SSM CA Spanish Grade Algebra 1 Student Editions Volumes 1,2,3,4 by acceleratelearning

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ISBN 9798330818327

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ÁLGEBRA 1 | Libreta del estudiante VOL. 1 DE 4

MATEMÁTICAS

POR ACCELERATE LEARNING

CALIFORNIA

POR ACCELERATE LEARNING

CALIFORNIA

A1 ÁLGEBRA

CALIFORNIA

POR ACCELERATE LEARNING

Libreta del estudiante VOLUMEN 1 DE 4

12/16/25 1:06 PM

Libreta del estudiante, volumen 1 Álgebra 1

Publicado por Accelerate Learning Inc., 5177 Richmond Ave, Suite 800, Houston, TX 77056. Copyright © 2025, Accelerate Learning Inc. Todos los derechos reservados. Ninguna parte de esta publicación podrá ser reproducida o distribuida en ninguna forma ni por ningún medio, ni almacenada en una base de datos o sistema de recuperación, sin el consentimiento previo por escrito de Accelerate Learning Inc., incluyendo, entre otros, en cualquier red u otro sistema de almacenamiento o transmisión electrónica, o difusión para educación a distancia. Para obtener más información, visítenos en www.stemscopes.com.

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TABLA DE CONTENIDO ALCANCE 1

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

RESOLVER ECUACIONES

RESOLVER DESIGUALDADES

158

ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

230

SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

310

ALCANCE 2

ALCANCE 3

ALCANCE 4

ALCANCE 5

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ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

MODELO CON FUNCIONES INVESTIGACIONES DE FUNCIONES

En esta unidad, aprenderás sobre las funciones, que son un tipo especial de relación entre números. Comprender las funciones te ayudará a resolver problemas del mundo real y a dar sentido a los datos. En esto te enfocarás: ◦ Determinación de funciones: Aprenderás a reconocer si una relación es una función. Una función asigna un único valor de salida a cada valor de entrada.

CRECIMIENTO Y DECADENCIA

◦ Dominio y rango: Explorarás cómo cada función tiene un dominio (todas las entradas posibles) y un rango (todas las salidas posibles). Aprenderás a identificarlos en diferentes situaciones. ◦ Notación de funciones: Practicarás el uso de la notación de funciones, como f(x), para describir funciones. Esto te ayuda a trabajar y comunicarte fácilmente sobre ellas. ◦ Evaluación de funciones: Aprenderás a encontrar la salida de una función cuando se da una entrada. Esta puede ser un número, una expresión algebraica o un punto en una gráfica. ◦ Contextos del mundo real: Conectarás las funciones con situaciones reales, comprendiendo cómo modelan escenarios como calcular tiempo o costo. ◦ Tasa promedio de cambio: Calcularás cuánto cambia una función en promedio en un cierto intervalo. Esto es similar a encontrar la pendiente de una recta. ◦ Interpretación de la tasa de cambio: Interpretarás qué significa la tasa promedio de cambio en diferentes contextos, ayudándote a entender qué tan rápido cambian las cosas.

Al final de esta lección, podrás identificar funciones, usar la notación de funciones y aplicar estos conceptos a problemas de la vida real.

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APLICACIÓN DE PRÁCTICAS MATEMÁTICAS • MP.1 Entender problemas y seguir intentando resolverlos: Aprenderás a comprender descripciones de funciones y a relacionarlas con sus gráficas, dominios y rangos usando la información proporcionada.

• MP.5 Elegir las herramientas adecuadas con sabiduría: Usarás gráficas, tablas y descripciones para escribir y analizar funciones, asegurándote de que las funciones representen con precisión los datos.

• MP.2 Pensar con números e ideas: Utilizarás datos del mundo real de tablas y gráficas para encontrar cómo cambian las cosas con el tiempo y usar esto para hacer sugerencias y predicciones.

• MP.6 Ser preciso: Tendrás cuidado al encontrar el dominio y el rango de una función analizando descripciones, tablas y gráficas para obtener los resultados más precisos.

• MP.3 Construir argumentos sólidos y evaluar el razonamiento de otros: Aprenderás a evaluar la afirmación de un compañero usando tu conocimiento sobre cómo cambian las cosas con el tiempo para apoyar tu argumento.

• MP.7 Usar la estructura para resolver problemas: Aplicarás lo que sabes sobre evaluar expresiones para evaluar funciones, entendiendo que f(x) es el nombre de la función, no una operación.

• MP.4 Usar las matemáticas para representar situaciones de la vida real: Utilizarás ecuaciones y gráficas para representar descripciones de funciones y usarlas para predecir resultados futuros.

• MP.8 Notar patrones y razonamientos repetidos: Aprenderás a identificar si las funciones son discretas o continuas según la información dada, como valores de dominio y rango listados que indican una función discreta.

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

CAPTAR INTERÉS: ANTES DE EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Imagina que tu teléfono se apaga de repente y te quedas mirando una pantalla en blanco. Mark se encuentra exactamente en esta situación y decide conectar su teléfono a un cargador. A medida que pasan los minutos, se pregunta cómo describir el proceso de carga del teléfono usando matemáticas. Al registrar la carga a lo largo del tiempo, Mark aprende a usar la notación de funciones para modelar esta situación de la vida real.

En esta actividad, aprenderás sobre la notación de funciones usando un ejemplo del mundo real de la carga de un teléfono. Verás un video que muestra cómo cambia la carga de un teléfono con el tiempo y comentarás lo que observes. Explorarás cómo usar las matemáticas para describir estos cambios y comprender cómo escribir e interpretar la notación de funciones.

Responda las preguntas. 1. ¿Qué crees que le pasa a la carga del teléfono a medida que pasa el tiempo mientras está conectado?

2. ¿Cómo describirías el proceso de carga utilizando símbolos o expresiones matemáticas?

3. Si Mark nota que la carga aumenta más lentamente a medida que se acerca al 100%, ¿qué podría sugerir esto sobre la tasa de carga?

4. ¿Cómo podrías usar la notación de funciones para predecir cuándo el teléfono alcanzará el 80% de carga?

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PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

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PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 1: ANTES DE EXPLORAR

¡Bienvenido a tu primer día en la Fábrica de Widgets! Te han asignado supervisar tres máquinas de widgets, pero hay un problema: una máquina no está funcionando correctamente. Tu tarea es averiguar cuál máquina está fallando analizando las entradas y salidas. Usa tus habilidades matemáticas para identificar la máquina defectuosa y asegurar que la fábrica funcione sin contratiempos. En esta actividad, aprenderás a identificar y comprender funciones analizando las entradas y salidas de máquinas de widgets. Trabajarás en grupos para determinar qué máquinas funcionan correctamente. También aprenderás a distinguir entre funciones continuas y discretas, y practicarás el uso del razonamiento matemático para resolver problemas del mundo real.

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PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

Properties of Functions EXPLORAR 1 Explore 1

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

¿Qué widgets (artilugios) funcionan? Parte I

Analiza las máquinas de artilugios a continuación para determinar qué dos máquinas funcionan y qué características se requieren para que un artilugio sea aprobado por los estándares de fábrica.

Máquina A

Entrada 2 gotas 5 gotas 7 gotas

Máquina B

Salida 1 artilugio 9 artilugios 13 artilugios

Máquina C

Entrada 1 gota 3 gotas 9 gotas

Entrada 3 gotas 3 gotas 8 gotas

Salida 1 artilugio 5 artilugios 2 artilugios

Salida 1 artilugio 1 artilugio 14 artilugios

¿Qué dos máquinas crees que funcionan correctamente? ¿Qué patrones encontraste entre esas dos máquinas?

¿Qué máquina no funciona correctamente y debe apagarse?

¿Qué tiene de diferente la máquina que no funciona correctamente? 1

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PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

Properties of Functions Explore 1 GRADE 3 STUDENT NOTEBOOK

ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

Parte II

Analiza cada tarjeta de artilugio del documento «Tarjetas de artilugios» y determina si cada máquina funciona correctamente o no. Indica tu razonamiento en el lado derecho de cada tarjeta. Recorta las tarjetas y pégalas en las columnas correspondientes a continuación. Máquinas de artilugios que funcionan

Máquinas de artilugios que no funcionan

Pega aquí las tarjetas de artilugios que funcionan.

Pega aquí las tarjetas de artilugios que no funcionan.

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Properties of Functions Explore 1 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

Reflexiona 1.

Resume tus hallazgos generales sobre las máquinas de artilugios que funcionaban correctamente.

Resume tus hallazgos generales sobre las máquinas de artilugios que no funcionaban correctamente.

¿Es posible que una máquina de artilugios en funcionamiento tenga solo un valor de salida? Explica.

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PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

EXPLORAR 1: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Cuál fue la parte más desafiante de identificar la máquina de widgets defectuosa y cómo lo superaste?

2. ¿Cómo te ayudó trabajar en grupo a entender la diferencia entre funciones y relaciones que no son funciones?

3. ¿Puedes pensar en un ejemplo de la vida real en el que comprender funciones y no funciones podría ser útil? Explica tu razonamiento.

4. Después de completar la actividad, ¿qué nuevas estrategias o métodos aprendiste que podrían ayudarte a resolver problemas similares en el futuro?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. En la actividad Hook, viste un video sobre un teléfono que se carga con el tiempo y discutiste cómo cambia la carga. ¿Cómo puede el concepto de entradas y salidas de la actividad EXPLORAR ayudarte a entender el proceso de carga del teléfono como una función?

2. Durante la actividad de Exploración, aprendiste a identificar máquinas de widgets funcionales y no funcionales según sus entradas y salidas. ¿Cómo puede aplicarse esta comprensión para determinar si el proceso de carga del teléfono de Mark es una función continua o discreta?

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PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 1 Properties of Functions Explore 1

FECHA ______________________________

BOLETO DE SALIDA

Relaciones y funciones Boleto de salida 1.

A continuación, encierra con un círculo todas las imágenes que representen funciones. (3, 4) (5, 3) (5, 5) (5, 6)

Alyssa y Maura discutían sobre las dos imágenes a continuación. Maura cree que ambas imágenes representan funciones, ya que la imagen B es solo el círculo completo de la imagen A. ¿Estás de acuerdo con el razonamiento de Maura? Imagen B Imagen A ¿Por qué sí o por qué no?

Properties of Functions Explore 1

Relaciones y funciones Boleto de salida 1.

A continuación, encierra con un círculo todas las imágenes que representen funciones. (3, 4) (5, 3) (5, 5) (5, 6)

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PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

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0.8

0.4

0.9

Una función contiene los puntos (10, 7), (9, 6), (8, 0), and (7, 3). ¿Cuál de los siguientes puntos no puede estar también en la función? A. (4, 7) B. (3, 6) C. (12, 0) D. (8, 8)

Una función contiene los puntos (3, 7), (4, 3), (10, 8) y (1, 2). ¿Cuál de los siguientes puntos no puede estar también en la función? A. (5, 7) B. (4, 5) C. (−1, 10) D. (2, 2)

Completar los espacios en blanco para que cada tabla represente una función.

Relaciones y funciones

Properties of Functions Part 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE ÁLGEBRA 1 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

NOMBRE _____________________________________________

FECHA ______________________________

EXPLORAR 1

MUESTRA LO QUE SABES

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PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

50 8.

13. 11. 15

14.

Encierra con un círculo todas las imágenes que representan una función.

10.

12.

Properties of Functions Part 1

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 2: ANTES DE EXPLORAR

¡Bienvenido a tu primer día como zoólogo asistente en el zoológico local! El Dr. Angola, el zoólogo jefe, te ha asignado una tarea emocionante: estudiar los patrones de migración de las tortugas laúd. Tu misión es interpretar datos de un gráfico que rastrea qué tan lejos viajan estas tortugas a lo largo del tiempo. ¿Listo para sumergirte en el mundo de la migración de tortugas? En esta actividad, aprenderás a trabajar con funciones lineales y cuadráticas usando notación de funciones. Analizarás gráficas y datos sobre la migración de tortugas, usarás las matemáticas para resolver problemas del mundo real y comprenderás cómo interpretar y evaluar funciones. También discutirás tus hallazgos con tus compañeros de clase para profundizar tu comprensión.

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PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

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PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 2 Properties of Functions Explore 2

FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Rastreador de tortugas Parte I

Analiza la siguiente gráfica que muestra los datos recopilados por el equipo de la Dra. Angola. Usa la gráfica y los datos para completar el informe de la Dra. Angola.

Informe: Migración de la tortuga laúd A

(5, 50)

f(5) = 50

Después de 5 días, las tortugas habían viajado 50 millas.

(8, 80)

f(___) = 80

Después de ____ días, las tortugas habían viajado 80 millas.

(10, 100) f(10) = ____

Después de 10 días, las tortugas habían viajado ____ millas.

Después de ____ días, las tortugas habían viajado ____ millas.

Después de ____ días, las tortugas habían viajado ____ millas. 1

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Properties of Functions Explore 2

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PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

La Dra. Angola está más interesada en la sección de la gráfica que contiene los puntos D, E y F, ya que cree que las tortugas continuarán con esta tendencia durante los próximos días. Completa la siguiente función para representar la relación entre la cantidad de días y la distancia recorrida en esta sección de la gráfica. f(x) = _______

Usa tu ecuación de la pregunta 1 para predecir la distancia recorrida por las tortugas después de 36 días.

Parte II

Evalúa las funciones para el valor dado o encuentra la entrada para una salida dada. Completa el informe de múltiples especies para la Dra. Angola. Informe: Migración de múltiples especies Tortugas planas f(x) = 4(x – 2)2

f(14) = ____

Tortugas marinas a(x) = 7x

a(x) = 126 x = ____

Tortugas bobas l(x) = x2 + 5x

l(9) = ____

Tortugas carey h(x) = 18x

h(x) = 54 x = ____

Tortugas verdes g(x) = (x + 4)(x – 2)

g(6) = ____

Tortugas loras k(x) = 16x + 10

k(x) = 170 x = ____

Después de ____ días, las tortugas planas habían viajado ____ millas. Después de ____ días, las tortugas marinas habían viajado ____ millas. Después de ____ días, las tortugas bobas habían viajado ____ millas. Después de ____ días, las tortugas carey habían viajado ____ millas. Después de ____ días, las tortugas verdes habían viajado ____ millas. Después de ____ días, las tortugas loras habían viajado ____ millas. 2

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Properties of Functions

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Explore 2 STUDENT NOTEBOOK PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

Reflexiona 1.

Considera la función t(x) = x2 + 8x − 4. a. Encuentra t(−4).

Si t(x) representa la distancia recorrida por las tortugas espalda de diamante a lo largo del tiempo, ¿tiene sentido t(−4)? Explica.

La Dra. Angola explicó que las tortugas marinas y las tortugas bobas a menudo nadan durante 3 días y luego se toman un descanso. Ella quiere saber la distancia total recorrida por estas dos especies después de 3 días. Utiliza las funciones del informe sobre la migración de múltiples especies, evalúa a(3) + l(3).

¿Por qué un estudiante podría pensar que f(x) significa multiplicar f por x?

Explica qué significa «evalúa g(5)» con tus propias palabras.

¿En qué se diferencia resolver la ecuación f(x) = 10 de evaluar la expresión f(10)?

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PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

EXPLORAR 2: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué aprendiste sobre cómo usar la notación de funciones para describir el movimiento de las tortugas marinas?

2. ¿Cómo te ayudó trabajar con tu grupo a comprender la diferencia entre funciones lineales y cuadráticas?

3. ¿Puedes pensar en una situación de la vida real en la que podrías usar notación funcional para resolver un problema? Descríbela.

4. ¿Qué desafíos enfrentaste al interpretar el gráfico y cómo los superaste?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se relaciona el escenario de rastrear la carga del teléfono de Mark con la migración de las tortugas laúd en cuanto al uso de la notación de funciones para modelar situaciones del mundo real? Considera cómo ambos escenarios usan la notación de funciones para describir cambios a lo largo del tiempo.

2. En ambos escenarios, el de la carga del teléfono y el de la migración de las tortugas, ¿cómo ayuda comprender la diferencia entre f(x) y f(a) a interpretar los datos presentados? Analiza cómo este conocimiento ayuda a predecir resultados y a tomar decisiones basadas en los datos proporcionados.

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PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

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NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

Properties 2of Functions EXPLORAR Explore 2

BOLETO DE SALIDA

Evaluar funciones Boleto de salida 1.

Usa la gráfica para determinar los siguientes valores: a. h(2) = _____ b.

h(7) = _____

h(x) = −3, x = _____

Dado que f(x) = 3x y g(x) = x2 − 7x + 2, encuentra los siguientes valores: a.

f(2) = _____

g(−1) = _____

f(2) + g(−1) = _____

Properties of Functions Explore 2

Evaluar funciones Boleto de salida 1.

Usa la gráfica para determinar los siguientes valores: a. h(2) = _____ b.

h(7) = _____

h(x) = −3, x = _____

Dado que f(x) = 3x y g(x) = x2 − 7x + 2, encuentra los siguientes valores: a.

f(2) = _____

g(−1) = _____

f(2) + g(−1) = _____

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PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

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PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

Properties of Functions Part 2 EXPLORAR 2

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Evaluar funciones Rodrigo escribía un informe sobre el aumento del uso de los teléfonos celulares. Encontró esta gráfica de datos sobre la cantidad de usuarios de teléfonos inteligentes en EE. UU.

Si usamos f(x) para describir estos datos como una función, ¿qué variable representa x?

f(2012) = __________

f(2016) = __________

Si f(x) = 140 millones, entonces x = _________.

Evalúa f(2020) – f(2010) y describe lo que representa en su contexto.

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Properties of Functions

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE Part 2

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

Considera la función g(x) = 3x – 1 a.

¿Qué es x si g(x) = 2?

¿Qué es x si g(x) = −4?

Dado que a(x) = x² + 5x + 6 y b(x) = 4x – 10, encuentra las soluciones de las siguientes ecuaciones: a.

a(3) = _____

b(3) = _____

a(3) – b(3) = _____

= _____

Usa la tabla de la derecha para responder las preguntas de abajo. a.

g(2) = ____

g(1) = ____

h(3) – g(5) = ____

)=2

) · h(4) = 40

) = 10

g(x)

h(x)

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Properties of Functions

STUDENT NOTEBOOK PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES Part 2

Crea una gráfica que represente el siguiente escenario de mareas. Deja que x = 0 represente la medianoche cuando la marea está en un punto alto de 9 pies en el puerto. A las 3 a. m., la marea está en su punto medio de 5 pies y a las 6 a. m., la marea en el puerto alcanza un mínimo de 1 pie. 6 horas más tarde la marea vuelve a alcanzar su máximo de 9 pies, y 6 horas después la marea vuelve a estar en el mínimo de 1 pie. Grafica la altura del agua en el puerto si la marea continúa de acuerdo a este patrón.

10.

La gráfica que has creado se llama función trigonométrica y oscila o viaja hacia arriba y hacia abajo. Si la función que has graficado en la novena pregunta se denomina f(x), ¿cómo podrías determinar el valor de f(36) basándote en las características clave de la gráfica que has creado?

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PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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ÁLGEBRA 1

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 3: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que estás en el comité de planificación de eventos de tu escuela, responsable de organizar los Días de Celebración Estudiantil. Tu tarea es pedir comida que a todos les encante. Para ello, analizarás los datos de ventas del año pasado de artículos populares como hamburguesas y porciones de pizza. Al calcular los cambios promedio en las ventas a lo largo del tiempo, tomarás decisiones acertadas sobre qué pedir para los eventos. En esta actividad, aprenderás a calcular y comprender tasas de cambio promedio analizando datos de ventas de alimentos. Trabajarás en grupos para comparar las ventas a lo largo del tiempo, elaborar gráficos y discutir tus hallazgos. Esto te ayudará a entender cómo se comportan las funciones y cómo aplicar las matemáticas a situaciones de la vida real, como planificar eventos escolares.

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PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

Properties of Functions Explore 3 EXPLORAR 3

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Comida divertida de viernes Parte I

Analiza los datos de ventas de hamburguesas y los datos de ventas de rebanadas de pizza. Usa los datos para completar las tablas y responde las preguntas que siguen.

Ventas de hamburguesas Período de tiempo

Cambio en las ventas

Cambio en meses

Cambio promedio en ventas por mes

Del mes 1 al mes 2

200

200 hamburguesas por mes

Del mes 2 al mes 3

______ hamburguesas por mes

Del mes 3 al mes 4

______ hamburguesas por mes

Del mes 4 al mes 7

______ hamburguesas por mes

Del mes 5 al mes 9

______ hamburguesas por mes 1

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Properties of Functions Explore 3 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

Gráfica de ventas de rebanadas de pizza

Mes

Cantidad de ventas

400

550

600

500

350

400

300

400

Ventas de rebanadas de pizza Período de tiempo

Cambio en las ventas

Cambio en meses

Cambio promedio en ventas por mes

Del mes 2 al mes 3

______ rebanadas de pizza por mes

Del mes 3 al mes 5

______ rebanadas de pizza por mes

Del mes 5 al mes 9

______ rebanadas de pizza por mes

El primer Día de Celebración Estudiantil ocurrirá después del tercer mes de clases. ¿Qué alimento tuvo las mayores ventas promedio por mes del mes 2 al mes 3?

El último Día de Celebración Estudiantil ocurrirá hacia el final del año escolar y se basará en el cambio promedio en las ventas por mes del mes 5 al mes 9. ¿Qué alimento se debe comprar? Explica.

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Properties of Functions Explore 3

STUDENT NOTEBOOK PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

Parte II

Usa las tarjetas de opciones de alimentos y bebidas del documento «Tarjetas de opciones de alimentos y bebidas» para analizar las ventas del año anterior para las siguientes opciones. Realiza los cálculos correspondientes y luego selecciona la opción para tu recomendación. Opciones saludables Basa tu recomendación en la tasa de cambio promedio más alta del mes 1 al mes 5. Tasa de cambio promedio durante el período de tiempo especificado: a.

Ventas de ensalada:

Ventas de enrollado de pollo:

Recomendación: Opciones de postre Basa tu recomendación en la tasa de cambio promedio más alta del intervalo 2 ≤ x ≤ 9. Tasa de cambio promedio durante el período de tiempo especificado: a.

Ventas de brownies de chocolate:

Ventas de paletas heladas:

Recomendación: Opciones de bebidas Basa tu recomendación en el costo total más bajo de 50 galones de bebida. Usa el costo promedio por galón para completar los valores que faltan en la tabla. Galones de limonada que se necesitan

Costo total ($)

Galones de jugo de lima que se necesitan

Costo total ($)

$32.50 $175.00

50 Recomendación: 3

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Properties of Functions Explore 3 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

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Reflexiona 1.

¿En qué se parecen la pendiente y la tasa de cambio promedio? ¿En qué se diferencian?

Kamille analizaba los datos de ventas de sodas vendidas durante el año anterior. Los datos de las ventas se muestran en la siguiente gráfica.

Kamille afirmó que la tasa promedio de cambio del mes 8 al mes 10 fue de 50 sodas por mes. ¿Es precisa su afirmación? Justifica tu respuesta.

Dibuja el segmento de recta que muestra la tasa de cambio promedio de los meses 2 a 10 y luego encuentra el valor y explícalo en contexto.

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EXPLORAR 3: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Cuál fue la parte más desafiante de calcular las tasas de cambio promedio y cómo la superaste?

2. ¿Cómo te ayudó trabajar en grupo a comprender mejor el concepto de tasas de cambio promedio?

3. ¿De qué maneras puede ser útil la tasa de cambio promedio en situaciones de la vida real fuera de la clase de matemáticas?

4. Después de analizar los datos, ¿qué recomendaciones harías para futuros Días de Celebración de los Estudiantes y por qué?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo analizar la tasa de cambio promedio en las ventas de alimentos te ayuda a entender el comportamiento de la función de ventas a lo largo del tiempo, de forma similar a cómo cambia con el tiempo la tasa de carga del teléfono de Mark?

2. En ambos, el escenario de ventas de alimentos y la carga del teléfono de Mark, ¿cómo puede la comprensión de los intervalos y los cambios en los valores de la función ayudar a hacer predicciones o tomar decisiones sobre eventos futuros?

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NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 3

Tasa de cambio promedio Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

FECHA ______________________________

La función g(x) se representa en la siguiente tabla. ¿Cuál es la tasa de cambio promedio de esta función en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1? A.

−1

−2

g(x)

−2

−1

−4

−6

−4

¿Qué intervalo a continuación daría como resultado una tasa de cambio promedio de −2.5? A.

De −9 a −6

De −6 a −4

De −2 a 4

De 3 a 6

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Properties of Functions EXPLORAR 3 Part 3

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Tasa promedio de cambio Tanya ha conseguido un nuevo trabajo como entrenadora de la liga de verano de natación para un grupo de edad más joven. Ella planifica los entrenamientos para sus chicos; a continuación aparecen sus objetivos generales para la cantidad promedio de yardas que ellos deben nadar cada semana. Utiliza los datos para completar la tabla y responde las preguntas de abajo.

Período

Semanas 1a3

Semanas 3a4

Semanas 1a5

Semanas 3a8

Semanas 8 a 10

Tasa promedio de cambio en yardas por semana

¿Qué significa que la tasa de cambio sea negativa en este escenario?

¿Qué intervalo de una semana tiene el mayor aumento de yardas si observamos la gráfica? ¿Cuál es la tasa de cambio para ese intervalo?

Elige dos semanas entre las que la tasa promedio de cambio sea 0. 1

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Properties of Functions Part 3

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PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

Al final de la temporada, Tanya puso las tasas promedio de tiempo de los nadadores y se sintió muy orgullosa de los progresos que habían hecho. Utiliza los datos de abajo para responder las preguntas.

¿Durante qué período la tasa promedio de cambio fue de −10 segundos por semana? A. B. C. D.

¿Cuál fue la tasa de cambio entre las semanas 8 y 10? A. B. C. D.

Entre las semanas 1 y 2 Entre las semanas 4 y 5 Entre las semanas 7 y 8 Entre las semanas 6 y 9

5 segundos por semana −5 segundos por semana 10 segundos por semana −10 segundos por semana

¿Parece razonable que si la temporada se prolongara durante otras 10 semanas, la tasa de cambio podría ser la misma que entre las semanas 8 y 10? Explica por qué sí o por qué no.

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Properties of Functions Part 3

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Usa las siguientes gráficas para responder las preguntas 7–9.

¿Cuál función tiene la mayor tasa promedio de cambio de x = 0 a x = 4? A. f(x) B. g(x) C. h(x)

¿Cuál de las siguientes opciones tiene el menor valor? A. Tasa promedio de cambio de f(x) de x = 3 a x = 4 B. Tasa promedio de cambio de g(x) de x = 1 a x = 2 C. Tasa promedio de cambio de g(x) de x = −4 a x = 3 D. Tasa promedio de cambio de h(x) de x = −3 a x = 0

Selecciona todos los escenarios siguientes en los que la tasa promedio de cambio es 0. A. Tasa promedio de cambio de f(x) de x = 2 a x = 4 B. Tasa promedio de cambio de f(x) de x = −3 a x = 3 C. Tasa promedio de cambio de g(x) de x = −2 a x = 2 D. Tasa promedio de cambio de g(x) de x = −1 a x = 2 E. Tasa promedio de cambio de h(x) de x = 0 a x = 3 F. Tasa promedio de cambio de h(x) de x = −4 a x = 4 3

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NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 4: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que formas parte del comité de planificación de eventos estudiantiles de tu escuela. Te han asignado la importante tarea de llevar el seguimiento de las ventas de entradas y la asistencia de los estudiantes para la gran fiesta de fin de año. Tu trabajo consiste en analizar los datos de los días previos al evento y durante el propio evento. Esto te ayudará a hacer recomendaciones para asegurar que todo funcione sin contratiempos y que todos la pasen muy bien. Usarás tablas y gráficos para determinar cuántas personas asistirán y si el evento debería durar más el próximo año. En esta actividad, aprenderás a encontrar el dominio y el rango de funciones y a escribirlos correctamente. Explorarás cómo se aplican estos conceptos en situaciones del mundo real, como planificar un evento. También aprenderás a distinguir entre datos discretos y continuos y a usar gráficas para respaldar tus ideas.

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NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 4 Properties of Functions Explore 4

FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

¡Fiesta de fin de año!

Parte I

Ventas de boletos La venta de boletos comenzó lenta, pero aumentó en un margen mayor cada día. Los datos que recopilaste se organizaron en una tabla y una gráfica. Analiza los datos para responder las preguntas y haz tu recomendación al comité. Día

Cantidad de ventas de boletos

140

¿Cuáles son las posibles entradas para esta situación?

¿Tienen sentido los decimales en esta situación? ¿Por qué sí o por qué no?

¿Cuáles son los valores de las salidas de la situación? ¿Qué representan?

¿Serían posibles valores negativos en esta situación? ¿Por qué sí o por qué no?

Con base en los datos recopilados, ¿cuántos estudiantes deberían anticipar en este evento? ¿Cuál es tu recomendación para la comida y los premios? 1

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Asistencia La cantidad de estudiantes en la fiesta de fin de año aumentó continuamente hasta la hora 2, cuando la cantidad de asistentes alcanzó su punto máximo. Después de la hora 2, la cantidad de estudiantes en el evento disminuyó continuamente hasta el final del evento en la hora 4. Los datos que recopilaste se organizaron en una tabla y una gráfica. Analiza los datos para responder las preguntas y haz tu recomendación al comité. Hora

Cantidad de estudiantes

300

400

300

¿Pueden describirse las posibles entradas al enumerar todos los valores posibles? ¿Por qué sí o por qué no?

Describe las posibles entradas con el uso de las desigualdades.

¿Describir los posibles resultados al enumerar todos los valores posibles es la forma más eficiente de describir los posibles resultados? ¿Por qué sí o por qué no?

Describe las posibles salidas con el uso de las desigualdades.

10. Según los datos recopilados, ¿recomendarías que la fiesta de fin de año del próximo año se extienda a 5 horas de duración? Explica.

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Parte II

Recorta las tarjetas de eventos del documento «Tarjetas de eventos», mira la información de cada tarjeta y decide a qué evento pertenece. Una vez que hayas decidido, pega cada tarjeta en el lugar apropiado a continuación. Gramos de caramelo El comité de planificación de eventos estudiantiles vende caramelos la última semana de clases. La ecuación y = 2.5x se usa para calcular la ganancia. Se ha determinado que necesitan vender entre 55 y 60 gramos de caramelos para cumplir con su meta de ganancias.

Pega el dominio y rango aquí.

Pega la gráfica aquí.

Lanzamiento de huevo

El evento de lanzamiento de huevo resultó en que el huevo del ganador alcanzó una altura de 150 pies y aterrizó a una distancia de 8 pies de la plataforma de inicio.

Pega el dominio y rango aquí.

Pega la gráfica aquí.

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Properties of Functions Explore 4 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

Fiesta en el patio Se ha reservado un tanque de agua para la fiesta en el patio. Debe llenarse a una velocidad de 2.5 pulgadas por segundo. Se usa la ecuación y = 2.5x y se ha determinado que tomará 60 segundos llenar el tanque.

Pega el dominio y rango aquí.

Pega la gráfica aquí.

Empareja cada una de las gráficas restantes con su dominio y rango correctos. Luego, pega las tarjetas de eventos en los espacios a continuación.

Pega la gráfica aquí.

Pega el dominio y rango aquí.

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Properties of Functions Explore 4

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Reflexiona 1.

¿Qué tipos de situaciones serían discretas? Enumera algunos ejemplos.

¿Qué tipos de situaciones serían continuas? Enumera algunos ejemplos.

¿Por qué hacemos una lista cuando escribimos el dominio y rango de situaciones discretas?

¿Por qué escribimos el dominio y el rango de una situación continua con el uso de una desigualdad?

Dibuja una gráfica cuyo dominio sea 1 ≤ x < 5 y cuyo rango sea −2 < y ≤ 2.

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EXPLORAR 4: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué aprendiste sobre la diferencia entre los datos discretos y continuos al observar gráficos? ¿Puedes dar un ejemplo de cada uno de la actividad?

2. ¿Cómo te ayudó comprender el dominio y el rango a hacer recomendaciones para el comité de planificación de eventos?

3. ¿Por qué es importante saber si el dominio de una función está restringido en una situación del mundo real? ¿Puedes pensar en un ejemplo de la vida real en el que esto importaría?

4. ¿Cómo puedes saber si un punto debe incluirse o no en una gráfica, y por qué esto importa al determinar el dominio y el rango?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo ayuda el concepto de dominio y rango de la actividad EXPLORAR a entender los cambios en la carga del teléfono a lo largo del tiempo en la actividad Hook? Considera cómo el dominio representa intervalos de tiempo y el rango representa el nivel de carga del teléfono.

2. En la actividad EXPLORAR, aprendiste sobre datos discretos y continuos. ¿Cómo puede este conocimiento ayudarte a interpretar la gráfica de la carga del teléfono a lo largo del tiempo en la actividad Hook? Piensa si la carga del teléfono aumenta de manera continua o si hay intervalos específicos en los que se producen cambios.

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Properties of Functions Explore 4

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PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 4

Dominio y rango Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

Aditya estaba parado en una plataforma con vista a un lago que estaba ubicada a 10 metros sobre la superficie del agua. Lanzó una roca desde su ubicación al agua de abajo. Usa la gráfica para responder las siguientes preguntas. 1.

¿Cuál es el dominio de esta función?

¿Cuál es el rango de esta función?

¿Cuántos segundos tardó la roca en caer al agua?

¿Esta función es continua o discreta? Explica.

Properties of Functions Explore 4

Dominio y rango Boleto de salida

¿Cuál es el dominio de esta función?

¿Cuál es el rango de esta función?

¿Cuántos segundos tardó la roca en caer al agua?

¿Esta función es continua o discreta? Explica.

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Properties of Functions EXPLORAR 4 Part 4

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Dominio y rango

Samuel trabaja en la oficina de un veterinario, un cliente tiene dos cachorros de 18 meses, Polly y Teo. Usa la tabla y el diagrama de sus pesos para responder las preguntas. Edad en meses

Peso de Polly

¿Es viable enumerar todas las entradas posibles de esta función? Explícalo.

¿Es el peso de Polly una función continua o discreta?

¿Cuál es el dominio del peso de Polly?

¿Cuál es el rango del peso de Polly?

¿Cuál es el dominio del peso de Teo?

¿Cuál es el rango del peso Teo?

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Properties of Functions Part 4 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

A Samuel se le encargó la tarea de analizar la cantidad de mascotas que tiene cada cliente. Él hizo una tabla con la cantidad de clientes y la cantidad de mascotas que cada uno tiene. Responde las preguntas de abajo con sus datos.

Cantidad de mascotas

Cantidad de clientes

¿Es viable enumerar todas las entradas posibles de esta función? De ser así, escríbelas.

¿Tendría sentido tener números negativos o números decimales para los valores de entrada? Explícalo.

¿Cuál es el dominio de esta función?

10.

¿Cuál es el rango de esta función?

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11.

ÁLGEBRA 1

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Properties of Functions Part 4

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Empareja las siguientes gráficas con la expresión de rango adecuada. Opciones de rango −1 ≤ y ≤ 1 Todos números reales −2 ≤ y ≤ 2 0≤y 0<y

Rango:

Rango: 3

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HOOK POST-EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Responda las preguntas. 1. ¿Cómo puedes determinar si una máquina está funcionando correctamente utilizando el concepto de entrada y salida del escenario de la fábrica de widgets? Explica usando la definición de una función.

2. En el contexto del escenario de carga del teléfono, ¿qué representa la notación de función f(60) = 75, y cómo puedes usar esta información para predecir cuándo estará el teléfono completamente cargado?

3. Si las ventas de porciones de pizza en el evento estudiantil aumentaron a una tasa promedio de 5 porciones por mes desde el mes 2 hasta el mes 6, ¿cómo interpretarías esta tasa de cambio en términos del comportamiento de la función a lo largo del tiempo?

4. Dado el gráfico de la asistencia de estudiantes a un evento a lo largo del tiempo, ¿cómo determinarías si el dominio es continuo o discreto, y qué implicaciones tiene esto para predecir la asistencia futura?

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NOMBRE _____________________________________________

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

ESQUEMA DE ANCLAJE

FECHA ______________________________

ESQUEMA DE ANCLAJE Propiedades de las funciones Una función es una relación especial entre valores, donde cada valor de entrada corresponde exactamente a un valor de salida. “f de x es igual a x menos uno y cinco décimos.”

¡En una función, cada valor de x tiene un solo valor de y! DOMINIO: Conjunto de todos los valores de entrada RANGO: Conjunto de todos los valores de salida El DOMINIO de esta gráfica es −6 < x ≤ 3. El RANGO de esta gráfica es −2 < y ≤ 6. Tasa promedio de cambio = cambio en y cambio en x

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La tasa promedio de cambio de esta línea es 6 – 3 , la cual es igual a 1. 3–0

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NOMBRE _____________________________________________

CUADERNO INTERACTIVO Properties of Functions

FECHA ______________________________

CUADERNO INTERACTIVO Instrucciones ● Recorta el plano cartesiano y la tabla, y pega en tu cuaderno. ● Llena la tabla con tres pares coordinados para la función h(x) = 2x. ● Grafica los tres puntos en el plano cartesiano y conecta para formar una línea.

h(x)

Instrucciones ● Contesta las preguntas en la página de notas a continuación. ● Recorta la página de notas y pega en tu cuaderno. ¿Es h(x) = 2x una función? ¿Por qué sí o por qué no?

Si h(x) = 2x representa la cantidad de dinero que Pedro recibe al perder x dientes. ●

¿Cuál es el dominio de la función?

●

¿Cuál es el rango de la función?

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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Properties of Functions

NOMBRE _____________________________________________

REVISIÓN EN ESPIRAL

FECHA ______________________________

REVISIÓN EN ESPIRAL

Exploración del espacio El ser humano siempre ha querido descubrir los misterios del espacio. ¿Hasta dónde llega el universo? ¿Pueden los humanos vivir en otro planeta? ¿Cómo sabemos si la estrella sigue ahí si su luz tarda tanto en llegar hasta nosotros? Los humanos han desarrollado una tecnología increíble que nos ha permitido aprender sobre el espacio al enviar humanos, robots, naves espaciales y más al espacio para su exploración. Sus tareas son desarrollar un nuevo casco espacial, lanzar un cohete al espacio, navegar un dron espacial y calcular el tiempo que tarda la luz en alcanzar varios objetos en el espacio. ¡Abróchate el cinturón y ponte las botas espaciales!

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Properties of Functions LIBRO DEL ESTUDIANTE

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

ÁLGEBRA 1

Vuelas de forma remota un dron espacial en Marte desde la Estación Espacial Internacional. Al navegar con el dron, debe seguir un camino que represente y en función de x. ¿Qué gráfica muestra esta relación?

Venus está a 6 minutos luz del Sol. Si x = 6, ¿cuál desigualdad es verdadera? A.

2x + 7 > 20

5x – 12 > 17

−10x + 50 > 10

5 3 x + 4 > 14

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La visera protectora del casco tiene una superficie de 120 centímetros cuadrados. Es demasiado angosto para que los astronautas tengan una buena visión periférica, por lo que debe aumentar el área del visor 1 a . ¿Cuál será el área de la 5 nueva visera?

Cohete Sombra Z usa la siguiente fórmula para calcular una salida segura de la atmósfera de la Tierra al espacio: 4(x – 6) = 20. ¿Qué valor de x hace que esta ecuación sea verdadera?

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NOMBRE _____________________________________________

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

CIENCIA DE DATOS

FECHA ______________________________

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TRIGGS, Robert, 2022. Charging habits to maximize battery life. En: Android Authority [en línea]. Disponible en: https://www.androidauthority.com/maximize-battery-life-882395 [consulta: 6 de marzo de 2022].

Teléfono que carga

Properties of Functions

CIENCIA DE DATOS

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Skills Quiz

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NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

PRUEBA DE HABILIDADES

Name: ___________________________ Date: ________________

Propiedades de las PRUEBA funcionesDE HABILIDADES Para responder las preguntas 1 a 4, determina si cada gráfica o conjunto de pares ordenados representa una función. Determina el dominio y el rango. 1.

El dominio es __________. El rango es __________.

¿Esta es una función? Justifica tu respuesta. ________________________________________________ ________________________________________________ 2.

El dominio es __________. El rango es __________.

¿Esta es una función? Justifica tu respuesta. ________________________________________________ ________________________________________________

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Skills Quiz

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PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

3. (−2, 0); (−1, −2); (0, 0); (1, 2); (2, 0) ¿Esta es una función? ¿Por qué sí o por qué no? ________________________________________________ El dominio es __________. El rango es __________.

4. (−2, 0); (−1, −2); (−1, 2); (1, −2); (1, 2); (2, 0) ¿Esta es una función? ¿Por qué sí o por qué no? ________________________________________________ El dominio es __________. El rango es __________.

5. Para la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 + 2, evalúa lo siguiente: 𝑓𝑓(2) = __________

6. Para la función 𝑔𝑔(𝑥𝑥) =

− 2𝑥𝑥

+ 𝑥𝑥 – 5, evalúa lo siguiente:

𝑔𝑔(0) = __________ 7. Para la función ℎ(𝑥𝑥) =

− 0. 5𝑥𝑥

ℎ(− 2) = __________

+ 7𝑥𝑥 + 2. 25, evalúa lo siguiente:

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8. ¿Cuál es la tasa promedio de cambio de f en el intervalo [−2, 1]?

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Skills Quiz

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PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

9. La Escuela Secundaria Bayer comparaba la cantidad de rondas de la competencia de Geografía de los cinco años anteriores. Según la gráfica, ¿cuál fue la tasa promedio de cambio entre 2016 y 2019?

10. ¿Cuál es la tasa promedio de cambio de la función, f, en el intervalo 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 3 ? x

f(x)

-1

-8

-6

-8

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

VOCABULARIO

FUNCIÓN

NOTACIÓN DE FUNCIÓN

ELEMENTO

CONJUNTO

FUNCIÓN LINEAL

DESIGUALDAD

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PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

VOCABULARIO Notación de función

Función

Forma de representar y, el valor dependiente en una relación, como f(x), leer «f de x» donde f nombra la función

Relación especial entre valores; cada valor de entrada devuelve exactamente un valor de salida 3

Conjunto

Elemento

Grupo de números únicos u objetos llamados miembros o elementos

Cualquier número o valor distinto que es parte de un conjunto 5

Desigualdad

Función lineal

Oración matemática que usa símbolos como <, ≤, > o ≥ para comparar dos cantidades

Relación que cuando se grafica es una línea recta 6

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

VOCABULARIO

DESIGUALDAD LINEAL

FUNCIÓN CUADRÁTICA

FUNCIÓN EXPONENCIAL

RELACIÓN CUANTITATIVA

TASA DE CAMBIO

INTERVALO

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PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

VOCABULARIO Función cuadrática

Desigualdad lineal

Función que se puede escribir en la forma f(x) = ax² + bx + c = 0, donde a, b, y c son números reales y a ≠ 0, o en la forma f(x) = a(x – h)² + k, donde a, h y k son números reales y a ≠ 0

Desigualdad que implica una función lineal 9

Relación cuantitativa

Función exponencial

Relación entre magnitudes

Función en la forma de f(x) = abˣ donde a y b son números reales y a ≠ 0, b ≠ 1, yb>0 11

Intervalo

Tasa de cambio

El conjunto de valores de entrada continuo en el cual los datos de salida de una función pueden incrementarse, decrementarse o ser constantes

Tasa que muestra cómo cambia una cantidad en relación con otra 13

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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VOCABULARIO

PLANO CARTESIANO

EJE X

EJE Y

CUADRANTE

ORIGEN

PAR ORDENADO

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PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

VOCABULARIO Eje X

Plano cartesiano

Dos rectas numéricas perpendiculares, llamadas eje X y eje Y, que se intersecan en el punto (0, 0) y crean cuatro cuadrantes; también llamado gráfico, cuadrícula de coordenadas o plano de coordenadas

Recta numérica horizontal en un plano de coordenadas 15

Cuadrante

Eje Y

Una de las cuatro secciones del plano de coordenadas, formada por la intersección del eje X y el eje Y

Recta numérica vertical en un plano de coordenadas 17

Par ordenado

Origen

Ubicación de un solo punto en un plano de coordenadas donde el primer y segundo valor representan la posición relativa al eje X y al eje Y, respectivamente (x, y); conocido también como par de coordenadas

Punto central de un plano de coordenadas, donde el eje X y el eje Y se cruzan, ubicado en (0, 0) 19

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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VOCABULARIO

COORDENADA X

COORDENADA Y

DISCRETO

CONTINUO

DOMINIO

RANGE

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PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

VOCABULARIO Coordenada y

Coordenada x

Segundo término en un par ordenado; proporciona la ubicación a lo largo del eje Y dentro del plano de coordenadas

Primer término en un par ordenado; proporciona la ubicación a lo largo del eje X dentro del plano de coordenadas 21

Continuo

Discreto

Datos que pueden contener cualquier valor numérico real entre puntos de datos. Los puntos de datos se pueden conectar

Datos que no pueden contener los valores de números reales entre puntos de datos; los puntos de datos no están conectados 23

Rango

Dominio

Conjunto de todas las salidas posibles, o valores y, de una relación o función

El conjunto de todas las posibles entradas (valores x) de una función 25

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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VOCABULARIO

SET

ENTRADA

SALIDA

PRUEBA DE RECTA VERTICAL

CERO

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PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

VOCABULARIO Entrada

Set

Conjunto de valores suministrados a una función

A group of unique numbers or objects called members or elements 27

Prueba de recta vertical Función

Salida

No es una función

Manera visual de saber si una recta es una función; si cualquier recta vertical interseca la gráfica más de una vez, entonces la gráfica no es una función

Resultado de la entrada colocada en la función 29

Cero

Valor de x cuando una expresión es igual a cero; es la coordenada x de la intersección con el eje X del gráfico de la expresión 30

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ÁLGEBRA 1

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ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

RESOLVER ECUACIONES

MODELO CON FUNCIONES INVESTIGACIONES DE FUNCIONES

En esta unidad aprenderás a trabajar con ecuaciones lineales y a comprender sus aplicaciones en situaciones del mundo real. Te enfocarás en lo siguiente:

SISTEMAS DE ECUACIONES

◦ Planteamiento de ecuaciones lineales: ◦ Aprende a crear ecuaciones en una variable para describir cantidades o relaciones.

CRECIMIENTO Y DECADENCIA

◦ Usa estas ecuaciones para resolver problemas y representar situaciones reales.

◦ Resolución de ecuaciones lineales: ◦ Practica la resolución de ecuaciones lineales en una variable, incluidas aquellas con coeficientes variables. ◦ Utiliza estas habilidades para encontrar soluciones y responder preguntas en distintos contextos.

◦ Uso de ecuaciones para resolver problemas: ◦ Aplica ecuaciones lineales para resolver problemas prácticos.

APLICACIÓN DE PRÁCTICAS MATEMÁTICAS

◦ Representa valores razonables en una situación mediante una ecuación e interpreta las soluciones.

• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en resolverlos: Aprenderás a comprender problemas de matemáticas, planear cómo resolverlos y hallar el valor de incógnitas. Determinarás las formas más eficaces y rápidas de resolver estos problemas.

◦ Despeje de ecuaciones: ◦ Aprende a reordenar ecuaciones multivariables para aislar una cantidad específica de interés. ◦ Utiliza el razonamiento lógico y las propiedades de la igualdad para justificar cada paso al resolver ecuaciones.

◦ Encontrar funciones inversas: ◦ Comprende cómo encontrar la inversa de una función lineal. ◦ Resuelve ecuaciones de la forma f(x) = c para funciones lineales sencillas y escribe expresiones para sus inversas.

Al final de esta unidad, podrás plantear, resolver e interpretar ecuaciones lineales con confianza, así como encontrar funciones inversas, habilidades esenciales en matemáticas y en la resolución de problemas del mundo real.

• MP.2 Razonar de manera abstracta y cuantitativa: Tomarás situaciones de la vida real, las convertirás en problemas matemáticos, las resolverás y conectarás las respuestas con el mundo real. • MP.3 Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros: Analizarás cómo otras personas resuelven problemas, verificarás si sus respuestas son correctas y explicarás por qué estás de acuerdo o en desacuerdo. • MP.4 Modelar con las matemáticas: Crearás problemas matemáticos a partir de situaciones de la vida real, los resolverás y verificarás si tus respuestas tienen sentido en el mundo real.

• MP.6 Prestar atención a la precisión: Serás cuidadoso y claro al explicar los pasos que sigues para resolver problemas de matemáticas y justificar tus métodos. • MP.7 Buscar y aprovechar la estructura: Usarás lo que sabes sobre operaciones inversas para encontrar las mejores maneras de resolver problemas de matemáticas y revisar tu trabajo para mayor eficiencia. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en el razonamiento repetido: Notarás que los mismos pasos usados para resolver problemas complejos también pueden resolver diferentes tipos de ecuaciones. Utilizarás tu conocimiento de operaciones inversas para despejar incógnitas específicas.

• MP.5 Usar herramientas apropiadas de manera estratégica: Usarás herramientas como fichas de álgebra para comprender visualmente y resolver problemas de matemáticas, lo que te ayudará a ver cómo se cancelan partes del problema.

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ÁLGEBRA 1

RESOLVER ECUACIONES

CAPTAR INTERÉS: ANTES DE EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Imagina que estás ayudando a Jasmin a completar un rompecabezas gigante. Le faltan algunas piezas y necesita tu ayuda para averiguar qué pieza encaja perfectamente en el espacio vacío. Al igual que resolver un rompecabezas, resolver ecuaciones consiste en encontrar el valor correcto que hace que todo encaje a la perfección. ¡Vamos a sumergirnos y ver cómo las matemáticas pueden ayudarnos a resolver este misterio!

En esta actividad, verás un video sobre Jasmin completando un rompecabezas y aprenderás cómo resolver ecuaciones es como encontrar la pieza de rompecabezas adecuada. Explorarás cómo identificar soluciones a ecuaciones y usar estrategias para resolverlas. Al final, comprenderás cómo cada solución encaja a la perfección, como una pieza de rompecabezas.

Responda las preguntas. 1. ¿Qué crees que significa que una pieza del rompecabezas encaje correctamente en el rompecabezas de Jasmin?

2. ¿Cómo puede ser similar resolver una ecuación a encontrar la pieza correcta de un rompecabezas?

3. Cuando miras un rompecabezas, ¿cómo puedes saber cuándo has encontrado la pieza correcta para un lugar específico?

4. ¿Qué estrategias podrías usar para determinar si un valor es la solución de una ecuación?

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RESOLVER ECUACIONES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

RESOLVER ECUACIONES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 1: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que tú y tu hermano están ahorrando para algo grande, como una nueva consola de videojuegos o una bicicleta. Ambos deciden ganar dinero sacando a pasear perros en su vecindario. Cada semana comparan cuánto han ganado. Aunque trabajan por separado, ambos terminan con la misma cantidad. En esta actividad, aprenderás a usar las matemáticas para determinar cuánto cobra cada uno por perro escribiendo y resolviendo ecuaciones. En esta actividad, aprenderás a escribir, modelar y resolver ecuaciones de varios pasos. Explorarás diferentes estrategias para encontrar la manera más eficiente de resolver problemas. También trabajarás en grupos para analizar ecuaciones y justificar tus soluciones, ayudando a tus compañeros a comprender y aplicar conceptos matemáticos de manera efectiva.

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9/13/25 5:43 PM

RESOLVER ECUACIONES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 5:43 PM

SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 97

Modelo:

Explicación:

8x − 4 = 7x + 8

Pasos algebraicos:

Semana 1: Diego paseó 8 perros y gastó $4 en golosinas para perros, y Andrew paseó 7 perros y recibió $8 en propinas. Al final de la semana, los hermanos tenían exactamente la misma cantidad de dinero. Sea x la cantidad que cobraron Diego y Andrew por cada perro paseado durante la semana 1.

Usa la información dada en cada semana para determinar cuánto cobraron Diego y Andrew por cada perro que pasearon. Dibuja un modelo con fichas cuadradas de álgebra, explica con palabras y escribe los pasos algebraicos para justificar tu respuesta.

Parte I

Ahorros del verano

Solve Equations Explore 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE ÁLGEBRA 1 RESOLVER ECUACIONES

NOMBRE _____________________________________________

FECHA ______________________________

EXPLORAR 1

DIARIO DEL ESTUDIANTE

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Explicación:

Solve Equations Explore 1

2(4x − 2) = 6x + 14

Pasos algebraicos:

Semana 2: Diego solo pudo trabajar 2 días. Cada día, sacó a pasear a 4 perros y gastó $2 en golosinas. Andrew trabajó toda la semana, sacó a pasear a 6 perros y recibió $14 en propinas. Al final de la semana, los hermanos tenían exactamente la misma cantidad de dinero. Sea x la cantidad que cobraron Diego y Andrew por cada perro paseado durante la semana 2. Modelo:

¿Qué significa la solución en términos de la situación?

Escribe y resuelve una ecuación para representar esta situación.

Semana 3: Diego fue contratado por la familia Cortinez para pasear a sus perros durante una semana. La familia Cortinez le pagó una tarifa fija de $100 y también sacó a pasear a 5 perros adicionales. Andrew trabajó horas extras para sacar a pasear a 30 perros. Al final de la semana, los hermanos tenían exactamente la misma cantidad de dinero. Sea x la cantidad que cobraron Diego y Andrew por cada perro paseado durante la semana 3.

9/13/25 5:43 PM

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE RESOLVER ECUACIONES

SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 99

x + 47.46 6 x Paso 2: 0.25x − 22.71 = 6 Paso 3: 6(0.25x − 22.71) = x Paso 4: 1.5x − 136.26 = x

Paso 4: x = 272.52

¿Qué significa la solución en términos de la situación?

Paso 6: 272.52 = x

¿El trabajo de qué hermano fue más eficiente? Explica.

¿Cuáles son las diferencias entre las estrategias que cada hermano utilizó para resolver?

¿En qué paso cada hermano usó inversos aditivos para resolver?

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Paso 5: −136.26 = −0.5x

Paso 1: 0.25x + 24.75 =

1 1 x = 47.46 + x 4 6 1 1 Paso 2: 4 x = 22.71 + x 6 1 Paso 3: x = 22.71 12

Paso 1: 24.75 +

El trabajo de Andrew

ÁLGEBRA 1

El trabajo de Diego

las propinas combinadas.

restaurantes. Diego ganó $24.75 por turno más

1 4 de todas las 1 propinas combinadas. Andrew ganó $47.46 por turno más de todas 6

Semana 4: Los chicos intentaron servir mesas en diferentes

Cada hermano escribió y resolvió una ecuación para representar sus diferentes trabajos durante el resto del verano. Lee cada escenario y luego analiza las ecuaciones y estrategias de Diego y Andrew para resolver.

Parte II

Solve Equations Explore 1 LIBRO DEL ESTUDIANTE STUDENT NOTEBOOK RESOLVER ECUACIONES

9/13/25 5:43 PM

El trabajo de Andrew

Semana 5: Diego y Andrew decidieron ser tutores de algunos estudiantes de la escuela primaria. Diego realizó 3 sesiones por día. En cada sesión, dio tutorías a 3 estudiantes y gastó $1.25 en café. A Diego también se le cobró $15 por día para alquilar un espacio de trabajo. Andrew realizó 2 sesiones por día, donde dio tutorías a 5 estudiantes en cada sesión. Andrew gastó $33.75 en el alquiler del espacio de trabajo y $20 en meriendas para sus alumnos. El trabajo de Diego

¿El trabajo de qué hermano fue más eficiente? Explica.

3(3x − 1.25) − 15 = 2(5x) − 33.75 − 20 9x − 3.75 − 15 = 10x − 33.75 − 20 9x − 18.75 = 10x − 53.75 −18.75 = 1x − 53.75 35 = 1x 35 = x

¿Qué significa la solución en términos de la situación?

3(3x − 1.25) − 15 = 2(5x) − 33.75 − 20 9x − 3.75 − 15 = 10x − 33.75 − 20 9x − 3.75 + 5 = 10x − 33.75 9x − 3.75 + 38.75 = 10x 9x + 35 = 10x 9x = 10x – 35 −1x = −35 x = 35

¿En qué paso cada hermano usó la propiedad de igualdad de la división para resolver?

Solve Equations Explore 1

¿Cuáles son las diferencias entre las estrategias que cada hermano utilizó para resolver?

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SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 100

100

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SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 101

Andrew resuelve una ecuación con fracciones en ambos lados. Explica lo que hizo para pasar del paso 1 al paso 2 y por qué fue útil.

¿Cuántas estrategias hay para resolver ecuaciones? ¿Cómo saber qué estrategia es la mejor?

Explicación:

Paso 2: 2x − 12 = 72 + 5x

Paso 1: 1 (2x − 12) = 1 (72 + 5x)

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Diego dice que la ecuación 2x + 10 = 6x + 10 no tiene solución. ¿Estás de acuerdo con él?

ÁLGEBRA 1

El trabajo de Andrew

Una de las siguientes ecuaciones es verdadera para todos los valores de x. ¿Cuál es y cómo lo sabes? A. 2x − 12 = 2(x – 6) B. 2x − 12 = 2x + 12

Reflexiona

Solve Equations Explore 1 LIBRO DEL ESTUDIANTE STUDENT NOTEBOOK RESOLVER ECUACIONES

101

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RESOLVER ECUACIONES

102

SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 102

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 5:43 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

RESOLVER ECUACIONES

EXPLORAR 1: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué estrategias usaron tú y tu grupo para resolver las ecuaciones, y cuál te pareció más efectiva? ¿Por qué?

2. ¿Cómo comprobaste tus soluciones para asegurarte de que fueran correctas y qué aprendiste de este proceso?

3. Al resolver ecuaciones, ¿qué dificultades enfrentaste y cómo las superaste?

4. ¿Cómo se pueden aplicar las habilidades que practicaron hoy a situaciones de la vida real fuera de la clase de matemáticas?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se relaciona encontrar la pieza de rompecabezas correcta en la actividad HOOK con identificar la solución de una ecuación en la actividad EXPLORAR?

2. En la actividad HOOK, observaste cómo solo una pieza de rompecabezas encaja correctamente en un lugar dado. ¿Cómo puede este concepto ayudarte a entender por qué un valor específico es la solución de una ecuación durante la actividad EXPLORAR?

SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 103

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RESOLVER ECUACIONES

104

SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 104

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 5:43 PM

Solve Equations Explore 1 ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

NOMBRE _____________________________________________

RESOLVER ECUACIONES

EXPLORAR 1

Resolver ecuaciones de varios pasos Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

FECHA ______________________________

Los pasos de Diego para resolver una ecuación están a la derecha. Determina en qué paso, si lo hubo, Diego cometió su primer error y encierra con un círculo el error. A. B. C. D.

Paso 1 Paso 2 Paso 3 Sin error

5x − 3(2x + 7) = 2x + 9 Paso 1: 5x − 6x + 21 = 2x + 9 Paso 2: −x + 21 = 2x + 9 Paso 3: 21 = 3x + 9 Paso 4: 12 = 3x Paso 5: 4 = x

Solve Equations Explore 1

Resolver ecuaciones de varios pasos Boleto de salida Los pasos de Diego para resolver una ecuación están a la derecha. Determina en qué paso, si lo hubo, Diego cometió su primer error y encierra con un círculo el error. A. B. C. D.

Paso 1 Paso 2 Paso 3 Sin error

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5x − 3(2x + 7) = 2x + 9 Paso 1: 5x − 6x + 21 = 2x + 9 Paso 2: −x + 21 = 2x + 9 Paso 3: 21 = 3x + 9 Paso 4: 12 = 3x Paso 5: 4 = x

105

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RESOLVER ECUACIONES

106

SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 106

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9/13/25 5:43 PM

ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

RESOLVER ECUACIONES

Solve Equations EXPLORAR 1 Part 1

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Resolver ecuaciones de varios pasos Resuelve las siguientes ecuaciones. 1.

2x + 4 = 10

5 – 3x = −1

Sultán resolvía la ecuación de abajo, pero no obtuvo la respuesta correcta. Examina su trabajo y encuentra el error. Enséñale cómo hacer el problema correctamente. Trabajo de Sultán

4a + 9 = 5

Solución correcta

3x – 8 = 4 – x –x –x 2x – 8 = 4 +8 +8 2x 2

= 12 2

x=6 5.

Lim y Nico resuelven la misma ecuación. Ellos compararon su trabajo y, aunque ambos obtuvieron la misma solución, lo hicieron de forma diferente. ¿Quién hizo el problema de forma incorrecta Lim o Nico? Lim 1 3 (x + 6) = 4 1 3 x+2=4 1 3 x=2

Nico 1 3 (x + 6) = 4

x + 6 = 12 x=6

x=6

SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 107

107

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Solve Equations Part 1 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

RESOLVER ECUACIONES

Ordena las siguientes ecuaciones de acuerdo a: sin solución, tiene 1 solución o tiene un número infinito de soluciones. Para las ecuaciones con una solución, proporciona esa solución. 2x – 1 = 9

5x + 1 = 5x – 7

2x + 5 = 2(x + 2) + 1

3x + 4 = 3(x + 1) + 1

−3x + 7 = 2(x + 1)

x+8=x

5 – x = 2x + 8

2(2x + 3) = 4x + 10

2(2x + 3) = 4x + 6

Sin solución

1 solución

Soluciones infinitas

Raúl pidió un montón de pizza para su fiesta. Tiene 20 pedazos de pizza. Escribe una ecuación que muestre que cada uno de sus x amigos recibiría 2 pedazos si dividieran la pizza por igual y resuelve para x.

108

SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 108

9/13/25 5:43 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

RESOLVER ECUACIONES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 2: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que estás atrapado en la Mazmorra del Álgebra, y la única manera de escapar es resolviendo acertijos. Cada acertijo es una puerta cerrada, y para abrirla necesitas usar tus habilidades matemáticas para resolver ecuaciones. Trabaja con tu grupo para descifrar los códigos y avanzar por cada nivel. ¿Puedes escapar? En esta actividad, trabajarás en grupos para resolver rompecabezas utilizando tus habilidades de álgebra para aislar figuras, de manera similar a resolver ecuaciones. Aprenderás a manejar ecuaciones literales compuestas principalmente por variables, a aplicar las matemáticas a problemas de la vida real y a mejorar tus habilidades de resolución de problemas y razonamiento.

SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 109

109

9/13/25 5:43 PM

RESOLVER ECUACIONES

110

SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 110

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 5:43 PM

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ÁLGEBRA 1

RESOLVER ECUACIONES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 2 Solve Equations Explore 2

FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Descifrar el código Parte I

Resuelve cada ecuación para el ◯ y luego busca la tarjeta de código correspondiente en el documento «Tarjetas de códigos» y colócala en el disco de acertijo de nivel 1 en el documento «Discos de acertijos». Usa el espacio de trabajo según sea necesario. Una vez que haya encontrado todos los códigos, presenta el disco de acertijo del nivel 1 completo a tu maestro. Acertijo

Espacio de trabajo

Código

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111

9/13/25 5:43 PM

Solve Equations Explore 2 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

RESOLVER ECUACIONES

Reflexiona 1.

¿Cuáles son las similitudes y diferencias entre resolver estos acertijos y resolver ecuaciones algebraicas?

Reemplacemos las formas en el acertijo A con las variables a, b y c. ¿Cuál sería la solución? ¿Cómo cambió tu proceso de resolución?

a = ____________

¿Cómo cambiaría el código del acertijo C si tuvieras que resolver el triángulo en su lugar?

112

SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 112

9/13/25 5:43 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

Solve Equations Explore 2 RESOLVER ECUACIONES

Parte II

Resuelve cada ecuación literal para la variable especificada y luego encuentra la tarjeta de código de documento «Tarjetas de códigos» que coincida con tu solución. Coloca las tarjetas en el disco de acertijo de nivel 2 del documento «Discos de acertijos». Usa el espacio de trabajo proporcionado. Una vez que hayas encontrado todos los códigos, presenta el disco de acertijo del nivel 2 completo a tu maestro. Acertijo

Espacio de trabajo

Código

E. P = 2l + 2w Resuelve para w.

w = ____________

F. y = mx + b Resuelve para x.

x = ____________

G. 1

A = 2 bh Resuelve para b.

b = ____________

H. I = prt Resuelve para p.

p = ____________

SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 113

113

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Solve Equations Explore 2

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

RESOLVER ECUACIONES

Reflexiona 1.

Considera la fórmula P = 2l + 2w. a.

¿Qué se puede calcular con esta fórmula?

¿Qué variables deben darse para que la fórmula se resuelva como está?

¿Qué se podría encontrar si te dieran el perímetro y la longitud?

¿Por qué sería beneficioso saber cómo manipular ecuaciones literales?

114

SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 114

9/13/25 5:43 PM

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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RESOLVER ECUACIONES

EXPLORAR 2: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué estrategias utilizaste para resolver los rompecabezas y cómo te ayudaron a entender mejor las ecuaciones literales?

2. ¿Cómo cambió trabajar con figuras en lugar de números o variables la forma en que pensabas sobre resolver ecuaciones?

3. ¿Qué desafíos enfrentaste al resolver las ecuaciones literales y cómo los superaste?

4. ¿Cómo pueden aplicarse las habilidades que aprendiste al resolver estos rompecabezas a situaciones de la vida real u otras materias?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se relaciona el proceso de resolver los rompecabezas en la Mazmorra de Álgebra con encontrar la pieza de rompecabezas correcta en la actividad Hook? Considera cómo determinas cuándo has encontrado la solución correcta en ambos escenarios.

2. ¿De qué maneras resolver ecuaciones literales en la actividad Explorar te ayudó a comprender el concepto de encontrar una solución a una ecuación, como se demostró en la actividad de introducción con el rompecabezas de Jasmin? Explica las estrategias que utilizaste y cómo se aplican a ambas situaciones.

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RESOLVER ECUACIONES

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Solve Equations Explore 2 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

RESOLVER ECUACIONES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 2

Resolver ecuaciones literales Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

FECHA ______________________________

En béisbol, el porcentaje de fildeo de un jugador, F, se calcula al usar la fórmula F=

A+P N

, donde A es la cantidad de asistencias, P es la cantidad de outs y N es

es la cantidad de turnos. ¿Cuál de las siguientes representa la ecuación en términos de P? A.

P = FN − A

P = FA − N

P = F(N − P)

P=F−A−N

Solve Equations Explore 2

Resolver ecuaciones literales Boleto de salida En béisbol, el porcentaje de fildeo de un jugador, F, se calcula al usar la fórmula F=

A+P , donde A es la cantidad de asistencias, P es la cantidad de outs y N es es N

la cantidad de turnos. ¿Cuál de las siguientes representa la ecuación en términos de P? A.

P = FN – A

P = FA – N

P = F(N – P)

P=F–A–N

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RESOLVER ECUACIONES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

RESOLVER ECUACIONES

Solve Equations EXPLORAR 2 Part 2

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Resolver ecuaciones literales Fynn hace su tarea de su clase de Física. Le han dado la ecuación de abajo. d = vt

distancia = velocidad · tiempo

Usa esta ecuación para ayudar a Fynn a resolver los problemas de su tarea. 1.

Nia recorrió 60 km en bicicleta en 5 horas. ¿Cuál es la velocidad de su recorrido en bicicleta? a.

Resuelve la fórmula de la distancia para la variable v.

¿Cuál es el valor de d?

¿Cuál es el valor de t?

Resuelve la velocidad de su recorrido en bicicleta.

Ella quiere aumentar su velocidad a 15 km por h. ¿Cuánto tiempo necesitará Nia pedalear para recorrer los mismos 60 km? a.

Resuelve la fórmula de la distancia para la variable t.

¿Cuál es el valor de d?

¿Cuál es el valor de v?

Determina la duración de su paseo en bicicleta.

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Solve Equations Part 2

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RESOLVER ECUACIONES

La forma estándar de una ecuación lineal es Ax + By = C. a.

Reescribe la ecuación para solucionar y.

¿Cómo se llama esta forma de la ecuación?

¿Cuál es la pendiente de la recta de la parte a?

¿Cuál es la intersección Y?

Usa la ecuación 2x + 3y = 6 para responder las siguientes preguntas. a.

Reescribe la ecuación para solucionar y.

¿Cuál es la pendiente de la ecuación?

¿Cuál es la intersección Y?

Resuelve las 2 ecuaciones siguientes para la variable dada. a.

b. Resuelve para b.

V = lah Resuelve para a.

Gabriela planea un viaje por carretera y calcula el costo de la gasolina y la distancia que puede recorrer. Ha elaborado la siguiente fórmula.

G es el costo de gasolina para el viaje. F es el costo por galón de gasolina. M es la cantidad de millas a manejar. P son las millas por galón que logrará el carro. Si sabe cuánto dinero tiene que gastar en gasolina, el costo por galón de la gasolina y las millas por galón que recorre su carro, ¿qué variable debe resolver para saber qué tan lejos puede manejar? Calcula la nueva ecuación.

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ÁLGEBRA 1

RESOLVER ECUACIONES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 3: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que has descubierto un código secreto escondido en el armario de matemáticas de tu escuela. Se llama cifrado inverso, y descifrarlo requiere comprender las funciones inversas. Las funciones inversas son como darle la vuelta a una pieza de rompecabezas para ver el otro lado. Tu misión es trabajar con tus compañeros de clase para descifrar este cifrado y revelar sus secretos. En esta actividad, aprenderás sobre las funciones inversas, que son como rompecabezas en los que intercambias las entradas y las salidas. Trabajarás en grupos para resolver problemas usando estas funciones, lo que te ayudará a entender cómo funcionan y por qué son útiles. También practicarás aplicar las matemáticas a situaciones de la vida real y mejorarás tus habilidades para resolver problemas.

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RESOLVER ECUACIONES

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9/13/25 5:43 PM

Cifrado inverso

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¿En qué se parecen estas ecuaciones? ¿En qué se diferencian?

Escribe una ecuación que dé el valor de p en términos de l.

Escribe una ecuación que dé el valor de l en términos de p.

Conjunto de datos 1

Conjunto de datos 2

Analiza cada conjunto de datos y usa la información para responder las preguntas que siguen.

Parte I

Solve Equations Explore 3

LIBRO DEL ESTUDIANTE ÁLGEBRA 1 RESOLVER ECUACIONES

NOMBRE _____________________________________________

FECHA ______________________________

EXPLORAR 3

DIARIO DEL ESTUDIANTE

123

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¿En qué se parecen las tablas para estos conjuntos de datos? ¿En qué se diferencian?

¿En qué se parecen las tablas para estos conjuntos de datos? ¿Por qué crees que esto ocurre?

¿Qué significa esto en contexto?

Evalúa la ecuación para el conjunto de datos 1 para l = 12. Evalúa la ecuación para el conjunto de datos 2 para p = 48.

Reflexiona 1.

El perímetro de un rectángulo con un ancho de 5 y una longitud desconocida puede estar dado por la ecuación p = 2l + 10. Reescribe la ecuación para que l sea la salida y no la entrada.

La función para el perímetro de un triángulo equilátero es p = 3l. ¿Cuál es la función para la longitud del lado en términos de perímetro (resuelve para l)?

Solve Equations Explore 3

¿Qué notas acerca de las operaciones en la ecuación original, donde p es la salida, en comparación con la ecuación que creaste, donde l es la salida?

son

Las funciones

inversas entre sí. ¿Por qué crees que es?

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124

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Función inversa:

VII VIII

La temperatura en Fahrenheit cuando es de 20 grados Celsius

La temperatura en Celsius cuando es de 68 grados Fahrenheit

La temperatura en Fahrenheit cuando es de 10 grados Celsius

F = 5 C + 32

La temperatura en Celsius cuando es de 50 grados Fahrenheit

Número romano

III

Código

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Función original:

Acertijo

El perímetro de un cuadrado cuando la longitud del lado es 5.5

La longitud del lado de un cuadrado cuando el perímetro es 444

Función inversa:

Número romano

ÁLGEBRA 1

El perímetro de un cuadrado cuando la longitud del lado es 300

La longitud del lado de un cuadrado cuando el perímetro es 1,200

p = 4l

Función original:

Acertijo

Usa la función dada para crear la función inversa. Luego, encuentra el valor de cada oración de acertijo para encontrar el código que debes usar en el documento «Cifrado inverso».

Parte II

Solve Equations Explore 3 LIBRO DEL ESTUDIANTE STUDENT NOTEBOOK RESOLVER ECUACIONES

125

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Función original: x

f(x) = 2 Función inversa: f −1(x) =

El valor de f −1(x) cuando x = 15

El valor de f(x) cuando x = 30

Número romano

El valor de f(x) cuando x = 24

XII

Acertijo

El valor de f −1(x) cuando x = 12

Solve Equations Explore 3

Código

¿Por qué es útil poder encontrar el inverso de una función?

Reflexiona 1.

Función inversa

2. Función original

f −1(x) = _________________

Crea tu propia función original y encuentra la función inversa. Intercambia papeles con alguien de tu grupo para revisar tu trabajo.

f(x) = _________________

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

RESOLVER ECUACIONES

EXPLORAR 3: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Cuál fue la parte más desafiante de comprender las funciones inversas y cómo la superaste?

2. ¿Cómo nos ayudan las funciones inversas a resolver problemas del mundo real? ¿Puedes dar un ejemplo?

3. ¿Qué estrategias te resultaron más útiles al trabajar con tu grupo para descifrar el Cifrado Inverso?

4. ¿Cómo le explicarías el concepto de funciones inversas a un amigo que se perdió la clase?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se relaciona el proceso de encontrar una función inversa en la actividad EXPLORAR con resolver el rompecabezas en la actividad Hook, y qué similitudes puedes identificar entre estas dos tareas?

2. En la actividad Hook, aprendiste a encontrar la pieza de rompecabezas correcta. ¿Cómo puede este concepto ayudarte a comprender el proceso de determinar si dos funciones son inversas entre sí en la actividad EXPLORAR?

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RESOLVER ECUACIONES

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9/13/25 5:43 PM

Solve Equations Explore 3 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

RESOLVER ECUACIONES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 3

Funciones inversas Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

Parvati afirma que f(x) = 3x − 2 y f −1(x) = 2x − 3 son funciones inversas. ¿Es correcta la afirmación de Parvati? Usa las matemáticas para justificar tu respuesta.

Solve Equations Explore 3

Funciones inversas Boleto de salida Parvati afirma que f(x) = 3x − 2 y f −1(x) = 2x − 3 son funciones inversas. ¿Es correcta la afirmación de Parvati? Usa las matemáticas para justificar tu respuesta.

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RESOLVER ECUACIONES

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9/13/25 5:43 PM

ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

RESOLVER ECUACIONES Solve Equations

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 3

Part 3

FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Funciones inversas 1.

Usa la ecuación f(x) = 2x + 1 para responder las siguientes preguntas. a.

¿Cuál es la inversa de f(x)?

Grafica tanto f(x) como f –1(x) en la cuadrícula de abajo.

¿Qué observas sobre los puntos en cada una de las funciones? f(x)

(−2, −3)

(−1, −1)

(0, 1)

(1, 3)

f –1(x)

(−3, −2)

(−1, −1)

(1, 0)

(3, 1)

Los puntos de datos de la siguiente gráfica representan una función. Grafica los puntos de la inversa de esa función.

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Solve Equations Part 3

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

RESOLVER ECUACIONES

El club de drama va a realizar una producción y venderá las entradas a $10 cada una. Tienen que pagar $1,000 por el teatro. La cantidad de ganancia que obtendrán puede escribirse como la función de abajo. p = 10n – 1,000 n es la cantidad de boletos vendidos y p es la ganancia obtenida con la producción.

Encuentra la inversa de la función.

Describe qué te dice la función inversa y qué representa la variable.

María encuentra la inversa de la función . Ella sabe que ha cometido un error. Ayuda a María a encontrar su error y demuéstrale la forma correcta de encontrar la inversa. Trabajo de María

Corrección

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ÁLGEBRA 1

RESOLVER ECUACIONES

HOOK POST-EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Responda las preguntas. 1. ¿Cómo puedes relacionar el proceso de resolver una ecuación de varios pasos con encontrar la pieza correcta del rompecabezas en el escenario de Jasmin?

2. En el contexto de las ganancias de Diego y Andrew, ¿cómo puedes determinar el importe cobrado por perro mediante una ecuación algebraica, y cómo se relaciona esto con encontrar la pieza faltante de un rompecabezas?

3. ¿Cómo puede la comprensión de las funciones inversas ayudarte a determinar si una pieza de rompecabezas encaja correctamente, de manera similar a invertir operaciones para comprobar si una solución es correcta?

4. Al resolver ecuaciones literales, ¿cómo se puede comparar el proceso de aislar una variable con asegurar que una pieza de rompecabezas encaje perfectamente en un lugar específico?

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RESOLVER ECUACIONES

134

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SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 135

Despejar m.

Ecuaciones literales

Propiedad de igualdad ¡Haz en un lado de la ecuación lo que haces en el otro! Propiedad de igualdad de la adición Combinar términos similares Propiedad de igualdad de la división Simplificar Identidad de la multiplicación

2x – 4 + 4 = −12 + 4

2x = −8 2x = −8 2 2 1x = −4 x = −4

Modela la ecuación.

Usa la(s) operación(es) inversa(s) para aislar la variable.

Usa la(s) operación(es) inversa(s).

Propiedad distributiva

2x – 4 = −12

Cuando solo tienes variables, sigues las mismas reglas para resolver ecuaciones.

Dado

2(x – 2) = −12

Resolver ecuaciones

x = −3

3x – 2 = −11

Resolver.

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NOMBRE _____________________________________________

FECHA ______________________________

ESQUEMA DE ANCLAJE

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RESOLVER ECUACIONES

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9/13/25 5:43 PM

ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

NOMBRE _____________________________________________

RESOLVER ECUACIONES

CUADERNO INTERACTIVO Solve Equations

FECHA ______________________________

CUADERNO INTERACTIVO Instrucciones ● Recorta la tabla a continuación y pega en tu cuaderno. ● Recorta las tarjetas de ecuaciones y justificaciones a continuación. ● Pega las tarjetas en el lugar correcto en la tabla para resolver la ecuación y explicar los pasos para la solución.

10 – 2(x + 2) = 24

Dado Propiedad distributiva Combinar términos semejantes

−2x + 6 – 6 = 24 – 6 −2x = 18 −2x = 18 −2 −2 Simplificar x = −9

Identidad de la multiplicación

1x = −9

10 – 2x – 4 = 24

Propiedad de igualdad de la sustracción

Combinar términos semejantes

−2x + 6 = 24

Propiedad de igualdad de la división

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RESOLVER ECUACIONES

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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STUDENT NOTEBOOK

RESOLVER ECUACIONES

139

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RESOLVER ECUACIONES

140

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9/13/25 5:43 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

RESOLVER ECUACIONES Solve Equations

NOMBRE _____________________________________________

REVISIÓN EN ESPIRAL

FECHA ______________________________

REVISIÓN EN ESPIRAL

Academia de bomberos Es tiempo de celebrar. ¡Tu hermana mayor se gradúa de la academia de bomberos! Ella ha completado un programa de entrenamiento básico de bomberos diseñado para darle a los bomberos conocimiento y habilidades para hacer su trabajo de manera segura, efectiva y eficiente. Algunas habilidades básicas de bomberos incluyen tirar mangueras, subir escaleras, atar nudos, rescatar, salvar y tener conocimiento acerca de la ventilación, entrada forzada y suministro de agua. El programa de formación también proporciona conocimientos como el comportamiento del fuego y tácticas de extinción de incendios. Estás tan orgulloso de ser anfitrión de la fiesta de celebración por la graduación de la academia de bomberos.

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RESOLVER ECUACIONES

142

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9/13/25 5:43 PM

Solve Equations LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

RESOLVER ECUACIONES

Tu hermana estaba ayudando a apagar un fuego vivo. El gráfico muestra los niveles de oxígeno restantes en su tanque en función de x, el tiempo en minutos. ¿Cuál es el dominio y el rango de esta función?

En promedio, una sección de 100 pies de una manguera contra incendios de 5 pulgadas pesa 110 libras cuando está vacía. Los bomberos están practicando llevar la manguera contra incendios sobre una colina. ¿Cuál es el dominio que representa esta situación?

Tu mamá y tu madrastra se juntan para planificar y presupuestar la fiesta de graduación. Tu mamá acepta pagar $20 por persona más una contribución de $100. Tu madrastra acepta dar una contribución única de $450, pero quiere que le reembolsen $15 por cada persona que asista. ¿Qué valor de x haría verdadera esta ecuación para que cada miembro de la familia contribuya con la misma cantidad?

Una tienda local de sándwiches de pollo está a cargo de la fiesta. El costo total comparado con el presupuesto está representado por la desigualdad 7.27x + 56.50 ≤ 300, donde x representa el número de invitados adultos. ¿Cuál es el conjunto solución de la desigualdad?

20x + 100 = 450 – 15x

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143

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RESOLVER ECUACIONES

144

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 5:43 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

RESOLVER ECUACIONES

CIENCIA DE DATOS

FECHA ______________________________

SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 145

FRANSES, Philip Hans, 2021. Modeling box office revenues of motion pictures. En: ScienceDirect [en línea]. Disponible en: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0040162521002444#fig0006 [consulta: 1 de agosto de 2021].

Ingresos de las películas

Solve Equations

CIENCIA DE DATOS

145

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RESOLVER ECUACIONES

146

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 5:43 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

Skills Quiz

ÁLGEBRA 1

RESOLVER ECUACIONES

NOMBRE _____________________________________________ Name: ___________________________ Date: ________________

PRUEBA DE HABILIDADES

FECHA ______________________________

PRUEBA DE HABILIDADES Resolver ecuaciones Para responder las preguntas 1 a 3, encierra con un círculo la respuesta correcta. 1.

Si 5x – 7 = 13, entonces, ¿qué opción muestra a qué es igual 𝑥𝑥? 6

A.5

B. 5

C. 4

D. − 4

Si 2(𝑦𝑦 – 1) = 3𝑦𝑦, entonces, ¿qué opción muestra a qué es igual 𝑦𝑦?

A. 2

B. − 2

Si 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =

− 2𝑥𝑥 – 6, entonces, ¿qué opción muestra a qué es igual 𝑓𝑓

A. − 2 𝑥𝑥 – 3

B. 2𝑥𝑥 + 6

C. − 1

C. − 3 +

D. 1

1 𝑥𝑥 2

D. − 6 – 2𝑥𝑥

−1

(𝑥𝑥)?

24 menos que el doble de la edad de Chelsea (en años) es 30. ¿Qué ecuación podría utilizarse para determinar c, la edad de Chelsea?

A. 24 – 2𝑐𝑐 = 30

B. − 24 – 2𝑐𝑐 = 30

C. 30 – 2𝑐𝑐 = 24

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147

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Skills Quiz

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

RESOLVER ECUACIONES

Para responder las preguntas 5 y 6, resuelve 𝑥𝑥. 5. 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 3𝑥𝑥 = 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 4

6. − 13𝑥𝑥 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 = 34𝑥𝑥 + 𝑤𝑤

7. Kelsey viajará a Canadá por una semana y quiere saber la temperatura. temperatura. La aplicación de viajes canandiense muestra el clima en grados 5 Celsius. Kelsey sabe que la fórmula para calcular Celsius, 𝐶𝐶, es 𝐶𝐶 = 9 (𝐹𝐹 – 32). ¿Qué opción de respuesta muestra la fórmula reorganizada para resolver los grados Fahrenheit, 𝐹𝐹? A. B.

𝐹𝐹 =

5 𝐶𝐶 – 32 9 9 𝐶𝐶 – 32 5

C. D.

𝐹𝐹 =

9 𝐶𝐶 5 5 𝐶𝐶 9

+ 32 + 32

8. Rami resolvió la ecuación 3(𝑑𝑑 + 2) = 6. Estos son sus pasos. Paso 1: 𝑑𝑑 + 2 = 2 Paso 2: 𝑑𝑑 = 0

¿Qué opción de respuesta explica el paso 1 del proceso de Rami?

A. Multiplicar ambos lados por 2 B. Dividir ambos lados por 3 C. Sustraer 2 de ambos lados D. Sustraer 4 de ambos lados

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9/13/25 5:43 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

GRADE 3 STUDENT NOTEBOOK Skills Quiz MULTIPLICATION MODELS

ÁLGEBRA 1

9. ¿Cuál es el valor de 𝑥𝑥 en la ecuación

𝑥𝑥 − 3 2

RESOLVER ECUACIONES

+ 4 = 4?

10. La ecuación t = 20,500 + 100c puede utilizarse para calcular t, el salario total anual de un vendedor de la tienda Centro de Circuitos, donde c representa la cantidad de computadoras vendidas por un vendedor. ¿Qué opción de respuesta representa la cantidad de computadoras que un vendedor tendría que vender para ganar un salario anual total de $75,000? A. El vendedor tendría que vender 545 computadoras al año. B. El vendedor tendría que vender 750 computadoras al año. C. El vendedor tendría que vender 400 computadoras al año. D. El vendedor tendría que vender 100 computadoras al año.

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149

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RESOLVER ECUACIONES

150

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 5:43 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

RESOLVER ECUACIONES

VOCABULARIO

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

COMBINAR TÉRMINOS SEMEJANTES

COEFICIENTE

TÉRMINO

SOLUCIÓN

VARIACIÓN DIRECTA

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151

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

RESOLVER ECUACIONES

VOCABULARIO Combinar términos semejantes

Propiedad distributiva

Propiedad matemática que establece que multiplicar la suma o la diferencia de un grupo de términos por un número o una variable es lo mismo que multiplicar cada término por un número o una variable y luego sumar o restar los productos

Sumar términos que tienen la(s) misma(s) variable(s), incluido su exponente 3

Término

Coeficiente

Número, variable, producto o cociente de números y variables en una expresión algebraica

Número que se coloca directamente antes de una variable que le indica que multiplique ese número por la variable 5

Variación directa

Solución

Relación entre dos variables que incluyen una constante (k)

Cualquier número que hace verdadera una ecuación 7

152

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9/13/25 5:43 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

RESOLVER ECUACIONES

VOCABULARIO

RELACIÓN PROPORCIONAL

CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD

CONSTANTE DE VARIACIÓN

VARIABLE

CONSTANTE

PROPIEDAD DE IGUALDAD DE LA ADICIÓN

SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 153

153

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

RESOLVER ECUACIONES

VOCABULARIO Constante de proporcionalidad

Relación proporcional

Constante positiva, generalmente denominada k, que relaciona dos cantidades en la forma y = kx.

Cuando dos cantidades tienen la misma razón 9

Variable

Constante de variación

Letra o símbolo que toma el lugar de un número que puede cambiar; letra que puede representar un número desconocido o un conjunto de números

Razón constante (sin cambios) de dos cantidades; en variación directa, generalmente se denota como k 11

Propiedad de igualdad de la adición

Constante

Propiedad matemática que establece que sumar el mismo número a cada lado de una ecuación nos da una ecuación equivalente

Número fijo que está solo en una ecuación o expresión 13

154

SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 154

9/13/25 5:43 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

RESOLVER ECUACIONES

VOCABULARIO

PROPIEDAD DE IGUALDAD DE LA SUSTRACCIÓN

PROPIEDAD DE IGUALDAD DE LA MULTIPLICACIÓN

PROPIEDAD DE IGUALDAD DE LA DIVISIÓN

TASA UNITARIA

PENDIENTE

SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 155

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9/13/25 5:43 PM

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

RESOLVER ECUACIONES

VOCABULARIO Propiedad de igualdad de la multiplicación

Propiedad de igualdad de la sustracción

Propiedad matemática que establece que multiplicar el mismo número por cada lado de una ecuación nos da una ecuación equivalente

Propiedad matemática que establece que restar el mismo número de cada lado de una ecuación nos da una ecuación equivalente 15

Tasa unitaria

Propiedad de igualdad de la división

Propiedad matemática que establece que dividir ambos lados de una ecuación por el mismo número nos da una ecuación equivalente

Tasa con denominador 1 que muestra cuántas unidades del primer tipo corresponden a una unidad del segundo tipo 17

Pendiente

Cuán empinada es una recta; representada como «m» en la ecuación de pendiente-intersección 18

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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STUDENT NOTEBOOK

RESOLVER ECUACIONES

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ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

RESOLVER DESIGUALDADES

En este tema, aprenderás a trabajar con inecuaciones lineales en una variable. Son enunciados matemáticos que muestran la relación entre dos expresiones usando símbolos de desigualdad como <, >, ≤ o ≥. En esto te vas a enfocar:

SISTEMAS DE ECUACIONES

◦ Escribir inecuaciones lineales en una variable: aprenderás a crear inecuaciones que representen diferentes situaciones o problemas. ◦ Resolver inecuaciones lineales en una variable: practicarás encontrar los valores que hacen verdadera la inecuación. Esto incluye trabajar con inecuaciones compuestas, que son dos o más inecuaciones unidas por las conjunciones y u o. ◦ Usar inecuaciones lineales para resolver problemas: aplicarás lo aprendido para resolver problemas del mundo real usando inecuaciones. ◦ Determinar la cantidad de soluciones: averiguarás si una inecuación tiene múltiples soluciones, una sola solución o ninguna solución. ◦ Resolver inecuaciones con coeficientes variables: aprenderás a manejar inecuaciones donde los coeficientes (los números delante de las variables) no son fijos, sino que pueden cambiar.

Al final de esta lección, podrás escribir, resolver y aplicar con confianza inecuaciones lineales a diversos problemas.

APLICACIÓN DE PRÁCTICAS MATEMÁTICAS • MP.1 Entender los problemas y seguir intentando resolverlos: Analizarás una situación comparando precios en dos tiendas, escribirás y resolverás una desigualdad simple, y determinarás qué tienda ofrece la mejor oferta.

• MP.6 Ser preciso: Representarás cuidadosamente desigualdades en rectas numéricas, usando los símbolos correctos como círculos abiertos y cerrados y flechas para indicar la dirección.

• MP.2 Pensar en los problemas de distintas maneras: Tomarás situaciones de la vida real y las convertirás en desigualdades simples. Luego, resolverás estas desigualdades y verás cómo las respuestas encajan de nuevo en el escenario real.

• MP.7 Usar patrones y estructuras: Usarás lo que sabes sobre resolver ecuaciones para resolver desigualdades simples, notando que los pasos son similares excepto cuando necesitas invertir el signo de desigualdad.

• MP.3 Construir argumentos sólidos y evaluar las ideas de otros: Usarás lo que sabes sobre resolver desigualdades para explicar qué opción de juego es la mejor en una situación dada. • MP.4 Usar las matemáticas para representar situaciones de la vida real: Utilizarás desigualdades simples para modelar problemas del mundo real, como determinar qué puntajes necesitas para obtener ciertas calificaciones. MP.5 Usar las herramientas con criterio: Usarás rectas numéricas para mostrar las soluciones de desigualdades compuestas y ver cómo ayudan a visualizar todas las respuestas posibles.

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• MP.8 Notar patrones en el razonamiento repetido: Observarás que las desigualdades compuestas tienen patrones, como que las desigualdades con "y" abarcan valores entre dos números, mientras que las desigualdades con "o" abarcan valores fuera de esos números.

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ÁLGEBRA 1

RESOLVER DESIGUALDADES

CAPTAR INTERÉS: ANTES DE EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Imagina que estás en el Jog-a-thon del condado de Marquez, un gran evento donde la gente trota para recaudar dinero para organizaciones benéficas. Quieres ayudar a una organización de concienciación sobre el autismo a ganar un premio de 2.000 dólares. Para ganar, deben quedar entre 20 y 40 corredores en el recorrido. Con 215 corredores al inicio y 24 abandonando cada hora, tendrás que calcular cuánto tiempo seguir corriendo para ganar el premio.

En esta actividad, aprenderás a resolver desigualdades relacionándolas con una situación del mundo real. Verás un video sobre una competencia de trote y averiguarás cuánto tiempo deben correr los corredores para ganar un premio para beneficencia. Usarás matemáticas para entender cuántos corredores quedan y resolver problemas utilizando desigualdades.

Responda las preguntas. 1. ¿Cuántos corredores deben quedar para que ganes el premio para tu organización benéfica?

2. Si 24 corredores abandonan cada hora, ¿cuántas horas pasarán hasta que el número de corredores esté entre 20 y 40?

3. ¿Qué representa la expresión "215 - 24x" en el contexto del Jog-a-thon?

4. ¿Por qué es importante entender la tasa a la que los corredores abandonan para resolver el problema?

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RESOLVER DESIGUALDADES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

RESOLVER DESIGUALDADES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 1: ANTES DE EXPLORAR

El hermanastro de Zahra se va a la universidad y le ha regalado su consola de videojuegos. Con solo $24 para gastar, Zahra quiere comprar algunos juegos de la sección de gangas a $4 cada uno, asegurándose de que le queden $5. Ayuda a Zahra a averiguar cuántos juegos puede comprar usando desigualdades para comparar sus opciones. En esta actividad, aprenderás a usar desigualdades para comparar los costos de distintas opciones de videojuegos. Resolverás estas desigualdades, comprenderás sus soluciones y verás cómo se relacionan con situaciones de la vida real. También trabajarás en grupos para discutir y analizar distintos anuncios de videojuegos, ayudando a Zahra a decidir sus mejores opciones de compra.

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RESOLVER DESIGUALDADES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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Zahra creó la desigualdad 24 − 4x ≥ 5 para modelar la cantidad de juegos en ganga que puede comprar. Explica los coeficientes en la desigualdad.

Resuelve la desigualdad. Comienza por agregar 8x a cada lado. Usa la ecuación relacionada para resolver la desigualdad.

Explica tu solución en el contexto de Zahra.

Parte I

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¿Cuándo necesitas invertir el signo de una desigualdad cuando resuelves?

¿Por qué las soluciones de −x < 8 son diferentes de las soluciones de x < −8?

Resuelve la desigualdad de nuevo. Comienza por restar 24 de cada lado. ¿Coinciden tus respuestas?

Videojuegos

Solve Inequalities Explore 1 LIBRO DEL ESTUDIANTE ÁLGEBRA 1 RESOLVER DESIGUALDADES

NOMBRE _____________________________________________

FECHA ______________________________

EXPLORAR 1

DIARIO DEL ESTUDIANTE

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Parte II

3 juegos en ganga:

Solve Inequalities Explore 1

Desigualdad

55 + 10x < 62 + 8x

Conjunto de soluciones

¿Qué tienda sería más barata si Zahra compra la siguiente cantidad de juegos?

Resuelve la desigualdad y luego prueba un punto para asegurarte de que tu símbolo de desigualdad mire en la dirección correcta. Escribe tu respuesta y completa la recta numérica en la tabla.

Anuncio A 1.

2. a.

¿Cómo se puede usar tu recta numérica para determinar cuándo Tienda de Juegos será más barata que Juegos Retro?

4 juegos en ganga:

¿Cuál de estas tiendas prefieres para comprar juegos y por qué?

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE RESOLVER DESIGUALDADES

SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 165

La promoción de membresía de Tienda de juegos más un juego nuevo cuesta que el costo de un juego en Juegos Retro. Dado que los juegos en ganga son precio en ambas tiendas, será más barato comprar los juegos en .

¿Qué tienda prefieres y por qué?

ÁLGEBRA 1 GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

¿Por qué no se pueden graficar las soluciones de esta desigualdad en una recta numérica? Explica tu respuesta en el contexto de las dos compañías de juegos.

Conjunto de soluciones

Resuelve la desigualdad. Escribe la solución en la tabla.

Desigualdad

Escribe una desigualdad en la tabla para representar la situación.

Anuncio B

Solve Inequalities Explore 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE STUDENT NOTEBOOK RESOLVER DESIGUALDADES

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Anuncio C 10. En la tabla, escribe una desigualdad para representar esta situación, donde x representa la cantidad de meses que Zahra usa cada suscripción. 11. Resuelve la desigualdad.

Desigualdad

Conjunto de soluciones Todos los números reales

Solve Inequalities Explore 1

12. ¿Cómo se vería el conjunto de soluciones de esta desigualdad en una recta numérica? Explica tu respuesta en el contexto de las dos compañías de juegos.

13. ¿Cuál de estos servicios de suscripción prefieres y por qué?

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SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 167

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

17. ¿Cuál de estos servicios de suscripción prefieres y por qué?

b. 15 meses:

a. 5 meses:

16. ¿Qué suscripción costaría más si te suscribieras durante la siguiente cantidad de meses?

Conjunto de soluciones

10 + 5x ≤ 25 + 4x

Desigualdad

ÁLGEBRA 1

15. Describe el significado de tu solución en términos de la situación.

14. Resuelve la desigualdad y luego prueba un punto para asegurarte de que tu símbolo de desigualdad mire en la dirección correcta. Escribe tu respuesta y completa la recta numérica en la tabla.

Anuncio D

Solve Inequalities Explore 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE STUDENT NOTEBOOK RESOLVER DESIGUALDADES

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¿Cómo se ve diferente la solución cuando el resultado son todos números reales o sin soluciones?

Solve Inequalities Explore 1

¿Cómo describirías resolver desigualdades con un coeficiente negativo a un amigo que faltó a clase hoy?

Reflexiona

¿Cómo se puede usar la sustitución para verificar el conjunto de soluciones?

¿Qué opción de compra de juegos elegirías? Usa las matemáticas para justificar tu respuesta.

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

RESOLVER DESIGUALDADES

EXPLORAR 1: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué estrategias utilizaste para resolver las desigualdades y cómo te ayudaron a comprender las opciones de Zahra para comprar juegos?

2. ¿Cómo te ayudó trabajar en grupos a comprender las diferentes opciones de juego y las desigualdades asociadas a ellas?

3. ¿A qué desafíos te enfrentaste al interpretar las soluciones de las inecuaciones y cómo los superaste?

4. ¿Cómo cambió esta actividad tu comprensión de cómo se pueden usar las desigualdades en situaciones de la vida real?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se relaciona la situación de Zahra al comprar videojuegos con el escenario del Jog-a-thon en términos de usar desigualdades para tomar decisiones? Considera cómo ambos escenarios involucran restricciones y cómo las desigualdades ayudan a determinar las mejores opciones.

2. En ambos escenarios del videojuego y del Jog-a-thon, ¿qué papel desempeñan las variables y las constantes al plantear las desigualdades? Analiza cómo comprender estos elementos ayuda a resolver las desigualdades y a tomar decisiones informadas.

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RESOLVER DESIGUALDADES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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Solve Inequalities Explore 1 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

RESOLVER DESIGUALDADES

1 Resolver desigualdades con variablesEXPLORAR en ambos lados Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Resuelve la siguiente desigualdad y grafica la solución en la recta numérica. Asegúrate de probar un punto para asegurarte de que tu símbolo de desigualdad mire en la dirección correcta. −2(x − 3) > 18 − 4x

Solve Inequalities Explore 1

Resolver desigualdades con variables en ambos lados Boleto de salida Resuelve la siguiente desigualdad y grafica la solución en la recta numérica. Asegúrate de probar un punto para asegurarte de que tu símbolo de desigualdad mire en la dirección correcta. −2(x − 3) > 18 − 4x

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RESOLVER DESIGUALDADES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 5:43 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

RESOLVER DESIGUALDADES Solve Inequalities

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 1

Part 1

FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Resolver desigualdades con variables en ambos lados Resuelve cada desigualdad y grafica la solución. 1.

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Solve Inequalities Part 1

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

RESOLVER DESIGUALDADES

Resuelve los problemas de abajo. 7.

Jamarion and Grace analizaron la desigualdad resuelta que sigue. −4 + 4x ≤ −24 + 4x + 20 −4 + 4x ≤ −4 + 4x 4x ≤ 0 + 4x 0x ≤ 0 0≤0

Grace argumenta que la desigualdad no tiene solución, mientras que Jamarion piensa que todos los números reales son soluciones. ¿Cuál alumno está en lo correcto? Justifica tu razonamiento con las matemáticas.

Durante un experimento científico, dos precipitados de plástico se han roto y han empezado a gotear agua sobre la mesa del laboratorio. El precipitado A tiene 1,000 mililitros de agua y pierde 10 mililitros por minuto. El precipitado B tiene 800 mililitros de agua y pierde 5 mililitros por minuto. a.

Escribe y resuelve una desigualdad para determinar cuántos minutos, m, tomará para que el precipitado A tenga menos agua que el precipitado B.

¿Tendrá el precipitado A menos agua que el precipitado B a los 40 minutos? Explica.

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

RESOLVER DESIGUALDADES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 2: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que eres estudiante en la Escuela Secundaria Lake, igual que Pari, Elizabeth y Tomas. Están tratando de averiguar si todos pueden obtener una A en la clase de educación física. En su escuela, una A significa tener un promedio de 90 o más. Las calificaciones de educación física se basan en el promedio de las puntuaciones semanales. Tu tarea es ayudarlos a calcular sus promedios y ver si pueden alcanzar su objetivo usando desigualdades y habilidades matemáticas. En esta actividad, aprenderás a calcular promedios y a resolver desigualdades usando situaciones de la vida real, como las calificaciones de educación física. Trabajarás en grupos para averiguar si los estudiantes pueden obtener una A al promediar sus calificaciones. También aprenderás a usar herramientas matemáticas y razonamiento para resolver problemas y comunicar tus ideas con claridad.

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RESOLVER DESIGUALDADES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 177

Sí

¿Exactamente un 90?

Escribe la desigualdad para representar el escenario en la pregunta 4.

¿Cómo sería esto diferente si resolvieran para averiguar qué calificación necesitas para obtener un 90 o más?

Escribe y resuelve una ecuación para determinar la calificación que Pari necesita para obtener un 90 exactamente.

ÁLGEBRA 1

Promedio de la semana 5

Completa la tabla.

Expresión Calificación para de la 5.a determinar el semana promedio de la semana 5

Escribe una expresión para determinar el promedio actual de Pari en la clase de Gimnasia. Luego, encuentra su promedio actual para las semanas 1-4.

Parte I

¿Qué calificación se necesita?

Solve Inequalities Explore 2

LIBRO DEL ESTUDIANTE RESOLVER DESIGUALDADES

NOMBRE _____________________________________________

FECHA ______________________________

EXPLORAR 2

DIARIO DEL ESTUDIANTE

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Parte II Elizabeth Predicción de la calificación necesaria para la semana 5

Solve Inequalities Explore 2

Desigualdad para determinar la calificación necesaria para promediar 90 o mejor

Completa la tabla y determina qué calificaciones posibles debe obtener cada estudiante en la semana 5 para obtener un promedio de 90 o más en su reporte de progreso.

Promedio de las semanas 1-4

Ecuación para determinar la calificación necesaria para promediar un 90 exactamente

¿Qué calificación necesita Elizabeth en la semana 5 para obtener un promedio de 90 o mejor? Muestra todo el trabajo.

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE RESOLVER DESIGUALDADES

SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 179

Predicción de la calificación necesaria para la semana 5

Desigualdad para determinar la calificación necesaria para promediar 90 o mejor

ÁLGEBRA 1

¿Qué calificación necesita Tomás en la semana 5 para obtener un promedio de 90 o mejor? Muestra todo el trabajo.

Promedio de las semanas 1-4

Ecuación para determinar la calificación necesaria para promediar un 90 exactamente

Tomás

Solve Inequalities Explore 2 LIBRO DEL ESTUDIANTE GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS STUDENT NOTEBOOK RESOLVER DESIGUALDADES

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Solve Inequalities Explore 2

Al final del trimestre, Tomás recordó haber calculado su calificación de Gimnasia para los reportes de progreso y quería hacer lo mismo para determinar su calificación final del trimestre en Inglés. 1.

Tomás quiere obtener una B en su calificación final de Inglés. Si obtiene un 80 en la evaluación de la semana final, ¿su calificación final será una B?

Explica por qué la desigualdad ayudaría a Tomás a determinar qué promedio necesitaba durante las últimas cinco semanas del período para subir su calificación a una B después de recibir el promedio de su reporte de progreso de cinco semanas.

Resuelve la desigualdad de la pregunta 3.

¿Qué calificaciones podría obtener Tomás en su evaluación de la semana final en Inglés para terminar el trimestre con al menos un 80 para que tenga una B? Establece una desigualdad y resuelve.

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE RESOLVER DESIGUALDADES

¿Cómo abordaste la resolución de una desigualdad que estaba escrita como una fracción? ¿Hay otra manera?

¿Cómo abordaste la resolución de una desigualdad para la calificación de Gimnasia de Tomás en comparación con su calificación de Inglés?

¿Pueden los 3 estudiantes obtener una A en la clase de Gimnasia? ¿Qué estudiante necesita la calificación más alta?

Reflexiona

Solve Inequalities Explore 2 LIBRO DEL ESTUDIANTE

SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 181

ÁLGEBRA 1 GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK RESOLVER DESIGUALDADES

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RESOLVER DESIGUALDADES

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SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 182

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 5:43 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

RESOLVER DESIGUALDADES

EXPLORAR 2: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué estrategias utilizaste para encontrar el promedio de las calificaciones y cómo te ayudaron a comprender mejor el problema?

2. ¿Cómo te ayudó el uso de desigualdades a hacer predicciones sobre las calificaciones necesarias para obtener una A en la clase de educación física?

3. ¿Qué desafíos enfrentaste al trabajar con fracciones y la propiedad distributiva, y cómo los superaste?

4. ¿Cómo te ayudó discutir con tu grupo a comprender diferentes formas de resolver las desigualdades?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo el escenario del mundo real del Jog-a-thon en la actividad HOOK te ayuda a entender el uso de inecuaciones para predecir las calificaciones de educación física en la actividad EXPLORAR?

2. Tanto en el escenario del Jog-a-thon como en el de la calificación de educación física, ¿cómo puede la resolución de desigualdades ayudarte a hacer predicciones sobre resultados futuros? ¿Qué similitudes notas en los procesos matemáticos utilizados en cada situación?

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RESOLVER DESIGUALDADES

184

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 5:43 PM

Explore 2

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

RESOLVER DESIGUALDADES

Resolver desigualdades con la propiedad EXPLORAR 2 distributiva y las fracciones Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Resuelve la desigualdad y selecciona todos los valores que son una solución a la desigualdad. Muestra todo tu trabajo.

Solve Inequalities Explore 2

Resolver desigualdades con la propiedad distributiva y las fracciones Boleto de salida Resuelve la desigualdad y selecciona todos los valores que son una solución a la desigualdad. Muestra todo tu trabajo.

SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 185

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RESOLVER DESIGUALDADES

186

SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 186

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 5:43 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

RESOLVER DESIGUALDADES Solve Inequalities

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 2

Part 2

FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Resolver desigualdades con propiedad distributiva y fracciones Resuelve cada desigualdad y grafica la solución. 1.

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187

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Solve Inequalities Part 2 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

RESOLVER DESIGUALDADES

El Sr. Gutierrez quiere un borde de madera rectangular alrededor del nuevo huerto que construye. Él tiene 72 pies de madera para usar en el borde. Sabe que la longitud de su huerto tiene que ser de 20.5 pies de largo. Usa la fórmula del perímetro, P = 2(l + a), para calcular las opciones de anchura del huerto del Sr. Gutierrez.

Clementina y Sora discutieron la desigualdad de abajo.

Clementina afirmaba que el primer paso para resolver debía ser multiplicar ambos lados de la desigualdad por 3. Sora quería dividir ambos lados de la desigualdad por 2 como primer paso. ¿Con qué alumno estás de acuerdo? Utiliza las matemáticas para justificar tu respuesta.

188

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

RESOLVER DESIGUALDADES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 3: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que trabajas para Boxes R Us, una empresa que fabrica cajas para productos como perfumes y juguetes. Tu trabajo es ayudar a asegurarte de que las cajas tengan el tamaño correcto. La empresa promete que cada caja estará muy cerca del tamaño solicitado, dentro del 5% del ancho, largo y alto. Escribirás y resolverás desigualdades compuestas para programar una computadora que verifique si las cajas tienen el tamaño correcto o si deben rechazarse. En esta actividad, aprenderás a escribir y resolver inecuaciones compuestas. Trabajarás en grupos para determinar qué tamaños de caja son aceptables para una empresa usando las matemáticas para comprobar si se encuentran dentro de cierto rango. También aprenderás a usar rectas numéricas para mostrar tus respuestas y a comprender cómo usar las conjunciones y disyunciones en las inecuaciones.

SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 189

189

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RESOLVER DESIGUALDADES

190

SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 190

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 5:43 PM

ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

RESOLVER DESIGUALDADES

Solve Inequalities EXPLORAR 3 Explore 3

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Somos las cajas Parte I 1.

La máquina que fabrica las cajas para Chris Di necesita conocer la medida ideal de la caja y la tolerancia para cada medida. La tolerancia es cuánto puede variar la medida de la medida ideal. Calcula la tolerancia e ingresa el valor para cada medida en la tabla de la imagen de computadora a continuación.

Ideal (mm)

Tolerancia (mm)

Ancho Largo Alto

¿Se aceptarían o rechazarían los siguientes anchos? Justifica tu respuesta. Ancho

Aceptado

Rechazado

29 mm

❏

32.5 mm

❏

30 mm

❏

30.75 mm

❏

Razonamiento

SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 191

191

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Solve Inequalities Explore 3

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

RESOLVER DESIGUALDADES

La computadora necesita una desigualdad compuesta para describir las medidas aceptables para las cajas. El programador ha creado plantillas de desigualdad para calcular medidas aceptables. Escribe y resuelve desigualdades para calcular las medidas aceptables de las cajas, donde a representa las medidas aceptables.

Como esta es la intersección de dos conjuntos, usaremos la palabra de conjunción y. −Tolerancia ≤ aceptable − ideal

Aceptable − ideal ≤ tolerancia

Ancho

Largo

Alto

Ingresa las desigualdades encontradas en la pregunta 3 en el documento «Programación de computadoras».

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SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 192

9/13/25 5:43 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

Solve Inequalities Explore 3 RESOLVER DESIGUALDADES

La computadora necesita una desigualdad compuesta para describir las medidas inaceptables de las cajas que rechazará. El programador ha creado plantillas de desigualdad para calcular medidas inaceptables. Escribe y resuelve desigualdades para calcular las medidas inaceptables de las cajas, donde r representa las medidas inaceptables.

Como esta es una unión de dos conjuntos, usaremos la palabra disyunción o. Inaceptable − ideal < − tolerancia

Inaceptable − ideal > tolerancia

Ancho

Largo

Alto

Ingresa las desigualdades encontradas en la pregunta 5 en el documento «Programación de computadoras».

SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 193

193

9/13/25 5:43 PM

Solve Inequalities Explore 3 RESOLVER DESIGUALDADES

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Parte II 7.

Muestra tu razonamiento en una recta numérica. Resalta el rango aceptable en amarillo y los valores rechazados en rosado. Coloca una X en el valor de la dimensión de la caja.

¿Se aceptará o se rechazará la caja? Si es rechazada, ¿qué se necesita cambiar para que sea aceptada?

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9/13/25 5:43 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

Solve Inequalities Explore 3

RESOLVER DESIGUALDADES

Reflexiona 1.

¿Qué conexiones puedes hacer entre la desigualdad compuesta y la gráfica de las soluciones?

Se programó otra máquina para producir una caja con una altura de 10 in. Produjo una caja de 11 pulgadas de alto. Si esta es una caja aceptable con una altura de 11 pulgadas, ¿cuál de las siguientes opciones podría ser la tolerancia? Selecciona todas las que correspondan. ❏ ❏ ❏ ❏ ❏

1% 5% 8% 10 % 12 %

¿La desigualdad que describe las alturas aceptables de la caja sería una conjunción que use la palabra y, o sería una disyunción que use la palabra o? ¿Cómo lo sabes?

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RESOLVER DESIGUALDADES

196

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 5:43 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

RESOLVER DESIGUALDADES

EXPLORAR 3: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué pasos seguiste para determinar si las medidas de una caja eran aceptables o no?

2. ¿Cómo te ayudó trabajar con desigualdades compuestas a comprender el rango de tamaños aceptable para las cajas?

3. ¿Qué desafíos enfrentaste al escribir o resolver las inecuaciones compuestas, y cómo los superaste?

4. ¿Cómo te ayudó colaborar con tu grupo a comprender mejor el concepto de inecuaciones compuestas?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se relaciona el concepto de tolerancia en el escenario de Boxes R Us con el rango de corredores necesarios para ganar el premio en el escenario del Jog-a-thon? Considera cómo se utilizan desigualdades compuestas para determinar valores aceptables en ambas situaciones.

2. En el escenario de Boxes R Us, utilizaste inecuaciones compuestas para determinar tamaños de cajas aceptables. ¿Cómo puede aplicarse el mismo método para averiguar cuánto tiempo deben permanecer los corredores en la competencia para ganar el premio en el escenario del Jog-a-thon? Analiza cómo el uso de conjunciones ayuda en ambos casos.

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RESOLVER DESIGUALDADES

198

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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Solve Inequalities Explore 3 ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

RESOLVER DESIGUALDADES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 3

FECHA ______________________________

Resolver desigualdades compuestas Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

La presión sobre una plataforma rectangular se puede determinar mediante la siguiente fórmula: presión = fuerza . Escribe y resuelve una desigualdad para área determinar cuál debería ser la fuerza, en newtons, para generar una presión de 500 a 800 unidades en una plataforma con un área de 8 m 2.

¿Una fuerza de 6,000 newtons produciría una presión en el conjunto de soluciones? Explica.

Solve Inequalities Explore 3

Resolver desigualdades compuestas Boleto de salida 1.

La presión sobre una plataforma rectangular se puede determinar mediante la fuerza siguiente fórmula: presión = . Escribe y resuelve una desigualdad para área determinar cuál debería ser la fuerza, en newtons, para generar una presión de 500 a 800 unidades en una plataforma con un área de de 8 m 2.

¿Una fuerza de 6,000 newtons produciría una presión en el conjunto de soluciones? Explica.

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RESOLVER DESIGUALDADES

200

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

RESOLVER DESIGUALDADES Solve Inequalities

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 3

Part 3

FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Resolver desigualdades compuestas Resuelve cada desigualdad, grafica la solución y responde a la pregunta que sigue. 1.

La desigualdad 6 < h + 2 < 9 representa la cantidad de horas, h, que Tomás empleó en hacer su tarea la semana pasada. a.

Resuelve para h.

Grafica el conjunto de solución.

¿Es posible que Tomás haya pasado 6.5 horas en hacer tareas la semana pasada? Explica.

La desigualdad −1 + b > 4 or 2b + 7 ≤ 11 representa el saldo de la cuenta, b, the del almuerzo de Tino en dólares. a.

Resuelve para b.

Grafica el conjunto de solución.

¿Se incluirían los números negativos en el conjunto de soluciones? Explica.

La desigualdad −33 ≤ −7f – 12 < −26 representa la altura requerida en pies, f, de una zona de juegos para niños pequeños. a.

Resuelve para f.

Grafica el conjunto de solución.

¿Podría un niño pequeño de 2 pies de altura jugar en la zona de juegos para niños pequeños? Explica. 1

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201

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Solve Inequalities Part 3

RESOLVER DESIGUALDADES

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Escribe una desigualdad compuesta para representar cada situación. 4.

La mayoría de las iguanas viven donde la temperatura oscila entre los 77 ºF y los 96 ºF, ambos inclusive. Escribe una desigualdad compuesta para representar las temperaturas, t, en las que NO suelen vivir las iguanas.

Los pollitos de catalana que se incuban por debajo de 24 °C o por encima de 32 °C rara vez nacen. Escribe una desigualdad compuesta para representar las temperaturas, t, a las que deben incubarse los polluelos.

La carretera interestatal 20 tiene un límite de velocidad mínimo anunciado de 40 millas por hora y un límite de velocidad máximo anunciado de 75 millas por hora. Escribe una desigualdad compuesta para representar la velocidad, s, a la que debes viajar para evitar que te multen.

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

RESOLVER DESIGUALDADES

HOOK POST-EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Responda las preguntas. 1. ¿Cuántas horas debe permanecer un corredor en la competencia para asegurar que queden entre 20 y 40 corredores, dado que los corredores abandonan a una tasa de 24 por hora partiendo de 215 corredores?

2. Zahra quiere comprar juegos de oferta a $4 cada uno y que aún le queden al menos $5 de sus $24. ¿Cuántos juegos puede comprar?

3. Si Pari necesita un promedio de 90 para obtener una A en la clase de educación física y su promedio actual de 4 semanas es 87, ¿cuál es la calificación mínima que necesita en la quinta semana?

4. Chris Di quiere una caja con dimensiones dentro del 5 % de 30 mm de ancho, 50 mm de largo y 70 mm de alto. ¿Cuáles son los rangos aceptables para cada dimensión?

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RESOLVER DESIGUALDADES

204

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9/13/25 5:43 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

RESOLVER DESIGUALDADES

NOMBRE _____________________________________________

ESQUEMA DE ANCLAJE

FECHA ______________________________

ESQUEMA DE ANCLAJE Resolver desigualdades

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205

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RESOLVER DESIGUALDADES

206

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9/13/25 5:43 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

RESOLVER DESIGUALDADES

NOMBRE _____________________________________________

CUADERNO INTERACTIVO

FECHA ______________________________

x≥2

−3 < x ≤ 1

x < −2

3>x≥1

Instrucciones ● Recorta las tarjetas a continuación. ● Empareja cada desigualdad con su conjunto de soluciones y pega una junto a la otra en tu cuaderno.

Solve Inequalities

CUADERNO INTERACTIVO

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207

9/13/25 5:43 PM

RESOLVER DESIGUALDADES

208

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 5:43 PM

SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 209

18 < −4x 4.5 > x 0.22 < x −18 < −4x x – 3 < −3x + 15

x – 3 < −3(x – 5) x – 3 < −3x – 5 −3 < −4x + 15 4.5 < x 3x – 3 < 15

Instrucciones ● Recorta las tarjetas a continuación. ● Pon los pasos para resolver la desigualdad x – 3 < −3(x – 5) en orden, y pega en tu cuaderno. ● Escoge la representación gráfica correcta para la solución, y pega en tu cuaderno. ● No usarás todas las tarjetas para resolver la desigualdad.

Solve Inequalities

LIBRO DEL ESTUDIANTE ÁLGEBRA 1 GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK RESOLVER DESIGUALDADES

209

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RESOLVER DESIGUALDADES

210

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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STUDENT NOTEBOOK

RESOLVER DESIGUALDADES

211

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RESOLVER DESIGUALDADES

212

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 5:43 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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STUDENT NOTEBOOK

RESOLVER DESIGUALDADES

213

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RESOLVER DESIGUALDADES

214

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 5:43 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

RESOLVER DESIGUALDADES Solve Inequalities

NOMBRE _____________________________________________

REVISIÓN EN ESPIRAL

FECHA ______________________________

REVISIÓN EN ESPIRAL

Cambios en la cafetería Como presidente del consejo estudiantil, te postulaste en la plataforma de mejorar las condiciones en la cafetería de la escuela. El cuerpo estudiantil espera que su liderazgo se asocie con la administración de la escuela y la organización de padres y maestros de la escuela para hacer que su plataforma se convierta en una realidad para el final del año escolar actual. La primera órden del día es actualizar el menú de almuerzo, el cual todavía sirve la misma comida aburrida de cuando tus padres estaban en la escuela secundaria. Siguiente, planeas comprar asientos flexibles y estaciones de carga para la cafetería. Por último, te asocias con el departamento de tecnología de la escuela para incrementar el acceso de internet inalámbrico en la cafetería. ¿Puedes tener todo esto antes de las vacaciones de invierno?

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215

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RESOLVER DESIGUALDADES

216

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 5:43 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

La ecuación lineal −(5w + 10) = −4(16 – w), donde w es el número de puntos de acceso inalámbrico a Internet, puede usarse para calcular cuántos puntos de acceso mejorarían la señal en la cafetería. ¿Cuál es la solución a esta ecuación?

En una presentación a la administración de la escuela ya la organización de padres y maestros, usted demuestra que las ganancias por cambiar la receta de los nuggets de pollo son exponenciales. Escribe una desigualdad para representar el dominio de la función que se muestra.

RESOLVER DESIGUALDADES

Una empresa de mobiliario escolar le permite personalizar las mesas y la disposición de los asientos. Tienes que elegir una opción que represente y como una función de x. ¿Qué opción eliges?

Solve Inequalities

STUDENT NOTEBOOK

La tabla muestra la relación lineal entre el número de bolsas de papas fritas picantes vendidas, x, y el costo total de las bolsas de papas fritas picantes, y. Según la tabla, ¿cuánto cuesta 1 bolsa de papas fritas picantes?

$3.90

$5.20

$11.70

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9/13/25 5:43 PM

RESOLVER DESIGUALDADES

218

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 5:43 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

RESOLVER DESIGUALDADES

CIENCIA DE DATOS

FECHA ______________________________

BRAZIER, Yvette. How much should I weigh for my height and age? En: Medical News Today [en línea]. Disponible en: https://www.medicalnewstoday.com/articles/323446 [consulta: 18 de enero de 2020].

Solve Inequalities

CIENCIA DE DATOS

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219

9/13/25 5:43 PM

RESOLVER DESIGUALDADES

220

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 5:43 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

Skills Quiz

ÁLGEBRA 1

RESOLVER DESIGUALDADES

NOMBRE _____________________________________________ Name: ___________________________ Date: ________________

PRUEBA DE HABILIDADES

FECHA ______________________________

PRUEBA DE HABILIDADES Resolver desigualdades Para responder las preguntas 1 y 2, resuelve las desigualdades para 𝑥𝑥 o 𝑦𝑦, respectivamente. Luego, grafica la solución en una recta numérica. 1. 3𝑥𝑥 – 1 < 7

2. − 2(𝑦𝑦 + 5) ≥ 11 + 𝑦𝑦

Para responder las preguntas 3 y 4, utiliza la siguiente desigualdad. 3(− 2𝑥𝑥 – 6) <

− 30

3. Encuentra el conjunto de soluciones para la desigualdad.

SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 221

221

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Skills Quiz

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

RESOLVER DESIGUALDADES

4. Grafica el conjunto de soluciones que encontraste en la pregunta 1.

5. ¿Qué gráfica representa el conjunto de soluciones de la siguiente desigualdad?

6𝑥𝑥 + 11 ≤ 5𝑥𝑥 + 12

B. C. D.

222

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9/13/25 5:43 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

GRADE 3 STUDENT NOTEBOOK Skills Quiz MULTIPLICATION MODELS

ÁLGEBRA 1

RESOLVER DESIGUALDADES

Para las preguntas 6 y 7, utiliza la siguiente información. Una panadería vende una caja de 6 galletas a $5.25 y vende galletas adicionales a $0.48 cada una. Si María tiene $20.00 para comprar la caja de galletas y algunas galletas adicionales, ¿cuál es la cantidad máxima de galletas adicionales que puede comprar? Asegúrate de definir cualquier variable que utilices. 6. Escribe una desigualdad que represente la situación anterior.

7. Resuelve la desigualdad que escribiste para la pregunta 6 para ver cuántas galletas adicionales puede comprar María.

8. Jamir tiene $400 en una cuenta de ahorros al principio del verano. Quiere tener al menos $250 en la cuenta al final del verano. Retira $30 cada semana, s, para comida y actividades. Escribe una desigualdad que represente la situación de Jamir.

9. Encuentra el conjunto de soluciones para la desigualdad − 12 ≤− 4(1 + 2𝑥𝑥) ≤ 28. A. 1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 3 B. − 4 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1 C. − 2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 3 D. − 4 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2

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223

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Skills Quiz

RESOLVER DESIGUALDADES

10.

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Sydney resolvió una desigualdad. A continuación se muestra su trabajo. ¿Qué error, si hay alguno, cometió Sydney? Step 1: 2𝑥𝑥 + 6 > 5𝑥𝑥 – 1 Step 2: 7𝑥𝑥 + 6 > − 1 Step 3: 7𝑥𝑥 > − 7 Step 4: 𝑥𝑥 > − 1

224

SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 224

9/13/25 5:43 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

RESOLVER DESIGUALDADES

VOCABULARIO

LESS THAN

GREATER THAN

SOLUTION SET

INEQUALITY

LESS THAN OR EQUAL TO

GREATER THAN OR EQUAL TO

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225

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

RESOLVER DESIGUALDADES

VOCABULARIO Mayor que (>)

Menor que (<)

Más que otro (p. ej., 49 > 12)

Más pequeño que otro (por ejemplo, 432 < 501) 3

Desigualdad

Conjunto de soluciones

Oración matemática que usa símbolos como <, ≤, > o ≥ para comparar dos cantidades

Conjunto de números que hace que un enunciado de desigualdad sea verdadero 4

Mayor o igual que

Menor o igual a

Más o igual que otro

Más pequeño o igual que otro 7

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9/13/25 5:43 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

RESOLVER DESIGUALDADES

VOCABULARIO

INEQUALITY PHRASE

SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 227

227

9/13/25 5:43 PM

RESOLVER DESIGUALDADES

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

VOCABULARIO Frase de desigualdad

Frase que representa cada una de las desigualdades 8

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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STUDENT NOTEBOOK

RESOLVER DESIGUALDADES

229

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ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

En esta unidad, aprenderás a trabajar con ecuaciones y desigualdades de valor absoluto. Estas son herramientas importantes en matemáticas que nos ayudan a entender relaciones entre números y a resolver problemas del mundo real. Te centrarás en lo siguiente:

SISTEMAS DE ECUACIONES

◦ Escritura de ecuaciones y desigualdades de valor absoluto: ◦ Aprende a escribir ecuaciones y desigualdades que incluyan valores absolutos. ◦ Comprende cómo expresar situaciones reales usando estas ecuaciones.

◦ Resolución de ecuaciones de valor absoluto: ◦ Descubre métodos para resolver ecuaciones que contienen valores absolutos. ◦ Practica encontrar soluciones e interpretar lo que significan en distintos contextos.

◦ Resolución de desigualdades de valor absoluto: ◦ Aprende a resolver desigualdades que involucren valores absolutos. ◦ Determina si estas desigualdades tienen múltiples soluciones, una solución o ninguna.

◦ Aplicación de ecuaciones y desigualdades de valor absoluto: ◦ Usa tus habilidades para resolver problemas con ecuaciones y desigualdades de valor absoluto. ◦ Explora cómo estos conceptos matemáticos se aplican a situaciones de la vida real.

Al finalizar esta lección, podrás escribir, resolver y aplicar con confianza ecuaciones y desigualdades de valor absoluto, comprendiendo sus soluciones y su importancia.

APLICACIÓN DE PRÁCTICAS MATEMÁTICAS • MP.1 Comprender los problemas y perseverar en resolverlos: Verás una situación que compara dos tiendas, escribirás y resolverás una desigualdad simple para averiguar cuál tienda tiene la mejor oferta.

• MP.6 Ser preciso: Graficarás cuidadosamente desigualdades en rectas numéricas, usando los símbolos correctos, como círculos abiertos y cerrados, para mostrar la dirección de las soluciones.

• MP.2 Pensar en los problemas de distintas maneras: Tomarás situaciones de la vida real y las convertirás en desigualdades simples. Luego las resolverás y verás cómo las respuestas encajan de nuevo en la situación original.

• MP.7 Usar lo que sabes sobre estructuras matemáticas: Aplicarás lo que sabes sobre resolver ecuaciones para resolver desigualdades, notando que los pasos son los mismos excepto cuando necesitas invertir el signo de la desigualdad.

• MP.3 Construir argumentos sólidos y evaluar las ideas de otros: Usarás lo que sabes sobre resolver desigualdades para explicar qué opción de juego es mejor en una situación dada. • MP.4 Usar las matemáticas para representar situaciones de la vida real: Utilizarás desigualdades simples para modelar problemas del mundo real, como averiguar qué puntajes necesitas para obtener ciertas calificaciones.

• MP.8 Reconocer patrones en el razonamiento repetido: Entenderás cómo funcionan las desigualdades compuestas. Verás que las desigualdades "y" abarcan todos los valores entre dos números, mientras que las desigualdades "o" abarcan valores fuera de esos números.

• MP.5 Elegir las herramientas adecuadas: Utilizarás rectas numéricas para mostrar las soluciones de las desigualdades y ver cómo te ayudan a entender todas las respuestas posibles.

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

CAPTAR INTERÉS: ANTES DE EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Imagina que estás a cargo de una fábrica que empaqueta cajas de manzanas para enviar a los supermercados. Cada caja debería tener exactamente 140 manzanas, pero a veces el número puede ser un poco más o un poco menos. Tu trabajo es averiguar cuántas manzanas pueden caber en una caja sin exceder ni quedar por debajo de cierto límite. Aquí es donde las matemáticas, específicamente las ecuaciones y desigualdades de valor absoluto, resultan útiles. ¡EXPLORARmos cómo puedes usar estas herramientas matemáticas para asegurarte de que cada caja quede perfecta!

En esta actividad, aprenderás a utilizar ecuaciones e inecuaciones de valor absoluto para resolver problemas del mundo real. Verás un video sobre una empresa que empaqueta manzanas y determinarás cuántas manzanas pueden caber en una caja si hay una tolerancia del 5%. Explorarás cómo crear y resolver inecuaciones para encontrar el rango aceptable de manzanas en cada caja.

Responda las preguntas. 1. Si una caja debería contener 140 manzanas, pero puede variar en un 5%, ¿cuál es el número mínimo de manzanas que aún sería aceptable en una caja?

2. ¿Cuál es el número máximo de manzanas que puedes tener en una caja si el objetivo es 140 manzanas con un 5% de tolerancia?

3. ¿Cómo puedes usar el valor absoluto para representar el rango aceptable de manzanas en una caja?

4. ¿Por qué es importante que la empresa asegure que la cantidad de manzanas en cada caja se mantenga dentro de la tolerancia del 5%?

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ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

232

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 5:43 PM

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ÁLGEBRA 1

ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 1: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que trabajas para Ship2U, una empresa de reparto. Un día, un conductor entrega por error paquetes en las casas equivocadas de Myrtle Lane. Cada paquete tiene una nota adhesiva que indica a qué distancia está la dirección correcta, pero no la dirección en sí. Tu tarea es usar esta información para averiguar a dónde debe ir cada paquete. Utilizarás habilidades matemáticas para resolver este acertijo representando el problema en una recta numérica y escribiendo ecuaciones para encontrar las direcciones correctas. En esta actividad, aprenderás a resolver ecuaciones con valor absoluto como |x – b| = c. Entenderás que esto significa que x está a c unidades de b. Usarás rectas numéricas para visualizarlo y escribirás ecuaciones para encontrar soluciones. También desarrollarás estrategias para resolver estas ecuaciones de diferentes maneras.

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ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

234

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 5:43 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES Absolute Value Equations and Inequalities

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 1

Explore 1

FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Dilema de entrega Parte I

Lee las notas en los paquetes y usa el tapete de trabajo para averiguar las posibles direcciones donde viven los destinatarios correctos. Luego, escribe una ecuación de valor absoluto que describa cada escenario. 1.

Completa el siguiente enunciado. x está a __ unidades de __ en cualquier dirección.

2. Entregado en el número 12 de la calle Mirto. El destinatario x vive a 4 casas de distancia.

Escribe las posibles direcciones del destinatario. x= x=

Escribe una ecuación que describa el escenario.

Completa el siguiente enunciado. x está a __ unidades de __ en cualquier dirección.

Escribe las posibles direcciones del destinatario. x= x=

Escribe una ecuación que describa el escenario.

Entregado en el número 8 de la calle Mirto. El destinatario x vive a 3 casas de distancia.

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Explore 1

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

Completa el siguiente enunciado. x está a __ unidades de __ en cualquier dirección.

8. Entregado en el número 15 de la calle Mirto. El destinatario x vive a 3 casas de distancia.

Escribe las posibles direcciones del destinatario. x= x=

Escribe una ecuación que describa el escenario.

10. Completa el siguiente enunciado. x está a __ unidades de __ en cualquier dirección. 11. Escribe las posibles direcciones del destinatario. x= x= 12. Escribe una ecuación que describa el escenario.

Entregado en el número 6 de la calle Mirto. El destinatario x vive a 5 casas de distancia.

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Absolute Value Equations and Inequalities Explore 1

STUDENT NOTEBOOK ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

Parte II

Con el uso de las descripciones escritas, rectas numéricas y ecuaciones de valor absoluto, resuelve los siguientes problemas para ayudar a Envíos para ti a mantener a Golosinas Heladas como un cliente satisfecho. 1.

Golosinas Heladas pidió 50 cajas de emparedados de helado a su proveedor, pero el departamento de envíos del proveedor envió un mensaje que decía que había un error y que el tamaño del envío tenía una diferencia de 5 cajas. a.

Grafica la descripción anterior en la recta numérica.

Escribe una ecuación de valor absoluto que represente la situación.

¿Cuáles son los posibles tamaños de envío que debe transportar Envíos para ti? Cantidad mínima de cajas: Cantidad máxima de cajas:

El helado debe estar en un congelador con una temperatura ideal como se indica en el termómetro.

Completa el siguiente enunciado. La temperatura no debe estar a más de __°C lejos de __°C.

Escribe una ecuación de valor absoluto que describa el pedido.

¿Cuáles son las temperaturas máximas y mínimas para el transporte? Temperatura mínima: Temperatura máxima:

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Absolute Value Equations and Inequalities Explore 1 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

La siguiente ecuación describe la calle por la que viaja el repartidor y cuántas calles más allá está de Golosinas Heladas desde su ubicación actual. |x − 10| = 6 a.

Completa el siguiente enunciado. El repartidor está actualmente en la calle __.a, y Golosinas Heladas está __ calles más allá.

Traza las soluciones de la ecuación dada en la siguiente recta numérica.

¿Cuáles son las dos calles posibles donde se encuentra la dirección de entrega?

Reflexiona 1.

¿Cuál es el punto de anclaje en la ecuación de valor absoluto |x − b| = c, y dónde está cuando graficas tus soluciones en una recta numérica?

¿Por qué a menudo hay dos soluciones para las ecuaciones de valor absoluto?

¿Cuál es el proceso para resolver una ecuación lineal de valor absoluto con el uso de una recta numérica? ¿Cuál es el proceso para resolver algebraicamente?

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

EXPLORAR 1: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué aprendiste sobre las ecuaciones de valor absoluto y cómo se relacionan con las distancias en una recta numérica?

2. ¿Cómo te ayudó crear una representación visual en una recta numérica a comprender mejor el problema?

3. Describe una situación de la vida real en la que entender el valor absoluto podría ser útil.

4. ¿Qué desafíos enfrentaste al resolver ecuaciones de valor absoluto y cómo los superaste?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se relaciona el escenario de la confusión en la entrega de Ship2U en Myrtle Lane con el concepto de ecuaciones de valor absoluto, y cómo puedes usar una recta numérica para representar visualmente las posibles direcciones correctas para los paquetes?

2. En el escenario de la caja de manzanas, ¿cómo ayuda el concepto de desigualdades de valor absoluto a determinar el rango aceptable de manzanas en cada caja, y qué similitudes puedes señalar entre esto y el proceso de resolver ecuaciones de valor absoluto en el escenario de Ship2U?

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ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

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Absolute Value Equations and Inequalities Explore 1 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 1

Resolución de ecuaciones de la forma |x − b| = c Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

FECHA ______________________________

¿Qué enunciado representa correctamente la ecuación de valor absoluto |a − 5| = 15? A. B. C. D.

a son 5 unidades de 15. 5 es a unidades de 15. a es 15 unidades de 15. Ninguna de las anteriores.

¿Cuáles son las soluciones de la ecuación?

Absolute Value Equations and Inequalities Explore 1

Resolución de ecuaciones de la forma |x − b| = c Boleto de salida 1.

¿Qué enunciado representa correctamente la ecuación de valor absoluto |a − 5| = 15? A. B. C. D.

a son 5 unidades de 15. 5 es a unidades de 15. a es 15 unidades de 15. Ninguna de las anteriores.

¿Cuáles son las soluciones de la ecuación?

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ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

242

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ÁLGEBRA 1

ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

NOMBRE _____________________________________________

Absolute Value Equations and1Inequalities EXPLORAR Part 1

FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Resolver ecuaciones de la forma |x – b| = c 1.

Las calles que van paralelas de norte a sur están numeradas del 1 al 20. Tu amiga te habla de una gran tienda nueva a tres calles de la calle 10. a, pero no te dice en qué dirección. Calcula la posible ubicación, x. a.

x está ____ calles más adelante de la calle ____ .

Traza las posibles ubicaciones con el punto de anclaje en ____.

¿En qué calles podría estar la tienda?

Escribe una ecuación de valor absoluto para representar la situación.

Traza las posibles soluciones en las rectas numéricas y escribe ecuaciones de valor absoluto para los dos problemas siguientes.

x está a 10 unidades de 40.

x está a 1.5 unidades de −0.5.

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Absolute Value Equations and Inequalities Part 1 ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Escribe la(s) ecuación(es) que necesitas para resolver |x – 6| = 2, y luego resuelve.

Escribe la(s) ecuación(es) que necesitas para resolver |x – 11| = 0, y luego resuelve.

Escribe la(s) ecuación(es) que necesitas para resolver |x + 10| = 5, y luego resuelve.

Completa la tabla. Ecuación de valor absoluto

Cantidad de soluciones

|x – 4| = 20 |x – 7| = −7 |x + 9.3| = 0 |x + 32| = −60 |x| = 12 |x – 21| = 0

¿Qué es cierto sobre cada ecuación de valor absoluto que tiene una solución?

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ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 2: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que eres un repartidor de QuickPost, una empresa de envíos que enfrenta un gran problema. Algunas etiquetas de paquetes se desprendieron durante una entrega en Myrtle Lane, y ahora los conductores no están seguros de adónde deben ir los paquetes. Tu trabajo es ayudarlos a determinar las posibles direcciones para cada paquete utilizando el tamaño de los paquetes y su distancia a la casa correcta. Utilizarás una recta numérica para visualizar el problema y resolverlo mediante desigualdades de valor absoluto. En esta actividad, aprenderás a resolver desigualdades de valor absoluto. Trabajarás en grupos para usar rectas numéricas, escribir ecuaciones y describir problemas con palabras. Ayudarás a resolver situaciones, como determinar adónde deben ir los paquetes, entendiendo qué tan lejos están los números entre sí. También aprenderás a resolver estos problemas usando reglas matemáticas y a verificar tus respuestas.

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ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

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ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

Absolute Value Equations and Inequalities Explore 2 EXPLORAR 2

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

El dilema de entrega continúa Parte I

Las direcciones a lo largo de la calle Mirto van del número 1 al 20. Usa las notas en los paquetes, el tapete de trabajo y las siguientes preguntas para averiguar las posibles direcciones donde viven los destinatarios correctos. 1.

Completa el siguiente enunciado. x está a más de __ unidades __ en cualquier dirección.

Escribe las posibles direcciones del destinatario.

Escribe una desigualdad que describa el escenario.

Entregado en el número 10 de la calle Mirto. El destinatario x vive a 5 casas de distancia.

Completa el siguiente enunciado. x está a más de __ unidades __ en cualquier dirección.

Entregado en el número 15 de la calle Mirto. El destinatario x vive a 3 casas de distancia.

Escribe las posibles direcciones del destinatario.

Escribe una desigualdad que describa el escenario. 1

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ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

Absolute Value Equations and Inequalities Explore 2

Parte II

Con el uso de las descripciones escritas, rectas numéricas y ecuaciones de valor absoluto, resuelve los siguientes problemas para asegurarte de que la entrega de la pizzería sea exitosa. 1.

La pizzería ha solicitado 200 lb de masa de pizza congelada con una diferencia de más o menos de 10 lb. Quieren suficiente para cumplir con los pedidos de los comensales esperados, pero no tanto como para no poder usarlo todo antes de que se eche a perder. a.

Grafica la descripción anterior en la recta numérica.

Escribe una desigualdad de valor absoluto que represente la situación.

¿Cuál es el rango de peso del envío que debe transportar Envíos para ti?

La masa congelada debe mantenerse a cierta temperatura para evitar que se queme o se eche a perder. La siguiente ecuación describe la zona de peligro para la masa. |x + 2.0| ＞ 1.5 a.

La temperatura ideal para la masa es ____. La temperatura de la masa puede variar de eso en no más de ____.

Representa la desigualdad dada en la siguiente recta numérica al graficar la zona de peligro.

¿Cuál es el rango de la zona de peligro?

2 248

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Absolute Value Equations and Inequalities Explore 2 LIBRO DEL ESTUDIANTE

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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Reflexiona 1.

¿Cómo pondrías en palabras lo que transmite la siguiente desigualdad de valor absoluto? |x − b| ≤ c

¿Qué desigualdad compuesta podría usarse para determinar la solución de |x − b| ≤ c?

¿Cuál es el proceso para resolver una desigualdad de valor absoluto con el uso de una recta numérica? ¿Cuál es el proceso para resolver algebraicamente?

¿En qué se parece resolver una desigualdad de valor absoluto a resolver una ecuación de valor absoluto? ¿Cómo es diferente?

Explica por qué la solución de |x − 5| ＞ c son todos los números reales si c es un número negativo.

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

EXPLORAR 2: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Cómo te ayudó usar una recta numérica a comprender mejor las desigualdades de valor absoluto?

2. ¿Qué desafíos enfrentaste al crear una representación visual del problema y cómo los superaste?

3. ¿Puedes explicar con tus propias palabras por qué comprender el valor absoluto es importante en la resolución de problemas del mundo real?

4. ¿Cómo le describirías a un amigo la diferencia entre una conjunción y una disyunción en desigualdades de valor absoluto?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se conecta el escenario del problema de entrega de QuickPost en la actividad EXPLORAR con el problema de la caja de manzanas de la empresa manufacturera en la actividad HOOK? Considera el papel de las desigualdades de valor absoluto en ambas situaciones.

2. En la actividad HOOK, aprendiste sobre la tolerancia de manzanas en una caja. ¿Cómo puede el método utilizado para resolver el problema de la caja de manzanas ayudarte a determinar las posibles direcciones de entrega en el escenario de QuickPost de la actividad EXPLORAR?

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ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

252

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Explore 2

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ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 2 Resolver desigualdades de valor absoluto Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

FECHA ______________________________

Resuelve la desigualdad algebraicamente o con el uso de una recta numérica. |x − 4| > 5

Absolute Value Equations and Inequalities Explore 2

Resolver desigualdades de valor absoluto Boleto de salida Resuelve la desigualdad algebraicamente o con el uso de una recta numérica. |x − 4| > 5

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ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

254

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NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

Absolute Value Equations and Inequalities EXPLORAR 2 Part 2

MUESTRA LO QUE SABES

Resolver desigualdades de valor absoluto Grafica las soluciones para x en las rectas numéricas y escribe las desigualdades de valor absoluto correspondientes para los siguientes problemas. 1.

x es menor o igual a 6 unidades de 12 en cualquier dirección.

x es mayor o igual a 10 unidades de −5 en cualquier dirección.

x es menor o igual a 3 unidades de −4.5 en cualquier dirección.

x es mayor de 1.2 unidades de 7 en cualquier dirección.

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ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

Absolute Value Equations and Inequalities Part 2

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Escribe la desigualdad compuesta que necesitas para resolver |x – 3| < 4, y resuelve. ¿Es una conjunción o una disyunción?

Escribe la desigualdad compuesta que necesitas para resolver |x + 5| ≥ 1, y resuelve. ¿Es una conjunción o una disyunción?

¿Cuál es la solución para |x – b| ≥ 0, donde b es algún valor constante (punto de anclaje)?

Crea una desigualdad de valor absoluto en la que todas las soluciones son negativas. Demuestra cómo sabes que estás en lo correcto.

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ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 3: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que eres ingeniero en Premier Motors, diseñando un auto nuevo. Tu trabajo es asegurarte de que cada parte del auto encaje perfectamente, especialmente el motor. Usarás matemáticas para decidir cuánto espacio necesita cada pieza y cuánto puede variar sin causar problemas. Esto ayuda a que el auto funcione sin problemas y mantiene cómodos a los pasajeros. En esta actividad, aprenderás a usar el valor absoluto para resolver problemas de la vida real. Trabajarás en grupos para averiguar qué tan lejos están los números de un punto central y cómo encontrar el centro a partir de extremos dados. Usarás las matemáticas para modelar problemas de diseño, lo que te ayudará a entender cómo los ingenieros toman decisiones importantes.

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ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 5:43 PM

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ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Absolute Value Equations and Inequalities EXPLORAR 3 Explore 3

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Un buen viaje Parte I

La biela del motor transfiere potencia de los pistones al cigüeñal. Debe estar hecho de acero forjado con una longitud de 6 ± 0.001 pulgadas, como se muestra en el diagrama. 1.

¿Cuál es el número central o punto de anclaje? ¿Cuál es la tolerancia o unidades desde el centro en cualquier dirección?

Grafica el punto de anclaje y muestra la tolerancia en la siguiente recta numérica.

Sea L la longitud real de la biela. Escribe una expresión que se pueda usar para representar la diferencia entre la longitud real de la biela y la longitud ideal.

Escribe la ecuación de valor absoluto que describe los límites de diseño para la longitud de la biela.

Resuelve la ecuación del valor absoluto algebraicamente para determinar las longitudes máximas y mínimas aceptables para la biela.

Escribe una desigualdad de valor absoluto que represente todos los posibles valores aceptables para la longitud de la biela. Luego, muestra todas las posibles soluciones en la recta numérica de la pregunta 2.

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ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

Absolute ValueÁLGEBRA Equations Inequalities GRADE 3and STUDENT NOTEBOOK 1 LIBRO DEL ESTUDIANTE Explore 3

Parte II La distancia mínima entre el respaldo del asiento y el tablero debe ser de 18 pulgadas y la distancia máxima es de 30 pulgadas. La distancia promedio es de 24 pulgadas. 1.

¿Cuál es el punto de anclaje o número central?

Grafica el número central y los puntos finales en la siguiente recta numérica.

¿Cuál es la tolerancia? Para calcular la tolerancia, encuentra la distancia entre el número central y un punto final.

Muestra la tolerancia en la recta numérica provista.

Sea D la distancia real entre el respaldo del asiento y el tablero. Escribe una expresión que represente la diferencia entre la distancia real y la distancia ideal.

Escribe una ecuación de valor absoluto que describa los límites de diseño para la separación entre el respaldo del asiento y el tablero. Luego, da los valores máximo y mínimo.

Escribe una desigualdad de valor absoluto que defina el rango de distancias de separación posibles entre el respaldo del asiento y el tablero. Luego, muestra todas las posibles soluciones en la recta numérica de la pregunta 2.

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Absolute Value Equations and Inequalities Explore 3

STUDENT NOTEBOOK ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

La circulación de aire adecuada es una característica importante de comodidad en un vehículo. Los ocupantes quieren poder ajustar la dirección de las ranuras de ventilación según sus preferencias. El diagrama muestra el rango de posiciones para la ventilación. 1.

¿Cuáles son los puntos finales?

¿Cuál es el ángulo medio?

Grafica el número central y los puntos finales en la siguiente recta numérica.

¿Cuál es la tolerancia para el ángulo de las ranuras de ventilación?

Sea A el ángulo real de las ranuras de ventilación. Escribe una desigualdad de valor absoluto que represente todos los ángulos posibles en los que un ocupante del vehículo puede ajustar la ventilación.

Grafica el conjunto de solución de la desigualdad en la recta numérica de la pregunta 3.

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Absolute Value Equations and Inequalities Explore 3 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

Reflexiona 1.

Usa la siguiente recta numérica para completar los siguientes pasos: a. Etiqueta la ubicación que representaría el número promedio con la palabra promedio. b. Encierra con un círculo la parte o partes de la recta numérica que representan la tolerancia.

¿Qué representan los puntos finales de un rango?

¿Cómo puedes encontrar el punto de anclaje cuando tienes el máximo y el mínimo?

Crea un escenario que conduzca a una desigualdad de valor absoluto y luego escribe la desigualdad correspondiente.

¿Cómo se escribe una desigualdad de valor absoluto cuando se da el centro y la tolerancia?

¿Cómo se escribe una desigualdad de valor absoluto cuando se dan solo los puntos finales? 4

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EXPLORAR 3: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Cómo te ayudó usar el valor absoluto a comprender el concepto de tolerancia en problemas de diseño?

2. ¿Qué pasos seguiste para encontrar el centro y la tolerancia cuando te dieron los extremos de un intervalo?

3. ¿Puedes pensar en una situación de la vida real en la que comprender el valor absoluto y la tolerancia podría ser útil? Explica tu respuesta.

4. ¿Qué desafíos enfrentaste al resolver los problemas y cómo los superaste?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se relaciona el concepto de tolerancia en la actividad HOOK con las cajas de manzanas con la actividad EXPLORAR, donde determinas la tolerancia a partir del centro y de los puntos extremos de un valor de diseño?

2. En la actividad HOOK, utilizaste el valor absoluto para modelar la cantidad de manzanas en una caja con una tolerancia dada. ¿Cómo puede aplicarse este enfoque a la actividad EXPLORAR, donde modelas y resuelves problemas de diseño de la vida real usando ecuaciones y desigualdades de valor absoluto?

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ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

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9/13/25 5:43 PM

Absolute Value Equations and Inequalities Explore 3 ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 3

Representar y resolver con valor absoluto Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

FECHA ______________________________

Motores Premier presentará dos modelos de su nuevo diseño, el modelo Base y el modelo LX de lujo. La investigación de mercado ha demostrado que cada modelo atraerá a un rango de edad diferente. Completa la información que falta en la siguiente tabla. Modelo

Objetivo de edad

Tolerancia

Base

±4

Edades mín. y max.

Desigualdad |x − 28| ≤ 4

30 y 43

Absolute Value Equations and Inequalities Explore 3

Representar y resolver con valor absoluto Boleto de salida Motores Premier presentará dos modelos de su nuevo diseño, el modelo Base y el modelo LX de lujo. La investigación de mercado ha demostrado que cada modelo atraerá a un rango de edad diferente. Completa la información que falta en la siguiente tabla. Modelo

Objetivo de edad

Tolerancia

Base

±4

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Edades mín. y max.

Desigualdad |x − 28| ≤ 4

30 y 43

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ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

266

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 5:43 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

Absolute Value Equations and Inequalities Part 3 ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

EXPLORAR 3

FECHA ______________________________

LO QUE SABES Representar y resolverMUESTRA valor absoluto 1.

Un centro de procesamiento de alimentos llena cajas con 25 oz de cereal dentro de una tolerancia de ±0.25 oz. a.

Si x es la cantidad de cereal que hay en una caja determinada, traza el rango de posibles valores de x en la recta numérica.

¿Cuáles son las cantidades mínimas y máximas de cereal (puntos finales del diagrama) que puede haber en la caja?

Escribe una desigualdad que represente los valores posibles de x.

El rango de temperatura ideal para el almacenamiento de alimentos secos es mostrado en la línea numérica.

¿Cuál es el punto central (o punto de anclaje) de este rango?

¿Cuáles son las temperaturas máximas y mínimas (puntos finales) de este rango ideal?

¿Cuál es la tolerancia (la distancia entre el centro y un punto final)?

Escribe una desigualdad que represente los valores posibles de x. 1

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Absolute Value Equations and Inequalities Part 3

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

La cantidad de pedidos de pasteles de cumpleaños, x, recibidos en una pastelería está entre 14 y 46 por semana. a.

¿Cuáles son los puntos finales del rango de x?

¿Cuál es la cantidad promedio de pedidos por semana?

¿Cuál es la tolerancia?

Escribe una desigualdad que describa los valores posibles de x.

La elevación por debajo del nivel del suelo, x, de una cueva subterránea tiene un rango dado por la siguiente desigualdad. |x + 140| ≤ 95 pies a.

¿Cuál es la profundidad promedio (centro del rango)?

¿Cuál es la tolerancia?

Traza los valores posibles de x en la recta numérica.

¿Cuál es la profundidad mínima y máxima?

|x – 0.3| ≤ 1.2 a.

¿Cuáles son las dos ecuaciones que hay que resolver para encontrar los puntos extremos del rango de x?

¿Cuáles son los puntos finales?

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

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ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 4: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que estás en un gran concurso de matemáticas, donde solo los mejores solucionadores de problemas llegan a la ronda final. Tu trabajo es ayudar a decidir quién avanza revisando sus respuestas a algunas ecuaciones y desigualdades de valor absoluto complicadas. Trabajarás con tus compañeros de clase para resolver estos problemas, usando tus habilidades para determinar cuándo hay dos, una o ninguna solución. ¡Prepárate para sumergirte en el mundo de los valores absolutos y ver quién se convertirá en el campeón de matemáticas! En esta actividad, aprenderás a resolver ecuaciones e inecuaciones complejas con valor absoluto, como d|ax – b| + e = c. Trabajarás en grupos para aislar el término de valor absoluto, hallar x y determinar cuándo hay dos, una o ninguna solución. También comprenderás cómo las inecuaciones pueden no tener solución o tener como solución todos los números reales.

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9/13/25 5:44 PM

ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR Absolute Value Equations and4Inequalities Explore 4

FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Y el ganador es... Parte I

Para esta ronda semifinal, los concursantes reciben un conjunto de problemas que involucran ecuaciones de valor absoluto. Deberás verificar sus respuestas finales y cómo llegaron a sus respuestas. Desarrolla una clave de respuestas al resolver las soluciones a continuación. Ecuación del primer concurso

2|3x − 6| + 4 = 22

Muestra los pasos para aislar la expresión de valor absoluto.

Resuelve para x.

¿En qué se parecerían y en qué se diferenciarían los primeros pasos si esto hubiera sido una desigualdad?

Determina qué ecuación de valor absoluto no tiene solución.

|x + 3| − 10 = 20

11 + 2|4x + 1| = 21

20 + |5x + 2| = 3

4|x − 2| + 1 = 5

Dada la ecuación de valor absoluto 8|x − 3| − 4 = −4, determina cuántas soluciones tiene. ¿Cómo lo sabes?

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Absolute Value Equations and Inequalities Explore 4 ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Parte II

Verifica las respuestas de los concursantes para determinar el ganador del concurso de este año. 1.

Determina si las respuestas de la pregunta 1 son correctas. Pregunta 1 ¿Cómo sabes que una ecuación de valor absoluto no tiene solución?

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SS CA Math SN Algebra 1 V1 SPA.indb 272

9/13/25 5:44 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Absolute Value Equations and Inequalities Explore 4 STUDENT NOTEBOOK ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

Determina si las respuestas de la pregunta 2 son correctas. Pregunta 2 Describe cómo comienzas a resolver la siguiente ecuación. 5 + 4|2x − 1| = 3

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273

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Absolute Value Equations and Inequalities Explore 4 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

3. 4.

Determina si las respuestas de la pregunta 3 son correctas. Revisa paso a paso el trabajo de los concursantes. Encierra con un círculo todos los errores. Pregunta 3 Resuelve

6 + |7x + 3| 4

≤ 12.

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Absolute Value Equations and Inequalities

STUDENT NOTEBOOK ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES Explore 4

Cuenta la cantidad total de respuestas correctas para las preguntas 1-3. ¿Qué concursante es el ganador?

Se le pide al concursante ganador que determine la cantidad de soluciones de la ecuación. 9|4x + 9| ≥ 0 Si el concursante responde correctamente, ganará un bono de $20 además del premio ganador de $50. El concursante ganador dice que hay una cantidad infinita de soluciones. ¿Ganarán el premio de bonificación?

Reflexiona 1.

Dada una ecuación de valor absoluto o desigualdad de forma general, d|ax − b| + e = c, ¿cuál es el primer paso para resolverla?

¿Cuál es el segundo paso para determinar las soluciones de la ecuación?

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ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

276

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

EXPLORAR 4: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué pasos seguiste para resolver las ecuaciones e inecuaciones de valor absoluto y cómo supiste que eran correctas?

2. ¿Cómo puedes determinar si una ecuación con valor absoluto tiene una, dos o ninguna solución?

3. Al resolver inecuaciones de valor absoluto, ¿cómo determinas qué tramos de la recta numérica sombrear?

4. ¿Cómo te ayudó trabajar en grupos a comprender mejor la resolución de problemas de valor absoluto?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo ayuda el concepto de valor absoluto a entender el rango de manzanas aceptables en una caja, y cómo puede conectarse esto con la resolución de ecuaciones y desigualdades de valor absoluto en la actividad EXPLORAR?

2. En la actividad Hook, discutimos el nivel de tolerancia para la cantidad de manzanas en una caja. ¿Cómo puedes usar las habilidades de la actividad EXPLORAR para modelar esta situación con una desigualdad de valor absoluto y qué te dice esto sobre las posibles soluciones?

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ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

278

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Resolver ecuaciones y desigualdades de la forma EXPLORAR 4 d|ax − b| + e = c Boleto de salida BOLETO DE SALIDA ÁLGEBRA 1

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ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Resuelve la desigualdad y luego grafica en la recta numérica. 7|3x − 1| + 10 ≥ 24

Absolute Value Equations and Inequalities Explore 4

Resolver ecuaciones y desigualdades de la forma d|ax − b| + e = c Boleto de salida Resuelve la desigualdad y luego grafica en la recta numérica. 7|3x – 1| + 10 ≥ 24

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ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

280

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ÁLGEBRA 1

ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

Absolute Value Equations and Inequalities EXPLORAR 4 Part 4

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Resolver ecuaciones y desigualdades de la forma d|ax – b| + e = c 1.

Para una fiesta de Halloween, los organizadores del evento quieren comprar 600 caramelos para repartir, más o menos 60 piezas. Deciden comprar 20 bolsas de caramelos. Cada bolsa tiene exactamente x unidades. a.

Escribe una desigualdad en términos de x para representar el escenario.

Escribe las dos ecuaciones que deben ser resueltas y resuélvelas. Seguido, escribe la solución de x como una desigualdad compuesta.

Interpreta esta solución en el contexto de la pregunta.

Coloca la letra correspondiente a cada ecuación en la columna que da correctamente el número de soluciones de esa ecuación. a.

2|x + 5| = 13

8 + |5 + 3y| = 5

20 – |2z – 3| = 20

17|t – 1| + 3 = 54

2 soluciones

1 solución

Sin soluciones

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ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

Absolute Value Equations and Inequalities Part 4

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Resuelve cada ecuación o desigualdad de valor absoluto para la variable desconocida. 3.

−3|x + 2| + 5 > 2

|10t – 0.5| = 2

4|5y + 2| + 34 ≤ 10

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ÁLGEBRA 1

ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

HOOK POST-EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Responda las preguntas. 1. Dado que una caja de manzanas debe contener 140 manzanas con una tolerancia del 5%, escribe una desigualdad con valor absoluto que represente la cantidad aceptable de manzanas en cada caja. ¿Cuál es el rango de manzanas aceptable?

2. Un camión de reparto debe mantener una temperatura de -27 °C con una tolerancia de 3 °C. Escribe una desigualdad con valor absoluto que represente el rango de temperaturas aceptable. ¿Cuáles son las temperaturas máxima y mínima permitidas?

3. Un componente del motor de un automóvil debe fabricarse con una longitud de 50 cm con una tolerancia de 2 cm. Escribe una ecuación con valor absoluto que represente este escenario. ¿Cuáles son las posibles longitudes del componente?

4. Una pizzería pide masa con un peso ideal de 200 libras, permitiendo una variación de hasta 10 libras. Escribe una desigualdad compuesta que represente el rango de peso aceptable. ¿Cuál es el rango de pesos aceptables?

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283

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ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

284

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

NOMBRE _____________________________________________

ESQUEMA DE ANCLAJE

FECHA ______________________________

ESQUEMA DE ANCLAJE

Ecuaciones de valor absoluto y desigualdades

|x – b| = c ¡Nos dice que x está a c unidades de b en cualquier dirección!

x está a 8 unidades de 15 en cualquier dirección.

Ecuación de valor absoluto

Desigualdad de valor absoluto

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ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

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Palabras

Parte superior

Resuelve gráficamente

|2x – 5| > 7 Resuelve algebraicamente

Instrucciones ● Recorta la parte superior y la parte inferior del folioscopio. Asegúrate de cortar las lengüetas por las líneas punteadas. Dobla las lengüetas hacia atrás por las líneas sólidas. ● Primero pega la parte inferior del folioscopio en tu cuaderno. ● Coloca pegamento de acuerdo a las instrucciones y añade la parte superior del folioscopio. ● Levanta las lengüetas y llena los espacios en blanco para completar el folioscopio.

Absolute Value Equations and Inequalities LIBRO DEL ESTUDIANTE ÁLGEBRA 1 ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

NOMBRE _____________________________________________

FECHA ______________________________

CUADERNO INTERACTIVO

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ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

288

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cualquier dirección. Solución: ____________________

Resuelve la desigualdad gráficamente.

Resuelve la desigualdad algebraicamente.

Solución: ____________________

Coloca el pegamento aquí.

ÁLGEBRA 1

desde _____ en

_____ unidades

2x es mayor que

Parte inferior

Absolute Value Equations and Inequalities

LIBRO DEL ESTUDIANTE GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

289

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ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

290

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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291

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ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

292

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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293

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ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

294

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ÁLGEBRA 1

ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

Absolute Value Equations and Inequalities

NOMBRE _____________________________________________

REVISIÓN EN ESPIRAL

FECHA ______________________________

REVISIÓN EN ESPIRAL

Club de niñeras Tres amigos, Aarush, Dalia y Yume, iniciaron un club de niñeras de verano en su vecindario. Pronto anunciarán a sus vecinos mediante la publicación de anuncios cerca de los buzones de correo de la comunidad. Antes de publicar este anuncio para los residentes de sus vecindarios, los amigos deben analizar algunos detalles para asegurarse de que tengan éxito.

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ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

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Absolute Value Equations and Inequalities ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Durante el fin de semana, a Aarush se le pagó $14 por hora y recibió una propina de $10,00, mientras que a Yume se le pagó $15 por hora, pero gastó $6 en suministros. Al final del fin de semana, ambas niñeras tenían la misma cantidad de dinero. Resuelve la siguiente ecuación para determinar el número de horas, h, que trabajó cada niñera.

STUDENT NOTEBOOK ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

Un grupo de padres del vecindario quiere que el club de niñeras cuide a todos sus hijos juntos para una noche de padres. Escribe y resuelve una desigualdad para representar cuánto tendrá que cobrar el club por hora, x, para ganar al menos $112.50 si los miembros del club cuidan niños durante 5 horas y esperan $25 en propinas.

El mes pasado, Yume ganó un total de $317.50 como niñera. Si cobraba $8.50 por hora y ganaba $20 adicionales en propinas, ¿cuántas horas cuidó niños?

14h + 10 = 15h – 6

El club solicitó la ayuda de otra amiga, Clara, para un ajetreado fin de semana de cuidado de niños. Cada una de las niñeras trabajó el siguiente número de horas durante el fin de semana: 1

Aarush, 8 2 horas

Yume, 8 8 horas

Dalia, 8.15 horas

Clara, 5 horas

Marca cada una de las horas de las cuatro niñeras en la siguiente recta numérica.

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ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

CIENCIA DE DATOS

FECHA ______________________________

Expansión de tiendas de descuento

Absolute Value Equations and Inequalities

CIENCIA DE DATOS

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ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

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9/13/25 5:44 PM

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Skills Quiz

ÁLGEBRA 1

ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

PRUEBA DE HABILIDADES

Name: ___________________________ Date: ________________

PRUEBA DE HABILIDADES Ecuaciones de valor absoluto y desigualdades Para responder las preguntas 1 y 2, resuelve los siguientes problemas de valor absoluto para 𝑥𝑥. Asegúrate de revisar todas las soluciones. 1. |𝑥𝑥 – 5| = 5

2. 4|𝑥𝑥 + 2| + 1 = 11

Para responder las preguntas 3 y 4, resuelve las desigualdades y luego grafícalas en la recta numérica. 3. |𝑥𝑥 – 3| < 8

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Skills Quiz

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

|9 – 𝑦𝑦| 2

–1 ≥ 3

5. Kyra resolvió la siguiente desigualdad. ¿En qué pasó ocurrió su primer error? Paso 1: − 3|2𝑥𝑥 – 1| – 3 < Paso 2: − 3|2𝑥𝑥 – 1| < Paso 3: |2𝑥𝑥 – 1| < 7

− 24

− 21

Paso 4: − 3 < 𝑥𝑥 or 𝑥𝑥 < 4

6. ¿Qué enunciado representa correctamente la ecuación de valor absoluto |𝑎𝑎 – 4| = 12? A. 𝑎𝑎 está como máximo a 4 unidades de 12.

B. 𝑎𝑎 está al menos a 12 unidades de 4.

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C. 𝑎𝑎 está a 4 unidades de 12.

D. 𝑎𝑎 está a 12 unidades de 4.

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GRADE 3 STUDENT NOTEBOOK ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES MULTIPLICATION MODELS Skills Quiz

ÁLGEBRA 1

7. El peso ideal para un neumático de un coche de carreras es 24 libras. El neumático de un coche de carreras real puede variar, como máximo, 4.05 libras. ¿Qué desigualdad representa esta situación? A. B.

|𝑥𝑥 – 24| ≤ 4. 05

|𝑥𝑥 – 24| ≥ 4. 05

C. |𝑥𝑥 – 4. 05| ≤ 24

D. |𝑥𝑥 – 4. 05| ≥ 24

Para responder las preguntas 8-10, resuelve para 𝑥𝑥. Si no hay solución, escribe «no hay solución». 8. |𝑞𝑞𝑞𝑞 – 5| = 𝑟𝑟

9. |𝑥𝑥 – 3| =

10.

− 4

|𝑥𝑥 – 2| = 8

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ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

304

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 5:44 PM

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

VOCABULARIO

VALOR ABSOLUTO

ECUACIÓN DE VALOR ABSOLUTO

DESIGUALDAD DE VALOR ABSOLUTO

COMBINAR TÉRMINOS SEMEJANTES

COEFICIENTE

TÉRMINO

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

VOCABULARIO Ecuación de valor absoluto

Valor absoluto

Ecuación en la que x está a c unidades de b en cualquier dirección

Distancia entre un número y cero en una recta numérica; también llamado la magnitud de un número; nunca negativo 3

Combinar términos semejantes

Desigualdad de valor absoluto

Sumar términos que tienen la(s) misma(s) variable(s), incluido su exponente

Desigualdad en la que la distancia de x a b es menor/mayor que c 5

Término

Coeficiente

Número, variable, producto o cociente de números y variables en una expresión algebraica

Número que se coloca directamente antes de una variable que le indica que multiplique ese número por la variable 7

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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VOCABULARIO

SOLUCIÓN

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ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

VOCABULARIO Solución

Cualquier número que hace verdadera una ecuación 8

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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STUDENT NOTEBOOK ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES

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SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

MODELO CON FUNCIONES INVESTIGACIONES DE FUNCIONES

En esta lección, aprenderás a comprender y crear funciones que muestren cómo se relacionan dos cantidades. También explorarás distintos tipos de cambios y cómo modelarlos usando sucesiones y funciones. En esto te enfocarás:

SISTEMAS DE ECUACIONES

CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES

◦ Comprender los cambios:

CRECIMIENTO Y DECADENCIA

◦ Aprende a distinguir entre cambios aditivos (sumar la misma cantidad cada vez) y cambios multiplicativos (multiplicar por el mismo factor cada vez). ◦ Usa números, álgebra o ejemplos de la vida real para identificar estos cambios.

◦ Crear funciones: ◦ Escribe reglas o funciones que describan cómo se relacionan dos cantidades. ◦ Determina estas reglas usando expresiones explícitas, procesos recursivos o pasos de cálculo a partir de situaciones dadas.

◦ Trabajar con sucesiones: ◦ Traduce entre fórmulas recursivas (donde cada término se basa en el anterior) y fórmulas explícitas (donde cada término se basa en su posición). ◦ Usa sucesiones aritméticas (sumar la misma cantidad cada vez) y sucesiones geométricas (multiplicar por el mismo factor cada vez) para modelar situaciones del mundo real. ◦ Responde preguntas y haz predicciones sobre estas situaciones usando las sucesiones.

Al final de esta lección, podrás crear e interpretar funciones y sucesiones para resolver problemas del mundo real y comprender cómo diferentes tipos de cambios afectan las relaciones entre cantidades.

APLICACIÓN DE PRÁCTICAS MATEMÁTICAS • MP.1 Dar sentido a los problemas y seguir intentando resolverlos: Aprenderás a analizar datos para crear fórmulas que te ayuden a encontrar valores específicos. Luego, usarás esos valores para entender mejor los datos y asegurarte de que tengan sentido. • MP.2 Pensar de forma abstracta y con números: Aprenderás a tomar escenarios o tablas y escribir fórmulas que los representen. Después de usar estas fórmulas, responderás preguntas sobre lo que ocurrirá en el futuro según la secuencia. • MP.3 Construir argumentos sólidos y evaluar el razonamiento de otros: Determinarás si una secuencia es aritmética o geométrica y explicarás por qué utilizando valores matemáticos y cómo cambia la secuencia. • MP.4 Usar las matemáticas para modelar situaciones del mundo real: Utilizarás fórmulas de interés para comprender situaciones reales y calcular cuánto crecerá el dinero en cuentas. Luego, decidirás qué cuenta te da un mayor rendimiento.

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• MP.5 Usar las herramientas adecuadas con criterio: Usarás calculadoras cuando sea necesario para explorar y calcular interés simple y compuesto. • MP.6 Ser preciso: Tendrás cuidado al encontrar valores en cuentas usando interés. Convertirás porcentajes a decimales con precisión y redondearás el dinero al centavo más cercano. • MP.7 Buscar y usar patrones: Encontrarás patrones en los datos para determinar el tipo de secuencia. También usarás estos patrones para escribir secuencias aritméticas o geométricas. • MP.8 Observar y expresar regularidad en el razonamiento repetido: Verás cómo se usan las secuencias en el interés simple y compuesto. Aplicarás las fórmulas que aprendiste para secuencias aritméticas y geométricas para comprender mejor el interés.

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ÁLGEBRA 1

SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

CAPTAR INTERÉS: ANTES DE EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Imagina que formas parte de un equipo en un centro comunitario local y estás ayudando a colocar un nuevo patrón de baldosas en el suelo. Cada día se añaden más baldosas y el patrón sigue creciendo. Tu tarea es averiguar cómo aumenta el número de baldosas con el tiempo. Esta actividad te ayudará a entender cómo las sucesiones matemáticas pueden describir situaciones del mundo real como esta.

En esta actividad, aprenderás cómo funcionan las sucesiones viendo un video sobre un centro comunitario colocando baldosas. Explorarás sucesiones aritméticas y geométricas para ver cómo crecen los patrones. Resolverás problemas, discutirás cómo se colocan las baldosas y comprenderás cómo las matemáticas ayudan en situaciones del mundo real, como la colocación de baldosas en el suelo.

Responda las preguntas. 1. Si el centro comunitario empieza con 5 baldosas el primer día y añade 5 baldosas más cada día, ¿cuántas baldosas habrá después de 3 días?

2. ¿Qué podría pasar con el número de baldosas si el centro duplica la cantidad añadida cada día en lugar de añadir un número fijo?

3. ¿Cómo puedes saber si las baldosas se están añadiendo en una progresión aritmética o en una progresión geométrica?

4. ¿Por qué crees que comprender las secuencias es importante para planificar la disposición de los azulejos en el centro comunitario?

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SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 1: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que estás en un torneo de apilamiento de vasos de una escuela secundaria, y tu equipo está a cargo de montar y juzgar la competencia. Cada ronda tiene reglas específicas de apilamiento, y no todas las configuraciones cumplen los criterios. Tu tarea es analizar estas configuraciones para ver cuáles califican para cada ronda. ¿Puedes ayudar al juez principal a tomar la decisión correcta? En esta actividad, aprenderás a identificar sucesiones aritméticas y geométricas analizando configuraciones de apilamiento de vasos. Escribirás ecuaciones para encontrar términos en estas sucesiones y comprender cómo cambian al sumar, restar, multiplicar o dividir. También practicarás resolver problemas de la vida real usando matemáticas y reconocer patrones en las sucesiones.

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SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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Arithmetic and Geometric Sequences Explore 1 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 1

FECHA ______________________________

¿Quién se apila? DIARIO DEL ESTUDIANTE Parte I

Busca patrones en las tarjetas del documento «Tarjetas de apilamiento de vasos». Usa esos patrones para ayudarte a responder las preguntas para determinar qué configuraciones están permitidas para cada ronda de la competencia. 1.

En la ronda 1 del torneo de apilamiento de vasos se deben usar configuraciones que aumenten o disminuyan en la misma cantidad de vasos cada vez. ¿Qué configuraciones se pueden usar en la ronda 1?

¿En cuánto difieren cada una de estas configuraciones de apilamiento?

En la ronda 2 del torneo de apilamiento de vasos se deben usar configuraciones que se multipliquen o dividan por la misma cantidad cada vez. ¿Qué configuraciones se pueden usar en la ronda 2?

¿Cuáles son las cantidades que se multiplican o dividen en cada una de estas configuraciones de apilamientos de vasos?

Dibuja una configuración de apilamiento de vasos que cumpla con los criterios para la ronda 1.

Identifica la cantidad constante de tazas que se agregan o restan de cada pila.

¿Cuántos vasos habría en la 4.a pila?

¿Puedes predecir fácilmente la cantidad de vasos necesarios en la pila 100.a? Explica. 1

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Arithmetic and Geometric Sequences GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE Explore 1

SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

Parte II 1.

Busca patrones en las tablas del documento «Tablas de apilamiento de vasos» para ayudarte a completar las primeras cuatro columnas de la tabla, responde las preguntas y determina la cantidad de vasos que faltan para los siguientes términos. No intentes llenar el espacio en blanco en la última columna hasta que hayas respondido la pregunta 4.

Competidor 1 Cantidad de vasos en el primer término

Patrón / diferencia común

Quinto término

Trabajo del quinto término 6 + 3(___)

Trabajo del 100.o trabajo 6 + 3(___)

¿Cuál es la regla o patrón en la tabla del competidor 1 que lo llevó al quinto término?

A partir del primer término, ¿cuántas veces necesitarías sumar 3 para llegar al 2.o? ¿Cuántas veces necesitarías sumar 3 para llegar al 5. o término?

¿Cuántas veces crees que tendríamos que sumar 3 al valor inicial de 6 para llegar al término 100.o? ¿Por qué? Usa tu respuesta para llenar el espacio en blanco en la última columna de la tabla.

¿Cómo podrías representar la cantidad de veces que necesitarías sumar 3 al valor inicial de 6 para obtener el término n?

Escribe una ecuación o regla que se pueda usar para encontrar el término n y luego usa tu ecuación para encontrar el 12.o término. 2

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Arithmetic and Geometric Sequences

STUDENT NOTEBOOK SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS Explore 1

Competidor 2 Cantidad de vasos en el primer término

Patrón / diferencia común

Quinto término

Trabajo del quinto término 3 · (_______)

Trabajo del 100.o término 3·2

¿Cuál es la regla o patrón en la tabla del competidor 2 que lo llevó al quinto término?

Comienza en el primer término, ¿cuántas veces necesitarías multiplicar por 2 para llegar al 2.o término? ¿Cuántas veces necesitarías multiplicar por 2 para llegar al 5.o término?

10. ¿Cuál es otra forma de escribir la multiplicación que expresaste para el quinto término en la pregunta 9? 11. ¿Cuántas veces crees que tendríamos que duplicar el valor inicial de 3 para llegar al 100.o término? ¿Por qué? Usa tu respuesta para llenar el espacio en blanco en la última columna de la tabla.

12. ¿Cómo podrías representar la cantidad de veces que necesitarías duplicar el valor inicial de 3 para obtener el término n? 13. Escribe una ecuación o regla que determine la cantidad de vasos para el competidor 2 y usa tu ecuación para encontrar el 12. o término.

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Arithmetic and Geometric Sequences Explore 1 SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Reflexiona 1.

Si la competencia consiste en hacer 12 pilas, ¿la ecuación de qué competidor parece más realista?

¿Por qué las reglas que generó para el término n de cada competidor contenían (n − 1)?

¿Cuáles son dos formas de saber si una secuencia es aritmética?

¿Cuáles son dos formas de saber si una secuencia es geométrica?

Compara y contrasta secuencias aritméticas y geométricas.

¿Es 3, 3, 3, 3 una secuencia geométrica? ¿Por qué sí o por qué no? 4

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

EXPLORAR 1: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Cuáles son las principales diferencias entre las sucesiones aritméticas y geométricas, y cómo se pueden distinguir al observar una sucesión de números?

2. ¿Cómo ayudó crear ecuaciones explícitas a encontrar el término n-ésimo en las sucesiones, y por qué es útil?

3. ¿Qué desafíos enfrentaste al intentar identificar el tipo de secuencia y cómo los superaste?

4. ¿Cómo puede ser útil comprender las sucesiones y sus ecuaciones en situaciones de la vida real u otros problemas de matemáticas?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo pueden las sucesiones aritméticas y geométricas observadas en la actividad de apilar vasos ayudarte a comprender el proceso de colocación de baldosas en el proyecto del centro comunitario? Considera cómo crecen las sucesiones y qué representa cada término en ambos escenarios.

2. En los escenarios tanto de apilamiento de vasos como de colocación de baldosas, ¿cómo ayuda identificar si una sucesión es aritmética o geométrica a predecir términos futuros? Explica cómo puedes usar ecuaciones explícitas para determinar la cantidad de vasos o baldosas necesarios después de cierto número de rondas o días.

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SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

Identificar y construir secuencias aritméticas y EXPLORAR 1 geométricas Boleto de salida BOLETO DE SALIDA SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

¿Qué ecuación representa una secuencia aritmética que tiene una diferencia común de 3 y un primer término de 9? A.

An = 1 + 3(n − 1)

An = 9 + 3(n − 1)

An = 1 + 9(n − 1)

An = 3 + 9(n − 1)

Arithmetic and Geometric Sequences Explore 1

Identificar y construir secuencias aritméticas y geométricas Boleto de salida ¿Qué ecuación representa una secuencia aritmética que tiene una diferencia común de 3 y un primer término de 9? A.

An = 1 + 3(n − 1)

An = 9 + 3(n − 1)

An = 1 + 9(n − 1)

An = 3 + 9(n − 1)

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SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

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ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

Arithmetic and Geometric Sequences EXPLORAR 1 Part 1

MUESTRA LO QUE SABES

Identificar y construir secuencias aritméticas y geométricas Determina si cada una de las situaciones de abajo representa una secuencia aritmética o geométrica. Justifica tu razonamiento. 1.

Realizas un proyecto de finanzas para tu clase de economía. Empiezas el mes con $50. Cada semana ganas un cuarto del total en tu cuenta.

El proyecto de finanzas de tu compañero de economía comenzó con $50. Cada semana su cuenta crece $15.

Una bicicleta estática de ejercicios cuesta $599. El programa de suscripción cuesta $49.99 por mes.

Ishaan quiere pasar del equipo junior al equipo universitario de natación. Él ha nadado 30 minutos al día. Decide que cada día de las próximas dos semanas aumentará su tiempo de práctica en 5 minutos.

Observas la velocidad de combustión de varios tipos de madera de roble. 1 Empiezas con un tronco entero de madera. Pierde de su tamaño cada 10 4 minutos.

¿Qué ecuación representa una secuencia aritmética que tiene una diferencia común de 19 y un primer término de −4?

An = 1 + 19(n – 1)

An = 19 + −4(n – 1)

An = 1 + −4(n – 1)

An = −4 + 19(n – 1)

Determina el 11.o término de la ecuación que has encontrado en la pregunta 6. 1

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Arithmetic and Geometric Sequences Part 1 SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Identifica si cada una de las siguientes secuencias es aritmética, geométrica o ninguna de ellas; justifica tu respuesta. Si la secuencia es aritmética o geométrica, encuentra el 10.o término. a.

13, 3, −7, −17, …

6, −18, 54, −162, …

1, 5, 10, 16, 23, …

Crea un nuevo escenario para una secuencia aritmética. Luego, encuentra la ecuación y el 10.o término. Escenario aritmético: Ecuación y 10.o término:

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 2: ANTES DE EXPLORAR

Este verano, estás en una misión para cultivar un jardín lleno de frutas y verduras. Tu abuela necesita tomates y judías verdes para su famosa cazuela en solo 7 días. ¿Podrás cultivar lo suficiente a tiempo? Usando matemáticas, analizarás los patrones de crecimiento para ver si tu jardín cumplirá sus necesidades. En esta actividad, aprenderás a crear y convertir fórmulas recursivas y explícitas para sucesiones aritméticas y geométricas. Trabajarás en grupos para analizar gráficas del crecimiento de vegetales y tablas de datos, lo que te ayudará a comprender patrones y relaciones matemáticas. Al final, sabrás cómo predecir valores futuros utilizando estas fórmulas.

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SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 2

FECHA ______________________________

Arithmetic and Geometric Sequences Explore 2

DIARIO DEL ESTUDIANTE

¡Cultivar excelentes vegetales! Parte I

Analiza las gráficas del documento «Gráficas de vegetales» y responde las preguntas para determinar si cultivarás suficientes tomates y habichuelas verdes para tu abuela. 1.

¿Qué diferencia común o razón constante notas en cada una de las gráficas?

¿Qué operaciones matemáticas puedes usar para representar el cultivo del tomate y el cultivo de las habichuelas verdes?

Determina la cantidad de tomates y habichuelas verdes para los días 5 y 6, y luego registra los datos en la tabla. Día

Cantidad de tomates Cantidad de habichuelas verdes

¿Cómo determinaste la cantidad de tomates que estarán disponibles para la cosecha el día 6?

¿Cómo determinaste la cantidad de habichuelas verdes que estarán disponibles para cosechar el día 6?

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1 327

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Arithmetic and Geometric Sequences Explore 2 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

Completa la siguiente tabla para ayudarte a responder las siguientes preguntas. Tomates Día

Valor anterior

Operación matemática

Espacio de trabajo

Salida

7 7.

¿Cómo determinaste cuántos tomates habrán cultivados para el día 7?

Escribe una ecuación para encontrar la cantidad de tomates, An, con el uso de la cantidad de tomates cultivados el día anterior, An – 1.

Completa la siguiente tabla para ayudarte a responder las siguientes preguntas. Habichuelas verdes Día

Valor anterior

Operación matemática

Espacio de trabajo

Salida

6 7 10. ¿Cómo determinaste cuántas habichuelas verdes habrán cultivadas para el día 7? 11. Escribe una ecuación para encontrar la cantidad de habichuelas verdes, An, con el uso de la cantidad de habichuelas verdes cultivadas el día anterior, An – 1. 12. Si tu abuela necesita 40 tomates y 300 habichuelas verdes el día 7, ¿tendrás suficientes tomates y habichuelas verdes? 2

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Arithmetic and Geometric Sequences

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Explore 2 STUDENT NOTEBOOK SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

Parte II 1.

Usa la siguiente ecuación recurrente para completar la tabla y determina si tendrás suficientes fresas a tiempo para tu tía. Fresas Ecuación recurrente: An = An – 1 + 7 Término (n)

Salida

Día 1

15 fresas

Día 2 Día 3 Día 4

¿Sería eficiente calcular la cantidad de fresas el día 10 con el uso de la ecuación recurrente? ¿Por qué sí o por qué no?

Completa la siguiente tabla para calcular de manera eficiente la cantidad de fresas en el día 10. Aritmética o geométrica Valor de (encierra con dor un círculo una)

Primer término

Ecuación explícita

Día 10

Aritmética Geométrica

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

Arithmetic and Geometric Sequences Explore 2

Usa la siguiente ecuación recurrente para completar la tabla y determina si tendrás suficientes fresas y arándanos azules a tiempo para tu tía. Arándanos azules Ecuación recurrente: An = 2 · An – 1 Término (n)

Salida

Día 1

3 arándanos azules

Día 2 Día 3 Día 4 5.

¿Cuáles son las ventajas y desventajas de usar esta ecuación en comparación con la fórmula explícita?

Completa la siguiente tabla para calcular de manera eficiente la cantidad de arándanos azules en el día 10. Aritmética o geométrica (encierra con un círculo una)

Valor de dor

Primer término

Ecuación explícita

Día 10

Aritmética Geométrica 7.

Tu tía necesita 75 fresas y 1,000 arándanos azules para hacer su mermelada especial. ¿Tendrás suficiente de cada fruta el día 10? ¿Cómo lo sabes? 4

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9/13/25 5:44 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Arithmetic and Geometric Sequences Explore 2

STUDENT NOTEBOOK SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

Reflexiona 1.

¿Cuáles son las formas en que puedes saber si una secuencia es aritmética o geométrica a partir de una lista y una gráfica?

Una vez que determinas la ecuación recurrente para una secuencia, ¿debes saber siempre el valor del término anterior (An − 1) antes de encontrar el término siguiente? ¿Por qué sí o por qué no?

¿Cuáles son los dos tipos de ecuaciones que se usan con las secuencias y en qué se diferencian?

Si te dieran una ecuación, ¿cómo podrías saber si es recurrente?

Si te dieran una ecuación, ¿cómo podrías saber si es explícita?

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SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

EXPLORAR 2: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué fue lo más desafiante de convertir una fórmula recursiva en una fórmula explícita y cómo lo superaste?

2. ¿Cómo te ayudó trabajar en grupo a comprender mejor los patrones en las secuencias?

3. ¿Puedes pensar en una situación de la vida real en la que podrías usar sucesiones aritméticas o geométricas? Descríbela.

4. ¿Qué estrategias utilizaste para determinar si la sucesión era aritmética o geométrica? ¿Cómo te ayudaron estas estrategias?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se relaciona el crecimiento del patrón de azulejos en el centro comunitario con la manera en que determinas si tendrás suficientes tomates y judías verdes para la cazuela de tu abuela? Considera los tipos de secuencias y cómo ayudan a predecir cantidades futuras.

2. Después de explorar el patrón de baldosas y las gráficas de verduras, ¿cómo puede identificar si una secuencia es aritmética o geométrica ayudarte a crear una regla para predecir la cantidad de fresas y arándanos para la mermelada de tu tía? Analiza la importancia de reconocer patrones y usarlos para formular ecuaciones.

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SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

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9/13/25 5:44 PM

Arithmetic and Geometric Sequences Explore 2 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

EXPLORAR 2

Crear ecuaciones recurrentes y explícitas Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

FECHA ______________________________

Usa la siguiente secuencia para construir una ecuación recurrente y luego conviértela en una ecuación explícita. 5, 9, 13, 17… Recurrente: Explícita:

Arithmetic and Geometric Sequences Explore 2

Crear ecuaciones recurrentes y explícitas Boleto de salida Usa la siguiente secuencia para construir una ecuación recurrente y luego conviértela en una ecuación explícita. 5, 9, 13, 17… Recurrente: Explícita:

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SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

336

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

Arithmetic and Geometric Sequences Part 2 EXPLORAR 2

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Crear ecuaciones recurrentes y explícitas Fynn recorta papel para un proyecto de arte. El rollo de papel tiene 30 pies de largo y él corta secciones de 4 ft. 1.

Determina si la situación debe representarse con una secuencia aritmética o geométrica. Justifica tu elección.

Completa la tabla de los 4 primeros cortes que realiza Fynn.

Utiliza la tabla para construir una ecuación recurrente, y luego conviértela en una ecuación explícita. a.

Ecuación recurrente:

Ecuación explícita:

Fynn necesita asegurarse de que guarda 6 pulgadas para un proyecto separado en el que trabaja. ¿Cuántas piezas de 4 in puede cortar Fynn y aún tener las 6 pulgadas restantes?

Imagínate que el proyecto artístico de Fynn requiere que corte piezas de 3.5 in. Al final le quedan 2 pulgadas. ¿Cuántas piezas de 3.5 in tiene él?

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Arithmetic and Geometric Sequences Part 2

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

Imagínate que el proyecto de arte de Fynn requiere que corte la mitad de lo que queda después de cada corte. Construye una ecuación recurrente, y luego conviértela en una ecuación explícita. a.

Ecuación recurrente:

Ecuación explícita:

Toma en cuenta la pregunta 6 para completar la tabla de los 4 primeros cortes que hace Fynn. n

El maestro de arte de Fynn le dejó dos planos distintos. Completa la tabla para ayudarlo a establecer la información que necesita para hacer los primeros cortes. An = 47 – 5(n – 1)

Fórmula explícita Fórmula recurrente

A1 = 50

Tipo de secuencia n=1 n=2 n=3 9.

¿Cuál de los dos planos dados por el maestro de Fynn producirá una cantidad menor de papel sobrante? Justifica tu respuesta. 2

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 3: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que acabas de recibir $500 como regalo de graduación. Te entusiasma la idea de comprar un coche algún día, pero sabes que ahorrar es una decisión inteligente. Has encontrado dos cuentas de ahorro en distintos bancos, cada una con una forma distinta de hacer crecer tu dinero con el tiempo. Tu tarea es determinar cuál cuenta hará crecer más tu dinero en cinco años. Usando tus habilidades matemáticas, explorarás cómo los porcentajes y las sucesiones pueden ayudarte a tomar la mejor decisión. En esta actividad, aprenderás a usar porcentajes y fórmulas para calcular cuánto dinero puedes ganar con diferentes cuentas de ahorro. Trabajarás en grupos para comparar el interés simple y compuesto, crear fórmulas para sucesiones y ver qué cuenta hace crecer tu dinero más rápido.

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SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 5:44 PM

ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 3 Arithmetic and Geometric Sequences Explore 3

FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Cuentas de ahorro para carros nuevos Interés simple Interés compuesto

Suma el mismo porcentaje de tu inversión inicial a tu cantidad total de dinero cada año. Aumenta tu cantidad total de dinero en el mismo porcentaje cada año.

A continuación, hay dos tablas para alguien que invirtió $100 en cada banco. El Banco de los Estados ofrece un interés simple del 9 % y Somos la Banca ofrece un interés compuesto del 8 %. Usa las siguientes preguntas para ayudarte a analizar los dos tipos de cuentas. Banco de los Estados

Somos la Banca

$100

$109

$108

$118

$116.64

$127

$125.97

¿Qué notas sobre las diferencias entre los montos en las cuentas de ahorro de cada banco?

¿Cómo aparece el interés simple del 9 % en la tabla del Banco de los Estados?

¿Cómo aparece el interés compuesto del 8 % en la tabla de Somos la Banca?

Durante el cuarto año, la cuenta de ahorro de interés simple tiene más dinero que la cuenta de ahorro de interés compuesto. ¿Esperas que esa cuenta de ahorros tenga más dinero en el futuro? 1

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SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

Arithmetic and Geometric Sequences Explore 3

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

¿Qué saldo de cuenta de ahorros podría modelarse con una secuencia aritmética y cuál podría modelarse con una secuencia geométrica? ¿Cómo lo sabes?

Completa las siguientes tablas que comienzan con $500 en el primer año. Banco de los Estados

Somos la Banca

$500

Escribe una ecuación explícita para modelar Sn para la cuenta de interés simple.

Explica cómo alguien podría encontrar la diferencia común del escenario sin tener que crear la tabla.

Escribe una ecuación explícita para modelar Sn para la cuenta de interés compuesto.

10. Explica cómo alguien podría encontrar la razón común del escenario sin tener que crear la tabla.

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Arithmetic and Geometric Sequences Explore 3

STUDENT NOTEBOOK SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

11. ¿Qué pasaría si tus padres hubieran invertido $500 el día que naciste en cualquiera de estas cuentas? ¿Qué banco recomendarías? ¿Tendrías suficiente para un carro nuevo en tu 16.o cumpleaños?

A continuación, se encuentran fórmulas que podrías usar para crear secuencias para modelar la cantidad de dinero en tu cuenta en función de la cantidad inicial o principal, P; la tasa de crecimiento, r, como decimal; y la cantidad de años, n, que inviertes. Con esta fórmula, tienes tu cantidad inicial para el año n = 1. Fórmula de interés simple

Fórmula de interés compuesto

Sn = P + (rP)(n − 1)

Sn = P(1 + r)n − 1

12. Si vas a un tercer banco que ofrece un interés simple del 7 % y quieres colocar $200 en la cuenta como principal, ¿qué ecuación representaría la cantidad en la cuenta?

13. ¿Cómo cambiaría la ecuación si te ofrecieran el 7 % como interés compuesto y aun así invirtieras $200?

14. Tu amiga Bonnie te muestra la ecuación Sn = 1,200 + 60(n − 1) que usa para modelar la cantidad en su cuenta de ahorros. Con base en su ecuación, ¿qué tasa de interés ofrece su banco? ¿Recibe ella interés simple o compuesto?

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Arithmetic and Geometric Sequences Explore 3 SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Reflexiona 1.

Si observas un extracto bancario de una cuenta de ahorros que muestra una tabla de cuánto había en la cuenta durante diez años, ¿cómo podrías saber si el banco ofrece interés simple o compuesto?

En la siguiente fórmula explícita para una secuencia aritmética que representa una cuenta de ahorros, ¿cuál es el depósito inicial y cuál es la tasa de interés? Sn = 1,500 + (90)(n − 1)

En la siguiente fórmula explícita para una secuencia geométrica que representa una cuenta de ahorros, ¿cuál es el depósito inicial y cuál es la tasa de interés? Sn = 2,000(1.05)n − 1

Si dejaras esos $500 que tenías en el año 1 en la cuenta de interés compuesto del 8 % en Somos la Banca durante 40 años, ¿cuánto dinero habría en la cuenta? ¿Cuántas veces más grande que su inversión inicial es S40?

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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EXPLORAR 3: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué fue lo más desafiante de crear fórmulas explícitas para sucesiones aritméticas y geométricas, y cómo lo superaste?

2. ¿Cómo se relacionan el interés simple y el interés compuesto con las sucesiones aritméticas y geométricas, y por qué es esto importante para comprender las cuentas de ahorro?

3. Con tus propias palabras, explica la diferencia entre una fórmula recursiva y una fórmula explícita. ¿Cuál te resulta más fácil de usar y por qué?

4. Reflexiona sobre cómo trabajar en grupo te ayudó a comprender mejor los conceptos de interés y sucesiones. ¿Qué aprendiste de tus compañeros?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se relaciona el concepto de interés simple en una cuenta de ahorros con una progresión aritmética, y cómo puedes usar esta comprensión para predecir la cantidad de dinero que tendrás después de cierto número de años?

2. ¿De qué maneras se parece el interés compuesto en una cuenta de ahorros a una sucesión geométrica, y cómo puede esta analogía ayudarte a determinar qué opción de cuenta de ahorros hará crecer tu dinero más rápidamente con el tiempo?

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SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 5:44 PM

Arithmetic and Geometric Sequences Explore 3 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 3

Interés simple y compuesto Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

FECHA ______________________________

Un banco ofrece una cuenta de ahorros que tiene una tasa de interés simple del 7 % anual. Una persona hace una inversión inicial de capital de $3,500 en el primer año. Escribe una ecuación explícita para esta situación y luego determina cuánto dinero tendrán en el año 25.

Arithmetic and Geometric Sequences Explore 3

Interés simple y compuesto Boleto de salida Un banco ofrece una cuenta de ahorros que tiene una tasa de interés simple del 7 % anual. Una persona hace una inversión inicial de capital de $3,500 en el primer año. Escribe una ecuación explícita para esta situación y luego determina cuánto dinero tendrán en el año 25.

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SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 5:44 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

Arithmetic and Geometric Sequences Part 3 EXPLORAR 3

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Interés simple y compuesto Tienes los ojos puestos en una universidad fuera del estado que presume de rebajar la matrícula a los estudiantes cada año gracias a las ayudas económicas. Ves el cartel que muestra las tasas de matrícula anteriores.

Escribe una fórmula explícita para la matrícula.

¿Cuánto podrías esperar que sea el costo de la matrícula cuando acudes 3 años después de la publicación de este folleto si la asistencia y la tendencia continúan?

¿Cuánto más costaría la matrícula durante el primer año en comparación con el quinto año si esperas graduarte en cinco años?

¿Cuántos años necesitas cursar si quieres saber la cantidad de tiempo que tendrías que asistir hasta que el costo sea inferior a $50,000?

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Arithmetic and Geometric Sequences Part 3

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

Hace varios años tu familia empezó a buscar el mejor banco para poner dinero e invertirlo para tu universidad. Invirtieron un par de años antes de que nacieras, dándole 20 años de crecimiento a los $2,500 que invirtieron. Examina las oportunidades de inversión que tu familia identificó como las mejores para elegir. Escribe una fórmula explícita o recurrente, donde P sea el importe inicial del capital, r la tasa de interés, n la cantidad de veces que se calculan los intereses y Sn el saldo de la cuenta de ahorro. Por último, determina cuánto dinero habría en el banco cuando te gradúes.

Promoción Cantidad al primer año

Banco A

Banco B

Tasa de interés simple del 6 % anual en las cuentas de ahorro.

Tasa de interés compuesto del 5 % anual en las cuentas de ahorro.

$2,500

Cantidad al segundo año Cantidad al tercer año

Fórmula Cantidad para la graduación 6.

Tu familia está decepcionada con los resultados de la inversión. Esperaban darte $10,000. ¿Cuánto dinero habrían tenido que invertir inicialmente —dado que el banco B dio una cantidad mayor en el año 20— para hacer realidad los $10,000?

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ÁLGEBRA 1

SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

HOOK POST-EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Responda las preguntas. 1. ¿Cómo puedes determinar si una secuencia de baldosas que se colocan cada día en el centro comunitario es aritmética o geométrica, y qué te dice esto sobre el ritmo de colocación de baldosas?

2. Si el centro comunitario decide duplicar el número de baldosas colocadas cada día, ¿cómo representarías este cambio usando una sucesión geométrica y cuál sería la fórmula explícita para el n-ésimo día?

3. Dada una secuencia en la que el número de baldosas aumenta en una cantidad fija cada día, ¿cómo construirías una fórmula recursiva para modelar este patrón y en qué se diferencia de una fórmula explícita?

4. Si el centro comunitario utiliza una cuenta de ahorros para financiar el proyecto de azulejos, ¿cómo compararías el crecimiento de los fondos usando interés simple frente a interés compuesto, y cuál sería más beneficioso para un proyecto a largo plazo?

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SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

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ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

NOMBRE _____________________________________________

ESQUEMA DE ANCLAJE

FECHA ______________________________

DE ANCLAJE Secuencias aritméticas yESQUEMA simétricas Una secuencia aritmética es una secuencia cuyos términos tienen una diferencia común.

Una secuencia geométrica es una secuencia cuyos términos tienen una razón común.

−1, 2, 5, 8, ...

1, 2, 4, 8, 16, ... Fórmulas explícitas

Fórmulas recurrentes

Intereses sobre el principal solamente Intereses sobre el principal Y sobre el interés obtenido previamente

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Interés simple

Interés compuesto

A = monto final I = interés obtenido P = principal r = tasa de interés (expresada como un decimal) n = número de compuestos por año t = número total de años

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SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

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53, 49, 45, 41, …

Encuentra el 20mo término en esta secuencia:

Travis invirtió $2,500 en una nueva inversión que rinde 6% de interés anual. ¿Cuánto interés ganó luego de 4 años?

Shelly invirtió $3,200 en una cuenta que rinde 4% de interés compuesto trimestralmente. ¿Cuánto interés ganó luego de 4 años?

324, 108, 36, 12, …

Encuentra el 10mo término en esta secuencia:

Instrucciones ● Recorta las tarjetas a continuación y el organizador en la siguiente página. ● Pega el organizador en tu cuaderno. ● Empareja cada problema con la fórmula que usarías para resolverlo y pega las tarjetas una junto a la otra en el organizador. ● Resuelve cada problema en el espacio de trabajo en blanco.

Arithmetic and Geometric Sequences LIBRO DEL ESTUDIANTE ÁLGEBRA 1 SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

NOMBRE _____________________________________________

FECHA ______________________________

CUADERNO INTERACTIVO

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SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

Fórmula

Problema

Arithmetic and Geometric Sequences

LIBRO DEL ESTUDIANTE

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SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

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ÁLGEBRA 1

SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

NOMBRE _____________________________________________

Arithmetic and Geometric Sequences REVISIÓN EN ESPIRAL

FECHA ______________________________

REVISIÓN EN ESPIRAL

¡Vamos a ver películas! ¡Palomitas de maíz, películas y todo lo demás! Finalmente se abrió una nueva sala de cine y Yessenia planea ver la segunda entrega de una franquicia de películas de superhéroes. Los papás de Yessenia tienen la regla de que sus tareas desbloquean su mesada. Por lo tanto, tiene que completar todas sus tareas principales, incluida la limpieza de su habitación, lavar la ropa, lavar los platos en su día designado y pasar la aspiradora por la casa. Fuera de las tareas principales, Yessenia puede ganar dinero extra haciendo trabajos adicionales acordados. Algunos de los trabajos son lavar, secar y doblar la ropa de la familia. Otro es cortar y desmalezar el césped. Yessenia también puede elegir tareas como sacar a pasear a los perros, lavar los autos de sus padres y preparar comidas. Lo máximo que Yessenia puede ganar en una semana es $25. ¡Yessenia finalmente ganó suficiente dinero para derrochar en el cine, pagando boletos, palomitas de maíz, bebidas y dulces!

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SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

ÁLGEBRA 1

STUDENT NOTEBOOK SECUENCIAS Y GEOMÉTRICAS ArithmeticARITMÉTICAS and Geometric Sequences

El gráfico muestra con cuánto dinero comenzó Yessenia y la tasa a la que ganó más dinero. ¿Cuáles son el dominio y el rango de esta función para esta situación?

¿Cuál es la pendiente de la siguiente gráfica?

Los papás de Yesenia le pagan por hora por cortar sus 5 acres y le dan una tarifa fija por podar la maleza a lo largo del camino de entrada. Sus papás usan esta tabla para ayudar a calcular el salario de Yessenia. ¿Qué ecuación representa esta relación?

Al planificar cómo derrochar en el cine, Yesenia usó una recta numérica. ¿Cómo ayudarías a Yesenia a representar una solución a la desigualdad? 6 + 4.25x ≤ 31.5?

Número de horas trabajadas, x

Pago de Yessenia, y

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SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

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Skills Quiz

ÁLGEBRA 1

SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

Name: ___________________________ Date: ________________ NOMBRE _____________________________________________

PRUEBA DE HABILIDADES

FECHA ______________________________

Secuencias aritméticas PRUEBA y geométricas DE HABILIDADES Para responder las preguntas 1 y 2, determina si las siguientes situaciones deben representarse con una secuencia aritmética o geométrica. Explica por qué. 1. Una determinada población bacteriana se duplica cada 3 horas. Su población inicial es de 1,500 células. ¿Cuántas bacterias habrá después de t horas?

2. Un corredor corre un maratón a una tasa constante de 12 minutos por milla. ¿Cuánto tiempo tardará en correr todo el maratón?

Para responder las preguntas 3 a 5, identifica si las siguientes gráficas, relaciones o tablas representan secuencias aritméticas o geométricas. Determina la diferencia común o la razón común. Luego, escribe una fórmula explícita para la secuencia. 3. An

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Skills Quiz SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

5. Melissa empieza a leer un libro para la escuela en la página 32. Si lee a una tasa de 50 páginas por hora, después de cuánto tiempo, t, estará en la página p?

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

GRADE 3 STUDENT NOTEBOOK SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS Skills Quiz MULTIPLICATION MODELS

ÁLGEBRA 1

6. La fórmula explícita de una secuencia aritmética es 𝑓𝑓(𝑛𝑛) = − 11 + 22(𝑛𝑛 – 1). Completa los valores faltantes en la fórmula recurrente de la secuencia. ⎰ 𝑓𝑓(1) = __________ ⎱ 𝑓𝑓(𝑛𝑛) = 𝑓𝑓(𝑛𝑛 – 1) + __________

Para responder las preguntas 7 a 9, considera la siguiente secuencia: 14, 21, 28, 35,... 7. ¿Esta secuencia es aritmética o geométrica?

8. ¿Qué es 𝑓𝑓(1)? 9. Escribe una fórmula recurrente para la secuencia.

10. Reo invierte $1,200 durante siete años y gana un interés simple anual del 5 %. ¿Cuál de las siguientes opciones representa esta situación? A. 𝑡𝑡 8 = 1, 200 + 7(60)

B. 𝑡𝑡 7 = 1, 200 + 6(60)

C. 𝑡𝑡 8 = 1, 200 + 7(6, 000) D. 𝑡𝑡 7 = 1, 200 + 6(6, 000)

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SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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VOCABULARIO

INTERVALO

CRECIENTE/ DECRECIENTE

INTERVALO POSITIVO / NEGATIVO

MÁXIMO RELATIVO

MÍNIMO RELATIVO

COMPORTAMIENTO FINAL

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SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

VOCABULARIO Creciente/decreciente

Intervalo

Una función es creciente si f(b) > f(a) y decreciente si f(b) < f(a) para cualquiera de los dos valores de entrada a y b

El conjunto de valores de entrada continuo en el cual los datos de salida de una función pueden incrementarse, decrementarse o ser constantes 3

Máximo relativo

Intervalo positivo / negativo

Punto que es más alto que los puntos a su lado en ambos lados

Intervalos positivos son aquellos por encima del eje X y los negativos por debajo del mismo 5

Comportamiento final

Mínimo relativo

Tendencia que sigue el gráfico cuando x se acerca al infinito en las direcciones negativa y positiva

Punto que es más bajo que los puntos a su lado en ambos lados 7

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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VOCABULARIO

PERIODICIDAD

TASA DE CAMBIO PORCENTUAL

DECRECIMIENTO EXPONENCIAL

CRECIMIENTO EXPONENCIAL

GRÁFICO DE DISPERSIÓN

RECTA DE MEJOR AJUSTE (LÍNEA DE TENDENCIA)

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SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

VOCABULARIO Tasa de cambio porcentual

Periodicidad

Porcentaje de aumento o disminución de una cantidad en una unidad de tiempo, denotado por «r»

Tendencia de una función a repetirse en un patrón regular a intervalos establecidos 9

Decrecimiento exponencial

Crecimiento exponencial

Proceso de reducir una cantidad por una tasa de porcentaje constante durante un período de tiempo

Cambio que ocurre cuando una cantidad original se incrementa en una tasa constante durante un período de tiempo 11

Recta de mejor ajuste (línea de tendencia)

Gráfico de dispersión

Serie de puntos trazados que muestran la relación entre dos conjuntos de datos

Recta que representa mejor los datos en un diagrama de dispersión 13

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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VOCABULARIO

ASOCIACIÓN

PENDIENTE

TASA DE CAMBIO

INTERSECCIÓN Y

CONSTANTE

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN

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SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

VOCABULARIO Pendiente

Asociación

Cuán empinada es una recta; representada como «m» en la ecuación de pendiente-intersección

Forma (lineal / no lineal), dirección (positiva/negativa/ninguna) y fuerza (débil/moderada/fuerte) vistas entre dos variables en un diagrama de dispersión 15

Intersección en y

Tasa de cambio

Punto en el gráfico de una ecuación donde la recta cruza el eje Y

Tasa que muestra cómo cambia una cantidad en relación con otra 17

Coeficiente de correlación

Constante

Número r que describe cuán estrechamente relacionados están los puntos en un diagrama de dispersión, donde −1 ≤ r ≤ 1

Número fijo que está solo en una ecuación o expresión 19

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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VOCABULARIO

CAUSALIDAD

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REGRESIÓN

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SECUENCIAS ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

VOCABULARIO Regresión

Causalidad

Proceso de trazar una línea a través de los datos en un diagrama de dispersión

Acción de un evento que hace que ocurra otro evento 21

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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ÁLGEBRA 1 | Libreta del estudiante VOL. 1 DE 4

MATEMÁTICAS

POR ACCELERATE LEARNING

CALIFORNIA

POR ACCELERATE LEARNING

CALIFORNIA

A1 ÁLGEBRA

CALIFORNIA

POR ACCELERATE LEARNING

Libreta del estudiante VOLUMEN 1 DE 4

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CALIFORNIA

POR ACCELERATE LEARNING

CALIFORNIA

MATEMÁTICAS

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ÁLGEBRA 1 | Libreta del estudiante

MATEMÁTICAS

A1 ÁLGEBRA

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VOL. 2 DE 4

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POR ACCELERATE LEARNING

Libreta del estudiante VOLUMEN 2 DE 4

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Libreta del estudiante, volumen 2 Álgebra 1

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TABLA DE CONTENIDO ALCANCE 6

FUNCIONES LINEALES

DESIGUALDADES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES

158

SISTEMAS DE DESIGUALDADES

260

FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

310

ALCANCE 7

ALCANCE 8

ALCANCE 9

ALCANCE 10

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ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

FUNCIONES LINEALES

MODELO CON FUNCIONES INVESTIGACIONES DE FUNCIONES

En esta sección, explorarás el mundo de las funciones lineales y cómo se relacionan con situaciones de la vida real. Aprenderás a crear, interpretar y transformar estas funciones utilizando distintos métodos. Esto es en lo que te centrarás:

SISTEMAS DE ECUACIONES

CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES

◦ Comprensión de las funciones lineales:

CRECIMIENTO Y DECADENCIA

◦ Aprende a justificar la relación entre gráficas, tablas, ecuaciones y situaciones del mundo real. ◦ Identifica características clave de las funciones lineales, como interceptos y pendientes, a partir de diversas representaciones como gráficas, tablas y ecuaciones.

◦ Graficar funciones lineales: ◦ Practica graficar funciones lineales creando etiquetas y escalas adecuadas. ◦ Usa las gráficas para resolver o estimar soluciones de ecuaciones e inecuaciones complejas. ◦ Identifica soluciones y no soluciones de funciones lineales y explica su significado en contexto.

◦ Análisis de entradas y salidas: ◦ Determina valores de entrada y salida razonables e irrazonables para funciones lineales. ◦ Establece conexiones entre sucesiones aritméticas y funciones lineales, comprendiendo cómo se relacionan.

◦ Transformaciones de funciones lineales: ◦ Identifica y describe transformaciones verticales y horizontales de funciones lineales. ◦ Comprende cómo estas transformaciones afectan la gráfica de una función.

◦ Comparación y clasificación de gráficas: ◦ Identifica similitudes y diferencias en gráficas de funciones lineales. ◦ Clasifica las gráficas en categorías según tus observaciones.

◦ Conexiones con ecuaciones: ◦ Establece conexiones entre ecuaciones en forma punto-pendiente y las transformaciones de funciones lineales.

Al final de esta lección, podrás trabajar con funciones lineales con confianza, comprendiendo sus características clave y cómo pueden aplicarse para resolver problemas del mundo real. 2

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APLICACIÓN DE PRÁCTICAS MATEMÁTICAS • MP.1 Comprender los problemas y seguir intentando resolverlos: Aprenderás cómo las sucesiones aritméticas se parecen a la forma pendiente-intersección de una recta y usarás esto para entender cómo funcionan las funciones lineales. • MP.2 Pensar en los problemas de distintas maneras: Compararás planes de suscripción de streaming de video observando cómo cambian los precios con el tiempo y usarás palabras para escribir ecuaciones y comparar detalles importantes. • MP.3 Construir argumentos sólidos y evaluar las ideas de otros: Explicarás por qué elegiste cierto plan de mesada comparando diferentes opciones, enfocándote en aspectos como los puntos de partida y las tasas de cambio. • MP.4 Usar las matemáticas para representar situaciones de la vida real: Crearás ecuaciones para representar servicios de suscripción y usarás estas ecuaciones para comparar cómo cambian sus precios con el tiempo.

• MP.5 Elegir las herramientas adecuadas para la tarea: Utilizarás herramientas como reglas para trazar líneas precisas en gráficas y encontrar puntos que resuelvan ecuaciones lineales. • MP.6 Ser preciso y cuidadoso: Te asegurarás de que tus gráficas y puntos sean exactos y los usarás para responder preguntas sobre la función lineal que estás estudiando. • MP.7 Encontrar y usar patrones: Descompondrás ecuaciones lineales para encontrar detalles importantes, como la pendiente o puntos específicos, que te ayuden a graficarlas. • MP.8 Reconocer y usar patrones repetidos: Verás cómo diferentes formas de ecuaciones lineales requieren distinta información, y usarás esto para facilitar la escritura de ecuaciones enfocándote en lo que sabes.

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ÁLGEBRA 1

FUNCIONES LINEALES

CAPTAR INTERÉS: ANTES DE EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Imagina que estás en un buque militar encargado de una misión crítica: alcanzar un satélite enemigo con un haz láser. Para tener éxito, necesitas entender cómo la trayectoria del láser, que forma una línea recta, puede predecirse mediante las matemáticas. Al aprender sobre funciones lineales, podrás calcular la trayectoria exacta necesaria para asegurar que el láser impacte su objetivo.

En esta actividad, aprenderás a hacer predicciones usando funciones lineales. Verás un video sobre un barco militar que apunta un láser a un satélite y explorarás cómo las matemáticas ayudan en esta situación. Practicarás el uso de pendientes y ecuaciones para predecir hacia dónde van las rectas y resolver problemas con funciones lineales.

Responda las preguntas. 1. ¿Qué tipo de información necesitarías para predecir con precisión la trayectoria del haz láser?

2. ¿Cómo puede la comprensión de la pendiente de una recta ayudar a determinar la trayectoria del láser para alcanzar el satélite?

3. ¿Por qué graficar podría no ser el mejor método para predecir dónde impactará el láser en el satélite?

4. ¿Cómo puedes usar ecuaciones lineales para garantizar que el rayo láser siga la trayectoria correcta para alcanzar el satélite?

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FUNCIONES LINEALES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FUNCIONES LINEALES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 1: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que estás de vacaciones con tu familia, y has decidido alquilar bicicletas por un día para explorar la zona. Hay varias tiendas de bicicletas para elegir, y cada una tiene diferentes opciones de precios. Tu tarea es determinar qué tienda ofrece la mejor oferta para un alquiler de 8 horas. Tu mamá cree que usar una sucesión aritmética ayudará, mientras que tu papá sugiere una ecuación lineal. ¿Quién tiene razón y cómo puedes averiguarlo? En esta actividad, aprenderás cómo se relacionan las sucesiones aritméticas y las ecuaciones lineales. Trabajarás en grupos para decidir cuál es mejor para calcular los costos de alquiler de bicicletas. Explorarás cómo estos conceptos matemáticos pueden ayudar a resolver problemas de la vida real, como encontrar la mejor oferta de alquiler, y comprenderás cuándo usar cada tipo de función.

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FUNCIONES LINEALES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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ÁLGEBRA 1

FUNCIONES LINEALES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 1 Linear Functions Explore 1

FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

¡Pedalea afuera! Parte I

Tus padres llamaron a la primera tienda, Bicicletas en abundancia. Organizaron el costo de las bicicletas por hora completa de alquiler en una tabla. Usa la tabla para responder las siguientes preguntas.

Tiempo (horas)

Costo (dólares)

Completa la siguiente tabla para representar el costo de las bicicletas en Bicicletas en abundancia. Secuencia aritmética An = A1 + (n – 1)(d)

Ecuación lineal y = mx + b

Ecuación Dominio Rango 2.

¿En qué se diferencia el dominio de la secuencia aritmética del dominio de la ecuación lineal?

Tu mamá dijo que el tipo de función más preciso para representar esta situación es la aritmética y tu papá dijo que la función lineal es mejor para esta situación. ¿Quién tiene razón? Explica tu razonamiento.

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GRADE 3Linear STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 LIBRO DEL ESTUDIANTE Functions

FUNCIONES LINEALES

Explore 1

Usa ambas funciones para encontrar el costo de 8 horas. ¿Dan el mismo valor? ¿Por qué sí o por qué no? Aritmética: Lineal:

Grafica cada función a continuación para modelar el costo de alquilar una bicicleta en la primera tienda de bicicletas. Etiqueta y escala según corresponda. Aritmética

Lineal

¿Qué gráfica es la representación más razonable de la situación? Explica.

Tu tía se pregunta si escribir la ecuación en notación recurrente facilitaría determinar el costo de 8 horas. Representa esta situación con el uso de la notación recurrente, determina f(8), y luego explica si esta notación es más fácil que la explícita al determinar el costo de 8 horas.

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Linear Functions

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

Explore 1 FUNCIONES LINEALES

Parte II

Completa la tabla para ayudarte a analizar y organizar los datos de tus padres. Bicicletas y más

2 ruedas solamente

Las ruedas Pedales y más somos nosotros

¿Tiene esta situación un dominio discreto o continuo? Explica.

¿Se representa esta situación mejor mediante una función aritmética o lineal? Explica. Función Costo por 8 horas Costo por 4.5 horas 1.

¿Qué tienda sería la mejor opción para 8 horas? Explica.

¿Qué tienda sería la mejor opción para 4.5 horas? Explica. 3

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Linear Functions Explore 1 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

FUNCIONES LINEALES

Reflexiona 1.

¿En qué se parecen las secuencias aritméticas y las funciones lineales?

¿En qué se diferencian?

¿Cuál es la palabra lineal para diferencia común?

¿Cuál es la palabra lineal para cantidad inicial?

Tus amigos estuvieron ausentes hoy. Explícales las similitudes y diferencias entre secuencias aritméticas y funciones lineales. Incluye cómo sabes cuándo usar qué función.

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FUNCIONES LINEALES

EXPLORAR 1: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Cómo decidiste si usar una sucesión aritmética o una función lineal para cada tienda de bicicletas?

2. ¿Qué desafíos enfrentaste al comparar la sucesión aritmética y la función lineal? ¿Cómo los superaste?

3. ¿En qué situaciones fuera de la clase de matemáticas podrías usar las habilidades que practicaste en esta actividad?

4. ¿Cómo te ayudó trabajar en grupo a entender las diferencias entre las sucesiones aritméticas y las funciones lineales?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo puede la comprensión de las similitudes y diferencias entre sucesiones aritméticas y funciones lineales ayudar a determinar el mejor método para calcular el costo del alquiler de bicicletas para un día completo de paseo?

2. En el escenario de impactar un satélite con un láser, ¿cómo se relaciona el concepto de pendiente en una función lineal con la diferencia común en una sucesión aritmética al predecir la trayectoria del láser?

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FUNCIONES LINEALES

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Linear Functions Explore 1 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FUNCIONES LINEALES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 1

FECHA ______________________________

Secuencias aritméticas y funciones lineales BOLETO DE SALIDA Boleto de salida

Usa los datos para responder las siguientes preguntas. Cantidad de boletos

Costo (dolares)

¿Están estos datos mejor representados por una secuencia aritmética o una función lineal? ¿Por qué?

Escribe la ecuación para la secuencia aritmética o función lineal.

Costo por 20 boletos:

Usa los datos para responder las siguientes preguntas. Tiempo (horas)

1.5

2.5

Costo (dólares)

¿Están estos datos mejor representados por una secuencia aritmética o una función lineal? ¿Por qué?

Escribe la ecuación para la secuencia aritmética o función lineal.

Costo por 20 horas:

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FUNCIONES LINEALES

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ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

FUNCIONES LINEALES

Linear Functions EXPLORAR 1 Part 1

MUESTRA LO QUE SABES

Secuencias aritméticas y funciones lineales 1.

El parque de atracciones familiar ofrece muchas actividades. Compara los precios de dos de las opciones. Hay un campo de minigolf. El alquiler de un putter y una pelota de golf cuesta $3, con un cargo adicional de 50 centavos por hoyo jugado. Otra opción es pasear en un bote de remos por el gran lago contiguo. El costo es de $2 por el bote más 20 centavos por minuto. a.

¿Qué representaría mejor el precio del minigolf, una secuencia aritmética o una función lineal, por qué? ¿Cuál representaría mejor el precio del bote de remos, por qué?

Escribe una expresión para el costo, g, de jugar al golf, donde n es el número de hoyos completados.

Escribe una expresión para el costo, b, de dar una vuelta al lago con el bote de remos, donde t es la cantidad de tiempo en minutos en el agua.

¿Cómo se compararía la gráfica del costo de jugar al golf con la gráfica del costo de montar en un bote de remos?

¿Sería el costo de jugar una ronda completa (18 hoyos) de golf más o menos costosa que la misma cantidad de tiempo (60 minutos) de navegación en el lago?

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Linear Functions Part 1

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FUNCIONES LINEALES

La tienda local de yogur helado cobra $1 por una taza y luego 30 centavos por onza. a.

¿Sería la mejor representación del costo del yogur helado una secuencia aritmética o una función lineal, por qué?

Escribe una expresión para el costo, C, del yogur helado, donde p es el peso del yogur helado en onzas.

Cada taza puede contener un máximo de 16 oz. Traza el costo c(p). d.

¿Cuál es el dominio, el rango y la pendiente de la función lineal?

¿Cuánto cuesta una taza de yogur helado de 10 oz?

Un cine de la ciudad ofrece un pase de verano por $60. Con el pase, puedes ver una película todos los sábados antes de las 6:00 p. m., durante cada semana de las 10 semanas de verano. Se deduce un total de $6 del pase cada vez que vayas al cine. a. ¿Qué representaría mejor el equilibrio en el pase, una secuencia aritmética o una función lineal?

Escribe una expresión para el saldo, S, del pase, donde c es la cantidad de semanas.

Traza la secuencia.

¿Cuál es el valor del pase en la semana 4? 2

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ÁLGEBRA 1

FUNCIONES LINEALES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 2: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que tu familia te ofrece una mesada, ¡pero hay un giro! Te han dado varias opciones para elegir, pero cada opción se presenta como un tipo diferente de función matemática. Tu tarea es analizar estas funciones y decidir qué modalidad de mesada funciona mejor para ti. ¡Prepárate para sumergirte en gráficos, tablas y ecuaciones para tomar tu decisión! En esta actividad, trabajarás en grupos para explorar y comparar distintas maneras de mostrar cómo se puede dar una paga. Aprenderás a encontrar partes importantes de gráficas y tablas, como la pendiente y las intersecciones, y a decidir qué opción de paga es la mejor. También practicarás resolver problemas y explicar tu razonamiento.

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FUNCIONES LINEALES

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FUNCIONES LINEALES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 2 Linear Functions Explore 2

FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

¡Asignación, por favor! Parte I 1.

El primer paso para identificar la mejor asignación para ti es analizar las gráficas del documento «Gráficas de opciones de asignación». Completa la siguiente tabla para ayudarte a ordenar las gráficas según ciertas características. Descripción en contexto

Palabra para esta característica clave

Opción de asignación

Valor inicial de menor a mayor ¿Qué opción tarda la mayor cantidad de semanas en alcanzar el punto de equilibrio? ¿Qué opciones tienen una asignación semanal positiva? ¿Qué opciones están disminuyendo? 2.

Encuentra dos opciones de asignación con la misma asignación semanal, pero diferentes montos iniciales.

¿Qué opciones de asignación comienzan con la misma cantidad de dinero?

¿Qué opciones de asignación serían las menos deseables? ¿Por qué?

Tu primo dijo que debes considerar todas las opciones de asignación como opciones viables. Separa las gráficas en dos categorías y usa las categorías para justificar por qué estás de acuerdo o en desacuerdo

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Linear Functions Explore 2 FUNCIONES LINEALES

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Parte II

Usa las siguientes preguntas para ayudarte a analizar todas las opciones de asignación con una pendiente positiva. 1.

¿Qué opción de asignación tiene el monto inicial más alto? ¿Cuál tiene la cantidad inicial más baja?

¿Son ambas buenas opciones para tu asignación? ¿Por qué sí o por qué no?

¿Qué opciones de asignación tienen una intersección en y negativa? ¿Qué significa eso en términos de esta situación?

¿Qué opción de asignación tiene la intersección en x más alta? ¿Cuál tiene la intersección en x más baja?

¿Qué opción de asignación tendría un máximo de $52 después de 12 semanas? ¿Cuál tendría un máximo de $62 después de 12 semanas?

¿Son ambas buenas opciones para tu asignación? ¿Es uno mejor que el otro? Explica.

¿Qué par ordenado representa que después de 6 semanas tendrás 8 dólares? ¿Qué par ordenado representa que después de 9 semanas tendrás 14 dólares? ¿Qué función contiene estas soluciones? ¿Cómo lo sabes?

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Linear Functions Explore 2 LIBRO DEL ESTUDIANTE

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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FUNCIONES LINEALES

Reflexiona 1.

¿Qué función elegirías para tu asignación? ¿Por qué?

Al responder preguntas que involucran gráficas, tablas, palabras y ecuaciones, ¿qué características claves pueden ayudarte a compararlos con precisión?

Al comparar la pendiente de la gráfica de una función con la pendiente representada por una tabla de una función diferente, ¿qué harías?

¿Qué se puede determinar acerca de una opción de asignación dada la ecuación? ¿Cómo se compara esto con la información que se puede determinar a partir de una gráfica o una tabla?

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FUNCIONES LINEALES

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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FUNCIONES LINEALES

EXPLORAR 2: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué fue lo más interesante que aprendiste al comparar distintos tipos de representaciones de funciones?

2. ¿Cómo te ayudó trabajar en grupo a comprender mejor las opciones de asignación?

3. ¿Qué desafíos enfrentaste al identificar la pendiente y los interceptos, y cómo los superaste?

4. ¿Cómo pueden ser útiles las habilidades que practicaste en esta actividad en situaciones de la vida real?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo pueden las habilidades que utilizaste para analizar las gráficas de la mesada ayudarte a determinar la trayectoria correcta del láser para golpear el satélite en la actividad Hook? Considera cómo la identificación de pendientes e interceptos puede aplicarse en ambos escenarios.

2. En ambas actividades, Hook y EXPLORAR, trabajaste con diferentes representaciones de funciones lineales. ¿Cómo te ayudó comparar estas representaciones en la actividad EXPLORAR a hacer predicciones sobre la trayectoria del láser en la actividad Hook?

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FUNCIONES LINEALES

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Explore 2

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FUNCIONES LINEALES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 2

Comparar funciones lineales Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

FECHA ______________________________

Selecciona dos funciones que tengan la misma pendiente. A.

−1

f(x)

−16

−12

−8

−4

La familia de Julia gastó $40 en el cine, donde el costo de las palomitas de maíz es de $4 y el costo de los boletos es de $5 cada uno.

12x + 3y = 21

Describe cómo sabes qué dos funciones tienen la misma pendiente.

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FUNCIONES LINEALES

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ÁLGEBRA 1

FUNCIONES LINEALES

Linear Functions EXPLORAR 2 Part 2

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Comparar funciones lineales Compara las cuatro funciones de abajo. A.

La frutería U-Pick cobra $3 de entrada y $1.20 por libra de manzanas recogidas.

−1

¿Qué función tiene la pendiente más empinada?

¿Qué función tiene una pendiente negativa?

¿Qué función tiene la mayor intersección en y?

¿Qué función tiene intersecciones en x negativas?

¿Qué funciones tienen intersecciones en x positivas?

¿Qué función pasa por el punto (5, 9)?

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Linear Functions Part 2 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

FUNCIONES LINEALES

10.

Empareja las ecuaciones con las gráficas. a.

a(x) = 0.5x + 4

b(x) = x + 2

c(x) = 3x + 2

Dibuja una nueva línea en la gráfica que nunca intersecte la línea ya trazada. a.

Escribe la ecuación de esta nueva recta.

¿Cómo se compara la pendiente de la nueva línea a la línea original?

Un bidón de gasolina pesa 9 lb vacío y puede contener 5 galones de gasolina. La gasolina pesa 6 lb por galón. a.

Escribe una ecuación que describa el peso, W, del bidón cuando tiene x galones de gasolina dentro.

¿Cuánta gasolina hay en el bidón cuando pesa 33 lb?

¿Cuál función tiene la pendiente más empinada? A.

−1

f(x)

−11/4

−2

−5/4

−1/2

B. 3x – 2y = 5

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ÁLGEBRA 1

FUNCIONES LINEALES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 3: ANTES DE EXPLORAR

¡Imagina que estás en una aventura para encontrar tesoros escondidos en la Isla Joya! Tienes un mapa del tesoro especial y una máquina excavadora que solo puede moverse en líneas rectas. Tu misión es averiguar el mejor camino para recoger la mayor cantidad de joyas usando las matemáticas para guiar la máquina. ¿Listo para explorar? En esta actividad, aprenderás sobre funciones lineales al explorar cómo cambian las rectas en una gráfica. Trabajarás en grupos, utilizando un mapa del tesoro para encontrar joyas trazando rectas y calculando pendientes. También aprenderás a escribir ecuaciones que describan estas rectas, lo que te ayudará a entender cómo se aplican las matemáticas a problemas de la vida real.

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FUNCIONES LINEALES

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9/13/25 6:12 PM

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ÁLGEBRA 1

FUNCIONES LINEALES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 3 Linear Functions Explore 3

FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Parte I

¡Tesoro de la isla de las joyas!

Usa el mapa del tesoro para responder las siguientes preguntas. 1.

Comienza tu búsqueda del tesoro en el origen y rápidamente encuentra un diamante rosa redondo en el cuadrante IV donde está representada la pala. ¿Cuál es la pendiente de la recta que recorriste para llegar a este punto?

Si hubiera habido otra piedra preciosa en el punto (2, −3), ¿la habrías recogido en tu camino desde el origen hasta el diamante rosa redondo?

Desde el diamante rosado redondo, ahora empiezas a excavar hacia el tercer cuadrante a lo largo de una recta que tiene una pendiente de . ¿Recogerás otra piedra? Usa la pendiente para justificar por qué sí o por qué no.

Si continúas con la excavación a lo largo de este camino más allá de la piedra púrpura redonda, ¿recogerías una joya en el punto (−12, 0)?

Después de viajar de un punto a otro, ¿cómo puedes predecir si recogerías otra joya en el mismo camino?

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Linear Functions

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE Explore 3

FUNCIONES LINEALES

Parte II 1.

Usa tu palito de felpa para crear una recta desde la joya triangular amarilla hasta la joya azul en forma de lágrima. Escribe una ecuación de la recta que conecta la joya triangular amarilla y la lágrima azul en la forma y = mx + b. ¿Cuál de los valores es fácil de encontrar y cuál es difícil al mirar la gráfica?

Como no tenemos una ecuación que sea fácil de crear, tendremos que usar la pendiente para verificar si otras posibles coordenadas con joyas también estarán en la recta. Completa la tabla de abajo.

Punto de partida

Punto final

Triángulo amarillo (−9, 7)

Lágrima azul (6, −2)

Cálculo de la pendiente

Valor de la pendiente

¿Está el punto final en la recta? Sí

Triángulo amarillo (−9, 7) Triángulo amarillo (−9, 7) Triángulo amarillo (−9, 7) Triángulo amarillo (−9, 7) 3.

¿Qué es cierto acerca de cada punto que termina en la recta?

¿Qué ecuación tendría que ser verdadera para que el punto (x, y) también termine en la recta?

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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Linear Functions Explore 3 FUNCIONES LINEALES

Multiplica ambos lados de la ecuación que creaste en la pregunta 4 por el denominador que contiene x para revelar una nueva ecuación para la recta que pasa por el triángulo amarillo y las joyas azules en forma de lágrima.

¿Cómo se conectan los valores en esta ecuación con el trabajo que hiciste en la tabla de la pregunta 2?

Usa tu ecuación de la pregunta 5 para determinar si (21, −11) está en la recta.

Ahora quieres decirle a la máquina una ecuación para que desentierre las joyas naranja y verde en el primer cuadrante, así como cualquier otra joya a lo largo de ese camino. ¿Cuál es la pendiente entre las dos joyas en el cuadrante I?

Escribe una ecuación para la pendiente entre el punto (x, y) y la joya triangular verde si sabes que (x, y) también está en la recta. Luego, multiplica ambos lados por el denominador que incluye a x.

10. Escribe una ecuación para la pendiente entre el punto (x, y) y la joya naranja si sabes que (x, y) también está en la recta. Luego, multiplica ambos lados por el denominador que incluye a x.

11. Aísla y en ambas ecuaciones de las preguntas 9 y 10. ¿Qué observas?

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Linear Functions Explore 3

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FUNCIONES LINEALES

Parte III 1.

¡Usa el mapa del tesoro y las ecuaciones a continuación para ayudarte a determinar un camino hacia el tesoro! Grafica la nueva recta y haz una lista del color y la forma de los tesoros que alcances. ¡Asegúrate de graficar toda la recta para ver si obtienes alguna joya! Completa la tabla. Ecuación del GPS

Color de la joya en el punto de partida

y – 4 = −2(x + 7)

Diamante azul claro

y + 8 = 2(x – 2)

¿Alguna otra joya?

Círculo rosa Lágrima azul

Corazón naranja

Óvalo rojo

Círculo morado

Sustituye las coordenadas del óvalo rojo en la ecuación que creaste. ¿Qué notaste?

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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Linear Functions

FUNCIONES LINEALES Explore 3

Reflexiona 1.

Crea una ecuación de una recta que pasa por el punto (5.2, −8.3) y tiene una pendiente de −10.

¿Cómo puedes escribir la ecuación de una recta cuando se te dan dos puntos?

¿Qué información clave puedes extraer de la ecuación y − k = m(x − h)?

Una recta con una pendiente de 2 y una intersección en y en (0, −6) tendría una ecuación en forma de pendiente-intersección de y = 2x − 6. Escribe la ecuación con el uso de la la forma punto-pendiente y muestra que las dos son equivalentes.

¿Por qué podría ser más eficiente escribir la ecuación de una recta en forma punto-pendiente en lugar de usar la forma pendiente-intersección? ¿Cuándo podría ser una mejor opción la forma pendiente-intersección?

Encuentra la pendiente, m, entre los puntos (h, k) y (x, y). ¿Cómo se conecta esto con la forma lineal punto-pendiente?

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FUNCIONES LINEALES

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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FUNCIONES LINEALES

EXPLORAR 3: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué estrategia utilizaste para encontrar la pendiente entre dos puntos y cómo te ayudó en esta actividad?

2. ¿Cómo te ayudó trabajar con tu grupo a entender mejor el concepto de la forma punto-pendiente?

3. ¿Qué desafíos enfrentaste al intentar graficar las rectas y cómo los superaste?

4. ¿Cómo puedes aplicar lo que has aprendido sobre funciones lineales y pendientes a situaciones de la vida real?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se relaciona el proceso de identificar y utilizar la pendiente entre dos puntos en el Mapa del Tesoro de la Isla Jewel con predecir la trayectoria del haz láser en la actividad Hook?

2. En la actividad EXPLORAR, usaste la forma punto‑pendiente para automatizar la máquina excavadora. ¿Cómo puede este método ayudar a programar el láser de la nave militar para acertar al satélite en la actividad Hook?

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FUNCIONES LINEALES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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Explore 3

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FUNCIONES LINEALES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 3

Forma punto-pendiente Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

FECHA ______________________________

¿Cuál de las siguientes líneas pasa por los puntos (3, −5) y (6, 7)? A.

y − 5 = 4(x − 3)

y − 7 = 3(x − 6)

y + 5 = 4(x + 6)

y + 5 = 4(x − 3)

Linear Functions Explore 3

Forma punto-pendiente Boleto de salida ¿Cuál de las siguientes líneas pasa por los puntos (3, −5) y (6, 7)? a.

y − 5 = 4(x − 3)

y − 7 = 3(x − 6)

y + 5 = 4(x + 6)

y + 5 = 4(x − 3)

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FUNCIONES LINEALES

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 40

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FUNCIONES LINEALES Linear Functions

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 3

Part 3

FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Forma punto-pendiente 1.

Una función lineal es descrita en la siguiente tabla. x

−6

−4

Elige dos puntos diferentes en la tabla y evalúa la pendiente m.

Selecciona un punto en la tabla y escribe una ecuación para la recta en forma punto-pendiente.

Selecciona cualquier otro punto y escribe otra ecuación en forma punto-pendiente.

Muestra que las ecuaciones son equivalentes.

Escribe, para las tres ecuaciones siguientes la pendiente de la recta, m, y un punto que sepas que está en la recta. c.

y + 5 = −12(x + 1)

y – 3 = 4(x – 5) 1

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Linear Functions Part 3 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

FUNCIONES LINEALES

Dos puntos de una línea son (2, 5) y (5, 11). a.

Escribe la ecuación de esta recta en forma punto-pendiente.

¿Está también el punto (3, 7) en esa línea? Demuestra cómo lo sabes.

Dos puntos de una línea son (−2, 6) y (3, −4). a.

Escribe la ecuación de esta recta en forma punto-pendiente.

¿Está también el punto (1, 3) en esa línea? Demuestra cómo lo sabes.

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FUNCIONES LINEALES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 4: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que estás tratando de elegir el mejor servicio de streaming de video para ver tus programas favoritos. Hay cuatro opciones, cada una con diferentes costos y características. Tu tarea es averiguar qué servicio es el más económico explorando cómo los cambios en sus planes de precios afectan el costo total. ¡Usarás matemáticas para tomar una decisión inteligente! En esta actividad, explorarás cómo los cambios en las funciones lineales afectan a las gráficas. Trabajarás en grupos para analizar los costos de servicios de streaming, escribir funciones y ver cómo las tarifas de instalación y mensuales cambian la pendiente y la intersección con el eje y de la gráfica. Aprenderás a modelar problemas del mundo real con matemáticas, razonar de manera abstracta y discutir tus hallazgos con tus compañeros de clase.

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FUNCIONES LINEALES

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 44

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FUNCIONES LINEALES

Linear Functions Explore 4 EXPLORAR 4

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Servicios de suscripción de video Parte I 1.

Usa los folletos del documento «Folletos de servicio de suscripción» para escribir ecuaciones que representen el costo de los servicios de video. Sea x la cantidad de meses. Kulu Función: k(x) = FunFlix Función: f(x) =

Glamazon Prime Función: g(x) = IDBb Función: i(x) =

Funflix fue el primer servicio de suscripción. Usa las siguientes preguntas para ayudarte a describir cómo las funciones de las otras empresas son una transformación de f(x). 2.

Describe la transformación de f(x) a i(x). ¿Qué significa eso en el contexto de la situación?

Describe la transformación de f(x) a k(x). ¿Qué significa eso en el contexto de la situación?

Describe la transformación de f(x) a g(x). ¿Qué significa eso en el contexto de la situación?

¿Qué opción es la mejor para un año de servicio? Explica. 1

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Linear Functions

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE Explore 4

FUNCIONES LINEALES

Parte II

Usa los folletos del documento «Folletos de descuento en el servicio de suscripción» para escribir una función que represente los nuevos precios con descuento y luego responde las preguntas para ayudarte a determinar cuál es el servicio ideal para el año. Kulu

IDBb

Función original: k(x) = Función nueva:

Función original: i(x) = Función nueva:

Describe la transformación de la función original a la función nueva.

Describe los cambios en la pendiente y la intersección en y.

¿Qué significan las transformaciones en términos de la situación?

Dominio original: Dominio nuevo:

Rango original: Rango nuevo: ¿Las transformaciones cambian el dominio o el rango? Si es así, ¿qué transformación provoca el cambio?

La pendiente de la función original estaba (aumentada o disminuida) y esa Encierra uno con un círculo.

transformación hizo la gráfica de la función (más empinada o menos empinada). Encierra uno con un círculo.

Rango original: Rango nuevo: ¿Las transformaciones cambian el dominio o el rango? Si es así, ¿qué transformación provoca el cambio?

La pendiente de las funciones originales se multiplicó por ___ y esa transformación hizo la gráfica de la función (más empinada o menos empinada). Encierra uno con un círculo.

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Reflexiona 1.

¿Cómo afecta el cambio de la pendiente a la gráfica?

La gráfica de m se muestra en la cuadrícula. Dado f(x) = x y m(x) = af(x), ¿cuál es el valor de a? a = _____

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Linear Functions Explore 4 FUNCIONES LINEALES

¿Cómo cambiaría el dominio si decidieras obtener precios por 24 meses en lugar del plan original de 12 meses?

La pendiente y la intersección en y se cambiaron de la gráfica de f para hacer la gráfica de g como se muestra a continuación. Llena los espacios en blanco para describir los cambios. La pendiente de f se multiplicó por ____ y la intersección en y estaba (aumentada o disminuida) Encierra uno con un círculo.

por _____ para hacer la gráfica de g.

¿Cómo cambiaría el rango si te cobraran una tarifa adicional por un paquete actualizado?

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FUNCIONES LINEALES

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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FUNCIONES LINEALES

EXPLORAR 4: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué estrategias utilizaste para decidir qué servicio de streaming era la mejor opción financiera y por qué las elegiste?

2. ¿Cómo afectaron los cambios en las tarifas de instalación o los costos mensuales a los gráficos que creaste? ¿Puedes dar un ejemplo?

3. Describe una situación de la vida real en la que comprender la tasa de cambio y el valor inicial sea importante. ¿Cómo aplicarías lo que aprendiste?

4. ¿Cómo te ayudó trabajar en grupo a comprender mejor las transformaciones de las funciones lineales? ¿Qué aprendiste de tus compañeros?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo ayuda comprender la tasa de cambio y el valor inicial de la actividad EXPLORAR a predecir qué recta pasará por un punto específico en la actividad Hook, como cuando el láser golpea el satélite?

2. En la actividad EXPLORAR, analizaste los cambios en los costos de suscripción a lo largo del tiempo. ¿Cómo puede aplicarse esta habilidad de analizar cambios para predecir la trayectoria del láser en la actividad Hook?

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FUNCIONES LINEALES

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Explore 4

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FUNCIONES LINEALES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 4

Transformaciones lineales Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

FECHA ______________________________

Una empresa de castillos inflables alquila el castillo Salta en la rama por $35 la hora. La función f(x) = 35x representa la tarifa de alquiler por x horas. La compañía decide agregar una tarifa única de $50 por limpieza. 1.

Escribe la función g(x).

¿Cómo se compararía la gráfica de g(x) con la de f(x)?

Linear Functions Explore 4

Transformaciones lineales Boleto de salida Una empresa de castillos inflables alquila el castillo Salta en la rama por $35 la hora. La función f(x) = 35x representa la tarifa de alquiler por x horas. La compañía decide agregar una tarifa única de $50 por limpieza. 1.

Escribe la función g(x).

¿Cómo se compararía la gráfica de g(x) con la de f(x)?

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FUNCIONES LINEALES

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ÁLGEBRA 1

FUNCIONES LINEALES

Linear Functions Part 4 EXPLORAR 4

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Transformaciones lineales 1.

La función original y = x ha sido desplazada en la gráfica. El alumno A cree que la función se ha desplazado hacia la derecha. El alumno B cree que se ha desplazado hacia abajo. ¿Quién está correcto? ¿Por qué?

La función original y = x ha sido reflejada en la gráfica. El alumno A cree que la función se ha reflejado sobre el eje X. El alumno B cree que se ha reflejado sobre el eje Y. ¿Quién está correcto? ¿Por qué?

Un excursionista comienza a caminar en una elevación de 2,000 ft y gana 1,000 ft por cada hora de caminata. a. Escribe una ecuación para representar la elevación ganada en función del tiempo.

¿Cuál sería la ecuación transformada y cómo cambiaría la gráfica, si su amigo sale una hora más tarde en la misma excursión? 1

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Linear Functions Part 4 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

FUNCIONES LINEALES

La recta y = x – 3 ha sido transformada en la gráfica. a.

¿Ha habido un desplazamiento vertical, un estiramiento o una compresión? ¿Cómo lo sabes?

¿Ha habido un desplazamiento horizontal, un estiramiento o una compresión? ¿Cómo lo sabes?

¿Cuál es la transformación?

Escribe una ecuación para la recta transformada.

Completa la tabla y llena el espacio en blanco de abajo con la gráfica en la que g(x) es una traslación de f(x). x

f(x)

−5.0

−2.5

0.0

2.5

5.0

g(x)

g(x) = f(x) + ___ 2

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ÁLGEBRA 1

FUNCIONES LINEALES

HOOK POST-EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Responda las preguntas. 1. ¿Cómo puedes determinar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados en una gráfica, y cómo ayudaría esto a predecir la trayectoria del láser para alcanzar el satélite?

2. Si compararas el costo de los alquileres de bicicletas usando sucesiones aritméticas y funciones lineales, ¿cómo decidirías qué representación usar según el dominio del problema?

3. Al analizar diferentes opciones de asignación representadas por gráficas, tablas y ecuaciones, ¿cómo puedes identificar cuál opción es más beneficiosa según la pendiente y las intersecciones con los ejes?

4. ¿Cómo afectan las transformaciones de funciones lineales, como los cambios en la pendiente y el intercepto en y, a la gráfica de una función, y cómo puede aplicarse este conocimiento para ajustar la trayectoria del láser y asegurar que alcance el satélite?

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FUNCIONES LINEALES

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FUNCIONES LINEALES

NOMBRE _____________________________________________

ESQUEMA DE ANCLAJE

FECHA ______________________________

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m: pendiente de la línea; cambio en y cambio en x

b: intersección en y; el punto donde la línea cruza el eje Y

y = mx + b

Forma pendiente-intersección

Funciones Lineales

ESQUEMA DE ANCLAJE

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FUNCIONES LINEALES

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NOMBRE _____________________________________________

FUNCIONES LINEALES

Linear Functions CUADERNO INTERACTIVO

FECHA ______________________________

CUADERNO INTERACTIVO Instrucciones ● Recorta el plano cartesiano y pega en tu cuaderno. ● Grafica la función f(x) = x con un lápiz de color. ● Traslada la línea verticalmente 3 unidades. Dibuja la línea con un lápiz de color diferente y etiqueta con su función. ● Dilata la línea por un factor de 2. Dibuja la línea con un lápiz de color diferente y etiqueta con su función.

Instrucciones ● Explica las diferencias entre trasladar una línea y dilatar una línea. ● Recorta el rectángulo y pega en tu cuaderno.

Explica las diferencias entre traslación y dilatación. _____________________________________________________ _____________________________________________________ _____________________________________________________ _____________________________________________________

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FUNCIONES LINEALES

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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FUNCIONES LINEALES

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FUNCIONES LINEALES

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FUNCIONES LINEALES Linear Functions

NOMBRE _____________________________________________

REVISIÓN EN ESPIRAL

FECHA ______________________________

REVISIÓN EN ESPIRAL

Acampar con tu familia

Acampar siempre ha sido una forma de que tu familia y tu familia extendida se conecten. Eliges un nuevo parque estatal para visitar cada año. Tu familia busca explícitamente parques que sean buenos lugares para nadar o caminar. Algunos de sus parques estatales favoritos han sido aquellos en los que puede flotar en una cámara de aire y saltar desde columpios de cuerda hacia el río tranquilo y cristalino. A tu familia le encanta hacer un seguimiento de los esfuerzos de senderismo, y su caminata récord es de 6 millas por la ladera de una montaña rocosa. Mientras acampas, también estudias la naturaleza, haces un picnic, navegas en canoa, pescas, juegas al minigolf, haces geocaching y andas en bicicleta. Sin embargo, tu madre está embarazada este año, por lo que en lugar de un campamento, tu familia necesita reservar un refugio o cabaña con mosquitero. Hay ciertos beneficios en un refugio con mosquitero, como que caben más personas adentro en catres o colchones de aire, y la ubicación de los refugios con mosquitero está más cerca de la tienda, el quisco, las duchas y el río del parque. En contraste, la cabina es beneficiosa porque ofrece más privacidad, aire acondicionado y calefacción, y tiene baño y ducha completos. ¿Dónde debería su familia reservar su viaje de campamento y debería quedarse en un refugio o cabaña con mosquitero?

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FUNCIONES LINEALES

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Linear Functions LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Encuentra la ecuación de la recta representada por la siguiente imagen de la montaña.

Tu familia va a jugar golf en miniatura en el parque estatal. El costo para su familia está representado por la función f(x) = 12(x – 4), donde x representa el número de miembros de la familia que juegan al minigolf. Encuentra f(11) para determinar el costo total de 11 miembros de la familia para jugar golf en miniatura.

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FUNCIONES LINEALES

Mientras estudias la población de árboles en el parque estatal, aprendes que el ciprés calvo crece aproximadamente la misma cantidad de pulgadas cada año. Al usar la siguiente tabla, ¿cuál es la tasa de cambio de la altura promedio de un árbol de ciprés calvo con respecto a su edad?

Edad del ciprés calvo en años

Altura promedio en pulgadas

126

280

El parque estatal tiene una pequeña tienda donde puede comprar alimentos y suministros adicionales. Usted compra helados para todos los niños de su familia por $1.75 cada uno y además compra un juego de s'mores por $13.50. Escribe una ecuación en la forma y = mx + b para representar este escenario, dónde y es el costo total y x es la cantidad de helados.

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FUNCIONES LINEALES

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ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

FUNCIONES LINEALES

CIENCIA DE DATOS

FECHA ______________________________

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Amusement Park Visitor Expectations. En: SenSource, SenSource Inc., 2019 [en línea]. Disponible en: https://sensourceinc.com/wp-content/uploads/2015/10/ThemeParks_2019.pdf.

Date prisa y espera

Linear Functions

CIENCIA DE DATOS

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Skills Quiz

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FUNCIONES LINEALES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

PRUEBA DE HABILIDADES

Name: ___________________________ Date: ________________

PRUEBA DE HABILIDADES Funciones lineales Utiliza esta gráfica de ℎ(𝑥𝑥) para responder las preguntas 1 y 2.

1. Indica el nombre de la familia de funciones y escribe una función en forma pendiente-intersección que haga par con la gráfica.

2. Completa la tabla para ℎ(𝑥𝑥).

h(x)

-10 10 -2 2 6

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Skills Quiz

FUNCIONES LINEALES

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3. La función 𝑦𝑦 = 275 + 50𝑚𝑚 representa la cantidad de dinero en una cuenta de ahorros que comenzó con $275 y recibe un depósito de $50 cada mes, m. ¿Cuál es un rango razonable de la función? A. Todos los números reales B. 0 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 275 C. 275 ≤ 𝑦𝑦

D. 0 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 12 4. ¿Qué opción proporciona una función lineal que tiene las soluciones (4, −7) y (−2, −4)? A. 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 – 15

B. 𝑦𝑦 =

1 𝑥𝑥 – 3 2

D. 𝑦𝑦 =

− 2 𝑥𝑥 – 5

C. 𝑦𝑦 = 7𝑥𝑥 – 2 1

5. La función lineal principal, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥, se estiró verticalmente por un factor de 3 y se trasladó 2 unidades a la derecha y 4 unidades hacia abajo. Escribe una ecuación para la nueva función.

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GRADE 3 STUDENT NOTEBOOK Skills Quiz MULTIPLICATION MODELS

ÁLGEBRA 1

6. Compara las dos funciones, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) y 𝑔𝑔(𝑥𝑥).

𝑔𝑔(𝑥𝑥) = x

FUNCIONES LINEALES

− 4(𝑥𝑥 – 2) 𝑓𝑓(𝑥𝑥): f(x)

-9

-7

-3

4.5

a. ¿Qué función tiene una mayor pendiente? b. ¿Qué función tiene una mayor intersección en x? c. ¿Qué función tiene una mayor intersección en y? 7. ¿Qué línea representa una función cuya pendiente está más inclinada que la función 3𝑦𝑦 = 6𝑥𝑥 – 10?

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Skills Quiz

FUNCIONES LINEALES

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Utiliza la siguiente información para responder las preguntas 8 y 9: Marcos pide un batido de chocolate en su restaurante favorito. El batido es de 300 ml. Marcos termina la bebida en 10 minutos, al beberla a una tasa constante. 8.

Escribe una función que represente esta situación y grafica la función que representa el volumen del batido con el paso del tiempo.

¿Cuál es un dominio y un rango razonables para este gráfico? El dominio es __________. El rango es __________.

Utiliza la siguiente información para responder las preguntas 10 a 12. Esta información describe las tarifas de alquiler de las bicicletas de Bob. ● 1 hora cuesta $5.00. ● 2 horas cuestan $9.00. ● 3 horas cuestan $13.00. © Accelerate Learning Inc. - All Rights Reserved

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ÁLGEBRA 1

FUNCIONES LINEALES

10. a. Escribe una secuencia aritmética para representar las tarifas de alquiler.

b. Determina el dominio y el rango.

11. a. Escribe una ecuación lineal en forma pendiente-intersección para representar las tarifas de alquiler. b. Determina el dominio y el rango.

12. ¿Qué representaría mejor la situación si las bicicletas solo pudieran alquilarse por horas completas, una secuencia aritmética o una función lineal? Justifica tu respuesta.

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FUNCIONES LINEALES

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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FUNCIONES LINEALES

VOCABULARIO

SECUENCIA ARITMÉTICA

DOMINIO

RANGO

RESTRICCIÓN

INTERSECCIÓN X

INTERSECCIÓN Y

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FUNCIONES LINEALES

VOCABULARIO Dominio

Secuencia aritmética

El conjunto de todas las posibles entradas (valores x) de una función

Secuencia donde los términos sucesivos difieren por el mismo número d, llamada diferencia común, donde d ≠ 0 3

Restricción

Rango

Condición que debe satisfacer la solución

Conjunto de todas las salidas posibles, o valores y, de una relación o función 5

Intersección en y

Intersección en x

Punto en el gráfico de una ecuación donde la recta cruza el eje Y

Coordenada x o coordenadas donde un gráfico interseca el eje X, identificado como (x, 0) 7

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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FUNCIONES LINEALES

VOCABULARIO

COMPORTAMIENTO FINAL

PARÁMETRO

FUNCIÓN EXPONENCIAL

FUNCIÓN LINEAL PRINCIPAL

SOLUCIÓN

PLANO CARTESIANO

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FUNCIONES LINEALES

VOCABULARIO Parámetro

Comportamiento final

Cantidad que influye en la producción o el comportamiento de un objeto matemático, pero se considera que se mantiene constante

Tendencia que sigue el gráfico cuando x se acerca al infinito en las direcciones negativa y positiva 9

Función lineal principal

Función exponencial

Ecuación más simple de la función lineal, y = x o f(x) = x

Función en la forma de f(x) = abˣ donde a y b son números reales y a ≠ 0, b ≠ 1, yb>0 11

Plano cartesiano

Solución

Cualquier número que hace verdadera una ecuación 13

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FUNCIONES LINEALES

VOCABULARIO

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

FORMA ESTÁNDAR (LINEAL)

FORMA PUNTO-PENDIENTE

FORMA PENDIENTEINTERSECCIÓN

PENDIENTE

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FUNCIONES LINEALES

VOCABULARIO Forma estándar (lineal)

Expresión algebraica

Ax + By = C, donde A, B y C son constantes y A y B no son 0

Números, variables y símbolos agrupados sin un signo igual para mostrar una relación 15

Forma pendiente-intersección

Forma punto-pendiente

Forma de escribir la ecuación de una línea para que sea fácil ver la pendiente y la intersección con el eje Y de la línea; y = mx + b

Ecuación escrita en forma de y – y₁ = m(x – x₁), donde m es la pendiente y (x₁, y₁) es cualquier punto contenido en la recta 17

Pendiente

Cuán empinada es una recta; representada como «m» en la ecuación de pendiente-intersección 18

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DESIGUALDADES LINEALES

En esta unidad aprenderás a trabajar con desigualdades lineales y cómo pueden usarse para describir relaciones entre números. También aprenderás a determinar si una solución es válida y a representar estas desigualdades de forma gráfica. En esto te enfocarás:

SISTEMAS DE ECUACIONES

◦ Comprender las soluciones: ◦ Aprende a determinar si un par ordenado (un conjunto de dos números) es solución de una desigualdad. Esto significa comprobar si los números cumplen las condiciones establecidas por la desigualdad.

◦ Graficar desigualdades lineales: ◦ Practica graficar desigualdades lineales en un plano de coordenadas. Esto implica sombrear una región que representa todas las soluciones posibles de la desigualdad. ◦ Comprende cómo representar las soluciones de una desigualdad lineal como un semiplano, que es uno de los lados de una recta en la gráfica.

◦ Escribir desigualdades lineales: ◦ Aprende a escribir desigualdades lineales a partir de una gráfica o una descripción verbal. Esto significa crear una desigualdad que coincida con las condiciones mostradas en una gráfica o descritas con palabras.

Al final de esta lección, podrás determinar soluciones con confianza, graficar desigualdades y escribirlas a partir de distintos tipos de información.

APLICACIÓN DE PRÁCTICAS MATEMÁTICAS • MP.1 Entender los problemas y seguir intentando resolverlos: Resuelve problemas para averiguar qué calificaciones necesitas para obtener el promedio que deseas en una clase. Encuentra tu promedio actual, escribe una ecuación o desigualdad para mostrar lo que necesitas y resuélvela para hallar la calificación que necesitas. • MP.2 Pensar sobre los números y lo que significan: Resuelve una desigualdad de la vida real, relaciónala con la situación y verifica si la respuesta tiene sentido para encontrar la solución correcta. • MP.3 Construir argumentos sólidos y evaluar las ideas de los demás: Explica cómo resuelves ecuaciones lineales, trabaja con tus compañeros y comparte ideas para resolver problemas. • MP.4 Usar las matemáticas para representar situaciones reales: Escribe y resuelve desigualdades para distintos escenarios. Después de resolver, verifica si la solución tiene sentido en la situación.

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• MP.5 Elegir las herramientas adecuadas: Usa papel y lápiz para resolver desigualdades y represéntalas en una recta numérica. Piensa cuidadosamente en cada paso para encontrar la respuesta. • MP.6 Ser preciso: Presta atención a los detalles al resolver y graficar desigualdades, asegurándote de usar el signo de desigualdad correcto para una solución exacta. • MP.7 Usar patrones y estructuras: Resuelve la misma desigualdad de dos maneras diferentes usando lo que has aprendido. Observa que debes invertir el signo de desigualdad al multiplicar o dividir por un número negativo. • MP.8 Observar y explicar patrones repetidos: Comprende cómo se ven las gráficas de desigualdades compuestas. Reconoce que una gráfica de conjunción está entre el valor menor y el mayor, y que una gráfica de disyunción está fuera de esos valores.

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DESIGUALDADES LINEALES

CAPTAR INTERÉS: ANTES DE EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Imagina que estás a cargo de vender entradas para un gran concierto. Hay dos tipos de entradas: entradas de pista de $25 y entradas de balcón de $15. Tu objetivo es recaudar al menos $18,000 con la venta de entradas. ¿Cuántas de cada tipo necesitas vender para alcanzar esta meta? Veamos cómo las matemáticas pueden ayudar a resolver este problema.

En esta actividad, aprenderás a usar desigualdades lineales para resolver problemas del mundo real. Verás un video sobre un recinto de conciertos que vende dos tipos de boletos y necesita ganar al menos $18,000. Explorarás cómo graficar estas desigualdades y comprender cómo diferentes ventas de boletos pueden cumplir la meta de ingresos del recinto.

Responda las preguntas. 1. Si el recinto vende solo entradas de pista, ¿cuántas debe vender para recaudar al menos $18,000?

2. ¿Cuál es el número mínimo de entradas de balcón necesarias para alcanzar el objetivo de $18,000 si no se venden entradas de pista?

3. ¿Cómo puedes usar una gráfica para determinar la combinación de entradas de pista y de balcón necesaria para cumplir el objetivo de ingresos?

4. ¿Qué representa el área sombreada en la gráfica en términos de ventas de entradas e ingresos?

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DESIGUALDADES LINEALES

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DESIGUALDADES LINEALES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 1: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que estás a punto de iniciar un pequeño negocio, como Jahzara, una joven emprendedora que quiere fabricar y vender joyería para ahorrar para un auto. Tiene $500 para empezar, pero necesita determinar cuántas pulseras y collares hacer sin gastar de más. Esta actividad te ayudará a usar matemáticas para encontrar la mejor solución para ella. En esta actividad, aprenderás a usar la sustitución para verificar si un par ordenado resuelve un problema. Graficarás estos pares en un plano de coordenadas y comprenderás qué significa el semiplano sombreado. Al trabajar en grupos, también harás recomendaciones basadas en matemáticas para un escenario empresarial, utilizando las herramientas y los conceptos matemáticos que has aprendido.

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DESIGUALDADES LINEALES

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DESIGUALDADES LINEALES

Linear EXPLORAR 1 Inequalities Explore 1

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Costos iniciales de fabricación de joyas Usa la información que se detalla a continuación para determinar si cada par ordenado representa un escenario que está por encima del presupuesto, por debajo del presupuesto o cumple con el presupuesto para la cantidad de dinero que Jahzara tiene disponible para sus costos iniciales. Sea x la cantidad de pulseras e y la cantidad de collares. ● ● ●

Jahzara tiene $500 para gastar en costos iniciales. Los materiales para cada pulsera cuestan $2. Los materiales para cada collar cuestan $3.

Calcula el costo de los suministros para cada situación dada. Determina si los costos de los suministros están por encima del presupuesto, por debajo del presupuesto o se ajustan el presupuesto. Luego, selecciona 5 pares ordenados diferentes y completa los mismos cálculos. Ecuaciones y cálculos

Por encima del presupuesto

Por debajo del presupuesto

Se ajustan al presupuesto

(20, 10)

❏

(120, 60)

❏

(220, 20)

❏

(30, 160)

❏

(40, 140)

❏

(200, 40)

❏

❏ 1

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Linear Inequalities Explore 1

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DESIGUALDADES LINEALES

Escribe una desigualdad para representar los costos iniciales. Sea x la cantidad de pulseras e y la cantidad de collares.

Escribe una ecuación relacionada para representar los costos iniciales si Jahzara gasta exactamente $500. Sea x la cantidad de pulseras e y la cantidad de collares.

Traza los pares ordenados de la página anterior en el eje de coordenadas provisto. ● Usa una ✗ para identificar los pares ordenados que están por encima del presupuesto. ● Usa un ● para identificar los pares ordenados que están por debajo del presupuesto o se ajustan al presupuesto.

Grafica la ecuación relacionada de la pregunta 3.

¿Qué notas sobre las ✗ y los ●?

En el eje de coordenadas, sombrea el semiplano que contiene todos los puntos que hacen que tu desigualdad sea verdadera. 2

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Linear Inequalities Explore 1 DESIGUALDADES LINEALES

¿Por qué crees que este eje de coordenadas solo muestra valores positivos de x and y values?

Llena los cuadros para describir las restricciones que identificaste con el uso de desigualdades. x≥

y≥

10. ¿Qué significa el par ordenado (100, 50) en esta situación?

11. ¿Qué significa el par ordenado (200, 100) en esta situación?

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Linear Inequalities Explore 1 DESIGUALDADES LINEALES

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Reflexiona 1.

Da tres pares ordenados que sean soluciones. ¿Están en el semiplano sombreado o no sombreado?

¿Qué sabes acerca de todas las coordenadas en el semiplano sombreado?

El par ordenado (54.2, 11.9) está en el semiplano sombreado. ¿Es esta una solución razonable? ¿Por qué sí o por qué no?

¿Qué sabes acerca de todas las coordenadas en el semiplano sin sombrear?

Jahzara vende los collares a $15 cada uno y los brazaletes a $8 cada uno. ¿Cuántas pulseras y collares debe hacer? Su papá sugirió la misma cantidad de cada uno, tal vez 100 y 100. Su tía sugirió hacer más collares porque cobra más por ellos. Jahzara pensó que debería hacer más pulseras porque toma menos tiempo hacerlas. ¿Cuántas pulseras y collares recomendarías que hiciera Jahzara? Apoya tu respuesta con un argumento basado en matemáticas.

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DESIGUALDADES LINEALES

EXPLORAR 1: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Cómo te ayudó usar la sustitución a determinar si un par ordenado era una solución de la desigualdad?

2. ¿Qué aprendiste sobre la relación entre la ecuación de una recta y el semiplano sombreado en la gráfica?

3. ¿Cómo te ayudó trabajar con tu grupo a comprender el concepto de modelar con las matemáticas?

4. ¿Qué estrategias utilizaste para decidir qué lado de la recta frontera sombrear, y qué tan seguro estás de tu decisión?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo nos ayuda el concepto de sombrear un semiplano en la actividad EXPLORAR a entender el objetivo de ingresos para el recinto de conciertos en la actividad Hook?

2. En ambas actividades EXPLORAR y Hook, usaste pares ordenados para determinar soluciones. ¿Cómo ayuda sustituir pares ordenados en desigualdades a decidir si la producción de joyería de Jahzara o las ventas de entradas del recinto del concierto cumplen sus respectivas metas?

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DESIGUALDADES LINEALES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

Linear Inequalities Explore 1

DESIGUALDADES LINEALES

EXPLORAR 1

FECHA ______________________________

Soluciones de desigualdadesBOLETO lineales DE SALIDA Boleto de salida Jennifer quiere hacer aretes y carteras para su familia para las fiestas. Ella tiene un presupuesto de $40. La siguiente gráfica representa la cantidad de aretes y carteras que puede permitirse hacer.

Da 3 ejemplos de cantidades de carteras y aretes que Jennifer puede hacer. Luego, escribe tus valores como pares ordenados.

Da 3 ejemplos de pares ordenados que no sean soluciones. Explica uno de los pares ordenados en el contexto de las manualidades de Jennifer.

Jennifer hace regalos para 12 parientes. 2 regalos serán carteras y los otros regalos serán aretes. ¿Funciona esto para su presupuesto? Explica cuánto le costaría.

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DESIGUALDADES LINEALES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

DESIGUALDADES LINEALES

Linear1Inequalities EXPLORAR Part 1

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Solucionar desigualdades lineales Carolina planea una venta de productos horneados para recaudar dinero para un viaje que se acerca de la clase de su hija. El viaje costará $600. Venderán galletas a $2 cada una y paletas redondas de pastel que costarán $4 cada una. 1.

Determina si cada par ordenado representa un escenario que cumplirá la meta de recaudación. Selecciona otros 5 pares (diferentes a los dados), y señala si recaudarán suficiente dinero para financiar el viaje. Par ordenado

Espacio de trabajo

Solución

No solución

(150, 100)

▢

(75, 50)

▢

(100, 100)

▢

(50, 75)

▢

(150, 150)

▢

(150, 75)

▢

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Linear Inequalities Part 1 DESIGUALDADES LINEALES

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Escribe una desigualdad para representar el dinero que recaudará la venta de productos horneados. Deja que x represente la cantidad de galletas vendidas y que y represente la cantidad de paletas redondas de pastel vendidas.

Escribe una ecuación relacionada para representar las ganancias de la venta de productos horneados, de obtenerse exactamente $600. Deja que x represente la cantidad de galletas vendidas y que y represente la cantidad de paletas redondas de pastel vendidas.

Traza los datos en la cuadrícula de coordenadas proporcionada. ● Usa una ✗ para identificar los pares ordenados que no cumplen con la meta de recaudación. ● Usa un ● para identificar los pares ordenados que son justos o superan la meta de recaudación. ● Grafica la ecuación relacionada de la pregunta 3. ● En la cuadrícula de coordenadas, sombrea la parte del plano que contiene todos los puntos que hacen verdadera la desigualdad.

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Linear Inequalities Part 1 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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DESIGUALDADES LINEALES

Guillermo quiere ir a la feria y tiene $20 para gastar. Las atracciones más emocionantes cuestan $5 cada una, y las atracciones más pequeñas cuestan $2. Este escenario puede representarse mediante la desigualdad 5t + 2s ≤ 20, donde t representa la cantidad de atracciones emocionantes y s representa la cantidad de atracciones más pequeñas. a.

¿Puede Guillermo pagar para subir 4 de las atracciones emocionantes? Explícalo.

¿Es el par ordenado (5, −3) una solución razonable para este escenario?

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DESIGUALDADES LINEALES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

DESIGUALDADES LINEALES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 2: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que estás iniciando tu propio negocio de joyería, como Jahzara. Tienes cierta cantidad de tiempo cada semana para hacer pulseras y collares, y necesitas averiguar cómo usar ese tiempo sabiamente. Usando una aplicación en tu teléfono, puedes ingresar cuánto tardas en hacer cada pieza de joyería. Luego, la app te da una ecuación matemática especial llamada desigualdad. Esta desigualdad te ayuda a ver todas las formas posibles en que puedes usar tu tiempo durante las próximas 9 semanas. Tu tarea es ayudar a Jahzara a entender esta desigualdad y decidir cuánto tiempo debería dedicar a hacer cada tipo de joya. En esta actividad, aprenderás a usar y graficar desigualdades lineales para ayudar a Jahzara a administrar su tiempo de elaboración de joyas. Trabajarás en grupos para interpretar desigualdades, comparar distintas formas y decidir cuánto tiempo debería dedicar Jahzara a pulseras y collares. También discutirán sus hallazgos y harán recomendaciones.

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DESIGUALDADES LINEALES

100

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40y

≤

4,320

Utiliza el análisis de unidades para justificar por qué 8 horas a la semana durante 9 semanas está representada por 4,320.

15x

15x + 40y ≤ 4,320

Completa la tabla para explicar los significados de los términos y el símbolo de desigualdad.

Desigualdad de la aplicación: 15x + 40y ≤ 4,320 Sea x la cantidad de pulseras hechas. Sea y la cantidad de collares hechos.

Significado

● ● ●

Usa la información dada para ayudar a Jahzara a interpretar el significado de la desigualdad.

Tiempo de joyería

Linear Inequalities Explore 2 LIBRO DEL ESTUDIANTE ÁLGEBRA 1 DESIGUALDADES LINEALES

NOMBRE _____________________________________________

FECHA ______________________________

EXPLORAR 2

DIARIO DEL ESTUDIANTE

101

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Linear Inequalities Explore 2

Explica cómo la desigualdad de la aplicación, 15x + 40y ≤ 4,320, difiere de la ecuación relacionada 15x + 40y = 4,320.

Desigualdad de la tía

La tía de Jahzara ejecutó los mismos datos en un programa de computadora que usa para trabajar y se le dio una desigualdad diferente. Desigualdad de Jahzara

8y ≤ 864 − 3x

¿Son equivalentes las desigualdades? ¿Por qué sí o por qué no?

15x + 40y ≤ 4,320

Da un ejemplo de un par ordenado que contenga números enteros y satisfaga la desigualdad, pero que no sea una solución razonable.

¿Las desigualdades tienen el mismo conjunto de soluciones? ¿Por qué sí o por qué no?

¿Qué restricciones adicionales se necesitan para que la región que contiene las soluciones solo contenga soluciones razonables? Explica tu razonamiento.

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102

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE DESIGUALDADES LINEALES

Grafica la ecuación relacionada de la pregunta 3.

En la cuadrícula, sombrea el semiplano que contiene todos los puntos que hacen verdadera tu desigualdad.

¿Sería el punto (40, 93) un punto de prueba razonable para determinar dónde sombrear? ¿Por qué sí o por qué no?

Linear Inequalities Explore 2 LIBRO DEL ESTUDIANTE

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ÁLGEBRA 1 GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK DESIGUALDADES LINEALES

103

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Linear Inequalities Explore 2

Tanto (8, 105) como (280, 3) están en la región de la solución. Ambos puntos suponen un total de 4,320 minutos dedicados a la fabricación de joyas. ¿Hace alguna diferencia qué opción se elige? ¿Por qué sí o por qué no?

Reflexiona

Todos los puntos en la región sombreada representan la cantidad de pulseras y collares que están dentro del presupuesto de Jahzara. ¿Son todas estas opciones igualmente buenas y deseables? Da un ejemplo para apoyar tu posición y explica.

¿Cuántos de cada tipo debe hacer Jahzara? ¿Qué recomendaciones le darías a Jahzara y qué argumento matemático usarías para convencerla de que tu recomendación es razonable?

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104

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE DESIGUALDADES LINEALES

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

DESIGUALDADES LINEALES

EXPLORAR 2: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué aprendiste sobre cómo usar una gráfica para resolver una inecuación lineal?

2. ¿Cómo puedes decidir qué soluciones son razonables para la situación de fabricación de joyas de Jahzara?

3. ¿Qué estrategias te resultaron más útiles al trabajar con tu grupo para interpretar la desigualdad?

4. ¿Cómo ayuda entender las desigualdades a tomar decisiones en situaciones de la vida real?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se relaciona el escenario de Jahzara de gestionar su tiempo de fabricación de joyas utilizando desigualdades lineales con el objetivo de la sala de conciertos de vender suficientes entradas para alcanzar una meta de ingresos? Considera cómo ambas situaciones usan desigualdades para determinar soluciones factibles dentro de restricciones dadas.

2. En ambos escenarios, el negocio de joyería y el recinto de conciertos, ¿cómo ayudan las desigualdades a tomar decisiones sobre la asignación de recursos (tiempo para la elaboración de joyas y venta de entradas para generar ingresos)? Analiza el papel de graficar e interpretar estas desigualdades para comprender y resolver problemas del mundo real.

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105

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DESIGUALDADES LINEALES

106

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

Linear Inequalities Explore 2 DESIGUALDADES LINEALES

EXPLORAR 2

Graficar desigualdades lineales Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

FECHA ______________________________

La dueña de una casa está interesada en materiales de bajo mantenimiento para su jardín. Ella considera césped artificial y grava. El césped artificial está a la venta a $12 por pie cuadrado y la grava a $4 por pie cuadrado. Ella tiene $2,000 para gastar en los materiales. Esta situación se puede representar mediante la desigualdad 12x + 4y ≤ 2,000, donde x representa los pies cuadrados de césped artificial e y representa los pies cuadrados de grava. 1.

¿Cuál es la ecuación relacionada y cómo se conecta con la gráfica de la desigualdad?

Grafica la desigualdad.

El punto (80.5, 200.5) es una solución a la desigualdad. ¿Tiene sentido esta solución en este contexto?

Da un ejemplo de un par ordenado que no sea una solución razonable y explica por qué no es razonable.

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DESIGUALDADES LINEALES

108

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

DESIGUALDADES LINEALES

Linear Inequalities EXPLORAR 2 Part 2

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Graficar desigualdades lineales Sid planea organizar una merienda campestre para sus amigos. Él tiene $60 para gastar. Todos recibirán papas fritas crujientes y bebidas, pero él quiere darles a cada uno la opción de una hamburguesa o un hot dog. La comida de hamburguesa costará $6 cada una y la de un hot dog $3 cada una. 1.

Escribe una ecuación relacionada para el costo de la merienda campestre. Deja que x represente la cantidad de comidas de hamburguesas y que y represente la cantidad de comidas de hot dogs.

Sid trata de determinar a cuántas personas puede invitar. ¿Pareciera que invitar 25 personas estará dentro de su presupuesto? ¿Por qué sí o por qué no?

¿Qué desigualdad representa este escenario una vez que se aísla y? ¿Por qué? y ≤ 60 – 6x

y ≤ 20 – 2x

Otorga un ejemplo de un par ordenado que satisfaga la desigualdad y sea una solución razonable. Aporta evidencia de que tu par ordenado es una solución.

Otorga un ejemplo de un par ordenado que satisfaga la desigualdad pero que no sea una solución razonable. Explica tu respuesta.

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Linear Inequalities Part 2 DESIGUALDADES LINEALES

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Grafica la desigualdad de la pregunta 1 en la cuadrícula de abajo. Etiqueta el eje x y el eje y. Sombrea el área de la cuadrícula que hace que la desigualdad sea verdadera.

Sasha trabaja de niñera para ganar suficiente dinero y comprar un teléfono nuevo. El teléfono cuesta $500. Tiene 2 familias para las que hace de niñera. Una familia tiene 1 niño y Sasha cobra $8 por hora. La segunda familia tiene 4 niños y Sasha cobra $13 por hora. a.

Escribe una desigualdad para representar las horas que ella tendrá que trabajar para ahorrar el dinero que necesita.

¿Ganaría ella suficiente dinero si tiene 30 horas con la primera familia y 20 horas con la segunda? Explícalo.

¿Sombrearías por encima o por debajo de la línea en una gráfica de esta desigualdad? ¿Por qué?

110

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Linear Inequalities Part 2 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

DESIGUALDADES LINEALES

Examina las desigualdades de abajo. ¿Está el punto (0, 0) en la región de solución? Sombrea la región de solución de cada gráfica.

Desigualdad

¿Está (0, 0) en la región de solución?

Región de solución

3x + y ≥ 4

y < 2x + 1

x + 2y < 6

y ≥ 3x – 2

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111

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DESIGUALDADES LINEALES

112

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 112

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

DESIGUALDADES LINEALES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 3: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que estás ayudando a Jahzara, una joven emprendedora que hace joyas. Está usando un programa informático para hacer un seguimiento de sus ventas y tiene una gráfica que muestra cuántos collares y pulseras necesita vender para ganar más de 1.200 dólares. Tu tarea es ayudarla a analizar la gráfica, determinar la mejor combinación de joyas para fabricar y explicar por qué tu sugerencia la ayudará a alcanzar su objetivo. En esta actividad, aprenderás a leer e interpretar gráficas de inecuaciones lineales. Trabajarás en grupos para ayudar a Jahzara a decidir cuántos collares y pulseras hacer para ganar más de $1,200. Usarás matemáticas para comprender la gráfica, crear ecuaciones y explicar tu razonamiento. También compararás las gráficas de distintos vendedores para hacer recomendaciones fundamentadas.

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113

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DESIGUALDADES LINEALES

114

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 114

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

DESIGUALDADES LINEALES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR Linear3Inequalities Explore 3

FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Ingresos por joyería Parte I

Analiza la gráfica para explicar lo que el programa de computadora calculó para la meta de ingresos por joyería de Jahzara.

¿Qué te dicen las intersecciones en x y las intersecciones en y de la línea discontinua en el contexto de esta situación?

¿Por qué crees que la línea divisoria en la gráfica es discontinua y no continua?

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115

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Linear Inequalities

Explore 3 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

DESIGUALDADES LINEALES

Resuelve los problemas a continuación y haz una recomendación final sobre la cantidad de pulseras y collares que Jahzara debe hacer para alcanzar su meta de ingresos. 3.

Llena los espacios en blanco para crear una desigualdad que represente la situación en la gráfica. ___x + ___y ___ 1,200

¿Cómo determinaste los coeficientes a colocar en tu ecuación?

¿Cómo decidiste qué símbolo de desigualdad usar?

¿El par ordenado (60, 48) satisface la desigualdad?

¿El par ordenado (40.5, 70.5) satisface la desigualdad? ¿Es una solución razonable? ¿Por qué sí o por qué no?

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

Linear Inequalities Explore 3 DESIGUALDADES LINEALES

Parte II Jahzara buscó a otros vendedores de joyas en su programa de computadora para comparar sus objetivos de ingresos. 1.

Escribe una desigualdad para cada una de las gráficas a continuación. Cada vendedor que ella investigó tiene el mismo objetivo de $1,200 que tiene Jahzara. Vendedor A

Ecuación:

Vendedor B

Ecuación:

¿Qué vendedor tiene una meta de más de $1,200? ¿Cómo lo sabes?

¿Cómo describirías la meta de ingresos del otro vendedor?

¿Qué vendedor cobra más por un collar?

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 117

117

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DESIGUALDADES LINEALES

Linear Inequalities Explore 3

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Reflexiona 1.

¿Cómo podemos saber si los puntos a lo largo de la línea divisoria son soluciones?

¿Todas las soluciones en el semiplano sombreado son soluciones razonables?

¿Cómo se puede usar la gráfica de una desigualdad para escribir una desigualdad y la ecuación relacionada?

¿Cuántas joyas de cada tipo debe hacer Jahzara? ¿Qué recomendaciones le darías a Jahzara y qué argumento matemático usarías para convencerla de que su recomendación es razonable?

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SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 118

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

DESIGUALDADES LINEALES

EXPLORAR 3: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué estrategias utilizaste para determinar si la línea de frontera debía ser sólida o discontinua, y por qué es importante para comprender la gráfica?

2. ¿Cómo utilizaste el gráfico para decidir cuántos collares y pulseras debería hacer Jahzara para alcanzar su objetivo de ganar más de 1.200 dólares?

3. ¿Qué desafíos enfrentaste al interpretar el gráfico y cómo los superaste?

4. ¿Cómo puede la comprensión de las desigualdades lineales y sus gráficas ayudarte en situaciones de la vida real, como planificar un presupuesto o establecer metas?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo puede el concepto de sombreado en la gráfica de una desigualdad lineal ayudar a Jahzara a determinar la mejor combinación de collares y pulseras para fabricar con el fin de superar su objetivo de ingresos de 1.200 dólares?

2. En el contexto de la meta de ingresos del recinto, ¿cómo ayuda comprender la línea límite y el sombreado en una gráfica de una desigualdad lineal a determinar la cantidad de entradas de pista y de balcón necesarias para alcanzar o superar $18,000?

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119

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DESIGUALDADES LINEALES

120

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 120

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:12 PM

Linear Inequalities Explore 3 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

DESIGUALDADES LINEALES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 3

Escribir desigualdades lineales Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

FECHA ______________________________

La siguiente gráfica muestra la ganancia que obtiene Jessica de la venta de dibujos y pinturas cuando su ganancia total es de más de $600.

Escribe una desigualdad para representar esta situación.

Da dos pares ordenados en la región sombreada. ¿Hacen verdadera la desigualdad? ¿Son soluciones razonables? ¿Por qué sí o por qué no?

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 121

121

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DESIGUALDADES LINEALES

122

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 122

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:12 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

DESIGUALDADES LINEALES

Linear Inequalities EXPLORAR 3 Part 3

MUESTRA LO QUE SABES

Escribir desigualdades lineales Monica planea un viaje de graduación para ella y sus amigas. Cada una ha ahorrado durante años; tienen un total de $500 para usar en el alojamiento. Quieren pasar algunas de las noches en un hotel, también han encontrado un lugar para acampar muy bonito en el que es mucho más barato alojarse algunas noches. Harán una combinación de las dos cosas. La gráfica de abajo es un análisis del costo de pasar una cantidad diferente de noches en cada lugar, manteniéndose dentro del presupuesto.

¿Cuáles son los pares ordenados de la intersección en x y de la intersección en y de la gráfica, y qué indican?

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 123

123

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Linear Inequalities Part 3

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

DESIGUALDADES LINEALES

Con base a la intersección en x, calcula el costo de una noche en la habitación del hotel. Explica tu respuesta.

Con base a la intersección en y, calcula el costo de una noche de acampada. Explica tu respuesta.

Escribe la desigualdad para representar la situación.

Ahora examina la siguiente gráfica y compárala con la de la página anterior.

¿En qué se diferencian las gráficas?

¿Qué significaría esto en esta situación?

124

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 124

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

Linear Inequalities Part 3 DESIGUALDADES LINEALES

Examina las dos gráficas de abajo y completa la tabla para crear ecuaciones de las desigualdades. Gráfica A

Gráfica B

Gráfica A

Gráfica B

Ecuación de la línea divisoria

Desigualdad pareada con la gráfica

Usa un punto para verificar la solución

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 125

125

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DESIGUALDADES LINEALES

126

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 126

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:12 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

DESIGUALDADES LINEALES

HOOK POST-EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Responda las preguntas. 1. ¿Cómo puedes determinar si una combinación específica de entradas de pista y de balcón cumplirá el objetivo de ingresos del recinto de al menos $18,000 usando una desigualdad lineal?

2. Si Jahzara quiere maximizar su beneficio y mantenerse dentro de su presupuesto de $500 para materiales, ¿cómo puede usar una inecuación lineal para decidir cuántas pulseras y collares hacer?

3. ¿Cómo puede Jahzara usar la gráfica de una inecuación lineal para decidir cómo distribuir su tiempo entre hacer pulseras y collares y asegurarse de cumplir sus objetivos de producción?

4. Dado un gráfico de una desigualdad lineal que representa la meta de ingresos de Jahzara de más de $1,200, ¿cómo puedes determinar qué combinaciones de ventas de joyería cumplirán o superarán esta meta?

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 127

127

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DESIGUALDADES LINEALES

128

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 128

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:12 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

DESIGUALDADES LINEALES

ESQUEMA DE ANCLAJE

FECHA ______________________________

Desigualdades lineales

ESQUEMA DE ANCLAJE

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 129

129

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DESIGUALDADES LINEALES

130

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:12 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

DESIGUALDADES LINEALES

NOMBRE _____________________________________________

CUADERNO INTERACTIVO Linear Inequalities

FECHA ______________________________

CUADERNO INTERACTIVO Instrucciones ● Recorta la tabla a continuación y pega en tu cuaderno. ● Para la tabla 1, decide qué tipo de línea va con cada ejemplo (sólida o punteada) y en qué dirección estaría el sombreado del conjunto de soluciones (sobre o debajo) y escribe las palabras en cada caja. ● Para la tabla 2, llena las cajas con las palabras y frases que corresponden a cada símbolo. Tabla 1 y>

y≥

y≤

Línea Sombra Tabla 2 >

≥

≤

Instrucciones ● Recorta la caja a la derecha y pega en tu cuaderno. ● Grafica la ecuación y < −2x + 2. Marca una solución y una no-solución en el gráfico, y muestra la prueba algebraica por la cual cada punto es una solución versus una no-solución en el espacio de trabajo.

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 131

131

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DESIGUALDADES LINEALES

132

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 132

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:12 PM

Linear Inequalities LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

DESIGUALDADES LINEALES

Instrucciones ● Llena la información faltante en cada caja, usa tu conocimiento sobre desigualdades lineales. ● Recorta la tabla a continuación y pega en tu cuaderno.

Desigualdad

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 133

Gráfica

¿Es una solución? (encierra una con un círculo) (0, 0)

sí

(4, −2)

sí

(0, −2)

sí

(1, −2)

sí

(−3, 3)

sí

(5, −3)

sí

(2, 0)

sí

(4, −2)

sí

133

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DESIGUALDADES LINEALES

134

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:12 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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STUDENT NOTEBOOK

DESIGUALDADES LINEALES

135

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DESIGUALDADES LINEALES

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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DESIGUALDADES LINEALES

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DESIGUALDADES LINEALES

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

DESIGUALDADES LINEALES

Linear Inequalities

NOMBRE _____________________________________________

REVISIÓN EN ESPIRAL

FECHA ______________________________

REVISIÓN EN ESPIRAL

Caos de kickball Los papás del vecindario comenzaron juegos semanales de kickball con sus amigos y familiares. El juego siempre comienza de manera bastante inocente. Los niños más pequeños llegan a ser capitanes de equipo. Los capitanes de los equipos dividen los equipos de manera equitativa. Todos tienen un turno para golpear la pelota y ser el lanzador. El kickball se juega de manera similar al béisbol. Dos equipos se enfrentan en un campo de juego en forma de diamante con tres bases más y una base llamada home. El lanzador hace rodar suavemente una pelota de goma inflada hacia el pateador del otro equipo, quien trata de patear la pelota y correr alrededor de las bases. Un miembro del equipo en el campo puede sacar a un corredor al sostener la pelota y al tocar una base antes que el corredor o al lanzar la pelota hacia el corredor y que la misma lo toque. Al igual que en el béisbol, un lanzamiento puede ser un strike o una bola, una patada puede ser fair o foul, tres strikes hacen un out y tres outs significan que los equipos deben cambiar. Sin embargo, lo que siempre sucede cuando juegan es que las pelotas vuelan y derriban a los niños, por lo que dan vueltas y se ríen. Empiezan a tocar o patear las pelotas. Protegen a los jugadores para que no lleguen a la siguiente base. Todo el juego va desde el juego competitivo hasta el caos.

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DESIGUALDADES LINEALES

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Linear Inequalities LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Tu abuela registra las estadísticas del equipo durante los juegos de kickball. Según sus hallazgos, el promedio de patadas de su equipo se puede representar con la expresión 420a2 – 72a. ¿Cuál de las siguientes es una expresión equivalente?

12a(35a – 6)

12a(35a + 6)

12(35a – 6)

STUDENT NOTEBOOK

DESIGUALDADES LINEALES

La velocidad de tu hermano pequeño mientras corre alrededor de las bases para un jonrón se representa mejor con la función f(x) = x. Tu velocidad está mejor representada por g(x) = 3f(x). ¿Qué enunciado describe mejor cómo se relacionan las gráficas de f(x) y g(x)?

f(x) es más empinado que g(x).

g(x) es más empinado que f(x).

f(x) se desplaza verticalmente 3 unidades.

g(x) se desplaza verticalmente 3 unidades.

Se muestra una sección del campo de kickball. La primera base está marcada por la coordenada (14, −5) y la segunda base está marcada por la coordenada (0, 2). ¿Cuál es la tasa de cambio de la línea que pasa por la primera base y la segunda base?

El home está marcado por la coordenada (1, −18), y la primera base está marcada por la coordenada (14, −5). ¿Qué ecuación coincide con el camino que debe tomar un corredor desde el plato hasta la primera base?

y + 15 = 4(4x + 16)

y + 15 = 4 (4x + 16)

y + 15 =

1 (4x − 16) 4

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141

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DESIGUALDADES LINEALES

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

DESIGUALDADES LINEALES

NOMBRE _____________________________________________

CIENCIA DE DATOS

FECHA ______________________________

Can split the rest equally on gifts for my 3 best friends

Need $40 for gift for my brother

Can save $5 per week

Balance in Savings: $115

Presupuesto para regalos

Linear Inequalities

CIENCIA DE DATOS

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143

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DESIGUALDADES LINEALES

144

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

Skills Quiz

ÁLGEBRA 1

DESIGUALDADES LINEALES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

PRUEBA DE HABILIDADES

Name: ___________________________ Date: ________________

PRUEBA DE HABILIDADES Desigualdades lineales Para responder las preguntas 1 a 4, grafica soluciones para las desigualdades lineales. Incluye intersecciones en x e intersecciones en y. 1. 𝑦𝑦 < 5𝑥𝑥 – 1

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145

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Skills Quiz

DESIGUALDADES LINEALES

2. 𝑦𝑦 ≥

1 (𝑥𝑥 2

+ 1)

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GRADE 3 STUDENT NOTEBOOK Skills Quiz MULTIPLICATION MODELS

ÁLGEBRA 1

DESIGUALDADES LINEALES

3. 10𝑥𝑥 – 15𝑦𝑦 > 3

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147

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Skills Quiz

DESIGUALDADES LINEALES

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

4. 3𝑦𝑦 – 15 ≤ 2𝑥𝑥 – 8

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GRADE 3 STUDENT NOTEBOOK Skills Quiz MULTIPLICATION MODELS

ÁLGEBRA 1

DESIGUALDADES LINEALES

Para responder las preguntas 5 a 7, escribe las desigualdades lineales representadas en las gráficas. 5.

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149

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Skills Quiz

DESIGUALDADES LINEALES

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Para responder las preguntas 8 a 10, consulta la siguiente información. Jackie tiene un limonero que ha producido 150 limones. Quiere utilizar los limones para hacer limonada y tartas de merengue de limón. Para hacer cada vaso de limonada utiliza 1.5 limones y para hacer cada tarta utiliza 4 limones. 8. Escribe la desigualdad lineal que describe cuántos vasos de limonada y cuántas tartas puede hacer, al utilizar v, vasos de limonada, y t, tartas.

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Skills Quiz LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

DESIGUALDADES LINEALES

9. Grafica la desigualdad de la pregunta 8, con v en el eje x y con t en el eje y. Identifica la intersección en y.

10. Un cliente pidió 35 vasos de limonada y 35 tartas de merengue de limón para una fiesta de cumpleaños. ¿Es este un pedido razonable? ¿Por qué sí o por qué no?

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DESIGUALDADES LINEALES

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

DESIGUALDADES LINEALES

VOCABULARIO

RESTRICCIÓN

MENOR QUE

MAYOR QUE (>)

CONJUNTO DE SOLUCIONES

NOTACIÓN DE DESIGUALDAD

MENOR O IGUAL A

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153

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DESIGUALDADES LINEALES

VOCABULARIO Menor que (<)

Restricción

Más pequeño que otro (por ejemplo, 432 < 501)

Condición que debe satisfacer la solución 3

Conjunto de soluciones

Mayor que (>)

Conjunto de números que hace que un enunciado de desigualdad sea verdadero

Más que otro (p. ej., 49 > 12) 5

Menor o igual a

Notación de desigualdad

Más pequeño o igual que otro

Notación en la que la solución está representada por un enunciado de desigualdad 7

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

DESIGUALDADES LINEALES

VOCABULARIO

MAYOR O IGUAL QUE

FRASE DE DESIGUALDAD

LÍNEA DIVISORIA

SEMIPLANO

DESIGUALDAD ESTRICTA

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DESIGUALDADES LINEALES

VOCABULARIO Frase de desigualdad

Mayor o igual que

Frase que representa cada una de las desigualdades

Más o igual que otro 9

Semiplano

Línea divisoria

Región plana que consta de todos los puntos en un lado de una línea recta infinita, y ningún punto en el otro lado

Línea que corresponde a la función que divide el plano de coordenadas en dos mitades 11

Desigualdad estricta

Desigualdad que no tiene condiciones de igualdad; la desigualdad estricta es mayor que o menor que 12

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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STUDENT NOTEBOOK

DESIGUALDADES LINEALES

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ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

SISTEMAS DE ECUACIONES

En esta unidad, aprenderás a trabajar con ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones. Estas son herramientas importantes en matemáticas que nos ayudan a entender relaciones entre números y a resolver problemas del mundo real. En esto te enfocarás:

SISTEMAS DE ECUACIONES

◦ Representación gráfica de sistemas lineales: ◦ Aprenderás a graficar ecuaciones en un plano de coordenadas. ◦ Encontrarás soluciones a sistemas lineales observando dónde se intersectan las gráficas. ◦ Practicarás identificar soluciones a partir de gráficas.

◦ Resolución algebraica de sistemas lineales: ◦ Usarás métodos como sustitución y eliminación para resolver sistemas de ecuaciones. ◦ Aprenderás a escribir sistemas de ecuaciones a partir de diferentes representaciones, como problemas verbales o gráficas.

◦ Comprensión de las soluciones: ◦ Determinarás si las soluciones son razonables según el contexto de un problema. ◦ Explorarás diferentes tipos de soluciones: una solución, ninguna solución o infinitas soluciones. ◦ Justificarás por qué elegiste un método en particular para resolver un sistema.

Al final de esta lección, podrás resolver con confianza sistemas lineales utilizando diversos métodos y comprender el significado de las soluciones en diferentes contextos.

APLICACIÓN DE PRÁCTICAS MATEMÁTICAS • MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Aprenderás a identificar por dónde empezar y a planificar cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales. Buscarás partes importantes de las ecuaciones para elegir la mejor manera de resolverlas. • MP.2 Razonar de manera abstracta y cuantitativa: Resolverás sistemas de ecuaciones lineales basados en situaciones reales, conectarás las soluciones con esas situaciones y verificarás si tienen sentido. • MP.3 Construir argumentos sólidos y evaluar el razonamiento de otros: Aprenderás por qué un sistema de ecuaciones no puede tener exactamente dos soluciones y usarás tus habilidades de graficación para explicar tu razonamiento. • MP.4 Modelar con matemáticas: Crearás modelos de escenarios de viaje usando sistemas de ecuaciones. Resolverás estos sistemas con tus métodos favoritos y conectarás tus respuestas con el contexto real.

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• MP.5 Usar las herramientas adecuadas de manera estratégica: Practicarás resolver sistemas de ecuaciones a mano con papel y lápiz, aplicando sustitución y eliminación para comprender mejor el proceso de resolución. • MP.6 Atender a la precisión: Te enfocarás en ser preciso al graficar sistemas de ecuaciones. Al trazar correctamente las rectas, podrás encontrar dónde se intersectan. • MP.7 Usar la estructura a tu favor: Aprenderás a observar la estructura de los sistemas de ecuaciones para decidir si la sustitución, la eliminación o la graficación es el mejor método para resolverlos. • MP.8 Notar patrones y razonamientos repetidos: Descubrirás que los sistemas en los que una ecuación ya tiene una variable aislada pueden resolverse rápidamente mediante sustitución. Usarás esta idea al trabajar con distintos sistemas de ecuaciones.

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

SISTEMAS DE ECUACIONES

CAPTAR INTERÉS: ANTES DE EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Imagina que estás viendo un video de un golden retriever grande siendo perseguido por un perro salchicha más pequeño en la nieve. El perro salchicha parece estar alcanzándolo rápidamente. Pero ¿cuándo lo alcanzará realmente? En esta actividad, usarás las matemáticas para explorar cómo podemos predecir cuándo el perro más pequeño alcanzará al más grande resolviendo sistemas de ecuaciones.

En esta actividad, aprenderás a resolver sistemas de ecuaciones viendo un video de un golden retriever grande perseguido por un perro salchicha más pequeño. Usarás las matemáticas para averiguar si y cuándo el perro salchicha lo alcanza. Explorarás cómo usar ecuaciones para representar situaciones del mundo real y resolverlas.

Responda las preguntas. 1. ¿Qué información crees que necesitamos para determinar cuándo el teckel alcanzará al golden retriever?

2. ¿Cómo podemos usar ecuaciones para representar el movimiento de ambos perros en el video?

3. ¿Por qué podría ser importante conocer la velocidad de cada perro en este escenario?

4. ¿Cómo crees que resolver sistemas de ecuaciones puede ayudarnos a comprender situaciones del mundo real como esta?

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SISTEMAS DE ECUACIONES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:12 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

SISTEMAS DE ECUACIONES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 1: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que vas conduciendo y de repente escuchas el “ding ding” de la advertencia de combustible de tu auto. Entras a Gas Galore, donde tienes dos opciones: comprar un lavado de auto y obtener la gasolina a $2.00 por galón, o saltarte el lavado y pagar $2.50 por galón. Necesitas 24 galones de gasolina. ¿Qué opción te ahorra dinero? Trabaja con tu grupo para resolverlo usando gráficas y tablas. En esta actividad, aprenderás a resolver sistemas de ecuaciones usando gráficas y tablas. Escribirás ecuaciones, completarás tablas y las representarás gráficamente para encontrar soluciones. Analizarás datos, compararás opciones y entenderás cómo las intersecciones representan soluciones. También criticarás el razonamiento y comunicarás tus hallazgos con claridad, usando un lenguaje matemático preciso.

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SISTEMAS DE ECUACIONES

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9/13/25 6:12 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

SISTEMAS DE ECUACIONES

Systems of Equations EXPLORAR 1 Explore 1

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

¿Lavar o no lavar? Parte I

Usa la información sobre el especial de Gasolina abundante para escribir ecuaciones, completar la tabla y graficar ambas opciones en la cuadrícula provista. Una vez completado, analiza los datos y responde las preguntas que siguen. Costo de la gasolina con un lavado del carro: y1 = ______________ Costo de la gasolina sin lavado del carro: y2 = ______________ x

0 4 8 12 16 20 24 28 1.

Si necesitas 24 galones de gasolina, ¿harías el lavado del carro? Explica.

¿Qué opción elegirías si necesitaras 10 galones de gasolina? ¿Por qué?

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Systems of Equations

Explore 1 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

SISTEMAS DE ECUACIONES

Parte II

Para cada opción de gasolinera, escribe una ecuación, dibuja la recta y completa la tabla. Compara cada opción de gasolinera con los datos de Gasolina abundante proporcionados a continuación para determinar qué gasolinera sería una mejor opción si necesitas 12 galones de gasolina. Gasolina abundante o Combustible y más Ecuación de Gasolina abundante

Dibujo

Tabla

y = 2x + 5 Ecuación de Combustible y más:

a. b.

CyM

¿Qué gasolinera es más barata por 12 galones de gasolina? ¿A qué costo y cantidad de gasolina serán iguales ambas gasolineras? Gasolina abundante o Estación de llenado

Ecuación de Gasolina abundante y = 2x + 5 Ecuación de Estación de llenado

a. b.

Dibujo:

Tabla

ELL

¿Qué gasolinera es más barata por 12 galones de gasolina? ¿A qué costo y cantidad de gasolina serán iguales ambas gasolineras? 2

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

ÁLGEBRA 1

STUDENT NOTEBOOK

Systems of Equations Explore 1 SISTEMAS DE ECUACIONES

Gasolina abundante o Llena el tanque Ecuación de Gasolina abundante

Dibujo

Tabla

y = 2x + 5 Ecuación de Llena el tanque:

a. b.

LLT

¿Qué gasolinera es más barata por 12 galones de gasolina? ¿A qué costo y cantidad de gasolina serán iguales ambas gasolineras?

Gasolina abundante o Gasolina y listo Ecuación de Gasolina abundante

Dibujo

y = 2x + 5 Ecuación de Gasolina y listo:

a. b.

Tabla

GyL

¿Qué gasolinera es más barata por 12 galones de gasolina? ¿A qué costo y cantidad de gasolina serán iguales ambas gasolineras?

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 165

165

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Systems of Equations Explore 1 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

SISTEMAS DE ECUACIONES

Reflexiona 1.

¿Cada par de ecuaciones tiene una intersección? Explica.

¿Es posible que un sistema de ecuaciones lineales tenga exactamente dos soluciones? ¿Por qué sí o por qué no?

¿Cómo puedes identificar la intersección de un sistema de ecuaciones a partir de una tabla?

¿Cómo puedes usar una tabla para aproximar la solución a un sistema de ecuaciones?

Diseña un par de ecuaciones lineales cuyas gráficas nunca se intersequen. y1 = _______________ y2 = _______________

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

SISTEMAS DE ECUACIONES

EXPLORAR 1: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Cómo te ayudó usar gráficas y tablas a comprender mejor el sistema de ecuaciones?

2. ¿Qué estrategias utilizaste para encontrar el punto de intersección de las dos líneas?

3. ¿Cómo puedes saber si una opción de gasolinera es mejor que otra usando la tabla y el gráfico?

4. ¿Qué dificultades encontraste al resolver las ecuaciones y cómo las superaste?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. En la actividad HOOK, viste un video de dos perros corriendo y discutiste cómo representar sus velocidades usando un sistema de ecuaciones. ¿Cómo pueden las habilidades que practicaste en la actividad EXPLORAR, como graficar ecuaciones y encontrar intersecciones, ayudarte a determinar cuándo el dachshund alcanzará al golden retriever?

2. Durante la actividad EXPLORAR, utilizaste tablas y gráficas para resolver sistemas de ecuaciones para diferentes opciones de estaciones de servicio. ¿Cómo se pueden aplicar estos métodos para resolver el problema del mundo real presentado en la actividad HOOK, donde necesitas averiguar si y cuándo un perro alcanzará a otro?

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167

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SISTEMAS DE ECUACIONES

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Systems of Equations Explore 1 ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

SISTEMAS DE ECUACIONES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 1

FECHA ______________________________

Resolver sistemas con el uso de gráficas y tablas BOLETO DE SALIDA Boleto de salida

Identifica la solución del sistema que se muestra. Muestra la solución en la gráfica y en la tabla. y1 = 3x + 9 y2 = 4x + 7

0 1 2 3

En las tablas de las preguntas 2-4 se representan diferentes sistemas de ecuaciones. Identifica la cantidad de soluciones para cada sistema y explica tu razonamiento. 2.

−2

−1

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−5

−4

−3

−2

169

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SISTEMAS DE ECUACIONES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:12 PM

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 171

y1 2 6 10 14

x 1 3 5 7

Completa la tabla para que haya un número infinito de soluciones.

Solución:

y1 = 2x y2 = −x + 6

ÁLGEBRA 1

Completa la tabla para que no haya solución alguna.

Identifica la solución del sistema de ecuaciones mostrado. Muestra la solución en la gráfica y en la tabla.

Resolver sistemas con gráficas y tablas

Systems of Equations Part 1 LIBRO DEL ESTUDIANTE SISTEMAS DE ECUACIONES

NOMBRE _____________________________________________

FECHA ______________________________

EXPLORAR 1

MUESTRA LO QUE SABES

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Escribe las ecuaciones para representar el costo de los dos servicios de taxi.

Systems of Equations Part 1

Casandra miraba las tarifas para conseguir un taxi. Ella encontró dos empresas. La primera cobra $5 por recogerla y luego $2.50 por milla recorrida. La segunda empresa solo cobra $3 por recogerla, pero el costo por milla es de $3.00. a.

Completa la tabla y grafica las soluciones. y1

Usa tu gráfica para aproximar la solución del sistema de ecuaciones. ¿Qué le dice la solución a Casandra en este escenario?

Millas

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SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 172

172

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE SISTEMAS DE ECUACIONES

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 173

Usa tecnología para graficar solución de la ecuación original.

. Bosqueja las gráficas de abajo y determina la

aunque todavía no hayas estudiado ecuaciones

g(x) = |x – 1| – 10

f(x) = x2 + 3x – 10

x –5

–4

–3

–2

–1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Completa las tablas de abajo para aproximar la solución de la ecuación x2 + 3x – 10 = |x – 1| – 10.

Tu trabajo consiste en resolver la ecuación racionales o logarítmicas.

ÁLGEBRA 1

Systems of Equations Part 1 LIBRO DEL ESTUDIANTE STUDENT NOTEBOOK SISTEMAS DE ECUACIONES

173

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SISTEMAS DE ECUACIONES

174

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

SISTEMAS DE ECUACIONES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 2: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que acabas de convertirte en el gerente del equipo de baloncesto Hoopers, pero hay un problema: ¡el gerente anterior dejó los libros de contabilidad en un caos! Tu trabajo es averiguar cuánto se le paga a cada jugador. Usarás los pequeños trozos de papel que quedaron para resolver este misterio trabajando con sistemas de ecuaciones. En esta actividad, aprenderás a resolver sistemas de ecuaciones mediante sustitución. Trabajarás en grupos para averiguar los salarios de jugadores de baloncesto usando pistas. Definirás variables, escribirás ecuaciones y sustituirás valores para encontrar soluciones. También discutirás tus métodos y los compararás con los de otros para comprender diferentes enfoques. © ACCELERATE LEARNING INC., TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS

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SISTEMAS DE ECUACIONES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

SISTEMAS DE ECUACIONES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 2

FECHA ______________________________

Systems of Equations Explore 2

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Facturas y pelotas de básquetbol Parte I

Usa la siguiente información para determinar cuánto recibe actualmente cada jugador.

Los salarios totales de Henry y Tomás combinados el año pasado fueron de $30 millones.

El año pasado, Tomás ganó $10 millones.

Las ecuaciones 1 y 2 se dan en la siguiente tabla para representar esta situación. ¿Qué representan las variables? Escribe esta información en la columna «Variables».

¿Qué ecuación da el salario de Tomás en términos de millones de dólares?

Usa la información de los papeles y las ecuaciones dadas para determinar el salario actual de Henry. Muestra tu trabajo en la columna «Sustitución para resolver». Variables

Ecuación 1

Ecuación 2

H + T = 30

T = 10

Sustitución para resolver

Escribe una oración para explicar tu solución en contexto.

Verifica tu respuesta con el uso de la sustitución o gráficas.

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Systems of Equations Explore 2

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

SISTEMAS DE ECUACIONES

Para preparar contratos para el próximo año, usa las hojas de papel que encuentras a continuación. Muestran lo que el técnico pensaba para el próximo año.

Los salarios totales de Henry y Tomás combinados serán de $45 millones.

Tomás ganará $22 millones menos que Henry.

Identifica las variables para esta situación en la columna «Variables» de la siguiente tabla.

Escribe una ecuación para sus salarios combinados en la columna «Ecuación 1».

Escribe una ecuación para el salario de Tomás en términos del salario de Henry en la columna de «Ecuación 2».

¿Qué ecuación tiene una variable ya aislada? Al usar esta ecuación, ¿qué expresión podría sustituirse en la otra ecuación?

10. Usa la sustitución para resolver y registra tu trabajo en la columna «Sustitución para resolver». Variables

Ecuación 1

Ecuación 2

Sustitución para resolver

11. Usa la sustitución para determinar el valor de T. 12. ¿Cuánto ganará Henry? 13. ¿Cuánto ganará Tomás? 14. Escribe una oración para describir la solución en contexto. 2

178

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Systems of Equations Explore 2

SISTEMAS DE ECUACIONES

Parte II 1.

Usa la información de las «Tarjetas de información salarial» sobre los salarios de Yuto y Alexander para averiguar cuánto se les paga a estos jugadores. ¡Recuerda que cada número realmente representa millones! Los salarios de Yuto y Alexander

Variables:

Ecuaciones:

¿Qué ecuación tiene una variable aislada? Usa la sustitución para resolver.

Salario de Alexander:

Salario de Yuto:

Escribe una oración para describir tu solución en contexto.

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179

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SISTEMAS DE ECUACIONES

Systems of Equations Explore 2

Usa la información de las «Tarjetas de información salarial» sobre los salarios de Andrés y Lashawn para averiguar cuánto se les paga a estos jugadores. ¡Recuerda que cada número realmente representa millones!

Los salarios de Andrés y Lashawn Variables:

Ecuaciones:

Elige una ecuación y aísla una variable.

Usa la sustitución para resolver.

Salario de Lashawn:

Salario de Andrés:

Escribe una oración para describir tu solución en contexto.

180

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Systems of Equations Explore 2 LIBRO DEL ESTUDIANTE

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SISTEMAS DE ECUACIONES

Reflexiona 1.

¿Qué significa ser una solución a un sistema de ecuaciones?

Explica cómo usar la sustitución en el siguiente sistema sin aislar completamente una variable. Ecuación 1: 4x = 5y Ecuación 2: 4x + 3y = 17

Elige un sistema de ecuaciones de la siguiente tabla y argumenta por qué elegirías o no resolver ese sistema con el uso de la sustitución.

Sistema 1

Sistema 2

Sistema 3

4a − b = 50 5a + b = 21

4e + 5f = 20 4e + 33 = 8f

3m + n = 5 n = 4m − 2

¿Qué característica(s) indica(n) que un sistema de ecuaciones puede resolverse eficientemente con el uso de la sustitución?

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SISTEMAS DE ECUACIONES

182

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SISTEMAS DE ECUACIONES

EXPLORAR 2: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué pasos seguiste para averiguar los salarios de los jugadores de baloncesto?

2. ¿Cómo te ayudó usar la sustitución a resolver el sistema de ecuaciones?

3. ¿Qué desafíos enfrentaste al resolver las ecuaciones y cómo los superaste?

4. ¿Cómo le explicarías el método de sustitución a un amigo que faltó a la clase?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se conecta el escenario de determinar los salarios de jugadores de baloncesto usando sistemas de ecuaciones con el video de los perros corriendo en la nieve? Considera cómo la sustitución ayuda en ambas situaciones a resolver incógnitas.

2. Reflexionando sobre la actividad EXPLORAR, ¿cómo puede aplicarse el método de sustitución utilizado para calcular los salarios de los jugadores para determinar cuándo el dachshund alcanza al golden retriever en el video? ¿Cuáles son las similitudes en el proceso de resolver estos problemas del mundo real?

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183

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SISTEMAS DE ECUACIONES

184

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Systems of Equations Explore 2 LIBRO DEL ESTUDIANTE

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SISTEMAS DE ECUACIONES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 2

Resolver sistemas con el uso de la sustitución Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

FECHA ______________________________

Identifica la solución del siguiente sistema de ecuaciones con el uso de la sustitución. 5x + 4y = −12 y = −2x − 9

Systems of Equations Explore 2

Resolver sistemas con el uso de la sustitución Boleto de salida Identifica la solución del siguiente sistema de ecuaciones con el uso de la sustitución. 5x + 4y = −12 y = −2x − 9

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SISTEMAS DE ECUACIONES

186

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Systems of Equations EXPLORAR 2 Part 2

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Resolver sistemas con sustitución 1.

Guillermo y Carlos fueron al puesto de comida ambulante de tacos a comer. Guillermo pidió 2 burritos y 3 tacos, su pedido totalizó $14. Carlos ordenó 1 burrito y 4 tacos, y su pedido totalizó $12. a.

Escribe las ecuaciones para representar los pedidos. Deja que b represente el precio de un burrito y que t represente el precio de un taco.

Escoge una de las dos ecuaciones y resuelve una de las variables.

Sustituye esto en la segunda ecuación.

Resuelve las 2 variables. ¿Cuánto cuesta cada uno de los elementos del menú?

Dos números suman 12 y un número es 5 veces el otro. a.

Escribe las ecuaciones para determinar los dos números.

¿Qué ecuación tiene una variable aislada?

Resuelve el sistema de ecuaciones. ¿Cuáles son los 2 números?

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187

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Systems of Equations Part 2 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

SISTEMAS DE ECUACIONES

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones con la sustitución. a.

8x + 7y = 43 y = 7 – 2x

x = 11 + y 2x + y = 19

2x – y = 2 y=x+4

y=x–2 x – 2y = 5

3x – y = 5 y = 3x

3x – y = 0 y = 3x

Martina y Camila se pusieron a resolver el siguiente sistema de tarea. Explica qué estrategia es más eficiente y por qué. 7x = 35 + y 7x + 4y = 10 Trabajo de Martina

Trabajo de Camila

7x = 35 + y

7x = 35 + y (35 + y) + 4y = 10 5y = −25 y = −5

35 + y + 4y = 10 35 + 5y = 10 5y = −25 y = −5

188

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SISTEMAS DE ECUACIONES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 3: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que estás trabajando como camarero en un restaurante muy concurrido. Tu jefe te pidió que llevaras un registro de cuánto cuesta cada artículo del menú, pero se te olvidó anotarlo. Ahora tienes que averiguar los precios usando los recibos de tus clientes. Al resolver sistemas de ecuaciones, descubrirás el precio de cada artículo e impresionarás a tu jefe con tus habilidades matemáticas. En esta actividad, aprenderás a resolver sistemas de ecuaciones utilizando el método de eliminación, también conocido como combinación lineal. Trabajarás en grupos para averiguar el costo de los artículos a partir de recibos de restaurantes. Practicarás construir argumentos, analizar el razonamiento de otros y usar un lenguaje matemático preciso. También explorarás patrones y estructuras en matemáticas para resolver problemas de manera eficiente.

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189

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SISTEMAS DE ECUACIONES

190

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SISTEMAS DE ECUACIONES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 3 Systems of Equations Explore 3

FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

El camarero trabajador Parte I

Usa los recibos y las siguientes preguntas para ayudarte a determinar el precio de cada artículo pedido.

Recibo Pedido 433 1 taco de desayuno 1 queso Total: $4.25 ¡Gracias por tu apoyo!

Recibo Pedido 434 2 tacos de desayuno 1 queso Total: $5.00 ¡Gracias por tu apoyo!

Define las variables.

Escribe un sistema de ecuaciones para representar estos dos recibos.

¿Alguna de las variables tiene el mismo coeficiente en cada ecuación?

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191

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Systems of Equations

Explore 3 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

SISTEMAS DE ECUACIONES

Completa la siguiente tabla para explorar lo que le sucede al sistema cuando se usa una combinación lineal.

Sistema

Combinación lineal al sumar

Combinación lineal al restar

2b + 1q = 5.00 + 1b + 1q = 4.25

2b + 1q = 5.00 − (1b + 1q = 4.25)

Nueva ecuación ¿Resultó la combinación en una ecuación con una sola variable?

¿Por qué solo una de las combinaciones lineales resultó en una ecuación con una sola variable?

¿Cuál es el costo de un taco de desayuno?

Usa la sustitución para determinar el costo de un pedido de queso.

¡Revisa tu trabajo! Sustituye el costo de un taco y el costo de un pedido de queso en los pedidos y asegúrate de obtener el total correcto. Muestra tu trabajo.

192

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Systems of Equations

Explore 3 SISTEMAS DE ECUACIONES

Parte II

Usa las tarjetas de recibo en el documento «Tarjetas de recibo» para calcular cuánto cuesta cada artículo. Asegúrate de definir tus variables, escribir tus ecuaciones y escribir el costo de cada artículo. Números de pedido 435 y 436 Variables:

Ecuaciones:

¿Sumar o restar estas ecuaciones resultará en una ecuación con una variable? ¿Por qué?

Resuelve el sistema. Muestra tu trabajo.

Costo de una hamburguesa:

Costo de una orden de papas fritas:

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193

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Systems of Equations Explore 3

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SISTEMAS DE ECUACIONES

Números de pedido 441 y 442 Variables:

Ecuaciones:

¿Sumar o restar estas ecuaciones resultará en una ecuación con una variable? ¿Por qué?

Resuelve el sistema. Muestra tu trabajo.

Costo de un emparedado de queso a la parrilla: Costo de un pedido de cilindros de papa:

194

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Systems of Equations Explore 3 SISTEMAS DE ECUACIONES

Reflexiona 1.

¿Qué consejo le darías a un estudiante que usa combinación lineal para eliminar una variable y resolver un sistema si termina con una ecuación con dos variables?

Elige un sistema de ecuaciones de la siguiente tabla y argumenta por qué elegirías o no resolver ese sistema con el uso de una combinación lineal.

Sistema 1

Sistema 2

Sistema 3

4a − b = 50 5a + b = 21

4e + 5f = 20 4e + 11f = 33

3m + n = 5 n = 4m − 2

¿Cómo se relaciona el diagrama que se muestra a continuación con la combinación lineal a usar la suma? En este caso, ¿esta combinación lineal ayudaría a resolver el sistema? ¿Por qué sí o por qué no?

= $5.00 = $4.25 = $9.25

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195

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SISTEMAS DE ECUACIONES

196

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SISTEMAS DE ECUACIONES

EXPLORAR 3: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué pasos seguiste para resolver el sistema de ecuaciones utilizando el método de eliminación, y por qué elegiste este método?

2. ¿Cómo trabajar en equipo te ayudó a comprender mejor el proceso de resolver sistemas de ecuaciones?

3. ¿Qué desafíos enfrentaste al utilizar el método de eliminación y cómo los superaste?

4. ¿Cómo puedes aplicar lo que aprendiste sobre resolver sistemas de ecuaciones a situaciones de la vida real fuera de la clase de matemáticas?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se relaciona el escenario de determinar el costo de los artículos del menú usando recibos en la actividad Explorar con resolver el problema de si el teckel alcanzará al golden retriever en la actividad Gancho? Considera cómo se utilizan los sistemas de ecuaciones en ambas situaciones.

2. En la actividad EXPLORAR, aprendiste a usar la eliminación para resolver incógnitas en un sistema de ecuaciones. ¿Cómo podría aplicarse este método para determinar el tiempo que tarda el dachshund en alcanzar al golden retriever en la actividad Hook?

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197

9/13/25 6:12 PM

SISTEMAS DE ECUACIONES

198

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Systems of Equations Explore 3 LIBRO DEL ESTUDIANTE

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SISTEMAS DE ECUACIONES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 3

Introducción a la eliminación Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

FECHA ______________________________

Resuelve el sistema de ecuaciones con el uso de la eliminación. x + 2y = 8 x + 7y = 33

Systems of Equations Explore 3

Introducción a la eliminación Boleto de salida Resuelve el sistema de ecuaciones con el uso de la eliminación. x + 2y = 8 x + 7y = 33

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199

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SISTEMAS DE ECUACIONES

200

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Systems of Equations Part 3 EXPLORAR 3

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Introducir la eliminación 1.

Esteban vende boletos para el concierto de su banda. Vendió un juego a sus padres. Compraron 3 entradas de adulto y 1 de niño por $36. Su tía compró otro juego de boletos. Compró 3 entradas de adulto y 2 de niño por $42. a.

¿Cuáles son las variables del sistema de ecuaciones?

Escribe las ecuaciones para representar la venta de boletos de Esteban.

¿Piensas que sería más fácil sumar o restar las dos ecuaciones? ¿Por qué?

Resuelve las ecuaciones. ¿Cuánto cuesta un boleto de adulto y cuánto cuesta un boleto de niño?

Usa la eliminación para resolver los problemas 2−7. 2.

3x + 3y = −12 9x – 3y = 24

−5x + 3y = 2 5x + 5y = 30

6x – 4y = −6 6x + 4y = −30

6x + 5y = 4 6x – 7y = −20

−2x + 3y = −12 4x + 3y = 24

x – y = 11 y + 2x = 19

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201

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SISTEMAS DE ECUACIONES

202

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SISTEMAS DE ECUACIONES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 4: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que eres un cajero de banco, y hoy no es tu día de suerte. El contador de monedas está averiado y necesitas averiguar cuántas de cada tipo de moneda traen los clientes. Usarás tus habilidades matemáticas para resolver sistemas de ecuaciones y abonar el monto correcto a sus cuentas. ¡Vamos a adentrarnos y ver cómo puedes resolver este acertijo usando eliminación! En esta actividad, trabajarás en grupos para resolver sistemas de ecuaciones mediante el método de eliminación. Aprenderás a multiplicar ecuaciones para crear pares que sumen cero, lo que te ayudará a encontrar soluciones. También practicarás explicar tu razonamiento, verificar tu trabajo y usar un lenguaje matemático preciso. © ACCELERATE LEARNING INC., TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS

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203

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204

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NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 4

FECHA ______________________________

Systems of Equations Explore 4

DIARIO DEL ESTUDIANTE

¡Monedas por todas partes! Parte I 1.

Crea tres nuevas ecuaciones al multiplicar la ecuación del dinero de Fynn por los coeficientes 5, −10 y 20. Ecuación de dinero A

Multiplicación 5(0.10d + 0.05n = 4)

Ecuación de dinero B

Ecuación de dinero C

−10(0.10d + 0.05n = 20(0.10d + 0.05n = 4) 4)

Ecuación simplificada 2.

Usa la tecnología, grafica la ecuación de dinero original de Fynn y las ecuaciones de dinero simplificadas A, B y C en la misma cuadrícula. ¿Cuántas líneas ves? ¿Cómo puedes explicar esto?

Escribe tres nuevos sistemas en la tabla a continuación donde la segunda ecuación para cada sistema es la ecuación de dinero simplificada A, B o C de la tabla anterior. Sistema A

Sistema B

Sistema C

d + n = 50

¿Qué sistema podría resolverse más fácilmente por eliminación al usar una combinación lineal? Explica.

Usa el sistema A, B o C para determinar cuántas monedas trajo Fynn al banco.

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 205

205

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Systems of Equations Explore 4

Determina los números que podrían usarse para crear las ecuaciones de dinero simplificadas A y B para Shanaya y escribe tus respuestas en las líneas en blanco de la tabla. Ecuación de dinero A

Ecuación de dinero B

Multiplicación

____ (0.10d + 0.50h = 3.5)

Ecuación simplificada

0.20d + 1h = 7

−1d − 5h = −35

¿Por qué sería útil tener 1h en la ecuación de dinero A y −1d en la ecuación de dinero B?

Usa la ecuación de dinero A o la ecuación de dinero B para escribir un nuevo sistema que se pueda resolver al usar la eliminación por combinación lineal.

Resuelve uno de los sistemas para determinar la cantidad de monedas de diez y cincuenta centavos que Shanaya llevó al banco.

206

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 206

9/13/25 6:12 PM

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Systems of Equations Explore 4

Parte II 1.

Escribe la ecuación para la situación de Jessica que tenga los coeficientes más pequeños.

Para resolver el sistema al eliminar primero la variable x, ¿qué factor debemos elegir para que el nuevo sistema tenga una ecuación equivalente con un coeficiente de 5 para la variable x? ¿Por qué sería útil tener un coeficiente de 5 para la variable x?

Sistema original

Multiplicación

2x − 3y = 1

____(2x − 3y = 1)

5x + 10y = 55

Nuevo sistema

5x + 10y = 55

Para resolver el sistema al eliminar primero la variable y, ¿qué factor debemos elegir para que el nuevo sistema tenga una ecuación equivalente con un coeficiente de 10 para la variable y? ¿Por qué sería útil tener un coeficiente de 10 para la variable y? Sistema original

Multiplicación

2x − 3y = 1

____(2x − 3y = 1)

5x + 10y = 55

Nuevo sistema

5x + 10y = 55

Si la ecuación de Jessica que representa cuántos billetes de dólar se multiplica por 5 y la ecuación de Jessica que representa cuánto valen sus billetes se multiplica por −2, ¿crearía esto un nuevo sistema en el que podríamos eliminar la variable x?

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 207

207

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Systems of Equations Explore 4

Crea un sistema equivalente para la situación de Jessica que tenga un par cero para x y completa la tabla. Sistema original

Multiplicación

Sistema nuevo

2x − 3y = 1

____(2x − 3y = 1)

5x + 10y = 55

____(5x + 10y = 55)

Crea un sistema equivalente para la situación de Jessica que tenga un par cero para y y completa la tabla. Sistema original

Multiplicación

Sistema nuevo

2x − 3y = 1

____(2x − 3y = 1)

5x + 10y = 55

____(5x + 10y = 55)

Para determinar una solución al sistema que representa la situación de Andrés al usar la eliminación por combinación lineal, ¿multiplicarías una ecuación o ambas? ¿Cómo lo sabes?

Crea un sistema equivalente para la situación de Andrés que tenga un par cero para f y completa la tabla.

Sistema original

Multiplicación

Sistema nuevo

4f + 8t = 76

____(4f + 8t = 76)

5f + 20t = 175

____ (5f + 20t = 175)

Crea un sistema equivalente para la situación de Andrés que tenga un par cero para t y completa la tabla. Sistema original

Multiplicación

Sistema nuevo

4f + 8t = 76

____(4f + 8t = 76)

5f + 20t = 175

____(5f + 20t = 175)

10. Usa la eliminación por combinación lineal para resolver el sistema que representa la situación de Andrés. 4 208

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 208

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SISTEMAS DE ECUACIONES

Reflexiona 1.

Explica a continuación cómo le describirías, a un compañero que faltó a clase hoy, cómo resolver un sistema de ecuaciones al usar la multiplicación para crear un nuevo sistema que pueda resolverse por eliminación.

¿Cómo facilitará la solución el nuevo sistema?

¿Eliminar x dará una solución diferente a la de eliminar y? ¿Por qué sí o por qué no?

¿En qué se diferencia este método del método de eliminación en «Explorar 3»?

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 209

209

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SISTEMAS DE ECUACIONES

210

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 210

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SISTEMAS DE ECUACIONES

EXPLORAR 4: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué pasos seguiste para resolver el sistema de ecuaciones utilizando el método de eliminación, y por qué elegiste esos pasos?

2. ¿Cómo te ayudó trabajar en grupo a entender mejor el método de eliminación?

3. ¿Qué desafíos enfrentaste al intentar crear un par cero y cómo los superaste?

4. ¿Cómo puedes aplicar lo que aprendiste sobre la resolución de sistemas de ecuaciones a situaciones de la vida real?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. En la actividad HOOK, vimos un video de dos perros corriendo y analizamos cómo representar sus velocidades y puntos de partida usando un sistema de ecuaciones. ¿Cómo se relaciona este escenario con la actividad EXPLORAR, donde usaste la eliminación para resolver sistemas de ecuaciones? Piensa en cómo ambas actividades implican determinar cuándo dos situaciones (o ecuaciones) diferentes se encuentran en un punto común.

2. Durante la actividad EXPLORAR, usaste la eliminación al crear pares que se anulan (pares cero) para resolver el número de monedas o billetes. ¿En qué se parece este proceso a determinar cuándo el dachshund alcanza al golden retriever en la actividad HOOK? Considera cómo en ambas actividades se requiere manipular ecuaciones para encontrar una solución específica o un punto de intersección.

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 211

211

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SISTEMAS DE ECUACIONES

212

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 212

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Systems of Equations Explore 4 LIBRO DEL ESTUDIANTE

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NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 4

Resolver sistemas al usar la eliminación Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

FECHA ______________________________

Resuelve el sistema de ecuaciones al usar la eliminación. −2x + 3y = 27 x + 5y = 32

Systems of Equations Explore 4

Resolver sistemas al usar la eliminación Boleto de salida Resuelve el sistema de ecuaciones al usar la eliminación. −2x + 3y = 27 x + 5y = 32

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 213

213

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SISTEMAS DE ECUACIONES

214

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 214

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Systems of Equations Part 4 EXPLORAR 4

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Resolver sistemas con la eliminación El Sr. Leman, maestro de ciencias de la Preparatoria Greenway planea una excursión al planetario. Él llevará grupos en dos días diferentes y calcula el transporte que necesitará para el viaje. Puede utilizar buses con capacidad para 50 alumnos y furgonetas con capacidad para 10 alumnos. ¿Cuántos vehículos de cada tipo tendrá que pedir? ● ●

El martes tendrá 230 alumnos y utilizará 7 vehículos. El miércoles tendrá 180 alumnos y utilizará 6 vehículos. Martes

Miércoles

Variables

Sistema de ecuaciones Sistema nuevo Solución

Resuelve los siguientes problemas con la eliminación. 1.

8x – 5y = 5 −4x – 3y = 3

−x + 7y = 19 3x – 2y = −19

4x + 15y = 17 x – 5y = 13

−2x – y = −6 x + 2y = −6

4x – 9y = 11 −3x + 7y = −9

2x + 7y = 13 3x + 6y = 15

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 215

215

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Systems of Equations Part 4 SISTEMAS DE ECUACIONES

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Queremos demostrar por qué la eliminación funciona. Es decir, que la creación de un nuevo sistema que sea la suma de múltiplos de la ecuación original seguirá con las mismas soluciones que el sistema original. a. Explica gráficamente por qué los dos sistemas siguientes son equivalentes. 8x – 5y = 5 y 8x – 5y = 5 −4x – 3y = 3 8x + 6y = –6

Como hemos demostrado que tomar múltiplos de ecuaciones no cambia el sistema, ahora tenemos que demostrar que sumar ecuaciones juntas no cambia el sistema. Si llamamos la solución del sistema de abajo (a, b), donde el valor x que satisface ambas ecuaciones es a, y el correspondiente valor de y es b, explica por qué la solución es la misma una vez que se cree el nuevo sistema con la suma de dos de las ecuaciones. 8x – 5y = 5 y 8x – 5y = 5 −4x – 3y = 3 4x – 8y = 8

¿Cómo podríamos usar el razonamiento de las partes a y b para demostrar que el reemplazo de una ecuación por la suma de esa ecuación y un múltiplo de la otra produce un sistema con las mismas soluciones?

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EXPLORAR 5: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que estás planeando un viaje emocionante a Water Town, un parque temático trepidante. Tu tarea es tomar decisiones financieras inteligentes para tu aventura. Utilizarás tarjetas de investigación para ayudarte a decidir la mejor manera de resolver distintos problemas matemáticos, asegurándote de obtener la mayor diversión por tu dinero. ¿Listo para zambullirte? En esta actividad, trabajarán en grupos para aprender a resolver sistemas de ecuaciones lineales de manera eficiente. Explorarán diferentes métodos como la representación gráfica, la sustitución y la eliminación, y decidirán cuál es el mejor para cada situación. También explicarán su razonamiento, compararán soluciones y compartirán sus conclusiones con la clase. © ACCELERATE LEARNING INC., TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS

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Systems of Equations EXPLORAR 5 Explore 5

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DIARIO DEL ESTUDIANTE

Viajes a Ciudad del agua Parte I

Usa las tarjetas de investigación del documento «Tarjetas de investigación del viaje a Ciudad del agua» para determinar el método más eficiente para resolver el sistema de ecuaciones utilizado para representar cada tema. Marca tus respuestas en la siguiente tabla y justifica tus elecciones. No resuelvas los sistemas. Tema

Gráfica o tabla

Sustitución

Eliminación

Justificación

Boletos de avión

Habitaciones de hotel

Boletos a Ciudad del agua

Comida en Ciudad del agua

Suvenires

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Parte II

Resuelve cada sistema con el uso de dos métodos diferentes. Analiza los métodos utilizados para resolver para identificar qué método fue el más eficiente y explica por qué. ¿Ambos métodos dan la misma solución al sistema de ecuaciones? ¿Por qué sí o por qué no? Usa el espacio provisto para responder las preguntas y mostrar tu trabajo. Boletos a Ciudad del agua c=a−8 a + c = 40 Método 1:

Método 2:

Solución Adultos: Niños:

¿Qué método fue el más eficiente? ¿Por qué?

¿Ambos métodos dan la misma solución al sistema de ecuaciones? ¿Por qué sí o por qué no?

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Comida en Ciudad del agua 1h + 1f = 7 2h + 1f = 11 Método 1:

Método 2:

Solución Hamburguesa: Papas fritas:

¿Qué método fue el más eficiente? ¿Por qué?

¿Ambos métodos dan la misma solución al sistema de ecuaciones? ¿Por qué sí o por qué no?

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Explore 5 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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Recuerditos de viaje y = 15.25x y = 13.75x + 9 Método 1:

Método 2:

Solución Camisetas: Costo:

¿Qué método fue el más eficiente? ¿Por qué?

¿Ambos métodos dan la misma solución al sistema de ecuaciones? ¿Por qué sí o por qué no?

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Reflexiona

Describe cómo sabes cuándo cada método será el más eficiente para resolver un sistema de ecuaciones. Luego, crea tu propio ejemplo de un sistema que sería ideal al usar ese método. Método

Descripción

Tu ejemplo

Gráfica o tabla

Sustitución

Eliminación

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EXPLORAR 5: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Cuál fue la parte más desafiante de decidir qué método utilizar para resolver el sistema de ecuaciones y cómo lo superaste?

2. ¿Cómo te ayudó trabajar en grupo a entender los diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones?

3. ¿Se te ocurre una situación de la vida real en la que podrías usar uno de estos métodos para resolver un problema? Descríbela.

4. Después de completar la actividad, ¿con qué método para resolver sistemas de ecuaciones te sientes más seguro y por qué?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo el escenario de planificar un viaje a Water Town te ayuda a entender qué método usar al resolver un sistema de ecuaciones, de forma similar a cómo determinaste si el teckel alcanzaría al golden retriever en el video?

2. En la planificación del viaje a Water Town y en el video de la persecución del perro, tuviste que decidir el mejor método para resolver un sistema de ecuaciones. ¿Cómo el análisis de la forma de las ecuaciones en cada situación guió tu elección de método y cómo te ayudó eso a resolver el problema de manera eficiente?

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Systems of Equations Explore 5 LIBRO DEL ESTUDIANTE

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NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 5

Seleccionar métodos para resolver sistemas Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

FECHA ______________________________

Identifica el método más eficiente para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones. 1.

A. B. C.

2a + b = 7 2a − b = 5

Gráfica o tabla Sustitución Eliminación

A. B. C.

a = 0.55b − 2.5 a = 2.15b + 7.7

Gráfica o tabla Sustitución Eliminación

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A. B. C.

c=d−7 c + d = 15

Gráfica o tabla Sustitución Eliminación

c = 2b + 3 c = 3b − 4

Gráfica o tabla Sustitución Eliminación

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Systems of Equations EXPLORAR 5 Part 5

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Seleccionar métodos para resolver sistemas Determina qué método sería el mejor para resolver cada sistema de ecuaciones y da la solución. Muestra tu trabajo y utiliza la gráfica en blanco de abajo si usas el método de graficar. Sistema de ecuaciones

Método

Espacio de trabajo

Solución

5x + 2y = 9 x – 2y = 9

5x – 2y = 16 y=x–5

2x + 5y = 11 3x – 4y = −18

y = 2x y=x+1

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HOOK POST-EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Responda las preguntas. 1. Si el perro más grande comienza 10 metros por delante del perro más pequeño y corre a una velocidad de 2 metros por segundo, mientras que el perro más pequeño corre a 3 metros por segundo, ¿cuánto tardará el perro más pequeño en alcanzarlo?

2. En una gasolinera, puedes pagar $2.50 por galón o conseguir un lavado de coche por $5 y pagar $2.00 por galón. Si necesitas 20 galones, ¿qué opción es más barata y por cuánto?

3. Tienes dos ecuaciones: 3x + 2y = 12 y x - y = 3. Usa la sustitución para encontrar los valores de x e y.

4. Dos recibos muestran que 2 sándwiches y 3 bebidas cuestan $15, mientras que 4 sándwiches y 2 bebidas cuestan $20. Usa el método de eliminación para encontrar el costo de un sándwich y una bebida.

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2x + 3y = 6 −3y + x = 9

3x = 2y + 14 y = −6x + 18

La segunda ecuación ha sido sustituida en la primera y simplificada.

y = −2x + 6 y = 4x – 3

La intersección de las rectas en (1.5, 3) muestra la solución de las ecuaciones.

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

La solución, x = 5, se puede sustituir en cualquiera de las ecuaciones para calcular el valor de y.

Usar cuando ambas ecuaciones están en forma estándar y tienen variables en las posiciones correspondientes.

Usar cuando una ecuación ya está resuelta para una variable.

Usar cuando ambas ecuaciones están en una forma que esté lista para graficar y encaje fácilmente en una cuadrícula.

Eliminación

Sustitución

Graficar

Sistemas de ecuaciones

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FECHA ______________________________

ESQUEMA DE ANCLAJE

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Graficar Sustitución

Eliminación

Resolver sistemas de ecuaciones

Instrucciones ● Recorta las piezas superiores e inferiores del folioscopio. Asegúrate de cortar las lengüetas por las líneas punteadas. Dobla las lengüetas por las líneas sólidas. ● Pega la parte inferior del folioscopio en tu cuaderno. ● Pon pegamento o cinta según la instrucción, añade la parte superior del folioscopio. ● Levanta la lengüeta y completa el ejemplo para cada método de resolución para completar el folioscopio.

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NOMBRE _____________________________________________

FECHA ______________________________

CUADERNO INTERACTIVO

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3y + 2x = 6

5y – 2x = 10

−5x + 2y = 9

y = 7x y=x–1

ÁLGEBRA 1

y = 2x + 2

Pon pegamento aquí.

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SISTEMAS DESystems ECUACIONES of Equations

NOMBRE _____________________________________________

REVISIÓN EN ESPIRAL

FECHA ______________________________

REVISIÓN EN ESPIRAL

Eliminatorias de fútbol Llegar a los playoffs es un gran problema. Esta temporada, ha habido algunas llamadas cercanas en las que el equipo de Sahil empató o ganó el juego durante las últimas jugadas, y todos estaban al borde de sus asientos. A medida que el equipo de Sahil llega al final de la temporada regular, deben asegurarse de ganar suficientes puntos para mantener la posición de su equipo. Si pierden su lugar, no pueden ir a los playoffs. El equipo de fútbol de Sahil ha entrenado más duro que nunca. El técnico ha trabajado con Sahil y el resto de la línea ofensiva en nuevas jugadas. Han practicado y completado dos sesiones de entrenamiento al día durante su semana fuera de la escuela. ¿Llegará el equipo de Sahil a los playoffs?

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El pateador está tratando de hacer un gol de campo por tres puntos. ¿Qué ecuación, paralela al eje y, haría que la pelota de fútbol pasara por el gol de campo?

¡Hacía viento! El entrenador cambió la jugada para tener en cuenta la fuerza y dirección del viento usando la ecuación 1.75(2x – 12) = 28, donde x era la distancia entre el mariscal de campo y el receptor para una atrapada exitosa. ¿Qué valor de x hace verdadera esta ecuación?

Se patea una pelota de fútbol desde el nivel del suelo y su trayectoria se representa mediante la siguiente función cuadrática. f(x) es la altura del balón sobre el suelo en yardas, y x es el tiempo en segundos. ¿Cuál es el rango de la función para esta situación?

El equipo de Sahil necesita exactamente 20 puntos más para llegar a los playoffs. Obtienen 2 puntos por victoria y 1 punto por empate. El gráfico muestra la relación lineal entre victorias y empates. Usando el par ordenado (victorias, empates), vea si el equipo puede llegar a los playoffs con 6 victorias y 6 empates. ¿Qué hay de 8 victorias y 4 empates?

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SISTEMAS DE ECUACIONES

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NOMBRE _____________________________________________

SISTEMAS DE ECUACIONES

CIENCIA DE DATOS

FECHA ______________________________

Paquetes vacacionales

Systems of Equations

CIENCIA DE DATOS

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SISTEMAS DE ECUACIONES

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Skills Quiz

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SISTEMAS DE ECUACIONES

Name: ___________________________ Date: ________________ NOMBRE _____________________________________________

PRUEBA DE HABILIDADES

FECHA ______________________________

Sistemas de ecuaciones PRUEBA DE HABILIDADES 1. Resuelve con el uso de sustitución o eliminación. 2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 15 𝑥𝑥 – 𝑦𝑦 = 0

2. Resuelve con el uso de sustitución o eliminación. 1 𝑥𝑥 4

− 3𝑦𝑦 – 12

− 2𝑥𝑥 = 6𝑦𝑦 + 6

3. A Lim le gustan las manzanas y las naranjas. Consume un total de 10 frutas en una semana. Las manzanas cuestan $0.50 cada una y las naranjas $0.75 cada una. Esta semana ha gastado un total de $5.75 en frutas. ¿Qué par de ecuaciones representa mejor esta situación? A. 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 5. 75 0. 5𝑥𝑥 + 0. 75𝑦𝑦 = 10

B. 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 10 0. 5𝑥𝑥 + 0. 75𝑦𝑦 = 5. 75

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C. 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 5. 75 0. 5𝑥𝑥 + 0. 75𝑦𝑦 = 5. 75

D. 5. 75𝑥𝑥 + 5. 75𝑦𝑦 = 10 0. 5𝑥𝑥 + 0. 75𝑦𝑦 = 10

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Skills Quiz

SISTEMAS DE ECUACIONES

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

4. En una obra de teatro escolar se vendieron dos tipos de bebidas, y se vendieron 100 bebidas en total. Las bebidas deportivas costaban $3 cada una y los refrescos $5 cada uno. El ingreso por las bebidas vendidas fue de $400. ¿Qué par de ecuaciones representa mejor la situación? A. 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 400 3𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 = 100

B. 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 400 5𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 + 100

C. 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 100 3𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 = 400

D. 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 100 5𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 + 400

Para responder las preguntas 5 y 6, elige un método para resolver el sistema, explica por qué es el método más óptimo y luego resuelve. 5.

1 𝑥𝑥 3

+ 15 = 𝑦𝑦

𝑥𝑥 – 𝑦𝑦 =

− 5

El método es __________. La razón por la que este método es óptimo es porque __________. La solución es __________. 6. 8𝑦𝑦 = − 3𝑥𝑥 – 17 14𝑦𝑦 = 9𝑥𝑥 – 25

El método es __________. La razón por la que este método es óptimo es porque __________. La solución es __________.

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GRADE 3 STUDENT NOTEBOOK MULTIPLICATION MODELS Skills Quiz

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SISTEMAS DE ECUACIONES

Para responder las preguntas 7 a 9, determina la cantidad de soluciones de los sistemas de ecuaciones al graficar. 7. 𝑥𝑥 – 1 = 𝑦𝑦 2𝑥𝑥 – 2𝑦𝑦 = 5

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251

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SISTEMAS DE ECUACIONES

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

8. 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 – 5 4𝑥𝑥 – 2𝑦𝑦 = 10

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GRADE 3 STUDENT NOTEBOOK Skills Quiz MULTIPLICATION MODELS

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SISTEMAS DE ECUACIONES

9. 𝑥𝑥 = 4 𝑦𝑦 = 3

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253

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Skills Quiz

SISTEMAS DE ECUACIONES

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

10. Determina la solución de este sistema al graficar en la cuadrícula proporcionada o con el uso de tu calculadora para encontrar el punto de intersección. − 𝑦𝑦 = − 3𝑥𝑥 2𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 10

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

SISTEMAS DE ECUACIONES

VOCABULARIO

RESTRICCIÓN

MENOR QUE

MAYOR QUE (>)

CONJUNTO DE SOLUCIONES

NOTACIÓN DE DESIGUALDAD

MENOR O IGUAL A

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255

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

SISTEMAS DE ECUACIONES

VOCABULARIO Menor que (<)

Restricción

Más pequeño que otro (por ejemplo, 432 < 501)

Condición que debe satisfacer la solución 3

Conjunto de soluciones

Mayor que (>)

Conjunto de números que hace que un enunciado de desigualdad sea verdadero

Más que otro (p. ej., 49 > 12) 5

Menor o igual a

Notación de desigualdad

Más pequeño o igual que otro

Notación en la que la solución está representada por un enunciado de desigualdad 7

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

SISTEMAS DE ECUACIONES

VOCABULARIO

MAYOR O IGUAL QUE

FRASE DE DESIGUALDAD

LÍNEA DIVISORIA

SEMIPLANO

DESIGUALDAD ESTRICTA

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257

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

SISTEMAS DE ECUACIONES

VOCABULARIO Frase de desigualdad

Mayor o igual que

Frase que representa cada una de las desigualdades

Más o igual que otro 9

Semiplano

Línea divisoria

Región plana que consta de todos los puntos en un lado de una línea recta infinita, y ningún punto en el otro lado

Línea que corresponde a la función que divide el plano de coordenadas en dos mitades 11

Desigualdad estricta

Desigualdad que no tiene condiciones de igualdad; la desigualdad estricta es mayor que o menor que 12

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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SISTEMAS DE DESIGUALDADES

En esta unidad, aprenderás a trabajar con sistemas de desigualdades lineales y a resolverlos mediante gráficas. También aprenderás a identificar qué soluciones tienen sentido en situaciones del mundo real. Estos son los conceptos principales en los que te enfocarás:

SISTEMAS DE ECUACIONES

◦ Resolver sistemas de desigualdades lineales mediante gráficas: ◦ Aprenderás a graficar desigualdades lineales en un plano de coordenadas. ◦ Encontrarás la solución de un sistema de desigualdades identificando dónde se superponen las regiones sombreadas (semiplanos).

◦ Identificación de soluciones: ◦ Practicarás encontrar pares ordenados (como (x, y)) que satisfagan todas las desigualdades de un sistema.

APLICACIÓN DE PRÁCTICAS MATEMÁTICAS

◦ También aprenderás a reconocer qué pares ordenados no son soluciones.

• MP.1 Comprender los problemas y seguir intentando resolverlos: Aprenderás a analizar y representar gráficamente sistemas de desigualdades lineales y luego a encontrar soluciones a partir de la gráfica. Esto te ayuda a entender los límites y las posibles respuestas.

◦ Soluciones contextuales: ◦ Explorarás cómo determinar qué soluciones son razonables según escenarios del mundo real. ◦ Esto implica comprender el contexto de un problema para decidir si una solución tiene sentido.

◦ Diferenciar entre ecuaciones y desigualdades: ◦ Aprenderás la diferencia entre resolver sistemas de ecuaciones lineales y sistemas de desigualdades lineales. ◦ Elegirás el mejor método para resolver cada tipo y practicarás su resolución.

Al final de esta lección, podrás graficar sistemas de desigualdades lineales, identificar soluciones y aplicar estas habilidades a problemas del mundo real.

• MP.2 Pensar de manera abstracta y cuantitativa: Tomarás situaciones de la vida real, las convertirás en sistemas de desigualdades lineales, las resolverás y vincularás las respuestas con el escenario real. • MP.3 Construir argumentos sólidos y evaluar el razonamiento de otros: Explicarás cómo cambiar un valor en un sistema de desigualdades lineales afecta el punto mínimo o máximo. Usa gráficas para respaldar tu explicación. • MP.4 Usar las matemáticas para modelar situaciones reales: Crearás y resolverás sistemas de desigualdades lineales basados en problemas del mundo real y relacionarás las soluciones con la situación original.

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• MP.5 Usar las herramientas con criterio: Practicarás representar gráficamente sistemas de desigualdades lineales y verás cómo representarlas en la misma gráfica muestra el conjunto solución. • MP.6 Ser preciso: Aprenderás a representar y sombrear con precisión sistemas de desigualdades lineales para encontrar el conjunto solución correcto. • MP.7 Usar la estructura: Descubrirás que usar los vértices en programación lineal es la mejor forma de encontrar el valor mínimo o máximo. Explora diferentes opciones antes de darte cuenta de que este método es el más eficiente. • MP.8 Percibir patrones en el razonamiento repetido: Entenderás que el conjunto solución de un sistema de desigualdades lineales es la región sombreada común de ambas desigualdades, y que una solución para ambas es válida al verificarla.

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SISTEMAS DE DESIGUALDADES

CAPTAR INTERÉS: ANTES DE EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Imagina que diriges un pequeño negocio de tejido que hace gorros y bufandas. Cada gorro cuesta $4 y tarda 3 horas en hacerse, mientras que cada bufanda cuesta $6 y tarda 2 horas. Esta semana, cuentas con $180 y 70 horas para trabajar. Tu objetivo es determinar cuántos gorros y bufandas hacer para ganar la mayor cantidad de dinero, considerando que cada gorro genera $10 y cada bufanda $12. ¡Vamos a abordar este desafío y ver cómo las matemáticas pueden ayudarnos a tomar las mejores decisiones!

En esta actividad, aprenderás a usar sistemas de inecuaciones para resolver problemas del mundo real. Verás un video sobre una empresa de tejidos y ayudarás a decidir cuántos gorros y bufandas deben fabricar para obtener la mayor ganancia, cumpliendo con su presupuesto y sus límites de tiempo. Explorarás cómo representar gráficamente inecuaciones y encontrar la mejor solución considerando diferentes restricciones.

Responda las preguntas. 1. ¿Cuáles son las restricciones que enfrenta la empresa de tejido esta semana en términos de tiempo y presupuesto?

2. ¿En qué difieren los costos y las ganancias de los sombreros y las bufandas, y por qué es importante para la empresa?

3. Si la empresa quiere maximizar su beneficio, ¿qué concepto matemático puede ayudar a determinar la cantidad óptima de sombreros y bufandas a producir?

4. ¿Qué factores debería considerar la empresa al decidir cuántos sombreros y bufandas fabricar, además de simplemente maximizar las ganancias?

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SISTEMAS DE DESIGUALDADES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

SISTEMAS DE DESIGUALDADES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 1: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que eres Jahzara, una joven emprendedora deseosa de iniciar un negocio de joyería. Quieres hacer pulseras y collares para vender, pero debes administrar tu presupuesto sabiamente. Con $500 para gastar en materiales y la meta de ganar al menos $1,500, necesitarás usar gráficas de inecuaciones para hallar la mejor combinación de piezas de joyería que fabricar. Esta actividad te ayudará a averiguar cómo alcanzar tus objetivos empresariales usando matemáticas. En esta actividad, aprenderás a usar gráficas para resolver problemas con desigualdades. Trabajarás en grupos para ayudar a Jahzara a decidir cuántas pulseras y collares fabricar para cumplir sus objetivos empresariales. Al graficar y analizar desigualdades, encontrarás soluciones que satisfacen todas las restricciones dadas.

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SISTEMAS DE DESIGUALDADES

264

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

Systems of Inequalities Explore 1

ÁLGEBRA 1

SISTEMAS DE DESIGUALDADES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 1

FECHA ______________________________

Costos e ingresos de la joyería Jahzara DIARIOde DEL ESTUDIANTE Parte I

Usa las tarjetas de gráficas del documento «Tarjetas de gráficas» que representan las restricciones de los costos iniciales de Jahzara y las restricciones de sus ingresos proyectados para determinar algunas combinaciones posibles de pulseras y collares que podría hacer. 1.

Escribe una desigualdad para representar la restricción de los costos iniciales.

Determina qué pares ordenados satisfacen la restricción de los costos iniciales. Par ordenado

Sí

(80, 50) (105, 102) (140, 60) 3.

Escribe una desigualdad para representar la restricción del ingreso.

Determina qué pares ordenados satisfacen la restricción del ingreso. Par ordenado

Sí

(80, 50) (120, 70) (60, 68) 5.

¿Por qué (80, 50) satisface la restricción del inicio, pero no la restricción de los ingresos?

Determina al menos un par ordenado que satisfaga ambas restricciones. Explica cómo lo sabes.

¿Qué representa este par de números en esta situación? 1

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Systems of Inequalities Explore 1 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

SISTEMAS DE DESIGUALDADES

Parte II

La gráfica representa las restricciones de los costos iniciales de Jahzara. 1.

Representa en la gráfica las restricciones de la nueva meta de ingresos.

Determina al menos tres pares ordenados que satisfagan ambas restricciones. Explica cómo lo sabes.

¿Qué representan estos pares ordenados en esta situación?

La ecuación 6x + 12y = P se usa para determinar la ganancia de Jahzara. ¿Cuál de las siguientes combinaciones tendría la mayor ganancia? (250, 0)

(0, 166)

(0, 133) 2

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

Systems of Inequalities Explore 1

SISTEMAS DE DESIGUALDADES

Jahzara ha cambiado su objetivo de ingresos una vez más. Ahora, ella quiere que sus ingresos sean de al menos $2,600. Todavía piensa que debería vender las pulseras a $8 cada una y los collares a $15 cada uno. Ayúdala a determinar combinaciones de pulseras y collares para alcanzar esta nueva meta de ingresos. La gráfica representa las restricciones de los costos iniciales de Jahzara. 5.

En la gráfica, representa las restricciones de la nueva meta de ingresos.

Determina al menos un par ordenado que satisfaga ambas restricciones. Explica cómo lo sabes.

¿Qué representa esto en esta situación?

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Systems of Inequalities Explore 1 SISTEMAS DE DESIGUALDADES

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Reflexiona 1.

Si un par ordenado está en la región sombreada de una desigualdad lineal, pero no de la otra desigualdad lineal, ¿es una solución al sistema de desigualdades lineales?

¿Cuál es la forma más eficiente de determinar todas las soluciones de un sistema de desigualdades lineales?

¿Qué significa si no hay una región superpuesta cuando se grafica un sistema de desigualdades lineales?

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

SISTEMAS DE DESIGUALDADES

EXPLORAR 1: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué estrategias utilizaste para determinar qué combinaciones de pulseras y collares debería hacer Jahzara para cumplir sus metas?

2. ¿Cómo te ayudó graficar las desigualdades a comprender las restricciones que enfrentaba Jahzara en su plan de negocios?

3. ¿Qué desafíos encontraste al intentar hallar soluciones que satisficieran ambas desigualdades, y cómo los superaste?

4. ¿Cómo puede resultar útil comprender los sistemas de inecuaciones en situaciones de la vida real, como en la planificación empresarial de Jahzara?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se relaciona el escenario del negocio de joyería de Jahzara con la situación de la empresa de tejido en términos de usar sistemas de inecuaciones para encontrar soluciones? Considera las restricciones y los objetivos en ambos escenarios.

2. Tras explorar las restricciones de Jahzara y de la empresa de tejido, ¿cómo aplicarías el método de representación gráfica de inecuaciones para determinar la mejor combinación de productos que maximice las ganancias sin exceder el presupuesto ni los límites de tiempo?

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SISTEMAS DE DESIGUALDADES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

Systems of Inequalities Explore 1

SISTEMAS DE DESIGUALDADES

EXPLORAR 1

FECHA ______________________________

Sistemas de desigualdades BOLETO DE SALIDA Boleto de salida Los estudiantes organizarán un lavado de carros para recaudar fondos para su viaje. Su objetivo es recaudar al menos $350. Los estudiantes cobran $5 por lavar carros y $10 por lavar camionetas o camionetas deportivas. Les toma 8 minutos lavar y secar cada carro y 14 minutos lavar y secar cada camioneta o camioneta deportiva. La recaudación de fondos del lavado de carros estará abierta durante 10 horas. 1.

Escribe un sistema de desigualdades para representar estas restricciones.

Grafica el sistema de desigualdades.

Determina al menos tres pares ordenados que satisfagan ambas restricciones. Explica cómo lo sabes.

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SISTEMAS DE DESIGUALDADES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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Systems of Inequalities Part 1

ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

SISTEMAS DE DESIGUALDADES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 1

FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES Sistemas de desigualdades Kala acaba de graduarse y crea un presupuesto para poder mudarse a un nuevo apartamento con sus amigos. Ella tiene dos trabajos a medio tiempo. El primero es de anfitriona en un restaurante local, le pagan $12/hora. El segundo trabajo es de mantenimiento de limpieza en un hotel, que paga $10/hora. Ella quiere mantener el total de horas de trabajo en 45 horas o menos a la semana, y ha determinado que necesita al menos $400 a la semana para pagar todas sus cuentas. 1.

Escribe una desigualdad para representar la restricción del ingreso de Kala.

Escribe una desigualdad para representar la restricción de la cantidad de horas que Kala quiere trabajar.

¿Cuáles de los siguientes pares ordenados cumplen estas dos restricciones individualmente? ¿Cuáles cumplen ambas restricciones?

Par ordenado

Cumple con la restricción de ingresos

Cumple con la restricción de horas

Cumple con ambas restricciones

(30, 10)

❏

(20, 30)

❏

(10, 20)

❏

(20, 20)

❏

(10, 40)

❏

(0, 30)

❏

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SISTEMAS DE DESIGUALDADES

Grafica las desigualdades. Asegúrate de incluir el sombreado para indicar las restricciones. Traza los puntos de datos de la pregunta 3 para verificar que tus respuestas eran correctas para ese problema.

Kala y sus amigos buscan en un complejo de apartamentos diferente que es nuevo. Les encanta, pero llevaría los gastos mensuales de Kala a $500 de $400. Escribe el nuevo sistema de desigualdades para el nuevo apartamento.

Grafica este conjunto nuevo de desigualdades.

¿Cambia esto la capacidad de Kala para cumplir con ambas restricciones de ingresos y horas? Explícalo.

Systems of Inequalities Part 1 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

274

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 274

9/13/25 6:12 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

SISTEMAS DE DESIGUALDADES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 2: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que estás ayudando a Jahzara con su negocio de joyería. Ella hace collares y pulseras, y tu trabajo es averiguar cuántos de cada uno debe hacer para ganar la mayor cantidad de dinero. Usarás gráficos y ecuaciones para encontrar la mejor combinación que se ajuste a su presupuesto y límites de tiempo. En esta actividad, aprenderás a usar gráficas para resolver problemas con inecuaciones. Explorarás cómo encontrar la mejor manera de obtener la mayor ganancia o gastar lo menos posible, usando el negocio de joyería de Jahzara como ejemplo. Trabajando en grupos, usarán matemáticas para encontrar las mejores combinaciones de collares y pulseras para maximizar o minimizar la ganancia. También aprenderás sobre el principio del vértice, que ayuda a encontrar las mejores soluciones en los vértices de la región factible de la gráfica.

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SISTEMAS DE DESIGUALDADES

276

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:12 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

Systems of Inequalities Explore 2

ÁLGEBRA 1

SISTEMAS DE DESIGUALDADES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 2

FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE Maximización de ganancias Parte I 1.

Escribe la desigualdad y la ecuación relacionada para cada restricción en la siguiente tabla. Restricción del inicio

Restricción de ingresos

Restricción de tiempo

Otra(s) restricción(es)

Desigualdad Ecuación relacionada

2. 3. 4.

Grafica las ecuaciones relacionadas, ten en cuenta otras restricciones. Sombrea la región de la solución. Etiqueta los vértices aproximados de la región de la solución con el uso de coordenadas con números enteros.

Sin hacer ningún cálculo, predice qué combinación de pulseras y collares en el conjunto de soluciones maximizará sus ganancias y qué combinación minimizará sus ganancias. 1

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Systems of Inequalities Explore 2 SISTEMAS DE DESIGUALDADES

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Parte II 1.

Usa la tarjeta de combinaciones de joyas de tu grupo del documento «Tarjetas de combinaciones de joyas» para determinar la ganancia de cada sustitución y la función objetivo de la ganancia, 6x + 12y = P.

Clasifica cada ganancia como valor alto (verde), medio (amarillo) o bajo (rojo) de acuerdo con la leyenda de tu tarjeta.

Escribe el valor de la ganancia en el color de la calcomanía correspondiente

Coloca las calcomanías de tu grupo en la gráfica del documento «Gráfica de la clase» en el par ordenado correspondiente.

Usa marcadores codificados por colores para dibujar los resultados de la clase en la gráfica a continuación.

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Systems of Inequalities Explore 2 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

SISTEMAS DE DESIGUALDADES

¿Hay un patrón de color? Si es así, describe el patrón.

Si leemos los valores escritos en las calcomanías verdes, ¿cuál tiene el valor más alto?

Si examinamos los valores escritos en las calcomanías rojas, ¿cuál tiene el valor más bajo?

¿Qué conclusión puedes sacar al examinar los valores escritos en las calcomanías para los valores mínimo y máximo de la función objetivo?

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 279

279

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Systems of Inequalities Explore 2 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

SISTEMAS DE DESIGUALDADES

Reflexiona 1.

¿Cuál es el método más eficiente para determinar el valor mínimo o máximo de una función objetivo?

La gráfica muestra el vértice superior izquierdo de la región factible.

¿Por qué no se usó la coordenada exacta (75.789, 79.579)?

¿Por qué no se usó la coordenada (75, 79)?

Justifica por qué se usó la coordenada (77, 79) para aproximar el vértice.

Si la meta de ingresos se incrementara a $2,000, ¿cambiaría el par ordenado que maximiza o minimiza la función objetivo? ¿Cambiaría la forma de la región factible? Dibuja una gráfica para mostrar tu razonamiento.

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

SISTEMAS DE DESIGUALDADES

EXPLORAR 2: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué estrategias utilizaste para identificar la región factible en la gráfica, y por qué son importantes para resolver el problema?

2. ¿Cómo determinaste qué combinaciones de joyas maximizarían o minimizarían la ganancia de Jahzara, y qué papel jugaron los vértices en tu decisión?

3. Con tus propias palabras, explica por qué es más eficiente probar los vértices de la región factible en lugar de cada posible solución.

4. Reflexiona sobre cómo comprender el principio del vértice de la programación lineal puede ayudar en situaciones de la vida real. ¿Puedes pensar en un ejemplo en el que esto podría ser útil?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo ayuda el proceso de encontrar la región factible para el negocio de joyería de Jahzara a comprender las restricciones que enfrenta la empresa de tejido en la actividad Hook? Considera cómo las desigualdades definen las limitaciones en ambos escenarios.

2. En ambas actividades, Hook y EXPLORAR, aprendiste sobre cómo maximizar el beneficio bajo ciertas restricciones. ¿Cómo ayuda el uso del principio del vértice de la programación lineal en la actividad EXPLORAR a resolver el problema de maximizar el beneficio para la empresa de tejido de punto en la actividad Hook?

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SISTEMAS DE DESIGUALDADES

282

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:12 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

Systems of Inequalities Explore 2

ÁLGEBRA 1

SISTEMAS DE DESIGUALDADES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 2

Programación lineal BOLETO DE SALIDA Boleto de salida

Un salón de manicura programa una cita para una manicura básica de 30 minutos y una manicura de lujo de 1 hora. Cada manicurista puede programar una jornada laboral máxima de 8 horas. El salón de uñas quiere programar no más de 5 manicuras de lujo por día por cada manicurista. Cada manicura básica cuesta $25 y cada manicura de lujo cuesta $60. ¿Qué cantidad de cada tipo de cita produce el ingreso máximo por manicurista? 1.

Grafica las desigualdades que representan las restricciones. Sea x la cantidad de citas de manicura básica e y represente la cantidad de citas de manicura de lujo. 0.5x + y ≤ 8 x≥0 y≤5 y≥0

Escribe la función objetivo.

Encuentra la cantidad de cada tipo de cita que produce el ingreso máximo por cada manicurista.

¿Cuál es el ingreso máximo?

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SISTEMAS DE DESIGUALDADES

284

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:12 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

SISTEMAS DE DESIGUALDADES

Systems of Inequalities EXPLORAR 2 Part 2

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Programación lineal El Club de Apoyo de la Escuela Preparatoria Shasta organiza una cena para recaudar dinero para equipamiento de fútbol. Ellos venderán boletos para adultos y niños. Quieren ganar al menos $1,200 con la cena. Los boletos de adultos tendrán una ganancia de $10 cada uno y los de los niños ganarán $5 cada uno. El local para la cena puede albergar, como máximo, un total de 240 invitados. Ellos tienen un presupuesto para la comida de $1,200. El costo de la comida para los adultos será de $10 cada una y $3 la comida para cada niño. 1.

Escribe la desigualdad y la ecuación relacionada para cada restricción en la tabla de abajo. Restricción de ingreso

Restricción de la venta total de boletos

Restricción del presupuesto de comida

Otra(s) restricción(es)

Desigualdad

Ecuación relacionada

Grafica las ecuaciones relacionadas en la página siguiente, ten en cuenta otra(s) restricción(es).

Sombrea la región de la solución.

Etiqueta los vértices aproximados de la región de la solución mediante coordenadas con números enteros. Si das una coordenada aproximada, asegúrate de que está dentro de la región sombreada. 1

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Systems of Inequalities Part 2 SISTEMAS DE DESIGUALDADES

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Completa la tabla de abajo para determinar el ingreso en cada uno de los vértices. Vértice Ganancia

¿Cuál es la ganancia máxima para la recaudación de fondos cuando mantenemos en cuenta todas las restricciones?

¿Ocurre esto donde hubieras esperado con mirar la gráfica? Explícalo.

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

SISTEMAS DE DESIGUALDADES

HOOK POST-EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Responda las preguntas. 1. ¿Cómo puedes determinar la región factible cuando te dan un sistema de inecuaciones para el negocio de joyería de Jahzara, y por qué es importante identificar esta región?

2. ¿Cuál es el principio del vértice de la programación lineal y cómo puede aplicarse para encontrar la ganancia máxima de las combinaciones de joyas de Jahzara?

3. Si Jahzara quiere aumentar su objetivo de ingresos a $2,600, ¿cómo ajustarías el sistema de inecuaciones y qué impacto tendría esto en la región factible?

4. Describe un escenario en el que minimizar la función objetivo sería beneficioso para el negocio de Jahzara y explica cómo identificarías el valor mínimo utilizando el sistema de inecuaciones.

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 287

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SISTEMAS DE DESIGUALDADES

288

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:12 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

SISTEMAS DE DESIGUALDADES

NOMBRE _____________________________________________

ESQUEMA DE ANCLAJE

FECHA ______________________________

ESQUEMA DE ANCLAJE Sistemas de desigualdades

Fresas negativas es imposible, pero puedes elegir 0.

Las fresas cuestan $4.00 por libra y los plátanos cuestan $3.00 por libra.

Necesita al menos 3 libras de fresas y plátanos

Conjunto de soluciones

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 289

¡Las soluciones deben satisfacer TODAS las desigualdades en el sistema!

Plátanos negativos es imposible, pero podrías elegir 0.

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SISTEMAS DE DESIGUALDADES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 291

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

Instrucciones ● Explica cómo encontrar el conjunto de soluciones de un sistema de desigualdades. ● Recorta el rectángulo y pégalo en tu cuaderno.

Instrucciones ● Grafica en el plano de coordenadas para resolver el siguiente sistema de desigualdades. y≤x–2 3y – 15 > −9x ● No olvides sombrear el gráfico para mostrar el conjunto de soluciones. ● Recorta el plano de coordenadas y pégalo en tu cuaderno.

Systems of Inequalities LIBRO DEL ESTUDIANTE SISTEMAS DE DESIGUALDADES

FECHA ______________________________

CUADERNO INTERACTIVO

291

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SISTEMAS DE DESIGUALDADES

292

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:12 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

SISTEMAS DE DESIGUALDADES

CUADERNO INTERACTIVO

FECHA ______________________________

CUADERNO INTERACTIVO

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293

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SISTEMAS DE DESIGUALDADES

294

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:12 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

SISTEMAS DE DESIGUALDADES

NOMBRE _____________________________________________

Systems of Inequalities REVISIÓN EN ESPIRAL

FECHA ______________________________

REVISIÓN EN ESPIRAL

Tener un perro Aarohi siempre ha querido un perro. Aarohi es responsable y trabajadora. Es independiente, por lo que sus padres nunca tienen que recordarles que limoie o que haga las tareas del hogar. A veces, Aarohi ayuda a su madre con su hermano y su hermana. Según todos los informes, Aarohi está lista para un perro. Aarohi sabe que hay más cuidado con un perro que solo acurrucarse. Los perros necesitan comer todos los días; necesitan ser bañados y arreglados. Pasear y limpiar los desechos de un perro es algo cotidiano. Los perros también cuestan dinero, no solo para adoptar uno en su familia, sino también para pagar la comida, las golosinas, los juguetes, las camas y los suministros del perro, además de las visitas al veterinario y los medicamentos. Los padres de Aarohi pagarán la mayor parte de eso, pero se espera que Aarohi contribuya con $15 por mes a los costos mensuales por su perro. ¡Lo único que le queda a Aarohi por hacer es elegir el tipo de perro adecuado para ella y su familia y luego investigar cómo convertirse en la mejor entrenadora de perros de todos los tiempos!

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Systems of Inequalities GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

SISTEMAS DE DESIGUALDADES

La familia de Aarohi quiere un perro que sea en parte caniche. Al observar varias razas, Aarohi se da cuenta de que la solución establecida para la desigualdad graficada ayudará a su familia a elegir un perro que se ajuste a sus parámetros. ¿Qué desigualdad está graficada?

Aarohi ya está muy emocionada y comienza a trazar las rutas que caminará con su perro en un plano de coordenadas. El mapa del vecindario muestra una acera que va desde el buzón en (5, 8) y el parque en (10, 10). ¿Cuál es la ecuación de la línea donde está la acera en el mapa?

Aarohi tenía 30 tazas de comida para perros con sabor a pollo y 20 tazas de comida para perros con sabor a salmón. Notó que su perro comía 2 tazas cada mañana y 1,5 tazas cada noche durante 7 días. Usando la expresión (30 + 20) – 7(2 + 1.5), calcula cuántas tazas de comida para perros quedaron al final de los siete días.

A. 2x + 3y ≥ 2 B. 3y – 3x ≥ 4 C. −3y + x ≤ −6

¡Ahora la hermana y el hermanastro de Aarohi quieren sus propios perros! ¿Debería la familia tener más perros? Usa la secuencia an = 3a(n-1) para encontrar el costo de agregar más perros, donde n es un número entero mayor que 1 y a1 = 5. ¿Cuáles serían los tres primeros términos de la secuencia?

296

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

SISTEMAS DE DESIGUALDADES

NOMBRE _____________________________________________

CIENCIA DE DATOS

FECHA ______________________________ Systems of Inequalities

CIENCIA DE DATOS Opciones de alimentos

Calories per Gram of Fat. En: New Health Advisor for Daily Health Care, New Health Advisor [en línea]. Disponible en: https://www.newhealthadvisor.org/Calories-per-Gram-of-Fat.html [consulta: 13 de abril de 2022]. NALL, Rachel, 2017. What is a Good Carb-to-Protein Ratio? En: Healthfully [en línea]. Disponible en: https://healthfully.com/493904-what-is-a-good-carb-to-protein-ratio.html [consulta: 18 de julio de 2017]. 1

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 297

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SISTEMAS DE DESIGUALDADES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:12 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

Skills Quiz

SISTEMAS DE DESIGUALDADES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

PRUEBA DE HABILIDADES

Name: ___________________________ Date: ________________

PRUEBA DE HABILIDADES

Sistemas de desigualdades

Para responder las preguntas 1 a 3, grafica ambas desigualdades en la misma gráfica. Muestra claramente el conjunto de soluciones del sistema de desigualdades. 1. 2𝑥𝑥 + 3 > 𝑦𝑦 4𝑥𝑥 – 7𝑦𝑦 ≤ 0

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SISTEMAS DE DESIGUALDADES

Skills Quiz

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

2. 𝑦𝑦 ≥ 2(𝑥𝑥 – 1) 𝑦𝑦 < 2𝑥𝑥 + 1

300

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 300

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

GRADE 3 STUDENT NOTEBOOK Skills Quiz MULTIPLICATION MODELS

ÁLGEBRA 1

SISTEMAS DE DESIGUALDADES

3. − 3𝑥𝑥 – 7𝑦𝑦 > 35 4𝑥𝑥 – 𝑦𝑦 > 1

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 301

301

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Skills Quiz

SISTEMAS DE DESIGUALDADES

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Para responder las preguntas 4 a 10, consulta la siguiente información: Julio trabaja como cajero y como niñero después de la escuela en diferentes días. Solo tiene tiempo para trabajar un máximo de 10 horas por semana entre los dos trabajos. Como cajero gana $7.25 la hora y como niñero gana $10 la hora. Para poder comprarse una computadora nueva en unos meses, necesita ganar por lo menos $80 a la semana. 4. Escribe un sistema de desigualdades que describa la situación de Julio, al utilizar C, las horas trabajadas como cajero y N, las horas trabajadas como niñero.

5. ¿Cuál de las siguientes opciones representa restricciones en esta situación? Selecciona todas las que correspondan. A.

C<N

N≥0

C=N

C≥0

302

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 302

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Skills Quiz

STUDENT NOTEBOOK

SISTEMAS DE DESIGUALDADES

6. Grafica el sistema de desigualdades e incluye las restricciones.

7. ¿Qué significa el par ordenado (2, 7) en relación con esta situación?

8. ¿Cuánto dinero por semana ganaría Julio según el punto que encontraste?

9. ¿5 horas en cada trabajo satisfacen tus ecuaciones? Justifica tu respuesta.

10.

¿Es (−1, 10) una solución viable para esta situación? Justifica tu respuesta.

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303

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SISTEMAS DE DESIGUALDADES

304

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 304

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

SISTEMAS DE DESIGUALDADES

VOCABULARIO

CONJUNTO DE SOLUCIONES

DESIGUALDAD LINEAL

VARIABLE

INTERSECCIÓN

SEMIPLANO

RESTRICCIÓN

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 305

305

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SISTEMAS DE DESIGUALDADES

VOCABULARIO Desigualdad lineal

Conjunto de soluciones

Desigualdad que implica una función lineal

Conjunto de números que hace que un enunciado de desigualdad sea verdadero 3

Intersección

Variable

Punto en el que se cruzan dos rectas

Letra o símbolo que toma el lugar de un número que puede cambiar; letra que puede representar un número desconocido o un conjunto de números 5

Restricción

Semiplano

Condición que debe satisfacer la solución

Región plana que consta de todos los puntos en un lado de una línea recta infinita, y ningún punto en el otro lado 7

306

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 306

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

SISTEMAS DE DESIGUALDADES

VOCABULARIO

FORMA PENDIENTEINTERSECCIÓN

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ECUACIÓN

307

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SISTEMAS DE DESIGUALDADES

VOCABULARIO Ecuación

Forma pendiente-intersección

Enunciado matemático que muestra que dos expresiones son iguales entre sí

Forma de escribir la ecuación de una línea para que sea fácil ver la pendiente y la intersección con el eje Y de la línea; y = mx + b 9

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SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 308

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 309

STUDENT NOTEBOOK

SISTEMAS DE DESIGUALDADES

309

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ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

MODELO CON FUNCIONES INVESTIGACIONES DE FUNCIONES

En esta sección aprenderás a trabajar con distintos tipos de funciones, centrándote especialmente en las funciones de valor absoluto, definidas por tramos y escalonadas. Esto es lo que podrás hacer:

CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES

◦ Graficar funciones de valor absoluto: ◦ Aprender a graficar funciones de valor absoluto cuando se da la ecuación en forma de vértice.

CRECIMIENTO Y DECADENCIA

◦ Identificar y describir características clave de estas gráficas, como el vértice, el eje de simetría y la dirección de apertura.

◦ Transformaciones de funciones de valor absoluto: ◦ Comprender cómo identificar y describir transformaciones verticales y horizontales. Esto incluye: ◦ Traslaciones: desplazar la gráfica hacia arriba, abajo, izquierda o derecha. ◦ Dilataciones: estirar o comprimir la gráfica ◦ Reflexiones: voltear la gráfica sobre un eje.

◦ Graficar funciones definidas por tramos: ◦ Aprender a graficar funciones por tramos formadas por segmentos lineales. ◦ Practicar la representación de funciones de valor absoluto cuando están escritas como funciones por tramos.

◦ Graficar funciones escalonadas: ◦ Comprender cómo graficar funciones escalonadas, que son un tipo de función definida por tramos constante.

Al final de esta lección, podrás interpretar y graficar estas funciones, reconocer sus transformaciones y entender sus características clave.

APLICACIÓN DE PRÁCTICAS MATEMÁTICAS • MP.1 Entender los problemas y seguir intentando resolverlos: Examinarás datos de una situación, crearás gráficas y escribirás ecuaciones para funciones por tramos. Averiguarás qué partes de la ecuación se ajustan a diferentes partes de la situación. • MP.2 Pensar tanto de forma general como específica: Tomarás situaciones reales y las descompondrás para escribir funciones para diferentes tramos de una función por tramos según la descripción del escenario. • MP.3 Construir argumentos sólidos y evaluar las ideas de otros: Usarás lo que sabes sobre valor absoluto y ecuaciones por tramos para explicar cómo pueden representar la misma gráfica. Compararás y explicarás en qué se parecen estas ecuaciones. • MP.4 Usar las matemáticas para representar situaciones de la vida real: Crearás gráficas y ecuaciones para modelar escenarios como rutas de autobús o páginas de lectura, y determinarás qué gráficas y funciones por tramos representan mejor estas situaciones.

310

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 310

• MP.5 Usar las herramientas con criterio: Utilizarás calculadoras gráficas para trazar rápidamente funciones de valor absoluto y ver cómo diferentes operaciones cambian la gráfica. • MP.6 Ser preciso: Prestarás atención a los detalles al analizar cambios en funciones de valor absoluto y te asegurarás de que las operaciones y valores que uses ajusten la gráfica con exactitud. • MP.7 Encontrar y usar patrones: Aplicarás lo que sabes sobre cómo las operaciones cambian la gráfica de una función de valor absoluto a funciones más complejas. Modificarás la gráfica observando cómo la ecuación se desplaza o cambia su forma. • MP.8 Notar y explicar patrones en el razonamiento repetido: Descubrirás cómo diferentes operaciones afectan la gráfica de una función de valor absoluto en comparación con su forma original y harás generalizaciones sobre estos cambios.

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ÁLGEBRA 1

FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

CAPTAR INTERÉS: ANTES DE EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Imagina que eres un arquitecto que trabaja en un nuevo rascacielos. Cada piso del edificio se construye a un ritmo diferente, al igual que distintas partes de una función matemática pueden cambiar. En esta actividad, aprenderás a crear funciones nuevas a partir de partes de ecuaciones lineales, de forma similar a cómo planificarías la construcción de cada piso de un edificio.

En esta actividad, aprenderás a crear nuevas funciones utilizando partes de ecuaciones lineales, como construir una estructura por etapas. Verás un video, explorarás cómo las distintas partes funcionan juntas y resolverás problemas utilizando funciones definidas por tramos. Al final, comprenderás cómo graficar estas funciones e identificar puntos clave en la gráfica.

Responda las preguntas. 1. ¿Qué observas sobre el proceso de construcción en el video? ¿Cómo podría relacionarse con la creación de nuevas funciones a partir de las existentes?

2. Si cada piso de un edificio representa una ecuación lineal diferente, ¿cómo decidirías qué ecuación usar para un piso específico?

3. ¿Cómo crees que la velocidad de construcción de diferentes pisos puede representarse mediante funciones matemáticas?

4. Al observar un edificio en construcción, ¿qué preguntas matemáticas se te ocurren sobre el orden y la programación de cada etapa?

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FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

312

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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ÁLGEBRA 1

FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 1: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que formas parte de un equipo contratado para mejorar una ruta de autobús escolar. Tu tarea es analizar cómo el autobús recoge a los estudiantes y decidir si se necesitan cambios. Utilizarás gráficos y diagramas para comprender los datos y hacer recomendaciones. Prepárate para explorar las funciones escalonadas, que parecen escalones y ayudan a representar este tipo de datos. En esta actividad, aprenderás sobre funciones escalonadas y por qué son importantes para ciertos datos. Trabajarás en grupos para graficar funciones escalonadas a partir de tablas o descripciones e identificar información clave a partir de estas gráficas. También analizarás rutas de autobús para decidir la mejor opción basándote en tus hallazgos matemáticos.

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FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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ÁLGEBRA 1

FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

Functions Derived from Linear Relationships EXPLORAR 1 Explore 1

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Optimización de la rutas del autobús Parte I: Análisis de la ruta original del autobús

Los datos que has recopilado se muestran en la siguiente tabla de valores, donde d es la distancia desde el punto de partida en kilómetros y e es la cantidad total de estudiantes en el autobús en ese punto. d

Traza en la gráfica los datos proporcionados en la tabla.

¿Qué tipo de función podría representar mejor los datos graficados? Dibuja una aproximación de la función que mejor se ajuste. 1

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315

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Functions Derived from Linear Relationships Explore 1 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

Tu socio decidió realizar un seguimiento de la cantidad de pasajeros con más cuidado en lugar de solo verificar en cada parada. Usa la gráfica para determinar cuántas personas hay en el autobús después de recorrer 0.5 km, 2 km, 5 km y 8 km.

Usa la gráfica de tu compañero para completar la tabla.

Distancia recorrida (d)

Cantidad de estudiantes en el autobús (e)

0 0.5 1

1.a parada de autobús

2.a parada de autobús

3.a parada de autobús

2 3 3.5 3.9 4 4.1

5 5.9 6

4.a parada de autobús

5.a parada de autobús

¿Tu función en la primera página fue una mejor representación de la situación que la función escalonada de tu compañero? ¿Por qué sí o por qué no?

6.5 7

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

Parte II: Análisis de ruta alternativa del autobús

Usa las siguientes preguntas para ayudarte a analizar cada opción para la ruta del autobús. 1.

Analiza las descripciones de las opciones B y C, y luego etiqueta cada gráfica en el documento «Gráficas de rutas alternativas del autobús» con B o C.

Opción B 2. ¿Cómo determinaste qué gráfica representaría la opción B?

¿Cuántos estudiantes hay en el autobús durante el intervalo 3.5 ≤ d < 6?

Usa una desigualdad compuesta para escribir un intervalo que describa las distancias cuando el autobús tiene 15 estudiantes.

¿Cuántas paradas hace el autobús?

Escribe 4 ecuaciones para representar cada línea en la gráfica.

Esta gráfica completa se puede representar mediante una función llamada función por partes. Empareja cada una de tus ecuaciones con el intervalo correcto para completar la siguiente función por partes. si

0≤d<1

1 ≤ d < 3.5

3.5 ≤ d < 6

6≤d<7

Si el autobús tarda 2 minutos en recorrer cada kilómetro a lo largo de la ruta y 1 minuto en cada parada, ¿cuánto tiempo tarda el autobús en completar su ruta? 3

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317

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Functions Derived from Linear Relationships Explore 1 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

Opción C 9. ¿Cómo determinaste qué gráfica representaría la opción C?

10. ¿Cuántos estudiantes hay en el autobús durante el intervalo 0 ≤ d < 3? 11. Usa una desigualdad compuesta para escribir un intervalo que describa las distancias cuando el autobús tiene 12 estudiantes. 12. ¿Cuántas paradas hace el autobús? 13. Escribe 5 ecuaciones para representar cada línea en la gráfica. 14. Escribe una función por partes para representar la gráfica de la opción C. si si e=

si si si

15. Si el autobús tarda 1.5 minutos en recorrer cada kilómetro de esta ruta y tiene un promedio de 1.5 minutos por cada parada, ya que la primera parada tiene tanta gente, ¿cuánto tiempo tarda el autobús en completar su ruta ahora?

16. ¿Qué opción es la más eficiente y justa? Explica.

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

Reflexiona 1.

¿Cómo se relaciona la ecuación de una función por partes con la gráfica?

¿Es verdadera o falsa la siguiente afirmación? Dado un conjunto de puntos, todos los puntos deben conectarse para formar la función de ajuste más simple. Explica en base a tus resultados de la parte I.

¿En qué se diferencia el rango de las funciones por partes que exploraste hoy de otras funciones que has estudiado anteriormente?

¿Cómo pudiste determinar si una ruta de autobús determinada era una buena opción? Explica.

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FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

320

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9/13/25 6:12 PM

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

EXPLORAR 1: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué aprendiste sobre las funciones escalonadas y cómo se diferencian de otros tipos de funciones?

2. ¿Cómo te ayudó usar gráficos a comprender los datos de la ruta de autobús mejor que solo mirar una tabla?

3. ¿Por qué crees que las funciones escalonadas son útiles para representar situaciones del mundo real como las rutas de autobuses?

4. ¿Puedes pensar en una situación de tu vida diaria en la que una función escalón podría ser útil y por qué?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo te ayuda el concepto de funciones escalonadas en la actividad EXPLORAR a comprender las funciones por tramos introducidas en la actividad Hook? Considera cómo ambos tipos de funciones usan diferentes ecuaciones para distintos intervalos del dominio.

2. En ambas actividades Hook y EXPLORAR, trabajaste con funciones que cambian de comportamiento en ciertos puntos. ¿Cómo se compara analizar una ruta de autobús mediante funciones escalonadas con crear nuevas funciones a partir de tramos lineales, y cuáles son las similitudes en la forma de abordar estos problemas?

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FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

322

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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Functions Derived from Linear Relationships Explore 1 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 1

FECHA ______________________________

Funciones escalonadas BOLETO DE SALIDA Boleto de salida Si p representa la potencia de salida de una linterna a lo largo del tiempo, t, ¿durante qué intervalos de tiempo se enciende la linterna?

Functions Derived from Linear Relationships Explore 1

Funciones escalonadas Boleto de salida Si p representa la potencia de salida de una linterna a lo largo del tiempo, t, ¿durante qué intervalos de tiempo se enciende la linterna?

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FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

324

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 324

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:12 PM

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ÁLGEBRA 1

FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

Functions Derived from Linear Relationships EXPLORAR 1 Part 1

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Escalonar funciones Tu entrenador de baloncesto usa un cronómetro y hace que los jugadores corran escaleras por cada 2 minutos o fracción que llegan tarde a la práctica. Digamos que L(t) es la cantidad de escaleras corridas por t segundos de retraso en el gráfico siguiente.

Completa la tabla. t (segundos)

120

240

360

420

480

L(t) (escaleras corridas) 2.

¿Cómo decidiste la salida cuando t = 240? ¿Qué significa la salida en el contexto de la práctica del baloncesto?

¿Es L una función de t? Explica tu razonamiento.

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FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

Functions Derived from Linear Relationships Part 1 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Usa tu gráfica. ¿Cuántas escaleras te haría correr el entrenador si estuvieras 601 segundos tarde?

¿Cuál es el dominio apropiado para esta función?

¿Cuál es el rango apropiado para esta función?

El entrenador coloca una gráfica nueva para que los jugadores sepan cuántas escaleras van a correr. Identifica el nuevo dominio y rango. ¿Qué escenario podría causar este cambio?

El entrenador también tiene ejercicios de escalera como parte de la práctica. Si L representa la cantidad de escaleras en minutos, t, ¿durante qué intervalos de tiempo se corre en las escaleras?

El entrenador sabe que los miércoles varios jugadores tienen una sala de estudio obligatoria que termina más tarde y que los jugadores necesitan un par de minutos más para llegar a la práctica. Él le permite a los jugadores 3 minutos extra. Por cada minuto de retraso, los jugadores necesitan correr una escalera más. Grafica cuál es la nueva función para la práctica del miércoles. 2

326

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 326

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 2: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que tienes un libro grande que leer para la clase de inglés, y solo te quedan unos pocos días antes del examen. Jacob y Scarlett están en la misma situación. Tienen que leer un libro de 100 páginas para la noche del jueves. Tu tarea es ayudarlos a planificar a qué ritmo deben leer cada día usando gráficos y ecuaciones. En esta actividad, aprenderás a graficar funciones definidas por partes trabajando en grupos. Utilizarás lápices de colores para trazar tasas de lectura en gráficos, identificar patrones y escribir ecuaciones para diferentes secciones. También aprenderás a usar herramientas y estrategias matemáticas para entender cómo cambian las funciones a lo largo del tiempo.

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FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

328

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:12 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 2

Functions Derived from Linear Relationships Explore 2

FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

El tiempo no se detiene… Parte I 1.

Jacob registró la cantidad de páginas que leyó cada día, así como el tiempo que leyó. Identifica su tasa por hora y completa la tabla. Día

Descripción

Lunes

Jacob leyó 30 páginas en una hora.

Martes

Jacob estaba distraído con la televisión, así que solo leyó 16 páginas en dos horas.

Miércoles

Jacob no pudo leer ninguna página. (Representa gráficamente esta tasa durante una hora).

Representa gráficamente la lectura de Jacob en la gráfica. Registra cada día en un color diferente.

¿Cuántas páginas leyó en total?

¿Cuántas páginas le quedan por leer?

Si tiene 3 horas bloqueadas el jueves por la noche para leer las páginas restantes, ¿cuál sería esa tasa? Representa gráficamente esa tasa en la gráfica.

Escribe una ecuación para representar la tasa de Jacob de las horas 0 a 1 y una ecuación para las horas 3 a 4.

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Tasa unitaria

329

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Functions Derived from Linear Relationships Explore 2 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

Scarlett anotó la cantidad de páginas que leyó cada día, así como el tiempo que leyó. Identifica su tasa por hora y completa la tabla. Día

Descripción

Tasa unitaria

Lunes

Scarlett leyó 25 páginas en una hora.

Martes

Scarlett no pudo leer ninguna página. (Representa gráficamente esta tasa durante una hora).

Miércoles

Scarlett leyó 45 páginas en dos horas.

Grafica la lectura de Scarlett en la gráfica. Registra cada día en un color diferente.

¿Cuántas páginas leyó en total?

10. ¿Cuántas páginas le quedan? 11. Si tiene tres horas bloqueadas el jueves por la noche para leer las páginas restantes, ¿cuál sería esa tasa? Representa gráficamente esa tasa en la gráfica. 12. Escribe una ecuación para representar la tasa de Scarlett de las horas 0 a 1 y una ecuación para las horas 1 a 2. 2

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Functions Derived from Linear Relationships Explore 2 STUDENT NOTEBOOK FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

Parte II 1.

Usa las gráficas de Jacob y Scarlett para completar las partes que faltan de las funciones por partes.

Jacob registró su lectura durante el próximo mes en tarjetas de notas, pero accidentalmente las dejó caer. Usa las tarjetas del documento «Tarjetas de lectura semanales» para relacionar las gráficas con sus funciones y completa la tabla. Semana

Gráfica

Notación de función

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 331

331

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FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

Reflexiona 1.

Tu amigo estuvo ausente hoy. Explícale el proceso para graficar funciones por partes.

Explica cómo se representan gráficamente los símbolos < y ≤.

¿Cómo podemos determinar cuántas ecuaciones tendremos que crear para una función por partes basada en la gráfica?

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SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 332

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

EXPLORAR 2: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué pasos seguiste para graficar las funciones definidas por partes y cómo decidiste dónde empezaba y terminaba cada tramo?

2. ¿Cómo te ayudó usar lápices de distintos colores a entender las distintas partes de la función por tramos?

3. ¿Qué desafíos enfrentaste al hacer corresponder las gráficas con las funciones y cómo los superaste?

4. ¿Cómo pueden las habilidades que aprendiste en esta actividad ayudarte a resolver problemas del mundo real que involucren funciones por tramos?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo te ayudaron el video y el escenario de construir un edificio a entender el concepto de crear nuevas funciones a partir de componentes lineales, y cómo se relaciona esto con graficar funciones definidas por tramos en la actividad EXPLORAR?

2. En la actividad Hook, observaste diferentes etapas de construcción. ¿Cómo se relaciona esta idea de etapas con las diferentes partes de una función definida por tramos, y cómo utilizaste esta comprensión para graficar las tasas de lectura de Jacob y Scarlett en la actividad EXPLORAR?

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FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

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Functions Derived from Linear Relationships Explore 2 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 2

FECHA ______________________________

Funciones lineales definidas BOLETO por partes DE SALIDA Boleto de salida ¿Qué función por partes representa la gráfica que se muestra?

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FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

336

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9/13/25 6:12 PM

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ÁLGEBRA 1

FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Functions Derived from Linear Relationships EXPLORAR 2 Part 2

MUESTRA LO QUE SABES

Funciones lineales definidas por partes 1.

El club de ciencias tiene 2 equipos que trabajan para conseguir el mejor carro de carreras para un torneo. Los equipos trabajan para que los autos recorran la mayor cantidad de tiempo con la menor cantidad de batería. Los equipos tienen sus trabajos terminados en varias etapas. Completa la gráfica, las ecuaciones y los escenarios del experimento para finalizar la información de ambos equipos. Equipo A

Equipo B

Gráfica

Ecuaciones Perdimos el 20 % de la energía de la batería en los primeros 40 minutos. Escenarios del experimento

La batería se apagó por 20 min para un ajuste. Se volvió a encender la batería al 60 % y luego viajamos durante 20 minutos.

¿Cuándo alcanzó un 30 % cada carro?

) = 30 %

) = 30 % 1

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337

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FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

Functions Derived from Linear Relationships Part 2 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

El equipo también trabaja en la creación de una batería de carga rápida. Las ecuaciones de su proyecto se encuentran a continuación.

¿Cómo se dibujarán los puntos de x = 5 cuando el equipo haga la gráfica de sus experimentos? Selecciona dos enunciados que describan correctamente cómo deben graficarse los puntos. A. B. C. D.

Círculo abierto en (5, 2) Círculo cerrado en (5, 2) Círculo abierto en (5, 1) Círculo cerrado en (5, 1)

Grafica la función de la batería de carga rápida abajo.

Evalúa f(7).

338

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FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 3: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que estás ayudando a Molly y Brandon, dos hermanos con diferentes maneras de manejar su dinero. Molly gasta sus $10 en bebidas y los recupera haciendo quehaceres. Brandon gana $5 diarios cortando césped y los gasta en películas. Tu tarea es analizar sus patrones de gasto e ingresos usando matemáticas para ayudarlos a administrar mejor su dinero. En esta actividad, aprenderás a crear una tabla de valores y a graficar la función de valor absoluto f(x) = |x|. Explorarás cómo se relaciona con las gráficas por tramos que has visto antes. También usarás herramientas matemáticas para modelar situaciones de la vida real, como gestionar el dinero, y comprender patrones en las gráficas.

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FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

Functions Derived from Linear Relationships EXPLORAR 3 Explore 3

DIARIO DEL ESTUDIANTE

¡Absolutamente sin dinero! Parte I 1.

Crea una gráfica para representar la situación de Molly.

Completa las ecuaciones para los intervalos especificados y completa la tabla.

f(x)

0 4 8 10 12 16 20

Explica la tendencia de esta gráfica en términos de la situación.

¿Qué notas acerca de todos los valores de y de esta gráfica? ¿Qué significa eso para esta situación específica?

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FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

Functions Derived from Linear Relationships Explore 3 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Crea una gráfica para representar la situación de Brandon.

Completa las ecuaciones para los intervalos especificados y completa la tabla.

f(x)

0 4 8 10 12 16 20

¿En qué se diferencia la gráfica de Brandon de la de Molly?

Explica las similitudes y diferencias entre las pendientes de Brandon de la función por partes.

¿Qué recomendarías que hicieran Molly y Brandon para ayudar a mejorar la administración de su dinero? ¿Sus recomendaciones para ambas personas son iguales o diferentes?

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

Parte II 1.

Completa la información en la aplicación para Molly.

Usa la información para crear tu propia ecuación de valor absoluto. Usa la ecuación f(x) = a|x – h| + k, donde a es la pendiente y la dirección de apertura, h es el valor x del vértice y k es el valor y del vértice. a= h= k= Ecuación:

Verifica tu ecuación de valor absoluto con el uso de la tecnología para graficar.

Compara tu ecuación con la que creó la aplicación. ¿Ambas son correctas? Explica.

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Functions Derived from Linear Relationships Explore 3 FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

Completa la información en la aplicación para Brandon.

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

a= h= k= Ecuación: 7.

Verifica tu ecuación de valor absoluto con el uso de la tecnología para graficar.

Compara tu ecuación con la que creó la aplicación. ¿Ambas son correctas? Explica.

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Functions Derived from Linear Relationships Explore 3

STUDENT NOTEBOOK FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

Reflexiona 1.

¿Cómo sería la ecuación de valor absoluto si el vértice estuviera en (−2, 0), la gráfica se abriera y la pendiente de la porción creciente fuera 1 ? Grafica esto 2 en la cuadrícula.

Explica cómo una ecuación para una función por partes y una ecuación para una función de valor absoluto están relacionadas y pueden representar la misma gráfica.

Al convertir la función de valor absoluto f(x) = a|x – h| + k en una función por partes, ¿cuáles serían las pendientes de las dos partes lineales?

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FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

EXPLORAR 3: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Cómo te ayudó crear una tabla de valores a comprender la gráfica de la función valor absoluto f(x) = |x|?

2. ¿Qué patrones notaste en la gráfica de la función de valor absoluto en comparación con las gráficas por tramos que estudiaste antes?

3. ¿Cómo puedes usar el concepto de valor absoluto para ayudar a Molly y Brandon a mejorar sus estrategias de gestión del dinero?

4. ¿Qué herramientas o estrategias te resultaron más útiles para graficar y analizar la función de valor absoluto, y por qué?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo puede representarse el escenario de la gestión del dinero de Molly y Brandon utilizando valor absoluto y funciones por tramos, y qué conexiones puedes establecer entre esta representación y la gráfica de la función básica de valor absoluto f(x) = |x|?

2. ¿De qué maneras el proceso de crear funciones definidas por partes a partir de situaciones del mundo real, como las de Molly y Brandon, te ayuda a comprender la estructura y la aplicación de las funciones de valor absoluto en el modelado matemático?

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FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

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Functions Derived from Linear Relationships Explore 3

ÁLGEBRA 1

FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 3

FECHA ______________________________

Función de valor absoluto BOLETO DE SALIDA Boleto de salida Llena los espacios en blanco para escribir una ecuación definida por partes y una ecuación de valor absoluto para representar la función graficada a continuación.

Ecuación de valor absoluto f(x) = |

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Ecuación definida por partes

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FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

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ÁLGEBRA 1

FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Functions Derived from Linear Relationships EXPLORAR 3 Part 3

MUESTRA LO QUE SABES

Funciones de valor absoluto Considera la función graficada abajo. 1.

Escribe una ecuación de valor absoluto y una ecuación definida por partes para representar la función graficada abajo.

Ecuación de valor absoluto f(x) = |

Ecuación definida por partes

Crea una tabla de valores para la función.

Describe un posible escenario que dé lugar a esta función.

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Functions Derived from Linear Relationships Part 3 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

Tienes un recorrido que realizas durante la práctica de fútbol como calentamiento. La función está graficada abajo.

Usa la información para crear tu propia ecuación de valor absoluto. Utiliza la ecuación f(x) = a|x – h| + k, donde a es la pendiente y la dirección de la abertura; h es el valor x del vértice y k es el valor y del vértice. a=

Ecuación: 5.

Reescribe la ecuación en una ecuación definida por partes.

¿Cuál es el eje de simetría?

¿Cuál es el vértice de la función? ¿Qué indica?

¿Qué distancia corre el equipo durante su calentamiento?

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NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 4: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que estás atrapado en una habitación misteriosa con cuatro cerraduras. Para escapar, debes usar un láser para romper las cerraduras. ¡Pero hay un giro! Necesitas ajustar la trayectoria del láser graficando funciones de valor absoluto para que se refleje en un espejo y alcance las cerraduras. Trabaja con tu grupo para resolver este acertijo y encontrar la salida. En esta actividad, aprenderás a graficar funciones de valor absoluto y a ver cómo cambian o se trasladan en una gráfica. Usarás calculadoras gráficas para explorar cómo mover la gráfica hacia arriba, abajo, a la izquierda o a la derecha afecta su forma. También trabajarás con tus compañeros de clase para resolver rompecabezas y comprender mejor estos cambios.

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FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

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9/13/25 6:12 PM

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FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 4 Functions Derived from Linear Relationships Explore 4

DIARIO DEL ESTUDIANTE

¡Hora de escapar! Parte I 1.

Se muestra la función y = |x|. Usa la tecnología para graficar las siguientes funciones y luego encierra con un círculo la función que rompería la cerradura.

a(x) = |x − 3| b(x) = |x + 3| c(x) = |x| − 3

Se muestra la función y = |x|. Usa la tecnología para graficar las siguientes funciones y luego encierra con un círculo la función que rompería la cerradura.

d(x) = |x| + 4 e(x) = |x + 4| f(x) = |x − 4|

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FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

Functions Derived from Linear Relationships Explore 4 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Se muestra la función y = |x|. Usa la tecnología para graficar las siguientes funciones y luego encierra con un círculo la función que rompería la cerradura.

g(x) = |x| − 2 h(x) = |x − 2| j(x) = |x| + 2

Se muestra la función y = |x|. Usa la tecnología para graficar las siguientes funciones y luego encierra con un círculo la función que rompería la cerradura.

k(x) = |x| − 4 m(x) = |x| + 4 n(x) = |x − 4|

Para una función de valor absoluto, f(x) = |x − h| + k, explica qué le hacen a la gráfica los valores positivos y negativos de h y k.

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Explore 4 STUDENT NOTEBOOK FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

Parte II 1.

Se muestra la función y = |x|. Grafica la función que parecería reflejarse en el espejo y atravesar ambas cerraduras. Identifica las características clave para ayudarte a planificar tu ecuación y luego escríbela. Transformaciones: Vértice: Intersecciones en x: Intersecciones en y: Eje de simetrías: Ecuación:

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357

9/13/25 6:12 PM

Functions Derived from Linear Relationships Explore 4 FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Reflexiona 1.

Usa la función g(x) = |x − h| + k. ¿Dónde estaría el vértice?

Usa la función k(x) = |x + 3| − 4. Describe las transformaciones de la función principal f(x) = |x|, e identifica el vértice, el eje de simetría y las intersecciones. Transformación: Vértice: Eje de simetría: Intersecciones en x: Intersecciones en y:

Escribe una función para una gráfica de valor absoluto que se desplace hacia la derecha y hacia abajo.

Escribe una función para una gráfica de valor absoluto que se desplace hacia la izquierda y hacia arriba.

Las gráficas de f(x) = |x| + 3 y g(x) = |x + 3| ambas pasan por el punto (0, 3) y tienen muchos otros puntos en común. ¿Qué es diferente en las gráficas? ¿Dónde están los puntos que no tienen en común?

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9/13/25 6:12 PM

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

EXPLORAR 4: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Cuál fue la parte más desafiante de graficar las funciones de valor absoluto y cómo la superaste?

2. ¿Cómo te ayudó trabajar en grupo a comprender mejor las traslaciones de las funciones?

3. ¿Puedes describir una situación de la vida real en la que comprender cómo trasladar funciones podría ser útil?

4. ¿Qué patrones notaste al cambiar los valores de h y k en la función y = |x - h| + k? ¿Cómo te ayudaron estos patrones a predecir el comportamiento de la gráfica?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se relaciona el proceso de ajustar las funciones de valor absoluto para romper el candado en la actividad EXPLORAR con la creación de nuevas funciones a partir de componentes lineales en la actividad HOOK? Considera cómo ambas actividades implican modificar funciones para lograr un objetivo específico.

2. En la actividad EXPLORAR, utilizaste la representación gráfica para visualizar cómo los cambios en la función afectan su gráfica. ¿Cómo puede aplicarse esta estrategia para comprender las funciones por tramos en la actividad HOOK, especialmente al determinar cómo se comporta cada segmento de la función en su dominio respectivo?

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FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

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Functions Derived from Linear Relationships Explore 4 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

EXPLORAR 4

FECHA ______________________________

Traducir funciones de valor BOLETO absolutoDE SALIDA Boleto de salida Identifica el vértice y las transformaciones para la función g(x) = |x + 2| − 3. Vértice: Transformaciones:

Functions Derived from Linear Relationships Explore 4

Traducir funciones de valor absoluto Boleto de salida Identifica el vértice y las transformaciones para la función g(x) = |x + 2| − 3. Vértice: Transformaciones:

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FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

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9/13/25 6:12 PM

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FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

Functions Derived from Linear Relationships Part 4 EXPLORAR 4

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Trasladar funciones de valor absoluto 1.

Tú y tus amigos están en un juego de escape. Están atascados en un rompecabezas que requiere reflejar la luz y golpear ciertos lugares para revelar una pista. Tu punto de partida y tu punto de llegada deben estar en el lugar en el que incide el vértice. Los puntos X, Y y Z necesitan que la mitad derecha de la luz incida en ellos para obtener las pistas. Determina qué ecuaciones situarán el láser en los puntos correctos.

N(x) = |x + 6|

H(x) = |x – 2|

R(x) = |x| – 2

E(x) = |x – 1|

A(x) = |x + 1|

I(x) = |x – 7|

B(x) = |x| + 2

T(x) = |x + 2|

C(x) = |x + 7|

P(x) = |x – 6|

Registra las funciones que te llevarán a través del rompecabezas y utiliza los nombres de las funciones para descubrir el objeto que contiene la siguiente pista. Partida Vértice

Punto X

Punto Y Mitad derecha de la luz

Punto Z

Llegada Vértice

Encierra con un círculo el objeto que contiene la siguiente pista de la sala: silla, adorno de rancho, cuadro de la playa, guía del profesor, banca. 1

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Functions Derived from Linear Relationships Part 4 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

Debajo de tu pista, encuentras la siguiente. Tienes que determinar la combinación de una cerradura. Has determinado que tres coordenadas te darán los tres números de dos dígitos que necesitas. ¿Cuáles son las coordenadas del vértice de cada ecuación? a. b. c.

Intersección en y: Intersección en y: Intersección en y:

g(x) = |x + 5| – 4 g(x) = |x − 2| + 3 g(x) = |x + 6| + 8

Intersección en x: Intersección en x: Intersección en x:

Oíste el clic de la cerradura para los dos primeros números, pero no se abrió para el último. En un último esfuerzo, tu amigo te sugiere probar el eje de simetría para las dos últimas ecuaciones. ¿Cuál es el eje de simetría de cada ecuación? a. b.

g(x) = |x + 5| – 4 g(x) = |x − 2| + 3 g(x) = |x + 6| + 8

Esa combinación tampoco funciona. Ya casi no tienes tiempo. Crees que se supone que sean las intersecciones en x. ¿Cuáles son las intersecciones en x de cada ecuación? a. b. c.

Vértice: Vértice: Vértice:

Esa combinación no funciona. Tu amigo cree que tal vez debería ser la intersección en y. ¿Cuál es la intersección en y de cada ecuación? a. b. c.

g(x) = |x + 5| – 4 g(x) = |x – 2| + 3 g(x) = |x + 6| + 8

g(x) = |x – 2| + 3 g(x) = |x + 6| + 8

Eje de simetría: Eje de simetría:

La cerradura hace clic y revela un último rompecabezas. Hay baldosas que tienes que pisar, pero sólo algunas son «seguras». Para escapar tienes que saber cómo pasar de la función principal f(x) = |x| a g(x) = |x + 1| + 5. ¿Cuál es la transformación a seguir? 2

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NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 5: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que estás atrapado en una habitación misteriosa con seis cerraduras. Para escapar, debes usar un láser para romper las cerraduras. Pero hay un giro: el láser sigue trayectorias determinadas por funciones matemáticas. Tu misión es ajustar estas funciones para que el láser golpee y rompa las cerraduras. Trabaja con tu grupo para representar gráficamente estas funciones, identificar características clave y escribir ecuaciones para resolver el rompecabezas y escapar. En esta actividad, aprenderás a graficar y transformar funciones de valor absoluto. Identificarás características clave como el vértice y la pendiente, describirás transformaciones y escribirás ecuaciones. También usarás calculadoras gráficas para resolver problemas y comprender cómo los cambios afectan la forma y la posición de la gráfica.

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FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

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9/13/25 6:12 PM

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NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 5 Functions Derived from Linear Relationships Explore 5

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Parte I 1.

¡Hora de escapar! Avanzado

Se muestra la función y = |x|. Usa la tecnología para graficar las siguientes funciones y luego encierra con un círculo la función que colocaría correctamente el láser en la pared norte y rompería las cerraduras.

a(x) = 3|x| b(x) = 0.2|x| c(x) = 2|x|

Se muestra la función y = |x|. Usa la tecnología para graficar las siguientes funciones y luego encierra con un círculo la función que rompería las cerraduras.

a(x) = 3|x| b(x) = 0.2|x| c(x) = −|x|

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FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

Functions Derived from Linear Relationships Explore 5 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Se muestra la función y = |x|. Usa la tecnología para graficar las siguientes funciones y luego encierra con un círculo la función que rompería las cerraduras.

a(x) = 4|x| b(x) = 0.5|x| c(x) = −|x|

Describe qué le hace a la gráfica un valor delante de la función de valor absoluto. Explica los valores positivos mayores que 1 y menores que 1, así como los valores negativos.

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Functions Derived from Linear Relationships Explore 5 LIBRO DEL ESTUDIANTE

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Parte II 1.

Se muestra la función y = |x|. Grafica la función que parecería reflejarse en el espejo y atravesar ambas cerraduras. Identifica las características clave a continuación para ayudarte a planificar tu ecuación y luego escríbela. Transformaciones:

Vértice: Intersección en x: Intersección en y: Eje de simetría: Ecuación:

Vértice: Intersección en x: Intersección en y: Eje de simetría: Ecuación: 3

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FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

Functions Derived from Linear Relationships Explore 5 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Se muestra la función f(x) = |x − 2| + 3. Grafica la función que parecería reflejarse en el espejo y atravesar ambas cerraduras. Identifica las transformaciones necesarias para desplazar f(x) a g(x), escribe g(x) como una función transformada de f(x) y escribe la función explícita g(x). Transformaciones de f(x) a g(x):

Escribe g(x) como una transformación de f(x). f(x ) g(x) = _________________ Escriba la función real para g(x). g(x) = _________________ 4.

Se muestra la función f(x) = 2|x| − 5. Grafica la función que parecería reflejarse en el espejo y atravesar ambas cerraduras. Identifica las transformaciones necesarias para desplazar f(x) a g(x), escribe g(x) como una función transformada de f(x) y escribe la función explícita g(x). Transformaciones de f(x) a g(x):

Escribe g(x) como una transformación de f(x). f(x ) g(x) = _________________ Escriba la función real para g(x). g(x) = __________________ 4

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Functions Derived from Linear Relationships Explore 5 LIBRO DEL ESTUDIANTE

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

Reflexiona 1.

Usa la función g(x) = a|x − h| + k. Describe los cambios en el vértice de f(x) = |x| para g(x).

Usa la función k(x) = 2|x − 4| + 6. Describe las transformaciones de la función principal f(x) = |x| e identifica el vértice, el eje de simetría y las intersecciones. Transformación: Vértice: Eje de simetría: Intersección en x: Intersección en y:

Escribe una función para una gráfica de valor absoluto que se desplace hacia la izquierda y hacia abajo con un tramo vertical.

Escribe una función para una gráfica de valor absoluto que se desplace hacia la derecha y hacia arriba con un reflejo sobre el eje X y una compresión vertical.

Traslada la función f(x) = 2|x − 4| + 3 hacia la izquierda 5 unidades y hacia abajo 2 unidades. Escribe la nueva función g(x) para representar estos traslados.

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FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

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STUDENT NOTEBOOK FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

EXPLORAR 5: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Cómo cambiaron las transformaciones que aplicaste a la función de valor absoluto la apariencia de la gráfica? Describe cualquier estiramiento, compresión o reflexión que hayas observado.

2. ¿Qué estrategias utilizaste para determinar qué función abriría los candados en la actividad? ¿Cómo supiste que tu solución era correcta?

3. Al escribir la ecuación de una función transformada, ¿en qué características clave te centraste y por qué eran importantes?

4. ¿Cómo te ayudó trabajar en grupo a comprender mejor las transformaciones de las funciones de valor absoluto? ¿Qué aprendiste de tus compañeros?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se relaciona el proceso de ajustar la trayectoria del láser en la actividad HOOK con graficar transformaciones de funciones de valor absoluto en la actividad EXPLORAR? Considera cómo determinas la función correcta para abrir las cerraduras y cómo esto se relaciona con encontrar las transformaciones adecuadas para obtener una gráfica específica.

2. En la actividad HOOK, utilizaste componentes lineales para resolver un problema. ¿Cómo puede la comprensión de estos componentes ayudarte a identificar características clave y a escribir ecuaciones para funciones de valor absoluto transformadas en la actividad EXPLORAR? Reflexiona sobre cómo conocer los efectos de los cambios en la ecuación y = a|x – h| + k puede ayudar en ambos escenarios.

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FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

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Functions Derived from Linear Relationships Explore 5 LIBRO DEL ESTUDIANTE

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NOMBRE _____________________________________________

FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

EXPLORAR 5

FECHA ______________________________

Transformar funciones de valor absoluto BOLETO DE SALIDA Boleto de salida ¿Qué enunciado no es verdadero sobre la función f(x) = −2|x − 3| + 5? A. B. C. D.

La función se abre hacia abajo. El vértice de la función se encuentra en (3, 5). La función tiene un tramo vertical de 2. La función se desplaza 3 a la izquierda y 5 hacia arriba desde la función principal.

Functions Derived from Linear Relationships Explore 5

Transformar funciones de valor absoluto Boleto de salida ¿Qué enunciado no es verdadero sobre la función f(x) = −2|x − 3| + 5? A. B. C. D.

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FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

Functions Derived from Linear Relationships EXPLORAR 5 Part 5

FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Transformar funciones de valor absoluto 1.

Tú y tus amigos están en un juego de escape. El rompecabezas actual requiere que ajustes una linterna para que su rayo de luz llegue a un afiche. Trabaja sobre las funciones clave de la gráfica para determinar la ecuación necesaria para que la linterna alumbre. Transformaciones: Vértice: Intersección en x: Intersección en y: Eje de simetría: Ecuación:

La pista dice que hay que iluminar la linterna desde el último afiche hasta el de la pared opuesta. Trabaja sobre las funciones clave de la gráfica para determinar la ecuación necesaria para que la linterna se ilumine. Transformaciones: Vértice: Intersección en x: Intersección en y: Eje de simetría: Ecuación: 1

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Functions Derived from Linear Relationships Part 5 FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Encuentras el último rompecabezas para abrir la cerradura de la puerta. Es una cerradura de combinación. Determina qué enunciado no es cierto en cada ecuación para conocer las letras que necesitas para abrir la cerradura final. 3.

¿Qué enunciado no es cierto sobre la función f(x) = 0.25|x + 2| + 9? A. B. C. D.

¿Qué enunciado no es cierto sobre la función f(x) = 3|x – 6| – 5? A. B. C. D.

La función se abre hacia arriba. El vértice de la función está situado en (6, −5). La función tiene un tramo horizontal de 3. La función se desplaza hacia la derecha 6 y hacia abajo 5 de la función principal.

¿Qué enunciado no es cierto sobre la función f(x) = −3|x – 4| + 1? A. B. C. D.

La función se abre hacia abajo. El vértice de la función está situado en (−2, 9). La función tiene una compresión vertical de la función principal. La función se desplaza hacia la izquierda 2 y hacia arriba 9 de la función principal.

La función se abre hacia abajo. El vértice de la función está situado en (4, 1). La función tiene un tramo vertical de 3. La función se desplaza hacia la izquierda 4 y hacia arriba 1 de la función principal.

¿Qué enunciado no es cierto sobre la función f(x) = −2|x + 7| – 1? A. B. C. D.

La función se abre hacia abajo. El vértice de la función está situado en (7, −1). La función tiene un tramo vertical de 2. La función se desplaza hacia la izquierda 7 y hacia abajo 1 de la función principal.

378

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Functions Derived from Linear Relationships Part 5

STUDENT NOTEBOOK FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

¿Qué enunciado no es cierto sobre la función f(x) = −0.75|x + 3| + 5? A. B. C. D.

La función se abre hacia abajo. El vértice de la función está situado en (−3, 5). La función tiene una compresión vertical de la función principal. La función se desplaza hacia la derecha 3 y hacia arriba 5 de la función principal.

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FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

380

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9/13/25 6:12 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

HOOK POST-EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Responda las preguntas. 1. ¿Cómo puedes determinar la ecuación de una función escalonada a partir de un conjunto dado de puntos de datos, y qué escenarios del mundo real podría representar este modelo?

2. Al graficar una función por tramos, ¿cómo decides qué ecuación utilizar para un intervalo específico y cómo se relaciona esto con situaciones del mundo real, como las rutas de autobús?

3. ¿Cómo ayuda el concepto de valor absoluto a modelar escenarios en los que solo son posibles resultados no negativos, y cómo puede representarse esto gráficamente?

4. ¿Qué transformaciones se pueden aplicar a la función base de una gráfica de valor absoluto para modelar situaciones del mundo real, y cómo afectan estas transformaciones a las características clave de la gráfica?

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381

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FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

382

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

NOMBRE _____________________________________________

ESQUEMA DE ANCLAJE

FECHA ______________________________

ESQUEMA DE ANCLAJE

Funciones derivadas de relaciones lineales

Función principal de valor absoluto Función escalonada una función definida por partes donde la fórmula de cada parte es una constante

Función lineal definida por partes una función que está definida por diferentes fórmulas en diferentes entradas

Puede ser escrita como O f(x) = |x|

Transformar una función de valor absoluto.

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383

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FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

384

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por partes

Función escalonada

absoluto

Función de valor

Funciones derivadas de relaciones lineales

ÁLGEBRA 1

Función lineal definida

Parte superior

Instrucciones ● Recorta la parte superior y la parte inferior del folioscopio. Asegúrate de cortar las lengüetas por las líneas punteadas. Dobla las lengüetas hacia atrás por las líneas sólidas. ● Primero pega la parte inferior del folioscopio en tu cuaderno. ● Coloca pegamento de acuerdo a las instrucciones y añade la parte superior del folioscopio. ● Levanta las lengüetas y grafica cada ecuación en el plano cartesiano para completar el folioscopio.

Functions Derived from Linear Relationships

LIBRO DEL ESTUDIANTE FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

NOMBRE _____________________________________________

FECHA ______________________________

CUADERNO INTERACTIVO

385

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FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

386

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9/13/25 6:12 PM

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

ÁLGEBRA 1

STUDENT NOTEBOOK FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

Parte inferior

Coloca el pegamento aquí.

Functions Derived from Linear Relationships

LIBRO DEL ESTUDIANTE

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387

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FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

388

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 388

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9/13/25 6:12 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

CUADERNO INTERACTIVO

FECHA ______________________________

CUADERNO INTERACTIVO

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389

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FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

390

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 390

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:12 PM

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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STUDENT NOTEBOOK FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

391

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FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

392

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:12 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

REVISIÓN EN ESPIRAL Functions Derived from Linear Relationships

REVISIÓN EN ESPIRAL

Super alto en el cielo Paola nunca estuvo más asustada en su vida. Todo el grado viajaba en autobús para una excursión. Fue un viaje en autobús de dos horas, pegajoso y caluroso hasta el parque de atracciones Límites Exteriores. El mejor amigo de Paola, Joshua, doble-triple-perro, la desafió a subirse a la montaña Plataforma de Lanzamiento. ¿Llega hasta las nubes? ¿Será capaz de tocar una nube? ¡Será mejor que no beba sodas ni coma bocadillos de antemano! ¿Será capaz de reclamar una de esas camisetas de «Sobreviví» que reparten a todos los valientes humanos que suben a la montaña rusa? Con suerte, porque si no completa su doble-triple-perro-desafío, tendrá que comer macarrones con queso del día anterior.

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393

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Functions Derived from Linear Relationships GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

La montaña rusa Géminis tiene dos carros que corren hasta la meta. Si Joshua montó en el carrito azul y Paola en la montaña rusa verde, ¿quién ganó la carrera??

La chaperona de la excursión está comprando sodas para todos por $1.50 cada uno, además está ordenando una pizza extra grande de pepperoni por $14.99. Completa la tabla para mostrar el costo total, t, cuando la chaperona pide refrescos. 2

El arquitecto de la montaña rusa utilizó parte de una función lineal en los planes de diseño. Las coordenadas de la función se muestran en la tabla. Escribe la función lineal que usó el arquitecto en notación de función. x

−1

f(x)

−9

−4

Basándote en las experiencias anteriores de Paola, ella sabe que no puede comer muchas meriendas de gominola antes de subirse a esta montaña rusa Desalentadora. ¿Cuál es el conjunto de soluciones para la siguiente desigualdad, en la que x representa la cantidad de meriendas de gominola que Paola puede comer con seguridad? 3x – 9 ≥ 5x – 25

394

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 394

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ÁLGEBRA 1

FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

NOMBRE _____________________________________________

CIENCIA DE DATOS

FECHA ______________________________

CIENCIA DE DATOS

Functions Derived from Linear Relationships

Rutas de autobuses

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395

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FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

396

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9/13/25 6:12 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

Skills Quiz

ÁLGEBRA 1

FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

PRUEBA DE ________________ HABILIDADES Name: ___________________________ Date:

PRUEBA lineales DE HABILIDADES Funciones derivadas de relaciones Para responder las preguntas 1 a 7, grafica la función dada e identifica las funciones claves enumeradas. 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = |𝑥𝑥 + 1| + 3

El vértice es __________.

La intersección en y es __________.

La(s) intersección(es) en x es(son) __________.

El mínimo / el máximo es __________.

El eje de simetría es __________.

El intervalo en el que crece la gráfica es __________.

El intervalo en el que decrece la gráfica es __________.

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397

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Skills Quiz

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

8. Grafica la función 𝑗𝑗(𝑥𝑥) y describe las transformaciones de la función principal 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = |𝑥𝑥|. 𝑗𝑗(𝑥𝑥) =

398

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 398

− 2|𝑥𝑥 – 2| + 4

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

GRADE 3 STUDENT NOTEBOOK FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES MULTIPLICATION MODELS Skills Quiz

ÁLGEBRA 1

Para responder la pregunta 9, utiliza esta función:

a. Grafica 𝑞𝑞(𝑥𝑥).

b. Evalúa 𝑞𝑞(− 1). __________

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399

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Skills Quiz

FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

10. Esta es una gráfica de la función de valor absoluto 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = |𝑥𝑥 + 4|. Reescribe esta función como una función definida por partes.

400

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 400

9/13/25 6:12 PM

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

VOCABULARIO

FUNCIÓN POR PARTES

FUNCIÓN ESCALONADA

FUNCIÓN DE VALOR ABSOLUTO

TRASLACIÓN HORIZONTAL

TRASLACIÓN VERTICAL

DILATACIÓN VERTICAL

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 401

401

9/13/25 6:12 PM

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

VOCABULARIO Función escalonada

Función por partes

Función definida por partes donde la fórmula de cada pieza es una constante

Función definida por fórmulas diferentes en entradas diferentes 3

Traslación horizontal

Función de valor absoluto

Cambio en la base del gráfico hacia la izquierda o hacia la derecha

Función que contiene una expresión algebraica dentro de símbolos de valor absoluto 5

Dilatación vertical

Traslación vertical

Expansión o contracción en la dirección vertical

Desplazamiento en la base del gráfico hacia arriba o hacia abajo 7

402

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 402

9/13/25 6:12 PM

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

VOCABULARIO

DILATACIÓN HORIZONTAL

VÉRTICE

EJE DE SIMETRÍA

CRECIENTE/ DECRECIENTE

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403

9/13/25 6:12 PM

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

VOCABULARIO Vértice

Dilatación horizontal

Punto mínimo o máximo en una función cuadrática; identificado como (h, k)

Acto de expandirse o contraerse en dirección horizontal 9

Creciente/decreciente

Eje de simetría

Una función es creciente si f(b) > f(a) y decreciente si f(b) < f(a) para cualquiera de los dos valores de entrada a y b

Línea que divide una figura en dos partes idénticas que son imágenes especulares entre sí 11

404

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 404

9/13/25 6:12 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 405

STUDENT NOTEBOOK FUNCIONES DERIVADAS DE RELACIONES LINEALES

405

9/13/25 6:12 PM

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 2

9/13/25 6:12 PM

SS CA Math SN Algebra 1 V2 SPA.indb 2

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CALIFORNIA

POR ACCELERATE LEARNING

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MATEMÁTICAS

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ÁLGEBRA 1 | Libreta del estudiante

MATEMÁTICAS

A1 ÁLGEBRA

Mi nombre:

CALIFORNIA ISBN 9798330818334

VOL. 2 DE 4

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POR ACCELERATE LEARNING

Libreta del estudiante VOLUMEN 2 DE 4

12/16/25 1:04 PM

Mi nombre:

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ÁLGEBRA 1 | Libreta del estudiante VOL. 3 DE 4

MATEMÁTICAS

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A1 ÁLGEBRA

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POR ACCELERATE LEARNING

Libreta del estudiante VOLUMEN 3 DE 4

12/16/25 1:07 PM

Libreta del estudiante, volumen 3 Álgebra 1

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 1

9/13/25 6:10 PM

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 2

9/13/25 6:10 PM

TABLA DE CONTENIDO ALCANCE 11

EXPONENTES RACIONALES

FUNCIONES EXPONENCIALES

TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

146

OPERACIONES CON POLINOMIOS

212

GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

292

FACTORES DE POLINOMIOS

384

ALCANCE 12

ALCANCE 13

ALCANCE 14

ALCANCE 15

ALCANCE 16

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 1

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ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

EXPONENTES RACIONALES

INVESTIGACIONES DE FUNCIONES

En este apartado, aprenderás sobre los exponentes y cómo funcionan con distintos tipos de números. Nos centraremos en comprender los exponentes racionales y su relación con los radicales, así como en explorar las propiedades de los números racionales e irracionales. Esto es lo que aprenderás:

SISTEMAS DE ECUACIONES

◦ Comprensión de los exponentes racionales: ◦ Aprende a usar las reglas del cero, del negativo, del producto, del cociente y de la potencia para simplificar expresiones con exponentes racionales. ◦ Descubre cómo los exponentes racionales son una extensión de los exponentes enteros, lo que nos permite expresar radicales de una nueva manera ◦ Practica transformando expresiones entre radicales y exponentes racionales.

◦ Trabajo con números racionales e irracionales: ◦ Comprende que al sumar o multiplicar dos números racionales, el resultado siempre es un número racional. ◦ Aprende que sumar un número racional a un número irracional da como resultado un número irracional. ◦ Descubre que multiplicar un número racional distinto de cero por un número irracional también da como resultado un número irracional.

Al final de esta lección, podrás simplificar expresiones usando exponentes racionales y comprender los resultados al trabajar con números racionales e irracionales.

APLICACIÓN DE PRÁCTICAS MATEMÁTICAS • MP.1 Comprender y resolver problemas: Determina cuánto fertilizante necesitas para tus jardines. Usa las medidas dadas para hallar el área de cada jardín, súmalas y determina cuántas bolsas de fertilizante necesitarás según el área que cubre cada bolsa. • MP.2 Pensar en los números y sus significados: Usa las medidas dadas para calcular el área del jardín y determinar cuánto fertilizante necesitarás. • MP.3 Construir argumentos sólidos y evaluar las ideas de otros: Observa cómo otros estudiantes simplifican radicales. Decide quién tiene razón y explica tu razonamiento usando lo que sabes sobre la simplificación de radicales. • MP.4 Usar las matemáticas para resolver problemas del mundo real: Calcula el área del jardín con las medidas dadas y determina cuánto fertilizante necesitas.

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• MP.5 Usar las herramientas sabiamente: Usa calculadoras para resolver problemas y encontrar patrones entre diferentes tipos de exponentes. • MP.6 Ser preciso: Usa tu conocimiento de exponentes y radicales para convertir con precisión entre expresiones con exponentes racionales y radicales. • MP.7 Usar la estructura para resolver problemas: Usa lo que sabes sobre exponentes para comprender la conexión entre exponentes racionales y radicales y encontrar maneras más sencillas de simplificar expresiones. • MP.8 Reconocer patrones y atajos: Explora los exponentes racionales y encuentra maneras más rápidas de resolver problemas usando las reglas de los exponentes, como potencia de una potencia, para simplificar expresiones.

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ÁLGEBRA 1

EXPONENTES RACIONALES

CAPTAR INTERÉS: ANTES DE EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Imagina que eres un detective en el mundo de las matemáticas, y hoy estás en una misión para desentrañar el misterio de los exponentes racionales. Estos son exponentes especiales que no son números enteros, y guardan secretos sobre números como el 8. Tu tarea es averiguar cómo funcionan estos exponentes y qué significan. ¡Prepárate para explorar y resolver este rompecabezas matemático!

En esta actividad, aprenderás sobre exponentes racionales haciendo predicciones y explorando cómo funcionan. Descubrirás cómo usar las reglas de los exponentes para resolver problemas con exponentes que no son números enteros. Al final, comprenderás cómo los exponentes fraccionarios se relacionan con las raíces y tendrás más confianza al usarlos.

Responda las preguntas. 1. ¿Qué crees que ocurre cuando usas una fracción como exponente, como 8^(1/2)?

2. ¿Puedes predecir a qué equivale 8^0 y por qué podría ser ese valor?

3. ¿Cómo crees que los exponentes racionales son similares a o diferentes de los exponentes de números enteros?

4. Si 8^2 significa multiplicar 8 por sí mismo, ¿qué podría representar 8^(3/2) en términos de multiplicación y raíces?

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EXPONENTES RACIONALES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

EXPONENTES RACIONALES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 1: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que estás en una clase de ciencias con tus amigos Krishna y Mateo. Estás trabajando en un proyecto para averiguar qué canicas tienen el mismo radio, ¡pero hay un giro! Cada fabricante de canicas usa una forma diferente de mostrar el radio: algunos usan exponentes, otros radicales y algunos números enteros. Tu misión es usar tus habilidades matemáticas para descubrir qué canicas coinciden, empleando lo que sabes sobre exponentes y radicales. En esta actividad aprenderás sobre los exponentes fraccionarios y cómo se relacionan con las raíces. Explorarás expresiones con exponentes racionales, usando calculadoras gráficas para encontrar patrones y simplificarlas. Trabajando en grupos, resolverás problemas, discutirás ideas matemáticas y comprenderás cómo las reglas de los exponentes enteros se aplican a los exponentes racionales.

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EXPONENTES RACIONALES

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

Rational Exponents EXPONENTES RACIONALES

ÁLGEBRA 1

Explore 1

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 1

FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Canicas que van Parte I 1.

Krishna trabaja con una ecuación donde las variables están en el exponente. Llena la siguiente tabla y describe cualquier patrón que veas. x

f(x) = 4x

¿Cómo podría Krishna llenar la siguiente tabla para la misma función si quiere que se mantenga un patrón multiplicativo? Explica cómo podría predecir los nuevos valores de salida. x

f(x) = 4x

Krishna todavía está intranquila acerca de por qué . Mateo trabajó en otro método para determinar cómo evaluar estos exponentes fraccionarios. Ayuda a completar su trabajo a continuación. a. Usa la regla de la potencia para exponentes para evaluar . b.

Simplemente evalúe el interior de la expresión equivalente.

para crear una forma

Explica cómo podríamos usar el trabajo de Mateo para calcular el valor de .

Usa la información de las preguntas anteriores para llenar la tabla de la derecha. 1

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Rational Exponents

Explore 1 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

EXPONENTES RACIONALES

¿Qué relación puedes pensar que convierte 4 en 2 y convierte 9 en 3?

Reescribe estas expresiones con el uso de radicales.

Krishna se siente bien con los exponentes de 3

1 , pero evaluar expresiones con 2

exponentes de 2 la confunde. Completa el trabajo a continuación para 3

ayudarla a comprender 2 . a. Explica por qué es equivalente a

Evalúa

al evaluar primero la expresión dentro de los paréntesis.

Usa tus respuestas a las partes a y b para evaluar

Con lo que han visto Krishna y Mateo, deciden clasificar las tarjetas de radio del fabricante. Usa las nuevas herramientas a tu disposición para determinar qué radios son iguales y registra las coincidencias en la siguiente tabla. Manía de canicas

Mega canicas

Somos canicas

Radio 1 Radio 2 Radio 3 9.

¿Qué generalización podrías hacer sobre los exponentes radicales? 2

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

Rational Exponents Explore 1

EXPONENTES RACIONALES

Parte II 1.

Mateo completó la primera mitad de los experimentos. Krishna estaba enferma y dijo que ayudaría a terminar de escribir sus resultados para que coincidieran con las especificaciones de radio de los fabricantes. Ayuda a Krishna a terminar los resultados de la primera mitad de su experimento al completar la tabla. Resultado del experimento

Manía de canicas (expresado como radical)

Mega canicas (expresado como exponente)

Mateo reflexiona sobre su trabajo y cree que cometió un error en el segundo experimento. Él cree que debería haber escrito el radio de Manía de canicas como . Ayuda a Krishna a explicar por qué estaba en lo correcto originalmente.

Krishna pensó que la fórmula que debían usar para determinar el radio de la canica era

, y Mateo pensó que era

. ¿Qué alumno tenía

razón? Explica.

¿Cuál es el radio de su canica, dado que descubrieron que el volumen es de 113 cm3? Da tu respuesta de tres maneras: con el uso de un exponente fraccionario, de un radical y de la aproximación decimal al número entero más cercano con el uso de tecnología.

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Rational Exponents Explore 1 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

EXPONENTES RACIONALES

Reflexiona 1.

Hemos visto exponentes racionales en este «Explorar». ¿Qué es exactamente un número racional?

Explica por qué la expresión

Evalúa ambas y al comenzar con el interior de la expresión para mostrar que cada uno produce el mismo resultado.

¿Por qué cree que los solucionadores a menudo eligen evaluar en lugar de ?

Explica cómo escribir

es equivalente a ambas

al usar

con un solo exponente.

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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EXPONENTES RACIONALES

EXPLORAR 1: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué nueva comprensión tienes sobre los exponentes fraccionarios y cómo se relacionan con los radicales?

2. ¿Cómo te ayudó usar una calculadora gráfica a explorar expresiones con exponentes racionales?

3. ¿Cuál fue la parte más desafiante de esta actividad y cómo la superaste?

4. ¿Cómo se pueden aplicar las reglas de los exponentes enteros a los exponentes racionales al simplificar expresiones?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo te ayudó la exploración de exponentes fraccionarios en la actividad EXPLORAR a entender las predicciones que hiciste sobre exponentes racionales en la actividad HOOK?

2. ¿De qué maneras el uso de calculadoras gráficas durante la actividad EXPLORAR te ayudó a comprender la relación entre radicales y exponentes racionales sobre la que inicialmente te preguntaste en la actividad HOOK?

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EXPONENTES RACIONALES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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Rational Exponents Explore 1 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

EXPONENTES RACIONALES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 1

FECHA ______________________________

Fracciones como exponentes BOLETO DE SALIDA Boleto de salida

Selecciona todas las expresiones que son equivalentes a A.

D. E. F.

Rational Exponents Explore 1

Fracciones como exponentes Boleto de salida Selecciona todas las expresiones que son equivalentes a A.

D. E. F.

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EXPONENTES RACIONALES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

EXPONENTES RACIONALES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 1 Exponents Rational Part 1

FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Fracciones como exponentes 1.

Utiliza las expresiones siguientes; completa la tabla para que todas las expresiones de cada fila sean equivalentes. 2 9 Expresión original

5 8

Expresiones equivalentes

Completa la siguiente tabla para dar las formas racionales y radicales equivalentes de las expresiones y luego simplifica las expresiones. Forma exponente racional Forma radical Forma simplificada

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Rational Exponents Part 1

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

EXPONENTES RACIONALES

Tony construye un acuario para su clase de biología marina. El volumen del acuario es de 8 ft3 y es un cubo. a.

¿Cuál es la fórmula del volumen de un cubo, donde V es la variable del volumen y x es la variable de la longitud del lado del cubo?

Resuelve la x en tu ecuación anterior. Deja tu respuesta en forma radical.

Reescribe tu expresión para x en forma racional.

¿Cuál es la longitud de cada lado, ya que a Tony le dieron 8 ft3 como volumen del acuario?

Morgan simplificaba la expresión pero se equivocó en la respuesta. ¿Qué paso tiene el error que cometió Morgan? ¿Cuál debería ser ese paso? Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4

(3)2 9

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

Rational Exponents Part 1

STUDENT NOTEBOOK

EXPONENTES RACIONALES

Vamos a crear la gráfica de una nueva función con el uso de conocimientos sobre expresiones con fracciones como exponentes. a. Completa la siguiente tabla para . x

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Traza los puntos de tu tabla para graficar

Vamos a crear la gráfica de una nueva función con el uso de tus conocimientos sobre expresiones con fracciones como exponentes. a. Completa la siguiente tabla para . x

–27

–8

–1

Traza los puntos de tu tabla para graficar

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EXPONENTES RACIONALES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

EXPONENTES RACIONALES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 2: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que estás ayudando a Charlotte y Joshua, dos estudiantes que están plantando jardines de forma cuadrada para su proyecto escolar. Necesitan averiguar cuánto espacio ocupará cada hortaliza. Para las zanahorias necesitan 4 pies cuadrados, para los tomates 25 pies cuadrados y para los rábanos 8 pies cuadrados. Tu tarea es ayudarlos a encontrar la longitud de cada lado de estos jardines cuadrados simplificando expresiones radicales. En esta actividad, aprenderás a simplificar expresiones radicales. Trabajarás en grupos para encontrar las longitudes de los lados de jardines cuadrados simplificando números que no son cuadrados perfectos. Emparejarás factores para crear cuadrados perfectos y multiplicarás coeficientes. También discutirás y resolverás problemas usando razonamiento y estructura matemáticos.

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EXPONENTES RACIONALES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

EXPONENTES RACIONALES

Rational Exponents EXPLORAR 2 Explore 2

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Raíces de jardín Parte I 1.

Completa la siguiente tabla al usar tu conocimiento de raíces cuadradas y factorización para calcular la longitud de cada lado de los dos jardines.

Área del jardín

Zanahorias

Tomates

Rábanos

Longitud de cada lado Como producto de factores primos Términos comunes emparejados Simplificado

¿Cuál es la diferencia entre simplificar la raíz cuadrada de 25 y simplificar la raíz cuadrada de 8?

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Rational Exponents

Explore 2 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

EXPONENTES RACIONALES

Parte II 1.

Usa las tarjetas de señales de jardín del documento «Tarjetas de letreros de jardín» para completar la tabla. Determina la expresión radical que representa la longitud y el ancho de la parcela del jardín. Escribe cada radicando como sus factores primos y luego da la expresión para la longitud y el ancho en su forma radical más simple. Radical

Factorización de números primos

Forma radical más simple

Lechuga

Papas

Habichuelas verdes

Fresas

Pepinos

Pimentones

En otro jardín, hay calabacines con una expresión radical de representar el ancho. Charlotte cree que esto se simplifica a que el área se simplifica a . ¿Quién tiene razón y por qué?

para . Joshua cree

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

Rational Exponents Explore 2

EXPONENTES RACIONALES

Fernando pensó que tomó demasiado tiempo escribir la descomposición en factores primos de 72 y quiere considerar una forma diferente de simplificar . ¿Cuál de las siguientes opciones es más útil y por qué? Opción A: Opción B:

Fernando trata de volver a trabajar para encontrar la forma más simple de . ¿Cuál de las siguientes opciones sería más eficiente? Opción A: Opción B:

Después de ver estas formas más eficientes, con tu guía, Fernando trató de simplificar . Explica los pasos de Fernando en cada opción y decide cuál es más eficiente en tu opinión. Opción A:

Opción B:

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Rational Exponents Explore 2 EXPONENTES RACIONALES

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Reflexiona 1.

En este «Explorar», hemos usado la notación radical. Vuelve a escribir los pasos para los cálculos de la huerta de lechuga solo con el uso de exponentes racionales.

¿Escribir los cálculos en forma exponencial versus en forma radical hace alguna diferencia real en la realización de los cálculos?

Después de reescribir con exponentes fraccionarios, identifica 2 lugares en la pregunta 1 donde se usaron las leyes de los exponentes.

Hemos observado áreas que siempre son números positivos, pero ¿obtendrías un número real si tratas de sacar la raíz cuadrada de un número negativo? ¿Por qué sí o por qué no?

¿Qué significa cuando decimos que un número es un cuadrado perfecto? ¿Cómo se relacionan los cuadrados perfectos con los problemas que hemos resuelto en este «Explorar»?

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

EXPONENTES RACIONALES

EXPLORAR 2: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué estrategias utilizaste para simplificar expresiones radicales y cómo te ayudaron a encontrar la solución?

2. ¿Cómo te ayudó trabajar en grupos a comprender mejor el proceso de simplificar radicales?

3. ¿Qué desafíos enfrentaste al identificar cuadrados perfectos y cómo los superaste?

4. ¿Cómo se pueden aplicar las habilidades que aprendiste en esta actividad a otras áreas de las matemáticas o a situaciones de la vida real?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo te ayudó tu comprensión de simplificar expresiones radicales en la actividad EXPLORAR a darle sentido a los exponentes racionales que encontraste en la actividad HOOK?

2. En la actividad EXPLORAR, aprendiste a simplificar expresiones creando cuadrados perfectos. ¿Cómo se relaciona este proceso con la evaluación de expresiones con exponentes racionales en la actividad HOOK?

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EXPONENTES RACIONALES

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Rational Exponents Explore 2 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

EXPONENTES RACIONALES

EXPLORAR 2

FECHA ______________________________

Simplificar raíces cuadradas BOLETO DE SALIDA Boleto de salida

Escribe lo siguiente en la forma radical más simple. 1.

Rational Exponents Explore 2

Simplificar raíces cuadradas Boleto de salida Escribe lo siguiente en la forma radical más simple. 1.

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EXPONENTES RACIONALES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

Rational Exponents Part 2

ÁLGEBRA 1

EXPONENTES RACIONALES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 2

FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Simplificar raíces cuadradas

Simplifica las siguientes raíces cuadradas. Muestra todo tu trabajo; incluso la factorización de la expresión que elijas. 1.

10.

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Rational Exponents Part 2

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

EXPONENTES RACIONALES

11.

Clara diseña una nueva pared de baldosas en su baño. Ella busca baldosas decorativas; necesita encontrar una que sea cuadrada con una longitud de lado entre 5 y 8 pulgadas. Calcula la longitud del lado de cada baldosa basándote en el área dada, luego utiliza tecnología para dar la longitud del lado redondeado al número entero más cercano. a. ¿Cuál es la fórmula del área de un cuadrado? b. Resuelve la longitud en esta ecuación. c. Completa las tablas siguientes para encontrar la longitud del lado de cada baldosa. Narciso

Longitud del lado Lado escrito como producto de los factores Simplificada radical

Área = 12 in2

Redondeada a la pulgada más cercana

Lirio

Longitud del lado Lado escrito como producto de los factores Simplificada radical

Área = 75 in2

Redondeada a la pulgada más cercana Longitud del lado

Rosa

Lado escrito como producto de los factores Simplificada radical Área = 45 in2 d.

Redondeada a la pulgada más cercana

¿Qué baldosa debe utilizar Clara si quiere que esté entre 5 y 8 pulgadas?

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

EXPONENTES RACIONALES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 3: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que formas parte del Club de Jardinería de la Escuela Secundaria Oak Woods y estás ayudando a combinar jardines más pequeños en dos más grandes. Necesitarás determinar cuánto fertilizante se necesita para estos jardines. Para ello, explorarás la simplificación de expresiones radicales, lo que te ayudará a calcular las áreas de los jardines más fácilmente. En esta actividad, aprenderás a simplificar expresiones radicales multiplicándolas y dividiéndolas. Trabajarás en grupos para encontrar patrones en los números y usarlos para simplificar expresiones, incluidas las que contienen variables. También practicarás la resolución de problemas, la formulación de argumentos y la exploración de los números racionales e irracionales.

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EXPONENTES RACIONALES

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 32

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

EXPONENTES RACIONALES

Rational Exponents EXPLORAR 3 Explore 3

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Cultivar raíces de jardín Parte I 1.

Para determinar cuántas bolsas de fertilizante necesitamos, ¿cuál es el primer cálculo que debemos hacer?

Completa la tabla para encontrar el área de cada uno de los 3 jardines diferentes. Rábano

Jardín 1

Jardín 2

Expresión del área Forma desarrollada Coeficientes multiplicados Radicandos multiplicados

Radicales simplificados

4・2

Expresión del área simplificada

¿Cuáles son las similitudes y diferencias entre las expresiones del área simplificadas?

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EXPONENTES RACIONALES

Rational Exponents Explore 3

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

El club de jardinería necesita el área total combinada de todos los jardines. Necesitan identificar los jardines que tienen radicandos iguales. ¿Qué jardines tienen una expresión para el área con radicandos iguales? ¿Cuál es el área total combinada del jardín 1 y el jardín 2?

Encuentra el área total combinada de los tres jardines, da la respuesta en forma radical y luego usa la tecnología para dar una aproximación al entero más cercano.

Si necesitan una bolsa de fertilizante por cada 100 pies cuadrados de jardín, ¿cuántas bolsas necesitarán?

Los estudiantes se preguntaron si podrían generar una expresión genérica que pudiera ayudar con los planes para el próximo año. El jardinero sugirió usar variables. Si estiman un área de y una profundidad de , ¿cuál sería el volumen como expresión radical simplificada?

Ayuda al club de jardinería a simplificar una expresión más para el volumen: .

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

STUDENT NOTEBOOK

Rational Exponents Explore 3

EXPONENTES RACIONALES

Parte II 1.

Ayuda a Agustín y al club de jardinería. Usa el espacio a continuación para experimentar con sumas y productos de números racionales e irracionales. Elige dos números, encuentra la suma o el producto cuando sea posible y luego determina si el resultado es racional o irracional. Números racionales

Números irracionales

7, , 0, 1 a.

La suma de un número racional y un número racional es racional. +

❏ Racional

❏ Irracional

❏ Racional

❏ Irracional

La suma de un número racional y un número irracional es irracional. +

❏ Racional

❏ Irracional

❏ Racional

❏ Irracional

La suma de un número irracional y un número irracional es irracional. +

❏ Racional

❏ Irracional

❏ Racional

❏ Irracional

El producto de un número racional y un número racional es racional. ・

❏ Racional

❏ Irracional

・

❏ Racional

❏ Irracional

El producto de un número racional y un número irracional es irracional. ・

❏ Racional

❏ Irracional

・

❏ Rational

❏ Irracional

El producto de un número irracional y un número irracional es irracional. ・

❏ Racional

❏ Irracional

・

❏ Racional

❏ Irracional 3

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EXPONENTES RACIONALES

Rational Exponents Explore 3

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Con base en tus experimentos, decide si cada enunciado es a veces verdadero, siempre verdadero o nunca verdadero. a.

La suma de un número racional y un número racional es racional. ᫅ A veces verdadero ᫅ Siempre verdadero ᫅ Nunca verdadero

La suma de un número racional y un número irracional es irracional. ᫅ A veces verdadero ᫅ Siempre verdadero ᫅ Nunca verdadero

La suma de un número irracional y un número irracional es irracional. ᫅ A veces verdadero ᫅ Siempre verdadero ᫅ Nunca verdadero

El producto de un número racional y un número racional es racional. ᫅ A veces verdadero ᫅ Siempre verdadero ᫅ Nunca verdadero

El producto de un número racional y un número irracional es irracional. ᫅ A veces verdadero ᫅ Siempre verdadero ᫅ Nunca verdadero

El producto de un número irracional y un número irracional es irracional. ᫅ A veces verdadero ᫅ Siempre verdadero ᫅ Nunca verdadero Para los 3 enunciados que seleccionaste «A veces cierto», explícale a Agustín con el uso de un contraejemplo por qué esto no siempre funciona.

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Rational Exponents Explore 3 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

EXPONENTES RACIONALES

Reflexiona 1.

Al simplificar una raíz cuadrada, si el radicando es una variable que tiene una potencia que es un número entero par, ¿se simplificará a una expresión con o sin radical? Explica.

Al simplificar una raíz cuadrada, si el radicando es una variable que tiene una potencia que es un número entero impar, ¿se simplificará a una expresión con o sin radical? Explica.

Considera el producto de factores racionales e irracionales. Decide si el producto a veces o siempre será racional o irracional. Justifica tu respuesta con un ejemplo. A veces o siempre cierto

Ejemplo

Irracional ・ Irracional = Irracional Irracional ・ Racional = Irracional Racional ・ Racional = Racional

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EXPONENTES RACIONALES

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 38

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

EXPONENTES RACIONALES

EXPLORAR 3: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué patrones notaste al simplificar expresiones radicales durante la actividad?

2. ¿Cómo te ayudó trabajar en grupo a comprender el proceso de multiplicar y dividir radicales?

3. ¿Puedes describir un método paso a paso para simplificar una expresión radical? ¿Qué desafíos enfrentaste?

4. ¿Cómo te ayudarán las habilidades que aprendiste hoy a resolver problemas de la vida real que impliquen raíces en el futuro?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo el proceso de simplificar expresiones radicales en la actividad EXPLORAR te ayuda a comprender el significado de los exponentes racionales introducidos en el Hook? Considera cómo multiplicar y dividir radicales se relaciona con las reglas de los exponentes.

2. En la sección Hook, hiciste predicciones sobre el significado de los exponentes racionales. ¿Cómo pueden los patrones que descubriste al simplificar radicales en la actividad EXPLORAR usarse para explicar por qué un exponente de 1/2 es equivalente a tomar la raíz cuadrada de un número?

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EXPONENTES RACIONALES

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 40

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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Rational Exponents Explore 3 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

EXPONENTES RACIONALES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 3

FECHA ______________________________

Simplificar expresiones de raíces cuadradas BOLETO DE SALIDA Boleto de salida Simplifica las siguientes expresiones. 1. 2. 3.

¿El producto de

es racional o irracional? Explica tu razonamiento.

Rational Exponents Explore 3

Simplificar expresiones de raíces cuadradas Boleto de salida Simplifica las siguientes expresiones. 1. 2. 3.

¿El producto de

es racional o irracional? Explica tu razonamiento.

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EXPONENTES RACIONALES

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 42

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

Rational Exponents Part 3

EXPONENTES RACIONALES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 3

FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Simplificar expresiones de raíz cuadrada Combina los radicales en cada expresión y luego hazlos coincidir con la forma simplificada.

10.

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Rational Exponents

Part 3 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

EXPONENTES RACIONALES

11.

Chloe busca un nuevo apartamento y quiere comparar la cantidad de espacio habitable de las unidades de los apartamentos en Plaza Parque Oeste y Torre Principal. Calcula el área de cada espacio y suma el área habitable total de cada uno de los apartamentos para completar la tabla. Deja tus respuestas en forma radical. Plaza Parque Oeste Sala de estar

Apartamentos Torre Principal

Dimensiones

Área

Cocina

Dimensiones

Área

Habitación

Dimensiones

Área

Espacio habitable total

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

Rational Exponents Part 3 EXPONENTES RACIONALES

12.

El área de un cuadrado es de 200 pies cuadrados. ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado? Escribe tu respuesta en forma radical más simple.

13.

¿Cuál es el perímetro del cuadrado? ¿Es tu respuesta un número racional o irracional?

14.

¿Cuál es el área del rectángulo si creara un rectángulo con una anchura igual a la longitud del lado del cuadrado y una longitud de ? ¿Es este número racional o irracional?

15.

¿Cuál es la longitud lateral de un cuadrado cuya área es 48x2y5? Escribe tu respuesta en forma radical más simple.

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EXPONENTES RACIONALES

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 46

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9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

EXPONENTES RACIONALES

HOOK POST-EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Responda las preguntas. 1. ¿Cómo puedes expresar la raíz cuadrada de un número usando un exponente racional, y qué representa cada parte del exponente?

2. Si tienes la expresión $8^{\frac{2}{3}}$, ¿cómo puedes simplificarla usando las reglas de los exponentes racionales y cuál es el valor final?

3. Dada la expresión $\sqrt[3]{27x^6}$, ¿cómo puedes simplificarla aplicando las propiedades de los exponentes y los radicales?

4. Al multiplicar dos radicales, como $\sqrt{5} \times \sqrt{20}$, ¿qué pasos sigues para simplificar la expresión y cuál es el resultado simplificado?

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EXPONENTES RACIONALES

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 48

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ÁLGEBRA 1

EXPONENTES RACIONALES

NOMBRE _____________________________________________

ESQUEMA DE ANCLAJE

FECHA ______________________________

ESQUEMA DE ANCLAJE Exponentes racionales

3·3·3·3=3

Exponente racional Base

Exponente (potencia): el número de veces que el número base se debe multiplicar el por si mismo

Notación radical

¿Cuál es la forma simplificada de

Recuerda!

Un exponente POSITIVO dice cuántas veces hay que multiplicar la base.

Reescribe el exponente racional al usar notación radical. Factoriza los términos si es posible. Usa la definición de una raíz para simplificar. 3x2

¿Cuál es la forma simplificada de Reescribe la expresión como un radical.

Un exponente NEGATIVO dice cuántas veces hay que dividir la base.

Factoriza los números en el radical. Usa la definición de una raíz para simplificar. →

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EXPONENTES RACIONALES

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 50

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

EXPONENTES RACIONALES

CUADERNO INTERACTIVO

FECHA ______________________________

Instrucciones ● Recorta las tarjetas a continuación. ● Parea cada expresión con su expresión equivalente y pega las tarjetas una junto a la otra en tu cuaderno.

Rational Exponents

CUADERNO INTERACTIVO

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EXPONENTES RACIONALES

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 52

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

EXPONENTES RACIONALES

CUADERNO INTERACTIVO

FECHA ______________________________

CUADERNO INTERACTIVO

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EXPONENTES RACIONALES

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 54

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

EXPONENTES RACIONALES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

REVISIÓN EN ESPIRAL Rational Exponents

REVISIÓN EN ESPIRAL

Aventura de geocaching El geocaching es el más grande buscador de tesoros, y el maestro favorito de Vincent es el anfitrión de un nuevo equipo después de la escuela para geocaching. El interés de Vincent por unirse al equipo geocaching crece mientras aprende más sobre el. El geocaching lleva a una persona a sus límites, física y mentalmente. Por ejemplo, el maestro de Vincent explica que los geocachers tienen pistas, acertijos y coordenadas para ayudarlos a encontrar sus tesoros. A veces, el terreno es áspero, a veces es empinado o rocoso, ¡y a veces es el tope de un árbol! Geocaching es no solo una buena manera para que Vincent aprenda acerca de su ciudad natal, también le permite conocer sobre las maravillas del mundo. Sin ninguna duda, Vincent se unirá al equipo de geocaching, y ¡y se empapará de cada aventura que hay!

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Rational Exponents GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

EXPONENTES RACIONALES

Un mapa que muestra la ubicación de un escondite raro se muestra en el gráfico de un sistema de ecuaciones. ¿Cuál es el sistema de ecuaciones representado por este gráfico?

Las próximas coordenadas de geocaching de Vincent dicen que debe viajar en un camino recto paralelo a y = 2.5x + 6 y a través de las coordenadas (4, 3). ¿Cuál es la ecuación en forma de pendiente-intersección que representa el camino que debe seguir Vincent?

La próxima ruta de geocaching de Vincent está modelada por la ecuación . Aparece una pista y le dice que gire a la izquierda en la coordenada (3, 0) para seguir un camino perpendicular al que está ahora. ¿Cuál es la ecuación de la nueva trayectoria de Vincent en forma de pendiente-intersección?

Las ecuaciones 8x – 4y = −16 y 6x + 5y = −12 representan un sistema de ecuaciones en el que la solución es la ubicación del escondite de nivel de diamante de Vincent. Grafica el sistema de ecuaciones para determinar su solución.

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Skills Quiz

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

EXPONENTES RACIONALES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

PRUEBA DE HABILIDADES

Name: ___________________________ Date: ________________

PRUEBA DE HABILIDADES

Exponentes racionales Para responder las preguntas 1 a 4, simplifica cada expresión. 2

1. (𝑐𝑐𝑑𝑑 3 ) 3

− 3 −3

3. (𝑥𝑥 6 𝑦𝑦

−2 0

−5

4. (3𝑥𝑥 𝑦𝑦 )(𝑥𝑥 5 𝑦𝑦

)

5. Simplifica la expresión que aparece a continuación. Escribe tu respuesta como la expresión radical equivalente. 2 7𝑥𝑥 · 3 14𝑥𝑥

6. El volumen, V, de una esfera con un radio r es representado por la ecuación 4

𝑉𝑉 = 3 π𝑟𝑟 . Resuelve r.

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Skills Quiz

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

EXPONENTES RACIONALES

7. El volumen de un cubo está dado como 𝑉𝑉 = 𝑠𝑠 , donde 𝑠𝑠 es la longitud de cualquier 3 lado. Si la longitud de un lado del cubo es 5 pulgadas, ¿cuál es el volumen? A. B. C. D.

5 𝑖𝑖𝑛𝑛 10 3

5 𝑖𝑖𝑛𝑛

15 𝑖𝑖𝑛𝑛

3 3

125 𝑖𝑖𝑛𝑛

8. Justifica por qué 2 · 2 es equivalente a 2 exponentes racionales.

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13 3

al utilizar las propiedades de

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MULTIPLICATION MODELS Skills Quiz

GRADE 3

ÁLGEBRA 1

STUDENT NOTEBOOK

EXPONENTES RACIONALES

Para responder las preguntas 9 y 10, utiliza la siguiente información. Felipe y Lisa terminan el mismo problema y explican sus procesos. ● Felipe explica que 8

2 3

se puede simplificar al sacar la raíz cúbica de 8, que es 2 y

luego elevar al cuadrado ese valor. 2 a la 2.ª potencia es 4. Entonces, 8

● Lisa explica que 8

2 3

= 4.

se puede simplificar al elevar 8 a la 2.ª potencia, que es 64.

La raíz cúbica de 64 es 4. Entonces, 8

2 3

= 4.

9. ¿Felipe y Lisa tienen razón? Explica tu razonamiento.

10.

Explica cómo sabía Felipe cuál es la raíz cuadrada de 8.

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EXPONENTES RACIONALES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

EXPONENTES RACIONALES

VOCABULARIO

RAÍZ CUADRADA

RADICAL

RAÍZ CÚBICA

EXPONENTE

ENTERO

EXPRESIÓN

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

EXPONENTES RACIONALES

VOCABULARIO Radical

Raíz cuadrada

Símbolo que indica la raíz de una cantidad

Número que, cuando se multiplica por sí mismo, produce el número dado 3

Exponente

Raíz cúbica

Notación matemática que indica el número de veces que el número base se multiplica por sí mismo; también llamado poder

Número que, cuando se multiplica por sí mismo tres veces, da como resultado el número dado 5

Expresión

Entero

Números, variables y símbolos agrupados sin un signo igual para mostrar una relación

Cualquiera de los números enteros positivos, números enteros negativos y cero; cualquier miembro del conjunto de todos los números enteros y sus opuestos 7

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

EXPONENTES RACIONALES

VOCABULARIO

RADICANDO

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SIMPLIFICAR

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

EXPONENTES RACIONALES

VOCABULARIO Simplificar

Radicando

Reemplazar una expresión numérica con el nombre más simple para su valor con el uso del principio de sustitución

Valor dentro del símbolo radical 9

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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STUDENT NOTEBOOK

EXPONENTES RACIONALES

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ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

FUNCIONES EXPONENCIALES

MODELO CON FUNCIONES INVESTIGACIONES DE FUNCIONES

En esta unidad, aprenderás acerca de las funciones exponenciales y cómo trabajar con ellas de diferentes maneras. Esto es en lo que te centrarás:

SISTEMAS DE ECUACIONES

CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES

◦ Comprensión de las funciones exponenciales: ◦ Aprende a identificar las partes clave de una función exponencial.

CRECIMIENTO Y DECADENCIA

◦ Comprende qué significan los parámetros de una función exponencial en situaciones del mundo real.

◦ Trabajo con funciones exponenciales: ◦ Determina el dominio (todos los posibles valores de entrada) y el rango (todos los posibles valores de salida) de las funciones exponenciales o de las situaciones que modelan. ◦ Escribe ecuaciones exponenciales utilizando información de gráficas, tablas, pares de números o descripciones de relaciones.

◦ Resolución de problemas con funciones exponenciales: ◦ Crea y resuelve ecuaciones exponenciales para abordar diversos problemas. ◦ Representa gráficamente funciones exponenciales para mostrar características importantes como las intersecciones con los ejes y el comportamiento al infinito.

◦ Análisis de funciones exponenciales: ◦ Calcula la tasa media de cambio de una función exponencial en un intervalo específico ◦ Explica qué significa que un número sea solución de una ecuación exponencial y cómo se muestra esto en una gráfica.

Al final de esta lección, podrás trabajar con confianza con funciones exponenciales y comprender sus aplicaciones en distintos contextos.

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APLICACIÓN DE PRÁCTICAS MATEMÁTICAS • MP.1 Comprende los problemas y sigue intentando resolverlos: Observarás tablas y gráficos, encontrarás números importantes, escribirás ecuaciones y las usarás para predecir tendencias futuras y comparar datos. • MP.2 Piensa de manera abstracta y con números: Tomarás situaciones de la vida real, las convertirás en ecuaciones y usarás esas ecuaciones para predecir resultados futuros. • MP.3 Construye argumentos sólidos y evalúa el razonamiento de los demás: Explicarás tus respuestas al comparar gráficos, analizarás tablas y usarás tus hallazgos para respaldar tus explicaciones. • MP.4 Usa las matemáticas para modelar situaciones del mundo real: Crearás ecuaciones a partir de datos del mundo real, comprobarás si funcionan y las aplicarás para resolver problemas.

• MP.5 Usa las herramientas con criterio: Usarás calculadoras para encontrar números iniciales y multiplicadores en ecuaciones cuando sea necesario. • MP.6 Sé preciso: Tendrás cuidado con los números y las medidas al usar ecuaciones para modelar situaciones de la vida real. • MP.7 Encuentra y usa patrones: Buscarás patrones en tablas de datos para ver si hay un multiplicador constante, y luego usarás esto para comparar funciones y predecir valores futuros. • MP.8 Observa y usa el razonamiento repetido: Verás cómo los números iniciales y los multiplicadores ayudan a crear ecuaciones, comprenderás su papel en las secuencias y usarás esto para analizar datos y formular ecuaciones.

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ÁLGEBRA 1

FUNCIONES EXPONENCIALES

CAPTAR INTERÉS: ANTES DE EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Imagina que eres un biólogo marino que estudia un estanque local. Es un caluroso día de verano y notas que las algas del estanque están creciendo rápidamente. Quieres entender y predecir qué tan rápido se multiplicarán estas algas cuando la temperatura esté por encima de 95 °F. Esta actividad te ayudará a explorar cómo las funciones exponenciales pueden modelar este crecimiento acelerado.

En esta actividad, aprenderás sobre las funciones exponenciales al explorar cómo las algas crecen rápidamente a temperaturas cálidas. Verás un video, discutirás tus observaciones y trabajarás en crear ecuaciones para modelar el crecimiento de las algas. Al final, comprenderás cómo el crecimiento exponencial difiere del crecimiento lineal y cómo predecirlo usando las matemáticas.

Responda las preguntas. 1. ¿Qué crees que le sucede al número de células de algas cuando la temperatura supera los 95 °F?

2. ¿Cómo podría ser diferente el crecimiento de las algas en el estanque del de una planta que crece en tu jardín?

3. ¿Puedes pensar en otras situaciones en las que algo crezca rápidamente como las algas en el estanque?

4. ¿Qué herramientas o conceptos matemáticos crees que podrían ayudar a predecir el crecimiento de las algas?

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FUNCIONES EXPONENCIALES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FUNCIONES EXPONENCIALES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 1: ANTES DE EXPLORAR

¡Bienvenido a los Juegos de Microbios! En este experimento, eres un científico que observa cómo crecen distintas colonias de microbios en placas de Petri. Tu tarea es analizar los patrones de crecimiento de estos microbios durante tres días para determinar cuál crece más rápido. Utilizarás gráficos y ecuaciones para comparar su crecimiento e identificar al ganador. En esta actividad, aprenderás sobre las funciones exponenciales examinando gráficos e identificando características como las intersecciones con los ejes y los patrones de crecimiento. Las compararás con funciones lineales, usando ecuaciones y tablas para determinar qué microbio crece más rápido. También explorarás en qué se diferencian las funciones exponenciales de las lineales y crearás ecuaciones de crecimiento rápido.

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FUNCIONES EXPONENCIALES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

FUNCIONES EXPONENCIALES

EXPLORAR 1

Exponential Functions Explore 1

DIARIO DEL ESTUDIANTE Juegos de microbios: ¡que gane el mejor microbio!

Parte I

Usa las tarjetas del documento «Tarjetas de juegos de microbios» para revisar la información que has recopilado sobre tus dos primeros concursantes, el microbio A y el microbio B, y responde las siguientes preguntas. 1.

¿Qué microbio parece crecer más rápido? ¿Cómo sabes esto?

¿Cuál es la intersección en y para cada población de microbios? Escríbelo como un par ordenado.

¿Qué representa la intersección en y en esta situación?

Mira el eje X en cada gráfica. ¿Ambas funciones tienen una intersección en x? Si no, describe la gráfica de la función en relación con el eje X. ¿Se acerca, se aleja, se toca, no se toca, se cruza o se curva hacia arriba?

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE Exponential Functions Explore 1

FUNCIONES EXPONENCIALES

Parte II 1.

Completa las tablas de valores de estas funciones.

Representa gráficamente cada función en la gráfica y conecta los puntos.

Encierra con un círculo la intersección en y en las tablas y la gráfica. Microbio C

Microbio D

c(x) = 4x

c(x)

d(x) = 5x + 4

d(x)

−2

4−2

1 16

−2

5(−2) + 4

−6

−1

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

FUNCIONES EXPONENCIALES Exponential Functions Explore 1

Microbio C

Microbio D

c(x) = 4x

d(x) = 5x + 4

¿Cuál es la intersección en y de cada función?

¿Qué sucede con c(x) y d(x) cuando x tiende a infinito en la gráfica?

¿Qué sucede con c(x) y d(x) cuando x tiende a infinito negativo en la gráfica?

¿Qué microbio aumenta más rápidamente, el microbio C o el microbio D?

Al considerar la función que representa el crecimiento de la función, ¿por qué crees que un microbio crece más rápido que el otro?

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FUNCIONES EXPONENCIALES

Exponential Functions Explore 1 GRADE 3 STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 LIBRO DEL ESTUDIANTE

Reflexiona 1.

¿Qué microbio aumenta más rápidamente y sería coronado como el ganador de los juegos de microbios? Explica cómo lo sabes.

Al tener en cuenta las representaciones matemáticas, ¿por qué este microbio aumentó más rápidamente y ganó?

¿Por qué el microbio D no creció tan rápido como el microbio C, a pesar de que los números en la ecuación eran igual de grandes?

¿Estas funciones exponenciales tienen intersecciones en x? ¿Por qué sí o por qué no?

¿Qué podemos concluir sobre el crecimiento de una función cuando vemos que se usa una variable como exponente?

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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FUNCIONES EXPONENCIALES

EXPLORAR 1: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Cuáles son algunas diferencias clave que notaste entre las gráficas lineales y exponenciales? ¿Cómo afectan estas diferencias al crecimiento de los microbios?

2. ¿Cómo usaste los gráficos y las tablas para determinar qué microbio creció más rápido? ¿Qué pistas te ayudaron a tomar esta decisión?

3. En tus propias palabras, explica qué es una función exponencial y cómo se diferencia de una función lineal.

4. Si crearas un nuevo microbio que creciera aún más rápido que los que estudiaste, ¿cómo sería su ecuación? ¿Por qué elegiste esos números?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se relaciona el patrón de crecimiento en las células de algas en la actividad Hook con los patrones de crecimiento del microbio B y del microbio C en la actividad EXPLORAR?

2. Después de explorar funciones exponenciales con microbios, ¿cómo puedes aplicar este conocimiento para predecir y modelar el crecimiento rápido de las algas en temperaturas cálidas, como se observa en la actividad Hook?

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FUNCIONES EXPONENCIALES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

Exponential Functions Explore 1

FUNCIONES EXPONENCIALES

EXPLORAR 1

FECHA ______________________________

Atributos de funciones exponenciales BOLETO DE SALIDA Boleto de salida Se muestra la gráfica de la función exponencial y = 2(3x). a.

Identifica la intersección en y.

¿Qué sucede cuando la entrada es un número negativo?

Cuando x → ∞, y _______

Cuando x → −∞, y _______

Exponential Functions Explore 1

Atributos de funciones exponenciales Boleto de salida Se muestra la gráfica de la función exponencial y = 2(3x). a.

Identifica la intersección en y.

¿Qué sucede cuando la entrada es un número negativo?

Cuando x → ∞, y _______

Cuando x → −∞, y _______

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FUNCIONES EXPONENCIALES

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 78

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

Exponential Functions Part 1 FUNCIONES EXPONENCIALES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 1

FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES Atributos de las funciones exponenciales Utiliza la gráfica de y = 8x para responder las preguntas.

¿Qué ocurre cuando x se aproxima al infinito?

¿Qué ocurre cuando x se aproxima al infinito negativo?

¿Existe una intersección en y de esta función? ¿Cuál es? Si no existe, ¿por qué sí o por qué no?

¿Existe una intersección en x de esta función? ¿Cuál es? Si no existe, ¿por qué sí o por qué no?

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Exponential Functions

Part 1 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

FUNCIONES EXPONENCIALES

Utiliza la gráfica siguiente para responder las preguntas.

La gráfica muestra 3 líneas. Dos de ellas están etiquetadas y = 2x y; y = 4x. ¿Piensas que la línea sólida es y = 1x, y = 3x o y = 5x si observas cómo están relacionadas? Explica tu respuesta.

¿Qué puedes decir sobre la rapidez con la que aumenta una función si miras la base del exponente?

¿En qué punto están todas estas ecuaciones iguales? ¿Por qué?

¿Qué enunciados sobre la ecuación y = 12x son verdaderas? Selecciona todas las que aplican. ❏ La intersección en y de esta función es (1, 0). ❏ La intersección en x de esta función es (0, 1). ❏ La función se aproxima al infinito cuando x se aproxima al infinito. ❏ La ecuación a la que se aproxima la función es y = 0.

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ÁLGEBRA 1

FUNCIONES EXPONENCIALES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 2: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que eres un científico en tu escuela, investigando cómo crecen las bacterias en diferentes lugares. Usarás matemáticas para explorar qué tan rápido se multiplican las bacterias, utilizando gráficas y funciones. Hoy aprenderás sobre las funciones exponenciales, que crecen muy rápido, y descubrirás cómo encontrar su dominio y su rango, incluso cuando no puedes ver toda la gráfica. En esta actividad, aprenderás sobre el dominio y el rango de las funciones exponenciales. Explorarás cómo estos gráficos difieren de los lineales, comprenderás las asíntotas y aplicarás tus conocimientos a situaciones del mundo real. Trabajarás en grupos, usarás Tarjetas de Bacterias Escolares y discutirás cómo las restricciones del dominio afectan el rango en diferentes situaciones.

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FUNCIONES EXPONENCIALES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

Exponential Functions Explore 2

FUNCIONES EXPONENCIALES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 2

FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Combatir el crecimiento de bacterias Parte I

Los estudiantes rocían sus escritorios con una solución antibacteriana al final de cada día. El escritorio promedio tiene 100 microbios antes de rociar la solución, y la solución mata el 70 % de los microbios cada minuto.

Describe la gráfica a medida que transcurre el tiempo.

¿Parece que la gráfica alguna vez alcanza exactamente 0 o valores negativos? Encuentra f(15) para comprobar tu hipótesis.

Si el dominio está restringido a los primeros tres minutos (0 ≤ x ≤ 3), ¿cuál es el rango de esta gráfica? ¿Qué pasa cuando el dominio es todos los valores mayores o iguales a 0 (0 ≤ x)?

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Exponential Functions

Explore 2 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

FUNCIONES EXPONENCIALES

Parte II

Has recolectado muestras estratégicamente de cuatro ubicaciones diferentes y ahora debes revisar sus datos y establecer un dominio y un rango razonables para poder completar tu informe de laboratorio. ● Determina si la bacteria representa una función de crecimiento o de decrecimiento. ● Establece un dominio y un rango razonables para cada escenario.

Ubicación

Crecimiento o decrecimiento

Dominio

Rango

Lavabo del baño Teclado de la computadora de la biblioteca Mesa de almuerzo Fuente de agua del pasillo 1.

¿Qué tuviste que tener en cuenta para determinar un dominio y un rango razonables?

¿Usarías valores de entrada o salida negativos en cualquiera de estos escenarios? Explica.

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Exponential Functions Explore 2 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

FUNCIONES EXPONENCIALES

Reflexiona 1.

¿Cómo puedes saber dónde una gráfica exponencial tiene una asíntota horizontal?

¿Cuándo es beneficioso buscar dominios no restringidos?

¿Cuándo es beneficioso buscar dominios restringidos?

¿El valor inicial o el multiplicador constante tienen algún papel en la determinación de las restricciones sobre el dominio y el rango de una función exponencial?

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FUNCIONES EXPONENCIALES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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FUNCIONES EXPONENCIALES

EXPLORAR 2: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Cómo cambió tu comprensión del dominio y el rango después de aprender sobre las funciones exponenciales en comparación con las funciones lineales?

2. ¿Qué es una asíntota y por qué es importante al analizar gráficas exponenciales?

3. ¿Cómo pueden los escenarios del mundo real afectar el dominio y el rango de una función exponencial?

4. ¿Por qué es importante considerar tanto lo visible como la forma completa de la gráfica al identificar el dominio y el rango?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo el concepto de una asíntota en la actividad EXPLORAR te ayuda a comprender los límites del crecimiento de las algas en el escenario HOOK, especialmente cuando las temperaturas están por encima de 95 °F?

2. En la actividad EXPLORAR, aprendiste sobre dominios no restringidos y restringidos. ¿Cómo puede aplicarse esta comprensión para predecir el crecimiento de las algas en el estanque, como se discutió en el escenario HOOK?

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FUNCIONES EXPONENCIALES

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 88

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

Exponential Functions Explore 2

ÁLGEBRA 1

FUNCIONES EXPONENCIALES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 2

FECHA ______________________________

Dominio y rango BOLETO DE SALIDA Boleto de salida La función m(x) = 3(0.5)x + 1 se puede utilizar para representar el comportamiento de cierto tipo de medicamento dentro del cuerpo humano durante un período de 3 horas desde el momento de la ingestión. Crea una tabla de valores, grafica la función y dibuja una curva suave para conectar. Luego, identifica los dominios y rangos restringidos y no restringidos.

m(x)

0 1 2 3

No restringido

Restringido

Dominio Rango ¿Tendría más sentido usar un dominio no restringido o uno restringido para este escenario? Explica tu razonamiento.

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FUNCIONES EXPONENCIALES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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ÁLGEBRA 1

FUNCIONES EXPONENCIALES

Exponential Functions Part 2 EXPLORAR 2

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Dominio y rango Daniela recoge ropa para una organización benéfica local. Ella mantiene un seguimiento de la cantidad total de zapatos, pantalones y camisas que ha recibido. Los distintos artículos de vestir llegan en tasas muy diferentes, ella ha calculado fórmulas aproximadas para las funciones. Aunque le interesa principalmente hacer el seguimiento para los primeros 30 días, espera continuar con sus esfuerzos indefinidamente. Utiliza la tabla de datos y la gráfica para llenar los espacios en blanco del cuadro siguiente. Cuando determinas el rango irrestricto, recuerda tener en cuenta cuál es la figura del tipo de gráfica cuando x es negativa. Zapatos 6x

Pantalones 30x

Camisas 1.28x – 1

150

300

450

120

600

138

150

750

478

180

900

1,645

Artículo de vestir

Tipo de gráfica

Rango cuando el dominio es −∞ < x < ∞

Rango cuando el dominio es 0≤x<∞

Rango cuando el dominio es 0 ≤ x ≤ 30

Zapatos Pantalones Camisas 1

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Exponential Functions Part 2

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

FUNCIONES EXPONENCIALES

Lee los dos escenarios siguientes y responde las preguntas que siguen. 1.

Sam piensa en vender su carro. El valor del auto puede representarse mediante una función exponencial con el precio de compra de $20,000 en un momento igual a cero. El valor se deprecia con el tiempo, y se acerca a los $800. a.

¿Representa esto una función de crecimiento o decrecimiento?

¿Cuál es el dominio de esta función?

¿Cuál es el rango de la función?

Stacy depositó $1,000 en el banco. El banco le paga un interés anual de 3 % sobre su saldo; la cantidad que tiene puede ser representada mediante una función exponencial. a.

¿Representa esto una función de crecimiento o decrecimiento?

¿Cuál es el dominio de esta función?

¿Cuál es el rango de la función?

Completa la tabla de abajo para la función las preguntas que siguen. x

−10

−2

−1

y luego responde a

f(x) a.

¿Representa esto una función de crecimiento o decrecimiento?

¿Cuál es el dominio de esta función?

¿Cuál es el rango de la función?

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FUNCIONES EXPONENCIALES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 3: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que pasas el verano como becario en el Parque Nacional de Yellowstone, un lugar rebosante de vida silvestre. Tu tarea es ayudar a los guardabosques a comprender cómo están cambiando con el tiempo las distintas poblaciones de animales. Al examinar los datos del cuaderno del guardabosques, aprenderás a identificar patrones en las poblaciones de animales y verás cómo la reintroducción de lobos ha afectado a otras especies del parque. En esta actividad, aprenderás sobre las funciones exponenciales identificando el valor inicial y el multiplicador constante. Trabajarás en grupos para detectar patrones en tablas de datos, con la ayuda de calculadoras gráficas. Explorarás cómo las poblaciones crecen o disminuyen con el tiempo y comentarás tus hallazgos con tus compañeros de clase.

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FUNCIONES EXPONENCIALES

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 94

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FUNCIONES EXPONENCIALES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 3 Exponential Functions

Explore 3

FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Pasante de guardabosques Parte I

Usa las siguientes preguntas para ayudarte a comprender la información en las páginas del cuaderno sobre los lobos y los ciervos en Yellowstone. Luego, completa el registro del guardabosques y da tu opinión. 1.

Identifica la intersección en y de cada gráfica. ¿Qué representa cada uno en el contexto de este escenario?

Las tablas del documento «Tarjetas del cuaderno del guardabosques» muestran unidades iguales de crecimiento en las columnas de entrada. Determina la diferencia de cambio y si es una tasa de cambio constante para cada salida. Determina el factor de cambio y si es un factor de cambio constante para cada salida. Completa la tabla de abajo.

Diferencia de cambio para cada salida Lobos

¿Tasa de cambio constante?

25 − 20 = 5 31 − 25 = 6 39 − 31 = 8

Ciervos

❏ ❏

Sí No

❏ ❏

Sí No

Factor de cambio para cada salida

9,000 ÷ 12,000 = 0.75 6,750 ÷ 9,000 = 0.75 5,063 ÷ 6,750 ≈ 0.75

¿Factor de cambio constante? ❏ ❏

Sí No

❏ ❏

Sí No

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 95

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE Exponential Functions Explore 3

FUNCIONES EXPONENCIALES

Las funciones lineales crecen a la misma tasa de cambio por unidad de crecimiento horizontal. Las funciones exponenciales crecen por el mismo factor por unidad de crecimiento horizontal. ¿Las funciones que representan las poblaciones de lobos y ciervos son lineales o exponenciales? Explica.

¿Dónde ves esta relación (factor de cambio) representada en cada ecuación? ¿Qué debe significar esto acerca de ese valor?

La base, b, de una función exponencial de la forma f(x) = a · bx es la razón o factor de cambio. ¿Cómo se relaciona el multiplicador constante (factor de cambio) con la razón común de una secuencia geométrica?

Completa el registro del guardabosques y brinda al jefe de guardabosques información sobre el impacto que los lobos pueden haber tenido en otras poblaciones de mamíferos en los años posteriores a su llegada.

Lobos

Ciervos

Valor inicial ¿La población aumenta o disminuye? Multiplicador constante Porcentaje de aumento o disminución 2

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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FUNCIONES EXPONENCIALES Exponential Functions Explore 3

Parte II Hay muchas aves que también tienen en Yellowstone su hogar. Usa los modelos de población a continuación para cada una de las aves para responder las preguntas que siguen. Ave

Modelo

Ave

Modelo

Halcón peregrino

P(x) = 52(1.04)x

Pájaro carpintero

W(x) = 135(1.02)x

Águila real

G(x) = 14(0.94)x

Grulla canadiense

S(x) = 52(0.98)x

Águila pescadora

O(x) = 65(1.08)x

Carbonero

C(x) = 800(1.12)x

Colimbo grande

L(x) = 100(0.64)x

Cuervo

R(x) = 580(1.24)x

Identifica todas las poblaciones de aves que aumentan. ¿Cómo lo sabes?

Identifica todas las poblaciones de aves que disminuyen. ¿Cómo lo sabes?

Elige uno de los modelos crecientes y establece el porcentaje de aumento cada año.

Elige uno de los modelos decrecientes y establece el porcentaje de aumento cada año.

¿Qué ave tiene la mayor población inicial? ¿Cuál es esa población?

¿Qué población de aves disminuye más rápido y puede necesitar protecciones ambientales especiales?

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FUNCIONES EXPONENCIALES

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE Exponential Functions Explore 3

Reflexiona 1.

Con base en tu análisis de la información proporcionada por los guardaparques, ¿qué puedes concluir sobre la reintroducción de lobos en el parque?

En tu registro de guardabosques anotaste que la población de ciervos disminuye en un 25 % cada año. Si el valor del multiplicador constante es 0.75, ¿cómo calculaste el 25 %?

En tu registro de guardabosques también anotaste que la población de lobos aumentaba un 25 % cada año. Explica cómo calculaste ese valor.

¿Tendría sentido que la población de lobos siguiera en aumento exponencial durante un tiempo indefinido? Explica.

¿Qué conclusiones se pueden sacar sobre el multiplicador constante en cualquier función exponencial?

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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FUNCIONES EXPONENCIALES

EXPLORAR 3: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué patrones notaste en las tablas y gráficos de las poblaciones de animales? ¿Cómo te ayudaron estos patrones a entender el crecimiento y el decrecimiento exponenciales?

2. ¿Cómo puedes saber si una población está creciendo o disminuyendo al mirar la ecuación? ¿Qué parte de la ecuación te da esta información?

3. ¿Por qué es importante conocer el valor inicial y el multiplicador constante al analizar datos de población? ¿Cómo afectan estos valores las predicciones que se pueden hacer?

4. ¿Cómo te ayudó trabajar con tu grupo a comprender mejor los conceptos de las funciones exponenciales? ¿Qué aprendiste de tus compañeros?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se relaciona el concepto de crecimiento exponencial observado en el video de células de algas con los patrones que identificaste en las poblaciones de lobos y alces durante la actividad Explorar?

2. Después de ver el video sobre el fenómeno del crecimiento de las algas, ¿cómo puedes aplicar la estrategia de identificar el valor inicial y el multiplicador constante para modelar el rápido crecimiento de las algas del mismo modo que lo hiciste con las poblaciones de animales en Yellowstone?

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FUNCIONES EXPONENCIALES

100

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9/13/25 6:11 PM

Exponential Functions Explore 3 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FUNCIONES EXPONENCIALES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 3

Valor inicial y multiplicador constante Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

FECHA ______________________________

Shoshana recibe un 5 % de interés anual sobre el dinero de su cuenta de ahorros. Su cuenta tenía inicialmente $500 y está representada por la siguiente función. f(x) = 500(1.05)x 1.

Encierra con un círculo el valor inicial y subraya el multiplicador constante.

¿Qué representa el 500 en la función?

¿Qué representa el 1.05 en la función?

Exponential Functions Explore 3

Valor inicial y multiplicador constante Boleto de salida Shoshana recibe un 5 % de interés anual sobre el dinero de su cuenta de ahorros. Su cuenta tenía inicialmente $500 y está representada por la siguiente función. f(x) = 500(1.05)x 1.

Encierra con un círculo el valor inicial y subraya el multiplicador constante.

¿Qué representa el 500 en la función?

¿Qué representa el 1.05 en la función?

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101

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FUNCIONES EXPONENCIALES

102

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

Exponential Functions Part 3 FUNCIONES EXPONENCIALES

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 3

FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Valor inicial y multiplicador constante

El distrito escolar de Rosewood ha crecido rápidamente y necesita construir 2 escuelas preparatorias nuevas. Tu trabajo consiste en determinar qué zonas crecen más rápidamente para que las nuevas escuelas se construyan en esos sitios. Examina los datos de los últimos 4 años de matrícula y responde las preguntas que siguen.

Escuela Preparatoria Green Meadow

Escuela Preparatoria Highland Park

Escuela Preparatoria Martinez

1,000

1,200

800

1,150

1,320

890

1,323

1,452

980

1,521

1,597

1,070

Completa la siguiente tabla para obtener los números necesarios y determinar qué escuelas actualmente experimentan un crecimiento lineal o exponencial. Muestra el factor redondeado al 100.o más cercano. Diferencia de cambio para cada par ordenado

Factor de cambio para cada par ordenado

¿Lineal o exponencial?

Escuela Preparatoria Green Meadow Escuela Preparatoria Highland Park Escuela Preparatoria Martinez 1

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103

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Exponential Functions

FUNCIONES EXPONENCIALES

Part 3 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

¿Qué escuela actualmente experimenta un crecimiento lineal? Explica cómo lo sabes.

¿Qué escuela actualmente experimenta un crecimiento exponencial? Explica cómo lo sabes.

¿Cerca de cuáles dos escuelas existentes, según tus cálculos, deberían situarse las dos escuelas preparatorias nuevas? ¿Por qué?

¿Crees que estas tasas de crecimiento se mantendrán indefinidamente? ¿Qué tipo de situación podría hacer que las escuelas crecieran durante un tiempo y luego se mantuvieran en un tamaño relativamente constante?

¿Representaría la ecuación y = 1,000(1.15)x la matrícula de cuál preparatoria? ¿Qué representan los números 1,000 y 1.15?

104

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 104

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FUNCIONES EXPONENCIALES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 4: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que estás pasando el verano como guardaparques junior, ayudando a estudiar las poblaciones de animales en un parque nacional. Tu tarea principal es averiguar cómo la reintroducción de lobos ha afectado a las poblaciones de otros animales. Usarás matemáticas para determinar si las poblaciones están creciendo o disminuyendo, y aprenderás a escribir ecuaciones para representar estos cambios. En esta actividad aprenderás a escribir funciones exponenciales para modelar situaciones del mundo real. Trabajarás en grupos para analizar tablas de datos, calcular valores iniciales y determinar multiplicadores constantes. Descubrirás cómo el término b en la función indica crecimiento o decrecimiento y aplicarás estas habilidades para resolver problemas.

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 105

105

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FUNCIONES EXPONENCIALES

106

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 106

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FUNCIONES EXPONENCIALES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 4

FECHA ______________________________

Exponential Functions Explore 4

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Pasante de guardaparques, continuación Parte I

Usa las tarjetas del documento «Tarjetas de pistas de guardabosques» y las tablas a continuación para ayudarte a calcular el valor inicial y el multiplicador constante para cada animal. Responde las preguntas para ayudarte a escribir una ecuación de función exponencial para cada animal. Redondea todos los decimales al centésimo más cercano, si es necesario. 1.

En las tablas a continuación, muestra el proceso para calcular el multiplicador constante.

Puma

Coyote

Años desde la reintroducción

Población

Años desde la reintroducción

Población

1 2 3 4

> 19.2 ≈ 19 > 24.58 ≈ 25 > 31.46 ≈ 31 > 40.26 ≈ 40

1 2 3 4

> > 44.18 ≈ 44 > 41.53 ≈ 42 > 39.04 ≈ 39 47

¿Cuáles son los multiplicadores constantes y los valores iniciales para las poblaciones de pumas y coyotes?

¿Cómo se compara el valor inicial de una función exponencial con el primer término de una secuencia geométrica?

¿Cómo se compara encontrar el multiplicador constante de una función exponencial con encontrar la razón común de una secuencia geométrica? 1

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 107

107

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GRADE 3Exponential STUDENT NOTEBOOK Functions ÁLGEBRA 1 LIBRO DEL ESTUDIANTE Explore 4

FUNCIONES EXPONENCIALES

¿En qué se diferencian las funciones exponenciales y las secuencias geométricas?

¿Cómo se relaciona el multiplicador constante con el porcentaje de aumento o disminución?

¿Cómo se puede usar el multiplicador constante para determinar si la función exponencial se caracteriza por el crecimiento o el decrecimiento?

Completa la tabla.

Valor inicial (a)

Porcentaje de aumento Multiplicador Crecimiento o o de constante decrecimiento disminución (b)

Función exponencial Ecuación f(x) = abx

Puma Coyote 9.

Si los valores de salida tienen un patrón creciente o decreciente, ¿qué te puede decir eso sobre el multiplicador constante?

10. ¿Cómo se puede usar el multiplicador constante para determinar el porcentaje de aumento o el porcentaje de disminución? 2

108

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 108

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

Exponential Functions Explore 4 FUNCIONES EXPONENCIALES

Parte II 1.

Reorganiza tus tarjetas del documento «Tarjetas de población animal» para que puedas entregar tu informe final al jefe de guardabosques. Llena cada columna de la siguiente tabla con la letra de la tarjeta que corresponda con cada descripción escrita. Luego, completa el multiplicador constante, el valor inicial y la ecuación para cada fila. Tarjeta de animales

Tarjeta de gráfica

Tarjeta de tabla

Tarjeta de Multiplicador ecuación constante

Valor inicial

Ecuación

A: Bisonte B: Oso pardo C: Liebre americana D: Nutria E: Oveja F: Murciélago 2.

Una vez que hayas completado tu tabla, encierra con un círculo todas las funciones crecientes.

¿Cuál es el porcentaje de disminución en cada una de las funciones decrecientes?

¿Tiene el valor inicial alguna influencia sobre si una función será creciente o decreciente? ¿Por qué sí o por qué no? 3

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109

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FUNCIONES EXPONENCIALES

GRADE 3Exponential STUDENT NOTEBOOK Functions ÁLGEBRA 1 LIBRO DEL ESTUDIANTE Explore 4

Reflexiona 1.

Al pensar en escribir funciones exponenciales en una ecuación, ¿qué valor se considera la base?

Si el tamaño de la población aumenta en un 50 %, ¿por qué el factor de crecimiento se escribe como 1.5 en la ecuación?

¿En qué se parecen las secuencias geométricas y las funciones exponenciales? ¿En qué se diferencian?

Si un compañero estuviera ausente hoy, ¿cómo le explicarías cómo usar una tabla o descripción de un escenario para escribir una ecuación exponencial para representar los datos?

Si sabes que una función exponencial tiene una intersección en y de (0, 40) y pasa por el punto (2, 90), ¿cómo podrías escribir una ecuación en la forma y = a(bx)?

110

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 110

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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FUNCIONES EXPONENCIALES

EXPLORAR 4: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué aprendiste sobre cómo identificar si una función exponencial representa crecimiento o decrecimiento?

2. ¿Cómo te ayudó trabajar con tu grupo a comprender mejor las funciones exponenciales?

3. ¿Puedes describir una situación del mundo real en la que podrías usar una función exponencial para modelar crecimiento o decaimiento?

4. ¿Qué desafíos enfrentaste al escribir funciones exponenciales y cómo los superaste?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se relaciona el concepto de crecimiento exponencial en el video de las células de algas con la identificación de si las poblaciones de mamíferos están aumentando o disminuyendo en tu proyecto de investigación? Considera cómo cambian los valores en ambos escenarios.

2. Después de ver el video sobre el fenómeno del crecimiento de las algas, ¿cómo puedes aplicar la idea de un multiplicador constante para determinar si una población de mamíferos está experimentando crecimiento o decrecimiento en tu proyecto de investigación de verano?

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 111

111

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FUNCIONES EXPONENCIALES

112

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 112

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

Exponential Functions FUNCIONES EXPONENCIALES Explore 4

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 4

FECHA ______________________________

Escribir funciones exponenciales BOLETO DE SALIDA Boleto de salida

f(x)

1,000

500

250

125

¿La tabla representa crecimiento o decrecimiento exponencial? Explica cómo lo sabes sin hacer cálculos.

Escribe la ecuación para representar los datos.

Exponential Functions Explore 4

Escribir funciones exponenciales Boleto de salida x

f(x)

1,000

500

250

125

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¿La tabla representa crecimiento o decrecimiento exponencial? Explica cómo lo sabes sin hacer cálculos.

Escribe la ecuación para representar los datos.

113

9/13/25 6:11 PM

FUNCIONES EXPONENCIALES

114

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 114

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

Exponential Functions Part 4

ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

FUNCIONES EXPONENCIALES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 4

FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Escribir funciones exponenciales 1.

Un biólogo lleva 3 años en estudiar la vida silvestre de fauna de un estanque. La cantidad de carpas en el estanque se ha registrado en la siguiente tabla. Año

Cantidad de carpas

1,000

1,200

1,440

1,728

¿Cuál es el valor inicial de los datos?

Determina si hay un multiplicador constante. Muestra tu trabajo. ¿Cuál es si lo hay?

¿Cómo expresarías los datos como función c(x)?

La cantidad de robalos en el estanque ha sido representada con la función b(x) = 450(1.15)x. a.

¿Cuál es el valor inicial de esta función?

¿Qué es el multiplicador constante? ¿Qué significa eso para el número de robalos en el estanque?

¿Crece o disminuye actualmente de acuerdo al valor del multiplicador constante la colonia de robalos? Explícalo.

¿Cuál es la tasa promedio de cambio de la población de robalos desde x = 0 a x = 3? Redondea al número entero más cercano. ¿Qué significa esto?

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 115

115

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Exponential Functions Part 4 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

FUNCIONES EXPONENCIALES

Marshall compró un carro por $25,000 y su valor se deprecia un 10 % cada año. a.

¿Cuál es la intersección en y, y el factor de crecimiento de la situación?

Crea una función, f(x), para representar este escenario. Usa tu función para encontrar el valor del auto después de cinco años.

Carli también compró un carro $25,000, pero su valor sólo se deprecia un 5 % cada año. Escribe una función, g(x), para representar el valor del auto de Carli.

¿Cuál será la diferencia de valor entre los carros de Carli y de Marshall, después de cinco años?

Escribe una función que se iguale a la gráfica.

116

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 116

9/13/25 6:11 PM

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

Exponential Functions Part 4

FUNCIONES EXPONENCIALES

¿Cuál de las siguientes ecuaciones podría representar la función en la gráfica? A.

f(x) = 10(1.5)x

f(x) = 5(1.5)x

f(x) = 10(0.8)x

f(x) = 5(0.8)x

¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa el decrecimiento exponencial? Selecciona todas las que aplican. A.

g(x) = 100(0.12)x

g(x) = 6(1.3)x

g(x) = 34(0.8)x

g(x) = 3(1.97)x

Si h(x) = 20(1.6)x representa la cantidad de peces luna en el estanque, donde x está en número de años, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? Selecciona todas las que aplican. A.

h(x) tiene una intercepción en y (20, 0).

h(x) es una función de crecimiento exponencial.

La cantidad de peces luna aumentará un 1.6 % cada año.

La cantidad inicial de peces luna en el estanque era de 20.

Existe un asíntota en y = 0.

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 117

117

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FUNCIONES EXPONENCIALES

118

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 118

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FUNCIONES EXPONENCIALES

HOOK POST-EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Responda las preguntas. 1. ¿Cómo se aplica el concepto de crecimiento exponencial al escenario de crecimiento de algas, y cuál sería el valor inicial y el multiplicador constante en la ecuación que modela este crecimiento?

2. Si la población de algas se duplica cada hora, ¿cómo representarías este crecimiento mediante una función exponencial y cómo se vería la gráfica en comparación con una gráfica de crecimiento lineal?

3. Teniendo en cuenta el dominio y el rango del modelo de crecimiento de algas, ¿qué restricciones aplicarías y cómo sería relevante el concepto de una asíntota en este contexto?

4. Utilizando el conocimiento del decaimiento exponencial, ¿cómo modelarías un escenario en el que la población de algas disminuye un 20% cada hora, y cuáles serían las implicaciones para el ecosistema del estanque con el tiempo?

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 119

119

9/13/25 6:11 PM

FUNCIONES EXPONENCIALES

120

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 120

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FUNCIONES EXPONENCIALES

NOMBRE _____________________________________________

ESQUEMA DE ANCLAJE

FECHA ______________________________

ESQUEMA DE ANCLAJE

Funciones exponenciales

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 121

121

9/13/25 6:11 PM

FUNCIONES EXPONENCIALES

122

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 122

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 123

Crecimiento

Decrecimiento

f(x) 1 2 4 8 16

x 0 1 2 3 4

x −2 −1 0 1 2

Instrucciones ● Recorta las tarjetas de funciones, y luego, decide si la información en la tarjeta representa crecimiento o decrecimiento dentro de la función. ● Una vez que tengas las tarjetas separadas en dos grupos, pega en el organizador. ● Pega el organizador en tu cuaderno.

Exponential Functions

LIBRO DEL ESTUDIANTE ÁLGEBRA 1 FUNCIONES EXPONENCIALES

NOMBRE _____________________________________________

FECHA ______________________________

CUADERNO INTERACTIVO

123

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FUNCIONES EXPONENCIALES

124

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 124

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 125

Paso 7: Identifica el dominio y el rango.

3 Forma explícita: ___________________________

Rango: ________________________

STUDENT NOTEBOOK

Dominio: ______________________

Paso 6: Identifica la intersección en y con un lápiz de color azul.

Paso 5: Usa un resaltador para identificar la asíntota horizontal en el gráfico.

−1

f(x)

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Paso 3: Traza los puntos en el gráfico. Paso 4: Dibuja una curva suave para conectar los puntos.

ÁLGEBRA 1

Paso 2: Completa la tabla, y luego, usa la tabla para escribir una secuencia geométrica de forma explícita.

Paso 1: En la ecuación, encierra con un círculo rojo el valor inicial y el multiplicador de la constante con un círculo verde.

Usa la función a continuación para completar la tarea.

Instrucciones ● Usa la función para completar los pasos de la tarea a continuación. ● Recorta la tarea y pega en tu cuaderno.

Exponential Functions

LIBRO DEL ESTUDIANTE FUNCIONES EXPONENCIALES

125

9/13/25 6:11 PM

FUNCIONES EXPONENCIALES

126

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 126

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

FUNCIONES EXPONENCIALES

CUADERNO INTERACTIVO

FECHA ______________________________

CUADERNO INTERACTIVO

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 127

127

9/13/25 6:11 PM

FUNCIONES EXPONENCIALES

128

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 128

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 129

STUDENT NOTEBOOK

FUNCIONES EXPONENCIALES

129

9/13/25 6:11 PM

FUNCIONES EXPONENCIALES

130

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 130

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

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FUNCIONES EXPONENCIALES

NOMBRE _____________________________________________

REVISIÓN EN ESPIRAL Functions Exponential

FECHA ______________________________

REVISIÓN EN ESPIRAL

Crítico de comida Carter es un bloguero de comida. Un bloguero gastronómico es un escritor que viaja a restaurantes para probar comida, inspeccionar el proceso de elaboración de comida y ofrecer recomendaciones a los lectores del blog. Carter dice que el anonimato es vital, por lo que no avisan al restaurante antes de su llegada. Elegir un restaurante es un proceso porque solo escriben blogs sobre restaurantes donde hay una historia que contar que conectará con la audiencia de Carter. La ficha de Carter no es ilimitada. El empleador de Carter tiene un presupuesto para cada comida y Carter puede visitar aproximadamente tres restaurantes por mes con ese presupuesto. No piden los artículos más caros del menú, sino que intentan pedir comidas como lo haría un comensal normal. Carter ama su trabajo. Le encanta traer gente a la comunidad para probar nuevos platos en nuevos restaurantes. En el tiempo libre de Carter, disfruta participar en desafíos de comida. ¡La próxima semana, Carter comerá una hamburguesa monstruosa que pesa tanto como un bebé recién nacido!

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 131

131

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Exponential Functions GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

FUNCIONES EXPONENCIALES

Carter está visitando un pequeño restaurante. El número de asientos en el comedor está modelado por la expresión 3x2 – 7x, donde x representa el número de tablas. ¿Cuántas mesas hay si hay 40 asientos en total?

La expresión ayuda al gerente de un restaurante a programar a suficientes empleados en una noche ocupada, que resulta ser la misma noche que Carter visita. Simplifique la expresión para todos los valores positivos de a y b.

El chef de un restaurante necesita ayuda para factorizar esta expresión: 2x2 – x – 15. ¿Puedes ayudar al chef antes de que ocurra un desastre en la cocina?

Carter notó un gran grupo en la mesa de al lado. El grupo compró un total de 13 artículos de las secciones de bebidas y aperitivos del menú. Cada bebida costaba $1.60 y cada aperitivo costaba $8.95. Si el costo total de las bebidas y los aperitivos fue de $64,90, ¿cuántas bebidas se ordenaron?

132

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 132

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FUNCIONES EXPONENCIALES

NOMBRE _____________________________________________

CIENCIA DE DATOS

FECHA ______________________________

CIENCIA DE DATOS Exponential Functions

Crecimiento bacteriano

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133

9/13/25 6:11 PM

FUNCIONES EXPONENCIALES

134

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 134

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9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FUNCIONES EXPONENCIALES

Skills Quiz NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

PRUEBA DE HABILIDADES

Name: ___________________________ Date: ________________

PRUEBA DE HABILIDADES Funciones exponenciales Para responder las preguntas 1 y 2, elige la ecuación que haga par con la gráfica. 1.

A. 𝑦𝑦 = 3

𝑥𝑥 𝑥𝑥

B. 𝑦𝑦 = 3(1) C. 𝑦𝑦 =

D. 𝑦𝑦 =

𝑥𝑥 1 (3) 3

− (3)

𝑥𝑥

A. 𝑦𝑦 = 2

𝑥𝑥

B. 𝑦𝑦 = 3(2)

𝑥𝑥 𝑥𝑥

C. 𝑦𝑦 = 2(3) D. 𝑦𝑦 =

− (2)

𝑥𝑥

3. Un científico experimenta con bacterias en su laboratorio. Empieza con 3 bacterias. La cantidad de bacterias se cuadruplica cada hora. Escribe la ecuación que representa el crecimiento, f, de esta bacteria después de x horas. © Accelerate Learning Inc. - All Rights Reserved

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Skills Quiz

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

FUNCIONES EXPONENCIALES

𝑥𝑥

4. Esta es la gráfica de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 5( 2 ) . Identifica las funciones claves enumeradas a continuación.

La intersección en y es __________. El dominio es __________. El rango es __________. El factor de crecimiento es __________.

5. ¿Esta función representa crecimiento exponencial o decrecimiento exponencial? 1

A. Crecimiento

𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 5 · ( 3 )

𝑥𝑥

B. Decrecimiento

136

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Skills Quiz LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

FUNCIONES EXPONENCIALES

Para responder las preguntas 6 a 8, consulta esta tabla de una función exponencial: x

f(x)

-3

-2

2 3

-4

6. ¿Qué es r, la tasa de crecimiento o la tasa de decrecimiento?

7. Escribe la ecuación de 𝑓𝑓(𝑥𝑥).

8. De 𝑥𝑥 = 0 a 𝑥𝑥 = 2, ¿cuál es la tasa promedio de cambio?

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Skills Quiz

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

FUNCIONES EXPONENCIALES

9. Grafica la función exponencial 𝑓𝑓(𝑥𝑥).

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3 · ( 2 )

138

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𝑥𝑥

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GRADE 3 STUDENT NOTEBOOK MULTIPLICATION MODELS Skills Quiz

ÁLGEBRA 1

FUNCIONES EXPONENCIALES

10. Identifica las siguientes funciones claves para la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) dada anteriormente. Las intersecciones en x son __________.

Las intersecciones en y son __________. Como 𝑥𝑥 → ∞, 𝑦𝑦 es __________.

Como 𝑥𝑥 → − ∞, 𝑦𝑦 es __________.

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FUNCIONES EXPONENCIALES

140

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

FUNCIONES EXPONENCIALES

VOCABULARIO

DOMINIO

RANGO

FUNCIÓN EXPONENCIAL

DESIGUALDAD

NOTACIÓN DE DESIGUALDAD

INTERSECCIÓN Y

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

FUNCIONES EXPONENCIALES

VOCABULARIO Rango

Dominio

Conjunto de todas las salidas posibles, o valores y, de una relación o función

El conjunto de todas las posibles entradas (valores x) de una función 3

Desigualdad

Función exponencial

Oración matemática que usa símbolos como <, ≤, > o ≥ para comparar dos cantidades

Función en la forma de f(x) = abˣ donde a y b son números reales y a ≠ 0, b ≠ 1, yb>0 4

Intersección en y

Notación de desigualdad

Punto en el gráfico de una ecuación donde la recta cruza el eje Y

Notación en la que la solución está representada por un enunciado de desigualdad 7

142

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

FUNCIONES EXPONENCIALES

VOCABULARIO

ASÍNTOTA

CRECIMIENTO EXPONENCIAL

DECRECIMIENTO EXPONENCIAL

SECUENCIA GEOMÉTRICA

PROCESO RECURRENTE

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

FUNCIONES EXPONENCIALES

VOCABULARIO Crecimiento exponencial

Asíntota

Cambio que ocurre cuando una cantidad original se incrementa en una tasa constante durante un período de tiempo

Línea a la que un gráfico se acerca, pero nunca cruza a medida que el valor de una variable se vuelve extremadamente grande o pequeño 9

Secuencia geométrica

Decrecimiento exponencial

Secuencia en la que la relación de términos sucesivos es una constante r, llamado razón común, donde r ≠ 0 y r ≠ 1

Proceso de reducir una cantidad por una tasa de porcentaje constante durante un período de tiempo 11

Proceso recurrente

Cálculo del siguiente número en una secuencia mediante la aplicación repetida de una regla 12

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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STUDENT NOTEBOOK

FUNCIONES EXPONENCIALES

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ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

MODELO CON FUNCIONES INVESTIGACIONES DE FUNCIONES

En esta sección, aprenderás sobre las funciones exponenciales y cómo trabajar con ellas. Explorarás cómo se comportan, cómo reconocer sus características y cómo compararlas con otros tipos de funciones. En esto te enfocarás:

CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES

◦ Características clave de las funciones exponenciales:

CRECIMIENTO Y DECADENCIA

◦ Aprende a identificar partes importantes de una función exponencial, como las intersecciones con los ejes y los patrones de crecimiento. ◦ Comprende cómo aparecen estas características en gráficas y tablas.

◦ Representaciones de las funciones exponenciales: ◦ Descubre cómo las funciones exponenciales pueden representarse de diferentes maneras, como gráficas, ecuaciones y tablas. ◦ Averigua cómo se conectan y en qué se parecen estas distintas representaciones.

◦ Simetrías y tipos de funciones: ◦ Usa la simetría para determinar si una función es par o impar. ◦ Reconoce cómo la simetría afecta la gráfica de una función.

◦ Transformaciones de funciones exponenciales: ◦ Identifica y describe cómo cambian las funciones exponenciales cuando se desplazan hacia arriba, abajo, izquierda o derecha (traslaciones). ◦ Aprende sobre las reflexiones, donde la gráfica se invierte respecto de una recta, y las dilataciones, donde la gráfica se estira o se contrae.

◦ Comparación de funciones: ◦ Modela situaciones del mundo real usando funciones lineales y exponenciales. ◦ Compara estos dos tipos de funciones para entender sus diferencias y similitudes.

Al final de esta lección, podrás reconocer y describir las funciones exponenciales y sus transformaciones, y podrás compararlas con las funciones lineales.

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APLICACIÓN DE PRÁCTICAS MATEMÁTICAS • MP.1 Comprender los problemas y perseverar en resolverlos: Aprenderás cómo cambian las funciones exponenciales y las relacionarás con ecuaciones, gráficas y descripciones al determinar cómo se ha transformado una función. • MP.2 Razonar con números e ideas: Tomarás situaciones de la vida real, usarás ecuaciones exponenciales y lineales para modelarlas, y emplearás datos para crear ecuaciones que se ajusten a cada situación. • MP.3 Construir argumentos sólidos y evaluar el razonamiento de otros: Usarás las matemáticas para decidir quién cometió un crimen analizando gráficas de funciones exponenciales para respaldar tu decisión. • MP.4 Usar las matemáticas para modelar situaciones de la vida real: Crearás funciones lineales y exponenciales para representar escenarios como el consumo de cafeína.

• MP.6 Ser precisos: Harás concordar cuidadosamente ecuaciones, descripciones y gráficas de funciones exponenciales y leerás con precisión las gráficas para ver cómo ha cambiado cada función respecto de la original. • MP.7 Reconocer y usar la estructura: Verás cómo partes de una función exponencial reflejan distintos cambios respecto de la función original, reconociendo que en y=abc(x-h)+k, las variables c, h y k indican los tipos de cambios. • MP.8 Encontrar y expresar patrones en el razonamiento repetido: Estudiarás funciones exponenciales y comprenderás que en y=abc(x-h)+k, c muestra cambios verticales, h muestra desplazamientos horizontales y k muestra desplazamientos verticales.

• MP.5 Usar las herramientas con criterio: Usarás la tecnología para verificar tu trabajo al identificar cómo se han transformado las funciones exponenciales.

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

CAPTAR INTERÉS: ANTES DE EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Imagina que estás jugando un videojuego en el que puedes mover y cambiar formas en la pantalla. Andrea, al igual que tú, ha jugado juegos en los que transformaba formas y ahora se pregunta si puede hacer lo mismo con funciones matemáticas en una gráfica. En esta actividad, explorarás cómo las funciones exponenciales pueden transformarse, igual que esas formas del juego, desplazándolas, volteándolas y rotándolas en un plano de coordenadas. ¡Prepárate para ver las matemáticas en acción!

En esta actividad, aprenderás a modificar funciones exponenciales en una gráfica, como mover figuras en juegos. Verás un video, explorarás transformaciones como desplazamientos y reflexiones, y resolverás problemas usando estos conceptos. Al final, comprenderás cómo ajustar ecuaciones para que coincidan con estas transformaciones.

Responda las preguntas. 1. ¿Qué similitudes ves entre mover formas en un videojuego y transformar funciones en una gráfica?

2. ¿Cómo podrías desplazar una función en una gráfica si quisieras moverla hacia arriba o hacia abajo?

3. Si una figura en un juego rota, ¿cómo crees que una función podría rotar o reflejarse en una gráfica?

4. ¿Puedes pensar en una situación de la vida real en la que puedas ver transformaciones similares a las de las funciones exponenciales?

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TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 1: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que tú y tu amigo se están preparando para un examen importante. A ambos les encanta el café y les ayuda a mantenerse despiertos y concentrados. Pero hay un detalle: la cafeína del café no dura para siempre. Explorarás cómo cambian con el tiempo los niveles de cafeína en tu cuerpo usando gráficos, tablas y ecuaciones. Tu misión es averiguar si tú y tu amigo pueden mantenerse con energía el tiempo suficiente para estudiar durante 10 horas. ¿Listo para sumergirte en el mundo de las funciones lineales y exponenciales? En esta actividad, aprenderás a crear y comparar funciones lineales y exponenciales usando gráficas, ecuaciones, tablas y descripciones. Explorarás cómo la cafeína afecta el estado de alerta de Lucy y Hannah con el paso del tiempo, usando las matemáticas para resolver problemas de la vida real. También identificarás características clave como los valores iniciales y los patrones de crecimiento o decaimiento.

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TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 1

FECHA ______________________________

Transform Exponential Functions Explore 1

DIARIO DEL ESTUDIANTE

¿Tienes café? Parte I

La cantidad de cafeína en el cuerpo de Lucy a lo largo del tiempo está modelada por la siguiente tabla. La cantidad de cafeína en el cuerpo de Hannah a lo largo del tiempo está representada por la siguiente gráfica. Lucy Tiempo (horas)

Cantidad de cafeína (mg)

100

¿Quién consumió más cafeína inicialmente, Lucy o Hannah? ¿Cuánto más? Explica.

¿Cómo cambió la cantidad de cafeína de Lucy en comparación con la de Hannah?

Tanto Lucy como Hannah comienzan a perder energía cuando sus niveles de cafeína descienden por debajo de los 25 mg. ¿Cuál es la cantidad máxima de tiempo que pueden estudiar juntas de manera óptima? ¿Por qué?

Lucy y Hannah tienen la misma cantidad de cafeína en sus sistemas a las 0 y a las 10 horas. ¿Quién tiene más cafeína entre esas horas?

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Transform Exponential Functions GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE Explore 1

TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

Según el consumo de cafeína de Lucy y Hannah, parece que una función lineal y una exponencial pueden pasar por los mismos dos puntos. 5.

Henry siente que se acerca un colapso cuando tiene 80 mg de cafeína en su sistema, por lo que comienza a beber más cafeína. Después de dos horas, tiene 125 mg en su sistema. a.

Si Henry bebe gradualmente durante dos horas, la cantidad de cafeína aumentará linealmente. Calcula la pendiente de tu ecuación al usar la cantidad de cafeína en el sistema de Henry durante las primeras dos horas.

¿Cuál sería la intersección en y de tu ecuación?

Escribe la ecuación para modelar la ingesta de cafeína de Henry si aumenta linealmente.

Si Henry bebe lentamente más y más café, la cantidad de cafeína en su sistema aumentará exponencialmente. ¿Cuál sería la cantidad inicial de cafeína?

Sustituye la cantidad de cafeína en el sistema de Henry después de dos horas para resolver b y escribe un modelo en la forma y = a(bx).

La amiga de Hannah y Lucy, Charlotte, comenzó con 150 mg. Después de 2 horas, Charlotte tenía 96 mg en su sistema. a.

Si la cantidad de cafeína en el cuerpo de Charlotte disminuye a un ritmo lineal, escribe la ecuación que representa sus niveles de cafeína en la forma y = mx + b, donde y es la cantidad de mg de cafeína en el cuerpo de Charlotte y x es el tiempo en horas.

Si la cantidad de cafeína en el cuerpo de Charlotte disminuye exponencialmente, escribe la ecuación que modela sus niveles de cafeína en la forma y = a(bx), donde y es la cantidad de mg de cafeína en el cuerpo de Charlotte y x es el tiempo en horas. 2

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Transform Exponential Functions

STUDENT NOTEBOOK TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES Explore 1

Parte II

Usa las preguntas que siguen para analizar las tarjetas de escenario del documento «Tarjetas de escenario». 1.

Completa la tabla de abajo. Escenario

Dosis inicial (mg)

Tasa de decrecimiento exponencial

Asíntotas

A B C D 2.

¿Cómo podrías saber a partir de la ecuación en el escenario D que no tiene una asíntota horizontal en y = 0?

Escribe ecuaciones para los escenarios B y C ya que conoces la dosis inicial, la tasa de decrecimiento y que la asíntota está en y = 0.

¿Cómo cambiarías la ecuación en el escenario D para que coincida con el escenario A?

En el nuevo escenario E, la tasa de decrecimiento es la misma que en los otros escenarios, pero la asíntota horizontal es y = 75 y la dosis inicial es de 500 mg. Escribe una ecuación que coincida con este nuevo escenario.

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Transform Exponential Functions Explore 1 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

Reflexiona 1.

La siguiente tabla contiene puntos encontrados en una función exponencial continua f(x). La función g está definida por g(x) = 0.04x. x

−4

−3

−2

f(x)

0.625

0.125

0.25

¿Qué función demuestra el crecimiento exponencial y qué función demuestra el decrecimiento exponencial? Explica.

Ordena las siguientes funciones exponenciales de menor a mayor asíntota.

A. h(x) = 2x − 3

C. x

f(x)

−2

−1

0.5

0.25

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9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

EXPLORAR 1: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Cuál fue la parte más desafiante de crear y comparar funciones lineales y exponenciales, y cómo la superaste?

2. ¿Cómo te ayuda comprender la diferencia entre funciones lineales y exponenciales en situaciones de la vida real?

3. ¿Qué estrategias utilizaste para identificar el valor inicial y el factor de crecimiento/decaimiento en las funciones que examinaste?

4. ¿Cómo te ayudó trabajar en grupo a comprender mejor los conceptos y qué aprendiste de tus compañeros de clase?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo comprender las transformaciones de formas ayuda a comprender las transformaciones de funciones exponenciales, y cómo puedes aplicar este conocimiento para comparar los niveles de cafeína en los escenarios de Lucy y Hannah?

2. ¿De qué maneras puedes usar el concepto de transformaciones para modelar y predecir los cambios en los niveles de cafeína a lo largo del tiempo tanto para Lucy como para Hannah, y cómo se relaciona esto con la exploración inicial de las funciones exponenciales?

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TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

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Comparación de representaciones lineales y EXPLORAR 1 exponenciales Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Compara las características clave de la función f y la función h. Luego, responde la pregunta a continuación. x

f(x)

−1

−24

−60

h(x) = 2(7x)

¿Qué enunciado es verdadero? A.

La función f tiene una intersección en y más pequeña que la función h.

La función f tiene una intersección en y más grande que la función h.

Ambas funciones demuestran un crecimiento exponencial.

Ambas funciones tienen asíntotas en y = 0.

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TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

158

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9/13/25 6:11 PM

Transform Exponential Functions Part 1 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 1

FECHA ______________________________

Comparar representaciones lineales y MUESTRA LO QUE SABES exponenciales

Usa la tabla para contestar las preguntas de abajo. a.

Si f(x) es una función lineal, escribe la ecuación de la recta en la forma f(x) = mx + b, y luego grafícala abajo.

f(x)

Si f(x) es una función exponencial, escribe la ecuación de la curva en la forma f(x) = abx, y luego grafícala abajo.

¿Cómo difiere la tasa de cambio de cada versión de la función a medida que x incrementa?

Identifica las asíntotas de cualquiera de las gráficas.

¿Cómo podrías usar tu gráfica para resolver la ecuación 4x + 2 = 2(3x)?

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TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

Transform Exponential Functions Part 1

Molly planta árboles como servicio a la comunidad. El centro comunitario para el que trabaja ya había plantado 5 árboles antes de que ella empezara. Al segundo día de Molly, había 24 árboles plantados. a.

Completa la tabla de abajo como si la cantidad de árboles plantados creciera exponencialmente.

E(x)

Completa la tabla de abajo como si la cantidad de árboles plantados creciera linealmente. x

L(x)

Escribe una ecuación para E(x) en la forma E(x) = abx, y utilízala para predecir la cantidad de árboles plantados después de 10 días de servicio comunitario.

Escribe una ecuación para L(x) en la forma L(x) = mx + b, y utilízala para predecir la cantidad de árboles plantados después de 10 días de servicio comunitario.

¿Qué representación parece más realista para los 10 días en los que Molly es voluntaria y por qué?

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 2: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que eres un detective como Ace, resolviendo misterios usando matemáticas. Hoy investigarás un crimen en una cafetería. Tres sospechosos afirman que estuvieron allí hace poco, pero el detective Ace no está tan seguro. Al analizar las curvas de enfriamiento de sus bebidas, descubrirás quién miente. ¿Listo para resolver el caso? En esta actividad, aprenderás sobre funciones exponenciales al examinar sus ecuaciones y sus gráficas. Explorarás cómo cambian estas funciones con dilataciones verticales y horizontales. Al actuar como detectives, usarás las matemáticas para resolver misterios, comprendiendo cómo los cambios de temperatura se relacionan con el tiempo. También trabajarás en reconocer patrones y establecer conexiones entre distintos conceptos matemáticos.

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TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 2

FECHA ______________________________

Transform Exponential Functions Explore 2

DIARIO DEL ESTUDIANTE

¡Derrama el té! Parte I

Analiza la tarjeta de curvas de enfriamiento para té, café y chocolate caliente del documento «Tarjetas de curvas de enfriamiento». Las notas del detective a continuación brindan información adicional sobre cada bebida y el sospechoso que la bebió.

Notas del detective Sospechoso

Bebida

Temperatura actual (°F)

Té

100

Café

Chocolate caliente

Usa la curva de enfriamiento para determinar la temperatura de cada bebida cuando cada sospechoso la recibió.

Considera cada una de las ecuaciones y sus gráficas. Si hubiera una cuarta bebida y su ecuación fuera I(t) = 130(0.37)t + 70, ¿dónde se ubicaría esa curva en la gráfica con respecto a las otras curvas? ¿Por qué?

Basado en las curvas de enfriamiento y las notas del detective, ¿cuánto tiempo estuvo cada sospechoso en la cafetería?

¿Qué sospechoso fue atrapado en una mentira? ¿Por qué?

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Transform Exponential Functions Explore 2 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

Parte II

Analiza la tarjeta de curvas de enfriamiento de los motores de los carros del documento «Tarjetas de curvas de enfriamiento». Las notas del detective proporcionan información adicional sobre los motores.

Notas del detective Sospechoso

Temperatura actual (°F)

100

Si comparas la función D con la función F, el coeficiente de x cambia de 2 a 0.5. ¿Qué le sucede a la curva en la gráfica?

Dada la fórmula y = a・b cx + k, ¿qué valor tendría que tener c para dar como resultado un estiramiento horizontal? ¿Qué valor tendría que tener c para dar como resultado una compresión horizontal?

¿Qué motor se enfría a la tasa más rápida?

Basado en la temperatura actual de cada motor, ¿cuánto tiempo se ha enfriando cada carro?

¿Qué sospechoso fue atrapado en una mentira? ¿Por qué?

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Transform Exponential Functions Explore 2

STUDENT NOTEBOOK TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

Reflexiona 1.

Compara y contrasta dilataciones verticales y horizontales. Dilataciones verticales Diferencias

Dilataciones horizontales Similitudes

Diferencias

Usa las funciones f(x) = 3x y g(x) = 9(3x) para responder las siguientes preguntas. a.

¿Qué tipo de transformación tuvo lugar para convertir f(x) en g(x) = 9(3x)?

Explica por qué la expresión 3x+2 es equivalente a 3x(32).

Evalúa la parte de la expresión 3x(32) dentro de los paréntesis y usa tu trabajo para explicar por qué 3x+2 es equivalente a 9(3x).

¿Cuál es el cambio de f(x) = 3x a h(x) = 3x+2?

¡Acabas de demostrar que transformar la función f(x) = 3x con un desplazamiento de 2 unidades hacia la izquierda es lo mismo que un estiramiento vertical con un factor de 9! Puede usar la tecnología para trazar tanto g(x) como h(x) en la misma gráfica para confirmar. 3

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TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

EXPLORAR 2: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Cómo te ayudó el análisis de las curvas de enfriamiento a determinar qué sospechoso mentía sobre el tiempo que pasó en la cafetería?

2. ¿Qué aprendiste sobre cómo los cambios en la temperatura inicial afectan la forma de la gráfica?

3. ¿Cómo cambian las dilataciones horizontales y verticales la apariencia de una gráfica? ¿Puedes dar un ejemplo de la actividad?

4. ¿Qué estrategias utilizaste para conectar los conceptos matemáticos que aprendiste con la resolución de los casos de detective?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se relaciona el concepto de transformar figuras, como rotar o desplazar baldosas, con las transformaciones de las funciones exponenciales, como estirar o comprimir una gráfica? Considera cómo ambos implican cambios en la posición o en la forma sobre un plano cartesiano.

2. En los escenarios detectivescos, ¿cómo ayudan las transformaciones de las curvas de enfriamiento a determinar las coartadas de los sospechosos? Piensa en cómo identificar desplazamientos o dilataciones en la gráfica puede revelar el tiempo que cada bebida o motor ha estado enfriándose.

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TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

168

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

Transform Exponential Functions Explore 2

ÁLGEBRA 1

TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 2

FECHA ______________________________

Dilataciones de exponenciales BOLETO DE SALIDA Boleto de salida

La siguiente gráfica muestra que las dos funciones f(x) y g(x) = af(x). a.

¿g(x) es una dilatación horizontal o vertical? ¿Cómo lo sabes?

Usa desigualdades para describir el posible valor de a.

Explica qué transformación ocurrió para convertir f(x) = 2x en g(x) = 2−x.

Explica por qué g(x) = 2−x y h(x) = (0.5)x son formas equivalentes y producirían la misma gráfica si reescribes 2−x como (2−1)x.

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TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

Transform Exponential Functions Part 2

ÁLGEBRA 1

TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 2

FECHA ______________________________

LO QUE SABES Crear exponenciales MUESTRA equivalentes 1.

Utiliza las funciones exponenciales en la tabla de abajo para responder a las preguntas que siguen. f(x) = 3(5x)

g(x) = −3(5x)

h(x) = (5x) + 1

j(x) = 5x + 2

k(x) = −3(5x) + 1

m(x) = 4(5x) – 1

¿Qué funciones tienen intersecciones en y en (0, 3)? Demuestra cómo sabes que estás en lo correcto.

¿Qué funciones tienen intersecciones en y negativas ? Demuestra cómo sabes que estás en lo correcto.

¿Qué funciones no tienen asíntotas horizontales en y = 0 y cómo lo sabes?

Escribe una ecuación para una función exponencial, n(x), que también tiene una base de 5, una intersección en y de (0, −2), y una asíntota horizontal en y = 2.

Identifica la intersección en y, también la asíntota horizontal de la ecuación. p(x) = 6(5x) + 4

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TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

Transform Exponential Functions Part 2 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Grafica las ecuaciones f(x) = 3x y g(x) = 9(3x) en los ejes abajo.

¿Qué observas en g(x) en comparación con f(x)? Asegúrate de discutir la asíntota horizontal y la intersección en y en tu respuesta.

¿Cuál de las siguientes funciones es equivalente a g(x)? Demuestra cómo sabes que estás en lo correcto. A. B. C. D.

h(x) = 3(9x) h(x) = 9x + 3 h(x) = 3x + 2 h(x) = 3x – 2

Buck argumenta que las gráficas de y = 4−2x y la de y = ( )x son equivalentes. 16 ¿Tiene razón? ¿Por qué sí o por qué no?

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Transform Exponential Functions LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

La población de perros de un pequeño pueblo se representa mediante la función f(t) = 2,500(1.01)12t, donde t es la cantidad de años desde el 2020. Reescribe la función de manera que el exponente delante de t sea 1 y determina el porcentaje de incremento de la cantidad de perros cada año.

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TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

174

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 3: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que estás en un aula donde las funciones matemáticas se han descontrolado. Tu amiga Hinata necesita ayuda para poner en orden estas funciones exponenciales. Se han dispersado por todo el aula y cada una ha cambiado de una manera única. Tu misión es averiguar cómo se ha transformado cada función y devolverlas a su estado original. ¿Estás listo para resolver el misterio de estas funciones fuera de control? En esta actividad, trabajarás en grupos para explorar funciones exponenciales analizando sus ecuaciones, gráficas o tablas. Aprenderás a identificar transformaciones como traslaciones, estiramientos y reflexiones. Al resolver problemas y discutir tus hallazgos, comprenderás cómo estas transformaciones cambian la apariencia y el comportamiento de la función.

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TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

176

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

Transform Exponential Functions Explore 3 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 3

FECHA ______________________________

¡Espera! ¿Cómo llegamos aquí? DIARIO DEL ESTUDIANTE

Parte I: Transformaciones individuales

Tu profesor le dará a tu grupo un número par entre 1 y 12 como tu posición inicial. Cada respuesta correcta te llevará a tu siguiente pregunta.

Tarjeta de función exponencial fuera de control

Descripción de la transformación de la función fuera de control

Tarjeta con la transformación

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Transform Exponential Functions Explore 3 TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Parte II: Transformaciones múltiples

Tu profesor le dará a tu grupo un número impar entre 1 y 12 como tu posición inicial. Cada respuesta correcta te llevará a tu próxima pregunta. Tarjeta de función exponencial fuera de control

Descripción de la transformación de la función fuera de control

Tarjeta con la transformación

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9/13/25 6:11 PM

Transform Exponential Functions

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Explore 3 STUDENT NOTEBOOK TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

Reflexiona 1.

Dada la función principal y = b x y la función transformada y = a・b c(x − h) + k, completa la siguiente tabla. Posición

Vocabulario

Efecto en la función principal

a b

Permanece sin cambios Coeficiente

Estirar, comprimir o reflejar horizontalmente

Constante

Traslación horizontal

Constante

Con tus propias palabras, ¿cómo definirías una traslación?

En tus propias palabras, ¿cómo definirías una dilatación?

¿En qué se parece o se diferencia una traslación de una dilatación?

Crea una ecuación exponencial que tenga 3 o más transformaciones. Luego, describe las transformaciones.

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TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

180

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 180

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

EXPLORAR 3: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué estrategias utilizaste para identificar las transformaciones de las funciones exponenciales durante la actividad?

2. ¿Cómo te ayudó trabajar en grupos a comprender mejor los diferentes tipos de transformaciones?

3. ¿Qué desafíos enfrentaste al analizar los gráficos, ecuaciones o tablas y cómo los superaste?

4. ¿Cómo pueden aplicarse las habilidades que practicaron hoy para resolver problemas de la vida real que involucren funciones exponenciales?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo pueden las estrategias que usaste para determinar transformaciones en la actividad EXPLORAR ayudarte a comprender las transformaciones de figuras en la actividad Hook?

2. ¿De qué maneras se relacionan las transformaciones de funciones exponenciales en la actividad Explorar con las transformaciones de figuras que aprendiste en grados anteriores, como se ve en la actividad Enganche?

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TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

182

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

Transform Exponential Functions Explore 3 ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

NOMBRE _____________________________________________

TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

EXPLORAR 3

Transformaciones de exponenciales Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

FECHA ______________________________

Dada la función transformada y = a・b c(x − h) + k, ¿cuál es el valor de a que daría como resultado una compresión vertical?

Escribe la ecuación de la función que resulta cuando la función principal y = 10x se comprime horizontalmente por un factor de 5, se estira verticalmente por un factor de 2 y se desplaza hacia abajo 1 unidad.

Transform Exponential Functions Explore 3

Transformaciones de exponenciales Boleto de salida 1.

Dada la función transformada y = a・b c(x − h) + k, ¿cuál es el valor de a que daría como resultado una compresión vertical?

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TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

184

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

Transform Exponential Functions Part 3 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 3

FECHA ______________________________

Transformar exponenciales MUESTRA LO QUE SABES 1.

Compara las funciones exponenciales mostradas en la gráfica. a.

¿Es g(x) una dilatación vertical u horizontal de f(x)? ¿Cómo lo sabes?

¿Es un estiramiento o una compresión?

Si, en este caso, f(x) = bx y g(x) = abcx, ¿qué se sabe sobre a y c?

Define g(x) en términos de f(x).

Bosqueja en la gráfica las siguientes traslaciones de funciones exponenciales. a.

y = (0.5)(x – 2)

y = (0.5)(x – 2) + 3

g(x) = A. B. C. D.

f(x) + 3 f(x – 3) f(x) – 3 f(x + 3)

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185

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Transform Exponential Functions Part 3 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

Completa la tabla donde g(x) es la transformación descrita de f(x). f(x)

Transformación

g(x)

(0.25)x + 2

Reflejar sobre el eje y; desplazar 2 hacia abajo.

(0.25) – x

(0.19) ⋅ 5(x – 3)

Desplazar 1 hacia arriba y 1 hacia la derecha.

3 ⋅ 2x

−2 ⋅ 2x

Estirar verticalmente por un factor de 3; desplazar 4 hacia la izquierda. 5.

3 ⋅ 2(x + 3)

Grafica g(x) si es una transformación de f(x) que ha sido desplazada hacia la derecha 1 unidad y verticalmente estirada por un factor de 2.

186

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 186

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

HOOK POST-EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Responda las preguntas. 1. ¿Cómo puedes determinar el valor inicial de una función exponencial a partir de su gráfica, y por qué es importante al analizar transformaciones?

2. Describe cómo un estiramiento vertical y una compresión vertical afectan la gráfica de una función exponencial. ¿Cómo se pueden identificar estas transformaciones en una ecuación?

3. Al examinar la ecuación de una función exponencial, ¿qué indica una reflexión sobre el eje x o el eje y, y cómo afecta esta transformación a la gráfica?

4. Dada una tabla de valores de una función exponencial, ¿cómo puedes identificar si la función ha sufrido una traslación horizontal? ¿Qué pasos seguirías para determinar la dirección y la magnitud de esta traslación?

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187

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TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

188

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 188

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

NOMBRE _____________________________________________

ESQUEMA DE ANCLAJE

FECHA ______________________________

ESQUEMA DE ANCLAJE NOTA: La función principal para todos los ejemplos es

Transformar funciones exponenciales Transformación

f(x) Notación

Traslación vertical

f(x) + k

Traslación horizontal Estiramiento vertical Compresión vertical

Ejemplos 3 unidades hacia arriba 6 unidades hacia abajo

f(x – h)

2 unidades a la derecha 1 unidad a la izquierda Estiramiento por 6 Compresión por 1 2

af(x)

Estiramiento por 5 Compresión por 1 3

Estiramiento horizontal Compresión horizontal

Reflexión

−f(x)

A través del eje X

f(−x)

A través del eje Y

FUNCIÓN PRINCIPAL

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a y b son números reales, y a ≠ 0, b ≠ 1, y b > 0.

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TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

190

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 190

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

CUADERNO INTERACTIVO

FECHA ______________________________

Gráfica Transformación Ecuación

Instrucciones ● Recorta el organizador a continuación y pega en tu cuaderno. ● Dada la función principal , describe la transformación para cada ecuación desde la función exponencial principal y traza la gráfica en el plano cartesiano.

Transform Exponential Functions

CUADERNO INTERACTIVO

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 191

191

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TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

192

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 192

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 193

Pega la transformación aquí.

Mueve hacia abajo 3 unidades

Pega la transformación aquí.

Reflexión a través del eje Y

Estira verticalmente por un factor de 4

Pega la transformación aquí.

Pega la ecuación aquí.

Mueve a la derecha 2 unidades

Pega la transformación aquí.

Pega la ecuación aquí.

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Pega la ecuación aquí.

ÁLGEBRA 1

Pega la ecuación aquí.

Función principal

Instrucciones ● Recorta el tapete de trabajo a continuación y pega en tu cuaderno. ● Recorta las tarjetas a continuación y clasifica con base en la información entregada. ● Una vez que termines de clasificar, pega las tarjetas en el tapete.

Transform Exponential Functions

LIBRO DEL ESTUDIANTE STUDENT NOTEBOOK TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

193

9/13/25 6:11 PM

TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

194

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 194

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

CUADERNO INTERACTIVO

FECHA ______________________________

CUADERNO INTERACTIVO

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 195

195

9/13/25 6:11 PM

TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

196

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 197

STUDENT NOTEBOOK TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

197

9/13/25 6:11 PM

TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

198

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

Transform Exponential Functions

REVISIÓN EN ESPIRAL

FECHA ______________________________

REVISIÓN EN ESPIRAL

Automatización del hogar Por supuesto, tienen computadoras y teléfonos inteligentes, pero, ¿todo lo demás? ¿Pueden relojes, altavoces, luces, timbres, cámaras, persianas, electrodomésticos, refrigeradores, etc. tener acceso a internet? ¿ Qué tal si esos dispositivos pudieran comunicarse, enviarte información y tomar tus órdenes? No es ciencia ficción, es el sistema automatizado de vivienda. Con un comando de voz o un toque, puedes personalizar tu experiencia en casa al subir el volúmen a la música de tu lista musical favorita, ajustar tu termostato a la temperatura ideal para dormir, cerrar puertas y armar el sistema de seguridad. Puedes ver las cámaras para ver quién toca el timbre mientras estás en la habitación de al lado o la próxima zona horaria. La automatización del hogar es una innovadora experiencia de vida. En poco tiempo, puedes comenzar a preguntarte cómo pudiste vivir sin él. Hogares de todo tipo, desde pequeños hasta grandes y desde nuevos hasta antiguos, se benefician de la automatización del hogar en cuanto a potencia y rendimiento. Hay muchas categorías de productos para el hogar inteligente. ¿Qué productos respaldan tu mejor experiencia de vida?

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 199

199

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Transform Exponential Functions GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

Se comparan dos sistemas automatizados de luces centelleantes para exteriores usando las siguientes ecuaciones cuadráticas:

●

Automático: 6x2 – 11x – 10 = 0

●

Hogar inteligente: 4x2 + 5x – 6 = 0

Puedes configurar la automatización del hogar para una aspiradora robot que funciona durante 5 horas cuando está completamente cargada. La función f(x) = 5x representa cuántos pies cuadrados se limpian cada minuto. Grafica la función e indica su dominio.

Puedes configurar un refrigerador inteligente para que se dé cuenta cuando tiene pocos elementos esenciales como la leche y los huevos. Mediante el uso de cámaras de distribución de peso y reconocimiento de productos en el refrigerador, el refrigerador ordena estos artículos por ti. Utiliza la expresión (20 + 14r + 5r2) + (−3r2 – 9 + 8r). Escribe esta expresión en su forma más simple.

¿Qué opción tiene el valor positivo más alto para x?

Una máquina automática de té helado calcula cuánto té helado preparar usando la siguiente secuencia aritmética: a1 = 3, a2 = 7, a3 = 11, a4 = 15 y a5 = 19. Con base a esta información, ¿cuál es el valor de a125?

200

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 200

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

Skills Quiz

ÁLGEBRA 1

TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

PRUEBA DE ________________ HABILIDADES Name: ___________________________ Date:

PRUEBA DE HABILIDADES Transformar funciones exponenciales 𝑥𝑥

Para responder las preguntas 1 a 8, utiliza la gráfica de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2 · 5 .

Describe las transformaciones de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) a 𝑔𝑔(𝑥𝑥) si 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 1) – 2.

¿Qué función, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) o 𝑔𝑔(𝑥𝑥), tiene la mayor intersección en x?

Describe las transformaciones de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) a ℎ(𝑥𝑥) si ℎ(𝑥𝑥) =

¿Qué función, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) o ℎ(𝑥𝑥), es creciente?

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 201

− 𝑓𝑓(𝑥𝑥).

201

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Skills Quiz

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

Describe las transformaciones de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) a 𝑖𝑖(𝑥𝑥) si 𝑖𝑖(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(− 𝑥𝑥).

¿Qué función, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) o 𝑖𝑖(𝑥𝑥), tiene una menor intersección en y?

Describe las transformaciones de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) a 𝑘𝑘(𝑥𝑥) si 𝑘𝑘(𝑥𝑥) = 2 · 𝑓𝑓(𝑥𝑥).

¿Qué función, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) o 𝑘𝑘(𝑥𝑥), tiene una mayor tasa promedio de cambio?

Para responder las preguntas 9 y 10, consulta la siguiente información: Las funciones 𝑓𝑓(𝑥𝑥), 𝑔𝑔(𝑥𝑥) y ℎ(𝑥𝑥) están graficadas.

202

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GRADE 3 STUDENT NOTEBOOK TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES Skills Quiz MULTIPLICATION MODELS

ÁLGEBRA 1

¿Qué opción de respuesta da 𝑔𝑔(𝑥𝑥) en términos de 𝑓𝑓(𝑥𝑥)?

A. 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 2)

B. 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥 – 2)

C. 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) + 2

D. 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 10.

− 2 · 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

¿Qué opción de respuesta da ℎ(𝑥𝑥) en términos de 𝑓𝑓(𝑥𝑥)?

A. ℎ(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 2)

B. ℎ(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥 – 2)

C. ℎ(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) + 2

D. ℎ(𝑥𝑥) =

− 2 · 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

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203

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TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

204

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 204

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

VOCABULARIO

INTERVALO

CRECIENTE/ DECRECIENTE

INTERVALO POSITIVO / NEGATIVO

MÁXIMO RELATIVO

MÍNIMO RELATIVO

COMPORTAMIENTO FINAL

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 205

205

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

VOCABULARIO Creciente/decreciente

Intervalo

Una función es creciente si f(b) > f(a) y decreciente si f(b) < f(a) para cualquiera de los dos valores de entrada a y b

El conjunto de valores de entrada continuo en el cual los datos de salida de una función pueden incrementarse, decrementarse o ser constantes 3

Máximo relativo

Intervalo positivo / negativo

Punto que es más alto que los puntos a su lado en ambos lados

Intervalos positivos son aquellos por encima del eje X y los negativos por debajo del mismo 5

Comportamiento final

Mínimo relativo

Tendencia que sigue el gráfico cuando x se acerca al infinito en las direcciones negativa y positiva

Punto que es más bajo que los puntos a su lado en ambos lados 7

206

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 206

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

VOCABULARIO

PERIODICIDAD

TASA DE CAMBIO PORCENTUAL

CRECIMIENTO EXPONENCIAL

DECRECIMIENTO EXPONENCIAL

REFLEXIÓN VERTICAL

REFLEXIÓN HORIZONTAL

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 207

207

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

VOCABULARIO Tasa de cambio porcentual

Periodicidad

Porcentaje de aumento o disminución de una cantidad en una unidad de tiempo, denotado por «r»

Tendencia de una función a repetirse en un patrón regular a intervalos establecidos 9

Decrecimiento exponencial

Crecimiento exponencial

Proceso de reducir una cantidad por una tasa de porcentaje constante durante un período de tiempo

Cambio que ocurre cuando una cantidad original se incrementa en una tasa constante durante un período de tiempo 11

Reflexión horizontal

Reflexión vertical

Reflexión sobre una línea vertical como el eje Y

Reflexión sobre una línea horizontal como el eje X 13

208

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

VOCABULARIO

TRASLACIÓN

DILATACIÓN

INTERSECCIÓN X

INTERSECCIÓN Y

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 209

209

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

VOCABULARIO Dilatación

Traslación

Tipo de transformación en la que se utiliza un factor de escala para ampliar o reducir las distancias en la imagen original

Movimiento de una figura a lo largo de una línea una distancia específica 15

Intersección en y

Intersección en x

Punto en el gráfico de una ecuación donde la recta cruza el eje Y

Coordenada x o coordenadas donde un gráfico interseca el eje X, identificado como (x, 0) 17

210

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 210

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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STUDENT NOTEBOOK TRANSFORMAR FUNCIONES EXPONENCIALES

211

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ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

OPERACIONES CON POLINOMIOS

En esta sección, te adentrarás en el mundo de los polinomios y aprenderás a trabajar con ellos de diferentes maneras. Esto es en lo que te enfocarás:

SISTEMAS DE ECUACIONES

◦ Escritura de ecuaciones polinómicas: Aprenderás a escribir ecuaciones polinómicas en forma estándar, lo cual significa ordenar los términos según su grado de mayor a menor.

CRECIMIENTO Y DECADENCIA

◦ Identificación de las partes de una expresión: Conocerás las diferentes partes de una expresión, como términos, factores y coeficientes, y comprenderás cómo cada parte contribuye a la expresión completa. ◦ Interpretación de expresiones en contexto: Practicarás la interpretación de expresiones comprendiendo qué significan en situaciones reales o contextos específicos. ◦ Modelación de operaciones con polinomios: Explorarás cómo sumar, restar y multiplicar polinomios, con énfasis en aquellos de grado uno y dos. ◦ Suma y resta de polinomios: Trabajarás en sumar y restar polinomios, especialmente los de grado uno y dos, y verás cómo funcionan estas operaciones. ◦ Multiplicación de polinomios: Aprenderás a multiplicar polinomios, centrándote especialmente en multiplicar polinomios de grado uno para obtener un polinomio de segundo grado. ◦ Uso de patrones y reglas de productos notables: Descubrirás patrones y reglas de productos notables, como la diferencia de cuadrados y los trinomios cuadrado perfecto, para simplificar tu trabajo con polinomios. ◦ Comprensión de sistemas cerrados: Entenderás cómo los polinomios forman un sistema cerrado, es decir, que al sumarlos, restarlos o multiplicarlos, se obtiene nuevamente un polinomio. También aprenderás a elegir métodos para estas operaciones y a explicar tu razonamiento.

Al final de esta lección, tendrás una comprensión sólida de cómo trabajar con polinomios y aplicar estas habilidades en diversos contextos. ¡Disfruta explorando el mundo de los polinomios!

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SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 212

APLICACIÓN DE PRÁCTICAS MATEMÁTICAS • MP.1 Comprender problemas y perseverar en resolverlos: Usar fichas de álgebra para aprender a sumar, restar y multiplicar polinomios moviendo y organizando las fichas. • MP.2 Pensar sobre los números y sus significados: Usar polinomios para mostrar el área de objetos. Por ejemplo, encontrar el área de una piscina usando medidas dadas en monomios y binomios. • MP.3 Construir argumentos sólidos y evaluar las ideas de otros: Explicar por qué cierto método es el mejor para encontrar el área de una figura usando multiplicación de polinomios. Usar fichas de álgebra y modelos de área para respaldar la elección. • MP.4 Usar las matemáticas para representar situaciones reales: Usar polinomios para calcular las áreas de dos patios traseros analizando los detalles, encontrando longitudes y anchuras, y multiplicándolas.

• MP.5 Elegir las herramientas adecuadas de forma estratégica: Usar fichas de álgebra para entender cómo se suman y restan polinomios, cómo las fichas se cancelan entre sí y qué queda como respuesta. • MP.6 Ser precisos: Explicar claramente cómo sumar, restar y multiplicar polinomios para que otros puedan aprender el proceso con exactitud. • MP.7 Usar patrones y estructuras: Reconocer cómo el modelo de área se parece a la propiedad distributiva al multiplicar polinomios y usar este conocimiento para comprender mejor la multiplicación de binomios. • MP.8 Encontrar y usar atajos: Descubrir atajos para multiplicar binomios de diferencia de cuadrados y para elevar un binomio al cuadrado. Notar patrones en el modelo de área para encontrar productos rápidamente.

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

OPERACIONES CON POLINOMIOS

CAPTAR INTERÉS: ANTES DE EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Imagina que estás ayudando a una granja local a instalar paneles solares para generar energía. Estos paneles miden 150 pies de largo y necesitan ser cercados para mantener a los animales alejados. Los paneles también deben estar espaciados para evitar que se bloqueen entre sí la luz del sol y permitir un mantenimiento sencillo. Tu tarea es determinar cuánto cercado se necesita y el área que cubrirá utilizando expresiones polinomiales.

En esta actividad, aprenderás a utilizar operaciones con polinomios para resolver problemas del mundo real. Verás un video sobre paneles solares en una granja y descubrirás cómo calcular el área y el perímetro de una cerca usando expresiones polinómicas. Explorarás cómo estos conceptos matemáticos se conectan con situaciones cotidianas.

Responda las preguntas. 1. Si la distancia entre los paneles y la cerca es x, ¿cómo escribirías una expresión para la longitud total de la cerca necesaria alrededor de los paneles?

2. ¿Qué expresión polinómica representaría el área delimitada por la cerca si los paneles miden 150 pies de largo?

3. ¿Cómo crees que cambiar el valor de x afectará el perímetro de la cerca?

4. ¿Por qué es importante considerar el espacio entre los paneles y la valla al calcular el área y el perímetro?

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213

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OPERACIONES CON POLINOMIOS

214

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

OPERACIONES CON POLINOMIOS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 1: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que te han contratado en una famosa galería de arte para ayudar a armar hermosos mosaicos del artista Algebra Mathematica. La galería te ha dado baldosas especiales para usar, pero hay un detalle: ¡debes averiguar cómo encajarlas usando álgebra! Trabajarás con tus compañeros de clase para resolver este rompecabezas, aprendiendo a sumar y restar polinomios con baldosas algebraicas por el camino. En esta actividad, aprenderás a usar fichas algebraicas para comprender y resolver problemas con polinomios. Practicarás sumar y restar polinomios modelándolos con fichas, lo que te ayudará a ver cómo funcionan las matemáticas de forma visual. También crearás tu propio arte usando estas fichas, ¡haciendo que las matemáticas sean divertidas y creativas!

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215

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OPERACIONES CON POLINOMIOS

216

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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Polynomial Operations Explore 1

ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

OPERACIONES CON POLINOMIOS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 1

Arte de mosaico DIARIO DEL ESTUDIANTE

Parte I

Álgebra Matemática le ha dado a cada pieza de arte de mosaico un título que incluye los términos a continuación, y usaron las piezas que se muestran a continuación para hacer el arte. El artista no indicó qué término va con qué pieza de ficha cuadrada. Empareja cada pieza de ficha cuadrada con un término y justifica tu elección.

Término

Cuadrado amarillo

Rectángulo verde

Cuadrado azul

❏

Justificación

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217

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Polynomial Operations Explore 1 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Parte II

Completa la tabla al escribir la letra que corresponde a cada caja para organizar el arte. Nombre del conjunto

Tres veces Duce

Antes del título

Antes del mosaico

Después del título

Después del mosaico

Caja:

Medio faltante

Caja:

Opuestos 7 a1

Caja:

Tan extraño

Caja:

218

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Polynomial Operations Explore 1 ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Parte III

Crea tu propia pieza para la colección Antes y Después. Antes del título

Después del título

Antes del mosaico

Después del mosaico

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219

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Polynomial Operations

OPERACIONES CON POLINOMIOS

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE Explore 1

Reflexiona 1.

Compara y contrasta al simplificar las expresiones del siguiente diagrama. (2x + 3y) − 4(x + y)

(2a2 + 3a) − 4(a2 + a)

¿Cómo le explicarías la resta de polinomios a un compañero que estuvo ausente hoy?

220

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

OPERACIONES CON POLINOMIOS

EXPLORAR 1: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Cómo te ayudó el uso de baldosas de álgebra a entender mejor la suma y la resta de polinomios?

2. ¿Qué dificultades encontraste al emparejar las fichas de álgebra con los términos correctos y cómo las superaste?

3. ¿Cómo decidiste el diseño de tu arte de mosaico y qué conceptos matemáticos utilizaste?

4. ¿De qué maneras te ayudó trabajar en grupo a completar la actividad y qué aprendiste de tus compañeros?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo el proceso de utilizar fichas algebraicas para modelar la suma y la resta de polinomios en la actividad EXPLORAR te ayuda a comprender la aplicación en el mundo real de calcular el área y el perímetro del cercado de paneles solares en la actividad HOOK?

2. En ambas actividades, HOOK y EXPLORAR, trabajas con expresiones polinomiales. ¿Cómo entender el concepto de combinar términos semejantes con fichas de álgebra en la actividad EXPLORAR te ayuda a resolver el problema de encontrar el perímetro y el área del cercado de paneles solares en la actividad HOOK?

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221

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OPERACIONES CON POLINOMIOS

222

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

Polynomial Operations Explore 1

OPERACIONES CON POLINOMIOS

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 1

FECHA ______________________________

Sumar y restar polinomios BOLETO DE SALIDA Boleto de Salida

Realiza la operación indicada y proporciona tu resultado. Dibuja un modelo para representar la operación y el resultado. Representación algebraica

Operación

Modelo

(2x2 + 3x + 5) − (3x2 + 1x + 4)

Resultado

Polynomial Operations Explore 1

Sumar y restar polinomios Boleto de Salida Realiza la operación indicada y proporciona tu resultado. Dibuja un modelo para representar la operación y el resultado. Representación algebraica

Operación

Modelo

(2x2 + 3x + 5) − (3x2 + 1x + 4)

Resultado

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223

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OPERACIONES CON POLINOMIOS

224

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 224

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

OPERACIONES CON POLINOMIOS Polynomial Operations

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 1

Part 1

FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Sumar y restar polinomios 1.

Completa la tabla. Dibuja modelos para representar las operaciones o escribe las operaciones algebraicas. Determina las sumas o diferencias como se indica, y escribe tus respuestas en forma estándar. Representación algebraica

Modelo

Resultado

Modelo del resultado

(x2 + 3x + 2) – (3x2 + x + 4)

(3x2 – 4x) + (2x2 – 2x – 3) + (x + 3) 2.

Examina el resultado final en la tabla. Un compañero argumenta que la respuesta es 0. Usa la representación para explicar el resultado correcto.

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225

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Polynomial Operations Part 1 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Simplifica las expresiones. Determina las sumas y las diferencias como se indica. Escribe tus respuestas en forma estándar. 3.

(7b2 + 2b) – 3(b2 + b)

4. (8x + 4) – 4x(x + 6)

[y(2y + 1) + (y + 3)] – (7y2 + 4y – 8)

6. −(x2 + 2x – 3) – [(4x2 + 5x – 6) + (7x – 8)]

Tu amigo tiene (4c + 9w) videojuegos. Tú tienes 5 estantes (c + w) de videojuegos. ¿Cuántos videojuegos tienes en total?

Construye un problema mediante la suma. La expresión simplificada debe contener 3 términos y un coeficiente inicial de 2.

Construye un problema de diferencia de expresiones cuya solución sea 2x2 + 5. Cada expresión en el problema debe tener tres términos.

226

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

OPERACIONES CON POLINOMIOS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 2: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que eres un artista en una concurrida galería de arte. Te han encargado crear una nueva colección llamada “Times Up Collection”. Para hacerlo, usarás fichas de álgebra para organizar y multiplicar diferentes conjuntos de piezas de arte. Cada conjunto tiene tres partes: un factor, otro factor y el producto. Tu trabajo es identificar estas partes y crear una obra maestra visual usando la propiedad distributiva. ¿Listo para sumergirte en el mundo del arte matemático? En esta actividad, aprenderás a usar la propiedad distributiva para simplificar expresiones multiplicando términos. Trabajarás en grupos con fichas algebraicas y modelos de área para visualizar y resolver problemas. También practicarás calcular con precisión y reconocer patrones para encontrar atajos en matemáticas.

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227

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OPERACIONES CON POLINOMIOS

228

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

OPERACIONES CON POLINOMIOS Operations Polynomial

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 2

Explore 2

FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE Colección Se acabó el tiempo Parte I 1.

Completa el producto y la imagen para el conjunto B en la siguiente tabla. Conjunto A

Conjunto B

Multiplicando (factor)

2A2 + 2A + 3

A2 + 6A − 1

Multiplicador (factor)

Producto

6A2 + 6A + 9

Imagen para la serie

La multiplicación de varios términos se puede hacer con el uso de una matriz. Completa el producto a continuación y explica cómo sabes dónde escribir cada parte de su respuesta. A2

+ 6A

−1

¿Cuál sería la representación algebraica del producto si el conjunto A se hubiera perdido en el tránsito? Explica tu razonamiento.

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229

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Polynomial Operations Explore 2

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Parte II 1.

Completa la tabla para ayudar a organizar los conjuntos C y D de la colección Se acabó el tiempo. Conjunto C

Conjunto D

Multiplicando (factor)

2x − 7

4x + 5

Multiplicador (factor)

Producto

Imagen para la serie

Matriz

¿Cómo se compara el modelo de área de matriz con la imagen de la serie?

¿Cómo se puede usar el método de la multiplicación vertical con números de varios dígitos para multiplicar polinomios? Por ejemplo, 45 veces 2 se puede escribir como se muestra. Muestra o explica cómo se puede usar este método para multiplicar 4x + 5 por 2x. 1

45 × 2 90 2

230

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

Polynomial Operations Explore 2

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Reflexiona 1.

Muestra o explica cómo se podría usar una matriz para multiplicar 3A2 + 7A − 10 veces 4A.

¿Se podría usar la multiplicación vertical para multiplicar 3A2 + 7A − 10 veces 4A? ¿Por qué sí o por qué no?

Explica en qué se diferencia encontrar la suma de 3A2 + 7A − 10 más 4A en comparación con encontrar el producto de 3A2 + 7A − 10 veces 4A.

¿Por qué crees que un modelo de área podría ser mejor que las fichas cuadradas de álgebra en situaciones en las que multiplicas grandes cantidades?

¿Cómo le explicarías el proceso de multiplicar un monomio por un polinomio a alguien que nunca lo haya hecho antes?

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231

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OPERACIONES CON POLINOMIOS

232

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

OPERACIONES CON POLINOMIOS

EXPLORAR 2: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Cuál fue la parte más desafiante de usar la propiedad distributiva para simplificar expresiones y cómo la superaste?

2. ¿Cómo te ayudó el modelo de área a comprender mejor la multiplicación de expresiones?

3. ¿Puedes describir una situación de la vida real en la que podrías usar la propiedad distributiva?

4. ¿Qué patrones notaste al usar azulejos algebraicos y el modelo de área, y cómo pueden estos patrones ayudarte en futuros problemas de matemáticas?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo ayuda la propiedad distributiva utilizada en la actividad EXPLORAR a comprender el proceso de encontrar el área del cercado rectangular en la actividad Hook?

2. ¿De qué maneras se relacionan las baldosas algebraicas y los modelos de área de la actividad EXPLORAR con el escenario del mundo real de disponer paneles solares y calcular el perímetro y el área en la actividad Hook?

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233

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OPERACIONES CON POLINOMIOS

234

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 234

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

Polynomial Operations Explore 2

ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

OPERACIONES CON POLINOMIOS

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 2

FECHA ______________________________

Multiplicar polinomios conBOLETO modelosDE SALIDA Boleto de salida

Multiplica los siguientes pares de polinomios con el uso de modelos de área. a.

xyx+2

Producto:

−3 y 4x² − 2x + 5

Producto:

Polynomial Operations Explore 2

Multiplicar polinomios con modelos Boleto de salida 1.

Multiplica los siguientes pares de polinomios con el uso de modelos de área. a.

xyx+2

Producto:

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−3 y 4x² − 2x + 5

Producto:

235

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OPERACIONES CON POLINOMIOS

236

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 236

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

Polynomial Operations Part 2 OPERACIONES CON POLINOMIOS

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 2

FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Multiplicar polinomios con representaciones Utiliza los modelos de área, según corresponda, para resolver las siguientes preguntas. 1.

Trabajas para determinar la cantidad de pintura que necesitarás para pintar tu habitación. La longitud de la primera pared es 4y + 8. La altura de cada pared de la habitación es 4y. ¿Cuál es el área de la primera pared?

Hay dos paredes en total del tamaño de la primera. ¿Cuál es el área de las dos paredes?

El tamaño de la pared adyacente es 4 de la longitud de la primera pared. ¿Cuál es el área de la pared adyacente?

Hay dos paredes totales del tamaño de la pared adyacente. ¿Cuál es el área de las dos paredes adyacentes?

El techo está separado en 4 cuadrados. Cada cuadrado tiene un área de 2y + 9. ¿Cuál es el área total del techo?

¿Cuánta superficie total será necesario pintar?

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237

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Polynomial Operations Part 2

OPERACIONES CON POLINOMIOS

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Tú y tus amigos repasan para el próximo exámen. El primer problema consiste 1 en encontrar el producto de 2 x y −2x + 30 mediante un modelo de área. Tú lo has resuelto con un modelo de área horizontal. Tu amigo lo ha resuelto con un modelo de área vertical. ¿Serán pares tus expresiones simplificadas? Usa los modelos de área para justificar tu respuesta.

Completa los siguientes modelos de área. ¿Qué observaste?

10.

¿Qué generalización puedes hacer a partir de las preguntas 8 y 9?

11.

Tus amigos discuten sobre cuál será la respuesta a este problema:−(5w2 – 5w). Un amigo cree que no hay solución porque una vez completada la resta en el paréntesis, la respuesta es 0, y el 0 negativo no existe. Otro amigo cree que hay que completar la propiedad distributiva, y la respuesta será −5w2 + 5w. ¿Quién tiene razón? Justifica tu respuesta.

238

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

OPERACIONES CON POLINOMIOS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 3: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que pasas el verano trabajando con una empresa local de paisajismo arquitectónico. Han estado desbordados de proyectos y vas a intervenir para ayudar. Tu primera tarea es revisar y ajustar los planos del patio trasero de la familia Challa, que incluye una piscina y un jardín. Usarás tus habilidades matemáticas para asegurarte de que todo encaje a la perfección. En esta actividad, aprenderás a multiplicar polinomios con varios términos usando modelos de área. Trabajarás en grupos para resolver problemas de diseño del mundo real y practicar la combinación de términos semejantes. También explorarás distintos métodos para multiplicar polinomios, comprenderás sus similitudes con la multiplicación de enteros y aprenderás a usar los símbolos matemáticos con precisión.

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239

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OPERACIONES CON POLINOMIOS

240

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

Polynomial Operations Explore 3

ÁLGEBRA 1

OPERACIONES CON POLINOMIOS

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 3

FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE Ayudar al arquitecto Parte I

Use las tarjetas del documento «Tarjetas de diseño de patio familiar» para responder las siguientes preguntas. 1. Usa los mosaicos bosquejados en los planos del arquitecto para determinar las expresiones algebraicas para el factor de ancho, el factor de longitud y el área. Completa la siguiente tabla para demostrarle al arquitecto principal que comprende su diagrama. Proyecto

Factor de ancho

x−4

Factor de longitud

Área x² − 4x + 2x − 8

x+3

Otro pasante tiene problemas con los bocetos del proyecto. El arquitecto principal le pide que explique cómo los mosaicos esbozados en los planos representan las expresiones algebraicas. ¿Qué le dices al otro pasante?

El arquitecto principal ahora te ha pedido que demuestres cómo encontrar las expresiones algebraicas con el uso de matrices o modelos de área. Completa las matrices a continuación y encierra con un círculo las casillas que contienen términos similares. Proyecto A

Proyecto B

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Polynomial Operations Explore 3

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Parte II

Usa las tarjetas del documento «Tarjetas de proyectos de verano» para completar los pasos a continuación. 1. Dibuja un boceto de cada propuesta de diseño con las dimensiones etiquetadas. 2. Calcula el área de cada proyecto con el uso de un modelo de área. 3. Encierra con un círculo cualquier entrada en los modelos de área que contengan términos semejantes. 4. Escribe los términos de los modelos de área. 5. Escribe los productos simplificados.

Fórmula: A = bh

Piscina familiar

Bosquejo:

Modelo de área:

Escribe los términos del modelo de área. Producto simplificado para el área: 1 Fórmula: A = 2 bh

Huerta

Bosquejo:

Modelo de área:

Escribe los términos del modelo de área. Producto simplificado para el área: 2

242

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Polynomial Operations Explore 3 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Reflexiona 1.

Si es necesario, ¿serías capaz de dibujar representaciones con el uso de fichas cuadradas de álgebra tanto para la piscina familiar como para el huerto? Explica tu razonamiento.

Al usar un modelo de área, ¿puedes identificar alguna similitud con la propiedad distributiva? Usa los factores 2x + 3 y 3x + 5 y un modelo de área para ayudar a explicar.

Usa un modelo de área o una descripción escrita para explicar por qué (x + 1) por (x + 1) no es x² + 1.

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 243

243

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OPERACIONES CON POLINOMIOS

244

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

OPERACIONES CON POLINOMIOS

EXPLORAR 3: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué estrategias encontraste más útiles al multiplicar polinomios y por qué?

2. ¿Cómo te ayudó el uso del modelo de área a comprender el proceso de multiplicar polinomios?

3. ¿Qué patrones notaste al multiplicar polinomios con varios términos?

4. ¿Cómo puedes aplicar lo que has aprendido sobre la multiplicación de polinomios a situaciones de la vida real u otros problemas de matemáticas?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo el uso de modelos de área en la actividad EXPLORAR te ayuda a comprender el proceso de calcular el área y el perímetro del cercado de paneles solares en la actividad Hook?

2. En ambas actividades, Hook y EXPLORAR, trabajaste con expresiones polinomiales. ¿Cómo se aplican las estrategias que usaste para multiplicar polinomios en la actividad EXPLORAR a resolver el problema de determinar el área y el perímetro en la actividad Hook?

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 245

245

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OPERACIONES CON POLINOMIOS

246

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

Polynomial Operations Explore 3

ÁLGEBRA 1

OPERACIONES CON POLINOMIOS

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 3

FECHA ______________________________

Multiplicar polinomios BOLETO DE SALIDA Boleto de salida Una piscina rectangular mide 7x − 8 unidades de largo y 3x + 5 unidades de ancho. ¿Cuál es el área de la piscina en unidades cuadradas? Usa un modelo de área para resolver.

Área:

Polynomial Operations Explore 3

Multiplicar polinomios Boleto de salida Una piscina rectangular mide 7x − 8 unidades de largo y 3x + 5 unidades de ancho. ¿Cuál es el área de la piscina en unidades cuadradas? Usa un modelo de área para resolver.

Área:

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247

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OPERACIONES CON POLINOMIOS

248

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Polynomial EXPLORAR 3 Operations Part 3

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Multiplicar polinomios 1.

Empareja las dimensiones de las carcasas de los teléfonos que aparecen en la parte inferior de la página con los tamaños (áreas) de los teléfonos. Utiliza modelos de área para justificar tus respuestas.

Carcasa A 10x² – 7x – 3

Carcasa B 10x² + 21x + 9

Carcasa C 3x² + 16x – 35

Carcasa D 3x² – 10x – 25

Carcasa E x² – 9

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249

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Polynomial Operations Part 3 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Tus amigos crean bolsillos para el reverso de los teléfonos y venderlos como recaudación de fondos. Te piden que compruebes sus cálculos. Determina si han completado los pasos correctamente. Si se han equivocado, corrige el error.

Decides comprar una pantalla de vidrio para proteger la parte delantera de tu teléfono. Tienes que determinar el área de tu teléfono. Utiliza la pantalla del teléfono, para poder comprar el tamaño correcto. ¿Cuál es el área de la parte delantera de tu teléfono? Utiliza un modelo de área para resolver.

250

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 250

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

OPERACIONES CON POLINOMIOS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 4: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que dejaste tu teléfono en tu clase de matemáticas y necesitas recuperarlo. Pero hay un problema: los portones de la escuela están cerrados con llave, y para abrirlos necesitas resolver algunos acertijos de matemáticas. Con tus amigos, descifrarás los códigos encontrando patrones al multiplicar binomios, lo que te ayudará a abrir los portones y recuperar tu teléfono. En esta actividad, trabajarás en grupos para encontrar patrones al multiplicar binomios, como atajos especiales para resolver problemas más rápido. Aprenderás a usar correctamente los símbolos matemáticos y a comprender cómo la multiplicación de binomios similares genera resultados específicos, como cuadrados perfectos y diferencias de cuadrados. También practicarás la simplificación de expresiones y el trabajo con polinomios.

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OPERACIONES CON POLINOMIOS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Polynomial Operations EXPLORAR 4 Explore 4

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Descifradores de código Parte I 1.

Usa las tarjetas de código de puerta del documento «Tarjetas de código de puerta» para desbloquear las puertas. Pega los emparejamientos correctos en las casillas correspondientes a continuación. Usa el espacio de trabajo según sea necesario. Ten en cuenta que no se utilizarán todas las tarjetas de código de puerta. Puerta

Espacio de trabajo

Código

Puerta

Espacio de trabajo

Código

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253

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Polynomial Operations Explore 4 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Puerta

Espacio de trabajo

Código

Puerta

Espacio de trabajo

Código

¿Qué serie de pasos ideó tu grupo para descifrar cada código de puerta?

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

Polynomial Operations Explore 4

OPERACIONES CON POLINOMIOS

¿Qué similitudes y diferencias observaste entre simplificar cada puerta y su código correspondiente, y simplificar expresiones?

Si observamos la primera puerta, , y reemplazamos el cuadrado con la variable x y el círculo con el número 3, ¿cuál es la nueva solución? Muestra tu trabajo en el espacio de abajo.

¿Cambió su proceso desde la primera vez que simplificaste esta expresión cuando solo eran figuras?

Si observamos la última puerta, , y reemplazamos el cuadrado con la variable x y el círculo con el número 2, ¿cuál es la nueva solución? Muestra tu trabajo en el espacio de abajo.

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255

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Polynomial Operations Explore 4 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Parte II 1.

Descifra los códigos de las cuatro puertas enumeradas restantes para completar la tabla. Puerta

Espacio de trabajo

Código

(x + 5)(x − 5)

(3w + 7)(3w − 7)

(2y − z)(2y + z)

(4x + 9)(4x − 9)

¿Qué serie de pasos ideó tu grupo para descifrar cada código de puerta?

256

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Polynomial Operations Explore 4 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Reflexiona 1.

Explica cómo usarías patrones para multiplicar (3x + 2y)(3x − 2y) sin tener que usar un modelo de área o escribir todos los pasos.

Explica por qué no hay un término medio cuando se multiplican expresiones en la forma (a + b)(a − b).

Al elevar al cuadrado un binomio, ¿cómo se relaciona el término medio del producto con los términos del binomio? Puedes usar la expansión de (x + 7)2 para ayudarte a explicar tu respuesta.

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OPERACIONES CON POLINOMIOS

258

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

OPERACIONES CON POLINOMIOS

EXPLORAR 4: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué patrones notaste al multiplicar los binomios en la actividad? ¿Cómo te ayudaron estos patrones a resolver los problemas de manera más eficiente?

2. ¿Cómo se relacionan los cuadrados perfectos con los binomios con los que trabajamos en la Parte I? ¿Puedes dar un ejemplo de un trinomio cuadrado perfecto?

3. En la Parte II, ¿qué fue diferente acerca de los binomios en comparación con la Parte I? ¿Cómo afectó esto el resultado de la multiplicación?

4. ¿Por qué es importante usar paréntesis al elevar al cuadrado términos con variables y coeficientes? ¿Qué podría pasar si olvidas usarlos?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo ayuda el proceso de identificar patrones en binomios durante la actividad de Exploración a comprender cómo resolver de manera eficiente el problema de encontrar el área y el perímetro del cercado en la actividad de Gancho?

2. En ambas actividades, Hook y EXPLORAR, utilizaste operaciones matemáticas para resolver problemas del mundo real. ¿Cómo reconocer la estructura de las expresiones polinómicas, como las de los binomios, te ayuda a establecer conexiones para resolver problemas que implican arreglos de paneles solares?

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259

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OPERACIONES CON POLINOMIOS

260

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

Polynomial Operations Explore 4 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

OPERACIONES CON POLINOMIOS

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 4

FECHA ______________________________

Productos especiales BOLETO DE SALIDA Boleto de salida Usa tu conocimiento de productos especiales para simplificar cada una de las siguientes expresiones. 1. (a − b)2 A. B. C. D.

2. (3a + 5)(3a − 5)

a2 + b2 a2 − b2 a2 − 2ab + b2 a2 + 2ab + b2

Polynomial Operations Explore 4

Productos especiales Boleto de salida Usa tu conocimiento de productos especiales para simplificar cada una de las siguientes expresiones. 1. (a − b)2 A. B. C. D.

2. (3a + 5)(3a − 5)

a2 + b2 a2 − b2 a2 − 2ab + b2 a2 + 2ab + b2

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OPERACIONES CON POLINOMIOS

262

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

Polynomial Operations Part 4 OPERACIONES CON POLINOMIOS

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 4

FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Productos especiales 1.

Desarrolla cada una de las expresiones de multiplicación que aparecen abajo. Muestra el trabajo como sea necesario. A. (x + 4)2

B. (x + 4)(x – 4)

C. (x – 8)2

D. (x + 2)(x – 2)

E. (x – 2)2

F. (x + 2)(x – 8)

G. (x + 2)2

H. (x – 4)(x – 4)

Selecciona todas las opciones de arriba que hacen que cada enunciado sea verdadero. 2.

Cuando se desarrolla, esta(s) expresión(es) no tendrá(n) término medio.

Cuando se desarrolla, esta(s) expresión(es) tendrá(n) término medio de ±8x.

Cuando se desarrolla, esta(s) expresión(es) tendrá(n) un término constante negativo.

Cuando se desarrolla, esta(s) expresión(es) tendrá(n) un término medio negativo.

Cuando se desarrolla, esta(s) expresión(es) tendrá(n) el mismo coeficiente medio y la misma constante.

Cuando se desarrolla, esta(s) expresión(es) tendrá(n) todos los términos con el mismo signo.

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263

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OPERACIONES CON POLINOMIOS

Polynomial Operations Part 4 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Multiplica (4x + y)(4x – y).

Abigail y Roberto intentan factorizar 25x² – 100x + 100. Abigail dice que es un cuadrado perfecto y que se puede factorizar como (5x – 10)2. Roberto ve que 25 entra en todos los términos, así que saca el mayor factor común para crear 25(x2 – 4x + 4). ¿Quién está en lo correcto? Justifica tu respuesta.

10.

Un marco de fotos tiene una longitud de lados de 10b + 16c pulgadas. El ancho del marco es b + 2c pulgadas. ¿Cuál es el área de la placa de vidrio del marco?

11.

Una alberca cuadrada tiene un ancho de patio de x pies a todo su alrededor. La alberca tiene 4x – 5y pies. ¿Cuál es la superficie de la alberca y el patio combinados?

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

OPERACIONES CON POLINOMIOS

HOOK POST-EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Responda las preguntas. 1. ¿Cómo puedes usar fichas algebraicas para modelar la suma de dos polinomios, como (3x + 2) y (2x + 5), y cuál es el polinomio resultante?

2. Al multiplicar los binomios (x + 3) y (x - 3) usando la propiedad distributiva, ¿qué patrón se observa en el polinomio resultante y cómo se relaciona con el concepto de la diferencia de cuadrados?

3. Si tienes una expresión polinómica que representa el área de un jardín rectangular como (2x + 3)(x + 4), ¿cómo usarías un modelo de área para encontrar la forma expandida de esta expresión?

4. Dada la expresión polinómica (x + 5)², identifica el patrón de producto notable y úsalo para expandir la expresión sin usar un modelo de área. ¿Cuál es la forma expandida?

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OPERACIONES CON POLINOMIOS

266

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

OPERACIONES CON POLINOMIOS

NOMBRE _____________________________________________

ESQUEMA DE ANCLAJE

FECHA ______________________________

ESQUEMA DE ANCLAJE Operaciones de polinomios

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267

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OPERACIONES CON POLINOMIOS

268

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 268

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 269

4x² – 9

x² – 25

x² + 10x + 25

x² – 6x + 9

x² – 9

4x² + 20x + 25

4x² – 12x + 9

4x² – 25

Pega el producto aquí. Pega el producto aquí. Pega el producto aquí. Pega el producto aquí. Pega el producto aquí. Pega el producto aquí. Pega el producto aquí. Pega el producto aquí.

(x + 5)(x – 5)

(x + 5)²

(x – 3)(x + 3)

(2x + 5)(2x – 5)

(x – 3)²

(2x – 3)(2x + 3)

(2x + 5)²

(2x – 3)²

Instrucciones ● Recorta el organizador y pega en tu cuaderno. ● Empareja el producto al par binomial correcto y pega en la caja correspondiente.

Polynomial Operations

LIBRO DEL ESTUDIANTE ÁLGEBRA 1 OPERACIONES CON POLINOMIOS

NOMBRE _____________________________________________

FECHA ______________________________

CUADERNO INTERACTIVO

269

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OPERACIONES CON POLINOMIOS

270

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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ÁLGEBRA 1 GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Resuelve con el modelo de área.

Resuelve con fichas de álgebra.

Instrucciones ● Resuelve cada problema a continuación con el método especificado. ● Una vez que tengas el producto final, encierra con un círculo azul los coeficientes, encierra con un círculo rojo las variables y encierra con un círculo verde la constante. ● Recorta el organizador y pega en tu cuaderno.

Polynomial Operations

LIBRO DEL ESTUDIANTE STUDENT NOTEBOOK OPERACIONES CON POLINOMIOS

271

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OPERACIONES CON POLINOMIOS

272

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

OPERACIONES CON POLINOMIOS

CUADERNO INTERACTIVO

FECHA ______________________________

CUADERNO INTERACTIVO

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273

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OPERACIONES CON POLINOMIOS

274

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 275

STUDENT NOTEBOOK

OPERACIONES CON POLINOMIOS

275

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OPERACIONES CON POLINOMIOS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Polynomial Operations REVISIÓN EN ESPIRAL

FECHA ______________________________

REVISIÓN EN ESPIRAL

Carrera de campo traviesa Sakura estaba en el equipo de campo traviesa en la escuela secundaria y ahora es la capitana del equipo universitario juvenil en la escuela secundaria. Sakura reúne a sus compañeros de equipo y los anima para sus carreras. Los equipos femeninos de campo traviesa corren aproximadamente 2 millas o 3,200 metros en una carrera típica. Sakura escuchó recientemente sobre correr carreras con fines benéficos. Correr por caridad significa que Sakura puede combinar su amor por correr con su pasión por retribuir a los demás. Se inscribirá en una carrera en honor a una organización benéfica, y sus amigos y familiares pueden donar a la organización benéfica. Algunas de las carreras que considera Sakura son distancias de 5 kilómetros, 10 kilómetros o 13.1 kilómetros. El entrenamiento para estas carreras varía debido a la duración de la carrera. Cada semana acumula más y más millas hasta justo antes de la carrera.

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277

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Polynomial Operations GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

OPERACIONES CON POLINOMIOS

La tabla muestra la relación entre la cantidad de minutos que Sakura ha corrido y la distancia total en ese momento. Si Sakura mantiene este ritmo, ¿cuántos kilómetros habrá corrido después de 60 minutos?

Número de minutos

Distancia (km)

1.6

3.2

4.8

6.4

Sakura y su amiga compraron calcetines nuevos para correr y botellas de agua. Sakura pagó $54 por 4 pares de calcetines para correr y 2 botellas de agua. Su amiga pagó $11 más que Sakura por 3 pares de calcetines para correr y 5 botellas de agua. Escribe un sistema de ecuaciones que se pueda usar para hallar el precio en dólares de cada par de calcetines para correr, x, y de cada botella de agua, y.

La ecuación d = 0.16 m se puede usar para calcular d, la distancia que Sakura corre en m, minutos. ¿Qué gráfico representa mejor la solución establecida si Sakura quiere correr más rápido que su ritmo habitual de 0.16 km por minuto? B.

La siguiente expresión representa los resultados combinados del equipo de campo traviesa de Sakura. Escribe la expresión en su forma más simple.

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ÁLGEBRA 1

OPERACIONES CON POLINOMIOS

NOMBRE _____________________________________________

CIENCIA DE DATOS

Polynomial Operations

FECHA ______________________________

CIENCIA DE DATOS Costos de la gira

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279

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OPERACIONES CON POLINOMIOS

280

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9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

Skills Quiz

ÁLGEBRA 1

OPERACIONES CON POLINOMIOS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

PRUEBA DE ________________ HABILIDADES Name: ___________________________ Date:

PRUEBA DE HABILIDADES Operaciones de polinomios 1. Lucy quiere probar la idea de que los polinomios son cerrados bajo la adición. Este es su trabajo. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 6𝑥𝑥 + 7, 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 3 − 4𝑥𝑥

𝑓𝑓(𝑥𝑥) + 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 6𝑥𝑥 + 7 + 3 − 4𝑥𝑥

𝑓𝑓(𝑥𝑥) + 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 + 10

¿Cuál de los siguientes enunciados sería correcto? A. Esta prueba apoya que los polinomios no son cerrados bajo la adición porque la suma de f(x) y g(x) no dio como resultado un polinomio. B. Esta prueba apoya que los polinomios no son cerrados bajo la adición porque los coeficientes son negativos y la suma de f(x) y g(x) resulta en un entero. C. Esta prueba apoya que los polinomios son cerrados bajo la adición porque los exponentes son números enteros, y por definición la suma de f(x) y g(x) es un polinomio. D. Esta prueba apoya que los polinomios son cerrados bajo la adición porque la suma de f(x) y g(x) da como resultado un entero.

Utiliza el siguiente polinomio para responder las preguntas 2 a 4. ℎ(𝑥𝑥) = 5𝑥𝑥 + 7𝑥𝑥 2.

–1

Escribe ℎ(𝑥𝑥) en forma estándar.

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281

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Skills Quiz

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

OPERACIONES CON POLINOMIOS

¿Cuántos términos ℎ(𝑥𝑥) tiene? Identifica los términos.

Identifica los coeficientes.

Las siguientes ecuaciones pueden utilizarse para encontrar el perímetro de un rectángulo. 𝑃𝑃 = 𝑙𝑙 + 𝑙𝑙 + 𝑤𝑤 + 𝑤𝑤 𝑃𝑃 = 2𝑙𝑙 + 2𝑤𝑤 𝑃𝑃 = 2(𝑙𝑙 + 𝑤𝑤)

Explica cómo se relacionan con la búsqueda del perímetro de un rectángulo e interpreta lo que significan las partes de cada ecuación en el contexto del perímetro de un rectángulo. Utiliza vocabulario matemático académico en tu explicación.

Este modelo de fichas de álgebra demuestra la multiplicación de polinomios. ¿Qué problema de multiplicación representa? Escribe el producto como un polinomio en su forma más simple.

¿Cuál de las siguientes funciones se puede multiplicar con el uso de las reglas de producto especial, diferencia de cuadrados o trinomio cuadrado perfecto? Multiplica solo el(los) polinomio(s) que pueda(n) multiplicarse al utilizar la regla de producto especial. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (2𝑥𝑥 – 3)

𝑔𝑔(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥

282

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+ 2𝑥𝑥 – 3)

ℎ(𝑥𝑥) = (5𝑥𝑥 – 4)(5𝑥𝑥 + 4)

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GRADE 3

ÁLGEBRA 1

MULTIPLICATION MODELS Skills Quiz

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Simplifica la expresión y proporciona la respuesta en forma estándar. (5𝑥𝑥

STUDENT NOTEBOOK

– 2𝑥𝑥 + 1) + (− 𝑥𝑥 – 4)

¿Cuál de las siguientes expresiones muestra (4𝑥𝑥 correctamente? A. B. C. D.

7𝑥𝑥

𝑥𝑥

7𝑥𝑥

𝑥𝑥

– 7) – (3𝑥𝑥

+ 5𝑥𝑥 – 6) simplificada

– 5𝑥𝑥 – 13

– 5𝑥𝑥 – 1

+ 5𝑥𝑥 – 1

+ 5𝑥𝑥 – 13

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283

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OPERACIONES CON POLINOMIOS

Skills Quiz

10.

Analiza cada enunciado y decide si a veces es verdadero, siempre es verdadero o nunca es verdadero. Si siempre es verdadero, explica por qué. Enunciado

A veces es verdadero

Siempre es verdadero

Nunca es verdadero

Explica

La suma de dos números racionales es un número racional.

El producto de dos números racionales es un número irracional. La suma de un número racional y un número irracional es un número racional. El producto de un número racional diferente a cero y un número irracional es un número irracional.

284

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 284

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

OPERACIONES CON POLINOMIOS

VOCABULARIO

POLINOMIO

TÉRMINO

FACTORES

COEFICIENTE

EXPONENTE

COCIENTE

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285

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OPERACIONES CON POLINOMIOS

VOCABULARIO Término

Polinomio

Número, variable, producto o cociente de números y variables en una expresión algebraica

Expresión matemática que consta de varios términos 3

Coeficiente

Factores

Número que se coloca directamente antes de una variable que le indica que multiplique ese número por la variable

Expresiones que se multiplican para obtener un polinomio; factores que aparecen en forma de ax + b y no se pueden factorizar más 5

Cociente

Exponente

Solución al dividir dos números; respuesta a un problema de división; resultado de la división de una cantidad por otra cantidad

Notación matemática que indica el número de veces que el número base se multiplica por sí mismo; también llamado potencia 7

286

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 286

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

OPERACIONES CON POLINOMIOS

VOCABULARIO

DIVISOR

RESIDUO

RESTRICCIÓN

FORMA ESTÁNDAR (CUADRÁTICA)

DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

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287

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

OPERACIONES CON POLINOMIOS

VOCABULARIO Residuo

Divisor

Cantidad sobrante que resulta del cociente de 2 números enteros

Cantidad por la que se va a dividir otra cantidad 9

Forma estándar (cuadrática)

Restricción

y = ax² + bx + c o ax² + bx + c = 0, donde a, b, y c son constantes y a ≠ 0

Condición que debe satisfacer la solución 11

Trinomio cuadrado perfecto

Diferencia de dos cuadrados

Trinomio cuya forma factorizada es el cuadrado de un binomio; toma la forma ax² + bx + c y satisface la condición b² = 4ac

La diferencia de dos cuadrados, como a² – b² factorizados en (a + b)(a – b) 13

288

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 288

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

OPERACIONES CON POLINOMIOS

VOCABULARIO

EXPRESIÓN

NÚMERO RACIONAL

NÚMERO IRRACIONAL

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289

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

OPERACIONES CON POLINOMIOS

VOCABULARIO Número racional

Expresión

Número que puede escribirse como una fracción de los números enteros a/b, donde b ≠ 0; número que se puede escribir como una razón con dos números enteros

Números, variables y símbolos agrupados sin un signo igual para mostrar una relación 14

Número irracional

Número decimal que no puede expresarse como fracción, no es imaginario y no se repite ni termina 16

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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STUDENT NOTEBOOK

OPERACIONES CON POLINOMIOS

291

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ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

MODELO CON FUNCIONES INVESTIGACIONES DE FUNCIONES

En este tema, aprenderás sobre las funciones cuadráticas y cómo trabajar con ellas. Estos son los conceptos principales que explorarás:

SISTEMAS DE ECUACIONES

CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES

◦ Características clave de las funciones cuadráticas ◦ Aprende a identificar las partes importantes de una función cuadrática a partir de su gráfica o tabla, como el vértice, el eje de simetría y las intersecciones con los ejes.

CRECIMIENTO Y DECADENCIA

◦ Comprende cómo estas características ayudan a describir el comportamiento de la función.

◦ Trazado de gráficas de funciones cuadráticas ◦ Practica dibujar las gráficas de funciones cuadráticas usando la descripción de sus características clave. ◦ Enfócate en mostrar puntos importantes como el vértice y las intersecciones.

◦ Dominio y rango ◦ Determina el dominio (valores de entrada) y el rango (valores de salida) razonables para situaciones modeladas por funciones cuadráticas. ◦ Aprende cómo se aplican estos conceptos a situaciones del mundo real.

◦ Raíces, ceros e intersecciones con el eje x ◦ Identifica las raíces, los ceros y las intersecciones con el eje x de una función cuadrática y comprende cómo se relacionan con las soluciones de la ecuación. ◦ Establece conexiones entre estos términos y cómo aparecen en una gráfica.

◦ Escritura de funciones cuadráticas ◦ Aprende a escribir una función cuadrática cuando se te dan sus ceros. ◦ Practica convertir la función a la forma estándar para facilitar su análisis.

Al final de esta lección, podrás trabajar con confianza con funciones cuadráticas, interpretar sus gráficas y aplicar estas habilidades para resolver problemas.

292

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APLICACIÓN DE PRÁCTICAS MATEMÁTICAS • MP.1 Dar sentido a los problemas y seguir intentando resolverlos: Usar una gráfica para encontrar dónde cruza el eje x (raíces) y escribir su ecuación. Comprender la gráfica para hallar estos puntos y elegir la forma adecuada para escribir la ecuación. • MP.2 Pensar sobre los números y lo que significan: Usar gráficas para describir una situación. Encontrar puntos clave como el punto más alto, el punto de inicio y cuánto tiempo algo está en el aire. • MP.3 Construir argumentos sólidos y evaluar el razonamiento de otros: Decidir qué forma de una ecuación cuadrática se ajusta mejor a los datos y explicar qué información se puede obtener de una forma específica de una ecuación cuadrática. • MP.4 Usar las matemáticas para representar situaciones del mundo real: Crear ecuaciones para modelar los cables de soporte de puentes colgantes. Usar los datos proporcionados de cada puente para encontrar la ecuación cuadrática correcta.

• MP.5 Usar las herramientas adecuadas de manera eficaz: Usar calculadoras gráficas para escribir ecuaciones cuadráticas en diferentes formas y encontrar valores faltantes para asegurar que la ecuación se ajuste a la situación. • MP.6 Prestar atención a los detalles: Examinar cuidadosamente las gráficas para encontrar características importantes de las funciones cuadráticas, como los puntos más bajo y más alto, dónde cruza los ejes, el eje de simetría y el vértice. • MP.7 Usar la estructura para encontrar soluciones: Descomponer ecuaciones cuadráticas para encontrar detalles importantes e identificar características clave necesarias para graficar, como las intersecciones con los ejes o el vértice. • MP.8 Notar patrones en el razonamiento repetido: Reconocer que ciertas formas de las ecuaciones cuadráticas son más fáciles de escribir cuando se tienen detalles específicos, y usar esto para simplificar la escritura de ecuaciones.

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ÁLGEBRA 1

GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

CAPTAR INTERÉS: ANTES DE EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Imagina que estás en el campo de tu escuela, listo para lanzar cohetes modelo para la clase de física. A medida que los cohetes se elevan al cielo, notas que sus trayectorias forman una curva, no una línea recta. Esta actividad te ayudará a entender cómo estas trayectorias curvas se relacionan con las funciones cuadráticas, un concepto clave en matemáticas.

En esta actividad, aprenderás cómo las funciones cuadráticas se relacionan con situaciones del mundo real, como el lanzamiento de un cohete a escala. Verás un video, explorarás gráficas y resolverás problemas para entender cómo la trayectoria del cohete forma una curva llamada parábola. Descubrirás características clave como el vértice, el eje de simetría y las intersecciones con los ejes.

Responda las preguntas. 1. ¿Qué notas sobre la trayectoria del cohete mientras viaja por el aire?

2. ¿Cómo podría diferir la gráfica de una función cuadrática de la de una recta?

3. ¿Por qué crees que la trayectoria del cohete puede modelarse con una función cuadrática?

4. ¿Qué características clave de una gráfica cuadrática pueden ayudar a determinar la altura máxima del cohete y el punto de aterrizaje?

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 1: ANTES DE EXPLORAR

Bienvenido a los Crush Games, el evento definitivo de deportes de acción que se lleva a cabo en tu estado. Este año, formas parte de la emoción como voluntario, ayudando a registrar y analizar los emocionantes saltos de skate. Usando gráficos, explorarás cómo estos saltos pueden describirse con funciones cuadráticas, identificando características clave como la altura máxima y los puntos de aterrizaje. ¡Prepárate para sumergirte en el mundo de las parábolas y descubrir cómo las matemáticas pueden capturar el movimiento de estas increíbles acrobacias! En esta actividad, los estudiantes aprenderán sobre el movimiento a través de situaciones de la vida real, como saltos en patineta, utilizando funciones cuadráticas. Explorarán gráficas para identificar parábolas, reconociendo características como las intersecciones con los ejes x e y, ceros, valores máximos y mínimos, vértice y eje de simetría. Mediante el trabajo en grupo y las discusiones, desarrollarán habilidades de resolución de problemas y razonamiento matemático.

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

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ÁLGEBRA 1

GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

Graphs of Quadratic Functions Explore 1 EXPLORAR 1

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Juegos aplastados Parte I 1.

Usa el boceto del salto y las notas de los jueces para completar la tarjeta de concursante. Identifica los pares ordenados de los puntos B-E y el tiempo de suspensión. Amari, finalista de monopatín (0, 0) A: ________ B: ________ C: ________ D: ________ E: ________ Tiempo que pasó en el aire: ______ segundos

Notas de los jueces ●

Amari estuvo en el aire durante 8 segundos. Usa esta información para determinar las coordenadas del punto E.

●

El pico del salto de Amari fue cronometrado exactamente a la mitad de su salto y tenía 16 pies de altura. Usa esta información para determinar las coordenadas del punto C.

●

Un segundo antes de su altura máxima, estaba a 15 pies sobre el suelo. Usa esta información para determinar las coordenadas del punto B.

●

El salto de Amari fue perfectamente simétrico al medir el tiempo frente a la altura. Usa esta información para determinar las coordenadas del punto D.

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Graphs of Quadratic Functions GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK Explore 1 ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

Usa el boceto del salto y las notas de los jueces para completar la tarjeta de concursante. Identifica los pares ordenados de los puntos A-E y el tiempo de suspensión. Harry, finalista de monopatín A: ________ B: ________ C: ________ D: ________ E: ________ Tiempo que pasó en el aire: ______ segundos

Notas de los jueces Usa la siguiente información para identificar las coordenadas anteriores. ●

Harry alcanzó una altura máxima de 9 pies después de 3 segundos.

●

El salto de Harry fue perfectamente simétrico al medir el tiempo frente a la altura.

●

Harry cruzó el punto D después de 5 segundos a una altura de 5 pies.

¿Qué finalista de monopatín ganó el premio por tiempo de suspensión por estar más tiempo en el aire?

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Graphs of Quadratic Functions

STUDENT NOTEBOOK GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS Explore 1

Parte II 1.

Usa los datos que recopiló el analista y que se muestran en la imagen para completar la tarjeta de cada concursante.

Aalia, finalista de motocross

Manuela, finalista de motocross

Raíz(ces) razonable(s): ________

Intersección en y: ________

Vértice: ________

Raíz(ces) razonable(s): ________

Eje de simetría: ________

Mínimo o máximo (encierra uno con un círculo).

¿Qué representa el punto (0, 10) con respecto al salto?

El salto de Manuela fue perfectamente simétrico. Usa la propiedad de simetría para determinar la altura de Manuela a los 5 segundos. _______ metros

¿Qué finalista de motocross ganó el premio de tiempo de suspensión por estar más tiempo en el aire? 3

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

Graphs of Quadratic Functions Explore 1 GRADE 3 STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

Usa los datos que recopiló el analista y se muestran en la imagen para completar la tarjeta de cada concursante. Aditi, finalista de clavados

Yume, finalista de clavados

Vértice: ______________

Intersección(es) en x: _____________

Mínimo o máximo (encierra uno con un círculo).

Intersección en y: ________

Eje de simetría: ________ ¿Cuánto tiempo estuvo Aditi bajo el agua? ________ segundos

Mínimo o máximo (encierra uno con un círculo). ¿Qué profundidad alcanzó Yume? ________ pies

¿Qué finalista de salto de acantilado pasó más tiempo bajo el agua?

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

Reflexiona 1.

¿Qué forma tiene la gráfica de una función cuadrática y cuáles son algunas de las características claves de la gráfica?

¿Cómo están conectados el vértice y el eje de simetría?

Si la parábola se abre hacia arriba, ¿qué puedes decir sobre el vértice? Si se abre hacia abajo, ¿qué puedes decir?

El punto (3, 4) se encuentra en una parábola cuyo eje de simetría es x = 1. ¿Qué otro punto también debe estar en la parábola y por qué? Es posible que desees dibujar un boceto.

¿Cuántas intersecciones en x podría tener una función cuadrática trazada en el plano xy (una parábola)?

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

EXPLORAR 1: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué aprendiste sobre la forma de una parábola y sus características clave, como el vértice y el eje de simetría, durante esta actividad?

2. ¿Cómo puedes usar la gráfica de una función cuadrática para determinar cuándo un patinador en monopatín alcanza el punto más alto de su salto?

3. ¿Cómo ayuda comprender la simetría de una parábola a encontrar puntos simétricos en la gráfica?

4. ¿Qué desafíos enfrentaste al analizar los gráficos y cómo los superaste?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo ayuda el concepto de simetría en la parábola observada en la actividad de salto en monopatín a comprender la trayectoria del cohete modelo en la actividad Hook?

2. En ambos escenarios, el salto en patineta y el lanzamiento de un cohete, ¿cómo puede la identificación del vértice y las intersecciones con el eje x ayudar a determinar momentos clave del movimiento, como la altura máxima o el punto de aterrizaje?

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

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Graphs of Quadratic Functions Explore 1 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

EXPLORAR 1

Características y atributos claves Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

FECHA ______________________________

La gráfica que se muestra tiene solo parte de una parábola. Se muestra el mínimo.

Usa la simetría de la parábola para dibujar la sección faltante de la parábola.

Marca un punto en la gráfica para el vértice. ¿Cuál es el valor del vértice?

Dibuja el eje de simetría. ¿Cuál es la ecuación para el eje de simetría?

Marca triángulos para las intersecciones en x. Da los pares ordenados para las intersecciones en x.

Marca un cuadrado para la intersección en y. Da el par ordenado para la intersección en y.

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

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ÁLGEBRA 1

GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

Graphs of Quadratic Functions Part 1 EXPLORAR 1

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Características clave y atributos Tu clase de física va a hacer un viaje a un parque temático. A tu amigo le aterrorizan las montañas rusas y te pide que recojas los datos para completar los dibujos y el análisis. 1.

Bosquejas la primera mitad de la montaña rusa. Utiliza la simetría de la parábola para esbozar la sección que falta de la parábola.

¿Cuál es el vértice? Márcalo con un círculo. ¿Qué representa?

¿Cuál es la ecuación del eje de simetría?

¿Cuál es la intersección en y? ¿Qué representa?

¿A qué tiempo(s) está la montaña rusa a 40 metros?

¿Cuál es el rango de la gráfica de esta porción de la montaña rusa?

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Graphs of Quadratic Functions Part 1 GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

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La montaña rusa vuelve al nivel del suelo a los 35 segundos. En otros 5 segundos alcanza la cima de la siguiente caída de 30 metros. 7.

¿Cuál es el valor del vértice de la parábola que representa esta porción de la montaña rusa? ¿Es un mínimo o un máximo? Justifica cómo lo sabes.

¿Cuál es la ecuación del eje de simetría?

Bosqueja la parábola. Usa la simetría de la parábola para identificar los puntos clave.

10.

¿Cuáles son las intersecciones en x? ¿Qué representan?

11.

¿Cuánto dura la caída de esta parte del recorrido?

12.

Cuando la montaña rusa está por encima de los 20 metros, se puede ver la mayor parte del parque. ¿Cuándo está la montaña rusa a esta altura? ¿Durante cuánto tiempo aproximadamente podrá un usuario ver la mayor parte del parque?

13.

A 10 metros se inicia y termina un video para grabar la caída. ¿Cuándo empieza y termina la computadora el video? ¿Cuánto aproximadamente dura el video? Explícalo. 2

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ÁLGEBRA 1

GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 2: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que eres voluntario en un concurso local de saltos en patineta. Tu trabajo es analizar los saltos de los concursantes observando gráficos y ecuaciones. Necesitarás determinar cuándo cada patinador comienza y termina su salto comprendiendo los gráficos de funciones cuadráticas. Esto te ayudará a garantizar que los resultados sean precisos para los jueces. En esta actividad, aprenderás a analizar las gráficas de funciones cuadráticas para encontrar ceros, intersecciones con el eje x, soluciones y raíces. Trabajarás en grupos para explorar cómo estos conceptos se relacionan con situaciones del mundo real, como un salto en monopatín, y comprender cómo las ecuaciones en forma factorizada revelan información importante sobre la gráfica.

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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ÁLGEBRA 1

GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 2

FECHA ______________________________

Graphs of Quadratic Functions Explore 2

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Juegos aplastados, continuación Parte I 1.

Usa la tabla como ayuda para analizar las tarjetas del documento «Tarjetas de resultados». Ajani Punto A

Punto E Par ordenado

Significado en contexto

¿Cómo se relacionan los pares ordenados para el punto A y el punto E con la ecuación?

¿Cuál es el valor de x del vértice? ¿Cómo se relaciona este valor con los pares ordenados de los puntos A y E?

Los datos que registró con su cronómetro mostraron que Ajani comenzó el salto a los cero segundos, estuvo en la altura máxima a los 4 segundos y aterrizó a los 8 segundos. ¿Los resultados digitales coincidieron con lo que registró? ¿Cuántos segundos en total estuvo Ajani en el aire?

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Graphs of Quadratic Functions Explore 2 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

Parte II

Analiza la información en las tarjetas del documento «Tarjetas de resultados» para responder las siguientes preguntas. 1.

Usa la tabla para organizar la información sobre los puntos A y E para los saltos de Isaac y Niko. Punto A Isaac

Niko

Par ordenado Significado en contexto ¿Cómo se relaciona el par ordenado con la ecuación? Punto E Isaac

Niko

Par ordenado Significado en contexto ¿Cómo se relaciona el par ordenado con la ecuación?

¿Cuál es el momento en que Isaac alcanzó su altura máxima de salto? ¿Cuál es el momento en que Niko alcanzó su altura máxima de salto? 2

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Graphs of Quadratic Functions

ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Explore 2 STUDENT NOTEBOOK GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

Reflexiona 1.

Los resultados que registró con su cronómetro se muestran a continuación. ¿Los resultados digitales coincidieron con lo que registró para todos los finalistas? Si no, ¿el error fue en su registro o en el registro digital? ¿Cómo lo sabes? Punto A

Punto C

Punto E

Ajani

0 segundos

4 segundos

8 segundos

Isaac

0 segundos

2.5 segundos

6 segundos

Niko

2 segundos

6 segundos

8.5 segundos

El ganador fue el finalista que tuvo un salto de calificación de 7 segundos o más de duración. ¿Qué finalista de monopatín ganó el premio?

Usa las raíces para determinar los factores para cada gráfica. Luego, usa los factores para escribir una ecuación posible para cada gráfica.

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Graphs of Quadratic Functions Explore 2 GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Describe las diferencias entre las raíces de las gráficas de la pregunta 3. ¿En qué se parecen y en qué se diferencian sus factores?

¿Las dos ecuaciones siguientes tendrían raíces en el origen? ¿Por qué sí o por qué no? y = 8x(x − 4)

y = x(x + 1)

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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EXPLORAR 2: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué aprendiste sobre cómo las intersecciones con el eje x nos ayudan a comprender una gráfica cuadrática?

2. ¿Cómo puedes usar los factores de una ecuación cuadrática para encontrar sus raíces o soluciones?

3. ¿Por qué es importante conocer la diferencia entre ceros, raíces y soluciones de una función?

4. ¿Cómo te ayudó trabajar en grupo a entender mejor la relación entre la gráfica y la ecuación?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se relacionan las intersecciones con el eje x de la gráfica del salto de Ajani con los tiempos de inicio y fin de la trayectoria de vuelo del cohete en la actividad Hook?

2. Después de explorar las funciones cuadráticas en el salto de Ajani, ¿cómo te ayuda identificar los ceros de las ecuaciones de salto de Isaac y Niko a comprender las características clave de la gráfica de la trayectoria del cohete en la actividad Hook?

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

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Graphs of Quadratic Functions Explore 2 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 2

Raíces, ceros, intersecciones en x y soluciones Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

FECHA ______________________________

Un delfín salta fuera del agua. La gráfica muestra su movimiento de proyectil.

Identifica las intersecciones en x de la gráfica.

Encierra con un círculo la hora en que el delfín aterrizó en el agua. A los 5 segundos

A los 15 segundos

A los 10 segundos

Escribe una posible ecuación para esta función.

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS Graphs of Quadratic Functions

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 2

Part 2

FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Raíces, ceros, intersecciones en x y soluciones Utiliza el banco de factores para escribir los factores de cada gráfica. Banco de factores x

(x + 1)

(x – 1)

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(x + 3)

(x – 3)

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Graphs of Quadratic Functions Part 2 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

La función cuadrática g está graficada en la cuadrícula de coordenadas xy. ¿Cuáles de las siguientes podrían ser los ceros de la función cuadrática g? Selecciona todas las que aplican. ❏ ❏ ❏ ❏ ❏ ❏

g(x) = (x + 2)(x + 4) g(x) = (x + 2)(x – 4) g(x) = (x – 2)(x – 4) g(x) = (x – 3)(x + 6) g(x) = (x – 3)(x – 6) g(x) = (x + 3)(x – 6)

Explica cómo sabes qué pares ordenados podrían ser los ceros de la función cuadrática g.

La función cuadrática h tiene raíces que son ambas negativas. ¿Qué factores podrían ser posibles si ambas raíces son negativas? Otorga un ejemplo.

La función cuadrática k está graficada en la cuadrícula de coordenadas xy. Escribe un conjunto de factores posibles que puedan usarse para representar la función cuadrática h.

Explica cómo sabes cómo deberían ser los factores de la función cuadrática k.

10.

Encierra con un círculo todas las funciones cuadráticas que tienen una intersección en x de (3, 0). y = (x + 14)(x – 3) y = 3x(x – 10) y = (x + 3)(x + 3) y = x(x − 3) 2

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 3: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que eres un becario en un estudio de arquitectura genial. Tu trabajo es ayudar a diseñar puentes colgantes usando matemáticas para determinar cómo deberían verse los cables de soporte. Necesitarás usar ecuaciones cuadráticas para modelar estos cables, que forman una forma de U llamada parábola. ¡Vamos a sumergirnos en las matemáticas para impresionar a tus jefes! En esta actividad, trabajarás en grupos para aprender a escribir y convertir funciones cuadráticas entre la forma de vértice y la forma estándar. Utilizarás estas habilidades para ayudar a una firma de arquitectura a modelar los cables de un puente colgante. Explorarás cómo las ecuaciones se relacionan con la forma y la posición de las parábolas y practicarás resolver problemas con precisión.

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS Graphs of Quadratic Functions

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 3

Explore 3

FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Puentes de suspensión Parte I

¿Cómo podría usarse la ubicación del vértice para determinar la distancia total del puente?

Si el vértice del cable en la imagen estuviera en (65, 0), ¿cuánto mediría el puente? Explica y etiqueta la distancia.

¿Sería diferente la distancia total si el vértice estuviera en (65, 10)? ¿Por qué sí o por qué no?

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

4. 5.

Dibuja el cable de soporte en el diagrama de acuerdo con las especificaciones. Etiqueta la altura.

La ecuación h = 0.01(d − 42)² modela la altura del cable de soporte en función de la distancia desde la torre oeste. Encuentra el resultado de la ecuación cuando d = 0, d = 42 y d = 80. Redondea al número entero más cercano.

¿Qué entrada hace que la ecuación sea la más grande?

¿Qué entrada hace que la ecuación sea la más pequeña? ¿Por qué crees que sucede?

¿Qué entrada tiene sentido para el centro? Explica.

10. Etiqueta la distancia transversal en función de tu centro y sustituye ese valor en la ecuación para determinar la altura.

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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11. Dibuja el cable de soporte en el diagrama de acuerdo con las especificaciones. 12. Etiqueta la altura.

13. La ecuación h = 0.01(d − 35)² modela la altura del cable de soporte en función de la distancia desde la torre oeste. Usa el método de conjetura y verificación para determinar la distancia desde la torre oeste que hace que la altura sea lo más pequeña posible. Muestra todos tus cálculos y trabajo. ¿Cuál es la salida más pequeña que puedes obtener? Primera conjetura: d = ___

Segunda conjetura: d = ___

Verifica tu primera conjetura.

Verifica tu segunda conjetura.

14. ¿Qué entrada tiene sentido para el centro? Explica.

15. Etiquete la distancia transversal. 16. Describe una regla que se pueda usar para determinar qué entrada generará la salida más pequeña para la ecuación en la forma de y = a(x − h)².

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Parte II

Usa el método de conjetura y verificación para determinar la distancia desde la torre oeste que hace que la altura sea lo más pequeña posible. Muestra todos tus cálculos y trabajos, y luego registra tus respuestas en la página del arquitecto. ¿Cuál es la salida más pequeña que puedes obtener? Puente 1 1.

La ecuación h = 0.05(d − 10)² + 2 modela la altura del cable de soporte en función de la distancia desde la torre oeste. Primera conjetura: d = ___

Segunda conjetura: d = ___

Verifica tu primera conjetura.

Verifica tu segunda conjetura.

¿Cuál es la coordenada del vértice de la parábola que modela este cable de suspensión? ¿Cómo se relaciona esto con la ecuación?

Puente 2 3.

La ecuación h = 0.025(d − 20)² + 4 modela la altura del cable de soporte en función de la distancia desde la torre oeste. Primera conjetura: d = ___

Segunda conjetura: d = ___

Verifica tu primera conjetura.

Verifica tu segunda conjetura.

¿Cuál es la coordenada del vértice de la parábola que modela este cable de suspensión? ¿Cómo se relaciona esto con la ecuación? 4

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

Puente 3 5.

La ecuación h = 0.03(d + 40)² + 5 modela la altura del cable de soporte en función de la distancia desde la torre oeste. Primera conjetura: d = ___

Segunda conjetura: d = ___

Verifica tu primera conjetura.

Verifica tu segunda conjetura.

¿Cuál es la coordenada del vértice de la parábola que modela este cable de suspensión? ¿Cómo se relaciona esto con la ecuación?

Puente 4 7.

Tu tarea final durante tu pasantía es completar el documento «Página del arquitecto» al crear una ecuación para el puente 4. Usa la siguiente imagen como guía. Escribe una posible ecuación para este puente y explica cómo la ecuación representa el punto más bajo del cable.

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Graphs of Quadratic Functions Explore 3

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

Reflexiona 1.

La función cuadrática f(x) está representada por la ecuación f(x) = −5(x + 2)² + 50. a.

¿Cuál es el vértice?

¿Cuál es la intersección en y de la función?

Explica por qué sustituir en x = −2 le dará a la función f(x) = (x + 2)2 − 5 su valor más bajo.

¿Por qué conocer el vértice del cable de suspensión del puente nos dice cuánto mide el puente?

¿Cómo puedes encontrar y explicar el vértice de una ecuación en la forma y = a(x − h)2 + k?

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

EXPLORAR 3: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué encontraste más desafiante al convertir funciones cuadráticas de la forma de vértice a la forma general, y cómo lo superaste?

2. ¿Cómo ayuda comprender el vértice de una parábola en situaciones de la vida real, como el diseño de puentes?

3. ¿Qué estrategias utilizó su grupo para garantizar la precisión al escribir y analizar las ecuaciones de los puentes?

4. ¿Cómo te ayudó colaborar con tu grupo a comprender mejor los conceptos matemáticos?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se relaciona el proceso de encontrar el vértice de una parábola en la actividad EXPLORAR con la determinación de la altura máxima del cohete en la actividad Hook?

2. En ambas actividades Hook y EXPLORAR, trabajaste con ecuaciones de parábolas. ¿Cómo ayuda comprender la forma de vértice de una ecuación cuadrática a analizar la trayectoria del cohete y la forma de los cables de un puente colgante?

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

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Explore 3

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ÁLGEBRA 1

GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

EXPLORAR 3 Escribir ecuaciones en fórmula de vértice Boleto de salida

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

BOLETO DE SALIDA

La gráfica de una función cuadrática tiene un vértice en (3, 8). ¿Cuál es una posible ecuación para esta función?

¿Cuál es el vértice de la ecuación y = 4(x + 6)2 − 10?

Graphs of Quadratic Functions Explore 3

Escribir ecuaciones en fórmula de vértice Boleto de salida 1.

La gráfica de una función cuadrática tiene un vértice en (3, 8). ¿Cuál es una posible ecuación para esta función?

¿Cuál es el vértice de la ecuación y = 4(x + 6)2 − 10?

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

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ÁLGEBRA 1

GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

Graphs of Quadratic Functions Part 3 EXPLORAR 3

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Escribir ecuaciones en fórmula de vértice 1.

Utiliza el banco de números para determinar los valores para graficar cada función cuadrática mostrada y completa los espacios en blanco. Banco de números 3

f(x) = (x

h(x) = −(x

−3

−5

g(x) = (x

a(x) = −(x

)2 1

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Graphs of Quadratic Functions Part 3 GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

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Ordena cada función cuadrática del banco de ecuaciones en base a la ubicación del cuadrante del vértice y llena las columnas de la tabla de cuadrantes. Banco de ecuaciones a(x) = (x – 2)2 – 8

Cuadrante Cuadrante Cuadrante Cuadrante I II II IV

b(x) = (x + 2)2 + 8 c(x) = −(x + 2)2 + 8 d(x) = −(x + 2)2 – 8 e(x) = 3(x – 2)2 + 8 f(x) = −5(x – 2)2 – 8

Explica cómo sabes dónde colocar cada función cuadrática.

La función cuadrática g está graficada abajo. Escribe 2 funciones cuadráticas posibles. Justifica tus respuestas.

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Graphs of Quadratic Functions Part 3 LIBRO DEL ESTUDIANTE

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Encierra con un círculo todas las funciones cuadráticas que tengan un vértice de (−4, 2). j(x) = 2(x – 4)2 – 2

k(x) = 2(x + 4)2 + 2

l(x) = − 1 (x + 4)2 + 2

m(x) = − 1 (x – 4)2 – 2

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 4: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que eres un arquitecto encargado de diseñar un nuevo túnel con forma parabólica. La entrada del túnel tiene 8 metros de ancho y 8 metros de alto en su punto más alto. Tu tarea es crear una ecuación matemática que represente con precisión la boca del túnel para que puedas elaborar dibujos y planos precisos. Trabajando en grupos, utilizarán sus habilidades matemáticas para ayudar a diseñar este túnel. En esta actividad, aprenderás a escribir funciones cuadráticas en forma estándar o factorizada a partir de soluciones reales o de gráficas. Trabajarás en grupos para ayudar a arquitectos a diseñar un túnel trazando parábolas y encontrando ecuaciones. Utilizarás calculadoras gráficas y practicarás la resolución de problemas con precisión, la comprensión de símbolos matemáticos y el razonamiento cuantitativo.

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

Graphs of Quadratic Functions EXPLORAR 4 Explore 4

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Diseño de túneles Parte I

Usa la siguiente parábola para modelar la apertura del túnel y responde las preguntas que siguen.

El pasante de la empresa crea la ecuación y = x2 + 8 para comenzar. ¿Qué del modelo del pasante está acertado y qué funciones deben cambiar?

Un asociado de la firma de arquitectura ajustó la ecuación del interno a y = −x2 + 8. ¿Esta ecuación coincide con los puntos etiquetados en tu gráfica?

El arquitecto principal sabe que los primeros dos intentos estuvieron cerca y sugiere que el equipo encuentre un coeficiente para poner delante de la ecuación para que pase por cada uno de los puntos ya que −1 no funcionó del todo. Encuentra el valor de a en la ecuación y = ax2 + 8 para que pase por las intersecciones en x y el vértice.

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Graphs of Quadratic Functions Explore 4 GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

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Usa la siguiente parábola para modelar la apertura del túnel, donde los ejes X e Y miden la distancia en metros, y responde las preguntas que siguen.

(−6, 4)

(6, 4)

(−8, 0)

(8, 0)

Ya que conocemos las dos intersecciones en x y no conocemos el vértice, ¿con qué forma sería más fácil crear la ecuación?

Escribe una ecuación que pase por ambas intersecciones en x.

Resuelve el coeficiente en tu ecuación para que tu modelo también tenga una altura de 4 m cuando esté a 6 m del centro.

Usa tu ecuación para determinar la altura máxima de este túnel.

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Graphs of Quadratic Functions Explore 4 LIBRO DEL ESTUDIANTE

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Parte II

La empresa de arquitectura necesita una gráfica y una ecuación para modelar un túnel que tiene una abertura que pasa por los puntos (7, 0), (−7, 0), y (3, 8). 1.

Dibuja la parábola en la cuadrícula de coordenadas para representar la apertura del túnel. Etiqueta las intersecciones en x.

Escribe una ecuación en forma factorizada y luego determina el valor de a que representaría la apertura del túnel que se muestra.

Usa tu ecuación para determinar el vértice de la parábola. Ajusta tu boceto si es necesario.

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Graphs of Quadratic Functions Explore 4 GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Reflexiona 1.

Compara y contrasta los métodos para determinar el coeficiente cuando se dan las intersecciones en x y cuando se da el vértice.

¿Cómo nos ayudó la sustitución a resolver la ecuación completa de una parábola cuando se nos dio la gráfica?

¿Se puede determinar una ecuación exacta para representar la parábola si solo se conocen las raíces? ¿Por qué sí o por qué no?

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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EXPLORAR 4: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Cómo utilizaste los puntos dados para escribir la ecuación de la parábola? ¿Qué pasos seguiste?

2. ¿Qué dificultades enfrentaste al intentar encontrar el valor de 'a' en la ecuación y cómo las superaste?

3. ¿Cómo cambia la gráfica de la parábola cuando ajustas el valor de 'a'? ¿Qué notaste sobre la forma y la dirección?

4. ¿Por qué es importante verificar que la ecuación que encontraste coincida con todos los puntos dados en la parábola? ¿Cómo comprobaste tu trabajo?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo ayuda el proceso de encontrar la ecuación de una parábola para la apertura del túnel en la actividad Explorar a comprender la trayectoria del cohete en la actividad Hook? Considera el papel del vértice y de las intersecciones con el eje x en ambos escenarios.

2. En la actividad EXPLORAR, utilizaste soluciones reales y un tercer punto para escribir funciones cuadráticas. ¿Cómo puede aplicarse este método para determinar la altura máxima y el punto de aterrizaje del cohete en la actividad Hook? Considera cómo usarías el vértice y las intersecciones con el eje x para describir la trayectoria de vuelo del cohete.

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

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Graphs of Quadratic Functions Explore 4 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

EXPLORAR 4

Resolver para a en funciones cuadráticas Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

FECHA ______________________________

La gráfica de una función cuadrática tiene intersecciones en x en (−4, 0) y (5, 0). La gráfica también pasa por el punto (6, 6). Escribe una ecuación cuadrática en forma factorizada para representar esta parábola.

Graphs of Quadratic Functions Explore 4

Resolver para a en funciones cuadráticas Boleto de salida La gráfica de una función cuadrática tiene intersecciones en x en (−4, 0) y (5, 0). La gráfica también pasa por el punto (6, 6). Escribe una ecuación cuadrática en forma factorizada para representar esta parábola.

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

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ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS Graphs of Quadratic Functions

EXPLORAR 4

Part 4

FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Resolver a en las funciones cuadráticas 1.

Escribe dos ecuaciones diferentes que cada tenga un vértice en (5, −10).

Considera una parábola con un vértice en (5, −10) que también tiene una intersección en y en (0, 65). ¿Cuál es la ecuación completa en fórmula de vértice?

Encuentras que una parábola tiene intersecciones en (6, 0) y (4, 0). Escribe dos posibles ecuaciones diferentes para esta parábola.

La parábola que tiene intersecciones en (6, 0) y (4, 0), también tiene un vértice en (5, 7). Escribe la ecuación de esta parábola en forma de intersección.

Una parábola tiene una intersección x en (−1, 0) y un vértice en (3, 4). ¿Dónde debe estar la otra intersección en x? Puedes utilizar la gráfica como ayuda.

Escribe una ecuación para esta parábola tanto en fórmula de vértice como en forma factorizada.

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Graphs of Quadratic Functions Part 4 GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

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Tú y tu amigo trabajan en determinar a en una parábola que tiene un vértice en (−5, 5) y una intersección en (−6, 0). Tu amigo trabaja rápidamente y dice que a = 5. Antes de mirar su trabajo, le dices que sabes que ha cometido un error. Revisa su trabajo para encontrar su error y dile dónde está su error. ¿Cómo puedes saberlo tan rápidamente antes de ver su trabajo? Paso 1: y = a(x – h)2 + k Paso 2: 0 = a(−6 + 5)2 – 5 Paso 3: 0 = a(−1)2 – 5 Paso 4: 5 = a

¿Cuál es la ecuación correcta en fórmula de vértice para la pregunta 7?

Intentas escribir la ecuación de la gráfica que aparece a la derecha, pero necesitas más información. Escribe una ecuación que sea igual a esta gráfica una vez que averigües que la intersección en y está en (0, −24).

10.

Usa tu ecuación para determinar el vértice de la parábola.

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 5: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que tú y tu amigo están tratando de averiguar quién viajó durante más tiempo y quién llegó más lejos usando un detector de movimiento que les proporciona ecuaciones. Hanna piensa que viajó por más tiempo, mientras que Yume cree que fue la que llegó más lejos. Al observar sus ecuaciones, les ayudarás a descubrir quién tiene razón identificando características clave de las funciones cuadráticas. En esta actividad, aprenderás a identificar características importantes de las funciones cuadráticas a partir de ecuaciones en forma de vértice o factorizada. Trabajarás en grupos para comparar estas características, reescribir ecuaciones en forma estándar y determinar si representan la misma función. También ayudarás a resolver una situación sobre la distancia recorrida utilizando estas habilidades.

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS Graphs of Quadratic Functions

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 5

Explore 5

FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Locura del detector de movimiento Parte I

Usa las ecuaciones de Hanna y Yume para responder las siguientes preguntas. Las ecuaciones expresan la distancia desde el detector de movimiento en función del tiempo. Hanna

Yume

y = −0.5(x + 1)(x − 7)

y = −0.5(x − 3)2 + 8

¿Qué ecuación se puede usar para determinar fácilmente las intersecciones en x en el eje horizontal? ¿Qué ecuación se puede usar para determinar fácilmente el vértice?

¿Durante cuánto tiempo el detector de movimiento registró el movimiento de Hanna? ¿Cómo lo sabes?

¿La ecuación de Yume muestra fácilmente cuánto tiempo el detector de movimiento registró su movimiento? Explica.

¿Cuál fue la distancia máxima que recorrió Yume desde el detector de movimiento? ¿Cómo lo sabes? 1

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Graphs of Quadratic Functions Explore 5 GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

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Hanna

Yume

y = −0.5(x + 1)(x − 7)

y = −0.5(x − 3)2 + 8

¿Muestra fácilmente la ecuación de Hanna la distancia máxima que recorrió desde el detector de movimiento? Explica.

¿Qué ecuación, si hay alguna, muestra fácilmente la intersección en y con el eje vertical? Explica.

¿Se pueden usar estas ecuaciones para determinar fácilmente quién viajó más lejos del detector de movimiento y quién viajó durante la mayor cantidad de tiempo? ¿Por qué sí o por qué no?

Hanna y Yume ayudan a sus amigos Marty y Jessica. ¿Qué forma sería ideal para la ecuación cuadrática de Marty para representar la distancia recorrida si supieras que recorrió una distancia máxima de 10 metros desde el detector de movimiento después de 3 segundos? ¿Qué forma sería ideal para la ecuación de Jessica si supieras que ella viajó por un total de 5 segundos? Explica.

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Graphs of Quadratic Functions Explore 5

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Parte II

La ecuación y = −0.5(x + 1)(x − 7) representa la distancia de Hanna al detector de movimiento en función del tiempo. 1.

Determina las intersecciones en x por inspección visual. ¿Qué significa esto en contexto?

Determina la ecuación para el eje de simetría: x = 3.

Usa el eje de simetría para determinar el vértice. ¿Qué significa esto en contexto?

Usa la sustitución para determinar la intersección en y. ¿Qué significa esto en contexto?

Grafica las intersecciones en x, el vértice, el eje de simetría y la intersección en y en la gráfica del documento «Gráfica de distancia de Hanna y Yume». Usa las propiedades de la reflexión para graficar un quinto punto. Luego, dibuja la parábola.

La ecuación y = −0.5(x − 3)2 + 8 representa la distancia de Yume desde el detector de movimiento en función del tiempo. 6.

Determina la ecuación para el eje de simetría por inspección visual.

Determina el vértice por inspección visual.

Usa la sustitución para determinar la intersección en y.

Determina las intersecciones en x con la sustitución y resolución.

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Graphs of Quadratic Functions Explore 5

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

10. Enumera el par ordenado o la ecuación para cada atributo de las funciones de Hanna y Yume. Hanna

Yume

Raíces Eje de simetría Vértice Intersección en y 4o punto 11. ¿Qué te dice esto acerca de las funciones?

12. ¿Qué esperas ver si ambas ecuaciones están escritas en forma estándar?

13. Reescribe ambas ecuaciones en forma estándar.

14. ¿Quién viajó más lejos del detector de movimiento y quién viajó durante la mayor cantidad de tiempo? ¿Cómo lo sabes?

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Graphs of Quadratic Functions Explore 5

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Reflexiona 1.

¿Cómo puedes encontrar el vértice de una función que está escrita en forma factorizada?

¿Qué forma cuadrática hace que sea más fácil encontrar la intersección en y, y por qué?

Si te pidieran que identificaras el máximo o el mínimo de una ecuación cuadrática, ¿qué forma te gustaría usar y por qué?

¿Cómo puedes saber si dos ecuaciones son equivalentes cuando están escritas en formas diferentes?

Si dos ecuaciones tienen el mismo vértice y las mismas raíces, ¿tendrán ecuaciones equivalentes? ¿Por qué sí o por qué no?

Dibuja tantas funciones cuadráticas como puedas que tengan los siguientes atributos. Luego, escribe la(s) ecuación(es) para representar la(s) función(es) graficada(s). Vértice

Intersecciones en x

(1, −4)

(−1, 0)

(3, 0)

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

356

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EXPLORAR 5: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué aprendiste sobre las diferentes formas de las ecuaciones cuadráticas y sus características clave?

2. ¿Cómo te ayudó trabajar en grupos a entender quién viajó más lejos y quién viajó durante más tiempo?

3. ¿Por qué es importante reescribir las ecuaciones en la misma forma al compararlas?

4. ¿Qué estrategias utilizaste para resolver problemas y cómo te ayudaron a comprender mejor los conceptos?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo puede la identificación de las características clave de las ecuaciones cuadráticas en forma de vértice y en forma factorizada ayudarte a comprender el desplazamiento en el viaje de Hanna y Yume, de manera similar a como analizaste la trayectoria de vuelo del cohete en la actividad Hook?

2. En ambas actividades, Hook y EXPLORAR, trabajaste con gráficas de funciones cuadráticas. ¿Cómo ayuda comprender la relación entre el vértice y las intersecciones con el eje x a resolver problemas del mundo real, como determinar la altura máxima de un cohete o la duración y la distancia de un viaje?

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

358

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9/13/25 6:11 PM

Identificación de características claves y EXPLORAR 5 ecuaciones cuadráticas equivalentes Boleto de salida

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

BOLETO DE SALIDA

Identifica las características clave de cada función cuadrática. Función A

Función B

y = (x + 1)(x – 5)

y = (x – 1)(x – 5)

Raíz(ces) Eje de simetría Vértice Intersección en y 2.

Determina qué función es equivalente a y = (x − 3)2 − 4.

Reescribe en forma estándar para verificar las ecuaciones equivalentes.

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

Graphs of Quadratic Functions EXPLORAR 5 Part 5

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Identificar características clave y funciones cuadráticas equivalentes 1.

Usa la ecuación f(x) = (x + 3)2 – 25 para responder las preguntas de abajo. a.

Esta ecuación cuadrática está en _______ .

Reescribe la ecuación en forma estándar.

Reescribe la ecuación en forma factorizada.

Identifica el vértice, la intersección en y, también las intersecciones en x de f(x) mediante cada una de las formas apropiadas.

Usa la ecuación g(x) = (x – 1)2 – 4 para responder las preguntas de abajo. a.

Reescribe la ecuación en forma estándar.

Reescribe la ecuación en forma factorizada.

Identifica el vértice, la intersección en y, y la intersección en x para f(x).

Grafica g(x).

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Graphs of Quadratic Functions Part 5

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

Selecciona todas las ecuaciones correctas de la siguiente gráfica. a.

y = (x – 3)2 – 4

y = (x + 3)2 – 4

y = x2 + 6x + 5

y = x2 + 5x + 5

y = (x – 1)(x – 5)

y = (x + 1)(x + 5)

Usa las siguientes funciones para responder las preguntas que siguen. f(x) = 2(x + 1)2 – 18

g(x) = (2x – 4)(x + 4)

¿Cuál es la intersección en y de cada gráfica?

Jazmín cree que las dos funciones son equivalentes, pero Amara cree que es imposible que las ecuaciones sean tan diferentes y produzcan la misma gráfica. ¿Quién está en lo correcto y por qué?

¿Cuáles son los vértices y las intersecciones en x de cada gráfica?

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

HOOK POST-EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Responda las preguntas. 1. ¿Cómo puedes determinar la altura máxima del vuelo de un cohete modelo utilizando el vértice de la gráfica de su función cuadrática?

2. Si el salto de un patinador en monopatín se modela con una función cuadrática, ¿cómo puedes encontrar el tiempo que tarda en aterrizar usando las intersecciones con el eje x?

3. Al analizar un puente colgante modelado por una función cuadrática, ¿cómo se puede usar la forma de vértice de la ecuación para encontrar el punto más bajo del cable?

4. ¿Cómo puedes identificar el eje de simetría de la gráfica de una función cuadrática, y por qué es importante para comprender el movimiento de objetos como cohetes o patinadores en patineta?

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

NOMBRE _____________________________________________

ESQUEMA DE ANCLAJE

FECHA ______________________________

ESQUEMA DE ANCLAJE

Gráficas de funciones cuadráticas Intersecciones en x (−1, 0) y (3, 0)

Eje de simetría x=1

Intersección en y (0, −3)

Vértice (1, −4)

Rango: Conjunto de todos los posibles valores de y (salidas) de una función

Dominio: Conjunto de todos los posibles valores de x (entradas) de una función

Las funciones cuadráticas se pueden escribir en tres formas diferentes, dependiendo de la información que tengas sobre la función.

Forma estándard

f(x) = ax2 + bx + c

Fórmula de vertice

Forma factorizada

f(x) = a (x - h)2 + k donde el vértice es (h, k)

f(x) = a (x - r1 ) (x - r2) donde r1 y r2 son las raíces

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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Altura (h(t))

64 96 96 64 0

Tiempo (t)

0 1 2 3

Forma estándar: _________________________________ Fórmula de vértice: ______________________________ Forma factorizada: _______________________________

● ● ●

Escribe la ecuación para este escenario de las siguientes formas:

¿Cuál es la altura máxima que alcanza la roca?

¿Cuál es un rango razonable para este escenario?

Jasper está parado en una saliente rocosa que mira sobre un lago. Lanza una roca directamente hacia arriba con una velocidad de 48 pies por segundo. La roca deja su mano en un punto 64 pies sobre la superficie del lago. La roca viaja hacia arriba y luego cae dentro del lago. El gráfico y la tabla representan la altura sobre el agua, h(t), como una función del tiempo, t, en segundos, luego que Jasper suelta la roca. ¿Cuál es un dominio razonable para este escenario?

Instrucciones ● Recorta la tarjeta de la tarea y pega en tu cuaderno. ● Lee el escenario, analiza el gráfico y la tabla, y luego, completa las tareas. ● Resalta con amarillo los ceros de la función. ● Dibuja una línea para el eje de simetría con rojo. ● Etiqueta con azul el vértice.

Graphs of Quadratic Functions

LIBRO DEL ESTUDIANTE ÁLGEBRA 1 GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

NOMBRE _____________________________________________

FECHA ______________________________

CUADERNO INTERACTIVO

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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STUDENT NOTEBOOK GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS Graphs of Quadratic Functions

NOMBRE _____________________________________________

REVISIÓN EN ESPIRAL

FECHA ______________________________

REVISIÓN EN ESPIRAL

Carrera de automóviles

Las carreras de autos son una competencia de deportes de motor en la que los pilotos compiten en autos. La primera carrera de autos registrada ocurrió en 1867. Muchos de los primeros eventos fueron simplemente pruebas de confiabilidad para demostrar que estas nuevas máquinas eran un medio de transporte adecuado. Pronto se convirtieron en una forma importante para que los fabricantes de autos exhibieran sus autos. En la década de 1930, los fabricantes de autos creaban autos de carreras especializados. Ahora existen numerosas categorías de carreras de autos, cada una con diferentes reglas, regulaciones y especificaciones. Las carreras de auto de serie, las carreras de resistencia, las carreras todoterreno y las carreras de karts se encuentran entre los tipos más populares de carreras de autos. La aerodinámica, las suspensiones, los frenos, los neumáticos y los motores contribuyen significativamente a la capacidad de los conductores de autos para ganar carreras. Gabriel participa en un carrera de carritos de pedales en el que aplica lo que sabe sobre las carreras de carritos de pedales para diseñar un carrito que seguramente se llevará a casa el premio en efectivo.

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

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Graphs of Quadratic Functions LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Esta tabla representa la relación lineal que existe entre el peso del conductor y el peso del carritos de pedales. Escribe una ecuación para representar esta relación.

Peso del conductor

Peso del carrito de pedales

156

153

151

Los planos de diseño de Gabriel requieren una parte representada por (x31)(x6)4, y su primo, Pierce, tiene planos que solo muestra xp. Si Gabriel y Pierce deberían tener los mismos planos, ¿cuál es el valor de p?

STUDENT NOTEBOOK GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

La rapidez de Gabriel mientras va cuesta abajo está representado por la expresión cuadrática 9x2 – 12x + 4. ¿Cuál de las siguientes es una expresión equivalente?

A. B. C. D.

3x 6(x2 – 2x + 1) 3x(3x – 2) (3x – 2)2

El peso total del conductor y su carritos de pedales debe ser menos de 200 libras. Esta relación está representada por la desigualdad x + y < 200. La desigualdad 1 45x + y > 150 Representa el 2 peso total necesario para lograr la velocidad deseada. Representa gráficamente el conjunto de soluciones para que Gabriel pueda diseñar su carritos de pedales respectivamente.

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

CIENCIA DE DATOS

FECHA ______________________________

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Railway Tunnelling: Size and Shape of a Tunnel. En: BrainKart.com, Raghavan G. [en línea]. Disponible en: https://www.brainkart.com/article/Railway-Tunnelling--Size-and-Shape-of-a-Tunnel_4378/ [consulta: 13 de abril de 2022].

Túneles del tren

Graphs of Quadratic Functions

CIENCIA DE DATOS

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GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

Skills Quiz

NOMBRE _____________________________________________

PRUEBA DE HABILIDADES

FECHA ______________________________

Name: ___________________________ Date: ________________

PRUEBA DE HABILIDADES

Gráficas de funciones cuadráticas Para responder las preguntas 1 a 6, utiliza la siguiente información: La altura, en metros, de un proyectil en el aire puede representarse mediante la 2

ecuación ℎ(𝑡𝑡) = − 4. 92𝑡𝑡 + 9. 8𝑡𝑡 + 2, donde t es el tiempo en segundos. Esta tabla representa esta función y es simétrica respecto a 𝑥𝑥 = 1. 1. Completa la tabla y bosqueja una gráfica en la cuadrícula proporcionada.

h(t)

-0.187 0 1

6.9 1.992

2.187

2.324

-1.687

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Skills Quiz

GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

2. ¿Los pares ordenados trazados en la gráfica deberían estar conectados? Justifica tu respuesta.

3. ¿Cuál es la altura inicial del proyectil? ¿Cómo se representa esto en la ecuación? ¿Cómo se representa esto en la gráfica? ¿Cómo se representa esto en la tabla?

4. ¿Cuál es la altura máxima? ¿Dónde se produce? ¿Cómo se representa esto en la gráfica? ¿Cómo se representa esto en la tabla?

5. ¿Cuál es un dominio razonable y un rango razonable para este contexto?

6. La tasa de cambio promedio de esta función representa la velocidad promedio para el intervalo dado. Encuentra la velocidad promedio para los intervalos dados. Luego, responde la pregunta a continuación. a. 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 0. 5 b. 0. 5 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 1

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

Skills Quiz

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

Utiliza la siguiente información para responder las preguntas 7 a 10. Una función cuadrática, 𝑓𝑓(𝑥𝑥), tiene ceros en 2 y −5. 7. Escribe una posible ecuación en forma factorizada para 𝑓𝑓(𝑥𝑥). 8. Escribe una posible ecuación en forma estándar para 𝑓𝑓(𝑥𝑥).

9. Bosqueja una gráfica de esta función en la cuadrícula proporcionada y etiqueta la intersección en x, la intersección en y y el vértice.

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Skills Quiz

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

10.

Identifica las funciones enumeradas a continuación. Las intersecciones en x son __________. La intersección en y es __________. El vértice es __________. ¿En qué intervalo es creciente la función? ¿En qué intervalo es decreciente la función? ¿Cuál es la ecuación para el eje de simetría?

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

VOCABULARIO

CRECIENTE/ DECRECIENTE

INTERVALO POSITIVO / NEGATIVO

MÁXIMO RELATIVO

MÍNIMO RELATIVO

EJE DE SIMETRÍA

COMPORTAMIENTO FINAL

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

VOCABULARIO Intervalo positivo / negativo

Creciente/decreciente

Intervalos positivos son aquellos por encima del eje X y los negativos por debajo del mismo

Una función es creciente si f(b) > f(a) y decreciente si f(b) < f(a) para cualquiera de los dos valores de entrada a y b 3

Mínimo relativo

Máximo relativo

Punto que es más bajo que los puntos a su lado en ambos lados

Punto que es más alto que los puntos a su lado en ambos lados 5

Comportamiento final

Eje de simetría

Tendencia que sigue el gráfico cuando x se acerca al infinito en las direcciones negativa y positiva

Línea que divide una figura en dos partes idénticas que son imágenes especulares entre sí 7

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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STUDENT NOTEBOOK GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

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ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

FACTORES DE POLINOMIOS

MODELO CON FUNCIONES INVESTIGACIONES DE FUNCIONES

En esta unidad aprenderás sobre expresiones cuadráticas y cómo trabajar con ellas de diferentes maneras. Estos son los conceptos principales que explorarás:

CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES

◦ Factorización de trinomios: ◦ Aprenderás a factorizar trinomios usando fichas algebraicas, una forma práctica de entender el proceso. ◦ Practicarás la factorización de trinomios cuando el coeficiente principal (a) es 1 y cuando no lo es. ◦ Reconocerás patrones como la diferencia de cuadrados y los trinomios cuadrado perfecto para ayudarte a factorizar con más facilidad.

◦ Identificación de características clave: ◦ Al factorizar, podrás identificar características importantes de las funciones cuadráticas, como sus ceros (donde la gráfica cruza el eje x).

◦ Completar el cuadrado: ◦ Usarás un modelo de área para completar el cuadrado, lo que te ayudará a visualizar el proceso. ◦ También aprenderás a completar el cuadrado algebraicamente, un método para reescribir expresiones cuadráticas ◦ Completar el cuadrado te ayudará a encontrar características clave de la función, como su valor máximo o mínimo.

Al final de esta unidad, podrás reescribir expresiones cuadráticas en diferentes formas para revelar propiedades importantes y resolver problemas de manera más efectiva.

APLICACIÓN DE PRÁCTICAS MATEMÁTICAS • MP.1 Comprender los problemas y perseverar en resolverlos: Usar fichas de álgebra para entender cómo factorizar trinomios completando el cuadrado. • MP.2 Pensar sobre los números y sus significados: Convertir trinomios de su forma estándar a la forma factorizada y alternar entre distintas representaciones de una función cuadrática. • MP.3 Construir argumentos sólidos y evaluar las ideas de otros: Observar cómo otros estudiantes factorizan usando modelos de área, encontrar errores y dar retroalimentación útil. • MP.4 Modelar situaciones reales con matemáticas: Usar un modelo de área para mostrar la relación entre un polinomio y sus factores. Factorizar el polinomio y usar factores dados para hallar el polinomio.

• MP.6 Ser precisos: Prestar atención a los detalles al encontrar características clave de funciones cuadráticas a partir de una gráfica. Identificar puntos específicos y usarlos para hallar otras características como el eje de simetría y la ecuación en forma de vértice. • MP.7 Encontrar y usar patrones: Descubrir un patrón al completar el cuadrado. Aprender que se debe sumar y restar el mismo valor para completar el cuadrado. • MP.8 Advertir y explicar patrones que se repiten: Ver que los trinomios cuadrado perfecto provienen de multiplicar el mismo binomio por sí mismo. Reconocer que los trinomios de diferencia de cuadrados provienen de multiplicar los mismos binomios con signos opuestos, y usar esto para factorizar rápidamente estos trinomios.

• MP.5 Usar las herramientas adecuadas con criterio: Usar fichas de álgebra para explorar cómo factorizar trinomios. Estas fichas ayudan a todos a comprender cómo factorizar polinomios.

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FACTORES DE POLINOMIOS

CAPTAR INTERÉS: ANTES DE EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Imagina que tu coche se avería de repente y no tienes idea de qué le pasa. Esto es exactamente lo que le pasó a Greg. Llevó su coche a un mecánico, quien tuvo que averiguar el problema examinando cada parte del coche. En esta actividad, aprenderás cómo descomponer problemas complejos, como factorizar polinomios, es similar a cómo un mecánico aborda un problema del coche.

En esta actividad, aprenderás a descomponer polinomios complejos en partes más simples, de forma similar a como un mecánico diagnostica un problema de automóvil examinando sus partes individuales. Verás un video sobre una avería de automóvil, hablarás sobre cómo intervienen las matemáticas y practicarás la factorización de polinomios para resolver problemas del mundo real.

Responda las preguntas. 1. ¿Cuál podría ser el primer paso que da un mecánico al diagnosticar el problema del coche de Greg, y en qué se parece esto a factorizar un polinomio?

2. Si el auto de Greg tiene varios problemas, ¿cómo puede ayudar al mecánico descomponerlos para arreglar el auto? ¿Cómo se relaciona esto con descomponer un polinomio?

3. ¿Qué preguntas harías para entender el proceso de factorizar polinomios, como un mecánico hace preguntas para diagnosticar un problema de un coche?

4. ¿Cómo puede la identificación de partes más pequeñas de un polinomio ayudar a comprender la expresión completa, de forma similar a como un mecánico identifica las partes de un automóvil?

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FACTORES DE POLINOMIOS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FACTORES DE POLINOMIOS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 1: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que estás en la escuela preparando una exposición de arte especial que presenta a un artista que crea impresionantes mosaicos usando baldosas algebraicas. Estos mosaicos son como rompecabezas hechos de piezas más pequeñas. Tu tarea es ensamblar las piezas de acuerdo con reglas específicas y determinar las dimensiones de cada obra. ¡Prepárate para usar tus habilidades matemáticas para ensamblar estas obras de arte! En esta actividad, aprenderás a factorizar trinomios usando fichas algebraicas y modelos de área. Trabajarás en grupos para crear obras de arte al organizar fichas algebraicas en rectángulos. Esto te ayudará a comprender cómo descomponer problemas matemáticos complejos en partes más simples y ver las relaciones entre distintas representaciones matemáticas. También utilizarás modelos de área para encontrar maneras más eficientes de determinar dimensiones.

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FACTORES DE POLINOMIOS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FACTORES DE POLINOMIOS

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 1

FECHA ______________________________

Factors of Polynomials DIARIO DEL ESTUDIANTE Explore 1

Enmarcar la obra de arte Parte I

Usa las tarjetas del documento «Tarjetas de obras de arte» para completar los siguientes pasos. 1. Coloca las fichas de álgebra para formar un mosaico. Las fichas de álgebra deben disponerse en forma de rectángulo. Los cuadrados grandes deben estar en la esquina superior izquierda del rectángulo y los cuadrados pequeños deben estar en la esquina inferior derecha del rectángulo. 2. Usa las fichas de álgebra y el documento «Tapete de factorización de fichas de álgebra» para determinar la disposición correcta de las fichas. Luego, completa la tabla. Obra de arte

Área total en forma estándar

Bosquejo del mosaico ensamblado

Dimensiones en forma factorizada

Respuesta revisada (multiplicar)

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Factors of Polynomials Explore 1 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

FACTORES DE POLINOMIOS

¿Se puede factorizar cada expresión de trinomio cuadrático? En caso afirmativo, explica. Si no, proporciona un ejemplo.

La obra de arte a continuación se cayó de la muestra y faltan dos piezas. El área total fue x2 + x − 2.

¿Cuáles son las dos piezas que faltan? ¿Qué representan?

¿Cuáles son las dimensiones en forma factorizada?

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

Factors of Polynomials

FACTORES DE POLINOMIOS Explore 1

Parte II 1.

El artista pide un marco para una obra de arte con un área de 2x2 + 7x + 6. Según las reglas del artista, sabes dónde colocar los cuadrados grandes y pequeños. Dibuja dónde deben colocarse las fichas de álgebra restantes.

Usa el dibujo para completar el modelo de área a continuación. Escribe las dimensiones en el modelo de área. Verifica tu respuesta con el uso de la multiplicación con el modelo de área en blanco. Área: 2x2 + 7x + 6

Revisa con el uso de la multiplicación.

Busca relaciones para explicar cómo usar el modelo de área. 3.

¿Cuál es la relación entre el término de primer grado, 7x, y los términos de primer grado que escribiste dentro del modelo de área?

¿Cómo se relacionan el término de segundo grado y la constante, 2x2 y 6, con los términos de primer grado que escribiste en el modelo de área? 3

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Factors of Polynomials Explore 1 FACTORES DE POLINOMIOS

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Completa los modelos de área a continuación para determinar las dimensiones de la obra de arte con las áreas dadas. Comprueba tus respuestas con el uso de la multiplicación con los modelos de área en blanco. Área: 4x2 + 8x + 3

Revisa con el uso de la multiplicación.

Área: 2x2 + x – 6

Revisa con el uso de la multiplicación.

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

Factors of Polynomials Explore 1

FACTORES DE POLINOMIOS

Reflexiona 1.

Tomás y Paola factorizaron cada uno la expresión 2x2 + 9x + 10 con el uso de un modelo de área. ¿Qué estudiante está en lo correcto? Explica tu razonamiento. Tomás

Paola

Nyah tiene dificultades para calcular las dimensiones de x2 + 2x − 3 con el uso de fichas de álgebra. Ella ha ordenado las fichas de álgebra, pero no puede hacer un rectángulo.

Muéstrale a Nyah cómo factorizar x2 + 2x − 3 con el uso de un modelo de área.

¿Cómo puede Nyah factorizar la expresión con el uso de las fichas de álgebra?

Describe cuándo las fichas de álgebra o un modelo de área son más útiles para la factorización. 5

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FACTORES DE POLINOMIOS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

FACTORES DE POLINOMIOS

EXPLORAR 1: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Cuál fue la parte más desafiante de usar fichas de álgebra para factorizar trinomios, y cómo la superaste?

2. ¿Cómo te ayudó trabajar en grupo a entender mejor la factorización de trinomios?

3. ¿Qué patrones observaste al disponer las baldosas algebraicas para formar un rectángulo?

4. ¿Cómo puedes usar lo que aprendiste de esta actividad en futuros problemas de matemáticas o situaciones de la vida real?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se relaciona el proceso de ensamblar las piezas de arte usando fichas de álgebra con el mecánico que desarma el auto de Greg en partes más pequeñas para diagnosticar el problema?

2. ¿De qué maneras usar fichas de álgebra para factorizar trinomios te ayuda a comprender la estructura de los polinomios, de manera similar a cómo el mecánico utiliza componentes más pequeños del automóvil para entender su funcionamiento general?

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FACTORES DE POLINOMIOS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

Factors of Polynomials Explore 1 ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

FACTORES DE POLINOMIOS

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 1

Factorización con el uso de modelos Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

FECHA ______________________________

Calcula las dimensiones de una obra de arte con un área de 2x2 − 3x − 5. Muestra tu trabajo con el uso del modelo de área.

Dimensiones:

Factors of Polynomials Explore 1

Factorización con el uso de modelos Boleto de salida Calcula las dimensiones de una obra de arte con un área de 2x2 − 3x − 5. Muestra tu trabajo con el uso del modelo de área.

Dimensiones:

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FACTORES DE POLINOMIOS

398

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FACTORES DE POLINOMIOS Factors of Polynomials

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 1

Part 1

FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Factorizar con representaciones 1.

Fichas cuadradas algebraicas se usan para representar el polinomio siguiente. 2x2 – 7x + 3 Explica qué parte de la representación es correcta y qué parte es incorrecta en cada caso. Caso

Representación

Dimensiones en forma factorizada

Explicación correcta o incorrecta

(x + 1)(x + 3)

(2x + 1)(x + 3)

(2x – 1)(x – 3)

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399

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Factors of Polynomials Part 1 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

FACTORES DE POLINOMIOS

Compara los siguientes polinomios similares. a.

Los dos polinomios solo difieren en términos del signo del término lineal. Factoriza cada uno para completar los modelos de área que aparecen a continuación.

¿Cómo afecta el cambio de signo en el término lineal al modelo de área y a la factorización resultante?

A continuación, considera el caso en el que solo cambia el signo del término constante. x2 + 6x – 8 ¿Cómo afecta esto al modelo de área?

400

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Factors of Polynomials Part 1 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

FACTORES DE POLINOMIOS

Contesta las preguntas del polinomio siguiente. 2x2 – 15x – 38

¿Sería mejor utilizar fichas algebraicas cuadradas o un modelo de área para factorizar? ¿Por qué?

¿Cuál es la forma factorizada de este polinomio? Muestra tu trabajo y comprueba tu respuesta.

Llena las fichas algebraicas cuadradas que faltan para completar los rectángulos y determinar cuál puede utilizarse para representar y factorizar correctamente el polinomio dado. Escribe el polinomio en forma factorizada. 2x2 – 7x – 4

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401

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FACTORES DE POLINOMIOS

402

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FACTORES DE POLINOMIOS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 2: ANTES DE EXPLORAR

Bienvenido a tu nuevo rol como súper detective del álgebra. Has sido reclutado para resolver el caso de la misteriosa familia de los Cuadráticos, un notorio grupo criminal conocido por sus patrones engañosos. Tu misión es descubrir los secretos detrás de sus crímenes polinomiales y detenerlos antes de que conquisten el mundo. Prepárate para sumergirte en el mundo de los misterios algebraicos, donde aprenderás a identificar patrones y predecir las formas factorizadas de estos astutos cuadráticos. En esta actividad, te convertirás en un detective del álgebra, explorando patrones en los factores de polinomios. Aprenderás a factorizar trinomios e identificar productos notables como cuadrados perfectos y diferencias de cuadrados. Trabajando en equipos, resolverás misterios al reconocer patrones y usar estas habilidades para clasificar y factorizar diferentes expresiones cuadráticas.

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FACTORES DE POLINOMIOS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FACTORES DE POLINOMIOS

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR Factors of2Polynomials Explore 2

FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Superdetective Parte I

Tu jefe ha separado las tarjetas telefónicas en 3 grupos como se indica a continuación. Grupo positivo-positivo 1.

Determina el patrón para completar los valores que faltan en las tarjetas telefónicas.

Describe el patrón en el grupo positivo-positivo.

Grupo positivo-negativo 3.

Determina el patrón para completar los valores que faltan en las tarjetas telefónicas.

Describe el patrón en el grupo positivo-negativo.

Grupo negativo–negativo 5.

Determina el patrón para completar los valores que faltan en las tarjetas telefónicas.

Describe el patrón en el grupo negativo-negativo. 1

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405

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Factors of Polynomials Explore 2 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

FACTORES DE POLINOMIOS

a = 1 casa del trinomio ax2 + bx + c 7.

Ahora que has descifrado las tarjetas telefónicas, usa la información que tu jefe compiló a continuación para descifrar y detener a los miembros de la familia del trinomio a = 1. Completa la tabla y responde las preguntas.

Bandido en forma estándar

x2 + 7x + 10

x2 + 1x − 6

x2 − 5x + 4

Objetivo Producto Objetivo Suma

Tarjeta telefónica

Bandido en forma factorizada

(x +

)(x + 5)

(x −

)(x

)

¿Qué término(s) se usa(n) para determinar el objetivo Producto?

¿Qué término(s) se usa(n) para determinar el objetivo Suma?

10. Describe cómo se relacionan la forma estándar y la forma factorizada.

11. ¿Esto funcionará para todas las cuadráticas donde a = 1? ¿Por qué sí o por qué no? ¡Felicidades! Has descubierto un patrón para la familia de trinomios a = 1. ¡Están fuera del negocio y detenidos oficialmente! 2

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

Parte II

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Factors of Polynomials Explore 2

STUDENT NOTEBOOK

FACTORES DE POLINOMIOS

Casa del trinomio cuadrado perfecto ax2 + bx + c

Usa la información que tu jefe compiló a continuación para decodificar y detener a los miembros de la casa del trinomio cuadrado perfecto. Completa la tabla y responde las preguntas.

Bandido en forma estándar

x2 + 10x + 25

x2 + 14x + 49

x2 − 6x + 9

Objetivo Producto Objetivo Suma

Tarjeta telefónica

Bandido en forma factorizada Bandido como un cuadrado perfecto

(x +

)(x + 5)

(x +

)(x +

)

(x + 5)2

¿Cómo se relaciona el nombre trinomio cuadrado perfecto con el patrón de un trinomio cuadrado perfecto factorizado?

¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe mejor el patrón de factorización de un trinomio cuadrado perfecto? ❏ Si la mitad de c al cuadrado es b, entonces la constante en los factores es la mitad de c. ❏ Si la mitad de b es la raíz cuadrada de c, entonces la constante en los factores es la mitad de b. ❏ Si la raíz cuadrada de c es 2 más que b, entonces la constante en los factores es la raíz cuadrada de c.

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407

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Factors of Polynomials

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE Explore 2

FACTORES DE POLINOMIOS

Casa de la diferencia de cuadrados ax2 + bx + c

ax2 − c

Usa la información que tu jefe compiló a continuación para decodificar y detener a los miembros de la casa de la diferencia de cuadrados. Completa la tabla y responde las preguntas.

Bandido en forma estándar

x2 + 0x − 25

x2 − 16

4x2 − 9

Objetivo Producto Objetivo Suma

Tarjeta telefónica

Bandido en forma factorizada

(2x + 3)(

)

¿Cómo se relaciona el nombre diferencia de cuadrados con el patrón de la cuadrática en forma estándar?

¿Se consideraría a2 − b2 una diferencia de cuadrados cuadráticos? ¿Por qué sí o por qué no?

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Factors of Polynomials Explore 2 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

FACTORES DE POLINOMIOS

Parte III 1.

Para detener a los bandidos cuadráticos restantes, pega cada uno de los carteles del documento «Carteles de “Se buscan bandidos cuadráticos”» en la familia correcta en la tabla a continuación.

a = 1, casa de trinomios en forma estándar

Casa de la diferencia de cuadrados

Casa del trinomio cuadrado perfecto

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409

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FACTORES DE POLINOMIOS

Factors of Polynomials Explore 2 GRADE 3 STUDENT NOTEBOOK

ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

Reflexiona 1.

¿Qué patrones notaste? ¿Cómo es esto útil?

Explica por qué los dos valores constantes dentro de los factores de x2 − 10x + 24 deben ser negativos.

¿Cómo decidiste qué expresiones cuadráticas eran trinomios cuadrados perfectos y cuáles eran una diferencia de cuadrados?

¿Cómo puedes comprobar que una cuadrática se ha factorizado correctamente?

Completa las oraciones para describir el proceso de transformar una ecuación o expresión cuadrática de forma estándar a forma factorizada. Para determinar los posibles factores, primero trato de… A continuación, pienso en… Sé que tengo una expresión equivalente en forma factorizada si… Para verificar que la expresión en forma factorizada es equivalente a la expresión original en forma estándar, puedo…

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

FACTORES DE POLINOMIOS

EXPLORAR 2: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué patrones notaste al factorizar los polinomios y cómo te ayudaron a resolver los problemas más fácilmente?

2. ¿Cómo te ayudó trabajar en grupo a comprender las relaciones entre los polinomios y sus factores?

3. ¿Qué estrategias encontraste más efectivas al identificar y utilizar productos notables en esta actividad?

4. ¿Cómo puede la comprensión de la estructura de los polinomios ayudarte a resolver problemas del mundo real o en otras áreas de las matemáticas?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se relaciona el proceso de factorizar un polinomio en la actividad EXPLORAR con el enfoque del mecánico para reparar el coche de Greg en la actividad HOOK?

2. En la actividad EXPLORAR, aprendiste a usar patrones para factorizar cuadráticas. ¿En qué se parece reconocer estos patrones a la manera en que el mecánico identifica problemas específicos en el auto de Greg?

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FACTORES DE POLINOMIOS

412

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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Factors of Polynomials Explore 2 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FACTORES DE POLINOMIOS

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 2

Factorización con el uso de patrones Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

FECHA ______________________________

Para cada cuadrática enumerada en la tabla, coloca una marca de verificación delante de todos los descriptores que correspondan. Factoriza las cuadráticas y escribe tus respuestas en forma factorizada. x2 + 4x − 21

x2 − 8x + 16

9x2 − 25

❏ a=1 ❏ a=1 ❏ a=1 ❏ Trinomio cuadrado ❏ Trinomio cuadrado ❏ Trinomio cuadrado perfecto perfecto perfecto ❏ Diferencia de cuadrados ❏ Diferencia de cuadrados ❏ Diferencia de cuadrados Forma factorizada:

Forma factorizada:

Factors of Polynomials Explore 2

Factorización con el uso de patrones Boleto de salida Para cada cuadrática enumerada en la tabla, coloca una marca de verificación delante de todos los descriptores que correspondan. Factoriza las cuadráticas y escribe tus respuestas en forma factorizada. x2 + 4x − 21

x2 − 8x + 16

9x2 − 25

Forma factorizada:

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Forma factorizada:

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FACTORES DE POLINOMIOS

414

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

FACTORES DE POLINOMIOS Factors of Polynomials

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 2

Part 2

FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Factorizar con patrones 1.

¿Cuál de las siguientes opciones es un trinomio cuadrado perfecto? Factorízalo. A. B.

x2 – 12x + 36 x2 + 8x + 12

C. D.

x2 – 7x + 8 x2 + 2x – 15

¿Qué es cierto sobre el coeficiente b en la forma estándar ax2 + bx + c, si una cuadrática es una diferencia de cuadrados?

¿Cuál de las siguientes opciones es una diferencia de cuadrados? Factorízalo. A. B.

x2 – 10x + 25 9x2 – 4

C. D.

x2 + 64 5x2 – 49

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Factors of Polynomials Part 2

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

FACTORES DE POLINOMIOS

Factoriza los polinomios.

Forma estándar

Forma factorizada

Comprueba la respuesta Espacio de trabajo:

x2 – x – 12

Espacio de trabajo: x2 – 16x + 64

Espacio de trabajo: x2 – 7x + 3

Espacio de trabajo: 16x2 – 9

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

Factors of Polynomials Part 2 FACTORES DE POLINOMIOS

Para los polinomios de la forma x2 + bx + c en la tabla, determina si (x + 3) es un factor.

Polinomio en forma estándar

¿Es (x + 3) un factor?

Forma factorizada

x2 – 9 x2 – 36 x2 + x – 6 x2 + 6x + 9 x2 + 4x – 12 x2 + 3

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FACTORES DE POLINOMIOS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FACTORES DE POLINOMIOS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 3: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que estás ayudando a Miranda, quien está aprendiendo a acolchar con su abuela, Abuela Florencia. Abuela usa matemáticas para crear hermosos diseños de colchas. Comienza con bloques cuadrados, llamando “x” a la longitud del lado y “x²” al área. Miranda quiere hacer una colcha que sea 5 pulgadas más grande que el cuadrado estándar. Usa baldosas algebraicas para ayudar a Miranda a describir su patrón de colcha con expresiones algebraicas. En esta actividad, aprenderás a factorizar polinomios completando el cuadrado usando fichas de álgebra y modelos de área. Explorarás cómo las expresiones algebraicas pueden describir patrones de colchas y descubrirás relaciones entre diferentes representaciones matemáticas. También trabajarás en grupos para resolver problemas y discutir tus hallazgos en clase.

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FACTORES DE POLINOMIOS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FACTORES DE POLINOMIOS Factors of Polynomials

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 3

Explore 3

FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Perfectamente cuadrado Parte I 1.

Escribe una expresión en términos de x, la longitud, para la longitud y el ancho del patrón de bloques cuadrados de Miranda que es 5 pulgadas más largo que el patrón de bloques cuadrados estándar.

Usa los factores lineales para escribir una ecuación en términos de x para el área del patrón de bloques cuadrados que usará Miranda.

Cuando Miranda dibuja su patrón de bloques cuadrados, se ve así. ¿Cuántos rectángulos hay a cada lado del cuadrado grande?

¿Cómo se relaciona este diagrama con las expresiones de longitud y ancho de la pregunta 1?

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Factors of Polynomials Explore 3 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

FACTORES DE POLINOMIOS

Usa las preguntas para completar la tabla al describir cómo se relaciona la ecuación del área con el patrón de bloques cuadrados. El patrón de bloques cuadrados de Miranda se muestra a continuación. Pregunta

+ 10x

+ 25

Describe la porción del área del patrón de bloques cuadrados que representa este término.

Explica por qué se necesitan los tres términos para describir el área de todo el patrón de bloques cuadrados. ¿Cómo se relaciona la ecuación de la pregunta dos de la página anterior con la ecuación A(x) = x2 + 10x + 25?

422

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

Factors of Polynomials Explore 3

FACTORES DE POLINOMIOS

Parte II

Usa las tarjetas de pedidos de colchas del documento «Tarjetas de pedidos de colchas» para completar las tablas y responder las preguntas. 1. Ayuda a Miranda a armar los pedidos de colchas rasgados con el uso de la información de cada pedido. Pega las piezas del pedido en los lugares correctos. Tendrás piezas extra.

Myra pidió una colcha para su hija. Quiere una colcha que tenga cuadrados 4 pulgadas más grande que el cuadrado estándar.

Kofi pidió una colcha para él. Quiere una colcha que tenga cuadrados 3 pulgadas más grande que el cuadrado estándar.

Diagrama

Área

Dimensiones

Pedido

Pedidos de colchas de la abuela Florencia

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Factors of Polynomials Explore 3 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

FACTORES DE POLINOMIOS

Parece que hubo 4 pedidos porque Miranda encontró algunas expresiones parciales para el área. Lee el pedido detenidamente y pega los diagramas en los lugares correctos. Luego, termina la ecuación y escribe la expresión en dos formas para completar la tabla. Pedido 3

Pedido 4

x2 − 10x + ___

x2 + 4x + ___

Diagrama

Área

Dimensiones

424

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

Factors of Polynomials Explore 3 FACTORES DE POLINOMIOS

Miranda organizó algunas de las expresiones utilizadas hasta ahora. Ha alineado cada expresión de área, ax2 + bx + c, con la expresión de dimensión correspondiente, (x + h)2. Expresión de área

x2 + 8x + 16

x2 + 6x + 9

x2 − 10x + 25

Expresión de dimensión

(x + 4)2

(x + 3)2

(x − 5)2

Miranda cree que ha notado un patrón y puede determinar h con el uso del valor de b. ¿Hay un patrón? Si hay un patrón, descríbelo y muestra cómo se puede usar el valor de b para determinar el valor de h.

Miranda cree que hay otro patrón. Ella piensa que el valor de h se puede usar para encontrar el valor de c. ¿Hay un patrón? Si hay un patrón, descríbelo y muestra cómo se puede usar el valor de h para determinar el valor de c.

Miranda comienza a preguntarse si se puede usar b para determinar el valor de c. Describe cómo se puede usar b para determinar el valor de c y da un ejemplo para mostrar cómo se puede usar el valor de b para determinar el valor de c.

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Factors of Polynomials Explore 3 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

FACTORES DE POLINOMIOS

Miranda pensó que podría usar una matriz con los términos algebraicos para mostrar el diagrama de bloques cuadrados porque dibujar tantos cuadrados y rectángulos pequeños es tedioso. ¿La matriz es una representación equivalente? ¿Por qué sí o por qué no?

Ecuación del área

A(x) = x2 + 14x + 49

Ecuación de dimensión

Patrón de bloque cuadrado

Matriz

A(x) = (x + 7)2

Ayuda a Miranda a completar las matrices y las ecuaciones de dimensión en la siguiente tabla.

Ecuación del área

A(x) = x2 + 16x + 64

A(x) = x2 − 8x + 16

−4x

A(x) = x2 − 6x + 9

Matriz

Ecuación de dimensión

A(x) =

A(x) = (x − 4)2

A(x) =

426

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

Factors of Polynomials Explore 3

FACTORES DE POLINOMIOS

Reflexiona 1.

La abuela le dio a Miranda 2 pedidos más. Ella solo le dio la expresión del área. Ayuda a Miranda a decidir si estos van a formar un patrón de bloques cuadrados perfecto y escribe tus respuestas en la tabla. Justifica por qué sí o por qué no. x2 + 20x + 100

x2 + 16x + 8

¿Cuándo no es razonable usar un diagrama para completar el cuadrado? Explica.

¿Cómo puedes usar el valor de b para determinar el valor de c?

¿Cómo se relacionan el polinomio dado y el diagrama? ¿Qué tendría que pasarle al polinomio antes de poder completar el cuadrado con el uso de la ecuación? A(x) = 2x2 + 16x + 32

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FACTORES DE POLINOMIOS

428

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

FACTORES DE POLINOMIOS

EXPLORAR 3: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué te resultó desafiante del uso de baldosas algebraicas y modelos de área para factorizar polinomios? ¿Cómo superaste estos desafíos?

2. ¿Cómo te ayudó trabajar con tu grupo a comprender el proceso de completar el cuadrado?

3. ¿Qué patrones observaste al crear trinomios cuadrados perfectos con baldosas algebraicas? ¿Cómo pueden estos patrones ayudarte en futuros problemas de matemáticas?

4. ¿Cómo se relaciona completar el cuadrado con baldosas algebraicas con la resolución de problemas del mundo real, como diseñar colchas?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se relaciona el proceso de completar el cuadrado usando fichas algebraicas en la actividad EXPLORAR con la manera en que un mecánico descompone un problema de un automóvil en la actividad HOOK?

2. En la actividad EXPLORAR, aprendiste a factorizar polinomios identificando patrones y estructuras. ¿Cómo se puede comparar este enfoque con la estrategia que un mecánico podría usar para diagnosticar y reparar el auto de Greg en la actividad HOOK?

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FACTORES DE POLINOMIOS

430

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FACTORES DE POLINOMIOS

Factors of Polynomials Explore 3 EXPLORAR 3

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

BOLETO DE SALIDA

Introducción: Completar el cuadrado Boleto de salida Completa la tabla al determinar si el polinomio es un cuadrado perfecto. Si es así, factoriza con el uso de una matriz para completar el cuadrado. Polinomio

x2 − 30x + 196

x2 + 42x + 441

Cuadrado perfecto

Sí

¿Por qué sí o por qué no?

En caso afirmativo, factoriza con el uso de una matriz para completar el cuadrado.

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FACTORES DE POLINOMIOS

432

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FACTORES DE POLINOMIOS Factors of Polynomials

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 3

Part 3

FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Completar el cuadro. Introducción 1.

Para determinar el valor que falta para que x2 + 4x + __ sea un trinomio cuadrado perfecto, las fichas algebraicas cuadradas se organizan de la siguiente manera:

¿Qué tiene incorrecto esta representación?

Haz un bosquejo de cómo deberían estar ordenadas las fichas y añade las que faltan.

Escribe el trinomio cuadrado perfecto en ambas formas la estándar y la factorizada.

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Factors of Polynomials Part 3 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

FACTORES DE POLINOMIOS

Contesta las preguntas del trinomio incompleto que aparece abajo. 4x2 + 12x + __

¿Cómo se pueden organizar las fichas algebraicas cuadradas para crear un patrón cuadrado y determinar el valor constante que falta para que sea un trinomio cuadrado perfecto? Bosqueja el patrón.

¿Qué término constante hará que el trinomio sea un cuadrado perfecto?

Escribe el trinomio cuadrado perfecto en ambas formas la estándar y cuadrado perfecto.

Contesta las preguntas del trinomio incompleto que se da a continuación. x2 – __x + 144 a.

Completa la matriz para determinar el coeficiente que falta para que sea un trinomio cuadrado perfecto, luego escribe la forma cuadrada perfecta.

¿Cómo se relaciona el término constante 144 con el coeficiente del término lineal −24 en la forma estándar? 2

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Factors of Polynomials Part 3

STUDENT NOTEBOOK

FACTORES DE POLINOMIOS

Si es así, escríbelo como un cuadrado perfecto

Si no es así, justifica por qué no

Completa la tabla.

Forma estándar

¿Es un trinomio cuadrado perfecto?

x2 – 18x + 81

x2 – 22x + 121

x2 + 8x + 64

x2 + 8x – 16

x2 + 12x + 36

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435

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FACTORES DE POLINOMIOS

436

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FACTORES DE POLINOMIOS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 4: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que estás ayudando a Miranda, a quien le encanta hacer colchas de retazos con su abuela Florencia. Su abuela es muy meticulosa y procura aprovechar cada pedazo de tela. Tu tarea es ayudar a Miranda a crear patrones de bloques que formen cuadrados perfectos usando baldosas algebraicas. Necesitarás averiguar cuántas piezas se utilizan y cuántas sobran, tal como hace Miranda con sus patrones de colchas. En esta actividad, aprenderás a factorizar polinomios completando el cuadrado usando fichas algebraicas y modelos de área. Trabajarás en grupos para ayudar a Miranda con sus patrones de bloques cuadrados, utilizando expresiones algebraicas para describir el proceso. Explorarás diferentes métodos y comprenderás cómo las ecuaciones cuadráticas pueden representarse de forma visual.

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FACTORES DE POLINOMIOS

438

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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Perfectamente cuadrado

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 439

A(x) = x2 + 6x + 9 + 4

A(x) = (x + 3)2 + 4

Ecuación de dimensión

A(x) = x2 + 6x + 13

Subraya el término que representa los cuadrados de tela adicionales.

Ecuación del área

Cantidad de cuadrados de tela adicionales

Diagrama del patrón de bloques cuadrados

Ecuación del área

Bolso de Miranda

Bolso 1

Patrones de bloques cuadrados Bolso 2

Usa las tarjetas del documento «Tarjetas de bolsos de tela» para completar la tabla y ayudar a Miranda.

Parte I

Factors of Polynomials Explore 4 LIBRO DEL ESTUDIANTE ÁLGEBRA 1 FACTORES DE POLINOMIOS

NOMBRE _____________________________________________

FECHA ______________________________

EXPLORAR 4

DIARIO DEL ESTUDIANTE

439

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Miranda mostró que había 4 cuadrados de tela adicionales al subrayar el +4. ¿Cómo se relacionan el +9 y el +4 en la ecuación del área A(x) = x2 + 6x + 9 + 4 con el +13 en la ecuación del área anterior de A(x) = x2 + 6x + 13?

Factors of Polynomials Explore 4

¿Cómo se relaciona la cantidad de cuadrados de tela adicionales con el número después de los paréntesis que se suma o se resta en la ecuación de dimensión?

A(x) = x2 − 18x + 91

Miranda quiere usar matrices para estos patrones que tienen números más grandes. Ayúdala a completar las partes que faltan en la tabla. A(x) = x2 + 24x + 146

A(x) = (x

)2 +

A(x) = (x + 12)2 +

4. Ecuación del área

Matriz

Ecuación de dimensión

9/13/25 6:11 PM

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 440

440

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE FACTORES DE POLINOMIOS

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 441

A(x) = (x + 4)2 − 6 3

STUDENT NOTEBOOK

Ecuación de dimensión

Diagrama del patrón de bloque cuadrado completo

A(x) = x2 + 8x + 16 − 6

A(x) = x2 + 8x + 10 + 6 − 6

Patrones de bloques cuadrados

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Ecuación del área que muestra la cantidad sacada del armario de suministros

6 cuadrados pequeños

¿Cuántos cuadrados pequeños sacará Miranda del armario de suministros?

A(x) = x2 + 8x + 10 6 cuadrados pequeños

Ecuación del área

Diagrama del patrón de bloques cuadrados

Completa la tabla para ayudar a Miranda.

ÁLGEBRA 1

¿Cuántos cuadrados pequeños necesita el patrón de bloques cuadrados?

Parte II

Factors of Polynomials Explore 4 LIBRO DEL ESTUDIANTE FACTORES DE POLINOMIOS

441

9/13/25 6:11 PM

¿Cómo se relaciona la cantidad de cuadrados de tela tomados del armario de suministros con el número después de los paréntesis que se suma o se resta en la ecuación de la dimensión?

Miranda mostró que había 6 cuadrados de tela que necesitaba del armario de suministros al subrayar el −6. En la ecuación del área A(x) = x2 + 8x + 10 + 6 − 6, ¿por qué Miranda sumó 6 y restó 6?

)2 −

Factors of Polynomials Explore 4

A(x) = x2 − 16x + 30

A(x) = x2 + 30x + 200

A(x) = (x

Tenemos ____, entonces tenemos 34 menos de lo que necesitamos.

−8 · ___ = 64

A(x) = (x + 15)2 −

Tenemos 200, entonces tenemos 25 menos de lo que necesitamos.

15 · 15 = 225

Miranda quiere usar arreglos nuevamente para estos patrones que tienen números más grandes. Ayúdala a completar las partes que faltan en la tabla. Ecuación del área

Espacio de trabajo

Matriz

Ecuación de dimensión

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442

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE FACTORES DE POLINOMIOS

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 443

(x + ___)2 − ___

Modelo

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

(x2 + 8x + ___) − ___

(x2 + 8x + ___) + 10 − ___

¿Cómo se relacionan las representaciones?

ÁLGEBRA 1

(x2 + 8x) + 10

x2 + 8x + 10

Representación algebraica

Miranda quiere representar este patrón algebraicamente. Ayúdala a completar las partes que faltan de la tabla.

Factors of Polynomials Explore 4 LIBRO DEL ESTUDIANTE STUDENT NOTEBOOK FACTORES DE POLINOMIOS

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9/13/25 6:11 PM

¿Cómo se relacionan las representaciones?

Factors of Polynomials Explore 4

Modelo

Miranda quiere representar este patrón algebraicamente. Ayúdala a completar las partes que faltan de la tabla. Representación algebraica

2x2 + 12x + 7

(2x2 + 12x) + 7

2(x2 + 6x) + 7

2(x2 + 6x + ___) + 7 − ___

2(x2 + 6x + ___) − ___

2(x + ___)2 − ___

9/13/25 6:11 PM

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 444

444

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SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 445

= = = = =

2(x2 + 2x + _ ) + 7 − _ 2(x2 + 2x + 1) − 2 + 7 2(x2 + 2x + 1) + 5 2(x + 1)2 + 5

= = = =

f(x) =

2(x2 + 2x) + 7

2x2 + 4x + 7

f(x) =

2(x + 1)2 + 6

2(x2 + 2x + 1) + 6

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

2(x2 + 2x + 1) − 1 + 7

2(x2 + 2x + _ ) + 7 − _

2(x2 + 2x) + 7

2x2 + 4x + 7

Dos estudiantes trataban de completar el cuadrado. ¿Quién lo hizo incorrectamente? Explica su error.

Estudiante B

¿Cómo determinas qué número se necesita sumar para completar el cuadrado de x2 + bx? Cuando sumas un número, ¿siempre tienes que restar el mismo número? ¿Por qué sí o por qué no?

ÁLGEBRA 1

Estudiante A

Los pedidos se pueden escribir en forma estándar, x2 + bx + c, o en fórmula de vértice, (x + h)2 + k. Describe cómo se pueden usar c y h para determinar k, la cantidad de bloques que sobrarán.

Reflexiona

Factors of Polynomials Explore 4

LIBRO DEL ESTUDIANTE STUDENT NOTEBOOK FACTORES DE POLINOMIOS

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9/13/25 6:11 PM

FACTORES DE POLINOMIOS

446

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 446

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

FACTORES DE POLINOMIOS

EXPLORAR 4: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué estrategias te resultaron más útiles al usar baldosas algebraicas para completar el cuadrado y por qué?

2. ¿Cómo te ayudó trabajar con tu grupo a comprender mejor el proceso de completar el cuadrado?

3. ¿Qué desafíos enfrentaste al factorizar polinomios y cómo los superaste?

4. ¿Cómo puedes aplicar el concepto de completar el cuadrado para resolver problemas de la vida real u otros temas de matemáticas?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se relaciona el proceso de completar el cuadrado mediante baldosas algebraicas en la actividad EXPLORAR con el mecánico que examina las partes de un automóvil en el escenario HOOK? Considera cómo ambas actividades implican descomponer problemas complejos en partes más simples.

2. En la actividad EXPLORAR, aprendiste a factorizar polinomios completando el cuadrado. ¿Cómo te ayuda este método a comprender los factores de los polinomios mostrados en la actividad HOOK, y cómo puede aplicarse esta comprensión para resolver problemas del mundo real, como diagnosticar problemas con el coche de Greg?

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 447

447

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FACTORES DE POLINOMIOS

448

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FACTORES DE POLINOMIOS

Avanzado: Completar el cuadrado EXPLORAR 4 Boleto de salida

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

BOLETO DE SALIDA

Reescribe cada cuadrática en forma de vértice con el uso de una matriz para completar el cuadrado. x2 − 26x + 180

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x2 + 50x + 500

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FACTORES DE POLINOMIOS

450

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 450

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FACTORES DE POLINOMIOS Factors of Polynomials

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 4

Part 4

FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Completar el cuadro. Avanzado 1.

Explica la conexión entre las representaciones siguientes. y

Reescribe la expresión cuadrática en forma de vértice con una matriz para completar el cuadrado.

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 451

451

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Factors of Polynomials Part 4 FACTORES DE POLINOMIOS

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Reescribe la expresión cuadrática en forma de vértice con una matriz para completar el cuadrado.

La ecuación cuadrática dada en forma estándar está trazada en la gráfica. y = x2 – 8x + 15

¿Cuál es la ubicación del vértice tal y como se muestra en la gráfica?

Utiliza una matriz para completar el cuadrado y transforma la ecuación cuadrática a forma vértice.

El punto de vértice (h, k) de la forma de vértice y = (x – h)2 + k, ¿coincide con el vértice visto en la gráfica?

¿Cuáles son los dos métodos para determinar el vértice de una cuadrática escrita en forma estándar?

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FACTORES DE POLINOMIOS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 5: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que te estás preparando para un gran examen de matemáticas sobre ecuaciones cuadráticas, al igual que Taio y Myra. Han estado usando la tecnología para ayudarles a estudiar, pero ahora necesitan comprender las ecuaciones cuadráticas sin ella. En esta actividad, los ayudarás explorando las diferentes formas de las ecuaciones cuadráticas, identificando características clave y encontrando las maneras más eficientes de resolverlas. En esta actividad, ayudarás a Taio y Myra a comprender las ecuaciones cuadráticas para su examen de matemáticas. Aprenderás a identificar características clave como el vértice, las raíces y los interceptos utilizando diferentes formas de ecuaciones cuadráticas. Al trabajar en grupos, practicarás la resolución de problemas, el reconocimiento de patrones y el uso eficaz de herramientas matemáticas.

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 453

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FACTORES DE POLINOMIOS

454

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FACTORES DE POLINOMIOS Factors of Polynomials

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 5

Explore 5

FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

¿Hay una prueba? Parte I 1.

Taio y Myra comenzaron por graficar f(x) = 2x2 – 3 y g(x) = −(x − 1)2 + 4 en sus calculadoras gráficas. Myra notó que una parábola se abría hacia arriba y otra hacia abajo. Explica a Taio y Myra qué causó esto y da ejemplos para ilustrar su explicación. Incluye cómo sabes a partir de una ecuación si una parábola tiene un máximo o un mínimo.

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 455

455

9/13/25 6:11 PM

Factors of Polynomials Explore 5

FACTORES DE POLINOMIOS

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Luego, Taio graficó m(x) = −(x − 1)2 + 4 y h(x) = −(x + 3)2 + 4 en la misma pantalla y notó que las gráficas eran muy similares. Explícales a Taio y Myra cómo se conectan los valores de la ecuación con la gráfica.

La siguiente ecuación que Taio y Myra revisan es j(x) = (x − 2)(x − 8). Antes de que usen sus calculadoras para ver una gráfica de esta ecuación, ¿qué puntos ya sabes que estarán en la gráfica?

Taio y Myra se dieron cuenta de que podían encontrar rápidamente los vértices o las intersección en x de las funciones m(x), h(x), y j(x). Se preguntaron qué estrategias podrían usar para encontrar este punto a partir de una ecuación en una forma diferente, como k(x) = x2 − 6x + 8.

456

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 456

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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Factors of Polynomials Explore 5 FACTORES DE POLINOMIOS

Parte II

¡Usa las preguntas para ayudarte a organizar las tarjetas del documento «Tarjetas de notas» y ayudar a Taio y Myra a encontrar un patrón para que no suspendan su prueba!

Gráfica A

1. 2.

Encierra con un círculo la intersección en y en la gráfica. Encuentra las tarjetas que muestran esta intersección en y como un par ordenado y en la ecuación escrita en forma estándar. Intersección en y

Forma estándar

¿Cómo muestra la ecuación en forma estándar la intersección en y?

Factoriza la función cuadrática y determina los ceros para completar la tabla. Espacio de trabajo

Forma factorizada

Ceros

¿Cómo se relacionan los factores con los ceros?

¿Cómo se pueden usar los ceros para determinar el valor x del vértice? 3

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457

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Factors of Polynomials Explore 5 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

FACTORES DE POLINOMIOS

7. 8.

Encierra con un círculo el vértice en la gráfica. Encuentra las tarjetas que muestran este vértice y el vértice de la función en una ecuación en fórmula de vértice y adjunta las tarjetas en las columnas correspondientes a continuación.

Fórmula de vértice

Gráfica B

Vértice

Encuentra la tarjeta que muestra el eje de simetría de esta función y adjúntala a continuación. Eje de simetría

10. ¿Cómo se puede usar el vértice para determinar el eje de simetría?

11. Busca la tarjeta que reescribe esta función en forma estándar y adjúntala a continuación. Forma estándar

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SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 458

9/13/25 6:11 PM

Factors of Polynomials Explore 5 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

FACTORES DE POLINOMIOS

12. ¡Ayuda a Taio y Myra a encontrar un patrón para no fallar en la prueba! Encuentra la tarjeta de notas restante con una ecuación en forma estándar y adjúntala a continuación. Forma estándar

13. Completa la tabla al completar el cuadrado y encuentra la tarjeta con la ecuación equivalente escrita en fórmula de vértice. Adjunta la tarjeta apropiada en la columna «Fórmula de vértice» a continuación. Espacio de trabajo

Fórmula de vértice

Compara y contrasta las ecuaciones en forma estándar y fórmula de vértice.

14. Determina el eje de simetría y adjunta la tarjeta correspondiente en la columna «Eje de simetría» para completar la siguiente tabla. Explica cómo se puede usar el vértice para determinar el eje de simetría. Explicación

Eje de simetría

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459

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Factors of Polynomials Explore 5 FACTORES DE POLINOMIOS

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Reflexiona 1.

¿Cómo se relaciona la intersección en y en la gráfica con la ecuación y = ax² + bx + c?

¿Cómo se relaciona el vértice de la gráfica con la ecuación y = (x − h)2 + k?

¿Cómo se relacionan las raíces en la gráfica con la ecuación y = (x − p)(x − q)?

¿Cómo se pueden determinar el vértice, las raíces, la intersección en y y el eje de simetría a partir de una ecuación cuadrática en forma estándar?

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SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 460

9/13/25 6:11 PM

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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FACTORES DE POLINOMIOS

EXPLORAR 5: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué estrategias utilizaste para ayudar a Taio y Myra a comprender las ecuaciones cuadráticas, y cómo funcionaron?

2. ¿Cómo te ayudó trabajar en grupos a aprender sobre las ecuaciones cuadráticas y qué aprendiste de tus compañeros?

3. ¿Qué desafíos encontraste al analizar las funciones cuadráticas y cómo los superaste?

4. ¿Cómo puede la comprensión de la estructura de las ecuaciones cuadráticas ayudarte a resolver problemas del mundo real?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se relaciona el método de descomponer un polinomio complejo en factores más simples en la actividad HOOK con encontrar las raíces de una ecuación cuadrática en la actividad EXPLORAR?

2. En la actividad HOOK, el mecánico de Greg descompone el problema del auto en partes más pequeñas. ¿En qué se parece este enfoque a usar diferentes formas de una ecuación cuadrática para analizar y resolver problemas en la actividad EXPLORAR?

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FACTORES DE POLINOMIOS

462

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

Factors of Polynomials Explore 5 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FACTORES DE POLINOMIOS

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 5

Ecuaciones cuadráticas: características claves Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

FECHA ______________________________

Completa la tabla con el uso de la forma estándar de la ecuación cuadrática para determinar las características claves. Usa las características claves para dibujar la gráfica. Ecuación en forma estándar y = x2 − 2x − 8 Espacio de trabajo:

Espacio de trabajo:

Raíces:

Vértice:

Intersección en y:

Dibuja el gráfico.

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 463

463

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FACTORES DE POLINOMIOS

464

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 464

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9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FACTORES DE POLINOMIOS

Factors of Polynomials Part 5 EXPLORAR 5

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Ecuaciones cuadráticas. Características clave 1.

Responde las preguntas de la ecuación cuadrática en forma estándar de abajo. y = x2 + 2x – 15 a.

¿Cuál es la intersección en y?

¿Se abre la curva hacia arriba o hacia abajo?

Completa el cuadrado para escribir la ecuación en forma de vértice.

¿Dónde está el vértice? ¿Es el vértice un mínimo o un máximo?

Usa el modelo de área para factorizar x2 + 2x – 15. Después, reescribe la ecuación en forma factorizada.

¿Cuáles son las intersecciones en x?

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 465

465

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Factors of Polynomials Part 5 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

FACTORES DE POLINOMIOS

Responde las preguntas de la ecuación cuadrática en forma estándar de abajo. y = −2x2 + 4x – 3 a.

¿Cuál es la intersección en y?

¿Se abre la curva hacia arriba o hacia abajo?

Completa el cuadrado para escribir la ecuación en forma de vértice.

¿Dónde está el vértice? ¿Es el vértice un mínimo o un máximo?

¿Cuál es el eje de simetría?

¿Cuáles son las intersecciones en x?

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ÁLGEBRA 1

FACTORES DE POLINOMIOS

HOOK POST-EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Responda las preguntas. 1. ¿Cómo puedes relacionar el proceso de factorizar un polinomio con los pasos que un mecánico podría seguir para diagnosticar un problema en un automóvil?

2. Al usar fichas de álgebra para factorizar un trinomio, ¿cómo determinas las dimensiones del rectángulo formado por las fichas?

3. ¿Qué patrones puedes identificar en los factores de un polinomio que te ayudan a determinar si es un trinomio cuadrado perfecto o una diferencia de cuadrados?

4. ¿Cómo ayuda completar el cuadrado a transformar una expresión cuadrática en una forma más fácil de analizar o resolver?

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 467

467

9/13/25 6:11 PM

FACTORES DE POLINOMIOS

468

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 468

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

FACTORES DE POLINOMIOS

ESQUEMA DE ANCLAJE

FECHA ______________________________

Factores de polinomios

ESQUEMA DE ANCLAJE

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469

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FACTORES DE POLINOMIOS

470

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9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

FACTORES DE POLINOMIOS

CUADERNO INTERACTIVO Factors of Polynomials

FECHA ______________________________

CUADERNO INTERACTIVO Instrucciones ● Resuelve cada problema, usa el método especificado. ● Recorta el organizador a continuación y pega en tu cuaderno.

Agrupación 2x² + 17x + 21

Agrupación 21x² – 14x + 7

Diferencia de cuadrados 36x² – 81

Diferencia de cuadrados 144x² – 49

Modelo de área 9x² – 6x + 1

Modelo de área x² – 5x – 36

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FACTORES DE POLINOMIOS

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Factors of Polynomials LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

FACTORES DE POLINOMIOS

Instrucciones ● Recorta cada ecuación y empareja con el modelo de fichas algebraicas correspondiente. Luego, pega en el organizador. ● Recorta el organizador y pega en tu cuaderno.

Pega la ecuación aquí.

A. (2x – 1)(x – 4) = 2x² – 9x + 4

B. (2x – 3)(x – 2) = 2x² – 7x + 6

C. (2x + 1)(x – 2) = 2x² – 3x – 2

D. (2x + 3)(x – 2) = 2x² – x – 6

E. (2x + 1)(x + 2) = 2x² + 5x + 2

F. (2x + 1)(x + 4) = 2x² + 9x + 4

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473

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FACTORES DE POLINOMIOS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 475

STUDENT NOTEBOOK

FACTORES DE POLINOMIOS

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9/13/25 6:11 PM

FACTORES DE POLINOMIOS

476

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 477

STUDENT NOTEBOOK

FACTORES DE POLINOMIOS

477

9/13/25 6:11 PM

FACTORES DE POLINOMIOS

478

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 478

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

FACTORES DE POLINOMIOS Factors of Polynomials

REVISIÓN EN ESPIRAL

FECHA ______________________________

REVISIÓN EN ESPIRAL

Competencia de magdalenas El equipo de anuncios matutinos de la escuela organiza una serie en el aula de artes culinarias. Transmiten a estudiantes que participan en un concurso de horneado de magdalenas. En el primer episodio, Jerome, Lia y Sav compiten con el requisito de incorporar un arreglo floral. En el segundo episodio, el ganador de la primera competencia, Jerome, y dos nuevos concursantes, Isaac y Matilde, deben usar un ingrediente misterioso en su producto final. ¡El ingrediente misterioso es una galleta! En el último episodio, Jerome aguanta fuerte y compite contra Luna y Stella. Para este episodio, se debe agrandar algo sobre sus magdalenas, incluida la cantidad de magdalenas. ¡El ganador se elige basándose en las ventas de magdalenas durante el almuerzo! ¡Quien tenga más ventas gana!

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Factors of Polynomials GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

FACTORES DE POLINOMIOS

Jerome está aumentando el tamaño de su receta para poder hacer la mayor cantidad de magdalenas. Si las tazas de harina están representadas por x, ¿cuántas tazas de harina necesita Jerome?

Un gráfico muestra la relación entre el tiempo de horneado y la temperatura. ¿Qué ecuación se representa mejor en este gráfico?

La relación entre el número de magdalenas glaseadas y el total de gramos de azúcar utilizados se muestra en el siguiente gráfico. ¿Qué significa el intercepto en y en términos de este escenario?

Jerome y Luna vendieron magdalenas uno al lado del otro. El primer cliente gastó $27 y le compró 10 magdalenas a Jerome y 6 a Luna. El segundo cliente gastó $26 en total y le compró 8 magdalenas a Jerome y 7 a Luna. ¿Cuánto cobró Jerome por magdalenas?

480

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

FACTORES DE POLINOMIOS

CIENCIA DE DATOS

FECHA ______________________________

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 481

Arrests. En: USA FACTS, USAFacts [en línea]. Disponible en: https://usafacts.org/data/topics/security-safety/crime-and-justice/crime-and-police/arrests/ [consulta: 13 de abril de 2022].

Registros de arrestos

Factors of Polynomials

CIENCIA DE DATOS

481

9/13/25 6:11 PM

FACTORES DE POLINOMIOS

482

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 482

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:11 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

FACTORES DE POLINOMIOS

Skills Quiz

NOMBRE _____________________________________________

PRUEBA DE HABILIDADES

FECHA ______________________________

Name: ___________________________ Date: ________________

PRUEBA DE HABILIDADES

Factores de polinomios Para responder las preguntas 1 a 3, factoriza las funciones de polinomios. Luego, determina el(los) cero(s) o la(s) intersección(es) en x. 1.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 – 10𝑥𝑥 + 16

Los factores son __________. El(los) cero(s) es(son) __________. La(s) intersección(es) en x es(son) __________.

𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥 – 81

Los factores son __________. El(los) cero(s) es(son) __________. La(s) intersección(es) en x es(son) __________.

ℎ(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥

+ 6𝑥𝑥 + 9

Los factores son __________. El(los) cero(s) es(son) __________. La(s) intersección(es) en x es(son) __________.

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 483

483

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Skills Quiz

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

FACTORES DE POLINOMIOS

José utiliza un modelo de área para factorizar la cuadrática 𝑗𝑗(𝑥𝑥). ¿Cuáles son los factores de 𝑗𝑗(𝑥𝑥)? 𝑗𝑗(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥

+ 7𝑥𝑥 – 15

Completa el cuadrado y luego determina el vértice. 𝑘𝑘(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥

+ 6𝑥𝑥 + 5

El vértice es __________. 6.

¿El vértice que encontraste en la pregunta 5 es un valor mínimo o máximo de tu gráfica?

484

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GRADE 3 STUDENT NOTEBOOK Skills Quiz MULTIPLICATION MODELS

ÁLGEBRA 1

FACTORES DE POLINOMIOS

Completa el cuadrado y luego determina el vértice. 𝑚𝑚(𝑥𝑥) =

− 2𝑥𝑥

+ 12𝑥𝑥 – 19

El vértice es __________.

¿El vértice que encontraste en la pregunta 7 es un valor mínimo o máximo de tu gráfica?

Utiliza la siguiente información para responder las preguntas 9 y 10. Un granjero quiere cercar una sección de su propiedad. Dispone de 100 pies de cerca. Esta es la ecuación para el área, A, que cerrará la cerca.

Utiliza la función de completar el cuadrado para escribir la ecuación en fórmula de vértice y escribe el vértice como un par ordenado. Muestra todo el trabajo.

10.

¿El vértice es un máximo o un mínimo? Explica qué significa el par ordenado en el contexto de esta situación.

SS CA Math SN Algebra 1 V3 SPA.indb 485

485

9/13/25 6:11 PM

FACTORES DE POLINOMIOS

486

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ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

FACTORES DE POLINOMIOS

VOCABULARIO

FUNCIÓN

COMPLETAR EL CUADRADO

CERO

FACTORES

VALOR MÍNIMO

VALOR MÁXIMO

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487

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FACTORES DE POLINOMIOS

VOCABULARIO Completar el cuadrado

Función

Proceso utilizado para formar un trinomio cuadrado perfecto con el fin de encontrar la(s) solución(es) al sacar la raíz cuadrada

Relación especial entre valores; cada valor de entrada devuelve exactamente un valor de salida 3

Factores

Cero

Expresiones que se multiplican para obtener un polinomio; factores que aparecen en forma de ax + b y no se pueden factorizar más

Valor de x cuando una expresión es igual a cero; es la coordenada X de la intersección con el eje X del gráfico de la expresión 5

Valor máximo

Valor mínimo

Lugar donde una función alcanza su punto más alto, o vértice, en un gráfico

Lugar donde una función alcanza su punto más bajo, o vértice, en una gráfica 7

488

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

FACTORES DE POLINOMIOS

VOCABULARIO

EJE DE SIMETRÍA

VÉRTICE

INTERSECCIÓN X

INTERSECCIÓN Y

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS

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489

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FACTORES DE POLINOMIOS

VOCABULARIO Vértice

Eje de simetría

Punto mínimo o máximo en una función cuadrática; identificado como (h, k)

Línea que divide una figura en dos partes idénticas que son imágenes especulares entre sí 9

Intersección Y

Intersección X

Punto en el gráfico de una ecuación donde la recta cruza el eje Y

Coordenada X o coordenadas donde un gráfico interseca el eje X, identificado como (x, 0) 11

Diferencia de dos cuadrados

Máximo común divisor

La diferencia de dos cuadrados, como a² – b² factorizados en (a + b)(a – b)

Factor igual más grande de dos o más números 13

490

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FACTORES DE POLINOMIOS

VOCABULARIO

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

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491

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FACTORES DE POLINOMIOS

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

VOCABULARIO Trinomio cuadrado perfecto

Trinomio cuya forma factorizada es el cuadrado de un binomio; toma la forma ax² + bx + c y satisface la condición b² = 4ac 14

492

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ÁLGEBRA 1

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FACTORES DE POLINOMIOS

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A1 ÁLGEBRA

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Libreta del estudiante VOLUMEN 3 DE 4

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Mi nombre:

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MATEMÁTICAS

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Libreta del estudiante VOLUMEN 4 DE 4

12/16/25 1:08 PM

Libreta del estudiante, volumen 4 Álgebra 1

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9/13/25 6:09 PM

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9/13/25 6:09 PM

TABLA DE CONTENIDO ALCANCE 17

TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

RESOLVER CUADRÁTICAS

LA FÓRMULA CUADRÁTICA

166

ESTADÍSTICAS

248

REPRESENTAR DATOS

348

ALCANCE 18

ALCANCE 19

ALCANCE 20

ALCANCE 21

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9/13/25 6:09 PM

ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

MODELO CON FUNCIONES INVESTIGACIONES DE FUNCIONES

En esta unidad, aprenderás sobre las funciones cuadráticas y cómo trabajar con ellas de diferentes maneras. Estos son los conceptos principales que explorarás:

SISTEMAS DE ECUACIONES

CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES

◦ Escritura de ecuaciones cuadráticas: ◦ Aprende a escribir una ecuación cuadrática en forma de vértice cuando conoces el vértice y un punto de la gráfica.

CRECIMIENTO Y DECADENCIA

◦ Practica cambiar ecuaciones de la forma de vértice a la forma estándar y viceversa.

◦ Transformaciones de funciones cuadráticas: ◦ Comprende cómo identificar y describir desplazamientos verticales y horizontales (traslaciones) de la función cuadrática básica observando las gráficas o las ecuaciones. ◦ Aprende a reconocer y describir estiramientos o compresiones verticales y horizontales (dilataciones) y reflexiones de la función cuadrática básica.

◦ Representación gráfica de funciones cuadráticas: ◦ Usa las transformaciones que aprendas para graficar una función cuadrática partiendo de la función cuadrática básica.

Al final de esta lección, podrás manipular y graficar funciones cuadráticas con seguridad, comprendiendo cómo los cambios en la ecuación afectan la forma y la posición de la gráfica.

APLICACIÓN DE PRÁCTICAS MATEMÁTICAS • MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Usarás lo que sabes sobre transformar funciones cuadráticas para crear ecuaciones a partir de gráficas. Resolverás el problema observando la gráfica y comprendiendo cómo ha cambiado la función para escribir la ecuación. • MP.2 Pensar en números e ideas: Crearás funciones cuadráticas a partir de descripciones escritas y usarás estas descripciones para escribir ecuaciones que representen los problemas. • MP.3 Construir argumentos sólidos y evaluar el pensamiento de otros: Explicarás cómo el valor de 'a' en la función y = a(bx)² afecta la gráfica y respaldarás tu explicación usando propiedades de la multiplicación. • MP.4 Usar las matemáticas para modelar situaciones: Crearás ecuaciones cuadráticas que coincidan con gráficas dadas de transformaciones y formarás nuevas funciones comprendiendo cómo las distintas partes de la ecuación cambian la función original.

• MP.6 Ser preciso: Tendrás cuidado al escribir ecuaciones para funciones cuadráticas que han cambiado con respecto a las funciones originales y hallarás con exactitud los valores necesarios usando la gráfica para que coincidan con los cambios. • MP.7 Usar la estructura: Notarás que partes de una función cuadrática muestran diferentes maneras en que ha cambiado con respecto a la función original, y en la función y = (x − h)² + k, las variables 'h' y 'k' muestran los tipos de desplazamientos con respecto a la función original. • MP.8 Observar patrones y razonamiento repetido: Estudiarás funciones cuadráticas y entenderás que las variables 'a' y 'b' en la función y = a(bx)² muestran cambios específicos. La variable 'a' indica un estiramiento, compresión o reflexión vertical, y 'b' indica un estiramiento o compresión horizontal.

• MP.5 Usar las herramientas sabiamente: Utilizarás calculadoras graficadoras para ver cómo cambiar los valores de 'h' y 'k' en la función y = (x − h)² + k afecta la gráfica. 2

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

CAPTAR INTERÉS: ANTES DE EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Imagina que estás viendo a Junior, un snowboardista, descender por una pista de eslalon. Su objetivo es deslizarse por cada puerta sin perder ninguna, o enfrentará una deducción de puntos. Esta actividad te ayudará a entender cómo transformar funciones cuadráticas puede relacionarse con la trayectoria de Junior, asegurando que pase por cada puerta sin problemas.

En esta actividad, aprenderás a transformar funciones cuadráticas relacionándolas con un escenario real de snowboard. Verás un video de un snowboarder que navega entre puertas y explorarás cómo las matemáticas ayudan a planificar su trayectoria. Al desplazar funciones cuadráticas en una gráfica, comprenderás cómo se conectan con el recorrido del snowboarder.

Responda las preguntas. 1. ¿Cómo podría la trayectoria de Junior por la pista de eslalón asemejarse a una función cuadrática?

2. ¿Cuáles son algunas estrategias que Junior podría usar para asegurarse de pasar por cada puerta, de manera similar a como podrías transformar una ecuación cuadrática?

3. Si la trayectoria de Junior está representada por una parábola, ¿qué cambios podrías hacer a la ecuación para ajustar su trayectoria?

4. ¿Cómo puede la comprensión de la forma de vértice de una ecuación cuadrática ayudar a Junior a navegar por las puertas de manera más efectiva?

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TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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ÁLGEBRA 1

TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 1: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que estás en un juego donde ayudas a ardillas terrestres hambrientas a encontrar bellotas. Estas ardillas cavan siguiendo trayectorias con forma de curvas llamadas cuadráticas. Tu trabajo es averiguar el camino correcto para que lleguen a las bellotas bajo tierra. Usarás matemáticas para cambiar estas trayectorias y asegurarte de que las ardillas consigan su tentempié antes de volver a salir a la superficie. En esta actividad, aprenderás a analizar funciones cuadráticas observando ecuaciones, gráficas y tablas. Trabajarás en grupos para identificar cómo cambian o se transforman estas funciones. Usando calculadoras gráficas, explorarás cómo desplazar las gráficas hacia arriba, abajo, a la izquierda o a la derecha afecta su forma y posición, lo que te ayudará a entender cómo resolver problemas del mundo real con las matemáticas.

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TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS Transform Quadratic Functions

EXPLORAR 1

Explore 1

FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Ardilla hambrienta, niveles 1 y 2 Parte I: Ardillas terrestres 1.

La ruta básica está modelada por f(x) = x2. Se te dan tres ecuaciones para elegir. Usa la tecnología para graficar las tres funciones para determinar qué ruta llevará a la ardilla a su bellota.

¿Cómo cambia cada par ordenado al restar 2 de la función de la ruta básica?

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TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

Transform Quadratic Functions Explore 1

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

La ruta básica está modelada por f(x) = x2. Se te dan tres ecuaciones para elegir. Usa la tecnología para graficar las tres funciones para determinar qué ruta llevará a la ardilla a su bellota.

Describe cómo cambia k la función cuando f(x) = x2 se transforma en g(x) = x2 + k. Incluye una explicación para los valores de k positivo y k negativo.

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Transform Quadratic Functions

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK Explore 1 TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

La ruta básica está modelada por f(x) = x2. Se te dan tres ecuaciones para elegir. Usa la tecnología para graficar las tres funciones para determinar qué ruta llevará a la ardilla a su bellota.

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 9

9/13/25 6:09 PM

TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

Transform Quadratic Functions Explore 1 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

La ruta básica está modelada por f(x) = x2. Se te dan tres ecuaciones para elegir al comienzo del nivel 1. Usa la tecnología para graficar las tres funciones que determinen qué ruta llevará a la ardilla a su bellota.

Describe cómo h cambia la función cuando f(x) = x2 se transforma en g(x) = (x − h)2. Incluye una explicación para los valores h positivos y h negativos.

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Transform Quadratic Functions

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Explore 1 STUDENT NOTEBOOK TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

Nivel oculto 1.1 8.

Las rutas para la ardilla A y la ardilla B se describen como transformaciones de la función cuadrática principal, f(x). Describe las transformaciones de la ruta de cada ardilla. Ardilla A

Ardilla B

f(x) − 5

f(x) + 5

Si la bellota está ubicada en una intersección en y de 5, ¿qué ardilla tiene una ruta que alcanzaría la bellota?

10. Explica cómo se compara la intersección en y de la función principal con la intersección en y de la ruta tomada por la ardilla que obtiene la bellota.

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TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

Transform Quadratic Functions Explore 1 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Parte II: Nivel hacia arriba 1.

La ruta básica está modelada por f(x) = x2. Tu ardilla hambrienta solo puede alcanzar la bellota al usar cambios horizontales y verticales. ¿Qué acción debes tomar? A.

Realiza un desplazamiento vertical 3 unidades hacia abajo y un desplazamiento horizontal 2 unidades hacia la izquierda.

Realiza un desplazamiento vertical 4 unidades hacia arriba y un desplazamiento horizontal 3 unidades hacia la derecha.

Realiza un desplazamiento vertical 4 unidades hacia abajo y un desplazamiento horizontal 3 unidades hacia la izquierda.

Tu ardilla necesita una ecuación para la ruta correcta en forma de g(x) = (x – h)2 + k. ¿Qué ecuación debes usar? A.

g(x) = (x + 3)2 − 4

g(x) = (x – 3)2 + 4

g(x) = (x + 3)2 + 4

g(x) = (x – 3)2 − 4

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Transform Quadratic Functions

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Explore 1 STUDENT NOTEBOOK TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

La ruta básica está modelada por f(x) = x2. Tu ardilla hambrienta solo puede alcanzar la bellota al usar cambios horizontales y verticales. ¿Qué acción debes tomar? A.

Realiza un desplazamiento vertical 3 unidades hacia abajo y un desplazamiento horizontal 2 unidades hacia la izquierda.

Realiza un desplazamiento vertical 2 unidades hacia arriba y un desplazamiento horizontal 3 unidades hacia la derecha.

Realiza un desplazamiento vertical 2 unidades hacia abajo y un desplazamiento horizontal 3 unidades hacia la izquierda.

Tu ardilla necesita una ecuación para la ruta correcta en forma de g(x) = (x − h)2 + k. ¿Qué ecuación debes usar? A.

g(x) = (x + 3)2 − 2

g(x) = (x – 3)2 + 2

g(x) = (x + 3)2 + 2

g(x) = (x – 3)2 − 2 7

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Transform Quadratic Functions Explore 1 TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

La ruta está modelada por f(x) = (x + 3)2 − 2. Tu ardilla hambrienta solo puede llegar a la bellota al usar cambios horizontales y verticales. ¿Qué acción debes tomar? A.

Realiza un desplazamiento vertical 2 unidades hacia arriba y un desplazamiento horizontal 2 unidades hacia la izquierda.

Realiza un desplazamiento vertical 2 unidades hacia arriba y un desplazamiento horizontal 2 unidades hacia la derecha.

Realiza un desplazamiento vertical 2 unidades hacia abajo y un desplazamiento horizontal 2 unidades hacia la derecha.

Tu ardilla necesita una ecuación para la ruta correcta en forma de g(x) = (x − h)2 + k. ¿Qué ecuación debes usar? A.

g(x) = (x + 2)2 + 2

g(x) = (x – 2)2 + 2

g(x) = (x + 1)2 + 0

g(x) = (x – 1)2 + 0 8

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

EXPLORAR 1: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué estrategias utilizaste para identificar las transformaciones en las funciones cuadráticas y cómo te ayudaron a resolver el problema?

2. ¿Cómo te ayudó el uso de una calculadora gráfica a comprender las traslaciones y transformaciones de las funciones?

3. ¿Qué patrones notaste al comparar las ecuaciones, las gráficas y las tablas de las funciones cuadráticas?

4. ¿Cómo explicarías el proceso de transformar una función cuadrática a alguien que no está familiarizado con este concepto?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se relaciona el proceso de ajustar la trayectoria de la ardilla en la actividad EXPLORAR con Junior al sortear el recorrido de eslalon en la actividad HOOK? Considera cómo las transformaciones ayudan a alcanzar objetivos específicos en ambos escenarios.

2. En ambas actividades HOOK y EXPLORAR, se te pide mover una trayectoria para acertar al objetivo (la bellota o la compuerta). ¿Cómo ayudan los conceptos de desplazamientos verticales y horizontales en funciones cuadráticas a lograr estos objetivos en cada contexto?

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TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

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9/13/25 6:09 PM

Explore 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 1

Traslaciones de cuadráticas Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

FECHA ______________________________

La intersección en y de la parábola representada por f(x) = x2 − 6x + 2 has the coordinates (0, 2). ¿Cuál de los siguientes puntos se encuentra en la parábola definida por g(x) = f(x + 4)? A. B. C. D. E.

(4, 2) (0, −2) (−3, 0) (−4, 2) (−9, 2)

Transform Quadratic Functions Explore 1

Traslaciones de cuadráticas Boleto de salida La intersección en y de la parábola representada por f(x) = x2 − 6x + 2 has the coordinates (0, 2). ¿Cuál de los siguientes puntos se encuentra en la parábola definida por g(x) = f(x + 4)? A. B. C. D. E.

(4, 2) (0, −2) (−3, 0) (−4, 2) (−9, 2)

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TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

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TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

Transform Quadratic Functions EXPLORAR 1 Part 1

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Traslaciones de cuadráticas Describe las transformaciones a partir de la función original cuadrática. 5.

e(x) = (x + 2)2 + 3

f(x) = (x + 8)2 – 12

c(x) = (x + 7)2

g(x) = (x – 5)2 + 6

d(x) = (x – 6)2

h(x) = (x – 4)2 – 1

a(x) = x2 + 5

b(x) = x2 – 9

3. 4.

Escribe la función, dada la transformación a partir de la función original cuadrática. 9.

Desplazar hacia abajo 7 unidades.

10.

Desplazar hacia la izquierda 9 unidades.

11.

Desplazar 11 unidades hacia la derecha y 8 unidades hacia arriba.

13.

La gráfica de la función q(x) está representada abajo. En el mismo conjunto de ejes, bosqueja la función q(x) + 2.

Grafica las traslaciones como se describe. 12.

La gráfica de la función q(x) está representada abajo. En el mismo conjunto de ejes, bosqueja la función q(x + 2).

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Transform Quadratic Functions Part 1 TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

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Describe el efecto que tiene cada una de las transformaciones de abajo sobre la función f(x) = x2, donde b > 0. 14.

g(x) = f(x – b)

15.

h(x) = f(x) – b

16.

La intersección en y, y el vértice de la parábola representada por f(x) = (x + 3)2 – 12 tienen las coordenadas (0, 3) y (−3, −12) respectivamente. ¿Cuál de los siguientes pares ordenados se encuentra en la parábola definida por g(x) = f(x + 2) – 1? Selecciona todas las que aplican. ❏ ❏ ❏ ❏ ❏ ❏

17.

(−2, 2) (−5, −13) (−1, −13) (2, 2) (−1, 5) (−4, −10)

Las raíces de la parábola representada por f(x) = −(x – 4)2 + 9 tienen las coordenadas (1, 0) y (7, 0). ¿Cuáles de los siguientes pares ordenados son las raíces de la parábola definida por g(x) = f(x – 2)? Selecciona todas las que aplican. ❏ ❏ ❏ ❏ ❏ ❏

(1, 2) (9, 0) (7, 2) (3, 0) (−1, 0) (5, 0)

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Transform Quadratic Functions Part 1

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18.

La función g(x) es una transformación de la función f(x). Describe la transformación y escribe una ecuación para g(x) en términos de f(x).

19.

¿Qué enunciado es cierto sobre las funciones f(x), g(x) y h(x)? Selecciona todas las que aplican. f(x) = (x + 3)2 – 4

❏ ❏ ❏ ❏ ❏ ❏

h(x)

−4

−7

−3

−4

−2

−3

−1

−4

−7

El valor mínimo de g(x) es mayor que el valor máximo de h(x). La intersección en y de f(x) es mayor que la intersección en y de g(x). f(x) y h(x) tienen las mismas raíces. g(x) = h(x) cuando x = −2. Dos funciones tienen un valor mínimo. f(x) y h(x) han sido trasladadas hacia la izquierda y hacia abajo. 3

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Transform Quadratic Functions Part 1

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TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

20.

Makena, Santiago y Hau describían las transformaciones que harían que la ardilla obtuviera la bellota. El maestro dijo que sus respuestas son todas correctas. Explica por qué. Makena

Santiago

Hau

Una traslación de 4 unidades hacia arriba y 3 unidades hacia la derecha daría como resultado que la ardilla alcanzara la bellota.

Una traslación de la función f(x) descrita por f(x – 1) daría como resultado que la ardilla alcanzara la bellota.

Una traslación descrita por f(x – 5) daría como resultado que la ardilla alcanzara la bellota.

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ÁLGEBRA 1

TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 2: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que estás en un mundo donde las ardillas necesitan tu ayuda para recolectar bellotas. Estas no son ardillas cualquiera: ¡son ardillas terrestres y voladoras especiales! Tu misión es guiarlas usando matemáticas. Explorarás cómo diferentes ecuaciones pueden cambiar sus trayectorias, como por arte de magia, para ayudarlas a llegar a sus bellotas. Prepárate para sumergirte en el mundo de las funciones cuadráticas y ver cómo se transforman. En esta actividad, aprenderás sobre funciones cuadráticas al observar ecuaciones, gráficas y tablas. Trabajarás en grupos para averiguar cómo cambian o se transforman estas funciones. Utilizarás calculadoras gráficas para ver cómo distintos números afectan la forma y la posición de la gráfica, lo que te ayudará a resolver problemas y a comprender patrones.

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TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

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ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

Transform Quadratic Functions EXPLORAR 2 Explore 2

FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Ardilla hambrienta, niveles 3 y 4 Parte I: Ardillas terrestres 1.

La ruta básica está modelada por f(x) = x2. Se te dan ecuaciones para elegir. Usa la tecnología para graficar las funciones para determinar qué ruta llevará a la ardilla a su bellota.

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9/13/25 6:09 PM

Transform Quadratic Functions Explore 2 TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

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La ruta básica está modelada por f(x) = x2. Se te dan ecuaciones para elegir. Usa la tecnología para graficar las funciones para determinar qué ruta llevará a la ardilla a su bellota.

Describe cómo cambia a la función cuando f(x) = x2 se transforma en g(x) = ax2. Incluye descripciones para números mayores que 1 y menores que 1.

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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La ruta básica está modelada por f(x) = x2. Se te dan ecuaciones para elegir. Usa la tecnología para graficar las funciones para determinar qué ruta llevará a la ardilla a su bellota.

Describe cómo cambia b la función cuando f(x) = x2 se transforma en g(x) = (bx)2. Explica al usar los cambios horizontales.

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Las ardillas voladoras toman una ruta diferente. En lugar de usar la función y = x2, siguen la ruta de y = −x2. Grafica la nueva ruta a continuación para determinar si la ardilla llegará a la bellota.

Describe cómo un coeficiente negativo cambia la función cuando f(x) = x2 se transforma en g(x) = −x2. 4

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Nivel oculto 3.1 8.

Las rutas para la ardilla A y la ardilla B son transformaciones de la función cuadrática principal, f(x). ¿Qué ardilla tiene una ruta que llegaría a la bellota? Ardilla A

Ardilla B

La función cuadrática, g(x), pasa por los puntos (−2, −8) (0, 0) (2, −8)

h(x) = −0.5x2

Describe la transformación de la función principal para cada ruta.

10. Para llegar al nivel 4, selecciona todas las declaraciones verdaderas. ❏ ❏ ❏ ❏ ❏

Las funciones g(x) y h(x) tienen el mismo valor máximo porque el vértice no se desplaza cuando se dilata con respecto al origen. Para todos los valores de x, g(x) < h(x). Para todos los valores distintos de cero de x, g(x) > h(x). g(x) = h(x) cuando x = 0. La función g(x) tiene 2 raíces y la función h(x) no tiene raíces reales.

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Parte II: Nivel hacia arriba 1.

La ruta básica está modelada por f(x) = x2. Tu ardilla hambrienta solo puede alcanzar la bellota al usar dilataciones y/o reflexiones. ¿Qué acción debes tomar? A.

Realiza una reflexión sobre el eje Y y un estiramiento vertical por un factor de 2.

Realiza una reflexión sobre el eje X y un estiramiento vertical por un factor de 4.

Realiza una reflexión sobre el eje X y un estiramiento vertical por un factor de 6.

Tu ardilla necesita una ecuación para la ruta correcta en forma de g(x) = a · f(x). ¿Qué ecuación debes usar? A. B. C. D.

g(x) = −2 · f(x) g(x) = 4 · f(x) g(x) = −4 · f(x) g(x) = 6 · f(x)

Escribe una ecuación en forma de g(x) = ax2 para representar la trayectoria de la ardilla. 6

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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La ruta básica está modelada por f(x) = 2x2. Tu ardilla hambrienta solo puede alcanzar la bellota al usar dilataciones y/o reflexiones. ¿Qué acción debes tomar? A.

Realiza una reflexión sobre el eje X y una compresión vertical por un factor de 0.25.

Realiza una reflexión sobre el eje Y y una compresión vertical por un factor de 0.5.

Realiza una reflexión sobre el eje X y una compresión vertical por un factor de 1 . 2

Tu ardilla necesita una ecuación para la ruta correcta en forma de g(x) = a · f(x). ¿Qué ecuación debes usar? A. B. C.

g(x) = −0.5 · f(x) g(x) = 0.5 · f(x) g(x) = −0.25 · f(x)

Escribe una ecuación en forma de g(x) = ax2 para representar la trayectoria de la ardilla. 7

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Transform Quadratic Functions Explore 2 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

La ruta básica está modelada por f(x) = −5x2. Tu ardilla hambrienta solo puede alcanzar la bellota al usar dilataciones y/o reflexiones. Describe la transformación.

Tu ardilla necesita una ecuación para la ruta correcta en forma de g(x) = a · f(x). Escribe la ecuación.

Escribe una ecuación en forma de g(x) = ax2 para representar la trayectoria de la ardilla.

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EXPLORAR 2: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Cómo afectó el coeficiente 'a' de la función cuadrática la forma y la dirección de la gráfica? Da ejemplos de tu actividad.

2. ¿Qué estrategias utilizaste para decidir si usar una ardilla voladora o una ardilla terrestre en la actividad? Explica tu proceso de pensamiento.

3. Describe una situación en la que tuviste que utilizar tanto una dilatación como una reflexión para resolver un problema en la actividad. ¿Cómo determinaste las transformaciones correctas?

4. Reflexiona sobre cómo trabajar en grupo te ayudó a comprender las transformaciones de las funciones cuadráticas. ¿Qué aprendiste de tus compañeros?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se relaciona el concepto de transformar funciones cuadráticas en la actividad EXPLORAR con la necesidad del snowboardista de ajustar su trayectoria en el escenario HOOK?

2. En ambas actividades HOOK y EXPLORAR se utilizan transformaciones para lograr un objetivo. ¿Cómo puede ayudar comprender los efectos de los coeficientes en las funciones cuadráticas a crear la trayectoria deseada para que el snowboardista pase por las puertas?

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TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

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Transform Quadratic Functions Explore 2 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

EXPLORAR 2

Dilataciones de cuadráticas Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

FECHA ______________________________

La figura muestra las gráficas de las funciones f(x) = x2 − 10x + 25 y g(x). Los tres puntos indicados tienen coordenadas enteras. Si g(x) = k · f(x), ¿cuál es el valor de k? A. B. C. D.

3 2 −2 −3

Transform Quadratic Functions Explore 2

Dilataciones de cuadráticas Boleto de salida La figura muestra las gráficas de las funciones f(x) = x2 − 10x + 25 y g(x). Los tres puntos indicados tienen coordenadas enteras. Si g(x) = k · f(x), ¿cuál es el valor de k? A. B. C. D.

3 2 −2 −3

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TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

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ÁLGEBRA 1

TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

Transform Quadratic Functions Part 2 EXPLORAR 2

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Dilatar cuadráticas

Describe las transformaciones a partir de la función original cuadrática. 1.

a(x) = 4x2

c(x) = ( 1 x)2

b(x) = −0.2x2

d(x) = (−5x)2

Escribe una función, dada la transformación de la función original cuadrática. 5.

Estirar verticalmente

Comprimir horizontalmente

Comprimir verticalmente

Estirar horizontalmente

10.

La gráfica de la función f(x) = x2 está representada abajo. En el mismo conjunto de ejes, bosqueja una función, m(x), que ha sido estirada verticalmente.

Grafica las traslaciones como se describe. 9.

La gráfica de la función f(x) = x2 está representada abajo. En el mismo conjunto de ejes, bosqueja una función, r(x), que ha sido reflejada sobre el eje x, y se ha estirado horizontalmente.

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Transform Quadratic Functions Part 2

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TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

11.

Cada gráfica muestra la función original cuadrática, f(x) = x2. Etiqueta cada gráfica con la función transformada correcta: g(x) = f(0.2x), g(x) = f(−2x), g(x) = − 1 f(x) o g(x) = 2f(x). 4

g(x) = 12.

g(x) =

¿Qué enunciado sobre la relación entre la gráfica de f(x) = x2 y la gráfica de h(x) = 16x2 es verdadera? Selecciona todas las que apliquen. La gráfica de h es más ancha que la gráfica de f. La gráfica de h es más angosta que la gráfica de f. La gráfica de h es un estiramiento vertical de la función original, pero la misma gráfica podría hacerse con una compresión horizontal, tal como la de la gráfica de g(x) = (4x)2. La gráfica de h tiene 16 unidades más de elevación que la gráfica de f. El vértice de la gráfica de h y el vértice de la gráfica de f son iguales. La gráfica de h se abrirá en la dirección opuesta a la gráfica de f.

❏ ❏ ❏

Cada tabla muestra pares ordenados de una función cuadrática. Si g(x) es una transformación de la función original f(x) = x2, determina el valor de k si g(x) = k · f(x). 13.

g(x)

−1

14.

g(x)

−1

15.

g(x)

−2

−4

−2

−18

0.25

k= 2

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TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 3: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que eres una ardilla en una misión para recolectar bellotas. Necesitas navegar por un bosque usando caminos con forma de parábolas. Tu tarea es averiguar cómo transformar estos caminos para poder recolectar todas las bellotas. Usarás matemáticas para ajustar los caminos y asegurarte de alcanzar tu objetivo de manera eficiente. En esta actividad, trabajarás en grupos para explorar funciones cuadráticas analizando ecuaciones, gráficas y tablas. Aprenderás a identificar transformaciones como traslaciones y reflexiones, y a usar calculadoras gráficas para ver cómo estos cambios afectan la gráfica. Al final, comprenderás cómo modelar situaciones de la vida real con matemáticas.

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TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 40

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

Transform Quadratic EXPLORAR 3 Functions Explore 3

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Ardilla hambrienta, niveles 5 y 6 Parte I: Elige una ardilla 1.

La ruta básica está modelada por f(x) = x2. Se te dan ecuaciones para elegir. Usa la tecnología para graficar las funciones para determinar qué ruta llevará a la ardilla a ambas bellotas. El punto rojo debe pasar a través de una bellota.

Describe las transformaciones de f a g.

Hay otra función, h(x), que usa traslaciones y dará como resultado que la parábola pase por los puntos (0, 5) y (2, 1). Escribe la función y describe las traslaciones. 1

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Transform Quadratic Functions Explore 3 TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

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A partir de la función básica f(x) = x2, escribe una función que se pueda usar para obtener las dos bellotas. El punto rojo debe pasar a través de una bellota. Da la función transformada, g(x), como una función de f(x).

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Parte II: Nivel hacia arriba 1.

La ruta básica está modelada por f(x) = 2(x + 3)2 – 4. Escribe una función que se pueda usar para obtener las dos bellotas. El punto rojo debe pasar a través de una bellota. Da la función transformada, g(x), como una función de f(x).

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9/13/25 6:09 PM

Transform Quadratic Functions Explore 3 TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

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La ruta básica está modelada por f(x) = −(x − 2)2 + 3. Escribe una función que se pueda usar para obtener las dos bellotas. El punto rojo debe pasar a través de una bellota. Da la función transformada, g(x), como una función de f(x).

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9/13/25 6:09 PM

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Transform Quadratic Functions Explore 3 TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

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Reflexiona 1.

Escribe tu propia función cuadrática con un estiramiento vertical, un desplazamiento a la derecha y un desplazamiento hacia abajo de la función principal.

Escribe tu propia función cuadrática que contenga un reflexión sobre el eje X, un desplazamiento hacia la izquierda y un desplazamiento hacia arriba desde la función principal.

Dibuja una gráfica que se refleje sobre el eje X, se desplace hacia la derecha y se desplace hacia arriba desde la función principal.

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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EXPLORAR 3: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué estrategias utilizaste para identificar las transformaciones en las funciones cuadráticas? ¿Cómo te ayudaron estas estrategias?

2. ¿Cómo te ayudó trabajar en grupo a comprender mejor las transformaciones? ¿Qué aprendiste de tus compañeros de clase?

3. ¿Cuál fue la parte más desafiante de analizar las funciones cuadráticas y cómo la superaste?

4. ¿Cómo puedes aplicar lo que aprendiste sobre transformaciones para resolver problemas de la vida real o situaciones fuera de la clase de matemáticas?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se relaciona el proceso de transformar una función cuadrática para hacer que el punto rojo toque ambas bellotas en la actividad EXPLORAR con la tarea de Junior de pasar por cada puerta en el recorrido de eslalon en la actividad Hook? Considera cómo ambos escenarios requieren ajustes precisos para lograr una trayectoria específica.

2. En la actividad EXPLORAR, usaste transformaciones para ajustar la trayectoria de una ardilla. ¿Cómo se pueden aplicar las estrategias que usaste para transformar las funciones cuadráticas para ayudar a Junior a determinar la mejor trayectoria para pasar por las puertas de eslalon en la actividad Hook? Considera la importancia de la ubicación del vértice y la dirección de la parábola.

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TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

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Explore 3

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

EXPLORAR 3

Transformaciones de cuadráticas Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

FECHA ______________________________

Escribe una función que tenga un estiramiento vertical, se refleja sobre el eje X y se desplaza hacia la izquierda.

Transform Quadratic Functions Explore 3

Transformaciones de cuadráticas Boleto de salida Escribe una función que tenga un estiramiento vertical, se refleja sobre el eje X y se desplaza hacia la izquierda.

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 49

9/13/25 6:09 PM

TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:09 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS Transform Quadratic Functions

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 3

Part 3

FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Transformar cuadráticas 1.

Escribe una función que tenga una compresión vertical, refleje sobre el eje X y se desplace hacia arriba a partir de la función original.

Describir las transformaciones de la función original f(x) = x2 a la función g(x) = −3(x +

1 2 ) + 4. 2

La gráfica de una función cuadrática, m, es mostrada en la cuadrícula. ¿Cuál es el valor de r si p(x) = x2 y m(x) = p(x) + r?

La gráfica de una función cuadrática, f, es mostrada en la cuadrícula. ¿Cuáles son los valores de s y r si g(x) = x2 y f(x) = g(x – s) + r?

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Transform Quadratic Functions Part 3 TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

La gráfica de una función cuadrática, f, está mostrada en la cuadrícula. Determina qué transformación tendrá un vértice en (−4, 3). Selecciona todas las que aplican. ❏ ❏ ❏

❏

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

j(x) = −f(x – 3) + 4 k(x) = f(x + 9) + 4 Desplazar la función f hacia la izquierda 2 unidades y hacia abajo 9 unidades. Reflejar la función f sobre el eje X; desplazar 9 unidades hacia la izquierda y 2 unidades hacia arriba.

La gráfica de una función cuadrática f, está mostrada en la cuadrícula. Determina qué transformación tendrá un vértice en (1, −5). Selecciona todas las que aplican. ❏ ❏ ❏

❏ ❏

m(x) = f(x – 3) – 2 n(x) = f(x + 3) – 2 Desplazar la función f hacia la izquierda 3 unidades y hacia arriba 2 unidades. −f(x – 3) – 8 −f(x – 3) – 2

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Transform Quadratic Functions Part 3 LIBRO DEL ESTUDIANTE

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¿Cuál de las siguientes transformaciones daría como resultado una parábola que pasa por los puntos (−1, 2) y (0, 5)? Selecciona todas las que aplican. ❏ ❏ ❏ ❏ ❏

❏

ÁLGEBRA 1

g(x) = −f(x + 3) + 5 h(x) = x2 + 2x + 5 j(x) = −f(x – 1) + 6 k(x) = f(x + 6) + 2 Desplazar la función f hacia la izquierda 5 unidades y hacia arriba 3 unidades. Reflejar la función f sobre el eje X; desplazar 4 unidades hacia la izquierda y 6 unidades hacia arriba.

¿Dan como resultado ambas transformaciones la misma parábola? Explica por qué ambas transformaciones funcionan.

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TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

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ÁLGEBRA 1

TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

HOOK POST-EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Responda las preguntas. 1. ¿Cómo puedes usar la forma de vértice de una ecuación cuadrática para determinar la trayectoria que Junior debe seguir para pasar por cada puerta en la pista de eslalon?

2. Si Junior necesita ajustar su trayectoria para pasar por una puerta ubicada a una mayor elevación, ¿qué transformación debe aplicarse a la función cuadrática que representa su trayectoria?

3. Cuando la trayectoria de Junior necesita ser más estrecha para pasar por puertas muy cercanas entre sí, ¿cómo afecta cambiar el coeficiente 'a' en la ecuación cuadrática a la gráfica de su trayectoria?

4. Si la trayectoria de Junior debe reflejarse respecto del eje x para acercarse a una puerta desde la dirección opuesta, ¿qué cambio debe hacerse a la función cuadrática que representa su trayectoria?

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TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

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Desplazar hacia abajo k unidades.

Desplazar hacia la izquierda k unidades.

Desplazar hacia la derecha k unidades.

f(x) – k

f(x + k)

f(x – k)

TRASLACIONES HORIZONTALES

Función principal

Desplazar hacia arriba k unidades.

Traslaciones

Reflexión sobre el eje Y

Reflexión sobre el eje X

k > 1 extensión vertical, 0 < k < 1 compresión vertical.

kf(x)

Compresión Vertical

Compresión y extensión horizontal

Extensión Vertical

k > 1 compresión horizontal, 0 < k < 1 extensión horizontal.

Reflejar sobre el eje Y.

f(−x)

f(kx)

Reflejar sobre el eje X.

−f(x)

Dilataciones

Transformar funciones cuadráticas

f(x) + k

TRASLACIONES VERTICALES

LIBRO DEL ESTUDIANTE ÁLGEBRA 1 TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

NOMBRE _____________________________________________

FECHA ______________________________

ESQUEMA DE ANCLAJE

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TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

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9/13/25 6:09 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

NOMBRE _____________________________________________

CUADERNO INTERACTIVO Transform Quadratic Functions

FECHA ______________________________

CUADERNO INTERACTIVO Instrucciones ● Recorta el organizador y pega en tu cuaderno. ● Con un lápiz de color, dibuja la función transformada en la misma gráfica que la función original punteada. ● Luego, escribe una descripción de la transformación con las palabras del banco de palabras a continuación. Banco de palabras estiramiento vertical, compresión vertical, estiramiento horizontal, compresión horizontal, reflexión sobre el eje X, reflexión sobre el eje Y, desplazamiento hacia arriba, desplazamiento hacia abajo, desplazamiento hacia la derecha, desplazamiento hacia la izquierda

af(x)

Función

Gráfica

Descripción

Función

Gráfica

Descripción

a>1

0<a<1

af(x)

a<0

a = −4

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Transform Quadratic Functions LIBRO DEL ESTUDIANTE

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

Instrucciones ● Continúe con el proceso de la página anterior.

f(x) + d

Función

Gráfica

Descripción

Función

Gráfica

Descripción

d>0

d<0

f(x – c)

c>0

c<0

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TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

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Transform Quadratic Functions LIBRO DEL ESTUDIANTE

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

Instrucciones ● Continúe con el proceso de la página anterior.

f(bx)

Función

Gráfica

Descripción

Función

Gráfica

Descripción

Función

Gráfica

Descripción

b>1

0<b<1

SECCIÓN DEL DESAFÍO af(x) + d

a= d=3

f(bx – c)

b=3 c=7

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TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 64

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:09 PM

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STUDENT NOTEBOOK TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

9/13/25 6:09 PM

TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:09 PM

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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STUDENT NOTEBOOK TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

9/13/25 6:09 PM

TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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STUDENT NOTEBOOK TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

9/13/25 6:09 PM

TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:09 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

Transform Quadratic Functions

NOMBRE _____________________________________________

REVISIÓN EN ESPIRAL

FECHA ______________________________

REVISIÓN EN ESPIRAL

Teletransportación Un equipo de científicos del planeta Zanga ha teletransportado con éxito una manzana. Vuelve a aparecer con un bocado sacado de él. Durante varios años, estos científicos han tratado de perfeccionar la teletransportación. Su mundo está super poblado. Las ciudades están repletas de escúters, autos voladores y ciudadanos malhumorados, por lo que llevan horas recorrer distancias cortas. Las grandes corporaciones han instado a los científicos a desarrollar la teletransportación porque su postura es que los trabajadores serán más productivos si pueden eliminar el tiempo que les lleva andar en escúter, volar o caminar de casa al trabajo. Los miembros de la comunidad están entusiasmados con la teletransportación. La teletransportación significa más tiempo con sus seres queridos y menos tiempo en tránsito. Según se informa, el presidente de Zanga no puede esperar para visitar a su hija en la universidad, ¡y cree que la teletransportación lo ayudará a hacer eso en su hora de almuerzo! Pero la pregunta es, ¿quién le dio un mordisco a la manzana?

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TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

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Transform Quadratic Functions LIBRO DEL ESTUDIANTE

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Los científicos necesitan ayuda para factorizar este trinomio porque sus calculadoras no funcionan. Un factor de este trinomio podría ser la clave para teletransportar objetos más grandes. Factoriza el siguiente trinomio. 6c2 + 15c – 21

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Al tratar de rastrear a dónde fue la manzana cuando fue teletransportada, se dieron las siguientes tablas de coordenadas. Recta 1

Recta 2

−2

−28

−12

¿Qué sistema de ecuaciones coincide mejor con las tablas? A.

Los científicos solo han teletransportado un objeto dos veces. La distancia que recorrió en total está representada por la desigualdad graficada. Escribe la desigualdad que representa la gráfica.

Ayuda a los científicos a acercarse a la teletransportación masiva simplificando la expresión a una forma equivalente al usar la propiedad distributiva.

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TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

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TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

Skills Quiz

NOMBRE _____________________________________________

PRUEBA DE HABILIDADES

FECHA ______________________________

Name: ___________________________ Date: ________________

PRUEBA DE HABILIDADES

Transformar funciones cuadráticas 1.

Grafica la función ℎ(𝑥𝑥). En la gráfica, etiqueta la(s) intersección(es) en x y el máximo o el mínimo. ℎ(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 – 3)

– 64

Grafica la función 𝑔𝑔(𝑥𝑥). En la gráfica, identifica el vértice. 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 3(2𝑥𝑥 + 7)

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TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

¿Qué función tiene una menor intersección en y? 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 – 3) 𝑓𝑓(𝑥𝑥):

+ 8

¿Qué función tiene un mayor máximo? ℎ(𝑥𝑥) =

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− (7𝑥𝑥 – 1) 𝑗𝑗(𝑥𝑥):

+ 10

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Skills Quiz

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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Dada la gráfica de la función 𝑚𝑚(𝑥𝑥) y la tabla para la función 𝑝𝑝(𝑥𝑥), ¿cuál tiene la menor raíz? 𝑚𝑚(𝑥𝑥):

𝑝𝑝(𝑥𝑥):

p(x)

-4

-3

-1

-2

+ 80𝑡𝑡 + 5 representa la altura de una pelota cuando La función ℎ(𝑡𝑡) = − 16𝑡𝑡 la lanza Henry. Cuando Guillermo lanzó la misma pelota, se registraron los siguientes datos: ● A los 0 segundos, la pelota estaba a una altura de 6.5 pies. ● Después de 1.25 segundos, la pelota estaba a una altura de 31.5 pies. ● Después de 2.6 segundos, la pelota estaba a una altura de 2.24 pies. ¿Cuál pelota fue lanzada inicialmente desde una mayor altura?

Describe las transformaciones de la función cuadrática principal para 𝑓𝑓(𝑥𝑥). 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (− 5𝑥𝑥)

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–4

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TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

Describe las transformaciones de la función cuadrática principal para 𝑔𝑔(𝑥𝑥). 𝑔𝑔(𝑥𝑥) =

− 3(𝑥𝑥 – 1)

+ 10

La función ℎ(𝑥𝑥) está graficada. Describe las transformaciones de la función cuadrática principal para ℎ(𝑥𝑥).

10.

La función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) está graficada. Describe las transformaciones de la función cuadrática principal para 𝑓𝑓(𝑥𝑥).

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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VOCABULARIO

DILATACIÓN VERTICAL

DILATACIÓN HORIZONTAL

TRASLACIÓN HORIZONTAL

TRASLACIÓN VERTICAL

REFLEXIÓN VERTICAL

FÓRMULA DE VÉRTICE

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

TRANSFORMAR FUNCIONES CUADRÁTICAS

VOCABULARIO Dilatación horizontal

Dilatación vertical

Acto de expandirse o contraerse en dirección horizontal

Expansión o contracción en la dirección vertical 3

Traslación vertical

Traslación horizontal

Cambio en la base del gráfico hacia la izquierda o hacia la derecha

Desplazamiento en la base del gráfico hacia arriba o hacia abajo 5

Fórmula de vértice

Reflexión vertical

y = a(x – h)² + k, donde a, h, y k son constantes y a ≠ 0

Reflexión sobre una línea horizontal como el eje X 7

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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RESOLVER CUADRÁTICAS

En esta unidad, aprenderás sobre las ecuaciones cuadráticas y cómo resolverlas mediante diferentes métodos. Las ecuaciones cuadráticas son un tipo de ecuación que puede ayudarte a comprender diversas situaciones del mundo real. Esto es en lo que te enfocarás:

SISTEMAS DE ECUACIONES

◦ Resolver ecuaciones cuadráticas graficando ◦ Aprende a graficar ecuaciones cuadráticas. ◦ Identifica los ceros (soluciones) de la cuadrática encontrando dónde la gráfica cruza el eje x.

◦ Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización ◦ Practica descomponer ecuaciones cuadráticas en partes más simples (factores). ◦ Usa estos factores para encontrar las soluciones de la ecuación.

◦ Resolver ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado ◦ Transforma una ecuación cuadrática en una forma de cuadrado perfecto. ◦ Utiliza este método para encontrar las soluciones de la ecuación.

◦ Resolver problemas con ecuaciones cuadráticas ◦ Aplica tus habilidades para resolver problemas del mundo real usando ecuaciones cuadráticas. ◦ Comprende cómo estas ecuaciones pueden representar distintas situaciones.

◦ Resolver sistemas de ecuaciones ◦ Aprende a resolver un sistema que incluye una ecuación lineal y una ecuación cuadrática. ◦ Usa métodos algebraicos y gráficos para encontrar dónde se intersecan las dos ecuaciones.

Al final de esta lección, podrás usar estos métodos para resolver ecuaciones cuadráticas y aplicarlos a diversos problemas.

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APLICACIÓN DE PRÁCTICAS MATEMÁTICAS • MP.1 Hacer sentido de los problemas y perseverar en resolverlos: Resolverás y graficarás sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas para encontrar dónde se intersectan. Relacionarás tus soluciones con problemas del mundo real y verificarás si tienen sentido. • MP.2 Razonar de forma abstracta y cuantitativa: Resolverás ecuaciones cuadráticas para encontrar respuestas a problemas de la vida real y comprender cómo estas respuestas encajan en la situación. • MP.3 Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros: Explicarás por qué tus soluciones a los problemas son correctas o incorrectas, usando tu conocimiento de cómo resolver ecuaciones cuadráticas. • MP.4 Modelar con las matemáticas: Usarás las matemáticas para representar situaciones del mundo real con sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas y usarás gráficas para encontrar dónde se intersectan, relacionándolo con la situación.

• MP.5 Usar herramientas apropiadas estratégicamente: Utilizarás calculadoras gráficas para encontrar rápidamente puntos de intersección y entender cómo se relacionan con el problema que estás resolviendo. • MP.6 Atender a la precisión: Serás cuidadoso al graficar sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas para encontrar con precisión los puntos de intersección correctos. • MP.7 Buscar y hacer uso de la estructura: Explorarás diferentes maneras de resolver sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas y decidirás qué método es mejor. Verás que graficar suele ser más fácil cuando las ecuaciones son difíciles de factorizar. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en el razonamiento repetido: Notarás patrones en el número de soluciones para ecuaciones cuadráticas en forma de vértice: dos soluciones cuando k < 0, una solución cuando k = 0 y ninguna solución real cuando k > 0.

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RESOLVER CUADRÁTICAS

CAPTAR INTERÉS: ANTES DE EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Imagina que estás en un estanque, observando a Dan lanzar piedras al agua. Cada piedra sigue una trayectoria curva, como un arcoíris, antes de salpicar al caer. Tu tarea es averiguar qué tan lejos viajó la primera piedra. Al resolver ecuaciones cuadráticas, descubrirás los secretos del lanzamiento de Dan y verás cómo las matemáticas cobran vida en este desafío del mundo real.

En esta actividad, aprenderás a resolver ecuaciones cuadráticas explorando un escenario del mundo real en el que Dan arroja piedras a un estanque. Verás un video, analizarás la trayectoria de la piedra y usarás matemáticas para determinar qué tan lejos viaja. Explorarás conceptos como parábolas, coeficientes principales y resolución de ecuaciones.

Responda las preguntas. 1. ¿Qué observas sobre la trayectoria de la piedra que lanza Dan?

2. ¿Cómo podrías usar las matemáticas para determinar la distancia que recorrió la piedra antes de tocar el agua?

3. ¿Por qué crees que la trayectoria de la piedra describe una curva en lugar de una línea recta?

4. ¿Qué información necesitarías para crear una ecuación que modele el lanzamiento de la piedra?

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RESOLVER CUADRÁTICAS

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RESOLVER CUADRÁTICAS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 1: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que eres María, una nueva empleada en una empresa de diseño de piscinas. Tu primera tarea es diseñar una piscina con un área de 24 yardas cuadradas, donde el largo sea 2 yardas mayor que el ancho. Usarás tus habilidades matemáticas para determinar las dimensiones de la piscina resolviendo ecuaciones cuadráticas mediante factorización. ¿Lista para zambullirte? En esta actividad, los estudiantes aprenderán a resolver ecuaciones cuadráticas mediante factorización y usando la regla del producto cero. Trabajarán en grupos para encontrar las dimensiones de una piscina y la terraza que la rodea, asegurándose de que las soluciones sean razonables. También explorarán el modelado matemático, el uso estratégico de herramientas y el reconocimiento de patrones en los cálculos.

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RESOLVER CUADRÁTICAS

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RESOLVER CUADRÁTICAS

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 1 Solve Quadratics Explore 1

FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Factorización en el divertido verano Parte I 1.

Determina una expresión para la longitud y el ancho de la piscina en términos de a y escríbela en el diagrama. Luego, determina una expresión para el área de la piscina en términos de a y completa la tabla.

Ancho

Largo

Área de la piscina

En yardas cuadradas

En términos de a 2.

Escribe una ecuación para el área de la piscina en términos de a.

Reescribe tu ecuación para que esté en forma estándar.

Factoriza la ecuación.

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1 87

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Solve Quadratics Explore 1 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

RESOLVER CUADRÁTICAS

Usa la regla del producto cero que se describe a continuación para responder las siguientes preguntas. Si ab = 0, entonces también a = 0 o b = 0. a.

¿Cómo ilustra esto la regla del producto cero?

Si 3b = 0, ¿cuál es el valor de b? ¿Cómo lo sabes?

Si 3(b + 5) = 0, ¿cuál es el valor de (b + 5)? ¿Cómo lo sabes?

Si a(b + 5) = 0, ¿qué debe ser cierto de a o de (b + 5)?

Si (w + 6)(w − 4) = 0, entonces, ¿qué debe ser cierto de w y cómo lo sabes?

¿Son ambas soluciones un ancho razonable para la piscina? Explica.

¿Cuáles son las dimensiones de la piscina?

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RESOLVER CUADRÁTICAS

Solve Quadratics Explore 1

Parte II 1.

Completa las tablas a continuación y luego responde las preguntas para determinar qué tan ancha debe ser la cubierta de la piscina.

Piscina

Piscina y cubierta en términos de x

Largo

6 + 5x

Ancho

Área

(6 + 5x)(

)

Área en yardas cuadradas de la piscina más la cubierta 2.

¿Cuál es la ecuación para el área de la piscina y la cubierta en términos de x?

Simplifica la ecuación al ponerla en forma estándar.

¿Cuál es la forma factorizada de la ecuación?

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Solve Quadratics Explore 1 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

RESOLVER CUADRÁTICAS

Si 2(5x + 21)(x – 1) = 0, ¿qué debe ser cierto de (5x + 21) o (x – 1)?

Usa la regla del producto cero para resolver 2(5x + 21)(x – 1) = 0. Da las ecuaciones que se usarán para resolver y luego resuelve las ecuaciones.

¿Son estas dos soluciones un ancho razonable para la cubierta de la piscina? Explica.

¿Qué ancho debe tener la cubierta de la piscina?

¿Cuáles son las dimensiones totales de la piscina y la cubierta en yardas?

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Solve Quadratics Explore 1 LIBRO DEL ESTUDIANTE

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

RESOLVER CUADRÁTICAS

Reflexiona 1.

¿Crees que hay algún límite en la cantidad de factores que se pueden usar al aplicar la regla del producto cero?

¿Cuáles serían las soluciones de la ecuación factorizada (x + 2 )(x − 3 ) = 0?

¿Por qué la ecuación 2x(x − 1) + 3(x − 1) = 0 no está en la forma correcta para usar la regla del producto cero? ¿Qué necesitarías hacer para usar la regla del producto cero?

¿Por qué las soluciones de (x + 2)(x − 5) = 7 no son 5 y −2?

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RESOLVER CUADRÁTICAS

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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RESOLVER CUADRÁTICAS

EXPLORAR 1: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué pasos seguiste para factorizar la ecuación cuadrática y cómo te ayudó a encontrar las dimensiones de la piscina?

2. ¿Cómo te ayudó usar la regla del producto nulo a resolver la ecuación cuadrática y por qué es importante que uno de los lados sea cero?

3. ¿Hubo soluciones que no tenían sentido para las dimensiones de la piscina? ¿Cómo determinaste cuál de las soluciones era razonable?

4. ¿Qué herramientas o métodos encontraste más útiles para resolver las ecuaciones cuadráticas y por qué?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se relaciona el proceso de factorizar una ecuación cuadrática para encontrar las dimensiones de la piscina de María con determinar qué tan lejos viaja la piedra de Dan antes de tocar el agua en la actividad Hook?

2. En ambos escenarios, el diseño de la piscina y el lanzamiento de piedras, ¿por qué es importante determinar qué soluciones de las ecuaciones cuadráticas son razonables y cómo ayuda esto a resolver problemas del mundo real?

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Solve Quadratics Explore 1 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

RESOLVER CUADRÁTICAS

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 1

Resolver cuadráticas por factorización Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

FECHA ______________________________

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas por factorización. 1.

x(x + 1) = 2

2x2 + 7x + 5 = 2

Solve Quadratics Explore 1

Resolver cuadráticas por factorización Boleto de salida Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas por factorización. 1.

x(x + 1) = 2

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2x2 + 7x + 5 = 2

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RESOLVER CUADRÁTICAS

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ÁLGEBRA 1

RESOLVER CUADRÁTICAS

Solve Quadratics Part 1 EXPLORAR 1

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Resolver cuadráticas por factorización 1.

Usa la regla del producto cero para encontrar las soluciones de las ecuaciones. a.

(x – 2)(x + 4) = 0

(a + 3)(a – 7) = 0

(x – 4)(x + 1)(x + 2) = 0

(2k + 3)(k – 2) = 0

Riya y Paola resolvían la misma ecuación, pero adoptaron enfoques diferentes. Observa sus primeros pasos y explica cuál es el correcto y por qué. Trabajo de Riya

Trabajo de Paola

x2 + 3x – 4 = −6 (x – 1)(x + 4) = −6

x2 + 3x – 4 = −6 x2 + 3x + 2 = 0 (x + 1)(x + 2) = 0

Resuelve las ecuaciones mediante la factorización. a.

x2 + 6x + 5 = 0

x2 – 3x + 2 = 0

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Solve Quadratics Part 1 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

RESOLVER CUADRÁTICAS

Ayaan construye dos nuevos corrales para animales en el rancho de su padre. Él ha bosquejado los parámetros de los nuevos corrales para gallinas y ovejas. Llena las tablas de abajo para ayudarle a resolver las dimensiones exactas de cada corral.

Gallinas

Ovejas

Longitud en términos de x Ancho en términos de x Área en yardas cuadradas Gallinas

Ovejas

Ecuación del área en términos de x Ecuación en forma estándar Factores de la ecuación Todas las soluciones para la ecuación Solución rasonable Dimensiones del corral 2

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RESOLVER CUADRÁTICAS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 2: ANTES DE EXPLORAR

¡Bienvenidos a la competencia de catapultas de la Escuela Secundaria Hope Mountain! Su clase está dividida en dos equipos, cada uno con un diseño de catapulta único. Lanzarán calabazas usando diferentes longitudes de brazo y usarán ecuaciones cuadráticas para predecir qué tan lejos volarán. El objetivo es ver qué equipo hace la predicción más cercana a la distancia real. ¿Listos para poner a prueba sus habilidades matemáticas y ver sus calabazas surcar los cielos? En esta actividad, aprenderás a resolver ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado. Trabajarás en grupos para predecir qué tan lejos volará una calabaza usando catapultas, aplicar estrategias matemáticas y usar herramientas como calculadoras. También discutirás tus hallazgos y explorarás diferentes métodos para resolver ecuaciones.

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RESOLVER CUADRÁTICAS

100

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ÁLGEBRA 1

RESOLVER CUADRÁTICAS

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 2 Solve Quadratics Explore 2

FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

El gran lanzamiento de calabazas Parte I 1.

Para prepararse para el lanzamiento de calabazas, Alexander y María José discutían cómo resolver ecuaciones cuadráticas con el uso de raíces cuadradas. Alexander estaba bastante seguro de que sabía los 3 pasos necesarios, pero no estaba seguro en qué orden hacer esos pasos. Escribe los 3 pasos en el orden correcto en la tabla para ayudar a Alexander. Los pasos confusos de Alexander son los siguientes: ● Resolver para ambas soluciones. ● Aislar el término con el cuadrado en un lado de la ecuación. ● Saca las raíces cuadradas positivas y negativas de ambos lados. Pasos

1. 2. 3.

Usa los pasos ordenados para mostrar a Alexander y María José cómo resolver la ecuación x2 − 9 = 0. Resuelve x2 − 9 = 0.

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Solve Quadratics Explore 2 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

RESOLVER CUADRÁTICAS

Identifica la ecuación y la distancia medida para cada equipo en el documento «Cuadernos de lanzamiento de calabaza» y escríbela en el espacio proporcionado. Equipo 1

Ecuación: Distancia medida: 4.

Equipo 2

Ecuación: Distancia medida:

En las siguientes tablas, completa los pasos para resolver las ecuaciones del documento «Cuadernos de lanzamiento de calabaza» que representan la distancia que se espera que cada catapulta lance la calabaza. Redondea las respuestas al décimo más cercano si es necesario. Equipo 1

Equipo 2

x≈

¿Son ambas soluciones para el equipo 1 proyecciones razonables? ¿Por qué sí o por qué no?

¿Son ambas soluciones para el equipo 2 proyecciones razonables? ¿Por qué sí o por qué no?

¿Qué tan lejos estaba cada equipo de su proyección? ¿Qué equipo estuvo más cerca de su proyección y ganó esta ronda?

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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RESOLVER CUADRÁTICAS

Solve Quadratics Explore 2

Parte II 1.

Identifica la ecuación para cada equipo en el documento «Cuadernos de lanzamiento de calabazas» y escríbela en el espacio proporcionado. Ecuación:

Equipo 1

María José sugirió que completaran el cuadrado para reescribir la ecuación de cada equipo en fórmula de vértice. Ella piensa que la ecuación será más fácil de resolver si se vuelve a escribir. Equipo 1 Ecuación en fórmula de vértice:

Ecuación:

Equipo 2

Equipo 2 Ecuación en fórmula de vértice:

Usa la fórmula de vértice de cada ecuación para resolver y determinar la distancia esperada a la que cada equipo lanzará su calabaza. Escribe los pasos a resolver en las siguientes tablas. Equipo 1

Equipo 2

¿Son ambas soluciones para cada equipo proyecciones razonables? ¿Por qué sí o por qué no?

¿Qué tan lejos estaba cada equipo de su proyección? ¿Qué equipo estuvo más cerca de su proyección y ganó esta ronda? 3

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Solve Quadratics Explore 2 RESOLVER CUADRÁTICAS

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Reflexiona 1.

Al calcular la solución de una ecuación cuadrática como x2 = 4, ¿cuántas soluciones hay? Explica.

Al resolver una cuadrática de la forma x2 = 0, ¿cuántas soluciones hay? Explica.

Si miras la cuadrática x2 = −4, ¿cuántas soluciones reales puedes encontrar? Explica.

Si tienes una ecuación cuadrática en fórmula de vértice, (x − h)2 + k = 0, ¿qué criterios crees que deben cumplirse para que haya 0, 1 o 2 soluciones

¿Cuál es el vértice de la ecuación y = (x − 3)2 − 4? Establece el valor de y igual a 0 y encuentra las intersecciones en x. Explica por qué estas intersecciones en x tienen sentido dado tu vértice.

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RESOLVER CUADRÁTICAS

EXPLORAR 2: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué dificultades enfrentaste al resolver ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado, y cómo las superaste?

2. ¿Cómo te ayudó usar herramientas como calculadoras o fichas algebraicas a comprender el proceso de completar el cuadrado?

3. ¿Puedes explicar una situación de la vida real en la que resolver una ecuación cuadrática pueda ser útil? ¿Cómo aplicarías lo que aprendiste?

4. ¿Qué patrones o atajos notaste al completar el cuadrado, y cómo podrían ayudarte a resolver problemas similares en el futuro?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo ayuda el proceso de completar el cuadrado en la actividad EXPLORAR a comprender la trayectoria de la piedra en la actividad Hook? Considera cómo ambas situaciones utilizan ecuaciones cuadráticas para modelar escenarios del mundo real.

2. En ambos casos, el lanzamiento de la calabaza y el de la piedra, ¿por qué es importante determinar cuál solución de la ecuación cuadrática es razonable? ¿Cómo se relaciona esto con el contexto físico de cada escenario?

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RESOLVER CUADRÁTICAS

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Solve Quadratics Explore 2 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

RESOLVER CUADRÁTICAS

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 2

Resuelve cuadráticas al completar el cuadrado Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

FECHA ______________________________

Resuelve la siguiente ecuación al completar el cuadrado. 2x2 − 12x − 54 = 0

Solve Quadratics Explore 2

Resuelve cuadráticas al completar el cuadrado Boleto de salida Resuelve la siguiente ecuación al completar el cuadrado. 2x2 − 12x − 54 = 0

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RESOLVER CUADRÁTICAS

108

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

RESOLVER CUADRÁTICAS Solve Quadratics

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 2

Part 2

FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Completar el cuadro para resolver cuadráticas 1.

¿Cómo se obtienen dos soluciones cuando se resuelve la ecuación (x – 4)2 – 25 = 0?

Usa la ecuación y = (x + 2)2 – 9 para responder las siguientes preguntas.

a. b.

¿Cuál es el vértice de esta ecuación cuadrática? ¿Cómo encontrarías las intersecciones en x de la ecuación?

¿Cuáles son las intersecciones en x de la ecuación?

¿Por qué tienen sentido estas intersecciones en x dado tu vértice?

Utiliza la función de completar el cuadrado para resolver las siguientes ecuaciones. a.

x2 + 2x – 8 = 0

x2 – 4x – 12 = 0

x2 – 8x + 12 = 0

(x – p)2 – q = 0

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Solve Quadratics Part 2

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

RESOLVER CUADRÁTICAS

Sora y Jaya dejaron caer cada una, una pluma desde un vacío. Como las plumas eran de distinto tamaño, cayeron a distinta velocidad. Las ecuaciones de la distancia entre cada pluma y el suelo se muestran en la tabla. Calcula cuántos segundos tardó cada pluma en caer. No olvides que el coeficiente principal debe ser igual a 1 antes de completar el cuadrado. Redondea al décimo de segundo más cercano.

Ecuación

Pluma de Sora

Pluma de Jaya

−16x2 – 32x + 400 = 0

−15x2 – 90x + 270 = 0

Fórmula de vértice

Espacio de trabajo

Solución

¿Cómo determinaste cuál de las dos soluciones para cada ecuación representaba el tiempo en que la pluma cayó al suelo?

¿Cuál podría ser la razón por la que una pluma tardó más tiempo en caer que la otra?

110

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

RESOLVER CUADRÁTICAS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 3: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que estás viendo a Santiago y Emma prepararse para una emocionante competencia de resorteras. Desde su edificio de apartamentos, Santiago usa una máquina lanzapelotas para lanzar pelotas de béisbol, mientras que Emma, desde un piso más alto, intenta golpearlas con canicas usando su resortera. Tu tarea es determinar cuándo y con qué frecuencia la canica de Emma golpea la pelota de béisbol al graficar sus trayectorias. En esta actividad, aprenderás a encontrar dónde se cortan una recta y una curva representándolas gráficamente. Trabajarás en grupos para ver si una canica puede golpear una pelota de béisbol verificando cuántas veces se cruzan sus trayectorias. Usarás calculadoras gráficas y aprenderás a resolver estos problemas de forma eficiente.

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 111

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RESOLVER CUADRÁTICAS

112

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 112

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:09 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

RESOLVER CUADRÁTICAS Solve Quadratics

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 3

Explore 3

FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Competencia de resorteras Parte I

Durante las primeras 2 rondas de práctica, la pelota de béisbol seguirá la misma trayectoria, pero Emma cambiará la trayectoria de su canica. 1.

Grafica las ecuaciones para determinar si Emma golpeará la pelota de béisbol y cuántas veces se cruzarán las trayectorias. Trayectoria de la pelota de béisbol

Trayectoria de la canica

h = −t2 + 10t + 20

h = t + 30

¿Emma golpeará la pelota de béisbol?

¿Cuántas veces se cruzarán las trayectorias?

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 113

113

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Solve Quadratics Explore 3

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

RESOLVER CUADRÁTICAS

Grafica las ecuaciones para determinar si Emma golpeará la pelota de béisbol y cuántas veces se cruzarán las trayectorias. Trayectoria de la pelota de béisbol

Trayectoria de la canica

h = −t2 + 10t + 20

h = 2t + 36 5.

¿Emma golpeará la pelota de béisbol?

¿Cuántas veces se cruzarán las trayectorias?

114

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 114

9/13/25 6:09 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

Solve Quadratics Explore 3 RESOLVER CUADRÁTICAS

Grafica las ecuaciones para determinar si Emma golpeará la pelota de béisbol y cuántas veces se cruzarán las trayectorias. Trayectoria de la pelota de béisbol Trayectoria de la canica h = −t2 + 10t + 20

h = 3t + 40

¿Emma golpeará la pelota de béisbol?

¿Cuántas veces se cruzarán las trayectorias?

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 115

115

9/13/25 6:09 PM

Solve Quadratics Explore 3 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

RESOLVER CUADRÁTICAS

Parte II

Usa la función de gráficas de tu calculadora, determina cuántas veces se cruzan las trayectorias y el tiempo de las intersecciones redondeado al entero más cercano. Si no se cruzan, indícalo en lugar de dar una hora. 1.

h = 2t + 55 2.

¿Emma golpeará la pelota de béisbol?

¿Cuántas veces se cruzarán las trayectorias?

Si se intersecan, ¿cuáles son los pares ordenados donde se intersecan?

Si se intersecan, ¿después de cuántos segundos se intersecan sus trayectorias?

116

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 116

9/13/25 6:09 PM

Solve Quadratics Explore 3 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

RESOLVER CUADRÁTICAS

h = 4t + 55 7.

¿Emma golpeará la pelota de béisbol?

¿Cuántas veces se cruzarán las trayectorias?

Si se intersecan, ¿cuáles son los pares ordenados donde se intersecan?

10.

Si se intersecan, ¿después de cuántos segundos se intersecan sus trayectorias?

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117

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Solve Quadratics Explore 3 RESOLVER CUADRÁTICAS

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

11. Grafica las ecuaciones para determinar si Emma golpeará la pelota de béisbol y cuántas veces se cruzarán las trayectorias. Trayectoria de la pelota de béisbol Trayectoria de la canica h = −t2 + 12t + 32

h = 3t + 40 12. ¿Emma golpeará la pelota de béisbol? 13. ¿Cuántas veces se cruzarán las trayectorias? 14. Si se intersecan, ¿cuáles son los pares ordenados donde se intersecan? 15. Si se intersecan, ¿después de cuántos segundos se intersecan sus trayectorias?

118

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 118

9/13/25 6:09 PM

Solve Quadratics Explore 3 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

RESOLVER CUADRÁTICAS

Reflexiona 1.

Al resolver un sistema de ecuaciones con 2 rectas, puede haber 0, 1 o infinitas soluciones. ¿Es igualmente cierto para un sistema cuadrático lineal?

Hay más de una forma de resolver sistemas de ecuaciones. Aquí, los resolvimos gráficamente. ¿De qué otra manera crees que estos sistemas podrían haber sido resueltos?

Todos los sistemas cuadráticos lineales que vimos han tenido soluciones positivas. ¿Este es siempre el caso? ¿Puede haber soluciones negativas? Si es así, dibuja un ejemplo de esto en la siguiente cuadrícula.

Todos los sistemas cuadráticos lineales de dos soluciones en los ejemplos han tenido una solución en cada lado del vértice. ¿Es posible tener 2 soluciones en un lado del vértice? Si es así, dibuja un ejemplo de esto en la siguiente cuadrícula.

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119

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RESOLVER CUADRÁTICAS

120

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:09 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

RESOLVER CUADRÁTICAS

EXPLORAR 3: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Cómo te ayudó usar una calculadora gráfica a encontrar las soluciones del sistema lineal-cuadrático?

2. ¿Qué notaste sobre la forma de las gráficas y cómo se intersectaban?

3. ¿Cómo puedes usar lo que aprendiste sobre graficar para resolver problemas similares en el futuro?

4. ¿Qué estrategias utilizó tu grupo para determinar si la canica de Emma golpearía la pelota de béisbol de Santiago, y qué tan efectivas fueron?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo puede el concepto de una ecuación cuadrática con coeficiente principal negativo, como se observa en el lanzamiento de una piedra de Dan, ayudarte a entender la trayectoria de la pelota de béisbol de Santiago en la competencia de resortera?

2. Tanto en el lanzamiento de piedra como en la competencia de tirachinas, ¿cómo ayuda determinar los puntos de intersección de una recta y una parábola a encontrar la solución a un problema del mundo real?

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RESOLVER CUADRÁTICAS

122

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 122

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:09 PM

Explore 3

ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

RESOLVER CUADRÁTICAS

Resolver sistemas cuadráticos lineales EXPLORAR 3 gráficamente Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Resuelve el sistema cuadrático lineal de ecuaciones mediante la representación gráfica. Sistema cuadrático lineal y = x2 − 2 y = −x Soluciones:

Solve Quadratics Explore 3

Resolver sistemas cuadráticos lineales gráficamente Boleto de salida

Resuelve el sistema cuadrático lineal de ecuaciones mediante la representación gráfica. Sistema cuadrático lineal y = x2 – 2 y = −x Soluciones:

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123

9/13/25 6:09 PM

RESOLVER CUADRÁTICAS

124

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 124

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:09 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

RESOLVER CUADRÁTICAS Solve Quadratics

EXPLORAR 3

Part 3

FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Resolver sistemas lineales cuadráticos gráficamente 1.

Bosqueja los siguientes sistemas lineales cuadráticos y da la cantidad de soluciones para cada sistema. Para los sistemas que tienen al menos una solución, da la coordenada en x de todas las soluciones redondeadas al décimo más cercano. a.

y = x2 + 2x + 4 y = 2x + 10 Cantidad de soluciones: Soluciones de coordenada(s):

y = x2 + 10x + 25 y = 10x + 25 Cantidad de soluciones: Soluciones de coordenada(s):

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 125

125

9/13/25 6:09 PM

Solve Quadratics

RESOLVER CUADRÁTICAS

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK Part 3 ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

y = −x2 + 2x + 2 y = −2x + 8 Cantidad de soluciones: Soluciones de coordenada(s):

y = 2x2 – 8x + 3 y = −3x + 8 Cantidad de soluciones: Soluciones de coordenada(s):

126

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 126

9/13/25 6:09 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

Solve Quadratics Part 3 RESOLVER CUADRÁTICAS

Chloe y Brandon, ambos venden magdalenas para recaudar dinero para su próximo viaje del coro. La tasa de venta de sus magdalenas puede ser representada mediante las siguientes ecuaciones. Chloe: y = −5t2 + 10t + 45 Brandon: y = −8t + 40 a.

Grafica ambas ecuaciones en la cuadrícula de abajo.

¿Cuáles son los tiempos en los que se intersectan estas dos ecuaciones? Redondea tu respuesta al décimo más cercano.

¿En qué tiempo venderán Chloe y Brandon las magdalenas a la misma tasa? Explica tu respuesta.

¿Cuántas magdalenas venderán ambos en ese momento? Redondea tu respuesta al número entero más cercano.

¿Por qué querrías redondear al número entero más cercano en lugar de al décimo más cercano usado para el tiempo?

¿Durante qué período de tiempo venderá Chloe más magdalenas que Brandon?

¿Durante qué período de tiempo venderá Brandon más magdalenas que Chloe? 3

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 127

127

9/13/25 6:09 PM

RESOLVER CUADRÁTICAS

128

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:09 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

RESOLVER CUADRÁTICAS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 4: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que estás en la clase de finanzas de la Sra. Romero, adentrándote en el mundo de las acciones. Tu tarea es averiguar cuándo dos empresas, Sunshine Electric y Rolland’s Power, tendrán el mismo precio de sus acciones. Usando álgebra y herramientas de graficación, resolverás este misterio explorando sus ecuaciones de precio a lo largo del tiempo. ¿Listo para convertirte en detective del mercado de valores? En esta actividad, aprenderás a resolver sistemas de ecuaciones con rectas y curvas usando álgebra. Trabajarás en grupos para determinar cuándo dos acciones tienen el mismo precio y decidir cuál es el mejor método para resolverlos. Utilizarás calculadoras gráficas, discutirás tus hallazgos y practicarás comprobar tus respuestas para mayor precisión.

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 129

129

9/13/25 6:09 PM

RESOLVER CUADRÁTICAS

130

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:09 PM

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 131

¿Cómo podríamos usar la propiedad transitiva para resolver las veces que las dos acciones son iguales?

Usa la propiedad transitiva para escribir el sistema como una ecuación.

Vuelve a escribir la ecuación en forma estándar, factorízala y resuelve para t.

¿Son ambas soluciones respuestas razonables? Explica.

g(t) = 2t + 100 o y = 2t + 100

f(t) = t2 − 27t + 200 o t2 – 27t + 200 = y

La energía de Rolland

Sol eléctrico

Responde las siguientes preguntas para determinar cuándo las acciones de las dos compañías eléctricas tienen el mismo costo por acción.

Parte I

Acciones poderosas

Solve Quadratics Explore 4

LIBRO DEL ESTUDIANTE ÁLGEBRA 1 RESOLVER CUADRÁTICAS

NOMBRE _____________________________________________

FECHA ______________________________

EXPLORAR 4

DIARIO DEL ESTUDIANTE

131

9/13/25 6:09 PM

Parte II

Solve Quadratics Explore 4

Examina las siguientes 2 acciones, calcula el tiempo en que los precios de sus acciones son iguales tanto algebraica como gráficamente, y luego responde las preguntas que siguen. Los brazos cariñosos de la abuela

Representa gráficamente las ecuaciones y encuentra los puntos de intersección.

Jardín maternal ABC

Usa la propiedad transitiva para escribir el sistema como una ecuación.

p = −2t + 100

Reescribe la ecuación en forma estándar y resuelve al completar el cuadrado.

p = t2 − 10t + 91

9/13/25 6:09 PM

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 132

132

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE RESOLVER CUADRÁTICAS

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 133

y = 4x + 17

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

y = 5x2 − 2x + 7

y = 3x

y = x2 − 2x + 6

Mira cada sistema de ecuaciones a continuación y decide qué método de resolución sería más fácil. Explica tu elección.

Explicación

¿Cuál es una situación en la que resolver gráficamente sería mejor?

Gráficamente

¿En qué situación sería mejor resolver algebraicamente?

ÁLGEBRA 1

Algebraicamente

En la parte II, ¿obtuviste las mismas soluciones al usar ambos métodos? ¿Qué método te resultó más fácil?

Reflexiona

Solve Quadratics Explore 4 LIBRO DEL ESTUDIANTE STUDENT NOTEBOOK RESOLVER CUADRÁTICAS

133

9/13/25 6:09 PM

RESOLVER CUADRÁTICAS

134

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 134

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:09 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

RESOLVER CUADRÁTICAS

EXPLORAR 4: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué estrategias utilizaste para resolver los sistemas de ecuaciones y cuál te resultó más efectiva?

2. ¿Cómo ayudó el trabajo en grupo a comprender los métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas?

3. ¿Qué desafíos enfrentaste al elegir el mejor método para resolver las ecuaciones y cómo los superaste?

4. ¿Cómo puedes aplicar lo que aprendiste sobre la resolución de estas ecuaciones a situaciones de la vida real u otras materias?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se relaciona el concepto de encontrar cuándo dos acciones tienen el mismo precio en la actividad EXPLORAR con determinar qué tan lejos viaja la piedra de Dan en la actividad HOOK? Considera el uso de ecuaciones y los métodos aplicados para resolverlas.

2. En ambas actividades, EXPLORAR y HOOK, te encuentras con escenarios en los que no todas las soluciones de una ecuación tienen sentido en el mundo real. ¿Cómo te ayuda entender esto a decidir qué soluciones son razonables en distintos contextos?

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 135

135

9/13/25 6:09 PM

RESOLVER CUADRÁTICAS

136

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 136

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:09 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

Resolver sistemas de ecuaciones lineales y EXPLORAR 4 cuadráticas Boleto de salida BOLETO DE SALIDA RESOLVER CUADRÁTICAS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Resuelve el sistema e indica el método utilizado. Muestra tu trabajo. Algebraicamente

Gráficamente

Soluciones

f(x) = x2 + 4x + 3 g(x) = x + 1

Solve Quadratics Explore 4

Resolver sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas Boleto de salida Resuelve el sistema e indica el método utilizado. Muestra tu trabajo. Algebraicamente

Gráficamente

Soluciones

f(x) = x2 + 4x + 3 g(x) = x + 1

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137

9/13/25 6:09 PM

RESOLVER CUADRÁTICAS

138

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 138

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:09 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

RESOLVER CUADRÁTICAS Solve Quadratics

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 4

Part 4

FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Resolver sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas Resuelve los sistemas lineales cuadráticos algebraicamente. 1.

y = x2 + 6x + 5 y = 2x + 1 a.

Combina el sistema en una ecuación con la propiedad transitiva.

Reescribe esta ecuación en forma estándar, factorízala y resuelve para x.

¿Cuáles son las coordenadas (x, y) de la(s) solución(es)?

f(x) = x2 + 12x + 15 f(x) = 4x + 3 a.

Combina el sistema en una ecuación con la propiedad transitiva.

Reescribe esta ecuación en forma estándar, factorízala y resuelve para x.

¿Cuáles son las coordenadas (x, y) de la(s) solución(es)?

y = x2 – 2x – 10 y = 3x + 14 a.

Combina el sistema en una ecuación con la propiedad transitiva.

Reescribe esta ecuación en forma estándar, factorízala y resuelve para x.

¿Cuáles son las coordenadas (x, y) de la(s) solución(es)?

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 139

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Solve Quadratics Part 4 GRADE 3 STUDENT NOTEBOOK

ÁLGEBRA 1

RESOLVER CUADRÁTICAS

LIBRO DEL ESTUDIANTE

Sebastián trabaja para el departamento forestal y estudia la capacidad de los diferentes campamentos en la zona. Él tiene representaciones de la cantidad de familias que acampan en los distintos campamentos e intenta calcular los días en que tendrán la misma cantidad de familias. Ayuda a Sebastián a resolver los sistemas de ecuaciones que aparecen a continuación y a responder las preguntas. 4.

Campamento Recodo del Río: y = x2 – 3x + 6 Campamento Vista del Valle: y = 2x + 2 a.

Resuelve el sistema de ecuaciones.

¿Tienen sentido las dos soluciones del sistema de ecuaciones? Explica.

¿Cuáles son las coordenadas (x, y) de la(s) solución(es)?

Campamento Pradera Serpenteante: y = −x2 + 4x + 11 Campamento Senderos del Bosque: y = x + 1 a.

Resuelve las ecuaciones con la propiedad transitiva, reescríbela en forma estándar y factorízala.

¿Tienen sentido las dos soluciones del sistema de ecuaciones? Explica.

¿Cuáles son las coordenadas (x, y) de la(s) solución(es)?

140

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 140

9/13/25 6:09 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

RESOLVER CUADRÁTICAS

HOOK POST-EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Responda las preguntas. 1. ¿Cómo puedes determinar las dimensiones de una piscina si el área es de 24 yardas cuadradas y la longitud es 2 yardas mayor que el ancho? Usa factorización y la regla del producto cero para encontrar la solución.

2. Si una ecuación cuadrática modela la trayectoria de una piedra arrojada a un estanque, ¿cómo utilizarías la técnica de completar el cuadrado para encontrar la distancia que recorre la piedra antes de tocar el agua?

3. Al graficar una ecuación lineal y una cuadrática para modelar las trayectorias de una canica y una pelota de béisbol, ¿cómo puedes determinar cuántas veces se intersecan? ¿Qué representa cada intersección en el contexto del problema?

4. Dados dos modelos del precio de una acción, uno cuadrático y otro lineal, ¿cómo puedes determinar los días en que los precios de la acción son iguales mediante métodos algebraicos? ¿Qué te dice esto sobre los precios de la acción a lo largo del tiempo?

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 141

141

9/13/25 6:09 PM

RESOLVER CUADRÁTICAS

142

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 142

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:09 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

RESOLVER CUADRÁTICAS

ESQUEMA DE ANCLAJE

FECHA ______________________________

Resolver cuadráticas

ESQUEMA DE ANCLAJE

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 143

143

9/13/25 6:09 PM

RESOLVER CUADRÁTICAS

144

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 144

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:09 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

RESOLVER CUADRÁTICAS

NOMBRE _____________________________________________

CUADERNO INTERACTIVO Solve Quadratics

FECHA ______________________________

CUADERNO INTERACTIVO Instrucciones ● Recorta el organizador a continuación y pega en tu cuaderno. ● Resuelve la ecuación cuadrática en el centro del organizador, usa cada uno de los métodos. ● Responde la pregunta a continuación. Factorización

Completar el cuadrado

2x2 – 5x – 3 = 0 Graficar

Fórmula cuadrática

¿Cuál fue el método más simple para resolver esta ecuación cuadrática? Explica.

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 145

145

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RESOLVER CUADRÁTICAS

146

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 146

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:09 PM

Solve Quadratics LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

RESOLVER CUADRÁTICAS

Instrucciones ● Recorta las cuatro tarjetas de métodos y las cuatro tarjetas de ecuaciones cuadráticas. ● Pega las tarjetas de métodos en una fila horizontal en tu cuaderno. ● Empareja cada ecuación cuadrática con un método correspondiente y pega bajo la tarjeta del método. ● Resuelve cada ecuación con el método que escogiste. ● Completa la caja de notas, recorta y pega en tu cuaderno.

Métodos Factorización

Completar el cuadrado

Fórmula cuadrática

Graficar

Ecuaciones cuadráticas A.

x2 – 10x + 25 = 0

x2 – 3x – 1 = 0

(x – 2)2 + 2 = 0

x2 – 6x + 2 = 0

Explica qué estrategias usaste al clasificar cada ecuación. A. B. C. D. ¿Hay ecuaciones que moverías a una categoría diferente, luego de resolverlas? Explica.

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 147

147

9/13/25 6:09 PM

RESOLVER CUADRÁTICAS

148

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 148

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:09 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 149

STUDENT NOTEBOOK

RESOLVER CUADRÁTICAS

149

9/13/25 6:09 PM

RESOLVER CUADRÁTICAS

150

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 150

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:09 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 151

STUDENT NOTEBOOK

RESOLVER CUADRÁTICAS

151

9/13/25 6:09 PM

RESOLVER CUADRÁTICAS

152

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 152

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:09 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

RESOLVER CUADRÁTICAS

NOMBRE _____________________________________________

Solve Quadratics REVISIÓN EN ESPIRAL

FECHA ______________________________

REVISIÓN EN ESPIRAL

Huellas misteriosas Sales brevemente a la nieve y vuelves a entrar. Más tarde, cuando vuelves a salir, las huellas que has dejado antes te llevan a una dirección diferente. ¿Qué pasa? ¿Recuerdas mal? ¿o es una broma? Tus hermanos, Alex y Janice, y tu mamá están todo el día en el torneo de jóquey. ¿Por qué alguien borraría tus huellas solo para dejar las suyas propias? Tu perro protector Brutus ni siquiera ladró. Por lo general, detecta cuando alguien se acerca a la puerta y alerta a la casa con un rápido ladrido. Brutus fue entrenado en rescate y recuperación, su olfateo es único. Decides llevar a Brutus por el camino de las huellas para ver a dónde van. Brutus te lleva a una caminata de 2 millas hacia las afueras de la ciudad. Curiosamente, aquí es donde vive tu abuela. Llamas a su puerta. ¡Tiene un pastel de bayas mixtas tibio esperándote!

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Solve Quadratics GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

RESOLVER CUADRÁTICAS

Brutus no te llevó por un camino recto. Más bien, la ruta se puede modelar mediante la gráfica de una función cuadrática que se muestra a continuación. La coordenada (x, 14) representa el vértice. ¿Cuál es el valor de x?

El costo diario, y, para que su papá contrate a un entrenador para trabajar x cantidad de horas para ayudar a Brutus para aprender a rescatar y recuperar, puede modelarse mediante una función lineal. El entrenador cobra $70 por día más $35 por hora. El entrenador certificado trabaja no más de 9 horas por día. Para un día de trabajo, ¿cuál es el rango de la función para esta situación?

Tu abuela usó la solución de esta ecuación para tramar su plan astuto. ¿Cuál es el valor de x?

Las dos ecuaciones lineales a continuación modelan la ruta de un conjunto diferente de huellas que se alejan de la casa. Resuelve el sistema de ecuaciones para encontrar. 3x – 2y = 14 −5x – 4y = −16

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ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

Simple Missile Ballistics, Orbits and Aerodynamics. En: Electropaedia, Woodbank Communications Ltd [en línea]. Disponible en: https://www.mpoweruk.com/ballistics.htm [consulta: 13 de abril de 2022].

Ballistic Flight Information. En: Glenn Research Center, National Aeronautics and Space Administration [en línea]. Disponible en: https://www1.grc.nasa.gov/beginners-guide-to-aeronautics/ballistic-flight-equations/ [consulta: 13 de abril de 2022].

Ingresos versus costos

Solve Quadratics LIBRO DEL ESTUDIANTE RESOLVER CUADRÁTICAS

FECHA ______________________________

CIENCIA DE DATOS

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RESOLVER CUADRÁTICAS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:09 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

RESOLVER CUADRÁTICAS

Skills Quiz

NOMBRE _____________________________________________

PRUEBA DE HABILIDADES

FECHA ______________________________

Name: ___________________________ Date: ________________

PRUEBA DE HABILIDADES

Resolver cuadráticas 1.

Bosqueja la gráfica de la función y luego determina la(s) solución(es). 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥

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+ 3𝑥𝑥 – 10

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Skills Quiz

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

RESOLVER CUADRÁTICAS

Resuelve la siguiente ecuación cuadrática con el uso de factorización. 0 = 𝑥𝑥

+ 2𝑥𝑥 – 15

Resuelve la siguiente ecuación cuadrática con el uso de factorización. 35 = 4𝑥𝑥

+ 2𝑥𝑥 – 15

Resuelve la ecuación cuadrática al completar el cuadrado. 35 = 4𝑥𝑥

– 4𝑥𝑥

Resuelve la ecuación cuadrática al completar el cuadrado. 0 = 𝑥𝑥

– 4𝑥𝑥

¿La solución a la pregunta 4 es la misma que la solución a la pregunta 2? ¿La solución a la pregunta 5 es la misma que la solución a la pregunta 3? ¿Por qué sí o por qué no?

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

GRADE 3 STUDENT NOTEBOOK Skills Quiz MULTIPLICATION MODELS

ÁLGEBRA 1

RESOLVER CUADRÁTICAS

Resuelve el sistema al graficar. 2

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 – 𝑥𝑥 – 12 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 – 12

Resuelve el sistema algebraicamente y luego verifica tu respuesta con el uso de tecnología para graficar o con sustitución. 2

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 + 4 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 – 5

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

RESOLVER CUADRÁTICAS

Skills Quiz

Resuelve el sistema algebraicamente y luego verifica tu respuesta con el uso de tecnología para graficar o con sustitución. 𝑦𝑦 = (𝑥𝑥 – 5)(2𝑥𝑥 + 7) 𝑦𝑦 = − 7𝑥𝑥 – 37

10.

Resuelve el sistema algebraicamente y luego verifica tu respuesta con el uso de tecnología para graficar o con sustitución. 2

𝑦𝑦 = − 3(𝑥𝑥 – 1) + 7 𝑦𝑦 = − 9𝑥𝑥 + 16

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

RESOLVER CUADRÁTICAS

VOCABULARIO

SOLUCIONES COMPLEJAS DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA

SOLUCIÓN REAL

CERO

FACTORES

FORMA ESTÁNDAR (CUADRÁTICA)

COEFICIENTE

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

RESOLVER CUADRÁTICAS

VOCABULARIO Solución real

Soluciones complejas de una ecuación cuadrática

En la forma a + bi; soluciones que ocurren cuando el valor bajo el radical de la fórmula cuadrática es menor que cero

Valor que satisface la ecuación; llamadas raíces, intersecciones x o ceros 3

Factores

Cero

Expresiones que se multiplican para obtener un polinomio; factores que aparecen en forma de ax + b y no se pueden factorizar más

Valor de x cuando una expresión es igual a cero; es la coordenada x de la intersección con el eje X del gráfico de la expresión 5

Coeficiente

Forma estándar (cuadrática)

Número que se coloca directamente antes de una variable que le indica que multiplique ese número por la variable

y = ax² + bx + c o ax² + bx + c = 0, donde a, b, y c son constantes y a ≠ 0 7

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

RESOLVER CUADRÁTICAS

VOCABULARIO

CONSTANTE

PROPIEDAD DEL PRODUCTO CERO

COMPLETAR EL CUADRADO

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

RESOLVER CUADRÁTICAS

VOCABULARIO Propiedad del producto cero

Constante

Propiedad matemática que establece que cuando la multiplicación de dos números da como resultado cero, entonces a, b, o ambos, a y b son cero; si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0 o ambos

Número fijo que está solo en una ecuación o expresión 9

Completar el cuadrado

Proceso utilizado para formar un trinomio cuadrado perfecto con el fin de encontrar la(s) solución(es) al sacar la raíz cuadrada 10

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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STUDENT NOTEBOOK

RESOLVER CUADRÁTICAS

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ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

LA FÓRMULA CUADRÁTICA

En esta unidad, aprenderás a resolver ecuaciones cuadráticas y a aplicarlas a problemas del mundo real, como objetos que se mueven bajo la gravedad. Te centrarás en lo siguiente:

SISTEMAS DE ECUACIONES

CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES

◦ Resolver ecuaciones cuadráticas: ◦ Usar raíces cuadradas para resolver ecuaciones cuadráticas simples.

CRECIMIENTO Y DECADENCIA

◦ Derivar la fórmula cuadrática completando el cuadrado. ◦ Identificar el discriminante para determinar el número de soluciones reales (dos, una o ninguna). ◦ Usar la fórmula cuadrática para resolver ecuaciones. ◦ Elegir el mejor método para resolver diferentes ecuaciones cuadráticas.

◦ Aplicar funciones cuadráticas: ◦ Resolver problemas que involucren objetos que se mueven bajo la fuerza de la gravedad usando ecuaciones cuadráticas.

Al final de esta lección, podrás abordar ecuaciones cuadráticas con confianza y entender sus aplicaciones en situaciones de la vida real.

APLICACIÓN DE PRÁCTICAS MATEMÁTICAS • MP.1 Comprender los problemas y perseverar en resolverlos: Aprenderás a descomponer una función cuadrática para encontrar un punto de partida y planear cómo resolverla. Buscarás partes importantes de la ecuación para elegir la mejor forma de resolverla. • MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Aprenderás a simplificar una situación para encontrar la longitud del lado de un cuadrado. Usarás la fórmula del área para crear una ecuación, resolver para la longitud y verificar si tu respuesta tiene sentido en la situación. • MP.3 Construir argumentos sólidos y evaluar el razonamiento de otros: Explicarás qué métodos usas para resolver ecuaciones cuadráticas y respaldarás tu elección con lo que sabes sobre esos métodos. • MP.4 Usar las matemáticas para modelar situaciones del mundo real: Usarás ecuaciones cuadráticas para representar las áreas de distintos patrones de cuadrados. Resolverás estas ecuaciones para encontrar longitudes de lado para áreas dadas y comprobarás si tus soluciones tienen sentido en la situación

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• MP.5 Usar herramientas apropiadas de manera estratégica: Usarás papel y lápiz para resolver ecuaciones cuadráticas, lo que te ayudará a determinar qué estrategias funcionan mejor para resolverlas. • MP.6 Ser preciso: Aprenderás a ser preciso al calcular el discriminante, entendiendo que un discriminante exacto te ayuda a saber cuántas soluciones reales tiene una ecuación cuadrática. • MP.7 Usar la estructura para resolver problemas: Analizarás ecuaciones cuadráticas para decidir qué método (como graficar, factorizar o usar la fórmula cuadrática) es mejor para resolverlas, observando la estructura de la ecuación. • MP.8 Buscar regularidad en el razonamiento repetido: Aprenderás que el valor del discriminante te indica cuántas soluciones reales tiene una ecuación cuadrática, y que revisar el discriminante es una manera rápida de hallar el número de soluciones sin resolver toda la ecuación.

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

LA FÓRMULA CUADRÁTICA

CAPTAR INTERÉS: ANTES DE EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Imagina que estás en el garaje de Emily, rodeado de todo tipo de herramientas. Cada herramienta tiene una función específica, igual que en matemáticas, donde usamos distintos métodos para resolver distintos tipos de problemas. Hoy aprenderemos cómo la fórmula cuadrática es como una herramienta especial en nuestra caja de herramientas matemática, que nos ayuda a resolver ecuaciones complicadas.

En esta actividad, aprenderás a usar la fórmula cuadrática para resolver problemas del mundo real. Verás un video y discutirás cómo se utilizan diferentes herramientas para distintas tareas, igual que usar la herramienta matemática adecuada para las ecuaciones. Explorarás cuándo y cómo aplicar la fórmula cuadrática de manera eficaz.

Responda las preguntas. 1. ¿Qué tipos de problemas crees que requieren herramientas especiales, como la fórmula cuadrática, para resolverse?

2. ¿Cómo podrías decidir qué herramienta matemática utilizar cuando te enfrentas a una ecuación compleja?

3. ¿Qué similitudes puedes encontrar entre elegir la herramienta adecuada en un garaje y seleccionar el método correcto para resolver un problema matemático?

4. ¿Por qué crees que algunos problemas de matemáticas, como las ecuaciones cuadráticas, no pueden resolverse usando métodos simples como las ecuaciones lineales?

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:09 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

LA FÓRMULA CUADRÁTICA

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 1: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que estás en una clase de arte donde los patrones son el enfoque principal. Tu compañero, Mateo, necesita ayuda con un proyecto que implica calcular las longitudes de los lados de cuadrados a partir de sus áreas. Al resolver ecuaciones cuadráticas, puedes ayudar a Mateo a determinar las dimensiones correctas para sus proyectos de arte. ¿Listo para sumergirte en las matemáticas? En esta actividad, aprenderás a resolver ecuaciones cuadráticas extrayendo raíces cuadradas. Trabajarás en grupos para encontrar las longitudes de los lados de cuadrados a partir de áreas dadas, usando las matemáticas para ayudar a Mateo con proyectos de arte. También aprenderás a verificar tus respuestas y a entender cómo aplicar estas habilidades en situaciones de la vida real.

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 171

Toma fotografías de patrones interesantes en objetos hechos por personas o que se encuentran en la naturaleza. Usa un formato de imagen cuadrado. Ajusta la configuración de la cámara para que el detalle de la imagen sea claro cuando se imprima con un área de 121 pulgadas cuadradas.

¿Cuál es el primer paso para resolver esta ecuación? Explica cómo eso «deshace» la segunda potencia.

Calcula todos los valores de l que hacen verdadera la ecuación.

Da 2 valores que satisfagan la ecuación de la pregunta 1.

¿Ambos valores representan una longitud lateral razonable para la impresión? Explica.

Usa las preguntas provistas para guiarte a través de los cálculos matemáticos necesarios para completar las tareas de arte. 1. Escribe una ecuación para representar el área de la impresión. El área de un cuadrado se puede encontrar al usar la fórmula A = l2, donde l es la longitud del lado. Tarea 1

Parte I

El arte de las matemáticas

The Quadratic Formula Explore 1 LIBRO DEL ESTUDIANTE ÁLGEBRA 1 LA FÓRMULA CUADRÁTICA

NOMBRE _____________________________________________

FECHA ______________________________

EXPLORAR 1

DIARIO DEL ESTUDIANTE

171

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Tarea 2 Convierte una de tus fotografías cuadradas en el fondo de un cartel publicitario cuadrado. Extiende la longitud y el ancho de tu fotografía en 22 pulgadas. El área del cartel debe ser de 900 pulgadas cuadradas.

Escribe una ecuación para representar el área del cartel. El área de un cuadrado se puede encontrar al usar la fórmula A = l2, donde s es la longitud del lado.

Escribe una expresión para representar la longitud lateral del cartel. Sea x el lado de la fotografía medido en pulgadas.

The Quadratic Formula Explore 1

¿Por qué es importante el orden al resolver?

¿Cuál es el primer paso para resolver esta ecuación? ¿Cuál es el segundo paso?

10. Calcula todos los valores de x que hacen verdadera la ecuación.

11. ¿Cuál es una longitud lateral razonable de la fotografía original? Explica.

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE LA FÓRMULA CUADRÁTICA

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 173

Si una pinta de pintura cubre 54 pies cuadrados y Mateo comparte la pintura con otros dos estudiantes por igual, ¿cuáles son las dimensiones del fondo de color más grande que puede usar?

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

¿Cuáles son las dimensiones máximas de la instalación de arte que Mateo puede crear para la muestra?

Pauta de exhibición: cada participante puede establecer un fondo de color para su trabajo al pintar hojas de papel grandes y al clavarlas en la pared detrás de sus fotos, al llenar tanto de los 20 pies cuadrados como desee.

ÁLGEBRA 1

Pauta de exhibición: a cada participante se le asignará un cuadrado de espacio de pared de 20 pies cuadrados, pero debe haber un espacio vacío alrededor de la instalación de arte cuadrado que sea al menos el 20 % del espacio total asignado.

Lee cada pauta y responde la pregunta que sigue. Deja las respuestas en la forma radical más simple si es necesario.

Parte II

The Quadratic Formula Explore 1 LIBRO DEL ESTUDIANTE STUDENT NOTEBOOK LA FÓRMULA CUADRÁTICA

173

9/13/25 6:09 PM

¿Qué método o principio usas para resolver el valor desconocido?

The Quadratic Formula Explore 1

Cuando sacas la raíz cuadrada, ¿cuántas soluciones de la ecuación original obtienes y cómo decides si son razonables?

Reflexiona

¿Se podría usar el método usado para resolver los problemas en este «Explorar» para resolver 4x2 + 3x = 0?

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE LA FÓRMULA CUADRÁTICA

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

LA FÓRMULA CUADRÁTICA

EXPLORAR 1: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué pasos seguiste para resolver la ecuación cuadrática usando raíces cuadradas y cómo supiste que tu solución era correcta?

2. ¿Cómo te ayudó trabajar en grupo a entender mejor el proceso de resolver ecuaciones cuadráticas?

3. ¿Qué desafíos enfrentaste al resolver las ecuaciones y cómo los superaste?

4. ¿Cómo puede ser útil el método de calcular raíces cuadradas en situaciones de la vida real u otras materias?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo el proceso de resolver ecuaciones cuadráticas extrayendo raíces cuadradas en la actividad Explorar te ayuda a comprender cuándo usar diferentes herramientas matemáticas, como la fórmula cuadrática, tal como se presentó en la actividad de Enganche?

2. En la actividad Hook, aprendiste a usar la fórmula cuadrática como una herramienta para resolver ecuaciones. ¿Cómo puedes relacionar esto con la actividad EXPLORAR, donde resolviste ecuaciones aislando cuadrados perfectos? ¿Cuándo podría preferirse un método sobre el otro?

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:09 PM

The Quadratic Formula Explore 1 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

LA FÓRMULA CUADRÁTICA

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 1

Resolver al sacar raíces cuadradas Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

FECHA ______________________________

Ecuación

¿Se puede resolver la ecuación al sacar raíces cuadradas? Si es así, ¿cuáles son las soluciones? Si no, ¿por qué no?

(s − 2)2 = 64

2s2 +7s = 3

The Quadratic Formula Explore 1

Resolver al sacar raíces cuadradas Boleto de salida Ecuación

¿Se puede resolver la ecuación al sacar raíces cuadradas? Si es así, ¿cuáles son las soluciones? Si no, ¿por qué no?

(s − 2)2 = 64

2s2 +7s = 3

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

178

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:09 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

LA FÓRMULA CUADRÁTICA The Quadratic Formula

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 1

Part 1

FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Sacar las raíces cuadradas para resolver 1.

Los siguientes pasos se han usado para resolver la ecuación cuadrática de abajo, pero están todos fuera de orden. Organiza los siguientes pasos en el orden correcto en la primera columna de la tabla, luego sigue los pasos para resolver la ecuación dada. A.

Determina si cada solución es razonable.

Saca la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación.

Comprueba las respuestas mediante la sustitución.

Resuelve la desconocida, x, en cada ecuación.

Aísla el término cuadrado perfecto que contiene la variable desconocida, x, a un lado de la ecuación.

Escribe dos ecuaciones para resolver.

Paso

Ecuación cuadrática: (x + 3)2 – 49 = 0 (x es la longitud de la cerca).

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The Quadratic Formula Part 1

LA FÓRMULA CUADRÁTICA

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Se va a instalar un suelo de baldosas cuadradas. Se necesitarán 400 baldosas cuadradas individuales con longitudes laterales, s, para cubrir la superficie total de 900 sq ft. a.

Escribe una ecuación cuadrática en términos de s para describir el problema.

Resuelve para s.

Resuelve para x. Deja la respuesta en la forma radical más simple si es necesario. 4(x – 5)2 – 45 = 0

¿Cuál de las siguientes ecuaciones no se puede resolver con el principio del cuadrado perfecto y las operaciones inversas? ¿Por qué no? Selecciona todas las que apliquen. A.

x2 – 4x + 5 = 0

3z2 – 4 = 0

2y2 + 5y = 0

(w – 8)2 = 14 2

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

The Quadratic Formula Part 1 LA FÓRMULA CUADRÁTICA

Escribe las siguientes ecuaciones en la forma (x – p)2 = q, donde p y q son constantes. a. (x + 5)2 – 24 = 25 b.

3(x – 1)2 + 4 = 16

–2(x – 6)2 + 40 = 8

Resuelve la ecuación (x – p)2 = q para x, a fin de mostrar que cada ecuación en la pregunta #5 puede resolverse con la fórmula que desarrolles.

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:09 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

LA FÓRMULA CUADRÁTICA

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 2: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que eres parte de un equipo tecnológico en ComputeIt Software Corp., y tu misión es crear una aplicación que resuelva ecuaciones cuadráticas. Las ecuaciones cuadráticas están en todas partes, desde la física hasta las finanzas, y tu aplicación podría ayudar a las personas a resolverlas fácilmente. Trabajarás con tus compañeros de clase para encontrar la mejor manera de hacer que esta aplicación funcione, usando la fórmula cuadrática. En esta actividad, aprenderás a resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática. Trabajarás en grupos para explorar diferentes métodos, como la factorización y completar el cuadrado, y comparar su eficacia. Practicarás la precisión en los cálculos, comprenderás los símbolos matemáticos y aprenderás a justificar tu razonamiento y a criticar la lógica de los demás.

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:09 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

LA FÓRMULA CUADRÁTICA

The Quadratic Formula EXPLORAR 2 Explore 2

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Dilema del desarrollador Parte I: Fases de análisis y desarrollo

Cuaderno del desarrollador

* ¡La aplicación necesita resolver CUALQUIER cuadrática!* Notas para uno mismo

Forma estándar de una función cuadrática y = ax2 + bx + c Forma estándar de una función cuadrática ax2 + bx + c = 0

El primer pensamiento para encontrar una forma de resolver cualquier ecuación cuadrática fue graficar. El equipo trataba de resolver la ecuación 0 = x2 − 4x + 3, así que graficaron la función g(x) = x2 − 4x + 3. Según la gráfica, ¿cuáles son las soluciones de la ecuación 0 = x2 − 4x + 3.

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

The Quadratic Formula Explore 2 GRADE 3 STUDENT NOTEBOOK

ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

El equipo de desarrollo quiere ver qué herramientas algebraicas tienen a su disposición, ya que no siempre podrán graficar para resolver sus cuadráticas. Dos equipos se enfocan en diferentes aspectos de la resolución de ecuaciones cuadráticas en la forma ax2 + bx + c = 0. Equipo A

Equipo B

Factorización

Completar el cuadrado

Tratas de resolver la ecuación 0 = x2 + 6x + 8. Usa la estrategia del equipo A.

Explica por qué la estrategia del equipo A no te ayudaría a resolver la ecuación similar de 0 = x2 + 6x + 7.

Usa la estrategia del equipo B para resolver la ecuación 0 = x2 + 6x + 7.

¿Qué hace que las estrategias de ambos equipos sean difíciles y poco eficientes a la hora de resolver la ecuación 0 = 2x2 + 5x + 1?

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

ÁLGEBRA 1

STUDENT NOTEBOOK

The Quadratic Formula Explore 2 LA FÓRMULA CUADRÁTICA

Parte II: Fase de prueba

Usa la nueva aplicación para encontrar los ceros de las funciones cuadráticas en la tabla. Finalmente, después de mucho debate, los equipos se unen y desarrollan un nuevo método que creen que funcionará siempre. Tu trabajo es probar su ecuación de solución a continuación.

Completa la tabla al resolver las ecuaciones cuadráticas con el uso de la nueva aplicación. Comienza por identificar primero las entradas. Las soluciones deben escribirse en la forma radical más simple. Ecuación cuadrática

Entradas a

0 = 1x2 + 6x + 8

Solucionador

Salidas

−6 ± 2 2

x = −4 or −2

a 0 = x2 + 6x + 7

b c a

0 = 2x2 + 5x + 1

b c 3

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The Quadratic Formula Explore 2

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

LA FÓRMULA CUADRÁTICA

Los equipos verificaron que las dos primeras soluciones de su nueva aplicación coincidieran con las soluciones de sus intentos iniciales de factorizar y completar el cuadrado. Verifica las soluciones de la ecuación cuadrática final mediante la graficación o sustitución, y completa la siguiente tabla. Ecuación cuadrática

Soluciones

Verificar por sustitución o graficación

0 = 2x2 + 3x − 5

¿Cuál es el beneficio de la aplicación en comparación con el método de factorización?

¿Cuál es el beneficio de la aplicación en comparación con el método de completar el cuadrado?

El equipo trató de resolver la ecuación 0 = x2 + 2x + 5 y obtuvo , lo que los llevó a decir que no hay soluciones. ¿Esta ecuación dañó la aplicación?

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The Quadratic Formula Explore 2 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

LA FÓRMULA CUADRÁTICA

Reflexiona 1.

¿Cuál sería el primer paso para resolver esta ecuación cuadrática al usar la fórmula cuadrática? (x − 3)2 + 4x − 3 = 0

¿Qué información necesitamos de la ecuación de forma estándar para usar la fórmula cuadrática?

Para la ecuación cuadrática x2 + 2x + 1 = 0, la aplicación solo da una solución, x = −1. ¿Es correcto o funciona mal? Compruébalo al graficar o factorizar.

¿Cuál es la cantidad máxima de soluciones para una ecuación cuadrática y cómo lo sabes al mirar la fórmula cuadrática?

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

190

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

EXPLORAR 2: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué te resultó más desafiante de usar la fórmula cuadrática y cómo lo superaste?

2. ¿Cómo te ayudó trabajar en grupo a entender mejor la resolución de ecuaciones cuadráticas?

3. ¿Puedes pensar en una situación de la vida real en la que resolver una ecuación cuadrática podría ser útil?

4. ¿Qué estrategias te resultaron más útiles al verificar la precisión de tus soluciones?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se relaciona el escenario de la caja de herramientas de Emily con el proceso de elegir un método para resolver ecuaciones cuadráticas durante la actividad EXPLORAR? Considera cómo se usan diferentes herramientas para distintas tareas y cómo esto es análogo a seleccionar la factorización, completar el cuadrado o usar la fórmula cuadrática.

2. Después de completar las actividades de Exploración, ¿cómo decidirías qué método (factorización, completar el cuadrado o la fórmula general) usar para resolver una ecuación cuadrática específica, y cómo se conecta este proceso de toma de decisiones con el escenario inicial presentado en la actividad de apertura?

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

192

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Explore 2

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 2

Usar la fórmula cuadrática Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

FECHA ______________________________

Usa la fórmula cuadrática para encontrar las soluciones de la siguiente ecuación cuadrática. Las soluciones deben escribirse en forma radical más simple. Muestra tu trabajo. 2x2 − 8x + 3 = 0

The Quadratic Formula Explore 2

Usar la fórmula cuadrática Boleto de salida Usa la fórmula cuadrática para encontrar las soluciones de la siguiente ecuación cuadrática. Las soluciones deben escribirse en forma radical más simple. Muestra tu trabajo. 2x2 − 8x + 3 = 0

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

194

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

The Quadratic Formula Part 2 EXPLORAR 2

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Usar la fórmula cuadrática Resuelve las siguientes ecuaciones y responde las preguntas. 1.

2x2 + 7x – 15 = 0 a.

¿Es ax2 + bx + c = 0 una ecuación cuadrática en forma estándar?

¿Cuáles son los coeficientes a, b y c?

Encuentra la(s) solución(es) para la desconocida, x, con la fórmula cuadrática.

(y + 2)2 – 7y = 3 a.

Escribe la ecuación cuadrática en forma estándar.

¿Cuáles son los coeficientes a, b y c?

Encuentra la(s) solución(es) para la desconocida, y, con la fórmula cuadrática.

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The Quadratic Formula Part 2 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

LA FÓRMULA CUADRÁTICA

Decide si hay alguna solución real para x2 + x + 1 = 0, mediante la fórmula cuadrática.

Un globo de agua se lanza verticalmente hacia arriba desde un balcón a 15 pies del suelo con una velocidad inicial de 16 ft/s. La altura, h, del globo en función del tiempo, t, se da por la ecuación cuadrática de abajo. h(t) = −16t2 + 16t + 15 Determina cuándo el globo de agua tocará el suelo. a.

Cuando el globo toca el suelo, h = 0. Escribe la ecuación cuadrática para resolver para t.

Utiliza la fórmula cuadrática para encontrar la(s) solución(es). Escribe en la forma radical más simple o como un número decimal hasta el lugar de los centésimos.

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The Quadratic Formula Part 2 LIBRO DEL ESTUDIANTE

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

Usa la fórmula cuadrática para resolver la ecuación x2 – 4x + 5 = 0.

Simplifica tu respuesta del #5 al simplificar la radical con el hecho de que .

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

198

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 3: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que estás planeando un gran espectáculo de fuegos artificiales para la celebración de tu ciudad. Quieres que todos tengan una vista clara de los fuegos artificiales mientras explotan muy por encima de los árboles y las casas. Para asegurarte de que esto ocurra, tendrás que elegir fuegos artificiales que puedan alcanzar al menos 400 pies de altura. Al usar una fórmula matemática especial llamada ecuación cuadrática, averiguarás qué fuegos artificiales funcionarán mejor para tu espectáculo. ¡Vamos a adentrarnos y ver cómo las matemáticas pueden ayudarnos a hacer que esta celebración sea un éxito! En esta actividad, aprenderás a determinar el número de soluciones reales de una ecuación cuadrática utilizando el discriminante. Trabajarás en grupos para explorar cómo diferentes valores afectan las soluciones, y usarás este conocimiento para elegir los mejores fuegos artificiales para un espectáculo. También practicarás explicar tu razonamiento y comprender los símbolos matemáticos.

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 199

199

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

200

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

The Quadratic Formula EXPLORAR 3 Explore 3

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

¡Boom!

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Parte I

Examina la información en la tabla proporcionada por Fuegos artificiales Pop sobre sus productos (para tus especificaciones de altura). Fuegos artificiales

Cielo de fuego

Gran boom

Función

−16t2 + 170t − 400

−16t2 + 160t − 400

Solución de Compútalo

(impulsado por la fórmula cuadrática)

Gráfica de función

Cantidad de soluciones reales 1.

Para Cielo de fuego, ¿cuántas veces intercepta la curva el eje X? ¿Qué te dice esto sobre la cantidad de soluciones reales?

Para Gran boom, ¿qué te dice la gráfica sobre la cantidad de soluciones?

Considera las soluciones proporcionadas por la aplicación Compútalo para estos dos fuegos artificiales. Si el término debajo del radical es mayor o igual a cero, ¿esperas que haya soluciones reales?

Si el término debajo del radical es mayor que cero, ¿cuántas soluciones reales predecirías? Si es igual a cero, ¿cuántas soluciones reales predecirías?

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201

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The Quadratic Formula Explore 3 GRADE 3 STUDENT NOTEBOOK

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

LIBRO DEL ESTUDIANTE

En la siguiente tabla se proporcionan datos adicionales proporcionados por Fuegos artificiales Pop para otros dos productos que tienen. Predice cuántas soluciones reales hay y completa la tabla. Fuegos artificiales

Bengala

Destello fantástico

Función

−16t2 + 150t − 400

−16t2 + 165t − 400

Solución de Compútalo

(impulsado por la fórmula cuadrática)

Gráfica de función

Predición 5.

Para Bengala, ¿la curva intercepta el eje X? ¿Qué te dice esto sobre la cantidad de soluciones reales?

¿Cuál es el valor bajo el radical para Bengala? ¿Cuántas soluciones reales pronosticarías para otros fuegos artificiales que tienen un valor negativo bajo el radical?

Para Destello fantástico, ¿cuántas soluciones son visibles en el diagrama? ¿Hubieras predicho esa cantidad basado en el signo del término debajo del radical?

De los cuatro fuegos artificiales, ¿cuáles cumplen con tus especificaciones (tienen soluciones reales a sus correspondientes ecuaciones cuadráticas)? 2

202

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The Quadratic Formula Explore 3 LIBRO DEL ESTUDIANTE

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

Parte II

Fuegos artificiales Pop puede suministrar fuegos artificiales como se muestra en la tabla. Completa la tabla y responde la siguiente pregunta. 1.

Usa la información provista para determinar los valores de a, b y c. Luego, evalúa el discriminante y determina la cantidad de soluciones reales.

Fuegos artificiales

Función cuadrática ax2 + bx + c

Discriminante b2 − 4ac

Cantidad de soluciones reales

a Aplastar el cielo

−16t2 + 180t − 625

b c a

Barras de colores

−16t2 + 200t − 625

b c a

Luces nocturnas

−16t2 + 210t − 625

b c

¿Qué fuegos artificiales recomendarías que compraran tus vecinos para su espectáculo? Explica.

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203

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The Quadratic Formula Explore 3 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

LA FÓRMULA CUADRÁTICA

Reflexiona 1.

¿Necesitas resolver completamente una ecuación cuadrática con la fórmula cuadrática para saber si hay soluciones reales?

¿Qué es el discriminante?

¿Qué te dice el discriminante sobre una ecuación cuadrática?

Si b2 − 4ac = 0, ¿cuántas soluciones reales hay?

Si b2 − 4ac ＞ 0, ¿cuántas soluciones reales hay?

Si b2 − 4ac ＜ 0,¿cuántas soluciones reales hay?

204

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

EXPLORAR 3: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué aprendiste sobre el discriminante y cómo ayuda a determinar el número de soluciones reales de una ecuación cuadrática?

2. ¿Cómo puedes saber si una ecuación cuadrática no tiene soluciones reales, tiene una solución real o tiene dos soluciones reales sin resolverla?

3. ¿Por qué es importante considerar el contexto de un problema al determinar si las soluciones tienen sentido?

4. ¿Cómo te ayudó trabajar en grupos a comprender el concepto del discriminante y su papel en la resolución de ecuaciones cuadráticas?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se relaciona el concepto de usar la herramienta adecuada de una caja de herramientas en la actividad HOOK con determinar el número de soluciones reales de una ecuación cuadrática en la actividad EXPLORAR?

2. En la actividad HOOK, aprendiste a elegir diferentes herramientas para distintas tareas. ¿Cómo puede la comprensión del discriminante ayudarte a decidir qué herramienta o método matemático usar al resolver una ecuación cuadrática en la actividad EXPLORAR?

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

206

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Explore 3

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 3

El discriminante Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe mejor las raíces de la ecuación? Muestra tu trabajo. 2x2 + 5x − 6 = 0 A.

Una raíz real

Dos raíces reales

Sin raíces reales

The Quadratic Formula Explore 3

El discriminante Boleto de salida ¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe mejor las raíces de la ecuación? Muestra tu trabajo. 2x2 + 5x − 6 = 0 A.

Una raíz real

Dos raíces reales

Sin raíces reales

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207

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

208

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

The Quadratic Formula Part 3 EXPLORAR 3

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

El discriminante 1.

¿Cuál es el discriminante de una ecuación cuadrática en forma estándar? ax2 + bx + c = 0

Determina la cantidad de soluciones reales de cada ecuación cuadrática. 2.

−2x2 – 3x + 5 = 0

6x2 + 2x + 1 = 0

x2 + 10x = −25

(x + 2)2 = −x

x + 5 = −3x2

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The Quadratic Formula Part 3

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

Empareja cada función cuadrática con su gráfica mediante tu conocimiento del discriminante. Función cuadrática 8.

y = x2 + 8x + 16

y = x2 – 8x + 11

10.

y = 5x2 + 3x + 1

Gráfica

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 4: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que acabas de conseguir un trabajo como analista de negocios. Tu empresa utiliza ecuaciones cuadráticas para diversos proyectos, como fijar precios o analizar tendencias del mercado. Para impresionar a tu jefe, necesitas resolver estas ecuaciones de manera rápida y precisa. Explorarás distintos métodos para encontrar la forma más eficiente de abordar cada ecuación. En esta actividad, trabajarán en grupos para aprender a resolver ecuaciones cuadráticas de manera eficiente. Explorarán diferentes métodos como la factorización, la representación gráfica y el uso de fórmulas. También discutirán qué método funciona mejor para distintos tipos de ecuaciones y practicarán explicar su razonamiento.

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

212

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

The Quadratic Formula EXPLORAR 4 Explore 4

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Nueva contratación Parte I

Dada la variedad de métodos para resolver ecuaciones cuadráticas que tienes disponibles en tu caja de herramientas, compara diferentes pares de ecuaciones cuadráticas y determina qué tipo de ecuación se resuelve mejor con un método en particular. Ecuación A

Ecuación B

x2 − 2x − 15 = 0

(x − 1)2 = 20

¿Cuál de las dos ecuaciones cuadráticas anteriores podría resolverse fácilmente al sacar la raíz cuadrada? ¿Por qué?

Si tuvieras que resolver ese mismo problema al usar la fórmula cuadrática o al completar el cuadrado, ¿qué tendrías que hacer primero con la ecuación?

Ecuación C

Ecuación D

x2 + 6x − 25 = 0

2x2 − 5x − 4 = 0

Ahora considera completar el cuadrado en las ecuaciones anteriores. ¿Qué ecuación sería más fácil de resolver al usar ese método? Explica o demuestra.

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The Quadratic Formula Explore 4 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

LA FÓRMULA CUADRÁTICA

Ecuación E

Ecuación F

x2 − 2x − 15 = 0

x2 + 6x − 25 = 0

¿Cuál de las dos ecuaciones cuadráticas anteriores sería más fácil de factorizar? ¿Por qué?

Escribe esa ecuación en forma factorizada y da las soluciones reales.

Intenta resolver el mismo problema al usar la fórmula cuadrática:

¿Qué método fue más eficiente en este caso? Ecuación G

Ecuación H

6.02x2 − 5.99x − 0.4 = 0

2x2 − 5x − 4 = 0

¿Podrías usar la fórmula cuadrática en las dos ecuaciones anteriores?

¿Cuál sería más fácil de evaluar a mano? ¿Por qué?

10. ¿Qué otro método restante en tu caja de herramientas podría usar? 11. ¿Las gráficas siempre encuentran las soluciones reales exactas de una ecuación cuadrática o hay limitaciones? Explica.

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SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 214

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The Quadratic Formula Explore 4 LA FÓRMULA CUADRÁTICA

Parte II

Crea un conjunto de ejemplos de ecuaciones cuadráticas que el nuevo empleado pueda usar como referencia. Para cada problema de ejemplo, coloca una marca de verificación junto al método más eficiente a utilizar. Justifica tu elección al pie de cada cuadro. x2 + 5x − 14 = 0 Gráfica

Sacar la raíz cuadrada

Factor

Completar el cuadrado

Fórmula cuadrática

Completar el cuadrado

Fórmula cuadrática

Completar el cuadrado

Fórmula cuadrática

Completar el cuadrado

Fórmula cuadrática

Justificación:

(x – 3)2 − 25 = 0 Gráfica

Sacar la raíz cuadrada

Factor

Justificación:

−4x2 + 5x + 7 = 0 Gráfica

Sacar la raíz cuadrada

Factor

Justificación:

x2 − 10x = 5 Gráfica

Factor

Sacar la raíz cuadrada

Justificación:

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215

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The Quadratic Formula Explore 4 LA FÓRMULA CUADRÁTICA

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Reflexiona 1.

¿Puede una ecuación tener diferentes soluciones según el método que uses para resolverla?

¿Qué métodos considerarías primero para resolver una ecuación cuadrática? ¿Por qué?

¿Usar la fórmula cuadrática o completar el cuadrado funciona para resolver alguna ecuación cuadrática?

¿Cómo puedes comprobar tus soluciones?

216

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

EXPLORAR 4: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué método te pareció más eficiente para resolver ecuaciones cuadráticas y por qué?

2. ¿Cómo decidiste qué método utilizar para cada ecuación que resolviste?

3. ¿Qué desafíos enfrentaste al resolver las ecuaciones cuadráticas y cómo los superaste?

4. ¿Cómo puedes aplicar lo que aprendiste sobre la resolución de ecuaciones cuadráticas en situaciones del mundo real?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. En la actividad Hook, viste un video sobre diferentes herramientas para distintas tareas. ¿Cómo puede aplicarse esta idea de usar la herramienta adecuada para la tarea a la resolución de ecuaciones cuadráticas en la actividad EXPLORAR? Considera los diferentes métodos para resolver ecuaciones cuadráticas y cuándo cada uno es más eficiente.

2. Al reflexionar sobre la actividad Explorar, ¿cómo te ayuda comprender cuándo usar cada método para resolver ecuaciones cuadráticas a establecer conexiones con el escenario del mundo real presentado en la actividad Gancho, donde elegir la herramienta adecuada es crucial para la eficiencia y la eficacia?

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217

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218

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The Quadratic Formula Explore 4 LIBRO DEL ESTUDIANTE

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 4

Elegir el mejor método Boleto de salida BOLETO DE SALIDA

FECHA ______________________________

¿Qué método usarías para resolver la siguiente ecuación cuadrática? x2 − 11x + 3 = 0

Justifica tu respuesta.

The Quadratic Formula Explore 4

Elegir el mejor método Boleto de salida 1.

¿Qué método usarías para resolver la siguiente ecuación cuadrática? x2 − 11x + 3 = 0

Justifica tu respuesta.

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219

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

220

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

The Quadratic Formula Part 4 EXPLORAR 4

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Elegir el mejor método Considera los dos posibles métodos de solución de la derecha para cada ecuación cuadrática. 1.

( 2 + 1)2 = 25 a.

¿Se puede utilizar cualquiera de los métodos para encontrar la solución?

¿Qué método sería más eficiente? ¿Por qué?

x2 – 9x + 20 = 0 a.

¿Se puede utilizar cualquiera de los métodos para encontrar la solución?

¿Qué método sería más eficiente? ¿Por qué?

x2 – 2x – 2 = 0 a.

¿Qué método daría una respuesta exacta?

¿Qué otro método de los mencionados a la derecha daría una respuesta exacta? 1

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The Quadratic Formula Part 4

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¿Qué método utilizarías para resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas? Explica tu razonamiento y luego resuelve. 4.

x2 + 4x – 6 = 0

(2x – 3)2 – 4 = 0

x2 – x – 30 = 0

1.2x2 + 0.47x – 1 = 0

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SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 222

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HOOK POST-EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Responda las preguntas. 1. ¿Cómo determinarías qué método utilizar para resolver una ecuación cuadrática si la ecuación está en la forma $x^2 = A$?

2. Si tienes una ecuación cuadrática con coeficientes enteros grandes, ¿qué método sería el más eficiente para resolverla y por qué?

3. ¿Cómo puedes usar el discriminante para decidir si una ecuación cuadrática tiene soluciones reales sin resolverla?

4. Cuando se te da una ecuación cuadrática en forma estándar, ¿cómo decides si usar la factorización, completar el cuadrado o la fórmula cuadrática para encontrar las soluciones?

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

224

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 224

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NOMBRE _____________________________________________

ESQUEMA DE ANCLAJE

FECHA ______________________________

ESQUEMA DE ANCLAJE

La fórmula cuadrática

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225

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226

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 226

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NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

LA FÓRMULA CUADRÁTICA

CUADERNO INTERACTIVO The Quadratic Formula

CUADERNO INTERACTIVO Instrucciones ● Recorta la página de notas a continuación y pega en tu cuaderno. ● Usa la fórmula cuadrática para resolver cada problema. ● Encierra el discriminante con un círculo azul, luego de haber sustituido los valores de a, b, y c en la fórmula. ● Encierra las soluciones con un círculo rojo.

x² + 4x + 1 = 0

3x² – 1 = −8x

x² + 11x = 0

4x² + 9 = 12x

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227

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228

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

Instrucciones ● Recorta la página de notas y pega en tu cuaderno. ● Llena los espacios en blanco con el símbolo correcto (<, >, o =).

El discriminante b2 – 4ac _____ 0 -----------> dos raíces reales b2 – 4ac _____ 0 ------------> una raíz real b2 – 4ac _____ 0 -------> sin soluciones reales

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229

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

230

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 230

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231

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232

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

LA FÓRMULA CUADRÁTICA

The Quadratic Formula REVISIÓN EN ESPIRAL

FECHA ______________________________

REVISIÓN EN ESPIRAL

Encerrados en la biblioteca Sung es una estudiante que trabaja en un proyecto de equipo. ¡Ella y su grupo quedan encerrados accidentalmente en la biblioteca de la escuela durante la noche! Si bien esto puede parecer una pesadilla para la mayoría, Sung está emocionada. ¡La biblioteca alberga miles de libros, misterios y aventuras en abundancia! Sung quiere pasar el tiempo al leer cada página. Ella quiere tener un atracón de lectura de libros. Los otros miembros de su grupo tienen otra idea. Quieren cazar meriendas. Sin dudas, el bibliotecario guarda meriendas en algún lugar. Se adentran en la oscuridad hacia la oficina del bibliotecario, con la esperanza que esté abierta y esté llena de golosinas. Mientras tanto, Sung decide ayudar al bibliotecario a registrar y archivar los libros devueltos. Solo cuando esto esté hecho, Sung se sentirá satisfecha de sumergirse en un nuevo libro.

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

The Quadratic Formula

A. B.

Sung transporta libros desde la recepción hasta las estanterías. Del mismo modo, la función f(x) = x2 es transformada para crear el gráfico de g(x) = x2 + 8. ¿Qué afirmación sobre la gráfica es verdadera? La gráfica de g(x) es un reflejo de la gráfica de f(x) a lo largo del eje x. La intersección con el eje y de la gráfica de g(x) está 8 unidades por encima de la intersección con el eje y de la gráfica de f(x). El vértice de la gráfica de g(x) está a 8 unidades a la derecha del vértice de la gráfica de f(x).

El siguiente gráfico representa el nivel de ruido que Sung y su grupo pueden hacer antes de que el sistema de alarma lo detecte. ¿Cuáles son las coordenadas del vértice?

Los sensores en el sistema de

La tabla muestra la relación entre el número de páginas que Sung lee y el tiempo que tarda en leerlas. ¿Cuál es la tasa de cambio promedio del tiempo que tarda Sung en leer cada página?

alarma de la biblioteca se activarán si Sung y su grupo no se mantienen dentro de cierto rango. El sistema de alarma se puede representar mediante la función

¿Cuál es el rango de esta función?

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Tiempo en segundos, x

240

600

840

Número de páginas leídas, y

2 237

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NOMBRE _____________________________________________

ÁLGEBRA 1

BART, Annette, BART, S.J. y MAY, Mike, 2021. Modeling, Revenue, Costs, and Profits. En: Business Calculus with Excel [en línea]. Disponible en: https://mathstat.slu.edu/~may/ExcelCalculus/sec-2-2-ModelingRevenueCostProfit.html [consulta: 25 de septiembre de 2021].

DEAN, Brian, 2021. iPhone Users and Sales Stats for 2022. En: Backlinko [en línea]. Disponible en: https://backlinko.com/iphone-users [consulta: 28 de mayo de 2021].

DO, Tuan, 2021. The Real Production Costs of Smartphones. En: TECHWALLS [en línea]. Disponible en: https://www.techwalls.com/production-costs-of-smartphones/ [consulta: 14 de diciembre de 2021].

Guerras de calabaza

The Quadratic Formula

LIBRO DEL ESTUDIANTE LA FÓRMULA CUADRÁTICA

FECHA ______________________________

CIENCIA DE DATOS

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

LA FÓRMULA CUADRÁTICA

Skills Quiz

NOMBRE _____________________________________________

PRUEBA DE HABILIDADES

FECHA ______________________________

Name: ___________________________ Date: ________________

PRUEBA DE HABILIDADES

La fórmula cuadrática 1.

Resuelve (𝑥𝑥 + 15)² = 81 con el uso de raíces cuadradas.

Resuelve (𝑥𝑥 + 4)² – 5 = 31 con el uso de raíces cuadradas.

Todos los coeficientes de una ecuación cuadrática son enteros. El discriminante es −2. ¿Qué enunciado describe mejor sus raíces? A. Una raíz real B. Dos raíces reales C. Dos raíces no reales D. Ninguno de las anteriores

¿Cuál de los siguientes términos describe las raíces de la ecuación 2𝑥𝑥² + 3𝑥𝑥 – 1 = 0? A. Real B. No real C. Entero D. Ninguno de las anteriores

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Skills Quiz

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

¿Cuál de las siguientes opciones de respuesta representa el discriminante de la ecuación a continuación?

A. 2𝑎𝑎 B. − 𝑏𝑏 C. 𝑥𝑥 D. 𝑏𝑏² – 4𝑎𝑎𝑎𝑎

𝑥𝑥 =

−𝑏𝑏 ± 𝑏𝑏 – 4𝑎𝑎𝑐𝑐 2𝑎𝑎

Utiliza la fórmula cuadrática para encontrar las soluciones para la ecuación 2𝑥𝑥² – 9𝑥𝑥 + 4 = 0.

Utiliza la fórmula cuadrática para encontrar las soluciones para la ecuación 𝑚𝑚² – 5𝑚𝑚 – 14 = 0.

Una catapulta lanza una roca contra un castillo. La altura de la roca puede describirse mediante ℎ(𝑡𝑡), donde h describe la altura de la roca en pies y t describe el tiempo en segundos después del lanzamiento de la roca. ℎ(𝑡𝑡) =

− 16𝑡𝑡

+ 130𝑡𝑡 + 12

¿Desde qué altura se lanzó la roca y cuánto tiempo estuvo en el aire?

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Skills Quiz

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

Determina el mejor método para resolver la ecuación cuadrática 𝑥𝑥 , justifica tu elección y luego, resuelve.

– 4𝑥𝑥 + 4 = 0

Método: __________ Justificación: __________________________________________ _____________________________________________________

Solución(es): __________

10.

Determina el mejor método para resolver la ecuación cuadrática (3𝑥𝑥 – 4) justifica tu elección y luego, resuelve.

= 16,

Método: __________ Justificación: __________________________________________ _____________________________________________________

Solución(es): __________

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

VOCABULARIO

FÓRMULA CUADRÁTICA

DISCRIMINANTE

FACTORES

COMPLETAR EL CUADRADO

SOLUCIÓN REAL

FUERZA DE GRAVEDAD

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

VOCABULARIO Discriminante

Fórmula cuadrática

Expresión bajo la raíz cuadrada de la fórmula cuadrática que determina los tipos de soluciones de una ecuación cuadrática

Fórmula , que da las soluciones de ecuaciones en forma de ax2 + bx + c = 0, donde a ≠ 0 3

Completar el cuadrado

Factores

Proceso utilizado para formar un trinomio cuadrado perfecto con el fin de encontrar la(s) solución(es) al sacar la raíz cuadrada

Expresiones que se multiplican para obtener un polinomio; factores que aparecen en forma de ax + b y no se pueden factorizar más 5

Fuerza de gravedad

Solución real

Fuerza de atracción universal que actúa entre toda la materia

Valor que satisface la ecuación; llamadas raíces, intersecciones x o ceros 7

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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LA FÓRMULA CUADRÁTICA

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ÁLGEBRA 1

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ESTADÍSTICAS

MODELO CON FUNCIONES INVESTIGACIONES DE FUNCIONES

En esta unidad, aprenderás a trabajar con datos de diferentes maneras. Explorarás cómo representar datos visualmente, entender cómo describir conjuntos de datos e interpretar lo que nos dicen. En esto te enfocarás:

INVESTIGAR DATOS

◦ Construcción de gráficos: Aprenderás a crear diagramas de puntos, histogramas y diagramas de caja para representar datos visualmente. Estas herramientas te ayudan a ver patrones y tendencias en los datos. ◦ Descripción de datos: Descubrirás cómo describir datos usando medidas de tendencia central, como la mediana y la media, y medidas de dispersión, como el rango intercuartílico y la desviación estándar. Esto te ayuda a resumir lo que muestran los datos. ◦ Identificación de valores atípicos: Aprenderás a detectar valores atípicos, que son datos mucho más altos o más bajos que el resto. Comprenderás cómo estos valores pueden afectar la interpretación general de los datos. ◦ Comparación de conjuntos de datos: Practicarás comparar dos o más conjuntos de datos observando sus centros y dispersiones. Esto te ayuda a ver cómo se relacionan entre sí diferentes conjuntos de datos. ◦ Interpretación de datos: Interpretarás diferencias en forma, centro y dispersión dentro del contexto de los conjuntos de datos. Esto significa entender qué te dicen estas diferencias sobre los datos. ◦ Tablas de doble entrada: Aprenderás a crear tablas de doble entrada a partir de dos variables categóricas. Estas tablas te ayudan a organizar datos y ver relaciones entre categorías. ◦ Interpretación de frecuencias relativas: Interpretarás frecuencias relativas en contexto, lo que significa comprender el significado de los datos en situaciones del mundo real.

APLICACIÓN DE PRÁCTICAS MATEMÁTICAS • MP.1 Entender problemas y seguir intentando resolverlos: Crearás tablas para organizar datos y las usarás para comprender y sacar conclusiones sobre la información. • MP.2 Pensar de manera abstracta y con números: Usarás valores de una situación para completar una tabla y la usarás para sacar conclusiones sobre la situación. • MP.3 Construir argumentos sólidos y evaluar el razonamiento de otros: Evaluarás ideas de otros sobre cómo los valores atípicos afectan la dispersión de los datos y usarás matemáticas para sustentar tus propias ideas. • MP.4 Usar las matemáticas para modelar situaciones del mundo real: Usarás tablas y gráficos para representar datos del mundo real, analizarlos y sacar conclusiones.

• MP.5 Usar las herramientas sabiamente: Usarás tablas y gráficos para organizar datos de distintas maneras y comparar cuál es más clara y eficaz. • MP.6 Ser preciso: Tendrás cuidado con los porcentajes al sacar conclusiones sobre una situación. • MP.7 Usar la estructura: Decidirás si una tabla o un gráfico de barras muestra mejor un conjunto de datos según cómo está organizado cada uno. • MP.8 Notar patrones en el razonamiento repetido: Aprenderás que cuando la media y la mediana están cerca, los datos están equilibrados, y cuando no, están desequilibrados.

Al final de esta lección, serás capaz de resumir, representar e interpretar datos de manera efectiva, lo que te permitirá analizar información en diversos contextos.

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ÁLGEBRA 1

ESTADÍSTICAS

CAPTAR INTERÉS: ANTES DE EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Imagina que eres parte de la familia Enriquez, que está pensando en comprar una casa al final de Hickory Lane. La casa está listada por $288,000, pero antes de tomar una decisión tan grande, quieren asegurarse de que sea un precio justo. Al observar los precios de venta recientes de otras casas en la calle, pueden usar estadísticas para determinar si están obteniendo una buena oferta o si hay precios inusuales que podrían sesgar su análisis.

En esta actividad, aprenderás a usar estadísticas para analizar los precios de las casas en una calle. Verás un video sobre la familia Enriquez, que quiere comprar una casa. Explorarás conceptos como media, mediana y valores atípicos para ayudar a determinar si el precio de la casa es una buena oferta.

Responda las preguntas. 1. ¿Por qué es importante que la familia Enriquez vea los precios de venta de otras casas en Hickory Lane antes de comprar su casa?

2. ¿Qué podría aprender la familia Enriquez al identificar valores atípicos en los precios de las casas de su calle?

3. ¿Cómo podría el cálculo de la media y la mediana ayudar a la familia Enriquez a decidir si el precio de la casa es razonable?

4. ¿Cuál podría ser la razón por la que una casa en Hickory Lane tenga un precio de venta de $1, y cómo podría esto afectar el análisis de la familia Enriquez?

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ESTADÍSTICAS

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

ESTADÍSTICAS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 1: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que estás en la clase de la Sra. Ortega, donde ha recopilado datos de encuestas, pruebas e investigaciones. ¡Necesita tu ayuda para darle sentido a todo! Trabajarás con compañeros de clase para analizar estos datos usando rectas numéricas y diferentes gráficos. Juntos, descubrirán las mejores maneras de describir y comprender la forma y los patrones de los datos. En esta actividad, aprenderás a representar datos en rectas numéricas y a analizar su forma utilizando diferentes gráficos. Descubrirás cómo determinar si los datos están sesgados o son simétricos y elegir las mejores medidas de tendencia central y variabilidad. Trabajarás en grupos, resolverás problemas y compartirás tus hallazgos.

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ESTADÍSTICAS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

ESTADÍSTICAS

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 1

FECHA ______________________________

Statistics Explore 1

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Experto en datos Parte I: Datos de la clase de la Sra. Ortega

La Sra. Ortega le mostró a su clase muchas representaciones diferentes de datos que tomó de las encuestas y evaluaciones de la clase. Tu trabajo es describir los datos en cada conjunto lo mejor que puedas. Gráfica

Descripción de la forma

Predicción de lo que causó la forma Dos picos pueden ser causados por lechones y cerdos adultos que se pesan al mismo tiempo.

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Statistics Explore 1 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

ESTADÍSTICAS

El descriptor matemático para cada conjunto de datos se encuentra a continuación.

Bimodal

En forma de campana / simétrico

Sesgados a la izquierda

Uniforme

En los datos etiquetados como «sesgados a la izquierda», ¿la mayoría de los datos están del lado izquierdo o derecho?

Describe la forma que crees que tomarían los datos en cada uno de los escenarios a continuación. a.

Edades de las personas que publican diariamente en las redes sociales

Cantidad de hermanos de las personas de la clase

Alturas de las niñas de tu escuela

Edades de las personas en un partido de béisbol de las ligas menores

Resultados al lanzar un dado

Puntos que anota el equipo de fútbol en cada partido

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Statistics Explore 1 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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ESTADÍSTICAS

Parte II: Investigación de la clase de la Sra. Ortega, continuación

El diagrama de puntos y el diagrama de caja representan los mismos datos para los estudiantes de la clase de la Sra. Ortega. Analiza los datos de la clase de la Sra. Ortega para tomar decisiones sobre el centro y la distribución de los datos. Tiempo por día al teléfono

Completa la tabla para ayudarte a analizar los datos de la clase de la Sra. Ortega. Clase de la Sra. Ortega Media Llena los espacios en blanco con el uso de las palabras media y mediana.

Media

es mayor que el

¿Los datos están sesgados a la izquierda, a la derecha o son simétricos? Explica cómo se relaciona la forma con la media y la mediana.

¿Crees que es más fácil ver la forma de los datos desde el diagrama de puntos o el diagrama de caja?

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Statistics

Explore 1 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

ESTADÍSTICAS

La clase de la Sra. Ortega recopiló y analizó más datos sobre dos temas diferentes. Usa los datos para confirmar o revisar tu conclusión sobre la relación entre la forma y la media o la mediana. Datos de conducción

Datos del almuerzo

¿Cuántas millas conduces a la escuela cada día?

¿Cuánto gastas en el almuerzo cada día?

Forma: Sesgada a la derecha

Forma: Simétrica

Media: 6.6

Media: 5

Mediana: 5

Mediana: 5.1

¿Es la media o la mediana una mejor representación del centro de los datos del almuerzo? Explica con el uso de la forma de la gráfica para justificar tu posición.

¿Cómo se relaciona la relación entre la media y la mediana con la forma de los datos cuando la media y la mediana son similares? ¿Cómo se relaciona cuando la media es mayor que la mediana? ¿Cómo se relaciona cuando la media es menor que la mediana?

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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Statistics Explore 1

ESTADÍSTICAS

Reflexiona 1.

¿Cómo afecta la forma de los datos a la media y la mediana?

Explica la forma de los datos que esperarías para los siguientes tipos de media y mediana. a.

La media es menor que la mediana.

La media y la mediana son similares.

La media es mayor que la mediana.

Si supieras que la forma de un conjunto de datos es simétrica, ¿qué sabrías sobre la media y la mediana del conjunto de datos?

Si supieras que la forma de un conjunto de datos está sesgada hacia la derecha, ¿qué sabrías acerca de la media y la mediana?

Crea un escenario que sea bimodal.

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ESTADÍSTICAS

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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ESTADÍSTICAS

EXPLORAR 1: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Cómo te ayudó trabajar con tu grupo a comprender mejor la forma de los datos?

2. ¿Cuál fue la parte más desafiante de analizar los datos y cómo la superaste?

3. ¿Cómo puedes usar lo que aprendiste sobre las formas de los datos en situaciones de la vida real?

4. ¿Por qué es importante elegir la medida adecuada de tendencia central y de variabilidad al analizar datos?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se relaciona el concepto de valores atípicos en la actividad Hook con la identificación de datos sesgados en la actividad EXPLORAR? Considera cómo la eliminación de valores atípicos podría afectar la simetría o la asimetría de un conjunto de datos.

2. En la actividad Hook, la familia Enriquez quería determinar si el precio de su casa era una buena oferta analizando los precios de venta de otras casas. ¿Cómo pueden las habilidades que practicaste en la actividad EXPLORAR, como determinar la mejor medida de tendencia central y de variabilidad, ayudar a la familia Enriquez a tomar una decisión más informada?

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ESTADÍSTICAS

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Statistics Explore 1

ÁLGEBRA 1

ESTADÍSTICAS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 1

Figura de los datos BOLETO DE SALIDA Boleto de salida

Relaciona cada diagrama de caja de la tabla con una descripción de la figura de los datos que se enumeran a continuación. A. Simétrica B. Sesgada a la izquierda C. Sesgada a la derecha Empareja cada diagrama de caja de la tabla con una descripción de las medidas de centro que se enumeran a continuación. D. La media y la mediana son similares. E. La media es mayor que la mediana. F. La media es menor que la mediana.

Diagrama de caja

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Descripción de la forma

Descripción de las medidas de centro

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ÁLGEBRA 1

ESTADÍSTICAS

NOMBRE _____________________________________________

Statistics Part 1

EXPLORAR 1

FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Figura de datos

Tomás calculaba cuántos pases más por partido completó en su último año de fútbol americano en comparación con su penúltimo año. Examina los datos siguientes para cada temporada y completa la tabla.

Penúltimo año

Último año

Media Mediana Sesgada hacia la izquierda, derecha o simétrica Mejor representación del centro

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263

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Statistics Part 1 ESTADÍSTICAS

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Tomás está ahora interesado en ver los datos de la distancia de cada paso completo en su último año. Observa los datos siguientes para la distancia de sus pases completos durante dos partidos y responde a las preguntas que siguen.

Describe la figura de la gráfica.

¿Sería más apropiado usar la media o la mediana como medida de centro para este conjunto de datos? ¿Sería apropiado utilizar ambas? ¿Ninguno de los dos sería apropiado? ¿Por qué?

A veces los datos pueden llevarnos a sacar conclusiones. Volvamos a ver los datos de la página anterior. Podríamos suponer que el incremento en el número de pases completos por partido de Tomás, se debe al mejoramiento de sus habilidades de pase. ¿Cuál es otra posible explicación para este aumento?

Crea un conjunto de datos con al menos cinco puntos en los que la mediana sea mayor que la media.

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ÁLGEBRA 1

ESTADÍSTICAS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 2: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que estás en la clase de matemáticas del señor Williams, y es hora de un desafío divertido y educativo: ¡el Torneo de Trashketball! Cada día, tú y tus compañeros se turnarán para lanzar pelotas de papel a una papelera pequeña. A lo largo de nueve días, registrarás tus puntuaciones y analizarás los datos para entender qué tan constante eres. Aprenderás a calcular la media y la desviación estándar, lo que te ayudará a ver cómo se comparan tus puntuaciones con las de tus compañeros. En esta actividad, aprenderás a calcular y analizar la desviación estándar utilizando datos de un divertido juego de trashketball. Explorarás cómo se relacionan la media y la desviación estándar y verás cómo los cambios en los datos afectan estos valores. Trabajarás en grupos, lanzarás bolas de papel y discutirás tus hallazgos con tus compañeros de clase.

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ESTADÍSTICAS

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

ESTADÍSTICAS

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 2

FECHA ______________________________

Statistics Explore 2

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Torneo de básquetbol Parte I

Usa las tarjetas de datos del documento «Tarjetas de datos del jugador del torneo de básquetbol» para analizar a los jugadores y justificar la selección de tu reclutamiento al usar la media y la desviación estándar. 1.

¿Qué jugador crees que es el mejor tirador y por qué?

¿Qué jugador tiene el promedio más alto de puntos?

¿Cómo describirías las diferencias en las tarjetas de los jugadores?

Si el Sr. Williams ofreciera dejar sin tarea para la noche a alguien que pudiera hacer 4 de sus 6 tiros, ¿a quién elegirías para tirar y por qué?

Si el Sr. Williams ofreciera dejar sin tarea durante tantos días como la cantidad de tiros hechos de 6, ¿a quién elegirías para tirar y por qué?

¿Por qué simplemente encontrar la media no nos da suficiente información sobre cada uno de los tiradores?

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1 267

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Statistics

Explore 2 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

ESTADÍSTICAS

Completa la tabla para organizar tus pensamientos. Menos consistente

Intermedio

Más consistente

Jugador ¿Qué tan lejos están los puntos de datos del centro? ¿A qué distancia están los puntos de datos entre sí? 8.

Vamos a ver una nueva medida de dispersión llamada desviación estándar para ver cómo difiere para cada tirador. Tirador

Media

Desviación estándar

Joaquín

1.63

Reyansh

Amari

2.11

Grace

1.89

¿Cómo se relacionan los valores de la desviación estándar con tus respuestas en la tabla de la pregunta 7?

Hay otro jugador en la clase, Charles, que también tenía una media de 4 y una desviación estándar de 2.83. ¿Qué puedes decir sobre el rendimiento de tiro de Charles?

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

Parte II

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

Statistics Explore 2

ESTADÍSTICAS

Pruebas de básquetbol Resultados de tiro

Marca tus puntos con un ✅. Marca tus fallos con un ✘.

Cestas totales realizadas Resultados del grupo

Jugador

Cantidad de puntos 3

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Statistics Explore 2 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

ESTADÍSTICAS

Pruebas de básquetbol Resultados de cálculo

Tarjeta de estadísticas de grupo ___ Media:

Desviación estándar:

Usa los datos de la clase, ¿qué grupo tenía los datos más agrupados? ¿Cómo lo sabes?

¿Qué grupo tuvo la mayor dispersión en sus datos? ¿Cómo lo sabes según la tarjeta de estadísticas?

El Sr. Williams quiere dar premios a los grupos como premios por sus juegos. ¿Qué premios le sugerirías que les diera en base a las estadísticas?

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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Statistics Explore 2

ESTADÍSTICAS

Reflexiona 1.

¿Cómo se relaciona la desviación estándar con la media?

Dibuja un diagrama de puntos que también tenga 6 puntos de datos y una desviación estándar mayor que el siguiente diagrama.

¿Sería posible tener una desviación estándar menor que 0? ¿Por qué sí o por qué no?

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ESTADÍSTICAS

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ESTADÍSTICAS

EXPLORAR 2: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Cómo afectó cambiar los datos a la media y la desviación estándar en los resultados de tu grupo?

2. ¿Qué te resultó desafiante al calcular la desviación estándar y cómo lo superaste?

3. ¿Por qué es importante comprender la relación entre la media y la desviación estándar al analizar datos?

4. ¿Cómo trabajar en grupo te ayudó a comprender mejor el concepto de desviación estándar?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo ayuda comprender el concepto de desviación estándar a la familia Enriquez a determinar si la casa de $288,000 es un buen trato en comparación con otras casas en Hickory Lane?

2. En la actividad de Trashketball, aprendiste cómo alterar los datos afecta la media y la desviación estándar. ¿Cómo puede este conocimiento ayudar a la familia Enríquez a decidir si deben excluir los valores atípicos al analizar los precios de las viviendas?

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ESTADÍSTICAS

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

Statistics Explore 2

ÁLGEBRA 1

ESTADÍSTICAS

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 2

FECHA ______________________________

Desviación estándar BOLETO DE SALIDA Boleto de salida Sin calcular, haz coincidir cada desviación estándar con cada conjunto de datos. Cada respuesta se utilizará una sola vez.

Desviación estándar

Conjunto de datos 1

⬤

1.7

⬤

3.3

⬤

Conjunto de datos 2

Conjunto de datos 3

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ESTADÍSTICAS

276

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

ESTADÍSTICAS

NOMBRE _____________________________________________

Statistics Part 2

EXPLORAR 2

FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Desviación estándar 1.

Examina las dos gráficas siguientes.

¿Cuál gráfica tiene la mayor desviación, la A o la B? ¿Por qué?

Sin hacer ningún cálculo, ¿cuál de las dos gráficas siguientes tendría una desviación típica de 0? ¿Por qué?

El conjunto de datos A = [4, 4, 4, 6, 6, 6] tiene una media de 5 y una desviación estándar de 1. ¿Cuál será la nueva media y desviación estándar si todos los puntos de datos se multiplican por 10 para crear el nuevo conjunto de datos B = [40, 40, 40, 60, 60, 60]?

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ESTADÍSTICAS

Statistics Part 2

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Compara las dos gráficas de cada fila en la tabla de abajo y describe cómo cambia la media y la desviación estándar de la primera gráfica a la segunda.

Cambio en media

Cambio en desviación estándar

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ÁLGEBRA 1

ESTADÍSTICAS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 3: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que estás en la clase de historia del señor Thomas, y él muestra orgulloso a la clase un diagrama de caja de las calificaciones del último examen. Ishaan, uno de tus compañeros, nota algo extraño. Sospecha que hay valores atípicos que podrían significar que la clase merece un reexamen. Únete a Ishaan y al señor Thomas mientras profundizan en los datos para averiguar si los valores atípicos están afectando los resultados y si realmente se necesita un reexamen. En esta actividad, aprenderás sobre los valores atípicos en los datos. Utilizarás la regla de 1.5 × IQR (RIC) para identificar valores atípicos y ver cómo afectan a los promedios y a la dispersión de los datos. También discutirás cuándo conviene conservar o excluir valores atípicos y explorarás sus orígenes. Esto ayuda a comprender los datos con mayor precisión.

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ESTADÍSTICAS

280

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

ESTADÍSTICAS

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 3

FECHA ______________________________

Statistics Explore 3

DIARIO DEL ESTUDIANTE

¿Una prueba exitosa? Parte I: Comprender los valores atípicos 1.

El Sr. Thomas le da a Ishaan los datos de la clase, que convierte en un diagrama de puntos y un diagrama de caja. ¿Crees que hay valores atípicos? Si es así, ¿qué identificarías como un caso atípico y por qué?

Identifica el mínimo, el cuartil uno, la mediana, el cuartil tres y el máximo.

¿Qué representación hizo que fuera más fácil encontrar esta información y cómo se ven los posibles valores atípicos en este diagrama de datos?

¿Cuánto más largo es el primer margen que la caja interior?

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1 281

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Statistics

Explore 3 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

ESTADÍSTICAS

Una forma de determinar si hay valores atípicos que no deben incluirse en el conjunto de datos, es multiplicar el rango intercuartil (IQR), que es la longitud de la caja, por 1.5 y excluir cualquier valor de esta distancia menor que el cuartil 1 o mayor que el cuartil 3. Completa la siguiente tabla para determinar si hay valores atípicos. Datos 1.5 veces del IQR Menor que el Q1 Cálculos

Datos 1.5 veces del IQR Mayor que el Q3

70 − 1.5(28) = 28

Valores atípicos 6.

¿Por qué la puntuación de 30 no es un valor atípico con este método?

El cuaderno del estudiante dice: «Siempre que un estudiante demuestre una deficiencia en el dominio del material, siendo un caso atípico, el estudiante individual puede solicitar una repetición según la disponibilidad del maestro. Si hay 3 o más estudiantes que muestran una deficiencia de aprendizaje, la clase puede solicitar una recuperación a disponibilidad del maestro». ¿Se le debe a los estudiantes individuales o a la clase una repetición? ¿Por qué los valores atípicos son una buena forma matemática de determinar el estado de recuperación y qué afectan?

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Statistics Explore 3

ESTADÍSTICAS

Parte II: El impacto de los valores atípicos

Analiza los dos diagramas de puntos de las clases de Ciencias del Sr. Fynn a continuación.

¿Cómo afectan los valores atípicos 10, 20 y 25 en el período 2 las medidas de centro para los datos del período 1?

Usa la siguiente información para responder las preguntas 2 y 3. En el período 1, hubo parejas que ganaron el juego de revisión y pudieron aplicar crédito adicional. 2.

Describe qué pasaría con la media y la mediana en el período 1 si se agregaran puntajes de 200 y 150 a los datos.

¿Qué conclusión puedes sacar sobre la forma de los datos si la mediana es más pequeña que la media? ¿Qué conclusión puedes sacar si la media y la mediana son similares? ¿Qué conclusión puedes sacar si la mediana es mayor que la media?

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Statistics Explore 3 ESTADÍSTICAS

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Analiza los dos diagramas de caja de la clase de inglés del 5. o período de la Sra. Paola a continuación.

¿Cómo afectan los valores atípicos 10, 95 y 100 las medidas de variabilidad?

Supongamos que la Sra. Paola decidió incluir solo el valor atípico de 10. No incluyó 95 y 100 porque sus puntajes no eran válidos. ¿Cómo se verían afectados el IQR y la desviación estándar?

La Sra. Paola cree que debido a que tanto el IQR como la desviación estándar cambian, no importaría cuál consideraría cuando hay valores atípicos. Explica si estás de acuerdo o en desacuerdo.

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Explore 3 ESTADÍSTICAS

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Parte III: Analizar el origen y la inclusión de valores atípicos Placajes realizados esta temporada por jugadores individuales 3, 50, 57, 60, 70, 75, 84, 85, 88, 90, 120

Media

Desviación estándar

71.091

28.308

Resumen de cinco números Mínimo

Mediana

Máximo

120

Identifica el(los) valor(es) atípico(s) y formula hipótesis sobre las posibles causas de los valores atípicos.

Genera ideas con tu grupo sobre varios escenarios en los que creas que los valores atípicos deberían o no incluirse. Escenarios para incluir valores atípicos

Escenarios que no están claros

Escenarios para excluir valores atípicos

Asume que no conoces la razón detrás de ninguno de los datos, ¿debería el entrenador usar el(los) valor(es) atípico(s) al analizar los datos?

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285

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Statistics

ESTADÍSTICAS

Explore 3 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Reflexiona 1.

¿Cómo afectan los valores atípicos a las medidas de centro?

¿Cómo afectan los valores atípicos a las medidas de variabilidad?

Encierra con un círculo qué medida elegirías en cada uno de los siguientes escenarios. a.

Datos sesgados Media o mediana

Datos simétricos Media o mediana

Datos con un valor atípico Media o mediana

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ESTADÍSTICAS

EXPLORAR 3: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué es un valor atípico y cómo puede afectar al conjunto de datos en general?

2. ¿Por qué es importante considerar el origen de un valor atípico antes de decidir si incluirlo o excluirlo de los datos?

3. ¿Cómo afectan los valores atípicos a la media y a la mediana de manera diferente, y por qué una podría ser una mejor medida de tendencia central en ciertas situaciones?

4. ¿Puedes pensar en un ejemplo de la vida real en el que sea importante incluir un valor atípico en el análisis de datos? ¿Por qué?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se relaciona el concepto de valores atípicos en la actividad de Exploración con el proceso de toma de decisiones de la familia Enriquez en la actividad de Gancho? Considera cómo la identificación de valores atípicos podría afectar su análisis de los precios de las casas en Hickory Lane.

2. En ambas actividades, Hook y EXPLORAR, ¿por qué es importante determinar si los valores atípicos deben incluirse o excluirse en el análisis de datos? Analiza cómo esta decisión afecta las conclusiones extraídas en cada escenario.

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ESTADÍSTICAS

288

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Statistics Explore 3 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

ESTADÍSTICAS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 3

Valores atípicos BOLETO DE SALIDA Boleto de salida

Analiza los resultados en la prueba de geometría de la Sra. Saanvi, donde los estudiantes pueden obtener una puntuación de hasta el 100 %. Puntuaciones en la prueba de geometría 20, 60, 60, 65, 70, 70, 70, 80, 1,000 Valores atípicos 20, 1,000 Resumen de cinco números

Media

Desviación estándar

Mínimo

Mediana

Máximo

166.11

295.30

1000

IQR 15 1.

¿Cómo se calcularon los valores atípicos? A. B. C. D.

¿Qué medidas debería usar la Sra. Saanvi para revisar las pruebas de su clase? Selecciona todas las que correspondan. A. B. C. D.

Se eligieron todos los valores extremos. Se usó la regla IQR · 1.5. Se usó la regla IQR ± 1.5. Se utilizó la media y la desviación estándar.

Media Desviación estándar Mediana IQR

¿Qué le aconsejarías a la Sra. Saanvi sobre sus valores atípicos?

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289

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ESTADÍSTICAS

290

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ÁLGEBRA 1

ESTADÍSTICAS

NOMBRE _____________________________________________

Statistics Part 3

EXPLORAR 3

FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Valores atípicos

Para la clase de salud, se le ha pedido a los alumnos que mantengan un registro de sus pasos durante una semana y den la cantidad promedio por día, redondeado al millar más cercano. Los datos de los 17 alumnos en la clase se dan abajo. S = [0; 6,000; 6,000; 8,000; 8,000; 8,000; 10,000; 10,000; 10,000; 10,000; 10,000; 12,000; 12,000; 12,000; 14,000; 14,000; 40,000] 1.

Crea un diagrama de puntos para los datos de la clase.

Calcula y completa el sumario de cinco números de los datos de la siguiente tabla. Sumario de cinco números Mínimo

Mediana

Máximo

IQR

Crea un diagrama de caja para los datos.

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Statistics Part 3 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

ESTADÍSTICAS

Determina si hay valores atípicos en los datos. Datos 1.5 veces menor que Q1

Datos 1.5 veces mayor que Q3

Calculaciones Valores atípicos 5.

¿Cómo cambiaría el diagrama de caja de estos datos si se eliminaran los valores atípicos?

¿Cuáles son las medias de los datos con y sin los valores atípicos? Redondea tus cantidades al número entero más cercano.

¿Cómo cambia la mediana cuando eliminamos los valores atípicos?

¿Cómo describirías la figura de los datos con y sin los valores atípicos si se comparan las medias con las medianas? Explica tu respuesta.

En estos datos, los valores atípicos son posibles errores. ¿Qué puede haber ocurrido para que estos 2 números sean erróneos?

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ESTADÍSTICAS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 4: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que eres Montrell, un estudiante en una escuela local donde el programa de arte podría ser recortado. Tú y tus amigos aman el arte y la música y quieren convencer al consejo escolar de mantener el programa. Para ello, han recopilado datos de una encuesta sobre la participación de los estudiantes en arte y música. Tu tarea es organizar estos datos utilizando una tabla de frecuencias de doble entrada para mostrar claramente la importancia de estos programas. En esta actividad, aprenderás a organizar y analizar datos utilizando tablas de frecuencia de doble entrada. Trabajarás en grupos para categorizar resultados de encuestas, identificar frecuencias conjuntas y marginales, y calcular porcentajes. Esto te ayudará a comprender cómo presentar los datos de manera clara y eficaz, facilitando su interpretación y su uso en la toma de decisiones.

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ESTADÍSTICAS

294

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NOMBRE _____________________________________________

ESTADÍSTICAS

EXPLORAR 4

FECHA ______________________________

Statistics Explore 4

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Financiación del arte de corte Parte I: Representación eficiente 1.

Analiza los resultados de la encuesta sobre participación artística en el documento «Resultados de la encuesta sobre participación artística». ¿Es esta la mejor manera de dar los datos a la junta escolar? ¿Por qué sí o por qué no?

Genera ideas sobre algunas formas diferentes de representar los resultados de la encuesta sobre participación artística. ¿Cuál podría ser la forma más eficiente de presentar los resultados de la encuesta a la junta escolar?

Montrell quiere usar una tabla de doble entrada o una gráfica de barras segmentadas. ¿Cuál sería el mejor para analizar los datos? ¿Cuál sería el mejor para presentar a la junta?

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Statistics Explore 4 STUDENT NOTEBOOK

GRADE 3LIBRO DEL ESTUDIANTE ÁLGEBRA 1

ESTADÍSTICAS

Parte II: Tablas de doble entrada y frecuencia relativa conjunta 1.

Describe la información que falta en la siguiente tabla de doble entrada y luego complétala.

Resultados de la encuesta Es miembro de la banda

No es un miembro de la banda

Toma clases de Arte

No toma clases de Arte

Total

Total 2.

¿Qué representa el 12 en la tabla?

De todos los estudiantes encuestados, ¿cuántos están en la banda?

De todos los estudiantes encuestados, ¿cuántos están en la banda y toman clases de Arte?

¿Qué representa el 6 en la tabla?

De todos los estudiantes encuestados, ¿cuántos toman clases de Arte y no son miembros de la banda?

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Statistics Explore 4

ESTADÍSTICAS

Un miembro de la junta escolar que no quiere ver recortes en los fondos ofrece sentarse contigo antes de la reunión y ayudarte a pulir tu presentación. El miembro de la junta sugiere y establece una tabla de frecuencia relativa y una gráfica de barras segmentadas para representar los resultados de la encuesta. 7.

Usa las indicaciones a continuación para ayudarte a calcular las frecuencias relativas conjuntas a.

¿Cuál es el porcentaje de todos los estudiantes encuestados que toman clases de arte y son miembros de la banda? ¿Cuál es el porcentaje de todos los estudiantes encuestados que toman clases de arte y no son miembros de la banda?

¿Cuál es el porcentaje de todos los estudiantes encuestados que son miembros de la banda y no toman clases de arte? ¿Cuál es el porcentaje de todos los estudiantes encuestados que no son miembros de la banda ni toman clases de arte?

Usa las frecuencias relativas conjuntas para completar la tabla y la gráfica de barras segmentadas en el documento «Tapete de trabajo, parte II».

¿Qué representación crees que es más clara y por qué?

10. ¿Por qué podría ser más persuasivo presentar los datos sobre los estudiantes que toman clases de Arte y que no están en la banda como un porcentaje en lugar de la cantidad de estudiantes?

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297

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ESTADÍSTICAS

Parte III: Tablas de doble entrada y frecuencia marginal relativa 1.

Usa la tabla de frecuencias relativas de doble entrada en el documento «Tapete de trabajo, parte III» para llenar los espacios en blanco de las frecuencias relativas conjuntas que se describen a continuación. a. _____ de todos los estudiantes encuestados son miembros de la banda y no toman clases de Arte. b. _____ de todos los estudiantes encuestados son estudiantes de Arte y miembros de la banda. c. _____ de todos los estudiantes encuestados son estudiantes de clases de Arte y no son miembros de la banda. d. _____ de todos los estudiantes encuestados no son miembros de la banda y no toman clases de arte.

¿Por qué crees que todas las probabilidades de la pregunta 1 se llaman frecuencias relativas conjuntas?

Usa la información del documento «Tapete de trabajo, parte III» para determinar los porcentajes que llenan los espacios en blanco a continuación. Usa estos valores para completar correctamente las frecuencias relativas marginales en el documento «Tapete de trabajo, parte III». Las frecuencias relativas marginales están fuera de la tabla y representan los totales. a. _____ son estudiantes miembros de la banda. b. _____ no son estudiantes miembros de la banda. c. _____ son estudiantes de Arte. d. _____ no son estudiantes de Arte.

Explica cómo se usaron los números de la tabla de doble entrada para obtener el 51 %. 4

298

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Statistics Explore 4 ESTADÍSTICAS

Lee cada enunciado a continuación que se te puede presentar en la reunión de la junta y luego escribe cuál sería tu contraargumento para la junta escolar. 5.

Solo 10 personas encuestadas son miembros de la banda y toman clases de arte. Parece que no hay muchas personas que aprovechen estas oportunidades.

Dado que hubo más estudiantes en tu encuesta que no son miembros de la banda, se debe interrumpir la banda.

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299

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Statistics

Explore 4 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

ESTADÍSTICAS

Reflexiona 1.

Explica cómo podría usar frecuencias relativas conjuntas o frecuencias marginales para verificar los resultados de la tabla de frecuencias de doble entrada.

Usa los valores provistos para completar la tabla de frecuencias de doble entrada y luego explica cómo realizaste al menos un cálculo.

Tabla de frecuencias de doble entrada

Helado de fresa

Helado de galletas y crema

Niños

Total 18

Adultos

Total

¿Por qué es útil una tabla de doble entrada?

300

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ESTADÍSTICAS

EXPLORAR 4: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Cómo ayudó el uso de una tabla de doble entrada a comprender mejor los datos de la encuesta?

2. ¿Cuál fue la parte más desafiante de crear o interpretar la tabla de frecuencias de doble entrada y cómo la superaste?

3. ¿Por qué crees que es importante conocer tanto las frecuencias conjuntas como las marginales al analizar datos?

4. ¿Cómo puedes utilizar la información de la tabla de frecuencias relativas para hacer un argumento sólido a favor de mantener el programa de arte?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo puede Montrell utilizar el concepto de valores atípicos de la actividad HOOK para presentar mejor los datos en la tabla de frecuencias de doble entrada durante la actividad EXPLORAR?

2. En ambas actividades HOOK y EXPLORAR, ¿por qué es importante organizar y analizar los datos de manera efectiva y cómo puede el uso de tablas de doble entrada y medidas estadísticas ayudar a tomar decisiones informadas?

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ESTADÍSTICAS

302

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9/13/25 6:10 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

Statistics Explore 4

ÁLGEBRA 1

ESTADÍSTICAS

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 4

FECHA ______________________________

Tabla de frecuencias de doble entrada BOLETO DE SALIDA Boleto de salida 9.o y 10.o

11.o y 12.o

Total

Conduce a la escuela

Toma el autobús

Total

Se realizó una encuesta sobre cómo llegan los estudiantes a la escuela. 1.

De los estudiantes que respondieron la encuesta, ¿qué porcentaje de estudiantes están en el 11.o o 12.o grado y conducen a la escuela?

De los estudiantes que respondieron la encuesta, ¿qué porcentaje de estudiantes toman el autobús? Statistics Explore 4

Tabla de frecuencias de doble entrada Boleto de salida o

9. y 10.o

11. y 12.o

Total

Conduce a la escuela

Toma el autobús

Total

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Se realizó una encuesta sobre cómo llegan los estudiantes a la escuela. 1.

De los estudiantes que respondieron la encuesta, ¿qué porcentaje de estudiantes están en el 11.o o 12.o grado y conducen a la escuela?

De los estudiantes que respondieron la encuesta, ¿qué porcentaje de estudiantes toman el autobús?

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ESTADÍSTICAS

304

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ÁLGEBRA 1

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ESTADÍSTICAS

NOMBRE _____________________________________________

Statistics Part 4

EXPLORAR 4

FECHA ______________________________

LO QUE SABES Tabla de frecuencia deMUESTRA doble entrada Para un proyecto de tarea, Ian decidió hacer una encuesta sobre el consumo de cafeína entre los estudiantes justo antes de los exámenes finales. Observa la tabla de frecuencias de abajo. Completa los datos que faltan y responde a las preguntas que siguen. Masculino

Femenino

Cafeína

Sin cafeína

Total

¿Cuántos alumnos respondieron a la encuesta?

¿Cuántos alumnos de los que respondieron a la encuesta son masculinos y cuántas son femeninas?

¿Qué porcentaje de alumnos que consumieron cafeína antes de los exámenes son varones?

¿Qué porcentaje de alumnos consumió cafeína antes de los exámenes?

¿Qué porcentaje consumió cafeína de todas las femeninas encuestadas?

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305

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Statistics Part 4 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

ESTADÍSTICAS

Después de observar la diferencia entre los alumnos masculinos y femeninos, Ian decidió comprobar si la cantidad de alumnos que consumían cafeína antes de los exámenes variaba de acuerdo a su curso escolar. Completa los espacios en blanco de la tabla de frecuencias mientras respondes a las preguntas que siguen. Primer año Cafeína

Segundo año

Penúltimo año

Sin cafeína

Total

Último año

Total

55 10

85 60

200

¿Cuántos jóvenes de penúltimo año en total respondieron a la encuesta?

¿Cuántos jóvenes de primer año consumieron cafeína antes de los exámenes?

¿Qué porcentaje de alumnos de segundo año no consumió cafeína antes de los exámenes?

¿Qué porcentaje de jóvenes de penúltimo año consumió cafeína antes de los exámenes?

10.

¿Qué porcentaje de jóvenes del último año consumió cafeína antes de los exámenes?

11.

¿Parece haber una tendencia en el consumo de cafeína por parte de los estudiantes según su grado? Explica.

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ÁLGEBRA 1

ESTADÍSTICAS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 5: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que eres Tyrese, un adolescente que trabaja en un gimnasio. Tu jefe cree que los jóvenes pasan demasiado tiempo en las redes sociales. Para poner a prueba esta idea, decides encuestar a los asistentes al gimnasio sobre su edad y sus hábitos en redes sociales. Al analizar los datos, descubrirás si hay algo de verdad en la afirmación de tu jefe. En esta actividad, aprenderás a crear y comprender tablas que muestran con qué frecuencia ocurren cosas juntas, como la edad y el uso de las redes sociales. Explorarás si ciertos grupos usan más las redes sociales y verás si la edad afecta su uso. Al trabajar con tus compañeros de clase, aprenderás a interpretar datos y encontrar patrones.

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ESTADÍSTICAS

308

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ESTADÍSTICAS

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 5

FECHA ______________________________

DEL ESTUDIANTE Presencia en redes DIARIO sociales Parte I: Tablas de frecuencias relativas 1.

Los resultados de la encuesta de Tyrese se enumeran en la siguiente tabla de doble entrada. Completa la tabla de frecuencias relativas de doble entrada para que Tyrese pueda ver los resultados como un porcentaje de la cantidad total de personas encuestadas. 25 Mayores años y de 25 menos años

25 Mayores años y de 25 Total menos años 1+ hora en redes sociales diariamente

1+ hora en redes sociales diariamente

Menos de 1 hora en redes sociales diariamente

Total

30 %

100 %

Evalúa los enunciados a continuación con base en los resultados de Tyrese. Si el enunciado es incorrecto, escribe una corrección. a.

El 35 % de todas las personas encuestadas tenían más de 25 años y pasaban más de una hora en las redes sociales cada día.

El 30 % de todas las personas de 25 años o menos usaron las redes sociales durante más de una hora cada día.

Alrededor del 44 % de las personas mayores de 25 años usaban las redes sociales menos de una hora al día. 1

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ESTADÍSTICAS

Evalúa las siguientes probabilidades condicionales. a.

De las personas de 25 años o menos, ¿qué porcentaje usa las redes sociales durante más de una hora cada día?

¿Qué porcentaje de personas que usan las redes sociales menos de una hora al día tienen más de 25 años?

De las personas que usan las redes sociales durante más de una hora cada día, ¿qué porcentaje tiene 25 años o menos?

¿Por qué fueron diferentes las respuestas a la parte a y la parte c cuando ambas preguntaron sobre los mismos grupos?

¿En qué se diferencian estas probabilidades condicionales de las probabilidades de la tabla de frecuencias relativas que hiciste en la pregunta 1?

310

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Statistics

STUDENT NOTEBOOK

ESTADÍSTICAS Explore 5

Parte II: Analizar asociaciones 1.

Completa la tabla de probabilidad condicional en función de las columnas o edades de los encuestados. 25 años y menos

Mayores de 25 años

Total

1+ hora en redes sociales diariamente

18 81 %

21 ___ %

39 65 %

Menos de 1 hora en redes sociales diariamente

4 19 %

17 ___ %

21 35 %

22 100 %

38 100 %

60 100 %

Total 2.

Con el uso de la tabla anterior, llena el espacio en blanco para completar la siguiente oración. De todas las personas mayores de 25 años en esta encuesta, el ____ % pasa menos de una hora en las redes sociales.

Complete la tabla de probabilidad condicional según las filas o la cantidad de uso de las redes sociales. 25 años y Mayores menos de 25 años

Total

1+ hora en redes sociales diariamente

18 ___ %

21 ___ %

39 100 %

Menos de 1 hora en redes sociales diariamente

4 ___ %

17 ___ %

21 100 %

22 ___ %

38 ___ %

60 100 %

Total

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311

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Escribe tu propio enunciado de probabilidad condicional con el uso de la tabla de la pregunta 3 y la frecuencia relativa de las filas.

Según los datos, ¿estás de acuerdo con el jefe de Tyrese en que los jóvenes usan más las redes sociales que las personas mayores?

¿Existe una asociación entre la edad y el uso de las redes sociales? ¿Qué datos de las tablas que creaste usarías para respaldar tu afirmación?

La compañera de trabajo de Tyrese, Laura, dijo que dado que menos de la mitad de las personas encuestadas que pasaron más de una hora en las redes sociales tenían 25 años o menos, eso significa que tu jefe está equivocado. Evalúa la afirmación de Laura.

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ESTADÍSTICAS

Reflexiona 1.

¿Cuál es la diferencia entre una frecuencia conjunta y una frecuencia marginal?

¿Qué hace que encontrar probabilidades condicionales sea complicado cuando se mira una tabla de frecuencias relativas de doble entrada?

Determina en cada enunciado si la frecuencia relativa es conjunta, marginal o condicional. a.

En una encuesta de un periódico estudiantil, el 36 % de los estudiantes que preferían los juegos de los viernes por la noche eran estudiantes de primer año.

En una encuesta de un periódico estudiantil, el 23 % de los encuestados eran estudiantes de segundo año.

En una encuesta de un periódico estudiantil, el 43 % de los estudiantes eran jóvenes que preferían los juegos de los sábados por la noche.

¿Cómo decidiste que la edad y el uso de las redes sociales estaban asociados?

¿Todas las tablas de doble entrada tendrán asociaciones? ¿Por qué sí o por qué no?

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ESTADÍSTICAS

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ESTADÍSTICAS

EXPLORAR 5: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué aprendiste sobre cómo la edad y el uso de las redes sociales podrían estar conectados a partir de tus tablas de datos?

2. ¿Cómo ayudó la creación y el análisis de las tablas de frecuencia a comprender mejor los resultados de la encuesta?

3. ¿Qué dificultades enfrentaste al decidir qué números usar para el numerador y el denominador en tus cálculos?

4. ¿Cómo puedes usar lo que aprendiste de esta actividad para tomar decisiones o formular argumentos en la vida real?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo puedes usar el concepto de tablas de frecuencia relativa de la actividad EXPLORAR para ayudar a la familia Enríquez a determinar si hay valores atípicos en los precios de las casas en Hickory Lane?

2. En la actividad HOOK, la familia Enriquez está preocupada por los valores atípicos en los precios de las viviendas. ¿Cómo puede el cálculo de frecuencias relativas conjuntas y marginales de la actividad EXPLORAR ayudarles a comprender el impacto de esos valores atípicos en el precio promedio de la vivienda?

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ESTADÍSTICAS

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Statistics Explore 5 ÁLGEBRA 1

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ESTADÍSTICAS

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 5

FECHA ______________________________

Probabilidad condicional BOLETO DE SALIDA Boleto de salida

Completa la tabla de frecuencias relativas con base en las columnas, o mayores, de la siguiente tabla de doble entrada. Especialista en negocios

Especialista en arte

Total

Salario inicial $ 40 mil y más

Salario inicial por debajo de $ 40 mil

Total

Especialista Especialista en negocios en arte

Total

Salario inicial $ 40 mil y más Salario inicial por debajo de $ 40 mil Total

100 %

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100 %

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ESTADÍSTICAS

318

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

ESTADÍSTICAS

NOMBRE _____________________________________________

Statistics Part 5

EXPLORAR 5

FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Probabilidad condicional

La clase de biología del Sr. Gómez estudiaba la expresión genética. Estudiaban si los ojos de color oscuro tendían a ir emparejados con el cabello de color oscuro. Cada uno de los alumnos encuestó a 10 personas, de modo que tenían un total de 200 puntos de datos para ver si había una asociación. Sus datos se han recopilado en la tabla de frecuencias de abajo.

Cabello oscuro (marrón oscuro o negro)

Cabello claro (marrón claro o rubio)

Ojos oscuros (marrón)

Ojos claros (azul o verde)

Convierte esta tabla de frecuencias en una tabla de frecuencia relativa con ambas frecuencias, conjuntas y marginales. Cabello oscuro (marrón oscuro o negro) Ojos oscuros (marrón)

Cabello claro (marrón claro o rubio)

Total

0.475

Ojos claros (azul o verde)

0.3

Total

1.0

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319

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Statistics Part 5 ESTADÍSTICAS

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¿Qué porcentaje de personas encuestadas tiene cabello oscuro?

¿Qué porcentaje de personas encuestadas tiene cabello y ojos oscuros?

¿Qué porcentaje de personas encuestadas tiene cabello oscuro y ojos claros?

¿Parece haber una asociación entre el cabello oscuro y los ojos oscuros de acuerdo a estos datos?

¿Qué porcentaje de las personas con ojos de color oscuro, tenía el cabello de color oscuro? Compara esta respuesta con la de la pregunta 2.

¿Qué porcentaje tiene los ojos claros, de todos los encuestados con el cabello oscuro? Compara este valor con el porcentaje general de encuestados con ojos claros.

¿Qué es más probable, que alguien con el cabello oscuro tenga los ojos oscuros o que alguien con el cabello claro tenga los ojos claros? Explícalo.

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

ESTADÍSTICAS

HOOK POST-EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Responda las preguntas. 1. ¿Cómo puede la familia Enriquez usar el método del rango intercuartílico (IQR) para determinar si los precios de las casas de $1 y $610 mil son valores atípicos en Hickory Lane?

2. Si el precio medio de venta de las casas en Hickory Lane es de $300 mil con una desviación estándar de $50 mil, ¿cómo afectaría eliminar la venta de una casa por $1 a la media y a la desviación estándar?

3. Usando un diagrama de puntos, ¿cómo puede la familia Enriquez identificar visualmente si los precios de las casas en Hickory Lane están sesgados, y qué les dice esto sobre la distribución de los precios de las casas?

4. ¿Por qué podría la familia Enriquez elegir usar la mediana en lugar de la media al analizar los precios de las casas en Hickory Lane, especialmente si hay valores atípicos?

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ESTADÍSTICAS

322

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

ESTADÍSTICAS

NOMBRE _____________________________________________

ESQUEMA DE ANCLAJE

FECHA ______________________________

ESQUEMA DE ANCLAJE Desviación estándar ¿Cuán dispersos están los números?

Estadísticas Conjunto de datos 3, 2, 6, 4, 3, 5, 16

Pasos 1. Calcula la media. Media(sin valores atípicos) = 3.8 2.

Resta la media de cada punto de datos. −0.8, −1.8, 2.2, 0.2, −0.8, 1.2

Eleva al cuadrado cada diferencia. 0.64, 3.24, 4.84, 0.04, 0.64, 1.44

Encuentra la media de las diferencias elevadas al cuadrado. 1.81

Valor atípico

Sin valor atípico

Con valor atípico

Media

3.8

5.6

Mediana

3.5

Moda

Rango

Un número que es mucho mayor o mucho menor que el resto

La media está significativamente afectada por el valor atípico.

Saca la raíz cuadrada. 1.35

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ESTADÍSTICAS

324

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Rango

Con valor atípico

Rango

Mediana

ÁLGEBRA 1

______________________________________________________

Describe los efectos de incluir el valor atípico. _________________

Moda

Media

Espacio de trabajo

NOMBRE _____________________________________________

Moda

Mediana

Media

Sin valor atípico

Conjunto de datos: 12, 24, 12, 15, 9, 11, 10, 13

Instrucciones ● Recorta el organizador a continuación y pega en tu cuaderno. ● Llena la tabla luego de usar el espacio de trabajo para calcular la media, la mediana, la moda y el rango. ● Encierra el valor atípico con un círculo rojo, y luego, explica los efectos del valor atípico cuando se incluye en los cálculos.

Statistics

LIBRO DEL ESTUDIANTE ESTADÍSTICAS

FECHA ______________________________

CUADERNO INTERACTIVO

325

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ESTADÍSTICAS

326

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_________________________________________

STUDENT NOTEBOOK

Desviación estándar: _______

_________________________________________

IQR = _______

Q3 = _______

Q2 = _______

¿Qué oferta de trabajo debería aceptar Tara, la Empresa A o la Empresa B? Usa la desviación estándar en tu explicación. _________________________________________

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Q1 = _______

Conjunto de datos: 12, 24, 12, 15, 9, 11, 10, 13

Tarea 2: Lee el escenario y contesta las preguntas. Tara ha recibido ofertas para trabajos de salvavidas en el verano en dos empresas diferentes. El salario promedio por hora para las dos compañías es de $20.

ÁLGEBRA 1

Tarea 1 ● Traza el conjunto de datos en la recta numérica a continuación para crear un diagrama de puntos. ● Calcula la desviación estándar y el IQR para este conjunto de datos. ● Encierra con un círculo azul los valores para el Q1, Q2, y Q3.

Instrucciones ● Recorta las tarjetas a continuación, y pega en tu cuaderno. ● Sigue las instrucciones para cada tarea.

Statistics

LIBRO DEL ESTUDIANTE ESTADÍSTICAS

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ESTADÍSTICAS

328

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

ESTADÍSTICAS

CUADERNO INTERACTIVO

FECHA ______________________________

CUADERNO INTERACTIVO

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329

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ESTADÍSTICAS

330

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

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STUDENT NOTEBOOK

ESTADÍSTICAS

331

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ESTADÍSTICAS

332

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Statistics LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

ESTADÍSTICAS

REVISIÓN EN ESPIRAL

FECHA ______________________________

REVISIÓN EN ESPIRAL

Cortar el Césped por Usted

Los estudiantes de secundaria, Chao y Spencer dirigen el negocio Cortar el Césped por Usted. Por supuesto, muchos niños cortan el césped, pero Chao y Spencer han convertido el corte de césped en un negocio lucrativo. Spencer, estudiante de último año de secundaria, comenzó a cortar el césped a los 8 años. Spencer se dio cuenta de que necesitaba ayuda para mantenerse al día con su creciente lista de clientes durante la escuela secundaria y se asoció con su compañero de clase Chao. Cuando los amigos estaban en la escuela secundaria, habían comenzado a emplear a otros compañeros de clase de la escuela secundaria, que les pagan $9 por hora. Ahora Chao y Spencer hacen malabarismos con la escuela, las visitas a la universidad y las demandas de su empresa, Cortar el Césped por Usted, que ofrece cuidado del césped, limpieza, remoción de nieve y más. La programación es uno de los desafíos que Chao y Spencer enfrentan al administrar su negocio. En el verano, empiezan a trabajar muy temprano en la mañana y están fuera hasta que oscurece. Durante el año escolar, se levantan temprano para trabajar tanto como sea posible antes de que comiencen las clases. Chao y Spencer han trabajado muy duro para construir su negocio, y no solo cosechan los beneficios, sino que buscan oportunidades para que Cortar el Césped por usted crezca.

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Statistics GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

ESTADÍSTICAS

Chao completó los servicios de corte de césped para algunos clientes que pagan $25 y algunos clientes que pagan $40. Chao ganó un total de $900 después de terminar con 30 clientes. ¿Cuántos clientes le pagaron a Chao $25?

Chao y Spencer están considerando comprar una nueva cortadora de césped de bajo consumo. Los niños pueden encontrar el costo del combustible especializado resolviendo x en la siguiente ecuación.

¿Qué valor de x hace verdadera esta ecuación?

Durante la temporada de invierno, los empleados de Cortar el Césped por Usted pueden ganar un pago extra de no más de $120 por día. Los empleados ganan $2 adicionales por hora paleando nieve y $6 por hora por la instalación de luces navideñas. Escribe una desigualdad que mejor represente este escenario. Usa x para representar las horas dedicadas a palear nieve e y para representar las horas dedicadas a las luces navideñas.

El siguiente sistema de ecuaciones se puede usar para encontrar el número de palas, p, y el número de rastrillos, r, que compró Spencer. 12r + 6p = 72 s = 7 + 0.5r ¿Cuál es la solución del sistema de ecuaciones?

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ÁLGEBRA 1

Skills Quiz

ESTADÍSTICAS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

PRUEBA DE HABILIDADES

Name: ___________________________ Date: ________________

PRUEBA DE HABILIDADES

Estadísticas 1.

Las tasas del pulso en reposo de 16 chicos de la clase de gimnasia se registraron antes de que hicieran ejercicio. Las tasas del pulso fueron 85, 83, 82, 79, 85, 80, 80, 79, 80, 81, 83, 82, 83, 80, 83 y 82. Crea un diagrama de puntos para representar los datos.

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335

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ESTADÍSTICAS

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Skills Quiz

Utiliza la siguiente información para responder las preguntas 2 y 3. Los tiempos de compra de dos grupos en el centro comercial Centro de la Ciudad fueron registrados y presentados en los siguientes diagramas de caja.

¿Qué grupo tuvo una mayor mediana del tiempo de compra?

¿Qué grupo tuvo un mayor rango intercuartil (IQR)?

336

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GRADE 3 STUDENT NOTEBOOK Skills Quiz MULTIPLICATION MODELS

ÁLGEBRA 1

ESTADÍSTICAS

Utiliza la siguiente información para responder las preguntas 4 y 5. El siguiente histograma muestra los resultados del examen final de Álgebra 1 de las clases del Sr. Álvarez.

4. ¿Cuántos estudiantes en total hicieron el examen final? 5. ¿Cuántos estudiantes obtuvieron al menos un 80 o más?

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337

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ESTADÍSTICAS

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Skills Quiz

6. ¿Cuál opción de respuesta describe mejor este diagrama de puntos?

Simétrico

C. Sesgado a la derecha

Sesgado a la izquierda

D. Centro en 30

Consulta la siguiente información y la tabla para responder las preguntas 7 a 10. En una encuesta se hizo la siguiente pregunta: «Si pudieras votar por Kyra o por Andrés para presidente del consejo estudiantil, ¿por quién votarías hoy?». La tabla a continuación muestra los resultados de la encuesta.

Kyra

Andrés

Total

Hombre

Mujer

Total

119

338

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GRADE 3 STUDENT NOTEBOOK MULTIPLICATION MODELS Skills Quiz

ÁLGEBRA 1

ESTADÍSTICAS

7. Completa las frecuencias relativas marginales y conjuntas en la tabla. Kyra Hombre

Andrés

0.176

Mujer Total

Total 0.437

0.437 0.303

1.0

8. ¿Qué porcentaje de hombres representa el total de los encuestados?

9. ¿Qué porcentaje de estudiantes votó por Kyra?

10. Según estos datos, ¿quién es probable que se convierta en el próximo presidente del consejo estudiantil?

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ESTADÍSTICAS

340

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9/13/25 6:10 PM

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

ESTADÍSTICAS

VOCABULARIO

DIAGRAMA DE PUNTOS

HISTOGRAMA

DIAGRAMA DE CAJA

MEDIANA

MEDIA

RANGO INTERCUARTIL (IQR)

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ESTADÍSTICAS

VOCABULARIO Histograma

Diagrama de puntos

Tipo especial de gráfica de barras con intervalos numéricos como sus etiquetas

Método para mostrar visualmente una distribución de valores de datos en el que cada valor de datos se muestra como un punto o una marca sobre una recta numérica 3

Mediana

Diagrama de caja

Número del medio de un conjunto de números cuando los números están ordenados de menor a mayor, o la media de los dos números del medio cuando el conjunto tiene dos números del medio

Diagrama que muestra el resumen de cinco números de una distribución 5

Rango intercuartil (IQR)

Media

Diferencia entre el cuartil superior (Q3) y el cuartil inferior (Q1)

El promedio de un conjunto de números calculado al encontrar la suma de todos los datos y dividir por el número de valores de datos 7

342

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

ESTADÍSTICAS

VOCABULARIO

DESVIACIÓN ESTÁNDAR

VALOR ATÍPICO

TABLA DE FRECUENCIAS RELATIVAS DE DOBLE ENTRADA

FRECUENCIA RELATIVA

FRECUENCIA CONJUNTA

MARGINAL FREQUENCY

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ESTADÍSTICAS

VOCABULARIO Valor atípico

Desviación estándar

Número en un conjunto de datos que es mucho más grande o más pequeño que otros números en el conjunto

Medida de cuán dispersos están los números; calculada al encontrar la raíz cuadrada de la varianza 9

Frecuencia relativa

Tabla de frecuencias relativas de doble entrada

Frecuencia con la que aparece un número en un conjunto de datos dividido por el número total de resultados

Tabla de doble entrada que muestra porcentajes o proporciones, llamadas frecuencias relativas 11

Frecuencia marginal

Frecuencia conjunta

Relación entre la suma de la frecuencia relativa conjunta en una fila o columna y el número total de valores de datos

Relación entre la frecuencia de una categoría particular y el número total de valores de datos 13

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GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

ESTADÍSTICAS

VOCABULARIO

CONDITIONAL RELATIVE FREQUENCY

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ESTADÍSTICAS

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

VOCABULARIO Frecuencia relativa condicional

Fracción utilizada para expresar la razón del número de participantes en un grupo que cumple con una determinada calificación 14

346

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STUDENT NOTEBOOK

ESTADÍSTICAS

347

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ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

REPRESENTAR DATOS

MODELO CON FUNCIONES INVESTIGACIONES DE FUNCIONES

En este ámbito, aprenderás a trabajar con ecuaciones y datos para comprender relaciones entre diferentes cantidades. En esto te enfocarás:

INVESTIGAR DATOS

◦ Comprender las relaciones: ◦ Aprenderás a analizar situaciones para ver si hay una conexión entre dos cosas (asociación) o si una cosa causa directamente a otra (causalidad).

◦ Trabajar con datos: ◦ Representarás datos en un diagrama de dispersión, que es un tipo de gráfico que muestra cómo se relacionan dos cantidades diferentes. ◦ Describirás cómo están conectadas estas cantidades al observar el diagrama de dispersión.

◦ Encontrar el mejor ajuste: ◦ Determinarás la recta de mejor ajuste para datos en un diagrama de dispersión sin usar tecnología. Esta recta te ayuda a ver la tendencia general en los datos. ◦ Evaluarás informalmente qué tan bien una función se ajusta a los datos trazando y analizando los residuales, que son las diferencias entre los puntos de datos reales y los puntos sobre tu recta de mejor ajuste.

◦ Uso de la tecnología: ◦ Usarás tecnología para calcular el coeficiente de correlación, un número que te indica qué tan de cerca tus datos se ajustan a un patrón lineal. ◦ Decidirás si los datos se representan mejor con una función lineal, cuadrática o exponencial según el coeficiente de correlación.

◦ Resolución de problemas: ◦ Utilizarás la función de mejor ajuste para resolver problemas del mundo real, aplicando lo que has aprendido para hacer predicciones o comprender tendencias.

Al final de esta lección, serás capaz de analizar datos, encontrar patrones y usar modelos matemáticos para comprender y resolver problemas.

348

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APLICACIÓN DE PRÁCTICAS MATEMÁTICAS • MP.1 Comprender los problemas y perseverar en su resolución: Te darán datos sobre una situación, harás un diagrama de dispersión, hallarás la mejor recta de ajuste y la usarás para predecir resultados futuros. Comprobarás tu trabajo para ver si tus predicciones tienen sentido. • MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Usarás datos para crear ecuaciones que muestren cómo podrían cambiar las poblaciones de animales con el tiempo y verás cómo tus resultados se ajustan a la situación real. • MP.3 Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros: Explicarás por qué elegiste ciertas rectas para ajustar tus datos y usarás gráficos y números para respaldar tus elecciones. • MP.4 Modelar con matemáticas: Usarás gráficos y ecuaciones para representar situaciones de la vida real y hallar la mejor recta que se ajuste a los datos para predecir lo que podría suceder después.

• MP.5 Usar herramientas apropiadas estratégicamente: Utilizarás calculadoras gráficas para encontrar la mejor recta para los datos, calcular qué tan bien se ajusta y describir lo que muestran los datos. • MP.6 Atender a la precisión: Serás cuidadoso al graficar datos para hallar con exactitud la mejor recta y predecir resultados futuros. • MP.7 Buscar y hacer uso de la estructura: Usarás tu conocimiento de distintos tipos de funciones para decidir qué ecuación se ajusta mejor a los datos y la usarás para predecir datos futuros. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en el razonamiento repetido: Notarás que si un gráfico de residuos se ve aleatorio, una recta es el mejor ajuste. Si muestra una curva, quizá sea mejor una ecuación cuadrática o exponencial.

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

REPRESENTAR DATOS

CAPTAR INTERÉS: ANTES DE EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Imagina que eres el mánager de un equipo de béisbol con un presupuesto ajustado y necesitas crear una alineación ganadora. En lugar de depender de estrellas caras, decides usar el análisis de datos para encontrar jugadores infravalorados que puedan ayudar a tu equipo a anotar más carreras. Al examinar las estadísticas de los jugadores, puedes hacer traspasos inteligentes y predicciones para construir un equipo de alto rendimiento, tal como lo hizo Billy Beane.

En esta actividad, aprenderás a analizar datos y calcular estadísticas de regresión lineal para hacer predicciones. Verás un video sobre Billy Beane, quien utilizó datos para construir un equipo de béisbol sólido. Explorarás cómo usar las matemáticas para encontrar relaciones en los datos y hacer predicciones sobre el rendimiento futuro.

Responda las preguntas. 1. ¿Cuál crees que es el objetivo principal de usar el análisis de datos al construir un equipo de béisbol?

2. ¿Cómo podría el análisis del porcentaje de embasado de un jugador ayudar a predecir su rendimiento futuro?

3. ¿Qué tipo de herramientas matemáticas crees que son necesarias para analizar las estadísticas de los jugadores de manera efectiva?

4. ¿Por qué crees que el método de Billy Beane de utilizar el análisis de datos fue exitoso para crear un equipo competitivo?

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REPRESENTAR DATOS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

REPRESENTAR DATOS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 1: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que eres el nuevo editor de tu periódico escolar, The Daily Times. Tu trabajo es asegurarte de que todos los titulares sean precisos y representen los datos correctamente. Revisarás gráficas y decidirás si los titulares coinciden con la información. Esto te ayudará a entender la diferencia entre cosas que simplemente ocurren juntas (correlación) y cosas que realmente se causan entre sí (causalidad). En esta actividad, aprenderás a distinguir si dos cosas solo están relacionadas o si una causa a la otra. Verás datos y gráficos con tus compañeros de clase para averiguar si los titulares dicen la verdad. También aprenderás sobre factores ocultos que podrían afectar lo que ves.

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REPRESENTAR DATOS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

REPRESENTAR DATOS

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 1

FECHA ______________________________

Model Data Explore 1

DIARIO DEL ESTUDIANTE ¡Extra! ¡Extra! ¿Correlación o causalidad? Parte I

Analiza cada gráfico de dispersión y el título correspondiente para determinar si el título es una representación precisa de los datos.

Existe una correlación negativa entre la cantidad de cafeína consumida y la cantidad de horas que una persona duerme.

¿Es este título una representación precisa de los datos? Explica tu razonamiento.

Existe una correlación positiva entre la venta de helados en la playa y la venta de gafas de sol.

¿Es este título una representación precisa de los datos? Explica tu razonamiento. 1

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Model Data Explore 1 GRADE 3 STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 LIBRO DEL ESTUDIANTE

REPRESENTAR DATOS

Parte II

Analiza cada tarjeta de propuesta del documento «Tarjetas de propuesta» para determinar si existe una correlación entre las variables. Escribe cada título en forma si-entonces. Considera si la variable si es o no una causa y la variable entonces es un efecto para determinar si el título representa causalidad. ¿Correlación? (si es así, ¿de qué tipo?)

Tarjeta de propuesta

Declaración si-entonces

Propuesta A

Si aumenta la cantidad de paradas de autobús, aumenta la cantidad de tiempo para completar la ruta.

¿Causalidad?

Propuesta B

Propuesta C

Propuesta D

Propuesta E 2

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

Model Data Explore 1 REPRESENTAR DATOS

Reflexiona 1.

¿Qué propuestas aprobarías? Explica tu razonamiento.

Nombra las posibles variables ocultas para la propuesta E.

Crea un nuevo escenario que represente los criterios que se describen a continuación.

Correlación positiva pero no causal

Correlación positiva y causal

Correlación negativa pero no causal

Correlación negativa y causal

¿Pueden dos variables mostrar causalidad pero no asociación?

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REPRESENTAR DATOS

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

REPRESENTAR DATOS

EXPLORAR 1: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Cómo determinaste si un titular representaba con precisión los datos? ¿Qué pasos seguiste?

2. ¿Puedes pensar en un ejemplo de la vida real en el que dos cosas estén correlacionadas pero no tengan una relación causal? Explica.

3. ¿Por qué es importante comprender la diferencia entre correlación y causalidad al analizar datos?

4. ¿Qué desafíos enfrentaste al intentar identificar variables ocultas y cómo los superaste?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo analizar la correlación entre variables, como las ventas de gafas de sol y las ventas de helados, ayuda a comprender el tipo de análisis de datos que Billy Beane utilizó para seleccionar a los jugadores de béisbol?

2. ¿De qué maneras se aplican los conceptos de correlación y causalidad al predecir el rendimiento futuro de un jugador basándose en su porcentaje de embasado y carreras anotadas, de forma similar a como Billy Beane analizó las estadísticas de los jugadores?

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REPRESENTAR DATOS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

Model Data Explore 1

ÁLGEBRA 1

REPRESENTAR DATOS

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 1

FECHA ______________________________

Correlación y causalidad BOLETO DE SALIDA Boleto de salida

¿Qué situación representa mejor la causalidad? A.

Cuando aumenta la cantidad de partidos de fútbol, aumenta la cantidad de accidentes de tránsito menores.

Cuando aumenta la cantidad de millas recorridas, la cantidad de gasolina que queda en el tanque disminuye.

Cuando aumenta la cantidad de rutinas de baile aprendidas, aumenta la cantidad de resultados en primer lugar.

Cuando aumenta la cantidad de soda consumida, la capacidad de atención disminuye.

Model Data Explore 1

Correlación y causalidad Boleto de salida ¿Qué situación representa mejor la causalidad? A.

Cuando aumenta la cantidad de partidos de fútbol, aumenta la cantidad de accidentes de tránsito menores.

Cuando aumenta la cantidad de millas recorridas, la cantidad de gasolina que queda en el tanque disminuye.

Cuando aumenta la cantidad de rutinas de baile aprendidas, aumenta la cantidad de resultados en primer lugar.

Cuando aumenta la cantidad de soda consumida, la capacidad de atención disminuye.

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REPRESENTAR DATOS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

Model Data Part 1 REPRESENTAR DATOS

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 1

FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Correlación y causalidad

Lee cada escenario. Coloca una cruz en la columna correspondiente si el escenario representa una correlación o una causalidad. Escenario 1.

Correlación

Causalidad

La cantidad de días de nevada y la cantidad de chocolates calientes vendidos en una complejo hotelero de esquí

▢

La cantidad de minutos que funciona un calentador y el aumento de la temperatura de la casa

▢

La cantidad de millas recorridas y la cantidad de gasolina usada

▢

La edad de un niño y la longitud de su cabello

▢

La cantidad de carros en la carretera durante un fin de semana festivo y la cantidad de accidentes de tráfico La cantidad de minutos que una persona emplea ejercitándose y su peso corporal

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Model Data Part 1

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

REPRESENTAR DATOS

Identifica el tipo de correlación para cada diagrama de dispersión y determina si el escenario representa una relación causal. 7.

El diagrama de dispersión muestra los datos recogidos por un profesor de ciencias, quien le preguntó a sus alumnos cuántas horas habían dormido la noche anterior a su último examen. a.

¿Qué tipo de correlación está presente si la hay?

¿Representa el escenario una relación causal?

¿Cuáles son algunas de las variables ocultas —si es que las hay— que pueden afectar los datos?

La compañía de acondicionadores de aire EZ Freeze recogió datos sobre las temperaturas exteriores y la cantidad de aire acondicionado que utilizaron las personas. Los datos recogidos se muestran en el diagrama de dispersión. a.

¿Qué tipo de correlación está presente si la hay?

¿Representa el escenario una relación causal?

¿Cuáles son algunas de las variables ocultas —si es que las hay— que pueden afectar los datos?

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ÁLGEBRA 1

REPRESENTAR DATOS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 2: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que eres un caricaturista del periódico escolar. Tu tarea es asegurarte de que los personajes de caricatura se dibujen con proporciones humanas realistas. Para hacerlo, medirás las estaturas y las envergaduras de tus compañeros de clase y luego usarás las matemáticas para encontrar patrones y predecir las proporciones correctas para tus dibujos. Al crear ecuaciones y analizar datos, te asegurarás de que tus caricaturas sean lo más realistas posible. En esta actividad, aprenderás a encontrar la recta de mejor ajuste para datos que muestran una tendencia lineal. Practicarás escribir ecuaciones tanto a mano como con tecnología. También aprenderás a usar estas ecuaciones para hacer predicciones y resolver problemas del mundo real, y a calcular el coeficiente de correlación para ver qué tan bien tu recta se ajusta a los datos.

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REPRESENTAR DATOS

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

REPRESENTAR DATOS

Model Data Explore 2

EXPLORAR 2

FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE Encontrar una recta que se ajuste Parte I

Mide tu altura y envergadura en pulgadas. Registra tus medidas en las tablas de recopilación de datos de la clase y grafica los puntos a continuación.

¿Cuál es la relación entre la altura y la envergadura?

¿Cómo podríamos determinar la envergadura aproximada de alguien con una altura de 75 pulgadas?

Dibuja una línea recta a través de los datos y escribe una ecuación lineal para representar la recta.

Dado que nuestras historietas deben ser precisas, haz una predicción de la envergadura de una caricatura con una altura de 6 pulgadas.

¿Qué significa la pendiente de la recta en términos de altura y envergadura de nuestras historietas?

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Model Data Explore 2 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

REPRESENTAR DATOS

Parte II

Analiza cada tarjeta de datos del documento «Tarjetas de datos» para determinar si existe una correlación entre las variables. Usa tu calculadora para ver el gráfico de dispersión de los datos, calcula la recta de mejor ajuste y calcula el coeficiente de correlación. Tarjeta de datos

Ecuación para la recta de mejor ajuste

Coeficiente de correlación (valor r)

Descripción de la figura y correlación de los datos

Datos A

Datos B

Datos C

Datos D

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Model Data Explore 2 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

REPRESENTAR DATOS

Reflexiona 1.

¿Qué conjunto(s) de datos tiene(n) una correlación positiva? ¿Qué notas sobre el coeficiente de correlación de los datos?

¿Qué conjunto(s) de datos tiene(n) una correlación negativa? ¿Qué notas sobre el coeficiente de correlación de los datos?

¿Qué conjunto de datos tiene la correlación más débil? ¿Qué notas sobre el coeficiente de correlación de los datos?

Haz una predicción. Si tienes un coeficiente de correlación de 0, ¿qué te dice eso acerca de la fuerza de la correlación de los datos?

¿Qué conjuntos de datos son útiles para dibujar personas precisas en una historieta? Explica tu razonamiento.

Se envió al periódico una caricatura que tiene una altura de 3 pulgadas. Usa las ecuaciones que creaste en la parte I y la parte II para calcular las medidas a continuación. Envergadura: Longitud del hueso del fémur: Longitud del pelo:

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REPRESENTAR DATOS

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

REPRESENTAR DATOS

EXPLORAR 2: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Cómo se comparó el uso de la tecnología para encontrar la recta de mejor ajuste con hacerlo a mano? ¿Qué método te pareció más fácil o más preciso, y por qué?

2. ¿Qué aprendiste sobre la relación entre la estatura y la envergadura a partir de tus datos? ¿Cómo puede esta información ayudar a crear personajes de dibujos animados más precisos?

3. ¿Cómo ayuda el coeficiente de correlación a comprender el ajuste lineal de los datos? ¿Qué indica un coeficiente de correlación fuerte o débil sobre los datos?

4. ¿Qué desafíos enfrentaste al medir y recopilar datos? ¿Cómo superaste estos desafíos y qué harías de manera diferente la próxima vez?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo pueden las habilidades que aprendiste en la actividad EXPLORAR sobre calcular la recta de mejor ajuste y el coeficiente de correlación ayudarte a comprender el enfoque de Billy Beane para analizar las estadísticas de los jugadores de béisbol en la actividad Hook?

2. En ambas actividades Hook y EXPLORAR, utilizaste datos para hacer predicciones. ¿Cómo ayuda comprender la correlación entre variables, como la estatura y la envergadura o el porcentaje de embasarse y las carreras anotadas, a realizar predicciones más precisas en escenarios del mundo real?

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REPRESENTAR DATOS

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

REPRESENTAR DATOS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Model Data Explore 2

EXPLORAR 2

Regresión lineal BOLETO DE SALIDA Boleto de salida

La ecuación de regresión lineal que modela la relación entre la longitud de la mano y la longitud del antebrazo (desde la muñeca hasta el codo) es y = 1.618x. El coeficiente de correlación es 0.8. ¿Cuál de los siguientes es verdadero? A.

Si la longitud del antebrazo es de 10 cm, entonces la longitud de la mano es de 16.2 cm.

Si la longitud de la mano es de 16 cm, entonces la longitud del antebrazo es de 25.9 cm.

Si la longitud de la mano es de 12 cm, entonces la longitud del antebrazo es de 7.4 cm.

La correlación entre las variables es débil, por lo que la regresión lineal no es útil para las predicciones.

Model Data Explore 2

Regresión lineal Boleto de salida La ecuación de regresión lineal que modela la relación entre la longitud de la mano y la longitud del antebrazo (desde la muñeca hasta el codo) es y = 1.618x. El coeficiente de correlación es 0.8. ¿Cuál de los siguientes es verdadero? A.

Si la longitud del antebrazo es de 10 cm, entonces la longitud de la mano es de 16.2 cm.

Si la longitud de la mano es de 16 cm, entonces la longitud del antebrazo es de 25.9 cm.

Si la longitud de la mano es de 12 cm, entonces la longitud del antebrazo es de 7.4 cm.

La correlación entre las variables es débil, por lo que la regresión lineal no es útil para las predicciones.

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REPRESENTAR DATOS

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

REPRESENTAR DATOS

NOMBRE _____________________________________________

Model Data Part 2

EXPLORAR 2

FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Regresión lineal

Analiza los datos en cada escenario. Utiliza tus conocimientos de regresión lineal para responder todas las partes de cada pregunta. Redondea al centésimo más cercano cuando sea necesario. 1.

Desde el año 2000, la cantidad de torres de telefonía celular en Atlanta, Georgia, ha aumentado. Los datos se muestran en la tabla, donde n representa la cantidad de años transcurridos desde el 2000, y t representa la cantidad de torres de telefonía celular.

Años desde el 2000, n

Cantidad de torres, t de telefonía celular

151

250

504

1,090

1,480

Ecuación de regresión lineal:

Coeficiente de correlación:

Describe la correlación:

Utiliza la ecuación de regresión lineal para predecir la cantidad de torres de telefonía celular en Atlanta en el 2030.

Utiliza la ecuación de regresión lineal para predecir en qué año Atlanta tendrá aproximadamente 2,800 torres de telefonía celular.

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Model Data Part 2

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

REPRESENTAR DATOS

Tick Talk es una empresa de telefonía celular relativamente nueva en la zona de Atlanta. Adquirieron todos sus clientes iniciales de otra empresa de telefonía móvil quebró. Tick Talk ha registrado la cantidad total de sus clientes periódicamente desde su apertura. Los datos se muestran en la tabla. Días desde la apertura, x

Cantidad total de clientes, y

2,005

1,620

1,512

1,260

1,026

790

Ecuación de regresión lineal:

Coeficiente de correlación:

Describe la correlación:

Utiliza la ecuación de regresión lineal para predecir cuántos días permanecerá abierto Tick Talk antes de que sus clientes sean 0.

El gerente de la empresa intenta intervenir. Ha utilizado la ecuación de regresión lineal y = 2,400 – 50x para representar los datos. ¿Qué representa 2,400 en su ecuación de regresión lineal?

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ÁLGEBRA 1

REPRESENTAR DATOS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 3: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que estás a cargo de la tienda de la escuela y que tu trabajo es asegurarte de que los estantes estén abastecidos con los productos adecuados. Pero hay un problema: la tienda se está quedando sin los artículos populares y tiene demasiados de los que nadie quiere. Para solucionarlo, necesitarás analizar los datos de ventas para decidir qué pedir para el próximo año. Al observar las diferencias entre lo que se predijo y lo que realmente se vendió, determinarás cuáles son los artículos más importantes que mantener en existencia. En esta actividad, aprenderás a graficar y analizar los residuos, que son las diferencias entre los puntos de datos reales y los valores predichos en una recta de mejor ajuste. Trabajarás en grupos para determinar si un modelo lineal se ajusta bien a los datos, buscando patrones en los gráficos de residuos y justificando tus conclusiones con razonamiento matemático.

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REPRESENTAR DATOS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

Model Data Explore 3 REPRESENTAR DATOS

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 3

FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

¿Se ajusta la recta? Parte I

Usa los datos del documento «Informe de ventas» para calcular las diferencias entre los valores previstos y reales. Luego, traza esas diferencias en las gráficas a continuación. Hilanderos fidget

Lápices x

Valor real y

107

115

Valor real y

Valor previsto ŷ

Diferencia (y − ŷ)

¿Qué patrones notas en la columna «Diferencia» de la tabla o en la gráfica? ¿Qué te dice esto?

Valor previsto ŷ

Diferencia (y − ŷ)

¿Qué patrones notas en la columna «Diferencia» de la tabla o en la gráfica? ¿Qué te dice esto? 1

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Model Data

REPRESENTAR DATOS

Explore 3 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

Parte II

Analiza cada gráfico de dispersión y diagrama de residuales en las tarjetas de gráficas del documento «Tarjetas de gráficas» para determinar si un modelo lineal es la mejor representación de los datos.

Tarjeta de gráfica

¿Un modelo lineal se ajusta a los datos?

En caso afirmativo, describe la forma de los datos y la gráfica de residuales para justificar. Si no, describe la forma de los datos y la gráfica de residuales para justificar. Luego, sugiera un mejor modelo.

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

Model Data Explore 3

REPRESENTAR DATOS

Reflexiona 1.

¿Qué gráficas están mejor representadas por un modelo lineal? Describe los diagramas de residuales.

¿Qué gráficas no están bien representadas por un modelo lineal? Describe los diagramas de residuales.

En general, ¿cómo se ve el diagrama de residuales de un ajuste lineal fuerte?

Compara y contrasta los gráficos de dispersión y los diagramas de residuales.

¿Por qué es útil un diagrama de residuales para los estudiantes que solicitan inventario para una tienda escolar?

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REPRESENTAR DATOS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

REPRESENTAR DATOS

EXPLORAR 3: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué aprendiste sobre la relación entre los datos reales y los datos predichos a partir de los gráficos de residuos?

2. ¿Cómo puedes saber si un modelo lineal es un buen ajuste para los datos al observar el gráfico de residuos?

3. ¿Qué desafíos enfrentaste al analizar los gráficos de dispersión y los gráficos de residuos, y cómo los superaste?

4. ¿Cómo puede la información que recopilaste en esta actividad ayudarte a tomar decisiones sobre el inventario de la tienda escolar?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo puede el análisis de gráficos de residuos de los datos de ventas de la tienda escolar ayudarle a tomar decisiones informadas sobre qué artículos de inventario pedir para el próximo año, de manera similar a cómo Billy Beane utilizó el análisis de datos para elegir jugadores de béisbol?

2. ¿De qué maneras se comparan el cálculo e interpretación de una ecuación de regresión lineal para los datos de ventas de la tienda escolar con el uso de un modelo de regresión lineal para predecir el desempeño futuro de un jugador de béisbol en función de su porcentaje de embasamiento?

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REPRESENTAR DATOS

382

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

REPRESENTAR DATOS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Model Data Explore 3

EXPLORAR 3

Residuales BOLETO DE SALIDA Boleto de salida

A continuación, se muestran los diagramas de residuales de dos modelos lineales diferentes. A.

¿Qué gráfica indica que el modelo lineal para los datos se ajusta bien? Explica tu razonamiento.

Model Data Explore 3

Residuales Boleto de salida A continuación, se muestran los diagramas de residuales de dos modelos lineales diferentes. A.

¿Qué gráfica indica que el modelo lineal para los datos se ajusta bien? Explica tu razonamiento.

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REPRESENTAR DATOS

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

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ÁLGEBRA 1

REPRESENTAR DATOS

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 3

Model Data Part 3

FECHA ______________________________

MUESTRA LO QUE SABES

Residuales 1.

Un saltador de salto base salta desde un precipicio; se registran el tiempo y la velocidad del saltador durante los primeros 6 segundos de su caída libre. Los datos se muestran en la tabla de abajo. Usa la ecuación de regresión lineal para completar la tabla (redondea al décimo más cercano). Después, utiliza los datos de la tabla para construir una gráfica de residuos en la cuadrícula proporcionada. Ecuación de regresión lineal: y = 11.7x + 5.7

Tiempo (s)

Velocidad (ft/s)

Valor predicho (ŷ)

Residual (y – ŷ)

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Model Data Part 3 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

REPRESENTAR DATOS

¿Cuál de las siguientes gráficas de residuos indica una buena adaptación de un modelo lineal? Justifica tu respuesta. A

Un conjunto de datos se adapta con una regresión lineal. La ecuación de regresión lineal es y = 4.7x + 50. Si el valor observado cuando x = 5 es y = 90, ¿cuál es el valor del residuo para este punto de datos?

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REPRESENTAR DATOS

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

EXPLORAR 4: ANTES DE EXPLORAR

Imagina que estás trabajando como becario en un parque nacional. Tu trabajo es monitorear las poblaciones de varias especies animales. Te han entregado datos sobre estos animales desde 2015 hasta 2021. Tu tarea es identificar si los cambios en la población siguen una tendencia cuadrática o exponencial. Esto te ayudará a predecir si las poblaciones están aumentando o disminuyendo con el tiempo. En esta actividad, aprenderás a usar ecuaciones para modelar tendencias de datos como patrones cuadráticos o exponenciales. Trabajarás en grupos para analizar datos de poblaciones de animales, usar calculadoras gráficas para encontrar las ecuaciones de mejor ajuste y hacer predicciones sobre poblaciones futuras. También discutirás y compararás diferentes tipos de funciones.

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387

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REPRESENTAR DATOS

388

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:10 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

REPRESENTAR DATOS Model Data

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 4

Explore 4

FECHA ______________________________

DIARIO DEL ESTUDIANTE

Modelar poblaciones de animales Parte I

Analiza las poblaciones de animales y describe cualquier tendencia en los cambios en las poblaciones. Determina qué tipo de función modela mejor cada cambio en la población. Años desde 2015

Población Oso negro

Coyote

Lince rojo

¿Qué tendencias observa en la población de osos negros? ¿Qué tipo de función modela mejor el cambio en la población de osos negros?

¿Qué tendencias observas en la población de coyotes? ¿Qué tipo de función modela mejor el cambio en la población de coyotes?

Una función lineal representa mejor el cambio en la población de linces rojos. Calcula la recta de mejor ajuste y explica por qué un modelo lineal representa mejor el cambio en la población de linces rojos.

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389

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Model Data Explore 4 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

REPRESENTAR DATOS

Parte II

Analiza los datos de población animal en las tarjetas de población del documento «Tarjetas de población» para determinar qué tipo de función modela mejor el cambio a lo largo del tiempo. Usa el modelo para hacer predicciones. Especies animales

Tipo de modelo de función

Ecuación de regresión (Redondea a la décima más cercano)

Población prevista en 2026

Tipo de modelo de función

Descripción de la forma de la gráfica

Población prevista en 2026

Borrego cimarrón de Sierra Nevada Venado bura Serpiente de cascabel del Pacífico norte Tortuga de estanque de occidente Ardilla terrestre de California

Especies animales Pequeño murciélago marrón

Gran búho gris 2

390

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Model Data Explore 4 LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

REPRESENTAR DATOS

Reflexiona 1.

Según el documento «Tarjetas de población», ¿qué poblaciones de animales están mejor representadas por funciones cuadráticas?

¿Cuáles son los patrones o tendencias en los datos de poblaciones de animales que podrían indicar que una función cuadrática modela mejor un conjunto de datos?

Según el documento «Tarjetas de población», ¿qué poblaciones de animales están mejor representadas por funciones exponenciales?

¿Cuáles son los patrones o tendencias en los datos de poblaciones de animales que podrían indicar que una función exponencial modela mejor un conjunto de datos?

¿Cómo puedes saber, al mirar los datos, si una especie animal está en peligro de extinción?

¿Son útiles estos modelos para hacer predicciones de poblaciones animales en 10 años? ¿Qué tal 20 años? ¿Qué tal 100 años? ¿Por qué sí o por qué no?

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391

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REPRESENTAR DATOS

392

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9/13/25 6:10 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

REPRESENTAR DATOS

EXPLORAR 4: DESPUÉS DE EXPLORAR Reflexione sobre su aprendizaje en esta actividad de Exploración respondiendo estas preguntas: 1. ¿Qué tipo de función utilizaste para modelar los datos de población animal y por qué la elegiste?

2. ¿Cómo te ayudó usar una calculadora gráfica a encontrar el mejor ajuste para los datos?

3. ¿De qué maneras puede utilizarse la ecuación que encontraste para hacer predicciones sobre futuras poblaciones de animales?

4. ¿Qué desafíos enfrentaste al analizar los datos y cómo los superaste?

Considere cómo sus experiencias en esta Exploración se relacionaron con la actividad de Hook de antes mientras responde estas preguntas: 1. ¿Cómo se pueden aplicar los métodos utilizados por Billy Beane en la actividad HOOK a la actividad EXPLORAR al predecir futuras poblaciones de animales en el parque nacional?

2. En ambas actividades HOOK y EXPLORAR, ¿cuáles son las similitudes y diferencias al usar regresión lineal para estadísticas de jugadores de béisbol frente al uso de modelos cuadráticos o exponenciales para datos de poblaciones animales?

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393

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REPRESENTAR DATOS

394

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:10 PM

ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

REPRESENTAR DATOS

NOMBRE _____________________________________________

Model Data Explore 4

EXPLORAR 4

FECHA ______________________________

Regresión cuadrática y exponencial BOLETO DE SALIDA Boleto de salida 1.

¿Qué función modela la población de zorro rojo en un parque nacional de 1990 a 2020 (sea x = 0 en 1990)? Año

1990

1995

2000

2005

2010

2015

2020

Población de zorro rojo

125

112

108

115

127

145

160

y = 6.8x + 107.1

y = 108.5(1.1)x

y = 3.1x2 − 11.8x + 122.5

Model Data Explore 4

Regresión cuadrática y exponencial Boleto de salida

¿Qué función modela la población de zorro rojo en un parque nacional de 1990 a 2020 (sea x = 0 en 1990)? Año

1990

1995

2000

2005

2010

2015

2020

Población de zorro rojo

125

112

108

115

127

145

160

y = 6.8x + 107.1

y = 108.5(1.1)x

y = 3.1x2 − 11.8x + 122.5

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395

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REPRESENTAR DATOS

396

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9/13/25 6:10 PM

Model Data Part 4

ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

REPRESENTAR DATOS

NOMBRE _____________________________________________

EXPLORAR 4

FECHA ______________________________

LO QUE SABES Regresión cuadrática MUESTRA y exponencial Usa la función dada para determinar el tipo de función y la ecuación de regresión, luego calcula el valor de y cuando x es 20. Redondea al décimo más cercano si es necesario. Tipo de función

Función

f(x)

Ecuación de regresión

Valor de y cuando x es 20

Un determinado tipo de bacteria comienza con 18 células el día 1. El número de células de la bacteria aumenta un 10 % cada año.

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397

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Model Data

Part 4 GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

REPRESENTAR DATOS

Mauricio diseñó para un proyecto de estadística, una ciudad para un crecimiento demográfico óptimo del 8 % anual. La tabla muestra la población (en miles) del 2020 al 2026. Utiliza estos datos para las preguntas 4-6. Año

Población (en miles)

2020

2021

2022

2023

2024

2025

73.1

2026

79.2

Utiliza una calculadora gráfica para encontrar la ecuación de regresión exponencial. Redondea al centésimo más cercano.

¿Cuál es la población prevista en 2035? Usa tu ecuación de regresión de la pregunta 4.

¿En qué año la población de la ciudad de Mauricio será igual al doble de su población inicial?

398

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

REPRESENTAR DATOS

HOOK POST-EXPLORAR

NOMBRE _____________________________________________ FECHA ______________________________

Responda las preguntas. 1. ¿Cómo puedes determinar si una correlación entre dos variables implica causalidad, y cuáles son algunos ejemplos de variables de confusión que podrían afectar esta relación?

2. Dado un conjunto de puntos de datos en un diagrama de dispersión, ¿cómo calcularías la recta de mejor ajuste a mano y cómo puedes usar esta recta para hacer predicciones sobre futuros puntos de datos?

3. Al analizar un gráfico de dispersión, ¿cómo se puede usar el coeficiente de correlación para evaluar la fuerza de la relación lineal entre dos variables, y qué indica un coeficiente de correlación cercano a 1 o a -1?

4. ¿Qué es un gráfico de residuos y cómo puede ayudarte a determinar si un modelo lineal es un ajuste adecuado para un conjunto de datos dado? ¿Qué patrones en un gráfico de residuos podrían sugerir que se debería usar un modelo diferente?

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399

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REPRESENTAR DATOS

400

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:10 PM

ÁLGEBRA 1

LIBRO DEL ESTUDIANTE

REPRESENTAR DATOS

NOMBRE _____________________________________________

ESQUEMA DE ANCLAJE

FECHA ______________________________

ESQUEMA DE ANCLAJE

Datos del modelo Asociación (Correlación) Dos variables muestran correlación si se observa un patrón cuando las variables se trazan en un gráfico de dispersión. Correlación positiva

Causalidad La causalidad es una explicación del mundo real del por qué una variable está correlacionada con otra. La correlación NO implica causalidad. Dos variables pueden estar correlacionadas por coincidencia o por una tercera variable desconocida. Es importante analizar cuidadosamente las variables para determinar la causalidad.

Correlación negativa

Causalidad

SIN causalidad

La distancia entre dos ciudades y el tiempo que lleva conducir entre ellas

El número de cafeterías y el número de maestros en una ciudad

Regresión lineal (coeficiente de correlación)

Sin correlación

r>0

Correlación positiva

r<0

Correlación negativa

r > 0.70

Correlación fuerte

0.30 < r < 0.70

Correlación moderada

r < 0.30

Correlación débil

r≈0

Sin correlación

NOTA: El coeficiente de correlación, r, indica la fuerza del ajuste lineal de los datos.

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 401

401

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REPRESENTAR DATOS

402

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 402

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:10 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

REPRESENTAR DATOS

CUADERNO INTERACTIVO

FECHA ______________________________

Instrucciones ● Recorta la tarea a continuación y pega en tu cuaderno. ● Examina los datos desplegados en cada cuadrícula. Identifica si la gráfica despliega una correlación (positiva, negativa, sin asociación) y registra tus pensamientos bajo cada gráfica.

Model Data

CUADERNO INTERACTIVO

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 403

403

9/13/25 6:10 PM

REPRESENTAR DATOS

404

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 404

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:10 PM

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 405

H, altura en pulgadas 33

3 34

3 37

4 35

4 38

5 42

5 43

5 42

Precio de venta, f(x) $155,000 $164,000 $174,000 $185,000 $192,000

Años desde el 2015, x 0 1 2 3 4

______________________________

¿Cuál será la mediana del precio de venta de una casa en el 2025?

STUDENT NOTEBOOK

______________________________

Ecuación:

Si los precios continúan cambiando a esa tasa, escribe la función exponencial, f(x), que mejor describa los datos.

En el 2015, la mediana del precio de venta de una casa en la zona rural de Oklahoma era de $155,000. La tabla muestra cómo cambió el valor durante algunos años siguientes

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

Usa una calculadora gráfica para ayudarte a resolver las preguntas a continuación.

¿Es una correlación fuerte o débil? ______________________________

Coeficiente de correlación (r): ______________________________

Ecuación: ______________________________

ÁLGEBRA 1

A, edad en años

Usa una calculadora gráfica para ayudarte a resolver las preguntas a continuación. La tabla muestra la altura de una cantidad determinada de niños entre los 2 y 6 años de edad.

Instrucciones ● Recorta las tareas a continuación, pega en tu cuaderno. ● Sigue las instrucciones para completar cada tarea.

Model Data

LIBRO DEL ESTUDIANTE REPRESENTAR DATOS

405

9/13/25 6:10 PM

REPRESENTAR DATOS

406

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 406

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:10 PM

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 407

y actual 2 4 3 3 4.5 6 6.5 4

x 1 2 3 4 5

6 7 8

________________________

¿Qué significa esto?

STUDENT NOTEBOOK

________________________

¿Los datos residuales muestran un patrón?

Paso 3 Contesta las preguntas.

Residual GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

5.5

4.5

3.5

2.5

y predicha

Paso 1 Usa la información abajo para calcular el residual de cada punto.

ÁLGEBRA 1

Paso 2 Traza los residuales en su propia gráfica, usa la coordenada en X y el residual para la coordenada en Y.

Residuales

Instrucciones ● Recorta la tarea a continuación y pega en tu cuaderno. ● Completa la tarea.

Model Data

LIBRO DEL ESTUDIANTE REPRESENTAR DATOS

407

9/13/25 6:10 PM

REPRESENTAR DATOS

408

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 408

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:10 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

REPRESENTAR DATOS

CUADERNO INTERACTIVO

FECHA ______________________________

CUADERNO INTERACTIVO

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 409

409

9/13/25 6:10 PM

REPRESENTAR DATOS

410

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:10 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 411

STUDENT NOTEBOOK

REPRESENTAR DATOS

411

9/13/25 6:10 PM

REPRESENTAR DATOS

412

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:10 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 413

STUDENT NOTEBOOK

REPRESENTAR DATOS

413

9/13/25 6:10 PM

REPRESENTAR DATOS

414

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:10 PM

Model Data LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

NOMBRE _____________________________________________

REPRESENTAR DATOS

REVISIÓN EN ESPIRAL

FECHA ______________________________

REVISIÓN EN ESPIRAL Viajar en barco en aguas desconocidas Estás en un barco que debería haber llegado a tierra desconocida hace días. Tu brújula te dice que estás en el camino correcto, pero no hay tierra a la vista. De repente, ves el agua que brilla en la distancia y te das cuenta de que es un dinosaurio prehistórico rosa y púrpura brillante. Tiene un cuello largo y aletas grandes que son casi del largo de tu bote. El dinosaurio mueve su cabeza en una dirección diferente a la que tu brújula te indica que vayas. ¿Deberías seguirlo? ¿Te apuntas en la dirección correcta? En ese momento, ves un enjambre de gente del mar que nada junto al dinosaurio. Sonríen, saludan y gesticulan en la misma dirección en la que se movía el dinosaurio. No tienes nada que perder. Y por alguna extraña razón, no tienes miedo. Sigues al séquito y de repente aparece tierra. Lo único es que ya está habitado. No fuiste el primero aquí. Los dinosaurios y la gente del mar tienen una comunidad hermosa y próspera, y te invitan a visitar.

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415

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Model Data GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

REPRESENTAR DATOS

La gente del mar nadaba tan rápido que parecían aparecer de la nada. Las imágenes del sonar calcularon su ruta al utilizar la tabla de valores a continuación. ¿Qué función exponencial representa la misma relación?

A. B. C.

f(x)

0.5

1.5

4.5

El dinosaurio puede sumergirse en el agua, nadar de regreso a la superficie y saltar fuera del agua. Ves al dinosaurio realizar este truco y luego ves que el sonar del barco muestra este gráfico de la ruta del dinosaurio. ¿Cuáles son los ceros de este gráfico?

Corriges tu mapa para que puedas volver a la tierra no descubierta pero que en realidad ya ha sido descubierta. Muestra la gráfica de

abajo.

La brújula trazó la parte de tu camino que se puede modelar con una función lineal. La gráfica de esta función pasa por el punto (3, 1 8) con una pendiente de . ¿Cuál 3 es el cero de esta función?

416

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 416

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LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

REPRESENTAR DATOS

NOMBRE _____________________________________________

CIENCIA DE DATOS

Model Data

FECHA ______________________________

Mi conjunto de datos

CIENCIA DE DATOS

Investiga un animal que habita en el hielo marino del Ártico. Luego, investiga la población de este animal en los últimos 50 años. Crea un diagrama de dispersión de tus datos y responde las siguientes preguntas. 1.

¿Qué tipo de correlación está presente en tus datos?

Crea una ecuación de regresión que se ajuste a tus datos.

¿Crees que la población de este animal llegará a 0? Explica.

¿Crees que estos datos están relacionados con los datos de extensión del hielo marino del Ártico? Explica.

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417

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REPRESENTAR DATOS

Model Data GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

SOTC: Sea Ice. En: National Snow and Ice Data Center [en línea]. Disponible en: https://nsidc.org/cryosphere/sotc/sea_ice.html [consulta: 12 de noviembre de 2020].

418

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 418

9/13/25 6:10 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

REPRESENTAR DATOS

Skills Quiz

NOMBRE _____________________________________________

PRUEBA DE HABILIDADES

FECHA ______________________________

Name: ___________________________ Date: ________________

PRUEBA DE HABILIDADES

Representar datos

1. ¿Qué tipo de correlación representa este gráfico de dispersión?

A. Tendencia positiva B. Tendencia negativa C. No hay tendencia

2. ¿Qué tipo de función es más probable que se ajuste a los datos? A. Lineal B. Cuadrática C. Exponencial

3. ¿Cuál de las siguientes gráficas de residuos representa que una función de regresión se ajusta bien a los datos? A.

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419

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Skills Quiz

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

REPRESENTAR DATOS

Utiliza la siguiente función para responder las preguntas 4 a 9. Los siguientes puntos describen datos que se pueden ajustar a un modelo lineal. x

4. Grafica los siguientes puntos.

420

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 420

9/13/25 6:10 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3

MULTIPLICATION MODELS Skills Quiz

STUDENT NOTEBOOK

REPRESENTAR DATOS

5. ¿Cuál es la pendiente aproximada de la recta?

6. ¿Cuál es la intersección en y aproximada de la recta?

7. Con el uso de tu calculadora, crea una regresión lineal de mejor ajuste. ¿Cuál es la ecuación de la recta de mejor ajuste según tu calculadora?

8. Grafica la ecuación de la pregunta 7 con un color diferente en la misma gráfica. ¿Es esta la gráfica que esperabas?

9. ¿Cuál es el coeficiente de correlación? ¿La ecuación representa un buen ajuste para los datos? Explica.

10. Un estudio demostró que una disminución en el precio de las sandías causó un aumento en la cantidad de sandías vendidas. ¿Qué enunciado describe mejor esta relación? A. Correlación positiva y relación causal B. Correlación negativa y relación causal C. Correlación positiva y no hay relación causal D. Correlación negativa y no hay relación causal

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 421

421

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REPRESENTAR DATOS

422

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 422

GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

9/13/25 6:10 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

REPRESENTAR DATOS

VOCABULARIO

INTERVALO

CRECIENTE/ DECRECIENTE

INTERVALO POSITIVO / NEGATIVO

MÁXIMO RELATIVO

MÍNIMO RELATIVO

COMPORTAMIENTO FINAL

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 423

423

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

REPRESENTAR DATOS

VOCABULARIO Creciente/decreciente

Intervalo

Una función es creciente si f(b) > f(a) y decreciente si f(b) < f(a) para cualquiera de los dos valores de entrada a y b

El conjunto de valores de entrada continuo en el cual los datos de salida de una función pueden incrementarse, decrementarse o ser constantes 3

Máximo relativo

Intervalo positivo / negativo

Punto que es más alto que los puntos a su lado en ambos lados

Intervalos positivos son aquellos por encima del eje X y los negativos por debajo del mismo 5

Comportamiento final

Mínimo relativo

Tendencia que sigue el gráfico cuando x se acerca al infinito en las direcciones negativa y positiva

Punto que es más bajo que los puntos a su lado en ambos lados 7

424

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 424

9/13/25 6:10 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

REPRESENTAR DATOS

VOCABULARIO

PERIODICIDAD

TASA DE CAMBIO PORCENTUAL

CRECIMIENTO EXPONENCIAL

DECRECIMIENTO EXPONENCIAL

GRÁFICO DE DISPERSIÓN

RECTA DE MEJOR AJUSTE (LÍNEA DE TENDENCIA)

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 425

425

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

REPRESENTAR DATOS

VOCABULARIO Tasa de cambio porcentual

Periodicidad

Porcentaje de aumento o disminución de una cantidad en una unidad de tiempo, denotado por «r»

Tendencia de una función a repetirse en un patrón regular a intervalos establecidos 9

Decrecimiento exponencial

Crecimiento exponencial

Proceso de reducir una cantidad por una tasa de porcentaje constante durante un período de tiempo

Cambio que ocurre cuando una cantidad original se incrementa en una tasa constante durante un período de tiempo 11

Recta de mejor ajuste (línea de tendencia)

Gráfico de dispersión

Serie de puntos trazados que muestran la relación entre dos conjuntos de datos

Recta que representa mejor los datos en un diagrama de dispersión 13

426

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 426

9/13/25 6:10 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

REPRESENTAR DATOS

VOCABULARIO

ASOCIACIÓN

PENDIENTE

TASA DE CAMBIO

INTERSECCIÓN Y

CONSTANTE

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 427

427

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

REPRESENTAR DATOS

VOCABULARIO Pendiente

Asociación

Cuán empinada es una recta; representada como «m» en la ecuación de pendiente-intersección

Forma (lineal / no lineal), dirección (positiva/negativa/ninguna) y fuerza (débil/moderada/fuerte) vistas entre dos variables en un diagrama de dispersión 15

Intersección en y

Tasa de cambio

Punto en el gráfico de una ecuación donde la recta cruza el eje Y

Tasa que muestra cómo cambia una cantidad en relación con otra 17

Coeficiente de correlación

Constante

Número r que describe cuán estrechamente relacionados están los puntos en un diagrama de dispersión, donde −1 ≤ r ≤ 1

Número fijo que está solo en una ecuación o expresión 19

428

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 428

9/13/25 6:10 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

STUDENT NOTEBOOK

REPRESENTAR DATOS

VOCABULARIO

CAUSALIDAD

REGRESIÓN

CORRELACIÓN

RESIDUAL

FUNCIÓN CUADRÁTICA

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 429

429

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GRADE 3LIBRO STUDENT NOTEBOOK ÁLGEBRA 1 DEL ESTUDIANTE

REPRESENTAR DATOS

VOCABULARIO Regresión

Causalidad

Proceso de trazar una línea a través de los datos en un diagrama de dispersión

Acción de un evento que hace que ocurra otro evento 21

Residual

Correlación

Diferencia entre el valor de y observado (del diagrama de dispersión) y el valor de y predicho (de la línea de la ecuación de regresión)

Relación entre dos variables que varían juntas 23

Función cuadrática

Función que se puede escribir en la forma f(x) = ax² + bx + c = 0, donde a, b, y c son números reales y a ≠ 0, o en la forma f(x) = a(x – h)² + k, donde a, h y k son números reales y a ≠ 0 24

430

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 430

9/13/25 6:10 PM

LIBRO DEL ESTUDIANTE

ÁLGEBRA 1

GRADE 3 MULTIPLICATION MODELS

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 431

STUDENT NOTEBOOK

REPRESENTAR DATOS

431

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SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 2

9/13/25 6:09 PM

SS CA Math SN Algebra 1 V4 SPA.indb 2

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ISBN 9798330818358

9 798330 818358

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ÁLGEBRA 1 | Libreta del estudiante VOL. 4 DE 4

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