión cuadrática: una expresión que incluye un término al cuadrado, por ejemplo, x² + 1, o un término producto, p. ej, 3xy - 2x + 1 • función: una relación especial entre valores; cada valor de entrada devuelve exactamente un valor de salida • cantidad: un número o cantidad; una cantidad que dice cuánto • gráfico: una representación visual de datos • función par: cuando x se sustituye por -x en una función y la función se simplifica, la función resultante será idéntica a la función original. • función impar: cuando se sustituye x por -x en una función y se simplifica la función, los términos de la función resultante tienen signos opuestos a los de la función original. • representaciones múltiples: diferentes formas matemáticas de representar una relación o una función • número positivo: un número que es mayor que cero • número negativo: un número que es menor que cero • función lineal: una relación que cuando se representa gráficamente es una línea recta • función cuadrática: una función que puede escribirse de la forma f(x) = ax2 + bx + c = 0, donde a, b, y c son números reales y a ≠ 0, o en la forma f(x)=a(x-h)2 + k, donde a, h, y k son números reales y a ≠ 0 • intercepto: el punto o puntos en los que una función o relación corta un eje • valor máximo: el lugar donde una función alcanza su punto más alto, o vértice, en un gráfico
• revelar: descubrir o mostrar
• valor mínimo: el lugar donde una función alcanza su punto más bajo, o vértice, en un gráfico
• explicar: dar cuenta de acciones o sucesos al explicar por qué
• tabla: un gráfico que contiene datos que se muestran en columnas y filas
• construir: construir (algo) al unir piezas o materiales • identificar: reconocer y establecer qué es algo 290
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA
• En niveles de grado anteriores, los estudiantes tuvieron experiencia con relaciones proporcionales como el interés simple. Los estudiantes tuvieron experiencia al reescribir una expresión en diferentes formas en el contexto de un problema, y arrojaron luz sobre el problema y cómo se relacionan las cantidades en él. En grados anteriores, los estudiantes trabajaron con funciones lineales y deben tener una comprensión de la notación de funciones y algunas de las características clave de los gráficos de funciones. La experiencia de los estudiantes con funciones no lineales se limita a categorizar las funciones como lineales y no lineales. Los estudiantes tienen experiencia previa en el uso de tablas, gráficas y ecuaciones cuando trabajan con relaciones lineales. • En este grado, los estudiantes deben ser capaces de hacer conexiones entre la representación algebraica y gráfica de una función cuadrática. Los estudiantes deben entender las características clave que se pueden identificar de cada forma. Deben ser capaces de crear una ecuación cuadrática en cualquier forma dado el vértice y un punto. Los estudiantes deben ser capaces de representar gráficamente a mano e identificar las características clave a partir de una función cuadrática simple. También deben ser capaces de utilizar los cambios de parámetros de las funciones principales para representar gráficamente una función cuadrática transformada. Los estudiantes deben ser capaces de utilizar múltiples representaciones de funciones cuadráticas. • Establecer conexiones entre la representación gráfica de los ceros y la forma factorizada, así como la forma de vértice, es esencial para interpretar expresiones en contexto. La forma de vértice enfatiza las traslaciones desde la función principal. Hacer estas conexiones ayudará a los estudiantes a desarrollar su comprensión de todas las transformaciones. • Hacer que los estudiantes usen software de graficación les permite ver muchos ejemplos y sacar conclusiones acerca de los efectos en las gráficas sin tener que enfocarse en cómo graficarlas.
ALINEACIÓN VERTICAL GRADO
ESTÁNDAR Utilizar triángulos semejantes para explicar por qué la pendiente m es la misma entre dos puntos distintos cualesquiera de una recta no vertical en el plano de coordenadas; deducir la ecuación y = mx para una recta que pasa por el origen y la ecuación y = mx + b para una recta que intercepta el eje vertical en b.
8
Construye una función para representar una relación lineal entre dos magnitudes. Determinar la tasa de variación y el valor inicial de la función a partir de la descripción de una relación o de dos valores (x, y), incluso leyéndolos a partir de una tabla o un gráfico. Interpretar la tasa de cambio y el valor inicial de una función lineal en términos de la situación que representa, y en términos de su gráfica o una tabla de valores. Escribir una función definida por una expresión en formas diferentes pero equivalentes para revelar y explicar diferentes propiedades de la función. a
Usar el proceso de factorizar y completar el cuadrado en una función cuadrática para mostrar ceros, valores extremos y simetría de la gráfica, e interpretarlos en términos de un contexto.
Crear ecuaciones en dos o más variables para representar relaciones entre cantidades; graficar ecuaciones en ejes de coordenadas con etiquetas y escalas. Elegir y producir una forma equivalente de una expresión para revelar y explicar propiedades de la cantidad representada por la expresión. a
Factorizar una expresión cuadrática para revelar los ceros de la función que define.
Interpretar expresiones que representan una cantidad en términos de su contexto. a
Interpretar expresiones complicadas al ver una o más de sus partes como una sola entidad. Por ejemplo, interpretar P(1 + r)n como el producto de P y un factor que no depende de P.
Elegir y producir una forma equivalente de una expresión para revelar y explicar propiedades de la cantidad representada por la expresión.
HS
a
Completar el cuadrado de una expresión cuadrática para revelar el valor máximo o mínimo de la función que define.
Graficar funciones expresadas simbólicamente y mostrar las características clave de la gráfica, a mano en casos sencillos y al usar la tecnología para casos más complicados. a
Graficar funciones lineales y cuadráticas y mostrar interceptos, máximos y mínimos.
Comparar propiedades de dos funciones representadas cada una de una manera diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas o mediante descripciones verbales). Por ejemplo, dada una gráfica de una función cuadrática y una expresión algebraica para otra, decir cuál tiene el máximo mayor. Identificar el efecto en la gráfica de sustituir f(x) por f(x) + k, kf(x), f(kx), y f(x + k) para valores concretos de k (tanto positivos como negativos); hallar el valor de k dadas las gráficas. Experimentar con casos e ilustrar una explicación de los efectos en la gráfica al usar la tecnología. Incluir el reconocimiento de funciones pares e impares a partir de sus gráficas y expresiones algebraicas para las mismas. Utilizar descripciones geométricas de movimientos rígidos para transformar figuras y predecir el efecto de un movimiento rígido dado sobre una figura dada; dadas dos figuras, utilizar la definición de congruencia en términos de movimientos rígidos para decidir si son congruentes. Utilizar la estructura de una expresión para identificar formas de reescribirla. Identificar el efecto en la gráfica de reemplazar f(x) por f(x) + k, kf(x), f(kx), y f(x + k) para valores específicos de k (tanto positivos como negativos); encontrar el valor de k dadas las gráficas. Experimentar con casos e ilustrar una explicación de los efectos en la gráfica al usar la tecnología. Incluir el reconocimiento de funciones pares e impares a partir de sus gráficas y expresiones algebraicas para ellas.
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA MONITOREAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA La guía de instrucción andamiada se proporciona para que los maestros puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones del alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que ayuda a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de la evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos según los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere que todos los estudiantes experimenten con los elementos: «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades», ya que cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar. 0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
80 % - 100 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil pueden trabajar en contenido de Nivel de grado con apoyos de instrucción.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» individual para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 2. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante de acuerdo con sus datos de evaluación. 3. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la sección «Scaffolded Instruction Guide» en el menú desplegable «Home» del alcance. 4. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Interpretar expresiones que representan una cantidad en función de su contexto.
0 % - 25 %
(Refuerzo del grado anterior)
b
Interpretar expresiones complicadas al considerar una o varias de sus partes como una sola entidad. Por ejemplo, interpretar P(1 + r)n como el producto de P y un factor que no depende de P. 7 - Expresiones Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • ¡Corrige el error! Práctica interactiva • Cerradura y llave
(Nivel de grado con apoyos)
25 % - 50 %
Prueba de habilidades
Alg.I - Transformación de funciones cuadráticas Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (preguntas 1, 2) • Revisión general (pregunta 1)
(Nivel de grado)
50 % - 80 %
Alg.I - Transformación de funciones cuadráticas Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Práctica interactiva • Lanzamiento del hámster Constructor de fluidez
(Ampliación del nivel de grado)
80 % - 100 %
• ¡Corrige el error!
Alg.I - Transformación de funciones cuadráticas ¿Qué preferirías?Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Elige y produce una forma equivalente de una expresión para revelar y explicar propiedades de la cantidad representada por la expresión.
8 - Funciones
Repaso y práctica de habilidades
Repaso y práctica de habilidades
Constructor de fluidez
Constructor de fluidez
Práctica interactiva • Cerradura y llave Prueba de habilidades Alg.I - Transformar funciones exponenciales
0 % - 25 %
• ¡Corrige el error!
Repaso y práctica de habilidades
• ¡Bum! Prueba de habilidades Alg.I - Propiedades de las funciones Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Concentración Práctica interactiva • ¡Recarga al robot! Prueba de habilidades
Alg.I - Transformación de funciones cuadráticas Repaso y práctica de habilidades • Revisión general (pregunta 5)
25 % - 50 %
25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyos)
Prueba de habilidades
(Refuerzo del grado anterior)
7 - Expresiones
(Nivel de grado con apoyos)
0 % - 25 %
(Refuerzo del grado anterior)
b Completa el cuadrado en una expresión cuadrática para revelar el valor máximo o mínimo de la función que define.
Identificar el efecto en la gráfica de sustituir f (x) por f (x)+ k, kf (x), f (kx) y f (x + k) para valores concretos de k (tanto positivos como negativos); hallar el valor de k dadas las gráficas. Experimentar con casos e ilustrar una explicación de los efectos en la gráfica al usar la tecnología. Incluir el reconocimiento de funciones pares e impares a partir de sus gráficas y expresiones algebraicas para ellas.
Alg.I - Transformar funciones cuadráticas Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (preguntas 1-6) • Repaso (Sección de traslaciones de funciones cuadráticas, sección de Dilataciones de funciones cuadráticas, sección de múltiples transformaciones de funciones cuadráticas)
Vocabulario interactivo Práctica interactiva • Lanzamiento del hámster
50 % - 80 %
Vocabulario ilustrado
(Nivel de grado)
Alg.I - Transformación de funciones cuadráticas
Alg.I - Transformación de funciones cuadráticas Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva Constructor de fluidez • Corrige el error
Alg.I - Transformación de funciones cuadráticas Tablero de opciones
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(Ampliación del nivel de grado)
Ciencia de datos 80 % - 100 %
50 % - 80 % 80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
(Nivel de grado)
• Revisión general (preguntas 1-10)
Alg.I - Transformación de funciones cuadráticas ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Graficar funciones expresadas simbólicamente y mostrar las características clave de la gráfica, a mano en casos sencillos y al usar tecnología para casos más complicados. a
Graficar funciones lineales y cuadráticas y mostrar interceptos, máximos y mínimos.
8 - Funciones (Refuerzo del grado anterior)
0 % - 25 %
Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • ¡Bum! Prueba de habilidades Alg.I - Propiedades de las funciones Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Concentración Práctica interactiva • ¡Recarga al robot!
(Nivel de grado con apoyos)
25 % - 50 %
Prueba de habilidades
Alg.I - Transformación de funciones cuadráticas Repaso y práctica de habilidades • Repaso (sección dilataciones de funciones cuadráticas) • Revisión general (preguntas 5, 9, 10)
(Nivel de grado)
50 % - 80 %
Alg.I - Transformación de funciones cuadráticas Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva Práctica interactiva • Lanzamiento del hámster
(Ampliación del nivel de grado)
80 % - 100 %
Ciencia de datos
Alg.I - Transformación de funciones cuadráticas ¿Qué preferirías?Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
(Refuerzo del grado anterior) (Nivel de grado con apoyos)
25 % - 50 %
0 % - 25 %
Comparar las propiedades de dos funciones representadas cada una de una manera diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas o mediante descripciones verbales). Por ejemplo, dada una gráfica de una función cuadrática y una expresión algebraica para otra, decir cuál tiene el máximo mayor.
8 - Comparar funciones Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Concentración Práctica interactiva • Unir funciones Prueba de habilidades
Alg.I - Transformación de funciones cuadráticas Acceso a conocimientos previos Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (pregunta 5) • Revisión general (preguntas 9 -10)
(Nivel de grado)
50 % - 80 %
Alg.I - Transformación de funciones cuadráticas Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Práctica interactiva • Lanzamiento del hámster Constructor de fluidez
80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
• Corrige el error
Alg.I - Transformación de funciones cuadráticas Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
Transform Quadratic Functions
EVALUAR PREVIAMENTE EL CONOCIMIENTO DEL ESTUDIANTE
Agree or Disagree Decide whether you agree or disagree with each student in the following scenarios, and circle the corresponding word. Justify your answer. 1.
ATRAER: ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS
Trevor said that if the image below was rotated 90 degrees clockwise on the coordinate plane, the new image would be located in Quadrant IV.
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: DE ACUERDO O EN DESACUERDO ESTÁNDAR PREVIO Verifique experimentalmente las propiedades de las rotaciones, reflexiones y traslaciones.
Agree
Disagree
DESCRIPCIÓN
Reasoning: 2.
Lana was explaining dilations to her classmate. She said that dilating the coordinate (−3, 8) by a scale factor of would result in a new coordinate of (−1.5, 4). Agree
Disagree
Reasoning: 1
Los estudiantes leerán diferentes respuestas de estudiantes a una pregunta planteada sobre el estándar previo, decidirán si están de acuerdo o en desacuerdo con el estudiante y explicarán su razonamiento.
MATERIALES IMPRESO
Transform Quadratic Functions
3.
Howard looked at the following image and concluded that Figure A was translated 7 units to the right and 6 units down, resulting in Figure B.
• 1 de acuerdo o en desacuerdo (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de «De acuerdo o en desacuerdo» para cada estudiante.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Pida a los estudiantes que realicen la actividad «De acuerdo o en desacuerdo» de forma independiente. Agree
2. Una vez que los estudiantes hayan realizado la actividad solos, pídales que se pongan de pie.
Disagree
3. Pida a todos los estudiantes que caminen por el aula con las manos en alto en posición de «chocar los cinco».
Reasoning:
4. Cuando usted lo indique, los estudiantes se detendrán y chocarán los cinco con la persona que tengan más cerca. Ésta será su pareja. 2
5. Conceda a los estudiantes un par de minutos para que comenten juntos sus respuestas y justificaciones. 6. A continuación, puede continuar tantas veces como quiera con diferentes parejas.
Transform Quadratic Functions
4.
Alex believes that the following figures show an image being reflected over the x-axis.
Agree
7. Comente las respuestas en clase. Permita que los estudiantes expliquen su razonamiento para cada problema. a.
En desacuerdo con Trevor
b.
De acuerdo con Lana
c.
De acuerdo con Howard
d.
En desacuerdo con Alex
8. Si los estudiantes tienen dificultades para completar esta tarea, pase al «Constructor de bases fundamentales» con el fin de llenar esta laguna en los conocimientos previos antes de pasar a otras partes del alcance.
Disagree
Reasoning:
IDENTIFICACIÓN DE CONCEPTOS ERRÓNEOS
• Los estudiantes pueden tener dificultades para recordar el efecto que cada tipo de transformación tiene sobre una figura. Puede ser útil repasar rápidamente los tipos de transformaciones y por qué se produce cada una en función de las propiedades que se aplican.
3
DE ACUERDO O EN DESACUERDO
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• Los estudiantes pueden utilizar cartulinas para que las transformaciones sean más visuales.
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
ATRAER: CAPTAR INTERÉS Transform Quadratic Functions
LECCIÓN MOTIVADORA
Create a quadratic function that passes through both gates. Can you create more than one?
CAPTAR INTERÉS DESCRIPCIÓN Los estudiantes relacionarán la transformación de funciones cuadráticas con una situación del mundo real.
MATERIALES IMPRESO
• 1 hoja de transformar funciones cuadráticas (por clase) REUTILIZABLE
• 1 video de fenómenos (por clase)
PREPARACIÓN
• Planee mostrar el video. • Prepárese para proyectar «Transformar funciones cuadráticas» para que toda la clase la vea. • Prepárese para presentar el escenario y para animar a los estudiantes a pensar en cómo resolverlo. Prepárese para pasar a las actividades de «Exploración», al regresar a la actividad «Captar interés» con los nuevos conocimientos adquiridos después de que se hayan completado las exploraciones.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA 1. Presente esta actividad hacia el comienzo del alcance. La clase retomará la actividad y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades «Explorar» correspondientes. 2. Explique la situación mientras muestra el video que tiene detrás. Junior practica snowboard en un circuito de slalon y tiene que asegurarse de pasar por cada puerta para no recibir una deducción de puntuación por parte de los jueces. 3. Haga las siguientes preguntas a los estudiantes: «¿Qué observas? ¿Qué se preguntan? ¿Dónde puedes ver matemáticas en esta situación?». Permita que los estudiantes compartan sus ideas. Las respuestas de los estudiantes variarán. Me doy cuenta de que Junior sólo tiene que tocar la puerta en lugar de pasar por el centro exacto. Observo que el eslalon requiere mucha puntería y precisión direccional. Me pregunto cuánto cuesta una deducción. Me pregunto cómo deciden los snowboarders acercarse a cada puerta. Me pregunto qué tan difícil es para los snowboarders controlar su puntería si viajan muy rápido. 4. Proyecto «Transformar ecuaciones cuadráticas». 5. Explique que examinarán cómo mover funciones cuadráticas alrededor del plano de coordenadas en este alcance. Comente las siguientes preguntas: a.
DOK-1 «¿Cómo se conecta la tarea en la cuadrícula de coordenadas con el snowboarder?». Permita que los estudiantes compartan sus ideas. Las respuestas de los estudiantes variarán. Ambas tareas intentan crear un camino que atraviese múltiples puertas para tener éxito.
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TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
b. DOK-1 «¿Puedes imaginar dos parábolas diferentes que podrían pasar ambas por las puertas?». Permita que los estudiantes compartan sus ideas. Las respuestas de los estudiantes variarán. Una parábola que se abre hacia arriba con su vértice en el cuadrante cuatro podría pasar a través de ambas, así como una parábola que se abre hacia abajo con su vértice en el primer cuadrante. 6. Complete las actividades de «Exploración». PARTE II: DESPUÉS DE EXPLORAR
1. Muestre nuevamente el video de fenómenos y vuelva a plantear el problema. 2. Consulta «Transformar funciones cuadráticas» y comente las siguientes preguntas: a. DOK-1 «¿Qué forma cuadrática sería la más fácil para completar esta tarea?». Forma de vértice de una ecuación cuadrática b. DOK-2 «¿Qué estrategias usarías para crear tus parábolas?». Yo trazaría una parábola que pasara por las dos puertas y luego usaría el vértice para empezar a crear mi ecuación de la forma y = a(x - h)2 + k. Usaría otro punto de mi parábola para encontrar a y asegurarme de que la parábola se abre en la dirección correcta. c. DOK-1 «¿Puedes conectar el trabajo que hiciste al formar funciones cuadráticas con tu trabajo con cualquier otro alcance?». Las traslaciones y reflexiones ocurrieron de manera similar en funciones de valor absoluto y exponenciales también. Cambiar los coeficientes de af(b(x - c)) + d crea transformaciones generales en cualquier función principal. d. DOK-1 «¿Sientes que tienes una sólida comprensión de la transformación de funciones cuadráticas?». Las respuestas variarán en función del éxito de los estudiantes durante la actividad y de su nivel de confianza.
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 1: TRASLACIONES DE CUADRÁTICAS DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizarán funciones cuadráticas dadas como ecuaciones, gráficas o tablas e identificarán las transformaciones.
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes darán sentido a las cantidades y sus relaciones. Los estudiantes descontextualizarán y contextualizarán relaciones cuantitativas. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes aplicarán las matemáticas que conocen para resolver problemas de la vida cotidiana. Los estudiantes representarán las matemáticas para describir una situación ya sea con una ecuación o un diagrama e interpretarán los resultados de una situación matemática. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes comprenderán la aplicación más amplia de los patrones y verán la estructura en situaciones similares.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes) REUTILIZABLE
• 1 calculadora gráfica (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima un «Boleto de salida» para cada pareja. Recorte los «Boletos de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno. • Reúna una calculadora gráfica para cada estudiante.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: ARDILLAS TERRESTRES
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «¡Juegas con ardillas y tienen hambre! Las ardillas de los niveles 1 y 2 son ardillas terrestres. Puedes apuntarlas al suelo, y excavan en una trayectoria cuadrática. Tu objetivo es ayudar a escribir funciones para alcanzar las bellotas que hay bajo el suelo antes de que vuelvan a salir a la superficie. El punto rojo indica la parte específica del camino donde debe estar la ardilla para conseguir la bellota». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para graficar Las ecuaciones mostradas y determinar qué ecuación transformará la función para que el punto rojo toque la bellota. Los estudiantes registrarán su trabajo en sus diarios». 4. A medida que los estudiantes colaboran, monitoree su trabajo y utilice las siguientes preguntas guías para evaluar su comprensión: a. DOK-1 «¿Existe una manera rápida de utilizar la calculadora para ver si la ecuación contiene el punto deseado?». Una vez introducida la ecuación en Y = en la calculadora, podrías mirar la tabla (segunda gráfica) para ver si la ecuación contiene el punto deseado. b. DOK-2 Todas las funciones de la pregunta 1 tienen menos algunos números. «¿Qué tienen en común los vértices de cada una de esas funciones?». Los vértices de todas estas funciones están por debajo del eje x. c. DOK-2 Todas las funciones de la pregunta 2 tienen algunos números más. «¿Qué tienen en común los vértices de cada una de esas funciones?». Los vértices de todas estas funciones están por encima del eje x. d. DOK-2 Todas las funciones de la pregunta 4 tienen algunos números menos. «¿Qué tienen en común los vértices de cada una de esas funciones?». Los vértices de todas estas funciones están a la derecha del eje y. e. DOK-2 Todas las funciones de la pregunta 5 tienen números positivos. «¿Qué tienen en común los vértices de cada una de esas funciones?». Los vértices de todas estas funciones están a la izquierda del eje y. 5. Conceda a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte I y responder a las preguntas que siguen. 6. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje hasta el momento. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 Describa cómo k cambia la función cuando f(x) = x2 se transforma en g(x) = x2 + k. Incluya una explicación para los valores k positivos y k negativos. Si k es positivo, desplazará la gráfica hacia arriba k unidades. Si k es negativo, desplazará la gráfica hacia abajo k unidades. • DOK-1 Describa cómo h cambia la función cuando f(x) = x2 se transforma en g(x) = (x - h)2. Incluya una explicación para los valores positivos h y negativos h. Si h es positivo, desplazará el gráfico a la derecha h unidades. Si h es negativo, desplazará el gráfico a la izquierda h unidades. 299
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Transform Quadratic Functions Explore 1
PARTE II: SUBIR DE NIVEL 1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Para el nivel dos, se le pide que ajuste el camino para recoger la bellota, pero la ardilla tiene que conseguir la bellota en el punto mínimo de su inmersión. Si no lo hace, ¡tendrá que intentarlo de nuevo antes de poder avanzar!».
Hungry Squirrel – Levels 1 and 2 Part I: Ground Squirrels 1.
The basic path is modeled by f(x) = x2. You are given three equations to choose from. Use technology to graph the three functions to determine which path will get the squirrel to his acorn.
2.
How does subtracting 2 from the function change each ordered pair of the basic path? Each y value is decreased by 2 units.
2. Los estudiantes deben tener aún sus diarios». 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para identificar dos desplazamientos necesarios para mover el vértice (punto rojo) hasta la bellota. El desplazamiento debe mover el vértice a la bellota. 4. Mientras los estudiantes colaboran, monitoree su trabajo y utilice las siguientes preguntas guías para evaluar su comprensión: a.
DOK-1 Cuando se realizan traslaciones, «¿cómo se llega del gráfico original al transformado?». La forma más fácil es usar un punto específico (vértice a vértice, punto rojo a bellota, etc.) y averiguar cómo llegar del punto original al nuevo punto.
b.
DOK-2 «¿Cómo podríamos saber si nuestra nueva ecuación transformada es correcta?». Introduce el punto sobre el que se encuentra la bellota y comprueba si se cumple tu nueva ecuación.
c.
DOK-2 Al realizar una traslación horizontal y vertical, «¿cómo cambia la ecuación que representa la función?». El valor de h y k cambiará.
d.
DOK-3 Al trasladar una función horizontalmente, «¿x más un número positivo mueve la función a la izquierda o a la derecha? ¿Por qué ocurre esto?». Moverá la función algunas unidades a la izquierda. Esto ocurre porque típicamente las funciones se escriben para expresar y en términos de x, así que cuando estamos al considerar la traslación de x en términos de y, es lo contrario de lo que esperaríamos.
1
Transform Quadratic Functions Explore 1
Transform Quadratic Functions Explore 1
3.
The basic path is modeled by f(x) = x2. You are given three equations to choose from. Use technology to graph the three functions to determine which path will get the squirrel to his acorn.
4.
Describe how k changes the function when f(x) = x2 is transformed to g(x) = x2 + k. Include an explanation for positive k and negative k values. If k is positive, it will shift the graph up k units. If k is negative, it will shift the graph down k units.
5.
The basic path is modeled by f(x) = x2. You are given three equations to choose from. Use technology to graph the three functions to determine which path will get the squirrel to his acorn.
3
2
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DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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1/9/26 1:42 PM
ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
Transform Quadratic Functions Explore 1
6.
The basic path is modeled by f(x) = x2. You are given three equations to choose from at the beginning of level 1. Use technology to graph the three functions to determine which path will get the squirrel to his acorn.
Transform Quadratic Functions Explore 1
Hidden Level 1.1 8.
The paths for squirrel A and squirrel B are described as transformations of the quadratic parent function, f(x). Describe the transformations of each squirrel’s path. Squirrel A
Squirrel B
f(x) – 5
f(x) + 5
The path for squirrel A was shifted down 5 units, and the path for squirrel B was shifted up 5 units.
7.
2.
If the acorn is located at a y-intercept of 5, which squirrel has a path that would get the acorn? Squirrel B would get the acorn.
10.
Explain how the y-intercept of the parent function compares to the y-intercept of the path taken by the squirrel that gets the acorn. The quadratic parent function has a y-intercept of (0, 0). The transformation for squirrel B is a shift up 5 units. This will shift all of the points on the parabola up 5 units, including the y-intercept.
Describe how h changes the function when f(x) = x2 is transformed to g(x) = (x – h)2. Include an explanation for positive h and negative h values. If h is positive, it will shift the graph right h units. If h is negative, it will shift the graph left h units.
4
5
Transform Quadratic Functions Explore 1
Transform Quadratic Functions Explore 1
Part II: Level Up 1.
9.
3.
The basic path is modeled by f(x) = x2. Your hungry squirrel can only reach the acorn using horizontal and vertical shifts. Which action should you take? A.
Perform a vertical shift 3 units down and a horizontal shift 2 units to the left.
B.
Perform a vertical shift 4 units up and a horizontal shift 3 units to the right.
C.
Perform a vertical shift 4 units down and a horizontal shift 3 units to the left.
4.
Your squirrel needs an equation for the correct path in the form of g(x) = (x – h)2 + k. Which equation should you use? A. B. C. D.
g(x) = (x + 3)2 – 4 g(x) = (x – 3)2 + 4
The basic path is modeled by f(x) = x2. Your hungry squirrel can only reach the acorn using horizontal and vertical shifts. Which action should you take? A.
Perform a vertical shift 3 units down and a horizontal shift 2 units to the left.
B.
Perform a vertical shift 2 units up and a horizontal shift 3 units to the right.
C.
Perform a vertical shift 2 units down and a horizontal shift 3 units to the left.
Your squirrel needs an equation for the correct path in the form of g(x) = (x – h)2 + k. Which equation should you use? A.
g(x) = (x + 3)2 – 2
B.
g(x) = (x – 3)2 + 2
2
C.
g(x) = (x + 3)2 + 2
2
D.
g(x) = (x – 3)2 – 2
g(x) = (x + 3) + 4 g(x) = (x – 3) – 4
6
7
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1/9/26 1:42 PM
ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
Transform Quadratic Functions Explore 1
5.
7.
The basic path is modeled by f(x) = (x + 3)2 – 2. Your hungry squirrel can only reach the acorn using horizontal and vertical shifts. Which action should you take? A.
Perform a vertical shift 2 units up and a horizontal shift 2 units to the left.
B.
Perform a vertical shift 2 units up and a horizontal shift 2 units to the right.
C.
Perform a vertical shift 2 units down and a horizontal shift 2 units to the right.
Transform Quadratic Functions Explore 1
8.
6.
Your squirrel needs an equation for the correct path in the form of g(x) = (x – h)2 + k. Which equation should you use? A.
g(x) = (x + 2)2 + 2
B.
g(x) = (x – 2)2 + 2
9.
A.
Perform a vertical shift 3 units up and a horizontal shift 4 units to the left.
B.
Perform a vertical shift 3 units up and a horizontal shift 4 units to the right.
C.
Perform a vertical shift 3 units down and a horizontal shift 4 units to the right.
Your squirrel needs an equation for the correct path. Which equation should you use? A.
g(x) = (x + 1)2 + 7
B.
g(x) = (x – 4)2 + 3
C.
g(x) = (x + 4)2 + 3
D.
g(x) = (x – 1)2 + 7
This is the final challenge! Master level 2 by writing g(x) as a function of f(x). Use the transformations to write g(x) in the form of g(x) = f(x – h) + k, where h represents horizontal translation from f(x), and k represents the vertical translation from f(x). Which equation is correct?
C.
g(x) = (x + 1)2 + 0
A.
g(x) = f(x + 4) + 3
D.
g(x) = (x – 1)2 + 0
B.
g(x) = f(x – 4) + 3
C.
g(x) = f(x – 4) – 3
8
9
Transform Quadratic Functions Explore 1
Transform Quadratic Functions Explore 1
Hidden Level 2.1 10.
The basic path is modeled by f(x) = (x – 5)2 + 4. Your hungry squirrel can only reach the acorn using horizontal and vertical shifts. Which action should you take?
Reflect
The paths for squirrel A and squirrel B are transformations of the quadratic parent function, f(x). Identify the vertex of each path.
1.
Describe what the letters h and k do for the function f(x) = (x – h)2 + k when h and k are positive. h will move it right if positive or left if negative. k will move it up if positive or down if negative.
2.
When performing a translation involving h and k values, does it matter in which order you move the vertex? No, you can perform vertical and horizontal translations in any order.
3.
Write a new equation that will move the parent function to the left and up. Answers will vary. It should have a base structure of y = (x + h)2 + k.
4.
Write a new equation that will move the parent function to the right and down. Answers will vary. It should have a base structure of y = (x – h)2 – k.
5.
Explain how you can identify the vertex on a table, on a graph, and on an equation.
Squirrel A x
1
2
5
8
9
y
12
5
−4
5
12
Squirrel B g(x) = f(x + 3) + 7 The vertex for squirrel A’s path is (5, −4), and the vertex for squirrel B’s path is (−3, 7).
11.
Describe the transformation from the parent function, and compare the x-intercepts of each function. Squirrel A’s path is translated down 4 units and right 5 units from the parent function. Squirrel B’s path is translated left 3 units and up 7 units from the parent function. Squirrel A’s path has two positive x-intercepts, and squirrel B’s path does not have any x-intercepts.
Table: Identify where the y values change direction (increasing to decreasing or decreasing to increasing). Graph: Identify the highest or lowest point where the y values change direction.
12.
Which squirrel has a path that would get the acorn? Squirrel A would get the acorn.
Equation: In vertex form, the vertex is the point (h, k).
10
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
Transform Quadratic Functions Explore 1
Translations of Quadratics Exit Ticket The y-intercept of the parabola represented by f(x) = x2 – 6x + 2 has the coordinates (0, 2). Which one of the following points lies on the parabola defined by g(x) = f(x + 4)? A. B. C. D. E.
(4, 2) (0, −2) (−3, 0) (−4, 2) (−9, 2)
Transform Quadratic Functions Explore 1
Translations of Quadratics Exit Ticket The y-intercept of the parabola represented by f(x) = x2 – 6x + 2 has the coordinates (0, 2). Which one of the following points lies on the parabola defined by g(x) = f(x + 4)? A. B. C. D. E.
(4, 2) (0, −2) (−3, 0) (−4, 2) (−9, 2)
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez creado, haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva».
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Si los estudiantes tienen dificultad para identificar transformaciones basadas en la ecuación, haga que traten de encontrar patrones a partir de más gráficas y que prueben conjeturas al usar la tecnología. 2. Cuando los estudiantes examinan las gráficas, pueden tener dificultad para traducir las transformaciones a ecuaciones. Anímelos a probar puntos de sus gráficas en sus ecuaciones propuestas.
APOYOS LINGÜÍSTICOS La siguiente estrategia lingüística se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes. Se proporcionará apoyos previos a la lectura (organizadores gráficos, diagramas de formas y vocabulario preenseñado) para ayudarlos en la comprensión de la lectura.
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
5. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen. 6. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 Al realizar desplazamientos horizontales y verticales, «¿importa el orden?». No, mientras realices ambos desplazamientos, el orden no importa. Sin embargo, típicamente realizamos las operaciones dentro de paréntesis primero. • DOK-1 Al escribir una función g(x) como una función de f(x), «¿qué pasos recomienda completar?». a
Identifique los desplazamientos visualmente de la gráfica que cambiaría de f(x) a g(x).
b
Determine si eso significa que los valores h y k aumentarán o disminuirán de f(x) para realizar los desplazamientos y crear la función g(x).
7. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
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Principiante: Como actividad previa a la lección, guíe a los estudiantes en la creación de cuadrados de vocabulario para los términos transformación y traducción. Completa en clase las siguientes secciones de los cuadros de vocabulario: Definición, Ejemplo (problema matemático) y Sin ejemplo. Pida a los estudiantes que creen su propia imagen para cada término. Intermedio: Como actividad previa a la clase, pida a los estudiantes que creen cuadrados de vocabulario para los términos transformación y traducción. Los cuadrados de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), Sin ejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes las definiciones y los ejemplos, pero anímelos a reescribir las definiciones con sus propias palabras. Avanzado: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que creen cuadrados de vocabulario para los términos transformación y traducción. Los cuadrados de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), Sin ejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes las definiciones y los ejemplos, pero anímelos a reescribir las definiciones con sus propias palabras.
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
Transform Quadratic Functions Part 1
Transform Quadratic Functions Part 1
Describe the effect that each transformation below has on the function f(x) = x2, where b > 0.
Translations of Quadratics Describe the transformations from the quadratic parent function. 1.
a(x) = x2 + 5 Translated up 5 units
5.
e(x) = (x + 2)2 + 3 Shifted left 2 units and up 3 units
2.
b(x) = x2 – 9 Shifted down 9 units
6.
3.
c(x) = (x + 7)2 Shifted left 7 units
f(x) = (x + 8)2 – 12 Shifted left 8 units and down 12 units
7.
4.
d(x) = (x – 6)2 Translated right 6 units
g(x) = (x – 5)2 + 6 Shifted right 5 units and up 6 units
8.
14.
g(x) = f(x – b) Subtracting a positive number, b, from the x value will shift the function b units to the right.
15.
h(x) = f(x) – b Subtracting a positive number, b, from the function will shift the function b units down.
16.
The y-intercept and vertex of the parabola represented by f(x) = (x + 3)2 – 12 has the coordinates (0, 3) and (−3, −12), respectively. Which of the following ordered pairs lies on the parabola defined by g(x) = f(x + 2) – 1? Select all that apply.
h(x) = (x – 4)2 – 1 Shifted right 4 units and down 1 unit Write the function given the transformation from the quadratic parent function. 9.
Shifted down 7 units y = x2 – 7
10.
Shifted left 9 units y = (x + 9)2
11.
Shifted 11 units to the right and 8 units up y = (x – 11)2 + 8
13.
The graph of the function q(x) is represented below. On the same set of axes, sketch the function q(x) + 2.
❏ ❏ ❏ ❏ ❏ ❏
(−2, -4) (−5, −13) (−1, −13) (2, 2) (−1, 5) (−4, −10)
Graph the translations as described. 12.
The graph of the function q(x) is represented below. On the same set of axes, sketch the function q(x + 2).
17.
The roots of the parabola represented by f(x) = −(x – 4)2 + 9 have the coordinates (1, 0) and (7, 0). Which of the following ordered pairs are the roots of the parabola defined by g(x) = f(x – 2)? Select all that apply. ❏ ❏ ❏ ❏ ❏ ❏
18.
1
2
Transform Quadratic Functions Part 1
Transform Quadratic Functions Part 1
The function g(x) is a transformation of the function f(x). Describe the transformation, and write an equation for g(x) in terms of f(x).
20.
The function f(x) was shifted 7 units to the left and 13 units down. g(x) = f(x – 7) – 13
19.
❏ ❏ ❏ ❏ ❏ ❏
x
h(x)
−4
−7
−3
−4
−2
−3
−1
−4
0
−7
Makena, James, and Hau were describing the transformations that would result in the squirrel getting the acorn. The teacher said their responses are all correct. Explain why. Makena
James
Hau
A translation of 4 units up and 3 units to the right would result in the squirrel getting the acorn.
A translation of the function f(x) described by f(x – 1) would result in the squirrel getting the acorn.
A translation described by f(x – 5) would result in the squirrel getting the acorn.
They are all correct because each translation results in the new function containing the point (3, 4). Makena’s transformation states that the point (0, 0) is translated to (3, 4). James’ translation moves the function one unit to the right and could be used to show that the point (2, 4) is translated to (3, 4). Hau’s translation of f(x – 5) moves the function down 5 so the point (3, 9) is translated to (3, 4).
Which statement is true about the functions f(x), g(x), and h(x)? Select all that apply. f(x) = (x + 3)2 – 4
(1, 2) (9, 0) (7, 2) (3, 0) (−1, 0) (5, 0)
The minimum value of g(x) is greater than the maximum value of h(x). The y-intercept of f(x) is greater than the y-intercept of g(x). f(x) and h(x) have the same roots. g(x) = h(x) when x = −2. Two functions have a minimum value. f(x) and h(x) have been translated to the left and down. 3
4
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 2: DILATACIONES DE CUADRÁTICAS DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes analizarán funciones cuadráticas dadas como ecuaciones, gráficas o tablas e identificarán las transformaciones.
PARTE I: ARDILLAS TERRESTRES
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes darán sentido a las cantidades y sus relaciones. Los estudiantes descontextualizarán y contextualizarán relaciones cuantitativas. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes aplicarán las matemáticas que conocen para resolver problemas de la vida cotidiana. Los estudiantes representarán las matemáticas para describir una situación ya sea con una ecuación o un diagrama e interpretarán los resultados de una situación matemática. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes comprenderán la aplicación más amplia de los patrones y verán la estructura en situaciones similares.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes) REUTILIZABLE
• 1 calculadora gráfica (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Separar la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes. • Imprimir un «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprimir un «Boleto de salida» para cada pareja. Recorte los «Boletos de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno. • Reúna una calculadora gráfica para cada estudiante.
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Hoy subimos de nivel con nuestro juego de ardillas. En estos próximos niveles, tienes la opción de una nueva ardilla: ¡una ardilla voladora! Si la bellota está bajo tierra, usarás la ardilla terrestre. Sin embargo, si la bellota está en la rama de un árbol, necesitarás usar la ardilla voladora». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Explique a los estudiantes que trabajarán con sus grupos para graficar Las ecuaciones mostradas y determinar qué ecuación transformará la función para que el punto rojo toque la bellota. Los estudiantes registrarán su trabajo en sus diarios». 4. A medida que los estudiantes colaboran, monitoree su trabajo y utilice las siguientes preguntas guías para evaluar su comprensión: a. DOK-1 «¿Existe una manera rápida de utilizar la calculadora para ver si la ecuación contiene el punto deseado?». Una vez introducida la ecuación en Y = en la calculadora, podrías mirar la tabla (segunda gráfica) para ver si la ecuación contiene el punto deseado. b. DOK-2 Todas las funciones de la pregunta 1 tienen un coeficiente mayor que 1. «¿Qué tiene en común la amplitud de cada una de esas funciones?». La anchura de todas estas funciones es menor o más estrecha que la función inicial. c. DOK-2 En la pregunta 1, «¿cuál es el valor de y del par ordenado donde se encuentra el punto rojo? ¿Cuál es el valor y del par ordenado donde se encuentra la bellota? ¿Por cuánto habría que multiplicar el valor y del punto rojo para obtener el valor y de la bellota?». El valor y del punto rojo es 1, y el de la bellota es 5. Tendría que multiplicar 1 por 5 para obtener 5. d. DOK-2 Todas las funciones de la pregunta 2 tienen un coeficiente menor que 1. «¿Qué tiene en común el ancho de cada una de esas funciones?». El ancho de todas estas funciones es mayor o más ancha que la función inicial. e. DOK-2 En la pregunta 2, «¿cuál es el valor de y del par ordenado donde se encuentra el punto rojo? ¿Cuál es el valor y del par ordenado donde se encuentra la bellota? ¿Por cuánto habría que multiplicar el valor y del punto rojo para obtener el valor y de la bellota?». El valor y del punto rojo es 9, y el de la bellota es 3. Tendría que 1 multiplicar 9 por __ para obtener 3. 9
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2
f. DOK-2 «¿Qué entrada de la función principal tendrías que introducir para obtener una salida de 9? ¿Qué le harías a la entrada 1 de la bellota para obtener la misma salida?». La entrada de x = 3 da a la función principal una salida de 9. Para obtener la misma salida para el valor de 1 de la bellota x, tendrías que multiplicar la entrada por 3. g. DOK-2 Todas las funciones de la pregunta 4 tienen un coeficiente dentro del paréntesis. «¿Qué tiene en común el ancho de cada una de esas funciones?». El ancho de todas estas funciones es más ancho o más estrecho que la función inicial.
Transform Quadratic Functions Explore 2
Hungry Squirrel – Levels 3 and 4 Part I: Ground Squirrels 1.
The basic path is modeled by f(x) = x2. You are given equations to choose from. Use technology to graph the functions to determine which path will get the squirrel to his acorn.
h. DOK-2 Las funciones de la pregunta 6 tienen un coeficiente negativo. «¿Cómo cambia el sentido de la apertura cuando el coeficiente cambia de signo?». La dirección de la apertura cambia de apertura hacia arriba a apertura hacia abajo cuando cambia el signo del coeficiente. i. DOK-2 En la gráfica de la pregunta 6, «¿están el punto rojo y la bellota en el mismo lado del eje x? ¿Qué tipo de transformación cambiará el par ordenado de un lado del eje al otro?». No, están en lados distintos. Una reflexión cambiará el par ordenado de un lado al otro. 5. Conceda a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte I y contestar las preguntas que siguen.
1
6. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje hasta el momento.
Transform Quadratic Functions Explore 2
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 «¿Cómo afecta la gráfica el valor del coeficiente a frente al x2?». Si a es mayor que 1, dilata la gráfica al estirarla verticalmente. Si a es menor que 1 pero mayor que 0, dilata la gráfica al comprimirla verticalmente. Si a es negativo, refleja toda la gráfica sobre el eje x-.
2.
The basic path is modeled by f(x) = x2. You are given equations to choose from. Use technology to graph the functions to determine which path will get the squirrel to his acorn.
3.
Describe how a changes the function when f(x) = x2 is transformed to g(x) = ax2. Include descriptions for numbers greater than 1 and less than 1. If a is greater than 1, it dilates the graph by stretching it vertically. If a is less than 1 but greater than 0, it dilates the graph by shrinking it vertically.
PARTE II: SUBE DE NIVEL
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «En el nivel cuatro, se les pide que ajusten el camino para recoger la bellota, pero el camino de la ardilla puede involucrar más de una transformación». 2. Los estudiantes deben tener aún sus diarios». 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para identificar las combinaciones de dilataciones y/o reflexiones que permitirían a la ardilla llegar a la bellota. El desplazamiento debe mover el punto rojo hasta la bellota. Explique que deben tomar la decisión de utilizar ardillas terrestres o ardillas voladoras.
2
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2
Transform Quadratic Functions Explore 2
4.
The basic path is modeled by f(x) = x2. You are given equations to choose from. Use technology to graph the functions to determine which path will get the squirrel to his acorn.
5.
Describe how b changes the function when f(x) = x2 is transformed to g(x) = (bx)2. Explain using the horizontal changes. A b value adjusts the value horizontally. A b value greater than 1 compresses the function horizontally, whereas a b value less than 1 but greater than 0 stretches the function horizontally.
Squirrel A
The flying squirrels take a different path. Instead of using the function y = x2, they follow the path of y = −x2. Graph the new path below to determine if the squirrel will reach the acorn.
7.
Describe how a negative coefficient changes the function when f(x) = x2 is transformed to g(x) = −x2. A negative coefficient reflects the graph over the x-axis. 4
Transform Quadratic Functions Explore 2
Transform Quadratic Functions Explore 2
Part II: Level Up 1.
The paths for squirrel A and squirrel B are transformations of the quadratic parent function, f(x). Which squirrel has a path that would get the acorn?
The quadratic function, g(x), passing through the points (−2, −8) (0, 0) (2, −8)
6.
3
Hidden Level 3.1 8.
Transform Quadratic Functions Explore 2
The basic path is modeled by f(x) = x2. Your hungry squirrel can only reach the acorn using dilations and/or reflections. Which action should you take? A.
Perform a reflection over the y-axis and a vertical stretch by a factor of 2.
B.
Perform a reflection over the x-axis and a vertical stretch by a factor of 4.
C.
Perform a reflection over the x-axis and a vertical stretch by a factor of 6.
Squirrel B
h(x) = −0.5x2
Squirrel A would get the acorn.
9.
Describe the transformation from the parent function for each path. The path for squirrel B has been vertically compressed by a factor of one-half and reflected over the x-axis. The path for squirrel A has been stretched by a factor of 2 and reflected over the x-axis.
10.
To get to level 4, select all of the true statements. ❏ ❏ ❏ ❏ ❏
2.
The functions g(x) and h(x) have the same maximum value because the vertex doesn’t shift when dilated about the origin. For all values of x, g(x) < h(x). For all nonzero values of x, g(x) > h(x). g(x) = h(x) when x = 0. The function g(x) has 2 roots, and the function h(x) has no real roots.
Your squirrel needs an equation for the correct path in the form of g(x) = a · f(x). Which equation should you use? A. B. C. D.
3.
5
g(x) = −2 · f(x) g(x) = 4 · f(x) g(x) = −4 · f(x) g(x) = 6 · f(x)
Write an equation in the form of g(x) = ax2 to represent the squirrel’s path. g(x) = −4 · f(x) g(x) = −4 · 1x2 g(x) = −4x2
6
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2
Transform Quadratic Functions Explore 2
Transform Quadratic Functions Explore 2
7. 4.
The basic path is modeled by f(x) = 2x2. Your hungry squirrel can only reach the acorn using dilations and/or reflections. Which action should you take? A.
Perform a reflection over the x-axis and a vertical compression by a factor of 0.25.
B.
Perform a reflection over the y-axis and a vertical compression by a factor of 0.5.
C.
Perform a reflection over the x-axis and a vertical compression by a factor of 1 .
The basic path is modeled by f(x) = −5x2. Your hungry squirrel can only reach the acorn using dilations and/or reflections. Describe the transformation.
2
5.
A. B. C. 6.
The function f(x) is reflected over the x-axis and vertically compressed by a factor of 4 .
Your squirrel needs an equation for the correct path in the form of g(x) = a · f(x). Which equation should you use?
5
g(x) = −0.5 · f(x) g(x) = 0.5 · f(x) g(x) = −0.25 · f(x)
8.
Your squirrel needs an equation for the correct path in the form of g(x) = a · f(x). Write the equation. 4 g(x) = (− )f(x)
9.
Write an equation in the form of g(x) = ax2 to represent the squirrel’s path.
5
Write an equation in the form of g(x) = ax2 to represent the squirrel’s path. g(x) = −0.5 · f(x) g(x) = −0.5 · 2x2 g(x) = −1x2
g(x) = (− g(x) = 4x2
7
Transform Quadratic Functions Explore 2
x
g(x)
−2
−9
0
3
2
7
4
3
6
−9
2.
Describe the transformation to a quadratic function if a is exactly one. Justify your position using a property of multiplication such as the zero property, the identity property, or the associative property. If a is exactly 1, the function remains unchanged because the identity property of multiplication states that when you multiply by 1, the product doesn’t change the other factor or function in this case.
3.
Describe the transformation to a quadratic function if a is exactly zero. Justify your position using a property of multiplication such as the zero property, the identity property, or the associative property. If a is exactly 0, the function becomes linear because the zero property of multiplication states that when you multiply by 0, the product will be zero for any factor or function in this case.
h(x) = −(x – 1)2 + 6
Which statement is true? Select all that apply. ❏
g(−2) is less than h(−2).
❏
g(0) is less than h(0).
❏ ❏ ❏
g(0) is equal to h(0). g(2) is less than h(2). g(4) is greater than h(4).
Describe how the coefficients a and b transform the function f(x) = a(bx)2. Explain positives and negatives as well as numbers larger and smaller than 1. If a is negative, it reflects the function over the x-axis. If it has a magnitude larger than 1, it stretches the function vertically. If it has a magnitude between 0 and 1, it compresses the function vertically. If b has a magnitude larger than 1, it compresses the function horizontally. If it has a magnitude between 0 and 1, it stretches the function horizontally.
Squirrel B
Both squirrels’ paths get the acorn. 11.
8
Transform Quadratic Functions Explore 2
1.
The paths for squirrel A and squirrel B are transformations of the quadratic parent function, f(x). Which squirrel has a path that would get the acorn? Squirrel A
5
Reflect
Hidden Level 4.1 10.
4 )f(x) 5
g(x) = (− 4 )−5x2
9
10
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Transform Quadratic Functions Explore 2
Dilations of Quadratics Exit Ticket
The figure shows the graphs of the functions f(x) = x2 – 10x + 25 and g(x). The three indicated points all have integer coordinates. If g(x) = k · f(x), what is the value of k? A. B. C. D.
3 2 −2 −3
d. DOK-2 En la pregunta 4, «¿cuál es el valor y del par ordenado donde se encuentra el punto rojo después de reflejarlo sobre el eje x? ¿Cuál es el valor y del par ordenado donde se encuentra la bellota? ¿Por cuánto habría que multiplicar el valor y del punto rojo para obtener el valor y de la bellota?». El valor y después del reflejo es -8, y el valor y de la bellota es -4. Tendría que multiplicar 1 -8 por __ para obtener -4. 2
Transform Quadratic Functions Explore 2
Dilations of Quadratics Exit Ticket
The figure shows the graphs of the functions f(x) = x2 – 10x + 25 and g(x). The three indicated points all have integer coordinates. If g(x) = k · f(x), what is the value of k? A. B. C. D.
e. DOK-2 Puesto que la trayectoria básica se representó mediante la función f(x) = 2x2, 1 «¿cómo se comprime por un factor de __ para 2 cambiar la funcióm?». El coeficiente de la nueva función no será __ 12 porque empezamos con un coeficiente distinto de 1. Como empezamos con un coeficiente de 2, tendría sentido multiplicar 2 veces __ 1 para obtener el nuevo coeficiente. c
3 2 −2 −3
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
4. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guíass para evaluar su comprensión: a. DOK-1 «¿Cómo decides si utilizar una ardilla voladora o una ardilla terrestre?». Si el camino baja y luego vuelve a subir, necesitaría una ardilla terrestre. Si el camino sube y luego baja, necesitaría una ardilla voladora. b. DOK-2 Al realizar dilataciones o reflexiones horizontales y verticales, «¿cómo cambiará la ecuación que representa la función?». Cambiará el valor de a y b. c. DOK-2 En la pregunta 1, «¿cuál es el valor de y del par ordenado donde se encuentra el punto rojo después de reflejarlo sobre el eje x? ¿Cuál es el valor y del par ordenado donde se encuentra la bellota? ¿Por cuánto habría que multiplicar el valor y del punto rojo para obtener el valor y de la bellota?». El valor y después del reflejo es -1, y el valor y de la bellota es -4. Tendría que multiplicar -1 por 4 para obtener -4.
2
DOK-2 En la pregunta 7, «¿cuál es el valor y del par ordenado donde se encuentra el punto rojo después de reflejarlo sobre el eje x? ¿Cuál es el valor y del par ordenado donde se encuentra la bellota? ¿Por cuánto habría que multiplicar el valor y del punto rojo para obtener el valor y de la bellota?». El valor de y después de la reflexión es 5, y el valor de y de la bellota es 4. Tendría que 4 multiplicar 5 veces __ para obtener 4. 5
5. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen, incluidas las preguntas de reflexión. 6. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 Describa qué hacen los coeficientes a y b para la función f(x) = a(bx)2. Explique los valores positivos y negativos, así como los números mayores y menores que 1. Si a es negativo, refleja la función sobre el eje x-. Si tiene una magnitud mayor que 1, estira la función verticalmente. Si tiene una magnitud entre 0 y 1, comprime la función verticalmente. Si b es negativo, refleja la función sobre el eje y. Si tiene una magnitud mayor que 1, comprime la función horizontalmente. Si tiene una magnitud entre 0 y 1, estira la función horizontalmente. 7. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez creado, pida a cada estudiante que complete su «Libreta interactiva» .
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Transform Quadratic Functions Part 2
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Los estudiantes pueden olvidar el signo del coeficiente a basándose en la gráfica después de determinar el valor. Anímelos a comprobar la gráfica para ver si se abre hacia arriba o hacia abajo. 2. Los estudiantes pueden no entender que cambiar el coeficiente a en forma de vértice cambia muchos puntos de la curva pero no cambia el vértice en sí. Anímelos a graficar las parábolas al usar la tecnología y a ver qué sucede con varios puntos cuando se cambia a.
APOYOS LINGÜÍSTICOS La siguiente estrategia lingüística se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes.
Dilations of Quadratics Describe the transformations from the quadratic parent function. 1
1.
a(x) = 4x2 Stretched vertically by a factor of 4
3.
c(x) = ( 3 x)2 Stretched horizontally by a factor of 3
2.
b(x) = −0.2x2 Compressed vertically by a factor of 0.2 and reflected over the x-axis
4.
d(x) = (−5x)2 Horizontal compression by a factor of and reflected over the y-axis
Write a function given the transformation from the quadratic parent function. 5.
Stretched vertically Answers will vary. y = 7x2
7.
Compressed horizontally Answers will vary. y = (7x)2
6.
Compressed vertically Answers will vary. y = 0.7x2
8.
Stretched horizontally Answers will vary. y = (0.7x)2
10.
The graph of the function f(x) = x2 is represented below. On the same set of axes, sketch a function, m(x), that has been stretched vertically. Graphs will vary.
Graph the translations as described. 9.
The graph of the function f(x) = x2 is represented below. On the same set of axes, sketch a function, r(x), that has been reflected over the x-axis and is stretched horizontally. Graphs will vary.
Se proporcionará apoyos previos a la lectura (organizadores gráficos, diagramas de formas y vocabulario preenseñado) para ayudarlos en la comprensión de la lectura. Principiante: Como actividad previa a la lección, guíe a los estudiantes en la creación de un cuadrado de vocabulario para el término dilatación. Completa en clase las siguientes secciones del cuadrado de vocabulario: Definición, Ejemplo (problema matemático) y Sin ejemplo. Pida a los estudiantes que creen su propia imagen para el término. Intermedio: Como actividad previa a la clase, pide a los estudiantes que creen un cuadrado de vocabulario para el término dilatación. Los cuadrados de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), Sin ejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes la definición y el ejemplo, pero anímelos a reescribir la definición con sus propias palabras.
1
Transform Quadratic Functions Part 2
11.
4
g(x) = 2f(x) 12.
Avanzado: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que creen un cuadrado de vocabulario para el término dilatación. Los cuadrados de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), Sin ejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes la definición y el ejemplo, pero anímelos a reescribir la definición con sus propias palabras.
Each graph shows the quadratic parent function, f(x) = x2. Label each graph with the correct transformed function: g(x) = f(0.2x), g(x) = f(−2x), g(x) = − 1 f(x), or g(x) = 2f(x).
g(x) = −
1 f(x) 4
g(x) = f(−2x)
g(x) = f(0.2x)
Which statement about the relationship between the graph of f(x) = x2 and the graph of h(x) = 16x2 is true? Select all that apply. The graph of h is wider than the graph of f. The graph of h is narrower than the graph of f. The graph of h is a vertical stretch of the parent function, but the same graph could be made by using a horizontal compression, such as the graph of g(x) = (4x)2. The graph of h is 16 units higher than the graph of f. The vertex of the graph of h and the vertex of the graph of f are the same. The graph of h will open in the opposite direction as the graph of f.
❏ ❏ ❏
❏ ❏ ❏
Each table shows ordered pairs of a quadratic function. If g(x) is a transformation of the parent function f(x) = x2, determine the value of k if g(x) = k · f(x). 13.
14.
15.
x
g(x)
x
g(x)
x
g(x)
−1
5
−1
−2
−4
4
0
0
1
−2
−2
1
1
5
3
−18
1
0.25
k=5
k = −2
k = 0.25 2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 2) CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 3: TRANSFORMACIONES DE CUADRÁTICAS DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizarán funciones cuadráticas dadas como ecuaciones, gráficas o tablas e identificarán las transformaciones.
4. A medida que los estudiantes colaboran, monitoree su trabajo y utilice las siguientes preguntas guías para evaluar su comprensión: a.
• MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes darán sentido a las cantidades y sus relaciones. Los estudiantes descontextualizarán y contextualizarán relaciones cuantitativas.
DOK-1 «¿Existe una manera rápida de utilizar la calculadora para ver si la ecuación contiene el punto deseado?». Una vez introducida la ecuación en Y = en la calculadora, podrías mirar la tabla (segunda gráfica) para ver si la ecuación contiene el punto deseado.
b.
• MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes aplicarán las matemáticas que conocen para resolver problemas de la vida cotidiana. Los estudiantes representarán las matemáticas para describir una situación ya sea con una ecuación o un diagrama e interpretarán los resultados de una situación matemática.
DOK-1 Al identificar transformaciones, «¿importa en qué orden realizas las transformaciones?». Sigue el orden de las operaciones y realiza primero la transformación dentro del paréntesis, después la multiplicación y la división, y por último la suma y la resta.
c.
DOK-2 Todas las funciones de la pregunta 1 tienen una constante añadida al final. «¿Qué tiene en común el vértice de cada una de esas funciones?». El vértice de todas estas funciones está sobre el eje x.
d.
DOK-2 Esto es una ardilla voladora. «¿La parábola de la trayectoria de una ardilla voladora se abre hacia arriba o hacia abajo? ¿Qué transformación de la trayectoria básica producirá ese tipo de parábola?». La parábola de la trayectoria de una ardilla voladora se abrirá hacia abajo. La transformación para producir eso sería una reflexión sobre el eje x-, lo que significaría que necesitamos un coeficiente negativo en nuestra ecuación.
e.
DOK-2 En la pregunta 1, «¿cuál es el valor y del par ordenado después de que la función ha sido reflejada donde se encuentra el punto rojo? ¿Cuál es el valor y del par ordenado donde se encuentra la bellota más alta? ¿Qué habría que sumar al valor y del punto rojo para llegar al valor y de la bellota?». El valor y del punto rojo es 0, y el de la bellota es 5. Tendría que sumar 5 a 0 para obtener 5.
f.
DOK-2 En la pregunta 4, «¿cuál es el valor y del par ordenado después de reflejar la función donde se encuentra el punto rojo? ¿Cuál es el valor y del par ordenado donde se encuentra la bellota más alta? ¿Por cuánto habría que multiplicar el valor y del punto rojo para obtener el valor y de la bellota?». El valor y del punto rojo es 0, y el de la bellota es 4. Tendría que sumar 4 a 0 para obtener 4.
g.
DOK-2 «¿Puede la ardilla llegar a las dos bellotas al usar sólo una reflexión y un desplazamiento, o necesita una tercera transformación?». Después de realizar una reflexión y un desplazamiento hacia arriba 4 unidades, la parábola no pasa por ambas bellotas, así que necesito una tercera transformación.
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes comprenderán la aplicación más amplia de los patrones y verán la estructura en situaciones similares.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes) REUTILIZABLE
• 1 calculadora gráfica (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Separar la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes. • Imprimir el «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprimir un «Boleto de salida» para cada pareja. Recorte los «Boletos de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno. • Reúna una calculadora gráfica para cada estudiante.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: ELIGE UNA ARDILLA
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Para el nivel cinco, hay múltiples transformaciones que debes realizar para llegar a las bellotas. El punto rojo debe pasar por una bellota, pero debes recoger las dos bellotas con tu trayectoria. Puedes usar una ardilla terrestre o una ardilla voladora». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para graficar Las ecuaciones mostradas y determinar qué ecuación transformará la función para que el punto rojo toque la bellota. Los estudiantes registrarán su trabajo en sus diarios».
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5. Conceda a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte I y responder a las preguntas que siguen. 6. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta ahora. CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-1 Al realizar transformaciones, «¿cómo debes usar el vértice a tu favor?». Intenta poner el vértice en una de las bellotas, y mira si alguno de los puntos funciona en el otro punto. Si no, cambia el vértice al segundo punto, y mira si funciona algún punto. Si no, prueba a realizar un estiramiento o encogimiento vertical. 311
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3
PARTE II: SUBIR DE NIVEL 1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Para el nivel seis, se te pide que ajustes el camino para recoger la bellota, pero ¡cuidado con mirar el camino original! Ya se realizan desplazamientos, así que tienes que ajustar el camino para pasar por las dos bellotas. Las bellotas deben ser alcanzadas por dos puntos uno al lado del otro, y uno de esos puntos debe ser el punto rojo».
Transform Quadratic Functions Explore 3
Hungry Squirrel – Levels 5 and 6 Part I: Choose a Squirrel 1.
The basic path is modeled by f(x) = x2. You are given equations to choose from. Use technology to graph the functions to determine which path will get the squirrel to both acorns. The red dot must pass through one acorn.
2.
Describe the transformations from f to g. Reflect over the x-axis, and then shift up 5 units.
3.
There is another function, h(x), that uses translations and will result in the parabola going through the points (0, 5) and (2, 1). Write the function, and describe the translations. h(x) = (x – 2)2 + 1 Shift right 2 units and up 1 unit.
2. Los estudiantes deben tener aún sus diarios». 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para identificar las transformaciones que permitirían a la ardilla llegar a la bellota. La transformación debe mover el punto rojo hasta la bellota. Los estudiantes registrarán su trabajo en sus diarios». 4. Mientras los estudiantes colaboran, controle su trabajo y utilice las siguientes preguntas guías para evaluar su comprensión: a.
DOK-1 Al reescribir g(x) como una función de f(x), «¿cuál es el mejor grado de acción?». Primero, identifique los cambios de f(x) a g(x). Luego, aplica esos cambios a la función f(x) para encontrar la nueva función g(x).
b.
DOK-2 En la pregunta 1, «¿cuál es el valor y del par ordenado donde se encuentra el punto rojo? ¿Cuál es el valor y del par ordenado donde se encuentra la bellota más baja? ¿Qué habría que sumar al valor y del punto rojo para llegar al valor y de la bellota?». El valor de y para el punto rojo es -4, y para la bellota, es -1. Tendría que sumar 3 a -4 para obtener -1.
c.
d.
DOK-2 En la pregunta 2, «¿cuál es el valor y del par ordenado donde se encuentra el punto rojo? ¿Cuál es el valor y del par ordenado donde se encuentra la bellota más alta? ¿Qué habría que sumar al valor y del punto rojo para llegar al valor y de la bellota?». El valor y del punto rojo es 3, y el de la bellota es 0. Tendría que sumar -3 a 3 para obtener 0. DOK-2 En la pregunta 3, «¿cuál es el valor y del par ordenado donde se encuentra el punto rojo? ¿Cuál es el valor y del par ordenado donde se encuentra la bellota más baja? ¿Qué habría que sumar al valor y del punto rojo para llegar al valor y de la bellota?». El valor de y para el punto rojo es 0, y para la bellota, es -1. Tendría que sumar -1 a 0 para obtener -1.
e.
DOK-2 En la pregunta 3, «¿cuál es el valor x del par ordenado donde se encuentra el punto rojo? ¿Cuál es el valor x del par ordenado donde se encuentra la bellota más baja? ¿Qué habría que sumar al valor x del punto rojo para llegar al valor y de la bellota?». El valor x del punto rojo es 0, y el de la bellota es 1. Tendría que sumar 1 a 0 para obtener 1.
f.
DOK-2 En la pregunta 3, «¿puede una parábola representar la trayectoria de la ardilla al usar sólo traslaciones? ¿Por qué sí o por qué no?». No puede porque la trayectoria básica no muestra dos puntos consecutivos que estén sólo a una diferencia de media unidad uno por encima o por debajo del otro. Los puntos consecutivos más cercanos son el vértice y el punto a cada lado del vértice. La trayectoria básica muestra que están 1 unidad por encima / por debajo el uno del otro.
1
Transform Quadratic Functions Explore 3
4.
From the basic function f(x) = x2, write a function that can be used to get the two acorns. The red dot must pass through one acorn. Give the transformed function, g(x), as a function of f(x). g(x) = −2f(x) + 4 or g(x) = 2f(x – 1) + 2
5. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen. 6. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
2
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3
Transform Quadratic Functions Explore 3
2.
Part II: Level Up 1.
Transform Quadratic Functions Explore 3
The basic path is modeled by f(x) = 2(x + 3)2 – 4. Write a function that can be used to get the two acorns. The red dot must pass through one acorn. Give the transformed function, g(x), as a function of f(x).
The basic path is modeled by f(x) = −(x – 2)2 + 3. Write a function that can be used to get the two acorns. The red dot must pass through one acorn. Give the transformed function, g(x), as a function of f(x). g(x) = f(x + 1) – 3 or g(x) = −f(x) – 4
g(x) = f(x – 2) + 3 or g(x) = −f(x – 3) + 5
3.
3
4
Transform Quadratic Functions Explore 3
Transform Quadratic Functions Explore 3
From the basic function f(x) = x2, write a function that can be used to get the two acorns. The red dot must pass through one acorn. Give the transformed function, g(x), as a function of f(x).
Reflect 1.
Write your own quadratic function with a vertical stretch, a shift to the right, and a shift down from the parent function. Answers will vary. y = 2(x – 3)2 – 8
2.
Write your own quadratic function that contains a reflection over the x-axis, a shift to the left, and a shift up from the parent function. Answers will vary. y = −(x + 5)2 + 10
3.
Draw a graph that reflects over the x-axis, shifts to the right, and shifts up from the parent function.
g(x) = 2 · f(x − 1) – 1 or g(x) = −2 · f(x – 2) + 1
Graphs will vary.
5
6
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Transform Quadratic Functions Explore 3
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Cuál es la diferencia entre escribir una nueva función g(x) y escribir g(x) como una función de f(x)?». Al escribir la función g(x), sólo hay que identificar los cambios para g(x) a partir de la función principal x2. Al escribir la función g(x) como función de f(x), hay que identificar los cambios de f(x) y escribir la nueva función g(x) para representar sólo los cambios realizados. Por ejemplo, si tanto f(x) como g(x) tienen el mismo estiramiento vertical, no es necesario representarlo en g(x).
Transformations of Quadratics Exit Ticket Answers will vary. Write a function that has a vertical stretch, reflects over the x-axis, and shifts to the left. y = −2(x + 6)2
7. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 8. Vuelva al «Captar interés» e indique a los estudiantes que usen sus habilidades recién adquiridas para completar con éxito la actividad.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
Transform Quadratic Functions Explore 3
Transformations of Quadratics Exit Ticket Answers will vary. Write a function that has a vertical stretch, reflects over the x-axis, and shifts to the left. y = −2(x + 6)2
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez creado, haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva» .
APOYOS PEDAGÓGICOS
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
1. Si los estudiantes tienen dificultad para identificar transformaciones basadas en la ecuación, haga que traten de encontrar patrones a partir de más gráficas y que prueben conjeturas al usar tecnología.
Transform Quadratic Functions Part 3
2. Cuando los estudiantes examinan las gráficas, pueden tener dificultad para traducir las transformaciones a ecuaciones. Anímelos a probar puntos de sus gráficas en sus ecuaciones propuestas. 3. Para transformaciones compuestas más complicadas de gráficas, puede ser útil que los estudiantes creen múltiples gráficas para mostrar los pasos de cada transformación sucesiva que realizan.
Transformations of Quadratics 1.
2.
Write a function that has a vertical compression, reflects over the x-axis, and shifts up from the parent function. Answers will vary. y = −0.2x2 + 6 Describe the transformations of the parent function f(x) = x2 to the function g(x) = −3(x +
1 2 ) + 4. 2 1
The parent function has been shifted to the left 2 units, vertically stretched by a factor of 3, reflected over the x-axis, and shifted up 4 units.
3.
The graph of a quadratic function, m, is shown on the grid.
4.
The graph of a quadratic function, f, is shown on the grid.
If p(x) = x2 and m(x) = p(x) + r, what is the value of r?
If g(x) = x2 and f(x) = g(x – s) + r, what are the values of s and r?
r = −3
r = 2 and s = −1
1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 3) CLAVE DE RESPUESTAS 314
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Transform Quadratic Functions Part 3
5.
❏ ❏ ❏
❏
6.
APOYOS LINGÜÍSTICOS
The graph of a quadratic function, f, is shown on the grid. Determine which transformation will have a vertex at (−4, 3). Select all that apply.
La siguiente estrategia de adquisición lingüística se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes.
j(x) = −f(x – 3) + 4 k(x) = f(x + 9) + 4 Shift the function f left 2 units and down 9 units. Reflect the function f over the x-axis; shift 9 units left and 2 units up.
Los estudiantes utilizarán técnicas de aprendizaje como la elaboración de mapas conceptuales, el dibujo, la comparación, el contraste, la memorización y el repaso para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado. Principiante: Como actividad previa a la lección, proporcione a cada estudiante una hoja de papel en la que habrá escrita una directiva (por ejemplo, desplazamiento vertical hacia arriba, desplazamiento horizontal hacia la izquierda) o una función que haya sido transformada a partir de la función principal. Los estudiantes deben formar grupos con sus compañeros según la directiva y la función que tengan.
The graph of a quadratic function, f, is shown on the grid. Determine which transformation will have a vertex at (1, −5). Select all that apply. ❏ ❏ ❏ ❏ ❏
m(x) = f(x – 3) – 2 n(x) = f(x + 3) – 2 Shift the function f left 3 units and up 2 units. −f(x – 3) – 8 −f(x – 3) – 2
2
Transform Quadratic Functions Part 3
7.
Which of the following transformations would result in a parabola that goes through the points (−1, 2) and (0, 5)? Select all that apply. ❏ ❏ ❏ ❏ ❏ ❏
8.
Intermedio: Como actividad previa a la lección, proporcione a cada estudiante una hoja de papel en la que habrá escrita una directiva (por ejemplo, desplazamiento vertical hacia arriba, desplazamiento horizontal hacia la izquierda) o una función que ha sido transformada a partir de la función principal. Los estudiantes deben formar grupos con sus compañeros según la directiva y la función que tengan. Avanzado: Como actividad previa a la lección, proporcione a los estudiantes un diagrama de Venn con círculos titulados Traslación y Dilatación. Proporcione a los estudiantes un banco de funciones cuadráticas que han sido transformadas a partir de la función principal. Haga que los estudiantes trabajen con un compañero para determinar en qué parte del diagrama de Venn escribir cada función.
g(x) = −f(x + 3) + 5 h(x) = x2 + 2x + 5 j(x) = −f(x – 1) + 6 k(x) = f(x + 6) + 2 Shift the function f left 5 units and up 3 units. Reflect the function f over the x-axis; shift 4 units left and 6 units up.
Do both transformations result in the same parabola? Explain why both transformations work. The functions g(x) and k(x) result in different parabolas. One opens upward, and one opens downward. They both go through the specified points but in different places. When using the transformations described by g(x), the original parabola transforms so that the ordered pairs (3, 0) and (2, 3) become (0, 5) and (−1, 2). When using the transformations described by k(x), the original parabola transforms so that the ordered pairs (5, 0) and (6, 3) become (−1, 2) and (0, 5).
3
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 3) CLAVE DE RESPUESTAS ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE Transform Quadratic Functions
CONSOLIDAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
Translations
DESCRIPCIÓN Un esquema de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Se trata de una herramienta para apoyar la instrucción y consolidar el aprendizaje del estudiante a lo largo del alcance.
Reflect over the x-axis.
Shift up k units.
−f(x)
f(x) – k
Shift down k units.
f(−x)
Reflect over the y-axis.
f(x + k)
Shift left k units.
kf(x)
k > 1 vertical stretch, 0 < k < 1 vertical compression
f(x – k)
Shift right k units.
f(kx)
k > 1 horizontal compression, 0 < k < 1 horizontal stretch
Vertical Stretch
Vertical Compression
VERTICAL TRANSLATIONS
ESQUEMA DE ANCLAJE
Dilations
f(x) + k
Reflection over the x-axis
Parent Function
Reflection over the y-axis
HORIZONTAL TRANSLATIONS Horizontal Compression and Stretch
MATERIALES
• 1 hoja de papel cuadriculado • 1 juego de marcadores multicolores
PREPARACIÓN
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
• Imprima una copia del ejemplo de esquema de anclaje, si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. El ejemplo de esquema de anclaje puede utilizarse como referencia antes de crear el de la clase. Esta actividad debe ser dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje. 2. A medida que los estudiantes trabajen en el alcance, colaboren para añadir piezas al esquema de anclaje. Formule las siguientes preguntas orientadoras: a. «¿Qué estrategia utilizamos para resolver este problema?». b. «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?». 3. Añada habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada «Exploración» para resaltar el contenido importante. 4. Explique que pueden utilizar este gráfico como herramienta de apoyo para su aprendizaje. Los estudiantes también pueden pegar una copia del ejemplo del esquema en sus cuadernos para utilizarla como referencia a lo largo del año. 5. Algunos «Esquemas de anclaje» sólo se mostrarán durante un alcance o grupo de alcances concretos, mientras que otras permanecerán expuestas durante todo el grado escolar.
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EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA Transform Quadratic Functions
DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
Instructions ● Cut out the organizer, and glue or tape it into your notebook. ● Using a colored pencil, draw the transformed function onto the same graph as the dashed parent function. ● Then, write the description of the transformation using the word bank below. Word Bank Vertical stretch, Vertical compression, Horizontal stretch, Horizontal compression, Reflection over x-axis, Reflection over y-axis, Shift up, Shift down, Shift left, Shift right
af(x)
Function
Graph
Description
LIBRETA INTERACTIVA DESCRIPCIÓN Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase al usar la actividad y la libreta.
MATERIALES IMPRESO
a>1
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
PREPARACIÓN
0<a<1
• Imprima una copia del «Folleto del estudiante» para cada uno. af(x)
Function
Graph
Description
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Prepare una «Libreta interactiva» al usar un cuaderno de espiral o de composición para cada uno. Los estudiantes pueden utilizar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades.
a<0
a = −4
2. Las instrucciones para cada actividad se proporcionan en el «Folleto del estudiante». 3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos. 4. Las libretas interactivas pueden utilizarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
Transform Quadratic Functions
Instructions ● Continue the process from the previous page.
f(x) + d
Function
Graph
Transform Quadratic Functions
Instructions ● Continue the process from the previous pages.
Description
f(bx)
d>0
b>1
d<0
0<b<1
f(x – c)
Function
Graph
Description
Function
Graph
Description
Function
Graph
Description
Function
Graph
Description
CHALLENGE SECTION af(x) + d
c>0 a= d=3 c<0
f(bx – c)
b=3 c=7
FOLLETO DEL ESTUDIANTE
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FOLLETO DEL ESTUDIANTE
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO VOCABULARIO CLAVE
VOCABULARIO ILUSTRADO
Vertical Dilation
Horizontal Dilation
Expansion or contraction in the vertical direction
The act of expanding or contracting in the horizontal direction 2
3
Horizontal Translation
Vertical Translation
A shift in the base of the graph to the left or right
A shift in the base of the graph up or down 4
5
Vertical Reflection
Vertex Form
A reflection over a horizontal line such as the x-axis
y = a(x – h)² + k, where a, h, and k are constants and a ≠ 0 6
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ DESARROLLAR LA FLUIDEZ CONCEPTUAL
Fix the Mistake! Answer Key Card Number
Math Expert or Fix the Mistake
1
Fix the mistake
Function f(x) was translated 3 units to the right, reflected over the x-axis, vertically stretched by a factor of 2, and translated 9 units down to create g(x).
2
Fix the mistake
Function h(x) is the parent function translated 2 units to the right and 3 units up.
3
Fix the mistake
Function f(x) was translated 5 units down to create k(x).
4
Math expert
5
Fix the mistake
6
Math expert
7
Math expert
8
Fix the mistake
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: TRANSFORMAR CUADRÁTICAS
Justification
DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes jugarán al juego ¡Corrige el error!
MATERIALES IMPRESO
• 1 hoja de instrucciones ¡Corrige el error! (por pareja) • 1 juego de tarjetas ¡Corrige el error! (por pareja) • 1 hoja de registro del estudiante (por alumno)
j(x) = (x – 3)2 – 4
• 1 clave de respuestas ¡Corrige el error! (por pareja) REUTILIZABLE
• 1 sobre o bolsa resellable (por pareja) The vertex of h(x) is (0, −3).
1
¡CORRIGE EL ERROR! CLAVE DE RESPUESTAS
PREPARACIÓN
• Haga copias a doble cara de las tarjetas ¡Corrige el error! • Lamínelas para que duren más. • Recorte cada una de las tarjetas y colóquelas en un sobre o una bolsa resellable para facilitar su distribución y limpieza. • Imprima una «Hoja de registro del estudiante ¡Corrige el error!» para cada estudiante. • Imprima una hoja clave de respuestas de ¡Corrige el error! para cada pareja de estudiantes. Dobla la clave de respuestas de modo que las respuestas queden cubiertas pero el título aparezca en la parte superior de la página. • Coloque a los estudiantes en parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo barajar las cartas y colocarlas boca abajo en una pila. 2. Muestre cómo jugar el juego con un estudiante. a. Baraje las cartas y colóquelas boca abajo en una pila entre los jugadores. b. El jugador 1 voltea una carta. Ambos jugadores analizan el problema y determinan si la solución dada al problema es correcta y el estudiante que la ha contestado es un experto en matemáticas o si la solución es incorrecta y es necesario corregir el error.
d. Los jugadores siguen turnándose hasta que se han resuelto todas las cartas. e. Los jugadores deben rellenar la «Hoja de registro del estudiante ¡Corrige el error!» mientras juegan. (Los jugadores deben rellenar la fila de la «Hoja de registro del estudiante de ¡Corrige el error!» que corresponda al número de cada tarjeta). f. Una vez analizadas todas las tarjetas, los estudiantes usan la clave de respuestas de ¡Corrige el error! para comprobar sus respuestas. g. El jugador con más respuestas correctas es el ganador. 3. Distribuya los materiales del juego. A continuación, indique a los estudiantes que barajeen las cartas y las coloquen boca abajo en una pila entre los jugadores. 4. Supervise a los estudiantes para asegurarse de que encuentran y registran las respuestas correctas a cada tarjeta al usar la «Hoja de registro del estudiante ¡Corrige el error!».
c. Los jugadores se turnan para dar la vuelta a una tarjeta cada vez.
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
ELABORAR: REVISIÓN EN ESPIRAL Transform Quadratic Functions
REPASAR CONCEPTOS PREVIOS
REVISIÓN EN ESPIRAL: TELETRANSPORTACIÓN DESCRIPCIÓN Los estudiantes repasan contenidos anteriores o del grado actual para ayudar a apoyar su trabajo en el alcance actual y fortalecer las habilidades necesarias para alcances posteriores.
REVISIÓN EN ESPIRAL CENTRADA EN LA PREGUNTA
Teleportation A team of scientists on planet Zanga has successfully teleported an apple. It reappears with a bite taken out of it. For several years, these scientists have been trying to perfect teleportation. Their world is overpopulated. Cities are crowded with scooters, flying cars, and grouchy citizens, so it takes hours to travel short distances. Big corporations have urged scientists to develop teleportation because it is their stance that workers will be more productive if they can eliminate the time it takes to scooter, fly, or walk from home to work. Community members are excited about teleportation. Teleportation means more time with their loved ones and less time in transit. Reportedly, the president of Zanga cannot wait to visit his daughter at college, and he thinks teleportation will help him do that on his lunch break! But the question remains, who took a bite out of the apple?
• Pregunta 1
• ALG I: Usar la estructura de una expresión para identificar formas de reescribirla. • Pregunta 2 • ALG I: Crear ecuaciones en dos o más variables. • Pregunta 3 • ALG I: Graficar las soluciones de una desigualdad lineal en dos variables como un semiplano. • Pregunta 4
1
• Grado 7: Reescribir expresiones en formas equivalentes.
PREPARACIÓN
Transform Quadratic Functions
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
1.
1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a tratar de responder las preguntas independientemente sin usar recursos externos para ver lo que saben. Invite a los estudiantes a anotar ideas o fragmentos que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas. 3. Use las preguntas de revisión en espiral como calentamiento en clase, o envíelas a casa como tareas. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos.
The scientists need help factoring this trinomial because their calculators are broken. One factor of this trinomial might be the key to teleporting larger objects. Factor the following trinomial. 6c2 + 15c – 21
2.
In trying to track where the apple went when it was teleported, the following tables of coordinates were given. Line 1
Line 2
x
−2
0
3
x
−2
0
4
y
−28
−12
12
y
6
5
3
Which system of equations best matches the tables? A.
The answer is 3(c – 1)(2c + 7). 3.
Scientists have only teleported an item twice. The distance it traveled in total is represented by the graphed inequality. Write the inequality that is represented by the graph.
B.
The answer is A. 4.
Help the scientists get closer to mass teleportation by simplifying the expression into an equivalent form using the distributive property.
4. Consulte la sección «Centrada en la pregunta» de la revisión en espiral para evaluar los conocimientos de contenido de los estudiantes o su necesidad de una mayor intervención. Si es necesario repasar más, utilice el «Constructor de fluidez» en los alcances apropiados. 5. El capítulo final incluye una parte de este alcance para que los estudiantes vean la conexión y relevancia de su aprendizaje previo con el actual.
The answer is y ≤ 2x + 3.
The answer is
. 2
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS ANÁLISIS DE DATOS Ciencia de datos es un breve debate en clase basado en un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. La parte I incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los estudiantes en contexto.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizarán, interpretarán y generarán conjuntos de datos, además de responder a preguntas basadas en los datos.
MATERIALES IMPRESO • 1 conjunto de datos (por clase) REUTILIZABLE • 1 proyector o cámara de documentos (por clase) • 1 marcador (por clase)
CIENCIA DE DATOS 3. Haga clic en el icono Datos del modelo y selecciona f(x). 4. Escriba la ecuación de la pregunta 2e en y = para ver si la ecuación coincide con los datos. 5. «¿Cómo podrías cambiar la ecuación para representar la trayectoria de una pelota que viajara aún más alto?». Podría ajustar la constante 1.28 al final de la ecuación a un número mayor para que la parábola tenga un valor máximo más alto. PARTE III: EXPLORACIÓN DE DATOS 1. Cierre la tarjeta Representado. 2. Arrastre Tiempo al eje x para reemplazar X-Posición. 3. Arrastre Energía cinética al eje y para reemplazar Y-Posición. 4. Comente las siguientes preguntas: a.
«¿En qué se diferencia este gráfico del primero?». Las respuestas pueden variar. Ejemplos de respuestas de los estudiantes: Este gráfico se abre hacia arriba, no hacia abajo. Este gráfico tiene un mínimo en lugar de un máximo. Esta gráfica no cruza el eje x.
b.
«¿Cuál es el vértice?». (0.51, 7.44)
c.
Escribe una ecuación para representar la energía cinética en el tiempo en forma general. [Se puede usar cualquier punto. La respuesta de abajo usa (0, 9.3) y el vértice.] y = a(x - h)2 + k 9.3 = a(0 - 0.51)2 + 7.44 1.86 = a(0.2601) 7.15 = a y = 7.15(x - 0.51)2 + 7.44
CONSUMIBLE • 1 trozo de papel milimetrado (por clase)
PREPARACIÓN
• Prepárese para proyectar el conjunto de datos para la clase. • Reúna un trozo de papel milimetrado y un marcador.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I 1. Proyecte el conjunto de datos TUVA y prepárese para anotar las observaciones de los estudiantes. 2. Haga clic en Dot. 3. Arrastre X-Position al eje x. 4. Arrastre Y-Position al eje y. 5. Comente las siguientes preguntas: a.
«¿Qué observas en este conjunto de datos?».
b.
«¿Qué representa este conjunto de datos?».
c.
«¿Qué representa un punto sobre estos datos?».
d.
«¿Qué preguntas tienes sobre los datos?».
PARTE II 1. Repase la escritura de ecuaciones cuadráticas y las propiedades de las gráficas cuadráticas, y escriba lo que los estudiantes recuerden en el papel cuadriculado. 2. Comente las siguientes preguntas: a.
«¿Qué tipo de función representa esta gráfica?». Cuadrática
b.
«¿Tiene esta gráfica un máximo o un mínimo?». Máximo
c.
«¿Cuáles son las coordenadas del vértice y qué representa?». (5.1, 1.28); Representa el punto más alto en la trayectoria de la pelota.
d.
«¿Cuáles son las intercepciones x?». (0, 0) y (10.2, 0)
e.
Escribe una ecuación para representar la trayectoria de la pelota en forma general. y = a(x - h)2 + k 0 = a(0 - 5.1)2 + 1.28 -1.28 = a(26.01) -0.05 = a y = -0.05(x - 5.1)2 + 1.28
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5. Haga clic en el icono Datos del modelo y seleccione f(x). Elimina la ecuación anterior. 6. Escribe la ecuación de la pregunta 4c en y = para ver si la ecuación coincide con los datos. 7. Cambia 7.15 por -7.15 en la ecuación, y comenta qué le ocurre a la gráfica. La gráfica se abre hacia abajo en lugar de hacia arriba. 8. Cambia -7.15 por 15 en la ecuación, y comente qué le ocurre a la gráfica. La gráfica se abre de nuevo, y es más estrecha. 9. Cambia 15 por 5 en la ecuación, y comente qué le ocurre a la gráfica. La gráfica es más ancha. 10. Cambia 7.44 por 7 en la ecuación, y comente qué le ocurre a la gráfica. La gráfica se desplazó hacia abajo, y el valor y del vértice se convirtió en 7. 11. Cambia 7 por 8.5 en la ecuación, y comente lo que sucede con la gráfica. La gráfica se desplazó hacia arriba, y el valor y del vértice se convirtió en 8.5. 12. Cambia 0.51 por 0.1 en la ecuación, y comente lo que sucede con la gráfica. La gráfica se desplazó hacia la izquierda, y el valor x del vértice se convirtió en 0.1. 13. Cambia 0.1 a 0.8 en la ecuación, y comente lo que sucede con la gráfica. La gráfica se desplazó hacia la derecha, y el valor x del vértice se convirtió en 0.8.
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS
LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Folleto del estudiante» a cada uno.
Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede utilizarse como evaluación formativa para los maestros y como autoevaluación para los estudiantes.
2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Explorar» y «Explicar» del alcance, evalúe formativamente su progreso al tomar notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
MATERIALES IMPRESO
3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 folleto del maestro (por estudiante)
4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje.
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del maestro» y un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
5. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el «Folleto del maestro». 6. Las notas anecdóticas proporcionadas en el «Folleto del maestro» pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares. 7. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la «Guía de instrucción andamiada» en la sección «Inicio» de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
Transform Quadratic Functions
Transform Quadratic Functions Skill or Key Concept Interpret expressions that represent a quantity in terms of its context. b. Interpret complicated expressions by viewing one or more of their parts as a single entity. For example, interpret P(1 + r)ⁿ as the product of P and a factor not depending on P. Choose and produce an equivalent form of an expression to reveal and explain properties of the quantity represented by the expression. b. Complete the square in a quadratic expression to reveal the maximum or minimum value of the function it defines.
How was the skill or concept observed?
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Transform Quadratic Functions
Transform Quadratic Functions
Standards for Mathematical Practice
How was the skill or concept observed?
Make sense of problems and persevere in solving them
Skill or Key Concept
Notes and Feedback
Transform Quadratic Functions
Identify the effect on the graph of replacing f(x) by f(x) + k, kf(x), f(kx), and f(x + k) for specific values of k (both positive and negative); find the value of k given the graphs. Experiment with cases and illustrate an explanation of the effects on the graph using technology. Include recognizing even and odd functions from their graphs and algebraic expressions for them. Graph functions expressed symbolically and show key features of the graph, by hand in simple cases and using technology for more complicated cases. a. Graph linear and quadratic functions and show intercepts, maxima, and minima. Compare properties of two functions each represented in a different way (algebraically, graphically, numerically in tables, or by verbal descriptions). For example, given a graph of one quadratic function and an algebraic expression for another, say which has the larger maximum.
Notes and Feedback
Notes and Feedback
Reason abstractly and quantitatively
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Construct viable arguments and critique the reasoning of others Model with mathematics Use appropriate tools strategically
Attend to precision ❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Look for and make use of structure Look for and express regularity in repeated reasoning
Consider these reflection questions in this scope.
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
1
2
●
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them?
●
What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
3
FOLLETO DEL MAESTRO
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
EVALUAR: MAPA DE CALOR ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
MAPA DE CALOR DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
1. Dé un «Mapa de calor» a cada estudiante junto con lápices de colores rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s).
MATERIALES
• 1 mapa de calor (por estudiante)
2. Los estudiantes usan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el «Mapa de calor». Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los estudiantes colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, los estudiantes colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, los estudiantes colorean el cuadro correspondiente de rojo.
• 1 lápiz de color rojo (por estudiante) • 1 lápiz de color azul (por estudiante) • 1 lápiz de color naranja (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Determine si los estudiantes analizarán su «Prueba de habilidades», la «Evaluación basada en estándares», o ambas.
3. Anímelos a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a utilizar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada.
• Imprima un «Mapa de calor» para cada estudiante. • Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
4. Consulte la «Guía de instrucción andamiada» que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
Transform Quadratic Functions
Transform Quadratic Functions
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key.
Red – misconception
Standards
Choose and produce an equivalent form of an expression to reveal and explain properties of the quantity represented by the expression. b. Complete the square in a quadratic expression to reveal the maximum or minimum value of the function it defines.
Not Assessed
Identify the effect on the graph of replacing f(x) by f(x) + k, kf(x), f(kx), and f(x + k) for specific values of k (both positive and negative); find the value of k given the graphs. Experiment with cases and illustrate an explanation of the effects on the graph using technology. Include recognizing even and odd functions from their graphs and algebraic expressions for them. Graph functions expressed symbolically and show key features of the graph, by hand in simple cases and using technology for more complicated cases. a. Graph linear and quadratic functions and show intercepts, maxima, and minima. Compare properties of two functions each represented in a different way (algebraically, graphically, numerically in tables, or by verbal descriptions). For example, given a graph of one quadratic function and an algebraic expression for another, say which has the larger maximum.
1. Which skill did you feel most confident with? Why?
Questions
Not Assessed
8
1
2
3
4
9
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
Orange – explanation
Standards
Choose and produce an equivalent form of an expression to reveal and explain properties of the quantity represented by the expression. b. Complete the square in a quadratic expression to reveal the maximum or minimum value of the function it defines.
4. How can you avoid those errors in the future?
Identify the effect on the graph of replacing f(x) by f(x) + k, kf(x), f(kx), and f(x + k) for specific values of k (both positive and negative); find the value of k given the graphs. Experiment with cases and illustrate an explanation of the effects on the graph using technology. Include recognizing even and odd functions from their graphs and algebraic expressions for them.
10
Questions
9a
9b
2
7a
1
3
4
6
7b
8
9b
10
Graph functions expressed symbolically and show key features of the graph, by hand in simple cases and using technology for more complicated cases. a. Graph linear and quadratic functions and show intercepts, maxima, and minima.
5
Compare properties of two functions each represented in a different way (algebraically, graphically, numerically in tables, or by verbal descriptions). For example, given a graph of one quadratic function and an algebraic expression for another, say which has the larger maximum.
6
1
Red – misconception
Standards-Based Assessment
Interpret expressions that represent a quantity in terms of its context. b. Interpret complicated expressions by viewing one or more of their parts as a single entity. For example, interpret P(1 + r)ⁿ as the product of P and a factor not depending on P.
3. Which type of error did you most commonly make?
7
Blue – miscalculation
Reflection Questions
Skills Quiz
Interpret expressions that represent a quantity in terms of its context. b. Interpret complicated expressions by viewing one or more of their parts as a single entity. For example, interpret P(1 + r)ⁿ as the product of P and a factor not depending on P.
Transform Quadratic Functions
2
Not Assessed
5
7a 3
MAPA DE CALOR
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
INTERVENIR: REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES
Transform Quadratic Functions
REFORZAR Y VOLVER A ENSEÑAR
REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES
Checkup 1.
❏ ❏ ❏ ❏ ❏ ❏
DESCRIPCIÓN Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para intervención.
The roots of the parabola represented by f(x) = (x + 5)2 – 4 have the coordinates (–7, 0) and (–3, 0). Which of the following ordered pairs are the roots of the parabola defined by g(x) = f(x + 3)? Select all that apply. (–3, 3) (–10, 0) (–7, 3) (–6, 0) (–4, 0) (0, 0)
2.
The function f(x) was shifted 5 units right and 9 units up. Write an equation for g(x) in terms of f(x). g(x) = f(x – 5) + 9
3.
Each graph shows the quadratic parent function f(x) = x2. Label each graph with one of the following correct transformed functions: g(x) = f(x + 2), g(x) = f(x – 2), g(x) = f(x) + 2, or g(x) = f(x) – 2.
MATERIALES IMPRESO
• 1 revisión rápida (por estudiante) • 1 repaso (por estudiante)
g(x) = f(x) + 2 4.
• 1 revisión general (por estudiante)
g(x) = f(x + 2)
g(x) = f(x) – 2
g(x) = f(x – 2)
Describe the transformations from the quadratic parent function for the following function: f(x) = –16x2. The graph was stretched vertically by a factor 16 and reflected across the x-axis.
• 1 lista de verificación para el maestro (por maestro)
1
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de la «Revisión rápida», el «Repaso» y la «Revisión general» para cada estudiante.
Transform Quadratic Functions
5.
❏ ❏ ❏
• Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar el «Repaso». • Si lo desea, imprima un ejemplo del «Esquema de anclaje» de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que usen la «Libreta interactiva» como regrado. • Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayudas suplementarias para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Dé una copia de la «Revisión rápida» a cada estudiante.
Which statements about the relationship between the graph of f(x) = x2 and the graph of h(x) = –0.25x2 are true? Select all that apply.
❏ ❏ ❏ 6.
The table shows ordered pairs of a quadratic function. If g(x) is a transformation of the parent function f(x) = x2, determine the value of k if g(x) = k · f(x). A. B. C. D.
7.
The graph of h is wider than the graph of f. The graph of h is narrower than the graph of f. The graph of h is a vertical compression of the parent function, but the same graph could be made using a horizontal stretch such as the graph of g(x) = –(0.5x)2. The graph of h is 0.25 units lower than the graph of f. The vertex of the graph of h and the vertex of the graph of f are the same. The graph of h will open in the opposite direction as the graph of f.
1 3 –1 0.75
x
g(x)
0
0
1
0.75
4
12
Transformations of the parent function f(x) = x2 are listed in the table below. Determine the kind of transformation that occurred to get each quadratic function.
Reflection over the x-axis g(x) = –2(x + 1)
2
✔
h(x) = (0.25x)2 + 3 k(x) = –(x – 3)2 – 2
✔
Stretched Vertically or Horizontally
Shifted Left or Right
Shifted Up or Down None
Vertically
Left
Horizontally
None
Up
None
Right
Down
2
2. Cada uno debe completarla de forma independiente. 3. Use la rúbrica de habilidades al final de la «Revisión rápida» para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional. 4. Distribuya una copia del «Repaso» a cada uno. 5. Cada estudiante debe completar el «Repaso» como actividad de intervención o de forma independiente.
Transform Quadratic Functions
8.
Write a function that has a reflection over the x-axis, a vertical compression, shifts right, and shifts down from the parent function. Answers may vary. f(x) = –0.3(x – 2)2 – 5
9.
The graph of a quadratic function, f, is shown on the grid. Determine which of the transformations below will have a vertex at (–2, –2). Select all that apply. ❏ ❏ ❏
a. Si lo desea, reúna a los estudiantes en pequeños grupos para trabajar en las destrezas de repaso. Utilice el «Repaso» como ayuda para la reenseñanza. 6. Distribuya una copia de la «Revisión general» a cada uno. 7. Cada estudiante debe completarla de forma independiente. 8. Analice los resultados de la «Revisión general» al usar la «Lista de verificación para el maestro» para identificar quienes necesitan un repaso adicional y quienes han alcanzado el dominio de los conceptos.
❏ ❏ ❏
10.
m(x) = f(x) + 2 n(x) = f(x + 2) Shift the function f left 2 units and up 2 units. Shift the function f up two units. –f(x) + 2 –f(x – 2) + 2
Which of the following transformations to the function f(x) on the right would result in a parabola that goes through the point (2, 0)? Select all that apply. ❏ ❏ ❏ ❏ ❏ ❏
g(x) = –f(x + 3) + 5 h(x) = f(x – 1) j(x) = –f(x – 1) + 6 k(x) = f(x – 2) + 5 Shift the function f left 5 units and up 3 units. Move the function to the right 1, reflect the function f over the x-axis, and then shift 4 units up.
3
REVISIÓN GENERAL CLAVE DE RESPUESTAS 324
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
ACELERACIÓN: ¿QUÉ QUÉ PREFERIRÍAS? Transform Quadratic Functions
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
¿QUÉ QUÉ PREFERIRÍAS?: TOBOGANES DE AGUA
Water Slides Use mathematical reasoning and creativity to justify your answer to the Would You Rather question. A waterpark has decided to build two different water slides whose shapes are both modeled according to quadratic functions. The first is modeled according to y = 1 (x – 10)2, where x represents the horizontal distance (in feet) from the starting 2 point and y is the vertical distance (in feet) from the ground. The second water slide 1 has the same vertex as the first but is dilated by a factor of 4 . If you only had time to go down one of the slides, would you rather slide down the first or second slide? Justify your reasoning with mathematics. A graph is provided if needed.
The following statements are sample answers: I would choose the first slide because I enjoy sliding down as fast as possible, and the coefficient before the x2 term is larger, indicating it is a steeper slide. The slide also starts much higher, at 50 feet instead of 12.5 feet, which is more fun. I would choose the second slide because I am not an adventure seeker and would not enjoy sliding down so fast. The coefficient for the 1 1 1 x2 term is × = , which 2 4 8 indicates that the slide isn’t as steep. The slide also starts lower, at 12.5 feet instead of 50 feet, which would make me less afraid. 1
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
DESCRIPCIÓN Los estudiantes usan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 rúbrica (por maestro)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno. • Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a mirar sus folletos de «Explorar» si necesitan repasar habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros. 4. Utilice la rúbrica proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Transform Quadratic Functions
OPCIONES PARA EL APRENDIZAJE CONTINUO
TABLERO DE OPCIONES DESCRIPCIÓN Los estudiantes explorarán las conexiones con el mundo real y las aplicaciones del contenido matemático a través de interacciones con actividades atractivas.
MATERIALES IMPRESO
• 1 tablero de opciones (por estudiante) • 1 juego de hojas de actividades (por estudiante) • 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante) REUTILIZABLE
• Tecnología (si corresponde)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Tablero de opciones» y un juego de hojas de actividades para cada estudiante.
Transform Quadratic Functions Choose one or more extension activities from the table below. Career Connection
Economist
Research the career field of an economist. Your research must answer the provided questions. Create a presentation to relay your research to the class.
Science Connection
Sounding Rockets
Explore the connection between math and science by examining different equations modeling rocket paths.
Arts Connection
Technology Connection
Function Drawing
Match My Points
Artists use repetition in art. Create a work of art based on quadratic function transformations you create.
Transforming quadratic equations can be used in to create new functions that meet certain parameters. Use Desmos to answer the questions on the handout.
Mathematician Spotlight
Analogies
Erica Walker
Transforming Functions
Search for several news articles or research papers that involve Erica Walker’s work. Create an informational poster, a diorama, or a speech to convey this mathematician’s work as it relates to quadratic functions.
Complete the analogies to demonstrate an understanding of function transformations.
• Imprima una «Autoevaluación del tablero» para cada estudiante. • Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
TABLERO DE OPCIONES
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» a cada estudiante. 2. Dé tiempo a los estudiantes para examinar el «Tablero de opciones» y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anímelos a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del tablero, haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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ÁLGEBRA 1: TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS
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<<GRADO>> RESOLVER CUADRÁTICAS
ÁLGEBRA 1
RESOLVER CUADRÁTICAS ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: CUATRO ESQUINAS
ESTÁNDARES CLAVE Crear ecuaciones que describan números o relaciones. • Crear ecuaciones y desigualdades en una variable, incluidas las de valor absoluto, y utilizarlas para resolver problemas. Incluir ecuaciones que surjan de funciones lineales y cuadráticas, y funciones racionales y exponenciales simples. Resolver ecuaciones y desigualdades en una variable. • Resolver ecuaciones cuadráticas en una variable. • Utilizar el método de completar el cuadrado para transformar cualquier ecuación cuadrática en x en una ecuación de la forma (x - p)² = q que tenga las mismas soluciones. Deducir la fórmula cuadrática a partir de esta forma. • Resolver ecuaciones cuadráticas por inspección (por ejemplo, para x2 = 49), al tomar raíces cuadradas, al completar el cuadrado, la fórmula cuadrática y la factorización, según corresponda a la forma inicial de la ecuación. Reconocer cuándo la fórmula cuadrática da soluciones complejas y escribirlas como a ± bi para números reales a y b. Resolver sistemas de ecuaciones. • Resolver algebraica y gráficamente un sistema simple formado por una ecuación lineal y una ecuación cuadrática en dos variables. Por ejemplo, hallar los puntos de intersección entre la recta y = -3x y la circunferencia x2 + y2 = 3. Representar y resolver ecuaciones y desigualdades gráficamente. • Explicar por qué las coordenadas x de los puntos donde se intersecan las gráficas de Las ecuaciones y = f(x) e y = g(x) son las soluciones de la ecuación f(x) = g(x); hallar las soluciones aproximadamente, por ejemplo, al usar la tecnología para representar gráficamente las funciones, hacer tablas de valores o encontrar aproximaciones sucesivas. Incluir casos en los que f(x) y/o g(x) sean funciones lineales, polinómicas, racionales, de valor absoluto, exponenciales y logarítmicas. *Este alcance se centra en las cuadráticas.
ESTÁNDARES DE CONEXIÓN Crear ecuaciones que describan números o relaciones. • Representar restricciones mediante ecuaciones o desigualdades, y mediante sistemas de ecuaciones y/o desigualdades, e interpretar las soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelización. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de coste en combinaciones de diferentes alimentos. • Reorganizar fórmulas para resaltar una cantidad de interés, al usar el mismo razonamiento que en la resolución de ecuaciones. Por ejemplo, reordenar la ley de Ohm V = IR para resaltar la resistencia R. Entender la resolución de ecuaciones como un proceso de razonamiento y explicar el razonamiento. • Explicar cada paso en la resolución de una ecuación simple como consecuencia de la igualdad de números afirmada en el paso anterior, al partir de la suposición de que la ecuación original tiene solución. Construir un argumento viable para justificar un método de solución. Resolver ecuaciones y desigualdades en una variable. • Resolver ecuaciones y desigualdades lineales en una variable, al incluir ecuaciones con coeficientes representados por letras. Escribir expresiones en formas equivalentes para resolver problemas. • Elegir y producir una forma equivalente de una expresión para revelar y explicar propiedades de la cantidad representada por la expresión. • Completar el cuadrado de una expresión cuadrática para revelar el valor máximo de la función que define. Construir nuevas funciones a partir de funciones existentes. • Encontrar funciones inversas. • Resolver una ecuación de la forma f(x) = c para una función simple f que tenga una inversa y escribir una expresión para la inversa.
Los estudiantes participarán en una debate de Cuatro esquinas para explorar su comprensión del concepto de hipotenusa e identificar cualquier concepto erróneo. • Los estudiantes examinarán cuatro imágenes de esquinas y seleccionarán la que mejor represente el enunciado sobre la hipotenusa. • Los estudiantes se moverán a la esquina elegida y debatirán su razonamiento con sus compañeros. • Los estudiantes participarán en una debate en clase para explicar sus elecciones y representaciones. CAPTAR INTERÉS En esta actividad, los estudiantes relacionarán la resolución de ecuaciones cuadráticas con un escenario del mundo real que implica la trayectoria de una piedra lanzada a un estanque. • Los estudiantes verán un video en el que se muestra cómo se lanza una piedra y debatirán las observaciones y las implicaciones matemáticas. • Analizarán una ecuación cuadrática que represente la trayectoria de la piedra, centrándose en sus componentes y sus significados en el mundo real. • Los estudiantes participarán en actividades de «Exploración» para profundizar en su comprensión de la resolución de cuadráticas.
ACTIVIDADES DE EXPLORACIÓN EXPLORACIÓN 1: RESOLVER CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN Los estudiantes resolverán ecuaciones cuadráticas por factorización y al aplicar la regla del producto cero para encontrar y evaluar soluciones razonables. • Los estudiantes trabajarán en grupos para factorizar ecuaciones cuadráticas y aplicar la regla del producto cero para encontrar soluciones. • Usarán diversas herramientas, como calculadoras gráficas y fichas de álgebra, para representar y resolver ecuaciones. • Los estudiantes participarán en debates para compartir observaciones y verificar la razonabilidad de sus soluciones. • Completarán un «Boleto de salida» para demostrar su comprensión y participarán en la creación de un «Esquema de anclaje» y una «Libreta interactiva». EXPLORACIÓN 2: RESOLVER CUADRÁTICAS AL COMPLETAR EL CUADRADO Los estudiantes aplicarán su comprensión de completar el cuadrado para resolver ecuaciones cuadráticas en un ambiente de grupo colaborativo. • Los estudiantes trabajarán en grupos para resolver ecuaciones cuadráticas al usar el método de completar el cuadrado y registrarán sus hallazgos en sus diarios». • Utilizarán herramientas como calculadoras científicas y fichas de álgebra para representar y resolver Las ecuaciones estratégicamente. • Los estudiantes participarán en debates para interpretar los resultados y hacer conexiones entre los métodos algebraicos y los escenarios del mundo real. • Participarán en charlas de matemáticas para compartir observaciones, debatir estrategias de resolución de problemas y reflexionar sobre su proceso de aprendizaje. EXPLORACIÓN 3: RESOLVER SISTEMAS CUADRÁTICOS LINEALES GRÁFICAMENTE Los estudiantes graficarán ecuaciones lineales y cuadráticas para determinar el número y la naturaleza de las soluciones en un sistema. • Los estudiantes usarán calculadoras gráficas para graficar ecuaciones lineales y cuadráticas e identificar puntos de intersección. • Trabajarán en colaboración en grupos para analizar las trayectorias de los objetos y determinar las intersecciones exitosas. • Los estudiantes participarán en debates para interpretar sus hallazgos y validar sus soluciones. • Completarán un «Boleto de salida» para demostrar su comprensión de los sistemas lineales-cuadráticos. EXPLORACIÓN 4: RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS Los estudiantes mejorarán su habilidad para resolver sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas al usar métodos algebraicos y determinarán el método más efectivo para diferentes escenarios. • Los estudiantes trabajarán en grupos para calcular cuando dos acciones tienen el mismo precio al usar métodos algebraicos y registrarán sus hallazgos. • Los estudiantes utilizarán calculadoras gráficas para resolver sistemas cuadráticos lineales y comparar los resultados con las soluciones algebraicas. • Los estudiantes participarán en charlas de matemáticas para debatir las observaciones, el aprendizaje y la eficacia de los diferentes métodos de resolución. • Los estudiantes completarán un «Boleto de salida» para demostrar su comprensión y aplicar sus habilidades a nuevos escenarios.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS RESOLVER CUADRÁTICAS <<GRADE>>
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES
SISTEMAS DE ECUACIONES
CONCEPTOS CLAVE • Puedo resolver cuadráticas al graficar e identificar los ceros. • Puedo resolver cuadráticas al factorizar. • Puedo resolver cuadráticas al completar el cuadrado. • Puedo resolver problemas al resolver ecuaciones cuadráticas que representan la situación. • Puedo resolver un sistema de ecuaciones que consiste en una ecuación lineal y una ecuación cuadrática.
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PREGUNTAS FUNDAMENTALES • «¿En qué se parece la resolución de un sistema cuadrático lineal a la resolución de un sistema lineal? ¿En qué se diferencia?». • «¿Cómo se pueden utilizar los modelos de área como herramienta para completar el cuadrado?». • «¿Cómo se relaciona la forma estándar de la ecuación cuadrática con la fórmula cuadrática?».
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS
INICIO: CONTENIDO DE APOYO ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
CONTENIDO DE APOYO Crear ecuaciones que describan números o relaciones. • Crear ecuaciones y desigualdades en una variable, incluidas las de valor absoluto, y utilizarlas para resolver problemas. Incluir ecuaciones que surjan de funciones lineales y cuadráticas y de funciones racionales y exponenciales sencillas. Resolver ecuaciones y desigualdades en una variable. • Resolver ecuaciones cuadráticas en una variable. • Usar el método de completar el cuadrado para transformar cualquier ecuación cuadrática en x en una ecuación de la forma (x - p)² = q que tenga las mismas soluciones. Deducir la fórmula cuadrática a partir de esta forma. • Resolver ecuaciones cuadráticas por inspección (por ejemplo, para x2 = 49), al tomar raíces cuadradas, para completar el cuadrado, la fórmula cuadrática y la factorización, según corresponda a la forma inicial de la ecuación. Reconocer cuándo la fórmula cuadrática da soluciones complejas, y escribirlas como a ± bi para números reales a y b. Resolver sistemas de ecuaciones. • Resolver algebraica y gráficamente un sistema simple formado por una ecuación lineal y una ecuación cuadrática en dos variables. Representar y resolver ecuaciones y desigualdades gráficamente. • Explicar por qué las coordenadas x de los puntos de intersección de las gráficas de Las ecuaciones y = f(x) y y = g(x) son las soluciones de la ecuación f(x) = g(x); hallar las soluciones de forma aproximada, por ejemplo, al usar tecnología para graficar las funciones, hacer tablas de valores o encontrar aproximaciones sucesivas. Incluya casos en los que f(x) y/o g(x) sean funciones lineales, polinómicas, racionales, de valor absoluto, exponenciales y logarítmicas. Este alcance se enfoca en las cuadráticas.
CONOCIMIENTOS PREVIOS En grados anteriores, los estudiantes crearon ecuaciones lineales basadas en situaciones matemáticas y del mundo real para resolver problemas. Desarrollarán esas habilidades al crear ecuaciones cuadráticas para representar situaciones y datos. Los estudiantes han resuelto sistemas compuestos por dos ecuaciones lineales y han interpretado la intersección de las líneas como la solución del sistema.
CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
• Al factorizar, los estudiantes pueden confundir cuando los pares de números deben tener un producto común o una suma común. • Los estudiantes pueden olvidar incluir el símbolo positivo y negativo al sacar la raíz cuadrada. • Los estudiantes pueden esforzarse por recordar que Las ecuaciones deben ser iguales a 0 antes de resolverlas.
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EN ESTE ALCANCE En este nivel de grado, los estudiantes ampliarán su comprensión de la interpretación de la solución como el lugar donde las líneas se cruzan si se utiliza un gráfico, o si los mismos pares ordenados existen si se utiliza una tabla de valores. Los estudiantes ampliarán su comprensión de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales para resolver sistemas de ecuaciones formados por una ecuación lineal y una ecuación cuadrática. Los estudiantes aplicarán su comprensión de la resolución de un sistema lineal gráficamente como el punto de intersección para resolver sistemas cuadráticos lineales. Los estudiantes deberán ser capaces de utilizar modelos, fichas de álgebra y representaciones algebraicas para explicar y completar el cuadrado. Los estudiantes deben ser capaces de utilizar modelos, fichas de álgebra y representaciones algebraicas para explicar y factorizar. Los estudiantes deben ser capaces de completar el cuadrado para deducir la fórmula cuadrática. Los estudiantes deben ser capaces de justificar y explicar por qué un método de solución es más adecuado que otro para el contexto de un problema concreto. Los estudiantes deben ser capaces de resolver ecuaciones cuadráticas y determinar cuándo utilizar cada estrategia. Tener experiencia con diferentes tipos de situaciones y explicar el método elegido ayudará a los estudiantes a desarrollar su razonamiento para seleccionar el método más adecuado. TÉRMINOS CLAVE
• ecuación: un enunciado matemático que muestra que dos expresiones son iguales entre sí • variable: una letra o símbolo que toma el lugar de un número que puede cambiar; una letra que puede representar un número desconocido o un conjunto de números • función lineal: una relación que cuando se grafica es una línea recta • función cuadrática: una función que puede escribirse de la forma f(x) = ax2 + bx + c = 0, donde a, b, y c son números reales y a ≠ 0, o de la forma f(x) = a(x-h)2+ k, donde a, h, y k son números reales y a ≠ 0 • completan el cuadrado: el proceso utilizado para formar un trinomio cuadrado perfecto con el propósito de encontrar la(s) solución(es) al tomar la raíz cuadrada • ecuación cuadrática: una ecuación que puede escribirse en la forma de ax2 + bx + c = 0, donde a, b, y c son números reales y a ≠ 0 _
• fórmula cuadrática: fórmula x = −b ± ___ √ que da 2a las soluciones de ecuaciones en forma de ax² + bx + c = 0, donde a ≠ 0 b2 - 4ac
• factorización: encontrar expresiones que puedan multiplicarse entre sí para dar la expresión de un lado de la ecuación • soluciones complejas: de la forma a + bi; soluciones que se producen cuando el valor bajo el radical de la fórmula cuadrática es menor que cero • sistema de ecuaciones: dos o más ecuaciones con dos o más variables • ecuación lineal: una ecuación en la que ninguna variable tiene una potencia mayor que 1; la forma general es y = mx + b, donde m = pendiente y b = intercepción y.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
APLICAR LAS PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes resuelven y grafican sistemas cuadráticos lineales, algebraica y gráficamente, para encontrar puntos de intersección. Relacionan la solución con el contexto del problema y evalúan la validez de la solución. • MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes resuelven funciones cuadráticas para encontrar las soluciones a problemas contextuales y luego relacionan los valores encontrados con el contexto del problema. • MP.3 Construír argumentos viables y debatir el razonamiento de otros: Los estudiantes justifican por qué las soluciones son válidas o inválidas en el contexto de un problema y apoyan sus explicaciones al usar su comprensión de la búsqueda de soluciones a funciones cuadráticas. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes representan escenarios del mundo real al usar un sistema cuadrático lineal y usan la gráfica del sistema para determinar puntos de intersección para relacionarlos con el contexto del escenario. • MP.5 Usar estratégicamente las herramientas adecuadas: Los estudiantes usan calculadoras gráficas para encontrar eficientemente un punto de intersección y relacionar el punto de intersección con el contexto del problema. • MP.6 Prestar atención a la precisión: Los estudiantes prestan atención a la precisión cuando grafican sistemas cuadráticos lineales y encuentran los puntos de intersección correctos cuando un sistema se grafica con precisión. • MP.7 Buscar y hacer uso de la estructura: Los estudiantes exploran y determinan qué estrategia es la más eficiente para resolver sistemas cuadráticos lineales. También resuelven sistemas algebraica y gráficamente y determinan que resolver un sistema gráficamente es más eficiente cuando la ecuación no es fácilmente factorizable. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes generalizan reglas sobre la cantidad de soluciones de un cuadrático cuando se da en forma de vértice y observan que cuando k < 0, hay dos soluciones; cuando k = 0, hay una solución; y cuando k > 0, no hay soluciones reales.
RESOLVER CUADRÁTICAS CON GRÁFICAS Los estudiantes crearán y examinarán gráficas de funciones cuadráticas para determinar soluciones. Aunque los estudiantes pueden graficar a mano, se prefiere el uso de calculadoras gráficas. La atención no se centra en el método de graficación, sino en la interpretación de las soluciones de funciones cuadráticas a partir de gráficos o tablas. Ejemplo: Tatum golpea una pelota de golf desde el suelo, y su trayectoria puede representarse mediante h(t) = -16t2+ 100t, donde t es el tiempo en segundos, y h es la altura de la pelota en pies. La trayectoria de la pelota de golf de Tatum está representada en la gráfica siguiente. «¿Durante cuántos segundos estuvo en el aire la pelota de golf de Tatum?».
La respuesta es 6.25 segundos. Los estudiantes deben entender que la respuesta a esta pregunta es uno de los ceros de la función. Basándose en el contexto del problema, (0, 0) representa el punto de partida de la pelota de Tatum, y (6.25, 0) muestra que a los 6.25 segundos, la pelota estaba de nuevo en el suelo (0 pies). ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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Ejemplo: Julio recibió un cohete de juguete como regalo por su cumpleaños. La trayectoria del cohete puede representarse mediante la ecuación f(t) = -16t2 + 128t, donde t es el tiempo en segundos, y f es la altura en metros. «¿Cuánto tiempo está el cohete en el aire?». La respuesta es 8 segundos. Los estudiantes deben entender que la respuesta a esta pregunta es uno de los ceros de la función. Los estudiantes pueden graficar a mano, pero el método preferido es usar una calculadora gráfica. Introduce la ecuación en Y=. Examina la tabla, 2ND>GRAPH. La coordenada (8, 0) representa el momento en que el cohete estaba de vuelta en el suelo (a una altura de 0 pies). x
y1
3
240
4
256
5
240
6
192
7
112
8
0
9
-144 x=8
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
RESOLVER CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN
RESOLVER CUADRÁTICAS AL COMPLETAR EL CUADRADO
Los estudiantes utilizarán el método de factorización para resolver ecuaciones cuadráticas. El representado con fichas de álgebra es una representación visual de la relación entre la ecuación cuadrática y sus factores. Siempre se pueden agregar pares de ceros sin cambiar el total de la cuadrática. Después de explorar con fichas de álgebra, los estudiantes comenzarán a reconocer patrones en los factores y trinomios. Los estudiantes harán conexiones entre los números en los factores y su relación con los coeficientes en y = ax2 + bx + c. Anímelos a crear métodos más eficientes que adivinar y comprobar.
Los estudiantes utilizarán el método de completar el cuadrado para resolver ecuaciones cuadráticas. Los estudiantes explorarán el método de completar el cuadrado al usar un modelo de área antes de pasar a la resolución algebraica. Esta unidad concluye con la resolución de una ecuación cuadrática genérica en forma estándar, que conduce a la fórmula cuadrática.
Ejemplo: Dada la ecuación 0 = x2+ 5x + 6, utiliza fichas de álgebra y factorización para resolver x. La respuesta es x = -2, -3. Utiliza fichas de álgebra para construir una matriz rectangular. Una vez que las fichas están configuradas en un rectángulo, las dimensiones de cada borde exterior representan los dos factores de la cuadrática.
Ejemplo: «¿Cuáles son las soluciones de la ecuación cuadrática y = x2 + 6x + 2?». Para completar el cuadrado al usar un modelo de área, empieza con la plantilla del modelo de área. Dada la ecuación y = x2 + 6x + 2, rellena el modelo de área. Una vez colocado un término dentro del modelo de área, conocerás la longitud y la anchura de esa sección. La progresión es la siguiente.
Aplica la Propiedad del Producto Cero y establece cada factor igual a 0. Resuelve x en cada ecuación. (x + 3) = 0
(x + 2) = 0
x = -3
x = -2
Finalmente, sustituye el valor(es) de x de nuevo en la ecuación original para verificar la respuesta o compruébalo al graficar en una calculadora gráfica. Ejemplo: Dada la ecuación 27 = x2 + 6x, resuelve para x. La respuesta es x = -9, 3. La ecuación necesita reescribirse en forma estándar antes de que pueda factorizarse. 27 = x2 + 6x x2 + 6x - 27 = 0 (x + 9)(x - 3) = 0 x+9=0x-3=0 x = -9 x = 3 Por último, sustituye el valor o los valores de x en la ecuación original para verificar la respuesta o compruébalo con una calculadora gráfica.
Este modelo de área muestra (x + 3)(x + 3) = x2 + 3x + 3x + 9, o (x + 3)2 = x2 + 6x + 9. Ahora hay que ajustar esta ecuación para que coincida con la ecuación del principio del problema (y = x2 + 6x + 2). Al restar 7 a ambos lados de la ecuación se igualará la ecuación de partida. Por último, aísla la variable para hallar la(s) solución(es). (x + 3)2 - 7 = x2 + 6x + 9 - 7 o (x + 3)2 - 7 = x2 + 6x + 2 (x + 3)2 - 7 = 0 (x + 3)2 = 7 x + 3 = ±7 x = -3 ±7 Por último, sustituye el valor o los valores de x y y en las dos ecuaciones originales para verificar la respuesta o Haga un gráfico con una calculadora gráfica.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
Ejemplo: Encuentra el conjunto solución a la ecuación y = x2 - 8x + 5. El conjunto solución es 4 + 11, 4 - 11. (x2 - 8x) + 5 = 0
Colócalo para dejar espacio para que los términos completen el cuadrado.
(x2 - 8x + 16) + 5 - 16 = 0
Eleva al cuadrado la mitad del término b y súmalo dentro del paréntesis. Para equilibrarlo, réstalo también fuera del paréntesis.
(x - 4)2 - 11 = 0
Factoriza el trinomio dentro del paréntesis y simplifica.
(x - 4)2 = 11
Suma 11 a ambos lados para cancelar la constante.
_
x - 4 = ± √11 _
x = 4 ± √11
Saca la raíz cuadrada de ambos lados. Suma 4 a ambos lados para cancelar la constante.
Finalmente, sustituye el valor(es) de x y y en ambas ecuaciones originales para verificar la respuesta o compruébalo con una calculadora gráfica.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS Los sistemas de ecuaciones pueden resolverse gráfica o algebraicamente. Los estudiantes ya han practicado ambos métodos con sistemas de dos ecuaciones lineales. Los estudiantes aplicarán ese conocimiento para resolver sistemas de una ecuación lineal y una ecuación cuadrática. Al resolver sistemas cuadráticos lineales algebraicamente, los estudiantes pueden utilizar todos los métodos aprendidos para resolver cuadráticas. Un sistema cuadrático lineal se simplificará a un cuadrático cuando se resuelva algebraicamente. Ejemplo: Cuando se resuelve gráficamente, «¿cuál es la solución del siguiente sistema de ecuaciones?». y = x2 - 4x + 6 y=x+2 a. (1, 4) b. (4, 6) c. (1, 3) y (4, 6) d. (3, 1) y (6, 4) La respuesta correcta es C. Si ambas ecuaciones se representan gráficamente en la misma cuadrícula de coordenadas, las soluciones se encuentran donde se cruzan las dos funciones. Estas funciones se intersecan en (1, 3) y (4, 6).
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Ejemplo: «¿Cuál de las siguientes es una solución del sistema de ecuaciones?». 3x - y = 3 y = x2 + 6x - 7 a. (-4, -15) b. (0, -7) c. (1, -4) d. (2, 3) La respuesta es A. Para resolver algebraicamente, aísla y en una de las ecuaciones. A continuación, usa el método de sustitución. Resuelve para x. 3x - y = 3 3x - (x2 + 6x - 7) = 3 3x - x2 - 6x + 7 = 3 -x2 - 3x + 7 = 3 -x2 - 3x + 4 = 0 -1(x2 + 3x - 4) = 0 -1(x + 4)(x - 1) = 0 x = -4, 1 Sustituya el valor o valores de x en una de Las ecuaciones originales para calcular los valores correspondientes de y . 3x - y = 3 3(-4) - y = 3 -12 - y = 3 -y = 15 y = -15 (-4, -15)
3x - y = 3 3(1) - y = 3 3-y=3 -y = 0 y=0 (1, 0)
Finalmente, sustituye los valores de x y y en las dos ecuaciones originales para verificar la respuesta.
AVANCES En álgebra 2, los estudiantes ampliarán sus conocimientos del sistema numérico para incluir los números complejos. Los estudiantes resolverán ecuaciones cuadráticas con coeficientes reales que tienen soluciones complejas. Los estudiantes traducirán entre la descripción geométrica y la ecuación de una sección cónica.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS
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ANÁLISIS PROFUNDO DE LOS ESTÁNDARES
CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES
DESGLOSAR EL ESTÁNDAR
Crear ecuaciones que describan números o relaciones.
VERBOS: ¿QUÉ DEBERÍAN HACER LOS ESTUDIANTES?
• Crear ecuaciones y desigualdades en una variable al incluir aquellas con valor absoluto y utilizarlas para resolver problemas. Incluir ecuaciones que surjan de funciones lineales y cuadráticas, y de funciones racionales y exponenciales sencillas. • Representar restricciones mediante ecuaciones o desigualdades, y mediante sistemas de ecuaciones y/o desigualdades, e interpretar las soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelización. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de coste en combinaciones de diferentes alimentos. Resolver ecuaciones y desigualdades en una variable. • Resolver ecuaciones cuadráticas en una variable. • Usar el método de completar el cuadrado para transformar cualquier ecuación cuadrática en x en una ecuación de la forma (x - p)2 = q que tenga las mismas soluciones. Deduce la fórmula cuadrática a partir de esta forma. • Resolver ecuaciones cuadráticas por inspección (por ejemplo, para x2 = 49), al tomar raíces cuadradas, al completar el cuadrado, la fórmula cuadrática y al factorizar, según sea apropiado para la forma inicial de la ecuación. Reconocer cuándo la fórmula cuadrática da soluciones complejas y escribirlas como a ± bi para números reales a y b. Resolver sistemas de ecuaciones. • Resolver algebraica y gráficamente un sistema simple formado por una ecuación lineal y una ecuación cuadrática en dos variables. Representar y resolver ecuaciones y desigualdades gráficamente. • Explicar por qué las coordenadas x de los puntos de intersección de las gráficas de Las ecuaciones y = f(x) y y = g(x) son las soluciones de la ecuación f(x) = g(x); hallar las soluciones de forma aproximada, por ejemplo, al usar tecnología para graficar las funciones, hacer tablas de valores o encontrar aproximaciones sucesivas. Incluir casos en los que f(x) y/o g(x) sean funciones lineales, polinómicas, racionales, de valor absoluto, exponenciales y logarítmicas. Escribir expresiones en formas equivalentes para resolver problemas. • Elegir y producir una forma equivalente de una expresión para revelar y explicar propiedades de la cantidad representada por la expresión. Nota: Este alcance se centra en la cuadrática.
• crear: hacer algo de la nada • usar: aplicar una estrategia • resolver: encontrar un valor que responda a una pregunta y/o haga que una ecuación sea verdadera • representar: mostrar cómo se relacionan los términos; representar algo más • interpretar: explicar el significado de • transformar: reescribir una ecuación para hacer una nueva ecuación equivalente • derivar: obtener algo de una fuente • reconocer: ver y comprender • escribir: registrar un enunciado matemático • explicar: dar cuenta de acciones o sucesos al explicar las razones • graficar: trazar un conjunto de puntos en un plano de coordenadas • encontrar: descubrir; resolver • hacer: crear • incluir: contener como parte de un todo • elegir: seleccionar • producir: hacer • revelar: descubrir o mostrar SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBEN CONOCER LOS ESTUDIANTES?
• ecuación: enunciado matemático que muestra que dos expresiones son iguales entre sí • desigualdad: enunciado matemático que utiliza símbolos como <, ≤, > o ≥ para comparar dos cantidades • valor absoluto: la distancia a la que se encuentra un número del cero en una recta numérica; también se denomina magnitud de un número; nunca es negativo • variable: una letra o símbolo que ocupa el lugar de un número que puede cambiar; una letra que puede representar un número desconocido o un conjunto de números • función lineal: una relación que cuando se representa gráficamente es una línea recta • función cuadrática: una función que puede escribirse de la forma f(x) = ax2 + bx + c = 0, donde a, b, y c son números reales y a ≠ 0, o en la forma f(x)=a(x-h)2+k, donde a, h, y k son números reales y a ≠ 0 • restricción: condición que debe satisfacer la solución • sistema de ecuaciones: dos o más ecuaciones con dos o más variables • sistema dy desigualdades: dos o más inecuaciones con dos o más variables
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IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA • contexto: situación en la que se encuentra o sucede algo • completar el cuadrado: proceso utilizado para formar un trinomio cuadrado perfecto con el fin de encontrar la(s) solución(es) al tomar la raíz cuadrada • ecuación cuadrática: una ecuación que puede escribirse en la forma de ax2 + bx + c = 0, donde a, b, y c son números reales ya≠0 _ b2 - 4ac • fórmula cuadrática: la fórmula x = −b ± ___ √ , que da las 2a soluciones de Las ecuaciones en la forma de ax2 + bx + c = 0, donde a ≠ 0. • forma vertical: y = a(x - h)2 + k, donde a, h, y k son constantes y a ≠ 0 • raíz cuadrada: un número, que al multiplicarse por sí mismo, produce el número dado • factorización: encontrar expresiones que puedan multiplicarse para dar la expresión de un lado de la ecuación • soluciones complejas: en la forma a + bi; soluciones que se producen cuando el valor bajo el radical de la fórmula cuadrática es menor que cero • ecuación lineal: una ecuación en la que ninguna variable tiene una potencia mayor que 1; la forma general es y = mx + b, donde m = pendiente y b = intercepción y • coordenada x: el primer término de un par ordenado; proporciona la ubicación a lo largo del eje x dentro del plano de coordenadas • punto: un punto que representa un punto específico en una recta numérica o plano de coordenadas; un objeto geométrico sin dimensión utilizado para indicar una ubicación • gráfico: una representación visual de los datos • solución: cualquier número que hace que una ecuación sea verdadera • tecnología: una ayuda como una calculadora o un ordenador utilizada para calcular o graficar información relativamente complicada • aproximar: encontrar un número que esté cerca del número dado en una recta numérica • polinomio: expresión matemática formada por varios términos • número racional: número que puede escribirse como fracción de enteros a/b, donde b ≠ 0; número que puede escribirse como cociente al usar dos enteros • expresión: números, variables y símbolos agrupados sin signo igual para mostrar una relación
• En grados anteriores, los estudiantes crearon ecuaciones lineales basadas en situaciones matemáticas y del mundo real para resolver problemas. Los estudiantes desarrollarán esas habilidades al crear ecuaciones cuadráticas para representar situaciones y datos. • En grados anteriores, los estudiantes resolvieron sistemas compuestos por dos ecuaciones lineales e interpretaron la intersección de las líneas como la solución del sistema. • En este grado, los estudiantes ampliarán su comprensión de la interpretación de la solución como el lugar donde las líneas se cruzan si se utiliza un gráfico o si se utiliza una tabla de valores si existen los mismos pares ordenados. • Los estudiantes ampliarán su comprensión de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales para resolver sistemas de ecuaciones formados por una ecuación lineal y una ecuación cuadrática. Los estudiantes aplicarán su comprensión de la resolución de un sistema lineal gráficamente como el punto de intersección al resolver sistemas cuadráticos lineales. • Los estudiantes deberán ser capaces de utilizar modelos, fichas de álgebra y representaciones algebraicas para explicar y completar el cuadrado. Los estudiantes deben ser capaces de utilizar modelos, fichas de álgebra y representaciones algebraicas para explicar y factorizar. Los estudiantes deben ser capaces de completar el cuadrado para deducir la fórmula cuadrática. Los estudiantes deben ser capaces de justificar y explicar por qué un método de solución es más adecuado para un contexto de problema particular que otro. • Los estudiantes deben ser capaces de resolver ecuaciones cuadráticas y determinar cuándo utilizar cada estrategia. La experiencia con diferentes tipos de situaciones y la explicación del método elegido ayudarán a los estudiantes a desarrollar su razonamiento para seleccionar el método más adecuado.
• expresiones equivalentes: expresiones que nombran el mismo número independientemente del valor que se sustituya por la variable • propiedad: cualquier atributo o característica • cantidad: un número o cantidad; una cantidad que dice cuánto
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ALINEACIÓN VERTICAL GRADO
ESTÁNDAR Entender la resolución de una ecuación o desigualdad como un proceso de respuesta a una pregunta: «¿qué valores de un conjunto especificado, si los hay, hacen que la ecuación o desigualdad sea verdadera?». Usar la sustitución para determinar si un número dado en un conjunto especificado hace que una ecuación o desigualdad sea verdadera. Usar variables para representar números y escribir expresiones al resolver un problema matemático o del mundo real; entender que una variable puede representar un número desconocido o, depende del propósito, cualquier número en un conjunto especificado.
6
Resolver problemas matemáticos y de la vida real al escribir y al resolver ecuaciones de la forma x + p = q y px = q para los casos en que p, q y x sean todos números racionales no negativos.
Usar variables para representar dos cantidades en un problema del mundo real que cambian en relación una con otra; escribir una ecuación para expresar una cantidad, considerada como la variable dependiente, en términos de la otra cantidad, considerada como la variable independiente. Analizar la relación entre las variables dependiente e independiente mediante gráficas y tablas, y relacionarlas con la ecuación. Por ejemplo, en un problema que implique movimiento a velocidad constante, enumere y grafique pares ordenados de distancias y tiempos, y escriba la ecuación d = 65t para representar la relación entre distancia y tiempo.
Utilizar variables para representar cantidades en un problema matemático o del mundo real, y construir ecuaciones y desigualdades sencillas para resolver problemas al razonar sobre las cantidades. 7
a
Resolver problemas de palabras que conduzcan a ecuaciones de la forma px + q = r y p(x + q) = r, donde p, q, y r son números racionales específicos. Resolver ecuaciones de estas formas con fluidez. Comparar una solución algebraica con una solución aritmética, al identificar la secuencia de las operaciones utilizadas en cada planteamiento. Por ejemplo, el perímetro de un rectángulo es 54 cm. Su longitud es de 6 cm. «¿Cuál es su anchura?».
Resuelve ecuaciones lineales en una variable. a
Pon ejemplos de ecuaciones lineales en una variable con una solución, con infinitas soluciones o sin solución. Demostrar cuál de estas posibilidades es el caso al formar sucesivamente la ecuación dada en formas más sencillas, hasta que resulte una ecuación equivalente de la forma x = a, a = a, o a = b (donde a y b son números diferentes).
b
Resolver ecuaciones lineales con coeficientes de números racionales, al incluir ecuaciones cuyas soluciones requieran expandir expresiones al usar la propiedad distributiva y al unir términos semejantes.
8
Crear ecuaciones y desigualdades en una variable al incluir aquellas con valor absoluto y usarlas para resolver problemas. Incluir ecuaciones que surjan de funciones lineales y cuadráticas, y funciones racionales y exponenciales simples. Representar restricciones mediante ecuaciones o desigualdades, y mediante sistemas de ecuaciones y/o desigualdades, e interpretar las soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelización. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de coste en combinaciones de diferentes alimentos. Resolver ecuaciones cuadráticas en una variable.
Álgebra
a
Utilizar el método de completar el cuadrado para transformar cualquier ecuación cuadrática en x en una ecuación de la forma (x p)2 = q que tenga las mismas soluciones. Deducir la fórmula cuadrática a partir de esta forma.
b
Resolver ecuaciones cuadráticas por inspección (por ejemplo, para x2 = 49), al tomar raíces cuadradas, al completar el cuadrado, la fórmula cuadrática y la factorización, según corresponda a la forma inicial de la ecuación. Reconocer cuándo la fórmula cuadrática da soluciones complejas y escribirlas como a ± bi para números reales a y b.
Resolver algebraica y gráficamente un sistema sencillo formado por una ecuación lineal y una ecuación cuadrática en dos variables. Explicar por qué las coordenadas x de los puntos de intersección de las gráficas de Las ecuaciones y = f(x) y y = g(x) son las soluciones de la ecuación f(x) = g(x); hallar las soluciones de forma aproximada, por ejemplo, al usar tecnología para graficar las funciones, hacer tablas de valores o encontrar aproximaciones sucesivas. Incluir casos en los que f(x) y/o g(x) sean funciones lineales, polinómicas, racionales, de valor absoluto, exponenciales y logarítmicas. Elegir y producir una forma equivalente de una expresión para revelar y explicar propiedades de la cantidad representada por la expresión. Resolver ecuaciones cuadráticas con coeficientes reales que tengan soluciones complejas. Álgebra 2
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INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA MONITOREAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA La guía de instrucción andamiada se proporciona para que los maestros puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones del alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que ayuda a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de la evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos según los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere que todos los estudiantes experimenten con los elementos: «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades», ya que cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar. 0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
80 % - 100 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil pueden trabajar en contenido de Nivel de grado con apoyos de instrucción.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» individual para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 2. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante de acuerdo con sus datos de evaluación. 3. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la sección «Scaffolded Instruction Guide» en el menú desplegable «Home» del alcance. 4. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Constructor de fluidez • Concentración Práctica interactiva
0 % - 25 %
Repaso y práctica de habilidades
• Despegue
constructor de bases fundamentales
(Nivel de grado con apoyos)
Acceso a conocimientos previos
(Nivel de grado)
Alg.I - Resolver cuadráticas
25 % - 50 %
Prueba de habilidades
Alg.I - Resolver cuadráticas Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Constructor de fluidez • ¡A pescar!
(Refuerzo del grado anterior)
8 - Raíces cuadradas y raíces cúbicas
50 % - 80 %
0 % - 25 % 25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyos) (Nivel de grado)
50 % - 80 %
(Refuerzo del grado anterior)
Crear ecuaciones y desigualdades en una variable, incluidas las de valor absoluto, y utilizarlas para resolver problemas. Incluir ecuaciones que surjan de funciones lineales y cuadráticas, y funciones racionales y exponenciales simples.
Representar restricciones mediante ecuaciones o desigualdades, y mediante sistemas de ecuaciones y/o desigualdades, e interpretar soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelización. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de costo en combinaciones de diferentes alimentos.
8 - Resolver ecuaciones lineales Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • ¡Corrige el error! 8 - Resolución de pares de ecuaciones lineales Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Corrige el error
Alg.I - Resolver cuadráticas Repaso y práctica de habilidades • Repaso (sección resolver sistemas de ecuaciones cuadráticas lineales)
Alg.I - Resolver cuadráticas Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Ciencia de datos
¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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80 % - 100 %
Alg.I - Resolver cuadráticas
(Ampliación del nivel de grado)
(Ampliación del nivel de grado)
80 % - 100 %
Ciencia de datos
Alg.I - Resolver cuadráticas
¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Resolver ecuaciones cuadráticas en una variable.
8 - Raíces cuadradas y raíces cúbicas
• Concentración Práctica interactiva • Despegue Prueba de habilidades Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • ¡A pescar! Práctica interactiva • Cerradura y llave Prueba de habilidades
Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales
• Repaso (sección factorizar para resolver cuadráticas, usa el método de completar el cuadrado para resolver cuadráticas)
Constructor de fluidez • Corrige el error Práctica interactiva • Misión del droide Prueba de habilidades
Alg.I - Resolver cuadráticas Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (preguntas 5 y 6) • Repaso (sección resolver sistemas de ecuaciones cuadráticas lineales) • Revisión general (preguntas 8-10)
Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Práctica interactiva • Misión del droide Constructor de fluidez • ¡A pescar!
Vocabulario ilustrado
Ciencia de datos
Vocabulario interactivo Libreta interactiva Constructor de fluidez
Alg.I - Resolver cuadráticas
¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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80 % - 100 %
(Nivel de grado)
Alg.I - Resolver cuadráticas
• ¡A pescar! (Ampliación del nivel de grado)
50 % - 80 %
• Revisión rápida (preguntas 1-4)
• Revisión general (preguntas 1-7)
50 % - 80 %
Repaso y práctica de habilidades
Alg.I - Resolver cuadráticas
Repaso y práctica de habilidades
(Ampliación del nivel de grado)
(Nivel de grado con apoyos)
25 % - 50 %
Alg.I - Resolver cuadráticas
80 % - 100 %
8 - Resolver pares de ecuaciones lineales
Alg.I - Resolver ecuaciones
25 % - 50 %
0 % - 25 %
(Refuerzo del grado anterior)
Constructor de fluidez
0 % - 25 %
Repaso y práctica de habilidades
(Refuerzo del grado anterior)
Resolver ecuaciones cuadráticas por inspección (por ejemplo, para x² = 49), al tomar raíces cuadradas, al completar el cuadrado, la fórmula cuadrática y la factorización, según corresponda a la forma inicial de la ecuación. Reconocer cuando la fórmula cuadrática da soluciones complejas y escribirlas como a ± bi para números reales a y b.
Resolver un sistema simple que consiste en una ecuación lineal y una ecuación cuadrática en dos variables algebraica y gráficamente.
(Nivel de grado con apoyos)
b
Utilizar el método de completar el cuadrado para transformar cualquier ecuación cuadrática en x en una ecuación de la forma (x - p)² = q que tenga las mismas soluciones. Deducir la fórmula cuadrática a partir de esta forma.
(Nivel de grado)
a
Alg.I - Resolver cuadráticas Tablero de opciones
339
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Explicar por qué las coordenadas x de los puntos donde se cruzan las gráficas de Las ecuaciones y = f (x) e y = g (x) son las soluciones de la ecuación f (x)= g (x); encontrar las soluciones de forma aproximada, por ejemplo, al usar tecnología para representar gráficamente las funciones, hacer tablas de valores o encontrar aproximaciones sucesivas. Incluya casos en los que f (x) y/o g (x) sean funciones lineales, polinómicas, racionales, de valor absoluto, exponenciales y logarítmicas.
Elegir y producir una forma equivalente de una expresión para revelar y explicar propiedades de la cantidad representada por la expresión.
8 - Relaciones proporcionales
• ¡Corrige el error! Práctica interactiva • Prueba de rapidez del robot Prueba de habilidades
0 %-25
8 - Resolución de pares de ecuaciones lineales Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez
Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades
Constructor de fluidez • ¡Corrige el error! Práctica interactiva • Cerradura y llave Prueba de habilidades Alg.I - Transformar funciones exponenciales Repaso y práctica de habilidades
Alg.I - Resolver cuadráticas Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (preguntas 1-4) • Repaso (factorizar para resolver cuadráticas, usa el método de completar el cuadrado para resolver cuadráticas) • Revisión general (preguntas 1-7)
Alg.I - Resolver cuadráticas Vocabulario ilustrado
50 % - 80 %
• Repaso (sección resolver sistemas de ecuaciones cuadráticas lineales)
Vocabulario Interactivo
Tablero de opciones
340
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80 % - 100 %
Alg.I - Resolver cuadráticas
Alg.I - Resolver cuadráticas Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Constructor de fluidez • ¡A pescar! Ciencia de datos
Ciencia de datos
(Ampliación del nivel de grado)
(Nivel de grado con apoyos) (Ampliación del nivel de grado)
(Nivel de grado)
25 % - 50 %
50 % - 80 % 80 % - 100 %
Alg.I - Resolver cuadráticas
25 % - 50 %
• Misión del droide
(Nivel de grado con apoyos)
Práctica interactiva
Prueba de habilidades
Repaso y práctica de habilidades
Prueba de habilidades
• Corrige el error
(Nivel de grado)
0 %-25
(Refuerzo del grado anterior)
Constructor de fluidez
(Refuerzo del grado anterior)
7 - Expresiones
Repaso y práctica de habilidades
Alg.I - Resolver cuadráticas Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS
ATRAER: ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS
EVALUAR PREVIAMENTE EL CONOCIMIENTO DEL ESTUDIANTE
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: CUATRO ESQUINAS ESTÁNDAR PREVIO
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Aplicar el teorema de Pitágoras para determinar longitudes desconocidas de lados en triángulos rectángulos en problemas matemáticos y del mundo real en dos y tres dimensiones.
1. Pida a los estudiantes que observen las cuatro esquinas y piensen qué imagen de la esquina Explique mejor la siguiente afirmación: La hipotenusa mide 25 pies.
DESCRIPCIÓN
2. Conceda 2 minutos de tiempo para pensar.
Los estudiantes hablarán con sus compañeros sobre su comprensión del estándar previo a través de una debate de Cuatro esquinas. Este elemento está diseñado para descubrir los conceptos erróneos de los estudiantes; no debe tomarse para una calificación.
3. Pida a los estudiantes que pasen a la imagen de la esquina que eligieron. Pida a cada grupo que comente por qué eligieron la imagen. 4. Conceda de 2 a 5 minutos de debate en las imágenes de las esquinas. Después de que los estudiantes comenten por qué eligieron sus respuestas, hable sobre las respuestas con la clase y permita que los estudiantes expliquen sus representaciones de los problemas.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diapositivas de cuatro esquinas (por clase)
a. La diapositiva 1 es la respuesta correcta.
PREPARACIÓN
5. Si los estudiantes tienen dificultades para completar esta tarea, pase al «Constructor de bases fundamentales» para llenar este vacío en el conocimiento previo antes de pasar a otras partes del alcance.
• Imprima una copia de las diapositivas de cuatro esquinas. • Cuelgue las diapositivas en cuatro zonas distintas del salón, fácilmente visibles para todos.
IDENTIFICACIÓN DE CONCEPTOS ERRÓNEOS
• Los estudiantes pueden no recordar que deben sacar la raíz cuadrada de C. • Los estudiantes pueden no recordar que los catetos no pueden ser más largos que la hipotenusa.
Solve Quadratics
Solve Quadratics
Four Corners – Slide 1
Solve Quadratics
Four Corners – Slide 2
Four Corners – Slide 3
Four Corners – Slide 4
15 ft. 7 ft.
30 ft.
25 ft.
25 ft.
24 ft.
1
Solve Quadratics
20 ft.
2
20 ft.
3
4
CUATRO ESQUINAS
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS
ATRAER: CAPTAR INTERÉS Solve Quadratics
LECCIÓN MOTIVADORA
CAPTAR INTERÉS DESCRIPCIÓN Los estudiantes relacionarán la resolución de cuadráticas con una situación del mundo real.
y = −0.1x2 + 2x + 4
MATERIALES IMPRESO
• 1 resolver cuadráticas (por clase) REUTILIZABLE RESOLVER CUADRÁTICAS
• 1 video de fenómenos (por clase)
PREPARACIÓN
• Planee mostrar el video. • Prepárese para proyectar Resolver cuadráticas para que toda la clase lo vea. • Prepárese para presentar el escenario y para animar a los estudiantes a pensar en cómo resolverlo. Prepárese para pasar a las actividades «Explorar», al regresar a la actividad «Captar interés» con los nuevos conocimientos adquiridos después de que se hayan completado las exploraciones.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA 1. Presente esta actividad hacia el comienzo del alcance. La clase retomará la actividad y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades «Explorar» correspondientes. 2. Explique la situación mientras muestra el video detrás de usted. Dan lanza piedras a un estanque. «¿A qué distancia lanzó Dan la primera piedra antes de que cayera en el estanque?». 3. Formule las siguientes preguntas a los estudiantes: «¿Qué observas? ¿Qué se preguntan? ¿Dónde puedes ver matemáticas en esta situación?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Observo que Dan lanza la piedra desde la altura de los hombros. Observo que la piedra se desplaza al formar un arco. Me pregunto si la piedra llegaría más lejos si Dan la lanzara por encima del hombro. Me pregunto cuál de los tres lanzamientos llegó más lejos. Me pregunto qué ecuación representaría la trayectoria de la piedra. 4. Proyecte «Resolver cuadráticas». 5. Explique que la ecuación representa el primer lanzamiento de piedra. El valor y es la altura de la piedra medida en pies, y el valor x es la distancia horizontal recorrida medida en pies. Comente las siguientes preguntas: a.
DOK-1 «¿Por qué este modelo tendría un coeficiente principal negativo?». Dado que la trayectoria de la piedra aumenta en altura antes de caer al agua, la parábola debería abrirse hacia abajo y necesita un coeficiente de avance negativo.
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b
DOK-1 «¿Qué representa el «+ 4» al final del modelo?». Permita que los estudiantes compartan sus ideas. Las respuestas de los estudiantes variarán. La altura de la piedra cuando Dan la soltó
c. DOK-1 «¿Qué formas serían más útiles para determinar qué tan lejos viaja la piedra antes de golpear el agua?». Intercepto de la forma de vértice 6. Completa las actividades de «Exploración». PARTE II: DESPUÉS DE EXPLORAR
1. Vuelva a mostrar el video de fenómenos y vuelva a plantear el problema. 2. Refiérase a «Resolver cuadráticas», y comente las siguientes preguntas: a. DOK-1 «¿Cómo comenzaría a calcular qué tan lejos viaja la piedra antes de golpear el agua?». Establece el valor de y igual a 0. b. DOK-1 «¿Qué estrategias usarías para resolver la ecuación que creaste?». Me gustaría factorizar, pero no parece posible, así que completaría el cuadrado para resolver x. c. DOK-1 «¿Cuál es tu nueva ecuación después de completar el cuadrado?». Resuelve tu ecuación. 0 = -0.1(x - 10)2 + 14. x ≈ -1.832 y x ≈ 21.832. d. DOK-2 «¿Por qué no siempre usamos las dos soluciones de una ecuación cuadrática?». Cuando hay dos soluciones, puede que ambas no tengan sentido en un escenario dado. En este caso, el valor negativo de x no tiene sentido cuando se trata de encontrar la distancia que recorrió la piedra antes de golpear el agua. e. DOK-1 «¿Sientes que tienes una sólida comprensión de la resolución de cuadráticas?». Las respuestas variarán según el éxito de los estudiantes durante la actividad y su nivel de confianza.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 1: RESOLVER CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN DESCRIPCIÓN Los estudiantes resolverán cuadráticas al factorizar la ecuación y al aplicar la regla del producto cero para encontrar las soluciones. Luego determinarán cuál solución es una respuesta razonable.
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP4. Representar con matemáticas: Los estudiantes representarán las matemáticas para describir una situación ya sea con una ecuación o un diagrama e interpretarán los resultados de una situación matemática. • MP5. Usar estratégicamente las herramientas adecuadas: Los estudiantes utilizarán las herramientas disponibles y reconocerán los puntos fuertes y las limitaciones de cada una de ellas. Los estudiantes decidirán cuándo utilizar las herramientas apropiadas, tales como calculadoras gráficas, fichas de álgebra y modelos de áreas. • MP8. Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes verán cálculos repetidos y buscarán generalizaciones y atajos. Los estudiantes establecerán conexiones entre los patrones observados en el representado y los métodos algebraicos.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I 1. Lea la siguiente situación a la clase: «María acaba de conseguir un trabajo en una empresa de diseño e instalación de piscinas. Le han encargado que diseñe una piscina y una cubierta que cumplan las especificaciones de un cliente. El cliente desea que la piscina tenga una superficie de 24 metros cuadrados y que su longitud sea 2 metros mayor que su ancho. Ayude a María a determinar las dimensiones de la piscina». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para utilizar la factorización para determinar la longitud y el ancho de la piscina y registrar su trabajo en sus diarios». 4. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y use las siguientes preguntas guías para evaluar su comprensión: a.
DOK-1 «¿Cuál es la fórmula para el área de un rectángulo?». La fórmula del área de un rectángulo es A = la.
b.
DOK-1 «¿Cuál es la forma estándar de la ecuación cuadrática?». La forma estándar de la ecuación cuadrática es ax2 + bx + c = 0.
c.
DOK-2 «¿Cómo nos ayudó el reescribir la ecuación en forma estándar a escribirla en forma factorizada?». Para reescribir una ecuación en forma factorizada, debemos representarla o tenerla escrita en forma estándar primero. Reescribirla en forma estándar fue el método más eficiente para reescribir la ecuación en forma factorizada.
d.
DOK-2 «¿Por qué necesitas poner la ecuación cuadrática en forma estándar?». Para poder resolver al usar la regla del producto cero, un lado de la ecuación debe ser igual a cero. También necesitas poder factorizar el otro lado, y la forma estándar es el mejor punto de partida para factorizar una cuadrática.
e.
DOK-2 «¿Podrías determinar el valor de b en la pregunta 5c? ¿Por qué sí o por qué no?». Puedo determinar el valor de b porque sé que b + 5 = 0, así que puedo resolver la ecuación simple y ver que el valor de b es -5.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima un «Boleto de salida» para cada pareja. Recorte los «Boletos de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno.
5. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte I y responder a las preguntas que siguen. 6. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta ahora.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-2 «¿Cómo podemos usar la regla del producto cero para resolver una ecuación cuadrática?». Puedes factorizar la ecuación y luego poner los factores individuales a cero y resolver esas ecuaciones para las soluciones de tu ecuación original. • DOK-2 «¿Podrías simplemente haber aplicado la regla del producto cero a la ecuación a(a + 2) = 24?». No, uno de los lados de la ecuación tiene que ser igual a cero para utilizar la regla del producto cero. • DOK-2 «¿Serán siempre razonables todas las soluciones de la ecuación?». No, a veces una o más de las soluciones no funcionarán en el escenario dado. Al igual que con las dimensiones, la cantidad debe ser positiva. • DOK-2 «¿Cómo podemos comprobar si nuestra respuesta es correcta?». Podemos multiplicar la longitud por el ancho para ver si obtenemos el área correcta. Después, podemos comprobar si nuestras dimensiones cumplen los criterios establecidos en el problema. • DOK-3 En la ecuación a - b = 0, «¿qué debe ser cierto sobre a o b?». Si ab = 0 entonces a o b, tanto a como b, deben ser iguales a cero. • DOK-2 «¿Podríamos utilizar la regla del producto cero en una ecuación como a - b = 5?». No, un lado de la ecuación tiene que ser igual a cero para que se aplique la regla del producto cero. PARTE II 1. Lea el siguiente escenario a la clase: «María trabaja en el diseño y las dimensiones de la cubierta que rodeará la piscina. Tendrá el mismo tamaño en 3 lados, pero uno de ellos será 4 veces más ancho para poder colocar una mesa de patio. La superficie total de la piscina y la cubierta será de 66 metros cuadrados. “¿Cuáles serán las dimensiones de la piscina al incluir la nueva cubierta?”». 2. Los estudiantes deben tener todavía sus diarios del estudiante». 3. Los estudiantes trabajarán juntos para usar la factorización para determinar la longitud y el ancho de la cubierta de la piscina y registrar su trabajo en sus diarios». 4. Mientras los estudiantes colaboran, monitoree su trabajo y use las siguientes preguntas guías para evaluar su comprensión: a.
DOK-1 Cuando tienes una ecuación cuadrática en forma estándar y notas un factor común mayor, «¿qué puedes hacer?». Puedes factorizar el máximo común divisor.
b.
DOK-2 «¿Por qué querrías factorizar el máximo común divisor antes de hacer cualquier otra factorización?». Eliminar el máximo común divisor usualmente simplifica la ecuación, al facilitar su posterior factorización. Disminuirá el orden de la ecuación o reducirá el tamaño de los coeficientes.
c.
DOK-2 Al aplicar la regla del producto cero, «¿por qué no establecemos el FMC igual a cero en este caso? ¿Podría haber una ecuación en la que el MCD se igualara a cero al usar la regla del producto cero?». No lo hacemos igual a cero en este caso porque es un FMC entero. Si el FMC incluyera una variable, lo igualaríamos a cero y resolveríamos.
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5. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen. 6. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿El hecho de que una constante entre en una ecuación factorizada afecta la regla del producto cero?». Usa 2ab = 0 como ejemplo. No, una constante no afecta las soluciones. Ambos lados pueden dividirse por esa constante y no cambiar el resultado. • DOK-2 «¿Por qué no usamos la regla del producto cero en (6 + 5x)(4 + 2x) = 66?». Para usar la regla del producto cero, tienes que tener un lado de la ecuación igual a cero. • DOK-2 «¿Cómo podemos saber si nuestra solución es correcta?». Tenemos las dimensiones de la cubierta y sabemos cuál debería ser el área. Para verificar que nuestra respuesta es correcta, simplemente tenemos que multiplicar nuestras dimensiones para ver si obtenemos el área deseada. • DOK-3 «¿Cuáles serían las soluciones de (x - a)(x - b) = 0?». Las soluciones de (x - a)(x - b) = 0 serían a y b. • DOK-3 «¿Cuáles serían las soluciones de x2 - a2 = 0?». x2 - a2 = 0 puede factorizar a (x-a)(x+a) = 0, entonces la solución puede ser a y -a. 7. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez creado, haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva» .
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Algunos estudiantes pueden olvidar revisar las soluciones para determinar si encajan en el contexto. Anímelos a pensar en cada problema y qué posibles soluciones tendrían sentido antes de resolver. 2. Al analizar ecuaciones parabólicas, los estudiantes pueden equivocarse al determinar los ceros. Por ejemplo, si y = (x - a)(x - b), pueden decir que los ceros son -a y -b. Anímelos a escribir x - a = 0 y x - b = 0 para ver que los ceros son en realidad a y b. 3. Los estudiantes pueden pasar por alto los ceros si tienen una situación como y = x(x - a). Anímelos a escribir todos los factores como x (constante) para que no se les escape este cero. Así, en este ejemplo, escriba y = (x - 0)(x - a).
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
Solve Quadratics Explore 1
Solve Quadratics Explore 1
5.
Factoring in Summer Fun
Length
In Sq. Yards In Terms of w
Area of the Pool
How does this illustrate the zero product rule? This is showing examples of the zero product rule using integers. It is showing that 0 times these numbers always gives a result of zero.
b.
If 3b = 0, then what is the value of b? How do you know? The value of b must be zero because the only way two numbers multiply to zero is if one or both of the numbers is zero.
c.
If 3(b + 5) = 0, then what is the value of (b + 5)? How do you know? The value of (b + 5) must be zero because the only way two numbers multiply to zero is if one or both of the numbers is zero.
d.
24 w
w+2
Part II 1.
a.
Determine an expression for the length and width of the pool in terms of w, and write it on the diagram. Then, determine an expression for the area of the pool in terms of w, and complete the table.
Width
2.
Use the zero product rule outlined below to answer the following questions. If ab = 0, then either a = 0 or b = 0.
Part I 1.
Solve Quadratics Explore 1
6.
w(w + 2)
Complete the tables below, and then answer the questions to determine how wide the pool deck needs to be.
Pool
If a(b + 5) = 0, then what must be true of either a or (b + 5)? The value of (b + 5) or a must be zero because the only way two numbers multiply to zero is if one or both of the numbers is zero.
If (w + 6)(w – 4) = 0, then what must be true of w, and how do you know? Using the zero product property, the value of w must either be −6 or 4. (w + 6) = 0 or (w – 4) = 0 w = −6 or w = 4
Write an equation for the area of the pool in terms of w. w(w + 2) = 24
7.
Are both of these solutions a reasonable width for the pool? Explain. The dimension of the pool needs to be a positive number, so only w = 4 will work as the answer.
3.
Rewrite your equation so that it is in standard form. w2 + 2w – 24 = 0
8.
What are the dimensions of the pool? 4×6
4.
Factor the equation. (w + 6)(w – 4) = 0
6
6 + 5x
Width
4
4 + 2x
Area
24
(6 + 5x)(4 + 2x)
Area in Square Yards of Pool Plus Deck
What is the equation for the area of the pool and deck in terms of x? (6 + 5x)(4 + 2x) = 66
3.
Simplify the equation by putting it in standard form. 10x2 + 32x – 42 = 0
4.
What is the factored form of the equation? 2(5x + 21)(x – 1) = 0
3
Solve Quadratics Explore 1
Solve Quadratics Explore 1
5.
If 2(5x + 21)(x – 1) = 0, then what must be true of either (5x + 21) or (x – 1)? The value of (5x + 21) or (x – 1) must be zero.
6.
Use the zero product rule to solve 2(5x + 21)(x – 1) = 0. Give the equations that will be used to solve, and then solve the equations. (5x + 21) = 0 or (x – 1) = 0 x = −21/5 = −4.2 or x = 1.
7.
Are both of these solutions a reasonable width for the pool decking? Explain. The dimensions need to be a positive number, so only x = 1 will work as a reasonable answer.
8.
How wide should the pool decking be? The pool decking should be 1 yard wide on 3 sides and 4 yards wide on the last side.
9.
What are the total dimensions of the pool and decking in yards? 11 × 6 yards
66
2.
2
1
Pool and Deck in Terms of x
Length
Reflect 1.
Do you think there is any limit to the number of factors that can be used when applying the zero product rule? No, you can have as many factors as you need, and the zero product rule will still apply.
2.
What would be the solutions to the factored equation (x + )(x – ) = 0? 2 3 The solutions would be − 1 and 1 .
1
2
1
3
3.
Why is the equation 2x(x – 1) + 3(x – 1) = 0 not in the proper form to use the zero product rule? What would you need to do in order to use the zero product rule? The original equation is not a series of multiplied factors, so in this form the zero product rule cannot be used. You would need to factor by grouping, rewrite this in factored form, (2x + 3)(x – 1) = 0, and then use the zero product rule.
4.
Why are the solutions to (x + 2)(x – 5) = 7 not 5 and −2? In order to use the zero product rule, we are looking for factors that multiply to zero. These factors multiply to 7. The zero product rule cannot be used with this equation in that form; therefore, the rule will not apply.
4
5
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Solve Quadratics Part 1
APOYOS LINGÜÍSTICOS La siguiente estrategia de adquisición lingüística se apoya en esta actividad de «Explorar». Vea las estrategias que siguen para encontrar maneras de apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes.
Solve Quadratics by Factoring 1.
Los estudiantes usarán técnicas de aprendizaje como mapas conceptuales, dibujar, comparar, contrastar, memorizar y repasar para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado. Principiante: Como actividad previa a la lección, guíe a los estudiantes en la creación de una hoja de resumen titulada «Cómo factorizar polinomios». La hoja debe incluir los métodos cubiertos a lo largo del alcance de factores de polinomios, una descripción escrita de cada método y ejemplos.
2.
a.
(x – 2)(x + 4) = 0
b.
(a + 3)(a – 7) = 0
x = 2, −4 a = −3, 7
c.
(x – 4)(x + 1)(x + 2) = 0
x = 4, −1, −2
d.
(2k + 3)(k – 2) = 0
Riya and Paola were both solving the same equation but took different approaches. Look at their first couple of steps, and explain which one is correct and why. Riya’s Work
Intermedio: Como actividad previa a la lección, pide a los estudiantes que creen una hoja resumen titulada «Cómo factorizar polinomios». La hoja debe incluir los métodos cubiertos a lo largo del alcance factores de polinomios, una descripción escrita de cada método y ejemplos. Avanzado: Como actividad previa a la lección, pide a los estudiantes que creen una hoja resumen titulada «Cómo factorizar polinomios». La hoja debe incluir los métodos cubiertos a lo largo del alcance factores de polinomios, una descripción escrita de cada método y ejemplos.
Use the zero product rule to find the solutions to the equations.
Paola’s Work x2 + 3x – 4 = −6 x2 + 3x + 2 = 0 (x + 1)(x + 2) = 0
2
x + 3x – 4 = −6 (x – 1)(x + 4) = −6
Paola’s work is correct because before you can apply the zero product rule, you need one side of the equation to be equal to zero. 3.
Solve the equations by factoring. a.
x2 + 6x + 5 = 0 (x + 1)(x + 5) = 0 x = −1, −5
x2 – 3x + 2 = 0 (x – 1)(x – 2) = 0 x = 1, 2
b.
1
Solve Quadratics Part 1
Solve Quadratics Explore 1
4.
Solve Quadratics by Factoring Exit Ticket
Ayaan is building 2 new animal pens on his dad’s ranch. He has sketched the parameters for the new chicken and sheep pens. Help him solve for the exact dimensions of each pen by filling in the tables below.
Solve the following quadratic equations by factoring. 1.
x(x + 1) = 2
2.
2x2 + 7x + 5 = 2
x2 + x – 2 = 0
2x2 + 7x + 3 = 0
(x + 2)(x – 1) = 0
(2x + 1)(x + 3) = 0
x = −2 and 1
x = − 1 and −3 2
Solve Quadratics Explore 1
Solve Quadratics by Factoring Exit Ticket Solve the following quadratic equations by factoring. 1.
x(x + 1) = 2
2.
2x2 + 7x + 5 = 2
x2 + x – 2 = 0
2x2 + 7x + 3 = 0
(x + 2)(x – 1) = 0
(2x + 1)(x + 3) = 0
x = −2 and 1
x=−
1 and −3 2
Chickens
Sheep
Length in Terms of x
x+4
x+8
Width in Terms of x
x
x+3
Area in Square Yards
12
104
Chickens
Sheep
Equation for the Area in Terms of x
x(x + 4) = 12
(x + 8)(x + 3) = 104
Equation in Standard Form
x2 + 4x – 12 = 0
x2 + 11x – 80 = 0
Equation Factors
(x + 6)(x – 2) = 0
(x + 16)(x – 5) = 0
All Solutions to the Equation
x = −6 and 2
x = −16 and 5
Reasonable Solution
x=2
x=5
Dimensions of Pen
2 by 6 yards
8 by 13 yards 2
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
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MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 2: RESOLVER CUADRÁTICAS AL COMPLETAR EL CUADRADO DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizarán sus conocimientos de completar el cuadrado para resolver ecuaciones cuadráticas.
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP4. Representar con matemáticas: Los estudiantes representarán las matemáticas para describir una situación ya sea con una ecuación o un diagrama e interpretarán los resultados de una situación matemática. • MP5. Usar estratégicamente las herramientas adecuadas: Los estudiantes utilizarán las herramientas disponibles y reconocerán los puntos fuertes y las limitaciones de cada una de ellas. Los estudiantes decidirán cuándo utilizar las herramientas apropiadas, tales como calculadoras gráficas, fichas de álgebra y modelos de áreas. • MP8. Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes verán cálculos repetidos y buscarán generalizaciones y atajos. Los estudiantes harán conexiones entre los patrones notados en el representado y los métodos algebraicos.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de cuadernos de lanzamiento de calabaza (por grupo) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes) REUTILIZABLE
• 1 calculadora científica (por grupo) • 2 bolsas resellables (por grupo)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima un «Boleto de salida» para cada pareja. Recorte los «Boletos de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno. • Imprima un juego de cuadernos lanzamiento de calabazas para cada grupo. Recorte las tarjetas de la parte I y colóquelas dentro de una bolsa resellable con la etiqueta «Parte I». Recorte las tarjetas de la parte II y colóquelas en una bolsa resellable etiquetada como «Parte II». Si lo deseas, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para utilizarlas en el futuro.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «La clase de ingeniería de la escuela secundaria Montaña de la Esperanza va a celebrar una competencia de catapultas. La clase se ha dividido en 2 equipos. Cada equipo ha diseñado y construido sus propias catapultas con 2 brazos de longitud diferente. A cada equipo se le da una calabaza para lanzar. Basándose en el diseño de la catapulta, la base y el peso de su calabaza, cada equipo ha calculado una ecuación cuadrática para estimar la distancia que recorrerá su calabaza. La primera ronda de la competencia se realizará con el brazo más corto. El equipo cuya calabaza se acerque más a su proyección ganará la ronda». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Distribuya los cuadernos de lanzamiento de calabazas de la parte I y una calculadora científica a cada grupo. 4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para resolver Las ecuaciones cuadráticas para determinar qué tan lejos cada equipo proyectó que sus calabazas se lanzarán y registrarán su trabajo en sus diarios». 5. Mientras los estudiantes colaboran, monitoree su trabajo y utilice las siguientes preguntas guías para evaluar su comprensión: a. DOK-1 «¿Cuántas soluciones hay para x2 = 9? ¿Por qué?». Hay 2 soluciones porque tanto 3 como -3 al cuadrado son igual a 9. b. DOK-2 «¿Cómo puedes resolver una ecuación _ como x - 2 = ± √9 ? ». Simplificarías al máximo la raíz cuadrada o encontrarías la aproximación decimal y luego sumarías 2 a ambos lados de la ecuación. Entonces tendrías que calcular 2 + 3 y 2 - 3 para terminar de resolver. c. DOK-1 «¿Qué ocurre cuando sacas la raíz cuadrada de un número que no es un cuadrado perfecto?». Factorizas el número y sacas todos los cuadrados perfectos que puedes formar a partir de los factores. Los que no se emparejan se quedan dentro del radical. También puedes utilizar una calculadora para determinar la aproximación decimal. 6. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte I y responder a las preguntas que siguen. 7. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta el momento.
• Reúna una calculadora científica para cada grupo.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Solve Quadratics Explore 2
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 Aunque hay dos soluciones para cada una de estas cuadráticas, sólo una puede ser razonablemente la distancia a la que volará la calabaza. «¿Cuál de las soluciones es la respuesta razonable? ¿Por qué?». El número positivo es la solución razonable porque esperamos que la calabaza vuele hacia adelante, no hacia atrás.
The Great Pumpkin Launch Part I 1.
Alexander’s mixed-up steps are as follows: ● Solve for both solutions. ● Isolate the term with the square on one side of the equation. ● Take the positive and negative square roots of both sides.
• DOK-2 «¿Cómo puedes pasar de la forma estándar de la ecuación cuadrática a la forma de vértice?». Puedes convertir una ecuación cuadrática de la forma estándar a la forma de vértice al completar el cuadrado. • DOK-2 «¿Por qué necesitamos aislar el término cuadrado en un lado de la ecuación?». Resolver ecuaciones es deshacer las operaciones. Si estuviéramos al hacer cálculos numéricos, los exponentes estarían primero. Por el contrario, al resolver, los exponentes son las últimas operaciones que se deshacen.
To prepare for the pumpkin launch, Alexander and Maria Jose were discussing how to solve quadratic equations using square roots. Alexander was pretty certain he knew the 3 steps needed, but he wasn’t sure in what order to do those steps. Help Alexander by writing the 3 steps in the correct order in the table.
Steps 1. Isolate the term with the square on one side of the equation. 2. Take the positive and negative square root of both sides. 3. Solve for both solutions.
2.
Use the ordered steps to show Alexander and Maria Jose how to solve the equation x2 – 9 = 0. Solve x2 – 9 = 0. x2 = 9 x=
PARTE II
x = −3 or 3
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Después de la primera ronda de lanzamiento de calabazas, se permitió a los estudiantes hacer algunos ajustes en sus catapultas para intentar conseguir una mayor precisión. En la segunda ronda de la competencia utilizarán los brazos más largos de sus catapultas».
1
2. Distribuya los cuadernos de lanzamiento de calabazas de la parte II a cada grupo. 3. Los estudiantes deben tener aún sus diarios» y calculadoras científicas. 4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para resolver las cuadráticas al completar primero los cuadrados para determinar qué tan lejos deben volar las calabazas. Luego, calcularán qué lanzamiento fue el más cercano al valor predicho. Los estudiantes trabajarán juntos y registrarán su trabajo en sus diarios».
Solve Quadratics Explore 2
3.
Team 1 Equation: (x – 4)2 – 25 = 0 Measured distance: 12 feet 4.
5. A medida que los estudiantes colaboran, monitoree su trabajo y utilice las siguientes preguntas guías para evaluar su comprensión: a. DOK-1 «¿Cuál es el requisito para poder completar el cuadrado que tiene que ver con el coeficiente delante de x2?». El coeficiente delante de x2 tiene que ser 1 para que puedas completar el cuadrado. b. DOK-1 «¿Qué puedes hacer si no se cumple este requisito?». Si el coeficiente delante de x2 no es 1, puedes factorizar el coeficiente principal fuera de los términos de primer y segundo grado.
Identify the equation and measured distance for each team on the Pumpkin Launch Notebooks, and write it in the space provided. Team 2 Equation: (x – 3)2 – 50 = 0 Measured distance: 11 feet
In the tables below, complete the steps to solve the equations from the Pumpkin Launch Notebooks that represent the distance each catapult is expected to launch the pumpkin. Round answers to the nearest tenth if needed. Team 1
Team 2
(x – 4)2 – 25 = 0
(x – 3)2 – 50 = 0
(x – 4)2 = 25
(x – 3)2 = 50
x – 4 = ±5
x – 3 ≈ ±7.1
x = −1 or 9
x ≈ 10.1 or −4.1
5.
Are both solutions for team 1 reasonable projections? Why or why not? Team 1 only has one reasonable solution. A solution of −1 feet is not reasonable. A projected distance of 9 feet is reasonable because distance is measured with positive numbers.
6.
Are both solutions for team 2 reasonable projections? Why or why not? Team 2 only has one reasonable solution. A solution of −4.1 feet is not reasonable. A projected distance of 10.1 feet is reasonable because distance is measured with positive numbers.
7.
How far was each team from their projection? Which team was closest to their projection and won this round? Team 1 was 3 feet from their expected distance. Team 2 was 0.9 feet from their expected distance. Team 2 won this round.
6. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen. 7. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. 348
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DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Solve Quadratics Explore 2
CHARLA DE MATEMÁTICAS
Part II 1.
Identify the equation for each team on the Pumpkin Launch Notebooks, and write it in the space provided. Team 1 Equation: 2x2 – 48x – 5 = 0
2.
Maria Jose suggested they complete the square to rewrite each team’s equation in vertex form. She thinks the equation will be easier to solve if it is rewritten. Team 1 Equation in vertex form: 2(x – 12)2 – 293 = 0
3.
Team 2 Equation: 3x2 – 84x – 87 = 0
Team 2 Equation in vertex form: 3(x – 14)2 – 675 = 0 If a student divides by 3 on both sides, (x – 14)2 – 225 = 0
Use the vertex form of each equation to solve and determine the expected distance each team will launch their pumpkin. Write the steps to solve in the tables below. Team 1
Team 2
2(x – 12)2 – 293 = 0
3(x – 14)2 – 675 = 0
2
2(x – 12) = 293
3(x – 14)2 = 675
2
(x – 12) = 146.5
(x – 14)2 = 225
x – 12 =
x – 14 =
x – 12 ≈ ±12.1
x – 14 = ±15
x = −0.1 or 24.1
x = −1 or 29
4.
Are both solutions for each team reasonable projections? Why or why not? Only the positive distances are reasonable projections because distance is described/measured with positive values.
5.
How far was each team from their projection? Which team was closest to their projection and won this round? Team 1 was 2.9 feet from their expected distance. Team 2 was 1 foot from their expected distance. Team 2 won this round.
• DOK-1 «¿Hay siempre una sola manera de resolver una ecuación cuadrática?». No, normalmente hay múltiples maneras de resolver una ecuación cuadrática. Es como tener varias herramientas en tu caja de herramientas. Se pueden usar muchas herramientas para la misma tarea; sólo necesitas decidir qué herramienta es la más eficiente para la tarea.
Solve Quadratics Explore 2
Reflect 1.
When calculating the solution to a quadratic equation like x2 = 4, how many solutions are there? Explain. The equation x2 = 4 has 2 solutions because if you square either 2 or −2, you will get 4.
2.
When solving a quadratic of the form x2 = 0, how many solutions are there? Explain. The equation x2 = 0 only has one solution, x = 0. There is only one possible number that when squared would equal zero.
3.
If you were looking at the quadratic x2 = −4, how many real solutions can you find? Explain. The equation x2 = −4 has no real solutions because there is no real number when multiplied by itself that can give you a negative number.
4.
If you have a quadratic equation in vertex form, (x – h)2 + k = 0, what criteria do you think needs to be met for there to be 0, 1, or 2 solutions? If k is less than 0, there will be 2 solutions. If k is equal to 0, there will be 1 solution, and if k is greater than zero, there will be no solutions.
5.
What is the vertex of the equation y = (x – 3)2 – 4? Set the y value equal to 0, and find the x-intercepts. Explain why these x-intercepts make sense given your vertex. The vertex is (3, −4). If y = 0, then 0 = (x – 3)2 − 4 4 = (x – 3)2 ±2 = x – 3 x = 5 or x = 1. So the x-intercepts are (5, 0) and (1, 0). This makes sense because the x value of the vertex of 3 is right in the middle of them.
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• DOK-1 «¿Cuáles son algunas de las formas que conocemos para resolver ecuaciones?». Podemos resolverlas al factorizar, al completar el cuadrado, al graficar o al usar la fórmula cuadrática. • DOK-2 Al completar el cuadrado, si b es un número par, obtenemos un número entero al tomar __ b . 2 «¿Qué pasaría si b fuera impar? ¿Podríamos completar el cuadrado? ¿En qué cambiaría la forma del vértice de la ecuación?». Sí, aún podrías completar el cuadrado si b es un número impar. La forma de vértice de la ecuación simplemente tendría una fracción en lugar de un número entero dentro del término cuadrado. 8. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez creado, haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva» .
4
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• DOK-2 «¿Se pueden resolver todas Las ecuaciones cuadráticas al usar completar el cuadrado?». Sí, todas Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver al completar el cuadrado. • DOK-2 «¿Hay siempre soluciones para una ecuación cuadrática?». No, si la ecuación cuadrática no cruza el eje x, no hay soluciones reales a la ecuación.
3
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
• DOK-2 «¿Cuándo es buena idea usar completar el cuadrado?». Es una buena idea usar completar el cuadrado cuando es el único método disponible o el método más eficiente.
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Al tomar la raíz cuadrada de ambos lados de una ecuación, los estudiantes pueden olvidar tomar las raíces cuadradas positivas y negativas. Anímelos a pensar en cómo la cantidad máxima de raíces se conecta con el grado del polinomio. 2. Al completar el cuadrado, los estudiantes pueden olvidar sumar el cuadrado a ambos lados de la ecuación en lugar de sólo uno. Recuérdales que comprueben su trabajo asegurándose de que sus soluciones funcionan para Las ecuaciones originales.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Solve Quadratics Part 2
APOYOS LINGÜÍSTICOS La siguiente estrategia de adquisición lingüística se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes. Los estudiantes utilizarán técnicas de aprendizaje como mapas conceptuales, dibujar, comparar, contrastar, memorizar y repasar para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado.
Solve Quadratics by Completing the Square 1.
When solving the equation (x – 4)2 – 25 = 0, how do you get two solutions? After adding 25 to both sides of the equation, you take the square root. When we take the square root to solve an equation, we use the ± sign to show both possible solutions. In this case, x – 4 could equal 5 or −5.
2.
Use the equation y = (x + 2)2 – 9 to answer the following questions. a. b. c.
Principiante: Como actividad previa a la lección, guíe a los estudiantes en la creación de una hoja resumen titulada «Cómo completar el cuadrado». La hoja debe incluir un problema de ejemplo en el que se indique y describa cada paso. Intermedio: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que creen una hoja de resumen titulada «Cómo completar el cuadrado». La hoja debe incluir un problema de ejemplo en el que se indique y describa cada paso.
d.
3.
Avanzado: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que creen una hoja de resumen titulada «Cómo completar el cuadrado». La hoja debe incluir un problema de ejemplo en el que se indique y describa cada paso.
What is the vertex of this quadratic equation? The vertex is (−2, −9). How would you find the x-intercepts of the equation? You would set the y value equal to zero and solve for x. What are the x-intercepts of the equation? (x + 2)2 – 9 = 0 (x + 2)2 = 9 x + 2 = ±3 x = 1 or x = −5 (1, 0) and (−5, 0) are the x-intercepts. Why do these x-intercepts make sense given your vertex? The x-coordinate and axis of symmetry is at x = −2, which is directly in between the two x-intercepts.
Use completing the square to solve the following equations. a.
x2 + 2x – 8 = 0 (x + 1)2 – 9 = 0 (x + 1)2 = 9 x + 1 = ±3 x = 2 or x = −4
b.
x2 – 4x – 12 = 0 (x – 2)2 – 16 = 0 (x – 2)2 = 16 x – 2 = ±4 x = 6 or x = −2
c.
x2 – 8x + 12 = 0 (x – 4)2 – 4 = 0 (x – 4)2 = 4 x – 4 = ±2 x = 2 or x = 6
d.
(x – p)2 – q = 0 (x – p)2 = q x–p=± x =p± x=p+ or x = p – 1
Solve Quadratics Explore 2
Solve Quadratics by Completing the Square Exit Ticket Solve the following equation by completing the square.
Solve Quadratics Part 2
Sora and Jaya each dropped a feather off of a cliff. Because the feathers were different sizes, they fell at different speeds. The equations for the distance between each feather and the ground are shown in the table. Calculate how many seconds it took each feather to fall. Do not forget that the leading coefficient must equal 1 before completing the square. Round to the nearest tenth of a second.
2x2 – 12x – 54 = 0
Sora’s Feather
Jaya’s Feather
−16x2 – 32x + 400 = 0
−15x2 – 90x + 270 = 0
−16x2 – 32x + 400 = 0 x2 + 4x – 25 = 0 (x + 1)2 – 26 = 0
−15x2 – 90x + 270 = 0 x2 + 6x – 18 = 0 (x + 3)2 – 27 = 0
Workspace
(x + 1)2 = 26 x+1= x = −1 x ≈ 4.1 or −6.1
(x + 3)2 = 27 x+3= x = −3 x ≈ 2.1 or −8.2
Solution
4.1 seconds
2.1 seconds
x2 – 6x – 27 = 0 2
(x – 3) – 36 = 0
Equation
(x – 3)2 = 36 x – 3 = ±6 x = −3 or 9
Vertex Form
Solve Quadratics Explore 2
Solve Quadratics by Completing the Square Exit Ticket
4.
How did you determine which of the two solutions to each equation represented the time for the feather to hit the ground? In each case, there was one positive and one negative solution. Since we are looking at the amount of time required for the feathers to drop, only the positive solution makes sense.
5.
What might be the reason that one feather took longer to fall than the other? Answers will vary and may include the following statements. One feather might weigh more than the other, making it fall faster. One feather might be more spread out, making it fall slower.
Solve the following equation by completing the square. 2x2 – 12x – 54 = 0 x2 – 6x – 27 = 0 (x – 3)2 – 36 = 0 (x – 3)2 = 36 x – 3 = ±6 x = −3 or 9
2
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
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MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 3: RESOLVER SISTEMAS CUADRÁTICOS LINEALES GRÁFICAMENTE DESCRIPCIÓN Los estudiantes determinarán cuántas soluciones tendrá un sistema cuadrático lineal y cuál(es) es(son) la(s) solución(es) al graficar las ecuaciones.
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP4. Representar con matemáticas: Los estudiantes representarán las matemáticas para describir una situación ya sea con una ecuación o un diagrama e interpretarán los resultados de una situación matemática. • MP5. Usar estratégicamente las herramientas adecuadas: Los estudiantes utilizarán las herramientas disponibles y reconocerán los puntos fuertes y las limitaciones de cada una de ellas. Los estudiantes decidirán cuándo utilizar las herramientas apropiadas, tales como calculadoras gráficas, fichas de álgebra y modelos de áreas. • MP8. Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes verán cálculos repetidos y buscarán generalizaciones y atajos. Los estudiantes establecerán conexiones entre los patrones observados en el representado y los métodos algebraicos.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes) REUTILIZABLE
• 1 calculadora gráfica (por grupo)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima un «Boleto de salida» para cada pareja. Recorte los «Boletos de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I 1. Lea la siguiente situación a la clase: «Santiago y Emma se están preparando para una competencia de resorteras. Deciden practicar desde su complejo de apartamentos que da al bosque. Para cada ronda de práctica, Santiago lanza una pelota de béisbol con una máquina lanzadora desde una ventana, y Emma utiliza su resortera para lanzar una canica a la pelota de béisbol desde un piso más alto. Determina qué intentos tuvieron éxito al usar el sistema cuadrático lineal para representar las trayectorias de las pelotas de béisbol y las canicas».
4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para determinar si Emma pudo o no golpear la pelota de béisbol con su canica basándose en las trayectorias dadas y, en caso afirmativo, cuántas veces se cruzaron esas trayectorias. Los estudiantes registrarán su trabajo en sus diarios». 5. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guías para evaluar su comprensión: a.
DOK-2 Cuando se utiliza la tecnología para graficar una ecuación, «¿importa si las variables son t y h en lugar de x y y?». No, no hay ninguna diferencia siempre y cuando seas consistente con tus variables.
b.
DOK-1 «¿Cuál es la forma de la trayectoria de la canica?». Es una recta.
c.
DOK-1 «¿Cuál es la forma de la trayectoria de la pelota de béisbol?». Es una parábola.
d.
DOK-1 «¿En qué dirección se abrirá la parábola, hacia arriba o hacia abajo? ¿Por qué?». La parábola se abrirá hacia abajo porque el coeficiente delante del término cuadrado es negativo.
6. Conceda a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte I y responder a las preguntas que siguen. 7. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta ahora. CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-3 En realidad, «¿es posible que la canica golpee la pelota de béisbol más de una vez?». No, la trayectoria tanto de la canica como de la pelota de béisbol cambiará en el impacto, así que sólo puede haber una vez que la canica realmente golpee la pelota de béisbol. • DOK-3 Tenemos ejemplos de la recta y la cuadrática que se intersecan 0, 1 y 2 veces. «¿Es posible que se crucen 3 veces?». No, una recta y una cuadrática pueden intersecarse 2 veces, como máximo. PARTE II 1. Lea la siguiente situación a la clase: «Santiago y Emma van a hacer algunas rondas más de práctica. Esta vez, Santiago lanzará la pelota de béisbol con una trayectoria que llevará la pelota más alto. Santiago y Emma necesitan que analices los datos para determinar después de cuántos segundos la pelota de béisbol fue golpeada con la canica. Tienen un tiempo límite en el congrado, y es importante que sean capaces de golpear la pelota de béisbol en menos de 8 segundos. 2. Los estudiantes aún deben tener las calculadoras gráficas y sus diarios del estudiante».
2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Entregue una calculadora gráfica a cada grupo.
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1/9/26 1:43 PM
ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3
3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para determinar si Emma golpeará la pelota de béisbol, cuántas veces se cruzarán las trayectorias y los tiempos en que se cruzarán y registre su trabajo en sus diarios». 4. A medida que los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guías para evaluar su comprensión: a. DOK-2 «¿Sería razonable calcular los tiempos en que Las ecuaciones se encuentran sin utilizar la tecnología para graficarlas?». Si bien es técnicamente posible hacer este cálculo a mano, sería menos eficiente hacerlo en este momento.
Solve Quadratics Explore 3
Slingshot Competition Part I
For the first 2 rounds of practice, the baseball will follow the same trajectory, but Emma will change the path of her marble. 1.
Graph the equations to determine whether Emma will hit the baseball and how many times the trajectories will cross. Baseball Trajectory
Marble Trajectory
h = −t2 + 10t + 20
h = t + 30
b. DOK-1 «¿Siempre se pueden resolver sistemas cuadráticos lineales gráficamente con la ayuda de la tecnología?». Sí, la graficación siempre funcionará con los sistemas cuadráticos lineales. Puede que no siempre sea la forma más precisa, pero siempre funcionará.
2.
Will Emma hit the baseball? Yes
3.
How many times will the trajectories intersect? 2
5. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen. 6. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. 1
Solve Quadratics Explore 3
4.
Graph the equations to determine whether Emma will hit the baseball and how many times the trajectories will cross.
Solve Quadratics Explore 3
7.
Graph the equations to determine whether Emma will hit the baseball and how many times the trajectories will cross.
Baseball Trajectory
Marble Trajectory
Baseball Trajectory
Marble Trajectory
h = −t2 + 10t + 20
h = 2t + 36
h = −t2 + 10t + 20
h = 3t + 40
5.
Will Emma hit the baseball? Yes
8.
Will Emma hit the baseball? No
6.
How many times will the trajectories intersect? 1
9.
How many times will the trajectories intersect? 0
2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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1/9/26 1:43 PM
ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3
Solve Quadratics Explore 3
Part II
Using the graphing feature of your calculator, determine how many times the trajectories intersect and the time of the intersections rounded to the nearest integer. If they don’t intersect, state that rather than give a time. 1.
6.
Graph the equations to determine whether Emma will hit the baseball and how many times the trajectories will cross.
Graph the equations to determine whether Emma will hit the baseball and how many times the trajectories will cross. Baseball Trajectory
Marble Trajectory
h = −t2 + 12t + 30
h = 2t + 55 2.
Will Emma hit the baseball? Yes
3.
How many times will the trajectories intersect? 1
4.
If they intersect, what is the ordered pair(s) where they intersect? (5, 65)
5.
11.
Solve Quadratics Explore 3
If they intersect, after how many seconds do their trajectories intersect? 5 seconds
Marble Trajectory
h = −t2 + 12t + 32
h = 3t + 40
Marble Trajectory
h = −t2 + 12t + 30
h = 4t + 55 7.
Will Emma hit the baseball? No
8.
How many times will the trajectories intersect? 0
9.
If they intersect, what is the ordered pair(s) where they intersect? No intersection
10.
If they intersect, after how many seconds do their trajectories intersect? No intersection
4
5
Solve Quadratics Explore 3
Solve Quadratics Explore 3
Graph the equations to determine whether Emma will hit the baseball and how many times the trajectories will cross. Baseball Trajectory
Baseball Trajectory
Reflect
12.
Will Emma hit the baseball? Yes
13.
How many times will the trajectories intersect? 2
14.
If they intersect, what is the ordered pair(s) where they intersect? (1, 43) and (8, 64)
15.
If they intersect, after how many seconds do their trajectories intersect? 1 second and 8 seconds
1.
When solving for a system of equations with 2 lines there can be either 0, 1, or infinite solutions. Is the same true for a linear quadratic system? No, there cannot be infinite solutions because the line and quadratic cannot lay directly on top of each other like 2 lines can do.
2.
There is more than one way to solve systems of equations. Here, we solved them graphically. How else do you think these systems could have been solved? You could use substitution to solve the equations algebraically.
3.
All of the linear quadratic systems we looked at have had positive solutions. Is this always the case? Can there be negative solutions? If so, draw an example of this on the grid below. There can be any combination of positive and negative solutions for linear quadratic systems. Graphs will vary.
4.
All of the two-solution linear quadratic systems in the examples have had one solution on each side of the vertex. Is it possible to have 2 solutions on one side of the vertex? If so, draw an example of this on the grid below. Yes, it is possible to have both solutions on one side of the vertex. Graph answers will vary.
6
7
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Solve Quadratics Explore 3
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 En los escenarios donde las trayectorias se cruzan dos veces, en realidad, el patrón de las trayectorias cambiará en el impacto. «¿Cuál de las 2 veces chocarán la canica y la pelota de béisbol?». En realidad, la canica y la pelota de béisbol chocarán la primera de las dos veces.
Solve Linear Quadratic Systems Graphically Exit Ticket Solve the linear quadratic system of equations by graphing. Linear Quadratic System y = x2 – 2
• DOK-3 En la pregunta 1 de la parte II, si Emma aumentara la pendiente de la trayectoria de su canica, «¿cambiaría la cantidad de intersecciones?». En caso afirmativo, «¿cuál sería la nueva cantidad?». Si Emma aumentara la pendiente de la trayectoria de su canica, haría que no hubiera intersecciones entre la canica y la pelota de béisbol. • DOK-3 En la pregunta 1 de la parte II, si Emma disminuyera la pendiente de la trayectoria de su canica, «¿cómo cambiaría la cantidad de intersecciones?». Si Emma disminuyera la pendiente de la trayectoria de su canica, cambiaría la cantidad de intersecciones de 1 a 2.
y = −x Solutions: (−2, 2) and (1, −1)
Solve Quadratics Explore 3
Solve Linear Quadratic Systems Graphically Exit Ticket Solve the linear quadratic system of equations by graphing. Linear Quadratic System y = x2 – 2
• DOK-2 «¿Cómo podrías comprobar tu solución una vez que la tengas?». Podrías poner el tiempo que calculaste en ambas ecuaciones para asegurarte de que obtienes la misma respuesta.
y = −x Solutions: (−2, 2) and (1, −1)
7. Cuando los estudiantes terminen, pídeles que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
Solve Quadratics Part 3
• Asegúrate de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez creado, pida a cada estudiante que complete su «Libreta interactiva» .
Solve Linear Quadratic Systems Graphically 1.
Sketch the following linear quadratic systems, and give the number of solutions for each system. For the systems that have at least one solution, give the x-coordinate of all of the solutions rounded to the nearest tenth. a.
y = x2 + 2x + 4 y = 2x + 10 Number of solutions: 2 Coordinate(s) of solutions: (−2.5, 5.1) and (2.5, 14.9)
b.
y = x2 + 10x + 25 y = 10x + 25 Number of solutions: 1 Coordinate(s) of solutions: (0, 25)
1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 3) CLAVE DE RESPUESTAS 354
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Solve Quadratics Part 3
c.
APOYOS PEDAGÓGICOS
y = −x2 + 2x + 2 y = −2x + 8
1. Ayude a los estudiantes a ver que los puntos de intersección en los sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas son soluciones, al igual que en los sistemas de ecuaciones lineales.
Number of solutions: 0 Coordinate(s) of solutions: None
2. Pida a los estudiantes que dibujen sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas que tengan cero, una y dos soluciones para desarrollar una intuición más fuerte.
APOYOS LINGÜÍSTICOS d.
La siguiente estrategia de adquisición lingüística se apoya en esta actividad «Explorar». Vea las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes.
y = 2x2 – 8x + 3 y = −3x + 8 Number of solutions: 2 Coordinate(s) of solutions: (−0.8, 10.3) and (3.3, −1.8)
Los estudiantes usarán técnicas de aprendizaje como mapas conceptuales, dibujar, comparar, contrastar, memorizar y repasar para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado.
2
Solve Quadratics Part 3
2.
Intermedio: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que trabajen en parejas para completar un diagrama de Venn que compare y contraste las funciones lineales y cuadráticas. Proporcione a los estudiantes un banco de palabras que puedan utilizar para completar el diagrama de Venn. Algunas frases del banco de palabras pueden ser «siempre aumenta o siempre disminuye», «tiene partes crecientes y decrecientes», «es simétrica» y «el comportamiento final es siempre hacia el infinito negativo o hacia el infinito positivo».
Chloe and Brandon are both selling cupcakes to raise money for their upcoming choir trip. They have tracked their sales over the 4 hr. bake sale. The rate at which they sold their cupcakes can be represented by the equations below. Chloe: y = −5t2 + 10t + 45 Brandon: y = −8t + 40 a.
b. c.
Graph both of the equations on the grid below.
What are the times where these two equations intersect? Round your answer to the nearest tenth. They intersect at t = −0.3 hours and t = 3.9 hours. At what time will Chloe and Brandon be selling cupcakes at the same rate? Explain your answer. The time must be a positive number, so it must be at 3.9 hours.
d.
How many cupcakes will they both be selling at that time? Round your answer to the nearest integer. 9 cupcakes
e.
Why would you want to round to the nearest integer rather than the nearest tenth used for the time? You would want to round to the nearest integer because they only sell whole cupcakes.
f.
During what time period will Chloe be selling more cupcakes than Brandon? Chloe will be selling more cupcakes than Brandon from the beginning of the bake sale until 3.9 hours into the bake sale.
g.
During what time period will Brandon be selling more cupcakes than Chloe? Brandon will only be selling more cupcakes than Chloe from 3.9 hours until the end of the sale at 4 hours.
Principiante: Como actividad previa a la lección, proporcione a los estudiantes dos fichas: una con la palabra lineal y otra con la palabra cuadrática. Muestre y lea en voz alta una serie de enunciados relacionados con funciones cuadráticas, lineales o de ambos tipos. Para cada enunciado, pida a los estudiantes que levanten una o las dos tarjetas. Si hay discrepancias en las respuestas de los estudiantes, pídales que defiendan sus posiciones. Entre las posibles afirmaciones se incluyen «siempre aumenta o siempre disminuye», «tiene partes crecientes y decrecientes», «es simétrica» y «el comportamiento final es siempre hacia el infinito negativo o hacia el infinito positivo».
Avanzado: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que trabajen en parejas para completar un diagrama de Venn que compare y contraste las funciones lineales y cuadráticas. A continuación, pida a las parejas que lo compartan con la clase. Pida a los estudiantes que añadan nueva información a su diagrama a medida que otros estudiantes lo compartan.
3
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 3) CLAVE DE RESPUESTAS ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 4: RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS DESCRIPCIÓN Los estudiantes ampliarán sus habilidades en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales cuadráticas para incluir métodos algebraicos. También examinarán cómo determinar qué método será el mejor para un escenario dado.
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP4. Representar con matemáticas: Los estudiantes representarán las matemáticas para describir una situación ya sea con una ecuación o un diagrama e interpretarán los resultados de una situación matemática. • MP5. Usar estratégicamente las herramientas adecuadas: Los estudiantes utilizarán las herramientas disponibles y reconocerán los puntos fuertes y las limitaciones de cada una de ellas. Los estudiantes decidirán cuándo utilizar las herramientas apropiadas, tales como calculadoras gráficas, fichas de álgebra y modelos de áreas. • MP8. Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes verán cálculos repetidos y buscarán generalizaciones y atajos. Los estudiantes establecerán conexiones entre los patrones observados en el representado y los métodos algebraicos.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes) REUTILIZABLE
• 1 calculadora gráfica (por grupo)
PREPARACIÓN
4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para calcular las veces que las dos acciones tendrán el mismo precio por acción y registrar su trabajo en sus diarios». 5. A medida que los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guías para evaluar su comprensión: a.
DOK-1 «¿Qué es la propiedad transitiva?». La propiedad transitiva establece que si a = b y b = c, entonces a = c.
b.
DOK-2 «¿Qué tienen en común las dos ecuaciones que podrían usarse para aplicar la propiedad transitiva?». Ambas ecuaciones son iguales a y.
c.
DOK-1 «¿Cuál es la forma estándar de la ecuación cuadrática?». La forma estándar de la ecuación cuadrática es ax2 + bx + c = 0.
6. Permita a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte I y contestar las preguntas que siguen. 7. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje hasta el momento. CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-2 «¿Cuándo es posible usar la propiedad transitiva?». Puedes usar la propiedad transitiva siempre que tengas dos ecuaciones que sean iguales a la misma cosa. • DOK-3 Si la ecuación creada no se factoriza fácilmente, «¿qué otros métodos podrías usar para resolverla?». Podrías usar completar el cuadrado en tu ecuación derivada, o podrías resolver con el uso de gráficas. • DOK-3 «¿Qué días te convendría invertir en Sol eléctrico? ¿Qué días sería mejor invertir en La energía de Rolland?». Las acciones de La energía de Rolland tendrán un valor más alto entre los puntos de intersección de los días 4 y 25. Después, el modelo cuadrático para Sol eléctrico crecerá mucho más rápidamente.
• Separe la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes.
PARTE II
• Imprima un «Diario del estudiante» para cada alumno.
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «La clase observará ahora los precios de las acciones de jardín maternal abc y los brazos cariñosos de la abuela y resolverá los momentos en que los precios de las acciones son iguales tanto algebraica como gráficamente».
• Imprima un «Boleto de salida» para cada pareja. Recorte los «Boletos de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I 1. Lea la siguiente situación a la clase: «La clase de Finanzas de la Sra. Romero estudia el mercado de valores. Las dos primeras acciones que estudiarán son Sol eléctrico y La energía de Rolland. Sol eléctrico tiene un precio que se puede representar mediante f(t) = t2 - 27t + 200, donde t es el tiempo en días y f(t) es el precio por acción. La energía de Rolland puede representarse mediante g(t) = 2t + 100, donde t es el tiempo en días y g(t) es el precio por acción. ¿Cuáles son los momentos en que estas dos acciones tendrán el mismo precio por acción?». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Entregue una calculadora gráfica a cada grupo.
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2. Los estudiantes deben tener todavía las calculadoras gráficas y sus diarios del estudiante». 3. A continuación, los estudiantes trabajarán juntos para resolver el sistema cuadrático lineal de 2 maneras diferentes y registrarán su trabajo en sus diarios». 4. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guías para evaluar su comprensión: a. DOK-1 «¿Cómo podrías verificar que tienes la solución correcta?». Podrías volver a poner las soluciones en Las ecuaciones originales y asegurarte de que ambas dan la misma respuesta para cada una de las soluciones. ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS Solve Quadratics Explore 4
Powerful Stocks
5. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder las preguntas que siguen.
Part I
Answer the questions below to determine when the two power companies’ stocks have the same per-share cost. Sunshine Electric
Rolland’s Power
f(t) = t2 – 27t + 200 or t2 – 27t + 200 = y
g(t) = 2t + 100 or y = 2t + 100
1.
How could we use the transitive property to solve for the times the two stocks are equal? Since both of the equations given are equal to y, they have to be equal to each other. Therefore, we could set the two equations equal to each other and solve for t.
2.
Use the transitive property to write the system as one equation. t2 – 27t + 200 = 2t + 100.
3.
Rewrite the equation in standard form, factor it, and solve for t. t2 – 29t + 100 = 0 (t – 4)(t – 25) = 0 t = 4 or 25
4.
Are both of these solutions reasonable answers? Explain. Yes, they are both reasonable because they are both positive, and since we are looking at time, the solutions need to be positive. Based on our work in Explore 3, it is also reasonable that the linear and quadratic models intersect twice.
6. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 «¿Obtuviste las mismas soluciones para ambos métodos?». Sí, ambos métodos produjeron las mismas soluciones. 1
Solve Quadratics Explore 4
Part II
Examine the following 2 stocks, calculate the time that their share prices are equal both algebraically and graphically, and then answer the questions that follow. ABC Daycare
Grandma’s Loving Arms
p = t2 – 10t + 91
p = −2t + 100
1.
Use the transitive property to write the system as one equation. t2 – 10t + 91 = −2t + 100
2.
Rewrite the equation in standard form, and solve by completing the square. t2 – 8t – 9 = 0 (t – 4)2 – 25 = 0 t – 4 = ±5 t = −1 and 9
3.
2
Solve Quadratics Explore 4
Reflect 1.
In Part II, did you get the same solutions using both methods? Which method did you find easier? Yes, the answers were the same. The easier method answer will vary.
2.
What is a situation in which solving algebraically would be better? Answers may vary. Solving algebraically would be better when the resulting equation can be easily factored, you need an exact value for your answer, or you do not have a graphing calculator with you.
3.
What is a situation in which solving graphically would be better? Solving graphically would be better if the equations are complex and not easily solved and you have a graphing calculator with you.
4.
Look at each system of equations below, and decide which method of solving would be easier. Explain your choice. Algebraically
Graphically
y = 3x
y = 5x2 – 2x + 7 ✔
y = 4x + 17
Explanation
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7. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 8. Regrese al «Captar interés» e instruya a los estudiantes a usar sus habilidades recién adquiridas para completar exitosamente la actividad.
APOYOS PEDAGÓGICOS 3
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• DOK-3 «¿Qué método de resolución de un sistema cuadrático lineal crees que deberías probar primero?». Es mejor tratar de resolver un sistema cuadrático lineal algebraicamente porque eso siempre dará la respuesta más exacta.
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez creado, haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva» .
The 5 before the x2 coefficient and the larger numbers throughout the equation will make an algebraic solution much more difficult. Completing the square would work, but it would be complicated.
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
• DOK-2 «¿Hay situaciones en las que uno de estos métodos podría producir resultados más precisos?». Sí, hay veces en que el método algebraico producirá un resultado más exacto. Los resultados del método gráfico a veces serán sólo aproximaciones.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
When these equations are combined using the transitive property, they create an equation that is easily factored and thus can be solved algebraically quickly.
✔
• DOK-2 «¿Son razonables ambas soluciones que encontraste?». No, sólo el número positivo es razonable ya que miramos el tiempo. Un número negativo no tiene sentido en este caso.
• DOK-3 «¿Puedes pensar en una solución que se resolvería con más exactitud algebraicamente que _ al graficar?». Si tu respuesta fuera √ 2 , ésta sería más exacta al resolverse algebraicamente. La solución algebraica sería exacta, mientras que la solución gráfica sería 1,4142... La solución gráfica tendría que redondearse.
Graph the equations, and find the points of intersection.
t = −1 and 9
y = x2 – 2x + 6
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4
1. Los estudiantes deben verificar sus soluciones al sustituir Las ecuaciones lineales y cuadráticas originales para asegurarse de que no cometieron ningún error algebraico. 2. Los estudiantes pueden tener dificultades para determinar qué método deben elegir para resolver el sistema. Si es posible factorizar, suele ser más fácil que completar el cuadrado, por lo que hay que animar a los estudiantes a que empiecen por ahí. También se puede animar siempre a los estudiantes a que comprueben todas las soluciones al usar la tecnología.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Solve Quadratics Part 4
APOYOS LINGÜÍSTICOS La siguiente estrategia de adquisición lingüística se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes.
Solve Systems of Linear and Quadratic Equations Solve the linear quadratic systems algebraically. 1.
Se proporcionará apoyos previos a la lectura (organizadores gráficos, diagramas de formas y vocabulario preenseñado) para ayudarlos en la comprensión lectora. Principiante: Como actividad previa a la lección, guíe a los estudiantes en la creación de un cuadrado de vocabulario para el término propiedad transitiva. Completa las siguientes secciones del cuadrado de vocabulario como clase: Definición, Ejemplo (problema matemático) y Sin ejemplo. Pida a los estudiantes que creen su propia imagen para el término.
y = x2 + 6x + 5 y = 2x + 1 a. b.
c. 2.
f(x) = x2 + 12x + 15 f(x) = 4x + 3 a. b.
c.
Intermedio: Como actividad previa a la clase, pide a los estudiantes que creen un cuadrado de vocabulario para el término propiedad transitiva. Los cuadros de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), Sin ejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes la definición y el ejemplo, pero anímelos a reescribir la definición con sus propias palabras.
3.
Combine the system into one equation by using the transitive property. x2 + 12x + 15 = 4x + 3 Rewrite this equation in standard form, factor it, and solve for x. x2 + 8x + 12 = 0 (x + 6)(x + 2) = 0 x = −6 and −2 What are the (x, y) coordinates of the solution(s)? (−6, −21) and (−2, −5)
y = x2 – 2x – 10 y = 3x + 14 a. b.
c.
Avanzado: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que creen un cuadrado de vocabulario para el término propiedad transitiva. Los cuadros de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), Sin ejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes la definición, pero anímelos a reescribirla con sus propias palabras.
Combine the system into one equation by using the transitive property. x2 + 6x + 5 = 2x + 1 Rewrite this equation in standard form, factor it, and solve for x. x2 + 4x + 4 = 0 (x + 2)(x + 2) = 0 x = −2 What are the (x, y) coordinates of the solution(s)? (−2, −3)
Combine the system into one equation by using the transitive property. x2 – 2x – 10 = 3x + 14 Rewrite this equation in standard form, factor it, and solve for x. x2 – 5x – 24 = 0 (x – 8)(x + 3) = 0 x = −3 and 8 What are the (x, y) coordinates of the solution(s)? (−3, 5) and (8, 38)
1
Solve Quadratics Part 4
Solve Quadratics Explore 4
Solve Systems of Linear and Quadratic Equations Exit Ticket Solve the system, and indicate the method used. Show your work. Method choice may vary. Algebraically f(x) = x2 + 4x + 3 g(x) = x + 1
Graphing
Solutions
4.
(−2, −1) (−1, 0)
✔
x + 1 = x2 + 4x + 3 0 = x2 + 3x + 2 0 = (x + 2)(x + 1) x = −2, x = −1
Sebastian is working for the forest department and is studying the occupancies of different campgrounds in the area. He has models of the numbers of camping families in the various campgrounds and is trying to calculate on what days they will have the same number of families. Help Sebastian by solving the systems of equations below and answering the questions.
g(−2) = (−2) + 1 g(−2) = −1
River Bend Campground: y = x2 – 3x + 6 Valley Vista Campground: y = 2x + 2 a.
Solve the system of equations. x2 – 3x + 6 = 2x + 2 x2 – 5x + 4 = 0 (x – 1)(x – 4) = 0 x = 1 or 4
b.
Do both of the solutions for the system of equations make sense? Explain. Yes, both of the solutions make sense in this scenario because they are both positive numbers. Since x is the number of days, it needs to be a positive number.
c.
What are the (x, y) coordinates of the solution(s)? (1, 4) and (4, 10)
g(−1) = (−1) + 1 g(−1) = 0
Solve Quadratics Explore 4
5.
Solve Systems of Linear and Quadratic Equations Exit Ticket
Winding Meadow Campground: y = −x2 + 4x + 11 Forest Trails Campground: y = x + 1 a.
Solve the equations by applying the transitive property, rewriting in standard form, and factoring. −x2 + 4x + 11 = x + 1 −x2 + 3x + 10 = 0 −(x2 – 3x – 10) = 0 −(x – 5)(x + 2) = 0 x = −2 or 5
(−2, −1) (−1, 0)
b.
Do both of the solutions for the system of equations make sense? Explain. No, only x = 5 makes sense. Because x is the number of days, it must be a positive number. Therefore, x = −2 does not make sense.
g(−1) = (−1) + 1 g(−1) = 0
c.
What are the (x, y) coordinates of the solution(s)? (5, 6)
Solve the system, and indicate the method used. Show your work. Method choice may vary. Algebraically f(x) = x2 + 4x + 3 g(x) = x + 1 x + 1 = x2 + 4x + 3 0 = x2 + 3x + 2 0 = (x + 2)(x + 1) x = −2, x = −1
Graphing
✔
g(−2) = (−2) + 1 g(−2) = −1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS 358
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Solutions
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MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 4) CLAVE DE RESPUESTAS ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE Solve Quadratics
CONSOLIDAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
ESQUEMA DE ANCLAJE DESCRIPCIÓN Un esquema de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Se trata de una herramienta para apoyar la instrucción y consolidar el aprendizaje del estudiante a lo largo del alcance.
MATERIALES
• 1 hoja de papel cuadriculado
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
• 1 juego de marcadores multicolores
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del ejemplo de esquema de anclaje, si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. El ejemplo de esquema de anclaje puede utilizarse como referencia antes de crear el esquema de anclaje de la clase. Esta actividad debe ser dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje. 2. A medida que los estudiantes trabajen en el alcance, colaboren para añadir piezas al esquema de anclaje. Formule las siguientes preguntas orientadoras: a. «¿Qué estrategia utilizamos para resolver este problema?». b. «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?». 3. Añada habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada «Exploración» para resaltar el contenido importante. 4. Explique que pueden utilizar este gráfico como herramienta de apoyo para su aprendizaje. Los estudiantes también pueden pegar una copia del ejemplo del esquema en sus cuadernos para utilizarla como referencia a lo largo del año. 5. Algunos «Esquemas de anclaje» sólo se mostrarán durante un alcance o grupo de alcances concretos, mientras que otras permanecerán expuestas durante todo el grado escolar.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA Solve Quadratics
DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
LIBRETA INTERACTIVA
Instructions ● Cut out the organizer below, and glue or tape it into your notebook. ● Solve the quadratic equation in the center of the organizer using each method. ● Answer the question that follows.
DESCRIPCIÓN
Factoring
Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase al usar la actividad y la libreta.
Completing the Square
MATERIALES IMPRESO
2x2 – 5x – 3 = 0
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
Graphing
Quadratic Formula
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del «Folleto del estudiante» para cada uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Which method was the simplest to use for solving this quadratic equation? Explain.
1. Prepare una «Libreta interactiva» al usar un cuaderno de espiral o de composición para cada uno. Los estudiantes pueden utilizar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades. 2. Las instrucciones para cada actividad se proporcionan en el «Folleto del estudiante». 3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos. 4. Las libretas interactivas pueden utilizarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
Solve Quadratics
Instructions ● Cut out the four method cards and the four quadratic equation cards. ● Glue or tape the method cards in a horizontal row in your notebook. ● Match each quadratic equation to a corresponding method, and glue or tape it underneath the method card. ● Solve each equation using the method you chose. ● Complete the notes box, cut it out, and glue or tape it into your notebook.
Methods Factoring
Completing the Square
Quadratic Formula
Graphing
Quadratic Equations A.
B.
C.
D.
x2 – 10x + 25 = 0
x2 – 3x – 1 = 0
(x – 2)2 + 2 = 0
x2 – 6x + 2 = 0
Explain what strategies you used when sorting each equation. A. B. C. D. Are there any equations you might move to a different category after solving? Explain.
FOLLETO DEL ESTUDIANTE
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO VOCABULARIO CLAVE
VOCABULARIO ILUSTRADO
Complex Solutions of a Quadratic Equation
In the form a + bi; solutions that occur when the value under the radical of the quadratic formula is less than zero
Real Solution
Zero
A value that satisfies the equation; called roots, x-intercepts, or zeros
The value of x where an expression is equal to zero; this is the x-coordinate of the x-intercept of the expression’s graph
2
3
4
Factors
Standard Form (Quadratic)
Coefficient
Expressions that are multiplied together to get a polynomial; factors that appear in the form of ax + b and cannot be factored further
y = ax² + bx + c or ax² + bx + c = 0, where a, b, and c are constants and a ≠ 0
The number placed directly before a variable that tells you to multiply that number by the variable
5
Constant
A fixed number that stands alone in an equation or expression
Zero Product Property
Complete the Square
The mathematical property which states that when multiplying two numbers together results in zero, then either a, b, or both a and b are zero; if ab = 0, then either a = 0 or b = 0 or both
The process used to form a perfect square trinomial for the purpose of finding the solution(s) by taking the square root
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ DESARROLLAR LA FLUIDEZ CONCEPTUAL
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: ENCONTRAR INTERCEPTOS CUADRÁTICOS
Coordinate Match Instruction Sheet Play this game with a partner. You Will Need 1 Set of Coordinate Match Cards (per pair) How to Play 1. Shuffle the cards, and place them facedown in an array.
DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes jugarán a un juego de Pareo de coordenadas.
MATERIALES IMPRESO
• 1 hoja de instrucciones de Pareo de coordenadas (por pareja)
2.
Player 1 flips over two cards to try to find a match.
3.
If player 1 matches a card with an ordered pair to a corresponding description of the coordinate location, then they keep the matched set and take another turn. (All locations start from the origin.)
4.
If player 1 does not find a match, then they place the cards facedown again, and it is the next player's turn.
5.
Players continue taking turns until all of the matches have been found.
6.
The player who collects the most cards wins.
• 1 tarjetas del juego Pareo de coordenadas (por pareja) REUTILIZABLE
• 1 sobre o bolsa (por pareja)
PREPARACIÓN
• Haga copias a doble cara de las «Tarjetas de Pareo de coordenadas». • Lamínelas para que duren más.
HOJA DE INSTRUCCIONES
• Recorte las tarjetas individuales y colóquelas en un sobre o bolsa para facilitar su distribución y limpieza. • Coloque a los estudiantes en parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo barajar las tarjetas y colocarlas boca abajo en una matriz. 2. Muestre cómo jugar el juego con un estudiante. a. El jugador 1 voltea dos tarjetas para tratar de encontrar un pareo. b. Si el jugador 1 hace coincidir una tarjeta con un par ordenado con una descripción correspondiente de la ubicación de coordenadas, entonces se queda con el conjunto emparejado y toma otro turno (todas las ubicaciones empiezan desde el origen.) c. Si el jugador 1 no encuentra ningun pareo, vuelve a colocar las tarjetas boca abajo y es el turno del siguiente jugador. d. Los jugadores siguen turnándose hasta que se hayan emparejado todas las tarjetas. e. Gana el jugador que reúna más tarjetas. 3. Distribuya los materiales. A continuación, pida a los estudiantes que barajen las tarjetas y las coloquen boca abajo. 4. Supervise a los estudiantes para asegurarse de que encuentran las parejas correctas.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS
ELABORAR: REVISIÓN EN ESPIRAL Solve Quadratics
REPASAR CONCEPTOS PREVIOS
REVISIÓN EN ESPIRAL: HUELLAS MISTERIOSAS
Mysterious Footprints You briefly go out into the snow and come back inside. Later, when you go out again, your footprints from earlier lead in a different direction. What is going on? Are you misremembering? Or is this a joke? Your siblings, Alex and Janice, and your mom are at a hockey tournament all day. Why would someone clear away your footprints only to leave their own?
DESCRIPCIÓN Los estudiantes repasan contenidos previos o actuales del grado para ayudar a apoyar su trabajo en el alcance actual y fortalecer las habilidades necesarias para alcances posteriores.
Your protective dog Brutus never even barked. Usually, he senses when anyone approaches the door, and he alerts the house with a quick bark. Brutus was trained in rescue and recovery. His sniffer is unique. You decide to take Brutus out along the path of the new footprints to see where they go. Brutus takes you on a 2-mile walk toward the edge of town. Eerily enough, this is where your grandma lives. You knock on her door. She has a warm bumbleberry pie waiting for you!
REVISIÓN EN ESPIRAL CENTRADA EN LA PREGUNTA • Pregunta 1
• ALG I: Graficar funciones cuadráticas e identificar características clave. • Pregunta 2 • ALG I: Determinar el dominio y rango de una función lineal. • Pregunta 3 1
• ALG I: Resolver ecuaciones lineales en una variable. • Pregunta 4
Solve Quadratics
1.
Brutus didn’t take you on a straight-line path. Rather, the path can be modeled by the graph of a quadratic function shown below. The coordinate (x, 14) represents the vertex. What is the value of x?
2.
• ALG I: Resolver sistemas de ecuaciones lineales en problemas matemáticos y del mundo real.
PREPARACIÓN
The daily cost, y, for your dad to employ a certified trainer to work x number of hours to help Brutus learn rescue and recovery can be modeled by a linear function. The trainer charges $70 per day plus $35 per hour. The certified trainer works no more than 9 hours per day. For one day of work, what is the range of the function for this situation?
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno.
The answer is 70 ≤ y ≤ 385.
The answer is x = 2. 3.
2. Anímelos a tratar de responder a las preguntas de forma independiente sin utilizar recursos externos para ver lo que saben. Invite a los estudiantes a anotar ideas o fragmentos que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas.
Your grandma used the solution of this equation to hatch her sneaky plan. What is the value of x?
4.
Both linear equations below model the path of a different set of footprints leading away from the house. Solve the system of equations to find the coordinates of the house.
3. Utilice las preguntas de revisión en espiral como calentamiento en clase, o envíelas a casa como tareas. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos.
3x – 2y = 14 −5x – 4y = −16
The answer is x = −1.25.
4. Consulte la sección «Centrada en la pregunta» de la revisión en espiral para evaluar los conocimientos de contenido de los estudiantes o su necesidad de una mayor intervención. Si es necesario repasar más, utilice el «Constructor de fluidez» en los alcances apropiados.
The answer is (4, −1). 2
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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5. El capítulo final incluye una parte de este alcance para que los estudiantes vean la conexión y relevancia de su aprendizaje previo con el actual.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS
Solve Quadratics
Revenue Versus Cost
ANÁLISIS DE DATOS
CIENCIA DE DATOS Ciencia de datos es un breve debate en clase basado en un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. La parte I incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los estudiantes en contexto.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizarán, interpretarán y generarán conjuntos de datos, además de responder a preguntas basadas en los datos.
MATERIALES IMPRESO
• 1 conjunto de datos (por clase) REUTILIZABLE
"Ballistic Flight Information," Glenn Research Center, National Aeronautics and Space Administration, April 13, 2022, https://www1.grc.nasa.gov/beginners-guide-to-aeronautics/ballistic-flight-equations/. "Simple Missile Ballistics, Orbits and Aerodynamics," Electropaedia, Woodbank Communications Ltd, April 13, 2022, https://www.mpoweruk.com/ballistics.htm. 1
CONJUNTO DE DATOS
b. «¿En qué rango de precios aumentan los ingresos?». El valor x del máximo está entre los ceros. 0 + 1,449.56 2
x = ____________≈ 725
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase)
Los ingresos aumentan a medida que el precio
• 1 marcador (por clase)
aumenta de 0 a $725.
CONSUMIBLE
• 1 trozo de papel milimetrado (por clase)
PREPARACIÓN
• Prepárese para proyectar el conjunto de datos para la clase. • Reúna un trozo de papel milimetrado y un marcador.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
c. «¿En qué rango de precios disminuyen los ingresos?». Los ingresos disminuyen a medida que el precio aumenta de $725 a $1,450. d. «¿Qué representa el punto (1,449.56, 0) en la función de ingresos?». Significa que cuando los teléfonos cuesten casi $1,450, nadie los comprará. e. «¿Cuál es el punto de equilibrio, o el punto en el que el coste y los ingresos son iguales?». Muestra tu trabajo. –0.0908x 2 + 131.62x = 30.7x + 865 –0.0908x 2 + 100.92x – 865 = 0
a.
«¿Qué observa en este conjunto de datos?».
−100.92±100.922–4(−0.0908)(−965) 2(−0.0908) −100.92±9,870.6784 = ___________________ −0.1816 –100.92+99.3513 –100.92–99.3513 = ________________ or ________________ –0.1816 –0.1816
b.
«¿Qué representa este conjunto de datos?».
= 8.6382 or 1,102.8155
c.
«¿Qué categorías se incluyen en este conjunto de datos?».
El punto de equilibrio es cuando el precio de un
d.
«¿Por qué aumentaría continuamente el coste de un teléfono móvil?».
e.
«¿Qué podría hacer que disminuyeran los ingresos por la venta de teléfonos móviles?».
f.
«¿Qué preguntas tienes sobre los datos?».
1. Proyecte el conjunto de datos y prepárese para anotar las observaciones de los estudiantes. 2. Comente las siguientes preguntas:
PARTE II 1. Repase cómo resolver un sistema de ecuaciones con una función lineal y una función cuadrática, y escriba lo que los estudiantes recuerden en el papel milimetrado. 2. Comente las siguientes preguntas: a.
x = __________________________________
teléfono móvil es de unos $1,103. f. «¿Qué significa el punto de equilibrio y dónde buscarías en el gráfico si la empresa quisiera tener el máximo beneficio?». (El beneficio es la diferencia entre los ingresos y los costes). El punto de equilibrio significa que los costes compensan completamente los ingresos de las ventas, por lo que la empresa tiene un beneficio de 0. El precio que maximiza el beneficio es el valor x donde la función cuadrática está a la mayor distancia por encima de la función lineal.
«¿Cuándo los ingresos son iguales a cero?». 0 = -0.0908x2 + 131.62x 0 = -0.0908x(x - 1,449.56) La compañía no gana dinero cuando el precio de un teléfono es $0 y alrededor de $1,500.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS
LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN DESCRIPCIÓN
3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede utilizarse como evaluación formativa para los maestros y como autoevaluación para los estudiantes.
4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
5. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el «Folleto del maestro».
• 1 folleto del maestro (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del maestro» y un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
6. Las notas anecdóticas proporcionadas en el «Folleto del maestro» pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
7. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la «Guía de instrucción andamiada» en la sección «Inicio» de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
1. Distribuya un «Folleto del estudiante» a cada uno. 2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Explorar» y «Explicar» del alcance, evalúe formativamente su progreso al tomar notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
Solve Quadratics
Solve Quadratics
Solve Quadratics Skill or Key Concept Create equations and inequalities in one variable including ones with absolute value and use them to solve problems. Include equations arising from linear and quadratic functions, and simple rational and exponential functions. Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or non-viable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods. Solve quadratic equations in one variable. a. Use the method of completing the square to transform any quadratic equation in x into an equation of the form (x – p)² = q that has the same solutions. Derive the quadratic formula from this form.
How was the skill or concept observed?
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Solve Quadratics
Solve Quadratics Notes and Feedback
Skill or Key Concept Solve quadratic equations in one variable. b. Solve quadratic equations by inspection (e.g., for x² = 49), taking square roots, completing the square, the quadratic formula, and factoring, as appropriate to the initial form of the equation. Recognize when the quadratic formula gives complex solutions and write them as a ± bi for real numbers a and b. Solve a simple system consisting of a linear equation and a quadratic equation in two variables algebraically and graphically.
How was the skill or concept observed?
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
1
Solve Quadratics
Standards for Mathematical Practice
Solve Quadratics Notes and Feedback
How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Explain why the x-coordinates of the points where the graphs of the equations y = f(x) and y = g(x) intersect are the solutions of the equation f(x) = g(x); find the solutions approximately, e.g., using technology to graph the functions, make tables of values, or find successive approximations. Include cases where f(x) and/or g(x) are linear, polynomial, rational, absolute value, exponential, and logarithmic functions. Choose and produce an equivalent form of an expression to reveal and explain properties of the quantity represented by the expression.
Notes and Feedback
Make sense of problems and persevere in solving them
Notes and Feedback
Reason abstractly and quantitatively Construct viable arguments and critique the reasoning of others Model with mathematics
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
Use appropriate tools strategically
❏ ❏
Discussion Written explanation
Attend to precision Look for and make use of structure Look for and express regularity in repeated reasoning
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
2
Consider these reflection questions in this scope.
3
●
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them?
●
What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
4
FOLLETO DEL MAESTRO
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS
EVALUAR: MAPA DE CALOR
ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
MAPA DE CALOR DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
1. Dé un «Mapa de calor» a cada estudiante junto con lápices de colores rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s).
MATERIALES
• 1 mapa de calor (por estudiante) • 1 lápiz de color rojo (por estudiante) • 1 lápiz de color azul (por estudiante) • 1 lápiz de color naranja (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Determine si los estudiantes analizarán su «Prueba de habilidades», la «Evaluación basada en estándares», o ambas. • Imprima un «Mapa de calor» para cada estudiante. • Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
2. Los estudiantes usan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el «Mapa de calor». Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los estudiantes colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, los estudiantes colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, los estudiantes colorean el cuadro correspondiente de rojo. 3. Anímelos a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a utilizar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada. 4. Consulte la «Guía de instrucción andamiada» que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
Solve Quadratics
Solve Quadratics
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key.
Reflection Questions
Red – misconception
1. Which skill did you feel most confident with? Why?
Skills Quiz Standards Create equations and inequalities in one variable including ones with absolute value and use them to solve problems. Include equations arising from linear and quadratic functions, and simple rational and exponential functions.
Solve quadratic equations in one variable. a. Use the method of completing the square to transform any quadratic equation in x into an equation of the form (x – p)² = q that has the same solutions. Derive the quadratic formula from this form.
Solve quadratic equations in one variable. b. Solve quadratic equations by inspection (e.g., for x² = 49), taking square roots, completing the square, the quadratic formula, and factoring, as appropriate to the initial form of the equation. Recognize when the quadratic formula gives complex solutions and write them as a ± bi for real numbers a and b.
Solve a simple system consisting of a linear equation and a quadratic equation in two variables algebraically and graphically. Explain why the x-coordinates of the points where the graphs of the equations y = f(x) and y = g(x) intersect are the solutions of the equation f(x) = g(x); find the solutions approximately, e.g., using technology to graph the functions, make tables of values, or find successive approximations. Include cases where f(x) and/or g(x) are linear, polynomial, rational, absolute value, exponential, and logarithmic functions.
1
2
Solve Quadratics
Blue – miscalculation
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
Orange – explanation
Questions
Standards
Not Assessed
Create equations and inequalities in one variable including ones with absolute value and use them to solve problems. Include equations arising from linear and quadratic functions, and simple rational and exponential functions.
4
Solve quadratic equations in one variable. a. Use the method of completing the square to transform any quadratic equation in x into an equation of the form (x – p)² = q that has the same solutions. Derive the quadratic formula from this form.
9
3
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5
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1
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3. Which type of error did you most commonly make?
4. How can you avoid those errors in the future?
Solve quadratic equations in one variable. b. Solve quadratic equations by inspection (e.g., for x² = 49), taking square roots, completing the square, the quadratic formula, and factoring, as appropriate to the initial form of the equation. Recognize when the quadratic formula gives complex solutions and write them as a ± bi for real numbers a and b.
Not Assessed
1
Red – misconception
Standards-Based Assessment
2
Questions
1
2
7
8
Solve a simple system consisting of a linear equation and a quadratic equation in two variables algebraically and graphically.
5
Explain why the x-coordinates of the points where the graphs of the equations y = f(x) and y = g(x) intersect are the solutions of the equation f(x) = g(x); find the solutions approximately, e.g., using technology to graph the functions, make tables of values, or find successive approximations. Include cases where f(x) and/or g(x) are linear, polynomial, rational, absolute value, exponential, and logarithmic functions.
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MAPA DE CALOR
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS
INTERVENIR: REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES Solve Quadratics
REFORZAR Y VOLVER A ENSEÑAR
REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES
Checkup Solve by factoring. 1.
3.
2x2 – 12x = –18 2x2 – 12x + 18 = 0 2(x2 – 6x + 9) = 0 2(x – 3)2 = 0 x=3
2.
x2 – 12x + 27 = 0 (x – 3)(x – 9) = 0 x = 3 or x = 9
4.
DESCRIPCIÓN
x2 – 2x – 35 = 0 (x + 5)(x – 7) x = –5 or x = 7
Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para intervención.
3x2 – 14x = 2x2 – 33 x2 – 14x + 33 = 0 (x – 3)(x – 11) = 0 x = 3 or x = 11
MATERIALES IMPRESO
• 1 revisión rápida (por estudiante)
Solve by using the completing the square method. 5.
4x2 – 7x = 2
6.
• 1 repaso (por estudiante)
x2 + 2x – 6 = 0 x2 + 2x + 1 = 6 + 1 (x + 1)2 = 7 x = –1 ±
• 1 revisión general (por estudiante) • 1 lista de verificación para el maestro (por maestro)
x = –0.25 or x = 2 7.
PREPARACIÓN
x2 + 16x – 2 = 11 x2 + 16x + 64 = 13 + 64 (x + 8)2 = 77 x = –8 ±
• Imprima una copia de la «Revisión rápida», el «Repaso» y la «Revisión general» para cada estudiante.
1
• Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar el «Repaso». • Si lo desea, imprima un ejemplo del «Esquema de anclaje» de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que usen la «Libreta interactiva» como regrado.
Solve Quadratics
• Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayudas suplementarias para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
Solve by any method. 8.
y = 4x2 – 1 3x – y = 1 (0.75, 1.25) and (0, –1)
9.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
y = 5(x + 1)2 – 3 y=x+4 (–2, 2) and (0.2, 4.2)
1. Dé una copia de la «Revisión rápida» a cada estudiante. 2. Cada uno debe completarla de forma independiente. 10.
3. Use la guía de evaluación de habilidades al final de la «Revisión rápida» para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional.
y = x2 + 2x – 1 y = –2x – 4 (–3, 2) and (–1, –2)
4. Distribuya una copia del «Repaso» a cada uno. 5. Cada estudiante debe completar el «Repaso» como actividad de intervención o de forma independiente. a. Si lo desea, reúna a los estudiantes en pequeños grupos para trabajar en las habilidades de repaso. Utilice el «Repaso» como ayuda para la reenseñanza. 6. Distribuya una copia de la «Revisión general» a cada uno. 7. Cada estudiante debe completarla de forma independiente. 2
REVISIÓN GENERAL CLAVE DE RESPUESTAS
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8. Analice los resultados de la «Revisión general» al usar la «Lista de verificación para el maestro» para identificar quienes necesitan un repaso adicional y quienes han alcanzado el dominio de los conceptos.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS
ACELERACIÓN: ¿QUÉ QUÉ PREFERIRÍAS? Solve Quadratics
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
¿QUÉ QUÉ PREFERIRÍAS?: TIEMPO DE PISCINA DESCRIPCIÓN Los estudiantes usan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
MATERIALES
Pool Time
Use mathematical reasoning and creativity to justify your answer to the Would You Rather question. Shawn and Jessica are looking into renting a rectangular pool for a few hours. They have found two different local options. Pool 1 has a surface area of 450 ft. 2. The length is twice as long as the width. Pool 2 also has a surface area of 450 ft. 2, but the length is 35 feet longer than the width. Would you rather rent Pool 1 or Pool 2? Justify your reasoning with mathematics.
IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 guía de evaluación (por maestro)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno. • Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
Pool 1 is 15 × 30 feet, and Pool 2 is 10 × 45 feet. The following statements are sample answers: I would prefer to swim in Pool 1 because I like to just relax in the pool, and when the measurements of the width and length are closer together, I am able to be physically closer to everyone else and have a fun time. I would prefer to swim in Pool 2 because I like to swim laps, and Pool 2 is longer than Pool 1.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
1
1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a mirar sus folletos de «Explorar» si necesitan repasar habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros.
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
4. Utilice la guía de evaluación proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
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ÁLGEBRA 1: RESOLVER CUADRÁTICAS
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Solve Quadratics
OPCIONES PARA EL APRENDIZAJE CONTINUO
TABLERO DE OPCIONES
Solve Quadratics Choose one or more extension activities from the table below. Career Connection
Financial Connection
Electrician
Production Demand
Research the career field of an electrician. Your research must answer the provided questions. Create a presentation to relay your research to the class.
We use math every day in our financial world. Explore how our current math topic connects to our financial world by completing the handout.
Create Your Own
Analogies
Write Your Own Story
Solve Quadratics
Create your own real-world word problem for the given quadratic equation. Follow the criteria on the handout to write your scenario, and then answer the questions.
Complete the analogies to demonstrate an understanding of solving quadratics.
Mathematician Connection
Technology Connection
Quadratic Formula
Derive a quadratic formula that will solve any equation in the appropriate form.
Graphing Calculator
Use a graphing calculator to solve systems of linear and quadratic equations.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes explorarán las conexiones con el mundo real y las aplicaciones del contenido matemático a través de interacciones con actividades atractivas.
MATERIALES IMPRESO
• 1 tablero de opciones (por estudiante) • 1 juego de hojas de actividades (por estudiante) • 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante) REUTILIZABLE
• Tecnología (si corresponde)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Tablero de opciones» y un juego de hojas de actividades para cada estudiante. • Imprima una «Autoevaluación del tablero» para cada estudiante.
TABLERO DE OPCIONES
• Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» a cada estudiante. 2. Dé tiempo a los estudiantes para examinar el «Tablero de opciones» y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anímelos a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del tablero, haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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<<GRADE>> LA FÓRMULA CUADRÁTICA
ÁLGEBRA 1
LA FÓRMULA CUADRÁTICA ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: SIEMPRE, A VECES, NUNCA
ESTÁNDARES CLAVE Resolver ecuaciones y desigualdades en una variable. • Resolver ecuaciones cuadráticas en una variable. • Usar el método de completar el cuadrado para transformar cualquier ecuación cuadrática en x en una ecuación de la forma (x - p)2 = q que tenga las mismas soluciones. Deducir La fórmula cuadrática a partir de esta forma. • Resolver ecuaciones cuadráticas por inspección (por ejemplo, para x2 = 49), al tomar raíces cuadradas, al completar el cuadrado, La fórmula cuadrática y la factorización, según corresponda a la forma inicial de la ecuación. Reconocer cuando La fórmula cuadrática da soluciones complejas y escribirlas como a ± bi para números reales a y b. Interpretar expresiones de funciones en términos de la situación que representan. • Aplicar funciones cuadráticas a problemas físicos, como el movimiento de un objeto bajo la fuerza de la gravedad. *Este alcance se centra en la cuadrática.
ESTÁNDARES DE CONEXIÓN Crear ecuaciones que describan números o relaciones. • Crear ecuaciones y desigualdades en una variable, incluidas las de valor absoluto, y usarlas para resolver problemas. Incluir ecuaciones que surgen de funciones lineales y cuadráticas, y funciones racionales y exponenciales simples. Resolver sistemas de ecuaciones. • Resolver un sistema simple que consiste en una ecuación lineal y una ecuación cuadrática en dos variables algebraica y gráficamente. Representar y resolver ecuaciones y desigualdades gráficamente. • Explicar por qué las coordenadas x de los puntos donde se cruzan las gráficas de Las ecuaciones y = f(x) e y = g(x) son las soluciones de la ecuación f(x) = g(x); encontrar las soluciones aproximadamente, por ejemplo, al usar la tecnología para representar gráficamente las funciones, hacer tablas de valores o encontrar aproximaciones sucesivas. Incluir casos en los que f(x) y/o g(x) sean funciones lineales, polinómicas, racionales, de valor absoluto, exponenciales y logarítmicas. Interpretar la estructura de expresiones. • Usar la estructura de una expresión para identificar formas de reescribirla. Escribir expresiones en formas equivalentes para resolver problemas. • Elegir y producir una forma equivalente de una expresión para revelar y explicar propiedades de la cantidad representada por la expresión. • Factorizar una expresión cuadrática para revelar los ceros de la función que define. • Completar el cuadrado de una expresión cuadrática para revelar el valor máximo o mínimo de la función que define.
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Los estudiantes participan en la actividad Siempre, a veces, nunca para evaluar la veracidad de los enunciados matemáticos y descubrir conceptos erróneos. • Distribuya tarjetas a los estudiantes y explique el propósito de la actividad. • Presente enunciados para que los estudiantes los clasifiquen como siempre, a veces o nunca verdaderos. • Facilite las debates de los estudiantes para justificar sus respuestas y explorar el razonamiento. • Anímelos a revisar los enunciados para mayor claridad y precisión. CAPTAR INTERÉS Los estudiantes aplicarán La fórmula cuadrática para resolver un problema del mundo real al involucrarse con un escenario de video y al explorar diferentes estrategias matemáticas. • Presente el escenario con un video y anímelos a conectarlo con conceptos matemáticos. • Facilite una debate sobre diferentes herramientas y métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. • Guíe a los estudiantes a través de actividades de «Exploración» para profundizar su comprensión de las soluciones cuadráticas.
ACTIVIDADES DE EXPLORACIÓN EXPLORACIÓN 1: RESOLVER AL SACAR RAÍCES CUADRADAS Los estudiantes resolverán ecuaciones cuadráticas mediante raíces cuadradas, al trabajar en colaboración para comprender y aplicar conceptos matemáticos en contextos del mundo real. • Los estudiantes trabajarán en grupos para establecer y resolver ecuaciones cuadráticas basadas en escenarios dados, al registrar sus soluciones en los «Diario del estudiante». • Participarán en debates para justificar su razonamiento y debatir la lógica de los argumentos de sus compañeros. • Los estudiantes prestarán atención a la precisión al calcular y al etiquetar cantidades con exactitud, asegurándose de que sus soluciones tienen sentido en el contexto. • Participarán en una charla de matemáticas para compartir observaciones y consolidar su comprensión de la resolución de ecuaciones cuadráticas al usar el método de la raíz cuadrada. EXPLORACIÓN 2: USAR LA FÓRMULA CUADRÁTICA Los estudiantes resolverán ecuaciones cuadráticas al usar la fórmula cuadrática y participarán en actividades que implican justificar conclusiones, comparar argumentos y prestar atención a la precisión y estructura matemática. • Los estudiantes trabajarán en grupos para evaluar y desarrollar enfoques para resolver ecuaciones cuadráticas, al registrar sus hallazgos en el «Diario del estudiante». • Analizarán y debatirán diferentes métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, tales como factorizar y completar el cuadrado, durante una charla de matemáticas. • Los estudiantes aplicarán La fórmula cuadrática para resolver ecuaciones, al verificar sus soluciones a través de sustitución o graficación. • Completarán un «Boleto de salida» para demostrar su comprensión y contribuir a un «Esquema de anclaje» y «Libreta interactiva» para el aprendizaje colaborativo. EXPLORACIÓN 3: EL DISCRIMINANTE Los estudiantes evaluarán el discriminante para determinar la cantidad de soluciones reales para ecuaciones cuadráticas en el contexto de la selección de fuegos artificiales para un evento de la comunidad. • Los estudiantes trabajarán en grupos para analizar ecuaciones cuadráticas e identificar la cantidad de soluciones reales al evaluar el discriminante. • Los estudiantes registrarán sus hallazgos y razonamientos en sus diarios» mientras comenten y comparan sus resultados con sus compañeros. • Los estudiantes participarán en una charla de matemáticas para compartir observaciones y profundizar su comprensión del papel del discriminante en la determinación de soluciones reales. • Los estudiantes completarán un «Boleto de salida» para demostrar su comprensión del concepto y aplicarlo a un nuevo escenario. EXPLORACIÓN 4: ELEGIR EL MEJOR MÉTODO Los estudiantes analizarán ecuaciones cuadráticas para determinar el método de resolución más eficiente. • Los estudiantes trabajarán en grupos para comparar y evaluar diferentes métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. • Usarán preguntas guías para evaluar la comprensión y justificar los métodos elegidos. • Los estudiantes participarán en una charla de matemáticas para debatir las observaciones y los resultados del aprendizaje. • Completarán un «Boleto de salida» para demostrar su comprensión de los conceptos.
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ÁLGEBRA 1: LA FÓRMULA CUADRÁTICA LA FÓRMULA CUADRÁTICA <<GRADE>>
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES
SISTEMAS DE ECUACIONES
CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
CONCEPTOS CLAVE
PREGUNTAS FUNDAMENTALES
• Puedo resolver ecuaciones cuadráticas al usar raíces cuadradas.
• «¿Cómo puedo reconocer que una cuadrática no se puede factorizar?».
• Puedo derivar La fórmula cuadrática al completar el cuadrado.
• «¿Qué métodos se pueden usar para resolver cualquier ecuación cuadrática?».
• Puedo identificar el discriminante y usarlo para determinar si una ecuación cuadrática tiene dos, una o ninguna solución real.
• «¿Cómo se relaciona la forma estándar de una ecuación cuadrática con La fórmula cuadrática?».
• Puedo resolver cuadráticas al usar la fórmula cuadrática. • Puedo resolver cuadráticas al usar el método más ventajoso. • Puedo resolver problemas físicos que involucran un objeto bajo la fuerza de gravedad al usar ecuaciones cuadráticas.
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INICIO: CONTENIDO DE APOYO ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
CONTENIDO DE APOYO Resolver ecuaciones y desigualdades en una variable. • Resolver ecuaciones cuadráticas en una variable. • Usar el método de completar el cuadrado para transformar cualquier ecuación cuadrática en x en una ecuación de la forma (x - p)2 = q que tenga las mismas soluciones. Deduce La fórmula cuadrática a partir de esta forma. • Resolver ecuaciones cuadráticas por inspección (por ejemplo, para x2 = 49), al tomar raíces cuadradas, al completar el cuadrado, La fórmula cuadrática y al factorizar, según sea apropiado para la forma inicial de la ecuación. Reconocer cuándo La fórmula cuadrática da soluciones complejas y escribirlas como a ± bi para números reales a y b. Interpretar expresiones para funciones en términos de la situación que representan. • Aplicar funciones cuadráticas a problemas físicos, como el movimiento de un objeto bajo la fuerza de la gravedad.
CONOCIMIENTOS PREVIOS En grados anteriores, los estudiantes tuvieron experiencia con números racionales e irracionales y usaron números racionales para resolver problemas del mundo real. Los estudiantes han sacado raíces cuadradas de cuadrados perfectos, así como radicandos simplificados que no eran cuadrados perfectos.
CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
• Los estudiantes deben entender que Las ecuaciones deben ser iguales a 0 antes de resolver. • Al factorizar, los estudiantes pueden confundirse en cuanto a si buscan una suma común o un producto común. • Los errores aritméticos son muy comunes cuando se utiliza La fórmula cuadrática. Los estudiantes deben prestar mucha atención a las operaciones. • Los estudiantes pueden olvidar incluir los símbolos positivo y negativo al sacar raíces cuadradas.
EN ESTE ALCANCE En este nivel de grado, los estudiantes ampliarán su comprensión de cuadrados perfectos y raíces cuadradas aproximadas para simplificar una raíz cuadrada con un radicando negativo. Los estudiantes deben ser capaces de resolver cuadráticas al usar raíces cuadradas. Los estudiantes deben ser capaces de usar el discriminante para determinar la cantidad y tipo de soluciones. Los estudiantes deben ser capaces de justificar y explicar por qué un método de solución es más adecuado que otro para el contexto de un problema concreto. Los estudiantes deben ser capaces de reconocer un camino de solución para minimizar los pasos de resolución del problema. Los estudiantes deben ser capaces de identificar cuadráticas sin un término lineal y resolverlas al usar raíces cuadradas. TÉRMINOS CLAVE
• ecuación cuadrática: una ecuación que se puede escribir en la forma de ax2 + bx + c = 0, donde a, b, y c son números reales y a ≠ 0 • raíz cuadrada: un número que, cuando se multiplica por sí mismo, produce el número dado • completar el cuadrado: el proceso utilizado para formar un trinomio cuadrado perfecto con el fin de encontrar la(s) solución(es) al tomar la raíz cuadrada _
√ • fórmula cuadrática: la fórmula x = -b ± __________ , que 2a 2 da las soluciones de ecuaciones en forma de ax + bx + c = 0, donde a ≠ 0 b2 - 4ac
• factorizar: encontrar expresiones que puedan multiplicarse para dar la expresión de un lado de la ecuación • ecuación: enunciado matemático que muestra que dos expresiones son iguales entre sí • soluciones complejas: de la forma a + bi; soluciones que se dan cuando el valor bajo el radical de La fórmula cuadrática es menor que cero • solución: cualquier número que hace cierta una ecuación • forma de vértice: y = a(x - h)2 + k, donde a, h, y k son constantes y a ≠ 0 • expresión: números, variables y símbolos agrupados sin signo igual para mostrar una relación • expresiones equivalentes: expresiones que nombran el mismo número independientemente del valor sustituido por la variable
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APLICAR LAS PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes analizan una función cuadrática para determinar un punto de entrada y planificar un camino de solución. Buscan características clave de la ecuación para elegir el método más eficiente para resolver el problema. • MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes descontextualizan un escenario para encontrar la longitud del lado de un cuadrado. Usan la fórmula del área para escribir una ecuación y resolver para la longitud y luego determinan la validez del valor en términos del contexto. • MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros: Los estudiantes explican qué métodos usan para resolver ecuaciones cuadráticas y justifican su elección al usar su conocimiento de los métodos. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes usan ecuaciones cuadráticas para representar áreas de diferentes modelos cuadrados. Resuelven una ecuación cuadrática para hallar la longitud del lado cuando se les da el área deseada y luego analizan sus soluciones para ver si son válidas y en el contexto del escenario. • MP.5 Usar estratégicamente las herramientas apropiadas: Los estudiantes usan papel y lápiz para resolver ecuaciones cuadráticas y encontrar soluciones, lo que les permite evaluar Las ecuaciones y determinar qué estrategias son más eficientes para resolver ecuaciones cuadráticas. • MP.6 Atender a la precisión: Los estudiantes atienden a la precisión cuando calculan el discriminante y reconocen que encontrar un discriminante exacto les ayuda a determinar la cantidad de soluciones reales de una ecuación cuadrática. • MP.7 Buscar y hacer uso de la estructura: Los estudiantes analizan ecuaciones cuadráticas y determinan qué método (graficar, factorizar, sacar la raíz cuadrada, completar el cuadrado o La fórmula cuadrática) es el más eficiente para resolverlas al observar las estructuras de las ecuaciones. • MP.8 Buscar y expresar regularidades en razonamientos repetidos: Los estudiantes generalizan que el valor del discriminante indica la cantidad de soluciones reales que existen para una ecuación cuadrática y descubren que evaluar el discriminante es una forma eficiente de determinar la cantidad de soluciones sin resolver completamente una ecuación.
RESOLVER AL TOMAR RAÍCES CUADRADAS
EL DISCRIMINANTE
Los estudiantes resolverán ecuaciones cuadráticas al usar el método de tomar raíces cuadradas. Las ecuaciones cuadráticas deben estar en forma de vértice, a(bx - c)2 + d = 0 o a(bx - c)2 = d. Los estudiantes aplicarán el principio del cuadrado perfecto, si x2 = k, entonces x = ± k, para resolver cuadráticas. Para Resolver al sacar raíces cuadradas, aísla el cuadrado perfecto. A continuación, saca la raíz cuadrada de cada lado de la ecuación, asegurándote de incluir el símbolo positivo o negativo, ±, en el lado correspondiente. Por último, simplifica el radical y obtén la variable por sí misma. Es importante no dar a los estudiantes un procedimiento paso a paso que deban seguir. Más bien, permita que los estudiantes exploren e intenten aislar la variable al usar sus propias estrategias. Un debate en clase puede conducir a métodos eficaces.
La fórmula cuadrática se halla al usar el método de completar el cuadrado en la forma estándar de una ecuación cuadrática. El discriminante es parte de La fórmula cuadrática y puede decirnos bastante sobre una ecuación cuadrática. El discriminante es el número bajo la raíz cuadrada en la fórmula cuadrática. El discriminante nos informa sobre cuántas soluciones tiene una ecuación cuadrática. También muestra cuántas veces la gráfica cruza el eje x (raíces) y si las soluciones son reales o complejas. Un discriminante positivo significa que la función cuadrática tendrá dos raíces reales. Un discriminante igual a 0 significa que habrá una raíz real. Un discriminante menor que 0 significa que la función cuadrática no tiene soluciones reales.
Ejemplo: «¿Cuáles son las soluciones de 4(x - 5)2 = 72?». _
La respuesta es x = 5 ± 3 √2 Aislar el cuadrado perfecto.
Saca la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación.
4(x - 5)2 = 72 _ (x - 5)2 = ± √18 _
(x - 5) = ± √18 _
Aísla la variable.
x = 5 ± √18
Simplifica.
x = 5 ± 3 √2
_
Finalmente, sustituye el valor(es) de x de nuevo en la ecuación original para verificar la respuesta o compruébalo al hacer una gráfica en una calculadora gráfica.
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Ejemplo: Encuentra el discriminante y determina la cantidad de raíces para la siguiente función cuadrática. x2 + 6x + 4 = 0 Sustituye a = 1, b = 6, y c = 4 en la fórmula para el discriminante, b2 - 4ac. Simplifica y determina la cantidad de raíces. b2 - 4ac 62 - 4(1)(4) 36 - 16 20 Como el discriminante es mayor que 0, esta función cuadrática tiene dos raíces reales.
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USAR LA FÓRMULA CUADRÁTICA Los estudiantes se encontrarán con cuadráticas que no se pueden factorizar, y puede que no estén seguros de qué método usar. La fórmula cuadrática siempre funcionará para factorizar cualquier cuadrática. Antes de usar la fórmula cuadrática, la ecuación debe estar en forma estándar. Los estudiantes usarán la sustitución para establecer la fórmula y luego simplificar para obtener las soluciones. Dado que en la fórmula cuadrática intervienen raíces cuadradas, los estudiantes pueden encontrarse con radicandos que no sean cuadrados perfectos. Las soluciones siempre deben escribirse en la forma radical más simple. Ejemplo: Callie ha practicado sus tiros a portería en el entrenamiento de fútbol. La trayectoria de su patada puede representarse mediante la ecuación h(d) = -16d2 + 368d, donde h es la altura del balón en metros y d es la distancia horizontal en metros._ Utiliza La fórmula cuadrática para determinar la longitud horizontal de la patada de Callie en metros. para a = -16, b = 368, c = 0 ______________ x = -b ± ___ √ b2 - 4ac 2a ___________________
√
135,424 - 0
368 ___→ x = -368 ± ____ x = -368 ± √ (368)2 - 4(-16)(0) → x = -368 ± √ 368 368 x = - -368 + ____ = 0 y x = -368 - ____ = 23 -32
-32
-32
-32
Según el contexto del problema, 0 representa la distancia justo antes de que Callie patee inicialmente la pelota, y 23 representa la distancia horizontal que recorre la pelota antes de tocar el suelo.
ELEGIR EL MEJOR MÉTODO Los estudiantes analizarán ecuaciones cuadráticas y determinarán qué método sería el más eficiente para resolverlas. Los estudiantes compararán diferentes estrategias y concluirán que al usar diferentes métodos se obtienen las mismas soluciones. Los estudiantes individualizarán los métodos y determinarán su mejor elección. Es importante que los estudiantes sepan que La fórmula cuadrática y completar el cuadrado son métodos que funcionan para cualquier ecuación cuadrática, aunque no siempre son los más eficientes. Ejemplo: Para cada ecuación, determina el mejor método para resolverla. Justifica tu elección.
Sacar la raíz cuadrada
Ecuación
Factorizar
Completar el cuadrado
Fórmula cuadrática
✓ Puedo identificar los factores de 1 y 3, y me llevará menos pasos factorizar y resolver.
x2 + 4x + 3 = 0
5x2- 1 = 6
✓ Falta el término bx, así que aislar la variable al sacar la raíz cuadrada llevará la menor cantidad de pasos. ✓
x2 - 7x + 1 = 0
Este cuadrático sólo puede resolverse al completar el cuadrado o fórmula cuadrática. La fórmula cuadrática sería la más eficiente porque el coeficiente de x es impar. Cuando el coeficiente de x es impar, resulta tedioso y menos eficiente completar el cuadrado.
AVANCES En álgebra 2, los estudiantes ampliarán su trabajo con la resolución para incluir la resolución de ecuaciones cuadráticas sobre el conjunto de números complejos y la resolución de ecuaciones exponenciales al usar las propiedades de los logaritmos. Los estudiantes usarán la resolución de ecuaciones cuadráticas para expresar propiedades geométricas.
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ANÁLISIS PROFUNDO DE LOS ESTÁNDARES
CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES
DESGLOSAR EL ESTÁNDAR
Resolver ecuaciones y desigualdades en una variable.
VERBOS: ¿QUÉ DEBERÍAN HACER LOS ESTUDIANTES?
• Resolver ecuaciones cuadráticas en una variable. • Usar el método de completar el cuadrado para transformar cualquier ecuación cuadrática en x en una ecuación de la forma (x - p)2 = q que tenga las mismas soluciones. Deduce La fórmula cuadrática a partir de esta forma. • Resolver ecuaciones cuadráticas por inspección (por ejemplo, para x2 = 49), al tomar raíces cuadradas, al completar el cuadrado, La fórmula cuadrática y al factorizar, según sea apropiado para la forma inicial de la ecuación. Reconocer cuándo La fórmula cuadrática da soluciones complejas y escribirlas como a ± bi para números reales a y b. Interpretar la estructura de expresiones. • Usar la estructura de una expresión para identificar formas de reescribirla. Escribir expresiones en formas equivalentes para resolver problemas. • Elegir y producir una forma equivalente de una expresión para revelar y explicar propiedades de la cantidad representada por la expresión. Interpretar expresiones para funciones en términos de la situación que representan. • Aplicar funciones cuadráticas a problemas físicos, como el movimiento de un objeto bajo la fuerza de la gravedad. Nota: Este alcance se centra en las funciones cuadráticas.
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• resolver: encontrar un valor que responda a una pregunta y/o haga verdadera una ecuación • usar: aplicar una estrategia • transformar: reescribir una ecuación para hacer una nueva ecuación equivalente • derivar: obtener algo de una fuente • reconocer: ver y entender • identificar: reconocer y establecer qué es algo • reescribir: escribir algo de otra manera • escribir: registrar un enunciado matemático • interpretar: explicar el significado de • elegir: seleccionar • producir: hacer • revelar: descubrir o mostrar • explicar: dar cuenta de acciones o sucesos al explicar las razones • aplicar: usar SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBEN CONOCER LOS ESTUDIANTES?
• ecuación cuadrática: una ecuación que se puede escribir en la forma de ax2 + bx + c = 0, donde a, b, y c son números reales y a ≠ 0 • raíz cuadrada: un número que, multiplicado por sí mismo, produce el número dado • completar el cuadrado: el proceso utilizado para formar un trinomio cuadrado perfecto con el fin de encontrar la(s) solución(es) al sacar la raíz cuadrada
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INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO • solución: cualquier número que haga cierta una ecuación _ √ b2 - 4ac
• fórmula cuadrática: la fórmula x = -b ± ___ , que da 2a las soluciones de las ecuaciones de forma ax2 + bx + c = 0, donde a ≠ 0.
• forma verticical: y = a(x - h)2 + k, donde a, h, y k son constantes y a ≠ 0 • factorización: encontrar expresiones que puedan multiplicarse entre sí para dar la expresión de un lado de la ecuación • ecuación: enunciado matemático que muestra que dos expresiones son iguales entre sí • soluciones complejas: de la forma a + bi; soluciones que se producen cuando el valor bajo el radical de La fórmula cuadrática es menor que cero • expresión: números, variables y símbolos agrupados sin signo igual para mostrar una relación • expresiones equivalentes: expresiones que nombran el mismo número independientemente del valor que se sustituya por la variable • propiedad: cualquier atributo o característica • cantidad: un número o cantidad; una cantidad que dice cuánto • fuerza de gravedad: la fuerza universal de atracción que actúa entre toda la materia
IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA
• En grados anteriores, los estudiantes tuvieron experiencia con números racionales e irracionales y usaron números racionales para resolver problemas del mundo real. • En este nivel de grado, los estudiantes ampliarán su comprensión de cuadrados perfectos y raíces cuadradas aproximadas para simplificar una raíz cuadrada con un radicando negativo. • En este nivel de grado, los estudiantes deben ser capaces de resolver cuadráticas al usar raíces cuadradas. Los estudiantes deben ser capaces de usar el discriminante para determinar el número y tipo de soluciones. Los estudiantes deben ser capaces de justificar y explicar por qué un método de solución es más adecuado para un contexto de problema particular que otro. Los estudiantes deben ser capaces de reconocer un camino de solución para minimizar los pasos de resolución del problema. Los estudiantes deben ser capaces de identificar cuadráticas sin un término lineal y resolverlas al usar raíces cuadradas. • Dar a los estudiantes herramientas para determinar cuándo la respuesta a una cuadrática será una solución compleja, como darse cuenta cuando el discriminante (b2 - 4ac) es negativo. • Los estudiantes han tenido una exposición limitada, si es que han tenido alguna, a los números complejos y al uso de i. Es beneficioso ayudar a los estudiantes a desarrollar una comprensión de estos conceptos antes de usarlos en las soluciones de ecuaciones cuadráticas. El uso del discriminante para determinar si hay o no soluciones complejas a una ecuación cuadrática facilitará el desarrollo de su comprensión de estos temas. • Puede que los estudiantes necesiten varios ejemplos para entender i y cómo escribir soluciones complejas de cuadráticas. Trabajar con i por su cuenta y pensar primero en números complejos menos rigurosos ayudará. • Aunque el enfoque en este alcance se centra principalmente en la resolución de ecuaciones, es importante conectar las soluciones de Las ecuaciones con sus representaciones gráficas como interceptar x. Esto se puede hacer mediante un recordatorio rápido o al dibujar un boceto rápido, pero hacer esto ayudará a los estudiantes a entender el contexto y el propósito de resolver estas ecuaciones, sobre todo cuando empiecen a trabajar con problemas físicos. • Para garantizar que se aborda todo el estándar, ofrezca a los estudiantes amplias oportunidades para seleccionar un método y explicar por qué esa vía de solución es más adecuada para el problema. Comente las opciones de solución con los estudiantes para que puedan compartir su razonamiento.
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INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
ALINEACIÓN VERTICAL GRADO
ESTÁNDAR Entender la resolución de una ecuación o desigualdad como un proceso de respuesta a una pregunta: «¿qué valores de un conjunto específico, si los hay, hacen que la ecuación o desigualdad sea verdadera?». Usar la sustitución para determinar si un número dado en un conjunto específico hace que una ecuación o desigualdad sea verdadera.
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Usar variables para representar números y escribir expresiones al resolver un problema matemático o del mundo real; entender que una variable puede representar un número desconocido o, depende del propósito, cualquier número en un conjunto específico.
Resolver problemas matemáticos y de la vida real al escribir y al resolver ecuaciones de la forma x ± p = q y px = q para casos en los que p, q y x sean todos números racionales no negativos.
7
Resolver problemas de palabras que conduzcan a ecuaciones de la forma px + q = r y p(x + q) = r, donde p, q, y r son números racionales específicos. Resolver ecuaciones de estas formas con fluidez. Comparar una solución algebraica con una solución aritmética, al identificar la secuencia de las operaciones utilizadas en cada planteamiento. Por ejemplo, el perímetro de un rectángulo es 54 cm. Su longitud es de 6 cm. «¿Cuál es su ancho?».
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Resolver ecuaciones lineales con coeficientes de números racionales, al incluir ecuaciones cuyas soluciones requieran expandir expresiones al usar la propiedad distributiva y al unir términos semejantes. Resolver ecuaciones cuadráticas en una variable. a. Usar el método de completar el cuadrado para transformar cualquier ecuación cuadrática en x en una ecuación de la forma (x - p)2 = q que tenga las mismas soluciones. Deducir La fórmula cuadrática a partir de esta forma.
Álgebra
b. Resolver ecuaciones cuadráticas por inspección (por ejemplo, para x2 = 49), al tomar raíces cuadradas, al completar el cuadrado, La fórmula cuadrática y la factorización, según corresponda a la forma inicial de la ecuación. Reconocer cuando La fórmula cuadrática da soluciones complejas y escribirlas como a ± bi para números reales a y b.
Usar la estructura de una expresión para identificar formas de reescribirla.
Elegir y producir una forma equivalente de una expresión para revelar y explicar propiedades de la cantidad representada por la expresión.
Álgebra 2
Resolver ecuaciones cuadráticas con coeficientes reales que tienen soluciones complejas.
6
Usar variables para representar dos cantidades en un problema del mundo real que cambian en relación una con la otra; escribir una ecuación para expresar una cantidad, considerada como la variable dependiente, en términos de la otra cantidad, considerada como la variable independiente. Analizar la relación entre las variables dependiente e independiente mediante gráficas y tablas, y relacionarlas con la ecuación. Por ejemplo, en un problema que involucre movimiento a velocidad constante, enlistar y graficar pares ordenados de distancias y tiempos, y escribir la ecuación d = 65t para representar la relación entre distancia y tiempo.
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Usar variables para representar cantidades en un problema matemático o del mundo real, y construir ecuaciones y desigualdades simples para resolver problemas al razonar sobre las cantidades.
8
Construir una función para representar una relación lineal entre dos cantidades. Determinar la tasa de variación y el valor inicial de la función a partir de la descripción de una relación o de dos (x, y) valores, incluso leyéndolos en una tabla o en una gráfica. Interpretar la tasa de cambio y el valor inicial de una función lineal en términos de la situación que representa, y en términos de su gráfica o de una tabla de valores.
Álgebra
Escribir una función que describa una relación entre dos cantidades.
Álgebra
Aplicar funciones cuadráticas a problemas físicos, como el movimiento de un objeto bajo la fuerza de gravedad.
Álgebra 2
Elegir funciones trigonométricas para representar fenómenos periódicos con amplitud, frecuencia y línea media especificadas.
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ÁLGEBRA 1: LA FÓRMULA CUADRÁTICA
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA MONITOREAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA La guía de instrucción andamiada se proporciona para que los maestros puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones del alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que ayuda a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de la evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos según los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere que todos los estudiantes experimenten con los elementos: «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades», ya que cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar. 0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
80 % - 100 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil pueden trabajar en contenido de Nivel de grado con apoyos de instrucción.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» individual para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 2. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante de acuerdo con sus datos de evaluación. 3. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la sección «Scaffolded Instruction Guide» en el menú desplegable «Home» del alcance. 4. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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ÁLGEBRA 1: LA FÓRMULA CUADRÁTICA
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Resolver ecuaciones cuadráticas por inspección (por ejemplo, para x² = 49), al tomar raíces cuadradas, al completar el cuadrado, La fórmula cuadrática y la factorización, según corresponda a la forma inicial de la ecuación. Reconocer cuando La fórmula cuadrática da soluciones complejas y escribirlas como a ± bi para números reales a y b.
Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Concentración Práctica interactiva • Despegue
Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (preguntas 1-7) • Repaso (Sección sacar la raíz cuadrada para resolver, sección uso de la fórmula cuadrática, sección la discriminante, sección elige el mejor método)
Repaso y práctica de habilidades Prueba de habilidades
Alg.I - La fórmula cuadrática Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (preguntas 4, 5, & 6) • Repaso (sección elige el mejor método) • Revisión general (pregunta 10)
Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva
(Nivel de grado)
• Revisión general (preguntas 1-3, 5, 7, 9)
Alg.I - La fórmula cuadrática Constructor de fluidez • Pareo de coordenadash
Constructor de fluidez • Pareo de coordenadash
Alg.I - La fórmula cuadrática Qué preferirías Tablero de opciones
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80 % - 100 %
80 % - 100 %
(Nivel de grado con apoyos)
Acceso a conocimientos previos
25 % - 50 %
Alg.I - La fórmula cuadrática
Ciencia de datos
(Ampliación del nivel de grado)
Alg.I - Transformación de funciones exponenciales
Prueba de habilidades
50 % - 80 %
50 % - 80 %
0 % - 25 %
8 - Raíces cuadradas y raíces cúbicas
Alg.I - La fórmula cuadrática (Nivel de grado)
Usa la estructura de una expresión para identificar formas de reescribirla.
(Refuerzo del grado anterior)
b
(Refuerzo del grado anterior)
Usar el método de completar el cuadrado para transformar cualquier ecuación cuadrática en x en una ecuación de la forma (x - p)2 = q que tenga las mismas soluciones. Deducir La fórmula cuadrática a partir de esta forma.
(Ampliación del nivel de grado)
25 % - 50 %
a
(Nivel de grado con apoyos)
0 % - 25 %
Resolver ecuaciones cuadráticas en una variable.
Alg.I - La fórmula cuadrática Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: LA FÓRMULA CUADRÁTICA
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Alg.I - La fórmula cuadrática Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (preguntas 4 y 6) • Repaso (sección elige el mejor método)
Alg.I - La fórmula cuadrática Constructor de fluidez • Pareo de coordenadas
(Refuerzo del grado anterior)
0 % - 25 % 25 % - 50 %
Prueba de habilidades
(Nivel de grado con apoyos)
Repaso y práctica de habilidades
50 % - 80 %
Alg.I - Transformación de funciones exponenciales
Aplicar funciones cuadráticas a problemas físicos, como el movimiento de un objeto bajo la fuerza de gravedad.
(Nivel de grado)
0 % - 25 % 25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyos) (Nivel de grado)
50 % - 80 %
(Refuerzo del grado anterior)
Elegir y producir una forma equivalente de una expresión para revelar y explicar propiedades de la cantidad representada por la expresión.
8 - Raíces cuadradas y raíces cúbicas Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Concentración Práctica interactiva • Despegue Prueba de habilidades
Alg.I - La fórmula cuadrática Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Chequeo (pregunta 1)
Alg.I -La fórmula cuadrática Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Constructor de fluidez • Pareo de coordenadash
Tablero de opciones
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(Ampliación del nivel de grado)
Alg.I - La fórmula cuadrática
80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
80 % - 100 %
Ciencia de datos
Alg.I -La fórmula cuadrática Qué preferirías Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: LA FÓRMULA CUADRÁTICA
ATRAER: ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS
EVALUAR PREVIAMENTE EL CONOCIMIENTO DEL ESTUDIANTE
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: SIEMPRE, A VECES, NUNCA ESTÁNDAR PREVIO
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Saber que los números que no son racionales se llaman irracionales. Comprender informalmente que todo número tiene una expansión decimal; para los números racionales mostrar que la expansión decimal se repite eventualmente, y convertir una expansión decimal que se repite eventualmente en un número racional.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes jugarán siempre, a veces, nunca para determinar si las afirmaciones o aseveraciones basadas en el estándar previo son algunas veces verdaderas, siempre verdaderas o nunca verdaderas. Este elemento está diseñado para descubrir los conceptos erróneos de los estudiantes; no debe tomarse para una calificación.
MATERIALES
1. Distribuya las tarjetas «Siempre, a veces, nunca» a los estudiantes. 2. Diga a los estudiantes que les va a leer/proyectar una serie de afirmaciones y que ellos determinarán si cada afirmación es a veces cierta, siempre cierta o nunca cierta. 3. Después de un tiempo de reflexión, los estudiantes muestran las tarjetas con sus respuestas y deben ser capaces de justificar sus respuestas. 4. Pida a los estudiantes que justifiquen sus respuestas ante un compañero de codo o dentro de sus grupos. Elija voluntarios para que expliquen sus razonamientos a todo el grupo. En el caso de las afirmaciones «A veces», los estudiantes deben ser capaces de explicar cuándo son ciertas. Pregunte a los estudiantes cómo reescribirían las afirmaciones para que fueran siempre verdaderas o nunca verdaderas. 5. A continuación se ofrecen las afirmaciones y respuestas del escenario: • • • • • •
IMPRESO
• 1 siempre, a veces, nunca (por estudiante o por grupo)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de «Siempre, a veces, nunca» para cada estudiante o grupo. Tenga en cuenta que el documento impreso incluye una versión en color y otra en blanco y negro. Seleccione la versión que mejor se adapte a tu clase. • Recorte un juego de tarjetas para cada estudiante o grupo. • Considere la posibilidad de plastificarlas para usarlas varias veces.
La raíz cuadrada de 12 es un número irracional. A Todo número entero es un número racional. A 0.356 es un número irracional. A 4.2 es un número entero. N Las fracciones son números reales. A Un número entero es un número racional. A
• Si los estudiantes tienen dificultades para completar esta tarea, pase al «Constructor de bases fundamentales» para llenar este vacío en el conocimiento previo antes de pasar a otras partes del alcance.
IDENTIFICACIÓN DE CONCEPTOS ERRÓNEOS
• Los estudiantes pueden confundir los términos racional, irracional, entero y real.
The Quadratic Formula
The Quadratic Formula
Always, Sometimes, Never
Always, Sometimes, Never
ALWAYS
ALWAYS
The Quadratic Formula
● The square root of 12 is an irrational number. ● Every whole number is a rational number. The Quadratic Formula
SOMETIMES
SOMETIMES
NEVER
● 0.356 is an irrational number. ● 4.2 is an integer. ● Fractions are real numbers.
NEVER 1
● A whole number is a rational number. 2
3
SIEMPRE, A VECES, NUNCA
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ÁLGEBRA 1: LA FÓRMULA CUADRÁTICA
ATRAER: CAPTAR INTERÉS The Quadratic Formula
LECCIÓN MOTIVADORA
CAPTAR INTERÉS
a. 0 = x2 + 6x – 27
DESCRIPCIÓN
b. 30 = x2 + 2x + 1
Los estudiantes relacionarán el usar la fórmula cuadrática con un ejemplo del mundo real.
c. 0 = 3x2 + 5x – 60
MATERIALES IMPRESO
• 1 fórmula cuadrática (por clase) REUTILIZABLE
• 1 video de fenómenos (por clase)
PREPARACIÓN
• Planee mostrar el video. • Prepárese para proyectar la fórmula cuadrática para que toda la clase la vea. • Prepárese para presentar el escenario y para animar a los estudiantes a pensar en cómo resolverlo. Prepárese para pasar a las actividades de «Exploración», al regresar a la actividad «Captar interés» con los nuevos conocimientos adquiridos una vez que se hayan completado las «Exploraciones».
LA FÓRMULA CUADRÁTICA
5. Explique que el objetivo del alcance será desarrollar y decidir la herramienta y el método más adecuados para resolver una ecuación cuadrática. Comente las siguientes preguntas: a.
DOK-1 «¿Qué observas en las ecuaciones?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. Las respuestas de los estudiantes variarán. Una de Las ecuaciones no es igual a 0. Una de Las ecuaciones tiene un coeficiente principal que no es 1. Podría intentar factorizar cada ecuación.
b.
DOK-1 «¿Por qué cada ecuación podría requerir una herramienta o estrategia diferente para resolverla en comparación con resolver ecuaciones lineales como 7x + 12 = 33?». No podemos usar operaciones inversas como lo hicimos para resolver ecuaciones lineales, por lo que necesitaremos nuevas estrategias para abordar estas ecuaciones.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA
1. Presente esta actividad hacia el comienzo del alcance. La clase retomará la actividad y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades «Explorar» correspondientes. 2. Explique la situación mientras muestra el video detrás de usted. Emily guarda una caja de herramientas en su garaje. «¿Qué herramientas crees que usaría para las distintas tareas de la casa?». 3. Haga las siguientes preguntas a los estudiantes: «¿Qué observas? ¿Qué se preguntan? ¿Cómo puedes relacionar este escenario con la clase de matemáticas?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Me doy cuenta de que hay muchas herramientas diferentes (es probable que los estudiantes puedan nombrar las herramientas específicas que ven). Me pregunto si algunas herramientas se usan con más frecuencia que otras. Observo que algunas herramientas pueden usarse para construir o reparar objetos y otras para colgar o exponer cosas en casa. Me pregunto cómo saber qué herramienta matemática usar en una situación cuando parece más obvio con una caja de herramientas. 4. Proyecte la fórmula cuadrática.
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6. Complete las actividades de «Exploración». PARTE II: DESPUÉS DE EXPLORAR 1. Vuelva a mostrar el video de fenómenos y vuelva a plantear el problema. 2. Consulte la fórmula cuadrática y comente las siguientes preguntas: a.
DOK-1 «¿Cómo abordarías la resolución de cada ecuación de manera diferente?». Las respuestas pueden variar. El lado derecho de la primera ecuación es fácilmente factorizable, así que lo intentaría. La segunda ecuación no es fácilmente factorizable cuando se iguala a 0, así que completaría el cuadrado para resolverla. El lado derecho de la tercera ecuación no es factorizable y sería difícil completar el cuadrado, así que usaría La fórmula cuadrática.
b.
DOK-1 «¿Cuándo usarías la fórmula cuadrática?». Usaría la fórmula cuadrática cuando es difícil factorizar una expresión cuadrática y cuando los coeficientes son números enteros o decimales grandes.
c.
DOK-1 «¿Cuántas soluciones tiene cada ecuación?». Cada una de Las ecuaciones tiene dos soluciones.
d.
DOK-1 «¿Consideras que comprendes bien la fórmula cuadrática y cuándo usarla?». Las respuestas variarán en función del éxito de los estudiantes durante la actividad y de su nivel de confianza.
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ÁLGEBRA 1: LA FÓRMULA CUADRÁTICA
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 1: RESOLVER AL SACAR RAÍCES CUADRADAS DESCRIPCIÓN Los estudiantes resolverán ecuaciones cuadráticas al usar el método de sacar raíces cuadradas.
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros: Los estudiantes justificarán conclusiones con ideas matemáticas. Los estudiantes compararán dos argumentos y determinarán si la lógica es correcta o errónea. • MP.6 Prestar atención a la precisión: Los estudiantes comprenderán el significado de los símbolos utilizados en matemáticas y etiquetarán las cantidades adecuadamente. Los estudiantes calcularán con eficiencia y precisión. • MP.7 Buscar y usar la estructura: Los estudiantes buscarán la estructura general y los patrones en las matemáticas. Los estudiantes verán las cosas complicadas como objetos individuales o como compuestos de varios objetos.
MATERIALES IMPRESO
d.
DOK-2 Elevar un número al cuadrado siempre da un resultado positivo, así que cuando se invierte la operación y se saca la raíz cuadrada, «¿cómo se sabe si el número original era positivo o negativo?». No lo sé, así que tengo que considerar tanto las raíces cuadradas positivas como las negativas.
e.
DOK-2 Para encontrar todas las soluciones posibles, «¿cuántas ecuaciones tienes que resolver?». Tengo que resolver dos ecuaciones.
f.
DOK-2 «¿Tiene sentido la respuesta basándose en el contexto de la vida real?». Sólo las respuestas no negativas tienen sentido para una longitud del mundo real.
g.
DOK-2 «¿Cómo puedes comprobar que tu respuesta es correcta?». Puedo sustituir mi respuesta en la ecuación original. Si la ecuación es verdadera, entonces mi solución es correcta.
h.
DOK-2 En la tarea 2, «¿representa 900 pulgadas cuadradas información sobre el área, A, o representa información sobre la longitud del lado, l?». Representa información sobre el área, A. Sustituiríamos este valor por la variable A.
i.
DOK-2 «¿Qué información se da para la longitud del lado del cartel? ¿Cómo se puede usar esa información para representar la longitud lateral del cartel?». Se dice la longitud lateral de la fotografía, x, y que la fotografía debe aumentarse en 22 pulgadas. La longitud lateral de la fotografía más 22 representaría la longitud lateral del póster, l = x + 22.
j.
DOK-2 Para resolver la ecuación de la pregunta 7, (x + 22)2 = 900, «¿cuál es la primera operación (operación más externa) a deshacer?». La primera operación a deshacer es el cuadrado.
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 2 o 3 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima un «Boleto de salida» para cada pareja. Recorte los «Boletos de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I 1. Lea la siguiente situación a la clase: «Mateo está inscrito en una clase de arte que disfruta en la escuela. En este momento, su clase aprende sobre patrones. El maestro le asigna proyectos sobre patrones. “¿Puedes ayudar a Mateo con algunos de los cálculos matemáticos?”». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para resolver ecuaciones cuadráticas de la forma l2 = A, donde l es la longitud del lado y A es el área de un cuadrado. Pídeles que observen primero el esquema proporcionado para cada tarea artística con el fin de determinar la longitud del lado y el área del cuadrado. Pídeles que establezcan la ecuación cuadrática basándose en esta información y que la resuelvan. Pídales que registren su trabajo en sus diarios». 4. A medida que los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guías para evaluar su comprensión: a.
DOK-1 En la expresión del área A = l2, «¿qué operación indica el 2?». Indica un cuadrado o exponente de 2 (no multiplicación por 2).
k.
DOK-2 «¿Cuántas ecuaciones tienes que resolver a partir de este punto?». Tengo que resolver dos ecuaciones: una es igual a 30 y la otra es igual a -30.
b.
DOK-2 Sumar/restar y multiplicar/dividir son ejemplos de pares de operaciones que se deshacen entre sí. «¿Cuál es la operación para deshacer un cuadrado?». La operación para deshacer un cuadrado es sacar la raíz cuadrada.
l.
DOK-1 Después de deshacer el cuadrado, «¿cuál es la siguiente operación a deshacer?». La siguiente operación a deshacer es la suma.
c.
DOK-2 «¿En qué se parecen las expresiones 52 y (-5)2? ¿En qué se diferencian?». Ambas tienen el mismo valor cuando se evalúan. Una eleva al cuadrado un número positivo y la otra eleva al cuadrado un número negativo.
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ÁLGEBRA 1: LA FÓRMULA CUADRÁTICA
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 5. Conceda a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte I y responder a las preguntas que siguen. 6. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta el momento. CHARLA DE MATEMÁTICAS
The Quadratic Formula Explore 1
Part I
The Art of Mathematics
Use the questions provided to guide you through the mathematical calculations necessary to complete the art assignments. 1. Write an equation to represent the area of the print. The area of a square can be found using the formula A = s2, where s is side length. Assignment 1 s2 = 121 Take photos of interesting patterns either in objects made by people or 2. What is the first step to solving this equation? Explain found in nature. Use a square image how that “undoes” the second power. format. Adjust the camera settings so Square root each side. A square and square root are that the image detail is clear when opposite operations, just like adding is the opposite of printed with an area of 121 square subtracting. inches.
• DOK-1 «¿Qué tipo de ecuación es la ecuación del área A = l2?». Es una ecuación cuadrática. • DOK-2 En estos problemas, «¿qué es cierto acerca de la expresión que contiene la variable desconocida?». Es un cuadrado perfecto. • DOK-1 «¿Qué hay de cierto en el otro lado de la ecuación?». Es una constante. • DOK-2 Usamos el principio del cuadrado perfecto, que dice que el lado de la ecuación que contiene la variable desconocida es un cuadrado perfecto, y el término del otro lado es una constante. «¿Qué podemos hacer en ambos lados para resolver la ecuación de la incógnita?». Podemos sacar la raíz cuadrada de ambos lados. • DOK-2 «¿Cuántas soluciones obtienes cuando aplicas el principio del cuadrado perfecto?». Obtengo dos soluciones. • DOK-2 «¿Cómo decides si son válidas?». Puedo comprobar si la respuesta tiene sentido físicamente. • DOK-2 «¿Cómo has comprobado tu respuesta final?». Volví a sustituir la respuesta en la ecuación original. PARTE II
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «El viernes está prevista una exposición de obras de arte de los estudiantes en el auditorio del colegio. Mateo y sus compañeros de clase expondrán cada uno una colección de sus grabados. Cada uno es responsable de instalar su propia exposición al seguir las directrices proporcionadas por el instructor».
3.
Calculate all of the values for s that make the equation true. s2 = 121 √s2 = √121 s = ±11
4.
Give 2 values that satisfy the equation from question 1. 11 inches and −11 inches
5.
Do both values represent a reasonable side length for the print? Explain. The side length of the print should be 11 inches. −11 inches is not a reasonable side length.
1
The Quadratic Formula Explore 1
Assignment 2 Convert one of your square photographs into the background for a square poster advertisement. Extend the length and width of your photograph by 22 inches. The area of the poster should be 900 square inches.
6.
Write an expression to represent the side length of the poster. Let x represent the side of the photograph measured in inches. x + 22
7.
Write an equation to represent the area of the poster. The area of a square can be found using the formula A = s2, where s is side length. (x + 22)2 = 900
8.
What is the first step to solving this equation? What is the second step? First, square root each side. Second, subtract 22 from each side.
9.
Why is the order important when solving? Solving requires that we undo operations and undo the outside operations first.
10.
Calculate all of the values for x that make the equation true. (x + 22)2 = 900 √(x + 22)2 = √900 x + 22 = ±30 x = 30 – 22 or x = −30 – 22 x=8 x = −52
11.
What is a reasonable side length of the original photograph? Explain. The side length of the original photograph should be 8 inches. 2 −52 inches is not a reasonable side length.
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
2. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para resolver una vez más ecuaciones cuadráticas al usar la fórmula de área l2 = A, donde l es la longitud del lado y A es el área de un cuadrado. Sin embargo, esta vez tendrán en cuenta varias áreas al mismo tiempo. Pídeles que planteen la ecuación cuadrática basándose en la información proporcionada y que la resuelvan. Pídeles que anoten su trabajo en sus diarios».
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ÁLGEBRA 1: LA FÓRMULA CUADRÁTICA The Quadratic Formula Explore 1
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
Part II
Read each guideline, and answer the question that follows. Leave answers in simplest radical form if necessary. Exhibition guideline: Each participant will be allocated a square of wall space that is 20 square feet, but there must be a buffer of empty space surrounding the square art installation that is at least 20% of the total allocated space.
2.
1.
What are the maximum dimensions of the art installation that Mateo can create for the show? s2 + 0.20(20) = 20 s2 + 4 = 20 s2 = 20 – 4 = 16 √s2 = √(16) s = ±4 The maximum dimensions would be 4 × 4 square feet.
3. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guíass para evaluar su comprensión:
Exhibition guideline: Each participant may set a colored background to their work by painting large sheets of paper and pinning them to the wall behind their photos, filling as much of the 20 square feet as they wish.
If one pint of paint covers 54 square feet and Mateo shares the paint with two other students equally, what are the dimensions of the largest colored background he can use? 3s2 = 54 s2 = 54 = 18 3 √s2 = √(18) s = ±3√2 The maximum dimensions of the background for his art installation would be 3√2 × 3√2 square feet.
3
The Quadratic Formula Explore 1
Reflect 1.
What method or principle are you using to solve for the unknown value? The perfect square principle: The side of the equation containing the unknown variable is a perfect square, and the term on the other side is a constant. Therefore, you can take the square root of both sides.
2.
When you take the square root, how many solutions to the original equation do you get, and how do you decide if they are reasonable? Two; decide if they physically make sense.
3.
Could the method used to solve the problems in this Explore be used to solve 4x2 + 3x = 0? No, because the expression with the unknown variable, x, is not a perfect square.
a. DOK-1 En el problema 1, además del área cuadrada que rodea la instalación artística, «¿qué otra área se incluye en el espacio total asignado?». El área del espacio vacío que sirve de amortiguador entre las exposiciones también forma parte del espacio total asignado. b. DOK-2 «¿Cómo se evalúa el área del amortiguador del espacio vacío, y es una expresión constante o variable?». El área del amortiguador es el 20 % del total asignado y es una constante. c. DOK-1 «¿Cómo se evalúa el área de la instalación artística real con longitud lateral l?». Utilice la fórmula del área A = l2. d. DOK-1 «¿Qué suman el área del amortiguador y el área de la instalación?». Suman el espacio de pared asignado de 20 pies cuadrados. e. DOK-1 «¿Cómo se aísla aquí un cuadrado perfecto?». Resta 4 en cada lado para aislar un cuadrado perfecto en un lado y una constante en el otro lado. f. DOK-1 En el problema 2, «¿cuántas áreas cuadradas hay?». Hay tres áreas cuadradas. Mateo y otros dos estudiantes tienen cada uno una instalación artística.
4
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
g. DOK-2 Si los estudiantes se reparten la pintura a partes iguales para que sus áreas sean iguales, «¿serán iguales las dimensiones de los lados de sus instalaciones artísticas cuadradas?». Sí, serán iguales. h. DOK-1 Para la dimensión lateral l, «¿cuál es la expresión para el área de la instalación de cada estudiante?». El área de la instalación de cada estudiante es l2. i. DOK-1 «¿Cuánto suman sus áreas?». Sus áreas suman 54 pies cuadrados. j. DOK-2 «¿Puedes aislar un cuadrado perfecto?». Sí, puedes aislar un cuadrado perfecto. 4. Concédales tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen. 5. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
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ÁLGEBRA 1: LA FÓRMULA CUADRÁTICA
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 The Quadratic Formula Explore 1
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-3 «¿Se puede usar este método de aislar cuadrados perfectos para resolver cualquier cuadrático?». No, este método no se puede usar para resolver cualquier cuadrática.
Solving by Taking Square Roots Exit Ticket Can the equation be solved by taking square roots? If so, what are the solutions? If not, why not?
Equation
• DOK-2 «¿Qué tipo de problema no se puede resolver al usar este método?». Las ecuaciones que involucran un término lineal no pueden resolverse al usar este método. No puedes resolver la ecuación a menos que puedas aislar una constante en un lado y un cuadrado perfecto en el otro lado del signo igual.
(s – 2)2 = 64
Yes, it can be solved by taking square roots. s = −6, s = 10
2s2 +7s = 3
No, it cannot be solved by taking square roots because of the linear term 7s. You cannot isolate a perfect square on both sides.
• DOK-2 Si no es así, da un ejemplo de una cuadrática que no se pueda resolver con este método. x2 - 5x = 0
The Quadratic Formula Explore 1
• DOK-3 «¿Crees que resolver al sacar raíces cuadradas es más fácil que factorizar o completar el cuadrado en los problemas que acabas de completar?». Las respuestas de los estudiantes pueden variar, pero probablemente la respuesta «sí» será común.
Solving by Taking Square Roots Exit Ticket Can the equation be solved by taking square roots? If so, what are the solutions? If not, why not?
Equation
6. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
(s – 2)2 = 64
Yes, it can be solved by taking square roots. s = −6, s = 10
2s2 +7s = 3
No, it cannot be solved by taking square roots because of the linear term 7s. You cannot isolate a perfect square on both sides.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez creado, pida a cada estudiante que complete su «Libreta interactiva» .
The Quadratic Formula Part 1
Solving by Taking Square Roots 1.
The following steps have been used to solve the quadratic equation below, but they are all out of order. Organize the following steps in the correct order in the first column of the table, and then follow the steps to solve the given equation. A.
Determine if each solution is reasonable.
B.
Take the square root of both sides of the equation.
C.
Check answers using substitution.
D.
Solve for the unknown, x, in each equation.
E.
Isolate the perfect square term containing the unknown variable, x, to one side of the equation.
F.
Write two equations to solve.
Step E
Quadratic Equation: (x + 3)2 – 49 = 0 (x is a length of fencing.) (x + 3)2 = 49
B F
x + 3 = −7
x+3=7
D
x = −7 – 3 = −10
x=7–3=4
2
C
(−10 + 3) = (−7)2 = 49 ✔
(4 + 3)2 = 72 = 49 ✔
A
Only x = 4 is reasonable because a fence cannot have a negative length. 1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS 386
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ÁLGEBRA 1: LA FÓRMULA CUADRÁTICA
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 The Quadratic Formula Part 1
2.
a.
Write a quadratic equation in terms of s to describe the problem. 400s2 = 900
b.
Solve for s.
Only positive. 3.
APOYOS PEDAGÓGICOS
A square tile floor is to be installed. It will require 400 individual square tiles with side length s to cover the total area of 900 sq. ft.
1. Al sacar la raíz cuadrada de ambos lados de una ecuación, los estudiantes pueden olvidar sacar las raíces cuadradas positivas y negativas. Anímelos a pensar en cómo la cantidad máxima de raíces se conecta con el grado del polinomio. 2. Algunos estudiantes pueden olvidar comprobar su trabajo al final; sin embargo, siempre pueden conectar las soluciones a su problema original para asegurarse de que no cometieron ningún error en el camino.
is reasonable because the side length of the tiles must be
Solve for x. Leave the answer in simplest radical form if necessary. 4(x – 5)2 – 45 = 0 4(x – 5)2 = 45
4.
3. A veces las soluciones pueden no funcionar dentro del contexto, y siempre se debe animar a los estudiantes a comprobar que sus soluciones tienen sentido dentro de los parámetros del problema.
APOYOS LINGÜÍSTICOS
Which of the following equations cannot be solved using the perfect square principle and inverse operations? Why not? Select all that apply.
La siguiente estrategia de adquisición lingüística se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias siguientes para saber cómo apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes.
2
A.
x – 4x + 5 = 0
B.
3z2 – 4 = 0
C.
2y2 + 5y = 0
D.
(w – 8)2 = 14
The equations in A and C cannot be solved using the perfect square principle because they contain a linear term in the unknown variable, and therefore, the expression containing the unknown is not a perfect square.
2
The Quadratic Formula
5.
6.
Put the following equations into the form (x – p)2 = q, where p and q are constants. a. (x + 5)2 – 24 = 25 (x + 5)2 = 49 b.
3(x – 1)2 + 4 = 16 3(x – 1)2 = 12 (x – 1)2 = 4
c.
–2(x – 6)2 + 40 = 8 –2(x – 6)2 = –32 (x – 6)2 = 16
Solve the equation (x – p)2 = q for x to show that each equation in question #5 could be solved with the formula you develop.
Los estudiantes se apoyarán en pistas visuales, compañeros y maestros para desarrollar el vocabulario, la estructura lingüística y los conocimientos previos necesarios para comprender un texto escrito. Principiante: Como actividad previa a la clase, coloque por el salón notas adhesivas con números. Pida a los estudiantes que recorran el salón con un compañero para recoger todas las notas adhesivas que sean cuadrados perfectos en 3 minutos. Por cada nota adhesiva que no sea un cuadrado perfecto, reste un punto. Permita que los estudiantes utilicen calculadoras si es necesario. ¡El equipo con más puntos al final gana! Intermedio: Como actividad previa a la clase, coloque notas adhesivas con números escritos por toda la clase. Pida a los estudiantes que recorran el salón con un compañero para recoger todas las notas adhesivas que sean cuadrados perfectos en 3 minutos. Por cada nota adhesiva que no sea un cuadrado perfecto, reste un punto. Permita que los estudiantes utilicen calculadoras si es necesario. ¡El equipo con más puntos al final gana! Avanzado: Como actividad previa a la clase, coloque notas adhesivas con números escritos por toda la clase. Pida a los estudiantes que recorran el salón con un compañero para recoger todas las notas adhesivas que sean cuadrados perfectos en 3 minutos. Por cada nota adhesiva que no sea un cuadrado perfecto, reste un punto. Permita que los estudiantes utilicen calculadoras si es necesario. ¡El equipo con más puntos al final, gana!
3
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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ÁLGEBRA 1: LA FÓRMULA CUADRÁTICA
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 2: USAR LA FÓRMULA CUADRÁTICA DESCRIPCIÓN Los estudiantes resolverán ecuaciones cuadráticas al usar la fórmula cuadrática.
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros: Los estudiantes justificarán conclusiones con ideas matemáticas. Los estudiantes compararán dos argumentos y determinarán si la lógica es correcta o errónea. • MP.6 Prestar atención a la precisión: Los estudiantes comprenderán el significado de los símbolos utilizados en matemáticas y etiquetarán las cantidades adecuadamente. Los estudiantes calcularán con eficiencia y precisión. • MP.7 Buscar y usar la estructura: Los estudiantes buscarán la estructura general y los patrones en las matemáticas. Los estudiantes verán las cosas complicadas como objetos individuales o como compuestos de varios objetos.
MATERIALES IMPRESO
e.
DOK-1 «¿Cuál es el término constante del trinomio cuadrado perfecto que empieza por x2 + 6x?». El término constante sería 9 porque x2 + 6x + 9 = (x + 3)2.
f.
DOK-2 «¿Cómo nos llevará el planteamiento del equipo B a obtener dos soluciones?». Tenemos que sacar la raíz cuadrada positiva y negativa al usar un signo ± para obtener dos soluciones.
g.
DOK-2 «¿Cómo puedes comprobar que estos valores de x son soluciones?». Puedo sustituir estos valores de x en la ecuación cuadrática y verificar que y = 0.
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 2 o 3 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima un «Boleto de salida» para cada pareja. Recorte los «Boletos de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: FASES DE ANÁLISIS Y DESARROLLO 1. Lea la siguiente situación a la clase: «La empresa de software Compútalo desea desarrollar una aplicación para resolver ecuaciones cuadráticas. Dado que las funciones cuadráticas describen muchos comportamientos del mundo real, están seguros de que la aplicación sería comercializable. Ayude al equipo de desarrollo a decidir cuál es el enfoque adecuado para potenciar la aplicación». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para evaluar el mejor enfoque para desarrollar una fórmula general que se usará para resolver ecuaciones cuadráticas y que registrarán su trabajo en sus diarios». 4. Mientras los estudiantes colaboran, monitoree su trabajo y utilice las siguientes preguntas guías para evaluar su comprensión: a.
DOK-1 En el problema 1, «¿en qué punto de la curva y = 0?». y = 0 cuando la curva cruza el eje x.
b.
DOK-1 En el problema 1, «¿cuáles son las coordenadas x donde la coordenada y es 0?». En x = 1 y x = 3, y = 0.
c.
DOK-2 Para el planteamiento del equipo A, «¿qué valores intentas encontrar?». Necesito dos números que se multipliquen por 8 y sumen 6.
d.
DOK-2 Una vez que has factorizado la expresión cuadrática, «¿qué necesitas hacer para encontrar la solución?». Necesitas usar la propiedad del producto cero y poner cada factor igual a 0.
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5. Conceda a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte I y responder a las preguntas que siguen. 6. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta ahora. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Cuáles fueron los pros y los contras de la estrategia usada por el equipo A?». La estrategia de factorización del equipo A requirió menos trabajo que la estrategia del equipo B. Una vez que se factoriza una expresión cuadrática, es realmente fácil ver las soluciones. El mayor inconveniente de la estrategia del equipo A es que no podemos resolver todas las cuadráticas mediante la factorización. • DOK-2 «¿Cuáles fueron los pros y los contras de la estrategia utilizada por el equipo B?». La estrategia del equipo B de completar el cuadrado hizo posible resolver ecuaciones cuadráticas cuando la factorización no era una opción. Aunque podemos resolver más ecuaciones con este método, es un proceso más largo y laborioso. • DOK-3 «¿Hemos alcanzado nuestro objetivo de poder resolver cualquier ecuación cuadrática sin necesidad de hacer gráficas? ¿Por qué sí o por qué no?». Podríamos usar completar el cuadrado para resolver cualquier cuadrática, pero no será un método eficiente para resolver.
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ÁLGEBRA 1: LA FÓRMULA CUADRÁTICA
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2
The Quadratic Formula Explore 2
The Quadratic Formula Explore 2
The development team wants to see which algebraic tools are at their disposal since they will not always be able to graph to solve their quadratics. Two teams focus on different aspects of solving quadratic equations in the form ax2 + bx + c = 0.
Developer’s Dilemma Part I: Analysis and Development Phases
Developer’s Notebook
Completing the square
3.
Explain why team A’s strategy would not help you solve the similar equation of 0 = x2 + 6x + 7. The right side of the new equation is not factorable because there are not two values that add to 6 and multiply to 7. We need a different strategy to solve.
4.
Use team B’s strategy to solve the equation 0 = x2 + 6x + 7. 0 = x2 + 6x + 9 – 9 + 7 0 = (x + 3)2 – 9 + 7 0 = (x + 3)2 – 2 2 = (x + 3)2 or
Standard form of a quadratic equation ax2 + bx + c = 0
The first thought for a way to solve any quadratic was to graph. The team was trying to solve the equation 0 = x2 − 4x + 3, so they graphed the function g(x) = x2 – 4x + 3. Based on the graph, what are the solutions to the equation 0 = x2 – 4x + 3. The solutions are located where the curve intercepts the x-axis. The ordered pairs are (1, 0) and (3, 0), so the solutions to the equation are x = 1 and x = 3.
Factoring
You are trying to solve the equation 0 = x2 + 6x + 8. Use team A’s strategy. 0 = (x + 4)(x + 2) x = −4 or x = −2
Notes to self
1.
Team B
2.
* The app needs to solve ANY quadratic! * Standard form of a quadratic function y = ax2 + bx + c
Team A
5.
The Quadratic Formula Explore 2
Part II: Test Phase
Use the new app to find the zeros of the quadratic functions in the table. Ultimately, after much debate, the teams come together and develop a new method they believe will work every time. Your job is to test their solution equation below.
1.
Complete the table by solving the quadratic equations using the new app. Begin by first identifying the inputs. Solutions should be written in simplest radical form. Quadratic Equation
Inputs
0 = 1x2 + 6x + 8
0 = x2 + 6x + 7
What makes both teams’ strategies difficult and not efficient when solving the equation 0 = 2x2 + 5x + 1? The quadratic expression is not factorable, and it would be difficult to complete the square and solve with a ≠ 1 and b as an odd number.
0 = 2x2 + 5x + 1
1
The teams verified that their new app’s first two solutions matched the solutions from their initial attempts to factor and complete the square. Verify the solutions to the final quadratic equation by graphing or substitution, and complete the table below. Quadratic Equation
Solutions
x=1 2
0 = 2x + 3x – 5
1
b
6
c
8
a
1
b
6
c
7
a
2
b
5
c
1
Solver
or
or
1.
5.
The team tried to solve the equation 0 = x2 + 2x + 5 and got , which led them to say there are no solutions. Did this equation break the app? The app is not broken because if you graph the quadratic function y = x2 + 2x + 5, there are no x-intercepts. The formula gives a negative value inside of the square root, which is not a value on our number line, so the quadratic function has no real solutions.
What would be the first step to solving this quadratic equation using the quadratic formula? (x – 3)2 + 4x – 3 = 0
2.
What information do we need from the standard form equation to use the quadratic formula? We need to substitute the coefficients a, b, and c into the quadratic formula and evaluate the expression.
3.
For the quadratic equation x2 + 2x + 1 = 0, the app only gives one solution, x = −1. Is it correct or malfunctioning? Check by graphing or factoring. The app is correct. There is only one solution because the term under the radical in the quadratic formula is equal to zero.
4.
What is the maximum number of solutions for a quadratic equation, and how do you know that from looking at the quadratic formula? The maximum possible number is two because there is a ± sign in front of the radical.
x = −2.5
What is the benefit of the app compared to the completing the square method? Completing the square requires more algebra and many more steps than this app’s new method.
3
Reflect
or
4.
2
x = −4 or −2
The first step would be to multiply out the squared term and then gather like terms in order to write the quadratic equation in standard form: ax2 + bx + c = 0
Answers will vary depending on the method selected.
What is the benefit of the app compared to the factoring method? Not all quadratic equations in standard form are factorable, but we can always use the formula from the new app to solve.
−6 ± 2
The Quadratic Formula Explore 2
Verify by Substitution or Graphing
3.
Outputs
x=
2
The Quadratic Formula Explore 2
2.
a
4
5
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: LA FÓRMULA CUADRÁTICA
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 The Quadratic Formula Explore 2
PARTE II: FASE DE PRUEBA 1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Ahora que los equipos de Compútalo han encontrado una fórmula para usar en su aplicación, ayúdalos a probar la aplicación al usarla para resolver ecuaciones cuadráticas y luego compruebe que la nueva fórmula coincida con su trabajo anterior».
Using the Quadratic Formula Exit Ticket Use the quadratic formula to find the solutions for the quadratic equation below. Solutions should be written in simplest radical form. Show your work. 2x2 – 8x + 3 = 0
2. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para resolver ecuaciones cuadráticas al usar la fórmula cuadrática. Registrarán todo su trabajo en sus diarios». 3. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guías para evaluar su comprensión: a.
b.
The Quadratic Formula Explore 2
DOK-2 «¿Qué se entiende por entradas?». Las entradas son los valores a, b, y c que pondré en el solucionador (sustituiré en la ecuación) para evaluar la solución, x. DOK-2 «¿Dónde encuentras las entradas?». Son los coeficientes de los términos variables. La constante que multiplica el término x2 es a. La constante que multiplica el término x es b. La constante por sí misma (que multiplica el término x0 ) es c.
c.
DOK-2 «¿Cuántas salidas puede tener?». Puedo tener un máximo de dos soluciones debido al ± delante del radical.
d.
DOK-2 «¿Cómo puedes verificar tu respuesta?». Puedo sustituir el(los) valor(es) de x de nuevo en la ecuación o graficar la cuadrática e identificar los ceros.
Using the Quadratic Formula Exit Ticket Use the quadratic formula to find the solutions for the quadratic equation below. Solutions should be written in simplest radical form. Show your work. 2x2 – 8x + 3 = 0
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
4. Conceda a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte II y contestar las preguntas que siguen. 5. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje.
The Quadratic Formula Part 2
CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-2 «¿En qué forma debes poner primero la ecuación cuadrática para poder usar la fórmula cuadrática?». Necesito escribirla primero en forma estándar.
Using the Quadratic Formula Solve the following equations, and answer the questions. 1.
• DOK-2 La ecuación que usa la aplicación se conoce como La fórmula cuadrática. «¿Cuándo usarías esta fórmula en lugar de factorizar o completar el cuadrado?». Usaría esta fórmula cuando la ecuación que uso no se resuelve fácilmente al sacar la raíz cuadrada y no es factorizable. Sería especialmente útil cuando a ≠ 1. • DOK-3 «¿Hemos alcanzado nuestro objetivo, y podemos usar la fórmula cuadrática para resolver cualquier ecuación cuadrática?». Sí, es completamente general, y puedo usarla para resolver cualquier ecuación cuadrática. Una vez que tenemos la ecuación en forma estándar, sólo tenemos que tomar los coeficientes a, b, y c. • DOK-3 «¿Podría usar la fórmula cuadrática para resolver (x - 3)2 = 9, y lo haría?». Sí, podría usarla para resolver esta ecuación si la reescribiera en forma estándar, pero sería más rápido y fácil simplemente sacar la raíz cuadrada de ambos lados y resolver. • DOK-3 «¿Daría esta fórmula cuadrática soluciones a todas Las ecuaciones cuadráticas?». La fórmula siempre dará soluciones, pero no daría valores en la recta de los números reales si el resultado dentro de la raíz cuadrada es negativo. Este tipo de soluciones se conocen como números complejos.
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2x2 + 7x – 15 = 0 a. b. c.
2.
Is this a quadratic equation in standard form ax2 + bx + c = 0? Yes What are the coefficients a, b, and c? a = 2, b = 7, c = −15 Find the solution(s) for the unknown, x, using the quadratic formula.
(y + 2)2 – 7y = 3 a.
Write the quadratic equation in standard form. y2 + 4y + 4 – 7y – 3 = 0 y2 – 3y + 1 = 0
b.
What are the coefficients a, b, and c? a = 1, b = −3, c = 1
c.
Find the solution(s) for the unknown, y, using the quadratic formula.
1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 2) CLAVE DE RESPUESTAS ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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ÁLGEBRA 1: LA FÓRMULA CUADRÁTICA
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 The Quadratic Formula Part 2
3.
6. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
Using the quadratic formula, decide if there are any real solutions for x2 + x + 1 = 0.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
There are no real solutions. 4.
A water balloon is thrown vertically upwards from a balcony 15 feet off the ground with an initial velocity of 16 ft./sec. The height, h, of the balloon as a function of time, t, is given by the quadratic equation below.
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez creado, haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva» .
h(t) = −16t2 + 16t + 15 Determine when the balloon will hit the ground. a.
When the balloon hits the ground, h = 0. Write the quadratic equation to solve for t. −16t2 + 16t + 15 = 0
b.
Use the quadratic formula to find the solution(s). Write in simplest radical form or as a decimal number to the hundredths place.
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Al sacar la raíz cuadrada de ambos lados de una ecuación, los estudiantes pueden olvidar sacar las raíces cuadradas positivas y negativas. Anímelos a pensar en cómo el número máximo de raíces se conecta con el grado del polinomio. 2. Algunos estudiantes pueden olvidar revisar su trabajo al final; sin embargo, siempre pueden conectar las soluciones a su problema original para asegurarse de que no cometieron ningún error en el camino.
=
3. A veces las soluciones pueden no funcionar dentro del contexto, y siempre se debe animar a los estudiantes a comprobar que sus soluciones tienen sentido dentro de los parámetros del problema.
−0.59, 1.59 Solution: t = 1.59 sec.
2
4. A veces los estudiantes pueden saltar a usar la fórmula cuadrática para resolver; sin embargo, animar a los estudiantes a usar medios más fáciles, como completar el cuadrado o tomar raíces cuadradas., lo que puede ahorrar tiempo y energía depende de la ecuación.
APOYOS LINGÜÍSTICOS The Quadratic Formula Part 2
5.
Los estudiantes usarán técnicas de aprendizaje como mapas conceptuales, dibujar, comparar, contrastar, memorizar y repasar para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado.
Use the quadratic formula to solve the equation x2 – 4x + 5 = 0.
Principiante: Como actividad posterior a la lección, guíe a los estudiantes en la creación de una hoja de resumen que detalle los pasos para usar la fórmula cuadrática. Por ejemplo, podrían indicar los siguientes pasos: 1) Reescribir la ecuación en forma estándar; 2) Identificar a, b, y c; y así sucesivamente. La hoja debe incluir un ejemplo en el que los estudiantes lleven a cabo cada uno de los pasos.
There is not a real solution to this equation.
6.
Simplify your answer to #5 by simplifying the radical using the fact that .
Intermedio: Como actividad posterior a la lección, guíe a los estudiantes en la creación de una hoja resumen que detalle los pasos para usar la fórmula cuadrática. Por ejemplo, podrían indicar los siguientes pasos: 1) Reescribir la ecuación en forma estándar; 2) Identificar a, b, y c; y así sucesivamente. La hoja debe incluir un ejemplo en el que los estudiantes lleven a cabo cada uno de los pasos.
The complex solutions with this simplification are x = 2 + i and x = 2 – i
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MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 2) CLAVE DE RESPUESTAS ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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La siguiente estrategia lingüística se apoya en esta actividad «Explorar». Vea las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes.
Avanzado: Como actividad posterior a la clase, guíe a los estudiantes en la creación de una hoja resumen que detalle los pasos para usar la fórmula cuadrática. Por ejemplo, podrían indicar los siguientes pasos: 1) Reescribir la ecuación en forma estándar; 2) Identificar a, b, y c; y así sucesivamente. La hoja debe incluir un ejemplo en el que los estudiantes lleven a cabo cada uno de los pasos.
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ÁLGEBRA 1: LA FÓRMULA CUADRÁTICA
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 3: EL DISCRIMINANTE DESCRIPCIÓN Los estudiantes determinarán la cantidad de soluciones reales de una ecuación cuadrática al evaluar el discriminante.
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros: Los estudiantes justificarán conclusiones con ideas matemáticas. Los estudiantes compararán dos argumentos y determinarán si la lógica es correcta o errónea. • MP.6 Prestar atención a la precisión: Los estudiantes comprenderán el significado de los símbolos utilizados en matemáticas y etiquetarán las cantidades adecuadamente. Los estudiantes calcularán con eficiencia y precisión. • MP.7 Buscar y usar la estructura: Los estudiantes buscarán la estructura general y los patrones en las matemáticas. Los estudiantes verán las cosas complicadas como objetos individuales o como compuestos de varios objetos.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 2 o 3 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima un «Boleto de salida» para cada pareja. Recorte los «Boletos de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I 1. Lea la siguiente situación a la clase: «La empresa Fuegos artificiales Pop ha sido contratada para organizar un espectáculo para la celebración de su comunidad. Usted ayudará a seleccionar los tipos de fuegos artificiales que funcionarán en su área de observación. Quieres que todos los asistentes al espectáculo tengan una vista despejada y se diviertan. Tienes que elegir fuegos artificiales que puedan alcanzar una altura de 400 pies para que los espectadores puedan verlos por encima de los árboles y las casas. Para lanzar fuegos artificiales al aire desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de v, la ecuación cuadrática a resolver es la siguiente: f(t) = -16t2 + vt - 400 = 0». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para determinar la cantidad de soluciones reales de una ecuación cuadrática dada sin resolver realmente la ecuación y que registrarán su trabajo en sus diarios». 4. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guías para evaluar su comprensión: a.
DOK-2 «¿Qué término de la función cuadrática cambia para cada uno de los diferentes tipos de fuegos artificiales? ¿Por qué?». El término lineal es diferente para cada tipo de fuegos artificiales. El coeficiente de este término representa la velocidad inicial. Como la velocidad es diferente para cada tipo de fuegos artificiales, este término es diferente en cada función.
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b. DOK-2 «¿Qué aspecto tiene una solución real en un gráfico de la función cuadrática f(t) en función de t?». Una solución real es el valor de t donde la curva cruza o toca el eje t y f(t) = 0. c. DOK-2 «¿En qué se parecen las expresiones dadas por la solución Compútalo para los fuegos artificiales Cielo de fuego y Gran boom? ¿En qué se diferencian?». Ambas tienen valores no negativos bajo el radical. Una es positiva y la otra es cero. d. DOK-3 «¿Crees que existe una relación entre tener un valor no negativo bajo el radical y tener soluciones reales?». Sí, existe una relación porque un valor no negativo significa que el radical se puede simplificar y es un número real. e. DOK-2 Si el término bajo el radical es cero, «¿cuántas soluciones reales esperarías?». Esperaría una solución real porque el valor del radical sería cero, por lo que no tendría tanto una raíz cuadrada positiva como negativa dando lugar a dos soluciones. f. DOK-2 «¿En qué coinciden las expresiones dadas por la solución Compútalo para los fuegos artificiales Bengala y Destello fantástico con respecto al valor bajo el radical? ¿En qué se diferencian?». Bengala tiene un término negativo bajo el radical, y Destello fantástico tiene un término positivo. Ambos tienen un ± en el numerador y el mismo denominador. g. DOK-2 «¿Esperas que Bengala no tenga soluciones reales?». Sí, espero que no haya soluciones reales porque el valor negativo bajo el radical produce un número no real. En su lugar, las soluciones serían números complejos. h. DOK-2 «¿Es la cantidad de soluciones reales de Destello fantástico el que esperas?». Sí, esperaría dos soluciones reales porque el valor bajo el radical es un número positivo. i. DOK-2 «¿Cómo decides qué fuegos artificiales funcionarán en tu espectáculo?». Los fuegos artificiales que funcionarán tienen una o dos soluciones reales a sus ecuaciones cuadráticas basadas en la especificación de altura de 400 pies. ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
1/9/26 1:43 PM
ÁLGEBRA 1: LA FÓRMULA CUADRÁTICA
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3
The Quadratic Formula Explore 3
The Quadratic Formula Explore 3
Additional data supplied by Pop Fireworks for two other products they have is provided in the table below. Predict how many real solutions there are, and complete the table.
Boom! Part I
Examine the information in the table supplied by Pop Fireworks about their products (for your height specifications). Firework
Sky Fire
Big Boom
Function
−16t2 + 170t – 400
−16t2 + 160t – 400
Firework
Sparkler
Flash Fantastic
Function
−16t2 + 150t – 400
−16t2 + 165t – 400
0
2
Compute-It Solution
(powered by the quadratic formula)
Compute-It Solution
(powered by the quadratic formula)
Plot of Function
Plot of Function Prediction Number of Real Solutions
2
1
5.
For Sparkler, does the curve intercept the x-axis? What does this tell you about the number of real solutions? No, it doesn’t intercept the x-axis, so there are no solutions.
6.
What is the value under the radical for Sparkler? How many real solutions would you predict for other fireworks that have a negative value under the radical? The value is −3,100. I would predict no solutions when the value under the radical is negative.
Consider the solutions supplied by the Compute-It app for these two fireworks. If the term under the radical is greater than or equal to zero, do you expect there to be real solutions? Yes, I expect there to be real solutions.
7.
For Flash Fantastic, how many solutions are visible on the plot? Would you have predicted that number based on the sign of the term under the radical? There are two solutions, and I would have predicted that because the term under the radical is greater than zero.
If the term under the radical is greater than zero, how many real solutions would you predict? If it is equal to zero, how many real solutions would you predict? If the term is greater than zero, I would expect two solutions. If the term is equal to zero, I would expect one solution.
8.
Of the four fireworks, which ones meet your specifications (have real solutions to their corresponding quadratic equations)? Sky Fire, Big Boom, and Flash Fantastic meet my specifications.
1.
For Sky Fire, how many times does the curve intercept the x-axis? What does this tell you about the number of real solutions? It crosses twice, so there are two solutions.
2.
For Big Boom, what does the graph tell you about the number of solutions? There is one solution.
3.
4.
1
2
The Quadratic Formula Explore 3
The Quadratic Formula Explore 3
Part II
Reflect
Pop Fireworks can supply fireworks as shown in the table. Complete the table, and answer the question below. 1.
Do you need to completely solve a quadratic equation with the quadratic formula to know if there are real solutions? No, I can just evaluate the discriminant to know if there are any real solutions.
2.
What is the discriminant? The discriminant is the term inside the square root part of the quadratic formula. It is given by the formula b2 – 4ac, where a, b, and c are the coefficients from the standard form of the quadratic equation.
3.
What does the discriminant tell you about a quadratic equation? It tells me how many real solutions there are.
4.
If b2 – 4ac = 0, how many real solutions are there? There is one real solution.
5.
If b2 – 4ac ＞ 0, how many real solutions are there? There are two real solutions.
6.
If b2 – 4ac ＜ 0, how many real solutions are there? There are no real solutions.
Use the information provided to determine the values of a, b, and c. Then, evaluate the discriminant, and determine the number of real solutions.
Firework
Quadratic Function ax2 + bx + c
Discriminant b2 – 4ac a
Smash the Sky
Color Beams
Night Lights
2.
1.
2
−16t + 180t – 625
2
−16t + 200t – 625
−16t2 + 210t – 625
Number of Real Solutions
−16
b
180
c
−625
a
−16
b
200
c
−625
a
−16
b
210
c
−625
−7,600
None
0
1
4,100
2
Which fireworks would you recommend that your neighbors purchase for their show? Explain. I would recommend Color Beams and Night Lights because they have real solutions and will reach the desired height.
3
4
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: LA FÓRMULA CUADRÁTICA
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 The Quadratic Formula Explore 3
5. Conceda a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte I y contestar las preguntas que siguen. 6. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta ahora. CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-2 El valor debajo del radical en la fórmula cuadrática b2 4ac se llama el discriminante. «¿Qué te dice el discriminante?». El discriminante me dice cuántas soluciones reales hay para la ecuación cuadrática que estoy al resolver.
The Discriminant Exit Ticket Which of the following statements best describes the roots of the equation? Show your work. 2x2 + 5x – 6 = 0 A.
One real root
B.
Two real roots
C.
No real roots
• DOK-3 «¿Necesitas resolver una ecuación cuadrática para determinar si tiene soluciones reales?». No, puedo simplemente evaluar el discriminante para determinar si hay soluciones reales.
The Quadratic Formula Explore 3
• DOK-2 Para que una ecuación cuadrática tenga soluciones reales, «¿qué debe ser cierto acerca del discriminante?». El discriminante debe ser mayor o igual que cero. • DOK-2 «¿Cuántas soluciones reales hay si ◦ b2 - 4ac > 0?». Hay dos. ◦ b2 - 4ac = 0?». Hay uno. ◦ b2 - 4ac < 0?». No hay ninguno. PARTE II
1. Lea la siguiente situación a la clase: «Una ciudad cercana ha oído hablar de vuestra celebración y quiere celebrar un evento similar. Se ponen en contacto contigo para pedirte recomendaciones para planificar su espectáculo de fuegos artificiales. Le recomiendas Fuegos artificiales Pop y te ofreces a ayudarlos a seleccionar los productos. La ciudad cercana requerirá fuegos artificiales que puedan alcanzar una altura de 625 pies porque tienen una comunidad más grande y los espectadores se distribuirán por un área mas grande. La ecuación cuadrática f(t) se puede usar para determinar qué fuegos artificiales alcanzarán una altura de 625 pies. Para la función f(t), t representa el tiempo en segundos, y v es la velocidad inicial: f(t) = -16t2 + vt - 625 = 0». 2. Los estudiantes deben tener todavía sus diarios del estudiante». 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para determinar la cantidad de soluciones reales de una ecuación cuadrática al examinar el determinante. Registrarán su trabajo en sus diarios». 4. Mientras los estudiantes colaboran, monitoree su trabajo y utilice las siguientes preguntas guías para evaluar su comprensión: a. DOK-3 «¿Necesitas resolver la ecuación cuadrática para determinar la cantidad de soluciones reales?». No, puedo mirar el valor del discriminante para determinar la cantidad de soluciones reales.
The Discriminant Exit Ticket Which of the following statements best describes the roots of the equation? Show your work. 2x2 + 5x – 6 = 0 A.
One real root
B.
Two real roots
C.
No real roots
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-3 «¿Puedes determinar si una ecuación cuadrática tiene soluciones reales sin resolverla?». Si es así, «¿cómo?». Puedo saber si la ecuación tiene soluciones reales simplemente al evaluar el discriminante. • DOK-2 Si el discriminante es menor que cero, «¿qué significa?». Significa que no hay soluciones reales, sólo soluciones complejas. • DOK-2 Si el discriminante es cero, «¿qué significa?». Significa que hay una solución real. • DOK-2 Si el discriminante es mayor que cero, «¿qué significa?». Significa que hay dos soluciones reales. 7. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
b. DOK-1 «¿Cómo determinas los valores de a, b, y c?». Son los coeficientes y la constante de una ecuación cuadrática cuando se escribe en forma estándar. 5. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen. 6. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
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ÁLGEBRA 1: LA FÓRMULA CUADRÁTICA
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 The Quadratic Formula Part 3
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
The Discriminant 1.
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez creado, haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva» .
What is the discriminant for a quadratic equation in standard form? ax2 + bx + c = 0 2
b – 4ac
APOYOS PEDAGÓGICOS
Determine the number of real solutions for each quadratic equation. 2.
4.
−2x2 – 3x + 5 = 0 (−3)2 – 4(−2)(5) = 49 > 0
(2)2 – 4(6)(1) = −20 < 0
There are two real solutions.
There are no real solutions. There would be 2 complex numbers as solutions instead.
x2 + 10x = −25
(x + 2)2 = −x
5.
x2 + 10x +25 = 0
x2 + 4x + 4 + x = 0 x2 + 5x + 4 = 0
(10)2 – 4(1)(25) = 0
x + 5 = −3x2
2. Los estudiantes pueden tener dificultades para entender por qué el discriminante es un número importante si lo único que nos importa es si es positivo, cero o negativo. Recuerde a los estudiantes que es sólo una parte de la ecuación cuadrática bajo la raíz cuadrada que conduce a la cantidad de soluciones reales que tendrá la ecuación.
(5)2 – 4(1)(4) = 9 > 0
There is one real solution.
6.
1. Los estudiantes pueden asumir que si el discriminante prueba que una ecuación tiene 2 raíces reales, la ecuación tendría 2 raíces que deberían tener sentido en el contexto; sin embargo, si una de las raíces es negativa, eso significa que la solución existe pero no es necesariamente válida en muchas situaciones del mundo real. Siempre hay que animar a los estudiantes a que miren el contexto y se aseguren de que las soluciones tienen sentido.
6x2 + 2x + 1 = 0
3.
There are two real solutions. 7.
3x2 + x + 5 = 0 (1)2 – 4(3)(5) = −59 < 0
3. Puede ser necesario recordar a los estudiantes que deben establecer la ecuación igual a 0 antes de usar la fórmula cuadrática.
There are two real solutions.
There are no real solutions. There would be 2 complex numbers as solutions instead. 1
The Quadratic Formula Part 3
8.
Graph
2
y = x + 8x + 16 b2 – 4ac = (8)2 – 4(1)(16) = 0
Principiante: Como actividad posterior a la clase, guíe a los estudiantes en la creación de un cuadrado de vocabulario para el término discriminante. Complete en clase las siguientes secciones del cuadrado de vocabulario: Definición, Ejemplo (problema matemático) y Sin ejemplo. Pida a los estudiantes que creen su propia imagen para el término.
B
There is one real solution. 9.
y = x2 – 8x + 11 b2 – 4ac = (−8)2 – 4(1)(11) = 20 > 0
C
There are two real solutions. 10.
y = 5x2 + 3x + 1 b2 – 4ac = 32 – 4(5)(1) = −11 < 0
A
There are no real solutions.
A
B
Intermedio: Como actividad posterior a la clase, pida a los estudiantes que creen un cuadrado de vocabulario para el término discriminante. Los cuadrados de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), Sin ejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes la definición y el ejemplo, pero anímelos a reescribir la definición con sus propias palabras.
C
2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 3) CLAVE DE RESPUESTAS
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La siguiente estrategia lingüística se apoya en esta actividad de «Explorar». Vea las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes. Los estudiantes usarán técnicas de aprendizaje como mapas conceptuales, dibujar, comparar, contrastar, memorizar y repasar para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado.
Match each quadratic function to its graph using your knowledge of the discriminant.
Quadratic Function
APOYOS LINGÜÍSTICOS
Avanzado: Como actividad posterior a la clase, pida a los estudiantes que creen un cuadrado de vocabulario para el término discriminante. Los cuadrados de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), Sin ejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes la definición, pero anímelos a reescribirla con sus propias palabras.
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ÁLGEBRA 1: LA FÓRMULA CUADRÁTICA
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 4: ELEGIR EL MEJOR MÉTODO DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizarán ecuaciones cuadráticas y determinarán qué método sería el más eficiente para resolverlas.
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros: Los estudiantes justificarán conclusiones con ideas matemáticas. Los estudiantes compararán dos argumentos y determinarán si la lógica es correcta o errónea. • MP.6 Atender a la precisión: Los estudiantes comprenderán el significado de los símbolos utilizados en matemáticas y etiquetarán las cantidades adecuadamente. Los estudiantes calcularán con eficiencia y precisión. • MP.7 Buscar y usar la estructura: Los estudiantes buscarán la estructura general y los patrones en las matemáticas. Los estudiantes verán las cosas complicadas como objetos individuales o como compuestos de varios objetos.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima un «Boleto de salida» para cada pareja. Recorte los «Boletos de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Lea la siguiente situación a la clase: «Usted comienza un nuevo trabajo como analista de negocios. La empresa que te ha contratado tiene muchos proyectos, como estudios de mercado, fijación de precios, revisión de la cadena de suministro, etc. A menudo, estos procesos se representan mediante ecuaciones cuadráticas. Tendrás que resolver estas ecuaciones con frecuencia, por lo que quieres hacerlo de la forma más eficiente y precisa posible para impresionar a tu nuevo jefe. Decides investigar cuál es el mejor método a usar». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para comparar ecuaciones cuadráticas con el fin de determinar qué tipo de ecuación cuadrática se resuelve mejor con cada uno de los métodos de solución que han aprendido y que registrarán su trabajo en sus diarios». 4. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guías para evaluar su comprensión: a. DOK-2 «¿Qué buscas en una ecuación cuadrática si consideras resolverla al tomar la raíz cuadrada?». El término que implica la incógnita es un cuadrado perfecto, y el otro lado de la ecuación es una constante. 396
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b. DOK-2 «¿Puede usar siempre esta técnica en cualquier ecuación cuadrática?». No, no puedo usarla siempre. Podría tener que completar el cuadrado primero si quiero sacar una raíz cuadrada. c. DOK-2 «¿Qué buscas en una ecuación cuadrática que te haría considerar completar el cuadrado?». Completar el cuadrado es una técnica que podría usar si el coeficiente principal es a = 1 y el coeficiente del término lineal b es par porque entonces no tratarás con fracciones. d. DOK-2 «¿Qué buscas en una ecuación cuadrática que te haría considerar tratar de factorizarla?». Busco coeficientes enteros que no sean particularmente grandes. Luego, trato de ver si se factorizan de manera que el producto dé ac y la suma dé b donde a, b, y c son los coeficientes de la ecuación cuadrática en forma estándar. e. DOK-2 «¿A qué métodos puedes recurrir si no puedes factorizar fácilmente, sacar una raíz cuadrada o completar el cuadrado?». Puedo usar la fórmula cuadrática o la gráfica. f. DOK-2 «¿Puedes usar la fórmula cuadrática o completar el cuadrado en cualquier ecuación cuadrática?». Sí, esos dos métodos siempre funcionan. g. DOK-2 Cuando tienes coeficientes grandes o decimales, «¿qué método podrías decidir usar por conveniencia?». Se podría usar la gráfica para una respuesta aproximada. La fórmula cuadrática podría usarse para una respuesta exacta. La h. DOK-2 Para una ecuación cuadrática dada, _ fórmula cuadrática da el resultado 1 ± √2 . La gráfica da la solución 2.41414. «¿Cuál es más exacta?». La solución dada por la ecuación cuadrática es exacta y no está limitada por la cantidad de dígitos significativos leídos de la gráfica. i. DOK-2 Si la ecuación cuadrática tiene soluciones complejas, «¿la gráfica las proporcionará como lo hará La fórmula cuadrática?». No, no lo hará.
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ÁLGEBRA 1: LA FÓRMULA CUADRÁTICA
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4
The Quadratic Formula Explore 4
The Quadratic Formula Explore 4
New Hire Part I
Given the variety of methods for solving quadratic equations that you have available in your toolbox, compare different pairs of quadratic equations and determine what type of equation is best solved by a particular method.
Equation A
Equation B
x2 – 2x – 15 = 0
(x – 1)2 = 20
1.
Which of the two quadratic equations above could be easily solved by taking the square root? Why? Equation B could be easily solved by taking the square root because the term with the unknown x is a perfect square.
2.
If you were to solve that same problem using the quadratic formula or by completing the square, what would you first need to do to the equation? I would need to expand out the term involving the unknown x first.
3.
Equation C
Equation D
x2 + 6x – 25 = 0
2x2 – 5x – 4 = 0
Now consider completing the square on the equations above. Which equation would be easier to solve using that method? Explain or demonstrate. Equation C would be easier if you complete the square because there is no leading coefficient and the coefficient of the linear term is even, so when you divide it by two, you don’t have a fraction to work with. 2
2
x + 6x = 25 x2 + 6x + 32 = 25 + 32
2x – 5x
Which of the two quadratic equations above would be easier to factor? Why? Equation E would be easier to factor because I can identify factors whose product is −15 and whose sum is −2.
5.
Write that equation in factored form, and give the real solutions. (x – 5)(x + 3) = 0 Solutions: x = −3, 5
6.
Try solving the same problem using the quadratic formula: x=1±4 x = −3, 5
7.
Which method was more efficient in this case? Factoring was a more efficient method in this case.
Could you use the quadratic formula on both of the equations above? Yes, you could use the quadratic formula on both.
9.
Which would be easier to evaluate by hand? Why? Equation H would be easier to evaluate by hand because the coefficients are integers.
10.
What other method remaining in your toolbox could you use? I could use graphing.
11.
Does graphing always find the exact real solutions of a quadratic equation, or are there limitations? Explain. The real solutions found by graphing are limited by the accuracy of the technology to a certain number of significant digits that might not be the exact answer if the solution involved a radical, for example.
2
The Quadratic Formula Explore 4
The Quadratic Formula Explore 4
Reflect
Taking the Completing Quadratic Square Root the Square Formula ✔ Justification: The two factors, −2 and 7, have −14 as a product and 5 as a sum, so I can easily factor the quadratic equation to find the solutions. Factor
1.
Can an equation have different solutions depending on the method you use to solve it? No
2.
What methods would you consider first to solve a quadratic equation? Why? I would look to see if I could (a) easily factor or (b) isolate a perfect square and take the square root. These two methods can be quicker.
3.
Does using the quadratic formula or completing the square work to solve any quadratic equation? Yes, either method always works.
4.
How can you check your solutions? I can solve again using a different method, or graph, or simply substitute the solutions back into the original equation.
2
(x – 3) – 25 = 0 Taking the Square Root
Completing the Square
Equation H 2x2 – 5x – 4 = 0
8.
x2 + 5x – 14 = 0
Factor
Equation G 6.02x2 – 5.99x – 0.4 = 0
1
Create a set of quadratic equation examples that the new hire can use as a reference. For each example problem, place a check mark by the most efficient method to use. Justify your choice at the bottom of each table.
Graph
Equation F x2 + 6x – 25 = 0
4.
=4
Part II
Graph
Equation E x2 – 2x – 15 = 0
Quadratic Formula
✔ Justification: The term involving the unknown x can be isolated as a perfect square, and then I can just take the square roots of both sides to solve for x.
−4x2 + 5x + 7 = 0 Quadratic Formula ✔ Justification: Other methods either do not apply (taking the square root) or are more cumbersome (completing the square) or only give accuracy to a certain decimal place (graphing). In this case, it is best to use the quadratic formula. Graph
Factor
Taking the Square Root
Completing the Square
x2 – 10x = 5 Completing Quadratic the Square Formula ✔ Justification: The linear term is even and the coefficient in front of x2 is one, so completing the square is straightforward. Graph
Factor
Taking the Square Root
3
4
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EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 The Quadratic Formula Explore 4
5. Conceda tiempo suficiente a los estudiantes para completar la parte I y responder a las preguntas que siguen. 6. Después de completar la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta el momento. CHARLA DE MATEMÁTICAS
Choosing the Best Method Exit Ticket 1.
What method would you use to solve the quadratic equation below? x2 – 11x + 3 = 0 I would use the quadratic formula.
2.
• DOK-3 «¿Algunos problemas se resuelven más fácilmente con un método que con otro?». Sí. Por ejemplo, si una ecuación se factoriza fácilmente, no necesito introducirla en la fórmula cuadrática.
Justify your answer. The equation is not easily factored. The expression that includes the unknown x is not a perfect square. The coefficient of the linear term is odd, so completing the square would involve fractions. A solution obtained by graphing would be limited in accuracy to a certain number of significant digits. Therefore, the quadratic formula is the best option.
• DOK-2 «¿Esperas que diferentes métodos den diferentes resultados?». No, espero que todos los métodos me den el mismo resultado. Puede haber una diferencia en la precisión, como en los gráficos, en los que sólo puedo obtener una respuesta con una cierta cantidad de dígitos significativos. • DOK-2 «¿Qué métodos parecen que serían más fáciles si pudieras usarlos?». Sería más fácil si pudiera sacar la raíz cuadrada, encontrar factores, o graficar con el uso de tecnología. • DOK-2 «¿Qué métodos siempre funcionarán para cualquier ecuación cuadrática pero no siempre serán los más eficientes?». Siempre puedo usar la fórmula cuadrática o completar el cuadrado.
The Quadratic Formula Explore 4
Choosing the Best Method Exit Ticket 1.
What method would you use to solve the quadratic equation below? x2 – 11x + 3 = 0 I would use the quadratic formula.
2.
Justify your answer. The equation is not easily factored. The expression that includes the unknown x is not a perfect square. The coefficient of the linear term is odd, so completing the square would involve fractions. A solution obtained by graphing would be limited in accuracy to a certain number of significant digits. Therefore, the quadratic formula is the best option.
• DOK-2 «¿Cómo puedes comprobar tus soluciones?». Puedo sustituirlas de nuevo en la ecuación original para asegurarme de que la igualdad se mantiene. PARTE II 1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Se contrata a otro nuevo analista de negocios y a usted se le asigna la tarea de ayudarlo a ponerse al día. Revisará con él la mejor manera de decidir qué método usar para resolver Las ecuaciones cuadráticas que surgen con frecuencia en sus proyectos». 2. Aún deben tener sus diarios del estudiante». 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para identificar el método más eficiente para resolver una ecuación cuadrática dada. 4. Mientras los estudiantes colaboran, monitoree su trabajo y utilice las siguientes preguntas guías para evaluar su comprensión: a.
DOK-2 «¿Qué métodos consideraría primero porque serían los más eficientes si pudiera usarlos?». Intentaría ver si puedo factorizar o sacar la raíz cuadrada.
b.
DOK-2 Si ves coeficientes no enteros, «¿qué método considerarías?». Probablemente trataría de graficar para obtener una respuesta aproximada o usaría La fórmula cuadrática para obtener una respuesta exacta.
c.
d.
DOK-2 Si el coeficiente principal es 1, el coeficiente del término lineal es par y los tres coeficientes no son demasiado grandes, «¿qué técnica será bastante sencilla al suponer que la ecuación no se factoriza fácilmente?». En ese caso, podría completar el cuadrado. DOK-2 Cuando no sea fácil aplicar otras técnicas, «¿cuál es un método polivalente que podría usar y que da una respuesta exacta?». Podría usar la fórmula cuadrática.
5. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas que siguen. 6. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
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BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-1 «¿Cuáles son los diferentes métodos que puedes usar para resolver una ecuación cuadrática?». • Graficar • Factorizar • Tomar la raíz cuadrada • Completar el cuadrado • Fórmula cuadrática • DOK-3 «¿Son ciertos métodos más apropiados para resolver una ecuación cuadrática en particular?». Sí, a veces un método en particular puede ser más rápido y fácil de usar. • DOK-2 «¿Cuáles son algunas cosas que se deben buscar al resolver una ecuación cuadrática para ayudarte a decidir qué método probar? ¿Qué método sugiere cada "aspecto"?». Yo buscaría las siguientes cosas: • El término de la incógnita es un cuadrado perfecto (elevar al cuadrado). • Hay factores que dan un producto de ac y una suma de b (factorización). • Hay coeficientes no enteros (fórmula cuadrática o gráfica). • El coeficiente principal es a = 1, y b es par (completar el cuadrado). • Sólo necesito una respuesta aproximada (graficar). 7. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 8. Regrese al «Captar interés» e instruya a los estudiantes para que usen sus habilidades recién adquiridas para completar exitosamente la actividad.
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ÁLGEBRA 1: LA FÓRMULA CUADRÁTICA
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 The Quadratic Formula Part 4
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
Choosing the Best Method
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez creado, haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva» .
For each quadratic equation, consider the two possible solution methods on the right. 1.
2.
3.
x
( 2 + 1)2 = 25 a.
Can either method be used to find the solution? Yes
b.
Which method would be more efficient to use? Why? It would be easier to take the square root because, in order to use the quadratic formula, you first have to expand and gather terms to put the equation in standard form.
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Al tomar la raíz cuadrada de ambos lados de una ecuación, los estudiantes pueden olvidar tomar las raíces cuadradas positivas y negativas. Anímelos a pensar en cómo la cantidad máxima de raíces se conecta con el grado del polinomio. 2. Algunos estudiantes pueden olvidar comprobar su trabajo al final; sin embargo, siempre pueden conectar las soluciones a su problema original para asegurarse de que no cometieron ningún error en el camino.
x2 – 9x + 20 = 0 a.
Can either method be used to find the solution? Yes
b.
Which method would be more efficient to use? Why? It would be easiest to factor since −4 and −5 sum to −9 and have a product of 20. Completing the square would involve dealing with fractions since the coefficient of the linear term is odd.
3. A veces las soluciones pueden no funcionar dentro del contexto. Anímelos a comprobar que sus soluciones tienen sentido dentro de los parámetros del problema.
x2 – 2x – 2 = 0 a.
Which method will give an exact answer? The quadratic formula will give an exact answer. Graphing with technology could give a good approximation.
b.
What other method of those already listed on the right would give an exact answer? Completing the square would also give an exact answer.
4. A veces los estudiantes pueden saltar a usar la ecuación cuadrática para resolver. Anímelos a ser flexibles y a decidir el método que será más eficiente antes de resolver y realizar cualquier álgebra.
APOYOS LINGÜÍSTICOS 1
The Quadratic Formula Part 4
x2 + 4x – 6 = 0 Since the equation does not easily factor and there is not a perfect square term involving x, I would complete the square because the leading coefficient is 1, and the coefficient of the linear term is even.
5.
Intermedio: Antes de la lección, pida a los estudiantes que creen una hoja de referencia que incluya las cinco formas de resolver una ecuación cuadrática: graficar, factorizar, completar el cuadrado, sacar la raíz cuadrada y usar la fórmula cuadrática. La hoja de referencia debe incluir un ejemplo de cada método. Después de la lección, pida a los estudiantes que incluyan en su hoja de referencia «pistas» que sugieran que un método concreto es el mejor (por ejemplo, usar la raíz cuadrada cuando el término que implica la incógnita es un cuadrado perfecto).
(2x – 3)2 – 4 = 0 Since I can isolate the perfect square term containing x on one side of the equation and the constant on the other side, I would take the square root. x=
6.
5 1 and x = 2 2
x2 – x – 30 = 0 Since I can identify the factors 5 and −6 as summing to −1 and having a product of −30, I would factor to solve. x = 6 and x = −5
7.
Los estudiantes usarán técnicas de aprendizaje como mapas conceptuales, dibujar, comparar, contrastar, memorizar y repasar para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado. Principiante: Antes de la lección, guíe a los estudiantes en la creación de una hoja de referencia que incluya las cinco formas de resolver una ecuación cuadrática: graficar, factorizar, completar el cuadrado, sacar la raíz cuadrada y usar la fórmula cuadrática. La hoja de referencia debe incluir un ejemplo de cada método. Después de la lección, pida a los estudiantes que incluyan en su hoja de referencia «pistas» que sugieran que un método en particular es el mejor (por ejemplo, usar la raíz cuadrada cuando el término que implica la incógnita es un cuadrado perfecto).
Which method would you use to solve each of the following quadratic equations? Explain your reasoning, and then solve. 4.
La siguiente estrategia lingüística se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes.
1.2x2 + 0.47x – 1 = 0 Since the coefficients are not integers, I would use the quadratic formula or graph the solution if an approximate answer would be sufficient. x ≈ −1.129 and x ≈ 0.738
2
Avanzado: Antes de la lección, pida a los estudiantes que creen una hoja de referencia que incluya las cinco formas de resolver una ecuación cuadrática: graficar, factorizar, completar el cuadrado, sacar la raíz cuadrada y usar la fórmula cuadrática. La hoja de referencia debe incluir un ejemplo de cada método. Después de la lección, pida a los estudiantes que incluyan en su hoja de referencia «pistas» que sugieran que un método concreto es el mejor (por ejemplo, usar la raíz cuadrada cuando el término de la incógnita sea un cuadrado perfecto).
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 4) CLAVE DE RESPUESTAS
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EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE
CONSOLIDAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
ESQUEMA DE ANCLAJE
The Quadratic Formula
DESCRIPCIÓN Un esquema de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Se trata de una herramienta para apoyar la instrucción y consolidar el aprendizaje del estudiante a lo largo del alcance.
MATERIALES
• 1 hoja de papel cuadriculado • 1 juego de marcadores multicolores
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del ejemplo de esquema de anclaje, si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. El ejemplo de esquema de anclaje puede usarse como referencia antes de crear el esquema de anclaje de la clase. Esta actividad debe ser dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje. 2. A medida que los estudiantes trabajen en el alcance, colaboren para añadir piezas al esquema de anclaje. Formule las siguientes preguntas guías:
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
a. «¿Qué estrategia utilizamos para resolver este problema?». b. «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?». 3. Añada habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada «Exploración» para resaltar el contenido importante. 4. Explique que pueden usar este gráfico como herramienta de apoyo para su aprendizaje. Los estudiantes también pueden pegar una copia del ejemplo de esquema de anclaje en sus cuadernos para usarla como referencia a lo largo del año. 5. Algunos «Esquemas de anclaje» sólo se mostrarán durante un alcance o grupo de alcances concretos, mientras que otras permanecerán expuestas durante todo el grado escolar.
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ÁLGEBRA 1: LA FÓRMULA CUADRÁTICA
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA The Quadratic Formula
DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE Instructions ● Cut out the notes page below, and glue or tape it into your notebook. ● Use the quadratic formula to solve each problem. ● Circle the discriminant in blue after you have substituted the a, b, and c values into the formula. ● Circle your solutions in red.
x² + 4x + 1 = 0
3x² – 1 = −8x
LIBRETA INTERACTIVA DESCRIPCIÓN Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase al usar la actividad y la libreta.
MATERIALES IMPRESO x² + 11x = 0
4x² + 9 = 12x
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del «Folleto del estudiante» para cada uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Prepare una «Libreta interactiva» al usar un cuaderno de espiral o de composición para cada uno. Los estudiantes pueden usar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades. The Quadratic Formula
Instructions ● Cut out the notes page, and glue or tape it into your notebook. ● Fill in the blanks with the correct symbol (<, >, or =).
The Discriminant
2. Las instrucciones para cada actividad se proporcionan en el «Folleto del estudiante». 3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos. 4. Las libretas interactivas pueden usarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
2
b – 4ac _____ 0 ------------> two real roots b2 – 4ac _____ 0 ------------> one real root b2 – 4ac _____ 0 ---------> no real solutions
FOLLETO DEL ESTUDIANTE
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ÁLGEBRA 1: LA FÓRMULA CUADRÁTICA
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO VOCABULARIO CLAVE
VOCABULARIO ILUSTRADO
Quadratic Formula
Discriminant
The formula , which gives the solutions of equations in the form of ax2 + bx + c = 0, where a ≠ 0
The expression under the square root of the quadratic formula that determines the types of solutions of a quadratic equation 2
3
Factors
Complete the Square
Expressions that are multiplied together to get a polynomial; factors that appear in the form of ax + b and cannot be factored further
The process used to form a perfect square trinomial for the purpose of finding the solution(s) by taking the square root 4
5
Real Solution
Force of Gravity
A value that satisfies the equation; called roots, x-intercepts, or zeros
The universal force of attraction acting between all matter 6
402
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ÁLGEBRA 1: LA FÓRMULA CUADRÁTICA
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ DESARROLLAR LA FLUIDEZ CONCEPTUAL
Go Fish! Instruction Sheet
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: RESOLUCIÓN CUADRÁTICA
Play this game with a partner. You Will Need 1 Set of Go Fish! Cards (per pair) How to Play 1. Shuffle the Go Fish! Cards. 2.
Pass out five cards to each player.
3.
Place the rest of the deck in a pile on the table.
4.
Players take turns asking each other for either the answer to match one of the problem cards or the problem card to match one of the answer cards. If the opponent has the matching card, the opponent must give it to the player. If the opponent does not have the matching card, the other player must pick a card from the deck.
5.
The winner is the player with the most matches when all of the cards are gone.
DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes jugarán a ¡A pescar! para resolver problemas matemáticos.
MATERIALES IMPRESO
• 1 hoja de instrucciones de ¡A pescar! (por pareja) • 1 conjunto de tarjetas del juego ¡A pescar! (por pareja) REUTILIZABLE
• 1 sobre o bolsa (por pareja)
PREPARACIÓN
• Haga copias a doble cara de las tarjetas ¡A pescar! a doble cara. • Lamínelas para que duren más. • Recorte las tarjetas individuales y colóquelas en un sobre o bolsa para facilitar su distribución y limpieza.
HOJA DE INSTRUCCIONES
• Coloque a los estudiantes en parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo barajar las tarjetas. 2. Muestre con un estudiante cómo jugar. a. Reparte cinco tarjetas a cada jugador. b. Coloca el resto del mazo en una pila sobre la mesa. c. Los jugadores se preguntan por turnos si la respuesta coincide con una de las tarjetas de problema o si la tarjeta de problema coincide con una de las tarjetas de respuesta. Si el oponente tiene la tarjeta correspondiente, debe dársela al jugador. Si el oponente no tiene la tarjeta correspondiente, el otro jugador debe tomar una carta del mazo. d. El ganador es el jugador con más coincidencias cuando se acaban todas las tarjetas. 3. Supervise a los estudiantes para asegurarse de que encuentran las coincidencias correctas.
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ÁLGEBRA 1: LA FÓRMULA CUADRÁTICA
ELABORAR: REVISIÓN EN ESPIRAL The Quadratic Formula
REVISAR CONCEPTOS PREVIOS
REVISIÓN EN ESPIRAL: ENCERRADOS EN LA BIBLIOTECA DESCRIPCIÓN Los estudiantes repasan contenidos previos o actuales del grado para ayudar a apoyar su trabajo en el alcance actual y fortalecer las habilidades necesarias para alcances posteriores.
REVISIÓN EN ESPIRAL CENTRADA EN LA PREGUNTA
Locked in the Library Sung is a student working on a team project. She and her group are accidentally locked in the school library overnight! While this may seem like a nightmare for most, Sung is thrilled. The library is host to thousands of books, mysteries, and adventures galore! Sung wants to spend the time reading every single page. She wants to have a book-reading binge. The other members of her group have another idea. They want to hunt for snacks. Undoubtedly, the librarian keeps snacks around somewhere. They trek off into the darkness toward the librarian’s office, hoping it’s unlocked and filled with sweet treats. Meanwhile, Sung decides to help the librarian by checking in and shelving returned books. Only when this is done will Sung feel content about getting immersed in a new book.
• Pregunta 1
• ALG I: Determinar los efectos de las transformaciones en la función cuadrática padre. • Pregunta 2 • ALG I: Graficar funciones cuadráticas e identificar características clave. • Pregunta 3
1
• ALG I: Determinar el dominio y el rango de una función cuadrática. • Pregunta 4 • ALG I: Determinar la tasa de cambio de una función.
The Quadratic Formula
1.
Sung transports books from the check-in station to the shelving units. Similarly, the function f(x) = x2 is transformed to create the graph of g(x) = x2 + 8. Which statement about the graph is true?
A.
The graph of g(x) is a reflection of the graph of f(x) across the x-axis. The y-intercept of the graph of g(x) is 8 units above the y-intercept of the graph of f(x). The vertex of the graph of g(x) is 8 units to the right of the vertex of the graph of f(x).
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a tratar de responder las preguntas independientemente sin usar recursos externos para ver lo que saben. Invite a los estudiantes a anotar ideas o fragmentos que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas. 3. Utilice las preguntas de revisión en espiral como calentamiento en clase, o envíelas a casa como tareas. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos. 4. Consulte la sección «Centrada en la pregunta» de la revisión en espiral para evaluar los conocimientos de contenido de los estudiantes o su necesidad de una mayor intervención. Si es necesario repasar más, utilice el «Constructor de fluidez» en los alcances apropiados. 5. El capítulo final incluye una parte de este alcance para que los estudiantes vean la conexión y relevancia de su aprendizaje previo con el actual.
404
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B. C.
2.
The graph below represents the level of noise Sung and her group can make before the alarm system detects it. What are the coordinates of the vertex?
The answer is B.
The answer is (10, 80).
3.
4.
Sensors in the library’s alarm system will go off if Sung and her group do not stay within a certain range. The alarm system can be represented by the function . What is the range of this function?
The answer is y ≥ -3.
The table shows the relationship between the number of pages Sung reads and the time it takes her to read them. What is the average rate of change of the time it takes Sung to read each page?
Time in Seconds, x
240
600
840
Number of Pages Read, y
2
5
7
The answer is 120 seconds per page. 2
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: LA FÓRMULA CUADRÁTICA
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS ANÁLISIS DE DATOS
CIENCIA DE DATOS Ciencia de datos es un breve debate en clase basado en un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. La parte I incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los estudiantes en contexto.
PARTE II
DESCRIPCIÓN
2. Comente las siguientes preguntas:
Los estudiantes analizarán, interpretarán y generarán conjuntos de datos, además de responder a preguntas basadas en los datos.
1. Repase cómo resolver una ecuación cuadrática al usar la fórmula cuadrática, y escriba lo que los estudiantes recuerden en el papel milimetrado. a
MATERIALES
«¿Cuánto tardará una calabaza de la catapulta 1 en llegar al suelo, en segundos?». Muestra tu trabajo. f(t) = -16t2 + 52t + 15 Resuelve 0_________________ = -16t2 + 52t + 15 ___ 52 - 4(-16)(15) t = -52 ±
√
IMPRESO • 1 conjunto de datos (por clase)
2(-16)
−52±3,664 = ___________ -32
REUTILIZABLE
−52−60.53 −32
−52+60.53 −32
= ___________ or ___________
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase) • 1 marcador (por clase)
= –0.2666 or 3.5166 Una calabaza de la catapulta 1 tardará unos 3.5 segundos en llegar al suelo.
CONSUMIBLE • 1 trozo de papel milimetrado (por clase)
b
PREPARACIÓN
• Prepárese para proyectar el conjunto de datos para la clase.
Resuelve ___________ 0 = -16t2 + 45t + 22 452 - 4(-16)(22) √ ________________ _ t =-45 ± 2(-16) 3,433 √ ________ = -45 ± -32
• Reúna un trozo de papel milimetrado y un marcador.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
= -0.4247 o 3.2372 Una calabaza lanzada desde la catapulta 2 tardará unos 3,2 segundos en llegar al suelo.
2. Comente las siguientes preguntas: a.
«¿Qué observas en este conjunto de datos?». «¿Qué representa este conjunto de datos?».
c.
«¿Qué categorías se incluyen en este conjunto de datos?».
d.
«¿Has visto alguna vez calabazas lanzadas desde una catapulta?».
e.
«¿Qué cantidades necesitas saber para representar el movimiento de un proyectil?».
f.
«¿Qué preguntas tienes sobre los datos?».
c
The Quadratic Formula
−45–60.53 −32
−45+58.59 −32
= ___________ or __________
1. Proyecte el conjunto de datos y prepárese para anotar las observaciones de los estudiantes.
b.
«¿Cuánto tardará una calabaza de la catapulta 2 en llegar al suelo, en segundos?». Muestra tu trabajo. g(t) = -16t2 + 45t + 22
d
«¿Qué catapulta lanzará una calabaza más alto? ¿Cuánto más alto, en pies?». Muestra tu trabajo. -b -52 Catapulta 1: ___ = ____ (-16) = 1.625 2a 2 f(1.625) =-16(1.625)2 + 52(1.625) + 15 = 57.25 -b
-45
Catapulta 2: ___ 2a = ____ (-16) = 1.406 2
g(1.406) = -16(1.406)2 + 45(1.406) + 22 = 53.64 Catapulta 1 lanzará una calabaza a 3.61 pies de altura.
Pumpkin Wars
Do, Tuan. 2021. "The Real Production Costs of Smartphones” TECHWALLS, December 14, 2021. https://www.techwalls.com/production-costs-of-smartphones/. Dean, Brian. 2021. "iPhone Users and Sales Stats for 2022" Backlinko, May 28, 2021. https://backlinko.com/iphone-users. Bart, Annette, S.J. Bart, and Mike May. 2021. "Modeling, Revenue, Costs, and Profits” Business Calculus with Excel, September 25, 2021. https://mathstat.slu.edu/~may/ExcelCalculus/sec-2-2-ModelingRevenueCostProfit.html.
1
CONJUNTO DE DATOS
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ÁLGEBRA 1: LA FÓRMULA CUADRÁTICA
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS
LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN DESCRIPCIÓN Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede usarse como evaluación formativa para los maestros y como autoevaluación para los estudiantes.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 folleto del maestro (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del maestro» y un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Folleto del estudiante» a cada uno. 2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Explorar» y «Explicar» del alcance, evalúe formativamente su progreso al tomar notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo. 3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo. 4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje. 5. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el «Folleto del maestro». 6. Las notas anecdóticas proporcionadas en el «Folleto del maestro» pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares. 7. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la «Guía de instrucción andamiada» en la sección «Inicio» de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
The Quadratic Formula
The Quadratic Formula Skill or Key Concept Solve quadratic equations in one variable. a. Use the method of completing the square to transform any quadratic equation in x into an equation of the form (x – p)² = q that has the same solutions. Derive the quadratic formula from this form. Solve quadratic equations in one variable. b. Solve quadratic equations by inspection (e.g., for x² = 49), taking square roots, completing the square, the quadratic formula, and factoring, as appropriate to the initial form of the equation. Recognize when the quadratic formula gives complex solutions and write them as a ± bi for real numbers a and b.
How was the skill or concept observed?
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
The Quadratic Formula
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Standards for Mathematical Practice
The Quadratic Formula
Notes and Feedback
How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Use the structure of an expression to identify ways to rewrite it.
Choose and produce an equivalent form of an expression to reveal and explain properties of the quantity represented by the expression.
❏ ❏ ❏
The Quadratic Formula
Apply quadratic functions to physical problems, such as the motion of an object under the force of gravity.
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Notes and Feedback
Make sense of problems and persevere in solving them
Notes and Feedback
Reason abstractly and quantitatively Construct viable arguments and critique the reasoning of others Model with mathematics Use appropriate tools strategically
1
Attend to precision Look for and make use of structure Look for and express regularity in repeated reasoning
Consider these reflection questions in this scope.
2
●
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them?
●
What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
3
FOLLETO DEL MAESTRO
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EVALUAR: MAPA DE CALOR ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
MAPA DE CALOR DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
MATERIALES
• 1 mapa de calor (por estudiante) • 1 lápiz de color rojo (por estudiante) • 1 lápiz de color azul (por estudiante) • 1 lápiz de color naranja (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Determine si los estudiantes analizarán su «Prueba de habilidades», la «Evaluación basada en estándares», o ambas. • Imprima un «Mapa de calor» para cada estudiante.
Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Dé un «Mapa de calor» a cada estudiante junto con lápices de colores rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s). 2. Los estudiantes usan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el «Mapa de calor». Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los estudiantes colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, los estudiantes colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, los estudiantes colorean el cuadro correspondiente de rojo. 3. Anímelos a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a usar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada. 4. Consulte la «Guía de instrucción andamiada» que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
The Quadratic Formula
The Quadratic Formula
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key.
Red – misconception 1. Which skill did you feel most confident with? Why?
Standards
Solve quadratic equations in one variable. b. Solve quadratic equations by inspection (e.g., for x² = 49), taking square roots, completing the square, the quadratic formula, and factoring, as appropriate to the initial form of the equation. Recognize when the quadratic formula gives complex solutions and write them as a ± bi for real numbers a and b. Apply quadratic functions to physical problems, such as the motion of an object under the force of gravity.
Blue – miscalculation
Reflection Questions
Skills Quiz
Solve quadratic equations in one variable. a. Use the method of completing the square to transform any quadratic equation in x into an equation of the form (x – p)² = q that has the same solutions. Derive the quadratic formula from this form.
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
2
3
4
7
8
9
10
1
2
3
4
7
8
9
10
5
3. Which type of error did you most commonly make?
5
Orange – explanation
Standards
Questions
Solve quadratic equations in one variable. a. Use the method of completing the square to transform any quadratic equation in x into an equation of the form (x – p)² = q that has the same solutions. Derive the quadratic formula from this form.
Not Assessed
Solve quadratic equations in one variable. b. Solve quadratic equations by inspection (e.g., for x² = 49), taking square roots, completing the square, the quadratic formula, and factoring, as appropriate to the initial form of the equation. Recognize when the quadratic formula gives complex solutions and write them as a ± bi for real numbers a and b.
4. How can you avoid those errors in the future?
Apply quadratic functions to physical problems, such as the motion of an object under the force of gravity.
6
1
Red – misconception
Standards-Based Assessment
Questions
1
The Quadratic Formula
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 Not Assessed
3
MAPA DE CALOR
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ÁLGEBRA 1: LA FÓRMULA CUADRÁTICA
INTERVENIR: REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES The Quadratic Formula
REFORZAR Y VOLVER A ENSEÑAR
REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES DESCRIPCIÓN Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para intervención.
Checkup 1.
Will the ball reach a height of 50 ft.? Justify your answer. No, the ball will not reach 50 ft. The discriminant for the quadratic equation –16t2 + 50t – 50 = 0 is less than zero. b2 – 4ac = 502 – 4(–16)(–50) = –700 < 0 This means there is no solution. 2.
MATERIALES IMPRESO
• 1 revisión rápida (por estudiante)
A ball is thrown straight up with a velocity of 50 feet per second. The height of the ball at time t is given by h(t) = 50t – 16t2.
Solve for z where 3(z – 5)2 – 72 = 0. (z – 5)2 = 24 z – 5 = ±2 z=5±2
3.
Use the quadratic formula to find the solutions to 3x2 – 4x – 2 = 0.
4.
Which method would be most efficient for determining where f(x) = (x – 3)2 – 15 crosses the x-axis?
• 1 repaso (por estudiante) • 1 revisión general (por estudiante) • 1 lista de verificación para el maestro (por maestro)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de la «Revisión rápida», el «Repaso» y la «Revisión general» para cada estudiante.
A. B. C. D.
Completing the square Using the quadratic formula Factoring Taking the square root
• Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar el «Repaso».
1
• Si lo desea, imprima un ejemplo del «Esquema de anclaje» de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que usen la «Libreta interactiva» como regrado. • Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayudas suplementarias para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
The Quadratic Formula
5.
Yes, there are solutions to the quadratic equation where p = 400 because the discriminant is b2 – 4ac = 482 – 4(–1)(–550) = 104 > 0. 6.
1. Dé una copia de la «Revisión rápida» a cada estudiante.
4. Distribuya una copia del «Repaso» a cada uno.
6. Distribuya una copia de la «Revisión general» a cada uno. 7. Cada estudiante debe completarla de forma independiente. 8. Analice los resultados de la «Revisión general» al usar la «Lista de verificación para el maestro» para identificar quienes necesitan un repaso adicional y quienes han alcanzado el dominio de los conceptos.
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Factoring Graphing Using the quadratic formula Completing the square
7.
Solve 2.2x2 – 3.7x = 5. Round to the hundredths place.
8.
A square art print is displayed in a frame. The frame width is 1.5”, and the framed artwork covers 484 square inches of wall space. What are the dimensions of the print that are visible through the frame? (x + 2(1.5))2 = 484 x = –3 ± 22 = –25 or 19 The dimension must be positive, so the frame opening is 19” by 19”.
9.
How many solutions does 3x2 – 5x – 10 = 0 have? The discriminant b2 – 4ac = (–5)2 – 4(3)(–10) = 145 > 0, so there are two solutions.
10.
Match the quadratic equation to the solution method that is most appropriate.
5. Cada estudiante debe completar el «Repaso» como actividad de intervención o de forma independiente. a. Si lo desea, reúna a los estudiantes en pequeños grupos para trabajar en las habilidades de repaso. Utilice el «Repaso» como ayuda para la reenseñanza.
To find the exact solution for 2.2x2 – 3.7x = 5, which method would you choose? A. B. C. D.
2. Cada uno debe completarla de forma independiente. 3. Use la guía de evaluación de habilidades al final de la «Revisión rápida» para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional.
A youth sports league is holding a raffle to raise funds for equipment. The profit is given by p = –x2 + 48x – 150. Can the league raise $400?
5(x + 1)2 – 3 = 0
Factoring
x2 + 10x – 5 = 0
Completing the square
x2 – 7x – 18 = 0
Using the quadratic formula
2.5x2 – 3x – 3 = 0
Taking the square root
2
REVISIÓN GENERAL CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: LA FÓRMULA CUADRÁTICA
ACELERACIÓN: ¿QUÉ QUÉ PREFERIRÍAS? The Quadratic Formula
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
¿QUÉ QUÉ PREFERIRÍAS?: PARTIDO DE FÚTBOL
Soccer Match Use mathematical reasoning and creativity to justify your answer to the Would You Rather question. Penelope, in the middle of her soccer match, needs to decide how to pass the ball to the next player. She has practiced and is very good at kicking the ball in two different pathways. Her kick pathways can be modeled by the functions y1 = −0.5x2 + 2.5x – 2 and y2 = −3x2 + 21x – 18. If you were Penelope, according to which formula would you rather kick the ball given the layout of the field below? Justify your reasoning with mathematics.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes usan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 guía de evaluación (por maestro)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno.
The following statements are sample answers: I would prefer to kick the ball according to y1 because the zero of that quadratic is at 4, and the player at that location isn’t surrounded by other players. This would mean a kick that would be less likely to be taken away by the other team.
• Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
I would prefer to kick the ball according to y2 because the zero of that quadratic is at 6, and the player at that location is closest to the goal. That player could then potentially score.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 1
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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2. Anímelos a mirar sus folletos de «Explorar» si necesitan repasar habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros. 4. Utilice la guía de evaluación proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
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ÁLGEBRA 1: LA FÓRMULA CUADRÁTICA
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES The Quadratic Formula
OPCIONES PARA EL APRENDIZAJE CONTINUO
TABLERO DE OPCIONES DESCRIPCIÓN Los estudiantes explorarán las conexiones con el mundo real y las aplicaciones del contenido matemático a través de interacciones con actividades atractivas.
MATERIALES IMPRESO
• 1 tablero de opciones (por estudiante) • 1 juego de hojas de actividades (por estudiante) • 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante) REUTILIZABLE
• Tecnología (si corresponde)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Tablero de opciones» y un juego de hojas de actividades para cada estudiante.
The Quadratic Formula Choose one or more extension activities from the table below. Career Connection
Science Connection
Health Informatics Specialist
Equivalent Resistance
Research the career field of a health informatics specialist. Your research must answer the provided questions. Create a presentation to relay your research to the class.
Explore the connection between math and science by solving quadratic equations that arise from experiments with electrical circuits.
Geometry Connection
Kitchen Connection
Equal Garden Plots
Bakery Cakes
Divide a trapezoid into two equal areas by solving a quadratic equation.
Planning what size cakes to make can mean solving a quadratic equation. Read the scenario, and answer the questions on the handout.
Mathematician Spotlight
Technology Connection
Simon Stevin
Search for several news articles or research papers that involve Simon Stevin’s work. Create an informational poster, a diorama, or a speech to convey this mathematician’s work as it relates to the quadratic formula.
Real Solutions
Use technology to verify the number of real solutions predicted by the discriminant of a quadratic function.
• Imprima una «Autoevaluación del tablero» para cada estudiante. • Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
TABLERO DE OPCIONES
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» a cada estudiante. 2. Dé tiempo a los estudiantes para examinar el «Tablero de opciones» y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anímelos a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del tablero, haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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ÁLGEBRA 1: LA FÓRMULA CUADRÁTICA
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<<GRADE>> ESTADÍSTICAS
ÁLGEBRA 1
ESTADÍSTICAS ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: SIEMPRE, A VECES, NUNCA Los estudiantes participan en la actividad «Siempre, a veces, nunca» para evaluar la veracidad de enunciados matemáticos, con el objetivo de identificar y abordar conceptos erróneos.
ESTÁNDARES CLAVE Resumir, representar e interpretar datos sobre una única variable de recuento o medición. • Representar datos con gráficos sobre la recta numérica real (gráficos de puntos, histogramas y gráficos de caja). • Utilizar estadísticas adecuadas a la forma de la distribución de datos para comparar el centro (mediana, media) y la dispersión (rango intercuartil, desviación estándar) de dos o más conjuntos de datos diferentes. • Interpretar las diferencias en la forma, el centro y la dispersión en el contexto de los conjuntos de datos, teniendo en cuenta los posibles efectos de los puntos de datos extremos (valores atípicos). Resumir, representar e interpretar datos sobre dos variables categóricas y cuantitativas. • Resumir datos categóricos para dos categorías en Tablas de frecuencia de doble entrada. Interpretar frecuencias relativas en el contexto de los datos (incluyendo frecuencias relativas conjuntas, marginales y condicionales). Reconocer posibles asociaciones y tendencias en los datos.
• Distribuya y explique a los estudiantes el uso de las tarjetas «Siempre, a veces, nunca». • Presente enunciados para que los estudiantes los evalúen y determinen su veracidad. • Facilite debates en los que los estudiantes justifiquen sus respuestas ante sus compañeros y la clase. • Anímelos a reescribir los enunciados para que sean más claros y precisos, especialmente en los casos de «A veces». CAPTAR INTERÉS Los estudiantes utilizarán el análisis estadístico para evaluar la razonabilidad de la compra de una casa identificando y comprendiendo los valores atípicos en los datos inmobiliarios. • Los estudiantes verán un video para introducir el escenario real de análisis de los precios de las casas en Hickory Lane. • Debatirán las observaciones iniciales y las preguntas sobre los datos, centrándose en la identificación de posibles valores atípicos. • Los estudiantes realizarán actividades de la sección «Explorar» para profundizar en su comprensión de medidas estadísticas como la media, la mediana y el rango intercuartil.
ACTIVIDADES DE EXPLORACIÓN EXPLORACIÓN 1: FORMA DE LOS DATOS Los estudiantes representarán y analizarán datos en rectas numéricas para determinar la mejor medida de centro y variabilidad. • Los estudiantes trabajarán en grupos para analizar datos de la clase usando varias representaciones de datos. • Los estudiantes identificarán y describirán la forma de los datos en gráficos de puntos y diagramas de caja. • Los estudiantes calcularán y compararán medidas de centro y variabilidad. • Los estudiantes participarán en charlas matemáticas para debatir observaciones y conclusiones. EXPLORACIÓN 2: DESVIACIÓN ESTÁNDAR Los estudiantes participarán en una actividad práctica para calcular y analizar la desviación estándar, explorando su relación con la media y el impacto de las alteraciones de datos en estas medidas estadísticas. • Los estudiantes trabajarán en grupos para analizar gráficos de datos y calcular la media y la desviación estándar, registrando sus hallazgos en sus «Diarios del estudiante». • Los estudiantes participarán en una actividad de tiro al cubo de basura para recolectar datos, calcular la media y la desviación estándar de su grupo y comparar los resultados con la clase. • Los estudiantes participarán en charlas matemáticas para debatir sus observaciones y comprensión de la desviación estándar y sus implicaciones en la dispersión de datos. EXPLORACIÓN 3: VALORES ATÍPICOS Los estudiantes usarán la regel IQR - 1.5 para identificar valores atípicos, analizar su impacto en los datos y decidir cuándo incluirlos en el análisis. • Los estudiantes calcularán valores atípicos usando la regel IQR - 1.5 y registrarán sus hallazgos y registrarán sus resultados. • Los estudiantes compararán gráficos para evaluar el impacto de los valores atípicos en las medidas de centro y variabilidad. • Los estudiantes debatirán y justificarán la inclusión o exclusión de valores atípicos basándose en su origen y autenticidad. EXPLORACIÓN 4: TABLAS DE FRECUENCIA DE DOBLE ENTRADA Los estudiantes explorarán y analizarán datos categóricos utilizando tablas de frecuencia de doble entrada para comprender las frecuencias conjuntas y marginales y sus aplicaciones. • Los estudiantes colaborarán en grupos para organizar y representar datos de encuestas en tablas de frecuencia de doble entrada, centrándose en las frecuencias conjuntas y marginales. • Interpretarán los datos para crear representaciones lógicas y debatirán sus conclusiones en un charla de matemáticas. • Los estudiantes calcularán frecuencias relativas conjuntas y marginales, convirtiéndolas en porcentajes para mejorar su comprensión de las relaciones entre los datos. EXPLORACIÓN 5: PROBABILIDAD CONDICIONAL Los estudiantes crearán e interpretarán tablas de frecuencias relativas para analizar asociaciones entre dos categorías usando probabilidades condicionales. • Los estudiantes calcularán y registrarán frecuencias relativas conjuntas y marginales en sus «Diarios del estudiante». • Los estudiantes explorarán y determinarán asociaciones entre categorías usando frecuencias relativas condicionales. • Los estudiantes completarán un «Boleto de salida» para demostrar su comprensión de los conceptos aprendidos.
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS ESTADÍSTICAS <<GRADE>>
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES INVESTIGAR FUNCIONES
MODELAR CON FUNCIONES
INVESTIGAR DATOS
CONCEPTOS CLAVE
PREGUNTAS FUNDAMENTALES
• Puedo construir diagramas de puntos, histogramas y diagramas de cajas para representar datos.
• ¿Cómo puedo determinar qué representación es la mejor para un conjunto de datos?
• Puedo describir una situación utilizando la medida apropiada de centro y dispersión.
• ¿Cómo afectan los valores atípicos a la forma, el centro y la dispersión?
• Puedo identificar valores atípicos y sus efectos en los datos.
• ¿Cómo se identifican los valores atípicos?
• Puedo comparar dos o más conjuntos de datos diferentes utilizando el centro y la dispersión de cada uno. • Puedo interpretar diferencias en forma, centro y dispersión en el contexto de conjuntos de datos.
• ¿Qué pueden determinar las frecuencias relativas de los datos? • ¿Qué información puede determinarse a partir de cada tipo de gráfico?
• Puedo crear una tabla de frecuencias de doble entrada a partir de dos variables categóricas. • Puedo interpretar frecuencias relativas en contexto.
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
CONTENIDOS DE APOYO Resumir, representar e interpretar datos sobre una única variable de recuento o medición. • Representar datos con gráficos sobre la recta numérica real (gráficos de puntos, histogramas y gráficos de caja). • Utilizar estadísticas adecuadas a la forma de la distribución de datos para comparar el centro (mediana, media) y la dispersión (rango intercuartil, desviación estándar) de dos o más conjuntos de datos diferentes. • Interpretar las diferencias en la forma, el centro y la dispersión en el contexto de los conjuntos de datos, teniendo en cuenta los posibles efectos de los puntos de datos extremos (valores atípicos). Resumir, representar e interpretar datos sobre dos variables categóricas y cuantitativas. • Resumir datos categóricos para dos categorías en tablas de frecuencia de doble entrada. Interpretar frecuencias relativas en el contexto de los datos (incluyendo frecuencias relativas conjuntas, marginales y condicionales). Reconocer posibles asociaciones y tendencias en los datos.
CONOCIMIENTOS PREVIOS En grados anteriores, los estudiantes resumieron y describieron distribuciones, relacionando la elección de medidas de centro y variabilidad con la forma de la distribución de los datos y el contexto en el que se recogieron los datos. Los estudiantes han realizado inferencias comparativas informales sobre dos poblaciones. Los estudiantes han comprendido que un conjunto de datos recogidos para responder a una pregunta estadística tiene una distribución que puede describirse por su centro, dispersión y forma general. Los estudiantes han reconocido que una medida de centro para un conjunto de datos numéricos resume todos sus valores con un único número, mientras que una medida de variación describe cómo varían sus valores con un único número. Los estudiantes han construido e interpretado una tabla de doble entrada que resume datos sobre dos variables categóricas recogidos de los mismos sujetos y han utilizado frecuencias relativas calculadas para filas o columnas para describir la posible asociación entre las dos variables.
CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
• Aunque los estudiantes hayan utilizado gran parte del vocabulario de este alcance en cursos anteriores, todavía pueden confundir fácilmente términos que tienen significados similares. Cuando los estudiantes realicen su trabajo, anímeles a utilizar términos matemáticos para explicar su pensamiento y ayúdeles a utilizar el vocabulario correcto. • A menudo, los estudiantes utilizan incorrectamente la palabra valor atípico . El uso de términos como característica inusual o punto de datos atenúa este problema. • Los estudiantes pueden necesitar ayuda para recordar cómo crear y calcular proporciones antes de abordar las frecuencias relativas conjuntas, marginales y condicionales.
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ALCANCE ACTUAL En este grado, los estudiantes ampliarán su comprensión de los gráficos de puntos, gráficos de caja e histogramas. Utilizarán sus habilidades previas para representar datos en una variedad de formas y explorar las diferentes características que posee cada representación de datos. Las características incluyen, entre otras, las medidas exactas del centro y la dispersión, los estadísticos de resumen, la dispersión y la asimetría. Los estudiantes desarrollarán una comprensión de las similitudes, fortalezas y debilidades de cada representación de datos en su contexto. Los estudiantes ampliarán su comprensión de la desviación media absoluta a la desviación estándar y la desviación estándar de las distribuciones. TÉRMINOS CLAVE • datos: una colección de hechos organizados, usualmente en forma numérica, palabras, medidas o descripciones. • gráfico: para indicar la posición en que se encuentra un número con respecto a cero en una recta numérica o con respecto al origen en un plano de coordenadas. • gráfico de puntos: un método de representación visual de una distribución de valores de datos en el que cada valor de datos se muestra como un punto o marca sobre una recta numérica. • histograma: un tipo especial de gráfico de barras con intervalos numéricos como etiquetas. • diagrama de caja: diagrama que muestra el resumen de cinco números de una distribución. • estadística: estudio de los datos y recopilación, organización, representación e interpretación de los datos. • distribución: lista de todos los valores posibles de los datos y frecuencia con que se producen. • mediana: el número medio de un conjunto de números cuando los números están ordenados de menor a mayor, o la media de los dos números medios cuando el conjunto tiene dos números medios. • media: media de un conjunto de números calculada mediante la suma de todos los datos y dividida por el número de valores de los datos. • rango intercuartil (iqr): diferencia entre el cuartil superior (q3) y el cuartil inferior (q1). • desviación estándar: una medida de la dispersión de los números; se calcula hallando la raíz cuadrada de la varianza. • conjunto de datos: una colección de hechos organizados, normalmente en forma numérica, pero también puede darse en palabras, medidas o descripciones. • forma: descripción del tipo de gráfico observado, como simétrico, de picos, sesgado o uniforme. • centro: se refiere a las medidas del centro en la recopilación de datos. • dispersión: medida de la distancia que separa los números de un conjunto de datos de la media o la mediana; incluye los tipos de uso común rango y cuartiles; también se conoce como medidas de variación o dispersión. • valor atípico: número de un conjunto de datos que es mucho mayor o menor que otros números del conjunto.
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO
• datos categóricos: tipo de datos que pueden dividirse en grupos. • tabla de frecuencias: tabla que enumera los resultados y el número de veces que se producen. • frecuencia relativa: frecuencia con la que se produce un número en un conjunto de datos dividida por el número total de resultados. • asociación: la forma (lineal/no lineal), la dirección (positiva/ negativa/ninguna) y la fuerza (débil/moderada/fuerte) que se observa entre dos variables en un diagrama de dispersión. • tendencia: la dirección general que parecen seguir los puntos de datos.
APLICAR LAS PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes crean tablas de frecuencias relativas para analizar y organizar datos dados y utilizan las frecuencias relativas para comprender mejor los datos y generalizar sobre el contexto. • MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes colocan valores de un contexto dado en una tabla de dos direcciones para crear una tabla de frecuencias relativas y utilizan los valores para generalizar sobre el contexto. • MP.3 Construir argumentos viables y analizar el razonamiento de otros: Los estudiantes analizan el razonamiento de otros cuando describen el efecto de los valores atípicos en el rango intercuartil (IQR) y la desviación estándar y utilizan evidencia matemática para apoyar sus argumentos sobre cómo cambian el IQR y la desviación estándar. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes usan tablas y gráficos para modelar datos de escenarios del mundo real, analizan las características de los datos y luego los usan para hacer generalizaciones. • MP.5 Usar herramientas apropiadas estratégicamente: Los estudiantes utilizan tablas y gráficos para organizar los datos de dos maneras y luego comparan las representaciones para mayor claridad y eficacia. • MP.6 Prestar atención a la precisión: Los estudiantes prestan atención a la precisión cuando utilizan porcentajes de probabilidad condicional para generalizar sobre un escenario. • MP.7 Buscar y hacer uso de la estructura: Los estudiantes analizan datos para determinar qué representación, una tabla de frecuencias o un gráfico de barras, ofrece una imagen más clara de un conjunto de datos basándose en su comprensión de la estructura de cada representación. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes generalizan sobre la forma de los datos en relación con su media y mediana y descubren que cuando los valores de la media y la mediana están próximos, los datos son simétricos, y cuando los valores no son similares, los datos están sesgados.
CENTRO Y DISPERSIÓN Los estudiantes practicarán el cálculo de la media, la mediana, la moda, el rango y el IQR a partir de conjuntos de datos mostrados en diversos gráficos o listas. Dado que los estudiantes ya han aprendido estrategias para completar estos cálculos, el enfoque en álgebra 1 es sobre qué información es proporcionada por las diferentes estadísticas y cuándo cada una es útil. Proporcione a los estudiantes oportunidades para experimentar cómo los valores atípicos afectan a las diferentes medidas estadísticas. La visualización de datos en gráficos de caja, histogramas y gráficos de puntos proporciona un buen repaso para los estudiantes antes de un análisis más profundo más adelante. Los estudiantes también examinarán datos sesgados. Ejemplo de «Parte 1»: «Dado el conjunto de puntuaciones del último examen de geografía del Sr. Calhoun, halla la media y la mediana. ¿Sería la media o la mediana una mejor medida del centro para este conjunto de datos?». 96, 99, 68, 94, 77, 70, 88, 86, 90, 93 La media es 86.1, y la mediana es 89. Las medidas están bastante próximas entre sí, por lo que la media y la mediana son iguales. Las medidas están bastante próximas entre sí, por lo que cualquiera de ellas sería una medida decente. Ejemplo «Parte 2»: «Un estudiante que estuvo ausente hizo el examen unos días más tarde. Su puntuación de 42 se añadió a la lista de la clase. ¿Cómo afecta esta nueva puntuación a la media y a la mediana?». La nueva media es ~82.1, y la nueva mediana es 88. La media disminuyó significativamente debido a la ausencia de un estudiante. La media ha disminuido significativamente debido al dato atípico de 42. La mediana apenas se ha visto afectada. La mediana apenas se ve afectada. Ahora, la mediana sería la mejor medida del centro para los puntajes de la prueba.
DESVIACIÓN ESTÁNDAR Los estudiantes se basarán en las experiencias con la desviación media absoluta para calcular la desviación estándar. la desviación estándar es una medida de cuánto varía un conjunto de datos. Antes de utilizar la fórmula, los estudiantes deben comprender que la desviación estándar indica si un valor de datos es normal o un valor atípico. Los datos sesgados a la izquierda o a la derecha también se tratarán aquí. Utilice ejemplos del mundo real para dar significado a los datos sesgados. Los pasos para calcular la desviación estándar son los siguientes: 1. Calcula la media. 2. Resta la media de cada punto de datos. 3. Eleva al cuadrado cada diferencia. 4. Encuentra la media de las diferencias elevadas al cuadrado. 5. Calcula la raíz cuadrada.
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Ejemplo: Calcula la desviación estándar de cada diagrama de puntos. «¿Qué conclusiones se pueden sacar sobre la Desviación estándar?».
Desviación estándar ≃ 2.87
Desviación estándar ≃ 14.14
COMPARACIÓN DE REPRESENTACIONES Los estudiantes compararán conjuntos de datos representados mediante gráficos de puntos apilados, histogramas y gráficos de caja. Es necesario realizar análisis y cálculos de medidas de centro y dispersión. Los estudiantes compararán y contrastarán un par de gráficos y resolverán problemas utilizando la distribución de datos. Los estudiantes calcularán la media, la desviación estándar, la mediana y el IQR para sacar conclusiones sobre las características de los datos que mejor se adaptan a ciertas medidas. Los conjuntos de datos sin valores atípicos se representan mejor mediante la media y la desviación estándar. Los conjuntos de datos con valores atípicos se representan mejor con la mediana y el IQR. Ejemplo: Jaro ha decidido correr una media maratón a finales de diciembre. Ha registrado los minutos que ha corrido cada día durante los meses de septiembre y noviembre y, a continuación, ha creado gráficos de caja para cada mes con el fin de evaluar su progreso. Los dos diagramas de caja se muestran a continuación.
Desviación estándar ≃ 0 Cuanto menor es la Desviación estándar, más cerca están los puntos de datos de la media. Cuanto mayor sea la Desviación estándar, más alejados estarán los datos de la media. Ejemplo: Tara ha recibido ofertas de trabajo como socorrista de verano en dos empresas diferentes. El salario medio por hora en ambas empresas es de $20. ¿Debería Tara aceptar el trabajo en la empresa A o en la empresa B? Utiliza la desviación estándar en tu explicación.
Recordando que hay 30 días en cada mes, septiembre y noviembre, ¿en qué mes pasó Jaro la mitad de los días corriendo entre 25 y 35 minutos?
Aunque las medias son iguales, la desviación estándar de la empresa A es 1 y la de la empresa B es ~5.05. Esto implica que todos los empleados de la empresa B son iguales. Esto implica que todos los empleados de la empresa A ganan más cerca de 20 dólares que los empleados de la empresa B.
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Jaro corrió entre 25 y 35 minutos en 15 días durante el mes de septiembre. Esto se determina entendiendo que la caja del diagrama de cajas representa el 50 % intercuartil de los datos.
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TABLAS DE FRECUENCIAS RELATIVAS DE DOBLE ENTRADA Los estudiantes describirán datos categóricos utilizando una Tablas de frecuencias relativas de doble entrada. Los estudiantes deben comprender que los datos categóricos pueden dividirse en grupos, y que la frecuencia de cada categoría se representa numéricamente en la tabla. Las frecuencias conjuntas se encuentran donde dos variables se cruzan en la tabla de frecuencias de doble entrada (las celdas azules en la muestra de abajo). Las frecuencias marginales se sitúan alrededor del borde de la tabla, normalmente los totales de los datos (las celdas naranjas en la muestra de abajo).
Según las conclusiones de Marco, ¿La lluvia afecta al estado de ánimo de los estudiantes? Utiliza las matemáticas para justificar tu respuesta.
Llueve
No llueve
Totales
Buen humor
22 = 0.40
42 = 0.65
64
Mal humor
33 = 0.60
23 = 0.35
56
Totales
55
65
120
Muestra de tabla de frecuencias relativas bidireccionales:
Ejemplo: Marco encuestó a los estudiantes de sus clases durante el mes de abril para determinar cómo afecta el mes lluvioso al estado de ánimo de sus compañeros. Documentó cómo los estudiantes informaban de su estado de ánimo en días lluviosos y en días no lluviosos. Sus resultados se muestran a continuación.
Después de calcular los porcentajes para la frecuencia conjunta, Marco puede determinar que el 60 % de los estudiantes estaban de mal humor los días de lluvia, lo que supone casi el doble del porcentaje de estudiantes que estaban de mal humor los días no lluviosos (~35 %). Basándose en estos datos, Marco puede concluir que los días de lluvia afectan negativamente al estado de ánimo de los estudiantes. Los estudiantes necesitan calcular porcentajes para comparar con precisión las frecuencias conjuntas.
AVANCES Llueve
No llueve
Totales
Buen humor
22
42
64
Mal humor
33
23
56
Totales
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En álgebra 2, los estudiantes utilizarán la media y la desviación estándar de un conjunto de datos para ajustarlos a una distribución normal y estimar porcentajes de población. Los estudiantes aplicarán la regla empírica para distribuciones de datos y explorarán la curva de campana.
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
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ANÁLISIS PROFUNDO DE LOS ESTÁNDARES
CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES Resumir, representar e interpretar datos sobre una sola variable de conteo o medición. • Representar datos con gráficos sobre la recta numérica real (gráficos de puntos, histogramas y gráficos de caja). • Utilizar estadísticas apropiadas a la forma de la distribución de datos para comparar el centro (mediana, media) y la dispersión (rango intercuartil, desviación estándar) de dos o más conjuntos de datos diferentes. • Interpretar las diferencias en la forma, el centro y la dispersión en el contexto de los conjuntos de datos, teniendo en cuenta los posibles efectos de los puntos de datos extremos (valores atípicos). Resumir, representar e interpretar datos sobre dos variables categóricas y cuantitativas. • Resumir datos categóricos para dos categorías en tablas de frecuencia de dos direcciones. Interpretar frecuencias relativas en el contexto de los datos (incluyendo frecuencias relativas conjuntas, marginales y condicionales). Reconocer posibles asociaciones y tendencias en los datos.
DESGLOSAR EL ESTÁNDAR VERBOS: ¿QUÉ DEBERÍAN HACER LOS ESTUDIANTES?
• resumir: expresar una idea concisa de la naturaleza o el carácter de alguien o algo. • representar: mostrar cómo se relacionan los términos; representar otra cosa. • interpretar: explicar el significado de • utilizar: aplicar una estrategia • comparar: observar las semejanzas y diferencias entre las cosas. • reconocer: ver y comprender SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBEN CONOCER LOS ESTUDIANTES?
• datos: una colección de hechos organizados, normalmente en forma numérica, palabras, medidas o descripciones.
• estadística: estudio de los datos y recopilación, organización, representación e interpretación de los datos. • distribución: lista de todos los valores posibles de los datos y frecuencia con que se producen. • mediana: el número medio de un conjunto de números cuando los números están ordenados de menor a mayor, o la media de los dos números medios cuando el conjunto tiene dos números medios. • media: media de un conjunto de números calculada mediante la suma de todos los datos y dividida por el número de valores de datos. • rango intercuartil (IQR): diferencia entre el cuartil superior (Q3) y el cuartil inferior (Q1). • Desviación estándar: medida de la dispersión de los números; se calcula hallando la raíz cuadrada de la varianza. • conjunto de datos: conjunto de hechos organizados, normalmente en forma numérica, pero que también pueden presentarse en palabras, medidas o descripciones. • forma: descripción del tipo de gráfico observado, como simétrico, de picos, sesgado o uniforme. • centro: se refiere a las medidas del centro en la recopilación de datos. • dispersión: medida de la distancia que separa los números de un conjunto de datos de la media o la mediana; incluye los tipos de uso común rango y cuartiles; también se conoce como medidas de variación o dispersión. • valor atípico: número de un conjunto de datos que es mucho mayor o menor que otros números del conjunto. • datos categóricos: tipo de datos que pueden dividirse en grupos. • tabla de frecuencias: tabla que enumera los resultados y el número de veces que se producen.
• diagrama: para indicar la posición de un número respecto a cero en una recta numérica o respecto al origen en un plano de coordenadas.
• frecuencia relativa: frecuencia con la que se produce un número en un conjunto de datos dividida por el número total de resultados.
• números reales: cualquiera del conjunto de todos los números racionales e irracionales.
• asociación: la forma (lineal/no lineal), la dirección (positiva/negativa/ninguna) y la fuerza (débil/ moderada/fuerte) que se observa entre dos variables en un gráfico de dispersión.
• diagrama de puntos: método de representación visual de una distribución de valores de datos en el que cada valor de datos se muestra como un punto o marca sobre una recta numérica.
• tendencia: la dirección general que parecen seguir los puntos de datos.
• histograma: tipo especial de gráfico de barras con intervalos numéricos como etiquetas. • diagrama de caja: diagrama que muestra el resumen de cinco números de una distribución.
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IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA
• En cursos anteriores, los estudiantes resumieron y describieron distribuciones, relacionando la elección de medidas de centro y variabilidad con la forma de la distribución de los datos y el contexto en el que se recogieron. Los estudiantes hicieron inferencias comparativas informales sobre dos poblaciones. Los estudiantes comprendieron que un conjunto de datos recogidos para responder a una pregunta estadística tiene una distribución que puede describirse por su centro, dispersión y forma general. Los estudiantes reconocieron que una medida de centro para un conjunto de datos numéricos resume todos sus valores con un único número, mientras que una medida de variación describe cómo varían sus valores con un único número. Los estudiantes construyeron e interpretaron una tabla de doble entrada que resumía datos sobre dos variables categóricas recogidos de los mismos sujetos y utilizaron frecuencias relativas calculadas para filas o columnas para describir una posible asociación entre las dos variables. • En este nivel de grado, los estudiantes ampliarán su comprensión de los gráficos de puntos, gráficos de cajas e histogramas. Utilizarán sus habilidades previas para representar datos de varias maneras y explorar las diferentes características que posee cada representación de datos. Las características incluyen, entre otras, medidas exactas del centro y la dispersión, estadísticas de resumen, dispersión y asimetría. Los estudiantes desarrollarán una comprensión de las similitudes, fortalezas y debilidades de cada representación de datos en su contexto. Los estudiantes ampliarán su comprensión de la desviación media absoluta a la desviación estándar y la desviación estándar de las distribuciones. • Los estudiantes deben ser capaces de describir la distribución en términos de forma, centro, dispersión y características inusuales. Los estudiantes deben ser capaces de identificar diferentes formas y sus características de centro, forma y dispersión. Los estudiantes deben ser capaces de determinar y explicar las medidas apropiadas de centro y dispersión dadas ciertas características de distribución. Los estudiantes deben ser capaces de utilizar e interpretar las frecuencias relativas. • En los ejemplos que los estudiantes utilicen, las formas en que los conjuntos de datos están sesgados y las causas de esas distribuciones deben variar para dar a los estudiantes la experiencia de trabajar con muchas formas y distribuciones de datos diferentes. • Aunque los estudiantes hayan utilizado gran parte del vocabulario de este alcance en cursos anteriores, es posible que confundan fácilmente términos que tienen significados similares. Cuando los estudiantes realicen su trabajo, anímeles a utilizar términos matemáticos para explicar su pensamiento y ayúdeles a utilizar los términos correctos. Los estudiantes suelen utilizar la palabra valor atípico de forma incorrecta. Utilizar términos como característica inusual o punto de datos reduce este problema. • Los estudiantes pueden necesitar ayuda para recordar cómo crear y calcular proporciones antes de abordar las frecuencias relativas conjuntas, marginales y condicionales.
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ALINEACIÓN VERTICAL GRADO
ESTÁNDAR Reconocer una pregunta estadística como aquella que anticipa variabilidad en los datos relacionados con la pregunta y la tiene en cuenta en las respuestas. Por ejemplo, «¿Qué edad tengo?» no es una pregunta estadística, pero «¿Qué edad tienen los estudiantes de mi escuela?» es una pregunta estadística porque se anticipa la variabilidad en las edades de los estudiantes. Comprender que un conjunto de datos recolectados para responder una pregunta estadística tiene una distribución que puede describirse por su centro, dispersión y forma general. Reconocer que una medida de centro para un conjunto de datos numéricos resume todos sus valores con un solo número, mientras que una medida de variación describe cómo varían sus valores con un solo número.
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Representar datos numéricos en gráficos sobre una recta numérica, incluyendo gráficos de puntos, histogramas y gráficos de caja. Resumir conjuntos de datos numéricos en relación con su contexto, por ejemplo: a
Informar del número de observaciones.
b
Describir la naturaleza del atributo investigado, incluyendo cómo se midió y sus unidades de medida.
c
Dar medidas cuantitativas del centro (mediana y/o media) y la variabilidad (rango intercuartil y/o desviación media absoluta), así como describir cualquier patrón general y cualquier desviación llamativa del patrón general con referencia al contexto en el que se recogieron los datos.
d
Relacionar la elección de las medidas del centro y la variabilidad con la forma de la distribución de los datos y el contexto en el que se recogieron los datos.
Comprender que la estadística puede utilizarse para obtener información sobre una población examinando una muestra de las poblaciones; las generalizaciones sobre una población a partir de una muestra sólo son válidas si la muestra es representativa de esa población. Comprender que el muestreo aleatorio tiende a producir muestras representativas y a apoyar inferencias válidas. Utilizar datos de una muestra aleatoria para hacer inferencias sobre una población con una característica de interés desconocida. Generar múltiples muestras (o muestras simuladas) del mismo tamaño para calibrar la variación en las estimaciones o predicciones. Por ejemplo, estimar la longitud media de las palabras de un libro mediante un muestreo aleatorio de palabras del libro; predecir el ganador de unas elecciones escolares basándose en datos de una encuesta muestreados aleatoriamente. Evaluar lo lejos que puede estar la estimación o predicción. 7
Evaluar informalmente el grado de superposición visual de dos distribuciones de datos numéricos con variabilidades similares, midiendo la diferencia entre los centros expresándola como múltiplo de una medida de variabilidad. Por ejemplo, la estatura media de los jugadores del equipo de básquetbol es 10 cm mayor que la estatura media de los jugadores del equipo de fútbol, aproximadamente el doble de la variabilidad (desviación media absoluta) en cualquiera de los dos equipos; en un gráfico de puntos, la separación entre las dos distribuciones de estaturas es notable. Utilizar medidas de centro y medidas de variabilidad para datos numéricos de muestras aleatorias para hacer inferencias comparativas informales sobre dos poblaciones. Por ejemplo, decidir si las palabras en un capítulo de un libro de ciencias de séptimo grado son generalmente más largas que las palabras en un capítulo de un libro de ciencias de cuarto grado.
8
Comprender que los patrones de asociación también se pueden ver en datos categóricos bivariados mostrando frecuencias y frecuencias relativas en una tabla de doble entrada. Construir e interpretar una tabla de doble entrada que resuma datos sobre dos variables categóricas recogidos de los mismos sujetos. Utilice las frecuencias relativas calculadas para filas o columnas para describir la posible asociación entre las dos variables. Por ejemplo, recoje datos de los estudiantes de tu clase sobre si tienen o no toque de queda en las noches de colegio y si tienen o no tareas asignadas en casa. ¿Existe evidencia de que aquellos que tienen toque de queda también tienden a tener tareas? Representar datos con gráficos en la recta numérica real (gráficos de puntos, histogramas y gráficos de caja). Utilizar estadísticas apropiadas a la forma de la distribución de datos para comparar el centro (mediana, media) y la dispersión (rango intercuartil, desviación estándar) de dos o más conjuntos de datos diferentes.
Álgebra
Interpretar las diferencias en la forma, el centro y la dispersión en el contexto de los conjuntos de datos, teniendo en cuenta los posibles efectos de los puntos de datos extremos (valores atípicos). Resumir datos categóricos para dos categorías en tablas de frecuencia de doble entrada. Interpretar frecuencias relativas en el contexto de los datos (incluyendo frecuencias relativas conjuntas, marginales y condicionales). Reconocer posibles asociaciones y tendencias en los datos. Resumir, representar e interpretar datos de un solo conteo o variable de medición.
Álgebra 2
a
Utilizar la media y la desviación estándar de un conjunto de datos para ajustarlos a una distribución normal y estimar porcentajes poblacionales. Reconocer que hay conjuntos de datos para los que tal procedimiento no es apropiado. Utilizar calculadoras, hojas de cálculo y tablas para estimar áreas bajo la curva normal.
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA MONITOREAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA La guía de instrucción andamiada se proporciona para que los maestros puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones del alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que ayuda a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de la evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos según los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere que todos los estudiantes experimenten con los elementos: «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades», ya que cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar. 0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
80 % - 100 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil pueden trabajar en contenido de nivel de grado con apoyos de instrucción.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» individual para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 2. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante de acuerdo con sus datos de evaluación. 3. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la sección «Scaffolded Instruction Guide» en el menú desplegable «Home» del alcance. 4. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
6 - Representar e interpretar datos
Repaso y práctica de habilidades
Repaso y práctica de habilidades
Constructor de fluidez
Constructor de fluidez
Prueba de habilidades 6 - Resumir datos numéricos Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez
0 % - 25 %
• ¡Corregir el error!
• Concentración Práctica interactiva
(Refuerzo del grado anterior)
6 - Representar e interpretar datos (Refuerzo del grado anterior)
Utilizar estadísticas apropiadas a la forma de la distribución de datos para comparar el centro (mediana, media) y la dispersión (rango intercuartil, desviación estándar) de dos o más conjuntos de datos diferentes.
0 % - 25 %
Representar datos con gráficos en la recta numérica real (gráficos de puntos, histogramas y gráficos de caja).
• ¡Corregir el error! Prueba de habilidades 6 - Resumir datos numéricos Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Concentración Práctica interactiva
• Histolocks
• Histolocks
Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales
(Nivel de grado con apoyos)
Alg.I - Estadísticas
Prueba de habilidades
25 % - 50 %
25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyos)
Prueba de habilidades
Alg.I - Estadística Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (Pregunta 3) • Repaso (sección: Encuentra el centro y la forma de los datos, sección: Comprende y evalúa la desviación estándar) • Revisión (Pregunta 3)
Vocabulario ilustrado
• ¡Corregir el error!
80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
Ciencia de datos
Alg.I - Estadísticas Tablero de opciones
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Alg.I - Estadísticas
(Nivel de grado)
Constructor de fluidez
80 % - 100 %
Libreta interactiva
50 % - 80 %
Vocabulario interactivo
Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva Constructor de fluidez • ¡Corregir el error!
(Ampliación del nivel de grado)
(Nivel de grado)
50 % - 80 %
Alg.I - Estadísticas
Alg.I - Estadísticas Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
6 - Resumir datos numéricos
Resumir datos categóricos para dos categorías en tablas de frecuencia de doble entrada. Interpretar frecuencias relativas en el contexto de los datos (incluyendo frecuencias relativas conjuntas, marginales y condicionales). Reconocer posibles asociaciones y tendencias en los datos.
Constructor de fluidez • Concentración Práctica interactiva • Histolocks Prueba de habilidades
0 % - 25 %
6 - Entender la variabilidad Repaso y práctica de habilidades
Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Repaso (sección: Encuentra el centro y la forma de los datos, sección: Comprende y evalúa la desviación estándar, sección: Determina los valores atípicos)
(Nivel de grado)
(Ampliación del nivel de grado)
50 % - 80 %
• Revisión (Preguntas 1-6)
Alg.I - Estadísticas
50 % - 80 %
• Revisión rápida (Preguntas 1, 2 y 4)
(Nivel de grado con apoyos)
Acceso a conocimientos previos
25 % - 50 %
Alg.I - Estadística
Vocabulario ilustrado
Repaso de habilidades y práctica Constructor de fluidez • ¡Bam! Prueba de habilidades
Alg.I - Estadística Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida(Pregunta 5) • Repaso (Cálculo de probabilidades relativas a partir de tablas de frecuencia de doble entrada) • Revisión general (Preguntas 7-10)
Alg.I - Estadística Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Constructor de fluidez • ¡Corregir el error!
Vocabulario interactivo Libreta interactiva Ciencia de datos
Alg.I - Estadísticas Tablero de opciones
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80 % - 100 %
(Nivel de grado con apoyos)
25 % - 50 %
Prueba de habilidades
(Nivel de grado)
• ¡Corregir el error!
80 % - 100 %
8 - Patrones en datos bivariados
Constructor de fluidez
(Ampliación del nivel de grado)
(Refuerzo del grado anterior)
0 % - 25 %
Repaso y práctica de habilidades
(Refuerzo del grado anterior)
Interpretar las diferencias de forma, centro y dispersión en el contexto de los conjuntos de datos, teniendo en cuenta los posibles efectos de los puntos de datos extremos (valores atípicos).
Alg.I - Estadística Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
ATRAER: ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS
EVALUAR PREVIAMENTE EL CONOCIMIENTO DEL ESTUDIANTE
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: SIEMPRE, A VECES, NUNCA ESTÁNDAR PREVIO Evaluar informalmente el grado de superposición visual de dos distribuciones de datos numéricos con variabilidades similares, midiendo la diferencia entre los centros expresándola como múltiplo de una medida de variabilidad.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes jugarán a «Siempre, a veces, nunca» para determinar si las afirmaciones o aseveraciones basadas en el estándar previo son algunas veces verdaderas, siempre verdaderas o nunca verdaderas. Este elemento está diseñado para descubrir los conceptos erróneos de los estudiantes; no debe tomarse para una calificación.
3. Después del tiempo de reflexión, los estudiantes muestran las tarjetas con sus respuestas y deben ser capaces de justificarlas. 4. Pida a los estudiantes que justifiquen sus respuestas ante un compañero de al lado o dentro de sus grupos. Elija voluntarios para que expliquen sus razonamientos a todo el grupo. En el caso de las afirmaciones «A veces», los estudiantes deben ser capaces de explicar cuándo son ciertas. Pregunte a los estudiantes cómo reescribirían los enunciados para que fueran siempre verdaderos o nunca verdaderos. 5. A continuación se ofrecen los enunciados de los escenarios y las respuestas: ◦ La moda de un conjunto de datos es el valor que se da con más frecuencia. A ◦ La mediana y la moda pueden ser la misma. S ◦ La media es el promedio. A ◦ La media puede ser la misma que la moda. S ◦ La desviación media absoluta (DMA) de un conjunto de datos es la distancia media entre cada valor de los datos y la media. A ◦ La mediana es la diferencia entre el número mayor de un conjunto de datos y el menor. N
MATERIALES IMPRESO • 1 copia de «Siempre, a veces, nunca» (por estudiante o por grupo)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de «Siempre, a veces, nunca» para cada estudiante o grupo. Tenga en cuenta que el documento impreso incluye una versión en color y otra en blanco y negro. Seleccione la versión que mejor se adapte a su clase. • Recorte un juego de tarjetas para cada estudiante o grupo. • Considere la posibilidad de plastificarlas para utilizarlas varias veces.
6. Si los estudiantes tienen dificultades para completar esta tarea, pase al «Constructor de bases fundamentales» con el fin de llenar este vacío en el conocimiento previo antes de pasar a otras partes del alcance.
IDENTIFICAR CONCEPTOS ERRÓNEOS
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya las tarjetas «Siempre, a veces, nunca» a los estudiantes. 2. Diga a los estudiantes que va a leerles/proyectarles una serie de afirmaciones y que ellos determinarán si cada afirmación es a veces cierta, siempre cierta o nunca cierta.
Statistics
◦ Un concepto erróneo puede ser que la media, la mediana y la moda nunca pueden ser el mismo número. Proporcione conjuntos de datos que contradigan esta idea. ◦ Los estudiantes suelen confundir los términos y sus significados. Proporcionar ejemplos contextuales es clave para fomentar la comprensión de los estudiantes.
Statistics
Statistics
Always, Sometimes, Never
Always, Sometimes, Never
● The mode of a set of data is the value which occurs most frequently.
ALWAYS
ALWAYS
● The median and mode can be the same. ● The mean is the average.
SOMETIMES
● The mean can be the same as the mode.
SOMETIMES
NEVER
● Mean absolute deviation (MAD) of a data set is the average distance between each data value and the mean.
NEVER 1
2
● The median is the difference between the largest number in a data set and the smallest number.
3
SIEMPRE, A VECES, NUNCA
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
ATRAER: CAPTAR INTERÉS Statistics
LECCIÓN MOTIVADORA
CAPTAR INTERÉS DESCRIPCIÓN
The listed sale price for each home on Hickory Lane is written next to the home.
Los estudiantes utilizarán la estadística para analizar una situación del mundo real.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 estadística (por clase) REUTILIZABLES ESTADÍSTICAS
PREPARACIÓN
• Planifique la proyección del video. • Prepárese para proyectar las «Estadísticas» para que las vea toda la clase. • Prepárese para presentar el escenario y animar a los estudiantes a pensar en cómo resolverlo. Prepárese para pasar a las actividades de «Exploración», regresando a la actividad de «Captar interés» con los conocimientos recién adquiridos después de que se hayan completado las «Exploraciones».
• 1 video de un fenómeno (por clase)
5. Explique que la familia Enríquez quiere una forma de determinar matemáticamente si alguno de los precios de venta son valores atípicos que no deberían incluirse en sus cálculos. Realice las siguientes preguntas: a.
DOK-1 «¿Por qué querría la familia eliminar los valores atípicos para su análisis?». Permita que los estudiantes compartan sus ideas. Las respuestas de los estudiantes variarán. Los valores atípicos cambiarían drásticamente el precio medio de venta. Los valores atípicos no representan con exactitud el precio de la casa en Hickory Lane.
b.
DOK-1 «¿Qué medidas estadísticas podrían ser útiles para determinar si el precio de venta es razonable?». Sería útil conocer la media, la mediana, el rango y la desviación media.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA
1. Presente esta actividad hacia el comienzo del alcance. La clase retomará la actividad y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades de «Explorar» correspondientes. 2. Explique la situación mientras muestra el video detrás de usted. «La familia Enríquez está considerando comprar una casa al final de Hickory Lane que tiene un precio de lista de 288K $ o 288,000 $. Antes de comprar la casa, la familia buscó el precio de venta más reciente de cada casa en la calle según los registros de la ciudad. Quieren analizar los valores de las otras casas para asegurarse de que están haciendo un buen negocio. La familia quiere saber si hay algún valor atípico que deban eliminar al realizar su análisis».
6. Complete las actividades de «Exploración». PARTE II : DESPUÉS DE EXPLORAR 1. Vuelva a mostrar el video del fenómeno y vuelva a plantear el problema. 2. Consulte la «Estadística» y comente las siguientes preguntas: a.
DOK-1 «¿Esta pregunta sobre los valores atípicos tiene más sentido después de las “Exploraciones”?». Sí, sé más sobre el impacto de los valores atípicos.
b.
DOK-1 «¿Qué estrategias utilizarías para encontrar valores atípicos?». Ordenaría los datos de menor a mayor y luego calcularía Q1, mediana y Q3. Encontraría el IQR y vería qué valores están 1,5 veces el IQR por encima de Q3 y por debajo de Q1.
c.
DOK-1 «¿Dónde están los valores atípicos en Hickory Lane? ¿Por qué crees que sus precios cayeron tan lejos del rango normal?». Tanto la casa con un precio de venta de 1 $ como la de 610 $ son valores atípicos en esta calle. La venta por 1 $ fue probablemente pasar la propiedad entre miembros de la familia. La casa que se vendió por 610K $ puede tener un patio mucho más grande o tener más dormitorios y baños que las otras casas de la calle.
d.
DOK-1 «¿Consideras que tienes una sólida comprensión de las estadísticas?». Las respuestas variarán según el éxito de los estudiantes durante la actividad y su nivel de confianza.
3. Proyecte la «Estadística». 4. Formule a los estudiantes las siguientes preguntas: «¿Qué observas? ¿Qué se preguntan? ¿Dónde puedes ver matemáticas en esta situación?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Observo que una casa se vendió por más de 600,000 dólares. Observo que una casa tenía un precio de venta de 1 $. Me pregunto en qué se diferencian cada una de las casas y propiedades. Me pregunto cómo han cambiado los precios en los últimos años. Me pregunto si sería útil determinar el precio medio o mediano de las viviendas.
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 1: FORMA DE LOS DATOS DESCRIPCIÓN Los estudiantes representarán datos en rectas numéricas. Los estudiantes utilizarán diversas representaciones de datos para analizar la forma de los datos y determinar la mejor medida del centro y la variabilidad.
ESTÁNDARES DE LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes interpretarán y comprenderán el sentido de un problema buscando puntos de partida y analizando lo que se les da. Los estudiantes planificarán un camino de solución en lugar de saltar a una solución. • MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes comprenderán el significado de las cantidades y serán flexibles en el uso de las operaciones y sus propiedades. Los estudiantes crearán representaciones lógicas de los problemas. Los estudiantes serán capaces de descontextualizar y contextualizar relaciones cuantitativas. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes representarán matemáticas para describir una situación ya sea con una ecuación o un diagrama e interpretarán los resultados de una situación matemática. Los estudiantes reflexionarán sobre si los resultados tienen sentido, posiblemente mejorando/revisando el modelo.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Divida la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» y un «Boleto de salida» para cada estudiante.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I : DATOS DE LA CLASE DE LA SRA. ORTEGA
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «La Sra. Ortega ha recopilado una serie de datos para su clase, algunos procedentes de encuestas a los estudiantes, otros de los resultados de los exámenes y otros de investigaciones externas. Ella espera que puedas ayudar a guiar a su clase para dar sentido a todo esto». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para analizar los datos de la clase de la Sra. Ortega.
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4. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientadoras para evaluar su comprensión: a.
DOK-2 «¿Cómo se compara tu hipótesis con la de un compañero?». Las respuestas variarán.
b.
DOK-1 «¿Cómo puedes saber si los datos están sesgados a la izquierda o a la derecha?». Los datos están sesgados hacia el lado de la «cola». La mayoría de los datos están en el lado opuesto del sesgo.
c.
DOK-2 «Compara cómo identificar la forma de los datos en el diagrama de caja y en el diagrama de puntos». En ambas, identificar dónde se encuentra la mayoría de los datos puede ayudarte a identificar la forma. En un gráfico de caja, sólo se puede determinar la mediana, pero en un gráfico de puntos se pueden identificar tanto la media como la mediana.
5. Concede a los estudiantes suficiente tiempo para completar la «Parte I» y responder a las preguntas que siguen. 6. Después de completar la «Parte I» , invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta el momento. CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-1 «¿Qué causa que un conjunto de datos esté sesgado?». Cuando hay más datos a la izquierda o a la derecha, los datos están sesgados. Cuando la media y la mediana son similares, los datos tienden a ser simétricos; si una es mayor que la otra, los datos tienden a ser sesgados. • DOK-1 «¿Cómo puedes identificar si los datos son simétricos o sesgados?». Si los datos son simétricos, los datos están distribuidos uniformemente, pero si están sesgados, hay más datos a la izquierda o a la derecha. • DOK-3 «Da un ejemplo de una situación que esté sesgada a la derecha». Las situaciones en las que los jóvenes participan mucho más a menudo estarían sesgadas a la derecha. • DOK-3 Da un ejemplo de una situación que sea uniforme. Las situaciones determinadas por la suerte o el azar serán uniformes. PARTE II : LA INVESTIGACIÓN DE LA CLASE DE LA SRA. ORTEGA CONTINUACIÓN
1. Lea la siguiente situación a la clase: «La Sra. Ortega decidió recopilar datos para ver cuánto tiempo pasan los estudiantes en sus teléfonos. Ustedes analizarán estos datos para explorar las relaciones. Cada compañero respondió a la pregunta: "En un día escolar normal, ¿Cuántas horas pasas con tu teléfono fuera de clase?”. Ayude a la clase de la Sra. Ortega a analizar los datos en los gráficos de puntos y de cajas, y a sacar conclusiones sobre las relaciones». 2. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para identificar la forma de los datos. Algunos de los gráficos tienen formas más singulares, por lo que deberán describir las formas lo mejor que puedan. 3. Señale a la clase que puede haber múltiples escenarios para un mismo gráfico y que deben trabajar juntos para pensar qué escenario tendría más sentido para crear esa forma de los datos.
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
Statistics Explore 1
Data Expert
The dot plot and box plot represent the same data for students in Mrs. Ortega’s class. Analyze Mrs. Ortega’s class data to make decisions about the center and spread of the data.
Mrs. Ortega showed her class many different representations of data that she took from class surveys and assessments. Your job is to describe the data in each set as best you can. Graph
Description of the Shape
Prediction of What Caused the Shape
There are two major peaks in this data set.
Two peaks could be caused by piglets and adult pigs being weighed at the same time.
Time per Day on Phones
Bimodal 1.
The data is clustered around the lower end, with a peak in the middle. Most of the grades were in the middle of the range.
A test students did poorly on, but a couple of people did well
The data is more heavily concentrated on the right, or higher side.
A quiz where almost everyone did well would cause a skew left.
Statistics Explore 1
Part II: Mrs. Ortega’s Class Research Continued
The mathematical descriptor for each data set is below.
Responses will vary.
Part I: Mrs. Ortega’s Class Data
Statistics Explore 1
2.
All of the values have Each lottery number is part of roughly the same height. the winning set about the same Each number range has number of times. won roughly the same number of times.
Bell-shaped/symmetric
Skewed left
Uniform
In the data that is labeled “skewed left,” is most of the data on the left or right side? Most of the data is on the right side.
1.
Mrs. Ortega’s Class
Describe the shape that you think the data would take in each of the scenarios below. a.
Ages of people who post on social media daily Skewed right
b.
Number of siblings of the people in the class Skewed right
c.
Heights of the girls in your school Bell-shaped/symmetric
d.
Ages of people at a Little League baseball game Bimodal
e.
Results when rolling a die Uniform
f.
Points the football team scores in each game Bell-shaped/symmetric
Complete the table to help you analyze Mrs. Ortega’s class data.
Mean
Fill in the blanks using the words mean and median.
1
Median
5.8
2.
Is the data skewed left, skewed right, or symmetrical? Explain how the shape is related to the mean and median. The data is skewed left. Explanations may vary. The data on the graph is not symmetrical as more data appears on the right, so the data is skewed left. The median is larger than the mean, so the data will be skewed left.
3.
Do you think it is easier to see the shape of the data from the dot plot or box plot? Answers will vary.
2
Statistics Explore 1
Driving Data
Lunch Data How much do you spend on lunch each day?
Shape: Skewed Right
Shape: Symmetrical
Mean: 6.6
Mean: 5
Median: 5
Median: 5.1
3
Statistics Explore 1
Reflect
Mrs. Ortega’s class collected and analyzed more data on two different topics. Use the data to confirm or revise your conclusion about the relationship between shape and mean or median.
How many miles do you drive to school each day?
6
The median is larger than the mean .
4.
Is the mean or median a better representation of the center of the lunch data? Explain using the shape of the graph to justify your position. Since the data was perfectly symmetrical, the mean and median were the same. Either would be a good representation of the center.
5.
How does the relationship between the mean and median relate to the shape of the data when the mean and median are similar? How does it relate when the mean is larger than the median? How does it relate when the mean is less than the median? ● The data is symmetrical when the mean and median are similar. ● When the mean is larger than the median, the data is skewed right. ● When the mean is less than the median, the data is skewed left.
1.
How does the shape of the data affect the mean and median? When data is not strongly skewed, the mean and median will be close in size.
2.
Explain the shape of data you would expect for the following types of mean and median. a.
The mean is less than the median. The data will be skewed left because more data will appear on the right.
b.
The mean and median are similar. The data will be symmetrical.
c.
The mean is greater than the median. The data will be skewed right because more data will appear on the left.
3.
If you knew the shape of a data set was symmetric, what would you know about the mean and median of the data set? The mean and median are similar.
4.
If you knew the shape of a data set was skewed right, what would you know about the mean and median? The mean is larger than the median.
5.
Create a scenario that would be bimodal. Answers will vary. Car accidents by age have peaks for young drivers and old drivers.
4
5
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Statistics Explore 1
4. A continuación, los estudiantes trabajarán juntos para describir los gráficos, predecir qué podría causar las formas y determinar las mejores medidas de centro y dispersión. Deberán registrar su trabajo en sus «Diarios del estudiante». 5. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientadoras para evaluar su comprensión: a.
DOK-1 «¿Cómo se calcula la media?». Se halla la suma de todos los valores de los datos y luego se la divide por cuántos valores hay.
b.
DOK-1 «¿Cómo calculas la mediana?». Se ordena los valores de los datos y se encuentra el valor medio. Si hay dos valores medios, se halla la media de esos valores.
c.
DOK-1 «¿La media indica el promedio o el medio de los datos? ¿Qué indica la mediana?». La media es el promedio, y la mediana es el valor medio.
d.
DOK-2 «Compara cómo identificar la forma de los datos en el diagrama de caja y en el diagrama de puntos». En ambas, identificar dónde se encuentra la mayoría de los datos puede ayudarte a identificar la forma. En un gráfico de caja, sólo se puede determinar la mediana, pero en un gráfico de puntos, se pueden identificar tanto la media como la mediana.
e.
DOK-2 «Compara la media y la mediana del histograma de la izquierda». La media es mayor que la mediana.
f.
DOK-2 «Compara la media y la mediana del histograma de la derecha». La media y la mediana son similares. Hay una diferencia de una décima.
g.
DOK-3 «Describe qué te dice la forma de los datos sobre la ubicación de la media y la mediana». Cuando hay más datos a la derecha, la mediana es mayor que la media. Cuando hay más datos a la izquierda, la mediana es menor que la media. Cuando los datos están distribuidos uniformemente, la media y la mediana son similares.
h.
DOK-3 «Describe cómo la forma de los datos afectará la elección de la mejor representación de la medida de variabilidad». Si los datos son asimétricos, se usará el IQR porque los datos no estarían distribuidos uniformemente. Cuando los datos son simétricos y están distribuidos uniformemente, la desviación estándar sería la mejor representación de la medida de variabilidad.
6. Permita a los estudiantes suficiente tiempo para completar la «Parte II» y contestar las preguntas que siguen. 7. Después de completar la «Parte II , invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje hasta el momento. CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-3 «Explique las diferencias entre los gráficos de caja y de puntos para encontrar la forma de los datos». En un gráfico de caja, identificar dónde se ubican los datos en la caja y la ubicación de la mediana puede ayudar a identificar la forma de los datos. En un gráfico de puntos, tanto la identificación de la ubicación de los datos como la media y la mediana pueden ayudar a identificar la forma de los datos. • DOK-2 «Describe cuándo preferirías tener un gráfico de caja, un gráfico de puntos o un histograma para la visualización de tus datos. Los tres te permiten ver cómo se extienden los datos y hacer predicciones relacionadas con la media y la mediana. Un gráfico de puntos y un histograma tienen la ventaja de mostrar todos los datos, por lo que se pueden calcular la media y la mediana.
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Shape of Data Exit Ticket 1.
2.
Match each box plot in the table to a description of the shape of the data listed below. A. Symmetric B. Skewed left C. Skewed right Match each box plot in the table to a description of the measures of center listed below. D. The mean and median are similar. E. The mean is greater than the median. F. The mean is less than the median. Box Plot
Description of Shape
Description of the Measures of Center
B
F
C
E
A
D
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
• DOK-2 «Los datos de la clase de la Sra. Ortega tenían una media y una mediana muy similares. ¿Cómo afectó esto a su elección de la mejor medida del centro?». Vi que los datos no estaban muy sesgados porque la media y la mediana estaban cerca. Elegí usar la mediana porque los datos estaban sesgados, y esa es la elección habitual cuando los datos están sesgados. • DOK-2 «Explique cómo la media y la mediana, que son las medidas del centro, afectan a la forma de los datos. Cuando hay más datos a la derecha, la mediana es mayor que la media. Cuando hay más datos a la izquierda, la mediana es menor que la media. Cuando los datos están distribuidos uniformemente, la media y la mediana son similares. • DOK-3 «Basándote en tu experiencia, predice cómo se vería una distribución bimodal cuando se grafica como un diagrama de puntos o un histograma. ¿Qué te dice el prefijo de distribución bimodal?». Bi- significa dos, como en «bicicleta», así que creo que habrá dos picos. • DOK-3 «Reflexionando sobre tu conocimiento de las formas de los datos, ¿Cómo predices que se vería una distribución uniforme cuando se grafica como un diagrama de puntos o histograma?». Conecta lo que la palabra uniforme significa para ayudar. En los deportes, un uniforme es el mismo para todo el equipo. Así que creo que la forma será la misma cantidad para cada valor de los datos. 8. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Statistics Part 1
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
Shape of Data
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez creado, haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva» .
Tomas was calculating how many more passes per game he completed in his senior year of football compared with his junior year. Examine the data below for each season, and complete the table.
APOYOS PEDAGÓGICOS
Junior Year
1. Es posible que los estudiantes no comprendan el significado de los datos sesgados. Anímelos a pensar en las encuestas y en lo que ocurre cuando se entrevista a un grupo de personas bastante similares junto con un par de personas que son diferentes. Los estudiantes también podrían considerar datos que surgen de forma natural, como una representación de las edades de los jugadores de videojuegos. 2. Es posible que los estudiantes necesiten repasar términos que vieron por última vez a principios de la escuela media, como media, mediana, moda y rango.
Senior Year
Mean
7
10
Median
6
10
Skewed Left, Right, or Symmetrical
Skewed right
Symmetrical
Best Representation of Center
Median
Mean or median
APOYOS LINGÜÍSTICOS La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Exploración». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo del lenguaje de los estudiantes. 1
Se proporcionará apoyos previos a la lectura (organizadores gráficos, diagramas de formas y vocabulario preenseñado) para ayudarlos en la comprensión de la lectura. Statistics Part 1
Tomas is now interested in looking at the data for the distance of each completed pass in his senior year. Look at the data below for the distance of his completed passes for two games, and answer the questions that follow.
Principiante: Como apoyo previo a la lección, proporcione a los estudiantes una hoja resumen que incluya definiciones e imágenes de los términos bimodal, en forma de campana/simétrica, sesgada a la izquierda, sesgada a la derecha, uniforme, media, mediana, y centro. Pida a los estudiantes que repasen la hoja y formulen preguntas antes de la lección.
1.
Describe the shape of the graph. The data is bimodal; it has two peaks.
2.
Would it be more appropriate to use the mean or median as the measure of center for this data set? Would it be appropriate to use both? Would neither be appropriate? Why? Both would be appropriate in this case, but the mean gives a better representation since the data is not skewed.
3.
Sometimes data can lead us to jump to conclusions. Take a look at the data on the previous page again. We could assume that Tomas’s increase in pass completions per game is due to improvements in his passing skills. What is another possible explanation for this increase? Answers will vary. Tomas may have gotten more playing time his senior year, which gave him more opportunity to pass. He also may have had a really good receiver his senior year.
Intermedio: Como apoyo previo a la lección, proporcione a los estudiantes una hoja de resumen que incluya definiciones e imágenes de los términos bimodal, acampanado/simétrico, sesgado a la izquierda, sesgado a la derecha, uniforme, media, mediana, y centro. La hoja de resumen debe incluir un banco de palabras con los términos. A medida que los estudiantes avancen en la lección, pídales que relacionen los términos con sus definiciones.
4.
Avanzado: Como apoyo previo a la lección, proporcione a los estudiantes una hoja de resumen que incluya definiciones e imágenes de los términos bimodal, acampanado/simétrico, sesgado a la izquierda, sesgado a la derecha, uniforme, media, mediana, y centro. La hoja de resumen debe incluir un banco de palabras con los términos. A medida que los estudiantes repasen la lección, pídales que relacionen los términos con sus definiciones.
Create a data set with at least five points where the median is larger than the mean. Answers will vary. [1, 1, 100, 101, 102]
2
MUESTRA LO QUE SABES- PARTE 1 CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Statistics Explore 2
LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 2: DESVIACIÓN ESTÁNDAR DESCRIPCIÓN Los estudiantes crearán o utilizarán datos para calcular y analizar la desviación estándar. Los estudiantes determinarán la relación entre la media y la desviación estándar. Los estudiantes modificarán datos para determinar el efecto sobre la media y la desviación estándar.
ESTÁNDARES DE LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes interpretarán y comprenderán el significado de un problema buscando puntos de partida y analizando lo que se les da. Los estudiantes planificarán un camino de solución en lugar de saltar a una solución. • MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes comprenderán el significado de las cantidades y serán flexibles en el uso de las operaciones y sus propiedades. Los estudiantes crearán representaciones lógicas de los problemas. Los estudiantes serán capaces de descontextualizar y contextualizar relaciones cuantitativas.
Trashketball Tourney Part I
Use the Trashketball Tourney Player Data Cards to analyze the players and justify your draft selection using mean and standard deviation. 1.
Which player do you think is the best shooter, and why? Answers will vary.
2.
Which player has the highest average number of makes? Each player has an average of 4 shots made each day.
3.
How would you describe the differences in the player cards? Answers will vary. Students should discuss how spread out the data is and how consistent each shooter is.
4.
If Mr. Williams offered no homework for the night if someone could make 4 out of their 6 shots, who would you pick to go shoot, and why? Answers will vary. I would choose Reyansh because they made 4 each time.
5.
If Mr. Williams offered no homework for as many days as the number of shots made out of 6, who would you pick to shoot, and why? Answers will vary. I would pick Grace because they were tied for the most times, making six shots, and always made at least two shots.
6.
Why does just finding the mean not give us enough information about each of the shooters? The mean doesn’t tell us anything about how spread out the data is and how close the values are to the center.
1
• MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes representarán matemáticas para describir una situación ya sea con una ecuación o un diagrama e interpretarán los resultados de una situación matemática. Los estudiantes reflexionarán sobre si los resultados tienen sentido, posiblemente mejorando/revisando el modelo.
MATERIALES
Statistics Explore 2
IMPRESO • 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 o 2 juegos de tarjetas de datos de los jugadores del torneo de básquetbol (por grupo)
7.
Least Consistent
• 1 copia de instrucciones de las pruebas de tiro de básquetbol (por grupo) • 1 copia de instrucciones de cálculo de la desviación estándar de las pruebas de básquetbol (por grupo) • 1 boleto de salida (por estudiante) REUTILIZABLE
Complete the table to organize your thoughts.
8.
Player
Amari
Grace
Joaquin
Reyansh
Far
Close but not clustered
Close and somewhat clustered
Clustered
How far are the data points from each other?
Far
Close but not clustered
Close and somewhat clustered
Clustered
We are going to look at a new measure of spread called standard deviation to see how it differs for each shooter.
CONSUMIBLE
• 9 hojas de papel de desecho (por grupo)
• Imprima un «Diario del estudiante» y un «Boleto de salida» para cada estudiante. Imprima 1 o 2 copias de las «Tarjetas de datos de los jugadores del Torneo de Básquetbol», en cartulina para mayor durabilidad, para cada grupo dependiendo del tamaño del grupo.
Shooter
Mean
Standard Deviation 1.63
Joaquin
4
Reyansh
4
0
Amari
4
2.11
Grace
4
1.89
a.
How do the standard deviation values relate to your answers in the table for question 7? Answers will vary. I believe standard deviation connects to how far the data is from the mean.
b.
There is another player in the class, Charles, who also had a mean of 4 and a standard deviation of 2.83. What can you say about Charles’s shooting performance? Charles likely had a handful of days where he made 6 shots and some where he made none. His data was even more spread out than Amari’s.
PREPARACIÓN
• Divida a los estudiantes en grupos de 4 a 8 para completar esta actividad.
Most Consistent
How far are the data points from center?
• 1 cubo de basura pequeño u otro recipiente (por grupo)
• 1 rollo de cinta adhesiva (por clase)
In Between
2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS 430
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Statistics Explore 2
Part II
• Imprima una copia de las «Instrucciones de lanzamiento de las pruebas de básquetbol», en cartulina para que duren, para cada grupo de estudiantes.
Trashketball Tryouts Shooting Results
• Imprima una copia de las «Instrucciones de cálculo de la desviación estándar de las pruebas de Básquetbol», en cartulina para que duren, para cada grupo de estudiantes. • Cree una estación de lanzamiento de básquetbol para cada grupo. Coloque una papelera u otro recipiente en cada estación con 9 trozos de papel de desecho. Utilice cinta adhesiva para marcar el lugar de tiro. Coloque en cada estación las «Instrucciones de tiro» y las «Instrucciones para el cálculo de la desviación estándar de las pruebas de básquetbol».
Mark your makes with a ✅. Mark your misses with an ✘.
• Esté preparado para escribir los datos de cada grupo en algún lugar donde los estudiantes puedan verlos.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Total Made Baskets Group Results
PARTE I Player
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «La clase del Sr. Williams ha decidido organizar un torneo de básquetbol basura. Cada jugador tiene 6 tiros cada día durante 9 días. Los resultados de cuatro compañeros de clase se muestran en sus tarjetas de datos».
Number of Makes 3
2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Entregue las «Tarjetas de datos de los jugadores del Torneo de Básquetbol» a cada grupo.
Statistics Explore 2
Statistics Explore 2
Reflect Trashketball Tryouts Calculation Results
1.
How does the standard deviation relate to the mean? The standard deviation tells how far each data point is from the mean. If the standard deviation is larger, then the points are farther away from the mean, but if it is smaller, then the points are closer to the mean.
2.
Sketch a dot plot that also has 6 data points and has a greater standard deviation than the plot below. Check student answers. Answers may vary and should be more spread than the data set below.
3.
Would it be possible to have a standard deviation less than 0? Why or why not? Zero is the smallest possible standard deviation because all data numbers are the same. It wouldn’t matter if the values were negative or positive, a standard deviation of 0 would signify that all of the values are equal to the mean.
Group ___ Stat Card Mean:
Standard deviation:
1.
Using the class data, which group had the most clustered data? How do you know? Answers will vary. Group 3 had the most clustered data because their standard deviation was the smallest.
2.
Which group had the most spread in their data? How do you know based on the stat card? Answers will vary. Group 2 had the highest standard deviation. The large standard deviation value indicates that the group’s data has the greatest spread and that the results from student to student were inconsistent in that group.
3.
Mr. Williams wants to give awards to groups as prizes for their games. What awards would you suggest he give based on the statistics? Answers may vary. ● Most consistent should go to the group with the lowest standard deviation. ● The Nothing but Net award should go to the group with the highest mean.
4
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DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS 431
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Statistics Explore 2
4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para analizar los gráficos de datos, la media y la desviación estándar y registrar su trabajo en sus «Diarios del estudiante». 5. A medida que los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar su comprensión: a.
DOK-1 «¿Qué medida del centro es otro nombre para promedio?». Media es otro término para promedio.
b.
DOK-1 «¿Qué medidas estadísticas has utilizado anteriormente para observar datos?». Entre las posibles respuestas se incluyen las siguientes: media, mediana, rango, moda, rango intercuartil (IQR), desviación media absoluta (MAD) y desviación estándar (SD).
c.
Standard Deviation Exit Ticket Without calculating, match each standard deviation to each set of data. Each answer will be used only once.
Standard Deviation
Data Set 1
⬤
⬤
A.
1.7
⬤
⬤
B.
3.3
⬤
⬤
C.
0
Data Set 2
DOK-2 «¿Por qué encontrar la media, la mediana, el rango y la moda no nos daría una imagen completa de los resultados de cada tirador?». Estas medidas no nos darían una idea de cuán dispersos están los datos o cuán errático es un jugador al disparar. Data Set 3
6. Concede a los estudiantes suficiente tiempo para completar la «Parte I» y responder a las preguntas que siguen. 7. Después de completar la «Parte I» , invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta ahora. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Esperarías una desviación estándar alta o baja si los datos estuvieran muy juntos y cerca del centro de la distribución? Explica». Esperaría una desviación estándar baja porque cuando todos los datos eran iguales, la desviación estándar era cero. Esperaría una desviación estándar baja porque cuanto más cerca estuvieran los datos de la media, menor sería la desviación estándar. • DOK-2 «¿Esperaría una desviación estándar alta o baja si los datos estuvieran muy separados y no muy cerca del centro de la distribución?». Explica. Esperaría una desviación estándar alta porque Amari tenía datos que estaban a 4 y no sólo a 2 de la media, y su desviación estándar era la más alta. • DOK-2 «¿Esperaría una desviación estándar alta o baja si se estuviera examinando la consistencia?». Explica. Esperaría una desviación estándar baja porque Reyansh tuvo una desviación estándar de 0 cuando todos sus datos eran iguales. Eso lo haría el más consistente, así que la cercanía a 0 significaría que los datos son casi idénticos. • DOK-2 «¿Qué pasaría con la desviación estándar de Amari si se eliminara el valor atípico? ¿Aumentaría o disminuiría?». Yo esperaría que la desviación estándar de Amari disminuyera porque los datos estarían más cerca de la media. Parecería que cuanto más cerca estuvieran los datos de la media, menor sería la desviación estándar. • DOK-2 «¿Qué pasaría con los datos de Amari si hubiera dos valores atípicos?». Yo esperaría que la desviación estándar aumentara porque los datos están más dispersos y no tan cerca de la media.
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BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS PARTE II
1. Lea la siguiente situación a la clase: «Hoy son las pruebas de básquetbol. Todos en tu grupo van a hacer 9 tiros. Registra tus datos, crea tus propios resultados de tiro y luego rellena los datos de tu grupo para completar los cálculos. 2. Dele a cada grupo un nombre (Grupo A, por ejemplo). 3. Coloque una estación de tiro de básquetbol alrededor del salón para cada grupo. Haga que los estudiantes sigan las instrucciones publicadas para completar la «Parte II». 4. Ponga un cronómetro, e indique a los estudiantes que cada uno tire 9 veces con sus grupos. Si un estudiante no ha completado sus datos cuando termine el tiempo, asígnele un número de tiros para utilizar con su grupo. 5. A continuación, los estudiantes trabajarán juntos para recopilar datos, calcular la media y la desviación estándar, y registrar su trabajo en sus «Diarios del estudiante». Los grupos deben tomar de referencia las «Instrucciones para el cálculo de la desviación estándar de las pruebas de básquetbol» para encontrar la desviación estándar de sus propios datos. 6. Cada grupo tendrá un valor de media y uno de desviación estándar. 7. Haga que cada grupo comparta su media y desviación estándar con el resto de la clase para completar los premios en sus «Diarios del estudiante». Escriba los datos de cada grupo en algún lugar donde los estudiantes puedan verlos y compararlos.
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2
8. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientadoras para evaluar su comprensión: a. DOK-1 «¿Qué te muestra sobre los datos que la desviación estándar sea baja? ¿Qué te muestra cuando es alta?». Una desviación estándar baja indica datos cercanos a la media, y una desviación estándar alta indica datos más alejados de la media. b. DOK-3 «¿Te sorprendió la desviación estándar según los resultados de los tiros de tu grupo?». Las respuestas variarán. c. DOK-2 «Describe lo que te llama la atención de la desviación estándar que podría ser digno de un premio». Las respuestas pueden variar. Es posible obtener un 0 si todos los datos son iguales. 9. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la «Parte II» y responder a las preguntas que siguen.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez creado, haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva».
APOYOS PEDAGÓGICOS 1 Si los estudiantes tienen dificultades para comprender el concepto de desviación estándar, muéstreles más conjuntos de datos con valores de desviación estándar adjuntos para que desarrollen una intuición más fuerte acerca de lo que la desviación estándar está midiendo. 2 Los estudiantes deben reconocer que en grandes conjuntos de datos, los matemáticos utilizan la tecnología para calcular la desviación estándar y que no se espera que memoricen el algoritmo.
10. Después de realizar la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «Al calcular la desviación estándar, ¿Por qué crees que empezamos restando cada punto de datos de la media?». Dado que la desviación estándar mide cuán dispersos están los datos, comenzamos por encontrar cuán lejos están del centro. • DOK-3 «Basándote en tus cálculos para la desviación estándar, ¿Por qué siempre arroja un valor no negativo?». Elevamos al cuadrado todas las diferencias entre los datos y la media, por lo que los valores nunca serán negativos. • DOK-2 «¿Qué información podemos obtener de la desviación estándar que no podemos obtener de la media?». la desviación estándar nos informa sobre la dispersión de los datos, mientras que la media sólo nos da una medida del centro. 11 Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Statistics Part 2
APOYOS LINGÜÍSTICOS La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Exploración». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes.
Standard Deviation 1.
Los estudiantes utilizarán técnicas de aprendizaje como mapas conceptuales, dibujar, comparar, contrastar, memorizar y repasar para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado. Principiante: Como actividad posterior a la lección, guíe a los estudiantes en la creación de un cuadrado de vocabulario para el término desviación estándar. Completa las siguientes secciones del cuadrado de vocabulario como clase: Definición, ejemplo (problema matemático) y no - ejemplo. Pida a los estudiantes que creen su propia imagen para el término. Intermedio: Como actividad posterior a la clase, pida a los estudiantes que creen un cuadrado de vocabulario para el término desviación estándar. Los cuadrados de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, ejemplo (problema matemático) y no ejemplo e imagen. Proporcione a los estudiantes la definición y el ejemplo, pero anímelos a reescribir la definición con sus propias palabras. Avanzado: Como actividad posterior a la lección, pida a los estudiantes que creen un cuadrado de vocabulario para el término desviación estándar. Los cuadros de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, ejemplo (problema matemático) y no ejemplo e imagen. Proporcione a los estudiantes la definición, pero anímelos a reescribirla con sus propias palabras.
Examine the following two graphs.
Which graph, A or B, has the larger standard deviation? Why? Graph B has the larger standard deviation because the points are more spread out from the middle. 2.
Without making any calculations, which of the following two graphs would have a standard deviation of 0? Why?
Graph B would have a standard deviation of 0 because all of the points are exactly on the mean. 3.
The data set A = [4, 4, 4, 6, 6, 6] has a mean of 5 and a standard deviation of 1. What will the new mean and standard deviation be if all of the data points get multiplied by 10 to create the new data set B = [40, 40, 40, 60, 60, 60]? The new mean is 50 and the new standard deviation is 10 because the data is ten times farther from the center than it was in set A.
1
Statistics Part 2
4.
Compare the two graphs in each row of the table below, and then describe how the mean and standard deviation change from the first to the second graph.
Change in Mean
Change in Standard Deviation
Increases by 1
Stays the same
Stays the same
Decreases to 0
Stays the same
Stays the same
2
MUESTRA LO QUE SABES- PARTE 2 CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 3: VALORES ATÍPICOS DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizarán la regel IQR - 1.5 para calcular valores atípicos. Los estudiantes determinarán el efecto de los valores atípicos en las medidas de centro y variabilidad. Los estudiantes analizarán el origen de los valores atípicos y cuándo incluirlos en los datos.
ESTÁNDARES DE LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes interpretarán y comprenderán el sentido de un problema buscando puntos de partida y analizando lo que se les da. Los estudiantes planificarán un camino de solución en lugar de saltar a una solución. • MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes comprenderán el significado de las cantidades y serán flexibles en el uso de las operaciones y sus propiedades. Los estudiantes crearán representaciones lógicas de los problemas. Los estudiantes serán capaces de descontextualizar y contextualizar relaciones cuantitativas. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes representarán matemáticas para describir una situación ya sea con una ecuación o un diagrama e interpretarán los resultados de una situación matemática. Los estudiantes reflexionarán sobre si los resultados tienen sentido, posiblemente mejorando/revisando el modelo.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Divida la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» y un «Boleto de salida» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I : ENTENDER LOS VALORES ATÍPICOS
1. Lea la siguiente situación a la clase: «El Sr. Tomás presumía ante su clase de lo bien que lo habían hecho todos en el examen de historia. Mostró un diagrama de caja y bigotes a su clase para mostrarles lo bien que lo habían hecho. Un estudiante incluso obtuvo un 100 % perfecto. Ishaan se muestra escéptico cuando ve el gráfico y cree que hay varios valores atípicos. Piensa que probablemente la clase deba repetir el examen, de acuerdo con la política de repetición del manual escolar. Ayuda a Ishaan y al Sr. Tomás a investigar los valores atípicos para ver si la clase debe repetir». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para determinar qué es un valor atípico y registrar su trabajo en sus «Diarios del estudiante». 4. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar su comprensión: a. DOK-1 «¿Qué es un valor atípico?». Un valor extremo de datos que afecta significativamente a los datos b. DOK-1 «Comparando los gráficos del Sr. Tomás y de Ishaan, ¿Cuál es la desventaja de usar un gráfico de caja para identificar valores atípicos?». El gráfico del Sr. Tomás no identifica el valor atípico, pero el de Ishaan sí. Sin los puntos de datos específicos, es más difícil estar seguro de que se identifican todos los valores atípicos. c. DOK-2 «Explique por qué calcular el valor atípico es más preciso que analizar sólo un gráfico». Calcular un valor atípico da los valores atípicos exactos; analizar un gráfico da como resultado opiniones de lo que sería un valor atípico. d. DOK-1 «¿Por qué los valores atípicos afectarían la forma del gráfico de caja?». El valor atípico es un valor extremo, lo que significa que la longitud del bigote se verá afectada. e. DOK-2 «Describe cómo se encuentra la mediana y por qué un valor atípico puede no hacer que cambie ese valor». Cuando los datos están ordenados de menor a mayor, el valor medio o el promedio de dos valores medios es la mediana. Un valor atípico puede no causar que el valor cambie porque la mediana se encuentra por la posición de los números y no se calcula usando el valor del valor atípico. 5. Permita a los estudiantes suficiente tiempo para completar la «Parte I» y contestar las preguntas que siguen. 6. Después de completar la «Parte I» , invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje hasta el momento.
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Statistics Explore 3
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-3 «Considera cómo calculaste los valores atípicos. Justifica por qué el IQR se multiplica por ese valor». Multiplicar el IQR por 1.5 permite que los bigotes tengan longitudes similares al agrupar los datos. Esto no afectará mucho a los valores de la caja, pero ayudará a identificar los valores extremos y a acortar los bigotes. • DOK-1 «¿De qué manera los diferentes gráficos de caja aumentaron tu comprensión del efecto de los valores atípicos?». Me resultó útil ver que los bigotes cambiaban de longitud pero que la dispersión y la mediana no se veían muy afectadas. • DOK-2 «Construye un argumento que explique si todos los datos tendrán o no valores extremos». No todos los datos tendrán datos extremos. Incluso si los datos parecen tener un extremo, si el valor está dentro de 1.5 veces el valor del IQR, no será un valor atípico. • DOK-1 «Reflexiona sobre los cambios que ocurrieron en los datos y las representaciones. ¿Qué partes del análisis de datos se verán más afectadas por los valores atípicos?». Los valores atípicos afectan a la forma y a la dispersión. Creo que afectarán la media y la desviación estándar, pero la mediana y el IQR no se verán afectadas.
5.
One way to determine if there are outliers that should not be included in the data set is to multiply the interquartile range (IQR), which is the length of the box, by 1.5 and exclude any values of this distance less than quartile 1 or greater than quartile 3. Complete the table below to determine if there are any outliers. Data 1.5 Times IQR Less Than Q1 Calculations Outliers
Data 1.5 Times IQR Greater Than Q3
70 – 1.5(28) = 28
98 + 1.5(28) = 140
20
None
6.
Why is the score of 30 not an outlier using this method? 1.5 times the IQR of 28 is 42, and 30 is more than the quartile 1 of 70 minus 42, so it is not quite considered to be an outlier based on the rest of the data.
7.
The student handbook says, “Whenever a student demonstrates a deficiency in mastery of the material, being an outlier, the individual student may request a retake at the teacher’s availability. If there are 3 or more students showing a learning deficiency, the class may request a retake at the teacher’s availability.” Are individual students or the class owed a retake? How are outliers a good mathematical way to determine retake status, and what do they affect? There is one outlier, so only one student is qualified for a retake. Q1 is 25% of the data. When the outlier is drawn individually instead of included in the whisker, the outliers alter the shape and spread of the data. 2
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Part II: The Impact of Outliers
A Successful Test?
Analyze the two dot plots below from Mr. Fynn’s science classes.
Part I: Understanding Outliers 1.
Mr. Thomas gives Ishaan the class data, which he turns into a dot plot and a box plot. Do you believe there are any outliers? If so, what would you identify as an outlier, and why?
1.
How do the outliers 10, 20, and 25 in period 2 affect the measures of center for the data from period 1? Both the mean and median are smaller, but the mean gets reduced by more.
Use the following information to answer questions 2 and 3. In period 1, there were partners who won the review game and could apply extra credit.
Answers will vary. I believe 20 and 35 are outliers because they are so far from the rest of the data. 2.
Identify the minimum, quartile one, median, quartile three, and maximum. 20, 70, 95, 98, and 100
3.
Which representation made it easiest to find this information, and how do the potential outliers look in this plot of the data? The box plot makes it easy to see each quartile, and the whisker looks much longer than the inner box on the side of the outliers.
4.
How much longer is the first whisker than the inner box? The inner box has a length of 28, and the first whisker is 50 units long, which is nearly twice as long.
2.
Describe what would happen to the mean and median in period 1 if scores of 200 and 150 were added to the data? The median would not change because the position of the middle number would not be affected by the new values. The mean would significantly increase because the values of the new data numbers are much larger.
3.
What conclusion can you draw about the shape of the data if the median is smaller than the mean? What conclusion can you draw if the mean and median are similar? What conclusion can you draw if the median is larger than the mean? If the median is smaller than the mean, the shape is skewed right and there may be outliers greater than the mean. If the mean and median are similar, then the shape is evenly distributed and there are likely not outliers. If the median is larger than the mean, the shape is skewed left and there may be outliers lower than the mean.
1
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Statistics Explore 3
PARTE II: EL IMPACTO DE LOS VALORES ATÍPICOS Analyze the two box plots below from Mrs. Paola’s 5th period English class.
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Ishaan entiende que la política de la escuela sobre las repeticiones se basa en valores atípicos porque los valores extremos de los datos tienen un impacto significativo en los datos de la clase. Ishaan y el Sr. Tomás quieren investigar para saber qué impacto específico tienen los valores atípicos en los datos».
4.
How do the outliers 10, 95, and 100 affect the measures of variability? The IQR decreases slightly. The standard deviation decreases significantly.
5.
Suppose Mrs. Paola decided to only include the outlier of 10. She did not include 95 and 100 because their scores were not valid. How would the IQR and standard deviation be affected? The IQR would increase slightly. The standard deviation would increase.
6.
Mrs. Paola believes that because both the IQR and standard deviation change, it wouldn’t matter which she would consider when there are outliers. Explain whether you agree or disagree. Answers will vary. I disagree because the IQR changes very little, but the standard deviation changes a lot because of outliers.
2. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para determinar cómo afectan los valores atípicos al análisis de los datos. 3. Señale a la clase que deben tener en cuenta cómo se calcula el análisis de los datos mientras trabajan en el efecto de los valores atípicos. Por ejemplo, la mediana se calcula poniendo los valores de los datos en orden y calculando el valor medio. 4. Los estudiantes trabajarán juntos para comparar gráficos determinando el efecto de los valores atípicos y registrarán su trabajo en sus «Diarios del estudiante».
4
Statistics Explore 3
Part III: Analyzing the Source and Inclusion of Outliers
Statistics Explore 3
Reflect
Tackles Made This Season by Individual Players
1.
How do outliers affect the measures of center? The mean is more affected by an outlier because it uses the sum of all of the data values. The median is less affected by an outlier because it uses data positions instead of values.
2.
How do outliers affect the measures of variability? The standard deviation is more affected by an outlier because it relies on the data values. The IQR is less affected by an outlier because it originates from the middle 50% of the data.
3.
Circle which measure you would choose in each of the following scenarios.
3, 50, 57, 60, 70, 75, 84, 85, 88, 90, 120
1.
Mean
Standard Deviation
71.091
28.308
Five-Number Summary Minimum
Q1
Median
Q3
Maximum
3
57
75
88
120
Identify the outlier(s), and hypothesize possible causes for the outlier(s). Answers will vary. There is an outlier of 3. Maybe that player was injured or benched.
a.
Skewed data Mean or Median
2.
Brainstorm with your group various scenarios where you believe the outlier(s) should or should not be included. Answers will vary. Scenarios to Include Outliers
Scenarios That Are Unclear
A player is really bad. A player is new to football. 3.
b.
Symmetric data Mean or Median
Scenarios to Exclude Outliers
c.
A player is benched by the coach.
Data with an outlier Mean or Median
A player is injured.
Assuming you don’t know the reason behind any of the data, should the coach use the outlier(s) when analyzing the data? Answers will vary. In order to be authentic when analyzing the data, it is important to include all of the data.
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EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Statistics Explore 3
5. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientadoras para evaluar su comprensión: a. DOK-2 «Considera cómo se calculan la media y la mediana. ¿Por qué la media se ve más afectada que la mediana por los valores atípicos?». La media utiliza los valores de los datos para calcular el promedio, lo que significa que se verá afectada por los extremos. La mediana utiliza la posición de los números; esto significa que es menos probable que se vea afectada por los extremos. b. DOK-2 «Considera cómo se calculan el IQR y la desviación estándar. ¿Por qué el IQR no se ve tan afectado como la desviación estándar?». El IQR se calcula utilizando posiciones de los datos, mientras que la desviación estándar utiliza todos los valores cuando se calcula. El IQR se basa en la mediana, mientras que la desviación estándar se basa en la media, que se ve más afectada por los valores atípicos. c. DOK-2 «Reflexiona sobre cómo calculas la desviación estándar. ¿Incluir un valor atípico aumentaría o disminuiría la desviación estándar?». Un único valor extremo podría aumentar la desviación estándar y falsear los datos. d. DOK-1 «¿Por qué la eliminación de un valor atípico disminuiría la desviación estándar?». La eliminación de un valor atípico disminuiría la variación y la distancia desde el centro, lo que disminuiría la desviación estándar. 6. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la «Parte II» y responder a las preguntas que siguen. 7. Después de completar la «Parte II , invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta el momento. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 «¿Por qué se elige la mediana en lugar de la media si hay un valor atípico?». El valor atípico afecta más a la media que a la mediana porque el valor se utiliza en el cálculo. • DOK-1 «¿Qué le ocurre específicamente a la media si hay un valor atípico alto o bajo?». Si hay un valor atípico alto, la media aumentará; si hay un valor atípico bajo, disminuirá.
Outliers Exit Ticket Analyze the results on Mrs. Saanvi’s geometry quiz, where students could score up to 100%. Scores on Geometry Quiz 20, 60, 60, 65, 70, 70, 70, 80, 1,000 Outliers 20, 1,000
Five-Number Summary
Mean
Standard Deviation
Minimum
Q1
Median
Q3
Maximum
166.11
295.30
20
60
70
75
1000
IQR 15 1.
How were the outliers calculated? A. B. C. D.
2.
What measures should Mrs. Saanvi use to review her class’s quizzes? Select all that apply. A. B. C. D.
3.
Any extreme values were chosen. The IQR · 1.5 rule was used. The IQR ± 1.5 rule was used. The mean and standard deviation were used.
Mean Standard deviation Median IQR
What would you advise Mrs. Saanvi about her outliers? Answers will vary. I would advise Mrs. Saanvi to discard the 1,000 because the top score is 100% and also the 20 because it is an outlier.
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
• DOK-2 «Se te da un gráfico solamente y no se te habla específicamente de valores atípicos. ¿Cómo te ayudaría una forma de datos sesgada o aproximadamente simétrica a decidir sobre la elección de la media o la mediana como la mejor medida del centro?». Si fuera aproximadamente simétrica, se elegiría la media en lugar de la mediana porque utiliza todos los valores de los datos. Si fuera asimétrico, se elegiría la mediana en lugar de la media porque los datos a la izquierda o a la derecha de los valores asimétricos tienen un impacto más significativo en el cálculo de la media en lugar de la mediana. • DOK-1 «¿Qué efecto tendría la eliminación de un valor atípico en la desviación estándar y en el análisis que haría de los datos?». Eliminar un valor atípico podría disminuir la Desviación estándar. Esto me daría una mejor idea de lo que es más típico para los datos.
• DOK-2 «¿Es justo decir que los valores atípicos no afectan al IQR?». Explique. No es justo decir que el IQR no se ve afectado. Mientras que el IQR puede no cambiar significativamente como lo hace la desviación estándar, los valores atípicos pueden hacer que el IQR aumente ligeramente.
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Statistics Part 3
PARTE III: ANÁLISIS DE LA FUENTE E INCLUSIÓN DE VALORES ATÍPICOS
Outliers
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Los conocimientos de Ishaan sobre datos y valores atípicos se han extendido por toda la escuela. El entrenador de fútbol de Ishaan se entera de sus conocimientos y le pide ayuda. El entrenador tiene los datos de las entradas que los jugadores defensivos han hecho esta temporada. Le da los datos a Ishaan para que decida qué debe utilizar para analizar el progreso de sus jugadores».
For their health class, students have been asked to track their steps for a week and give the average number per day, rounded to the nearest thousand. The data for the 17 students in the class is given below. S = [0; 6,000; 6,000; 8,000; 8,000; 8,000; 10,000; 10,000; 10,000; 10,000; 10,000; 12,000; 12,000; 12,000; 14,000; 14,000; 40,000] 1.
Create a dot plot for the data for the class.
2. Los estudiantes deben tener todavía sus «Diarios del estudiante». 2.
Calculate and complete the five-number summary of the data in the table below. Five-Number Summary Minimum
Q1
Median
Q3
Maximum
0
8,000
10,000
12,000
40,000
4. Señale a la clase que necesitan reflexionar no sólo sobre qué datos se ven afectados por los valores atípicos, sino también de dónde provienen los valores atípicos.
IQR 4,000 3.
3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para determinar de dónde proceden los valores atípicos y si deben utilizarse para analizar los datos.
5. A continuación, los estudiantes trabajarán juntos para comparar gráficos determinando el efecto de los valores atípicos y registrarán su trabajo en sus «Diarios del estudiante».
Create a box plot for the data.
6. A medida que los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar su comprensión: 1
Statistics Part 3
4.
Determine if there are any outliers in the data. Data 1.5 times Lower than Q1
Data 1.5 times Greater than Q3
Calculations
10,000 – 1.5(4,000) = 4,000
10,000 + 1.5(4,000) = 16,000
Outliers
0
40,000
5.
How would removing the outliers change the box plot for this data? If we took out the outliers, the only change would be in the length of the whiskers, which would be shorter in the new box plot.
6.
What are the means of the data with and without the outliers? Round your numbers to the nearest integer. The mean with the outliers is about 11,176 steps, and the mean without the outliers is 10,000 steps.
7.
How does the median change when we remove the outliers? The median is unchanged by removing the outliers. This is why the median is a better measure of center for data sets with outliers.
8.
Comparing the means with the medians, how would you describe the shape of the data with and without the outliers? Explain your answer. Since the mean is greater than the mean in the data with the outliers, the data is skewed to the right. When the outliers are removed, the median and the mean are equal, so the data is symmetric.
9.
In this data, the outliers are possible errors. What might have happened to cause these 2 numbers to be wrong? Answers will vary. The student who submitted 0 steps per day may not have done the exercise, and 0 was the default for no data. The student who submitted 40,000 steps per day may have accidentally added a zero when they meant to enter 4,000.
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DOK-1 «¿Cómo se calcula un valor atípico?». Primero, calcula el IQR restando Q3 y Q1. A continuación, multiplica el IQR por 1,5. Toma el producto y súmalo al Q3, y toma el producto y réstalo del Q1. Cualquier valor que esté por encima o por debajo de la suma y la diferencia son valores atípicos.
b.
DOK-1 «Considera cómo se recopilan las estadísticas. ¿Los datos registrados son siempre auténticos? Explícalo». No, puede haber errores en la recopilación o el registro.
7. Concédales tiempo suficiente para completar la «Parte III» y responder a las preguntas que siguen. 8. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 «¿Cuándo debe excluirse un valor atípico?». Se debe excluir cuando el valor atípico proviene de un error o no es auténtico para los datos. • DOK-1 «¿Cuándo se debe incluir un valor atípico?». Debe incluirse cuando la eliminación del valor atípico haría que los datos dejaran de ser auténticos. • DOK-2 «Explique por qué debe tenerse en cuenta el origen de un valor atípico». Si un valor atípico es un error, los datos no serán auténticos y el análisis se verá afectado. Eliminar un valor atípico auténtico hace que los datos sean falsos, y el análisis será falso.
2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 3) CLAVE DE RESPUESTAS
a.
• DOK-3 «Crea un escenario en el que excluirías un valor atípico. Nahla elige cartas de una baraja y registra lo que ha elegido. Sus datos registrados incluyen 82. No hay ninguna carta que sea un 82 en una baraja de cartas, por lo que es un error que debería excluirse.
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3
9. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez creado, haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva».
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. A medida que los estudiantes aprenden formas de determinar los valores atípicos, explique que no hay una regla fija sobre cuándo eliminar los valores atípicos de un conjunto de datos y que los estudiantes pueden usar su discreción sobre si mantener o eliminar los valores atípicos en función del contexto. 2. Los estudiantes pueden beneficiarse del uso de la tecnología al crear y examinar gráficos de caja y considerar los valores atípicos.
APOYOS LINGÜÍSTICOS La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Exploración». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes. Los estudiantes utilizarán técnicas de aprendizaje como la elaboración de mapas conceptuales, el dibujo, la comparación, el contraste, la memorización y el repaso para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado. Principiante: Como actividad previa a la lección, repase los conceptos de mediana y media comparando y contrastando los dos términos en un diagrama de Venn. Haga que los estudiantes completen los diagramas de Venn utilizando un banco de palabras que incluya la definición de cada término, un ejemplo de cómo calcular cada término y descriptores de cómo cada término se relaciona con diferentes distribuciones de datos. Pida a los estudiantes que trabajen en parejas. Intermedio: Como actividad previa a la lección, repase los conceptos de mediana y media comparando y contrastando los dos términos en un diagrama de Venn. Haga que los estudiantes completen los diagramas de Venn utilizando un banco de palabras que incluya la definición de cada término, un ejemplo de cómo calcular cada término y descriptores de cómo cada término se relaciona con diferentes distribuciones de datos. Pida a los estudiantes que trabajen en parejas. Avanzado: Como actividad previa a la lección, repase los conceptos de mediana y media comparando y contrastando los dos términos en un diagrama de Venn. Haga que los estudiantes completen los diagramas de Venn utilizando un banco de palabras que incluya la definición de cada término, un ejemplo de cómo calcular cada término y descriptores de cómo cada término se relaciona con diferentes distribuciones de datos. Pida a los estudiantes que trabajen en parejas.
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EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 4: TABLAS DE FRECUENCIA DE DOBLE ENTRADA DESCRIPCIÓN Los estudiantes describirán datos categóricos utilizando una tabla de frecuencias relativas de doble entrada. Los estudiantes deben comprender que los datos categóricos se pueden dividir en grupos y que la frecuencia de cada categoría se representa numéricamente en la tabla. Las frecuencias conjuntas se encuentran donde dos variables se cruzan en la tabla de frecuencias de dos vías. Las frecuencias marginales se sitúan alrededor del borde de la tabla y suelen ser los totales de los datos.
ESTÁNDARES DE LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes interpretarán y comprenderán el sentido de un problema buscando puntos de partida y analizando lo que se les da. Los estudiantes planificarán un camino de solución en lugar de saltar a una solución. • MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes comprenderán el significado de las cantidades y serán flexibles en el uso de las operaciones y sus propiedades. Los estudiantes crearán representaciones lógicas de los problemas. Los estudiantes serán capaces de descontextualizar y contextualizar relaciones cuantitativas. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes representarán matemáticas para describir una situación ya sea con una ecuación o un diagrama e interpretarán los resultados de una situación matemática. Los estudiantes reflexionarán sobre si los resultados tienen sentido, posiblemente mejorando/revisando el modelo.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 copia de los «Resultados de la encuesta sobre participación artística» (por grupo) • 1 tapete de trabajo «Parte II» (por estudiante) • 1 tapete de trabajo «Parte III» (por estudiante) • 1 boleto de salida (por 2 estudiantes)
PREPARACIÓN
• Divida la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante», un tapete de trabajo «Parte II» y un tapete de trabajo «Parte III» para cada estudiante. • Imprima un «Boleto de salida» por cada 2 estudiantes. Recorte los «Boletos de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno. • Imprima una copia de los «Resultados de la encuesta sobre participación artística», en cartulina para que duren más, para cada grupo de estudiantes.
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PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: REPRESENTACIÓN EFICIENTE 1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Montrell es estudiante de una escuela local. Su escuela está investigando y deliberando si recortar o no el programa de arte. Montrell y sus amigos participan en actividades artísticas y musicales y no quieren que se supriman. Montrell ha recopilado datos y está decidiendo cómo presentarlos al consejo escolar. Revise los resultados de la encuesta sobre participación artística, y ayude a Montrell a decidir qué hacer». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Entregue los «Resultados de la encuesta sobre participación artística» a cada grupo. 4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para recordar representaciones eficientes de los datos y registrar su trabajo en sus «Diarios del estudiante». 5. A medida que los estudiantes colaboran, monitoree su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar su comprensión: a.
DOK-1 «¿Qué es abrumador acerca de la tabla que la haría difícil de usar?». Está desorganizada, los datos están mezclados, etc.
b.
DOK-1 «¿Cuáles son las diferentes formas en que has visto organizados los datos en el pasado?». Gráficos, tablas de doble entrada, tablas de frecuencia, etc.
c.
DOK-2 «Compara una tabla de doble entrada y un gráfico de barras». Una tabla de doble entrada organiza los datos en 2 categorías; un gráfico de barras es una representación visual que muestra los datos en categorías.
6. Concédales tiempo suficiente para completar la «Parte I» y responder a las preguntas que siguen. 7. Después de completar la «Parte I» , invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta el momento. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 «¿Por qué estos resultados de la encuesta son un buen candidato para una tabla de doble entrada?». Hay 2 categorías, y las categorías superpuestas siguen lo que he visto en tablas de doble entrada. • DOK-1 «¿Cómo crees que organizarías estos datos para una tabla de doble entrada?». Banda o no banda en un lado, arte o no arte en el otro. • DOK-1 «Recuerda tu trabajo con una tabla de doble entrada en el pasado. ¿Qué otro vocabulario será importante recordar?». La distribución marginal es el total de datos categóricos. La distribución conjunta son los datos categóricos cruzados.
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PARTE II : TABLAS DE DOBLE ENTRADA Y FRECUENCIA RELATIVA CONJUNTA 1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Montrell ha iniciado la tabla de doble entrada. Ha concertado una reunión con un miembro simpatizante del consejo escolar. Han aceptado ayudarle con su presentación. Ayude a Montrell a analizar los datos de la encuesta y a crear una presentación de los datos para el consejo escolar». 2. Entregue un «Tapete de trabajo - Parte II a cada estudiante. 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para terminar la tabla de doble entrada e interpretar los resultados para ayudar a Montrell. Registrarán su trabajo en sus «Diarios del estudiante» y en sus «Tapetes de trabajo». 4. A continuación, los estudiantes trabajarán juntos para terminar e interpretar la tabla de doble entrada y registrarán su trabajo en sus «Diarios del estudiante». 5. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar su comprensión: a.
DOK-1 «¿Por qué una tabla de doble entrada es un mejor método para presentar los datos de la encuesta?». Está organizada de manera que muestra la relación entre la información y presenta la información que necesitamos saber y la que no sabemos.
b.
DOK-1 «¿Qué parte de una tabla de doble entrada es la frecuencia conjunta? ¿Qué parte es la distribución marginal?». La frecuencia conjunta es la «Parte I» interior de la tabla, y la distribución marginal son los totales.
c.
DOK-1 «¿Cómo determinaste qué información rellenar en la tabla?». Utilicé las frecuencias conjuntas para hallar la suma de las categorías.
d.
DOK-1 «¿Cómo puedes determinar que los valores que rellenaste para la pregunta uno son correctos?». Los dos totales marginales dan como resultado 45.
e.
DOK-2 «Un compañero de clase cree que se encuestó a 90 estudiantes. ¿Qué error cometieron probablemente?». Se encontró la suma de todas las frecuencias marginales en lugar del total de frecuencia marginal de fila o columna.
f.
DOK-1 «¿Cuáles son los tipos de categorías que ves en el gráfico de barras? ¿Dónde las encontrarías en la tabla de doble entrada?». Las categorías están en una combinación, por lo que el gráfico de barras necesita las frecuencias conjuntas.
g.
DOK-1 «¿Es necesario contar todas las respuestas de la tarjeta de encuesta para saber cuántos estudiantes realizaron la encuesta?». No, puedo hallar la suma de las categorías marginales de la fila o columna o el total.
h.
DOK-2 «¿Cómo se calculó el 22 % en la tabla de frecuencias relativas conjuntas de su tapete de trabajo?». Se trata de un porcentaje del total de estudiantes. Como 10 estudiantes son miembros de la banda y cursan arte, dividí 10 por el total de 45 estudiantes encuestados.
i.
DOK-2 «Entre los estudiantes encuestados, ¿Hay más en la banda y arte o hay más que no están ni en la banda ni en arte?». Explica. Hay más en la banda y en arte. Alrededor del 22 % de todos los estudiantes encuestados están en la banda y en arte. Alrededor del 13 % de los estudiantes encuestados no están en la banda ni en arte.
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j. DOK-2 «¿En qué se diferencian los totales de la derecha de los de la «Parte I» nferior de la tabla?». Los totales a lo largo del lado derecho son la suma de esa fila, mientras que los totales a lo largo de la «Parte I» inferior son la suma de esa columna. k. DOK-2 «¿Cómo puedes describir el valor de 6 en los resultados de la encuesta sobre el tapete de trabajo?». El número de estudiantes encuestados que no toman arte y no son miembros de la banda 6. Conceda a los estudiantes suficiente tiempo para completar la «Parte II» y responder a las preguntas que siguen. 7. Después de completar la «Parte II , invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje hasta el momento. CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-1 «Analizamos una tabla de doble entrada que representa los resultados de la encuesta. ¿A qué se refiere la palabra dos en tabla de doble entrada?». Se refiere a las dos variables categóricas que se examinan. • DOK-1 «¿Qué parte de una tabla de doble entrada es la distribución marginal? ¿Qué parte son las frecuencias conjuntas?». Las entradas en la fila «Total» y en la columna «Total» se denominan frecuencias marginales o distribución marginal. Las entradas en el cuerpo de la tabla se llaman frecuencias conjuntas porque describen sucesos conjuntos. • DOK-1 «¿Cómo podrías comprobar tu tabla de frecuencias relativas utilizando las frecuencias conjuntas y marginales?». Podría comprobar que la suma de cada fila y columna es igual a la misma frecuencia marginal al final de la fila o columna. • DOK-1 «¿Cómo se crea una tabla de frecuencias relativas conjuntas?». Divida los números de la tabla de doble entrada por el total de toda la tabla. PARTE III: TABLAS DE DOBLE ENTRADA Y FRECUENCIA RELATIVA MARGINAL
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Después de reunirse con el miembro de la junta escolar, creías que habías presentado los datos de manera efectiva. Montrell te ha sugerido que crees una tabla de frecuencias relativas que muestre los resultados como porcentaje de los encuestados. Has rellenado la frecuencia relativa conjunta. El miembro del consejo escolar también ha dejado una serie de argumentos que cree que los demás miembros del consejo escolar podrían querer debatir durante tu presentación. Montrell te recuerda que hay un total de 563 estudiantes matriculados en la escuela local, ¡y necesitan tu ayuda! Ayuda a Montrell a prepararse!». 2. Entregueun «Tapete de trabajo - Parte III» a cada estudiante. 3. Los estudiantes aún deben tener sus «Diarios del estudiante» y el «Tapete de trabajo - Parte II . 4. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para crear una tabla de frecuencias relativas e interpretar los resultados para ayudar a Montrell. Registrarán su trabajo en sus «Diarios del estudiante» y en sus «Tapetes de trabajo». 5. Señale a la clase que no necesitarán consultar los «Resultados de la encuesta sobre la participación artística» para terminar la tabla.
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EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4
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A school board member who doesn’t want to see funding cut offers to sit down with you before the meeting and help you refine your presentation. The board member suggests and sets up a relative frequency table and a segmented bar graph to represent the survey results.
Part II: Two-Way Tables and Joint Relative Frequency 1.
Cutting Art Funding Part I: Efficient Representation 1.
2.
Box and whisker plot
Relative frequency
Bar graph
Line chart
Pie graph
Scatterplot
I think a bar graph would be best because there is a visual to see the differences. I think a two-way table would be best because it organizes the data and keeps it as a table. Montrell wants to use a two-way table or segmented bar graph. Which would be the best to use to analyze the data? Which would be the best to use for presenting to the board? Answers will vary. I think the two-way table would be the best for me to use to analyze the data because I can represent all of the data at once. I think the bar graph would be best for the school board because they will be able to visualize how many students take each subject.
Band Member
Not a Band Member
Total
Takes Art
10
17
27
Does Not Take Art
12
6
18
Total
22
23
45
2.
What does the 12 in the table represent? It represents students who are not taking art and are in band.
3.
Of all of the students surveyed, how many are in band? 22 are in band.
4.
Of all of the students surveyed, how many are in band and art? 10 are in band and art.
5.
What does the 6 in the table represent? It represents students who are not taking art and are not band members.
6.
Of all of the students surveyed, how many take art and are not a band member? 17 take art and are not a band member.
Use the prompts below to help you calculate the joint relative frequencies. a.
What is the percentage of all of the students surveyed who take art and band? What is the percentage of all of the students surveyed who take art and not band? 22% 38%
b.
What is the percentage of all of the students surveyed who are band members and don’t take art? What is the percentage of all of the students surveyed who are neither band members nor taking art? 27% 13%
8.
Use the joint relative frequencies to complete the table and segmented bar graph on Work Mat Part II.
9.
Which representation do you think is clearer, and why? The two-way frequency table makes it easier to see the breakdown than the segmented bar graph does. For the bar graph, you need to figure out where each segment starts and stops to get the same information.
10.
Why might it be more persuasive to present the data about art students who are not in band as a percentage instead of the number of students? Answers may vary. Presenting this information as a percentage gives the data as a part of the whole, so it makes it clearer just how much of the student population it would impact if art was not funded.
1
2
3
Statistics Explore 4
Statistics Explore 4
Statistics Explore 4
Read each statement below that you may be presented with at the board meeting, and then write what your counterargument would be for the school board.
Part III: Two-Way Tables and Marginal Relative Frequency 1.
7.
Survey Results
Brainstorm some different ways to represent the Art Involvement Survey Results. Which might be the most efficient way to present the survey results to the school board? Answers will vary. Two-way table
3.
Describe the missing information from the two-way table below, and then complete the two-way table. The joint frequency information is given; the marginal distribution needs to be filled in.
Analyze the Art Involvement Survey Results. Is this the best way to give the school board the data? Why or why not? Answers may vary. This is not the best way to display the data. The data is not organized, and it is hard to understand. It does not show totals.
Statistics Explore 4
Use the relative frequency two-way table on Work Mat Part III to fill in the blanks for the joint relative frequencies described below.
5.
27% of all students surveyed are band members and do not take art. a. _____ 22% of all students surveyed are art students and band members. b. _____ 38% of all students surveyed are art students and not band members. c. _____
Reflect 1.
Explain how you could use joint relative frequencies or marginal frequencies to check the results of the two-way frequency table. Answers may vary. When adding the rows to find the marginal frequencies, they should total the same number as when adding the columns to find the marginal frequencies. If the row and column marginal frequencies total a different number, there must be an error.
2.
Use the provided values to complete the two-way frequency table, and then explain how you performed at least one calculation.
Only 10 people surveyed take band and art. It seems like there aren’t a lot of people taking advantage of these opportunities. When written as a percentage, those 10 students reflect 22% of the population. I would show on the stacked bar graph or in the relative frequency two-way table that only 13% are not involved in the arts in any way.
13% of all students surveyed are not band members and do not take art. d. _____
Two-Way Frequency Table 2.
Why do you think all of the probabilities in question 1 are called joint relative frequencies? The percentages combine or join two aspects of a student. 6.
3.
Use the information on Work Mat Part III to determine the percentages that fill in the blanks below. Use these values to correctly fill in the marginal relative frequencies on Work Mat Part III. The marginal relative frequencies are on the outside of the table and represent the totals. 49% are band students. a. _____
Strawberry Ice Cream
Since there were more students in your survey who do not take band, band should be cut. I would use the relative frequency two-way table to show that 49% of those surveyed were band students, and 51% were not band students, which are almost equal. Band students still made up almost 50% of the survey takers, and that is a lot of students who would be affected by the program being cut.
51% are not band students. b. _____
Total
Children
10
8
18
Adults
10
22
32
Total
20
30
50
Answers may vary. In order to get the 8 children that prefer cookies and cream, I subtracted the 22 adults that prefer cookies and cream from the total number of people that prefer cookies and cream, 30.
60% are art students. c. _____ 40% are not art students. d. _____
4.
Cookies and Cream Ice Cream
3.
Why is a two-way table useful? Answers may vary. It compares two categories of data in an organized way.
Explain how the numbers from the two-way table were used to get the 51%. Answers may vary. To get 51%, I used the total number of students who are not band members, 23, and divided by the total number of students surveyed, 45.
4
5
6
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Statistics Explore 4
6. A continuación, los estudiantes trabajarán juntos para terminar e interpretar la tabla de frecuencias relativas y registrar su trabajo en sus «Diarios del estudiante».
Two-Way Frequency Tables Exit Ticket
7. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientadoras para evaluar su comprensión: a
b
c
d
DOK-1 «Para 1a, ¿Cuántos miembros de la banda no hacen arte?». 12 «¿Cuántos estudiantes había en total?». 45 «Expresa la información que tienes como 12 «Ahora que tienes la información una fracción». ____ 45 necesaria, calcula el decimal y el porcentaje». 0.27 o 27 %
11th and 12th
Total
Drives to School
9
23
32
Takes the Bus
16
2
18
Total
25
25
50
DOK-1 «Para 2a, ¿Cuántos estudiantes son estudiantes de la banda?». 22 «¿Cuántos estudiantes fueron encuestados en total?». 45 «Expresa la 22 información que tienes como una fracción». ____ 45 «Convierte la fracción en un decimal y un porcentaje para hallar la frecuencia relativa marginal». 0.49 o 49 % DOK-1 «Para 3, ¿Todas las frecuencias relativas conjuntas incluyen una o ambas artes?». No, una no tiene ninguna. «¿Qué porcentaje no está ni en la banda ni en arte?». 13 % Si el 13 % no está en ninguna de las dos, «¿Qué porcentaje del 100 % restante está involucrado en una o ambas artes?». 87 % DOK-2 «¿Por qué un miembro de la junta podría tener una pregunta de la tabla que no se mostraría en el gráfico? ¿Cuál es la diferencia entre ambas?». El gráfico muestra la frecuencia relativa. Hay más formas de interpretar la tabla que no se mostrarían en el gráfico.
8. Concédales tiempo suficiente para completar la «Parte III» y responder a las preguntas que siguen. 9. Después de realizar la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «He oído a algunos estudiantes mencionar la frecuencia relativa. ¿Qué significa el término frecuencia relativa?». Significa la frecuencia de una célula particular que ocurre en relación con el total. Puede ser relativa al total de una categoría o al total de todas las personas encuestadas.
A survey of how students get to school was conducted.
9th and 10th
1.
Of the students who took the survey, what percentage of students are in 11th or 12th grade and drive to school? 46%
2.
Of the students who took the survey, what percentage of students take the bus? 36%
Statistics Explore 4
Two-Way Frequency Tables Exit Ticket A survey of how students get to school was conducted.
9th and 10th
11th and 12th
Total
Drives to School
9
23
32
Takes the Bus
16
2
18
Total
25
25
50
1.
Of the students who took the survey, what percentage of students are in 11th or 12th grade and drive to school? 46%
2.
Of the students who took the survey, what percentage of students take the bus? 36%
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez creado, pida a cada estudiante que complete su «Libreta interactiva».
• DOK-2 «¿Por qué una tabla de frecuencias relativas podría ser una forma más útil de transmitir información que la tabla bidireccional original?». Las frecuencias relativas dan porcentajes y reflejan cómo se comparan los valores con el número total de personas encuestadas en lugar de proporcionar sólo los números brutos. • DOK-1 «¿Cuál es la diferencia entre hallar la frecuencia relativa conjunta y hallar la frecuencia relativa marginal?». La frecuencia relativa conjunta compara una de las frecuencias individuales con el total de la tabla. La frecuencia relativa marginal compara un total de una de las categorías de fila o columna con el total de la tabla. 10. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Statistics Part 4
APOYOS PEDAGÓGICOS Two-Way Frequency Tables For a homework project, Ian decided to do a survey looking at caffeine consumption among students right before final exams. Look at the frequency table below. Fill in the missing data, and answer the questions that follow. Male
Female
Total 115
Caffeine
60
55
No Caffeine
50
35
85
Total
110
90
200
1.
How many students responded to the survey? Two hundred students responded to the survey.
2.
How many students who responded to the survey are male, and how many are female? There were 110 male students and 90 female students.
3.
What percentage of students who consumed caffeine before exams are males? Thirty percent of the students who consumed caffeine before exams are males.
4.
What percentage of students consumed caffeine before exams? 57.5% of students consumed caffeine before exams.
5.
Out of all of the female respondents, what percentage consumed caffeine? About 61% of the females consumed caffeine.
Statistics Part 4
After looking at the difference in male and female students, Ian decided to look to see if the number of students consuming caffeine before exams varied depending on their year in school. Fill in the blanks on the frequency table as you answer the questions that follow. Freshman
Sophomore
Junior
Senior
Total
10
20
30
55
115
No Caffeine
40
30
10
5
85
Total
50
50
40
60
200
2 Los estudiantes pueden no darse cuenta de que el número total de sujetos en la tabla de frecuencia de dos vías puede determinarse encontrando los totales marginales de fila o columna porque son iguales. 3 Los estudiantes pueden olvidar que una tabla de frecuencias relativas es sólo una fracción del total y que si quieren encontrar las frecuencias, necesitan multiplicar por el total.
APOYOS LINGÜÍSTICOS
1
Caffeine
1 Ayude a los estudiantes a entender la diferencia entre frecuencia conjunta y marginal codificando con colores las tablas de doble entrada.
6.
How many total juniors responded to the survey? Forty juniors responded to the survey.
7.
How many freshmen consumed caffeine before exams? Ten freshman consumed caffeine before exams.
8.
What percentage of sophomores did not consume caffeine before exams? Sixty percent of sophomores did not consume caffeine before exams.
9.
What percentage of juniors consumed caffeine before exams? Seventy-five percent of sophomores consumed caffeine before exams.
10.
What percentage of seniors consumed caffeine before exams? Ninety-two percent of seniors consumed caffeine before exams.
11.
Does there seem to be a trend in how many students consumed caffeine by their grade? Explain. Yes, as the students got older, more of them consumed caffeine before exams.
La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje es apoyada en esta actividad de «Exploración». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo del lenguaje de los estudiantes. Los estudiantes utilizarán el apoyo de pistas visuales, compañeros y maestros para desarrollar el vocabulario, la estructura del lenguaje y los conocimientos previos necesarios para comprender un texto escrito. Principiante: Como actividad previa a la lección, realice una encuesta en clase en la que los estudiantes compartan si prefieren hacer arte o música. Elabore una tabla de frecuencias basada en sus respuestas y su curso o en sus respuestas y su sexo. Explíqueles que trabajarán con tablas de frecuencia de doble entrada en la «Exploración» de hoy. Intermedio: Como actividad previa a la lección, realice una encuesta en clase en la que los estudiantes compartan si prefieren hacer arte o música. Cree una tabla de frecuencias basada en sus respuestas y el grado o en sus respuestas y el género. Explíqueles que trabajarán con tablas de frecuencia de doble entrada en la «Exploración» de hoy. Avanzado: Como actividad previa a la lección, presente a los estudiantes una tablas de frecuencias relativas de doble entrada y una tabla de frecuencias relativas basadas en los mismos datos. Pida a los estudiantes que escriban listas comparando y contrastando los dos tipos de tablas.
2
MUESTRA LO QUE SABES- PARTE 4 CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 5 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 5: PROBABILIDAD CONDICIONAL DESCRIPCIÓN Los estudiantes crearán e interpretarán tablas de frecuencias relativas describiendo frecuencias relativas conjuntas y marginales (filas y columnas) en lenguaje cotidiano. Los estudiantes utilizarán frecuencias relativas condicionales para hacer inferencias sobre asociaciones o tendencias en los datos. Los estudiantes crearán tablas bidireccionales a través de la exploración, descubriendo cuándo dos categorías están asociadas o no.
ESTÁNDARES DE LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes interpretarán y comprenderán el sentido de un problema buscando puntos de partida y analizando lo que se les da. Los estudiantes planificarán un camino de solución en lugar de saltar a una solución. • MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes comprenderán el significado de las cantidades y serán flexibles en el uso de las operaciones y sus propiedades. Los estudiantes crearán una representación lógica del problema. Los estudiantes serán capaces de descontextualizar y contextualizar relaciones cuantitativas. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes representarán las matemáticas para describir una situación ya sea con una ecuación o un diagrama e interpretarán los resultados de una situación matemática. Los estudiantes reflexionarán sobre si los resultados tienen sentido, posiblemente mejorando/revisando el modelo.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Divida la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» y un «Boleto de salida» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: TABLAS DE FRECUENCIAS RELATIVAS 1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Tyrese trabaja en un gimnasio local, donde su jefe dice que los jóvenes pasan demasiado tiempo en las redes sociales. Deseoso de demostrar que su jefe se equivoca, Tyrese entrevista a la gente del gimnasio y les pregunta su edad y cuánto tiempo pasan en las redes sociales cada día».
3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para calcular varias frecuencias relativas de filas y columnas y registrar su trabajo en sus «Diarios del estudiante». 4. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar su comprensión: a. DOK-1 «Para el 30 %, ¿De dónde provienen el numerador y el denominador?». 60 es el denominador, o el número total de personas encuestadas. 18 es el numerador y el número de personas de 25 años o menos que están en las redes sociales más de una hora al día. b. DOK-2 «¿Cómo puedes saber si no debes dividir por el número total de personas encuestadas?». La pregunta se refiere a una probabilidad que está fuera de un total o grupo diferente al de toda la población encuestada. c. DOK-1 «¿Cuáles son las probabilidades de que un encuestado utilice las redes sociales durante más de una hora cada día?». 65 % d. DOK-1 «¿Cuáles son las probabilidades de que un encuestado tenga más de 25 años y utilice las redes sociales durante menos de una hora al día?». 28 % e. DOK-2 «¿Cómo decidiría tu grupo si una pregunta implica una probabilidad condicional que no sale del número total de personas encuestadas?». Las respuestas pueden variar. Cuando la pregunta dice «de un grupo» que no es el total, ese grupo se convierte en el denominador de esta probabilidad condicional. 5. Concédales tiempo suficiente para completar la «Parte I» y responder a las preguntas que siguen. 6. Después de completar la «Parte I» , invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta ahora. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Cómo podemos decidir qué denominador es apropiado cuando estamos encontrando una probabilidad?». Necesitamos determinar si el denominador es el número total de personas encuestadas o si es una frecuencia marginal de cierto grupo de las personas encuestadas. • DOK-2 «¿Cómo supiste qué número usar para el numerador?». El numerador será el valor que cumpla los dos descriptores por los que se pregunta.
2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno.
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 5
Statistics Explore 5
Statistics Explore 5
Statistics Explore 5
Part II: Analyzing Associations 3.
Social Media Presence
a.
Part I: Relative Frequency Tables 1.
The results of Tyrese’s survey are listed in the two-way table below. Complete the relative frequency two-way table so Tyrese can see the results as a percentage of the total number of people surveyed. 25 and Older Total Younger Than 25
1+ Hr. of Social Media Daily
18
21
1+ Hr. of Social Media Daily
30%
7%
28%
35%
37%
63%
100%
Less Than 1 Hr. of Social Media Daily
4
17
21
Less Than 1 Hr. of Social Media Daily
Total
22
38
60
Total
2.
35%
65%
4.
a.
35% of all of the people surveyed were older than 25 and spent more than an hour on social media each day. This statement is correct.
b.
30% of all of the people 25 and younger used social media for more than an hour each day. This statement is false. 30% of all of the people surveyed were 25 and younger and used social media each day. A much higher percentage of people 25 and younger used social media for more than an hour each day.
c.
What percentage of people who use social media for less than an hour each day are older than 25? 81%
c.
Of the people who use social media for more than an hour each day, what percentage are 25 and younger? 46%
d.
Evaluate the statements below based on Tyrese’s results. If the statement is incorrect, write a correction.
About 44% of people older than 25 used social media for under an hour each day. This statement is correct.
Of the people 25 and younger, what percentage use social media for more than an hour each day? 82%
b.
25 and Older Total Younger Than 25
39
1.
Evaluate the following conditional probabilities.
Why were the answers to part a and part c different when they both asked about the same groups? The total number in part a was 22 since we were looking in the group of all people 25 and younger. The total number in part c is based on the 39 people who use social media for more than an hour each day.
How are these conditional probabilities different from the probabilities in the relative frequency table you made in question 1? These calculations all involved dividing by a total that was different from the total number of people surveyed. The denominator was the total number in a row or column instead of the whole table.
5.
6.
Older Than 25
Total
1+ Hr. of Social Media Daily
18 81%
21 55 ___%
39 65%
Less Than 1 Hr. of Social Media Daily
4 19%
17 45 ___%
21 35%
22 100%
38 100%
60 100%
Total
2.
Using the table above, complete the sentence below by filling in the blank. 45 Of all of the people older than 25 in this survey, ____% spend less than one hour using social media.
3.
Complete the conditional probability table based on the rows or amount of social media usage. 25 and Younger
Older Than 25
Total
1+ Hr. of Social Media Daily
18 46 ___%
21 54 ___%
39 100%
Less Than 1 Hr. of Social Media Daily
4 19 ___%
17 81 ___%
21 100%
22 37 ___%
38 63 ___%
60 100%
2
Write your own conditional probability statement using the table from question 3 using the relative frequency of rows. Answers will vary. Of all of the people who spend less than an hour on social media, 81% were older than 25. Based on the data, do you agree with Tyrese’s boss that young people use social media more than older people? Answers will vary. I agree with Tyrese’s boss because those 25 and younger used social media for more than an hour at a much higher rate than those older than 25.
Is there an association between age and social media use? What data from the tables you created would you use to support your claim? Answers will vary. Since 81% of those 25 and younger use social media for more than an hour per day compared to 65% overall, the two definitely seem connected.
Reflect 1.
What is the difference between a joint frequency and a marginal frequency? The joint frequency is the interior part of the table that shows the counts on two variables. The marginal frequency is in the margins of the table and is the totals of the rows and columns.
2.
What makes finding conditional probabilities tricky when looking at a relative frequency two-way table? It can be hard to determine which marginal frequency or total should be the denominator of the probability you calculate.
3.
Determine whether each statement is the joint, marginal, or conditional relative frequency. a.
Tyrese’s coworker, Laura, said that since less than half of the people surveyed who spent over an hour on social media were 25 and younger, that means their boss is wrong. Evaluate Laura’s claim. Answers will vary. There are more people older than 25 surveyed, so the majority of the people who spent more than an hour on social media were older than 25. However, the percentage of people surveyed who were 25 and younger that used social media for more than an hour was much higher than the percentage of those older than 25 who used social media for more than an hour. The percentages and conditional probabilities are more useful for evaluating the claim than the raw data.
3
Statistics Explore 5
b. 7.
25 and Younger
Total 1
Statistics Explore 5
4.
Complete the conditional probability table based on the columns or ages of the survey respondents.
c.
In a student newspaper poll, 36% of the students who preferred Friday night games were freshmen. Conditional In a student newspaper poll, 23% of the respondents were sophomores. Marginal In a student newspaper poll, 43% of the students were juniors who preferred Saturday night games. Joint
4.
How did you decide that age and social media use were associated? There seemed to be an association between the two because the percentage of those 25 and younger used social media for more than an hour at a much higher rate than the overall percentage of those surveyed.
5.
Will all two-way tables have associations? Why or why not? Not all two-way tables will have patterns between two variables that cause the conditional relative frequencies to be similar or dissimilar.
4
5
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 5 Statistics Explore 5
PARTE II : ANÁLISIS DE ASOCIACIONES
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Han empezado a estudiar algunas probabilidades condicionales y seguirán utilizándolas para ver si los datos de la encuesta ayudan a Tyrese a demostrar que su jefe está equivocado». 2. Señale a la clase que están calculando para determinar cualquier asociación entre la edad y el uso de las redes sociales. Preste atención a sus respuestas; durante la charla sobre matemáticas, la clase interpretará su trabajo. 3. A continuación, los estudiantes trabajarán juntos para calcular las asociaciones y registrar su trabajo en sus «Diarios del estudiante». 4. Mientras los estudiantes colaboran, Supervise su trabajo y utiliza las siguientes preguntas orientadoras para evaluar su comprensión: a. DOK-1 «¿De dónde procede el 81 % de la tabla en la pregunta 1?». El numerador son las 18 personas de 25 años o menos que pasan más de una hora al día en las redes sociales. Esto se divide por el total de 25 personas de 25 años o menos que fueron encuestadas. b. DOK-2 «¿Cómo puedes saber si estás viendo una tabla de frecuencias relativas de columnas o de filas?». Si la tabla se basa en las columnas, entonces cada columna sumará 100 % y las filas no, mientras que cada fila sumará 100 % y las columnas no si se trata de una tabla de frecuencia relativa de filas.
Conditional Probability Exit Ticket Complete the relative frequency table based on the columns, or majors, of the two-way table below. Business Major
Art Major
Total
Starting Salary $40K and Up
24
4
28
Starting Salary under $40K
12
10
22
Total
36
14
50
Business Major
Art Major
Total
67%
29%
56%
Starting Salary $40K and Up Starting Salary under $40K
33%
71%
44%
Total
100%
100%
100%
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
CHARLA DE MATEMÁTICAS
c. DOK-2 «¿En qué se diferencian las tablas basadas en columnas y filas de la tabla de frecuencia relativa de totales que creaste en la «Parte I» ?». El denominador ya no es el número total de personas encuestadas, sino el número de personas en cada fila o columna, dependiendo de la tabla que estemos creando.
• DOK-3 «¿Era más eficaz evaluar la tabla de frecuencias relativas por columnas o por filas?». Las columnas separan cada grupo por edad y tienen en cuenta el hecho de que hay más personas mayores de 25 años encuestadas, por lo que puedes ver la probabilidad de que cada grupo de edad utilice las redes sociales durante más de una hora.
5. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la «Parte II» y responder a las preguntas que siguen.
• DOK-3 «De las personas encuestadas que utilizan las redes sociales durante más de una hora al día, más de la mitad son mayores de 25 años. ¿Por qué no es más probable que las personas mayores utilicen las redes sociales más de una hora al día que los jóvenes?». Mientras que el 55 % de todas las personas que estaban en las redes sociales durante más de una hora cada día eran mayores de 25 años, el 63 % del total de personas encuestadas eran mayores de 25 años, por lo que su porcentaje de la población disminuyó cuando sólo se observó a las personas que pasan más de una hora en las redes sociales cada día.
6. Después de realizar la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
7. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 8. Vuelva a «Captar interés» e indique a los estudiantes que utilicen sus habilidades recién adquiridas para completar con éxito la actividad.
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 5 Statistics Part 5
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
Conditional Probability Mr. Gomez’s biology class was studying gene expression. They were looking at whether dark-colored eyes tended to be paired with dark-colored hair. Each of the students surveyed 10 people so that they had a total of 200 data points to see if there was an association. Their data has been compiled into the frequency table below.
1.
Dark Hair (dark brown or black)
Light Hair (light brown or blond)
Dark Eyes (brown)
95
45
Light Eyes (blue or green)
20
40
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Ayude a los estudiantes a entender la diferencia entre frecuencia conjunta y marginal codificando con colores las tablas de doble entrada. 2. Ayude a los estudiantes a entender que las tablas de frecuencia relativa de las columnas pueden no sumar 100 % a lo largo de la última fila y que las tablas de frecuencia relativa de las filas pueden no sumar 100 % a lo largo de la última columna.
Convert this frequency table into a relative frequency table with both the joint and marginal frequencies. Dark Hair (dark brown or black)
Light Hair (light brown or blond)
Total
Dark Eyes (brown)
0.475
0.225
0.7
Light Eyes (blue or green)
0.1
0.2
0.3
Total
0.575
0.425
1.0
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez creado, haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva» .
APOYOS LINGÜÍSTICOS La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje es apoyada en esta actividad de «Exploración». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo del lenguaje de los estudiantes. 1
Statistics Part 5
2.
What percentage of people surveyed have dark-colored hair? 57.5% of people surveyed have dark-colored hair.
3.
What percentage of people surveyed have dark-colored hair and dark-colored eyes? 47.54% of people surveyed have dark-colored hair and dark-colored eyes.
4.
What percentage of people surveyed have dark-colored hair and light-colored eyes? Ten percent of people surveyed have dark-colored hair and light-colored eyes.
5.
Does there seem to be an association between dark hair and dark eyes based on this data? Yes, there seems to be an association between dark hair and dark eyes based on this data.
6.
Of the people with dark-colored eyes, what percentage had dark-colored hair? Compare this answer to your answer for question 2. About 67.9% of people with dark-colored eyes have dark-colored hair, which is more than the general percentage of people with dark-colored hair, suggesting an association.
7.
Of all of the respondents with dark-colored hair, what percentage have light-colored eyes? Compare this value to the overall percentage of respondents with light-colored eyes. About 17.4% of people with dark-colored hair have light-colored eyes. This is much lower than the overall 30% of people who have light-colored eyes.
8.
Is it more likely that someone with dark-colored hair has dark-colored eyes or that someone with light-colored hair has light-colored eyes? Explain. About 82.6% of people with dark-colored hair have dark-colored eyes, whereas about 47.1% of people with light-colored hair have light-colored eyes.
2
Los estudiantes utilizarán el apoyo de pistas visuales, compañeros y maestros para desarrollar el vocabulario, la estructura del lenguaje y los conocimientos previos necesarios para comprender el texto escrito. Principiante: Como actividad previa a la clase, muestre diferentes iconos de redes sociales en la pizarra. A continuación, escriba «Medios de comunicación social» en la pizarra y pida a los estudiantes que creen una definición con su compañero. Organice un debate en clase con preguntas como «Levantando la mano, ¿Cuántos de ustedes utilizan esta aplicación de redes sociales?» y ¿Qué les gusta de esta aplicación?». Intermedio: Como actividad previa a la clase, haga que los estudiantes se coloquen en círculo. Hagales una serie de preguntas relacionadas con las redes sociales. Si la respuesta es afirmativa, haga que los estudiantes pasen al centro del círculo. Si la respuesta es negativa, que permanezcan en el círculo exterior. Algunos ejemplos son: «Tengo una cuenta ___», «Tengo más de 100 amigos o seguidores en mi cuenta de redes sociales», «Consulto mi cuenta de redes sociales más de 10 veces al día» y «Creo que las redes sociales crean adicción». Avanzado: Como actividad previa a la clase, muestre diferentes iconos de redes sociales en la pizarra. Divida a los estudiantes en grupos de 3-4 y pídales que elaboren una lista de pros y contras del uso de las redes sociales. A continuación, divida la clase en dos grupos y realice un debate en clase sobre si es bueno utilizar las redes sociales.
MUESTRA LO QUE SABES- PARTE 5 CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE
CONSOLIDAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
Standard Deviation
ESQUEMA DE ANCLAJE DESCRIPCIÓN Un esquema de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Se trata de una herramienta para apoyar la instrucción y consolidar el aprendizaje del estudiante a lo largo del alcance.
How spread out are the numbers?
Statistics
Without Outlier
With Outlier
Mean
3.8
5.6
Median
3.5
4
Mode
3
3
Range
4
14
Steps 1. Calculate the mean. Mean (without outlier) = 3.8 2.
Subtract the mean from each data point. −0.8, −1.8, 2.2, 0.2, −0.8, 1.2
3.
Square each difference. 0.64, 3.24, 4.84, 0.04, 0.64, 1.44
4.
Find the mean of the squared differences. 1.81
5.
Outlier
Data Set 3, 2, 6, 4, 3, 5, 16
A number that is much larger or much smaller than the rest
The mean is affected significantly by the outlier.
Take the square root. 1.35
MATERIALES
• 1 hoja de papel cuadriculado • 1 juego de marcadores multicolores
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del ejemplo de «Esquema de anclaje», si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. El ejemplo de esquema puede utilizarse como referencia antes de crear el «Esquema de anclaje» de la clase. Esta actividad debe ser dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje. 2. A medida que los estudiantes trabajen en el alcance, colaboren para añadir piezas al «Esquema de anclaje». Formule las siguientes preguntas orientadoras : a. «¿Qué estrategia utilizamos para resolver este problema?». b. «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?». 3. Continúe añadiendo habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada «Exploración» para resaltar el contenido importante. 4. Explique que pueden utilizar este gráfico como herramienta de apoyo para su aprendizaje. Los estudiantes también pueden pegar una copia del ejemplo del «Esquema de anclaje» en sus cuadernos para utilizarla como referencia a lo largo del año. 5. Algunos «Esquemas de anclaje» sólo se mostrarán durante un alcance o grupo de alcances concretos, mientras que otros permanecerán expuestos durante todo el año escolar.
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA
Statistics
Instructions ● Cut out the organizer below, and glue or tape it into your notebook. ● Fill in the table after using the workspace to calculate the mean, median, mode, and range. ● Circle the outlier in red, and then explain the effects of the outlier when it is included in the calculations.
Data set: 12, 24, 12, 15, 9, 11, 10, 13 Without Outlier
LIBRETA INTERACTIVA
Workspace
Mean
Median
With Outlier
DESCRIPCIÓN
Mean
Mode
Median
Range
Mode Describe the effects of including the outlier. ___________________
Range
DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
______________________________________________________ ______________________________________________________
Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase al usar la actividad y la libreta.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) Statistics
Instructions ● Cut out the task cards below, and glue or tape them into your notebook. ● Follow the instructions for each task. Task 1 ● Plot the data set on the number line below to create a dot plot. ● Calculate the standard deviation and the IQR for this set of data values. ● Circle the values for Q1, Q2, and Q3 in blue.
Task 2: Read the scenario and answer the question. Tara has received offers for summer lifeguarding jobs at two different companies. The mean hourly wage for both companies is $20.
Data set: 12, 24, 12, 15, 9, 11, 10, 13
Q3 = _______
Should Tara accept the job at Company A or Company B? Use the standard deviation in your explanation. _________________________________________
IQR = _______
_________________________________________
Q1 = _______ Q2 = _______
_________________________________________ Standard Deviation: _______
_________________________________________
FOLLETO DEL ESTUDIANTE
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PREPARACIÓN
• Imprima una copia del «Folleto del estudiante» para cada uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Prepare un «Libreta interactiva» al usar un cuaderno de espiral o de composición para cada uno. Los estudiantes pueden utilizar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades. 2. Las instrucciones para cada actividad se proporcionan en el «Folleto del estudiante». 3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos. 4. Las libretas interactivas pueden utilizarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO VOCABULARIO CLAVE
VOCABULARIO ILUSTRADO Dot Plot
Histogram
Box Plot
A method of visually displaying a distribution of data values where each data value is shown as a dot or mark above a number line
A special type of bar graph with numerical intervals as its labels
A diagram that shows the five-number summary of a distribution
2
3
4
Median
Mean
Interquartile Range (IQR)
The middle number of a set of numbers when the numbers are arranged from least to greatest, or the mean of the two middle numbers when the set has two middle numbers
The average of a set of numbers calculated by finding the sum of all data and dividing by the number of data values
The difference between the upper quartile (Q3) and the lower quartile (Q1)
5
6
7
Standard Deviation
Outlier
Two-Way Relative Frequency Table
A measure of how spread out numbers are; calculated by finding the square root of the variance
A number in a set of data that is much larger or smaller than other numbers in the set
A two-way table that displays percentages or ratios, called relative frequencies
8
9
10
Relative Frequency
Joint Frequency
Marginal Frequency
How often a number occurs in a data set divided by the total number of outcomes
The ratio of the frequency in a particular category and the total number of data values
The ratio of the sum of the joint relative frequency in a row or column and the total number of data values
11
12
13
Conditional Relative Frequency
The fraction used to express the ratio of the number of participants in a group that meet a certain qualification 14
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ DESARROLLAR FLUIDEZ CONCEPTUAL
Fix the Mistake! Answer Key Card Number
Math Expert or Fix the Mistake
1
Math expert
2
Fix the mistake
3
Math expert
4
Fix the mistake
The standard deviation is approximately 14.02.
5
Fix the mistake
Graph B is the best representation of the data set.
6
Math expert
7
Math expert
Fix the mistake
8
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: ESTADÍSTICA
Justification
DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes jugarán al juego ¡Corregir el error!
MATERIALES
The data is skewed right.
IMPRESOS • 1 hoja de instrucciones ¡Corregir el error! (por pareja) • 1 juego de tarjetas ¡Corregir el error! (por pareja) • 1 hoja de registro para el estudiante (por alumno) • 1 clave de respuestas de ¡Corregir el error! (por pareja) REUTILIZABLE • 1 sobre o bolsa resellable (por pareja)
PREPARACIÓN
• Haga copias a doble cara de las tarjetas «¡Corregir el error!».
Mean of section A = mean of section B
• Lamínelas para que duren más.
Standard deviation of section A < standard deviation of section B 1
HOJA DE REGISTRO DEL ESTUDIANTE ANSWERING KEY
• Recorte cada una de las tarjetas y colóquelas en un sobre o bolsa resellable para facilitar su distribución y limpieza. • Imprima una «Hoja de registro del estudiante de ¡Corregir el error!» para cada alumno. • Imprima una «Hoja de respuestas de ¡Corregir el error!» para cada pareja de estudiantes. Doble la clave de respuestas de modo que las respuestas queden cubiertas pero el título aparezca en la parte superior de la página. • Coloque a los estudiantes por parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo barajar las tarjetas y colocarlas boca abajo en una pila. 2. Muestre con un estudiante cómo jugar. a.
Baraje las tarjetas y colóquelas boca abajo en una pila entre los jugadores.
b.
El jugador 1 voltea una tarjeta. Ambos jugadores analizan el problema y determinan si la solución proporcionada al problema es correcta y el estudiante que la respondió es un experto en matemáticas o si la solución es incorrecta y es necesario corregir el error.
c.
Los jugadores se turnan para voltear una tarjeta a la vez.
d.
Los jugadores continúan turnándose hasta que se hayan resuelto todas las tarjetas.
e.
Los jugadores deben completar la «Hoja de registro del estudiante ¡Corregir el error!» mientras juegan. (Los jugadores deben rellenar la fila de la «Hoja de registro del estudiante ¡Corregir el error!» que corresponda al número de cada tarjeta).
f.
Una vez analizadas todas las tarjetas, los estudiantes utilizan la «Clave de respuestas de ¡Corregir el error!» para comprobar sus respuestas.
g.
El jugador con más respuestas correctas es el ganador.
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3. Distribuya los materiales del juego. A continuación, pida a los estudiantes que barajen las tarjetas y las coloquen boca abajo en una pila entre los jugadores. 4. Supervise a los estudiantes para asegurarse de que encuentran y registran las respuestas correctas a cada tarjeta utilizando la «Hoja de registro del estudiante ¡Corregir el error!».
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
ELABORAR: REVISIÓN EN ESPIRAL Statistics
REVISAR CONCEPTOS PREVIOS
REVISIÓN EN ESPIRAL: CORTE DE CÉSPED 4 YOU DESCRIPCIÓN Los estudiantes repasan contenidos previos o actuales del grado para ayudar a apoyar su trabajo en el alcance actual y fortalecer las habilidades necesarias para alcances posteriores.
REVISIÓN EN ESPIRAL CENTRADA EN LA PREGUNTA
Lawn Mowing 4 You High schoolers Chao and Spencer run the Lawn Mowing 4 You business. Of course, a lot of kids mow lawns, but Chao and Spencer have turned lawn mowing into a lucrative business. High school senior Spencer started mowing lawns at 8 years old. Spencer realized he needed help keeping up with his growing list of clients during middle school and teamed up with his classmate Chao. By the time the pair was in high school, they had started to employ other high school classmates, paying them $9 per hour. Now Chao and Spencer juggle school, college visits, and the demands of their company, Lawn Mowing 4 You, which offers lawn care, cleanups, snow removal, and more. Scheduling is one of the challenges Chao and Spencer face in running their business. In the summer, they start work in the very early morning and are out until dark. During the school year, they wake up early to get in as much work as possible before school begins. Chao and Spencer have worked very hard to build their business, and they are not only reaping the benefits, but they are continuing to seek opportunities for Lawn Mowing 4 You to grow.
• Pregunta 1
◦ ALG I: Resolver sistemas de ecuaciones lineales en problemas matemáticos y del mundo real. • Pregunta 2 ◦ ALG I: Resolver ecuaciones lineales en una variable. • Pregunta 3 ◦ ALG I: Escribir inecuaciones lineales en dos variables.
1
• Pregunta 4 ◦ ALG I: Resolver sistemas de ecuaciones lineales en problemas matemáticos y del mundo real.
PREPARACIÓN
Statistics
1.
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Chao completed lawn mowing services for some clients who pay $25 and some clients who pay $40. Chao earned a total of $900 after he finished with 30 clients. How many clients paid Chao $25?
2.
What value of x makes this equation true?
1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a tratar de responder a las preguntas de forma independiente sin utilizar recursos externos para ver lo que saben. Invite a los estudiantes a anotar ideas o fragmentos que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas. 3. Utilice las preguntas de «Revisión en espiral» como calentamiento en clase, o envíelas a casa como tareas. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos. 4. Consulte la sección «Revisión en espiral centrada en la pregunta» para evaluar los conocimientos de contenido de los estudiantes o su necesidad de una mayor intervención. Si es necesario repasar más, utilice los «Constructores de fluidez» en los alcances apropiados. 5. El trabajo final incluye una parte de este alcance para que los estudiantes vean la conexión y relevancia de su aprendizaje previo con el actual.
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Chao and Spencer are considering purchasing a new fuel-efficient lawn mower. The boys can find the cost of the specialized fuel by solving for x in the following equation.
The answer is 20 clients. 3.
During the winter season, employees of Lawn Mowing 4 You can earn extra pay of no more than $120 per day. Employees earn an extra $2 per hour by shoveling snow and $6 per hour for holiday light installation. Write an inequality that best represents this scenario. Use x to represent the hours spent shoveling snow and y to represent the hours spent on holiday lights.
The answer is 2x + 6y ≤ 120.
The answer is x = 2. 4.
The system of equations below can be used to find the number of shovels, s, and the number of rakes, r, purchased by Spencer. 12r + 6s = 72 s = 7 + 0.5r What is the solution to the system of equations?
The answer is (2, 8). 2
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS ANALIZAR DATOS
CIENCIA DE DATOS Ciencia de datos es un breve debate en clase basado en un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. La «Parte I» incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los estudiantes en contexto.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizarán, interpretarán y generarán conjuntos de datos, además de responder preguntas basadas en los datos.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 conjunto de datos (por clase) REUTILIZABLES
PARTE II
1. Repase las definiciones de mediana y media, y escriba lo que los estudiantes recuerden en el papel milimetrado. 2. Comente las siguientes preguntas: a. «¿Cuáles son las puntuaciones mínima y máxima en matemáticas?». El puntaje mínimo en matemática es 335 y el puntaje máximo es 659. b. «¿Cuál es el puntaje mediano en matemática?». un puntaje de 385.5 c. «¿Cuál es el rango, o la diferencia entre el puntaje mínimo y el máximo?». 324 puntos d. «¿Cuál es el valor del cuartil superior?». 417 e. «¿Cuál es el valor del cuartil inferior?». 370
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase)
f. «¿Cuál es el rango intercuartil?». 47
• 1 marcador (por clase)
g. «¿Hay valores atípicos y cómo lo sabe?». No, no hay valores atípicos. Todos los valores son menos de 1.5 veces el IQR mayor que el valor Q3 o menor que el valor Q1.
CONSUMIBLES
• 1 trozo de papel milimetrado (por clase)
PREPARACIÓN
• Prepárese para proyectar el «Conjunto de datos» a la clase. • Reúna un pedazo de papel cuadriculado y un marcador.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Proyecte el «Conjunto de Datos TUVA», y prepárese para anotar las observaciones de los estudiantes. 2. Haga clic en «Caja» y seleccione el «Diagrama de caja». 3. Arrastre SAT (puntuación media de matemáticas) al eje x. 4. Realice las siguientes preguntas: a. «¿Qué notas acerca de este conjunto de datos?». b. «¿Qué representa este conjunto de datos?». c. «¿Qué información puedes extraer fácilmente del diagrama de cajas?». d. «¿Qué resumen sobre los datos puedes concluir del diagrama de caja?». e. «¿Qué preguntas tienes sobre los datos?».
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PARTE III: EXPLORACIÓN DE DATOS
1. Haga clic en Hist y seleccione «Histograma de frecuencias». 2. Comente las siguientes preguntas: a. «¿De qué manera la información mostrada en este formato es la misma que en el diagrama de cajas?». Es fácil saber qué puntuó la mayoría de los estudiantes (es decir, dónde caen los datos). b. «¿En qué se diferencia?». El histograma ofrece una representación más precisa de cuántos estudiantes puntuaron en cada intervalo, mientras que el diagrama de caja ofrece una mejor visión general de cómo puntuaron los estudiantes como grupo. c. «¿Un histograma o un diagrama de caja revelaría más fácilmente la mediana y la puntuación mínima y máxima?». Un diagrama de caja revelaría más fácilmente esta información, ya que el histograma tiene cubos de datos en lugar de mostrar los valores exactos de los datos. d. «¿Qué prefieres de los histogramas?». Las respuestas pueden variar. Ejemplo de respuesta: Prefiero el histograma porque los lugares donde los datos están más concentrados tienen la mayor representación visual.
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN
Statistics
EVALUACIÓN DE HABILIDADES
LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN DESCRIPCIÓN Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede utilizarse como evaluación formativa para los maestros y como autoevaluación para los estudiantes.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 folleto del maestro (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del maestro» y un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Statistics Skill or Key Concept Represent data with plots on the real number line (dot plots, histograms, and box plots).
How was the skill or concept observed? ❏ ❏ ❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving Discussion Written explanation
Use statistics appropriate to the shape of the data distribution to compare center (median, mean) and spread (interquartile range, standard deviation) of two or more different data sets.
❏ ❏ ❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving Discussion Written explanation
Interpret differences in shape, center, and spread in the context of the data sets, accounting for possible effects of extreme data points (outliers).
❏ ❏ ❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving Discussion Written explanation
Summarize categorical data for two categories in two-way frequency tables. Interpret relative frequencies in the context of the data (including joint, marginal, and conditional relative frequencies). Recognize possible associations and trends in the data.
❏ ❏ ❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving Discussion Written explanation
Notes and Feedback
1
1. Distribuya un «Folleto del estudiante» a cada uno. 2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Explorar» y «Explicar» del alcance, evalúe formativamente su progreso tomando notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
Statistics
Standards for Mathematical Practice
Make sense of problems and persevere in solving them
3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
Reason abstractly and quantitatively
4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje.
Use appropriate tools strategically
5. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el «Folleto del maestro».
Notes and Feedback
Construct viable arguments and critique the reasoning of others Model with mathematics
Attend to precision Look for and make use of structure Look for and express regularity in repeated reasoning
6. Las notas anecdóticas proporcionadas en el «Folleto del maestro» pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares.
Consider these reflection questions in this scope. ●
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them?
7. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la «Guía de instrucción andamiada» en la sección «Inicio» de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
●
What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
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2
FOLLETO DEL MAESTRO
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
EVALUAR: MAPA DE CALOR
ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
MAPA DE CALOR DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
1. Dé un «Mapa de calor» a cada estudiante junto con lápices de colores rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s).
MATERIALES
2. Los estudiantes utilizan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el «Mapa de calor». Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los estudiantes colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, los estudiantes colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, los estudiantes colorean el cuadro correspondiente de rojo.
• 1 mapa de calor (por estudiante) • 1 lápiz de color rojo (por estudiante) • 1 lápiz de color azul (por estudiante) • 1 lápiz de color naranja (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Determine si los estudiantes analizarán su «Prueba de habilidades», la «Evaluación basada en estándares», o ambas.
3. Anímelos a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a utilizar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada.
• Imprima un «Mapa de calor» para cada estudiante. • Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
4. Consulte la «Guía de instrucción andamiada» que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
Statistics
Statistics
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key.
Reflection Questions
Red – misconception
1. Which skill did you feel most confident with? Why?
Statistics
Blue – miscalculation
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
Skills Quiz Standards
Questions
Represent data with plots on the real number line (dot plots, histograms, and box plots).
1
Use statistics appropriate to the shape of the data distribution to compare center (median, mean) and spread (interquartile range, standard deviation) of two or more different data sets.
2
Interpret differences in shape, center, and spread in the context of the data sets, accounting for possible effects of extreme data points (outliers).
4
5
6
7
8
9
Summarize categorical data for two categories in two-way frequency tables. Interpret relative frequencies in the context of the data (including joint, marginal, and conditional relative frequencies). Recognize possible associations and trends in the data.
Orange – explanation
Red – misconception
Standards-Based Assessment Standards
3 3. Which type of error did you most commonly make?
4. How can you avoid those errors in the future?
1
9
Use statistics appropriate to the shape of the data distribution to compare center (median, mean) and spread (interquartile range, standard deviation) of two or more different data sets.
2
3
8
10
4
7
Interpret differences in shape, center, and spread in the context of the data sets, accounting for possible effects of extreme data points (outliers). Summarize categorical data for two categories in two-way frequency tables. Interpret relative frequencies in the context of the data (including joint, marginal, and conditional relative frequencies). Recognize possible associations and trends in the data.
10
1
2
Questions
Represent data with plots on the real number line (dot plots, histograms, and box plots).
5
6
3
MAPA DE CALOR
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
INTERVENIR: REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES REFORZAR Y VOLVER A ENSEÑAR
REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
DESCRIPCIÓN
1. Dé una copia de la «Revisión rápida» a cada estudiante.
Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para intervención.
2. Cada uno debe completarla de forma individual. 3. Use la rúbrica de habilidades al final de la «Revisión rápida» para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional.
MATERIALES IMPRESO
4. Distribuya una copia del «Repaso» a cada uno.
• 1 revisión rápida (por estudiante)
5. Cada estudiante debe completar el «Repaso» como actividad de intervención o de forma individual.
• 1 repaso (por estudiante) • 1 revisión general (por estudiante)
a. Si lo desea, reúna a los estudiantes en pequeños grupos para trabajar en las destrezas de repaso. Utilice el «Repaso» como ayuda para la reenseñanza.
• 1 lista de verificación para el maestro (por maestro)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de la «Revisión rápida», el «Repaso» y la «Revisión general» para cada estudiante.
6. Distribuya una copia de la «Revisión general» a cada uno. 7. Cada estudiante debe completarla de forma individual.
• Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar el «Repaso».
8. Analice los resultados de la «Revisión general» al usar la «Lista de verificación para el maestro» para identificar quienes necesitan un repaso adicional y quienes han alcanzado el dominio de los conceptos.
• Si lo desea, imprima un ejemplo del «Esquema de anclaje» de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que usen la «Libreta interactiva» como recurso. • Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayudas suplementarias para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
Statistics
3.
Checkup 1.
Statistics
Label each set of data with the correct shape, and then use an inequality or equal sign to compare the mean and median. Shape
Compare Mean and Median
> Symmetric
Mean
=
Median
<
Skewed right
4.
=
Median
<
6.
Compare and label the sets according to their standard deviations.
7.
❏ ❏ ❏
Largest standard deviation Moderate standard deviation Smallest standard deviation
❏ ❏ ❏
Largest standard deviation Moderate standard deviation Smallest standard deviation
❏ ❏ ❏
> Bimodal
The diagram shows the shape of set A and set B. Which of the following statements are correct? Select all that apply. ❏ Set A has a smaller standard deviation than set B because the shape of the data is shorter. ❏ Set B has a smaller standard deviation than set A because the shape of the data is more narrow. ❏ Set A and set B have a similar mean and median. ❏ Set A and set B have a drastically different mean and median. ❏ Set A and set B would both be considered symmetrical in shape. ❏ Set A and set B would both be classified as skewed.
> Mean
Mean
=
Median
5.
<
If a set of data has a mean that is smaller than the median, what else do you know about the data? When the mean is smaller than the median, that tells me the shape of the data is skewed to the left. Most of the data will be on the right.
The heights, in inches, of 10 students are listed below.
9.
When referring to the data, which of the following statements are true? Select all that apply. ❏ ❏ ❏ ❏
The IQR is 6. The median is 61. The data has 1 outlier. The data has 2 outliers.
B
A
B
36
39
75
Under $20,000
12%
13%
25%
89
64
153
$20,000 to $39,999
30%
21%
51%
$40,000 and over
11%
13%
24%
53%
47%
100%
$40,000 and over
Largest standard deviation Moderate standard deviation Smallest standard deviation 8.
The number of books a student read each week of their summer vacation is shown on the plot below along with the five-number summary.
Min
Q1
Median
Q3
Max
1
4
5
6
11
10.
A Under $20,000 $20,000 to $39,999
32
40
72
157
143
300
Which of the following statements are true? Select all that apply. ❏ Of all of the graduates, 47% came from University B. ❏ Of all of the graduates, more than half make $40,000 and over. ❏ About 39% of graduates from University B now make under $20,000. ❏ About 30% of the graduates went to University A and now make between $20,000 and $39,999.
2
A student is interested in the relationship between weather conditions and whether the school bus runs on time. For one year, they recorded the weather each day and whether the school bus arrived on time or was delayed. The results are shown in a two-way frequency table. Complete the columns relative frequency table.
3
On Time
On Time
Delay
Sunny
168
2
170
Cloudy
114
5
119
Rainy
40
16
56
7
13
20
329
36
365
Snowy
Researchers surveyed recent graduates of two different universities (University A and University B) about their income. The following two-way table displays data for the sample of graduates who responded to the survey. Complete the joint and marginal relative frequency table.
Are there any outliers? If yes, list them and explain. If no, explain why not. Yes, the outlier is 11 because it is greater than 9. 1 is not an outlier because it is not less than 1. 1 and 9 were found using the IQR times 1.5 rule. 1
Statistics
{54, 60, 61, 61, 62, 63, 65, 67, 72, 77}
Five-Number Summary 2.
Statistics
Delay
Sunny
51%
6%
Cloudy
35%
14%
Rainy
12%
44%
Snowy
2%
36%
100%
100%
Determine if each statement is true, false, or neither because it cannot be determined. If the statement is true or false, explain how you know.
True False Neither
If a person traveled on a rainy day, the school bus was most likely delayed. This cannot be determined from a column relative frequency table, but the bus was on time 40 of the 56 of the rainy days, which is the majority of the time.
True False Neither
If the school bus was delayed, it was most likely a snowy day. Of the delays, the highest percent was 44%, which was for rainy days. 44% of the delays occurred on a rainy day.
True False Neither
If the school bus was on time, it was most likely a sunny day. Of the on-time occurrences, the highest percent was 51%, which was for sunny days. 51% of the on-time days were sunny.
4
REVISIÓN GENERAL CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
ACELERACIÓN: ¿QUÉ PREFERIRÍAS? Statistics
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
¿QUÉ PREFERIRÍAS?: KITS DE ABURRIMIENTO COVID-19
COVID-19 Boredom Kits Use mathematical reasoning and creativity to justify your answer to the Would You Rather question. Mayor Charles Bayley of City X has decided to deliver COVID-19 Boredom Kits to infected households. They include things like games, crosswords, and some arts and crafts supplies. He can afford to do this for only 21 residents until he does more fundraising. If you were the mayor, where would you rather send the kits based on the data below? Justify your reasoning with mathematics.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 rúbrica (por maestro)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno.
The following statements are sample answers: Community G is currently hardest hit by the pandemic, and it would bring a sense of community to residents there if all 21 of their infected members received a kit. I would prefer to spread out the kits among different communities so that others don’t feel left out. I would give the kits to communities B, E, and F so that each affected resident received a kit. I would save the leftover kits until I fundraised enough to be able to give kits to communities D and/or G.
1
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
• Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a mirar sus folletos de «Explorar» si necesitan repasar habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros. 4. Utilice la rúbrica proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Statistics
OPCIONES PARA EL APRENDIZAJE CONTINUO
TABLERO DE OPCIONES DESCRIPCIÓN Los estudiantes explorarán las conexiones con el mundo real y las aplicaciones del contenido matemático a través de interacciones con actividades atractivas.
MATERIALES IMPRESO
• 1 tablero de opciones (por estudiante) • 1 juego de hojas de actividades (por estudiante) • 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante) REUTILIZABLE
• Tecnología (si corresponde)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Tablero de opciones» y un juego de hojas de actividades para cada estudiante.
Statistics Choose one or more extension activities from the table below. Career Connection
Market Researcher
Research the career field of marketing research. Your research must answer the provided questions. Create a presentation to relay your research to the class.
Science Connection
Ladybug Traits
Analyze ladybug traits by using a two-way table.
Create Your Own
Kitchen Connection
Choose a Statistical Question and Collect Data
Sodium in Soup
Analyze soup can data, and determine which measure of center best represents the data.
Financial Connection
Mathematician Spotlight
Survey your classmates, and interpret the data using measures of center.
Monthly Expenses
We use math every day in our financial world. Explore how our current math topic connects to our financial world by completing the handout.
David Blackwell
Search for several news articles or research papers that involve David Blackwell’s work. Create an informational poster, a diorama, or a speech to convey this mathematician’s work as it relates to statistics.
• Imprima una «Autoevaluación del tablero» para cada estudiante. • Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
TABLERO DE OPCIONES
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» a cada estudiante. 2. Dé tiempo a los estudiantes para examinar el «Tablero de opciones» y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anímelos a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del tablero, haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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ÁLGEBRA 1: ESTADÍSTICAS
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<<GRADE>> DATOS DEL MODELO
ÁLGEBRA 1
REPRESENTAR DATOS ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: DOS VERDADES Y UNA MENTIRA
ESTÁNDARES CLAVE Crear ecuaciones que describan números o relaciones. • Crear ecuaciones en dos o más variables para representar relaciones entre cantidades; graficar ecuaciones en ejes de coordenadas con etiquetas y escalas. Resumir, representar e interpretar datos sobre dos variables categóricas y cuantitativas. • Representar datos sobre dos variables cuantitativas en un diagrama de dispersión y describir cómo se relacionan las variables. • Ajustar una función a los datos; usar funciones ajustadas a los datos para resolver problemas en el contexto de los datos. Usar funciones dadas o elegir una función sugerida por el contexto. Enfatizar los modelos lineales, cuadráticos y exponenciales. • Evaluar informalmente el ajuste de una función al trazar y analizar los Residuales. • Ajustar una función lineal para un diagrama de dispersión que sugiera una asociación lineal. Interpretar modelos lineales. • Interpretar la pendiente (Tasa de cambio) y el intercepto (término constante) de un modelo lineal en el contexto de los datos. • Calcular (con el uso de tecnología) e interpretar el coeficiente de correlación de un ajuste lineal. • Distinguir entre correlación y causalidad.
Los estudiantes participarán en una actividad de «Dos verdades y una mentira» para identificar conceptos erróneos sobre un estándar matemático previo. • Los estudiantes leerán y analizarán tres enunciados para identificar dos verdades y una mentira. • Los estudiantes comentarán sus elecciones y razonamientos con un compañero. • Los estudiantes justificarán su selección de la mentira en un debate en clase. CAPTAR INTERÉS Los estudiantes analizarán datos, calcularán estadísticas de regresión lineal y las usarán para hacer predicciones sobre variables. • Presente el escenario y muestre un video para involucrar a los estudiantes con el concepto de análisis de datos en deportes. • Proyecte y comente el «Representar datos», al motivar a los estudiantes a observar y cuestionar las relaciones matemáticas. • Guíe a los estudiantes a través del cálculo de estadísticas de regresión lineal y dibuje líneas de mejor ajuste.
ACTIVIDADES DE EXPLORACIÓN EXPLORACIÓN 1 : CORRELACIÓN Y CAUSALIDAD Los estudiantes analizarán datos para diferenciar entre correlación y causalidad al evaluar titulares y representaciones de datos. • Los estudiantes trabajarán en grupos para analizar gráficos de dispersión y los titulares correspondientes para evaluar su exactitud. • Los estudiantes construirán y evaluarán enunciados si entonces para determinar la causalidad a partir de datos dados. • Los estudiantes identificarán y comentarán variables ocultas que puedan afectar la relación entre variables. • Los estudiantes participarán en charlas matemáticas para compartir observaciones y refinar su comprensión de la correlación y la causalidad. EXPLORACIÓN 2: REGRESIÓN LINEAL
ESTÁNDARES DE CONEXIÓN Crear ecuaciones que describan números o relaciones. • Crear ecuaciones e inecuaciones en una variable, incluidas las de valor absoluto, y usarlas para resolver problemas. Incluir ecuaciones que surjan de funciones lineales y cuadráticas y funciones racionales y exponenciales simples. Interpretar funciones que surjan en aplicaciones en términos del contexto. • Calcular e interpretar la Tasa de cambio promedio de una función (presentada simbólicamente o como una tabla) en un intervalo específico. Estimar la tasa de variación a partir de una gráfica.
Los estudiantes analizarán datos para escribir ecuaciones para líneas de mejor ajuste, calcular coeficientes de correlación y usar estos modelos para hacer predicciones. • Los estudiantes medirán y recolectarán datos para crear modelos lineales que predigan medidas corporales. • Los estudiantes calcularán e interpretarán el coeficiente de correlación para evaluar la fuerza del ajuste lineal. • Los estudiantes usarán la tecnología para generar líneas de mejor ajuste y compararlas con modelos creados manualmente. • Los estudiantes participarán en debates para evaluar la razonabilidad de sus modelos y predicciones. EXPLORACIÓN 3: RESIDUALES Los estudiantes trazarán y analizarán los residuales para evaluar el ajuste de una función al comparar los valores de los datos reales con los valores predichos a partir de una línea de mejor ajuste. • Los estudiantes analizarán los datos del informe de ventas para identificar patrones y evaluar el ajuste de un modelo lineal. • Los estudiantes calcularán los residuales y crearán gráficos de residuales para evaluar la precisión del modelo lineal. • Los estudiantes colaborarán en grupos para debatir y justificar sus conclusiones al usar el razonamiento matemático. • Los estudiantes interpretarán gráficos de dispersión y residuales para determinar la idoneidad de un modelo lineal para conjuntos de datos dados. EXPLORACIÓN 4: REGRESIÓN CUADRÁTICA Y EXPONENCIAL Los estudiantes analizarán datos para determinar la ecuación que mejor se ajuste, ya sea cuadrática o exponencial, para representar tendencias y hacer predicciones para escenarios del mundo real. • Los estudiantes usarán calculadoras gráficas para analizar datos de población animal e identificar el tipo de función apropiada para representar cambios en el tiempo. • Colaborarán en grupos para calcular funciones de regresión y usarlas para predecir futuras tendencias poblacionales. • Los estudiantes participarán en debates para justificar sus conclusiones y analizar el razonamiento de otros basándose en evidencia matemática. • Completarán un «Boleto de salida» para demostrar su comprensión de los conceptos y aplicar sus habilidades para resolver problemas relacionados.
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS DATOS DEL MODELO <<GRADE>>
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES INVESTIGAR FUNCIONES
MODELAR CON FUNCIONES
INVESTIGAR DATOS
CONCEPTOS CLAVE • Puedo analizar una situación e identificar si existe una asociación o causalidad. • Puedo representar datos sobre dos variables cuantitativas en un diagrama de dispersión y describir cómo se relacionan las variables. • Puedo determinar la línea de mejor ajuste sin tecnología. • Puedo evaluar informalmente el ajuste de una función al trazar y al analizar los Residuales. • Puedo usar la tecnología y el coeficiente de correlación para determinar si una situación está mejor representada por una función lineal, cuadrática o exponencial.
PREGUNTAS FUNDAMENTALES • «¿Cuál es la diferencia entre asociación y causalidad?». • «¿Cómo puedo determinar la línea de mejor ajuste sin tecnología?». • «¿Qué información proporcionan los Residuales?». • «¿En qué se diferencia la regresión lineal, cuadrática y exponencial?». • «¿Qué me dice el coeficiente de correlación sobre la fuerza de la correlación?».
• Puedo resolver problemas al usar la función de mejor ajuste.
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
INICIO: CONTENIDO DE APOYO ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
CONTENIDO DE APOYO Crear ecuaciones que describan números o relaciones. • Crear ecuaciones en dos o más variables para representar relaciones entre cantidades; graficar ecuaciones en ejes de coordenadas con etiquetas y escalas. Resumir, representar e interpretar datos sobre dos variables categóricas y cuantitativas. • Representar datos sobre dos variables cuantitativas en un diagrama de dispersión y describir cómo se relacionan las variables. • Ajustar una función a los datos; usar funciones ajustadas a los datos para resolver problemas en el contexto de los datos. Usar funciones dadas o elegir una función sugerida por el contexto. Enfatizar los modelos lineales, cuadráticos y exponenciales. • Evaluar informalmente el ajuste de una función al trazar y al analizar los Residuales. • Ajustar una función lineal para un diagrama de dispersión que sugiera una asociación lineal. Interpretar modelos lineales. • Interpretar la pendiente (Tasa de cambio) y el intercepto (término constante) de un modelo lineal en el contexto de los datos. • Calcular (con el uso de tecnología) e interpretar el coeficiente de correlación de un ajuste lineal. • Distinguir entre correlación y causalidad.
CONOCIMIENTOS PREVIOS En grados anteriores, los estudiantes calcularon e interpretaron la pendiente e intercepción y. Los estudiantes han construido una función para representar una relación lineal entre dos cantidades. Los estudiantes han ajustado informalmente una recta y han evaluado informalmente el ajuste del modelo al juzgar la proximidad de los puntos de datos a la recta. Los estudiantes han construido e interpretado diagramas de dispersión de datos de medidas bivariantes para investigar patrones de asociación entre dos cantidades. Describen patrones como agrupaciones, valores atípicos, asociación positiva o negativa, asociación lineal y asociación no lineal. Los estudiantes han construido e interpretado una tabla bidireccional que resume datos sobre dos variables categóricas recogidos de los mismos sujetos. Los estudiantes han Usado frecuencias relativas calculadas para filas o columnas para describir la posible asociación entre las dos variables.
CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
• Los estudiantes pueden diferir en sus descripciones de la relación entre conjuntos de datos. Un estudiante puede decir que la relación está débilmente asociada, mientras que otro describe la relación como moderadamente asociada. Se debe animar a los estudiantes a que justifiquen su pensamiento y a que piensen en las relaciones desde la perspectiva del otro estudiante.
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• Los estudiantes pueden tener dificultades para entender un gráfico de dispersión frente a un gráfico de residuales. • Los estudiantes pueden tener dificultades para usar la tecnología. El tiempo para practicar el uso de esta herramienta es vital. • Los estudiantes pueden querer usar sólo el coeficiente de correlación para determinar la idoneidad de la línea de mejor ajuste. El análisis de variables del mundo real es clave.
ALCANCE ACTUAL En este nivel de grado, los estudiantes ampliarán su comprensión de la pendiente y el intercepto para explicar la pendiente y el intercepto en términos del contexto que se representa. Los estudiantes deben ser capaces de usar la tecnología y las herramientas para representar y representar datos, hacer inferencias, probar conjeturas, explorar la correlación, y crear líneas de mejor ajuste con el apoyo de sus respectivos coeficientes de correlación. Los estudiantes deben ser capaces de describir cómo se relacionan las variables en el contexto de la situación al usar descripciones con contexto (a medida que aumenta la variable x, disminuye la variable y , o a medida que aumenta la variable x, aumenta la variable y , por ejemplo). Los estudiantes deben ser capaces de describir asociaciones con referencia a la dirección y la fuerza. Los estudiantes deben ser capaces de analizar diferentes gráficos de residuales para diferentes modelos predictivos y reconocer qué puntos son sobreestimaciones y subestimaciones. TÉRMINOS CLAVE
• ecuación: enunciado matemático que muestra que dos expresiones son iguales entre sí • variable: letra o símbolo que ocupa el lugar de un número que puede cambiar; letra que puede representar un número desconocido o un conjunto de números • relación: la regla en un patrón • escala: representación de la relación entre una medida en un modelo y la medida correspondiente en el objeto real • datos: una colección de hechos organizados, normalmente en forma numérica, pero también pueden darse en palabras, medidas o descripciones • variable cuantitativa: una variable numérica que representa una cantidad medible • diagrama de dispersión: una serie de puntos trazados que muestran la relación entre dos conjuntos de datos • función: una relación especial entre valores; cada valor de entrada devuelve exactamente un valor de salida. • modelo lineal: una relación que cuando se representa gráficamente es una línea recta • modelo cuadrático: una relación que cuando se representa gráficamente es una parábola • modelo exponencial: una relación que cuando se representa gráficamente aumenta o disminuye sin límites • residual: la diferencia entre el valor observado y (del diagrama de dispersión) y el valor predicho y (de la línea de la ecuación de regresión)
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
• asociación lineal: relación proporcional que crea una línea recta en un gráfico • pendiente: inclinación de una línea; se representa como m en la ecuación pendiente-intersección • intercepción: punto o puntos en los que una función o relación se cruza con un eje • coeficiente de correlación: un número r, que describe lo estrechamente relacionados que están los puntos en un diagrama de dispersión, donde -1 ≤ r ≤ 1
ASOCIACIÓN Y CAUSALIDAD Los estudiantes explorarán las diferencias entre correlación y causalidad para hacer generalizaciones sobre los datos. Dos variables muestran correlación si se observa un patrón cuando las variables se representan en un diagrama de dispersión. Las correlaciones pueden ser positivas, negativas o ninguna. Correlación positiva
• ajuste lineal: una línea que representa mejor los datos en un diagrama de dispersión; línea de mejor ajuste • correlación: relación entre dos variables que varían juntas • causalidad: la acción de un suceso que causa que ocurra otro suceso
APLICAR LAS PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su
Correlación negativa
• MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes Usan datos dados para crear ecuaciones de regresión para poblaciones animales, Usan Las ecuaciones para predecir poblaciones animales futuras y relacionan sus conclusiones con el contexto de la situación.
Sin correlación
resolución: Los estudiantes reciben datos que representan un escenario y, a continuación, crean un diagrama de dispersión, encuentran la recta de mejor ajuste y predicen valores futuros al usar los datos. Evalúan sus conclusiones a medida que trabajan con los datos para predecir tendencias y valores.
• MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros: Los estudiantes justifican su razonamiento para seleccionar las líneas de mejor ajuste y analizan el gráfico y el coeficiente de correlación para apoyar sus explicaciones. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes representan escenarios del mundo real en gráficos y con ecuaciones y Usan los datos de los escenarios para crear una recta de mejor ajuste para predecir otros valores en el contexto. • MP.5 Usar estratégicamente las herramientas adecuadas: Los estudiantes Usan calculadoras gráficas para calcular la recta de mejor ajuste de un conjunto de datos, calcular el coeficiente de correlación y usar ese valor para describir los datos. • MP.6 Prestar atención a la precisión: Los estudiantes prestan atención a la precisión cuando grafican datos y eso les permite encontrar con exactitud la ecuación de mejor ajuste y predecir valores futuros.
La causalidad es una explicación del mundo real de por qué una variable está correlacionada con otra. La correlación no implica causalidad. Dos variables podrían estar correlacionadas por coincidencia o por una tercera variable desconocida. Es importante analizar cuidadosamente las variables para determinar la causalidad.
• MP.7 Buscar y hacer uso de la estructura: Los estudiantes Usan lo que saben sobre funciones cuadráticas, exponenciales y lineales para ayudar a determinar qué ecuación se ajustaría mejor a los datos proporcionados. Encuentran la ecuación que mejor se ajusta para predecir datos futuros. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes descubren y generalizan que cuando la gráfica residual parece aleatoria, una línea recta es el mejor ajuste para los datos. También generalizan que las gráficas residuales que muestran una tendencia curva se representan mejor mediante una representación cuadrática o exponencial.
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
Ejemplo: El siguiente gráfico representa la relación entre las ventas de helados y las temperaturas registradas cada día.
Este tipo de tablas no deben usarse solas, sino junto con el diagrama de dispersión para determinar el ajuste adecuado.
REGRESIÓN LINEAL SIN TECNOLOGÍA Ejemplo: El diagrama de dispersión de abajo muestra la cantidad de preguntas perdidas en un examen comparado con la cantidad de minutos dedicados a estudiar para el examen.
a
«¿Qué tipo de correlación representan estos datos?». Representa una correlación positiva. A medida que aumenta la temperatura, aumentan las ventas de helados.
b «¿Se trata de una relación causal? ¿Por qué sí o por qué no?». Sí, esto demuestra causalidad porque las temperaturas más altas hacen que la gente quiera golosinas frías, como el helado. Ejemplo: Un estudio mostró que una disminución en el precio de los aguacates llevó a un aumento en la cantidad de aguacates vendidos. «¿Qué enunciado describe mejor esta relación?». a
Correlación positiva y relación causal
b
Correlación negativa y relación causal
c
Correlación positiva y no una relación causal
d
Correlación negativa y no una relación causal La respuesta correcta es B. La disminución del precio de los aguacates hace que aumenten las ventas de aguacates.
Utilice el diagrama de dispersión para escribir una línea de tendencia. Paso 1: Identifique la tendencia y trace una línea que represente esta tendencia.
REGRESIÓN LINEAL Los estudiantes escribirán una ecuación que represente la línea de mejor ajuste para datos que siguen una tendencia lineal representada en una tabla o diagrama de dispersión. Los estudiantes usarán estas funciones lineales para estimar soluciones y hacer predicciones para problemas del mundo real. La técnica, regresión lineal, calcula la menor distancia entre cada punto de datos y el modelo lineal para los datos. El coeficiente de correlación, r, indica la fuerza del ajuste lineal para los datos.
r>0
Correlación positiva
r<0
Correlación negativa
|r| > 0.70
Correlación fuerte
0.30 < |r| < 0.70
Correlación moderada
|r| < 0.30
Correlación débil
r≈0
Sin correlación
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Paso 2: Calcule la pendiente de la línea al usar dos puntos cerca del centro del diagrama. (20, 6) y (40, 3)
3-6 -3 m = _______ = ___ 40 - 20
20
Paso 3: Utilice la pendiente y la intercepción y o la pendiente y dos puntos para determinar la ecuación de la línea de tendencia. 3 y = -___ x + 9 20
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
REGRESIÓN LINEAL CON TECNOLOGÍA Ejemplo: Las ventas, en miles de dólares, se muestran en la siguiente tabla para la tienda El Emparedado de Sala durante los últimos seis años.
Año, x
1
2
3
4
5
6
Ventas, y
300
320
345
360
390
385
Use la tecnología para escribir una línea de mejor ajuste para estos datos, e interpretar el coeficiente de correlación. Paso 1: Introduzca los datos en la calculadora gráfica. STAT>Edit
Para calcular el residuo de cada punto de datos en el gráfico de dispersión, utilice la ecuación residual: residual = valor y real - valor y predicho. x
Real
Predicción
Residual
1
2
2.5
2 - 2.5 = -0.5
2
4
3
4-3=1
3
3
3.5
3 - 3.5 = -0.5
4
3
4
3 - 4 = -1
5
4.5
4.5
4.5 - 4.5 = 0
6
6
5
6-5=1
7
6.5
5.5
6.5 - 5.5 = 1
8
4
6
4 - 6 = -2
Trace los Residuales en su propio gráfico al usar la coordenada x y el residuo para la coordenada y. Paso 2: Utilice la función de regresión lineal para calcular la recta de mejor ajuste y el coeficiente de correlación. Redondee a la centésima más cercana. STAT>CALC>4:LinReg(ax+b)
y = 18.57x + 285, r = 0.97 Un coeficiente de correlación de 0.97 indica una fuerte correlación entre el incremento de años y el incremento de ventas.
RESIDUALES Los estudiantes examinarán los residuales, la colección de diferencias entre las coordenadas correspondientes en una recta de mínimos cuadrados y el valor real de los datos de una variable para revelar más información sobre el comportamiento de los datos.
El gráfico residual no muestra ningún patrón, lo que indica que una línea recta representará mejor los datos. Las gráficas residuales con un patrón indican que una ecuación de regresión no lineal se ajustaría mejor a los datos.
Para crear un gráfico de residuales, se debe comenzar con un gráfico de dispersión y una recta de mejor ajuste.
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
Ejemplo: El gráfico muestra un conjunto de datos bivariantes y su recta de regresión.
REGRESIÓN CUADRÁTICA Y EXPONENCIAL Los estudiantes escribirán una ecuación que represente la línea de mejor ajuste para datos que siguen una tendencia cuadrática o exponencial representada en una tabla o diagrama de dispersión. Los estudiantes usarán estas funciones para estimar soluciones y hacer predicciones para problemas del mundo real. Ejemplo: Rajin practica sus pases de fútbol en el campo. Lanza la pelota a una altura de metro y medio del suelo. La siguiente tabla muestra la altura dla pelota, h(t), en diferentes momentos.
«¿Cuál de las siguientes opciones muestra el diagrama de residuales para el mismo conjunto de datos?».
a
Tiempo (segundos), t
Altura (pies), h(t)
0.5
26
1
39
1.5
44
2
41
2.5
30
3
11
Basándote en la tabla, «¿qué función, h(t), puede usarse mejor para representar la situación?». Paso 1: Introduce los datos en la calculadora gráfica. STAT>Edit b
c
Paso 2: Los datos parecen estar mejor representados por una función cuadrática. A medida que los valores x aumentan constantemente, los valores y aumentan y luego disminuyen. Utilice la función de regresión cuadrática para calcular la línea de mejor ajuste y el coeficiente de correlación. STAT>CALC>5:QuadReg d La respuesta correcta es B. Al marcar los Residuales en el gráfico, se puede ver que hay tres Residuales negativos en x = 3, x = 4, x = 5. La única opción viable es la opción B.
y = -16x2 + 50x + 5
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
Ejemplo: En 2015, el precio medio de venta de una vivienda en la zona rural de Oklahoma era de 155,000 dólares. La tabla muestra cómo cambió ese valor en los años siguientes. Años desde 2015, x
Precio de venta, f(x)
0
$155,000
1
$164,000
2
$174,000
3
$185,000
4
$192,000
AVANCES En álgebra 2, los estudiantes predecirán y harán juicios basados en información de regresión calculada a partir de datos lineales, cuadráticos y exponenciales. Los estudiantes usarán las habilidades aprendidas en álgebra 1 y las aplicarán para explorar el concepto de significación estadística.
a Si los precios cambian a este ritmo, escribe una función exponencial, f(x), que describa mejor los datos. Paso 1: Introduce los datos en la calculadora gráfica. STAT>Edit
Paso 2: Utilice la función de regresión exponencial para calcular la línea de mejor ajuste. Redondee a la centésima más cercana. STAT>CALC>0:ExpReg
f(x) = 155,448.37(1.06)x b
«¿Cuál será el precio medio de venta de una vivienda en 2025?». Usa la ecuación de regresión para f(x) = 155,448.37(1.06)06)x y sustituya 10 por x. f(x) = 155,448.37(1.06)10 = $278,384.36
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
ANÁLISIS PROFUNDO DE LOS ESTÁNDARES
CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES Crear ecuaciones que describan números o relaciones. • Crear ecuaciones en dos o más variables para representar relaciones entre cantidades; graficar ecuaciones en ejes de coordenadas con etiquetas y escalas. Resumir, representar e interpretar datos sobre dos variables categóricas y cuantitativas. • Representar datos sobre dos variables cuantitativas en un diagrama de dispersión y describir cómo se relacionan las variables. • Ajustar una función a los datos; usar funciones ajustadas a los datos para resolver problemas en el contexto de los datos. Usar funciones dadas o elegir una función sugerida por el contexto. Enfatizar los modelos lineales, cuadráticos y exponenciales. • Evaluar informalmente el ajuste de una función al trazar y al analizar los Residuales. • Ajustar una función lineal para un diagrama de dispersión que sugiere una asociación lineal. Interpretar modelos lineales. • Interpretar la pendiente (Tasa de cambio) y el intercepto (término constante) de un modelo lineal en el contexto de los datos. • Calcular (con el uso de tecnología) e interpretar el coeficiente de correlación de un ajuste lineal. • Distinguir entre correlación y causalidad.
DESGLOSAR EL ESTÁNDAR VERBOS: ¿QUÉ DEBERÍAN HACER LOS ESTUDIANTES? • crear: hacer algo de la nada • representar: mostrar cómo se relacionan los términos; representar otra cosa • graficar: trazar un conjunto de puntos en un plano de coordenadas • describir: escribir o contar los detalles de • ajustar: hacer la forma y el tamaño correctos • usar: aplicar una estrategia • evaluar: evaluar si algo parece correcto • trazar: indicar la posición de un número con respecto al cero en una recta numérica o con respecto al origen en un plano de coordenadas • analizar: explorar y explicar • interpretar: explicar el significado de • calcular: encontrar una respuesta al usar la lógica matemática u operaciones como la suma, la resta, la multiplicación y/o la división • diferenciar: distinguir las diferencias entre
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SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBEN CONOCER LOS ESTUDIANTES?
• ecuación: un enunciado matemático que muestra que dos expresiones son iguales entre sí • variable: una letra o símbolo que toma el lugar de un número que puede cambiar; una letra que puede representar un número desconocido o un conjunto de números • relación: la regla en un patrón • cantidad: un número o cantidad; una cantidad que dice cuánto • ejes de coordenadas: dos rectas numéricas perpendiculares llamadas eje x y eje y, que se cruzan en el punto (0, 0) y crean cuatro cuadrantes • escala: la representación de la relación entre una medida en un modelo y la medida correspondiente en el objeto real • datos: una colección de hechos organizados, normalmente en forma numérica, palabras, medidas o descripciones • variable cuantitativa: una variable numérica que representa una cantidad mensurable • diagrama de dispersión: una serie de puntos trazados que muestran la relación entre dos conjuntos de datos • función: una relación especial entre valores; cada valor de entrada devuelve exactamente un valor de salida • modelo linear: una relación que cuando se representa gráficamente es una línea recta • modelo cuadrático: • modelo exponencial: una relación que cuando se representa gráficamente aumenta o disminuye sin límite • residual: la diferencia entre el valor y observado (del diagrama de dispersión) y el valor y una relación que cuando se representa gráficamente es una parábola predicha (de la línea de la ecuación de regresión) • asociación lineal: relación proporcional que crea una línea recta en un gráfico • pendiente: pendiente de una línea; representada como m en la ecuación pendiente-intersección • intercepción: punto o puntos en los que una función o relación interseca un eje • coeficiente de correlación: número r, que describe la relación entre los puntos de un diagrama de dispersión, donde -1 ≤ r ≤ 1 • línea de tendencia (línea de mejor ajuste): línea que se Usa para representar el comportamiento de un conjunto de datos con el fin de determinar si existe un determinado patrón; se Usa con mayor frecuencia junto con el diagrama de dispersión para ver si existe una relación entre dos variables • correlación: relación entre dos variables que varían juntas • causalidad: acción de un suceso que provoca otro suceso. ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA
• En grados anteriores, los estudiantes calcularon e interpretaron la pendiente y intercepción y. Los estudiantes construyeron una función para representar una relación lineal entre dos cantidades. Los estudiantes ajustaron informalmente una línea recta y evaluaron informalmente el ajuste del modelo al juzgar la cercanía de los puntos de datos a la línea. Los estudiantes construyeron e interpretaron diagramas de dispersión de datos de medidas bivariantes para investigar patrones de asociación entre dos cantidades. Los estudiantes describieron patrones como agrupaciones, valores atípicos, asociación positiva o negativa, asociación lineal y asociación no lineal. Los estudiantes construyeron e interpretaron una tabla bidireccional que resumía datos sobre dos variables categóricas recogidos de los mismos sujetos. Los estudiantes usaron frecuencias relativas calculadas para filas o columnas para describir una posible asociación entre las dos variables. • En este nivel de grado, los estudiantes ampliarán su comprensión de la pendiente y el intercepto para explicar la pendiente y el intercepto en términos del contexto que se representa.
• Proporcionar a los estudiantes una serie de conjuntos de datos y contextos les ayuda a establecer conexiones entre diferentes gráficos, descripciones y representaciones. Si es necesario, ayude a los estudiantes a centrarse en aspectos como la escala para ayudarles a desarrollar interpretaciones razonables de los gráficos. • Escuche atentamente el vocabulario que Usan los estudiantes, sobre todo cuando hablen de conceptos que vienen en parejas (variables independientes o dependientes, causalidad o correlación, etc.) para asegurarse de que Usan los términos correctamente. • Haga hincapié en la conexión entre el coeficiente de correlación y los cálculos de la recta de mejor ajuste, como la media de las variables dependiente e independiente. • El uso de datos reales ayuda a los estudiantes a contextualizar las representaciones que crearon.
• Los estudiantes deben ser capaces de usar la tecnología y las herramientas para representar y representar datos, hacer inferencias, probar conjeturas, explorar la correlación y crear líneas de mejor ajuste apoyadas por sus respectivos coeficientes de correlación. Los estudiantes deben ser capaces de describir cómo se relacionan las variables en el contexto de la situación al usar descripciones con contexto como «a medida que aumenta la variable x, disminuye la variable y» o «a medida que aumenta la variable x, aumenta la variable y». Los estudiantes deben ser capaces de describir asociaciones con referencia a la dirección y la fuerza. Los estudiantes deben ser capaces de analizar diferentes gráficos de residuales para diferentes modelos predictivos y reconocer qué puntos son sobreestimaciones y cuáles son subestimaciones. Los estudiantes deben ser capaces de justificar, explicar y razonar la diferencia entre correlación y causalidad. • Cuando los estudiantes tienen múltiples experiencias con la conexión de valores predichos y valores observados de un diagrama de dispersión con su diagrama residual, puede ayudarles a conceptualizar los puntos del diagrama residual y a explicarlos en su contexto. La tecnología interactiva que permite a los estudiantes cambiar la recta de mejor ajuste mientras observan los cambios en el gráfico residual es una forma de que los estudiantes observen la relación.
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
ALINEACIÓN VERTICAL GRADO
ESTÁNDAR Comprender que la estadística se puede usar para obtener información sobre una población al examinar una muestra de las poblaciones; las generalizaciones sobre una población a partir de una muestra sólo son válidas si la muestra es representativa de esa población. Comprender que el muestreo aleatorio tiende a producir muestras representativas y a apoyar inferencias válidas.
7
Usar datos de una muestra aleatoria para hacer inferencias sobre una población con una característica de interés desconocida. Generar múltiples muestras (o muestras simuladas) del mismo tamaño para calibrar la variación en las estimaciones o predicciones. Por ejemplo, estimar la longitud media de las palabras de un libro mediante un muestreo aleatorio de palabras del libro; predecir el ganador de unas elecciones escolares basándose en datos de una encuesta muestreados aleatoriamente. Calcule qué tan lejos puede estar la estimación o predicción. Interprete la Tasa de cambio y el valor inicial de una función lineal en términos de la situación que representa, y en términos de su gráfica o una tabla de valores.
8
Sepa que las líneas rectas se usan ampliamente para representar relaciones entre dos variables cuantitativas. Para diagramas de dispersión que sugieren una asociación lineal, ajustar informalmente una línea recta y evaluar informalmente el ajuste del modelo al juzgar la cercanía de los puntos de datos a la línea. Usar la ecuación de un modelo lineal para resolver problemas en el contexto de datos de medición bivariados, al interpretar la pendiente y la intercepción. Por ejemplo, en un modelo lineal para un experimento de biología, interpretar una pendiente de 1.5 cm/hr como que una hora adicional de luz solar cada día está asociada con 1.5 cm adicionales en la altura de una planta madura. Para una función que representa una relación entre dos cantidades, interpretar características clave de gráficas y tablas en términos de las cantidades, y bosquejar gráficas que muestren características clave dada una descripción verbal de la relación. Las características clave incluyen: interceptos; intervalos donde la función es creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos; simetrías; comportamiento final; y periodicidad. Crear ecuaciones en dos o más variables para representar relaciones entre cantidades; graficar ecuaciones en ejes de coordenadas con etiquetas y escalas.
Distinguir entre situaciones que pueden representarse con funciones lineales y con funciones exponenciales. a
Demostrar que las funciones lineales crecen por diferencias iguales en intervalos iguales, y que las funciones exponenciales crecen por factores iguales en intervalos iguales.
b
Reconocer situaciones en las que una cantidad cambia a una tasa constante por intervalo unitario en relación con otra.
c
Reconocer situaciones en las que una cantidad crece o decrece a una tasa porcentual constante por intervalo unitario en relación con otra.
Representar datos sobre dos variables cuantitativas en un diagrama de dispersión, y describir cómo se relacionan las variables. HS
a
Ajustar una función a los datos; usar funciones ajustadas a los datos para resolver problemas en el contexto de los datos. Usar funciones dadas o elegir una función sugerida por el contexto. Enfatizar los modelos lineales, cuadráticos y exponenciales.
b
Evaluar informalmente el ajuste de una función al trazar y al analizar los Residuales.
c
Ajustar una función lineal para un diagrama de dispersión que sugiera una asociación lineal.
Interpretar la pendiente (Tasa de cambio) y el intercepto (término constante) de un modelo lineal en el contexto de los datos.
Calcular (con el uso de tecnología) e interpretar el coeficiente de correlación de un ajuste lineal.
Distinguir entre correlación y causalidad.
Resumir, representar e interpretar datos de un solo conteo o variable de medición a
Usar la media y la desviación estándar de un conjunto de datos para ajustarlos a una distribución normal y estimar porcentajes poblacionales. Reconocer que hay conjuntos de datos para los que tal procedimiento no es apropiado. Usar calculadoras, hojas de cálculo y tablas para estimar áreas bajo la curva normal.
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INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA MONITOREAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA La guía de instrucción andamiada se proporciona para que los maestros puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones del alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que ayuda a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de la evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos según los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere que todos los estudiantes experimenten con los elementos: «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades», ya que cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar.
0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
80 % - 100 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil pueden trabajar en contenido de nivel de grado con apoyos de instrucción.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» individual para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 2. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante de acuerdo con sus datos de evaluación. 3. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la sección «Scaffolded Instruction Guide» en el menú desplegable «Home» del alcance. 4. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Representar datos de dos variables cuantitativas en un diagrama de dispersión y describir cómo se relacionan las variables.
8 - Resolución de pares de ecuaciones lineales Constructor de fluidez • Corrige el error Práctica interactiva • Misión del droide
0 % - 25 %
Repaso y práctica de habilidades
Ajustar una función a los datos; usar funciones ajustadas a los datos para resolver problemas en el contexto de los datos. Usar funciones dadas o elegir una función sugerida por el contexto. Enfatizar modelos lineales, cuadráticos y exponenciales.
b
Evaluar informalmente el ajuste de una función al trazar y al analizar los Residuales.
c
Ajustar una función lineal para un diagrama de dispersión que sugiere una asociación lineal.
Alg.I - Representar datos
• Revisión rápida (preguntas 3 y 5) • Repaso (Regresión lineal, sección de coeficiente de correlación, regresión cuadrática, sección de regresión exponencial) • Revisión general (preguntas 4, 6, 10)
(Nivel de grado con apoyos)
Constructor de las bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades
Prueba de habilidades
Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (preguntas 1, 3, 4 y 5) • Repaso (Regresión lineal, sección de coeficiente de correlación, residuales, sección de analizar el patrón, regresión cuadrática, sección de regresión exponencial) • Revisión general (pregunta 1, 4, 5, 6, 9 y 10)
(Nivel de grado)
50 % - 80 %
Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva Constructor de fluidez • Corrige el error
Alg.I - Representar datos Tablero de opciones
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80 % - 100 %
Ciencia de datos (Ampliación del nivel de grado)
(Nivel de grado)
50 % - 80 % 80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
Ciencia de datos
• ¡Bum!
Alg. I - Representar datos
Vocabulario interactivo
• Corrige el error
Cnstructor de fluidez
Constructor de las bases fundamentales
Vocabulario ilustrado
Constructor de fluidez
Repaso y práctica de habilidades
Acceso a conocimientos previos
Alg.I - Representar datos
Libreta interactiva
8 - Patrones en datos bivariados
Alg.I - Representar datos
Acceso a conocimientos previos
25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyos)
25 % - 50 %
Prueba de habilidades
a
(Refuerzo del grado anterior)
0 % - 25 %
(Refuerzo del grado anterior)
Crear ecuaciones en dos o más variables para representar relaciones entre cantidades; graficar ecuaciones en ejes de coordenadas con etiquetas y escalas.
Alg.I - Representar datos Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Calcula (al usar la tecnología) e interpreta el coeficiente de correlación de un ajuste lineal.
8 - Tasa de cambio
Repaso y práctica de habilidades
Repaso y práctica de habilidades
Constructor de fluidez
Cnstructor de fluidez
• ¡A Pescar! Práctica interactiva • Primer contacto Prueba de habilidades 8 - Patrones en datos bivariados Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez
(Refuerzo del grado anterior)
8 - Tasa de cambio
0 % - 25 %
0 % - 25 %
(Refuerzo del grado anterior)
Interpretar la pendiente (Tasa de cambio) y el intercepto (término constante) de un modelo lineal en el contexto de los datos.
• ¡Bum!
25 % - 50 %
Constructor de las bases fundamentales
• Primer contacto Prueba de habilidades 8 - Patrones en datos bivariados Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez Prueba de habilidades
(Nivel de grado con apoyos)
25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyos)
Acceso a conocimientos previos
Práctica interactiva
• ¡Bum!
Prueba de habilidades
Alg.I - Representar datos
• ¡A pescar!
Alg.I - Representar datos Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (pregunta 3) • Repaso (Regresión lineal, sección de coeficiente de correlación)
Ciencia de datos
(Nivel de grado)
Vocabulario interactivo
50 % - 80 %
Vocabulario ilustrado
Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva Constructor de fluidez • Corrige el error Ciencia de datos
Alg.I - Representar datos Tablero de opciones
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80 % - 100 %
(Nivel de grado)
Alg.I - Representar datos
Alg.I - Representar datos
(Ampliación del nivel de grado)
80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
50 % - 80 %
• Revisión general (preguntas 3 y 8)
Alg.I - Representar datos ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
0 %-25 % 25 % - 50 % 50 % - 80 %
(Nivel de grado)
80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
(Nivel de grado con apoyos)
(Refuerzo del grado anterior)
Distinguir entre correlación y causalidad.
8 - Patrones en datos bivariados Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • ¡Bum! Prueba de habilidades
Alg.I - Representar datos Acceso a conocimientos previos Constructor de las bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (pregunta 2) • Repaso (Asociación, sección de causación) • Revisión general (preguntas 2 y 7)
Alg.I - Representar datos Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Ciencia de datos
Alg.I - Representar datos Tablero de opciones
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
ATRAER: ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS Model Data
EVALUAR PREVIAMENTE EL CONOCIMIENTO DEL ESTUDIANTE
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: DOS VERDADES Y UNA MENTIRA
Two Truths and a Lie Read each statement. Identify the two truths with check marks and the one lie with an X.
ESTÁNDAR PREVIO Saber que las líneas rectas son ampliamente Usadas para representar relaciones entre dos variables cuantitativas. Para gráficos de dispersión que sugieren una asociación lineal, ajuste informalmente una línea recta y evalúe informalmente el ajuste del modelo al juzgar la cercanía de los puntos de datos a la línea.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes identificarán dos verdades y una mentira al leer afirmaciones sobre el estándar previo. Este elemento está diseñado para descubrir los conceptos erróneos de los estudiantes, no debe tomarse para una calificación.
The trend observed in this data is that the more time students spend on their phones, the less time they sleep.
Most students slept 5 hours per night.
MATERIALES Students who spent about 15 hours per week on their phones slept about 8 hours a night.
IMPRESO 1
DOS VERDADES Y UNA MENTIRA
• 1 dos verdades y una mentira (por estudiante o por grupo)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de «Dos verdades y una mentira» para cada estudiante o grupo. • Puede dividir a los estudiantes en grupos de dos o tres.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Lea el enunciado en voz alta a la clase. 2. Conceda 2 minutos a los estudiantes para que lean los tres enunciados y determinen las dos verdades y la mentira. 3. Pida a los estudiantes que compartan con un compañero de hombro cómo marcaron sus hojas y por qué. 4. Conceda de 2 a 5 minutos de debate. 5. Pida a los estudiantes que justifiquen sus elecciones para la mentira. a. La segunda afirmación es incorrecta porque, según el diagrama de dispersión, no hay una mayoría de estudiantes que hayan dormido 5 horas. Deben prestar atención a las marcas de los ejes para ayudar a dar sentido a los datos. 6. Si los estudiantes tienen dificultades para completar esta tarea, pase al «Constructor de fundamentos» con el fin de llenar este vacío en los conocimientos previos antes de pasar a otras partes del alcance.
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
ATRAER: CAPTAR INTERÉS LECCIÓN MOTIVADORA
CAPTAR INTERÉS DESCRIPCIÓN
Model Data How could this data help Billy Beane predict the future runs scored by this baseball player?
Los estudiantes analizarán un conjunto de datos, calcularán estadísticas de regresión lineal y usarán esa información para hacer predicciones sobre las variables.
MATERIALES IMPRESO
• 1 representar datos (por clase) REUSABLE
• 1 video de fenómenos (por clase)
PREPARACIÓN
• Planee mostrar el video. • Prepárese para proyectar el «Representar datos» para que toda la clase los vea. Opcionalmente, el «Representar datos» pueden imprimirse para su proyección a través de una cámara de documentos. • Prepárese para presentar el escenario y anímelos a pensar en cómo resolverlo. Prepárese para pasar a las actividades de «Exploración», al regresar a la actividad «Captar interés» con los nuevos conocimientos adquiridos una vez que se hayan completado las exploraciones.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA 1. Presente esta actividad hacia el comienzo del alcance. La clase retomará la actividad y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades «Explorar» correspondientes. 2. Lea el siguiente escenario mientras muestra el video detrás de usted: «Billy Beane utilizó el análisis de datos para elegir y cambiar jugadores de béisbol con el objetivo de crear un equipo de alto rendimiento a partir de la organización de béisbol para la que trabajaba. Analizaba las estadísticas de los jugadores y elegía jugadores infravalorados basándose estrictamente en sus datos. A veces, esto significaba ceder a los jugadores de alto perfil y salario a cambio de una mayor cantidad de jugadores más jóvenes y menos caros. A pesar de su bajo presupuesto, consiguió crear un equipo de alto rendimiento, y sus métodos de análisis de datos fueron copiados por muchos equipos profesionales de diversos deportes».
REPRESENTAR DATOS
c. «¿Dónde puedes ver las matemáticas en esta situación?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. Las respuestas de los estudiantes pueden variar. He aquí algunos ejemplos de respuestas de estudiantes: Sé que los promedios de bateo se calculan al usar matemáticas, pero me pregunto qué otras estadísticas son útiles. Me pregunto qué estadísticas utilizó Billy Beane para hacer su prediccións. 6. Complete las actividades de «Exploración». PARTE II: DESPUÉS DE EXPLORAR 1. Muestre el video de fenómenos nuevamente, y vuelva a plantear el problema. 2. Refiérase a el «Representar datos», y comente las siguientes preguntas: a.
DOK-1 «¿Cómo podemos usar estos datos para hacer predicciones sobre el futuro de este jugador?». Puedo dibujar una línea de mejor ajuste, calcular una ecuación de regresión lineal y usar esa ecuación para predecir la cantidad de carreras anotadas para cualquier porcentaje en base.
b.
DOK-1 «¿Qué tipo de función representaría mejor esta relación?». Creo que una función lineal funcionaría mejor.
c.
DOK-1 «¿Cómo puedes encontrar la ecuación de regresión lineal a mano?». Puedo dibujar la línea de mejor ajuste y luego identificar la pendiente y intercepción y de esa línea.
d.
DOK-1 «¿Sientes que tienes una sólida comprensión del representado de datos y del uso de ecuaciones de regresión para hacer predicciones?». Las respuestas variarán en función del éxito de los estudiantes durante la actividad y de su nivel de confianza.
3. Proyecte «Representar datos». 4. Explique que éste es un ejemplo del tipo de datos que Billy Beane analizaría para predecir la capacidad futura del equipo para anotar carreras. Este diagrama de dispersión muestra la relación entre el porcentaje en base de un jugador y las carreras anotadas durante sus primeras cinco temporadas. 5. Haga las siguientes preguntas a los estudiantes: a.
«¿Qué notan?».
b.
«¿Qué se preguntan?».
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 1: CORRELACIÓN Y CAUSALIDAD DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes analizarán datos para distinguir entre correlación y causalidad.
PARTE I
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros: Los estudiantes justificarán conclusiones con ideas matemáticas. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes representarán las matemáticas para describir una situación, ya sea con una ecuación o un diagrama, e interpretarán los resultados de una situación matemática. • MP.8 Buscar y expresar regularidades en razonamientos repetidos: Los estudiantes comprenderán la aplicación más amplia de patrones y verán la estructura en situaciones similares. Los estudiantes evaluarán continuamente la razonabilidad de sus resultados intermedios.
MATERIALES
1. Lea la siguiente situación a la clase: «Se formará para ser el nuevo director de The Daily Times, el periódico de su escuela. Como nuevo director, te comprometes a publicar sólo titulares que representen fielmente la información. Analiza la información y determina si cada titular es una representación exacta». 2. Distribuya un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para analizar cada gráfico de dispersión y el titular correspondiente para determinar si el titular es una representación exacta de la información. Los estudiantes anotarán sus respuestas y explicaciones en sus diarios». 4. Supervise a los estudiantes mientras colaboran en su trabajo. Utilice las siguientes preguntas guías para evaluar su comprensión: a.
DOK-1 «¿Qué significa el término correlación positiva?». El término correlación positiva significa que a medida que una variable aumenta, la otra también aumenta.
b.
DOK-1 «¿Qué significa el término correlación negativa?». El término correlación negativa significa que a medida que una variable aumenta, la otra disminuye.
c.
DOK-2 «¿Cuáles son algunas de las razones por las que el segundo titular no representa con exactitud los datos?». Ambas variables podrían aumentar debido a las temperaturas más cálidas. Cuando hace más calor afuera, más gente podría comprar gafas de sol y más gente podría querer helado.
IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por 2 estudiantes) • 1 juego de tarjetas de propuesta (por grupo) REUSABLE
• 1 bolsa resellable (por grupo)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 2 o 3 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima y recorte un juego de «Tarjetas de propuesta» para cada grupo de estudiantes. Coloque cada juego de tarjetas en una bolsa resellable. Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para usarlas en el futuro. • Imprima un «Boleto de salida» para cada pareja. Recorte los «Boleto de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno.
5. Conceda a los estudiantes suficiente tiempo para completar la parte I, y luego invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Cuáles son algunas razones para una correlación positiva entre las ventas de helado y las ventas de gafas de sol?». Las temperaturas más cálidas podrían hacer que ambas variables aumentaran. La tienda de helados y la de gafas de sol podrían estar situadas cerca la una de la otra, al incitar a los mismos compradores a visitar ambas tiendas. • DOK-2 Los matemáticos llaman a estas razones variables al acecho. «¿Por qué crees que se Usa este término?». Lurking significa oculto, por lo que se trata de variables que podrían estar ocultas en la historia o de información que afecta a la relación entre las dos variables principales. • DOK-1 Complete este enunciado al usar la información de la pregunta 1: Si se consume más cafeína, entonces ______. Si se consume más cafeína, entonces se pasan menos horas al dormir. • DOK-1 «¿Es correcta esta afirmación si entonces? ¿Por qué o por qué no?». Sí, esta afirmación es exacta porque consumir más cafeína hace que una persona duerma menos.
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
Da la siguiente explicación a la clase: Los matemáticos dirían que esta relación representa la causalidad, donde un suceso se ve afectado por el otro suceso. Vamos a explorar la causalidad en la parte II.
Model Data Explore 1
Extra! Extra! Correlation or Causation? Part I
Analyze each scatterplot and corresponding headline to determine whether the headline is an accurate representation of the data.
PARTE II
1. Lea la siguiente situación a la clase: «Como editor, debes aprobar los datos y los titulares propuestos que te presentan los redactores. Recuerde que usted se compromete a imprimir únicamente titulares que representen fielmente la información. Analice cada tarjeta de propuesta para determinar si existe correlación y causalidad, y utilice esa información para determinar si aprueba o no el titular propuesto». 2. Distribuya un juego de «Tarjetas de propuesta» a cada grupo. 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para analizar cada tarjeta de propuesta y determinar si existe correlación entre las variables. A continuación, los estudiantes usarán cada titular para escribir afirmaciones si entonces que ayuden a determinar la causalidad. 4. Dé a los grupos un minuto para analizar y debatir la Propuesta A. Formule a los estudiantes las siguientes preguntas: a. DOK-1 «¿Cuáles son las variables en la propuesta A?». Las variables son la cantidad de paradas de autobús y el tiempo que se tarda en completar la ruta. b. DOK-1 «¿Existe una correlación entre estas variables?». En caso afirmativo, «¿de qué tipo?». Sí, las dos variables representan una correlación positiva. A medida que aumenta la cantidad de paradas de autobús, también aumenta el tiempo que se tarda en completar la ruta. c. Indique a los estudiantes que el enunciado si entonces se crea al escribir: «Si ocurre el primer suceso, entonces ocurre el segundo». Lea el enunciado si entonces del «Diario del estudiante» para la propuesta A. d. DOK-1 «¿La variable "si" hace que ocurra la variable "entonces"?». Sí, un aumento en la cantidad de paradas de autobús causará directamente que el tiempo para completar la ruta aumente. e. Recuerde a los estudiantes que cuando un evento se ve afectado por el otro evento, esa relación es causal.
1.
There is a negative correlation between the amount of caffeine consumed and the number of hours a person sleeps.
2.
Is this headline an accurate representation of the data? Explain your reasoning. This headline is accurate because caffeine is known to keep people awake, so consuming more caffeine could lead to fewer hours of sleep.
There is a positive correlation between ice cream sales at the beach and sunglasses sales.
Is this headline an accurate representation of the data? Explain your reasoning. This headline is not accurate. Ice cream sales have nothing to do with sunglasses sales. Both would increase with warmer weather. 1
Model Data Explore 1
Part II
Analyze each Proposal Card to determine if there is a correlation between the variables. Write each headline in if–then form. Consider whether or not the if variable is a cause and the then variable is an effect to determine if the headline represents causation. Proposal Card
If–Then Statement
Correlation? (If so, what type?)
Causation?
Proposal A
If the number of bus stops increases, then the amount of time to complete the route increases.
✓ Positive
✓
Proposal B
If the price of nachos increases, then the price of a soft drink increases.
✓ Positive
Proposal C
If a person smokes more, then they have a higher probability of developing lung cancer.
✓ Positive
Proposal D
If a person runs longer, then they will send fewer text messages.
✓ Negative
Proposal E
If a person eats more protein, then they will score more points in a game.
✓ Positive
✓
2
Model Data Explore 1
Reflect 1.
Which proposals would you approve? Explain your reasoning. I would approve proposals A and C. All of the headlines imply causation, but A and C are the only causal relationships.
2.
Name the possible lurking variables for Proposal E. ● The amount the athlete practices ● The years of experience the athlete has completed ● Other factors of the diet besides protein
3.
Create a new scenario that would represent the criteria described below. Answers will vary. Sample student answers are below. a. Positive correlation but not causal There is a positive correlation between the number of text messages that a person sends and the number of friends they have. But sending more text messages does not cause an increase in the number of friends. b. Positive correlation and causal There is a positive correlation between the number of hours of daylight and the average temperature of a region. c. Negative correlation but not causal There is a negative correlation between a person’s height and the amount of milk they drink each day. But growing taller does not cause a person to drink less milk. d. Negative correlation and causal There is a negative correlation between the time it takes to run a race and the speed of the runner.
4.
Can two variables show causation but not association? No. Causation means that one variable causes a change in the other variable. If the relationship is causal, then there will be a positive or negative correlation. 3
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
5. Anímelos a colaborar con sus grupos para completar el resto de la parte II y registrar su trabajo en sus diarios».
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Model Data Explore 1
CHARLA DE MATEMÁTICAS
Correlation and Causation Exit Ticket Which situation best represents causation? A.
When the number of soccer games increases, the number of minor traffic accidents increases.
B.
When the number of miles driven increases, the amount of gas left in the tank decreases.
C.
When the number of dance routines learned increases, the number of first-place finishes increases.
D.
When the quantity of soda consumed increases, the attention span decreases.
Model Data Explore 1
Correlation and Causation Exit Ticket Which situation best represents causation? A.
When the number of soccer games increases, the number of minor traffic accidents increases.
B.
When the number of miles driven increases, the amount of gas left in the tank decreases.
C.
When the number of dance routines learned increases, the number of first-place finishes increases.
D.
When the quantity of soda consumed increases, the attention span decreases.
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
6. Supervise a los estudiantes mientras colaboran en su trabajo. Utilice las siguientes preguntas guías para evaluar su comprensión:
• DOK-3 Compara y contrasta correlación y causalidad. Ambas analizan las relaciones entre dos variables. Correlación significa que hay una relación positiva o negativa entre las dos variables. Causalidad significa que una variable afecta directamente a la otra. • DOK-1 «¿La correlación implica causalidad? ¿Por qué sí o por qué no?». No. Dos variables pueden estar correlacionadas, pero no ser causales. 9. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez creado, haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva».
APOYOS DIDÁCTICOS 1. Algunos estudiantes pueden no entender por qué la correlación no implica causalidad. Anímeles a pensar en ejemplos en los que esto no sea así. 2. Los estudiantes pueden sentirse confundidos por el término variables ocultas y se les debe animar a pensar en ejemplos de variables ocultas que impedirían que la correlación implicara causalidad en diferentes escenarios.
a. DOK-1 «¿Cómo puedes determinar si las variables están correlacionadas positiva o negativamente?». Si ambas variables aumentan, entonces están correlacionadas positivamente. Si una variable aumenta mientras que la otra disminuye, entonces están correlacionadas negativamente. b. DOK-2 «¿Cuáles son algunas variables ocultas involucradas en la propuesta B?». Las respuestas de los estudiantes pueden variar. El siguiente es un ejemplo de respuesta: Tal vez los artículos de mayor precio se encuentran en estadios más populares. Los estadios más populares pueden cobrar más dinero porque tienen más clientes. 7. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas de reflexión que siguen. 8. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Model Data Part 1
APOYOS LINGÜÍSTICOS La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes. Los estudiantes usarán técnicas visuales, contextuales y lingüísticas para apoyar la adquisición del lenguaje hablado. Principiante: Como actividad previa a la lección, represente diferentes transformaciones con movimientos corporales. Por ejemplo, un estiramiento vertical puede representarse estirándose hacia arriba. Juegue a «El maestro dice», en el que usted da una orden y los estudiantes hacen el movimiento. Intermedio: Como actividad previa a la clase, reparta dos dados por parejas y tres tarjetas con transformaciones específicas. Pida a un miembro de cada pareja que saque una tarjeta y lance los dados. Por ejemplo, un miembro de la pareja puede sacar una tarjeta que diga «desplazamiento horizontal a la derecha» y lanzar un tres. Con esta directiva, el otro miembro de la pareja se desplazará 3 unidades a la derecha desde su posición inicial. Pida a los compañeros que se turnen al seguir las instrucciones para ver si acaban muy separados o muy juntos. Avanzado: Como actividad previa a la clase, reparte dos dados por parejas y tres tarjetas con transformaciones específicas. Pida a un miembro de cada pareja que saque una tarjeta y lance los dados. Por ejemplo, un miembro de la pareja puede sacar una tarjeta que diga «desplazamiento horizontal a la derecha» y lanzar un tres. Con esta directiva, el otro miembro de la pareja se desplazará 3 unidades a la derecha desde su posición inicial. Haga que las parejas alternen turnos al seguir las directrices para ver si acaban muy separados o muy juntos.
Correlation and Causation Read each scenario. Put a check mark in the corresponding column if the scenario represents correlation or causation. Scenario 1.
2.
3.
4.
5.
6.
Correlation
Causation
The number of snowy days and the number of hot chocolates sold at a ski resort
▢
▢
The number of minutes a furnace runs and the temperature of the house increasing
▢
▢
The number of miles driven and the amount of gas used
▢
▢
▢
▢
▢
▢
▢
▢
The age of a child and the length of their hair
The number of cars on the highway during a holiday weekend and the number of traffic accidents The number of minutes a person spends exercising and their body weight
1
Model Data Part 1
For each scatterplot, identify the type of correlation, and determine if the scenario represents a causal relationship. 7.
8.
The scatterplot displays the data collected by a science teacher who asked their students how many hours of sleep they got on the night before their last test. a.
What type of correlation is present, if any? Positive correlation
b.
Does the scenario represent a causal relationship? No
c.
What are some lurking variables that might affect the data, if any? Answers will vary. The following is a sample answer: Time spent studying
EZ Freeze Air Conditioning Company collected data on outside temperatures and the amount of air conditioning people used. The data collected is displayed on the scatterplot. a.
What type of correlation is present, if any? Negative correlation
b.
Does the scenario represent a causal relationship? Yes
c.
What are some lurking variables that might affect the data, if any? The data is causal, so no lurking variables exist.
2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 2: REGRESIÓN LINEAL DESCRIPCIÓN Los estudiantes escribirán una ecuación que represente la línea de mejor ajuste, con y sin tecnología, para datos que siguen una tendencia lineal representada en una tabla o diagrama de dispersión. Los estudiantes usarán estas funciones lineales para estimar soluciones y hacer predicciones para problemas del mundo real. Los estudiantes calcularán el coeficiente de correlación, r, para determinar la fuerza del ajuste lineal para los datos.
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes representarán las matemáticas para describir una situación, ya sea con una ecuación o un diagrama, e interpretarán los resultados de una situación matemática. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes comprenderán la aplicación más amplia de patrones y verán la estructura en situaciones similares. Los estudiantes evaluarán continuamente la razonabilidad de sus resultados intermedios.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por 2 estudiantes) • 1 juego de tarjetas de datos (por grupo) • 1 tablas de recolección de datos (por grupo, opcional) REUSABLE
• 1 bolsa resellable tamaño cuarto de galón (por grupo) • 1 cinta métrica (por grupo) • 1 regla (por estudiante) • 1 calculadora gráfica (por estudiante) • 1 proyector o cámara de documentos (por clase)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 2 o 3 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima y recorte un juego de «Tarjetas de datos» para cada grupo de estudiantes. Coloque cada juego en una bolsa resellable de un cuarto de galón. Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para usarlas en el futuro. • Prepárese para proyectar las tablas de recolección de datos en la pizarra frontal. Asegúrese de que la superficie que utilice para proyectar se pueda escribir sobre ella. Como opción, puede imprimir una copia para cada grupo. • Reúna una cinta métrica para cada grupo. • Reúna una calculadora gráfica y una regla para cada estudiante. • Imprima un «Boleto de salida» para cada pareja. Recorte los «Boleto de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno.
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PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I 1. Lea la siguiente situación a la clase: «En la exploración anterior, analizó los titulares propuestos para el periódico escolar, The Daily Times, para determinar si cada titular era una representación exacta de la información proporcionada. Ahora va a analizar los trabajos presentados para las secciones de historietas o anuncios del periódico. Querrás asegurarte de que las caricaturas enviadas se dibujen con precisión basándose en las proporciones reales del cuerpo humano. Medirás y recopilarás datos sobre ustedes mismos y los usarás para determinar modelos lineales que predigan las medidas corporales de los dibujos animados». 2. Distribuya un «Diario del estudiante», una regla y una calculadora a cada estudiante. 3. Distribuya cinta métrica a cada grupo. 4. Proyecte las «Tablas de recolección de datos» en la pizarra frontal. Como opción, puede imprimir una copia para cada grupo. 5. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para medir su altura y envergadura al usar una cinta métrica. Modele cómo medir la envergadura al levantar los brazos paralelos al suelo a la altura de los hombros, al formar una letra T. Mide de dedo a dedo. 6. Los estudiantes deben enviar a una persona de cada grupo para que anote las medidas de su grupo en las tablas de recolección de datos proyectadas para la clase. Anímelos a trabajar con sus grupos para completar la parte I del «Diario del estudiante». 7. Supervise a los estudiantes mientras colaboran en su trabajo. Utilice las siguientes preguntas guías para evaluar su comprensión: a.
DOK-1 «¿Los datos parecen ser lineales, cuadráticos o exponenciales?». Los datos parecen ser lineales.
b.
DOK-1 Describa la estrategia Usada para escribir la ecuación de la recta. Las respuestas variarán. Usé una regla para estimar una línea que se ajusta a la mayoría de los puntos de datos. Luego, calculé la pendiente y la intersección y de la recta. La recta debe ser aproximadamente y = x.
c. DOK-2 Si buscas patrones en los datos, «¿qué notas acerca de la envergadura cuando aumenta la altura?». La envergadura aumenta a medida que aumenta la altura. Parece que por cada aumento de altura de una pulgada, la envergadura también aumenta una pulgada. 8. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte I, y luego invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Model Data Explore 2
CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-1 «¿Qué tan bien se ajusta esta línea a nuestros datos?». («¿Qué tan cerca están los puntos de datos?».) La recta debe ajustarse muy bien a los puntos de datos. Puede haber valores atípicos en la clase. Los posibles valores atípicos pueden deberse a diferencias en las tasas de crecimiento de los adolescentes, errores de medición, diferencias en la anatomía humana, etc. El patrón general debería aproximarse mucho a y = x.
Finding a Line That Fits Part I
Measure your height and wingspan in inches. Record your measurements on the class data collection tables, and graph the points below.
ATTN: Publishing Blank graph underneath.
• DOK-1 Describa la correlación de los datos. Hay una fuerte correlación positiva en los datos. • DOK-2 La recta de mejor ajuste da la intercepción y de nuestro modelo. «¿Es esto razonable en el contexto de la altura y la envergadura?». La intersección de y es (0, 0.25), pero eso no tiene sentido; si alguien tiene una altura de cero, no puede tener envergadura porque no existe. • DOK-2 Si conocemos la altura de una persona, «¿cómo podemos predecir su envergadura, o viceversa?». Como la recta que representa estos datos es y = x, la altura debería ser igual a la envergadura. • DOK-2 «¿Cómo podemos usar esta información para hacer caricaturas precisas?». Si un conjunto de datos tiene una correlación lineal fuerte, significa que la recta se ajusta mucho a los datos. Podemos calcular una recta que se ajuste a los datos y extender la recta a seres humanos que sean mayores o menores que el tamaño de la muestra. En el caso de los dibujos animados, podemos sustituir la altura del dibujo por el valor x de la ecuación, y el resultado, o valor y, es la envergadura. Esto indica al dibujante la longitud de los brazos que debe dibujar para que el dibujo animado tenga un aspecto preciso basado en proporciones humanas reales. • Lea la siguiente explicación a la clase: «Los matemáticos dirían que esta línea recta que representa una tendencia lineal de datos se llama línea de mejor ajuste. Vamos a continuar al explorar la recta de mejor ajuste y la correlación más adelante en la Parte II. 9. Lea la siguiente indicación y pasos a la clase: «También puede usar la tecnología para calcular la recta de mejor ajuste de los datos. Demostraré cómo usar la tecnología al usar los primeros 5 puntos de datos de nuestra clase». a.
b.
En Desmos, puedes añadir una tabla al usar el botón + de la parte superior izquierda. También puedes copiar y pegar cualquier dato de una tabla. Para crear un modelo lineal para tus datos, mira los encabezados de tu tabla, como x1 y y1. Para crear una recta de mejor ajuste, escribe en una nueva fila: y1 ~ mx1 + b. Desmos te dirá la pendiente y la intersección y de esta recta. Puedes encontrar instrucciones más detalladas en el enlace de la nota a pie de página I al final de esta página.
PARTE II 1. Lea la siguiente situación a la clase: «En los dibujos animados hay algo más que la altura y la envergadura. Trabaja con tus grupos para analizar las tarjetas de datos y calcular una ecuación que pueda usarse para determinar si los personajes de los dibujos animados están dibujados con precisión. Algunos conjuntos de datos pueden ser útiles, mientras que otros pueden no serlo». 2. Distribuya un juego de «Tarjetas de datos» a cada grupo de estudiantes.
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1.
2.
3.
4.
5.
What is the relationship between height and wingspan? There appears to be a linear association between height and wingspan. There is a strong positive correlation between the variables. This means that as height increases, wingspan also increases. How could we determine the approximate wingspan of someone with a height of 75 inches? If a straight line is drawn through the data points, we can make predictions outside of the data collected. We can predict the wingspan of a 75 in. person to be about 75 inches. Draw a straight line through the data, and write a linear equation to represent the line. Answers will vary depending on class data and student placement of the straight line. The equation should be approximately y = x. Since our comics need to be accurate, predict the wingspan of a cartoon with a height of 6 inches. Answers will vary depending on class data but should be approximately 6 inches. What does the slope of the line mean in terms of the height and wingspan of our comics? For every height increase of one inch, the wingspan also increases one inch. 1
Model Data Explore 2
Part II
Analyze each Data Card to determine if there is a correlation between the variables. Use your calculator to view the scatterplot of the data, calculate the line of best fit, and calculate the correlation coefficient. Data Card
Equation for the Line of Best Fit
Correlation Coefficient (r value)
Description of the Shape and Correlation of the Data
Data A
y = 0.26x – 0.12
r = 0.93
The shape suggests linear because the x and y values increase at a constant rate. There is a strong positive correlation between the total height and the length of the femur bone.
Data B
y = 0.16x – 1.73
r = 0.09
The shape is random. There is no correlation between the total height and hair length.
r = −0.97
The shape suggests linear because the x and y values change at a constant rate. There is a strong negative correlation between the total height and the head-to-body ratio.
r = 0.62
The shape is somewhat linear, but the middle data points decrease and then increase. There is a moderate positive correlation between the total height and shoe size.
Data C
Data D
y = −0.003x + 0.29
y = 0.21x – 5.22
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DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Model Data Explore 2
Reflect 1.
Which set(s) of data has(have) a positive correlation? What do you notice about the correlation coefficient of the data? Data A and Data D have a positive correlation. The correlation coefficient for these sets is positive.
2.
Which set(s) of data has(have) a negative correlation? What do you notice about the correlation coefficient of the data? Data C has a negative correlation. The correlation coefficient for this set is negative.
3.
Which set of data has the weakest correlation? What do you notice about the correlation coefficient of the data? Data B has the weakest correlation. The points do not appear to have any trend on the graph. The correlation coefficient is almost 0.
4.
Predict. If you have a correlation coefficient of 0, what does that tell you about the strength of the correlation of the data? There is no correlation between the variables.
5.
Which sets of data are useful for drawing accurate people in a comic? Explain your reasoning. Data A, Data C, and possibly Data D are useful. This is because there is a correlation seen in Data A and Data C. The line of best fit closely matches the data and can be used to predict the femur length and head-to-body ratio of a smaller drawing. Data D is possibly useful, but the points do not fit the line as well because the correlation is weak.
6.
A cartoon that has a height of 3 inches was submitted to the newspaper. Use the equations you created in Part I and Part II to calculate the measurements below. Wingspan: Answers will depend on the class data from Part I. It should be approximately 3 inches. Femur bone length: 0.667 inches Hair length: The answer cannot be determined. There is no correlation between height and hair length. 3
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para analizar cada «Tarjeta de datos» para calcular la línea de mejor ajuste y el coeficiente de correlación. Los estudiantes también representarán gráficamente los datos para describir la correlación de cada conjunto de datos. Los estudiantes deben buscar patrones que les ayuden a definir el coeficiente de correlación. 4. Dé a los grupos un minuto para analizar y debatir los Datos A. Formule a los estudiantes las siguientes preguntas: a.
DOK-1 «¿Cuáles son las variables en los Datos A?». Las variables son la altura y la longitud del hueso fémur.
b.
DOK-1 «¿Existe una correlación entre estas variables?». En caso afirmativo, «¿de qué tipo?». Sí, las dos variables representan una correlación positiva. A medida que aumenta la estatura, aumenta también la longitud del hueso fémur.
c.
Pida a los estudiantes que introduzcan los datos en su calculadora: STAT > Edit Los estudiantes deben calcular la recta de mejor ajuste para los datos: STAT > CALC > 4:LinReg(ax+b). Puede ser útil colocar los pasos de la calculadora en un esquema de anclaje.
d.
DOK-1 Observa el gráfico de tus datos: Zoom > 9. Describa la correlación de los datos. Explique tu razonamiento. Existe una fuerte correlación positiva entre la altura y la longitud del hueso fémur. Esto se debe a que ambas variables aumentan. A medida que aumenta la estatura, también aumenta la longitud del hueso fémur.
5. Anímelos a colaborar con sus grupos para completar el resto de la parte II y anotar su trabajo en sus diarios». 6. Supervise a los estudiantes mientras colaboran en su trabajo. Utilice las siguientes preguntas guía para evaluar su comprensión: a. DOK-1 «¿Recuerda los pasos para calcular una recta de mejor ajuste al usar su tecnología?». Las respuestas variarán en función de la tecnología gráfica Usada. Si Usa la calculadora TI-84, introduzca los datos en la calculadora gráfica: STAT > Edit. Usa la función de regresión lineal para calcular la recta de mejor ajuste y el coeficiente de correlación: STAT > CALC > 4:LinReg(ax+b) b. DOK-1 «¿Qué aspecto tiene un diagrama de dispersión cuando tiene una correlación fuerte? ¿Qué aspecto tiene cuando la correlación es débil?». Si los puntos siguen de cerca un patrón como lineal, cuadrático, exponencial, etc., puedo predecir que existe una fuerte correlación entre los datos. Si los puntos están más dispersos y no siguen una línea, parábola u otra función, la correlación es débil. Si no parece haber un patrón entre las variables, es probable que no haya correlación. c. DOK-1 «¿Qué aspecto tiene un diagrama de dispersión cuando tiene una correlación positiva? ¿Qué aspecto tiene cuando la correlación es negativa?». Si los puntos son crecientes y lineales, la correlación es positiva. Si los puntos son decrecientes y lineales, la correlación es negativa. d. DOK-2 «¿Es siempre apropiado un modelo lineal para un conjunto de datos?». Para los Datos A, Datos C y Datos D, un modelo lineal parece ser el mejor modelo para los datos. Si los puntos se grafican, parecen formar aproximadamente una línea. Para los Datos B, no parece haber ninguna correlación entre las variables. Un modelo lineal no es útil para predecir valores en este conjunto de datos. 7. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas de reflexión que siguen. 8. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
e. Recuerde a los estudiantes que deben buscar patrones que les ayuden a determinar el significado del coeficiente de correlación (valor r).
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Model Data Explore 2
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 «¿Un coeficiente de correlación de 0.9 indica un mejor ajuste lineal que un coeficiente de correlación de -0.9?». No. Tanto 0.9 como -0.9 indican una fuerte correlación lineal. Esto significa que la línea se ajusta mucho a los datos. Un coeficiente de correlación de 0.9 indica una correlación positiva, mientras que un coeficiente de correlación de -0.9 indica una correlación negativa. • DOK-2 «¿En qué se diferencia una correlación positiva fuerte de una correlación positiva débil?». Una correlación fuerte tiene un coeficiente de correlación más cercano a -1 o 1. Los puntos están más cerca de la línea de mejor ajuste. Una correlación más débil tiene un coeficiente de correlación más cercano a 0. Los puntos están más separados de la línea de mejor ajuste. • DOK-3 Supongamos que un conjunto de datos que relacionan la altura y la longitud del cabello tiene un coeficiente de correlación de 0.85. «¿Significa esto que la línea de mejor ajuste está más cerca de la altura? ¿Significa esto que la recta de mejor ajuste puede usarse con precisión para hacer predicciones?». El análisis de variables del mundo real es clave. Aunque el coeficiente de correlación indica una fuerte correlación, la altura no se puede usar como predictor de la longitud del cabello. 9. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
Linear Regression Exit Ticket The linear regression equation that models the relationship between the length of the hand and the length of the forearm (from wrist to elbow) is y = 1.618x. The correlation coefficient is 0.8. Which of the following is true? A.
If the forearm length is 10 cm, then the hand length is 16.2 cm.
B.
If the hand length is 16 cm, then the forearm length is 25.9 cm.
C.
If the hand length is 12 cm, then the forearm length is 7.4 cm.
D.
The correlation between the variables is weak, so linear regression is not useful for predictions.
Model Data Explore 2
Linear Regression Exit Ticket The linear regression equation that models the relationship between the length of the hand and the length of the forearm (from wrist to elbow) is y = 1.618x. The correlation coefficient is 0.8. Which of the following is true? A.
If the forearm length is 10 cm, then the hand length is 16.2 cm.
B.
If the hand length is 16 cm, then the forearm length is 25.9 cm.
C.
If the hand length is 12 cm, then the forearm length is 7.4 cm.
D.
The correlation between the variables is weak, so linear regression is not useful for predictions.
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS b
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
Paso 2: Utilice la función de regresión lineal para calcular la línea de mejor ajuste y el coeficiente de correlación. Redondee a la centésima más cercana. STAT > CALC > 4:LinReg(ax+b) i Tenga en cuenta que los estudiantes deben tener la configuración correcta para ver el coeficiente de correlación. 2nd Catalog > DiagnosticOn > Enter
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez creado, haga que cada estudiante complete individualmente su «Libreta interactiva» .
I. Instrucciones para TI a
Paso 1: Si Usa la calculadora TI-84, ingrese los datos en la calculadora gráfica. STAT > Editar
c
Haga a los estudiantes las siguientes preguntas: ii DOK-1 «¿Qué notan? ¿Qué se preguntan?». Acepte todas las respuestas. Los estudiantes deben ver una ecuación lineal similar a la creada a mano.
d
486
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Lea la siguiente explicación a la clase: «En la siguiente parte de la exploración, buscarán patrones y analizarán el significado del valor r, que se denomina coeficiente de correlación».
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Model Data Part 2
APOYOS PEDAGÓGICOS Linear Regression Analyze the data in each scenario. Use your knowledge of linear regression to answer all parts of each question. Round to the nearest hundredth when necessary. 1.
Since 2000, the number of cell phone towers in Atlanta, Georgia, has increased. The data is shown in the table, where n represents the number of years since 2000, and t represents the number of cell phone towers.
Years Since 2000, n
0
2
4
10
15
Number of Cell Phone Towers, t
151
250
504
1,090
1,480
a.
Linear regression equation: t = 92.09n + 124.06
b.
Correlation coefficient: r = 0.997 → 1.00
c.
Describe the correlation. There is a strong positive correlation between the number of years since 2000 and the number of cell phone towers.
2. Los estudiantes pueden pensar que se podrían crear regresiones lineales para la mayoría de los datos, pero deben tener en cuenta que si no hay suficientes datos, la precisión de cualquier posible regresión será limitada.
APOYOS LINGÜÍSTICOS La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad «Explorar». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo del lenguaje de los estudiantes.
d.
Use the linear regression equation to predict the number of cell phone towers in Atlanta in 2030. About 2,887 cell phone towers t = 92.09(30) + 124.06 t = 2,886.76
e.
Use the linear regression equation to predict in what year Atlanta will have approximately 2,800 cell phone towers. In the year 2029 2,800 = 92.09n + 124.06 n = 29.06 2000 + 29 = 2029
1
Model Data Part 2
2.
Tick Talk is a relatively new cell phone company in the Atlanta area. They acquired all of their initial customers from another cell phone company that went out of business. Tick Talk has recorded its total number of customers periodically since opening. The data is displayed in the table.
a.
Days Since Opening, x
Total Number of Customers, y
7
2,005
14
1,620
20
1,512
25
1,260
32
1,026
36
790
1. Debido a que los estudiantes sólo usarán la tecnología para encontrar coeficientes de correlación y no calcularán a mano, es importante que conecten los valores que están viendo con su propia intuición acerca de las líneas que son buenos ajustes y las líneas que no lo son.
Los estudiantes usarán el apoyo de pistas visuales, compañeros y maestros para desarrollar el vocabulario, la estructura del lenguaje y los conocimientos previos necesarios para comprender un texto escrito. Principiante: Como actividad previa a la clase, juegue al juego Simón dice, que requiere que los estudiantes imiten lo que usted hace y dice siempre que la directiva empiece con la frase «Simón dice». Por ejemplo, puede decir: «Simón dice que ajusten una recta a estos datos con sus brazos», y mientras usted ajusta la recta con sus brazos, los estudiantes ajustan la recta con sus brazos. Pero si sólo dices: «Ajusten una recta a estos datos» y los estudiantes ajustan la recta, esos estudiantes tienen que sentarse porque Simón no lo ha dicho. Gana el último estudiante que quede en pie. Incluya diferentes tipos de datos, como ajustes lineales, cuadráticos y exponenciales. Intermedio: Como actividad previa a la lección, divida la clase en dos o más equipos para jugar a las charadas. Un miembro designado del equipo representará el tipo de ajuste de un gráfico dado (como lineal, cuadrático o exponencial) y los compañeros de equipo adivinarán la palabra. Gana el equipo que adivine correctamente más palabras en el tiempo asignado.
Linear regression equation: y = −39.67x + 2,254.81
b.
Correlation coefficient: r = −0.99
c.
Describe the correlation. There is a strong negative correlation between the days since opening and the total number of customers.
d.
Use the linear regression equation to predict how many days Tick Talk will stay open before they have 0 customers. Tick Talk will stay open for 56 days. On the 57th day, they will have no customers. 0 = −39.67x + 2,254.81 x = 56.84
e.
The company’s manager is trying to intervene. He used the linear regression equation y = 2,400 – 50x to model the data. In his linear regression equation, what does 2,400 represent? 2,400 represents the number of customers initially acquired from the other cell phone company that went out of business.
Avanzado: Como actividad posterior a la clase, pida a los grupos que escriban frases relacionadas con la exploración en tiras de papel de distintos colores. Recorte las frases palabra por palabra y entregue cada frase recortada a un grupo diferente de estudiantes (asegúrese de que hay suficientes frases para el número de grupos). En un tiempo determinado, cada equipo de estudiantes debe recrear su frase a partir de las palabras que se les han dado. Las frases pertinentes podrían ser «0.9 es un coeficiente de correlación lineal fuerte», «Hay una correlación negativa débil en los datos”», etcétera.
2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 2) CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Model Data Explore 3
LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 3: RESIDUALES DESCRIPCIÓN Los estudiantes trazarán y analizarán los residuales, que son la colección de diferencias entre las coordenadas correspondientes en una recta de mejor ajuste y el valor real de los datos para una variable, para evaluar informalmente el ajuste de una función.
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros: Los estudiantes justificarán conclusiones con ideas matemáticas. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes representarán las matemáticas para describir una situación, ya sea con una ecuación o un diagrama, e interpretarán los resultados de una situación matemática. • MP.8 Buscar y expresar regularidades en razonamientos repetidos: Los estudiantes comprenderán la aplicación más amplia de patrones y verán la estructura en situaciones similares. Los estudiantes evaluarán continuamente la razonabilidad de sus resultados intermedios.
Does the Line Fit? Part I
Use the data on the Sales Report to calculate the differences between the predicted and actual values. Then, plot those differences on the graphs below. Fidget Spinners
Pens x
Actual y
Predicted Value ŷ
Difference (y − ŷ)
x
Actual y
Predicted Value ŷ
Difference (y − ŷ)
1
13
20
−7
1
1
−2
3
4
5
−1
2
47
41
6
2
3
55
62
−7
3
9
12
−3
4
88
83
5
4
16
19
−3
25
26
−1
36
33
3
5
107
104
3
5
6
115
125
−10
6
1.
What patterns do you notice in the 2. Difference column of the table or in the graph? What does this tell you? I do not see any patterns. Some values are positive and some are negative. This tells me that the difference is random.
What patterns do you notice in the Difference column of the table or in the graph? What does this tell you? The differences decrease and then increase, and the graph appears to be a parabola. This tells me that the data may not be linear. 1
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por 2 estudiantes) • 1 informe de ventas (por grupo) • 1 juego de tarjetas gráficas (por grupo) REUSABLE
• 1 bolsa resellable tamaño cuarto de galón (por grupo)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 2 o 3 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima un «Informe de ventas» para cada grupo. Si lo desea, imprímalo en cartulina y plastifíquelo para usarlo en el futuro. • Imprima y recorte un juego de «Tarjetas gráficas» para cada grupo de estudiantes. Coloque cada juego de tarjetas en una bolsa resellable tamaño cuarto de galón. Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para usarlas en el futuro. • Imprima un «Boleto de salida» para cada pareja. Recorte los «Boleto de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno.
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PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «La tienda de la escuela Usa sus ganancias para financiar actividades extra para los estudiantes. Los voluntarios de la tienda escolar no han gestionado bien su inventario y corren el riesgo de no obtener ganancias. Constantemente se quedan sin artículos de gran demanda y llenan las estanterías de cosas que nadie compra. Te han pedido que intervengas y ayudes al director de la tienda a controlar el inventario. El director de la tienda sugiere analizar los datos de los informes de ventas de los distintos artículos. Usa estos datos para ayudar a determinar qué artículos del inventario pedir para el próximo año. 2. Distribuya un «Informe de ventas» a cada grupo. 3. Explique que disponen de unos 2 minutos para analizar los datos con sus grupos. Anímelos a buscar patrones en los datos.
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Model Data Explore 3
CHARLA DE MATEMÁTICAS
Part II
• DOK-1 «¿Qué tan bien se ajusta un modelo lineal a cada diagrama de dispersión?». Ambas rectas tienen un coeficiente de correlación muy cercano a 1, por lo que parece que las rectas se ajustan bien a los datos. Sin embargo, los datos que representan las ventas de bolígrafos se parecen más a una recta. Los puntos de datos del juguete giratorio antiestrés parecen curvarse lejos de la recta al principio y al final, por lo que la recta puede no ajustarse perfectamente.
Analyze each scatterplot and residual plot on the Graph Cards to determine if a linear model is the best representation of the data. If yes, justify by describing the shape of the data and the residual plot.
Graph Card
Does a linear model fit the data?
A
Yes
The scatterplot appears to be a straight line. Also, the residual plot shows the residuals to be random.
B
No
The scatterplot appears to be exponential. This may be because the T-shirt sales approached zero as time went on. The store may have run out of inventory. The residual plot shows a similar pattern.
C
Yes
The scatterplot appears to be a straight line. Also, the residual plot shows the residuals to be random.
D
No
The scatterplot appears to be quadratic. This may be because hoodie sales increase in the winter months and decrease in the summer months. The residual plot shows a similar curved pattern.
Yes
The scatterplot and residual plot look very similar. The scatterplot has a weak correlation or may be a horizontal line. The residual plot shows the residuals to be random.
E
If no, justify by describing the shape of the data and the residual plot. Then, suggest a better model.
• DOK-1 En el mes 1, «¿cuál es la diferencia entre la cantidad real de bolígrafos vendidos y la cantidad prevista de bolígrafos vendidos?». La cantidad real de bolígrafos vendidos fue 13. La recta de mejor ajuste predijo que se venderían 20 bolígrafos porque 21 × 1 - 1 = 20. La diferencia es -7 porque 13 - 1 = 20. La diferencia es -7 porque 13 - 20 es -7. • DOK-1 «¿Por qué es negativa la diferencia?». La diferencia es negativa porque el número real de bolígrafos vendidos fue menor que el número predicho. 2
Model Data Explore 3
Reflect 1.
Which graphs are best represented by a linear model? Describe the residual plots. Graphs A, C, and maybe E are best represented by a linear model. The residual plots show points with no pattern. This indicates that the points are evenly distributed around the linear model, or the model is somewhat in the middle of all the points. The linear model fits the points well.
2.
Which graphs are not well represented by a linear model? Describe the residual plots. Graphs B and D are not well represented by a linear model. The residual plots show a curving trend, with the points moving farther away from the line. This indicates that a different model, such as quadratic or exponential, may better fit the data.
3.
In general, what does the residual plot of a strong linear fit look like? In general, if the residual plot shows no pattern, this indicates that a straight line will represent the data the best.
4.
Compare and contrast scatterplots and residual plots. Scatterplots and their residual plots have the same independent variable. The dependent variables are different in that scatterplots measure the actual data, and residual plots show the differences between the actual data and prediction models.
5.
Why is a residual plot useful for students ordering inventory for a school store? If the school store is setting up a monthly inventory ordering system, it is useful to know which items sell at a constant rate and are thus represented by a linear model. For items that are not linear, the students need to consider other models that can be used for ordering. For example, hoodie sales are nonlinear. This is likely because there are more sales in the winter months than in the summer months. The students might want to place one order for this item in the winter instead of ordering it monthly.
3
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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• DOK-2 Infiere lo que significa que la diferencia sea cercana a cero. Esto significa que los valores reales y predichos son casi iguales. Esto indica que un modelo lineal se ajusta muy bien a los datos reales. 4. Distribuya un «Diario del estudiante» a cada alumno. 5. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para calcular la diferencia entre los datos reales y los datos predichos. Crearán los gráficos de residuales para notar cualquier patrón y sacar conclusiones sobre lo que los residuos y los gráficos de residuales nos pueden decir. Los estudiantes anotarán sus respuestas y explicaciones en sus diarios». 6. Supervise a los estudiantes mientras colaboran en su trabajo. Utilice las siguientes preguntas guías para evaluar su comprensión: a. DOK-1 «¿Qué método usa para calcular los valores predichos?». Uso la ecuación de la recta de mejor ajuste. Sustituyo el mes en el valor x y eso me da el valor predicho. b. DOK-1 «¿En qué se diferencian las variables de los gráficos de diferencias de las variables de los gráficos de dispersión del informe de ventas?». La variable independiente en ambos tipos de gráficos es el tiempo (meses). La variable dependiente en los gráficos de dispersión es la cantidad de artículos vendidos. La variable dependiente en los gráficos de diferencias es la diferencia entre los valores reales y los predichos. 7. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte I y, a continuación, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Model Data Explore 3
CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-2 «¿Qué patrones observas en la tabla y el gráfico de diferencias para las ventas de bolígrafos?». No veo ningún patrón. Algunos valores son positivos y otros negativos. Esto me dice que la diferencia es aleatoria. • DOK-2 «¿Qué patrones observas en la tabla y el gráfico de diferencias para las ventas del juguete giratorio antiestrés?». Las diferencias disminuyen y luego aumentan, y la gráfica parece ser una parábola. Esto me indica que los datos pueden no ser lineales. Pueden ser cuadráticos. • DOK-2 «¿Qué datos están mejor representados por un modelo lineal? ¿Cómo lo sabes?». Los datos de las ventas de bolígrafos están mejor representados por un modelo lineal. La distancia entre los valores reales y la recta de mejor ajuste se distribuye uniformemente alrededor de la recta. Los datos de las ventas de juguete giratorio antiestrés se alejan de la recta de mejor ajuste en los extremos de los datos proporcionados. Esto muestra que la tendencia de los datos no es una línea recta, sino que podría ser una curva cuadrática. El gráfico de diferencias también muestra un patrón de aumento de la diferencia a lo largo del tiempo. • Lea la siguiente explicación a los estudiantes: «Los matemáticos dirían que la diferencia entre el valor real de y (del diagrama de dispersión) y el valor predicho de y (de la recta de la ecuación de regresión) se llama residuo. El gráfico de los residuos se denomina gráfico de residuales. PARTE II
1. Lea la siguiente situación a la clase: «El año pasado, el inventario de la tienda de la escuela se pidió al por mayor al principio del año escolar. Esto fue un problema porque no había suficiente espacio de almacenamiento y algunos productos se agotaron. Este año, te gustaría establecer un sistema de pedidos mensuales para recibir el inventario cada mes. Recibir una cantidad fija de inventario cada mes es un modelo lineal. Analice las gráficas residuales en las tarjetas gráficas para determinar si las ventas de cada producto siguen un modelo lineal. Esto significa que los productos se vendieron a un ritmo aproximadamente constante cada mes».
Residuals Exit Ticket The residual plots from two different linear models are shown below. A B
Which graph indicates that the linear model for the data is a good fit? Explain your reasoning. Graph A indicates that the linear model is a good fit for the data because the residuals are very close to 0. The residuals are evenly distributed around the horizontal axis.
Model Data Explore 3
Residuals Exit Ticket The residual plots from two different linear models are shown below. A B
Which graph indicates that the linear model for the data is a good fit? Explain your reasoning. Graph A indicates that the linear model is a good fit for the data because the residuals are very close to 0. The residuals are evenly distributed around the horizontal axis.
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
2. Distribuya un juego de «Tarjetas gráficas» a cada grupo. 3. Explíqueles que trabajarán con sus grupos para analizar cada diagrama de dispersión y el correspondiente diagrama residual para determinar si una función lineal se ajusta bien a los datos. Los estudiantes anotarán sus respuestas y explicaciones en sus diarios».
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3
4. Dé tiempo a los grupos para analizar y debatir el Gráfico A. Formule a los estudiantes las siguientes preguntas: a. DOK-1 «¿Cuáles son las variables de los dos gráficos?». La variable independiente de ambos gráficos es el tiempo (meses). La variable dependiente del diagrama de dispersión es el inventario total. La variable dependiente de la gráfica residual son los valores residuales. b. DOK-1 «¿Qué información comunica cada gráfico?». La gráfica de dispersión muestra cuánto inventario queda al final de cada mes. La gráfica residual muestra la diferencia entre los datos reales y los datos pronosticados. c. DOK-1 «¿Qué aspecto tiene un diagrama de dispersión lineal?». Una gráfica de dispersión lineal se parece aproximadamente a una recta. d. DOK-1 «¿Qué aspecto tiene un diagrama de dispersión no lineal?». Un gráfico de dispersión no lineal parece curvo, como una parábola, o aleatorio, sin correlación. 5. Anímelos a colaborar con sus grupos para completar el resto de la parte II y registrar su trabajo en sus diarios». 6. Supervise a los estudiantes mientras colaboran en su trabajo. Use las siguientes preguntas guías para evaluar su comprensión: a. DOK-1 «¿Qué muestran estas gráficas de dispersión?». Estos gráficos de dispersión muestran los datos reales de ventas. b. DOK-1 «¿Qué muestran estos gráficos residuales?». Estas gráficas residuales muestran la diferencia entre los datos reales y los datos predichos de la recta de mejor ajuste. c. DOK-2 «¿Qué características buscas para determinar si un modelo lineal se ajustaría a los datos?». Busco un diagrama de dispersión que parezca estar en línea recta, así como un diagrama residual que parezca aleatorio. 7. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas de reflexión que siguen. 8. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 «¿Cómo puede una gráfica residual ayudarnos a entender si un modelo lineal es un buen ajuste para un conjunto de datos?». En general, si la gráfica residual no muestra ningún patrón, indica que una línea recta representará mejor los datos. Los puntos deben estar distribuidos uniformemente alrededor del eje horizontal en la gráfica residual. • DOK-2 «¿Cuándo debemos usar gráficas de dispersión y cuándo debemos usar gráficas residuales?». Debemos usar gráficos de dispersión cuando necesitamos ver tendencias en los datos. Deberíamos usar gráficos de residuales cuando necesitamos saber si nuestro modelo elegido (lineal, cuadrático, exponencial, etc.) es apropiado. • DOK-2 «¿Cuál es la diferencia entre el coeficiente de correlación y los residuales? ¿Qué te dice esta información?». El coeficiente de correlación mide la fuerza de la relación entre dos variables. Por ejemplo, en la parte I, ambas gráficas de dispersión muestran una fuerte relación entre las variables porque el coeficiente de correlación es 0.98. Los residuales miden la diferencia entre los puntos de datos reales y el modelo lineal. Esto nos dice si la recta está generalmente cerca de todos los puntos o si hay una tendencia a que la diferencia entre los datos y los valores predichos aumente con el tiempo. • DOK-1 «¿Por qué es útil un gráfico de residuales?». Es una forma visual de representar la diferencia entre los valores reales y los predichos. Los gráficos de residuales ayudan a visualizar patrones. 9. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez creado, haga que los estudiantes completen individualmente su «Libreta interactiva» .
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Los estudiantes pueden pensar que se pueden crear regresiones lineales para la mayoría de los datos, pero deben tener en cuenta que si no hay suficientes datos, la precisión de cualquier regresión posible será limitada. 2. Los estudiantes pueden no estar seguros de cómo categorizar el ajuste de sus datos si el coeficiente de correlación no es extremadamente cercano a uno. Utilice varios ejemplos para ayudar a los estudiantes a decidir cómo clasificar los coeficientes como moderados o débiles.
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1/9/26 1:43 PM
ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3
Model Data Part 3
APOYOS LINGÜÍSTICOS La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes.
Residuals 1.
Time (sec.)
Los estudiantes usarán técnicas de aprendizaje como la elaboración de mapas conceptuales, el dibujo, la comparación, el contraste, la memorización y el repaso para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado. Principiante: Antes de la lección, proporcione a los estudiantes un gráfico de residuales etiquetado. Las características etiquetadas deben incluir la variable independiente y la variable dependiente. Repase las características de la gráfica de residuales y permita que los estudiantes la utilicen como referencia a lo largo de la lección. Intermedio: Antes de la lección, proporcione a los estudiantes una hoja con un gráfico de residuales y un gráfico de dispersión, uno al lado del otro. Pida a los estudiantes que escriban una similitud y tres diferencias entre las dos imágenes. Organice un debate en clase sobre las similitudes y diferencias basándose en lo que observaron los estudiantes. Avanzado: Antes de la lección, proporcione a los estudiantes una hoja con un gráfico de residuales y un gráfico de dispersión, uno al lado del otro. Pida a los estudiantes que escriban una similitud y tres diferencias entre las dos imágenes. Organice un debate en clase sobre las semejanzas y diferencias basándose en lo que han observado los estudiantes.
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A BASE jumper jumps off a cliff, and the time and speed of the jumper are recorded for the first 6 seconds of their freefall. The data is shown in the table below. Use the linear regression equation to complete the table (round to the nearest tenth). Then, use the data from the table to construct a residual plot on the grid provided. Linear regression equation: y = 11.7x + 5.7 Predicted Value (ŷ)
Speed (ft./sec.)
Residual (y – ŷ)
0
0
5.7
−5.7
1
14
17.4
−3.4
2
30
29.1
0.9
3
52
40.8
11.2
4
60
52.5
7.5
5
64
64.2
−0.2
6
66
75.9
−9.9 1
Model Data Part 3
2.
Which of the following residual plots indicates a good fit for a linear model? Justify your answer. A
B
C
B is a good fit because the residuals are evenly distributed about the horizontal axis. 3.
A set of data is fit with linear regression. The linear regression equation is y = 4.7x + 50. If the observed value when x = 5 is y = 90, what is the value of the residual for this data point? ŷ = 4.7x + 50 ŷ = 4.7(5) + 50 ŷ = 73.5 90 – 73.5 = 16.5
2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 3) CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 4: REGRESIÓN CUADRÁTICA Y EXPONENCIAL DESCRIPCIÓN Los estudiantes escribirán una ecuación que represente el mejor ajuste para datos que siguen una tendencia cuadrática o exponencial representada en una tabla o diagrama de dispersión. Los estudiantes usarán estas funciones para estimar soluciones y hacer predicciones para problemas del mundo real.
ESTÁNDARES PARA LA PRÁCTICA MATEMÁTICA
• MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros: Los estudiantes justificarán conclusiones con ideas matemáticas. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes representarán las matemáticas para describir una situación, ya sea con una ecuación o un diagrama, e interpretarán los resultados de una situación matemática. • MP.8 Buscar y expresar regularidades en razonamientos repetidos: Los estudiantes comprenderán la aplicación más amplia de patrones y verán la estructura en situaciones similares. Los estudiantes evaluarán continuamente la razonabilidad de sus resultados intermedios.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por 2 estudiantes) • 2 Juegos de tarjetas de población (por clase) REUSABLE
• 1 calculadora gráfica (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 2 o 3 estudiantes. • Imprima un «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima y recorte dos juegos de «Tarjetas de población». Pegue las tarjetas de población por el salón para crear dos grupos de estaciones. Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para usarlas en el futuro. • Imprima un «Boleto de salida» para cada pareja. Recorte los «Boleto de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno.
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PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Haces una pasantía en un parque nacional y eres responsable de monitorear las poblaciones de diferentes especies de animales. Has recibido los datos de población de los animales desde 2015 hasta 2021. Determina un tipo de función que pueda representar el cambio en la población a lo largo del tiempo. Esto puede ayudar a predecir si la población aumenta o disminuye». CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 «¿Qué tipos de funciones puedes recordar?». Lineal, cuadrática y exponencial • DOK-1 «¿Cuáles son las características clave de las funciones lineales?». Las funciones lineales tienen una tasa de cambio constante. La gráfica de una función lineal es una línea recta que es siempre creciente o siempre decreciente. • DOK-1 «¿Cuáles son las características clave de las funciones cuadráticas?». Las funciones cuadráticas aumentan y luego disminuyen o disminuyen y luego aumentan. Las gráficas de las funciones cuadráticas se llaman parábolas. Las funciones cuadráticas tienen un valor mínimo o máximo en su vértice. • DOK-1 «¿Cuáles son las características clave de las funciones exponenciales?». Las funciones exponenciales tienen una razón común, lo que significa que los valores y se multiplican por una cantidad común en cada paso. Las gráficas de las funciones exponenciales son siempre crecientes o siempre decrecientes. Las gráficas también tienen una asíntota. 2. Distribuya un «Diario del estudiante» y una calculadora gráfica a cada estudiante. 3. Explique que usarán la calculadora gráfica y trabajarán con sus grupos para analizar las poblaciones de animales. Determinarán qué tipo de función representa mejor cada cambio en la población a lo largo del tiempo. 4. Los estudiantes anotarán sus respuestas y explicaciones en sus diarios».
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Model Data Explore 4
5. Supervise a los estudiantes mientras colaboran en su trabajo. Utilice las siguientes preguntas guías para evaluar su comprensión: a. DOK-1 «¿La población de cada especie aumenta o disminuye con el tiempo?». Todas las poblaciones de animales aumentan inicialmente, pero la población de osos negros disminuye después del cuarto año. b. DOK-1 «¿Qué aspecto tiene el diagrama de dispersión de la población de coyotes?». (Puede que necesites recordar a los estudiantes que Zoom > 9:ZoomStat les permite ver su diagrama de dispersión). El diagrama de dispersión se curva hacia arriba, lo que parece una curva de crecimiento exponencial. 6. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte I, y luego invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 «¿Cómo sabes si un conjunto de datos está bien representado por un modelo cuadrático?». La población aumenta y luego disminuye o disminuye y luego aumenta. Además, si miras el diagrama de dispersión, parece ser una parábola. • DOK-1 «¿Cómo sabes si un conjunto de datos está bien representado por un modelo exponencial?». La población siempre aumenta o siempre disminuye con el tiempo. La cantidad de aumento o disminución no es constante. El cambio está representado por una razón aproximadamente común. Además, si miras el diagrama de dispersión, los puntos se curvan como una función exponencial. • DOK-1 «¿Qué proceso usaste para calcular la recta de mejor ajuste para los datos de la población de gatos monteses?». Entré en STAT > Edit e introduje los datos en L1 y L2, y después entré en STAT > CALC > 4:LinReg(ax+b). • DOK-1 «¿Cómo podríamos usar la ecuación de la recta de mejor ajuste para predecir la población de gatos monteses en el año 2022?». Sustituye 7 por x porque 2022 - 2015 = 7. Así, 10.1 - 7 - 7.1 = 63.6, pero debes redondear a 64 porque la población animal debe estar representada por un número entero. • DOK-1 «¿Cómo podríamos predecir la población de osos negros o coyotes en el año 2022?». Podríamos trazar los puntos y dibujar una curva aproximada a través de los puntos. Podríamos extender la curva hasta el año 2022. Podríamos usar la tecnología para generar una ecuación que se ajuste a los puntos de datos como hicimos con el modelo lineal.
Modeling Animal Populations
Part I
Analyze the animal populations, and describe any trends in the changes in populations. Determine which function type best models each change in population. Years Since 2015
1.
2.
3.
Population Black Bear
Coyote
1
11
3
Bobcat 3
2
18
5
12
3
23
8
24
4
25
18
33
5
20
30
45
6
17
60
52
What trends do you notice with the black bear population? What type of function best models the change in the population of black bears? The shape of the plot suggests a quadratic model. The values appear to increase on the y-axis at rates much faster than a linear function. There is obvious concavity (or peak/vertex) because as the x values constantly increase, the y values increase and then decrease. What trends do you notice with the coyote population? What type of function best models the change in the population of coyotes? The data appears to be best modeled by an exponential function. The values appear to increase on the y-axis at rates much faster than a linear function. The lack of concavity, or change from increase to decrease, indicates a quadratic would not be compatible with this data. A linear function best represents the change in the bobcat population. Calculate the line of best fit, and explain why a linear model best represents the change in the bobcat population. The line of best fit is y = 10.1x – 7.1. A linear model is best because as the x values constantly increase, the y values increase at an approximately constant rate of about 10 per year. The correlation coefficient is 0.998, and the residual plot shows no trend, both of which indicate that a linear model is appropriate.
1
Model Data Explore 4
Part II
Analyze the animal population data on the Population Cards to determine which function type best models the change over time. Use the model to make predictions. Regression Equation
Predicted Population in 2026
Exponential
y = 625.5 · (0.9)x
196
Mule deer
Quadratic
y = −11.7x2 + 72.2x + 697.8
76
Northern Pacific rattlesnake
Linear
y = −11.5x + 397.6
271
Western pond turtle
Quadratic
y = −10.4x2 + 62.3x + 974.2
401
California ground squirrel
Exponential
y = 8,672 · (1.1)x
24,742
Animal Species
Type of Function Model
Description of the Shape of the Graph
Predicted Population in 2026
Little brown bat
Exponential
The graph is decreasing but curves as the rate of decrease lessens.
Accept answers between 200 and 800.
Great gray owl
Quadratic
The population changes from decreasing to increasing, and the graph has a parabola (U) shape.
Accept answers between 900 and 1,000.
Animal Species
Type of Function Model
Sierra Nevada bighorn sheep
(Round to the nearest tenth.)
2
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Model Data Explore 4
7. Lea a la clase la indicación y los pasos siguientes: «Puedes usar la tecnología para calcular modelos cuadráticos y exponenciales. Esto se llama regresión cuadrática o regresión exponencial. Vamos a seguir los pasos para usar la tecnología para calcular la regresión cuadrática y exponencial».
Reflect 1.
Based on the Population Cards, which animal populations are best represented by quadratic functions? Mule deer, western pond turtle, and great gray owl
2.
What are the patterns or trends in the animal populations data that might indicate that a quadratic function best models a data set? The population data or graph has a change in concavity. This means that there is a peak/vertex where the population changes from increasing to decreasing or vice versa.
3.
Based on the Population Cards, which animal populations are best represented by exponential functions? Sierra Nevada bighorn sheep, California ground squirrel, and little brown bat
4.
What are the patterns or trends in the animal populations data that might indicate that an exponential function best models a data set? The population always increases or decreases over time. However, the population does not change at a constant rate like a linear function. A continual increase represents exponential growth. A continual decrease represents exponential decay. The appearance of the graph is curved with an asymptote.
5.
How can you tell by looking at the data if an animal species is in danger of becoming extinct? I would first look for population data that is decreasing. If the graph of the population is quadratic and concave down, meaning it was increasing and is now decreasing, there could be a seasonal pattern of increase/decrease that explains the change in population. The species could be in danger of becoming extinct, but its numbers might also increase again someday. If the population is represented by exponential decay, the population is decreasing quickly. The species is threatened for some reason and is likely in danger of becoming extinct.
6.
a. En Desmos, puedes añadir una tabla al usar el botón + de la parte superior izquierda. También puedes copiar y pegar cualquier dato de una tabla. Para crear un modelo cuadrático o exponencial para tus datos, fíjate en los encabezados de tu tabla, como x1 y y1. Para representar los datos con una función cuadrática, escribe una nueva fila:
Para representar los datos con una función exponencial, escribe una nueva fila:
Are these models useful for making predictions of animal populations in 10 years? How about 20 years? How about 100 years? Why or why not? Many factors influence animal population changes. Humans can intervene in positive or negative ways to affect animal populations. Models are useful for noticing trends, but they cannot always be used to predict many years into the future.
Desmos le indicará los coeficientes a, b y c que mejor representan los datos. 3
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
b. Encontrará instrucciones más detalladas en el enlace de la nota a pie de página I al final de esta página. PARTE II
1. Explique que las «Tarjetas de población» están repartidas por el salón. Los estudiantes trabajarán con sus grupos para analizar las poblaciones de animales y determinar qué tipos de funciones representan mejor los cambios a lo largo del tiempo. A continuación, usarán sus calculadoras gráficas para calcular las funciones de regresión. Usarán las funciones para hacer predicciones sobre las poblaciones futuras de las especies. 2. Pida a los estudiantes que observen las paredes del salón y tomen nota de la ubicación de las tarjetas de población. Explique que hay dos grupos de las mismas 7 tarjetas de población para que una zona no esté demasiado congestionada. Anímelos a prestar mucha atención para que no repitan un animal. 3. Asigne a cada grupo de estudiantes una «Tarjeta de población» para empezar. Indique a los estudiantes que avancen con el resto de tarjetas a su propio ritmo. Dispondrán de unos 15 minutos para completar todas las tarjetas. 4. Anímelos a colaborar con sus grupos para completar el resto de la parte II y anotar su trabajo en sus diarios».
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Model Data Explore 4
5. Supervise a los estudiantes mientras colaboran en su trabajo. Utilice las siguientes preguntas guías para evaluar su comprensión: a. DOK-1 «¿Cómo debes redondear tus respuestas?». Para las ecuaciones, las instrucciones dicen que hay que redondear a la décima más cercana. Para las poblaciones de animales predichas, debes redondear al número entero más cercano porque no puedes tener una fracción de un animal. b. DOK-2 «¿Cómo puedes distinguir entre modelos lineales y exponenciales?». Los modelos lineales aparecerán como una línea recta en un diagrama de dispersión. También cambiarán a un ritmo aproximadamente constante, como +10 cada año o -50 cada año. Los modelos exponenciales se curvan como una función exponencial en un gráfico de dispersión. También cambian en una razón aproximadamente constante, como -1,1 o -0.5 cada año. 6. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas de reflexión que siguen. 7. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
Quadratic and Exponential Regression Exit Ticket Which function models the population of red fox in a national park from 1990 to 2020 (let x = 0 in 1990)? Year
1990
1995
2000
2005
2010
2015
2020
Population of Red Fox
125
112
108
115
127
145
160
A.
y = 6.8x + 107.1
B.
y = 108.5(1.1)x
C.
0.12x2 – 2.36x + 122.5
Model Data Explore 4
Quadratic and Exponential Regression Exit Ticket
Which function models the population of red fox in a national park from 1990 to 2020 (let x = 0 in 1990)? Year
1990
1995
2000
2005
2010
2015
2020
Population of Red Fox
125
112
108
115
127
145
160
A.
y = 6.8x + 107.1
B.
y = 108.5(1.1)x
C.
0.12x2 – 2.36x + 122.5
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 Compara y contrasta modelos lineales, exponenciales y cuadráticos. Los modelos exponenciales y lineales son siempre crecientes o siempre decrecientes. Los modelos cuadráticos aumentan y luego disminuyen o disminuyen y luego aumentan. Los tres modelos pueden representarse mediante una ecuación calculada al usar un dispositivo gráfico. • DOK-2 «¿Puede usarse siempre un modelo para predecir el futuro?». Cuando se consideran datos de la vida real, los modelos son útiles para representar tendencias y predecir el futuro próximo. Sin embargo, Las ecuaciones no deben usarse para predecir valores en un futuro lejano. Hay demasiados factores que pueden influir en los datos de la vida real. 8. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que rellenen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 9. Vuelva al «Captar interés» y pida a los estudiantes que usen las habilidades recién adquiridas para completar la actividad con éxito.
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez creado, haga que cada estudiante complete individualmente su «Libreta interactiva» .
c
Paso 1, coyote: Si usa la calculadora TI-84, introduzca los datos en la calculadora gráfica. STAT > Edit
d
Paso 2, coyote: Utilice la función de regresión exponencial para calcular la función exponencial que mejor modele estos datos. Redondea a la centésima más cercana. STAT > CALC > 0:ExpReg
I. Instructiones TI a
b
Paso 1, oso negro: Si usa la calculadora TI-84, ingrese los datos en la calculadora gráfica. STAT > Edit
Paso 2, oso negro: Utilice la función de regresión cuadrática para calcular la función cuadrática que mejor modele estos datos. Redondea a la centésima más cercana. STAT > CALC > 5:QuadReg i Observe que los estudiantes pueden notar que el coeficiente de correlación, r, ha sido reemplazado por el coeficiente de determinación R2. Explique que los coeficientes de correlación sólo se usan para describir la relación entre dos variables en una situación lineal. El coeficiente de determinación muestra el porcentaje de datos que más se aproxima a la recta de mejor ajuste.
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Los estudiantes deben considerar cuáles son las limitaciones de los modelos en contexto, al pensar en el ajuste de los datos y su predicción de valores futuros. 2. Los estudiantes deben darse cuenta de que otros modelos distintos a las tres funciones que han estudiado pueden ser los más efectivos para un conjunto de datos y que los modelos que usan pueden tener limitaciones.
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Model Data Part 4
APOYOS LINGÜÍSTICOS La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias que siguen para encontrar formas de apoyar el desarrollo lingüístico de los estudiantes. Los estudiantes usarán técnicas visuales, contextuales y lingüísticas para apoyar su adquisición del lenguaje hablado. Principiante: Antes de la lección, muestre a los estudiantes una imagen que represente funciones lineales, cuadráticas y exponenciales. Cree un escenario basado en cada imagen que represente la palabra de vocabulario especificada. Por ejemplo, el escenario para la representación lineal podría ser «El chico camina a un ritmo constante». Utilice sus dedos para imitar los pies al subir las escaleras mientras lo dice, y pida a los estudiantes que digan la palabra lineal.
Quadratic and Exponential Regression Use the given function to determine the function type and regression equation, and then calculate the value of y when x is 20. Round to the nearest tenth if necessary.
Function
1.
2.
x
f(x)
2
6
3
9
4
10
5
9
A certain type of bacteria starts with 18 cells on day 1. The number of bacteria cells increases by 10% each year.
Regression Equation
Value of y When x Is 20
Quadratic
y = −x2 + 8x – 6
−246
Exponential
y = 18 · (1.1)x
121.1
Quadratic
y = −6.1x2 + 91.1x + 0.3
−617.7
3.
Intermedio: Antes de la clase, presente a los estudiantes una ilustración, frases y un banco de palabras con los términos lineal, cuadrática y exponencial. Basándose en la imagen, pida a los estudiantes que completen los enunciados con una palabra del banco de palabras. Por ejemplo, una frase y una respuesta podrían ser: «La trayectoria de la pelota al ser lanzada es una función ___ (cuadrática)» Avanzado: Antes de la lección, proporcione a los estudiantes una sopa de letras junto con una lista de palabras. Pida a los estudiantes que busquen las palabras basándose en las definiciones dadas. Por ejemplo, dada la definición «línea recta», los estudiantes deben buscar y encerrar con un círculo la palabra lineal.
Function Type
1
Model Data Part 4
For a statistics project, Mauricio designed a town for an optimal population growth of 8% per year. The table shows the population (in thousands) from 2020 to 2026. Use this data for questions 4–8. Year
Population (in thousands)
2020
50
2021
54
2022
59
2023
63
2024
67
2025
73.1
2026
79.2
4.
Use a graphing calculator to find the exponential regression equation. Round to the nearest hundredth. y = 50.15(1.08)x
5.
Using your regression equation from question 4, what is the predicted population in 2035? y = 50.15(1.08)15 y = 159.08 thousand
6.
In what year will the population of Mauricio’s city be equal to double its initial population? 2029 y = 50.15(1.08)9 y = 100.25 thousand
2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 4) CLAVE DE RESPUESTAS
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE CONSOLIDAR EL APRENDIZAJE ESTUDIANTIL
ESQUEMA DE ANCLAJE
Model Data Association (Correlation)
Causation Causation is a real-world explanation for why one variable is correlated with another.
Two variables show correlation if there is an observed pattern when the variables are plotted on a scatter plot.
Correlation does NOT imply causation. Two variables could be correlated by coincidence or by a third, unknown variable.
Positive Correlation
It is important to carefully analyze the variables to determine causation.
Negative Correlation
Causation
NO Causation
The distance between two cities and the time it takes to drive between them
The number of coffee shops and the number of teachers in a city
Linear Regression (correlation coefficient)
No Correlation
r>0
Positive correlation
r<0
Negative correlation
r > 0.70
Strong correlation
0.30 < r < 0.70
Moderate correlation
r < 0.30
Weak correlation
r≈0
No correlation
NOTE: The correlation coefficient, r, tells you the strength of the linear fit for the data.
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
DESCRIPCIÓN Un esquema de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Se trata de una herramienta para apoyar la instrucción y consolidar el aprendizaje estudiantil a lo largo del alcance.
MATERIALES
• 1 hoja de papel cuadriculado • 1 juego de marcadores multicolores
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del ejemplo de «Esquema de anclaje», si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. El ejemplo de Esquema de anclaje puede usarse como referencia antes de crear el esquema de anclaje de la clase. Esta actividad debe ser dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje. 2. A medida que los estudiantes trabajen en el alcance, colaboren para añadir piezas al esquema de anclaje. Formule las siguientes preguntas guías: a. «¿Qué estrategia usamos para resolver este problema?». b. «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?». 3. Añada habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada «Exploración» para resaltar el contenido importante. 4. Explique que pueden usar este gráfico como herramienta de apoyo para su aprendizaje. Los estudiantes también pueden pegar una copia del ejemplo de esquema de anclaje en sus cuadernos para usarla como referencia a lo largo del año. 5. Algunos esquemas de anclaje sólo se mostrarán durante un alcance o grupo de alcances concretos, mientras que otras permanecerán expuestas durante todo el grado escolar.
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
LIBRETA INTERACTIVA PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
DESCRIPCIÓN
1. Prepare una «Libreta interactiva» al usar un cuaderno de espiral o de composición para cada uno. Los estudiantes pueden usar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades.
Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase al usar la actividad y la libreta.
MATERIALES
2. Las instrucciones para cada actividad se proporcionan en el «Folleto del estudiante».
IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos.
PREPARACIÓN
4. Las libretas interactivas pueden usarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
• Imprima una copia del «Folleto del estudiante» para cada uno.
Model Data
Instructions ● Cut out the task below, and glue or tape it into your notebook. ● Examine the data displayed on each grid. Identify whether the graph displays a correlation (positive, negative, no association), and record your thoughts under each graph.
Model Data
Instructions ● Cut out the tasks below, and glue or tape them into your notebook. ● Follow the directions to complete each task.
Model Data
Instructions ● Cut out the task below, and glue or tape it into your notebook. ● Complete the task.
Use a graphing calculator to help answer the questions below. The table shows the heights of a select number of children between the ages of 2 and 6 years old. A, age in years
2
3
3
4
4
4
5
5
5
6
H, height in inches
30
33
34
37
35
38
40
42
43
42
Residuals
Step 1 Use the information below to calculate the residual for each point.
Equation: ______________________________ Correlation coefficient (r): ______________________________ Is the correlation strong or weak? ______________________________ Use a graphing calculator to help answer the questions below. In 2015, the median sales price of a home in rural Oklahoma was $155,000. The table shows how that value changed over the next several years. If prices continue to change at this rate, write an exponential function, f(x), that best describes the data.
Step 2 Plot the residuals on their own graph using the x-coordinate and the residual for the y-coordinate.
x
Actual y
Predicted y
1
2
2.5
2
4
3
3
3
3.5
4
3
4
5
4.5
4.5
6
6
5
7
6.5
5.5
8
4
6
Residual
Step 3 Answer the questions below.
Years since 2015, x
Sales price, f(x)
0
$155,000
Equation
Does the residual data show a pattern?
1
$164,000
______________________________
________________________
2
$174,000
What does this mean?
3
$185,000
What will be the median sales price of a home in 2025?
4
$192,000
______________________________
________________________
________________________
FOLLETO DEL ESTUDIANTE
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO VOCABULARIO CLAVE
VOCABULARIO ILUSTRADO Interval
Increasing/Decreasing
Positive/Negative Interval
Relative Maximum
The set of continuous input values on which a function’s outputs could be increasing, decreasing, or constant
A function is increasing if f(b) > f(a) and decreasing if f(b) < f(a) for any two input values a and b.
Positive intervals are those above the x-axis; negative intervals are those below the x-axis. 3-5 image
A point that is higher than the points directly beside it on both sides
2
3
4
5
Relative Minimum
End Behavior
Periodicity
Percent Rate of Change
A point that is lower than the points directly beside it on both sides
The trend the graph follows as x approaches infinity in the negative and positive directions
The tendency of a function to repeat itself in a regular pattern at established intervals
The percentage increase or decrease of an amount over a unit of time, denoted by r
7
6
8
9
Exponential Growth
Exponential Decay
Scatterplot
Line of Best Fit (Trend Line)
The change that occurs when an original amount is increased by a consistent rate over a period of time
The process of reducing an amount by a consistent percentage rate over a period of time
A series of plotted points that show the relationship between two sets of data
A line that best represents the data on a scatterplot
10
11
12
13
Association
Slope
Rate of Change
Y-Intercept
The form (linear/nonlinear), direction (positive/negative/none), and strength (weak/moderate/strong) seen between two variables in a scatterplot
How steep a line is; represented as m in the slope-intercept equation
The rate that shows how one quantity changes in relation to another quantity
The point on a graph of an equation where the line crosses the y-axis
14
15
16
17
Constant
Correlation Coefficient
Causation
Regression
A fixed number that stands alone in an equation or expression
A number r that describes how closely the points in a scatterplot are related, where −1 ≤ r ≤ 1
The action of one event causing another event to occur
The process of drawing a line through data in a scatterplot
18
19
20
Correlation
Residual
Quadratic Function
The relationship between two variables that vary together
The difference between the observed y value (from the scatterplot) and the predicted y value (from the regression equation line)
A function that can be written in the form f(x) = ax² + bx + c = 0, where a, b, and c are real numbers and a ≠ 0, or in the form f(x) = a(x – h)² + k, where a, h, and k are real numbers and a ≠ 0
22
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ DESARROLLAR LA FLUIDEZ CONCEPTUAL
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: REPRESENTAR DATOS DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes jugarán al juego ¡Corrige el error!
MATERIALES
Fix the Mistake! Answer Key Card Number
Math Expert or Fix the Mistake
Justification
1
Fix the mistake
y = 1.41x + 39.33
2
Math expert
3
Fix the mistake
4
Math expert
5
Fix the mistake
6
Fix the mistake
The student received 20 more text messages than predicted based on the number of text messages sent.
7
Fix the mistake
Table B is best modeled by quadratic regression.
8
Math expert
IMPRESO
• 1 hoja de instrucciones ¡Corrige el error! (por pareja) • 1 juego de tarjetas ¡Corrige el error! (por pareja) • 1 hoja de registro para el estudiante (por alumno) • 1 clave de respuestas ¡Corrige el error! (por pareja) REUSABLE
• 1 sobre o bolsa resellable (por pareja)
PREPARACIÓN
y = −1.09x + 13.91
For the line of best fit, the initial value is 4 and the rate of change is
.
• Haga copias a doble cara de las tarjetas ¡Corrige el error! • Lamínelas para que duren más. • Recorte cada una de las tarjetas y colóquelas en un sobre o bolsa resellable para facilitar su distribución y limpieza. • Imprima una «Hoja de registro del estudiante ¡Corrige el error!» para cada estudiante. • Imprima una «Clave de respuestas de ¡Corrige el error!» para cada pareja de estudiantes. Doble la clave de respuestas de modo que las respuestas queden cubiertas pero el título aparezca en la parte superior de la página. • Coloque a los estudiantes en parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo barajar las tarjetas y colocarlas boca abajo en una pila. 2. Muestree cómo jugar el juego con un estudiante. a. Baraje las tarjetas y colóquelas boca abajo en una pila entre los jugadores.
1
HOJA DE REGISTRO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
e. Los jugadores deben rellenar la «Hoja de registro del estudiante ¡Corrige el error!» mientras juegan. (Los jugadores deben rellenar la fila de la «Hoja de registro del estudiante de ¡Corrige el error!» que corresponda al número de cada tarjeta). f. Una vez analizadas todas las tarjetas, los estudiantes usan la «Clave de respuestas de ¡Corrige el error!» para comprobar sus respuestas. g. El jugador con más respuestas correctas es el ganador. 3. Distribuya los materiales del juego. A continuación, indique a los estudiantes que barajen las tarjetas y las coloquen boca abajo en una pila entre los jugadores. 4. Vigile a los estudiantes para asegurarse de que encuentran y registran las respuestas correctas a cada tarjeta al usar la «Hoja de registro del estudiante ¡Corrige el error!».
b. El jugador 1 voltea una tarjeta. Ambos jugadores analizan el problema y determinan si la solución proporcionada al problema es correcta y el estudiante que la ha contestado es un experto en matemáticas o si la solución es incorrecta y es necesario corregir el error. c. Los jugadores se turnan para dar la vuelta a una tarjeta cada vez. d. Los jugadores continúan turnándose hasta que se han resuelto todas las tarjetas.
502
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a
REPASAR CONCEPTOS previos REPASAR CONCEPTOS previos ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
ELABORAR: REVISIÓN EN ESPIRAL Model Data
REPASAR CONCEPTOS PREVIOS
REVISIÓN EN ESPIRAL: VIAJAR EN BARCO POR AGUAS DESCONOCIDAS
Traveling by Boat in Uncharted Waters You're on a boat that should have reached undiscovered land days ago. Your compass tells you you're on the right path, but there is no land in sight. Suddenly, you see the water glowing in the distance and realize it's a sparkling pink and purple prehistoric dinosaur. It has a long neck and large flippers that are almost the length of your boat. The dinosaur keeps motioning its head in a different direction than your compass is telling you to go.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes repasan contenidos previos o actuales del grado para ayudar a apoyar su trabajo en el alcance actual y fortalecer las habilidades necesarias para alcances posteriores.
Should you follow it? Is it pointing you in the right direction? At that moment, you see a swarm of sea people swimming right alongside the dinosaur. They are smiling and waving and gesturing in the same direction that the dinosaur was motioning. You have nothing to lose. And for some strange reason, you are not scared. You follow the entourage, and suddenly land appears. The only thing is, it's already inhabited. You were not the first one here. The dinosaur and sea people have a beautiful, thriving community, and they welcome you to visit.
REVISIÓN EN ESPIRAL CENTRADA EN LA PREGUNTA • Pregunta 1
• ALG I: Escribir funciones exponenciales para describir funciones matemáticas y del mundo real. • Pregunta 2 • ALG I: Graficar funciones exponenciales e identificar las características clave. • Pregunta 3
1
• ALG I: Graficar funciones cuadráticas e identificar las características clave. • Pregunta 4
Model Data
1.
The sea people swam so fast that they seemed to appear out of nowhere. Sonar images computed their pathway using the table of values below. Which exponential function represents the same relationship?
A. B. C.
x
f(x)
0
0.5
1
1.5
2
4.5
2.
• ALG I: Graficar funciones lineales e identificar las características clave.
You are correcting your map so you will be able to get back to the undiscovered-but-actuallyalready-discovered land. Show the graph of below.
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
ATTN: Prod Blank graph underneath for #2
1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a intentar responder a las preguntas de forma independiente sin usar recursos externos para ver lo que saben. Invite a los estudiantes a anotar ideas o fragmentos que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas.
The answer is C.
3.
The dinosaur is able to dive down into the water, swim back to the surface, and jump out of the water. You watch the dinosaur perform this trick, and then you see the boat’s sonar display this graph of the dinosaur’s path. What are the zeros of this graph?
4.
The compass was charting the part of your path that can be modeled with a linear function. The graph of this function passes through the point (3, 8) with a slope of . What is the zero of this function?
3. Utilice las preguntas de repaso en espiral como calentamiento en clase, o envíelas a casa como tarea. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos. The answer is −21.
The answer is −8 and −4. 2
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
4. Consulte la sección «Centrada en la pregunta» de la revisión en espiral para evaluar los conocimientos de contenido de los estudiantes o su necesidad de una mayor intervención. Si es necesario repasar más, utilice el «Constructor de fluidez» en los alcances apropiados. 5. El capítulo final incluye una parte del alcance actual para que los estudiantes vean la conexión y relevancia de su aprendizaje previo con el actual.
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS
Model Data
ANÁLISIS DE DATOS
CIENCIA DE DATOS Ciencia de datos es un breve debate en clase basado en un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. La parte I incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los estudiantes en contexto.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizarán, interpretarán y generarán conjuntos de datos, y responderán a preguntas basadas en los datos.
MATERIALES
SOTC: Sea Ice, National Snow and Ice Data Center, November 12, 2020. https://nsidc.org/cryosphere/sotc/sea_ice.html 1
CONJUNTO DE DATOS
IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por estudiante, si se asigna la actividad de ampliación opcional) • 1 conjunto de datos (por clase) REUSABLE
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase) • 1 marcador (por clase) CONSUMIBLE
• 1 trozo de papel milimetrado (por clase)
PREPARACIÓN
• Prepárese para proyectar el «Conjunto de datos» para la clase. • Reúna un trozo de papel milimetrado y un marcador. • Imprima el «Folleto del estudiante» para cada alumno si asigna la actividad de ampliación opcional.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
c. «¿Por qué crees que los datos siguen esta tendencia?». d. «¿Cuál es el propósito de la línea azul?». e. Calcula una ecuación de regresión lineal para este conjunto de datos. f. Según tu regresión lineal, «¿cuál será aproximadamente la extensión del hielo marino del Ártico en 2024?». g. «¿Cuáles son algunos de los efectos de la disminución de la extensión del hielo marino?». ACTIVIDAD DE AMPLIACIÓN (OPCIONAL)
1. Entregue a cada estudiante una copia del «Folleto del estudiante». 2. Lea las instrucciones y responda a las preguntas que puedan tener los estudiantes. 3. Dé tiempo para que los estudiantes completen la actividad en clase o envíela a casa como tarea. 4. Anímelos a compartir sus datos con la clase.
1. Proyecte el «Conjunto de datos» y prepárese para anotar las observaciones de los estudiantes. 2. Comente las siguientes preguntas: a.
«¿Qué observa en este conjunto de datos?».
b.
«¿Qué representa este conjunto de datos?».
c.
«¿Qué categorías se incluyen en este conjunto de datos?».
d.
«¿Cuál es la relación entre las dos variables?».
e.
«¿Qué preguntas tienes sobre los datos?».
PARTE II 1. Revise el «Representar datos», y escriba lo que los estudiantes recuerden en el papel milimetrado. 2. Comente las siguientes preguntas: a.
«¿Qué tipo de correlación está presente en el conjunto de datos?».
b.
«¿Representa este escenario una relación causal?».
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS
LISTA DE CONTROL DE LA OBSERVACIÓN DESCRIPCIÓN
3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede usarse como evaluación formativa para los maestros y como autoevaluación para los estudiantes.
4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
5. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el «Folleto del maestro».
• 1 folleto del maestro (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del maestro» y un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Folleto del estudiante» a cada uno. 2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Explorar» y «Explicar» del alcance, evalúe formativamente su progreso tomando notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
6. Las notas anecdóticas proporcionadas en el «Folleto del maestro» pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares. 7. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la «Guía de instrucción andamiada» en la sección «Inicio» de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
Model Data
Model Data
Model Data Skill or Key Concept Create equations in two or more variables to represent relationships between quantities; graph equations on coordinate axes with labels and scales.
Represent data on two quantitative variables on a scatter plot, and describe how the variables are related. a. Fit a function to the data; use functions fitted to data to solve problems in the context of the data. Use given functions or choose a function suggested by the context. Emphasize linear, quadratic, and exponential models. Represent data on two quantitative variables on a scatter plot, and describe how the variables are related. b. Informally assess the fit of a function by plotting and analyzing residuals.
How was the skill or concept observed? ❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Model Data
Standards for Mathematical Practice
Model Data Notes and Feedback
How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Represent data on two quantitative variables on a scatter plot, and describe how the variables are related. c. Fit a linear function for a scatter plot that suggests a linear association. Interpret the slope (rate of change) and the intercept (constant term) of a linear model in the context of the data.
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Notes and Feedback
Make sense of problems and persevere in solving them
Notes and Feedback
Reason abstractly and quantitatively Construct viable arguments and critique the reasoning of others Model with mathematics Use appropriate tools strategically
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Attend to precision Look for and make use of structure Look for and express regularity in repeated reasoning
Compute (using technology) and interpret the correlation coefficient of a linear fit.
Distinguish between correlation and causation.
1
Consider these reflection questions in this scope.
2
●
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them?
●
What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
3
FOLLETO DEL MAESTRO
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505
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
EVALUAR: MAPA DE CALOR ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
MAPA DE CALOR DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
1. Dé un «Mapa de calor» a cada estudiante junto con lápices de colores rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s).
MATERIALES
• 1 mapa de calor (por estudiante) • 1 lápiz de color rojo (por estudiante) • 1 lápiz de color azul (por estudiante) • 1 lápiz de color naranja (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Determine si los estudiantes analizarán su «Prueba de habilidades», la «Evaluación basada en estándares», o ambas. • Imprima un «Mapa de calor» para cada estudiante. • Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
2. Los estudiantes Usan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el «Mapa de calor». Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los estudiantes colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, los estudiantes colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, los estudiantes colorean el cuadro correspondiente de rojo. 3. Anímelos a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a usar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada. 4. Consulte la «Guía de instrucción andamiada» que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
Model Data
Model Data
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
1. Which skill did you feel most confident with? Why?
Skills Quiz Standards Create equations in two or more variables to represent relationships between quantities; graph equations on coordinate axes with labels and scales.
Represent data on two quantitative variables on a scatter plot, and describe how the variables are related. a. Fit a function to the data; use functions fitted to data to solve problems in the context of the data. Use given functions or choose a function suggested by the context. Emphasize linear, quadratic, and exponential models.
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key.
Reflection Questions
Red – misconception
Model Data
Blue – miscalculation
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
Orange – explanation
Questions
Standards
8
Create equations in two or more variables to represent relationships between quantities; graph equations on coordinate axes with labels and scales.
2
Represent data on two quantitative variables on a scatter plot, and describe how the variables are related. a. Fit a function to the data; use functions fitted to data to solve problems in the context of the data. Use given functions or choose a function suggested by the context. Emphasize linear, quadratic, and exponential models.
3. Which type of error did you most commonly make?
3
Represent data on two quantitative variables on a scatter plot, and describe how the variables are related. c. Fit a linear function for a scatter plot that suggests a linear association.
1
4
Interpret the slope (rate of change) and the intercept (constant term) of a linear model in the context of the data.
5
6
7
Distinguish between correlation and causation.
10
4. How can you avoid those errors in the future?
Questions
2
8
1
8
Represent data on two quantitative variables on a scatter plot, and describe how the variables are related. b. Informally assess the fit of a function by plotting and analyzing residuals.
Represent data on two quantitative variables on a scatter plot, and describe how the variables are related. b. Informally assess the fit of a function by plotting and analyzing residuals.
Compute (using technology) and interpret the correlation coefficient of a linear fit.
Red – misconception
Standards-Based Assessments
Represent data on two quantitative variables on a scatter plot, and describe how the variables are related. c. Fit a linear function for a scatter plot that suggests a linear association. Interpret the slope (rate of change) and the intercept (constant term) of a linear model in the context of the data. Compute (using technology) and interpret the correlation coefficient of a linear fit.
9
Distinguish between correlation and causation.
1
2
10
Not Assessed
2
10
5
9
4 3
6
7 3
MAPA DE CALOR
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
Model Data
INTERVENIR: REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES
Checkup 1.
What kind of correlation does this scatterplot represent? Circle the correct answer choice.
A.
Positive correlation
B.
Negative correlation
C.
No correlation
2.
Which situation(s) does not describe a causal relationship? Choose ALL that apply.
❏
Cost of fuel and number of cars manufactured
❏
Hours spent exercising and fitness of the body
❏
Number of tickets sold and revenue generated
❏
Height and hair color
CORREGIR Y VOLVER A ENSEÑAR
REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES DESCRIPCIÓN Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para intervención.
3.
Which correlation coefficient represents the strongest relationship between the variables? Circle the correct answer choice.
4.
The local lemonade shop keeps track of how many sales they make versus the noon temperature on that day. The scatterplot shows their figures for the last 12 days. A. Write the linear regression equation for this data. (Round all values to the nearest tenth.) (Sample answer)
A.
−0.09
B.
0.39
C.
−0.97
D.
0.61
y = 56.9x − 281.1
MATERIALES IMPRESO
• 1 revisión rápida (por estudiante) • 1 repaso (por estudiante)
1
Model Data
5.
Which of the following is the best conclusion that can be made about the data's linearity? A. The graph is linear because the plot of the residuals possesses a random distribution.
6.
B.
The graph is not linear because the plot of the residuals possesses a U-shaped distribution.
C.
The graph is not linear because the plot of the residuals possesses a random distribution.
Month, x
1
2
3
4
5
416
3,328
26,624
212,992
1,703,936
A. y = 52(3)x
8.
B.
y = 52(8)x + 2,912
C.
A.
Positive correlation and a causal relationship
B.
Negative correlation and a causal relationship Positive correlation and not a causal relationship
D.
Negative correlation and not a causal relationship
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Which correlation coefficient represents the weakest relationship between the variables? Circle the correct answer choice. A.
0.08
B.
−0.9
C.
−0.74
D.
• Imprima una copia de la «Revisión rápida», el «Repaso» y la «Revisión general» para cada estudiante.
• Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayudas suplementarias para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
y = 52(8)x
A shampoo company’s study showed that the longer your hair grows, the more shampoo you will need. Which statement best describes this relationship?
C.
PREPARACIÓN
• Si lo desea, imprima un ejemplo del «Esquema de anclaje» de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que usen la «Libreta interactiva» como recurso.
Which function best models the data? Circle the correct answer choice.
7.
• 1 lista de verificación para el maestro (por maestro)
• Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar el «Repaso».
A zoologist has been monitoring the crocodile population in the lakes of Brazil. The table below shows the results.
Population, y
• 1 revisión general (por estudiante)
0.92 2
1. Dé una copia de la «Revisión rápida» a cada estudiante. 2. Cada uno debe completarla de forma independiente.
Model Data
9.
10.
Which of the following is the best conclusion that can be made about the data's linearity? A. The graph is linear because the plot of the residuals possesses a random distribution. B.
The graph is not linear because the plot of the residuals possesses a U-shaped distribution.
C.
The graph is not linear because the plot of the residuals possesses a random distribution.
4. Distribuya una copia del «Repaso» a cada uno. 5. Cada estudiante debe completar el «Repaso» como actividad de intervención o de forma independiente.
A ball is shot from a cannon into the air. The table below shows the height, y, of the ball at different times, x. Height (m), y
0
0.5
1
1.5
2
Time (sec.), x
2
14
18
14
2
Which function best models the data? Circle the correct answer choice. A. y = 16(3)x
B.
y = −16x2 + 32x + 2
C.
3. Use la guía de evaluación de habilidades al final de la «Revisión rápida» para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional.
a. Si lo desea, reúna a los estudiantes en pequeños grupos para trabajar en las destrezas de repaso. Utilice el «Repaso» como ayuda para la reenseñanza. 6. Distribuya una copia de la «Revisión general» a cada uno.
y = 16x2 – 32
7. Cada estudiante debe completarla de forma independiente. 3
REVISIÓN GENERAL CLAVE DE RESPUESTAS ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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8. Analice los resultados de la «Revisión general» al usar la «Lista de verificación para el maestro» para identificar quienes necesitan un repaso adicional y quienes han alcanzado el dominio de los conceptos.
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
ACELERACIÓN: ¿QUÉ PREFERIRÍAS? Model Data
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
¿QUÉ PREFERIRÍAS?: PUNTUACIONES EN EL CUESTIONARIO DE MATEMÁTICAS DESCRIPCIÓN Los estudiantes usan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 guía de evaluación (por maestro)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno. • Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Math Quiz Scores Use mathematical reasoning and creativity to justify your answer to the Would You Rather question. Aarav wants to know if the number of hours he sleeps and/or the number of hours he studies impact his math quiz results. According to the data he has compiled below, would you rather use the number of hours you sleep or the number of hours you study as a metric to determine your expected quiz scores? Justify your reasoning with mathematics. Hours Slept
8
8
6
5.5
7
6
Hours Studied
4
5
3
2.5
4.5
3
Quiz Score
83
81
75
70
88
77
The correlation for hours slept vs. quiz score is approximately 0.74. The correlation for hours studied vs. quiz score is approximately 0.83. The following statements are sample answers: Since the correlation for hours studied vs. quiz score is higher, it represents a better fit for the data, and he should focus more on the quantity studied than quantity slept. Both the number of hours studied and slept are important factors because if Aarav spent all of his hours studying, and he didn’t sleep at all, he would not be expected to do well on his quiz because he would be too tired to think properly. Additionally, if he only paid attention to hours slept and he did not study at all, he would not likely do well on his quizzes.
1
1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a mirar sus folletos de «Explorar» si necesitan repasar habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros.
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
4. Utilice la guía de evaluación proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
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ÁLGEBRA 1: REPRESENTAR DATOS
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Model Data
OPCIONES PARA EL APRENDIZAJE CONTINUO
TABLERO DE OPCIONES
Model Data Choose one or more of the extension activities from the table below. Career Connection
Science Connection
Epidemiologist
H-R Diagram
Research the career field of epidemiology. Your research must answer the provided questions. Create a presentation to relay your research to the class.
Analyze the data provided on the handout. Then, use the data and your own research to answer the questions.
Technology Connection
Create Your Own
Shot Put
Real-World Correlation
Use the graphing calculator to enter the data provided on the handout. Then, use the data and calculator to answer the questions.
Create your own scatterplot. Follow the criteria on the handout to come up with a real-world scenario that goes along with your scatterplot.
Mathematician Spotlight
Financial Connection
John Herschel
Space Heaters
Search for several news articles or research papers that involve John Herschel’s work. Create an informational poster, diorama, or speech to convey this mathematician’s work as it relates to modeling data.
We use math every day in our financial world. Explore how scatterplots and correlation connect to our financial world by completing the handout.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes explorarán las conexiones con el mundo real y las aplicaciones del contenido matemático a través de interacciones con actividades atractivas.
MATERIALES IMPRESO
• 1 tablero de opciones (por estudiante) • 1 juego de hojas de actividades (por estudiante) • 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante) REUSABLE
• Tecnología (si corresponde)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Tablero de opciones» y un juego de hojas de actividades para cada estudiante. • Imprima una «Autoevaluación del tablero» para cada estudiante.
TABLERO DE OPCIONES
• Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» a cada estudiante. 2. Dé tiempo a los estudiantes para examinar el «Tablero de opciones» y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anímelos a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del tablero, haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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