Edicíon para el maestro Grado 8, volumen 1 ISBN: 979-8-33080-584-6
Publicado por Accelerate Learning Inc., 5177 Richmond Ave, Suite 800, Houston, TX 77056. Derechos de reproducción © 2025 por Accelerate Learning Inc. Todos los derechos reservados. Ninguna parte de esta publicación debe ser reproducida o distribuida de ninguna manera o por ningún medio; ni almacenada en una base datos o en un sistema de recuperación sin el consentimiento previo por escrito de Accelerate Learning Inc, el cual incluye, pero no está limitado, a cualquier red electrónica u a otro tipo de almacenamiento o de transmisión electrónica; o medio de difusión para el aprendizaje a distancia. Visítenos en www.stemscopes.com para obtener más información.
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Tabla de contenido Guía de implementación STEMscopes Math........................................................ 3
Introducción a octavo grado............................................................................... 26
ALCANCE 1 Exponentes enteros......................................................................... 46
ALCANCE 2 Raíces cuadradas y raíces cúbicas................................................... 86
ALCANCE 3 Números irracionales....................................................................... 122
ALCANCE 4 Notación científica.......................................................................... 168
ALCANCE 5 Operaciones con notación científica................................................. 206
ALCANCE 6 Resolver ecuaciones lineales........................................................... 244
ALCANCE 7 Relaciones proporcionales............................................................... 292
ALCANCE 8 Resolver pares de ecuaciones lineales.............................................. 338
ALCANCE 9 Funciones....................................................................................... 388
© Accelerate Learning Inc. - Todos los derechos reservados
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Accelerate Learning Inc. produce STEMscopes™, un completo currículo de STEM orientado a resultados y soluciones de desarrollo profesional. Creado por maestros para maestros, STEMscopes Math es adaptable, accesible y apoya la enseñanza en cualquier tipo de ambiente de aprendizaje.
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STEMscopes Math
STEMscopes Math es un programa flexible que se puede implementar de diferentes maneras: en aulas, con un dispositivo por estudiante, o en un entorno tradicional de clase. Los libros impresos que imitan la plataforma digital están disponibles para la compra, y los recursos en línea pueden imprimirse y distribuirse. Con una gran cantidad de recursos que incluyen actividades basadas en juegos y manipulativos virtuales, los estudiantes tienen muchas oportunidades para colaborar, pensar de forma crítica y adquirir nuevos conocimientos sobre conceptos matemáticos. El andamiaje, la diferenciación y la instrucción en grupos pequeños son fáciles de implementar y permiten que los estudiantes exploren diversas formas de abordar las matemáticas en contextos del mundo real.
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Filosofía y principios orientadores Mundo real, contexto relevante
que los estudiantes vean cómo los conceptos matemáticos se desarrollan y se relacionan entre sí en lugar de experimentarlos como habilidades desconectadas.
STEMscopes Math reconoce que un problema importante en las aulas de matemáticas es la desconexión entre el conocimiento de los procedimientos y saber cuándo aplicarlos a situaciones cotidianas. Los estudiantes deben desarrollar una comprensión más profunda de las matemáticas para razonar ante una situación, recopilar la información necesaria y usar la mecánica matemática para llegar a una respuesta razonable. Proporcionar múltiples experiencias en contextos del mundo real ayuda a los estudiantes a identificar cuándo ciertas habilidades son útiles. STEMscopes Math se basa en escenarios del mundo real. Nuestras actividades y tareas prácticas y atractivas exponen a los estudiantes a situaciones relevantes donde se necesita la habilidad matemática durante todo el proceso de aprendizaje.
Para promover la rigurosidad, los estudiantes participan en un aprendizaje guiado por investigaciones en el que exploran contextos familiares, hacen preguntas auténticas y desarrollan estrategias que conducen a una comprensión matemática abstracta. Estas experiencias garantizan que los conceptos matemáticos, los cálculos y las aplicaciones tengan un propósito genuino y estén conectados con el mundo real. Al integrar la comprensión conceptual, la fluidez procedimental y la aplicación, STEMscopes Math ayuda a los estudiantes a construir una base sólida en matemáticas.
Enseñanza centrada en ideas fundamentales STEMscopes Math está diseñado para motivar a los estudiantes a explorar ideas fundamentales interconectadas, permitiéndoles indagar a profundidad en conceptos matemáticos clave. Estas ideas sirven como base del aprendizaje matemático, conectando diversos conocimientos de manera consistente y proporcionando puntos focales significativos para las investigaciones. A través del trabajo colaborativo, se desarrolla la comprensión de estas ideas de manera multidimensional, respondiendo así a las diversas necesidades de aprendizaje. El programa aborda las ideas fundamentales a partir de tres puntos esenciales: los estándares para la práctica matemática (el cómo), que guían el desarrollo del pensamiento matemático y la resolución de problemas; las conexiones de contenido (el qué), que definen el conocimiento matemático con el que los estudiantes interactúan; y los motores de investigación (el por qué), que dan propósito y contexto al aprendizaje. Esta estructura asegura que aprendan conceptos matemáticos, vean su relevancia, los apliquen en diferentes contextos y desarrollen una comprensión profunda y conectada de la materia.
Enfoque CRA CRA significa concreto, representacional y abstracto. Al aprender una nueva habilidad, los estudiantes usan materiales concretos cuidadosamente seleccionados para desarrollar su comprensión del nuevo concepto o habilidad. A medida que aprenden con los modelos físicos, comienzan a dibujar una variedad de representaciones pictóricas que reflejan su trabajo con los objetos concretos. Luego, se les enseña a traducir estos modelos a representaciones abstractas con símbolos y algoritmos. El modelo CRA se suele subutilizar en las aulas de secundaria. Sin embargo, el uso de materiales concretos para introducir nuevos conceptos brinda a los estudiantes mejores oportunidades para elaborar sus propios modelos mentales y crear estrategias para ideas matemáticas.
Comprensión de conceptos y sentido numérico Los estudiantes tienen más probabilidades de retener y aplicar correctamente las matemáticas si entienden cómo y por qué funcionan diferentes procedimientos. Al comprender las razones, pueden calcular con mayor precisión y determinar si una respuesta es razonable. Aunque las bases se establecen en la educación primaria, el sentido numérico debe ampliarse y cultivarse en las aulas de secundaria. La comprensión de conceptos lleva al desarrollo del sentido numérico de los estudiantes. Esto implica la capacidad de estimar, trabajar mentalmente con números y detectar respuestas irracionales. Los estudiantes con una comprensión profunda de conceptos y un fuerte sentido numérico cuentan con las herramientas necesarias para razonar matemáticamente y resolver problemas en el mundo real.
Enfoque, coherencia y rigurosidad STEMscopes Math apoya el enfoque, la coherencia y el rigor al brindar a los estudiantes oportunidades significativas para explorar conceptos matemáticos, establecer conexiones entre ideas y desarrollar una comprensión profunda de la materia. El programa destaca el enfoque al estructurar el aprendizaje alrededor de progresiones críticas en lugar de estándares aislados, lo que permite a los estudiantes participar en investigaciones que facilitan una comprensión matemática razonable a lo largo del tiempo. La coherencia se establece diseñando alcances que conectan múltiples estándares en una progresión natural, asegurando
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STEMscopes Math promueve la comprensión de conceptos al basar las nociones y procedimientos matemáticos en un contexto significativo. Los errores computacionales suelen ser el resultado de errores en la aplicación de un procedimiento formal. Aprender a calcular de manera aislada ayuda a los estudiantes a enfocarse en la operación y no en lo que tiene sentido dentro de una situación.
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fomentan la exploración, la discusión y el razonamiento. Las lecciones están diseñadas en torno a ideas fundamentales, asegurando que se investiguen conceptos matemáticos importantes de maneras que conectan con experiencias y conocimientos previos. El programa fomenta la participación inclusiva mediante el uso de representaciones variadas, actividades prácticas y conversaciones estructuradas que dan pie a múltiples perspectivas y enfoques. Las tareas abiertas y multidimensionales ofrecen niveles desafiantes apropiados mientras los estudiantes colaboran con sus compañeros para compartir estrategias y construir conocimiento. Las discusiones matemáticas están estructuradas para valorar las contribuciones de cada uno y dan prioridad al razonamiento y la justificación por encima de, simplemente, obtener la respuesta correcta. Además, anima a los estudiantes a hacer preguntas, explorar patrones numéricos y analizar datos, desarrollando así las habilidades necesarias para comprender temas relevantes en su entorno. A través de su enfoque en la accesibilidad, la colaboración y el aprendizaje impulsado por la curiosidad, STEMscopes Math ofrece un ambiente equitativo donde todos pueden verse a sí mismos como matemáticos capaces.
Uso de manipulativos STEMscopes Math ofrece diversas oportunidades para usar manipulativos, es decir, objetos físicos para interactuar y explorar los conceptos matemáticos. A medida que desarrollan competencia, los estudiantes dependen menos de los materiales concretos y se vuelven capaces de usar modelos pictóricos, estrategias mentales y representaciones abstractas. El uso de objetos del mundo real y manipulativos es especialmente beneficioso para los estudiantes multilingües, ya que la investigación demuestra que favorece el desarrollo del idioma meta y la adquisición del conocimiento académico.
Conocimiento del contenido para maestros y familias La capacidad de los maestros y padres/tutores para ayudar a los estudiantes a comprender las matemáticas depende de su propio entendimiento de la materia. Muchos la aprendieron de manera diferente a como se enseña ahora, y pueden necesitar apoyo para entender los cambios. Los modelos y estrategias presentados pueden parecer desconocidos para los maestros y las familias. STEMscopes Math ofrece recursos adicionales y conocimientos básicos para los maestros, así como cartas informativas para los padres/tutores que les ayudan a comprender los conceptos que se están ofreciendo.
Exploración colaborativa El trabajo colaborativo no solo refleja mejor situaciones del mundo real, sino que es una herramienta pedagógica poderosa. En las aulas que usan nuestro currículo, los estudiantes trabajan juntos y aprenden unos de otros, con el maestro como facilitador. Al colaborar, razonan matemáticamente a través de una variedad de actividades como proponer ideas y debatir la mejor solución a un problema. Al escuchar el pensamiento y la lógica de otros, observan diferentes maneras de resolver un problema. Pedirles que expliquen y justifiquen sus ideas desarrolla sus habilidades comunicativas y les permite reflexionar sobre su propio entendimiento. En el programa, se incorporan esquemas de oración y otras estrategias para que estudiantes con distintos niveles de competencia lingüística puedan participar de manera significativa en oportunidades de aprendizaje colaborativo.
Lenguaje académico Se aprende vocabulario académico al conectar nuevas palabras con conocimientos y experiencias previas. Para lograr fluidez académica, se necesitan oportunidades para comunicarse usando ese vocabulario. STEMscopes Math les ofrece múltiples oportunidades para que planteen sus ideas informalmente con sus compañeros y con el maestro, así como para expresar su razonamiento por escrito. Las actividades de exploración incluyen guías para el maestro sobre cómo conectar el vocabulario académico con las experiencias del estudiante durante la instrucción. También incluyen iniciadores de conversación para que los maestros inviten a los estudiantes a comunicar sus ideas con un lenguaje académico. Las estrategias integradas ayudan a los estudiantes multilingües mientras adquieren nuevo vocabulario.
Fluidez computacional La fluidez no se limita a memorizar hechos o seguir procedimientos. A medida que los estudiantes comprenden una variedad de conceptos matemáticos, van construyendo su conjunto de herramientas. Ser fluido en matemáticas significa aplicar estrategias y procesos para resolver problemas con precisión, eficiencia y flexibilidad. Esta fluidez se desarrolla con el tiempo, a medida que los estudiantes interactúan con diversos problemas y evalúan las estrategias usadas para resolverlos.
Referencias About Teaching Mathematics, Marilyn Burns Mathematical Mindsets, Jo Boaler Principles to Actions, NCTM Connecting Research with Practice, NCTM
Promoción de la equidad
Principles and Standards, NCTM Knowing What We Teach and Teaching What We Know, NCTM (Glenda Lappan)
STEMscopes Math promueve la equidad al brindar oportunidades significativas para que todos se involucren con las matemáticas mediante tareas abiertas y relacionadas con el mundo real que
Practical Guidelines for the Education of English Language Learners: Research-Based Recommendations for Instruction and Academic Interventions, D. J. Francis, M. Rivera, N. Lesaux, M. Kieffer, and H. Rivera Guided Math, Laney Sammons
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Aspectos destacados de STEMscopes Math ------
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A lo largo del plan de estudios, en los niveles de unidad y lección, utilizamos una variedad de tareas diseñadas como evaluaciones formativas y sumativas. Nuestros recursos no solo incluyen la evaluación instruccional y la orientación para su implementación eficaz, sino que ofrecen apoyo para que maestros y estudiantes analicen los resultados y los utilicen para facilitar el progreso.
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Una característica clave del plan de estudios STEMscopes Math es la intencionalidad de nuestro diseño curricular según el curso, la unidad y la lección de cada nivel. Esto incluye el alcance, la secuencia y el ritmo, así como la lógica que los respalda. También ofrecemos materiales y orientación para quienes brindan apoyo a los maestros y a otros participantes en el uso eficaz de los recursos curriculares.
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STEMscopes Math ofrece una variedad de recursos que promueven el apoyo de todos los aprendices; eso incluye andamiajes para los estudiantes multilingües en distintos niveles de dominio así como para aquellos que aún no han demostrado dominio matemático en un concepto, y enriquecimiento para quienes sí lo han demostrado. Además, cuenta con materiales para los estudiantes basados en la instrucción diferenciada y componentes que ofrecen orientación para los maestros en el uso de recursos que garantizan la equidad en la instrucción. Una característica esencial del enfoque utilizado por STEMscopes Math es brindar a los estudiantes oportunidades frecuentes para participar en prácticas que demuestren su dominio de los estándares y garantizar que requieran de un nivel cada vez más profundo de comprensión con el tiempo. Además, el plan de estudios está diseñado para que los estudiantes se encuentren con los mismos conceptos fundamentales en diferentes grados y en distintos contextos. Al acceder a los conocimientos previos y utilizar un lenguaje y materiales consistentes, garantizamos que se establezcan conexiones y reconozcan patrones que hagan que los conceptos sean significativos y duraderos. Una característica clave de cómo STEMscopes Math desarrolla el pensamiento matemático es nuestro enfoque para equilibrar el conocimiento conceptual y el procedimental. En primer lugar, el plan requiere que los estudiantes analicen, evalúen y eventualmente creen sus propios modelos mentales para representar conceptos matemáticos y luego los usen para resolver problemas únicos. En segundo lugar, ofrece oportunidades para practicar procedimientos matemáticos con el fin de desarrollar aplicaciones eficientes, flexibles y precisas. En tercer lugar, está diseñado para que el conocimiento conceptual y el procedimental reciban la misma importancia y atención, y este equilibrio se comunica implícita y explícitamente tanto a estudiantes como a maestros. STEMscopes Math ofrece múltiples oportunidades para que los estudiantes participen en la resolución independiente de problemas y los invita a reflexionar, explicar y justificar diferentes enfoques y soluciones. Nuestros materiales apoyan a los maestros para que guíen de los estudiantes en este proceso, incluyendo cómo proporcionar retroalimentación explicativa y diversos andamiajes lingüísticos que ayuden a los estudiantes a perseverar y superar posibles conceptos erróneos.
STEMscopes Math se enfoca en la calidad y no en la cantidad. La enseñanza de las matemáticas debe formar a solucionadores de problemas y pensadores críticos para toda la vida. Las investigaciones muestran que esto no se logra dando a los estudiantes múltiples páginas de ejercicios repetitivos. En su lugar, se fomenta en las conversaciones profundas, la comprensión conceptual y las conexiones culturalmente diversas con el mundo real cuando los estudiantes practican el contenido mediante pocas tareas enfocadas hacia un propósito definido.
Los recursos de STEMscopes Math incluyen instrucciones y orientación para la implementación eficaz de las lecciones y la facilitación de una amplia variedad de métodos de enseñanza. Encontrará guías que le ayudarán a formular preguntas de calidad, brindar retroalimentación a partir de las respuestas de los estudiantes y responder ante los posibles errores de concepto que puedan presentarse. Nuestros materiales integrados ofrecen orientación para la instrucción diferenciada, el enriquecimiento y las actividades de extensión, así como para el uso de los recursos con el fin de garantizar una instrucción equitativa.
STEMscopes Math ofrece múltiples herramientas para apoyar la planificación educativa. En el documento de secuencia y alcance se proporciona una vista de todo el año escolar para cada nivel de grado. También se incluyen guías para la planificación de lecciones y calendarios sugeridos para la enseñanza de los temas. Aunque se utilizó la progresión natural de las matemáticas para determinar el orden y el ritmo de enseñanza, nuestros temas están diseñados para ser flexibles y pueden usarse en cualquier orden.
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Diseño del currículo y estructura de la lección STEMscopes Math está basado en una filosofía de enseñanza que promueve la comprensión conceptual de las matemáticas a través de la exploración práctica, la indagación, el descubrimiento y el análisis. Cada lección incluye una serie de investigaciones y actividades, de modo que los estudiantes aprenden haciendo y se involucran completamente en el proceso. El desarrollo intencional de conceptos y habilidades fortalece la capacidad de los estudiantes para hacer conexiones relevantes y aplicar lo aprendido en contextos del mundo real. Las lecciones están diseñadas según el modelo instruccional basado en la investigación de las 5E + IA (por sus siglas en inglés), que incluye: Atraer, Explorar, Explicar, Elaborar, Evaluar, Intervención y Aceleración. Cada componente de este ciclo de instrucción cuenta con recursos específicos que apoyan la comprensión de los conceptos matemáticos por parte de los estudiantes y la enseñanza eficaz por parte de los maestros.
Alineación a los estándares
STEMscopes Math está estrictamente alineado con los estándares estatales comunes de para matemáticas, con los estándares de desarrollo del idioma inglésy con las prácticas matemáticas esenciales.
Alineación a los estándares estatales comunes de para matemáticas
Cada unidad, o alcance, está alineada estrictamente con uno o más de los estándares estatales comunes de para matemáticas. Tanto los estándares centrales como los de conexión se abordan en cada tema y se presentan claramente en la página principal de esa lección. Cada tema contiene elementos diseñados para desarrollar la comprensión conceptual de los estudiantes sobre cada estándar.
Estándares para la práctica matemática
Las prácticas matemáticas están integradas en todo nuestro currículo con el objetivo de desarrollar habilidades básicas que formen pensadores matemáticos eficaces. Estos estándares sirven como un puente entre el contenido y saber cómo y cuándo aplicarlo. MP.1 Comprender los problemas y perseverar en su resolución.
Alilneación a los estándares de desarrollo del idioma inglés
MP.2 Razonar de manera abstracta y cuantitativa.
En cada tema, se brindan múltiples oportunidades para que los estudiantes demuestren lo que han aprendido y exploren nuevos conceptos a través de las cuatro modalidades lingüísticas: escuchar, hablar, leer y escribir. Los maestros también tienen acceso a sugerencias de enunciados de oración, apoyos visuales y andamiajes diseñados para estudiantes con varios niveles de dominio del inglés. Todas las actividades están basadas en un enfoque aditivo hacia la adquisición del lenguaje, que valora y aprovecha el idioma del estudiante como un recurso. Además, en alineación con investigaciones educativas recientes, STEMscopes Math enfatiza el desarrollo del lenguaje académico como parte fundamental del éxito de los estudiantes multilingües en desarrollo. Se reconoce que esta población usa estratégicamente todo su repertorio lingüístico (es decir, todos los idiomas que domina) para distintos propósitos en su aprendizaje.
MP.3 Construir argumentos válidos y examinar el razonamiento de otros. MP.4 Representar con las matemáticas. MP.5 Usar herramientas apropiadas estratégicamente. MP.6 Ser preciso. MP.7 Buscar y utilizar la estructura. MP.8 Buscar y expresar regularidad en el razonamiento repetido.
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La investigación sobre el comportamiento en la resolución de problemas indica que los pensadores eficaces practican hábitos identificables cuando se enfrentan a un problema y no conocen la respuesta. El objetivo de las prácticas matemáticas es desarrollar los buenos hábitos de un matemático. Nuestras lecciones están diseñadas en función de los hábitos de los pensadores eficaces en matemáticas. Es decir, la habilidad que ellos tienen para resolver problemas cuando se enfrentan a una situación compleja. Estos comportamientos rara vez se aplican de manera aislada; por el contrario, los usan en conjunto en diversas situaciones. Por ejemplo, al escuchar con atención, un matemático demuestra respeto por los demás, comprende lo que escucha y reconoce el uso preciso del lenguaje. Cuando los estudiantes se enfrentan a problemas complejos, se les anima a aplicar uno de los hábitos de un matemático, o más, al preguntar: ¿Qué es lo más eficaz que puedo hacer en este momento?. Integrar estos hábitos fomenta la colaboración, promueve el pensamiento de orden superior y ayuda a los estudiantes a desarrollar habilidades sólidas para la resolución de problemas.
Progresión y fundamentos del curso Cada alcance en STEMscopes Math está cuidadosamente diseñado para construir sobre conocimientos previos, asegurando una transición fluida entre conceptos y promoviendo una comprensión profunda e integral de las matemáticas. Este enfoque estructurado prepara a los estudiantes para enfrentar desafíos matemáticos futuros y aplicar sus conocimientos a situaciones del mundo real. Cada nivel de grado incluye áreas de enfoque que destacan los temas matemáticos principales que se abordarán durante el año escolar. Estas áreas se fundamentan en la progresión dentro y entre los dominios de la materia y enfatizan las conexiones entre los temas principales, lo cual proporciona un enfoque integrado a la enseñanza de las matemáticas. Puedes encontrar descripciones completas de los fundamentos de cada curso en la sección de Recursos para el maestro dentro de los temas correspondientes a cada nivel de grado.
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Evaluaciones STEMscopes Math incluye múltiples oportunidades para realizar diferentes tipos de evaluaciones estudiantiles, tales como evaluaciones diagnósticas, formativas y sumativas. Cada una está cuidadosamente alineada a los estándares y puede usarse para recopilar datos que informen la instrucción y apoyen el aprendizaje de los estudiantes. Acceso a conocimientos previos (Diagnóstica) Breve actividad de sondeo para evaluar los conocimientos previos antes de abordar el contenido del alcance. Boleto de salida (Formativa) Evaluación rápida sobre lo que aprendieron en cada Exploración. Muestra lo que sabes (Formativa) Tarea de práctica independiente que permite a los estudiantes demostrar su aprendizaje. Decide and Defend (Formativa) Evaluación de respuesta abierta que invita a los estudiantes a razonar matemáticamente y justificar sus ideas con evidencias. Lista de verificación de observación (Diagnóstica o formativa) Lista de conceptos y habilidades que el maestro y el estudiante pueden usar para reflexionar sobre el progreso del estudiante y establecer objetivos. Prueba de habilidades (Formativa o sumativa) Evaluación basada en estándares para determinar la habilidad para resolver problemas matemáticos de manera eficiente y precisa. Tareas basadas en los estándares (Sumativa) Evaluación de opción múltiple alineada a los estándares, en la que los estudiantes demuestran dominio del contenido. Mostrar y contar (Diagnóstica o sumativa) Evaluación rápida en rúbrica individual o pequeños grupos con manipulativos o siguiendo indicaciones del maestro.
Preguntas mejoradas con tecnología (Sumativa) Evaluación diseñada para que los estudiantes respondan a tipos de preguntas que no se pueden resolver con lápiz y papel. Tarea de representación matemática (Formativa o sumativa) Actividad individual o colaborativa que permite resolver un problema significativo en un contexto del mundo real. Intervención en grupos pequeños: Revisión (Formativa) Tarea de práctica independiente para evaluar el dominio del contenido después de la intervención en grupos pequeños. Intervención en grupos pequeños: Revisión rápida (Formativa) Evaluación breve e independiente para verificar el dominio del contenido después de una intervención en grupo pequeño. Revisión práctica de habilidades: Verificación (Formativa) Evaluación previa a la intervención en grupo pequeño que permite identificar el nivel de dominio de los estudiantes. Evaluaciones de referencia (Diagnóstica o sumativa) Evaluaciones de principio, mitad y final de año que ofrecen datos significativos que pueden informar la instrucción. Evaluaciones de medición del crecimiento (Diagnóstica o sumativa) Evaluaciones previas y posteriores diseñadas para hacerle seguimiento al crecimiento de los estándares de nivel de grado desde el principio hasta el final del año.
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Apoyo de la administración y de los asesores instruccionales Alcance y secuencia
● Los maestros pueden elegir entre las demás actividades según las necesidades de los estudiantes.
Estos documentos están disponibles en la sección de Recursos para el maestro dentro de cada grado. La progresión natural de las matemáticas fue el factor principal para determinar el orden de los alcances. El número total de días de instrucción para cada tema se basa en el Calendario sugerido del alcance. El tiempo asignado puede ajustarse según las necesidades de los estudiantes o las guías de ritmo individuales.
Para un calendario de instrucción de más de 180 días, se sugieren las siguientes opciones: ● Seguir el ritmo sugerido en nuestras guías de planificación de lecciones y calendarios de alcance. ● Usar los elementos de las secciones Intervención y Aceleración para ayudar a reforzar la comprensión del contenido. ● Utilizar elementos como las Tarea basada en problemas, los Constructores de fluidez y los Tableros de opciones como actividades de extensión colaborativas.
Calendario sugerido del alcance
Cada alcance incluye un calendario sugerido que contiene recursos de planificación, ritmo, práctica y opciones de evaluación. Los calendarios están basados en un bloque de matemáticas de 90 minutos para primaria y de 45 minutos para secundaria, pero pueden ajustarse eligiendo los elementos a completar y el tiempo dedicado a las actividades.
Guías de planificación
Las guías de planificación están disponibles para cada grupo de grados en nuestra sección de Fundamentos dentro de los Recursos para el maestro. Están divididas en opciones tanto para grupos completos como para grupos pequeños, y ofrecen ejemplos basados en la cantidad variable de Exploraciones en un alcance.
Opciones de varios calendarios instruccionales Los documentos de Secuencia y alcance están basados en un calendario de instrucción típico de 180 días. Para modificarlo, según un número diferente de días de instrucción, se pueden agregar o eliminar actividades.
Preparación del maestro y orientación para la planificación
Para un calendario de instrucción de 165 días, se sugieren las siguientes opciones: ● Enseñar con las actividades esenciales resaltadas en nuestras guías de planificación de lecciones incluidas en el dentro de la Caja de recursos del maestro. Si el tiempo es limitado, enseñe solo estas actividades para cubrir completamente los estándares. ● Ajustar el ritmo según la cantidad de Exploraciones incluidas en el alcance. ● Mandar los Boletos de salida y las hojas de Muestra lo que sabes como tarea para cada Exploración completada, en lugar de havcer las actividades en clase.
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Nuestras guías para el maestro lo ayudan a navegar las actividades fundamentales de cada alcance, mientras proporcionan sugerencias para la facilitación, orientación, recordatorios y un espacio para registrar notas sobre los distintos elementos del alcance. Estos materiales se incluyen como un recurso para imprimir en el elemento Visión general del alcance o están disponibles para su compra como una guía de año completo por nivel de grado.
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Acciones fundamentales del maestro Existen, por supuesto, muchos factores que afectan el aprendizaje dentro del aula. Las investigaciones indican que, de todos ellos, las acciones del maestro tienen el mayor impacto. Si bien reconocemos que muchos de esos factores están fuera de nuestro control, creemos que lo que hacen los docentes en el aula es un elemento que sí se puede cambiar de manera positiva. Al explorar STEMscopes Math, observará que muchas de las técnicas, procedimientos, procesos y actividades están incluidas en la categoría de acciones fundamentales del maestro, y promueven el logro estudiantil. Hacer una lista y explicación detallada de todas estas acciones va más allá del alcance de este documento y probablemente no sería útil para quienes están tratando de apoyar a los docentes. En su lugar, ofrecemos nuestra lista de principios rectores de las mejores prácticas. Todas las acciones docentes que se aplican a lo largo de nuestro currículo siguen estas directrices. Estas normas, a su vez, están basadas en nuestra filosofía pedagógica central: el constructivismo. El constructivismo es una teoría amplia que intenta describir y explicar cómo las personas adquieren conocimiento, y propone un enfoque radicalmente distinto al de la enseñanza tradicional. Desde la perspectiva constructivista, el aprendizaje es un proceso autorregulado que consiste en integrar modelos personales existentes del mundo con nuevos conocimientos obtenidos a través de interacciones con fenómenos del mundo real en contextos significativos. Esto conduce a la construcción activa de nuevas representaciones de la realidad, mediadas por la actividad social, que incluyen el diálogo y el debate. Los principios rectores de las mejores prácticas, que se basan en nuestra fundamentación teórica constructivista y que guían el desarrollo de nuestro currículo, se describen a continuación: Mundo real: Los estudiantes necesitan interactuar con fenómenos auténticos del mundo real en un contexto que sea relevante y motivador para ellos, y que represente de forma razonable el trabajo de los expertos.
Comunidades de aprendizaje: Los estudiantes deben tener oportunidades para interactuar con sus pares y colaborar en la construcción compartida del conocimiento.
Indagación: Se debe ofrecer a los estudiantes oportunidades para formular preguntas y diseñar formas de explorarlas y responderlas.
Reflexión y diálogo: Los estudiantes necesitan reflexionar sobre su propio entendimiento a través de un diálogo significativo con ellos mismos, con sus compañeros y con el maestro.
Macro-contextos: Los estudiantes deben contar con tiempo suficiente para explorar conceptos en una amplia variedad de contextos y enfoques, con el fin de reconocer patrones y aplicar el aprendizaje a situaciones nuevas.
○ Autonomía del estudiante: Los alumnos se involucran más, se sienten más motivados y aprenden mejor cuando tienen oportunidades de tomar decisiones y dirigir su propio aprendizaje. ○ Evaluación auténtica y retroalimentación: La evaluación que refleja con precisión los conocimientos y habilidades de los estudiantes es esencial para ofrecerles una visión clara de sus fortalezas y de las áreas que necesitan mejorar.
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Observations
El maestro...
MANOS
OÍDOS
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MENTES
le da la mano a un estudiante al entrar al aula; estable el tono para el comportamiento esperado al modelar las conductas deseadas; y asiste a los estudiantes con las tareas sin hacer el trabajo por ellos.
escucha a los estudiantes sin interrumpir y presta atención a señales que indiquen el nivel de comprensión del estudiante.
se mueve por el aula y conversa con cada estudiante; utiliza un tono positivo y responde de manera apropiada, sin sarcasmo ni dureza. El maestro da el ejemplo con una actitud positiva, incluso cuando uno o más estudiantes intentan faltar al respeto a la clase.
establece el tono para el comportamiento esperado al modelar las conductas deseadas. El maestro puede ofrecer opciones a los estudiantes según sus intereses personales.
se siente cómodo para moverse por el aula y atender sus necesidades; comprende los procedimientos y rutinas esperadas para manejar asuntos del aula.
escucha al maestro para recibir información e instrucciones; escucha las ideas de sus compañeros sin interrumpir ni mostrar desacuerdo de manera grosera. El estudiante sabe cómo expresar un punto de vista diferente sin atacar personalmente a un compañero o al maestro.
conversa con el maestro sobre su vida personal. También se siente cómodo al compartir ideas relacionadas con el contenido con sus pares. No hay temor a ser ridiculizado o avergonzado si comete un error. Los estudiantes confían en que pueden decir lo que piensan.
trabaja arduamente para cumplir con las expectativas establecidas por el maestro. Comprende que el fracaso es parte del éxito y se sienten cómodos cometiendo errores.
nota que todos los estudiantes están activamente involucrados en el proceso de aprendizaje. Pueden estar moviéndose por el aula.
nota que los estudiantes están escuchándose entre sí y a su maestro.
nota que los estudiantes pueden estar hablando con el maestro sobre su partido de fútbol del fin de semana, el maestro puede estar compartiendo una historia sobre sus hijos, o los estudiantes hablando de sus vidas personales.
nota que los estudiantes pueden hacer preguntas sin temor a equivocarse. El observador debe percibir un ambiente de completa seguridad y confianza.
El estudiante...
El observador...
Seguimiento del progreso académico de los estudiantes Como educadores, dedicamos mucho tiempo a recopilar datos sobre el desempeño de nuestros estudiantes. Sin embargo, las acciones que tomamos después de haber recolectado esos datos pueden marcar la diferencia entre ser un buen maestro y ser uno excelente. Una evaluación no tiene valor si no se analiza y no se permite que influya en la instrucción. El análisis de datos puede proporcionar una visión clara de lo que los estudiantes saben, lo que deberían saber y qué se puede hacer para atender sus necesidades académicas. Según la Asociación Nacional de Directores de Escuelas Primarias (NAESP, por sus siglas en inglés), el uso de datos es un ciclo continuo que implica la recopilación de múltiples fuentes de información, la interpretación de datos para formular hipótesis sobre estrategias que aumenten el rendimiento estudiantil y la implementación de cambios en la instrucció para poner a prueba dichas hipótesis. Cuando un maestro logra analizar eficazmente los datos de sus estudiantes, se observan los siguientes beneficios: ●
La enseñanza se alinea con las necesidades de los estudiantes.
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El maestro puede priorizar el tiempo de instrucción.
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Se ofrece instrucción en grupos pequeños para atender habilidades, procesos y contenidos específicos que los estudiantes necesitan (lo que los ayuda a avanzar).
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El maestro recopila datos de diversas fuentes para obtener una comprensión más completa de las necesidades de sus estudiantes. Los estudiantes desarrollan la capacidad de monitorear su propio progreso académico
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Evaluaciones Fuera del Alcance Inmediato Nuestro programa de matemáticas incluye múltiples oportunidades para medir el progreso de los estudiantes a lo largo del tiempo a partir de evaluaciones de referencia y de medición de crecimiento. Estas evaluaciones pueden aplicarse a nivel de aula, escuela o distrito y están diseñadas para abordar múltiples estándares al mismo tiempo. Los datos recopilados pueden usarse para verificar si los estudiantes están en camino de cumplir sus metas académicas, si es necesario implementar intervenciones o hacer ajustes en la instrucción. Aunque pueden usarse como preparación para el informe de fin de año que se presenta en una evaluación sumativa, su propósito principal debe ser guiar la instrucción y facilitar intervenciones oportunas cuando sea necesario.
Evaluaciones de referencia
Evaluación final
Existen tres evaluaciones de referencia para cada nivel de grado, desde jardín de infancia hasta álgebra I. Cada una proporciona datos significativos que pueden usarse para informar y ajustar la enseñanza en el aula.
Esta mide todos los estándares del nivel de grado actual y puede usarse para predecir el desempeño de los estudiantes en las evaluaciones estatales.
Evaluación inicial El objetivo de esta evaluación es medir el dominio de los estándares previamente aprendidos por los estudiantes. Es decir, determinar los estándares del grado anterior. Se recomienda consultar las actividades de intervención del grado anterior para volver a enseñar los estándares que aún no han sido dominados. Además, explore los elementos Acceso a conocimientos previos y Constructor de bases fundamentales dentro de la sección Atraer del alcance actual para actividades adicionales de práctica.
Evaluación intermedia En esta evaluación se mide una combinación de estándares del nivel de grado actual y del grado anterior. Consulte el Alcance y secuencia del grado correspondiente para asegurar que la evaluación se administre después de que los estudiantes hayan tenido la oportunidad de aprender los estándares evaluados.
Desde 2.o grado hasta álgebra I, las evaluaciones de referencia pueden administrarse en línea o impresas. Sin embargo, se recomienda su aplicación en línea, ya que ofrece al maestro acceso inmediato a una amplia variedad de datos. Para jardín de infancia y 1.o grado, se recomienda aplicar las evaluaciones en formato impreso y que sean leídas en voz alta por el maestro.
Evaluaciones de medición decrecimiento Nuestras evaluaciones de medición de crecimiento están elaboradas y alineadas por MetaMetrics Inc. y se incluyen desde jardín de infancia hasta álgebra I. Están diseñadas para medir el progresoo con los estándares del grado, desde el inicio hasta el final del año escolar, y reportan una medida Quantile® en sus resultados.
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Medidas Quantile® ¿Qué es una medida Quantile®? El Marco Quantile® para matemáticas mide tanto la dificultad del contenido como la preparación del estudiante para aprender nuevos conceptos de la materia. Al conocer la dificultad matemática de materiales específicos y las habilidades de cada estudiante, usted puede: • Identificar las destrezas matemáticas que un estudiante está listo para aprender. • Enfocar la instrucción con tareas y materiales apropiados para su nivel. • Monitorear el crecimiento de los estudiantes en matemáticas a lo largo del tiempo. • Predecir el rendimiento en evaluaciones de alto impacto. • Comunicar y colaborar con estudiantes y familias sobre el progreso en matemáticas. Las evaluaciones que se usan en los 50 estados están vinculadas al Marco Quantile® y reportan las medidas Quantile® de los estudiantes: un número seguido por la letra Q. La escala Quantile® va desde matemático emergente (por debajo de 0Q) hasta más de 1600Q. A medida que aumenta la medida Quantile® de un estudiante, los conceptos matemáticos que está listo para aprender se vuelven más complejos. La investigación indica que se necesita trabajar en matemáticas alrededor de 1350Q para estar preparado para la universidad y la vida profesional. Las medidas Quantile® describen la habilidad matemática y no el grado escolar. Dentro de un mismo grado, habrá un rango de medidas Quantile® entre los estudiantes.
Cómo usan los maestros las medidas Quantile® Apoyan a estudiantes en todos los niveles
El Marco Quantile® define más de 550 destrezas y conceptos matemáticos. Cada uno tiene una medida que muestra cuán difícil es un concepto en relación con los demás. Con el Marco Quantile® usted puede identificar vacíos en la comprensión conceptual de los estudiantes que pueden frustrar o impedir su éxito. También puede encontrar temas de enriquecimiento matemático para quienes estén preparados para mayores desafíos. Al revisar los resultados, verá que algunos estudiantes están listos para destrezas de nivel superior, mientras que otros necesitan dominar los prerrequisitos. Los más avanzados pueden estar listos para ir más allá de la destreza enfocada y trabajar en algo más complejo. Diferenciando la instrucción
Con las diversas herramientas asociadas al Marco Quantile®, los maestros pueden usar las medidas Quantile® para diferenciar la instrucción y atender la amplia gama de habilidades presentes en un aula. De esta manera, se facilita el trabajo con estudiantes que tienen dificultades, ya que podrá identificar actividades y recursos que fortalezcan sus destrezas prerrequisito y su comprensión conceptual. De igual forma, podrá identificar actividades y recursos que le permitan planear la instrucción en torno a destrezas y conceptos enfocados o próximos a desarrollar por los estudiantes que necesitan enriquecimiento.
Para más detalles sobre las medidas Quantile®, consulte la información sobre Quantile® en los Recursos para el maestro.
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Apoyos Diferenciación Creemos que la diferenciación no tiene por qué ser difícil. STEMscopes Math ayuda a que los estudiantes logren sus metas de aprendizaje con actividades únicas diseñadas para satisfacer el nivel en el que se encuentran (deficiente, promedio o dominante) en cuanto a conocimientos y destrezas. Estas asignaciones son ideales para estaciones de trabajo en grupos pequeños o para la práctica individual. Una ventaja de nuestro plan de estudios es que los maestros tienen acceso a los niveles de grado anteriores y posteriores, lo cual les permite variar la instrucción según sea necesario. En la Guía de instrucciones andamiadas de cada alcance, encontrará una lista de las diferentes rutas a elegir. ● Otra característica clave de nuestro currículo es que incluye actividades de intervención y extensión (Aceleración). El maestro puede individualizar fácilmente sus planes con la Guía de instrucciones andamiadas que encuentra en cada alcance, para responder a su clase usando los datos de sus estudiantes.
Apoyos Lingüísticos Multilingües Cada salón de clases es un mundo ricamente tejido de experiencias y lenguajes diversos. Para promover la equidad en el aula, STEMscopes Math ha integrado estrategias y herramientas basadas en la investigación que apoyan a los estudiantes multilingües en distintos niveles de dominio del idioma, con un enfoque aditivo centrado en lo que los estudiantes sí pueden hacer. En el plan de estudios, hemos creado oportunidades para que participen en un aprendizaje auténtico a través de la comunicación multimodal, incluyendo andamiajes para quienes se encuentran en la fase de preproducción de su proceso de adquisición del idioma.
Progreso en la adquisición del idioma
El proceso de adquisición de un nuevo idioma es único para cada estudiante. Un error común es pensar que este proceso es lineal. Sin embargo, la adquisición del idioma es continua y abierta, y varía en los diferentes dominios lingüísticos (escuchar, hablar, leer y escribir), según factores como el contexto o la situación en la que participa el estudiante y el nivel de familiaridad con el tema. Los niveles de competencia por dominio, disponibles en los Recursos para el maestro, ofrecen una visión general de cómo se aplica el idioma en los diferentes ámbitos, así como métodos y herramientas para brindar apoyo. Las destrezas y estrategias se construyen unas sobre otras a medida que los estudiantes avanzan en los distintos niveles.
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Recursos y Herramientas
En el plan de estudios hemos integrado recursos para apoyar tanto a los maestros como a las familias. A continuación, se describen algunas características y elementos que se pueden usar para apoyar a los estudiantes en su nivel y brindar a las familias y cuidadores la oportunidad de participar en el aprendizaje. Niveles de competencia por dominio: aquí encontrará una vista general de la aplicación del lenguaje en las diferentes competencias según los niveles de dominio. Los maestros pueden usar esta herramienta para identificar el nivel de inglés de un estudiante analizando cómo interpreta y produce el lenguaje.
Glosario visual/Vocabulario ilustrado: los estudiantes pueden combinar representaciones visuales con términos matemáticos utilizando un lenguaje accesible y apropiado para su edad.
Trabajar con palabras: esta actividad abierta permite a los estudiantes asumir la responsabilidad y el control de su vocabulario en expansión. También fomenta la creación de conexiones personales y relevantes con los nuevos términos de diversas maneras, como la identificación de cognados.
Videos de aprendizaje virtual (J–5): estos videos, dirigidos a los estudiantes, desglosan las destrezas y conceptos principales. Así, todos en casa pueden participar en las actividades a su propio ritmo e incorporar objetos familiares. De este modo, los estudiantes aplican su propio lenguaje a las matemáticas.
Inicios/estructuras de oraciones: los estudiantes pueden practicar cómo participar en un diálogo con propósito. Estas frases pueden usarse con distintos fines, como pedir aclaraciones, defender su razonamiento o explicar sus respuestas.
Prueba de habilidades: este recurso utiliza únicamente los números. Permite a los maestros evaluar la comprensión del material sin que el idioma represente una barrera. Mis pensamientos de matemáticas / Cuento de matemática (J–5): estos elementos literarios ofrecen a los estudiantes la oportunidad de practicar la lectura y escritura en torno a las matemáticas. Así, aplican estrategias para apoyar la comprensión y practican el vocabulario matemático y situacional.
Funciones integradas de accesibilidad: a lo largo del currículo, hemos incorporado herramientas que permiten a los estudiantes escuchar la lectura de un texto, encontrar definiciones de palabras en el momento, tomar notas y resaltar palabras o frases.
Tareas basadas en problemas / Tareas de representación matemática: estos elementos colaborativos permiten a los estudiantes resolver problemas significativos en contextos del mundo real. Brindan la oportunidad de apropiarse del aprendizaje y retan a los estudiantes a realizar cálculos y a considerar los problemas desde distintas perspectivas.
Cartas para llevar a casa: cada alcance incluye una carta dirigida a los cuidadores en la que se explica, en términos simples, el contenido de la lección, incluyendo su vocabulario. También incluye una sección de actividades llamada Ta Te Ti, Intenta esto en casa, para los grados de primaria y matemáticas fuera del aula en secundaria, que los estudiantes pueden realizar junto a sus familias. Esta carta está disponible en dos idiomas.
Numeracidad diaria: esta sección ofrece a los estudiantes la oportunidad de trabajar en su flexibilidad para pensar en números y estrategias, y también al grupo para escuchar y dialogar sobre matemáticas de manera estructurada como una comunidad de aprendizaje.
Apoyos lingüísticos: dentro de cada lección de Exploración, incluímos una variedad de recursos y estrategias que pueden aplicarse durante la lección para estudiantes en cualquier nivel de dominio. Estos apoyos abarcan todos los dominios lingüísticos.
Ciencia de datos: los estudiantes refinan sus ideas matemáticas mientras se refuerza el uso preciso del lenguaje y se introducen nuevos términos a través de un diálogo productivo centrado en un conjunto de datos.
Conexiones lingüísticas: cada alcance incluye actividades de conexiones lingüísticas en tres niveles de dominio. Estas actividades se adaptan al nivel de cada estudiante y brindan a los maestros indicaciones para ayudar a la comprensión de cada dominio del lenguaje.
Rutinas de conversación estructurada: los estudiantes participan en intercambios orales a partir de una pregunta o consigna, utilizando rutinas que facilitan conversaciones estructuradas.
Manipulativos virtuales: los estudiantes pueden usarlos a lo largo del currículo para justificar sus respuestas cuando su lenguaje expresivo sea limitado. También sirven como herramientas para crear conexiones significativas entre los términos de vocabulario y las destrezas matemáticas.
Estrategias de vocabulario: los estudiantes participan en un juego de vocabulario usando estrategias para establecer conexiones entre palabras y conceptos importantes.
STEMscopes Math también incluye una variedad de recursos en español y materiales multilingües para apoyar a la población diversa de estudiantes en su salón de clases. LEARNING THE LEADER in STEM EDUCATION
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Traducción y adaptación al español
Nuestro enfoque para el desarrollo de la versión en español para los estudiantes no es una simple traducción literal. Contamos con un equipo de traductores, expertos lingüísticos y especialistas en educación bilingüe que trabajan para ofrecer materiales adaptados, de manera que los estudiantes hispanohablantes tengan el mismo acceso al contenido de nuestro currículo.
Programas bilingües o de doble inmersión STEMscopes Math es un currículo basado en la investigación, los estándares, los objetivos de aprendizaje y el uso de datos, con un alto nivel de rigor académico, lo que lo hace especialmente adecuado para salones de doble inmersión. Nuestro enfoque constructivista puede adaptarse a cualquier modelo de aprendizaje e incluye instrucción con andamiajes y recursos que sitúan al estudiante en el centro a través de actividades auténticas y prácticas. Nuestros productos cuentan con apoyos visuales y sugerencias de andamiaje lingüístico para que los maestros atiendan las necesidades de los estudiantes multilingües en todos los niveles de dominio. Además, gran parte de nuestros materiales y recursos han sido traducidos y adaptados al español cuando corresponde. Esto brinda a los docentes en programas bilingües herramientas para realizar puentes lingüísticos y análisis contrastivo entre el inglés y el español. Todos los materiales dirigidos a los estudiantes están disponibles tanto en inglés como en español. Esto permite a los docentes en programas de doble inmersión ofrecer oportunidades para que los estudiantes usen todo su repertorio lingüístico y planifiquen momentos explícitos de transferencia lingüística dentro del aula. Entre un 30 % y 40 % del vocabulario son cognados entre inglés y español; este porcentaje aumenta a aproximadamente 70 % en el vocabulario académico de matemáticas y ciencias debido al origen latino del español. En particular, los elementos Vocabulario ilustrado, Vocabulario interactivo y Esquema de anclaje ayudan a sentar las bases para que los educadores fomenten la transferencia lingüística positiva, no solo de vocabulario específico, sino también de patrones morfológicos (como prefijos y sufijos). Otros elementos, como nuestros Cuentos de matemáticas, fueron originalmente escritos en inglés y posteriormente adaptados al español. Estas historias ofrecen otra oportunidad para que los maestros en un programa bilingüe planifiquen de manera explícita el puente lingüístico, incluyendo la consideración de transferencias positivas y negativas entre la gramática y la fonética. Finalmente, los esquemas de anclaje pueden usarse para implementar una estrategia Anticipación/Visualización/Revisión en la cual la anticipación y la revisión se realizan en un idioma, mientras que la mayor parte de la lección (la visualización) se lleva a cabo en el otro idioma.
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Diversidad y equidad STEMscopes Math se dedica a atender los retos de la diversidad y la equidad en nuestro programa. Hemos diseñado STEMscopes Math para que sea más accesible y responda a estilos de aprendizaje únicos y a una amplia variedad de necesidades estudiantiles.
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Práctica y tarea de matemáticas Cuando sus estudiantes necesitan práctica, scopes Math se enfoca en la calidad y no en la cantidad. El propósito principal de la enseñanza de las matemáticas es desarrollar solucionadores de problemas de por vida y pensadores críticos. Las investigaciones demuestran que esto no se logra al darles a los estudiantes múltiples páginas de ejercicios repetitivos. En cambio, se fomentan conversaciones profundas, comprensión conceptual y conexiones con el mundo real cuando los estudiantes practican el contenido mediante tareas matemáticas enriquecidas. Estos son algunos ejemplos donde puede encontrar prácticas significativas y relacionadas con el mundo real dentro de STEMscopes Math: •
Carta para llevar a casa: Ta Te Ti (Primaria) Tablero de actividades para practicar un concepto, incluido al final de la carta para llevar a casa.
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Carta para llevar a casa: Matemáticas fuera del salón (Secundaria) Ejemplos de conceptos matemáticos usados en la vida cotidiana para conversar en familia. Están incluidos al final de la carta para llevar a casa.
Práctica interactiva Juego para practicar las habilidades establecidas por los estándares del alcance. •
Crea el tuyo Tarea abierta que reta a los estudiantes a usar sus habilidades recientes para crear algo nuevo.
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Muestra lo que sabes Tarea de práctica independiente que permite a los estudiantes demostrar lo que han aprendido en cada Exploración.
¿Qué prefieres? Actividad enriquecedora en la que los estudiantes usan razonamiento matemático y creatividad para justificar sus respuestas.
•
Mis pensamientos de matemáticas Colección de preguntas diseñadas para que los estudiantes expliquen en sus diarios cuáles son sus razonamientos y reflexionen sobre su aprendizaje.
Tarea basada en problemas Tarea independiente o colaborativa que permite a los estudiantes resolver un problema desafiante y significativo en un contexto del mundo real.
•
Revisión en espiral Historia breve para captar el interés del estudiante con cuatro problemas sobre habilidades aprendidas previamente.
Conexiones profesionales Actividad que introduce a los estudiantes a carreras y experiencias cotidianas que destacan los conceptos matemáticos aprendidos en clase.
•
Matemáticas de hoy Exploración de conexiones reales y aplicaciones del contenido matemático a través de medios interactivos facilitados por Associated Press.
Prueba de habilidades Evaluación breve para determinar la capacidad para calcular de manera eficiente y precisa.
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Estación de conexión Actividad práctica de matemáticas vinculada a los estándares de ciencias o estudios sociales.
Decide y defiende Evaluación abierta para razonar matemáticamente y respaldar sus ideas con evidencia.
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Tablero de opciones Actividades que los estudiantes pueden elegir o que se les pueden asignar según los conceptos matemáticos que se estén aprendiendo en clase.
Revisión: Intervención en grupo pequeño Evaluación corta que mide el dominio del estudiante después de una intervención.
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Cuento de matemáticas Texto de lectura que apoya la alfabetización y amplía la capacidad para identificar la información necesaria para resolver problemas.
Constructor de fluidez Juegos independientes y en pareja, además de otras actividades que ofrecen a los estudiantes formas atractivas de practicar nuevos conceptos.
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Tarea de representación matemática Actividad independiente o colaborativa para resolver un problema desafiante y significativo en un contexto del mundo real.
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Navegando el currículo digital
Barra de navegación principal INICIO
ALCANCE (¡COMIENCE AQUÍ!)
ESTUDIANTES
Vea las lecciones y los marcadores personalizados en su panel.
Acceda a todo el contenido de las lecciones y a los recursos de apoyo para maestros.
PLANIFICACIÓN
ESTÁNDARES
Administre las cuentas de los estudiantes, cree grupos de clase y supervise el progreso de las tareas y las calificaciones.
Cree planes de lección y colabore con otros maestros de STEMscopes.
Vea un desglose de los estándares y habilidades estatales de matemáticas.
MÁS Seleccione entre una amplia variedad de evaluaciones, acceda a libros electrónicos o solicite ayuda.
Alcances
Los alcances (unidades) están organizados en cuadrículas para que pueda ver fácilmente todas las lecciones disponibles. Filtre por grado, dominio o palabra clave para encontrar un alcance específico. Además, acceda fácilmente a los siguientes elementos: •
Recursos para maestros por nivel de grado
•
Numeración diaria
•
Fluidez en hechos matemáticos
VISTAZO A UN ALCANCE Después de seleccionar un alcance (unidad), revise los recursos de planificación e instrucción. La barra de herramientas blanca en la parte superior le permite acceder a todas las funciones y beneficios de STEMscopes Math.
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INICIO
ATRAER
Desarrolle su propio conocimiento del contenido, analice los estándares estatales y obtenga una comprensión completa de todo lo que ofrece el alcance en la sección Inicio. Algunos de los recursos a los que puede acceder incluyen:
La sección Atraer se enfoca en establecer las bases del aprendizaje mediante una evaluación previa y en captar el interés hacia el contenido. Puede preparar a los estudiantes y planificar cómo diferenciar la enseñanza para las próximas lecciones con los siguientes elementos:
• •
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Visión general del alcance: Un vistazo a cómo se implementará el modelo 5E + IA en una lección específica. Carta para llevar a casa : Incluye una actividad atractiva de Ta Te Ti: Inténtalo en casa.
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Acceso a conocimientos previos: Evalúe a los estudiantes sobre contenido de grados anteriores.
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Constructor de bases fundamentales: Ofrece oportunidades para volver a enseñar y repasar las habilidades previas necesarias.
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Captar interés: Aprenda cómo utilizar estos atractivos videos de 10 a 30 segundos escaneando el código QR.
Guía de instrucción andamiada: Una herramienta integrada que ayuda a diferenciar la enseñanza según los datos de evaluación de crecimiento MAP.
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EXPLORAR El corazón del alcance y donde vive el contenido nuevo se encuentra en la sección Explorar que ofrece actividades prácticas con andamiaje, oportunidades para el discurso matemático enriquecedor y el razonamiento de los estudiantes, además de herramientas para monitorear el progreso. Los materiales incluidos en la sección Explorar son:
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Manipulativo virtual: Herramientas digitales fáciles de usar directamente en la plataforma.
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Boleto de salida: Evaluaciones de comprensión para determinar si los estudiantes están listos para la sección Explicar o si necesitan recursos de Intervención.
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Apoyos lingüísticos: Recursos que ayudan a los estudiantes multilingües y eliminan barreras mientras aprenden el lenguaje matemático.
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Apoyos pedagógicos: Estrategias e ideas para usar durante la sección Explorar que apoyan a los estudiantes en desarrollo.
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EXPLICAR Muestra lo que sabes: Práctica atractiva para que los estudiantes trabajen de forma independiente en la habilidad desarrollada en Explorar.
Complementando la sección Explorar, Explicar ofrece recursos que ayudan a los estudiantes a formar conexiones auténticas y consolidar su aprendizaje. Hay una variedad de actividades disponibles, entre ella:: •
Vocabulario ilustrado: Herramientas para que los estudiantes aprendan y apliquen nueva terminología matemática.
• Mis pensamientos de matemáticas: Promueve el uso del diario matemático, incorporando conceptos, procedimientos y reflexiones. •
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Esquema de anclaje: Descubra cómo los estudiantes pueden reflexionar sobre nuevas habilidades, ideas y vocabulario con carteles de referencia al escanear el código QR.
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ELABORAR
EVALUAR
La sección Elaborar facilita la diferenciación con actividades listas para usar, ideales para centros de aprendizaje y estaciones de trabajo, y también útiles para repasar contenidos previamente aprendidos. Algunos de los recursos favoritos incluyen:
Revise y recopile datos en la sección Evaluar. Desde evaluaciones basadas en estándares hasta preguntas abiertas de razonamiento, hay una opción para cada estilo de aprendizaje. Incluso puede crear sus propias evaluaciones con la herramienta Constructor de evaluación. Las evaluaciones específicas para sus matemáticos incluyen:
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Ciencia de datos: Discurso estudiantil centrado en el análisis de un conjunto de datos.
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Práctica interactiva: Juegos divertidos y atractivos para que los estudiantes refuercen sus conocimientos matemáticos.e
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Conexiones profesionales: Introducción a carreras relacionadas con las matemáticas y a las habilidades del siglo XXI necesarias para tener éxito.
•
Cuento de matemáticas: Un texto de lectura con nivel Lexile apropiado para que los estudiantes practiquen la resolución de problemas y mejoren la comprensión lectora.
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•
Preguntas mejoradas con tecnología: Preguntas digitales no convencionales, como respuesta múltiple, secuencia, tabla de coordenadas, completar espacios en blanco, clasificación y gráficos de barras.
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Decide y defiende: Brinda a los estudiantes oportunidades para explicar y justificar su razonamiento matemático por escrito.
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Prueba de habilidades: Evalúa a los estudiantes sobre contenido nuevo o puede usarse como práctica adicional.
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INTERVENIR
ACELERACIÓN
La sección Intervenir incluye actividades prácticas diseñadas para resolver malentendidos conceptuales de los estudiantes mientras fortalecen sus habilidades matemáticas. ¿Mencionamos que también es una excelente herramienta para volver a enseñar y preparar evaluaciones? Estos son algunos de los recursos que pueden ayudar a cerrar la brecha de rendimiento:
¿Están sus estudiantes listos para ir más allá de lo que acaban de aprender? En la sección Aceleración, pueden participar en actividades que los invitan a pensar más profundamente sobre el contenido y sus aplicaciones. Explore algunas formas de acelerar el aprendizaje en su salón de clases:
•
Ayudas suplementarias: Organizadores gráficos de fácil acceso, con anotaciones que indican si pueden usarse en evaluaciones basadas en estándares.
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Intervención en grupo pequeño: Actividades diseñadas para enfocar, volver a enseñar y reevaluar habilidades y conceptos.
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Matemáticas de hoy: Ofrece a los estudiantes la oportunidad de aplicar lo aprendido a contenido del mundo real y de alto interés proporcionado por The Associated Press.
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Crea el tuyo: Permite a los estudiantes poner a prueba su creatividad mediante tareas como escribir una canción o crear un juego que amplíe su pensamiento y utilice habilidades del nivel DOK-4.
Revisión: Oportunidad de reevaluación de habilidades y contenidos cubiertos desde segundo grado en adelante.
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GRADO 8 LANZAMIENTO EN GRADO 8
GRADO 8
INTRODUCCIÓN A OCTAVO GRADO Recuerde que la formación de un hábito requiere mucha repetición, así que cuantos más ejemplos en tiempo real puedan ver los estudiantes, mejor. Utilice un lenguaje común, sea específico cuando ofrezca ejemplos, y se dará cuenta de que la clase empezará a hacer lo mismo. De este modo, se esforzarán más por aplicar los hábitos de un matemático en el aula. Comprender los hábitos Por definición, un problema es cualquier pregunta, tarea o fenómeno para el que no tenemos inmediatamente una respuesta o solución. Las investigaciones sobre el comportamiento en la resolución de problemas indican que los pensadores competentes practican hábitos identificables cuando se les presenta un problema complejo y no conocen inmediatamente la respuesta. A continuación se presentan 8 hábitos de los pensadores competentes en matemáticas. Son los comportamientos de resolución de problemas que siguen los matemáticos cuando se enfrentan a un problema complejo. Estos comportamientos rara vez se abordan de forma aislada; más bien, se emplean en conjunto para diversas situaciones. Por ejemplo, cuando escuchan atentamente, respetan a los demás, entienden lo que oyen y reconocen el lenguaje preciso.
Poner los hábitos en práctica: «¿Cómo llevarlo a cabo?». Los hábitos de un matemático pueden usarse como herramientas de enseñanza integradas a juegos en pareja como constructores de fluidez y actividades independientes y en pequeños grupos que proporcionan a los estudiantes una forma atractiva de practicar conceptos matemáticos. La integración de estos hábitos puede fomentar la colaboración y ayudar a los estudiantes a desarrollar el pensamiento de orden superior y la capacidad de resolución de problemas. Las siguientes indicaciones para el maestro ayudan a los estudiantes a comprender y buscar conexiones con los hábitos de un matemático. ¿Cómo facilito? • «¿Qué puedes aprender de esto?».
Los matemáticos.. • s on curiosos.
Los matemáticos son curiosos.
• s on personas organizadas y con iniciativa que se ponen a trabajar de inmediato.
Los matemáticos son emprendedores organizados que se ponen a trabajar de inmediato.
• pueden compartir sus ideas y soluciones con los demás.
• «¿Qué sabes ya sobre el problema?». • «¿Cómo puedes aprovechar tus éxitos anteriores con problemas como éste?». • «¿Qué recursos tienes disponibles o necesitas generar?».
• son respetuosos, escuchan a los demás y trabajan juntos. • p ueden entender las matemáticas y ver las conexiones que tiene la materia en el mundo real. erseveran en las tareas difíciles y tienen una mentalidad de • p crecimiento. • s e esfuerzan por la exactitud y la precisión. • se trazan objetivos. Cuando se enfrentan a problemas complejos, los estudiantes deben esforzarse por emplear uno o más de los hábitos de un matemático preguntándose: «Qué es lo más eficaz que puedo hacer en este momento?». ¿Qué deben hacer los maestros? Para aumentar su capacidad de encontrar sentido y buscar conexiones con los hábitos de un matemático, los estudiantes necesitan una práctica deliberada y una atención centrada. Tomarse sólo unos minutos al día para enfatizar sobre la importancia de los comportamientos de resolución de problemas de los pensadores competentes es beneficioso. No sólo es un proceso rápido, sino que también da grandes recompensas porque los estudiantes que aplican los 8 hábitos tienen más éxito con el contenido. • Haga que los estudiantes se sientan bienvenidos y establezca el tono del día con un hábito de los matemáticos, como introducción rápida a la lección. De este modo, los estudiantes tendrán un hábito en su mente mientras trabajan con el contenido. • A medida que observe que los estudiantes utilizan los hábitos de los matemáticos, señálelos, explique lo que ve, diga cómo pueden conectarse con futuros éxitos y elógielos. Los estudiantes empezarán a reconocer el éxito que les proporciona el uso de los hábitos, lo que les ayudará a detectarlos y utilizarlos más a menudo. • Señalar los hábitos de un matemático es una buena estrategia si se pierde el foco de la lección o actividad. Deténgase y señale el reto que está observando, y relaciónelo con un hábito que no se esté utilizando. Al día siguiente, comience la clase con una aplicación rápida de ese hábito.
Los matemáticos pueden compartir su pensamiento y sus soluciones con los demás. Los matemáticos son respetuosos, escuchan a los demás y trabajan juntos.
Los matemáticos pueden dar sentido a las matemáticas y ver sus conexiones con el mundo real. Los matemáticos perseveran en las tareas difíciles y tienen una mentalidad de crecimiento.
• «¿Cómo afecta este problema a los demás?». • «¿Cómo podemos resolverlo juntos?». • «¿Qué puedes aprender de los demás que te ayude a ser un mejor solucionador de problemas?».
• «¿Cómo puedes dar sentido a este problema?». • «¿Cómo podrías ver la situación de otra manera?». • «¿Cómo puedes recurrir a las estrategias de resolución de problemas que has aprendido?». • «¿Cómo puedes ver este problema desde una nueva perspectiva?». • «¿Cómo puedes explicar este problema para hacerlo más claro y preciso?».
Los matemáticos se esfuerzan por conseguir exactitud y precisión. Los matemáticos se fijan objetivos.
• «¿Cómo podrías descomponer este problema en las partes que lo componen y desarrollar una estrategia para comprender y cumplir cada paso?». • «¿De qué eres consciente con este problema en términos de tus creencias, valores y objetivos?». • «¿De qué sentimientos o emociones eres consciente que podrían estar bloqueando o mejorando tu progreso?».
Planificación El orden de los hábitos de un matemático no es importante. El maestro puede elegirlos en cualquier orden. Sólo es importante que ese hábito se relacione con la habilidad o el contenido que los estudiantes están trabajando en ese momento.
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ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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GRADO 8: INTRODUCCIÓN A CURSO OCTAVO GRADO INICIACIÓN AL 8º GRADE 8
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN
EXPLORACIONES DE DATOS
PENDIENTES E INTERSECCIONES
INVESTIGACIONES CILÍNDRICAS
CONOCIÉNDONOS: RESPONDE EN UN EMOJI En esta atractiva actividad, se usan emojis para expresar respuestas personales y conocer a sus compañeros. • Los estudiantes dibujan emojis en tarjetas para responder a preguntas sobre sí mismos.
GEOMETRÍA TRANSFORMACIONAL
• En pequeños grupos, se turnan para adivinar qué compañero ha dibujado cada emoji. • La actividad los anima a aprender más sobre los demás y a construir un sentido de comunidad.
ECUACIONES LINEALES
FIGURAS, NÚMEROS Y EXPRESIONES
INTERPRETAR DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN NÚMEROS GRANDES Y PEQUEÑOS
• Un informe de clase permite a los estudiantes compartir datos interesantes que han aprendido de sus compañeros. CAPTAR INTERÉS: NORMAS DE CLASE Los estudiantes exploran y establecen normas de clase para mejorar su entorno de aprendizaje en la clase de matemáticas. • Discuten el valor de las normas existentes en el aula y proponen otras para mejorar su comunidad matemática.
MÚLTIPLES REPRESENTACIONES DE FUNCIONES
• Participan en una actividad de grupo para elegir y discutir la importancia de normas específicas, como explicar su pensamiento y cometer errores. • Un debate en grupo permite a los estudiantes compartir sus ideas y proponer nuevas normas, que se añaden a una tabla de anclaje de la clase. • Después de completar las actividades relacionadas, revisan las normas para reflexionar sobre sus experiencias y sugerir nuevas mejoras.
EXPLORACIONES PITAGÓRICAS
DATOS, GRÁFICAS Y TABLAS
ACTIVIDADES DE EXPLORAR EXPLORACIÓN 1: SÉ CURIOSO
EXPLORACIÓN 3: DAR SENTIDO A LAS MATEMÁTICAS
Los estudiantes participan en una tarea diseñada para despertar su curiosidad y mejorar sus habilidades de resolución de problemas.
Los estudiantes participan en una tarea diseñada para fomentar la lucha productiva y desarrollar una mentalidad de crecimiento en matemáticas.
• Trabajan en parejas con una «Tarjeta de tareas», una pizarra y un marcador borrable para explorar y resolver un problema dado.
• Los estudiantes trabajan en parejas para resolver una tarea matemática, fomentando la colaboración y la comunicación.
• El maestro facilita la actividad proyectando la «Tarjeta de tareas» y guiando con preguntas para evaluar la comprensión y progreso de los estudiantes.
• La tarea se presenta en un proyector y se anima a los estudiantes a explorar soluciones de forma independiente.
• Los estudiantes participan en una charla de matemáticas para debatir sus procesos de resolución de problemas, comparar estrategias con sus compañeros y reflexionar sobre cómo la curiosidad influyó en su enfoque.
• Los maestros facilitan la actividad haciendo preguntas orientadoras para evaluar la comprensión y el progreso.
• La clase completa un «Esquema de anclaje» para consolidar el aprendizaje y compartir las ideas adquiridas durante la actividad. EXPLORACIÓN 2: COMUNICAR EFECTIVAMENTE Los estudiantes participan en una exploración colaborativa para compartir su pensamiento y evaluar el razonamiento de los demás. • Los estudiantes observan un «Enunciado diario de aritmética» y utilizan señales no verbales para indicar sus ideas y nivel de comprensión. • Discuten patrones, similitudes y diferencias en las representaciones, compartiendo y ampliando las ideas de los demás. • La clase participa en una charla de matemáticas para reflexionar sobre sus observaciones y aprendizaje, fomentando una comprensión más profunda a través de la interacción entre pares. • Se completa un «Esquema de anclaje» como clase para consolidar la experiencia de aprendizaje.
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• Después de la tarea, inicia una charla sobre matemáticas, que permite a los estudiantes compartir sus estrategias, retos y experiencias de aprendizaje. EXPLORACIÓN 4: BUSCAR PRECISIÓN Y EXACTITUD Los estudiantes participan en una tarea diseñada para enfatizar la importancia de la precisión y la exactitud en la comunicación matemática y el autoanálisis. • En parejas, los estudiantes completan una tarea que requiere una comunicación y un análisis cuidadosos. • Después de la tarea, se realiza una charla de matemáticas para animarlos a compartir sus observaciones y puntos de vista. • La actividad pone de relieve la importancia de la comunicación precisa para comprender y resolver problemas matemáticos. • Los estudiantes reflexionan sobre el papel de la exactitud para lograr soluciones correctas e identificar patrones.
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GRADO 8: INTRODUCCIÓN A OCTAVO GRADO
INICIO: CONTENIDO DE APOYO ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
CONTENIDO DE APOYO Se explorarán los hábitos de un matemático a medida que los estudiantes retoman las siguientes habilidades: • Interpretación de gráficos • Multiplicación de fracciones • Perímetro de formas • Patrones • Relaciones proporcionales • Uso de operaciones inversas en ecuaciones Los maestros y los estudiantes construyen una comunidad de matemáticos en el aula. Los estudiantes desarrollan valor y una mentalidad de crecimiento mediante el esfuerzo productivo, la construcción de significado y la perseverancia a través de la resolución de problemas. Para quienes necesitan apoyo adicional antes de entrar en el primer alcance, los maestros los vuelven a involucrar con el contenido de nivel de grado anterior.
CONOCIMIENTOS PREVIOS Un objetivo valioso de cada maestro de matemáticas es ayudar a los estudiantes a pensar en sí mismos como matemáticos que disfrutan y participan activamente en las matemáticas. Para alcanzar este objetivo, los maestros deben establecer rutinas y procedimientos coherentes que apoyen la enseñanza y el aprendizaje y crear una comunidad que tenga objetivos de aprendizaje comunes y coopere para alcanzarlos. Para ayudar a los estudiantes a participar activamente en las matemáticas, deben seguir los hábitos efectivos de un matemático, como la curiosidad, la exactitud, la precisión, el respeto y la perseverancia, así como desarrollar una mentalidad de crecimiento. En su trabajo pionero en los campos de la psicología y la neurociencia, la Dra. Carol S. Dweck acuñó el término mentalidad de crecimiento, según el cual las personas tienen ideas sobre su propio potencial. Algunos creen que su inteligencia es más o menos fija y que pueden trabajar con matemáticas o no. Los estudiantes son más propensos a rendirse fácilmente cuando tienen una mentalidad fija, mientras que los estudiantes con una mentalidad de crecimiento son persistentes y siguen adelante, incluso cuando el trabajo es difícil. La mentalidad de una persona puede incluso afectar a sus logros. Cambiar la mentalidad es posible, y al introducir o revisar los hábitos de un matemático en este alcance, los estudiantes comenzarán a construir una mentalidad de crecimiento o a cambiar una mentalidad existente.
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CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
• Los estudiantes pueden creer que la inteligencia, el talento u otras cualidades son innatas e inmutables. • Los estudiantes pueden pensar que hay «gente matemática» y «gente no matemática». • Los estudiantes pueden evitar los retos para evitar el fracaso. • Los estudiantes pueden ver los errores como fracasos en lugar de oportunidades de aprendizaje. • Los estudiantes pueden pensar que sólo hay una respuesta o camino de solución.
EN ESTE ALCANCE Para los estudiantes, una experiencia exitosa con las matemáticas comienza con lo básico: cómo ser un matemático; cómo hablar matemáticamente; y cómo registrar, modelar y compartir su pensamiento. Este alcance está dedicado a construir una comunidad en el aula de matemáticas y a introducir o revisar los hábitos de un matemático. Los estudiantes desarrollarán y perfeccionarán estos importantes hábitos a través de interacciones con los diferentes elementos de este alcance y de los alcances futuros. Los matemáticos.. 1. son curiosos. 2. son personas organizadas y con iniciativa que se ponen a trabajar de inmediato. 3. pueden compartir su pensamiento y sus soluciones con los demás. 4. son respetuosos, escuchan a los demás y trabajan juntos. 5. pueden dar sentido a las matemáticas y ver las conexiones de las matemáticas con el mundo real. 6. perseveran en las tareas difíciles y tienen una mentalidad de crecimiento. 7. se esfuerzan por la exactitud y la precisión. 8. se fijan objetivos.
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GRADO 8: INTRODUCCIÓN A OCTAVO GRADO
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
SER CURIOSO
PERSEVERAR EN LAS TAREAS DIFÍCILES Y TENER UNA MENTALIDAD DE CRECIMIENTO
Los estudiantes sienten una curiosidad natural por el mundo que les rodea. Al proporcionar tareas abiertas que tengan múltiples puntos de entrada y vías de solución, los maestros pueden aprovechar esta curiosidad natural y fomentar la creación de sensaciones en el aula de matemáticas.
Las tareas de este alcance y de alcances futuros proporcionan a los estudiantes retos apropiados, fomentan la perseverancia en la resolución de problemas y apoyan el esfuerzo productivo en matemáticas.
SER ORGANIZADO Y EMPRENDEDOR
ESFORZARSE POR LA EXACTITUD Y LA PRECISIÓN
Los estudiantes aprenden mejor a través del enfoque concreto-representacional-abstracto (CRA) y se benefician de tener materiales prácticos para explorar conceptos matemáticos. Quienes pueden organizar y llevar un registro de estos materiales de manera significativa ganarán comprensión al utilizarlos. A continuación, los estudiantes empiezan a hacer representaciones pictóricas que reflejan su trabajo con los objetos concretos. Luego, pueden traducir estos modelos en representaciones abstractas con símbolos y algoritmos.
«¿Qué tan exacta debe ser la respuesta?». Los estudiantes deben ser capaces de determinar cuándo una estimación es suficiente y cuándo una respuesta debe ser precisa. Pueden verificar los resultados resolviendo de distintas maneras. Incluyen detalles como etiquetas, unidades o vocabulario preciso cuando resuelven problemas o comparten su pensamiento con los demás. Los errores deben verse como oportunidades de aprendizaje y crecimiento, y hay que animarlos a revisar su trabajo cuando sea necesario.
Rete y enseñe a los estudiantes a ser emprendedores. Las personas con iniciativa son aquellas que se ponen a trabajar en cuanto tienen todos los materiales. No necesitan indicaciones ni recordatorios adicionales para ponerse a trabajar; simplemente lo hacen.
ESTABLECER OBJETIVOS
COMPARTIR EL PENSAMIENTO CON LOS DEMÁS
Los estudiantes deben ser capaces de comunicarse matemáticamente entre sí. Esto implica ser capaces de verbalizar sus razonamientos, construir argumentos viables y criticar los razonamientos de los demás. Deben tener oportunidades para leer, escribir y hablar de matemáticas. SER RESPETUOSOS, ESCUCHAR A LOS DEMÁS Y TRABAJAR JUNTOS
Los maestros involucran a los estudiantes en tareas que promuevan el razonamiento y la resolución de problemas. Facilitan el discurso que mueve a los estudiantes hacia una comprensión compartida de las matemáticas. Los estudiantes deben respetar los puntos de vista y las soluciones de los demás. Escuchando activamente a su maestro y a sus compañeros, pueden elaborar su comprensión individual y profundizar en su propio conocimiento. DAR SENTIDO A LAS MATEMÁTICAS Y VER LAS CONEXIONES CON EL MUNDO REAL Y SUS PROPIAS VIDAS
Los estudiantes deben participar activamente en dar sentido a las tareas matemáticas mediante el uso de diversas estrategias y representaciones, justificando soluciones, haciendo conexiones con conocimientos previos o contextos y experiencias familiares, y teniendo en cuenta el razonamiento de los demás.
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Una enseñanza eficaz de las matemáticas establece objetivos claros para el aprendizaje. Los maestros son conscientes de la progresión del aprendizaje y usan los objetivos para orientar sus decisiones didácticas. Los estudiantes deben fijarse objetivos, hacer un seguimiento de su progreso y celebrar el éxito cuando se alcanzan esos objetivos.
AVANCES Los estudiantes aplicarán estos hábitos a lo largo del año y los desarrollarán y perfeccionarán con el tiempo. Este alcance sirve de introducción al curso escolar, pero también puede usarse y revisarse cuando sea necesario. Boaler, Jo. “Growth Mindset.” YouCubed.org, Stanford Graduate School of Education. Consultado el 23 de marzo de 2023. https://www.youcubed.org/resource/ growth-mindset/. Dweck, Carol S. Mindset: The New Psychology of Success. Ballantine Books, 2006. Mira, Amy. Principles to Actions: Ensuring Mathematical Success for All. National Council of Teachers of Mathematics, 2014.
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GRADO 8: INTRODUCCIÓN A OCTAVO GRADO
ATRAER: CONOCIÉNDONOS Launch into Eighth Grade
CÓMO EMPEZAR
CONOCIÉNDONOS: RESPONDE EN UN EMOJI DESCRIPCIÓN Los estudiantes dibujan emojis en la pizarra que responden a preguntas sobre ellos. En grupos, los estudiantes se turnan para intentar adivinar quién ha dibujado los emojis y conocer a sus compañeros.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 responde en un emoji (por clase) REUTILIZABLES
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase) CONSUMIBLES
• 4 tarjetas de notas (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Planifique la proyección de las enunciados de «Responde en un emoji» en la pizarra. • Disponga de lápices o rotuladores de colores si los estudiantes no tienen los suyos propios. • Prepare cuatro tarjetas de notas por estudiante y márquelas del 1 al 4.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue a cada estudiante cuatro tarjetas de notas con los números 1, 2, 3 y 4 marcados en una cara. 2. Proyecte las preguntas «Responde en un emoji» y preséntelas a los estudiantes . Asegúrese de que los estudiantes entienden el contexto de la tarea y deles tiempo para que dibujen su respuesta a cada pregunta. Dígales que los emojis que dibujen pueden serles familiares o pueden crear los suyos propios. Recuérdeles que son dibujos sencillos y no complejos. 3. Coloque a los estudiantes en grupos de cuatro y pídales que pongan sus tarjetas boca abajo y agrupadas por el número; por ejemplo, todas las tarjetas etiquetadas con el uno juntas con el numeral 1 boca arriba.
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Answer in an Emoji On the back of card 1: What can you not imagine living without? On the back of card 2: What is your favorite movie genre? On the back of card 3: What is your dream job? On the back of card 4: What is your favorite way to spend free time?
RESPONDER EN UN EMOJI
4. Los grupos eligen a un estudiante para que sea el primer investigador. Toman el primer montón de tarjetas, miran los emojis e intentan emparejar el emoji con el miembro correcto del grupo. Después de haber asignado un emoji a cada miembro del grupo, los demás miembros confirman o explican cuál es el suyo y por qué eligieron ese emoji. 5. Recuerde a los estudiantes que el objetivo de esta actividad es empezar a conocerse en nuestra comunidad matemática. Dígales que no deben criticar la capacidad de dibujo de los demás, sino centrarse en conocer a sus compañeros. 6. Mientras los estudiantes trabajan, obsérvelos o sígales el juego. 7. Después de 10-15 minutos, invite a la clase a reunirse de nuevo para hacer un balance. 8. Pida a los estudiantes que presenten a alguien y digan algo sobre esa persona que hayan aprendido en la breve entrevista. Las respuestas pueden variar. Les presento a María. No puede vivir sin sus mascotas.
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GRADO 8: INTRODUCCIÓN A OCTAVO GRADO Launch into STEMscopes Math
Question Prompts What are your most memorable experiences in math? Explain why you remember them. You may include both positive and negative memories. What have your math teachers done in the past that helped you or made you enjoy coming to class? What do you wish they had done differently? In what ways have you used math outside of school? What do you like about learning math? What do you dislike? In what area of math do you feel the most confident? In what area do you want to improve? Think about your future career. How do you see incorporating math into your goals?
PREGUNTAS
ATRAER: AUTOBIOGRAFÍA MATEMÁTICA
CALIBRAR LAS EXPERIENCIAS MATEMÁTICAS PREVIAS
AUTOBIOGRAFÍA MATEMÁTICA DESCRIPCIÓN Los estudiantes comparten sus historias describiendo su trayectoria como aprendices y hacedores de matemáticas.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 juego de enunciados de respuesta (por clase) REUTILIZABLES
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase)
PREPARACIÓN
• Planifique la proyección de los «Enunciados de preguntas». • Organice la clase en círculo o de otra forma para que los estudiantes puedan verse entre sí y al orador.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Proyecte las preguntas y preséntelas a los estudiantes . Asegúrese de que entienden el contexto de la tarea y permítales compartir lo que notan y lo que se preguntan. 2. Pida a los estudiantes que hablen con un compañero y se turnen para responder y debatir las preguntas. Dígales que, utilizando las preguntas como guía, deberían estar preparados para compartir con la clase su autobiografía matemática o una reflexión sobre sus experiencias con las matemáticas y cómo se ven a sí mismos como estudiantes durante unos 3 minutos.
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GRADO 8: INTRODUCCIÓN A OCTAVO GRADO
ATRAER: CAPTAR INTERÉS LECCIÓN PARA CAPTAR INTERÉS
CAPTAR INTERÉS: NORMAS DEL AULA DESCRIPCIÓN Los estudiantes discuten el valor de las diferentes normas en la clase de matemáticas y hacen una lluvia de ideas sobre normas adicionales que harán que la experiencia en el aula sea la mejor posible para todos.
Explain your thinking.
MATERIALES IMPRESO • 1 juego de tarjetas de normas de la clase (por clase) CONSUMIBLE • 1 pieza grande de papel milimetrado (por clase)
PREPARACIÓN
• Prepare un «Esquema de anclaje» en papel milimetrado titulado «Nuestras normas de la comunidad matemática», y enumere las siguientes normas: (1) Explica lo que piensas. (2) Haz preguntas. (3) Muestra acuerdo o desacuerdo respetuosamente. (4) Participa. (5) Comete errores. (6) Intenta aprender: No pasa nada por no saber. (7) Más rápido no significa mejor. • Coloque las tarjetas de normas de la clase por la sala. Lamínelas para usarlas en el futuro.
Ask questions.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1 Presente esta actividad hacia el principio del alcance. La clase la retomará después de que hayan completado las tareas de «Explorar» correspondientes. 2 Lea el siguiente escenario a la clase: «Es importante establecer normas para la clase cada año. Las normas son pautas que creamos juntos para determinar cómo queremos funcionar como comunidad de estudiantes . En el aula hay posibles normas que podemos poner en práctica como clase. Dentro de un momento, elegirás una norma que te parezca especialmente importante y te situarás cerca de ella. Las normas a elegir son las siguientes: “Explica lo que piensas,” “haz preguntas”, “muestra acuerdo o desacuerdo respetuosamente”, “participa”, “comete errores”, “intenta aprender: no pasa nada por no saber”, “más rápido no significa mejor”. Les daré unos minutos para que piensen qué norma es la más importante. Ahora, uno, dos, tres. ¡Elijan!». 3 Los estudiantes se levantan de sus asientos y se dirigen a la norma que consideren más importante. 4 Anime a quienes eligieron la misma norma a que hablen entre ellos sobre las razones por las que prefirieron esa norma.
Agree or disagree respectfully.
5 Organice un debate con todo el grupo en el que compartan por qué una norma concreta es la más importante. Utilice las siguientes preguntas para ayudarles a reflexionar sobre sus elecciones: a
«¿Por qué es importante cometer errores?». Las respuestas pueden variar. Los errores nos ayudan a aprender.
b
«¿Qué haría que te sintieras más cómodo cometiendo un error en clase de matemáticas?». Las respuestas pueden variar. Saber que nos ayudaremos mutuamente y que no nos reiremos unos de otros me haría sentir más cómodo.
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TARJETAS DE NORMAS DE AULA
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GRADO 8: INTRODUCCIÓN A OCTAVO GRADO
ATRAER: CAPTAR INTERÉS
Participate.
c.
«¿Cómo podemos estar respetuosamente de acuerdo o en desacuerdo? ¿Qué frases o palabras podemos decir?». Las respuestas pueden variar. Podemos utilizar la charla responsable. Estoy de acuerdo contigo porque.. No estoy de acuerdo contigo porque...
d
«¿Cómo sería la clase de matemáticas si nadie participara?». Las respuestas pueden variar. Sería aburrida y más difícil de aprender.
e
«¿Cómo sería la clase de matemáticas si sólo participaran las mismas personas?». Las respuestas pueden variar. Sería aburrida y no todos tendrían las mismas oportunidades de aprender.
6 Después del debate en clase, muestre el «Esquema de anclaje» titulado «Nuestras normas de la comunidad matemática». Pregunte a los estudiantes si añadirían alguna otra norma. A continuación, anote las normas que mencionen en el papel milimetrado con un rotulador del mismo color. 7 Explique que los estudiantes aprenderán más sobre cómo es la clase de matemáticas y cómo ser un gran matemático a través de las actividades de aprendizaje de este tema. 8 Continúe con las actividades de «Eploración». PARTE II: DESPUÉS DE LA EXPLORACIÓN
Make mistakes.
1 Después de que los estudiantes hayan completado las actividades de exploración de este tema, muestre nuevamente el «Esquema de anclaje» titulado «Nuestras normas de la comunidad matemática». 2. Pregunte a los estudiantes qué podrían agregar a sus normas ahora que han tenido algo de tiempo para trabajar como matemáticos. 3. Registre sus respuestas con un nuevo color de marcador en el «Esquema de anclaje». 4. Discuta la importancia de las normas que la clase generó utilizando las siguientes preguntas guía:
Seek to learn: It’s OK not to know.
TARJETAS DE NORMAS DE AULA
a.
«¿Por qué es importante que todos tengan la oportunidad de participar?». Las respuestas pueden variar. Animar a todos a participar da a todos la oportunidad de compartir su perspectiva y comprometerse profundamente con las matemáticas.
b.
«¿En qué te benefició cometer errores durante las actividades de “Explorar”?». Las respuestas pueden variar. Cuando compartí mis ideas incorrectas con el grupo, pudimos utilizarlas como punto de partida para llegar a una solución correcta.
c.
«¿Por qué debemos perseverar y no rendirnos?». Creer en nosotros mismos cambia lo que podemos hacer. Los errores y los retos son buenos para nuestro cerebro.
d.
«¿Cómo te ayudó el hecho de tener normas a trabajar con tu grupo?». Las respuestas pueden variar. Sabía cuáles eran las expectativas de nuestra clase. Por ejemplo, cuando mi compañero me recordó que no estaba usando mi voz interior, no me enfadé. Simplemente dije “vale” y bajé la voz.
e.
«¿Cómo te sentiste cuando una parte de la Exploración fue difícil?». Las respuestas pueden variar. Como sé que los errores ayudan a mi cerebro a crecer, hice mi mejor suposición, y luego mi compañero y yo pudimos averiguar en qué nos habíamos equivocado y corregir nuestra respuesta.
5. Cuelgue el «Esquema de anclaje» para futuras consultas.
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GRADO 8: INTRODUCCIÓN A OCTAVO GRADO
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 1: SÉ CURIOSO
Launch into Eighth Grade
Sport Matching Match the following graphs of heart rates with the correct sport. 1.
DESCRIPCIÓN
Football
2. Skydiving
A.
B.
3. Jogging outdoors C.
Los estudiantes exploran una tarea que despierta su curiosidad.
MATERIALES IMPRESA
• 1 tarjeta de tareas (por pareja)
● ●
How would you describe each graph and their similarities and differences? Can you create your own graph for another sport or activity?
REUTILIZABLE
• 1 pizarra blanca para estudiantes (por pareja)
HOJA DE RUTA
• 1 marcador borrable (por pareja) • 1 proyector o cámara de documentos (por clase)
PREPARACIÓN
• Planifique la proyección de la «Tarjeta de tareas». • Imprima la «Tarjeta de tareas» y colóquela en un protector de hojas para cada pareja. • Empareje a cada estudiante con un compañero.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue a cada pareja una pizarra y un marcador borrable. 2. Proyecte la «Tarjeta de tareas» y preséntela a los estudiantes. Asegúrese de que entienden el contexto y permítales compartir lo que observan y lo que se preguntan. 3. Entregue una «Tarjeta de tareas» a cada pareja y pídales que empiecen a trabajar con sus compañeros. 4. Mientras trabajan, controle y evalúe su comprensión con las siguientes preguntas orientadoras: a. «¿Qué has intentado que no funcionó?». Las respuestas pueden variar.
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• Describe el proceso que tú y tu compañero usaron para resolver el problema. Las respuestas variarán. Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: ◦ «¿En qué se pareció o en qué se diferenció su proceso del de los demás?». Las respuestas variarán.
• «¿Qué pregunta de ampliación te pareció más interesante?». Las respuestas pueden variar. • «¿Cómo te ayudó su propia curiosidad en la tarea?». Las respuestas pueden variar. Me dieron ganas de trabajar en ello. Quería probar algunas de mis ideas. • «¿Por qué fue útil empezar de inmediato aunque no estuvieras seguro de cómo obtener la respuesta final?». Las respuestas pueden variar. Pude probar diferentes cosas al principio de la clase y poner a prueba algunas ideas. Aunque no todas funcionaron, pude basarme en mis primeras ideas y en las de los demás para generar caminos hacia una solución.
DESPUÉS DE EXPLORAR 1. Completen un «Esquena de anclaje» como clase.
b. «¿Dónde te has atascado?». Las respuestas pueden variar. c. «¿Qué has averiguado hasta ahora?». Las respuestas pueden variar. d. Basándote en lo que tienes hasta ahora, «¿cuál crees que será la solución?». Las respuestas variarán. 5. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
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GRADO 8: INTRODUCCIÓN A OCTAVO GRADO
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2
Launch into Eighth Grade
LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 2: COMUNICAR EFECTIVAMENTE
Multiplication Model A
Multiplication Model B
Multiplication Model C
DESCRIPCIÓN Los estudiantes exploran una tarea que les brinda la oportunidad de compartir su pensamiento y evaluar el razonamiento de los demás.
MATERIALES IMPRESO
EJERCICIO DIARIO DE CÁLCULO
• 1 enunciado diario de aritmética (por clase) REUTILIZABLE
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase)
PREPARACIÓN
• Planifique la proyección del «Enunciado diario de aritmética».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Proyecte el «Enunciado diario de matemáticas» a la clase. Los estudiantes no deben llevar nada consigo para esta actividad. 2. Conceda a los estudiantes un minuto mientras observan las imágenes. Discuta las siguientes preguntas orientadoras. a. «¿Qué observas en cada representación?». Las respuestas pueden variar. b. «¿Qué patrones observas?». Las respuestas pueden variar. 3. Cuando formule las preguntas anteriores, los estudiantes pueden dar discretamente una de las siguientes respuestas no verbales: a. Puño cerrado al pecho: «Todavía estoy pensando». b. Puño al pecho, pulgar hacia arriba: «Tengo una idea/estrategia». Durante este tiempo, los estudiantes siguen buscando diferentes ideas y estrategias. c. Puño al pecho, de dos a cinco dedos hacia arriba: «Tengo más ideas/estrategias». El número de dedos mostrados representa el número de ideas/ estrategias que tienen. 4. Acepte varias respuestas de los estudiantes si su razonamiento es correcto. Para animarlos a elaborar sus respuestas, use las siguientes preguntas: a. «¿Qué característica hace diferente a una representación?». Las respuestas pueden variar. b. «¿En qué se parecen estas representaciones?». Las respuestas pueden variar. ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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c.
«¿Hay otra forma de explicar un patrón o resultado que haya compartido un compañero?». Las respuestas variarán.
d.
«¿Qué nuevas conclusiones puedes sacar?». Las respuestas pueden variar.
5. Pida a los estudiantes que discutan qué representación no se parece a las demás y pregunte a la clase si están de acuerdo o no. Pueden indicar si están de acuerdo extendiendo los dedos meñique y pulgar y agitando las manos de un lado a otro. Proporcione los siguientes enunciados para que los estudiantes compartan su pensamiento: a.
«Estoy de acuerdo porque..».
b.
«No estoy de acuerdo porque..».
c.
«¿Puedes explicar por qué tú..?».
6. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• «¿Cómo describirías lo que acabamos de hacer como clase?». Las respuestas pueden variar. Todos hemos reflexionado sobre el tema y hemos compartido diferentes ideas. Nos escuchamos unos a otros y decidimos si estábamos de acuerdo y explicamos por qué. • «¿Por qué puede ser útil compartir ideas de esta manera?». Las respuestas pueden variar. Podríamos aprender unos de otros. Otro estudiante puede tener una idea en la que yo no pensé.
DESPUÉS DE EXPLORAR 1. Complete el «Esquema de anclaje» como clase.
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GRADO 8: INTRODUCCIÓN A OCTAVO GRADO
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 3: DAR SENTIDO A LAS MATEMÁTICAS DESCRIPCIÓN Los estudiantes exploran una tarea que les brinda la oportunidad de experimentar el esfuerzo productivo y fomentar una mentalidad de crecimiento a medida que dan sentido a las ideas matemáticas.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 tarjeta de tareas (por pareja) REUTILIZABLES
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase) CONSUMIBLES
• 1 hoja de papel para cuaderno (por pareja)
PREPARACIÓN
• Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad. • Proyecte la «Tarjeta de tareas». • Imprima una «Tarjeta de tareas» para cada pareja.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Coloque a los estudiantes en parejas y entregue una hoja de papel de cuaderno a cada una. 2. Proyecte la «Tarjeta de tareas» y preséntela a los estudiantes. Asegúrese de que entienden el contexto y lo que se les pide que hagan. Intente proporcionar acceso a la tarea sin dar ideas sobre cómo resolverla. 3. Entregue una «Tarjeta de tareas» a cada pareja y pídales que empiecen a trabajar. 4. Mientras trabajan, controle y evalúe activamente su comprensión usando estas preguntas orientadoras: a. «¿Qué progresos has hecho hasta ahora?». Las respuestas pueden variar. b. «¿Dónde te has atascado?». Las respuestas pueden variar. c. «¿Dónde has visto algo así antes?». Las respuestas pueden variar. 5. Después de la «Exploración», invite a la clase a un charla de matemática para compartir sus observaciones y aprendizajes.
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HOJA DE RUTA
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• «¿Qué te ha ayudado a ti y a tu compañero a completar esta tarea?».. Las respuestas pueden variar. Usamos lo que hemos aprendido para resolverlo.
• «¿Tú y tu compañero dieron con la solución de inmediato?». Las respuestas pueden variar. No, al principio estábamos confundidos. Tuvimos que hablar sobre nuestras ideas y decidir cuáles tenían sentido antes de poder escribir nada. • «¿Cómo cambió tu respuesta a medida que trabajabas?». Las respuestas variarán. Añadimos más detalles después de hablarlo. Escuchamos a otro par de estudiantes compartir una idea que tenía mucho sentido, así que la añadimos a nuestra explicación. • «¿Qué sentiste cuando terminaste tu explicación?». Las respuestas pueden variar. Nos sentimos aliviados porque era difícil y no estábamos seguros de poder hacerlo. Estábamos emocionados porque lo habíamos resuelto. • Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: ◦ «Aunque la tarea era difícil, ustedes siguieron adelante y probaron nuevas ideas. «¿Por qué es útil esto como matemático?». Las respuestas pueden variar. Cuando hacemos cosas difíciles, aprendemos algo nuevo y nos convertimos en mejores solucionadores de problemas. Los matemáticos a veces tienen que resolver problemas difíciles y complicados, pero si siguen adelante, eventualmente pueden resolverlos.
DESPUÉS DE EXPLORAR 1. Complete un «Esquema de anclaje» como clase.
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GRADO 8: INTRODUCCIÓN A OCTAVO GRADO
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Launch into Eighth Grade
Making Change Carlos has five coins worth 1￠, 5￠, 10￠, 25￠, and $1. What are all of the possible amounts of money Carlos could make with his five coins?
LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 4: BUSCAR LA PRECISIÓN Y LA EXACTITUD DESCRIPCIÓN Los estudiantes exploran una tarea que pone de relieve la necesidad de precisión y exactitud en la forma de comunicar sobre matemáticas y de analizar su propio trabajo.
MATERIALES HOJA DE RUTA
IMPRESOS
• 1 tarjeta de tareas (por clase) REUTILIZABLES
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase) CONSUMIBLES
• 1 hoja de papel de cuaderno (por pareja)
PREPARACIÓN
• Planee que los estudiantes trabajen en parejas para esta actividad. • Proyecte la «Tarjeta de tareas». • Imprima la «Tarjeta de tareas» para cada pareja.
• «¿Por qué es importante ser preciso y exacto al hablar de matemáticas?». Las respuestas pueden variar. Si no eres preciso y exacto, es posible que no expliques bien tu trabajo o lo que piensas. Los demás pueden malinterpretar lo que intentas decir.
3. Entrega a cada pareja una «Tarjeta de tareas» y pídales que comiencen a trabajar.
• «¿Por qué es importante la precisión cuando completamos nuestro trabajo?». Las respuestas pueden variar. Es fácil cometer un pequeño error que puede conducir a una solución inexacta. Dedicar tiempo a trabajar con cuidado y comprobar nuestro trabajo puede ayudarnos a ser más precisos en la resolución de problemas. Un trabajo preciso facilita la identificación correcta de los patrones que vemos.
4. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
• «¿Qué preguntas de ampliación podrías desarrollar y responder basándote en la actividad?». Las respuestas pueden variar.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Forme parejas de estudiantes y entregue una hoja de papel de cuaderno a cada una. 2. Proyecte la «Tarjeta de tareas» y preséntela a los estudiantes.
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• «¿Qué sucedió cuando cometiste un error? ¿Cómo te diste cuenta de que habías cometido un error?». Las respuestas pueden variar. Mi compañero compartió una idea que contradecía mi pensamiento actual y me hizo reconsiderar.
DESPUÉS DE EXPLORAR 1. Completen el «Esquema de anclaje» como clase.
• Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: ◦ «¿Por qué comunicar tus ideas matemáticas es tan importante como las respuestas?». Las respuestas variarán. La respuesta final en sí no ayuda a tu compañero a comprender el tema más profundamente, pero una explicación detallada y bien comunicada puede ayudar a aumentar la comprensión del material por parte de todos.
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GRADO 8: INTRODUCCIÓN A OCTAVO GRADO
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE
ANCLAR EL APRENDIZAJE DE LOS ESTUDIANTES
ESQUEMA DE ANCLAJE DESCRIPCIÓN El esquema de anclaje destaca los procesos de pensamiento, las habilidades y los comportamientos que promueven una cultura de investigación y aprendizaje matemático en el aula.
Anchor Chart Example
Mathematicians… ● are curious.
I notice… I wonder…
● are organized self-starters who get to work right away.
I need… I could try…
● can share their thinking and solutions with others.
I think… I know… because…
● are respectful, listen to others, and work together.
I heard you say… What if we… What do you think?
1. Después de la exploración, escriba «Los matemáticos..» en la parte superior del esquema. (Use el «Ejemplo de esquema de anclaje» como referencia mientras crea el gráfico con sus estudiantes). Plantee las siguientes preguntas:
● can make sense of math and see connections to math in the real world.
I understand that… This is like…
a. «¿Cómo te sentiste cuando empezamos a hablar de la tarea?». Las respuestas pueden variar. Me preguntaba cómo podríamos resolverlo. Tenía algunas ideas que quería probar.
● strive for accuracy and precision.
EXPLORACIÓN 1: SÉ CURIOSO
b. «¿Qué hiciste cuando tú y tu compañero recibisteis la tarea?». Las respuestas pueden variar. Hablamos de nuestras ideas y empezamos a intentar resolverlo. c. «¿Qué tenía que ver esta actividad con ser matemático?». Las respuestas pueden variar. Trabajamos juntos en un problema matemático. 2. Los estudiantes pueden pensar que ser matemático significa que sólo se resuelven problemas matemáticos. Haga hincapié en que se comportaron como matemáticos porque sintieron curiosidad por la tarea y trabajaron con prontitud para resolverla. a. Invite a un estudiante a escribir que los matemáticos son curiosos y a otro estudiante a escribir que los matemáticos son personas organizadas y con iniciativa que se ponen a trabajar de inmediato. 3. Discuta las siguientes preguntas: a. «¿Cómo podrían estos dos hábitos ser útiles para un matemático?». Las respuestas pueden variar. Si sientes curiosidad por algo, querrás saber más sobre ello o intentarás resolverlo. Si empiezas enseguida, podrás hacer más con tu tiempo y no perderlo. b. «¿Cuáles son los posibles obstáculos que pueden limitar tu curiosidad como matemático? ¿Cómo puedes superarlos?». Las respuestas pueden variar. Cuando no tengo éxito en matemáticas, me resulta difícil sentir curiosidad o terminar el trabajo. Para despertar mi curiosidad, puedo buscar formas de conectar las matemáticas con mi vida. También puedo buscar nuevas estrategias que tengan más sentido.
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● persevere with difficult tasks and have a growth mindset.
● set goals.
I can do this. Doing hard things helps me learn.
I want to get better at… I can improve by…
How can I clearly explain my thinking? How can I check my work?
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE EXPLORACIÓN 2: COMUNICAR EFECTIVAMENTE
1. Después de la exploración, haga estas preguntas: a. «¿Qué expectativas tienes para las discusiones en clase?». Las respuestas pueden variar. Espero que levantemos la mano para hablar, que hablemos de uno en uno, que escuchemos a los compañeros que están hablando y que demos a todos la oportunidad de hablar. b. «¿Qué te hace sentir respetado cuando compartes tus ideas? ¿Cuáles son las formas eficaces de participación?». Las respuestas pueden variar. Me siento respetado cuando los demás demuestran que me prestan atención, tienen en cuenta lo que digo y no se hacen los distraídos. Para crecer y demostrar que participo, también necesito escuchar activamente. Tengo que considerar si estoy de acuerdo con la persona que habla, y tengo que ser capaz de explicar mi razonamiento. 2. Destaque que los estudiantes se comportaron como matemáticos porque compartieron sus ideas y escucharon respetuosamente a los demás. Trabajaron juntos para desarrollar una variedad de soluciones a la pregunta. a. Invite a un estudiante a escribir que los matemáticos pueden compartir su pensamiento y sus soluciones con los demás. Invite a otro estudiante a escribir que los matemáticos son respetuosos, escuchan a los demás y trabajan juntos.
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GRADO 8: INTRODUCCIÓN A OCTAVO GRADO
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE 3. Haga la siguiente pregunta: a. «¿En qué pueden ayudar estos dos hábitos a un matemático?». Las respuestas pueden variar. Si compartes tus ideas, puedes ayudar a los demás a aprender. Cada persona piensa de forma diferente, y escuchar las ideas de los demás puede ayudarte a pensar en algo de una manera nueva. Se nos ocurrieron más ideas cuando trabajamos juntos y compartimos nuestros pensamientos. EXPLORACIÓN 3: DAR SENTIDO A LAS MATEMÁTICA
1. Después de la exploración, haga estas preguntas: a. «¿Qué te ayudó a ti y a tu compañero a comenzar esta tarea?». Las respuestas pueden variar. Pensamos en lo que hemos aprendido. Hablamos sobre nuestras ideas y descubrimos lo que tenía más sentido. b. Cuando se quedaron atascados, «¿qué estrategias o recursos usaron o consideraron utilizar?». Las respuestas pueden variar. Pensamos en lo que habíamos aprendido. Hablamos de nuestras ideas y descubrimos lo que tenía más sentido. Hablamos con otro grupo sobre sus ideas. Cuando una idea no funcionó, pensamos en ella de manera diferente e intentamos otra cosa. 2. Destaque que los estudiantes se comportaron como matemáticos porque establecieron conexiones entre las ideas y trabajaron para dar sentido a las matemáticas. Aunque la tarea era difícil, siguieron adelante e intentaron cosas nuevas. a. Invite a un estudiante a escribir que los matemáticos pueden dar sentido a las matemáticas y ver las conexiones con las matemáticas en el mundo real. Invite a otro estudiante a escribir que los matemáticos perseveran en las tareas difíciles y tienen una mentalidad de crecimiento.
EXPLORACIÓN 4: BUSCAR PRECISIÓN Y EXACTITUD
1. Después de la exploración, discuta las siguientes preguntas: a. «¿Qué estrategias utilizaste para determinar el patrón y escribirlo?». Las respuestas pueden variar. Creamos nuestro propio dibujo y utilizamos fichas de papel para crear el patrón. Escribí un patrón y mi compañero lo comprobó para ver si coincidía con nuestra representación. b. «¿Qué ocurría si no éramos exactos o precisos?». Las respuestas pueden variar. Cometimos un error o una suposición incorrecta que nos llevó a una respuesta incorrecta. 2. Haga hincapié en que los estudiantes se comportaron como matemáticos porque escucharon atentamente las instrucciones, las siguieron con exactitud y comunicaron las ideas con precisión. a. Invite a un estudiante a escribir que los matemáticos se esfuerzan por ser exactos y precisos. 3. Discuta las siguientes preguntas: a. «¿Qué herramientas o estrategias se le ocurren para asegurarse de que su trabajo es preciso y exacto?». Las respuestas pueden variar: una calculadora, escribir de forma limpia y ordenada en mi papel de borrador, etiquetar mi trabajo, utilizar reglas y comprobar mi trabajo. b. «¿Cómo podrían ser útiles estos hábitos para un matemático?». Las respuestas pueden variar. Ser preciso y exacto en la forma de comunicarse ayuda a los demás a entender lo que se quiere decir. Completar su trabajo con precisión puede ayudarles a cometer menos errores.
3. Discuta las siguientes preguntas: a. «¿Por qué es importante la perseverancia para un matemático?». Perseverancia significa que siguen adelante e intentan cosas nuevas aunque la tarea sea difícil. b. «¿Qué crees que significa tener una mentalidad de crecimiento?». Significa que sabes que puedes aprender haciendo cosas difíciles. c. «¿Cómo podrían ser útiles estos hábitos para un matemático?». Las respuestas pueden variar. A veces no sé cómo empezar un problema o una tarea. Cuando eso ocurre, puedo pensar en lo que ya sé y utilizarlo para encontrar ideas. Si una tarea me supone un reto, sé que significa que tengo algo nuevo que aprender y que puedo convertirme en un mejor matemático si no me rindo.
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GRADO 8: INTRODUCCIÓN A OCTAVO GRADO
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA
DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DE LOS ESTUDIANTES
LIBRETA INTERACTIVA DESCRIPCIÓN Los estudiantes toman notas, crean modelos, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase utilizando la actividad y el cuaderno.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por estudiante) REUTILIZABLE
• 1 barra de pegamento (por estudiante) • 1 par de tijeras (por estudiante) • 1 cuaderno de espiral o de composición (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Imprima el «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
d. «¿De qué otras formas podemos ser buenos matemáticos en clase?». Podemos tomarnos nuestro tiempo y comprobar nuestro trabajo. 6. Pida a los estudiantes que completen el ejercicio para romper el hielo “¡Descúbreme!”. Anímeles a hablar con el mayor número posible de compañeros. Asegúrese de que todos tienen alguien con quien hablar y de que todos tienen voz. Después de la actividad, los estudiantes pegan la página en la página VI de sus cuadernos. 7. Los estudiantes utilizan las pestañas separadoras para cada alcance. Recortan una pestaña y escriben en ella el nombre del alcance o la idea principal. A continuación, pueden pegar la pestaña en la parte superior de la primera página de ese alcance para facilitar su consulta. 8. Estas libretas interactivas se pueden utilizar como referencia durante el trabajo independiente y se pueden enviar a casa al final del año como registro del aprendizaje de los estudiantes.
1. Proporcione un cuaderno de espiral o de composición a cada alumno. 2. Los estudiantes pegan la primera página del impreso en el exterior de su cuaderno de espiral o de composición. 3. Ayude a los estudiantes a numerar las páginas de sus cuadernos. Las páginas de referencia de la parte delantera pueden numerarse con números romanos, y las páginas de contenido que siguen pueden numerarse empezando por la uno en el lado derecho del cuaderno. 4. Los estudiantes pegan el índice en la página I (la segunda página de su cuaderno de espiral o de composición). Pueden saltar hasta cuatro páginas para continuar con el índice, según sea necesario. 5. Los estudiantes pegan la página «Matemáticos» en la página VI en el lado derecho de sus cuadernos. Pegan la página «Lo que hace un buen matemático» en la página V (el lado izquierdo de sus cuadernos). Entre todos, generen ideas sobre lo que los buenos matemáticos harían durante la clase. Utilicen las siguientes preguntas como guía: a.
«¿Cuáles son las formas en que los buenos matemáticos podrían intentar resolver un problema?». Los matemáticos pueden crear una imagen o un diagrama, utilizar la estimación, buscar patrones o utilizar una calculadora para intentar resolver un problema.
b.
«¿Cómo pueden los matemáticos explicar a los demás lo que han aprendido?». Los matemáticos pueden escribir una explicación o hacer un dibujo.
c.
«¿Qué puede hacer un matemático para resolver un problema si se queda atascado?». Los matemáticos pueden hacer preguntas o crear un plan para resolver un problema.
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GRADO 8: INTRODUCCIÓN A OCTAVO GRADO
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA
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Contents
My Math Notebook
Page Number
Mathematicians… ● are curious.
Title
● are organized self-starters who get to work right away. ● can share their thinking and solutions with others. ● are respectful, listen to others, and work together.
This notebook belongs to
● can make sense of math and see connections to math in the real world. ● persevere with difficult tasks and have a growth mindset. ● strive for accuracy and precision. ● set goals.
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Launch into STEMscopes Math
What Good Mathematicians Do With your class, discuss examples of what good mathematicians do. Create a list from your discussion in the following space.
Figure Me Out
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Divider Tabs
Use one operation in each box to create a math problem for your peers to determine the answers. I am ____ years old.
My birthday is on ____/_____/_____.
Create a doodle from the thoughts you listed.
I’m a mathematician.
My favorite number is…
I have _____ letters in my name.
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FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTA
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GRADO 8: INTRODUCCIÓN A OCTAVO GRADO
ELABORAR: APLICA LO QUE SABES APLICACIÓN DE LOS CONOCIMIENTOS
APLICA LO QUE SABES: TASA DE CAMBIO CONSTANTE DESCRIPCIÓN Los estudiantes trabajan en pequeños grupos para jugar a un juego de construcción de fluidez y aplicar los hábitos de un matemático aprendidos en las actividades de «Explorar» y «Explicar». En esta actividad, los estudiantes jugarán a un juego de concentración.
Concentration Instruction Sheet Play this game with a partner. You Will Need 1 Set of Concentration Cards (per pair)
How to Play 1. Shuffle the cards, and place them facedown to form a 4 × 6 array.
2.
a problem with its correct answer. Problems will need to be
MATERIALES IMPRESOS
solved in order to determine matching answers. 3.
If player 1 matches a problem with the correct answer, then player 1 keeps the matched set and takes another turn.
• 1 hoja de instrucciones de concentración (por pareja)
4.
• 1 juego de tarjetas de concentración (por pareja)
5.
REUTILIZABLES
Player 1 flips over two cards to try to find a match. A match is
If player 1 does not find a match, then they place the cards facedown again, and it is the next player's turn. Players continue taking turns until all of the matches have been found.
6.
The player who collects the most cards wins.
• 1 sobre o bolsa (por pareja)
PREPARACIÓN
• Haga copias a doble cara de las tarjetas de concentración.
HOJA DE INSTRUCCIONES
• Lamínelas para que duren más. • Recorte las tarjetas individuales y colóquelas en un sobre o bolsa para facilitar su distribución y limpieza. • Coloque a los estudiantes en parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo barajar las tarjetas y colocarlas boca abajo en una matriz de 4 × 6.
3. Distribuya los materiales. A continuación, pida a los estudiantes que barajen las cartas y las coloquen boca abajo. 4. Vigile a los estudiantes para asegurarse que encuentran las parejas correctas. 5. Después del juego, invita a la clase a compartir sus observaciones y aprendizajes. a.
Mirando el «Esquema de anclaje», «¿qué hábito(s) has practicado con este juego?». Las respuestas pueden variar. Practicamos el hábito 1 porque teníamos curiosidad por saber cómo jugar y ganar el juego. Practicamos el hábito 2 porque nos entusiasmó comenzar de inmediato y mantuvimos todas las tarjetas organizadas. Practicamos el hábito 3 porque compartimos nuestras estrategias. Practicamos el hábito 4 porque tuvimos que trabajar juntos para ganar. Hemos practicado el hábito 5 porque este juego nos ayuda a recordar los datos y eso nos servirá algún día en nuestro trabajo. Hemos practicado el hábito 6 porque teníamos que seguir intentándolo aunque al principio no consiguiéramos muchos aciertos. Hemos practicado el hábito 7 porque teníamos que ser precisos para que las tarjetas coincidieran. Practicamos el hábito 8 porque nos fijamos el objetivo de conseguir al menos cuatro coincidencias, y lo conseguimos.
b.
Cuando trabajas en grupo, «¿qué hábito es el más importante?». Las respuestas pueden variar.
c.
«¿Qué hábito te resultó más fácil?». Las respuestas pueden variar.
d.
«¿Qué hábito te resultó difícil?». Las respuestas pueden variar.
2. Muestre cómo jugar el juego con un alumno. a. El jugador 1 voltea 2 tarjetas para intentar encontrar una coincidencia. Una coincidencia es un problema con su respuesta correcta. Será necesario resolver los problemas para determinar las respuestas que coinciden. b. Si el jugador 1 encuentra un problema con la respuesta correcta, entonces el jugador 1 se queda con el conjunto coincidente y toma otro turno. c. Si el jugador 1 no encuentra una coincidencia, entonces vuelve a colocar las tarjetas boca abajo y es el turno del siguiente jugador. d. Los jugadores continúan tomando turnos hasta que se hayan encontrado todas las coincidencias. e. Gana el jugador que reúna la mayor cantidad de tarjetas.
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GRADO 8: INTRODUCCIÓN A OCTAVO GRADO
EVALUAR: ESTABLECER LOS OBJETIVOS Launch into STEMscopes Math
OBJETIVOS
ESTABLECER METAS DEL ESTUDIANTE
Student Goal Setting My Math Goals
I can…
I can…
I can…
DESCRIPCIÓN
• Los estudiantes fijan objetivos basadas en los hábitos de un matemático.
I met my goal. I can…
I met my goal. I can…
I met my goal. I can…
MATERIALES
• 1 documento titulado «Establecer metas del estudiante» (por alumno)
PREPARACIÓN I met my goal. I can…
I met my goal. I can…
I met my goal. I can…
• Imprima una copia del documento titulado «Establecer metas del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN I met my goal.
I met my goal.
I met my goal.
I will reach my goal by ______________________________________________________.
ESTABLECER METAS DEL ESTUDIANTE
1. Proyecte o imprima las afirmaciones “Yo puedo” para el alcance. 2. En las casillas provistas en su documento titulado «Establecer metas del estudiante», los estudiantes escriben las afirmaciones «Yo puedo» que desean establecer como objetivos. Pueden utilizar bocetos para visualizar sus objetivos. 3. Trabaje con los estudiantes para completar la frase de la parte inferior del folleto escribiendo cómo piensan alcanzar sus objetivos. 4. Recuerde a los estudiantes que vuelvan a sus objetivos a lo largo del alcance para controlar su progreso. Los estudiantes marcan cada objetivo a medida que lo logran. 5. Coloque cada objetivo del estudiante en una carpeta para que los estudiantes puedan consultarlo durante todo el año escolar.
ENUNCIADOS «YO PUEDO» PARA LOS HÁBITOS DE UN MATEMÁTICO • Puedo ser curioso.
• Puedo ser organizado con mis materiales de matemática. • Puedo comenzar a trabajar de inmediato. • Puedo compartir mis ideas y soluciones con los demás. • Puedo ser respetuoso, escuchar a los demás y trabajar junto con mi compañero o grupo pequeño. • Puedo encontrarle sentido a las matemáticas y ver las conexiones con el mundo real. • Puedo perseverar en tareas difíciles. • Puedo tener una mentalidad de crecimiento. • Puedo esforzarme por lograr exactitud y precisión en mi trabajo. • Puedo fijarme objetivos.
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GRADO 8: INTRODUCCIÓN A OCTAVO GRADO
INTERVENIR: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS RESOLVER
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DESCRIPCIÓN Los estudiantes razonan con sus grupos sobre formas de resolver problemas relacionados con los hábitos de un matemático.
Launch into STEMscopes Math
Troubleshooting Prompts What would you do if someone in your group was distracted or off task? What if your group member’s strategy is faster and they solve the problem before you? What if someone in your group gives up too easily and won’t try another solution? What if someone in your group won’t give you a turn? What if you do not agree with someone in your group?
MATERIALES
What if your group is stuck and not sure what to do next?
IMPRESOS
• 1 juego de preguntas para la resolución de problemas (por clase) REUTILIZABLES
INDICACIONES PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase, opcional) • 1 juego de rotuladores (por grupo) CONSUMIBLES
• 6 hojas grandes de papel milimetrado (por clase)
PREPARACIÓN
• Planifique que los estudiantes trabajen en grupos de cuatro o cinco. • Planifique la proyección de las preguntas para la resolución de problemas. • Prepare seis hojas grandes de papel milimetrado. Escriba una pregunta de resolución de problemas en la parte superior de cada hoja. Si lo desea, imprima y pegue con cinta adhesiva cada pregunta en el papel milimetrado. • Dé un juego de rotuladores a cada grupo.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Explique a los estudiantes que la clase estudiará algunos problemas que pueden surgir mientras trabajamos juntos en matemáticas y desarrollamos nuestros hábitos de matemáticos. 2. Divida a los estudiantes en grupos de cuatro o cinco. Dé cada hoja de papel milimetrado a un grupo. 3. Conceda a los estudiantes un minuto mientras examinan la pregunta de la hoja de papel milimetrado de su grupo. 4. Los estudiantes discuten la pregunta en el papel milimetrado de su grupo y anotan cómo responderían. Deben estar preparados para compartir sus ideas con la clase. 5. Haga que cada grupo participe en un recorrido por la galería para discutir las respuestas de los otros grupos y responder a cada cartel con sus pensamientos.
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GRADO 8: INTRODUCCIÓN A OCTAVO GRADO
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Launch into Eighth Grade
OPCIONES PARA SEGUIR APRENDIENDO
TABLERO DE OPCIONES
Launch into Eighth Grade Choose one or more extension activities from the table below. Curiosity Connection
Real-World Connection
The Golden Ratio
Tuva
What is the golden ratio? And why is it so golden?
How can you use technology to represent large data sets? What conclusions about the world can you draw from the data and its representation?
Perseverance and Mindset Connection
Communication Connection
Terrific 30
Teach It
How many ways can you derive the number 30 using the same five numerals and a set of operations?
Have you ever wanted to be the teacher? In this activity, you will teach a third grader how to divide using effective communication.
Accuracy and Precision Connection
Goal Setting
Engineering
Eighth-Grade Goals
Research examples of engineering failures in history. What is the common theme in these failures, and what do they teach us about accuracy and precision?
Outline your goals this year and the ways in which you will share your brilliance and find success.
TABLERO DE OPCIONES
DESCRIPCIÓN Los estudiantes explorarán las conexiones con el mundo real y las aplicaciones del contenido matemático a través de interacciones con actividades atractivas.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 tablero de opciones con autoevaluación (por estudiante) • 1 juego de apuntes de actividades (por estudiante) REUTILIZABLE
• Tecnología (si corresponde)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Tablero de opciones» y un juego de «Apuntes de actividades» para cada estudiante. • Imprima una «Autoevaluación del tablero de opciones» para cada estudiante. • Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» por estudiante. 2. Dé tiempo para que examinen el «Tablero de opciones» y seleccionen las actividades que les gustaría explorar. 3. Anime a los estudiantes a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya los «Apuntes de actividades» correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del «Tablero de opciones», haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su pensamiento matemático y su esfuerzo en el proyecto que eligieron.
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GRADO 8 <<SCOPE NAME>>
GRADO 8
EXPONENTES ENTEROS ACTIVIDADES EXPLORACIÓN 1: PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES ENTEROS
ESTÁNDARES CLAVE Trabajar con radicales y exponentes enteros. • Conocer y aplicar las propiedades de los exponentes enteros para generar expresiones numéricas equivalentes. Por ejemplo, 1 1 32 × 3-5 = 3-3 = ____ = ____ . 3 3
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ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS - NO TE PERTENECE Los estudiantes identificarán qué expresión de multiplicación o división no pertenece a un conjunto dado, con el objetivo de descubrir y abordar conceptos erróneos. • Los estudiantes analizan conjuntos de expresiones para identificar el valor atípico basándose en soluciones diferentes.
Los estudiantes exploran y generalizan las propiedades de los exponentes enteros a través del razonamiento y la colaboración. • Los estudiantes trabajan en parejas para analizar las tablas y rellenar las secciones que faltan, con la identificación de patrones en los exponentes enteros. • Utilizan tarjetas de definición de propiedades para hacer coincidir ejemplos con las propiedades correctas de los exponentes y mejorar su comprensión. • La actividad incluye conversaciones guiadas y una charla matemática para fomentar el intercambio de estrategias y observaciones. • Los estudiantes completan un boleto de salida y una libreta interactiva para evaluar y reforzar su aprendizaje. EXPLORACIÓN 2: MULTIPLICAR CON EXPONENTES Los estudiantes trabajan en colaboración para hacer coincidir expresiones de multiplicación equivalentes y simplificarlas mediante el uso de las propiedades de los exponentes.
• Trabajan individualmente o en pequeños grupos para fomentar la colaboración y el debate.
• Los estudiantes forman parejas para hacer coincidir y simplificar expresiones de multiplicación mediante un conjunto de tarjetas de pareo.
• La actividad concluye con una discusión en clase para reforzar la comprensión y abordar cualquier concepto erróneo.
• Registran sus hallazgos en un diario del estudiante y demuestran cómo una expresión puede simplificarse para generar otra.
• Los maestros pueden utilizar esto como una herramienta de diagnóstico para identificar brechas en la comprensión de los estudiantes de las operaciones con números racionales.
• La actividad incluye una charla matemática para que los estudiantes compartan estrategias y observaciones sobre la generación de expresiones equivalentes.
CAPTAR INTERÉS Los estudiantes se involucran en la evaluación de expresiones para determinar cuál de los dos individuos creó con éxito una expresión equivalente. • Se presenta a los estudiantes un escenario que involucra una noche de juegos en familia donde una pregunta de desempate requiere evaluar una expresión con exponentes.
• Se utiliza un boleto de salida para evaluar la comprensión de los estudiantes sobre la simplificación de expresiones con exponentes enteros. EXPLORACIÓN 3: DIVIDIR CON EXPONENTES Los estudiantes se comprometen a determinar la validez de los problemas de división que involucran exponentes a través del trabajo colaborativo en grupo.
• Analizan los pasos tomados por los dos individuos para identificar errores y determinar quién encontró la expresión equivalente correcta.
• Los estudiantes trabajan en grupos para evaluar las expresiones de división con exponentes mediante tarjetas de verdadero o falso colocadas alrededor del salón.
• Después de completar las actividades de «Explorar» relacionadas, los estudiantes vuelven a visitar el escenario para reforzar su comprensión y discutir la solución correcta.
• Aplican las propiedades de los exponentes para decidir si las expresiones son correctas, al documentar su razonamiento en un diario del estudiante.
• Se anima a los estudiantes a crear y resolver sus propias preguntas de desempate que impliquen expresiones con exponentes, al fomentar la colaboración y una comprensión más profunda.
• La actividad incluye preguntas guiadas para facilitar la comprensión y anima a los estudiantes a compartir y comentar sus estrategias. • Se utiliza un boleto de salida para evaluar la comprensión del concepto por parte de los estudiantes y se proporcionan apoyos adicionales para diversas necesidades de aprendizaje. EXPLORACIÓN 4: POTENCIAS EXPONENCIALES Los estudiantes trabajan en colaboración para encontrar expresiones equivalentes para términos exponenciales elevados a una potencia. • Los estudiantes participan en debates de grupo para aplicar las propiedades de los exponentes y crear expresiones equivalentes. • Explican su razonamiento y sus estrategias, lo cual mejora su comprensión de las reglas de los exponentes. • La actividad incluye una charla matemática para que los estudiantes compartan sus observaciones y estrategias. • Los estudiantes completan un boleto de salida para evaluar su comprensión y reforzar el aprendizaje.
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GRADO 8: EXPONENTES <<SCOPE NAME>> ENTEROS GRADO 8
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES
Los estudiantes utilizan las habilidades de los exponentes enteros para profundizar en su comprensión de las conexiones entre formas, números y expresiones. Las propiedades de los exponentes permiten a los estudiantes simplificar expresiones y resolver problemas de forma más eficiente, al establecer conexiones entre formas, números y expresiones
FIGURAS, NÚMEROS Y EXPRESIONES
Los estudiantes aprenden a utilizar los exponentes para expresar números de forma eficiente y aplican estas habilidades en problemas que implican mediciones de cantidades muy grandes o muy pequeñas. Al desarrollar el sentido numérico con exponentes enteros, los estudiantes adquieren las habilidades básicas necesarias para futuras lecciones en las que trabajarán con cantidades expresadas en notación científica.
NÚMEROS GRANDES Y PEQUEÑOS EXPLORACIONES PITAGÓRICAS
Los estudiantes trabajan con potencias y exponentes, lo que favorece su comprensión de las propiedades geométricas del teorema de Pitágoras. Las reglas de exponentes que aprenden, como la potencia de una potencia o el producto de potencias, les permiten simplificar expresiones al resolver problemas del mundo real que implican distancias y áreas.
CONCEPTOS CLAVE • Puedo etiquetar las partes de un exponente. • Puedo escribir exponentes enteros en forma expandida y en forma estándar. • Puedo multiplicar y dividir exponentes enteros. • Puedo escribir un exponente negativo como exponente positivo. • Puedo aplicar las propiedades de los exponentes enteros para determinar el signo de una expresión numérica equivalente.
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PREGUNTAS FUNDAMENTALES • «¿Cómo puede determinar el signo de una expresión equivalente cuando se le da una base negativa y un exponente grande?». • Describa las reglas para multiplicar y dividir exponentes. • Describa patrones que encontró al usar exponentes.
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GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO ¿QUÉ ENSEÑO?
CONTENIDOS DE APOYO Trabajar con radicales y exponentes enteros. • Conocer y aplicar las propiedades de los exponentes enteros para generar expresiones numéricas equivalentes. Por ejemplo, 32 × 3-5 = 3-3 = 1/32 = 1/27.
CONOCIMIENTOS PREVIOS Los estudiantes son introducidos a los conceptos de exponentes y números enteros en 6.º y 7.º grado. En 6.º grado, los estudiantes aprenden a escribir y evaluar expresiones numéricas que involucran exponentes de números enteros. En 6.º grado, se enseña a los estudiantes a escribir y evaluar expresiones numéricas con exponentes de números enteros. Los estudiantes de 7.º grado comprenden las reglas básicas de operación cuando trabajan con números con signo, también conocidos como números enteros. Al trabajar con números enteros, los estudiantes están expuestos a las diferencias entre las reglas de suma y resta y las reglas de multiplicación y división. Los estudiantes se enfrentan al reto de ampliar sus conocimientos sobre los números enteros para desarrollar el concepto de exponente entero mediante los principios de las operaciones con números enteros y las propiedades de los exponentes para desarrollar expresiones equivalentes.
CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
• Los estudiantes ven las propiedades de un exponente entero como dos números que se multiplicarán frente a la multiplicación repetitiva del número base dependiente del valor de la potencia. • Los estudiantes pueden ver los signos negativos unidos a los exponentes como si tuvieran las mismas propiedades en todo momento en lugar de identificar la diferencia entre -1² y (-1)². • Al multiplicar y dividir exponentes, los estudiantes pueden tener dificultades para identificar la base del exponente cuando se escribe con un coeficiente. Por ejemplo, al ver 2x⁸, la base de este exponente es la x, donde los estudiantes a menudo verán el 2x como la base. • Los estudiantes pueden ver un término sin una potencia como si no tuviera una potencia en absoluto, en lugar de tener una potencia de 1.
EN ESTE ALCANCE Los estudiantes están expuestos a las diferentes propiedades que están ligadas a las operaciones que involucran exponentes enteros. Los estudiantes comprenderán el proceso de aplicar operaciones con números enteros a exponentes de la misma base para desarrollar expresiones de exponentes equivalentes. En este alcance, los estudiantes aprenderán a evaluar exponentes al expandir exponentes de una manera más rápida y eficiente mediante la inclusión de reglas de operaciones con números enteros. Los estudiantes deben ser apoyados para desarrollar estrategias para multiplicar y dividir expresiones de exponentes, así como elevar un exponente a una potencia dada. Los estudiantes desarrollarán una comprensión de los exponentes negativos y cómo se relacionan con sus homólogos positivos. Los estudiantes aplicarán su comprensión de las operaciones con exponentes y enteros para desarrollar expresiones con exponentes equivalentes.
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TÉRMINOS CLAVES
• base: el número inferior de un exponente que se multiplica por sí mismo. • forma expandida: una forma de escribir un número como suma de cada dígito según su valor posicional. • exponente: una notación matemática que indica el número de veces que el número base se multiplica por sí mismo; también llamada potencia. • entero: cualquiera de los números enteros positivos, números enteros negativos y cero; cualquier miembro del conjunto de todos los números enteros y sus opuestos. • exponente entero: un número entero positivo o negativo o cero que indica el número de veces que una base se multiplica por sí misma. • leyes de los exponentes — división de bases iguales: puede reescribirse como la base elevada a la diferencia de las potencias. • leyes de los exponentes — multiplicación de bases iguales: se puede reescribir como la base elevada a la suma de las potencias. • leyes de los exponentes — ley de los exponentes negativos: se puede reescribir como la inversa multiplicativa de la base elevada al opuesto positivo de la potencia. • leyes de los exponentes — ley de potencia a potencia: se puede reescribir como la base elevada al producto de las potencias. • leyes de los exponentes — ley de los exponentes cero: ley matemática que establece que cualquier número elevado a la potencia de cero es igual a uno. • ley de la potencia de uno: ley matemática que establece que cualquier número elevado a la potencia de uno es igual a ese número. • potencia: notación matemática que indica el número de veces que el número base se multiplica por sí mismo; también se denomina exponente.
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GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO
APLICAR LAS PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes utilizan vocabulario y representación visual para dar sentido al proceso de resolución de operaciones con números enteros. Utilizan exponentes expandidos para dar sentido al proceso de resolución de operaciones con números enteros. • MP.2 Razonan abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes utilizan el conocimiento de los exponentes para escribir expresiones equivalentes hacia y desde una forma expandida. Representan la forma expandida simbólicamente al utilizar exponentes. • MP.3 Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros: Los estudiantes participan en un discurso matemático activo mientras descubren las reglas de los exponentes enteros. Comunican el razonamiento en el que basan sus conclusiones a la vez que tienen en cuenta las ideas de otros compañeros. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes utilizan la representación escrita de cualquier problema de exponentes enteros para apoyar la resolución de operaciones con números enteros. Utilizan la representación ampliada de exponentes para demostrar el proceso de combinación de bases apropiadas para desarrollar expresiones de exponentes equivalentes. • MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas apropiadas: Los estudiantes utilizan herramientas como papel y lápiz para escribir la representación de exponente expandida, así como consideran formas de comprobar que dos expresiones son equivalentes al utilizar las herramientas disponibles. • MP.6 Atienden a la precisión: Los estudiantes utilizan vocabulario apropiado y componentes de exponentes enteros para explicar a fondo el proceso de resolución de exponentes enteros. Utilizan operaciones básicas y diagramas escritos para describir con detalle las pruebas que apoyan el proceso de resolución de operaciones con números enteros. • MP.7 Buscar y hacer uso de la estructura: Los estudiantes buscan patrones para descubrir reglas de exponentes enteros. Analizan tanto la forma expandida como la forma exponente para determinar la relación. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes buscan razonamientos repetidos mientras descubren y aplican reglas para exponentes enteros.
MULTIPLICACIÓN CON EXPONENTES Al multiplicar exponentes, los estudiantes utilizarán las leyes de los números enteros para combinar exponentes de bases semejantes con el fin de desarrollar expresiones de exponentes equivalentes. Se enfocarán en el concepto de combinar bases semejantes a través de la suma con el método xm xn =xm+n para desarrollar las expresiones equivalentes. Los estudiantes resolverán problemas de multiplicación que contengan números enteros con y sin coeficiente. Ejemplo 1: «¿Qué expresión es equivalente a la siguiente?».
Ejemplo 2: En clase de matemáticas, Bryan tuvo que 1 1 1 ) 4 •(__ ) •(__ ) 5 y su crear una expresión equivalente a (__ 3 3 3 trabajo es el siguiente: 1 1 1 4+5 1 (__ ) 4 •(__ ) •(_ ) = (__ ) 9 3
3
3
3
«¿Tiene razón Bryan?». Explica tu razonamiento. Bryan está equivocado porque solo sumó los exponentes del primer y último término de la expresión y olvidó que 1 el (__ ) del medio tiene una potencia de 1. Bryan debería 3 haber sumado 4 + 1 + 5 para obtener un exponente de 10. (Las explicaciones de los estudiantes pueden variar).
m3(m4 • m-5) a. m4 b. m27 c. m-27 d. m2 Opción de respuesta D es la opción correcta. Cuando se multiplican exponentes enteros con la misma base, se mantiene la base y se suman los exponentes. En este problema, la base de m será la misma. A continuación, los estudiantes deben sumar todos los exponentes para obtener los exponentes combinados. m3(m4 •m⁻5) = m3 ⁺ 4 + (⁻5) = m2
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GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO
DIVISÓN CON EXPONENTES
POTENCIAS EXPONENCIALES
Al dividir exponentes, los estudiantes utilizarán reglas de números enteros para combinar exponentes de bases semejantes con el fin de desarrollar expresiones de exponentes equivalentes. Se centrarán en el concepto de combinar bases semejantes mediante xᵐ = xm - n para desarrollar las la resta con el método ___ xn expresiones equivalentes. Los estudiantes resolverán problemas de división que contengan números enteros con y sin coeficiente.
Cuando un exponente entero se eleva a una potencia, los estudiantes utilizan la ley entera de la multiplicación para combinar exponentes de bases semejantes. Los estudiantes distribuirán la potencia exterior a todos los términos dentro de exponentes enteros dados. Se centrarán en el concepto de combinar bases semejantes mediante la multiplicación con el método (xm)n = xm(n) para desarrollar las expresiones equivalentes. Cuando hay un coeficiente delante de la base, la potencia también se distribuye al coeficiente de adelante de la siguiente manera: (Axm)n = Anxm(n) donde A es cualquier número racional.
Ejemplo 1: «¿Qué expresión es equivalente a la siguiente?». ___ x8 x⁻5
Ejemplo 1: «¿Qué expresión es equivalente a la siguiente?». (w5x-4y3)-2 a. w7x6y5
a. x3
b. w⁻10x8y⁻6
b. x⁻13
c. w10x⁻8y⁻6
c. x13
d. w⁻7x⁻6y⁻5
d. x⁻3 Opción de respuesta C es la respuesta correcta. Al dividir exponentes enteros con la misma base, los estudiantes mantendrán la base y restarán los exponentes. En este ejemplo, los estudiantes mantendrán la base de x y restarán 8 - (-5). El doble negativo se convertiría en un positivo, por lo que los estudiantes en realidad sumarán 8 + 5. La respuesta final tendrá un exponente de 13. Ejemplo 2: «¿Qué expresión es equivalente a la siguiente?». b3 × b⁻2 (________ ) b7
a. b⁻6
Ejemplo 2: A Sally se le pidió que simplificara el siguiente problema de exponente en clase, y su trabajo se muestra a continuación: El maestro de Sally expresó que su respuesta era incorrecta. Identifica el error de Sally y explica cómo corregirías el trabajo de Sally.
c. b2 d. b1 Opción de respuesta A es la respuesta correcta. Los estudiantes deben completar este problema al multiplicar primero los exponentes en el numerador de modo que b3 •b⁻2 = b1. Una vez multiplicado el exponente superior, utiliza la respuesta para dividir por el exponente inferior. Durante este proceso, los b1 exponentes se restarán de modo que ___ = b⁻6. b7
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(w5x⁻4y3)⁻2 = w5(⁻2)x⁻4(⁻2)y3(⁻2) = w⁻10x8y⁻6
(4x7)2 ____ ______ = 4x14 = 2x8 2x6 2x6
b. b⁻2
50
La opción de respuesta B es la respuesta correcta. Al elevar una potencia a una potencia, los estudiantes tendrán que distribuir la potencia exterior a todos los términos dentro del paréntesis. Los estudiantes multiplicarán las potencias de los exponentes para desarrollar una expresión equivalente.
Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Cuando Sally resolvió este problema, no distribuyó la potencia de dos como debería haberlo hecho. Sally debería haber escrito (4x7)2= 42x7(2) para crear un numerador de 16x14. 16x14 Esto haría que el enunciado de la división de _____ con un 2x6 resultado de 8x8.
AVANCES En álgebra de secundaria, los estudiantes explorarán los exponentes racionales al ampliar su conocimiento de los exponentes enteros. Los estudiantes ampliarán sus reglas de exponentes enteros para permitir una notación para radicales en términos de exponentes racionales. Los estudiantes también usarán su conocimiento de las propiedades de los exponentes enteros para reescribir expresiones que involucran radicales y exponentes racionales.
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GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO PROFUNDIZAR EN LAS NORMAS
CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES Trabajar con radicales y exponentes enteros. • Conocer y aplicar las propiedades de los exponentes enteros para generar expresiones numéricas equivalentes. Por ejemplo, 32 × 3⁻5 = 3⁻3 1 1 = ___ = ___ 33
27
ALINEACIÓN VERTICAL GRADO
ESTÁNDAR
5
Explicar patrones en el número de ceros del producto al multiplicar un número por potencias de 10 y explicar patrones en la colocación del punto decimal cuando un decimal se multiplica o divide por una potencia de 10. Utilizar exponentes de números enteros para denotar potencias de 10.
5
Expresar un número entero en el rango 2-50 como producto de sus factores primos. Por ejemplo, encontrar los factores primos de 24 y expresar 24 como 2 × 2 × 2 × 3.
6
Escribir y evaluar expresiones numéricas que incluyan exponentes de números enteros.
8
Conocer y aplicar las propiedades de los exponentes de números enteros para generar expresiones numéricas equivalentes.
8
Utilizar números expresados en forma de una sola cifra por una potencia entera de 10 para estimar cantidades muy grandes o muy pequeñas, y para expresar cuántas veces es una que otra.
8
Realizar operaciones con números expresados en notación científica, que incluya problemas en los que se utilicen tanto la notación decimal como la científica. Utilizar notación científica y elegir unidades de tamaño apropiado para mediciones de cantidades muy grandes o muy pequeñas (por ejemplo, utilizar milímetros por año para la extensión del fondo marino). Interpretar la notación científica que ha sido generada por la tecnología.
HS
Comprender que los polinomios forman un sistema análogo a los números enteros, es decir, son cerrados bajo las operaciones de suma, resta y multiplicación; sumar, restar y multiplicar polinomios.
HS
Comprender la relación inversa entre exponentes y logaritmos y utilizar esta relación para resolver problemas que involucren logaritmos y exponentes.
HS
Explicar cómo la definición del significado de exponentes racionales sigue de extender las propiedades de exponentes enteros a esos valores, que permita una notación para radicales en términos de exponentes racionales.
HS
Reescribir expresiones con radicales y exponentes racionales mediante el uso de las propiedades de exponentes.
DESGLOSAR EL ESTÁNDAR VERBOS: ¿QUÉ DEBEN HACER LOS ESTUDIANTES?
• aplicar: utilizar. • generar: producir. • conocer: la capacidad de identificar y comprender una idea, fórmula o habilidad. • trabajar: realizar una tarea específica. SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBEN CONOCER LOS ESTUDIANTES?
• equivalente: igual en valor o cantidad. • exponente: una notación matemática que indica el número de veces que el número base se multiplica por sí mismo; también llamado potencia. • entero: cualquiera de los números enteros positivos, números enteros negativos y cero; cualquier miembro del conjunto de todos los números enteros y sus opuestos. • exponente entero: un número entero positivo o negativo o cero que indica el número de veces que una base se multiplica por sí misma. • expresión numérica: una oración matemática que usa números y uno o más símbolos de operación. • propiedades de los exponentes: los métodos para reescribir expresiones que involucran exponentes. • radical: un símbolo que indica la raíz de una cantidad.
IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA
• En grados anteriores, los estudiantes aprendieron potencias de 10 de números enteros sin usar la forma exponencial. Luego, los estudiantes continuaron su aprendizaje mediante otras potencias exponenciales y resolvieron problemas que incluían la suma y resta de números enteros. Los estudiantes han utilizado exponentes para escribir la factorización primaria de números. • En este grado, se espera que los estudiantes creen expresiones equivalentes que incluyan la multiplicación y división de números con exponentes enteros que tengan la misma base. Los estudiantes resuelven problemas para descubrir las reglas de los exponentes.
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GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA MONITOREAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA La guía de instrucción andamiada se proporciona para que los maestros puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones del alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que ayuda a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de la evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos según los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere que todos los estudiantes experimenten con los elementos: «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades», ya que cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar. 0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
80 % - 100 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil pueden trabajar en contenido de nivel de grado con apoyos de instrucción.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» individual para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 2. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante de acuerdo con sus datos de evaluación. 3. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la sección «Scaffolded Instruction Guide» en el menú desplegable «Home» del alcance. 4. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Operaciones y Pensamiento algebraico Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Conocer y aplicar las propiedades de los exponentes enteros para generar expresiones numéricas equivalentes. Por 1 1 ) 3 = ___ . ejemplo, 32 × 3⁻5 = 3⁻3 = (__
0 % - 25 %
(Refuerzo del grado anterior)
3
27
6 - Expresiones numéricas equivalentes Repaso de habilidades y práctica Constructor de fluidez • Orden de operaciones Práctica interactiva • Los fleebles
(Nivel de grado con apoyos)
25 % - 50 %
Prueba de habilidades
8 - Exponentes enteros Acceso a conocimientos previos Constructor de fluidez Repaso y práctica de habilidades • Repaso rápido • Revisión • Repaso
8 - Exponentes enteros
(Nivel de grado)
50 % - 80 %
Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva Práctica interactiva • Llave y candado Constructor de fluidez • Exponentes integrales Ciencia de datos
80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
Conexiones lingüísticas
8 - Exponentes integrales Tareas de representación matemática ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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e GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS
ATRAER: ACCEDER A CONOCIMIENTOS PREVIOS Integer Exponents
EVALUAR PREVIAMENTE EL CONOCIMIENTO DEL ESTUDIANTE
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: NO PERTENECE ESTÁNDAR PREVIO
Does Not Belong Determine which letter does not belong in each group, and explain your thinking.
A
Aplicar y extender los conocimientos previos de multiplicación y división de fracciones para multiplicar y dividir números racionales.
DESCRIPCIÓN
3÷
IMPRESOS
• 1 copia del folleto «No pertenece» (por estudiante o por grupo)
1 6
B
Los estudiantes examinarán un conjunto de expresiones de multiplicación y división y determinarán qué opción no pertenece al grupo. Este elemento está diseñado para descubrir los conceptos erróneos de los estudiantes; no debe tomarse para una calificación.
MATERIALES
C
−72 4
D
2 × 27 3
−90 × −0.2
Letter ______ does not belong because ____________________________________ _____________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
PREPARACIÓN
1
• Imprima una copia del folleto «No pertenece» para cada estudiante. • Puede optar por colocar a los estudiantes en grupos de dos o tres.
Integer Exponents
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Reparta los folletos de «No pertenece» a cada estudiante o grupo. 2. Explique que cada tabla del folleto contiene cuatro opciones. Tres de las opciones van juntas, mientras que una no pertenece.
Determine which letter does not belong in each group, and explain your thinking.
A
−3 ÷
3. Pida a los estudiantes que determinen qué letra no pertenece a cada grupo y que expliquen lo que piensan. a.
Página 1. La letra C no pertenece: La letra C no pertenece; A, B y D tienen la misma solución de 18, y C es -18.
b.
Página 2: La letra B no pertenece; A, C y D tienen la misma solución de -24, y B es igual a 9,6.
C
1 8
B
168 −7
D
−48 × −0.2
12 ÷ (−
1 ) 2
4. Dirija un debate para concluir. 5. Si los estudiantes tienen dificultades para completar esta tarea, continúe con el constructor de fundamentos con el fin de llenar este vacío en el conocimiento previo antes de pasar a otras partes del alcance.
IDENTIFICACIÓN DE CONCEPTOS ERRÓNEOS
Letter ______ does not belong because ____________________________________ _____________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
• Los estudiantes pueden confundir las reglas para multiplicar y dividir números racionales positivos y negativos con la adición y sustracción de números racionales.
• Los estudiantes pueden confundir las reglas para multiplicar y dividir una variedad de números racionales. • Los estudiantes pueden cometer un error de cálculo y no evaluar las expresiones correctamente, lo que los llevaría a elegir la letra incorrecta.
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2
NO PERTENECE
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GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS
ATRAER: CAPTAR INTERÉS
Integer Exponents
LECCIÓN PARA CAPTAR INTERÉS
Game On! ATTN: All expressions on this slide are made with Equatio.
Tiebreaker Question: Evaluate the expression
CAPTAR INTERÉS
to find an equivalent expression.
Alejandro
Paloma
¡DESCRIPCIÓN Los estudiantes evalúan una expresión y los pasos seguidos por dos personas diferentes para determinar qué persona creó con éxito una expresión equivalente.
Workspace
MATERIALES
Equivalent Expression
IMPRESO 1
¡A JUGAR!
• 1 folleto de «¡A jugar!» (por clase) REUTILIZABLE
• 1 fenómeno (por clase)
PREPARACIÓN
• Planee mostrar el fenómeno. • Prepárese para proyectar el folleto de «¡A jugar!» para que toda la clase lo vea. • Prepárese para presentar el escenario y anime a los estudiantes a pensar en cómo resolverlo. Prepárese para pasar a las actividades de «Explorar» y regresar a la actividad «Captar interés» con los conocimientos recién adquiridos después de que se hayan completado las exploraciones.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA
1. Presente esta actividad hacia el comienzo del alcance. La clase retomará la actividad y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades correspondientes a «Explorar». 2. Muestre el fenómeno. Formule a los estudiantes las siguientes preguntas: «¿Qué observas? ¿Dónde puedes ver matemáticas en esta situación?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. 3. Explique el escenario a la clase: «La familia Rodríguez celebraban una noche de juegos familiares el viernes por la noche. Ellos jugaban al trivial. Después de que terminara en empate, el Sr. Rodríguez sugirió una pregunta de desempate para los gemelos Alejandro y Paloma, de 8.º curso. Escribió una expresión con exponentes y pidió a los gemelos que evaluaran la expresión y encontraran una expresión equivalente. Les dijo que tenían que mostrar su trabajo. El que lo hiciera bien y terminara primero ganaba el desempate y el equipo de esa persona ganaba la noche de juegos».
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4. Permita que los estudiantes hagan preguntas y aclaren el contexto según sea necesario. Anímales a compartir sus ideas y experiencias con la clase mediante las siguientes preguntas: a. «¿Has tenido alguna vez una noche de juegos?». b. «¿Qué es una pregunta de desempate?». c. «¿Qué significa equivalente a?». 5. Proyecto «¡A jugar!» 6. Explique a los estudiantes que solo un gemelo encontró una expresión equivalente. El otro gemelo cometió un error durante un paso del proceso. Discuta las siguientes preguntas con la clase: a. DOK-1 «¿Qué es un exponente?». Es un número elevado a la derecha de un número base que indica cuántas veces hay que multiplicar el número base por sí mismo. Es una forma de indicar la multiplicación repetida. b. DOK-1 «¿Qué operaciones se utilizan en esta expresión?». Puedo ver suma, resta, multiplicación y división. c. DOK-1 «¿Qué número es la base de los exponentes?». 10 7. Pasa a completar las actividades correspondientes a «Explorar».
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GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS
ATRAER: CAPTAR INTERÉS PARTE II: DESPUÉS DE EXPLORAR
1. Después de que los estudiantes hayan completado las actividades correspondientes a «Explorar» para este tema, muestre nuevamente el fenómeno y repita el escenario. 2. Remítase al folleto «¡A jugar!» y discuta las siguientes preguntas con la clase: a. DOK-1 «¿Qué es un exponente?». Es un número elevado a la derecha de un número base que indica cuántas veces hay que multiplicar el número base por sí mismo. Es una forma de indicar la multiplicación repetida. b. DOK-1 «¿Qué operaciones se utilizan en esta expresión?». Puedo ver suma, resta, multiplicación y división. c. DOK-1 «¿Qué número es la base de los exponentes?». 10
e. DOK-1 «¿Qué gemelo tiene la respuesta correcta, una expresión equivalente?». Alejandro f. DOK-1 «¿Qué error cometió Paloma?». Al dividir 108 entre 104, dividió los exponentes en lugar de restarlos. 8 ÷ 4 = 2, pero el proceso correcto es 8 - 4 = 4. Así que la expresión debería haber sido 104 dentro del paréntesis. g. DOK-1 «¿Cuál fue la expresión equivalente que encontró Alejandro?». 1020 3. Si dispone de tiempo, pida a los estudiantes que creen su propia pregunta de desempate que contenga una expresión con exponentes. Pídales que trabajen en grupos de tres para resolver las preguntas de desempate de los demás.
d. DOK-1 «¿En qué paso del proceso notas una diferencia en el trabajo de los gemelos?». En el segundo paso
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GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 1: PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES ENTEROS Estándar(es) • Trabajar con radicales y exponentes enteros. Conocer y aplicar las propiedades de los exponentes enteros para 1 generar expresiones numéricas equivalentes. Por ejemplo, 32 × 3⁻5 = 3⁻3 = ___ = ___ 1 . 33
Ideas fundamentales Exploraciones pitagóricas Números grandes y pequeños Forma, número y expresiones
Estándares para la práctica matemática MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución. MP.6 Prestar atención a la precisión.
Conexiones de contenido CC3 Desarmar el todo, armar las partes
Motores de investigación DI2 Predecir lo que podría suceder (Predecir)
CC4 Descubrir la forma y el espacio
MP.7 Buscar y hacer uso de la estructura.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizan el razonamiento para trabajar con exponentes enteros con el fin de generalizar las propiedades de los exponentes enteros.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 Juego de «Tarjetas de definición de propiedad» (por estudiante) • 1 boleto de salida (por estudiante) REUTILIZABLE
• 1 Par de tijeras (por par) • 1 Barra de pegamento (por par)
PREPARACIÓN
• Planifique que los estudiantes trabajen en grupos de dos para completar esta actividad. • Imprima el «Diario del estudiante», un juego de «Tarjetas de definición de propiedad» y el «Boleto de salida» para cada estudiante.
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PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Lea la siguiente situación a la clase: «Tu mejor amiga acaba de terminar de estudiar exponentes en su clase. Está a punto de hacer el examen, pero se ha dado cuenta de que sus apuntes están desordenados. Tiene una tabla sobre exponentes y ejemplos y no ejemplos de las diferentes propiedades de los exponentes, pero no las propiedades en sí. Revisa sus apuntes y ayúdala a completar lo que le falta y a hacer coincidir los ejemplos con la propiedad correcta». 2. Ayuda a los estudiantes a acceder a la tarea y hagales las siguientes preguntas orientadoras: a. «¿Qué sabes ya sobre los exponentes?». b. «¿Cuál es la mejor manera de tomar apuntes en clase de matemáticas?». c. «¿Cómo estudias para los próximos exámenes?». 3. Entrega el «Diario del estudiante» a cada estudiante.
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GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
Integer Exponents Explore 1
4. Las parejas de estudiantes deben analizar las tablas en el «Diario del estudiante». Los estudiantes rellenarán las secciones que faltan, al buscar patrones que les ayuden a completar la tabla.
Find Patterns and Properties Part I: Finding the Pattern
Look at each table. Fill in the missing sections. 23
5. Supervise y hable con los estudiantes según sea necesario para comprobar la comprensión al utilizar las siguientes preguntas orientativas: a. DOK-2 «¿Qué patrones observas al desplazarte hacia la izquierda en la fila Desarrollada?». Las respuestas dependerán de la tabla que estén miren los estudiantes. En la fila Desarrollada, hay un 4 menos hasta 1 llegar a 0. Luego hay un __ adicional cada vez 4 después de 0.
22
21
20
2−1 1 2
Expanded
2⋅2⋅2
2⋅2
2
Evaluate
8
4
2
1
1 2
43
42
41
40
4−1
Expanded
4⋅4⋅4
4⋅4
4
Evaluate
64
16
4
1
1 4
53
52
51
50
5−1
Expanded
5⋅5⋅5
5⋅5
5
Evaluate
125
25
5
1 4
1 5
2−2 1 2
1 1 1 ⋅ ⋅ 2 2 2
1 4
1 8
4−2 1 4
⋅
4−3 1 1 1 ⋅ 4 ⋅ 4 4
1 4
1 64
1 16
5−2 1 5
⋅
5−3 1 5
1 1 1 ⋅ 5 ⋅ 5 5
1 25
1 5
1
⋅
2−3 1 2
1 125 1
b. DOK-2 «¿Qué patrones observas al moverte hacia la izquierda en la fila Evalúar ?». Las respuestas dependerán de la tabla que estén miren los estudiantes. El número se divide por 2 para obtener el siguiente número a la derecha.
Integer Exponents Explore 1
Reflect 1.
Why is 41 equal to 4? 41 means that there is 1 four, which is equal to 4.
2.
6. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímelos a hacerse preguntas y establecer conexiones. Anime a los estudiantes a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias usadas para encontrar patrones con exponentes.
1
Why is 4−1 equal to 4 ? 4-1 equals
3.
1 1 1 1 because each column is of the column to the left. 4 0 is 1, and of that is . 4 4 4 4
Looking at the chart, what could a negative exponent mean for the integer? A negative exponent means that the base number is the denominator of a fraction.
7. Después de la parte I de la Exploración, invite a la clase a una charla matemática para compartir sus observaciones y aprendizajes.
2
• Charla de matemáticas DOK-1 «¿Por qué 41 es igual a 4?».
Integer Exponents Explore 1
• DOK-2 «¿Qué puedes determinar acerca de cualquier número elevado a la potencia de 1?». 1 • DOK-1 «¿Por qué 4⁻1 es igual a __ ? ». 4
• Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: ◦ DOK-2 «¿Qué patrón ves que te ayuda a completar las secciones que faltan?». • DOK-2 Al mirar la tabla, «¿qué podría significar un exponente negativo para el número entero?». PARTE II
1. Entregue un juego de las «Tarjetas de definición de propiedad» a cada estudiante y un par de tijeras y una barra de pegamento a cada par de estudiantes. 2. Pida a los estudiantes que recorten las «Tarjetas de definición de propiedad».
Part II: Finding the Property
Look at the If and But statements below. Use them to fill in the Then and And statements. Glue the Property Definition Card that matches all the statements.
ATTN Copyediting and Production:
If
42 ⋅ 43 = 45
(42)3 = 46 = (43)2
In the 3rd column, the fractions are written using Equatio.
But
42 ⋅ 33 ≠ 45
(33)2 ≠ 31 ≠ 35
Then
64 ⋅ 63 = 67
And
58 ⋅ 5−2 = 56 Product of Powers Law
Quotient of Powers Law
Power of a Power Law
Property
When multiplying two terms with like bases, you add the exponents together.
When dividing two terms with like bases, you subtract the exponents.
If there is an exponent to an exponential term, the exponents can be multiplied or interchanged.
PRODUCTION: In the 4th row, please center the student version/answer image from Equatio in their appropriate files.
71
(54)2 = 58 = (52)4
(4−4)3 = 4−12 = (43)−4
3
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
3. Explique que utilizarán las secciones «Si» y «Pero» de las tablas de sus «Diarios del estudiante»para hacer coincidir las «Tarjetas de definición de propiedad» correctas con la sección correcta.
58
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GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS Integer Exponents Explore 1
If
30 = 1
81 = 8
63 =
But
30 ≠ 3
81 ≠ 1
3−3 ≠
Then
40 = 1
71 = 7
88 =
And
80 = 1
91 = 9
3−4 =
Power of Zero Law
Power of One Law
Negative Exponent Law
Any base with an exponent of zero is one.
Any base with an exponent of one is that number.
When the exponent on a term is negative, you can move it to be the denominator and make the exponent positive.
Property
5. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímales a que se hagan preguntas y establezcan conexiones. Anime a los estudiantes a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias usadas para generalizar las propiedades de los exponentes enteros. 6. Después de la parte II de la exploración, invite a la clase a una charla Matemática para compartir sus observaciones y aprendizajes. • Charla de matemáticas • DOK-2 «¿Por qué es importante conocer las propiedades de los exponentes enteros?». Conocer las propiedades de los exponentes enteros ayuda a crear expresiones equivalentes, lo que facilita la resolución de ecuaciones. 4
Integer Exponents Explore 1
Reflect 1.
Why is it important to know the properties of integer exponents?
• Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: ◦ DOK-2 «¿Cómo te ayudó la sección “Pero” a identificar la regla?». La sección «Pero» identificó un no-ejemplo que me ayudó a acotar lo que la sección «Si» trató de mostrar.
DESPUÉS DE LA EXPLORACIÓN
Knowing the properties of integer exponents helps to create equivalent expressions, which makes solving equations easier. 2.
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
How did the But section help you identify the property? The But section identified a nonexample that helped me narrow down what the If section was trying to show.
1. Haga que los estudiantes completen el «Boleto de Salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 2. Complete la «Tabla de Anclaje» como clase. 3. Haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva».
APOYOS PEDAGÓGICOS 5
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
4. Supervise y hable con los estudiantes según sea necesario para comprobar la comprensión al utilizar las siguientes preguntas orientativas: a. DOK-1 «¿Qué ocurre con los exponentes en la primera sección Si?». Los exponentes parecen sumarse. b. DOK-1 «¿Qué observas en los números enteros de la sección Si ?». Son el mismo número. c. DOK-1 «¿Qué cambia en la sección Si? ¿Qué permanece igual?». Las respuestas pueden variar. Los exponentes pueden cambiar, pero los números de base permanecen iguales. d. DOK-2 Al mirar la ecuación 42 • 43 = 45, «¿cómo puedes decir que es una afirmación verdadera?». 42 es (4 ⋅ 4) y 43 es (4 ⋅ 4 ⋅ 4). Esto es lo mismo que 45, que es (4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4). e. DOK-2 «¿En qué se diferencia la sección Si de la sección Pero ?». Las respuestas pueden variar. En la sección «Si», los números de base eran los mismos y los exponentes se restaban. En la sección «Pero», los números enteros eran diferentes y los exponentes no se restaban.
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1. Proporcione flexibilidad a los estudiantes que necesiten tareas reducidas y disminuya el número de tablas que se espera que completen durante la parte I. 2. Si es necesario, utilice preguntas guía para ayudar a los estudiantes a generar los cocientes para los exponentes negativos. Las preguntas podrían incluir lo siguiente: Cuando el exponente es negativo tres, «¿cuántas fracciones se muestran en la forma expandida? ¿Cómo se relaciona el número de fracciones mostradas con el exponente?». Si existe una relación entre el exponente y el número de fracciones que se multiplican, «¿cuántas fracciones se multiplicarían cuando el exponente es negativo dos? ¿Negativo uno?». 3. Como extensión para la parte I del «Diario del estudiante», anime a los estudiantes a determinar qué cociente debe ir en el cuadro gris para potencia cero y a justificar su elección debajo de cada tabla al usar dos o más oraciones. 4. Antes de colocar a los estudiantes en grupos para el trabajo de la «Tarjetas de definición de propiedad» en la parte II, use una estrategia de pensamiento en voz alta mientras representa cómo completar cada componente de las filas Si, Pero, Entonces, Y, Propiedad de la tabla en el Diario del estudiante. Si estas expresiones son equivalentes, PERO estas expresiones no son equivalentes, ENTONCES estas expresiones son equivalentes, Y estas expresiones son equivalentes.
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GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Integer Exponents Explore 1
5. Algunos estudiantes pueden necesitar apoyo adicional para corregir un error común, como multiplicar la base y el exponente en lugar de utilizar el exponente para determinar cuántos factores se multiplicarán juntos. Por ejemplo, 23 no es 2 • 3 sino 2 • 2 • 2. 6. Durante la reflexión en voz alta para la tabla Si, Pero, Entonces, Y, Propiedad, considere el uso de afirmaciones como las siguientes: «La aplicación de las propiedades de los exponentes simplifica la expresión. Tener una expresión más simple sería útil al evaluar una expresión o resolver una ecuación». (Esto ayudará a preparar su pensamiento para las preguntas de la sección «Reflexionar»).
APOYOS LINGÜÍSTICOS Pida a los estudiantes que se turnen para leer en voz alta las «Tarjetas de definición de propiedad» antes de que trabajen juntos para completar la tabla Si, Pero, Entonces, Y, Propiedad en el Diario del estudiante. Pida a los estudiantes que reformulen una de las «Tarjetas de definición de propiedad» de dos maneras y que las escriban al final de la sección «Reflexionar» de la parte II. Sugiera los siguientes tipos de lenguaje: Lenguaje adaptado a los estudiantes, lenguaje de jerga o un lenguaje distinto del inglés.
Homework Check Exit Ticket Jeremy’s homework assignment was to prove that any base number with an exponent of 0 is equal to 1. He knows that is one of the properties of exponents, but how could he prove it? He started with an idea but lost his train of thought halfway through. Look at what he set up below and see if you can finish his idea.
=
1.
• Te he oído decir .... Estoy de acuerdo porque .... • Te he oído decir .... No estoy de acuerdo porque .... Asigna a cada grupo una ley en la que convertirse en experto. Haga que cada grupo prepare una presentación que explique cómo utilizar cada ley y cómo se ilustra con la tabla Si, Pero, Entonces, Y, Propiedad. Cada estudiante del grupo debe tener un turno de palabra. Anime a los estudiantes a utilizar un lenguaje matemático preciso en sus explicaciones. Los estudiantes pueden prepararse al escribir un guión o puntos clave en fichas. Resalte las similitudes entre el exponente y exponente para los hispanohablantes. Resaltar las similitudes entre exponente y exponente para los hablantes de danés. Resalte las semejanzas entre exponente y exponente para los francófonos.
1 – __ 1 0 = 3__ 3__
When dividing exponents with the same base, what can you do with the exponents? When dividing exponents with the same base, you can subtract the exponents to simplify the expression.
2.
What happens when you divide a number by itself? Any number divided by itself is 1.
3.
Was Jeremy’s idea a good representation of why a number with an exponent of 0 is equal to 1? Yes, it showed that any number divided by itself is 1. When dealing with exponents, those exponents would subtract or cancel each other out to give you 1.
1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
Empareje a los estudiantes. Asigna a los estudiantes las columnas de la tabla Si, Pero, Entonces, Y, Propiedad. Pídales que expliquen por turnos sus columnas. Cada vez que un estudiante explique su trabajo, su compañero debe reformular lo que ha dicho el estudiante y añadir sus propias ideas. Las siguientes frases pueden ayudar a los estudiantes en este intercambio de ideas: • Te he oído decir .... «¿Es correcto?».
=
Integer Exponents Part 1
Properties of Integer Exponents Complete the examples by applying the given law. Law
Meaning
Example
Negative Exponent Law
Product of Powers Law
Quotient of Powers Law
Power of One Law
Power of Zero Law
Power of a Power Law
1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS
60
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GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 2: MULTIPLICAR CON EXPONENTES Estándar(es) • Trabajar con radicales y exponentes enteros. Conocer y aplicar las propiedades de los exponentes enteros para 1 generar expresiones numéricas equivalentes. Por ejemplo, 32 × 3⁻5 = 3⁻3 = ___ = ___ 1 . 33
Ideas fundamentales Exploraciones pitagóricas Números grandes y pequeños Forma, número y expresiones
Estándares para la práctica matemática MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución. MP.6 Prestar atención a la precisión.
27
Conexiones de contenido
Motores de investigación
CC3 Desarmar el todo, armar las partes
DI2 Predecir lo que podría suceder (Predecir)
CC4 Descubrir la forma y el espacio
MP.7 Buscar y hacer uso de la estructura.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes emparejan expresiones de multiplicación equivalentes y muestran cómo una expresión puede simplificarse para generar otra.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de «tarjetas de pareo» (por pareja) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes) REUTILIZABLE
• 1 bolsa resellable (por pareja)
PREPARACIÓN
• Planifique que los estudiantes trabajen en grupos de dos para completar esta actividad. • Imprima el «Diario del estudiante» para cada uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Lea la siguiente situación a la clase: Útiles escolares A Plus crea tarjetas para ayudar a los estudiantes a estudiar para los exámenes. Ha habido un error en la fábrica y todo un juego de tarjetas se ha mezclado en el suelo. Ayude a los trabajadores a recoger y reorganizar las tarjetas. 2. Ayude a los estudiantes a acceder a la tarea planteándoles las siguientes preguntas orientativas: a. «¿Qué recuerdas sobre los exponentes enteros?». b. «¿Utilizas tarjetas para estudiar? ¿Cuándo sería un buen momento para usar tarjetas de memoria para estudiar?». 3. Entregue el «Diario del estudiante» a cada estudiante. 4. Entregue un juego de tarjetas de correspondencia a cada pareja.
• Imprime un juego de «tarjetas de pareo» para cada pareja. Recórtalas y colócalas en una bolsa con cierre. Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para utilizarlas en el futuro. • Imprima un «Boleto de salida» para cada 2 estudiantes. Recorta los «Boleto de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno.
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GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Integer Exponents Explore 2
5. Repasa la propiedad de los exponentes al multiplicar con bases y exponentes comunes. Haga las siguientes preguntas: a.
b.
DOK-1 «¿Qué ocurre con los exponentes cuando multiplicas números con bases semejantes?». Cuando multiplicas con bases iguales, la base se mantiene y puedes sumar los exponentes.
Match the Mess Take turns flipping the Matching Cards. When you find a match, record the expressions on the table below. Use the Generate section to prove your cards are equivalent.
Answers will vary.
DOK-1 «¿Qué sucede con los exponentes cuando multiplicas números con bases diferentes pero exponentes comunes?». Si las bases son diferentes pero los exponentes son iguales, el exponente se mantiene y se pueden multiplicar las bases.
6. Explique a los estudiantes que van a repartir sus tarjetas de correspondencias y que se van a turnar para encontrar las correspondencias. Cuando uno de ellos encuentre una coincidencia, ambos anotarán cada expresión en el «Diario del estudiante». Utilizarán la sección «Generar» para mostrar cómo una expresión es igual a la otra. 7. Mientras los estudiantes colaboran, controle y hable con los estudiantes según sea necesario para verificar la comprensión al utilizar las siguientes preguntas guía: a.
DOK-1 «¿Cómo sabes cuándo sumar los exponentes?». Si los números de las bases son iguales, puedes sumar los exponentes.
b.
DOK-1 «¿Cómo sabes cuándo multiplicar las bases?». Si los exponentes son iguales, puedes multiplicar las bases y mantener el exponente igual.
c.
DOK-2 «¿Qué harías si ni los exponentes ni las bases son iguales?». Si ninguno de los dos son iguales, entonces la expresión ya está simplificada.
d.
DOK-2 «¿Qué harías si tanto los exponentes como las bases son iguales?». Si ambos son iguales, puedes elegir entre sumar los exponentes o multiplicar la base y quedarte con el exponente.
8. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímelos a que se hagan preguntas y establezcan conexiones. Anime a los estudiantes a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias utilizadas para generar expresiones equivalentes que involucran exponentes enteros. 9. Después de la exploración, invite a la clase a un chat de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHAT DE MATEMÁTICAS
Expression 1
Generate
Expression 2
42 ⋅ 48
42 + 8
410
43 ⋅ 3−3 ⋅ 33
43 ⋅ 3−3 + 3
43 ⋅ 30
(82 ⋅ 87)83
(82 + 7)83 = 89 + 3
812
42 ⋅ 32
(4 ⋅ 3)2
122
6(64 ⋅ 64)
6(64 + 4) = 61 + 8
69
93 ⋅ 45 ⋅ 9−5 ⋅ 4−7
93 + (−5) ⋅ 45 + (−7) = (9 ⋅ 4)
36−2
7−2 ⋅ 77 ⋅ 85
7−2 + 7 ⋅ 85 = (7 ⋅ 8)5
565
57 ⋅ 27 ⋅ 37
(5 ⋅ 2 ⋅ 3)7
307
−2
1
Integer Exponents Explore 2
Reflect 1.
Why is it important to be able to generate equivalent expressions? It is important because it simplifies the expression and should make it easier to solve.
2.
Given the expression 32 ⋅ 32, generate an equivalent expression. Answers will vary. 32 ⋅ 32 = 32 + 2 = 34
3.
For the expression 6(64 ⋅ 64), 6 has no exponent. Explain how you would get 69 and not 68. 6 has a power of 1. Instead of 6(64 ⋅ 64), it could be written as 61(64 ⋅ 64).
• DOK-2 «¿Por qué es importante poder generar expresiones equivalentes?». Es importante porque simplifica la expresión y debería facilitar su resolución. • DOK-1 Dada la expresión 32 ⋅ 32, genera una expresión equivalente. 32 ⋅ 32 = 92 = 34 • Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta:
◦ DOK-2 Para la expresión 6(64 ⋅ 64), 6 no tiene exponente. Explica cómo obtendrías 69 y no 68. El número 6 tiene una potencia de 1. En lugar de 6(64 ⋅ 64), se podría escribir como 6¹(64 ⋅ 64). 2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS 62
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1/9/26 1:55 PM
GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Integer Exponents Explore 2
DESPUÉS DE EXPLORAR
Choose Wisely Exit Ticket
1. Haga que los estudiantes completen el «Boleto de Salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
The problem shown below was written on the board as the problem of the day. Genesis and Trevor both solved the problem and presented it to the class. Look at their work and decide which one is correct. Explain your reasoning.
2. Complete la «Esquema de Anclaje» como clase. 3. Haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva».
2
( 23 ) ⋅ ( 23 ) ⋅ ( 23 ) 4
Genesis 2 4+1+2 ( 3) =
Trevor 2
2 4+0+2 ( 3) =
7
(3)
APOYOS PEDAGÓGICOS
6
2
( 3)
Genesis was correct. An integer with no shown exponent really has an exponent of 1. Trevor incorrectly assumed that no exponent meant he needed to add zero, when he should have added 1.
Integer Exponents Explore 2
Choose Wisely Exit Ticket 2
( 23 ) ⋅ ( 23 ) ⋅ ( 23 ) Genesis 2 4+1+2 ( 3) =
Trevor 2
7
(3)
2 4+0+2 ( 3) =
6
2
( 3)
Genesis was correct. An integer with no shown exponent really has an exponent of 1. Trevor incorrectly assumed that no exponent meant he needed to add zero, when he should have added 1.
1
4. Para fomentar la multiplicidad de métodos y de formas de ver y pensar, plantee preguntas abiertas que tengan más de una respuesta posible. 5. Algunos estudiantes pueden aplicar mal la propiedad distributiva en expresiones como
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
Integer Exponents Part 2
Multiplying with Exponents Match each expression with an equivalent expression below. Record each match in the table.
Expression
2. Ancle la instrucción al enlazar y activar el conocimiento previo relevante. Anima a todos los estudiantes a consultar las «Tarjetas de definición de propiedad» utilizadas en la «Exploración» 1 para reiterar la ley del producto de potencias antes de distribuir el «Diario del estudiante». 3. Para los estudiantes que necesiten apoyo adicional, ten preparados algunos problemas para utilizarlos como ejemplos de simplificación de expresiones con exponentes enteros. Cuando muestre cómo utilizar la ley del producto de potencias, utilice frases como «Cuando multiplicas bases semejantes, sumas los exponentes» para ayudarles a interiorizar lo que significa la ley. Pídales que reformulen lo que ha dicho y que pongan ejemplos.
The problem shown below was written on the board as the problem of the day. Genesis and Trevor both solved the problem and presented it to the class. Look at their work and decide which one is correct. Explain your reasoning. 4
1. Proporcione flexibilidad a los estudiantes que necesitan tareas reducidas y disminuya el número de «Tarjetas de pareo». Considere eliminar las siguientes tarjetas: 7⁻2 ⋅ 77 ⋅ 85, 565, 6(64 ⋅ 64), y 69.
6. 6(64 ⋅ 64). Anímales a reformular el problema al utilizar la forma expandida. Pueden reescribir la expresión como 6(6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6), después como 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6, y finalmente como 69. Considera la posibilidad de utilizar un lenguaje como «Si 64 son 4 seises multiplicados juntos, entonces 64 ⋅ 64 son 8 seises multiplicados juntos».
7. Como reto adicional, retira dos juegos de cerillas y distribuye cuatro tarjetas en blanco. Indique a los estudiantes que creen sus propias tarjetas de pareo con bases fraccionarias y que las utilicen para jugar a un juego de pareo.
APOYOS LINGÜÍSTICOS
Equivalent Expression
Ayude a los estudiantes a identificar los verbos en las instrucciones del «Diario del estudiante», como turnarse para dar la vuelta, y pregúnteles cómo estos verbos dan instrucciones sobre la tarea. Discuta cómo el uso de diferentes verbos significaría diferentes expectativas para las respuestas de los estudiantes. Colabore para crear un «Esquema de anclaje» hecho por los estudiantes que destaque palabras y conceptos clave al utilizar representaciones visuales, como producto, potencias, exponente, y base. Considere la posibilidad de añadir las palabras en la lengua materna del estudiante junto a las palabras en inglés. Discuta por qué los estudiantes creen que se utilizan los términos producto y potencias. Analice en clase los significados de estas palabras fuera del ámbito de las matemáticas y aplíquelos a la Ley del producto de potencias.
Equivalent Expressions to Match
1
Cuando respondan a las preguntas de reflexión, pida a los estudiantes que se turnen primero para decir sus respuestas en voz alta a sus compañeros, para recibir comentarios de sus compañeros y, a continuación, para escribir sus respuestas en sus «Diarios del estudiante». Los estudiantes pueden hacer las revisiones necesarias.
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 2) CLAVE DE RESPUESTAS ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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1/9/26 1:55 PM
GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 3: DIVIDIR CON EXPONENTES Estándar(es) • Trabajar con radicales y exponentes enteros. Conocer y aplicar las propiedades de los exponentes enteros para 1 generar expresiones numéricas equivalentes. Por ejemplo, 32 × 3⁻5 = 3⁻3 = ___ = ___ 1 . 33
Ideas fundamentales Exploraciones pitagóricas Números grandes y pequeños Forma, número y expresiones
Estándares para la práctica matemática MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución. MP.6 Prestar atención a la precisión.
Los estudiantes determinan si los problemas de división con exponentes son verdaderos o falsos.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de «Tarjetas de verdadero o falso» (por grupo) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes)
PREPARACIÓN
• Planea que los estudiantes trabajen en grupos de tres o cuatro para completar esta actividad. • Imprime el «Diario del estudiante» para cada uno. • Imprime un juego de «Tarjetas de verdadero o falso» para cada grupo. Recórtalas y colócalas en orden aleatorio por la clase. Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para utilizarlas en el futuro. • Imprima un «Boleto de salida» para cada 2 estudiantes. Recorte el «Boleto de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Lea la siguiente situación a la clase: «El repaso para el examen de exponentes no salió muy bien. Tu maestro tomó todas las expresiones de división que respondiste y las colocó en tarjetas alrededor del salón. Es tu trabajo encontrar las tarjetas y determinar si fueron contestadas correctamente. Encuentra las tarjetas y decide si son verdaderas o falsas. Utiliza lo que sabes sobre la división de exponentes para demostrar tu respuesta».
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Conexiones de contenido
Motores de investigación
CC3 Desmontar el todo, montar las partes
DI1 Dar sentido al mundo (comprender y explicar)
CC4 Descubrir la forma y el espacio
DI2 Predecir lo que podría ocurrir (predecir)
MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos.
DESCRIPCIÓN
64
27
2. Ayude a los estudiantes a acceder a la tarea y haga las siguientes preguntas orientadoras: a. «¿Qué sabes ya sobre la división y los exponentes?». b. «¿De qué manera buscar errores en el trabajo de otros te ayuda a comprender mejor algo que tratas de aprender?». 3. Entregue el «Diario del estudiante» a cada estudiante. 4. Explique a los estudiantes que colaborarán con sus grupos para utilizar las propiedades de los exponentes para determinar si las tarjetas que se encuentran en el aula son verdaderas o falsas. 5. Mientras los estudiantes colaboran, controle y hable con los estudiantes según sea necesario para verificar la comprensión al utilizar las siguientes preguntas guía: a. DOK-1 «¿Qué deberías buscar para simplificar al dividir exponentes?». Debes buscar números de base común o exponentes comunes. b. DOK-1 «¿Qué sucede cuando las bases son iguales al dividir exponentes?». Cuando las bases son iguales, puedes restar los exponentes entre sí. c. DOK-1 «¿Qué sucede cuando los exponentes son iguales al dividir exponentes?». Cuando los exponentes son iguales, puedes dividir los números de base y mantener el exponente igual. 6. Deja tiempo para que los estudiantes completen el Diario del Estudiante, incluyendo las preguntas de reflexión.
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1/9/26 1:55 PM
GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Integer Exponents Explore 3
True or False Record the expression that matches the card letter in the box below. Decide whether it’s true or false, and prove your answer. Expression
True/False
7. Pide a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímales a que se hagan preguntas y establezcan conexiones. Anime a los estudiantes a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias usadas para generar expresiones equivalentes que involucran exponentes enteros y división.
Proof
A.
yediting and n:
xpressions in the eled “Expressions” d in Equatio.
False
66 – (−5) = 611
8. Después de la exploración, invite a la clase a una charla matemática para compartir sus observaciones y aprendizajes.
B. True
• Charla de matemáticas
9(−2) – (−3) = 91 = 9
DOK-2 «¿En qué se diferencia la creación de una expresión equivalente cuando se dividen números con bases iguales de cuando se dividen números con exponentes iguales?».
C. True
67 – 3 = 64
• DOK-1 «¿Qué sucede cuando ni las bases ni los exponentes son iguales?».
D. False
• Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta:
48 – 1 = 47
◦ DOK-2 «¿En qué se diferencia la división de números con bases semejantes de la multiplicación de números con bases semejantes?».
1
Integer Exponents Explore 3
Expression
True/False
Integer Exponents Explore 3
Proof
Expression
E.
True/False
Proof
False
(1296 4 ) = 324
True
( 93 )−2 = 3
True
( 63 )7 = 2
J. False
7(−7) – 3 = 7−10
F.
K. True
33 – 6 = 3−3
False
( 84 )8 = 2
G.
−2
L. 8
H.
7
Reflect False
1.
( )
10 −5 = 2−5 5
How is creating an equivalent expression when dividing numbers with like bases different from when dividing numbers with like exponents? When the bases are the same, you subtract the exponents. When the exponents are the same, you divide the bases and keep the exponent the same.
I. True
( 82 )2 = 4
2
2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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2.
What happens when neither the bases nor the exponents are the same? When neither the bases nor exponents are the same, you have to calculate each exponent and then divide normally.
3.
How is dividing numbers with like bases different from multiplying numbers with like bases? When you divide exponents with like bases, you subtract the exponents. When you multiply exponents with like bases, you add the exponents.
3
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
65
1/9/26 1:55 PM
GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Integer Exponents Explore 3
DESPUÉS DE EXPLORAR 1. Haga que los estudiantes completen el «Boleto de Salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. ATTN Copyediting and
Find the Match Exit Ticket Solve to find each equivalent expression.
Production: 2. Complete el «Esquema de Anclaje» como clase.
All of the expressions are 3. Haga que cada estudiante complete su «Libreta created in Equatio. interactiva».
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Proporcione flexibilidad a los estudiantes que necesitan tareas reducidas y disminuya el número de «Tarjetas de Verdadero o Falso». Considere eliminar las tarjetas D, G, J y L. 2. Ancle la instrucción al vincular y a activar el conocimiento previo relevante. Anime a todos los estudiantes a consultar las «Tarjetas de definición de propiedad» utilizadas en la exploración 1 para reiterar la ley del cociente de potencias y la ley del exponente negativo antes de distribuir el «Diario del estudiante».
1 Integer Exponents Explore 3
Find the Match Exit Ticket Solve to find each equivalent expression.
3. Los estudiantes pueden necesitar escribir la versión ampliada del numerador y el denominador. Luego pueden tachar los pares semejantes que están en el numerador y el denominador porque se dividen para formar uno. Los estudiantes pueden utilizar lo que queda para escribir la expresión simplificada. Este método visual puede llegar al estudiante visualmente dominante más que la ley dada. 4. Para los estudiantes que entienden la ley del cociente de potencias pero cometen errores al trabajar la resta con números positivos y negativos, considere permitirles usar una calculadora o repasar la resta de números con signo.
1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
5. Como reto adicional, haga que los estudiantes creen dos de sus propias «Tarjetas de Verdadero o Falso». Una tarjeta debe ser verdadera y la otra falsa.
APOYOS LINGÜÍSTICOS Para cada ecuación que sea verdadera, haga que los estudiantes justifiquen su elección y expliquen cómo se utilizó la propiedad. Destaque las similitudes entre falso y false para los hispanohablantes.
Integer Exponents Part 3
Dividing with Exponents Match each expression with an equivalent expression below. Record each match in the table.
Expression
Equivalent Expression
Destaque las similitudes entre falsch y falso para los hablantes de Aleman. Pida a los estudiantes que expliquen a sus compañeros por qué una ecuación es falsa y cómo no se utilizó correctamente la propiedad. El compañero que escucha debe hacer una pregunta sobre la explicación del compañero, al utilizar una de las siguientes estructuras de frases: • Explica cómo sabías .... • Te he oído decir ____. «¿Puedes explicarlo de otra manera?».
Equivalent Expressions to Match
• «¿En qué habría cambiado el proceso si...?». • Has mencionado _____, «¿puedes explicarlo?». • Cuando has dicho ____, me ha recordado a ____. «¿Estás de acuerdo? ¿Estás de acuerdo?». Utiliza una estrategia de pensamiento en voz alta para representar un lenguaje matemáticamente preciso mientras verbalizas la estrategia de un estudiante. Por ejemplo, diga: «Veo que has restado los exponentes al dividir términos con bases semejantes»
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1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 3) CLAVE DE RESPUESTAS
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1/9/26 1:55 PM
GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 4: POTENCIAS EXPONENCIALES Estándar(es) • Trabajar con radicales y exponentes enteros. Conocer y aplicar las propiedades de los exponentes enteros para 1 generar expresiones numéricas equivalentes. Por ejemplo, 32 × 3⁻5 = 3⁻3 = ___ = ___ 1 . 33
Ideas fundamentales Exploraciones pitagóricas Números grandes y pequeños Forma, número y expresiones
Estándares para la práctica matemática MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución. MP.2 Razonar de forma abstracta y cuantitativa.
27
Conexiones de contenido
Motores de investigación
CC3 Desmontar el todo, unir las partes
DI1 Dar sentido al mundo (comprender y explicar)
CC4 Descubrir la forma y el espacio
DI2 Predecir lo que podría ocurrir (predecir)
MP.3 Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de los demás.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes encuentran expresiones equivalentes cuando se les dan expresiones con términos exponenciales elevados a una potencia.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Planee que los estudiantes trabajen en grupos de 4 para completar esta actividad. • Imprima el «Diario del estudiante» y el «Boleto de salida» para cada estudiante.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Lea la siguiente situación a la clase: «Es el día anterior al examen y la Sra. Taylor les ha preparado una última actividad de repaso. Les ha dado seis expresiones que incluyen un término exponencial elevado a una potencia. No solo tienen que crear una expresión equivalente, sino que también tienen que explicar los pasos que seguír para crear esa expresión. Demuéstrenle a la Sra. Taylor que están preparados para el examen al completar su revisión del examen». 2. Ayuda a los estudiantes a acceder a la tarea haciéndoles las siguientes preguntas guía: a. «¿Qué sabes ya sobre expresiones equivalentes?». b. «¿Cuál es un ejemplo del mundo real en el que hayas necesitado explicar, o seguir, los pasos de un proceso?». c. «¿Cómo te ayuda a aprender información si debes explicar tu proceso de pensamiento?». 3. Entrega un «Diario del estudiante» a cada estudiante. 4. Explica a los estudiantes que colaborarán con sus grupos para usar las propiedades de los exponentes para determinar expresiones equivalentes que puedan usar para cada una de las expresiones dadas en la tabla.
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GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Integer Exponents Explore 4
5. A medida que los estudiantes colaboran, supervise y hable con los estudiantes según sea necesario para comprobar la comprensión mediante el uso de las siguientes preguntas guía: a.
b.
c.
d.
e.
DOK-1 «¿Qué nos enseñan las propiedades de los exponentes enteros sobre cuando un término exponencial se eleva a una potencia?». Cuando un término exponencial se eleva a una potencia, puedes multiplicar los exponentes juntos. DOK-1 «¿Qué sucede con los exponentes cuando multiplicas números con bases iguales?». Cuando multiplicas con bases iguales, la base se mantiene y puedes sumar los exponentes. DOK-1 «¿Qué sucede con los exponentes cuando multiplicas números con bases diferentes pero exponentes comunes?». Si las bases son diferentes pero los exponentes son iguales, el exponente puede permanecer y puedes multiplicar las bases juntas. DOK-1 «¿Qué ocurre cuando las bases son iguales al dividir exponentes?». Cuando las bases son iguales, se pueden restar los exponentes entre sí. DOK-1 «¿Qué sucede cuando los exponentes son iguales al dividir exponentes?». Cuando los exponentes son iguales, se pueden dividir los números de base y mantener el exponente igual.
Test Review Determine equivalent expressions for each of Ms. Taylor’s review expressions. Show your steps in the workspace provided, and explain the process of each step. Ms. Taylor’s Expression
(32)4
32 ⋅ 4
Workspace with Explanation
If there is an exponent for an exponential term, the exponents can be multiplied.
Equivalent Expression
3⁸
Ms. Taylor’s Expression
(6x3)3
Workspace with Explanation
61 ⋅ 3x3 ⋅ 3
If there is an exponent for an exponential term, the exponents can be multiplied. If there is a coefficient, the exponent must be distributed to it as well.
Equivalent Expression
63x9
Ms. Taylor’s Expression
(52 ⋅ 32)7
Workspace with Explanation
(5 ⋅ 3)
2⋅7
Two terms being multiplied with the same exponent will be multiplied, and the exponent will stay the same. If there is an exponent for an exponential term, the exponents can be multiplied. 1514
Equivalent Expression
1
6. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímelos a que se hagan preguntas y establezcan conexiones. Anime a los estudiantes a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias utilizadas para generar expresiones equivalentes que involucran términos exponenciales elevados a una potencia. 7. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla matemática para compartir sus observaciones y aprendizajes. • Charla de matemáticas DOK-1 «¿Qué significa que un término exponencial tenga un exponente?». • Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: ◦ DOK-2 «¿Qué estrategias podrías utilizar para comprobar tu trabajo con expresiones equivalentes?». • DOK-2 «¿Por qué es importante conocer las propiedades de los exponentes enteros?».
DESPUÉS DE LA EXPLORACIÓN 1. Pida a los estudiantes que completen el «Boleto de Salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 2. Completen la »Tabla de Anclaje como clase. 3. Pida a cada estudiante que complete su «Libreta interactiva. 4. Regrese al «Captar interés» e instruya a los estudiantes para que usen sus habilidades recién adquiridas para completar exitosamente la actividad.
Integer Exponents Explore 4
Ms. Taylor’s Expression
(27 ⋅ 22)3
Workspace with Explanation
(27+2)3 = 29⋅3
Two terms being multiplied with the same base can have the exponents added together. If there is an exponent for an exponential term, the exponents can be multiplied.
Equivalent Expression
227
Ms. Taylor’s Expression
( 42 )
3 4 _____ 3
(4/2)3⋅4
Workspace with Explanation
Two terms being divided with the same exponent can have the base numbers divided and keep the exponent. If there is an exponent for an exponential term, the exponents can be multiplied.
Equivalent Expression
212
Ms. Taylor’s Expression
( 88 )
3 3 _____ 5
(83–5)3 = 8−2⋅3
Workspace with Explanation
Equivalent Expression
Two terms being divided with the same base can have the exponents subtracted. If there is an exponent for an exponential term, the exponents can be multiplied. 8−6 2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Integer Exponents Explore 4
APOYOS PEDAGÓGICOS
Reflect 1.
1. Proporcione flexibilidad a los estudiantes que necesiten tareas reducidas y disminuya el número 43 de expresiones. Considere eliminar (6x3)3 y (___ ) 4 de 23 la actividad del «Diario del estudiante».
What does it mean when an exponential term has an exponent? Student explanations may vary. It means that the exponential term is multiplied that many times.
2.
2. Ancle la instrucción al vincular y a activar el conocimiento previo relevante. Anime a todos los estudiantes a consultar las «Tarjetas de definición de propiedad» utilizadas en la «Exploración» 1 para reiterar la potencia de una ley de potencias antes de distribuir el «Diario del estudiante».
What strategies could you use to check your work with equivalent expressions? Student responses will vary. I can find the value of each expression and determine if they are equal to each other.
3.
Why is it important to know the properties of integer exponents? Knowing the properties of integer exponents helps to create equivalent expressions, which makes solving equations easier.
3. Anime a los estudiantes a escribir la forma expandida de la expresión para observar por qué funciona la potencia de una ley de potencias. Por ejemplo, para el problema (32)4, pueden reescribirlo como (3 ⋅ 3)4 =(3 ⋅ 3)(3 ⋅ 3)(3 ⋅ 3)(3 ⋅ 3) = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 38.
3
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
Integer Exponents Explore 4
Bonus Question Exit Ticket The test is finally here! You feel like you’ve done really well, but Ms. Taylor threw in a bonus question that encompasses everything you’ve learned so far. Find an equivalent expression for the expression below. Ms. Taylor’s Expression
yediting and :
sions in row one and ated in Equatio.
4. Para apoyar a los estudiantes visuales, proporcione ejemplos para mostrar cómo escribir la versión expandida y simplificar con exponentes. Se puede apoyar aún más a los estudiantes si los ejemplos se muestran al usar un código de colores para resaltar qué factores formarán partes específicas de la expresión simplificada con exponentes. Por ejemplo, si se utiliza (3 ⋅ 23)4, reescriba la versión ampliada como (3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2)4 y resalte el 23 del mismo color que el 2 ⋅ 2 ⋅ 2. 5. Resalte las habilidades aprendidas previamente que pueden utilizarse para resolver problemas desconocidos, como aquellos en los que hay una ley de cociente de potencias y una ley de potencia de una potencia en un mismo problema. Anime a los estudiantes a dividir un problema más complejo en partes más simples al reconocer y abordar un aspecto familiar a la vez. Por ejemplo, pídales que primero simplifiquen el problema y apliquen la ley del cociente de potencias. Luego pueden aplicar la potencia de una ley de potencias a la expresión simplificada. 6. Como desafío adicional, haga que los estudiantes creen otra expresión que se simplifique a la misma expresión equivalente que la expresión equivalente de la Sra. Taylor.
Workspace
Equivalent Expression
89
1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Integer Exponents Part 4
APOYOS LINGÜÍSTICOS Ayude a los estudiantes a identificar verbos en las instrucciones del «Diario del estudiante», como «Determinar expresiones equivalentes», y pregúnteles cómo estos verbos orientan la tarea. Discuta cómo el uso de diferentes verbos significaría diferentes expectativas para las respuestas de los estudiantes.
Exponential Powers Apply the properties of exponents to simplify each expression.
Expression
Workspace
Simplified Expression
Supervise activamente el trabajo en grupo para asegurarse de que todos los estudiantes tienen la oportunidad de hablar. Si los estudiantes necesitan estímulo, haga preguntas de sondeo como las siguientes: • «¿Dónde tiene exponentes esta expresión?». • «¿Qué ley podría utilizarse para simplificar la expresión?». Haga que los estudiantes jueguen a «Convence a tu amigo». Los estudiantes se turnan para compartir sus ideas con sus compañeros al utilizar las estructuras de frases que aparecen a continuación. Los estudiantes pueden hacerse preguntas o cuestionar el pensamiento del otro. Haga que los estudiantes se mezclen y busquen nuevos compañeros para repetir el proceso. Repita el proceso una tercera vez y a continuación informe a la clase y permita que los estudiantes compartan su razonamiento refinado. • Compañero A: Sé que _____ (expresión) es equivalente a _____ (expresión) porque la ley __________ significa _____.
1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 4) CLAVE DE RESPUESTAS
• Compañero B: Te he oído decir _____, yo _____ (estoy de acuerdo/en desacuerdo) porque .... Pida a los estudiantes que expliquen sus respuestas a la sección «Reflexionar». Proporcione retroalimentación y apoyo según sea necesario para ajustar sus respuestas a fin de que incluyan vocabulario matemático preciso. Ayude a los estudiantes a condensar sus ideas en una o dos frases antes de que las escriban en el «Diario del estudiante». Pida a los estudiantes que compartan las explicaciones de sus procesos para simplificar las expresiones. Por cada explicación que se comparta, invite a los estudiantes a volverse hacia sus compañeros y resumir lo que han oído al utilizar el lenguaje matemático.
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GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE Integer Exponents Basics of Exponents
Xn
Base
Exponent
Integer Exponent Law
Exponents are positive, negative, or zero. Negative exponent law: Use reciprocal base.
Read as “x to the nth power.”
3⁻² = ( 1 )² = ( 1 )( 1 ) =
Base: number repeatedly multiplied Exponent: number of times base is multiplied; also called “power” 4
6 = six to the 4th power 6 · 6 · 6 · 6 = 1,296
3
5
3
3 ÷3 =3
5–3
2
=3 =9
3
Positive exponent law: Multiply base by itself number of times in exponent.
3² = (3)(3) = 9 Zero exponent law: Answer is always 1.
Power of a Product Law MULTIPLY the exponent outside the parentheses times the exponent inside the parentheses.
(3 · 4)2 = 32 · 42 = 9 · 16 =144
CONSOLIDAR EL APRENDIZAJE DE LOS ESTUDIANTES
ESQUEMA DE ANCLAJE
To multiply the same bases, you ADD exponents.
32 ⋅ 35 = 32+5 = 37 37 = 2,187 42 · 35 = 42 · 35
You cannot add exponents because bases are different!
More Power Laws To raise a power to another power, multiply the exponents.
3⁰ = 1
Exponent Quotient Law To divide the same bases, you SUBTRACT exponents.
3
1 9
Exponent Product Law
(32 ⋅ 53)2 = 3(2 ⋅ 2) ⋅ 5(3 ⋅ 2) = 34 ⋅ 56
To raise a fraction to a power, write the exponent with the numerator and the denominator.
( 2 )4 = 2⁴ 3 3⁴
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
DESCRIPCIÓN Un esquema de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Se trata de una herramienta para apoyar la instrucción y anclar el aprendizaje de los estudiantes a lo largo del alcance.
MATERIALES
• 1 hoja de papel cuadriculado • 1 juego de marcadores multicolores
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del ejemplo de esquema de anclaje, si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. El ejemplo de esquema puede utilizarse como referencia antes de crear el de la clase. Esta actividad debe ser dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje. 2. A medida que los estudiantes trabajen en el alcance, colaboren para añadir piezas al «Esquema de anclaje». Formule las siguientes preguntas orientadoras: a. «¿Qué estrategia utilizamos para resolver este problema?». b. «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?». 3. Continúe añadiendo habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada «Exploración» para resaltar el contenido importante. 4. Explique que pueden usar este gráfico como herramienta de apoyo para su aprendizaje. Los estudiantes también pueden pegar una copia del ejemplo de «Esquema de anclaje» en sus cuadernos para utilizarlo como referencia durante el año. 5. Algunos «Esquemas de anclaje» solo se mostrarán durante un alcance o grupo de alcances concretos, mientras que otras permanecerán expuestas durante todo el curso escolar.
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GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DE LOS ESTUDIANTES
Integer Exponents
Instructions ● Using the integer exponent laws, evaluate each expression. ● This page should be visible when the flaps from the first page are lifted. Bottom
LIBRETA INTERACTIVA
7–1 =
Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase al usar la actividad y la libreta.
MATERIALES IMPRESO
Place glue here.
DESCRIPCIÓN
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
(82)(83) =
=
41 =
50 =
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del «Folleto del estudiante» para cada uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Integer Exponents
2. Las instrucciones para cada actividad se proporcionan en el «Folleto del estudiante». 3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos. 4. Las libretas interactivas pueden utilizarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
Instructions ● Cut out the flipbook on the dotted lines. Do not forget to cut the flaps. ● Place glue on the back of the gray box and the entire second page cutout. ● Glue the flipbook into your notebook. The second page should be visible when the flaps are lifted on the page. ● Use the given strategy to find the answer to each expression. Top
Integer Exponent Rules Practice
1. Prepare una «Libreta interactiva» al usar un cuaderno de espiral o de composición para cada uno. Los estudiantes pueden utilizar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades.
Power of a Power Law
Power of a Product Law
Integer Exponents
Instructions ● Cut out the flipbook on the dotted lines. Do not forget to cut the flaps. ● Place glue on the back of the gray box and the entire second page. ● Glue the flipbook into your notebook. The second page should be visible when the flaps are lifted on the page. ● Use the given strategy to find the answer to each expression.
Instructions ● Using the integer exponent laws, evaluate each expression. ● This page should be visible when the flaps from the first page are lifted. Bottom
Negative Exponent Law
Product of Powers Law
Quotient of Powers Law
Place glue here.
Integer Exponent Rules Practice
Top
Integer Exponents
(42)3 =
(6 · 4)3 =
Power of One Law
Power of Zero Law
FOLLETO DEL ESTUDIANTE
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FOLLETO DEL ESTUDIANTE
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GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
APOYO PARA ESTUDIANTES MULTILINGÜES
CONEXIONES LINGÜÍSTICAS DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes tienen la oportunidad de utilizar sus conocimientos lingüísticos y culturales previos para apoyar las conexiones con nuevas destrezas, vocabulario y conceptos en sus niveles de competencia.
1. Distribuya a cada estudiante un folleto con el nivel de competencia adecuado. 2. Utilice las instrucciones para las partes de comprensión oral, expresión oral, lectura y escritura. Utilice gestos, señale objetos y elementos visuales, según proceda. Consulte las indicaciones para obtener sugerencias.
MATERIALES IMPRESO
• 1 «Folleto del estudiante» según su nivel de competencia (por alumno)
3. Deje tiempo a los estudiantes para que piensen con sus vecinos antes de responder.
PREPARACIÓN
4. Anime a los estudiantes a perseverar en su pensamiento y a utilizar herramientas y modelos matemáticos.
• Prepare a los estudiantes para trabajar con compañeros cuando sea necesario. • Determine el nivel de competencia en inglés de cada estudiante.
5. Invite a los estudiantes a responder adecuadamente a cada dominio lingüístico.
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada uno según su nivel de competencia en inglés.
6. Haga que los estudiantes utilicen la página final del «Folleto del estudiante» para formar conexiones entre los conceptos matemáticos y el mundo real.
• Permita que los estudiantes tengan acceso al «Vocabulario ilustrado para este alcance».
Integer Exponents B
Integer Exponents B
Sue is reading a book book Law
is about the planets
of 3 unique planets Power of zero law
●
X
Negative exponent law
7
Planet Vortax has a diameter of 10 kilometers.
●
Planet Thryon has a diameter of 102 kilometers.
Equation
Power of zero law
1 90 = __
Power of one law
7 71 = __
X X
Equation
Power of zero law
1
Power of one law
7
Sue is reading a book. True / False
●
Planet Glorion has a diameter of 104 kilometers.
●
Planet Vortax has a diameter of 107 kilometers.
●
Planet Thryon has a diameter of 102 kilometers.
Use ratios to determine how many times larger Vortax is compared to the other planets.
. Glorion’s The ratio of Vortax’s diameter to _____________ diameter is
Negative exponent law
.
103 The simplified ratio is ______.
The ratio of Vortax’s diameter to Thryon’s diameter is True / False Quotient of powers law
.
10,000 Vortax is __________ times larger than Glorion.
Product of powers law
Thyron’s The ratio of Vortax’s diameter to _____________ diameter is
.
.
105 The simplified ratio is ______.
Quotient of powers law
The simplified ratio is 109. True / False
1,000,000 Vortax is ____________ times larger than Thryon.
Vortax is 1,000,000 times larger than Thryon. True / False
The simplified ratio is ____. 105 / 109
X
astronomer. Sue is trying to compare the sizes of 3 unique planets mentioned in the book.
Vortax is 3 times larger than Glorion. True / False
Vortax is _____ times larger than Glorion. 3 / 10,000
Power of a power law
Planet Thryon has a diameter of 102 kilometers.
Law
The simplified ratio is 103. True / False Product of powers law
The ratio of Vortax’s diameter to ________ diameter is Glorion’s / Thryon’s
●
The ratio of Vortax’s diameter to Thryon’s diameter is True / False
Negative exponent law .
The simplified ratio is ____. 103 / 1011
X
Planet Glorion has a diameter of 104 kilometers. Planet Vortax has a diameter of 107 kilometers.
other planets.
Sue is _______ a book. reading / writing The ratio of Vortax’s diameter to ________ diameter is Glorion’s / Thryon’s
● ●
Use ratios to determine how many times larger Vortax is compared to the
planets.
Product of powers law
Quotient of powers law
Planet Glorion has a diameter of 10 kilometers.
●
book is about the planets in the Zorath solar system and an
astronomer. Sue is trying to compare the sizes of 3 unique planets mentioned in the book. Law
book.
4
Use ratios to determine how many times larger Vortax is compared to the other
X
Power of one law
Integer Exponents A
Sue is reading a book called The Chronicles of Zorath. The
book is about the planets in the Zorath solar system and an
. Sue is trying to compare the sizes mentioned in the
Integer Exponents A
Integer Exponents I
Sue is reading a book called The Chronicles of Zorath. The
in the Zorath solar
system and an astronomer
Equation
Integer Exponents I
called The Chronicles of Zorath. The
Power of a power law
Power of a power law
Vortax is _____ times larger than Thryon. 5 / 1,000,000
Integer Exponents B
Integer Exponents B
Integer Exponents I
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use integer exponents at home with your family or friends.
Word Bank Add
Laws of exponents
Multiply
Base
Power of zero law
Subtract
Answers will vary.
Reciprocal
Explain how to simplify an expression using each of the laws of exponents. Use all the words in the word bank when filling in the blanks.
Laws of exponents
Negative exponent law
Base
Power of zero law
Reciprocal
Multiply
Subtract
Explain how to simplify an expression using each of the laws of exponents. Use all the words in the word bank when filling in the blanks and writing your answer. laws of exponents You can simplify an expression using the _____________________. The
laws of exponents You can simplify expressions using the ____________________. The negative
negative exponent law _________________________ is for converting negative exponents into positive
exponent law is for converting negative exponents into positive ones by taking the reciprocal _____________ of the base, like
Add
reciprocal of the base, like ones by taking the __________
power of zero law .The _____________________ says
base is 0. 53 = 1. This law does not apply when the ________
base apply when the ________ is 0. The product of powers law states that when
Describe the remaining exponent laws below:
4
5
add the exponents, like 3 ⋅3 =3 multiplying expressions with the same base, ____
0
4+5
.
The quotient of powers law states that when dividing expressions with the same subtract the exponents, like base, ________
of zero law . The power ______________
indicates that any nonzero base raised to the power of zero equals one, like
that any number raised to the power of zero is one, like 53 0 = 1. This law does not
= 913 − 7 . The power of a power law says
multiply to __________ when raising an exponent to another exponent, like (5 6)3 = 5(6 ⸱ 3).
Integer Exponents A
Integer Exponents I
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use integer exponents at home with your family or friends.
Word Bank
Answers will vary.
Word Bank Add
Reciprocal
Negative exponent law
Subtract
Power of zero law
Quotient of powers law
Multiply
Power of a power law
Product of powers law
Integer Exponents A
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use integer exponents at home with your family or friends. Answers will vary.
Explain how to simplify an expression using each of the laws of exponents. Use all the words in the word bank when writing your answer. __________________________________________________________________ The negative exponent law is for converting negative exponents into positive __________________________________________________________________ ones by taking the reciprocal of the base, like . The power of zero law __________________________________________________________________ indicates that any nonzero base raised to the power of zero equals one, like __________________________________________________________________ 530 = 1. The product of powers law states that when multiplying two __________________________________________________________________ expressions with the same base, add their exponents. When simplifying an __________________________________________________________________
says that you add the exponents when multiplying The product of powers law ____________________________________________ expressions with like bases, like 34⋅35 = 34 + 5. __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ The quotient of powers law ___________________________________________ says that you subtract the exponents when dividing expressions with like bases, like = 913 − 7. __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ says that you multiply the exponents when an exponent The power of a power law _____________________________________________ is raised to another exponent, like (56)3 = 5(6 ⸱ 3). __________________________________________________________________ __________________________________________________________________
expression like 34⋅35, add 4 and 5 to simplify: 34 + 5. Conversely, the quotient of __________________________________________________________________ powers law indicates that when dividing two expressions with the same base, __________________________________________________________________ subtract the exponents. When simplifying an expression like , subtract 7 __________________________________________________________________ from 13 to simplify: 913 − 7. The power of a power law indicates that when __________________________________________________________________ raising an exponent to another exponent, the exponents are multiplied, like __________________________________________________________________ (56)3 = 5(6 ⸱ 3). __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ _________________________________________________________________ ______________________________________________________________
PRINCIPIANTE FOLLETO DEL ESTUDIANTE
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INTERMEDIO FOLLETO DEL ESTUDIANTE
AVANZADO FOLLETO DEL ESTUDIANTE
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1/9/26 1:55 PM
GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCUCHAR Y HABLAR PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Tenga a mano el vocabulario ilustrado para que los estudiantes lo utilicen. Lea las siguientes preguntas de una en una: • Señale la ley de la potencia de cero. • La ley de la potencia de cero establece que cualquier base distinta de cero elevada a la potencia de cero es igual a uno. • Señale la ecuación que representa la ley de la potencia de cero. • Explique por qué muestra correctamente la ley de la potencia de cero. ◦ Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de oración: La ecuación ______ muestra correctamente la ley de la potencia de cero porque _____. • Encierra con un círculo la ecuación que muestra la ley de la potencia de cero. • Marque la ecuación que no muestra correctamente la ley de la potencia de cero. • Señale la ley de la potencia de uno. • La ley de la potencia de uno establece que elevar un número a la primera potencia no cambia su valor. • Señale la ecuación que representa la ley de la potencia de uno. • Explique por qué muestra correctamente la ley de la potencia de uno. ◦ Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de oración: La ecuación ______ muestra correctamente la potencia de una ley porque _____. • Encierra con un círculo la ecuación que muestra la potencia de una ley. • Marque la ecuación que no muestra correctamente la ley de la potencia de uno. • Señale la ley del exponente negativo. • La ley del exponente negativo permite convertir exponentes negativos en positivos al tomar el recíproco de la base elevado al exponente positivo correspondiente. • Señale la ecuación que muestra la ley del exponente negativo. • Explique a sus compañeros qué ecuación muestra correctamente la ley del exponente negativo. ◦ Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de oración: La ecuación ______ muestra correctamente la ley del exponente negativo porque ______. • Rodea con un círculo la ecuación que muestra la ley del exponente negativo. • Marque la ecuación que no muestra correctamente la ley del exponente negativo. • Señale la ley del producto de potencias. • La ley del producto de potencias establece que al multiplicar dos expresiones con la misma base, se deben sumar sus exponentes. • Señala la ecuación que muestra la ley del producto de potencias.
Tenga a mano el vocabulario ilustrado para que los estudiantes lo utilicen. Lea las siguientes indicaciones una a la vez: • Señale la ley de la potencia de cero. La ley de la potencia de cero establece que cualquier base distinta de cero elevada a la potencia de cero es igual a uno. • Rellena el espacio en blanco para aplicar correctamente la ley de la potencia de cero. Explique por qué esta ecuación es correcta. ◦ Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente fragmento de oración: Esta ecuación es correcta porque _______. • Señale la ley de la potencia de uno. La ley de la potencia de uno establece que elevar cualquier número a la primera potencia no cambia su valor. • Rellena el espacio en blanco para aplicar correctamente la ley de la potencia de uno. Explique por qué esta ecuación es correcta. ◦ Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente fragmento de oración: Esta ecuación es correcta porque _______. • Señale la ley del exponente negativo. La ley del exponente negativo permite convertir exponentes negativos en positivos al tomar el recíproco de la base elevado al exponente positivo correspondiente. • Complete el denominador de la fracción dada para aplicar correctamente la ley del exponente negativo. Explique por qué esta ecuación es correcta. ◦ Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente fragmento de oración: Esta ecuación es correcta porque _______. • Señale la ley del producto de potencias. La ley del producto de potencias establece que cuando se multiplican dos expresiones con la misma base, se suman sus exponentes. • Rellena el número que falta para aplicar correctamente la ley del producto de potencias y que la ecuación sea verdadera. Explica por qué esta ecuación es correcta. ◦ Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente fragmento de oración: Esta ecuación es correcta porque ______. • Señala la ley del cociente de potencias. La ley del cociente de potencias establece que al dividir dos expresiones con la misma base, hay que restar los exponentes. • Rellena el número que falta para aplicar correctamente la ley del cociente de potencias y hacer que la ecuación sea verdadera. Explica por qué esta ecuación es correcta. ◦ Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente fragmento de oración: La ecuación es correcta porque ______. • Señala la potencia de una ley de potencias. La potencia de una ley de potencias establece que al elevar un exponente a otro exponente, los exponentes se multiplican. • Rellena el número que falta para aplicar correctamente la potencia de una ley de potencias. Explique por qué esta ecuación es correcta. ◦ Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente fragmento de oración: Esta ecuación es correcta porque _______.
Tenga a mano el vocabulario ilustrado para que los estudiantes lo utilicen. Lea las siguientes indicaciones de una en una:
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•
Señale la ley de la potencia de cero. La ley de la potencia de cero establece que cualquier base distinta de cero elevada a la potencia de cero es igual a uno.
•
Simplifique correctamente la expresión al utilizar la ley de la potencia de cero. Explica por qué esta ecuación es correcta.
•
Señala la ley de la potencia de uno. La ley de la potencia de uno establece que elevar un número a la primera potencia no cambia su valor.
•
Simplifica correctamente la expresión al utilizar la ley de la potencia de uno. Explica por qué esta ecuación es correcta.
•
Señala la ley del exponente negativo. La ley del exponente negativo permite convertir exponentes negativos en positivos al tomar el recíproco de la base elevado al exponente positivo correspondiente.
•
Simplifique correctamente la expresión al utilizar la ley del exponente negativo. Explica por qué esta ecuación es correcta.
•
Señala la ley del producto de potencias. La ley del producto de potencias establece que al multiplicar dos expresiones con la misma base, hay que sumar sus exponentes.
•
Simplifica correctamente la expresión al utilizar la ley del producto de potencias. Explica por qué esta ecuación es correcta.
•
Señala la ley del cociente de potencias. La ley del cociente de potencias establece que al dividir dos expresiones con la misma base, hay que restar los exponentes.
•
Simplifica correctamente la expresión al utilizar la ley del cociente de potencias. Explica por qué esta ecuación es correcta.
•
Señala la potencia de una ley de potencias. La potencia de una ley de potencias establece que al elevar un exponente a otro exponente, los exponentes se multiplican.
•
Simplifica correctamente la expresión al utilizar la potencia de una ley de potencias. Explica por qué esta ecuación es correcta.
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GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCUCHAR Y HABLAR (CONTINUACIÓN) PRINCIPIANTE • • • • • • • • • • • • • • • •
Señale la ecuación que muestra la ley del producto de potencias. Explique por qué muestra correctamente la ley del producto de potencias. ◦ Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de frases: La ecuación ______ muestra correctamente la ley del producto de potencias porque ______. Rodea con un círculo la ecuación que muestra la ley del producto de potencias. Marque la ecuación que no muestra correctamente la ley del producto de potencias. Señale la ley del cociente de potencias. La ley del cociente de potencias establece que, al dividir dos expresiones con la misma base, hay que restar los exponentes. Señale la ecuación que muestra la ley del cociente de potencias. Explique por qué muestra correctamente la ley del cociente de potencias. ◦ Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de enunciado: La ecuación ______ muestra correctamente la ley del cociente de potencias porque _____. Rodea con un círculo la ecuación que muestra la ley del cociente de potencias. Marque la ecuación que no muestra correctamente la ley del cociente de potencias. Señale la potencia de una ley de potencias. La potencia de una ley de potencias establece que al elevar un exponente a otro exponente, los exponentes se multiplican. Señale la ecuación que muestra la potencia de una ley de potencias. Explique por qué muestra correctamente la potencia de una ley de potencias. ◦ Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de enunciado: La ecuación ______ muestra correctamente la potencia de una ley de potencia porque _______. Rodea con un círculo la ecuación que muestra la potencia de una ley de potencias. Marque la ecuación que no muestra correctamente la potencia de una ley de potencia.
LEER Y HABLAR PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Lea la historia en grupo y divídala en frases. Pida a los estudiantes que señalen cada palabra mientras leen e invíteles a rodear con un círculo las palabras que no conozcan. Discuta las palabras en grupo. • Comente la situación con los estudiantes. Haga gestos con las manos y muestre elementos visuales según corresponda mientras formula las siguientes preguntas:
Lea en coro la historia en grupo. Pida a los estudiantes que señalen cada palabra mientras leen e invíteles a rodear con un círculo las palabras que no conozcan. Haga que comenten las palabras con sus compañeros. • Comparte con tus compañeros de qué trataba la historia.
Pida a los estudiantes que lean la historia con sus compañeros y que señalen cada palabra mientras leen. Invíteles a rodear con un círculo las palabras que no conozcan y a comentarlas con sus compañeros.
• •
«¿Cuál es tu experiencia con los planetas?». ◦ «¿Qué tipos de libros te gusta leer?». ◦ «¿Crees que te gustaría leer este libro?». Lee en coro la primera afirmación. Señala la respuesta en la historia antes de contestar.
•
◦
Lee en coro la segunda afirmación. Señala el número o los números de la página que usarás para determinar la respuesta antes de contestar.
•
Lee en coro la tercera afirmación. Discute con tus compañeros antes de marcar una respuesta.
•
Lee en eco la cuarta afirmación. Discute con tus compañeros antes de marcar una respuesta.
•
Lee en eco el quinto enunciado. Discute con tus compañeros antes de marcar una respuesta.
•
Lee en eco la sexta afirmación. Discute con tus compañeros antes de marcar una respuesta.
•
Lee en eco la séptima afirmación. Discute con tus compañeros antes de marcar una respuesta.
Discuta las siguientes preguntas con sus compañeros:
Explique a sus compañeros de qué trata el pasaje.
•
Lean cada afirmación y comenten sus respuestas con sus compañeros.
◦
•
«¿Cuál es tu experiencia con los planetas?». ◦ «¿Qué tipos de libros te gusta leer?». ◦ «¿Crees que te gustaría leer este libro?». Lee en coro la primera afirmación. Señala la respuesta en la historia antes de contestar.
•
Lee en coro la segunda afirmación. Discute con tus compañeros para decidir si es verdadera o falsa.
•
Lee en coro la tercera afirmación. Comenta con tus compañeros si es verdadera o falsa.
•
Lee con tu compañero la cuarta afirmación. Debate con tus compañeros para decidir si es verdadera o falsa.
•
Lee con tu compañero la quinta afirmación. Debate con tus compañeros para decidir si es verdadera o falsa.
•
Lee con tu compañero la sexta afirmación. Debate con tus compañeros para decidir si es verdadera o falsa.
•
Lee con tu compañero la séptima afirmación. Discuta con sus compañeros para decidir si es verdadera o falsa.
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•
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GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCRIBIR PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Ponga a disposición de los estudiantes tarjetas de vocabulario con imágenes. Lea y comente las palabras del banco de palabras. Defina las palabras y proporcione ejemplos según sea necesario. Utilice las siguientes indicaciones:
Disponga de tarjetas de vocabulario con imágenes para los estudiantes. Coro: lea y comente las palabras del banco de palabras. Defina las palabras y proporcione ejemplos según sea necesario. Utilice las siguientes pistas:
Ponga a disposición de los estudiantes las tarjetas de vocabulario con imágenes. Los estudiantes deben leer en parejas las palabras del banco de palabras y comentar su significado con sus compañeros. Defina las palabras y proporcione ejemplos cuando los estudiantes lo necesiten. Mientras los estudiantes leen, utilice las siguientes pistas:
• • •
Lea cada palabra con los estudiantes. «¿Qué saben sobre las leyes de los exponentes?». Lea cada enunciado y pida a los estudiantes que consulten el banco de palabras antes de escribir sus respuestas.
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•
Pida a los estudiantes que comenten las palabras del banco de palabras con sus compañeros.
•
Doble la mitad inferior del papel para que solo se vea el banco de palabras. Señale cada palabra del banco de palabras y, por turnos, expliquen las palabras a sus compañeros.
•
Tome nota de los estudiantes que proporcionen explicaciones matemáticamente precisas de las palabras del banco de palabras.
•
A continuación, señale una palabra del banco de palabras cuyo significado necesite aclarar.
•
Pida a los estudiantes que hayan dado explicaciones matemáticamente precisas que ayuden a aclarar las palabras seleccionadas a sus compañeros. Veo que varios estudiantes piden aclaraciones sobre la palabra ________. (Nombre del estudiante) pudo dar una explicación clara de la palabra _________ a su compañero. (Nombre del estudiante), «¿podrías compartir tu explicación?».
•
Lee cada enunciado con tus compañeros y utiliza las palabras del banco de palabras para completar cada enunciado. Ten en cuenta que algunas palabras pueden utilizarse más de una vez o no utilizarse en absoluto.
•
Recuerde a los estudiantes que consulten el banco de palabras cuando completen los espacios en blanco.
•
Pida a los estudiantes que comenten las palabras del banco de palabras con sus compañeros.
•
Comente las palabras del banco de palabras con sus compañeros. Cada persona debe dar una explicación o descripción de una palabra y, a continuación, pedir a su compañero que parafrasee el significado de la palabra. Continúa este proceso hasta que hayas discutido todas las palabras del banco de palabras.
•
Lee las instrucciones con tus compañeros. «¿Qué plan vas a seguir para asegurarte de que utilizas el mayor número posible de palabras del banco de palabras en tu redacción?». Si no estás seguro de cómo utilizar una palabra, rodéala con un círculo en el banco de palabras. Los estudiantes no deben empezar a escribir todavía.
•
Esté atento a los estudiantes que tengan dificultades para crear un plan o que marquen con un círculo las palabras del banco de palabras. Ofrezca apoyo y permita que los estudiantes que hayan podido crear un plan lo compartan con la clase. ◦
Veo que varios de nosotros necesitamos aclaraciones sobre la palabra _______. Diríjase a alguien cercano que no sea su compañero y pídale que aclare o defina la palabra ___________.
◦
Veo que varios de nosotros necesitamos ayuda para diseñar un plan que utilice palabras del banco de palabras. Acércate a alguien que no sea tu compañero y pídele que explique cómo piensa utilizar el mayor número posible de palabras del banco de palabras.
•
Una vez aclaradas todas las palabras y compartidos los planes, pide a los estudiantes que escriban sus explicaciones.
•
Ahora escribe una explicación en la que utilices al menos cinco de las palabras del banco de palabras. Cuando terminen de escribir, compartan sus escritos con sus compañeros.
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GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO VOCABULARIO CLAVE
VOCABULARIO ILUSTRADO Base
Exponent
Integer
The lower number of an exponent that is multiplied by itself
A mathematical notation that indicates the number of times the base number is multiplied by itself; also called power
Any one of the positive whole numbers, negative whole numbers, and zero; any member of the set of all whole numbers and their opposites
2
3
4
Integer Exponent
Negative Exponent Law
Power of One Law
A positive or negative whole number or zero that tells the number of times a base is multiplied by itself
The mathematical law which states that any nonzero number raised to a negative exponent is equivalent to the reciprocal of the base raised to the opposite of the negative exponent
The mathematical law which states that any number to the power of one is equal to that number
5
6
7
Power
Power Law
Product of Powers Law
A mathematical notation that indicates the number of times the base number is multiplied by itself; also called an exponent
The distribution of an exponent through multiplication to all parts of the base
The mathematical law which states that when multiplying two exponents with the same base, the exponents are added together and the base stays the same
8
9
Quotient of Powers Law
Power of Zero Law
The mathematical law that states that when dividing two exponents with the same base, one subtracts the exponents and keeps the base the same
The mathematical law that states that any number to the power of 0 is equal to 1 11
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GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ DESARROLLAR LA FLUIDEZ CONCEPTUAL
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: EXPONENTES ENTEROS DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes jugarán a «¡A pescar!» para resolver problemas matemáticos.
MATERIALES
Go Fish! Instruction Sheet Play this game with a partner. You Will Need 1 Set of Go Fish! Cards (per pair) How to Play 1. Shuffle the Go Fish! Cards. 2.
Pass out five cards to each player.
3.
Place the rest of the deck in a pile on the table.
4.
Players take turns asking each other for either the answer to match one of the problem cards or the problem card to match
IMPRESOS
one of the answer cards. If the opponent has the matching card, the opponent must give it to the player. If the opponent
• 1 hoja de instrucciones de «¡A pescar!» (por pareja( • 1 juego de tarjetas del juego «¡A pescar!»(por pareja)
does not have the matching card, the other player must pick a card from the deck. 5.
The winner is the player with the most matches when all of the cards are gone.
REUTILIZABLES
• 1 sobre o bolsa (por pareja)
PREPARACIÓN
• Haga copias a doble cara de las tarjetas «¡A pescar!» a doble cara. • Lamínalas para que duren más. • Recorta las tarjetas individuales y colócalas en un sobre o bolsa para facilitar su distribución y limpieza.
HOJA DE INSTRUCCIONES
• Coloca a los estudiantes en parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo mezclar las tarjetas. 2. Demuestre cómo jugar al juego con un estudiante. a. Reparte cinco tarjetas a cada jugador. b. Coloca el resto de las tarjetas en un montón sobre la mesa. c. Los jugadores se preguntan por turnos si la respuesta coincide con una de las tarjetas de problema o si la tarjeta de problema coincide con una de las tarjetas de respuesta. Si el adversario tiene la tarjeta correspondiente, debe dársela al jugador. Si el oponente no tiene la tarjeta correspondiente, el otro jugador debe coger una tarjeta del montón. d. El ganador es el jugador con más coincidencias cuando se acaban todas las tarjetas. 3. Supervise a los estudiantes para asegurarte de que encuentran las coincidencias correctas.
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GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS Integer Exponents
ELABORAR: REVISIÓN EN ESPIRAL REPASAR CONCEPTOS PREVIOS
Gift Exchange
REVISIÓN EN ESPIRAL: INTERCAMBIO DE REGALOS
Every year at Christmas time, Cassidy, Trevor, Vinny, and Maggie exchange gifts. It is a tradition that they started in first grade. They plan a special party at one of their houses for their get together. They take turns hosting the party, and this year is Trevor’s turn. Trevor has so many things planned for this year’s party. Since they are now in middle school, he wants it to be extra special. He asked his parents to help him prepare several games and activities. He even planned a menu featuring spaghetti and meatballs. After he hangs all of the decorations for the party, there is only one thing left to do—buy the gifts. He has made a list of which items he will be buying and what stores he needs to go to. Only one more day until the party. He can’t wait!
1
Integer Exponents
1.
Trevor wants to make sure that he spends the same amount on each friend’s gift. The following graph represents the amount of money he spent. How much did he spend on each friend’s gift?
2.
Cassidy has $24 to spend on her gifts. If the total amount before tax is $21, will she have enough money if 10% tax is charged?
DESCRIPCIÓN Los estudiantes repasan el contenido del grado anterior o actual para ayudar a apoyar su trabajo en el alcance actual y fortalecer las habilidades necesarias para ámbitos posteriores.
REVISIÓN EN ESPIRAL CENTRADA EN LA PREGUNTA • Pregunta 1
◦ Grado 7: Identificar la constante de proporcionalidad (tasa unitaria) en tablas, gráficos, ecuaciones, diagramas y descripciones verbales de relaciones proporcionales. • Pregunta 2
Yes. Her gifts will cost $23.10.
◦ Grado 7: Usar relaciones proporcionales para resolver problemas de proporciones y porcentajes de varios pasos. He spent $9 on each friend’s gift. 3.
Vinny wants to give each friend the exact same gift. He decides that he will give all 3 friends 2 scratch-off tickets and $5. Which of the following expressions does not represent this scenario? A.
2t + 5 + 2t + 5 + 2t + 5
B.
6t + 15
C.
3 ⋅ 2t + 5
D.
3(2t + 5)
• Pregunta 3 4.
Maggie spent x dollars on gifts. Trevor spent $4 more than Maggie. Cassidy spent $7 less than Maggie. Write an expression to help determine how much money was spent in total.
◦ Grado 7: Aplicar las propiedades de las operaciones como estrategias para sumar, restar, factorizar y expandir expresiones lineales con coeficientes racionales. • Pregunta 4
Answers may vary. x + (4 + x) + (x – 7)
2
FOLLETO DEL ESTUDIANTE RESPUESTAS
◦ Grado 7: Entender que reescribir una expresión en diferentes formas en el contexto de un problema puede arrojar luz sobre el problema y cómo se relacionan las cantidades en él.
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada estudiante. 2. Anime a los estudiantes a tratar de responder a las preguntas de forma independiente sin utilizar recursos externos para ver lo que saben. Invite a los estudiantes a anotar ideas o fragmentos que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas. 3. Utilice las preguntas de «Repaso en espiral» como calentamiento en clase, o envíelas a casa como deberes. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos. 4. Consulte la sección «Revisión en espiral centrada en la pregunta» para evaluar los conocimientos de contenido de los estudiantes o su necesidad de una mayor intervención. Si es necesario repasar más, utilice los «Constructores de fluidez» en los alcances apropiados. 5. La evaulación final incluye una parte del alcance actual para que los estudiantes vean la conexión y relevancia de su aprendizaje previo con el alcance actual.
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GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS ANÁLISIS DE DATOS
Integer Exponents
The Power of Rice
CIENCIA DE DATOS Ciencia de datos es un breve debate en clase basado en un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. La parte I incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los estudiantes en contexto.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizarán, interpretarán y generarán conjuntos de datos, además de responder a preguntas basadas en los datos.
1
CONJUNTO DE DATOS
MATERIALES IMPRESOS
• 1 conjunto de datos (por clase) REUTILIZABLES
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase) • 1 marcador (por clase) CONSUMIBLES
• 1 trozo de hoja de papelógrafo (por clase)
PREPARACIÓN
• Prepárese para proyectar el conjunto de datos para la clase. • Reúna un trozo de hoja de papelógrafo y un maracador.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I 1. Proyecte el conjunto de datos y prepárese para anotar las observaciones de los estudiantes. 2. Discuta las siguientes preguntas: a.
«¿Qué observa en este conjunto de datos?».
b.
«¿Qué representa este conjunto de datos?».
c.
«¿Qué categorías se incluyen en este conjunto de datos?».
d.
«¿Cree que el tablero de ajedrez representa fielmente la situación?».
e.
«¿Qué patrón observa en la tabla?».
f.
«¿Qué preguntas tienes sobre los datos?».
PARTE II
1. Repasa cómo usar las propiedades de los exponentes para generar expresiones numéricas equivalentes, y escribe lo que los estudiantes recuerden en el papel cuadriculado.
b. Utiliza el patrón de la tabla para describir el número de granos de arroz que habría en el cuadrado 0. «¿Qué propiedad de los exponentes demostraría esto?». El patrón es que para cada número cuadrado, n, el número de granos de arroz es 2n - 1. Así, el número de granos de arroz 1 . Esto en el cuadrado 0 sería 2n - 1 = 20 - 1 = 2-1 = __ 2 demuestra la propiedad de exponente negativo. c. «¿Cuántas veces mayor es la cantidad de arroz en el cuadrado 40 que en el cuadrado 24? ¿Qué propiedad de los exponentes demuestra 239 esto?». ___ = 239 - 23 = 216 = 65.536 veces mayor; 223 esto demuestra la propiedad del cociente de potencias. d. «¿Cuántos granos de arroz hay en las casillas 8, 9 y 10?». Explica tu respuesta. 27 + 28 + 29 = 896 granos de arroz; esto no es una propiedad de los exponentes. Tienes que evaluar cada potencia individualmente y luego hallar la suma de esos valores. e. Tariq dice que el producto del número de granos de arroz en el cuadrado 5 y el número de granos de arroz en el cuadrado 8 sería una ración de arroz. «¿Cuántos granos de arroz hay en una ración? ¿Qué propiedad de los exponentes demuestra esto?». 24(27) = 24 + 7 = 211 = 2.048 granos de arroz; esto demuestra la propiedad del producto de potencias. f. Emma decide elevar el número de granos de arroz de cada casilla a la tercera potencia. «¿Cuántos granos de arroz habría en la casilla 12 del tablero de ajedrez de Emma? ¿Qué propiedad de los exponentes demuestra esto?». (211)3 = 2(11)(3) = 233 = 8,589,934,592 granos de arroz; esto demuestra la propiedad de la potencia de una potencia.
2. Discute las siguientes preguntas: a. «¿Qué propiedad de los exponentes se demuestra en el cuadrado 1?». La propiedad del exponente cero. Cualquier número distinto de cero elevado a la potencia cero es igual a 1.
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GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS Integer Exponents
ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
Integer Exponents How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Know and apply the properties of integer exponents to generate equivalent numerical expressions. For example, 32× 3-5= 3–3 = 1/33 = 1/27.
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN
LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN
Notes and Feedback
DESCRIPCIÓN Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede utilizarse como evaluación formativa para los maestros y como autoevaluación para los estudiantes.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 folleto del maestro (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del maestro» y un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
1
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Folleto del estudiante» a cada uno.
Integer Exponents
Standards for Mathematical Practice
Notes and Feedback
Make sense of problems and persevere in solving them Reason abstractly and quantitatively
3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
Construct viable arguments and critique the reasoning of others Model with mathematics Use appropriate tools strategically
4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje.
Attend to precision Look for and make use of structure
5. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el «Folleto del maestro».
Look for and express regularity in repeated reasoning
Consider these reflection questions in this scope. ●
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them?
●
What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
2
FOLLETO PARA EL MAESTRO
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2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Exploración» y «Explicar» del alcance, evalúe formativamente su progreso tomando notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
6. Las notas anecdóticas proporcionadas en el «Folleto del maestro» pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares. 7. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la «Guía de instrucción andamiada» en la sección «Inicio» de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
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GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS
EVALUAR: MAPA DE CALOR
ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
MAPA DE CALOR DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
1. Dé un «Mapa de calor» a cada estudiante junto con lápices de colores rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s).
MATERIALES
2. Los estudiantes usan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el «Mapa de calor». Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los estudiantes colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, los estudiantes colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, los estudiantes colorean el cuadro correspondiente de rojo.
• 1 mapa de calor (por estudiante) • 1 lápiz de color rojo (por estudiante) • 1 lápiz de color azul (por estudiante) • 1 lápiz de color naranja (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Determine si los estudiantes analizarán su «Prueba de habilidades», la «Evaluación basada en estándares», o ambas.
3. Anímelos a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a utilizar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada.
• Imprima un «Mapa de calor» para cada estudiante. • Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
4. Consulte la «Guía de instrucción andamiada» que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
Integer Exponents
Integer Exponents
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
1. Which skill did you feel most confident with? Why?
Skills Quiz Standards
Know and apply the properties of integer exponents to generate equivalent numerical expressions. For example, 32 × 3-5= 3–3 = 1/33 = 1/27.
Refer to your answers on the Standards-Based Assessment. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key.
Reflection Questions
Red – misconception
Blue - miscalculation
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
Orange - explanation
Red - misconception
Standards-Based Assessment
Questions
Standards
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Integer Exponents
10
3. Which type of error did you most commonly make?
Know and apply the properties of integer exponents to generate equivalent numerical expressions. For example, 32 × 3-5= 3–3 = 1/33 = 1/27.
4. How can you avoid those errors in the future?
1
2
Questions
1
2
3
4
5
6
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8
9
10
3
MAPA DE CALOR
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GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS
INTERVENIR: REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES Integer Exponents
REMEDIAR Y VOLVER A ENSEÑAR
REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES
Checkup 1.
Rewrite y · y · y · y · y · y · y · y · y using an exponent.
2.
Simplify x4 · x4.
y9
DESCRIPCIÓN
x8 3.
4.
Express 11y–2 · y–4 as a simplified fraction.
Simplify 8x9 · x4 · x6 · y. 8x19y
5.
Express
6.
Simplify
7.
Express
8.
as a simplified exponent. y–3
. 2x
as a simplified fraction.
Simplify (x ) .
• 1 repaso (por estudiante) • 1 revisión general (por estudiante)
PREPARACIÓN
Simplify (y6 · x4)3.
• Imprima una copia de la «Revisión rápida», el «Revisión» y la «Revisión general» para cada estudiante.
18 12
y x
Simplify
IMPRESOS
• 1 lista de verificación para el maestro (por maestro)
2 6
x
10.
MATERIALES • 1 revisión rápida (por estudiante)
9
12
9.
Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para intervención.
.
• Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar la «Revisión».
CHECKUP CLAVE DE RESPUESTAS
• Si lo desea, imprima un ejemplo del «Esquema de anclaje» de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que usen la «Libreta interactiva» como recurso. • Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayudas suplementarias para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Dé una copia de la «Revisión rápida» a cada estudiante. 2. Cada uno debe completarla de forma independiente. 3. Use la rúbrica de habilidades al final de la «Revisión rápida» para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional. 4. Distribuya una copia de «Revisión» a cada uno. 5. Cada estudiante debe completar la «Revisión» como actividad de intervención o de forma independiente. a.
Si lo desea, reúna a los estudiantes en pequeños grupos para trabajar en las destrezas de repaso. Utilice el «Revisión» como ayuda para la reenseñanza.
6. Distribuya una copia de la «Revisión general» a cada uno. 7. Cada estudiante debe completarla de forma independiente. 8. Analice los resultados de la «Revisión general» al usar la «Lista de verificación para el maestro» para identificar quienes necesitan un repaso adicional y quienes han alcanzado el dominio de los conceptos.
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GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS
ACELERACIÓN: ¿QUÉ PREFERIRÍAS? Integer Exponents
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
¿QUÉ PREFERIRÍAS?: COCHE NUEVO DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
New Car Use mathematical reasoning and creativity to justify your answer to the Would You Rather question. Your family is looking at purchasing a new car! A small compact car costs about (5²)³, and an SUV costs about (5 ⋅ 7)³. Would you rather purchase the small compact car or the SUV? Justify your reasoning with mathematics. What is the purchase price of each vehicle?
MATERIALES IMPRESOS
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 rúbrica (por maestro)
Sample answers may include the following: I would rather purchase the small compact car because even though it is small, it won’t cost as much in gas. The small compact
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno. • Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
car also costs less money. The small compact car costs $15,625.
I would rather purchase the SUV because I would like to have the extra room in the vehicle. The SUV costs $42,875.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a mirar sus folletos de «Explorar» si necesitan repasar habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros. 4. Utilice la rúbrica proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
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1
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: EXPONENTES ENTEROS
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Integer Exponents
OPCIONES PARA APRENDER
TABLERO DE OPCIONES
Integer Exponents Choose one or more extension activities from the table below. Career Connection
Science Connection
Population Ecologist
Density
Research the career field of population ecology. Your research must answer the provided questions. Create a presentation to relay your research to the class.
Use the laws of integer exponents to solve the density problems on the handout. Then, use the data to answer the questions.
Technology Connection
Create Your Own
Excellent Exponents
Los estudiantes explorarán las conexiones con el mundo real y las aplicaciones del contenido matemático a través de interacciones con actividades atractivas.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 tablero de opciones (por estudiante)
Flash Cards
Use the graphing calculator to enter the data provided on the handout. Then, use the data to answer the questions.
Create your own set of flash cards to practice memorizing the laws for integer exponents. Practice them alone, or with a partner, or use them in a matching game.
Analogies
Financial Connection
Use the analogies to determine missing values, using the integer exponents laws.
DESCRIPCIÓN
• 1 juego de hojas de actividades (por estudiante) • 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante) REUTILIZABLE
• Tecnología (si corresponde)
Compound Interest
We use math every day in our financial world. Explore how much an investment will be worth after different periods of time by completing the handout.
PREPARACIÓN
• Imprima un «Tablero de opciones» y un juego de hojas de actividades para cada estudiante.
1
TABLERO DE OPCIONES
• Imprima una «Autoevaluación del tablero» para cada estudiante. • Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» a cada estudiante. 2. Dé tiempo a los estudiantes para examinar el «Tablero de opciones» y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anímelos a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del tablero, haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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GRADO 8 RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CÚBICAS GRADO 8
RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CÚBICAS ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: PAREO ALREDEDOR DEL AULA
ESTÁNDARES CLAVE Trabajar con radicales y exponentes enteros. • Utilizar los símbolos de raíz cuadrada y raíz cúbica para representar soluciones de ecuaciones de la forma x² = p y x³ = p, donde p es un número racional positivo. Evaluar raíces cuadradas de pequeños cuadrados perfectos y raíces cúbicas de pequeños cubos perfectos. Saber que _ √2 es irracional.
ESTÁNDARES DE CONEXIÓN Trabajar con radicales y exponentes enteros. • Conocer y aplicar las propiedades de los exponentes enteros para generar expresiones numéricas equivalentes. Por ej., 1 1 32 × 3-5 = 3-3 = ____ = ____ . 3 3
27
Los estudiantes participan en un ejercicio de emparejamiento para reforzar su comprensión de un estándar previo e identificar cualquier concepto erróneo. • Los estudiantes caminan por la habitación para emparejar tarjetas numeradas con tarjetas con letras y así demostrar sus conocimientos. • La actividad está diseñada para descubrir conceptos erróneos, como confundir exponentes con factores. • Se anima a los estudiantes a debatir su razonamiento con sus compañeros para mejorar la comprensión. • Si surgen dificultades, hay un ejercicio en «Constructor de bases fundamentales» para abordar las lagunas en conocimientos previos. CAPTAR INTERÉS Los estudiantes exploran el concepto de volumen al determinar el volumen de un cubo por medio del área de su cara superior. • Se introducen en un escenario del mundo real que implica elaborar de un joyero, lo que ayuda a contextualizar conceptos matemáticos. • Calculan la longitud lateral del cubo al hallar la raíz cuadrada del área de la cara superior. • Con la longitud lateral, los estudiantes aplican la fórmula para el volumen de un cubo para determinar el volumen total. • La actividad anima a los estudiantes a verificar sus cálculos y explorar problemas similares con diferentes dimensiones.
ACTIVIDADES DE EXPLORACIÓN EXPLORACIÓN 1: RAÍCES CUADRADAS Y CUADRADOS PERFECTOS Los estudiantes exploran el concepto de cuadrados perfectos y raíces cuadradas a través del trabajo práctico en grupo y de debates guiados. • Los estudiantes utilizan cubos conectables para modelar y calcular el área de marcos cuadrados, reforzando la relación entre las longitudes de los lados y el área. • Colaboran para hallar las longitudes de los lados de los cuadrados dada su área, por medio de patrones y operaciones inversas. • Los estudiantes trabajan con tarjetas de artesanía para determinar las medidas que faltan para las agarraderas cuadradas de punto donde aplican su comprensión de las raíces cuadradas. • La actividad concluye con una charla de matemáticas para debatir las observaciones y estrategias, seguida de un boleto de salida para evaluar la comprensión. EXPLORACIÓN 2: RAÍCES CÚBICAS Y CUBOS PERFECTOS Los estudiantes exploran el concepto de cubos perfectos y raíces cúbicas a través de tareas prácticas y colaborativas. • Los estudiantes utilizan cubos conectables para modelar y calcular el volumen de cajas de recuerdos en forma de cubo, al identificar patrones en cubos perfectos. • Colaboran en grupos para determinar las longitudes laterales de cajas de regalo decorativas por medio de raíces cúbicas donde aplican operaciones inversas. • Los estudiantes participan en debates para compartir estrategias y puntos de vista, y reforzar su comprensión de la relación entre cubos y raíces cúbicas. • La actividad concluye con una charla de matemáticas y un boleto de salida para evaluar la comprensión y facilitar la reflexión sobre el proceso de aprendizaje.
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GRADO RAÍCES CUADRADAS RAÍCES GRADO CÚBICAS RAÍCES 8: CUADRADAS Y RAÍCES Y CÚBICAS 8
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES Los estudiantes aprenden cómo se relacionan las raíces cuadradas y cúbicas con las formas geométricas, en especial cuando trabajan con cálculos de volumen y superficie. Usan exponentes enteros y raíces cuadradas para expresar las dimensiones de formas geométricas, como cubos y esferas, de este modo profundizan en su comprensión de cómo los números se relacionan con el espacio físico y la estructura. Se familiarizan con las raíces cuadradas y cúbicas, y a menudo tratan con números irracionales. Al aproximar los valores de las raíces cuadradas y cúbicas en una recta numérica, los estudiantes desarrollan una comprensión de cómo encajan los números irracionales en el sistema de números reales. Este proceso les ayuda a comparar números irracionales con números racionales cercanos y fomenta una comprensión más profunda de las relaciones numéricas. Este ejercicio permite interpretar patrones y tendencias en los datos y les ayuda a comprender cómo se comportan los números irracionales dentro de un contexto más amplio. Aunque en esta unidad no se usan gráficos de dispersión, la aproximación de las raíces cuadradas y cúbicas sienta las bases para analizar las relaciones espaciales en una recta numérica, lo que es paralelo a las habilidades necesarias para evaluar las distribuciones en los gráficos de dispersión. Esta conexión refuerza su razonamiento sobre patrones numéricos y visualizaciones de datos.
FIGURAS, NÚMEROS Y EXPRESIONES
INTERPRETAR DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN
La exploración de los números irracionales, en particular las raíces cuadradas y cúbicas, conecta directamente con la comprensión de los números grandes y pequeños al desarrollar su capacidad para aproximar valores con precisión y comparar magnitudes con eficacia. La determinación de la expansión decimal de fracciones introduce patrones como la terminación o la repetición de decimales. Las estrategias de estimación, como la identificación de límites entre cuadrados perfectos, profundizan su comprensión de las escalas numéricas. Estas actividades desarrollan el sentido numérico y permiten a los estudiantes desenvolverse con números grandes y pequeños, a la vez que les preparan para aplicaciones del mundo real que requieren precisión y escalas.
Los estudiantes trabajan con números irracionales, estiman sus expansiones decimales y las comparan con números racionales. Utilizan raíces cuadradas y raíces cúbicas para aproximar valores, lo que les ayuda a comprender cómo construir gráficas y tablas que incluyan tanto números racionales como irracionales. A medida que los estudiantes comparan estos valores, empiezan a reconocer patrones en los datos, como el hecho de que los números irracionales no pueden representarse con precisión mediante fracciones o decimales, pero pueden estimarse utilizando aproximaciones racionales.
NÚMEROS GRANDES Y PEQUEÑOS EXPLORACIONES PITAGÓRICAS
DATOS, GRÁFICAS Y TABLAS
CONCEPTOS CLAVE • Puedo utilizar los símbolos de raíz cuadrada y raíz cúbica para representar soluciones de ecuaciones. • Puedo evaluar raíces cuadradas de pequeños cuadrados perfectos. • Puedo evaluar raíces cúbicas de pequeños cubos perfectos. _
• Puedo identificar √2 como un número irracional. • Puedo explicar por qué las raíces cuadradas pueden ser positivas o negativas.
El trabajo de los estudiantes con las raíces cuadradas se aplicará posteriormente al teorema de Pitágoras, al comprender cómo el cuadrado de los catetos de un triángulo rectángulo conduce a un número irracional al resolver la hipotenusa en determinados casos. Esto les permite conectar el concepto de números irracionales con el razonamiento geométrico, por medio de las raíces cuadradas para hallar longitudes y resolver problemas relacionados con triángulos rectángulos.
PREGUNTAS FUNDAMENTALES • «¿Qué es un cuadrado perfecto?». • «¿Qué es un cubo perfecto?». • «Describe las propiedades de las raíces cuadradas en relación con pequeños cuadrados perfectos». • «Describe las propiedades de las raíces cúbicas en relación con pequeños cubos perfectos». • «Describe las diferencias entre cuadrados perfectos y cubos perfectos». _
• «¿Por qué √2 es un número irracional?». • «¿Por qué las raíces cuadradas pueden ser positivas o negativas?». • «¿Cuál es la relación entre una raíz cuadrada y los lados de un cuadrado?». • «¿Cuál es la relación entre una raíz cúbica y las aristas de un cubo?».
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GRADO 8: RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CÚBICAS
INICIO: CONTENIDO DE APOYO ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
CONTENIDO DE APOYO TÉRMINOS CLAVE
Trabajar con radicales y exponentes enteros. • Utilizar los símbolos de raíz cuadrada y raíz cúbica para representar soluciones a ecuaciones de la forma x2 = p y x3 = p, donde p es un número racional positivo. Evaluar raíces cuadradas de pequeños cuadrados perfectos y raíces _ cúbicas de pequeños cubos perfectos. Saber que √2 es irracional.
CONOCIMIENTOS PREVIOS En grado 5, los estudiantes comenzaron a denotar las potencias de números enteros de 10 con notación exponencial. En grado 6, los estudiantes escribían y evaluaban expresiones que contenían exponentes de números enteros. Los estudiantes se han encontrado con situaciones en las que necesitan expandir exponentes de números enteros con el fin de completar la resolución de una expresión numérica.
CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
• Los _ estudiantes pueden confundir un símbolo radical ( ) con un símbolo de división (Г).
√
• Los estudiantes pueden tener problemas para identificar una raíz cuadrada como el opuesto de un exponente al cuadrado y entender que, por tanto, ambos pueden anularse mutuamente. • Los estudiantes pueden tener problemas para identificar que una raíz cúbica es lo contrario de un exponente al cubo y que, por tanto, pueden anularse entre sí. • Al identificar números racionales, los estudiantes pueden tener problemas para identificar qué raíces cuadradas y cúbicas son irracionales.
ALCANCE ACTUAL Hasta este punto, los estudiantes han estado expuestos a los números cuadrados y cúbicos al comenzar a resolver ecuaciones y utilizar el orden de las operaciones. Ahora tendrán amplias oportunidades para trabajar de forma sistemática con los símbolos de raíz cuadrada y raíz cúbica a través de la _
_
escritura y la búsqueda de soluciones a ecuaciones. √25 =√52 3
_
= 5 or (√12 ) 3
• base: el número inferior de un exponente que se multiplica por sí mismo • número cúbico: un número a la potencia de tres, por ejemplo, 23 representa el número cúbico 8 y puede leerse como dos elevado al cubo o dos a la potencia de tres • raíz cúbica: un número que, cuando se multiplica por sí mismo tres veces, produce el número dado • exponente: una notación matemática que indica el número de veces que el número base se multiplica por sí mismo; también llamado potencia • número entero: cualquiera de los números enteros positivos, números enteros negativos y cero; cualquier miembro del conjunto de todos los números enteros y sus opuestos • inverso: el número u operación opuestos • número irracional: un número decimal que no puede expresarse como fracción, no es imaginario y no se repite ni termina • orden de las operaciones: conjunto de reglas que dictan qué operación matemática realizar primero, segundo, etc. al evaluar una expresión matemática • cubo perfecto: un número entero que es el resultado de otro número entero multiplicado por sí mismo tres veces • cuadrado perfecto: un número entero que es el resultado de otro número entero multiplicado por sí mismo • número racional positivo: un número a la derecha de (o mayor que) cero que puede expresarse como una fracción de dos números enteros • potencia: una notación matemática que indica el número de veces que el número base se multiplica por sí mismo; también llamado exponente • radical: símbolo que indica la raíz de una cantidad • número racional: número que puede escribirse como fracción de números enteros a/b, donde b ≠ 0; número que puede escribirse como cociente mediante dos números enteros • recíproco: uno de los dos números cuyo producto es 1; también llamado inverso multiplicativo • número cuadrado: número a la potencia de 2, por ejemplo, 32 representa el número 9 al cuadrado y puede leerse como «tres al cuadrado« o «tres a la potencia de dos» • raíz cuadrada: un número que, cuando se multiplica por sí mismo, produce el número dado
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GRADO 8: RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CÚBICAS
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
APLICAR LAS PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes trabajan para determinar el valor de áreas dada una longitud lateral y la longitud lateral dada el área. Deben dar sentido al problema para determinar la operación correcta antes de resolverlo. • MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: A medida que los estudiantes exploran el tema de las raíces cuadradas y cúbicas, utilizan símbolos y variables para representar las reglas y el proceso de resolución de expresiones. Los estudiantes explican las reglas y el proceso de resolución de expresiones que contienen raíces cuadradas y raíces cúbicas mediante operaciones inversas y representación de variables. • MP.3 Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros: Los estudiantes analizan y justifican sus conclusiones sobre raíces cuadradas y raíces cúbicas. Explican su razonamiento por medio de su comprensión de raíces y exponentes. • MP.4 Modelar con matemáticas: Los estudiantes modelan el área y el volumen utilizando raíces cuadradas y cúbicas. Toman el volumen o el área de una figura y usan la raíz cuadrada o cúbica para encontrar la longitud del lado. • MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas: Los estudiantes utilizan la estimación y una calculadora para ayudar a resolver las respuestas de apoyo al tomar la raíz cuadrada o raíz cúbica. A menudo se sienten abrumados o creen que no han calculado la raíz cuadrada o la raíz cúbica de forma adecuada, por lo que una calculadora puede ayudarles a sentirse seguros de su trabajo. Estiman sus respuestas en base a sus conocimientos previos sobre cuadrados perfectos y cubos perfectos. • MP.6 Prestar atención a la precisión: Los estudiantes atienden a la precisión cuando descubren y aplican la relación entre un número elevado al cubo y la raíz cúbica de un número. Asocian con precisión el exponente de 3 con la raíz cúbica y el exponente de 2 con la raíz cuadrada. • MP.7 Buscar y utilizar la estructura: Los estudiantes descubren que los valores que no son cuadrados perfectos bajo el radical no producen números enteros. Utilizan este conocimiento para predecir los valores de los radicales que se encuentran entre cuadrados perfectos. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes expresan regularidad en razonamientos repetidos al descubrir y aplicar la relación entre un número elevado al cubo y la raíz cúbica de un número. Reconocen la relación y son capaces de moverse entre las dos operaciones.
CUADRADOS Y RAÍCES CUADRADAS Los estudiantes serán capaces de encontrar la solución a un problema que contenga un cuadrado perfecto o una raíz cuadrada. Aplicarán su conocimiento de que los cuadrados perfectos son inversos a las raíces cuadradas para calcular la solución. Los estudiantes serán capaces de escribir valores inversos de la _ siguiente manera: x2 = p; por lo tanto, √p = x, donde x y p son números racionales. Los estudiantes también utilizarán sus conocimientos de las operaciones inversas para hallar las raíces cuadradas mediante la resolución de una ecuación. _
Ejemplo 1: «¿Cuál es la raíz cuadrada positiva de √121 ?». a. 121 b. 61 c. 10
La respuesta es 14 pies. Se espera que los estudiantes establezcan una ecuación que reconozca que la fórmula para el área de un cuadrado es A = s2. 196 = x2
d. 11 La opción de respuesta D es la respuesta correcta. Los estudiantes deberán sacar la raíz cuadrada de 121, que es 11, porque 112 = 121. Ejemplo 2: «Sally está poniendo una plataforma de hormigón en su patio trasero para construir un estanque y una zona con jardín donde relajarse. Se da cuenta de que tiene un área de 196 pies cuadrados que le gustaría convertir en un cuadrado. ¿Cuál sería la medida de cada lado del área cuadrada?».
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_
_
√
√196 = x2
_
√196 = x 14 = x Teniendo esto en cuenta, los estudiantes introducirán el área del jardín y sacarán la raíz cuadrada para hallar el valor de cada lado.
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GRADO 8: RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CÚBICAS
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO
CUBOS Y RAÍCES CÚBICAS Los estudiantes deberán encontrar la solución a un problema que contenga un cubo perfecto o una raíz cúbica. Aplicarán su conocimiento de que los cubos perfectos son inversos a las raíces cúbicas para calcular la solución. Los estudiantes serán capaces de escribir valores3 inversos de la siguiente manera: x3 = p; por lo _ tanto, √p = x, donde x y p son números racionales. Los estudiantes también usarán su conocimiento de operaciones inversas para encontrar las raíces cúbicas a través de la resolución de una ecuación. Ejemplo 1: «¿Qué valor positivo de y hace que la siguiente ecuación sea verdadera?». y3 = 729 a. 9 b. 243 c. 7 d. 19 La opción de respuesta A es correcta. Los estudiantes tendrán que sacar la raíz cúbica de 729 para obtener 9. Este sería el valor positivo que hace que la ecuación sea verdadera. y3 = 729 3 _
√
3 _
y3 = √729 3 _
y = √729 y=9
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Ejemplo 2: «Billy está intentando enviar una figura de cristal de 9 pulgadas de alto. Tiene una caja cuadrada que tiene un volumen de 343 pulgadas3. Billy cree que en la caja cabrá su figura de vidrio para enviarla porque la altura de la caja es de 100 pulgadas. ¿Crees que Billy puede utilizar la caja para enviar su figura de cristal? Justifica tu respuesta». La respuesta es no. Las explicaciones de los estudiantes pueden variar. Billy acaba de dividir el volumen por 3 pulgadas tratando de hallar las 3 dimensiones de la caja (alto, ancho y largo). Esto es incorrecto. Como la fórmula del volumen de un cubo es s3 = volumen, Billy habría tenido que sacar la raíz cúbica del volumen para obtener cada lado. La altura real de la caja es de 7 pulgadas, por lo que la figura de cristal no cabría. s3 = 343 3 _
√
3 _
s3 = √343 3 _
s = √343
s = 7 pulgadas
AVANCES En secundaria, los estudiantes ampliarán sus conocimientos de radicales a medida que comienzan a expandir y simplificar radicales dentro de ecuaciones. Los estudiantes se centrarán en las propiedades de los exponentes racionales para encontrar las raíces de varias expresiones a través de polinomios, el teorema de Pitágoras, y el área compleja y preguntas de volumen.
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GRADO 8: RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CÚBICAS
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO ANÁLISIS PROFUNDO DE LOS ESTÁNDARES
CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES Trabajar con radicales y exponentes enteros. • Utilizar los símbolos de raíz cuadrada y raíz cúbica para representar soluciones a ecuaciones de la forma x2 = p y x3 = p, donde p es un número racional positivo. Evaluar raíces cuadradas de pequeños cuadrados perfectos y raíces cúbicas _ de pequeños cubos perfectos. Saber que √2 es irracional.
DESGLOSAR EL ESTÁNDAR VERBOS: ¿QUÉ DEBERÍAN HACER LOS ESTUDIANTES?
• evaluar: determinar o calcular el valor numérico de algo • conocer: capacidad de identificar y comprender una idea, fórmula o habilidad • representar: mostrar cómo se relacionan los términos; representar otra cosa • usar: aplicar una estrategia • trabajar: hacer una tarea específica
SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBEN CONOCER LOS ESTUDIANTES?
• raíz cúbica: un número que, cuando se multiplica por sí mismo tres veces, produce el número dado • ecuación: una oración matemática que utiliza números, uno o más símbolos de operación y un signo igual • exponente entero: un número entero positivo o negativo o cero que indica el número de veces que una base se multiplica por sí misma • número irracional: un número decimal que no puede expresarse como fracción, no es imaginario y no se repite ni termina • cubo perfecto: un número entero que es el resultado de otro número entero multiplicado por sí mismo tres veces • cuadrado perfecto: un número entero que es el resultado de otro número entero multiplicado por sí mismo • número racional positivo: un número a la derecha de (o mayor que) cero que puede expresarse como una fracción de dos enteros • radical: un símbolo que indica la raíz de una cantidad • número racional: un número que puede escribirse a , donde b ≠ 0; un como una fracción de enteros __ b número que puede escribirse como un cociente usando dos enteros • solución: cualquier número que hace que una ecuación sea verdadera • raíz cuadrada: un número, que cuando se multiplica por sí mismo, produce el número dado • símbolo: una marca o carácter usado como representación de un objeto, función o proceso
IMPLICACIONES PARA LA INSTRUCCIÓN
• En grados anteriores, los estudiantes han escrito y evaluado expresiones que involucran exponentes de números enteros. Los estudiantes aprendieron potencias de 10 de números enteros sin usar la forma exponencial. Luego aprendieron a usar otras potencias exponenciales y a resolver problemas que incluyen sumar y restar números enteros. Los estudiantes han utilizado exponentes para escribir la factorización de números primos. • En este nivel de grado, se espera que los estudiantes evalúen raíces cuadradas y cúbicas de pequeños cuadrados perfectos y pequeños cubos perfectos. Los estudiantes aprenden que elevar al cuadrado y al cubo es la operación inversa de encontrar raíces cuadradas y cúbicas. Los estudiantes comienzan a reconocer cuadrados perfectos y cubos perfectos.
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GRADO 8: RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CÚBICAS
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
ALINEACIÓN VERTICAL GRADO
ESTÁNDAR
6
Entender la resolución de una ecuación o desigualdad como un proceso de respuesta a una pregunta: ¿qué valores de un conjunto especificado, si los hay, hacen que la ecuación o desigualdad sea verdadera? Utilizar la sustitución para determinar si un número dado de un conjunto especificado cumple una ecuación o desigualdad.
Aplicar y ampliar conocimientos previos de suma y resta para sumar y restar números racionales; representar sumas y restas en un diagrama de línea numérica horizontal o vertical. a.
Describir situaciones en las que cantidades opuestas se combinan para formar 0.
b.
Entender p+q como el número situado a una distancia |q| de p, en sentido positivo o negativo, depende si q es positivo o negativo. Demostrar que un número y su opuesto tienen suma 0 (son inversos aditivos). Interpretar sumas de números racionales al describir contextos del mundo real.
c.
Entender la resta de números racionales como la suma del inverso aditivo, p - q = p + (-q). Demostrar que la distancia entre dos números racionales en la recta numérica es el valor absoluto de su diferencia, y aplicar este principio en contextos del mundo real.
d.
Aplicar propiedades de las operaciones como estrategias para sumar y restar números racionales.
7
Aplicar y extender conocimientos previos de multiplicación y división y de fracciones para multiplicar y dividir números racionales.
7
a.
Entender que la multiplicación se extiende de fracciones a números racionales al requerir que las operaciones continúen satisfaciendo las propiedades de las operaciones, en particular la propiedad distributiva, al llevar productos como (-1)(-1)=1 y las reglas para multiplicar números con signo. Interpretar productos de números racionales al describir contextos del mundo real.
b.
Comprender que los números enteros pueden dividirse, siempre que el divisor no sea cero, y que todo cociente de números enteros (con divisor distinto de cero) es un número racional. Si p y q son números enteros, entonces -(p/q) = (-p)/q=p/(-q). Interpretar cocientes de números racionales al describir contextos del mundo real.
c.
Aplicar propiedades de las operaciones como estrategias para multiplicar y dividir números racionales.
d.
Convertir un número racional en decimal por medio de la división larga; saber que la forma decimal de un número racional termina en 0s o se repite eventualmente.
7
Resolver problemas matemáticos y del mundo real que impliquen las cuatro operaciones con números racionales.
8
Utilizar los símbolos de raíz cuadrada y raíz cúbica para representar soluciones a ecuaciones de la forma x2 = p y x3 = p, donde p es un número racional positivo. Evaluar raíces cuadradas de pequeños cuadrados perfectos y raíces cúbicas de pequeños cubos perfectos. _ Saber que √ 2 es irracional.
8
Conocer las fórmulas de los volúmenes de conos, cilindros y esferas y utilizarlas para resolver problemas matemáticos y del mundo real.
escuela secundaria
Crear ecuaciones e inecuaciones en una variable y utilizarlas para resolver problemas. Incluir ecuaciones que surjan de funciones lineales y cuadráticas, y funciones racionales y exponenciales simples.
Resolver ecuaciones cuadráticas en una variable. escuela secundaria
escuela secundaria
a. Utilizar el método de completar el cuadrado para transformar cualquier ecuación cuadrática en x en una ecuación de la forma (x - p)2 = q que tenga las mismas soluciones. Derivar la fórmula cuadrática a partir de esta forma. b. Resolver ecuaciones cuadráticas por inspección (por ejemplo, para x2 = 49), tomando raíces cuadradas, completando el cuadrado, la fórmula cuadrática y la factorización, según corresponda a la forma inicial de la ecuación. Reconocer cuándo la fórmula cuadrática da soluciones complejas y escribirlas como a ± bi para números reales a y b.
Explicar cómo la definición del significado de exponentes racionales se desprende de extender las propiedades de exponentes enteros a esos valores, al permitir una notación para radicales en términos de exponentes racionales.
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GRADO 8: RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CÚBICAS
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA MONITOREAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA La guía de instrucción andamiada se proporciona para que los maestros puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones del alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que ayuda a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de la evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos según los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere que todos los estudiantes experimenten con los elementos: «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades», ya que cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar. 0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
80 % - 100 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil pueden trabajar en contenido de nivel de grado con apoyos de instrucción.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» individual para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 2. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante de acuerdo con sus datos de evaluación. 3. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la sección «Scaffolded Instruction Guide» en el menú desplegable «Home» del alcance. 4. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Operaciones y Pensamiento algebraico Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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GRADO 8: RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CÚBICAS
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
0 % - 25 % 25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyos)
(Refuerzo del grado anterior)
Utilizar los símbolos de raíz cuadrada y raíz cúbica para representar soluciones a ecuaciones de la forma x2 = p y x3 = p, donde p es un número racional positivo. _Evaluar raíces cuadradas de pequeños cuadrados perfectos y raíces cúbicas de pequeños cubos perfectos. Saber que √2 es irracional.
6 - Ecuaciones y desigualdades Repaso de habilidades y práctica Constructor de fluidez • Ecuaciones y desigualdades Prueba de habilidades
8 - Raíces cuadradas y raíces cúbicas Acceso a conocimientos previos Constructor de fluidez Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida • Repaso • Revisión
8 - Raíces cuadradas y raíces cúbicas
50 % - 80 %
(Nivel de grado)
Vocabulario con imágenes Vocabulario interactivo Libreta interactiva Práctica interactiva • Despegue Constructor de fluidez • Raíces cuadradas y raíces cúbicas Ciencia de datos
(Ampliación del nivel de grado)
80 % - 100 %
Conexiones lingüísticas
8 - Raíces cuadradas y raíces cúbicas Tareas de representación matemática ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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GRADO 8: RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CÚBICAS Square Roots and Cube Roots
ATRAER: ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS EVALUAR PREVIAMENTE EL CONOCIMIENTO DEL ESTUDIANTE
Match around the Room – Card 1
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: PAREO ALREDEDOR DEL AULA
6×6
ESTÁNDAR PREVIO Escribir y evaluar expresiones numéricas que involucren exponentes de números enteros.
DESCRIPCIÓN 1
Square Roots and Cube Roots
Los estudiantes emparejarán tarjetas numeradas con tarjetas con letras, colocadas alrededor del salón para demostrar su conocimiento del estándar previo. Este elemento está diseñado para descubrir los conceptos erróneos de los estudiantes; no debe tomarse para una calificación.
MATERIALES
Match around the Room – Card 2
IMPRESOS
• 1 conjunto de tarjetas para emparejar alrededor del aula (por clase)
2×2×3
PREPARACIÓN
• Imprima un conjunto de tarjetas para emparejar alrededor del aula. • Cuélguelas en orden aleatorio por el aula.
2
Square Roots and Cube Roots
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Pida a los estudiantes que escriban los números 1, 2 y 3 en una hoja de papel. 2. Pídales que caminen por el aula con sus papeles. A medida que los estudiantes caminan por la sala, deben ver las tarjetas numeradas y emparejarlas con las tarjetas con letras. 3. Permita que los estudiantes compartan su pensamiento con sus compañeros.
Match around the Room – Card 3
a. La tarjeta 1 coincide con la tarjeta B. b. La tarjeta 2 coincide con la tarjeta A.
3
4
c. La tarjeta 3 coincide con la tarjeta C. 4. Si los estudiantes tienen dificultades para completar esta tarea, continúe con el «Constructor de bases fundamentales» con el fin de llenar este vacío en el conocimiento previo antes de pasar a otras partes del alcance. 3
PAREO ALREDEDOR DEL AULA
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IDENTIFICACIÓN DE CONCEPTOS ERRÓNEOS
• Los estudiantes pueden confundir un exponente con un factor y multiplicar el número entero por el exponente.
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GRADO 8: RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CÚBICAS
ATRAER: CAPTAR INTERÉS LECCIÓN MOTIVADORA
CAPTAR INTERÉS
Square Roots and Cube Roots
Thinking Outside the Box Area of top face of cube is 64 in2.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes determinan el volumen de un cubo al basarse en el área de la cara superior.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diapositiva «Pensar creativamente» (por clase) REUTILIZABLE
• 1 fenómeno (por clase)
1
PENSAR CREATIVAMENTE
PREPARACIÓN
• Planee mostrar el fenómeno. • Prepárese para proyectar la diapositiva «Pensar creativamente» para que toda la clase la vea. • Prepárese para presentar el escenario y anime a los estudiantes a pensar en cómo resolverlo. Prepárese para pasar a las actividades de «Exploración», volviendo a la actividad «Captar interés» con los nuevos conocimientos adquiridos una vez finalizadas las exploraciones.
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GRADO 8: RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CÚBICAS
ATRAER: CAPTAR INTERÉS
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA
PARTE II: DESPUÉS DE EXPLORAR
1. Presente esta actividad hacia el comienzo del alcance. La clase retomará la actividad y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades de «Exploración» correspondientes.
1. Después de que los estudiantes hayan completado las actividades de exploración para este tema, muestre nuevamente el fenómenos y repita el escenario.
2. Muestre el fenómeno. Formule a los estudiantes las siguientes preguntas: «¿Qué observas?». «¿Dónde puedes ver matemáticas en esta situación?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. 3. Explique el escenario a la clase: «Prisha asiste a una clase de arte después de clase. Ha comenzado un proyecto para crear coloridos joyeros decorados que venderá para la próxima festividad de Diwali. Para empezar, ha creado una caja de prueba. Es una caja hueca hecha con finísimas láminas de madera en forma de cubo con una costura casi invisible que esconde una tapa extraíble. Pintará el exterior de la caja con colores brillantes. Cubrirá la parte superior con papel de contacto plateado decorativo y, a continuación, con bonitas joyas de cristal. También necesita determinar el volumen del joyero para poder decir a los clientes cuánto espacio tendrán para las joyas». 4. Permita que los estudiantes hagan preguntas y aclaren el contexto según sea necesario. Anímelos a compartir sus ideas y experiencias con la clase con las siguientes preguntas: a. «¿Qué sabes sobre Diwali?». b. «¿Has hecho alguna vez un joyero?». 5. Proyecto «Pensar creativamente». 6. Explique a los estudiantes que Prisha conoce el área de la parte superior de su primer cubo joyero de madera, por lo que puede cortar el tamaño correcto de papel de contacto plateado para utilizar en él. Utilizará esa información sobre el área de la parte superior para determinar el volumen de la caja. Comente las siguientes preguntas con la clase: a. DOK-1 «Si la caja es un cubo, ¿qué forma bidimensional tiene la parte superior de la caja?». Un cuadrado b. DOK-1 «¿Cuál es la fórmula para determinar el área de un cuadrado?». A = s2 c. DOK-1 «¿Cuál es el área de la cara superior de la caja?». 64 pulgadas cuadradas 7. Continúe para completar las actividades de exploración.
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2. Refiérase a la diapositiva «Pensar creativamente» y comente las siguientes preguntas con la clase: a. DOK-1 «Si la caja es un cubo, ¿qué forma bidimensional tiene la parte superior de la caja?». Un cuadrado b. DOK-1 «¿Cuál es la fórmula para determinar el área de un cuadrado?». A = s2 c. DOK-1 «¿Cuál es el área de la cara superior de la caja?». 64 pulgadas cuadradas d. DOK-1 «¿Cómo puede ayudar a Prisha conocer el área de la cara superior para determinar las longitudes de los lados del cuadrado superior?». Como la cara superior del cubo es un cuadrado, significa que ambos lados tienen la misma longitud. La fórmula del área de un cuadrado es A = s2. Por lo tanto, la longitud de un lado es la raíz cuadrada del área. _
e. DOK-1 «¿Cuál es la √64 ?». 8
f. DOK-1 «Si la longitud de cada lado de la cara superior del cubo es de 8 pulgadas, ¿qué significa eso respecto a las longitudes de todas las aristas del cubo? Explica». Cada arista del cubo mide 8 pulgadas. Esto se debe a que en un cubo, todas las aristas tienen la misma longitud. El lado del cuadrado de arriba es también una de las aristas del cubo. g. DOK-1 «¿Cuál es la fórmula para el volumen de un cubo?». V = s3, que es la misma que la fórmula del volumen de un prisma rectangular (porque un cubo es un prisma rectangular), V = lwh. Como la longitud, la anchura y la altura son iguales en un cubo, es lo mismo que lado × lado × lado o s3. h. DOK-1 «¿Cuál es el volumen del joyero?». El volumen del joyero es 512 pulgadas cúbicas (512 en3) porque 8 × 8 × 8 = 512. i. DOK-1 «¿Cómo podrías comprobar si el volumen de 512 es correcto?». Halla la raíz cúbica de 512. 3 _
El √512 = 8, así que la respuesta es correcta.
3. Si el tiempo lo permite, haga que los estudiantes exploren preguntas similares usando cajas de diferentes tamaños, como un joyero hecho con la cara superior que tenga un área de 144 pulgadas cuadradas o 256 pulgadas cuadradas.
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GRADO 8: RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CÚBICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 1: RAÍCES CUADRADAS Y CUADRADOS PERFECTOS Estándar(es) • Trabajar con radicales y exponentes enteros. Usar símbolos de raíz cuadrada y raíz cúbica para representar soluciones a ecuaciones de la forma x2 = p y x3 = p, donde p es un número racional positivo. Evaluar raíces cuadradas de pequeños cuadrados perfectos y raíces cúbicas de pequeños cubos perfectos. Saber que es irracional. Ideas fundamentales
Estándares para la práctica matemática
Conexiones de contenido
Interpretar gráficas de dispersión
MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente
Datos, gráficas y tablas
MP.4 Modelar con matemáticas
CC2 Explorar cantidades cambiantes
Exploraciones pitagóricas
MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas
CC3 Separar enteros, unir partes
MP.8 Buscar y expresar regularidades en razonamientos repetidos
CC4 Descubrir la forma y el espacio
Números grandes y pequeños Formas, números y expresiones
DESCRIPCIÓN Los estudiantes encontrarán patrones para reconocer que las soluciones a cuadrados perfectos nunca pueden ser negativas. Aplicarán su conocimiento de que los números cuadrados son inversos a las raíces cuadradas para calcular soluciones a problemas que contengan un cuadrado perfecto o una raíz cuadrada.
MATERIALES IMPRESOS
CC1 Razonar con datos
Motores de investigación DI1 Dar sentido al mundo (comprender y explicar) DI2 Predecir lo que podría ocurrir (predecir)
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Lea el escenario en voz alta: «Tu familia ha decidido participar en una feria de artesanías este año. Estás decidido a ayudar a tu abuela a crear hermosos marcos para vender en la feria de artesanías. Tu abuela dice que la parte de atrás de cada marco tiene una base de cartón para mantener la foto en su lugar. Ella está haciendo muchos marcos de diferentes tamaños, pero todos los marcos serán cuadrados perfectos. Ayuda a tu abuela a determinar el área de cada tamaño de marco para poder crear los respaldos de cartón».
• 1 diario del estudiante (por estudiante)
2. Entregue 16 cubos conectables a cada estudiante.
• 1 conjunto de tarjetas de artesanía (por grupo)
3. Haga las siguientes preguntas a los estudiantes:
• 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes)
a.
DOK-1 «El primer marco cuadrado que tu abuela está haciendo tiene una longitud lateral de 1 unidad. ¿Cómo podemos modelar este marco con los cubos conectables?». Podemos sacar 1 cubo conectable para mostrar un cuadrado con una longitud lateral de 1 unidad.
b.
DOK-1 «¿Cuál es la medida de cada lado del marco cuadrado?». Cada lado de este cuadrado mide 1 unidad de longitud.
c.
DOK-1 «¿Qué fórmula puedes usar para determinar el área de un marco cuadrado?». Para hallar el área de un cuadrado, podemos utilizar la fórmula A = s2.
d.
DOK-1 «¿Cuál es el área del marco cuadrado con una longitud lateral de 1 unidad?». Usando la fórmula A = s2, resuelvo 12, que es 1. El área de un marco cuadrado con una longitud lateral de 1 unidad es 1 unidad cuadrada.
REUTILIZABLE
• 16 cubos conectables (por estudiante) • 1 bolsa resellable (por grupo)
PREPARACIÓN
• Planifique dividir la clase en grupos de 2 o 3 para completar esta actividad. • Imprima un «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima un conjunto de tarjetas de artesanía para cada grupo. Recorte las tarjetas y coloque cada conjunto dentro de una bolsa resellable. Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para utilizarlas en el futuro. • Imprima un documento «Boleto de salida» cada 2 estudiantes. Recorte los boletos de salida de media página para que cada estudiante tenga uno. • Reúna 16 cubos conectables por estudiante. • ¡Hazlo digital! Haga que los estudiantes exploren o presenten sus soluciones utilizando manipulativos virtuales. Los manipulativos utilizados en esta lección se pueden encontrar en el menú desplegable «Explore» y se pueden asignar digitalmente a los estudiantes.
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4. Entregue un diario del estudiante a cada estudiante. 5. Explique a los estudiantes que colaborarán con sus grupos y usarán los cubos conectables para determinar el área de marcos cuadrados con longitudes laterales de 2 unidades y 3 unidades. A continuación, pídales que determinen la longitud lateral de un marco cuadrado con un área de 16 unidades cuadradas. Indique a los estudiantes que utilicen los patrones que encuentren para completar la tabla de la parte I del diario del estudiante. ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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GRADO 8: RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CÚBICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
Square Roots and Cube Roots Explore 1
Square Roots and Cube Roots Explore 1
Reflect
Frame It!
1.
Part I
What patterns do you notice in the table of side lengths and area measurements? I notice that the side length squared will always give the area of the square frame.
Use linking cubes to complete the table of side lengths and areas. Side Length
Area
Equation (s2 = A)
1
1
12 = 1
2
4
22 = 4
3
9
32 = 9
4
16
42 = 16
5
25
52 = 25
6
36
62 = 36
7
49
72 = 49
8
64
82 = 64
2.
I can find the area by squaring the side length.
3.
9
81
92 = 81
10
100
102 = 100
11
121
112 = 121
12
144
122 = 144
13
169
132 = 169
When given the side length, how can you determine the area?
When you were given that the area of a square was 16, how did you know the side length? I can find the side length by determining what number squared equals 16.
4.
What equation represents finding the area of a square with a side length of 15? To find the area of a square with a side length of 15, I would solve 15² = area.
5.
What equation could you write to find the side length of a square with an area of 225? I can write the equation s² = 225.
1
2
Square Roots and Cube Roots Explore 1
Square Roots and Cube Roots Explore 1
Part II
Reflect
Use your knowledge of perfect squares and square roots to determine the side length of each option.
1.
Option 1
We can use square roots to find the solution to the equation x² = p. Explain what happens in each step of the problem below. The equation is given.
Option 2
Inverse operations are performed. The square root of 36 is 6.
2.
What is
? Explain how you know.
I can find the square root of 25, which is 5. Then I can square 5, which is 25. So
Option 3
3.
Option 4
is 25.
Do you think that all solutions to whole number square roots are integers? Use the number line below to help explain your answer.
No, I do not think that all whole number square root solutions are integers. Looking at the number line, we know that 2² = 4 or that 3² = 9 or
. We also know
. We can determine that the square roots of 5, 6, 7, and
8 must be between the integers 2 and 3. Therefore, these solutions are not integers; they are decimal numbers.
3
4
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CÚBICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 6. Supervise y evalúe la comprensión de los estudiantes mientras cada grupo colabora con las siguientes preguntas orientativas: a.
DOK-2 «¿Qué sabes sobre la longitud de los lados de un cuadrado?». Todas las longitudes laterales de un cuadrado tienen la misma medida.
b.
DOK-2 «¿Qué puedes hacer para determinar la longitud lateral de un cuadrado cuando se te da el área del cuadrado?». Cuando me dan el área, puedo determinar qué número multiplicado por sí mismo me da la medida del área. El número multiplicado por sí mismo que me da la medida del área es la longitud del lado.
c.
DOK-2 «¿Cómo puedo determinar la longitud del lado si no sé qué número al cuadrado me da el área?». Puedo usar un método de adivinar y verificar para elevar números al cuadrado hasta que llegue al valor del área.
7. Dé tiempo a los estudiantes para completar la parte I y las preguntas de reflexión. 8. Después de la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje. CHARLA DE MATEMÁTICAS
c.
DOK-2 «¿Qué estrategia podría usar para determinar la raíz cuadrada de una fracción?». Primero, puedo hallar la raíz cuadrada del numerador. Luego, puedo hallar la raíz cuadrada del denominador. Una vez que tengo la raíz cuadrada de cada parte de la fracción, puedo escribir la nueva fracción.
d.
DOK-1 «¿Cuál es la raíz cuadrada de 81?». La raíz cuadrada de 81 es 9, porque 9 por 9 es 81.
e.
DOK-1 «¿Cuál es la raíz cuadrada de 121?». La raíz cuadrada de 121 es 11, porque 11 por 11 es igual a 121.
f.
DOK-1 «¿Cuál es la raíz cuadrada de _____ ?». La raíz 121 9 81 será ___ , porque 92 = 81 y 112 = 121. cuadrada de _____ 11 121
5. Explique que la abuela ha proporcionado el área como raíz cuadrada en cada una de las tarjetas de artesanía. Los estudiantes trabajarán con sus grupos para encontrar las medidas que faltan en las tarjetas restantes. 6. Supervise y evalúe la comprensión de los estudiantes mientras cada grupo colabora y formule las siguientes preguntas orientativas: a.
DOK-2 «¿Qué sabes sobre las longitudes de los lados de un cuadrado?». Todas las longitudes laterales de un cuadrado tienen la misma medida.
b.
DOK-2 «¿Qué puedes hacer para determinar la longitud lateral de un cuadrado cuando se te da el área del cuadrado?». Cuando me dan el área, puedo determinar qué número multiplicado por sí mismo me da la medida del área. El número multiplicado por sí mismo que me da la medida del área es la longitud del lado.
c.
DOK-2 «¿Cómo puedo determinar el cuadrado perfecto?». Puedo comenzar con el cuadrado perfecto más grande que conozco y luego usar un método de adivinar y verificar para elevar números al cuadrado hasta que llegue al valor del área.
• DOK-2 «Describe la relación entre la longitud del lado de un cuadrado y su área». El área de cada cuadro cuadrado es el valor de la longitud del lado al cuadrado. • DOK-2 «Cuando se te da el área, ¿cómo puedes determinar la longitud del lado de un cuadrado?». Determiné qué número al cuadrado es igual al área. «Los matemáticos llaman a esto hallar la raíz cuadrada. La raíz cuadrada de un número es la operación inversa de elevar el número al cuadrado». (Muestre a los estudiantes cómo es el símbolo de la raíz cuadrada.) PARTE II
1. Lea la situación en voz alta: «Tu abuela ha decidido que también le gustaría hacer agarraderas cuadradas de punto para venderlas en la feria de artesanías. Ha determinado 4 estilos diferentes de agarraderas de punto y necesita tu ayuda para determinar sus medidas. Ayuda a tu abuela a encontrar las medidas que faltan para cada una de las agarraderas de punto». 2. Entregue un conjunto de tarjetas de artesanía a cada grupo. 3. Explique a los estudiantes que colaborarán con sus grupos para utilizar las tarjetas de artesanía para encontrar las medidas que faltan de cada una de las agarraderas cuadradas de punto. 4. Pida a los estudiantes que busquen en la tarjeta la opción 2 y lean la información con su grupo. Formule las siguientes preguntas: a.
DOK-1 «¿Qué observas en el área de esta agarradera de punto?». El área de esta tarjeta es una fracción.
b.
DOK-2 «¿Cómo puedo determinar la longitud del lado de la agarradera cuadrada dada el área?». Puedo hallar la raíz cuadrada del área para hallar la longitud del lado ya que el lado al cuadrado da el área.
81
7. Dé tiempo a los estudiantes para completar la parte II y las preguntas de reflexión. 8. Después de la parte II, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Cuál es la relación entre los cuadrados perfectos y las raíces cuadradas? Da un ejemplo para explicar». Elevar al cuadrado y sacar raíces cuadradas son operaciones inversas. Por ejemplo, si me dan la raíz cuadrada de 100, puedo pensar qué número elevado al cuadrado (o número multiplicado por sí mismo) será igual a 100. La raíz cuadrada de 100 es 10. • DOK-2 «A dos estudiantes se les da la ecuación x² = 81. Johans dice que x = 9 porque 9(9) = 81. Shiloh dice que x = -9 porque (-9)(-9) = 81. ¿Quién tiene razón? Explica tu respuesta». Ambos estudiantes tienen razón porque 9 por 9 es 81 y -9 por -9 es 81. _
• DOK-2 «¿Es ()2 = 52? Explica». Sí, (√25 )2 = 52 porque cuando elevas al cuadrado la raíz cuadrada, estás usando _ operaciones inversas. Entonces (√25 )2 es 25 y 52 es 25.
• DOK-2 «¿Crees que todas las soluciones de las raíces cuadradas de números enteros son números enteros?». No, no todas las raíces cuadradas de números enteros tienen soluciones enteras. 9. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el boleto de salida para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
100
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GRADO 8: RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CÚBICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Square Roots and Cube Roots Explore 1
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
What’s the Square? Exit Ticket
• Asegúrese de completar el esquema de anclaje como clase. Una vez que lo hayan completado, pida a los estudiantes que completen individualmente su libreta interactiva.
Determine the solution for each of the square roots. x² = 100
opyediting and on
root expressions are with Equatio.
APOYOS PEDAGÓGICOS
7
x = 10
5 14
3
Square Roots and Cube Roots Explore 1
What’s the Square? Exit Ticket Determine the solution for each of the square roots.
2. A algunos estudiantes curiosos les puede venir bien entender cómo se relaciona la raíz cuadrada con los exponentes. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 9 es lo mismo 1 1 __ __ que 9 (2 ). Una forma de entender 9 (2 )es primero determinar qué factor es igual a 9 cuando se multiplica por sí mismo, y luego tomar la mitad de esos factores. Por ejemplo, como 3 x 3 = 9, la mitad de esos factores son tres.
x² = 100 x = 10
7
3
5 14
1. Para ayudar a solidificar la comprensión de los estudiantes de la raíz cuadrada como una operación, pida a los estudiantes que nombren algunas operaciones que conozcan (por ejemplo, sumar, restar, multiplicar, dividir, etc.). Explique que una operación nos dice que hagamos algo a un número; por ejemplo, 3 + 4 nos dice que sumemos 4 a 3. Del mismo modo, la operación de raíz cuadrada toma un número dado, x, y determina qué otro número al multiplicarse por sí mismo nos da x. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 9 es 3, ya que 3 multiplicado por sí mismo es 9.
1
La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de exploración. Consulte las estrategias a continuación para conocer las formas de apoyar el desarrollo del lenguaje del estudiante.
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
Square Roots and Cube Roots Part 1
Square Roots and Perfect Squares Maya is planning to dig up a section of her backyard to start a garden. She wants the garden to be in the shape of a square, but she has not decided how large she wants it to be. Determine the side length of the garden for each given area.
81 9² = _______
49 –7² = _______
196 14² = _______
144 –12² = _______
289 17² = _______
441 –21² = _______
8, –8 √64 = _______
13, –13 √169 = _______
15, –15 √225 = _______
–18 √324 = 18, _______
11, –11 √121 = _______
–25 √625 = 25, _______
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE
Los estudiantes utilizarán técnicas de aprendizaje como mapas conceptuales, dibujos, comparaciones, contrastes, memorización y repasos para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado. Principiante: Como actividad previa a la lección para repasar el área, coloque bloques cuadrados y rectangulares hechos de cubos conectables alrededor del aula (cada bloque de cubos debe ser de un color). Proporcione a los estudiantes una hoja en la que aparezcan diferentes áreas en la primera columna y pídales que escriban el color del bloque en la segunda columna. Por ejemplo, si los estudiantes encuentran un bloque de 3 por 5 de cubos amarillos, escribirán amarillo junto al área que indica 15 unidades al cuadrado. Intermedio: Como actividad previa a la lección para repasar el área, coloque bloques cuadrados y rectangulares hechos de cubos conectables alrededor del aula (cada bloque de cubos debe ser de un color). Los estudiantes deben buscar todos los bloques de cubos y sus áreas. Proporcione a los estudiantes una hoja con dos columnas. Algunos colores o áreas de los bloques pueden estar previamente identificados en las columnas y los estudiantes tendrán que determinar el color o área del bloque que falta.
Is it possible for a perfect square to be negative? Explain your thinking. No, a perfect square is the result of a number times itself. If you multiply a positive number by itself, the result is positive. If you multiply a negative number by itself, the result is positive.
1
Avanzado: Como actividad previa a la lección para repasar el área, coloque bloques cuadrados y rectangulares hechos de cubos conectables alrededor del aula (cada bloque de cubos debe ser de un color). Los estudiantes deben buscar todos los bloques de cubos y sus áreas. Proporcione a los estudiantes una hoja con dos columnas. Algunos colores o áreas de los bloques pueden estar identificados previamente en las columnas y los estudiantes tendrán que determinar el color o el área del bloque que falta.
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CÚBICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 2: RAÍCES CÚBICAS Y CUBOS PERFECTOS Estándar(es) • Trabajar con radicales y exponentes enteros. Usar símbolos de raíz cuadrada y raíz cúbica para representar soluciones a ecuaciones de la forma x2 = p y x3 = p, donde p es un número racional positivo. Evaluar raíces cuadradas de pequeños cuadrados perfectos y raíces cúbicas de pequeños cubos perfectos. Saber que es irracional. Estándares para la práctica matemática
Ideas fundamentales
Conexiones de contenido
Interpretar gráficas de dispersión
MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente
Datos, gráficas y tablas
MP.4 Modelar con matemáticas
CC2 Explorar cantidades cambiantes
Exploraciones pitagóricas
MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas
CC3 Separar enteros, unir partes
MP.8 Buscar y expresar regularidades en razonamientos repetidos
CC4 Descubrir la forma y el espacio
Números grandes y pequeños Formas, números y expresiones
DESCRIPCIÓN Los estudiantes encontrarán patrones para reconocer que las soluciones a cubos perfectos positivos nunca pueden ser negativas. Los estudiantes aplicarán su conocimiento de que la cubicación es la inversa de tomar raíces cúbicas para calcular soluciones a problemas que contengan ya sea un cubo perfecto o una raíz cúbica.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 diario del estudiante (por estudiante) • 1 conjunto de tarjetas de caja de regalo (por grupo)
CC1 Razonar con datos
PREPARACIÓN
• Planifique que los estudiantes trabajen en grupos de 2 o 3 para completar esta actividad. • Imprima un «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima un conjunto de tarjetas de caja de regalo para cada grupo. Recorte y coloque cada conjunto de tarjetas dentro de una bolsa resellable. Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para utilizarlas en el futuro. • Imprima un documento «Boleto de salida» para cada 2 estudiantes. Recorte los boletos de salida de media página para que cada estudiante tenga uno. • Reúna 27 cubos conectables por estudiante. • ¡Hazlo digital! Haga que los estudiantes exploren o presenten sus soluciones utilizando manipulativos virtuales. Los manipulativos utilizados en esta lección se pueden encontrar en el menú desplegable «Explore» y se pueden asignar digitalmente a los estudiantes.
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DI2 Predecir lo que podría ocurrir (predecir)
PARTE I
1. Lea el escenario en voz alta: «Tu tía Juana ha creado unas preciosas cajas de recuerdos para venderlas en la feria de artesanías. Está haciendo muchas cajas de recuerdos de diferentes tamaños, pero todos los marcos serán cubos perfectos. Ayuda a Juana a determinar el volumen de cada caja de recuerdos». 2. Reparta 27 cubos conectables a cada estudiante. 3. Formule a los estudiantes las siguientes preguntas: a.
DOK-1 «La primera caja de recuerdos cúbica que está haciendo la tía Juana tiene una longitud lateral de 1 unidad. ¿Cómo podemos modelar este cubo con los cubos conectables?». Podemos sacar 1 cubo conectable para mostrar un cubo con una longitud lateral de 1 unidad.
b.
DOK-1 «¿Cuál es la medida de cada lado de la caja en forma de cubo?». Cada lado de esta caja mide 1 unidad de longitud.
c.
DOK-1 «¿Qué fórmula puedes utilizar para determinar el volumen de un cubo?». Para hallar el volumen de un cubo podemos utilizar la fórmula V = s3.
d.
DOK-1 «¿Cuál es el volumen de la caja de recuerdos en forma de cubo con una longitud lateral de 1 unidad?». Utilizando la fórmula V = s3, sé que 13 es 1. Por lo tanto, el volumen de una caja de recuerdos en forma de cubo con una longitud lateral de 1 unidad es 1 unidad al cubo.
REUTILIZABLES
• 1 bolsa resellable (por grupo)
DI1 Dar sentido al mundo (comprender y explicar)
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
• 1 boleto de salida (cada 2 estudiantes) • 27 cubos conectables (por estudiante)
Motores de investigación
4. Entregue un diario del estudiante a cada estudiante. 5. Explique a los estudiantes que colaborarán con su grupo para utilizar los cubos conectables para determinar el volumen de cajas de recuerdos en forma de cubo con longitudes laterales de 2 y 3 unidades. Ellos utilizarán los patrones que encuentren para completar la tabla de la parte I en el diario del estudiante.
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GRADO 8: RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CÚBICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2
Square Roots and Cube Roots Explore 2
Square Roots and Cube Roots Explore 2
Reflect
Memory Boxes
1.
Part I
I notice that the side length cubed will always give the volume of the memory boxes.
Use linking cubes to complete the table of side lengths and volumes of the memory boxes. Side Length
Volume
Equation (s³ = V)
1
1
1³ = 1
What patterns do you notice in the table of side lengths and volume measurements?
2.
When given the side length, how can you determine the volume? I can find the volume by cubing the side length.
2
8
2³ = 8
3
27
3³ = 27
4
64
4³ = 64
5
125
5³ = 125
6
216
6³ = 216
7
343
7³ = 343
8
512
8³ = 512
9
729
9³ = 729
10
1,000
10³ = 1,000
3.
When you were given the volume of 125, how did you know the side length? I found the side length by determining what number cubed equals 125.
4.
What equation represents finding the volume of a cube with a side length of 11? To find the volume of a cube with a side length of 11, I would solve 11³ = v.
5.
Using the equation x³ = p, where p is the volume of a cube, write an equation to represent a cube with a volume of 125. I can write the formula x³ = 125.
1
2
Square Roots and Cube Roots Explore 2
Square Roots and Cube Roots Explore 2
Part II
Reflect
Use your knowledge of perfect cubes and cube roots to determine the missing side lengths. Option 1
1.
We can use cube roots to find the solution to the equation x³ = p. Explain what happens in each step of the problem below:
Option 2 ATTN: Copyediting and
The equation is given.
Production ATTN: Copyediting and Production
Inverse operations are performed. The cube root of 216 is 6.
All cube root expressions are created with Equatio.
All cube root expressions are created with Equatio. 2.
What is
? Explain how you know.
I can find the cube root of 27, which is 3. Then I can find 3³, which is 27. So is 27. Option 3
Option 4 3.
Do you think that all solutions to whole-number square roots are integers? Use the number line below to help explain your answer.
No, I do not think that all whole-number cube root solutions are integers. Looking at the number line, we know that 2³ = 8 or that 3³ = 27 or
. We also know
. We can determine that the cube roots of 9 through
26 must be between the integers 2 and 3 on the number line. Therefore, these solutions are not integers and will be decimal numbers.
3
4
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CÚBICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 6. Supervise y evalúe la comprensión de los estudiantes mientras cada grupo colabora, por medio de las siguientes preguntas orientadoras: a.
DOK-2 «¿Qué sabes sobre las longitudes laterales de un cubo?». Todas las longitudes laterales de un cubo tienen la misma medida.
b.
DOK-2 «¿Qué puedes hacer para determinar la longitud lateral de un cubo cuando se te da el volumen del cubo?». Cuando se me da el volumen, puedo determinar qué número elevado al cubo me dará los mismos valores que el volumen. El número que al ser elevado al cubo me dé el volumen será la longitud de cada lado de la caja de recuerdos.
c.
DOK-2 «¿Cómo puedo determinar la longitud del lado si no sé qué número elevado al cubo me da el volumen?». Puedo usar un método de adivinar y verificar para cubicar números hasta que llegue al valor del volumen.
7. Dé tiempo a los estudiantes para completar la parte I y las preguntas de reflexión.
d.
DOK-1 «¿Cuál es la raíz cúbica de 216?». La raíz cúbica de 216 es 6, porque 63 =216.
e.
DOK-1 «¿Cuál es la raíz cúbica de _____ ?». La raíz 216
5. Explique que Juana ha proporcionado el volumen de cada caja de regalo en forma de cubo como una raíz cúbica en cada una de las tarjetas de caja de regalo. Los estudiantes trabajarán con sus grupos para encontrar las longitudes laterales que faltan en las tarjetas restantes. 6. Supervise y evalúe la comprensión de los estudiantes a medida que cada grupo colabora, por medio de las siguientes preguntas guía: a.
DOK-2 «¿Qué sabes acerca de las longitudes laterales de un cubo?». Todas las longitudes laterales de un cubo tienen la misma medida.
b.
DOK-2 «¿Qué puedes hacer para determinar la longitud lateral de un cubo cuando se te da el volumen del cubo?». Cuando se me da el volumen, puedo determinar qué número al cubo me da el valor del volumen. El número al cubo que me da la medida del volumen es la longitud de un lado del cubo.
c.
DOK-2 «¿Cómo puedo determinar el cubo perfecto?». Puedo comenzar con el cubo perfecto más grande que conozco y luego usar un método de adivinar y verificar para cubicar otros números hasta que alcance el valor del volumen.
8. Después de la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «Describe la relación entre la longitud lateral de un cubo y su volumen». La longitud lateral al cubo es igual al volumen del cubo. • DOK-2 «Cuando se te da el volumen, ¿cómo puedes determinar la longitud lateral de un cubo?». Puedo hallar qué número elevado al cubo me dará el valor del volumen. «Los matemáticos llaman a esto hallar la raíz cúbica. La raíz cúbica de un número es la operación inversa de elevar el número al cubo». (Muestre a los estudiantes cómo es el símbolo de la raíz cúbica.) PARTE II
1. Lea la situación en voz alta: «Juana ha decidido que también le gustaría hacer cajas de regalo decorativas en forma de cubo para venderlas en la feria de artesanías. Ha determinado 4 estilos diferentes y necesita tu ayuda para determinar las longitudes de sus lados. Ayuda a Juana a encontrar las longitudes laterales que faltan para cada una de las cajas de regalo». 2. Entregue un conjunto de tarjetas de caja de regalo a cada grupo. 3. Explique a los estudiantes que colaborarán con sus grupos para utilizar las tarjetas de caja de regalo para encontrar las longitudes laterales que faltan de cada una de las cajas de regalo decorativas cúbicas. 4. Haga que los estudiantes encuentren en la tarjeta la opción 1 y lean la información con sus grupos. Formule a los estudiantes las siguientes preguntas: a.
DOK-1 «¿Qué observas en la raíz cúbica de esta caja de regalo?». La raíz cúbica de esta tarjeta es una fracción.
b.
DOK-2 «¿Qué estrategia podrías utilizar para determinar la raíz cúbica de una fracción?». Primero, puedo encontrar la raíz cúbica del numerador. Luego puedo encontrar la raíz cúbica del denominador. Una vez que tengo la raíz cúbica de cada parte de la fracción, puedo escribir la longitud del lado fraccionario de la caja de regalo.
c.
DOK-1 «¿Cuál es la raíz cúbica de 64?». La raíz cúbica de 64 es 4, porque 4 por 4 por 4 es igual a 64.
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64
64 4 cúbica de _____ será ___ o __ 32 porque 43 = 64 y 63 = 216. 216 6
7. Dé tiempo a los estudiantes para completar la parte II y las preguntas de reflexión. 8. Después de la parte II, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Cuál es la relación entre los cubos perfectos y las raíces cúbicas? Da un ejemplo para explicar». Cubicar y sacar raíces cúbicas son operaciones inversas entre sí. Por ejemplo, si me dan la raíz cúbica de 1,000, puedo pensar en qué número elevado al cubo (o número multiplicado por sí mismo multiplicado por sí mismo) será igual a 1,000. La raíz cúbica de 1,000 es 10. • DOK-2 «A dos estudiantes se les da la ecuación x3 = 64. Jacob dice que x = 4 porque (4)(4)(4) = 64. Sam dice que x = -4 porque (-4)(-4)(-4) = 64. ¿Quién tiene razón? Explica tu respuesta». Jacob tiene razón. Sam no tiene razón porque un negativo multiplicado por un negativo da una solución positiva, pero luego hay que multiplicarlo por otro negativo. Un positivo multiplicado por un negativo es negativo; por lo tanto, x no puede ser igual a -4. 3 3 _
_
• DOK-2 «¿Es (√27 )3 = 33? Explica». Sí,( √27 )3 = 33 porque cuando cubicas la raíz cúbica, estás usando operaciones 3
_
inversas. Entonces (√27 )3 es 27 y 33 es 27.
• DOK-2 «¿Crees que todas las soluciones de las raíces cúbicas de números enteros son números enteros?». No, no todas las raíces cúbicas de números enteros tienen soluciones enteras. 9. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el boleto de salida para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 10. Vuelva a «Captar interés» y pida a los estudiantes que utilicen sus habilidades recién adquiridas para completar con éxito la actividad.
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GRADO 8: RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CÚBICAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Square Roots and Cube Roots Explore 2
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
Was It Cubed? Exit Ticket
• Asegúrese de completar el esquema de anclaje como clase. Una vez que lo hayan completado, haga que los estudiantes completen individualmente su libreta interactiva.
Determine the solution for each of the cube roots.
pyediting and n
ot expressions are h Equatio.
y³ = 729
APOYOS PEDAGÓGICOS
11
y=9
2 3
5
Square Roots and Cube Roots Explore 2
Was It Cubed? Exit Ticket
Determine the solution for each of the cube roots. y³ = 729 y=9
11
5
2 3 1
La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de exploración. Consulte las estrategias a continuación para conocer las formas de apoyar el desarrollo del lenguaje del estudiante.
Square Roots and Cube Roots Explore 2
Cube Roots and Perfect Cubes Daniel works at a shipping company. The company offers boxes of many shapes and sizes. Some of the most popular boxes requested by customers are the boxes shaped like cubes. Solve the problems below to determine the possible measurements for the cube-shaped boxes.
–27 –3³ = __________
729 9³ = __________
–343 –7³ = __________
1,331 11³ = __________
–4,096 –16³ = __________
5 ∛125 = __________
13 ∛2,197 = __________
12 ∛1,728 = __________
15 ∛3,375 = __________
10 ∛1,000 = __________
6 ∛216 = __________
Los estudiantes utilizarán técnicas de aprendizaje como mapas conceptuales, dibujos, comparaciones, contrastes, memorización y repasos para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado. Principiante: Como actividad previa a la lección para repasar el volumen, coloque por el aula bloques de prismas cúbicos y rectangulares hechos con cubos conectables (cada bloque de cubos debe ser de un color). Proporcione a los estudiantes una hoja en la que aparezcan diferentes volúmenes en la primera columna y escriban el color del bloque en la segunda columna. Por ejemplo, si los estudiantes encuentran un bloque de 2 por 3 por 4 de cubos amarillos, escribirán amarillo junto al volumen que indica 24 unidades al cubo. Intermedio: Como actividad previa a la lección para repasar el volumen, coloque bloques de prismas cúbicos y rectangulares hechos de cubos conectables por el aula (cada bloque de cubos debe ser de un color). Los estudiantes tienen que hacer una búsqueda del tesoro para encontrar todos los bloques y su volumen. Proporcione a los estudiantes una hoja con dos columnas. Algunos colores o volúmenes de los bloques pueden estar previamente identificados en las columnas y los estudiantes tendrán que determinar el color o el volumen del bloque que falta.
Can the cube root of a positive number be negative? Explain your thinking. No, it cannot be negative, because when you multiply a negative number by another negative number, the product is positive. When you multiply that product by another negative number, the product then becomes negative.
1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 2) CLAVE DE RESPUESTAS
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2. Algunos estudiantes curiosos pueden beneficiarse de entender cómo la raíz cúbica se relaciona con los exponentes. Por ejemplo, la raíz cúbica de 27 es igual 1 1 __ __ a 27 (3) . Una forma de entender 27 (3) es determinar primero qué factor es igual a 27 cuando se multiplica por sí mismo tres veces. A continuación, toma un tercio de esos factores. Por ejemplo, como 3 x 3 x 3 = 27, un tercio de esos factores es 3.
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE
EXIT TICKET CLAVE DE RESPUESTAS
64 4³ = __________
1. Para ayudar a solidificar la comprensión de los estudiantes de la raíz cúbica como una operación, pida a los estudiantes que nombren algunas operaciones que conozcan (por ejemplo, sumar, restar, multiplicar, dividir, etc.). Explique que una operación nos dice que hagamos algo a un número; por ejemplo, 3 + 4 nos dice que sumemos 4 a 3. Del mismo modo, la operación de raíz cúbica toma un número dado, x, y determina qué otro número nos da x cuando se multiplica por sí mismo tres veces. Por ejemplo, la raíz cúbica de 27 es 3, ya que 3 multiplicado por sí mismo tres veces es 27.
Avanzado: Como actividad previa a la lección para repasar el volumen, coloque bloques de prismas cúbicos y rectangulares hechos de cubos conectables por el aula (cada bloque de cubos debe ser de un color). Los estudiantes tienen que hacer una búsqueda del tesoro para encontrar todos los bloques y su volumen. Proporcione a los estudiantes una hoja con dos columnas. Algunos colores o volúmenes de los bloques pueden estar identificados previamente en las columnas y los estudiantes tendrán que determinar el color o el volumen del bloque que falta.
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GRADO 8: RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CÚBICAS
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE CONSOLIDAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
Square Roots and Cube Roots
ESQUEMA DE ANCLAJE
Square Roots
DESCRIPCIÓN Un esquema de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Se trata de una herramienta para apoyar la instrucción y anclar el aprendizaje de los estudiantes a lo largo del alcance.
MATERIALES
• 1 hoja de papel cuadriculado
To square a number, multiply it by itself. x² = x · x 9² = 9 · 9 = 81 √81 = 9
• 1 juego de marcadores multicolores
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del ejemplo de esquema de anclaje, si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. El ejemplo de esquema puede utilizarse como referencia antes de crear el de la clase. Esta actividad debe ser dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje. 2. A medida que los estudiantes trabajen en el alcance, colaboren para añadir piezas al «Esquema de anclaje». Formule las siguientes preguntas orientadoras:
The inverse operation of squaring a number is taking the square root (√). √x² = x
Cube Roots To cube a number, multiply it times itself three times. n³ = n · n · n The inverse operation of cubing a number is taking the cube root (∛∛). ∛n³ = n
3³ = 3 · 3 · 3 = 27 ∛27 = 3
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
a. «¿Qué estrategia utilizamos para resolver este problema?». b. «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?». 3. Continúe añadiendo habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada «Exploración» para resaltar el contenido importante. 4. Explique que pueden usar este gráfico como herramienta de apoyo para su aprendizaje. Los estudiantes también pueden pegar una copia del ejemplo de «Esquema de anclaje» en sus cuadernos para utilizarlo como referencia durante el año. 5. Algunos «Esquemas de anclaje» solo se mostrarán durante un alcance o grupo de alcances concretos, mientras que otras permanecerán expuestas durante todo el curso escolar.
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GRADO 8: RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CÚBICAS
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA
Square Roots and Cube Roots
Instructions ● Label each figure with its dimensions. ● Use those dimensions to complete the information in the table. ● Cut out the rectangle along the dotted lines, and glue or tape it into your notebook.
To the Power Of
Number Squared
Square Root
DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
= ______ = _____ = ______
To the Power Of
Number Cubed
LIBRETA INTERACTIVA
Additional Examples
Cube Root
= ______ = ______ = ______
DESCRIPCIÓN Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase al usar la actividad y la libreta.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) FOLLETO DEL ESTUDIANTE
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del «Folleto del estudiante» para cada uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Prepare una «Libreta interactiva» al usar un cuaderno de espiral o de composición para cada uno. Los estudiantes pueden utilizar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades. 2. Las instrucciones para cada actividad se proporcionan en el «Folleto del estudiante». 3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos. 4. Las libretas interactivas pueden utilizarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
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GRADO 8: RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CÚBICAS
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS APOYO PARA ESTUDIANTES MULTILINGÜES
CONEXIONES LINGÜÍSTICAS DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes tienen la oportunidad de utilizar sus conocimientos lingüísticos y culturales previos para apoyar las conexiones con nuevas destrezas, vocabulario y conceptos en sus niveles de competencia.
1. Entregue a cada estudiante un folleto con el nivel de competencia adecuado. 2. Utilice las instrucciones para las partes de comprensión oral, expresión oral, lectura y escritura. Utilice gestos, señale objetos y elementos visuales, según proceda. Consulte las indicaciones para obtener sugerencias.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante según su nivel de competencia (por alumno)
3. Otorgue tiempo a los estudiantes para que piensen con sus compañeros antes de responder.
PREPARACIÓN
• Prepare a los estudiantes para trabajar con compañeros cuando sea necesario.
4. Anime a los estudiantes a perseverar en su pensamiento y a utilizar herramientas y modelos matemáticos.
• Determine el nivel de competencia en inglés de cada estudiante.
5. Invite a los estudiantes a responder adecuadamente a cada dominio lingüístico.
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada alumno según su nivel de competencia en inglés.
6. Haga que los estudiantes utilicen la página final del folleto del estudiante para formar conexiones entre los conceptos matemáticos y el mundo real.
• Permita que los estudiantes tengan acceso al «Vocabulario ilustrado» para este alcance.
Square Roots and Cube Roots B
Square Roots and Cube Roots B
Maria is making a box wants the box
Equations
Solution(s) x=2
box
in the shape of a cube
Square Roots and Cube Roots I
. She
to have a volume of 216 cubic inches. The
must fit on her shelf
. The shelf
Equations
Solution(s)
3
2 x = __
cube
shaped box
? Will it fit on her shelf
x =8
?
What are the side lengths of the cube shaped box? Will it fit on her shelf?
box to have a volume of 216 cubic inches. The box must fit on her shelf. The shelf has a maximum height, width, and depth of 10 inches.
Equations
Solution(s)
3
x= 2
x =8 The formula to find the volume of a cube is V = s2.
x=2
True / False
2 or −2 x = __ __
x2 = 4
x = −2 The formula to find the volume of a cube is ______.
x = −3
3 x = __
x3 = 27
True / False
The equation to determine the side length of the box is ______. 3 or −3 x = __ __
x2 = 9
True / False
A = 36
V = 64
6 s = ___
Square Roots and Cube Roots B
(−2)2
Given
Perfect squares
4
Same
Solve
Square root
+2
Two solutions
−2
Define square roots, and evaluate perfect squares such as 4, 9, and 25. Discuss how to solve equations of the form x2 = p using these evaluations. Explain why solving using square roots can yield both positive and negative solutions.
A square root is a number that, when multiplied by itself, produces the given 4 is 2 because 2 2 = 4. ____________ number. For example, the square root of ____ square root of 25 Similarly, the square root of 9 is 3 because 32 = 9, and the ______________ is 5 because 52 = 25. These numbers (4, 9, and 25) are called perfect squares __________________ because they are the result of multiplying a whole number
Square Roots and Cube Roots I
Negative
Given
Perfect squares
4
Same
Solve
Square root
+2
Positive
(−2)2
Two solutions
−2
When solving equations of the form x2 = p, the square root of each side gives two solutions ________________, one positive and one negative. For an equation like x2 = 4, +2 −2 taking the square root of each side gives us x = _______ and x = _______. This same happens because the result is the ___________ whether the number is positive, 2
6 s = ___
Square Roots and Cube Roots A
Square Roots and Cube Roots I
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use square roots and cube roots at home with your family or friends. Answers will vary.
Word Bank Negative
Given
Same
Solve
Square root
+2
Positive
(−2)2
Two solutions
Perfect square
−2
4
Define square roots, and evaluate perfect squares such as 4, 9, and 25. Discuss how to solve equations of the form x2 = p using these evaluations. Explain why solving using square roots can yield both positive and negative solutions.
Define square roots, and evaluate perfect squares such as 4, 9, and 25. Discuss how to solve equations of the form x2 = p using these evaluations. Explain why solving using square roots can yield both positive and negative solutions.
A square root is a number that, when multiplied by itself, produces the given 4 is 2 because 2 2 = 4. ____________ number. For example, the square root of ____ square root Similarly, the square root of 9 is 3 because 32 = 9, and the ______________ of 25
A square root is a number that, when multiplied by itself, produces the given __________________________________________________________________ number. For example, the square root of 4 is 2 because 2 2 = 4. Similarly, the __________________________________________________________________
is 5 because 52 = 25. These numbers (4, 9, and 25) are called perfect squares __________________ because they are the result of multiplying a whole number by itself. the square root of each side gives When solving equations of the form x2 = p, _______________________________
by itself.
The box ______ fit on the shelf. will
4 s = ___
Word Bank
Answers will vary.
A = 36
V = 64
6 s = ___
Square Roots and Cube Roots B
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use square roots and cube roots at home with your family or friends.
The dimensions of the box are ________ than 10 inches. less
The box will fit on the shelf. True / False
4 s = ___
Word Bank
6 The side length of the cube shaped box is _____ inches.
The dimensions of the box are greater than 10 inches.
greater / less
will / will not
4 s = ___
6
x = 3 or −3
True / False
The box ______ fit on the shelf.
A = 36
216 = s3 The equation to determine the side length of the box is ____________.
The side length of the cube shaped box is 14 inches.
6 / 14 The dimensions of the box are __________ than 10 inches.
V = 64
x=3
x2 = 9
The side length of the cube shaped box is ____ inches. x = −3
x = 2 or −2
shelf?
V = s3 The formula to find the volume of a cube is _________.
6
216 = s2 / 216 = s3
x=3
x2 = 4
x3 = 27
What are the side lengths of the cube shaped box? Will it fit on her
The equation to determine the side length of the box is 216 = s3.
V = s2 / V = s 3 x=3
Square Roots and Cube Roots A
Maria is making a box in the shape of a cube. She wants the
shelf. The shelf has a maximum height, width, and depth of 10 inches.
has a maximum
height, width, and depth of 10 inches. What are the side lengths of the
x = −2
Square Roots and Cube Roots A
Square Roots and Cube Roots I
Maria is making a box in the shape of a cube. She wants the box to have a volume of 216 cubic inches. The box must fit on her
2
two solutions. For an equation like x = 4, taking the square root of each side __________________________________________________________________ gives us two solutions: x = +2 and x = −2. This happens because the result is __________________________________________________________________ the same whether the number is positive, (+2)2 = 4, or negative, (−2)2 = 4. __________________________________________________________________ In conclusion, understanding how to evaluate perfect squares helps solve __________________________________________________________________ equations involving squares. __________________________________________________________________
Square Roots and Cube Roots A
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use square roots and cube roots at home with your family or friends. Answers will vary.
square root of 9 is 3 because 32 = 9, and the square root of 25 is 5 because __________________________________________________________________ 52 = 25. These numbers (4, 9, and 25) are called perfect squares because they __________________________________________________________________ are the result of multiplying a whole number by itself. __________________________________________________________________ When solving equations of the form x2 = p, the square root of each side gives __________________________________________________________________ two solutions, one positive and one negative. For an equation like x2 = 4, taking __________________________________________________________________ the square root of each side gives us x = +2 and x = −2. This happens because __________________________________________________________________ the result is the same whether the number is positive, (+2) 2 = 4, or negative, __________________________________________________________________ (−2)2 = 4. __________________________________________________________________ In conclusion, understanding how to evaluate perfect squares helps solve __________________________________________________________________ equations involving squares. __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________
(−2) = 4. (+2)2 = 4, or negative, __________
__________________________________________________________________
solve In conclusion, understanding how to evaluate perfect squares helps __________
__________________________________________________________________
equations involving squares.
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
_________________________________________________________________
__________________________________________________________________ __________________________________________________________________
______________________________________________________________
PRINCIPIANTE FOLLETO DEL ESTUDIANTE
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INTERMEDIO FOLLETO DEL ESTUDIANTE
AVANZADO FOLLETO DEL ESTUDIANTE
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GRADO 8: RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CÚBICAS
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCUCHAR Y HABLAR PRINCIPIANTE Disponga de vocabulario ilustrado para que los estudiantes lo utilicen. Lea las siguientes instrucciones de una en una:
INTERMEDIO Disponga de vocabulario ilustrado para que los estudiantes lo utilicen. Lea las siguientes instrucciones de una en una:
AVANZADO Disponga de vocabulario ilustrado para que los estudiantes lo utilicen. Lea las siguientes instrucciones de una en una:
•
Señale la ecuación «el cubo de x es igual a ocho».
•
Señale la ecuación «el cubo de x es igual a ocho».
•
Señale la ecuación «el cubo de x es igual a ocho«.
•
«¿Tiene esta ecuación una solución o dos soluciones?».
•
«¿Tiene esta ecuación una solución o dos soluciones?».
•
«¿Tiene esta ecuación una solución o dos soluciones?».
Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente marco de frases: «Esto tendrá ___ solución(es)».
•
«¿Es la solución un número positivo o un número negativo?».
«¿Es la solución un número positivo o un número negativo?».
•
Determine la solución.
•
Señale la ecuación «el cuadrado de x es igual a cuatro».
•
«¿Tiene esta ecuación una solución o dos soluciones?».
•
Determine las soluciones.
•
Señale la ecuación «el cubo de x es igual a 27».
•
«¿Tiene esta ecuación una solución o dos soluciones?».
•
«¿Es la solución un número positivo o un número negativo?».
•
Determine la solución.
•
Señale la ecuación «el cuadrado de x es igual a nueve».
◦
•
Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente marco de frases: «Esto tendrá ___ solución(es)».
«¿Es la solución un número positivo o un número negativo?». ◦
Encierre con un círculo la solución.
•
Señale la ecuación «el cuadrado de x es igual a cuatro».
•
«¿Tiene esta ecuación una solución o dos soluciones?».
Encierre con un círculo las soluciones.
•
Señale la ecuación «el cubo de x es igual a 27».
•
«¿Esta ecuación tiene una solución o dos soluciones?».
•
Encierre con un círculo la solución.
•
Señale la ecuación «el cuadrado de x es igual a nueve».
•
«¿Tiene esta ecuación una solución o dos soluciones?». ◦
Encierre con un círculo las soluciones.
•
«¿Por qué hay dos soluciones cuando se resuelve con raíces cuadradas?». Haga que los estudiantes usen el siguiente marco de oración: «Hay dos soluciones cuando se resuelve con raíces cuadradas porque ____».
•
«Ahora mira la parte inferior de la hoja». Señale el cubo.
•
«Si conocemos el volumen del cubo, ¿cómo hallamos la longitud de sus lados?». ◦
•
Señale la ecuación «el cuadrado de x es igual a cuatro».
•
«¿Esta ecuación tiene una solución o dos soluciones?». ◦
Pide a los estudiantes que utilicen el siguiente enunciado: «Si conocemos el volumen de un cubo, podemos hallar la longitud lateral en _______».
Determine las soluciones.
•
Señale la ecuación «el cubo de x es igual a 27».
•
•
«¿Tiene esta ecuación una solución o dos soluciones?».
«¿Tiene esta ecuación una solución o dos soluciones?».
•
Determine las soluciones.
•
«¿Por qué hay dos soluciones cuando se resuelve con raíces cuadradas?».
•
«Ahora mira la parte inferior de tu hoja». Señale el cubo.
•
«Si conocemos el volumen del cubo, ¿cómo hallamos la longitud lateral?».
•
«Resuelve la longitud lateral y escríbela en el espacio en blanco».
•
Señale el cuadrado. «Si conocemos el área de un cuadrado, ¿cómo hallamos la longitud lateral?».
•
«Resuelve la longitud del lado y escríbela en el espacio en blanco».
•
«¿Escribiste una o dos soluciones? ¿Por qué?».
◦
•
Haga que los estudiantes utilicen el siguiente marco de oraciones: «Esto tendrá ___ solución(es)».
«¿Es la solución un número positivo o un número negativo?». ◦
Haga que los estudiantes usen el siguiente marco de oración: «Esta solución será un ___».
•
Determine la solución.
•
Señale la ecuación «el cuadrado de x es igual a nueve».
•
«¿Esta ecuación tiene una solución o dos soluciones?». ◦
Haga que los estudiantes utilicen el siguiente marco de oración: «Esto tendrá ___ soluciones».
•
Determine las soluciones.
•
«¿Por qué hay dos soluciones cuando se resuelve con raíces cuadradas?». ◦
Haga que los estudiantes usen el siguiente marco de oración: «Hay dos soluciones cuando se resuelve con raíces cuadradas porque ____».
•
«Ahora mira la parte inferior de la hoja». Señale el cubo.
•
«Si conocemos el volumen del cubo, ¿cómo hallamos la longitud de sus lados?». ◦
•
Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente enunciado: «Si conocemos el volumen de un cubo, podemos hallar la longitud lateral en _______».
«Resuelve la longitud del lado y escríbela en el espacio en blanco».
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Haga que los estudiantes utilicen el siguiente marco de oración: «Esto tendrá ___ solución(es)».
•
Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente marco de enunciado: «Esto tendrá ___ solución(es)».
•
◦
Determine la solución.
Haga que los estudiantes usen el siguiente marco de oración: «Esta solución será un ___».
•
Haga que los estudiantes usen el siguiente marco de oración: «Esta solución será un ___».
•
Pida a los estudiantes que usen el siguiente marco de oraciones: «Esto tendrá ___ solución(es)».
«¿Es la solución un número positivo o un número negativo?». ◦
◦
Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente marco de enunciado: «Esto tendrá ___ solución(es)».
•
◦
•
Haga que los estudiantes usen el siguiente marco de oración: «Esta solución será un ___».
•
◦
◦
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GRADO 8: RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CÚBICAS
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCUCHAR Y HABLAR (CONTINUACIÓN) PRINCIPIANTE • •
• •
INTERMEDIO
«Resuelve la longitud del lado y escríbela en el espacio en blanco». Señale el cuadrado. «Si conocemos el área de un cuadrado, ¿cómo hallamos la longitud del lado?». ◦ Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente enunciado: «Si conocemos el área de un cuadrado, podemos hallar la longitud del lado en _______». «Resuelve la longitud del lado y escríbela en el espacio en blanco». «¿Escribiste una solución o dos soluciones? ¿Por qué?». ◦ Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de frase: «Escribí ____ solución(es) porque ______».
•
• •
Señale el cuadrado. «Si conocemos el área de un cuadrado, ¿cómo encontramos la longitud de sus lados?». ◦ Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de frase: «Si conocemos el área de un cuadrado, podemos hallar la longitud del lado en _______». «Resuelve la longitud lateral y escríbela en el espacio en blanco». «¿Escribiste una solución o dos soluciones? ¿Por qué?». ◦ Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de frase: «Escribí ____ solución(es) porque ______».
LEER Y HABLAR PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Haga una lectura en eco de la historia y divídala en frases. Pida a los estudiantes que señalen cada palabra mientras leen e invíteles a encerrar con un círculo las palabras que no conozcan. Comente las palabras en grupo.
Haga una lectura en eco de la historia. Pida a los estudiantes que señalen cada palabra mientras leen e invítelos a encerrar con un círculo las palabras que no conozcan. Pídales que comenten las palabras con sus compañeros.
Pida a los estudiantes que lean la historia con sus compañeros y que señalen cada palabra a medida que leen. Invítelos a encerrar con un círculo las palabras que no conozcan y a comentarlas con sus compañeros.
•
Comente la situación con los estudiantes. Haga gestos con las manos y muestre elementos visuales cuando corresponda mientras formula las siguientes preguntas: ◦
«¿Cuál es tu experiencia con la construcción de cosas?».
◦
«¿Qué pondrías en la caja?».
«¿Cuál es tu experiencia con la construcción de cosas?».
◦
«¿Qué pondrías en la caja?».
•
«Si la afirmación es falsa, comenta con tus compañeros cómo hacerla verdadera y corrige la afirmación».
•
Haga una lectura coral de la segunda afirmación. «Señala el número o los números de la página que usarás para determinar la respuesta antes de contestar».
•
«Si la afirmación es falsa, comenta con tus compañeros cómo hacerla verdadera y corrige la afirmación».
Haga una lectura coral de la tercera afirmación. «Señala el número o los números de la página que utilizarás para determinar la respuesta antes de contestar».
•
Haga una lectura coral de la tercera afirmación. «Señala el número o los números de la página que utilizarás para determinar la respuesta antes de contestar».
•
«Si la afirmación es falsa, comenta con tus compañeros cómo hacerla verdadera y corrige la afirmación».
Haga una lectura coral del cuarto enunciado. «Señala el número o los números de la página que utilizarás para determinar la respuesta antes de contestar».
•
Pida a los estudiantes que lean en parejas la cuarta afirmación antes de responder.
•
«Si la afirmación es falsa, comenta con tus compañeros cómo hacerla verdadera y corrige la afirmación».
•
Pida a los estudiantes que lean en pareja la quinta afirmación antes de responder.
•
«Si la afirmación es falsa, comenta con tus compañeros cómo hacerla verdadera y corrige la afirmación».
•
Haga una lectura coral de la segunda afirmación. «Señala el número o los números de la página que usarás para determinar la respuesta antes de contestar».
•
◦
Haga una lectura coral de la primera afirmación. «Señala la respuesta en la historia antes de contestar».
Haga una lectura coral de la primera frase. «Señala la respuesta en la historia antes de contestar».
•
Comente la situación con los estudiantes. Haga gestos con las manos y muestre elementos visuales cuando corresponda mientras formula las siguientes preguntas:
•
•
•
•
Haga una lectura coral de la quinta afirmación. «Señala el número o los números de la página que utilizarás para determinar la respuesta antes de contestar».
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•
«Explica a tus compañeros de qué trataba el pasaje».
•
«Con sus compañeros, comenten su experiencia con la colocación de objetos en una estantería».
•
«Lean cada enunciado y comenten sus respuestas con sus compañeros».
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GRADO 8: RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CÚBICAS
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCRIBIR PRINCIPIANTE Ponga a disposición de los estudiantes tarjetas de vocabulario ilustrado. Lea y comente las palabras del banco de palabras. Defina las palabras y proporcione ejemplos cuando sea necesario. Utilice las siguientes indicaciones: •
Lea cada palabra con los estudiantes.
•
Comente el ejemplo en el folleto de estudiantes con los estudiantes:
•
◦
«¿Cómo se encuentra un número cuadrado perfecto?».
◦
«¿Cómo se resuelve una ecuación como x2 = 4?».
Lea cada enunciado y pida a los estudiantes que consulten el banco de palabras antes de escribir sus respuestas.
INTERMEDIO Tenga tarjetas de vocabulario ilustrado disponibles para los estudiantes. Haga una lectura coral y comente sobre las palabras del banco de palabras. Defina las palabras y proporcione ejemplos según sea necesario. Utilice las siguientes indicaciones: •
Pida a los estudiantes que comenten las palabras del banco de palabras con sus compañeros.
•
«Dobla la mitad inferior del papel para que solo se vea el banco de palabras. Señala cada palabra del banco de palabras y, por turnos, expliquen las palabras a sus compañeros».
•
Tome nota de los estudiantes que proporcionen explicaciones matemáticamente precisas de las palabras del banco de palabras.
•
A continuación, señale una palabra del banco de palabras cuyo significado necesite aclarar.
•
Pida a los estudiantes que hayan dado explicaciones matemáticamente precisas que ayuden a aclarar las palabras seleccionadas a sus compañeros. «Veo que varios estudiantes piden aclaraciones sobre la palabra ________. (Nombre del estudiante) pudo dar una explicación clara de la palabra _________ a su compañero. (Nombre del estudiante), ¿podrías compartir tu explicación?».
•
•
Ponga a disposición de los estudiantes tarjetas de vocabulario ilustrado. Los estudiantes deben leer en parejas las palabras del banco de palabras y comentar su significado con sus compañeros. Defina las palabras y proporcione ejemplos cuando sea necesario. Mientras los estudiantes leen, utilice las siguientes indicaciones: •
Pida a los estudiantes que comenten las palabras del banco de palabras con sus compañeros.
•
«Comenta las palabras del banco de palabras con tus compañeros. Cada uno debe dar una explicación o descripción de una palabra y, a continuación, pedir a su compañero que parafrasee el significado de la palabra. Continúa este proceso hasta que hayas comentado todas las palabras del banco de palabras».
•
«Lee las instrucciones con tus compañeros. ¿Qué plan vas a seguir para asegurarte de que utilizas el mayor número posible de palabras del banco de palabras en tu redacción? Si no estás seguro de cómo utilizar una palabra, enciérrala con un círculo en el banco de palabras». Los estudiantes no deben empezar a escribir todavía.
•
Esté atento a los estudiantes que tengan dificultades para crear un plan o que encierren con un círculo las palabras del banco de palabras. Ofrezca apoyo y permita que los estudiantes que hayan podido crear un plan lo compartan con la clase.
«Lee cada enunciado con tus compañeros y utiliza las palabras del banco de palabras para completar cada enunciado. Tengan en cuenta que algunas palabras pueden utilizarse más de una vez o no utilizarse en absoluto.
◦
«Veo que varios de nosotros necesitamos aclaraciones sobre la palabra _______. Dirígete a alguien cercano que no sea tu compañero y pídele que aclare o defina la palabra ___________».
◦
«Veo que varios de nosotros necesitamos ayuda para diseñar un plan que utilice palabras del banco de palabras. Acércate a alguien que no sea tu compañero y pídele que explique cómo piensa utilizar el mayor número posible de palabras del banco de palabras».
Recuerde a los estudiantes que consulten el banco de palabras cuando completen los espacios en blanco.
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AVANZADO
•
Una vez aclaradas todas las palabras y compartidos los planes, pida a los estudiantes que escriban sus explicaciones.
•
«Ahora escribe una explicación en la que utilices al menos cinco de las palabras del banco de palabras. Cuando terminen de escribir, compartan sus escritos con sus compañeros».
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GRADO 8: RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CÚBICAS
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO VOCABULARIO CLAVE
VOCABULARIO ILUSTRADO
Base
Cubic Number
Cube Root
The lower number of an exponent that is multiplied by itself
A number to the power of three, i.e., 2³ represents the cubic number 8 and can be read as two cubed or two to the power of three.
A number that, when multiplied by itself three times, produces the given number
2
3
Exponent
Integer
A mathematical notation that indicates the number of times the base number is multiplied by itself; also called power
Any one of the positive whole numbers, negative whole numbers, and zero; any member of the set of all whole numbers and their opposites
4
Inverse
5
The opposite number or operation 6
7
Irrational Number
Order of Operations
Perfect Cube
A decimal number that cannot be expressed as a fraction, is not imaginary, and does not repeat or terminate
A set of rules that dictate which mathematical operation to perform first, second, and so on when evaluating a mathematical expression
An integer that is the result of another integer times itself three times
8
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9
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GRADO 8: RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CÚBICAS
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO
Perfect Square
Positive Rational Number
Power
An integer that is the result of another integer times itself
A number to the right of (or greater than) zero that can be expressed as a fraction of two integers
A mathematical notation that indicates the number of times the base number is multiplied by itself; also called an exponent
11
12
13
Radical
Rational Number
Reciprocal
A symbol that indicates the root of a quantity
A number that can be written as a fraction of integers a/b, where b ≠ 0; a number that can be written as a ratio using two integers
One of two numbers whose product is 1; also called the multiplicative inverse 15
14
Square Number
Square Root
A number to the power of 2, i.e., 3² represents the square number 9 and can be read as “three squared” or “three to the power of two.”
A number that, when multiplied by itself, produces the given number 17
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GRADO 8: RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CÚBICAS
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ DESARROLLAR FLUIDEZ CONCEPTUAL
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CÚBICAS DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes jugarán a un juego de Concentración.
Concentration Instruction Sheet Play this game with a partner. You Will Need 1 Set of Concentration Cards (per pair)
How to Play 1. Shuffle the cards, and place them facedown to form a 4 × 6 array.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 hoja de instrucciones de Concentración (por pareja) • 1 juego de tarjetas de Concentración (por pareja) REUTILIZABLES
• 1 sobre o bolsa (por pareja)
PREPARACIÓN
• Haga copias a doble cara de las tarjetas de Concentración.
2.
Player 1 flips over two cards to try to find a match. A match is a problem with its correct answer. Problems will need to be solved in order to determine matching answers.
3.
If player 1 matches a problem with the correct answer, then player 1 keeps the matched set and takes another turn.
4.
If player 1 does not find a match, then they place the cards facedown again, and it is the next player's turn.
5.
Players continue taking turns until all of the matches have been found.
6.
The player who collects the most cards wins.
• Lamínelas para que duren más. • Recorte las tarjetas individuales y colóquelas en un sobre o bolsa para facilitar su distribución y limpieza.
HOJA DE INSTRUCCIONES
• Coloque a los estudiantes en parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo barajar las tarjetas y colocarlas boca abajo en una matriz de 4 × 6. 2. Modele cómo jugar el juego con un estudiante. a. El jugador 1 voltea 2 tarjetas para intentar encontrar una coincidencia. Una coincidencia es un problema con su respuesta correcta. Será necesario resolver los problemas para determinar las respuestas coincidentes. b. Si el jugador 1 encuentra un problema con la respuesta correcta, entonces el jugador 1 se queda con el conjunto coincidente y toma otro turno. c. Si el jugador 1 no encuentra una coincidencia, entonces vuelve a colocar las tarjetas boca abajo y es el turno del siguiente jugador. d. Los jugadores continúan tomando turnos hasta que se hayan encontrado todas las coincidencias. e. Gana el jugador que reúna la mayor cantidad de tarjetas. 3. Distribuya los materiales. A continuación, pida a los estudiantes que barajen las cartas y las coloquen boca abajo. 4. Monitoree a los estudiantes para asegurarse de que encuentran las parejas correctas.
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GRADO 8: RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CÚBICAS Square Roots and Cube Roots
ELABORAR: REVISIÓN EN ESPIRAL REVISAR CONCEPTOS PREVIOS
Good Grades
REVISIÓN EN ESPIRAL: BUENAS CALIFICACIONES
Traci loves school, but she doesn’t always like to study. Her favorite part of school is being able to see and hang out with her friends all day. Traci is quite the social butterfly, but because she likes socializing so much, she doesn’t always pay attention in class. Traci has been wanting to get a job at the mall. She thinks that it would be so fun to meet all sorts of new people every day. However, her parents won’t let her get a job until she can prove that she can keep her grades up. Traci has only a few more tests before this semester ends. She really wishes that she had tried harder in the beginning of the year so that she didn’t have to worry so much now. She figures that if she studies really hard, she can get the grades that her parents will approve of. She knows she can do it!
DESCRIPCIÓN Los estudiantes repasan contenidos anteriores o del grado actual para ayudar a apoyar su trabajo en el alcance actual y fortalecer las habilidades necesarias para alcances posteriores. 1
REVISIÓN EN ESPIRAL CENTRADA EN LA PREGUNTA • Pregunta 1
Square Roots and Cube Roots
1.
Each letter grade is worth different points. She received the following grades on her English essays:
2.
A+C+B+A+A+B+A+C Which of the following expressions could she use to help her see how many of each grade she received? A. B. C. D.
3.
Traci’s current grades in science are 80, 75, 77, and 86. She has only one more test left in this class. If she has 400 points overall, it will result in the grade of a B. What does she need to score on the next test to get a B?
• Pregunta 2
She needs to get 82.
◦ Grado 7: Resolver problemas matemáticos y de la vida real de varios pasos planteados con números racionales positivos y negativos en cualquier forma (números enteros, fracciones y decimales), al utilizar herramientas estratégicamente.
A² + B² + C² 4A ⋅ 2B ⋅ 2C 8ABC 4A + 2B + 2C
Traci is taking her final Spanish test. She gets 2 points for every question that is answered correctly. Her group won the extra credit game this week so her test score starts with 5 points before she even begins taking the test. She wants to get at least 91 points on this test. Write an inequality that will show the minimum number of questions that she must get right.
4.
Traci wants to set a goal for her remaining math tests this semester. Traci’s dad says that he will give her $3 if she aces the first test. If she aces the second test, he will give her $3². If she aces the third test, he will give her $3² again. Which expression represents how much money Traci could make if she aces all three tests? A. B. C. D.
2x + 5 ≥ 91
• Pregunta 3 ◦ Grado 7: Resolver problemas de palabras que lleven a desigualdades de las formas px + q > r o px + q < r, donde p, q, y r son números racionales específicos.
3² 3³ 3⁵ 3+3+3
• Pregunta 4 2
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
◦ Grado 7: Comprender que reescribir una expresión en diferentes formas en el contexto de un problema puede arrojar luz sobre el problema y cómo se relacionan las cantidades en él.
◦ Grado 8: Conocer y aplicar las propiedades de los exponentes enteros para generar expresiones numéricas equivalentes.
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un folleto del estudiante a cada estudiante. 2. Anime a los estudiantes a tratar de responder a las preguntas de forma independiente sin utilizar recursos externos para ver lo que saben. Invítelos a anotar ideas o fragmentos que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas. 3. Utilice las preguntas de «Revisión en espiral» como calentamiento en clase, o envíelas a casa como tarea. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos. 4. Consulte la sección «Revisión en espiral centrada en la pregunta» para evaluar los conocimientos de contenido de los estudiantes o su necesidad de una mayor intervención. Si es necesario repasar más, utilice el «Constructor de fluidez» en los alcances apropiados. 5. El proyecto final incluye una parte del alcance actual para que los estudiantes vean la conexión y la relevancia de su aprendizaje previo con el alcance actual.
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GRADO 8: RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CÚBICAS
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS
Square Roots and Cube Roots
Box It Up!
ANALIZAR DATOS
CIENCIA DE DATOS Ciencia de datos es un breve debate en clase basado en un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. La parte I incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los estudiantes en contexto.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizarán, interpretarán y generarán conjuntos de datos, además de responder a preguntas basadas en los datos.
1
CONJUNTO DE DATOS
MATERIALES IMPRESO
• 1 conjunto de datos (por clase)
b.
«En la estantería de una tienda hay quince cuadros del segundo tamaño. ¿Qué longitud de la estantería ocupan los quince cuadros?». 100 cm2 = s2; 10 cm = s; cada marco mide 10 cm, por lo que 15 marcos ocupan (10)(15) = 150 cm de la longitud de la estantería.
c.
«¿Cuál es el volumen del segundo cubo más pequeño?». 64 cm2 = s2; 8 cm = s; V = 83 = 512 cm3
d.
«¿Qué observas en las longitudes laterales de los dos cubos más grandes en comparación con la longitud lateral del cubo más pequeño?». Las longitudes laterales de los dos cubos más grandes, respectivamente, son el doble y el triple de las longitudes laterales del cubo más pequeño.
e.
«Cuando se duplica la longitud lateral de un cubo, ¿qué ocurre con el área de una de sus caras? Compara los cubos de 5 cm y 10 cm de lado para ilustrar tu respuesta». El área de una cara de un cubo de 5 cm de lado es 25 cm2. El área de una cara de un cubo de 10 cm de lado es de 100 cm2. Por lo tanto, cuando la longitud lateral se duplica, el área de una cara se cuadruplica.
f.
«Cuando se triplica la longitud lateral de un cubo, ¿qué ocurre con el volumen? Compara los cubos con longitudes laterales de 5 cm y 15 cm para ilustrar tu respuesta». El volumen de un cubo de 5 cm de lado es 125 cm3. El volumen de un cubo con una longitud lateral de 15 cm es de 3,375 cm3. Por lo tanto, al triplicar la longitud lateral, el volumen es 27 veces mayor.
g.
«Utiliza el cubo con una longitud lateral de 8 cm para confirmar tus respuestas a las partes e y f».
REUTILIZABLES • 1 proyector o cámara de documentos (por clase) • 1 rotulador (por clase) CONSUMIBLE
• 1 trozo de papel milimetrado (por clase)
PREPARACIÓN
• Prepárese para proyectar el conjunto de datos a la clase. • Reúna un trozo de papel milimetrado y un rotulador.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I 1. Proyecte el conjunto de datos y prepárese para anotar las observaciones de los estudiantes. 2. Haga las siguientes preguntas: a.
«¿Qué notas acerca de este conjunto de datos?».
b.
«¿Qué representa este conjunto de datos?».
c.
«¿Qué categorías están incluidas en este conjunto de datos?».
d.
«¿Cuál es la fórmula para el área de un cuadrado?».
e.
«¿Cuál es la fórmula para el volumen de un cubo?».
f.
«¿Qué preguntas tienes acerca de los datos?».
Longitud lateral
Área
Volumen
1. Repase cómo resolver ecuaciones de la forma x2 = p y x3 = p, y escriba lo que los estudiantes recuerden en el papel milimetrado.
8 cm
64 cm2
512 cm3
2. Comente las siguientes preguntas:
16 cm
256 cm2
PARTE II
a.
«¿Cuántas veces mayor es la longitud de una imagen en el marco más grande que la longitud de una imagen en el marco más pequeño?». Longitud del cuadro en el marco más grande: 3,375 cm3 = s3; 15 cm = s Longitud del cuadro en el marco más pequeño: 125 cm3 = s3; 5 cm = s Por lo tanto, la longitud de una imagen en el marco más grande es 15 ÷ 5 = 3 veces mayor que la longitud de una imagen en el marco más pequeño.
116
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24 cm
13,824 cm3
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GRADO 8: RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CÚBICAS Square Roots and Cube Roots
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE OBSERVACIÓN EVALUACIÓN DE HABILIDADES
Square Roots and Cube Roots How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Use square root and cube root symbols to represent solutions to equations of the form x² = p and x³ = p, where p is a positive rational number. Evaluate square roots of small perfect squares and cube roots of small perfect cubes. Know that √2 is irrational.
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN
Notes and Feedback
DESCRIPCIÓN Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede utilizarse como evaluación formativa para los maestros y como autoevaluación para los estudiantes.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 folleto del maestro (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del maestro» y un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1
Square Roots and Cube Roots
Standards for Mathematical Practice
Notes and Feedback
Make sense of problems and persevere in solving them
1. Distribuya un «Folleto del estudiante» a cada uno. 2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Exploración» y «Explicar» del alcance, evalúe formativamente su progreso tomando notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo. 3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
Reason abstractly and quantitatively Construct viable arguments and critique the reasoning of others Model with mathematics
4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje.
Use appropriate tools strategically
Attend to precision
5. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el «Folleto del maestro».
Look for and make use of structure Look for and express regularity in repeated reasoning
6. Las notas anecdóticas proporcionadas en el «Folleto del maestro» pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares.
Consider these reflection questions in this scope. ●
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them?
●
What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
2
7. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la «Guía de instrucción andamiada» en la sección «Inicio» de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
FOLLETO DEL MAESTRO
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GRADO 8: RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CÚBICAS
EVALUAR: MAPA DE CALOR ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
MAPA DE CALOR DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
1. Dé un «Mapa de calor» a cada estudiante junto con lápices de colores rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s).
MATERIALES
2. Los estudiantes usan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el «Mapa de calor». Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los estudiantes colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, los estudiantes colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, los estudiantes colorean el cuadro correspondiente de rojo.
• 1 mapa de calor (por estudiante) • 1 lápiz de color rojo (por estudiante) • 1 lápiz de color azul (por estudiante) • 1 lápiz de color naranja (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Determine si los estudiantes analizarán su «Prueba de habilidades», la «Evaluación basada en estándares», o ambas.
3. Anímelos a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a utilizar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada.
• Imprima un «Mapa de calor» para cada estudiante. • Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
4. Consulte la «Guía de instrucción andamiada» que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
Square Roots and Cube Roots
Square Roots and Cube Roots
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
Refer to your answers on the Standards-Based Assessment. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key.
Reflection Questions
Red – misconception
1. Which skill did you feel most confident with? Why?
Blue - miscalculation
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
Orange - explanation
Red - misconception
Standards-Based Assessment
Skills Quiz
Standards
Standards
Use square root and cube root symbols to represent solutions to equations of the form x² = p and x³ = p, where p is a positive rational number. Evaluate square roots of small perfect squares and cube roots of small perfect cubes. Know that √2 is irrational.
Square Roots and Cube Roots
Questions
Questions
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3. Which type of error did you most commonly make?
10
Use square root and cube root symbols to represent solutions to equations of the form x² = p and x³ = p, where p is a positive rational number. Evaluate square roots of small perfect squares and cube roots of small perfect cubes. Know that √2 is irrational.
4. How can you avoid those errors in the future?
1
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
MAPA DE CALOR
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GRADO 8: RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CÚBICAS
INTERVENIR: REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES Square Roots and Cube Roots
REFORZAR Y VOLVER A ENSEÑAR
REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES
Checkup 1.
Find
.
2.
Solve for x given x2 = 16.
3.
Find
4.
Solve for y given y3 = 8. y = 2
5.
Joe is building a booth with a square base for a music festival. The booth’s base has an area of 25 yd.² What is the length of the booth’s base?
DESCRIPCIÓN Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para intervención.
.8
5 yd. 6.
Lori drew a square on a graph. If the square has an area of 81 in. 2, how long is the square? 9 in.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 revisión rápida (por estudiante) • 1 repaso (por estudiante) • 1 revisión general (por estudiante)
1
7.
Simplify
. 6
8.
Simplify
9.
Ishmael has a figurine with a height of 9 inches, width of 2 inches, and length of 6 inches. Would the figurine fit in a cubic gift box with a volume of 1,000 inches cubed? Yes
• Imprima una copia de la «Revisión rápida», el «Revisión» y la «Revisión general» para cada estudiante.
10.
Cecilia pours sand into a cubic container for her ant farm. The container has a volume of 27 cubic feet. What is the length of the container? 3 ft.
• Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar la «Revisión».
.
• 1 lista de verificación para el maestro (por maestro)
2 9
PREPARACIÓN
2
8
EVALUACIÓN DE CONTROL CLAVE DE RESPUESTAS
• Si lo desea, imprima un ejemplo del «Esquema de anclaje» de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que usen la «Libreta interactiva» como recurso. • Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayudas suplementarias para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Dé una copia de la «Revisión rápida» a cada estudiante. 2. Cada uno debe completarla de forma independiente. 3. Use la rúbrica de habilidades al final de la «Revisión rápida» para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional. 4. Distribuya una copia de «Revisión» a cada uno. 5. Cada estudiante debe completar la «Revisión» como actividad de intervención o de forma independiente. a.
Si lo desea, reúna a los estudiantes en pequeños grupos para trabajar en las destrezas de repaso. Utilice el «Revisión» como ayuda para la reenseñanza.
6. Distribuya una copia de la «Revisión general» a cada uno. 7. Cada estudiante debe completarla de forma independiente. 8. Analice los resultados de la «Revisión general» al usar la «Lista de verificación para el maestro» para identificar quienes necesitan un repaso adicional y quienes han alcanzado el dominio de los conceptos.
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GRADO 8: RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CÚBICAS
ACELERACIÓN: ¿QUÉ PREFIERES? Square Roots and Cube Roots
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
¿QUÉ PREFERIRÍAS?: DIMENSIONES DE LA HABITACIÓN DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
Room Dimensions Use mathematical reasoning and creativity to justify your answer to the Would You Rather question. You are planning to attend a summer camp at a local college. You are looking at room assignments to determine which dorm you would like to stay in. Each of the dorm rooms is listed with the total area. Would you rather stay in dorm room A or B? Justify your reasoning with mathematics. Dorm Room A Total area = 121 square feet
Dorm Room B Total area = 169 square feet
MATERIALES IMPRESOS
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 rúbrica (por maestro)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno. • Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Sample answers may include the following: Dorm room A has an area of 121 square feet. That means the length and width are both 11 feet. Although dorm room A is smaller, I would like this room because there will be less to decorate.
Dorm room B has an area of 169 square feet. This means that the length and width are both 13 feet. Dorm room B is bigger so I would have more room inside this dorm room.
1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a mirar sus folletos de «Explorar» si necesitan repasar habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros.
1
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
4. Utilice la rúbrica proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
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GRADO 8: RAÍCES CUADRADAS Y RAÍCES CÚBICAS
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Square Roots and Cube Roots
OPCIONES PARA EL APRENDIZAJE CONTINUO
TABLERO DE OPCIONES
Square Roots and Cube Roots Choose one or more extension activities from the table below. Career Connection
Mathematician Spotlight
Realtor
Heron of Alexandria
Research the career field of real estate. Your research must answer the provided questions. Create a presentation to relay your research to the class.
Research the work of the Greek mathematician and engineer. Create an informational poster, diorama, or speech to convey his work as it relates to methods for computing the square root and cube root of a number.
Arts Connection
Analogies
Piet Mondrian
Complete the analogies to find the missing square and cube roots.
Create your own work of art in the style of Mondrian. Then, use your art to make some square root calculations.
Los estudiantes explorarán las conexiones con el mundo real y las aplicaciones del contenido matemático a través de interacciones con actividades atractivas.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 tablero de opciones (por estudiante) • 1 juego de hojas de actividades (por estudiante) • 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante)
Kitchen Connection
Technology Connection
Herb Garden Plots
Use a calculator or computer to solve a complex problem involving square and cube roots.
Explore how square roots and cube roots are used in the cooking world by completing the handout.
DESCRIPCIÓN
REUTILIZABLE
• Tecnología (si corresponde)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Tablero de opciones» y un juego de hojas de actividades para cada estudiante.
1
TABLERO DE OPCIONES
• Imprima una «Autoevaluación del tablero» para cada estudiante. • Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» a cada estudiante. 2. Dé tiempo a los estudiantes para examinar el «Tablero de opciones» y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anímelos a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del tablero, haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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GRADO 8 <<SCOPE NAME>>
GRADO 8
NÚMEROS IRRACIONALES ACTIVIDADES EXPLORACIÓN 1: NÚMEROS IRRACIONALES VS. NÚMEROS RACIONALES
NORMAS FOCUS Saber que hay números que no son racionales y aproximarlos mediante números racionales. • Saber que los números que no son racionales se denominan irracionales. Comprender informalmente que todo número tiene una expansión decimal; para números racionales mostrar que la expansión decimal se repite eventualmente, y convertir una expansión decimal que se repite eventualmente en un número racional. • Utilizar aproximaciones racionales de números irracionales para comparar el tamaño de números irracionales, localizarlos aproximadamente en un diagrama de la recta numérica, y estimar el valor de expresiones (por _ ejemplo π2). Por ejemplo, _ truncando la expansión decimal de √ 2 , mostrar que √ 2 está entre 1 y 2, luego entre 1,4 y 1,5, y explicar cómo continuar para obtener mejores aproximaciones. Trabajar con radicales y exponentes enteros. • Utilizar los símbolos de raíz cuadrada y raíz cúbica para representar soluciones de ecuaciones de la forma x² = p y x³ = p, donde p es un número racional positivo. Evaluar raíces cuadradas de pequeños cuadrados perfectos y raíces cúbicas de pequeños _ cubos perfectos. Saber que √2 es irracional.
CONEXIÓN DE NORMAS Trabajar con radicales y exponentes enteros. • Conocer y aplicar las propiedades de los exponentes enteros para generar expresiones numéricas equivalentes. Por ejemplo, 1 1 32 × 3-5 = 3-3 = ____3 = ____ . 27 3
ATRAER ACTIVIDADES ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: AGREE OR DISAGREE Los estudiantes aplican el pensamiento crítico evaluando las respuestas de sus compañeros a una pregunta matemática. • Los estudiantes deciden de forma independiente si están de acuerdo o en desacuerdo con las respuestas dadas por los estudiantes y explican su razonamiento. • Participan en una discusión por parejas mediante una actividad de chocar los cinco para compartir y justificar sus respuestas. • La clase discute las respuestas colectivamente, lo que permite a los estudiantes articular su razonamiento y abordar cualquier concepto erróneo. ANZUELO Los alumnos aprenden a convertir raíces cuadradas en aproximaciones decimales y utilizan las rectas numéricas para comparar y ordenar valores. • Los alumnos convierten la raíz cuadrada de un número en una aproximación decimal hasta la centésima. • Trazan el decimal en una recta numérica junto a otros valores para facilitar la comparación y el orden. • A través de un escenario de videojuego, los alumnos determinan qué valor es el mayor, simulando una competición con resultados de "ganar", "colocar" y "mostrar".
Los estudiantes se involucran en la clasificación de números reales a través del trabajo colaborativo en grupo y el uso de organizadores gráficos. • Los estudiantes crean un organizador gráfico para clasificar los números como racionales o irracionales, utilizando un diagrama de Venn como guía. • Trabajan en grupos para emparejar los nombres de las clasificaciones, las definiciones y los ejemplos utilizando las Tarjetas de clasificación de números reales para estudiantes. • Los estudiantes aplican sus conocimientos para determinar si los números dados son racionales o irracionales, justificando su razonamiento con pruebas. • La actividad concluye con una Charla matemática y la realización de un Boleto de salida para evaluar la comprensión. EXPLORACIÓN 2: EXPANSIÓN DECIMAL Los estudiantes exploran la relación entre fracciones y decimales mediante la conversión entre las dos formas y la identificación de patrones en las expansiones decimales. • Los estudiantes trabajan en pequeños grupos para convertir medidas fraccionarias de la tierra en forma decimal, utilizando la división larga y fracciones equivalentes. • Identifican y diferencian entre decimales terminados y repetidos, utilizando la notación de barras para los dígitos repetidos. • Los estudiantes aplican un método para convertir decimales repetidos de nuevo en fracciones, discutiendo el uso de potencias de diez en el proceso. • La actividad incluye discusiones colaborativas, preguntas de reflexión y un Chat Matemático para reforzar el aprendizaje y compartir estrategias. EXPLORACIÓN 3: LOCALIZAR Y COMPARAR NÚMEROS IRRACIONALES EN UNA RECTA NUMÉRICA Los estudiantes exploran aproximaciones racionales de números irracionales y su ubicación en una recta numérica. • Los estudiantes trabajan en pequeños grupos para cortar y colocar tarjetas de medidas especiales en una cinta métrica, determinando los valores de las raíces cuadradas y sus ubicaciones. • Se aproximan a los valores decimales de los números irracionales identificando los cuadrados perfectos entre los que se encuentran en la recta numérica. • Los estudiantes comparan números racionales e irracionales utilizando sus aproximaciones, participando en discusiones para compartir estrategias y observaciones. • La actividad concluye con una charla matemática para reflexionar sobre el aprendizaje y completar un boleto de salida para la evaluación. EXPLORACIÓN 4: ESTIMATE AND COMPARE IRRATIONAL NUMBER EXPRESSIONS Los estudiantes participan en la estimación y comparación de expresiones de números irracionales a través de tareas colaborativas de resolución de problemas. • Los estudiantes trabajan en pequeños grupos para determinar aproximaciones decimales para varias expresiones de números irracionales relacionadas con escenarios de construcción. • Utilizan tarjetas de construcción y una tarjeta de construcción para explorar y resolver problemas, mejorando su comprensión de cómo aproximar números irracionales. • La actividad incluye preguntas guiadas y discusiones para facilitar una comprensión más profunda y la aplicación de conceptos matemáticos. • Los estudiantes completan un boleto de salida para evaluar su comprensión y participar en una charla de matemáticas para compartir estrategias y observaciones.
• La actividad se repite después de la exploración para reforzar la comprensión y la aplicación de los conceptos.
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GRADO<<SCOPE 8: NÚMEROS IRRACIONALES NAME>> GRADO 8
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES INVESTIGACIONES CILÍNDRICAS
Los alumnos aplican las raíces cuadradas y cúbicas para resolver problemas del mundo real, como el cálculo de volúmenes y superficies de cilindros, conos y esferas. Aprenden a estimar los valores de las raíces cúbicas y cuadradas en estos contextos, aplicando su comprensión de los números irracionales a las figuras geométricas. Esta aplicación práctica de los números irracionales apoya su capacidad para visualizar y calcular con formas del mundo real, vinculando la abstracción matemática a problemas tangibles.
Los alumnos aprenden cómo se relacionan las raíces cuadradas y cúbicas con las formas geométricas, especialmente cuando trabajan con cálculos de volumen y superficie. Utilizan exponentes enteros y raíces cuadradas para expresar las dimensiones de formas geométricas, como cubos y esferas, profundizando en su comprensión de cómo los números se relacionan con el espacio físico y la estructura.
FIGURAS, NÚMEROS Y EXPRESIONES
La exploración por parte de los alumnos de los números irracionales, en particular las raíces cuadradas y cúbicas, conecta directamente con la comprensión de los números grandes y pequeños al desarrollar su capacidad para aproximar valores con precisión y comparar magnitudes con eficacia. La determinación de la expansión decimal de fracciones introduce patrones como la terminación o la repetición de decimales. Las estrategias de estimación, como la identificación de límites entre cuadrados perfectos, profundizan su comprensión de las escalas numéricas. Estas actividades desarrollan el sentido numérico y permiten a los alumnos desenvolverse con números grandes y pequeños, a la vez que les preparan para aplicaciones del mundo real que requieren precisión y escalas.
NÚMEROS GRANDES Y PEQUEÑOS EXPLORACIONES PITAGÓRICAS
CONCEPTOS CLAVE • Puedo describir lo que es un número irracional.
El trabajo de los alumnos con las raíces cuadradas se aplicará posteriormente al teorema de Pitágoras, comprendiendo cómo el cuadrado de los catetos de un triángulo rectángulo conduce a un número irracional al resolver la hipotenusa en determinados casos. Esto les permite conectar el concepto de números irracionales con el razonamiento geométrico, utilizando las raíces cuadradas para hallar longitudes y resolver problemas relacionados con triángulos rectángulos.
CUESTIONES FUNDAMENTALES • Describe las diferencias entre números racionales e irracionales.
• Puedo describir un número racional como un número que tiene una expansión decimal que eventualmente se repite o termina.
• Describe el lugar de un número irracional en el sistema de números reales.
• Puedo convertir una expansión decimal en fracciones equivalentes.
• ¿Cómo se convierte una expansión decimal en una fracción equivalente?".
• Puedo usar números racionales para aproximar un número irracional con el fin de comparar el tamaño de números irracionales.
• Explica cómo se pueden utilizar los números racionales para estimar los números irracionales para graficarlos en una recta numérica.
• Puedo localizar una aproximación de un número irracional en una recta numérica. • Puedo usar aproximaciones de números irracionales para estimar el valor de expresiones.
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GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES
INICIO > CONTENT SUPPORT ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
SOPORTE DE CONTENIDOS Saber que hay números que no son racionales y aproximarlos mediante números racionales. • Saber que los números que no son racionales se denominan irracionales. Comprender informalmente que todo número tiene una expansión decimal; para números racionales mostrar que la expansión decimal se repite eventualmente, y convertir una expansión decimal que se repite eventualmente en un número racional. • Utilizar aproximaciones racionales de números irracionales para comparar el tamaño de números irracionales, localizarlos aproximadamente en un diagrama de la recta numérica, y estimar el valor de expresiones (por ejemplo, 𝛑2). la expansión decimal de _ Por ejemplo, truncando _ √2 , mostrar que √2 está entre 1 y 2, luego entre 1,4 y 1,5, y explicar cómo continuar para obtener mejores aproximaciones. Trabajar con radicales y exponentes enteros. • Utilizar los símbolos de raíz cuadrada y raíz cúbica para representar soluciones a ecuaciones de la forma x2 = p y x3 = p, donde p es un número racional positivo. Evaluar raíces cuadradas de pequeños cuadrados perfectos y raíces _ cúbicas de pequeños cubos perfectos. Saber que √2 es irracional.
CONOCIMIENTOS PREVIOS Los estudiantes se encontraron con los números racionales en 6º curso cuando entendieron los números racionales como puntos en una recta numérica. Los estudiantes trabajaron con fracciones y decimales para identificar sus ubicaciones apropiadas en cualquier recta numérica dada. En el Grado 7, los estudiantes fueron expuestos a decimales infinitamente repetidos usando la división al convertir fracciones como ⅓ a decimales. Los estudiantes trabajan para clasificar los decimales como terminados o repetidos usando el patrón repetitivo que puede o no ocurrir durante el proceso de división.
CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
• Al identificar números racionales e irracionales, los alumnos suelen considerar los decimales largos de varios dígitos como números irracionales. Los estudiantes no buscan dígitos repetidos para declarar el número como racional, sino que ven los decimales largos de varios dígitos como irracionales. • Los estudiantes pueden ver todos los números radicales (incluidos los cuadrados perfectos) como números irracionales.
TÉRMINOS A SABER • convertir: cambiar la forma de una medida utilizando diferentes unidades sin cambiar el tamaño o la cantidad de la cantidad que se está midiendo • decimal: un número que utiliza un punto decimal seguido de dígitos que muestran un valor menor que uno, en potencias de diez que disminuyen; un número con uno o más dígitos a la derecha del punto decimal • expansión decimal: la forma decimal de un número • estimación (sustantivo): una aproximación de una cantidad o valor global • expresión: números, variables y símbolos agrupados sin signo igual para mostrar una relación • fracción: un número que muestra una parte de un todo o parte de un conjunto • fracción impropia: una fracción que tiene un numerador que es mayor o igual que el denominador • número irracional: un número decimal que no puede expresarse como fracción, no es imaginario y no se repite ni termina • porcentaje: una proporción especial que compara un número con 100 utilizando el símbolo de porcentaje, %; una tasa por 100 • número mixto: un número entero y una fracción combinados; un número formado por un número entero y una fracción • recta numérica/diagrama de recta numérica: una línea en la que los números están marcados a intervalos • número racional: un número que puede escribirse como a una fracción de enteros ___ , donde b ≠ 0; un número que b puede escribirse como un cociente utilizando dos enteros • decimal repetido: un número decimal en el que un dígito o grupo de dígitos se repite indefinidamente, como en 0.333... o 1.851851851... • decimal truncado: un número decimal en el que se omiten algunas cifras y el número se aproxima a un cierto punto sin redondear • número entero: un número cero y superior que no contiene ninguna parte fraccionaria o decimal; un número positivo sin una parte fraccionaria
• Los estudiantes a menudo sólo ven π como un símbolo en lugar de un símbolo que representa un número irracional.
ALCANCE ACTUAL Los estudiantes estarán expuestos a múltiples oportunidades para identificar y comparar números racionales e irracionales. Los estudiantes mostrarán la diferencia entre las definiciones de un número racional y un número irracional a través de aproximaciones numéricas y maquillaje decimal. En este ámbito, los alumnos identificarán las diferencias entre números racionales y números irracionales para comparar valores numéricos. Los alumnos estimarán los valores numéricos de los números irracionales para ubicarlos en una recta numérica en comparación con números racionales dados.
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GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES
INICIO > CONTENT SUPPORT
APLICACIÓN DE PRÁCTICAS MATEMÁTICAS •
MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los alumnos dan sentido y resuelven problemas matemáticos de números irracionales identificando la definición de números racionales e irracionales. Utilizan las definiciones para identificar números irracionales para estimar y comparar sus valores con números racionales dados.
•
MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes descontextualizan escenarios del mundo real para hallar el área o el perímetro y luego contextualizan el valor hallado para dar una solución en términos del problema presentado.
•
MP.3 Construyen argumentos viables y critican el razonamiento de otros: Los alumnos participan en un discurso matemático activo mientras clasifican números y definiciones en el sistema de números reales. Comunican los razonamientos que sustentan sus conclusiones y tienen en cuenta las ideas de sus compañeros.
•
MP.4 Modelar con matemáticas: Los estudiantes aplican sus conocimientos de números racionales e irracionales para encontrar áreas y perímetros exactos en diferentes escenarios del mundo real. Se les dan las medidas y determinan las ecuaciones y valores a utilizar.
•
MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas: Los estudiantes utilizan rectas numéricas para aproximar los valores de los números irracionales en comparación con el tamaño de los números racionales. La recta numérica ayuda a los estudiantes a localizar y comparar números irracionales para estimar el valor de expresiones dadas como π2. Los estudiantes también utilizan una calculadora para ayudar con las conversiones numéricas de números racionales e irracionales.
•
MP.6 Atender a la precisión: Los alumnos calculan con precisión los valores de números racionales e irracionales para representar gráficamente y comparar los valores encontrados. Prestan mucha atención a los valores de los decimales encontrados para determinar dónde se puede representar gráficamente el valor en una recta numérica.
•
MP.7 Buscan y hacen uso de la estructura: Los estudiantes identifican y evalúan una estrategia para escribir decimales repetidos como fracciones. Observan y determinan que multiplicar un decimal repetido por 10 es una manera fácil de convertir un decimal repetido en una fracción.
•
MP.8 Buscan y expresan regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes usan la división repetitiva para ayudar a identificar las diferencias entre números racionales e irracionales. Los números racionales muestran dígitos repetidos después de la división y los números irracionales no tienen dígitos repetidos. Los alumnos utilizan la división y los patrones para ayudar a identificar las diferencias entre números racionales e irracionales.
NÚMEROS IRRACIONALES
CONVERTIR NÚMEROS RACIONALES
Los estudiantes desarrollan una comprensión de lo que son los números irracionales y cómo distinguirlos de los números racionales. Los alumnos identificarán los números irracionales como números que son continuos sin dígitos repetidos. Los alumnos expresarán que cualquier número que pueda escribirse como una fracción es un número racional. Cuando se les den dos números, los estudiantes identificarán si los números son racionales o irracionales mientras proporcionan evidencia de su elección.
Los números racionales se pueden representar de múltiples formas. Los números racionales se pueden escribir como fracciones y decimales que representan valores que son finitos en algún punto. Cuando los números racionales se representan como fracciones, pueden convertirse en decimales mediante la división larga. Cuando los números racionales se representan como un decimal repetido, los estudiantes pueden usar un algoritmo por potencias de 10.
_
Ejemplo 1: Usando una calculadora, determina si √37 es un número racional o irracional. Justifica tu respuesta. _
(Coloca en la calculadora) √37 = 6.08276253...
_
Las respuestas de los alumnos pueden variar. √37 es un número irracional. Cuando se saca la raíz cuadrada de 37, la respuesta decimal no tiene fin y no repite ningún dígito. Este decimal no se puede escribir como fracción, por lo tanto es un número irracional. 125 Ejemplo 2: ¿La expansión decimal de _____ sería un número racional 8
o irracional?". Explica tu razonamiento.
Ejemplo 1: Convierte el decimal repetido de 0.3333333... a una fracción. Sea x = 0,333333... 10x = 3,33333... 100x = 33. 100x = 33 + x -x
-x
99x = 33 99
99
33 1 x = ____ = _ 3 99
Repesentar 0.27272727... como fracción.
3333... Que x = 0,27272727... 10x = 2,72727... 100x = 27. 100x = 27 + x Las respuestas de los alumnos pueden variar. Al dividir 125 entre 8 utilizando la división larga, se obtiene un decimal de 15,625. Como este decimal es finito y se puede escribir como una fracción, este número es un número racional.
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-x
-x
99x = 27 99
99
3 27 = __ x = ____ 99 11
125
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GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES
HOME > CONTENT SUPPORT Students create a set statement that determines the original decimal as the x value. Then, the x value is multiplied by 10 and then 100 to represent the denominator of the fraction to be out of 100. At that point, the decimal times 100 would present a whole number plus the original decimal, so it can be written as the sum of a whole number and x. Both the 100x and sum of a whole number and x can be solved to determine the fraction verse of the repeating decimal.
PATTERNS IN RATIONAL NUMBERS Rational numbers can be written as decimals and fractions. Each fraction has an equivalent decimal that can be reached through long division or the breakdown of common fractions. An improper fraction can be converted into a decimal by breaking the fraction into a wholenumber fraction and a remainder fraction. The remainder fraction is often a common fraction that is frequently used which allows its value to be known mentally. Example: Express ___ 19 as a decimal using common factors. 3 19 18 1 1 ___ 3 = ___ + __ = 6 + __ =6.3333333… or 6.3 3 3 3
25 ___ The _ correct answer is 7 . Explanations will vary. When √12 is converted to a decimal using the calculator, you 25 get 3.464101615… which is approximately 3.464. When ___ 7 is converted to a decimal using long division, you get a decimal of 3.57142… which is approximately 3.571. Given the two rounded _ decimals, 3.464 is less than 3.571; 25 > 12 . therefore, ___ √ 7
Example 2: Order the following numbers from least to greatest and place them accordingly on the number line below. _
√4
_ √ 4
19
The correct answer is 6.3333… or 6.3. The fraction ___ can be broken 3
_
√11
21 ___ 5
_
√8
35 ___ 7
21 ___ 5
_ √11 √11 =
√8 =
21 ___ = 4.2 5
If 32 = 9 and 42 = 16 then √11 is between 3 and 4 3.31662… (Calculator)
If 22 = 4 and 32 = 9 then √8 is between 2 and 3 2.828427… (Calculator)
35 ___ 7
_ √ 8
18
down into the sum of a whole fraction and a remainder fraction (___ 3 + 1 __ ). The whole-number fraction is then divided to get the whole 3 number, and the remaining fraction is a common fraction. (___ 18 = 6 3 1 __ and 3 = 0.333333) To determine the decimal that is equivalent 19 to ___ , the whole number and decimal would be put together to get 3
√4 = 2 22 = 4, so √4 = 2
6.3333333.
35/7= 5
COMPARE AND LOCATE IRRATIONAL NUMBERS Irrational numbers can be compared by converting them into a decimal form. The decimals can then be compared to order the numbers from least to greatest or greatest to least as well as place them on a number line of rational values. A tool like a calculator can be used frequently to help with converting irrational numbers into decimals in order to compare and locate the values with rational numbers.
Answer (Least to Greatest): _
_
_
21 ___ √4 , √8 , √11 , ___ , 35 7 7
_
25 Example 1: Which value is larger: √12 or ___ ? ». Justify your 7 answer. _
√12
32 = 9 and 42 = 16, so
_
is between 3 and 4. √ 12 _ √12 = 3.464101615
(Work completed using a calculator)
126
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___ 25 7
Once all of the rational and irrational numbers are converted into decimal form, the numbers can be placed on the number line. Approximations are used to place the decimals in the area in which their decimal lies. The number lines can be broken down into sections of tenths in order to place the decimal approximations more efficiently.
COMING ATTRACTIONS As students enter high school, they will be applying their knowledge of irrational numbers in order to study functions that take on irrational values, like exponential, logarithmic, and power functions. Students will study how rational and irrational numbers work together on the real number system. Students will explore how operations between irrational and rational values can produce irrational answers even though one value is rational. Students will also apply their knowledge of irrational numbers to complete computation involving complex numbers, such as computations with the quadratic equation and the involvement of imaginary numbers.
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HOME > CONTENT UNWRAPPED DEEP DIVE INTO THE STANDARDS
CONTENT UNWRAPPED STANDARDS Know that there are numbers that are not rational, and approximate them by rational numbers. • Know that numbers that are not rational are called irrational. Understand informally that every number has a decimal expansion; for rational numbers show that the decimal expansion repeats eventually, and convert a decimal expansion which repeats eventually into a rational number. • Use rational approximations of irrational numbers to compare the size of irrational numbers, locate them approximately on a number line diagram, and estimate the value of expressions (e.g., π2). For _ example, by truncating the decimal expansion of √ 2 _ , show that √ 2 is between 1 and 2, then between 1.4 and 1.5, and explain how to continue on to get better approximations. Work with radicals and integer exponents. • Use square root and cube root symbols to represent solutions to equations of the form x2 = p and x3 = p, where p is a positive rational number. Evaluate square roots of small perfect squares _ and cube roots of small perfect cubes. Know that √2 is irrational.
DISSECTING THE STANDARD VERBS: WHAT SHOULD STUDENTS BE DOING?».
• approximate: to find a number that is close to the given number on a number line • compare: to examine the differences between numbers, expressions, and equations • convert: to change the form of a measurement using different units, without changing the size or amount of the quantity being measured • estimate: to predict an approximate size, amount, or value of something; a strategy often used to solve a problem • evaluate: to determine or calculate the numerical value of something • know: the ability to identify and understand an idea, formula, or skill • locate: to discover the exact position of something • represent: to show how terms are related; to stand for something else • show: to represent a number or quantity; to demonstrate a conclusion • understand: to grasp the meaning of • use: to apply a strategy
NOUNS: WHAT CONCRETE WORDS SHOULD STUDENTS KNOW?».
• approximate: a value or quantity that is nearly, but not exactly, correct • compare: to examine the differences between numbers, expressions, and equations • cube root: a number that, when multiplied by itself three times, produces the given number • decimal expansion: the decimal form of a number • equation: a mathematical sentence that uses numbers, one or more operation symbols, and an equal sign • exponent: a mathematical notation that indicates the number of times the base number is multiplied by itself; also called power • expression: numbers, variables, and symbols grouped together without an equal sign to show a relationship • integer: any one of the positive whole numbers, negative whole numbers, and zero; any member of the set of all whole numbers and their opposites • integer exponent: a positive or negative whole number or zero that tells the number of times a base is multiplied by itself • irrational number: a decimal number that cannot be expressed as a fraction, is not imaginary, and does not repeat or terminate • number: a count or measurement of a concept represented by numerals • number line diagram: a line on which numbers are marked at intervals • positive rational number: a number to the right of (or greater than) zero that can be expressed as a fraction of two integers • radical: a symbol that indicates the root of a quantity • rational approximation: the approximation of a real number by a rational number • rational number: a number that can be written as a fraction of integers a/b, where b ≠ 0; a number that can be written as a ratio using two integers • size: the relative extent of something; a thing's overall dimensions or magnitude; how big something is • solution: any number that makes an equation true • square root: a number, that when multiplied by itself, produces the given number • symbol: a mark or character used as a representation of an object, function, or process • value: the numerical amount denoted by an algebraic term; a magnitude, quantity, or number
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PORTADA > CONTENIDOS SIN ENVOLTORIO
IMPLICACIONES PARA LA INSTRUCCIÓN
• En grados anteriores, los alumnos han multiplicado y dividido fracciones y números racionales. Los estudiantes han comparado y ubicado números racionales en una recta numérica previamente. Los estudiantes también han convertido previamente números decimales en fracciones. • En este nivel de grado, se espera que los estudiantes amplíen su conocimiento de los números para incluir los números irracionales. Los estudiantes convierten números racionales que eventualmente tienen decimales repetidos en un número racional. Los alumnos utilizan la aproximación para describir un número irracional. Utilizan sus habilidades de razonamiento para obtener aproximaciones precisas de números irracionales. Los estudiantes comparan y ubican números irracionales en una recta numérica utilizando estas aproximaciones.
ALINEACIÓN VERTICAL GRADO
ESTÁNDAR
5
Interpretar una fracción como la división del numerador entre el denominador ( ___ = a ÷ b). Resolver problemas de palabras que impliquen la b división de números enteros que conduzcan a respuestas en forma de fracciones o números mixtos, por ejemplo, utilizando modelos visuales de fracciones o ecuaciones para representar el problema.
a
Aplicar y ampliar conocimientos previos sobre la multiplicación para multiplicar una fracción o un número entero por una fracción.
5
6
a
a.
Interpretar el producto ___ × q como partes de a partición de q en b partes iguales; equivalentemente, como el resultado de una b secuencia de operaciones a × q ÷ b.
b.
Hallar el área de un rectángulo con longitudes laterales fraccionarias embaldosándolo con cuadrados unitarios de las longitudes laterales fraccionarias unitarias apropiadas, y demostrar que el área es la misma que se hallaría multiplicando las longitudes laterales. Multiplicar longitudes laterales fraccionarias para encontrar áreas de rectángulos, y representar productos de fracciones como áreas rectangulares.
Interpretar y calcular cocientes de fracciones, y resolver problemas de palabras que involucren división de fracciones por fracciones, por ejemplo, utilizando modelos visuales de fracciones y ecuaciones para representar el problema. Aplicar y ampliar conocimientos previos de suma y resta para sumar y restar números racionales; representar sumas y restas en un diagrama de línea numérica horizontal o vertical.
7
a.
Describir situaciones en las que cantidades opuestas se combinan para formar 0.
b.
Entender p+q como el número situado a una distancia |q| de p, en sentido positivo o negativo dependiendo de si q es positivo o negativo. Demostrar que un número y su opuesto tienen suma 0 (son inversos aditivos). Interpretar sumas de números racionales describiendo contextos del mundo real.
c.
Entender la resta de números racionales como la suma del inverso aditivo, p - q = p+(-q). Demostrar que la distancia entre dos números racionales en la recta numérica es el valor absoluto de su diferencia, y aplicar este principio en contextos del mundo real.
d.
Aplicar propiedades de las operaciones como estrategias para sumar y restar números racionales.
Aplicar y extender conocimientos previos de multiplicación y división y de fracciones para multiplicar y dividir números racionales.
7
a.
Entender que la multiplicación se extiende de fracciones a números racionales al requerir que las operaciones continúen satisfaciendo las propiedades de las operaciones, particularmente la propiedad distributiva, llevando a productos como(-1)(-1) = 1 y las reglas para multiplicar números con signo. Interpretar productos de números racionales describiendo contextos del mundo real.
b.
Comprender que los números enteros pueden dividirse, siempre que el divisor no sea cero, y que todo cociente de números enteros p
(-p)
p
_____ = _____ . Interpretar (con divisor distinto de cero) es un número racional. Si p y q son números enteros, entonces -( ___ q )= q (-q) cocientes de números racionales describiendo contextos del mundo real.
c.
Aplicar propiedades de las operaciones como estrategias para multiplicar y dividir números racionales.
d.
Convertir un número racional a decimal usando la división larga; saber que la forma decimal de un número racional termina en 0s o eventualmente se repite.
8
Utilizar los símbolos de raíz cuadrada y raíz cúbica para representar soluciones a ecuaciones de la forma x2 = p y x3 = p, donde p es un número _ racional positivo. Evaluar raíces cuadradas de pequeños cuadrados perfectos y raíces cúbicas de pequeños cubos perfectos. Saber que √ 2 es irracional.
8
Saber que los números que no son racionales se llaman irracionales. Comprender informalmente que todo número tiene una expansión decimal; para números racionales mostrar que la expansión decimal se repite eventualmente, y convertir una expansión decimal que se repite eventualmente en un número racional.
8
Utilizar aproximaciones racionales de números irracionales para comparar el tamaño de números irracionales, localizarlos aproximadamente en un diagrama de la recta numérica, y estimar el valor de expresiones (por ejemplo, π2).
HS
Explicar por qué la suma o el producto de dos números racionales es racional; que la suma de un número racional y un número irracional es irracional; y que el producto de un número racional distinto de cero y un número irracional es irracional.
HS
Saber que existe un número complejo i tal que i2 = -1, y que todo número complejo tiene la forma a + bi con a y b reales.
128
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INICIO > GUÍA DE INSTRUCCIONES DE ANDAMIAJE CONTROLAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIONES La Guía de instrucción de andamiaje se proporciona para que los profesores puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los alumnos en las evaluaciones de alcance o en los datos de su evaluación de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que orienta a los profesores hacia materiales basados en las necesidades de los alumnos. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor apoyan. Cuando se utiliza la Guía de instrucción de andamiaje con los datos de la evaluación de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos basados en los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se alienta a los maestros a permitir que todos los estudiantes experimenten las pruebas Hook, Explores, Show What You Know y Skills. Estos elementos cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar.
0%-25%
25%-50%
50%-80%
80%-100%
Remediación de nivel de grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado
Los estudiantes que obtienen un puntaje en este rango de percentil en las evaluaciones del alcance o en la evaluación de crecimiento MAP necesitan apoyo de contenido de nivel de grado anterior.
Los estudiantes que obtienen un puntaje en este rango de percentil en las evaluaciones del alcance o en la evaluación de crecimiento MAP necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes que obtienen un puntaje en este rango de percentil en las evaluaciones de alcance o en la evaluación de crecimiento MAP pueden trabajar en contenido de nivel de grado con apoyos de instrucción.
Los estudiantes que obtienen un puntaje en este rango de percentil en las evaluaciones de alcance o en la evaluación de crecimiento MAP están listos para aplicar su conocimiento del contenido a una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el Mapa de calor del estudiante para determinar el rango de percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 2. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango de percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales de instrucción utilizará para apoyar mejor al estudiante con base en sus datos de evaluación. 3. Haga clic en el enlace directo al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación MAP Growth, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el ámbito que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la Guía de instrucción con andamiaje en la sección Inicio del ámbito. 4. Haga clic en el enlace directo al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de Instrucción: Sistemas de números reales y complejos, operaciones y pensamiento algebraico Todos los estudiantes: • Engancha • Explora • Demuestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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INICIO > GUÍA DE INSTRUCCIONES DE ANDAMIAJE
Repaso y Práctica de Habilidades Generador de Fluidez • Multiplicación y División de Números Enteros • Multiplicación y División de Números Racionales Práctica Interactiva • El Cryptex
8 - Números irracionales Acceso a conocimientos previos Foundation Builder
• Revisión (Preguntas 1,4) 8 - Números Irracionales Vocabulario Interactivo Cuaderno Interactivo Práctica Interactiva
Constructor de Fluidez • Representación de Números Reales Ciencia de Datos Conexiones Lingüísticas
Repaso y práctica de habilidades Práctica interactiva • El criptex Prueba de habilidades 8 - Raíces cuadradas y raíces cúbicas Raíces cuadradas y raíces cúbicas Repaso y práctica de destrezas Generador de fluidez • Raíces cuadradas y raíces cúbicas Práctica interactiva • Despegue
8 - Números Irracionales Acceso a conocimientos previos Foundation Builder Repaso de Habilidades y Práctica • Quick Check (Preguntas 3-5) • Repaso (sección Localizar y Comparar Números Irracionales, sección Estimar y comparar expresiones de números irracionales) • Revisión (Preguntas 2,3,5-10) 8 - Irrational Numbers
• Splatball
Picture Vocabulary (Grade Level)
(Nivel de Grado)
50 % - 80 %
Vocabulario en Imágenes
(Nivel de Grado con Apoyos)
• Review (Rational Numbers vs. Irrational Numbers and Decimal Practice) Sección Números Irracionales y Expansión Decimal)
25 % - 50 % (Grade Level) 50 %
• Quick Check (Questions 1-2)
7 - Multiplicación y división con números racionales
Prueba de destrezas
Repaso y práctica de destrezas
50 % - 80 %
(Grade Level with Supports)
25 % - 50 %
Prueba de Habilidades
(Remediación del nivel de grado anterior)
7 - Multiplicación y División con Números Racionales
Utilizar aproximaciones racionales de números irracionales para comparar el tamaño de números irracionales, localizarlos aproximadamente en un diagrama de la recta numérica y estimar el valor de expresiones._Por ejemplo, truncando la expansión _ decimal de √2 , mostrar que √2 está entre 1 y 2, luego entre 1,4 y 1,5, y explicar cómo continuar para obtener mejores aproximaciones.
0 % - 25 %
0 % - 25 %
(Nivel de Grado Previo de Remediación)
Saber que los números que no son racionales se llaman irracionales. Comprender informalmente que cada número tiene una expansión decimal; para números racionales mostrar que la expansión decimal se repite eventualmente, y convertir una expansión decimal que se repite eventualmente en un número racional.
Interactive Vocabulary Interactive Notebook Interactive Practice • Splatball
8 - Números Irracionales Números irracionales Tarea de modelización matemática Preferirías Tablero de opciones
130
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(Extending Grade Level)
Language Connections
80%-100%
(Extendiendo el Nivel de Grado)
80%-100%
Data Science
8 - Irrational Numbers Mathematical Modeling Task Choice Board
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GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES
INICIO > GUÍA DE INSTRUCCIONES DE ANDAMIAJE
(Nivel de grado anterior con apoyo) (Nivel de grado con apoyo)
25 % - 50 %
0 % - 25 %
Utilizar los símbolos de raíz cuadrada y raíz cúbica para representar soluciones a ecuaciones de la forma x² = p y x³ = p, donde p es un número racional positivo. _Evaluar raíces cuadradas de pequeños cuadrados perfectos y raíces cúbicas de pequeños cubos perfectos. Saber que √2 es irracional.
6 - Ecuaciones y desigualdades Repaso y práctica de destrezas Generador de fluidez • Ecuaciones y desigualdades Prueba de destrezas
8 - Números irracionales Repaso y práctica de destrezas • Verificación rápida (Preguntas 3-5) • Repaso (Números racionales vs. Números irracionales y Números decimales). Sección Números Irracionales y Expansión Decimal, Sección Localizar y Comparar Números Irracionales, Sección Estimar y Comparar Números Irracionales) • Revisión (Preguntas 5, 6, 7, 8, 9, 10)
(Nivel de grado)
50 % - 80 %
8 - Números irracionales Vocabulario en imágenes Vocabulario interactivo Cuaderno interactivo Práctica interactiva • Splatball
(Ampliación del nivel de grado)
80%-100%
Ciencia de datos
8 - Números irracionales Tarea de modelización matemática Preferirías Tablero de opciones
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GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES
ATRAER > ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS Irrational Numbers
EVALUAR PREVIAMENTE LOS CONOCIMIENTOS DE LOS ALUMNOS
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: DE ACUERDO O EN DESACUERDO ESTÁNDAR PREVIO
Agree or Disagree Decide whether you agree or disagree with each student in the following scenarios, and circle the corresponding word. Justify your answer. 1.
Convertir un número racional a decimal usando la división larga; saber que la forma decimal de un número racional termina en 0s o eventualmente se repite.
DESCRIPCIÓN
Agree
2.
Sydney announces that all fractions with 6 as a denominator and an odd numerator will be converted to a repeating decimal. Agree
Disagree
Reasoning:
3.
Zia believes that
2 15
is converted to a repeating decimal. Agree
IMPRESOS
• 1 De acuerdo o en desacuerdo (por estudiante)
Disagree
Reasoning:
Los estudiantes leerán diferentes respuestas de estudiantes a una pregunta planteada sobre el estándar previo, decidirán si están de acuerdo o en desacuerdo con el estudiante y explicarán su razonamiento.
MATERIALES
Roberto argues that every decimal quotient eventually terminates if you add enough zeros to the dividend.
Disagree
Reasoning:
PREPARACIÓN
• Imprima un De acuerdo o en desacuerdo para cada estudiante.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE APOYO 1. Pida a los alumnos que realicen la actividad "De acuerdo o en desacuerdo" de forma independiente.
1
DE ACUERDO O EN DESACUERDO
2. Una vez que los alumnos hayan realizado la actividad solos, pídales que se pongan de pie. 3. Pida a todos los alumnos que caminen por el aula con la mano en alto en posición de chocar los cinco. 4. Cuando usted lo indique, los alumnos se detendrán y chocarán los cinco con la persona que tengan más cerca. Ésta será su pareja. 5. Dé a los alumnos un par de minutos para que discutan juntos sus respuestas y justificaciones. 6. A continuación, puede continuar tantas veces como quiera con diferentes parejas. 7. Discuta las respuestas en clase. Permita a los alumnos que expliquen sus razonamientos para cada problema. a.
En desacuerdo con Roberto
b.
En desacuerdo con Sydney
c.
De acuerdo con Zia
8. Si los alumnos tienen dificultades para completar esta tarea, pase a realizar el Constructor de Fundamentos con el fin de llenar este vacío de conocimientos previos antes de pasar a otras partes del ámbito.
IDENTIFICACIÓN DE CONCEPTOS ERRÓNEOS • Es posible que los estudiantes no reconozcan que agregar ceros terminales no cambia el valor de un número en posición decimal. • Enfatice a los estudiantes que los dividendos que terminan en valores decimales no pueden tener cocientes con residuos. • Los estudiantes pueden pensar que un decimal que se repite sólo repetirá el mismo valor (ej. 0.33333). 132
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GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES
ATRAER > GANCHO
Irrational Numbers
LECCIÓN DE GANCHO
Win, Place, or Show
GANCHO Player 1 (Armstrong)
Player 2 (Sammy)
3.25
3.00
DESCRIPCIÓN
Player 3 (Jaxon)
Los alumnos convierten una raíz cuadrada en una aproximación decimal. Luego identifican la ubicación aproximada del decimal en una recta numérica con otros números, lo que permite comparar y ordenar su valor para determinar el número de mayor valor.
MATERIALES IMPRESOS 1
• 1 Ganar, colocar o mostrar (por clase) REUTILIZABLES
GANAR, COLOCAR O MOSTRAR
• 1 Fenómenos (por clase)
PREPARACIÓN
• Planee mostrar los Fenómenos. • Prepárese para proyectar Ganar, Colocar o Mostrar para que toda la clase los vea. • Prepárese para presentar el escenario y anime a los estudiantes a pensar en cómo resolverlo. Prepárese para pasar a las actividades de Exploración, regresando a la actividad Gancho con los nuevos conocimientos adquiridos después de que se hayan completado las Exploraciones.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
6. Explique a los estudiantes que _Jaxon debe determinar una aproximación decimal para √15 hasta la centésima y trazarla en la recta numérica que crearon los chicos. Discute las siguientes preguntas con la clase: a.
DOK-1 ¿Qué es una raíz cuadrada?". Un factor de un número que da el número cuando se multiplica por sí mismo.
b.
DOK-1 ¿Qué es √16 ?". 4
c. d.
PARTE I: PRE-EXPLORACIÓN
_
_
DOK-1 ¿Qué es √ 9 ?". 3
_
DOK-1 ¿Qué sabes del valor de √15 ?". Su valor será mayor que 3 pero menor que 4.
7. Pase a completar las actividades Explorar.
1. Presente esta actividad hacia el comienzo del alcance. La clase retomará la actividad y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades Explorar correspondientes.
PARTE II: DESPUÉS DE EXPLORAR
2. Muestre los Fenómenos. Formule a los alumnos las siguientes preguntas ¿Qué observas?". ¿Dónde puedes ver matemáticas en esta situación?". Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas.
2. Consulte Ganar, colocar o mostrar y discuta las siguientes preguntas con la clase:
3. Explique el escenario a la clase: Jaxon estaba jugando a un nuevo videojuego con sus amigos Armstrong y Sammy. Decidieron convertirlo en una competición. Cada niño jugaría una partida, determinaría su puntuación hasta la centésima y la trazaría en una recta numérica. Cuando el último niño terminara su turno, compararían y ordenarían las puntuaciones y concederían premios como en una carrera de caballos: "ganar" para el primer puesto, "colocar" para el segundo y "mostrar" para el tercero. Jaxon iba el último y su puntuación era una raíz cuadrada que tenía que convertir en una aproximación decimal para ver si ganaba, quedaba en el primer puesto o se destacaba. 4. Permita que los alumnos hagan preguntas y aclaren el contexto según sea necesario. Anímeles a compartir sus pensamientos y experiencias con la clase utilizando las siguientes preguntas: a.
¿Has jugado alguna vez a videojuegos con amigos?".
b.
¿Por qué necesita Jaxon convertir su puntuación?".
c.
¿Cómo se premia en las carreras de caballos a los tres primeros clasificados?".
5. Proyecto Win, Place, or Show.
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1. Después de que los alumnos hayan completado las actividades Explorar para este tema, muestre de nuevo los Fenómenos y repita el escenario.
a. b. c. d.
DOK-1 ¿Qué es una raíz cuadrada?". Un factor de un número que da el número cuando se multiplica por sí mismo. _
DOK-1 ¿Qué es √ 16 ?". 4 _ DOK-1 ¿Qué es √ 9 ?". 3
_ DOK-1 ¿Qué sabes sobre el valor de √15 ?". Su valor será mayor que 3 pero menor que 4.
e.
DOK-1 ¿La puntuación de Jaxon es mayor o menor que la de Sammy?". Explique. La puntuación de Jaxon es mayor que la _ de Sammy. La puntuación de Sammy es 3, que es el √9 . 15 es _ mayor que 9, por lo que √15 es mayor que 3.
f.
DOK-2 ¿Cuál es la aproximación decimal de la puntuación de Jaxon?". ¿Cómo lo calculas?". La aproximación decimal de la puntuación de Jaxon es una estimación. Como 15 está a sólo 1 _ de 16 pero a 6 de 9, √15 está mucho más cerca de 4 que de 3. Estimo que será 3,85.
g.
DOK-1 ¿La puntuación de Jaxon es mayor que la de Armstrong?". Sí, es mayor porque 3,85 es mayor que 3,25.
h.
DOK-1 ¿Cuáles son los resultados finales de la competición?". Jaxon gana. Armstrong se clasifica. Sammy muestra.
3. Si el tiempo lo permite, haga que los estudiantes aproximen la raíz cuadrada de un número diferente y luego identifiquen un número menor que la raíz cuadrada y un número mayor que la raíz cuadrada. Pueden trazar estos números en una recta numérica.
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GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES
EXPLORAR > EXPLORAR 1 LECCIÓN INSTRUCTIVA
EXPLORACIÓN 1: NÚMEROS IRRACIONALES FRENTE A NÚMEROS RACIONALES Estándar(es) • Saber que hay números que no son racionales y aproximarlos mediante números racionales. Saber que los números que no son racionales se denominan irracionales. Entender informalmente que todo número tiene una expansión decimal; para números racionales mostrar que la expansión decimal se repite eventualmente, y convertir una expansión decimal que se repite eventualmente en un número racional. Estándares para la Práctica Matemática
Grandes Ideas Investigaciones Cilíndricas Exploraciones Pitagóricas Números Grandes y Pequeños Forma, Número y Expresiones
MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución. MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente.
Conexiones de Contenido CC3 Desarmar el todo, armar las partes
Motores de Investigación DI1 Dar sentido al mundo (comprender y explicar)
CC4 Descubrir la forma y el espacio
MP.5 Usar herramientas apropiadas estratégicamente. MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos.
DESCRIPCIÓN Los alumnos crearán un organizador gráfico para clasificar los números reales. Los estudiantes clasificarán los números como racionales o irracionales y justificarán su razonamiento.
MATERIALES IMPRESO
• 1 Diario del estudiante (por estudiante) • 1 Boleto de salida (por estudiante) • 1 Juego de tarjetas de clasificación de números reales para estudiantes (por grupo) • 1 Juego de tarjetas de explicación de clasificación de números reales (por clase) • 1 Diagrama de Venn de números reales (por clase) REUTILIZABLE
• 1 Proyector o cámara de documentos (por clase) • 1 Bolsa resellable (por grupo)
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SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 134
PREPARACIÓN
• Planea dividir la clase en grupos de 2 o 3 para completar esta actividad. • Imprime un Diario del Estudiante y un Boleto de Salida para cada estudiante. • Imprime un juego de Tarjetas de Clasificación de Números Reales para cada grupo. Recórtalas y coloca cada juego de tarjetas en una bolsa con cierre. Si lo deseas, imprímelas en cartulina y plastifícalas para utilizarlas en el futuro. • Imprime un Diagrama de Venn de Números Reales para la clase. Si lo desea, imprímalo en cartulina y plastifíquelo para utilizarlo en el futuro. • Imprima un juego de tarjetas de explicación de la clasificación de los números reales para la clase. Estas tarjetas son una clave para el profesor y no es necesario recortarlas. Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para utilizarlas en el futuro. • Tenga preparado un proyector o una cámara de documentos para mostrar el Diagrama de Venn de los Números Reales a la clase.
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GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES
EXPLORAR > EXPLORAR 1 Irrational Numbers Explore 1
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Team Builders
PARTE I
Part I Complete the Venn diagram with words and examples to clearly show what each classification represents.
1. Lea el escenario en voz alta: Estás buscando unas prácticas para mejorar tus competencias laborales. Has presentado una solicitud a una constructora local, Team Builders, para planificar y construir zonas deportivas para jóvenes por toda la ciudad. El responsable de contratación te ha citado para una entrevista. Cree que tienes un gran potencial, pero tendrás que demostrar que puedes aprender nuevas habilidades matemáticas y aplicar tus nuevos conocimientos antes de que pueda ofrecerte el trabajo. Ayude a los Formadores de Equipos a ordenar sus números según sus clasificaciones. 2. Discuta las siguientes preguntas con la clase:
1
a.
DOK-1 ¿Qué tipos de números hemos descubierto hasta ahora?". Acepte todas las respuestas razonables. Fracciones, decimales, números enteros, números negativos
b.
DOK-1 ¿Cuál es un ejemplo de número entero?". 2; 100; 75; 1.000.000.000
c.
DOK-1 ¿Cuál es un ejemplo de número entero?". -15, 88
d.
DOK-1 ¿Cuál es un ejemplo de número racional?". 8, 12, 75.50
Irrational Numbers Explore 1
Irrational Numbers Explore 1
Part II Work cooperatively with your group to classify each of the numbers as rational or irrational. Explain the classification using mathematical proof.
Number
Rational or Irrational?
Number
Rational or Irrational?
5 2
Rational
−1
Rational
Proof
Proof
Rational numbers can be written as fractions. This is an improper fraction.
1
Rational
Rational numbers can be written as fractions.
Rational numbers can be written as fractions.
opyediting and on:
oots and the answers for proofs are made with
0.5
−1 = − 1
Repeating decimals
Rational
Rational
Repeating decimals can be written as fractions. Rational numbers can be written as fractions.
Rational numbers can be written as fractions.
Reflect Irrational
1.
3 is not a perfect square. Irrational numbers cannot be written as fractions.
Based on the Real Numbers Venn Diagram, is zero a rational or irrational number? Zero is a whole number. Whole numbers are a subset of rational numbers. Zero is a rational number.
1.275
Rational
2.
A terminating decimal is a rational number because it can be written as a fraction. Examples may vary. 27 5.27 is a terminating decimal. It can be written as 5 .
Rational numbers can be written as fractions.
Nonrepeating decimals
Irrational
Is a terminating decimal rational or irrational? Explain using an example.
Nonrepeating decimals cannot be written as fractions. Irrational numbers cannot be written as fractions.
100
3
2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
135
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GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES
EXPLORAR > EXPLORAR 1 Irrational Numbers Explore 1
3. Muestre el Diagrama de Venn de los Números Reales. 4. Discuta lo siguiente con la clase: Esto se llama diagrama de Venn. Los diagramas de Venn ayudan a mostrar información basada en relaciones. Formule a la clase las siguientes preguntas: a.
b.
c.
Rational or Irrational? Exit Ticket Classify the numbers below as rational or irrational. Explain the classification by using mathematical proof.
DOK-1 ¿Qué ilustra este diagrama de Venn?". Este diagrama muestra la relación o clasificación de los números reales.
Number
Rational or Irrational?
𝝅𝝅
Irrational
−3.75
Rational
DOK-1 ¿Qué conjunto de números está dentro del ATTN Copyediting and conjunto de los números enteros?". Los números Production: enteros incluyen el conjunto de los números enteros Square root of 25 and the 2nd, 3rd, y naturales. Los números enteros y los números and 4th mathematical answers are naturales se llaman subconjuntos de los enteros. made with Equatio. DOK-1 ¿Cómo se llaman los tipos de números que incluyen a los enteros como subconjuntos?". Los números enteros son un subconjunto de los números racionales y de los números reales.
7. Pida a los alumnos que trabajen en cooperación para utilizar sus conocimientos previos para determinar qué tarjeta de nombre de clasificación coincide con la definición y el ejemplo dados para cada sección del Diagrama de Venn de los números reales. Los estudiantes pueden utilizar el diagrama de Venn que se muestra como guía mientras discuten con sus grupos. 8. Supervise y evalúe a los estudiantes mientras trabajan. Utilice las tarjetas explicativas de la clasificación de los números reales para dar pistas y orientación a cada grupo. Formule a los estudiantes las siguientes preguntas orientadoras: a.
b.
c.
DOK-2 ¿Cuáles son algunas palabras clave de esta tarjeta de clasificación que resultaron útiles?". ¿Cómo ayudó la palabra clave?". Las respuestas variarán en función de la tarjeta de definición con la que trabajen los alumnos. Las palabras todos los números enteros mayores que cero me dicen que estos números son un subconjunto de los números enteros. DOK-2 ¿Cuáles son algunos números clave en los ejemplos de esta tarjeta de clasificación que fueron útiles?". ¿Cómo ayudaron los números clave?". Las respuestas pueden variar. Las fracciones y los decimales como ejemplos me hicieron saber que estos números no eran números enteros. Los signos negativos delante de los números me hacen saber que se trata de números enteros. DOK-3 ¿Cómo puede ayudarte el diagrama de Venn?". El diagrama muestra conjuntos y subconjuntos. Puedo utilizar mis conocimientos previos y los subconjuntos para determinar la clasificación de cada tarjeta.
9. Pida a la clase que comparta sus respuestas y justifique sus elecciones. Utilice las Tarjetas explicativas de la clasificación de los números reales para asegurarse de que todos los alumnos comprenden correctamente la clasificación de los números.
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Pi is a nonrepeating decimal, which cannot be written as a fraction. Irrational numbers cannot be written as fractions.
Rational numbers can be written as fractions.
Rational
5. Entregue un juego de tarjetas de clasificación de números reales a cada grupo. 6. Explique a los alumnos que colaborarán con sus grupos para hacer coincidir el nombre de la clasificación, la definición y el ejemplo de cada uno de los conjuntos de números reales.
Proof
Rational numbers can be written as fractions.
−0.01
Rational Rational numbers can be written as fractions.
Nonrepeating decimal numbers
Irrational
Nonrepeating decimal numbers cannot be written as fractions. Irrational numbers cannot be written as fractions. 1
EXIT TICKET CLAVE DE RESPUESTAS
10. Entregue un Diario del Estudiante a cada estudiante. 11. Dé tiempo a los estudiantes para completar el diagrama de Venn en la primera página del Diario del Estudiante usando las Tarjetas de Clasificación de Números Reales del Estudiante como guía. PARTE II
1. Lea el escenario en voz alta: ¡El gerente de contratación de Team Builders quedó impresionado con tu habilidad para ordenar cada clasificación de números reales! Pero, ¿puedes aplicar este conocimiento?". Ayuda a determinar si cada número es racional o irracional. Luego, muestre pruebas de su decisión. 2. Explique a los alumnos que colaborarán con sus grupos para determinar si cada uno de los números proporcionados es un número racional o un número irracional. A continuación, deberán utilizar el diagrama de Venn para demostrar que sus decisiones son correctas. 3. Los alumnos colaborarán para aplicar sus conocimientos sobre la clasificación de los números reales a una serie de números proporcionados. Los estudiantes deben utilizar el diagrama de Venn completado en la Parte I para ayudar a demostrar que su pensamiento es correcto. Permita que los estudiantes utilicen una calculadora para determinar si un número es un decimal repetido o no.
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GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES
EXPLORAR > EXPLORAR 1 Irrational Numbers Part 1
ESQUEMA DE ANCLAJE Y CUADERNO INTERACTIVO
Irrational Numbers vs. Rational Numbers Eric works as a carpenter for a local construction company. He cuts wooden boards to specified measurements. The measurements that Eric uses represent rational numbers. Determine which measurements Eric is using to measure and cut the wooden boards by determining whether each number is rational or irrational, and then write the number in the appropriate circle.
2
3 4
9.83
√10 –14.5
3.141525...
12.35 17
Rational 12.35
17
1. Los estudiantes con dificultades pueden malinterpretar la palabra "irracional" en el sentido de que no tiene sentido y, por lo tanto, no es un número "real" o "posible". Dedique tiempo a desglosar los diferentes aspectos de la palabra para estos estudiantes, señalando la palabra razón en racional y cómo la razón se relaciona con la fracción, y cómo el prefijo ir- significa no, y por lo tanto irracional en matemáticas significa no una razón o fracción.
√2
Irrational
12 7
–14.5
APOYOS DIDÁCTICOS
√25 12 7
√10 3 24
√2
3.141525...
√25 9.83
1
MUESTRA LO QUE SABES - PARTE 1 CLAVE DE RESPUESTAS
4. Supervise y evalúe a los alumnos mientras trabajan. Haga preguntas guiadas según sea necesario: a. DOK-1 ¿Por qué crees que 0.5 es racional?". 0.5 es racional porque puede escribirse como una fracción. b. DOK-2 ¿Puede un decimal que no se repite escribirse como una fracción?". No, los decimales que no se repiten como pi no se pueden escribir como fracciones. MATH CHAT • DOK-2 Basado en el Diagrama de Venn de los Números Reales, ¿es el cero un número racional o irracional?". El cero es un número entero. Los números enteros son un subconjunto de los números racionales. El cero es un número racional. • DOK-2 ¿Es la raíz cuadrada de 2 un número racional o irracional?". La raíz cuadrada de 2 es irracional. • DOK-2 ¿Un decimal terminal es racional o irracional?". Explícalo con un ejemplo. Un decimal terminal es un número racional porque se puede escribir como una fracción. Los ejemplos pueden variar. 5,27 es un decimal 27 terminal. Se puede escribir como 5 _____ . 100 •
• Asegúrese de completar el Esquema de anclaje como clase. Una vez que la clase haya completado el Esquema de anclaje, pida a los estudiantes que completen individualmente el Cuaderno interactivo.
DOK-2 ¿Cómo clasificarías la suma de un número racional y un número irracional?". La suma de un número racional y otro irracional sería irracional porque no se puede escribir esa suma como una fracción.
2. Los estudiantes con dificultades pueden generalizar en exceso, manteniendo la idea errónea de que todos los decimales son irracionales, ya que todos los números irracionales son decimales no repetitivos no terminados. Repase brevemente con estos alumnos cómo las fracciones pueden convertirse en decimales y cómo los decimales pueden convertirse en fracciones. A continuación, proporcióneles ejemplos de números irracionales para ayudarles a distinguir la diferencia.
LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE SE APOYA EN La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de Explorar. Consulte las estrategias a continuación para conocer las formas de apoyar el desarrollo del lenguaje de los estudiantes. Se proporcionará a los estudiantes apoyos previos a la lectura (organizadores gráficos, diagramas de formas y vocabulario preenseñado) para ayudarlos con la comprensión lectora. Principiante: Antes de la lección, proporcione a los estudiantes un Diagrama de Venn de Números Reales completo. Después de completar la lección, pida a los estudiantes que añadan ejemplos adicionales de la Exploración para cada categoría de números reales. Intermedio: Antes de la lección, proporcione a los alumnos un Diagrama de Venn de números reales incompleto. A medida que completen la lección, utilizarán las Tarjetas Explicativas de la Clasificación de los Números Reales para completar las partes que faltan de las definiciones y escribir los ejemplos pertinentes. Avanzado: Antes de la lección, proporcione a los alumnos un Diagrama de Venn de Números Reales incompleto. A medida que completen la lección, utilizarán las Tarjetas Explicativas de la Clasificación de los Números Reales para completar las partes que faltan de las definiciones y escribir los ejemplos pertinentes.
5. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el Boleto de salida para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
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GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES
EXPLORAR > EXPLORAR 2 LECCIÓN INSTRUCTIVA
EXPLORACIÓN 2: EXPANSIÓN DECIMAL Estándar(es) • Saber que hay números que no son racionales y aproximarlos mediante números racionales. Saber que los números que no son racionales se denominan irracionales. Entender informalmente que todo número tiene una expansión decimal; para números racionales mostrar que la expansión decimal se repite eventualmente, y convertir una expansión decimal que se repite eventualmente en un número racional. Estándares para la Práctica Matemática
Grandes Ideas Investigaciones Cilíndricas Exploraciones Pitagóricas Números Grandes y Pequeños Forma, Número y Expresiones
MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución. MP.4 Modelar con matemáticas.
Conexiones de Contenido CC3 Desarmar el todo, armar las partes
Motores de Investigación DI1 Dar sentido al mundo (comprender y explicar)
CC4 Descubrir la forma y el espacio
MP.5 Usar herramientas apropiadas estratégicamente. MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes escribirán fracciones como decimales que se repiten y decimales que se repiten como fracciones. Los estudiantes demostrarán que la expansión decimal de un número racional termina o se repite.
MATERIALES IMPRESO
• 1 Diario del estudiante (por estudiante) • 1 Boleto de salida (por estudiante) • 1 Juego de tarjetas de estudio del terreno (por grupo) REUTILIZABLE
• 1 Bolsa resellable (por grupo)
PREPARACIÓN
• Planea dividir la clase en grupos de 2 o 3 para completar esta actividad. • Imprime un Diario del alumno y un Billete de salida para cada alumno. • Imprime un juego de Tarjetas de estudio del terreno por grupo. Recórtalas y mételas en una bolsa con cierre. Si lo deseas, imprímelas en cartulina y plastifícalas para utilizarlas en el futuro.
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PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Lea el escenario en voz alta: ¡Felicidades! ¡Has conseguido un nuevo trabajo en Team Builders! Tu empresa está en proceso de planificar áreas deportivas para jóvenes en toda la ciudad. La empresa envió empleados para obtener mediciones del terreno en varios lugares. Lamentablemente, algunas de las mediciones se registraron en forma decimal y otras en forma fraccionaria. Ayude a los constructores de equipos a determinar las formas decimales para cada medición. 2. Entregue un Diario del Estudiante a cada estudiante. 3. Explique a la clase: Tu jefe te ha proporcionado dos ejemplos de cómo determinar la forma decimal de una fracción. Discute con tu grupo lo que notas acerca de cada método. 4. Da tiempo a los estudiantes para discutir con sus grupos.
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GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES
EXPLORAR > EXPLORAR 2
Irrational Numbers Explore 2
Use the Land Survey cards to find the three measurements for Riverside and Rolling Hills. Convert the fractions to decimals using decimal expansion. Use bar notation for repeating decimals.
Land Survey ATTN Copyediting and Production: Method 2 and three-tenths repeating in the answer for question 3 are made in Equatio.
Irrational Numbers Explore 2
Measurement 1
Your boss at Team Builders has given you an example to show you two ways to determine the decimal expansion for a fraction.
Fraction Representation
ATTN Copyediting and Production:
1 3
0.333…
Reflect 1.
Riverside
Part I: Converting Fractions to Decimals with Decimal Expansion
Method 1
Irrational Numbers Explore 2
All repeating decimals were made in Equatio.
Measurement 2
2 9
5
2
8 3 Copyediting ATTN and Production:
2.
1
4
3.
Decimal Representation
Can you determine the decimal expansion for any fractions without having to do any work? Yes, I know the decimal expansions for benchmark fractions, such as 2 is 0.5 3 and is 0.75.
Square root of 4 in question 4 was made in Equatio.
Workspace
Method 2
When you convert fractions to decimals, you get either terminating or repeating decimals.
Measurement 3
3 8
What two types of decimals did you get when you convert fractions to decimals?
3.625
Can you convert an irrational number to a fraction? No, you cannot convert an irrational number to a fraction because it has an infinite decimal that does not have a repeating pattern.
Rolling Hills 1.
Which number is a terminating decimal? Explain how you know.
Which number is a repeating decimal? Explain how you know.
5 2 6
Decimal Representation
What other ways can I show that the digit is repeating? I can write
Measurement 3
4 8 9
What is the decimal form for
?
The decimal form is 2.0.
8.5
by using bar notation to show that the 3 continues to repeat in 1
the decimal form of 3 .
1
2
3
Irrational Numbers Explore 2
Irrational Numbers Explore 2
Irrational Numbers Explore 2
Your boss shows you the method they use to convert a repeating decimal to a fraction using an algorithm by powers of 10. Description of Steps
Rural Youth Sports Area
Use your boss’ method to determine the fraction for each of the measurements at the downtown and rural locations.
Part II: Converting Decimals to Fractions
Downtown Youth Sports Area
Work Shown Let x = 0.333…
Multiply both sides by 10.
10x = 3.333…
ATTN Copyediting and Production:
Subtract the original equation from the new equation.
10x = 3.333… −x = 0.333… 9x = 3
All repeating decimals were made in Equatio.
Divide both sides by 9 to get x by itself.
9x = 3 9=9 x=
Measurement 1 ______
Measurement 2 ______
Let x = 0.111…
Let x = 0.888…
10x = 1.111…
10x = 8.888… and Production:
10x = 1.111… −x = 0.111… 9x = 1
10x = 8.888… decimals were made −x = 0.888… in Equatio. 9x = 8
9x = 1 9=9
1 3
9x = 8 9=9
Measurement 1 ______
Measurement 2 ______
Let x = 0.222…
Let x = 0.555…
10x = 2.222…
10x = 5.555…
10x = 2.222… −x = 0.222… 9x = 2
10x = 5.555… −x = 0.555… 9x = 5
9x = 2 9=9
9x = 5 9=9
2
x= 9
5
x= 9
x= 8 9
9
Why did your boss multiply by 10?
ATTN Copyediting All repeating
x= 1 1.
4.
Workspace
0.333… is a repeating decimal. I know that it is repeating because if you keep dividing, you will continue to get 1 left over, which will give you 10, and 3 goes into 10 three times. 3.
Measurement 2
1 8 2
Fraction Representation
The terminating decimal is 0.4. I know this is terminating because the decimal number ends. 2.
Measurement 1
When the boss multiplied by 10, it created a number greater than 1. 2.
Why do you think multiplying by 10 helps to find the fraction for a repeating decimal?
Could you use the same strategy if the measurement was change your answer?
Multiplying by 10 can help to find a repeating decimal because when you solve equations that have a coefficient and variable only on one side, then you will need to divide to get the variable by itself. By making the decimal number greater than 1, we can divide and there will be a digit other than 0 as the numerator. 3.
? How would that
Yes, you could use the same strategy to determine the fractional portion of 8
. Since
there is a 1 before the decimal point, the answer would change to 1 9 .
Could you multiply by a different number and have the same effect? Yes, we could multiply by 100 or 1,000 too. 4
5
6
Irrational Numbers Explore 2
Reflect 1.
Should you convert a fraction to a decimal to determine whether it is rational? Explain. No, a rational number is a number that can be written as a fraction. All fractions are rational numbers. You might want to convert fractions to decimals for other reasons.
ATTN Copyediting and Production:
2.
All repeating decimals were made in Equatio.
Why do you use powers of ten when converting a repeating decimal to a fraction? You can’t write all the digits of a repeating decimal because they repeat forever. Using powers of ten allows you to convert a repeating decimal.
3.
Does this method work for
? Show your work to prove if this method works.
Yes Let x = 0.123 100x = 12.323… 100x = 12.323… −x = 0.123… 99x = 12.2 99x = 12.2 99 = 99 12.2 ⋅ 10 99 ⋅ 10 x = 122 990
7
ESTUDIANTE JOURNAL CLAVE DE RESPUESTAS ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES
EXPLORAR > EXPLORAR 2 5. A continuación, ten la siguiente discusión en clase: a.
DOK-1 ¿Cómo puedo convertir una fracción en un número decimal?". Puedo usar la división larga para convertir una fracción en un número decimal, o puedo encontrar una fracción equivalente con un denominador de 10 o 100.
b.
DOK-1 ¿Qué número es un decimal terminal?". ¿Cómo lo sabes?". 0.4 es un decimal terminal porque los dígitos después del punto decimal se detienen.
c.
DOK-1 ¿Qué número es un decimal repetitivo?". ¿Cómo lo sabes?". 0,333... es un decimal periódico porque si sigo dividiendo, siempre me sobrará uno. Bajaríamos otro cero para obtener 10, y 3 entra en 10 tres veces otra vez.
d.
DOK-1 ¿Cuál es otra forma de mostrar que un dígito se repite?". Podemos usar la notación de barras para escribir decimales que se repiten. Pondríamos una barra sobre el dígito 3 para mostrar que continúa repitiéndose.
6. Entregue un juego de Tarjetas de estudio del terreno a cada grupo. 7. Explique a los estudiantes que colaborarán con sus grupos para usar las Tarjetas de estudio del terreno para cambiar las medidas fraccionarias a sus expansiones decimales. 8. Supervise y evalúe la comprensión de los estudiantes a medida que cada grupo colabora haciendo las siguientes preguntas guía: a.
DOK-2 ¿Cómo puedes determinar al mirar la fracción si necesitarás realizar una división larga?". Si la fracción no se puede convertir en una fracción con denominador 2 o 5, entonces necesitaremos realizar la división larga para encontrar la expansión decimal.
b.
DOK-2 ¿Cómo supiste cuándo podías dejar de dividir?". Las respuestas pueden variar. Sabía que podía dejar de dividir cuando el resto se repetía.
c.
DOK-3 ¿Cómo puedes determinar la expansión 5 decimal para 3 ___ ?". Las respuestas pueden variar. 8 5 He realizado la división larga de la fracción ___ , que 8 será 0,625. Después añadí el número entero 3 a mi 5 decimal y descubrí que 3 ___ en expansión decimal es 8 3,625.
9. Conceda tiempo a los estudiantes para completar la Parte I, incluidas las preguntas de reflexión. 10. Después de la Parte I de la Exploración, invite a la clase a un Chat de Matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHAT DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 ¿Qué dos tipos de decimales obtuviste cuando convertiste las fracciones a decimales?". Cuando conviertes fracciones a decimales, obtienes decimales que terminan o decimales que se repiten. • DOK-2 ¿Cuál es un ejemplo de una fracción de la que conoces el decimal sin tener que hacer ningún 7 trabajo?". Sé que ____ se escribe 0,7 como decimal. 10
• DOK-3 ¿Cuál es el decimal de?". ¿Cómo lo sabes?". El decimal es 4.0 porque 42 es 16.
140
SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 140
PARTE II 1. Lee el escenario en voz alta: Algunos de los materiales que Team Builders va a comprar se piden en medidas fraccionarias. Tu jefe te ha proporcionado un método que Team Builders utiliza para convertir decimales repetitivos en fracciones. Usa este método para ayudar a Team Builders a determinar las fracciones para cada medida. 2. Dirige a los estudiantes para que analicen el método que el jefe les proporcionó en el Diario del Estudiante. Dé tiempo a los estudiantes para discutir el método con sus grupos. 3. Tenga la siguiente discusión en clase: a.
DOK-2 ¿Por qué crees que tu jefe multiplicó por 10?". Las respuestas pueden variar. El jefe quería obtener un número mayor que 1, así que multiplicó por 10.
b.
DOK-2 ¿Por qué otros números se puede multiplicar?". Se puede multiplicar por cualquier potencia de 10, como 100 o 1.000.
4. Explique a los alumnos que van a utilizar las tarjetas de estudio del centro de la ciudad y del campo y el método proporcionado por su jefe para determinar la representación fraccionaria de cada uno de los decimales repetidos dados. 5. Supervise y evalúe la comprensión de los alumnos a medida que cada grupo colabora formulando las siguientes preguntas orientativas: a.
DOK-2 ¿Importa si se multiplica por 10, 100 o 1.000?". No, puedes multiplicar por cualquier potencia de 10".
b.
DOK-2 ¿Funciona este método si tienes un número decimal mayor que uno en el que sólo se repite el decimal?". Sí, puedo usar este mismo método para encontrar la representación fraccionaria para el decimal y luego sumarle el número entero.
6. Dé tiempo a los estudiantes para completar la Parte II y las preguntas de reflexión. 7. Después de la Parte II de la Exploración, invite a la clase a una Charla Matemática para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA MATEMÁTICA • DOK-3 ¿Por qué usas potencias de diez cuando conviertes un decimal que se repite en una fracción?". No puedes escribir todos los dígitos de un decimal repetitivo porque se repiten para siempre. Usar potencias de diez te permite convertir un decimal repetitivo. • DOK-3 ¿Puedes usar este método para determinar la representación fraccionaria de un número que sólo tiene parte del decimal repetido, como 0.123̅?". Sí, podemos usar este mismo método para cualquier tipo de decimal que se repite. • DOK-3 ¿Por qué no se puede escribir un decimal no terminante y no repetido como una fracción?". Debido a que los números no se repiten, no puedes configurarlo usando potencias de diez. • DOK-3 ¿Cuál es un ejemplo de un decimal repetitivo que querrías multiplicar por 100 en lugar de por 10?". Podría multiplicar un decimal repetido que tiene 2 dígitos diferentes que se repiten por 100 para ayudarme cuando reste la ecuación original. 8. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el Boleto de salida para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
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GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES
EXPLORAR > EXPLORAR 2 Irrational Numbers Part 2
ESQUEMA DE ANCLAJE Y CUADERNO INTERACTIVO
Decimal Expansion
• Asegúrese de completar el Esquema de anclaje como clase. Una vez que la clase haya completado el Esquema de anclaje, haga que los estudiantes completen individualmente el Cuaderno interactivo.
Jacoby rides his bike everywhere he needs to go. He uses an application on his smartphone to help him determine how far he rides his bike to different places. Complete the table to help Jacoby determine the distance that he rides on his bike as a decimal.
Location Best friend’s house Library
Distance as a Fraction
Distance as a Decimal
8 mi. 9
1 2
11 mi.
APOYOS DIDÁCTICOS
Rational or Irrational?
0.8 mi.
Rational
1.18 mi.
Rational
1. Los estudiantes con dificultades pueden confundir si el numerador se divide por el denominador o viceversa cuando reescriben fracciones utilizando el símbolo de la división larga. Ayude a estos estudiantes teniendo en algún lugar visible del aula una imagen con la palabra denominador escrita fuera del símbolo de la división larga y la palabra numerador escrita debajo del símbolo de la división larga como guía.
Complete the table to help Jacoby determine the distance that he rides on his bike as a fraction. Location Park Food Mart
Distance as a Decimal
Distance as a Fraction
2. Algunos estudiantes pueden entender el concepto general de la división larga, pero tienen dificultades porque no conocen bien su tabla de multiplicar y, por lo tanto, les resulta difícil determinar los mejores factores y múltiplos con los que hacer la división larga. Permita que estos estudiantes utilicen una tabla de multiplicar como referencia o una calculadora para calcular los múltiplos por ensayo y error.
Rational or Irrational?
0.4 mi.
2 5 mi.
Rational
0.6 mi.
3 mi. 5
Rational
1
La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad Explorar. Consulte las estrategias a continuación para conocer las formas de apoyar el desarrollo del lenguaje del estudiante.
DEMUESTRE LO QUE SABE - PARTE 2 CLAVE DE RESPUESTAS
Irrational Numbers Explore 2
Decimal Column three tenths repeating, six-tenths repeating and square root of 4 are made in Equatio.
Convert the decimals to fractions and the fractions to decimals. Classify each number as rational or irrational. Decimal
Fraction
Rational or Irrational?
0.75
3 4
Rational
1 3
Rational
0.125
1 8
Rational
𝝅𝝅
Impossible
Irrational
6 9
Rational
2 1
Rational 1
EXIT TICKET CLAVE DE RESPUESTAS
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Los estudiantes utilizarán técnicas de aprendizaje como mapas conceptuales, dibujos, comparaciones, contrastes, memorización y repasos para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado. Principiante: Como actividad posterior a la lección, pida a los estudiantes que creen cuadrados de vocabulario para el término número racional. Completa las siguientes secciones del cuadrado de vocabulario como clase: Definición, Ejemplo (problema matemático), No-ejemplo, y que los estudiantes creen su propia imagen para el término.
Convert and Classify Exit Ticket
ATTN Copyediting and Production:
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE
Intermedio: Como actividad posterior a la clase, pida a los alumnos que creen cuadrados de vocabulario para el término número racional. Los cuadrados de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), No-ejemplo e Imagen. Proporcione a los alumnos la definición y el ejemplo, pero anímelos a reescribir la definición con sus propias palabras. Avanzado: Como actividad posterior a la lección, haga que los estudiantes creen cuadrados de vocabulario para el término número racional. Los cuadrados de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), No-ejemplo e Imagen. Proporcione a los alumnos la definición, pero anímelos a reescribirla con sus propias palabras.
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GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES
EXPLORAR > EXPLORAR 3 LECCIÓN INSTRUCTIVA
EXPLORACIÓN 3: LOCALIZAR Y COMPARAR NÚMEROS IRRACIONALES EN UNA RECTA NUMÉRICA Estándar(es) • Saber que hay números que no son racionales y aproximarlos mediante números racionales. Usar aproximaciones racionales de números irracionales para comparar el tamaño de números irracionales, ubicarlos aproximadamente en un diagrama de línea numérica y estimar el valor de expresiones. Por ejemplo, al truncar la expansión decimal de , mostrar que está entre 1 y 2, luego entre 1.4 y 1.5, y explicar cómo continuar para obtener mejores aproximaciones. Grandes ideas Investigaciones cilíndricas Exploraciones pitagóricas Números grandes y pequeños Forma, número y expresiones
Estándares para la práctica matemática MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución. MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas.
Conexiones de contenido CC3 Desarmar el todo, armar las partes
Motores de investigación DI1 Dar sentido al mundo (comprender y explicar)
CC4 Descubrir la forma y el espacio
MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos.
DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los alumnos encontrarán aproximaciones racionales de números irracionales y las trazarán en una recta numérica. Los estudiantes compararán números racionales e irracionales usando aproximaciones decimales para números irracionales.
PARTE I
MATERIALES IMPRESO
• 1 Diario del Estudiante (por estudiante) • 1 Boleto de Salida (por estudiante) • 1 Cinta de Medir Team Builders (por grupo) • 1 Juego de Tarjetas de Medidas Especiales (por 5 grupos) REUTILIZABLE
• 1 Par de tijeras (por grupo) • 1 Barra de pegamento (por grupo)
PREPARACIÓN
• Planea dividir la clase en grupos de 2 o 3 para completar esta actividad.
1. Lee el escenario en voz alta: Team Builders utiliza una cinta métrica especial para tomar sus medidas. Esta cinta métrica se ha usado mucho a la luz del sol, y ahora parte de los números se han desvanecido. Ayuda al Equipo de Constructores a colocar las medidas en la cinta métrica especial nuevamente. 2. Entrega una fila de Tarjetas de Medidas Especiales Parte I, una Cinta Métrica de Constructores de Equipos, un par de tijeras y una barra de pegamento a cada grupo. 3. Explica a los estudiantes que trabajarán con sus grupos para recortar cada una de las medidas especiales y pegar las tarjetas en los lugares correctos de la cinta métrica. 4. Los alumnos colaborarán para determinar el valor de cada una de las raíces cuadradas de las tarjetas de medidas especiales. A continuación, los alumnos determinarán la ubicación de cada raíz cuadrada en la línea numérica de la cinta métrica.
• Imprime un Diario del alumno y un Billete de salida para cada alumno. • Imprime un juego de Tarjetas de medidas especiales para cada 5 grupos. Corta las Tarjetas de Medidas Especiales Parte I en filas para cada grupo. Corta las Tarjetas de Medidas Especiales Parte III en filas para cada grupo. • Imprime una Cinta de Medir para Formar Equipos por grupo.
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GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES
EXPLORAR > EXPLORAR 3 Irrational Numbers Explore 3
5. Supervise y evalúe la comprensión de los alumnos mientras cada grupo colabora formulando las siguientes preguntas:
Measure It!
a.
Part II Using the special Team Builders Measuring Tape, determine which two perfect squares each of the given measurements falls between. Then estimate the decimal value of the given measurement. Student estimations will vary. Measurements
Square Below
Estimate (to the nearest tenth)
Square Above
1²
1.62
22
2²
2.52
32
3²
3.22
42
3²
3.52
42
By finding the square below and the square above the square root, you find the two whole numbers that your square root must be between. Then you can determine which whole number it is closer to in order to determine an approximate decimal value. 1
Irrational Numbers Explore 3
Part III Using the Team Builders Measuring Tape and estimation, complete each of the comparison statements.
Comparison Symbol
Measurement
>
1.2
<
4.36
>
3.1
<
𝞹𝞹
=
2
𝞹𝞹
Use the number line above to compare 7.2 and 7.2 <
2.
because
.
is between 8 and 9 and 7.2 is less than 8.
What strategy, other than using a number line, can you use to compare an irrational number and a rational number? I can square each number to determine which number is greater. 2
ESTUDIANTE JOURNAL CLAVE DE RESPUESTAS
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c.
DOK-2. ¿Cómo se llaman estas medidas especiales?" Estas medidas especiales son raíces cuadradas. Cada una de estas raíces cuadradas es de un cuadrado perfecto.
1. Lee el escenario en voz alta: Tu jefe en Team Builders necesita encontrar la ubicación aproximada de otras medidas de raíces cuadradas. El jefe sabe que estas medidas son todas números irracionales pero te dice que determines la ubicación aproximada de cada una de estas raíces cuadradas en la cinta métrica especial. Ayude al Equipo de Constructores a determinar un valor decimal aproximado para cada una de estas medidas de números irracionales. 2. Entregue un Diario del Estudiante a cada estudiante. 3. Explique a los estudiantes que utilizarán la cinta métrica especial para ayudar a determinar el valor decimal aproximado de algunas de las medidas que han sido registradas. Los estudiantes deben determinar el cuadrado perfecto por debajo de la raíz cuadrada y el cuadrado perfecto por encima de la raíz cuadrada para ayudar a determinar un valor decimal aproximado del número irracional. 4. Supervise y evalúe la comprensión de los estudiantes mientras cada grupo colabora haciendo las siguientes preguntas:
Reflect
1.
DOK-2. _ ¿Dónde colocarías √ 4 en la cinta métrica?" El_ √4 tiene un valor de 2, por lo que debería colocar √4 encima de 2 en la cinta métrica.
PARTE II
How does finding the square below and the square above the square root help to determine the approximate decimal value?
Measurement
_
b.
6. Da tiempo a los estudiantes para localizar y pegar cada una de las medidas especiales en la cinta métrica de Team Builders.
Reflect 1.
DOK-2. ¿Qué número elevado_ al cuadrado te dará 16?" Sé que 42 = 16, así que √16 = 4.
_
a.
caerá _√ 3 ?"._ DOK-1 ¿Entre qué raíces cuadradas _ Mirando _la cinta métrica, 3 cae entre √ _√ 1 y √ 4 . _ Como √ 1 = 1 y √ 4 = 2, el valor de √ 3 debe estar entre 1 y 2.
b.
DOK-2 ¿Cómo puedes determinar el valor _ _ decimal _ aproximado de _ √ 3 ?". Como sé que √ 1 = 1 y √ 4 = 2, el valor de √ 3 debe estar entre 1 y 2. 3 está más cerca de 4, por lo que el valor de estará más cerca de 2. Puedo estimar que la aproximación decimal _ para √ 3 es 1,6.
c.
DOK-2 ¿Entre dos medidas de _ qué_ _ métrica _tu cinta estaría √12 ?". √12 cae entre √ 9 y √16 porque 12 está entre 9 y 16.
d.
DOK-2 ¿Cómo puedes determinar _ _ el valor decimal _ aproximado de 12 . Sé que 12 cae entre √ 9 y √ √ _ para √16 , puedo usar sus cuadrados perfectos _ saber qué_dos números estará entre. _ enteros √12 _ Como √ 9 =3 y √16 = 4, así que √12 debe ser un número decimal entre 3 y 4. 12 está más cerca de 9, así que puedo empezar con un decimal menor que 3,5 _para determinar la aproximación decimal para √12 .
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GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES
EXPLORAR > EXPLORAR 3 Irrational Numbers Explore 3
5. Dé tiempo a los estudiantes para completar la Parte II y las preguntas de reflexión en el Diario del estudiante. 6.
Después de la Parte II, invite a la clase a un Chat de Matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
Irrational Number Approximations Decimal Exit Ticket approximations Convert the square roots to decimal approximations using mental math. Show your thinking. Workspace
Decimal Approximation
5² = 25
5
5² = 25 and 6² = 36 26 is closer to 25 than 36.
5.1
5² = 25 and 6² = 36 32 is closer to 36 than 25.
5.8
6² = 36
6
Measurement
CHAT DE MATEMÁTICAS • DOK-2 ¿Cómo ayuda una recta numérica a determinar el valor decimal aproximado de una raíz cuadrada que no es un cuadrado perfecto?". Una recta numérica puede ayudar a determinar el valor aproximado de una raíz cuadrada que no es un cuadrado perfecto porque puedes determinar entre qué 2 cuadrados perfectos estaría tu raíz cuadrada y a qué número entero estaría más cerca la raíz cuadrada.
1.
Plot the approximate location of the decimals in the table on the number line shown below. Label each point.
2.
Decide which is greater. Circle each selection.
• DOK-2 Estima el valor de . 62 = 36 y 72 = 49, así que la raíz cuadrada de 42 está entre 6 y 7. • DOK-2 ¿Estaría la raíz cuadrada de 42 más cerca de 6 o más cerca de 7?". Explica lo que piensas. Creo que estaría más cerca de 6 porque 42 está a 6 de 36 y a 7 de 49. _
may vary.
_
• DOK-3 ¿Cuál sería el valor de -√ 4 ?" Sé que √ 4 es 2, por lo que el opuesto de 2 sería -2.
a.
or
5.5
b.
or
5.5
c.
or
5.5
PARTE III
1. Lee el escenario en voz alta: El Equipo Constructores quiere comparar las medidas que les han proporcionado para diferentes lugares donde podrían construir. Todas las medidas les han sido dadas en diferentes formas. Ayuden a determinar el valor aproximado de cada medida para comparar sus tamaños. 2. Entregue una fila de Tarjetas de Medidas Especiales Parte III a cada grupo. 3. Explique a los estudiantes que utilizarán la cinta métrica especial para ayudar a determinar el valor decimal aproximado de algunas de las medidas que les han sido entregadas. Los alumnos deben determinar el cuadrado perfecto por debajo y por encima de cada una de las medidas dadas para ayudar a determinar un valor decimal aproximado. 4. Supervise y evalúe la comprensión de los alumnos mientras cada grupo colabora formulando las siguientes preguntas: a. DOK-1 ¿Entre_qué dos raíces cuadradas se _ encontrará _√2 ?"._Mirando la cinta métrica, √ _ 2 _ cae entre √1 y √ _4 . Puesto que √ 1 = 1 y √4 = 2, el valor de √ 2 debe estar entre 1 y 2 pero pero más cerca de 1. b. DOK-2 ¿Cómo puede determinar el valor _ decimal aproximado de √2 ?". Como _ sé que _ _ √1 = 1 y √ 4 = 2, el valor de de √ 2 debe estar entre 1 y 2. 2 está más cerca de 1, así que el valor de estará más cerca de 1. Puedo _ estimar que la aproximación decimal para √2 es 1.3. c. DOK-2 ¿Entre qué dos medidas de tu cinta métrica caería π?". Sé que π es aproximadamente 3,14, así que π estaría entre y porque 3,14 está entre 3 y 4.
144
SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 144
1
EXIT TICKET CLAVE DE RESPUESTAS d.
_
_
¿Qué DOK-2 _ _ es mayor, √18 o 4,36?". √18 estará entre √16 y √25 , que está entre 4 y 5 en la recta numérica. Puedo elevar al cuadrado cada número para determinar _ cuál es mayor. ( √18 )2 = 18 y 4,362 = 19,01, por lo que 4,36 es mayor.
5. Conceda tiempo a los alumnos para completar la Parte III, incluidas las preguntas de reflexión del Diario del alumno. 6. Después de la Parte III, invite a la clase a un Chat de Matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje. CHAT DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 ¿Cómo ayuda una recta numérica a comparar un número irracional con un número racional?". Una recta numérica puede ayudar a determinar el valor aproximado de un número irracional determinando entre qué dos números enteros estará el número irracional. Luego, ubique ambos números en la recta numérica para comparar. _
_
• DOK-2 ¿Cuál es mayor 7.2_ o √70_ ? ". √70 es mayor porque se ubicará entre √64 y √81 , o entre 8 y 9.
• DOK-3 ¿Qué otras estrategias podría usar para comparar números irracionales con números racionales?". Pon un ejemplo. Puedo encontrar el cuadrado de los dos números a comparar porque sé que el cuadrado _de una raíz cuadrada será ese número. Por ejemplo, _ √12 al comparar con 3,5, puedo hallar 2 primero (√12 ) 2, que es 12. _ Luego puedo hallar 3.5 , que es 12.25; por lo tanto, √ 12 es menor que 3.5. 7. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el Boleto de salida para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
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GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES
EXPLORAR > EXPLORAR 3 Irrational Numbers Part 3
ESQUEMA DE ANCLAJE Y CUADERNO INTERACTIVO
Locate and Compare Irrational Numbers on a Number Line 1.
A development company has purchased several plots of land in a county to build attractions that will increase tourism in the area.
Convert the measurements of each plot to decimal approximations without a calculator. Explain your reasoning.
APOYOS DIDÁCTICOS 1. Los estudiantes con dificultades pueden olvidarse de realizar la operación de raíz cuadrada y, por lo tanto, colocar mal, por ejemplo, la raíz cuadrada de cuatro, en la recta numérica. Puede que la coloquen encima de la marca "4". Recuerde a los alumnos que no deben ignorar el signo de la raíz cuadrada, sino utilizarlo como indicación de que hay que hacer algo más antes de poder considerar dónde está el número en la recta numérica.
Plot A (Water Park) Measurements
Decimal Approximation
Reasoning
Length
√60 meters
Between 7 and 8 but closer to 8
√60 is between √49 = 7 and √64 = 8, but √60 is closer to √64.
Width
√75 meters
Between 8 and 9 but closer to 9
√75 is between √64 = 8 and √81 = 9, but √75 is closer to √81.
• Asegúrese de completar el Esquema de anclaje como clase. Una vez que la clase haya completado el Esquema de anclaje, haga que los estudiantes completen individualmente el Cuaderno interactivo.
Locate the decimal approximations on the number line. Be sure to label each point.
1
2. Los alumnos con dificultades pueden confundir los signos mayor que y menor que. Cuanto más expuestos estén los alumnos a estos símbolos, más probabilidades tendrán de recordar su significado. Cuando los alumnos escriban cada símbolo, es importante oír y decir "mayor que" o "menor que" para ayudarles a interiorizar el significado. Los alumnos pueden relacionar los símbolos con flechas que señalan la dirección en una recta numérica. Un número a la izquierda (<) de otro número tiene un valor menor, y un número a la derecha (>) tiene un valor mayor.
APOYOS A LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE Irrational Numbers Part 3
2.
Janelle and her coworkers are comparing the distance that they each commute to work each day.
Use a calculator to convert each distance to decimal form. Round each distance to the nearest hundredth to approximate the square root of each irrational number.
Distance
Decimal Form
Janelle
√181
13.45
Donald
√78
8.83
Christopher
√93
9.64
Ciara
√118
10.86
Yvette
√84
9.17
Intermedio: Como actividad posterior a la clase, pida a los alumnos que creen cuadrados de vocabulario para el término número irracional. Los cuadrados de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), No-ejemplo e Imagen. Proporcione a los alumnos la definición y el ejemplo, pero anímelos a reescribir la definición con sus propias palabras.
Order the coworkers from longest commute to shortest commute. Janelle, Ciara, Christopher, Yvette, Donald
2
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Los estudiantes utilizarán técnicas de aprendizaje como mapas conceptuales, dibujos, comparaciones, contrastes, memorización y repasos para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado. Principiante: Como actividad posterior a la lección, pida a los estudiantes que creen cuadrados de vocabulario para el término número irracional. Completa las siguientes secciones del cuadrado de vocabulario como clase: Definición, Ejemplo (problema matemático), Noejemplo, y que los estudiantes creen su propia imagen para el término.
Plot the distances on the number line. Label each point.
DEMUESTRE LO QUE SABE - PARTE 3 CLAVE DE RESPUESTAS
La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de Explora. Consulte las estrategias a continuación para conocer las formas de apoyar el desarrollo del lenguaje del estudiante.
Avanzado: Como actividad posterior a la lección, haga que los estudiantes creen cuadrados de vocabulario para el término número irracional. Los cuadrados de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), No-ejemplo e Imagen. Proporcione a los alumnos la definición, pero anímelos a reescribirla con sus propias palabras.
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GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES
EXPLORAR > EXPLORAR 4 LECCIÓN INSTRUCTIVA
EXPLORACIÓN 4: ESTIMAR Y COMPARAR EXPRESIONES DE NÚMEROS IRRACIONALES Estándar(es) • Saber que hay números que no son racionales y aproximarlos mediante números racionales. Utilizar aproximaciones racionales de números irracionales para comparar el tamaño de números irracionales, localizarlos aproximadamente en un diagrama _ _ de la recta numérica y estimar el valor de expresiones. Por ejemplo, truncando la expansión decimal de √ 2 , mostrar que √ 2 está entre 1 y 2, luego entre 1,4 y 1,5, y explicar cómo continuar para obtener mejores aproximaciones. • Trabajar con radicales y exponentes enteros. Utilizar los símbolos de raíz cuadrada y raíz cúbica para representar soluciones a ecuaciones de la forma x2 = p y x3 = p, donde p es un número racional positivo. Evaluar raíces cuadradas de pequeños cuadrados _ perfectos y raíces cúbicas de pequeños cubos perfectos. Saber que √ 2 es irracional. Estándares para la práctica matemática
Grandes ideas Investigaciones cilíndricas Exploraciones pitagóricas Números grandes y pequeños Forma, número y expresiones
MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución. MP.3 Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros.
Conexiones de contenido CC3 Desarmar el todo, armar las partes
Motores de investigación DI1 Dar sentido al mundo (comprender y explicar)
CC4 Descubrir la forma y el espacio
MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas apropiadas. MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes estimarán y compararán expresiones de números irracionales.
MATERIALES IMPRESO
• 1 Diario del alumno (por alumno) • 1 Billete de salida (por 2 alumnos) • 1 Juego de tarjetas de construcción (por grupo) • 1 Tarjeta de construcción (por clase) REUTILIZABLE
• 1 Bolsa con cierre (por grupo) • 1 Proyector o cámara de documentos (por clase)
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SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 146
PREPARACIÓN
• Planifique dividir la clase en grupos de 2 o 3 para completar esta actividad. • Imprima un Diario del Estudiante para cada estudiante. • Imprima un juego de Tarjetas de Construcción para cada grupo. Recorta y coloca cada juego de tarjetas dentro de una bolsa con cierre. Si lo deseas, imprímelas en cartulina y plastifícalas para que duren más. • Imprime una Tarjeta de construcción para la clase. Si lo deseas, imprímela en cartulina y plastifícala para que dure más. • Imprime una tarjeta de salida para cada 2 alumnos. Recorta los boletos de salida de media página para que cada alumno tenga uno. • Prepárate para proyectar la tarjeta de construcción para que la clase la vea.
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1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES
EXPLORAR > EXPLORAR 4
Irrational Numbers Explore 4
Irrational Numbers Explore 4
Use the Construction Cards to determine the value of each irrational number expression. Approximate irrational numbers to the nearest tenth.
Let’s Build!
Fence
Look at the image of the concrete slab that was poured for a new section of the youth activity center. Participate in the class discussion to determine the length of one side of the square slab. Question
Measurement given Length =
Solution
Expression to solve Perimeter = 2l + 2w or l + l + w + w
feet
Width =
feet
Workspace:
What is the perimeter of the entire square slab?
What is the expression that Team Builders provided us with?
Solution:
37 feet Garden
Why is the expression divided by 4?
What is the value of
?
Measurement given
Perimeter formula for a square is P = 4s. If we know the perimeter, we can divide by 4 to determine the side length.
Length =
Expression to solve
feet
Workspace: 5² = 25 and 6² = 36. 32 is closer to 36, so I approximate the decimal value to be 5.7.
I know that 20² is 400, so the value of will be a little more than 20. I estimate it is 20.2.
= 2(5.7) What is the length of one side?
20.2 divided by 4 is 5.1, so one side of the slab has a length of 5.1 feet.
Solution:
2
Irrational Numbers Explore 4
Irrational Numbers Explore 4
Reflect
Basketball Court Measurement given Area =
11.4 feet
1
1.
Expression to solve
Explain why when you square a square root, you get the number inside the square root symbol. You get the number inside the square root symbol because square roots and squaring numbers are inverse operations.
square feet
Workspace: 250 is closer to 256, so I estimate that feet.
2.
is about 15.8
Is
the same as
?
No, you cannot divide before you determine the rational number approximation. These are not the same expression.
Then I find half of my decimal approximation. 15.8 ÷ 2 = 7.9
Solution:
3.
Place the numbers in their approximate location on the number line.
4.
Answer the comparison statements below.
7.9 square feet will be painted blue.
Square Plate Measurement given Side length =
feet
Expression to solve Area = side times side
Workspace:
Solution:
1 square inches 4
a.
< _____
b.
> _____
c.
> _____
3
4
STUDENT JOURRNAL CLAVE DE RESPUESTAS
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SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 147
147
1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES
EXPLORAR > EXPLORAR 4 Irrational Numbers Explore 4
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Lee el escenario en voz alta: El Equipo Constructores está reuniendo sus necesidades finales de construcción para comenzar con sus proyectos. Todas las medidas dadas a tu equipo necesitan ser estimadas a su aproximación decimal más cercana. Ayuda al Equipo Constructores a determinar cada una de las aproximaciones decimales. 2. Entrega un Diario del Estudiante a cada estudiante. 3. Muestre la Tarjeta de Construcción para que los estudiantes la vean.
Estimate Irrational Number Expressions Exit Ticket Estimate each irrational number expression.
1.
3.
9.06
2.
4. 7.07 ・ 10 = 70.7
√5 = 2.24 + 4 = 6.24
10 ÷ 10 = 1
4. Explique lo siguiente a los estudiantes: El perímetro de una porción cuadrada de la losa de concreto para el nuevo _ 410 centro de actividades juveniles mide ___ √ pies. Team
Irrational Numbers Explore 4
4 _
√ 410 para calcular las Builders está utilizando la expresión ___ 4
longitudes de los lados de la losa cuadrada. Formule a los alumnos las siguientes preguntas: a.
¿Qué tienen de particular las longitudes de los lados de un cuadrado?". Todos los lados de un cuadrado tienen la misma longitud. _
b.
410 ¿Cómo se relaciona la expresión ___ √ 4 con
Estimate Irrational Number Expressions Exit Ticket Estimate each irrational number expression.
1.
3.
9.06
2.
4. 7.07 ・ 10 = 70.7
√5 = 2.24 + 2 = 4.24
10 ÷ 10 = 1
la longitud lateral de la losa cuadrada?". Para
1
determinar la longitud lateral de un lado dado el perímetro, podemos dividir el perímetro por 4. c.
d.
¿Cuánto mide un lado de la losa cuadrada redondeado a la décima más cercana?". Un lado de la losa medirá 5.1 pies de largo.
5. Entregue un juego de Tarjetas de Construcción a cada grupo. 6. Explique a los estudiantes que colaborarán con sus grupos para determinar aproximaciones decimales para expresiones de números irracionales para diferentes medidas en el centro de actividades para jóvenes. 7. Supervise y evalúe la comprensión de los estudiantes mientras cada grupo colabora haciendo las siguientes preguntas guía: a.
b.
8.
EXIT TICKET CLAVE DE RESPUESTAS
¿Qué paso debemos dar primero para resolver la longitud lateral de la losa?". Primero, debemos encontrar _la aproximación de números racionales para √410 . Sabemos_ que 202 = 400, así que podemos aproximar √410 a 20,2. Entonces podemos dividir por 4 ya que hay 4 lados iguales.
DOK-2 ¿Por qué la expresión para la nueva longitud del jardín incluye un 2 antes de la raíz cuadrada?". Necesitamos duplicar la longitud del jardín, así que debemos multiplicar la longitud por 2 para hallar la nueva longitud del jardín. DOK-2 ¿Cuál es otra forma de escribir la expresión para el problema de la cancha de baloncesto?". _ 250 √ ______ También podemos escribir 2 .
Irrational Numbers Part 4
Estimate and Compare Irrational Number Expressions A gardener who works at a recently developed arboretum planted several seedlings last year. As he monitors their growth, he records their height every three months. Determine the decimal form of each height in inches. Round to the nearest hundredth. Tree
Height
Decimal Form (in.)
Which tree is the tallest?
Palm
2√90 – 5
18.97 – 5 = 13.97
Sycamore
Sycamore
3√28
3 × 5.29 = 15.87
Which tree is the shortest?
Oak
√78 + 6
8.83 + 6 = 14.83
Willow
Maple
2√40
2 × 6.324 = 12.65
Willow
√108 + 1
10.39 + 1 = 11.39
Order the trees from shortest to tallest. Willow, maple, palm, oak, sycamore
Locate each height on the number line. Label the points. 11.39
10
11
12.65
12
13.97
13
14
14.83
15
15.87
16 1
DEMUESTRE LO QUE SABE - PARTE 4 CLAVE DE RESPUESTAS
Conceda a los estudiantes tiempo para completar la Exploración incluyendo las preguntas de reflexión en el Diario del estudiante.
9. Después de la Exploración, invite a la clase a una Charla matemática para compartir sus observaciones y aprendizajes.
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GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES
EXPLORAR > EXPLORAR 4 MATH CHAT
• DOK-2 ¿Por qué es útil convertir raíces cuadradas a aproximaciones decimales al resolver expresiones con números irracionales?". No conocemos el valor exacto de la raíz cuadrada a menos que sea un cuadrado perfecto, así que podemos encontrar la aproximación decimal para ayudar a resolver expresiones con números racionales e irracionales. • DOK-2 ¿Cuál es otra expresión que se puede escribir para determinar la mitad de toda la cancha de baloncesto?". _ . También podemos escribir _____ √ 250 2
• DOK-2 Explica por qué cuando elevas al cuadrado una raíz cuadrada, obtienes el número que hay dentro del símbolo de la raíz cuadrada. Obtienes el número que hay dentro del símbolo de la raíz cuadrada porque las raíces cuadradas y elevar números al cuadrado son operaciones inversas. _
_
_ 49 2_ _ _ 49 a mayor.√ 5 , √ 9 , ____ √ , 2π 2
√ , √ 5 , y 2π en orden de menor • DOK-3 Lista √ 9 , ____ • DOK-2 Explique sus respuestas a cada_ enunciado de _
_
√ , √ 5 , 2π comparación para los números √ 9 , ____ _
_
49 2 _
√5 < √9 porque en la recta numérica √5 está más cerca de 0. _
2π > √9 porque 2π está más a la derecha de lo que _
está √ 9 . _
_
_
_
√ > √9 porque √9 está más cerca de 0 que ____ √ . ____ 49 2
Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales
49 2
que completen el Boleto de salida para evaluar formativamente su comprensión del concepto. Vuelva al Gancho e indique a los estudiantes que utilicen sus habilidades recién adquiridas para completar con éxito la actividad. Esquema de anclaje y Cuaderno interactivo Asegúrese de completar el Esquema de anclaje como clase. Una vez que la clase haya completado el Esquema de anclaje, pida a los estudiantes que completen individualmente su Cuaderno interactivo.
APOYOS DIDÁCTICOS 1. Los estudiantes con dificultades pueden tener dificultades para redondear a la décima más cercana si tienen dificultades con el valor posicional. Proporcione a estos estudiantes una hoja de referencia que etiquete los diferentes valores de posición dentro de un número. Por ejemplo, para el número 25.467, el 2, 5, 4, 6 y 7 se escribirán en las columnas denominadas Centenas, Decenas, Unos, Décimas, Centésimas y Miles, respectivamente. 2. Los alumnos con dificultades pueden confundir los signos mayor que y menor que. Cuanto más expuestos estén los alumnos a estos símbolos, más probabilidades tendrán de recordar su significado. Cuando los alumnos escriban cada símbolo, es importante oír y decir "mayor que" o "menor que" para ayudarles a interiorizar el significado. Los alumnos pueden relacionar los símbolos con flechas que señalan la dirección en una recta numérica. Un número a la izquierda (<) de otro número tiene un valor menor, y un número a la derecha (>) tiene un valor mayor.
APOYOS A LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de Explora. Consulte las estrategias a continuación para conocer las formas de apoyar el desarrollo del lenguaje del estudiante. Los estudiantes utilizarán técnicas de aprendizaje como mapas conceptuales, dibujos, comparaciones, contrastes, memorización y repasos para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado. Principiante: Como actividad previa a la clase para repasar el perímetro, coloque bloques cuadrados y rectangulares hechos de cubos de presión por toda la clase (cada bloque de cubos debe ser de un color). Proporcione a los alumnos una hoja en la que aparezcan diferentes perímetros en la primera columna y pídales que escriban el color del bloque en la segunda columna. Por ejemplo, si los alumnos encuentran un bloque de 3 por 5 de cubos de presión amarillos, escribirán amarillo junto al perímetro que indica 16 unidades. Intermedio: Como actividad previa a la lección para repasar el perímetro, coloque bloques cuadrados y rectangulares hechos de cubos a presión alrededor del aula (cada bloque de cubos debe ser de un color). Los alumnos deben buscar todos los bloques de cubos y su perímetro. Proporcione a los alumnos una hoja con dos columnas. Algunos colores de bloques o perímetros pueden estar previamente identificados en las columnas y los alumnos tendrán que determinar el color del bloque o el perímetro que falta. Avanzado: Como actividad previa a la clase para repasar el perímetro, coloque bloques cuadrados y rectangulares hechos de cubos de presión por toda la clase (cada bloque de cubos debe ser de un color). Los alumnos tienen que encontrar todos los bloques de cubos y su perímetro. Proporcione a los alumnos una hoja con dos columnas. Algunos colores o perímetros de los bloques pueden estar identificados previamente en las columnas y los alumnos tendrán que determinar el color o el perímetro del bloque que falta.
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GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES
EXPLICAR > ESQUEMA DE ANCLAJE
ANCLAR EL APRENDIZAJE DE LOS ALUMNOS
ESQUEMA DE ANCLAJE DESCRIPCIÓN
Irrational Numbers
x
𝝅𝝅 = 3.14159... √2 = 1.414213...
Let’s find the square root of √8. Convert it to a decimal.
Este Esquema de anclaje destaca las ideas principales del ámbito. Se trata de una herramienta para apoyar la instrucción y anclar el aprendizaje de los estudiantes a lo largo del ámbito.
MATERIALES
√4 = 2
PREPARACIÓN
• Imprima el ejemplo de Esquema de anclaje (opcional).
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. El ejemplo de Esquema de anclaje puede utilizarse como referencia antes de crear el Esquema de anclaje de la clase con los estudiantes. La creación de un Esquema de anclaje debe ser dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje.
√9 = 3
√8 is between 2 and 3. √8 = 2.82842712475 (Work completed on calculator.)
Let’s find the square root of √2. Convert it to a decimal.
• 1 Hoja de papel milimetrado • 1 Juego de marcadores multicolores
√8 = ?
√1 = 1
√2 = ?
√4 = 2
Perfect squares
√1 = √4 = √9 = √16 = √25 = √36 = √49 = √64 = √81 = √100=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
√2 is between 1 and 2.
+1. 4 1 4 1⟌2. 00 00 00 –1 24 100 – 96 281 400 – 281
Irrational numbers are–
2824 11900 – 11296 604 Place the √8 and the √2 on the number line below.
√2
● NOT rational. ● NOT perfect squares. ● NOT perfect cubes. ● NOT simple fractions. ● NOT ratios. ● NOT repeating decimal numbers.
√8
EJEMPLO ESQUEMA DE ANCLAJE
2. A medida que los estudiantes trabajen en el ámbito, colaboren para añadir piezas al Esquema de anclaje. Formule las siguientes preguntas orientadoras: a. ¿Qué estrategia utilizamos para resolver este problema?". b. ¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?". 3. Continúe añadiendo habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada Exploración para resaltar el contenido importante. 4. Explique a los estudiantes que pueden utilizar este cuadro como herramienta de apoyo para su aprendizaje. Los estudiantes también pueden pegar una copia del Esquema de anclaje en sus cuadernos para utilizarla como referencia durante todo el año. 5. Algunos Esquemas de anclaje sólo se mostrarán durante ese ámbito o grupo de ámbitos, mientras que otros permanecerán expuestos durante todo el año escolar.
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GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES Irrational Numbers
Instructions ● Cut out the oval along the dotted lines, and glue or tape it into your notebook. ● Record an example within each section of the graphic organizer.
EXPLICAR > CUADERNO INTERACTIVO
DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DE LOS ALUMNOS
CUADERNO INTERACTIVO DESCRIPCIÓN Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase utilizando la actividad y el cuaderno.
MATERIALES IMPRESO Irrational Numbers
PREPARACIÓN
Instructions ● Cut out the top and bottom of the flipbook. ● Cut the flaps on the dotted lines. Fold back flaps on solid lines. ● Glue or tape the bottom of the flipbook into your notebook first. ● Place glue or tape where it says “Place glue here.” Add the top of the flipbook. ● Lift up the flaps, and match and record examples in the empty spaces.
• Imprime una copia del Apunte para el estudiante para cada estudiante.
Top
What are irrational numbers?
Definition
Examples
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Nonexamples
Irrational Numbers
Examples to record 0.16
Decimal
Repeating
9.45
Fraction 1.6280339. . .
𝛑𝛑
1 11
Place glue here.
0.07
number that cannot be
1. Prepara un cuaderno interactivo utilizando un cuaderno de espiral o de composición para cada estudiante. Los alumnos pueden utilizar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades. 2. En el Material para el alumno se ofrecen instrucciones para cada actividad. 3. Dé tiempo a los alumnos para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos interactivos. 4. Los cuadernos interactivos pueden utilizarse como referencia para los alumnos durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
Bottom
An irrational number is a real
• 1 Apunte para el estudiante (por estudiante)
written as a ___________. In ___________ form, it continues forever without __________.
Irrational Numbers
Instructions ● Cut out the rectangle along the dotted lines, and glue or tape it into your notebook. ● Evaluate each expression. If the resulting decimal repeats, write an approximation. ● Plot the approximate location of each expression on the number line.
Expression
Workspace
Value/Decimal Approximation
FOLLETO PARA EL ESTUDIANTE
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SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 151
151
1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES
EXPLAIN > CONEXIONES LINGÜÍSTICAS APOYO A LOS ALUMNOS MULTILINGÜES
CONEXIONES LINGÜÍSTICAS PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE APOYO
DESCRIPCIÓN Los estudiantes tienen la oportunidad de utilizar sus conocimientos lingüísticos y culturales para apoyar las conexiones con nuevas habilidades, vocabulario y conceptos en sus niveles de competencia.
1. Distribuya a cada alumno un cuadernillo con el nivel de competencia adecuado. 2. Utilice las instrucciones para las partes de comprensión oral, expresión oral, lectura y escritura. Utilice gestos, señale objetos y elementos visuales, según proceda. Consulte las sugerencias en las instrucciones.
MATERIALES IMPRESO
• 1 Student Handout en el nivel de competencia (por estudiante)
3. Deje tiempo a los alumnos para que piensen con sus vecinos antes de responder.
PREPARACIÓN
4. Anime a los estudiantes a perseverar en su pensamiento y a utilizar herramientas y modelos matemáticos.
• Determine el nivel de competencia en inglés de cada estudiante. • Imprima un Student Handout para cada estudiante según su nivel de inglés.
5. Invite a los estudiantes a responder adecuadamente a cada dominio lingüístico.
• Permita que los estudiantes tengan acceso al Picture Vocabulary para este ámbito.
6. Pida a los estudiantes que utilicen la página final del Material para el estudiante para establecer conexiones entre los conceptos matemáticos y el mundo real.
• Permita que los estudiantes tengan acceso a una variedad de herramientas matemáticas, como bloques de valor posicional y círculos de fracciones, y modelos matemáticos, como tablas de valor posicional, paredes de fracciones, líneas numéricas, etc.
Irrational Numbers I
Irrational Numbers A
Review the Real Numbers Venn diagram. Then listen to your teacher to place the numbers on the number line.
Irrational Numbers B
Irrational Numbers B
NEW Sofia has two gardens she wants to put fences
around. The first garden is a circle
a diameter of 12 feet. The second garden is a triangle
Review the Real Numbers Venn diagram. Then listen to your teacher to place the numbers on the number line.
Review the Real Numbers Venn diagram. Then listen to your teacher to place the numbers on the number line.
11 feet, 24 feet, and
. The triangle
feet. Which garden needs the most fencing
. It has
has sides that are
? How much fencing
will Sofia need for both gardens? Sofia has a _____-shaped and a circle-shaped garden. triangle / square The diameter of the circular garden is ____ feet. To find the ____________, use the formula C = 𝜋𝜋・d. 12 / 11 circumference / radius The pi symbol is an irrational number, and ______ can be used as an approximation. 12 / 3.14
Irrational Numbers I
NEW
The circumference of the garden is about _____ feet. 75.4 / 37.7 The side lengths of the triangular garden are ____ feet, 24 feet, and ____ feet. 11 / 12 69 / The perimeter of the triangular garden is about ________ feet. 61.4 / 732 The garden that needs the most fencing is the ______ garden. Sofia will need a total of ______ feet of fencing. circle / triangle 99.1 / 23.7
Sofia needs to fence two gardens. The first is a circular flower garden with a diameter of 12 feet. The second is a triangular vegetable garden with sides measuring 11 feet, 24 feet, and feet. Use a rational approximation for the triangle’s longest side to decide which garden requires more fencing. Then calculate the total amount of fencing Sofia will need for both gardens.
To find the radius, use the formula C = 𝜋𝜋・d. True / False
Irrational Numbers B
NEW Word Bank Continues
Divide
Ends
Long division
No
Repeats
Repeating
Terminating
Irrational Numbers B
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can represent irrational numbers at home with your family or friends. Answers will vary.
Word Bank Ends
Divide
Continues
Long division
No
Repeats
Repeating
Terminating
Rewrite the fractions in decimal form, and then use the word bank to describe the difference between a terminating decimal and a repeating decimal. Then explain how to convert a fraction into a decimal.
To approximate pi, use 3.14. True / False
The fraction converts to the decimal ______, 0.125 which is a terminating ______________ decimal because it has a limited
The circumference of the garden is about 37.7 feet. True / False
repeating converts to the decimal _____, which is a ____________
The perimeter of the triangular garden is about 732 feet. True / False The circle garden needs the most fencing. True / False Sofia will need a total of 99.1 feet of fencing. True / False
no remainder. The fraction number of digits and _____ decimal because it has a repeating pattern and a continues remainder that ____________. To change or into a decimal, divide the numerator by the denominator using long division. For , the division ends with no remainder, so the decimal is 0.125, a terminating decimal. For , the division keeps going and repeats a pattern of 3, making it a repeating decimal.
Irrational Numbers A
NEW Sofia is planning to enclose two gardens with fencing. One is a circular flower garden with a diameter of 12 feet, requiring fencing along its curved perimeter. The other is a triangular vegetable garden with sides measuring 11 feet, 24 feet, and feet. Use rational approximations to calculate the fencing needed for the triangle and the circumference of the circle. Determine which garden requires the most fencing and the total length of fencing Sofia will need for both gardens.
Word Bank Ends
Divide
Continues
Long division
No
Repeats
Repeating
Terminating
Rewrite the fractions in decimal form. Use the word bank to describe the difference between a terminating decimal and a repeating decimal. Then explain how to convert a fraction into a decimal.
circumference To find the _______________, use the formula C = 𝜋𝜋・d. 3.14 To approximate pi, use ________. 37.7 The circumference of the garden is about _______ feet. 61.4 ft. The perimeter of the triangular garden is about ______ circle The garden that needs the most fencing is the ________ garden. 99.1 Sofia will need a total of _________ feet of fencing.
The fraction converts to the decimal 0.125, which is a terminating decimal because it has a limited number of digits and no remainder. The fraction converts to the decimal , which is a repeating decimal because it has a repeating pattern and a remainder that continues. To change or into a decimal, divide the numerator by the denominator using long division. For , the division ends with no remainder, so the decimal is 0.125, a terminating decimal. For , the division keeps going and repeats a pattern of 3, making it a repeating decimal.
Rewrite the fractions in decimal form, and then use the word bank to describe the difference between a terminating decimal and a repeating decimal. Then explain how to convert a fraction into a decimal.
The fraction
terminating 0.125 converts to the decimal _______, which is a _______________ decimal because it has a limited
no remainder. The fraction number of digits and _____
repeating converts to the decimal _______ , which is a ___________
Irrational Numbers I
continues decimal because it has a repeating pattern and a remainder that _____________.
To change For
or
long division divide into a decimal, _________ the numerator by the denominator using _________________.
ends , the division _______ without a remainder, so the decimal is 0.125, a terminating decimal. For
, the
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can represent irrational numbers at home with your family or friends. Answers will vary.
Irrational Numbers A
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can represent irrational numbers at home with your family or friends. Answers will vary.
repeats division keeps going and __________ a pattern of 3, making it a repeating decimal.
PRINCIPIANTE FOLLETO PARA EL ALUMNO INTERMEDIO MATERIAL PARA EL ALUMNO
152
SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 152
AVANZADO MATERIAL PARA EL ALUMNO
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1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES
EXPLAIN > CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCUCHAR Y HABLAR PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Ponga a disposición de los alumnos el Vocabulario ilustrado. Lee las siguientes indicaciones de una en una: • Observa el diagrama de los Números Reales en la parte derecha de tu papel. • Señala el diagrama de los Números Reales en tu papel. • Recuerda que los números se pueden agrupar o clasificar. • Señala el lado izquierdo del diagrama de los Números Reales. El lado izquierdo se llama números racionales. Al final de esta sección, vemos que algunos números racionales se llaman Números Naturales. Estos números también se llaman Números de Conteo. Todos los números naturales son números positivos. • Señala los números naturales. Controle que los alumnos señalen los números correctos. • ¿Qué números vemos en esta parte del diagrama?". ◦ Pida a los alumnos que utilicen la siguiente raíz de oración: En la parte de los números naturales, vemos los números _________. • ¿Cómo se llama el siguiente conjunto de números en el diagrama de los Números Reales?". ◦ Haga que los estudiantes usen la siguiente raíz de oración: El siguiente conjunto de números se llama ___________. • ¿Qué número vemos en la parte de los números enteros del diagrama?".
Tenga el Vocabulario ilustrado a disposición de los estudiantes. Lea las siguientes indicaciones de a una por vez: • Observe el diagrama de los números reales en el lado derecho de su papel. Este diagrama nos ayuda a ver cómo se clasifican los números. • Señala la sección que muestra los números naturales. Lee estos números con tus compañeros. • ¿Cómo se llama el siguiente conjunto de números en el diagrama de los Números Reales?". ◦ Pide a los alumnos que utilicen la siguiente raíz de frase: El siguiente conjunto de números se llama ___________. • ¿Qué número vemos en la parte de los números enteros del diagrama?". ◦ Haga que los estudiantes usen la siguiente raíz de oración: Vemos ___________. • ¿Es el cero el único número entero?". ◦ Pida a los alumnos que utilicen el siguiente marco oracional El cero _______ el único número entero. • Discuta con sus compañeros qué otros números son también números enteros.
Pon a disposición de los alumnos el Vocabulario ilustrado. Lee las siguientes indicaciones de una en una:
◦ •
•
•
•
•
• •
•
Haga que los estudiantes usen la siguiente raíz de oración: Vemos ___________.
¿Es el cero el único número entero?". ◦ Pida a los alumnos que utilicen el siguiente marco oracional El cero _______ es el único número entero. ¿Qué otros números son números enteros?". ◦ Haga que los alumnos utilicen el siguiente marco de frase: Los números _____________ también son números enteros. Los números enteros son todos los números positivos y el cero. ¿Cómo llamamos a los números que son todos los números naturales, todos los números enteros positivos y sus opuestos?". ◦
•
Haga que los alumnos utilicen el siguiente marco de enunciado: Estos números se llaman ___________.
_
Vemos los números -3, 0, 3,√ 4 , __ , - __ 2 odos estos 3 son ejemplos de números enteros. ¿Cuál es otro ejemplo de un número entero? ◦ Pida a los alumnos que utilicen la siguiente raíz de frase: Otro ejemplo de número entero es ___________. 9
◦
• •
•
•
8
Todos los números naturales, todos los números enteros, todos los números enteros y también los decimales, los números mixtos y las fracciones forman parte del siguiente conjunto: los números racionales. Los números racionales son todos los números que se pueden escribir como fracción o cociente. ¿Qué números ves en el diagrama que sean números racionales?". ¿Qué números ves en el diagrama que sean números racionales?". ◦ Pide a los alumnos que utilicen la siguiente raíz de frase: Los números racionales en el diagrama son ___________. (Los estudiantes deben nombrar los números de cada conjunto en el diagrama.)
• • •
• •
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SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 153
Deje tiempo para que los compañeros discutan. Supervise a los alumnos para asegurarse de que hablan de todos los tipos de números enteros. Los números enteros son todos los números positivos y el cero. ¿Cómo llamamos a los números que son todos los números naturales, todos los números enteros positivos y todos sus opuestos?". Pida a los alumnos que utilicen la siguiente raíz de oración: Estos números se llaman ___________. Lee todos los números enteros con tus compañeros. Todos los números naturales, todos los números enteros, todos los números enteros y también los decimales, los números mixtos y las fracciones forman parte del siguiente conjunto: los números racionales. Los números racionales son todos los números que se pueden escribir como fracción o cociente. ¿Qué números del diagrama son racionales?". ◦ Pida a los alumnos que utilicen el siguiente enunciado: Los números racionales del diagrama son ___________. (Los alumnos deben nombrar los números de cada conjunto del diagrama.) Vemos el nombre Números Reales en la parte superior del cuadro. A la izquierda, están todos los números racionales y todos los subconjuntos de números racionales. ¿Qué otra clasificación de números pertenece a los números reales?". ◦ Pida a los alumnos que utilicen el siguiente marco de frases: Los ___________ también son números reales. Los números irracionales son números que no se pueden escribir como cociente o fracción. Lee con tus compañeros todos los ejemplos de números irracionales. ¿Son los números racionales un subconjunto de los números irracionales?". Explica tu razonamiento a tus compañeros. ◦ Pide a los alumnos que utilicen la siguiente estructura de frases: Los números racionales _________ son un subconjunto de los números irracionales porque _________. Ahora, veamos la recta numérica y los números reales que hay por encima y por debajo de ella. Empecemos por los números enteros. Recuerda que esto incluye los números naturales. Lee todos los números enteros con tus compañeros. A continuación, traza una línea desde estos números hasta el lugar que ocupan en la recta numérica.
•
Observa el diagrama de los números reales en tu papel. Con tus compañeros, lee los números que forman parte de cada conjunto.
•
Explica a la persona que tienes al lado las semejanzas y diferencias de cada conjunto de números.
•
Ahora, observemos la recta numérica y los números reales que hay por encima y por debajo de ella.
•
Determina la ubicación de cada número racional. Discute cada posición con tus compañeros antes de dibujar una línea desde el número hasta su posición en la recta numérica.
•
Discute con tus compañeros cómo escribir 6.67 × 10 -1 y 3.78 × 100 en notación estándar. A continuación, traza una recta desde cada uno de estos números hasta su posición en la recta numérica.
•
Ahora, veamos los números irracionales.
•
Al aproximar raíces cuadradas, puedes usar cuadrados perfectos para encontrar entre qué dos números enteros se encuentra un cuadrado no perfecto.
•
_
Señala √ 5 . Qué cuadrados perfectos podríamos utilizar para
_
aproximar √ 5 ?". •
Cuál es la raíz cuadrada de 4?".
•
¿Cuál es la raíz cuadrada de 9?".
•
¿Cómo se pueden utilizar las raíces cuadradas de 4 y 9 para aproximar la raíz cuadrada de 5?".
•
Ahora observa los números irracionales con tus compañeros. Determina la ubicación aproximada de cada número irracional en la recta numérica.
153
1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES
EXPLAIN > CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCUCHAR Y HABLAR (CONTINUACIÓN) PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
•
Vemos el nombre Números Reales en la parte superior del recuadro. A la izquierda están todos los números racionales y todos los subconjuntos de los números racionales. ¿Qué otra clasificación de números pertenece a los números reales?".
•
Los números irracionales son números que no se pueden escribir como cociente o fracción. ¿Qué ejemplos de números irracionales vemos en el diagrama?".
◦
◦ •
Pida a los alumnos que utilicen la siguiente estructura de frase: Los números racionales __________ son un subconjunto de los números irracionales porque __________.
•
Empecemos por los números naturales.
•
Señala en la recta numérica el lugar al que pertenece el número 3. Dibuja una línea desde el 3 hasta su lugar en la recta numérica.
•
_
Señala para mostrarme dónde pertenece el número √ 4 en la recta numérica.
_
Dibuja una línea desde √ 4 hasta el 2 en la recta numérica.
Señala para mostrarme dónde pertenece la fracción __ 3 en la recta numérica. 9
•
Dibuja una línea desde el número 0 hasta su lugar en la recta numérica.
•
Señala el número entero -3 en la recta numérica.
•
Dibuja una línea desde -3 hasta su lugar en la recta numérica.
• • • •
Traza una recta desde -__ 2 hasta -4 en la recta numérica. 8
6 en la recta numérica?". Señala dónde colocarías el 5/6. ¿Dónde está el número racional __ 5
Dibuja una línea desde el __ 6 hasta su ubicación en la recta numérica. 5
•
Señala __ 3 en la recta numérica. 8
8
Dibuja una línea desde la expresión 6.67 × 10 -1 hasta su posición en la recta numérica.
•
Señala el decimal 1,5 en la recta numérica.
•
Traza una recta desde 1,5 hasta su posición en la recta numérica.
•
¿Cuál es la notación de forma estándar para 3,78 × 100?".
•
Señala su ubicación en la recta numérica.
•
Traza una recta desde la expresión 3.78 × 100 hasta su ubicación en la recta numérica.
•
Ahora, veamos los números irracionales.
•
Al aproximar raíces cuadradas, puedes usar cuadrados perfectos para encontrar entre qué dos números enteros se encuentra un cuadrado no perfecto.
_
•
_
◦
Pida a los alumnos _que utilicen el siguiente marco de frases: Podemos utilizar la raíz cuadrada de _____ y _____ para aproximar√ 5 .
•
¿Cuál es la raíz cuadrada de 4?".
•
¿Cuál es la raíz cuadrada de 9?".
•
¿Cómo se pueden utilizar las raíces cuadradas de 4 y 9 para aproximar la raíz cuadrada de 5?".
◦ ◦ ◦
•
• •
•
_
Traza una recta desde√ 5 hasta su ubicación aproximada en la recta numérica.
¿Qué números cuadrados perfectos se utilizarían para aproximar la raíz cuadrada de 31?". Pida a los alumnos que utilicen el siguiente marco de frases: La raíz cuadrada de 31 se puede aproximar usando _____ y _____. _
Señale la ubicación aproximada de_ √31 en la recta numérica.
Trace una línea desde el número √31 hasta su ubicación aproximada en la recta numérica.
Qué números cuadrados perfectos se utilizarían para aproximar la raíz cuadrada de 2?".
Pida a los alumnos que utilicen la siguiente estructura de frases: La raíz cuadrada de 2 puede aproximarse utilizando _____ y _____.
_ _
Señale la ubicación aproximada de - √ 2 en la recta numérica.
Traza una recta desde el número - √ 2 hasta su ubicación aproximada en la recta numérica. ¿Qué números cuadrados perfectos se utilizarían para aproximar la raíz cuadrada de 6?". ◦
•
Ahora miren los números irracionales con sus compañeros. Determina la ubicación aproximada de cada número irracional en la recta numérica.
Pida a los alumnos que utilicen la siguiente estructura de frase: La raíz cuadrada de 4 y 9 puede utilizarse para aproximar la raíz cuadrada de 5 porque _____, y como 5 está más cerca de _____, podemos aproximar la raíz cuadrada de 5 como _____.
_
◦
•
Pida a los alumnos que utilicen la siguiente raíz de frase: La raíz cuadrada de 9 es _____.
Pida a los alumnos que utilicen la siguiente estructura de frase: La raíz cuadrada de 4 y 9 puede usarse para aproximar la raíz cuadrada de 5 porque _____, y como 5 está más cerca de _____, podemos aproximar la raíz cuadrada de 5 como _____.
Señala la ubicación aproximada de√ 5 en la recta numérica.
◦ •
•
Pida a los alumnos que utilicen el siguiente marco oracional: La raíz cuadrada de 4 es _____.
Pida a los alumnos que utilicen la siguiente raíz de frase: La raíz cuadrada de 9 es _____.
¿Cómo se pueden utilizar las raíces cuadradas de 4 y 9 para aproximar la raíz cuadrada de 5?". ◦
Señala √ 5 . ¿Qué cuadrados perfectos podríamos utilizar para aproximar√ 5 ?".
Pida a los alumnos que utilicen el siguiente marco oracional: La raíz cuadrada de 4 es _____.
¿Cuál es la raíz cuadrada de 9?". ◦
•
Pida a los alumnos que utilicen el siguiente marco de frases: Podemos utilizar la raíz cuadrada de _____ y _____ _ para aproximar √ 5 .
¿Cuál es la raíz cuadrada de 4?". ◦
Dibuja una recta desde __ 3 hasta su posición en la recta numérica.
Señala esta posición en la recta numérica.
•
_
Señala √ 5 . ¿Qué cuadrados perfectos _ podríamos utilizar para aproximar √ 5 ?". ◦
•
•
Al aproximar raíces cuadradas, puedes usar cuadrados perfectos para encontrar entre qué dos números enteros se encuentra un cuadrado no perfecto.
8
¿Cuál es la notación de forma estándar para 6.67 × 10 -1 ?".
•
Ahora, veamos los números irracionales.
•
Señala el número entero -__ 2 en la recta numérica.
•
•
•
•
•
•
Discute con tus compañeros cómo escribir 6,67 × 10 -1 y 3,78 × 100 en notación estándar. A continuación, traza una recta desde cada uno de estos números hasta su posición en la recta numérica.
Ahora, agreguemos el cero a la recta numérica. Señala el número 0 en la recta numérica.
•
•
9 hasta el número 3 en la recta numérica. Dibuja una línea desde __ 3
•
•
Señale la ubicación de cada número entero y racional en la recta numérica. Discute con tus compañeros para determinar su ubicación correcta. Luego traza una línea desde cada uno de estos números hasta su ubicación en la recta numérica.
Pida a los alumnos que utilicen el siguiente marco de frases: En el diagrama, vemos que ___________ es un número irracional.
Ahora veamos la recta numérica y los números reales que hay por encima y por debajo de ella.
•
•
Pida a los alumnos que utilicen el siguiente marco de frases: Los ___________ también son números reales.
•
•
Supervise a los alumnos para asegurarse de que colocan 0, 3, 44 y 9339 donde corresponde en la recta numérica.
¿Son los números racionales un subconjunto de los números irracionales?". Explique su pensamiento. ◦
•
•
Pida a los alumnos que utilicen la siguiente estructura de frases: La raíz cuadrada de 6 puede aproximarse utilizando _____ y _____.
_ _
Señale la ubicación aproximada de - √ 6 en la recta numérica.
Trace una línea desde el número - √ 6 hasta su ubicación aproximada en la recta numérica.
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GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES
EXPLAIN > CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
LEER Y HABLAR PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Lea la historia en grupo, dividiéndola en frases. Pida a los alumnos que señalen cada palabra mientras leen e invíteles a rodear con un círculo las palabras que no conozcan. Discuta las palabras en grupo.
Coro: lea la historia en grupo. Pida a los alumnos que señalen cada palabra mientras leen e invíteles a rodear con un círculo las palabras que no conozcan. Dígales que comenten las palabras con sus compañeros.
Pida a los alumnos que lean la historia con sus compañeros y que señalen cada palabra mientras leen. Invíteles a rodear con un círculo las palabras que no conozcan y a comentarlas con sus compañeros.
•
¿Qué forma tiene el primer jardín de Sofía?". ◦
•
¿Cuál es el diámetro del jardín circular?". ◦
•
Pida a los alumnos que utilicen la siguiente raíz de frase: El primer jardín es un _____.
Pida a los alumnos que utilicen el siguiente marco oracional: El diámetro es de _____ pies.
¿Cuál es la longitud de un lado del jardín triangular?". ◦
Haga que los estudiantes usen el siguiente marco de oración: Uno de los lados mide _____ pies.
•
Coral - lea la primera afirmación. Señale la respuesta en la historia antes de responder.
•
Coro: lea la segunda afirmación. Señale el número en la historia que responde a la pregunta.
•
Coro: lea la tercera afirmación. Señale el texto que explica para qué se utiliza la fórmula.
•
Coral - lea el cuarto enunciado. Señale el valor de pi que se menciona en el cuento.
•
Coro: lea el quinto enunciado. Señala el cálculo de la circunferencia para encontrar la respuesta.
•
¿Cómo se puede sumar la raíz cuadrada de 697, 24 y 11?". ◦
•
Compartan con sus compañeros de qué trataba la historia.
•
Explique a sus compañeros de qué trataba el pasaje.
•
Discuta con sus compañeros la forma de los jardines de Sofía.
•
Discuta con sus compañeros las formas de los jardines de Sofía.
•
Discuta con sus compañeros cómo hallar el perímetro de ambos jardines.
•
Discuta con sus compañeros cómo hallar los perímetros de ambos jardines.
•
¿Cuál es el diámetro del jardín circular?".
•
¿Cuál es el diámetro del jardín circular?".
•
Coral-lea el primer enunciado. Discute con tus compañeros para decidir si es verdadera o falsa.
•
Lea cada afirmación y comparta sus respuestas con sus compañeros.
•
Coro: lee la segunda afirmación. Comenta con tus compañeros si es verdadera o falsa.
•
¿Cuáles son las longitudes de los lados del jardín triangular?".
•
¿Cómo se puede sumar la raíz cuadrada de 697, 24 y 11?".
•
Compañero lee la tercera y cuarta afirmaciones. Discute con tus compañeros para decidir si es verdadero o falso.
•
Coro: lee las afirmaciones quinta y sexta. Debate con tus compañeros para decidir si es verdadero o falso.
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente secuencia de oraciones: Para sumar números enteros con raíz cuadrada, ....
•
Coro: lea el sexto enunciado. Señale las longitudes del jardín triangular en la historia.
•
Coro: lea la última afirmación. Señale la historia y los cálculos para decidir la respuesta.
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GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES
EXPLAIN > CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCRIBIR PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Ponga a disposición de los alumnos las tarjetas de vocabulario con imágenes. Lea y comente las palabras del banco de palabras. Defina las palabras y proporcione ejemplos según sea necesario. Utilice las siguientes indicaciones
Pon a disposición de los alumnos las tarjetas de vocabulario con imágenes. Coro: lea y comente las palabras del banco de palabras. Defina y proporcione ejemplos según las necesidades de los alumnos. Utilice las siguientes pistas:
Ponga a disposición de los alumnos las tarjetas de vocabulario con imágenes. Los alumnos deben leer en coro las palabras del banco de palabras con sus compañeros. Pídales que discutan el significado de las palabras con sus compañeros. Defina y proporcione ejemplos según las necesidades de los alumnos. Mientras los alumnos leen, utilice las siguientes pistas:
•
Discuta la relación entre fracciones y decimales: ◦
¿Qué significa reescribir una fracción en forma decimal?".
◦
¿Cuáles son algunos ejemplos de decimales que conoce?". ¿Terminan o se repiten?".
◦
•
•
Pida a los alumnos que comenten las palabras del banco de palabras con sus compañeros.
•
Dobla la mitad inferior del papel para que sólo se vea el banco de palabras. Señale una palabra del banco de palabras y, por turnos, explique las palabras con sus compañeros.
¿Cómo se convierte una fracción en decimal?".
•
• ¿Qué pasos hay que seguir si el denominador divide uniformemente al numerador?".
Toma nota de los alumnos que explican con precisión matemática las palabras del banco de palabras.
•
• ¿Qué ocurre si la división no termina uniformemente y continúa indefinidamente?".
A continuación, señala una palabra del banco de palabras cuyo significado necesites aclarar.
•
En función de los alumnos a los que haya oído dar las explicaciones matemáticamente precisas, pídales que ayuden a aclarar las palabras seleccionadas a sus compañeros.
◦
¿Se te ocurre alguna herramienta que pueda ayudar en este proceso como la división larga o las calculadoras?".
◦
Después de convertir fracciones en decimales, ¿cómo puedes saber si el resultado es un decimal que termina o que se repite?".
Lee cada enunciado y pide a los alumnos que consulten el banco de palabras antes de escribir sus respuestas.
◦
•
•
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Veo que varios alumnos están pidiendo aclaraciones sobre la palabra _____. (nombre del alumno) pudo dar una explicación clara de la palabra _____ a su compañero. _____, ¿podrías compartir tu explicación?".
•
Haga que los alumnos comenten las palabras del banco de palabras con sus compañeros.
•
Discuta las palabras del banco de palabras con sus compañeros. Cada persona debe dar una explicación o descripción de una palabra y, a continuación, pedir a su compañero que parafrasee el significado de la palabra. Continúa este proceso hasta que hayas comentado todas las palabras del banco de palabras.
•
Lee las instrucciones con tus compañeros. ¿Qué plan vas a seguir para asegurarte de que utilizas el mayor número posible de palabras del banco de palabras en tu escrito?". Si no estás seguro de cómo utilizar una palabra, rodéala en el banco de palabras. Los alumnos aún no deben empezar a escribir.
•
Esté atento a los alumnos que tengan dificultades para crear un plan o que marquen con un círculo las palabras del banco de palabras. Ofrézcales apoyo y permita que los alumnos que lograron crear un plan lo compartan con la clase.
Lee cada enunciado con tus compañeros y utiliza las palabras del banco de palabras para completar cada enunciado. Tenga en cuenta que algunas palabras pueden utilizarse más de una vez o no utilizarse en absoluto. Recuerde a los alumnos que consulten el banco de palabras cuando rellenen los espacios en blanco.
◦
Veo que varios de nosotros necesitamos aclaraciones sobre la palabra _____. Diríjase a alguien cercano que no sea su compañero y pídale que aclare o defina la palabra _____.
◦
Veo que varios de nosotros necesitamos ayuda para diseñar un plan que utilice palabras del banco de palabras. Dirígete a alguien que no sea tu compañero y pídele que explique cómo piensa utilizar el mayor número posible de palabras del banco de palabras.
•
Pide a los alumnos que escriban sus explicaciones una vez que se hayan aclarado todas las palabras y se hayan compartido los planes.
•
Ahora, escribe tu explicación utilizando al menos cinco de las palabras del banco de palabras. Cuando terminen de escribir, compártanlo con sus compañeros.
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GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO PALABRAS QUE HAY QUE CONOCER
VOCABULARIO ILUSTRADO Convert
Decimal
To change the form of a measurement using different units without changing the size or amount of the quantity being measured
A number that uses a decimal point followed by digits that show a value smaller than one, in powers of ten that decrease; a number with one or more digits to the right of the decimal point 2
Decimal Expansion
The decimal form of a number 3
4
Estimate
Expression
Fraction
An approximation of an overall amount or value
Numbers, variables, and symbols grouped together without an equal sign to show a relationship
A number that shows a part of a whole or part of a set
5
6
7
Improper Fraction
Irrational Number
Mixed Number
A fraction that has a numerator that is greater than or equal to the denominator
A decimal number that cannot be expressed as a fraction, is not imaginary, and does not repeat or terminate
A whole number and a fraction combined; a number made up of a whole number and a fraction
8
10
9
Number Line Diagram
Percent
Rational Number
A line on which numbers are marked at intervals
A special ratio that compares a number to 100 using the percent symbol, %; a rate per 100
A number that can be written as a fraction of integers a/b, where b ≠ 0; a number that can be written as a ratio using two integers
11
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13
Repeating Decimal
Truncated Decimal
Whole Number
A decimal number in which a digit or group of digits is repeated indefinitely, as in 0.333… or 1.851851851…
A decimal number where some digits are left off and the number is approximated at a certain point without rounding
A number zero or above that contains no fractional or decimal part; a positive number without a fractional piece
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GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES
ELABORAR > GENERADOR DE FLUIDEZ DESARROLLAR LA FLUIDEZ CONCEPTUAL
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES ¡DESCRIPCIÓN En esta actividad, los alumnos se turnan para sacar tarjetas de problemas de un tarro y adivinar la respuesta.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 Hoja de instrucciones Bam! ¡Instruction Sheet (per pair) • 1 Set of Bam! ¡(por pareja) REUTILIZABLES
• 1 Tarro u otro recipiente (por pareja) • 1 Cronómetro (por profesor)
Bam! Instruction Sheet Play this game with a partner. You Will Need 1 Set of Bam! Cards (per pair) 1 Jar or other container (per pair) How to Play 1. Fold the cards in half, and place them in the jar. 2. Player 1 pulls out a card from the jar and hands it to player 2. 3. Player 2 will read the question aloud for player 1 to solve. 4. Player 2 can check the answer from player 1 at the bottom of the card. 5. If a player gets a problem correct, they keep the card. If they are incorrect, the other player keeps the card. 6. Note: If the card contains an image such as a graph or a number line, the player asking the question can show the image while covering up the answer with their hand. 7. If a player pulls out a Bam! picture card, all of that player’s cards go back into the jar. 8. Players take turns pulling cards from the jar and answering questions until time is up. 9. Players must try to get as many cards as they can before time is up. 10. The player with the most cards wins.
PREPARACIÓN
• Haz copias a doble cara de las Tarjetas Bam! tarjetas. Si lo deseas, puedes imprimirlas en cartulina para que duren más. • Recorta las tarjetas individuales. • Coloca a los alumnos por parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los alumnos cómo doblar las tarjetas y colocarlas en el frasco. 2. Modele cómo jugar el juego con un alumno. a. El jugador 1 saca una tarjeta del frasco y se la entrega al jugador 2. b. El jugador 2 leerá la pregunta en voz alta para que el jugador 1 la resuelva. c. El jugador 2 puede comprobar la respuesta del jugador 1 en la parte inferior de la tarjeta. d. Si un jugador acierta un problema, se queda con la tarjeta. Si es incorrecta, el otro jugador se queda con la tarjeta.
HOJA DE INSTRUCCIONES
h. Los jugadores deben intentar conseguir tantas cartas como puedan antes de que se acabe el tiempo. i. El jugador con más cartas gana. 3. Establezca un límite de tiempo. Cuando se acabe el tiempo, gana el estudiante que tenga más cartas. 4. Distribuya los materiales e indique a los estudiantes que comiencen cuando empiece el cronómetro. 5. Supervise a los estudiantes para asegurarse de que resuelven los problemas correctamente.
e. Nota: Si la tarjeta contiene una imagen, como un gráfico o una recta numérica, el jugador que hace la pregunta puede mostrar la imagen mientras tapa la respuesta con la mano. f. Si un jugador saca una tarjeta Bam! de imagen, todas las tarjetas de ese jugador vuelven al tarro. g. Los jugadores se turnan para sacar tarjetas del tarro y responder a las preguntas hasta que se acabe el tiempo.
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GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES Irrational Numbers
ELABORAR > REVISIÓN DE SPIRALED REPASAR CONCEPTOS ANTERIORES
Paper Route
REVISIÓN EN ESPIRAL: LA RUTA DEL PAPEL
Greg and Pete are best friends. Ever since they were babies, they have spent almost every waking moment together. They live down the street from one another and even share all of the same classes at school. Recently, they have been talking about buying a basketball hoop so that they can play together during the summer. Pete’s mom suggested getting small, part-time jobs so that they can earn money for the hoop. It didn’t shock her when they both decided to apply for the same position—paper boy for the local newspaper! Usually, the newspaper will only hire one child per paper route. However, during their interview Pete and Greg requested to share a route. They said that they could split the money and get the job done in half the time. Eventually, the newspaper company agreed as long as both boys committed to doing the entire route should one of them get sick. When the boys got home, they told their mothers about the great news!
DESCRIPCIÓN Los estudiantes repasan el contenido previo o actual del grado para ayudar a apoyar su trabajo en el ámbito actual y fortalecer las habilidades necesarias para ámbitos posteriores. 1
Irrational Numbers
1.
Before the boys can deliver the papers, they have to put in the inserts. If Greg puts in inserts and Pete puts in
2 5
1 2
2.
of the
B.
2 papers per hour and runs for 5 1 hours 5
day, how many copies will be usable at the
9 A. 10
• Pregunta 2
end of the day?
4 7
◦ Grado 7 - Aplicar las propiedades de las operaciones como estrategias para multiplicar y dividir números racionales.
466 papers will be usable.
C. 1
10 3 D. 7
3.
During their deliveries every day, Greg covers 3.2 blocks and Pete covers 4.3 blocks. If they do this 5 times a week, how many blocks do they cover in a week? A.
20.3 blocks
B.
24.7 blocks
C.
37.5 blocks
D.
12.5 blocks
4.
• Pregunta 1
◦ Grado 7 - Aplicar y ampliar la comprensión previa de la suma y la resta para sumar y restar números racionales.
Each machine in the factory prints 92 1
every day. If 15 copies are unusable each
of the inserts, how
many newspapers still need inserts?
REPASO EN ESPIRAL ENFOQUE POR PREGUNTA
• Pregunta 3
Greg’s mom loaned him $27.82 to buy supplies for his route. After receiving his first paycheck of $125, he wanted to know how much money he had remaining.
◦ Grado 7 - Resolver problemas matemáticos y del mundo real que involucren las cuatro operaciones con números racionales.
He had $97.18 remaining.
• Pregunta 4 2
STUDENT HANDOUT CLAVE DE RESPUESTAS
◦ Grado 7 - Aplicar y ampliar la comprensión previa de la adición y sustracción para sumar y restar números racionales.
PREPARACIÓN
• Imprima un Folleto del Estudiante para cada estudiante.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un Folleto del Estudiante a cada estudiante. 2. Anime a los estudiantes a tratar de responder a las preguntas de forma independiente sin utilizar recursos externos para ver lo que saben. Invite a los alumnos a anotar ideas o fragmentos que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas. 3. Utilice las preguntas de repaso en espiral como calentamiento en clase, o envíelas a casa como deberes. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos. 4. Consulte la sección Enfoque por pregunta del repaso en espiral para evaluar los conocimientos de contenido de los estudiantes o su necesidad de una mayor intervención. Si es necesario repasar más, utilice los Constructores de fluidez en los alcances apropiados. 5. El Capstone incluye una parte del alcance actual para que los estudiantes vean la conexión y relevancia de su aprendizaje previo con el alcance actual.
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GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES
ELABORAR > CIENCIA DE DATOS
Irrational Numbers
You’re Being Irrational!
ANÁLISIS DE DATOS
CIENCIA DE DATOS Ciencia de datos es un breve debate en clase basado en un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. La parte I incluye preguntas abiertas para ayudar a los alumnos a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los alumnos en contexto.
DESCRIPCIÓN Los alumnos analizarán, interpretarán y generarán conjuntos de datos, además de responder a preguntas basadas en los datos.
1
MATERIALES
CONJUNTO DE DATOS
IMPRESOS
• 1 Conjunto de datos (por clase) REUTILIZABLES
• 1 Proyector o cámara de documentos (por clase) • 1 Rotulador (por clase)
b. Con una precisión de una centésima, ¿cuántos kilómetros recorre Bashita hasta el centro comercial?". Explícalo. 2,24 millas; 2,12
4,41
2,22
4,84
2,32
5,29
CONSUMIBLES
• 1 Trozo de papel milimetrado (por clase)
PREPARACIÓN
• Prepárese para proyectar el Conjunto de datos para la clase. • Reúna un trozo de papel milimetrado y un rotulador.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE APOYO
_
Esto me dice que √5 está entre 2,2 y 2,3. 2,212
4,8841
2,222
4,9284
2,232
4,9729
2,242
5,0176
PARTE I 1. Proyecte el conjunto de datos y prepárese para anotar las observaciones de los alumnos. 2. Discuta las siguientes preguntas: a.
¿Qué observas en este conjunto de datos?".
b.
¿Qué representa este conjunto de datos?".
c.
¿Qué categorías se incluyen en este conjunto de datos?".
d.
¿Cuáles son los primeros 12 cuadrados perfectos?".
e.
¿Cómo podría ser útil una recta numérica para visualizar este conjunto de datos?".
f.
¿Qué preguntas tienes sobre los datos?".
PARTE II 1. Repasa cómo aproximar la raíz cuadrada de un cuadrado no perfecto, y escribe lo que los estudiantes recuerden en el papel cuadriculado. 2. Discute las siguientes preguntas: a.
Bashita quiere visitar a su abuelo en el hospital. Primero, conduce 8 km y aparca en un aparcamiento público cerca de un gran centro comercial para comprarle un regalo. Aproximando al número entero más cercano, ¿cuántos kilómetros conduce Bashita hasta el_centro 5 está _ comercial?". Explícalo. _ 2 millas. _ entre √ 4 y √ 9 , pero más cerca de √ 4 . Como √ 4 = 2, Bashita tiene que conducir unas 2 millas hasta el centro comercial.
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_
Esto me dice que √5 está entre 2,23 y 2,24. Como (5,0176 _ 5) < (5 - 4,9729), sé que √5 está más cerca de 2,24. c. Después de comprar un regalo, Bashita vuelve a casa a recoger las galletas que hizo para su abuelo. Luego conduce hasta el hospital. Redondeando a la centésima más cercana, ¿cuántos kilómetros recorre Bashita, incluyendo su primer viaje al centro comercial?". Muestra tu trabajo. 8,35 millas. 3,92
15,21
3,82
14,44 _
Esto me dice que √15 está entre 3,8 y 3,9.
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GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES
ELABORAR > CIENCIA DE DATOS
3.812
3.82
14.5161
14.5924
2
1,21
1,22
1,44
1,32
1,69
1,42
1,96
1,52
2,25
14.6689
3.832
14.7456
3.842
3.852
14.8225
3.862
14.8996
3.872
14.9769
3.88
1,12
_
Como (2 - 1,96) < (2,25 - 2), sé que √2 está más cerca de 1,4. 6,12
37,21
6,62
38,44
6,32
39,69
6,42
40,96
6,52
42,25
15.0544
2
_
Esto me dice que √15 está_ entre 3,87 y 3,88. Como (15 - 14,9769) < (15,0544 - 15), sé que √15 está más cerca de 3,87. Entonces 2(2.24) + 3.87 = 8.35. d. Bashita vuelve a casa del hospital. Esa noche, conduce hasta la gasolinera, luego a su _restaurante favorito y después a un concierto que está a √42 millas del restaurante. Aproximando a la décima más cercana, ¿cuántos kilómetros recorre Bashita _ por Muestra tu trabajo. √24 está _entre _ la noche?". _ _ 12,8 millas. _ 16 y √25 , pero más cerca entre √ 1 y √_ _ _, o 5. √ 2 está_ _ de √25 √ 4 , pero más cerca de _ √ 1 , o 1. √42 está entre √36 y √49 , pero más cerca de √36 , o 6.
4.92
24.01
4.82
23.04
_
Como (42,25 - 42) < (42 - 40,96), sé que √42 está más cerca de 6,5. Entonces, Bashita condujo unas 4,9 + 1,4 + 6,5 = 12,8 millas.
_
Porque (24.01 - 24) < (24 - 23.04), sé que √24 está más cerca de 4.9.
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GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES
EVALUAR > LISTA DE CONTROL DE LA OBSERVACIÓN
Irrational Numbers
Irrational Numbers
EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS
LISTA DE CONTROL DE LA OBSERVACIÓN DESCRIPCIÓN Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del ámbito de aplicación. Puede utilizarse como evaluación formativa para los profesores y como autoevaluación para los estudiantes.
MATERIALES
How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Know that numbers that are not rational are called irrational. Understand informally that every number has a decimal expansion; for rational numbers show that the decimal expansion repeats eventually, and convert a decimal expansion which repeats eventually into a rational number. Use rational approximations of irrational numbers to compare the size of irrational numbers, locate them approximately on a number line diagram, and estimate the value of expressions. For example, by truncating the decimal expansion of √2, show that √2 is between 1 and 2, then between 1.4 and 1.5, and explain how to continue on to get better approximations.
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Notes and Feedback
IMPRESO
• 1 Apunte para el estudiante (por estudiante)
1
• 1 Apunte para el profesor (por estudiante) Irrational Numbers
PREPARACIÓN
Irrational Numbers
• Imprima un Apunte para el profesor y un Apunte para el estudiante para cada estudiante.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE APOYO 1. Distribuya un Student Handout a cada estudiante. 2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades Explore and Explain (Explorar y explicar) del ámbito, evalúe formativamente su progreso tomando notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Use square root and cube root symbols to represent solutions to equations of the form x² = p and x³ = p, where p is a positive rational number. Evaluate square roots of small perfect squares and cube roots of small perfect cubes. Know that √2 is irrational.
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Notes and Feedback
3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo. 4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el ámbito; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje.
2
Irrational Numbers
Standards for Mathematical Practice
Notes and Feedback
Make sense of problems and persevere in solving them Reason abstractly and quantitatively
5. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el Manual del profesor.
Construct viable arguments and critique the reasoning of others
6. Las notas anecdóticas proporcionadas en la hoja para el maestro pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares.
Attend to precision
7. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la Guía de instrucción de andamiaje en la sección Inicio de este ámbito para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
Consider these reflection questions in this scope.
Model with mathematics Use appropriate tools strategically
Look for and make use of structure Look for and express regularity in repeated reasoning
●
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them?
●
What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
3
FOLLETO PARA EL PROFESOR
162
SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 162
ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES Irrational Numbers
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
EVALUAR > MAPA DE CALOR
ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
Red – misconception
MAPA DE CALOR
Skills Quiz Standards
Questions
Know that numbers that are not rational are called irrational. Understand informally that every number has a decimal expansion; for rational numbers show that the decimal expansion repeats eventually, and convert a decimal expansion which repeats eventually into a rational number. Use rational approximations of irrational numbers to compare the size of irrational numbers, locate them approximately on a number line diagram, and estimate the value of expressions (e.g. π²). For example, by truncating the decimal expansion of √2, show that √2 is between 1 and 2, then between 1.4 and 1.5, and explain how to continue on to get better approximations.
4
2
DESCRIPCIÓN
8
5
Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
9
3
1
6
7
MATERIALES
10
• 1 Mapa de Calor (por estudiante) • 1 Lápiz de color rojo (por estudiante)
Use square root and cube root symbols to represent solutions to equations of the form x2 = p and x3 = p, where p is a positive rational number. Evaluate square roots of small perfect squares and cube roots of small perfect cubes. Know that √2 is irrational.
• 1 Lápiz de color azul (por estudiante)
Not Assessed
• 1 Lápiz de color naranja (por estudiante) 1
Irrational Numbers
• Determine si los estudiantes analizarán su Prueba de Destrezas, la Evaluación Basada en Estándares o ambas. • Imprima un Mapa de Calor para cada estudiante.
Reflection Questions 1. Which skill did you feel most confident with? Why?
PREPARACIÓN
• Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 3. Which type of error did you most commonly make?
1. Distribuya un Mapa de Calor a cada estudiante junto con lápices de color rojo, azul y naranja. Los alumnos deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s).
4. How can you avoid those errors in the future?
2
Irrational Numbers
Refer to your answers on the Standards-Based Assessment. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue - miscalculation
Orange - explanation
Red - misconception
Standards-Based Assessment Standards Know that numbers that are not rational are called irrational. Understand informally that every number has a decimal expansion; for rational numbers show that the decimal expansion repeats eventually, and convert a decimal expansion which repeats eventually into a rational number. Use rational approximations of irrational numbers to compare the size of irrational numbers, locate them approximately on a number line diagram, and estimate the value of expressions (e.g. π²). For example, by truncating the decimal expansion of √2, show that √2 is between 1 and 2, then between 1.4 and 1.5, and explain how to continue on to get better approximations. Use square root and cube root symbols to represent solutions to equations of the form x2 = p and x3 = p, where p is a positive rational number. Evaluate square roots of small perfect squares and cube roots of small perfect cubes. Know that √2 is irrational.
Questions
2
4
6
8
3
5
7
3. Anime a los estudiantes a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a utilizar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada. 4. Consulte la Guía de instrucción con andamiaje que se encuentra en la sección Inicio para proporcionar extensión o apoyo adicional.
10
1
2. Los alumnos utilizan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el Mapa de Calor. Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los alumnos colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, los alumnos colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, los estudiantes colorean el cuadro correspondiente de rojo.
9
Not Assessed
3
MAPA DE CALOR
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SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 163
163
1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES
INTERVENCIÓN > REPASO Y PRÁCTICA DE DESTREZAS Irrational Numbers
CORREGIR Y VOLVER A ENSEÑAR
REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES DESCRIPCIÓN Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del ámbito. Utilícela como repaso o para intervención.
MATERIALES
Checkup 1.
What kind of number has repeating digits when expanded in decimal form? Rational (number)
2.
Use long division to find the value of to six decimal places. Next, find how many unique repeating digits the decimal has, and list the digits. 2 unique repeating digits, 0 and 9
3.
Perform decimal expansion on the value 0.9 to six decimal places. 0.900000 If the decimal value has repeating digits, write it as a reduced fraction. 9/10
4.
The values 69, , and 0.123 are rational because each value can be written as a fraction, and each value has repeating digits in decimal form. The value is irrational because it cannot be written as a fraction, and it does not have repeating digits in decimal form.
IMPRESOS
• 1 Quick Check (por alumno) • 1 Review (por alumno)
5.
Use a calculator to find , and round the answer to the nearest tenth. 2.2 State the two whole numbers that the new value lies between on a number line. 2 and 3
6.
Given that between? 3 and 4
7.
Given where each number lies on the number line, how does ? is less than .
• 1 Checkup (por alumno) • 1 Teacher Checklist (por profesor)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de Quick Check, Review y Checkup para cada alumno.
For each of the following values, state whether the value is rational or irrational and why. a. 69 b. c. 0.123 d.
lies between
and
, which whole numbers must
lie
compare to
• Si lo desea, organice a los alumnos en grupos de 3 ó 4 para completar el repaso.
1
• Opcionalmente, imprima un ejemplo de Esquema de anclaje de la sección Explicar, o pida a los alumnos que utilicen el Cuaderno interactivo como recurso. • Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayuda complementarios para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Irrational Numbers
8.
3. Utilice la rúbrica de habilidades al final del Quick Check para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional en las habilidades.
, and round the answer to the nearest tenth.
Next, state the two whole numbers that the new value lies between on a number line. 19 and 20 9.
1. Distribuya una copia del Quick Check a cada estudiante. 2. Cada estudiante debe completar el Quick Check de forma independiente.
Use a calculator to calculate 8 19.6
Given that 8 between?
lies between 8
and 8
, which whole numbers must 8
lie
8 and 16 10.
Given where each number lies on the number line, how does 8 8 ? 8
is greater than 8
compare to
.
4. Distribuya una copia del Repaso a cada estudiante. 5. Cada estudiante debe completar el Repaso como actividad de intervención o como actividad independiente. a.
Si lo desea, reúna a los alumnos en pequeños grupos para trabajar en las destrezas de repaso. Utilice el Repaso como ayuda para la reenseñanza.
6. Distribuya una copia del Repaso a cada estudiante. 7. Cada estudiante debe completar el Repaso de forma independiente. 8. Analice los resultados del Repaso utilizando la Lista de control del profesor para identificar qué estudiantes necesitan un repaso adicional y qué estudiantes han alcanzado el dominio de los conceptos.
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SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 164
2
CHECK UP CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES
ACELERACIÓN > PREFERIRÍA Irrational Numbers
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
WOULD YOU RATHER PAQUETES DE FIESTA
Party Packages Use mathematical reasoning and creativity to justify your answer to the Would You Rather question. Hannah and Riku are planning a big party and are choosing between two party packages. Package 1 includes a cake, pizza, and balloons, and Package 2 includes cake, pizza, balloons, and party favors. Would you rather purchase Package 1 or Package 2? Justify your reasoning with mathematics. Determine the cost of each package.
Package 1
DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
Package 2
MATERIALES IMPRESOS Cost: $12
Cost:
1 5
Cost: $2.25
Cost: $
1 Cost: $10 5
Cost: $2.25
• 1 Apunte para el estudiante (por estudiante) • 1 Rúbrica (por profesor)
PREPARACIÓN
Cost:
• Imprima un Apunte para el estudiante para cada estudiante.
Package 1 costs Package 2 costs Sample answers may include the following: I would rather purchase Package 1
• Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
because it is cheaper and I wouldn’t need to purchase party favors since I already purchased party favors online. I would also be able to choose my own party favors. I would rather purchase Package 2 because it includes all of the items that I will need for the party, and it’s more convenient because I wouldn’t have to go to additional stores to make purchases.
1
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un Student Handout a cada estudiante.
STUDENT HANDOUT CLAVE DE RESPUESTAS
2. Anime a los estudiantes a mirar sus Student Journals de Explores si necesitan repasar habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros. 4. Utilice la rúbrica proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
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GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES
ACELERACIÓN > TABLERO DE SELECCIÓN Irrational Numbers
OPCIONES PARA SEGUIR APRENDIENDO
JUNTA DE ELECCIÓN DESCRIPCIÓN Los estudiantes explorarán las conexiones con el mundo real y las aplicaciones del contenido matemático a través de interacciones con actividades atractivas.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 Tablero de Elección (por estudiante) • 1 Juego de Hojas de Actividades (por estudiante) • 1 Autoevaluación del Tablero de Elección (por estudiante) REUTILIZABLE
• Tecnología (si corresponde)
PREPARACIÓN
• Imprima un Tablero de Elección y un juego de Hojas de Actividades para cada estudiante. • Imprime una Autoevaluación del tablero para cada estudiante. • Planifica con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del Tablero de Elección.
Irrational Numbers Choose one or more extension activities from the table below. Career Connection
Land Surveyor
Research the career field of land surveying. Your research must answer the provided questions. Create a presentation to relay your research to the class.
Science Connection
Euler’s Constant
Learn about another famous irrational number and how it is used in science.
Arts Connection
Financial Connection
Wassily Kandinsky
Rate of Return
Create your own work of art with circles. Then, use a ruler to help you answer the questions.
We use math every day in our financial world. Explore the rate of return formula, and how it relates to irrational numbers.
Mathematician Spotlight
Create Your Own
Archimedes
Research the work of the great physicist and mathematician. Create an informational poster, diorama, or speech to convey this mathematician’s work as it relates to his estimation of the value of pi.
Venn Diagram
Create your own Venn diagram to keep track of rational numbers, irrational numbers, integers, whole numbers, and natural numbers.
1
JUNTA DE SELECCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un Tablero de Elección a cada estudiante. 2. Dé tiempo a los estudiantes para examinar el Tablero de Elección y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anime a los estudiantes a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los alumnos. 5. Al finalizar cada actividad del Tablero de Elección, haga que los estudiantes completen una Autoevaluación del Tablero de Elección para evaluar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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GRADO 8: NÚMEROS IRRACIONALES
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GRADO 8 <<SCOPE NAME>>
GRADO 8
NOTACIÓN CIENTÍFICA ACTIVIDADES DE EXPLORAR EXPLORACIÓN 1: ESCRITURA EN NOTACIÓN CIENTÍFICA
ESTÁNDARES CLAVE Trabajar con radicales y exponentes enteros. • Utilizar números expresados en forma de un solo dígito multiplicado por una potencia entera de 10 para estimar cantidades numéricas muy grandes o muy pequeñas, y para expresar cuántas veces es una cantidad mayor que la otra. Por ejemplo, estimar la población de Estados Unidos como 3 × 108 y la población del mundo como 7 × 109, y determinar que la población mundial es más de 20 veces mayor.
ESTÁNDARES DE CONEXIÓN Trabajar con radicales y exponentes enteros. • Conocer y aplicar las propiedades de los exponentes enteros para generar expresiones numéricas equivalentes. Por ejemplo, 1 = ___ 1 . 32 × 3⁻5 = 3-3 = ___ 33
27
ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: REALIDAD O FICCIÓN Los estudiantes participan en un ejercicio dinámico para distinguir entre realidad y ficción, con el fin de identificar y abordar las ideas erróneas sobre conceptos matemáticos. • Los estudiantes se desplazan a los lados designados del aula para indicar si creen que una pregunta es realidad o ficción. • Las preguntas se leen en voz alta y los estudiantes comentan su razonamiento con sus compañeros para mejorar la comprensión.
Los estudiantes aprenden a escribir números grandes y pequeños en notación científica a través de ejercicios colaborativos y práctica guiada. • Los estudiantes trabajan en parejas para explorar la escritura de números grandes en notación científica, utilizando exponentes positivos para expresar números como un factor multiplicado por una potencia de 10. • A través de preguntas guiadas y la reflexión, los estudiantes convierten números entre la forma estándar y la notación científica, discutiendo estrategias y observaciones en una charla de matemáticas. • La actividad progresa hacia la escritura de números pequeños en notación científica, el uso de exponentes negativos y la comprensión de la equivalencia entre la forma estándar y la notación científica. • Los estudiantes completan un «Boleto de salida» para evaluar su comprensión y participar en conversaciones para reforzar el aprendizaje y aclarar conceptos. EXPLORACIÓN 2: ESTIMACIÓN DE NÚMEROS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA Los estudiantes practicarán la estimación de números grandes y pequeños utilizando la notación científica. • Los estudiantes trabajan en parejas para completar un partido de tarjetas de estimación, utilizando tijeras y pegamento para organizar sus hallazgos en un «Diario del estudiante». • A través de preguntas guiadas y conversaciones, los estudiantes exploran el propósito y los métodos de estimación, particularmente en el contexto de la notación científica. • La actividad incluye una sesión de charla de matemáticas donde los estudiantes comparten sus estrategias de estimación y observaciones. • Los estudiantes completan un «Boleto de Salida» para evaluar su comprensión del concepto, y participan en conversaciones reflexivas para profundizar su aprendizaje.
• La actividad se repite con varias preguntas, lo que ofrece a los estudiantes la oportunidad de corregir los conceptos erróneos.
EXPLORACIÓN 3: COMPARACIÓN DE NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA
• Los maestros observan las elecciones de los estudiantes para identificar los malentendidos más comunes, especialmente los relacionados con las potencias de 10 y la colocación de decimales.
Los estudiantes se dedican a comparar valores escritos en notación científica para entender sus tamaños relativos.
CAPTAR INTERÉS Los estudiantes exploran el concepto de notación científica representando números grandes de manera eficiente. • Se presenta a los estudiantes un escenario del mundo real relacionado con la producción de películas para contextualizar el uso de la notación científica. • Participan en debates y actividades para comprender cómo representar números grandes, como el total de fotogramas necesarios para una película, utilizando la notación científica. • Después de completar las actividades exploratorias, los estudiantes vuelven a visitar el escenario para aplicar sus nuevos conocimientos y debatir sobre la eficacia de la notación científica.
• Los estudiantes trabajan en grupos para utilizar tarjetas de tareas y un «Diario del estudiante» para comparar pares de números en notación científica. • Determinan qué valor es mayor o menor y calculan cuántas veces se compara un valor con el otro. • La actividad incluye preguntas guiadas para facilitar la comprensión y una charla de matemáticas para que los estudiantes compartan sus estrategias y observaciones. • Los estudiantes completan un «Boleto de salida» para evaluar su comprensión y participan en conversaciones para reforzar los conceptos clave.
• La lección concluye con la práctica de conversión de números entre la notación estándar y la notación científica.
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SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 168
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GRADO 8: NOTACIÓN CIENTÍFICA <<SCOPE NAME>> GRADO 8
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES
NÚMEROS GRANDES Y PEQUEÑOS
CONCEPTOS CLAVE • Puedo expresar números muy grandes y muy pequeños como el producto de un solo dígito y una potencia entera de 10. • Puedo utilizar la notación científica para estimar cantidades muy grandes y muy pequeñas. • Puedo comparar números escritos en notación científica para averiguar cuántas veces es mayor o menor un número que el otro.
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Los estudiantes desarrollan el sentido numérico trabajando con exponentes enteros y aprendiendo a simplificar, comparar y estimar cantidades de escalas drásticamente diferentes. Tanto si trabajan con distancias astronómicas como con medidas microscópicas, los estudiantes adquieren una sólida comprensión conceptual de cómo interactúan el valor posicional, las reglas de los exponentes y las operaciones cuando se trata de valores extremos. A través de estos problemas estructurados del mundo real, los estudiantes se sienten cómodos navegando por el mundo abstracto de la notación científica y están equipados con estrategias para razonar sobre la magnitud, la eficiencia y la precisión en el razonamiento cuantitativo.
PREGUNTAS FUNDAMENTALES • «¿Por qué es beneficioso expresar los números en notación científica?». • Describe por qué la notación científica utiliza una potencia entera de 10 para multiplicar el dígito único para estimar los números. • «¿Cómo se comparan los números escritos en notación científica?».
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GRADO 8: NOTACIÓN CIENTÍFICA
INICIO: CONTENIDO DE APOYO ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
CONTENIDO DE APOYO Trabajar con radicales y exponentes enteros. • Utilizar números expresados en forma de un solo dígito multiplicado por una potencia entera de 10 para estimar cantidades muy grandes o muy pequeñas, y para expresar cuántas veces es una cantidad mayor que la otra. Por ejemplo, estimar la población de Estados Unidos como 3 × 108 y la población del mundo como 7 × 109, y determinar que la población mundial es más de 20 veces mayor.
CONOCIMIENTOS PREVIOS Los estudiantes comienzan a comprender el sistema de valor posicional a partir de quintoº curso, cuando trabajan para reconocer que un dígito en un lugar de un número de varios dígitos representa 10 veces más de lo que representa en el lugar situado a su derecha, así como 1/10 del valor del lugar situado a la izquierda. Los estudiantes también exploran los patrones en la colocación de un punto decimal cuando un decimal se multiplica o se divide por 10. Los estudiantes también tendrán experiencia con la denotación de números enteros como potencias de 10 en forma exponencial.
CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
• Los estudiantes serán capaces de formar decimales para escribir un número en notación científica, pero puede que no comprueben si el decimal (d) cae entre el siguiente dominio: 1 ≤ d < 10. • Los estudiantes pueden tener dificultades para colocar un decimal en un número cuando se les da un número entero que actualmente no contiene un decimal. • Los estudiantes pueden confundirse si el exponente en su notación científica es positivo o negativo. • Al convertir la notación científica a la forma estándar, los estudiantes pueden tener dificultades para recordar en qué dirección debe moverse el decimal para convertir correctamente el número a la forma estándar.
TÉRMINOS CLAVE
• base: el número inferior de un exponente que se multiplica por sí mismo • convertir: cambiar la forma de una medida utilizando diferentes unidades sin cambiar el tamaño o la cantidad de la cantidad que se está midiendo • decimal: un número que utiliza un punto decimal seguido de dígitos que muestran un valor menor que uno, en potencias de diez que disminuyen; un número con uno o más dígitos a la derecha del punto decimal • estimación: un valor aproximado utilizado para determinar un cálculo razonable utilizado para resolver un problema sobre el coste, tamaño o valor de algo • exponente: una notación matemática que indica el número de veces que el número base se multiplica por sí mismo; también llamado potencia • exponente entero: un número entero positivo o negativo o cero que indica el número de veces que una base se multiplica por sí misma • valor posicional: el valor numérico que tiene un dígito, basado en su posición dentro de un número • potencia: una notación matemática que indica el número de veces que el número base se multiplica por sí mismo; también llamado exponente • redondeo: el proceso de aumentar o disminuir un número a una posición específica del valor de posición; representando un valor aproximado • notación científica: un método de expresión utilizado para escribir números muy pequeños y muy grandes representándolos con números decimales entre 1 y 10, con cada decimal multiplicado a una potencia de 10 • forma estándar: una forma de escribir números utilizando los dígitos 0-9, con cada dígito teniendo un valor de posición.
EN ESTE ALCANCE Los estudiantes trabajarán para convertir números extremadamente grandes y extremadamente pequeños a un formato que les permita ser más fáciles de calcular. Los estudiantes convertirán números de forma estándar a notación científica y de notación científica a forma estándar. Los estudiantes se centrarán en la comparación de los valores que están escritos tanto en forma estándar y notación científica para determinar cuál tiene un mejor valor en general.
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GRADO 8: NOTACIÓN CIENTÍFICA
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
APLICACIÓN DE PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: A medida que los estudiantes comienzan a convertir números de forma estándar a notación científica o de notación científica a forma estándar, deben determinar en qué dirección necesitan mover el decimal para expandir o condensar el número. Los estudiantes determinan si van a hacer el número más grande o más pequeño basándose en la acción solicitada y determinan el curso de acción apropiado para expandir o condensar el número y luego llevan a cabo esas acciones. • MP.2 Razonamiento abstracto y cuantitativo: Los estudiantes descubren el significado de las partes de un número escrito en notación científica. Disciernen el significado de "× 10ˣ" para representar el número de factores de 10, lo que da lugar a movimientos decimales. • MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros: A medida que se van convirtiendo números de forma estándar a notación científica o de notación científica a forma estándar, los estudiantes son capaces de seguir la relación directa entre los movimientos decimales y el valor exponencial que se adjunta a la potencia de 10. Son capaces de apoyar su valor exponencial relacionándolo con las potencias de 10 que se recogen de cada movimiento del decimal. Los estudiantes pueden utilizar esta relación para apoyar su proceso de conversión de números para expresar que el número en ambas formas representa el mismo valor pero se escribe de manera diferente. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes reescriben números que representan situaciones del mundo real de la forma estándar a la notación científica. También reflexionan sobre dónde pueden utilizarse en el mundo real los números escritos en notación científica. • MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas: Los estudiantes utilizan papel y lápiz para practicar la conversión de números a y desde la notación científica. El uso de papel y lápiz permite a los estudiantes marcar y contar el número de posiciones que debe ocupar el decimal. • MP.6 Atienden a la precisión: La conversión de números entre la forma estándar y la notación científica requiere una gran cantidad de movimientos decimales para representar los números extremadamente grandes y extremadamente pequeños. Los estudiantes necesitan centrarse en asegurarse de que cada movimiento decimal se representa dentro del valor exponencial de la potencia de 10. Para asegurarse de que cada movimiento se tenga en cuenta, los estudiantes deben ser organizados y conectar cada movimiento decimal con el valor exponencial creciente o decreciente. • MP.7 Buscar y utilizar estructuras: Los estudiantes hacen uso de la estructura a medida que escriben números de la forma estándar a la notación científica. Analizan el valor y el significado del exponente para determinar el movimiento decimal. Los estudiantes disciernen que los exponentes positivos representan números grandes y los exponentes negativos números pequeños. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes generalizan que el valor del exponente indica el número de veces que se mueve el decimal. Utilizan este conocimiento para trasladar números a y desde la notación científica.
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NOTACIÓN CIENTÍFICA La conversión de números de la forma estándar a la notación científica se utiliza para convertir números extremadamente grandes o extremadamente pequeños a un formato más manejable con el fin de realizar cálculos. Los números se convierten escribiendo los dígitos que no son ceros como un decimal que es mayor o igual a uno pero menor que diez, multiplicado por una potencia exponencial de 10. La parte exponencial de la potencia de 10 representa el número de dígitos de un número. La parte exponencial de la potencia de 10 representa el número de valores de posición que se condensan para escribir los números en un formato más manejable. A medida que los valores de posición se cuentan hacia la izquierda de la colocación original del decimal, el valor exponencial será positivo. Cuando los valores de posición se cuentan a la derecha de la colocación decimal original, el valor exponencial es negativo.
Ejemplo 1: «Convierte 0.000000094 a su notación científica apropiada». a. 0.94 × 10-8 b. 9.4 × 10-8 c. 9.4 × 108 d. 0.94 × 108 La respuesta B es la opción correcta. Al convertir 0,000000094, el punto decimal debe moverse entre el 9 y el 4 para formar un decimal que sea mayor o igual que 1 pero menor que 10. Una vez movido el decimal, cuenta el número de valores de lugar que recorre para llegar al nuevo lugar y que es el valor exponencial unido a la potencia de 10. En este caso, el decimal se movió 8 veces hasta llegar a su nuevo lugar apropiado. Como el decimal tuvo que desplazarse hacia la derecha, el valor exponencial es negativo, lo que hace que la respuesta final sea 9,4 × 10-8.
Ejemplo 2: «Morgan está escribiendo un trabajo sobre la distancia a la que se encuentra la Tierra del Sol. Ha descubierto que la Tierra está a 91 millones de millas del Sol. A Morgan le gustaría escribir la distancia en notación científica para que su trabajo pueda optar a una beca científica. Convierte la distancia de la Tierra al Sol en notación científica». a. 91 × 106 b. 9,1 × 10-7 c. 9,1 × 107 d. .91 × 108 La respuesta C es la opción correcta. Cuando se escribe en forma estándar, 91 millones se parece a 91,000.000. Para convertir este número en notación científica, el decimal invisible al final del número entero tendrá que moverse entre el 9 y el 1 para formar un decimal que sea mayor o igual que uno pero menor que diez. Una vez colocado el decimal, cuente los valores de posición desde el decimal original hasta el nuevo. Este movimiento de 7 valores de lugar se convertirá en el valor exponencial unido a la potencia de 10. Dado que el decimal se movió hacia la izquierda, el valor exponencial sería positivo, haciendo que la respuesta final sea 9.1 × 107.
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1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: NOTACIÓN CIENTÍFICA
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
ESTIMACIÓN Las conversiones de notación científica pueden utilizarse para estimar números extremadamente grandes y extremadamente pequeños que a menudo tienen muchos dígitos distintos de cero. Por ejemplo, 199,997,654 no es un número con el que sea fácil trabajar porque, incluso en notación científica, los valores de posición no se condensarían debido a que el decimal aún contiene todos los valores de posición distintos de cero. Para que este número sea manejable, se puede redondear y convertir a notación científica como valor estimado. Así, siguiendo con nuestro ejemplo, 199,997,654 puede redondearse a 200,000,000 si nos fijamos en el lugar de los cien millones. Una vez redondeado el número, se puede convertir a notación científica, que sería un valor más manejable. (Ejemplo: 199,997,654 ≈ 200,000,000 que puede escribirse como 2,0 × 108 en notación científica). Ejemplo: «¿Qué número en notación científica sería la mejor estimación de 39,787,989,767?». a. 30 × 10
9
b. 3 × 1010 c. 40 × 109 d. 4 × 1010 La respuesta D es la correcta. Una vez realizada la estimación, 39,787,989,767 se convertiría en 40,000,000,000 Una vez desarrollada la estimación, 40,000,000,000 se convierte a notación científica moviendo el decimal invisible de la parte posterior del número entero para colocarlo entre el 4 y el 0 con el fin de hacer un decimal que sea mayor o igual que uno pero menor que diez. Puesto que el decimal es 4,0, se puede escribir como un número entero de 4. A continuación, cuente los valores de lugar que el decimal viajó con el fin de obtener el valor exponencial que se adjuntará a la potencia de 10. El decimal se desplazó 10 lugares hacia la izquierda; por lo tanto, el valor exponencial sería un 10 positivo. La estimación de la respuesta final sería 4 × 1010.
Ejemplo 1: «Utilizando la siguiente tabla, enumere los estados en orden de menor a mayor área total». Estados de Estados Unidos
Superficie total de los estados (mi2)
California
1,6 × 105
Rhode Island
1,2 × 103
Alaska
6.6 × 105
Texas
2,7 × 105
Nueva York
5,5 × 104
a. Rhode Island, Nueva York, California, Texas, Alaska b. Alaska, Texas, California, Nueva York, Rhode Island c. Nueva York, California, Texas, Rhode Island, Alaska d. Alaska, California, Nueva York, Texas, Rhode Island La respuesta A es la correcta. Al comparar valores en notación científica, el valor exponencial unido a la potencia de 10 ayuda a indicar cuántos valores de posición se condensaron al convertir el número. Los valores de posición ayudan a determinar el tamaño total del valor. En este problema, Rhode Island tiene un valor exponencial de 3 que es el más pequeño, por lo que Rhode Island tiene el área más pequeña. A continuación, Nueva York tiene un valor exponencial de 4, por lo que es el segundo más pequeño. California, Alaska y Texas tienen el mismo valor exponencial de 5, por lo que sus decimales individuales deben ser la siguiente pieza a considerar. Los decimales se comparan para determinar su orden numérico, lo que coloca a California en tercer lugar, a Texas en cuarto y a Alaska en quinto lugar en tamaño de área total.
Ejemplo 2: «La siguiente tabla representa tres moléculas diferentes y sus diámetros escritos en notación científica. Moléculas
Diámetros (mm)
A
1,2 × 10-5
B
3,4 × 10-2
C
2,3 × 10-3
COMPARACIÓN La notación científica puede utilizarse para ayudar a comparar fácilmente números extremadamente grandes y extremadamente pequeños. Cuando los números se condensan en notación científica, la potencia de 10 con el valor exponencial es el componente clave utilizado para comparar los tamaños reales de los números. Cuanto mayor sea el valor exponencial, mayor será el número real. Cuando los valores exponenciales son iguales entre los valores que se comparan, los decimales se tendrían en cuenta para determinar qué número es mayor o menor.
A Brett se le pidió que enumerara las moléculas de mayor a menor diámetro, por lo que enumeró las moléculas en el siguiente orden: Molécula A, Molécula C y Molécula B. ¿Tiene razón Brett?. Justifique su respuesta». La respuesta es no. Las justificaciones variarán. Brett es incorrecto porque al observar los valores exponenciales del diámetro de cada molécula Brett situó -5 como el mayor en comparación con -3 y -2. En el caso de los números negativos, cuanto mayor es el número negativo menor es realmente el valor. El orden correcto en que las moléculas deben ser listadas es Molécula B, Molécula C, y Molécula A.
AVANCES Los estudiantes usarán su conocimiento de notación científica para completar operaciones de múltiples pasos con números en notación científica. Los estudiantes convertirán números entre la forma estándar y la notación científica y realizarán operaciones como sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con esos números.
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GRADO 8: NOTACIÓN CIENTÍFICA
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
ANÁLISIS PROFUNDO DE LOS ESTÁNDARES
CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES Trabajar con radicales y exponentes enteros. • Utilizar números expresados en forma de un solo dígito por una potencia entera de 10 para estimar cantidades muy grandes o muy pequeñas, y para expresar cuántas veces es una que la otra. Por ejemplo, estimar la población de Estados Unidos en 3 × 108 y la población del mundo en 7 × 109, y determinar que la población mundial es más de 20 veces mayor.
DESGLOSAR EL ESTÁNDAR VERBOS: ¿QUÉ DEBERÍAN HACER LOS ESTUDIANTES?
• estimar: predecir un tamaño, cantidad o valor aproximado de algo; una estrategia utilizada a menudo para resolver un problema • expresar: contar, escribir o explicar • utilizar: aplicar una estrategia
IMPLICACIONES PARA LA INSTRUCCIÓN
• En grados anteriores, los estudiantes han identificado patrones al multiplicar o dividir decimales por potencias de 10. Los estudiantes han escrito expresiones usando exponentes. Los estudiantes han escrito expresiones utilizando exponentes. Los estudiantes han explicado patrones en el número de ceros y patrones en la colocación de decimales al multiplicar y dividir por potencias de 10. • En este nivel de grado, se espera que los estudiantes usen su conocimiento de multiplicar y dividir decimales por potencias de 10 para representar números muy grandes o muy pequeños en forma de notación científica. Luego, los estudiantes utilizan sus conocimientos para comparar números en notación científica para determinar cuántas veces más grande o cuántas veces más pequeño es un número que el otro.
ALINEACIÓN VERTICAL GRADO
ESTÁNDAR
5
Reconocer que en un número de varios dígitos, un dígito en un lugar representa 10 veces más de lo que representa en el lugar a su derecha y 1/10 de lo que representa en el lugar a su izquierda.
5
Explicar patrones en el número de ceros del producto cuando se multiplica un número por potencias de 10, y explicar patrones en la colocación del punto decimal cuando se multiplica o divide un decimal por una potencia de 10. Usar exponentes de números enteros para denotar potencias de 10.
8
Conocer y aplicar las propiedades de los exponentes de números enteros para generar expresiones numéricas equivalentes.
8
Usar números expresados en la forma de un solo dígito por una potencia entera de 10 para estimar cantidades muy grandes o muy pequeñas, y para expresar cuántas veces es una que la otra.
8
Realizar operaciones con números expresados en notación científica, incluyendo problemas en los que se usan tanto la notación decimal como la científica. Utilizar notación científica y elegir unidades de tamaño apropiado para mediciones de cantidades muy grandes o muy pequeñas (por ejemplo, utilizar milímetros por año para la extensión del fondo marino). Interpretar la notación científica que ha sido generada por la tecnología.
Preparatoria
Utilizar las unidades como una forma de entender los problemas y de guiar la solución de problemas de varios pasos; elegir e interpretar las unidades de forma coherente en las fórmulas; elegir e interpretar la escala y el origen en gráficos y visualizaciones de datos.
• trabajar: realizar una tarea específica SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBEN CONOCER LOS ESTUDIANTES?
• dígito: cualquiera de los números 0-9 • entero: cualquiera de los números enteros positivos, números enteros negativos y cero; cualquier miembro del conjunto de todos los números enteros y sus opuestos • exponente entero: un número entero positivo o negativo o cero que indica el número de veces que una base se multiplica por sí misma • número: una cuenta o medida de un concepto representado por un número • potencia de diez: diez multiplicado por sí mismo un cierto número de veces, donde la potencia es un número entero, 10n • cantidad: un número o cantidad; una cantidad que dice cuánto • radical: un símbolo que indica la raíz de una cantidad • veces: una palabra que indica "multiplicar por"
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GRADO 8: NOTACIÓN CIENTÍFICA
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA CONTROLAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA La guía de instrucción andamiada se proporciona para que los maestros puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones del alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que ayuda a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de la evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos según los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere que todos los estudiantes experimenten con los elementos: «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades», ya que cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar. 0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
80 % - 100 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil pueden trabajar en contenido de nivel de grado con apoyos de instrucción.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» individual para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 2. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante de acuerdo con sus datos de evaluación. 3. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la sección «Scaffolded Instruction Guide» en el menú desplegable «Home» del alcance. 4. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Operaciones y Pensamiento algebraico Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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GRADO 8: NOTACIÓN CIENTÍFICA
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Utiliza números expresados en forma de un solo dígito multiplicado por una potencia entera de 10 para estimar cantidades muy grandes o muy pequeñas, y para expresar cuántas veces es una cantidad mayor que la otra. Por ejemplo, estima la población de Estados Unidos como 3 veces 108 y la población del mundo como 7 veces 109, y determina que la población mundial es más de 20 veces mayor. 5 - Relaciones de valor posicional Intervención en grupos pequeños
0 % - 25 %
(Refuerzo del grado anterior)
Generador de fluidez • Potencias de diez Práctica interactiva • Abre la caja fuerte Prueba de habilidades 8 - Exponentes enteros Repaso y práctica de habilidades Generador de fluidez • Exponentes enteros Práctica interactiva • Cerradura y llave
(Nivel de grado con apoyos)
25 % - 50 %
Prueba de habilidades 8 - Notación científica Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida • Repaso • Revisión general 8 - Notación científica
(Nivel de grado)
50 % - 80 %
Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva Práctica interactiva • El Cryptex Generador de fluidez • Notación científica Ciencia de datos
(Ampliación del nivel de grado)
80 % - 100 %
Conexiones lingüísticas 8 - Notación científica Tarea de modelado matemático ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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GRADO 8: NOTACIÓN CIENTÍFICA
ATRAER: ACCEDER A CONOCIMIENTOS PREVIOS
EVALUAR PREVIAMENTE EL CONOCIMIENTO DEL ESTUDIANTE
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: REALIDAD O FICCIÓN ESTÁNDAR PREVIO
Scientific Notation
Fact or Fiction Prompt 1
10⁵ = 10,000
Explicar patrones en el número de ceros del producto cuando se multiplica un número por potencias de 10, y explicar patrones en la colocación del punto decimal cuando un decimal se multiplica o divide por una potencia de 10. Utilizar exponentes de números enteros para denotar potencias de 10.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes escucharán las indicaciones y comunicarán si creen que las indicaciones son realidad o ficción caminando hacia los lados designados del aula. Este elemento está diseñado para descubrir los conceptos erróneos de los estudiantes; no debe utilizarse como una evaluación sumativa.
1
MATERIALES
Scientific Notation
IMPRESO
• 1 realidad o ficción (por clase)
PREPARACIÓN
• Si no asigna la sección «Acceso a conocimientos previos» digitalmente, imprima un documento de «Realidad o ficción». • Otra opción es proyectar «Realidad o ficción» utilizando un proyector digital.
Fact or Fiction Prompt 2
623.5 ÷ 10² = 6.235
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Designe un lado de su aula como el lado de la realidad y el otro lado como el de la ficción. Indique a los estudiantes que se muevan a un lado de la sala según lo que crean que es la pregunta: realidad o ficción. 2. Lea la pregunta y permita que los estudiantes se muevan a diferentes lados de la sala. 3. Pida a los estudiantes que Comenten sus razonamientos entre compañeros.
2
4. Antes de leer la siguiente pregunta, permita que los estudiantes vuelvan a sus puntos de partida. 5. Repita con otra pregunta. A continuación se ofrece una clave de respuestas: a.
La pregunta 1 es ficción. La respuesta correcta es 100,000.
b.
La pregunta 2 es un hecho.
c.
La pregunta 3 es ficción. La respuesta correcta es 794.5.
6. Si los estudiantes tienen dificultades para completar esta tarea, realice el ejercicio «Constructor de bases fundamentales» para llenar el vacío en los conocimientos previos antes de pasar a otras partes del alcance.
Scientific Notation
Fact or Fiction Prompt 3
0.7945 × 10³ = 79.45
IDENTIFICACIÓN DE CONCEPTOS ERRÓNEOS •
Los estudiantes pueden tener dificultades para relacionar una potencia de 10 con su número en forma estándar.
•
Los estudiantes pueden confundir la dirección en la que se debe mover un punto decimal al multiplicar o dividir un número decimal por una potencia de 10. Al multiplicar por una potencia de 10, el punto decimal se debe mover en la dirección correcta. Al multiplicar por una potencia de 10, el punto decimal se mueve hacia la derecha. Al dividir por una potencia de 10, el punto decimal se mueve hacia la izquierda.
•
Los estudiantes pueden no entender que el exponente denota el número de posiciones que debe mover el punto decimal al multiplicar o dividir un número decimal por una potencia de 10.
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3
REALIDAD O FICCIÓN
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GRADO 8: NOTACIÓN CIENTÍFICA
ATRAER: CAPTAR INTERÉS
Scientific Notation
LECCIÓN PARA CAPTAR INTERÉS
CAPTAR INTERÉS DESCRIPCIÓN Los estudiantes representan números en notación científica. 24 frames per second
MATERIALES
24 × 60 × (total minutes of movie)
IMPRESOS
• 1 notación científica (por clase) 1
NOTACIÓN CIENTÍFICA
REUTILIZABLES
• 1 fenómeno (por clase)
PREPARACIÓN
• Planee mostrar los fenómenos. • Prepárese para proyectar la diapositiva de «Notación científica» para que toda la clase la vea. • Prepárese para presentar el escenario y anime a los estudiantes a pensar en cómo representarlo. Prepárese para pasar a las actividades de «Explorar», y regrese posteriomente a la actividad «Captar interés» con los nuevos conocimientos adquiridos una vez que se hayan completado las exploraciones.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA
1. Presente esta actividad hacia el comienzo del alcance. La clase retomará la actividad y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades correspondientes a «Explorar». 2. Muestre los fenómenos. Formule a los estudiantes las siguientes preguntas: «¿Qué observas? ¿Dónde puedes ver matemáticas en esta situación?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. 3. Explique el escenario a la clase: «Saanvi está trabajando en una nueva película para el Festival de Cine Independiente. Planea rodar una película de 2 horas y 15 minutos sobre la vida en una pequeña ciudad. Mientras rueda la película, se da cuenta de que se necesitan 24 fotogramas para 1 segundo de película en una película típica de 2 horas. El objetivo de Saanvi es encontrar la forma más eficaz de representar el número total de fotogramas necesarios para su película de 2 horas y 15 minutos titulada Life in a Small Town». 4. Permita que los estudiantes hagan preguntas y aclaren el contexto según sea necesario. Anímelos a compartir sus ideas y experiencias con la clase utilizando las siguientes preguntas: a. «¿Has rodado alguna vez una película?». b. «¿Qué significa 24 fotogramas son necesarios para 1 segundo de película en este escenario?». 5. Proyecte la diapositiva «Notación científica». ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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GRADO 8: NOTACIÓN CIENTÍFICA
ATRAER: CAPTAR INTERÉS 6. Explique a los estudiantes que encontrar la forma más eficiente de representar números puede ayudarnos a representar números realmente grandes y realmente pequeños. comente las siguientes preguntas con la clase: a. DOK-1 «¿Dónde ves las matemáticas en las películas?». Permita que los estudiantes compartan sus ideas. Las respuestas de los estudiantes variarán. Calculando la cantidad de minutos que lleva hacer la película y la cantidad de cuadros por segundo. b. DOK-1 «Utilizando su aprendizaje previo sobre la representación de números de diferentes maneras, «¿cómo podríamos representar un número realmente grande?». Permita que los estudiantes compartan sus ideas. Las respuestas de los estudiantes variarán. Como la película durará 2 horas y 15 minutos y hay 24 fotogramas por segundo, podemos tomar el número más grande y comprender mejor el valor posicional de los diferentes números con los que estamos trabajando. 7. Pase a completar las actividades de «Explorar».
PARTE II: DESPUÉS DE EXPLORAR
1. Después de que los estudiantes hayan completado las actividades correspondientes a «Explorar» para este tema, muestre de nuevo los fenómenos y repita el escenario. 2. Consulte la diapositiva «Notación científica» y comente las siguientes preguntas con la clase: a. DOK-1 «¿Dónde ves las matemáticas en las películas?». Permita que los estudiantes compartan sus ideas. Las respuestas de los estudiantes variarán. Calcular la cantidad de minutos que lleva hacer la película y la cantidad de cuadros por segundo. b. DOK-1 «Utilizando su aprendizaje previo sobre la representación de números de diferentes maneras, ¿cómo podríamos representar un número realmente grande?». Permita que los estudiantes compartan sus ideas. Las respuestas de los estudiantes variarán. Como la película durará 2 horas y 15 minutos y hay 24 fotogramas por segundo, podemos tomar el número más grande y comprender mejor el valor posicional de los diferentes números con los que estamos trabajando. c. DOK-1 «¿Representar el total de fotogramas por segundo utilizando este método tiene más sentido después de las exploraciones?». Sí, este método se llama notación científica. El total de cuadros por segundo representa números grandes y una manera eficiente de escribir estos números es usando notación científica. d. DOK-1 «¿Cómo conviertes un número de notación estándar a notación científica?». Colocaría o movería el punto decimal de un número hasta que el número sea mayor que 1 y menor que 10. e. DOK-1 «¿Cómo conviertes un número de notación científica a notación estándar?». Movería el punto decimal el número de lugares indicado por la potencia de 10. f. DOK-1 «¿Consideras que tienes una sólida comprensión de la notación científica?». Las respuestas variarán en función del éxito de los estudiantes durante la actividad y de su nivel de confianza. 3. Si el tiempo lo permite, pida a los estudiantes que determinen cuántos fotogramas serían necesarios para películas que tienen distintas duraciones.
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GRADO 8: NOTACIÓN CIENTÍFICA
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 1: ESCRITURA EN NOTACIÓN CIENTÍFICA Estándar(es) • Trabajar con radicales y exponentes enteros. Usar números expresados en la forma de un solo dígito por una potencia entera de 10 para estimar cantidades muy grandes o muy pequeñas, y para expresar cuántas veces es una que la otra.
Ideas fundamentales Números grandes y pequeños
Estándares para la Práctica Matemática MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución. MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros.
Conexiones de Contenido CC3 Desmontando los enteros para crear las partes
Motores de Investigación DI1 Dar sentido al mundo: Comprender y explicar DI2 Predecir lo que podría suceder: Predecir
MP.6 Atienden a la precisión. MP.7 Buscar y utilizar estructuras.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes escribirán números pequeños y grandes en notación científica.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Planee dividir la clase en grupos de dos para completar esta actividad. • Imprima un «Diario del estudiante» y un «Boleto de salida» para cada estudiante.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: ESCRITURA DE NÚMEROS GRANDES EN NOTACIÓN CIENTÍFICA
1. Lea la siguiente situación a los estudiantes: 0171Penélope es una animadora de stop-motion. Crea sus películas utilizando personajes y fondos de arcilla. Cada una de sus películas se crea moviendo ligeramente cada personaje, tomando una foto del personaje y del fondo y repitiendo el proceso. Las imágenes, o fotogramas, se ensamblan para formar una escena animada. Penélope se da cuenta de que el número de fotogramas que se necesitan para crear un proyecto es bastante grande. Vamos a conocer una nueva forma que tiene Penélope de escribir estos números tan grandes. 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada uno. 3. Dirija la atención de los estudiantes a la parte I de su «Diario del estudiante». Los estudiantes escribirán números grandes que representen el número de marcos/total de marcos ya sea en forma estándar o en notación científica usando exponentes positivos.
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GRADO 8: NOTACIÓN CIENTÍFICA
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Scientific Notation Explore 1
4. Supervise y evalúe la comprensión de los estudiantes mientras cada grupo colabora formulando las siguientes preguntas orientadoras: a.
b.
DOK-2: «¿Cómo se escribe un número grande en forma estándar a partir de la notación científica desplazando el decimal?». Las respuestas pueden variar. Movemos el decimal en el factor (o después del número entero) a la derecha, el número de espacios en el exponente. DOK-1: «¿Qué representa un exponente?». Las respuestas variarán. El exponente representa el número de veces por el que multiplicamos la base. Por ejemplo, 105 es 10 × 10 × 10 × 10 x 10.
c.
DOK-2: «¿Qué es 103?». Las respuestas pueden variar. 10 × 10 × 10 = 1,000
d.
DOK-2: «¿Cómo convertirías 60,000 de la forma estándar a la notación científica?». 60,000 puede reescribirse como 6 × 104, porque movemos el decimal (después del último cero) 4 espacios a la izquierda para identificar nuestro factor de 6.
5. Dé tiempo a los estudiantes para completar la parte I del «Diario del estudiante», incluyendo las preguntas de reflexión. 6. Explique a los estudiantes que los matemáticos escriben números muy grandes en notación científica. Estos números expresados en notación científica, se escriben como un factor multiplicado por una potencia de 10 con exponente positivo. El factor debe ser mayor que 1 y menor que 10.
Numbers in Animation Part I: Writing Large Numbers in Scientific Notation Write the numbers in the table in standard form and scientific notation. Penelope’s New Movies Penelope is working on several projects for the movies Lions and Tigers and Underwater Adventures. She has been given the task of representing the number of frames per second in standard form and the number of frames in scientific notation. Total Number of Frames/Second (Standard Form)
Number of Frames (Scientific Notation)
Movie trailer Lions and Tigers
2,000
2 × 103
Short film Lions and Tigers
25,000
2.5 × 104
Full-length film Lions and Tigers
125,000
1.25 × 105
Full-length film, extended version Underwater Adventure
700,000
7 × 105
Short film Underwater Adventure
55,000
5.5 × 104
Movie trailer Underwater Adventure
5,000
5 × 103
Full-length film Underwater Adventure
550,000
5.5 × 105
Type and Title of Project
1
7. Después de que los estudiantes hayan completado la parte I del «Diario del estudiante», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS
Scientific Notation Explore 1
Use the information in Part I to answer the following questions. 1.
• DOK-2 «¿Cómo puedes escribir 4.5 x 109 en forma estándar?». 4,500,000,000 • DOK-2 «¿Cómo puedes escribir 81,000,000,000,000 en notación científica?». 8,1 × 1013 • DOK-1 «¿Escribir un número en notación científica cambia su valor?». No, escribir un número en notación científica es solo otra forma de escribir un número. PARTE II: ESCRIBIR NÚMEROS PEQUEÑOS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA
1. Lea la siguiente situación a los estudiantes: «Penélope se pregunta qué parte de todo el proyecto es un cuadro. Se da cuenta de que este número es muy pequeño. Conozcamos ahora una nueva forma que tiene Penélope de escribir estos números realmente pequeños». 2. Dirija la atención de los estudiantes a la parte II de su «Diario del estudiante». Los estudiantes escribirán números pequeños que representen el número de cuadros/total de cuadros en forma estándar como una razón expresada como un decimal. A continuación, escribirán estos números pequeños en notación científica utilizando exponentes negativos.
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How do you convert a large number written in standard form to scientific notation? A large number can be converted by moving the decimal point to the right of the digit that makes the value in between 1 and 10. Next, count the number of places the decimal point moved to the right or how many times you can multiply by 10. The number of times you multiply by 10 is the positive exponent. This number is written as a multiplication expression with the factor and the power of 10.
2.
What is 754,000,000,000 written in scientific notation? 754,000,000,000 = 7.54 × 1011
3.
What is 9.4 × 109 written in standard form? 9,400,000,000
4.
Is 41 × 107 written in scientific notation? Why or why not? No, the factor should be between 1 and 10. 41 is greater than 10.
Reflect 1.
What are the advantages and benefits of writing a very large number in scientific notation? Writing a number in scientific notation instead of standard notation would save space on paper, especially with numbers in the billions and trillions.
2.
Why do you think this method of rewriting very large numbers is called scientific notation? Many scientists work with very large numbers regularly. For example, astronomers might calculate distances between planets and stars which involve large values.
3.
What is the relationship between the positive exponent in scientific notation and the number of decimal places in standard form? The positive exponent lets me know how many decimal places to move to the right in order to write the value in standard form.
2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: NOTACIÓN CIENTÍFICA
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Scientific Notation Explore 1
3. Supervise y evalúe la comprensión de los estudiantes mientras cada grupo colabora formulando las siguientes preguntas orientadoras:
Part II: Writing Small Numbers in Scientific Notation Write the numbers in the table in standard form and in scientific notation.
a. DOK-2: «¿Cómo se escribe un número pequeño en forma estándar a partir de la notación científica desplazando el decimal?». Las respuestas pueden variar. Movemos el decimal en el factor (o después del número entero) hacia la izquierda, el número de espacios en el exponente.
Representing Penelope’s New Movies (Frame/Total Number of Frames) Penelope’s next task is to represent the 1 frame/total number of frames in standard form, as a ratio expressed as a decimal, and as a decimal in scientific notation. Type and Title of Project
1 Frame Total Number of Frames
Standard Form (Ratio Expressed as a Decimal)
Number of Frames (Scientific Notation)
Movie trailer Lions and Tigers
1 2,000
0.0005
5 × 10-4
Short film Lions and Tigers
1 25,000
0.00004
4 × 10-5
1 125,000
0.000008
8 × 10-6
Short film Underwater Adventure
1 55,000
0.00001818
1.818 × 10-5
Movie trailer Underwater Adventure
1 5,000
0.0002
2 × 10-4
Full-length film Underwater Adventure
1 550,000
0.00000182
1.82 × 10-6
Full-length film Lions and Tigers
b. DOK-3: «¿Qué es 10-3?». Las respuestas variarán. 1 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 = 0.001 c. DOK-2: «¿Cómo son 0,006 y 6 x 10-3 valores equivalentes?». Las respuestas variarán. 10-3 = 0.001 y 6 × 0.001 = 0.006. Ambos números son iguales entre sí. Uno está escrito en forma estándar y el otro en notación científica. 4. De tiempo para que los estudiantes completen el «Diario del estudiante», incluyendo las preguntas de reflexión.
3
5. Después de que los estudiantes hayan completado el «Diario del estudiante», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje. CHARLA DE MATEMÁTICAS
Scientific Notation Explore 1
• DOK-2 «¿Cómo puedes escribir 0.000000000054 en notación científica?». 5.4 × 10-11
Use the information in Part II to answer the following questions. 1.
How do you convert a small number written in standard form to scientific notation? A small number can be converted to scientific notation by moving the decimal point to the right of the digit that makes the value in between 1 and 10. Next, count the number of places the decimal point was moved to the left or how many times you divide by 10. The number of times divided by 10 is the negative exponent. This number is written as a multiplication expression with the factor and the power of 10.
2.
What is 0.000000728 written in scientific notation? 0.000000728 = 7.28 × 10-7
3.
Is 0.25 × 10-7 written in scientific notation? Why or why not?
ESQUEMA DE ANCLAJE AND LIBRETA INTERACTIVA
No, the factor should be between 1 and 10. 0.25 is less than 1.
Reflect 1.
What are some examples of very small measurements that might be better written in scientific notation?
Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez que la clase lo haya completado, pida a los estudiantes que completen individualmente su «Libreta interactiva».
Tiny weights at the microscopic, molecular, or atomic levels would all be examples of small numbers better written in scientific notation. 2.
• DOK-2 «¿Cómo puedes saber si un número es realmente grande o pequeño cuando se le da un valor escrito en notación científica?». Si la potencia de 10 es positiva, entonces el número es grande. Si la potencia de 10 es negativa, entonces el número es un decimal pequeño. 6. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de Salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
What is 6.1 × 10-9 written in standard form? 0.0000000061
4.
• DOK-2 «¿Cómo puedes escribir 3.3 × 10-10 en forma estándar?». 0.00000000033
What are the similarities and differences between writing really big numbers in scientific notation and writing really small numbers in scientific notation? Both types of numbers written in scientific notation include factors between 1 and 10 and powers of 10. The difference is the exponent. Very large numbers have positive exponents and very small numbers have negative exponents.
3.
What is the relationship between the negative exponent in scientific notation and the number of decimal places in standard form? The negative exponent lets me know how many decimal places to move to the left in order to write the value in standard form.
4
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: NOTACIÓN CIENTÍFICA
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Scientific Notation Explore 1
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Los estudiantes con dificultades pueden confundir el significado de notación científica y notación estándar. Para ayudarles a diferenciarlos, pregúnteles: «¿Cuál es otra palabra para estándar?». (Normal) A continuación, haga hincapié en que la notación estándar es la forma en que normalmente escribimos y vemos los números, mientras que un número escrito en notación científica es el producto de dos factores. 2. Algunos estudiantes pueden pensar que el exponente en notación científica indica el número de ceros en notación estándar. Para ayudarles a conceptualizar que no es así, introduzca, por ejemplo, 4,95 × 10⁽⁻3) en la calculadora para obtener la notación estándar y comente con los estudiantes por qué creen que la notación estándar 0.00495 no tiene tres ceros después del decimal. 3. Los estudiantes con dificultades pueden confundir la dirección en la que debe moverse el decimal al convertir un número de notación científica a notación estándar. Para ayudar a los estudiantes a desarrollar este concepto, pídales que observen los patrones de movimiento decimal cuando el mismo factor se multiplica por potencias de diez. Por ejemplo, 3,21 × 100 = 3,21, 3,21 × 101 = 32,1, 3,21 × 102 = 321, y así sucesivamente. (En este caso, el decimal se desplaza hacia la derecha a medida que el exponente aumenta).
Animating Short Films Exit Ticket Blake works as an animator for an animation studio. The studio is currently working on 2 new animated films. Use the table below to answer questions 1–4.
1.
Film Title
Total Number of Frames at 30 Frames per Second
The Flying Dog
9,100
Pete’s Day at the Beach
170,000
What is The Flying Dog’s total number of frames written in scientific notation? 9,100 = 9.1 × 103
2.
What is Pete’s Day at the Beach’s total number of frames written in scientific notation?
3.
One frame of The Flying Dog is 9,100 or 0.00011 when compared to the total number of frames in the short film. Write the decimal value in scientific notation.
170,000 = 1.7 × 105 1
0.00011 = 1.1 × 10-4 4.
1
One frame of Pete’s Day at the Beach is 170,000 or 0.000006 when compared to the total number of frames in the short film. Write the decimal value in scientific notation. 0.000006 = 6 × 10-6
1
ESTRATEGIA DE ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias a continuación para conocer las formas de apoyar el desarrollo del lenguaje del estudiante. Los estudiantes utilizarán técnicas de aprendizaje como mapas conceptuales, dibujos, comparaciones, contrastes, memorización y repasos para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado. Principiante: Proporcionar a los estudiantes un diagrama de un número escrito en notación científica para que puedan etiquetar las partes. Proporcione un banco de palabras de las diferentes partes y comente cualquier pregunta que puedan tener. Las partes deben incluir: Base, Exponente y Coeficiente. Intermedio: Entregue a los estudiantes números en tiras de papel que estén escritos en notación científica y notación estándar. Permita que los estudiantes clasifiquen los números según el tipo de notación. Incluya para el debate números como 15,5 x 104 que no estén escritos ni en notación científica ni en notación estándar. Avanzado: Guíe a los estudiantes en la creación de un mapa conceptual sobre cómo escribir un número en notación científica. La línea de partida podría ser un número escrito en notación estándar. A partir de ahí, desarrolle la línea de razonamiento de los estudiantes sobre lo que deben hacer a continuación, como considerar el tamaño del número.
Scientific Notation Part 1
Writing in Scientific Notation Damion’s favorite subject in school is science. He especially enjoys learning about space and insects. Complete each table below by converting the given value to either scientific notation or standard form.
Description
Distance Written in Standard Form
Distance Written in Scientific Notation
The average distance from Earth to the Sun
93,000,000 miles
9.3 × 10⁷
The average distance from Earth to Mars
157,200,000
1.572 × 108 miles
The distance from Earth to the Moon
238,900 miles
2.389 × 10⁵
Description
Length Written in Standard Form
Length Written in Scientific Notation
The length of a worker fire ant
0.078 inches
7.8 × 10⁻²
The estimated length of a dust mite
0.00984
9.84 × 10⁻³ inches
The average length of a fairyfly
0.0055 inches
5.5 × 10⁻³
1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS
182
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1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: NOTACIÓN CIENTÍFICA
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 2: ESTIMACIÓN DE NÚMEROS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA Estándar(es) • Trabajar con radicales y exponentes enteros. Usar números expresados en la forma de un solo dígito por una potencia entera de 10 para estimar cantidades muy grandes o muy pequeñas, y para expresar cuántas veces es una que la otra.
Ideas fundamentales Números grandes y pequeños
Estándares para la Práctica Matemática MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución.
Conexiones de Contenido CC3 Desmontando los enteros para crear las partes
Motores de Investigación DI1 Dar sentido al mundo: Comprender y explicar. DI2 Predecir lo que podría suceder: Predecir
MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros. MP.6 Atienden a la precisión.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes estimarán números grandes y pequeños usando la notación científica.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por estudiante) • 1 tarjetas de estimación para emparejar (por pareja) REUTILIZABLE
• 1 par de tijeras (por estudiante) • 1 barra de pegamento (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Planee dividir la clase en grupos de dos para completar esta actividad.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Lea la siguiente situación a los estudiantes: «Todos los lunes, el canal de noticias local elabora un reportaje de las películas más taquilleras del fin de semana, basándose en la venta de entradas. Pierre elabora el informe; sin embargo, cree que utilizar la cantidad real de dinero que ganó cada película no es necesario para el espectador. Pierre decide elaborar una estimación razonable de la venta de entradas de cada película. Ayudemos a Pierre a crear estimaciones razonables de estas grandes cifras». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada uno. 3. Entregue un juego de «Tarjetas de estimación para emparejar» a cada pareja. Entregue un par de tijeras y una barra de pegamento a cada estudiante. 4. Revise el propósito de la estimación con los estudiantes para asegurarse de que entiendan por qué necesitaríamos estimar números usando notación científica: a.
DOK-1 «¿Por qué debemos estimar números?». Las respuestas pueden variar. Estimar puede ayudarnos a determinar aproximadamente cuán grande o cuán pequeño es un número. La estimación nos da una idea relativamente buena del tamaño del número.
b.
DOK-1 «¿Cómo ayuda la estimación en la notación científica?». Las respuestas pueden variar. La estimación y la notación científica son útiles cuando se trabaja con cantidades muy grandes y muy pequeñas.
c.
DOK-1 «¿Cómo estimar números grandes utilizando la notación científica?». Las respuestas pueden variar. Escribe cada número en notación científica y luego redondea cada uno de los números decimales al número entero más cercano.
d.
DOK-1 «¿Cómo se estiman los números pequeños utilizando la notación científica?». Las respuestas pueden variar. Escribe cada número en notación científica y luego redondea cada uno de los números decimales al número entero más cercano.
• Imprima el «Diario del estudiante» y el «Boleto de salida» para cada estudiante. • Imprima un juego de «Tarjetas de estimación para emparejar» para cada pareja. • Reúna suficientes pares de tijeras y barras de pegamento para que cada estudiante utilice una de cada.
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GRADO 8: NOTACIÓN CIENTÍFICA
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Scientific Notation Explore 2
5. Explique a los estudiantes que van a estimar números utilizando la notación científica. A continuación, cada estudiante recortará su propio juego de «Tarjetas de estimación para emparejar». Los estudiantes utilizarán su juego de «Tarjetas de estimación para emparejar» para determinar las estimaciones razonables de cada película según los valores reales. (Los estudiantes comprobarán el trabajo de los demás antes de pegar las tarjetas correspondientes en el «Diario del estudiante». 6. Supervise y evalúe la comprensión de los estudiantes mientras cada grupo colabora formulando las siguientes preguntas orientativas: a.
b.
c.
DOK-2: «¿Hay solo una manera de estimar un número grande o pequeño?». Las respuestas variarán. Podemos aproximar el valor estimado evaluando el dígito del 2º decimal más lejano. Por ejemplo, si necesitara estimar 793,312, miraría el 3 en el lugar de los miles. Como 3 es menor que 5, estimaría 793,312 en 790,000. 800,000 sería incluso razonable. 800,000 sería incluso una estimación razonable, dependiendo de cómo aproximara el valor real. Lo mismo ocurriría con un número mucho más pequeño. Estimaría entre 0.000032 y 0.00003. DOK-3: «¿Qué hace que una estimación sea razonable?». Las respuestas pueden variar. Una estimación razonable debería aproximarse bastante al número real. Cuanto más nos aproximemos o redondeemos al número real, más razonable será. Por ejemplo, si tuviera que estimar 21,567,678, una buena estimación podría ser 22,000,000 o 21,500,000.
Movie Ticket Sales Estimate the numbers that are in standard form to the nearest tenth, and then write them in scientific notation. Complete the missing values using the Estimation Card Match cards. Pierre’s Top Movie Report Pierre is working on a movie report and needs to estimate the ticket sales from the top movies that were shown over the weekend. Film title
Actual Ticket Sales ($)
Estimated Ticket Sales ($)
Aquarium
7,938,876
7.9 × 10⁶
Classroom Chaos
239,871
2.4 × 10⁵
The Furry Dragon
37,183
3.7 × 10⁴
The Powerful 4
81,759,482
8.2 × 10⁷
Out of Office
519,275
5.2 × 10⁵
The Adventures of Boomer & Missy
4,824,827
4.8 × 10⁶
Estimate 45,817,826 to the nearest million. Write your answer in scientific notation. 46,000,000 = 4.6 × 107
1
DOK-1: «¿Estimar un número cambia el valor real del número?». Las respuestas pueden variar. Sí, estimar un número cambia el valor a un número que está alrededor del valor real.
7. Dé tiempo a los estudiantes para completar el «Diario del estudiante», incluyendo las preguntas de reflexión. 8. Después de que los estudiantes hayan completado el «Diario del estudiante», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 Estima 81,768,478,348. Escribe tu estimación en notación científica. Si aproximo 81,768,478,348 a 82,000,000,000, la estimación se escribiría como 8.2 × 1010. • DOK-2 Estima 0.00000079. Escribe tu estimación en notación científica. Si aproximo 0.00000079 a 0.0000008, la estimación se escribiría como 8 × 10-7. • DOK-2 «¿De qué varias maneras puedes estimar 7,549,687?». Escribe cada respuesta en notación científica. Puedo estimar que el número es 7.5 × 106 (7.500.000) u 8 × 106 (8.000.000). También puedo estimar que el número es 7.55 × 106 (7.550.000). Todas son válidas dependiendo de cómo aproximemos el valor real. 9. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que rellenen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
Scientific Notation Explore 2
Use the matching activity to help answer the following questions. 1.
How can you estimate numbers using scientific notation? One way of estimating is to replace most of the digits with zeros, except for the first few digits (if it’s a really large number) or the last few digits (if it’s a really small number). We can then use our understanding of decimal place value to rewrite this number in scientific notation.
2.
The Furry Dragon makes $3,780,924 more money in ticket sales the following week. Estimate this value to the nearest whole number, and write it in scientific notation. I would estimate 3,780,924 to 4,000,000 or 4 × 10 6.
3.
The Adventures of Boomer & Missy makes less money the following week. It makes –7.43% or 0.0743 less in ticket sales. Estimate this value to the nearest whole number, and write it in scientific notation. 7 × 10-2
Reflect 1.
Is it easier to estimate a very small number or a very large number? Use an example written in scientific notation to explain your reasoning. Answers may vary. I think it’s easier to estimate a very small number since I look for the first non-zero digit to the right of the decimal. I can estimate using this value or the value to its right. For example, I can round 0.00000000023 to 0.0000000002 or 2 × 10-10.
2.
Provide an example of when the estimation of a very large or very small number might be appropriate to use instead of using the actual value. I might approximate the distance, in miles, from Earth to the Sun, and write this value in scientific notation if I was completing a report in science class. I would include words like about or around to let the reader know this is not the actual distance. The reader would still understand the significance and impact of this very large number, even with an estimation. 2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: NOTACIÓN CIENTÍFICA
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Scientific Notation Explore 2
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
This Weekend’s Ticket Sales Exit Ticket
Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez que la clase lo haya completado, pida a los estudiantes que completen individualmente su «Libreta interactiva».
An online entertainment website publishes the weekend box office report every Monday. Use the table below to answer questions 1–3.
Sample Student Responses
Movie
This Weekend’s Ticket Sales ($)
Travelin’
49,337,985
Not Your Average Fairy Tale
3,782,312
The Neighborhood
809,243
1.
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Los estudiantes con dificultades pueden necesitar repasar el valor posicional. Proporcione a estos estudiantes una hoja de referencia del valor posicional que puedan utilizar a lo largo de la lección. Dicha hoja puede incluir una tabla de valor posicional para un número específico (por ejemplo, 513,267.89), con cada número escrito en una columna para su posición (centenas, decenas, unidades, décimas, centésimas, etc). Incluya en la parte inferior de la tabla el número escrito en forma estándar, en forma expandida y en notación científica.
What is Travelin’s estimated dollar amount in ticket sales written in scientific notation? 5 × 107
2.
The difference in ticket sales from Saturday to Sunday for Not Your Average Fairy Tale was 3.5% or 0.035. Estimate the decimal value, and write it in scientific notation. 4 × 10-2
3.
What is The Neighborhood’s estimated dollar amount in ticket sales written in scientific notation? 8 × 105
1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
ESTRATEGIA DE ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE Scientific Notation Part 2
Boy Wonder is a world-famous pop band based in Europe. They are planning an American tour during the summer. Tickets are being sold across the United States. The table below shows the number of tickets the band has sold in various states across the United States. Estimate the number of tickets sold in each state using scientific notation. State
Tickets Sold
Estimation
California
12,305,690
1.2 × 10⁷
Florida
869,243
8.7 × 10⁵
Georgia
23,479
2.3 × 10⁴
Illinois
710,357
7.1 × 10⁵
Oklahoma
71,836
7.2 × 10⁴
Maryland
127,599
1.3 × 10⁵
Texas
23,691,032
2.4 × 10⁷
Washington
308,275
3.1 × 10⁵
Principiante: Como hoja de referencia para la lección, proporcione a los estudiantes un diagrama etiquetado de un número escrito en notación científica. Incluya etiquetas que señalen lo siguiente Base 10; Exponente entero, Coeficiente (entre 1 y 10), Signo de multiplicación. Intermedio: Como hoja de referencia para la lección, proporcione a los estudiantes una hoja de preguntas que describan el proceso de pensamiento sobre cómo convertir un número a notación científica. Las preguntas pueden incluir: (1) «¿El número es grande o pequeño?». (2)«¿El exponente será positivo o negativo?». (3) «¿Cuántos lugares debo mover el decimal?». etc.
1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 2) CLAVE DE RESPUESTAS
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La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias a continuación para conocer las formas de apoyar el desarrollo del lenguaje del estudiante. Se proporcionará a los estudiantes apoyos previos a la lectura (organizadores gráficos, diagramas de formas y vocabulario preenseñado) para ayudarlos con la comprensión lectora.
Estimating Numbers and Scientific Notation
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2. Los estudiantes con dificultades pueden necesitar repasar el redondeo. Para ello, proporcióneles una recta numérica. Pídales que localicen un número como 6.8 en la recta numérica y pregúnteles si está más cerca de 6 o de 7. Repita este ejercicio con otros números. Repita este ejercicio con otros números. A continuación, comente las reglas del redondeo.
Avanzado: Como actividad previa a la clase, pida a los estudiantes que creen un mapa conceptual utilizando un banco de palabras que describa cómo convertir un número a notación científica. Las frases clave pueden incluir: el exponente es negativo, el exponente es positivo, el decimal se mueve a la derecha, el decimal se mueve a la izquierda, etc.
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1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: NOTACIÓN CIENTÍFICA
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 3: COMPARACIÓN DE NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA Estándar(es) • Trabajar con radicales y exponentes enteros. Usar números expresados en la forma de un solo dígito por una potencia entera de 10 para estimar cantidades muy grandes o muy pequeñas, y para expresar cuántas veces es una que la otra.
Ideas fundamentales Números grandes y pequeños
Estándares para la Práctica Matemática MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución.
Conexiones de Contenido CC3 Desmontando los enteros para crear las partes
Motores de Investigación DI1 Dar sentido al mundo: Comprender y explicar
MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros. MP.6 Atienden a la precisión.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes compararán dos valores escritos en notación científica. Los estudiantes también determinarán cuántas veces es mayor o menor un valor en comparación con el otro.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Planee dividir la clase en grupos de tres o cuatro para completar esta actividad. • Imprima un «Diario del estudiante» y un «Boleto de salida» para cada estudiante. • Imprima un juego de «Tarjetas de comparaciones de trivia» para cada grupo de estudiantes. • Reúna suficientes pares de tijeras para que cada grupo tenga una.
• 1 juego de tarjetas de comparaciones de trivia (por grupo) REUTILIZABLES
• 1 par de tijeras (por grupo)
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1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: NOTACIÓN CIENTÍFICA
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Scientific Notation Explore 3
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Comparing Trivia
1. Lea la siguiente situación a los estudiantes: «Daphne organiza un concurso semanal de preguntas y respuestas. El tema de esta semana son las películas de animación. Dafne está recopilando datos numéricos para utilizarlos en el concurso y se da cuenta de que los valores también se pueden escribir en notación científica. Dafne también se pregunta cuánto más grandes o pequeños son algunos de estos datos numéricos en comparación con los otros datos recopilados. ¡Ayudemos a Dafne a comparar números escritos en notación científica!».
Use the Comparing Trivia Task Cards to compare two values written in scientific notation. Begin by randomly selecting two cards, card 1 and card 2, one at a time. Then, use the table below to compare the values expressed in scientific notation. Repeat this process two more times for Cards 3–6. Answers will vary.
Letters on Cards
Value on Each Card Value on card 1
and
B (1)
G
Scientific notation
Standard notation
3.2 × 103
3,200
Value on card 2
(2)
Scientific notation
Standard notation
1.6 × 103
1,600
Value on card 3 and
F (3)
A
Scientific notation
Standard notation
6.4 × 102
640
Value on card 4
(4)
Scientific notation
Standard notation
6.4 × 105 640,000 Value on card 5
and
H (5)
C
Scientific notation
Standard notation
3.2 × 104
32,000
Value on card 6
(6)
Scientific notation
Standard notation
6.4 × 101
64
By How Much?
Inequality Statement The value on card 1 is greater than ___ the value on card 2 ___. The value on card 4 is greater than ___ the value on card 3 ___. The value on card 6 is less than ___ the value on card 5 ___.
larger value smaller value
3.2 × 103is ____ _______ 2 (larger value written in scientific notation)
times greater than
2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada uno.
1.6 × 103 _______. (smaller value written in scientific notation)
3. Entregue un juego de «Tarjetas de comparaciones de trivia» y un par de tijeras a cada grupo de estudiantes.
6.4 × 105 is ____ 1,000 _______ (larger value written in scientific notation)
times greater than 6.4 × 102 _______. (smaller value written in scientific notation)
500 6.4 × 101 is ____ _______ (smaller value written in scientific notation)
times less than 3.2 × 104 _______. (larger value written in scientific notation)
1
Scientific Notation Explore 3
Use the comparing activity to help answer the following questions. 1.
How can you compare two values written in scientific notation?
4. Explique a los estudiantes que trabajarán en grupos y seleccionarán a un compañero de equipo para recortar las 8 tarjetas de tarea. Un compañero barajará las tarjetas y las colocará boca abajo en un montón. A continuación, los estudiantes seleccionarán por turnos una tarjeta de la parte superior del montón. Después de que un estudiante seleccione la primera carta, el grupo utilizará la tabla del «Diario del estudiante» para anotar la letra de la carta y el valor de la carta 1. Los estudiantes repetirán este proceso 5 veces más. Se crearán 3 pares de valores (Cartas 1 y 2, Cartas 3 y 4, y Cartas 5 y 6) a partir de las 6 cartas extraídas. Los estudiantes seguirán cada paso de la tabla para determinar el mayor o menor valor entre las dos cartas. Utilizarán la fórmula proporcionada en la tabla para determinar cuánto más grandes o más pequeñas son las dos tarjetas cuando se comparan entre sí. 5. Supervise y evalúe la comprensión de los estudiantes mientras cada grupo colabora formulando las siguientes preguntas orientadoras: a.
DOK-2: «¿Cómo puedes determinar cuánto más grande es un número comparado con otro?». Las respuestas pueden variar. Puedo dividir el valor más grande entre el valor más pequeño para determinar cuánto más grande es el valor más grande comparado con el valor más pequeño.
b.
DOK-1: «¿Cuál es una manera de comparar dos números escritos en notación científica?». Las respuestas pueden variar. Puedo reescribir estos números en forma estándar y luego comparar los valores.
c.
DOK-3: «Escriba un número, en notación científica, que sea mayor que 3 × 10-4». Las respuestas pueden variar. 3 × 10-3 es mayor que 3 × 10-4.
I first wrote each expression in standard form and then compared the two numbers. 2.
Which value is smaller: 5 × 10-5 or 2.5 × 10-5? 2.5 × 10-5 (0.000025) is less than 5 × 10-5 (0.00005).
3.
larger value
Using the ratio smaller value , how many times smaller is 6 × 10 -5 than 3 × 10-4? 3 x 10-4 6 x 10-5
4.
= 5. 6 × 10-5 is 5 times smaller than 3 × 10-4.
Which value is larger: 6 × 10-2 or 5 × 10-3? 6 × 10-2 (0.06) is greater than 5 × 10-3 (0.005).
5.
Using the ratio 4.9 × 105 7 × 104
larger value , how many times larger is 4.9 × 10 5 than 7 × 104? smaller value
4.9 × 105 is 7 times greater than 7 × 104.
Reflect 1.
6. Dé tiempo a los estudiantes para completar el Diario del estudiante, incluyendo las preguntas de reflexión.
Do you think it’s easier to compare two very large numbers written in scientific notation or two very small numbers written in scientific notation? I think it’s easier for me to compare two very large numbers, both written in scientific notation. I can easily rewrite both in standard form and then compare.
2.
Between two large numbers written in scientific notation, how can you generally tell by looking at just the exponents of these values, which number is smaller? Between two positive exponents, the smaller the power of 10, the smaller the value. I could compare the exponents of two numbers written in scientific notation and usually, the smaller the exponent is, the smaller the number is. For example, 5 × 103 is less than 5 × 104.
7. Después de que los estudiantes hayan completado el «Diario del estudiante», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje.
2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 187
187
1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: NOTACIÓN CIENTÍFICA
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Scientific Notation Explore 3
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Qué valor es mayor: 4,5 × 10-5 o 9 × 10-4? ¿Por cuánto?». 9 × 10-4 es 5 veces mayor que 4.5 × -4 valor mayor valor menor = _________ 9 × 10 -5 = 20 10-5. ___________ 4.5 × 10
• DOK-2 «¿Qué valor es menor: 9 × 104 o 4,5 × 105 «¿Por cuánto?». 9 × 104 es 20 veces menor que 5 valor mayor valor menor = _________ 4.5 × 104 = 5 4.5 × 105. ___________ 9 × 10
• DOK-2 «¿Qué valor es menor: un número escrito en notación científica con exponente positivo o un número escrito en notación científica con exponente negativo? ¿Por qué?». Entre un número escrito en notación científica con exponente positivo y otro con exponente negativo, el exponente negativo será menor que el número con exponente positivo. Un decimal menor que 1 será menor que un número entero mayor que 1. 8. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 9. Regrese a la sección «Captar interés» e indique a los estudiantes que utilicen sus habilidades recién adquiridas para completar la actividad con éxito.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez que la clase lo haya completado, pida a los estudiantes que completen individualmente su «Libreta interactiva».
Connor’s Comparisons Exit Ticket Connor is comparing this week’s top 3 animated movies. Use the table below to answer questions 1–4.
Number of Tickets Sold
Amount of Ticket Sales ($)
1. Welma
3.5 × 106
2.8 × 107
2. Burgers for Breakfast
8.75 × 105
7 × 106
3. Lightning Lizards
4.375 × 105
3.5 × 106
Top Film
1.
How many times greater is the number of tickets sold for Welma compared to the number of tickets sold for Burgers for Breakfast? 3.5 × 106 3,500,000 = = 4 times 8.75 × 105 875,000
2.
How many times greater is the number of tickets sold for Welma compared to the number of tickets sold for Lightning Lizards? 3.5 × 106 = 3,500,000 = 8 times 4.375 × 105 437,500
3.
How many times greater is the amount of ticket sales for Welma compared to the amount of ticket sales for Lightning Lizards? 2.8 × 107 3.5 × 106
4.
=
28,000,000 = 8 times 3,500,000
How many times greater is the amount of ticket sales for Burgers for Breakfast compared to the amount of ticket sales for Lightning Lizards? 7 × 106 = 7,000,000= 2 times 3.5 × 106 3,500,000 1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Los estudiantes con dificultades pueden comparar solo la parte decimal de los números escritos en notación científica en lugar de considerar primero los exponentes. Ayude a estos estudiantes a fijarse en los exponentes preguntándoles: «Basándonos solo en los exponentes, ¿qué número es mayor?». Para consolidar aún más el efecto del exponente, haga que los estudiantes conviertan los números de notación científica a notación estándar. 2. Dados dos números escritos en notación científica que tienen exponentes negativos, los estudiantes con dificultades pueden pensar que el exponente negativo con mayor valor absoluto es mayor (por ejemplo, pueden decir que -3 es mayor que -2). Proporcione a estos estudiantes una recta numérica donde puedan localizar los valores de los exponentes y comparar sus tamaños. Recuérdeles que las rectas numéricas aumentan de valor de izquierda a derecha.
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GRADO 8: NOTACIÓN CIENTÍFICA
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Scientific Notation Part 3
ESTRATEGIA DE ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE
Comparing Numbers in Scientific Notation
La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias a continuación para conocer las formas de apoyar el desarrollo lingüístico del estudiante.
A tech company is planning to build a new manufacturing complex in a new city. The executive board needs to decide where the new complex will be built. They have narrowed their decision down to three cities. The final decision will be based on the city’s population. The population of the three cities is shown in the table below.
1.
City
Population
Duncanville
2.4 x 10⁵
Lumber City
1.2 x 10⁷
Parkerton
4.8 x 10⁴
Los estudiantes utilizarán técnicas de aprendizaje como la elaboración de mapas conceptuales, el dibujo, la comparación, el contraste, la memorización y el repaso para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado. Principiante: Como actividad previa a la clase, proyecte en la pizarra varias imágenes con su medida escrita en notación estándar y científica para ayudar a los estudiantes a conceptualizar el tamaño en relación con los números escritos en notación científica.
Which city has the greatest population? What is that city’s population? Lumber City - 12,000,000
2.
Which city has the smallest population? What is that city’s population? Parkerton - 48,000
3.
How many times greater is the population of Duncanville than the population of Parkerton? 5 times greater
4.
How many times greater is the population of Lumber City than the population of Duncanville? 50 times greater
1
Scientific Notation Part 3
Complete each sentence to compare the numbers written in scientific notation. Fill in the blank with either greater than or less than.
less than 8.3 x 10⁻⁵ is __________________ 8.3 x 10⁻²
Intermedio: Como actividad previa o posterior a la lección, proporcione a los grupos de estudiantes varias imágenes y tiras de papel con números escritos en notación científica. Pida a los estudiantes que emparejen el número con la imagen y que ordenen sus emparejamientos en orden ascendente. Las imágenes pueden incluir un glóbulo sanguíneo, el diámetro de una pelota de baloncesto, la longitud de un elefante, la extensión de la galaxia, etc. Avanzado: Como actividad previa o posterior a la lección, pida a los estudiantes que se organicen en una línea numérica humana: Cada estudiante recibirá una hoja de papel con un número escrito en notación estándar o científica. Los estudiantes crearán dos líneas enfrentadas, de forma que una línea estará formada por números en notación estándar en orden ascendente y la otra línea estará formada por los números correspondientes en notación científica en orden ascendente.
greater than 3.6 x 10⁻⁴ is __________________ 2.1 x 10⁻⁶
greater than 5.01 x 10⁻³ is __________________ 1.64 x 10⁻³
2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 3) CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: NOTACIÓN CIENTÍFICA
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE
CONSOLIDAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
ESQUEMA DE ANCLAJE DESCRIPCIÓN Un esquema de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Se trata de una herramienta para apoyar la instrucción y anclar el aprendizaje de los estudiantes a lo largo del alcance.
MATERIALES
Scientific Notation Standard Form
Standard Form
54,000
0.0000741
Large numbers can be written in powers of 10 using scientific notation.
Small numbers can be written in powers of 10 using scientific notation.
54000
0.0000741
Scientific Notation
Scientific Notation
5.4 × 104
7.41 × 10-5
• 1 hoja de papel cuadriculado • 1 juego de marcadores multicolores
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del ejemplo de esquema de anclaje, si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. El ejemplo de esquema puede utilizarse como referencia antes de crear el de la clase. Esta actividad debe ser dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje. 2. A medida que los estudiantes trabajen en el alcance, colaboren para añadir piezas al «Esquema de anclaje». Formule las siguientes preguntas orientadoras:
A positive exponent indicates moving the decimal point to the right. In this case, the decimal point is moved 4 spaces.
A negative exponent indicates moving the decimal point to the left. In this case, the decimal point is moved 5 spaces.
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
a. «¿Qué estrategia utilizamos para resolver este problema?». b. «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?». 3. Continúe añadiendo habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada «Exploración» para resaltar el contenido importante. 4. Explique que pueden usar este gráfico como herramienta de apoyo para su aprendizaje. Los estudiantes también pueden pegar una copia del ejemplo de «Esquema de anclaje» en sus cuadernos para utilizarlo como referencia durante el año. 5. Algunos «Esquemas de anclaje» solo se mostrarán durante un alcance o grupo de alcances concretos, mientras que otras permanecerán expuestas durante todo el curso escolar.
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GRADO 8: NOTACIÓN CIENTÍFICA
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA Scientific Notation
DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTEESTUDIANTES Instructions ● Cut out each square. ● Match the standard form with the appropriate scientific notation expression. ● Glue into your notebook or onto a separate page.
LIBRETA INTERACTIVA DESCRIPCIÓN
5.736 × 103
0.000000000000067
0.0000341
3.41 × 10-5
6,930,000,000,000
6.93 × 1012
Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase al usar la actividad y la libreta.
MATERIALES IMPRESO
5,736
Give a real-world example of how scientific notation can be used.
4 × 1010
• 1 folleto del estudiante (por alumno) 40,000,000,000
360
6.7 × 10-14
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del «Folleto del estudiante» para cada uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 3.6 × 102
967
9.67 × 102
FOLLETO DEL ESTUDIANTE
1. Prepare una «Libreta interactiva» al usar un cuaderno de espiral o de composición para cada uno. Los estudiantes pueden utilizar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades. 2. Las instrucciones para cada actividad se proporcionan en el «Folleto del estudiante». 3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos. 4. Las libretas interactivas pueden utilizarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
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191
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GRADO 8: NOTACIÓN CIENTÍFICA
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
APOYO PARA ESTUDIANTES MULTILINGÜES
CONEXIONES LINGÜÍSTICAS DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes tienen la oportunidad de utilizar sus conocimientos lingüísticos y culturales previos para apoyar las conexiones con nuevas destrezas, vocabulario y conceptos en sus niveles de competencia.
1. Distribuya a cada alumno un «Folleto del estudiante» con el nivel de competencia adecuado. 2. Utilice las instrucciones para las partes de escuchar, hablar, leer y escribir. Utilice gestos, señale objetos y elementos visuales, según proceda. Consulte las indicaciones para obtener sugerencias.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante según su nivel de competencia (por estudiante)
3. Deje tiempo a los estudiantes para que piensen con sus vecinos antes de responder. 4. Anime a los estudiantes a perseverar en su pensamiento y a utilizar herramientas y modelos matemáticos.
PREPARACIÓN
• Prepare a los estudiantes para trabajar con sus compañeros cuando sea necesario.
5. Invite a los estudiantes a responder adecuadamente a cada dominio lingüístico.
• Determine el nivel de inglés de cada estudiante. • Imprima un «Folleto del estudiante» para cada alumno según su nivel de competencia en inglés.
6. Pida a los estudiantes que utilicen la página final del «Folleto del estudiante» para establecer conexiones entre los conceptos matemáticos y el mundo real.
• Permita que los estudiantes tengan acceso al vocabulario ilustrado para este alcance.
Scientific Notation B
Scientific Notation B
Scientific Notation I
Aisha and Ravi are looking at how the pull of gravity between Earth
and the Moon
mass of Earth 0.000000000000000597 kilograms
Earth 5.97 × 1024 kilograms
changes at different distances. The
Scientific Notation
Standard Notation
5.97 × 1024 kilograms
5,970,000,000,000,000,000,000,000 kilograms
is 5.972 × 1024, and the mass of the Moon
is 7.342 × 1022. When they are 363,300 kilometers apart, the gravitational force between them is about 8.05 × 1026 Newtons. When
Scientific Notation A
Scientific Notation A
Aisha and Ravi are looking at how the pull of gravity between
between them is about 8.05 × 1026 Newtons. When they are 405,500 kilometers apart, the gravitational force is about 7.22 × 10 26. How
Earth and the Moon changes at different distances. The mass of
Scientific Notation
Standard Notation
5.97 x 1024 kilograms
5,970,000,000,000,000,000,000,000 kilograms
Earth is 5.972 × 1024, and the mass of the Moon is 7.342 × 1022. When they are 363,300 kilometers apart, the gravitational force
Earth
Earth is 5.972 x 1024, and the mass of the Moon is 7.342 x 1022. When they are 363,300 kilometers apart, the gravitational force between them is about 8.05 x 1026 Newtons. When they are 405,500 kilometers apart, the gravitational force is about 7.22 x 10 26. How
Earth
many times larger is the mass of Earth? How many times larger is the
they are 405,500 kilometers apart, the gravitational force is about 7.22 × 1026. How many times larger is the mass of Earth
Scientific Notation I
Aisha and Ravi are looking at how the pull of gravity between Earth and the Moon changes at different distances. The mass of
many times larger is the mass of Earth? How many times larger is the
gravitational force when the objects are closer together?
gravitational force when the objects are closer together?
? How many
times larger is the gravitational force when the objects are closer together? 5,970,000,000,000,000,000,000,000 kilograms
Sun 2 × 1030 kilograms
30 2 × 10__ kilograms
Aisha and Ravie are comparing Earth and ____. Earth’s Moon / the Sun
2,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 kilograms
Sun
Aisha and Ravie are comparing Earth and the Sun. True / False
The ratio to compare the mass of Earth and Earth’s Moon is ____.
The ratio to compare the mass of Earth and Earth’s Moon is
/ 2,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 kilograms
Adenovirus 5.97 × 10-16 kilograms
-16
Earth has a mass _____ times larger than its Moon. 81.3 / 102
5.97 × 10 kilograms
Adenovirus
0.000000000000000597 kilograms
When Earth and Earth’s Moon are _______, the gravitational force is larger. closer together / further apart
/
Bacillus subtilis 2 × 10-16 kilograms
Scientific Notation B
More
Ratio
8
109
1010
1011
Year
2005
Model
2011
A100 8,000,000,000 bytes
Bacillus subtilis
Scientific Notation I
C1000
6.4 × 1010 bytes
5.12 × 1011 bytes
8 GB
64 GB
512 GB
It took 6 years to advance the technology from 8 GB, 8 × 10 9 bytes, to 64 GB, 10
8 times 10 6.4 × ________ bytes. The smartphone with 64 GB of storage had ____ more storage capacity than the early smartphone with only 8 GB of storage. This ratio can be determined using the _________
.
64 times
Ratio
8 times
109
1010
1011
When Earth and Earth’s Moon are closer together, the gravitational force 0.0000000000000002 kilograms
2 x 10-16 kilograms
Scientific Notation I
Scientific Notation A
64 times
Ratio
8 times
109
1010
1011
Answers will vary.
Times more
Storage Capacities in Smartphones Year
2005
Model
2011
A100 8,000,000,000 bytes
Capacity
Use all of the words in the word bank when your answer. Storage Capacities inwriting Smartphones
2015
B500
Year
C1000
Model
64,000,000,000 bytes 512,000,000,000 bytes
8 × 109 bytes
6.4 × 1010 bytes
5.12 × 1011 bytes
8 GB
64 GB
512 GB
Times more
Rewrite the capacity in scientific notation, and compare the storage capacity of the different models. Use all the words in the word bank when writing your answer.
2005 Nokia N91 8,000,000,000 bytes
Capacity
2011 iPhone 4S
2015 Zenfone 2
64,000,000,000 bytes 512,000,000,000 bytes
8 x 109 bytes
6.4 x 1010 bytes
5.12 x 1011 bytes
8 GB
64 GB
512 GB
It took 6 years to advance the technology from 8 GB, 8 × 10 9 bytes, to 64 GB, __________________________________________________________________
10
10 8 times 6.4 × ________ bytes. The smartphone with 64 GB of storage had ____
It took 6 years to advance the technology from 8 GB, 8 x 10 9 bytes, to 64 GB, __________________________________________________________________
more storage capacity than the early smartphone with only 8 GB of storage. This
6.4 x 1010 bytes. The smartphone with 64 GB of storage had 8 times more __________________________________________________________________
.
storage capacity than the early smartphone with only 8 GB of storage. This __________________________________________________________________
The next major upgrade occurred when smartphones began offering 512 GB, 5.12
can be determined using the ratio . __________________________________________________________________
11
The next major upgrade occurred when smartphones began offering 512 GB, __________________________________________________________________
more storage than the 64 GB of of storage which is 8 times _________
5.12 x 1011 bytes, of storage. In 2015, a smartphone was released with 512 __________________________________________________________________
can be determined using the ratio ____________.
storage. This can be determined using the ratio ____________.
5.12 × 1011 bytes of storage have 64 times more storage than was offered in the
GB of storage which is 8 times more storage than the 64 GB of storage. This __________________________________________________________________ can be determined using the ratio . __________________________________________________________________
Considering the change from 8 GB to 512 GB, ____________________________ using the ratio
In this age of technology, it is common to find a smart phone with 512 GB of __________________________________________________________________
can determine how many times larger the modern smartphone storage is _________________________________________________________________
storage. Using the ratio , it can be determined that cell phones with __________________________________________________________________
compared to early smartphones. The modern smartphones with 5.12 × 10 11 _________________________________________________________________
5.12 x 1011 bytes of storage have 64 times more storage than was offered in __________________________________________________________________
bytes of storage have 64 times more storage than was offered in the early _________________________________________________________________
the early smartphones with only 8 x 109 bytes. __________________________________________________________________
smartphones that only had 8 × 109 bytes. _________________________________________________________________
9
10 early smartphones with only 8 × ______ bytes.
Scientific Notation A
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use scientific notation at home with your family or friends.
Word Bank
more storage than the 64 GB of storage. This of storage which is 8 times _________
storage. Using the ratio ___________, it can be determined that cell phones with
1.1 between them is ________ times larger than when they are farthest apart.
Bacillus subtilis
10 × ________ bytes, of storage. In 2015, a smartphone was released with 512 GB
In this age of technology, it is common to find a smart phone with 512 GB of
closer together When Earth and Earth’s Moon are _________________, the gravitational force
The ratio to compare the gravitational force is ____________.
. True / False
10 × ________ bytes, of storage. In 2015, a smartphone was released with 512 GB
11
81.3 times larger than its Moon. Earth has a mass ________
Answers will vary.
ratio can be determined using the _________
The next major upgrade occurred when smartphones began offering 512 GB, 5.12
0.000000000000000597 kilograms
is larger.
Rewrite the capacity in scientific notation, and compare the storage capacity of the different models. Use all the words in the word bank when filling in the blanks and writing your answer.
2015
B500
64,000,000,000 bytes 512,000,000,000 bytes
8 × 109 bytes
5.97 x 10 kilograms
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use scientific notation at home with your family or friends.
Word Bank
Answers will vary.
Storage Capacities in Smartphones
The ratio to compare the mass of Earth and Earth’s Moon is ____________.
-16
Adenovirus
When Earth and Earth’s Moon are closer together, the gravitational force between them is 1.1 times larger than when they are farthest apart. True / False
Scientific Notation B
Rewrite the capacity in scientific notation, and compare the storage capacity of the different models. Use all the words in the word bank when filling in the blanks.
Capacity
0.0000000000000002 kilograms
__ 2 × 10-16 kilograms
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use scientific notation at home with your family or friends.
Word Bank
Earth has a mass 102 times larger than its Moon. True / False
Earth’s Moon Aisha and Ravie are comparing Earth and ________________. larger Earth has a mass __________ than the mass of Earth’s Moon.
. True / False
The ratio to compare the gravitational force is
When Earth and Earth’s Moon are closer together, the gravitational force between them is ___ times larger than when they are farthest apart. 1.1 / 10
2,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 kilograms
When Earth and Earth’s Moon are closer together, the gravitational force is larger. True / False
The ratio to compare the gravitational force is ____. 0.0000000000000002 kilograms
2 x 1030 kilograms Sun
Earth has a mass larger than the mass of Earth’s Moon. True / False
Earth has a mass _____ than the mass of Earth’s Moon. larger / smaller
_________________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_____________________________
PRINCIPIANTE FOLLETO DEL ESTUDIANTE
192
SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 192
INTERMEDIO FOLLETO DEL ESTUDIANTE
__________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ _________________________________________________________________ ______________________________________________________________
AVANZADO FOLLETO DEL ESTUDIANTE
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1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: NOTACIÓN CIENTÍFICA
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCUCHAR Y HABLAR PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Tenga a mano el vocabulario ilustrado para que los estudiantes lo utilicen. Lea las siguientes indicaciones de una en una:
Tenga a mano el vocabulario ilustrado para que los estudiantes lo utilicen. Lea las siguientes indicaciones de una en una:
Tenga a mano el vocabulario ilustrado para que los estudiantes lo utilicen. Lea las siguientes indicaciones de una en una:
•
Señala la imagen de la Tierra.
•
•
La masa de la Tierra está escrita en notación científica.
•
•
Explica cómo sabe si se trata de un número muy grande o muy pequeño. ◦
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de frases: Sé que es un _____ porque ....
•
Señala la masa de la Tierra escrita en notación estándar.
•
Traza una línea desde la imagen de la Tierra hasta la masa escrita en notación estándar.
•
«¿Cómo sabes que ésta es la notación estándar correcta?». ◦
Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente enunciado: Sé que esto es correcto porque ....
•
Señala la imagen del Sol.
•
La masa del Sol está escrita en notación científica.
•
Explica cómo sabes si se trata de un número muy grande o muy pequeño. ◦
Haz que los estudiantes utilicen el siguiente marco oracional: Sé que es un _____ porque ....
•
Señala la masa del Sol escrita en notación estándar.
•
Traza una línea desde la imagen del Sol hasta la masa escrita en notación estándar.
•
«¿Cómo sabes que ésta es la notación estándar correcta?». ◦
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente secuencia de frases: Sé que esto es correcto porque ....
•
Señala la imagen del adenovirus.
•
La masa del adenovirus está escrita en notación científica.
•
Explica cómo sabes si se trata de un número muy grande o muy pequeño. ◦
Haz que los estudiantes utilicen la siguiente estructura de frase: Sé que es un _____ porque ....
•
Señala la masa del adenovirus escrita en notación estándar.
•
Traza una línea desde la imagen del adenovirus hasta la masa escrita en notación estándar.
•
«¿Cómo sabes que ésta es la notación estándar correcta?». ◦
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente secuencia de frases: Sé que es correcto porque ....
• •
• •
• • • •
• •
• •
•
Señala la imagen de la Tierra. La masa de la Tierra está escrita en notación científica. Explica cómo sabe si se trata de un número muy grande o muy pequeño. ◦ Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de frases: Sé que es un _____ porque .... Señala dónde debe escribirse la notación estándar. Escribe la masa de la Tierra en notación estándar. «¿Cómo sabes que ésta es la notación estándar correcta?». ◦ Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente enunciado: Sé que es correcto porque .... Señala la imagen del Sol. La masa del Sol está escrita en notación estándar. Explica cómo determinar el exponente al convertir de notación estándar a científica. ◦ Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de frases Puedo determinar el exponente al convertir de notación estándar a científica moviendo los decimales _____ a _____. Señala la masa del Sol escrita en notación científica. Determina el exponente y escríbalo en el espacio en blanco proporcionado. Señala la imagen del adenovirus. La masa del adenovirus está escrita en notación científica. Explica cómo sabe si se trata de un número muy grande o muy pequeño. ◦ Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de frases: Sé que se trata de un _____ porque .... Señala dónde debe escribirse la notación estándar. Escribe la masa del adenovirus en notación estándar. «¿Cómo sabes que ésta es la notación estándar correcta?». ◦ Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente enunciado: Sé que es correcto porque .... Señala la imagen del Bacillus subtilis. La masa del Bacillus subtilis está escrita en notación estándar. Explica cómo determinar el exponente al convertir de notación estándar a científica. ◦ Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de frase Puedo determinar el exponente al convertir de notación estándar a científica moviendo los decimales _____ a _____. Señala la masa del Bacillus subtilis escrita en notación científica. Determina el exponente y escríbelo en el espacio en blanco proporcionado.
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•
Señale la imagen de la Tierra. La masa de la Tierra está escrita en notación científica.
•
Explica cómo sabes si se trata de un número muy grande o muy pequeño.
•
Señala dónde debe escribirse la notación estándar. Escribe la masa de la Tierra en notación estándar.
•
«¿Cómo sabes que es la notación estándar correcta?».
•
Señala la imagen del Sol. La masa del Sol está escrita en notación estándar.
•
Explica cómo pasar de la notación estándar a la notación científica. ◦
Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente enunciado: Puedo convertir de notación estándar a notación científica...
•
Señale dónde debe escribirse la masa del Sol en notación científica. Escriba la masa en notación científica.
•
Señala la imagen del adenovirus. Escribe la masa del adenovirus en notación científica.
•
Explica cómo sabes si se trata de un número muy grande o muy pequeño.
•
Señala dónde debe escribirse la notación estándar. Escribe la masa del adenovirus en notación estándar.
•
«¿Cómo sabes que es la notación estándar correcta?».
•
Señala la imagen del Bacillus subtilis. La masa del Bacillus subtilis está escrita en notación estándar.
•
Explica cómo pasar de la notación estándar a la notación científica. ◦
•
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente secuencia de frases: Puedo convertir de notación estándar a notación científica ...
Señale dónde debe escribirse la masa del Bacillus subtilis en notación científica. Escriba la masa en notación científica.
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GRADO 8: NOTACIÓN CIENTÍFICA
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCUCHAR Y HABLAR (CONTINUACIÓN) PRINCIPIANTE • Señala la imagen del Bacillus subtilis. • La masa del Bacillus subtilis está escrita en notación científica. • Explica cómo sabes si se trata de un número muy grande o muy pequeño. ◦ Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de frases: Sé que es un _____ porque .... • Señala la masa del Bacillus subtilis escrita en notación estándar. • Traza una línea desde la imagen del Bacillus subtilis hasta la masa escrita en notación estándar. • «¿Cómo sabes que ésta es la notación estándar correcta?». ◦ Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente secuencia de frases: Sé que es correcto porque ....
LEER Y HABLAR PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Lea la historia en grupo, dividiéndola en frases. Pida a los estudiantes que señalen cada palabra mientras leen, que encierren en un círculo las palabras que no conozcan y que las comenten en grupo.
Lea en voz alta la historia en grupo. Pida a los estudiantes que señalen cada palabra a medida que leen, que encierren en un círculo las palabras que no conozcan y que comenten las palabras con sus compañeros.
Pida a los estudiantes que lean la historia con sus compañeros y que señalen cada palabra mientras leen. Invite a los estudiantes a encerrar con un círculo las palabras que no conozcan y a comentarlas con sus compañeros.
• Comente la situación con los estudiantes. Haga gestos con las manos y muestre imágenes cuando corresponda mientras formula las preguntas. ◦ «¿Qué sabes sobre la gravedad?». • Lea en voz alta la primera afirmación. Señale la respuesta en la historia antes de responder. • Lea en voz alta la segunda afirmación. Comenta con tus compañeros para determinar la respuesta. • Lea en voz alta la tercera afirmación. Comenta con tus compañeros para determinar la respuesta. • Lea en voz alta la cuarta afirmación. Comenta con tus compañeros para determinar la respuesta. • Lea en voz alta la quinta afirmación. Comenta con tus compañeros para determinar la respuesta. • Hazte eco de la sexta y séptima frases. Comenta con tus compañeros para determinar las respuestas.
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• Comente la situación con los estudiantes ◦ «¿Qué sabes sobre la gravedad?». • Lea en voz alta la primera afirmación. Señale la respuesta en la historia antes de marcar la afirmación como verdadera o falsa. • Lea en voz alta la segunda afirmación. Señala la respuesta en la historia antes de marcar la afirmación como verdadera o falsa.
• Explique a sus compañeros de qué trata el pasaje. • Comenta con tus compañeros lo que sabes sobre la gravedad. • Lee cada enunciado y comenta tus respuestas con tus compañeros.
• Lea en voz alta la tercera afirmación. Comenta con tus compañeros para decidir si es verdadera o falsa. • En parejas, lee la cuarta afirmación. Debate con tus compañeros para decidir si es verdadera o falsa. • Compañero lee la quinta afirmación. Debate con tus compañeros para decidir si es verdadera o falsa. • Compañero lee la sexta afirmación. Debate con tus compañeros para decidir si es verdadera o falsa. • Compañero lee la séptima afirmación. comente con sus compañeros para decidir si es verdadera o falsa.
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GRADO 8: NOTACIÓN CIENTÍFICA
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCRIBIR PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Ponga a disposición de los estudiantes las tarjetas de vocabulario ilustrado. Lea y comente las palabras del banco de palabras. Defina y proporcione ejemplos según sea necesario. Mientras lee, utilice las siguientes indicaciones:
Ponga a disposición de los estudiantes las tarjetas de vocabulario ilustrado. Lea y comente las palabras del banco de palabras. Defina y proporcione ejemplos según sea necesario. Mientras lee, utilice las siguientes indicaciones según las necesidades de los estudiantes. Utilice las siguientes pistas:
Ponga a disposición de los estudiantes las tarjetas de vocabulario ilustrado. Los estudiantes deben leer en coro las palabras del banco de palabras con sus compañeros. Pídales que comenten el significado de las palabras con sus compañeros. Defina y ponga ejemplos si es necesario. Mientras los estudiantes leen, utilice las siguientes indicaciones:
• Comente con los estudiantes el ejemplo que aparece en el Folleto del estudiante:
• Pida a los estudiantes que comenten las palabras del banco de palabras con sus compañeros.
• Haga que los estudiantes comenten las palabras del banco de palabras con sus compañeros.
◦ «¿Qué sabes sobre la capacidad de almacenamiento de los teléfonos móviles?».
• Doble la mitad inferior del papel para que solo se vea el banco de palabras. Señale una palabra del banco de palabras y, por turnos, explique las palabras con sus compañeros.
• Comente las palabras del banco de palabras con sus compañeros. Cada persona debe dar una explicación o descripción de una palabra y, a continuación, pedir a su compañero que parafrasee el significado de la palabra. Continúa este proceso hasta que hayas discutido todas las palabras del banco de palabras.
• Lea cada enunciado y pida a los estudiantes que consulten el banco de palabras antes de escribir sus respuestas.
• Tome nota de los estudiantes que proporcionan explicaciones matemáticamente precisas de las palabras del banco de palabras. • A continuación, señale una palabra del banco de palabras cuyo significado necesite aclarar. • En función de los estudiantes a los que haya oído dar las explicaciones matemáticamente precisas, pida a los estudiantes que ayuden a aclarar las palabras seleccionadas a sus compañeros. Veo que varios estudiantes están pidiendo aclaraciones sobre la palabra _____. (Nombre del estudiante) pudo dar una explicación clara sobre la palabra _____ a su compañero. (Nombre del estudiante), «¿podrías compartir tu explicación?». • Lee cada enunciado con tu compañero y utiliza las palabras del banco de palabras para completar cada enunciado. Tenga en cuenta que algunas palabras pueden utilizarse más de una vez o no utilizarse en absoluto. • Recuerde a los estudiantes que consulten el banco de palabras cuando rellenen los espacios en blanco.
• Lee las instrucciones con tus compañeros. «¿Qué plan vas a seguir para asegurarte de que utilizas el mayor número posible de palabras del banco de palabras en tu redacción?». Si no estás seguro de cómo utilizar una palabra, rodéala con un círculo en el banco de palabras. Los estudiantes no deben empezar a escribir todavía. • Esté atento a los estudiantes que tengan dificultades para crear un plan o que marquen con un círculo las palabras del banco de palabras. Ofrezca apoyo y permita que los estudiantes que hayan podido crear un plan lo compartan con la clase. ◦ Veo que varios de nosotros necesitamos aclaraciones sobre la palabra _____. Diríjase a alguien cercano que no sea su compañero y pídale que aclare o defina la palabra _____. ◦ Veo que varios de nosotros necesitamos ayuda para diseñar un plan que utilice palabras del banco de palabras. Acércate a alguien que no sea tu compañero y pídele que explique cómo piensa utilizar el mayor número posible de palabras del banco de palabras. • Pide a los estudiantes que escriban sus explicaciones una vez que se hayan aclarado todas las palabras y se hayan compartido los planes. • Ahora, escribe tu explicación utilizando al menos cinco de las palabras del banco de palabras. Cuando termines de escribir, comparte tu escrito con tus compañeros.
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GRADO 8: NOTACIÓN CIENTÍFICA
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO VOCABULARIO CLAVE
VOCABULARIO ILUSTRADO Base
Convert
Decimal
The lower number of an exponent that is multiplied by itself
To change the form of a measurement using different units without changing the size or amount of the quantity being measured
A number that uses a decimal point followed by digits that show a value smaller than one, in powers of ten that decrease; a number with one or more digits to the right of the decimal point 3
2
Estimate
Exponent
An approximation of an overall amount or value
A mathematical notation that indicates the number of times the base number is multiplied by itself; also called power
4
Integer Exponent
5
A positive or negative whole number or zero that tells the number of times a base is multiplied by itself 6
7
Place Value
Power
Rounding
The numerical value that a digit has, based on its position within a number
A mathematical notation that indicates the number of times the base number is multiplied by itself; also called an exponent
The process of raising or lowering a number to a specific place value position; representing an approximate worth
8
Scientific Notation
A way to write numbers by using the digits 0–9, with each digit having a place value 11
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10
Standard Form
A method of expression used to write very small and very large numbers by representing them with decimal numbers between 1 and 10, with each decimal being multiplied to a power of 10
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9
12
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GRADO 8: NOTACIÓN CIENTÍFICA
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ DESARROLLAR LA FLUIDEZ CONCEPTUAL
Concentration Instruction Sheet
GENERADOR DE FLUIDEZ: NOTACIÓN CIENTÍFICA
Play this game with a partner. You Will Need 1 Set of Concentration Cards (per pair)
How to Play 1. Shuffle the cards, and place them facedown to form a 4 × 6 array.
DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes jugarán a un juego de concentración.
MATERIALES IMPRESOS 2.
Player 1 flips over two cards to try to find a match. A match is a problem with its correct answer. Problems will need to be solved in order to determine matching answers.
3.
If player 1 matches a problem with the correct answer, then player 1 keeps the matched set and takes another turn.
4.
If player 1 does not find a match, then they place the cards
5.
Players continue taking turns until all of the matches have
6.
The player who collects the most cards wins.
facedown again, and it is the next player's turn. been found.
• 1 hoja de instrucciones de concentración (por pareja) • 1 juego de tarjetas de concentración (por pareja) REUTILIZABLES
• 1 sobre o bolsa (por pareja)
PREPARACIÓN
• Haga copias a doble cara de las «Tarjetas de Concentración». • Lamínelas para que duren más.
HOJA DE INSTRUCCIONES
• Recorte las tarjetas individuales y colóquelas en un sobre o bolsa para facilitar su distribución y limpieza. • Coloque a los estudiantes en parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo barajar las tarjetas y colocarlas boca abajo en una matriz de 4 × 6. 2. Represente cómo jugar el juego con un estudiante. a. El jugador 1 voltea 2 tarjetas para tratar de encontrar una coincidencia. Una coincidencia es un problema con su respuesta correcta. Será necesario resolver los problemas para determinar las respuestas que coinciden. b. Si el jugador 1 encuentra un problema con la respuesta correcta, entonces el jugador 1 se queda con el conjunto coincidente y toma otro turno. c. Si el jugador 1 no encuentra una coincidencia, entonces vuelve a colocar las tarjetas boca abajo y es el turno del siguiente jugador. d. Los jugadores continúan tomando turnos hasta que se hayan encontrado todas las coincidencias. e. Gana el jugador que reúna la mayor cantidad de tarjetas. 3. Distribuya los materiales. A continuación, pida a los estudiantes que barajen las cartas y las coloquen boca abajo. 4. Vigile a los estudiantes para asegurarse de que encuentran las parejas correctas.
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GRADO 8: NOTACIÓN CIENTÍFICA
ELABORAR: REVISIÓN EN ESPIRAL
Scientific Notation
REPASAR CONCEPTOS PREVIOS
REVISIÓN EN ESPIRAL: PREMIOS DE CINE DESCRIPCIÓN
Movie Awards Every year, the big movies of Hollywood have an award ceremony. This ceremony is created to reveal the best movies of the year. There are awards given out for all sorts of categories. Some of the categories are best actor, best soundtrack, best makeup design, and best special effects. Famous actors and actresses come from all over to attend this special event. In each category, there are four people or movies nominated for the award. They find out who the winner is the night of the show! Once they have won, they will be presented their award on stage and will have to give a thank-you speech. The ceremony is aired on national television for the whole world to see! In between awards, several singers are asked to perform for the audience’s entertainment. It is an exciting night for anyone to watch. Who will bring home the most awards?
Los estudiantes repasan contenidos anteriores o del grado actual para ayudar a apoyar su trabajo en en este alcance y fortalecer las habilidades necesarias para alcances posteriores.
REVISIÓN EN ESPIRAL CENTRADA EN LA PREGUNTA
1
• Pregunta 1
◦ Grado 7: Resolver problemas matemáticos y del mundo real que involucren las cuatro operaciones con números racionales. • Pregunta 2 ◦ Grado 7: Calcular tasas unitarias asociadas con ratios de fracciones, incluyendo ratios de longitudes, áreas y otras cantidades medidas en unidades iguales o diferentes. Por ejemplo, si una persona camina 1/2 de una milla en un 1/ de hora, calcule la tasa unitaria como la fracción compleja ½/1/4 millas por hora, equivalentemente 2 millas por hora. • Pregunta 3 ◦ Grado 8: Conocer y aplicar las propiedades de los exponentes enteros para generar expresiones numéricas equivalentes. Por ejemplo, 32 × 3-5 = 3-3 1 1 . = ___3 = ___ 27
Scientific Notation
1.
The top box-office hits always pay their actors the most money. In one film, three actors made $8 million each, one actor made $11 million, and another actor made half of a million dollars. Determine the total sum of all of the salaries. A. B. C. D.
3.
Every 15 minutes, 5 awards are given. How many awards are given in one hour? 20 awards are given in one hour.
$35,500,000 $19,500,000 $40,000,000 $350,000,000
Several movies took home awards this year. There were three movies in particular that each won 3 awards. Which expression shows the number of awards this represents? A. B. C. D.
2.
3³ 3² 3(3) 3+3
4.
The base of the award is the shape of a square. If the area of the base is 25 centimeters squared, how many centimeters long is each side? Each side is 5 cm long.
3
• Pregunta 4 ◦ Grado 8: Usa los símbolos de raíz cuadrada y raíz cúbica para representar soluciones a ecuaciones de la forma x2 = p y x3 = p, donde p es un número racional positivo. Evaluar raíces cuadradas de pequeños cuadrados perfectos y raíces cúbicas _ de pequeños cubos perfectos. Saber que √ 2 es irracional.
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno.
2
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
3. Utilice las preguntas del repaso en espiral como calentamiento en clase o envíelas a casa como tareas. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos. 4. Consulte la sección «Revisión en espiral centrada en la pregunta» para evaluar los conocimientos de contenido de los estudiantes o su necesidad de intervención adicional. Si es necesario repasar más, utilice los «Constructores de fluidez» en los alcances apropiados. 5. El objetivo final incluye una parte de este alcance para que los estudiantes vean en el contenido la conexión y relevancia de su aprendizaje previo.
2. Anime a los estudiantes a intentar responder a las preguntas de forma independiente sin utilizar recursos externos para ver lo que saben. Invítelos a anotar ideas o fragmentos que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas.
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GRADO 8: NOTACIÓN CIENTÍFICA
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS ANALIZAR DATOS
CIENCIA DE DATOS Ciencia de datos es un breve debate en clase basado en un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. La parte I incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los estudiantes en contexto.
DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Proyecte el conjunto de datos y prepárese para anotar las observaciones de los estudiantes. 2. Comente las siguientes preguntas:
Los estudiantes analizarán, interpretarán y generarán conjuntos de datos, además de responder a preguntas basadas en los datos.
a. «¿Qué notas acerca de este conjunto de datos?».
MATERIALES
b. «¿Qué representa este conjunto de datos?». c. «¿Qué categorías están incluidas en este conjunto de datos?».
IMPRESOS
• 1 conjunto de datos (por clase)
d. «¿Por qué puede ser útil utilizar la notación científica para representar las longitudes de onda del espectro electromagnético?».
REUTILIZABLES
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase)
e. «¿Qué preguntas tienes sobre los datos?».
• 1 rotulador (por clase)
PARTE II
CONSUMIBLES
1. Repase la notación científica y escribe lo que los estudiantes recuerden en el papel milimetrado.
• 1 trozo de papel milimetrado (por clase)
PREPARACIÓN
• Prepárese para proyectar el conjunto de datos para la clase. • Reúna un trozo de papel milimetrado y un rotulador. Scientific Notation
The Electromagnetic Spectrum
Radiation Type
Wavelength (M)
Gamma rays
1.0 × 10−13
X-rays
1.0 × 10−9
Ultraviolet
1.0 × 10−7
Visible light
1.0 × 10−6
Infrared light
1.0 × 10−4
Microwaves
1.0 × 10−2
Radio frequencies
1
2. Comenta las siguientes preguntas: a. «¿Cómo se relaciona este conjunto de datos con la notación científica?». Las respuestas pueden variar. Las longitudes de onda del tipo de radiación se dan en notación científica. b. «¿Cómo se puede utilizar la notación científica para convertir los componentes del espectro electromagnético?». Podemos utilizar la notación científica para comparar las diferentes longitudes de onda del espectro electromagnético. Como las longitudes de onda varían mucho en tamaño, la notación científica facilita la comparación de los números. c. Convierte la longitud de onda del rojo en nanómetros a notación científica. La longitud de onda del rojo es 7.0 × 10-9. d. Convierte la luz infrarroja en notación estándar. 1.0×10-4=0.0001
1
CONJUNTO DE DATOS
e. Según estos datos, «¿cuál es la longitud de onda aproximada de la cerceta escrita en notación científica?». La longitud de onda aproximada de la cerceta es 4.95×10-10. 3. Invite a los estudiantes a realizar una lluvia de ideas sobre preguntas relacionadas con la notación científica que podrían responderse a partir de este conjunto de datos.
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GRADO 8: NOTACIÓN CIENTÍFICA
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN
Scientific Notation
ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
Scientific Notation
LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN DESCRIPCIÓN Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede utilizarse como evaluación formativa para los maestros y como autoevaluación para los estudiantes.
How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Use numbers expressed in the form of a single digit times an integer power of 10 to estimate very large or very small quantities, and to express how many times as much one is than the other.
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Notes and Feedback
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 folleto del maestro (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del maestro» y un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Folleto del estudiante» a cada uno. 2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Exploración» y «Explicar» del alcance, evalúe formativamente su progreso tomando notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo. 3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo. 4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje. 5. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el «Folleto del maestro». 6. Las notas anecdóticas proporcionadas en el «Folleto del maestro» pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares. 7. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la «Guía de instrucción andamiada» en la sección «Inicio» de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
1
Scientific Notation
Standards for Mathematical Practice
Notes and Feedback
Make sense of problems and persevere in solving them Reason abstractly and quantitatively Construct viable arguments and critique the reasoning of others Model with mathematics Use appropriate tools strategically
Attend to precision Look for and make use of structure Look for and express regularity in repeated reasoning
Consider these reflection questions in this scope. ●
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them?
●
What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
2
FOLLETO DEL MAESTRO
200
SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 200
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GRADO 8: NOTACIÓN CIENTÍFICA
EVALUAR: MAPA DE CALOR EVALUACIÓN DE HABILIDADES
MAPA DE CALOR DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
1. Dé un «Mapa de calor» a cada estudiante junto con lápices de colores rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s).
MATERIALES
• 1 mapa de calor (por estudiante) • 1 lápiz de color rojo (por estudiante) • 1 lápiz de color azul (por estudiante) • 1 lápiz de color naranja (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Determine si los estudiantes analizarán su «Prueba de habilidades», la «Evaluación basada en estándares», o ambas. • Imprima un «Mapa de calor» para cada estudiante. • Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
2. Los estudiantes usan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el «Mapa de calor». Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los estudiantes colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, los estudiantes colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, los estudiantes colorean el cuadro correspondiente de rojo. 3. Anímelos a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a utilizar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada. 4. Consulte la «Guía de instrucción andamiada» que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
Scientific Notation
Scientific Notation
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
1. Which skill did you feel most confident with? Why?
Skills Quiz Standards Use numbers expressed in the form of a single digit times an integer power of 10 to estimate very large or very small quantities, and to express how many times as much one is than the other. For example, estimate the population of the United States as 3 ✕ 108 and the population of the world as 7 ✕ 109, and determine that the world population is more than 20 times larger.
Refer to your answers on the Standards-Based Assessment. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key.
Reflection Questions
Red – misconception
Scientific Notation
Blue - miscalculation
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
Orange - explanation
Standards
Questions
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Use numbers expressed in the form of a single digit times an integer power of 10 to estimate very large or very small quantities, and to express how many times as much one is than the other. For example, estimate the population of the United States as 3 ✕ 108 and the population of the world as 7 ✕ 109, and determine that the world population is more than 20 times larger.
3. Which type of error did you most commonly make?
Red - misconception
Standards-Based Assessment Questions
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4. How can you avoid those errors in the future?
1
2
3
MAPA DE CALOR
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SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 201
201
1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: NOTACIÓN CIENTÍFICA
INTERVENIR: REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES Scientific Notation
CORREGIR Y VOLVER A ENSEÑAR
REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES
Checkup Items Measured
DESCRIPCIÓN Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para intervención.
1.
Diameter in Meters
Diameter of Earth
12,800,000
Diameter of an atom
0.0000000005
What is the diameter of Earth in meters in scientific notation? 1.28 × 107
MATERIALES
2.
IMPRESOS
• 1 revisión rápida (por estudiante)
5 × 10−10 3.
• 1 repaso (por estudiante) • 1 revisión general (por estudiante)
• Imprima una copia de la «Revisión rápida», el «Revisión» y la «Revisión general» para cada estudiante.
The size of tree mallow pollen in meters is 0.00013. What is the size of tree mallow pollen in meters in scientific notation? 1.38 × 10−4
4.
• 1 lista de verificación para el maestro (por maestro)
PREPARACIÓN
What is the diameter of an atom in meters in scientific notation?
The size of honeysuckle pollen in meters is 7.5 x 10−5. What is the size of honeysuckle pollen in meters in standard form? 0.000075
5.
The radius of a hydrogen atom is 3.7 × 10−11. Round and write that number in standard form. 0.000000000037
6.
The radius of a potassium atom is 0.000000000227. Round and write that number in scientific notation. 2.27 × 10−10 or 2.3 × 10−10 or 2 × 10−10
• Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar la «Revisión». • Si lo desea, imprima un ejemplo del «Esquema de anclaje» de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que usen la «Libreta interactiva» como recurso.
1
• Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayudas suplementarias para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Scientific Notation
7.
6.0 × 10−3 > 7.2 × 10−4
1. Dé una copia de la «Revisión rápida» a cada estudiante. 2. Cada uno debe completarla de forma independiente. 3. Use la rúbrica de habilidades al final de la «Revisión rápida» para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional. 4. Distribuya una copia de «Revisión» a cada uno. 5. Cada estudiante debe completar la «Revisión» como actividad de intervención o de forma independiente. a.
Compare 6.0 × 10−3 and 7.2 × 10−4.
8.
In question 7, how much larger is the larger number? 6.0 × 10−3 = (6.0/7.2) × (10−3 – 10−4) = 0.83 × 101 = 8.3 times bigger 7.2 × 10−4
9.
Compare 7.2 × 103 and 3.6 × 10−3. 7.2 × 103 > 3.6 × 10−3
10.
How much larger is the larger scientific notation in question 9? 7.2 × 103 = (7.2/3.6) × (103 – 10−3) = 2 × 106 = 2,000,000 times bigger 3.6 × 10−3
Si lo desea, reúna a los estudiantes en pequeños grupos para trabajar en las destrezas de repaso. Utilice el «Revisión» como ayuda para la reenseñanza.
6. Distribuya una copia de la «Revisión general» a cada uno. 7. Cada estudiante debe completarla de forma independiente. 8. Analice los resultados de la «Revisión general» al usar la «Lista de verificación para el maestro» para identificar quienes necesitan un repaso adicional y quienes han alcanzado el dominio de los conceptos.
2
REVISIÓN GENERAL CLAVE DE RESPUESTAS
202
SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 202
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1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: NOTACIÓN CIENTÍFICA
ACELERACIÓN: ¿QUÉ PREFERIRÍAS? Scientific Notation
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Out of This World Use mathematical reasoning and creativity to justify your answer to the Would You Rather question. Grace is learning about planets in science class. She is learning about the distance from planets and the Sun. She learned that the estimated distance from Saturn to the Sun is 8.907 × 10⁸ km and that the estimated distance from Jupiter to the Sun is 4.838 × 108 km. Would you rather take a space flight to Saturn or to Jupiter? Justify your reasoning with mathematics. Convert the distance to standard notation to justify your reasoning.
Saturn
Jupiter
¿QUÉ PREFERIRÍAS?: FUERA DE ESTE MUNDO DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 rúbrica (por maestro)
PREPARACIÓN Sample answers may include the following: I would rather take a flight to Saturn because it is farther and I would like to see Saturn’s rings up close. I would rather take a flight to Jupiter because it is about half as far. I’m not sure I would like space flight. I also think that Jupiter is an interesting planet, and I’d like to
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno. • Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
see the clouds of Jupiter up close. Distance from Saturn to the Sun: 890,700,000 km Distance from Jupiter to the Sun: 483,800,000 km
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno.
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
2. Anímelos a mirar sus folletos de «Explorar» si necesitan repasar habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros. 4. Utilice la rúbrica proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
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GRADO 8: NOTACIÓN CIENTÍFICA
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Scientific Notation
OPCIONES PARA EL APRENDIZAJE CONTINUO
TABLERO DE OPCIONES DESCRIPCIÓN Los estudiantes explorarán las conexiones con el mundo real y las aplicaciones del contenido matemático a través de interacciones con actividades atractivas.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 tablero de opciones (por estudiante) • 1 juego de hojas de actividades (por estudiante) • 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante) REUTILIZABLE
• Tecnología (si corresponde)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Tablero de opciones» y un juego de hojas de actividades para cada estudiante. • Imprima una «Autoevaluación del tablero» para cada estudiante. • Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
Scientific Notation Choose one or more extension activities from the table below.
Career Connection
Astronomer
Mathematician Spotlight
Archimedes
Research the career field of astronomy. Your research must answer the provided questions. Create a presentation to relay your research to the class.
Research Archimedes’s work. Create an informational poster, diorama, or speech to convey this mathematician’s work as it relates to scientific notation.
Science Connection
Create Your Own
Space Facts
Writing numbers in scientific notation is a skill that applies to many areas of science. Complete the activity to apply your understanding of scientific and standard decimal notations.
Creative Writing
Create your own story by incorporating values expressed in both standard decimal and scientific notations.
Financial Connection
Analogies
Stock Market
Challenging Analogy
Research a company’s performance by writing financial statistics in both standard decimal and scientific notations.
An analogy is a type of comparison. Complete the analogies activity using your knowledge of scientific and standard decimal notations.
1
TABLERO DE OPCIONES
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» a cada estudiante. 2. Dé tiempo a los estudiantes para examinar el «Tablero de opciones» y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anímelos a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del tablero, haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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GRADO 8: NOTACIÓN CIENTÍFICA
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GRADO 8 OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA GRADO 8
OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA ACTIVIDADES DE EXPLORACIÓN EXPLORACIÓN 1: SUMAR Y RESTAR CON NOTACIÓN CIENTÍFICA
ESTÁNDARES CLAVE Trabajar con radicales y exponentes enteros. • Realizar operaciones con números expresados en notación científica, incluidos los problemas en los que se utilicen tanto la notación decimal como la científica. Utilizar notación científica y elegir unidades de tamaño apropiado para mediciones de cantidades muy grandes o muy pequeñas (por ejemplo, utilizar milímetros por año para la extensión del fondo marino). Interpretar la notación científica generada por la tecnología.
ESTÁNDARES DE CONEXIÓN Trabajar con radicales y exponentes enteros. • Utilizar números expresados en forma de un solo dígito multiplicado por una potencia entera de 10 para estimar cantidades numéricas muy grandes o muy pequeñas, y para expresar cuántas veces es una cantidad mayor que la otra. Por ejemplo, estimar la población de Estados Unidos como 3 × 108 y la población del mundo como 7 × 109, y determinar que la población mundial es más de 20 veces mayor.
ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN ACCESO A LOS CONOCIMIENTOS PREVIOS: DOS VERDADES Y UNA MENTIRA Los estudiantes se comprometen a identificar conceptos erróneos al determinar dos verdades y una mentira a partir de afirmaciones dadas sobre un estándar previo. • Los estudiantes leen y analizan tres afirmaciones para identificar cuál es falsa. • Discuten su razonamiento con un compañero para mejorar la comprensión y la comunicación. • La actividad anima a los estudiantes a justificar sus elecciones, fomentando el pensamiento crítico. • Si los estudiantes tienen dificultades, se les proporciona un apoyo básico adicional para abordar las lagunas de conocimiento.
Los estudiantes se involucran en la resolución colaborativa de problemas para practicar la suma y la resta de números en notación científica. • Los estudiantes trabajan en grupos para resolver situaciones reales relacionadas con el almacenamiento de datos, con la notación científica para combinar y restar tamaños de datos. • Rotan por estaciones con tarjetas de orden de trabajo, al registrar sus cálculos en diarios del estudiante. • Las preguntas guía y las discusiones ayudan a los estudiantes a entender el proceso de alinear exponentes y reescribir los resultados en notación científica correcta. • La actividad concluye con una «Charla de matemáticas» y un «Boleto de salida» para evaluar la comprensión y reforzar el aprendizaje. EXPLORACIÓN 2: MULTIPLICAR CON NOTACIÓN CIENTÍFICA Los estudiantes practican la multiplicación de números escritos en notación científica a través de un enfoque colaborativo e interactivo. • Los estudiantes trabajan en grupos para convertir números a notación científica y multiplicarlos para encontrar el área de los campos de golf. • Giran por la clase utilizando tarjetas de modelos de campos de golf para resolver los problemas y anotar sus conclusiones en un «Diario del estudiante». • La actividad incluye preguntas guiadas para ayudar a los estudiantes a comprender las propiedades de los exponentes y la importancia de la notación científica. • Una sesión de chat de matemáticas permite a los estudiantes compartir estrategias y observaciones, seguida de una papeleta de salida para evaluar la comprensión. EXPLORACIÓN 3: DIVIDIR CON NOTACIÓN CIENTÍFICA Los estudiantes practican la división de números escritos en notación científica a través del trabajo colaborativo en grupo. • Los estudiantes trabajan en grupos para comparar los tamaños de diferentes edificios o habitaciones con tarjetas de volumen de edificios. • Extraen pares de tarjetas, convierten los valores a notación científica si es necesario y dividen para comparar los tamaños. • Los estudiantes participan en discusiones para compartir estrategias y reflexionar sobre su aprendizaje. • La actividad concluye con una «Charla de matemáticas» y un «Boleto de salida» para evaluar la comprensión.
CAPTAR INTERÉS Los estudiantes exploran el concepto de comparar distancias con la notación científica para determinar cuántas veces es mayor un valor que otro. • Se presenta a los estudiantes un escenario que incluye las distancias de la Tierra al Sol y a Neptuno, expresadas en notación científica. • Participan en debates y en la resolución de problemas para comprender el uso de la notación científica en la comparación de grandes distancias. • La actividad incluye fases previas y posteriores a la exploración, en las que los estudiantes vuelven a visitar el escenario con los conocimientos recién adquiridos para resolver el problema. • Se anima a los estudiantes a investigar y comparar distancias entre otros cuerpos celestes, mejorando su comprensión de la notación científica y de las medidas astronómicas.
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GRADO 8: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA GRADO 8
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES EXPLORACIONES DE DATOS
NÚMEROS GRANDES Y PEQUEÑOS
CONCEPTOS CLAVE • Puedo evaluar números muy grandes y números muy pequeños como producto de un solo dígito por una potencia entera de 10. • Puedo sumar, restar, multiplicar y dividir números en notación científica. • Puedo aplicar reglas para multiplicar y dividir exponentes enteros al multiplicar y dividir en notación científica.
Los estudiantes trabajan con escenarios realistas como el almacenamiento de datos, los ingresos de las películas y los volúmenes de los edificios. Estiman, comparan y calculan con conjuntos de datos escritos en notación científica, desarrolan fluidez en la conversión entre notación estándar y científica y en la interpretación de los resultados generados por la tecnología. Los estudiantes también realizan operaciones (sumar, restar, multiplicar y dividir) con el uso de la notación científica en contextos reales como el cálculo de áreas de campos de golf o la comparación de volúmenes de grandes edificios, habilidades que pueden aplicarse cuando se trabaja con hojas de cálculo y se analizan grandes conjuntos de datos en campos científicos o tecnológicos.
Los estudiantes desarrollan el sentido numérico al trabajar con exponentes enteros y aprenden a simplificar, comparar y estimar cantidades de escalas drásticamente diferentes. Tanto si trabajan con distancias astronómicas como con medidas microscópicas, los estudiantes adquieren una sólida comprensión conceptual de cómo interactúan el valor posicional, las reglas de los exponentes y las operaciones cuando se trata de valores extremos. A través de estos problemas estructurados del mundo real, los estudiantes se sienten cómodos al navegar por el mundo abstracto de la notación científica y están equipados con estrategias para razonar sobre la magnitud, la eficiencia y la precisión en el razonamiento cuantitativo.
PREGUNTAS FUNDAMENTALES • Describir el proceso de sumar, restar, multiplicar y dividir números escritos en notación científica. • Describir las similitudes entre multiplicar/dividir números en notación científica y multiplicar/dividir exponentes enteros. • «¿Por qué es importante poder interpretar la notación científica generada por la tecnología?».
• Puedo usar notación científica y elegir unidades de medida apropiadas con respecto al tamaño de las cantidades. • Puedo interpretar reglas de notación científica generadas por la tecnología.
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GRADO 8: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA
INICIO: CONTENIDO DE APOYO ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
CONTENIDO DE APOYO Trabajar con radicales y exponentes enteros. • Realizar operaciones con números expresados en notación científica, incluyendo problemas en los que se utilicen tanto la notación decimal como la científica. Utilizar notación científica y elegir unidades de tamaño apropiado para mediciones de cantidades muy grandes o muy pequeñas (por ejemplo, utilizar milímetros por año para la extensión del fondo marino). Interpretar la notación científica que ha sido generada por la tecnología.
CONOCIMIENTOS PREVIOS Los estudiantes han interactuado con exponentes en 6.° grado, cuando comenzaron a escribir y evaluar expresiones numéricas que contenían exponentes de números enteros. Los estudiantes «Exploración»on cómo los exponentes de números enteros representan la multiplicación repetitiva de un número dado. Los estudiantes comenzaron a completar exponentes de números enteros y problemas matemáticos de varios pasos de la vida real que contenían números racionales en 7.º grado. Con esta habilidad, los estudiantes evalúan expresiones que contienen números en diversas formas combinadas con operaciones básicas.
CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
• Al sumar y restar números en notación científica, es posible que los estudiantes no desarrollen un valor exponencial común para cada potencia de 10. • Los estudiantes pueden escribir números en notación científica que contengan un decimal menor que 1 o mayor que 10, convirtiéndola en notación científica inapropiada. • Los estudiantes pueden intentar multiplicar y dividir los valores exponenciales adjuntos a la potencia de 10 cuando multiplican o dividen los decimales.
EN ESTE ALCANCE
TÉRMINOS CLAVE
• base: el número inferior de un exponente que se multiplica por sí mismo. • exponente: notación matemática que indica el número de veces que el número base se multiplica por sí mismo; también llamada potencia. • entero: cualquiera de los números enteros positivos, números enteros negativos y cero; cualquier miembro del conjunto de todos los números enteros y sus opuestos. • exponente entero: un número entero positivo o negativo o cero que indica el número de veces que una base se multiplica por sí misma. • ley del exponente negativo: la ley matemática que establece que cualquier número distinto de cero elevado a un exponente negativo es equivalente al recíproco de la base elevado al opuesto del exponente negativo. • potencia: una notación matemática que indica el número de veces que el número base se multiplica por sí mismo; también llamado exponente. • ley de la potencia de cero: la ley matemática que establece que cualquier número elevado a la potencia de 0 es igual a 1. • número racional: un número que puede escribirse como una fracción de enteros a/b, donde b ≠ 0; un número que puede escribirse como un cociente con dos enteros. • recíproco: uno de los dos números cuyo producto es 1; también llamado inverso multiplicativo. • notación científica: método de expresión utilizado para escribir números muy pequeños y muy grandes representándolos con números decimales entre 1 y 10, al multiplicar cada decimal por una potencia de 10. • forma estándar: forma de escribir números con los dígitos 0-9, teniendo cada dígito un valor posicional. • unidad de medida: cantidad estándar que se utiliza para medir.
Los estudiantes tendrán amplias oportunidades para realizar operaciones básicas que contengan números en notación científica. Los estudiantes utilizarán la suma, resta, multiplicación y división para evaluar problemas matemáticos y de la vida real que contengan valores escritos en notación científica. Los estudiantes manipularán las posiciones decimales para establecer los mismos valores exponenciales al sumar y restar números en notación científica. Los estudiantes aplicarán las leyes de los exponentes al multiplicar y dividir números en notación científica.
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GRADO 8: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
APLICAR LAS PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes utilizan la comprensión adquirida de las operaciones con notación científica y la aplican para resolver problemas contextuales. Primero analizan el problema, lo plantean con la operación elegida, lo resuelven y luego relacionan la solución con el contexto dado. • MP.2 Razonan abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes descontextualizan problemas y aplican operaciones con notación científica para resolverlos. Una vez que los estudiantes tienen la solución, la aplican de nuevo al contexto del problema. • MP.3 Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros: Los estudiantes participan en un discurso matemático activo mientras descubren cómo realizar operaciones con números en notación científica. Comunican los razonamientos en los que se basan sus conclusiones al tiempo que tienen en cuenta las ideas de otros compañeros. • MP.4 Modelar con matemáticas: Los estudiantes utilizan números escritos en notación científica y diferentes operaciones, como sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, para resolver problemas del mundo real. Estos problemas incluyen encontrar el área de un césped, la distancia a la que se encuentran los planetas y el espacio que queda en un disco duro. • MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas: Al evaluar y resolver problemas matemáticos y de la vida real que contengan números en notación científica, los estudiantes pueden utilizar una calculadora como ayuda en el proceso. • MP.6 Prestar atención a la precisión: Los estudiantes se centran en identificar qué operación se utiliza para completar los problemas matemáticos que contienen números en notación científica. Necesitan realizar diferentes procedimientos dependiendo de si la operación es suma y resta o multiplicación y división. Los estudiantes deben prestar mucha atención al problema matemático original para calcular con precisión la respuesta. • MP.7 Buscar y utilizar estructuras: Los estudiantes reflexionan sobre la división de números escritos tanto en notación científica como en notación decimal. Consideran qué método prefieren y cuál les resulta más fácil. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes analizan cómo sumar y restar números escritos en notaciones científicas. Toman esos hallazgos para generalizar un método sobre cómo resolver sumas y restas en notación científica.
SUMA Y RESTA Los estudiantes sumarán y restarán números escritos en
notación científica para aplicarlos a problemas matemáticos y de la vida real. Los estudiantes necesitarán obtener la base diez con una potencia común para sumar o restar los decimales apropiadamente. Los estudiantes tendrán que reubicar los decimales proporcionados para que las potencias de 10 sean iguales. (La manera fácil de que esto ocurra sería sumar a la potencia menor de 10 hasta que sea igual a la mayor, y luego mover el decimal esa cantidad de veces a la izquierda). Esto debe ocurrir antes de sumar o restar el decimal. Si las potencias de 10 son iguales desde el principio, los estudiantes pueden sumar y restar los decimales tal cual. Después de sumar o restar los decimales, los estudiantes tendrán que mantener la potencia común de 10 en la respuesta. Los estudiantes necesitarán asegurarse de que la respuesta final esté escrita en notación científica apropiada que contenga un decimal que sea mayor o igual a 1 pero menor que 10 veces una potencia de 10. Ejemplo 1: Bella está explorando los pesos de los planetas en nuestro sistema solar y descubrió que la Tierra pesa 3.2 × 106 libras y Marte pesa 5.4 × 106 libras. «¿Cuál es el peso total de ambos planetas juntos?». a.
8,6 × 1012 libras
b.
2,2 × 106 libras
c.
2,2 × 1012 libras
d.
8,6 × 106 libras
Ejemplo 2: Jordan quiere saber la masa de dos ballenas cuando se combinan. La ballena azul tiene una masa de 1,5 × 107 kilogramos y la orca tiene una masa de 3,2 × 106 kilogramos. «¿Cuál es la masa total de ambas ballenas juntas?». a. 4.7 × 1013 kilogramos b. 1.82 × 107 kilogramos c. 4.7 × 107 kilogramos d. 1.82 × 1013 kilogramos La opción de respuesta B es la correcta. Ambas potencias de 10 no son iguales, por lo que habrá que convertir la menor en la mayor. Al sumar 1 al 6 para convertirlo en 7, los decimales de 3,2 tendrán que desplazarse un valor posicional hacia la izquierda para convertirse en 0,32. En este punto, 1,5 y 0,32 se pueden sumar para obtener 1,82 y la potencia común de 107 se mantendrá para la respuesta final.
La opción de respuesta D es la correcta. Como las potencias de 10 son ambas 6, los dos decimales pueden sumarse tal cual. Alinea los decimales y suma. La respuesta final contendría el decimal de 8,6 y la potencia de 106. 3,2 × 106 + 5,4 × 106 = 8,6 × 106
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GRADO 8: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA
INICIO: CONTENIDO DE APOYO Ejemplo 3: Un asteroide viaja a una velocidad de 7,4 × 109 años-luz por hora. Una estrella fugaz viaja a una velocidad de 5,4 × 109 años-luz por hora. «¿Cuánto más rápido viaja el asteroide que la estrella fugaz?». a. 2 × 109 años-luz por hora b. 12.8 × 109 años-luz por hora c. 2 × 1018 años-luz por hora d. 12.8 × 1018 años-luz por hora La opción A es la respuesta correcta. Como las potencias de 10 son ambas 9, los dos decimales se pueden restar tal cual. Alinea los decimales y resta. La respuesta final contendría el decimal de 2 ó 2,0 y la potencia de 109.
MULTIPLICACIÓN Al multiplicar números en notación científica, los estudiantes no necesitan buscar potencias comunes de 10. Los estudiantes multiplicarán decimales y luego usarán las leyes de multiplicación de exponentes para sumar exponentes de potencias. Los estudiantes multiplicarán los decimales y luego usarán las leyes de multiplicación de exponentes para sumar los exponentes de potencia. Necesitarán asegurarse de que la respuesta final esté en la forma científica apropiada con un decimal que sea mayor o igual a 1 y menor que 10, multiplicado por una potencia de 10. Ejemplo 1: Multiplica (2.4 × 107) (4.5× 104)
7,4 × 109 - 5,4 × 109 = 2,0 × 109
a. 10.80 × 1011
Ejemplo 4: Unos grandes almacenes compraron un terreno de 8,6 × 104 pies cuadrados. Quieren vender 1,3 × 102 pies cuadrados a una tienda de juegos. «¿Cuánto terreno poseen ahora los grandes almacenes?».
b. 1.080 × 1028
a
7.3 × 106 pies cuadrados
b
8.587 × 102 pies cuadrados
c
8.587 × 104 pies cuadrados
d
7.3 × 102 pies cuadrados
La opción de respuesta C es la correcta. Ambas potencias de 10 no son iguales, por lo que habrá que convertir la menor en la mayor. Al sumar 2 al exponente de 2 para convertirlo en 4. A continuación, el decimal en 1,3 tendrá que mover dos valores de lugar a la izquierda para convertirse en 0,013. En este punto, 0,013 se puede restar de 8,6 para obtener 8,587, y la potencia común de 104 se mantendrá para la respuesta final.
c. 1.080 × 1012 d. 10.80 × 1028 La opción C es la respuesta correcta. Al multiplicar, las potencias comunes de 10 no son necesarias. Multiplica los números decimales juntos y luego usa las leyes de los exponentes para sumar las potencias. Cuando se juntan el decimal y la potencia de 10, la respuesta sería 10.80 × 1011 que no es la notación científica apropiada porque el número decimal es mayor que 10. El decimal necesita moverse un lugar a la izquierda para tener un decimal que sea mayor o igual a 1 pero menor que 10. Con este movimiento a la izquierda, hay que sumar el valor de un lugar a la potencia de 1011 convirtiéndolo en 1012. La respuesta final será 1,080 × 1012.
Ejemplo 2: David necesita cubrir el suelo de un aula con moqueta. La longitud de la habitación es de 2,3 × 104 pies y la anchura de la habitación es de 1,5 × 103 pies. «¿Cuántos pies cuadrados de moqueta se necesitan para cubrir el suelo del aula?». (2,3 × 104)(1,5 × 103) = [2,3 × 1.5] × [104 × 103] 2.3 × 1.5 = 3.45 [104 × 103] = 104+3 = 107 3.45 × 107 La respuesta correcta es 3.45 × 107. En este problema, para hallar el área del aula habrá que multiplicar la longitud y la anchura. Como se utiliza la multiplicación, no es necesaria una potencia común de 10. Multiplica el decimal 2.3 por 1.5 para obtener 3.45 y luego usa las leyes de los exponentes para sumar las potencias de 104 y 103 para obtener 107. Cuando se juntan el decimal y la potencia de 10, la respuesta final sería 3,45 × 107. Como está escrita en la notación científica adecuada, está terminada.
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GRADO 8: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
DIVISIÓN Al dividir números en notación científica, los estudiantes no necesitan buscar potencias comunes de 10. Los estudiantes dividirán decimales y luego usarán las leyes de división de exponentes para restar los exponentes de potencia juntos. Los estudiantes dividirán los decimales y luego usarán las leyes de división de exponentes para restar los exponentes de potencia juntos. Los estudiantes necesitarán asegurarse de que la respuesta final esté en la forma científica apropiada con un decimal que sea mayor o igual a 1 y menor que 10, multiplicado por una potencia de 10. 4.68 × 108 2.0 × 10⁻3
Ejemplo 1. Dividir ___________
La opción de respuesta A es correcta. Usando el orden de las operaciones, la pieza de multiplicación debe completarse primero. Multiplica el decimal 2,4 por 2,8 para obtener 6,72 y suma las potencias de 103 y 105 para obtener 108. Ahora, 6,72 × 108 se divide por 3,2 × 102. Para completarlo, divide el decimal 6,72 entre 3,2 y obtén 2,1. A continuación, reste las potencias de 108 y 102 para obtener 106 .La respuesta final sería entonces el decimal y el exponente juntos como 2.1 × 106. (2.4 × 103)(2.8 × 105) = [2.4 × 2.8] × [103 × 105] 2.4 × 2.8 =6.72 [103 × 105] = 103+5 = 108 6.72 × 108
a.
2.34 × 1011
ENTONCES
b.
2.34 × 105
___________ = [6.72 ÷ 3.2] × [108 ÷ 102]
c.
9.36 × 10⁻24
6.72 ÷ 3.2 = 2.1
d.
9.36 × 10⁻11
[108 ÷ 102] = 108-2 =106
6.72 × 108 3.2 × 102
La opción de respuesta A es la respuesta correcta. En este problema, las potencias comunes de 10 no son necesarias. Divide el decimal 4.68 entre 2.0 para obtener 2.34 y luego usa las leyes de los exponentes para restar las potencias de 108 y 10-3 para obtener 1011. Cuando se juntan el decimal y la potencia de 10, la respuesta sería 2,34 × 1011 que se presenta en notación científica apropiada. × 108 __________ 4.68 = [4.68 ÷ 2.0] × [108 ÷ 10-3] 2.0 × 10⁻3
4.68 ÷ 2.0 = 2.34
[108 ÷ 10-3] = 108 - (-3) = 1011 2.34 × 1011 Ejemplo 2: Eric estudia las áreas de varios estados de Estados Unidos. Descubre que el área de California es de 1,6 × 102 millas cuadradas y que el área de Alaska es de 6,6 × 105 millas cuadradas. «¿Cuántas veces mayor es la superficie de Alaska que la de California?».
6,6 × 105 _________ 1,6 × 102 = [6,6 ÷ 1,6] × [105 ÷ 102]
6,6 ÷ 1,6 = 4,125
[105 ÷ 102] = 105-2 = 103 4,125 × 103 La respuesta correcta es 4,125 × 103. En este problema, las potencias comunes de 10 no son necesarias. Divide el decimal 6.6 entre 1.6 para obtener 4.125 y luego usa las leyes de los exponentes para restar las potencias de 105 y 102 para obtener 103. Cuando el decimal y la potencia de 10 se juntan, la respuesta sería 4.125 × 103, que se presenta en notación científica apropiada.
TODAS LAS OPERACIONES Cuando se trabaja con números en notación científica, las cuatro operaciones pueden estar involucradas en un solo problema. Cuando esto ocurre, usar el orden de las operaciones ayudará a saber qué operaciones hacer primero. A menudo los problemas de notación científica pueden contener un número que está escrito en forma estándar. Es importante convertir ese número a notación científica antes de calcular las operaciones dadas. (2.4 × 103)(2.8 × 105) (3.2 × 102)
____________________ Ejemplo 1. Calcular:
2,1 × 106 Ejemplo 2: La población de estudiantes de la Universidad de Buffalo es de 22.000 estudiantes. La población de estudiantes de la Universidad Estatal de Ohio es de 4,1 × 103 estudiantes. «¿Cuántos estudiantes más asisten a la universidad en Buffalo que en la Universidad Estatal de Ohio, que tiene 1,5 × 104 estudiantes?». Se debe convertir 22.000 a 2,2 × 104. 2.2 × 104 + 4,1 × 103 = 2,2 × 104 + 0,41 × 104 2,61 × 104 Entonces: 2,61 × 104 -1,5 × 104 = 1,11 × 104 estudiantes La respuesta correcta es 1,11 × 104 estudiantes. Para empezar, es necesario convertir la población de estudiantes de la Universidad de Buffalo a notación científica. Para ello, se mueve el punto decimal invisible que está detrás del número entero a entre los 2 para formar 2,2. Luego se cuentan los valores de posición de los decimales para formar 2,2. A continuación, cuente los valores de lugar que el decimal se movió y adjuntar que como el exponente en la potencia de 10 para obtener 2,2 × 104. Ahora, hay que sumar las poblaciones de ambas escuelas. Para ello, las potencias de 10 deben ser iguales. Para ello, la potencia de 10 en 4,1 × 103 debe cambiarse a 104. Hay que sumar 1 al exponente de 3 en 103 para obtener 104 y, al hacerlo, hay que desplazar el decimal un lugar a la izquierda para obtener 0,41. Ahora, 0.41 se suma a 2.2 para obtener 2.61 × 104 para obtener el número total de estudiantes que asisten a ambas escuelas. Ahora, para encontrar la diferencia en el número de estudiantes, resta 1.5 × 104 de 2.61 × 104 para obtener 1.11 × 104 que es la respuesta final. AVANCES
En la escuela secundaria, los estudiantes trabajarán con varias escalas en todos los niveles numéricos, incluidos los números enteros muy grandes y decimales muy pequeños. Los estudiantes utilizarán conversiones numéricas para cambiar los valores con el fin de comprender y guiar la realización de problemas matemáticos o de la vida real de varios pasos.
a. 2.1 × 106 b. 2.1 × 1012 c. 6.56 × 106 d. 6.56 × 1012
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GRADO 8: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
ANÁLISIS PROFUNDO DE LOS ESTÁNDARES
CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES Trabajar con radicales y exponentes enteros. • Realizar operaciones con números expresados en notación científica, incluidos problemas en los que se utilicen tanto la notación decimal como la científica. Utilizar notación científica y elegir unidades de tamaño apropiado para mediciones de cantidades muy grandes o muy pequeñas (por ejemplo, utilizar milímetros por año para la extensión del fondo marino). Interpretar la notación científica generada por la tecnología.
DESGLOSAR EL ESTÁNDAR VERBOS: ¿QUÉ DEBERÍAN HACER LOS ESTUDIANTES?
• elegir: seleccionar. • interpretar: explicar el significado de. • realizar: llevar a cabo una tarea. • utilizar: aplicar una estrategia. • trabajar: realizar una tarea específica.
SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBEN CONOCER LOS ESTUDIANTES?
• decimal: un número que utiliza un punto decimal seguido de dígitos que muestran un valor menor que uno, en potencias de diez que disminuyen; un número con uno o más dígitos a la derecha del punto decimal. • notación decimal/forma decimal: un número que utiliza un punto decimal seguido de dígitos que muestran valores menores que uno. • exponente entero: un número entero positivo o negativo o cero que indica el número de veces que una base se multiplica por sí misma. • medida: un número que muestra el tamaño o la cantidad de algo. • número: un recuento o medida de un concepto representado por números. • operación: uno de los procesos matemáticos de suma, resta, multiplicación, división y exponenciación. • problema: una pregunta a resolver. • cantidad: un número o cantidad; una cantidad que indica cuánto. • radical: un símbolo que indica la raíz de una cantidad. • notación científica: un método de expresión utilizado para escribir números muy pequeños y muy grandes representándolos con números decimales entre 1 y 10, al multiplicar cada decimal a una potencia de 10. • tecnología: medios interactivos utilizados para mejorar el aprendizaje. • unidad: un tipo de medida como una pulgada, una libra o un segundo.
IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA
• En niveles de grado anteriores, los estudiantes han utilizado unidades de medida consuetudinarias y métricas para representar el tamaño de objetos concretos. Los estudiantes han resuelto problemas al usar números decimales y ahora han experimentado el uso de la notación científica y exponentes enteros en expresiones. • En este nivel de grado, se espera que los estudiantes utilicen la notación científica para representar números muy grandes o muy pequeños. Los estudiantes determinan el significado de la notación científica. Los estudiantes también determinan las unidades apropiadas para números muy pequeños y muy grandes basándose en el contexto. Los estudiantes también realizan operaciones con números escritos en notación científica.
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GRADO 8: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
ALINEACIÓN VERTICAL GRADO
ESTÁNDAR
6
Escribir y evaluar expresiones numéricas que involucren exponentes de números enteros.
7
Resolver problemas matemáticos y de la vida real de varios pasos planteados con números racionales positivos y negativos en cualquier forma (números enteros, fracciones y decimales), con herramientas de manera estratégica. Aplicar las propiedades de las operaciones para calcular con números de cualquier forma; convertir entre formas según corresponda; y evaluar la razonabilidad de las respuestas al usar estrategias de cálculo mental y estimación.
8
Conocer y aplicar las propiedades de los exponentes enteros para generar expresiones numéricas equivalentes.
8
Utilizar números expresados en forma de una sola cifra por una potencia entera de 10 para estimar cantidades muy grandes o muy pequeñas, y para expresar cuántas veces es una que otra.
8
Realizar operaciones con números expresados en notación científica, incluyendo problemas en los que se utilicen tanto la notación decimal como la científica. Utilizar notación científica y elegir unidades de tamaño apropiado para mediciones de cantidades muy grandes o muy pequeñas (por ejemplo, utilizar milímetros por año para la extensión del fondo marino). Interpretar la notación científica que ha sido generada por la tecnología.
HS
Utilizar las unidades como una forma de entender los problemas y de guiar la solución de problemas de varios pasos; elegir e interpretar las unidades de forma coherente en las fórmulas informáticas; elegir e interpretar la escala y el origen en gráficos y visualizaciones de datos.
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GRADO 8: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA MONITOREAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA La guía de instrucción andamiada se proporciona para que los maestros puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones del alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que ayuda a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de la evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos según los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere que todos los estudiantes experimenten con los elementos: «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades», ya que cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar. 0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
80 % - 100 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil pueden trabajar en contenido de nivel de grado con apoyos de instrucción.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» individual para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 2. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante de acuerdo con sus datos de evaluación. 3. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la sección «Scaffolded Instruction Guide» en el menú desplegable «Home» del alcance. 4. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Operaciones y Pensamiento algebraico Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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GRADO 8: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Realizar operaciones con números expresados en notación científica, incluidos problemas en los que se utilicen tanto la notación decimal como la científica. Utilizar notación científica y elegir unidades de tamaño apropiado para mediciones de cantidades muy grandes o muy pequeñas (por ejemplo, utilizar milímetros por año para la extensión del fondo marino). Interpretar la notación científica generada por la tecnología.
(Refuerzo del grado anterior)
0 % - 25 %
7 - Ecuaciones Revisión y prueba de habilidades Constructor de fluidez • Ecuaciones Práctica interactiva • ¡Mejor compra! Prueba de habilidades 8 - Exponentes enteros Revisión y prueba de habilidades Constructor de fluidez • Exponentes enteros Práctica interactiva • Cerradura y llave
(Nivel de grado)
25 % - 50 % 80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
50 % - 80 %
(Nivel de grado con apoyos)
Prueba de habilidades 8 - Operaciones con notación científica Acceso a conocimientos previos Constructor de fluidez Revisión y prueba de habilidades • Revisión rápida • Revisión • Prueba de control
8 - Operaciones con notación científica Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva Constructor de fluidez • Operaciones con notación científica Ciencia de datos Conexiones lingüísticas
8 - Operaciones con notación científica Tarea de modelado matemático ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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GRADO 8: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA
ATRAER: ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS Operations with Scientific Notation
EVALUAR PREVIAMENTE EL CONOCIMIENTO DEL ESTUDIANTE
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: DOS VERDADES Y UNA MENTIRA
Two Truths and a Lie Read each statement. Identify the two truths with check marks and the one lie with an X.
ESTÁNDAR PREVIO Usar números expresados en la forma de un solo dígito por una potencia entera de 10 para estimar cantidades muy grandes o muy pequeñas, y para expresar cuántas veces es una cantidad mayor que otra.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes identificarán dos verdades y una mentira al leer afirmaciones sobre el estándar anterior. Este elemento está diseñado para descubrir los conceptos erróneos de los estudiantes; no debe tomarse para una calificación.
6 × 104 is equal to 6,000.
5 × 104 is equal to 50,000.
7 × 104 is the same as 7 times 10,000.
MATERIALES IMPRESO
• 1 dos verdades y una mentira (por estudiante o grupo)
PREPARACIÓN
• Imprima «Dos verdades y una mentira» para cada estudiante o cada grupo.
1
DOS VERDADES Y UNA MENTIRA
• Puede dividir a los estudiantes en grupos de dos o tres.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Lea la pregunta en voz alta a la clase. 2. Conceda 2 minutos para que los estudiantes lean las tres afirmaciones y determinen cuáles son las dos verdades y la mentira. 3. Pida a los estudiantes que compartan con un compañero cómo marcaron su hoja y por qué. 4. Conceda de 2 a 5 minutos de debate. 5. Pida a los estudiantes que justifiquen su elección de la mentira. a. A es la mentira porque 6 × 104 es igual a 6 (10 x 10 × 10), 6 veces 10.000, lo que equivale a 60.000. 6. Si los estudiantes tienen dificultades para completar esta tarea, pase a realizar el «Constructor de bases fundamentales» para cubrir esta laguna de conocimientos previos antes de pasar a otras partes del ámbito.
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GRADO 8: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA
ATRAER: CAPTAR INTERÉS
Operations with Scientific Notation
LECCIÓN PARA CAPTAR INTERÉS
Won’t You Be My Neighbor? Solar System Neighbor
CAPTAR INTERÉS
Distance from Earth
DESCRIPCIÓN The Sun
1.49 × 108 km
Planet Neptune
4.41 × 109 km
Los estudiantes determinan cuántas veces es mayor un valor que otro al usar valores expresados en notación científica.
MATERIALES IMPRESO • 1 ¿No quieres ser mi vecino? (por clase) 1
¿NO QUIERES SER MI VECINO?
PREPARACIÓN
• Planee mostrar los fenómenos. • Prepárese para proyectar «¿No quieres ser mi vecino?» para que toda la clase lo vea. • Prepárese para presentar el escenario y anime a los estudiantes a pensar en cómo resolverlo. Prepárese para pasar a las actividades «Exploración», regresando a la actividad «Captar interés» con los nuevos conocimientos adquiridos una vez finalizadas las exploraciones.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA 1. Presente esta actividad hacia el principio del alcance. La clase retomará la actividad y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades «Exploración» correspondientes. 2. Muestre los fenómenos. Formule a los estudiantes las siguientes preguntas: «¿Qué observas? ¿Dónde puedes ver matemáticas en esta situación?». Permita que los estudiantes compartan sus ideas. 3. Explique el escenario a la clase: Archie está trabajando en un proyecto en su clase de astronomía. Quiere averiguar a qué distancia está la Tierra del Sol en comparación con la distancia que hay entre la Tierra y el planeta más alejado del Sol, Neptuno. Ha decidido investigar las distancias y registrarlas en kilómetros, lo que le obliga a utilizar la notación científica para que los números no sean demasiado grandes e incómodos. Se pregunta cuántas veces más lejos está la Tierra de su vecino más lejano del sistema solar que de su vecino más cercano. 4. Permita que los estudiantes hagan preguntas y aclaren el contexto si es necesario. Anímeles a compartir sus pensamientos y experiencias con la clase utilizando las siguientes preguntas: a. «¿Qué sabes sobre los planetas y el Sol?». b.
«¿Por qué Archie necesita utilizar la notación científica para registrar las distancias entre el Sol y los planetas?». 5. Proyecto «¿Quieres ser mi vecino?».
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REUTILIZABLES • 1 fenómeno (por clase)
6. Explique a los estudiantes que Archie ha investigado las distancias (en kilómetros) desde la Tierra tanto del Sol como de Neptuno. Ahora quiere saber no solo la diferencia de distancias, sino también cuántas veces más lejos está Neptuno de la Tierra que el Sol. Comparta las siguientes preguntas con la clase: a.
DOK-1 «¿Qué cuerpo celeste está más lejos de la Tierra?». Neptuno
b.
DOK-1 «¿A qué distancia está el Sol de la Tierra?». 1,49 x 108 km
c.
DOK-1 «¿A qué distancia está Neptuno de la Tierra?». 4,41 x 108 km
7. Continúe con las actividades de «Exploración». PARTE II: DESPUÉS DE LA EXPLORACIÓN 1. Una vez que los estudiantes hayan completado las actividades de «Exploración» de este tema, muestre de nuevo los fenómenos y repita la situación. 2. Consulte «¿No quieres ser mi vecino?». y comparta las siguientes preguntas con la clase: a. DOK-1 «¿Qué cuerpo celeste está más lejos de la Tierra?». Neptuno b. DOK-1 «¿A qué distancia está el Sol de la Tierra?». 1,49 108 km c. DOK-1 «¿A qué distancia está Neptuno de la Tierra?». 4.41 109 km d. DOK-2 «¿Cuál es el proceso para determinar cuántas veces más lejos de la Tierra está Neptuno que el Sol?». Primero establece un cociente al comparar la distancia de la Tierra a Neptuno con la distancia de la Tierra al Sol. Divide primero los números decimales entre uno y 10, y halla el cociente. Luego, divide las potencias de 10 y halla el cociente. Después, halla el producto de ambos cocientes. e. DOK-1 «¿Cuál es el cociente de los números decimales entre uno y 10?». 4,41 ÷ 1,49 = 2,96 f. DOK-1 «¿Cuál es el cociente de las potencias de 10?». 109 ÷ 108 = 101 = 10 g. DOK-1 «¿Cuál es la solución? ¿Cuántas veces más lejos está Neptuno de la Tierra que el Sol de la Tierra?». Neptuno está 29,6 veces más lejos de la Tierra que el Sol. 3. Si el tiempo lo permite, pida a los estudiantes que investiguen la distancia entre otros planetas y el Sol. Pueden usar esta información para responder a sus propias preguntas o a preguntas como: «¿Qué dos planetas vecinos se encuentran a mayor distancia? ¿Qué dos planetas vecinos se encuentran a menor distancia?».
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GRADO 8: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 1: SUMA Y RESTA CON NOTACIÓN CIENTÍFICA Estándar(es) • Trabajar con radicales y exponentes enteros. Realizar operaciones con números expresados en notación científica, incluidos problemas en los que se utilicen tanto la notación decimal como la científica. Utilizar notación científica y elegir unidades de tamaño apropiado para mediciones de cantidades muy grandes o muy pequeñas (por ejemplo, utilizar milímetros por año para la extensión del fondo marino). Interpretar notación científica que ha sido generada por la tecnología. Ideas fundamentales Exploración de datos Números grandes y pequeños
Estándares para la práctica matemática MP.5 Usar herramientas apropiadas estratégicamente. MP.6 Atender a la precisión.
Conexiones de contenido
Motores de investigación
CC1 Razonar con datos.
DI1 Dar sentido al mundo: comprender y explicar.
CC3 Desarmar el todo, armar las partes.
DI2 Predecir lo que podría suceder: predecir.
MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes practicarán la suma y la resta de números escritos en notación científica con y sin potencias comunes.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 diario del estudiante (por estudiante) • 1 juego de tarjetas de orden de trabajo (por clase) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes)
PREPARACIÓN
• Planifique dividir la clase en grupos de tres o cuatro para completar esta actividad. • Imprima el «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima un juego de tarjetas de orden de trabajo para la clase. Recorte las tarjetas siguiendo las líneas discontinuas y colóquelas en orden aleatorio por la clase. Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para utilizarlas en el futuro. • Imprima un documento de «Boleto de salida» para cada 2 estudiantes. Recorte los boletos de salida a media página para que cada estudiante tenga uno.
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PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Lea la siguiente situación a la clase: Plus/Minus Electronics tiene un servicio especial para las personas que necesitan más espacio de almacenamiento en sus ordenadores o discos duros externos. Combinan los discos duros de los ordenadores y discos duros externos de las personas para que tengan espacio suficiente para almacenar todos sus datos. Registran todos los tamaños de datos en bytes. Algunas de sus nuevas órdenes de trabajo están repartidas por la sala. Ayuda a Plus/Minus a conocer los tamaños de los datos combinados, así como cuánto espacio libre habrá en el disco duro tras combinar los datos. 2. Entregue el «Diario del estudiante» a cada uno. 3. Explique a los estudiantes que colaborarán con sus grupos para sumar el disco duro 1 y el disco duro 2 para hallar la cantidad total de espacio de disco duro utilizado. Luego, los estudiantes restarán el espacio total utilizado en los discos duros 1 y 2 del nuevo espacio del disco duro. 4. Explique a los estudiantes cuánto tiempo tendrán en cada tarjeta de preguntas y cómo sabrán cuándo rotar a la siguiente tarjeta. 5. Permita a los estudiantes rotar por la sala, al completar las órdenes de trabajo con sus grupos y registrando los resultados en el «Diario del estudiante».
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GRADO 8: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA Operations with Scientific Notation Explore 1
Combining Hard Drives
6. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientativas para evaluar la comprensión de los estudiantes:
Use the Work Order Cards to find the amount of data there will be once it has been combined as well as the amount of free space that will be available on the new hard drives. Fill in the information on the table below.
Work Order Letter
Combined Data
Free HDD Space
A.
1.2 × 1010 + 2.4 × 1010 = 3.6 × 1010
5 × 1010 – 3.6 × 1010 = 1.4 × 1010
B.
4.2 × 10−9 + 3.6 × 10−9 = 7.8 × 10−9
8 × 10−9 – 7.8 × 10−9 = 0.2 × 10−9 = 2 × 10−10
C.
5.5 × 10−10 + 5.5 × 10−9 = 0.55 × 10−9 + 5.5 × 10−9 = 6.05 × 10−9
a. DOK-1 «¿Cómo sabes si un número está escrito en notación científica correcta?». La notación científica correcta comienza con un número mayor o igual que 1 y menor que 10 que se eleva a una potencia de 10.
6.4 × 10−8 – 6.05 × 10−9 = 6.4 × 10−8 – 0.605 × 10−8 = 5.795 × 10−8 =
1
Operations with Scientific Notation Explore 1
Work Order Letter
Combined Data
Free HDD Space
D.
4.8 × 1010 + 3.6 × 1011 = 4.8 × 1010 + 36 × 1010 = 40.8 × 1010 = 4.08 × 1011
1 × 1012 – 4.08 × 1011 = 1 × 1012 – 0.408 × 1012 = 0.592 × 1012 = 5.92 × 1011
E.
9.43 × 109 + 4.8 × 1010 = 0.943 × 1010 + 4.8 × 1010 = 5.743 × 1010
6.4 × 1010 – 5.743 × 1010 = 0.657 × 1010 = 6.57 × 109
F.
4.8 × 1010 + 8.4 × 1011 = 0.48 × 1011 + 8.4 × 1011 = 8.88 × 1011
2 × 1012 – 8.88 × 1011 = 2 × 1012 – 0.888 × 1012 = 1.112 × 1012
G.
6.82 × 109 + 3.2 × 1010 = 0.682 × 1010 + 3.2 × 1010 = 3.882 × 1010
8 × 1010 – 3.882 × 1010 = 4.118 × 1010
Operations with Scientific Notation Explore 1
H.
I.
Combined Data
Free HDD Space
8.2 × 10−12 + 1.04 × 10−12 = 9.24 × 10−12
4.9 × 108 + 2.2 × 1010 = 0.049 × 1010 + 2.2 × 1010 =
11
J.
9
8.2 × 10 + 2.25 × 10 = 8.2 × 1011 + 0.0225 × 1011 = 8.2225 × 1011
CHARLA DE MATEMÁTICAS
6.4 × 1010 – 2.249 × 1010 =
• DOK-1 Si estás tratando de sumar dos números que están elevados a una potencia diferente de 10, «¿cómo puedes hacer para que puedas sumar esos números?». Se necesita cambiar el exponente para que ambos estén elevados a la misma potencia de diez.
1 × 1012 – 8.2225 × 1011 = 1 × 1012 – 0.82225 × 1012 = 0.17775 × 1012 = 1.7775 × 1011
3
Operations with Scientific Notation Explore 1
Reflect 1.
Do you prefer making the powers of ten equal by making the exponent larger or smaller? Explain. Answers will vary. I prefer making the exponent larger because that means I’m adding a decimal to a whole number.
3.
What happens when you add or subtract numbers written in scientific notation but the answer is not written in correct scientific notation? You need to write it in correct scientific notation. You do this by moving the decimal to make the coefficient a number greater than or equal to 1 and less than 10 and then changing the exponent accordingly. If the decimal moves to the right, the exponent gets smaller. If the decimal moves to the left, the exponent gets larger.
4
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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• DOK-2 ¿¿Qué preferirías?: hacer las potencias de 10 iguales al hacer el exponente más grande o más pequeño?». Explica. Prefiero hacer el exponente más grande porque eso significa que estoy sumando un decimal a un número entero. • DOK-1 «¿Qué sucede cuando sumas o restas números escritos en notación científica pero la respuesta no está escrita en notación científica correcta?». Se necesita escribir en notación científica correcta. Esto se hace moviendo el decimal para que el coeficiente sea un número mayor o igual que 1 y menor que 10, y luego cambiar el exponente en consecuencia. Si el decimal se desplaza hacia la derecha, el exponente se reduce. Si el decimal se desplaza hacia la izquierda, el exponente aumenta.
If you’re trying to add two numbers that are raised to a different power of ten, how can you make it so that you can add those numbers together? You need to change the exponent so that they are both raised to the same power of ten.
2.
d. DOK-1 «Si los números están elevados a diferentes potencias,¿qué le sucede al primer número o coeficiente cuando cambias la potencia?». Si el exponente disminuye, el decimal se desplaza el mismo número hacia la derecha. Si el exponente aumenta, el decimal se desplaza el mismo número hacia la izquierda. 7. Después de la exploración, invita a la clase a una «Charla de matemáticas» para compartir sus observaciones y aprendizajes.
1 × 10−11 – 9.24 × 10−12 = 1 × 10−11 – 0.924 × 10−11 = 0.076 × 10−11 = 7.6 × 10−13
4.151 × 1010
2.249 × 1010
b. DOK-1 «¿Qué sucede cuando se suman o restan números en notación científica que se elevan a la misma potencia?». Cuando se suman o restan números elevados a la misma potencia, se puede simplemente sumar o restar el primer número y mantener la misma potencia. c. DOK-1 «¿Qué sucede cuando sumas o restas números en notación científica que están elevados a diferentes potencias?». Cuando se suman o se restan estos números elevados a diferentes potencias, se necesitará cambiar el exponente para que estén elevados a la misma potencia.
2
Work Order Letter
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
• DOK-2 «¿Por qué es importante saber sumar y restar números escritos en notación científica?». Los números escritos en notación científica son muy grandes o muy pequeños. Poder sumarlos o restarlos escritos de esta manera ahorra tiempo a la hora de hacer cálculos, ya que no es necesario escribir todos los ceros.
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GRADO 8: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Operations with Scientific Notation Explore 1
8. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
TABLA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de completar la tabla de anclaje como clase. Una vez que la clase haya completado el «Esquema de anclaje», haga que los estudiantes completen individualmente su «Libreta interactiva».
Bytes or Gigabytes Exit Ticket The last work order came in, but there was an error. Instead of being recorded in bytes like it should have been, it was recorded in gigabytes. Because the amount of data was such a small number, it was again recorded in scientific notation. Write the total amount of data in the third column. Combined Data: HDD 1
HDD 2
2.6 × 10−7
3.23 × 10−6
3.49 × 10−6 1
APOYOS INSTRUCTIVOS 1. Algunos estudiantes pueden preguntarse por qué podemos simplemente sumar o restar los coeficientes y mantener las potencias iguales cuando sumamos o restamos números científicos que tienen la misma potencia. Muéstreles que están haciendo la propiedad distributiva a la inversa, de forma que a(b + c) = ab + ac. La potencia común es la a. 2. Algunos estudiantes pueden preguntarse por qué tenemos que cambiar el exponente al sumar o restar números científicos elevados a potencias diferentes para que queden elevados a la misma potencia. Muéstreles que, en esta situación, estamos convirtiendo la expresión a una forma utilizable para usar la propiedad distributiva a la inversa, lo que requiere un factor común para ambos términos.
Operations with Scientific Notation Explore 1
Bytes or Gigabytes Exit Ticket The last work order came in, but there was an error. Instead of being recorded in bytes like it should have been, it was recorded in gigabytes. Because the amount of data was such a small number, it was again recorded in scientific notation. Write the total amount of data in the third column. Combined Data: HDD 1
HDD 2
2.6 × 10−7
3.23 × 10−6
Se proporcionará a los estudiantes apoyos previos a la lectura (organizadores gráficos, diagramas de formas y vocabulario preenseñado) para ayudarlos con la comprensión lectora. Principiante: Como hoja de referencia para la lección, proporcione a los estudiantes una hoja de preguntas que describan el proceso de pensamiento para convertir un número a notación científica. Las preguntas pueden incluir: (1) «¿El número es grande o pequeño?». (2) «¿El exponente será positivo o negativo?». (3) «¿Cuántos lugares debo desplazar el decimal?». etc. Intermedio: Como hoja de referencia para la lección, proporcione a los estudiantes una hoja de preguntas que describan el proceso de pensamiento para convertir un número a notación científica. Las preguntas pueden incluir: (1) «¿El número es grande o pequeño?». (2) «¿El exponente será positivo o negativo?». (3) «¿Cuántos lugares debo desplazar el decimal?». etc.
2.6 × 10−7 + 3.23 × 10−6 = 0.26 × 10−6 + 3.23 × 10−6 = 3.49 × 10−6 1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
APOYOS LINGÜÍSTICOS La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Exploración». Consulte las estrategias a continuación para conocer las formas de apoyar el desarrollo del lenguaje del estudiante.
2.6 × 10−7 + 3.23 × 10−6 = 0.26 × 10−6 + 3.23 × 10−6 =
Operations with Scientific Notation Part 1
Adding and Subtracting with Scientific Notation Stephanie received a new cellular phone for her birthday. The phone comes with a data plan that includes 4.096 × 10⁹ bytes of data each month. The table shows how much data Stephanie has used this month. Use the information from the table to answer the questions. Application
Size (Bytes)
FaceGram
5.46 × 10⁸
VideoTube
1.26 × 10⁹
SnapShot
3.21 × 10⁸
Soundstream
4.41 × 10⁸
1.99 × 10⁷
Viewgle
2.2 × 10⁷
How many total bytes of data have been used by FaceGram and SnapShot? 5.46 × 10⁸ + 3.21 × 10⁸ = 8.67 × 10⁸ How many total bytes of data have been used by VideoTube and Soundstream? 1.26 × 10⁹ + 4.41 x 10⁸ = 12.6 × 10⁸ + 4.41 × 10⁸ = 17.01 × 10⁸ = 1.701 × 10⁹ How many more bytes of data have been used by Viewgle than have been used by the Email application? 2.2 × 10⁷ – 1.99 × 10⁷ = 0.21 × 10⁷ = 2.1 × 10⁶ After the data has been used for VideoTube, how much data remains for the rest of the applications? 4.096 × 10⁹ – 1.26 × 10⁹ = 2.836 × 10⁹ 1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS
Avanzado: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que creen un mapa conceptual con un banco de palabras que describa cómo convertir un número a notación científica. Las frases clave pueden incluir: el exponente es negativo, el exponente es positivo, el decimal se mueve a la derecha, el decimal se mueve a la izquierda, etc.
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GRADO 8: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 2: MULTIPLICAR CON NOTACIÓN CIENTÍFICA Estándar(es) • Trabajar con radicales y exponentes enteros. Realizar operaciones con números expresados en notación científica, incluyendo problemas en los que se utilicen tanto la notación decimal como la científica. Utilizar notación científica y elegir unidades de tamaño apropiado para mediciones de cantidades muy grandes o muy pequeñas (por ejemplo, utilizar milímetros por año para la extensión del fondo marino). Interpretar notación científica que ha sido generada por la tecnología.
Ideas fundamentales Exploración de datos. Números grandes y pequeños.
Estándares para la práctica matemática MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas. MP.6 Prestar atención a la precisión.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes practicarán la multiplicación de números escritos en notación científica.
Conexiones de contenido
Motores de investigación
CC1 Razonar con datos.
DI1 Dar sentido al mundo: comprender y explicar
CC3 Desarmar el todo, armar las partes.
DI2 Predecir lo que podría suceder: predecir
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
• 1 boleto de salida (por estudiante)
1. Lea la siguiente situación a la clase: Greyson's Lawn Service está confeccionando una lista de sus clientes y del tamaño de los céspedes que cortan. La mayoría de sus servicios se realizan en campos de golf. Ayuda a Greyson a determinar la superficie total de cada uno de los campos de golf que tienen como clientes.
• 1 juego de tarjetas modelo del curso (por clase)
2. Entregue el «Diario del estudiante» a cada uno.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 diario del estudiante (por alumno)
PREPARACIÓN
• Planifique dividir la clase en grupos de tres o cuatro para completar esta actividad. • Imprima el «Diario del estudiante» y el «Boleto de salida» para cada estudiante. • Imprima un juego de tarjetas modelo del curso para la clase. Coloque las tarjetas en orden aleatorio por la clase. De acuerdo con el tamaño de la clase, puede que necesites imprimir 2 juegos de tarjetas. Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para utilizarlas en el futuro.
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3. Explique a los estudiantes que colaborarán con sus grupos para multiplicar números escritos en notación científica. Algunos números proporcionados no están en notación científica, pero los estudiantes necesitarán convertir todos los números a notación científica para resolver. 4. Explique a los estudiantes de cuánto tiempo dispondrán en cada pregunta de campo de golf y cómo sabrán cuándo rotar a la siguiente tarjeta. 5. Permita a los estudiantes rotar por la sala, para encontrar el área de cada campo de golf con sus grupos y anotar los resultados en el «Diario del estudiante».
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GRADO 8: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 6. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas orientativas para evaluar la comprensión de los estudiantes:
Operations with Scientific Notation Explore 2
Greyson’s Lawn Service Look at the Course Model Cards. Use the space below to draw a model of each course and find the total area Greyson’s Lawn Service will need to mow. Show your work using scientific notation. Course Name
Model
3
3
(3.25 × 10 )(2.35 × 10 )
a. DOK-1 «¿Qué haces con los números escritos en notación decimal?». Los números escritos en notación decimal deberán cambiarse a notación científica para que puedan multiplicarse entre sí.
(3.25 · 2.35) = 7.6375
Legends Course
103 · 103 = 103+3 = 106
7.6375 × 106 sq. ft.
7.6375 × 106
b. DOK-1 La notación científica siempre tiene base 10. Basándonos en las propiedades de los exponentes, «¿qué significa eso que hacemos con los exponentes al multiplicar?». Las propiedades de los exponentes nos dicen que cuando multiplicamos con bases iguales, podemos sumar los exponentes. c. DOK-1 «¿Cómo sabes cuando un número está escrito en notación científica?». Para estar en notación científica, el coeficiente debe ser mayor o igual que 1 y menor que 10.
Square Footage
Workspace
1
Operations with Scientific Notation Explore 2
Course Name
Model
Square Footage
Workspace
(2.25 × 103)(5.87 × 102) (2.25 × 5.87) = 13.2075 Tiger Tees
103 × 102 = 103+2 = 105
1.32075 × 106 sq. ft.
13.2075 × 105 = 1.32075 × 106
(4.78 × 104)(7.9 × 102) (4.78 × 7.9) = 37.762
Royal National Course
7. Después de la «Exploración», invite a la clase a una «Charla de matemáticas» para compartir sus observaciones y aprendizajes.
104 × 102 = 104+2 = 106
3.7762 × 107 sq. ft.
37.762 × 106 = 3.7762 × 107
2
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 «¿Cómo se corrige una respuesta que no está escrita en la notación científica correcta?». Se mueve el decimal para que el coeficiente sea un número mayor o igual que 1 y menor que 10. A continuación, se cambia el exponente en función del número de posiciones que haya desplazado el punto decimal. Si el decimal se desplaza a la derecha, el exponente se hace más pequeño. Si el decimal se mueve hacia la izquierda, el exponente se hace más grande.
Operations with Scientific Notation Explore 2
Course Name
Model
−3
Bricker Fire Course
(8.28 × 3.86) = 31.9608 10−3 × 10−3 = 10(−3)+(−3) = 10−6
3.19608 × 10−5 sq. mi.
31.9608 × 10−6 = 3.19608 × 10−5
(4.45 × 10−3)(6.24 × 10−2)
Meadow Valley Course
(4.45 × 6.24) = 27.768 10−3 × 10−2 = 10(−3)+(−2) = 10−5
2.7768 × 10−4 sq. mi.
27.768 × 10−5 = 2.7768 × 10−4
3
• DOK-2 «¿Por qué es importante poder multiplicar en notación científica?».
8. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen la «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
−3
(8.28 × 10 )(3.86 × 10 )
• DOK-1 «¿Por qué necesitas cambiar los números escritos en notación decimal para que estén en notación científica?». Los números deben estar en la misma forma para que puedan ser multiplicados efectivamente.
• DOK-3 «¿Dónde podrías ver en el mundo real números escritos en notación científica siendo multiplicados?». Hallar el área de una tierra de cultivo.
Square Mileage
Workspace
Operations with Scientific Notation Explore 2
Reflect 1.
What happens when you get an answer that is not written in the correct scientific notation? You need to write it in correct scientific notation. You do this by moving the decimal to make the coefficient a number greater than or equal to 1 and less than 10 and then changing the exponent accordingly. If the decimal moves to the right, the exponent gets smaller. If the decimal moves to the left, the exponent gets larger.
2.
Why do you need to change the numbers written in decimal notation to be in scientific notation? The numbers should be in the same form so that they can be multiplied effectively.
3.
Why is it important to be able to multiply in scientific notation? Answers will vary. Numbers written in scientific notation are either very large or very small. Being able to multiply them written this way saves time in doing calculations as you don’t need to write all of the zeroes.
4
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
222
SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 222
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1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Operations with Scientific Notation Explore 2
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
Yards on the Side Exit Ticket
Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez que la clase haya completado el «Esquema de anclaje», haga que los estudiantes completen individualmente su «Libreta interactiva».
Greyson’s business slows down during the winter. Sometimes he will do people’s lawns to get some money before golf season starts up again. He received two requests for this weekend. Find the area of the two yards they will mow.
Yard
Square Mileage
Workspace
APOYOS INSTRUCTIVOS (2.25 × 10−2)(8.5 × 10−3) (2.25 × 8.5) = 19.125 10−2 × 10−3 = 10−2 + (−3) = 10−5 19.125 × 10−5 = 1.9125 × 10−4
1.9125 × 10−4 sq. miles
(4.7 × 10−3)(2.4 × 10−2) (4.7 × 2.4) = 11.28 10−3 × 10−2 = 10−3+(−2) = 10−5 11.28 × 10−5 = 1.128 × 10−4
1.128 × 10−4 sq. miles
1. Los estudiantes con dificultades pueden beneficiarse de una hoja de referencia que etiquete las diferentes partes de un número escrito en notación científica. Incluya etiquetas que señalen lo siguiente: Base 10; Exponente entero, Coeficiente (entre 1 y 10) y Signo de multiplicación. 2. Los estudiantes con dificultades pueden beneficiarse de una hoja de referencia que proporcione preguntas orientativas y un ejemplo de cómo convertir un número a notación científica. Las preguntas pueden incluir: (1) «¿El número es grande o pequeño?». (2) «¿El exponente será positivo o negativo?». (3) «¿Cuántos lugares debo mover el decimal?».
1
EXIT TICKET CLAVE DE RESPUESTAS
APOYOS LINGÜÍSTICOS Operations with Scientific Notation Part 2
Multiplying with Scientific Notation
Los estudiantes utilizarán el apoyo de pistas visuales, compañeros y maestros para desarrollar el vocabulario, la estructura del lenguaje y los conocimientos previos necesarios para comprender el texto escrito.
The Jorgan family owns several acres of land in a rural area of Nebraska. The land is divided into large plots that are used to grow fruits, vegetables, and other crops that are sold to supermarkets throughout the state. Complete the table to determine the area of each plot of land used to grow the crops. Crop
Plot Dimensions
Workspace
7.86 × 10³
Wheat
Area
(7.86 × 10³) × (9.45 × 10³) 7.86 × 9.45 = 74.277 10³ × 10³ = 10³⁺³ = 10⁶
Principiante: Antes de la lección, muestre a los estudiantes los nombres y las imágenes de diferentes deportes, incluido el golf. Pregunte a los estudiantes: "«¿Practicas algún deporte?»." Anímeles a responder utilizando la raíz de la frase: "Sí, practico el deporte.... (fútbol)" o "No, no practico ningún deporte".
7.4277 × 10⁷
74.277 × 10⁶
9.45 × 10³
(5.2 × 10³) × (8.64 × 10²)
Corn
5.2 × 10³
5.2 × 8.64 = 44.928 10³ × 10² = 10³⁺² = 10⁵
4.4928 × 10⁶
44.928 × 10⁵
8.64 × 10²
1
Operations with Scientific Notation Part 2
Crop
Plot Dimensions
Workspace
Tomatoes
4.78 × 10²
(4.78 × 10²) x (6.05 × 10²) 6.05 × 10²
4.78 × 6.05 = 28.919
Potatoes
10² × 10² = 10²⁺² = 10⁴
3.75 × 2.15 = 8.0625 10³ × 10³ = 10³⁺³ = 10⁶
Intermedio: Como actividad previa a la clase, pida a los estudiantes que se entrevisten unos a otros sobre su interés y experiencia con los deportes. Pídales que elijan tres preguntas de una lista. Las preguntas pueden incluir: «¿Juegas o ves deportes? ¿Cuál es tu deporte favorito?». etc. Avanzado: Como actividad previa a la clase, pida a los estudiantes que, en grupos de 3-4, elaboren una lista de diferentes deportes en un tiempo determinado. El grupo que tenga más nombres de deportes sin repetir gana y el grupo que enumere el deporte misterioso (golf) obtiene 5 puntos adicionales.
2.8919 × 10⁵
(3.75 × 10³) × (2.15 × 10³) 2.15 × 10³
Melons
Area
28.919 × 10⁴
3.75 × 10³
La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad «Exploración». Consulte las estrategias a continuación para conocer las formas de apoyar el desarrollo del lenguaje de un estudiante.
8.0625 × 10⁶
8.0625 × 10⁶
(1.95 × 10³) × (5.25 × 10²)
1.95 × 10³ 5.25 × 10²
1.95 × 5.25 = 10.2375 10³ × 10² = 10³⁺² = 10⁵
1.02375 × 10⁶
10.2375 × 10⁵ 2
MUESTRA LO QUE SABES PARTE 2 CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 3: DIVIDIR CON NOTACIÓN CIENTÍFICA Estándar(es) • Trabajar con radicales y exponentes enteros. Realizar operaciones con números expresados en notación científica, incluyendo problemas en los que se utilicen tanto la notación decimal como la científica. Utilizar notación científica y elegir unidades de tamaño apropiado para mediciones de cantidades muy grandes o muy pequeñas (por ejemplo, utilizar milímetros por año para la extensión del fondo marino). Interpretar notación científica que ha sido generada por la tecnología. Estándares para la práctica matemática
Ideas fundamentales Exploración de datos. Números grandes y pequeños.
MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas. MP.6 Prestar atención a la precisión.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes practicarán la división de números escritos en notación científica.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por estudiante) • 1 juego de tarjetas de volumen de construcción (por grupo) REUTILIZABLE
• 1 bolsa resellable (por grupo)
PREPARACIÓN
• Planifique dividir la clase en grupos de tres o cuatro para completar esta actividad. • Imprima el «Diario del estudiante» y el «Boleto de salida» para cada estudiante. • Imprima un juego de tarjetas de volumen de construcción para cada grupo de estudiantes. Recorte y coloque las tarjetas en una bolsa con cierre para cada grupo. Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para utilizarlas en el futuro.
Conexiones de contenido CC1 Razonar con datos. CC3 Desarmar el todo, armar las partes.
Motores de investigación DI1 Dar sentido al mundo: comprender y explicar.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Lea la siguiente situación a los estudiantes: Daphne organiza un concurso semanal de preguntas y respuestas. El tema de esta semana son los grandes edificios. Daphne recopila datos numéricos para utilizarlos en el concurso y se da cuenta de que los valores también se pueden escribir en notación científica. Dafne también se pregunta cuánto más grandes o pequeños son algunos de estos datos numéricos en comparación con los otros datos recopilados. ¡Ayuda a Dafne a comparar los números escritos en notación científica! 2. Entregue el «Diario del estudiante» a cada uno. 3. Entregue un juego de tarjetas de volumen de edificios a cada grupo. 4. Explique a los estudiantes que colaborarán con sus grupos para comparar los tamaños de diferentes edificios o habitaciones. Un compañero barajará las tarjetas y las colocará boca abajo en un montón. Los estudiantes extraerán dos cartas del montón y anotarán el nombre de cada edificio o sala extraído. A continuación, los estudiantes dividirán los valores escritos en notación científica para comparar los dos edificios o salas. Los estudiantes repetirán este proceso 3 veces más para crear 4 pares de valores. 5. Explique que cualquier coeficiente que tenga un decimal grande puede redondearse a la milésima más cercana. 6. Los estudiantes utilizarán la proporción proporcionada para dividir los números escritos en notación científica. Algunos números proporcionados no están en notación científica, pero los estudiantes tendrán que convertir todos los números a notación científica para resolver.
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GRADO 8: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA Operations with Scientific Notation Explore 3
7. Supervise y evalúe la comprensión de los estudiantes mientras cada grupo colabora al formular estas preguntas orientativas:
Big Buildings Begin by randomly selecting two cards, one at a time. Then use the table below to compare the values expressed in scientific notation. Repeat this process three more times for a total of four comparisons. Answers will vary. Building or Room Name
Empire State Building ___________________
Show Work
1.35 3.6
(building or room)
vs. United Center ___________________ (building or room)
1.35 × 108 = 3.6 × 107
larger value smaller value
3.75 is ________ Empire State Building ___________________.
(building or room)
4.8 5.5
vs.
(building or room)
Boeing Everett Factory ___________________
4.8 × 108 = 5.5 × 105
larger value smaller value
a. DOK-1 «¿Cómo sabes cuándo un número está escrito en notación científica?». Para estar en notación científica, el coeficiente debe ser mayor o igual que 1 y menor que 10.
(building or room)
times greater than
108 – 7 = 101 0.375 × 101 = 3.75
Boeing Everett Factory ___________________
By how much? United Center ___________________
= 0.375
(building or room)
873 is ________
= 0.873
times greater than
White House ___________________
108 – 5 = 103
(building or room)
White House ___________________.
0.873 × 103 = 8.73 × 102
(building or room) 1
Operations with Scientific Notation Explore 3
Building or Room Name
Target Import Warehouse ___________________
Show Work larger value smaller value
5.2 9.55
(building or room)
vs. Sydney Opera House ___________________ (building or room)
7
5.2 × 10 = 9.55 × 106
By how much?
(building or room)
= 0.545 5.45 is ________ times greater than
0.545 × 101 = 5.45
Sydney Opera House ___________________. (building or room)
larger value smaller value
The Pentagon ___________________
4.25 2.4
(building or room)
vs. Tower of Pisa ___________________ (building or room)
8
= 4.25 × 10 2.4 × 106
The Pentagon ___________________ (building or room)
= 1.771
1.771 × 102
c. DOK-2 «¿Cómo puedes determinar cuánto más grande es un número comparado con otro?». Las respuestas pueden variar. Puedo dividir el valor más grande entre el valor más pequeño para determinar cuánto más grande es el valor más grande comparado con el valor más pequeño.
8. Dé tiempo a los estudiantes para que completen las preguntas y la reflexión en el «Diario del estudiante».
177.1 is ________ times greater than
108 – 6 = 102
b. DOK-1 «¿Cómo se convierte un número escrito en notación decimal en notación científica?». Pon un ejemplo. Empiezas con un coeficiente mayor o igual a 1 y menor que 10 y cuentas cuántos lugares mueves el decimal. Por ejemplo, para el número 1,234, empezarías con 1,234 como coeficiente. Como estás moviendo el decimal 3 lugares a la izquierda, tu exponente sería 103.
d. DOK-2 «¿En qué se diferencia la división de números en notación científica de la división de números en notación decimal?». Es similar, pero la notación científica puede ser más fácil. Se dividen los coeficientes y los exponentes por separado. Para dividir los exponentes, como las bases son las mismas, basta con restar los exponentes.
Target Import Warehouse ___________________
107 – 6 = 101
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3
Tower of Pisa ___________________. (building or room)
2
9. Después de la «Exploración», invite a la clase a una «Charla de matemáticas» para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS
Operations with Scientific Notation Explore 3
• DOK-1«¿Por qué necesitas cambiar los números escritos en notación decimal para que estén en notación científica?». Los números deben tener la misma forma para poder dividirlos eficazmente.
Use the table to help answer the following questions. 1.
How can you divide two values written in scientific notation? Divide the coefficients, and then divide the exponents. Since the exponents have the same base, you subtract the exponents.
2.
Which value is smaller: 3 × 10−7 or 2.5 × 10−4?
• DOK-2 «¿Por qué es importante poder dividir en notación científica?». Los números escritos en notación científica son muy grandes o muy pequeños. Poder dividirlos escritos de esta manera ahorra tiempo al hacer cálculos, ya que no es necesario escribir todos los ceros.
3 × 10−7 (0.0000003) is less than 2.5 × 10−4 (0.00025). 3.
larger value
Using the ratio smaller value, how many times smaller is 6 × 10 −3 than 3 × 10−2? 3 x 10−2 6 x 10−3
= 0.5 × 101
6 × 10−3 is 5 times smaller than 3 × 10−2.
Reflect 1.
Do you think it’s easier to divide numbers written in decimal notation or scientific notation? Answers will vary. I prefer dividing numbers written in scientific notation as I only have a worry about dividing a few digits and then I just subtract the exponents.
2.
Why do you need to change the numbers written in decimal notation to be in scientific notation? The numbers should be in the same form so that they can be multiplied effectively.
3
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
• DOK-2 «¿Creen que es más fácil dividir números escritos en notación decimal o en notación científica?». Prefiero dividir números escritos en notación científica ya que solo tengo que preocuparme de dividir unos pocos dígitos y luego solo restar los exponentes.
• DOK-3 «¿Dónde podrías encontrar números escritos en notación científica siendo divididos en el mundo real?». Comparación de grandes distancias, como la distancia entre estrellas. 10. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen la «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 11. Vuelva a «Captar interés» y pida a los estudiantes que utilicen sus habilidades recién adquiridas para completar con éxito la actividad.
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1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA
«EXPLORACIÓN»: EXPLORACIÓN 3 Operations with Scientific Notation Explore 3
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez que la clase haya completado el «Esquema de anclaje», haga que los estudiantes completen individualmente su «Libreta interactiva».
Dust to Dust Exit Ticket Gregory was studying very small particles under a microscope. Use the table below to answer questions 1–3. Particle
Mass in kg
Dust
7.5 × 10−10
Sand
4.5 × 10−6
Salt
9 × 10−8
APOYOS INSTRUCTIVOS 1. Los estudiantes con dificultades pueden beneficiarse de una hoja de referencia que etiquete las diferentes partes de un número escrito en notación científica. Incluya etiquetas que señalen lo siguiente: Base 10, Exponente entero, Coeficiente (entre 1 y 10) y Signo de multiplicación. 2. Los estudiantes con dificultades pueden beneficiarse de una hoja de referencia que proporcione preguntas orientativas y un ejemplo de cómo convertir un número a notación científica. Las preguntas pueden incluir: (1) «¿El número es grande o pequeño?». (2) «¿El exponente será positivo o negativo?». (3) «¿Cuántos lugares debo mover el decimal?».
1.
How many times smaller is the dust particle than the sand particle? 4.5 × 10−6 = 7.5 × 10−10
2.
How many times smaller is the salt particle than the sand particle? 4.5 × 10−6 = 9 × 10−8
3.
9 × 10−8 = 7.5 × 10−10
Intermedio: Antes de la lección, comience la clase con una pregunta tipo test: «¿Cuál es el edificio más alto del mundo?». (Burj Khalifa en Dubai) Explique a los estudiantes que acaban de responder a una pregunta de trivial, o a una pregunta sobre detalles o hechos sin importancia. A continuación, divida a los estudiantes en 3-4 grupos. Proporcione a cada grupo una lista de preguntas sobre Estados Unidos que deberán responder en el tiempo asignado. Ganará el grupo que tenga más respuestas correctas. Avanzado: Antes de la lección, comience la clase con una pregunta tipo test: «¿Cuál es el edificio más alto del mundo?». (Burj Khalifa en Dubai) Explique a los estudiantes que acaban de responder a una pregunta de trivial, o a una pregunta sobre detalles o hechos sin importancia. A continuación, divídalos en 3-4 grupos. Proporcione a cada grupo una lista de preguntas sobre Estados Unidos que deberán responder en el tiempo asignado. Gana el grupo que tenga más respuestas correctas.
9 = 1.2 × 102 = 120 times greater 7.5
1
EXIT TICKET CLAVE DE RESPUESTAS
La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Exploración». Consulte las estrategias a continuación para conocer las formas de apoyar el desarrollo del lenguaje de un estudiante.
Principiante: Antes de la lección, comience la clase con una pregunta tipo test: «¿Cuál es el edificio más alto del mundo?». (Burj Khalifa en Dubai) Explique a los estudiantes que acaban de responder a una pregunta de trivial, o a una pregunta sobre detalles o hechos sin importancia. A continuación, pida a los estudiantes que respondan a 3-4 preguntas más sobre Estados Unidos. Algunos ejemplos de preguntas son: «¿Cuántos estados hay en EE.UU.? ¿Quién fue el primer presidente estadounidense?». etc.
4.5 = .5 × 102 = 50 times smaller 9
How many times greater is the salt particle than the dust particle?
APOYOS LINGÜÍSTICOS
Los estudiantes utilizarán el apoyo de pistas visuales, compañeros y maestros para desarrollar el vocabulario, la estructura del lenguaje y los conocimientos previos necesarios para comprender el texto escrito.
4.5 = .6 × 104 = 6,000 times smaller 7.5
Operations with Scientific Notation Part 3
Dividing with Scientific Notation McKenzie has family all over the United States. Every year, her family decides to host its family reunion in a different state where one of her relatives lives. For a geography project, McKenzie decided to compare the sizes of the different places she has traveled to for her family reunion. Complete the table to help McKenzie compare the different states she has been to. Comparisons The area of Texas is about 268,000 mi². The area of Rhode Island is about 1.214 × 10³ mi².
2.68 1.214 = 2.208
Workspace
Comparison Statement
2.68 × 10⁵ 1.214 × 10³
Texas 220.8 __________ is ___________ times larger than Rhode Island _____________.
1.64 × 10⁵ 6.55 × 10⁴
The area of California is about 1.64 × 10⁵ mi². The area of Wisconsin is about 6.55 × 10⁴ mi².
10⁵ = 10² 10³
2.208 × 10²
California 2.5 __________ is ___________ 10⁵ = 10⁴
1.64 = 0.25 6.55
10¹
times larger than Wisconsin _____________.
0.25 × 10¹ = 2.5 × 10⁰ 1
Operations with Scientific Notation Part 3
Comparisons The area of Idaho is about 8.28 × 10⁵ mi². The area of Vermont is about 9.2 × 10³ mi².
The area of Alaska is about 6.63 × 10⁵ mi². The area of Washington DC is about 6.83 × 10¹ mi².
Workspace
Comparison Statement
8.28 × 10⁵ 9.2 × 10³ 8.28 9.2
Idaho 90 __________ is ___________ 10⁵ = 10² 10³
= 0.9
0.9 × 10² = 9 × 10¹ 6.63 × 10⁵ 6.83 x 10¹
Vermont _____________.
Alaska 9,700 __________ is ___________
10⁵ = 10⁴ 10¹
6.63 6.83 = 0.97
times larger than
times larger than Washington, D.C. _____________.
0.97 × 10⁴ = 9.7 × 10³ The area of the United States is about 3.8 × 10⁶ mi². The area of New Jersey is about 8.7 × 10³ mi².
3.8 × 10⁶ 8.7 × 10³ 3.8 8.7
= 0.437
The United States is ____ 437 _________________ 10⁶ = 10³ 10³
times larger than New Jersey _____________.
0.437 × 10³ = 4.37 × 10²
2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 3) CLAVE DE RESPUESTAS 226
SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 226
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1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE
CONSOLIDAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTEESTUDIANTES
Operations with Scientific Notation Adding 4.5 × 104
4.5 × 104
+ 3.2 × 104 7.7 × 10
+ 3.2 × 105
0.45 × 104 + 1 = 5 + 3.2 × 105
4
3.65 × 105
Subtracting
–
Subtracting
4.5 × 104 3.2 × 104 1.3 × 104
3.2 × 105 – 4.5 × 104
DESCRIPCIÓN Un esquema de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Se trata de una herramienta para apoyar la instrucción y anclar el aprendizaje de los estudiantes a lo largo del alcance.
.45 × 105
+ 3.2 × 105
=5
ESQUEMA DE ANCLAJE
Adding
3.2 × 105 – 0.45 × 104 + 1
MATERIALES
• 1 hoja de papel cuadriculado • 1 juego de marcadores multicolores
5
3.2 × 10 – .45 × 105
2.75 × 10 5
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del ejemplo de esquema de anclaje, si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. El ejemplo de esquema puede utilizarse como referencia antes de crear el de la clase. Esta actividad debe ser dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje. 2. A medida que los estudiantes trabajen en el alcance, colaboren para añadir piezas al «Esquema de anclaje». Formule las siguientes preguntas orientadoras: a. «¿Qué estrategia utilizamos para resolver este problema?».
Operations with Scientific Notation Multiplying Scientific Notation: Calculate coefficients and exponents separately.
Dividing Scientific Notation: Calculate coefficients and exponents separately. 1.
7.2 × 10-3 3.6 × 104
1.5 · 2.0 = 3
2.
Divide the coefficients.
Add the exponents of the powers of 10. 102 · 10-5 = 10-3
3.
Subtract the exponent in the denominator from the exponent in the numerator. 10-3 – 4 = -3 + -4 = -7
Join the new coefficient to the new power of 10 to get your answer. 3 × 10-3
4.
Join the new coefficient and the new power of 10 to get your answer. 2 × 10-7
1.
(1.5 × 102)(2.0 × 10-5)
2. 3.
4.
7.2 3.6 = 2
b. «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?». 3. Continúe añadiendo habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada «Exploración» para resaltar el contenido importante. 4. Explique que pueden usar este gráfico como herramienta de apoyo para su aprendizaje. Los estudiantes también pueden pegar una copia del ejemplo de «Esquema de anclaje» en sus cuadernos para utilizarlo como referencia durante el año. 5. Algunos «Esquemas de anclaje» solo se mostrarán durante un alcance o grupo de alcances concretos, mientras que otras permanecerán expuestas durante todo el curso escolar.
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
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GRADO 8: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA Operations with Scientific Notation
DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
LIBRETA INTERACTIVA DESCRIPCIÓN
Instructions ● Cut out the top and bottom pages. ● Glue or tape the bottom of the flipbook into your notebook. ● Cut the flaps on the dotted lines of the top page, and fold back to the solid lines. ● Place glue where it says “Place glue here.” Attach it to the top of the flipbook. ● Lift up the flaps, and fill in the blank spaces to complete the flipbook. Top
Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase al usar la actividad y la libreta.
IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del «Folleto del estudiante» para cada uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Adding Decimals
MATERIALES
Adding and Subtracting
Multiplication
Division
1. Prepare una «Libreta interactiva» al usar un cuaderno de espiral o de composición para cada uno. Los estudiantes pueden utilizar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades. 2. Las instrucciones para cada actividad se proporcionan en el «Folleto del estudiante». 3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos. Bottom
Jean is exploring distances celestial objects are from Earth. A star is 1.5 × 1011 km from Earth. A nearby galaxy is 1.95 × 1011 km from Earth. How much farther away is the star from Earth than the galaxy to Earth?
Place glue here.
4. Las libretas interactivas pueden utilizarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
Operations with Scientific Notation
‒
A plot of farmland measures 1.2 × 104 feet by 2.0 × 103 feet. How many square feet of land make up the property?
×
=
Evaluate using division.
9 × 108 3 × 105 =
FOLLETO DEL ESTUDIANTE
228
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GRADO 8: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
APOYAR A LOS ESTUDIANTES MULTILINGÜES
CONEXIONES LINGÜÍSTICAS DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes tienen la oportunidad de utilizar sus conocimientos lingüísticos y culturales previos para apoyar las conexiones con nuevas destrezas, vocabulario y conceptos en sus niveles de competencia.
1. Distribuya a cada alumno un «Folleto del estudiante» con el nivel de competencia adecuado. 2. Utilice las instrucciones para las partes de comprensión oral, expresión oral, lectura y escritura. Utilice gestos, señale objetos y elementos visuales, según proceda. Consulte las indicaciones para obtener sugerencias.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante según su nivel de competencia (por alumno)
3. Deje tiempo a los estudiantes para que piensen con sus vecinos antes de responder.
PREPARACIÓN
• Prepare a los estudiantes para trabajar con compañeros cuando sea necesario.
4. Anime a los estudiantes a perseverar en su pensamiento y a utilizar herramientas y modelos matemáticos.
• Determine el nivel de competencia en inglés de cada estudiante.
5. Invite a los estudiantes a responder adecuadamente a cada dominio lingüístico.
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada uno según su nivel de competencia en inglés.
6. Haga que los estudiantes utilicen la página final del «Folleto del estudiante» para formar conexiones entre los conceptos matemáticos y el mundo real.
• Permita que los estudiantes tengan acceso al Vocabulario con imágenes para este ámbito.
Operations with Scientific Notation B
Operations with Scientific Notation B
Sarah, an engineer rocket
has a
mass of 2 × 106 kg and accelerates at 2.9×10 m/s², then what is the force exerted by this rocket
7.78 x 108 km - 1.496 x 108 km
?
Word Bank Add Multiply
Compare Earth and Jupiter’s Distance from the Sun 8
7.78 x 108 km - 1.496 x 108 km
5 x 107 kg
_____ x 10__ km 6.284
1.23 x 1010 km
Product of powers
3 × 104
Quotient of powers
1.5 × 108
Scientific notation
Explain how the laws for integer exponents are used when multiplying and dividing numbers in scientific notation. Use all the words in the word bank when filling in the blanks and writing your answer.
during its launch using the formula F = m × a. In this formula, m is mass and a is acceleration. If the rocket has a mass of 2 × 10 6 kg
Compare Earth and Jupiter’s Distance from the Sun
and accelerates at 2.9×10 m/s², what is the force exerted by this 8
7.78 x 108 km __ – 1.496 x 108 km
_____ x 10__ km 6.284
scientific notation ___________________. When working with scientific notation, we apply the
rocket?
7 5 _____ x 10__ kg
Signal Travel Time from Earth
of ten: 104 × 103 = 104+3 = 107. Then we know (3.0 × 104) × (5.0 × 103) =
2.4 x 101 min + 2.4 x 101 min
4.8 x 10_1 min ____
15.0 × 107 1.5 × 108 _____________. Finally, rewrite the answer in scientific notation, ___________.
2.9 × 10 The acceleration, a, of the rocket is ____________.
6
F = (2 × 10 ) × (2.9 × 10) Substitute the numbers into the force equation to get _______________________. Signal Travel Time from Earth + 2.4 x 101 min 2.4 x 101 min __
4.8 x 10_1 min ____
When dividing two numbers in scientific notation, _________________________ use the quotient of powers
multiply add To simplify the force equation, ____________ coefficients and _______ exponents. 2 ⸱ 2.9 = 5.8 Multiply the coefficients to get ________________.
_________________________________________________________________ law. For example, if dividing (6.9 × 107) and (2.3 × 103), first divide the _________________________________________________________________ coefficients, 6.9 ÷ 2.3 = 3. Next, subtract the exponents of ten: 10 7 ÷ 103 =
Multiply the coefficients to get __________. 2 ⸱ 2.9 = 5.8 / 6 ⸱ 1 = 6
_________________________________________________________________ 107 − 3 = 104. Then we know (6.9 × 107) ÷ (2.3 × 103) = 3 × 104. Since the
Distance Between Two Spacecraft
Add the exponents to simplify the powers of ten, 6 + 1 = 7, so __________. 107 / 710
4.8 x 101 min
2 × 106 The mass, m, of the rocket is ___________.
+ 1.75 x 107 kg 3.25 x 107 kg __
scientific notation. For example, if multiplying (3.0 × 10 4) and (5.0 × 103), first
To simplify the force equation, __________ coefficients and add exponents. multiply / divide
Distance Between Two Spacecraft
coefficients __________________ and exponent terms.
multiply add ____________ the coefficients, 3.0 × 5.0 = 15.0. Next, _______ the exponents
Substitute the numbers into the force equation to get __________. F = (2 × 106) × (2.9 × 10) / F = 2 + 2.9 × 106
6.284 x 108 km
7 5 _____ x 10__ kg
Total Spacecraft Fuel Usage
product of powers Use the ______________________ law when multiplying two numbers in
The acceleration, a, of the rocket is __________. 2 × 106 / 2.9 × 10
2.4 x 101 min + 2.4 x 101 min
integer exponents laws to efficiently multiply and divide by simplifying both
3.25 x 107 kg + 1.75 x 107 kg
The mass, m, of the rocket is __________. 2 × 106 / 2.9 × 10
2.25 x 1010 km - 1.02 x 1010 km
Sarah, an engineer, is calculating the force exerted by a rocket
Divide
Subtract 15.0 × 107
The rules for integer exponents are important when multiplying and dividing in Total Spacecraft Fuel Usage
To determine the force, use the formula __________. F=m÷a/F=m×a
3.25 x 107 kg + 1.75 x 107 kg
Signal Travel Time from Earth
Coefficients
Operations with Scientific Notation A
F=m×a To determine the force, use the formula ______________. Sarah is calculating the __________. force / mass
Total Spacecraft Fuel Usage
Operations with Scientific Notation A
Operations with Scientific Notation I
, is calculating the force exerted by a
during its launch using the formula F = m × a. In this
formula, m is mass and a is acceleration. If the rocket Compare Earth and Jupiter’s Distance from the Sun
Operations with Scientific Notation I
2.25 x 10
10
km - 1.02 x 10
_________________________________________________________________ result is in a number in scientific notation, no further work is needed. 10
1.23 x 10 ____
km
10 __
km
_________________________________________________________________ ______________________________________________________________
107 Add the exponents to simplify the powers of ten, 6 + 1 = 7, so _______.
Distance Between Two Spacecraft 2.25 x 10
10
km __ – 1.02 x 10
10
1.23 x 10 ____
km
10 __
km
5.8 × 107 Therefore, the rocket exerts a force of ____________ Newtons.
Therefore, the rocket exerts a force of __________ Newtons. 2 × 710 / 5.8 × 107
Operations with Scientific Notation B
Operations with Scientific Notation B
Operations with Scientific Notation I
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use operations with scientific notation at home with your family or friends.
Word Bank Add
Coefficients
Divide
Product of powers
Multiply
Subtract
3 × 104
Quotient of powers
15.0 × 107
1.5 × 108
Scientific notation
Add Answers will vary.
Multiply
Coefficients
Operations with Scientific Notation A
Operations with Scientific Notation I
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use operations with scientific notation at home with your family or friends.
Word Bank Divide
Product of powers
Subtract
3 × 104
Quotient of powers
15.0 × 107
1.5 × 108
Scientific notation
Answers will vary.
Add
2.3 × 103
Divide
Product of powers
Multiply
Subtract
3 × 104
Quotient of powers
Exponents
5.0 × 103
6.9 × 107
Scientific notation
Explain how the laws for integer exponents are used when multiplying and dividing numbers in scientific notation. Use all the words in the word bank when filling in the blanks.
Explain how the laws for integer exponents are used when multiplying and dividing numbers in scientific notation. Use all the words in the word bank when filling in the blanks and writing your answer.
Explain how the laws for integer exponents are used when multiplying and dividing numbers in scientific notation. Use all the words in the word bank when writing your answer.
The rules for integer exponents are important when multiplying and dividing in
The rules for integer exponents are important when multiplying and dividing in
__________________________________________________________________
scientific notation ___________________. When multiplying and dividing in scientific notation, we coefficients use the integer exponents laws to simplify _____________ and exponent terms. product of powers Use the ______________________ law when multiplying two numbers in 4
3
scientific notation. For example, if multiplying (3.0 × 10 ) and (5.0 × 10 ), first multiply add ____________ the coefficients, 3.0 × 5.0 = 15.0. Next, _______ the exponents of ten: 104 × 103 = 104+3 = 107. Then we know (3.0 × 104) × (5.0 × 103) = 15.0 × 107 1.5 × 108 _____________. Finally, rewrite the answer in scientific notation, __________. quotient of powers Use the ______________________ law when dividing two numbers in scientific divide notation. For example, if dividing (6.9 × 107) and (2.3 × 103), first ___________ subtract the coefficients, 6.9 ÷ 2.3 = 3. Next, ____________ the exponents of ten: 10 7 3 × 104 ÷ 103 = 107 − 3 = 104. Then we know (6.9 × 107) ÷ (2.3 × 103) = ___________. The result is in scientific notation so no changes are needed.
scientific notation ___________________. When working with scientific notation, we apply the integer exponents laws to efficiently multiply and divide by simplifying both coefficients __________________ and exponent terms.
Operations with Scientific Notation A
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use operations with scientific notation at home with your family or friends.
Word Bank
Answers will vary.
The rules for integer exponents are important when multiplying and dividing in __________________________________________________________________ scientific notation. When working with scientific notation, we apply the integer __________________________________________________________________ exponents laws to efficiently multiply and divide by simplifying both coefficients __________________________________________________________________ and exponent terms. __________________________________________________________________
product of powers Use the ______________________ law when multiplying two numbers in 4
3
scientific notation. For example, if multiplying (3.0 × 10 ) and (5.0 × 10 ), first multiply add ____________ the coefficients, 3.0 × 5.0 = 15.0. Next, _______ the exponents of ten: 104 × 103 = 104+3 = 107. Then we know (3.0 × 104) × (5.0 × 103) = 15.0 × 107 1.5 × 108 _____________. Finally, rewrite the answer in scientific notation, ___________. When dividing two numbers in scientific notation, _________________________ use the quotient of powers _________________________________________________________________ law. For example, if dividing (6.9 × 107) and (2.3 × 103), first divide the _________________________________________________________________ coefficients, 6.9 ÷ 2.3 = 3. Next, subtract the exponents of ten: 10 7 ÷ 103 = _________________________________________________________________ 107 − 3 = 104. Then we know (6.9 × 107) ÷ (2.3 × 103) = 3 × 104. Since the _________________________________________________________________ result is in a number in scientific notation, no further work is needed. _________________________________________________________________ ______________________________________________________________
__________________________________________________________________ Use the product of powers law when multiplying two numbers in scientific __________________________________________________________________ notation. For example, if multiplying (3.0 × 104) and (5.0 × 103), first multiply __________________________________________________________________ the coefficients, 3.0 × 5.0 = 15.0. Next, add the exponents of ten: 10 4 × 103 = __________________________________________________________________ 104+3 = 107. Then we know (3.0 × 104) × (5.0 × 103) = 15.0 × 107. Finally, __________________________________________________________________ rewrite the answer in scientific notation, 1.5 × 108. __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ Use the quotient of powers law when dividing two numbers in scientific notation. __________________________________________________________________ For example, if dividing (6.9 × 107) and (2.3 × 103), first divide the coefficients, __________________________________________________________________ 6.9 ÷ 2.3 = 3. Next, subtract the exponents of ten: 107 ÷ 103 = 107 − 3 = 104. __________________________________________________________________ Then we know (6.9 × 107) ÷ (2.3 × 103) = 3 × 104. __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ _________________________________________________________________ ______________________________________________________________
PRINCIPIANTE FOLLETO DEL ESTUDIANTE
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INTERMEDIO FOLLETO DEL ESTUDIANTE
AVANZADO FOLLETO DEL ESTUDIANTE
229
1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCUCHAR Y HABLAR PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Tenga a mano el «Vocabulario ilustrado» para que los estudiantes lo utilicen. Lea las siguientes instrucciones de una en una:
Ponga a disposición de los estudiantes el «Vocabulario ilustrado». Lea las siguientes instrucciones de una en una:
• Hoy utilizaremos nuestros conocimientos de notación científica para calcular varias situaciones relacionadas con el espacio.
• Hoy utilizaremos nuestros conocimientos de notación científica para calcular varias situaciones relacionadas con el espacio.
Ponga a disposición de los estudiantes el «Vocabulario ilustrado». Lea las siguientes instrucciones de una en una:
• Señale la imagen del Sol.
• Señale la imagen del Sol.
• Aquí calculamos la diferencia entre la distancia de la Tierra al Sol y la distancia de Júpiter al Sol.
• Aquí calculamos la diferencia entre la distancia de la Tierra al Sol y la distancia de Júpiter al Sol.
• «¿Cómo se restan números en notación científica?».
• «¿Cómo se restan números en notación científica?».
◦ Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de frases: Se restan números en notación científica _____ el _____. • Trace una línea entre el problema de resta y la solución de la diferencia. • Señale el dibujo del cohete. • Aquí calculamos el combustible total utilizado por una nave espacial en una misión específica. • «¿Cómo se suman números en notación científica?». ◦ Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de frases: Se suman números en notación científica mediante _____ el _____. • Trace una línea entre el problema de suma y la solución para el total. • Señale el dibujo de la Tierra. • Aquí calculamos cuánto tarda una señal de comunicación en viajar desde la Tierra hasta un satélite y volver. • Trace una línea entre el problema del tiempo de viaje de la señal y la solución. • Señale la imagen de dos cohetes. • Aquí estamos calculando la distancia entre dos naves espaciales diferentes. • Traza una línea entre el problema de la distancia entre las naves espaciales y la solución.
◦ Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de frases: Se restan números en notación científica mediante _____ el _____. • Calcula la diferencia entre los dos números en notación científica y rellena los espacios en blanco para obtener la respuesta. Comprueba la exactitud. • Señale la imagen del cohete. • Aquí calculamos el combustible total utilizado por una nave espacial en una misión espacial específica. • «¿Cómo se suman los números en notación científica?». ◦ Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de frases: Se suman números en notación científica _____ el _____. • Calcula el total de los dos números en notación científica y rellena los espacios en blanco para obtener la respuesta. Comprueba la exactitud. • Señale la imagen de la Tierra. • Aquí calculamos cuánto tarda una señal de comunicación en viajar desde la Tierra hasta un satélite y volver.
• Hoy utilizaremos nuestros conocimientos de notación científica para calcular varias situaciones relacionadas con el espacio. • Señale la imagen del Sol. • Aquí comparamos la distancia de la Tierra al Sol y la distancia de Júpiter al Sol. • En esta situación, «¿deberías sumar o restar?». • Rellena el espacio en blanco entre los dos números en notación científica para mostrar la suma o la resta. • «¿Cómo se restan números en notación científica?». ◦ Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de frases: Se restan números en notación científica _____ el _____. • Calcula la diferencia entre los dos números en notación científica y rellena los espacios en blanco para obtener la respuesta. Comprueba la exactitud. • Señale la imagen del cohete. • Aquí calculamos el combustible total utilizado por una nave espacial en una misión espacial específica. • En esta situación, «¿deberías sumar o restar?».
• Calcula el total de los dos números en notación científica y completa los espacios en blanco con la respuesta. Comprueba la exactitud. • Señale la imagen de dos cohetes. • Aquí calculamos la distancia entre dos naves espaciales diferentes. • Calcula la diferencia entre los dos números en notación científica y completa los espacios en blanco con la respuesta. Comprueba la exactitud.
230
SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 230
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1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
LEER Y HABLAR PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Lea la historia en grupo, y divídala en frases. Pida a los estudiantes que señalen cada palabra mientras leen y que encierren en un círculo las palabras que no conozcan. Comente las palabras con todo el grupo.
Lea coralmente la primera afirmación con los estudiantes. Pida a los estudiantes que señalen cada palabra mientras leen y que encierren en un círculo las palabras que no conozcan. Haga que comenten las palabras con sus compañeros.
Pida a los estudiantes que lean la historia con sus compañeros y que señalen cada palabra mientras leen. Invite a los estudiantes a rodear con un círculo las palabras que no conozcan y a comentarlas con sus compañeros.
• Comparte con tus compañeros de qué trataba la historia.
• Explica a tus compañeros de qué trataba el pasaje.
• Debate con tus compañeros:
• Comparte las siguientes preguntas con tus compañeros:
• Comente la situación con los estudiantes. Haga gestos con las manos y muestre imágenes cuando corresponda mientras formula las preguntas.
◦ «¿Qué tipos de ingenieros conoces?».
◦ «¿Con qué tipos de ingenieros estás familiarizado?».
◦ «¿Qué sabes sobre el lanzamiento de un cohete?».
◦ «¿Qué sabes sobre el lanzamiento de un cohete?». ◦ «¿Qué sabes sobre la fuerza y la aceleración?». • Lea coralmente la primera afirmación con los estudiantes. Señala la respuesta en la historia antes de contestar. • Lea coralmente la segunda afirmación con los estudiantes. Señala la respuesta en la historia antes de contestar. • Lea coralmente la tercera afirmación con los estudiantes. Señale la respuesta en la historia antes de contestar. • Lea coralmente la cuarta afirmación con los estudiantes. Señala la respuesta en la historia antes de contestar. • Lea coralmente la quinta afirmación con los estudiantes. Debate con tus compañeros para determinar la respuesta. • Lea coralmente la sexta afirmación con los estudiantes. Debate la respuesta con tus compañeros. • Lea coralmente la sexta afirmación con los estudiantes. Debate la respuesta con tus compañeros. • Lea la octava y novena frases. Debate con tus compañeros para determinar la respuesta.
◦ «¿Qué sabes sobre la fuerza y la aceleración?». • Lea coralmente la primera afirmación con los estudiantes. Señala la respuesta en la historia antes de marcar la afirmación como verdadera o falsa.
◦ «¿Qué tipos de ingenieros conoces?». ◦ «¿Qué sabes sobre el lanzamiento de un cohete?». ◦ «¿Qué sabes sobre la fuerza y la aceleración?». • Lee cada enunciado y comenta tus respuestas con tu compañero.
• Lea coralmente la segunda afirmación con los estudiantes. Señala la respuesta en la historia antes de marcar la afirmación como verdadera o falsa. • Lea coralmente la tercera afirmación con los estudiantes. Señale la respuesta en la historia antes de marcar la afirmación como verdadera o falsa. • Lea coralmente la cuarta afirmación con los estudiantes. Conversa con tus compañeros para decidir si es verdadera o falsa. • En parejas, lee la quinta afirmación. Debate con tus compañeros para decidir si es verdadera o falsa. • En parejas, lee la sexta afirmación. Debate con tus compañeros para decidir si es verdadera o falsa. • Compañero lee la séptima afirmación. Debate con tus compañeros para decidir si es verdadera o falsa. • Compañero lee la octava afirmación. Debate con tus compañeros para decidir si es verdadera o falsa.
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231
1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCRIBIR PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Ponga a disposición de los estudiantes las tarjetas de vocabulario ilustrado. Lea y comente las palabras del banco de palabras. Defina y proporcione ejemplos según sea necesario. Mientras lee, utilice las siguientes pistas:
Ponga a disposición de los estudiantes las tarjetas de vocabulario ilustrado. Lea coralmente y comente las palabras del banco de palabras. Defínalas y ponga ejemplos si es necesario. Utilice las siguientes pistas:
Ponga a disposición de los estudiantes las tarjetas de vocabulario ilustrado. Los estudiantes deben leer en voz alta las palabras del banco de palabras con sus compañeros. Pídales que debatan el significado de las palabras con sus compañeros. Defina y ponga ejemplos si es necesario. Mientras los estudiantes leen, utilice las siguientes indicaciones:
• Comente el ejemplo del folleto con los estudiantes: ◦ «¿Cómo se multiplican los números en notación científica?». ◦ «¿Qué observas en las expresiones del banco de palabras?». • Lea coralmente con los estudiantes cada enunciado y pídales que consulten el banco de palabras antes de escribir sus respuestas.
• Pida a los estudiantes que comenten las palabras del banco de palabras con sus compañeros. • Dobla la mitad inferior del papel para que solo se vea el banco de palabras. Señala una palabra del banco de palabras y, por turnos, explique las palabras con tus compañeros. • Tome nota de los estudiantes que proporcionan explicaciones matemáticamente precisas de las palabras del banco de palabras. • A continuación, señala una palabra del banco de palabras cuyo significado necesites aclarar. • En función de los estudiantes a los que haya oído dar las explicaciones matemáticamente precisas, pida a los estudiantes que ayuden a aclarar las palabras seleccionadas a sus compañeros. Veo que varios estudiantes están pidiendo aclaraciones sobre la palabra _____. (nombre del estudiante) pudo dar una explicación clara sobre la palabra _____ a su compañero. _____, «¿podrías compartir tu explicación?». • Lee cada enunciado con tu compañero y utiliza las palabras del banco de palabras para completar cada enunciado. Ten en cuenta que algunas palabras pueden utilizarse más de una vez o no utilizarse en absoluto. • Recuerde a los estudiantes que consulten el banco de palabras cuando rellenen los espacios en blanco.
• Haga que los estudiantes comenten las palabras del banco de palabras con sus compañeros. • Comenta las palabras del banco de palabras con tus compañeros. Cada persona debe dar una explicación o descripción de una palabra y, a continuación, pedir a su compañero que parafrasee el significado de la palabra. Continúa este proceso hasta que hayas comentado todas las palabras del banco de palabras. • Lee las instrucciones con tus compañeros. «¿Qué plan vas a seguir para asegurarte de que utilizas el mayor número posible de palabras del banco de palabras en tu redacción?». Si no estás seguro de cómo utilizar una palabra, rodéala con un círculo en el banco de palabras. Los estudiantes no deben empezar a escribir todavía. • Esté atento a los estudiantes que tengan dificultades para crear un plan o que marquen con un círculo las palabras del banco de palabras. Ofrezca apoyo y permita que los estudiantes que hayan podido crear un plan lo compartan con la clase. ◦ Veo que varios de nosotros necesitamos aclaraciones sobre la palabra _____. Dirígete a alguien cercano que no sea tu compañero y pídele que aclare o defina la palabra _____. ◦ Veo que varios de nosotros necesitamos ayuda para diseñar un plan que utilice palabras del banco de palabras. Acércate a alguien que no sea tu compañero y pídele que explique cómo piensa utilizar el mayor número posible de palabras del banco de palabras. • Pida a los estudiantes que escriban sus explicaciones una vez que se hayan aclarado todas las palabras y se hayan compartido los planes. • Ahora, escribe tu explicación con las palabras del banco de palabras. Cuando termines de escribir, comparte tu escrito con tus compañeros.
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GRADO 8: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO VOCABULARIO CLAVE
VOCABULARIO ILUSTRADO
Base
Exponent
Integer
The lower number of an exponent that is multiplied by itself
A mathematical notation that indicates the number of times the base number is multiplied by itself; also called power
Any one of the positive whole numbers, negative whole numbers, and zero; any member of the set of all whole numbers and their opposites
2
3
4
Integer Exponent
Negative Exponent Law
Product of Powers Law
A positive or negative whole number or zero that tells the number of times a base is multiplied by itself
The mathematical law which states that any nonzero number raised to a negative exponent is equivalent to the reciprocal of the base raised to the opposite of the negative exponent
The mathematical law which states that when multiplying two exponents with the same base, the exponents are added together and the base stays the same
5
6
7
Power
Power of One Law
Power of Zero Law
A mathematical notation that indicates the number of times the base number is multiplied by itself; also called an exponent
The mathematical law which states that any number to the power of one is equal to that number
The mathematical law that states that any number to the power of 0 is equal to 1
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9
10
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GRADO 8: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO
Power Law
Power of a Power Law
Quotient of Powers Law
The distribution of an exponent through multiplication to all parts of the base
The mathematical law that states that when raising a base with an exponent to another exponent, the exponents are multiplied and the base stays the same
The mathematical law that states that when dividing two exponents with the same base, one subtracts the exponents and keeps the base the same
11
Rational Number
Reciprocal
A number that can be written as a fraction of integers a/b, where b ≠ 0; a number that can be written as a ratio using two integers
Scientific Notation
15
14
Standard Form
Unit of Measurement
A way to write numbers by using the digits 0–9, with each digit having a place value
A standard amount that is used to measure
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A method of expression used to write very small and very large numbers by representing them with decimal numbers between 1 and 10, with each decimal being multiplied to a power of 10
One of two numbers whose product is 1; also called the multiplicative inverse
17
13
12
16
18
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GRADO 8: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ
Fix the Mistake! Answer Key Card Number
Math Expert or Fix the Mistake
1
Math expert
2
Math expert
3
Fix the mistake
4
Math expert
5
Fix the mistake
6
Math expert
7
Fix the mistake
(7.8 × 104) × (1.2 × 103) = 9.36 × 107
8
Fix the mistake
(4.52 × 107) × 4.5 = 2.034 × 108
Justification
DESARROLLAR LA FLUIDEZ CONCEPTUAL
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes jugarán al juego ¡Arregla el error!
1.38 × 108 − 4.8 × 107 = 9 × 107
MATERIALES IMPRESOS
20.54 × 1010 + 1.713 × 1010 = 2.2253 × 1011
• 1 hoja de instrucciones ¡Arregla el error! (por pareja) • 1 juego de tarjetas ¡Arregla el error! (por pareja) • 1 hoja de registro del estudiante (por estudiante) • 1 clave de respuestas ¡Arregla el error! (por pareja) REUTILIZABLE
• 1 sobre o bolsa resellable (por pareja)
HOJA DE REGISTRO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
PREPARACIÓN
• Haga copias a doble cara de las tarjetas ¡Arregla el error! • Lamínelas para que duren más. • Recorte cada una de las tarjetas y colóquelas en un sobre o una bolsa con cierre para facilitar su distribución y limpieza. • Imprima una «Hoja de registro del estudiante». ¡Arregla el error! para cada estudiante. • Imprima una hoja de respuestas de ¡Arregla el error! para cada pareja de estudiantes. Doble la clave de respuestas de modo que las respuestas queden cubiertas, pero el título aparezca en la parte superior de la página. • Coloque a los estudiantes en parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE AYUDA 1. Muestre a los estudiantes cómo barajar las cartas y colocarlas boca abajo en una pila. 2. Modele cómo jugar al juego con un estudiante. a. Baraje las cartas y colóquelas boca abajo en una pila entre los jugadores.
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b. El jugador 1 da la vuelta a una carta. Ambos jugadores analizan el problema y determinan si la solución proporcionada al problema es correcta y el estudiante que la respondió es un experto en matemáticas o si la solución es incorrecta y es necesario corregir el error. c. Los jugadores se turnan para dar vuelta una tarjeta a la vez. d. Los jugadores continúan turnándose hasta que todas las tarjetas hayan sido resueltas. e. Los jugadores deben completar la «Hoja de registro del estudiante» ¡Arregla el error! mientras juegan. (Los jugadores deben rellenar la fila de la «Hoja de registro del estudiante» ¡Arregla el error! que corresponda al número de cada tarjeta). f. Una vez analizadas todas las tarjetas, los estudiantes utilizan la clave de respuestas de ¡Arregla el error! para comprobar sus respuestas. g. El jugador con más respuestas correctas es el ganador. 3. Distribuya los materiales del juego. A continuación, indique a los estudiantes que barajen las cartas y las coloquen boca abajo en una pila entre los jugadores. 4. Supervise a los estudiantes para asegurarse de que encuentran y registran las respuestas correctas a cada carta con la «Hoja de registro del estudiante» ¡Arregla el error!
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GRADO 8: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA
ELABORAR: REVISIÓN EN ESPIRAL
Operations with Scientific Notation
The Concert Hall
REPASAR CONCEPTOS PREVIOS
REVISIÓN EN ESPIRAL: LA SALA DE CONCIERTOS DESCRIPCIÓN
A brand new concert hall has opened in downtown Springfield. The residents are so excited! Prior to the opening of the concert hall, residents had to travel more than half an hour to the nearest concert hall. They finally have somewhere close to watch concerts and musicals. The concert hall hasn’t even been open for a week and they already have a full schedule planned. Not only will it have concerts and musicals, but they will also have tickets available for open mic nights and comedy shows. People are very intrigued at the variety of performances that the concert hall is offering. As an added bonus for their grand opening, the concert hall will be offering different types of special offerings. This includes specials on tickets as well as different food and beverage packages. Aside from a concession stand, they will also have their very own restaurant inside the concert hall. Tickets will be going on sale soon, and they are sure to sell out!
Los estudiantes repasan el contenido del grado anterior o actual para ayudar a apoyar su trabajo en el ámbito actual y fortalecer las habilidades necesarias para ámbitos posteriores.
REVISIÓN EN ESPIRAL CENTRADA EN LA PREGUNTA
1
• Pregunta 1
◦ Grado 7: Decidir si dos cantidades están en una relación proporcional, por ejemplo, al probar relaciones equivalentes en una tabla o graficar en un plano de coordenadas y observar si la gráfica es una línea recta que pasa por el origen.
Operations with Scientific Notation
1.
The cost of tickets is determined by how many tickets you buy. The graph below represents the total cost of a certain number of tickets. Does this graph represent a proportional relationship? Why or why not?
No, it is not proportional. The y value does not increase at the same rate as the x value.
• Pregunta 2 ◦ Grado 8: Conocer y aplicar las propiedades de los exponentes enteros para generar expresiones numéricas equivalentes. • Pregunta 3 ◦ Grado 8: Utilizar los símbolos de raíz cuadrada y raíz cúbica para representar soluciones a ecuaciones de las formas x² = p y x³ = p, donde p es un número racional positivo. Evaluar raíces cuadradas de pequeños cuadrados perfectos y raíces cúbicas de pequeños cubos perfectos. • Pregunta 4 ◦ Grado 8: Usar números expresados en la forma de un solo dígito multiplicado por una potencia entera de 10 para estimar cantidades muy grandes o muy pequeñas, y expresar cuántas veces es una cantidad mayor que la otra.
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
2.
3.
The audience’s seating area is quite large and shaped like a square. If the area of the space is 50,000 square feet, what is the length of one of the sides of the seating area? A.
4.
The concert hall made a good profit at the show. The amount that they made from food was 5⁷. The amount that they made from drinks was 5³. Which expression represents how much money they made in all? A.
2521
B.
2510
C.
510
D.
521
The concert hall has 4 × 10³ seats. How many people will be seated in the hall? 4,000 people will be seated.
B. C. D.
2
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
4. Consulte la sección «Revisión en espiral centrada en la pregunta» para evaluar el conocimiento del contenido de los estudiantes o su necesidad de una mayor intervención. Si se necesita más repaso, utilice los constructores de fluidez en los alcances apropiados. 5. El proyecto final incluye una parte del alcance actual para que los estudiantes vean la conexión y relevancia de su aprendizaje previo con el ámbito actual.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada uno. 2. Anime a los estudiantes a tratar de responder las preguntas independientemente, sin usar recursos externos para ver lo que saben. Invite a los estudiantes a anotar ideas o fragmentos que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas. 3. Utilice las preguntas de repaso en espiral como calentamiento en clase, o envíelas a casa como deberes. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos.
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GRADO 8: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS ANALIZAR DATOS
CIENCIA DE DATOS Ciencia de datos es un breve debate en clase basado en un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. La Parte I incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los estudiantes en contexto.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizarán, interpretarán y generarán conjuntos de datos, además de responder preguntas basadas en los datos.
MATERIALES IMPRESO
• 1 conjunto de datos (por clase) REUTILIZABLES
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase) • 1 marcador (por clase) CONSUMIBLES
• 1 trozo de papel milimetrado (por clase)
PREPARACIÓN
• Prepárese para proyectar el conjunto de datos para la clase. • Reúna un trozo de papel milimetrado y un marcador.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Proyecte el conjunto de datos TUVA y prepárase para anotar las observaciones de los estudiantes. 2. Haga clic en el punto. 3. Arrastre Objeto en Órbita al eje x. 4. Arrastre Diámetro del Objeto al eje y. 5. Formule las siguientes preguntas: a. «¿Qué notas acerca de este conjunto de datos?». b. «¿Qué representa este conjunto de datos?». c. «¿Qué representa un punto sobre estos datos?». d. «¿Qué categorías se incluyen en este conjunto de datos?». e. «¿Qué preguntas tiene sobre los datos?».
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PARTE II
1. Repase la notación científica y escriba lo que recuerden los estudiantes en el papel milimetrado. 2. Formule las siguientes preguntas: a. «¿Cuáles son las unidades del diámetro del objeto?». Kilómetros b. «¿Cuál es el diámetro de la Luna, escrito en notación científica?». 3,475 → 3,475 × 103 km c. Escribe el diámetro de Neptuno en notación científica. 49,528 → 49,528 × 104 km d. «¿Cuál es el diámetro de Júpiter, escrito en notación científica?». 142,984 → 142,984 × 105 km e. El diámetro de Plutón, escrito en notación científica, es de 2,370 × 103 km. Sin referirte al diagrama de puntos, determina el diámetro de Plutón en forma estándar. 2,370 km f. El diámetro de Saturno, escrito en notación científica, es 120,536 × 105 km. Sin referirte a la gráfica de puntos, determina el diámetro de Saturno en forma estándar. 120,536 km PARTE III
1. Arrastre excentricidad orbital al eje y para reemplazar diámetro del objeto. 2. Discuta las siguientes cuestiones: a. «¿Cuál es la excentricidad orbital de Mercurio, escrita en notación científica?». 0.205 → 2.05 × 10-1 b. Escribe la excentricidad orbital de Venus en notación científica. 0.007 → 7 × 10-3 c. La excentricidad orbital de Marte, escrita en notación científica, es 9.4 × 10⁻2. Sin referirse al diagrama de puntos, determine la excentricidad orbital de Marte en forma estándar. 0.094 d. La excentricidad orbital de Plutón, escrita en notación científica, es 2.44 × 10⁻1. Sin referirte al diagrama de puntos, determina la excentricidad orbital de Plutón en forma estándar. 0.244 e. «¿Notas alguna correlación entre el diámetro de un objeto y su excentricidad orbital?». Los objetos con los diámetros más pequeños tienen la mayor excentricidad orbital.
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GRADO 8: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN
Operations with Scientific Notation
EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS
Operations with Scientific Notation
LISTA DE CONTROL DE LA OBSERVACIÓN DESCRIPCIÓN Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede utilizarse como evaluación formativa para los maestros y como autoevaluación para los estudiantes.
MATERIALES IMPRESO
How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Perform operations with numbers expressed in scientific notation, including problems where both decimal and scientific notation are used. Use scientific notation and choose units of appropriate size for measurements of very large or very small quantities (e.g., use millimeters per year for seafloor spreading). Interpret scientific notation that has been generated by technology.
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Notes and Feedback
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 folleto del maestro (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del maestro» y un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
1
1. Distribuya un «Folleto del estudiante» a cada uno. 2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Exploración» y «Explicar» del alcance, evalúe formativamente su progreso tomando notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo. 3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo. 4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje. 5. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el «Folleto del maestro». 6. Las notas anecdóticas proporcionadas en el «Folleto del maestro» pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares. 7. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la «Guía de instrucción andamiada» en la sección «Inicio» de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
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Operations with Scientific Notation
Standards for Mathematical Practice
Notes and Feedback
Make sense of problems and persevere in solving them Reason abstractly and quantitatively Construct viable arguments and critique the reasoning of others Model with mathematics Use appropriate tools strategically
Attend to precision Look for and make use of structure Look for and express regularity in repeated reasoning
Consider these reflection questions in this scope. ●
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them?
●
What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
2
FOLLETO DEL MAESTRO
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GRADO 8: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA
EVALUAR: MAPA DE CALOR EVALUACIÓN DE HABILIDADES
MAPA DE CALOR DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
1. Dé un «Mapa de calor» a cada estudiante junto con lápices de colores rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s). 2. Los estudiantes usan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el «Mapa de calor». Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los estudiantes colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, los estudiantes colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, los estudiantes colorean el cuadro correspondiente de rojo.
MATERIALES
• 1 mapa de calor (por estudiante) • 1 lápiz de color rojo (por estudiante) • 1 lápiz de color azul (por estudiante) • 1 lápiz de color naranja (por estudiante)
PREPARACIÓN
3. Anímelos a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a utilizar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada.
• Determine si los estudiantes analizarán su «Prueba de habilidades», la «Evaluación basada en estándares», o ambas. • Imprima un «Mapa de calor» para cada estudiante.
4. Consulte la «Guía de instrucción andamiada» que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
• Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
Operations with Scientific Notation
Operations with Scientific Notation
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
1. Which skill did you feel most confident with? Why?
Skills Quiz Standards Perform operations with numbers expressed in scientific notation, including problems where both decimal and scientific notation are used. Use scientific notation and choose units of appropriate size for measurements of very large or very small quantities (e.g., use millimeters per year for seafloor spreading). Interpret scientific notation that has been generated by technology.
Refer to your answers on the Standards-Based Assessment. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key.
Reflection Questions
Red – misconception
Operations with Scientific Notation
Blue - miscalculation
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
Orange - explanation
Red - misconception
Standards-Based Assessment
Questions
Standards
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3. Which type of error did you most commonly make?
Perform operations with numbers expressed in scientific notation, including problems where both decimal and scientific notation are used. Use scientific notation and choose units of appropriate size for measurements of very large or very small quantities (e.g., use millimeters per year for seafloor spreading). Interpret scientific notation that has been generated by technology.
4. How can you avoid those errors in the future?
1
2
Questions
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
MAPA DE CALOR
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GRADO 8: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA
INTERVENIR: REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES Operations with Scientific Notation
REFORZAR Y VOLVER A ENSEÑAR
REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES
Checkup 1.
Ronald measures the area of two countertops. Countertop 1 has an area of 1.8 × 103 in.2, and countertop 2 has an area of 2.8 × 103 in.2. What is the total area of the two countertops in scientific notation? 4.6 × 103 in.2
2.
Lorraine passes a rectangular wall with an area of 9.648 × 10 6 ft.2 and a width of 4.02 × 104 ft. What is the length of the wall in scientific notation? 2.4 × 102 ft.
3.
Calculate 3.249 × 103 – 1.86 × 102. Put the answer in scientific notation. 3.063 × 103
4.
Calculate 4.1 × 104 · 2.6 × 104. Put the answer in scientific notation. 1.066 × 109
5.
Calculate 5.6 × 103 – 2.12 × 103. Put the answer in scientific notation. 3.48 × 103
6.
• 1 repaso (por estudiante)
Calculate (6.44 × 109) ÷ (4.0 × 10−9). Put the answer in scientific notation. 1.61 × 1018
7.
• 1 revisión general (por estudiante)
Calculate 9.1 × 108 + 2.4 × 109. Put the answer in scientific notation. 3.31 × 109
8.
Lonnie measures the length of two awnings. Awning 1 has a length of 1.06 × 103 in., and awning 2 has a length of 9.06 × 102 in. What is the total length of the two awnings in scientific notation? 1.966 × 103 in.
9.
Dwight walks down a rectangular alleyway that measures 6.4 × 10 2 in. in length and 1.4 × 102 in. in width. What is the area of the alleyway in scientific notation? 8.96 × 104 in.2
10.
Rachel has two pots. Pot 1 has a volume of 3.2 × 10 3 mL, and pot 2 has a volume of 1.4 × 103 mL. How much greater is pot 1’s volume than pot 2’s volume in scientific notation? 1.8 × 103 mL
DESCRIPCIÓN Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para intervención.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 revisión rápida (por estudiante)
• 1 lista de verificación para el maestro (por maestro)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de la «Revisión rápida», el «Revisión» y la «Revisión general» para cada estudiante. • Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar la «Revisión». • Si lo desea, imprima un ejemplo del «Esquema de anclaje» de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que usen la «Libreta interactiva» como recurso.
EVALUACIÓN DE CONTROL CLAVE DE RESPUESTAS
• Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayudas suplementarias para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Dé una copia de la «Revisión rápida» a cada estudiante. 2. Cada uno debe completarla de forma independiente. 3. Use la rúbrica de habilidades al final de la «Revisión rápida» para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional. 4. Distribuya una copia de «Revisión» a cada uno. 5. Cada estudiante debe completar la «Revisión» como actividad de intervención o de forma independiente. a. Si lo desea, reúna a los estudiantes en pequeños grupos para trabajar en las destrezas de repaso. Utilice el «Revisión» como ayuda para la reenseñanza. 6. Distribuya una copia de la «Revisión general» a cada uno. 7. Cada estudiante debe completarla de forma independiente. 8. Analice los resultados de la «Revisión general» al usar la «Lista de verificación para el maestro» para identificar quienes necesitan un repaso adicional y quienes han alcanzado el dominio de los conceptos.
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GRADO 8: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA
ACELERACIÓN: ¿QUÉ PREFERIRÍAS? Operations with Scientific Notation
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
¿QUÉ PREFERIRÍAS?: EL ORDENADOR MÁS RÁPIDO
Fastest Computer Use mathematical reasoning and creativity to justify your answer to the Would You Rather question. Keli is looking at purchasing a new computer. Computer A says it can perform 4.1 × 10⁸ operations per second. Computer B says that it can perform 8.2 × 10⁸ operations per second. Would you rather purchase computer A or computer B? Justify your reasoning with mathematics. How many times faster is the fastest computer? Computer A Hard drive size: 500 GB Speed: 4.1 × 10⁸ operations be second
DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
Computer B Hard drive size: 250 GB Speed: 8.2 × 10⁸ operations per second
MATERIALES IMPRESOS
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
Sample answers may include the following: I would purchase computer A because even though it is half the speed of computer B, it has a bigger hard drive.
• 1 rúbrica (por maestro)
Even though computer B has a smaller hard drive, I would choose computer B
PREPARACIÓN
because it is twice the speed of computer A.
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno.
Computer B is twice the speed of computer A.
• Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
1
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a mirar sus folletos de «Explorar» si necesitan repasar habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros. 4. Utilice la rúbrica proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
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GRADO 8: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Operations with Scientific Notation
Choose 6: ● Career Con (MUST INCL ● Science Con ● Arts Connec ● Kitchen Con ● Create Your ● Financial Co ● Technology ● Analogies ● Mathematici ● Other - mus by PM!
OPCIONES PARA EL APRENDIZAJE CONTINUO
TABLERO DE OPCIONES
Operations with Scientific Notation
CAREER CONNECTION MUST be one of the choices. You can select any of the Los estudiantes explorarán las conexiones con el mundo real y las aplicaciones del contenidoother choices (listed in blue box on the right).
DESCRIPCIÓN
matemático a través de interacciones con actividades atractivas. All parts that are highlighted
MATERIALES
should be changed and unhighlighted.
IMPRESOS
• 1 tablero de opciones (por estudiante) • 1 juego de hojas de actividades (por estudiante) • 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante) REUTILIZABLE
• Tecnología (si corresponde)
Choose one or more extension activities from the table below. Career Connection
Geologist
Science Connection
Visible Spectrum
Research the career field of geology. Your research must answer the provided questions. Create a presentation to relay your research to the class.
Calculate the frequency of different types of light given the wavelength. Then, use your calculations to answer the questions.
Kitchen Connection
Financial Connection
Cooking for a Crowd
Gross Domestic Product
Look at the recipe for macaroni and cheese that will serve 100 people. Perform the calculations, and answer the questions.
Look at the GDP of some countries around the globe, and calculate GDP per capita. Then use the data and calculations to answer the questions.
Create Your Own
Analogies
Partner Worksheet
Complete the analogies to find the missing rules or values.
Create a worksheet of problems over operations with scientific notation. Don’t forget to make your answer key! Trade with a partner in your class. Check their answers. How did they do?
PREPARACIÓN
• Imprima un «Tablero de opciones» y un juego de hojas de actividades para cada estudiante. • Imprima una «Autoevaluación del tablero» para cada estudiante.
1
TABLERO DE OPCIONES
• Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» a cada estudiante. 2. Dé tiempo a los estudiantes para examinar el «Tablero de opciones» y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anímelos a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del tablero, haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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GRADO 8: OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA
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8º CURSO RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES GRADO 8
RESOLVER ECUACIONES LINEALES ACTIVIDADES DE EXPLORAR EXPLORACIÓN 1: RESOLVER ECUACIONES CON VARIABLES EN AMBOS LADOS
ESTÁNDARES CLAVE Analizar y resolver ecuaciones lineales y pares de ecuaciones lineales simultáneas. • Resolver ecuaciones lineales en una variable. • Dar ejemplos de ecuaciones lineales en una variable con una solución, infinitas soluciones o sin solución. Demostrar cuál de estas posibilidades es el caso transformando sucesivamente la ecuación dada en formas más simples, hasta que resulte una ecuación equivalente de la forma x = a, a = a, o a = b (donde a y b son números diferentes). • Resolver ecuaciones lineales con coeficientes de números racionales, incluyendo ecuaciones cuyas soluciones requieran expandir expresiones usando la propiedad distributiva y juntando términos semejantes.
ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: NO PERTENECE Los estudiantes realizarán un ejercicio de pensamiento crítico para identificar qué expresión no pertenece a un conjunto dado, ayudando a revelar y abordar cualquier idea errónea que puedan tener sobre las operaciones matemáticas. • Los estudiantes reciben un folleto con grupos de cuatro expresiones, donde tres son equivalentes y una no lo es.
Los estudiantes se dedican a escribir, representar y resolver ecuaciones con variables a ambos lados del signo igual. • Los estudiantes trabajan en pequeños grupos utilizando fichas de álgebra para modelar y resolver ecuaciones, mejorando su comprensión del equilibrio de ecuaciones. • Exploran situaciones del mundo real, como la determinación de los ingresos por hora, para aplicar sus habilidades de resolución de ecuaciones. • La actividad incluye preguntas guiadas y conversaciones para profundizar la comprensión y fomentar la resolución de problemas en colaboración. • Los estudiantes utilizan manipulativos físicos y digitales para visualizar y resolver ecuaciones, culminando en una charla de matemáticas para compartir estrategias y puntos de vista. EXPLORACIÓN 2: ECUACIONES DE UNA VARIABLE Los estudiantes exploran la resolución de ecuaciones lineales con una variable para determinar el número de soluciones. • Los estudiantes trabajan en pequeños grupos para sustituir valores en ecuaciones e identificar si tienen una solución, infinitas soluciones o ninguna solución. • Participan en conversaciones guiadas para compartir estrategias y observaciones sobre la resolución de ecuaciones. • La actividad incluye una charla de matemáticas para reflexionar sobre el aprendizaje y profundizar en la comprensión de las soluciones de ecuaciones. • Los estudiantes completan un «Boleto de salida» para evaluar su comprensión del concepto y contribuir a una tabla de anclaje de la clase.
• Deben determinar qué expresión no corresponde y explicar su razonamiento.
EXPLORACIÓN 3: RESOLVER ECUACIONES CON COEFICIENTES RACIONALES
• La actividad hace hincapié en la comprensión del orden de las operaciones y en la importancia de calcular correctamente las expresiones.
Los estudiantes se dedican a resolver ecuaciones con coeficientes racionales, incluyendo fracciones, decimales y números enteros.
• Un debate final ayuda a reforzar los conceptos y a abordar cualquier laguna en los conocimientos previos. CAPTAR INTERÉS Los estudiantes trabajan en la determinación del valor de una variable en una ecuación a través de un escenario del mundo real que involucra magdalenas. • Se presenta a los estudiantes un escenario en el que deben resolver una ecuación para encontrar la ganancia de magdalenas con descuento. • Identifican y corrigen errores en la resolución de la ecuación, centrándose en la comprensión de las variables y las operaciones matemáticas. • Después de explorar las actividades relacionadas, los estudiantes vuelven al escenario para aplicar sus nuevos conocimientos y verificar sus soluciones. • La actividad fomenta el pensamiento crítico haciendo que los estudiantes creen y resuelvan sus propias ecuaciones, identificando errores en sus soluciones.
• Los estudiantes trabajan en pequeños grupos para resolver ecuaciones y determinar las ganancias de un escenario dado que involucra trabajos impares. • Cada estudiante recibe un «Diario del estudiante» para documentar sus soluciones algebraicas y explicaciones. • La actividad incluye preguntas orientativas para ayudar a los estudiantes a comprender el proceso de resolución de ecuaciones y les anima a compartir estrategias y observaciones. • Los estudiantes rellenan un «Boleto de salida» para evaluar su comprensión y participan en una charla de matemáticas para discutir su aprendizaje y estrategias. EXPLORACIÓN 4: PROPIEDAD DISTRIBUTIVA Los estudiantes explorarán la aplicación de la propiedad distributiva para resolver ecuaciones y determinar los valores de las variables. • Los estudiantes trabajan en grupos para resolver ecuaciones relacionadas con un escenario de venta de conos de nieve, aplicando la propiedad distributiva para encontrar las ganancias de los diferentes sabores. • Participan en conversaciones guiadas para profundizar su comprensión de la resolución de ecuaciones y el uso de la propiedad distributiva. • Los estudiantes comparten estrategias y participan en una charla de matemáticas para discutir las observaciones y los resultados del aprendizaje. • La actividad concluye con un «Boleto de salida» y una reflexión para evaluar la comprensión y reforzar los conceptos aprendidos.
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GRADO 8: ECUACIONES RESOLUCIÓN DERESOLVER ECUACIONES LINEALES LINEALES GRADO 8
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES
ECUACIONES LINEALES
MÚLTIPLES REPRESENTACIONES DE FUNCIONES
CONCEPTOS CLAVE
Los estudiantes analizan el número de soluciones de ecuaciones lineales y grafican sistemas para determinar puntos de intersección, lo que les ayuda a visualizar y resolver problemas que involucran pendientes e interceptos. Trabajan con coeficientes racionales, aplican la propiedad distributiva y exploran escenarios de una solución, ninguna solución e infinitas soluciones utilizando estrategias de graficación, sustitución y eliminación.
Los estudiantes se mueven con frecuencia entre ecuaciones, gráficos, tablas y escenarios contextualizados. Representan gráficamente sistemas de ecuaciones, utilizan tablas para representar valores y escriben ecuaciones a partir de datos del mundo real, adquiriendo fluidez al cambiar de una forma a otra para analizar relaciones. Esto refuerza su comprensión de la pendiente y la tasa de cambio, especialmente cuando interpretan lo que los cambios en las variables representan en términos prácticos, como el tiempo, la distancia o el coste. Estas actividades preparan a los estudiantes no solo para resolver ecuaciones algebraicas, sino también para comprender el significado de sus soluciones en diversos entornos matemáticos y del mundo real.
PREGUNTAS FUNDAMENTALES
• Puedo resolver ecuaciones lineales que contienen una variable.
• Describe las diferentes posibilidades de solución que puede tener una ecuación lineal.
• Puedo determinar las posibilidades de solución de una ecuación lineal resolviendo la forma equivalente más simple de la ecuación.
• «¿Cómo puedes determinar si una ecuación tiene infinitas soluciones, una solución o ninguna solución?».
• Puedo resolver ecuaciones lineales que contienen coeficientes de números racionales utilizando la propiedad distributiva y juntando términos semejantes dentro de las soluciones.
• Describe cómo se utiliza la propiedad distributiva cuando se trabaja con una variable en ambos lados de una ecuación lineal.
• Puedo resolver ecuaciones lineales que contienen variables en ambos lados de la ecuación.
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• Describe cómo combinar términos semejantes al resolver una ecuación lineal. • Describe cómo aplicar la propiedad distributiva cuando hay números enteros negativos en la ecuación.
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GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
INICIO: CONTENIDO DE APOYO ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
CONTENIDO DE APOYO Analizar y resolver ecuaciones lineales y pares de ecuaciones lineales simultáneas. • Resolver ecuaciones lineales en una variable. ◦ Dar ejemplos de ecuaciones lineales en una variable con una solución, infinitas soluciones o sin solución. Demostrar cuál de estas posibilidades es el caso transformando sucesivamente la ecuación dada en formas más sencillas, hasta que resulte una ecuación equivalente de la forma x = a, a = a, o a = b (donde a y b son números diferentes). ◦ Resolver ecuaciones lineales con coeficientes de números racionales, incluyendo ecuaciones cuyas soluciones requieren expandir expresiones usando la propiedad distributiva y juntando términos semejantes.
CONOCIMIENTOS PREVIOS En sexto grado, los estudiantes comenzaron a identificar y aplicar propiedades de las operaciones para desarrollar expresiones equivalentes que pueden escribirse de diferentes formas. A medida que los estudiantes desarrollaron una comprensión de las expresiones equivalentes, los estudiantes comenzaron a utilizar variables para representar valores desconocidos en la vida real y en problemas matemáticos. A continuación, los estudiantes utilizaron una operación inversa para resolver el valor apropiado que la variable está representando. En séptimo curso, los estudiantes aplicaron las propiedades de las operaciones como estrategias para sumar, restar, factorizar y expandir expresiones lineales con coeficientes racionales con el fin de desarrollar expresiones equivalentes. Los estudiantes incluyeron más de 1 operación inversa o propiedad con el fin de resolver el valor de la variable que falta cuando se trabaja con una sola variable.
CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
• Al aplicar la propiedad distributiva, es posible que los estudiantes no multipliquen el coeficiente exterior por todos los términos dentro del paréntesis. • Los estudiantes tienen dificultades para diferenciar cuándo utilizar la combinación de términos semejantes o las operaciones inversas para simplificar ecuaciones de varios pasos con variables a ambos lados del signo igual. • Al observar los tipos de soluciones de ecuaciones lineales de varios pasos, los estudiantes tienen dificultades para identificar las diferencias entre no tener solución y tener infinitas soluciones.
EN ESTE ALCANCE Los estudiantes tendrán amplias oportunidades para aplicar las propiedades de la propiedad distributiva, combinar términos semejantes y operaciones inversas para determinar el valor numérico de una sola variable dentro de una ecuación lineal. Los estudiantes serán expuestos a ecuaciones lineales que contienen variables en ambos lados del signo igual y contienen números racionales. Al resolver el valor de la variable, los estudiantes identificarán el tipo de solución que contiene la ecuación lineal. Los estudiantes identificarán si una ecuación tiene una solución, ninguna solución, o infinitas soluciones así como describir el razonamiento y la prueba detrás de sus opciones de solución. TÉRMINOS CLAVE
• coeficiente: el número colocado directamente delante de una variable que te dice que multipliques ese número por la variable • combinar términos semejantes: sumar términos que tienen la(s) misma(s) variable(s), incluyendo su exponente • constante de proporcionalidad: la constante positiva, normalmente denotada k, que relaciona dos cantidades de la forma y = kx • tasa de cambio constante: una tasa de cambio que no varía • variable dependiente: una variable, a menudo y, que depende del valor de la variable independiente • propiedad distributiva de la multiplicación: propiedad matemática que establece que multiplicar la suma de un grupo de términos por un número o variable es lo mismo que multiplicar cada término por un número o variable y luego sumar los productos • términos semejantes: términos que tienen las mismas variables, incluidos sus exponentes • ecuación lineal: una ecuación en la que ninguna variable tiene una potencia mayor que 1; la forma general es y = mx + b, donde m = pendiente y b = intersección con el eje y
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GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
• variable independiente: una variable, a menudo x, que no depende del valor de otra variable
• pendiente: pendiente de una línea; representada como m en la ecuación pendiente-intersección
• infinita: que tiene un número ilimitado de valores
• forma pendiente-intersección: una forma de escribir la ecuación de una línea para que sea fácil ver la pendiente y y-intercepción de la línea; y = mx + b
• relación no proporcional: dos cantidades que no tienen proporciones iguales • relación proporcional: cuando dos cantidades tienen la misma proporción • tasa: un tipo de relación en la que las cantidades tienen dos unidades diferentes • tasa de cambio: la tasa que muestra cómo cambia una cantidad en relación con otra cantidad
• solución: cualquier número que hace que una ecuación sea verdadera • término: un número, una variable o un producto de números y variables en una expresión separados por suma, resta o, a veces, división • intersección con el eje y: el punto en la gráfica de una ecuación donde la línea corta el eje de coordenadas y.
• número racional: un número que puede escribirse como una fracción de enteros a/b, donde b ≠ 0; un número que puede escribirse como un cociente utilizando dos enteros.
APLICACIÓN DE PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes dan sentido a situaciones para resolverlas algebraicamente. A lo largo del proceso de resolución, explican cada paso matemático dado y analizan la validez de la solución encontrada para la situación. • MP.2 Razonamiento abstracto y cuantitativo: Los estudiantes descontextualizan escenarios para resolver utilizando fichas de álgebra y pasos algebraicos. Después de comparar sus pasos para resolver, relacionan la solución encontrada con el contexto. • MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros: Los estudiantes utilizan las definiciones de propiedad distributiva, combinación de términos semejantes, operaciones inversas, una solución, ninguna solución y un número infinito de soluciones para respaldar su trabajo de resolución de ecuaciones lineales. Utilizan las definiciones para ayudar a otros a entender los errores o contratiempos que se produjeron durante el proceso de resolución. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes pueden usar programas en línea o fichas de álgebra para modelar las ecuaciones dadas. Pueden utilizar bloques de variables y fichas de constantes para modelizar la ecuación y luego manipular manualmente las fichas para resolver la ecuación. Los estudiantes también pueden dibujar fichas o bloques para resolver ecuaciones lineales de varios pasos. • MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas: Los estudiantes son capaces de utilizar una calculadora y fichas de álgebra para ayudarles a resolver ecuaciones lineales de varios pasos. Estas herramientas pueden ayudarles con las piezas móviles dentro de la resolución de ecuaciones y ayudarles a tener errores de cálculo mínimos que descarrilen su trabajo. • MP.6 Atienden a la precisión: Los estudiantes necesitan prestar mucha atención a los signos enteros dentro de la resolución de ecuaciones lineales. A menudo no Distribuyan un signo negativo o realizan la misma operación en lugar de aplicar la operación inversa al resolver. Esto cambia el resultado global de la resolución de la ecuación lineal dada. Los estudiantes necesitan precisión para tener en cuenta todas las partes móviles, especialmente los valores enteros positivos y negativos. • MP.7 Buscar y utilizar estructuras: Los estudiantes buscan y utilizan la estructura cuando predicen si una ecuación tiene una solución, ninguna solución o muchas soluciones. Descubrir esta estructura permite a los estudiantes resolver ecuaciones más rápida y eficientemente. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes generalizan la forma de resolver ecuaciones lineales. A medida que resuelven ecuaciones lineales, justifican sus pasos para resolver mientras trabajan hacia el objetivo final de resolver para la variable.
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GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
ECUACIONES DE UNA VARIABLE Los estudiantes se centrarán en la resolución de ecuaciones lineales que contengan una variable utilizando la combinación de términos semejantes y operaciones inversas para calcular el valor requerido para una variable deseada. Mientras calculan el valor de la variable deseada, los estudiantes identificarán el tipo de solución que tendrá la ecuación lineal. Las ecuaciones lineales pueden clasificarse como una solución cuando la ecuación se resuelve para la única variable requerida. Las ecuaciones lineales pueden clasificarse como sin solución cuando el lado izquierdo de la ecuación no es igual al lado derecho de la ecuación cuando se cancelan las variables. Las ecuaciones lineales pueden clasificarse como infinitas soluciones cuando el lado izquierdo de la ecuación es igual al lado derecho de la ecuación cuando se cancelan las variables. Todas las ecuaciones cuando se resuelven caen bajo una de estas tres categorías y pueden ser etiquetadas en consecuencia.
Ejemplo 2: «¿Qué tipo de solución se obtiene resolviendo 4x - 2 + 5x + 7 = 5 + 9x? Justifica tu respuesta». La respuesta es infinitas soluciones. Las explicaciones pueden variar. Cuando se combinan términos semejantes en el lado izquierdo de la ecuación, 4x - 2 + 5x + 7 se convertiría en 9x + 5. Cuando se coloca en la ecuación, sería 9x + 5 = 5 + 9x. Dado que el lado izquierdo y el lado derecho de la ecuación son iguales, esto representaría infinitas soluciones.
Ejemplo 1: «¿Qué tipo de solución tiene la siguiente ecuación lineal?». 7x - 3 + 5 + 4x = 79 a. Una solución, x = 11 b. Infinitas soluciones c. Ninguna solución d. Una solución, x = 7
Ejemplo 3: «Se pidió a Brett que encontrara las soluciones de la ecuación lineal 3x + 6 - 5x = -2x - 6. A continuación se muestra el trabajo de Brett. ¿Estás de acuerdo con el trabajo y la respuesta de Brett? Justifica tu respuesta con pruebas».
La respuesta D es la opción correcta. Para resolver esta ecuación lineal, se empieza combinando términos semejantes con las variables y constantes para obtener 11x + 2 = 79. Una vez combinados los términos semejantes, se forma una ecuación lineal de 2 pasos. Los estudiantes tendrán que restar 2 de ambos lados de la ecuación para obtener 11x = 77. Ahora, los estudiantes deben dividir ambos lados de la ecuación por 11 para obtener x = 7. Dado que la variable tiene una respuesta específica, esta ecuación lineal se clasificaría como una ecuación de una solución. La respuesta es no. Las explicaciones pueden variar. Al ver el trabajo de Brett, cometió un error clave en el primer paso de combinar términos semejantes. Brett sumó 3x y -5x y obtuvo -8x cuando en realidad los números positivos y negativos deberían anularse entre sí dejando un resto de -2x. Cuando el -2x se introduce en la ecuación y se produce la operación inversa, el x's se cancelará dejando 6 = - 6. Como 6 no es igual a -6, esta ecuación lineal no tendría solución. (Véase el trabajo corregido más abajo).
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GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
RESOLVER ECUACIONES CON COEFICIENTES RACIONALES Cuando se trabaja con ecuaciones lineales que contienen coeficientes racionales como fracciones y decimales, es importante reconocer que el proceso de resolver ecuaciones lineales no cambia. Para resolver, es importante asegurarse de que los coeficientes son todos fracciones o todos decimales para facilitar el proceso. Una vez que los coeficientes están en la misma forma (fracciones o decimales), los estudiantes utilizarán la combinación de términos semejantes y las operaciones inversas para resolver. (Recordatorio: Al sumar o restar fracciones, se debe usar un denominador común). 3 2 x + 5 - __ x + 7 = 24 . Ejemplo 1: Evalúa __ 4 3
a. -144 b. 12 c. -12
Ejemplo 2: «Evaluar para x». 0.71x + 14 = - 0.79x + 35 a. x = 32 b. x =262.5 c. No tiene solución d. x = 14 La respuesta D es correcta. Al resolver 0.71x + 14 = 0.79x + 35, todos los valores de x deben ir a un lado de la ecuación y todas las constantes deben ir al otro lado de la ecuación. Para ello, mueve el valor más pequeño x -0.79x al otro lado añadiendo 0.79x a ambos lados de la ecuación. A continuación, mueve la constante 14 al lado opuesto restando 14. La ecuación será entonces 1,5x = 21. Divide ambos lados de la ecuación por 1.5 y x será igual a 14. (Véase el trabajo a continuación).
d. 144 La respuesta A es la correcta. Para empezar a resolver los valores x del lado izquierdo de la ecuación debe estar combinados. Para combinarlos, las fracciones deben tener un denominador común. El denominador 3 2 común entre __ y -__ es 12, por lo que las fracciones 4___ 3 9 se convertirían en 8 y -___ . Cuando se combinan los 12 12 1 valores x, la ecuación se convierte en, -___ x + 12 = 24. 12 Utilizando operaciones inversas, se resta 12 de los lados izquierdo y derecho de la ecuación para obtener solo el valor x. La ecuación se convierte entonces 1 en -___ x = 12. Para obtener x solo, multiplique ambos 12 1 12 lados por el recíproco de -__ que es - ___ . Después de 1 2 la multiplicación, la ecuación será x = -144. (Véase el trabajo a continuación).
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GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA La propiedad distributiva se utiliza al resolver ecuaciones lineales para eliminar los símbolos de agrupación ( ) o [ ] cuando hay un término fuera de los símbolos de agrupación y múltiples términos dentro de los símbolos de agrupación. Para usar la propiedad distributiva para eliminar los símbolos de agrupación, primero multiplica el término exterior por todos los términos dentro de los símbolos de agrupación, creando una ecuación equivalente más larga. A continuación, combina los términos semejantes para reagrupar los términos comunes. Finalmente, usa operaciones inversas para resolver el valor de la variable.
Ejemplo 2: «Evalúe la siguiente ecuación lineal. Inserta las propiedades apropiadas en las líneas en blanco para justificar cada paso completado para resolver la ecuación lineal».
Ejemplo 1: «Evalúe: __ 1 (6x + 10) - 2x - 5 = 3x + 12». 2
a. x = 6
3 b. x = - ___ 13
c. x = -6
3 d. x = ___ 13
La respuesta C es correcta. Para resolver, debes 1 distribuir (multiplicar) el __ por el 6x y 10 dentro del 2 paréntesis para obtener 3x + 5 - 2x - 5 = 3x + 12. Una vez eliminados los paréntesis, combina los términos iguales del lado izquierdo para obtener 1x = 3x + 12, ya que el 5 y el -5 se anulan para dejar 0 al sumarlos. A continuación, resta el 3x de ambos lados de la ecuación para obtener -2x = 12. Por último, divide ambos lados de la ecuación por -2 para obtener x = -6. (Véase el trabajo a continuación).
La respuesta es x = -20. Para empezar a resolver, distribuye (multiplica) el 0.75 entre x y -0.8 para obtener 0.75x + 0.6. A continuación, combina los términos semejantes para que todos los valores de x y las constantes del lado izquierdo de la ecuación estén juntos formando 0.75x + 3 = 0.3x - 6. Resta 0,3x a ambos lados de la ecuación para obtener 0,45x + 3 = -6. A continuación, resta 3 a ambos lados de la ecuación para obtener 0,45x = -9. Por último, divide ambos lados de la ecuación por 0,45 para obtener x = -20. (Ver el trabajo a continuación).
AVANCES Los estudiantes continuarán resolviendo ecuaciones lineales utilizando la propiedad distributiva y combinando términos semejantes y operaciones inversas a lo largo de todos los niveles de la escuela secundaria. Los estudiantes utilizarán los distintos pasos para evaluar sistemas de ecuaciones, desigualdades y funciones lineales, así como la factorización y la resolución de ceros cuando trabajen con polinomios.
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GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
ANÁLISIS PROFUNDO DE LOS ESTÁNDARES
CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES Analizar y resolver ecuaciones lineales y pares de ecuaciones lineales simultáneas. • Resolver ecuaciones lineales en una variable. ◦ Dar ejemplos de ecuaciones lineales en una variable con una solución, infinitas soluciones o sin solución. Demostrar cuál de estas posibilidades es el caso transformando sucesivamente la ecuación dada en formas más sencillas, hasta que resulte una ecuación equivalente de la forma x = a, a = a, o a = b (donde a y b son números diferentes). ◦ Resolver ecuaciones lineales con coeficientes de números racionales, incluyendo ecuaciones cuyas soluciones requieran expandir expresiones utilizando la propiedad distributiva y juntando términos semejantes.
DESGLOSAR EL ESTÁNDAR VERBOS: ¿QUÉ DEBERÍAN HACER LOS ESTUDIANTES?
• analizar: explorar y explicar
SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBEN CONOCER LOS ESTUDIANTES?
• coeficiente: el número colocado directamente antes de una variable que te dice que multipliques ese número por la variable • propiedad distributiva: la propiedad matemática que establece que multiplicar la suma o diferencia de un grupo de términos por un número o variable es lo mismo que multiplicar cada término por un número o variable y luego sumar o restar los productos • ecuación: una oración matemática que usa números, uno o más símbolos de operación y un signo igual • ecuaciones equivalentes: dos o más ecuaciones que son iguales • expresión: números, variables y símbolos agrupados sin signo igual para mostrar una relación • soluciones infinitas: en sistemas de ecuaciones, las rectas coincidentes tienen soluciones infinitas • términos semejantes: términos que tienen las mismas variables, incluyendo sus exponentes • ecuación lineal: una ecuación en la que ninguna variable tiene una potencia mayor que 1; la forma general es y = mx + b, donde m = pendiente y b = intersección con el eje y
• recopilar: reunir
• sin solución: en sistemas de ecuaciones, las rectas paralelas no tienen solución.
• expandir: usar la propiedad distributiva para reescribir una ecuación sin paréntesis
• una solución: en sistemas de ecuaciones, las rectas que se cruzan tienen una solución (x, y).
• dar: responder una respuesta a • mostrar: representar un número o una cantidad; demostrar una conclusión • resolver: encontrar un valor que responda a una pregunta y/o haga que una ecuación sea verdadera • transformar: reescribir una ecuación para hacer una nueva ecuación equivalente
• número racional: un número que se puede escribir como una fracción de enteros a/b, donde b ≠ 0; un número que se puede escribir como un cociente usando dos enteros • solución: cualquier número que hace que una ecuación sea verdadera • variable: una letra o símbolo que toma el lugar de un número que puede cambiar; una letra que puede representar un número desconocido o un conjunto de números
IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA
• En grados anteriores, los estudiantes han reconocido y representado relaciones proporcionales. Los estudiantes han usado variables para escribir y resolver ecuaciones y desigualdades. Los estudiantes han resuelto problemas que involucran las cuatro operaciones con números racionales. • En este nivel de grado, se espera que los estudiantes resuelvan ecuaciones lineales con una variable. Los estudiantes deben resolver ecuaciones que involucran coeficientes de números racionales. Deben usar la propiedad distributiva y la combinación de términos semejantes para resolver ecuaciones lineales. Los estudiantes determinan si hay infinitas soluciones, una solución o ninguna solución a la ecuación.
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GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
ALINEACIÓN VERTICAL GRADO
ESTÁNDAR
6
Aplicar las propiedades de las operaciones para generar expresiones equivalentes.
6
Identificar cuándo dos expresiones son equivalentes (es decir, cuando las dos expresiones nombran el mismo número independientemente del valor que se sustituya en ellas).
6
Utilizar variables para representar números y escribir expresiones al resolver un problema matemático o de la vida real; comprender que una variable puede representar un número desconocido o, dependiendo del propósito que se persiga, cualquier número de un conjunto especificado.
6
Resolver problemas matemáticos y del mundo real escribiendo y resolviendo ecuaciones de la forma x + p = q y px = q para casos en los que p, q, y x sean todos números racionales no negativos. Reconocer y representar relaciones proporcionales entre cantidades.
7
a.
Decidir si dos cantidades están en una relación proporcional, por ejemplo probando relaciones equivalentes en una tabla o representando en un plano de coordenadas y observando si la gráfica es una línea recta que pasa por el origen.
b.
Identificar la constante de proporcionalidad (tasa unitaria) en tablas, gráficas, ecuaciones, diagramas y descripciones verbales de relaciones proporcionales.
c.
Representar relaciones proporcionales mediante ecuaciones.
d.
Explicar qué significa un punto (x, y) en la gráfica de una relación proporcional en términos de la situación, con especial atención a los puntos (0, 0) y (1, r) donde r es la tasa unitaria.
7
Aplicar propiedades de las operaciones como estrategias para sumar, restar, factorizar y expandir expresiones lineales con coeficientes racionales.
7
Comprender que reescribir una expresión en diferentes formas en el contexto de un problema puede arrojar luz sobre el problema y cómo se relacionan las cantidades en él. Utilizar variables para representar cantidades en un problema matemático o del mundo real, y construir ecuaciones e inecuaciones sencillas para resolver problemas razonando sobre las cantidades. a.
Resolver problemas de palabras que conduzcan a ecuaciones de la forma px+q = r y p(x + q)=r, donde p, q, y r son números racionales específicos. Resolver ecuaciones de estas formas con fluidez. Comparar una solución algebraica con una solución aritmética, identificando la secuencia de las operaciones utilizadas en cada planteamiento.
b.
Resolver problemas de palabras que conduzcan a desigualdades de la forma px + q > r o px + q < r, donde p, q, y r son números racionales específicos. Represente el conjunto solución de la desigualdad e interprételo en el contexto del problema.
7
Resuelva ecuaciones lineales en una variable. a.
Muestre ejemplos de ecuaciones lineales en una variable con una solución, infinitas soluciones o sin solución. Demostrar cuál de estas posibilidades es el caso transformando sucesivamente la ecuación dada en formas más sencillas, hasta que resulte una ecuación equivalente de la forma x = a, a = a, o a = b (donde a y b son números diferentes).
b.
Resolver ecuaciones lineales con coeficientes de números racionales, incluyendo ecuaciones cuyas soluciones requieran expandir expresiones usando la propiedad distributiva y juntando términos semejantes.
8
Preparatoria
Reordenar fórmulas para resaltar una cantidad de interés, utilizando el mismo razonamiento que en la resolución de ecuaciones.
Preparatoria
Explicar cada paso en la resolución de una ecuación simple como consecuencia de la igualdad de números afirmada en el paso anterior, partiendo del supuesto de que la ecuación original tiene solución. Construir un argumento viable para justificar un método de solución.
Preparatoria
Resolver ecuaciones racionales y radicales sencillas en una variable, y dar ejemplos que muestren cómo pueden surgir soluciones extrañas.
Preparatoria
Resolver ecuaciones e inecuaciones lineales en una variable, incluyendo ecuaciones con coeficientes representados por letras. Resolver ecuaciones cuadráticas en una variable.
Preparatoria
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a
Utilizar el método de completar el cuadrado para transformar cualquier ecuación cuadrática en x en una ecuación de la forma (x - p)2 = q que tenga las mismas soluciones. Derivar la fórmula cuadrática a partir de esta forma.
b
Resolver ecuaciones cuadráticas por inspección (por ejemplo, para x2 = 49), tomando raíces cuadradas, completando el cuadrado, la fórmula cuadrática y la factorización, según corresponda a la forma inicial de la ecuación. Reconocer cuándo la fórmula cuadrática da soluciones complejas y escribirlas como a ± bi para números reales a y b.
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GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA MONITOREAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA La guía de instrucción andamiada se proporciona para que los maestros puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones del alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que ayuda a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de la evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos según los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere que todos los estudiantes experimenten con los elementos: «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades», ya que cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar. 0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
80 % - 100 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil pueden trabajar en contenido de nivel de grado con apoyos de instrucción.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» individual para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 2. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante de acuerdo con sus datos de evaluación. 3. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la sección «Scaffolded Instruction Guide» en el menú desplegable «Home» del alcance. 4. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Operaciones y Pensamiento algebraico Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Resolver ecuaciones lineales en una variable. a.
Dar ejemplos de ecuaciones lineales en una variable con una solución, con infinitas soluciones o sin solución. Demuestre cuál de estas posibilidades es el caso transformando sucesivamente la ecuación dada en formas más sencillas, hasta que resulte una ecuación equivalente de la forma x = a, a = a, o a = b (donde a y b son números diferentes).
Resolver ecuaciones lineales en una variable. c.
7 - Expresiones
7 - expresiones
Repaso y práctica de habilidades
Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez
• Expresiones Práctica interactiva
7 - Resolver ecuaciones y desigualdades Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez
0 % - 25 %
• Cerradura y llave
• Ecuaciones y desigualdades de dos pasos Práctica interactiva
• Expresiones
(Refuerzo del grado anterior)
0 % - 25 %
(Refuerzo del grado anterior)
Constructor de fluidez
Prueba de habilidades
Práctica interactiva • Cerradura y llave Prueba de habilidades 7 - Resolver ecuaciones y desigualdades Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Ecuaciones y desigualdades de dos pasos Práctica interactiva
• Academia de exploradores del espacio
• Academia de exploradores del espacio
Prueba de habilidades
Prueba de habilidades
Acceso a conocimientos previos
• Repaso (Sección «¿Una, ninguna o infinitas soluciones?») • Revisión general (Preguntas 5-7,9,10)
25 % - 50 %
Repaso de habilidades y práctica
8 - Resolución de ecuaciones lineales
Repaso de Habilidades y Práctica • Revisión rápida (Preguntas 1,3,4) • Repaso (Sección: Pasos para resolver ecuaciones con variables en ambos lados, sección Resolución de ecuaciones con coeficientes racionales) • Revisión general (Preguntas 1-4,8)
Práctica interactiva • Misión del droide Constructor de fluidez
50 % - 80 %
Libreta interactiva
8 - Resolución de ecuaciones lineales Tarea de modelado matemático ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
254
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80 % - 100 %
Ciencia de datos 80 % - 100 %
Constructor de bases fundamentales
Vocabulario interactivo
• Ecuaciones con variables en ambos lados
(Ampliación del nivel de grado)
Acceso a conocimientos previos
8 - Resolución de ecuaciones lineales Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva Conexiones lingüísticas
(Ampliación del nivel de grado)
(Nivel de grado)
50 % - 80 %
Vocabulario ilustrado
8 - Resolución de Ecuaciones Lineales
(Nivel de grado con apoyos)
Constructor de bases fundamentales
(Nivel de grado)
25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyos)
8 - Resolución de ecuaciones lineales
• Revisión rápida (Pregunta 2)
Resolver ecuaciones lineales con coeficientes de números racionales, incluyendo ecuaciones cuyas soluciones requieren expandir expresiones usando la propiedad distributiva y juntando términos semejantes.
8 - Resolución de ecuaciones lineales ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
ATRAER: ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS Solving Linear Equations
EVALUAR PREVIAMENTE EL CONOCIMIENTO DEL ESTUDIANTE
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: NO PERTENECE
Does Not Belong Determine which letter does not belong in each group, and explain your thinking. A
C
ESTÁNDAR PREVIO Aplicar las propiedades de las operaciones como estrategias para sumar, restar, factorizar y expandir expresiones lineales con coeficientes racionales.
2(x + 12)
2x + 12
B
DESCRIPCIÓN
D
(x + 6) + (x + 6)
Los estudiantes examinarán una serie de expresiones y determinarán cuál opción no pertenece al grupo. Este elemento está diseñado para descubrir los conceptos erróneos de los estudiantes; no debe calificarse.
2(x + 6)
MATERIALES
Letter ______ does not belong because ____________________________________ ____________________________________________________________________
IMPRESOS
____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________
• 1 no pertenece (por estudiante o por grupo)
____________________________________________________________________
PREPARACIÓN 1
• Imprima un «No Pertenece» para cada estudiante. • Puede elegir colocar a los estudiantes en grupos de dos o tres.
Solving Linear Equations
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya los «No Pertenece» a cada estudiante o grupo. 2. Explique que cada tabla del folleto contiene cuatro opciones. Tres de las opciones van juntas, mientras que una no pertenece.
Determine which letter does not belong in each group, and explain your thinking.
A
C
3x + 21
3. Pida a los estudiantes que determinen qué letra no pertenece en cada grupo y que expliquen lo que piensan.
(x + 7) + (x + 7) + (x + 7)
B
D
3(x + 21)
Página 1: La opción C no pertenece. Las opciones A, B y D son todas equivalentes, pero C es igual a 2x + 24.
b.
Página 2: La opción B no pertenece. A, C y D son todas equivalentes, pero la opción B sería igual a 3x + 63.
4. Concluya dirigiendo una conversación.
3(x + 7)
5. Si los estudiantes tienen dificultades para completar esta tarea, realice el ejercicio «Constructor de bases fundamentales» para llenar el vacío en los conocimientos previos antes de pasar a otras partes del alcance.
Letter ______ does not belong because ____________________________________
IDENTIFICACIÓN DE CONCEPTOS ERRÓNEOS
____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________
• Los estudiantes pueden calcular sus matemáticas en el orden incorrecto. Deben estar familiarizados con el orden de las operaciones.
____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________
2
NO PERTENECE
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a.
• Los estudiantes pueden trabajar de izquierda a derecha en lugar de seguir el orden de las operaciones. • Los estudiantes pueden olvidar que las expresiones entre paréntesis deben calcularse primero.
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GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
ATRAER: CAPTAR INTERÉS LECCIÓN PARA CAPTAR INTERÉS
CAPTAR INTERÉS
Solving Linear Equations
Let Them Eat Cupcakes
DESCRIPCIÓN Los estudiantes determinan el valor de una variable en una ecuación.
0.5(y + 10) + 8 = 3 y – 4 4
0.5(y + 10) + 8 = 0.75y – 4
MATERIALES IMPRESOS
• 1 ¡Que coman magdalenas! (por clase) REUTILIZABLES
• 1 fenómeno (por clase)
PREPARACIÓN
• Planee mostrar los Fenómenos. • Prepárese para proyectar «¡Que coman magdalenas!» para que toda la clase las vea. • Prepárese para presentar el escenario y anime a los estudiantes a pensar en cómo representarlo. Prepárese para pasar a las actividades de «Explorar», y regrese posteriomente a la actividad «Captar interés» con los nuevos conocimientos adquiridos una vez que se hayan completado las exploraciones.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA
1. Presente esta actividad hacia el comienzo del alcance. La clase retomará la actividad y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades correspondientes a «Explorar». 2. Muestre los fenómenos. Formule a los estudiantes las siguientes preguntas: «¿Qué observas? ¿Dónde puedes ver matemáticas en esta situación?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. 3. Explique el escenario a la clase: «Alisa trabaja para la empresa de magdalenas de su madre durante el verano y en los descansos del colegio. El día después de un día festivo, las magdalenas gigantes de lujo que no se vendieron salen a la venta con un descuento del 50 %. La madre de Alisa quiere que Alisa calcule cuál es el beneficio de una docena de esas magdalenas especiales después del descuento. Le da a Alisa la ecuación inicial que incluye la variable y y le pide que la resuelva para obtener el beneficio».
100[0.5(y + 10) + 8] = [0.75y – 4] ・100 50(y + 10) + 800 = 75y – 400 50y + 500 + 800 = 75y – 400 50y + 1,300 = 75y – 400 50y + 1,300 = 75y – 400 – 50y ___ – 50y_____ 1,300 = 25y – 400 1,300 = 25y – 400 – 400_ _ – 400 900 = 25y 36 = y
1
QUE COMAN MAGDALENAS
5. Proyecte «¡Que coman magdalenas!». 6. Explique a los estudiantes que Alisa se ha equivocado al resolver la ecuación e intentar averiguar el beneficio de la docena de magdalenas rebajadas. Su madre le ha pedido que revise su trabajo, encuentre dónde se equivocó y corrija el error para encontrar el beneficio real. Comente las siguientes preguntas con la clase: a. DOK-1 «¿Cuántas variables diferentes ves en la ecuación?». solo hay una variable: y. b. DOK-1 «¿Qué más observas en la ecuación dada?». Las respuestas pueden variar. En ella hay tanto decimales como fracciones. 7. Pase a completar las actividades de «Explorar».
4. Permita que los estudiantes hagan preguntas y aclaren el contexto según sea necesario. Anímelos a compartir sus pensamientos y experiencias con la clase utilizando las siguientes preguntas: a. «¿Qué tipo de magdalena es tu favorita?». b. «¿Por qué la madre de Alisa pondría magdalenas en oferta después de un día festivo?». 256
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GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
ATRAER: CAPTAR INTERÉS
PARTE II: DESPUÉS DE EXPLORAR
1. Después de que los estudiantes hayan completado las actividades correspondientes a «Explorar» para este tema, muestre de nuevo los fenómenos y repita el escenario.
e. DOK-1 «¿Puedes identificar el error de Alisa? ¿Qué hizo mal?». Sí, se equivocó al restar 400 a cada lado. Se suponía que debía sumar 400 a ambos lados para empezar a aislar la variable y.
2. Remítase a «Que coman magdalenas», y plantee las siguientes preguntas con la clase:
f. DOK-1 «¿Cuál es el valor incorrecto de y? ¿Cuál es el valor correcto de y?». El valor incorrecto era 36. El valor correcto es 68.
a. DOK-1 «¿Cuántas variables diferentes ven en la ecuación?». solo hay una variable: y. b. DOK-1 «¿Qué más observas en la ecuación dada?». Las respuestas pueden variar. Hay tanto decimales como fracciones en ella. c. DOK-1 «¿Cuál es el primer paso que realiza Alisa?». Cambia la fracción ¾ a un decimal de 0.75, para que las unidades sean las mismas. d. DOK-1 «¿Cuál es el siguiente paso que da Alisa?». Multiplica ambos lados de la ecuación por 100 para eliminar los decimales.
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g. DOK-1 «¿Qué representa ese valor?». Representa el beneficio obtenido por una docena de magdalenas gigantes de lujo con un descuento del 50 % el día después de un día festivo. h. DOK-1 «¿Qué puedes decir sobre el precio de las magdalenas?». Las magdalenas son caras. 3. Si dispone de tiempo, pida a los estudiantes que creen una ecuación lineal y la resuelvan, pero con un error en alguna parte de la solución. A continuación, pídales que lo intercambien con un compañero y encuentren el error.
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GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 1: RESOLVER ECUACIONES CON VARIABLES EN AMBOS LADOS Estándar(es) • Analizar y resolver ecuaciones lineales y pares de ecuaciones lineales simultáneas. Resolver ecuaciones lineales en una variable. ◦ Dar ejemplos de ecuaciones lineales en una variable con una solución, infinitas soluciones o sin solución. Demostrar cuál de estas posibilidades es el caso transformando sucesivamente la ecuación dada en formas más sencillas, hasta que resulte una ecuación equivalente de la forma x = a, a = a, o a = b (donde a y b son números diferentes). ◦ Resolver ecuaciones lineales con coeficientes de números racionales, incluyendo ecuaciones cuyas soluciones requieren expandir expresiones usando la propiedad distributiva y juntando términos semejantes. Ideas fundamentales Ecuaciones lineales Múltiples representaciones de funciones
Estándares para la práctica matemática MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución.
Conexiones de contenido CC2 Explorar al cambiar las cantidades
Motores de investigación DI1 Dar sentido al mundo: Comprender y explicar.
MP.2 Razonamiento abstracto y cuantitativo. MP.4 Representar con matemáticas. MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas. MP.6 Atienden a la precisión.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes escribirán, modelarán y resolverán ecuaciones con variables en ambos lados del signo igual.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por estudiante) REUTILIZABLE
• 1 juego de fichas de álgebra (por grupo) • 1 proyector o cámara de documentos (por maestro)
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PREPARACIÓN
• Planifique dividir la clase en grupos de 2 o 3 estudiantes. • Imprima el «Diario del estudiante» y el «Boleto de salida» para cada estudiante. • Reúna un juego de fichas de álgebra para cada grupo. • Tenga una cámara de documentos preparada para mostrar a los estudiantes cómo modelar la resolución de ecuaciones con variables en ambos lados utilizando fichas de álgebra. • ¡Hazlo digital! Haga que los estudiantes exploren o presenten sus soluciones utilizando manipulativos virtuales. Los manipulativos usados en esta lección se pueden encontrar en el menú desplegable de la sección «Explorar» y se pueden asignar digitalmente a los estudiantes.
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GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Lea la siguiente situación a la clase: «Erika y su mejor amiga, Tammi, trabajan este verano para diferentes familiares con el fin de ganar dinero para un próximo viaje que quieren hacer. Cada día, las chicas ganan la misma cantidad de dinero para preparar el viaje. Ayuda a Erika y a Tammi a determinar cuánto dinero ganaron por hora el día 1». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada uno. 3. Entregue un juego de fichas de álgebra a cada grupo. 4. Pida a los estudiantes que miren el escenario del día 1 en el «Diario del estudiante». Lean juntos el día 1: Erika trabajó 3 horas y gastó $1 en un refresco. Tammi trabajó 2 horas y ganó 2 $ en propinas. Al final del día, las chicas tenían exactamente la misma cantidad de dinero. Sea x la cantidad de dinero por hora que cobró cada chica el primer día. «¿Cuánto dinero cobraron las chicas por hora el día 1?». 5. Haga las siguientes preguntas con la clase: a. DOK-1 «La ecuación 3x - 1 = 2x + 2 representa esta situación. ¿Qué parte de la ecuación representa las ganancias de Erika y qué parte de la ecuación representa las ganancias de Tammi?». Las ganancias de Erika están representadas por 3x - 1, y las ganancias de Tammi están representadas por 2x + 2. b. DOK-1 «¿Qué representa la variable x en esta situación?». La variable x representa la cantidad de dinero que se pagó a cada chica por hora. c. DOK-2 «¿Por qué las dos expresiones son iguales entre sí?». Las chicas ganaron la misma cantidad de dinero ese día, así que las ganancias de Erika serán iguales a las ganancias de Tammi. d. DOK-1 «¿Cómo puedes modelar la expresión de Erika usando fichas de álgebra?». Puedo usar 3 rectángulos verdes para 3x y 1 cuadrado rojo para -1. e. DOK-1 «¿Cómo puedes modelar la expresión de Tammi usando fichas de álgebra?». Puedo usar 2 rectángulos verdes para 2x y 2 cuadrados amarillos para 2 positivo. f. DOK-1 «¿Cómo puedes demostrar que las expresiones de las niñas son iguales?». Puedo dibujar un signo igual entre las dos expresiones.
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6. Explique a los estudiantes que deben modelar la ecuación con sus fichas de álgebra y luego esbozar el modelo en el «Diario del estudiante». Sirva de modelo para que los estudiantes dibujen las fichas de álgebra. comente y represente con los estudiantes la resolución usando fichas de álgebra. a. DOK-1 «¿Qué tiene de diferente esta ecuación en comparación con todas las ecuaciones que has resuelto en el pasado?». Esta ecuación tiene variables en ambos lados del signo igual. b. DOK-2 «Al resolver, ¿qué estrategias usas para aislar la variable?». Realizo operaciones inversas para obtener x por sí mismo. Lo que hago a un lado de la ecuación, debo hacerlo al otro lado. c. DOK-2 «¿Cómo puedes manipular la ecuación para que solo tengas x términos a un lado del signo igual?». Puedo eliminar 2 Xs de ambos lados de la ecuación. d. Representa eliminando 2 x teselas de cada lado, así como atravesando 2 x teselas en el croquis. Escribe la explicación "quitar 2x de ambos lados" en la columna correspondiente. Por último, modela algebraicamente, restando 2x de ambos lados. e. DOK-1 «¿Qué queda en el lado izquierdo de la ecuación?». x - 1 f. DOK-1 «¿Qué queda en el lado derecho de la ecuación?». 2 7. Explique a los estudiantes que ahora la ecuación se parece a las ecuaciones que han resuelto anteriormente. Complete el modelo, la explicación y los pasos algebraicos para determinar la cantidad de dinero que se pagó a cada una de las chicas por hora. 8. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte I y responder a las preguntas de reflexión que siguen. 9. Después de la parte 1, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-2 «¿En qué se diferencian estas ecuaciones de las que hemos visto anteriormente?». Estas ecuaciones son diferentes porque hay variables en ambos lados del signo igual. • DOK-2 «¿Cambia esto la manera de resolver x? Explica». No, todavía tenemos que aislar la variable usando operaciones inversas para resolver x.
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GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
Solving Linear Equations Explore 1
PARTE II
1. Lea la siguiente situación a la clase: «Erika y Tammi están ayudando esta semana a la tía de Erika con el pedido de su camión de comida. Cada día las chicas trabajan diferentes horas, pero ganan la misma cantidad de dinero. Ayude a Erika y Tammi a determinar cuánto dinero ganaron por hora en los días 2 a 5».
Saving Up for the Trip! Part I
With the class, read the scenario from day 1. Determine an equation to represent the girls’ earnings for the day. Then, solve using algebra tiles and solve algebraically. Day 1: Erika worked for 3 hours and spent $1 on a soda. Tammi worked for 2 hours and earned $2 in tips. At the end of the day, the girls had the exact same amount of money. Let x represent the amount of money per hour each girl was paid on day 1. How much money did the girls get paid per hour on day 1? Model:
Explanation:
Algebraic steps:
Given
3x – 1 = 2x + 2 – 2x – 2x
Remove 2x from both sides.
x=3
2. Explique a los estudiantes que trabajarán con sus grupos para determinar la ecuación de cada uno de los días restantes en que Erika y Tammi trabajaron esta semana. Los estudiantes representarán usando fichas de álgebra, dibujarán sus modelos en el «Diario del estudiante», explicarán y escribirán los pasos algebraicos en el «Diario del estudiante».
Add positive 1 to both sides.
x=3 1
3. Mientras los estudiantes colaboran, monitoree su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar la comprensión de los estudiantes: a. DOK-1 «Usar fichas de álgebra es una forma de representar la resolución de ecuaciones. ¿Qué otros modelos podrías utilizar?». Podría hacer un esquema rápido con palitos para Xs, signos más para números enteros positivos y signos menos para números enteros negativos.
x–1=2 +1 +1
Solving Linear Equations Explore 1
Reflect 1.
What do you notice about the steps using algebra tiles and the steps solving the equation algebraically?
2.
How are these equations different from ones we have seen previously?
The steps using algebra tiles are the same steps when solving algebraically.
These equations are different because there are variables on both sides of the equal sign.
b. DOK-2 «¿Cómo sabes qué operaciones usar para aislar la variable?». Utilizamos operaciones inversas. Cuando hay suma, usamos resta, y cuando hay resta, usamos suma. c. DOK-2 «¿Cómo puedes confirmar que tu solución es correcta?». Puedo sustituir mi solución en la ecuación original. Si la solución hace que la ecuación sea verdadera, entonces es correcta.
2
4. Concede a los estudiantes tiempo suficiente para completar la parte II y responder a las preguntas de reflexión que siguen. 5. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Cómo puedes probar que una solución es correcta para una ecuación?». Puedo sustituir mi solución en la ecuación original. Si la solución hace que la ecuación sea verdadera, entonces es correcta. • DOK-2 «¿Qué representa tu solución en términos de la situación?». Cada solución representa cuánto dinero ganaron las niñas por hora ese día. • DOK-3 «¿En qué otro lugar del mundo real usarías ecuaciones?». Comparación del coste de los planes de telefonía móvil
Solving Linear Equations Explore 1
Part II Read the scenario with your group. Determine an equation to represent the girls’ earnings for the day. Then solve using algebra tiles and solve algebraically. Day 2: Erika worked 5 hours and spent $2 on snacks. Tammi worked for 4 hours and earned $1 in tips. At the end of day 2, both girls earned the same amount of money. Let x equal the amount of money per hour each girl earned on day 2. How much money did the girls get paid per hour on day 2? Model:
Explanation:
Algebraic steps:
Given
5x – 2 = 4x + 1 – 4x – 4x
Remove 4x from both sides.
x–2=1 +2 +2 x=3
Add positive 2 to both sides.
x=3 3
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
6. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
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GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
Solving Linear Equations Explore 1
Day 3: Erika worked 3 hours plus earned $4 in tips. Tammi worked 4 hours and spent $12 on food. Each girl earned the same amount on day 3. Let x represent the dollars per hour that each girl earned on this day. How much money did the girls get paid per hour on day 3? Model:
Explanation:
Algebraic steps:
Given
3x + 4 = 4x – 12 – 3x – 3x
Remove 3x from both sides.
Solving Linear Equations Explore 1
Day 4: Erika worked 6 hours and spent $1 on a soda. Tammi worked 7 hours and spent $3 on food. Each girl earned the same amount on day 4. Let x represent the dollars per hour that each girl earned on this day. How much money did the girls get paid per hour on day 4? Model:
4 = x – 12 + 12 + 12
Explanation:
Algebraic steps:
Given
6x – 1 = 7x – 3 –6x –6x
Remove 6x from both sides.
2=x
16 = x Add positive 3 to both sides.
Add positive 12 to both sides.
x=2
x = 16
4
5
Solving Linear Equations Explore 1
Solving Linear Equations Explore 1
Day 5: Erika worked 8 hours and spent $4 on food. Tammi worked 7 hours and earned $8 in tips. Each girl earned the same amount on day 5. Let x represent the dollars per hour that each girl earned on this day. How much money did the girls get paid per hour on day 5? Model:
Explanation:
Algebraic steps:
Given
8x – 4 = 7x + 8 – 7x – 7x
Remove 7x from both sides.
−1 = x – 3 +3 +3
Reflect 1.
When might you rather solve algebraically than solve using algebra tiles? I would want to solve algebraically when the numbers are bigger or include fractions and decimals because these would be harder to represent using algebra tiles.
2.
How can you prove that a solution is correct for an equation? I can substitute my solution back into the original equation. If the solution makes the equation true, then it is correct.
x–4=8 +4+4 x = 12
3.
What does the solution represent in terms of the situation? Each solution represents how much money the girls earned per hour that day.
Add positive 4 to both sides.
x = 12
6
7
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez que la clase lo haya completado, pida a los estudiantes que completen individualmente su «Libreta interactiva».
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Algunos estudiantes pueden tener dificultades para comprender el concepto de variable. Pida a estos estudiantes que utilicen primero un número real para la longitud media (por ejemplo, 10 unidades), escriban las expresiones en consecuencia y, a continuación, sustituyan el número medio por la variable x. 2. Al resolver algebraicamente x, los estudiantes pueden eliminar la variable y confundirse en sus cálculos. Por ejemplo, al hacer operaciones inversas, los estudiantes pueden derivar lo siguiente 3x - 2x = 1, eliminando la x; recuérdeles a los estudiantes que cometen este error que el coeficiente nos dice cuántos de algo tenemos y, por lo tanto, es importante escribir la variable para que sepamos que queda 1x o 1 de algo.
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias a continuación para conocer las formas de apoyar el desarrollo del lenguaje del estudiante.
Solving Linear Equations Part 1
Solve Equations with Variables on Both Sides Read the scenario. Determine an equation to represent the scenario. Then, solve by using algebra tiles and solve algebraically. Greyson earns a certain number of minutes to play video games for each chore that he completes. He loses a minute of video game time for each time he gets in trouble. On Tuesday, he completed 5 chores and got in trouble 6 times. On Wednesday, he completed 4 chores but only got in trouble once. If he earned the same amount of video game time each day, how much time does he get for each chore he completes? Model = = =
Explanation
Algebraic Steps
Remove 4x from both sides.
5x – 6 = 4x – 1 –4x –4x
Add 6 to both sides.
x – 6 = –1 +6 +6 x=5
x=5
= =
1
Solving Linear Equations Part 1
Look at the table below. Fill in the missing information to complete the table. Model
Explanation
Algebraic Steps
=
Remove 2x from both sides.
=
Add 4 to each side.
3x – 4 = 2x + 2 –2x –2x x–4=2 +4 +4 x=6
=
x=6
= = =
Add 4x to each side.
=
Add 3 to each side.
=
x=8
= =
2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS
Los estudiantes utilizarán técnicas de aprendizaje como mapas conceptuales, dibujos, comparaciones, contrastes, memorización y repasos para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado. Principiante: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que creen cuadrados de vocabulario para los términos lineal y ecuación. Completa las siguientes secciones del cuadro de vocabulario como clase: Definición, Ejemplo (problema matemático), Noejemplo, y que los estudiantes creen su propia imagen para cada término. Intermedio: Como actividad previa a la clase, pida a los estudiantes que creen cuadrados de vocabulario para los términos lineal y ecuación. Los cuadrados de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), Noejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes las definiciones y los ejemplos, pero anímelos a reescribir las definiciones con sus propias palabras. Avanzado: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que creen cuadrados de vocabulario para los términos lineal y ecuación. Los cuadrados de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), Noejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes las definiciones, pero anímelos a reescribirlas con sus propias palabras.
262
SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 262
–4x + 5 = –3x – 3 +4x +4x 5 = x –3 +3 +3 8=x x=8
Solving Linear Equations Explore 1
Another Day of Work Exit Ticket The girls decided to work one more day this week at the food truck. Erika worked 4 hours and spent $2 on a drink. Tammi worked for 3 hours and received a $2 tip. At the end of the day, both girls earned the same amount of money. Let x equal the amount of money per hour each girl earned this day. Model:
Explanation:
Algebraic steps:
Given
4x – 2 = 3x + 2 – 3x – 3x
Remove 3x from both sides.
x–2=2 +2 +2 x=4
Add positive 2 to both sides.
x=4
1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 2: ECUACIONES DE UNA VARIABLE Estándar(es) • Analizar y resolver ecuaciones lineales y pares de ecuaciones lineales simultáneas. Resolver ecuaciones lineales en una variable. ◦ Dar ejemplos de ecuaciones lineales en una variable con una solución, infinitas soluciones o sin solución. Demostrar cuál de estas posibilidades es el caso transformando sucesivamente la ecuación dada en formas más sencillas, hasta que resulte una ecuación equivalente de la forma x = a, a = a, o a = b (donde a y b son números distintos). ◦ Resolver ecuaciones lineales con coeficientes de números racionales, incluyendo ecuaciones cuyas soluciones requieren expandir expresiones usando la propiedad distributiva y juntando términos semejantes. Ideas fundamentales Ecuaciones lineales Representaciones de múltiples funciones
Estándares para la práctica matemática
Conexiones de contenido
Motores de investigación
MP.2 Razonamiento abstracto y cuantitativo.
CC2 Explorar al cambiar las cantidades
DI1 Dar sentido al mundo: Comprender y explicar.
MP.4 Representar con matemáticas.
DI2 Predecir lo que podría suceder: Predecir
MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas. MP.6 Atienden a la precisión. MP.7 Buscar y utilizar estructuras.
DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes resolverán ecuaciones lineales con una variable y determinarán si las ecuaciones tienen una solución, infinitas soluciones o ninguna solución.
PARTE I
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Planee dividir la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes para completar la actividad. • Imprima el «Diario del estudiante» y el «Boleto de salida» para cada estudiante.
ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 263
1. Lea el siguiente escenario: «Para la segunda semana de ahorros de verano, Erika y Tammi decidieron trabajar para la tía de Tammi. La tía de Tammi tiene una empresa de investigación. El proyecto de esta semana consiste en determinar soluciones de ecuaciones. Ayuda a las niñas a determinar si los valores dados son soluciones válidas de ecuaciones dadas». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada uno. 3. Explique a los estudiantes que tendrán que sustituir los valores de 0. 5 y 10 por x en cada una de las ecuaciones con las que están trabajando Tammi y Erika. A continuación, los estudiantes sombrearán las casillas de las ecuaciones que sean verdaderas para cada valor de x. 4. Supervise y evalúe a los estudiantes mientras trabajan haciéndoles las siguientes preguntas orientativas: a. DOK-1 «¿Qué operación resolviste primero?». Después de sustituir el valor de x, multipliqué el coeficiente por el valor que sustituí. b. DOK-1 «¿Qué significa sustituir x = 0?». Significa sustituir x por 0. Luego resolveremos la ecuación para ver si es cierta. c. DOK-1 «¿Qué significa 6 = -4 cuando sustituyes 0 por x en la ecuación x + 6 = 3x - 4?». Significa que el valor sustituido por x no es una solución de esta ecuación. 0 no puede ser una solución de la ecuación.
263
1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 5. Dé tiempo a los estudiantes para completar la parte I y las preguntas de reflexión. 6. Después de la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
Solving Linear Equations Explore 2
Solutions, Solutions, Solutions Part I
Look at the one variable equations below. Substitute each value in for x. Then, shade each box where the substituted value is a possible solution for the equation. Equation
Substitute x = 0
Substitute x = 5
Substitute x = 10
5x + 15 = 15 + 5x
5x + 15 = 15 + 5x 5(0) + 15 = 15 + 5(0) 0 + 15 = 15 + 0 15 = 15
5x + 15 = 15 + 5x 5(5) + 15 = 15 + 5(5) 25 + 15 = 15 + 25 40 = 40
5x + 15 = 15 + 5x 5(10) = 15 = 15 + 5(10) 50 + 15 = 15 + 50 65 = 65
x + 6 = 3x – 4
x + 6 = 3x – 4 0 + 6 = 3(0) – 4 6=0–4 6 = −4
x + 6 = 3x – 4 5 + 6 = 3(5) – 4 11 = 15 – 4 11 = 11
6x + 3 = 6x + 2
6x + 3 = 6x + 2 6(0) + 3 = 6(0) + 2 0+3=0+2 3=2
6x + 3 = 6x + 2 6(5) + 3 = 6(5) + 2 30 + 3 = 30 + 2 33 = 32
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Qué notaron acerca de las ecuaciones?». En la primera ecuación, todos los valores de x eran soluciones de la ecuación. En la segunda ecuación solo x = 5 era una posible solución de la ecuación. En la tercera ecuación, ninguno de los valores era una solución.
x + 6 = 3x – 4 10 + 6 = 3(10) – 4 16 = 30 – 4 16 = 26
6x + 3 = 6x + 2 6(10) + 3 = 6(10) + 2 60 + 3 = 60 + 2 63 = 62
1
• DOK-2 «¿Una ecuación tiene que tener una sola solución?». No, una ecuación puede tener más de una solución. • DOK-2 «¿Cómo puedes saber si una ecuación tiene más de una solución?». Los términos de ambos lados de la ecuación son iguales. • DOK-2 «¿Crees que una ecuación puede no tener solución?». Sí, creo que es posible. PARTE II
1. Lee la siguiente situación: «La tía de Tammi quiere que las niñas ayuden a desarrollar una aplicación para determinar cuántas soluciones hay para diferentes ecuaciones. Ayude a las niñas a resolver diferentes ecuaciones para predecir si la ecuación tendrá un solo valor para x, muchos valores para x o ningún valor para x».
Solving Linear Equations Explore 2
Reflect 1.
What do you notice about the equations? In one equation, all of the values for x were true; in one equation, only one value for x was true; and in the last equation, none of the values were true for x.
2.
Why do you think the equation 5x + 15 = 15 + 5x was true for all three values? This equation was true for all three values because both sides of the equation have the same terms.
2. Explique a los estudiantes que colaborarán con sus grupos para resolver cada ecuación para x. Luego, cada grupo discutirá para hacer una predicción sobre si la ecuación tendrá una sola solución para x, muchas soluciones para x, o ninguna solución para x.
2
3. Supervise y evalúe a los estudiantes mientras trabajan haciéndoles las siguientes preguntas orientadoras: a. DOK-1 «¿Por qué creen que 4x - 6 = 4x no tiene solución?». Cuando resolvimos, obtuvimos 0 = 12, lo que no es cierto. Por lo tanto, creemos que no habrá soluciones para esta ecuación. b. DOK-1 «¿Por qué crees que -12x + 15 = 3x - 30 tendrá una única solución para x?». Cuando resolvimos esta ecuación, obtuvimos que x = 3. Por lo tanto, creemos que 3 será la única solución para esta ecuación. c. DOK-1 «¿Por qué crees que x + 6 + 2x = 3x + 6 tendrá muchas soluciones?». Cuando resolvimos este problema, obtuvimos que x = x. Por lo tanto, creemos que hay muchos valores diferentes que podríamos sustituir por x en esta ecuación. 4. Dé tiempo a los estudiantes para completar la parte II y las preguntas de reflexión en el «Diario del estudiante». 5. Después de la parte II, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
264
SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 264
Solving Linear Equations Explore 2
Part II
Solve for x. Use the solution to predict the number of solutions for each equation. Equation
4x – 6 = 4x
Solve for x.
One Solution?
Many Solutions?
4x – 6 = 4x 4x – 6 + 6 = 4x + 6 4x = 4x + 6 4x – 4x = 4x + 6 – 4x 0=6
x + 6 + 2x = 3x + 6
x + 6 + 2x = 3x + 6 3x + 6 = 3x + 6 3x + 6 – 6 = 3x + 6 – 6 3x = 3x 3x ÷ 3 = 3x ÷ 3 x=x
10x – 5 = 2x + 11
10x – 5 = 2x + 11 10x – 5 – 2x = 2x + 11 – 2x 8x –5 = 11 8x – 5 + 5 = 11 + 5 8x = 16 8x ÷ 8 = 16 ÷ 8 x=2
No Solution?
✔
✔
✔
3
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES Solving Linear Equations Explore 2
Equation:
3x + 7 + 4x = 7x + 14
One Solution?
Solve for x.
Many Solutions?
3x + 7 + 4x = 7x + 14 7x + 7 = 7x + 14 7x + 7 – 7x = 7x + 14 – 7x 7 = 14
−12x + 15 = 3x – 30
−12x + 15 = 3x – 30 −12x + 15 + 12x = 3x – 30 + 12x 15 = 15x – 30 15 + 30 = 15x –30 + 30 45 = 15x 45 ÷ 15 = 15x ÷ 15 3=x
7x – 2x + 5 = 5x + 5
7x – 2x + 5 = 5x + 1 5x + 5 = 5x + 5 5x + 5 – 5 = 5x + 5 – 5 5x = 5x 5x ÷ 5 = 5x ÷ 5 x=x
No Solution?
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Hubo pistas que te ayudaron a ver qué tipo de ecuación era antes de resolverla?». Sí, si pudiéramos ver que ambos lados de la ecuación eran iguales o los términos pudieran combinarse para ser iguales en ambos lados, entonces habría muchas soluciones.Si ambos lados de la ecuación mostraran una afirmación falsa (como 4x - 6 = 4x), entonces no habría solución.
✔
✔
✔
4
• DOK-2 «¿Cómo podrías saber si no habrá soluciones?». No habrá soluciones si al resolver obtienes una afirmación falsa como 6 = 0. ◦ Explica lo siguiente a la clase: «Si un número es igual a otro número, entonces los matemáticos dicen que no hay soluciones para la ecuación».
Solving Linear Equations Explore 2
Reflect 1.
What were the solutions to the equations that you predicted have no solutions? The equations I predicted had no solutions were equations that when I solved, the solution was an untrue statement, such as 6 = 0.
2.
◦ Explica lo siguiente a la clase: «Si x es igual a un número, entonces solo hay una solución a la ecuación».
What was similar in the solutions to the equations that you predicted have one solution? The solutions to these equations had only one number as the solution, such as x = 2.
3.
What was similar in the solutions to the equations that you predicted have many solutions? These equations had solutions of x = x.
4.
• DOK-2 «¿Cómo podrías saber si habrá muchas soluciones?».Habrá muchas soluciones cuando resuelvas la ecuación y obtengas x = x.
Tell the steps you took to solve the equations and determine the type of equation. We started by simplifying each side. Then we tried to get all the x terms on one side and the numbers on the other side and simplified each side again. We did this until we were left with x = a number, x = x, or a number = a number. Based on our solution, we could predict how many solutions there would be to the equation.
5.
Were there any clues to help you determine the type of equation before solving it? Yes, if we could see that both sides of the equation were the same or the terms could be combined to be the same on both sides, then there would be many solutions. If both sides of the equation showed an untrue statement (like 4x – 6 = 4x), then there would be no solution.
5
Solving Linear Equations Explore 2
Look at the one variable equation below. Solve the equation. Then decide if the equation has one solution, infinitely many solutions, or no solutions.
3x – 7 + 2x = x + 21 5x – 7 = x + 21 5x – 7 – x = x + 21 – x 4x – 7 = 21 4x – 7 + 7 = 21 + 7 4x = 28 4x ÷ 4 = 28 ÷ 4 x=7
3x – 7 + 2x = x + 21
5x + 2 = 3x + 2x + 5 – 3 5x + 2 = 5x + 2 5x + 2 – 2 = 5x + 2 – 2 5x = 5x 5x ÷ 5 = 5x ÷ 5 x=x
5x + 2 = 3x + 2x + 5 – 3
6. Cuando los estudiantes hayan terminado, haga que completen el «Boleto de salida» para evaluar su conocimiento de los conceptos.
TABLA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
What Kind of Equation Are You? Exit Ticket Solve
◦ Explica lo siguiente a la clase: «Si x = x, entonces hay infinitas soluciones a la ecuación». ◦ Los matemáticos clasifican todas las ecuaciones como teniendo una solución, infinitas soluciones, o sin soluciones. Todas las ecuaciones se clasifican en uno de estos tres tipos.
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
Equation
• DOK-2 «¿Cómo podrías saber si habrá una sola solución?». Habrá una sola solución cuando resuelvas y obtengas que x es igual a un valor, como x = 12.
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez que la clase lo haya completado, pida a los estudiantes que completen individualmente su «Libreta interactiva».
How Many Solutions?
One solution
Infinitely many solutions
1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
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SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 265
265
1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Solving Linear Equations Part 2
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Los estudiantes con dificultades pueden realizar incorrectamente las operaciones inversas. Los errores más comunes incluyen no aplicar el signo correcto al realizar la inversa y combinar prematuramente términos semejantes a través del signo igual. Haga un análisis de errores con ellos, diciendo: «Cometiste un error en la segunda línea. ¿Puedes identificar cuál es?». Permita que los estudiantes conversen y descubran sus posibles errores. 2. Si bien algunos estudiantes pueden llevar a cabo los pasos correctos para resolver x, aún pueden tener dificultades para comprender cómo se relacionan los resultados con las diferentes soluciones posibles. Para cada tipo de solución, comenta por qué tiene sentido, dado el resultado específico. Por ejemplo, en una situación sin solución en la que un estudiante llega a 0 = 12, pregúntele: "«¿Es ésta una afirmación verdadera?». (No). «¿Lo será alguna vez?». (No). Por lo tanto, no hay soluciones que puedan hacer que sea verdadera".
One-Variable Equations In the table below, place a check mark for each of the characteristics of an equation that results in one solution, zero (no) solutions, or infinite solutions. Equation
One Solution
1. Variable terms are different on both sides of the equation.
✔
2. Equation can be solved.
✔
Zero (No) Solutions
✔
3. Equation cannot be solved.
✔
4. Variable terms are the same on both sides of the equation. Both sides are not equal.
✔
5. Variable terms are the same on both sides of the equation. Both sides are equal. 6.
a=a
7.
x=a
8.
a=b
Infinite Solutions
✔
✔ ✔ ✔
9. There is only one value for x.
✔
10. All real numbers can be x. 11. Constants on both sides of the equation are the same.
✔ ✔
✔ 1
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias a continuación para conocer las formas de apoyar el desarrollo del lenguaje del estudiante. Los estudiantes utilizarán técnicas de aprendizaje como mapas conceptuales, dibujos, comparaciones, contrastes, memorización y repasos para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado. Principiante: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que creen cuadrados de vocabulario para los términos variable y coeficiente. Completa las siguientes secciones del cuadro de vocabulario como clase: Definición, Ejemplo (problema matemático), Noejemplo, y que los estudiantes creen su propia imagen para cada término. Intermedio: Como actividad previa a la clase, pida a los estudiantes que creen cuadrados de vocabulario para los términos variable y coeficiente. Los cuadrados de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), Noejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes las definiciones y los ejemplos, pero anímelos a reescribir las definiciones con sus propias palabras. Avanzado: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que creen cuadros de vocabulario para los términos variable y coeficiente. Los cuadrados de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), Noejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes las definiciones, pero anímelos a reescribirlas con sus propias palabras.
266
SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 266
Solving Linear Equations Part 2
Solve the equations below for problems 12 to 14 to find the equation with no solution. Circle the best answer, explain your choices, and show your work. 12.
4(k – 8) = –32 + 4k
4k – 32 = –32 + 4k 4k = 4k + 32 – 32 4k = 4k This is NOT the equation with no solution. There are infinite solutions because k can be any value. This is the a = a solution form of a linear equation.
13.
–3(v + 4) = 2v – 37
14.
36 – 7p = –7(p – 5)
–3v – 12 = 2v – 37 –3v – 2v = –37 + 12 –5v = –25 v=5 This is NOT the equation with no solution. There is only one value for v. This is the x = a solution form of a linear equation.
36 – 7p = –7p + 35 36 = –7p + 7p + 35 36 = 35 This is the equation with no solution. There are no solutions because there are no values where 36 equals 35. This is the a = b solution form of a linear equation.
2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 2) CLAVE DE RESPUESTAS
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1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 3: RESOLVER ECUACIONES CON COEFICIENTES RACIONALES Estándar(es) • Analizar y resolver ecuaciones lineales y pares de ecuaciones lineales simultáneas. Resolver ecuaciones lineales en una variable. ◦ Dar ejemplos de ecuaciones lineales en una variable con una solución, infinitas soluciones o sin solución. Demostrar cuál de estas posibilidades es el caso transformando sucesivamente la ecuación dada en formas más sencillas, hasta que resulte una ecuación equivalente de la forma x = a, a = a, o a = b (donde a y b son números diferentes). ◦ Resolver ecuaciones lineales con coeficientes de números racionales, incluyendo ecuaciones cuyas soluciones requieren expandir expresiones usando la propiedad distributiva y juntando términos semejantes. Ideas fundamentales Ecuaciones lineales Representaciones múltiples de funciones
Estándares para la práctica matemática MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros. MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas.
Conexiones de contenido
Motores de investigación
CC2 Explorar al cambiar las cantidades
DI1 Dar sentido al mundo: Comprender y explicar. DI2 Predecir lo que podría suceder: Predecir
MP.6 Atienden a la precisión.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes resolverán ecuaciones con coeficientes racionales, incluyendo fracciones, decimales y números enteros.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes)
PREPARACIÓN
• Planee dividir la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes para completar la actividad. • Imprima el «Diario del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Lea el siguiente escenario: «Esta semana, Erika y Tammi están trabajando con el papá de Erika. Las niñas están resolviendo ecuaciones para determinar cuánto ganaron por los trabajos esporádicos que hicieron alrededor de la oficina de la empresa del papá de Erika. Ayuda a Erika y a Tammi a determinar la cantidad de dinero que ganaron por cada trabajo». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Explique a los estudiantes que colaborarán con sus grupos para resolver cada ecuación y determinar la cantidad de dinero que ganaron por el trabajo que realizaron. Los estudiantes deben resolver cada ecuación algebraicamente y escribir una explicación para cada paso del trabajo.
• Imprima un documento de «Boleto de salida» para cada 2 estudiantes. Recorte los boletos de salida de media página para que cada estudiante tenga uno.
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SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 267
267
1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Solving Linear Equations Explore 3
4. Supervise y evalúe a los estudiantes mientras trabajan planteándoles las siguientes preguntas orientativas: a. DOK-1 «¿Cuál es el primer paso para evaluar una ecuación?». Comprobamos que los coeficientes de las variables tienen la misma forma. Necesitamos tener todas las fracciones o todos los decimales.
What Are Our Earnings? Help Erika and Tammi determine the amount of money they earned for helping around the office. Evaluate the following expressions to solve for the variable. Write an explanation of each step that you solve along the way. 3 1 4 x + 3 – 3 x + 2 = 10
Sorting Mail
Algebraic Steps
Explanation
b. DOK-1 «Si todos los coeficientes están en forma de fracción, ¿qué hay que comprobar?». Tenemos que asegurarnos de que las fracciones comparten un denominador común.
Given Combine like terms Inverse operations to isolate the variable
c. DOK-2 «Una vez que todos los coeficientes de las variables y todos los números están en la misma forma con denominadores comunes cuando es necesario, ¿cómo se procede?». Después, es lo mismo que con cualquier ecuación. Se aísla la variable para resolver su valor utilizando cualquiera de las cuatro operaciones. 5. Dé tiempo a los estudiantes para determinar la solución de cada ecuación y responder a las preguntas del «Diario del estudiante».
Find common denominators
Combine like terms Inverse operations to isolate the variable x = 12
1.
How much money did the girls earn sorting the mail? The girls earned $12 sorting the mail. 1
6. Después de la exploración, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Qué pasos sigues para evaluar una ecuación para el valor de una variable?».Primero nos aseguramos de que los coeficientes de la variable estén en la misma forma-todos fracciones o todos decimales. Si los coeficientes son fracciones, nos aseguramos de que tienen un denominador común. Después, combinamos los términos semejantes: las variables y los números. A continuación, aislamos las variables por un lado y los números por otro. Para hallar el valor de la variable, la dividimos por su coeficiente y dividimos el número del lado opuesto de la ecuación por el mismo coeficiente. Así obtenemos el valor de la variable, que es la solución. • DOK-1 «¿Una variable es siempre x?». No, una variable puede ser cualquier letra o incluso un símbolo.
Solving Linear Equations Explore 3
Delivering Mail Algebraic Steps
0.23x – 7 = −0.27x + 3 0.23x – 7 + 0.27x = −0.27x + 3 +
Explanation Given Inverse operations
0.27x 0.5x – 7 = 3
Combine like terms
0.5x – 7 + 7 = 3 + 7
Inverse operations
0.5x = 10
Combine like terms
0.5x ÷ 0.5 = 10 ÷ 0.5
Inverse operations
x = 20
Sorting Files
x = 20 1 10 x – 12 + 0.8x + 9 = 6
Algebraic Steps
• DOK-3 «¿Dónde podrías usar ecuaciones con números racionales en el mundo real?».Encontrar la cantidad de una factura cuando tienes un descuento o encontrar la cantidad de tu cheque de pago después de impuestos 7. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de Salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
0.23x – 7 = −0.27x + 3
1 x – 12 + 0.8x + 9 = 6 10
Given
0.1x – 12 + 0.8x + 9 = 6
Change fraction to decimal
0.9x – 3 = 6
Combine like terms
0.9x – 3 + 3 = 6 + 3
Inverse operations
0.9x = 9
Combine like terms
0.9x ÷ 0.9 = 9 ÷ 0.9
Inverse operations
x = 10 2.
Explanation
x = 10
How much did the girls earn sorting files and delivering mail? They earned $30.
2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
268
SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 268
ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Solving Linear Equations Explore 3
Algebraic Steps
Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez que la clase lo haya completado, pida a los estudiantes que completen individualmente su «Libreta interactiva».
Explanation
3 1 y + 10 + 0.5y + y + 4 = 17 4 4 1 y + 10 + 1 y + 3 y + 4 = 17 2 4 4 1 2 3 y + 10 + y+ y + 4 = 17 4 4 4 6 y + 14 = 17 4 6 y + 14 – 14 = 17 – 14 4 6 y=3 4 4 4 6 ( )( )y = 3( ) 6 6 4 12 y= 6
y=2 Making Copies
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
1 3 y + 10 + 0.5y + y + 4 = 17 4 4
Collecting Mail
Given Change decimal to fraction Common denominators Combine like terms
APOYOS INSTRUCTIVOS
Inverse operations
1. Algunos estudiantes que son capaces de resolver ecuaciones lineales cuando los coeficientes son números enteros y decimales pueden tener dificultades cuando se enfrentan a coeficientes que son fracciones. Anímeles a centrarse en despejar las fracciones para obtener la ecuación en una forma menos complicada y más familiar. Proporcióneles una hoja de referencia que ilustre diferentes métodos para despejar fracciones al resolver ecuaciones lineales. Incluya un ejemplo con la propiedad distributiva.
Combine like terms Inverse operations Simplify the fraction y=2
0.47a – 9 + 0.63a = −0.8a + 11 – 1
Algebraic Steps 0.47a – 9 + 0.63a = −0.8a + 11 – 1
Explanation Given
1.10a – 9 = −0.8a + 10
Combine like terms
1.10a – 9 + 0.8a = −0.8a + 10 + 0.8a
Inverse operations
1.90a – 9 = 10
Combine like terms
1.90a – 9 + 9 = 10 + 9
Inverse operations
1.90a = 19
Combine like terms
1.90a ÷ 1.90 = 19 ÷ 1.90
Inverse operations a = 10
a = 10
3
2. Los estudiantes con dificultades pueden realizar incorrectamente las operaciones inversas. Los errores más comunes incluyen no aplicar el signo correcto al realizar la inversa y combinar prematuramente términos semejantes a través del signo igual. Haga un análisis de errores con ellos, diciendo: "Cometiste un error en la segunda línea. Permita que los estudiantes Comenten y descubran sus posibles errores.
Solving Linear Equations Explore 3
3.
Solving Linear Equations Explore 3
How much money did Erika and Tammi earn helping Erika’s dad at his company office?
How Do I Find a? Exit Ticket
12 + 20 + 10 + 2 + 10 = 54 The girls earned a total of $54.
Evaluate the following expression for the value of a in decimal form. Write an explanation for each step. Solve:
Reflect 1.
Explain what steps to take to evaluate equations for the value of the variable. First we make sure the coefficients of the variable are in the same form—all fractions or all decimals. If the coefficients are all fractions, we make sure they have a common denominator. After that, we combine like terms. Then we isolate the variables on one side and the numerals on the other side. To find the value of the variable, we divide it by its coefficient and we divide the number on the opposite side of the equation by the same coefficient. That gives us the value of the variable, which is the solution.
2.
Change fraction to decimal
Combine like terms Combine like terms Inverse operations Combine like terms Inverse operations a = 6.0
Solving Linear Equations Explore 3
Is a variable always referred to as x?
Will the value of an unknown variable always be a whole number if it is a rational number? No, it can be a whole number, a fraction, or a decimal. It can be positive or negative.
4
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 269
How Do I Find a? Exit Ticket Evaluate the following expression for the value of a in decimal form. Write an explanation for each step. Solve:
No, a variable can be any letter or even a symbol. 4.
0.75a – 6.23 +1.15a + 17.09 = 22.26 1.90a – 6.23 + 17.09 = 22.26 1.90a + 10.86 = 22.26 1.90a + 10.86 – 10.86 = 22.26 - 10.86 1.90a = 11.40 1.90a ÷ 1.90 = 11.40 ÷ 1.90 a = 6.0
Explanation Given
What are some common mistakes that can be made while evaluating equations for the value of a variable? Common mistakes include forgetting a step; not finding a common denominator; accidentally doing the opposite operation (like adding when we should have subtracted or subtracting when we should have added); making a careless error when adding, subtracting, multiplying, or dividing; dividing incorrectly when isolating the variable from its coefficient; or forgetting to do on both sides what we did on one side.
3.
3 a – 6.23 + 1.15a + 17.09 = 22.26 4
3 4
a – 6.23 + 1.15a + 17.09 = 22.26
0.75a – 6.23 +1.15a + 17.09 = 22.26 1.90a – 6.23 + 17.09 = 22.26 1.90a + 10.86 = 22.26 1.90a + 10.86 – 10.86 = 22.26 - 10.86 1.90a = 11.40 1.90a ÷ 1.90 = 11.40 ÷ 1.90 a = 6.0
Explanation: Given Change fraction to decimal
Combine like terms Combine like terms Inverse operations Combine like terms Inverse operations a = 6.0
1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
269
1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Solving Linear Equations Part 3
APOYOS A LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias a continuación para conocer las formas de apoyar el desarrollo lingüístico de un estudiante. Los estudiantes utilizarán técnicas de aprendizaje como la elaboración de mapas conceptuales, el dibujo, la comparación, el contraste, la memorización y el repaso para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado. Principiante: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que creen cuadrados de vocabulario para el término beneficio. Completa las siguientes secciones del cuadro de vocabulario como clase: Definición, Ejemplo (problema matemático), No-ejemplo, y pida a los estudiantes que creen su propia imagen para el término.
Solving Equations with Rational Coefficients Match the solution steps for equation A and equation B with the numbered method (property) used from the list below. Use inverse properties such as the following: 1. Addition or subtraction property of equality for variables 2. Addition or subtraction property of equality for constants 3. Division property of equality or 4. Combine like terms. 5. Apply the distributive property. 6. Simplify. 7. Find equivalent fractions common (denominators) if adding or subtracting fractions. 8. Change decimals to all fractions or fractions to all decimals. The solution is given for equation A, and you match the steps. 1 (6x + 10) – 2x – 5 = 3x + 12 2
(
3x + 5 – 2x – 5 = 3x + 12
5 Property ___
1x = 3x + 12
4 Property ___
1x = 3x + 12 –3x –3x____ –2x = 12
Intermedio: Como actividad previa a la clase, pida a los estudiantes que creen cuadrados de vocabulario para el término beneficio. Los cuadrados de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), No-ejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes la definición y el ejemplo, pero anímelos a reescribir la definición con sus propias palabras. Avanzado: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que creen cuadros de vocabulario para el término beneficio. Los cuadrados de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), No-ejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes la definición, pero anímelos a reescribirla con sus propias palabras.
Find the solution for equation B, and write the property numbers.
–2x = 12 –2 –2
7 7 )x – 2 = 4.3 – 2.1x 10 5
1.4x – 2.7 = 4.3 – 2.1x Property 8 +2.1x + 2.1x Property 1 3.5x – 2.7 = 4.3
1 Property ___
3.5x – 2.7 = 4.3 + 2.7 + 2.7 = 7.0
Property 2
3.5x = 7.0 3.5 3.5
Property 3
x=2
Property 6
3.5x 3 Property ___ 6 Property ___
x = –6
1
Solving Linear Equations Part 3
Solve the following linear equations with rational coefficients by using your choice of strategies. Show your work. 1.
(
2 )x = –1 3
5.
9 5 = (– )x 4 4
–
x=– 3
x=
2
2.
1 73 = (– 2 )n + 1 2 18 3
n = – 23 6
7 8 3 p–2=– 7 8 2 3 p= 4
6.
1.5p – 2 = –
7.
(
8.
–
or –3 5 6
8 =x–1 1 3 3
3.
x=4
4.
(
5 4 8 )m + =– 3 3 9 4 1 or –1 3 3
m=–
9 or 1 4 5 5
4 16 )f = – 11 55 4 f=– 5
3 3 = (– )b 2 2
b=1
2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 3) CLAVE DE RESPUESTAS
270
SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 270
ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 4: PROPIEDAD DISTRIBUTIVA Estándar(es) • Analizar y resolver ecuaciones lineales y pares de ecuaciones lineales simultáneas. Resolver ecuaciones lineales en una variable. ◦ Dar ejemplos de ecuaciones lineales en una variable con una solución, infinitas soluciones o sin solución. Demostrar cuál de estas posibilidades es el caso transformando sucesivamente la ecuación dada en formas más sencillas, hasta que resulte una ecuación equivalente de la forma x = a, a = a, o a = b (donde a y b son números diferentes). ◦ Resolver ecuaciones lineales con coeficientes de números racionales, incluyendo ecuaciones cuyas soluciones requieren expandir expresiones usando la propiedad distributiva y juntando términos semejantes. Ideas fundamentales Ecuaciones lineales Representaciones múltiples de funciones
Estándares para la práctica matemática MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros.
Conexiones de contenido
Motores de investigación
CC2 Explorar al cambiar las cantidades
DI1 Dar sentido al mundo: Comprender y explicar.
MP.5 Usar estratégicamente las herramientas apropiadas. MP.6 Atienden a la precisión.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes aplicarán la propiedad distributiva para evaluar ecuaciones y resolver el valor de las variables.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Planee dividir la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes para completar la actividad. • Imprima el «Diario del estudiante» y el «Boleto de salida» para cada estudiante.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Lea el siguiente escenario: «La tía de Erika ha contratado a Erika y Tammi para que la ayuden durante el resto del verano. Las niñas trabajarán juntas para vender tantos conos de nieve como sea posible, pero mientras lo hacen, deben llevar la cuenta de cuánto dinero ganaron por cada sabor. Ayude a las niñas a resolver cada ecuación para encontrar las ganancias de cada sabor». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada uno. 3. Explique a los estudiantes que colaborarán con sus grupos para resolver cada ecuación para encontrar la cantidad de dinero ganada por los diferentes sabores de conos de nieve. 4. Supervise y evalúe a los estudiantes mientras trabajan haciendo las siguientes preguntas orientadoras: a. DOK-2 «¿Cómo puedes saber si los números se han agrupado y se puede aplicar la propiedad distributiva?». Los términos se agrupan dentro de paréntesis o corchetes con un término delante o directamente detrás de la agrupación, lo que indica la necesidad de la operación de multiplicación. b. DOK-2 «¿Qué haces para aplicar la propiedad distributiva?». Multiplicas cada término de una agrupación por el número que está justo fuera de los paréntesis/corchetes y luego hallas la suma o la diferencia.
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SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 271
271
1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Solving Linear Equations Explore 4
5. Conceda tiempo a los estudiantes para determinar la solución de cada ecuación y responder a las preguntas de «Reflexionar» en el «Diario del estudiante». 6. Después de la exploración, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
Is There Profit? Help Erika and Tammi determine the amount of money earned for different flavors of snow cones. Evaluate the following equations to solve for the variable. Show each algebraic step, and write the explanation for each step. Green Apple
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Qué es diferente en el primer paso de cada niña?».Jannie multiplicó ambos lados por 2. Esto la ayudó a deshacerse de la fracción. Paulie distribuyó la fracción usando la propiedad distributiva.
0.5(a + 7.9) – 4.2 = 0.4a + 2.3
Algebraic Steps
Explanation
0.5(a + 7.9) – 4.2 = 0.4a + 2.3
Given
0.5a + 3.95 – 4.2 = 0.4a + 2.3
Distributive property
0.5a – 0.25 = 0.4a + 2.3
Combine like terms
0.5a – 0.25 = 0.4a + 2.3
Inverse operations to isolate the
– 0.4a
• DOK-2 «¿Por qué puede ser útil deshacerse de una fracción multiplicando en vez de distribuyéndola?». Esto nos permite deshacernos de fracciones en nuestra ecuación y ayuda a que la ecuación sea más fácil de resolver.
– 0.4a
variable
0.1a – 0.25 = 2.3
Combine like terms
0.1a – 0.25 = 2.3
Inverse operations to isolate the
+ 0.25
+ 0.25
0.1a = 2.55
• DOK-2 «¿Funcionó la teoría de Jannie para decimales?».Sí, la teoría de Jannie también funcionó para decimales. Pudimos multiplicar por 10 y deshacernos de los números decimales en la ecuación.
variable Combine like terms
0.1a = 2.55 0.1
0.1
Inverse operations to isolate the variable
a = 25.5 a = 25.5 1
• DOK-3 «¿Cuál es una situación del mundo real en la que podrías usar la propiedad distributiva en una ecuación con una variable?».Podrías usar la propiedad distributiva al tratar de ver si el número de artículos vendidos aumenta en cierta cantidad pero el costo disminuye o cuál es la ganancia o pérdida financiera para un negocio.
Solving Linear Equations Explore 4
7. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídeles que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
Pineapple
8. Vuelva a la sección «Captar interés» y pida a los estudiantes que utilicen sus habilidades recién adquiridas para completar con éxito la actividad.
0.75(p + 9.6) – 9.2 = 0.25p – 6.8
0.75(p + 9.6) – 9.2 = 0.25p – 6.8
Algebraic Steps
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
0.75p + 7.2 – 9.2 = 0.25p – 6.8
Distributive property
0.75p – 2 = 0.25p – 6.8
Combine like terms
0.75p – 2 = 0.25p – 6.8
Inverse operations to isolate the
– 0.25p
– 0.25p
0.5p – 2 = −6.8
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez que la clase lo haya completado, pida a los estudiantes que completen individualmente su «Libreta interactiva».
Explanation Given
variable Combine like terms
0.5p – 2 = −6.8 +2
+2
0.5p = −4.8
Inverse operations to isolate the variable Combine like terms
0.5p = −4.8 0.5
0.5
Inverse operations to isolate the variable
p = −9.6 p = −9.6 1.
What does it mean for the earnings from pineapple snow cones to be −9.6? This means that they earned −$9.60, or making pineapple snow cones costs more than they earn selling the pineapple snow cones.
2.
Should Erika’s aunt continue selling pineapple snow cones at the current price? No, she should not continue selling pineapple snow cones at this price because she is losing money on them.
2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
272
SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 272
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1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Solving Linear Equations Explore 4
APOYOS PEDAGÓGICOS 2 (s + 3) – 11 = 3
Strawberry
Algebraic Steps 2 (s + 3) – 11 = 1 3 3 2 s + ( 2 )(3) – 11 = 1 3 3 3 2 s + 6 – 11 = 1 3 3 3 2 s + 2 – 11 = 1 3 3 2 s–9= 1 3 3
Explanation
s+6
Given
s+6
Distributive property
s+6
Combine like terms
s+6
Simplify
s+6
Combine like terms
2 s–9= 1 s+6 3 3 –1 s –1 s 3 3
variable Combine like terms
1 s–9=6 3
Inverse operations to isolate the
+9 +9
variable
1 s = 15 3
Combine like terms
3
2. Los estudiantes con dificultades pueden realizar incorrectamente las operaciones inversas. Algunos errores comunes son no aplicar el signo correcto al realizar la inversa y combinar prematuramente términos semejantes a través del signo igual. Haga un análisis de errores con ellos, diciendo: "Cometiste un error en la segunda línea. Permita que los estudiantes comenten y descubran sus posibles errores.
Inverse operations to isolate the
1 s–9=6 3
3( 1 )s = 15(3)
1. A los estudiantes con dificultades puede resultarles difícil eliminar la fracción antes de distribuirla, ya que quieren multiplicar la inversa no solo por la fracción fuera del paréntesis sino por todo lo que está dentro del paréntesis. Explícales que al multiplicar cada lado por el inverso, la ecuación tiene ahora tres factores. Es lo mismo que multiplicar 2 x 3 x 4. Una vez que has multiplicado 2 y 3, no hay necesidad de multiplicar el 4 por 2.
1 s+6 3
Inverse operations to isolate the variable
s = 45
s = 45 3
Solving Linear Equations Explore 4
Solving Linear Equations Explore 4
Steps and explanation may vary.
Reflect
0.5(g + 10) – 7 = 1 g + 7
Grape
1
5
Jannie and Paulie each solved the equation 2 (5x + 3) = 6x + 1 as shown below. Jannie
Algebraic Steps
Paulie
1
0.5(g + 10) – 7 = 1 g + 7
Given
0.5(g + 10) – 7 = 0.2g + 7
Convert fraction to decimal
5
1 2 (5x + 3) = 6x + 1
Explanation
0.5g + 5 – 7 = 0.2g + 7
Distributive property
0.5g – 2 = 0.2g + 7
Combine like terms
0.5g – 2 = 0.2g + 7
Inverse operations to isolate the variable
2[ 2 (5x + 3)] = [6x + 1] ・ 2 5x + 3 = 12x + 2 – 5x – 5x 3 = 7x + 2 –2 –2 1 = 7x 7 7
1 2 (5x + 3) = 6x + 1
5 3 2 x + 2 = 6x + 1 5 5 – 2 x – 2 x 3 7 = 2 2 x+1
–1
1 7 =x
– 0.2g
– 0.2g
1 7 = 2 x 2 7 2 1 2
0.3g – 2 = 7
0.3g – 2 = 7 +2 +2
1. Inverse operations to isolate the variable
Inverse operations to isolate the variable
g = 30 g = 30 4
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SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 273
=x
2 =x 7 1 7 = x
Jannie multiplied both sides by 2 to get rid of the fraction. Paulie distributed the fraction. 2.
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
What is different about each girl’s first step?
7 2
7 ÷ 2 1 ・ 2
0.3g = 9
0.3g = 9 0.3 0.3
–1
Try using Jannie’s theory to solve the following equation: 0.1(3x + 5) = x + 4 0.1(3x + 5) = x + 4 10[0.1(3x + 5)] = [x + 4] ・ 10 3x + 5 = 10x + 40 –3x –3x 5 = 7x + 40 –40 – 40 −35 = 7x 7 7 −5 = x
5
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
273
1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Solving Linear Equations Explore 4
APOYOS A LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias a continuación para conocer las formas de apoyar el desarrollo del lenguaje de un estudiante.
Discount Decisions Exit Ticket Evaluate the equation to solve for the earnings after the given discount. 3 y + 13 5
0.7(y + 10) – 4 =
Los estudiantes utilizarán técnicas de aprendizaje como mapas conceptuales, dibujos, comparaciones, contrastes, memorización y repasos para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado.
3
0.7(y + 10) – 4 = 5 y + 13 10[0.7(y + 10) – 4] = [ 3 y + 13] ・10 5
7(y + 10) – 40 = 6y + 130 7y + 70 – 40 = 6y + 130 7y + 30 = 6y + 130
Principiante: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que creen cuadrados de vocabulario para el término propiedad distributiva. Completa las siguientes secciones del cuadro de vocabulario como clase: Definición, Ejemplo (problema matemático), No-ejemplo, y que los estudiantes creen su propia imagen para el término.
7y + 30 = 6y + 130 –6y –6y y + 30 = 130 y + 30 = 130 – 30 – 30 y = 100
Intermedio: Como actividad previa a la clase, pide a los estudiantes que creen cuadrados de vocabulario para el término propiedad distributiva. Los cuadros de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), No-ejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes la definición y el ejemplo, pero anímelos a reescribir la definición con sus propias palabras.
1
Avanzado: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que creen cuadrados de vocabulario para el término propiedad distributiva. Los cuadros de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), No-ejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes la definición, pero anímelos a reescribirla con sus propias palabras.
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
Solving Linear Equations Part 4
Distributive Property Solve the following linear equations by using the distributive property. Show your work. Strategies will vary. 1.
2 (m – 2) = 4 3 2 4 ( )m – =4 3 3 2 ( )m = 4 + 4 3 3 2 ( )m = 16 3 3
2.
2(0.8x – 5) = 6 1.6x – 10 = 6
(10)1.6x – (10)10 = (10)6 16x – 100 = 60 +100 = +100
3 · 2
2 3 16 m= · 3 2 3
16x
m=8
3. (6)
= 160
x = 10
2 3 (x – 7) = – (x + 4) 3 2 2 3 (x – 7)= (6)(– )(x + 4) 3 2
4.
2(0.03x + 0.01) = 0.25x – 1.5
100(0.06x + 0.02) = 100(0.25x – 1.5)
4(x – 7) = –9(x + 4)
6x + 2 = 25x – 150
4x – 28 = –9x – 36
–6x
+9x
+9x
–6x 2 = 19x – 150
13x – 28 = –36
+150
+ 28
152 = 19x
+ 28
13x = –8
152 =x 19
x=– 8 13
8=x
+150
1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 4) CLAVE DE RESPUESTAS
274
SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 274
ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE Solve Linear Equations One solution: Solve for one variable. Combine like terms: 3x + 2x + 6 = −15
CONSOLIDAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
ESQUEMA DE ANCLAJE
No solution: The left and right sides of an equation are not equal once the variables have been canceled. 3x – 12x = 24 – 9x
Subtract 6 from both sides: 5x + 6 = −15 –6 –6 Divide both sides by 5: 5x = −21 5 5
−9x = 24 – 9x
DESCRIPCIÓN
Determine the value of x: x = − 21 5
Infinitely many solutions: Both sides of the equation are equal. 4 (2x – 3) + 4 = 8x – 8
Un esquema de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Se trata de una herramienta para apoyar la instrucción y anclar el aprendizaje de los estudiantes a lo largo del alcance.
8x – 12 + 4 = 8x – 8 8x – 8 = 8x – 8
MATERIALES
• 1 hoja de papel cuadriculado
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
• 1 juego de marcadores multicolores
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del ejemplo de esquema de anclaje, si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. El ejemplo de esquema puede utilizarse como referencia antes de crear el de la clase. Esta actividad debe ser dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje. 2. A medida que los estudiantes trabajen en el alcance, colaboren para añadir piezas al «Esquema de anclaje». Formule las siguientes preguntas orientadoras: a. «¿Qué estrategia utilizamos para resolver este problema?». b. «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?». 3. Continúe añadiendo habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada «Exploración» para resaltar el contenido importante. 4. Explique que pueden usar este gráfico como herramienta de apoyo para su aprendizaje. Los estudiantes también pueden pegar una copia del ejemplo de «Esquema de anclaje» en sus cuadernos para utilizarlo como referencia durante el año. 5. Algunos «Esquemas de anclaje» solo se mostrarán durante un alcance o grupo de alcances concretos, mientras que otras permanecerán expuestas durante todo el curso escolar.
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SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 275
275
1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA
DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
LIBRETA INTERACTIVA
Solving Linear Equations
Instructions ● Cut out the top and bottom of the flipbook. ● Cut the top page flaps on the dotted lines. Fold back flaps on solid lines. ● Glue or tape the bottom of the flipbook into your notebook first. ● Place glue where it says “Place glue here.” Add the top of the flipbook. ● Solve each example on a piece of scratch paper. Decide if there is one solution, no solution, or infinite solutions. ● Lift up the flaps, and record 3 examples in each section. Top
Solving Linear Equations
DESCRIPCIÓN Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase al usar la actividad y la libreta.
One
No
Infinite
Solution
Solution
Solutions
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
PREPARACIÓN
Solving Linear Equations
• Imprima una copia del «Folleto del estudiante» para cada uno. –5(3 – 4x)= –6 + 20x – 9
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Prepare una «Libreta interactiva» al usar un cuaderno de espiral o de composición para cada uno. Los estudiantes pueden utilizar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades.
Examples to solve and record 4x – 4 = –40
2(x + 7) = 6x + 9 – 4x
4x + 6 – 7x + 9 = 18
2x + 6 = 3x + 9 – 3
0.5(3q + 87)= 1.5q + 43.5
–8x +3 – 2x = –6x + 3 – 4x
0.125x = 0.025 (5x + 1)
10x + 3 + 10x = 13x + 7x
Bottom
Place glue here. One Solution
No Solution
Infinite Solutions
2. Las instrucciones para cada actividad se proporcionan en el «Folleto del estudiante». 3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos.
FOLLETO DEL ESTUDIANTE
4. Las libretas interactivas pueden utilizarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
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ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
APOYO PARA ESTUDIANTES MULTILINGÜES
CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
DESCRIPCIÓN
• Permita que los estudiantes tengan acceso al vocabulario ilustrado para este alcance.
Los estudiantes tienen la oportunidad de utilizar sus conocimientos lingüísticos y culturales previos para apoyar las conexiones con nuevas destrezas, vocabulario y conceptos en sus niveles de competencia.
• Permita que los estudiantes tengan acceso a una variedad de herramientas matemáticas, como fichas de álgebra, papel de borrador y lápiz.
MATERIALES
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
IMPRESO
• 1 folleto del estudiante según su nivel de competencia (por alumno)
1. Distribuya a cada alumno un «Folleto del estudiante» en el nivel de competencia apropiado.
• 1 tapete de ecuaciones (por estudiante)
2. Utilice las instrucciones para las partes de escuchar, hablar, leer y escribir. Utilice gestos, señale objetos y elementos visuales según proceda. Consulte las sugerencias en las instrucciones.
• 1 juego de rotuladores verdes y azules (por estudiante, nivel principiante)
3. Deje tiempo a los estudiantes para que piensen con sus vecinos antes de responder.
REUTILIZABLE
• 1 juego de fichas de álgebra (por estudiante)
4. Anime a los estudiantes a perseverar en su pensamiento y a utilizar herramientas y modelos matemáticos.
PREPARACIÓN
• Prepárese para que los estudiantes trabajen con sus compañeros cuando sea necesario.
5. Invite a los estudiantes a responder adecuadamente a cada dominio lingüístico.
• Determine el nivel de inglés de cada estudiante.
6. Pida a los estudiantes que utilicen la página final del «Folleto del estudiante» para establecer conexiones entre los conceptos matemáticos y el mundo real.
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada alumno según su nivel de competencia en inglés.
Solving Linear Equations B
Solving Linear Equations B
Rebecca and Anna are comparing their television Match each equation, model, and scenario with its solution.
$27 to sign up and $14.50 a month sign-up fee, and she pays $23.50 a month
Solving Linear Equations I
streaming service deals. Rebecca’s charged her
with ads
. When Anna signed up, they waived
with no ads.
2x – 3 = x + 6 x= 2
2x + 7 = 3x + 5 – 2x – 2x 7=x+5 –5 –5 2 =x
2x – 3 = x + 6
Write a mathematical statement that represents when Rebecca will have spent the same amount as Anna. Then determine after how many months Rebecca will have spent the same amount as Anna. Anna and Rebecca are comparing how much they pay for _________________.
8x + 15 = 4x – 1 – 4x – 4x 4x + 15 = −1 – 15 – 15 −16 4x 4 4 x = −4
phone plans / television service x = −4
Rebecca can represent her cost with ___________. 14.50x + 27 / 27x + 14.50 Anna can represent her cost with _____________. 23.50x / 23.50x + 27 The mathematical statement that represents when Rebecca will be paying the same amount as Anna is _____________________________.
Darius charges $2 an hour plus a $7 gas and supplies surcharge to mow lawns. Rubio charges $3 an hour plus a $5 gas and supplies surcharge. How many hours will it take for their charges to be equal?
x= 9
Solving Linear Equations B
x Variable
Weeks
2x – 3 = x + 6 –x –x x–3 = 6 +3 +3 x = 9
Solving Linear Equations B
5x – 15
spent the same amount as Anna. Then determine after how many months Rebecca will have spent the same amount as Anna.
Anna and Rebecca are comparing how much they pay for their phone bill. True / False Rebecca can represent her cost with ___________. 14.50x + 27 / 27x + 14.50 Anna can represent her cost with _____________. 23.50x / 23.50x + 27
True / False Rebecca will have spent the same amount as Anna after 9 months.
Solving Linear Equations I
Word Bank
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use writing and solving linear equations at home with your family or friends.
3x – 1
sign up and $14.50 a month with ads. When Anna signed up, they waived her sign-up fee, and she pays $23.50 a month with no ads. Write a mathematical statement that represents when Rebecca will have
The mathematical statement that represents when Rebecca will have spent the same amount as Anna is 14.50x + 27 = 23.50x + 27.
Darius charges $2 an hour plus a $7 gas and supplies surcharge to mow lawns. Rubio charges $3 an hour plus a $5 gas and supplies surcharge. How many hours will it take for their charges to be equal?
27x + 14.50 = 23.50x / 14.50x + 27 = 23.50x Rebecca will be paying the same amount as Anna after _____ months. 3/9
Word Bank 7
Solving Linear Equations I
Rebecca and Anna are comparing their television streaming service deals. Rebecca’s charged her $27 to Match each equation, model, and scenario with its work and solution. Complete the missing portions of the work to solve the equation.
her
7
Answers will vary.
Earns Owes
Use words from the word bank to explain how to write an equation to represent the given real-world problem, and then solve the problem. Some words may be used more than one time.
Solving Linear Equations I
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use writing and solving linear equations at home with your family or friends.
Constant Variable
True / False
Weeks
Answers will vary.
Create a real-world problem that matches the number sentence. Use words from the word bank to explain how to write a real-world problem, and then solve your problem.
Billy owes $15 to his mom and earns $5 a week in his chores. Thomas owes his dad $1 and earns $3 a week in his chores. This scenario can be represented by the equation 5x – 15 = 3x – 1. How many weeks will it take for Billy to have as much money as Thomas?
3x – 1 = 5x – 15 variable constant First, decide what the ___________ and ____________ represent and what the scenario will be about. The scenario will be comparing how much money siblings have from their weekly allowance. For the number sentence, x will weeks constant will represent the initial money the siblings had. represent ________. The ___________
variable x represent the number of ________. Let the ________ Billy’s total money after x weeks is composed of his initial weeks debt to his mom plus what he earns from chores. We can represent Billy’s total money after x weeks by
The number sentence could have the following scenario: Answers will vary. Billy owes $15 to his mom and earns $5 a week in his chores. Thomas owes his dad $1 and earns $3 a week in his chores. How many weeks will it take for Billy to have as much money as Thomas? It will take 7 weeks.
5x – 15 ____________. Thomas’s total money after x weeks includes his initial debt to his dad and his earnings from chores. 3x – 1 x weeks by ____________. We can represent Thomas’s total money after ____ To express when Billy will have as 7 much money as Thomas, we can write the equation 5x – 15 = 3x – 1. After solving the inequality, we get x = ____. 7 weeks for Billy to have as much money as Thomas. This means it will take ____
PRINCIPIANTE FOLLETO DEL ESTUDIANTE
Solving Linear Equations A
Match each equation, model, and scenario with its solution. Complete the missing work to solve the equation. 2x – 3 = x + 6
2x + 7 = 3x + 5 – 2x – 2x 7= x +5 –5 –5 2= x
8x + 15 = 4x – 1 – 4x – 4x 4x + 15 = −1 – 15 – 15 −16 4x = 4 4 x
=
Solving Linear Equations A
Rebecca and Anna are comparing their television streaming service deals. Rebecca’s charged her $27 to sign up and $14.50 a month with ads. When Anna signed up, they waived her sign up fee, and she pays $23.50 a month with no ads. Write a mathematical statement that represents when Rebecca will have spent the same amount as Anna. Then determine after how many months Rebecca will have spent the same amount as Anna.
Anna and Rebecca are comparing how much they pay television service for _________________. Rebecca can represent her 14.50x + 27 Anna can represent her cost cost with ___________. 23.50x with __________. The mathematical statement that represents when Rebecca will bhave spent the same
−4
14.50x + 27 = 23.50x amount as Anna is ____________________. To solve subtract _______ 14.50x from each side the equation, first _________
Darius charges $2 an hour plus a $7 gas and supplies surcharge to mow lawns. Rubio charges $3 an hour plus a $5 gas and supplies surcharge. How many hours will it take for their charges to be equal?
divide of the equation. Then to solve for x, ________ each
2x − 3 = x + 6 –x –x x–3= 6 +3 +3 x = 9
9 Rebecca will have spent the same side by ____. 3 months. amount as Anna after ___
Word Bank 7 Variable
x
5x – 15 Weeks
3x – 1 Inequality
Create a real-world problem that matches the equation shown. Use words from the word bank to explain how to write an equation to represent a real-world problem, and then solve your problem. 5x – 15 = 3x – 1 Answers will vary. Billy owes $15 to his mom and earns $5 a week in his chores. Thomas owes his dad $1 and earns $3 a week in his chores. How many weeks will it take for Billy to have as much money as Thomas? Let the variable x represent the number of weeks. Billy’s total money after x weeks is composed of his initial debt to his mom plus what he earns from chores. We can represent Billy’s total money after x weeks by 5x – 15. Thomas's total money after x weeks includes his initial debt to his dad and his earnings from chores. We can represent Thomas’s total money after x weeks by 3x – 1. To express when Billy will have as much money as Thomas, we can write the equation 5x – 15 = 3x – 1. After solving the equation, we get x = 7. This means it will take 7 weeks for Billy to have more money than Thomas.
AVANZADO FOLLETO DEL ESTUDIANTE
Solving Linear Equations A
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use writing and solving linear equations at home with your family or friends. Answers will vary.
INTERMEDIO FOLLETO DEL ESTUDIANTE ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCUCHAR Y HABLAR PRINCIPIANTE Tenga fichas de álgebra, tapetes de ecuaciones y rotuladores verdes y azules a disposición de los estudiantes. Lea las siguientes instrucciones una a la vez: •
Distribuya las fichas de álgebra y las tapetes de ecuaciones a los estudiantes.
•
Señale la ecuación que está modelada con fichas de álgebra.
•
Organice sus fichas de álgebra de la misma manera que en su papel.
•
«¿Cuál es el objetivo de resolver ecuaciones?». ◦
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente secuencia de oraciones: El objetivo de resolver ecuaciones es ______.
•
Señale dónde están las variables en tu ecuación.
•
Gesticule a izquierda y derecha mientras das instrucciones. «¿A qué lado de la ecuación quieres mover las variables?». ◦
•
Haga que los estudiantes utilicen la siguiente estructura de oración: Para crear 4 pares cero necesitamos ___ fichas x negativas.
•
Agregue 4 fichas x negativas a cada lado de la ecuación.
•
Mueva cuatro variables x de pares cero lejos de los lados derecho e izquierdo.
•
«¿Cuál es la nueva ecuación?». ◦
•
◦
Haga que los estudiantes usen la siguiente raíz de oración: El siguiente paso para resolver la ecuación es _____.
•
Crea pares de ceros para las constantes del lado izquierdo de la ecuación. Asegúrese de agregar el mismo número de fichas negativas al lado derecho.
•
«¿Cuál es la nueva ecuación?». ◦
•
•
Pida a los estudiantes que usen la siguiente raíz de oración: La nueva ecuación es ______.
«¿Qué operación resolverá la ecuación?». ◦
•
Distribuya las fichas de álgebra y los tapetes de ecuaciones a los estudiantes.
•
Organice sus fichas de álgebra de la misma manera que en su folleto.
•
«¿Cuál es el objetivo de resolver ecuaciones?». ◦
•
•
Haga que los estudiantes usen la siguiente raíz de oración: La operación necesaria para resolver la variable x es ____.
Divida sus fichas de constantes para que coincidan con una ficha de x.
278
SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 278
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente secuencia de oraciones: El objetivo de resolver ecuaciones es ______.
Gesticule a izquierda y derecha mientras das instrucciones. «¿A qué lado de la ecuación quieres mover las variables?». ◦
Agregue 4 fichas x negativas a cada lado de la ecuación.
•
Mueva cuatro variables x de pares cero lejos de los lados derecho e izquierdo.
•
A medida que los estudiantes modelan con las fichas de álgebra, asegúrese de que registren su trabajo en su hoja de trabajo.
•
«¿Cuál es la nueva ecuación?».
•
•
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente raíz de oración: La ecuación ahora es _____.
Haga que los estudiantes usen la siguiente raíz de oración: El siguiente paso para resolver la ecuación es _____.
Cree pares de ceros para las constantes del lado izquierdo de la ecuación. Asegúrese de agregar el mismo número de fichas negativas al lado derecho.
•
Organice sus fichas de álgebra de la misma manera que en su folleto y resuelva la ecuación.
•
Dé a los estudiantes el tiempo adecuado para resolver la ecuación usando las fichas de álgebra.
•
«¿Cuál es el objetivo de resolver ecuaciones?». ◦
Pida a los estudiantes que usen la siguiente raíz de oración: La nueva ecuación es ______.
«¿Qué operación resolverá la ecuación?». ◦
Haga que los estudiantes usen la siguiente raíz de oración: La operación necesaria para resolver la variable x es ____.
•
Termine de colocar sus fichas para resolver la ecuación.
•
«¿Cuál es la solución de la ecuación?». ◦
Pida a los estudiantes que usen la siguiente raíz de oración: La solución de la ecuación es x igual a ____.
Haga que los estudiantes usen la siguiente raíz de oración: El objetivo de resolver ecuaciones es ______.
•
Explique por qué eligió
•
crear pares cero cuando lo hizo. ◦
•
•
Pida a los estudiantes que usen la siguiente secuencia de oración: Creé pares cero porque ____.
Cuando tenías una ecuación de un paso, «¿cómo resolviste la ecuación?». ◦
Pida a los estudiantes que usen la siguiente raíz de oración: Para resolver la ecuación yo ____.
«¿Cuál es la solución de la ecuación?». ◦
Haga que los estudiantes usen la siguiente raíz de oración: La solución de la ecuación es x igual a ____.
•
Trace una línea entre la ecuación modelada y x = -4.
•
Permita que los estudiantes usen fichas de álgebra para los dos problemas restantes según sea necesario.
•
Resuelva la ecuación en el espacio proporcionado. Puede usar sus fichas de álgebra si necesita ayuda para resolver la ecuación.
•
Dé a los estudiantes el tiempo adecuado para resolver la ecuación y registre su trabajo en el folleto.
•
«¿Qué paso completó primero?».
«¿Cuál es la nueva ecuación?». ◦
•
Distribuya las fichas de álgebra y los tapetes de ecuaciones a los estudiantes.
«¿Cuál es el siguiente paso para resolver la ecuación?». ◦
•
•
Haga que los estudiantes utilicen la siguiente estructura de oración: Para crear 4 pares cero necesitamos ___ fichas x negativas.
•
◦
Tenga a mano fichas de álgebra y tapetes de ecuaciones para que los estudiantes las utilicen. Lea las siguientes instrucciones una a la vez:
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de frase: Quiero mover las variables al lado _____ porque ____.
Para eliminar las 4 fichas x de la derecha necesitamos crear pares cero. «¿Cuántas fichas x negativas se necesitan para crear pares cero?». ◦
Pida a los estudiantes que usen el siguiente marco de oración: La ecuación ahora es _____.
«¿Cuál es el siguiente paso para resolver la ecuación?».
AVANZADO
Tenga fichas de álgebra y tapetes de ecuaciones a disposición de los estudiantes. Lea las siguientes instrucciones una a la vez:
Haga que los estudiantes utilicen la siguiente estructura de oración: Quiero mover las variables al lado _____ porque ____.
Para eliminar las 4 fichas x de la derecha necesitamos crear pares cero. «¿Cuántas fichas x negativas se necesitan para crear pares cero?». ◦
INTERMEDIO
◦
•
Pida a los estudiantes que usen la siguiente secuencia de oraciones: El primer paso que hice fue ___.
«¿Qué paso completó a continuación y por qué?». ◦
Haga que los estudiantes utilicen la siguiente estructura de oración: Yo _____ siguiente porque ____.
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GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCUCHAR Y HABLAR (CONTINUACIÓN) PRINCIPIANTE •
«¿Cuál es la solución de la ecuación?». ◦
Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente enunciado: La solución de la ecuación es x igual a ____.
INTERMEDIO •
Trace una línea entre la ecuación modelada y x = -4.
•
Señale la ecuación sobre las fichas de álgebra en su hoja de trabajo.
•
Permita que los estudiantes utilicen las fichas de álgebra para los dos problemas restantes, según sea necesario.
•
Trace una línea entre la ecuación modelada y x = -4.
•
Reparta papel de borrador a los estudiantes. Permita que los estudiantes utilicen fichas de álgebra para los dos problemas restantes según sea necesario.
•
Señale la ecuación superior.
•
•
Escriba la ecuación en su papel de borrador para resolverla. Puede usar sus fichas de álgebra si necesita ayuda para resolver la ecuación
Pueden utilizar sus fichas de álgebra si necesitan ayuda para resolver la ecuación.
•
Dé a los estudiantes tiempo suficiente para resolver la ecuación y anote su trabajo en el folleto.
•
«¿Qué paso realizaste primero?».
•
Dé a los estudiantes tiempo suficiente para resolver la ecuación.
•
Encierre con un círculo en su papel de borrador el primer paso que completó.
•
«¿Qué paso completó primero?». ◦
Pida a los estudiantes que usen la siguiente secuencia de oraciones: El primer paso que hice fue ___.
•
Encierra en un círculo el segundo paso que completaste en tu papel.
•
«¿Por qué completaste este paso a continuación?». ◦
◦
•
•
Señale con un gesto la hoja de trabajo del estudiante. Señala qué solución encontraste para tu ecuación.
•
Dibuja una línea desde la ecuación superior hasta x = 9.
•
Haga que los estudiantes utilicen la siguiente estructura de oración: Yo _____ siguiente porque ____.
•
Señala qué solución encontraste para tu ecuación.
Sigue mientras leo el problema del mundo real en la parte inferior de la página.
•
Dibuja una línea desde la ecuación de arriba hasta x = 9.
•
Lee el problema del mundo real en la parte inferior del folleto del estudiante.
•
Sigue mientras leo el problema del mundo real al final de la página.
•
Usando el marcador azul, subraya "$2 por hora" y "$3 por hora".
•
•
«¿Qué están indicando los subrayados del marcador azul?».
Lee el problema del mundo real al final del folleto del estudiante .
•
Escribe la ecuación del problema del mundo real. Comprueba las respuestas de los estudiantes y ayúdales a ajustarlas si es necesario.
◦
Haz que los estudiantes usen la siguiente estructura de oración: El marcador azul subraya _____.
•
Con el marcador verde, subraye "$7" y "$5."
•
«¿Qué indican los subrayados del marcador verde?». ◦
•
Escriba la ecuación para el problema del mundo real utilizando los detalles azules para los coeficientes de las variables y los detalles verdes para las constantes. Comprueba las respuestas de los estudiantes y ayúdales a ajustarlas si es necesario.
•
Resuelve la ecuación en tu papel de borrador. Puede usar sus fichas de álgebra si necesita ayuda para resolver la ecuación
•
Dé a los estudiantes tiempo suficiente para resolver la ecuación.
•
Encierre con un círculo en su papel de borrador el primer paso que completó.
•
«¿Qué paso completó primero?». ◦
Resuelve la ecuación ahora en tu papel. Utiliza tus fichas de álgebra si necesitas ayuda para resolver la ecuación.
•
Da a los estudiantes tiempo suficiente para resolver la ecuación y anota su trabajo en el folleto.
•
«¿Qué paso realizaste primero?». ◦
•
Pida a los estudiantes que usen la siguiente secuencia de oraciones: El primer paso que hice fue ___.
•
Encierra en un círculo el segundo paso que completaste en tu papel.
•
«¿Por qué completaste este paso a continuación?». ◦
•
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente secuencia de oración: El marcador verde está subrayando el ____.
Haz que los estudiantes utilicen la siguiente estructura de oración: Yo _____ a continuación porque ____.
•
Señale con un gesto la hoja de trabajo del estudiante. Señale qué solución encontró para su ecuación.
•
Trace una línea desde el problema del mundo real hasta x = 2.
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Haga que los estudiantes utilicen la siguiente secuencia de oraciones: El primer paso que hice fue ___.
«¿Qué paso completó a continuación y por qué?». ◦
•
Señala qué solución encontraste para tu ecuación.
•
Dibuja una línea desde la ecuación superior hasta x = 9.
•
Sigue la lectura del problema del mundo real que aparece al final de la página.
•
Lee el problema del mundo real que aparece al final de la hoja para el estudiante.
•
Escribe la ecuación del problema del mundo real. Comprueba las respuestas de los estudiantes y ayúdales a ajustarlas si es necesario.
•
Resuelve la ecuación ahora en tu papel. Puedes usar tus fichas de álgebra si necesitas ayuda para resolver la ecuación.
•
De a los estudiantes el tiempo adecuado para resolver la ecuación y registrar su trabajo en su hoja informativa.
•
«¿Qué paso completaste primero?».
Haga que los estudiantes utilicen la siguiente secuencia de oraciones: El primer paso que hice fue ___.
«¿Qué paso completó a continuación y por qué?». ◦
Haga que los estudiantes utilicen la siguiente estructura de oración: Yo _____ a continuación porque ____.
AVANZADO
◦
•
Haga que los estudiantes usen la siguiente secuencia de oraciones: El primer paso que hice fue ___.
«¿Qué paso completó a continuación y por qué?». ◦
Haga que los estudiantes utilicen la siguiente estructura de oración: Yo _____ a continuación porque ____.
•
Señale con un gesto el folleto del estudiante. Señala qué solución encontraste para tu ecuación.
•
Dibuja una línea desde el problema del mundo real hasta x = 2
Haga que los estudiantes utilicen la siguiente estructura de oración: Yo _____ a continuación porque ____.
•
Señale con un gesto el folleto del estudiante. Señala qué solución encontraste para tu ecuación.
•
Dibuja una línea desde el problema del mundo real hasta x = 2.
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1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
LEER Y HABLAR PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Disponga de rotuladores azules, verdes y rojos para los estudiantes.
Lea en voz alta la historia en grupo. Pida a los estudiantes que señalen cada palabra mientras leen. Pídales que rodeen con un círculo las palabras que no conozcan. comente las palabras con sus compañeros.
Pida a los estudiantes que lean la historia con sus compañeros y que señalen cada palabra mientras leen. Invite a los estudiantes a rodear con un círculo las palabras que no conozcan y a comentarlas con sus compañeros.
•
•
Lea la historia en voz alta en grupo. Divida la historia en frases. Pida a los estudiantes que señalen cada palabra mientras leen. Pídales que rodeen con un círculo las palabras que no conozcan. Comenta las palabras en grupo.
•
Comparta con sus compañeros de qué trataba la historia.
•
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente raíz de frase: Rebecca paga una cuota mensual de ___.
Comenta con tus compañeros los dos costes diferentes que pagan Rebecca y Anna para darse de alta en sus servicios de streaming.
•
«¿Cuánto paga Anna al mes por su servicio de streaming?».
«¿Cuánto paga Rebeca al mes por su servicio de streaming?». ◦
•
◦
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente raíz de frase: Ana paga una cuota mensual de ___.
•
Reparta rotuladores a los estudiantes.
•
Con un lápiz, encierre con un círculo la afirmación sobre el servicio de televisión de Rebeca.
•
Lea en voz alta la frase encerrada en un círculo.
•
Con un rotulador azul, subraye la cantidad que será el coeficiente de la variable.
•
Con un rotulador verde, subraye la constante.
•
Con un lápiz, encierra en un círculo la frase sobre el servicio de televisión de Anna.
•
Coro: lee la frase encerrada en un círculo.
•
Con un rotulador azul, subraya la cantidad que será el coeficiente de la variable.
•
Con un rotulador verde, subraya la constante.
•
Coro: lee la primera frase. Señala la respuesta en la historia antes de contestar.
•
Lectura coral del segundo enunciado. Señala la respuesta en la historia antes de contestar.
•
Coro: lea la tercera afirmación. Señale la respuesta en la historia antes de contestar.
•
Lea en voz alta la siguiente frase. Señala el número o números de la página que usarás para determinar la respuesta antes de contestar.
•
Lea en voz alta el último enunciado. «¿Qué harás para encontrar la respuesta?».
•
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente secuencia de oraciones: Para encontrar el valor de x voy a ___.
280
SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 280
•
Explique a sus compañeros de qué trata el pasaje.
•
Lea en voz alta el primer enunciado. Señala la respuesta en la historia antes de marcar la afirmación como verdadera o falsa.
«¿Cuáles son los dos costes diferentes que pagan Rebecca y Anna por contratar sus servicios de streaming?».
•
•
Lee en voz alta la segunda afirmación. Señala la respuesta en la historia antes de responder.
«¿Cuánto paga mensualmente Rebecca por su servicio de streaming?».
•
•
Lee en voz alta la tercera afirmación. Señala la respuesta en la historia antes de contestar.
«¿Cuánto paga mensualmente Anna por su servicio de streaming?».
•
•
Lee en voz alta en pareja la siguiente afirmación. Comenta con tus compañeros para decidir si es verdadera o falsa.
Lee cada afirmación y comenta tus respuestas con tus compañeros.
•
Lea en voz alta con tu compañero la última afirmación. comente con sus compañeros para decidir si es verdadera o falsa.
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1/9/26 1:56 PM
GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCRIBIR PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Disponga de rotuladores azules y verdes, fichas de álgebra, tapetes de ecuaciones y tarjetas de vocabulario ilustrado para que los estudiantes las utilicen. Lea y comente las palabras del banco de palabras. Defina y proporcione ejemplos según las necesidades de los estudiantes. comente las siguientes preguntas mientras lee:
Tenga a disposición de los estudiantes fichas de álgebra, alfombras de ecuaciones y tarjetas de vocabulario ilustrado. Lea en voz alta y comente las palabras del banco de palabras. Defina y proporcione ejemplos según las necesidades de los estudiantes. comente las siguientes preguntas mientras lee:
Ponga a disposición de los estudiantes fichas de álgebra, tapetes de ecuaciones y tarjetas de vocabulario ilustrado. Los estudiantes deben leer a coro las palabras del banco de palabras con sus compañeros. Pídales que comenten el significado de las palabras con sus compañeros. Defina y proporcione ejemplos según las necesidades de los estudiantes. Mientras los estudiantes leen, pídales que comenten las siguientes preguntas con sus compañeros:
•
Comente con los estudiantes las palabras clave en problemas del mundo real. ◦
«¿Qué palabras ayudan a indicar la variable?».
◦
«¿Qué palabras ayudan a indicar la constante?».
◦
«¿Qué palabras ayudan a indicar una ecuación?».
◦
«¿Qué palabras ayudan a indicar una desigualdad?».
•
Lea en voz alta cada enunciado y pida a los estudiantes que consulten el banco de palabras y la desigualdad antes de escribir sus respuestas.
•
Haga que los estudiantes Comenten las palabras del banco de palabras con sus compañeros.
•
Dobla la mitad inferior del papel para que solo se vea el banco de palabras. Señale una palabra del banco de palabras y, por turnos, explique las palabras con sus compañeros.
•
Toma nota de los estudiantes que explican con precisión matemática las palabras del banco de palabras.
•
A continuación, señala una palabra del banco de palabras cuyo significado necesites aclarar.
•
En función de los estudiantes a los que haya oído dar las explicaciones matemáticamente precisas, pídales que ayuden a aclarar las palabras seleccionadas a sus compañeros. ◦
•
•
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Veo que varios estudiantes están pidiendo aclaraciones sobre la palabra ________. (nombre del estudiante) pudo dar una explicación clara sobre la palabra _________ a su compañero. _____, «¿podrías compartir tu explicación?».
•
Pídales que comenten las palabras del banco de palabras con sus compañeros.
•
Comente las palabras del banco de palabras con sus compañeros. Cada persona debe dar una explicación o descripción de una palabra y luego pedir a su compañero que parafrasee el significado de la palabra. Continúa este proceso hasta que hayas comentado todas las palabras del banco de palabras.
•
Lee las instrucciones con tus compañeros. «¿Qué plan vas a seguir para asegurarte de que utilizas el mayor número posible de palabras del banco de palabras en tu redacción?». Si no estás seguro de cómo utilizar una palabra, rodéala con un círculo en el banco de palabras. Los estudiantes no deben empezar a escribir todavía.
•
Esté atento a los estudiantes que tengan dificultades para crear un plan o que marquen con un círculo las palabras del banco de palabras. Ofrézcales apoyo y permita que los estudiantes que hayan podido crear un plan lo compartan con la clase.
Lee cada enunciado con tu compañero y utiliza las palabras del banco de palabras para completar cada enunciado. Tenga en cuenta que algunas palabras pueden utilizarse más de una vez o no utilizarse en absoluto. Recuerde a los estudiantes que consulten el banco de palabras cuando rellenen los espacios en blanco.
◦
Veo que varios de nosotros necesitamos aclaraciones sobre la palabra _______. Dirígete a alguien que no sea tu compañero y pídele que aclare o defina la palabra _______.
◦
Veo que varios de nosotros necesitamos ayuda para diseñar un plan para utilizar el banco de palabras. Dirígete a alguien que no sea tu compañero y pídele que explique cómo piensa utilizar el mayor número posible de palabras del banco de palabras.
•
Pide a los estudiantes que escriban sus explicaciones una vez que se hayan aclarado todas las palabras y se hayan compartido los planes.
•
Ahora, escribe tu explicación utilizando al menos 5 de las palabras del banco de palabras. Cuando termines de escribir, comparte tu escrito con tus compañeros.
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GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO VOCABULARIO CLAVE
VOCABULARIO ILUSTRADO Coefficient
Infinite
Non-Proportional Relationship
The number placed directly before a variable that tells you to multiply that number by the variable
Having an unlimited number of values
Two quantities that do not have equal ratios
2
11
12
Proportional Relationship
Rate
Rate of Change
When two quantities have the same ratio
A type of ratio where the quantities have two different units
The rate that shows how one quantity changes in relation to another quantity
13
14
15
Rational Number
Slope
Slope-Intercept Form
A number that can be written as a fraction of integers a/b, where b ≠ 0; a number that can be written as a ratio using two integers
How steep a line is; represented as m in the slope-intercept equation
A way to write the equation of a line so that it is easy to view the slope and y-intercept of the line; y = mx + b
16
17
18
Solution
Term
Combine Like Terms
Any number that makes an equation true
A number, a variable, or a product of numbers and variables in an expression separated by addition, subtraction, or sometimes division
to add together terms that have the same variable(s), including their exponent
19
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20
3
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GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO
Y-Intercept
Constant of Proportionality
Constant Rate of Change
The point on a graph of an equation where the line crosses the y-axis
The positive constant, usually denoted k, that relates two quantities in the form y = kx.
A rate of change that does not vary
Distributive Property
Dependent Variable
Like Terms
The mathematical property which states that multiplying the sum or difference of a group of terms by a number or variable is the same as multiplying each term by a number or variable and then adding or subtracting the products
A variable, often y, that relies on the value of the independent variable 6
Terms that have the same variables, including their exponents 7
Linear Equation
Independent Variable
An equation in which no variable has a power greater than 1; the general form is y = mx + b, where m = slope and b = y-intercept.
A variable, often x, that does not rely on the value of another variable 9
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5
4
21
8
10
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GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ DESARROLLAR LA FLUIDEZ CONCEPTUAL
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: ECUACIONES CON VARIABLES EN AMBOS LADOS
Fix the Mistake! Answer Key Card Number
Math Expert or Fix the Mistake
Justification
1
Fix the mistake
The units are incorrect for area. It should be 16 square centimeters.
2
Math expert
3
Fix the mistake
21 – x = 65 – 5x 4x = 44 x = 11
4
Fix the mistake
3.2 + 1.3x = 9.72 + 0.6x 0.7x = 6.52 x = 9.3
5
Math expert
• 1 juego de tarjetas ¡Arregla el error! (por pareja)
6
• 1 hoja de registro del estudiante ¡Arregla el error! (por alumno)
Fix the mistake
17 + 4x = 87 – 6x 10x = 70 x=7
7
Fix the mistake
153 + 53x = 76 + 92x 77 + 53x = 92x 77 = 39x x = 1.97
8
Math expert
DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes jugarán al juego ¡Arregla el error!
MATERIALES IMPRESOS
• 1 hoja de instrucciones ¡Arregla el error! (por pareja)
• 1 ¡arregla el error! Clave de respuestas (por pareja) REUTILIZABLE
• 1 Sobre o bolsa resellable (por pareja)
PREPARACIÓN
• Haz copias a doble cara de las «Tarjetas ¡Arregla el error!». • Lamínelas para que duren más. • Recorte las tarjetas individuales y colóquelas en un sobre o bolsa para facilitar su distribución y limpieza. • Imprima una «Hoja de registro del estudiante ¡Arregla el error!» para cada alumno. • Imprima una «Clave de respuestas ¡Arregla el error!» para cada pareja de estudiantes. Doble la hoja de modo que las respuestas queden cubiertas pero el título aparezca en la parte superior de la página. • Coloque a los estudiantes en parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo barajar las cartas y colocarlas boca abajo en una pila. 2. Represente cómo jugar el juego con un estudiante. a. Baraje las cartas y colóquelas boca abajo en una pila entre los jugadores.
HOJA DE REGISTRO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
e. Los jugadores deben rellenar la «Hoja de registro del estudiante ¡Arregla el error!» mientras juegan. (Los jugadores deben rellenar la fila de la «Hoja de registro del estudiante ¡Arregla el error!» que corresponda al número de cada tarjeta). f. Una vez analizadas todas las tarjetas, los estudiantes utilizan la «Clave de respuestas ¡Arregla el error!» para comprobar sus respuestas. g. El jugador con más respuestas correctas es el ganador. 3. Distribuya los materiales del juego. A continuación, indica a los estudiantes que barajen las cartas y las coloquen boca abajo en una pila entre los jugadores. 4. Vigile a los estudiantes para asegurarse de que encuentran y registran las respuestas correctas a cada carta utilizando la «Hoja de registro del estudiante ¡Arregla el error!».
b. El jugador 1 voltea una carta. Ambos jugadores analizan el problema y determinan si la solución dada al problema es correcta y el estudiante que la ha contestado es un experto en matemáticas o si la solución es incorrecta y es necesario corregir el error. c. Los jugadores se turnan para dar la vuelta a una tarjeta cada vez. d. Los jugadores continúan turnándose hasta que se han resuelto todas las tarjetas.
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GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
ELABORAR: REVISIÓN EN ESPIRAL REPASAR CONCEPTOS PREVIOS
REVISIÓN EN ESPIRAL: VIAJEROS DE LA CIUDAD DE NUEVA YORK DESCRIPCIÓN
• Pregunta 3
Los estudiantes repasan contenidos anteriores o del grado actual para ayudar a apoyar su trabajo en en este alcance y fortalecer las habilidades necesarias para alcances posteriores.
REVISIÓN EN ESPIRAL CENTRADA EN LA PREGUNTA • Pregunta 1
◦ Grado 8: Conocer y aplicar las propiedades de los exponentes enteros para generar expresiones numéricas equivalentes. • Pregunta 2 ◦ Grado 8: Usar símbolos de raíz cuadrada y raíz cúbica para representar soluciones a ecuaciones de las formas x² = p y x³ = p, donde p es un número racional positivo. Evaluar raíces cuadradas de pequeños cuadrados perfectos y raíces cúbicas de pequeños cubos perfectos.
Solving Linear Equations
◦ Grado 8: Utilizar números expresados en forma de un solo dígito multiplicado por una potencia entera de 10 para estimar cantidades muy grandes o muy pequeñas, y expresar cuántas veces es una cantidad mayor que la otra. • Pregunta 4 ◦ Grado 8: Realizar operaciones con números expresados en notación científica, incluyendo problemas en los que se utilicen tanto la notación decimal como la científica.
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada uno.
New York City Commuters New York City is one of the most populated cities in the United States. There are a very large number of people that live and work in and around New York City. Because there are so many people, the traffic can get very busy, and it can take quite a long time to go from one place to another. Due to the heavy traffic, many people find that it is easier and more reliable to find other means to get to work. Some people walk several blocks to work, while others take underground subways. People who live outside of the city may take a train to get to the city, and those people who don’t own cars may take a bus. There are many different ways to get around such a big city. When the weather is nice, you will find more people walking around and enjoying the scenery. New York City has so many wonderful things to look at when you’re not in a rush to get to where you need to be!
1
Solving Linear Equations
1.
3.
There are 26 subway trains in NYC. 28 people can fit on each subway train. How many people can fit on all of the trains combined at once? A.
248
B.
448
C.
214
D.
414
A.
103 1018
C.
109
D.
102
Tompkins Square Park connects E 7th Street to E 10th Street. If the total area of the park is 4 square miles, how many miles are between E 7th Street and E 10th Street? There are 2 miles.
3. Utilice las preguntas de repaso en espiral como calentamiento en clase, o envíelas a casa como tareas. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos. 4. Consulte la sección «Revisión en espiral centrada en la pregunta» para evaluar los conocimientos de contenido de los estudiantes o su necesidad de intervención adicional. Si es necesario repasar más, utilice los «Constructores de fluidez» en los alcances apropiados. 5. El objetivo final incluye una parte de este alcance para que los estudiantes vean en el contenido la conexión y relevancia de su aprendizaje previo.
Of the citizens in New York, 3 × 106 take the subway to work and 3 × 103 drive cars. How many times greater is the number of people who take the subway than the number of people who drive cars?
B.
2.
2. Anime a los estudiantes a intentar responder a las preguntas de forma independiente sin utilizar recursos externos para ver lo que saben. Invite a los estudiantes a anotar ideas o fragmentos que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas.
4.
5 million people walk 2.3 miles a day. Represent in scientific notation how many miles they walk in total. 1.15 × 108
2
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS ANALIZAR DATOS
CIENCIA DE DATOS Ciencia de datos es un breve debate en clase basado en un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. La parte I incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los estudiantes en contexto.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizarán, interpretarán y generarán conjuntos de datos, además de responder a preguntas basadas en los datos.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 conjunto de datos (por clase) REUTILIZABLES
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase) • 1 rotulador (por clase) CONSUMIBLES
• 1 trozo de papel milimetrado (por clase)
PREPARACIÓN
• Prepárese para proyectar el conjunto de datos para la clase. • Reúna un trozo de papel milimetrado y un rotulador.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Proyecte el conjunto de datos y prepárese para anotar las observaciones de los estudiantes. 2. Comente las siguientes preguntas: a. «¿Qué notan acerca de este conjunto de datos?». b. «¿Qué representa este conjunto de datos?». c. «¿Qué categorías están incluidas en este conjunto de datos?». d. «¿Qué variables notan en el conjunto de datos?». e. «¿Qué constantes notan en el conjunto de datos?». f. «¿Qué preguntas tienen acerca de los datos?». PARTE II
1. Repase cómo determinar si una ecuación lineal tiene una solución, infinitas soluciones o ninguna solución, y escriba lo que los estudiantes recuerden en el papel milimetrado.
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2. Comente las siguientes preguntas: a. «Un cliente compra 3 porciones de pizza y 3 refrescos del camión 1 por el mismo precio que otro cliente compra 3 porciones de pizza y 4 refrescos del camión 2. ¿Cobran los camiones de comida el mismo precio por una porción de pizza?. Explícalo». No. La ecuación que representa esta situación es 3p + 3(1.75) = 3p + 4(1.50). Un intento de resolver esta ecuación da como resultado 5.25 = 6.00, lo cual es falso. Por lo tanto, los camiones no cobran el mismo precio por un trozo de pizza. b. «Un cliente compra una hamburguesa, un taco y un refresco en el camión 1 por 11.75 $. Otro cliente compra una hamburguesa, un taco y un refresco del camión 2 por 11.75 $. «¿Significa esto que los camiones de comida cobran el mismo precio por las hamburguesas y los tacos?». Explícalo. No. La ecuación b + t + 1.75 = 11.75 representa el total del pedido en el camión 1. Esta ecuación puede simplificarse a b + t = 10.00. La ecuación b + t + 1.50 = 11.75 representa el total del pedido en el camión 2. Esta ecuación puede simplificarse a b + t = 10.25. Debido a que la expresión b + t resulta en valores diferentes para cada camión, los camiones no cobran el mismo precio tanto por las hamburguesas como por los tacos. c. «Un cliente compra 6 tacos y 6 refrescos del camión 1 por el mismo precio que otro cliente compra 6 tacos y 7 refrescos del camión 2. ¿Cobran los camiones de comida el mismo precio por un taco? Explícalo». Sí. La ecuación que representa esta situación es 6t + 6(1.75) = 6t + 7(1.50). Un intento de resolver esta ecuación da como resultado 6t = 6t, lo cual es cierto. Por lo tanto, los camiones cobran el mismo precio por un taco. d. «Cuesta 19.25 $ comprar 3 hamburguesas y 2 refrescos en el camión 1. ¿Cuál es el costo de una hamburguesa en el camión 1? Muestra tu trabajo». Cuesta 5.25 $ una hamburguesa en el camión 1. 3b + 2(1.75) = 19.25; 3b + 3.50 = 19.25; 3b = 15.75; b = 5.25 e. Use sus respuestas de las partes b, c, y d para determinar el costo de una hamburguesa en el camión 2. Una hamburguesa en el camión 2 cuesta 5.50 dólares. De la parte b, para el camión 1, b + t = 10.00. De la parte d, una hamburguesa en el camión 1 cuesta 5.25 $. Por lo tanto, 5.25 + t = 10,00, o un taco en el camión 1 cuesta t = 10,00 - 5,25 = 4,75 $. De la parte c, el camión 2 cobra lo mismo por un taco que el camión 1. Entonces, de la parte b, para el camión 2, b + t = 10.25, o b + 4.75 = 10.25. Entonces, b = 5.50.
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GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES Solving Linear Equations
ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
Solving Linear Equations How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Solve linear equations in one variable. a. Give examples of linear equations in one variable with one solution, infinitely many solutions, or no solutions. Show which of these possibilities is the case by successively transforming the given equation into simpler forms, until an equivalent equation of the form x = a, a = a, or a = b results (where a and b are different numbers). Solve linear equations in one variable. b. Solve linear equations with rational number coefficients, including equations whose solutions require expanding expressions using the distributive property and collecting like terms.
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN
LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN
Notes and Feedback
DESCRIPCIÓN Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede utilizarse como evaluación formativa para los maestros y como autoevaluación para los estudiantes.
MATERIALES ❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 folleto del maestro (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del maestro» y un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
1
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Folleto del estudiante» a cada uno.
Solving Linear Equations
Standards for Mathematical Practice
Notes and Feedback
Make sense of problems and persevere in solving them Reason abstractly and quantitatively
3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
Construct viable arguments and critique the reasoning of others Model with mathematics Use appropriate tools strategically
Attend to precision
4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje.
Look for and make use of structure Look for and express regularity in repeated reasoning
5. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el «Folleto del maestro».
Consider these reflection questions in this scope. ●
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them?
●
What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
2
FOLLETO DEL MAESTRO
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2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Exploración» y «Explicar» del alcance, evalúe formativamente su progreso tomando notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
6. Las notas anecdóticas proporcionadas en el «Folleto del maestro» pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares. 7. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la «Guía de instrucción andamiada» en la sección «Inicio» de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
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GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
EVALUAR: MAPA DE CALOR EVALUACIÓN DE HABILIDADES
MAPA DE CALOR DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
1. Dé un «Mapa de calor» a cada estudiante junto con lápices de colores rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s). 2. Los estudiantes usan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el «Mapa de calor». Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los estudiantes colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, los estudiantes colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, los estudiantes colorean el cuadro correspondiente de rojo.
MATERIALES
• 1 mapa de calor (por estudiante) • 1 lápiz de color rojo (por estudiante) • 1 lápiz de color azul (por estudiante) • 1 lápiz de color naranja (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Determine si los estudiantes analizarán su «Prueba de habilidades», la «Evaluación basada en estándares», o ambas.
3. Anímelos a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a utilizar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada.
• Imprima un «Mapa de calor» para cada estudiante.
4. Consulte la «Guía de instrucción andamiada» que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
• Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
Solving Linear Equations
Solving Linear Equations
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
1. Which skill did you feel most confident with? Why?
Skills Quiz Standards Solve linear equations in one variable. a. Give examples of linear equations in one variable with one solution, infinitely many solutions, or no solutions. Show which of these possibilities is the case by successively transforming the given equation into simpler forms, until an equivalent equation of the form x = a, a = a, or a = b results (where a and b are different numbers).
Solve linear equations in one variable. b. Solve linear equations with rational number coefficients, including equations whose solutions require expanding expressions using the distributive property and collecting like terms.
Refer to your answers on the Standards-Based Assessment. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key.
Reflection Questions
Red – misconception
Blue - miscalculation
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
6
7
8
9
10
Standards
3. Which type of error did you most commonly make?
1
2
Orange - explanation
Solve linear equations in one variable. a. Give examples of linear equations in one variable with one solution, infinitely many solutions, or no solutions. Show which of these possibilities is the case by successively transforming the given equation into simpler forms, until an equivalent equation of the form x = a, a = a, or a = b results (where a and b are different numbers).
4. How can you avoid those errors in the future?
Solve linear equations in one variable. b. Solve linear equations with rational number coefficients, including equations whose solutions require expanding expressions using the distributive property and collecting like terms.
3
4
1
Red - misconception
Standards-Based Assessment
Questions
5
Solving Linear Equations
2
Questions
5
8
1
2
3
4
6
7
9
10
3
MAPA DE CALOR
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GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
INTERVENIR: REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES Solving Linear Equations
REMEDIAR Y VOLVER A ENSEÑAR
REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES
Checkup Solve for the unknown variables. 1.
3.
2.
6(4 – w) = 2w
0.1x = 0.2(x + 2)
24 – 6w = 2w + 6w + 6w 24 = 8w
0.1x = 0.2x + 0.4 – 0.2x – 0.2x____ −0.1x = 0.4
24 8
= 8w 8
−0.1x = −0.1
0.4 −0.1
3
=w
x=
−4
1 2 1 d+ = (d – 2) 6 3 4 1 2 1 12( 6 d + 3 ) = 12[ 4 (d – 2)]
4.
DESCRIPCIÓN Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para intervención.
−2(x – 5) = 6(2 – 0.5x)
MATERIALES
−2x + 10 = 12 – 3x + 3x + 3x x + 10 = 12 – 10 – 10 x = 2
2d + 8 = 3(d – 2) 2d + 8 = 3d – 6 – 2d – 2d__ 8= d–6 +6 +6 14 = d
IMPRESOS
• 1 revisión rápida (por estudiante) • 1 repaso (por estudiante) • 1 revisión general (por estudiante)
For problems 5, 6, and 7, determine if there is one solution, no solution, or infinite solutions. 5.
3 – 4x = −7 – 4x + 4x + 4x 3 = −7
6.
15 – 2x = −7x + 2x + 2x 15 = – 5x −5 −5 −3 = x
No solution
7.
One solution
• 1 lista de verificación para el maestro (por maestro)
6x + 4 = 4(3/2x +1) 6x + 4 = 6x + 4 – 6x – 6x 4 = 4
PREPARACIÓN
Infinite solutions
1
• Imprima una copia de la «Revisión rápida», el «Revisión» y la «Revisión general» para cada estudiante. • Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar la «Revisión».
Solving Linear Equations
8.
Solve for d, and explain your reasoning. −15 + 7.5(2d – 1) = 15 2
−15 + 15d – 7.5 = 7.5 + 7.5 + 7.5 −15 + 15d = 15 + 15 + 15 15d = 30 15d 15
= 30 15
d
= 2
Change fractions to decimals (same type of coefficient). Use inverse operations to cancel one of the constants. Use inverse operations to cancel the last constant.
1. Dé una copia de la «Revisión rápida» a cada estudiante.
10.
2. Cada uno debe completarla de forma independiente.
3x – 10 + 4x = 7x – 10 7x – 10 = 7x – 10 + 10 + 10 7x = 7x 7 7 x = x
Combine like terms.
3. Use la rúbrica de habilidades al final de la «Revisión rápida» para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional.
Cancel coefficients with division. When x = x, there are infinite solutions. Any number can be substituted for x and it will be a true solution.
4. Distribuya una copia de «Revisión» a cada uno.
3(4x – 5) = 2(6x + 4) 12x – 15 = 12x + 8 – 12x – 12x −15 = 8
5. Cada estudiante debe completar la «Revisión» como actividad de intervención o de forma independiente.
Use the distributive property. Combine like terms. Impossible; no solution
a.
2
REVISIÓN GENERAL CLAVE DE RESPUESTAS
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SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 289
• Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayudas suplementarias para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Isolate the variable with division.
For problems 9 and 10, explain why there is no solution or infinite solutions. 9.
• Si lo desea, imprima un ejemplo del «Esquema de anclaje» de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que usen la «Libreta interactiva» como recurso.
Si lo desea, reúna a los estudiantes en pequeños grupos para trabajar en las destrezas de repaso. Utilice el «Revisión» como ayuda para la reenseñanza.
6. Distribuya una copia de la «Revisión general» a cada uno. 7. Cada estudiante debe completarla de forma independiente. 8. Analice los resultados de la «Revisión general» al usar la «Lista de verificación para el maestro» para identificar quienes necesitan un repaso adicional y quienes han alcanzado el dominio de los conceptos.
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1/9/26 1:57 PM
GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
ACELERACIÓN: ¿QUÉ PREFERIRÍAS? Solving Linear Equations
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
¿QUÉ PREFERIRÍAS?: CANICAS AZULES Y VERDES
Use mathematical reasoning and creativity to justify your answer to the Would You Rather question.
DESCRIPCIÓN
Melissa has some marbles. 25 more than 4 times the number of blue marbles is the same number as 15 less than 6 times the number of green marbles. How many marbles does Melissa have? Would you rather have the blue marbles or the green marbles? Justify your reasoning with mathematics.
Los estudiantes utilizan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
Blue and Green Marbles
MATERIALES IMPRESOS
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 rúbrica (por maestro)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno. • Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno.
Sample answers may include the following: I would rather have blue marbles because blue is my favorite color. I would rather have green marbles because most of the marbles I have are green so I could add the green marbles to my marble collection. 4x + 25 = 6x – 15; 2x = 40; x = 20. 4(20) + 25 = 105; 6(20) – 15 = 105. There are 105 blue marbles and 105 green marbles.
1
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
2. Anímelos a mirar sus folletos de «Explorar» si necesitan repasar habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros. 4. Utilice la rúbrica proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
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GRADO 8: RESOLVER ECUACIONES LINEALES
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Solving Linear Equations
Choose 6: OPCIONES PARA EL APRENDIZAJE CONTINUO ● Career Connection (MUST INCLUDE) ● Science Connection ● Arts Connection ● Kitchen Connection ● Create Your Own ● Financial Connection ● Technology Connection Los estudiantes explorarán las conexiones con ● Analogies mundo real y las aplicaciones del contenido ● Mathematicianel Spotlight ● Other - must be approved matemático a través de interacciones con by PM!
TABLERO DE OPCIONES
Solving Linear Equations
CONNECTION one of the choices. elect any of the ces (listed in blue e right).
hat are highlighted changed and ted.
Choose one or more extension activities from the table below. Career Connection
Theater Manager
Research the career field of theater management. Your research must answer the provided questions. Create a presentation to relay your research to the class.
Look Out Below!
Analyze linear equations relating the initial velocity, acceleration due to gravity, and time it takes an object to fall. Then, answer the questions.
Create Your Own
Kitchen Connection
Word Problems
School Lunch Plans
Create your own real-world story problems to go along with the given linear equations. Solve the equations, and explain how the solution fits the story.
Find and solve a linear equation. Then, answer the questions that follow.
Financial Connection
Technology
The Better Deal
Use a graphing calculator to solve linear equations. Compare the solutions to those found algebraically.
Solve linear equations to find the better deal. Explain your reasoning.
DESCRIPCIÓN
Science Connection
actividades atractivas.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 tablero de opciones (por estudiante) • 1 juego de hojas de actividades (por estudiante) • 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante) REUTILIZABLE
• Tecnología (si corresponde) 1
TABLERO DE OPCIONES
PREPARACIÓN
• Imprima un «Tablero de opciones» y un juego de hojas de actividades para cada estudiante. • Imprima una «Autoevaluación del tablero» para cada estudiante. • Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» a cada estudiante. 2. Dé tiempo a los estudiantes para examinar el «Tablero de opciones» y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anímelos a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del tablero, haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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GRADO 8 <<SCOPE NAME>>
GRADO 8
RELACIONES PROPORCIONALES ACTIVIDADES DE EXPLORACIÓN EXPLORACIÓN 1: GRAFICAR RELACIONES PROPORCIONALES
ESTÁNDARES CLAVE Comprender las conexiones entre Relaciones proporcionales, rectas y ecuaciones lineales. • Graficar Relaciones proporcionales, al interpretar la tasa unitaria como la pendiente de la gráfica. Comparar dos relaciones proporcionales diferentes representadas de distintas maneras. Por ejemplo, comparar una gráfica distancia-tiempo con una ecuación distancia-tiempo para determinar cuál de dos objetos en movimiento tiene mayor velocidad. • Usar triángulos similares para explicar por qué la pendiente m es la misma entre dos puntos distintos cualesquiera de una recta no vertical en el plano de coordenadas; deducir la ecuación y = mx para una recta que pasa por el origen y la ecuación y = mx + b para una recta que intercepta el eje vertical en b.
ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: PAREO ALREDEDOR DEL AULA Los estudiantes participan en un ejercicio de emparejamiento para reforzar su comprensión de un estándar previo e identificar cualquier concepto erróneo. • Los estudiantes caminan por el aula para emparejar tarjetas numeradas con tarjetas con letras para demostrar sus conocimientos. • Colaboran con sus compañeros para debatir sus razonamientos y procesos de pensamiento. • La actividad está diseñada para descubrir conceptos erróneos, en particular en la comprensión de las tasas unitarias y la lectura/escritura de proporciones. • Si los estudiantes tienen dificultades, se proporciona apoyo básico adicional para abordar las lagunas en los conocimientos previos. CAPTAR INTERÉS Los estudiantes exploran el concepto de pendiente y tasa unitaria para determinar la mejor oferta de pizza para un evento. • Los estudiantes analizan un gráfico y una tabla que representan los precios de pizza de dos pizzerías diferentes. • Calculan la pendiente y la tasa unitaria para comparar qué pizzería ofrece una mejor oferta para comprar una docena de pizzas. • La actividad anima a los estudiantes a aplicar sus conocimientos sobre las relaciones lineales y a participar en la resolución de problemas del mundo real. • Después de explorar, los estudiantes vuelven a visitar el escenario para consolidar sus conocimientos y debatir sus conclusiones.
Los estudiantes realizan gráficas de datos proporcionales y determinan las tasas unitarias a través del trabajo colaborativo en grupo. • Los estudiantes trabajan en grupos para graficar Relaciones proporcionales a partir de tablas o ecuaciones dadas al usar «Tarjetas de escenarios de costos de viaje». • Ellos determinan las tasas unitarias a partir de las gráficas y registran sus observaciones en los «Diario del estudiante». • La actividad incluye debates guiados y una charla de matemáticas para profundizar la comprensión de las gráficas y las tasas unitarias. • Los estudiantes completan un «Boleto de salida» para evaluar su comprensión y participan en una actividad de «Esquema de anclaje» de la clase. EXPLORACIÓN 2: COMPARAR RELACIONES PROPORCIONALES Los estudiantes exploran y comparan Relaciones proporcionales al usar varias representaciones como gráficos, tablas y ecuaciones. • Los estudiantes trabajan en grupos para analizar los precios de los vuelos por temporada y día, con el uso de gráficos para determinar los momentos más y menos caros para volar. • Identifican y comparan pendientes y tasas unitarias a partir de gráficos, tablas y ecuaciones para comprender las relaciones proporcionales. • Los estudiantes participan en debates para compartir estrategias, hacer conexiones y reflexionar sobre su aprendizaje a través de charlas de matemáticas. • La actividad concluye con los estudiantes completando un «Boleto de salida» para evaluar su comprensión y participar en debates en clase para consolidar su aprendizaje. EXPLORACIÓN 3: TRIÁNGULOS SIMILARES Los estudiantes exploran el concepto de pendiente al usar triángulos similares para mejorar su comprensión de las relaciones lineales. • Los estudiantes trabajan en grupos con el uso de «Tarjetas de triángulos similares» para encontrar la pendiente entre dos puntos al calcular el cociente entre el lado vertical y el lado horizontal. • Participan en debates para comparar estrategias y comprender las implicaciones de las pendientes positivas y negativas. • La actividad incluye una charla de matemáticas para que los estudiantes compartan sus observaciones y conclusiones sobre la pendiente de las rectas. • Los estudiantes completan un «Boleto de salida» y actualizan sus «Libretas interactivas» para evaluar y consolidar su aprendizaje. EXPLORACIÓN 4: PENDIENTE Los estudiantes trabajan en colaboración para derivar la forma pendienteintersección de una ecuación al usar pares ordenados. • Los estudiantes usan «Tarjetas de escenario de pendiente» para identificar la pendiente (m) y la intersección y (b) en varias situaciones. • Registran sus conclusiones y reflexiones en un «Diario del estudiante», al mejorar su comprensión de las relaciones proporcionales. • La actividad incluye una charla de matemáticas para debatir las observaciones y estrategias, para fomentar el aprendizaje entre pares y el compromiso. • Se utiliza un «Boleto de salida» para evaluar la comprensión de los estudiantes de la forma pendiente-intersección y sus aplicaciones en el mundo real.
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GRADO 8: RELACIONES <<SCOPE PROPORCIONALES NAME>> GRADO 8
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES EXPLORACIONES DE DATOS
Los estudiantes analizan conjuntos de datos y los interpretan mediante Relaciones proporcionales. Por ejemplo, en un conjunto de datos que registra los cambios en el precio de los boletos de avión, los estudiantes usan el razonamiento proporcional para comprender la relación entre el costo y el tiempo. Esto les ayuda a conectar el concepto matemático de Relaciones proporcionales con el proceso de exploración de datos, para fomentar la comprensión de cómo trabajar con cantidades grandes y representarlas de diversas formas.
PENDIENTES E INTERSECCIONES
Los estudiantes aprenden cómo la pendiente representa la tasa de cambio y cómo la intersección y puede revelar información sobre el punto de partida de una relación. Exploran ejemplos del mundo real, como la comparación de los costos de transporte, para relacionar el concepto de pendiente con situaciones cotidianas.
Los estudiantes resuelven ecuaciones lineales y comprenden cómo las relaciones proporcionales pueden representarse al usar ecuaciones lineales. Los estudiantes aprenden a representar gráficamente estas ecuaciones, a interpretar la pendiente como la tasa de cambio y a comparar diversas Relaciones proporcionales. Aplican sus conocimientos de proporcionalidad para resolver problemas de la vida real.
ECUACIONES LINEALES
INTERPRETAR DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN
Los estudiantes trabajan con datos de tablas y gráficos lineales con pares ordenados mostrados para identificar patrones entre dos variables, al usar visualizaciones de datos. Analizan gráficas para determinar si la relación es proporcional y lineal. Por ejemplo, los estudiantes pueden observar una gráfica distancia-tiempo y la ecuación correspondiente para ver cómo la tasa unitaria (pendiente) representa la tasa de cambio, como la rapidez.
DATOS, GRÁFICAS Y TABLAS
CONCEPTOS CLAVE • Puedo comparar relaciones proporcionales representadas de diferentes formas. • Puedo calcular la tasa unitaria de relaciones proporcionales escritas de diferentes formas. • Puedo gráficar Relaciones proporcionales en las que la tasa unitaria se utiliza como pendiente de la recta. • Puedo usar triángulos similares para explicar por qué la pendiente de una recta es la misma entre dos puntos distintos cualesquiera de una recta no vertical. • Puedo describir b como la intersección y y m como la pendiente en la ecuación y = mx + b. • Puedo determinar la pendiente de una recta a partir de una gráfica, una tabla o una ecuación lineal.
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MÚLTIPLES REPRESENTACIONES DE FUNCIONES
Los estudiantes se mueven con frecuencia entre ecuaciones, gráficos, tablas y escenarios contextualizados. Representan gráficamente sistemas de ecuaciones, usan tablas para representar valores y escriben ecuaciones a partir de datos del mundo real, para adquirir fluidez al cambiar de una forma a otra para analizar relaciones. Esto refuerza su comprensión de la pendiente y la tasa de cambio, especialmente cuando interpretan lo que los cambios en las variables representan en términos prácticos, como el tiempo, la distancia o el costo. Estas actividades preparan a los estudiantes no solo para resolver ecuaciones algebraicas, sino también para comprender el significado de sus soluciones en diversos entornos matemáticos y del mundo real.
Los estudiantes analizan conjuntos de datos y los interpretan mediante Relaciones proporcionales. Por ejemplo, en un conjunto de datos que registra los cambios en el precio de los boletos de avión, los estudiantes usan el razonamiento proporcional para comprender la relación entre el costo y el tiempo. Esto les ayuda a conectar el concepto matemático de Relaciones proporcionales con el proceso de exploración de datos, para fomentar la comprensión de cómo trabajar con cantidades grandes y representarlas de diversas formas.
PREGUNTAS FUNDAMENTALES • «¿Cómo pueden compararse las relaciones proporcionales cuando la información se presenta en formas diferentes?». • Describir cómo pueden usarse triángulos similares para explicar por qué la pendiente es la misma entre dos puntos distintos cualesquiera de una recta no vertical. • Describir cómo y = mx representa una recta que pasa por el origen y cómo y = mx + b representa una recta que intercepta el eje y en el punto b cuando se representa gráficamente en un plano de coordenadas. • Describir cómo determinar si la pendiente de una recta es positiva, negativa, 0 o indefinida. • Explicar cómo se relacionan las relaciones proporcionales, las rectas y las ecuaciones lineales.
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GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
INICIO: CONTENIDO DE APOYO ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
CONTENIDO DE APOYO Comprender las conexiones entre Relaciones proporcionales, rectas y ecuaciones lineales. • Graficar Relaciones proporcionales, al interpretar la tasa unitaria como la pendiente de la gráfica. Comparar dos relaciones proporcionales diferentes representadas de distintas maneras. Por ejemplo, comparar una gráfica distancia-tiempo con una ecuación distancia-tiempo para determinar cuál de dos objetos en movimiento tiene mayor velocidad. • Usar triángulos similares para explicar por qué la pendiente m es la misma entre dos puntos distintos en una línea no vertical en el plano de coordenadas; derivar la ecuación y = mx para una recta que pasa por el origen y la ecuación y = mx + b para una recta que intercepta el eje vertical en b.
CONOCIMIENTO PREVIO En 6.º grado, los estudiantes aprendieron a comparar diferentes cantidades con una tasa unitaria de uno. En 7.º grado, los estudiantes ampliaron este pensamiento a porcentajes y razones. Identificaron las tasas unitarias en problemas relacionados con descuentos, intereses e impuestos. Los estudiantes fueron capaces de relacionar dibujos a escala como Relaciones proporcionales. Los estudiantes comprenden que una gráfica que pasa por el origen tiene una relación proporcional con una tasa unitaria establecida.
CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS • Los estudiantes deben reconocer que las pendientes (tasa media de variación) pueden ser tanto positivas como negativas.
• Los estudiantes pueden creer que todas las gráficas de rectas representan una relación proporcional cuando solo las que pasan por el origen son proporcionales. • Los estudiantes pueden representar erróneamente puntos en una gráfica de coordenadas. Necesitan estar seguros de la dirección de los ejes x y y. • Los estudiantes pueden confundir una pendiente de 5 con una subida o un recorrido de 5 unidades en lugar de una subida de 5 unidades verticalmente y un recorrido de 1 unidad horizontalmente.
ALCANCE ACTUAL En este alcance, los estudiantes entenderán que la tasa unitaria de una relación proporcional es la pendiente de una gráfica. Compararán diferentes Relaciones proporcionales representadas de diferentes maneras como tablas, gráficas y ecuaciones. Los estudiantes reconocerán que las pendientes de dos triángulos similares son iguales. Crearán relaciones entre dos variables al derivar las ecuaciones y = mx + b y y = mx.
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TÉRMINOS CLAVE • constante de proporcionalidad: constante positiva, normalmente denominada k, que relaciona dos cantidades de la forma y = kx • dilatación: tipo de transformación en la que se utiliza un factor de escala para ampliar o reducir las distancias en la imagen original • ecuación: enunciado matemático que muestra que dos expresiones son iguales entre sí • gráfico (sustantivo): representación visual de datos • horizontal: describe la dirección de una línea que viaja de izquierda a derecha, perpendicular a una recta vertical correspondiente; de izquierda a derecha; paralela al horizonte • hipotenusa: el lado más largo del triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto • relación lineal: que tiene una tasa de cambio constante entre dos cantidades/variables y forma una línea recta cuando se representa gráficamente; una relación que crea una línea recta • pendiente negativa: la medida de la inclinación de una recta que muestra la inclinación hacia abajo de izquierda a derecha • pendiente positiva: la medida de la pendiente de una línea que muestra la inclinación hacia arriba de izquierda a derecha • proporción: dos fracciones o proporciones que tienen el mismo valor; un tipo de ecuación que muestra que dos proporciones son iguales • relación proporcional: cuando dos cantidades tienen la misma proporción • tasa de cambio: tasa que muestra cómo cambia una cantidad en relación con otra • triángulos similares: dos o más triángulos que tienen ángulos congruentes y lados proporcionales • pendiente: pendiente de una línea; representada como m en la ecuación pendiente-intersección • tabla: un gráfico que utiliza filas y columnas para organizar la información • pendiente indefinida: la pendiente de una línea vertical • tasa unitaria: una tasa con un denominador de 1 que muestra cuántas unidades del primer tipo corresponden a una unidad del segundo tipo • vertical: describe la dirección de una línea que viaja hacia arriba y hacia abajo, perpendicular a una recta horizontal correspondiente; de arriba a abajo; perpendicular al horizonte • intersección y: el punto en un gráfico de una ecuación donde la línea cruza el eje y
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GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
APLICAR LAS PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes analizan una gráfica para encontrar dos puntos para calcular la pendiente, identificar la intersección y y escribir la ecuación de la gráfica. Parten de la gráfica y perseveran en el proceso hasta encontrar la ecuación de la recta.
Ejemplo: El siguiente gráfico representa cuánta nieve ha caído durante un período de tiempo específico (en horas). «¿Cuál es la tasa unitaria de nieve que cae por hora?».
• MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes razonan abstracta y cuantitativamente cuando explican que las pendientes de varias rectas son iguales. Usan la razón para determinar por qué las pendientes de las rectas horizontales y verticales siempre tienen el mismo valor. • MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros: Los estudiantes justifican si una gráfica representa una relación proporcional. Analizan la gráfica y usan el lenguaje matemático para describir por qué la gráfica es o no una relación proporcional. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes usan su comprensión de las relaciones proporcionales para analizar los boletos de avión durante las diferentes estaciones del año. Encuentran y comparan el costo medio de los boletos. • MP.5 Usar estratégicamente las herramientas adecuadas: Los estudiantes usan gráficas y triángulos similares para comprender mejor el concepto de pendiente de una recta. Analizan dos triángulos similares cuyas hipotenusas caen sobre la recta de la gráfica para determinar la pendiente de la recta. • MP.6 Prestar atención a la precisión: Los estudiantes atienden a la precisión mientras encuentran la tasa unitaria en diversas formas. No pueden usar estimaciones o conjeturas porque las gráficas y la información de las tablas pueden ser engañosas. Los estudiantes necesitan ser precisos en sus hallazgos para resolver problemas. • MP.7 Buscar y hacer uso de la estructura: Los estudiantes buscan y hacen uso de la estructura cuando explican cómo información diversa puede tener las mismas pendientes. Usan la estructura de la ecuación de una recta para poder determinar la pendiente a partir de una ecuación, así como para escribir una ecuación dada la pendiente. • MP.8 Buscar y expresar regularidades en razonamientos repetidos: Los estudiantes analizan triángulos similares en una recta dada y generalizan que dos puntos cualesquiera en una recta pueden usarse para encontrar la pendiente.
a.
2 pulgadas
b.
10 pulgadas
c.
1 pulgada
d.
5 pulgadas
La respuesta correcta es la opción A. Los estudiantes deben reconocer que la pendiente de este gráfico es el cambio en el valor y sobre el cambio en el valor x. Aquí pueden elegir un punto en la gráfica, por ejemplo (5, 10), y ver que nieva 10 pulgadas en 5 horas. Al 10 __ = 21 , los estudiantes encontrarán que nieva 2 reducir esta fracción, ___ 5 pulgadas por cada 1 hora o una tasa unitaria de 2.
COMPARAR RELACIONES PROPORCIONALES Los estudiantes compararán Relaciones proporcionales mostradas de diferentes formas. Estas incluyen gráficas, tablas y ecuaciones. Ejemplo: «¿Cuál de las siguientes representaciones tiene la mayor pendiente?».
a. Tiempo en minutos (x)
Distancia en millas (y)
15
12.5
30
25
45
37.5
b.
TASA UNITARIA EN DIFERENTES FORMAS Los estudiantes determinarán la tasa unitaria en varias formas diferentes. Estas incluyen gráficas, tablas y ecuaciones. c.
Una manguera llena una piscina con agua a una tasa de 3 galones por cada 12 minutos
d.
y = 3x + 6
La respuesta correcta es la opción B. Los estudiantes necesitarán encontrar la tasa de cambio, o pendiente de cada opción. Al hacerlo, 60 encontrarán que la opción B tiene una pendiente de ___ = 15. La opción 40 25 __ 5 ___ A tiene una pendiente de 30 = 6 . La opción C tiene una pendiente 3 1 de ___ 12 = __ . La opción D tiene una pendiente de 3. Porque 15 > 3 > __65 4 1 __ > 4 , la opción B es la de mayor pendiente. ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
TRIÁNGULOS SIMILARES
Ejemplo 2: «¿Cuál es la pendiente de la siguiente recta?».
Los estudiantes usarán triángulos similares para explicar la pendiente de las rectas. Determinarán estas pendientes como positivas o negativas. Ejemplo: Kendra tarda 50 minutos en correr 8 kilómetros. Si ella corre a una velocidad constante, «¿cuál de las siguientes opciones no describe qué tan rápido corre Kendra?».
a. Kendra puede correr 3 millas en 30 minutos. b. Kendra tarda 20 minutos en correr 2 millas. c. Kendra puede correr 4 millas en 40 minutos. d. Kendra tarda 100 minutos en correr 1 milla. La respuesta correcta es la opción D. Los estudiantes pueden usar triángulos similares a lo largo de la misma recta para probar qué pendientes son iguales. Encontrarán que las opciones A, B, y C todas tienen una tasa unitaria de 1 milla por cada 10 minutos, mientras que la opción D tiene una tasa unitaria de 1 milla por cada 100 minutos.
a.
0
b.
3
c.
__ 31
d.
Indefinida
La respuesta correcta es la opción D. Los estudiantes usarán y2 - y1 la fórmula ______ x2 - x1 para encontrar la respuesta al elegir dos puntos de la recta. Por ejemplo, a partir de los puntos (3, 3) y 3 - (-2)
(3, 2) pueden determinar _______ = 5/0. Los estudiantes deben 3-3 reconocer que no pueden dividir un número por cero, y por lo tanto, la respuesta es indefinida. Todas las rectas verticales tendrán una pendiente indefinida.
PENDIENTE Los estudiantes encontrarán las pendientes de líneas horizontales y2 - y1 y verticales. Usarán la fórmula de la pendiente ______ x2 - x1 para descubrir la ecuación de una recta y explicar su razonamiento. Ejemplo 1: «¿Cuál es la pendiente de la siguiente recta?».
AVANCES En los próximos años, los estudiantes ampliaran su pensamiento sobre las relaciones proporcionales y la tasa de cambio. Compararán diferentes tipos de funciones que van más allá de las funciones lineales; éstas incluyen funicones exponenciales, cuadráticas y trigonométricas. En secundaria, determinarán las pendientes de varios intérvalos de estos tipos de funicones no lineales, comparándolas entre sí.
a. 0 b. 6 c. __ 1 6
d. Indefinida La respuesta correcta es la opción A. Los estudiantes usarán la y2 - y1 fórmula ______ x2 - x1 para encontrar la respuesta al elegir dos puntos de la recta. Por ejemplo, a partir de los puntos (0, 6) y (3, 6) 6-6 pueden determinar _____ . Cero dividido por cualquier número 3-0 siempre será cero. Por lo tanto, una recta horizontal tiene pendiente cero.
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GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
ANÁLISIS PROFUNDO DE LOS ESTÁNDARES
CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES Comprender las conexiones entre Relaciones proporcionales, líneas y ecuaciones lineales. • Graficar Relaciones proporcionales, al interpretar la tasa unitaria como la pendiente de la gráfica. Comparar dos relaciones proporcionales diferentes representadas de distintas maneras. Por ejemplo, comparar una gráfica distancia-tiempo con una ecuación distancia-tiempo para determinar cuál de dos objetos en movimiento tiene mayor velocidad. • Usar triángulos similares para explicar por qué la pendiente m es la misma entre dos puntos distintos cualesquiera de una recta no vertical en el plano de coordenadas; deducir la ecuación y = mx para una recta que pasa por el origen y la ecuación y = mx + b para una recta que intercepta el eje vertical en b.
DESGLOSAR EL ESTÁNDAR VERBOS: ¿QUÉ DEBERÍAN HACER LOS ESTUDIANTES?
• comparar: examinar las diferencias entre números, expresiones y ecuaciones • deducir: obtener algo de una fuente • explicar: indicar razones para dar cuenta de acciones o sucesos • graficar: trazar un conjunto de puntos en un plano de coordenadas • interpretar: explicar el significado de • entender: comprender el significado de • usar: aplicar una estrategia
SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBEN CONOCER LOS ESTUDIANTES?
• plano de coordenadas: dos rectas numéricas perpendiculares llamadas eje x y eje y, que se cruzan en el punto (0, 0) y crean cuatro cuadrantes; también llamado gráfico, cuadrícula de coordenadas o plano cartesiano • puntos distintos: dos puntos que no son iguales entre sí • ecuación: una oración matemática que usa números, uno o más símbolos de operación y un signo igual • gráfico: una representación visual de los datos • intercepción: el punto en el que la línea de un gráfico cruza el eje x o el eje y • recta: un elemento geométrico recto sin grosor, que se extiende sin fin en ambas direcciones; la distancia más corta entre dos puntos • ecuación lineal: una ecuación en la que ninguna variable tiene una potencia mayor que 1; la forma general es y = mx + b, donde m = pendiente y b = intersección y • línea no vertical: línea horizontal o diagonal • origen: punto central de un plano de coordenadas, donde se cruzan los ejes x y y, situado en (0, 0) • relación proporcional: cuando dos cantidades tienen la misma razón • triángulos similares: dos o más triángulos que tienen ángulos congruentes y lados proporcionales • pendiente: qué tan empinada es una recta; representada como m en la ecuación pendienteintersección • tasa unitaria: una tasa con un denominador de 1 que muestra cuántas unidades del primer tipo corresponden a una unidad del segundo tipo • eje vertical: el eje y en una gráfica
IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA
• En grados anteriores, los estudiantes reconocieron y representaron Relaciones proporcionales entre cantidades. Los estudiantes encontraron conexiones entre rectas y Relaciones proporcionales, graficaron en un plano de coordenadas y determinaron la tasa unitaria. • En este nivel de grado, se espera que los estudiantes grafiquen Relaciones proporcionales y escriban ecuaciones que representen esas relaciones graficadas. Los estudiantes interpretan la tasa unitaria como la pendiente de la gráfica. Los estudiantes deben ser capaces de comparar Relaciones proporcionales en diferentes formas. Deben ser capaces de determinar por qué la pendiente de una recta es la misma entre dos puntos cualesquiera de la recta y deducir las ecuaciones y = mx + b y y = mx.
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GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
ALINEACIÓN VERTICAL GRADO
ESTÁNDAR Usar el razonamiento de razones y tasas para resolver problemas matemáticos y del mundo real, por ejemplo, al razonar sobre tablas de razones equivalentes, diagramas de cinta, diagramas de recta numérica doble o ecuaciones.
6
7
a.
Hacer tablas de razones equivalentes que relacionen cantidades con medidas de números enteros, encontrar los valores faltantes en las tablas y graficar los pares de valores en el plano de coordenadas. Usar tablas para comparar proporciones.
b.
Resolver problemas de tasas unitarias incluso aquellos que involucran precios unitarios y velocidad constante.
c.
Encontrar un porcentaje de una cantidad como una tasa por 100 (por ejemplo, 30 % de una cantidad significa 30/100 veces la cantidad); resolver problemas que involucran encontrar el todo, dada una parte y el porcentaje.
d.
Usar razonamiento de proporciones para convertir unidades de medida; manipular y transformar unidades apropiadamente al multiplicar o dividir cantidades.
Calcular tasas unitarias asociadas con razones de fracciones, incluso razones de longitudes, áreas y otras cantidades medidas en unidades iguales o diferentes. Reconocer y representar Relaciones proporcionales entre cantidades.
7
a.
Decidir si dos cantidades están en una relación proporcional, por ejemplo, al comprobar si hay relaciones equivalentes en una tabla o al graficar en un plano de coordenadas y al observar si la gráfica es una línea recta que pasa por el origen.
b.
Identificar la constante de proporcionalidad (tasa unitaria) en tablas, gráficas, ecuaciones, diagramas y descripciones verbales de Relaciones proporcionales.
c.
Representar Relaciones proporcionales mediante ecuaciones.
d.
Explicar qué significa un punto (x, y) en la gráfica de una relación proporcional en términos de la situación, con especial atención a los puntos (0,0) y (1, r) donde r es la tasa unitaria.
8
Gráficar Relaciones proporcionales, al interpretar la tasa unitaria como la pendiente de la gráfica. Comparar dos relaciones proporcionales diferentes representadas de distintas maneras.
8
Usar triángulos similares para explicar por qué la pendiente m es la misma entre dos puntos distintos cualesquiera de una recta no vertical en el plano de coordenadas; deducir la ecuación y = mx para una recta que pasa por el origen y la ecuación y = mx+b para una recta que intercepta el eje vertical en b.
8
Comparar las propiedades de dos funciones representadas cada una de una manera diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas o mediante descripciones verbales).
8
Interpretar la ecuación y = mx + b como definitoria de una función lineal, cuya gráfica es una línea recta; dar ejemplos de funciones que no son lineales.
8
Describir cualitativamente la relación funcional entre dos cantidades al analizar una gráfica (por ejemplo, si la función es creciente o decreciente, lineal o no lineal). Dibujar una gráfica que muestre las características cualitativas de una función que se ha descrito verbalmente. Analizar y resolver pares de ecuaciones lineales simultáneas.
8
a.
Comprender que las soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables corresponden a puntos de intersección de sus gráficas, porque los puntos de intersección satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente.
b.
Resolver sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables algebraicamente, y estimar soluciones al graficar las ecuaciones. Resolver casos sencillos por inspección.
c.
Resolver problemas matemáticos y de la vida real que den lugar a dos ecuaciones lineales en dos variables.
HS
Resolver sistemas de ecuaciones lineales de forma exacta y aproximada (por ejemplo, con gráficas), centrándose en pares de ecuaciones lineales en dos variables.
HS
Resolver algebraica y gráficamente un sistema sencillo formado por una ecuación lineal y una ecuación cuadrática en dos variables.
HS
Comprender que la gráfica de una ecuación en dos variables es el conjunto de todas sus soluciones trazadas en el plano de coordenadas, a menudo al formar una curva (que puede ser una recta).
HS
Demostrar los criterios de pendiente de rectas paralelas y perpendiculares y usarlos para resolver problemas geométricos (por ejemplo, encontrar la ecuación de una recta paralela o perpendicular a una recta dada que pasa por un punto dado).
HS
Comparar propiedades de dos funciones representadas cada una de una manera diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas, o por descripciones verbales).
HS
Crear ecuaciones en dos o más variables para representar relaciones entre cantidades; graficar ecuaciones en ejes de coordenadas con etiquetas y escalas.
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GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA MONITOREAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA La guía de instrucción andamiada se proporciona para que los maestros puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones del alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que ayuda a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de la evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos según los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere que todos los estudiantes experimenten con los elementos: «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades», ya que cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar. 0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
80 % - 100 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil pueden trabajar en contenido de nivel de grado con apoyos de instrucción.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» individual para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 2. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante de acuerdo con sus datos de evaluación. 3. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la sección «Scaffolded Instruction Guide» en el menú desplegable «Home» del alcance. 4. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Operaciones y Pensamiento algebraico Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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299
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GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
7 - Relaciones proporcionales Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Razón de cambio constante Práctica interactiva • Criadero de huevos de dragón
(Refuerzo del grado anterior)
Usa triángulos similares para explicar por qué la pendiente m es la misma entre dos puntos distintos en una línea no vertical en el plano de coordenadas; deriva la ecuación y = mx para una línea que pasa por el origen y la ecuación y = mx + b para una línea que intercepta el eje vertical en b.
0 % - 25 %
(Refuerzo del grado anterior)
0 % - 25 %
Gráficar Relaciones proporcionales, al interpretar la tasa unitaria como la pendiente de la gráfica. Comparar dos relaciones proporcionales diferentes representadas de formas distintas. Por ejemplo, comparar una gráfica distancia-tiempo con una ecuación distancia-tiempo para determinar cuál de dos objetos en movimiento tiene mayor velocidad.
• Revisión rápida (pregunta 1, 2, 5) • Repaso (sección comparar relaciones proporcionales en diferentes formas, sección comparar relaciones proporcionales en gráficas sin números) • Revisión general (preguntas 1, 2, 5, 6, 8,10)
Libreta interactiva Práctica interactiva
Práctica interactiva • Criadero de huevos de dragón
8 - Relaciones proporcionales Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (preguntas 3, 4) • Repaso (sección triángulos similares, sección pendiente) • Revisión general (preguntas 3-4,7, 9)
Vocabulario Interactivo
• Prueba de rapidez del robot
(Nivel de grado)
Vocabulario interactivo
• Razón de cambio constante
Vocabulario ilustrado
50 % - 80 %
(Nivel de grado)
Vocabulario ilustrado
Constructor de fluidez
8 - Relaciones proporcionales
8 - Relaciones proporcionales 50 % - 80 %
(Nivel de grado con apoyos)
Acceso a conocimientos previos 25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyos)
25 % - 50 %
8 - Relaciones proporcionales
Repaso y práctica de habilidades
Repaso y práctica de habilidades
Prueba de habilidades
Prueba de habilidades
Constructor de bases fundamentales
7 - Relaciones proporcionales
Libreta interactiva Constructor de fluidez • Representar relaciones proporcionales • Tasa de cambio y pendiente Práctica interactiva • Prueba de rapidez del robot
Ciencia de datos Conexiones lingüísticas
Ciencia de datos
Tarea de representación matemática ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
300
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(Ampliación del nivel de grado)
8 - Relaciones proporcionales
80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
80 % - 100 %
Conexiones lingüísticas
8 - Relaciones proporcionales Tarea de representación matemática Tablero de opciones
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GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES Proportional Relationships
ATRAER: ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS EVALUAR PREVIAMENTE EL CONOCIMIENTO DEL ESTUDIANTE
Match around the Room – Card 1
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: PAREO ALREDEDOR DEL AULA
y = 5x
ESTÁNDAR PREVIO Reconocer y representar relaciones proporcionales entre cantidades. 1
Proportional Relationships
Match around the Room – Card B
Los estudiantes emparejarán tarjetas numeradas con tarjetas con letras colocadas alrededor del aula para demostrar su conocimiento del estándar previo. Este elemento está diseñado para descubrir los conceptos erróneos de los estudiantes; no debe tomarse para una calificación.
MATERIALES IMPRESO
x=7 y = 35
• 1 conjunto de tarjetas de pareo alrededor del aula (por clase)
PREPARACIÓN
• Imprima un conjunto de tarjetas de pareo alrededor del aula. • Cuélguelas en orden aleatorio por el aula.
5
PAREO ALREDEDOR DEL AULA
DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Pida a los estudiantes que escriban los números 1, 2 y 3 en una hoja de papel. 2. Pida a los estudiantes que caminen por el aula con sus papeles. A medida que los estudiantes caminan por el aula, deben ver las tarjetas numeradas y emparejarlas con las tarjetas con letras. 3. Permita que los estudiantes compartan su pensamiento con sus compañeros de al lado. a.
La tarjeta 1 coincide con la tarjeta B.
b.
La tarjeta 2 coincide con la tarjeta C.
c.
La tarjeta 3 coincide con la tarjeta A.
4. Si los estudiantes tienen dificultades para completar esta tarea, continúe con el «Constructor de bases fundamentales» con el fin de llenar este vacío en el conocimiento previo antes de pasar a otras partes del alcance.
IDENTIFICAR CONCEPTOS ERRÓNEOS
• Los estudiantes pueden tener dificultades para determinar la tasa unitaria con el fin de encontrar si dos razones son proporcionales. • Es posible que los estudiantes no recuerden todas las formas de leer proporciones, como el uso de las palabras por y para cada, y es posible que los estudiantes no recuerden todas las formas de escribir proporciones, incluido el uso de los dos puntos (:) y los símbolos de barra (/).
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301
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GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
ATRAER: CAPTAR INTERÉS
Proportional Relationships
Easy as Pizza Pie
LECCIÓN MOTIVADORA
CAPTAR INTERÉS
Mama Mia’s Pizzeria
DESCRIPCIÓN
Number of Pizzas
Los estudiantes determinan la pendiente y la tasa unitaria de un gráfico y una tabla con diferentes datos para determinar el mejor acuerdo.
MATERIALES
Price ($)
0
0
2
14
4
28
6
42
8
56
10
70
IMPRESO
1
• 1 tan fácil como comer pizza (por clase) TAN FÁCIL COMO COMER PIZZA
REUTILIZABLE • 1 fenómenos (por clase)
PREPARACIÓN
• Planifique mostrar los fenómenos.
• Prepárese para proyectar «Tan fácil como comer pizza» para que toda la clase lo vea. • Prepárese para presentar el escenario y aliente a los estudiantes a pensar cómo resolverlo. Prepárese para pasar a las actividades «Explorar», al volver a la actividad «Captar interés» con los nuevos conocimientos adquiridos una vez finalizadas las «Exploraciones».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA 1. Presente esta actividad hacia el principio del alcance. La clase retomará la actividad y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades correspondientes a «Explorar». 2. Muestre los fenómenos. Formule a los estudiantes las siguientes preguntas: «¿Qué observas? ¿Dónde puedes ver matemáticas en esta situación?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. 3. Explique el escenario a la clase: «El Sr. Rodgers y la Sra. Tao planean la fiesta de fin de año para el club de servicio de la Escuela Secundaria Johnson. Quieren hacer una fiesta de pizzas, pero tienen un presupuesto limitado, así que quieren encontrar la mejor oferta en pizzas. El Sr. Rodgers investigó los precios en La Casa de la Pizza y los representó con un gráfico lineal. La Sra. Tao investigó los precios en La Pizzería Mamma Mia y los representó en una tabla. "¿Qué lugar tiene la mejor oferta para comprar una docena de pizzas?"». 4. Permita que los estudiantes hagan preguntas y aclaren el contexto según sea necesario. Anímelos a que compartan sus ideas y experiencias con la clase al usar las siguientes preguntas:
PARTE II: DESPUÉS DE EXPLORAR 1. Después de que los estudiantes hayan completado las actividades «Explorar» para este tema, muestre los fenómenos nuevamente y repita el escenario. 2. Refiérase a la diapositiva «Tan fácil como comer pizza» y comente las siguientes preguntas con la clase: a.
DOK-1 «¿Qué es una tasa unitaria?». La razón de uno de algo. Esto significa que cuando una razón se escribe como una fracción, 1 es el denominador.
b.
DOK-1 «¿Se pueden comparar los datos de una gráfica lineal con los datos de una tabla de datos?». Sí
c.
DOK-1 «¿Qué es la pendiente?». La pendiente es la relación entre la distancia vertical y la distancia horizontal entre dos puntos cualesquiera. A veces se describe como «ascenso sobre recorrido».
d.
DOK-2 «¿Cuál es la pendiente de la gráfica de La Casa de la Pizza?». Explica tu trabajo. La pendiente es 6. Usé dos puntos en la gráfica (0, 0) y (5, 30) para determinar la Ascenso
e.
30
6
DOK-2 «¿Cuál es la pendiente de la tabla de datos de La Pizzería Mamma Mia?» Explica tu trabajo. La pendiente es 7. Utilicé dos puntos de la tabla (0, 0) y (4, 28) para determinar Ascenso
f.
0
pendiente de la gráfica. _________ recorrido = 30 - __ 5 - 0 = ___ 5 = __ 1 = 6.
0
28
7
la pendiente. _________ recorrido = 28 - __ 4 - 0 = ___ 4 = __1 = 7.
DOK-1 En este problema «¿qué representa la pendiente?». Representa la tasa unitaria, que representa el costo de una pizza.
g.
DOK-1 «¿Cuál es la tasa unitaria de una pizza de La Casa de la Pizza?». $6
a.
«¿En qué has comprado y comparado precios?».
h.
b.
Cuando comprabas y comparabas precios, «¿qué cosas tenías que tener en cuenta?».
DOK-1 «¿Cuál es la tasa unitaria de una pizza de La Pizzería Mamma Mia?». $7
i.
c.
«¿Cómo crees que habrías registrado los datos: en forma de tabla o de gráfico?». Explícalo.
DOK-1 «¿Qué lugar tiene la mejor oferta para comprar pizza?». La Casa de la Pizza
j.
DOK-2 «¿Cuánto dinero se ahorrarán los maestros si compran 12 pizzas en La Casa de la Pizza en lugar de en la Pizzería Mama Mia?». Explica tu razonamiento. 12 pizzas de La Casa de la Pizza costarían $72. 12 pizzas de La Pizzería Mamma Mia costarían $84. Los maestros ahorrarán $12 porque $84 - $72 = $12.
5. Proyecto «Tan fácil como comer pizza». 6. Explica a los estudiantes que tanto el gráfico como la tabla muestran relaciones lineales. Pueden comparar la tasa unitaria de una pizza al hallar la pendiente. Comente las siguientes preguntas con la clase: a.
DOK-1 «¿Qué es una tasa unitaria?». La razón de uno de algo. Esto significa que cuando una razón se escribe como una fracción, 1 es el denominador.
b.
DOK-1 «¿Se pueden comparar los datos de una gráfica lineal con los datos de una tabla de datos?». Sí
3. Si dispone de tiempo, pida a los estudiantes que creen un gráfico y una tabla para dos cadenas de pizzas locales. «¿Cuál sería el mejor lugar de su ciudad para comprar 12 pizzas?».
7. Pase a completar las actividades de «Explorar». 302
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GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 1: GRÁFICAR RELACIONES PROPORCIONALES Estándar(es) • Comprender las conexiones entre las relaciones proporcionales, las rectas y las ecuaciones lineales. Graficar relaciones proporcionales, al interpretar la tasa unitaria como la pendiente de la gráfica. Comparar dos relaciones proporcionales diferentes representadas de diferentes maneras. Por ejemplo, comparar una gráfica distancia-tiempo con una ecuación distancia-tiempo para determinar cuál de dos objetos en movimiento tiene mayor velocidad. Ideas fundamentales
Estándares para la práctica matemática
Interpretar gráficas de dispersión
MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente.
Datos, gráficas y tablas
MP.4 Representar con matemáticas.
Exploraciones de datos Ecuaciones lineales Representaciones múltiples de funciones
Conexiones de contenido
Motores de investigación
CC1 Razonar con datos
DI1 Dar sentido al mundo: Comprender y explicar
CC2 Explorar cantidades cambiantes
DI2 Predecir lo que podría ocurrir: Predecir
MP.6 Atender a la precisión. MP.7 Buscar y usar estructuras.
Pendientes e intercepciones
DESCRIPCIÓN Los estudiantes grafican un conjunto de datos proporcionales dados en forma de tabla o ecuación. Los estudiantes determinan la tasa unitaria a partir del gráfico.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
• 1 boleto de salida (por estudiante)
1. Lea la siguiente situación a la clase: «Isabella y sus amigos planean un viaje a Nueva York. Han pensado en los costos de los vuelos, la comida, las excursiones, los recuerdos y el hotel. Todas sus investigaciones tienen precios diferentes para una determinada cantidad de personas. Ayude a Isabella y a sus amigos a averiguar cuánto cuesta para una persona y para todo el grupo».
• 1 conjunto de tarjetas de escenario de costos de viaje (por grupo)
2. Ayude a los estudiantes a acceder a la tarea planteándoles las siguientes preguntas guías:
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por estudiante)
REUTILIZABLE
• 1 bolsa resellable (por grupo)
PREPARACIÓN
• Planifique que los estudiantes trabajen en grupos de 3 o 4 para completar esta actividad. • Imprima un «Diario del estudiante» y un «Boleto de salida» para cada estudiante. • Imprima un conjunto de «Tarjetas de escenario de costos de viaje» para cada grupo. Recorte y coloque cada conjunto de tarjetas en una bolsa resellable. Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para usarlas en el futuro. • Para los estudiantes que necesiten más ayuda para recordar información, consulte nuestros elementos de «Ayudas suplementarias: Plano cartesiano del primer cuadrante» en la sección «Intervenir».
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a. «¿Qué sabes ya sobre la búsqueda de tasas unitarias?». b. Si pudieras planear un viaje con tus amigos, «¿a dónde irías y por qué?». 3. Entregue un «Diario del estudiante» a cada uno. 4. Entregue un conjunto de «Tarjetas de escenarios de costos de viaje» a cada grupo. 5. Explique a los estudiantes que colaborarán con sus grupos para representar gráficamente los datos de las ecuaciones y las tablas de las «Tarjetas de escenarios de costos de viaje». 6. Pida a los estudiantes que utilicen la información de las tarjetas para representar gráficamente las relaciones proporcionales representadas en las tablas o ecuaciones. A continuación, los estudiantes responderán a las preguntas en sus «Diario del estudiante».
303
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GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
Proportional Relationships Explore 1
Proportional Relationships Explore 1
Flight from NYC to Houston
Trip Planning
What is the unit rate?
Represent the situation in the graph below.
Part I 500 2
Use the Trip Costs Scenario Cards to create a graph that represents the situation in each table or equation. Next, use the graph to answer the questions.
What does the unit rate represent?
Flight from Houston to NYC Represent the situation in the graph below.
= 250
The cost of 1 ticket is $250.
What is the unit rate? 900 3
= 300
How much do five tickets cost? 250(5) = $1,250
What does the unit rate represent? The cost of 1 ticket is $300.
What is the value of y for the ordered pair (1, y)?
How much do four tickets cost?
Complete the table.
250
300(4) = $1,200 Number of Tickets
0
2
5
8
Cost ($)
0
500
1,250
2,000
What is the value of y for the ordered pair (1, y)? 300 Write an equation that represents the situation. y = 300x
1
2
Proportional Relationships Explore 1
Proportional Relationships Explore 1
Museum Tours
Hotel Represent the situation in the graph below.
What is the unit rate?
Represent the situation in the graph below.
What is the unit rate?
34 2
1,200 = 200 6
= 17
What does the unit rate represent?
What does the unit rate represent?
The cost of 1 night is $200.
The cost of 1 tour is $17.
How much do six nights cost?
How much do seven tours cost? 17(7) = $119
200(6) = $1,200 What is the value of y for the ordered pair (1, y)? 17 Complete the table.
What is the value of y for the ordered pair (1, y)? 200 Write an equation that represents the situation.
Number of Tours
0
2
4
7
Cost ($)
0
34
68
119
y = 200x
3
4
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
304
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1/9/26 1:57 PM
GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
Proportional Relationships Explore 1
Proportional Relationships Explore 1
Food Budget
Souvenir Budget
Represent the situation in the graph below.
What is the unit rate? 920 4
What is the unit rate?
Represent the situation in the graph below.
600 4
= 230
= 150
What does the unit rate represent?
What does the unit rate represent?
The cost of 1 traveler’s food budget is $230.
The cost of 1 traveler’s souvenir budget is $150.
What is the cost of the food budget for nine travelers?
What is the cost of the souvenir budget for seven travelers?
230(9) = $2,070
150(7) = $1,050 What is the value of y for the ordered pair (1, y)? 150 Complete the table.
What is the value of y for the ordered pair (1, y)? 230 Write an equation that represents the situation.
Number of Travelers
0
2
4
7
Cost ($)
0
300
600
1,050
y = 230x
5
6
Proportional Relationships Explore 1
Reflect 1.
How do you determine the y value when the point is not graphed on the line? y
First, find the unit rate, or constant of proportionality, k = x , from the points already on the graph and then multiply it times the number of tickets you are trying to purchase to get the y value that is not on the graph.
2.
What is a unit rate? How do you determine the unit rate from an equation? A unit rate is the rate of change in a relationship where the rate is per 1. The relationship y = kx represents the constant of proportionality.
3.
If you know the equation of a proportional relationship, how can you draw the graph of the equation? If the relationship between two quantities is a proportional relationship, this relationship can be represented by the graph of a straight line through the origin with a slope equal to the unit rate. For each point (x, y) on the graph, k is the unit rate.
7
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 305
305
1/9/26 1:57 PM
GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Proportional Relationships Explore 1
7. Supervise y hable con los estudiantes según sea necesario para comprobar la comprensión al usar las siguientes preguntas guías:
b. DOK-2 «¿Cómo representas relaciones proporcionales con ecuaciones?». Las respuestas de los estudiantes variarán. Una relación proporcional puede describirse mediante una ecuación de la forma y = kx, donde k es la constante de proporcionalidad. c. DOK-2 «¿Qué relaciones observas entre los números de la tabla?». Las respuestas de los estudiantes variarán. Los valores y de la fila inferior son 17 veces los valores x de la fila superior. 8. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar su trabajo y anotar sus observaciones y reflexiones en sus «Diario del estudiante». 9. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímelos a hacerse preguntas y establecer conexiones. Anime a los estudiantes a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias usadas para graficar una relación proporcional. 10. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Cómo se determina el valor de y cuando el punto no está graficado en la recta?». Primero, encuentra la tasa unitaria, o constante de proporcionalidad,
Isabella and her friends are planning to use the subway system to get around. The cost to buy a 7-day pass is shown in the equation y = 32x. Represent the situation using a graph, and answer the questions in the table. Subway Represent the situation in the graph below, and label it.
What is the unit rate? 96 3
= 32
What does the unit rate represent?
Cost ($)
a. DOK-2 «¿Cómo se crea un gráfico al usar una ecuación?». Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Primero, introduzco un valor x para calcular un valor y. una vez que obtengo el par ordenado (x, y), grafico el punto en el plano de coordenadas.
Trip Planning Exit Ticket
The cost of 1 seven-day pass is $32. How much do five 7-day passes cost? $160 Number of passes
What is the value of y for the ordered pair (1, y)? 32 Complete the table. Number of 7-Day Passes
0
2
4
9
Cost ($)
0
64
128
288 1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
DESPUÉS DE EXPLORAR 1. Haga que los estudiantes completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 2. Complete el «Esquema de anclaje» como clase. 3. Haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva».
y
• k = __ x , de los puntos que ya están en la gráfica y luego multiplica por la cantidad de boletos que tratas de comprar para obtener el valor y que no está en la gráfica. • DOK-2 «¿Qué es una tasa unitaria? ¿Cómo se determina la tasa unitaria a partir de una ecuación?». Una tasa unitaria es la tasa de cambio en una relación donde la tasa es por 1. La relación y = kx representa la constante de proporcionalidad. • Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: • DOK-2 Si conoces la ecuación de una relación proporcional, «¿cómo puedes dibujar la gráfica de la ecuación?». Si la relación entre dos cantidades es una relación proporcional, esta relación puede representarse mediante la gráfica de una línea recta que pasa por el origen con una pendiente igual a la tasa unitaria. Para cada punto (x, y) de la gráfica, k es la tasa unitaria. 306
SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 306
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1/9/26 1:57 PM
GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Proportional Relationships Part 1
APOYOS PEDAGÓGICOS Graph Proportional Relationships 1.
Describe the graph lines below that represent or do not represent a proportional relationship. Justify your choices.
1. Antes de la «Exploración», repase la representación gráfica en un plano de coordenadas dada una tabla, una ecuación y una descripción verbal. 2. Proporcione flexibilidad a los estudiantes que necesiten tareas reducidas al disminuir la cantidad de «Tarjetas de escenario de costos de viaje» que deben completar. 3. Pida a los estudiantes que comenten qué representación les resulta más fácil de usar para encontrar la tasa unitaria y cuál es más fácil de usar para encontrar la intersección y. 4. Si los estudiantes están listos para un desafío adicional, anímelos a crear su propia tarjeta de escenario para intercambiarla con un compañero de clase.
Graph A Although the graph line passes through the origin, it is NOT a proportional relationship because the graph line is curved. Graph B The graph line passes through the origin and is a straight line. This IS a proportional relationship. Graph C Although the graph line is straight, it does NOT pass through the origin. This is NOT a proportional relationship.
APOYOS LINGÜÍSTICOS
Graph D Although the graph line passes through the origin, the graph line is not a straight line. This is NOT a proportional relationship.
1
Proportional Relationships Part 1
2. Number of Hot Dogs
2
4
6
8
10
Cost ($)
6
12
18
24
30
3.
a.
Graph the data given in the table, and label each ordered pair.
b.
Label your axes.
c.
What is the constant of proportionality (unit rate)? y = kx k = unit rate = slope = rise/run = 6 or 2 k=3 One hot dog costs $3.
Pida a los estudiantes que se turnen para leer las tarjetas de escenario de costos de viaje dentro de sus grupos. Los estudiantes que no lean en voz alta deben seguir la lectura. Los estudiantes se comprobarán mutuamente la comprensión después de leer la tarjeta al hacer que el estudiante situado a la izquierda del lector repita la información dada antes de que el grupo comience a trabajar en el problema. Invite a los estudiantes a presentar sus resultados para una de las tarjetas de hipótesis de gastos de viaje a todo el grupo y a explicar verbalmente los pasos a seguir para determinar qué tarjetas usar y cómo convertir las medidas. Como actividad posterior a la clase, guíe a los estudiantes para que completen el vocabulario interactivo que se encuentra en la sección «Explicar» para el vocabulario nuevo. Proporcione a los estudiantes la definición y anímelos a reescribirla con sus propias palabras.
3 1
The length of the stretch (in millimeters) of a spring is proportional to the weight (in grams) attached to the end of the spring, as shown in the graph. a.
Label each point given with the ordered pair.
10
5
b.
What is the unit rate? Rise/run = 2 = 1 For every 1 gram, the spring stretches 5
c.
What are the coordinates of that point?
mm. (1, 5) d.
Explain what the point that you plotted means in this context of this problem. This coordinate represents the constant rate of change in the length of the stretched spring for each 1 gram of weight. 2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS
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307
1/9/26 1:57 PM
GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 2: COMPARA RELACIONES PROPORCIONALES Estándar(es) • Comprender las conexiones entre las relaciones proporcionales, las rectas y las ecuaciones lineales. Graficar relaciones proporcionales, al interpretar la tasa unitaria como la pendiente de la gráfica. Comparar dos relaciones proporcionales diferentes representadas de diferentes maneras. Por ejemplo, comparar una gráfica distancia-tiempo con una ecuación distancia-tiempo para determinar cuál de dos objetos en movimiento tiene mayor velocidad. Estándares para la práctica matemática
Ideas fundamentales Interpretar gráficas de dispersión
MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente.
Datos, gráficas y tablas
MP.4 Representar con matemáticas.
Exploraciones de datos Ecuaciones lineales Representaciones múltiples de funciones
Conexiones de contenido CC1 Razonar con datos CC2 Explorar cantidades cambiantes
Motores de investigación DI1 Dar sentido al mundo: Comprender y explicar DI2 Predecir lo que podría ocurrir: Predecir
MP.5 Usar herramientas apropiadas estratégicamente. MP.6 Atender a la precisión.
Pendientes e intercepciones
DESCRIPCIÓN Los estudiantes comparan relaciones proporcionales mostradas en gráficos, tablas y ecuaciones.
MATERIALES IMPRESO • 1 diario del estudiante (por estudiante) • 1 boleto de salida (por estudiante) • 1 conjunto de tarjetas de precios de vuelos por estación (por grupo) • 1 conjunto de tarjetas de precios de vuelos por día (por grupo) REUTILIZABLE • 2 bolsas resellables (por grupo)
PREPARACIÓN
• Planifique que los estudiantes trabajen en grupos de 3 o 4 para completar esta actividad. • Imprima un «Diario del estudiante» y un «Boleto de salida» para cada estudiante. • Imprima un conjunto de «Tarjetas de precios de vuelos por estación» para cada grupo. Recorte las tarjetas y coloque cada juego en una bolsa resellable con la etiqueta «Parte I». Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para usarlas en el futuro. • Imprima un conjunto de «Tarjetas de precios de vuelos por día» para cada grupo. Recorte las tarjetas y coloque cada juego en una bolsa resellable con la etiqueta «Parte II». Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para usarlas en el futuro.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: COMPARAR RELACIONES PROPORCIONALES EN GRÁFICAS 1. Lea la siguiente situación a la clase: «Isabella y sus amigos intentan averiguar en qué estación del año pueden volar a Nueva York. Quieren volar cuando los precios de los vuelos sean más baratos. Al usar los gráficos de las tarjetas, ayude a Isabella y a sus amigos a determinar qué estación del año es la más cara y qué estación del año es la más barata para volar a la ciudad de Nueva York». 2. Ayude a los estudiantes a acceder a la tarea planteándoles las siguientes preguntas guías: a.
«¿Qué sabes ya sobre los gráficos de ecuaciones?».
b.
Si pudieras planear un viaje a la ciudad de Nueva York, «¿cuándo te gustaría ir?».
3. Entregue un «Diario del estudiante» a cada uno. 4. Entregue un conjunto de «Tarjetas de precios de vuelos» según la estación del año a cada grupo. 5. Explique a los estudiantes que analizarán cada gráfico de las tarjetas, ayudarán a Isabella y a sus amigos a comparar los costos de los vuelos de Houston a Nueva York y determinarán la mejor estación del año para volar a Nueva York. 6. Pida a los estudiantes que comparen los gráficos de las «Tarjetas de precios de vuelos» por estación para determinar las estaciones que tienen los precios más altos y que utilicen los gráficos para determinar la ecuación y la tasa unitaria que representa cada gráfico.
• Para los estudiantes que necesiten más ayuda para recordar información, consulta nuestros elementos de «Ayudas suplementarios: Plano cartesiano del primer cuadrante» en la sección «Intervenir».
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GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2
7. Supervise y hable con los estudiantes según sea necesario para comprobar la comprensión al usar las siguientes preguntas guías: a.
DOK-2 «¿En qué se diferencia cada gráfica?». Las respuestas de los estudiantes variarán. Cada gráfica tiene un nivel diferente de inclinación.
b.
DOK-2 «¿En qué se parece cada gráfica?». Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Cada gráfica pasa por el origen y representa una relación proporcional.
c.
DOK-2 «¿Cómo determinas la pendiente a partir de la gráfica?». Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Puedo encontrar los puntos en la gráfica y encontrar la tasa unitaria basándome en esos puntos.
8. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la parte I de sus «Diario del estudiante» y las preguntas de reflexión. 9. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímelos a que se hagan preguntas entre ellos y establezcan conexiones. Anime a los estudiantes a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias usadas para comparar relaciones proporcionales. 10. Después de la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS • Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: • DOK-2 Describe lo que significa cuando una gráfica tiene una pendiente mayor. La recta es más empinada cuando la pendiente de la recta es mayor, lo que también significa que el precio del boleto de avión aumentó. • DOK-2 Sin referirte a la gráfica, «¿cómo sabes que el punto (1, r) está en la gráfica?». El punto (1, r) está en cualquier gráfica de una relación proporcional donde r es igual a la tasa unitaria. Para cada gráfica, el costo de 1 boleto de avión es r. PARTE II: COMPARAR RELACIONES PROPORCIONALES EN DIFERENTES FORMAS 1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Isabella y sus amigos deciden volar a Nueva York durante la estación más barata. También quieren determinar qué día es el más barato para volar. Al usar ecuaciones, gráficas y tablas, ayude a Isabella y a sus amigos a averiguar qué día volar». 2. Ayude a los estudiantes a acceder a la tarea al formular las siguientes preguntas guías: a.
«¿Qué recuerdan sobre la comparación de gráficas de ecuaciones?».
b.
Si pudieran planificar un viaje a la ciudad de Nueva York, «¿en qué criterios se basarían para elegir la época?».
3. Entregue un conjunto de «Tarjetas de precios de vuelos» por día a cada grupo. 4. Explique a los estudiantes que van a observar gráficas, ecuaciones y tablas para identificar la pendiente.
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5. Pida a los estudiantes que encuentren la razón de cambio en cada tabla, ecuación y gráfica. Supervise y hable con los estudiantes según sea necesario para comprobar la comprensión al usar las siguientes preguntas guías: a.
DOK-1 «¿Cuántos puntos necesitas comprobar para determinar que las tasas unitarias son las mismas en cada tabla?». Necesito comprobar al menos 2 puntos.
b.
DOK-2 «¿Cómo se determina la tasa de cambio a partir de una ecuación?». Utilizo el coeficiente de x como tasa de cambio.
6. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar su trabajo y anotar sus observaciones y reflexiones en sus «Diario del estudiante». 7. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímelos a hacerse preguntas y establecer conexiones. Anime a los estudiantes a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias usadas para comparar relaciones proporcionales. 8. Después de la parte II, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-2 Describe los métodos que puedes usar para mostrar una relación proporcional entre dos variables, x y y, para representar la tasa unitaria y la pendiente. Si una ecuación puede escribirse como y = kx, entonces k es la tasa unitaria y la pendiente. Cuando la gráfica de una recta pasa por el origen, entonces el valor de r en el punto (1, r) es la tasa unitaria y la pendiente. • Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: • DOK-2 Si tuvieras que graficar una recta que representara el costo de los boletos de avión un sábado unos días antes de un día festivo, «¿la pendiente de la recta sería menos empinada o más empinada?». Explique.La pendiente de la recta sería más empinada porque el costo de los boletos de avión es más alto los sábados y es aún más alto antes de los días festivos.
DESPUÉS DE EXPLORAR 1. Haga que los estudiantes completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 2. Complete el «Esquema de anclaje» como clase. 3. Haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva».
APOYO PEDAGÓGICO 1. Antes de la «Exploración», revise cómo encontrar la pendiente cuando se dan tablas y ecuaciones. 2. Proporcione flexibilidad a los estudiantes que necesiten tareas reducidas al disminuir la cantidad de «Tarjetas de precios de vuelos» por estación que deben completar en la parte I y/o la cantidad de «Tarjetas de precios de vuelos por día» en la parte II. 3. Anime a los estudiantes a trabajar juntos para enfatizar la importancia de tomar riesgos y cometer errores en el proceso de aprendizaje. 4. Si los estudiantes están listos para un reto extra, anímelos a crear sus propias ecuaciones que tengan el costo más barato para un vuelo cuando se comparan con todas las otras tarjetas de temporada. 309
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GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2
Proportional Relationships Explore 2
New York in the Spring and Winter
Flight to New York City
How can the slope be interpreted as the unit rate for the cost of plane tickets in the spring?
Part I
Use the Flight Prices by Season Cards to compare the flight prices by season. Answer the questions in the table.
Slope:
New York in the Fall and Summer How can the slope be interpreted as the unit rate for the cost of plane tickets in the fall? Slope:
Change in y Change in x
=
180 = 90 2
Unit rate: The cost for 1 plane ticket during the fall is $90.
What equation can be used to represent the situation on the graph for the fall?
How can the slope be interpreted as the unit rate for the cost of plane tickets in the summer? Slope:
Change in y 300 = = 300 1 Change in x
Unit rate: The cost for 1 plane ticket during the summer is $300.
What equation can be used to represent the situation on the graph for the summer?
y = 90x
How much does it cost to purchase 7 plane tickets in the fall?
90(7) = $630
1.
Proportional Relationships Explore 2
Change in y Change in x
= 250 = 125 2
How can the slope be interpreted as the unit rate for the cost of plane tickets in the winter? Slope:
Change in y = 200 = 200 1 Change in x
Unit rate: The cost for 1 plane ticket during the spring is $125.
Unit rate: The cost for 1 plane ticket during the winter is $200.
What equation can be used to represent the situation on the graph for the spring?
What equation can be used to represent the situation on the graph for the winter?
y = 125x
y = 200x
How much does it cost to purchase 7 plane tickets in the spring?
y = 300x
How much does it cost to purchase 7 plane tickets in the winter?
125(7) = $875
200(7) = $1,400
How much does it cost to purchase 7 plane tickets in the summer?
300(7) = $2,100
1
2
Proportional Relationships Explore 2
Proportional Relationships Explore 2
Which season offers the best price for plane tickets when flying from Houston to New York? The fall season offers the best price for plane tickets.
Part II
Use the Flight Prices by Day Cards to compare the prices of plane tickets, and determine the slope that is represented in each situation. New York on a Monday or Wednesday
2.
If you are on a limited budget, which season should you avoid flying from Houston to New York?
How can the slope be interpreted as the unit rate for the cost of plane tickets to fly on a Monday?
The summer season offers the most expensive prices for plane tickets, so you should avoid traveling during the summer if you are on a limited budget.
Slope:
Reflect
1.
=
334 = 167 2
Slope:
Change in y 240 = = 120 2 Change in x
Unit rate: The cost for 1 plane ticket to fly on a Monday is $167.
Unit rate: The cost for 1 plane ticket to fly on a Wednesday is $120.
How much does it cost to purchase 8 plane tickets to fly on a Monday?
How much does it cost to purchase 8 plane tickets to fly on a Wednesday?
Describe what it means when a graph has a greater slope. The line is steeper when the slope of the line is greater, which also means the price of the plane ticket is increasing.
2.
Change in y Change in x
How can the slope be interpreted as the unit rate for the cost of plane tickets to fly on a Wednesday?
167(8) = $1,336
Without referring to the graph, how do you know that the point (1, r) is on the graph?
120(8) = $960
The point (1, r) is on any graph of a proportional relationship, where r equals the unit rate. For each graph, the cost for 1 plane ticket is r.
Compare the unit rates for both days using <, >, or =. Cost of plane tickets to fly on a Monday > Cost of plane tickets to fly on a Wednesday
3
4
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GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2
Proportional Relationships Explore 2
Proportional Relationships Explore 2
New York on a Tuesday or Friday How can the slope be interpreted as the unit rate for the cost of plane tickets to fly on a Tuesday? Slope:
Change in y Change in x
=
137 = 137 1
New York on a Thursday or Saturday
How can the slope be interpreted as the unit rate for the cost of plane tickets to fly on a Friday? Slope:
Change in y Change in x
=
How can the slope be interpreted as the unit rate for the cost of plane tickets to fly on a Thursday?
180 = 180 1
Slope:
Change in y Change in x
=
488 = 244 2
How can the slope be interpreted as the unit rate for the cost of plane tickets to fly on a Saturday? Slope:
Change in y Change in x
=
300 = 300 1
Unit rate: The cost for 1 plane ticket to fly on a Tuesday is $137.
Unit rate: The cost for 1 plane ticket to fly on a Friday is $180.
Unit rate: The cost for 1 plane ticket to fly on a Thursday is $244.
Unit rate: The cost for 1 plane ticket to fly on a Saturday is $300.
How much does it cost to purchase 8 plane tickets to fly on a Tuesday?
How much does it cost to purchase 8 plane tickets to fly on a Friday?
How much does it cost to purchase 8 plane tickets to fly on a Thursday?
How much does it cost to purchase 8 plane tickets to fly on a Saturday?
137(8) = $1,096
180(8) = $1,440
244(8) = $1,952
Compare the unit rates for both days using <, >, or =.
300(8) = $2,400
Compare the unit rates for both days using <, >, or =.
Cost of plane tickets to fly on a Tuesday < cost of plane tickets to fly on a Friday
Cost of plane tickets to fly on a Thursday < cost of plane tickets to fly on a Saturday
5
6
Proportional Relationships Explore 2
Reflect 1.
Describe methods you can use to show a proportional relationship between two variables, x and y, to represent unit rate and slope. In a table of values, the ratio of y to x gives the unit rate and slope. If an equation can be written as y = kx, then k is the unit rate and the slope. When the graph of a line passes through the origin, then the value of r at the point (1, r) is the unit rate and the slope.
2.
If you were to graph a line that represented the cost of plane tickets to fly on a Saturday a few days before a holiday, would the slope of the line be less steep or more steep? Explain. The slope of the line would be more steep because the cost of plane tickets is the highest on Saturday and is even higher before holidays.
7
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GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Proportional Relationships Part 2
APOYOS LINGÜÍSTICOS Pida a los estudiantes que lean por turnos las tarjetas de precios de vuelos por días dentro de sus grupos. Los estudiantes que no lean en voz alta deben seguir la lectura. Una vez leída la tarjeta, los estudiantes comprobarán su comprensión al hacer que el estudiante situado a la izquierda del lector repita la información antes de que el grupo empiece a trabajar en el problema.
Compare Proportional Relationships 1.
Bobby and Mario are painting different areas of a long fence. The graph below represents the rate at which Bobby paints his part of the fence. The table below shows the area of square feet Mario painted for each given amount of time. Who paints faster? Show your work, and justify your answer.
Mario’s Data
Invite a los estudiantes a presentar sus resultados para una de las tarjetas de estación a todo el grupo y a explicar verbalmente qué pasos siguieron para determinar qué tarjetas usar y cómo convertir las medidas.
Area Painted (sq. ft.)
Time (min.)
18.75
5
Proporcione una estructura de oración para aclarar que el término gráfico puede usarse como verbo y como sustantivo. • Grafiqué la línea ______ (ecuación) para crear el gráfico. Proyecte las preguntas de la «Charla de matemáticas». Forme parejas de estudiantes y pídales que se turnen para entrevistarse. Reta a los estudiantes a responder con el uso de las palabras del vocabulario matemático utilizado durante la exploración.
30
8
45
12
75
20
Workspace: k = unit rate = slope = rise/run k = 30 = 3.75 8
Workspace: k = unit rate = slope = rise/run
k=
4 k= =4 1
75 20
= 3.75
Slope: 3.75 Equation: y = 3.75x
Slope: 4 Equation: y = 4x
______Bobby______ paints faster because a unit rate of 4 square feet per minute is greater than Mario’s 3.75 square feet per minute. 1
Proportional Relationships Explore 2
Proportional Relationships Part 2
2.
Flight to New York City Exit Ticket
Explain which graph, A or B, shows a greater rate of saving money each week. Justify your answer. Graph A
Graph B
Isabella and her friends are looking for the cheapest flight back to Houston. Determine the slope of each graph and table to find the cheapest flight. Flight 1
Flight 2 Number of Tickets
Price ($)
0
0
2
522
4
1,044
6
1,566
Both graphs started with $0 in savings. However, graph B shows a greater rate of saving money per week because– a. b.
Flights to New York How can the slope be interpreted as the unit rate for the cost of plane tickets on Flight 1?
How can the slope be interpreted as the unit rate for the cost of plane tickets on Flight 2?
Slope: Change in y = Change in x
Slope: Change in y = Change in x
200 = 200 1
Unit rate: The cost for 1 plane ticket on Flight 2 is $261.
How much does it cost to purchase 9 plane tickets on Flight 1?
How much does it cost to purchase 9 plane tickets on Flight 2?
200(9) = $1,800
graph B slope (by the 4th week) = c.
522 = 261 2
Unit rate: The cost for 1 plane ticket on Flight 1 is $200.
the slope is steeper on graph B than the slope on graph A. slope = ratio of y/x or rise/run. 48 graph A slope (by the 4th week) = 4 = 12. 62 = 15.5. 4
the equation for graph A is y = 12x. the equation for graph B is y = 15.5x. Graph B shows a greater rate of saving money at $15.50 per week, more than that of graph A at $12.00 per week.
261(9) = $2,349
Compare the unit rates for both days using <, >, or =. Cost of plane tickets on Flight 1 < cost of plane tickets on Flight 2
3.
What is the slope of a vertical line? There is no slope with a vertical line.
4.
What is the slope of a horizontal line? Slope is 0.
5.
What type of slope is positive? Upward slanted line
6.
What type of slope is negative? Downward slanted line 2
1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
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MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 2) CLAVE DE RESPUESTAS ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 3: TRIÁNGULOS SIMILARES ESTÁNDAR(ES) • Comprender las conexiones entre las relaciones proporcionales, las rectas y las ecuaciones lineales. Graficar relaciones proporcionales, al interpretar la tasa unitaria como la pendiente de la gráfica. Comparar dos relaciones proporcionales diferentes representadas de diferentes maneras. Por ejemplo, comparar una gráfica distanciatiempo con una ecuación distancia-tiempo para determinar cuál de dos objetos en movimiento tiene mayor velocidad. • Comprender las conexiones entre relaciones proporcionales, líneas y ecuaciones lineales. Usa triángulos similares para explicar por qué la pendiente m es la misma entre dos puntos distintos en una línea no vertical en el plano de coordenadas; deriva la ecuación y = mx para una línea que pasa por el origen y la ecuación y = mx + b para una línea que intercepta el eje vertical en b. Ideas fundamentales
Estándares para la práctica matemática
Interpretar gráficas de dispersión
MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente.
Datos, gráficas y tablas
MP.4 Representar con matemáticas.
Exploraciones de datos Ecuaciones lineales Representaciones múltiples de funciones
Conexiones de contenido
Motores de investigación
CC1 Razonar con datos
DI1 Dar sentido al mundo: Comprender y explicar
CC2 Explorar cantidades cambiantes
DI2 Predecir lo que podría ocurrir: Predecir
MP.6 Atender a la precisión. MP.7 Buscar y usar estructuras.
Pendientes e intercepciones
DESCRIPCIÓN Los estudiantes usarán triángulos similares para explicar la pendiente de las rectas.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por estudiante) • 1 boleto de salida (por estudiante) • 1 conjunto de tarjetas de triángulos similares (por grupo)
PREPARACIÓN
• Separe la clase en grupos de 3 o 4 para completar esta actividad. • Imprima un «Diario del estudiante» y un «Boleto de salida» para cada estudiante. • Imprima un conjunto de «Tarjetas de triángulos similares» para cada grupo. Recorte y coloque cada conjunto de tarjetas en una bolsa resellable. Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para usarlas en el futuro.
REUTILIZABLE
• 1 bolsa resellable (por grupo)
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GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Proportional Relationships Explore 3
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Lea la siguiente situación: «Isabella y sus amigos registran la cantidad de dinero que se gasta en transporte público en Nueva York. Registrarán la información en gráficos. Ayuda a Isabella y a sus amigos a averiguar cuánto dinero se gasta en transporte público». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada uno. 3. Entregue un conjunto de «Tarjetas de triángulos similares» a cada grupo. 4. Explique a los estudiantes que colaborarán con sus grupos sobre cómo usar triángulos similares para comprender por qué la pendiente, m, es la misma entre dos puntos cualesquiera. 5. Pida a los estudiantes que utilicen la información de las «Tarjetas de triángulos similares» para hallar la relación entre la longitud del lado vertical y la longitud del lado horizontal. También determinarán si la pendiente es positiva o negativa. 6. Supervise y evalúe a los estudiantes mientras trabajan haciéndoles las siguientes preguntas guías:
Similar Triangles Use the Similar Triangles Cards to determine the slope of the line, and then use similar triangles to justify that the slope is the same between any two points. Identify the slope as positive or negative. Card 1 Find the ratio of the length of the vertical side to the length of the horizontal side for △ABC and △WXY. Triangle ABC Vertical side Horizontal side
Triangle WXY Vertical side Horizontal side
4 3
=
7. Permita a los estudiantes suficiente tiempo para completar su trabajo y registrar sus observaciones y reflexiones en sus «Diario del estudiante».
8 6
=
4 3
Does this slope represent a positive or negative slope? Positive slope
Card 2 Find the ratio of the length of the vertical side to the length of the horizontal side for △JKL and △MNP. Triangle JKL Vertical side Horizontal side
Triangle MNP =–
4 = –2 2
Vertical side Horizontal side
=–
2 = –2 1
Does this slope represent a positive or negative slope? Negative slope
a. DOK-2 «¿Qué representan las proporciones del lado vertical y el lado horizontal?». Las respuestas de los estudiantes variarán. Las razones representan la pendiente, que es la razón entre la cantidad de unidades que representan el lado vertical del triángulo y la cantidad de unidades que representan el lado horizontal entre dos puntos cualesquiera. b. DOK-2 «¿Qué método puedes usar para encontrar la pendiente?». Las respuestas de los estudiantes variarán. Puedo usar la fórmula m = lado vertical / lado horizontal.
=
1
Proportional Relationships Explore 3
Card 3 Find the ratio of the length of the vertical side to the length of the horizontal side for △DEF and △PQR. Triangle DEF Vertical side Horizontal side
Triangle PQR =–
6 = –3 2
Vertical side Horizontal side
=–
3 = –3 1
Does this slope represent a positive or negative slope?
8. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
Negative slope
Card 4 Find the ratio of the length of the vertical side to the length of the horizontal side for △CDE and △ABC. Triangle CDE Vertical side Horizontal side
Triangle ABC =
6 8
=
3 4
Vertical side Horizontal side
=
3 4
Does this slope represent a positive or negative slope? Positive slope
2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Proportional Relationships Explore 3
CHARLA DE MATEMÁTICAS Use the coordinate plane to draw a triangle using a different pair of points on the same line.
• DOK-2 «¿Qué puedes concluir sobre la pendiente entre dos puntos cualesquiera de la recta?». La pendiente de una línea recta entre dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) puede determinarse fácilmente al hallar la diferencia entre las coordenadas de los puntos. • DOK-2 «¿Cómo puedes determinar si una pendiente es positiva o negativa?». Si una recta tiene pendiente positiva (m > 0), entonces y siempre aumenta cuando x aumenta e y siempre disminuye cuando x disminuye. Si una recta tiene pendiente negativa (m < 0), entonces y siempre disminuye cuando x aumenta y y siempre aumenta cuando x disminuye. 9. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
Find the ratio of the length of the vertical side to the length of the horizontal side for both triangles. Triangle ABC Vertical side Horizontal side
Triangle DEC 10 =5 = 2
Vertical side Horizontal side
=
5 1
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
=5
Are the triangles similar? Explain.
Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez que la clase haya completado el «Esquema de anclaje», haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva».
Yes, both triangles show that the slope of a line is constant.
3
Proportional Relationships Explore 3
Reflect 1.
What can you conclude about the slope between any two points on the line? The slope of a straight line between two points (x1, y1) and (x2, y2) can be easily determined by finding the difference between the coordinates of the points.
2.
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Es posible que algunos estudiantes necesiten que se les recuerde qué dirección indican la vertical y la horizontal (es decir, arriba y abajo versus de lado a lado, respectivamente). 2. Si bien puede ser intuitivo para algunos estudiantes que y siempre aumenta cuando x aumenta para una pendiente positiva (es decir, m > 0), puede ser contraintuitivo que lo contrario también sea cierto para una pendiente positiva (es decir, y siempre disminuye cuando x disminuye). Señala a los estudiantes cómo la inversa se cumple algebraicamente y mediante una gráfica.
How can you determine whether a slope is positive or negative? If a line has a positive slope (m > 0), then y always increases when x increases and y always decreases when x decreases. So the graph of the line starts at the bottom left and goes toward the top right. If a line has a negative slope (m < 0), then y always decreases when x increases and y always increases when x decreases.
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GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Proportional Relationships Explore 3
APOYOS LINGÜÍSTICOS La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias a continuación para conocer las formas de apoyar el desarrollo lingüístico del estudiante. Los estudiantes usarán pistas visuales, compañeros y maestros para desarrollar el vocabulario, la estructura lingüística y los conocimientos previos necesarios para comprender un texto escrito.
Similar Triangles and Slope Exit Ticket Isabella and her friends are reviewing the information they have recorded about public transportation in New York. Use the coordinate plane to draw a triangle using a different pair of points on the same line. Answers will vary.
Principiante: Como actividad previa a la lección, divida la clase en dos equipos. Un miembro del equipo se colocará de espaldas a la pizarra. Detrás de él, se proyectará una imagen y el nombre de un medio de transporte. Los otros miembros del equipo representarán la palabra y el estudiante adivinará el medio de transporte (por ejemplo, carro, tren, avión, barco, etc.) Intermediate: Como actividad previa a la clase, divida a los estudiantes en grupos de 3-4 estudiantes. Los estudiantes escribirán una lista de todos los tipos de transporte que puedan adivinar en un tiempo determinado. Gana el grupo que tenga más palabras sin repetir. Avanzado: Como actividad previa a la lección, los estudiantes trabajarán con un compañero y usarán un diccionario para escribir una lista de diferentes formas de transporte: un tipo de transporte por cada letra del alfabeto. Por ejemplo, para las tres primeras letras del alfabeto, los estudiantes podrían escribir: ambulancia, barco, carro, etc. Conceda a los estudiantes un tiempo determinado y el equipo que tenga más palabras ganará.
Find the ratio of the length of the vertical side to the length of the horizontal side for both triangles. Sample student response: Triangle ABC
Triangle MNC
Vertical side = Horizontal side
2 = 6
1 3
Vertical side Horizontal side
=
1 3
Are the triangles similar? Explain. Yes, both triangles show that the slope of a line is constant. 1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
Proportional Relationships Part 3
Similar Triangles Max wanted to know whether the electronic robot he bought traveled at a constant rate around the track. He gathered data on the time (in minutes) it took for the robot to make laps around the track. Plot the data points on the graph below for time (x) and laps (y). Find the unit rate (slope) by using similar triangles A and B to determine whether the robot was traveling at a constant rate. Show your work.
Distance (laps)
Time (min.)
1
0.75
3
2.25
5
3.75
10
7.50
Slope A y2– y1 x2 – x1 (2.25-0.75) (3-1)
1.50 = 0.75 2
Slope B y2– y1 x2 – x1 (7.50- 3.75) (10-5)
3.75 = 0.75 5
Solution: The robot was traveling at a constant rate. The slopes of triangles A and B, which show unit rate, were both 0.75. 1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 3) CLAVE DE RESPUESTAS 316
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1/9/26 1:57 PM
GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 4: PENDIENTE ESTÁNDAR(ES)
• Comprender las conexiones entre las relaciones proporcionales, las rectas y las ecuaciones lineales. Graficar relaciones proporcionales, al interpretar la tasa unitaria como la pendiente de la gráfica. Comparar dos relaciones proporcionales diferentes representadas de diferentes maneras. Por ejemplo, comparar una gráfica distancia-tiempo con una ecuación distancia-tiempo para determinar cuál de dos objetos en movimiento tiene mayor velocidad.
Ideas fundamentales
Estándares para la práctica matemática
Conexiones de contenido
Motores de investigación
Interpretar gráficas de dispersión
MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente.
CC1 Razonar con datos
DI1 Dar sentido al mundo: Comprender y explicar
Datos, gráficas y tablas
MP.5 Usar estratégicamente las herramientas adecuadas.
CC2 Explorar cantidades cambiantes
DI2 Predecir lo que podría ocurrir: Predecir
Exploraciones de datos Ecuaciones lineales Representaciones múltiples de funciones Pendientes e intercepciones
MP.6 Prestar atención a la precisión. MP.7 Buscar y usar estructuras.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes derivarán la forma pendienteintersección de una ecuación al usar pares ordenados para identificar m y b en una ecuación.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por estudiante) • 1 boleto de salida (por estudiante) • 1 conjunto de tarjetas de escenarios de pendiente (por grupo)
PREPARACIÓN
• Planifique dividir la clase en grupos de 3 o 4 para completar esta actividad. • Imprima un «Diario del estudiante» y un «Boleto de salida» para cada estudiante. • Imprima un conjunto de «Tarjetas de escenario de pendiente» para cada grupo. Recorte y coloque cada conjunto de tarjetas en una bolsa resellable. Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para usarlas en el futuro.
REUTILIZABLE
• 1 bolsa resellable (por grupo)
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317
1/9/26 1:57 PM
GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Proportional Relationships Explore 4
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Card 2
1. Lea el siguiente escenario: «Isabella y sus amigos registran la cantidad de dinero gastada en el alquiler de bicicletas en Nueva York. Registrarán su información en gráficos. Ayude a Isabella y a sus amigos a averiguar cuánto dinero se gasta en el alquiler de bicicletas en Nueva York». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada uno.
What is the value of m? Ordered pairs: (0, 2) and (1, −2) Change in y Change in x
Slope, m:
=
−2 – 2 1–0
4
= – 1
m = −4
What does b represent? What is the value of b?
3. Entregue un conjunto de «Tarjetas de escenario de pendiente» a cada grupo. 4. Explique a los estudiantes que colaborarán con sus grupos sobre cómo deducir la forma pendienteintersección de la ecuación y comprenderán cuándo las pendientes representan una relación proporcional .
The line crosses the y-axis at (0, 2). b=2 Write the equation that is represented by the graph. y = −4x + 2
5. Pida a los estudiantes que utilicen la información de las «Tarjetas de escenario de pendiente» para hallar m, que es la relación entre el cambio en y y el cambio en x. También hallarán b y escribirán una ecuación que represente la situación. 2
Proportional Relationships Explore 4
Proportional Relationships Explore 4
Card 3
Understanding Slope
What is the value of m? Ordered pairs: (0, 3) and (1, 5)
Use the Slope Scenario Cards to represent m and b, and write the equation that is represented by the graph. Ordered pairs may vary.
Slope, m:
Change in y Change in x
=
5–3 1–0
=
2 1
m=2 Card 1 What is the value of m?
What does b represent? What is the value of b?
Ordered pairs: (1, 2) and (2, 4) Slope, m:
Change in y Change in x
=
The line crosses the y-axis at (0, 3). 4–2 2–1
=
b=3
2 1
Write the equation that is represented by the graph.
m=2
y = 2x + 3
What does b represent? What is the value of b? The line crosses the y-axis at (0, 0). b = 0, so the y-intercept is 0. Write the equation that is represented by the graph. y = 2x
1
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
318
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3
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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1/9/26 1:57 PM
GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Proportional Relationships Explore 4
6. Supervise y evalúe a los estudiantes mientras trabajan al formular las siguientes preguntas guías:
Card 4 What is the value of m?
a. DOK-2 «¿Qué representan las relaciones entre el cambio en y y el cambio en x?». Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Las razones representan la pendiente, que es la razón entre el cambio en y y el cambio en x entre dos puntos cualesquiera.
Ordered pairs: (2, −2) and (4, −4) Slope, m:
Change in y Change in x
=
−4 – (−2) 4–2
2
=− 2
m = −1
What does b represent? What is the value of b?
b. DOK-2 «¿Qué método puedes usar para encontrar la pendiente?». Las respuestas de los estudiantes variarán. Puedo usar la cambio en y fórmula ___________.
The line crosses the y-axis at (0, 0). b = 0, so the y-intercept is 0. Write the equation that is represented by the graph.
cambio en x
y = −x
c. DOK-2 «¿Cómo puedes identificar la intersección y?». Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Puedo identificar la intersección y en la gráfica porque es el punto donde la recta cruza el eje y. 7. Permita a los estudiantes suficiente tiempo para completar su trabajo y registrar sus observaciones y reflexiones en sus «Diario del estudiante».
4
8. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje. CHARLA DE MATEMÁTICAS
Proportional Relationships Explore 4
Reflect 1.
Why is y = mx + b called the slope-intercept form of the equation of a line? In the equation of a straight line (when the equation is written as y = mx + b), the slope is the number, m, that is multiplied by x, and b is the y-intercept (that is, the point where the line crosses the vertical y-axis).
2.
• DOK-2 «¿Por qué y = mx + b se llama la forma pendiente-intersección de la ecuación de una recta?». En la ecuación de una línea recta (cuando la ecuación se escribe como y = mx + b), la pendiente es la cantidad, m, que se multiplica por x, y b es la intersección y (es decir, el punto donde la recta cruza el eje y vertical). • DOK-2 «¿Qué significa cuando b es 0?». Cuando b es 0, la situación representa una relación proporcional. • DOK-2 «¿Cuál es un ejemplo de pendiente en el mundo real?». Alquilar una bicicleta y cobrar $10 por hora, que representa una relación proporcional, o alquilar una bicicleta y cobrar $10 por hora y una tarifa de alquiler de $5, que representa una relación no proporcional, son ejemplos de pendiente en el mundo real.
What does it mean when b is 0? When b is 0, the situation represents a proportional relationship.
9. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 10. Regrese a «Captar interés» e indique a los estudiantes que usen sus habilidades recién adquiridas para completar con éxito la actividad.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA 5
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez que la clase haya completado el «Esquema de anclaje», haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva».
319
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GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Proportional Relationships Explore 4
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Los estudiantes con dificultades pueden calcular mal la pendiente, al hacer el cambio en x sobre el cambio en y. Utilice el concepto de ascenso sobre recorrido en relación con la inclinación para ayudar a los estudiantes a entender la fórmula de la pendiente.
Slope and Bike Rentals Exit Ticket Isabella and her friends are renting bikes from Jenny’s Bike Rental Company. The graph below represents the amount of money that Isabella and her friends pay for bike rentals. Use the graph to identify the ordered pairs that will be used to find m and b, and write the equation that is represented by the graph. Ordered pairs may vary.
2. Los estudiantes con dificultades pueden tener dificultades para identificar qué pares ordenados usar para calcular la pendiente. Anime a los estudiantes a buscar puntos que caen en la intersección de las líneas de la cuadrícula en lugar de entre las líneas de la cuadrícula, porque los puntos en tales uniones es probable que tengan coordenadas hechas de números enteros.
APOYOS LINGÜÍSTICOS La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje es apoyada en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias a continuación para conocer las formas de apoyar el desarrollo del lenguaje de un estudiante. Los estudiantes usarán pistas visuales, compañeros y maestros para desarrollar el vocabulario, la estructura del lenguaje y los conocimientos previos necesarios para comprender un texto escrito. Principiante: Como actividad previa a la clase, muestre a los estudiantes imágenes con nombres de diferentes medios de transporte (por ejemplo, carro, tren, autobús, avión, etc.). A continuación, entregue a los estudiantes una hoja que tendrá en la parte superior la pregunta «¿Cómo vas a la escuela?». Debajo de la pregunta habrá un banco de palabras con diferentes formas de transporte. Debajo de la pregunta y del banco de palabras habrá dos columnas: una columna titulada Nombre y una segunda columna titulada Transporte. Los estudiantes escribirán los nombres de sus compañeros y el tipo de transporte que usan para ir a la escuela. Resuma los resultados en clase. Intermedio: Como actividad previa a la lección, los estudiantes jugarán al juego Encuentra a alguien que... En este juego, los estudiantes recibirán una hoja de papel con una lista de afirmaciones para las que deben encontrar a un compañero al que se aplique la afirmación. Algunos ejemplos podrían ser: Encuentra a alguien que haya tomado un taxi la semana pasada... Encuentra a alguien que tenga miedo a viajar en avión... Encuentra a alguien que haya montado en moto. Avanzado: Como actividad previa a la clase, los estudiantes jugarán al juego Encuentra a alguien que... En este juego, los estudiantes recibirán una hoja de papel con una lista de afirmaciones para las que deben encontrar a un compañero al que se aplique la afirmación. Algunos ejemplos podrían ser: Encuentra a alguien que haya tomado un taxi la semana pasada... Encuentra a alguien que tenga miedo a viajar en avión... Encuentra a alguien que haya montado en moto.
What is the value of m? Ordered pairs: (1, 5) and (2, 10) Change in y Change in x
Slope, m:
=
10 – 5 2–1
=
5 1
m=5 What does b represent? What is the value of b? The line crosses the y-axis at (0, 0). b = 0, so the y-intercept is 0. Write the equation that is represented by the graph. y = 5x 1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
Proportional Relationships Part 4
Slope Look at the graph below. Use points from each line below to identify m and b and to derive the slope-intercept form of an equation. 1.
Find the slope (m) of line A. m = (y2 – y1) (x2 – x1) m = (4 - 10) (–3 – (–5))
A
6
m=– 2 m = –3 Find the y-intercept (b). (0, –5) b = –5
B
Write the equation of the line. y = –3x – 5 2.
Find the slope (m) of line B. m = (y2 – y1) (x2 – x1) (2 – 0) m = (3 – 0) m=
2 3
Find the y-intercept. (0, 0) b=0 Write the equation of the line. y= x
1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 4) CLAVE DE RESPUESTAS 320
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1/9/26 1:57 PM
GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE CONSOLIDAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
Proportional Relationships
ESQUEMA DE ANCLAJE DESCRIPCIÓN Un esquema de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Se trata de una herramienta para apoyar la instrucción y anclar el aprendizaje de los estudiantes a lo largo del alcance.
MATERIALES
• 1 hoja de papel cuadriculado • 1 juego de marcadores multicolores
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del ejemplo de esquema de anclaje, si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. El ejemplo de esquema puede utilizarse como referencia antes de crear el de la clase. Esta actividad debe ser dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje. 2. A medida que los estudiantes trabajen en el alcance, colaboren para añadir piezas al «Esquema de anclaje». Formule las siguientes preguntas orientadoras: a. «¿Qué estrategia utilizamos para resolver este problema?». b. «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?».
Proportional Relationships Which lemonade stand has the greatest cost per cup? Stand C
Stand B
Unit rate = 1 or 0.50 2
Cups Sold
Earnings
2
$1.50
3
$2.25
5
$3.75
Unit rate = 1.50 or 0.75 2
y = 0.25x
Unit rate = 0.25
Stand B has the greatest unit rate with $0.75 per cup.
Slope of a horizontal line
Slope =
3–3 0 = =0 3–0 3
3. Continúe añadiendo habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada «Exploración» para resaltar el contenido importante. 4. Explique que pueden usar este gráfico como herramienta de apoyo para su aprendizaje. Los estudiantes también pueden pegar una copia del ejemplo de «Esquema de anclaje» en sus cuadernos para utilizarlo como referencia durante el año. 5. Algunos «Esquemas de anclaje» solo se mostrarán durante un alcance o grupo de alcances concretos, mientras que otras permanecerán expuestas durante todo el curso escolar.
Slope of a vertical line
Slope =
−2 – 3 −5 = Undefined 4–4 = 0
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
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1/9/26 1:57 PM
GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
LIBRETA INTERACTIVA
Proportional Relationships
Bottom
Place glue here. Which student typed the most words per minute? ________________ Terrance
DESCRIPCIÓN Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase al usar la actividad y la libreta.
Sasha
Minutes
Words
5
185
12
444
19
703
Cameron
y = 43x
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del «Folleto del estudiante» para cada uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Prepare una «Libreta interactiva» al usar un cuaderno de espiral o de composición para cada uno. Los estudiantes pueden utilizar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades.
Proportional Relationships
Instructions ● Cut out the top and bottom pages. ● Glue or tape the bottom of the flip book into your notebook. ● Cut the flaps on the dotted lines of the top page, and fold back to the solid lines. ● Place glue where it says “Place glue here.” Attach to the top of the flipbook. ● Lift up the flaps, and record the slope of each line.
Top
Calculating Slope
2. Las instrucciones para cada actividad se proporcionan en el «Folleto del estudiante». 3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos.
Horizontal Line
Vertical Line
4. Las libretas interactivas pueden utilizarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
Proportional Relationships
Instructions ● Cut out the top and bottom pages. ● Glue or tape the bottom of the flipbook into your notebook. ● Cut the flaps on the dotted lines of the top page, and fold back to the solid lines. ● Place glue where it says “Place glue here.” Attach it to the top of the flipbook. ● Lift up the flaps, determine which student typed the most words per minute, and record the answer.
Proportional Relationships
Bottom
Calculating Slope
Top
Comparing Slope Table
Equation
By what do I need to multiply x to get y?
Graph Passes through the origin Slope = m =
m = slope → rate of change
Slope =
FOLLETO DEL ESTUDIANTE
322
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Slope =
FOLLETO DEL ESTUDIANTE
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1/9/26 1:57 PM
GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS APOYO PARA ESTUDIANTES MULTILINGÜES
CONEXIONES LINGÜÍSTICAS DESCRIPCIÓN
• Permita que los estudiantes tengan acceso al vocabulario ilustrado para este alcance.
Los estudiantes tienen la oportunidad de usar sus conocimientos lingüísticos y culturales de base para apoyar las conexiones con nuevas habilidades, vocabulario y conceptos en sus niveles de competencia.
• Permita que los estudiantes tengan acceso a una variedad de herramientas matemáticas, tales como fichas de álgebra y rectas numéricas.
MATERIALES
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
IMPRESO
1 Distribuya a cada alumno un «Folleto del estudiante» en el nivel de competencia apropiado.
• 1 folleto del estudiante según su nivel de competencia (por alumno)
2 Utilice las indicaciones para las partes de escuchar, hablar, leer y escribir. Utilice gestos, señale objetos y elementos visuales, según proceda. Consulte las indicaciones para obtener sugerencias.
REUTILIZABLE
• 1 conjunto de fichas de álgebra (por estudiante) • 1 conjunto de lápices o marcadores de colores azul y rojo (por estudiante)
3 Deje tiempo a los estudiantes para que piensen con sus vecinos antes de responder. 4 Anime a los estudiantes a perseverar en su pensamiento y a usar herramientas y modelos matemáticos.
PREPARACIÓN
• Prepárese para que los estudiantes trabajen con compañeros cuando sea necesario.
5 Invite a los estudiantes a responder adecuadamente a cada dominio lingüístico.
• Determine el nivel de inglés de cada estudiante.
6 Haga que los estudiantes utilicen la página final del «Folleto del estudiante» para formar conexiones entre los conceptos matemáticos y el mundo real.
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada alumno según su nivel de inglés.
Proportional Relationships B
Proportional Relationships B
A store manager lost his pay scale. He believes if he makes
Determine which proportional situation is modeled by the graph, table, and equation read by your teacher.
triangles from two employees’ hours and pay, he can determine the
C
−1
3.4
0
0
1
−3.4
2
−6.8
k= 2
A
3
$90. The
Determine which proportional situation is modeled by the graph, table, and equation described by your partner.
hours than the first employee and made
$60 less. Determine whether the y
hours and made
slope. The first employee worked 6 second employee worked 4 fewer
x
Proportional Relationships I
triangles will allow the manager to x
y
The store manager will find the slope of the line by using _______________. triangles / lines
−1
3.4
0
0
The first point the store manager will graph is ________________. (90, 6) / (6, 90)
1
−3.4
2
−6.8
determine and find his pay scale.
k = −3.4
y = 3x
The other two points the store manager can use to create the first triangle would be ___________________________. (0, 0) and (0, 90) / (0, 0) and (0, 6)
The scenario should include a rise of 2 and a run of 3.
The second triangle with the same slope will have points at ______ and ______. The second triangle has a slope of m = _______. 15 / 30
y = kx
Slope
Proportional
The slope of the hypotenuse of CDE:
Proportional Relationships B
When graphing the relationship, it can be represented by the equation makes the equation y = 3x. To calculate the cost for cupcakes that are not on the table or graph, substitute ____________ the number of cupcakes in for the x variable. For example, if the
1
−3.4
2
−6.8
triangles The store manager will use _________ to find the slope. The first point the store manager will (6, 90) graph is ________. The other two points the store manager can use to create the first triangle would be ________________. (0, 0) and (0, 90) The slope for the first triangle is 15 m = _____. The point the store manager will graph (2, 30) for the second employee is _______.
The scenario should include a rise of 3 and a run of 1.
Unit rate y = kx
Slope Substitute
The slope of the hypotenuse of ABC:
Proportional
For CDE: C(−1, 3) and E(3,−3) The slope of the hypotenuse of CDE:
Proportional Relationships I
Origin
To calculate the cost for cupcakes that are not on the table or graph: substitute the number of cupcakes in for the x variable. For example, if the cost for 20 cupcakes is unknown, substitute 20 for x, and multiply with the slope of 3: y = 20(3) = 60. The cost of 20 cupcakes is $60.
180 A third employee who worked 12 hours would be paid $________.
Proportional Relationships A
Word Bank Unit rate
Slope
y = kx Constant of proportionality
Answers will vary.
The graph is a ______________ relationship because for every 1 cupcake sold, the proportional graph increases by 3 and passes through the origin. This makes the ____________ 3. When graphing the relationship, it can be represented by the unit rate slope y = kx equation ____________. K represents the _________, which is also 3. This makes the equation y = 3x.
15 The second triangle has a slope of m = _______. The store manager has used ____________ instead of the slope formula to find triangles the proportional relationship.
True / False
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use proportional relationships at home with your family or friends.
The table shows the relationship between the number of cupcakes and cost from a local bakery. Create a graph that represents the proportional relationship showing the slope is the same as the unit rate. Describe how to calculate the cost for cupcakes that are not shown on the table or graph.
Creating a second triangle sharing the same slope, the triangle will have points (6, 30) and ________. (6, 90) at _______
For ABC: A(−3, 6) and C(−1, 3)
The store manager has used triangles instead of the slope formula to find the proportional relationship. True / False A third employee who worked 12 hours would be paid $180. True / False
Proportional Relationships I
Word Bank
Answers will vary.
y = kx slope ____________. The letter k represents the _________, which is also 3. This
0
y = 3x
Creating a second triangle sharing the same slope, the triangle will have points at (6, 90) and (6, 30). True / False The second triangle has a slope of m = 6.
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use proportional relationships at home with your family or friends.
unit rate increases by 3 and passes through the origin. This makes the ____________ 3.
y 3.4
0
The scenario should include a decrease of 3.4 and a run of 1.
The scenario should include a rise of 2 and a run of 3.
True / False
For CDE: C(−1, 3) and E(3,−3)
A third employee who worked 12 hours would be paid $_________. 180 / 225
proportional The graph is a ______________relationship. For every 1 cupcake sold, the graph
x −1
The point the store manager will graph for the second employee is (4, 60).
The slope of the hypotenuse of ABC:
find the proportional relationship.
Substitute
Answers will vary.
The other two points the store manager can use to create the first triangle would be (0, 0) and (0, 6).
True / False
The store manager has used __________________ instead of the slope formula to triangles / calculations
Proportional Relationships B
Unit rate
True / False
The slope for the first triangle is m = 15.
For ABC: A(−3, 6) and C(−1, 3)
(6, 30) / (30, 6) (6, 90) / (90, 6)
The table shows the relationship between the number of cupcakes and cost from a local bakery. Create a graph that represents the proportional relationship showing the slope is the same as the unit rate. Describe how to calculate the cost for cupcakes that are not shown on the table or graph.
The first point the store manager will graph is (6, 90).
The scenario should include a decrease of 3.4 and a run of 1.
The point the store manager will graph for the second employee is ____________. (4, 60) / (2, 30)
Word Bank
True / False
The scenario should include a rise of 3 and a run of 1.
The slope of the hypotenuse of ABC:
The slope of the hypotenuse of CDE:
Create a proportional story. Include 3 parts, each modeled by the graph, table, and equation. Read your story to your partner. Have your partner determine which model is being described at each point in your story.
Proportional Relationships A
A store manager lost his pay scale. He believes if he makes triangles from two employees’ hours and pay he can determine the slope. The first employee worked 6 hours and made $90. The second employee worked 4 fewer hours than the first employee and made $60 less. Determine if the triangles will allow the manager to determine and find his pay scale.
True / False
For ABC: A(−3, 6) and C(−1, 3)
For CDE: C(−1, 3) and E(3,−3)
Proportional Relationships A
The store manager will use rectangles to find the slope.
y = 3x
The slope for the first triangle is m = _____. 15 / 90
B
Proportional Relationships I
A store manager lost his pay scale. He believes if he makes triangles from two employees’ hours and pay, he can determine the slope. The first employee worked 6 hours and made $90. The second employee worked 4 fewer hours than the first employee and made $60 less. Determine if the triangles will allow the manager to determine and find his pay scale.
Proportional Relationships A
Proportional
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use proportional relationships at home with your family or friends.
Substitute
Answers will vary.
Origin
The table shows the relationship between the number of cupcakes and cost from a local bakery. Create a graph that represents the proportional relationship showing the slope is the same as the unit rate. Describe how to calculate the cost for cupcakes that are not shown on the table or graph. The graph is a proportional relationship. For every 1 cupcake sold, the graph increases by 3 and passes through the origin. This makes the unit rate 3. When graphing the relationship, it can be represented by the equation y = kx. K represents the slope, which is also 3. This makes the equation y = 3x. The constant of proportionality for this scenario is 3. To calculate the cost for cupcakes that are not on the table or graph, substitute the number of cupcakes in for the x variable. For example, if the cost for 20 cupcakes is unknown, substitute 20 for x, and multiply with the constant of proportionality of 3: y = 20(3) = 60. The cost of 20 cupcakes is $60.
substitute 20 for x, and multiply times the cost for 20 cupcakes is unknown, ___________ slope _________ of 3: y = 20(3) = 60. The cost of 20 cupcakes is $60. Input
Output
Input
Output
1
3
1
3
2
6
2
6
3
9
3
9
4
12
4
12
5
15
5
15
PRINCIPIANTE FOLLETO DEL ESTUDIANTE
ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 323
Input
Output
1
3
2
INTERMEDIO FOLLETO DEL ESTUDIANTE
6
3
9
4
12
5
15
AVANZADO FOLLETO DEL ESTUDIANTE
323
1/9/26 1:57 PM
GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCUCHAR Y HABLAR PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Tenga papel y lápiz a mano para que los estudiantes los usen. Lea las siguientes instrucciones de una en una:
Tenga lápiz y papel a disposición de los estudiantes. Lea las siguientes instrucciones de una en una:
Tenga papel de cuaderno y herramientas gráficas digitales a disposición de los estudiantes. Lea las siguientes instrucciones de una en una:
•
Es posible que los estudiantes necesiten que se repitan las situaciones. Repita las situaciones varias veces para que los estudiantes las comprendan.
•
Señala la gráfica.
•
Señala la tabla.
•
Señala la ecuación.
•
Cada una de ellas tiene una pendiente diferente.
•
Pon el lápiz en el origen de la gráfica.
•
Traza una línea vertical desde el origen al subir dos cuadrados hasta (0, 2). A continuación, sin levantar el lápiz, traza una línea desde (0, 2) hacia la derecha tres cuadrados hasta el punto (3, 2) de la línea.
•
•
Comente las tres relaciones proporcionales en la parte superior del folleto.
•
Cada una de las relaciones es una relación proporcional. Dedique un minuto a determinar la constante de proporcionalidad de cada relación.
Señale la relación que tiene una constante de proporcionalidad de k = 3. Los estudiantes deben señalar la ecuación.
•
Señale la relación que tiene una constante de proporcionalidad de k = -3.4. Los estudiantes deben señalar la tabla.
•
Crea un escenario que incorpore cada una de estas relaciones. Escriba debajo de cada relación su escenario.
•
Trabaja con tus compañeros para crear tres escenarios con el mismo tema. Escribe cada escenario debajo de la relación proporcional.
•
Para los estudiantes que tengan dificultades, proporcione el siguiente ejemplo.
•
Para los estudiantes que tengan dificultades con los escenarios, dé ejemplos de las instrucciones para principiantes para inspirarlos a escribir los suyos propios.
•
Encierra con un círculo la tasa unitaria. Comprueba si los estudiantes han encerrado con un círculoo (1, -3.4).
•
Debajo de la tabla escribe la constante de proporcionalidad.
•
Comprueba si los estudiantes han escrito k = -3.4.
•
Observa la ecuación.
•
Rodea la constante de proporcionalidad.
•
Voy a leer tres situaciones diferentes sobre un tanque de agua. Después de cada uno, tienes que decidir qué modelo se describe.
•
Gira hacia un compañero diferente. Escucha a tus compañeros leer un escenario y luego determina qué relación se describe.
•
En el tanque A, el agua cae 3.4 pies cada minuto. Señale qué modelo describe el tanque A.
•
Escuche a los estudiantes y apóyeles si es necesario.
•
Dé tiempo a los estudiantes y compruebe si señalan la tabla. Repita la situación si es necesario.
•
•
Escribe A debajo de la tabla.
Señale el gráfico de la parte inferior de la página. Compruebe si los estudiantes señalan el gráfico inferior.
•
En el tanque B, el agua sube un metro cada minuto. Señala qué modelo describe el tanque B.
•
«¿Qué figuras se muestran en el gráfico?».
•
Dé tiempo a los estudiantes y compruebe si señalan la ecuación. Repita la situación según sea necesario.
•
Escribe B debajo de la ecuación.
•
En el tanque C, el agua sube dos pies cada tres minutos.
•
Señale qué modelo describe el tanque C.
•
Dé tiempo a los estudiantes y compruebe si señalan el gráfico. Repita la situación si es necesario.
•
Escribe C debajo del gráfico.
•
Señale el gráfico en la parte inferior de la página. Compruebe si los estudiantes señalan el gráfico inferior.
•
«¿Qué figuras se muestran en el gráfico?».
• •
•
•
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente raíz de frase: El triángulo tiene una pendiente de _______.
324
SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 324
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente secuencia de frases: La figura en el gráfico es ______.
•
Termine de calcular la pendiente del triángulo ABC.
•
«¿Cuál es la pendiente de la hipotenusa del triángulo ABC?». •
Pida a los estudiantes que usen la siguiente secuencia de oraciones: El triángulo tiene una pendiente de _______.
•
tienen la gráfica como k = __ 3 , la tabla como k = -3.4, y la ecuación como k = 3. 2
Si tuviera una constante de proporcionalidad de -1, 5 y 10, podría decir: «Un peluquero canino encarga 20 champús cada 2 meses. Ha abierto una nueva peluquería canina en la misma calle. Ha perdido un cliente por semana. Ahora solo necesita pedir 5 champús al mes». «¿Dónde indicaba la historia la constante de proporcionalidad de -1, 5 y 10?». -1 era cuando perdía 1 cliente por semana. 5 era su nuevo pedido de champús. 10 era su pedido original de 20 champús cada 2 meses.
•
Escucha a tus compañeros leer sus hipótesis y luego determina qué relación se describe a lo largo de la historia. Trata de ser creativo y cambia al menos una constante de proporcionalidad a una forma no simplificada.
•
Escuche a los estudiantes y bríndeles apoyo cuando sea necesario.
•
Observe el gráfico en la parte inferior de la página.
•
«¿Qué figuras aparecen en el gráfico?». Explica lo que intentan demostrar.
•
Termine de calcular la pendiente del triángulo CDE.
•
•
«¿Cuál es la pendiente de la hipotenusa del triángulo CDE?».
Explica qué puntos usarás para el triángulo ABC.
•
Explica cómo calcular la pendiente de la hipotenusa del triángulo ABC.
•
«¿Cuál es la pendiente de la hipotenusa del triángulo ABC?».
•
Explica qué puntos usarás para el triángulo CDE.
•
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente secuencia de oraciones: El triángulo tiene una pendiente de _______.
«¿Cuál es la pendiente de la hipotenusa del triángulo CDE?».
Compruebe que los estudiantes
•
Comprueba si los estudiantes han escrito k = __ 3 .
«¿Cuál es la pendiente de la hipotenusa del triángulo ABC?».
•
Señale la relación proporcional que tiene una constante de proporcionalidad de k = 2/3. Los estudiantes deben señalar el gráfico.
Observa la tabla.
•
Cada una de las relaciones es una relación proporcional. Dedica un minuto a determinar la constante de proporcionalidad de cada relación. Escriba su respuesta en términos de k debajo de cada relación.
•
•
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente secuencia de frases: La figura del gráfico es ______.
•
Conceda tiempo suficiente para que los estudiantes determinen la pendiente de cada relación.
•
•
Comente las tres relaciones proporcionales que aparecen en la parte superior del papel.
•
Escribe debajo de la gráfica la constante de proporcionalidad. 2
•
•
Pida a los estudiantes que usen la siguiente raíz de oración: El triángulo tiene una pendiente de _______. «¿Qué ocurre con la hipotenusa de ambos triángulos?». Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente raíz de frase: La hipotenusa de ambos triángulos ______.
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GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCUCHAR Y HABLAR (CONTINUACIÓN)
PRINCIPIANTE •
«¿Qué se puede decir de la hipotenusa de ambos triángulos?». •
•
INTERMEDIO
•
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de frase: La hipotenusa de ambos triángulos ______.
•
«¿Cómo puede usarse los triángulos similares para explicar por qué las pendientes son iguales?». •
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de frase: Las pendientes son iguales porque los triángulos son ______ y sus lados correspondientes son ______.
AVANZADO
«¿Cómo puede usarse los triángulos similares para explicar por qué las pendientes son iguales?».
•
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de frases: Las pendientes son iguales porque los triángulos son ______ y sus lados correspondientes son ______.
•
•
•
Explique cómo calcular la pendiente de la hipotenusa del triángulo CDE. «¿Cuál es la pendiente de la hipotenusa del triángulo CDE?». «¿Qué ocurre con la hipotenusa de ambos triángulos?». «¿Cómo puede usarse los triángulos similares para explicar por qué las pendientes son iguales?».
LEER Y HABLAR
PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
Lea la historia en grupo. Divida la historia en frases. Pida a los estudiantes que señalen cada palabra mientras leen. Pídales que encierren con un círculo las palabras que no conozcan. Comente las palabras con todo el grupo.
Coral: lea la historia en grupo. Pida a los estudiantes que señalen cada palabra mientras leen. Pídales que encierren con un círculo las palabras que no conozcan. Comente las palabras con sus compañeros.
•
Coral: lea el primer enunciado. Señale la respuesta antes de marcar su respuesta.
•
Comente el gráfico y el escenario con los estudiantes:
•
Comparte con tus compañeros de qué trataba la historia.
•
Comenta las siguientes preguntas con tus compañeros: •
«¿Quién perdió la escala salarial y por qué es importante?».
•
«¿Qué cree el gerente de la tienda que le ayudará a determinar la escala salarial?».
•
«¿Cuántas horas trabajó el primer empleado?».
•
«¿Cuánto dinero ganó el primer empleado?».
•
«¿Qué sabemos que compartirán los triángulos?».
•
«¿Cuáles son los puntos dados en el párrafo que estarán en la recta?».
•
«¿Cómo determinaremos los otros puntos para cada triángulo?».
•
Coral: lea la primera afirmación. Señale la respuesta en la historia antes de marcar la afirmación como verdadera o falsa.
•
Coral: lea el segundo enunciado: Señala la respuesta antes de marcar tu respuesta.
•
Comente el gráfico y el escenario con los estudiantes:
•
Traza el punto (6, 90) en tu gráfico. Comprueba la exactitud.
•
Coro: lee el tercer enunciado: Señala la respuesta antes de marcar tu respuesta.
•
Traza los puntos (0, 0) y (0, 90) en tu gráfico y dibuja tu triángulo.
•
Coral: lea la segunda afirmación: Señala la respuesta en la historia antes de marcar la afirmación como verdadera o falsa.
•
Determina la pendiente del primer triángulo que acabamos de crear.
•
Traza el punto (6, 90) en tu gráfico. Comprueba la exactitud.
•
Coro: lee la tercera afirmación: Debate con tus compañeros para decidir si es verdadera o falsa.
•
Traza los puntos (0, 0) y (0, 90) en tu gráfica y dibuja tu triángulo.
•
Determina la pendiente del primer triángulo que acabamos de crear.
•
Conceda tiempo suficiente a los estudiantes para calcular la pendiente. Anime a los estudiantes a usar la fórmula de la pendiente o a contar la subida y la bajada en la gráfica.
•
Lee en pareja el cuarto enunciado. Comenta con tus compañeros para decidir si es verdadera o falsa.
•
Lee en parejas la quinta afirmación. Comenta con tus compañeros para decidir si es verdadera o falsa.
•
Concede a los estudiantes tiempo suficiente para calcular la pendiente. Anime a los estudiantes a usar la fórmula de la pendiente o a contar la subida y la bajada en la gráfica.
•
Coral: lee el cuarto enunciado. Señala la respuesta antes de marcarla.
•
Encierra con un círculo el número 15.
•
Coro: lee la quinta afirmación. Señala la respuesta antes de marcar tu respuesta. Los estudiantes que señalen (4, 60) no entienden la pregunta y deberán volver a concentrarse en la redacción del párrafo.
•
«¿Qué sabemos que compartirán los triángulos?».
•
«¿Cuáles son los puntos dados en el párrafo que estarán en la línea?».
•
«¿Cómo determinaremos los otros puntos para cada triángulo?».
•
Traza el punto (2, 30).
•
Determina el tercer punto del segundo triángulo si utilizamos el punto (6, 90) del primer triángulo. Señala el punto que quieres trazar en tu gráfico.
•
Traza el punto (2, 30).
•
Traza el punto (6, 30).
•
•
Haga eco de los tres enunciados siguientes antes de pedir a los estudiantes que respondan.
Determina el tercer punto del segundo triángulo si utilizamos el punto (6, 90) del primer triángulo. Señala el punto que quieres trazar en tu gráfico.
•
Traza el punto (6, 30).
•
Lee en pareja los tres enunciados siguientes antes de pedir a los estudiantes que respondan.
•
Lee en voz alta el enunciado final. «¿Qué harás para calcular la respuesta?».
•
Haga eco del enunciado final. «¿Qué harás para calcular la respuesta?». •
Haga que los estudiantes utilicen la siguiente secuencia de oraciones: Para calcular la respuesta, voy a ___.
•
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AVANZADO
Haga que los estudiantes lean la historia con sus compañeros y que señalen cada palabra mientras leen. Invite a los estudiantes a encerrar con un círculo las palabras que no conozcan y a comentarlas con sus compañeros. •
Comenta con tus compañeros lo que hay que dibujar en el gráfico y su estrategia para resolver el problema de la historia.
•
Completa el gráfico por tu cuenta.
•
Lee cada enunciado y comenta tus respuestas con tus compañeros.
Los estudiantes que señalan (4, 60) no entienden la pregunta y deberán volver a concentrarse en la redacción del párrafo.
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GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCRIBIR
PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Tenga a disposición de los estudiantes herramientas gráficas digitales y tarjetas de vocabulario ilustrado. Lea y comente las palabras del banco de palabras. Defina y proporcione ejemplos según las necesidades de los estudiantes. Mientras lee, utilice las siguientes pistas:
Ponga a disposición de los estudiantes herramientas gráficas digitales y tarjetas de vocabulario ilustrado. Haga una lectura coral y pídales que comenten las palabras del banco de palabras. Defina y proporcione ejemplos según las necesidades de los estudiantes. Utilice las siguientes pistas:
Ponga a disposición de los estudiantes herramientas gráficas digitales, papel, lápices y tarjetas de vocabulario ilustrado. Los estudiantes deben leer en coro las palabras del banco de palabras con sus compañeros. Pídales que comenten el significado de las palabras con sus compañeros. Defina y proporcione ejemplos según las necesidades de los estudiantes. Mientras los estudiantes leen, utilice las siguientes pistas:
•
•
Comente la tabla con los estudiantes. •
«¿Qué observan en la tabla?».
•
Represente gráficamente la tabla a la derecha.
•
«¿Cómo indican tanto la tabla como el gráfico que la relación es proporcional?».
•
«¿Qué punto indica la tasa unitaria?».
•
«¿Qué más te dice la tasa unitaria?».
Lea cada enunciado y pida a los estudiantes que consulten el banco de palabras, la tabla y el gráfico.
•
Haga que los estudiantes comenten las palabras del banco de palabras con sus compañeros.
•
Dobla la mitad inferior del papel para que solo se vea el banco de palabras. Señala una palabra del banco de palabras y, por turnos, explica las palabras con tus compañeros.
•
Tome nota de los estudiantes que explican con precisión matemática las palabras del banco de palabras.
•
A continuación, señala una palabra del banco de palabras cuyo significado necesites aclarar.
•
En función de los estudiantes a los que haya oído dar las explicaciones matemáticamente precisas, pídales que ayuden a aclarar las palabras seleccionadas a sus compañeros. •
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SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 326
Veo que varios estudiantes piden aclaraciones sobre la palabra _____. (nombre del estudiante) pudo dar una explicación clara de la palabra _____ a su compañero. _____, «¿podrías compartir tu explicación?».
•
Lee cada enunciado con tu compañero y utiliza las palabras del banco de palabras para completar cada enunciado. Ten en cuenta que algunas palabras pueden usarse más de una vez o no usarse en absoluto.
•
Recuerde a los estudiantes que consulten el banco de palabras cuando rellenen los espacios en blanco.
•
Haga que los estudiantes comenten las palabras del banco de palabras con sus compañeros.
•
Comenta las palabras del banco de palabras con tus compañeros. Cada persona debe dar una explicación o descripción de una palabra y, a continuación, pedir a su compañero que parafrasee el significado de la palabra. Continúa este proceso hasta que hayas comentado todas las palabras del banco de palabras.
•
Lee las instrucciones con tus compañeros. «¿Qué plan vas a seguir para asegurarte de que utilizas la mayor cantidad posible de palabras del banco de palabras en tu redacción?». Si no estás seguro de cómo usar una palabra, enciérrala con un círculo en el banco de palabras. Los estudiantes aún no deben empezar a escribir.
•
Esté atento a los estudiantes que tengan dificultades para crear un plan o que rodeen con un círculo las palabras del banco de palabras. Ofrézcales apoyo y permita que los estudiantes que hayan podido crear un plan lo compartan con la clase. •
Veo que varios de nosotros necesitamos aclaraciones sobre la palabra _______. Dirígete a alguien que no sea tu compañero y pídele que aclare o defina la palabra _______.
•
Veo que varios de nosotros necesitamos ayuda para diseñar un plan para usar palabras del banco de palabras. Dirígete a alguien que no sea tu compañero y pídele que explique cómo piensa usar la mayor cantidad posible de palabras del banco de palabras.
•
Pida a los estudiantes que escriban sus explicaciones una vez que se hayan aclarado todas las palabras y se hayan compartido los planes.
•
Ahora, escribe tu explicación al usar al menos cinco de las palabras del banco de palabras. Cuando termines de escribir, comparte tu escrito con tus compañeros.
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GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO VOCABULARIO CLAVE
VOCABULARIO ILUSTRADO Constant of Proportionality
Coordinate Plane
Dilation
Equation
The positive constant, usually denoted k, that relates two quantities in the form y = kx.
Two perpendicular number lines, called the x-axis and the y-axis, that intersect at the point (0, 0) and create four quadrants; also called a graph, coordinate grid, or Cartesian plane
A type of transformation where a scale factor is used to enlarge or reduce the distances in the original image
A mathematical statement that shows that two expressions are equal to each other
22
5
4
3
Horizontal
Hypotenuse
Linear Equation
Negative Slope
Describes the direction of a line that travels from left to right, perpendicular to a corresponding vertical line; from left to right; parallel to the horizon
The longest side of the right triangle, the side opposite of the right angle
An equation in which no variable has a power greater than 1; the general form is y = mx + b, where m = slope and b = y-intercept.
The measure of the steepness of a line that shows the slant downward from left to right
6
7
9
8
Positive Slope
Proportion
Proportional Relationship
Rate of Change
The measure of the steepness of a line that shows the slant upward from left to right
Two fractions or ratios that are equal in value; a type of equation that shows that two ratios are equal
When two quantities have the same ratio
The rate that shows how one quantity changes in relation to another quantity
10
11
Similar Triangles
Slope
Table
Two or more triangles that have congruent angles and proportional sides
How steep a line is; represented as m in the slope-intercept equation
A chart that uses rows and columns to organize information
14
13
12
15
Undefined Slope
The slope of a vertical line 16
Unit Rate
Vertical
Y-Intercept
A rate with a denominator of 1 that shows how many units of the first type correspond to one unit of the second type
Describes the direction of a line that travels up and down, perpendicular to a corresponding horizontal line; from top to bottom; perpendicular to the horizon
The point on a graph of an equation where the line crosses the y-axis
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19
17
20
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GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ DESARROLLAR LA FLUIDEZ CONCEPTUAL
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: TASA DE CAMBIO Y PENDIENTE DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes jugarán al juego ¡Corrige el error!
MATERIALES IMPRESO
• 1 hoja de instrucciones ¡Corrige el error! (por pareja)
Fix the Mistake! Answer Key Card Number
Math Expert or Fix the Mistake
1
Math expert
2
Fix the mistake
The y-intercept is –1, and the slope is
3
Fix the mistake
The y-intercept is 675, and the slope is －55.
4
Math expert
5
Math expert
6
Math expert
7
Fix the mistake
The slopes of the two triangles are not equivalent. Therefore, this is not a proportional relationship.
8
Fix the mistake
The slopes of the two triangles are equivalent and positive.
Justification
1 . 5
• 1 conjunto de tarjetas ¡Corrige el error! (por pareja) • 1 hoja de registro para el estudiante (por estudiante) • 1 clave de respuestas ¡Corrige el error! (por pareja) REUTILIZABLE
• 1 sobre o bolsa con cierre (por pareja)
PREPARACIÓN
• Haga copias a doble cara de las tarjetas ¡Corrige el error! • Lamínelas para que duren más. • Recorte cada una de las tarjetas y colóquelas en un sobre o bolsa resellable para facilitar su distribución y limpieza. • Imprima una «Hoja de registro del estudiante ¡Corrige el error!» para cada estudiante. • Imprima una hoja de «Clave de respuestas de ¡Corrige el error!» para cada pareja de estudiantes. Doble la clave de respuestas de modo que las respuestas queden cubiertas pero el título aparezca en la parte superior de la página. • Coloque a los estudiantes en parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo barajar las cartas y coloquelas boca abajo en una pila. 2. Muestre cómo jugar el juego con un estudiante. a. Barajea las tarjetas y colócalas boca abajo en una pila entre los jugadores. b. El jugador 1 voltea una tarjeta. Ambos jugadores analizan el problema y determinan si la solución proporcionada al problema es correcta y el estudiante que la ha contestado es un experto en matemáticas o si la solución es incorrecta y es necesario corregir el error.
CORRIGE EL ERROR! CLAVE DE RESPUESTAS
e. Los jugadores deben rellenar la «Hoja de registro del estudiante ¡Corrige el error!» mientras juegan. (Los jugadores deben rellenar la fila de la «Hoja de registro del estudiante de ¡Corrige el error!» que corresponda al número de cada tarjeta). f. Una vez analizadas todas las tarjetas, los estudiantes usan la «Clave de respuestas de ¡Corrige el error!» para verificar sus respuestas. g. El jugador con más respuestas correctas es el ganador. 3. Distribuya los materiales del juego. A continuación, indique a los estudiantes que barajeen las cartas y las coloquen boca abajo en una pila entre los jugadores. 4. Supervise a los estudiantes para asegurarse de que encuentran y registran las respuestas correctas a cada tarjeta al usar la «Hoja de registro del estudiante ¡Corrige el error!».
c. Los jugadores se turnan para dar la vuelta a una tarjeta cada vez. d. Los jugadores continúan turnándose hasta que se han resuelto todas las tarjetas.
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GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ DESARROLLAR LA FLUIDEZ CONCEPTUAL
Concentration Instruction Sheet
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: REPRESENTAR RELACIONES PROPORCIONALES
Play this game with a partner. You Will Need 1 Set of Concentration Cards (per pair)
How to Play 1. Shuffle the cards, and place them facedown to form a 4 × 6 array.
2.
DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes jugarán a un conjunto de Concentración.
Player 1 flips over two cards to try to find a match. A match is a problem with its correct answer. Problems will need to be solved in order to determine matching answers.
3.
If player 1 matches a problem with the correct answer, then
4.
If player 1 does not find a match, then they place the cards
player 1 keeps the matched set and takes another turn. facedown again, and it is the next player's turn. 5.
Players continue taking turns until all of the matches have
6.
The player who collects the most cards wins.
been found.
MATERIALES IMPRESO
• 1 hoja de instrucciones de Concentración (por pareja) • 1 conjunto de tarjetas de Concentración (por pareja) REUTILIZABLE
• 1 sobre o bolsa (por pareja)
PREPARACIÓN
• Haga copias a doble cara de las «Tarjetas de Concentración». • Lamínelas para que duren más.
HOJA DE INSTRUCCIONES
• Recorte las tarjetas individuales y colóquelas en un sobre o bolsa para facilitar su distribución y limpieza. • Coloque a los estudiantes en parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo barajar las tarjetas y coloquelas boca abajo en una matriz de 4 × 6. 2. Muestre cómo jugar el juego con un estudiante. a. El jugador 1 voltea 2 tarjetas para tratar de encontrar un pareo. Un pareo es un problema con su respuesta correcta. Será necesario resolver los problemas para determinar que respuestas se parean. b. Si el jugador 1 encuentra un problema con la respuesta correcta, entonces el jugador 1 se queda con el conjunto emparejado y toma otro turno. c. Si el jugador 1 no encuentra ningún pareo, entonces vuelve a colocar las tarjetas boca abajo y es el turno del siguiente jugador. d. Los jugadores toman turnos hasta que se hayan encontrado todas los pareos. e. Gana el jugador que reúna la mayor cantidad de tarjetas. 3. Distribuya los materiales. A continuación, pida a los estudiantes que barajen las cartas y las coloquen boca abajo. 4. Supervise a los estudiantes para asegurarse de que encuentran las parejas correctas.
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GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
ELABORAR: REVISIÓN EN ESPIRAL
Proportional Relationships
REPASAR CONCEPTOS PREVIOS
REVISIÓN EN ESPIRAL: VIAJE AL ESPACIO DESCRIPCIÓN
Trip to Space NASA is preparing for another space shuttle launch. Their science labs have determined that many more experiments can be made with certain rock samples from various planets. If they can collect enough samples, they may even be able to create various new medicines and vaccines. They have trained a group of astronauts for this mission into space. Some of these men and women will be going into space for the first time ever. With all of their training, they should have nothing to worry about. They are very nervous, yet extremely excited, to go! The space shuttle that was built for this mission will be able to withstand the challenges of very long trips. This will allow the astronauts to only have to stop at the space station once on the way home to refuel. With the kind of equipment that they have, they will be able to arrive back home safely and according to schedule. NASA and the astronauts are all prepared for blastoff!
Los estudiantes repasan contenidos anteriores o actuales del grado para ayudar a apoyar su trabajo en el alcance actual y fortalecer las habilidades necesarias para alcances posteriores.
REVISIÓN EN ESPIRAL CENTRADA EN LA PREGUNTA
1
• Pregunta 1
• Grado 8: Usar números expresados en la forma de un solo dígito multiplicado por una potencia entera de 10 para estimar cantidades muy grandes o muy pequeñas, y expresar cuántas veces es una cantidad mayor que la otra.
Proportional Relationships
1.
• Pregunta 2 • Grado 8: Realizar operaciones con cantidades expresados en notación científica, incluso problemas donde se usan tanto la notación decimal como la científica. • Pregunta 3 • Grado 8: Dar ejemplos de ecuaciones lineales en una variable con una solución, infinitas soluciones, o sin soluciones. • Pregunta 4 • Grado 8: Resolver ecuaciones lineales con coeficientes de números racionales, incluso ecuaciones cuyas soluciones requieren expandir expresiones al usar la propiedad distributiva y unir términos semejantes.
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
3.
Jupiter is over 5 × 108 miles away from Earth. The space station is 5 × 106 miles away from Earth. How many times farther is the distance from Earth to Jupiter than from Earth to the space station? A.
1048
B.
10 6
C.
1014
D.
102
2.
8
It traveled 2.91 × 10⁸ miles.
The weight of 5 astronauts on a shuttle is expressed as 150x. There are 3 machines on the shuttle that count toward its overall weight. The people and machines weigh 1,009 lb. altogether. How much does each machine weigh? One machine weighs 86
The distance from Earth to Mars is about 1.57 × 10⁸ miles. The distance from Earth to Venus is about 1.34 × 10⁸ miles. If the space shuttle was going from Venus to Earth and then to Mars, how many miles did it travel?
1 pounds. 3
4.
The astronauts have to bring back samples for the science lab. They will extract a portion of rock from each sample to get what they need. They need to be certain that they have enough samples. The amount of sample in grams, x, that the astronauts need to bring home is represented by 2.1(3x – 99). If they need to extract a total of 18.9 grams of rock from the sample, how many grams of sample should be collected? The astronauts should collect 36 grams of sample. 2
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
4. Consulte la sección «Revisión en espiral centrada en la pregunta» para evaluar los conocimientos de contenido de los estudiantes o su necesidad de intervención adicional. Si se necesita más repaso, utilice los «Constructor de fluidez» en los alcances apropiados. 5. El capítulo final incluye una parte del alcance actual para que los estudiantes vean la conexión y relevancia de su aprendizaje previo con el alcance actual.
1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada uno. 2. Anime a los estudiantes a tratar de responder a las preguntas de forma independiente sin usar recursos externos para ver lo que saben. Invite a los estudiantes a anotar ideas o fragmentos que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas. 3. Utilice las preguntas de revisión en espiral como calentamiento en clase, o envíelas a casa como tareas. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos.
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GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS ANÁLISIS DE DATOS
CIENCIA DE DATOS Ciencia de datos es un breve debate en clase basado en un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. La parte I incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los estudiantes en contexto.
DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I 1. Proyecte el conjunto de datos, y prepárese para anotar las observaciones de los estudiantes. 2. Realice las siguientes preguntas:
Los estudiantes analizarán, interpretarán y generarán conjuntos de datos, además de responder a preguntas basadas en los datos.
MATERIALES IMPRESO • 1 conjunto de datos (por clase) REUTILIZABLE • 1 proyector o cámara de documentos (por clase) • 1 marcador (por clase)
a.
«¿Qué notas acerca de este conjunto de datos?».
b.
«¿Qué representa este conjunto de datos?».
c.
«¿Qué categorías están incluidas en este conjunto de datos?».
d.
«¿Cómo puedes comparar relaciones lineales presentadas en diferentes formas?».
e.
«¿En qué se parece una relación proporcional a una relación lineal? ¿En qué se diferencia?».
f.
«¿Qué preguntas tienes sobre los datos?».
PARTE II
CONSUMIBLE
1. Repase cómo escribir la ecuación de una recta en y = mx + b forma, y escribe lo que los estudiantes recuerden en el papel milimetrado.
• 1 trozo de papel milimetrado (por clase)
PREPARACIÓN
• Prepárese para proyectar el conjunto de datos para la clase. • Reúna un trozo de papel milimetrado y un marcador.
2. Realice las siguientes preguntas: a.
«¿Cuál de las relaciones, si hay alguna, es proporcional?». Explica. La relación descrita por la ecuación y = 7x es proporcional porque tiene la forma y = kx. La relación descrita por la gráfica no representa una relación proporcional porque la recta no pasa por el origen. La relación descrita por la tabla no representa una relación proporcional porque si los puntos se trazaran en un plano de coordenadas, la recta que los atraviesa no pasaría por el origen.
a
«¿Qué manguera bombea agua a mayor velocidad, la representada por la tabla, la gráfica o la ecuación?». Explícalo. La manguera representada por la tabla bombea agua a mayor rapidez. La pendiente en la
Proportional Relationships
Fill ‘em Up
6,140 - 4,820
1,320
240 - 120 = ______ = 11. La pendiente en el tabla es ____________ 120 4,400 - 2,000
2,400
gráfico es _____________ = ______ = 4. La pendiente de 800 - 200 600 la ecuación es 7.
“How Long Does It Take To Fill A Swimming Pool? (With Calculator),” Easy Clear Pool, John Berry, accessed March 23, 2022, https://easyclearpool.com/how-long-does-it-take-to-fill-a-swimming-pool/
1
b.
«¿Qué representa la ecuación y = 7x en este contexto?». La piscina estaba vacía. Se usa una manguera para llenar la piscina a una rapidez de 7 galones por minuto.
c.
«¿Cuál es la ecuación de la relación que se muestra en la gráfica? ¿Qué representa en este contexto?». La pendiente de la relación mostrada en la gráfica es 4. Usa la pendiente y uno de los puntos para calcular el intersección y: 2,000 = 4(200) + b; 2,000 = 800 + b; 1,200 = b. La ecuación es y = 4x + 1,200. Esto significa que la piscina ya tenía 1,200 galones de agua cuando una manguera que bombea agua a 4 galones por minuto empezó a llenarla más.
d.
«¿Cuál es la ecuación de la relación que se muestra en la tabla? ¿Qué representa en este contexto?». La pendiente de la relación mostrada en la tabla es 11. Usa la pendiente y uno de los puntos para calcular la intersección y: 4,820 = 11(120) + b; 4,820 = 1,320 + b; 3,500 = b. La ecuación es y = 11x + 3,500. Esto significa que la piscina ya tenía 3,500 galones de agua cuando una manguera que bombea agua a 11 galones por minuto empezó a llenarla más.
CONJUNTO DE DATOS
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GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN
Proportional Relationships
EVALUACIÓN DE HABILIDADES
LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN DESCRIPCIÓN Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede utilizarse como evaluación formativa para los maestros y como autoevaluación para los estudiantes.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 folleto del maestro (por estudiante)
PREPARACIÓN
Proportional Relationships How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Graph proportional relationships, interpreting the unit rate as the slope of the graph. Compare two different proportional relationships represented in different ways. For example, compare a distance-time graph to a distance-time equation to determine which of two moving objects has greater speed. Use similar triangles to explain why the slope m is the same between any two distinct points on a non-vertical line in the coordinate plane; derive the equation y = mx for a line through the origin and the equation y = mx + b for a line intercepting the vertical axis at b.
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Notes and Feedback
• Imprima un «Folleto del maestro» y un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
1
1. Distribuya un «Folleto del estudiante» a cada uno. 2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Exploración» y «Explicar» del alcance, evalúe formativamente su progreso tomando notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo. 3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo. 4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje. 5. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el «Folleto del maestro». 6. Las notas anecdóticas proporcionadas en el «Folleto del maestro» pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares. 7. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la «Guía de instrucción andamiada» en la sección «Inicio» de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
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Proportional Relationships
Standards for Mathematical Practice
Notes and Feedback
Make sense of problems and persevere in solving them Reason abstractly and quantitatively Construct viable arguments and critique the reasoning of others Model with mathematics Use appropriate tools strategically
Attend to precision Look for and make use of structure Look for and express regularity in repeated reasoning
Consider these reflection questions in this scope. ●
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them?
●
What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
2
FOLLETO PARA EL MAESTRO
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GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES Proportional Relationships
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
EVALUAR: MAPA DE CALOR ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
Red – misconception
MAPA DE CALOR
Skills Quiz Standards
Questions
Graph proportional relationships, interpreting the unit rate as the slope of the graph. Compare two different proportional relationships represented in different ways. For example, compare a distance-time graph to a distance-time equation to determine which of two moving objects has greater speed.
Use similar triangles to explain why the slope m is the same between any two distinct points on a non-vertical line in the coordinate plane; derive the equation y = mx for a line through the origin and the equation y = mx + b for a line intercepting the vertical axis at b.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
MATERIALES
• 1 mapa de calor (por estudiante) • 1 lápiz de color rojo (por estudiante) • 1 lápiz de color azul (por estudiante) • 1 lápiz de color naranja (por estudiante)
1
Proportional Relationships
• Determine si los estudiantes analizarán su «Prueba de habilidades», la «Evaluación basada en estándares», o ambas. • Imprima un «Mapa de calor» para cada estudiante.
Reflection Questions 1. Which skill did you feel most confident with? Why?
PREPARACIÓN
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
• Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
3. Which type of error did you most commonly make?
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
4. How can you avoid those errors in the future?
1. Dé un «Mapa de calor» a cada estudiante junto con lápices de colores rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s).
2
Proportional Relationships
Refer to your answers on the Standards-Based Assessment. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue - miscalculation
Orange - explanation
Red - misconception
3. Anímelos a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a utilizar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada.
Standards-Based Assessment Standards
Graph proportional relationships, interpreting the unit rate as the slope of the graph. Compare two different proportional relationships represented in different ways. For example, compare a distance-time graph to a distance-time equation to determine which of two moving objects has greater speed.
Use similar triangles to explain why the slope m is the same between any two distinct points on a non-vertical line in the coordinate plane; derive the equation y = mx for a line through the origin and the equation y = mx + b for a line intercepting the vertical axis at b.
Questions
1
2
4
5
6
7
9
10
3
8
2. Los estudiantes usan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el «Mapa de calor». Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los estudiantes colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, los estudiantes colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, los estudiantes colorean el cuadro correspondiente de rojo.
4. Consulte la «Guía de instrucción andamiada» que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
3
MAPA DE CALOR ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
INTERVENIR: REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES Proportional Relationships
REFORZAR Y VOLVER A ENSEÑAR
REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES DESCRIPCIÓN Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para intervención.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 revisión rápida (por estudiante)
Checkup 1.
If the unit rate of a proportional relationship equals 10, what would the slope of the corresponding line be? 10
2.
A line with a __________ slope goes down from left to right. negative
3.
Lorenzo can bake three pies in his oven in one hour, as shown in the graph. How many pies could he bake in 4 hours? 12
4.
What is the y-intercept of the line y = 8x – 2?
5.
What is the unit rate for the given table? 5
6.
Which of the following plots has a positive slope? Both
7.
Given two points on a line, what equals the change in the y value divided by the change in the x value? The slope of the line
8.
Graphically, the unit rate equals the slope of a line. A. True B. False
9.
An equation in slope-intercept form is of the form __________. y = mx + b
10.
As the unit rate increases, the line of a proportional relationship gets steeper. A. True B. False
(0, −2) x
0
1
2
3
4
5
y
6
11
16
21
26
31
• 1 repaso (por estudiante) • 1 revisión general (por estudiante) • 1 lista de verificación para el maestro (por maestro)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de la «Revisión rápida», el «Revisión» y la «Revisión general» para cada estudiante. • Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar la «Revisión». • Si lo desea, imprima un ejemplo del «Esquema de anclaje» de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que usen la «Libreta interactiva» como recurso.
REVISIÓN GENERAL CLAVE DE RESPUESTAS
• Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayudas suplementarias para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Dé una copia de la «Revisión rápida» a cada estudiante. 2. Cada uno debe completarla de forma independiente. 3. Use la rúbrica de habilidades al final de la «Revisión rápida» para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional. 4. Distribuya una copia de «Revisión» a cada uno. 5. Cada estudiante debe completar la «Revisión» como actividad de intervención o de forma independiente. a.
Si lo desea, reúna a los estudiantes en pequeños grupos para trabajar en las destrezas de repaso. Utilice el «Revisión» como ayuda para la reenseñanza.
6. Distribuya una copia de la «Revisión general» a cada uno. 7. Cada estudiante debe completarla de forma independiente. 8. Analice los resultados de la «Revisión general» al usar la «Lista de verificación para el maestro» para identificar quienes necesitan un repaso adicional y quienes han alcanzado el dominio de los conceptos.
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GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
ACELERACIÓN: ¿QUÉ PREFERIRÍAS? Proportional Relationships
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
¿QUÉ PREFERIRÍAS?: TÉCNICO DE LAVAVAJILLAS
Dishwasher Repairman Use mathematical reasoning and creativity to justify your answer to the Would You Rather question. Joshua’s dishwasher is broken, and he is calling companies to find a repairman. The repairman at Best Appliance Repair charges $50 per hour and has a 4-star rating. The repairman at Al’s Appliance Repair charges $60 per hour and has a 5-star rating. Would you rather get a repairman from Best Appliance Repair or Al’s Appliance Repair? Justify your reasoning with mathematics. Represent the problem using the tables below.
Best Appliance Repair x
y
k=
0
0
0
1
y x
Al’s Appliance Repair x
y
k=
0
0
0
50
1
60
2
100
2
120
3
150
3
180
DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
MATERIALES
y x
IMPRESOS
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 rúbrica (por maestro)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno.
Sample answers may include the following: I would rather get a repairman from Best
• Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
Appliance Repair because their services are cheaper. I would rather get a repairman from Al’s Appliance Repair because although they are more expensive, they have a 5-star rating.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a mirar sus folletos de «Explorar» si necesitan repasar habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros. 4. Utilice la rúbrica proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
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GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Proportional Relationships
Choose 6 ● Care (MUS ● Scien ● Arts C ● Kitch ● Crea ● Finan ● Tech ● Analo ● Math ● Othe by PM
OPCIONES PARA EL APRENDIZAJE CONTINUO
TABLERO DE OPCIONES DESCRIPCIÓN Los estudiantes explorarán las conexiones con el mundo real y las aplicaciones del contenido matemático a través de interacciones con actividades atractivas.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 tablero de opciones (por estudiante) • 1 juego de hojas de actividades (por estudiante) • 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante) REUTILIZABLE
• Tecnología (si corresponde)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Tablero de opciones» y un juego de hojas de actividades para cada estudiante.
Proportional Relationships Choose one or more extension activities from the table below. Career Connection
Portrait Artist
Research the career field of portrait artistry. Your research must answer the provided questions. Create a presentation to relay your research to the class.
Kitchen Connection
Recipe Yield
Analyze the data provided on the handout about a recipe, and then create a line graph and answer the questions.
Art Connection
Analogies
Golden Rectangle
Slopes
Use the golden ratio to outline a golden rectangle. Then, illustrate it.
Complete the analogies to demonstrate an understanding of the relationship of coordinates in determining slopes.
Mathematician Spotlight
Financial Connection
Luca Pacioli
Comparing Profits
Search out several news articles or research papers that involve Luca Pacioli’s work. Create an informational poster, diorama, or speech to convey this mathematician’s work as it relates to proportional relationships.
We use math every day in our financial world. Explore how profits represented as proportional relationships in different ways connect to our financial world, by completing the handout.
• Imprima una «Autoevaluación del tablero» para cada estudiante. • Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
1
TABLERO DE OPCIONES
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» a cada estudiante. 2. Dé tiempo a los estudiantes para examinar el «Tablero de opciones» y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anímelos a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del tablero, haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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GRADO 8: RELACIONES PROPORCIONALES
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8º CURSO RESOLUCIÓN DE PARES DE ECUACIONES LINEALES GRADO 8
RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: REALIDAD O FICCIÓN Los estudiantes participan en un ejercicio dinámico para identificar y abordar conceptos erróneos relacionados con un estándar previo.
ESTÁNDARES CLAVE Analizar y resolver ecuaciones lineales y pares de ecuaciones lineales simultáneas. • Analizar y resolver pares de ecuaciones lineales simultáneas. • Comprender que las soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables corresponden a puntos de intersección de sus gráficas, porque los puntos de intersección satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente. • Resolver sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables algebraicamente, y estimar soluciones al graficar las ecuaciones. Resolver casos sencillos por inspección. Por ejemplo, 3x + 2y = 5 y 3x + 2y = 6 no tienen solución porque 3x + 2y no pueden ser simultáneamente 5 y 6. • Resolver problemas matemáticos y del mundo real que den lugar a dos ecuaciones lineales en dos variables. Por ejemplo, dadas las coordenadas de dos pares de puntos, determinar si la recta que pasa por el primer par de puntos interseca a la recta que pasa por el segundo par.
• Los estudiantes escuchan las indicaciones y deciden si son realidad o ficción desplazándose a los lados del salón de clases que se designen. • La actividad fomenta el debate entre compañeros para explorar el razonamiento que subyace a sus elecciones. • Los maestros facilitan la actividad al leer las instrucciones y guiar a los estudiantes de vuelta a los puntos de partida antes de cada nueva instrucción. • El ejercicio pretende descubrir conceptos erróneos, como confusión sobre valores o terminología, sin ser calificado. CAPTAR INTERÉS Los estudiantes resuelven un problema del mundo real al determinar los costos de diferentes artículos mediante ecuaciones algebraicas. • Se presenta a los estudiantes un escenario en el que dos compañeros tienen que calcular el costo de los refrescos comprados en un cine. • Analizan los pedidos y los costos totales para establecer y resolver ecuaciones lineales algebraicamente. • La actividad anima a los estudiantes a crear y resolver sus propios escenarios, para reforzar su comprensión de los conceptos algebraicos.
ACTIVIDADES DE EXPLORACIÓN EXPLORACIÓN 1: GRAFICAR PARES DE ECUACIONES LINEALES Los estudiantes exploran sistemas de ecuaciones lineales mediante gráficos para determinar la cantidad de soluciones. • Los estudiantes trabajan en parejas para representar gráficamente ecuaciones que representan el aumento de seguidores en las redes sociales y analizan las intersecciones para encontrar soluciones. • Participan en debates guiados para comprender el concepto de punto de intersección y su importancia en la resolución de sistemas de ecuaciones. • La actividad incluye la resolución de problemas en colaboración y la reflexión, al animar a los estudiantes a comparar estrategias y resultados. • Los estudiantes completan un «Boleto de salida» para evaluar su comprensión y reforzar el aprendizaje a través de «Libretas interactivas» y debates en clase. EXPLORACIÓN 2: ANÁLISIS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Los estudiantes analizan pares de ecuaciones lineales para determinar el tipo de solución que representan. • Los estudiantes trabajan en parejas para graficar ecuaciones a partir de un escenario de minicarros de carreras e identificar intersecciones.
ESTÁNDARES DE CONEXIÓN Analizar y resolver ecuaciones lineales y pares de ecuaciones lineales simultáneas. • Resolver ecuaciones lineales en una variable. • Dar ejemplos de ecuaciones lineales en una variable con una solución, infinitas soluciones o sin solución. Demostrar cuál de estas posibilidades es el caso al transformar sucesivamente la ecuación dada en formas más simples, hasta que resulte una ecuación equivalente de la forma x = a, a = a, o a = b (donde a y b son números diferentes). • Resolver ecuaciones lineales con coeficientes de números racionales, incluso ecuaciones cuyas soluciones requieran expandir expresiones al usar la propiedad distributiva y al unir términos semejantes.
• Exploran los conceptos de rectas paralelas, rectas coincidentes y rectas de intersección para determinar si los sistemas no tienen solución, tienen infinitas soluciones o tienen una única solución. • A través de preguntas guiadas y debates, profundizan su comprensión de las pendientes y las intersecciones y en relación con las soluciones. • La actividad concluye con una charla de matemáticas y un «Boleto de salida» para evaluar la comprensión y fomentar la reflexión sobre las estrategias utilizadas. EXPLORACIÓN 3: RESOLVER CON SUSTITUCIÓN Los estudiantes usarán la sustitución para resolver sistemas de ecuaciones lineales en un entorno colaborativo. • Los estudiantes trabajan en grupos para determinar la cantidad de adultos y niños en las atracciones del parque de diversiones al usar ecuaciones dadas. • Aplican técnicas de sustitución para resolver sistemas de ecuaciones, centrándose en aislar variables y sustituir valores. • La actividad incluye preguntas guiadas para facilitar la comprensión y anima a los estudiantes a compartir estrategias y observaciones. • Completan un «Boleto de salida» para evaluar su comprensión y participan en una charla de matemáticas para debatir su aprendizaje y estrategias. EXPLORACIÓN 4: RESOLVER CON ELIMINACIÓN Los estudiantes se involucran con el método de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones lineales a través de un enfoque colaborativo y práctico. • Trabajan en grupos para determinar el costo de los artículos ordenados mediante el análisis de escenarios dados y la resolución de ecuaciones lineales al usar el método de eliminación. • Usan tarjetas de pedido para practicar la escritura y la resolución de ecuaciones, centrándose en la comprensión del proceso de eliminación y su aplicación. • La actividad incluye preguntas guiadas y charlas matemáticas para facilitar el debate y la reflexión sobre las estrategias utilizadas y los conceptos matemáticos implicados. • Los estudiantes completan un «Boleto de salida» para evaluar su comprensión y aplicar sus habilidades para resolver problemas similares de forma independiente.
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GRADO 8: RESOLVER DE ECUACIONES RESOLUCIÓN DE PARES DEPARES ECUACIONES LINEALESLINEALES GRADE 8
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES
ECUACIONES LINEALES
CONCEPTOS CLAVE
Los estudiantes analizan la cantidad de soluciones de ecuaciones lineales y grafican sistemas para determinar puntos de intersección, lo que les ayuda a visualizar y resolver problemas que involucran pendientes e interceptos. Trabajan con coeficientes racionales, aplican la propiedad distributiva y exploran escenarios de una solución, ninguna solución e infinitas soluciones al usar estrategias de graficación, sustitución y eliminación.
PREGUNTAS FUNDAMENTALES
• Puedo graficar un sistema de ecuaciones.
• Al graficar sistemas de ecuaciones, «¿por qué la solución de las dos ecuaciones lineales es el punto de intersección?».
• Puedo determinar que la solución de dos ecuaciones lineales es el punto en el que las dos ecuaciones lineales se intersecan.
• Describe las diferencias entre resolver sistemas de ecuaciones al usar sustitución y resolver sistemas de ecuaciones al usar eliminación.
• Puedo resolver un par de ecuaciones lineales simultáneas gráficamente, algebraicamente y por inspección.
• Puedo identificar el sistema de las soluciones de ecuaciones se escribe como un solo par ordenado (x, y) en el que ambas ecuaciones se satisfacen simultáneamente.
• Explica cómo sabes si hay una solución, ninguna solución o una cantidad infinita de soluciones.
• Puedo resolver sistemas de ecuaciones algebraicamente al usar sustitución y eliminación. • Puedo resolver problemas matemáticos y del mundo real que conducen a dos ecuaciones lineales en dos variables. • Puedo escribir un sistema de ecuaciones lineales a partir de un problema matemático dado o del mundo real.
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
INICIO: CONTENIDO DE APOYO ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
CONTENIDO DE APOYO Analizar y resolver ecuaciones lineales y pares de ecuaciones lineales simultáneas. • Analizar y resolver pares de ecuaciones lineales simultáneas. • Comprender que las soluciones a un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables corresponden a puntos de intersección de sus gráficas porque los puntos de intersección satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente. • Resolver sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables algebraicamente y estimar soluciones al graficar las ecuaciones. Resolver casos sencillos por inspección. Por ejemplo, 3x + 2y = 5 y 3x + 2y = 6 no tienen solución porque 3x + 2y no pueden ser simultáneamente 5 y 6. • Resolver problemas matemáticos y de la vida real que den lugar a dos ecuaciones lineales en dos variables. Por ejemplo, dadas las coordenadas de dos pares de puntos, determinar si la recta que pasa por el primer par de puntos interseca a la recta que pasa por el segundo par.
CONOCIMIENTO PREVIO En 6.º grado, los estudiantes empezaron a determinar si los valores de una variable dada satisfarían una ecuación dada. Los estudiantes aprendieron a sustituir el valor dado en la ecuación o desigualdad para ver si el enunciado matemático desarrollado por la ecuación era verdadero. Los estudiantes hicieron la conexión que un valor variable que satisfizo o hizo la ecuación verdadera era una solución a la ecuación. En 7.º grado, los estudiantes aprendieron a Resolver ecuaciones y desigualdades dadas para encontrar soluciones que satisficieran la ecuación. Los estudiantes usaron operaciones inversas para trabajar una ecuación o desigualdad hacia atrás para determinar el valor de la variable que haría que la ecuación o desigualdad verdadera. El valor de la variable encontrado es la solución de la ecuación o desigualdad.
CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
• Dado que las soluciones de un sistema de ecuaciones se escriben como un par ordenado, los estudiantes tenderán a encontrar el valor x de la solución y olvidarán encontrar el valor y al resolver algebraicamente. • Los estudiantes tendrán dificultades para determinar el método apropiado (sustitución o eliminación) que deben usar para resolver algebraicamente sistemas de ecuaciones. • Los estudiantes encontrarán dificultades cuando las ecuaciones no estén escritas en y = mx + b forma al graficar. • Los estudiantes necesitarán refuerzo sobre cómo convertir ecuaciones de la forma estándar (Ax + Bx = C) a la forma pendiente-intersección (y = mx + b).
ALCANCE ACTUAL Los estudiantes serán introducidos al proceso de resolver sistemas de ecuaciones gráfica y algebraicamente. Al resolver sistemas de ecuaciones, los estudiantes identificarán el valor x y y de un punto (solución) que satisfaga ambas ecuaciones del sistema. Al igual que en la resolución de ecuaciones lineales, las soluciones de los sistemas de ecuaciones pueden presentarse de varias formas. Los sistemas de ecuaciones pueden tener una solución, ninguna solución o infinitas soluciones. Los estudiantes usarán gráficas y resolverán ecuaciones algebraicas para encontrar la(s) solución(es) que hará(n) las dos ecuaciones iguales. TÉRMINOS CLAVE
• coeficiente: el número colocado directamente antes de una variable que le dice que multiplique ese número por la variable • plano de coordenadas: dos rectas numéricas perpendiculares, llamadas el eje x y el eje y, que se cruzan en el punto (0, 0) y crean cuatro cuadrantes; también llamado gráfica, cuadrícula de coordenadas o plano cartesiano • variable dependiente: una variable, a menudo y, que depende del valor de la variable independiente • variable independiente: una variable, a menudo x, que no depende del valor de otra variable • infinito: que tiene una cantidad ilimitada de valores • ecuación lineal: una ecuación en la que ninguna variable tiene una potencia mayor que 1; la forma general es y = mx + b, donde m = pendiente y b = intersección yo • origen: el punto central de un plano de coordenadas, donde se cruzan el eje x y el eje y, situado en (0, 0) • par ordenado: la posición de un único punto en un plano de coordenadas en el que el primer y segundo valor representan la posición relativa al eje x y al eje y, respectivamente (x, y); también conocido como par de coordenadas
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
• línea no vertical: una línea que es horizontal o diagonal • punto: un punto que representa un punto específico en una recta numérica o plano de coordenadas; un objeto geométrico sin dimensión que se usa para indicar un lugar • punto de intersección: el punto donde dos o más líneas se cruzan • número racional: un número que puede escribirse como una fracción de enteros __ ba , donde b ≠ 0; un número que puede escribirse como un cociente al usar dos enteros • pendiente: qué pendiente tiene una recta; representada como m en la ecuación pendiente-intersección • forma pendiente-intersección: una manera de escribir la ecuación de una recta para que sea fácil ver la pendiente y intersección y o de la recta; y = mx + b • solución: cualquier número que hace que una ecuación sea verdadera • forma estándar (lineal): Ax + By = C, donde A, B, y C son constantes y A y B no son ambas 0
• sustitución: sustitución de letras en una expresión algebraica por valores conocidos • sistema de ecuaciones: dos o más ecuaciones con dos o más variables • variable: letra o símbolo que ocupa el lugar de un número que puede cambiar; letra que puede representar un número desconocido o un conjunto de números • eje x: una recta numérica horizontal en un plano de coordenadas • coordenada x: el primer término de un par ordenado; proporciona la posición a lo largo del eje x dentro del plano de coordenadas • eje y: una recta numérica vertical en un plano de coordenadas • coordenada y: el segundo término de un par ordenado; proporciona la posición a lo largo del eje y dentro del plano de coordenadas • intersección y: Punto de la gráfica de una ecuación en el que la recta cruza el eje y
APLICAR LAS PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los sistemas de ecuaciones pueden presentarse de muchas formas. Las ecuaciones pueden estar escritas para los estudiantes, o pueden estar incrustadas dentro de un problema de palabras y necesitan ser descubiertas por los estudiantes. Los estudiantes dan sentido al problema de sistema de ecuaciones al determinar qué representan las variables y cómo se usan para desarrollar las ecuaciones. • MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes descontextualizan problemas dados para resolver matemáticamente. Una vez encontrada la solución, los estudiantes contextualizan la solución y comprueban su validez. • MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros: Los estudiantes explican sus razonamientos al analizar y comparar ecuaciones lineales y usan las pendientes y las intersecciones y de las ecuaciones para justificar sus razonamientos. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes representan situaciones al usar gráficas y ecuaciones. Una vez que han puesto los datos en una ecuación o en un gráfico, los estudiantes analizan y/o resuelven algebraicamente para encontrar una solución. • MP.5 Usar estratégicamente las herramientas apropiadas: Los estudiantes analizan gráficos para determinar soluciones y comparar dos ecuaciones que representan un escenario. El uso de las gráficas proporcionadas ayuda a los estudiantes a ver y comparar visualmente las dos ecuaciones lineales. • MP.6 Prestar atención a la precisión: Al resolver sistemas de ecuaciones, las soluciones contienen los valores x y y para representar la solución de las ecuaciones. Al resolver algebraicamente los valores x y y , los estudiantes deben prestar mucha atención a los signos positivos y negativos y a los signos de operación porque se combinan los términos comunes. Los estudiantes a menudo confunden o ignoran los signos positivos y negativos y los signos de operación cuando combinan términos semejantes, al desviar la respuesta global. • MP.7 Buscar y usar la estructura: Al resolver sistemas de ecuaciones al usar la eliminación, los estudiantes alinean los términos comunes para demostrar la pieza de cancelación. Al hacer una estructura al alinear los términos comunes, ven más visiblemente los términos que serán eliminados para resolver. Los estudiantes también deben hacer un punto en el problema para recordar que deben resolver para la segunda variable. Por ejemplo, si se utiliza la eliminación para resolver el valor x, entonces el valor x se usará para resolver el valor y. Esta estructura y rutina ayuda a los estudiantes a obtener la solución global del sistema de ecuaciones. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes buscan razonamientos repetidos cuando determinan qué método resuelve mejor un conjunto de ecuaciones lineales. Descubren qué requiere cada método (graficación, sustitución y eliminación) para que sea la estrategia más eficiente para resolver.
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
GRAFICAR SISTEMAS DE ECUACIONES Al graficar sistemas de ecuaciones, los estudiantes tomarán ecuaciones en forma pendiente-intersección (y = mx + b) e identificarán la intersección y y pendiente para graficar cada ecuación. Si las ecuaciones están en forma estándar, los estudiantes tendrán que convertirlas a la forma pendiente-intersección (y = mx + b) antes de intentar representarlas gráficamente. Una vez graficadas todas las ecuaciones en el mismo plano de coordenadas, los puntos de intersección entre las ecuaciones son las soluciones del sistema de ecuaciones. Los estudiantes enumerarán el par ordenado (x, y) que indica el punto de intersección como solución(es) del sistema de ecuaciones. Si las ecuaciones no se cruzan y son paralelas entre sí, se trataría de un ejemplo de sistema sin solución. Si las rectas nunca se cruzan, entonces en ningún momento habrá una solución que satisfaga ambas ecuaciones. Si la gráfica muestra una sola línea cuando se grafican ambas ecuaciones, entonces el sistema tiene infinitas soluciones ya que hay muchos puntos que satisfacen ambas ecuaciones al mismo tiempo.
Ejemplo 2: «¿Qué tipo de solución demuestra el sistema de ecuaciones a continuación?».
Ejemplo 1: «¿Cuál es la solución del siguiente sistema de ecuaciones?».
Opción de respuesta D es la opción correcta. Cuando observas la gráfica de un sistema de ecuaciones, puedes identificar la solución que satisfaría ambas ecuaciones al localizar el punto en el que se cruzan las rectas. Cuando las rectas no se cruzan, no hay solución o punto que satisfaga ambas ecuaciones al mismo tiempo. Como no hay punto de intersección, este sistema de ecuaciones no tiene solución.
a. Una solución; (0, 2) b. Infinitas soluciones c. Una solución; (0, -1) d. Ninguna solución
Ejemplo 3: Las ecuaciones y = 3x + 4 y -6x + 2y = 8 se grafican en el plano de coordenadas de abajo. Describe la solución o soluciones que satisfagan el sistema de ecuaciones. Justifica tu respuesta.
a. (0, 3) b. (2, 2) c. (0, 0) d. (-2, 2) Opción de respuesta B es la opción correcta. Al observar la gráfica de un sistema de ecuaciones, puedes identificar la solución que satisfaría ambas ecuaciones al localizar el punto en el que se cruzan las rectas. El punto en el que se cruzan las rectas de las ecuaciones representa los valores x y y que harían que ambas ecuaciones se cumplieran al mismo tiempo. En el caso de este problema El punto de intersección es (2, 2) ya que ambas rectas pasan por ese punto.
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La respuesta es infinitas soluciones. Las justificaciones pueden variar. Para entender que los dos sistemas están graficados en el mismo plano de coordenadas, la ecuación -6x +2y = 8 necesitaría cambiarse de la forma estándar a la forma pendiente-intersección, y = mx + b. Para hacer esto, 6x debe sumarse a ambos lados de la ecuación para obtener 2y = 8 + 6x. A continuación, ambos lados de la ecuación deben dividirse por 2 para obtener y = 4 + 3x. Una vez convertida la ecuación, es más fácil ver que las dos ecuaciones son iguales. Puesto que ambas ecuaciones son idénticas, esto demostraría que tendrían todos sus puntos iguales. Dado que todos sus puntos serían iguales, esto les daría infinitas soluciones para elegir.
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
Ejemplo 4: Grafique el siguiente sistema de ecuaciones en el plano de coordenadas de abajo y enumere la(s) solución(es) en la recta. 3y + 6x = 9 1 y = __ x - 2 2
ANALIZAR ECUACIONES No se necesita una gráfica para determinar si un sistema de ecuaciones tiene una solución, ninguna solución, o infinitas soluciones. Los estudiantes son capaces de ver las ecuaciones en forma pendiente-intersección y determinar el tipo de solución que tendría el sistema de ecuaciones. Si las ecuaciones escritas en forma pendiente-intersección en un sistema de ecuaciones tienen diferentes pendientes y diferentes intersecciones y, entonces el sistema de ecuaciones tendrá una solución. Si las ecuaciones escritas en forma pendienteintersección en un sistema de ecuaciones tienen la misma pendiente pero una intersección y diferente, entonces las rectas serán paralelas y no tendrán solución. Cuando las ecuaciones de un sistema de ecuaciones son exactamente iguales cuando se escriben en forma pendiente-intersección, el sistema de ecuaciones tendrá infinitas soluciones. Al buscar estos tres escenarios con pendiente e intersecciones y de ecuaciones dadas, los estudiantes podrán determinar la cantidad de soluciones que tendrá el sistema de ecuaciones.
Ejemplo 1: «¿Cuántas soluciones tendrá el siguiente sistema de ecuaciones?». y = 2x - 3 y = 2x + 7 a. Infinitas soluciones Soluciones = __________________________________ La respuesta es (2, -1). Para comenzar a graficar las ecuaciones anteriores, 6x + 3y = 9 deben convertirse de la forma estándar a la forma pendiente-intersección. Para ello, resta 6x de ambos lados de la ecuación para obtener 3y = 9 - 6x. Luego, divide ambos lados de la ecuación entre 3 para obtener y = 3 - 2x. Una vez formada la ecuación, grafica ambas ecuaciones al usar la pendiente y intersección. Empieza en la intersección y y luego usa la pendiente para subir y bajar hasta crear otro punto. Une los dos puntos con una línea recta. Una vez graficadas las ecuaciones, la solución es el punto de intersección de las dos ecuaciones, que es (2, -1).
b. Una solución c. Ninguna solución La opción de respuesta C es la respuesta correcta. Para determinar la cantidad de soluciones dentro de este sistema de ecuaciones, localiza las pendientes e intersecciones y de las ecuaciones. (La pendiente es el coeficiente delante de la x y la intersección y es la constante con el signo de operación delante). Al mirar este sistema de ecuaciones, la pendiente en ambas ecuaciones es la misma pero la intersección y no lo es. Esta situación hace que las ecuaciones sean paralelas, lo que lleva a que el sistema de ecuaciones no tenga ninguna solución. Ejemplo 2: «¿Cuántas soluciones tendrá el siguiente sistema de ecuaciones?». 1 x - 7 y = __ 2
4 y = __ x + 8 7
a. Infinitas soluciones b. Una solución c. Ninguna solución La opción de respuesta B es la opción correcta. Para determinar la cantidad de soluciones dentro de este sistema de ecuaciones, localiza las pendientes e intersecciones y de las ecuaciones. (La pendiente es el coeficiente delante de x y la intersección y es la constante con el signo de operación delante). Al mirar este sistema de ecuaciones, las pendientes e intersecciones y son todas diferentes, por lo tanto, el sistema de ecuaciones tendrá una solución.
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
INICIO: CONTENIDO DE APOYO Ejemplo 3: A James se le presentó el siguiente sistema de ecuaciones: 3 y = -__ x + 2 2
6x + 4y = 8 James expresó que la solución a este sistema de ecuaciones no tendría solución ya que las pendientes serían las mismas. «¿Estás de acuerdo con James?». Justifica tu respuesta. La respuesta correcta es no. Las justificaciones variarán. Para comparar los dos sistemas de ecuaciones, ambos necesitan estar en forma pendiente-intersección. Para convertir 6x + 4y = 8 en forma pendiente-intersección, resta 6x de ambos lados de la ecuación. A continuación, divide todos los términos de la ecuación por 4. Cuando hayas terminado, la ecuación será y = 2 - 3/2x. Esto demostraría que ambas ecuaciones son exactamente iguales. Cuando tanto la pendiente como la intersección y son iguales, esto representaría infinitas soluciones. James se equivoca porque solo se fijó en la pendiente y no en la intersección y. Cuando solo las pendientes son iguales y las intersecciones y no lo son, esto representaría ninguna solución donde esta ecuación tiene la misma pendiente e intersección y, así que este sistema de ecuaciones tendría infinitamente muchas soluciones.
Ejemplo 1: Al usar la sustitución, determine la solución del siguiente sistema de ecuaciones: 2x + 3y = 19 y = 2x + 1 a. (2, 5) b. (5, 2) c. (2, 1) d. (3, 6) La opción de respuesta A es correcta. Para resolver esta ecuación, los estudiantes tendrán que sustituir 2x +1 en la ecuación 2x + 3y = 19 para la variable y para obtener 2x + 3(2x + 1) = 19. A continuación, los estudiantes usarán la propiedad distributiva para repartir el 3 entre los 2x y + 1 para deshacerse de los paréntesis: 2x + 6x + 3 = 19. A partir de aquí, los estudiantes combinarán términos semejantes para obtener 8x + 3 = 19. Luego, los estudiantes restarán 3 a ambos lados de la ecuación para obtener 8x = 16 y, a continuación, dividirán ambos lados de la ecuación por 8. La respuesta final sería x = 2. A continuación, los estudiantes tendrán que introducir el 2 en la ecuación original y = 2x + 1 para obtener el valor de y y = 5. Por lo tanto, la solución de este sistema de ecuaciones es (2, 5).
RESOLVER ALGEBRAICAMENTE Los sistemas de ecuaciones pueden usar procedimientos algebraicos para determinar el punto de solución cuando una gráfica u opciones gráficas no están disponibles. Se pueden usar estrategias algebraicas como la sustitución y la eliminación para encontrar el valor x y y del punto solución. Cuando se utiliza la sustitución para resolver un sistema de ecuaciones, los estudiantes introducen una de las ecuaciones del sistema de ecuaciones en la otra ecuación. Los estudiantes buscarán la ecuación que se escribe como y = para sustituirla en la otra ecuación para esa variable. Una vez introducida, los estudiantes combinarán términos semejantes y usarán operaciones inversas para resolver el valor de x. (Puede invertirse en función de si la ecuación dice x =). Una vez encontrado el valor x, introduce el valor x en la ecuación original para resolver el valor y. Al usar la eliminación para resolver sistemas de ecuaciones, los estudiantes desarrollarán inversos aditivos de una variable para alinear las dos ecuaciones con el fin de cancelar una variable. Una vez cancelada una variable, los estudiantes combinarán términos semejantes y usarán operaciones inversas para resolver la variable que queda. El valor de esa variable se introducirá en la ecuación original para obtener el valor de la otra variable. Independientemente de la estrategia algebraica que usen los estudiantes, tendrán que encontrar los valores de x y y que satisfagan las ecuaciones, al formar así el punto de solución.
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Ejemplo 2: Determina la solución del siguiente sistema de ecuaciones al usar sustitución. x = - 6y - 1 2x + y = 20 La solución es __________________________ La respuesta correcta es (11, -2). Para resolver esta ecuación, los estudiantes tendrán que sustituir -6y - 1 en la ecuación 2x + y = 20 por la variable y para obtener 2(6y - 1) + y = 20. A continuación, los estudiantes usarán la propiedad distributiva para repartir el 2 entre -6y y -1 para deshacerse de los paréntesis: -12y - 2 + y = 20. A partir de aquí, los estudiantes combinarán los términos semejantes para obtener -11y - 2 = 20. A continuación, los estudiantes sumarán 2 a ambos lados de la ecuación para obtener -11y = 22 y, a continuación, dividirán ambos lados de la ecuación por 11. La respuesta final sería y = -2. Luego, los estudiantes tendrán que insertar el -2 en la ecuación original x = -6y - 1 para obtener el valor de x = 11. Por lo tanto, la solución de este sistema de ecuaciones es (11, -2).
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
INICIO: CONTENIDO DE APOYO Ejemplo 4: Evalúa el siguiente sistema de ecuaciones mediante eliminación: 2x + 3y = 3 x + 5y = 12 Solución = __________________________________________
Ejemplo 3: «¿Cuál es la solución del siguiente sistema de ecuaciones?». 7x - 5y = 58 -3x + 5y = - 22 a. (1, 9) b. (9, 0) c. (9, 1) d. (0, 9) La respuesta es la opción C. Al resolver este sistema de ecuaciones, la sustitución no sería una opción fácil ya que ninguna de las ecuaciones dice y = o x =. La eliminación sería una buena opción para resolver ya que el valor de y en cada ecuación es el inverso aditivo de la otra. Puesto que son inversos aditivos, puedes sumar las dos ecuaciones para cancelar el valor de y y combinar los valores de x. Cuando se suman las dos ecuaciones, los valores -5y y 5y se anulan entre sí. Los 7x y -3x se sumarán para obtener 4x. Los 58 y -22 se suman para obtener 36. Ahora, la ecuación será 4x = 36. A continuación, los estudiantes dividirán ambos lados de la ecuación por 4 para obtener x = 9. A continuación, los estudiantes introducirán el 9 en la ecuación original para determinar el valor apropiado de y. La ecuación será 7(9) - 5y = 58. Los estudiantes multiplicarán 7 × 9 = 63, por lo que la ecuación será 63 - 5y = 58. A continuación, resta 63 de ambos lados de la ecuación para obtener -5y = -5. Luego, divide ambos lados de la ecuación por -5 para que y = 1. La solución del sistema de ecuaciones es (9, 1).
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La respuesta correcta es (-3, 3). Para resolver este sistema de ecuaciones por eliminación, una de las variables debe anularse. Puesto que no hay ningún inverso aditivo presente entre las variables, es importante hacer una para cancelar una variable. Multiplique la segunda ecuación al usar la propiedad distributiva por -2 para hacer una relación aditiva inversa entre los valores x en ambas ecuaciones. Después de esta multiplicación, las ecuaciones deben tener el siguiente aspecto: 2x + 3y = 3 -2x - 10y = -24 Ahora, elimina los valores x al combinar términos semejantes entre las dos ecuaciones para obtener -7y = -21. Divide ambos lados de la ecuación por -7 para obtener y = 3. Ahora que se ha obtenido el valor de y, introdúzcalo de nuevo en la ecuación original para resolver x. Cuando se introduce 3 en la ecuación original para y, la ecuación sería 2x +3(3) = 3. Multiplique 3(3) para obtener 3(3). Multiplica 3(3) para obtener 2x +9 = 3. Resta el 9 de ambos lados de la ecuación para obtener 2x = - 6, luego divide ambos lados de la ecuación por 2 para obtener x = - 3. La solución final de este sistema de ecuaciones es (-3, 3).
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
TODAS LAS ESTRATEGIAS
AVANCES
Los sistemas de ecuaciones pueden usarse para resolver problemas de la vida real cuando se trata de comparar dos elementos iguales bajo dos criterios diferentes. Por ejemplo, un sistema de ecuaciones puede incluir las entradas de niños y adultos vendidas bajo los criterios de dinero total recibido y cantidad total de entradas de niños vendidas frente a la cantidad total de entradas de adultos vendidas. La mejor manera de empezar a resolver sería desarrollar un enunciado sea para etiquetar los elementos que faltan con una variable. Una vez que se desarrolla un sistema de ecuaciones, se puede usar cualquier método (graficación, sustitución o eliminación) para resolver el sistema de ecuaciones.
En la escuela secundaria, los estudiantes explorarán no solo las relaciones entre sistemas de ecuaciones lineales, sino que buscarán soluciones entre ecuaciones y funciones lineales y ecuaciones y funciones cuadráticas. Los estudiantes usarán sistemas de ecuaciones en todas sus formas (gráfica y algebraicamente) para resolver problemas del mundo real que involucren relaciones lineales. Los estudiantes también encontrarán soluciones entre sistemas de desigualdades gráfica y algebraicamente.
Ejemplo 1: El costo de 5 libros y 2 bolígrafos es de $1.75. El costo de 1 libro y 1 bolígrafo es $0.50. Halla el costo de cada material escolar. a. Libro = $0.75; bolígrafo = $0.30 b. Libro = $0.50; bolígrafo = $0.50 c. Libro = $0.25; bolígrafo = $0.25 d. Libro = $0.30; bolígrafo = $0.30 La opción de respuesta C es la respuesta correcta. Comienza al etiquetar las dos variables diferentes que se usarán dentro del sistema. Sea l = libros y b = bolígrafo. Desarrolle dos ecuaciones para representar las diferentes situaciones. La ecuación uno sería 5l + 2b = $1.75 y la ecuación dos sería 1l + 1b =$0.50. Para resolver estas ecuaciones se puede usar la sustitución o la eliminación. Vea el desglose a continuación para la sustitución. Sustitución: Convierta la segunda ecuación para obtener l = ______. l + b =$0.50 -b -b l = $0.50 -b Sustituya l en la ecuación 1: 5(0.50 - b) + 2b = 1.75 2.50 - 5b + 2b = 1.75 2.50 -3b = 1.75 Reste 2.50 de cada lado. -2.50 -2.50 -3b = -0.75 Divida ambos lados por -3. b = $0.25 Sustituya $0.25 por b en la ecuación original: l + b = $0.50 l + 0.25 = $0.50 Reste 0.25 de cada lado. -0.25 - 0.25 l = 0.25
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
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ANÁLISIS PROFUNDO DE LOS ESTÁNDARES
CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES Analizar y resolver ecuaciones lineales y pares de ecuaciones lineales simultáneas. • Analizar y resolver pares de ecuaciones lineales simultáneas. • Comprender que las soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables corresponden a puntos de intersección de sus gráficas, porque los puntos de intersección satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente. • Resolver sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables algebraicamente, y estimar soluciones al graficar las ecuaciones. Resolver casos sencillos por inspección. Por ejemplo, 3x + 2y = 5 y 3x + 2y = 6 no tienen solución porque 3x + 2y no pueden ser simultáneamente 5 y 6. • Resolver problemas matemáticos y de la vida real que den lugar a dos ecuaciones lineales en dos variables. Por ejemplo, dadas las coordenadas de dos pares de puntos, determinar si la recta que pasa por el primer par de puntos interseca a la recta que pasa por el segundo par.
DESGLOSAR EL ESTÁNDAR VERBOS: ¿QUÉ DEBEN HACER LOS ESTUDIANTES?
• analizar: explorar y explicar • corresponder: tener una gran similitud; coincidir o concordar casi exactamente • estimar: predecir un tamaño, cantidad o valor aproximado de algo; una estrategia utilizada a menudo para resolver un problema • graficar: trazar un conjunto de puntos en un plano de coordenadas • resolver: encontrar un valor que responda a una pregunta y/o haga que una ecuación sea verdadera • entender: captar el significado de
SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBEN CONOCER LOS ESTUDIANTES?
• ecuación: una oración matemática que utiliza números, uno o más símbolos de operación y un signo igual • gráfico: una representación visual de datos • inspección: una estrategia que utiliza un examen cuidadoso de una ecuación • ecuación lineal: una ecuación en la que ninguna variable tiene una potencia mayor que 1; la forma general es y = mx + b, donde m = pendiente y b = intersección yo • problema matemático: un problema que puede ser representado, analizado, y posiblemente resuelto, con los métodos de las matemáticas • punto de intersección: el punto donde dos o más líneas se cruzan • problema del mundo real: un problema basado en el contexto que puede ser interpretado, representado y analizado mediante la aplicación de las matemáticas • solución: cualquier número que hace que una ecuación sea verdadera • sistema de ecuaciones lineales: cuando tenemos dos o más ecuaciones lineales que trabajan juntas • variable: una letra o símbolo que toma el lugar de un número que puede cambiar; una letra que puede representar un número desconocido o un conjunto de números
IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA
• En grados anteriores, los estudiantes han resuelto ecuaciones y desigualdades con una variable y han usado variables para representar cantidades en problemas matemáticos o del mundo real. Han representado gráficamente puntos en un plano de coordenadas. Los estudiantes han resuelto problemas que implican las cuatro operaciones con números racionales. Los estudiantes también son capaces de determinar si las relaciones son proporcionales. • En este nivel de grado, se espera que los estudiantes resuelvan sistemas de dos ecuaciones con dos o más variables. Se espera que los estudiantes determinen que los puntos de intersección son las soluciones a pares de ecuaciones lineales simultáneas. Los estudiantes deben resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante gráficas, algebraicamente y por inspección.
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
ALINEACIÓN VERTICAL GRADO
ESTÁNDAR
6
Entender la resolución de una ecuación o desigualdad como un proceso de respuesta a una pregunta: «¿qué valores de un conjunto especificado, si los hay, hacen que la ecuación o desigualdad sea verdadera?». Usar la sustitución para determinar si un número dado de un conjunto especificado cumple una ecuación o desigualdad. Usar variables para representar cantidades en un problema matemático o del mundo real, y construir ecuaciones y desigualdades sencillas para resolver problemas al razonar sobre las cantidades. a.
Resolver problemas de palabras que conduzcan a ecuaciones de la forma px + q = r y p(x + q) = r, donde p, q, y r son números racionales específicos. Resolver ecuaciones de estas formas con fluidez. Comparar una solución algebraica con una solución aritmética, al identificar la secuencia de las operaciones utilizadas en cada planteamiento.
b.
Resolver problemas de palabras que conduzcan a desigualdades de la forma px + q > r o px + q < r, donde p, q, y r son números racionales concretos. Representar gráficamente el conjunto solución de la desigualdad e interpretarlo en el contexto del problema.
7
8
Usar triángulos similares para explicar por qué la pendiente m es la misma entre dos puntos distintos cualesquiera de una recta no vertical en el plano coordenado; deducir la ecuación y = mx para una recta que pasa por el origen y la ecuación y = mx + b para una recta que intercepta el eje vertical en b. Analizar y resolver pares de ecuaciones lineales simultáneas.
8
a.
Comprender que las soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables corresponden a puntos de intersección de sus gráficas porque los puntos de intersección satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente.
b.
Resolver sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables algebraicamente, y estimar soluciones al graficar las ecuaciones. Resolver casos sencillos por inspección. Por ejemplo, 3x + 2y = 5 y 3x + 2y = 6 no tienen solución porque 3x + 2y no pueden ser simultáneamente 5 y 6.
c.
Resolver problemas matemáticos y del mundo real que conduzcan a dos ecuaciones lineales en dos variables. Por ejemplo, dadas las coordenadas de dos pares de puntos, determinar si la recta que pasa por el primer par de puntos interseca a la recta que pasa por el segundo par.
HS
Crear ecuaciones en dos o más variables para representar relaciones entre cantidades; graficar ecuaciones en ejes de coordenadas con etiquetas y escalas.
HS
Representar restricciones mediante ecuaciones o desigualdades, y mediante sistemas de ecuaciones y/o desigualdades, e interpretar soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de representación.
HS
Demostrar que, dado un sistema de dos ecuaciones en dos variables, la sustitución de una ecuación por la suma de esa ecuación y un múltiplo de la otra produce un sistema con las mismas soluciones.
HS
Resolver sistemas de ecuaciones lineales de forma exacta y aproximada (por ejemplo, con gráficas), centrándose en pares de ecuaciones lineales en dos variables.
HS
Resolver algebraica y gráficamente un sistema sencillo formado por una ecuación lineal y una ecuación cuadrática en dos variables.
HS
Comprender que la gráfica de una ecuación en dos variables es el conjunto de todas sus soluciones trazadas en el plano de coordenadas, a menudo al formar una curva (que podría ser una recta).
HS
Representar gráficamente las soluciones de una desigualdad lineal en dos variables como un semiplano (excluir el límite en el caso de una desigualdad estricta), y representar gráficamente el conjunto de soluciones de un sistema de desigualdades lineales en dos variables como la intersección de los semiplanos correspondientes.
HS
Demostrar los criterios de pendiente de rectas paralelas y perpendiculares y usarlos para resolver problemas geométricos (por ejemplo, hallar la ecuación de una recta paralela o perpendicular a una recta dada que pasa por un punto dado).
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA MONITOREAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA La guía de instrucción andamiada se proporciona para que los maestros puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones del alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que ayuda a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de la evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos según los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere que todos los estudiantes experimenten con los elementos: «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades», ya que cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar. 0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
80 % - 100 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil pueden trabajar en contenido de nivel de grado con apoyos de instrucción.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» individual para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 2. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante de acuerdo con sus datos de evaluación. 3. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la sección «Scaffolded Instruction Guide» en el menú desplegable «Home» del alcance. 4. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Operaciones y Pensamiento algebraico Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Analizar y resolver pares de ecuaciones lineales simultáneas.
Analizar y resolver pares de ecuaciones lineales simultáneas. b. Resolver sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables algebraicamente, y estimar soluciones al graficar las ecuaciones. Resolver casos sencillos por inspección. Por ejemplo, 3x + 2y = 5 y 3x +2y + 6 no tienen solución porque 3x + 2y no pueden ser simultáneamente 5 y 6.
Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez Práctica interactiva • Academia de exploradores del espacio Prueba de habilidades
0 % - 25 %
• Ecuaciones e inecuaciones de dos pasos
8 - Resolver pares de ecuaciones lineales
• Repaso (sección graficar pares de ecuaciones lineales, sección diferentes formas de ecuaciones lineales) • Revisión general (preguntas 3,5,6,10)
25 % - 50 %
• Revisión rápida (pregunta 1-3)
Constructor de fluidez • Ecuaciones e inecuaciones de dos pasos Práctica interactiva • Academia de exploradores del espacio Prueba de habilidades
8 - Resolver pares de ecuaciones lineales Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (pregunta 4) • Repaso (Sección diferentes formas de ecuaciones lineales, sección soluciones) • Revisión general (preguntas 1-4, 7, 8)
Vocabulario interactivo Libreta interactiva Práctica interactiva • La ballesta Constructor de fluidez
50 % - 80 %
50 % - 80 %
(Nivel de grado con apoyos)
Repaso y práctica de habilidades
• Intersección de ecuaciones lineales
8 - Resolver pares de ecuaciones lineales Tarea de representación matemática ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
350
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80 % - 100 %
Conexiones lingüísticas
(Ampliación del nivel de grado)
Ciencia de datos
(Ampliación del nivel de grado)
Repaso y práctica de habilidades
Constructor de bases fundamentales
Vocabulario ilustrado
80 % - 100 %
7 - Resolver ecuaciones y desigualdades
Acceso a conocimientos previos
8 - Resolver pares de ecuaciones lineales
(Nivel de grado)
(Refuerzo del grado anterior)
7 - Resolver ecuaciones y desigualdades
(Nivel de grado)
0 % - 25 % 25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyos)
(Refuerzo del grado anterior)
a. Comprender que las soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables corresponden a puntos de intersección de sus gráficas, porque los puntos de intersección satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente.
8 - Resolver pares de ecuaciones lineales Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva Ciencia de datos Conexiones lingüísticas
8 - Resolver pares de ecuaciones lineales Tarea de representación matemática ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Analizar y resolver pares de ecuaciones lineales simultáneas.
80 % - 100 %
(Refuerzo del grado anterior) (Nivel de grado con apoyos) (Nivel de grado)
(Ampliación del nivel de grado)
50 % - 80 %
25 % - 50 %
0 % - 25 %
c. Resolver problemas matemáticos y del mundo real que den lugar a dos ecuaciones lineales en dos variables. Por ejemplo, dadas las coordenadas de dos pares de puntos, determinar si la recta que pasa por el primer par de puntos interseca a la recta que pasa por el segundo par.
7 - Resolver ecuaciones y desigualdades Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Ecuaciones e inecuaciones de dos pasos Práctica interactiva • Academia de exploradores del espacio Prueba de habilidades
8 - Resolver pares de ecuaciones lineales Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (pregunta 5) • Repaso (sección usar sustitución para resolver pares de ecuaciones, sección usar eliminación para resolver pares de ecuaciones) • Revisión general (preguntas 9-10)
8 - Resolver pares de ecuaciones lineales Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva Ciencia de datos Conexiones lingüísticas
8 - Resolver pares de ecuaciones lineales Tarea de representación matemática ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
ATRAER: ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS Solving Pairs of Linear Equations
EVALUAR PREVIAMENTE EL CONOCIMIENTO DEL ESTUDIANTE
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: REALIDAD O FICCIÓN ESTÁNDAR PREVIO Usa variables para representar cantidades en un problema matemático o del mundo real, y construye ecuaciones y desigualdades simples para resolver problemas al razonar sobre las cantidades.
Fact or Fiction Prompt 1 Brooke had $50 in her bank account. Each week, she deposited $5. How many weeks does it take her to have $80 in her bank account? The equation below is a correct representation of the word problem above. 80 = 50x + 5
DESCRIPCIÓN Los estudiantes escucharán las indicaciones sobre el estándar previo y comunicarán si creen que las indicaciones son realidad o ficción al caminar hacia los lados designados del salón de clases. Este elemento está diseñado para descubrir los conceptos erróneos de los estudiantes; no debe tomarse para una calificación.
MATERIALES IMPRESO
• 1 conjunto de realidad o ficción
PREPARACIÓN
1
Solving Pairs of Linear Equations
Fact or Fiction Prompt 2 The equation y = 2x + 10 can be written to model the following scenario: “A movie streaming membership costs $10 to sign up and $2 for every movie streamed.”
• Imprima una hoja de «Realidad o ficción» para leer en voz alta a sus estudiantes. • Otra opción es proyectar las preguntas con un proyector digital.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Designe un lado del salón de clases como el lado de la realidad y el otro como el lado de la ficción. Indique a los estudiantes que se muevan a un lado del salón según piensen que la pregunta es real o ficticia.
2
2. Lea la pregunta y permita que los estudiantes se muevan a diferentes lados del salón. 3. Pida a los estudiantes que comenten su razonamiento entre sus compañeros. 4. Antes de leer la siguiente pregunta, permita que los estudiantes regresen a sus puntos de partida. 5. Repita con otra pregunta. a.
La pregunta 1 es falsa.
b.
La pregunta 2 es verdadera.
c.
La pregunta 3 es verdadera.
Solving Pairs of Linear Equations
Fact or Fiction Prompt 3 Sasha started with $10 in her bank account. She deposits $5 each week. The inequality below shows how to determine when she will have $25 or more in her bank account. 5x + 10 ≥ 25
6. Si los estudiantes tienen dificultades para completar esta tarea, continúe con el «Constructor de bases fundamentales» para llenar este vacío en el conocimiento previo antes de pasar a otras partes del alcance.
IDENTIFICAR CONCEPTOS ERRÓNEOS • Los estudiantes pueden no saber qué valor corresponde con el valor x, o la tasa.
• Los estudiantes pueden no entender lo que significa el término depósito.
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3
REALIDAD O FICCIÓN
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
ATRAER: CAPTAR INTERÉS Solving Pairs of Linear Equations
LECCIÓN MOTIVADORA
Order Up!
CAPTAR INTERÉS Movie Theater Refreshments Mr. Lott
Mr. Marquette
3 Large popcorns 3 Large sodas
2 Large popcorns 3 Large sodas
3p 2p
+ +
3s 3s
DESCRIPCIÓN Los estudiantes encuentran la respuesta a un problema del mundo real, al determinar los costos de diferentes artículos y resolver las ecuaciones algebraicamente.
= $48.00 = $39.50
MATERIALES IMPRESO 1
¡A ORDENAR!
• 1 ¡A ordenar! (por clase) REUTILIZABLE
• 1 fenómeno (por clase)
PREPARACIÓN
• Planifique la presentación de los fenómenos. • Prepárese para proyectar ¡A ordenar! para que lo vea toda la clase. • Prepárese para presentar el escenario y anime a los estudiantes a pensar en cómo resolverlo. Prepárese para pasar a las actividades «Explorar», al volver a la actividad «Captar interés» con los nuevos conocimientos adquiridos una vez finalizadas las exploraciones.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA
1. Presente esta actividad al comienzo del alcance. La clase retomará la actividad y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades correspondientes a «Explorar». 2. Muestre los fenómenos. Formule a los estudiantes las siguientes preguntas: «¿Qué observas? ¿Dónde puedes ver matemáticas en esta situación?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. 3. Explique el escenario a la clase: «El Sr. Lott y el Sr. Marquette son vecinos que llevan a sus hijos al cine el primer sábado de cada mes. Es una tradición. Cada padre suele comprar algo del puesto de refrescos para sus hijos. Un día, fueron a un cine nuevo y se olvidaron de mirar los precios del menú. Sin embargo, los padres pensaron que podían calcular el costo de cada artículo basándose en lo que cada padre había pedido y en la factura total que cada uno había pagado». 4. Permita que los estudiantes hagan preguntas y aclaren el contexto según sea necesario. Anímelos a compartir sus ideas y experiencias con la clase al usar las siguientes preguntas:
5. Projecto ¡A ordenar! 6. Explique a los estudiantes que el Sr. Lott y el Sr. Marquette compartieron cada uno lo que Ordenó y cuál fue el costo total de su pedido. Comente las siguientes preguntas con la clase: a. DOK-1 «¿Qué ordenó el Sr. Lott y cuál fue su coste total?». Ordenó tres palomitas de maiz grandes y tres refrescos grandes por un total de $48.00. b. DOK-1 «¿Qué ordenó el Sr. Marquette y cuál fue su costo total?». Ordenó dos palomitas de maíz grandes y tres refrescos grandes por un total de $39.50. c. DOK-1 «¿En qué se parecen sus pedidos?». Ambos ordenaron solo dos productos diferentes: palomitas de maíz grandes y refrescos grandes. Ambos ordenaron la misma cantidad de refrescos grandes. d. DOK-1 «¿Qué hay de diferente en sus pedidos?». Pidieron cantidades diferentes de palomitas de maíz. 7. Continúe con las actividades «Explorar».
a. «¿Tienen alguna tradición?». b. «¿Qué artículos les gusta pedir en el puesto de refrescos?».
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
ATRAER: CAPTAR INTERÉS PARTE II: DESPUÉS DE EXPLORAR
1. Después de que los estudiantes hayan completado las actividades «Explorar» para este tema, muestre de nuevo los fenómenos y repita el escenario. 2. Refiérase a «¡A ordenar!», y comente las siguientes preguntas con la clase: a. DOK-1 «¿Qué ordenó el Sr. Lott y cuál fue su costo total?». Ordenó tres palomitas de maíz grandes y tres refrescos grandes por un total de $48.00. b. DOK-1 «¿Qué ordenó el Sr. Marquette y cuál fue su costo total?». Ordenó dos palomitas de maíz grandes y tres refrescos grandes por un total de $39.50. c. DOK-1 «¿En qué se parecen sus pedidos?». Ambos ordenaron solo dos productos diferentes: palomitas de maíz grandes y refrescos grandes. Ambos ordenaron la misma cantidad de refrescos grandes. d. DOK-1 «¿Qué hay de diferente en sus pedidos?». Ordenaron cantidades diferentes de palomitas de maíz. e. DOK-1 «¿Cuál es la ecuación para los refrescos comprados por el Sr. Lott?». 3p + 3s = $48.00 f. DOK-1 «¿Cuál es la ecuación para los refrescos comprados por el Sr. Marquette?». 2p + 3s = $39.50
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g. DOK-1 Al resolver algebraicamente, «¿deberías sumar o restar estas ecuaciones lineales? ¿Por qué?». Deberíamos restar estas ecuaciones lineales. Cuando las restamos, los refrescos dejan cero, pero las palomitas de maíz muestran que 1 palomita de maíz equivale a $8.50. h. DOK-1 Una vez que conoces el valor de cada palomita de maíz, «¿cómo resuelves el precio del refresco?». Podemos sustituir p = $8.50 y resolver para s. S equivale a $7.50 cada una. i. DOK-1 «¿Cómo compruebas tus respuestas para asegurarte de que son correctas?». Introduce los valores de cada variable y comprueba si son correctos. Sr. Lott: 3p + 3s = $48.00√ 3(8.50) + 3(7.50) = 48.00√ 25.50 + 22.50 = 48.00 √ Sr. Marquette: 2p + 3s = $39.50 √ 2(8.50) + 3(7.50) = 39.50√ 17.00 + 22.50 = 39.50√ j. DOK-1 «¿Cuánto costaron los dos artículos comprados en el puesto de refrescos?». Una palomita de maíz grande costaba $8.50 y un refresco grande costaba $7.50. 3. Si el tiempo lo permite, desafíe a los estudiantes a que planteen sus propios escenarios con gráficos y pida a sus compañeros que comprueben si pueden determinar las variables de los artículos en sus escenarios.
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 1: GRAFICAR PARES DE ECUACIONES LINEALES ESTÁNDAR(ES)
• Analizar y resolver ecuaciones lineales y pares de ecuaciones lineales simultáneas. Analizar y resolver pares de ecuaciones lineales simultáneas. • Comprender que las soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables corresponden a puntos de intersección de sus gráficas, porque los puntos de intersección satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente. • Resolver sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables algebraicamente, y estimar soluciones al graficar las ecuaciones. Resolver casos sencillos por inspección. Por ejemplo, 3x + 2y = 5 y 3x + 2y = 6 no tienen solución porque 3x + 2y no pueden ser simultáneamente 5 y 6. • Resolver problemas matemáticos y del mundo real que conduzcan a dos ecuaciones lineales en dos variables. Por ejemplo, dadas las coordenadas de dos pares de puntos, determinar si la línea que pasa por el primer par de puntos interseca la línea que pasa por el segundo par.
Ideas fundamentales Ecuaciones lineales
Estándares para la práctica matemática MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución.
Conexiones de contenido
Motores de investigación
CC2 Explorar cantidades cambiantes
DI1 Dar sentido al mundo: Comprender y explicar DI2 Predecir lo que podría ocurrir: Predecir
MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente. MP.4 Representar con matemáticas. MP.6 Atender a la precisión.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes graficarán pares de ecuaciones lineales para determinar si hay una única solución, una cantidad infinita de soluciones o ninguna solución.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por estudiante) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes)
PREPARACIÓN
• Divida la clase en grupos de 2 estudiantes. • Imprima el «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima un «Boleto de salida» para cada 2 estudiantes. Recorte los «Boleto de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno.
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PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Lea la siguiente situación a la clase: «Saanvi publicó un vídeo genial en el que batía un récord mundial en las redes sociales, ¡y ahora la cantidad de personas que la siguen se ha disparado! Al principio tenía 25 seguidores, ¡pero ahora la cantidad aumenta a un ritmo de 10 seguidores por minuto! La mejor amiga de Saanvi, Gabriella, también publicó un vídeo en las redes sociales y representó su cantidad de seguidores a lo largo del tiempo con una ecuación. Saanvi está decidida a conseguir más seguidores que Gabriella. Ayuda a Saanvi a determinar si llegará a tener más seguidores y, de ser así, cuándo». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada uno. 3. Explique a los estudiantes que trabajarán con sus compañeros para representar gráficamente la ecuación de seguidores de Gabriella a lo largo del tiempo y responder a las preguntas que siguen.
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Solving Pairs of Linear Equations Explore 1
4. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar la comprensión de los estudiantes: a. DOK-1 «¿Cómo graficaste la ecuación f = 50 + 5t?». Puedo introducir valores de t para encontrar diferentes coordenadas en la gráfica.
Follow Me! Part I The equation f = 25 + 10t shows Saanvi’s followers over time and is graphed below.
b. DOK-1 Para el punto (5, 75), «¿cuál es la coordenada x? ¿Cuál es la coordenada y?». 5 es la coordenada x y 75 es la coordenada y. c. DOK-1 Según el gráfico, «¿qué representa la coordenada x? ¿Qué representa la coordenada y?». La coordenada x representa el tiempo en minutos, y la coordenada y representa la cantidad de seguidores. d. DOK-1 «¿Qué significa (5, 75) en términos del escenario?». A los 5 minutos, tanto Saanvi como Gabriella tienen 75 seguidores.
Graph a line to represent Gabriella’s followers over time using the equation
e. DOK-1 «¿Cómo llamamos al punto donde las rectas se cruzan en (5, 75)?». El punto de intersección
Gabriella has more followers after 3 minutes. Her line is above Saanvi’s line at the 3-minute mark.
5. Conceda tiempo suficiente a los estudiantes para completar la parte 1, y luego invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
f = 50 + 5t. Who has more followers after 3 minutes? Explain how you can tell from the graph.
Will Saanvi ever have more followers? Explain how you can tell from the graph. Yes, Saanvi will have more followers after 5 minutes because that is when the graph of her line is above Gabriella’s line.
1
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 «¿Cuántas ecuaciones trazamos en el mismo gráfico?». Dos • Explique lo siguiente a la clase: Los matemáticos llaman sistema de ecuaciones a un par o colección de ecuaciones. Hemos trazado dos ecuaciones simultáneas, que es un sistema de ecuaciones, en la gráfica. • DOK-1 «¿Cómo llamamos al punto de la gráfica donde se cruzan dos rectas?». El punto donde se cruzan las dos rectas se llama punto de intersección. • Explique lo siguiente a la clase: Los matemáticos llaman al punto de intersección la solución de un sistema de ecuaciones.
Solving Pairs of Linear Equations Explore 1
Reflect 1.
How many equations did we plot on the same graph for this scenario? We plotted two equations on the same graph for this scenario.
2.
What do we call the point where two or more lines cross? This is called the point of intersection.
3.
What does the point (5, 75) mean in the context of this scenario? At 5 minutes, Saanvi and Gabriella will both have 75 followers.
4.
What does the intersection of two lines represent? The intersection represents the point at which both equations have the same x and y values. The intersection is a solution to both equations.
• DOK-2 «¿Por qué crees que el punto de intersección se llama solución del sistema de ecuaciones?». Se llama solución porque satisface ambas ecuaciones simultáneamente. • DOK-2 «¿Cómo crees que sería una gráfica sin solución?». Las rectas no se cruzarían (o no habría intersección); las rectas serían paralelas.
2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
Solving Pairs of Linear Equations Explore 1
Solving Pairs of Linear Equations Explore 1
The graph of Saanvi’s followers over time is graphed below. Graph a line to represent Debra’s followers on the same grid, and use the pair of linear equations to answer the questions.
Part II The graph of Saanvi’s followers over time is graphed below. Graph a line to represent Daisy’s followers on the same grid, and use the pair of linear equations to answer the questions.
Graph a line to represent Debra’s followers over time using the equation, Graph a line to represent Daisy’s followers over time using the equation,
f = 20 + 15t.
f = 10t.
When do Saanvi and Debra have the same number of followers? How do you know?
Daisy, who just started her photo-sharing page, is excited that she’s gaining followers at the same rate as Saanvi, 10 followers per minute! She jokes that at 10 minutes she will have more followers than Saanvi. Based on the graph, do you agree with Daisy? Why or why not? No, I do not agree with Daisy because the graph of Saanvi’s line is above the graph of Daisy’s line at 10 minutes, indicating that Saanvi has more followers. At what point will Saanvi and Daisy have the same number of followers? Explain your answer.
At 1 minute, both Saanvi and Debra have 35 followers because the lines intersect at (1, 35). Between Saanvi and Debra, who is winning the competition? Why? Debra is winning because after 1 minute because the graph of her line is above the graph of Saanvi’s line.
At no point will Saanvi and Daisy have the same number of followers because the lines will never cross since they are parallel. 3
4
Solving Pairs of Linear Equations Explore 1
Solving Pairs of Linear Equations Explore 1
The graph of Saanvi’s followers over time is graphed below. Graph a line to represent Devon’s followers on the same grid, and use the pair of linear equations to answer the questions.
Reflect 1.
By looking at the graph for a system of equations, how can you tell if a pair of linear equations has one solution, no solution, or an infinite number of solutions? A pair of linear equations has one solution if the lines intersect. A pair of linear equations has no solution if the lines are parallel. A pair of linear equations has an infinite number of solutions if they make a single line.
2.
Consider this scenario: A dog is chasing you. Which graph shows that the dog caught up with you? Why?
B
A
C
Graph A shows the dog caught up with me. The lines intersecting indicate that the dog and I came into contact or were at the same distance, whereas graph B suggests we never came into contact and Graph C suggests we were always in contact.
Graph a line to represent Devon’s followers over time using the equation, 2f – 20t = 50. What do you notice when you graph the equations of both lines? They are the same line.
3.
What does the observation you noted in the previous question mean in the context of the scenario?
The system of linear equations y = 2x + 4 and y = 3x + 2 is solved graphically below. a. Based on the graph, is (1, 6) the solution to this system of equations? Why or why not? No, (1, 6) is not a solution to the system of equations because it is not the point of intersection for the two lines.
Devon and Saanvi will always have the same number of followers at any given moment. Of the five friends, Saanvi, Gabriella, Daisy, Debra, and Devon, who won the competition after 10 minutes? Why?
b.
Debra won the competition after 10 minutes because she had the most followers. Saanvi had 125 followers, Gabriella had 100 followers, Daisy had 100 followers, Debra had 170 followers, and Devon had 125 followers. 5
How could you tell if (1, 6) were a solution to the pair of linear equations without using a graph? For each equation you could substitute 1 and 6 for x and y respectively. If it makes both equations true, then it is a solution for the pairs of equations.
6
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Solving Pairs of Linear Equations Explore 1
PARTE II
1. Lea la siguiente situación a la clase: «Las otras tres amigas de Saanvi, Daisy, Debra y Devon, también quieren participar en el concurso. También publican sus vídeos en las redes sociales. Ayuda a representar gráficamente la ecuación de cada amiga para determinar cuál es la ganadora del concurso».
Follow Me! Exit Ticket The equation y = −2x + 6 is plotted on the graph. Plot y = 2x – 2 on the same graph. Based on your graph, what is the solution to the system of equations? (2, 2)
2. Explique a los estudiantes que trabajarán con sus compañeros para representar gráficamente cada una de las ecuaciones de las otras tres amigas de Saanvi. A continuación, colaborarán con sus compañeros para responder a las preguntas siguientes.
1 Solving Pairs of Linear Equations Explore 1
3. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y utilice las siguientes preguntas guía para evaluar la comprensión de los estudiantes: a. DOK-1 «¿Qué diferencia hay entre las rectas de las ecuaciones de Saanvi y Daisy?». La ecuación de Daisy para los seguidores es paralela a la línea para los seguidores de Saanvi. b. DOK-1 «¿En qué parte de una gráfica se encuentra la solución de un sistema de ecuaciones?». La solución de un sistema de ecuaciones se encuentra en el punto de intersección. c. DOK-1 Al observar la gráfica, «¿tiene solución el sistema de ecuaciones de Saanvi y Daisy?». No hay solución para un sistema de ecuaciones con rectas paralelas. d. DOK-3 En el contexto del problema con Saanvi y Daisy, «¿qué significa que no hay solución?». Significa que en ningún momento tendrán la misma cantidad de seguidores. e. DOK-3 «¿Puedes representar gráficamente la recta de Devon tal como te la han dado?». No, necesitamos cambiar la ecuación a la forma pendiente-intersección. f. DOK-2 «¿Qué variable necesitas resolver para poder graficar fácilmente?». Resuelve para f para convertir la ecuación de la forma estándar a la forma pendiente-intersección. 4. Conceda tiempo suficiente a los estudiantes para completar la parte II y responder a las preguntas de reflexión que siguen. 5. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
Follow Me! Exit Ticket The equation y = −2x + 6 is plotted on the graph. Plot y = 2x – 2 on the same graph. Based on your graph, what is the solution to the system of equations? (2, 2)
1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 Al mirar la gráfica de un sistema de ecuaciones, «¿cómo puedes determinar cuál es la solución?». Al mirar la gráfica de un sistema de ecuaciones, la solución será el punto de intersección. • DOK-1 Al mirar solo la gráfica, «¿cómo puedes decir si un sistema de ecuaciones lineales tiene una solución, ninguna solución, o una cantidad infinita de soluciones?». Un par de ecuaciones lineales tiene una solución si las rectas se intersecan. Un par de ecuaciones lineales no tiene solución si las rectas son paralelas. Un par de ecuaciones lineales tiene una cantidad infinita de soluciones si forman una sola línea. • DOK-1 «¿Cómo podrías saber si un punto es la solución de un sistema de ecuaciones lineales sin usar una gráfica?». Podrías sustituir el punto en cada ecuación. Si el punto hace que ambas ecuaciones sean verdaderas, entonces es la solución del sistema de ecuaciones. 6. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez realizado, pida a los estudiantes que completen individualmente su «Libreta interactiva».
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Solving Pairs of Linear Equations Part 1
APOYOS PEDAGÓGICOS Graph Pairs of Linear Equations Solve the following pairs of linear equations by graphing. Use the slope and y-intercept form of each equation (y = mx + b). Show your work. Label each equation on the graph. Slope-Intercept Form
Slope (m)
Y-intercept
2x + y = 7
y = –2x + 7
–2
7
y – 0.5x = –3
y = 0.5x – 3
0.5
–3
1. Los estudiantes con dificultades pueden necesitar orientación sobre cómo graficar ecuaciones. Recuérdeles que el valor del tiempo sería la primera coordenada y la cantidad de seguidores la segunda (t, f). Comente cómo pueden usar las ecuaciones para determinar la cantidad de seguidores, f, dado un tiempo, t. 2. Los estudiantes con dificultades pueden tener la idea errónea de que todas las gráficas lineales deben pasar por el origen y, por lo tanto, les cuesta entender qué significa una intersección y distinta de cero. Realice cómo se relaciona cada aspecto de la situación con la ecuación. A continuación, comente cómo se relaciona cada aspecto con la gráfica y, por último, comente cómo se relaciona la ecuación con la gráfica para ayudar a los estudiantes a forjar las conexiones necesarias.
APOYOS LINGÜÍSTICOS Solution (4, –1)
1
Solving Pairs of Linear Equations Part 1
Find the solution (ordered pair) for each of pair of linear equations.
Solution (3, –5)
Solution (–2, –1)
La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias a continuación para conocer las formas de apoyar el desarrollo lingüístico del estudiante. Los estudiantes usarán el apoyo de pistas visuales, compañeros y maestros para desarrollar el vocabulario, la estructura del lenguaje y los conocimientos previos necesarios para comprender el texto escrito. Principiante: Como actividad previa a la clase, muestre diferentes iconos de redes sociales en la pizarra. A continuación, escriba el término social media en la pizarra y pida a los estudiantes que creen una definición con sus compañeros. Pregunte a los estudiantes: «Levante la mano, «¿cuántos de ustedes usan esta aplicación de redes sociales? ¿Qué les gusta de esta aplicación?», etc. Intermedio: Como actividad previa a la clase, haga que los estudiantes se coloquen en círculo. Haga una serie de preguntas para conocerse relacionadas con las redes sociales. Si la respuesta es afirmativa, los estudiantes pasarán al centro del círculo. Si la respuesta es negativa, permanecerán en el círculo exterior. Un ejemplo son las siguientes afirmaciones: Tengo una cuenta ___; tengo más de 100 amigos o seguidores en mi cuenta de redes sociales; consulto mi cuenta de redes sociales más de 10 veces al día; creo que las redes sociales crean adicción, etc.
Solution (0, –3)
Solution (–4, –3)
2
Avanzado: Como actividad previa a la clase, muestre diferentes iconos de redes sociales en la pizarra. Divide a los estudiantes en grupos de 3-4 y pídeles que elaboren una lista de pros y contras del uso de las redes sociales. A continuación, divida la clase en dos y organice un debate en clase.
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 2: ANÁLISIS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ESTÁNDAR(ES)
• Analizar y resolver ecuaciones lineales y pares de ecuaciones lineales simultáneas. Analizar y resolver pares de ecuaciones lineales simultáneas. • Comprender que las soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables corresponden a puntos de intersección de sus gráficas, porque los puntos de intersección satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente. • Resolver sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables algebraicamente, y estimar soluciones al graficar las ecuaciones. Resolver casos sencillos por inspección. Por ejemplo, 3x + 2y = 5 y 3x + 2y = 6 no tienen solución porque 3x + 2y no pueden ser simultáneamente 5 y 6. • Resolver problemas matemáticos y del mundo real que conduzcan a dos ecuaciones lineales en dos variables. Por ejemplo, dadas las coordenadas de dos pares de puntos, determinar si la línea que pasa por el primer par de puntos interseca la línea que pasa por el segundo par.
Ideas fundamentales Ecuaciones lineales
Estándares para la práctica matemática MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución.
Conexiones de contenido
Motores de investigación
CC2 Explorar cantidades cambiantes
DI1 Dar sentido al mundo: Comprender y explicar DI2 Predecir lo que podría ocurrir: Predecir
MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros. MP.6 Atender a la precisión. MP.7 Buscar y hacer uso de la estructura.
DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes analizarán pares de ecuaciones lineales para determinar si hay una única solución, una cantidad infinita de soluciones o no hay solución.
PARTE I
MATERIALES IMPRESO • 1 diario del estudiante (por estudiante) • 1 boleto de salida (por 2 estudiantes)
PREPARACIÓN
• Planifique dividir la clase en grupos de 2 estudiantes. • Imprima el «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima un «Boleto de salida» para cada 2 estudiantes. Recorte los «Boleto de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno.
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1. Lea la siguiente situación a la clase: «Saanvi y sus amigas Gabriella y Devon van a ir al parque de atracciones y están entusiasmadas por conducir minicarros de carreras. Saanvi está decidida a adelantar a cada una de sus amigas. Compiten en tres rondas de minicarros de carreras, en las que sus puntos de partida y velocidades varían a lo largo de las rondas. “¿Tuvo éxito Saanvi en sus intentos de adelantar a sus amigos?”». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada uno. 3. Explique a los estudiantes que trabajarán con sus compañeros para graficar la ecuación de cada amigo de los minicarros de carreras, y luego colaborarán para responder las preguntas que siguen. 4. Mientras los estudiantes colaboran, monitoree su trabajo y use las siguientes preguntas guías para evaluar la comprensión de los estudiantes: a.
DOK-1 Para la ronda 1, «¿hay un punto de intersección?». No
b.
DOK-1 Para la ronda 1, «¿cómo llamamos a las rectas de la gráfica?». Las rectas de las ecuaciones de la ronda 1 se llaman rectas paralelas.
c.
DOK-1 Cuando un sistema de ecuaciones resulta en una gráfica de rectas paralelas, «¿cuántas soluciones tiene ese sistema?». Ninguna
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2
d.
DOK-1 Para la ronda 2, «¿puedes representar gráficamente las ecuaciones tal cual?». No, es necesario convertirlas a la forma de intersección de pendientes.
e.
DOK-1 Para la ronda 2, «¿qué notaste acerca de las intersecciones y las pendientes de las ecuaciones?». Las pendientes y las intersecciones son las mismas.
f.
DOK-1 En la ronda 3, «¿adelantó Saanvi a alguien?». Si es así, «¿cómo lo sabes?». Sí, Saanvi adelantó a Gabriella ya que las rectas de sus gráficas se intersecan en (1, 5). Adelantó a Devon poco después de la línea de partida, ya que las rectas de sus gráficas se intersecan en (0, 0) y su recta tiene una pendiente mayor que la de Devon.
5. Conceda tiempo suficiente a los estudiantes para completar la parte 1 en el «Diario del estudiante». 6. Después de la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir su observación y aprendizaje. CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-2 «¿Cómo sabremos por la gráfica si alguien adelantó a alguien?». Un punto de intersección nos dice que un objeto adelantó a otro objeto. • Los matemáticos dicen que cuando hay un punto de intersección, hay una solución al sistema de ecuaciones. • DOK-1 Para la ronda 1, «¿qué notaste acerca de las pendientes e intersecciones y de las ecuaciones?». Las pendientes eran las mismas, y las intersecciones y eran diferentes. • DOK-2 «¿Cómo puede tu observación acerca de las pendientes e intersecciones y explicar tu gráfica en la ronda 1?». Si las pendientes son iguales y las intersecciones y son diferentes, tendremos rectas paralelas. • DOK-2 «¿Cuál es la relación entre las pendientes e intersecciones y y el tipo de solución que obtenemos para el sistema de ecuaciones?». Si las pendientes son las mismas y las intersecciones y son diferentes, no obtenemos solución. • Los matemáticos dicen que cuando la pendiente es la misma y las intersecciones y son diferentes, entonces las rectas de las gráficas son paralelas entre sí. Cuando las rectas son paralelas, no hay soluciones para el sistema de ecuaciones. • DOK-3 «¿Cuál es un escenario posible con los minicarros de carreras que podría resultar en un sistema sin solución?». Saanvi y sus amigas comienzan en diferentes lugares o en diferentes momentos y conducen a la misma rapidez unas que otras, para así crear rectas paralelas en una gráfica. • DOK-2 «¿Cómo podría tu observación acerca de las pendientes e intersecciones y explicar tu gráfica para la ronda 2?». Como las pendientes e intersecciones y son las mismas, la ecuación es la misma, y por lo tanto, las rectas de las ecuaciones son las mismas. • Los matemáticos dicen que las rectas de las gráficas coinciden entre sí cuando son la misma ecuación. Cuando las gráficas coinciden, hay una cantidad infinita de soluciones.
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• DOK-3 «¿Cuál es un escenario posible con los minicarros de carrera que podría dar lugar a un sistema con una cantidad infinita de soluciones?». Saanvi y sus amigas parten todas a la misma distancia del punto de partida y conducen una al lada de la otra a la misma rapidez. • DOK-1 En la ronda 3, «¿adelanta Saanvi a alguna de sus amigas?». En caso afirmativo, «¿cuándo y dónde?». Sí, Saanvi adelantó a Gabriella ya que las rectas de sus gráficas se cruzan en (1, 5). Pasó a Devon poco después del punto de partida, ya que las rectas de sus gráficas se cruzan en (0, 0), y su recta tiene una pendiente mayor que la de Devon. • DOK-2 Para que un sistema de ecuaciones lineales tenga una solución, «¿qué debe ser cierto acerca de sus pendientes?». Sus pendientes deben ser diferentes. • DOK-2 Para que un sistema de ecuaciones lineales tenga una solución, «¿sus intersecciones y deben ser diferentes? ¿Por qué sí o por qué no?». No, sus intersecciones y pueden ser iguales, y la intersección y será el punto de intersección. Esto es lo que ocurrió en el caso de Saanvi y Devon. Ambas tenían intersección y en 0 y se intersecaban en (0, 0). PARTE II 1. Lee el siguiente escenario a la clase: «Saanvi, que se siente segura de sí misma, ha retado a Bart, el propietario del minicarro de carreras, a una batalla de minicarros de 4 rondas. Se dan las ecuaciones de ambos participantes para cada ronda. Usa tus conocimientos sobre soluciones de sistemas de ecuaciones para determinar en qué rondas Saanvi gana y adelanta a Bart y en qué rondas Bart va a la misma rapidez que Saanvi». 2. Explique a los estudiantes que trabajarán con sus compañeros para determinar si Saanvi adelanta a Bart al observar las intersecciones y las pendientes de cada ecuación. 3. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y use las siguientes preguntas guías para evaluar la comprensión de los estudiantes: a.
DOK-1 «¿En qué forma deben estar todas las ecuaciones para ver claramente sus pendientes e intersecciones y?». Todas las ecuaciones deben estar en forma pendiente-intersección, y = mx + b.
b.
DOK-2 «¿En qué ronda(s) pasó Saanvi a Bart?». Saanvi adelantó a Bart en la ronda 1 y en la ronda 4.
c.
DOK-2 «¿En qué ronda(s) había rectas paralelas, lo que indica que nadie adelantó a nadie porque iban a la misma velocidad?». Había rectas paralelas en la ronda 3.
d.
DOK-2 «¿En qué ronda(s) había infinitas soluciones?». Hubo infinitas soluciones en la ronda 2.
4. Conceda tiempo suficiente a los estudiantes para completar la parte II y responder a las preguntas de reflexión que siguen. 5. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2
Solving Pairs of Linear Equations Explore 2
Part I
Solving Pairs of Linear Equations Explore 2
Round 2 Saanvi’s distance versus time on the mini-race car course is graphed below.
Course: Analyzing Systems of Linear Equations
Driver
Round 1 Saanvi’s distance versus time on the mini-race car course is graphed below.
Driver
Distance vs. Time Equation
Saanvi
d = 5t
Gabriella
d = 5t + 2
Devon
d = 5t – 5
Distance vs. Time Equation
Saanvi
d = 5t
Gabriella
2d – 10t = 0
Devon
3d = 15t
Graph lines to represent Gabriella’s and Devon’s distances versus time on the graph above. Then label each line on the graph. 1.
Looking at the equations, what is the same about each equation? The slopes and y-intercepts are the same.
Graph lines to represent Gabriella’s and Devon’s distances versus time on the graph above. Then label each line on the graph. 1.
2.
Looking at the equations, what is different about each equation? They appear different, but they are the same equation once converted to slope-intercept form.
Looking at the equations, what is the same about each equation? The slope of each equation is the same.
2.
3.
Looking at the equations, what is different about each equation?
3.
In round 2, did Saanvi pass any of her friends? How do you know? No, since the lines of their graphs coincide with one another, no one passed each other.
The y-intercepts in the equations are different. In round 1, did Saanvi pass any of her friends? If so, at what point? No, since the lines of their graphs are parallel, no one passed each other.
1
2
Solving Pairs of Linear Equations Explore 2
Solving Pairs of Linear Equations Explore 2
Round 3 Saanvi’s distance versus time on the mini-race car course is graphed below.
Part II For each of the rounds of the mini-car course, determine if Bart and Saanvi passed each other by analyzing the equations and give your reasoning.
Driver
Distance vs. Time Equation
Saanvi
d = 5t
Gabriella
d=t+4
Devon
d = 3t
Round
Equation Saanvi: Bart:
1
d = 3t d=t+2
Did anyone pass another player? Yes Explain why or why not. The y-intercepts and slopes are different, and therefore the graphs of the lines intersect, indicating one solution and therefore a player passed another.
Graph lines to represent Gabriella’s and Devon’s distances versus time on the graph above. Then label each line on the graph. 1.
Looking at the equations. What is the same about each equation? Saanvi and Devon both have a y-intercept of 0.
2.
Round
Looking at the equations. What is different about each equation?
2
All three equations have different slopes. 3.
Equation Saanvi: Bart:
d = 2t + 1 −4t + 2d = 2
Did anyone pass another player? No
In round 3, did Saanvi pass any of her friends? If so, when? Yes, Saanvi passed Gabriella at (1, 5), after 1 second, when they were 5 feet away from the starting point. Saanvi passed Devon at (0, 0), when they were at the starting line.
Explain why or why not. After I converted to slope-intercept form, the slopes and y-intercepts are the same. Therefore, the graphs of the lines coincide, indicating infinitely many solutions and therefore no player passed another.
3
4
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Solving Pairs of Linear Equations Explore 2
CHARLA DE MATEMÁTICAS Round
Equation Saanvi: Bart:
3
• DOK-2 solo al mirar las ecuaciones, «¿cómo puedes saber si un sistema de ecuaciones lineales no tiene solución?». Las pendientes son las mismas, y las intersecciones y son diferentes.
d = 2t + 1 d – 5 = 2t
Did anyone pass another player? No
• DOK-2 solo al mirar las ecuaciones, «¿cómo puedes decir si un sistema de ecuaciones lineales tiene una cantidad infinita de soluciones?». Las pendientes son las mismas y las intersecciones y son las mismas.
Explain why or why not. After I converted to slope-intercept form, the slopes are the same and the y-intercepts are different. Therefore, the graphs of the lines are parallel, indicating no solution and therefore no player passed another.
Round
• DOK-2 solo al mirar las ecuaciones, «¿cómo puedes decir si un sistema de ecuaciones lineales tiene una única solución?». Las pendientes son diferentes y las intersecciones y pueden o no ser diferentes.
Equation Saanvi: Bart:
4
6. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
d = 2t + 1 d – 5 = 3t
Did anyone pass another player? Yes
APOYOS PEDAGÓGICOS
Explain why or why not.
1. Los estudiantes con dificultades pueden necesitar orientación sobre cómo graficar ecuaciones. Recuérdeles que el valor del tiempo sería la primera coordenada y la distancia sería la segunda coordenada (t, d). Comente cómo pueden usar las ecuaciones para determinar la distancia, d, dado un tiempo, t.
After I converted to slope-intercept form, the slopes and y-intercepts are different. Therefore, the graphs of the lines intersect, indicating one solution and therefore a player passed another.
5
Solving Pairs of Linear Equations Explore 2
Reflect 1.
Summarize your findings by completing the chart below.
APOYOS LINGÜÍSTICOS
Equation Features
2.
y-intercepts
Slopes
Type of Solution
Graph of Lines
Different
Different
One solution
Intersecting at one point
Different
Same
No solution
Parallel
Same
Same
Infinitely many
Coincide
La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias a continuación para conocer las formas de apoyar el desarrollo del lenguaje del estudiante. Los estudiantes usarán técnicas de aprendizaje como mapas conceptuales, dibujos, comparaciones, contrastes, memorización y repasos para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado. Principiante: Como actividad posterior a la clase, crear un mapa conceptual en clase para resolver pares de ecuaciones lineales. Los temas generales que deben incluirse en el mapa son los siguientes: métodos para resolver, posibles soluciones, representación gráfica. Otros subtérminos que deben incluirse son gráficamente, sustitución, eliminación, uno, ninguno, infinito, rectas paralelas, de rectas coincidentes, rectas que se cruzan, etc.
If two equations of a system have the same y-intercept but different slopes, how many solutions would there be? Explain your answer. There would be one solution. The point of intersection would be the y-intercept. a.
3.
Sketch an example on the graph provided to justify your answer. Graphs will vary.
Consider the following equations. y = 5x + 7 y – 7 = mx a.
What would m need to be in order for this system of equations to have infinitely many solutions? 5
b.
How could you change the second equation so that the system of equations would have no solution? I would make m = 5 and the y-intercept any number other than 7. 6
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2. Los estudiantes con dificultades pueden pensar erróneamente que dos gráficas de rectas con la misma pendiente pero diferentes interceptos tienen diferentes pendientes porque una recta está más arriba, por lo que parece más empinada. Este tipo de pensamiento dificultará la comprensión de la hipótesis sin solución. Comente cómo se relacionan los distintos aspectos de las hipótesis con las ecuaciones y las gráficas. A continuación, pon a prueba su comprensión al plantear una tercera situación que requiera la misma pendiente pero diferentes interceptos. Pida a los estudiantes que expliquen cómo se compara esta situación con las dos anteriores.
Intermedio: Como actividad posterior a la clase, pida a los estudiantes que usen un banco de palabras para completar un mapa conceptual sobre el resolver pares de ecuaciones lineales. Entre los posibles términos para el banco de palabras se incluyen los siguientes: métodos para resolver, gráficamente, sustitución, eliminación; posibles soluciones: una, ninguna, infinita; representación gráfica, rectas paralelas, de rectas coincidentes, rectas que se cruzan, etc. Avanzado: Como actividad posterior a la clase, pida a los estudiantes que usen un banco de palabras para completar un mapa conceptual sobre el resolver pares de ecuaciones lineales. Entre los posibles términos del banco de palabras se incluyen los siguientes: métodos para resolver, gráficamente, sustitución, eliminación; posibles soluciones: una, ninguna, infinita; representación gráfica, rectas paralelas, de rectas coincidentes, rectas que se cruzan, etc.
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2
Solving Pairs of Linear Equations Part 2
2.
Analyzing Systems of Linear Equations 1.
Solving Linear Equations Part 2
Evaluate each pair of linear equations or graphs represented in the table below to compare the slopes and y-intercepts. Based on that information, decide on the number of solutions (one, none, or many) for that pair of linear equations.
Equations (Rewritten in Y-intercept Form) x + 2y = 4 y = (–
1 )x + 2 2
Different/Same Slopes Same slope (–
1 ) 2
Different/Same Y-intercepts
One/None/Many Solutions
Different y-intercepts (2 and 3)
No solution (parallel lines)
Same y-intercepts (–2 and –2)
One solution (intersecting lines)
Same y-intercepts (2 and 2)
Many solutions (same graph lines)
Evaluate each pair of linear equation graphs represented in the table below to compare the slopes and y-intercepts. Based on that information, decide on the number of solutions (one, none, or many) for that pair of linear equations. Graph
Different/Same Slopes
Different/Same y-intercepts
One/None/ Many Solutions
Same slopes
Different y-intercepts
None (no intersection)
Different slopes
Different y-intercepts
One solution (intersecting lines)
Same slopes
Same y-intercepts
Many solutions (same graph lines for both equations)
3x + 6y = 18 y = (–
1 )x + 3 2
3x − 3y = 6
Different slopes
y=x–2
(1 and 2 ) 3
−4x + 6y = –12 2 )x – 2 3 1 y = ( )x + 2 2
y=(
y = ( 1 )x + 2 2
Same slope (
1 and 1 ) 2 2
3.
2y – x = 4 y=(
1 )x + 2 2
Write the number of solutions (one, none, or many) and types of graph lines (parallel, intersecting, or same line) that match each description for a pair of linear equations. Many solutions _______________
Same line _______________ Same slope, same y-intercept
One solution _______________
Intersecting lines Different slopes, different y-intercepts _______________
No solution _______________
Parallel lines _______________ Same slope, different y-intercepts
1
2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 2) CLAVE DE RESPUESTAS
Solving Pairs of Linear Equations Explore 2
Mini-Car Course: Analyzing Systems of Linear Equations Exit Ticket Which system of equations would have one solution? Circle your answer. a.
y = 2x + 4 y = 2x + 7
b. y = 3x + 2 y = 5x + 6
c. y = 9x + 17 y – 9x = 17
Explain your reasoning. Answer choice b is the system of equations with one solution because the equations have different slopes and different y-intercepts. 1 Solving Pairs of Linear Equations Explore 2
Mini-Car Course: Analyzing Systems of Linear Equations Exit Ticket Which system of equations would have one solution? Circle your answer. a.
y = 2x + 4 y = 2x + 7
b. y = 3x + 2 y = 5x + 6
c. y = 9x + 17 y – 9x = 17
Explain your reasoning. Answer choice b is the system of equations with one solution because the equations have different slopes and different y-intercepts. 1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
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1/9/26 1:57 PM
GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 3: RESOLVER CON SUSTITUCIÓN ESTÁNDAR(ES)
• Analizar y resolver ecuaciones lineales y pares de ecuaciones lineales simultáneas. Analizar y resolver pares de ecuaciones lineales simultáneas. • Comprender que las soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables corresponden a puntos de intersección de sus gráficas, porque los puntos de intersección satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente. • Resolver sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables algebraicamente, y estimar soluciones al graficar las ecuaciones. Resolver casos sencillos por inspección. Por ejemplo, 3x + 2y = 5 y 3x + 2y = 6 no tienen solución porque 3x + 2y no pueden ser simultáneamente 5 y 6. • Resolver problemas matemáticos y del mundo real que conduzcan a dos ecuaciones lineales en dos variables. Por ejemplo, dadas las coordenadas de dos pares de puntos, determinar si la línea que pasa por el primer par de puntos interseca la línea que pasa por el segundo par.
Ideas fundamentales Ecuaciones lineales
Estándares para la práctica matemática
Conexiones de contenido
Motores de investigación
MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución.
CC2 Explorar cantidades cambiantes
DI1 Dar sentido al mundo: Comprender y explicar DI2 Predecir lo que podría ocurrir: Predecir
MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente. MP.6 Atender a la precisión. MP.7 Buscar y hacer uso de la estructura.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes usarán la sustitución para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Planifique dividir la clase en grupos de 3 o 4 estudiantes. • Imprima el «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima un «Boleto de salida» para cada 2 estudiantes. Recorte los «Boleto de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno.
• 1 boleto de salida (por 2 estudiantes)
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1/9/26 1:57 PM
GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Solving Pairs of Linear Equations Explore 3
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Lee la siguiente situación: «Saanvi, Gabriella y Devon decidieron montar en algunas atracciones del parque de diversiones. Querían montar en las atracciones con menos adultos. Cada una de las amigas encontró ecuaciones para determinar la cantidad de adultos y niños en cada atracción. Ayude a las amigas a determinar en qué atracción habrá menos adultos». 2. Entregue el «Diario del estudiante» a cada uno.
On the Rides! Use the information below to determine how many adults, a, and how many children, c, were on each ride by solving with substitution. Roller Coaster Equation 1
Equation 2 a + c = 30
12 Use substitution to find the value of a. a + _____ = 30 a + 18 = 30 – 18 – 18
3. Explique a los estudiantes que colaborarán con sus grupos para determinar la cantidad de adultos y la cantidad de niños en cada atracción al usar las ecuaciones dadas. 4. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y use las siguientes preguntas guías para evaluar la comprensión de los estudiantes:
c = 18
How many adults were on the roller coaster?
a = 12
Number of adults:
Number of children:
12
18
a. DOK-2 «¿Cómo determinaste cuántos adultos habrá en la montaña rusa?». Sé que 30 - 18 = 12, así que debe haber 12 adultos en la montaña rusa.
1
b. DOK-1 «¿Qué es la sustitución?». Es cuando se pone un valor en lugar de una variable para probar si el valor es una solución de la ecuación. c. DOK-2 «¿Cómo puedes usar la sustitución con dos ecuaciones?». Podemos encontrar la ecuación que tiene una variable aislada. Luego podemos sustituir lo que esta variable es igual a en la otra ecuación para esa variable. d. DOK-2 «¿Qué es diferente acerca de usar la sustitución para Descenso al calabozo?». En lugar de sustituir solo un número, tengo que sustituir una expresión. e. DOK-2 En Descenso al calabozo, «¿qué valor pusiste en la ecuación 1 para c?». Puedo poner toda la ecuación para c en la ecuación 1. f. DOK-2 En Descenso al calabozo, «¿cuál es el primer paso para resolver a después de sustituir a + 2 en la primera ecuación?». Tendré que combinar términos semejantes. 2a + a + 2 se combina para ser 3a + 2. g. DOK-2 En Descenso al calabozo y Botes chocones, «¿cuál es el paso final para resolver a?». Tendré que dividir por el coeficiente para obtener a por sí mismo. 5. Conceda tiempo suficiente a los estudiantes para encontrar la solución de cada sistema de ecuaciones y para responder a las preguntas de reflexión. 6. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
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Solving Pairs of Linear Equations Explore 3
Ferris Wheel Equation 1
Equation 2 2a + c = 50
c=8
Use substitution to find the value of a. 2a + _____ = 50 2a + 8 = 50 –8 –8 2a = 42 2 2 a = 21 Number of adults:
Number of children:
21
8
Dungeon Drop Equation 1
Equation 2 2a + c = 50
c=a+2
Use substitution to find the value of a. 2a + _____ = 50 2a + (a + 2) = 50 3a + 2 = 50 –2 –2 3a = 48 3 3 a = 16 Number of adults:
Number of children:
16
c = 16 + 2 = 18 2
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1/9/26 1:57 PM
GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Solving Pairs of Linear Equations Explore 3
CHARLA DE MATEMÁTICAS Bumper Boats Equation 1
• DOK-2 «¿Qué notas en todas estas ecuaciones? ¿Qué te dice eso sobre las ecuaciones que se pueden resolver con sustitución?».Una de las ecuaciones en cada par debe tener una de las variables aislada. Cuando una variable está aislada, podemos sustituir el valor de esa variable en la otra ecuación.
Equation 2 a + c = 25
c = 4a
Use substitution to find the value of a. a + 4a = 25 5a = 25 5 5 a=5 Number of adults:
Number of children:
5
c = 4a c = 4(5) c = 20
• DOK-1«¿Es la gráfica la mejor opción aquí? ¿Por qué no?». No, tendrías que resolver ambas ecuaciones para una variable, y eso no se hace rápidamente aquí.
Reflect 1.
• DOK-2 «¿Cómo cambiarían los pasos de este problema si no hubiera una variable aislada?». Primero tendrías que resolver para una variable en una de las ecuaciones y luego completar los pasos.
Which ride has the least adults? Bumper boats is the ride with the least adults on it.
2.
What would you look for in your equations to determine whether substitution can be used rather than graphing? You would need to look for one equation that has the variable isolated on one side of the equation.
3.
Daniel wants to solve the following system of equations through graphing to find the point of intersection. 4d + h = 27 h=d+2 Pillar thinks that solving using substitution would be faster. Which method do you think would be faster to use for these equations? I would use substitution because there is one equation with the variable isolated; therefore, we can substitute that equation in for h. 3
7. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
Solving Pairs of Linear Equations Explore 3
Shipwrecked! Exit Ticket Saanvi and Devon really wanted to ride on Shipwrecked! They decided to look up the information for the ride to see the number of adults and children who can ride at one time. Use substitution to determine the number of adults and children who can ride at once. 4a + 3c = 35 c = 10 – a 4a + 3(10 – a) = 35 4a + 30 – 3a = 35 a + 30 = 35 c = 10 – a – 30 – 30 c = 10 – 5 a=5
c=5 1 Solving Pairs of Linear Equations Explore 3
Shipwrecked! Exit Ticket Saanvi and Devon really wanted to ride on Shipwrecked! They decided to look up the information for the ride to see the number of adults and children who can ride at one time. Use substitution to determine the number of adults and children who can ride at once. 4a + 3c = 35 c = 10 – a 4a + 3(10 – a) = 35 4a + 30 – 3a = 35 a + 30 = 35 c = 10 – a – 30 – 30 c = 10 – 5 a=5
• DOK-3 «¿Cómo puedes escribir la respuesta a un sistema de ecuaciones como un par ordenado?». Usa Botes chocones como ejemplo. Sabemos que adultos es igual a 5 y niños es igual a 20. Podemos hacer un par ordenado de (5) y (20). Podemos hacer un par ordenado de (adultos, niños), que sería (5, 20).
c=5
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez que la clase haya completado el «Esquema de anclaje», haga que los estudiantes completen individualmente su «Libreta interactiva».
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Los estudiantes con dificultades pueden resolver para una variable y olvidarse de resolver para la segunda variable. Comente cómo la solución de un sistema de ecuaciones es una coordenada y relaciónela con el punto de intersección de dos rectas, que los estudiantes aprendieron en la exploración anterior. 2. Los estudiantes con dificultades pueden reorganizar una de las ecuaciones para resolver una variable y luego volver a introducir la expresión derivada en la misma ecuación. Por ejemplo, si sustituimos -2x + 1 de nuevo en la ecuación original 2x + y = 1, obtendremos 1 = 1. Aunque la afirmación es cierta, no nos ayuda a resolver el sistema de la ecuación. Repase lo que implica la palabra sistema en este contexto (es decir, dos o más ecuaciones) y, por tanto, ambas ecuaciones deben formar parte del proceso de resolución del problema.
1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Solving Pairs of Linear Equations Part 3
APOYOS LINGÜÍSTICOS La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad «Explorar». Consulte las estrategias a continuación para conocer las formas de apoyar el desarrollo lingüístico del estudiante. Los estudiantes usarán técnicas de aprendizaje como mapas conceptuales, dibujo, comparación, contraste, memorización y repaso para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado. Principiante: Como actividad posterior a la clase, pida a los estudiantes que creen cuadrados de vocabulario para el término método de sustitución. Complete las siguientes secciones del cuadro de vocabulario como clase: Definición, Ejemplo (problema matemático), Sin ejemplo, y haga que los estudiantes creen su propia imagen para el término. Intermedio: Como actividad posterior a la clase, pida a los estudiantes que creen cuadrados de vocabulario para el término método de sustitución. Los cuadros de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), Sin ejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes la definición y el ejemplo, pero anímelos a reescribir la definición con sus propias palabras. Avanzado: Como actividad posterior a la lección, pida a los estudiantes que creen cuadrados de vocabulario para el término método de sustitución. Los cuadros de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), Sin ejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes la definición, pero anímelos a reescribirla con sus propias palabras.
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SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 368
Solving with Substitution 1.
When is it best to use the substitution method when solving a pair of linear equations algebraically? When one of the variables is written alone on one side of the equation, you can substitute that variable’s value into the other equation and solve it. You can also use substitution when one of the equations is easy to transform into an equation with one variable on one side.
2.
What are the main characteristics of word problems that can be solved by using a system of linear equations? The problem will describe two different quantities with a specific value, such as the cost of combinations of different priced adult and child tickets.
3.
y = 6x – 11 –2x – 3y = –7 –2x – 3(6x – 11) = –7 –2x – 18x + 33 = –7 –20x + 33 = –7 – 33 – 33 –20x = –40 x=2
4.
5.
2x – 3y = –1 y=x–1 2x – 3(x – 1) = –1 2x – 3x + 3 = –1 –x + 3 = –1 –x = –4 x=4 –4x + y = 6 –5x – y = 21 y = 6 + 4x –5x – (6 + 4x) = 21 –5x – 6 – 4x = 21 –9x – 6 = 21 –9x = 21 + 6 –9x = 27 x = –3
y = 6(2) – 11 y = 12 –11 y=1
Solution (2, 1)
y=4–1 y=3
Solution (4, 3)
y = 6 + 4(–3) y = 6 – 12 y = –6
Solution (–3, –6)
1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 3) CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 4: RESOLVER CON ELIMINACIÓN ESTÁNDAR(ES)
• Analizar y resolver ecuaciones lineales y pares de ecuaciones lineales simultáneas. Analizar y resolver pares de ecuaciones lineales simultáneas. • Comprender que las soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables corresponden a puntos de intersección de sus gráficas, porque los puntos de intersección satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente. • Resolver sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables algebraicamente, y estimar soluciones al graficar las ecuaciones. Resolver casos sencillos por inspección. Por ejemplo, 3x + 2y = 5 y 3x + 2y = 6 no tienen solución porque 3x + 2y no pueden ser simultáneamente 5 y 6. • Resolver problemas matemáticos y del mundo real que conduzcan a dos ecuaciones lineales en dos variables. Por ejemplo, dadas las coordenadas de dos pares de puntos, determinar si la línea que pasa por el primer par de puntos interseca la línea que pasa por el segundo par.
Ideas fundamentales Ecuaciones lineales
Estándares para la práctica matemática
Conexiones de contenido
Motores de investigación
MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución.
CC2 Explorar cantidades cambiantes
DI1 Dar sentido al mundo: Comprender y explicar DI2 Predecir lo que podría ocurrir: Predecir
MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente. MP.4 Representar con matemáticas. MP.6 Atender a la precisión.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes usarán el método de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por estudiante) • 1 boleto de salida (por cada 2 estudiantes) • 1 conjunto de tarjetas de pedido (por grupo) REUTILIZABLE
• 1 bolsa resellable (por grupo)
PREPARACIÓN
• Planee dividir la clase en grupos de 3 o 4. • Imprima el «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima un «Boleto de salida» para cada 2 estudiantes. Recorte los «Boleto de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno. • Imprima un conjunto de «Tarjetas de pedido» para cada grupo. Recórtelas y colóquelas en una bolsa resellable. Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para usarlas en el futuro.
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PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Lea la siguiente situación: «Saavni y Gabriella tienen hambre y deciden ir a la estación de meriendas para pedir comida. Después de pedir, sienten curiosidad por saber cuánto cuesta cada artículo. Ayude a Saavni y Gabriella a determinar el costo de cada artículo que pidieron». 2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada uno. 3. Dirija la atención de los estudiantes a las 2 casillas del «Diario del estudiante» con los pedidos de Saanvi y Gabriella. Explique a los estudiantes que deben fijarse en el pedido que hizo cada niña y en la ecuación de cada pedido. A continuación, los estudiantes trabajarán con sus grupos para determinar cuánto cuesta un pedido de papas fritas y cuánto cuesta un emparedado de queso fundido. A continuación, los estudiantes analizarán la tabla que aparece al final de la página y responderán a las preguntas que aparecen a continuación.
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Solving Pairs of Linear Equations Explore 4
4. Mientras los estudiantes colaboran, supervise su trabajo y use las siguientes preguntas guías para evaluar la comprensión de los estudiantes: a. DOK-1 «¿Por qué la ecuación del pedido de Saanvi es 1s + 1t = 3.50?». Esta ecuación es correcta para el pedido de Saanvi porque pidió un emparedado de queso fundido (1s) y un pedido de papas fritas (1t) y el total fue de $3.50. b. DOK-1 «¿Qué hay de diferente en la ecuación y el pedido de Gabriella?». Gabriella pidió 2 pedidos de papas fritas, así que tiene 2t en su ecuación. El total de su pedido fue de $5.00. c. DOK-1 «¿Cuánto crees que cuesta un pedido de menú infantil? ¿Por qué?». Un pedido de papas fritas cuesta $1.50, porque es la diferencia entre los dos costos totales.
Snack Station Part I
Use the receipts below to figure out the cost of each item ordered. Saanvi
Gabriella
1 Grilled Cheese Sandwich 1 Order of Tots
1 Grilled Cheese Sandwich 2 Orders of Tots
Total: $3.50
Total: $5.00
Saanvi’s equation
Gabriella’s equation
1s + 1t = 3.50
1s + 2t = 5.00
How much does one order of tots cost? $1.50 How much does one grilled cheese sandwich cost? $2.00 Analyze, and fill in the chart below.
d. DOK-1 «¿Cuánto costaría un emparedado de queso fundido? ¿Por qué?». Un sándwich de queso fundido costará $2.00, porque si restas $1.50, el costo de un pedido de menú infantil, del total de Saanvi, obtendrás $2.00.
Add
Subtract
System
1s + 2t = 5.00 + 1s + 1t = 3.50
1s + 2t = 5.00 – (1s + 1t = 3.50)
Result
2s + 3t = 8.50
1t = 1.50
Was this useful to help us solve? Why or why not?
No, it just gave us a more complicated equation.
Yes, it gave us an equation with only one variable.
5. Conceda tiempo suficiente a los estudiantes para contestar las preguntas, incluso las preguntas de reflexión.
1
6. Después de la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
Solving Pairs of Linear Equations Explore 4
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 «¿Por qué sería útil restar las ecuaciones?». Es útil porque te mostrará la diferencia entre ellas. Aquí, muestra la diferencia entre los pedidos y la diferencia entre los totales. • DOK-1 «¿Cómo llegaste a tu solución?». La diferencia entre los dos pedidos es 1 pedido de menú infantil, así que resté los totales para calcular cuánto sería un pedido de menú infantil. Luego usé esa información para volver a sustituir y averiguar cuánto costaría un sándwich de queso fundido. • DOK-1 «¿Qué pasó con los términos s cuando restó las ecuaciones?». Los s términos se eliminaron, o se cancelaron entre sí. • Los matemáticos llaman a este método de dos términos que se cancelan entre sí el método de eliminación. • DOK-2 «¿Dónde se intersectarían estas rectas si las graficáramos? ¿Cómo lo sabes?». Se intersectarían en (1.5, 2). Esto se basa en la solución que encontramos: 1 pedido de menú infantil cuesta $1.50 y 1 emparedado de queso fundido cuesta $2.00.
Reflect 1.
Why would it be useful to subtract the equations? It is useful because it will show you the difference between them. Here, it shows the difference between the orders and the difference between the totals.
2.
Which equation should you write first when subtracting? You should write the equation with the bigger coefficient first.
3.
What happened to the s terms when you subtracted the equations? The s terms were eliminated, or canceled each other out.
4.
At what point on a graph would these two lines intersect? An order of tots is $1.50, and a grilled cheese sandwich is $2.00. These lines would intersect at the point (1.5, 2).
Part II
Use the Order Cards to determine the cost of each item on the snack menu. Order 1 equation:
Order 2 equation:
1h + 1f = 5.50
2h + 1f = 9.00
Algebraic steps: 2h + 1f = 9.00 – (1h + 1f = 5.50) 1h = 3.50
2(3.50) + 1f = 9.00 7.00 + 1f = 9.00 – 7.00 – 7.00 1f = 2.00
Cost of one hamburger:
Cost of one fries order:
$3.50
$2.00 2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
370
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Solving Pairs of Linear Equations Explore 4
PARTE II Order 3 equation:
Order 4 equation:
1c + 1d = 6.25
1. Lea el siguiente escenario: «Saavni y Gabriella quieren saber el costo de otros artículos de la estación de meriendas. Las chicas encuentran los últimos 8 pedidos y deciden determinar el costo de cada artículo a partir de los pedidos. Ayude a Saavni y Gabriella a determinar el costo de cada artículo pedido».
2c + 1d = 10.25
Algebraic steps: 2c + 1d = 10.25 – (1c + 1d = 6.25) 1c = 4.00
2(4.00) + 1d = 10.25 8.00 + 1d = 10.25 – 8.00 – 8.00 1d = 2.25
Cost of one chicken basket:
Cost of one drink:
$4.00
$2.25
Order 5 equation:
2. Entregue un conjunto de «Tarjetas de pedido» a cada grupo. 3. Explique a los estudiantes que colaborarán con sus grupos para usar las «Tarjetas de pedido» para determinar el precio de otros artículos del menú de la estación de meriendas.
Order 6 equation:
3c + 2f = 16.00
2c + 2f = 12.00
4. Mientras los estudiantes colaboran, controle su trabajo y use las siguientes preguntas guías para evaluar la comprensión de los estudiantes:
Algebraic steps: 3c + 2f = 16.00 – (2c + 2f = 12.00) 1c = 4.00
2(4.00) + 2f = 12.00 8.00 + 2f = 12.00 – 8.00 – 8.00 2f = 4.00 2 2
a. DOK-1 «¿Qué ecuación escribiste para el pedido 3?». Para el pedido 3 escribí la ecuación 1c + 1d = 6.25.
f = 2.00
Cost of one cheeseburger:
Cost of one fries order:
$4.00
$2.00 3
Solving Pairs of Linear Equations Explore 4
Order 7 equation:
Order 8 equation:
1c + 1d = 6.50
1c + 2d = 8.75
Algebraic steps: 1c + 2d = 8.75 – (1c + 1d = 6.50) 1d = 2.25
Cost of one drink:
$4.25
$2.25
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 «¿Es la gráfica la mejor opción aquí? ¿Por qué no?». No, tendrías que resolver ambas ecuaciones para una variable, y eso no se hace rápidamente aquí.
What did you do when you solved the system of equations for orders 5 and 6 and had a coefficient of 2 left for fries?
• DOK-2 «¿Cuándo es mejor usar el método de eliminación para resolver?». Usar el método de eliminación es mejor cuando una de las variables en ambas ecuaciones hace un par cero. Por ejemplo, una ecuación tiene 5x, y la otra ecuación tiene -5x.
In orders 5 and 6, when there was a coefficient of 2 for fries, I used my prior knowledge of how to solve equations and divided each side by 2 so that I could isolate the variable. 2.
d. DOK-2 «¿Por qué crees que restamos en lugar de sumar?». Restamos porque queremos encontrar la diferencia entre las dos ecuaciones.
6. Después de la parte II, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje.
Reflect 1.
c. DOK-2 «¿Cuál es el último paso para determinar el precio de las papas fritas en el pedido 6?». El último paso es dividir ambos lados de la ecuación por 2. Esto te da que las papas fritas cuestan $2.00.
5. Permita a los estudiantes suficiente tiempo para contestar las preguntas, incluso las preguntas de reflexión.
1c + 2(2.25) = 8.75 1c + 4.50 = 8.75 – 4.50 – 4.50 1c = 4.25
Cost of one cheeseburger:
b. DOK-2 «¿Qué tienen de diferente los coeficientes en el pedido 6?». Ambos coeficientes en el pedido 6 son 2. Ninguno de los coeficientes es 1 como en los otros pedidos.
When is using the elimination method the best way to solve? Using the elimination method is best when one of the variables in both equations makes a zero pair.
7. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 4
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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8. Vuelva a «Captar interés» y pida a los estudiantes que usen sus habilidades recién adquiridas para completar con éxito la actividad.
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1/9/26 1:57 PM
GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Solving Pairs of Linear Equations Explore 4
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez que la clase haya completado el «Esquema de anclaje», haga que los estudiantes completen individualmente su «Libreta interactiva».
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Los estudiantes con dificultades pueden necesitar repasar la suma y resta de números con signo antes de la lección para reforzar ese conjunto de habilidades. 2. Los estudiantes con dificultades pueden no saber por qué la suma o la resta es una mejor opción al resolver sistemas de ecuaciones por eliminación y pueden elegir un enfoque de memoria. Comente los escenarios en los que la suma sería mejor (es decir, cuando los coeficientes son de la misma magnitud con diferentes signos para una variable dada) o la resta sería mejor (es decir, cuando los coeficientes son del mismo signo y magnitud para una variable dada).
Order Up! Exit Ticket Two final orders were placed at the snack station. Help determine the cost of each item purchased. 4d + 3h = 19.50 4d + 2h = 16.00 4d + 3h = 19.50 –(4d + 2h = 16.00) h = 3.50 4d + 2(3.50) = 16.00 4d + 7.00 = 16.00 – 7.00 – 7.00 4d = 9.00 4 4 d = 2.25 1 Solving Pairs of Linear Equations Explore 4
Order Up! Exit Ticket Two final orders were placed at the snack station. Help determine the cost of each item purchased. 4d + 3h = 19.50 4d + 2h = 16.00 4d + 3h = 19.50 –(4d + 2h = 16.00) h = 3.50 4d + 2(3.50) = 16.00 4d + 7.00 = 16.00 – 7.00 – 7.00 4d = 9.00 4 4 d = 2.25 1
APOYOS LINGÜÍSTICOS
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias a continuación para conocer las formas de apoyar el desarrollo del lenguaje del estudiante. Los estudiantes usarán técnicas de aprendizaje como mapas conceptuales, dibujos, comparaciones, contrastes, memorización y repasos para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado. Principiante: Como actividad posterior a la clase, pida a los estudiantes que creen cuadrados de vocabulario para el término método de eliminación. Complete las siguientes secciones del cuadro de vocabulario como clase: Definición, Ejemplo (problema matemático), Sin ejemplo, y que los estudiantes creen su propia imagen para el final. Intermedio: Como actividad posterior a la clase, pida a los estudiantes que creen cuadrados de vocabulario para el término método de eliminación. Los cuadros de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), Sin ejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes la definición y el ejemplo, pero anímelos a reescribir la definición con sus propias palabras. Avanzado: Como actividad posterior a la lección, pida a los estudiantes que creen cuadrados de vocabulario para el término método de eliminación. Los cuadros de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), Sin ejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes la definición, pero anímelos a reescribirla con sus propias palabras.
Solving Pairs of Linear Equations Part 4
Solving with Elimination 1.
Solve each pair of linear equations by using the elimination method.
Equations
h + 2f = 12.5 h + f = 12
Equations
3p + q = 21 2p + q = 15
Equations m + 4n = 9.75 m + 3n = 7.55
Algebraic Steps:
Algebraic Steps:
Algebraic Steps:
h + 2f = 12.5 –(h + f = 12.0) 1f = 0.5
3p + –(2p +
m + 4n = 9.75 –(m + 3n = 7.55) n = 2.2
h + 2(0.5) = 12.5 h+ 1 = 12.5 –1 –1 h = 11.5
h = 11.5
q = 21 q = 15) p=6
m + 4(2.2) = 9.75 m+ 8.8 = 9.75 – 8.8 – 8.8 m = 0.95
3(6) + q = 21 18 + q = 21 – 18 – 18 q=3
f = 0.5
q=3
p=6
m = 0.95
n = 2.2
1
Solving Pairs of Linear Equations Part 4
2.
When is it best to use the elimination method when solving a pair of linear equations algebraically? When you cannot easily graph or use the substitution method, you can use elimination to solve a pair of linear equations.
3.
Number these 5 steps of the elimination method in the most logical order. 5 ___Identify the solution as an ordered pair. 1 ___Use additive inverses to eliminate one variable. 4 ___Solve for y. 2 ___Solve for x. 3 ___Find the value of y by substituting the value of x into one of the equations.
4.
What can you use when the elimination method of adding or subtracting does not eliminate one of the variables? Make the coefficients of x or y to be opposites by multiplying each term by the lowest common multiple of one of the variables. Then continue with the 5 steps of elimination.
5.
The Sanchez family ordered 3 slices of pizza and 3 colas that cost $15. The O’Riley family ordered 4 slices of pizza and 3 colas that cost $18. What was the cost of each pizza and each cola? Show your work. Let p = pizza and c = cola. The Sanchez family equation is 3p + 3c = 15. The O’Riley family equation is 4p + 3c = 18. Use the additive inverse elimination method because one variable is not easily isolated. 4p + 3c = 18 3(3) + 3c = 15 9 + 3c = 15 – 3p – 3c = –15 p= 3 3c = 15 – 9 3c = 6 c=2 The solution is (3, 2). The cost of one pizza slice is $3. The cost of one cola is $2. 2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 4) CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE Solving Pairs of Linear Equations
CONSOLIDAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
ESQUEMA DE ANCLAJE DESCRIPCIÓN Un esquema de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Se trata de una herramienta para apoyar la instrucción y anclar el aprendizaje de los estudiantes a lo largo del alcance.
MATERIALES
• 1 hoja de papel cuadriculado
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
• 1 juego de marcadores multicolores
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del ejemplo de esquema de anclaje, si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. El ejemplo de esquema puede utilizarse como referencia antes de crear el de la clase. Esta actividad debe ser dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje. 2. A medida que los estudiantes trabajen en el alcance, colaboren para añadir piezas al «Esquema de anclaje». Formule las siguientes preguntas orientadoras: a. «¿Qué estrategia utilizamos para resolver este problema?». b. «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?». 3. Continúe añadiendo habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada «Exploración» para resaltar el contenido importante. 4. Explique que pueden usar este gráfico como herramienta de apoyo para su aprendizaje. Los estudiantes también pueden pegar una copia del ejemplo de «Esquema de anclaje» en sus cuadernos para utilizarlo como referencia durante el año. 5. Algunos «Esquemas de anclaje» solo se mostrarán durante un alcance o grupo de alcances concretos, mientras que otras permanecerán expuestas durante todo el curso escolar.
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
LIBRETA INTERACTIVA DESCRIPCIÓN Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase al usar la actividad y la libreta.
Solving Pairs of Linear Equations
Instructions ● Cut out the top and bottom of the flipbook. ● Cut the the top page flaps on the dotted lines. Fold back flaps on solid lines. ● Glue or tape the bottom of the flipbook into your notebook first. ● Place glue where it says “Place glue here.” Add the top of the flipbook. ● Lift up the flaps, match each graph to the corresponding solution type, and glue it in place. Top
Graphing Pairs of Linear Equations One Solution
No Solution
Infinite Solutions
Looking at the equations, explain how you know there is only one solution.
Looking at the equations, explain how you know there is no solution.
Looking at the equations, explain how you know there are infinitely many solutions.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
PREPARACIÓN
Solving Pairs of Linear Equations
• Imprima una copia del «Folleto del estudiante» para cada uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Place glue here. One Solution
No Solution
Infinite Solutions
1. Prepare una «Libreta interactiva» al usar un cuaderno de espiral o de composición para cada uno. Los estudiantes pueden utilizar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades. 2. Las instrucciones para cada actividad se proporcionan en el «Folleto del estudiante». 3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos. 4. Las libretas interactivas pueden utilizarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
Solving Pairs of Linear Equations
Instructions ● Cut out the rectangle along the dotted lines, and glue it into your notebook. ● Solve each pair of equations.
Substitution Method
Elimination Method
2x + 5y = 16 and y = 3x – 7
4x + 2y = 12 and –4x – 8y = 24
FOLLETO DEL ESTUDIANTE
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS APOYO PARA ESTUDIANTES MULTILINGÜES
CONEXIONES LINGÜÍSTICAS DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes tienen la oportunidad de usar sus conocimientos lingüísticos y culturales previos para apoyar las conexiones con nuevas habilidades, vocabulario y conceptos en sus niveles de competencia.
1 Distribuya a cada alumno un «Folleto del estudiante» con el nivel de competencia adecuado. 2 Use las instrucciones para las partes de escuchar, hablar, leer y escribir. Use gestos, señale objetos y elementos visuales, según proceda. Consulte las sugerencias en las instrucciones.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante según su nivel de competencia (por alumno)
3 Deje tiempo a los estudiantes para que piensen con sus vecinos antes de responder. 4 Anime a los estudiantes a perseverar en su pensamiento y a usar herramientas y modelos matemáticos.
REUTILIZABLE
• 1 marcador amarillo (por estudiante)
5 Invite a los estudiantes a responder adecuadamente a cada dominio lingüístico.
PREPARACIÓN
• Prepárese para que los estudiantes trabajen con compañeros cuando sea necesario.
6 Pida a los estudiantes que usen la página final del «Folleto del estudiante» para establecer conexiones entre los conceptos matemáticos y el mundo real.
• Determine el nivel de competencia en inglés de cada estudiante. • Imprima un «Folleto del estudiante» para cada uno según su nivel de inglés. • Permita que los estudiantes tengan acceso al vocabulario ilustrado para este alcance. • Permita que los estudiantes tengan acceso a varias herramientas matemáticas, como papel cuadriculado, reglas o herramientas gráficas digitales.
Solving Pairs of Linear Equations B
Solving Pairs of Linear Equations B
Ryan and Kandis are racing to read a Circle the solution for each graph or table. Then draw a line to match the pair of linear equations with the solution on the right.
is released in the store. They
Solving Pairs of Linear Equations I
wants to meet with Kandis to talk about the book. When should Ryan and
Solving Pairs of Linear Equations A
Circle the solution for each pair of linear equations on the graph or table. Then complete the solution by filling in the missing coordinates.
in the store. They time their reading speed to see how fast they are reading. When they are at the same number of pages, Ryan wants to meet
meet with Kandis to talk about the book. When should Ryan and Kandis talk about the book? Determine what the solution to their graph means. Ryan and Kandis are tracking how fast they can
Ryan and Kandis are tracking the days until the next book is released. True / False
_______. read (2, 2)
The solution for their equations is (10, 60). True / False The x-coordinate represents the number of days. True / False The y-coordinate represents the number of pages they have read. True / False
x
y
x
y
−3
19
−3
7
−1
9
−1
9
4
0
10
1
−1
1
11
3
0
−11
3
13
y = −5x + 4 (−1, 9)
Ryan and Kandis are tracking how fast they can _____. run / read The solution for their equations is __________. (10, 60) / (100, 0)
y = x + 10
x
y
x
y
−3
19
−3
7
−1
9
−1
9
0
The x-coordinate represents ___________________________. the number of pages remaining / the number of days
0
10
1
−1
1
11
3
−11
4
3
13
The y-coordinate represents ___________________________. the number of pages remaining / the number of days (2, 2)
Blue
True
Red
x
Ryan and Kandis should meet on day 10. True / False (−1, 9)
Word Bank Blue True
Note to Publishing This graph stays on the student handout.
(2, 2)
Ryan and Kandis should meet on day _____. 10 / 60
Solving Pairs of Linear Equations B
Word Bank
are reading. When they are at the same number of pages, Ryan wants to
about the book? Determine what the solution to their graph means. (−12, −2)
y = x + 10
released in the store. They time their reading speed to see how fast they
with Kandis to talk about the book. When should Ryan and Kandis talk
book? Determine what the solution to their
graph means. (−12, −2)
y = −5x + 4
Solving Pairs of Linear Equations A
Ryan and Kandis are racing to read a book before the next book is
Ryan and Kandis are racing to read a book before the next book is released
Circle the solution for each graph or table. Then complete the missing x-coordinate, and draw a line to match the pair of linear equations with the corresponding solution.
fast they are reading. When they are at the same number of pages, Ryan Kandis talk about the
Solving Pairs of Linear Equations I
book before the next book
time their reading speed to see how
Red x
Substitution Solution y y-intercepts
Use the word bank to explain what the graphed points indicate and how to verify the solution for the pair of linear equations shown. solution is where the lines intersect. The ________ The graphed points (0, 0) and (0, 3) are the y-intercepts for each equation. The point ___________ blue (2, 5) is only a solution for the ______ equation. The point (3, 2) is only a solution red for the ______ equation.
Solving Pairs of Linear Equations B
To verify the solution: To verify whether (−9, −6) is a solution, we use substitution. In each equation, substitute −9 for the x-coordinate. For the y-coordinate, substitute −6. The equations will each be true, showing it is a solution for both the red and blue equations.
(10, 60) The solution for their equations is __________. The x-coordinate in their solution represents the _____________ number of days , and the y-coordinate in their solution represents the _______________. remaining pages
y = −5x + 4
y = x + 10
x
y
x
y
−3
19
−3
7
−1
9
−1
9
0
10
1
−1
1
11
3
0
−11
4
3
13
10 Ryan and Kandis should meet on day _____.
Word Bank
(−1, 9) Blue
True
Red x
Substitution Solution y-intercepts
The solution is where the lines intersect. The graphed points (0, 0) and (0, 3) are the y-intercepts for each equation. The point (2, 5) is only a solution for the blue equation. The point (3, 2) is only a solution for the red equation.
Note to Publishing This graph stays on the
(−12, −2) student
handout.
Solving Pairs of Linear Equations I
To verify whether (−9, −6) is a solution, we use substitution. In each equation, substitute −9 for the x-coordinate. For the y-coordinate, substitute −6. The equations will each be true, showing it is a solution for both the red and blue equations.
Solving Pairs of Linear Equations A
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use pairs of linear equations at home with your family or friends.
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use pairs of linear equations at home with your family or friends.
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use pairs of linear equations at home with your family or friends.
Answers will vary.
Answers will vary.
Answers will vary.
Substitution Solution y y-intercepts
y
Use the word bank to explain what the graphed points indicate and how to verify the solution for the pair of linear equations shown.
Use the word bank to explain what the graphed points indicate and how to verify the solution for the pair of linear equations shown.
Note to Publishing This graph stays on the student handout.
solution The ___________ is where the lines intersect. The graphed points (0, 0) and y-intercepts (0, 3) are the _____________ for each equation. The point (2, 5) is only a blue solution for the ________ equation. The point (3, 2) is only a solution for the red _________ equation. To verify whether (−9, −6) is a solution, we use _____________. In each substitution x y equation, substitute −9 for the ____-coordinate. For the _____-coordinate, true substitute −6. The equations will each be _________, showing it is a solution for both the red and blue equations.
PRINCIPIANTE FOLLETO DEL ESTUDIANTE
ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 375
INTERMEDIO FOLLETO DEL ESTUDIANTE
AVANZADO FOLLETO DEL ESTUDIANTE
375
1/9/26 1:57 PM
GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCUCHAR Y HABLAR PRINCIPIANTE
Disponga de marcadores amarillos para que los estudiantes los usen. Lea las siguientes instrucciones de una en una: •
Señala la gráfica donde ve la ecuación y = x.
•
Señala la coordenada de la gráfica que es una solución para las rectas que se cruzan.
•
Encierre con un círculo la solución en la gráfica con su marcador amarillo.
•
«¿Dónde se encuentra la solución de las dos ecuaciones en el gráfico?». •
•
«¿Cómo podemos verificar la solución (2, 2) de las ecuaciones?». •
•
•
Tenga marcadores amarillos a mano para que los estudiantes los usen. Lea las siguientes instrucciones de una en una:
•
Observa la primera gráfica, donde y = x.
•
Al usar tu marcador amarillo, encierra con un círculo la solución de la gráfica.
•
«¿Dónde se encuentra la solución de las dos ecuaciones en la gráfica?».
Pida a los estudiantes que usen la siguiente estructura de frases: La coordenada que es la solución es ______ porque ______.
•
Con tus compañeros, realice cómo el punto donde se cruzan las rectas representa la solución. «¿Por qué crees que es así?».
•
Encierre con un círculo la solución en la gráfica con su marcador amarillo.
•
•
«¿Dónde se encuentra la solución para las dos ecuaciones en la gráfica?».
«¿Cómo podemos verificar la solución (2, 2) de las ecuaciones?». Habla con tus compañeros sobre los pasos necesarios para verificar la solución de ambas ecuaciones. Utiliza términos matemáticos como sustituir, simplificar o evaluar en tu explicación.
•
«¿Cuál es el primer paso para verificar la solución en la ecuación y = x?».
•
Verifica la solución para la ecuación y = x. «¿A qué se simplifica la ecuación para demostrar que es verdadera?».
•
«¿Cuál es el primer paso para verificar la
•
Verifica la solución de la ecuación y = -__ 2 x + 3. «¿A qué se simplifica la ecuación
•
•
•
1
1
•
•
•
Pida a los estudiantes que usen la siguiente raíz de oración: El primer paso para verificar la solución es____.
Pida a los estudiantes que usen la siguiente raíz de oración: La ecuación es verdadera porque se simplifica en ____. 1
2 x + 3?». solución de la ecuación y = -__
Pida a los estudiantes que usen la siguiente raíz de oración: El primer paso para verificar la solución es ___.
•
Compruebe que los estudiantes han entendido; (2, 2) debe encerrarse con un círculo y escribirse.
•
Mira la tabla. Con el marcador amarillo, encierra con un círculo el lugar de la tabla donde se encuentra la solución.
•
Compara la solución que encerraste con un círculo con la de tus compañeros. Si son diferentes, explíca el razonamiento y decide cuál es la correcta.
•
«¿Dónde se encuentra la solución de las dos ecuaciones en la tabla?».
•
«¿Cómo podemos verificar la solución (-1, 9) de las ecuaciones?».
1
Señala la coordenada que coincide con la solución que encerraste con un círculo en la gráfica.
•
Traza una línea desde la gráfica superior hasta la coordenada (2, 2).
•
Señala la tabla.
•
Examina cada una de las soluciones de ambas ecuaciones.
•
•
Señala el par ordenado que satisface ambas ecuaciones. «¿Dónde está la solución de las dos ecuaciones en la tabla?».
Señala la coordenada que coincide con la solución que encerraste con un círculo en la gráfica.
•
Escribe el valor x que falta en la coordenada.
•
Traza una línea desde la gráfica superior hasta la coordenada (2, 2).
•
Señala la tabla.
•
Examina cada una de las soluciones de ambas ecuaciones.
SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 376
Escribe la solución que encerraste con un círculo a la derecha.
Verifique la solución para la ecuación y = -__ 2 x + 3. «¿A qué se simplifica la ecuación para demostrar que es verdadera?».
•
376
1
•
«¿Cuál es el primer paso para verificar la •
Pida a los estudiantes que usen el siguiente enunciado: La ecuación es verdadera porque se simplifica en ____.
1
2 x + 3?». solución de la ecuación y = -__
para demostrar que es cierta?».
Verifique la solución de la ecuación y = x. «¿A qué se simplifica la ecuación para probar que es verdadera?». •
Pida a los estudiantes que usen la siguiente raíz de oración: El primer paso para verificar la solución es ___.
Pida a los estudiantes que usen la siguiente raíz de oración: Puedo verificar que la solución (2, 2) es cierta para las ecuaciones ___.
«¿Cuál es el primer paso para verificar la solución en la ecuación y = x?». •
•
Haga que los estudiantes usen la siguiente estructura de oración: La solución para las dos ecuaciones se puede encontrar ______.
«¿Cómo podemos verificar la solución (2, 2) para las ecuaciones?». •
2 x + 3?». solución de la ecuación y = -__
Verifique la solución para la ecuación y = -__ 2 x + 3. «¿A qué se simplifica la ecuación para demostrar que es verdadera?».
Señala la coordenada de la gráfica que es solución para las rectas que se cruzan. Explique por qué este punto es la solución. •
Pida a los estudiantes que usen la siguiente raíz de oración: El primer paso para verificar la solución es ____.
Pida a los estudiantes que usen la siguiente raíz de oración: La ecuación es verdadera porque se simplifica en ____.
Señala la gráfica donde veas la ecuación y = x.
•
«¿Cuál es el primer paso para verificar la •
•
Tenga marcadores amarillos a disposición de los estudiantes. Lea las siguientes instrucciones de una en una:
•
Verifique la solución de la ecuación y = x. «¿A qué se simplifica la ecuación para probar que es verdadera?». •
AVANZADO
Pida a los estudiantes que usen la siguiente raíz de oración: Puedo verificar que la solución (2, 2) es cierta para ambas ecuaciones ___.
«¿Cuál es el primer paso para verificar la solución en la ecuación y =x?». •
•
Pida a los estudiantes que usen el siguiente enunciado: La solución de las dos ecuaciones puede encontrarse en ______.
INTERMEDIO
•
Pida a los estudiantes que usen el siguiente enunciado: La ecuación es verdadera porque se simplifica en ____.
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1/9/26 1:57 PM
GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCUCHAR Y HABLAR (CONTINUACIÓN) PRINCIPIANTE •
Pida a los estudiantes que usen el siguiente enunciado: La solución de las dos ecuaciones de la tabla se puede encontrar _______.
•
Encierra con un círculo la solución (-1, 9) de ambas ecuaciones con un marcador amarillo.
•
«¿Cuál es el primer paso para verificar la solución de la ecuación y = -5x + 4?». •
•
Verifica la solución de la ecuación y = -5x + 4. «¿A qué se simplifica la ecuación para demostrar que es verdadera?». •
•
Pida a los estudiantes que usen la siguiente raíz de oración: La ecuación es verdadera porque se simplifica en ____.
«¿Cuál es el primer paso para verificar la solución de la ecuación y = x + 10?». •
•
Pida a los estudiantes que usen la siguiente secuencia de oración: El primer paso para verificar la solución es____.
Pida a los estudiantes que usen la siguiente secuencia de oración: El primer paso para verificar la solución es____.
INTERMEDIO •
Señala la solución para ambas ecuaciones. Realiza con tus compañeros cómo se puede identificar la solución de un par de ecuaciones lineales en una tabla. •
Pida a los estudiantes que usen la siguiente estructura de oraciones: En la tabla, la solución es ______ porque ______.
•
Haga que los estudiantes utilicen la siguiente estructura de oración: La solución de un par de ecuaciones lineales se puede encontrar en la tabla ______.
•
Encierra con un círculo la solución (-1, 9) para ambas ecuaciones con un marcador amarillo.
•
«¿Dónde se encuentra la solución para las dos ecuaciones en la tabla?». •
•
«¿Cómo podemos verificar la solución (-1, 9) para las ecuaciones?». •
•
•
Pida a los estudiantes que usen la siguiente raíz de oración: El primer paso para verificar la solución es____.
Verifica la solución de la ecuación y = -5x + 4. «¿A qué se simplifica la ecuación para demostrar que es verdadera?». •
Verifica la solución de la ecuación y = x + 10. «¿A qué se simplifica la ecuación para demostrar que es verdadera?».
Haga que los estudiantes usen la siguiente raíz de oración: Puedo verificar que la solución (-1, 9) es verdadera para las ecuaciones por ___.
«¿Cuál es el primer paso para verificar la solución en la ecuación y = -5x + 4?». •
•
Pida a los estudiantes que usen la siguiente estructura de oración: La solución para las dos ecuaciones se puede encontrar ______.
•
Dibuja una línea desde la tabla hasta la coordenada que coincide con esta solución.
•
Señala la coordenada que coincide con la solución que encerraste con un círculo en la tabla.
•
Señala el último gráfico.
•
Escribe el valor x que falta en la coordenada.
•
Señala la coordenada en el gráfico que es una solución para las líneas de intersección. «¿Dónde está la solución de las dos ecuaciones de la gráfica?».
•
Dibuja una línea desde la tabla hasta la coordenada que coincide con esta solución.
•
Señala el último gráfico.
•
Señala la coordenada del gráfico que es una solución para las líneas que se cruzan.
Pida a los estudiantes que usen el siguiente enunciado: La solución para las dos ecuaciones en la gráfica se puede encontrar _______.
•
Encierra con un círculo la solución en la gráfica con tu marcador amarillo.
•
Da un pulgar hacia arriba o un pulgar hacia abajo si la solución que no coincide coincide con la solución que encerraste con un círculo en tu gráfica.
•
Encierra con un círculo la solución en la gráfica con tu marcador amarillo.
•
Dibuja una línea que coincida con la gráfica final y el par ordenado.
•
Da un pulgar hacia arriba o un pulgar hacia abajo si la solución no coincidente coincide con la solución que encerraste con un círculo en tu gráfica.
•
«¿Por qué es importante verificar la solución para ambas ecuaciones?».
Dibuja una línea que coincida con la gráfica final y el par ordenado.
Verifique la solución de la ecuación y = -5x + 4. «¿A qué se simplifica la ecuación para demostrar que es cierta?».
•
«¿Cuál es el primer paso para verificar la solución de la ecuación y = x + 10?».
•
Verifica la solución de la ecuación y = x + 10. «¿A qué se simplifica la ecuación para demostrar que es cierta?».
•
Escribe la solución que encerraste con un círculo a la derecha.
•
Compruebe la comprensión de los estudiantes; (-1, 9) debe estar encerrado con un círculo y escrito.
•
Explica a tus compañeros cómo encontrar la solución en la gráfica y la solución de la tabla es lo mismo.
•
Mira la gráfica final.
•
Al usar tu marcador amarillo, encierra con un círculo la solución de la gráfica.
•
Escribe la solución que has encerrado con un círculo a la derecha.
Verifica la solución de la ecuación y = x + 10. «¿A qué se simplifica la ecuación para demostrar que es verdadera?». •
•
Pida a los estudiantes que usen la siguiente raíz de oración: La ecuación es verdadera porque se simplifica en ____.
Haga que los estudiantes usen las siguientes raíces de oraciones: Es importante verificar la solución para ambas ecuaciones porque ______. Si la solución solo es cierta para una ecuación, entonces _____.
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•
Pida a los estudiantes que usen la siguiente secuencia de oración: El primer paso para verificar la solución es ___.
•
•
«¿Cuál es el primer paso para verificar la solución de la ecuación y = -5x + 4?».
«¿Cuál es el primer paso para verificar la solución de la ecuación y = x + 10?».
•
•
•
Pida a los estudiantes que usen la siguiente secuencia de oraciones: La ecuación es verdadera porque se simplifica en ____.
Pida a los estudiantes que usen la siguiente secuencia de oraciones: La ecuación es verdadera porque se simplifica en ____.
•
AVANZADO
377
1/9/26 1:57 PM
GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
LEER Y HABLAR PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Lea en eco la historia en grupo. Divida la historia en frases. Pida a los estudiantes que señalen cada palabra mientras leen. Pídales que encierren con un círculo las palabras que no conozcan. Comente las palabras con todo el grupo.
Lea en coro la historia en grupo. Pida a los estudiantes que señalen cada palabra mientras leen. Pídales que encierren con un círculo las palabras que no conozcan. Comente las palabras con sus compañeros.
Pida a los estudiantes que lean la historia con sus compañeros y que señalen cada palabra a medida que leen. Invite a los estudiantes a encerrar con un círculo las palabras que no conozcan y a comentarlas con sus compañeros.
•
Comente el pasaje y el gráfico con los estudiantes.
•
Comparta con sus compañeros de qué trataba la historia.
•
Comente con sus compañeros lo que Ryan quiere hacer cuando lleguen a la misma cantidad de páginas.
•
Comparta con sus compañeros cómo puedes usar el gráfico para determinar cuándo Ryan y Kandis han leído la misma cantidad de páginas.
•
«¿Alguna vez has corrido para terminar un libro?».
•
«¿Cuál es tu libro favorito que has leído?».
•
«¿Qué observas en el gráfico?».
•
«¿Qué representa cada eje del gráfico?».
•
•
«¿Cómo podemos usar el gráfico para determinar cuándo Ryan y Kandis han leído la misma cantidad de páginas?».
Lectura coral del primer enunciado. Señala la respuesta en la historia antes de marcar la afirmación como verdadera o falsa.
•
Lee en coro la segunda afirmación. Señala la respuesta en la historia antes de marcar la afirmación como verdadera o falsa.
•
Lee en coro la primera afirmación. Señala la respuesta antes de contestar.
•
Lee en coro la segunda afirmación. Señala la respuesta antes de contestar.
•
«¿Qué representa el eje x?».
«¿Qué representa el eje x?».
•
«¿Qué representa el eje y?».
•
Lee en pareja las afirmaciones restantes. Comenta con tus compañeros para decidir si es verdadero o falso.
•
«¿Cómo supiste que debían reunirse el día 10?».
•
•
•
Pida a los estudiantes que usen la siguiente secuencia de oraciones: El eje x representa _____.
«¿Qué representa el eje y?». •
•
Explique a sus compañeros de qué trataba el pasaje.
•
«¿Para qué evento se preparan Ryan y Kandis?».
•
«¿Qué quiere hacer Ryan cuando lleguen al mismo número de páginas?».
•
Comenta con tus compañeros lo que observas en el gráfico. Lee cada enunciado y comenta tus respuestas con tus compañeros.
Pida a los estudiantes que usen la siguiente secuencia: El eje y representa _____.
•
Lectura coral de la tercera y cuarta afirmaciones. Señala las respuestas antes de contestar.
•
Lee en coro la quinta afirmación. Señala la respuesta antes de contestar.
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1/9/26 1:57 PM
GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO VOCABULARIO CLAVE
VOCABULARIO ILUSTRADO Coefficient
Point
Point of Intersection
Rational Number
The number placed directly before a variable that tells you to multiply that number by the variable
A dot that represents a specific spot on a number line or coordinate plane; a geometric object with no dimension used to indicate a location
The point where two or more lines cross each other
A number that can be written as a fraction of integers a/b, where b ≠ 0; a number that can be written as a ratio using two integers
2
11
13
12
Slope
Slope-Intercept Form
Solution
Standard Form (Linear)
How steep a line is; represented as m in the slope-intercept equation
A way to write the equation of a line so that it is easy to view the slope and y-intercept of the line; y = mx + b
Any number that makes an equation true
Ax + By = C, where A, B, and C are constants and A and B are not both 0
15
14
16
17
Substitution
System of Equations
Variable
Coordinate Plane
Replacing letters in an algebraic expression with known values
Two or more equations with two or more variables
A letter or symbol that takes the place of a number that can change; a letter that can stand for an unknown number or a set of numbers
Two perpendicular number lines, called the x-axis and the y-axis, that intersect at the point (0, 0) and create four quadrants; also called a graph, coordinate grid, or Cartesian plane
18
19
X-Axis
X-Coordinate
A horizontal number line on a coordinate plane
The first term in an ordered pair; provides the location along the x-axis within the coordinate plane 21
Y-Axis
Dependent Variable
Independent Variable
The point on a graph of an equation where the line crosses the y-axis
A variable, often y, that relies on the value of the independent variable
A variable, often x, that does not rely on the value of another variable 4
Origin
Ordered Pair
An equation in which no variable has a power greater than 1; the general form is y = mx + b, where m = slope and b = y-intercept.
The center point of a coordinate plane, where the x-axis and y-axis intersect, located at (0, 0)
The location of a single point on a coordinate plane where the first and second values represent the position relative to the x-axis and y-axis, respectively (x, y); also known as coordinate pair
SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 379
8
24
Infinite
Having an unlimited number of values 5
Linear Equation
ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
The second term in an ordered pair; provides the location along the y-axis within the coordinate plane 23
Y-Intercept
7
Y-Coordinate
A vertical number line on a coordinate plane 22
25
3
20
6
Nonvertical Line
A line that is horizontal or diagonal 9
10
379
1/9/26 1:57 PM
GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ DESARROLLAR LA FLUIDEZ CONCEPTUAL
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: INTERSECCIÓN DE ECUACIONES LINEALES DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes jugarán a un conjunto de Pareo de coordenadas.
MATERIALES IMPRESO
• 1 hoja de Instrucciones de Pareo de coordenadas (por pareja)
Coordinate Match Instruction Sheet Play this game with a partner. You Will Need 1 Set of Coordinate Match Cards (per pair) How to Play 1. Shuffle the cards, and place them facedown in an array. 2.
Player 1 flips over two cards to try to find a match.
3.
If player 1 matches a card with an ordered pair to a corresponding description of the coordinate location, then they keep the matched set and take another turn. (All locations start from the origin.)
4.
If player 1 does not find a match, then they place the cards facedown again, and it is the next player's turn.
5.
Players continue taking turns until all of the matches have been found.
6.
The player who collects the most cards wins.
• 1 conjunto de tarjetas de Pareo de coordenadas (por pareja) REUTILIZABLE
• 1 sobre o bolsa (por pareja)
PREPARACIÓN
• Haga copias a doble cara de las «Tarjetas de Pareo de coordenadas». • Lamínelas para que duren más.
HOJA DE INSTRUCCIONES
• Recorte las tarjetas individuales y colóquelas en un sobre o bolsa para facilitar su distribución y limpieza. • Coloque a los estudiantes en parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo barajar las tarjetas y coloquelas boca abajo en una matriz. 2. Muestre cómo jugar el juego con un estudiante. a. El jugador 1 voltea dos tarjetas para tratar de encontrar un pareo. b. Si el jugador 1 parea una tarjeta con un par ordenado con una descripción correspondiente de la ubicación de coordenadas, entonces se queda con el conjunto emparejado y toma otro turno (todas las localizaciones empiezan desde el origen). c. Si el jugador 1 no encuentra ningun pareo, vuelve a colocar las tarjetas boca abajo y es el turno del siguiente jugador. d. Los jugadores siguen turnándose hasta que se hayan encontrado todos los pareos. e. Gana el jugador que reúna más tarjetas. 3. Distribuya los materiales. A continuación, pida a los estudiantes que barajen las cartas y las coloquen boca abajo. 4. Supervise a los estudiantes para asegurarse de que encuentran las parejas correctas.
380
SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 380
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1/9/26 1:57 PM
GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
ELABORAR: REVISIÓN EN ESPIRAL REVISAR CONCEPTOS PREVIOS
REVISIÓN EN ESPIRAL: CASA DE PÁJAROS DE BEN DESCRIPCIÓN Los estudiantes repasan contenidos previos o actuales del grado para ayudar a apoyar su trabajo en el alcance actual y fortalecer las habilidades necesarias para alcances posteriores.
REVISIÓN EN ESPIRAL CENTRADA EN LA PREGUNTA • Pregunta 1
• Grado 8: Dar ejemplos de ecuaciones lineales en una variable con una solución, infinitas soluciones, o sin soluciones. Demuestre cuál de estas posibilidades es el caso al transformar sucesivamente la ecuación dada en formas más simples, hasta que resulte una ecuación equivalente de las formas x = a, a = a, o a = b (donde a y b son números diferentes).
3. Utilice las preguntas de revisión en espiral como calentamiento en clase o envíelas a casa como tareas. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos. 4. Consulte la sección «Revisión en espiral centrada en la pregunta» para evaluar los conocimientos de contenido de los estudiantes o su necesidad de intervención adicional. Si es necesario repasar más, utilice los «Constructor de fluidez» en los alcances apropiados. 5. El capítulo final incluye una parte del alcance actual para que los estudiantes vean la conexión y relevancia de su aprendizaje previo con el alcance actual.
Solving Pairs of Linear Equations
• Pregunta 2 • Grado 8: Resolver ecuaciones lineales con coeficientes de números racionales, incluso ecuaciones cuyas soluciones requieren expandir expresiones al usar la propiedad distributiva y al unir términos semejantes. • Pregunta 3
Ben’s Birdhouses Ben loves to create things; he is especially talented in woodworking. When he was a little boy, his dad taught him how to hammer and nail, and he has not stopped creating things since. As he got older, he began making more extensive projects. He was so good at what he did that people from all over began putting in requests for him to make them something unique. He sold a lot of specialty, one-of-a-kind furniture. He loved seeing the smiles on people’s faces when he handed them his work. Growing up in the country, Ben also loved nature. He really loved making birdhouses even though they were not the hardest thing he knew how to make. He would customize them to suit various types of birds, giving them each a different look as he finished them with paint. He would make birdhouses on the side and then go to local vender shows and fairs to sell them. People were willing to pay a lot for something that was made with so much care!
• Grado 8: Graficar relaciones proporcionales, al interpretar la tasa unitaria como la pendiente de la gráfica. Comparar dos relaciones proporcionales diferentes representadas de diferentes maneras.
1
• Pregunta 4 • Grado 8: Usar triángulos similares para explicar por qué la pendiente, m, es la misma entre dos puntos distintos cualesquiera de una recta no vertical en el plano de coordenadas; deducir la ecuación y = mx para una recta que pasa por el origen y la ecuación y = mx + b para una recta que intercepta el eje vertical en b.
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada uno.
Solving Pairs of Linear Equations
1.
The next show that Ben attends is a week-long fair. Each day, there are several vendors. The number of vendors who set up shop on two of the different days are represented by the expressions 2x + 6 and 2(x + 3). How many solutions are there to the relationship between these two expressions? There are an infinite number of solutions.
3.
Ben kept track of the number of birdhouses that he sold per hour. Two days are represented below. Which day had the greater unit rate?
Day 1: y = 5x
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada uno. 2. Anime a los estudiantes a tratar de responder a las preguntas de forma independiente sin usar recursos externos para ver lo que saben. Invite a los estudiantes a anotar ideas o fragmentos que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas. ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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2.
Ben wants to determine how many birdhouses he can make. The cost to buy the materials is represented by the equation y = 3(6x – 4). If he spends $168 on supplies, how many birdhouses can he make? He can make 10 birdhouses.
4.
The following graph represents how many birdhouses Ben sold overall. Write an equation to show how much money in dollars, y, he made for x number of birdhouses.
Day 2:
Day 2 had the greater unit rate.
y = 15x 2
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS ANÁLISIS DE DATOS
CIENCIA DE DATOS Ciencia de datos es un breve debate en clase basado en un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. La parte I incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los estudiantes en contexto.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizarán, interpretarán y generarán conjuntos de datos, además de responder a preguntas basadas en los datos.
MATERIALES IMPRESO
• 1 conjunto de datos (por clase) REUTILIZABLE
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase) • 1 marcador (por clase) CONSUMIBLE
• 1 trozo de papel milimetrado (por clase)
PARTE II
1. Repase cómo resolver un sistema de ecuaciones, y escriba lo que los estudiantes recuerden en el papel milimetrado. 2. Realice las siguientes preguntas: a. Define tus variables. Deja que x represente la cantidad de horas de sueño en una noche escolar, y que y represente la cantidad de horas dedicadas a hacer las tareas. b. Escribe el sistema de ecuaciones. Haz clic en cada recta de mínimos cuadrados para encontrar las ecuaciones de la recta de mejor ajuste. Mujer: y = -1.1x + 16.1 Hombre: y = -0.56x + 10.8 c. Resuelve el sistema. Muestra tu trabajo. Muestra el trabajo. -0.56x + 10.8 = -1.1x + 16.1 0.54x = 5.3 x ≈ 9.81
PREPARACIÓN
• Prepárese para proyectar el conjunto de datos para la clase. • Reúna un trozo de papel milimetrado y un marcador.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I 1. Proyecte el conjunto de datos TUVA, y prepárese para anotar las observaciones de los estudiantes. 2. Haga clic en Punto. 3. Arrastre Sexo para arrastrar y soltar, Colorear por atributo aquí. 4. Arrastre Horas de sueño en una noche escolar al eje x. 5. Arrastre Horas dedicadas a hacer tareas al eje y. 6. Haga clic en el icono
Representar datos.
7. Seleccione Recta de mínimos cuadrados. 8. Seleccione Recta por categoria. 9. Comente las siguientes preguntas: a.
«¿Qué nota acerca de este conjunto de datos?».
b.
«¿Qué representa este conjunto de datos?».
c.
«¿Qué categorías se incluyen en este conjunto de datos?».
d.
«¿Qué tendencias observas en los datos?».
e.
«¿Qué representa el punto de intersección de las dos rectas?».
f.
«¿Qué preguntas tienes sobre los datos?».
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y ≈ -1.1(9.81) + 16.1 y ≈ 5.31 d. «¿Qué significa la solución en el contexto del problema?». Los hombres y las mujeres duermen lo mismo y dedican el mismo tiempo a las tareas cuando duermen 981 horas y dedican 5.31 horas a las tareas. e. Explica otra forma en la que podrías haber resuelto el sistema de ecuaciones. Podrías multiplicar la ecuación superior por 0.56 y la ecuación inferior por -1.1. Luego podrías sumar las ecuaciones, al hacer que los términos x sumen cero. La ecuación puede entonces resolverse para y. Sustituye el valor de y en una de las ecuaciones originales para encontrar el valor de x. Parte III 1. Arrastra Horas de actividades al aire libre al eje x para reemplazar Horas de sueño en una noche escolar. 2. Realice las siguientes preguntas: a. «¿Parece que la cantidad de horas dedicadas a actividades al aire libre afecta a la cantidad de tiempo dedicado a hacer las tareas?». b. «¿Pasan los hombres y las mujeres la misma cantidad de tiempo al hacer actividades al aire libre y al hacer las tareas?». c. «¿Cómo puedes saberlo al observar los datos?».
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES Solving Pairs of Linear Equations
EVALUACIÓN DE HABILIDADES
Solving Pairs of Linear Equations Skill or Key Concept Analyze and solve pairs of simultaneous linear equations. a. Understand that solutions to a system of two linear equations in two variables correspond to points of intersection of their graphs, because points of intersection satisfy both equations simultaneously. Analyze and solve pairs of simultaneous linear equations. b. Solve systems of two linear equations in two variables algebraically, and estimate solutions by graphing the equations. Solve simple cases by inspection. For example, 3x + 2y = 5 and 3x + 2y = 6 have no solutions because 3x + 2y cannot simultaneously be 5 and 6. Analyze and solve pairs of simultaneous linear equations. c. Solve real-world and mathematical problems leading to two linear equations in two variables. For example, given coordinates for two pairs of points, determine whether the line through the first pair of points intersects the line through the second pair.
How was the skill or concept observed?
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN
LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN
Notes and Feedback
DESCRIPCIÓN Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede utilizarse como evaluación formativa para los maestros y como autoevaluación para los estudiantes.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 folleto del maestro (por estudiante)
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del maestro» y un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
1
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Folleto del estudiante» a cada uno.
Solving Pairs of Linear Equations
Standards for Mathematical Practice
Notes and Feedback
Make sense of problems and persevere in solving them Reason abstractly and quantitatively
3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
Construct viable arguments and critique the reasoning of others Model with mathematics Use appropriate tools strategically
4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje.
Attend to precision Look for and make use of structure
5. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el «Folleto del maestro».
Look for and express regularity in repeated reasoning
Consider these reflection questions in this scope. ●
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them?
●
What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
2
FOLLETO PARA EL MAESTRO
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2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Exploración» y «Explicar» del alcance, evalúe formativamente su progreso tomando notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
6. Las notas anecdóticas proporcionadas en el «Folleto del maestro» pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares. 7. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la «Guía de instrucción andamiada» en la sección «Inicio» de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
EVALUAR: MAPA DE CALOR ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
MAPA DE CALOR DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
1. Dé un «Mapa de calor» a cada estudiante junto con lápices de colores rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s).
MATERIALES
• 1 mapa de calor (por estudiante)
2. Los estudiantes usan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el «Mapa de calor». Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los estudiantes colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, los estudiantes colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, los estudiantes colorean el cuadro correspondiente de rojo.
• 1 lápiz de color rojo (por estudiante) • 1 lápiz de color azul (por estudiante) • 1 lápiz de color naranja (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Determine si los estudiantes analizarán su «Prueba de habilidades», la «Evaluación basada en estándares», o ambas. • Imprima un «Mapa de calor» para cada estudiante.
3. Anímelos a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a utilizar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada.
• Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
4. Consulte la «Guía de instrucción andamiada» que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
Solving Pairs of Linear Equations
Solving Pairs of Linear Equations
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
1. Which skill did you feel most confident with? Why?
Skills Quiz Standards Analyze and solve pairs of simultaneous linear equations. a. Understand that solutions to a system of two linear equations in two variables correspond to points of intersection of their graphs, because points of intersection satisfy both equations simultaneously. Analyze and solve pairs of simultaneous linear equations. b. Solve systems of two linear equations in two variables algebraically, and estimate solutions by graphing the equations. Solve simple cases by inspection. For example, 3x + 2y = 5 and 3x + 2y = 6 have no solutions because 3x + 2y cannot simultaneously be 5 and 6. Analyze and solve pairs of simultaneous linear equations. c. Solve real-world and mathematical problems leading to two linear equations in two variables. For example, given coordinates for two pairs of points, determine whether the line through the first pair of points intersects the line through the second pair.
Refer to your answers on the Standards-Based Assessment. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key.
Reflection Questions
Red – misconception
Blue - miscalculation
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
2
4
6
5
7
9
10
Orange - explanation
Standards Analyze and solve pairs of simultaneous linear equations. a. Understand that solutions to a system of two linear equations in two variables correspond to points of intersection of their graphs, because points of intersection satisfy both equations simultaneously.
3
3. Which type of error did you most commonly make?
4. How can you avoid those errors in the future?
Analyze and solve pairs of simultaneous linear equations. b. Solve systems of two linear equations in two variables algebraically, and estimate solutions by graphing the equations. Solve simple cases by inspection. For example, 3x + 2y = 5 and 3x + 2y = 6 have no solutions because 3x + 2y cannot simultaneously be 5 and 6.
8
Analyze and solve pairs of simultaneous linear equations. c. Solve real-world and mathematical problems leading to two linear equations in two variables. For example, given coordinates for two pairs of points, determine whether the line through the first pair of points intersects the line through the second pair.
1
Red - misconception
Standards-Based Assessment
Questions
1
Solving Pairs of Linear Equations
2
Questions
7
1
6
8
2
3
4
5
9
10
3
MAPA DE CALOR
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
INTERVENIR: REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES REMEDIAR Y VOLVER A ENSEÑAR
REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Dé una copia de la «Revisión rápida» a cada estudiante.
Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para intervención.
2. Cada uno debe completarla de forma independiente. 3. Use la rúbrica de habilidades al final de la «Revisión rápida» para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional.
MATERIALES IMPRESOS
4. Distribuya una copia de «Revisión» a cada uno.
• 1 revisión rápida (por estudiante)
5. Cada estudiante debe completar la «Revisión» como actividad de intervención o de forma independiente.
• 1 repaso (por estudiante) • 1 revisión general (por estudiante)
a. Si lo desea, reúna a los estudiantes en pequeños grupos para trabajar en las destrezas de repaso. Utilice el «Revisión» como ayuda para la reenseñanza.
• 1 lista de verificación para el maestro (por maestro)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de la «Revisión rápida», el «Revisión» y la «Revisión general» para cada estudiante.
6. Distribuya una copia de la «Revisión general» a cada uno.
• Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar la «Revisión».
7. Cada estudiante debe completarla de forma independiente.
• Si lo desea, imprima un ejemplo del «Esquema de anclaje» de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que usen la «Libreta interactiva» como recurso.
8. Analice los resultados de la «Revisión general» al usar la «Lista de verificación para el maestro» para identificar quienes necesitan un repaso adicional y quienes han alcanzado el dominio de los conceptos.
• Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayudas suplementarias para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
Solving Pairs of Linear Equations
5.
Checkup 1.
Solving Pairs of Linear Equations
When a graph of a system of linear equations results in an infinite number of solutions, how does that relationship affect the graph?
For problems 9 and 10, read the following scenario: Two birds spot a worm. They both race toward the worm. Bird 1 has a head start of 3 feet and runs at a rate of 2 feet per second. Bird 2 also runs at a rate of 2 feet per second.
When there are infinite solutions, the pair of equations will have lines that overlap (same slope and the same y-intercept). The lines represent two different, but equivalent, equations.
Write a system of equations for lines A and B for the graph on the right. Show your work.
6.
Line A (negative slope) y = −2x + 3
9.
What can you conclude about this pair of linear equations?
Line B (positive slope) y= 1 x–2
Because the two equations have the same slope (8) and different y-intercepts (3 and −1), the lines will be parallel. There are no intersecting points, which means there is no solution.
2
Write the solution to the system of equations in question 1 as an ordered pair. (2, −1)
3.
Which graph below shows a system of equations that has no solution? Explain.
4.
10.
Now graph this pair of equations, and find the solution. Will bird 2 ever catch up to bird 1?
For problems 7 and 8, refer to the following pair of equations: y = 2x – 4 7x – 2y = 5 7.
Would you choose substitution or elimination to solve this pair of equations? Explain your reasoning.
8.
Using the method you chose in question 7, solve the pair of equations.
Substitution would be the best method for solving this pair of equations because the y variable is already isolated.
Graph A has a pair of equations with overlapping lines, which means there are infinite solutions because every point on the lines is a solution.
Write a system of equations as part one of the solution to this story. Bird 1: y = 2x + 3 Bird 2: y = 2x
y = 8x + 3 y = 8x – 1
2.
Solving Pairs of Linear Equations
Graph B has a pair of equations that are parallel, which means there is no solution because they do not intersect at any point.
Solve for x. 7x – 2(2x – 4) = 5 7x – 4x + 8 = 5 3x + 8 = 5 –8 –8 3x = −3 3 3
The system of equations below has no solution. How can you tell? 8x + 5y = 1 −8x + (−5y) = −1 8x + 5y = 7 8x + 5y = 7 0 ≠ 6
x = −1
There is no solution to this system of equations because the lines are parallel and do not intersect. This means that bird 2 will never catch up to bird 1.
Solve for y. y = 2(−1) – 4 y = −2 – 4 y = −6
Solution: (−1, −6)
Using the elimination method (multiply the 1st equation by −1, and then add the two equations) results in values that are not equal. 1
2
3
REVISIÓN GENERAL CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
ACELERACIÓN: ¿QUÉ PREFERIRÍAS? Solving Pairs of Linear Equations
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
¿QUÉ PREFERIRÍAS?: MAGDALENAS Y CHOCOLATE CALIENTE DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
Cupcakes and Hot Chocolate Use mathematical reasoning and creativity to justify your answer to the Would You Rather question. Shanaya and Tomas are going to the cupcake shop to get cupcakes and hot chocolate. Shanaya purchased Combo 1 and got three hot chocolates and a cupcake that cost a total of $7. Tomas purchased Combo 2 and got two hot chocolates and four cupcakes that cost a total of $8. What is the individual price for a single hot chocolate and a single cupcake? Would you rather purchase Shanaya’s combo or Tomas’s combo? Justify your reasoning with mathematics. Use the coordinate plane on page 2 to create a linear equation to represent each combo, and then determine where the lines intersect.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 rúbrica (por maestro)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno. • Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
Sample answers may include the following: I would rather purchase Shanaya’s combo because I love to drink hot chocolate more than I like to eat cupcakes. Equation: 3x + y = 7 or y = 7 – 3x I would rather purchase Tomas’s combo because I prefer to eat cupcakes more than I like to drink hot chocolate. Equation: 2x + 4y = 8 2x + 4(7 – 3x) = 8; 2x + 28 – 12x = 8; 28 – 10x = 8; x = 2; y = 1 Hot chocolate: $2, cupcakes: $1
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
1
1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a mirar sus folletos de «Explorar» si necesitan repasar habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros.
Solving Pairs of Linear Equations
Create linear equations using the coordinate plane below to represent Shanaya’s and Tomas’s scenario.
4. Utilice la rúbrica proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
2
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: RESOLVER PARES DE ECUACIONES LINEALES
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Solving Pairs of Linear Equations
OPCIONES PARA EL APRENDIZAJE CONTINUO
TABLERO DE OPCIONES
Solving Pairs of Linear Equations Choose one or more extension activities from the table below. Career Connection
Science Connection
Movie Producer
Temperatures during an
Kitchen Connection
Analogies
DESCRIPCIÓN Los estudiantes explorarán las conexiones con el mundo real y las aplicaciones del contenido matemático a través de interacciones con actividades atractivas.
Research the career field of movie Experiment production. Your research must Analyze the data provided in the answer the provided questions. table and on the graph to compare Create a presentation to relay temperatures of different your research to the class. substances throughout the experiment.
Costs of Ingredients Use systems of equations to algebraically determine the cost of ingredients for recipes.
IMPRESOS
Solutions on Graphs
• 1 tablero de opciones (por estudiante)
Complete the analogies to demonstrate an understanding of how to find solutions on graphs.
Mathematician Spotlight
Financial Connection
Sir William Rowan Hamilton
Toy Sales after Promotion
Search out several news articles or research papers that involve Sir William Rowan Hamilton’s work. Create an informational poster, diorama, or speech to convey this mathematician’s work as it relates to linear equations.
MATERIALES
• 1 juego de hojas de actividades (por estudiante) • 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante) REUTILIZABLE
• Tecnología (si corresponde)
We use math every day in our financial world. Explore how linear equations connect to our financial world by completing the handout.
PREPARACIÓN 1
TABLERO DE OPCIONES
• Imprima un «Tablero de opciones» y un juego de hojas de actividades para cada estudiante. • Imprima una «Autoevaluación del tablero» para cada estudiante. • Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» a cada estudiante. 2. Dé tiempo a los estudiantes para examinar el «Tablero de opciones» y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anímelos a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del tablero, haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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GRADO 8 FUNCIONES
GRADO 8
FUNCIONES ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: DOS VERDADES Y UNA MENTIRA
ESTÁNDARES CLAVE Definir, evaluar y comparar funciones. • Entender que una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. La gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados formado por una entrada y la salida correspondiente.
Los estudiantes identifican conceptos erróneos al determinar dos verdades y una mentira relacionadas con un estándar previo. • Los estudiantes leen tres afirmaciones e identifican cuál es falsa, para promover el pensamiento crítico y el debate. • La actividad está diseñada para descubrir conceptos erróneos sin ser calificada, para fomentar un entorno de aprendizaje seguro. • Los estudiantes realizan sus elecciones con un compañero, para mejorar el aprendizaje colaborativo y las habilidades de razonamiento. • Los maestros facilitan la tarea al guiar los debates y abordar las lagunas de comprensión con recursos adicionales si es necesario. CAPTAR INTERÉS Los estudiantes se dedican a identificar funciones mediante el análisis de representaciones y el razonamiento. • Los estudiantes examinan cuatro representaciones diferentes para determinar cuál de ellos no representa una función. • Realicen y explican su razonamiento para identificar los representaciones que no representan una función. • La actividad se repite después de explorar conceptos relacionados, al reforzar la comprensión de las funciones. • Los estudiantes crean sus propios representaciones para desafiar a sus compañeros en la identificación de funciones, para fomentar el pensamiento crítico y la colaboración.
ACTIVIDADES DE EXPLORACIÓN EXPLORACIÓN 1: COMPRENDER FUNCIONES EN UNA GRÁFICA Los estudiantes exploran el concepto de funciones al analizar gráficas y al determinar cuáles representan funciones y cuáles no. • Los estudiantes trabajan en grupos para representar gráficamente depósitos mensuales y analizan si cada gráfica representa una función. • Participan en debates para comparar gráficas de funciones y no funciones, enfocándose en entradas y salidas. • A través de preguntas guiadas y análisis colaborativos, los estudiantes profundizan su comprensión de las funciones y sus representaciones. • La actividad concluye con una charla de matemáticas y un «Boleto de salida» para evaluar la comprensión del concepto por parte de los estudiantes. EXPLORACIÓN 2: COMPRENDER FUNCIONES EN UNA TABLA Los estudiantes exploran el concepto de funciones al analizar tablas para determinar cuáles representan funciones y cuáles no. • Los estudiantes trabajan en grupos para examinar tablas e identificar funciones basadas en valores de entrada y salida. • Usan tarjetas de recuento semanal para practicar la clasificación y el análisis de datos, al ayudar a un personaje ficticio, Rosie, con su inventario. • A través de preguntas guiadas y debates, los estudiantes aprenden a distinguir entre funciones y no funciones, centrándose en la importancia de las entradas únicas. • La actividad concluye con una charla de matemáticas y un «Boleto de salida» para evaluar la comprensión y reforzar el aprendizaje.
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GRADO 8: FUNCIONES FUNCIONES GRADO 8
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES EXPLORACIONES DE DATOS
INTERPRETAR DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN
CONCEPTOS CLAVE
Los estudiantes participan en Explorar datos que implican la comprensión de funciones a través de escenarios del mundo real, como las horas de voluntariado o las donaciones a bancos de alimentos. Mediante la construcción y el análisis de gráficos, tablas y descripciones verbales de las relaciones, los estudiantes desarrollan su comprensión de las relaciones lineales y el concepto de tasa de cambio. Estas lecciones sientan las bases para posteriores exploraciones con grandes conjuntos de datos y notación científica, en las que es esencial interpretar las relaciones de función entre los puntos de datos. Las habilidades para reconocer patrones y comprender la tasa de cambio en un escenario dado contribuyen directamente a analizar conjuntos de datos que pueden requerir herramientas más complejas, como hojas de cálculo o representaciones estadísticos.
Los estudiantes exploran cómo analizar diferentes tipos de relaciones entre variables mediante diagramas de dispersión, gráficos, tablas y ecuaciones. Aprenden a comparar funciones lineales y no lineales al evaluar sus gráficas, tablas y expresiones algebraicas. Los estudiantes determinan si la relación es lineal o no lineal al identificar patrones en los datos y las formas de las gráficas. Por ejemplo, cuando los estudiantes usan la forma de la función y = mx + b en las lecciones sobre comparación de funciones, identifican la tasa de cambio y la intersección y para comprender cómo estas características se relacionan con contextos del mundo real, al reforzar su capacidad para interpretar gráficos de dispersión en futuras actividades de análisis de datos.
PREGUNTAS FUNDAMENTALES
• Puedo definir una función como toda entrada que tiene exactamente una salida.
• Describa las diferencias entre una función y una no función.
• Puedo definir una función en una tabla o gráfica como aquella que no tiene valores x repetidos.
• «¿Qué es la prueba de la recta vertical?».
• Puedo probar una gráfica al usar la prueba de la recta vertical para determinar si la gráfica es una función. • Puedo identificar funciones a partir de tablas, gráficas y ecuaciones.
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• Describa las similitudes de las funciones representadas como gráfico, tabla y/o pares ordenados. • «¿Cómo puede saber si un gráfico representa una función?». • «¿Cómo puede saber si una tabla representa una función?».
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GRADO 8: FUNCIONES
INICIO: CONTENIDO DE APOYO ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
CONTENIDO DE APOYO Definir, evaluar y comparar funciones. • Entender que una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. La gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados que consisten en una entrada y la salida correspondiente.
CONOCIMIENTO PREVIO En grados anteriores, los estudiantes aprendieron cómo trazar puntos en una gráfica. Aprendieron sobre la relación entre las coordenadas x y y y cómo analizar tablas y gráficas. En 7.º, descubrieron las relaciones proporcionales entre cantidades. Todos estos conceptos se unirán para que los estudiantes comprendan los fundamentos de las funciones.
CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
• Según el contexto del problema, los estudiantes deben determinar si es apropiado o no conectar los puntos de la gráfica. Algunas gráficas pueden inducir a error cuando se conectan los puntos de datos. • Los estudiantes deben entender que el término línea recta no solo significa rectas horizontales o verticales, sino que todas las rectas diagonales también cuentan. • Los estudiantes pueden confundir pendientes cero con pendientes indefinidas al trazar rectas horizontales y verticales. • Hay que entender bien la diferencia entre los términos dominio y rango. • Debe comprenderse bien la diferencia entre las coordenadas x y y en un gráfico. Los estudiantes pueden equivocarse al trazar la entrada en el eje y y la salida en el eje x. • Los estudiantes pueden creer que ni los valores x ni los y pueden repetirse en una función. Mientras que el valor x no puede repetirse, el valor y puede representarse más de una vez.
ALCANCE ACTUAL En este alcance, los estudiantes comprenderán que en una función se crea una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. Los estudiantes usarán las entradas y salidas como pares ordenados para graficar funciones. Comprenderán el lenguaje preciso que se utiliza cuando se habla de funciones, como rango y dominio, y serán capaces de enunciar las diferencias y relaciones entre ellas. Los estudiantes serán capaces de reconocer funciones en forma de gráficas, tablas y pares ordenados. TÉRMINOS CLAVE
• términos correspondientes: términos que aparecen en lugares idénticos en dos situaciones similares • variable dependiente: una variable, a menudo y, que depende del valor de la variable independiente • dominio: el conjunto de todas las posibles entradas (x valores) de una función • elemento: cualquier número o valor distinto que forma parte de un conjunto 390
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• función: una relación especial entre valores; cada valor de entrada devuelve exactamente un valor de salida • regla de función: la variable dependiente (rango, salida, y valor) expresada en términos de la variable independiente (dominio, entrada, x valor) • variable independiente: una variable, a menudo x, que no depende del valor de otra variable • entrada: el conjunto de valores suministrados a una función • salida: el resultado de la entrada colocado en la función • rango: el conjunto de todas las posibles salidas, o y valores, de una relación o función • relación: una colección de pares ordenados que contiene un objeto de cada conjunto • prueba de recta vertical: una forma visual de saber si una recta es una función; si cualquier recta vertical interseca el gráfico más de una vez, entonces el gráfico no es una función • coordenada x: el primer término de un par ordenado; proporciona la ubicación a lo largo del eje x dentro del plano de coordenadas • coordenada y: el segundo término de un par ordenado; proporciona la ubicación a lo largo del eje y dentro del plano de coordenadas
APLICAR LAS PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes reciben diferentes representaciones de datos y determinan si la representación es una función. Analizan la representación dada y planean una ruta de solución basada en la representación (tabla, gráfica o descripción) dada. • MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes razonan abstracta y cuantitativamente al determinar si las gráficas, coordenadas y tablas son funciones. Usan la función para encontrar las salidas que corresponden a cada entrada. • MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros: Los estudiantes construyen argumentos viables a medida que prueban diferentes gráficas y pares ordenados como funciones y debaten el razonamiento de sus compañeros en su comprensión. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes usan y analizan diferentes representaciones de funciones. Analizan gráficas y tablas para determinar si ven una función. • MP.5 Usar herramientas apropiadas estratégicamente: Los estudiantes usan herramientas, como la prueba de la recta vertical, para evaluar gráficos y determinar si se trata de una función. • MP.6 Prestar atención a la precisión: Los estudiantes prestan atención a la precisión cuando determinan si hay exactamente una salida por cada entrada en una función. Usan herramientas como la prueba de la recta vertical y se mantienen atentos antes de declarar una gráfica como función o no.
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GRADO 8: FUNCIONES
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
• MP.7 Buscar y usar la estructura: Los estudiantes se dan cuenta de que en una tabla de datos, el valor x, o entrada, no puede repetirse para que los datos representen una función. Los estudiantes usan este conocimiento para analizar futuras tablas de datos. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes buscan regularidades en los valores x y y representados en tablas y gráficas. Encuentran relaciones funcionales a través de razonamientos repetidos.
GRÁFICAS PARA DETERMINAR FUNCIONES Los estudiantes determinarán qué gráficas son funciones y cuáles no al observarlas. Podrán comparar las gráficas de funciones y no funciones entre sí. Ejemplo: «¿Cuál de las siguientes gráficas no representa una función?».
a
b
TABLAS PARA DETERMINAR FUNCIONES Los estudiantes observarán tablas y serán capaces de determinar cuáles son funciones y cuáles no. Ejemplo: «¿Qué conjunto de pares ordenados no representa una función?». a. (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) b. (1, 2), (3, 4), (5, 6), (7, 8) c. (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) d. (1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1) La respuesta correcta es la opción C. Los estudiantes deben reconocer que en una función solo puede haber una salida para cada entrada del conjunto. Es decir, para cada valor x presente en el conjunto, debe haber solo un valor y. En otras palabras, los valores x no pueden repetirse. Los estudiantes verán que en la opción C, el valor x de 1 se asigna a un valor y de 3, 4, 5 y 6. En una función, x = 1 no puede corresponder a más de un valor y; por lo tanto, no es una función.
AVANCES En los próximos años, los estudiantes continuarán su trabajo con funciones lineales y no lineales. Ampliarán este pensamiento a funciones cuadráticas, exponenciales, logarítmicas y de otros tipos. Los estudiantes aprenderán a expresar las entradas y salidas de las funciones en notación de funciones, así como a construir e interpretar todos los tipos de funciones y sus reglas.
c
d
La respuesta correcta es la opción D. Las tres primeras gráficas pasan la prueba de la recta vertical, mientras que la opción D no. Los estudiantes también pueden ver que en la opción D, cualquiera que sea el valor x tiene una cantidad infinita de diferentes valores y asociados a él. Debido a que el valor de entrada tiene múltiples valores de salida relacionados con él, los estudiantes deben saber que esto no es una función.
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GRADO 8: FUNCIONES
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO ANÁLISIS PROFUNDO DE LOS ESTÁNDARES
CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES Definir, evaluar y comparar funciones. • Entender que una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. La gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados formado por una entrada y la salida correspondiente.
DESGLOSAR EL ESTÁNDAR VERBOS: ¿QUÉ DEBERÍAN HACER LOS ESTUDIANTES?
• comparar: examinar las diferencias entre números, expresiones y ecuaciones • definir: señalar los límites de algo • evaluar: determinar o calcular el valor numérico de algo • comprender: captar el significado de
SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBEN CONOCER LOS ESTUDIANTES?
• función: una relación especial entre valores: cada valor de entrada devuelve exactamente un valor de salida • gráfico: una representación visual de datos • entrada: el conjunto de valores suministrados a una función • salida: el resultado de la entrada colocada en la función • regla: una guía prescrita para la conducta o acción • conjunto de pares ordenados: un grupo de pares ordenados ubicados entre paréntesis
IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA
• En niveles de grado anteriores, los estudiantes han resuelto problemas del mundo real al usar tasa, tasa unitaria y razones. Los estudiantes han calculado tasas unitarias con razones de fracciones y han reconocido y representado Relaciones proporcionales entre cantidades. • En este nivel de grado, se espera que los estudiantes entiendan que las funciones son reglas donde cada entrada da una salida. Los estudiantes deben reconocer que cada entrada y salida representan un par ordenado para ser graficado. Los estudiantes no necesitan conocer la notación de funciones en este nivel de grado.
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GRADO 8: FUNCIONES
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
ALINEACIÓN VERTICAL GRADO
ESTÁNDAR
6
Comprender el concepto de tasa unitaria a/b asociado a una relación a:b con b ≠ 0, y usar el lenguaje de tasas en el contexto de una relación de proporción. Usar el razonamiento de proporciones y tasas para resolver problemas matemáticos y del mundo real, por ejemplo, al razonar sobre tablas de razones equivalentes, diagramas de cinta, diagramas de doble recta numérica o ecuaciones.
6
a. Hacer tablas de razones equivalentes al relacionar cantidades con medidas de números enteros, encontrar los valores que faltan en las tablas y trazar los pares de valores en el plano de coordenadas. Usar tablas para comparar proporciones. b. Resolver problemas de tasas unitarias, incluso aquellos que involucran precios unitarios y rapidez constante. c. Encontrar un porcentaje de una cantidad como una tasa por 100 (por ejemplo, 30 % de una cantidad significa 30/100 veces la cantidad); resolver problemas que impliquen encontrar el entero, dada una parte y el porcentaje. d. Usar el razonamiento de proporciones para convertir unidades de medida; manipular y transformar unidades apropiadamente al multiplicar o dividir cantidades.
7
Calcular tasas unitarias asociadas con proporciones de fracciones, incluso proporciones de longitudes, áreas y otras cantidades medidas en unidades iguales o diferentes. Reconocer y representar relaciones proporcionales entre cantidades.
7
a.
Decidir si dos cantidades están en una relación proporcional, por ejemplo, al probar relaciones equivalentes en una tabla o al graficar en un plano de coordenadas y al observar si el gráfico es una línea recta que pasa por el origen.
b.
Identificar la constante de proporcionalidad (tasa unitaria) en tablas, gráficos, ecuaciones, diagramas y descripciones verbales de Relaciones proporcionales.
c.
Representar relaciones proporcionales mediante ecuaciones.
d.
Explicar qué significa un punto (x, y) en la gráfica de una relación proporcional en términos de la situación, con especial atención a los puntos (0, 0) y (1, r) donde r es la tasa unitaria.
8
Entender que una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. La gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados formados por una entrada y la salida correspondiente.
8
Comparar las propiedades de dos funciones representadas de forma diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas o mediante descripciones verbales).
8
Interpretar la ecuación y = mx + b como definición de una función lineal, cuya gráfica es una línea recta; dar ejemplos de funciones que no son lineales.
8
Describir cualitativamente la relación funcional entre dos magnitudes al analizar una gráfica (por ejemplo, si la función es creciente o decreciente, lineal o no lineal). Dibujar una gráfica que muestre las características cualitativas de una función que se ha descrito verbalmente.
HS
Comprender que una función de un conjunto (llamado dominio) a otro conjunto (llamado rango) asigna a cada elemento del dominio exactamente un elemento del rango. Si f es una función y x es un elemento de su dominio, entonces f(x) denota la salida de f correspondiente a la entrada x. La gráfica de f es la gráfica de la ecuación y = f(x).
HS
Representar transformaciones en el plano al usar, por ejemplo, transparencias y software de geometría; describir transformaciones como funciones que toman puntos en el plano como entradas y dan otros puntos como salidas. Comparar transformaciones que preservan la distancia y el ángulo con las que no lo hacen (por ejemplo, traslación frente a estiramiento horizontal).
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GRADO 8: FUNCIONES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA MONITOREAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA La guía de instrucción andamiada se proporciona para que los maestros puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones del alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que ayuda a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de la evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos según los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere que todos los estudiantes experimenten con los elementos: «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades», ya que cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar. 0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
80 % - 100 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil pueden trabajar en contenido de nivel de grado con apoyos de instrucción.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» individual para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 2. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante de acuerdo con sus datos de evaluación. 3. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la sección «Scaffolded Instruction Guide» en el menú desplegable «Home» del alcance. 4. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Operaciones y Pensamiento algebraico Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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GRADO 8: FUNCIONES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
0 % - 25 % 25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyos)
(Refuerzo del grado anterior)
Comprender que una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. La gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados que consiste en una entrada y la salida correspondiente.
7 - Relaciones proporcionales Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Razón de cambio constante Práctica interactiva • Criadero de huevos de dragón Prueba de habilidades
8 - Funciones Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida • Repaso • Revisión general
50 % - 80 %
(Nivel de grado)
8 - Funciones Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva Constructor de fluidez • Funciones Ciencia de datos
80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
Conexiones lingüísticas
8 - Funciones Tarea de representación matemática ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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GRADO 8: FUNCIONES
ATRAER: ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS Functions
EVALUAR PREVIAMENTE EL CONOCIMIENTO DEL ESTUDIANTE
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: DOS VERDADES Y UNA MENTIRA ESTÁNDAR PREVIO Usar variables para representar dos cantidades en un problema del mundo real que cambian en relación una con la otra; escribir una ecuación para expresar una cantidad, considerada como la variable dependiente, en términos de la otra cantidad, considerada como la variable independiente. Analizar la relación entre las variables dependiente e independiente mediante gráficas y tablas, y relacionarlas con la ecuación. Por ejemplo, en un problema que involucre movimiento a rapidez constante, enumere y grafique pares ordenados de distancias y tiempos, y escriba la ecuación d = 65t para representar la relación entre la distancia y el tiempo.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes identificarán dos verdades y una mentira al leer afirmaciones sobre el estándar previo Este elemento está diseñado para descubrir los conceptos erróneos de los estudiantes; no debe tomarse para una calificación.
Two Truths and a Lie Read each statement. Identify the two truths with check marks and the one lie with an X. A.
Months
Amount
3
1,000
5
2,000
7
3,000
9
4,000
B. y = 30x
C.
The point (11, 6,000) would exist in the function represented by Table A.
In Equation B, as the y value increases, the x value increases by multiples of 30.
Graph C shows an increase in temperature as a result of the increase in time.
1
MATERIALES IMPRESO
• 1 dos verdades y una mentira (por estudiante o grupo)
DOS VERDADES Y UNA MENTIRA
PREPARACIÓN
• Imprima una «Dos verdades y una mentira» para cada estudiante o cada grupo. • Puede dividir a los estudiantes en grupos de dos o tres.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Lea la pregunta en voz alta a la clase. 2. Conceda 2 minutos para que los estudiantes lean las tres afirmaciones y determinen cuáles son las dos verdades y la mentira. 3. Pida a los estudiantes que compartan con un compañero de hombro cómo marcaron su hoja y por qué. 4. Conceda de 2 a 5 minutos de debate. 5. Pida a los estudiantes que justifiquen su elección de la mentira. a. El segundo enunciado es la mentira. Los valores x y y deben intercambiarse en el enunciado. 6. Si los estudiantes tienen dificultades para completar esta tarea, pase a realizar el «Constructor de bases fundamentales» para llenar este vacío en los conocimientos previos antes de pasar a otras partes del alcance.
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GRADO 8: FUNCIONES
ATRAER: CAPTAR INTERÉS
Functions
LECCIÓN MOTIVADORA
Function or Malfunction? 1
CAPTAR INTERÉS
2 x
y
0
10
2
10
4
10
6
10
8
10
DESCRIPCIÓN Los estudiantes observan cuatro representaciones, deciden qué modelo no muestra una función y explican su razonamiento.
MATERIALES IMPRESO
• 1 «¿función o fallo?». (por clase) 3
REUTILIZABLE
4 x
y
0
10
1
20
2
25
2
30
3
40
• 1 fenómeno (por clase)
PREPARACIÓN
• Planee mostrar los fenómenos. • Prepárese para proyectar «¿función o fallo?». para que toda la clase lo vea.
1
«¿FUNCIÓN O FALLO?».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA
1. Presente esta actividad al comienzo del alcance. La clase retomará la actividad y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades «Explorar»r correspondientes. 2. Muestre los fenómenos. Formule a los estudiantes las siguientes preguntas: «¿Qué observas? ¿Dónde puedes ver matemáticas en esta situación?». Permita que los estudiantes compartan sus ideas. 3. Explique la situación a la clase: «Hiapo, la hermana mayor de Kamea, empezó un negocio de magdalenas. Primero, horneaba en su propia cocina para pequeños eventos. A la gente le gustaban tanto sus magdalenas que ha ahorrado lo suficiente para comprar un camión de comida. Ha recopilado todo tipo de datos sobre sabores, precios, ubicaciones, horarios, gastos, ingredientes, publicidad y otras consideraciones. Ha puesto mucha información en gráficos, tablas y diagramas para que sea fácil de interpretar. Hiapo cree que toda la información que muestra es funcional. Kamea dice que no. “¿Qué hermana tiene razón?”».
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• Prepárese para presentar el escenario y anime a los estudiantes a pensar en cómo resolverlo. Prepárese para pasar a las actividades «Explorar», al volver a la actividad «Captar interés» con los nuevos conocimientos adquiridos una vez finalizadas las exploraciones.
4. Permita que los estudiantes hagan preguntas y aclaren el contexto según sea necesario. Anímeles a compartir sus pensamientos y experiencias con la clase al usar las siguientes preguntas: a. «¿Has hecho alguna vez magdalenas en tu cocina?». b. «¿Has estado alguna vez en un camión de comida?». 5. «¿Función o fallo del proyecto?». 6. Explique a los estudiantes que Kamea observa cuatro representaciones de datos y dice que algunas no son funciones. Ella puede saberlo con solo mirarlas. Comente lo siguiente con la clase: a. DOK-1 «¿Qué creen que es una función?». Acepta todas las respuestas razonables. b. DOK-1 «¿Cómo presentó Hiapo sus datos?». Tablas, gráficos y diagramas 7. Pasa a completar las actividades «Explorar».
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ATRAER: CAPTAR INTERÉS PARTE II: DESPUÉS DE EXPLORAR
1. Después de que los estudiantes hayan completado las actividades «Explorar» para este tema, muestre de nuevo los fenómenos y repita el escenario. 2. Consulte «¿función o fallo?». y comente las siguientes preguntas con la clase: a. DOK-1 «¿Qué crees que es una función?». Acepta todas las respuestas razonables. b. DOK-1 «¿Cómo presentó Hiapo sus datos?». Tablas, gráficos y diagramas c. DOK-1 «¿Qué es una función?». Una relación especial en la que cada entrada tiene una única salida d. DOK-1 Si algo es una función, «¿cuántos y valores existen para cada x valor?». solo uno e. DOK-1 «¿Cómo se puede determinar si algo NO es una función?». Tendrá más de un valor y para un valor x. f. DOK-1 «¿Puede algo ser una función si un valor y tiene más de un valor x?». Sí
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g. DOK-1 Observa el cuadrado número uno. «¿Hay más de un valor y por cada valor x?». No, cada valor x solo tiene un valor y. «¿Es una función?». Sí, es una función. h. DOK-1 Mira el cuadrado número dos. «¿Hay más de un valor y por cada valor x? ¿Es una función?». No, cada valor x solo tiene un valor y. «¿Es una función?». Sí, es una función. i. DOK-1 Mira el cuadrado número tres. «¿Es una función?». No, no lo es, porque hay dos valores y para el valor x de 12. j. DOK-1 Mira el cuadrado número cuatro. «¿Es una función?». No, no es una función porque el valor x de 2 tiene un valor y tanto de 25 como de 30, por lo que no es una función. 3. Si el tiempo lo permite, pida a los estudiantes que creen su propia página de tres representaciones con la posibilidad de que una o más no sean funciones y luego cambien de página con un compañero. El compañero debe averiguar si los datos muestran o no una función.
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GRADO 8: FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 1: COMPRENDER FUNCIONES EN UNA GRÁFICA Estándar(es) • Definir, evaluar y comparar funciones. Comprender que una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. La gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados que consisten en una entrada y la salida correspondiente.
Ideas fundamentales
Estándares para la práctica matemática
Interpretar diagramas de dispersión
MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente.
Explorar datos
MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros.
Conexiones de contenido CC1 Razonar con datos CC2 Explorar cantidades cambiantes
Motores de investigación DI1 Dar sentido al mundo: Comprender y explicar
MP.6 Prestar atención a la precisión. MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes determinan qué gráficas son funciones y cuáles no lo son observándolas. Comparan las gráficas de funciones y no funciones entre sí.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por estudiante) • 1 boleto de salida (por 2 estudiantes) • 1 conjunto de tarjetas de depósitos mensuales (por grupo) REUTILIZABLE
• 1 bolsa resellable tamaño galón (por grupo) • 1 bolsa resellable tamaño cuarto (por grupo)
PREPARACIÓN
• Planifique que los estudiantes trabajen en grupos de 4 para completar esta actividad. • Imprima el «Diario del estudiante» para cada alumno. • Imprima un conjunto de «Tarjetas de depósitos mensuales» para cada grupo. Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para usarlas en el futuro. • Recorte las «Tarjetas de depósitos mensuales». Coloque las tarjetas de la parte I en una bolsa resellable tamaño galón con la etiqueta «Parte I» para cada grupo. Coloque las tarjetas de la parte II en una bolsa resellable tamaño cuarto de galón con la etiqueta «Parte II» para cada grupo. • Imprima un «Boleto de salida» para cada 2 estudiantes. Recorte los «Boleto de salida» de media página para que cada estudiante tenga uno. • Para los estudiantes que necesitan más apoyo para recordar información, consulta nuestros elementos de «Ayudas suplementarias: Plano cartesiano del primer cuadrante y Plano cartesiano del cuarto cuadrante» en la sección «Intervenir».
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GRADO 8: FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Functions Explore 1
Annual Taxes Part I
Plot the points by using the information from the Monthly Deposits Cards.
PARTE I
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Rosie es la única propietaria de la Tienda de ropa de Rosie. Como propietaria, tiene la tarea de asegurarse de que todas las finanzas de la tienda estén bien documentadas. Se acerca la estación de impuestos y su contador le ha pedido que reúna todos los documentos importantes y se los envíe. Antes de poder hacerlo, debe crear gráficos mensuales y trimestrales de sus depósitos e ingresos. Ayude a Rosie a analizar sus gráficos para determinar si son funciones o no».
What do you notice about March and April?
What do you notice about November and December?
They both have a deposit of $1,550.
They both have more than one deposit.
Which variable represents the x-coordinate?
Which variable represents the y-coordinate?
Month
Deposit (dollars) 1
2. Ayude a los estudiantes a acceder a la tarea haciéndoles las siguientes preguntas guía:
Functions Explore 1
a. «¿Qué sabes ya sobre funciones?». b. «¿Por qué es importante para Rosie revisar sus finanzas?».
Draw an arrow from each input to its corresponding output. The first one has been done for you.
c. «¿Dónde ves gráficos en tu vida?». 3. Entregue un «Diario del estudiante» a cada estudiante. 4. Entregue un conjunto de «Tarjetas de depósitos mensuales» a cada grupo. 5. Explique a la clase que usarán la parte I de las «Tarjetas de depósitos mensuales» para graficar las coordenadas de los depósitos mensuales y analizar cada gráfico. Comente lo siguiente con la clase:
Diagram 1
Diagram 2
Do any input values repeat (have more than one arrow)?
No
Yes
Do any output values repeat (have more than one arrow)?
Yes
Fill in the following table by writing yes or no answers.
Yes
What would the x value of an ordered pair represent? (Circle one.)
Input
Output
What would the y value of an ordered pair represent? (Circle one.)
Input
Output 2
a. DOK-1 «¿Cómo podrías etiquetar el eje x?». Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Puedo etiquetar el eje x con los meses de la primera mitad del año. b. DOK-1 «¿Qué podrías etiquetar en el eje y?». Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Puedo etiquetar el eje y al comenzar en 200 y contar de 200 en 200 hasta 2,000. c. DOK-1 «¿Tendría sentido conectar los puntos con una recta?». Las respuestas de los estudiantes pueden variar. No, no tiene sentido unir los puntos con una recta. 6. Los estudiantes colaborarán con sus grupos para graficar cada uno de los depósitos mensuales en el plano de coordenadas en el «Diario del estudiante». Luego, los estudiantes analizarán sus gráficos para responder las preguntas que siguen. 7. Monitoree y hable con los estudiantes según sea necesario para verificar la comprensión con el uso de las siguientes preguntas guía:
Functions Explore 1
Part II January
February
What is the output(s) when the input is 3? What is the input when the output is 150?
200 1
What is the output(s) when the input is 2? 300 and 500 What is the input when the output is 350?
3
Do any of the inputs have more than one output?
Do any of the inputs have more than one output?
Yes / No
Yes / No
Is this a function?
Yes / No
Is this a function?
March
Yes / No
April
What is the output(s) when the input is 4? 200 What is the input when the output is 300?
What is the output(s) when the input is 4? 100 and 400 What is the input when the output is 300?
2
2
Do any of the inputs have more than one output?
Do any of the inputs have more than one output?
Yes / No
Yes / No
Is this a function?
Yes / No
Is this a function?
Yes / No 3
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
a. DOK-1 Cuando se trazan coordenadas en un gráfico, «¿en qué dirección va el valor x?». El valor x se mueve a la izquierda o a la derecha en la gráfica. b. DOK-2 En el diagrama 1, «¿por qué hay tres flechas diferentes que apuntan a $1,550?». Tres entradas tienen la misma salida. 400
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GRADO 8: FUNCIONES Functions Explore 1
May
June
List the coordinates of the 6 points on the graph.
Which additional point can be plotted so that the graph continues to represent a function?
(1, 100), (2, 250), (2, 400), (3, 200), (4, 450), (5,300) No
Is this a function?
What point can you remove in order to make this a function? (2, 250) or (2, 400)
A.
(1, 100)
B.
(2, 100)
C.
(3, 100)
D.
(4, 100)
July
August
Do any of the inputs have more than one output?
Place points on the graph so that it is not a function.
c. DOK-2 En el diagrama 2, «¿por qué hay dos flechas diferentes que salen de noviembre?». Noviembre tiene dos salidas diferentes.
Answers may vary.
Yes / No
Yes / No Is this a function? Why or why not? No, it is not, because the input value 1 repeats. Which point can you remove in order to make this a function? (1, 200) or (1, 250) 4
Functions Explore 1
September
October
List the inputs. 1, 2, 3, 3, 4
List the inputs. 1, 2, 3, 4, 5
List the outputs. 300, 325, 400, 425, 450
List the outputs. 160, 200, 340, 350
Write each pair as a coordinate.
Write each pair as a coordinate.
(1, 425), (2, 325), (3, 400), (3, 450), (4, 300)
(1, 350), (2, 160), (3, 340), (4, 200), (5, 350)
Is this a function? Why or why not? No, this is not a function because the input value of 3 repeats.
Is this a function? Why or why not? Yes, this is a function because each input has only 1 output. December
List the inputs. 1, 2, 3, 4
Write each coordinate. (1, 600), (3, 450), (5, 700)
List the outputs. 475, 500, 525, 650
List two coordinates that could be added to keep this a function.
Write each pair as a coordinate. (1, 475), (1, 500), (2, 650), (3, 525), (4, 500)
Answers may vary but must have inputs of 2 and 4.
Is this a function? Why or why not? No, this is not a function because the input value of 1 repeats.
List two coordinates that could be added that would not make this a function. Answers may vary but must have inputs of 1, 3, and/or 5.
10. Después de la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. • DOK-1 «¿Cuál fue el insumo para los gráficos de la parte I?». El insumo fue cada mes que Rosie ganó dinero. • DOK-1 «¿Cuál fue el resultado de las gráficas de la parte I?». La salida de los gráficos fue el depósito o depósitos que Rosie hizo cada mes. • DOK-2 «¿Cuántas salidas hubo para cada entrada en el diagrama 1?». Cada entrada tiene exactamente una salida en el Diagrama 1.
5
Functions Explore 1
Reflect When Rosie counts her money more than once a week in Part 2, does this represent a function? Why or why not? It does not represent a function. When she counts her money more than once, it creates two different outputs for the same input.
• Explique lo siguiente a la clase: Los matemáticos llaman función a este tipo de diagrama o gráfica. Una función es cuando cada entrada tiene exactamente una salida. • DOK-2 «¿Cuántas salidas hubo para cada entrada en el diagrama 2?». En el diagrama 2, julio, agosto, septiembre y octubre tenían exactamente una salida cada uno, pero noviembre y diciembre tenían dos salidas cada uno. • Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta:
Define a function in your own words. Answers may vary. A function is when the x values do not repeat.
3.
9. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímelos a hacerse preguntas y establecer conexiones. Anime a los estudiantes a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias usadas para analizar gráficas y diagramas.
CHARLA DE MATEMÁTICAS
November
2.
d. DOK-1 «¿Por qué cree que Rosie depositó dinero dos veces en el mes de diciembre?». Las respuestas pueden variar. Ella gana más dinero debido a las fiestas. 8. Conceda tiempo suficiente a los estudiantes para completar la parte I.
Do any of the outputs have more than one input?
1.
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
Do duplicate output values affect whether a graph is a function or not? Why or why not?
• DOK-2 «¿El diagrama 2 (gráfico de la Segunda mitad del año) muestra una función?». No, el gráfico de la Segunda mitad del año no muestra una función porque hay dos entradas que tienen más de una salida.
Answers may vary. No, they do not. A function only focuses on the uniqueness of the input.
6
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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401
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GRADO 8: FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Functions Explore 1
PARTE II
1. Lea la siguiente situación a la clase: «Al final de cada semana, Rosie cuenta todos los ingresos de la tienda y los anota. En semanas de mucho trabajo, puede que cuente el dinero más de una vez. A continuación, elabora un gráfico mensual para comparar sus ingresos semanales. Ayude a descifrar los gráficos de Rosie con el fin de responder a las preguntas de su contador».
Function or Not? Exit Ticket Write whether each of the following is a function or not. a.
b.
Yes
2. Ayude a los estudiantes a acceder a la tarea planteándoles las siguientes preguntas guías:
No
a. «¿Qué sabes sobre el análisis de datos?».
Functions Explore 1
b. «¿Qué es algo de lo que podrías hacer un seguimiento en tu vida?». 3. Explique a los estudiantes que van a analizar los gráficos y mapas de cada mes para determinar si son funciones o no. Debatirán las diferentes entradas y salidas y cómo pueden organizarse para formar funciones. 4. Supervise y hable con los estudiantes según sea necesario para verificar la comprensión al usar las siguientes preguntas guía: a. DOK-1 «¿Cómo sabes cuando hay más de una salida?». Hay más de una salida para una entrada si hay múltiples valores de y para el mismo valor de x. b. DOK-1 «¿Qué valor determina si la gráfica es una función, la entrada o la salida?». La entrada determina si la gráfica es una función. c. DOK-1 «¿Cómo se pueden escribir las entradas y salidas como coordenadas en una gráfica?». Las entradas son los valores x, y las salidas son los valores y. 5. Conceda tiempo suficiente a los estudiantes para completar la parte II y responder a las preguntas de reflexión. 6. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímeles a hacerse preguntas y establecer conexiones. Anime a los estudiantes a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias utilizadas para comparar gráficas de funciones y no funciones. 7. Después de la parte II, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
402
SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 402
Function or Not? Exit Ticket Write whether each of the following is a function or not. a.
b.
Yes
No
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: • DOK-2 Cuando Rosie cuenta su dinero más de una vez a la semana en la parte 2, «¿representa esto una función? ¿Por qué sí o por qué no?». No representa una función. Cuando ella cuenta su dinero más de una vez, crea dos salidas diferentes para la misma entrada. • DOK-1 Define una función en tus propias palabras. Una función es cuando un valor x no tiene múltiples valores y. • DOK-1 «¿Afectan los valores de salida duplicados con diferentes valores de entrada a si una gráfica es una función o no? ¿Por qué o por qué no?». No, no afectan. Una función solo se centra en la unicidad de la entrada.
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GRADO 8: FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Functions Part 1
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Antes de comenzar la exploración, pida a los estudiantes que repasen en parejas los diagramas de cuadrícula de coordenadas y de mapeo. Fomente el uso de vocabulario como entrada, salida, eje x, y eje y. Esto ayudará a los estudiantes a afianzar sus conocimientos de graficación para aplicarlos a las funciones.
Understand Functions on a Graph Determine whether each graph represents a function, and explain your reasoning. Reasoning may vary.
Yes/No Reasoning: A vertical line test will show that a line does not pass through two points of the graph.
Yes/No Reasoning: A vertical line test will show that a line passes through two points of the graph.
2. Proporcione flexibilidad a los estudiantes que necesiten tareas reducidas proporcionándoles una gráfica etiquetada o completada para la parte I.
Yes/No Reasoning: There is not more than one value of y for the same value of x.
3. Proporcione flexibilidad a los estudiantes que necesiten tareas reducidas al eliminar dos meses de las opciones de enero, febrero, marzo y abril en la parte II. Además, pídales que elijan completar un mes de septiembre, octubre y noviembre. 4. Los estudiantes pueden desarrollar la idea errónea de que las funciones solo pueden representarse gráficamente, con un diagrama o con una tabla. Haga hincapié en que las funciones pueden representarse de diversas maneras, incluso tablas, ecuaciones y descripciones verbales.
Yes/No Reasoning: There is not more than one value of y for the same value of x.
1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS
DESPUÉS DE EXPLORAR 1. Haga que los estudiantes completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 2. Complete el «Esquema de anclaje» como clase. 3. Haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva».
5. Si los estudiantes necesitan apoyo adicional para interpretar las funciones al usar un diagrama cartográfico, anímeles a convertir la descripción en una tabla, con la que pueden sentirse más cómodos. 6. Como ampliación, anime a los estudiantes a crear un escenario en el que la entrada y/o la salida contengan negativos. Pídales que trabajen en parejas para crear las representaciones de cada uno y que comenten si los valores negativos afectan a la definición de una función.
APOYOS LINGÜÍSTICOS Aclare que el término función se refiere a una relación en matemáticas en la que cada entrada tiene exactamente una salida y no como la capacidad de funcionar o hacer algo. Como actividad previa a la lección, guíe a los estudiantes para que completen el «Vocabulario interactivo» (que se encuentra en la sección «Explicar») para el vocabulario nuevo. Proporcióneles la definición y anímeles a reescribirla con sus propias palabras. Durante la parte I, anime a los estudiantes a apoyar y defender sus respuestas y a mantener un discurso abierto cuando comparen los dos gráficos y los diagramas cartográficos. Ayúdeles a mantener conversaciones sin dar respuestas ni debatir duramente las respuestas de otros estudiantes. Después de completar la parte II, pida a los estudiantes que resuman oralmente su definición de una función con sus propias palabras a sus compañeros. Pídales que comenten lo que es igual en sus definiciones, lo que sobra o lo que falta.
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403
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GRADO 8: FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 2: COMPRENDER LAS FUNCIONES DE UNA TABLA Estándar(es) • Definir, evaluar y comparar funciones. Comprender que una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. La gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados que consisten en una entrada y la salida correspondiente. Ideas fundamentales
Estándares para la práctica matemática
Interpretar diagramas de dispersión
MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente.
Explorar datos
MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros.
Conexiones de contenido CC1 Razonar con datos CC2 Explorar cantidades cambiantes
Motores de investigación DI1 Dar sentido al mundo: Comprender y explicar
MP.6 Prestar atención a la precisión. MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes determinan qué tablas son funciones y cuáles no, observándolas. Comparan las tablas de funciones y no funciones entre sí.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por estudiante) • 1 boleto de salida (por estudiante) • 1 conjunto de tarjetas de recuento semanal (por grupo) REUTILIZABLE
• 1 bolsa resellable (por grupo)
404
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PREPARACIÓN
• Planifique que los estudiantes trabajen en grupos de 4 para completar esta actividad. • Imprima el «Diario del estudiante» y el «Boleto de salida» para cada estudiante. • Imprima un conjunto de «Tarjetas de recuento semanal» para cada grupo. Recórtelas y colóquelas en una bolsa resellable. Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para usarlas en el futuro. • Para los estudiantes que necesiten más ayuda para recordar información, consulte nuestros elementos de «Ayudas suplementarias: Plano cartesiano del primer cuadrante y Plano cartesiano del cuarto cuadrante» en la sección «Intervenir».
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GRADO 8: FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Cada semana, Rosie hace un inventario de sus productos. Necesita saber cuántos artículos ha vendido para poder pedir más al almacén. Para asegurarse de que tiene los artículos correctos en reserva, cuenta su inventario de diferentes maneras. Por ejemplo, por estilo, color, talla o precio. En las semanas de más trabajo, hace el inventario dos veces. Su tarea consiste en ayudar a Rosie a analizar sus listas de inventario para determinar si crean funciones». 2. Ayude a los estudiantes a acceder a la tarea al formular las siguientes preguntas guías: a. «¿Qué sabes sobre la clasificación?». b. «¿Haces listas?». Si es así, «¿en qué te ayuda?». c. «¿Qué tipos de artículos crees que Rosie vende en su boutique?». 3. Entregue un «Diario del estudiante» a cada estudiante. 4. Entrega un conjunto de las «Tarjetas de recuento semanal» a cada grupo.
6. Supervise y hable con los estudiantes según sea necesario para comprobar la comprensión al usar las siguientes preguntas guías: a. DOK-1 «¿Cómo saber si una tabla es una función o no?». Si no hay valores repetidos en la columna de entrada, entonces la tabla es una función. b. DOK-1 «¿Cómo puedes crear una tabla a partir de coordenadas?». Los valores x van en la columna de entrada, y los valores y van en la columna de salida. c. DOK-1 «¿Qué ocurre si se tienen salidas repetitivas?». Las salidas repetidas no afectan si una relación es una función. 7. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímelos a que se hagan preguntas y establezcan conexiones. Anime a los estudiantes a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias usadas para analizar tablas para determinar si son funciones o no. 8. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
5. Explique a los estudiantes que analizarán tablas e información escrita para determinar si las listas de inventario crean funciones. Debatirán las diferentes entradas y salidas y cómo pueden organizarse para crear funciones.
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405
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GRADO 8: FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 «¿Las funciones tienen que ser siempre valores numéricos para sus entradas o salidas?». No, pueden ser cualquier cosa. • DOK-2 «¿Qué importancia tienen las entradas a la hora de determinar una función?». Las entradas no pueden repetirse. Si se repiten, no es una función. • Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: • DOK-2 «¿Importa dónde se colocan las entradas y salidas en la tabla? ¿Por qué o por qué no?». Sí, las entradas determinan las salidas. • DOK-2 «¿Qué coordenada representa la entrada? ¿Qué coordenada representa la salida?». Las entradas representan valores x. Las salidas representan valores y. Las salidas representan valores y.
DESPUÉS DE EXPLORAR 1. Haga que los estudiantes completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 2. Complete el «Esquema de anclaje» como clase. 3. Haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva». 4. Regrese al «Captar interés» e instruya a los estudiantes para que usen sus habilidades recién adquiridas para completar exitosamente la actividad.
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Antes de comenzar la exploración, pida a los estudiantes que comparen cómo se relacionan las tablas con los gráficos. Esto les ayudará a aplicar sus conocimientos sobre entradas, salidas y valores x y y. 2. Proporcione flexibilidad a los estudiantes que necesiten tareas reducidas al reducir la cantidad de semanas que se completan en el «Explorar». Del mismo modo, para los estudiantes que puedan sentirse abrumados por el volumen de trabajo, separe las 12 semanas por las 3 páginas en que se dividen y proporcione una página de las semanas cada vez en lugar de dárselas todas a la vez. 3. Los estudiantes pueden confundir los diagramas cartográficos con las tablas. Comente las semejanzas y diferencias entre las tablas y los diagramas cartográficos para ayudar a los estudiantes a discernir las diferencias entre las representaciones y decidir cuál les resulta más fácil para sacar sus conclusiones. Algunos estudiantes pueden limitar el concepto de función a su representación sin comprender la esencia de la definición. Por ejemplo, un estudiante podría pensar erróneamente: «Una función es un diagrama cartográfico». Haga hincapié en que una función es cualquier relación en la que cada entrada tiene solo una salida. 4. En la exploración, los estudiantes que necesiten apoyo adicional pueden beneficiarse de ver la tabla representada como un diagrama de mapeo o gráfico. Ayúdeles a crear una de las «Tarjetas de recuento semanal» como todas las representaciones para ayudarles a sacar sus conclusiones. 5. Como ampliación, cree tablas y escenarios para las parejas de estudiantes. Haga que las parejas determinen si la representación de cada uno es una función y que luego utilicen otra representación para apoyar sus respuestas.
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GRADO 8: FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2
Functions Explore 2
Functions Explore 2
Week 5
Inventory Week 1
Week 2
What is the output when the input is dresses? 12
What is the input when the output is 12? Monday
What is the input when the output is 16? Pants
What is the output when the input is Wednesday? 53
List all of the inputs. Shirts, pants, dresses, jackets
Are there any repeating inputs? Yes
Are there any repeating inputs? No
Is this a function? No
Is this a function? Yes
Which inputs do you need to remove in order to make this a function? Monday and Friday
Week 3
Week 6
Use the information to create a table. Does the item determine the amount? Yes Does the input determine the output? Yes Is this a function? Yes
Item
Amount
Sm. Shirt
7
Lg. Shirt
9
Md. Jacket
10
Pants Sm. Dress Md. Dress
Week 4
List the inputs. Tuesday, Tuesday, Wednesday, Thursday, Friday, Friday
Are there any repeating inputs? No
List the outputs. 29, 32, 48, 51, 22, 13
Are there any repeating outputs? Yes
Are there any repeating input values? Yes, Tuesday and Friday
Is this a function? Yes
Is this a function? No
What is the input? (Circle one.)
Any amt.
Pants
35
Jackets
28
Dresses
Any amt.
What is one input that can be added to the table so that the relationship continues to represent a function?
(Tuesday, 29), (Tuesday, 32), (Wednesday, 48), (Thursday, 51), (Friday, 22), (Friday, 13)
What are the inputs when the output is 36? Tuesday and Thursday
Week 10
8
Shirts
Week 8
What input can be placed in the last row to make this table a function? Answers may vary but cannot be red, blue, black, or white.
List the inputs. Monday, Tuesday, Friday, Friday, Sunday
6
Amount Sold
Write the information as coordinates.
What is the output when the input is Friday? 41
Week 9
12
Style
Week 7
List the inputs. Red, blue, black, white
What input can be placed in the last row to make this table not a function? Answers may vary but can be red, blue, black, or white.
Fill in the table to create a function. Answers may vary.
a. Monday b. Thursday c. Sunday What ordered pair could be added to the table so that the relationship does not represent a function? a. (Tuesday, 67) b. (Thursday, 75) c. (Friday, 83) d. (Sunday, 80)
1
2
Functions Explore 2
Functions Explore 2
Reflect Color
1.
Amount
Do functions always have to be number values for their inputs or outputs? No, they can be anything.
Use the information to create a table. List the outputs. 35, 76, 53, 21, 45
Is this a function? No Why or why not? There are two inputs labeled “Friday.”
Color
Amount
Red
5
Green
7
Blue
4
Black
10
White
12
3.
4.
What is the input when the output is 20? Blue dress
Use the information to create a table.
Is this a function? Yes
Which coordinate does the input represent? Which coordinate does the output represent? Inputs represent x values. Outputs represent y values.
Week 12
Orange dresses sold the same amount as green dresses. Does this affect whether this is a function? Explain your answer. No, they are outputs.
Does it matter where the inputs and outputs are placed in the table? Why or why not? Yes, inputs determine the outputs.
Week 11
What is the output when the input is orange dress? 5
2.
Item Amount
Cost
3
15
5
25
6
36
What do duplicate inputs create on a graph? Answers may vary. When inputs repeat, two points will form a vertical line.
If the cost was $40, what item amount would make this relationship not a function? Answer can be 3, 5, or 6.
3
4
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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407
1/9/26 1:57 PM
GRADO 8: FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Functions Explore 2
APOYOS LINGÜÍSTICOS Aclarar que el término función se refiere a una relación en matemáticas en la que cada entrada tiene exactamente una salida y no como la capacidad de funcionar o hacer algo. Aclarar que el término tabla se refiere a una forma de mostrar una relación entre los valores x y y y no a un mueble.
Functions and Nonfunctions Exit Ticket List whether the following are functions. If it is not a function, circle the values that make the relationship a nonfunction. 1.
Como actividad previa a la clase, guíe a los estudiantes para que completen el «Vocabulario interactivo» (que se encuentra en la sección «Explicar») para el vocabulario nuevo. Proporcióneles la definición y anímeles a reescribirla con sus propias palabras. Proporcione estructuras de frases para que los estudiantes utilicen un lenguaje preciso y evalúen las ideas de los demás durante el trabajo en grupo, como las siguientes: • Te he oído decir _______. «¿Es correcto? ¿Es correcto?».
2. x
y
x
y
1
25
4
13
3
25
5
24
5
25
5
69
9
25
6
40
Yes
3.
No
(18, Red)
4.
(Jan., 14)
(24, Green)
(Mar., 30)
(10, Blue)
(Aug., 15)
(18, Black)
(Sept., 14)
No
Yes
• Te he oído decir _______. Estoy de acuerdo porque _________. • Te he oído decir _______. No estoy de acuerdo porque ________.
1
Cuando respondan a las preguntas «Reflexionar», pida a los estudiantes que se turnen primero para decir sus respuestas en voz alta a un compañero, intercambiar opiniones y, a continuación, escribir sus respuestas en sus «Diario del estudiante». Como actividad posterior a la clase, pida a los estudiantes que creen gráficos de anclaje sobre funciones. Deben incluir la definición y las representaciones que aprendieron en las exploraciones 1 y 2 (gráficos, diagramas y tablas). Pida a los estudiantes que los presenten a la clase al usar un lenguaje detallado de los tipos de representación, función, entrada y salida. Anime a los estudiantes que escuchan a dar su opinión sobre los gráficos para que los modifiquen o los completen con el fin de ayudar a que cada grupo tenga un resumen completo de su aprendizaje.
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
Functions Part 2
Understand Functions on a Table Determine whether each table represents a function, and explain your reasoning.
Input
Output
Input
Output
5
2
3
7
7
4
5
9
9
6
9
7
11
8
5
Yes/No
Reasoning:
Reasoning:
There is only one output value for each input value.
3
Yes/No
There is more than one output value for an input of 5.
Input
Output
Input
0
0
1
5
2
4
1
10
4
8
1
15
6
12
1
Reasoning:
Yes/No
There is only one output value for each input value.
Reasoning:
Output
20
Yes/No
There are different output values for the input of 1.
1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 2) CLAVE DE RESPUESTAS
408
SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 408
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GRADO 8: FUNCIONES
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE Functions Function
CONSOLIDAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
ESQUEMA DE ANCLAJE
Not a Function
DESCRIPCIÓN Input
Output
x
y
Input
Output
x
y
−1
−3
1
7
5
2
2
2
0
0
3
7
7
4
2
0
1
3
5
7
9
6
2
−4
2
6
7
7
5
8
2
−6
Un esquema de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Se trata de una herramienta para apoyar la instrucción y anclar el aprendizaje de los estudiantes a lo largo del alcance.
MATERIALES
• 1 hoja de papel cuadriculado • 1 juego de marcadores multicolores
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del ejemplo de esquema de anclaje, si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. El ejemplo de esquema puede utilizarse como referencia antes de crear el de la clase. Esta actividad debe ser dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje. 2. A medida que los estudiantes trabajen en el alcance, colaboren para añadir piezas al «Esquema de anclaje». Formule las siguientes preguntas orientadoras: a. «¿Qué estrategia utilizamos para resolver este problema?». b. «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?». 3. Continúe añadiendo habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada «Exploración» para resaltar el contenido importante. 4. Explique que pueden usar este gráfico como herramienta de apoyo para su aprendizaje. Los estudiantes también pueden pegar una copia del ejemplo de «Esquema de anclaje» en sus cuadernos para utilizarlo como referencia durante el año. 5. Algunos «Esquemas de anclaje» solo se mostrarán durante un alcance o grupo de alcances concretos, mientras que otras permanecerán expuestas durante todo el curso escolar.
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GRADO 8: FUNCIONES
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA Functions
DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
LIBRETA INTERACTIVA
Instructions ● Cut out the T-chart, and glue it into your notebook.
Function
DESCRIPCIÓN
Not a Function
Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase al usar la actividad y la libreta.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del «Folleto del estudiante» para cada uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Prepare una «Libreta interactiva» al usar un cuaderno de espiral o de composición para cada uno. Los estudiantes pueden utilizar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades. 2. Las instrucciones para cada actividad se proporcionan en el «Folleto del estudiante». Functions
3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos. 4. Las libretas interactivas pueden utilizarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
Instructions ● Cut out the individual tables and graphs, and glue them on the appropriate side of the T-chart. ● Justify your reasoning by using a vertical line test or by identifying whether or not there is only 1 output for every input.
Input
Output
x
y
5
2
1
7
7
4
3
7
6
5
7
8
7
7
Input
Output
–1
–3
0
0
1
3
2
6
9 5
FOLLETO DEL ESTUDIANTE
410
SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 410
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1/9/26 1:57 PM
GRADO 8: FUNCIONES
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
APOYO PARA ESTUDIANTES MULTILINGÜES
CONEXIONES LINGÜÍSTICAS DESCRIPCIÓN
• Permita que los estudiantes tengan acceso a diversas herramientas matemáticas, herramientas gráficas digitales y físicas, lápices o reglas para pruebas de líneas verticales y papel de borrador.
Los estudiantes tienen la oportunidad de usar sus conocimientos lingüísticos y culturales previos para apoyar las conexiones con nuevas habilidades, vocabulario y conceptos en sus niveles de competencia.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
MATERIALES
1 Distribuya a cada alumno un «Folleto del estudiante» con el nivel de competencia adecuado.
IMPRESO
• 1 folleto del estudiante según su nivel de competencia (por alumno)
2 Utilice las instrucciones para las partes de escuchar, hablar, leer y escribir. Utilice gestos, señale objetos y elementos visuales según proceda. Consulte las sugerencias en las instrucciones.
REUTILIZABLE
• 1 conjunto de herramientas gráficas digitales y físicas (por estudiante)
3 Deje tiempo a los estudiantes para que piensen con sus vecinos antes de responder.
• 1 regla o lápiz (por estudiante)
4 Anime a los estudiantes a perseverar en su pensamiento y a usar herramientas y representaciones matemáticas.
PREPARACIÓN
• Prepárese para que los estudiantes trabajen con compañeros cuando sea necesario.
5 Invite a los estudiantes a responder adecuadamente a cada dominio lingüístico.
• Determine el nivel de inglés de cada estudiante.
6 Pida a los estudiantes que usen la página final del «Folleto del estudiante» para establecer conexiones entre los conceptos matemáticos y el mundo real.
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada alumno según su nivel de inglés. • Permita que los estudiantes tengan acceso al vocabulario ilustrado para este alcance .
Functions B
Functions B
Mario is creating
Decide why the map, table, graph, and ordered pairs are not functions.
maps and
tables for a new
game. For the simulation to work, the
Functions I
video
Decide why the map, table, graph, and ordered pairs are not functions.
maps and
tables must be functions. Analyze the
Functions I
Functions A
Functions A
Mario is creating maps and tables for a new video game. For the
Mario is creating maps and tables for a new video game. For the
Decide why the map, table, graph, and ordered pairs are not functions.
simulation to work, the maps and tables must be functions. Analyze the
simulation to work, the maps and tables must be functions. Analyze the map and table shown to determine whether Mario already has a function.
map and table shown to determine whether Mario already has a function.
map and
If not, explain how to change the map or table to be a function.
If not, explain how to change the map or table to be a function. x
y
x
y
3
−4
functions _________.
3
−4
6
−1
x has exactly one ___. is The table _____ a function because every ___ y
6
−1
8
−1
9
−4
table shown to determine whether Mario already has a function. map or
If not, explain how to change the table to be a function.
A.
The arrows are pointing to the right.
A.
The graph is in all 4 quadrants.
B.
The 6 has more than one output.
B.
The graph does not pass the vertical line test.
x
y
−1
6
1
A. B.
(4, 3), (2, 3), (4, 5), (3, 2), (1, 7) A.
3
−1
8
1
0
B.
x
y
3
−4
6
−1
8
−1
9
−4
The map is not a function because there is a negative output. True / False
Mario is checking to see whether his maps and tables are __________________. straight lines / functions The table _________ a function. is / is not Every _____ has exactly one ____________. x/y input / output
The input of 4 has more than one output.
The map _______ a function. is / is not
The point (2, 3) reverses the x and y coordinates to (3, 2).
The _____ x-coordinate matches with _______________ one output. 1 / −5 exactly / more than
The 1 and −1 have more than one output.
To make the ______________ a function, I would need to change the map / table
The y’s are not in order from least to greatest.
______________ of 1 to only have one _____________. x value / y value x value / y value
The graph is not a function because it is in all four quadrants. True / False
x
y
−1
6
1
3
−1
8
1
0
8
−1
9
−4 The map is not a function because the x value of 6 has ____________________ more than one y value. ____________________ ____________________
Mario is checking to see whether his maps and tables are functions. True / False The table is not a function. True / False
(4, 3), (2, 3), (4, 5), (3, 2), (1, 7) The coordinates are not a function because the input of 4 has more than one output.
The map is not a function. True / False It is not a function because the −5 coordinate has more than one arrow. True / False
y value would need to only have one _____________.
x
y
−1
6
1
3
−1
8
1
0
Coordinates
(4, 3), (2, 3), (4, 5), (3, 2), (1, 7)
need to only have one _____________. x value / y value
Function
Pencil The coordinates are not a function because the input of 4 pairs with ____________________ more than 1 y value or ____________________ output. ____________________
One
Vertical line test
y-coordinate x-coordinate
Use the word bank to explain how to check whether the graph is a function. Some words may be used more than one time. To decide whether or not a graph is a function, one way is to check the coordinates. Every x-coordinate must pair with only one y-coordinate. The horizontal portion of the graph shows that every y-coordinate equals 2, but every
The table is not a function because the 1 and −1 ____________________ x-coordinates have ____________________ more than one y. ____________________
To make the ______________ a function, the ______________ of 1 would map / table x value / y value
True / False
more than matches with _____________ one output. map x value To make the ________ be a function, the ____________ of 1
The graph is not a function because x-coordinates, such as ____________________ 0, pair with more than ____________________ one y-coordinate. ____________________
Word Bank
It is a function because every x has exactly one output. True / False
True / False
The table is not a function because the x-coordinates repeat.
Mario is checking to see whether his maps and tables are
is not x The map _______ a function because one _____-coordinate
x-coordinate is a different value. The other way to decide whether a graph is a function is to use the vertical line test. When using a pencil or ruler, the line instrument only passes through the graph one time. This graph is a function.
Functions B
Word Bank Vertical line test y-coordinate
Coordinates Function
Functions B
Functions I
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use functions at home with your family or friends. One x-coordinate
Use the word bank to explain how to check whether the graph is a function. Some words may be used more than one time.
Word Bank Coordinates
Answers will vary.
Pencil
Function
One
Vertical line test
Functions A
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use functions at home with your family or friends.
y-coordinate x-coordinate
Answers will vary.
Answers will vary.
Use the word bank to explain how to check whether the graph is a function. Some words may be used more than one time.
To decide whether or not a graph is a _____________, one way is to check the function
To decide whether or not a graph is a __________, one way is to check the function
coordinates y-coordinate The _______________. Every x-coordinate must pair with only one ___________.
coordinates Every ___________ x-coordinate must pair with only one ___________. y-coordinate The __________.
horizontal portion of the graph shows that every ___________ y-coordinate equals 2, but every
y-coordinate equals 2, but every horizontal portion of the graph shows that every ___________
x-coordinate is a different value. The other way to decide whether a graph is a ___________
x-coordinate is a different value. The other way to decide whether a graph is a ___________
function is to use the _________________________. When using a pencil or vertical line test
function is to use the _________________________. When using a ______ vertical line test pencil or
one ruler, the line instrument only passes through the graph ________ time. This
one ruler, the line instrument only passes through the graph _______ time. This graph
function graph is a ________.
function is a ________.
PRINCIPIANTE FOLLETO DEL ESTUDIANTE
ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 411
Functions I
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use functions at home with your family or friends.
INTERMEDIO FOLLETO DEL ESTUDIANTE
AVANZADO FOLLETO DEL ESTUDIANTE
411
1/9/26 1:57 PM
GRADO 8: FUNCIONES
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCUCHAR Y HABLAR PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Tenga lápices o reglas y herramientas gráficas a disposición de los estudiantes. Lea las siguientes indicaciones de una en una:
Tenga lápices o reglas y herramientas gráficas a disposición de los estudiantes. Lea las siguientes preguntas de una en una:
Tenga un lápiz o una regla y herramientas gráficas a disposición de los estudiantes. Lea las siguientes instrucciones de una en una:
•
Los estudiantes pueden confundirse con vocabulario de doble significado, como mapa y tabla. Asegúrese de que las tarjetas de vocabulario ilustrado estén a la vista durante las actividades.
•
Cada uno de los ejemplos siguientes no es una función. Debajo de cada uno hay una afirmación que explica por qué. Tenemos que determinar si es verdadera o falsa.
•
Cada uno de los ejemplos siguientes no es una función. Tenemos que decidir por qué no es una función.
•
Señale el mapa.
•
«¿Cómo podemos determinar si un mapa es una función?».
•
Señala el mapa.
•
«¿Cómo podemos determinar si un mapa es una función?». •
•
Pida a los estudiantes que usen la siguiente secuencia de oraciones: Podemos determinar si un mapa es una función mediante ____.
Una de las razones enumeradas es correcta para explicar por qué el mapa no es una función. Escuche atentamente mientras leo las opciones.
•
Lee las opciones A y B para el mapa.
•
Explica por qué el mapa no es una función. •
Pida a los estudiantes que usen la siguiente raíz de oración: El mapa no es una función porque _____.
•
•
Pida a los estudiantes que usen el siguiente enunciado: Podemos determinar si un mapa es una función mediante ____.
Explica por qué el mapa no es una función. •
Pida a los estudiantes que usen la siguiente secuencia: El mapa no es una función porque _____.
•
Escuche atentamente mientras leo el enunciado. Lea el enunciado del mapa.
•
Señala si el enunciado es verdadero o falso.
•
«¿Por qué es falsa la afirmación?». •
Señala la razón que coincida con su explicación.
•
Encierra con un círculo falso.
•
Encierra con un círculo la opción B.
•
Señala el gráfico.
•
Señala el gráfico.
•
•
«¿Cómo podemos determinar si un gráfico es una función?».
«¿Cómo podemos determinar si un gráfico es una función?».
Pida a los estudiantes que usen la siguiente raíz de oración: Podemos determinar si un gráfico es una función mediante _____.
•
•
Señala el mapa.
•
«¿Cómo podemos determinar si un mapa es una función?». •
•
Pida a los estudiantes que usen la siguiente secuencia de oraciones: Podemos determinar si un mapa es una función mediante ____.
Explica por qué el mapa no es una función. •
Pida a los estudiantes que usen la siguiente secuencia: El mapa no es una función porque _____.
•
Escribe lo siguiente en el espacio en blanco: el valor x de 6 tiene más de un valor y.
•
Señala el gráfico.
•
«¿Cómo podemos determinar si un gráfico es una función?». •
•
Pida a los estudiantes que usen la siguiente raíz de oración: Podemos determinar si una gráfica es una función mediante _____.
Usa tu lápiz o regla para hacer una prueba de recta vertical.
Pida a los estudiantes que usen la siguiente raíz de oración: Podemos determinar si una gráfica es una función _____.
•
Usa tu lápiz o regla para hacer la prueba de la recta vertical.
•
«¿Dónde falla la gráfica en la prueba de la recta vertical?». •
Cada uno de los ejemplos siguientes no es una función. Vamos a escribir explicaciones de por qué no es una función.
Pida a los estudiantes que usen la siguiente secuencia: El enunciado es falso porque ____.
•
•
•
Haga que los estudiantes usen la siguiente raíz de oración: La gráfica no pasa la prueba de la recta vertical en la coordenada ____.
•
Escucha mientras leo el enunciado debajo de la gráfica. Lea el enunciado debajo del gráfico.
•
Señala si el enunciado es verdadero o falso.
•
«¿Por qué es falso el enunciado?». •
412
SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 412
Pida a los estudiantes que usen la siguiente secuencia de oraciones: La afirmación es falsa porque ____.
•
Encierra con un círculo falso.
•
Señala la tabla.
ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
1/9/26 1:57 PM
GRADO 8: FUNCIONES
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCUCHAR Y HABLAR (CONTINUACIÓN) PRINCIPIANTE •
Usa tu lápiz o regla para hacer la prueba de la recta vertical.
•
«¿Dónde falla la gráfica en la prueba de la recta vertical?». •
Haga que los estudiantes usen la siguiente secuencia de oraciones: La gráfica no pasa la prueba de la recta vertical en la coordenada ____.
•
Escucha mientras leo las opciones de por qué la gráfica no es una función.
•
Lee las opciones A y B para la gráfica.
•
Señala la razón que coincida con su explicación.
•
Encierra con un círculo la opción B.
•
Señala la tabla.
•
«¿Cómo podemos determinar si una tabla es una función?». •
•
•
Escucha mientras leo las opciones de por qué la tabla no es una función.
•
Lee las opciones A y B de la tabla.
•
Señala la razón que coincida con su explicación.
•
Encierra con un círculo la opción A.
•
Señala los puntos de las coordenadas.
•
«¿Cómo podemos determinar si los puntos de las coordenadas son una función?».
•
•
Pida a los estudiantes que usen la siguiente secuencia de oraciones: Podemos determinar si los puntos de las coordenadas son una función mediante ____.
Si los estudiantes han indicado graficar los puntos de las coordenadas como una forma de comprobar si son una función, permítales graficar las coordenadas al usar papel o herramientas de graficación digital, y siga las indicaciones para la prueba de la recta vertical de la sección de gráficos.
•
Escucha mientras leo las opciones de por qué los puntos de las coordenadas no son una función.
•
Lee las opciones A y B para los puntos de las coordenadas.
•
Señala la razón que coincida con su explicación.
•
Encierra con un círculo la opción A.
«¿Cómo podemos determinar si una tabla es una función?». •
•
Si los estudiantes han indicado graficar la tabla como una forma de comprobar si es una función, permítales graficar la tabla al usar papel o herramientas de graficación digital, y siga las indicaciones para la prueba de la recta vertical de la sección de graficación. Escuche mientras leo el enunciado debajo de la tabla. Lea el enunciado que aparece debajo de la tabla.
•
Señale si el enunciado es verdadero o falso.
•
«¿Qué hay en la tabla que demuestre que el enunciado es verdadero?». •
Encierra con un círculo el enunciado verdadero.
•
Señala los puntos de las coordenadas.
•
«¿Cómo podemos determinar si los puntos de las coordenadas son una función?».
•
Pida a los estudiantes que usen la siguiente secuencia: Podemos determinar si los puntos de las coordenadas son una función ____.
Si los estudiantes han indicado graficar los puntos de las coordenadas como una forma de comprobar si son una función, permítales graficar las coordenadas al usar papel o herramientas de graficación digital, y siga las indicaciones para la prueba de la recta vertical de la sección de gráficos.
•
Escucha mientras leo la afirmación debajo de los puntos de las coordenadas. Lee el enunciado debajo de los puntos de coordenadas.
•
Señala si el enunciado es verdadero o falso.
•
«¿Qué hay en los puntos de coordenadas que demuestre que el enunciado es verdadero?». •
Pida a los estudiantes que usen la siguiente secuencia de oraciones: La afirmación es verdadera porque ____.
•
Encierra con un círculo lo que es verdadero.
ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 413
Pida a los estudiantes que usen la siguiente secuencia de oraciones: El enunciado es verdadero porque ____.
•
•
AVANZADO •
Pida a los estudiantes que usen la siguiente secuencia de oraciones: Podemos determinar si una tabla es una función a través de ____.
•
Pida a los estudiantes que usen la siguiente raíz de oración: Podemos determinar si una tabla es una función mediante ____.
Si los estudiantes han indicado que grafiquen la tabla como una forma de comprobar si es una función, permítales que grafiquen la tabla al usar papel o herramientas gráficas digitales, y sigan las indicaciones para la prueba de la recta vertical de la sección de gráficos.
•
INTERMEDIO
«¿Dónde falla la gráfica en la prueba de la recta vertical?». •
•
Pida a los estudiantes que usen la siguiente secuencia de oración: La gráfica no pasa la prueba de la recta vertical en la coordenada ____.
Explica por qué la gráfica no es una función. •
Pida a los estudiantes que usen la siguiente raíz de oración: La gráfica no es una función porque _____.
•
Escribe en el espacio en blanco: Las coordenadas x, como 0, se emparejan con más de una coordenada y.
•
Señala la tabla.
•
«¿Cómo podemos determinar si una tabla es una función?». •
Pida a los estudiantes que usen la siguiente raíz de oración: Podemos determinar si una tabla es una función a través de ____.
•
Si los estudiantes han indicado graficar la tabla como una forma de comprobar si es una función, permítales graficar la tabla al usar papel o herramientas digitales de graficación, y siga las indicaciones para la prueba de la recta vertical de la sección de graficación.
•
Explca por qué la tabla no es una función. •
Pida a los estudiantes que usen la siguiente raíz de oración: La tabla no es una función porque _____.
•
Escribe lo siguiente en el espacio en blanco: las coordenadas x 1 y -1 se emparejan con más de una y.
•
Señala los puntos de coordenadas.
•
«¿Cómo podemos determinar si los puntos de coordenadas son una función?». •
Pida a los estudiantes que usen la siguiente raíz de oración: Podemos determinar si los puntos de las coordenadas son una función mediante ____.
•
Si los estudiantes han indicado graficar los puntos de las coordenadas como una forma de comprobar si son una función, permítales graficar las coordenadas al usar papel o herramientas de graficación digital, y siga las indicaciones para la prueba de la recta vertical de la sección de gráficos.
•
Explique por qué las coordenadas no son una función. •
•
Pida a los estudiantes que usen la siguiente raíz de oración: Las coordenadas no son una función porque _____.
Escriba lo siguiente en el espacio en blanco: la entrada de 4 pares con más de un valor y o salida.
413
1/9/26 1:57 PM
GRADO 8: FUNCIONES
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
LEER Y HABLAR PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Disponga de papel de borrador y herramientas gráficas para que los estudiantes puedan usarlas. Lea la historia en voz alta en grupo. Divida la historia en frases. Pida a los estudiantes que señalen cada palabra mientras leen. Pídales que encierren con un círculo las palabras que no conozcan y revise las palabras en grupo.
Lectura coral de la historia en grupo. Pida a los estudiantes que señalen cada palabra mientras leen. Pídales que encierren con un círculo las palabras que no conozcan.
Haga que los estudiantes lean la historia con sus compañeros y señalen cada palabra mientras leen. Invite a los estudiantes a encerrar con un círculo las palabras que no conozcan y a comentarlas con sus compañeros.
•
•
Comenta las palabras con un compañero.
•
Comente la situación con los estudiantes. Haga gestos con las manos y utilice elementos visuales cuando proceda mientras formula las siguientes preguntas.
Debatir el pasaje, la tabla y el mapa con los estudiantes. •
Repasar el vocabulario desconocido, como tabla, mapa y función.
•
•
«¿Qué sabes sobre cómo las tablas y los mapas representan funciones?».
Cubre el párrafo y las preguntas con papel de borrador.
•
Señala la mesa.
•
Comparte con tus compañeros una cosa sobre cómo determinar si una tabla es una función.
•
Determina si la tabla es una función. Si no lo es, encierra con un círculo en la tabla el punto que hace que no sea una función.
•
Conceda tiempo a los estudiantes para que revisen la tabla y se apoyen en el debate anterior.
•
«¿Qué observas en los puntos de la tabla?».
•
«¿Cómo prefieres comprobar si la tabla es una función?».
•
«¿Qué observas en el mapa?».
•
«¿Cómo prefieres comprobar si el mapa es una función?».
•
Antes de responder a las preguntas, determina si la tabla y el mapa son funciones.
•
•
Cubre el párrafo y las preguntas con papel de borrador.
Comenta con tus compañeros si cree que la tabla es una función o no lo es.
•
•
Señala la tabla.
«¿La tabla representa una función? ¿Por qué?».
•
Determina si la tabla es una función. Si no lo es, encierre con un círculo en la tabla qué punto hace que no sea una función.
•
Conceda tiempo a los estudiantes para que revisen la tabla y se apoyen en el debate anterior.
•
«¿Representa la tabla una función? ¿Por qué?». Si es una función, señale con un pulgar hacia arriba. Si no es una función, póngale un pulgar hacia abajo. •
Pida a los estudiantes que usen la siguiente secuencia de oraciones: La tabla representa / no representa una función porque....
•
Compruebe la comprensión de los estudiantes y proporcione apoyo si es necesario.
•
Tendremos que recordar para las preguntas que es una función.
•
Repasemos el mapa. Señala el mapa.
•
Determina si el mapa es una función. Si no lo es, encierre con un círculo en el mapa la causa de que no sea una función.
•
Conceda tiempo a los estudiantes para que revisen el mapa y se apoyen en el debate anterior. Los estudiantes deben encerrar con un círculo la 1.
•
«¿Representa el mapa una función? ¿Por qué?». Si es una función, señala con un pulgar hacia arriba. Si no lo es, pon un pulgar hacia abajo. •
•
•
Explica a tus compañeros de qué trataba el pasaje.
•
Comenta con tus compañeros lo que observas en la tabla y el mapa.
•
Lee cada enunciado y comenta tus respuestas con tus compañeros.
Pida a los estudiantes que usen el siguiente enunciado: La tabla representa / no representa una función porque....
•
Compruebe la comprensión de los estudiantes y proporcione apoyo si es necesario.
•
Tendremos que recordar para las preguntas que se trata de una función.
•
Repasemos el mapa. Señala el mapa.
•
Comparte una cosa con tus compañeros sobre cómo determinar si un mapa es una función.
•
Determina si el mapa es una función. Si no lo es, encierra con un círculo en el mapa la causa de que no sea una función.
•
Conceda tiempo a los estudiantes para que revisen el mapa y se apoyen en el debate anterior. Los estudiantes deben encerrar con un círculo el 1.
•
Comenta con tus compañeros si crees o no que el mapa es una función.
Pida a los estudiantes que usen la siguiente secuencia de frases: El mapa representa / no representa una función porque....
414
SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 414
ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
1/9/26 1:57 PM
GRADO 8: FUNCIONES
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
LEER Y HABLAR (CONTINUACIÓN) PRINCIPIANTE
INTERMEDIO •
«¿El mapa representa una función?». «¿Por qué?».
•
Compruebe la comprensión de los estudiantes y proporcione apoyo si es necesario.
•
Tendremos que recordar para las preguntas que no es una función.
•
Destapen sus papeles; ahora leeremos coralmente y responderemos a las preguntas.
•
•
Lea coralmente el primer enunciado. Señala la respuesta antes de contestar.
Compruebe la comprensión de los estudiantes y proporcione apoyo si es necesario.
•
•
Lectura coral del segundo enunciado. Recuerde a los estudiantes el debate y las respuestas anteriores según sea necesario. Señale la respuesta antes de contestar.
Tendremos que recordar para las preguntas que no es una función.
•
Destape sus papeles;
•
Lectura coral el primer enunciado. Señale la respuesta antes de marcar la afirmación como verdadera o falsa.
•
Lee en coro la segunda afirmación. Señala la respuesta en la historia antes de marcar la afirmación como verdadera o falsa.
•
Compañeros-lean la tercera afirmación. Realice con tus compañeros para decidir si es verdadera o falsa.
•
Lee en coro la cuarta afirmación. Debate con tus compañeros para decidir si es verdadera o falsa.
•
Lectura coral de la quinta afirmación. Comenta con tus compañeros si es verdadera o falsa.
•
Lee en coro la tercera afirmación. Señale las respuestas antes de contestar.
•
Lee en coro la cuarta afirmación. Recuerde a los estudiantes el debate previa y las respuestas según sea necesario. Señale la respuesta antes de contestar.
•
Lee en coro la quinta afirmación. Recuerde a los estudiantes su discusión previa y las respuestas según sea necesario. Señale la respuesta antes de contestar.
•
Lee en coro la última afirmación. Señale las respuestas antes de contestar.
◦
Pida a los estudiantes que usen el siguiente enunciado: La tabla representa / no representa una función porque ....
ESCRIBIR PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Ponga a disposición de los estudiantes tarjetas de vocabulario ilustrado y lápices o reglas. Lea y comente las palabras del banco de palabras. Defina y proporcione ejemplos según las necesidades de los estudiantes. Mientras lee, utilice las siguientes indicaciones:
Tenga tarjetas de vocabulario ilustrado y lápices o reglas y papel de borrador disponibles. Lectura coral y debate sobre las palabras del banco. Defina y dé ejemplos si se necesita. Use las siguientes pistas:
Tenga disponibles tarjetas de vocabulario ilustrado y lápices o reglas. Deben leer en coro las palabras del banco de palabras. Pídales que comenten el significado con sus compañeros. Defina y dé ejemplos si es necesario. Siga estas indicaciones:
•
•
•
•
•
Pida a los estudiantes que comenten las palabras del banco de palabras con sus compañeros.
•
«¿Cuáles son sus pensamientos iniciales sobre el gráfico?».
Doble la mitad inferior del papel para que solo se vea el banco de palabras. Señala una palabra del banco de palabras y, por turnos, explica las palabras con tus compañeros.
•
«¿Cómo se puede saber si un gráfico es una función?».
Tome nota de los estudiantes que proporcionan explicaciones matemáticamente precisas de las palabras del banco de palabras.
•
A continuación, señala una palabra del banco de palabras cuyo significado necesites aclarar.
•
En función de los estudiantes a los que haya oído dar las explicaciones matemáticamente precisas, pida a los estudiantes que ayuden a aclarar las palabras seleccionadas a sus compañeros. Veo que varios estudiantes piden aclaraciones sobre la palabra _____. (nombre del estudiante) pudo dar una explicación clara sobre la palabra _____ a su compañero. _____, «¿podrías compartir tu explicación?».
Comente el gráfico con los estudiantes. •
•
Si los estudiantes han indicado realizar una prueba de recta vertical, pídales que completen la prueba al usar un lápiz o una regla. Explique si sus pensamientos iniciales sobre si la gráfica era una función, eran correctos.
Lea en eco cada enunciado y pida a los estudiantes que consulten el banco de palabras y la gráfica antes de escribir su respuesta.
Haga que los estudiantes comenten las palabras del banco de palabras con sus compañeros.
•
Comente las palabras del banco de palabras con sus compañeros. Cada persona debe dar una explicación o descripción de una palabra y, a continuación, pedir a su compañero que parafrasee el significado de la palabra. Continúa este proceso hasta que comentado todas las palabras del banco de palabras.
•
Lee las instrucciones con tus compañeros. «¿Qué plan seguirás para asegurarte de que utilizas la mayor cantidad posible de palabras del banco de palabras en tu redacción?». Si no estás seguro de cómo usar una palabra, enciérrala con un círculo en el banco de palabras. Los estudiantes aún no deben empezar a escribir.
•
Esté atento a los estudiantes que tengan dificultades para crear un plan o que encierren con un círculo las palabras del banco de palabras. Ofrezca apoyo y permita que los estudiantes que hayan podido crear un plan lo compartan con la clase. •
Veo que varios de nosotros necesitamos aclaraciones sobre la palabra _______. Diríjase a alguien cercano que no sea su compañero y pídale que aclare o defina la palabra ___________.
•
Veo que varios de nosotros necesitamos ayuda para diseñar un plan que utilice palabras del banco de palabras. Acércate a alguien que no sea tu compañero y pídele que explique cómo piensa usar la mayor cantidad posible de palabras del banco de palabras.
•
Lee cada enunciado con tus compañeros y utiliza las palabras del banco de palabras para completar cada enunciado. Ten en cuenta que algunas palabras pueden usarse más de una vez o no usarse en absoluto.
•
•
Recuerde a los estudiantes que consulten el banco de palabras cuando rellenen los espacios en blanco.
Pida a los estudiantes que escriban sus explicaciones una vez que se hayan aclarado todas las palabras y se hayan compartido los planes.
•
Ahora, escribe tu explicación al usar al menos 5 de las palabras del banco de palabras. Cuando termines de escribir, comparte tu escrito con tus compañeros.
ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 415
•
415
1/9/26 1:57 PM
GRADO 8: FUNCIONES
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO VOCABULARIO CLAVE
VOCABULARIO ILUSTRADO Dependent Variable
X-Coordinate
Y-Coordinate
A variable, often y, that relies on the value of the independent variable
The first term in an ordered pair; provides the location along the x-axis within the coordinate plane
The second term in an ordered pair; provides the location along the y-axis within the coordinate plane
2
11
12
Domain
Element
Function
The set of all possible input (x values) of a function
Any distinct number or value that is part of a set
A special relationship between values; each input value gives back exactly one output value. 4
3
5
Independent Variable
Input
Output
A variable, often x, that does not rely on the value of another variable
The set of values supplied to a function
The result of the input placed in the function
6
7
Range
Vertical Line Test function
9
SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 416
not a function
A visual way to tell whether a line is a function; if any vertical line intersects the graph more than once, then the graph is not a function.
The set of all possible output, or y values, of a relation or function
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10
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GRADO 8: FUNCIONES
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ DESARROLLAR LA FLUIDEZ CONCEPTUAL
Bam! Instruction Sheet
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: FUNCIONES
Play this game with a partner. You Will Need 1 Set of Bam! Cards (per pair) 1 Jar or other container (per pair) How to Play 1. Fold the cards in half, and place them in the jar. 2. Player 1 pulls out a card from the jar and hands it to player 2. 3. Player 2 will read the question aloud for player 1 to solve. 4. Player 2 can check the answer from player 1 at the bottom of the card. 5. If a player gets a problem correct, they keep the card. If they are incorrect, the other player keeps the card. 6. Note: If the card contains an image such as a graph or a number line, the player asking the question can show the image while covering up the answer with their hand. 7. If a player pulls out a Bam! picture card, all of that player’s cards go back into the jar. 8. Players take turns pulling cards from the jar and answering questions until time is up. 9. Players must try to get as many cards as they can before time is up. 10. The player with the most cards wins.
DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes se turnan para sacar tarjetas de problemas de un frasco y adivinar la respuesta.
MATERIALES IMPRESO • 1 hoja de instrucciones ¡Bum! (por pareja) • 1 conjunto de tarjetas del juego ¡Bum! (por pareja) REUTILIZABLE • 1 frasco u otro recipiente (por pareja) • 1 cronómetro (por maestro)
PREPARACIÓN
• Haga copias a doble cara de las «Tarjetas del juego ¡Bum!. Si lo desea, puede imprimirlas en cartulina para que duren más. • Recorte las tarjetas individuales. • Ponga a los estudiantes en parejas.
HOJA DE INSTRUCCIONES
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo doblar las tarjetas y coloquelas en el frasco. 2. Muestre cómo jugar el juego con un estudiante. a.
El jugador 1 saca una tarjeta del frasco y se la entrega al jugador 2.
b.
El jugador 2 leerá la pregunta en voz alta para que el jugador 1 la resuelva.
c.
El jugador 2 puede verificar la respuesta del jugador 1 en la parte inferior de la tarjeta.
d.
Si un jugador acierta un problema, se queda con la tarjeta. ¡Si es incorrecta, el otro jugador se queda con la tarjeta.
e.
Nota: Si la tarjeta contiene una imagen, como un gráfico o una recta numérica, el jugador que hace la pregunta puede mostrar la imagen mientras tapa la respuesta con la mano.
f.
Si un jugador saca una tarjeta ¡Bum! todas las cartas de ese jugador vuelven al frasco.
g.
Los jugadores se turnan para sacar tarjetas del frasco y responder a las preguntas hasta que se acabe el tiempo.
h.
Los jugadores deben intentar conseguir tantas tarjetas como puedan antes de que se acabe el tiempo.
i.
El jugador con más tarjetas gana.
3. Establezca un límite de tiempo. Cuando se acabe el tiempo, ganará el estudiante que tenga más tarjetas. 4. Distribuya los materiales e indique a los estudiantes que comiencen cuando empiece el cronómetro. 5. Supervise a los estudiantes para asegurarse de que resuelven los problemas correctamente.
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GRADO 8: FUNCIONES
ELABORAR: REVISIÓN EN ESPIRAL
Functions
REVISAR CONCEPTOS PREVIOS
REVISIÓN EN ESPIRAL: MEMBRESÍA DE GIMNASIO DESCRIPCIÓN
Gym Membership It was the start of a new year, and Cody wanted to jump on the health bandwagon. It had been way too long since the last time that he worked out. Because of all of the delicious foods over the holidays, he had even gained a few unwanted pounds. Cody decided that it was time to sign up for a gym membership. Previously, he had worked out at home using online programs, but he found that he rarely kept up with the programs. He began researching the cost of different gym memberships around his neighborhood. Some gyms were offering special deals to first-time members, while others had free trial days. He asked all of his friends and family which gyms they used and why they preferred them. He knew that he wanted somewhere that had a pool and offered classes. It was time to lose that winter weight!
Los estudiantes repasan contenidos anteriores o actuales del grado para ayudar a apoyar su trabajo en el alcance actual y fortalecer las habilidades necesarias para alcances posteriores.
REVISIÓN EN ESPIRAL CENTRADA EN LA PREGUNTA
1
• Pregunta 1
• Grado 8: Usar triángulos similares para explicar por qué la pendiente, m, es la misma entre dos puntos distintos cualesquiera de una recta no vertical en el plano de coordenadas; deducir la ecuación y = mx para una recta que pasa por el origen y la ecuación y = mx + b para una recta que intercepta el eje vertical en b.
Functions
1.
The online subscription that Cody currently uses offers an unlimited number of workouts for $35 a month. Write an equation that would show the total, y, that it would cost Cody for x number of months.
2.
The following graph represents two different memberships that gym A offers. What does the point (3, 60) represent?
It represents the point of intersection. At three months, the cost of both memberships will be the same.
y = 35x
• Pregunta 2 • Grado 8: Resolver sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables algebraicamente, y estimar soluciones al graficar las ecuaciones. Resolver casos sencillos por inspección. • Pregunta 3 • Grado 8: Resolver sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables algebraicamente, y estimar soluciones al graficar las ecuaciones. Resolver casos sencillos por inspección. • Pregunta 4 • Grado 8: Resolver problemas matemáticos y del mundo real que lleven a dos ecuaciones lineales en dos variables.
3.
Cody has narrowed his search down to two different gyms. Gym B’s membership plan is represented by y = 30x. Gym C’s membership plan is represented by y = 10x + 100. At what month will they cost the same? A. B. C. D.
3 4 5 6
4.
Gym C has a concession stand in their gym that sells healthy foods. On Monday, they sold 15 water bottles and 6 sports drinks for a total of $30. On Tuesday, they sold 18 water bottles and 4 sports drinks for a total of $28. Set up a system of equations that could be used to determine how much a water bottle costs. 18w + 4d = 28 15w + 6d = 30
2
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
PREPARACIÓN
4. Consulte la sección «Revisión en espiral centrada en la pregunta» para evaluar el conocimiento del contenido de los estudiantes o su necesidad de una mayor intervención. Si se necesita más repaso, utilice los «Constructor de fluidez» en los alcances apropiados.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
5. El capítulo final incluye una parte del alcance actual para que los estudiantes vean la conexión y relevancia de su aprendizaje previo con el alcance actual .
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada uno. 2. Anime a los estudiantes a tratar de responder a las preguntas de forma independiente sin usar recursos externos para ver lo que saben. Invítelos a anotar ideas o fragmentos que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas. 3. Use las preguntas de revisión en espiral como calentamiento en clase, o envíelas a casa como tareas. Proporcione comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos.
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GRADO 8: FUNCIONES
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS ANÁLISIS DE DATOS
CIENCIA DE DATOS Ciencia de datos es un breve debate en clase basado en un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. La parte I incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los estudiantes en contexto.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizarán, interpretarán y generarán conjuntos de datos, además de responder a preguntas basadas en los datos.
MATERIALES IMPRESO
• 1 conjunto de datos (por clase) REUTILIZABLE
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase) • 1 marcador (por clase) CONSUMIBLE
• 1 trozo de papel milimetrado (por clase)
PREPARACIÓN
• Prepárese para proyectar el conjunto de datos para la clase. • Reúna un trozo de papel milimetrado y un marcador.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Proyecte el conjunto de datos TUVA y prepárese para anotar las observaciones de los estudiantes. 2. Haga clic en Punto. 3. Arrastre Año al eje x. 4. Arrastre Población de alces al eje y. 5. Seleccione Línea, y luego seleccione Gráfico de línea.
PARTE II
1. Repase la definición de función y escribe lo que recuerden los estudiantes en el papel milimetrado. 2. Realice las siguientes preguntas: a. «¿Este gráfico representa una función?». Explica. Sí. solo hay una salida para cada entrada. b. «¿Qué variable representa la entrada?». Año c. «¿Qué variable representa la salida?». Población de alces d. «¿Cuál es la salida cuando la entrada es 2002?». 9,215 e. «¿Qué variables de entrada no producen ninguna variable de salida?». 1996 -1997 f. «¿Por qué crees que ocurrió esto?». Creo que esto ocurrió porque la población de alces no se contabilizó durante esos años. g. «¿Qué entradas dieron como resultado un aumento de la salida con respecto al valor anterior?». 1999, 2005 y 2007 h. «¿Cuál es la tendencia general de los datos?». A medida que las entradas (Años) aumentan, las salidas (Población de alces) disminuyen. PARTE III
Arrastre Población de lobos al eje y para reemplazar Población de alces. 1. Realice las siguientes preguntas: a. «¿Qué ha cambiado, la entrada o la salida?». La salida b. «¿En qué se diferencian estos datos de los anteriores?». A medida que aumentan las entradas, aumentan las salidas. c. En algún momento, «¿disminuyó la población de lobos?». Sí, en 2012 d. «¿Cuáles son algunas de las posibles razones por las que las dos poblaciones cambiaron como lo hicieron?». Las respuestas variarán.
6. Realice las siguientes preguntas: a. «¿Qué notas acerca de este conjunto de datos?». b. «¿Qué representa este conjunto de datos?». c. «¿Qué representa un punto sobre estos datos?». d. «¿Qué categorías se incluyen en este conjunto de datos?». e. «¿Qué preguntas tienes sobre los datos?».
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GRADO 8: FUNCIONES
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN
Functions
EVALUACIÓN DE HABILIDADES
LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN DESCRIPCIÓN Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede utilizarse como evaluación formativa para los maestros y como autoevaluación para los estudiantes.
Functions How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Understand that a function is a rule that assigns to each input exactly one output. The graph of a function is the set of ordered pairs consisting of an input and the corresponding output.
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Notes and Feedback
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 folleto del maestro (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del maestro» y un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
1
1. Distribuya un «Folleto del estudiante» a cada uno. 2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Exploración» y «Explicar» del alcance, evalúe formativamente su progreso tomando notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo. 3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo. 4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje. 5. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el «Folleto del maestro». 6. Las notas anecdóticas proporcionadas en el «Folleto del maestro» pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares. 7. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la «Guía de instrucción andamiada» en la sección «Inicio» de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
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Functions
Standards for Mathematical Practice
Notes and Feedback
Make sense of problems and persevere in solving them Reason abstractly and quantitatively Construct viable arguments and critique the reasoning of others Model with mathematics Use appropriate tools strategically
Attend to precision Look for and make use of structure Look for and express regularity in repeated reasoning
Consider these reflection questions in this scope. ●
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them?
●
What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
2
FOLLETO DEL MAESTRO
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GRADO 8: FUNCIONES
EVALUAR: MAPA DE CALOR
ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
MAPA DE CALOR DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
1. Dé un «Mapa de calor» a cada estudiante junto con lápices de colores rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s).
MATERIALES
2. Los estudiantes usan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el «Mapa de calor». Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los estudiantes colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, los estudiantes colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, los estudiantes colorean el cuadro correspondiente de rojo.
• 1 mapa de calor (por estudiante) • 1 lápiz de color rojo (por estudiante) • 1 lápiz de color azul (por estudiante) • 1 lápiz de color naranja (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Determine si los estudiantes analizarán su «Prueba de habilidades», la «Evaluación basada en estándares», o ambas. • Imprima un «Mapa de calor» para cada estudiante. • Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
3. Anímelos a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a utilizar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada. 4. Consulte la «Guía de instrucción andamiada» que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
Functions
Functions
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
Standards
Understand that a function is a rule that assigns to each input exactly one output. The graph of a function is the set of ordered pairs consisting of an input and the corresponding output.
Refer to your answers on the Standards-Based Assessment. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key.
Reflection Questions
Red – misconception
1. Which skill did you feel most confident with? Why?
Skills Quiz
Functions
Blue - miscalculation
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
Orange - explanation
Questions
Standards
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3. Which type of error did you most commonly make?
Red - misconception
Standards-Based Assessment
Understand that a function is a rule that assigns to each input exactly one output. The graph of a function is the set of ordered pairs consisting of an input and the corresponding output.
4. How can you avoid those errors in the future?
10
Questions
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
MAPA DE CALOR
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GRADO 8: FUNCIONES
INTERVENIR: REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES Functions
REMEDIAR Y VOLVER A ENSEÑAR
REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES DESCRIPCIÓN
Checkup Identify whether these graphs show a function or a non-function. Explain your reasoning. 1.
2.
3.
Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para intervención.
MATERIALES
Non-function – The vertical line test shows more than 1 dot per position.
IMPRESOS
• 1 revisión rápida (por estudiante) • 1 repaso (por estudiante)
4.
Function – The vertical line test shows only 1 dot per position.
Can a vertical or horizontal graph line be a function? Explain. The vertical graph line is a non-function because for 1 x value input, there is an infinite number of y values creating the vertical line. However, a horizontal line is a function, because there is only 1 y value for each x value vertical line test position.
• 1 revisión general (por estudiante) • 1 lista de verificación para el maestro (por maestro)
Function – The vertical line test shows only 1 dot per position.
5.
Why is a circle graph not considered a function? Sketch a model. In the vertical line test, there are always two points crossed on the y-axis for every x-axis position. Functions can only have one output for every input.
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de la «Revisión rápida», el «Revisión» y la «Revisión general» para cada estudiante. • Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar la «Revisión».
1
• Si lo desea, imprima un ejemplo del «Esquema de anclaje» de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que usen la «Libreta interactiva» como recurso. • Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayudas suplementarias para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Functions
For problems 6 and 7, explain whether the tables represent functions or not. 6.
1. Dé una copia de la «Revisión rápida» a cada estudiante. 2. Cada uno debe completarla de forma independiente. 3. Use la rúbrica de habilidades al final de la «Revisión rápida» para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional. 4. Distribuya una copia de «Revisión» a cada uno. 5. Cada estudiante debe completar la «Revisión» como actividad de intervención o de forma independiente. a. Si lo desea, reúna a los estudiantes en pequeños grupos para trabajar en las destrezas de repaso. Utilice el «Revisión» como ayuda para la reenseñanza. 6. Distribuya una copia de la «Revisión general» a cada uno.
7.
Day
Color
x
y
Friday
Blue
5
1
Tuesday
White
10
6
Thursday
Red
15
11
Friday
Green
20
16
It is not a function because Friday has two outputs (blue and green).
It is a function because each input has 1 output.
For problems 8, 9, and 10, explain whether the ordered pairs represent functions or not. 8.
(1, 5) (2, 6) (3, 7) (4, 8)
9.
(1, −2) (4, −8) (6, −12) (9, −18)
10.
This graph is the function of the equation y = −x + 2. If x is 4, what is y? Prove it.
Function – each x value has 1 y value.
Function – each x value has 1 y value.
y = −4 + 2 y = −2 −2 = −4 + 2 The ordered pair (4, −2) is on the graph.
7. Cada estudiante debe completarla de forma independiente. 8. Analice los resultados de la «Revisión general» al usar la «Lista de verificación para el maestro» para identificar quienes necesitan un repaso adicional y quienes han alcanzado el dominio de los conceptos.
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REVISIÓN GENERAL CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: FUNCIONES
ACELERACIÓN: ¿QUÉ PREFERIRÍAS? Functions
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
¿QUÉ PREFERIRÍAS?: DÍA DE PAGO
Payday Use mathematical reasoning and creativity to justify your answer to the Would You Rather question. You are working a part-time job on the weekends. Your boss offers you two apps to determine the amount you will get paid for the hours worked. One app calculates your pay at a standard rate. The other app generates a random number within a preset range to determine the amount you will be paid. Examples of payments from each app are presented in the tables below. Would you rather get paid at a standard rate or with a randomly generated amount? Justify your reasoning with mathematics. Identify if the apps represent functions. App 2
App 1 Hours
Cost
Hours
Cost
2
$16
10
$100
2.5
$20
10
$115
3
$24
11
$55
DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 rúbrica (por maestro)
PREPARACIÓN
Sample answers may include the following: I would choose App 1 because it gives me a specific amount that I am aware of in advance. It represents a function. I wouldn’t want to risk getting paid less than $8 per hour. I can make a budget when I know how much money I will make.
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno. • Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
I would choose App 2 because I might get paid as much as $11.50 per hour. I could also get paid as little as $5 per hour, but the risk is worth it to me. This does not represent a function. The x-coordinate 10 yields two different y values. 1
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a mirar sus folletos de «Explorar» si necesitan repasar habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros. 4. Utilice la rúbrica proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
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1/9/26 1:57 PM
GRADO 8: FUNCIONES
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Functions
OPCIONES PARA EL APRENDIZAJE CONTINUO
TABLERO DE OPCIONES DESCRIPCIÓN Los estudiantes explorarán las conexiones con el mundo real y las aplicaciones del contenido matemático a través de interacciones con actividades atractivas.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 tablero de opciones (por estudiante) • 1 juego de hojas de actividades (por estudiante) • 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante) REUTILIZABLE
• Tecnología (si corresponde)
PREPARACIÓN
Functions Choose one or more extension activities from the table below. Career Connection
Kitchen Connections
Computer Programmer
Baker’s Dozen
Research the career field of computer programming. Your research must answer the provided questions. Create a presentation to relay your research to the class.
Look at the ingredients that are used to make a batch of cookies. Perform the calculations, and answer the questions.
Technology Connection
Science Connection
Gym Membership
IP Addresses
Use the graphing calculator to enter the data provided on the handout. Then, use the data and calculator to answer the questions.
Analyze the data provided on the handout. Then, use the data and your own research to answer the questions.
Mathematician Spotlight
Financial Connection
Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi
Waiting Tables
Search out several news articles or research papers that involve Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi’s work. Create an informational poster, diorama, or speech to convey this mathematician’s work as it relates to modeling data.
We use math every day in our financial world. Explore how functions connect to our financial world, by completing the handout.
• Imprima un «Tablero de opciones» y un juego de hojas de actividades para cada estudiante. • Imprima una «Autoevaluación del tablero» para cada estudiante.
1
TABLERO DE OPCIONES
• Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» a cada estudiante. 2. Dé tiempo a los estudiantes para examinar el «Tablero de opciones» y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anímelos a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del tablero, haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 424
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1/9/26 1:57 PM
GRADO 8: FUNCIONES
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SS NA-Math TE Grade 8 V1 National.indb 425
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Edicíon para el maestro Grado 8, volumen 2 ISBN: 979-8-33080-745-1
Publicado por Accelerate Learning Inc., 5177 Richmond Ave, Suite 800, Houston, TX 77056. Derechos de reproducción © 2025 por Accelerate Learning Inc. Todos los derechos reservados. Ninguna parte de esta publicación debe ser reproducida o distribuida de ninguna manera o por ningún medio; ni almacenada en una base datos o en un sistema de recuperación sin el consentimiento previo por escrito de Accelerate Learning Inc, el cual incluye, pero no está limitado, a cualquier red electrónica u a otro tipo de almacenamiento o de transmisión electrónica; o medio de difusión para el aprendizaje a distancia. Visítenos en www.stemscopes.com para obtener más información.
SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 1
1/9/26 1:59 PM
SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 2
1/9/26 1:59 PM
Tabla de contenido ALCANCE 10 Comparar funciones...................................................................... 2
ALCANCE 11 Tasa de cambio.............................................................................. 44
ALCANCE 12 Representar relaciones funcionales................................................ 86
ALCANCE 13 Transformaciones.......................................................................... 122
ALCANCE 14 Congruencia y similitud................................................................. 168
ALCANCE 15 Ángulos........................................................................................ 210
ALCANCE 16 Teorema de Pitágoras.................................................................... 254
ALCANCE 17 Volumen....................................................................................... 298
ALCANCE 18 Patrones en datos bivariados......................................................... 336
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 1
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GRADO 8 COMPARAR FUNCIONES
GRADO 8
COMPARAR FUNCIONES ACTIVIDADES DE EXPLORACIÓN EXPLORACIÓN 1: COMPARAR FUNCIONES REPRESENTADAS DE LA MISMA MANERA
ESTÁNDARES CLAVE Definir, evaluar y comparar funciones. • Comparar las propiedades de dos funciones representadas cada una de una manera diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en una tabla o mediante una descripción verbal). Por ejemplo, dada una función lineal representada por una tabla de valores y una función lineal representada por una expresión algebraica, determinar qué función tiene la mayor tasa de cambio. • Interpretar la ecuación y = mx + b como definitoria de una función lineal, cuya gráfica es una línea recta; dar ejemplos de funciones que no son lineales. Por ejemplo, la función A = s2 que da el área de un cuadrado en función de la longitud de sus lados no es lineal porque su gráfica contiene los puntos (1, 1), (2, 4) y (3, 9), que no están en una línea recta.
ESTÁNDARES DE CONEXIÓN Definir, evaluar y comparar funciones.
• Entender que una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. La gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados formado por una entrada y la salida correspondiente.
ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: ACUERDO O DESACUERDO Los estudiantes se involucran en el pensamiento crítico evaluando las respuestas de sus compañeros a una pregunta matemática. • Los estudiantes deciden independientemente si están de acuerdo o en desacuerdo con las respuestas dadas por los estudiantes y justifican su razonamiento. • Se involucran en conversaciones en parejas para comparar y contrastar sus respuestas y justificaciones. • La actividad incluye una conversación en clase para explorar diferentes perspectivas y razonamientos. • Los maestros pueden identificar y abordar conceptos erróneos relacionados con tasas constantes y tasas unitarias. CAPTAR INTERÉS Los estudiantes se dedican a comparar funciones para comprender y analizar pendientes en varios formatos.
Los estudiantes se dedican a comparar dos funciones representadas de la misma manera para determinar cuál tiene mayor pendiente. Utilizan diversas representaciones, como gráficos, ecuaciones, tablas y descripciones verbales. • Los estudiantes trabajan en grupos para analizar y comparar funciones utilizando «Tarjetas de comparación», centrándose en la identificación de la función con la mayor pendiente. • Exploran diferentes representaciones de funciones, incluyendo ecuaciones, gráficos, tablas y descripciones verbales, para entender cómo se representa la pendiente en cada forma. • La actividad incluye preguntas guiadas y conversaciones para ayudar a los estudiantes a articular su comprensión de la pendiente y sus implicaciones en escenarios del mundo real. • Los estudiantes completan preguntas de reflexión y participan en una charla de matemáticas para compartir observaciones, estrategias y resultados de aprendizaje. EXPLORACIÓN 2: COMPARAR FUNCIONES REPRESENTADAS DE DIFERENTES MANERAS Los estudiantes se dedican a comparar funciones representadas de diferentes maneras para determinar cuál tiene una mayor pendiente. • Los estudiantes trabajan en grupos para representar un escenario de alquiler de autos usando ecuaciones, tablas y gráficos, mejorando su comprensión de las diferentes formas de funciones. • Comparan funciones de diferentes concesionarios de autos para decidir cuál ofrece la mejor oferta, centrándose en la identificación y comparación de pendientes. • La actividad incluye preguntas guiadas y conversaciones para profundizar en la comprensión y facilitar las conexiones entre las diferentes representaciones de funciones. • Los estudiantes completan un «Boleto de salida» y participan en un charla de matemáticas para reflexionar sobre su aprendizaje y compartir ideas con sus compañeros. EXPLORACIÓN 3: ¿LINEAL O NO LINEAL? Los estudiantes exploran el concepto de funciones lineales a través de ecuaciones, tablas y gráficos. • Los estudiantes interpretan la ecuación y = mx + b como una función lineal y entienden que crea una gráfica de una línea recta. • Trabajan en grupos para analizar ejemplos de funciones lineales y no lineales usando «Tarjetas de ventas mensuales de automóviles». • Los estudiantes participan en conversaciones para comparar estrategias e identificar características de funciones lineales y no lineales. • La actividad concluye con una charla de matemáticas y un «Boleto de salida» para evaluar la comprensión y reforzar el aprendizaje.
• Los estudiantes examinan cuatro representaciones diferentes de funciones: gráficos, tablas, ecuaciones y oraciones escritas. • Determinan qué función tiene la mayor y la menor pendiente, interpretando estas pendientes en el contexto de un escenario de senderismo. • La actividad anima a los estudiantes a aplicar su comprensión de la pendiente como tasa de cambio y a conectar conceptos matemáticos con situaciones del mundo real. • Después de explorar los conceptos, los estudiantes vuelven a plantear el problema inicial para aplicar sus conocimientos recién adquiridos y conversar sobre sus conclusiones.
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GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES COMPARAR FUNCIONES GRADO 8
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES EXPLORACIONES DE DATOS
Los estudiantes participan en exploraciones de datos que implican la comprensión de funciones a través de escenarios del mundo real, como las horas de voluntariado o las donaciones a bancos de alimentos. Mediante la construcción y el análisis de gráficos, tablas y descripciones verbales de las relaciones, los estudiantes desarrollan su comprensión de las relaciones lineales y el concepto de tasa de cambio. Estas lecciones sientan las bases para posteriores exploraciones con grandes conjuntos de datos y notación científica, en las que es esencial interpretar las relaciones de función entre los puntos de datos. Las habilidades para reconocer patrones y comprender la tasa de cambio en un escenario dado contribuyen directamente a analizar conjuntos de datos que pueden requerir herramientas más complejas, como hojas de cálculo o modelos estadísticos.
ECUACIONES LINEALES
INTERPRETAR DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN
DATOS, GRÁFICAS Y TABLAS
CONCEPTOS CLAVE
Los estudiantes se centran en la comprensión y modelización de relaciones entre cantidades mediante la interpretación de relaciones lineales y la representación de soluciones de ecuaciones lineales. Examinando la pendiente y los interceptos en gráficos y tablas, practican la resolución de pares de ecuaciones lineales y exploran la conexión entre las representaciones algebraicas y gráficas de las relaciones lineales. Este conocimiento básico es clave a la hora de analizar gráficos de dispersión, ya que los estudiantes utilizarán su comprensión de las ecuaciones lineales para identificar tendencias lineales en los datos, haciendo de estas lecciones un apoyo directo para el trabajo futuro en la interpretación de gráficos de dispersión y la comparación de relaciones lineales.
Los estudiantes exploran cómo analizar diferentes tipos de relaciones entre variables mediante diagramas de dispersión, gráficos, tablas y ecuaciones. Aprenden a comparar funciones lineales y no lineales evaluando sus gráficas, tablas y expresiones algebraicas. Los estudiantes determinan si la relación es lineal o no lineal identificando patrones en los datos y las formas de las gráficas. Por ejemplo, cuando los estudiantes utilizan la forma de la función y = mx + b en las lecciones sobre comparación de funciones, identifican la tasa de cambio y la intersección y para comprender cómo estas características se relacionan con contextos del mundo real, reforzando su capacidad para interpretar gráficos de dispersión en futuras actividades de análisis de datos.
Los estudiantes construyen diversas representaciones de datos, como gráficos, tablas y ecuaciones, para modelizar y comparar diferentes relaciones funcionales. Al pasar de una representación a otra, analizan la tasa de cambio y las intersecciones y para describir la relación cuantitativa entre variables. Las habilidades que desarrollan, como reconocer la importancia de las tasas de cambio constantes en las funciones lineales, ayudan a los estudiantes a interpretar los diagramas de dispersión y a determinar si los puntos de datos representan relaciones lineales o no lineales. Esta capacidad será fundamental cuando más adelante exploren datos y relaciones bivariantes más complejos.
PREGUNTAS FUNDAMENTALES
• Puedo comparar dos funciones que se representan de formas diferentes.
• Describa las diferencias entre funciones lineales y funciones no lineales.
• Puedo determinar la constante de proporcionalidad de una función para comparar funciones de formas diferentes.
• ¿Cómo pueden compararse las funciones cuando se representan de formas diferentes?
• Puedo describir la ecuación y = mx + b como una función lineal que forma una línea recta. • Puedo dar ejemplos de funciones y ecuaciones no lineales.
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• Describa cómo y = mx + b representa una función lineal que forma una línea recta. • ¿Qué propiedades ayudan a separar las funciones lineales de las funciones no lineales?
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GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
CONTENIDOS DE APOYO Definir, evaluar y comparar funciones. • Comparar las propiedades de dos funciones representadas cada una de una manera diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en una tabla o mediante una descripción verbal). Por ejemplo, dada una función lineal representada por una tabla de valores y una función lineal representada por una expresión algebraica, determinar qué función tiene la mayor tasa de cambio. • Interpretar la ecuación y = mx + b como definitoria de una función lineal, cuya gráfica es una línea recta; dar ejemplos de funciones que no son lineales. Por ejemplo, la función A = s2 que da el área de un cuadrado en función de la longitud de sus lados no es lineal porque su gráfica contiene los puntos (1, 1), (2, 4) y (3, 9), que no están en una línea recta.
CONOCIMIENTO PREVIO
TÉRMINOS CLAVE • tasa media de cambio: cambio total de los valores de la función (valores de salida) dividido por el cambio en los valores de entrada. • coeficiente: el número colocado directamente delante de una variable que te dice que multipliques ese número por la variable. • comparar: examinar las diferencias entre números, expresiones y ecuaciones. • constante: un número fijo que se mantiene solo en una ecuación o expresión. • correlación: relación entre dos variables que varían juntas. • decreciente: medida de la pendiente de una línea que muestra la inclinación hacia abajo de izquierda a derecha. • fórmula: enunciado o regla matemática escrita con símbolos. • función: relación especial entre valores; cada valor de entrada devuelve exactamente un valor de salida. • regla de función: la variable dependiente (rango, salida, valor de y) expresada en términos de la variable independiente (dominio, entrada, valor de x).
En grados anteriores, los estudiantes aprendieron todos los conocimientos previos necesarios para entender y comparar diferentes funciones. Sexto grado enseñó a los estudiantes acerca de diferentes razones y cómo encontrar relaciones entre tablas y gráficas. Séptimo grado expuso a los estudiantes a la relación multiplicativa entre valores mientras encontraban regularidades importantes entre tablas y ecuaciones. Este conocimiento de la comparación de tablas y gráficas permitirá a los estudiantes comparar adecuadamente dos funciones representadas de diferentes maneras.
• mayor que (>): más que otro (ej., 49 > 12).
CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
• gráfico lineal: una serie de puntos conectados en el plano de coordenadas, formando una línea recta que muestra una relación o tasa de cambio.
• Debe entenderse bien la diferencia entre las coordenadas x e y en una gráfica. Los estudiantes pueden trazar erróneamente la entrada en el eje y y la salida en el eje x. • Los estudiantes deben entender que una pendiente es un cambio en el valor de y dividido por el cambio en el x valor de x. Si colocan m = __ y , obtendrán una respuesta incorrecta.
• Los estudiantes necesitan reconocer la frase tasa promedio de cambio como la solución de la pendiente.
ALCANCE ACTUAL
• pendiente creciente: la medida de la inclinación de una línea que muestra la inclinación hacia arriba de izquierda a derecha. • valor inicial: el valor de salida cuando la entrada de una función lineal es cero; intersección en y. • entrada: el conjunto de valores suministrados a una función. • menor que (<): menor que otro (ej., 432 < 501). • línea: un elemento geométrico recto sin grosor, que se extiende sin fin en ambas direcciones; la distancia más corta entre dos puntos. • función lineal: una relación que cuando se representa gráficamente es una línea recta.
• función no lineal: una relación que cuando se representa gráficamente no forma una línea recta; una relación que no crea una línea recta; asociación no lineal. • salida: el resultado de la entrada colocada en la función. • tasa de cambio: la tasa que muestra cómo cambia una cantidad en relación con otra cantidad. • pendiente: la inclinación de una línea; representada como m en la ecuación pendiente-intersección. • intersección y: el punto en el gráfico de una ecuación donde la línea cruza el eje y.
En este alcance, los estudiantes compararán las propiedades de dos funciones que se representan de diferentes maneras. Estas representaciones incluyen representaciones algebraicas, gráficas, descripciones verbales y tablas. Los estudiantes también identificarán ciertas ecuaciones como lineales o no lineales. Utilizarán la ecuación de una recta y = mx + b para encontrar las cualidades que hacen que una función sea lineal, como la pendiente y la intersección en y. 4
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GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO
APLICAR LAS PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes dan sentido a los problemas a medida que analizan diferentes formas de funciones (gráficas, tablas, ecuaciones, etc.). Determinan semejanzas y diferencias entre estas funciones, señalando cualquier relación. • MP.2 Razonar de manera abstracta y cuantitativa: Los estudiantes razonan abstractamente descontextualizando situaciones para escribirlas simbólicamente. También toman funciones, representadas en ecuaciones, tablas y gráficas, y las comparan con funciones representadas contextualmente. • MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros: Los estudiantes explican sus razonamientos al comparar funciones, en la misma y en diferentes representaciones, para determinar qué función tiene mayor pendiente. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes modelan con matemáticas al transferir información de descripciones verbales a tablas, gráficas y ecuaciones. Representan funciones de muchas formas diferentes y utilizan estos modelos para resolver problemas de la vida cotidiana. • MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas: Los estudiantes utilizan funciones dadas en diferentes formas (gráficas, ecuaciones, tablas, etc.) para determinar la pendiente. Analizan y utilizan cada forma adecuadamente para encontrar la pendiente. • MP.6 Atender a la precisión: Los estudiantes calculan con precisión las pendientes de funciones dadas para compararlas con otras funciones. También utilizan un lenguaje preciso al comparar las pendientes de las funciones. • MP.7 Buscar y utilizar estructuras: Los estudiantes utilizan la ecuación y = mx + b para determinar la pendiente de funciones dadas en forma de ecuación. Utilizan la estructura de la ecuación para comparar diferentes funciones. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes buscan regularidades en los valores representados en tablas y gráficas. Encuentran relaciones funcionales mediante razonamientos repetidos.
FUNCIONES REPRESENTADAS DE LA MISMA MANERA Los estudiantes compararán dos funciones representadas de la misma manera. Estas maneras pueden ser gráficas, ecuaciones o tablas. Determinarán cuál de las funciones tiene una pendiente mayor. Ejemplo: ¿Cuál de las siguientes líneas representa la mayor tasa de cambio promedio?
a. I b. II c. III d. IV La respuesta correcta es la opción C. Los estudiantes eliminarán inmediatamente la opción A ya que esa línea tiene una tasa de cambio promedio negativa (pendiente). A continuación, pueden ver que la línea roja, la opción D tiene una pendiente muy pequeña, ya que el ángulo que forma la línea no es muy pronunciado. Los estudiantes deben determinar la pendiente entre la línea II y la línea III en lugar de intentar averiguarla a ojo. Estas dos pendientes son muy parecidas y deben determinarse con exactitud en lugar de estimarse. Mirando la elección de la línea II, la opción B, pueden contar que la pendiente es m = 1. La línea púrpura elección C tiene una pendiente de m = 4/3. Como 4/3 >1, la opción C tiene una pendiente mayor.
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GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO
FUNCIONES REPRESENTADAS DE DIFERENTES MANERAS Los estudiantes compararán dos funciones de diferentes maneras. Estas maneras pueden ser gráficas, ecuaciones o tablas. Determinarán cuál de las funciones tiene una pendiente mayor. Ejemplo: ¿Cuál de las siguientes funciones tiene la mayor pendiente? I.
y = 8x
II.
III.
x
y
0
0
2
8
4
16
6
24
El valor de y aumenta en 10 por cada aumento de 2 en el valor de x
GRAFICAR FUNCIONES Los estudiantes graficarán funciones lineales y no lineales. Determinarán las diferencias entre estas gráficas. Para gráficas lineales, escribirán la función como una ecuación en la forma y = mx + b. Ejemplo: ¿Cuál de las siguientes gráficas representa una función lineal? I.
II.
III.
IV.
a. I b. II c. III d. IV La respuesta correcta es la opción c. Los estudiantes pueden ver que la única gráfica de una línea recta es la gráfica III. Las gráficas representan los siguientes tipos de funciones: gráfica 1, cúbica; gráfica 2, cuadrática; gráfica 3, lineal; y gráfica 4, valor absoluto. Por lo tanto, la opción c es la respuesta correcta.
IV.
AVANCES
a. I b. II c. III
Los estudiantes continuarán usando funciones durante toda la escuela secundaria. Las funciones crecerán de tablas y gráficas a patrones de secuencias y series. Los estudiantes usarán funciones para determinar las intersecciones de diferentes gráficas junto con la especificación del dominio, rango, máximos, mínimos, etc. Expandirán su pensamiento de funciones lineales a varios tipos como cuadráticas, cúbicas y trigonométricas.
d. IV La respuesta correcta es la opción A. De acuerdo con la ecuación y = mx + b, m = pendiente, y m =8, la pendiente de la opción A es 8. La opción B es una tabla, y se puede ver que el valor y aumenta en 8 cada vez que el valor x aumenta en 2. Esto supone 8 un aumento de __ = 4, por lo que la pendiente de 2 la opción B es 4. La opción C da una descripción 10 verbal que revela ___ = 5, por lo que la opción c tiene 2 una pendiente de 5. La opción D muestra un gráfico con un incremento de 6 verticalmente por cada 1 horizontalmente. Por lo tanto, la opción D tiene una pendiente de 6. Entre las cuatro pendientes, 8 > 6 > 5 > 4, lo que significa que 8 es la mayor pendiente, haciendo que la respuesta correcta sea la opción A.
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GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO ANÁLISIS PROFUNDO DE LOS ESTÁNDARES
CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES Definir, evaluar y comparar funciones. • Comparar las propiedades de dos funciones representadas cada una de una manera diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en una tabla o mediante una descripción verbal). Por ejemplo, dada una función lineal representada por una tabla de valores y una función lineal representada por una expresión algebraica, determinar qué función tiene la mayor tasa de cambio. • Interpretar la ecuación y = mx + b como definitoria de una función lineal, cuya gráfica es una línea recta; dar ejemplos de funciones que no son lineales. Por ejemplo, la función A = s2 que da el área de un cuadrado en función de la longitud de sus lados no es lineal porque su gráfica contiene los puntos (1, 1), (2, 4) y (3, 9), que no están en una línea recta.
DESGLOSAR EL ESTÁNDAR VERBOS: ¿QUÉ DEBERÍAN HACER LOS ESTUDIANTES?
• comparar: examinar las diferencias entre números, expresiones y ecuaciones. • definir: señalar los límites de algo. • evaluar: determinar o calcular el valor numérico de algo. • dar: dar una respuesta a. • interpretar: explicar el significado de.
SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBERÍAN CONOCER LOS ESTUDIANTES?
• expresión algebraica: números, variables y símbolos agrupados sin un signo igual para mostrar una relación. • representación algebraica: una frase matemática en la que se combinan variables y constantes utilizando los símbolos operativos (+, -, × y ÷). • ecuación: una frase matemática que utiliza números, uno o más símbolos de operación y un signo igual. • función: una relación especial entre valores; cada valor de entrada devuelve exactamente un valor de salida. • gráfico: una representación visual de datos. • representación gráfica: el uso de tablas y gráficos para mostrar visualmente, analizar, clarificar e interpretar datos numéricos, funciones y otras estructuras cualitativas. • lineal: que tiene una relación entre dos variables que puede representarse gráficamente como una línea recta. • función lineal: una relación que cuando se representa gráficamente es una línea recta. • línea recta: una línea sin curvas. • tabla: una gráfica que usa filas y columnas para organizar información. descripción verbal: una declaración que representa algo en palabras.
IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA
• En niveles de grados anteriores, los estudiantes han reconocido y representado relaciones proporcionales. Los estudiantes han escrito ecuaciones y expresiones, creado tablas y escrito ecuaciones a partir de tablas. • En este nivel de grado, se espera que los estudiantes comparen e interpreten las propiedades de las funciones. Los estudiantes deben explicar las similitudes y diferencias entre las funciones lineales y no lineales y gráficos. Los estudiantes se familiarizarán con y = mx + b como la forma general de una ecuación de una línea recta.
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GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
ALINEACIÓN VERTICAL GRADO
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ESTÁNDAR Comprender el concepto de tasa unitaria a/b asociado a una relación a:b con b ≠ 0, y utilizar el lenguaje de tasas en el contexto de una relación de proporción. Utilizar el razonamiento de proporciones y tasas para resolver problemas matemáticos y del mundo real, por ejemplo, razonando sobre tablas de razones equivalentes, diagramas de cinta, diagramas de doble recta numérica o ecuaciones.
6
a.
Hacer tablas de razones equivalentes relacionando cantidades con medidas de números enteros, encontrar los valores que faltan en las tablas y trazar los pares de valores en el plano de coordenadas. Utilizar tablas para comparar proporciones.
b.
Resolver problemas de tasas unitarias, incluyendo aquellos que involucran precios unitarios y velocidad constante.
c.
Encontrar un porcentaje de una cantidad como una tasa por 100 (por ejemplo, 30 % de una cantidad significa ____ 100 veces la cantidad); resolver problemas que implican encontrar el entero, dada una parte y el porcentaje.
d.
Utilizar el razonamiento de proporción para convertir unidades de medida; manipular y transformar unidades apropiadamente al multiplicar o dividir cantidades.
30
7
Reconocer y representar relaciones proporcionales entre cantidades.
8
Graficar relaciones proporcionales, interpretando la tasa unitaria como la pendiente del gráfico. Comparar dos relaciones proporcionales diferentes representadas de distintas maneras.
8
Utilizar triángulos semejantes para explicar por qué la pendiente m es la misma entre dos puntos distintos cualquiera de una recta no vertical en el plano de coordenadas; deducir la ecuación y = mx para una recta que pasa por el origen y la ecuación y = mx + b para una recta que intercepta el eje vertical en b.
8
Entender que una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. La gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados que consisten en una entrada y la salida correspondiente.
8
Comparar propiedades de dos funciones representadas cada una de una manera diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas, o por descripciones verbales).
8
Interpretar la ecuación y = mx + b como definiendo una función lineal, cuya gráfica es una línea recta; dar ejemplos de funciones que no son lineales.
8
Construir una función para modelar una relación lineal entre dos cantidades. Determinar la tasa de variación y el valor inicial de la función a partir de la descripción de una relación o de dos (x, y) valores, incluso leyéndolos en una tabla o en una gráfica. Interpretar la tasa de cambio y el valor inicial de una función lineal en términos de la situación que modela, y en términos de su gráfica o de una tabla de valores.
8
Describir cualitativamente la relación funcional entre dos cantidades analizando una gráfica (por ejemplo, si la función es creciente o decreciente, lineal o no lineal). Bosquejar una gráfica que muestre las características cualitativas de una función que ha sido descrita verbalmente.
escuela secundaria
Para una función que modela una relación entre dos cantidades, interpretar características clave de gráficas y tablas en términos de las cantidades, y bosquejar gráficas que muestren características clave dada una descripción verbal de la relación. Las características clave incluyen: interceptos; intervalos donde la función es creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos; simetrías; comportamiento final; y periodicidad.
escuela secundaria
Comparar propiedades de dos funciones representadas cada una de una manera diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas, o por descripciones verbales). Por ejemplo, dada una gráfica de una función cuadrática y una expresión algebraica para otra, decir cuál tiene el máximo más grande.
escuela secundaria
Distinguir entre situaciones que pueden modelarse con funciones lineales y con funciones exponenciales.
escuela secundaria
Observar usando gráficas y tablas que una cantidad que aumenta exponencialmente eventualmente excede a una cantidad que aumenta linealmente, cuadráticamente, o (más generalmente) como una función polinómica.
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GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA CONTROLAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIONES La guía de instrucción andamiada se proporciona para que los maestros puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones del alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que ayuda a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de la evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos según los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere que todos los estudiantes experimenten con los elementos: «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades», ya que cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar. 0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
80 % - 100 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil pueden trabajar en contenido de nivel de grado con apoyos de instrucción.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» individual para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 2. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante de acuerdo con sus datos de evaluación. 3. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la sección «Scaffolded Instruction Guide» en el menú desplegable «Home» del alcance. 4. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Operaciones y Pensamiento Algebraico Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Interpretar la ecuación y = mx + b como definitoria de una función lineal, cuya gráfica es una línea recta; dar ejemplos de funciones que no son lineales. Por ejemplo, la función A = s2 que da el área de un cuadrado en función de la longitud de sus lados no es lineal porque su gráfica contiene los puntos (1, 1), (2, 4) y (3, 9), que no están en una línea recta.
7 - Resolver ecuaciones y desigualdades
Repaso y práctica de habilidades
Repaso y práctica de habilidades
Constructor de fluidez
Constructor de fluidez
• Ecuaciones y desigualdades de dos pasos Práctica interactiva • Academia de exploradores del espacio Prueba de habilidades 7 - Relaciones proporcionales Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Razón de cambio constante Práctica interactiva
(Refuerzo del grado anterior)
7 - Resolver ecuaciones y desigualdades
0 % - 25 %
0 % - 25 %
(Refuerzo del grado anterior)
Comparar las propiedades de dos funciones representadas cada una de una manera diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en una tabla o mediante una descripción verbal). Por ejemplo, dada una función lineal representada por una tabla de valores y una función lineal representada por una expresión algebraica, determinar qué función tiene la mayor tasa de cambio.
• Criadero de huevos de dragón
25 % - 50 %
• Revisión general (preguntas 1-7)
(Nivel de grado con apoyos)
25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyos)
• Repaso (comparar funciones usando pendientes en las gráficas y en las ecuaciones, comparar pendientes usando tablas)
Prueba de habilidades 7 - Relaciones proporcionales Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Razón de cambio constante
Prueba de habilidades
Acceso a conocimientos previos
• Revisión rápida (preguntas 1-3)
• Academia de exploradores del espacio
• Criadero de huevos de dragón
8 - Comparar funciones
Repaso y práctica de habilidades
Práctica interactiva
Práctica interactiva
Prueba de habilidades
Constructor de bases fundamentales
• Ecuaciones y desigualdades de dos pasos
8 - Comparar funciones Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (pregunta 4) • Repaso (comparar funciones lineales y no lineales) • Revisión general (preguntas 8-10)
Vocabulario interactivo Libreta interactiva Constructor de fluidez • Comparar funciones
50 % - 80 %
50 % - 80 %
(Nivel de grado)
Vocabulario ilustrado
Práctica interactiva
(Nivel de grado)
8 - Comparar funciones
8 - Comparar funciones Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva Conexiones lingüísticas
80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
Conexiones lingüísticas
8 - Comparar funciones Tarea de modelado matemático ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
10
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80 % - 100 %
Ciencia de datos
(Ampliación del nivel de grado)
• Unión de funciones
8 - Comparar funciones Tablero de opciones
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GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
ATRAER: ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS Compare Functions
EVALUAR PREVIAMENTE EL CONOCIMIENTO DEL ESTUDIANTE
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: ACUERDO O DESACUERDO
Agree or Disagree Decide whether you agree or disagree with each student in the following scenarios, and circle the corresponding word. Justify your answer. 1.
Noah said that his graph represents a proportional relationship because there is a straight line through the origin. Agree
ESTÁNDAR PREVIO
Disagree
Decidir si dos cantidades están en una relación proporcional, por ejemplo, probando razones equivalentes en una tabla o graficando en un plano de coordenadas y observando si la gráfica es una línea recta a través del origen.
Reasoning:
2.
Zoe has a table with the following points: (1, 4), (2, 8), (3, 16). She believes that this table represents a proportional relationship. Agree
DESCRIPCIÓN
Disagree
Los estudiantes leerán diferentes respuestas de estudiantes a una pregunta planteada sobre el estándar previo, decidirán si están de acuerdo o en desacuerdo con el estudiante y explicarán su razonamiento.
Reasoning:
3.
Tyler thinks that the ratios 3:9 and 6:18 represent a proportional relationship. Agree
Disagree
MATERIALES
Reasoning:
IMPRESO • 1 acuerdo o desacuerdo (por estudiante) 1
ACUERDO O DESACUERDO
PREPARACIÓN
• Imprima un documento «Acuerdo o desacuerdo» para cada estudiante.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Pida a los estudiantes que completen el documento «Acuerdo o desacuerdo» independientemente. 2. Una vez que los estudiantes hayan completado la actividad por su cuenta, pídales que se pongan de pie. 3. Indique a todos los estudiantes que caminen por el aula con la mano levantada en posición de chocar los cinco. 4. Cuando usted lo indique, los estudiantes se detendrán y chocarán los cinco con la persona más cercana. Ésta será su pareja. 5. Dé a los estudiantes un par de minutos para que conversen juntos sobre sus respuestas y justificaciones. 6. A continuación, puede continuar tantas veces como quiera con diferentes parejas. 7. Converse sobre las respuestas en clase. Permita que los estudiantes expliquen sus razonamientos para cada problema. a.
De acuerdo con Noah
b.
En desacuerdo con Zoe
c.
De acuerdo con Tyler
8. Si los estudiantes tienen dificultades para completar esta tarea, realice el elemento «Constructor de bases fundamentales» para reforzar conocimientos previos antes de pasar a otras partes del alcance.
IDENTIFICACIÓN DE CONCEPTOS ERRÓNEOS
• Es posible que los estudiantes no comprueben que tanto los valores x como y aumentan a una tasa constante. • Los estudiantes pueden tener dificultades para encontrar la tasa unitaria a fin de comparar relaciones proporcionales.
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GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
ATRAER: CAPTAR INTERÉS LECCIÓN MOTIVADORA
CAPTAR INTERÉS DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes comparan cuatro funciones en diferentes formatos y determinan qué función tiene la mayor pendiente y qué función tiene la menor pendiente.
PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA
MATERIALES IMPRESO
• 1 senderismo (por clase) REUTILIZABLE
• 1 fenómeno (por clase)
PREPARACIÓN
• Planifique mostrar el fenómeno. • Prepárese para proyectar el documento «Senderismo» para que toda la clase lo vea. • Prepárese para presentar el escenario y anime a los estudiantes a pensar en cómo resolverlo. Esté preparado para pasar a las actividades de «Exploración», volviendo a la actividad «Captar interés» con los nuevos conocimientos adquiridos una vez finalizadas las «Exploraciones».
1. Presente esta actividad hacia el comienzo del alcance. La clase retomará la actividad y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades de «Exploración» correspondientes. 2. Muestre el fenómeno. Formule a los estudiantes las siguientes preguntas: «¿Qué observas? ¿Dónde puedes ver matemáticas en esta situación?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. 3. Explique el escenario a la clase: «La familia Fremont estaba tomando sus vacaciones anuales de campamento y disfrutando de una hermosa caminata en un bosque. Los distintos miembros de la familia caminaban a ritmos diferentes y luego se reunían todos para hacer un picnic al final de la caminata. Alyssa Fremont elaboró ayudas visuales, como gráficos, tablas, ecuaciones y oraciones escritas, para mostrar el progreso de todos en la caminata y motivar a la gente para la caminata de mañana. Al mirar sus datos, se preguntó quién tenía la mayor pendiente y quién la menor». 4. Permita que los estudiantes hagan preguntas y aclaren el contexto según sea necesario. Anímelos a compartir sus pensamientos y experiencias con la clase utilizando las siguientes preguntas: a. «¿Has ido alguna vez de campamento?». b. «¿Has ido alguna vez de excursión?». c. «¿Por qué Alyssa querría saber quién tiene la mayor pendiente y quién la menor?». 5. Proyecte el documento «Senderismo». 6. Explique a los estudiantes que Alyssa ha utilizado una tabla, una oración de una historia, un gráfico y una ecuación pendiente-intersección para representar los datos que ha recogido sobre la velocidad a la que la gente va de caminata. Recuerde a todos que deben prestar atención al eje x y al eje y a la hora de determinar la pendiente/velocidad. Converse sobre las siguientes preguntas con la clase: a. DOK-1 «¿Qué representa el eje x?». Mide el tiempo en minutos. b. DOK-1 «¿Qué representa el eje y?». Mide la distancia en millas. c. DOK-1 «¿Qué puedes decir sobre los valores de las pendientes para cada uno? ¿Por qué?». Las pendientes serán todas menores que uno porque nadie puede caminar una milla en 1 minuto o menos. 7. Pase a completar las actividades de la sección «Explorar».
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GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
ATRAER: CAPTAR INTERÉS Compare Functions
Take a Hike 1
3
2
JOHN x
y
0
0
6
1
12
2
18
3
24
4
30
5
SUSAN and KIDS
DIANE
Diane believed in “slow and steady wins the race.” She walked the same pace the whole way — 20 minutes per mile.
d. DOK-1 «¿Cómo se determina la pendiente?». Subida sobre recorrido. Cambio en el valor de y dividido por el cambio en el valor de x. e. DOK-1 «¿Qué representa la pendiente en estas representaciones de datos?». Representa la velocidad de la persona que va de caminata.
4
NANA
y=
f. DOK-1 «¿Cuál es la pendiente de la gráfica 1 de John?». __ x
1
SENDERISMO
PARTE II: DESPUÉS DE EXPLORAR
1. Después de que los estudiantes hayan completado las actividades de «Exploración» para este tema, muestre de nuevo el fenómeno y repita el escenario. 2. Remítase al documento «Senderismo», y converse sobre las siguientes preguntas con la clase: a. DOK-1 «¿Qué representa el eje x?». Mide el tiempo en minutos. b. DOK-1 «¿Qué representa el eje y?». Mide la distancia en millas. c. DOK-1 «¿Qué puedes decir sobre los valores de las pendientes para cada uno? ¿Por qué?». Las pendientes serán todas menores que uno porque nadie puede caminar una milla en 1 minuto o menos.
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6
g.
DOK-1 «¿Cuál es la pendiente para la 1 ecuación de Diane?». ___
h.
DOK-1 «¿Cuál es la pendiente para el gráfico 1 de Susan y los niños?». ___
i.
DOK-1 «¿Cuál es la pendiente de la ecuación 1 de Nana?». ___
j.
DOK-1 «¿La pendiente de quién es mayor y qué significa?». La pendiente de John es la mayor, lo que significa que caminó más rápido. Caminó una milla cada 6 minutos y caminó las 5 millas en 30 minutos.
20
25
30
k. DOK-1 «¿La pendiente de quién es la más pequeña y qué significa?». La pendiente de Nana es la más pequeña, lo que significa que caminó más despacio. Recorrió 1 milla en 30 minutos y tardó 150 minutos (o 2.5 horas) en recorrer las 5 millas. 3. Si el tiempo lo permite, desafíe a los estudiantes a trabajar en funciones lineales versus no lineales creando dos tablas. La primera tabla debe representar el tiempo y la distancia desde el comienzo del sendero para Susan y los niños. La segunda tabla debe representar una relación no lineal entre el tiempo y la distancia desde el inicio del sendero. Para la segunda tabla, los estudiantes deben crear sus propios datos para el tiempo empleado en caminar 8 km desde el inicio del sendero.
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GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 1: COMPARAR FUNCIONES REPRESENTADAS DE LA MISMA MANERA Estándar(es) • Definir, evaluar y comparar funciones. Comparar las propiedades de dos funciones representadas cada una de una manera diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en una tabla o mediante una descripción verbal). Por ejemplo, dada una función lineal representada por una tabla de valores y una función lineal representada por una expresión algebraica, determinar qué función tiene la mayor tasa de cambio. • Definir, evaluar y comparar funciones. Interpretar la ecuación y = mx + b como definitoria de una función lineal, cuya gráfica es una línea recta; dar ejemplos de funciones que no son lineales. Por ejemplo, la función A = s2 que da el área de un cuadrado en función de la longitud de sus lados no es lineal porque su gráfica contiene los puntos (1, 1), (2, 4) y (3, 9), que no están en una línea recta.
Ideas fundamentales Interpretar diagramas de dispersión Datos, gráficas y tablas Exploraciones de datos Ecuaciones lineales
Estándares para la práctica matemática MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución. MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros.
Conexiones de contenido
Motores de investigación
CC1 Razonar con datos
DI1 Dar sentido al mundo (comprender y explicar)
CC2 Explorar al cambiar las cantidades
MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes comparan dos funciones representadas de la misma manera. Determinan qué función tiene mayor pendiente al comparar gráficos, ecuaciones, tablas y descripciones verbales con otras funciones similares.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por estudiante) • 1 conjunto de «Tarjetas de comparación» (por grupo) REUTILIZABLE
• 4 bolsas resellables (por grupo)
PREPARACIÓN
• Prevea que los estudiantes trabajen en grupos de 4. • Imprima los documentos «Diario del estudiante» y «Boleto de salida» para cada estudiante. • Imprima un documento «Tarjetas de comparación» para cada grupo. Recorte y coloque cada conjunto de «Comparar ecuaciones» dentro de una bolsa resellable rotulada «Ecuaciones». Recorte y coloque cada conjunto de tarjetas «Comparar descripciones verbales» dentro de una bolsa resellable rotulada «Descripciones verbales». Recorte y coloque cada conjunto de tarjetas «Comparar tablas» dentro de una bolsa resellable con la etiqueta «Tablas». Recorte y coloque cada conjunto de tarjetas «Comparar gráficas» dentro de una bolsa resellable con la etiqueta «Gráficas». Si lo desea, imprima las tarjetas en cartulina y plastifícalas para utilizarlas en el futuro. • Para los estudiantes que necesiten más apoyo para recordar información consulte nuestros elementos «Ayudas suplementarias» que incluyen planos cartesianos del primer cuadrante y planos cartesianos, en la sección «Intervenir».
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GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Ethan quiere crear un presupuesto para poder comprarse un auto nuevo. Para ahorrar dinero, necesita conseguir un segundo empleo. Ha recopilado información sobre cuánto dinero le pagarán por hora en distintos trabajos. También ha documentado cuánto dinero gasta en determinadas facturas y pagos. Ayuda a Ethan a determinar cuál es el trabajo en el que le pagan más por hora descubriendo qué función tiene la mayor pendiente». 2. Ayude a los estudiantes a acceder a la tarea planteándoles las siguientes preguntas orientativas: a. «¿Qué sabes ya sobre las funciones?». b. «¿Has tenido alguna vez un trabajo en el que te pagaran por horas? En caso afirmativo, ¿cuál era?». 3. Entregue un «Diario del estudiante» a cada uno. 4. Distribuya las 4 bolsas de «Tarjetas de comparación» a los grupos. 5. Explique a los estudiantes que compararán funciones representadas de la misma manera para determinar qué función tiene la mayor pendiente. Estas formas incluirán ecuaciones, descripciones verbales, tablas y gráficos. 6. Supervise y hable con los estudiantes según sea necesario para comprobar la comprensión utilizando las siguientes preguntas orientadoras: a. DOK-2 «Con respecto a las tarjetas de ecuaciones, ¿por qué la pendiente de la heladería es mayor que la pendiente del teléfono celular si 14 es mayor que 7?». El teléfono celular tiene una pendiente negativa, por lo que es -14. -14 es menor que 7. Se puede hacer la ecuación. -14 es menor que 7. No se usa el valor absoluto cuando se determina la pendiente.
8. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímeles a hacerse preguntas y a establecer conexiones. Anime a los estudiantes a fijarse en las similitudes y diferencias entre las estrategias utilizadas para comparar funciones. 9. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 «Describe lo que es una pendiente en tus propios términos». Una pendiente es una tasa que indica la rapidez con la que un valor aumenta o disminuye. • Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: ◦ DOK-2 «¿Cómo puedes diferenciar entre una pendiente negativa y una pendiente positiva en una descripción verbal?. Da ejemplos». Las palabras clave pueden ayudar a determinar si una pendiente es positiva o negativa. Por ejemplo, palabras como «pagar» y «deber» muestran que el dinero está bajando y, por lo tanto, es negativo. Palabras como «ganar» y «obtener» representan pendientes positivas. • DOK-2 «¿Cómo sabes cuando una pendiente es negativa en una tabla?». Si los valores y son decrecientes, la pendiente es negativa. • DOK-1 «¿Cuál es otra palabra para el término pendiente?». Tasa, o tasa de cambio. • DOK-1 «Si dos funciones tienen la misma pendiente, ¿cómo aparecerán sus gráficas?». Sus gráficas aumentarán o disminuirán a la misma velocidad.
b. DOK-2 «Con respecto a las tarjetas de gráficos, al mirar los gráficos, ¿piensas que una línea más empinada representa una pendiente mayor o menor?». Representa una mayor pendiente. Los valores suben más rápido. c. DOK-1 «¿Qué significa que dos trabajos tengan la misma pendiente?». Significa que pagan la misma cantidad por hora. 7. Deje tiempo para que los estudiantes completen las preguntas de reflexión al final de la «Exploración».
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GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
Compare Functions Explore 1
Compare Functions Explore 1
Compare Tables
Car Savings
How much does each side of Table A increase or decrease by?
Use the Comparison Cards to answer the following questions.
Compare Equations What is the slope for each equation?
1
<
A.
7
B.
−2.5
C.
14
1
<
D.
13
E.
−14
F.
7
1
<
How many positive slopes are there?
How many negative slopes are there?
4
2
Newspaper Job
or
Grocery Cashier
Grocery Cashier
or
Ice Cream Shop
Ice Cream Shop
or
Cell Phone
Weekly Gas
2
<
Movie Theater
or
Ice Cream Shop
2
<
Grocery Cashier
or
Cell Phone
2
<
How are the slopes of the newspaper job and the ice cream shop alike? They both have the same slope.
2.
How are the slopes of the grocery cashier and the cell phone different? They both have the same slope in absolute value; however, one is negative and one is positive.
42
3
28
4
14
−14
Negative $14
>
−14
What is the slope of Table A?
>
−14
−14
Hours
Money
2
27
4
54
6
81
8
What is rate per hour? > > >
108
27
$27
27
What is the slope of Table B? 13.5
27
1
3
Compare Functions Explore 1
Compare Functions Explore 1
How much does each side of Table C increase or decrease by?
Compare Verbal Descriptions What is the slope for each equation? A.
18
B.
12.50
C.
−15
D.
28
E.
12
F.
18
How many positive slopes are there?
How many negative slopes are there?
5
1
1
<
1
<
1
<
Hours
Money
3
30
4
40
5
50
6
60
What is rate per hour? >
10
$10
>
10
What is the slope of Table C?
10
10
>
Which job pays the greatest hourly rate? Does the starting value always tell you the slope? Why or why not?
Warehouse job 2.
2
What is rate per hour? >
How much does each side of Table B increase or decrease by?
1.
1.
56
This could be a payment or a bill.
Which one in each row has the smallest slope? (Circle the correct answer.) or
Money
1
What might this slope represent in terms of the context of the problem?
Which one in each row has the greater slope? (Circle the correct answer.)
Cell Phone
Hours
Answers may vary. No, this starting value is $30, but it also starts at hour 3.
What is another word for the term rate? Slope
3.
How much does each side of Table D increase or decrease by?
Which description represents the smallest rate? How do you know? The gym membership has the smallest rate. I know because it has a negative slope; therefore, it is the smallest.
4.
What do you notice about the fast-food shop and the lawn-mowing job? They have the same rate/slope.
5.
1
<
1
<
1
<
What key words tell you when a rate is negative?
Hours
Money
1
18
2
36
3
54
4
72
What is rate per hour? >
18
$18
>
18
What is the slope of Table D?
18
18
>
Answers may vary but may include the word costs or owes. 6.
Which table had the greatest slope? B
How do you know which value to choose for the slope of the amusement park job? The slope is the value that changes per hour. 2
Which had the smallest slope? A
4
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GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
Compare Functions Explore 1
Compare Functions Explore 1
Compare Graphs
Graph C
Use the Graph A example below to answer each graph’s set of questions.
How do the hours change in value? Increase by 1
Graph A
How does the money change in value?
How much are the hours increasing by? (Look at the green arrows.) 1
Increase by 16
How much is the money increasing by? (Look at the blue arrows.) 10
What values does the money represent? (Circle one.)
What is the slope of the graph?
What is the rate of the graph?
10
16
x values
Graph B
Graph D
How do the hours change in value?
How do the x values change in value?
Increase by 1
Increase by 1 How do the y values change in value?
What values do the hours represent? (Circle one.) x values
y values
Increase by 7
y values
What is the rate of the graph?
How does the money change in value?
7
Decrease by 11 What is the rate of the graph?
Label the tables in order from smallest slope (1) to greatest slope (4)
−11
(1) Table B
(2) Table D
(3) Table A
5
(4) Table C 6
Compare Functions Explore 1
Reflect 1.
Describe what a slope is in your own terms. Answers may vary. A slope is a rate that tells you how fast a value is increasing or decreasing.
2.
How can you tell the difference between a negative slope and a positive slope in a verbal description? Give examples. Answers may vary. Keywords can help determine if a slope is positive or negative. For example, words like pay and owe show that money is going down and therefore negative. Words like earn and make represent positive slopes.
3.
How do you know when a slope is negative in a table? If the y values are decreasing, the slope is negative.
4.
What is another word for the term slope? Rate, or rate of change
5.
If two functions have the same slope, how will their graphs appear? Their graphs will increase or decrease at the same rate.
7
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GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Compare Functions Explore 1
DESPUÉS DE EXPLORAR 1. Pida a los estudiantes que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
Compare Functions Represented in the Same Ways Exit Ticket
Circle the function that has the greatest slope.
2. Completen el «Esquema de anclaje» como clase.
A.
y = 39x – 89
3. Pida a cada estudiante que complete su «Libreta interactiva».
B.
Katie makes $15 an hour mowing grass.
APOYOS PEDAGÓGICOS
C.
1. Para los estudiantes que necesitan apoyo adicional, muestre la ecuación pendiente-intercepto con las partes etiquetadas para que los estudiantes puedan referirse a la imagen cuando sea necesario. 2. Si los estudiantes necesitan apoyo adicional para extraer información importante de una descripción verbal, anímelos a convertir la descripción en una forma en la que se sientan más cómodos.
y = 27x + 45
y = −42x + 30
Yoga classes cost $15 an hour for a session.
x
y
x
y
x
y
2
40
1
23
3
60
4
80
2
46
4
40
6
120
3
69
5
20
D.
3. Considere animar a los estudiantes a extraer información importante de una descripción verbal para encerrar con un círculo y marcar el texto para ayudarlos a determinar qué información es necesaria.
1
4. Brinde flexibilidad a los estudiantes que necesitan tareas reducidas disminuyendo la cantidad de «Tarjetas de comparación» que deben analizar.
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
5. Como ampliación, desafíe a los estudiantes a comparar dos representaciones diferentes de una función.
Compare Functions Part 1
APOYOS LINGÜÍSTICOS «Table» es una palabra que tiene múltiples significados en inglés. Apoye a los estudiantes multilingües explicándoles que «table» en este contexto se refiere a la tabla utilizada para mostrar conjuntos de números. Aclare el significado matemático del término «pendiente». Aclare que el término «función» se refiere a una relación en matemáticas en la que cada entrada tiene exactamente una salida y no como la capacidad de funcionar o hacer algo. Como actividad previa a la clase, guíe a los estudiantes para que completen el «Vocabulario interactivo» que se encuentra en la sección «Explicar» para el vocabulario nuevo. Proporcione a los estudiantes la definición y anímelos a reescribirla con sus propias palabras. Anime a los estudiantes a apoyar y defender sus respuestas y a mantener un discurso abierto cuando completen la actividad de comparación de tarjetas. Ayude a los estudiantes a mantener conversaciones críticos sin dar respuestas ni criticar duramente las respuestas de otros estudiantes.
Compare Functions in the Same Form Circle the function with the greater slope.
A
B
y = 27x + 77
y = 15x + 92
x
y
x
2
30
0
y 0
4
60
5
50
6
90
15
150
C
Choose one example above, and explain your reasoning. 1 In row C, the change in y over the change in x for the first graph is 3 , but the 4 change in y over the change in x for the second graph is . 3
1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS
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1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 2: COMPARAR FUNCIONES REPRESENTADAS DE DIFERENTES MANERAS Estándar(es) • Definir, evaluar y comparar funciones. Comparar las propiedades de dos funciones representadas cada una de una manera diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en una tabla o mediante una descripción verbal). Por ejemplo, dada una función lineal representada por una tabla de valores y una función lineal representada por una expresión algebraica, determinar qué función tiene la mayor tasa de cambio. • Definir, evaluar y comparar funciones. Interpretar la ecuación y = mx + b como definitoria de una función lineal, cuya gráfica es una línea recta; dar ejemplos de funciones que no son lineales. Por ejemplo, la función A = s2 que da el área de un cuadrado en función de la longitud de sus lados no es lineal porque su gráfica contiene los puntos (1, 1), (2, 4) y (3, 9), que no están en una línea recta.
Ideas fundamentales Interpretar diagramas de dispersión Datos, gráficas y tablas Exploraciones de datos Ecuaciones lineales
Estándares para la práctica matemática MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros. MP.4 Representar con matemáticas.
Conexiones de contenido
Motores de investigación
CC1 Razonar con datos
DI1 Dar sentido al mundo (comprender y explicar)
CC2 Explorar al cambiar las cantidades
MP.6 Atender a la precisión. MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes comparan dos funciones de diferentes maneras. Determinan qué función tiene mayor pendiente cuando se les dan gráficas, ecuaciones o tablas.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por estudiante) • 1 conjunto de «Tarjetas de concesionario» (por grupo) REUTILIZABLE
• 1 bolsa resellable (por grupo)
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PREPARACIÓN
• Planifique que los estudiantes trabajen en grupos de 4. • Imprima los documentos «Diario del estudiante» y «Boleto de salida» para cada estudiante. • Imprima un documento «Tarjetas de concesionario» para cada grupo. Recorte y coloque cada conjunto de tarjetas en una bolsa resellable. Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para que duren más. • Para los estudiantes que necesiten más apoyo para recordar información consulte nuestro elemento «Ayudas suplementarias: Plano cartesiano del primer cuadrante», en la sección «Intervenir».
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GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Compare Functions Explore 2
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I 1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Ethan ha ahorrado suficiente dinero para comprarse un auto nuevo. Ha llegado el momento de buscar la mejor oferta. En su primera parada, descubre que el primer concesionario alquila un vehículo nuevo por $275 al mes. Quiere mostrar esta función de diferentes formas para prepararse para lo que le presentarán otros concesionarios. Ayuda a Ethan a escribir la información de alquiler del primer concesionario como una ecuación, en una tabla y con un gráfico».
Comparing Functions Part I A car dealership leases a new vehicle for $275 a month. 1.
Write the above function as an equation where y represents the total amount and x represents the number of months. y = 275x
2.
Fill in the following table according to the equation from question 1.
2. Ayude a los estudiantes a acceder a la tarea haciéndoles las siguientes preguntas guía: a.
«¿Qué recuerdan sobre las diferentes formas de una función?».
b.
«¿Qué tipo de auto comprarían si fueran a comprar un auto y por qué?».
3.
x
1
2
3
4
5
y
275
550
825
1,100
1,375
Use the table from question 2 to create a graph of the function.
3. Entregue un «Diario del estudiante» a cada uno. 4. Explique a los estudiantes que utilizarán la descripción verbal dada para representar la información en tres formas diferentes. 5. Converse sobre las siguientes preguntas con la clase: a.
DOK-1 «¿Cómo se puede presentar la información del alquiler como una ecuación?». Puedo representar la información del alquiler como la ecuación y = 275x.
b.
DOK-1 «¿Cómo puedo usar la ecuación para completar la tabla de información?». Puedo sustituir los valores x en la ecuación para determinar los valores y.
c.
DOK-1 «¿Cómo puedo usar la tabla para crear un gráfico de la función?». Puedo usar la tabla para escribir pares de coordenadas de los valores x e y. Luego puedo trazar los pares de coordenadas en la gráfica.
d.
e.
f.
DOK-2 «¿Por qué sería beneficioso para Ethan hacer una gráfica?». Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Hacer una gráfica puede ayudar a Ethan a ver el costo del vehículo arrendado a través del tiempo. DOK-3 «¿Cómo podría la gráfica ayudarnos a ver cuando 275x < 1,100?». Como la recta es creciente y pasa por (4, 1100), entonces todos los valores de x menores que 4 satisfarían esta desigualdad. DOK-3 «¿Qué significan esta desigualdad y esta solución en el escenario?». Significa que la cantidad total adeudada por el auto es inferior a $1,100 hasta la marca de 4 meses.
1
Compare Functions Explore 2
Part II Use the Dealership Cards A–D from Frank’s Auto Shop to answer the following questions: 1.
2.
3.
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Ethan ha investigado el coste de los vehículos en dos concesionarios diferentes. Cada concesionario le ha proporcionado sus costes en forma de funciones. Ayuda a Ethan a comparar las funciones para determinar en qué concesionario quiere comprar».
Function A: 150
Function B: 320
Function C: 225
Function D: 500
Circle the function with the greatest rate. a.
Function A
or
b.
Function C
or
function B function D
c.
Function A
or
function C
d.
Function D
or
function B
List the functions in order from least slope to greatest slope. Function A, function C, function B, function D
6. Concede tiempo a los estudiantes para completar la parte I del «Diario del estudiante». PARTE II
What is the slope of each function?
4.
Write an equation that has the same slope as function C. Answers may vary. y = 225x + 2,000
5.
Fill in the table so that it has the same rate as function A.
Answers may vary.
x
1
2
3
4
y
150
300
450
600 2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Compare Functions Explore 2
2. Ayude a los estudiantes a acceder a la tarea formulando las siguientes preguntas orientadoras:
Use the Dealership Cards E–H from Kenny’s Kars to answer the following questions. 1.
2.
What is the slope of each function? Function E: 415
Function F: −300
Function G: −350
Function H: 320
List the functions in order from least rate to greatest rate.
5. Supervise y hable con los estudiantes según sea necesario para comprobar la comprensión utilizando las siguientes preguntas guía:
Write function H as a verbal description. A car payment costs $320 a month.
5.
DOK-1 «¿Se puede escribir la misma función de diferentes maneras?». Sí. Se puede representar como gráfica, tabla, ecuación o descripción.
b.
DOK-1 «¿Qué pide la pregunta cuando usa el término tasa?». Se pide encontrar la pendiente.
c.
DOK-2 «¿Cómo se halla la pendiente de un gráfico?». Se cuenta cuánto cambian los valores de y por cada cambio en un valor de x.
Out of all 8 offers, which car has the lowest monthly payment? Function A
7.
a.
Compare function H to function B. They have the same slope, and therefore they have the same car payment.
6.
«Al comprar un auto, ¿por qué querrían comparar concesionarios?».
4. Explique a los estudiantes que compararán funciones de diferentes maneras para determinar qué función tiene la mayor pendiente. Estas maneras incluirán ecuaciones, descripciones verbales, tablas y gráficos.
Function G, function F, function H, function E 4.
«¿Qué recuerdan sobre la comparación de funciones?».
3. Entregue un conjunto de «Tarjetas de concesionario» a cada grupo.
Which function or functions have a negative rate? How do you know that the slope is negative? Function F and function G have negative rates. They are negative because as the x values increase, the y values decrease, causing a negative slope.
3.
a. b.
Which car has the greatest monthly payment? Function D 3
6. Conceda tiempo a los estudiantes para que completen la parte II del «Diario del estudiante», incluidas las preguntas de reflexión. 7. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímelos a que se hagan preguntas y establezcan conexiones. Anime a los estudiantes a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias usadas para comparar funciones.
Compare Functions Explore 2
CHARLA DE MATEMÁTICAS
Reflect 1.
Explain in terms of the context of the problem what a negative slope might mean. A negative slope may represent that the total amount is going down after every payment.
2.
• DOK-3 «¿Por qué la función G tiene la pendiente más baja pero no el pago mensual?». Aunque es una pendiente negativa, los pagos siguen siendo de $350 al mes y por lo tanto no son los más bajos.
Why is function G the lowest slope but not the monthly payment? Explain. Although it is a negative slope, the payments are still $350 a month and therefore not the lowest.
4.
5.
• DOK-2 «Explique en términos del contexto del problema lo que podría significar una pendiente negativa». Una pendiente negativa puede representar que la cantidad total está bajando después de cada pago. • DOK-1 «¿En qué concesionario debería comprar Ethan?. Explique». El taller de carros de Frank tiene las opciones de pago más bajas y más altas; sin embargo, en general son más bajas que en Carros de Kenny.
Which dealership should Ethan buy from? Answers may vary. Frank’s Auto Shop has the lowest and the highest payment options; however, they are generally lower than Kenny’s Kars.
3.
8. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
Answers may vary. If you find the slope of each function, you can compare them regardless of their types.
• DOK-2 Explica cómo es posible comparar funciones de diferentes formas. Si encuentras la pendiente de cada función, puedes compararlas, independientemente de sus tipos.
Can two car payments with different down payments have the same slope? Explain why or why not.
• Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta:
Explain how it is possible to compare functions in different forms.
Yes, if they have the same monthly payment, then they have the same slope.
4
◦ DOK-2 «¿Pueden tener la misma pendiente dos pagos de automóvil con diferentes pagos iniciales?. Explica por qué sí o por qué no». Sí, si tienen la misma cuota mensual, entonces tienen la misma pendiente.
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GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Compare Functions Explore 2
DESPUÉS DE EXPLORAR 1. Pida a los estudiantes que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 2. Completen el «Esquema de anclaje» como clase.
Comparing Functions Exit Ticket Write the slopes of the following functions, and circle the function with the greatest slope. A.
y = 25x + 14
B.
Repairs on a car cost $27 an hour.
3. Pida a cada estudiante que complete su «Libreta interactiva».
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Para los estudiantes que necesitan apoyo adicional, muestre la ecuación pendiente-intercepto con las partes etiquetadas para que los estudiantes puedan referirse a la imagen cuando sea necesario.
Slope: 25
C.
D.
2. Si los estudiantes necesitan apoyo adicional para extraer información importante de una descripción verbal, anímelos a convertir la descripción en una forma en la que se sientan más cómodos. 3. Considere la posibilidad de animar a los estudiantes que necesiten apoyo adicional para extraer información importante de una descripción verbal a que encierren con un círculo y marquen el texto para ayudarlos a determinar qué información es necesaria.
Slope: 27
x
y
3
22
4
44
5
66
6
88
Slope: 22
Slope: 20 1
4. Brinde flexibilidad a los estudiantes que necesitan tareas reducidas disminuyendo la cantidad de «Tarjetas de concesionario» que deben analizar.
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
5. Como ampliación, desafíe a los estudiantes a crear una función para un concesionario que tenga una oferta mejor que las proporcionadas.
Compare Functions Part 2
APOYOS LINGÜÍSTICOS «Table» es una palabra que tiene múltiples significados en inglés. Apoye a los estudiantes multilingües explicándoles que «table» en este contexto se refiere a la tabla utilizada para mostrar conjuntos de números.
Compare Functions in Different Forms Circle the function with the greater slope.
A
y = 12x + 8
The cost per ticket is $5.00
Aclare el significado matemático del término «pendiente». Aclare que el término «función» se refiere a una relación en matemáticas en la que cada entrada tiene exactamente una salida y no como la capacidad de funcionar o hacer algo. Como actividad posterior a la clase, pida a los estudiantes que creen una hoja de resumen sobre las diferentes representaciones de una función. La hoja de resumen debe contener ejemplos de gráficos, ecuaciones, tablas y descripciones verbales. Proporcione estructuras de oraciones para que los estudiantes utilicen un lenguaje preciso y evalúen las ideas de los demás durante el trabajo en grupo.
B
C
x
y
5
14
7
20
9
26
A cashier earns $15 per hour.
y = 18x – 2
Choose one example above, and explain your reasoning. In row B, the table shows a slope of 3, but the graph shows a slope of 2.
• «Te he oído decir ... ¿Es correcto?».
1
• «Te he oído decir ... Estoy de acuerdo porque ...». • «Te he oído decir ... No estoy de acuerdo porque ...».
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MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 2) CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 3: FUNCIONES LINEALES FRENTE A NO LINEALES Estándar(es) • Definir, evaluar y comparar funciones. Comparar las propiedades de dos funciones representadas cada una de una manera diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en una tabla o mediante una descripción verbal). Por ejemplo, dada una función lineal representada por una tabla de valores y una función lineal representada por una expresión algebraica, determinar qué función tiene la mayor tasa de cambio. • Definir, evaluar y comparar funciones. Interpretar la ecuación y = mx + b como definitoria de una función lineal, cuya gráfica es una línea recta; dar ejemplos de funciones que no son lineales. Por ejemplo, la función A = s2 que da el área de un cuadrado en función de la longitud de sus lados no es lineal porque su gráfica contiene los puntos (1, 1), (2, 4) y (3, 9), que no están en una línea recta.
Ideas fundamentales
Estándares para la práctica matemática
Interpretar diagramas de dispersión
MP.2 Razonar de manera abstracta y cuantitativa.
Datos, gráficas y tablas
MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros.
Exploraciones de datos Ecuaciones lineales
Conexiones de contenido
Motores de investigación
CC1 Razonar con datos
DI1 Dar sentido al mundo (comprender y explicar)
CC2 Explorar al cambiar las cantidades
MP.4 Representar con matemáticas. MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes interpretan la ecuación y = mx + b como una función lineal. Los estudiantes comprenden que las funciones lineales crean una gráfica de una línea recta. Ellos interpretan ejemplos de funciones que son tanto lineales como no lineales.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por estudiante) • 1 conjunto de «Tarjetas de ventas mensuales de automóviles» (por grupo) REUTILIZABLE
• 3 bolsas resellables (por grupo)
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PREPARACIÓN
• Planifique que los estudiantes trabajen en grupos de 4. • Imprima los documentos «Diario del estudiante» y «Boleto de salida» para cada estudiante. • Imprima un documento «Tarjetas de ventas mensuales de automóviles» para cada grupo. Recorte y coloque las «Tarjetas de tablas» en una bolsa resellable etiquetada «Tablas». Recorte y coloque las «Tarjetas de gráficas» en una bolsa resellable etiquetada «Gráficas». Recorte y coloque las «Tarjetas de ecuaciones» en una bolsa resellable etiquetada «Ecuaciones». Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para utilizarlas en el futuro. • Para los estudiantes que necesiten más apoyo para recordar información consulte nuestro elemento «Ayudas suplementarias: Plano cartesiano del primer cuadrante», en la sección «Intervenir».
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GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3
Compare Functions Explore 3
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I 1. Entregue un «Diario del estudiante» a cada uno. 2. Explique lo siguiente a los estudiantes: «Ustedes van a crear una tabla y una gráfica a partir de una ecuación para determinar si una función es lineal o no lineal». Converse sobre las siguientes preguntas con la clase: a.
b.
Linear or Nonlinear? Part I
DOK-1 «¿Cómo puedes completar una tabla cuando se te da una ecuación?». Puedo sustituir los valores x en la ecuación para encontrar los valores y. DOK-1 «¿Cómo puedes completar una gráfica usando la ecuación y la tabla?». Puedo usar la ecuación para completar la tabla y luego usar la tabla para hacer pares ordenados. Los pares ordenados me dirán dónde trazar cada punto para crear la ecuación en el gráfico.
Collaborate with your group to create the graph and table for each equation. Then, answer the questions that follow. Use the given equation y = 3x + 3 to complete the table. Complete the table.
What are the x values increasing by? 1
3
1
6
2
9
3
12
Create a graph of the function above.
What shape does the graph create? A straight line 1
Compare Functions Explore 3
d.
DOK-1 «¿De a cuánto aumentan los valores y?». Los valores de y aumentan de a 3.
e.
DOK-1 «¿Los valores de x e y aumentan a un ritmo constante?». Sí.
x
y
0
1
DOK-1 «¿Qué crea la gráfica?». Este gráfico forma una línea recta.
1
2
4. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímelos a que se hagan preguntas y establezcan conexiones. Anime a los estudiantes a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias usadas para analizar funciones.
0
Are both values increasing at a constant rate? Yes
DOK-1 «¿De a cuánto aumentan los valores x?». Los valores x aumentan de a 1.
3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen las preguntas de la parte I del «Diario del estudiante».
y
What are the y values increasing by? 3
c.
f.
x
Use the given the equation y = x² + 1 to complete the table. Complete the table using the function above.
2
5
3
10
Create a graph of the function above.
What are the x values increasing by?
What are the y values increasing by?
1
1, 3, 5
Are both values increasing at a constant rate?
Does this graph create a straight line?
No
No
5. Después de la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
2
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 «¿Cuál ecuación creó una línea recta en la gráfica?». La ecuación y = 3x + 3 creó una línea recta en la gráfica. ◦ Explique lo siguiente a la clase: «Cuando los valores x e y de una función aumentan o disminuyen a un ritmo constante, crean la gráfica de una línea recta». ◦ «Los matemáticos llaman a estas funciones “funciones lineales”. Las funciones lineales se escriben en la forma y = mx + b». • Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: ◦ DOK-1 «La ecuación y = x2 + 1 no tenía una razón de cambio constante ¿Cómo cambia esto la gráfica?». La gráfica no era una línea recta para la ecuación y = x2 + 1. ◦ «Cuando los valores x e y de una función no aumentan o disminuyen a una tasa constante, no crean la gráfica de una línea recta. Los matemáticos llaman a estas funciones “funciones no lineales”».
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Compare Functions Explore 3
Part II
Use the Monthly Car Sales Cards to answer the following questions. Table A
Table B
What are the x values increasing by?
What are the x values increasing by?
1
1
What are the y values increasing by?
What are the y values increasing by?
30
10, 15, and 20
Are both values increasing at a constant rate?
Are both values increasing at a constant rate?
Yes
No
Is this a linear function? Why or why not? Yes, it is linear because there is a constant rate of change.
What is the slope?
Is this a linear function? Why or why not? No, it is nonlinear because the y values are increasing at different rates.
What is the slope? 30
The slope varies. 3
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GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3
Compare Functions Explore 3
Table C
PARTE II
Table D
What are the x values increasing by? 2
How are the x values changing? Increasing by 1, increasing by 2, increasing by 1
How are the y values changing?
How are the y values changing?
The y values are decreasing by 15.
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Cuando Ethan visita los distintos concesionarios, empieza a hacer preguntas sobre cada empresa y el número de autos que venden al mes. Cree que el concesionario con las ventas más constantes debe ser el mejor lugar para comprar su vehículo. Ayuda a Ethan a determinar si las funciones que se le presentan son lineales o no lineales».
Each y value increases by 34.
Is this a linear function? Why or why not?
Is this a linear function? Why or why not?
Yes, it is linear because there is a constant rate of change.
No, it is nonlinear because the x values are increasing at different rates.
Table E
Table F
Do both x and y values change at a constant rate? No
What is the slope of this function? 25
Is this a linear function? Why or why not?
What y value belongs with the x value of 4 to make this a linear function?
No, it is nonlinear because the last y value changes at a different rate than the previous two values.
2. Ayude a los estudiantes a acceder a la tarea planteándoles las siguientes preguntas orientadoras:
100 List three examples of values that would make this function nonlinear. Answers will vary. Accept anything other than 100. 4
Compare Functions Explore 3
Fill in the following table according to the Graph Monthly Car Sales Cards.
Graph
What is the slope of the graph? (Write “None” if there is not a constant slope.)
Does this create a straight line?
Is this a linear function?
If linear, write the equation of the function. (y = mx + b)
A
75
Yes
Yes
y = 75x
B
None
No
No
C
None
No
No
D
40
Yes
Yes
y = 40x
E
−15
Yes
Yes
y = −15x + 90
4. Explique a los estudiantes que compararán funciones de diferentes formas para determinar si las funciones son lineales o no lineales. 5. Supervise y hable con los estudiantes según sea necesario para comprobar la comprensión utilizando las siguientes preguntas guía: a. DOK-1 «Con respecto a las “Tarjetas de tablas” (señale una tabla lineal), ¿qué tipo de gráfico creen que crearía esta tabla?». Una línea recta
Compare Functions Explore 3
Answer graphs will vary. According to the Graph Monthly Car Sales Cards, which point would make graph F a linear function? (Circle one.)
b. DOK-1 «Con respecto a las “Tarjetas de gráficas”, ¿cómo determinas la ecuación de estos gráficos?». Usando y = mx + b, el m representa la pendiente de la gráfica y el b representa la intersección en y. c. DOK-2 «¿Y si el valor de x tuviera un exponente mayor que 2, seguiría siendo no lineal?». Sí, cualquier exponente que sea mayor que 2 creará una función no lineal.
Blue
Create a linear graph. Graphs will vary.
b. «¿Estás de acuerdo con Ethan en que el mejor concesionario tendría las ventas más constantes? ¿Por qué o por qué no?». 3. Distribuya las 3 bolsas de «Tarjetas de ventas mensuales de automóviles» a cada grupo.
5
Red
a. «¿Qué sabes ya sobre el significado de lineal y no lineal?».
Create a nonlinear graph. Graphs will vary.
6. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la parte II, incluidas las preguntas de reflexión en el «Diario del estudiante». What is the slope?
What is the slope?
Answers will vary.
The slope is not consistent.
Why is this graph linear?
Why is this graph nonlinear?
It creates a straight line.
It does not create a straight line.
6
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7. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímelos a que se hagan preguntas y establezcan conexiones. Anime a los estudiantes a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias utilizadas para determinar si una función es lineal o no lineal. 8. Después de la parte II de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
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GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 «¿Cómo puedes determinar si una gráfica es una función lineal?». Si los puntos en una gráfica crean una línea recta, entonces es lineal. Si los puntos no crean una línea recta, es no lineal. • DOK-1 «¿Qué parte de la ecuación y = mx + b determina si una función es lineal?. Explica tu respuesta». Si el valor x tiene exponente, es una función no lineal. Si no tiene exponente (o el valor del exponente es 1), entonces es una función lineal.
Compare Functions Explore 3
Fill in the following table according to the Equations Monthly Car Sales Cards. Graph equation A.
Graph equation B.
What do you notice about the graph when the x value has an exponent?
What do you notice about the graph when the x value does not have an exponent?
The graph does not make a straight line.
The graph makes a straight line.
Fill in the following table. Equation
Is there an exponent?
Is this a linear function?
A
Yes
No
• DOK-1 «¿Pueden las funciones lineales tener pendiente negativa?. Explica tu respuesta». Sí, mientras sigan creando líneas rectas, son lineales.
B
No
Yes
C
No
Yes
D
Yes
No
E
No
Yes
• DOK-3 «¿Dónde podrías usar funciones lineales en el mundo real?». Cambios en la población, tarifas telefónicas, alquileres
Anything but 1
7
• Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: ◦ DOK-2 «Describe cómo determinar si una tabla representa una función lineal». Si tanto los valores x como los valores y aumentan o disminuyen en un valor constante, la tabla representa una función lineal.
What value can you place in the box of equation F to make it a nonlinear function?
Compare Functions Explore 3
Reflect 1.
How can you determine whether a graph is a linear function? If the points on a graph create a straight line, then it is linear. If the points do not create a straight line, it is nonlinear.
2.
Can linear functions have a negative slope? Explain your answer. Yes, as long as they still create straight lines, they are linear.
3.
Describe how to determine whether a table represents a linear function. If both the x values and the y values increase or decrease by a constant value, the table represents a linear function.
8
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
DESPUÉS DE EXPLORAR 1. Pida a los estudiantes que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 2. Completen el «Esquema de anclaje» como clase. 3. Pida a cada estudiante que complete su «Libreta interactiva». 4. Regrese al elemento «Captar interés» e indique a los estudiantes que utilicen sus habilidades recién adquiridas para completar exitosamente la actividad.
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GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES Compare Functions Explore 3
Linear or Not? Exit Ticket
Circle the functions that are linear. A.
B.
D.
APOYOS PEDAGÓGICOS C.
E.
F.
Month
Total Cars Sold
1
45
2
55
3
75
4
105
Month
Total Cars Sold
1
15
2
30
3
45
4
60
1. Haga hincapié en la definición de función como una situación en la que una entrada tiene sólo una salida. Ayude a los estudiantes a distinguir las diferencias entre ecuación y función proporcionándoles un ejemplo de una ecuación que no es una función (por ejemplo, la ecuación de un círculo) o de una función que no es una ecuación (por ejemplo, la relación entre un nombre de usuario y una contraseña).
1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
Compare Functions Part 3
Linear vs. Nonlinear Functions
x
y
0
1
1
3
2
5
3 What are the x values increasing by? 1
Graph the function.
«Table» es una palabra que tiene múltiples significados en inglés. Apoye a los estudiantes multilingües explicándoles que «table» en este contexto se refiere a la tabla utilizada para mostrar conjuntos de números.
7
Is the graph linear? Yes/No
1
Compare Functions Part 3
Use the given equation y = x² to complete the table. Complete the table.
What are the x values increasing by? 1
x
y
0
0
1
1
2
4
3
9
Aclare el significado matemático del término «pendiente». Aclare que el término «función» se refiere a una relación en matemáticas en la que cada entrada tiene exactamente una salida y no como la capacidad de funcionar o hacer algo. Como actividad previa a la clase, guíe a los estudiantes para que completen el «Vocabulario interactivo» que se encuentra en la sección «Explicar» para el vocabulario nuevo. Proporcione a los estudiantes la definición y anímelos a reescribirla con sus propias palabras.
Graph the function.
Cuando respondan a las preguntas de reflexión, pida a los estudiantes que se turnen primero para decir sus respuestas en voz alta a sus compañeros, para recibir comentarios de sus compañeros y, a continuación, para escribir sus respuestas en sus «Diarios del estudiante». Los estudiantes pueden hacer las correcciones necesarias.
What are the y values increasing by? 1, then 3, then 5
Are both values increasing at a constant rate? No
3. Brinde flexibilidad a los estudiantes que necesitan tareas reducidas disminuyendo la cantidad de «Tarjetas de ventas mensuales de automóviles» que deben analizar.
APOYOS LINGÜÍSTICOS
What are the y values increasing by? 2
Are both values increasing at a constant rate? Yes
2. Algunos estudiantes pueden asumir incorrectamente que todas las funciones son lineales, y que si algo no es lineal, automáticamente se descarta como una función. Haga hincapié en la definición de función como una situación en la que una entrada sólo tiene una salida. A continuación, pida a los estudiantes que utilicen esta definición para etiquetar cada función no lineal como función o no función.
4. Como ampliación, desafíe a los estudiantes a crear ejemplos para función no lineal, función lineal, ecuación no lineal, y ecuación lineal.
Use the given equation y = 2x + 1 to complete the table. Complete the table.
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3
Is the graph linear? Yes/No
2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 3) CLAVE DE RESPUESTAS
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 27
27
1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE Compare Functions
CONSOLIDAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
ESQUEMA DE ANCLAJE
Same Form
Different Forms
Which line has the greater slope?
Which representation has the greater slope?
y = 3x – 5
DESCRIPCIÓN Un esquema de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Se trata de una herramienta para apoyar la instrucción y anclar el aprendizaje de los estudiantes a lo largo del alcance.
MATERIALES
• 1 hoja de papel cuadriculado
m=
5–3 = 2–0
2 =1 2
m=
2–0 3–0
=
2 3
m=
Is it linear?
Linear
If yes, write its equation.
y=⅔x–1
4–0 = 0–3
4 −3
m=3
Nonlinear
• 1 juego de marcadores multicolores
PREPARACIÓN
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
• Imprima una copia del ejemplo de «Esquema de anclaje», si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. El ejemplo de esquema de anclaje puede utilizarse como referencia antes de crear el de la clase. Esta actividad debe ser dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje. 2. A medida que los estudiantes trabajen en el alcance, colaboren para añadir piezas al «Esquema de anclaje». Formule las siguientes preguntas orientadoras: a. «¿Qué estrategia utilizamos para resolver este problema?». b. «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?». 3. Continúe añadiendo habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada «Exploración» para resaltar el contenido importante. 4. Explique que pueden utilizar este gráfico como herramienta de apoyo para su aprendizaje. Los estudiantes también pueden pegar una copia del ejemplo del esquema en sus cuadernos para utilizarla como referencia a lo largo del año. 5. Algunos esquemas de anclaje sólo se mostrarán durante un alcance o grupo de alcances concretos, mientras que otras permanecerán expuestas durante todo el curso escolar.
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GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA Compare Functions
DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DE LOS ESTUDIANTES Instructions ● Cut out the shape along the dotted lines, and glue it into your notebook. ● Determine the slopes, and compare the given representations.
Same Form
Different Forms
y
0
4
3
10
7
18
DESCRIPCIÓN Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase al usar la actividad y la libreta.
Plot the points to graph the line. Line A: (0, 3) and (2, 5) Line B: (0, 0) and (3, 2)
x
LIBRETA INTERACTIVA
y = 3x – 5
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
PREPARACIÓN Which line has the greater slope?
Which representation has the greater slope?
• Imprima una copia del «Folleto del estudiante» para cada uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Prepare una «Libreta interactiva» al usar un cuaderno de espiral o de composición para cada uno. Los estudiantes pueden utilizar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades.
Compare Functions
Instructions ● Cut out the T-chart along the dotted lines, and glue it into your notebook. ● Match and glue each type of graph. ● For the linear graph, record the corresponding equation.
Linear
Nonlinear
2. Las instrucciones para cada actividad se proporcionan en el «Folleto del estudiante». 3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos. 4. Las libretas interactivas pueden utilizarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
Equation: _________________
FOLLETO DEL ESTUDIANTE
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 29
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1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS APOYO PARA ESTUDIANTES MULTILINGÜES
CONEXIONES LINGÜÍSTICAS DESCRIPCIÓN
• Permita que los estudiantes tengan acceso al elemento «Vocabulario ilustrado» para este alcance.
Los estudiantes tienen la oportunidad de utilizar sus conocimientos lingüísticos y culturales previos para apoyar las conexiones con nuevas habilidades, vocabulario y conceptos en sus niveles de competencia.
• Permita que los estudiantes tengan acceso a una variedad de herramientas matemáticas, tales como reglas, pizarras blancas, marcadores y papel.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
MATERIALES IMPRESO
1 Distribuya un «Folleto del estudiante» según el nivel de competencia para cada estudiante.
• 1 folleto del estudiante según su nivel de competencia (por alumno)
2 Utilice las indicaciones para las partes de escuchar, hablar, leer y escribir. Utilice gestos, señale objetos y recursos visuales según corresponda. Consulte las indicaciones para obtener sugerencias.
REUTILIZABLE
• 1 conjunto de marcadores verde, naranja, morado y azul (por estudiante, nivel principiante) • 1 regla (por estudiante, nivel principiante)
3 Conceda tiempo a los estudiantes para que piensen con sus compañeros antes de responder.
• 1 pizarra blanca (por estudiante, nivel principiante)
4 Anime a los estudiantes a perseverar en su pensamiento y a utilizar herramientas y modelos matemáticos.
CONSUMIBLE
• 1 hoja de papel de borrador (por estudiante)
5 Invite a los estudiantes a responder adecuadamente a cada dominio lingüístico.
PREPARACIÓN
• Prepare a los estudiantes para trabajar con compañeros cuando sea necesario.
6 Pida a los estudiantes que utilicen la página final del «Folleto del estudiante» para establecer conexiones entre los conceptos matemáticos y el mundo real.
• Determine el nivel de inglés de cada estudiante. • Imprima un documento «Folleto del estudiante» para cada estudiante según su nivel de inglés.
Compare Functions B
Compare Functions B
Jamal sells T-shirts money Relationship E A pet store charges $5 for each bag of food.
Relationship C Relationship A x 0
y 0
1
50
2
100
m = 50 b=0
m = 10 b = 30
m=5
y = mx + b y = 50x
y = mx + b y = 10x + 30
y = mx + b y = 5x
Relationship B y
0
95
1
60
2
25
second week, he sold 10 T-shirts
$225. After the fourth week, he sold 20 T-shirts
Number of T-shirts 5
m = −35 b = 95
m = 25 b=0
y = mx + b y = −35x + 95
y = mx + b y = 25x
m=6
b = −10
y = mx + b y = 6x – 10
The rate of change after the first three weeks is _______. $70 / $15
Will
Will not
Nonlinear
Straight
y
x
x values
The four weeks of sales _______ a constant rate of change. have / do not have
y values
−2
0
2
1
2
4
2
4
4
8
3
7
6
16
Relationship C Relationship A x 0
y2 – y1 70 – 50 = 4–2 x2 – x1
y2 – y1 50 – 0 x2 – x1 = 1 – 0
y 0
1
50
2
100
50 m = ____ 0 b = ____ y = mx + b 50x y = ______
Relationship D Relationship B x
y
0
95
1
60
2
25
0 5 m = ____ b = ___ y = mx + b y = ____ 5x
y2 – y1 25 – 0 = 1–0 x2 – x1
y2 – y1 60 – 25 = x2 – x1 1–2
Relationship E A pet store charges $5 for each bag of food.
10 m = ____ b = ____ 30 y = mx + b 10x + 30 y = ______
m = −35 ____ 95 b = ____
25 m = ____ 0 b = ____
y = mx + b −35x + 95 y = _________
y = mx + b 25x y = ____
To determine if a table represents a linear or nonlinear relationship, check if both the x and y values are increasing constant or decreasing at a ___________ rate. This can also be shown by plotting the points on a graph to verify they are straight will or are not in a ___________ line. Linear relationships _______ have a graph that is a straight line. Nonlinear will not relationships ___________ have a graph that is a straight line.
The first three weeks have a constant rate of change. True / False
Relationship F A pet store offers a one-time $10 discount when you are a member, and it charges $6 for each bag of food. 6 −10 m = ____ b = ______ y = mx + b 6x – 10 y = __________
The rate of change after the first three weeks is $15. True / False
Word Bank Constant
Linear
Will
Will not
Nonlinear
Straight
x values
y values
y
x
y
0
−2
0
2
1
1
2
2
4
4
8
3
7
6
16
y values relationship. The x values in table B are increasing by 2, and the ___________ are increasing by 2, 4, and 8.
PRINCIPIANTE FOLLETO DEL ESTUDIANTE
30
SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 30
15
225
20
x 0
Relationship E A pet store charges $5 for each bag of food.
y 0
1
50
2
100
m=5
m = 10 b = 30
m = 50 b=0
y = mx + b y = 10x + 30
y = mx + b y = 50x
Relationship D
280
The four weeks of sales have a constant rate of change. True / False
Relationship B x
y
0
95
1
60
2
25
m = −35 b = 25
m = 25 b=0
y = mx + b y = −35x + 25
y = mx + b y = 25x
have The first three weeks _________ a constant rate of change.
Relationship F A pet store offers a one-time $10 discount when you are a member, and it charges $6 for each bag of food. m=6
b = −10
y = mx + b y = 6x – 10
1, and the y values are increasing by 3. Table A is a linear relationship. The x values in table B are increasing by 2,
INTERMEDIO FOLLETO DEL ESTUDIANTE
Linear
Will
Answers will vary.
Will not
Nonlinear
Straight
x values
y values
Number of T-shirts
Income (dollars)
5
75
10
150
15
225
20
280
$300 If this rate of change continues, then he will earn ________ after the fourth week when he has sold 20 T-shirts. $14 The rate of change after the fourth week is _______. do not have The four weeks of sales _______________ a constant rate of change. nonlinear The relationship between the number of T-shirts sold and the money earned is ____________.
Word Bank Constant
Compare Functions A
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can compare functions at home with your family or friends. Answers will vary.
Use the tables to explain how to determine if a relationship is linear or nonlinear. Use the word bank to write your answer. Table A Table B
4
In tables A and B, examine the relationship between the x and y values. The x values in table A are increasing by
$15 The rate of change after the first three weeks is _______.
Compare Functions A
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can compare functions at home with your family or friends.
To determine if a table represents a linear or nonlinear relationship, check if both the x and y values are increasing constant or decreasing at a ___________ rate. This can also be shown by plotting the points on a graph to verify they are
$280. During the fourth week, Jamal was offering a discount.
Jamal sells ____________. T-shirts
Compare Functions I
straight will or are not in a ___________ line. Linear relationships _______ have a graph that is a straight line. Nonlinear
$150. After the third week, he sold 15 T-shirts and made $225. After the fourth week, he sold 20 T-shirts and made
b=0
y = mx + b y = 5x
The relationship between the number of T-shirts sold and the money earned is linear. True / False
and the y values are increasing by 2, 4, and 8. Table B is a nonlinear relationship.
Table B is a ____________ relationship. nonlinear
75 150
The rate of change after the fourth week is $15. True / False
Use the tables to explain how to determine if a relationship is linear or nonlinear. Use the word bank to write your answers. Table A Table B x
Income (dollars)
5 10
If this rate of change continues, then he will earn $100 after the fourth week when he has sold 20 T-shirts. True / False
will not relationships ___________ have a graph that is a straight line.
x values linear The ___________ in table A are increasing by 1, and the y values are increasing by 3. Table A is a _________
In the first week, he sold 5 T-shirts and made $75. After the second week, he sold 10 T-shirts and made Relationship C Relationship A
Number of T-shirts Jamal sells T-shirts. True / False
Compare Functions I
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can compare functions at home with your family or friends. Answers will vary.
$280. During the fourth week, Jamal was offering a discount.
Compare Functions A
Jamal sells T-shirts. Each week, he writes down how many T-shirts he sells and how much money he makes.
In the first week, he sold 5 T-shirts and made $75. After the second week, he sold 10 T-shirts and made $150. After the third week, he sold 15 T-shirts and made $225. After the fourth week, he sold 20 T-shirts and made
Compare Functions B
y
0 1
280
The rate of change after the fourth week is _____. $14 / $15
Use the tables to explain how to determine if a relationship is linear or nonlinear. Use the word bank to write your answers. Table A Table B x
20
The relationship between the number of T-shirts sold and the money earned is ________. linear / nonlinear
Word Bank Linear
75 150 225
If this rate of change continues, then he will earn ______ after the fourth week when he has sold 20 T-shirts. $100 / $300
Compare Functions B
Constant
Income (dollars)
10 15
Compare Functions A
Compare Functions I
Jamal sells T-shirts. Each week, he writes down how many T-shirts he sells and how much money he makes.
and made
and made $280. During the fourth week, Jamal was offering a
discount. Jamal sells _____. T-shirts / discounts
Relationship F A pet store offers a one-time $10 discount when you are a member, and it charges $6 for each bag of food.
Compare Functions I
he sells and how much
and made $75. After the
and made $150. After the third week, he sold 15 T-shirts
The first three weeks _______ a constant rate of change. have / do not have Relationship D
x
b=0
. Each week, he writes down how many T-shirts
he makes. In the first week, he sold 5 T-shirts
x
y
x
y
0
−2
0
2
1
1
2
4
2
4
4
8
3
7
6
16
To determine if a table represents a linear or nonlinear relationship, check if both the x and y values are increasing or decreasing at a constant rate. This can also be shown by plotting the points on a graph to verify they are or are not in a straight line. Linear relationships will have a graph that is a straight line. Nonlinear relationships will not have a graph that is a straight line. The x values in table A are increasing by 1, and the y values are increasing by 3. Table A is a linear relationship. The x values in table B are increasing by 2, and the y values are increasing by 2, 4, and 8. Table B is a nonlinear relationship.
AVANZADO FOLLETO DEL ESTUDIANTE
ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCUCHAR Y HABLAR PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Tenga marcadores rojos, naranjas, azules, verdes y morados a disposición de los estudiantes. Lea las siguientes instrucciones de una en una:
Tenga a disposición el «Vocabulario ilustrado» para que los estudiantes lo utilicen. Lea las siguientes indicaciones de una en una:
Tenga a disposición el «Vocabulario ilustrado» para que los estudiantes lo utilicen. Lea las siguientes indicaciones de una en una:
•
«Vamos a comparar los atributos de diferentes funciones».
•
«Mira las dos tablas. ¿Cuál es la pendiente de cada tabla?». ◦
•
•
«Encierra con un círculo los puntos de las tablas que tienen un valor x de 0».
•
«Este punto y otro más nos permiten completar la fórmula de la pendiente y asignar valores a las variables m y b. Completa la información que falta para cada fórmula de la pendiente para la relación A y la relación B».
Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente fragmento de oración: «La pendiente de la relación ___ es mayor».
•
Pida a los estudiantes que utilicen los siguientes inicios de oración: «La intersección y de la relación C es _____. La intersección y de la relación D es ____».
«¿Cuáles son los valores de m y b para la relación A?». ◦
•
Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente fragmento de oración: «La intersección y de la relación ___ es menor».
«Observa las dos descripciones de funciones. ¿Cuál es la pendiente de cada descripción?».
◦
Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente fragmento de oración: «La pendiente de la relación ___ es menor».
•
«Ahora vamos a comparar todas las funciones».
•
«¿Qué función tiene la intersección y más pequeña?». ◦
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de oración: «La intersección y de la relación ___ es menor porque ___».
•
«Observa la tasa de cada función. Pon un número pequeño al lado de cada función para ordenarlas de menor a mayor».
•
«Conversa sobre el orden que escribiste con tus compañeros».
«Sustituye los valores de m y b en la fórmula pendiente-intersección. Escribe la ecuación completa».
•
«Observa las dos tablas. ¿Cuál es la pendiente de cada tabla?». ◦
•
Pida a los estudiantes que utilicen los siguientes inicios de oración: «La pendiente de la relación A es _____. La pendiente de la relación B es ____».
«¿Qué tabla tiene la mayor pendiente?». ◦
Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente fragmento de oración: «La pendiente de la relación ___ es mayor».
•
«Señala los gráficos que se dan».
•
«Señala la fórmula de la pendiente para cada gráfico».
•
«Encierra con un círculo las dos coordenadas de cada gráfico que se pueden utilizar para rellenar los espacios que faltan en las ecuaciones».
ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 31
Haga que los estudiantes usen la siguiente estructura de oración: «El valor de m es __, y el valor de b es __».
•
«¿Qué descripción tiene la pendiente más pequeña?». ◦
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de frase: «El valor de m es __, y el valor de b es __».
«¿Cuáles son los valores de m y b para la relación B?».
«¿Qué gráfica tiene la intersección y más pequeña?». ◦
•
•
«Observa las gráficas. ¿Cuál es la intersección y de cada gráfica?». ◦
•
«El folleto muestra diferentes representaciones que son gráficos, tablas y escenarios. Señale las tablas que se dan».
«¿Qué tabla tiene la mayor pendiente?». ◦
•
Pida a los estudiantes que utilicen los siguientes enunciados: «La pendiente de la relación A es _____. La pendiente de la relación B es ____».
•
•
«Junto a cada relación, halla la pendiente y la intersección y utilizando la fórmula de la pendiente. A continuación, identifica m =, y b =. Por último, escribe la ecuación en forma de intercepto de pendiente, y = mx + b. Determina todos estos elementos para cada tabla, gráfico y escenario».
•
«Compara tus respuestas con las de tus compañeros».
•
Ayude a los estudiantes a encontrar los errores donde haya discrepancias.
•
«Ahora vamos a comparar las relaciones».
•
«Observa las dos tablas. ¿Cuál es la pendiente de cada tabla?».
•
«¿Qué tabla tiene mayor pendiente?».
•
«Observa los gráficos. ¿Cuál es la intersección y de cada gráfica?».
•
«¿Qué gráfica tiene la intersección y más pequeña?».
•
«Observa las dos descripciones de funciones. ¿Cuál es la pendiente de cada descripción?».
•
«¿Qué descripción tiene la pendiente más pequeña?».
•
«Ahora vamos a comparar todas las funciones».
•
«¿Qué función tiene la intersección y más pequeña?».
•
«Observa la tasa de cada función. Pon un número pequeño al lado de cada función para ordenar las funciones de menor a mayor».
•
«Conversa sobre el orden que escribiste con tus compañeros». ◦
Haga que los estudiantes usen los siguientes inicios de oraciones: «La pendiente de la relación E es _____. La pendiente de la relación F es ____».
31
1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCUCHAR Y HABLAR (CONTINUACIÓN) INTERMEDIO • «Sustituye las coordenadas en la fórmula de la pendiente». • «Determina los valores de las variables m y b. Escríbelos en los espacios en blanco». • «Sustituye los valores de las variables en la fórmula pendiente-intersección. Escribe la ecuación completa». • «Observa las gráficas. ¿Cuál es la intersección y de cada gráfica?». ◦ Pida a los estudiantes que utilicen los siguientes inicios de oración: «La intersección y de la relación C es _____. La intersección y de la relación D es ____». • «¿Qué gráfica tiene la intersección y más pequeña?». ◦ Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente fragmento de oración: «La intersección y de la relación ___ es menor». • Lea a los estudiantes las dos instrucciones de la columna de la derecha. • «Después de escuchar estas situaciones, escribe los valores correspondientes de m y b en los espacios en blanco». • «Sustituye los valores de las variables m y b en la forma pendiente-intersección. Escribe las ecuaciones completas». • «Observa las dos descripciones de funciones. ¿Cuál es la pendiente de cada descripción?». ◦ Pida a los estudiantes que utilicen los siguientes inicios de oración: «La pendiente de la relación E es _____. La pendiente de la relación F es ____». • «¿Qué descripción tiene la pendiente más pequeña?». ◦ Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente fragmento de oración: «La pendiente de la relación ___ es menor». • «Ahora vamos a comparar todas las funciones». • «¿Qué función tiene la intersección y más pequeña?». ◦ Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de oración: «La intersección y de la relación ___ es menor porque ___». • «Observa la tasa de cada función. Pon un número pequeño al lado de cada función para ordenar las funciones de menor a mayor». • «Conversa sobre el orden que has escrito con tus compañeros».
32
SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 32
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1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
LEER Y HABLAR PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Lea la historia y pida a los estudiantes que repitan en voz alta. Divídala en oraciones. Pida a los estudiantes que señalen cada palabra mientras leen e invítelos a encerrar con un círculo las palabras que no conozcan. Converse sobre las palabras en grupo.
Lean la historia todos juntos en voz alta. Pida a los estudiantes que señalen cada palabra mientras leen e invítelos a encerrar con un círculo las palabras que no conozcan. Pídales que comenten las palabras con sus compañeros.
Pida a los estudiantes que lean la historia con sus compañeros y que señalen cada palabra mientras leen. Invítelos a encerrar con un círculo las palabras que no conozcan y a comentarlas con sus compañeros.
•
«¿Jamal vende o compra camisetas personalizadas?». ◦
•
Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente inicio de oración: «Jamal está tratando de averiguar ___».
«¿Cómo se puede calcular la tasa de cambio para cada semana?». ◦
•
Pida a los estudiantes que usen el siguiente inicio de oración: «Para calcular la tasa de cambio, ___».
«¿Qué significa si la tasa de cambio no es la misma cada semana?». ◦
Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente inicio de oración: «Si la tasa de cambio no es la misma cada semana, entonces ____».
•
Lean todos juntos en voz alta la primera afirmación. «Señala la respuesta en la historia antes de responder».
•
«Averigua cuánto gana Jamal por camiseta vendida cada semana. ¿La tasa de cambio se mantiene igual o cambia con respecto a las semanas 1, 2 y 3?». ◦
Pida a los estudiantes que utilicen las siguientes estructuras oracionales: «Jamal gana ___ por camiseta en las semanas 1, 2 y 3. Entre las semanas 1, 2, y 3, esta tasa de cambio ____».
•
Lean todos juntos en voz alta el segundo enunciado. «Señala el número o los números de la página que utilizarás para determinar la respuesta antes de contestar».
•
Lea el tercer enunciado y pida a los estudiantes que repitan. «Señala el número o números de la página que utilizarás para determinar la respuesta antes de contestar».
•
Lea el cuarto enunciado y pida a los estudiantes que repitan. «Conversa con tus compañeros para decidir la respuesta».
•
Lean todos juntos en voz alta la quinta afirmación. «Señala el número o los números de la página que usarás para determinar la respuesta antes de contestar».
•
Lean todos juntos en voz alta la sexta afirmación. «Señala el número o los números de la página que utilizarás para determinar la respuesta antes de contestar».
•
«¿Cómo puedes utilizar los datos para decidir si la relación es lineal o no lineal?». ◦
•
•
«Comparte con tus compañeros de qué trataba la historia».
•
«Comenta con tus compañeros lo que Jamal intenta averiguar sobre las ganancias de su negocio».
•
«Comenta con tus compañeros cuánto dinero ganó Jamal la primera semana en comparación con la segunda».
•
«¿Qué ocurrió en la cuarta semana?».
•
«¿Qué significa que una relación tenga una razón de cambio constante?».
•
«¿Cómo podría Jamal decidir si la relación entre las camisetas vendidas y las ganancias es lineal o no lineal?».
•
«Utiliza la historia para completar la tabla».
•
Lean todos juntos en voz alta el primer enunciado. «Señala la respuesta en la historia antes de marcar la afirmación como verdadera o falsa».
«¿Qué está intentando averiguar?». ◦
•
Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente fragmento de oración: «Jamal ___ camisetas personalizadas».
Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente inicio de oración: «Para decidir si la relación es lineal o no lineal, utilizaría los datos para ____».
Lean todos juntos en voz alta el séptimo enunciado. «Señala el número o los números de la página que utilizarás para determinar la respuesta antes de responder».
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 33
•
«Averigua cuánto gana Jamal por camiseta vendida cada semana. ¿Este número se mantiene igual o cambia con respecto a las semanas 1, 2 y 3?».
•
Lean todos juntos en voz alta la segunda afirmación. «Discute con tus compañeros para decidir si es verdadera o falsa».
•
«Lee en pareja la tercera afirmación. Conversa con tus compañeros para decidir si es verdadera o falsa».
•
Lean todos juntos en voz alta la cuarta afirmación. «Conversa con tus compañeros para decidir si es verdadera o falsa».
•
Lean todos juntos en voz alta la quinta afirmación. «Conversa con tus compañeros para decidir si es verdadera o falsa».
•
«Lee en pareja la sexta afirmación. Conversa con tus compañeros para decidir si es verdadera o falsa».
•
«¿Cómo puedes utilizar los datos para decidir si la relación es lineal o no lineal?».
•
«Lee en pareja la séptima afirmación. Conversa con tus compañeros para decidir si es verdadera o falsa».
•
«¿Las ventas de camisetas de Jamal tuvieron una tasa constante? ¿Por qué sí o por qué no?».
•
«Explica a tus compañeros de qué trataba el pasaje».
•
«¿Qué sucede con las ganancias de Jamal a medida que aumenta el número de camisetas vendidas?».
•
«¿Por qué cambiaron las ganancias de Jamal durante la cuarta semana?».
•
«¿Cómo puede Jamal determinar si la relación entre las camisetas vendidas y las ganancias es lineal o no lineal?».
•
«¿Qué significa que las ganancias crezcan a un ritmo constante? ¿Cómo se vería esto basado en la primera semana de ventas de camisetas de Jamal?».
•
«Usa la historia para completar la tabla».
•
«Lee cada enunciado y conversa sobre tus respuestas con tus compañeros».
33
1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCRIBIR
PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Ponga a disposición de los estudiantes las tarjetas de «Vocabulario ilustrado». Lea y pida a los estudiantes que repitan. Comente las palabras del banco de palabras. Defina las palabras y proporcione ejemplos según sea necesario.
Ponga a disposición de los estudiantes las tarjetas de «Vocabulario ilustrado». Lean todos juntos en voz alta y conversen sobre las palabras del banco de palabras. Defina las palabras y proporcione ejemplos según sea necesario. Utilice las siguientes indicaciones:
Ponga a disposición de los estudiantes las tarjetas de «Vocabulario ilustrado». Los estudiantes deben leer en parejas las palabras del banco de palabras y comentar su significado con sus compañeros. Defina las palabras y proporcione ejemplos cuando sea necesario. Mientras los estudiantes leen, utilice las siguientes indicaciones:
•
•
Comente con los estudiantes las relaciones lineales y no lineales.
•
Pida a los estudiantes que comenten las palabras del banco de palabras con sus compañeros.
•
«Dobla la mitad inferior del papel para que sólo se vea el banco de palabras. Señala cada palabra del banco de palabras y, por turnos, explícalas a tus compañeros».
◦
«¿Qué hace que una relación sea lineal?».
◦
«¿Cómo se puede comprobar si una tabla representa una relación lineal?».
•
◦
«¿En qué se diferencia una relación lineal de una no lineal?».
Tome nota de los estudiantes que explican con precisión matemática las palabras del banco de palabras.
•
◦
«¿Qué pistas pueden ayudar a identificar si una relación es lineal o no lineal con sólo mirarla?».
«A continuación, señala una palabra del banco de palabras cuyo significado necesites aclarar».
•
Pida a los estudiantes que han dado explicaciones precisas desde el punto de vista matemático que ayuden a sus compañeros a aclarar las palabras seleccionadas. «Veo que varios estudiantes están pidiendo aclaraciones sobre la palabra ________. (Nombre del estudiante) pudo dar una explicación clara de la palabra _________ a su compañero. (Nombre del estudiante), ¿podrías compartir tu explicación?».
•
«Lee cada enunciado con tus compañeros y utiliza las palabras del banco de palabras para completar cada enunciado. Ten en cuenta que algunas palabras pueden usarse más de una vez o no usarse en absoluto».
•
Recuerde a los estudiantes que consulten el banco de palabras cuando completen los espacios en blanco.
Lea cada enunciado, pida a los estudiantes que repitan y consulten sus tarjetas de «Vocabulario ilustrado» cuando sea necesario antes de escribir sus respuestas.
•
Pida a los estudiantes que comenten las palabras del banco de palabras con sus compañeros.
•
«Conversa sobre las palabras del banco de palabras con tus compañeros. Cada persona debe dar una explicación o descripción de una palabra y, a continuación, pedir a su compañero que parafrasee el significado de la palabra. Continúa este proceso hasta que hayas comentado todas las palabras del banco de palabras».
•
«Lee las instrucciones con tus compañeros. ¿Qué plan seguirás para asegurarte de que utilizas el mayor número posible de palabras del banco de palabras en tu redacción?. Si no estás seguro de cómo utilizar una palabra, enciérrala con un círculo en el banco de palabras». Los estudiantes no deben empezar a escribir todavía.
•
Esté atento a los estudiantes que tengan dificultades para crear un plan o que encierren con un círculo las palabras del banco de palabras. Ofrezca apoyo y permita que los estudiantes que hayan podido crear un plan lo compartan con la clase. ◦
«Veo que varios de nosotros necesitamos aclaraciones sobre la palabra _______. Voltéate hacia alguien que esté cerca y que no sea tu compañero y pídele que aclare o defina la palabra ___________».
◦
«Veo que varios de nosotros necesitamos ayuda para diseñar un plan que utilice palabras del banco de palabras. Dirígete a alguien que no sea tu compañero y pídele que explique cómo piensa utilizar el mayor número posible de palabras del banco de palabras».
34
SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 34
•
Una vez aclaradas todas las palabras y compartidos los planes, pide a los estudiantes que escriban sus explicaciones.
•
«Ahora escribe una explicación que utilice al menos cinco de las palabras del banco de palabras. Cuando termines de escribirla, compártela con tus compañeros».
ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO VOCABULARIO CLAVE
VOCABULARIO ILUSTRADO Coefficient
Input
Less Than
Line
The number placed directly before a variable that tells you to multiply that number by the variable
The set of values supplied to a function
Smaller than another (e.g., 432 < 501)
A straight geometric element with no thickness, extending endlessly in both directions; the shortest distance between two points
2
12
11
13
Linear Function
Linear Graph
Nonlinear Function
Output
A relationship that when graphed is a straight line
A series of points connected on the coordinate plane, forming straiga ht line that shows a relationship or rate of change
A relationship that when graphed does not make a straight line; a relationship that does not create a straight line; nonlinear association
The result of the input placed in the function
14
15
16
17
Rate of Change
Slope
Y-Intercept
Constant
The rate that shows how one quantity changes in relation to another quantity
How steep a line is; represented as m in the slope-intercept equation
The point on a graph of an equation where the line crosses the y-axis
A fixed number that stands alone in an equation or expression
18
3
20
19
Correlation
Decreasing
Formula
Function
The relationship between two variables that vary together
The measure of the steepness of a line that shows the slant downward from left to right
A mathematical statement or rule written with symbols
A special relationship between values; each input value gives back exactly one output value.
4
5
Function Rule
Greater Than
Increasing
The dependent variable (range, output, y value) expressed in terms of the independent variable (domain, input, x value)
More than another (e.g., 49 > 12)
When the y value increases as the x value increases
8
ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 35
6
9
7
10
35
1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ DESARROLLAR FLUIDEZ CONCEPTUAL
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: COMPARAR FUNCIONES DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes jugarán al juego Concentración.
Concentration Instruction Sheet Play this game with a partner. You Will Need 1 Set of Concentration Cards (per pair)
How to Play 1. Shuffle the cards, and place them facedown to form a 4 × 6 array.
MATERIALES IMPRESO
• 1 hoja de instrucciones de concentración (por pareja) • 1 conjunto de «Tarjetas del juego Concentración» (por pareja) REUTILIZABLE
• 1 sobre o bolsa (por pareja)
PREPARACIÓN
• Haga copias a doble cara del documento «Tarjetas del juego Concentración».
2.
Player 1 flips over two cards to try to find a match. A match is a problem with its correct answer. Problems will need to be solved in order to determine matching answers.
3.
If player 1 matches a problem with the correct answer, then player 1 keeps the matched set and takes another turn.
4.
If player 1 does not find a match, then they place the cards facedown again, and it is the next player's turn.
5.
Players continue taking turns until all of the matches have been found.
6.
The player who collects the most cards wins.
• Lamínelas para que duren más. • Recorte las tarjetas individuales y colóquelas en un sobre o bolsa para facilitar su distribución y limpieza. • Coloque a los estudiantes en parejas.
HOJA DE INSTRUCCIONES
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo barajar las tarjetas y colocarlas boca abajo en una matriz de 4 × 6. 2. Modele cómo jugar con un estudiante. a. El jugador 1 voltea 2 tarjetas para tratar de encontrar una coincidencia. Una coincidencia es un problema con su respuesta correcta. Será necesario resolver los problemas para determinar las respuestas que coinciden. b. Si el jugador 1 encuentra un problema con la respuesta correcta, entonces el jugador 1 se queda con el conjunto coincidente y toma otro turno. c. Si el jugador 1 no encuentra una coincidencia, entonces vuelve a colocar las tarjetas boca abajo y es el turno del siguiente jugador. d. Los jugadores continúan tomando turnos hasta que se hayan encontrado todas las coincidencias. a. Gana el jugador que reúna la mayor cantidad de tarjetas. 3. Distribuya los materiales. A continuación, pida a los estudiantes que barajen las cartas y las coloquen boca abajo. 4. Vigile a los estudiantes para asegurarse de que encuentren las parejas correctas.
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GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
ELABORAR: REVISIÓN EN ESPIRAL REVISAR CONCEPTOS PREVIOS
REVISIÓN EN ESPIRAL: ALQUILER DE AUTOS • Pregunta 3
DESCRIPCIÓN Los estudiantes repasan contenidos anteriores o del grado actual para ayudar a apoyar su trabajo en el alcance actual y fortalecer las habilidades necesarias para alcances posteriores.
REVISIÓN EN ESPIRAL CENTRADA EN LA PREGUNTA • Pregunta 1
◦ Grado 8: Entender que las soluciones a un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables corresponden a puntos de intersección de sus gráficas porque los puntos de intersección satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente. • Pregunta 2 ◦ Grado 8: Resolver sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables algebraicamente, y estimar soluciones graficando las ecuaciones. Resolver casos sencillos por inspección. Compare Functions
Car Rental Tonya wants to visit her best friend who lives a few states over. Originally she was going to fly, however flights have become increasingly expensive. All of the more affordable flights are scheduled for the middle of the night, and Tonya does not want to deal with layovers. She decides that she will drive. She has an older car that will not be reliable on such a long trip, so she decides to rent a vehicle. She would like something spacious enough to fit all of her luggage. She also doesn’t want to spend too much money on gas, therefore she would like a rental vehicle with good gas mileage. She decides to look around at the different car rental companies near her. Most companies charge a flat fee plus a certain fee per mile. Tonya compares the different prices of several companies before deciding on the best one for her. She can’t wait to see her friend!
1
Compare Functions
1.
The following graph represents the prices of two different rental cars. What does the point (9, 35) mean in terms of the context?
2.
It is the point of intersection when both rentals will cost the same.
3.
Rental company A charges a flat fee of $16 plus $0.85 per mile. Rental company B charges a flat fee of $23 plus $0.52 per mile. Set up a system of equations that could be used to compare the two rental companies. Company A: y = 0.85x + 16 Company B: y = 0.52x + 23
Vans don’t get used as much as SUVs so they are cheaper to rent. Vans, however, get worse gas mileage, therefore the gas costs more. The cost to rent a van is y = 14 + 0.75x. The cost to rent an SUV is y = 25 + 0.50x. How many miles, x, would Tonya have to drive for the cost, y, of renting an SUV to be the same as renting a van?
◦ Grado 8: Resolver problemas matemáticos y del mundo real que conduzcan a dos ecuaciones lineales en dos variables. • Pregunta 4 ◦ Grado 8: Entender que una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. La gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados que consisten en una entrada y la salida correspondiente.
PREPARACIÓN
• Imprima un documento «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a tratar de responder a las preguntas de forma independiente sin utilizar recursos externos para ver lo que saben. Invite a los estudiantes a anotar ideas o fragmentos que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas. 3. Utilice las preguntas de revisión en espiral como calentamiento en clase, o envíelas a casa como tarea. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos. 4. Consulte la sección «Revisión en espiral centrada en la pregunta» para evaluar los conocimientos de contenido de los estudiantes o su necesidad de una mayor intervención. Si es necesario repasar más, utilice los «Constructores de fluidez» en los alcances apropiados. 5. El proyecto final incluye una parte de este alcance para que los estudiantes vean la conexión y relevancia de su aprendizaje previo con el actual.
She would have to drive 44 miles.
4.
The table below shows how far Tonya drives per hour. Does this table represent a function? Why or why not?
Number of Hours
1
3
5
8
9
Number of Miles
50
42
60
59
50
Yes. Every input has only one output.
2
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GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS ANALIZAR DATOS
CIENCIA DE DATOS Ciencia de datos es una breve conversación en clase basada en un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. La parte I incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los estudiantes en contexto.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizarán, interpretarán y generarán conjuntos de datos, además de responder a preguntas basadas en los datos.
MATERIALES IMPRESO
• 1 conjunto de datos (por clase) REUTILIZABLE
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase) • 1 marcador (por clase) CONSUMIBLE
• 1 hoja de papel de rotafolio (por clase)
PREPARACIÓN
• Prepárese para proyectar el «Conjunto de datos» para la clase. • Reúna una hoja de papel de rotafolio y un marcador.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Proyecte el «Conjunto de datos» y prepárese para anotar las observaciones de los estudiantes. 2. Converse sobre las siguientes preguntas:
2. Converse sobre las siguientes preguntas: a. «¿En qué región se espera que aumente más rápidamente la cantidad de residuos producidos al año?. Muestra tu trabajo». Asia Oriental y el Pacífico; 268−188 Oriente Medio y Norte de África: _________ = 4 50−30 Europa y Asia Central: 3 717−577 Asia Oriental y el Pacífico: ________ = 7 50−30 393−333 Norteamérica: _________ = 3 50−30
b. «¿En qué dos regiones se prevé que la cantidad de residuos producidos al año aumente al mismo ritmo?». Europa y Asia Central, y América del Norte c. «¿Qué región produjo la mayor cantidad de residuos en 2000?. Muestra tu trabajo». Asia Oriental y el Pacífico; Oriente Medio y Norte de África: 188 = 4(30) + b; b = 68 Europa y Asia Central: b = 349 Asia Oriental y el Pacífico: 577 = 7(30) + b; b = 367 América del Norte: 333 = 3(30) + b; b = 243 d. «¿Qué región produjo menos residuos en 2000?». Oriente Medio y Norte de África e. «¿Qué comparaciones puede hacer entre la región de Oriente Medio y Norte de África y la región de Norteamérica?». Respuesta de ejemplo: Aunque la región de Oriente Medio y Norte de África tenía considerablemente menos residuos que la región de América del Norte en 2000, la región de Oriente Medio y Norte de África está produciendo ahora residuos a un ritmo mayor. Por lo tanto, es probable que en algún momento en el futuro, la región de Oriente Medio y Norte de África tenga más residuos que la región de América del Norte.
a. «¿Qué observas en este conjunto de datos?». b. «¿Qué representa este conjunto de datos?». c. «¿Qué categorías se incluyen en este conjunto de datos?».
Compare Functions
Waste Management
d. «¿Cómo puedes hallar la tasa de cambio a partir de una tabla de valores?». e. «¿Qué pares ordenados representan la situación en Asia Oriental y el Pacífico?». f. «¿Qué preguntas tienes sobre los datos?». PARTE II
1. Repase cómo escribir la ecuación de una recta dados dos puntos, y escriba lo que recuerden los estudiantes en el papel de rotafolio.
“Trends in Solid Waste Management,” The World Bank, World Bank Group, accessed March 23, 2022, https://datatopics.worldbank.org/what-a-waste/trends_in_solid_waste_management.html#:~:text=Some%2037%20percent%20of%2 0waste%20is%20disposed%20of,and%2011%20percent%20is%20incinerated%20for%20final%20disposal.
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CONJUNTO DE DATOS
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GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES Compare Functions
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE OBSERVACIÓN EVALUACIÓN DE HABILIDADES
Compare Functions How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Compare properties of two functions each represented in a different way (algebraically, graphically, numerically in tables, or by verbal descriptions). For example, given a linear function represented by a table of values and a linear functions represented by an algebraic expression, determine which function has the greater rate of change. Interpret the equation y = mx + b as defining a linear function, whose graph is a straight line; give examples of functions that are not linear. For example, the function A = s2 giving the area of a square as a function of its side length is not linear because its graph contains the points (1, 1), (2, 4) and (3, 9), which are not on a straight line.
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
LISTA DE CONTROL DE LA OBSERVACIÓN
Notes and Feedback
DESCRIPCIÓN Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede utilizarse como evaluación formativa para los maestros y como autoevaluación para los estudiantes.
MATERIALES ❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 folleto del maestro (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del maestro» y un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
1
Compare Functions
Standards for Mathematical Practice
Notes and Feedback
Make sense of problems and persevere in solving them
Construct viable arguments and critique the reasoning of others Model with mathematics
4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje.
Use appropriate tools strategically
Attend to precision
5. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el «Folleto del maestro».
Look for and make use of structure Look for and express regularity in repeated reasoning
6. Las notas anecdóticas proporcionadas en el «Folleto del maestro» pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares.
Consider these reflection questions in this scope. ●
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them?
●
What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
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1. Distribuya un «Folleto del estudiante» a cada uno. 2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Explorar» y «Explicar» del alcance, evalúe formativamente su progreso tomando notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo. 3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
Reason abstractly and quantitatively
FOLLETO DEL MAESTRO
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
7. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la «Guía de instrucción andamiada» en la sección «Inicio» de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
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GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
EVALUAR: MAPA DE CALOR ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
MAPA DE CALOR DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
1. Dé un «Mapa de calor» a cada estudiante junto con lápices de colores rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s). 2. Los estudiantes utilizan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el «Mapa de calor». Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los estudiantes colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, los estudiantes colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, los estudiantes colorean el cuadro correspondiente de rojo.
MATERIALES
• 1 mapa de calor (por estudiante) • 1 lápiz de color rojo (por estudiante) • 1 lápiz de color azul (por estudiante) • 1 lápiz de color naranja (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Determine si los estudiantes analizarán su «Prueba de habilidades», la «Evaluación basada en estándares», o ambas.
3. Anímelos a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a utilizar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada.
• Imprima un «Mapa de calor» para cada estudiante.
4. Consulte la «Guía de instrucción andamiada» que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
• Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
Compare Functions
Compare Functions
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
Standards
Compare properties of two functions each represented in a different way (algebraically, graphically, numerically in tables, or by verbal descriptions). For example, given a linear function represented by a table of values and a linear functions represented by an algebraic expression, determine which function has the greater rate of change.
Interpret the equation y = mx + b as defining a linear function, whose graph is a straight line; give examples of functions that are not linear. For example, the function A = s2 giving the area of a square as a function of its side length is not linear because its graph contains the points (1, 1), (2, 4) and (3, 9), which are not on a straight line.
Refer to your answers on the Standards-Based Assessment. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key.
Reflection Questions
Red – misconception
1. Which skill did you feel most confident with? Why?
Skills Quiz
Compare Functions
Blue - miscalculation
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
Orange - explanation
Questions
Standards
1
2
3
4
5
6
7
10
8
9
3. Which type of error did you most commonly make?
Compare properties of two functions each represented in a different way (algebraically, graphically, numerically in tables, or by verbal descriptions). For example, given a linear function represented by a table of values and a linear functions represented by an algebraic expression, determine which function has the greater rate of change.
4. How can you avoid those errors in the future?
Interpret the equation y = mx + b as defining a linear function, whose graph is a straight line; give examples of functions that are not linear. For example, the function A = s2 giving the area of a square as a function of its side length is not linear because its graph contains the points (1, 1), (2, 4) and (3, 9), which are not on a straight line.
1
Red - misconception
Standards-Based Assessment
2
Questions
2
3
5
6
9
10
1
4
7
8
3
MAPA DE CALOR
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GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
INTERVENIR: REPASO Y PRÁCTICA DE DESTREZAS REMEDIAR Y VOLVER A ENSEÑAR
REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para intervención.
1. Dé una copia de la «Revisión rápida» a cada estudiante. 2. Cada uno debe completarla de forma independiente. 3. Use la rúbrica de habilidades al final de la «Revisión rápida» para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional.
MATERIALES IMPRESO • 1 revisión rápida (por estudiante)
4. Distribuya una copia del «Repaso» a cada uno.
• 1 repaso (por estudiante)
5. Cada estudiante debe completar el «Repaso» como actividad de intervención o de forma independiente.
• 1 revisión general (por estudiante) • 1 lista de verificación para el maestro (por maestro)
a. Si lo desea, reúna a los estudiantes en pequeños grupos para trabajar en las destrezas de repaso. Utilice el «Repaso» como ayuda para la reenseñanza.
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de la «Revisión rápida», el «Repaso» y la «Revisión general» para cada estudiante. • Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar el «Repaso».
6. Distribuya una copia de la «Revisión general» a cada uno.
• Si lo desea, imprima un ejemplo del «Esquema de anclaje» de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que usen la «Libreta interactiva» como recurso.
7. Cada estudiante debe completarla de forma independiente. 8. Analice los resultados de la «Revisión general» al usar la «Lista de verificación para el maestro» para identificar quienes necesitan un repaso adicional y quienes han alcanzado el dominio de los conceptos.
• Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayudas suplementarias para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
Compare Functions
4.
Checkup 1.
Compare Functions
3
Equation A is y = x + 10, and equation B is y = 5x + 8. Which equation has 4 the greater slope, and why?
4
2.
Circle the function with the smallest slope. Explain.
x y
40 4
80 8
100 10
5.
1
3
5
7
x
1
2
3
4
x
1
2
4
y
2
3
4
5
y
2
4
6
8
y
−2
−4
−8
y = 9x + 6 Slope = coefficient of x Slope = 9 6.
y = 6x + 9 Slope = coefficient of x Slope = 6
Slope = 2 = 2 1
Slope of 2 > slope of −2
For problems 8 and 9, graph the equations onto the blank graphs.
Circle the function with the smaller slope. Explain.
Slope = Change in y = 1 = 1 Change in x 1
8.
y = x2 + 1
10.
Why is the function in problem 8 considered nonlinear?
9.
y=x+1
y = −5x + 9
Which function has the greater slope, A or B? Explain. A.
Slope = −4 – (−2) = −2 2–1
Slope = 2
Slope = Change in y = 4 = 1 Change in x 40 10
3.
Slope = 4 – 2 = 2 = 2 2–1 1
Circle the function with the greater slope. Explain.
1 2 x + 80
1
Circle the function with the greater slope. Explain.
x
Slope = coefficient of x
y=
7.
Circle the table with the greater slope. Explain.
Slope = 3 – 2 = 1 3–1 2
Equation B has the greater slope because m (the coefficient of x) is 5, while the m in equation A is 3 .
Compare Functions
Slope = coefficient of x Slope = −5
B.
−5 < −2
Slope = −2 = −2 1 Visually, line A is steeper than line B. Algebraically, the slope of line A is 8 , or 4 2. 1 The slope of line B is 2 . Line A is steeper than line B.
Problem 8’s graph is nonlinear because the graph is not a straight line; it is curved. 1
2
3
COMPROBACIÓN CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
ACELERACIÓN: ¿QUÉ PREFERIRÍAS? Compare Functions
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
¿QUÉ PREFERIRÍAS?: FUN ZONE DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
Fun Zone Use mathematical reasoning and creativity to justify your answer to the Would You Rather question. Pari and Marcus are going to Fun Zone. Fun Zone charges an admission fee of $5, with $2 for games and $3 for go-carts. Pari wants to play games, and Marcus wants to ride go-carts. Would you rather play games or ride go-carts? Justify your reasoning with mathematics. Use page 2 to compare each package with a table, graph, and equation.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 rúbrica (por maestro)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno. • Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
Sample answers may include the following: I would rather play games because after you play games, you get tickets and can turn them in to get prizes. Equation: y = 2x + 5 I would rather ride go-carts because I enjoy racing with my friends in go-carts. Equation: y = 3x + 5
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
1
1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno.
Compare Functions
2. Anímelos a mirar sus folletos de «Explorar» si necesitan repasar habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros. 4. Utilice la rúbrica proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
Complete the table, and graph the ordered pairs in the coordinate plane below.
Games
Cost
0
5
1
7
2
9
3
11
Equation: y = 2x + 5
Rides
Cost
0
5
1
8
2
11
3
14
Equation: y = 3x + 5
Compare the slope of each line. The slope of the line for the games equation is 2, and the slope of the line for the rides equation is 3. The slope for rides is steeper than the slope for games.
2
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: COMPARAR FUNCIONES
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Compare Functions
Choose 6: OPCIONES PARA SEGUIR APRENDIENDO ● Career Connection (MUST INCLUDE) ● Science Connection ● Arts Connection ● Kitchen Connection ● Create Your Own ● Financial Connection Los estudiantes explorarán las conexiones con ● Technology Connection mundo real y las aplicaciones del contenido ● el Analogies ● matemático Mathematician Spotlight a través de interacciones con actividades ● Other - must be approved atractivas. by PM!
TABLERO DE OPCIONES
Compare Functions
R CONNECTION be one of the choices. select any of the hoices (listed in blue he right).
s that are highlighted be changed and ghted.
Choose one or more extension activities from the table below. Career Connection
Science Connection
Insurance Broker
Time and Distance
Research the career field of insurance brokers. Your research must answer the provided questions. Create a presentation to relay your research to the class.
Analyze the data provided on the handout. Then, use the data and your own research to answer the questions.
Technology Connection
Create Your Own
Investment Value
Real-World Functions
Use the graphing calculator to enter the data provided on the handout. Then, use the data and calculator to answer the questions.
Create your own functions, and compare them. Follow the criteria on the handout to come up with a real-world scenario that goes along with the functions you create and compare.
Analogies
Financial Connection
Complete the analogies to show a function with the same slope.
DESCRIPCIÓN
MATERIALES IMPRESO
• 1 tablero de opciones (por estudiante) • 1 juego de hojas de actividades (por estudiante) • 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante) REUTILIZABLE
Pay Day
• Tecnología (si corresponde)
We use math every day in our financial world. Compare functions to find the best-paying job.
PREPARACIÓN 1
TABLERO DE OPCIONES
• Imprima un «Tablero de opciones» y un juego de hojas de actividades para cada estudiante. • Imprima una «Autoevaluación del tablero» para cada estudiante. • Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» a cada estudiante. 2. Dé tiempo a los estudiantes para examinar el «Tablero de opciones» y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anímelos a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del tablero, haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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• ⁄ GRADO 8 TASA DE VARIACIÓN
GRADO 8
TASA DE CAMBIO ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: DOS VERDADES Y UNA MENTIRA
ESTÁNDARES CLAVE Utilizar funciones para modelizar relaciones entre magnitudes. • Construir una función para modelizar una relación lineal entre dos magnitudes. Determinar la tasa de variación y el valor inicial de la función a partir de la descripción de una relación o de dos valores (x, y), incluso si se leen en una tabla o en una gráfica. Interpretar la tasa de variación y el valor inicial de una función lineal en términos de la situación que modela y en términos de su gráfica o de una tabla de valores.
ESTÁNDARES DE CONEXIÓN Definir, evaluar y comparar funciones. • Entender que una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. La gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados formados por una entrada y la salida correspondiente. • Comparar las propiedades de dos funciones representadas cada una de una manera diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en una tabla o mediante una descripción verbal). Por ejemplo, dada una función lineal representada por una tabla de valores y una función lineal representada por una expresión algebraica, determinar qué función tiene la mayor tasa de cambio. • Interpretar la ecuación y = mx + b como definitoria de una función lineal, cuya gráfica es una línea recta; dar ejemplos de funciones que no son lineales. Por ejemplo, la función A = s2 que da el área de un cuadrado en función de la longitud de sus lados no es lineal porque su gráfica contiene los puntos (1, 1), (2, 4) y (3, 9), que no están en una línea recta.
Los estudiantes se involucran en el pensamiento crítico para identificar conceptos erróneos relacionados con un estándar previo a través del ejercicio «Dos verdades y una mentira». • Los estudiantes leen tres afirmaciones y determinan cuáles son verdaderas y cuáles falsas. • Comentan sus elecciones y razonamientos con un compañero para profundizar la comprensión. • Los estudiantes justifican su selección de la afirmación falsa, al promover el pensamiento crítico y la discusión. • Si es necesario, se puede utilizar el «Constructor de bases fundamentales» para abordar cualquier laguna en los conocimientos previos. CAPTAR INTERÉS Los estudiantes exploran el concepto de intersección con el eje y, y determinan qué modelo no es equivalente a otros a través de un escenario práctico que involucra el entrenamiento de perros. • Se presenta a los estudiantes un escenario del mundo real en el que analizan diferentes modelos que representan las compras de huesos de perro de Jerry. • Se involucran con varias representaciones de datos, incluidos tablas, historias, ecuaciones de intersección de pendiente y gráficos lineales. • La actividad consiste en identificar la intersección con el eje y, y la tasa de cambio correctas, y hacer hincapié en la importancia de estos elementos para determinar la equivalencia del modelo. • Los estudiantes aplican sus conocimientos al crear e intercambiar sus propias representaciones para identificar errores en las intersecciones y o las pendientes.
ACTIVIDADES DE EXPLORAR EXPLORACIÓN 1: DETERMINAR LA INTERSECCIÓN CON EL EJE Y Los estudiantes exploran el concepto de la intersección y a través de diversas representaciones como gráficos, tablas, ecuaciones y descripciones verbales. • Los estudiantes trabajan en grupos para identificar la intersección con el eje y a partir de tablas y gráficos, con tarjetas de horas de voluntariado y un tapete de trabajo con la intersección con el eje y. Participan en discusiones guiadas para profundizar en su comprensión de la intersección y su significado en diferentes contextos. • Participan en conversaciones guiadas para profundizar su comprensión de la intersección y su significado en diferentes contextos. • En la parte II, los estudiantes analizan ecuaciones y descripciones verbales para encontrar la intersección y, con la ecuación y = mx + b. • La actividad concluye con una «Charla de matemáticas» y un «Boleto de salida» para evaluar la comprensión de los estudiantes y fomentar la reflexión sobre las estrategias utilizadas. EXPLORACIÓN 2: DETERMINAR LA TASA DE CAMBIO Los estudiantes exploran el concepto de tasa de cambio a través de diversas representaciones y escenarios relacionados con el voluntariado en un banco de alimentos. • Los estudiantes trabajan en grupos para calcular la tasa de cambio a partir de gráficos, tablas, funciones lineales y descripciones verbales con la fórmula de la tasa de cambio. • Utilizan materiales como las tarjetas de voluntario del banco de alimentos y los tapetes de trabajo de la tasa de cambio, para determinar la tasa de cambio en diferentes contextos. • La actividad incluye preguntas guiadas y debates para profundizar la comprensión y conectar los conceptos matemáticos con situaciones del mundo real. • Completan un «Diario del estudiante» y un «Boleto de salida» para reflexionar sobre su aprendizaje y demostrar su comprensión de la tasa de cambio. EXPLORACIÓN 3: INTERPRETAR LA TASA DE CAMBIO Y LA INTERSECCIÓN CON EL EJE Y. Los estudiantes exploran las funciones lineales al interpretar la tasa de cambio y la intersección y, en escenarios del mundo real. • Los estudiantes trabajan en grupos para escribir funciones lineales a partir de descripciones verbales y crear tablas y gráficos para representar estas situaciones. • Se involucran con preguntas guía para profundizar su comprensión de la identificación de la intersección y y la tasa de cambio. • Los estudiantes participan en discusiones para comparar estrategias y compartir observaciones, a la vez que mejoran sus habilidades analíticas. • La actividad concluye con un «Boleto de salida» para evaluar la comprensión y una «Charla de matemáticas» para reflexionar sobre los resultados del aprendizaje.
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GRADO 8: TASA DEGRADO CAMBIO TASA DE VARIACIÓN 8
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES EXPLORACIONES DE DATOS
Los estudiantes participan en exploraciones de datos que implican la comprensión de funciones a través de escenarios del mundo real, como las horas de voluntariado o las donaciones a bancos de alimentos. Mediante la construcción y el análisis de gráficos, tablas y descripciones verbales de las relaciones, los estudiantes desarrollan su comprensión de las relaciones lineales y el concepto de tasa de cambio. Estas lecciones sientan las bases para posteriores exploraciones con grandes conjuntos de datos y notación científica, en las que es esencial interpretar las relaciones de función entre los puntos de datos. Las habilidades para reconocer patrones y comprender la tasa de cambio en un escenario dado contribuyen directamente a analizar conjuntos de datos que pueden requerir herramientas más complejas, como hojas de cálculo o modelos estadísticos.
ECUACIONES LINEALES
DATOS, GRÁFICAS Y TABLAS
CONCEPTOS CLAVE
Los estudiantes se centran en la comprensión y modelización de relaciones entre cantidades mediante la interpretación de relaciones lineales y la representación de soluciones de ecuaciones lineales. Al examinar la pendiente y los interceptos en gráficos y tablas, practican la resolución de pares de ecuaciones lineales y exploran la conexión entre las representaciones algebraicas y gráficas de las relaciones lineales. Este conocimiento básico es clave a la hora de analizar gráficos de dispersión, ya que los estudiantes utilizarán su comprensión de las ecuaciones lineales para identificar tendencias lineales en los datos, y hacen de estas lecciones un apoyo directo para el trabajo futuro en la interpretación de gráficos de dispersión y la comparación de relaciones lineales.
Los estudiantes construyen diversas representaciones de datos, como gráficos, tablas y ecuaciones, para modelizar y comparar diferentes relaciones funcionales. Al pasar de una representación a otra, analizan la tasa de cambio y las intersecciones y para describir la relación cuantitativa entre variables. Las habilidades que desarrollan (como reconocer la importancia de las tasas de cambio constantes en las funciones lineales) ayudan a los estudiantes a interpretar los diagramas de dispersión y a determinar si los puntos de datos representan relaciones lineales o no lineales. Esta capacidad será fundamental cuando más adelante «Exploración»n datos y relaciones bivariantes más complejos.
PREGUNTAS FUNDAMENTALES
• Puedo construir una función para modelar una relación lineal entre dos cantidades.
• Describir la importancia de la tasa de cambio y los valores iniciales de una función.
• Puedo calcular la tasa de cambio y el valor inicial de una función a partir de tablas, gráficos, ecuaciones y descripciones verbales.
• Explicar cómo identificar la tasa de cambio y el valor inicial de una función cuando se dan dos valores (x, y) en una tabla o en un gráfico.
• Puedo interpretar la pendiente y el valor inicial a partir de situaciones del mundo real.
• Explicar la tasa de cambio y el valor inicial en términos de la situación.
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GRADO 8: TASA DE CAMBIO
INICIO: CONTENIDO DE APOYO ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
CONTENIDO DE APOYO Utilizar funciones para modelizar relaciones entre magnitudes. • Construir una función para modelizar una relación lineal entre dos magnitudes. Determinar la tasa de variación y el valor inicial de la función a partir de la descripción de una relación o de dos (x, y) valores, incluso leyéndolos en una tabla o gráfico. Interpretar la razón de cambio y el valor inicial de una función lineal en términos de la situación que modela, y en términos de su gráfica o una tabla de valores.
CONOCIMIENTOS PREVIOS En grados anteriores, los estudiantes fueron introducidos a problemas con una sola variable. Adquirieron experiencia diseccionando tablas y gráficas, determinando cualquier regularidad entre ellas. Los estudiantes aprendieron a encontrar proporcionalidad y relaciones multiplicativas entre valores. Todas estas ideas serán conceptos clave para que los estudiantes descompongan una función en sus distintas partes.
CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
• Los estudiantes necesitarán practicar viendo ecuaciones lineales de una forma distinta a y = mx + b para asegurarse de que entienden que la pendiente es el coeficiente del valor x y la constante es la y-intercepción. Se les deben dar algunos problemas de la forma y = b + mx para evitar que crean que la pendiente es siempre el primer número. • Los estudiantes deben tener cuidado al determinar la pendiente con gráficas que omiten números enteros. Necesitan tener cuidado de observar la escala real de la subida y bajada y no sólo contar las casillas en la gráfica. • Al crear una escala en una cuadrícula, los estudiantes deben asegurarse de usar intervalos iguales. • Los estudiantes deben entender que una pendiente es un cambio en el valor de y dividido por el cambio en el valor de x . Si colocan m = __ yx , obtendrán una respuesta incorrecta.
EN ESTE ALCANCE Los estudiantes construirán funciones para modelar relaciones lineales entre dos cantidades. Determinarán la tasa de cambio (pendiente) así como el valor inicial (intersección con el eje y) de la función a partir de una descripción, gráfica, ecuación o tabla dadas. Los estudiantes comprenderán que la pendiente se encuentra a partir de la relación creada por el cambio en los valores y, y el cambio en los valores x. Se familiarizarán con la búsqueda de la intersección y en el punto en que el valor x es igual a cero. TÉRMINOS A CONOCER
• datos bivariados: datos de dos variables que están emparejadas entre sí. • función: una relación especial entre valores; cada valor de entrada devuelve exactamente un valor de salida. • regla de función: la variable dependiente (rango, salida, y valor) expresada en términos de la variable independiente (dominio, entrada, x valor). • ecuación lineal: una ecuación en la que ninguna variable tiene una potencia superior a 1; la forma general es y = mx + b, donde m = pendiente y b = intersección con el eje y. • función lineal: una relación que cuando se representa gráficamente es una línea recta. • gráfica lineal: una serie de puntos conectados en el plano de coordenadas, formando una línea recta que muestra una relación o tasa de cambio. • pendiente negativa: La medida de la inclinación de una línea que muestra la inclinación hacia abajo de izquierda a derecha. • función no lineal: una relación que cuando se representa gráficamente no forma una línea recta; una relación que no crea una línea recta; asociación no lineal. • pendiente positiva: la medida de la inclinación de una línea que muestra la inclinación hacia arriba de izquierda a derecha. • tasa de cambio: la tasa que muestra cómo cambia una cantidad en relación con otra cantidad. • pendiente: pendiente de una recta; se representa como m en la ecuación pendiente-intersección. • variable: letra o símbolo que sustituye a un número que puede cambiar; letra que puede representar un número desconocido o un conjunto de números. • intersección del eje y: punto de la gráfica de una ecuación en el que la recta cruza el eje y-ejem
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GRADO 8: TASA DE CAMBIO
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
APLICACIÓN LAS PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes analizan y dan sentido a una descripción verbal para crear una tabla, ecuación y gráfica que represente la situación. A continuación, describen el significado de la situación basándose en las representaciones que han creado. • MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes razonan abstracta y cuantitativamente a medida que representan variables bivariadas en una relación de descripciones verbales. Crean razonamientos a partir de problemas a medida que explican si las funciones son lineales o no lineales. • MP.3 Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros: Los estudiantes participan en el discurso matemático mientras trabajan en grupos a lo largo de las actividades de ««Explorar»». Discuten el significado de las pendientes e intersección con el eje y en relación con contextos del mundo real. • MP.4 Modelar con matemáticas: Los estudiantes modelan con matemáticas mientras interpretan las diferencias entre funciones lineales y no lineales. Crean relaciones a partir de los conjuntos de datos dados, determinar la pendiente e intersección con el eje y de diferentes funciones, modelando su colocación en la gráfica. • MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas apropiadas: Los estudiantes utilizan las alfombras de trabajo proporcionadas y trabajan en grupo para encontrar la pendiente o e intersección con el eje y. Utilizan esta herramienta para encontrar el valor deseado, así como una fuente de aprendizaje y discusión sobre un nuevo concepto. • MP.6 Atender a la precisión: Los estudiantes encuentran valores exactos cuando crean una tabla a partir de una ecuación. Ser preciso es imperativo porque los estudiantes luego toman esos valores para crear un gráfico de la situación. • MP.7 Buscar y hacer uso de la estructura: Los estudiantes buscan y hacen uso de la estructura cuando describen la pendiente e intersección con el eje y de funciones en varias formas diferentes. Reconocen cómo determinar estas relaciones basándose en la estructura del modelo. • MP.8 Buscar y expresar regularidades en razonamientos repetidos: Los estudiantes generalizan el significado de la pendiente y de los problemas intersección con el eje y. Descubren que la pendiente es cómo se mueven los datos y que la intersección con el eje y es el valor inicial.
DETERMINAR LA INTERSECCIÓN CON EL EJE Y Los estudiantes determinarán la intersección con el eje y de una función a partir de un gráfico, una tabla, una forma algebraica y una descripción verbal.
Ejemplo 2: Determina la intersección con el eje y de la siguiente gráfica.
Ejemplo 1: «¿Cuál es la intersección con el eje y de la siguiente función?». x
-1
0
1
2
y
0
-1
0
3
a. y = 0 b. y = 1 c. y = -1 d. y = 3 La respuesta correcta es la opción C. Los estudiantes deben reconocer que la intersección con el eje y, o valor inicial ocurre cuando el x valor es igual a cero. En este caso, cuando x = 0, y = -1. Por lo tanto, la intersección de y es y = -1.
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a. y = -6 b. y = 3 c. y = 0 d. y = -10 La respuesta correcta es la opción A. Los estudiantes deben reconocer que visualmente la intersección con el eje y es donde la línea cruza sobre el eje y. Esto ocurre en el punto (0, -6). Por lo tanto, la intersección de y es y= -6.
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GRADO 8: TASA DE CAMBIO
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
CÁLCULO DE LA PENDIENTE Los estudiantes calcularán la pendiente de una función con una relación de subida y bajada. Ejemplo: Determinar la pendiente de la siguiente función:
La opción correcta es la C. En la opción a, los estudiantes verán que si el valor x aumenta en 5 cuando 5 1 el valor y aumenta en 1, la pendiente será ___ , no __ . La 5 1 respuesta correcta es la opción B tiene una intersección en y de 5, no una pendiente de 5. La opción D también tiene una intersección en y, intercepción de 5 y una 1 . Por lo tanto, los estudiantes pueden pendiente de ___ 5 eliminar todas las opciones excepto la opción C. Pueden ver que a medida que los valores de x suben 1 unidad, los valores de y suben 5 unidades. Esto da un aumento 5 = 5. sobre la carrera de ___ 1
INTERPRETAR LA TASA DE CAMBIO Y LA INTERSECCIÓN EN Y
a.
5
b.
___ 3
Los estudiantes interpretarán la pendiente y la intersección en y en el contexto de la situación dada. Utilizarán esta información para escribir y modelizar funciones lineales.
2
2 - __ 3 3 d. - __ 2 La respuesta correcta es la opción C. Los estudiantes deben notar primero que 5 es la intersección con el eje y y puede descartarse. Al contar la pendiente utilizando la razón de “ascenso sobre recorrido”, pueden determinar que, para pasar de un punto a otro, la gráfica desciende 2 unidades en el eje y y avanza 3 unidades hacia la derecha en el eje x. Por lo tanto, la pendiente debe ser la 2 fracción __ . Como la pendiente es negativa (porque desciende en 3 el eje y), debe indicarse como negativa. Por lo tanto, la respuesta correcta es −__ 32 .
c.
Ejemplo: El papá de Jack hizo reservaciones en un parque de trampolines para el cumpleaños de Jack. El parque de trampolines requiere una cuota de $100 para reservar el salón de fiestas más $20 por cada invitado que asista. Grafica la función lineal que representa el costo total de hacer la fiesta en el parque de trampolines para x personas.
CÁLCULO DE PENDIENTES A PARTIR DE MUCHAS FORMAS Los estudiantes determinarán la pendiente de una función a partir de una gráfica, ecuación algebraica, tabla o forma verbal. Ejemplo: «¿Cuál de las siguientes tiene una pendiente de 5?». a
El valor de x aumenta en 5 por cada aumento de 1 en el valor de y.
b
y = 3x + 5
c
x
0
1
2
3
y
2
7
12
17
El costo inicial por reservar el salón de fiestas es de $100. Esta es la intersección en y de la función y está representada por la coordenada (0, 100). La tasa de variación de la función es 20 porque el parque de camas elásticas cobra $20 adicionales por persona. Si asiste una persona, el coste sería de $100 + $20 = $120. Esto se representa mediante la coordenada (1, 120). Los dos puntos pueden conectarse con una línea recta para representar la función.
AVANCES
d
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Los estudiantes continuarán usando de la pendiente en matemáticas a medida que ingresan a la escuela secundaria. A medida que aprendan más sobre las funciones, comenzarán a profundizar en la evaluación de piezas específicas de lo que compone una función. Analizarán las gráficas de funciones e interpretarán y reconocerán la notación de funciones. Los estudiantes también comprenderán cómo determinar la pendiente entre ciertos segmentos de funciones no lineales.
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GRADO 8: TASA DE CAMBIO
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO ANÁLISIS PROFUNDO DE LOS ESTÁNDARES
CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES Utilizar funciones para modelar relaciones entre cantidades. • 8.F.B.4 Construir una función para modelar una relación lineal entre dos cantidades. Determinar la tasa de cambio y el valor inicial de la función a partir de la descripción de una relación o a partir de dos (x,y) valores, incluyendo la lectura de estos a partir de una tabla o gráfica. Interpretar la tasa de variación y el valor inicial de una función lineal en términos de la situación que modela y en términos de su gráfica o de una tabla de valores.
DESGLOSAR EL ESTÁNDAR VERBOS: ¿QUÉ DEBERÍAN HACER LOS ESTUDIANTES?
• construir: construir a partir de dos o más partes. • determinar: resolver; averiguar. • interpretar: explicar el significado de. • modelar: mostrar con una representación pictórica o una expresión numérica. • leer: mirar y comprender el significado de (material escrito o impreso) interpretando mentalmente los caracteres o símbolos que lo componen.
SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBEN CONOCER LOS ESTUDIANTES?
• función: una relación especial entre valores: cada valor de entrada devuelve exactamente un valor de salida. • gráfico: una representación visual de datos. • valor inicial: el valor de salida cuando la entrada de una función lineal es cero; intersección en y. • función lineal: una relación que cuando se representa gráficamente es una línea recta. • relación lineal: tener una tasa de cambio constante entre dos cantidades/variables y formar una línea recta cuando se representa gráficamente; una relación que crea una línea recta. • cantidad: un número o cantidad; una cantidad que indica cuánto. • tasa de cambio: la tasa que muestra cómo cambia una cantidad en relación con otra cantidad. • relación: la regla en un patrón. • tabla: una gráfica que usa filas y columnas para organizar información. • valor: la cantidad numérica denotada por un término algebraico; una magnitud, cantidad o número.
IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA
• En grados anteriores, los estudiantes han usado su comprensión de razones y tasas para resolver problemas del mundo real, así como para reconocer y representar relaciones proporcionales. Los estudiantes han calculado tasas unitarias con cocientes de fracciones. Han aprendido acerca de la pendiente y son capaces de utilizar tablas, gráficos, ecuaciones y descripciones verbales para ayudar a determinar soluciones. • En este nivel de grado, se espera que los estudiantes construyan una función que modele una relación lineal. También deben determinar la tasa de cambio y la intersección y, a partir de tablas, gráficos, ecuaciones y descripciones verbales de la relación. Los estudiantes determinan cómo calcular la pendiente. Los estudiantes deben explicar la pendiente y la intersección y en el contexto de la situación.
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GRADO 8: TASA DE CAMBIO
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
ALINEACIÓN VERTICAL GRADO 6
ESTÁNDAR Comprender el concepto de tasa unitaria a/b asociado a una relación a:b con b ≠ 0, y utilizar el lenguaje de tasas en el contexto de una relación de proporción. Utilizar el razonamiento de razones y tasas para resolver problemas matemáticos y del mundo real, por ejemplo, al razonar sobre tablas de razones equivalentes, diagramas de cinta, diagramas de línea numérica doble o ecuaciones.
6
7
a.
Hacer tablas de razones equivalentes mediante la relación de cantidades con medidas de números enteros, encontrar valores faltantes en las tablas y graficar los pares de valores en el plano de coordenadas. Utilizar tablas para comparar proporciones.
b.
Resolver problemas de tasas unitarias, incluyendo aquellos que involucran precios unitarios y velocidad constante.
c.
Encontrar un porcentaje de una cantidad como una tasa por 100 (por ejemplo, 30 % de una cantidad significa ____ 100 veces la cantidad); resolver problemas que implican encontrar el todo, dada una parte y el porcentaje.
d.
Usar razonamiento por proporciones para convertir unidades de medida; manipular y transformar unidades apropiadamente al multiplicar o dividir cantidades.
30
Calcular tasas unitarias asociadas con razones de fracciones, incluidas razones de longitudes, áreas y otras cantidades medidas en unidades iguales o diferentes. Reconocer y representar relaciones proporcionales entre cantidades.
7
a.
Decidir si dos cantidades se encuentran en una relación proporcional, por ejemplo, probando relaciones equivalentes en una tabla o graficando en un plano de coordenadas y observando si la gráfica es una línea recta que pasa por el origen.
b.
Identificar la constante de proporcionalidad (tasa unitaria) en tablas, gráficas, ecuaciones, diagramas y descripciones verbales de relaciones proporcionales.
c.
Representar relaciones proporcionales mediante ecuaciones.
d.
Explicar qué significa un punto (x, y) en la gráfica de una relación proporcional en términos de la situación, con especial atención a los puntos (0, 0) y (1, r) donde r es la tasa unitaria.
8
Entiende que una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. La gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados formados por una entrada y la salida correspondiente.
8
Comparar las propiedades de dos funciones representadas de forma diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas o mediante descripciones verbales).
8
Interpretar la ecuación y = mx + b como definición de una función lineal, cuya gráfica es una línea recta; dar ejemplos de funciones que no son lineales.
8
Construir una función para modelizar una relación lineal entre dos cantidades. Determinar la tasa de variación y el valor inicial de la función a partir de la descripción de una relación o de dos (x, y) valores, incluso leyéndolos a partir de una tabla o una gráfica. Interpretar la tasa de cambio y el valor inicial de una función lineal en términos de la situación que modela, y en términos de su gráfica o una tabla de valores.
HS
Crear ecuaciones en dos o más variables para representar relaciones entre cantidades; graficar ecuaciones en ejes de coordenadas con etiquetas y escalas.
HS
Escribir una función que describa una relación entre dos cantidades.
HS
Escribir secuencias aritméticas y geométricas tanto recursivamente como con una fórmula explícita, usarlas para modelar situaciones y traducir entre las dos formas.
HS
Interpretar los parámetros en una función lineal o exponencial en términos de un contexto.
HS
Calcular e interpretar la tasa de cambio promedio de una función (presentada simbólicamente o como una tabla) sobre un intervalo especificado. Estimar la tasa de cambio a partir de un gráfico.
HS
Distinguir entre situaciones que pueden modelarse con funciones lineales y con funciones exponenciales.
HS
Construir funciones lineales y exponenciales, incluidas secuencias aritméticas y geométricas, dado un gráfico, una descripción de una relación, o dos pares de entrada-salida (incluir la lectura de éstos a partir de una tabla).
HS
Interpretar la pendiente (tasa de cambio) y la intercepción (término constante) de un modelo lineal en el contexto de los datos.
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GRADO 8: TASA DE CAMBIO
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA MONITOREAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA La guía de instrucción andamiada se proporciona para que los maestros puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones del alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que ayuda a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de la evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos según los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere que todos los estudiantes experimenten con los elementos: «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades», ya que cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar. 0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
80 % - 100 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil pueden trabajar en contenido de nivel de grado con apoyos de instrucción.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» individual para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 2. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante de acuerdo con sus datos de evaluación. 3. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la sección «Scaffolded Instruction Guide» en el menú desplegable «Home» del alcance. 4. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Operaciones y Pensamiento Algebraico Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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GRADO 8: TASA DE CAMBIO
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Construir una función para modelizar una relación lineal entre dos magnitudes. Determinar la tasa de variación y el valor inicial de la función a partir de la descripción de una relación o de dos valores (x, y), incluso leyéndolos en una tabla o en un gráfico. Interpretar la tasa de cambio y el valor inicial de una función lineal en términos de la situación que modela, y en términos de su gráfica o de una tabla de valores. 7 - Relaciones proporcionales Revisión y práctica de habilidades (Refuerzo del grado anterior)
0 % - 25 %
Constructor de fluidez • Tasa de cambio constante Práctica interactiva • Criadero de huevos de dragón Prueba de habilidades 8 - Comparación de funciones Revisión y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Comparación de funciones Práctica interactiva • Unión de funciones
25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyos)
Prueba de habilidades 8 - Tasa de cambio Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Revisión y práctica de destrezas • Evaluación rápida • Revisión • Evaluación de control 8 - Tasa de cambio
(Nivel de grado)
50 % - 80 %
Vocabulario con imágenes Vocabulario interactivo Libreta interactiva Constructor de fluidez • Escribir ecuaciones lineales Práctica interactiva • Primer contacto Ciencia de datos
80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
Conexiones lingüísticas
8 - Tasa de cambio Tarea de represetnación matemática Tablero de opciones
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GRADO 8: TASA DE CAMBIO
ATRAER: ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS Rate of Change
EVALUAR PREVIAMENTE EL CONOCIMIENTO DEL ESTUDIANTE
Two Truths and a Lie Read each statement. Identify the two truths with check marks and the one lie with an X.
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: DOS VERDADES Y UNA MENTIRA ESTÁNDAR PREVIO Usar relaciones proporcionales para resolver problemas de razones y porcentajes de varios pasos. Ejemplos: interés simple, impuestos, sobreprecios y rebajas, propinas y comisiones, tarifas, aumento y disminución porcentual, error porcentual.
A local bakery sells a loaf of Italian bread for $4. They are running a special: “Buy one, get one at 50% off.”
DESCRIPCIÓN
The cost of two loaves is $8.
Los estudiantes identificarán dos verdades y una mentira leyendo afirmaciones sobre el estándar anterior. Este elemento está diseñado para descubrir los conceptos erróneos de los estudiantes; no debe tomarse para una calificación.
The cost of 2 loaves is a 50% increase from the cost of one loaf.
MATERIALES IMPRESO
If you buy two loaves, the second loaf costs $2.
1
DOS VERDADES Y UNA MENTIRA
• 1 dos verdades y una mentira (por estudiante o grupo)
PREPARACIÓN
• Imprima una dos verdades y una mentira para cada estudiante o cada grupo. • Puede dividir a los estudiantes en grupos de dos o tres.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Lea la pregunta en voz alta a la clase. 2. Conceda 2 minutos para que los estudiantes lean las tres afirmaciones y determinen cuáles son verdades y cuáles son mentiras. 3. Pida a los estudiantes que compartan con sus compañeros cómo marcaron sus hojas y por qué. 4. Conceda de 2 a 5 minutos de debate. 5. Pida a los estudiantes que justifiquen su elección de la mentira. a. La primera afirmación es la mentira porque dos panes deberían costar un total de $6. 6. Si los estudiantes tienen dificultades para completar esta tarea, pase a realizar el «Constructor de bases fundamentales» para llenar esta laguna en los conocimientos previos antes de pasar a otras partes del alcance.
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1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: TASA DE CAMBIO
ATRAER: CAPTAR INTERÉS
Rate of Change
LECCIÓN DE CAPTAR INTERÉS
Treat Training
CAPTAR INTERÉS DESCRIPCIÓN Los estudiantes determinan la intersección y de varios ejemplos y encuentran el que no es equivalente.
1 x
MATERIALES IMPRESO
• 1 entrenamiento con premios (por clase) REUTILIZABLES
• 1 fenómeno (por clase)
PREPARACIÓN
y
0
1
1
1.5
2
2
3
2.5
4
3
5
3.5
3
2
Jerry was given a gift of one pound of dog treats from a local dog bakery. He started training his dogs and found the dog treats helped, so every week he bought one-half of a pound of the dog treats.
4
• Planee mostrar los fenómenos. • Prepárese para proyectar el entrenamiento con premios para que toda la clase lo vea. • Prepárese para presentar el escenario y anime a los estudiantes a pensar en cómo resolverlo. Prepárese para pasar a las actividades «Explorar», volver a la actividad «Captar interés» con los nuevos conocimientos adquiridos una vez finalizadas las exploraciones.
y= 1 x 2
1
ENTRENAMIENTO CON PREMIOS
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GRADO 8: TASA DE CAMBIO
ATRAER: CAPTAR INTERÉS
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA
PARTE II: DESPUÉS DE «EXPLORAR»
1. Presente esta actividad hacia el comienzo del alcance. La clase retomará la actividad y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades «Explorar» correspondientes.
1. Después de que los estudiantes hayan completado las actividades «Exploración» para este tema, muestre nuevamente los fenómenos y repita el escenario.
2. Muestre los fenómenos. Formule a los estudiantes las siguientes preguntas: «¿Qué observas? ¿Dónde puedes ver matemáticas en esta situación?». Permita que los estudiantes compartan sus ideas. 3. Explique la situación a la clase: Jerry recibió un regalo de huesos de perro de la panadería canina local. Decidió utilizar los huesos para adiestrar a sus cachorros. Los resultados fueron muy positivos, por lo que decidió comprar una cantidad fija de huesos cada semana para utilizarlos mientras sigue adiestrando a sus cachorros en trucos más avanzados. Jerry decidió que debía llevar un registro de sus compras. Probó varios modelos diferentes para ver cuál le funcionaba mejor. Sin embargo, cometió un error con uno de los modelos. Cuando su hermana le dijo que uno de los modelos no representaba sus datos, los estudió todos para ver cuál era el modelo equivocado. 4. Permita que los estudiantes hagan preguntas y aclaren el contexto según sea necesario. Anímeles a compartir sus ideas y experiencias con la clase al usar las siguientes preguntas: a. «¿Has adiestrado alguna vez a un perro?». b. «¿Qué tipo de trucos puedes enseñar a un perro?». 5. Proyecto «Adiestramiento con premios». 6. Explique a los estudiantes que, en un principio, Jerry recibió una libra de huesos de perro. Como funcionaban tan bien para el adiestramiento de perros, empezó a comprar ½ libra de huesos de perro cada semana. Comente las siguientes preguntas con la clase: a. DOK-1 «¿Cuáles son las formas en que se representan estos datos?». Se representa en una tabla, una historia, una ecuación de intersección de pendiente y una gráfica lineal.
2. Refiérase a entrenamiento con trucos, y comente las siguientes preguntas con la clase: a. DOK-1 «¿Cuáles son las formas en que se representan estos datos?». Se representa en una tabla, una historia, una ecuación pendienteintersección y una gráfica lineal. b. DOK- 1 «¿Qué es una tasa de cambio?». Acepte todas las respuestas razonables. Una tasa de cambio es equivalente a la pendiente. Es el cociente del cambio vertical dividido por la tasa de cambio horizontal. c. DOK-1 Para que los diferentes modelos sean equivalentes, «¿qué debe ser lo mismo en los diferentes modelos?». La intersección y la pendiente (o tasa de cambio). d. DOK-1 «¿Qué es una intersección y?». Donde una línea cruza el eje y. Este es el punto en la gráfica donde el valor de x es cero. e. DOK-1 «¿Cuál es la intersección correcta de y? ¿Cuál es la razón de cambio (o pendiente) correcta?». La intersección y es 1. La razón de 1 cambio es ___ . 2
f. DOK-1 «¿Cuál de los modelos es incorrecto?». Explica. La opción de respuesta 3 es incorrecta porque incluye la intersección y incorrecta. La ecuación pendiente-intersección correcta es y 1 1 = ___ x + 1, no y = ___ x. 2
2
3. Si el tiempo lo permite, pida a los estudiantes que construyan una tabla, una hipótesis y una ecuación en la que dos representaciones sean equivalentes y la tercera tenga la pendiente o la intersección y incorrectas. Pídales que intercambien las representaciones con un compañero para determinar cuál es la incorrecta.
b. DOK- 1 «¿Qué es una tasa de cambio?». Acepte todas las respuestas razonables. Una tasa de cambio es equivalente a la pendiente. Es la relación del cambio vertical dividido por la tasa de cambio horizontal. 7. Continúa para completar las actividades de «Explorar».
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GRADO 8: TASA DE CAMBIO
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 1: DETERMINAR LA INTERSECCIÓN Y Estándar(es) • Utilizar funciones para modelar relaciones entre cantidades. Construir una función para modelar una relación lineal entre dos cantidades. Determinar la tasa de cambio y el valor inicial de la función a partir de la descripción de una relación o de dos valores (x, y), incluso leyéndolos en una tabla o gráfico. Interpretar la tasa de cambio y el valor inicial de una función lineal en términos de la situación que modela, y en términos de su gráfica o una tabla de valores.
Ideas fundamentales Datos, gráficas y tablas. Exploraciones de datos. Ecuaciones lineales.
Estándares para la práctica matemática
Conexiones de contenido
Motores de investigación
MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente.
CC1 Razonar con datos.
DI1 Dar sentido al mundo: comprender y explicar.
MP.4 Modelar con matemáticas.
CC2 Explorar cantidades cambiantes.
MP.5 Usar herramientas apropiadas estratégicamente. MP.7 Buscar y hacer uso de la estructura.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes identifican la intersección y a partir de una gráfica, tabla, ecuación o descripción verbal.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida(por estudiante) • 1 juego de tarjetas de horas voluntarias (por grupo) • 1 hoja de trabajo sobre la intersección en y (por grupo) • 1 ecuación de una tarjeta de línea recta (por maestro) REUTILIZABLES
• 1 marcador de borrado en seco (por grupo) • 1 protector de hojas transparente (por grupo) • 2 bolsas resellables (por grupo) • 1 proyector o cámara de documentos (por maestro)
PREPARACIÓN
• Planifica que los estudiantes trabajen en grupos de 3 o 4 para completar esta actividad. • Imprima el «Diario del estudiante» y el «Boleto de salida» para cada estudiante. • Imprima un juego de tarjetas de horas de voluntariado para cada grupo. Recorte y coloque cada juego de tarjetas de la parte I en una bolsa resellable con la etiqueta «Parte I». Recorte y coloque cada juego de tarjetas de la parte II en una bolsa resellable rotulada «Parte II». Si lo desea, imprima las tarjetas en cartulina y plastifíquelas para utilizarlas en el futuro. • Imprima una hoja de trabajo sobre la intersección en y para cada grupo. Colóquela dentro de un protector de hojas transparente para cada grupo. Si lo desea, imprímala en cartulina y plastifíquela para usarla en el futuro. • Imprima una tarjeta de ecuación de una recta para cada maestro. Si lo desea, imprímala en cartulina y plastifíquela para utilizarla en el futuro. • Esté preparado para proyectar la tarjeta de la ecuación de una recta para que la clase la vea. • Reúna suficientes marcadores de borrado en seco para que cada grupo tenga uno. • Para los estudiantes que necesitan más apoyo para recordar información, consulte nuestro elemento de «Ayudas complementarias del plano de coordenadas del primer cuadrante» en la sección de «Intervenir».
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GRADO 8: TASA DE CAMBIO
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: DETERMINAR LA INTERSECCIÓN Y EN TABLAS Y GRÁFICAS 1. Lea el siguiente escenario a la clase: Javier es miembro de la organización de Servicio comunitario de jóvenes líderes y ha sido voluntario en el hospital local para obtener horas de servicio comunitario. Cada departamento hace un seguimiento del número de horas que trabajan los voluntarios. Hacen un seguimiento de las horas al crear tablas y gráficos para mostrar el número de horas que trabaja cada voluntario en sus departamentos. Ayude a Javier a utilizar el número de horas trabajadas para determinar el valor y en las tablas y gráficos cuando el valor x es 0. 2. Ayude a los estudiantes a acceder a la tarea al formular las siguientes preguntas orientativas: a.
«¿Qué sabes ya sobre cómo hallar el valor y cuando x es 0?».
b.
«¿Has sido voluntario alguna vez?». Si es así, «¿dónde fuiste voluntario?».
3. Entrega un «Diario del estudiante» a cada uno. 4. Entrega a cada grupo un juego de tarjetas de horas voluntarias (parte I), una hoja de trabajo sobre la intersección en el eje y y un marcador de borrado en seco. 5. Explica a los estudiantes que analizarán cada tarjeta de horas voluntarias cuidadosamente y determinarán el valor y en una tabla y un gráfico. 6. Pida a los estudiantes que utilicen las tablas y los gráficos para determinar el valor de y cuando el valor de x es 0. Supervise y hable con los estudiantes según sea necesario para comprobar la comprensión con las siguientes preguntas orientadoras: a.
DOK-1 «¿Cuál es la variable independiente?». Las respuestas de los estudiantes variarán. Número de semanas asistiendo a las enfermeras
b.
DOK-1 «¿Cuál es la variable dependiente?». Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Total de horas de voluntariado
c.
DOK-1 «¿Cuál es el dominio y el rango?». Las respuestas de los estudiantes pueden variar. El dominio es el conjunto de todos los valores de entrada, y el rango es el conjunto de todos los valores de salida.
d.
DOK-1 «¿Qué representa el valor y en la tabla cuando el valor x es 0?». Las respuestas de los estudiantes variarán. 60
e.
DOK-1 «¿Qué representa el valor y en la gráfica cuando el valor x es 0?». Las respuestas de los estudiantes pueden variar. 2
f.
DOK-1 «¿Cuál es el par ordenado cuando x es 0?». Las respuestas de los estudiantes pueden variar. (0, 2)
7. Explica lo siguiente a la clase: Cuando determinaste el valor de y cuando el valor de x era 0, determinaste la intersección y. La intersección y es el punto de la gráfica de una ecuación donde la recta cruza el eje y.
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8. Conceda tiempo a los estudiantes para que completen la
parte I del «Diario del estudiante», incluidas las preguntas de reflexión.
9. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímelos a que se hagan preguntas y establezcan conexiones. Anime a los estudiantes a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias usadas para encontrar la intersección y. 10. Después de la parte I, invite a la clase a un «Charla de matemáticas» para compartir sus observaciones y aprendizaje. CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK- 2 «¿Cómo determinas la intersección y a partir de una tabla?». La intersección y se puede encontrar cuando el valor x es igual a 0. Si te dan una tabla que no comienza en 0, necesitas identificar el patrón en la tabla y luego usar el patrón para contar hacia atrás hasta 0. • Escoga una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: ◦ DOK- 2 «¿Cómo determinas la intersección y a partir de una gráfica?». Podemos determinar la intersección y al mirar la gráfica e identificar el punto donde la línea interseca el y-eje. PARTE II: DETERMINAR LA INTERSECCIÓN Y EN ECUACIONES Y DESCRIPCIONES VERBALES 1. Lea el siguiente escenario a la clase: Ahora que Javier ha revisado sus horas de voluntariado en las tablas y gráficos, necesita tu ayuda para mirar las ecuaciones y descripciones verbales e identificar la intersección y. 2. Ayude a los estudiantes a acceder a la tarea haciendo las siguientes preguntas guía: a.
«¿Qué significa intersección y?».
b.
«¿Por qué sería útil para alguien hacer un seguimiento de sus horas de voluntariado?».
3. Explique a los estudiantes que van a mirar las ecuaciones y descripciones verbales para identificar la intersección y. 4. Proyecte la tarjeta ecuación de una recta y presente a los estudiantes la ecuación de una recta, y = mx + b. (Tenga en cuenta que los estudiantes sólo necesitarán entender b como la intersección y para esta exploración). Pida a los estudiantes que utilicen la hoja de trabajo de la intersección en y según sea necesario para determinar la intersección en y para cada situación. Supervise y hable con los estudiantes según sea necesario para verificar la comprensión con las siguientes preguntas guía: a.
DOK-1 «¿Cuál es la ecuación de una recta?». y = mx + b
b.
DOK-1 «¿Qué representa b?». b es la intersección en y.
c.
DOK-2 «¿Cómo puedes usar la ecuación de una recta para encontrar la y-intercepción?». Puedes sustituir x por 0 y resolver la ecuación de y para obtener la intersección y.
5. Deja tiempo para que los estudiantes completen la parte II del «Diario del estudiante», incluyendo las preguntas de reflexión.
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GRADO 8: TASA DE CAMBIO
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 6. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímelos a que se hagan preguntas y establezcan conexiones. Anime a los estudiantes a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias usadas para encontrar la intersección en y. 7. Después de la parte II, invite a la clase a una «Charla de matemáticas» para compartir sus observaciones y aprendizaje.
Rate of Change Explore 1
Answering Phone Calls 1.
Identify the independent and dependent variables. The independent variable is the number of months answering phone calls, and the dependent variable is the total volunteer hours.
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Cómo puedes describir la intersección y cuando se te da una descripción verbal?». La intersección y es la cantidad inicial, o la cantidad que no cambia dependiendo de la cantidad de tiempo.
2.
What is the y value when the x value is 0? Write the ordered pair.
3.
What does the y value represent when the x value is 0 in this situation?
The y value is 74, and the ordered pair is (0, 74).
In this situation, the y value represents that when Javier spent 0 months answering the phone calls, there were 74 volunteer hours.
• Escoga una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: ◦ DOK-2 «¿Cuál es un ejemplo de intersección en y usado en una situación del mundo real?». La cantidad que alguien debe en una tarjeta de crédito antes de empezar a hacer pagos
Charting Medical Records 1.
The independent variable is the number of weeks charting medical records, and the dependent variable is the total volunteer hours. 2.
DESPUÉS DE EXPLORAR
Identify the independent and dependent variables.
What is the y value when the x value is 0? The y value is 1, and the ordered pair is (0, 1).
1. Haga que los estudiantes completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
3.
What does the y value represent when the x value is 0 in this situation? In this situation, the y value represents that when Javier spent 0 weeks charting medical records, there was 1 volunteer hour.
2. Complete la tabla de anclaje como clase. 3. Haz que cada estudiante complete su «Libreta interactiva».
2
Rate of Change Explore 1
Rate of Change Explore 1
Restocking Supplies
Volunteer Hours
1.
The independent variable is the number of months restocking supplies, and the dependent variable is the total volunteer hours.
Part I
Use the Volunteer Hours Cards to answer the questions and determine the y-intercept.
2.
Assisting Nurses 1.
What is the y value when the x value is 0? Write the ordered pair. The y value is 62, and the ordered pair is (0, 62).
Identify the independent and dependent variables.
3.
The independent variable is the number of months assisting nurses, and the dependent variable is the total volunteer hours. 2.
Identify the independent and dependent variables.
What does the y value represent when the x value is 0 in this situation? In this situation, the y value represents that when Javier spent 0 months restocking supplies, there were 62 volunteer hours.
What is the y value when the x value is 0? Write the ordered pair. The y value is 60, and the ordered pair is (0, 60).
3.
What does the y value represent when the x value is 0 in this situation?
Helping with Inventory
In this situation, the y value represents that when Javier spent 0 months assisting the nurses, there were 60 volunteer hours.
1.
The independent variable is the number of weeks helping with inventory, and the dependent variable is the total volunteer hours.
Assisting Patients 1.
2.
Identify the independent and dependent variables.
3.
What is the y value when the x value is 0? Write the ordered pair.
What does the y value represent when the x value is 0 in this situation? In this situation, the y value represents that when Javier spent 0 weeks helping with inventory, there were no volunteer hours.
The y value is 2, and the ordered pair is (0, 2). 3.
What is the y value when the x value is 0? The y value is 0, and the ordered pair is (0, 0).
The independent variable is the number of weeks assisting patients, and the dependent variable is the total volunteer hours. 2.
Identify the independent and dependent variables.
What does the y value represent when the x value is 0 in this situation? In this situation, the y value represents that when Javier spent 0 weeks assisting the patients, there were 2 volunteer hours. 1
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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3
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: TASA DE CAMBIO
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
Rate of Change Explore 1
Reflect 1.
Rate of Change Explore 1
Part II
Use the Volunteer Hours Cards to answer the questions and determine the y-intercept.
How do you determine the y-intercept from a table? The y-intercept can be found when the x value is equal to 0. If you are given a table that does not start at 0, you would need to identify the pattern in the table and then use the pattern to count backwards to 0.
Card 1 1.
Identify the independent and dependent variables. The independent variable is the number of weeks working with nurses, and the dependent variable is the total community service hours.
2.
How do you determine the y-intercept from a graph?
2.
We can determine the y-intercept by looking at the graph and identifying the point where the line intersects the y-axis.
What is the y-intercept? Write the ordered pair. The y-intercept is 16, and the ordered pair is (0, 16).
3.
How can this situation be represented as an equation? y = 6x + 16
Card 2 1.
Identify the independent and dependent variables. The independent variable is the number of hours, and the dependent variable is the total number of patients called for an appointment.
2.
What is the y-intercept? Write the ordered pair. The y-intercept is 12, and the ordered pair is (0, 12).
3.
How can this situation be represented as an equation? y = 3x + 12
4
5
Rate of Change Explore 1
Rate of Change Explore 1
Card 3 1.
Reflect
Identify the independent and dependent variables. 1.
The independent variable is the number of weeks restocking supplies, and the dependent variable is the number of surgical supplies stocked. 2.
How can you describe the y-intercept in real-world situations? The y-intercept is the starting amount or the amount that does not change depending on the amount of time.
What is the y-intercept? Write the ordered pair. The y-intercept is 10, and the ordered pair is (0, 10).
3.
2.
How can this situation be represented as an equation?
What is an example of y-intercept used in a real-world situation? Student answers may vary.
y = 4x + 10
The amount someone owes on a credit card before they start making payments
Card 4 1.
Identify the independent and dependent variables. The independent variable is the number of months, and the dependent variable is the total number of medical records updated.
2.
What is the y-intercept? Write the ordered pair. The y-intercept is 9, and the ordered pair is (0, 9).
3.
How can this situation be represented as an equation? y = 10x + 9
6
7
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: TASA DE CAMBIO
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Rate of Change Explore 1
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Para los estudiantes que necesiten apoyo adicional para identificar la intersección y, ayúdeles a crear una hoja de referencia con ideas sobre cómo identificar esta característica en diferentes representaciones.
New Volunteer at the Hospital Exit Ticket
Javier is working with Dean, a new volunteer, and is looking at Dean’s volunteer data. Find the y-intercepts in the graph, table, equation, and verbal description. Volunteer Data 1
Volunteer Data 2
2. Anime a los estudiantes a presentar cómo determinaron la intersección y de cada una de las diferentes representaciones, y pregúnteles qué representaciones les resultan más y menos difíciles de trabajar. 3. Si los estudiantes necesitan un reto adicional, invítelos a crear representaciones únicas y pida a sus compañeros que determinen la intersección y de cada una.
APOYOS LINGÜÍSTICOS Para los hispanohablantes, relacione la palabra independiente con la palabra española independiente para explicar que una variable independiente es una variable en una relación funcional en la que el valor no se ve afectado por otras variables. Los estudiantes también pueden observar que la variable se escribe igual en inglés y en español. Pueden observar que la palabra española «valor» es similar a «value» y «equation» suena como «ecuación». Incluya a hablantes de todas las lenguas y pregúnteles si notan alguna similitud con su lengua materna en el vocabulario matemático.
x
0
2
4
y
34
38
42
x = number of weeks y = total volunteer hours 34 Y-intercept: _________
3 Y-intercept: _______ Volunteer Data 3
Volunteer Data 4
y = 9x + 21
Last week, Dean spent 9 hours visiting patients and will spend 7 hours each week visiting patients.
21 Y-intercept: _______
9 Y-intercept: _______ 1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
Para la parte II, invite a los estudiantes a presentar a la clase sus resultados para una de las tarjetas de la hora voluntaria y a explicar qué pasos siguieron para determinar la intersección y. Como actividad posterior a la clase, guíe a los estudiantes para que completen el «Vocabulario interactivo» (que se encuentra en la sección «Explicar») para el vocabulario nuevo. Proporcióneles la definición y anímeles a reescribirla con sus propias palabras. Utilice una estrategia de pensamiento en voz alta para modelar un lenguaje matemáticamente preciso mientras verbaliza la estrategia de un estudiante. Por ejemplo: «Veo que encontraste la diferencia entre los valores del día 3 y el día 2 para determinar la tasa de cambio».
Rate of Change Part 1
Determine the Y-Intercept Determine the y-intercept for each function.
–2 Y-intercept = _______
x
0
1
2
y
1
3
5
1 Y-intercept = _______ Erika puts $50 down on a $2,000 loan and pays $25 dollars each month afterward until the loan is paid off.
y = 3x + 5
50 Y-intercept = _______ Explain what the y-intercept means within the context of this situation. It is Erika’s down payment.
5 Y-intercept = _______
1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: TASA DE CAMBIO
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 2: DETERMINAR LA TASA DE CAMBIO Estándar(es) • Utilizar funciones para modelar relaciones entre cantidades. Construir una función para modelar una relación lineal entre dos cantidades. Determinar la tasa de cambio y el valor inicial de la función a partir de la descripción de una relación o de dos valores (x, y), incluso leyéndolos en una tabla o gráfico. Interpretar la tasa de cambio y el valor inicial de una función lineal en términos de la situación que modela, y en términos de su gráfica o una tabla de valores.
Ideas fundamentales Datos, gráficas y tablas. Exploraciones de datos. Ecuaciones lineales.
Estándares para la práctica matemática MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente. MP.4 Modelar con matemáticas.
Conexiones de contenido
Motores de investigación
CC1 Razonar con datos.
DI1 Dar sentido al mundo: comprender y explicar.
CC2 Explorar cantidades cambiantes.
MP.5 Usar herramientas apropiadas estratégicamente. MP.6 Atender a la precisión.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes calculan la tasa de cambio a partir de un gráfico, una tabla, una función lineal o una descripción verbal con la fórmula de la tasa de cambio.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por estudiante) • 1 juego de tarjetas de voluntario del Banco de alimentos (por grupo) • 1 hoja de trabajo sobre la tasa de cambio (por grupo) • 1 tarjeta de la tasa de cambio (por maestro) REUTILIZABLE
• 1 marcador de borrado en seco (por grupo) • 2 bolsas resellables (por grupo) • 1 protector de hojas transparente (por grupo) • 1 proyector o cámara de documentos (por clase)
PREPARACIÓN
• Planifique que los estudiantes trabajen en grupos de 3 o 4 para completar esta actividad. • Imprima el «Diario del estudiante» y el «Boleto de salida» para cada estudiante. • Imprima un juego de tarjetas de voluntario del Banco de alimentos para cada grupo. Recorte y coloque cada juego de tarjetas de la parte I en una bolsa resellable con la etiqueta «Parte I». Recorte y coloque cada juego de tarjetas de la parte II en una bolsa resellable con la etiqueta «Parte II». Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para utilizarlas en el futuro. • Imprima una copia de la hoja de trabajo sobre la tasa de cambio para cada grupo. Coloque cada carpeta de trabajo en un protector de hojas transparente para crear una superficie que se pueda borrar. Si lo desea, imprímala en cartulina y plastifíquela para utilizarla en el futuro. • Reúna un marcador de borrado en seco para cada grupo. • Imprima una tarjeta de tasa de cambio para cada maestro. Si lo desea, imprímala en una cartulina y plastifíquela para utilizarla en el futuro. • Esté preparado para proyectar la tarjeta de tasa de cambio para que la clase la vea. • Para los estudiantes que necesiten más ayuda para recordar la información, consulte nuestro elemento de «Ayudas complementarias» del plano de coordenadas de cuatro cuadrantes en la sección de «Intervenir».
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GRADO 8: TASA DE CAMBIO
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Rate of Change Explore 2
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: DETERMINAR LA TASA DE CAMBIO A PARTIR DE UNA TABLA Y UN GRÁFICO
1. Lea el siguiente escenario a la clase: La organización de Servicio comunitario de jóvenes líderes tendrá ahora la oportunidad de trabajar como voluntario en el banco de alimentos local. El banco de alimentos ha decidido crear tablas y gráficos para mostrar el número de horas que cada voluntario trabaja en el banco de alimentos y también incluirá información que muestre las donaciones monetarias y los productos enlatados recibidos mientras trabajan los voluntarios. Ayude a Javier a utilizar las tablas y los gráficos para determinar la tasa de cambio. 2. Ayude a los estudiantes a acceder a la tarea formulando las siguientes preguntas orientadoras: a. «¿Qué sabes ya sobre la tasa de cambio?».
People Greeted at the Door Workspace: 3 x₁: _____
6 x₂: ______
y₂ – y₁ m = _______
3–1 m = _______
x₂ – x₁ 1 y₁: _____
3 y₂: ______
m=
2 m = ______
6–3
3
2 3
What is the rate of change, and what does the rate of change represent in this situation? The rate of change is
2 2 3 . The number of people greeted at the door increased by 3
for every hour spent volunteering at the food bank.
Items Stocked in the Pantry Workspace: 2 x₁: _____
4 x₂ : _____
y₂ – y₁ m = _______
10 – 6 m = _______
x₂ – x₁ 6 y₁: _____
4 m = ______
4–2
2
10 y₂: ______ m=2
b. «¿Has sido voluntario alguna vez en un banco de alimentos?». 3. Entregue un «Diario del estudiante» a cada uno.
What is the rate of change, and what does the rate of change represent in this situation? The rate of change is 2. The number of items stocked in the pantry increased by 2 for every hour spent volunteering at the food bank.
4. Entregue a cada grupo un juego de tarjetas de voluntario del banco de alimentos de la parte I, la hoja de trabajo de tipo de cambio y un marcador de borrado en seco.
2
Rate of Change Explore 2
Rate of Change Explore 2
1.
Volunteering at the Food Bank
What are the independent and dependent variables on card 1? The independent variable is the number of volunteer hours, and the dependent variable is the number of donations.
Part I
Use the Food Bank Cards to determine the rate of change.
2.
Donations at the Food Bank
The independent variable is the number of donations, and the dependent variable is the number of canned goods.
Workspace: 1 x₁: _____
5 y₁: ______
3 x₂: ______
9 y₂:_____
y₂ – y₁ m = _______
9–5 m = _______
x₂ – x₁
3–1
4 m = ______
Reflect
2
1.
m=2
2.
Canned Goods at the Food Bank
3 y₁: _____
4 x₂: _____
2 y₂: ______
2–3 m = _______
x₂ – x₁
4–2
What happens when the rate of change is negative? The linear function is decreasing, which shows as the x value increases, the y value decreases.
Workspace: 2 x₁: ______
What happens when the rate of change is positive? The linear function is increasing, which shows as the x value increases, so does the y value.
What is the rate of change, and what does the rate of change represent in this situation? The rate of change is 2. The number of donations increased by 2 for every hour spent volunteering at the food bank.
y₂ – y₁ m = _______
What are the independent and dependent variables on card 2?
−1 m = ______ 3.
2
1 m = − ____ 2
How do you choose the points to calculate the rate of change from graphs and tables? You can choose any two points. The rate of change is constant, so it does not matter which two points are chosen.
What is the rate of change, and what does the rate of change represent in this situation? 1 1 The rate of change is − . The number of canned goods decreased by for 2
every donation received at the food bank.
2
3
1
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GRADO 8: TASA DE CAMBIO
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Rate of Change Explore 2
5. Explique a los estudiantes que van a estudiar la tasa de variación de una función lineal. Utilizarán tablas y gráficos para hallar la tasa de variación de las horas de voluntariado del banco de alimentos. Utilizarán la fórmula de la tasa de cambio para calcular la tasa de cambio en diversas situaciones.
Part II
Use the Food Bank Volunteer Cards to determine the rate of change. Write the equation of the linear function that models the relationship on the cards. Card 1 Equation: y = 40x + 165
6. Proyecte la tarjeta de la tasa de cambio. Supervise y hable con los estudiantes según sea necesario para verificar la comprensión con las siguientes preguntas guía:
Workspace: 1 x₁: _____
3 x₂: ______
y₂ – y₁ m = _______ x₂ – x₁
y₁: 205 _____
285 y₂: ______
285 – 205 m = _______ 3–1
80 m = ______ 2
m = 40
a.
DOK-1 «¿Qué significa el término tasa de cambio?». (Tenga en cuenta que los estudiantes deben entender las tres fórmulas que se pueden utilizar para encontrar la tasa de cambio). Sus respuestas pueden variar. La relación entre la cantidad de cambio en la salida y la cantidad de cambio en la entrada.
b.
DOK-2 «¿Cómo se encuentra la tasa de cambio a partir de una tabla?». Las respuestas de los estudiantes variarán. Elija dos pares de valores x y y. Encuentra la diferencia en los valores de y dividida por la diferencia
What is the rate of change and what does the rate of change represent in this situation? The rate of change is 40. The amount of donations increased by 40 for every month donations are sent to the food bank.
Card 2 Equation: y = 13x + 27 Workspace: 2 x₁: ______
4 x₂: _____
y₂ – y₁ m = _______ x₂ – x₁
53 y₁: _____
79 y₂: _____
79 – 53 m = _______ 4 –2
1
26 m = ______ 2
c.
m = 13
What is the rate of change and what does the rate of change represent in this situation? The rate of change is 13. The amount of cases of sanitation supplies increased by 13 for every month sanitation supplies are sent to the food bank.
en los valores de x. ___ =2 2
DOK-2 «¿Cómo encuentras la tasa de cambio a partir de una gráfica?». Sus respuestas pueden variar. La fórmula de la razón de cambio puede usarse para encontrar dos puntos en la gráfica y encontrar qué tan lejos están los 2
dos puntos verticalmente y horizontalmente. ___ =2 1
4
Rate of Change Explore 2
Card 3
Rate of Change Explore 2
Reflect
Equation: y = –12x + 200
1. Workspace:
1 x₁: _____
3 x₂: _____
188 y₁: ______
164 y₂: _____
y₂ – y₁ m = _______ x₂ – x₁
164 – 188 m = _______ 3–1
Does a proportional relationship have a constant rate of change? Explain. Yes, in proportional relationships, k (constant of proportionality) is equivalent to m (constant rate of change).
–24 m = ______ 2
2.
m = –12
What is an example of rate of change used in a real-world situation? Examples will vary. Buying ice cream at a set price and paying additional money for toppings is an example of rate of change used in a real-world situation.
What is the rate of change and what does the rate of change represent in this situation? The rate of change is –12. The amount of donations the food bank has decreased by 12 for every month donations are sent to the local shelter.
Card 4 Equation: y = 18x Workspace: 3 x₁: _____
5 x₂: ______
y₂ – y₁ m = _______ x₂ – x₁
54 y₁: _____
90 y₂: _____
90 – 54 m = _______ 5–3
36 m = ______ 2
m = 18
What is the rate of change and what does the rate of change represent in this situation? The rate of change is 18. This represents the number of hours Javier works increasing by 18 hours each week.
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GRADO 8: TASA DE CAMBIO
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 7. Pida a los estudiantes que calculen la tasa de cambio con el uso de las tablas y gráficos que representan las horas de voluntariado del banco de alimentos y las donaciones monetarias y de alimentos enlatados que recibe el banco de alimentos. Anime a los estudiantes a utilizar la hoja de trabajo de la tasa de variación. Supervise y hable con los estudiantes según sea necesario para verificar la comprensión con las siguientes preguntas guía: a. DOK-2 «¿Cuál es la tasa de cambio en esta situación?». Las respuestas de los estudiantes pueden variar. La tasa de cambio es 2. El número de donaciones aumentó en 2 por cada hora de voluntariado en el banco de alimentos. b. DOK-2 «¿Cuáles son las variables independiente y dependiente?». El número de horas de voluntariado es la variable independiente, y la variable dependiente es el número de donaciones. 8. Explique lo siguiente a la clase: Hoy trabajaron con la determinación de la tasa de cambio, que también se conoce como pendiente. La pendiente es la tasa de cambio entre dos puntos cualesquiera de una línea. Es la medida de la inclinación de una línea. 9. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar su trabajo y anotar sus observaciones y reflexiones en el «Diario del estudiante». 10. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímelos a hacerse preguntas y establecer conexiones. Anime a los estudiantes a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias usadas para encontrar la tasa de cambio. 11. Después de la parte I, invite a la clase a un «Charla de matemáticas» para compartir sus observaciones y aprendizaje. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Qué sucede cuando la tasa de cambio es positiva?». La función lineal es creciente, lo cual muestra que a medida que el valor de x aumenta, también lo hace el valor de y. • DOK-2 «¿Qué sucede cuando la razón de cambio es negativa?». La función lineal es decreciente, lo que muestra que a medida que el valor x aumenta, el valor y disminuye. • Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: ◦ DOK-2 «¿Cómo eliges los puntos para calcular la tasa de cambio a partir de gráficos y tablas?». Puedes elegir dos puntos cualesquiera. La tasa de cambio es constante, por lo que no importa qué dos puntos se elijan.
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PARTE II: DETERMINAR DE LA TASA DE CAMBIO CON DESCRIPCIONES VERBALES Y FUNCIONES LINEALES 1. Lea el siguiente escenario a la clase: Javier sigue llevando la cuenta de las horas de voluntariado, los productos enlatados y las donaciones monetarias que se envían al banco de alimentos. Ahora utilizará funciones lineales y descripciones verbales para representar los datos del banco de alimentos. Ayude a Javier a utilizar los datos para determinar la tasa de cambio. 2. Ayude a los estudiantes a acceder a la tarea formulando las siguientes preguntas orientativas: a.
«¿Qué recuerdas sobre las funciones lineales?».
b.
«¿Has participado alguna vez en una campaña de recogida de alimentos?». Si es así, «¿cuándo y dónde fue?».
3. Entregue a cada grupo un juego de tarjetas de voluntario del Banco de alimentos de la parte II. 4. Explique a los estudiantes que utilizarán descripciones verbales para crear funciones lineales y determinarán la tasa de cambio. (Tenga en cuenta que los estudiantes deben comprender que la ecuación de una línea recta es una función lineal). 5. Pida a los estudiantes que utilicen descripciones verbales para crear funciones lineales y determinar la tasa de cambio en relación con las donaciones, los suministros y las horas de voluntariado en el banco de alimentos. a. DOK-1 «¿Cuál es la ecuación de una línea recta? ¿Cuál es otro nombre para esta función lineal?». y = mx + b. Otro nombre para esta recta es la forma pendiente-intercepto de una recta. b. DOK-1 «¿Qué representa m?». m es la pendiente c. DOK-1 «¿Qué representa b?». b es la y-intercepción d. DOK-2 «¿Cómo puedes determinar la pendiente al escribir la función lineal?». Puedo determinar la pendiente identificando la tasa constante de cambio. 6. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar su trabajo y anotar sus observaciones y reflexiones en los «Diarios del estudiante». 7. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímelos a hacerse preguntas y establecer conexiones. Anime a los estudiantes a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias usadas para encontrar la tasa de cambio. 8. Después de la parte II, invite a la clase a un «Charla de matemáticas» para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-2 «¿Tiene una relación proporcional una tasa de cambio constante?». Explica. Sí, en las relaciones proporcionales, k (constante de proporcionalidad) es equivalente a m (tasa de cambio constante). • Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: ◦ DOK-2 «¿Cuál es un ejemplo de tasa de cambio utilizado en una situación del mundo real?». Comprar un helado a un precio fijo y pagar dinero adicional por los aderezos
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GRADO 8: TASA DE CAMBIO
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Rate of Change Explore 2
DESPUÉS DE EXPLORAR 1. Haga que los estudiantes completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
Food Donations for the Food Bank Exit Ticket
2. Completen el «Esquema de anclaje» como clase. 3. Haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva».
The food bank has received large food donations and has tracked its donations in its monthly reports. Determine the rate of change and what each situation represents in the table.
APOYOS PEDAGÓGICOS
Jennifer donated 100 boxes of canned goods to the food bank. Jennifer will donate 23 boxes of canned goods every month. Write the equation that is represented by this situation.
1. Para los estudiantes que necesitan apoyo adicional para identificar la tasa de cambio, ayúdelos a crear una hoja de referencia con ideas sobre cómo identificar esta característica en diferentes representaciones.
y = 23x + 100 Equation: ________________
2. Anime a los estudiantes a presentar cómo determinaron la tasa de cambio en cada una de las diferentes representaciones y pregúnteles qué representaciones les resultan más y menos difíciles de trabajar.
x = number of months y = amount of food donations Workspace: 3–2 m = _______ 4–2
46 m = _________
3–1
2
2
1 2 Rate of change = __________
23 Rate of change = __________
What does the situation represent? The
What does the situation represent?
amount of food donations increased
The amount of boxes of canned goods increased by 23 every month.
by
3. Si los estudiantes necesitan un reto adicional, invítelos a crear representaciones únicas y pida a sus compañeros de clase que determinen la tasa de cambio de cada una.
Workspace: 169 – 123 m = _________
1 m = ______
1 every month. 2
APOYOS LINGÜÍSTICOS
1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
Rate of Change Part 2
Para los hispanohablantes, relacione la palabra independiente con la palabra española independiente para explicar que una variable independiente es una variable en una relación funcional en la que el valor no se ve afectado por otras variables. Los estudiantes también pueden observar que variable se escribe igual en inglés y en español. Pueden observar que la palabra española valor es similar a value y equation suena como ecuación. Incluya a hablantes de todos los idiomas y pregúnteles si notan alguna similitud con su lengua materna en el vocabulario matemático. Para la parte II, invite a los estudiantes a presentar a la clase sus resultados para una de las tarjetas de voluntario del Banco de alimentos y a explicar qué pasos siguieron para determinar el índice de cambio. Como actividad posterior a la clase, guíe a los estudiantes para que completen el «Vocabulario interactivo» (que se encuentra en la sección «Explicar») para el vocabulario nuevo. Proporcióneles la definición y anímeles a reescribirla con sus propias palabras.
Determine the Rate of Change Determine each rate of change.
Utilice una estrategia de pensamiento en voz alta para modelar un lenguaje matemáticamente preciso mientras verbaliza la estrategia de un estudiante.
A gym charges a $30 membership fee and then $12 per month. 12 Rate of change = _______ Explain what the rate of change means within the context of this situation.
2
– 3 Rate of change = _______
It means that $12 is paid per month.
x
y
0
5
2
11
4
17
y = 15x + 9
15 Rate of change = _______
3 Rate of change = _______
1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 2) CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: TASA DE CAMBIO
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 3: INTERPRETAR LA TASA DE VARIACIÓN Y LA INTERSECCIÓN Y Estándar(es) • Utilizar funciones para modelar relaciones entre cantidades. Construir una función para modelar una relación lineal entre dos cantidades. Determinar la tasa de cambio y el valor inicial de la función a partir de la descripción de una relación o de dos valores (x, y), incluso leyéndolos en una tabla o gráfico. Interpretar la tasa de cambio y el valor inicial de una función lineal en términos de la situación que modela, y en términos de su gráfica o una tabla de valores.
Ideas fundamentales Datos, gráficas y tablas. Exploraciones de datos. Ecuaciones lineales.
Estándares para la práctica matemática MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente. MP.4 Modelar con matemáticas.
Conexiones de contenido
Motores de investigación
CC1 Razonar con datos.
DI1 Dar sentido al mundo: comprender y explicar.
CC2 Explorar cantidades cambiantes.
MP.5 Usar herramientas apropiadas estratégicamente. MP.7 Buscar y hacer uso de la estructura.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes interpretan la tasa de cambio y la intersección y en una situación dada. Escriben funciones lineales que representan la situación del problema y completan tablas y grafican pares ordenados.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Planee que los estudiantes trabajen en grupos de 3 o 4 para completar esta actividad. • Imprima el «Diario del estudiante» y el «Boleto de salida» para cada estudiante. • Para los estudiantes que necesitan más apoyo para recordar información, consulte nuestro elemento «Ayudas complementarias» para el plano de coordenadas de cuatro cuadrantes en la sección «Intervención».
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PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Lea el siguiente escenario a la clase: La Organización de servicio comunitario de jóvenes líderes tendrá ahora la oportunidad de trabajar como voluntario en la Organización de niños y niñas local. La Organización de niños y niñas ha creado descripciones verbales de lo que hacen los voluntarios. Ayude a Javier a usar las descripciones verbales para escribir funciones lineales y crear tablas y gráficos para representar las situaciones. 2. Ayude a los estudiantes a acceder a la tarea haciéndoles las siguientes preguntas guía: a. «¿Qué recuerdan acerca de escribir funciones lineales al usar descripciones verbales?». b. Si pudieran ser voluntarios, «¿qué tipo de trabajo voluntario harían?». 3. Entregue un «Diario del estudiante» a cada uno.
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GRADO 8: TASA DE CAMBIO
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3
Rate of Change Explore 3
Rate of Change Explore 3
Tutoring
Supporting a Boys and Girls’ Organization
Javier has tutored 3 kids. He will tutor 5 kids every week.
Use the verbal description to write a linear function, complete the table, and graph the linear function. Identify the rate of change and the y-intercept.
Linear function: y = 5x + 3 Rate of change: 5 Y-intercept: 3
Membership Desk There are 21 volunteers who take turns working the membership desk. Every week there will be 2 fewer volunteers working the membership desk.
x
y
1
19
3
15
4
13
6
9
Linear function: y = −2x + 21
x
Rate of change: −2
1
y 8
Y-intercept: 21
2
13
5
28
7
38
What does the situation represent? Javier has tutored 3 kids. The rate of change is 5. The number of kids that Javier tutors increased by 5 every week at the Boys and Girls’ Organization.
What does the situation represent? There are 21 volunteers who started working at the membership desk. The rate of change is −2. The number of volunteers decreased by 2 every week at the Boys and Girls’ Organization.
Dante is a volunteer who played 3 games of basketball with the kids. He will start working with kids on their basketball skills and will play 2 games every day with the kids.
x
y
1
5
2
7
3
9
4
11
1
2
Rate of Change Explore 3
Rate of Change Explore 3
Basketball
Reflect
Linear function: y = 2x + 3
1.
Rate of change: 2
How did you use the linear function to get the ordered pairs for the table and graph? I input the x values from the table in the slope-intercept form, y = mx + b, to get the y values for the table. The ordered pairs from the table were used to graph the points on the coordinate plane.
Y-intercept: 3
2.
What is the domain and range in the tutoring real-world situation table? The domain is 1 week to 7 weeks. The range is 8 kids to 38 kids.
3.
What does it mean to have a y-intercept of 0 in a real-world situation? When there is a y-intercept of 0 in a real-world situation, it represents a proportional relationship.
4.
Create a real-world situation with a y-intercept of 10 and a rate of change of 2.
What does the situation represent?
Student answers may vary.
Dante played 3 basketball games. The rate of change is 2. The number of basketball games that Dante plays increased by 2 every week at the Boys and Girls’ Organization.
The rodeo charges $10 for the entrance fee and $2 per ride.
3
4
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GRADO 8: TASA DE CAMBIO
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Rate of Change Explore 3
4. Pida a los estudiantes que utilicen las descripciones verbales para escribir funciones lineales y crear tablas y gráficos que representen la situación. Interpretarán la tasa de cambio e intersección y. Supervise y hable con los estudiantes según sea necesario para comprobar la comprensión con las siguientes preguntas orientativas: a. DOK-1 Dada una función y = mx + b, «¿cómo identificas la intersección y?». Las respuestas de los estudiantes pueden variar. La intersección y es b. Cuando x = 0, el valor correspondiente y es la intersección y. En el contexto de las descripciones verbales, la intersección y (es decir, el punto cuando x = 0) también se refiere al valor inicial. b. DOK-2 «¿Cómo puedes determinar la intersección y en una situación?». Las respuestas de los estudiantes variarán. Puede identificar la cantidad inicial. c. DOK-2 «¿Cómo puede determinar la tasa de cambio en una situación?». La pendiente de la ecuación, o cuánto cambia el valor de y en comparación con el cambio en el valor de x, es la tasa de cambio. 5. Conceda tiempo a los estudiantes para que completen el «Diario del estudiante», incluidas las preguntas de reflexión. 6. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímelos a que se hagan preguntas y establezcan conexiones. Anime a los estudiantes a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias usadas para analizar funciones lineales dada una descripción verbal. 7. Después de la «Exploración», invite a la clase a una «Charla de matemáticas» para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: ◦ DOK-2 «¿Cómo usaste las funciones lineales para obtener los pares ordenados para la tabla y la gráfica?». Introduje los valores x de la tabla en la forma pendiente-intersección, y = mx + b, para obtener los valores y de la tabla. Los pares ordenados de la tabla se usaron para graficar los puntos en el plano de coordenadas.
New Art Class at the Boys and Girls’ Organization Exit Ticket The Boys and Girls’ Organization is starting a new art class. Use the real-world situation to write an equation, complete the table, and graph the equation. Identify the rate of change and the y-intercept. New Art Class Ms. Palmer will donate 3 art kits every week to make sure that the kids who are taking the new art class have enough art supplies to last through the duration of the art program.
x
y
1
3
2
6
4
12
6
18
Equation: y = 3x Rate of change: 3 Y-intercept: 0
What does the situation represent? The rate of change is 3. The number of art kits donated increased by 3 every week at the Boys and Girls’ Organization.
1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
DESPUÉS DE EXPLORAR 1. Haga que los estudiantes completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 2. Completen la «Esquema de anclaje» como clase. 3. Haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva». 4. Regrese al «Captar interés» e instruya a los estudiantes a usar sus habilidades recién adquiridas para completar exitosamente la actividad.
• DOK- 2 «¿Qué significa tener una intercepción de 0 en una situación del mundo real?». Cuando no hay intersección yen una situación del mundo real, representa una relación proporcional. • DOK-2 Crea una situación del mundo real con una y-intercepción de 10 y una tasa de cambio de 2. El rodeo cobra $10 de entrada y $2 por cabalgata.
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GRADO 8: TASA DE CAMBIO
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Rate of Change Part 3
APOYOS LINGÜÍSTICOS Ayude a los estudiantes a comprender la situación leyendo el enunciado del problema (sin la pregunta) tres veces. Después de la primera lectura, pregunte: «¿De qué trata este escenario?».Escuche y aclare cualquier pregunta sobre el contexto. Después de la segunda lectura, pregunte: «¿Cuáles son los números que vemos en la situación? ¿Qué representan estos números?». Después de la tercera lectura, pregunte: «¿Qué preguntas matemáticas podrían responderse con esta información?». Luego lea la pregunta a resolver a la clase y permítales comenzar a trabajar.
Interpret the Rate of Change and Y-Intercept Interpret the following scenario, and complete the corresponding information. Bike Rental Rates It costs $20 to rent a bike and an additional $5 per hour.
Equation: y = 20 + 5x Rate of change: 5 Y-intercept: 20
Graph the function. Hours (x)
Cost $ (y)
1
25
2
30
3
35
4
40
Ayude a los estudiantes a identificar los verbos en las instrucciones del «Diario del estudiante», «como resolver cada ecuación», y pregunte cómo estos verbos dan dirección a la tarea. Comente cómo el uso de diferentes verbos significaría diferentes expectativas para sus respuestas.
What does the rate of change in this situation represent? Each hour of rental time costs an additional $5. What does the y-intercept in this situation represent? $20 is the amount paid down to rent the bike. Everyone pays $20 first, and everyone is charged an additional fee by the hour.
1
Cuando respondan a las preguntas de reflexión, pida a los estudiantes que se turnen primero para decir sus respuestas en voz alta a un compañero, para recibir comentarios de sus compañeros y, a continuación, para escribir sus respuestas en sus diarios del estudiante. Los estudiantes pueden revisar sus respuestas si es necesario.
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 3) CLAVE DE RESPUESTAS
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. A medida que los estudiantes comienzan a trabajar en el análisis de las descripciones verbales, pídales que definan las variables de las ecuaciones en grupos. 2. Si los estudiantes necesitan apoyo adicional para crear su propia ecuación a partir de cada una de las descripciones, pídales que traten de encontrar por separado la tasa de cambio y intersección y. Luego vea con cuál de las piezas necesitan más apoyo. 3. Anime a los estudiantes a discutir las diferentes estrategias que utilizan para encontrar la tasa de cambio a partir de las descripciones verbales. 4. Haga que los estudiantes discutan las estrategias que podrían ayudarles a encontrar la intersección y incluso cuando no se da explícitamente. 5. Si los estudiantes necesitan un desafío adicional, entonces pídales que encuentren la intersección y a partir de una tabla que no la proporciona y que no aumenta en intervalos iguales.
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GRADO 8: TASA DE CAMBIO
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE Rate of Change
CONSOLIDAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
ESQUEMA DE ANCLAJE DESCRIPCIÓN Un esquema de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Se trata de una herramienta para apoyar la instrucción y anclar el aprendizaje de los estudiantes a lo largo del alcance.
MATERIALES
• 1 hoja de papel cuadriculado
y-intercept
A local delivery service charges a $3 delivery fee, plus a rate of $1.50 per mile between the pick-up location and drop-off destination.
Rate of change
Slope =
rise 3 = run 2
Run = 2
y = 1.5x + 3
Rise = 3
y-intercept
Rate of change (0, 3)
y-intercept (where the line crosses the y-axis)
Miles
Cost
0
3
2
6
4
9
y-intercept (the y value when x = 0)
Rate of change = 9 – 6 = 3 = 1.5 4–2 2
• 1 juego de marcadores multicolores
PREPARACIÓN
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
• Imprima una copia del ejemplo de «Esquema de anclaje», si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. El ejemplo de esquema de anclaje puede utilizarse como referencia antes de crear el de la clase. Esta actividad debe ser dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje. 2. A medida que los estudiantes trabajen en el alcance, colaboren para añadir piezas al «Esquema de anclaje». Formule las siguientes preguntas orientadoras: a. «¿Qué estrategia utilizamos para resolver este problema?». b. «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?». 3. Continúe añadiendo habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada «Exploración» para resaltar el contenido importante. 4. Explique que pueden utilizar este gráfico como herramienta de apoyo para su aprendizaje. Los estudiantes también pueden pegar una copia del ejemplo del esquema en sus cuadernos para utilizarla como referencia a lo largo del año. 5. Algunos esquemas de anclaje sólo se mostrarán durante un alcance o grupo de alcances concretos, mientras que otras permanecerán expuestas durante todo el curso escolar.
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1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: TASA DE CAMBIO
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA Rate of Change
DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE Instructions ● Cut out the rectangle along the dotted lines, and glue it into your notebook. ● Complete all of the information.
A local delivery service charges a $3 delivery fee plus a rate of $1.50 per mile between the pick-up location and drop-off destination. What is the y-intercept? _______ What is the rate of change? ________ Write an equation to represent the rate of change. ___________ Complete the values in the table, and graph the values on the coordinate plane.
LIBRETA INTERACTIVA DESCRIPCIÓN Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase al usar la actividad y la libreta.
MATERIALES IMPRESO
Miles (x)
Cost (y)
0 2 9
Calculate the slope (rate of change). _______________
FOLLETO DEL ESTUDIANTE
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del «Folleto del estudiante» para cada uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Prepare una «Libreta interactiva» al usar un cuaderno de espiral o de composición para cada uno. Los estudiantes pueden utilizar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades. 2. Las instrucciones para cada actividad se proporcionan en el «Folleto del estudiante». 3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos. 4. Las libretas interactivas pueden utilizarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
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GRADO 8: TASA DE CAMBIO
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS APOYO A LOS ESTUDIANTES MULTILINGÜES
CONEXIONES LINGÜÍSTICAS DESCRIPCIÓN
• Permita que los estudiantes tengan acceso al vocabulario de imágenes para este alcance .
Los estudiantes tienen la oportunidad de utilizar sus conocimientos lingüísticos y culturales previos para apoyar las conexiones con nuevas destrezas, vocabulario y conceptos en sus niveles de competencia.
• Permita que los estudiantes tengan acceso a una variedad de herramientas matemáticas, tales como herramientas gráficas digitales y papel cuadriculado.
MATERIALES
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
IMPRESO
1 Distribuya un «Folleto del estudiante» en el nivel de competencia apropiado a cada uno.
• 1 folleto del estudiante según su nivel de competencia (por alumno)
2 Utilice las instrucciones para las partes de escuchar, hablar, leer y escribir. Utilice gestos, señale objetos y elementos visuales según proceda. Consulte las sugerencias en las instrucciones.
REUTILIZABLE • Acceso a herramientas gráficas digitales (por alumno) • 1 marcador rojo (por estudiante, nivel principiante)
3 Deje tiempo a los estudiantes para que piensen con sus vecinos antes de responder.
CONSUMIBLE
4 Anime a los estudiantes a perseverar en su pensamiento y a utilizar herramientas y modelos matemáticos.
• 1 hoja de papel (por estudiante, según sea necesario)
PREPARACIÓN
5 Invite a los estudiantes a responder adecuadamente a cada dominio lingüístico.
• Prepárese para que los estudiantes trabajen con compañeros cuando sea necesario. • Determine el nivel de inglés de cada estudiante.
6 Pida a los estudiantes que utilicen la página final del Material para el estudiante para establecer conexiones entre los conceptos matemáticos y el mundo real.
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada uno según su nivel de inglés.
Rate of Change B
Rate of Change A
Rate of Change I
Circle which relationship has the greater characteristic indicated.
Circle which relationship has the greater characteristic indicated.
With your partner, take turns asking and solving each relationship shown for the rate of change and y-intercept. Then circle which relationship has the greater characteristic indicated.
Rate of Change
Rate of Change Graph 3 5
Table m=1
+2
Y-intercept Graph b=4
Table
x
y
0
2
Graph 3 5
+2
Table m=1
2
4
4
6
Y-intercept
6
8
Graph
Table
b=4
b=2
b=2
+2
x
y
0
2
2
4
4
6
6
8
Rate of Change B
A garden
is being left to decompose
for winter
. The plants begin at 15 inches
18
(0, 50) Slope
x
y
0
15
4
12
8
9
20
0
The heights of the plants in the garden are ________________. increasing / decreasing The rate of change will be __________________. positive / negative
−
3 4
/ − 43
The y-intercept is the coordinate ______________. (0, 2)/ (0, 15) The situation can be modeled with the equation ___________________. y=−
3 x + 15 4
/ y=
decrease 1.5 inches in height every 2 weeks.
3 x − 15 4
This information can then be substituted into the equation model y = mx + b. The equation is y =___x 18 + 50. slope The ________ is 18, and the y-intercept/constant ___________________ is 50.
Model this situation in a table and equation. x
y
0
15
4
12
8
9
20
0
The plants in the garden are decreasing in height. True / False The rate of change is 3 . 4
Table m=1
Y-intercept Graph
Table
b=4
b=2
x
y
0
2
2
4
4
6
6
8
Rate of Change A
A vegetable garden is being left to decompose
Slope
The plants begin at 15 inches tall. They decrease 1.5 inches in height every 2 weeks. Model this situation in a table and equation. x
y
0
15
First, graph the two points given in the scenario: (0, 50) (5, 140) and _______.
4
12
8
9
20
0
To create the equation, do the following: Calculate the slope using the points that were graphed. The change in the y-coordinates is 140 – 50 = 90. The change in the x-coordinates is 5 – 0 = 5. 90 ÷ 5 = 18. The slope is 18.
The situation can be modeled with the equation y = 15 – 3 x. 4 True / False
18
decomposed by the end of 20 weeks of winter.
A salesman is guaranteed to make $50. He earned $140 in 5 hours of work. Model his rate of pay in a graph and as an equation.
True / False
Word Bank
for winter. The goal is to have it completely Constant
y-intercept
Describe how to graph and write an equation for the scenario.
The y-intercept is the coordinate (20, 0). True / False
The goal will not be reached for the garden to be composed in 20 weeks. True / False
(0, 50) Slope
The plants begin at 15 inches tall. They
First, graph the two points given in the scenario: (0, 50) The ___________ slope (5, 140) and _______. can be calculated using these two points. Using the slope (0, 50) 18 formula, m = _________. The point ___________ is the y-intercept/constant in the equation. __________________
The slope is ___________.
18
decomposed by the end of 20 weeks of winter.
Describe how to graph and write an equation for the scenario. A salesman is guaranteed to make $50. He earned $140 in 5 hours of work. Model his rate of pay in a graph and as an equation.
3 5
Word Bank
for winter. The goal is to have it completely
Constant y-intercept
weeks. Model this situation in a table and equation.
Graph
Rate of Change I
A vegetable garden is being left to decompose
Word Bank
tall. They decrease 1.5 inches in height every 2
Rate of Change
+2
The constant is 50. In the equation, the y-intercept will be 50. Therefore, the equation is y = 18x + 50.
The plants in the garden are decreasing __________________. The rate of change will be negative __________________ because − 3 the slope is ____________. 4
(0, 50)
Constant y-intercept
Describe how to graph and write an equation for the scenario. A salesman is guaranteed to make $50. He earned $140 in 5 hours of work. Model his rate of pay in a graph and as an equation. First, graph the two points given in the scenario: (5, 140) and (0, 50). The slope can be calculated using these two points. Using the slope formula, the slope, m = 18. The point (0, 50) is the y-intercept in the equation.
(0, 15) The y-intercept is the coordinate ______________. The situation can be modeled with the equation 3 y = − x + 15 4 _____________.
This information can then be substituted into the equation model y = mx + b. The slope is 18, and the constant is 50. The equation is y = 18x + 50.
(20, 0) The coordinate ___________ indicates that the plants will meet their goal of decomposing by the 20 weeks of winter.
Rate of Change B
Rate of Change I
Rate of Change A
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use rate of change at home with your family or friends.
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use rate of change at home with your family or friends.
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use rate of change at home with your family or friends.
Answers will vary.
Answers will vary.
Answers will vary.
PRINCIPIANTE FOLLETO DEL ESTUDIANTE
72
SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 72
INTERMEDIO FOLLETO DEL ESTUDIANTE
AVANZADO FOLLETO DEL ESTUDIANTE
ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: TASA DE CAMBIO
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCUCHAR Y HABLAR
PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Disponga de marcadores rojos para que los estudiantes los utilicen. Lea las siguientes indicaciones de una en una:
Tenga marcadores rojos a disposición de los estudiantes. Lea las siguientes instrucciones una a la vez:
Tenga marcadores rojos a disposición de los estudiantes. Lea las siguientes instrucciones una a la vez:
•
Señale la tabla.
•
Señale la tabla.
•
Señale la tabla.
•
Dibuje una flecha de 0 a 2 en la columna x.
•
Explique cómo encontrar la tasa de cambio en la tabla.
•
Explique cómo encontrar la tasa de cambio en la tabla.
•
Explique cómo hallar el cambio en las coordenadas x. ◦
Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente enunciado: Para hallar el cambio en las coordenadas x, _____.
•
Escriba junto a la flecha el cambio en las coordenadas x.
•
Compruebe si los estudiantes han escrito +2.
•
Dibuje una flecha de 2 a 4 en la columna y.
•
Explique por qué vamos a hallar a continuación el cambio en las coordenadas y. ◦
◦
•
•
•
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente raíz de frase: Necesitamos encontrar el cambio en las coordenadas y porque ____.
•
Escribe junto a la flecha el cambio en las coordenadas y.
•
Verifique si los estudiantes han escrito +2.
•
•
Explique cómo hallar el cambio en las coordenadas x. ◦
◦
Haga que los estudiantes usen la siguiente secuencia de oraciones: Para hallar la tasa de cambio en la tabla, ______.
Pida a los estudiantes que usen la siguiente secuencia de oración: Para encontrar el cambio en las coordenadas x, _____.
•
Con el método de tu elección, calcula la tasa de cambio en la tabla.
•
Encuentra la frase «Tasa de cambio». Escribe la pendiente de la tabla debajo de la palabra «Tabla».
•
Compruebe si los estudiantes han escrito m = 1. Si los estudiantes han escrito una fracción
Dibuja una flecha entre las coordenadas x que decida usar y escriba el cambio en las coordenadas. Explique por qué vamos a encontrar el cambio en las coordenadas y a continuación. ◦
Haga que los estudiantes usen la siguiente secuencia de oraciones: Para encontrar la tasa de cambio en la tabla, ______.
2
como ___ , recuérdeles que simplifiquen 2
su fracción. •
«¿Cómo sabes qué coordenada es la intersección y?». ◦
Pida a los estudiantes que usen la siguiente raíz de oración: Necesitamos encontrar el cambio en las coordenadas y porque ____.
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de frase: Sé que ____ es la intersección y porque ____.
•
Dibuja una flecha entre las coordenadas y que estás eligiendo usar y escribe el cambio en las coordenadas.
•
Busca la palabra intersección y en tu folleto. Debajo de la palabra «Tabla», escriba b = 2.
Señala la «Tasa de cambio» en tu folleto. Debajo de la palabra «Tabla», escribe la tasa de cambio de la tabla.
•
Señala la frase «Tasa de cambio» en su folleto. Debajo de la palabra «Tabla», escribe la tasa de cambio de la tabla.
•
Señala la gráfica.
•
Compruebe si los estudiantes han escrito m = 1. Si los estudiantes han
•
«¿Cómo sabe qué coordenada de la gráfica es la intersección y?».
2 escrito la fracción ___ , recuérdeles que 2
Compruebe si los estudiantes han escrito m = 1. Si los estudiantes han escrito una fracción 2
como ___ , recuérdeles que simplifiquen 2
simplifiquen su fracción.
su fracción.
•
Señala la coordenada en la tabla que es la intersección y.
•
•
Verifique si los estudiantes están señalando la coordenada (0, 2).
Señala la coordenada en la tabla que es la intersección y.
•
•
«¿Cómo sabes que esta coordenada es la intersección y?».
Verifique si los estudiantes están señalando la coordenada (0, 2).
•
«¿Cómo saben que esta coordenada es la intersección y?».
◦
Pida a los estudiantes que usen la siguiente secuencia de oraciones: Sé que ésta es la intersección y porque ____.
ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 73
◦
◦
Pida a los estudiantes que usen la siguiente secuencia de oraciones: Sé que ésta es la intersección y porque ____.
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de enunciado: Sé que la intersección y es ____ porque _____.
•
Encuentra la palabra intersección y. Debajo de la palabra «Gráfica», escriba b = 4.
•
«¿Cómo podemos usar la gráfica para calcular la tasa de cambio sin sustituir directamente en la fórmula de la pendiente?». ◦
Haga que los estudiantes usen la siguiente estructura de oración: Para calcular la tasa de cambio en una gráfica, puedo ____.
73
1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: TASA DE CAMBIO
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCUCHAR Y HABLAR (CONTINUACIÓN) PRINCIPIANTE •
Señale la palabra intersección y en su folleto. Debajo de la palabra Tabla, escriba b = 2.
•
Señale el gráfico.
•
Señale la coordenada en el gráfico que es la intersección y.
•
Verifique si los estudiantes están señalando la coordenada (0, 4).
•
«¿Cómo sabe que esta coordenada en el gráfico es la intersección y?». ◦
Pida a los estudiantes que usen la siguiente secuencia de oraciones: Sé que ésta es la intersección y
INTERMEDIO •
Señale la palabra intersección y. Debajo de la palabra Tabla, escriba b = 2.
•
Señale la gráfica.
•
«¿Cómo sabe qué coordenada de la gráfica es la intersección y?». ◦
•
•
Señale qué relación tiene la mayor tasa de cambio.
3
escrito __ 5 .
•
«¿Cómo podemos usar la gráfica para calcular la tasa de cambio sin sustituir directamente en la fórmula de la pendiente?».
•
Encierre en un círculo la Tabla debajo de Tasa de cambio.
•
Señale qué relación tiene la mayor intersección y.
•
Verifique si los estudiantes han señalado la gráfica.
•
Encierre en un círculo la gráfica debajo de intersección y.
◦
Haga que los estudiantes usen la siguiente estructura de oración: Para calcular la tasa de cambio en un gráfico, puedo ____.
•
Verifique si los estudiantes han escrito 3/5.
•
Señale cuál relación tiene la mayor tasa de cambio.
Revise el trabajo de los estudiantes para ver que hayan elegido dibujar tramos que sean apropiados. Por ejemplo, los estudiantes podrían dibujar un cateto de (0, 4) a (0, 7) verticalmente y otro de (0, 7) a (5, 7) horizontalmente.
•
Verifique si los estudiantes han señalado la tabla.
•
Circule Tabla debajo de Tasa de cambio.
•
Señale qué relación tiene la mayor intersección y.
•
Cuente el ascenso y el descenso.
•
•
Señale la Tasa de cambio en su folleto. Debajo de la palabra Gráfica, escriba la tasa de cambio para la gráfica.
Compruebe si los estudiantes han señalado la gráfica.
•
Rodee la gráfica bajo intersección y.
•
Verifique si los estudiantes han
•
Señale qué relación tiene la mayor tasa de cambio.
•
Verifique si los estudiantes han señalado la tabla.
•
Encierre en un círculo la Tabla debajo de Tasa de cambio.
•
Señale qué relación tiene la mayor intersección y.
•
Compruebe si los estudiantes han señalado la gráfica.
•
Encierre en un círculo la gráfica debajo de intersección y.
•
Verifique si los estudiantes han
Verifique si los estudiantes han señalado la tabla.
Pida a los estudiantes que usen la siguiente raíz de oración: Para calcular la tasa de cambio en una gráfica, puedo ____.
Usando un marcador rojo, comenzando en la intersección y, construya un triángulo que le ayude a calcular el ascenso y el descenso.
•
•
Ya sea sustituyendo las coordenadas en la fórmula de la pendiente o contando en el gráfico, determine la tasa de cambio para el gráfico. Escriba la tasa de cambio debajo de la palabra Gráfica en la sección Tasa de cambio.
•
Ya sea sustituyendo las coordenadas en la fórmula de la pendiente o contando en la gráfica, determine la tasa de cambio de la gráfica. Escriba la tasa de cambio debajo de la palabra Gráfica en la sección Tasa de cambio.
Señala la palabra intersección y. Debajo de la palabra Gráfica, escriba b = 4.
•
◦
•
•
Señale la palabra intersección y en su folleto. Debajo de la palabra Gráfica, escriba b = 4. «¿Cómo podemos usar la gráfica para calcular la tasa de cambio sin sustituir directamente en la fórmula de la pendiente?».
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de frases: Sé que la intersección y es ____ porque _____.
porque _____. •
AVANZADO
3
escrito ___ 5
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 74
ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: TASA DE CAMBIO
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
LEER Y HABLAR
PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
Lectura de la historia en grupo. Divida la historia en frases. Pida a los estudiantes que señalen cada palabra mientras leen. Pídales que rodeen con un círculo las palabras que no conozcan. Discuta las palabras con todo el grupo.
Coro: lea la historia en grupo. Pida a los estudiantes que señalen cada palabra mientras leen. Invite a los estudiantes a rodear con un círculo las palabras que no conozcan. Discuta las palabras con sus compañeros.
•
Ayude a los estudiantes a prepararse para responder a las preguntas y completar la tabla discutiendo las siguientes cuestiones: ◦
«¿Qué representa cada variable de la tabla?».
•
Comparta con sus compañeros de qué trataba la historia.
•
Ayude a los estudiantes a prepararse para responder a las preguntas y completar la tabla discutiendo las siguientes cuestiones: ◦
• Haga que los estudiantes utilicen la siguiente estructura de frases: La variable x representa ____, y la variable y representa _____. ◦
◦
• Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de frase Cuando x es 0, indica que _________. ◦
◦
◦
Cuando x aumenta, «¿cómo responde y?».
◦
«¿Cuál es la tasa de cambio?». Utilice una hoja de papel para mostrar su trabajo para encontrar la pendiente simplificada. • Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente secuencia: La tasa de cambio es ______.
•
Coral - lea el primer enunciado. Señale la respuesta en la historia antes de responder.
•
Coro: lea la segunda afirmación. Señale la respuesta en la historia antes de responder.
•
Coro: lea la tercera y la cuarta afirmación. Señale el trabajo anterior en el que encontró estas respuestas.
•
Coro: lea la quinta afirmación. Señala la información que utilizarás para crear tu ecuación antes de responder.
•
Utiliza tu ecuación para determinar los puntos que faltan en la tabla.
«¿Qué información clave se necesita del pasaje para completar las afirmaciones y la tabla?».
•
Complete la tabla, lea cada afirmación y comente sus respuestas con sus compañeros.
«¿Cómo podemos usar la tabla para determinar la intersección y?».
Ayude a los estudiantes a rellenar la coordenada de (0,15) en la tabla.
◦
«¿Cómo describirías la relación entre x e y?».
Cuando y es 0 en la tabla, «¿qué indica?». • Haga que los estudiantes utilicen la siguiente estructura de frase: Cuando y es 0, indica que _________.
•
«¿Cuál es la tasa de cambio?». Utilice una hoja de papel para mostrar su trabajo para encontrar la pendiente simplificada.
•
Coral-lea el primer enunciado. Señala la respuesta en la historia antes de marcar la afirmación como verdadera o falsa.
•
Coral: lee la segunda afirmación. Señala la respuesta en la historia antes de marcar la afirmación como verdadera o falsa.
•
En parejas, lee la tercera afirmación. Debate con tus compañeros para decidir si es verdadera o falsa.
•
Lea en parejas la cuarta afirmación. Debate con tus compañeros para decidir si es verdadera o falsa.
•
Compañero lee la quinta afirmación. Debate con tus compañeros para decidir si es verdadera o falsa.
•
Recuerde a los estudiantes que deben completar la tabla. «¿Cómo pueden utilizar las respuestas que han dado para completar la tabla?».
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 75
Cuando x es 0 en la tabla, «¿qué indica?».
◦
◦
Cuando y es 0 en la tabla, «¿qué indica?». • Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente secuencia: Cuando y es 0 en la tabla, indica que _____.
•
• Pide a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de frases: Como x _______, y ____________.
• Pide a los estudiantes que utilicen el siguiente enunciado: A medida que x aumenta, y _________. ◦
Explique a sus compañeros de qué trataba el pasaje.
• Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente enunciado: La intersección y puede determinarse mediante _________.
• Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente secuencia: La intersección y se indica en la tabla mediante _____. Ayude a los estudiantes a rellenar la coordenada de (0, 15) en la tabla.
•
• Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente raíz de frase: Cuando x es 0, indica que _________.
«¿Qué información de la tabla indica la intersección y?».
◦
Pida a los estudiantes que lean la historia con sus compañeros y que señalen cada palabra mientras leen. Invite a los estudiantes a rodear con un círculo las palabras que no conozcan y a comentarlas con sus compañeros.
«¿Qué representa cada variable de la tabla?». • Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente secuencia de oraciones: Las variables x e y representan _________.
Cuando x es 0 en la tabla, «¿qué está indicando?».
AVANZADO
75
1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: TASA DE CAMBIO
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCRIBIR PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Ponga a disposición de los estudiantes tarjetas de vocabulario con imágenes y herramientas gráficas digitales. Lea y comente las palabras del banco de palabras. Defina y proporcione ejemplos según las necesidades de los estudiantes. Utilice las siguientes indicaciones:
Ponga a disposición de los estudiantes tarjetas de vocabulario con imágenes y herramientas gráficas digitales. Lectura coral y debate sobre las palabras del banco de palabras. Defina y proporcione ejemplos según las necesidades de los estudiantes. Utilice las siguientes indicaciones:
Ponga a disposición de los estudiantes tarjetas de vocabulario con imágenes y herramientas gráficas digitales. Los estudiantes deben leer en coro las palabras del banco de palabras con sus compañeros. Pídales que comenten el significado de las palabras con sus compañeros. Defina y proporcione ejemplos según las necesidades de los estudiantes. Mientras los estudiantes leen, utilice las siguientes indicaciones:
•
•
Discuta las siguientes preguntas: ◦
«¿Dónde encuentra la información para la intersección y en la situación sobre el vendedor?».
◦
«¿Dónde encuentra la información para la tasa de cambio en la situación?».
Lea cada enunciado y pida a los estudiantes que consulten el banco de palabras antes de responder.
76
SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 76
•
Pida a los estudiantes que comenten cada palabra del banco de palabras con sus compañeros.
•
Señale una palabra cada vez en el banco de palabras y, por turnos, explique el significado de cada palabra.
•
Tome nota de los estudiantes que proporcionen explicaciones matemáticamente precisas de las palabras del banco de palabras.
•
A continuación, señale una palabra del banco de palabras cuyo significado necesite aclarar.
•
Pida a los estudiantes que hayan dado explicaciones precisas desde el punto de vista matemático que ayuden a aclarar las palabras seleccionadas a sus compañeros: Veo que nos vendría bien una aclaración sobre la palabra/frase ___. (Nombre del estudiante) pudo dar una explicación clara sobre la palabra/ frase ________ a su compañero. (Nombre del estudiante), «¿podrías compartir tu explicación?».
•
Lee cada enunciado con tus compañeros y utiliza las palabras del banco de palabras para completar cada enunciado. Ten en cuenta que algunas palabras pueden utilizarse más de una vez o no utilizarse en absoluto.
•
Recuerda a los estudiantes que consulten el banco de palabras cuando completen los espacios en blanco.
•
Haga que los estudiantes comenten las palabras del banco de palabras con sus compañeros.
•
Comente las palabras del banco de palabras con sus compañeros. Cada persona debe dar una explicación o descripción de una palabra y, a continuación, pedir a su compañero que parafrasee el significado de la palabra. Continúa este proceso hasta que hayas discutido todas las palabras del banco de palabras.
•
Lee las instrucciones con tus compañeros. «¿Qué plan vas a seguir para asegurarte de que utilizas el mayor número posible de palabras del banco de palabras en tu redacción?». Si no estás seguro de cómo utilizar una palabra, rodéala en el banco de palabras. Los estudiantes no deben empezar a escribir todavía.
•
Esté atento a los estudiantes que tengan dificultades para crear un plan o que marquen con un círculo las palabras del banco de palabras. Ofrezca apoyo y permita que los estudiantes que hayan podido crear un plan lo compartan con la clase. ◦
Veo que varios de nosotros necesitamos aclaraciones sobre la palabra _______. Diríjase a alguien cercano que no sea su compañero y pídale que aclare o defina la palabra ___________.
◦
Veo que varios de nosotros necesitamos ayuda para diseñar un plan que utilice palabras del banco de palabras. Acércate a alguien que no sea tu compañero y pídele que explique cómo piensa utilizar el mayor número posible de palabras del banco de palabras.
•
Una vez aclaradas todas las palabras y compartidos los planes, pida a los estudiantes que escriban sus explicaciones.
•
Ahora escribe una explicación en la que utilices al menos cinco de las palabras del banco de palabras. Cuando terminen de escribir, compartan sus escritos con sus compañeros.
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1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: TASA DE CAMBIO
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO PALABRAS QUE HAY QUE CONOCER
VOCABULARIO CON IMÁGENES Bivariate Data
Rate of Change
Slope
Data for two variables that are paired to each other
The rate that shows how one quantity changes in relation to another quantity
How steep a line is; represented as m in the slope-intercept equation 11
2
12
Variable
Y-Intercept
Function
A letter or symbol that takes the place of a number that can change; a letter that can stand for an unknown number or a set of numbers
The point on a graph of an equation where the line crosses the y-axis
A special relationship between values; each input value gives back exactly one output value.
13
14
3
Function Rule
Linear Equation
Linear Function
The dependent variable (range, output, y value) expressed in terms of the independent variable (domain, input, x value)
An equation in which no variable has a power greater than 1; the general form is y = mx + b, where m = slope and b = y-intercept.
A relationship that when graphed is a straight line
4
5
6
Linear Graph
Negative Slope
Nonlinear Function
A series of points connected on the coordinate plane, forming straiga ht line that shows a relationship or rate of change
The measure of the steepness of a line that shows the slant downward from left to right
A relationship that when graphed does not make a straight line; a relationship that does not create a straight line; nonlinear association
7
8
9
Positive Slope
The measure of the steepness of a line that shows the slant upward from left to right 10
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 77
77
1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: TASA DE CAMBIO
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ DESARROLLAR LA FLUIDEZ CONCEPTUAL
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: ESCRIBIR ECUACIONES LINEALES DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes jugarán a ¡A pescar! para resolver problemas matemáticos.
MATERIALES
Go Fish! Instruction Sheet Play this game with a partner. You Will Need 1 Set of Go Fish! Cards (per pair) How to Play 1. Shuffle the Go Fish! Cards. 2.
Pass out five cards to each player.
3.
Place the rest of the deck in a pile on the table.
4.
Players take turns asking each other for either the answer to match one of the problem cards or the problem card to match one of the answer cards. If the opponent has the matching
IMPRESOS
card, the opponent must give it to the player. If the opponent
• 1 hoja de instrucciones de ¡A pescar! (por pareja) • 1 juego de ¡A pescar! (por pareja) REUTILIZABLES
does not have the matching card, the other player must pick a card from the deck. 5.
The winner is the player with the most matches when all of the cards are gone.
• 1 sobre o bolsa (por pareja)
PREPARACIÓN
• Haga copias a doble cara de las tarjetas ¡A pescar! a doble cara. • Lamínelas para que duren más. • Recorte las tarjetas individuales y colócalas en un sobre o bolsa para facilitar su distribución y limpieza.
HOJA DE INSTRUCCIONES
• Coloque a los estudiantes en parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo barajar las cartas. 2. Modele cómo jugar al juego con un estudiante. a. Reparta cinco cartas a cada jugador. b. Coloque el resto del mazo en un montón sobre la mesa. c. Los jugadores se preguntan por turnos si la respuesta coincide con una de las cartas de problema o si la carta de problema coincide con una de las cartas de respuesta. Si el adversario tiene la carta correspondiente, debe dársela al jugador. Si el oponente no tiene la carta correspondiente, el otro jugador debe coger una carta del mazo. d. El ganador es el jugador con más coincidencias cuando se acaban todas las cartas. 3. Supervise a los estudiantes para asegurarse de que encuentran las coincidencias correctas.
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 78
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1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: TASA DE CAMBIO
ELABORAR: REVISIÓN EN ESPIRAL REPASAR CONCEPTOS PREVIOS
REVISIÓN EN ESPIRAL: EL PARQUE DE ATRACCIONES DESCRIPCIÓN
• Pregunta 2
Los estudiantes repasan contenidos anteriores o del grado actual para ayudar a apoyar su trabajo en este alcance y fortalecer las habilidades necesarias para alcance s posteriores.
REPASO EN ESPIRAL CENTRADA EN LA PREGUNTA
◦ Grado 8: Entender que una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. La gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados que consisten en una entrada y la salida correspondiente. • Pregunta 3
• Pregunta 1
◦ Grado 8: Comprender que una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. La gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados que consiste en una entrada y la salida correspondiente. Rate of Change
◦ Grado 8: Comparar las propiedades de dos funciones cada una representada de una manera diferente. • Pregunta 4 ◦ Grado 8: Interpretar la ecuación y = mx + b como la definición de una función lineal cuya gráfica es una línea recta; dar ejemplos de funciones que no son lineales.
PREPARACIÓN
The Amusement Park
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada estudiante.
Alex got a summer job working at an amusement park. Although it is a twenty-minute drive from his house, he had wanted to work there ever since he was a little kid. He thought it would be wonderful to be able to spend his days helping others have the time of their lives. Alex was extremely excited when they assigned him to work at the rides. He was hoping that he wouldn’t get stuck working at a food stand because he wanted to see the enjoyment on people’s faces as they got off of each ride. Roller coasters are Alex’s favorite attraction. The best part of the job is that he got to ride the rides for free whenever he had a break! The way he saw it is that he was getting paid to do what he loves—riding roller coasters. It was like a dream come true. What an incredible way to make money during his college years.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno.
1
Rate of Change
1.
The following table represents how many people attended the park each day. Does this table represent a function? Why or why not? Day
Mon.
Wed.
Fri.
Mon.
Wed.
Number of People
550
575
550
560
750
2.
The following table represents how much money Alex made based off the number of hours that he worked. Does this table represent a function? Why or why not? Hours Worked
1
3
6
7
10
Amount Made
15
45
90
105
150
No. The input of Monday occurs twice and has two different outputs.
Yes. Each input has exactly one output.
3.
4.
On his first day, Alex works with two different roller coasters. He notices that the line to ride each ride moves at a different pace. He believes this is because each of the roller coasters allows a different number of people on at a time. The following functions show how many people, y, can go on x number of rides. Which ride will have the shorter wait time? Superman: Comet: y = 16x
B.
C.
D.
3. Utilice las preguntas de repaso en espiral como calentamiento en clase, o envíelas a casa como deberes. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos. 4. Consulte la sección enfoque por pregunta del repaso en espiral para evaluar los conocimientos de contenido de los estudiantes o su necesidad de una mayor intervención. Si es necesario repasar más, utilice los constructores de fluidez en los alcances apropiados.
The number of hours, y, that Alex works over x number of days is represented by a function. Which of the following graphs could NOT represent how many hours Alex works? A.
2. Anime a los estudiantes a tratar de responder a las preguntas de forma independiente sin utilizar recursos externos para ver lo que saben. Invite a los estudiantes a anotar ideas o fragmentos que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas.
Superman will have a shorter wait time. 2
5. El proyecto final incluye una parte del alcance actual para que los estudiantes vean la conexión y relevancia de su aprendizaje previo con el en este alcance.
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: TASA DE CAMBIO
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS ANÁLISIS DE DATOS
CIENCIA DE DATOS Ciencia de datos es un breve debate en clase basado en un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. La parte I incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los estudiantes en contexto.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizarán, interpretarán y generarán conjuntos de datos, además de responder a preguntas basadas en los datos.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 conjunto de datos (por clase) REUTILIZABLES
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase) • 1 marcador (por clase)
PARTE II
1. Repase cómo escribir la ecuación de una recta dados dos puntos, y escriba lo que los estudiantes recuerden en el papel milimetrado. 2. Comente las siguientes cuestiones: a. Escribe pares ordenados (x, y) para representar esta situación cuando x es el número de revoluciones e y es la distancia recorrida en centímetros. Los puntos se pueden encontrar pasando el cursor por encima del punto o seleccionando la vista de tabla en la parte inferior del diagrama de dispersión. (2, 23,4), (3, 35,8), (4, 48,2), (5, 58,7), (6,71,1), (7, 83,8), (8, 94,6), (9, 106,7), (10, 119) b. Utiliza dos puntos para escribir la ecuación de la recta de mejor ajuste. Las respuestas pueden variar. Utilizando los puntos (2, 23.4) y (10, 119): 119-23.4 _____ = 95.6 ≈ 11.95; m = _________ 10-2
CONSUMIBLES
• 1 trozo de papel milimetrado (por clase)
PREPARACIÓN
• Prepárese para proyectar el conjunto de datos para la clase. • Reúna un trozo de papel milimetrado y un marcador.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Proyecte el conjunto de datos TUVA y prepárese para anotar las observaciones de los estudiantes. 2. Haga clic en punto. 3. Arrastre número de revoluciones al eje x. 4. Arrastre distancia recorrida al eje y. 5. Comente las siguientes preguntas: a. «¿Qué observas en este conjunto de datos?». b. «¿Qué representa este conjunto de datos?». c. «¿Qué representa un punto sobre estos datos?». d. «¿Qué categorías se incluyen en este conjunto de datos?». e. «¿Se da suficiente información para formular pares ordenados que representen la situación?». f. «¿Qué preguntas tienes sobre los datos?».
8
119 = 11.95(10) + b 119 = 119.5 + b b = -0.5 y = 11.95x - 0.5 c. «¿Cuál es la distancia recorrida esperada en centímetros si hay 15 revoluciones?». y = 11.95(15) - 0.5 ≈ 178.75 cm d. Si la distancia recorrida es de 238.5 centímetros, «¿cuántas revoluciones hubo?». 238.5 = 11.95x - 0.5; 239 = 11.95x; x = 20 revoluciones e. «¿Qué es la pendiente y qué significa en el contexto de esta situación?». La pendiente es de 11.95 centímetros por revolución. Esto significa que la distancia recorrida en una revolución es de aproximadamente 11.95 centímetros. PARTE III
1. Haz clic en línea y selecciona gráfica de línea. 2. Formule las siguientes preguntas: a. «¿Qué observas en la línea?». b. «¿Por qué la línea no es perfectamente recta?». c. «¿Qué crees que pasaría si escribieras la ecuación de la línea usando diferentes puntos?». d. Elige dos conjuntos diferentes de puntos y escribe las ecuaciones de la línea. e. «¿Qué notas sobre la primera ecuación y la segunda ecuación?». f. «¿Por qué crees que podrían ser diferentes?».
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GRADO 8: TASA DE CAMBIO Rate of Change
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
Rate of Change How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Construct a function to model a linear relationship between two quantities. Determine the rate of change and initial value of the function from a description of a relationship or from two (x, y) values, including reading these from a table or graph. Interpret the rate of change and initial value of a linear function in terms of the situation it models, and in terms of its graph or a table of values.
LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN
Notes and Feedback
DESCRIPCIÓN ❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede utilizarse como evaluación formativa para los maestros y como autoevaluación para los estudiantes.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 folleto del maestro (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del maestro» y un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1
Rate of Change
Standards for Mathematical Practice
Notes and Feedback
Make sense of problems and persevere in solving them Reason abstractly and quantitatively
Model with mathematics Use appropriate tools strategically
4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje.
Attend to precision Look for and make use of structure
5. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el «Folleto del maestro».
Look for and express regularity in repeated reasoning
Consider these reflection questions in this scope. ●
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them?
●
What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
2
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2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Explorar» y «Explicar» del alcance, evalúe formativamente su progreso tomando notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo. 3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
Construct viable arguments and critique the reasoning of others
FOLLETO DEL MAESTRO
1. Distribuya un «Folleto del estudiante» a cada uno.
6. Las notas anecdóticas proporcionadas en el «Folleto del maestro» pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares. 7. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la «Guía de instrucción andamiada» en la sección «Inicio» de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
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GRADO 8: TASA DE CAMBIO
EVALUAR: MAPA DE CALOR EVALUACIÓN DE HABILIDADESEVALUACIÓN
MAPA DE CALOR DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
1. Dé un «Mapa de calor» a cada estudiante junto con lápices de colores rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s).
MATERIALES
• 1 mapa de calor (por estudiante)
2. Los estudiantes utilizan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el «Mapa de calor». Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los estudiantes colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, los estudiantes colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, los estudiantes colorean el cuadro correspondiente de rojo.
• 1 lápiz de color rojo (por estudiante) • 1 lápiz de color azul (por estudiante) • 1 lápiz de color naranja (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Determine si los estudiantes analizarán su «Prueba de habilidades», la «Evaluación basada en estándares», o ambas.
3. Anímelos a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a utilizar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada.
• Imprima un «Mapa de calor» para cada estudiante. • Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
4. Consulte la «Guía de instrucción andamiada» que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
Rate of Change
Rate of Change
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
1. Which skill did you feel most confident with? Why?
Skills Quiz Standards
Construct a function to model a linear relationship between two quantities. Determine the rate of change and initial value of the function from a description of a relationship or from two (x, y) values, including reading these from a table or from a graph. Interpret the rate of change and initial value of a linear function in terms of the situation it models, and in terms of its graph or a table of values.
Refer to your answers on the Standards-Based Assessment. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key.
Reflection Questions
Red – misconception
Rate of Change
Blue - miscalculation
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
Orange - explanation
Standards
Questions
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 3. Which type of error did you most commonly make?
Construct a function to model a linear relationship between two quantities. Determine the rate of change and initial value of the function from a description of a relationship or from two (x, y) values, including reading these from a table or from a graph. Interpret the rate of change and initial value of a linear function in terms of the situation it models, and in terms of its graph or a table of values.
4. How can you avoid those errors in the future?
1
Red - misconception
Standards-Based Assessment
2
Questions
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
MAPA DE CALOR
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GRADO 8: TASA DE CAMBIO
INTERVENIR: REVISIÓN Y PRUEBA DE HABILIDADES Rate of Change
REFORZAR Y VOLVER A ENSEÑAR
REVISIÓN Y PRUEBA DE HABILIDADES
Checkup Find the rate of change (m) and the initial value (b), where y = mx + b. Explain.
+4 +4
Slope = 20 or 5 4 y-intercept = 20
Hours of Exercise
Pounds Lost
0
10
4
12
8
14
12
16
DESCRIPCIÓN Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para intervención.
+2 +2
MATERIALES
Slope = 2 or 1 4 2 y-intercept = 10
1.
Rate of change: $5 per lawn
3.
2.
Initial value: $20
4.
IMPRESO
• 1 revisión rápida (por estudiante)
Rate of change: ½ pound lost per hour Initial value: 10 pounds
• 1 repaso (por estudiante) • 1 revisión general (por estudiante)
− 1 ( 0, −3) + 2 (−1, −1) (−2, 1) −1 (−3, 3) + 2
y = −4x Slope = −4 y-intercept = 0
• 1 lista de verificación para el maestro (por maestro)
PREPARACIÓN
Slope = −2 1 y-intercept = −3
5.
Rate of change: −4y for each x
7.
Rate of change: −2y for each x
6.
Initial value: 0
8.
Initial value: −3
• Imprima una copia de la «Revisión rápida», el «Repaso» y la «Revisión general» para cada estudiante.
1
• Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar el «Repaso». • Si lo desea, imprima un ejemplo del «Esquema de anclaje» de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que usen la «Libreta interactiva» como recurso.
Rate of Change
A daycare charges a $25 membership fee to start plus $45 every month. Initial value
9.
Rate of change: $45 per month
10.
Initial value: $25
• Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayudas suplementarias para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Rate of change
1. Dé una copia de la «Revisión rápida» a cada estudiante. 2. Cada uno debe completarla de forma independiente. 3. Use la rúbrica de habilidades al final de la «Revisión rápida» para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional. 4. Distribuya una copia del «Repaso» a cada uno. 5. Cada estudiante debe completar el «Repaso» como actividad de intervención o de forma independiente. a. Si lo desea, reúna a los estudiantes en pequeños grupos para trabajar en las destrezas de repaso. Utilice el «Repaso» como ayuda para la reenseñanza. 6. Distribuya una copia de la «Revisión general» a cada uno. 7. Cada estudiante debe completarla de forma independiente. 2
COMPROBACIÓN CLAVE DE RESPUESTAS
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8. Analice los resultados de la «Revisión general» al usar la «Lista de verificación para el maestro» para identificar quienes necesitan un repaso adicional y quienes han alcanzado el dominio de los conceptos. dominio de los conceptos.
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GRADO 8: TASA DE CAMBIO
ACELERACIÓN: ¿QUÉ PREFERIRÍAS? Rate of Change
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
¿QUÉ PREFERIRÍAS?: PASEAR AL PERRO DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 rúbrica (por maestro)
PREPARACIÓN
Dog Walking Use mathematical reasoning and creativity to justify your answer to the Would You Rather question. Jonathan is taking evening Spanish classes two days a week. He’s looking for a dog walker to take his two dogs, Max and Sadie, on an evening walk when he’s in class. He’s narrowed down his choices to two dog walking companies. Would you rather use Minnie’s Dog Walking or Miguel’s Pet Services? Justify your reasoning with mathematics. Determine the rate of change (slope) and the y-intercept.
Minnie’s Dog Walking Number of Minutes Walked, x
Total Cost for Both Dogs ($), y
0
6
5
16
10
26
15
36
20
46
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno.
Sample answers may include the following: I would rather use Minnie’s Dog Walking
• Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
Miguel’s. Even though the rate per minute is larger, the initial flat fee is less expensive
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
because the cost of walking both dogs is $2 cheaper at 10 minutes than it is at (y = 2x + 6). The y-intercept is 6. I would rather use Miguel’s Pet Services because it would be $8 cheaper than Minnie’s price to walk the dogs for 20 minutes. Miguel’s charges a smaller rate per minute (y = x + 18) and has a smaller slope/rate of change. The y-intercept is 18. 1
1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a mirar sus folletos de «Explorar» si necesitan repasar habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros.
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
4. Utilice la rúbrica proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
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GRADO 8: TASA DE CAMBIO
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Rate of Change
OPCIONES PARA SEGUIR APRENDIENDO
TABLERO DE OPCIONES
Rate of Change Choose one or more extension activities from the table below. Career Connection
Epidemiologist
Analyze the data provided about the wolf population that was introduced into Yellowstone in 1995.
Analogies
Kitchen Connection
MATERIALES IMPRESO
• 1 tablero de opciones (por estudiante)
Cookie Donations
Complete the analogies to demonstrate an understanding of how to find a y-intercept when given information in different formats.
Using the information given, find the equation, rate of change, and y-intercept for the situation. Then, graph the equation.
Mathematician Spotlight
Financial Connection
Isaac Newton
Fan Donations
Search out several news articles or research papers that involve Isaac Newton’s work. Create an informational poster, diorama, or speech to convey this mathematician’s work as it relates to rates of change.
Los estudiantes explorarán las conexiones con el mundo real y las aplicaciones del contenido matemático a través de interacciones con actividades atractivas.
Wolf Population
Research the career field of epidemiology. Your research must answer the provided questions. Create a presentation to relay your research to the class.
Y-Intercepts
DESCRIPCIÓN
Science Connection
• 1 juego de hojas de actividades (por estudiante) • 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante) REUTILIZABLE
• Tecnología (si corresponde)
We use math every day in our financial world. Explore how rate of change connects to our financial world by completing the handout.
PREPARACIÓN 1
TABLERO DE OPCIONES
• Imprima un «Tablero de opciones» y un juego de hojas de actividades para cada estudiante. • Imprima una «Autoevaluación del tablero» para cada estudiante. • Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» a cada estudiante. 2. Dé tiempo a los estudiantes para examinar el «Tablero de opciones» y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anímelos a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del tablero, haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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GRADO 8 MODEL FUNCTION RELATIONSHIPS
GRADO 8
REPRESENTAR RELACIONES FUNCIONALES ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: NO PERTENECE
ESTÁNDARES CLAVE Usar funciones para representar relaciones entre cantidades. • Describir cualitativamente la relación funcional entre dos cantidades analizando una gráfica (por ejemplo, si la función es creciente o decreciente, lineal o no lineal). Dibujar una gráfica que muestre las características cualitativas de una función descrita verbalmente.
ESTÁNDARES DE CONEXIÓN Definir, evaluar y comparar funciones. • Entender que una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. La gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados formados por una entrada y la salida correspondiente. • Comparar las propiedades de dos funciones representadas cada una de una manera diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en una tabla o mediante una descripción verbal). Por ejemplo, dada una función lineal representada por una tabla de valores y una función lineal representada por una expresión algebraica, determinar qué función tiene la mayor tasa de cambio. • Interpretar la ecuación y = mx + b como definitoria de una función lineal, cuya gráfica es una línea recta; dar ejemplos de funciones que no son lineales. Por ejemplo, la función A = s2 que da el área de un cuadrado en función de la longitud de sus lados no es lineal porque su gráfica contiene los puntos (1, 1), (2, 4) y (3, 9), que no están en una línea recta.
Usar funciones para representar relaciones entre cantidades. • Construir una función para representar una relación lineal entre dos cantidades. Determinar la tasa de cambio y el valor inicial de la función a partir de la descripción de una relación o de dos valores (x, y), incluso leyéndolos en una tabla o en una gráfica. Interpretar la tasa de variación y el valor inicial de una función lineal en términos de la situación que representa y en términos de su gráfica o de una tabla de valores.
Los estudiantes analizarán gráficos para identificar qué opción no pertenece a un conjunto dado, lo que ayudará a descubrir y abordar conceptos erróneos. • Los estudiantes examinan conjuntos de gráficos para identificar el valor atípico que no encaja con los demás. • Deben explicar su razonamiento de por qué un gráfico en particular no pertenece. • La actividad fomenta el pensamiento crítico y la conversación para aclarar la comprensión de las relaciones proporcionales. • Los maestros pueden utilizar esto como una herramienta de diagnóstico para identificar y abordar los conceptos erróneos de los estudiantes. CAPTAR INTERÉS Los estudiantes se involucran con un gráfico para desarrollar su comprensión de las relaciones lineales y no lineales mediante la creación de una narración que se corresponda con los datos del gráfico. • Los estudiantes interpretan un gráfico que representa el tiempo y la distancia para crear una historia que coincida con los acontecimientos del gráfico. • Identifican y describen secciones del gráfico como lineales o no lineales, y determinan si son crecientes, decrecientes o constantes. • La actividad anima a los estudiantes a aplicar su comprensión mediante la creación de sus propios gráficos e historias, incorporando diferentes tipos de secciones del gráfico.
ACTIVIDADES DE EXPLORACIÓN EXPLORACIÓN 1: ANÁLISIS DE GRÁFICAS Los estudiantes analizarán gráficas para determinar sus características. • Los estudiantes trabajan en grupos para examinar gráficas y describirlas como lineales o no lineales, y como crecientes o decrecientes. • Utilizan los materiales proporcionados, como las «Tarjetas de viaje por carretera» y las «Análisis de datos en una tarjeta gráfica» para facilitar su análisis. • La actividad incluye preguntas guiadas para ayudar a los estudiantes a comprender las características de las gráficas y sus aplicaciones en el mundo real. • Los estudiantes completan un «Diario del estudiante» y un «Boleto de salida» para evaluar su comprensión y participan en un charla de matemáticas para conversar sobre sus hallazgos. EXPLORACIÓN 2: DIBUJO DE GRÁFICAS Los estudiantes exploran las características cualitativas de las funciones dibujando y analizando gráficas. • Los estudiantes trabajan en grupos para dibujar gráficas basándose en descripciones verbales, identificándolas como lineales o no lineales y crecientes o decrecientes. • Cada estudiante recibe un «Diario del estudiante» y un «Boleto de salida», mientras que los grupos utilizan «Tarjetas de playa» para guiar sus tareas de graficación. • La actividad incluye conversaciones y preguntas orientativas para ayudar a los estudiantes a comprender la relación entre las descripciones verbales y las características de los gráficos. • Los estudiantes participan en una charla de matemáticas para compartir observaciones y estrategias, mejorando su comprensión de las características de los gráficos y sus aplicaciones en el mundo real.
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GRADO 8: REPRESENTAR RELACIONES FUNCIONALES MODEL FUNCTION RELATIONSHIPS GRADO 8
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES EXPLORACIONES DE DATOS
Los estudiantes participan en exploraciones de datos que implican la comprensión de funciones a través de escenarios del mundo real, como las horas de voluntariado o las donaciones a bancos de alimentos. Mediante la construcción y el análisis de gráficos, tablas y descripciones verbales de las relaciones, los estudiantes desarrollan su comprensión de las relaciones lineales y el concepto de tasa de cambio. Estas lecciones sientan las bases para posteriores exploraciones con grandes conjuntos de datos y notación científica, en las que es esencial interpretar las relaciones de función entre los puntos de datos. Las habilidades para reconocer patrones y comprender la tasa de cambio en un escenario dado contribuyen directamente a analizar conjuntos de datos que pueden requerir herramientas más complejas, como hojas de cálculo o modelos estadísticos.
ECUACIONES LINEALES
DATOS, GRÁFICAS Y TABLAS
CONCEPTOS CLAVE • Puedo describir cualitativamente la relación funcional entre dos cantidades analizando una gráfica. • Puedo clasificar gráficas como crecientes o decrecientes, lineales o no lineales. • Puedo esbozar una gráfica de una función cuando se me dan características cualitativas verbalmente.
Los estudiantes se centran en la comprensión y representación de relaciones entre cantidades mediante la interpretación de relaciones lineales y la representación de soluciones de ecuaciones lineales. Examinando la pendiente y los interceptos en gráficos y tablas, practican la resolución de pares de ecuaciones lineales y exploran la conexión entre las representaciones algebraicas y gráficas de las relaciones lineales. Este conocimiento básico es clave a la hora de analizar gráficos de dispersión, ya que los estudiantes utilizarán su comprensión de las ecuaciones lineales para identificar tendencias lineales en los datos, haciendo de estas lecciones un apoyo directo para el trabajo futuro en la interpretación de gráficos de dispersión y la comparación de relaciones lineales.
Los estudiantes construyen diversas representaciones de datos, como gráficos, tablas y ecuaciones, para representar y comparar diferentes relaciones funcionales. Al pasar de una representación a otra, analizan la tasa de cambio y las intersecciones y para describir la relación cuantitativa entre variables. Las habilidades que desarrollan, como reconocer la importancia de las tasas de cambio constantes en las funciones lineales, ayudan a los estudiantes a interpretar los diagramas de dispersión y a determinar si los puntos de datos representan relaciones lineales o no lineales. Esta capacidad será fundamental cuando más adelante exploren datos y relaciones bivariantes más complejos.
PREGUNTAS FUNDAMENTALES • Define las siguientes características cualitativas de un gráfico: creciente, decreciente, lineal y no lineal. • Describe las diferencias entre las características cualitativas y cuantitativas de un gráfico. • ¿Por qué son importantes las características cualitativas para dibujar el gráfico de una relación funcional?
• Puedo interpretar partes de una situación como partes de la función.
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1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: REPRESENTAR RELACIONES FUNCIONALES
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
CONTENIDOS DE APOYO Usar funciones para representar relaciones entre cantidades. • Describir cualitativamente la relación funcional entre dos cantidades analizando una gráfica (por ejemplo, si la función es creciente o decreciente, lineal o no lineal). Dibujar una gráfica que muestre las características cualitativas de una función descrita verbalmente.
CONOCIMIENTO PREVIO En cursos anteriores, los estudiantes adquirieron una sólida comprensión de las relaciones entre tablas y gráficas. Fueron capaces de trazar varios puntos en una gráfica basándose en los datos dados en un problema. Los estudiantes encontraron regularidades entre diferentes gráficas y tablas, preparándolos para encontrar correspondencias entre funciones.
CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
• Los estudiantes pueden estar acostumbrados a ver los gráficos como gráficos lineales, que conectan todos los puntos en una línea recta. No todas las gráficas y funciones representan una única línea conectada. • Los estudiantes deben saber que una gráfica no lineal puede tener intervalos crecientes y decrecientes.
ALCANCE ACTUAL En este alcance, los estudiantes serán capaces de describir la relación funcional entre dos cantidades a través del análisis de una gráfica. Además, serán capaces de dibujar una gráfica basándose en una descripción verbal de las características de una función. Determinarán si una función es creciente o decreciente basándose en la pendiente proporcionada. Los estudiantes serán capaces de distinguir funciones dadas como lineales o no lineales a partir del contexto utilizando el vocabulario apropiado.
TÉRMINOS CLAVE
• constante: un número fijo que se mantiene solo. • decreciente: la medida de la inclinación de una línea que muestra la inclinación hacia abajo de izquierda a derecha. • función: una relación especial entre valores; cada valor de entrada devuelve exactamente un valor de salida. • pendiente creciente: la medida de la inclinación de una línea que muestra la inclinación hacia arriba de izquierda a derecha. • función lineal: Una relación que cuando se representa gráficamente es una línea recta. • función no lineal: una relación que cuando se representa gráficamente no hace una línea recta; una relación que no crea una línea recta; asociación no lineal. • tasa de cambio: la tasa que muestra cómo cambia una cantidad en relación con otra cantidad. • pendiente: la inclinación de una línea; se representa como m en la ecuación pendiente-intersección. • intersección y: el punto de la gráfica de una ecuación donde la línea cruza el eje y.
APLICAR LAS PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes analizan descripciones dadas y dibujan gráficas que se ajusten a la descripción. Buscan vocabulario que les ayude a dar sentido al problema antes de dibujar la gráfica. • MP.2 Razonar de manera abstracta y cuantitativa: Los estudiantes razonan abstracta y cuantitativamente mientras analizan las gráficas para determinar las relaciones de los datos en una gráfica. Utilizan el contexto de cada problema para explicar el significado de los datos presentados. • MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros: Los estudiantes explican su proceso de pensamiento al determinar si una descripción verbal es una relación lineal o no lineal. Utilizan ejemplos previos de relaciones lineales y no lineales para apoyar su explicación. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes representan con matemáticas mientras esbozan gráficas de ciertas descripciones. Interpretan las características cualitativas descritas como partes de una gráfica y son capaces de representar el aspecto que tendrá la función. • MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas: Los estudiantes consultan el documento «Análisis de datos en una tarjeta gráfica» cuando analizan y describen gráficas dadas. Utilizan la tarjeta como recordatorio de cómo se ven las relaciones lineales y no lineales en un gráfico. • MP.6 Atender a la precisión: Los estudiantes prestan atención a la precisión al evaluar cada gráfica. Son precisos en sus descripciones de aumento y disminución, así como en la clasificación de funciones como lineales o no lineales. • MP.7 Buscar y utilizar estructuras: Los estudiantes descomponen descripciones verbales de escenarios para crear una gráfica que represente el escenario. Trabajan el problema por partes hasta que tienen una gráfica completa que representa todo el escenario. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes notan que la forma en que se ven las líneas específicas en un gráfico representa si el gráfico es creciente, decreciente o constante. También se dan cuenta de que el aspecto de la gráfica determina si la gráfica es lineal o no lineal.
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GRADO 8: REPRESENTAR RELACIONES FUNCIONALES
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO
ESCRIBIR DESCRIPCIONES DE FUNCIONES Los estudiantes representarán una gráfica con una historia. Analizarán la gráfica y la describirán como lineal o no lineal y creciente o decreciente. Ejemplo: El siguiente plano de coordenadas muestra la gráfica de una función.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe correctamente la función anterior? b
Entre el intervalo x = -12 y x = -6, la función es creciente y no lineal.
c
Entre el intervalo x = -1 y x = 5, la función es decreciente y lineal.
d Entre el intervalo x = -1 y x = 5, la función es decreciente y no lineal. e Entre el intervalo x = 5 y x = 14, la función es creciente y lineal. La respuesta correcta es la opción B. El intervalo de la opción A representa una función decreciente y puede eliminarse. El intervalo de la opción C representa una función lineal y puede eliminarse. El intervalo de la opción D representa una función no lineal y puede eliminarse. Por lo tanto, los estudiantes elegirán la opción B que representa correctamente el intervalo donde la gráfica es decreciente y lineal.
CREACIÓN DE GRÁFICOS Los estudiantes representarán una historia con un gráfico. Relacionarán partes de historias con partes de un gráfico mediante la interpretación de las historias. Determinarán si el gráfico es lineal o no lineal y creciente o decreciente. Ejemplo: Zack conducía por la autopista en un viaje por carretera. Para ahorrar gasolina, puso su coche en control de crucero durante 5 horas a una velocidad constante. a. Dibuja una gráfica que represente la distancia que condujo con respecto al tiempo. Las respuestas pueden variar. Aquí tienes un posible esquema si viajara a 50 km/h.
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b. ¿La función representada anteriormente es lineal o no lineal? ¿Aumenta o disminuye?. Explicar la respuesta. La respuesta correcta es lineal y creciente. Las explicaciones pueden variar. Sin embargo, la función es lineal porque Zack conduce a una velocidad constante. La función es creciente porque la distancia recorrida es creciente.
AVANCES En la escuela secundaria, los estudiantes continuarán su trabajo con funciones a medida que comienzan a escribir en notación formal de funciones. Describirán las características de una función como creciente, decreciente, dominio y rango según la notación de intervalo. Evaluarán los valores de salida según las entradas individuales y crearán ecuaciones y reglas de función a partir de estos datos. Los estudiantes se familiarizarán con diferentes tipos de funciones no lineales, incluyendo cuadráticas, exponenciales y trigonométricas.
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GRADO 8: REPRESENTAR RELACIONES FUNCIONALES
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO ANÁLISIS PROFUNDO DE LOS ESTÁNDARES
CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES Usar funciones para representar relaciones entre cantidades. • 8.F.B.5 Describir cualitativamente la relación funcional entre dos cantidades analizando una gráfica (por ejemplo, si la función es creciente o decreciente, lineal o no lineal). Dibujar una gráfica que muestre las características cualitativas de una función descrita verbalmente.
DESGLOSAR EL ESTÁNDAR VERBOS: ¿QUÉ DEBERÍAN HACER LOS ESTUDIANTES?
• analizar: explorar y explicar. • describir: escribir o contar los detalles de.
IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA
• En cursos anteriores, los estudiantes han reconocido y representado relaciones proporcionales entre cantidades. Anteriormente, los estudiantes han determinado qué es una función, cómo representar funciones con ecuaciones, con gráficas, en tablas y a través de descripciones verbales. Los estudiantes también han comparado dos funciones representadas de diferentes maneras. • En este nivel de grado, se espera que los estudiantes describan relaciones funcionales entre cantidades. Los estudiantes dibujan estas relaciones utilizando una gráfica. Los estudiantes determinan si la gráfica es creciente o decreciente.
• representar: mostrar con una representación pictórica o una expresión numérica. • esbozar: hacer un dibujo aproximado de. • utilizar: aplicar una estrategia. SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBERÍAN CONOCER LOS ESTUDIANTES?
• decreciente (funciones): cuando el valor de y disminuye a medida que el valor de x aumenta. • función: una relación especial entre valores; cada valor de entrada devuelve exactamente un valor de salida. • relación funcional: cuando cada valor x se empareja exactamente con un valor y. • gráfico: una representación visual de los datos. • creciente: cuando el valor y aumenta a medida que aumenta el valor x. • función lineal: una relación que cuando se representa gráficamente es una línea recta. • función no lineal: una relación que cuando se representa gráficamente no hace una línea recta; una relación que no crea una línea recta; asociación no lineal. • cantidad: número total de algo. • relación: la regla en un patrón. • descripción verbal: una declaración que representa algo en palabras.
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GRADO 8: REPRESENTAR RELACIONES FUNCIONALES
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
ALINEACIÓN VERTICAL GRADO
ESTÁNDAR Reconocer y representar relaciones proporcionales entre cantidades. a. Decidir si dos cantidades están en una relación proporcional, por ejemplo, probando relaciones equivalentes en una tabla o graficando en un plano de coordenadas y observando si la gráfica es una línea recta que pasa por el origen.
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b. Identificar la constante de proporcionalidad (tasa unitaria) en tablas, gráficas, ecuaciones, diagramas y descripciones verbales de relaciones proporcionales. c. Representar relaciones proporcionales mediante ecuaciones. d. Explicar qué significa un punto (x, y) en la gráfica de una relación proporcional en términos de la situación, con especial atención a los puntos (0, 0) y (1, r) donde r es la tasa unitaria.
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Entender que una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. La gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados formado por una entrada y la salida correspondiente.
8
Comparar las propiedades de dos funciones representadas cada una de una manera diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas o mediante descripciones verbales).
8
Interpretar la ecuación y = mx + b como definitoria de una función lineal, cuya gráfica es una línea recta; dar ejemplos de funciones que no son lineales.
8
Describir cualitativamente la relación funcional entre dos cantidades analizando una gráfica (por ejemplo, si la función es creciente o decreciente, lineal o no lineal). Dibujar una gráfica que muestre las características cualitativas de una función descrita verbalmente.
escuela secundaria
Para una función que representa una relación entre dos cantidades, interpretar características clave de gráficas y tablas en términos de las cantidades, y bosquejar gráficas que muestren características clave dada una descripción verbal de la relación. Las características clave incluyen: interceptos; intervalos donde la función es creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos; simetrías; comportamiento final; y periodicidad.
escuela secundaria
Distinguir entre situaciones que pueden representarse con funciones lineales y con funciones exponenciales.
escuela secundaria
Observar usando gráficas y tablas que una cantidad que aumenta exponencialmente eventualmente excede a una cantidad que aumenta linealmente, cuadráticamente, o (más generalmente) como una función polinómica.
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GRADO 8: REPRESENTAR RELACIONES FUNCIONALES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA CONTROLAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIONES La guía de instrucción andamiada se proporciona para que los maestros puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones del alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que ayuda a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de la evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos según los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere que todos los estudiantes experimenten con los elementos: «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades», ya que cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar. 0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
80 % - 100 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil pueden trabajar en contenido de nivel de grado con apoyos de instrucción.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 6. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» individual para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 7. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante de acuerdo con sus datos de evaluación. 8. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la sección «Scaffolded Instruction Guide» en el menú desplegable «Home» del alcance. 4. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Operaciones y Pensamiento Algebraico Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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GRADO 8: REPRESENTAR RELACIONES FUNCIONALES
Describir cualitativamente la relación funcional entre dos cantidades analizando una gráfica (por ejemplo, si la función es creciente o decreciente, lineal o no lineal). Dibujar una gráfica que muestre las características cualitativas de una función descrita verbalmente. 8 - Funciones (Refuerzo del grado anterior)
0 % - 25 %
Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Funciones Prueba de habilidades 8 - Comparar funciones Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Comparar funciones Práctica interactiva • Unión de funciones
25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyos)
Prueba de habilidades 8 - Representar relaciones funcionales Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida • Repaso • Revisión general 8 - Representar relaciones funcionales
(Nivel de grado)
50 % - 80 %
Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva Constructor de fluidez • Representar relaciones funcionales Práctica interactiva • ¿Cuál es mi recta? Ciencia de datos
80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
Conexiones lingüísticas 8 - Representar relaciones funcionales Tarea de modelado matemático ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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GRADO 8: REPRESENTAR RELACIONES FUNCIONALES
ATRAER: ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS Model Function Relationships
EVALUAR PREVIAMENTE EL CONOCIMIENTO DEL ESTUDIANTE
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: NO PERTENECE ESTÁNDAR PREVIO
Does Not Belong Determine which letter does not belong in each group, and explain your thinking.
A
C
B
D
Explicar qué significa un punto (x, y) en la gráfica de una relación proporcional en términos de la situación, con especial atención a los puntos (0, 0) y (1, r) donde r es la tasa unitaria.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes examinarán una serie de gráficas y determinarán qué opción no pertenece al grupo. Este elemento está diseñado para descubrir los conceptos erróneos de los estudiantes; no debe tomarse para una calificación.
MATERIALES IMPRESO
• 1 no pertenece (por estudiante o por grupo)
Letter ______ does not belong because ____________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________
PREPARACIÓN
• Imprima un documento «No pertenece» para cada estudiante.
1
NO PERTENECE
• Puede elegir colocar a los estudiantes en grupos de dos o tres.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya los documentos «No pertenece» a cada estudiante o grupo. 2. Explique que cada tabla del folleto contiene cuatro opciones. Tres de las opciones van juntas, mientras que una no pertenece. 3. Pida a los estudiantes que determinen qué letra no pertenece a cada grupo y que expliquen su pensamiento. a. La opción A no pertenece porque no representa una relación proporcional, ya que no pasa por el origen. 4. Concluya dirigiendo una conversación. 5. Si los estudiantes tienen dificultades para completar esta tarea, realice el elemento «Constructor de bases fundamentales» para reforzar conocimientos previos antes de pasar a otras partes del alcance.
IDENTIFICACIÓN DE CONCEPTOS ERRÓNEOS • Los estudiantes pueden ver una línea recta y suponer que representa una relación proporcional, pase o no por el origen.
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GRADO 8: REPRESENTAR RELACIONES FUNCIONALES
ATRAER: CAPTAR INTERÉS
Model Function Relationships
LECCIÓN MOTIVADORA
Retrace Your Steps
CAPTAR INTERÉS DESCRIPCIÓN Los estudiantes interpretan un gráfico y crean una historia que se corresponda con el gráfico. También identifican partes del gráfico como lineales o no lineales y crecientes o decrecientes.
MATERIALES IMPRESO
• 1 recorre nuevamente tus pasos (por clase) REUTILIZABLE
• 1 fenómeno (por clase)
PREPARACIÓN
• Planifique mostrar el fenómeno. • Prepárese para proyectar el documento «Recorre nuevamente tus pasos» para que toda la clase lo vea.
1
RECORRE NUEVAMENTE TUS PASOS
• Prepárese para presentar el escenario y anime a los estudiantes a pensar en cómo resolverlo. Esté preparado para pasar a las actividades de «Exploración», volviendo a la actividad «Captar interés» con los nuevos conocimientos adquiridos una vez finalizadas las «Exploraciones».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA
1. Presente esta actividad hacia el comienzo del alcance. La clase retomará la actividad y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades de «Exploración» correspondientes. 2. Muestre el fenómeno. Formule a los estudiantes las siguientes preguntas: «¿Qué observas? ¿Dónde puedes ver matemáticas en esta situación?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. 3. Explique el escenario a la clase: «La familia Washington estaba de visita en Filadelfia. El viernes, la Sra. Washington había planeado un día completo de turismo a pie. La familia había planeado ir caminando desde su hotel a muchos lugares de interés y después tomar un taxi para volver al hotel antes de cenar. Sin embargo, la primera parte del día no transcurrió según lo previsto. De vuelta al hotel, antes de la cena, el Sr. Washington hizo un gráfico de su recorrido matutino y todos se rieron al ver lo poco que habían avanzado. Cuando le enseñaron el gráfico a la abuela Washington en la cena de esa noche, se preguntó qué les había pasado esa mañana». 4. Permita que los estudiantes hagan preguntas y aclaren el contexto según sea necesario. Anímeles a compartir sus pensamientos y experiencias con la clase utilizando la siguiente pregunta:
5. Proyecte el documento «Recorre nuevamente tus pasos». 6. Explique a los estudiantes que el gráfico representa el tiempo en el eje x y la distancia en el eje y. Diga a los estudiantes que el gráfico muestra la distancia recorrida por la mañana, cuando la familia Washington salió por primera vez del hotel. Converse sobre las siguientes preguntas con la clase: a. DOK-1 «¿Cuáles son las unidades para el tiempo y la distancia en el gráfico?». El tiempo está en minutos y la distancia está en millas. b. DOK-1 «¿Qué observas en el gráfico?». Las respuestas pueden variar. Parece un gráfico lineal, pero tiene diferentes secciones donde las líneas tienen diferentes pendientes. c. DOK-1 «¿Cuántas secciones diferentes observas en el gráfico?». Hay cuatro secciones diferentes: A, B, C, D. 7. Continúa para completar las actividades de la sección «Explorar».
a. «¿Has estado alguna vez en Filadelfia?».
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GRADO 8: REPRESENTAR RELACIONES FUNCIONALES
ATRAER: CAPTAR INTERÉS PARTE II: DESPUÉS DE EXPLORAR
1. Después de que los estudiantes hayan completado las actividades de «Exploración» para este tema, muestre de nuevo el fenómeno y repita el escenario. 2. Consulte el documento «Recorre nuevamente tus pasos» y converse sobre las siguientes preguntas con la clase: a. DOK-1 «¿Cuáles son las unidades para el tiempo y la distancia en el gráfico?». El tiempo está en minutos y la distancia está en millas. b. DOK-1 «¿Qué observas en el gráfico?». Las respuestas pueden variar. Parece un gráfico lineal, pero tiene diferentes secciones donde las líneas tienen diferentes pendientes. c. DOK-1 «¿Cuántas secciones diferentes observas en el gráfico?». Hay cuatro secciones diferentes - A, B, C, D. d. DOK-1 «¿Qué significan los siguientes términos matemáticos?». i. Lineal: Puede ser representada gráficamente como una línea recta. ii. No lineal: No se puede representar gráficamente como una línea recta. iii. Constante: Tiene la misma salida para cada valor de entrada (como una línea horizontal en un gráfico). iv. Creciente: Significa que la pendiente se inclina hacia arriba a medida que se mueve hacia la derecha. v. Decreciente: Significa que la pendiente se inclina hacia abajo a medida que se mueve hacia la derecha.
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e. DOK-2 «Usa las descripciones lineal, no lineal, constante, creciente y decreciente para describir la gráfica». La primera parte del gráfico, A, es creciente. La segunda parte del gráfico, B, es constante. La tercera parte del gráfico, C, es creciente. La cuarta parte del gráfico, D, es decreciente. Cada parte del gráfico muestra una relación lineal. f. DOK-2 «¿Qué historia podría estar representando el gráfico?». Las respuestas pueden variar. La familia Washington salió de su hotel y caminó a paso ligero hasta un restaurante para desayunar, ¡porque la familia tenía hambre! Caminaron 1,5 millas en 20 minutos para llegar. Después, pasaron 20 minutos comiendo en el restaurante. La familia salió del restaurante y corrió hacia el primer museo porque los miembros de la familia estaban emocionados. Después de haber recorrido 1,5 millas en 15 minutos, el Sr. Washington se dio cuenta de repente de que se había dejado la cartera en el restaurante. Todos se dieron la vuelta y corrieron los 1,5 kilómetros de vuelta al restaurante en 15 minutos. El Sr. Washington encontró su cartera. A continuación, la familia tomó un taxi hasta el museo. 3. Si dispone de tiempo, pida a cada estudiante que cree su propio gráfico y la historia correspondiente. Los estudiantes deben incluir al menos una sección de la gráfica que sea creciente, una que sea decreciente y una que sea constante.
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GRADO 8: REPRESENTAR RELACIONES FUNCIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 1: ANÁLISIS DE GRÁFICAS Estándar(es) • Usar funciones para representar relaciones entre cantidades. Describir cualitativamente la relación funcional entre dos cantidades analizando una gráfica (por ejemplo, si la función es creciente o decreciente, lineal o no lineal). Dibujar una gráfica que muestre las características cualitativas de una función descrita verbalmente.
Estándares para la práctica matemática
Ideas fundamentales Datos, gráficas y tablas Exploraciones de datos Ecuaciones lineales
MP.2 Razonar de manera abstracta y cuantitativa. MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros.
Conexiones de contenido CC1 Razonar con datos CC2 Explorar al cambiar las cantidades
Motores de investigación DI1 Dar sentido al mundo (comprender y explicar)
MP.6 Atender a la precisión. MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizan el gráfico y lo describen como lineal o no lineal y creciente o decreciente.
MATERIALES IMPRESO • 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por estudiante) • 1 conjunto de «Tarjetas de viaje por carretera» (por grupo) • 1 análisis de datos en una tarjeta gráfica (por grupo) REUTILIZABLE • 1 marcador borrable (por grupo) • 1 protector de hojas transparente (por grupo)
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Lea la siguiente escenario a la clase: «Lashawn y Diego van a hacer un viaje por carretera durante sus vacaciones de verano. Utilizarán la analítica de su programa de software de seguimiento de datos para controlar la velocidad, la distancia y el tiempo recorridos mediante gráficos. Ayude a Lashawn y a Diego a analizar los gráficos de los informes analíticos de su coche». 2. Ayude a los estudiantes a acceder a la tarea planteándoles las siguientes preguntas orientativas: a. «¿Qué recuerdas sobre los gráficos?». b. «¿Por qué puede ser importante mirar los informes analíticos de un coche?».
• 1 bolsa resellable (por grupo)
3. Entregue un «Diario del estudiante» a cada uno.
• 1 proyector (por maestro)
4. Entrega a cada grupo un conjunto de «Tarjetas de viaje por carretera», un «Análisis de datos en una tarjeta gráfica» y un marcador borrable.
PREPARACIÓN
• Planifique que los estudiantes trabajen en grupos de 3 o 4 para completar esta actividad. • Imprima los documentos «Diario del estudiante» y «Boleto de salida» para cada estudiante. • Imprima un documento «Tarjetas de viaje por carretera» para cada grupo. Recórtalas y coloque cada conjunto de tarjetas en una bolsa resellable. Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para utilizarlas en el futuro.
5. Explique a los estudiantes que analizarán cada gráfico y que describirán el gráfico como lineal o no lineal y creciente o decreciente utilizando el documento «Análisis de datos en una tarjeta gráfica».
• Imprima un documento «Análisis de datos en una tarjeta gráfica» para cada grupo. Colóquelas dentro de un protector de hojas transparente para cada grupo. Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para utilizarlas en el futuro. • Para los estudiantes que necesiten más apoyo para recordar información consulte nuestros elementos «Ayudas suplementarias» que incluyen un plano cartesiano del primer cuadrante y un plano cartesiano, en la sección «Intervenir».
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GRADO 8: REPRESENTAR RELACIONES FUNCIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Model Function Relationships Explore 1
6. Pida a los estudiantes que utilicen el documento «Análisis de datos en una tarjeta gráfica» para analizar el gráfico y describirlo como lineal o no lineal y creciente o decreciente. (Tenga en cuenta que los estudiantes deben comprender el aspecto de un gráfico cuando se describe como lineal, no lineal, creciente o decreciente). Proyecte el documento «Análisis de datos en una tarjeta gráfica». (Tenga en cuenta que al mostrar la tarjeta 3, debe mostrar a los estudiantes dónde la función es creciente y decreciente). Supervise y hable con los estudiantes según sea necesario para comprobar la comprensión utilizando las siguientes preguntas orientativas: a.
DOK-1 «¿Cómo puedes determinar si una función es lineal? ¿Qué función o funciones son lineales?». Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Una función lineal es una función cuya gráfica es una línea recta. Las funciones que son lineales son 1 y 2.
b.
DOK-1 «¿Cómo puedes determinar si una función es no lineal? ¿Qué función(es) son no lineales?». Las respuestas de los estudiantes pueden variar. La gráfica de una función no lineal no es una línea recta. Es una línea curva. La función que no es lineal es 3.
c.
DOK-1 «¿Cómo puedes determinar si una función es creciente? ¿Qué función o funciones son crecientes?». Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Una función es creciente cuando el valor de y aumenta cuando el valor de x aumenta. La función que es creciente es 2.
d.
Road Trip Functions
Use the Road Trip Cards to analyze the graph, and describe each card as linear or nonlinear and increasing or decreasing. Match the description to the correct graph. Glue the description in the space on the table. Distance from Hotel 1.
How can the descriptions linear, nonlinear, constant, increasing, and decreasing be used to describe the graph? The first part of the graph, A, shows that the graph is decreasing. B shows that it is constant. C shows the graph increasing. D and E show the graph decreasing. Each section of the graph shows a linear relationship.
2.
Card 2
LaShawn and Diego rode toward the destination during the 1st 15 minutes. They stopped 10 minutes to get food and then drove back to ask someone for directions. They continued to drive toward the destination and drove at a faster rate during the last leg of the trip.
What is the y-intercept of the graph? 8
1
DOK-1 «¿Cómo puedes determinar si una función es decreciente? ¿Qué función(es) es decreciente?». Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Una función es decreciente cuando el valor de y disminuye a medida que el valor de x aumenta. Las funciones que son decrecientes son 1 y 3.
7. Explique a los estudiantes que analizarán cada gráfico del viaje por carretera de Lashawn y Diego y describirán el gráfico como lineal o no lineal y creciente o decreciente en el «Diario del estudiante». 8. Pida a los estudiantes que usen los gráficos para describir el gráfico como lineal o no lineal y creciente o decreciente. Supervise y hable con los estudiantes según sea necesario para verificar la comprensión utilizando las siguientes preguntas guía: a.
DOK-2 «¿Cómo puedes describir la relación que muestra el gráfico?». Las respuestas de los estudiantes pueden variar. El gráfico de la distancia desde la entrada del zoológico muestra una relación lineal que va en aumento.
b.
DOK-2 «¿Qué gráficos muestran una relación lineal?». El gráfico de la distancia a la entrada del zoológico y el gráfico de la distancia a casa muestran una relación lineal. (Observe que los estudiantes deben notar que la distancia al hotel y la distancia al museo incluyen intervalos que muestran una relación lineal).
9. Conceda tiempo a los estudiantes para que completen el «Diario del estudiante», incluidas las preguntas de reflexión. 10. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímelos a que se hagan preguntas y establezcan conexiones. Anime a los estudiantes a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias utilizadas para analizar gráficos. 11. Después de explorar, invita a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
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Description:
Model Function Relationships Explore 1
Distance from Home 1.
How can the descriptions linear, nonlinear, constant, increasing, and decreasing be used to describe the graph? The graph shows a linear relationship that is decreasing at a constant rate.
2.
What is the y-intercept of the graph?
Card 4
Description:
LaShawn and Diego drove from one destination at a steady pace, moving closer to their original destination.
10
Distance from Rest Stop 1.
How can the descriptions linear, nonlinear, constant, increasing, and decreasing be used to describe the graph? The graph shows a nonlinear relationship and is increasing gradually.
2.
What is the y-intercept of the graph?
Card 6
Description:
LaShawn and Diego drove on a flat, rocky trail that gradually rises up a steep mountain.
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DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: REPRESENTAR RELACIONES FUNCIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Model Function Relationships Explore 1
CHARLA DE MATEMÁTICAS • Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta:
Distance from the Museum 1.
How can the descriptions linear, nonlinear, constant, increasing, and decreasing be used to describe the graph? The first part of the graph, A, shows that the graph is increasing. B shows that it is constant. C shows the graph decreasing. Each section of the graph shows a linear relationship.
2.
Card 5
Description:
◦ DOK-2 «Compara y contrasta gráficos que muestran relaciones lineales y gráficos que muestran relaciones no lineales». Cuando la gráfica muestra una línea recta, representa una relación lineal, y cuando la gráfica muestra una línea que no es recta, la gráfica muestra una relación no lineal.Tanto las gráficas lineales como las no lineales pueden mostrar relaciones que son crecientes y decrecientes».
LaShawn and Diego drove 15 minutes away from the destination. They spent 50 minutes dining at a restaurant. During the last leg of the trip, they spent 25 minutes driving to the destination.
What is the y-intercept of the graph?
• DOK-2 «¿Cuál es un ejemplo de una situación del mundo real donde la función es lineal?». Los ejemplos pueden variar. Conducir a casa a una velocidad de 65 millas por hora es un ejemplo de una situación del mundo real donde la función es lineal.
2
Distance from Zoo Entrance 1.
How can the descriptions linear, nonlinear, constant, increasing, and decreasing be used to describe the graph? The graph shows a linear relationship that is increasing at a constant rate.
2.
Card 1
Description:
• DOK-2 «¿Cuál es un ejemplo de una situación del mundo real donde la función no es lineal?». Los ejemplos pueden variar. Un cohete lanzado al cielo que aumenta en altura y luego disminuye en altura es un ejemplo de una situación del mundo real en la que la función es no lineal.
LaShawn and Diego walked away from the destination at a steady pace.
What is the y-intercept of the graph?
DESPUÉS DE EXPLORAR
1
2
1. Pida a los estudiantes que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 2. Completen el «Esquema de anclaje» como clase. 3. Pida a cada estudiante que complete su «Libreta interactiva».
Model Function Relationships Explore 1
Model Function Relationships Explore 1
Reflect
Distance from Park 1.
How can the descriptions linear, nonlinear, constant, increasing, and decreasing be used to describe the graph? The graph shows a nonlinear relationship. The first part of the graph, A, shows that the graph is gradually increasing. B shows that it is gradually increasing at the slowest speed. C shows the graph gradually increasing. Each section of the graph shows a nonlinear relationship.
2.
Card 3
1.
Description:
Compare and contrast graphs that show linear relationships and graphs that show nonlinear relationships. When the graph shows a straight line, it represents a linear relationship, and when the graph shows a line that is not straight, the graph shows a nonlinear relationship.
LaShawn and Diego drove away from their destination, gradually building speed. They slowed down to avoid some potholes but then sped up again.
Both linear and nonlinear graphs can show relationships that are increasing and decreasing.
2.
What is an example of a real-world situation where the function is linear? Examples will vary. One example of a real-world situation where the function is linear is driving home at a speed of 65 miles per hour.
What is the y-intercept of the graph? 0
3.
What is an example of a real-world situation where the function is nonlinear? Examples will vary. A rocket launched in the sky increasing in height and then decreasing in height is an example of a real-world situation where the function is nonlinear.
5
4
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
99
1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: REPRESENTAR RELACIONES FUNCIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Model Function Relationships Explore 1
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Antes de comenzar la «Exploración», active los conocimientos previos mostrando una pendiente positiva, una pendiente negativa y una pendiente cero. Haga que los estudiantes conversen con sus compañeros sobre la relación entre los valores x e y para cada tipo de pendiente.
Running a Marathon during the Road Trip Exit Ticket
LaShawn ran a marathon during the road trip and tracked his progress. Describe the graph as linear or nonlinear and increasing or decreasing. Create a description that represents the graph.
2. Proporcione flexibilidad a los estudiantes que necesiten tareas reducidas eliminando algunas de las «Tarjetas de viaje por carretera». Asegúrese de que también se eliminen las tarjetas de descripción correspondientes. Para los estudiantes multilingües, lea las descripciones verbales de las «Tarjetas de viaje por carretera». 3. Los estudiantes que necesitan apoyo adicional pueden ver la forma de la curva de un gráfico distancia-tiempo como el camino literal recorrido, en lugar de entender que la forma de la curva refleja la velocidad. Para ayudar a estos estudiantes, proporcióneles una ilustración suya caminando por el aula y pídales que dibujen un mapa de su trayectoria. A continuación, pídales que creen un gráfico de su distancia en función del tiempo y que comparen las dos representaciones. 4. Se debe animar a los estudiantes que necesiten apoyo adicional para interpretar la pendiente como un índice de cambio a que conversen sobre lo que significa un cambio a lo largo del eje x o del eje y en el contexto que están examinando. Al principio, los estudiantes pueden interpretar una línea plana como si significara una tasa de cambio constante y una línea creciente o decreciente como si representara una tasa de cambio variable, así que ayúdelos a utilizar tablas u otros métodos para ayudarlos a ver una relación común. Converse con estos estudiantes sobre el significado de los ejes rotulados. Converse sobre lo que significa un punto individual en el contexto del problema, así como la pendiente, y pida a los estudiantes que calculen la pendiente en diferentes puntos para fomentar la comprensión.
Running a Marathon 1.
How can the descriptions linear, nonlinear, constant, increasing, and decreasing be used to describe the graph? The first part of the graph, A, shows that the rate of speed on the graph is decreasing. B shows that it is constant. C shows the rate of speed on the graph increasing. Each section of the graph shows a linear relationship.
2.
Description: LaShawn ran 20 minutes toward the finish line. He stopped and took a break for 20 minutes. During the last leg of the marathon, he ran away from the finish line because he lost his keys during the race.
What is the y-intercept of the graph? 7 1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
5. Si los estudiantes necesitan un desafío adicional, pídales que caminen por el aula y creen gráficos de su distancia en función del tiempo.
Model Function Relationships Part 1
APOYOS LINGÜÍSTICOS Proporcione apoyos previos a la lectura de organizadores de gráficos, diagramas de formas y vocabulario preenseñado para ayudar en la comprensión lectora. Muestre un esquema de anclaje sobre lineal y no lineal. Incluya el vocabulario de lineal, no lineal, creciente, decreciente y constante.
Analyzing Graphs Jeffrey took a guided bus tour of the countryside. The graph shows the rate at which he traveled between 9:00 a.m. and 2:00 p.m.
Como actividad previa a la lección, guíe a los estudiantes para que completen el «Vocabulario interactivo» que se encuentra en la sección «Explicar» para el vocabulario nuevo. Proporcione a los estudiantes la definición y anímelos a reescribirla con sus propias palabras. Antes de comenzar la actividad, pida a los estudiantes que creen una tabla tríptica y que titulen las tres columnas: «Creciente», «Decreciente» y «Constante». Pida a los estudiantes que se turnen para leer en voz alta las descripciones verbales de las tarjetas gráficas. Los estudiantes identifican las palabras clave asociadas a las tres categorías y las escriben en sus tablas. Por ejemplo, la velocidad más rápida se escribiría en «Creciente». Pueden consultar la tabla cuando trabajen en el futuro. Proporcione a los estudiantes tres marcadores o lápices de colores. Pídales que creen una clave que muestre que cada color representa una creciente, una decreciente o una constante. Pida a los estudiantes que etiqueten los gráficos del viaje por carretera con los marcadores fluorescentes.
1.
What is the y-intercept, and what does this represent within the context of the situation? The y-intercept is zero, and marks the start of Jeffrey’s tour, before he traveled any distance at all.
2.
Name each one-hour time period in which Jeffrey’s distance was linear and increasing. Between 9:00 and 10:00, between 11:00 and 12:00, and between 12:00 and 1:00
3.
Name a one-hour time period in which Jeffrey’s distance was constant. Between 10:00 and 11:00
4.
Write a description of Jeffrey’s tour in relation to the time and distance traveled. Answers will vary. The tour started at 9:00. Between 9:00 and 10:00, the bus moved 40 miles. From 10:00 to 11:00, the bus driver stopped the bus and the tour guide took the tourists to view a scenic outlook. From 11:00 to 12:00, the bus traveled 30 miles. Finally, between 12:00 and 1:00, the driver steered the bus on a back road, moved at a slower rate, and traveled 10 miles.
1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS 100
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1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: REPRESENTAR RELACIONES FUNCIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 2: DIBUJO DE GRÁFICAS Estándar(es) • Usar funciones para representar relaciones entre cantidades. Describir cualitativamente la relación funcional entre dos cantidades analizando una gráfica (por ejemplo, si la función es creciente o decreciente, lineal o no lineal). Dibujar una gráfica que muestre las características cualitativas de una función descrita verbalmente.
Ideas fundamentales Datos, gráficas y tablas Exploraciones de datos Ecuaciones lineales
Estándares para la práctica matemática MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución. MP.2 Razonar de manera abstracta y cuantitativa.
Conexiones de contenido
Motores de investigación
CC1 Razonar con datos
DI1 Dar sentido al mundo (comprender y explicar)
CC2 Explorar al cambiar las cantidades
MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros. MP.4 Representar con matemáticas. MP.6 Atender a la precisión.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes dibujan un gráfico que muestra las características cualitativas de una función que puede describirse como lineal o no lineal y creciente o decreciente.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por estudiante) • 1 conjunto de «Tarjetas de playa» (por grupo) REUTILIZABLE
PREPARACIÓN
• Planifique que los estudiantes trabajen en grupos de 3 o 4 para completar esta actividad. • Imprima los documentos «Diario del estudiante» «Boleto de salida» para cada estudiante. • Imprima un documento «Tarjetas de playa» para cada grupo. Recórtalas y coloque cada conjunto de tarjetas en una bolsa resellable. Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para utilizarlas en el futuro. • Para los estudiantes que necesiten más apoyo para recordar información consulte nuestro elemento «Ayudas suplementarias: Plano cartesiano del primer cuadrante», en la sección «Intervenir».
• 1 bolsa resellable (por grupo)
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101
1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: REPRESENTAR RELACIONES FUNCIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Model Function Relationships Explore 2
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Bike Ride
1. Lea la siguiente escenario a la clase: «Lashawn y Diego van a ir a la playa para pasar otras vacaciones. Utilizarán su programa de seguimiento para registrar la velocidad, la distancia y el tiempo recorridos mediante gráficos. Ayude a Lashawn y Diego a dibujar y analizar los gráficos de su programa de seguimiento de software». 2. Ayude a los estudiantes a acceder a la tarea planteándoles las siguientes preguntas orientativas: a. «¿Qué recuerdas sobre la creación de gráficos?».
Graph:
1.
Sample student graph
Use the descriptions linear, nonlinear, constant, increasing, and decreasing to describe the graph. The first part of the graph, A, shows that the graph is increasing. B shows that it is constant. C shows the graph decreasing. D shows that the graph is constant. E shows that the graph is increasing. F shows that the graph is constant. G shows that the graph is decreasing. Each section of the graph represents a linear relationship.
b. «¿Has estado alguna vez en la playa? Si es así, ¿qué hiciste?». 3. Entregue un «Diario del estudiante» a cada uno. 4. Entregue un conjunto de «Tarjetas de playa» a cada grupo. 5. Explique a los estudiantes que van a dibujar gráficos y que describirán los gráficos como lineales o no lineales y crecientes o decrecientes.
2
Model Function Relationships Explore 2
Model Function Relationships Explore 2
Swimming at the Beach
Beach Vacation Functions
Graph:
Sample student graph
Use the Beach Cards to read the story, and then sketch the graph. Describe each card as linear or nonlinear, and constant, increasing, or decreasing. Seaplane Tour Graph:
1.
Sample student graph
Use the descriptions linear, nonlinear, constant, increasing, and decreasing to describe the graph. The first part of the graph, A, shows that the graph is gradually increasing. B shows that it is gradually decreasing. C shows the graph gradually increasing. D shows that the graph is decreasing. E shows that the graph is slightly decreasing and then remaining constant. Each section of the graph represents a nonlinear relationship.
1.
Use the descriptions linear, nonlinear, constant, increasing, and decreasing to describe the graph. The first part of the graph, A, shows that the graph is increasing. B shows that it is constant. C shows the graph decreasing. D shows that the graph is constant. Each interval of the graph represents a linear relationship. 1
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3
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GRADO 8: REPRESENTAR RELACIONES FUNCIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Model Function Relationships Explore 2
6. Pida a los estudiantes que dibujen gráficas y las describan como lineales o no lineales y crecientes o decrecientes. (Tenga en cuenta que los estudiantes deben ser capaces de crear una historia basada en la gráfica y deben entender por qué el tiempo es la variable independiente). Supervise y hable con los estudiantes según sea necesario para comprobar la comprensión utilizando las siguientes preguntas orientativas:
Create your Own Story Graph:
1.
Graphs will vary.
a.
DOK-2 «¿Cómo puedes dibujar una gráfica basándote en una historia?». Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Al dibujar un gráfico basado en una historia, tendrás que identificar cuáles son la variable independiente y la variable dependiente en la historia. También tendrías que entender qué palabras describen las características cualitativas que debería tener el gráfico.
b.
DOK-2 «¿Cómo puedes distinguir entre una relación lineal y una no lineal en un gráfico?». Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Una función lineal tiene una tasa de cambio constante. Una función no lineal no tiene una tasa de cambio constante.
Use the descriptions linear, nonlinear, constant, increasing, and decreasing to describe the graph. Answers will vary.
7. Dé tiempo a los estudiantes para que completen el «Diario del estudiante», incluyendo las preguntas de reflexión.
4
8. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímelos a que se hagan preguntas unos a otros y establezcan conexiones. Anime a los estudiantes a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias usadas para dibujar y analizar gráficas. 9. Después de la actividad, invite a la clase a un charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje. CHARLA DE MATEMÁTICAS
Model Function Relationships Explore 2
Reflect 1.
How did you determine whether the verbal description was describing a linear relationship? If the Beach Cards describe the relationship as increasing, decreasing, or constant, then the relationship is linear because the rate of change is constant with respect to time.
2.
How did you determine whether the verbal description was describing a nonlinear relationship? If the Beach Cards describe the relationship as gradually increasing, gradually decreasing, or slowing down, then the relationship is nonlinear because the rate of change is not constant with respect to time.
3.
• DOK-2 «¿Cómo determinaste si la descripción verbal estaba describiendo una relación lineal?». Si las «Tarjetas de playa» describen la relación como creciente, decreciente o constante, entonces la relación es lineal porque la tasa de cambio es constante con respecto al tiempo. • DOK-2 «¿Cómo determinaste si la descripción verbal describía una relación no lineal?». Si las «Tarjetas de playa» describen la relación como gradualmente creciente, gradualmente decreciente o desacelerándose, entonces la relación es no lineal porque la tasa de cambio no es constante con respecto al tiempo. • Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta:
What is an example of a real-world situation where the function is both linear and nonlinear? Examples will vary. An example could be 2 people running a race. One person’s representation on a graph could be linear because that racer has a constant rate of speed, and the other person’s representation on the graph could be nonlinear because that racer is not running at a constant rate of speed.
◦ DOK-2 «¿Cuál es un ejemplo de una situación del mundo real donde la función es tanto lineal como no lineal?». Los ejemplos pueden variar. Un ejemplo podría ser 2 personas corriendo una carrera. La representación de una persona en una gráfica podría ser lineal porque ese corredor tiene una tasa de velocidad constante, y la representación de la otra persona en la gráfica podría ser no lineal porque ese corredor no está corriendo a una tasa de velocidad constante.
5
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103
1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: REPRESENTAR RELACIONES FUNCIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Model Function Relationships Explore 2
DESPUÉS DE EXPLORAR 1. Pida a los estudiantes que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 2. Completen el «Esquema de anclaje» como clase. 3. Pida a cada estudiante que complete su «Libreta interactiva». 4. Regrese al elemento «Captar interés» e indique a los estudiantes que utilicen sus habilidades recién adquiridas para completar exitosamente la actividad.
Riding a Sailboat on Vacation Exit Ticket
LaShawn and Diego decided to ride on a sailboat during their vacation. They decided to keep track of their distance from the dock by creating a graph. During the first 30 minutes of the ride, they sailed toward the other boats in the ocean. Then, they stopped for 50 minutes to take pictures and take in the view. They went backward for 5 minutes and then sped up going forward again in the water. Sketch a graph that describes this relationship as either linear or nonlinear and as constant, increasing, or decreasing. Riding a Sailboat Sample student graph
Graph:
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Antes de comenzar la «Exploración», pida a los estudiantes que dibujen un gráfico lineal o no lineal por parejas y repase qué hace que un gráfico sea lineal o no lineal. 2. Proporcione flexibilidad a los estudiantes que necesiten tareas reducidas reduciendo el número de «Tarjetas de playa» completadas en la «Exploración». Los estudiantes pueden sentirse abrumados por la tarjeta «Crea tu propia historia». Anímeles a modificar una tarjeta existente utilizando lo contrario de lo que está escrito y a comparar cómo cambian los gráficos. 3. Los estudiantes que necesiten apoyo adicional pueden utilizar marcadores fluorescentes o lápices de colores para marcar cada parte del gráfico en las tarjetas. El color que se utiliza en la descripción verbal se puede utilizar para crear o resaltar su gráfico esbozado. Esto puede ayudar a los estudiantes a conectar las descripciones verbales con las representaciones en un gráfico. 4. Los estudiantes que necesitan apoyo adicional pueden tener dificultades con los valores o sin ellos en las descripciones verbales. Ayude a los estudiantes a determinar si el eje necesita valores asignados y proporcione puntos de la descripción verbal para ayudar a los estudiantes a empezar a dibujar gráficos.
Use the descriptions linear, nonlinear, constant, increasing, and decreasing to describe the graph. The first part of the graph, A, shows that the distance is increasing. B shows that it is constant. C shows the distance decreasing. D shows that the distance is increasing. Each section of the graph represents a linear relationship.
1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
5. Se debe animar a los estudiantes que necesiten apoyo adicional para interpretar la pendiente como una tasa de cambio a que conversen sobre lo que significa un cambio a lo largo del eje x o del eje y en el contexto que están examinando. Al principio, los estudiantes pueden interpretar que una línea plana significa una tasa de cambio constante y que una línea creciente o decreciente representa una tasa de cambio variable, por lo que se les debe ayudar a utilizar tablas u otros métodos que les ayuden a ver una relación común. Converse con estos estudiantes el significado de los ejes rotulados. Converse sobre lo que significa un punto individual en el contexto del problema, así como la pendiente, y pida a los estudiantes que calculen la pendiente en diferentes puntos para fomentar la comprensión. 6. Si los estudiantes necesitan un reto adicional, pida a parejas de estudiantes que se turnen para dibujar un gráfico parcial, escribir una descripción verbal que coincida y terminar la parte que falta del gráfico.
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1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: REPRESENTAR RELACIONES FUNCIONALES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Model Function Relationships Part 2
Antes de comenzar la actividad, pida a los estudiantes que creen una tabla tríptica y titulen las tres columnas: «Creciente», «Decreciente» y «Constante». Pida a los estudiantes que, por turnos, lean en voz alta las descripciones verbales de las tarjetas gráficas. Los estudiantes identificarán las palabras clave asociadas a las tres categorías y las escribirán en sus tablas. Por ejemplo, la velocidad más rápida se escribiría en «Creciente». Pueden consultar la tabla cuando trabajen en el futuro.
Sketching Graphs Last Saturday, Annette rode her bike. Listed below is how she spent the first half of her day. ● At 11:00 a.m., she rode 3 miles to the park. ● She arrived at the park at 11:30 a.m. ● She stayed at the park for an hour. ● Next, she rode home and arrived at 1:00 p.m. ● She stayed at home for an hour. ● Then, she rode 1 mile to her friend’s house and arrived at 2:10 p.m. Sketch a graph representing Annette’s distance and time between 11:00 a.m. and 2:10 p.m.
Pida a los estudiantes que creen su propia historia. Anime a los estudiantes a que, mientras escriben, presten atención al tiempo verbal y a las frases que utilizan. Invite a los estudiantes a compartir sus historias y pida a sus compañeros que dibujen el gráfico correspondiente. Guíe a los estudiantes en una conversación sobre sus historias y los gráficos. Ayude a los estudiantes a determinar si es necesario introducir modificaciones debido a la falta de claridad o a la necesidad de una escucha más activa. Use terms (linear, nonlinear, increasing, decreasing, or constant) to describe relationships within this graph. The relationship for each graph line is linear. It increases between 11:00 and 11:30 and again between 2:00 and 2:10. It decreases between 12:30 and 1:00. It is constant between 11:30 and 12:30 and between 1:00 and 2:00. 1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 2) CLAVE DE RESPUESTAS
APOYOS LINGÜÍSTICOS Como actividad previa a la clase para ayudar a los estudiantes a acceder a conocimientos previos, facilíteles una serie de imágenes relacionadas con la playa. Los estudiantes trabajan con un compañero para poner las imágenes en orden cronológico. Trabajan juntos para escribir una historia de 4-5 oraciones basada en la serie de imágenes. En el caso de estudiantes multilingües, puede leer las historias sobre la playa y pedir a los estudiantes que subrayen las palabras de vocabulario nuevas. Converse en clase sobre cualquier palabra de vocabulario con la que no estén familiarizados. Pida a los estudiantes que se turnen para leer las «Tarjetas de playa» según se sientan cómodos. Pida a los estudiantes multilingües que subrayen las palabras que les resulten confusas. Ayúdeles a distinguir cualquier confusión entre la palabra escrita y su lengua materna para que tengan una comprensión completa y puedan dibujar los gráficos.
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1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: REPRESENTAR RELACIONES FUNCIONALES
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE CONSOLIDAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
ESQUEMA DE ANCLAJE
Model Function Relationships
DESCRIPCIÓN Un esquema de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Se trata de una herramienta para apoyar la instrucción y anclar el aprendizaje de los estudiantes a lo largo del alcance.
MATERIALES
• 1 hoja de papel cuadriculado • 1 juego de marcadores multicolores
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del ejemplo de «Esquema de anclaje», si lo desea.
Description: Landon and his mom drove from Las Vegas, Nevada, to Los Angeles, California, to attend his older sister’s wedding. On the way home, they were slowed down due to road construction but managed to drive at a steady pace. Hours 0–4: Constant rate, linear, increasing Hours 4–10: Linear, no motion Hours 10–18: Constant rate, linear, decreasing
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. El ejemplo de esquema de anclaje puede utilizarse como referencia antes de crear el de la clase. Esta actividad debe ser dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje. 2. A medida que los estudiantes trabajen en el alcance, colaboren para añadir piezas al «Esquema de anclaje». Formule las siguientes preguntas orientadoras:
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
a. «¿Qué estrategia utilizamos para resolver este problema?». b. «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?». 3. Continúe añadiendo habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada «Exploración» para resaltar el contenido importante. 4. Explique que pueden utilizar este gráfico como herramienta de apoyo para su aprendizaje. Los estudiantes también pueden pegar una copia del ejemplo del esquema en sus cuadernos para utilizarla como referencia a lo largo del año. 5. Algunos esquemas de anclaje sólo se mostrarán durante un alcance o grupo de alcances concretos, mientras que otras permanecerán expuestas durante todo el curso escolar.
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1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: REPRESENTAR RELACIONES FUNCIONALES
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA Model Function Relationships
DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DE LOS ESTUDIANTES
LIBRETA INTERACTIVA
Instructions ● Cut out the rectangle along the dotted lines, and glue it into your notebook. ● Create a scenario, and sketch a graph to represent it. ● Describe functional relationships with your graph. Write a scenario. ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ Graph the scenario.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase al usar la actividad y la libreta.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del «Folleto del estudiante» para cada uno.
Are the parts of the graph linear or nonlinear? Are the parts of the graph increasing, decreasing, or constant? _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________
FOLLETO DEL ESTUDIANTE
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Prepare una «Libreta interactiva» al usar un cuaderno de espiral o de composición para cada uno. Los estudiantes pueden utilizar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades. 2. Las instrucciones para cada actividad se proporcionan en el «Folleto del estudiante». 3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos. 4. Las libretas interactivas pueden utilizarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
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1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: REPRESENTAR RELACIONES FUNCIONALES
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS APOYO PARA ESTUDIANTES MULTILINGÜES
CONEXIONES LINGÜÍSTICAS DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes tienen la oportunidad de utilizar sus conocimientos lingüísticos y culturales previos para apoyar las conexiones con nuevas habilidades, vocabulario y conceptos en sus niveles de competencia.
1 Distribuya un «Folleto del estudiante» según el nivel de competencia de cada alumno. 2 Utilice las indicaciones para las partes de escuchar, hablar, leer y escribir. Utilice gestos, señale objetos y recursos visuales según corresponda. Consulte las indicaciones para obtener sugerencias.
MATERIALES IMPRESO
3 Conceda tiempo a los estudiantes para que piensen con sus compañeros antes de responder.
• 1 folleto del estudiante según su nivel de competencia (por alumno)
4 Anime a los estudiantes a perseverar en su pensamiento y a utilizar herramientas y modelos matemáticos.
PREPARACIÓN
• Prepare a los estudiantes para trabajar con compañeros cuando sea necesario.
5 Invite a los estudiantes a responder adecuadamente a cada dominio lingüístico.
• Determine el nivel de competencia en inglés de cada estudiante.
6 Pida a los estudiantes que utilicen la página final del «Folleto del estudiante» para establecer conexiones entre los conceptos matemáticos y el mundo real.
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada uno según su nivel de competencia en inglés. • Permita que los estudiantes tengan acceso al elemento «Vocabulario ilustrado» para este alcance.
Model Function Relationships B
Linear Nonlinear Constant Increasing Decreasing y-intercept
Graph A
Model Function Relationships B
Scenario 1: Malik starts at home
L N → ↗ ↘ ☆
mountain trail
and is hiking
. After hiking
a break for 30 minutes. Next, he begins hiking finds an unexpected detour
Graph B
Model Function Relationships I
to a
Linear Nonlinear Constant Increasing Decreasing y-intercept
for 60 minutes, he takes back home
, but he
taking him farther away from home
.
Scenario 2: Aiden leaves home
with friends to play in a nearby park
Before they arrive at the park
, they decide to go back home
they decide to go play somewhere much farther than the park
Linear Nonlinear Constant Increasing Decreasing y-intercept
Scenario 1: Malik starts at home and is hiking to a mountain trail. After hiking for 60 minutes, he takes a break for 30 minutes. Next, he begins hiking back home, but he finds an unexpected detour taking him farther away from home.
. . Next,
Model Function Relationships A
Model Function Relationships I
L N → ↗ ↘ ☆
Scenario 1: Malik starts at home and is hiking to a mountain trail. After hiking for 60 minutes, he takes a break for 30 minutes. Next, he begins hiking back home, but he finds an unexpected detour taking him farther away from home.
Scenario 2: Aiden leaves home with friends to play in a nearby park. Before they Graph A
Graph B
. They
quickly walk to the new farther location.
arrive at the park, they decide to go back home. Next, they decide to go play
Model Function Relationships A
L= N → ↗ ↘ ☆
Scenario 2: Aiden leaves home with friends to play in a nearby park. Before they Graph A
Graph B
arrive at the park, they decide to go back home. Next, they decide to go play
somewhere much farther than the park. They quickly walk to the new farther
somewhere much farther than the park. They quickly walk to the new farther
location.
location.
Which scenario can be represented by the graph?
Which scenario can be represented by the graph?
Which scenario can be represented by the graph?
Graph C
Graph C
Graph C
The pieces of the graph are _____________. linear / nonlinear
The pieces of the graph are linear. True / False
The graph is _________, then decreasing, and then _________. decreasing / increasing
1/2
Model Function Relationships B
Model Function Relationships I
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can model function relationships at home with your family or friends.
Word Bank Away
Constant
Decreasing
Faster
Increasing
Linear
Not changing
y-intercept
Answers will vary.
Away
Constant
Decreasing
Faster rate
Increasing
Linear
Not changing
y-intercept
away from The Patel family takes a road trip to a national park. They drive ________
y-intercept home using the scenic back roads. The graph has a _______________ of 0; this
y-intercept home using the scenic back roads. The graph has a _______________ of 0; this increasing represents the start of the journey from home. The graph is ______________ at
When they reach the national park, the line flattens to show that they spend not changing several days camping and that their distance from home is ________________.
a moderate slope to show the moderate speeds on the back roads. This section is __________, showing a constant speed. linear When they reach the national park, the line flattens to show that they spend not changing several days camping and THAT their distance from home is ________________.
Finally, they drive back home quickly on the highway. This is shown on the graph
quickly on the highway. This is shown on the Finally, they drive back home _________________________________________
where the line is ______________. This part of the graph shows a __________ decreasing faster
graph where the line is decreasing. This part of the graph shows a faster rate ________________________________________________________________
rate because it is steeper than the first section. This section is linear, showing a
because it is steeper than the first section. This section is linear, showing a ________________________________________________________________
constant ____________ speed.
constant speed. ________________________________________________________________ __________________________________________________________
PRINCIPIANTE FOLLETO DEL ESTUDIANTE
108
SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 108
Model Function Relationships A
Model Function Relationships I
Write a story that matches the graph, and describe how the graph represents the story. Use all the words in the word bank when filling in the blanks and writing your answer.
increasing represents the start of the journey from home. The graph is ______________ at
linear __________, showing a constant speed.
from home. 2 The scenario that best describes this graph is scenario _______.
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can model function relationships at home with your family or friends.
Word Bank
away from The Patel family takes a road trip to a national park. They drive ________
a moderate slope to show the moderate speeds on the back roads. This section is
is not There ___________ a flat section on the graph showing a constant distance
The scenario that best describes this graph is scenario 2. True / False
The scenario that best describes this graph is scenario _______.
Write a story that matches the graph, and describe how the graph represents the story. Use all the words in the word bank when filling in the blanks.
increasing increasing The graph is _____________, then decreasing, and then _____________.
There is a flat section on the graph showing a constant distance from home. True / False
does / does not
Model Function Relationships B
The pieces of the graph are ____________. linear
The graph is increasing, then decreasing, and then increasing. True / False
decreasing / increasing
The graph _______ have a flat section showing a constant distance from home.
INTERMEDIO FOLLETO DEL ESTUDIANTE
Answers will vary.
Model Function Relationships A
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can model function relationships at home with your family or friends.
Word Bank Away
Constant
Decreasing
Faster rate
Increasing
Linear
Not changing
y-intercept
Answers will vary.
Write a story that matches the graph, and describe how the graph represents the story. Use all the words in the word bank when writing your answer.
The Patel family goes on a road trip to a national park. They drive away from __________________________________________________________________ home using the scenic route and back roads. This is shown on the graph __________________________________________________________________ where the line starts at the y-intercept of 0 and marks the start of the __________________________________________________________________ journey from home. It is increasing at a moderate slope to show the __________________________________________________________________ moderate speeds on the back roads. This section is linear, showing a __________________________________________________________________ constant speed. __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ After reaching the national park, they spend several days there camping. __________________________________________________________________ This is shown on the graph where the line is flat and not changing. __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ Finally, when it’s time to return home, they drive back quickly on the __________________________________________________________________ highway until they arrive at home. This is shown on the graph where the line __________________________________________________________________ is decreasing. This part of the graph shows a faster rate because it is __________________________________________________________________ steeper. This section is linear, showing a constant speed. _________________________________________________________________ ______________________________________________________________
AVANZADO FOLLETO DEL ESTUDIANTE
ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: REPRESENTAR RELACIONES FUNCIONALES
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCUCHAR Y HABLAR PRINCIPIANTE Ponga a disposición de los estudiantes un «Vocabulario ilustrado». Lea las siguientes instrucciones de una en una:
INTERMEDIO Ponga a disposición de los estudiantes un «Vocabulario ilustrado». Lea las siguientes instrucciones de una en una:
AVANZADO Ponga a disposición de los estudiantes un «Vocabulario ilustrado». Lea las siguientes instrucciones de una en una:
•
«Hoy vamos a estudiar los gráficos y sus atributos. En primer lugar, vamos a hacer una clave en la parte superior de nuestra página».
•
«Hoy vamos a estudiar las gráficas y sus atributos. En primer lugar, vamos a hacer una clave en la parte superior de nuestra página».
•
«Hoy vamos a estudiar las gráficas y sus atributos. Primero, vamos a hacer una clave en la parte superior de nuestra página».
•
«Señala la palabra lineal. ¿Qué aspecto tiene una gráfica lineal?».
•
«Señala la palabra lineal. Escribe una L junto a la palabra lineal».
•
«Señala la palabra lineal. Escribe una L junto a la palabra lineal».
•
«Señala la palabra no lineal. Escribe una N junto a la palabra no lineal».
•
«Señala la palabra no lineal. Escribe una N junto a la palabra no lineal».
•
«Señala el gráfico A. Parte de este gráfico es lineal y parte es no lineal».
•
«Señala el gráfico A. Parte de este gráfico es lineal y parte es no lineal».
•
«Señala las secciones lineales. Escribe una L junto a las secciones lineales».
•
«Señala las secciones lineales. Escribe una L junto a las secciones lineales».
•
«Señala las secciones no lineales. Escribe una N junto a las secciones no lineales».
•
«Señala las secciones no lineales. Escribe una N junto a las secciones no lineales».
•
«Señala el gráfico B. Este gráfico es lineal o no lineal».
•
«Señala el gráfico B. Este gráfico es lineal o no lineal».
•
«Escribe una L en el gráfico si es lineal. Escribe una N en el gráfico si es no lineal». Compruebe la exactitud.
•
«Escribe una L en el gráfico si es lineal. Escribe una N en el gráfico si es no lineal». Compruebe la exactitud.
•
«Señala el gráfico C. Este gráfico es lineal o no lineal».
•
«Señala el gráfico C. Este gráfico es lineal o no lineal».
•
«Escribe una L en el gráfico si es lineal. Escribe una N en la gráfica si es no lineal». Compruebe la exactitud.
•
«Escribe una L en el gráfico si es lineal. Escribe una N en la gráfica si es no lineal». Compruebe la exactitud.
•
«Ahora vamos a ver si una gráfica tiene una pendiente constante, creciente o decreciente. Fíjate en la clave de la parte superior de la página».
•
«Ahora vamos a ver si una gráfica tiene una pendiente constante, creciente o decreciente. Fíjate en la clave de la parte superior de la página».
◦
•
Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente inicio de oración: «Una gráfica lineal ______».
«Señala la palabra no lineal. ¿Qué aspecto tiene un gráfico no lineal?». ◦
Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente inicio de oración: «Una gráfica no lineal ______».
•
«Señala el gráfico A. Parte de este gráfico es lineal y parte de este gráfico es no lineal».
•
«Señala las secciones lineales. Escribe una L junto a las secciones lineales».
•
«Señala las secciones no lineales. Escribe una N junto a las secciones no lineales».
•
«Señala el gráfico B. Este gráfico es lineal o no lineal».
•
«Escribe una L en el gráfico si es lineal. Escribe una N en el gráfico si es no lineal». Compruebe la exactitud.
•
«Señala el gráfico C. Este gráfico es lineal o no lineal».
•
«Escribe una L en el gráfico si es lineal. Escribe una N en el gráfico si es no lineal». Compruebe la exactitud.
«Señala la palabra constante. Dibuja una flecha horizontal apuntando hacia la derecha junto a la palabra constante».
•
•
«Señala la palabra constante. Dibuja una flecha horizontal apuntando hacia la derecha junto a la palabra constante».
•
«Ahora vamos a ver si una gráfica tiene una pendiente constante, creciente o decreciente. Fíjate en la clave de la parte superior de la página».
«Señala la palabra creciente. Dibuja una flecha apuntando hacia arriba y hacia la derecha junto a la palabra creciente».
•
•
«Señala la palabra creciente. Dibuja una flecha apuntando hacia arriba y hacia la derecha junto a la palabra creciente».
•
«Señala la palabra decreciente. Dibuja una flecha apuntando hacia abajo y hacia la derecha junto a la palabra decreciente».
•
«Señala la palabra decreciente. Dibuja una flecha apuntando hacia abajo y hacia la derecha junto a la palabra decreciente».
•
«Señala el gráfico C. Este gráfico tiene secciones constantes, decrecientes y crecientes».
•
«Señala la sección constante del gráfico. Dibuja una flecha apuntando hacia la derecha junto a la sección constante del gráfico».
•
«Señala la sección decreciente del gráfico. Dibuja una flecha apuntando hacia abajo y hacia la derecha junto a la sección decreciente del gráfico».
•
«Señala la palabra constante. ¿Qué aspecto tiene una pendiente constante?». ◦
Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente inicio de oración: «Una pendiente constante ______».
◦
«Señala la palabra creciente. ¿Cómo es una pendiente creciente?».
◦
Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente inicio de oración: «Una pendiente creciente ______».
◦
«Señala la palabra decreciente. ¿Cómo es una pendiente decreciente?».
◦
Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente inicio de oración: «Una pendiente decreciente ______».
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GRADO 8: REPRESENTAR RELACIONES FUNCIONALES
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCUCHAR Y HABLAR (CONTINUACIÓN) PRINCIPIANTE •
«Señala el gráfico C. Este gráfico tiene secciones constantes, decrecientes y crecientes».
•
INTERMEDIO
AVANZADO
•
«Señala la sección constante del gráfico. Dibuja una flecha apuntando hacia la derecha junto a la sección constante del gráfico».
«Señala la sección creciente de la gráfica. Dibuja una flecha apuntando hacia arriba y hacia la derecha junto a la sección creciente de la gráfica».
•
•
«Señala la sección decreciente del gráfico. Dibuja una flecha apuntando hacia abajo y hacia la derecha junto a la sección decreciente del gráfico».
«Ahora conversaremos sobre las intersecciones y de las gráficas. Vuelve a mirar la clave».
•
•
«Señala la sección creciente del gráfico. Dibuja una flecha apuntando hacia arriba y hacia la derecha junto a la sección creciente de la gráfica».
«Señala la palabra intersección y. Dibuja una estrella junto a la palabra intersección y».
•
«¿Qué gráficas tienen intersección y?».
•
«Ahora conversaremos sobre las intersecciones y de las gráficas. Vuelve a mirar la clave».
•
«Señala la palabra intersección y. ¿Cómo se identifica la intersección y?». ◦
Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente inicio de oración: «La intersección y es ______».
◦
«¿Qué gráficas tienen una intersección y?».
◦
Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente inicio de oración: «Las gráficas que tienen una intersección y son ___».
•
«Señala la intersección y en la gráfica A. Dibuja una estrella en la intersección y en la gráfica A».
•
«Señala la intersección y en la gráfica B. Dibuja una estrella en la intersección y en la gráfica B».
•
«Señala la intersección y en la gráfica C. Dibuja una estrella en la intersección y en la gráfica C».
•
«Señala la gráfica C. Esta gráfica tiene secciones constantes, decrecientes y crecientes».
•
«Señala la sección constante de la gráfica. Dibuja una flecha apuntando hacia la derecha en la sección constante del gráfico».
•
«Señala la sección decreciente del gráfico. Dibuja una flecha apuntando hacia abajo y hacia la derecha junto a la sección decreciente del gráfico».
Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente inicio de oración: «Las gráficas que tienen una intersección y son ___».
•
«Señala la sección creciente del gráfico. Dibuja una flecha apuntando hacia arriba y hacia la derecha junto a la sección creciente de la gráfica».
•
«Señala la intersección y en la gráfica A. Dibuja una estrella en la intersección y en la gráfica A».
•
«Ahora conversaremos sobre las intersecciones y de las gráficas. Vuelve a mirar la clave».
•
«Señala la intersección y en la gráfica B. Dibuja una estrella en la intersección y en la gráfica B».
•
«Señala la palabra intersección y. Dibuja una estrella junto a la palabra intersección y».
•
«Señala la intersección y en la gráfica C. Dibuja una estrella en la intersección y en la gráfica C».
•
«¿Qué gráficas tienen intersección y?».
•
«Señala la intersección y en la gráfica A. Dibuja una estrella en la intersección y en la gráfica A».
•
«Señala la intersección y en la gráfica B. Dibuja una estrella en la intersección y en la gráfica B».
•
«Señala la intersección y en la gráfica C. Dibuja una estrella en la intersección y en la gráfica C».
◦
LEER Y HABLAR PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Lea la historia, divídala en oraciones y pida a los estudiantes que repitan. Pídales también que señalen cada palabra mientras leen e invítelos a encerrar con un círculo las palabras que no conozcan. Converse sobre las palabras en grupo.
Lean todos juntos la historia en voz alta. Pida a los estudiantes que señalen cada palabra mientras leen e invítelos a encerrar con un círculo las palabras que no conozcan. Pídales también que comenten las palabras con sus compañeros.
Pida a los estudiantes que lean la historia con sus compañeros y que señalen cada palabra mientras leen. Invítelos a encerrar con un círculo las palabras que no conozcan y a comentarlas con sus compañeros.
•
•
•
•
•
Comente la situación con los estudiantes. Haga gestos con las manos y muestre imágenes cuando corresponda mientras formula las siguientes preguntas: ◦
«¿Cuál es tu experiencia con el senderismo?».
◦
«¿Cuál es tu experiencia con los juegos en el parque?».
◦
«¿Cuál es tu experiencia con los desvíos?».
Lea y pida a los estudiantes que repitan la primera afirmación. «Señala la respuesta en el gráfico antes de contestar». Lea y pida a los estudiantes que repitan la segunda afirmación. «Conversa sobre la respuesta con tus compañeros». Lea y pida a los estudiantes que repitan la tercera afirmación. «Conversa con tus compañeros para determinar la respuesta». Lea y pida a los estudiantes que repitan la cuarta afirmación. «Conversa con tus compañeros para determinar la respuesta».
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•
«Comparte con tus compañeros de qué trataba la historia».
•
Comente la situación con los estudiantes. Haga gestos con las manos y muestre elementos visuales cuando corresponda mientras formula las siguientes preguntas: ◦
«¿Cuál es tu experiencia con el senderismo?».
◦
«¿Cuál es tu experiencia con los juegos en el parque?».
◦
«¿Cuál es tu experiencia con los desvíos?».
•
Lean todos juntos en voz alta la primera afirmación. «Conversa con tus compañeros para decidir si es verdadera o falsa».
•
Lean todos juntos en voz alta la segunda afirmación. «Conversa con tus compañeros si es verdadera o falsa».
•
Lee junto a un compañero la tercera afirmación. «Conversa con tus compañeros si es verdadera o falsa».
•
Lee junto a un compañero la cuarta afirmación. «Conversa con tus compañeros para decidir si es verdadera o falsa».
•
«Explica a tus compañeros de qué trataba el pasaje».
•
«Conversa sobre las siguientes preguntas con tus compañeros:»
•
◦
«¿Cuál es tu experiencia con el senderismo?».
◦
«¿Cuál es tu experiencia con con los juegos en el parque?».
◦
«¿Cuál es tu experiencia con los desvíos?».
«Lee cada enunciado y comenta tus respuestas con tus compañeros».
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GRADO 8: REPRESENTAR RELACIONES FUNCIONALES
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCRIBIR PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Ponga a disposición de los estudiantes tarjetas de «Vocabulario ilustrado». Lea y pida a los estudiantes que repitan. Comente las palabras del banco de palabras. Defina las palabras y proporcione ejemplos según sea necesario. Converse sobre las siguientes preguntas mientras lee:
Ponga a disposición de los estudiantes tarjetas de «Vocabulario ilustrado». Lean todos juntos en voz alta y conversen sobre las palabras del banco de palabras. Defina las palabras y proporcione ejemplos según sea necesario. Utilice las siguientes indicaciones:
Ponga a disposición de los estudiantes tarjetas de «Vocabulario ilustrado». Los estudiantes deben leer en parejas las palabras del banco de palabras y comentar su significado con sus compañeros. Defina las palabras y proporcione ejemplos cuando sea necesario. Mientras los estudiantes leen, utilice las siguientes indicaciones:
•
•
Converse sobre el ejemplo en el «Folleto del estudiante» con los estudiantes: ◦
«¿Cómo sabes si la gráfica representa viajar lejos de casa o hacia casa?».
◦
«¿Cómo sabes si la gráfica representa no viajar en ninguna dirección?».
◦
«¿Qué notas acerca de la función?».
Lea, pida a los estudiantes que repitan cada enunciado y que consulten el banco de palabras antes de escribir sus respuestas.
•
Pida a los estudiantes que comenten las palabras del banco de palabras con sus compañeros.
•
«Dobla la mitad inferior del papel para que sólo se vea el banco de palabras. Señala cada palabra del banco de palabras y, por turnos, explica las palabras a tus compañeros».
•
Tome nota de los estudiantes que proporcionen explicaciones matemáticamente precisas de las palabras del banco de palabras.
•
«A continuación, señala una palabra del banco de palabras cuyo significado necesites aclarar».
•
•
•
Pida a los estudiantes que hayan dado explicaciones matemáticamente precisas que ayuden a aclarar las palabras seleccionadas a sus compañeros. «Veo que varios estudiantes piden aclaraciones sobre la palabra ________. (Nombre del estudiante) pudo dar una explicación clara de la palabra _________ a su compañero. (Nombre del estudiante), ¿podrías compartir tu explicación?».
Haga que los estudiantes conversen sobre las palabras del banco de palabras con sus compañeros.
•
«Conversa sobre las palabras del banco de palabras con tus compañeros. Cada persona debe dar una explicación o descripción de una palabra y, a continuación, pedir a su compañero que parafrasee el significado de la palabra. Continúa este proceso hasta que hayas conversado sobre todas las palabras del banco de palabras».
•
«Lee las instrucciones con tus compañeros. ¿Qué plan seguirás para asegurarte de que utilizas el mayor número posible de palabras del banco de palabras en tu redacción?. Si no estás seguro de cómo utilizar una palabra, enciérrala con un círculo en el banco de palabras». Los estudiantes no deben empezar a escribir todavía.
•
Esté atento a los estudiantes que tengan dificultades para crear un plan o que encierren con un círculo las palabras del banco de palabras. Ofrezca apoyo y permita que los estudiantes que hayan podido crear un plan lo compartan con la clase.
«Lee cada enunciado con tus compañeros y utiliza las palabras del banco de palabras para completar cada enunciado. Ten en cuenta que algunas palabras pueden utilizarse más de una vez o no utilizarse en absoluto».
◦
«Veo que varios de nosotros necesitamos aclaraciones sobre la palabra _______. Acércate a alguien que no sea tu compañero y pídele que aclare o defina la palabra ___________».
◦
«Veo que varios de nosotros necesitamos ayuda para diseñar un plan que utilice palabras del banco de palabras. Acércate a alguien que no sea tu compañero y pídele que explique cómo piensa utilizar el mayor número posible de palabras del banco de palabras».
Recuerde a los estudiantes que consulten el banco de palabras cuando completen los espacios en blanco.
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 111
•
•
Una vez aclaradas todas las palabras y compartidos los planes, pida a los estudiantes que escriban sus explicaciones.
•
«Ahora escribe una explicación en la que utilices al menos cinco de las palabras del banco de palabras. Cuando terminen de escribir, compartan sus escritos con sus compañeros».
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GRADO 8: REPRESENTAR RELACIONES FUNCIONALES
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO VOCABULARIO CLAVE
VOCABULARIO ILUSTRADO Constant
Decreasing
Function
A fixed number that stands alone in an equation or expression
The measure of the steepness of a line that shows the slant downward from left to right
A special relationship between values; each input value gives back exactly one output value.
2
3
4
Increasing
Linear Function
Nonlinear Function
When the y value increases as the x value increases
A relationship that when graphed is a straight line
A relationship that when graphed does not make a straight line; a relationship that does not create a straight line; nonlinear association
5
6
7
Rate of Change
Slope
Y-Intercept
The rate that shows how one quantity changes in relation to another quantity
How steep a line is; represented as m in the slope-intercept equation
The point on a graph of an equation where the line crosses the y-axis
8
112
SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 112
9
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GRADO 8: REPRESENTAR RELACIONES FUNCIONALES
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ
Concentration Instruction Sheet Play this game with a partner. You Will Need 1 Set of Concentration Cards (per pair)
How to Play 1. Shuffle the cards, and place them facedown to form a 4 × 6 array.
DESARROLLAR FLUIDEZ CONCEPTUAL
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: REPRESENTAR RELACIONES FUNCIONALES DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes jugarán al juego Concentración.
MATERIALES IMPRESO 2.
Player 1 flips over two cards to try to find a match. A match is a problem with its correct answer. Problems will need to be solved in order to determine matching answers.
3.
If player 1 matches a problem with the correct answer, then
4.
If player 1 does not find a match, then they place the cards
player 1 keeps the matched set and takes another turn. facedown again, and it is the next player's turn. 5.
Players continue taking turns until all of the matches have been found.
6.
The player who collects the most cards wins.
• 1 hoja de instrucciones de concentración (por pareja) • 1 conjunto de «Tarjetas del juego Concentración» (por pareja) REUTILIZABLE
• 1 sobre o bolsa (por pareja)
PREPARACIÓN
• Haga copias a doble cara del documento «Tarjetas del juego Concentración». • Lamínelas para que duren más.
HOJA DE INSTRUCCIONES
• Recorte las tarjetas individuales y colóquelas en un sobre o bolsa para facilitar su distribución y limpieza. • Coloque a los estudiantes en parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo barajar las tarjetas y colocarlas boca abajo en una matriz de 4 × 6. 2. Modele cómo jugar con un estudiante. a. El jugador 1 voltea 2 tarjetas para tratar de encontrar una coincidencia. Una coincidencia es un problema con su respuesta correcta. Será necesario resolver los problemas para determinar las respuestas que coinciden. b. Si el jugador 1 encuentra un problema con la respuesta correcta, entonces el jugador 1 se queda con el conjunto coincidente y toma otro turno. c. Si el jugador 1 no encuentra una coincidencia, entonces vuelve a colocar las tarjetas boca abajo y es el turno del siguiente jugador. d. Los jugadores continúan tomando turnos hasta que se hayan encontrado todas las coincidencias. a. Gana el jugador que reúna la mayor cantidad de tarjetas. 3. Distribuya los materiales. A continuación, pida a los estudiantes que barajen las cartas y las coloquen boca abajo. 4. Vigile a los estudiantes para asegurarse de que encuentren las parejas correctas.
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 113
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GRADO 8: REPRESENTAR RELACIONES FUNCIONALES
ELABORAR: REVISIÓN EN ESPIRAL
Model Function Relationships
Part-Time Jobs
REVISAR CONCEPTOS PREVIOS
REVISIÓN EN ESPIRAL: EMPLEOS DE MEDIO TIEMPO DESCRIPCIÓN
Mr. and Mrs. Gonzalez have three teenage children. Each of the children wants a new electronic device. Marco, who is the oldest, wants a new laptop computer to help him complete his homework. Maritza, the only daughter, wants a new smartphone to help her stay connected with her friends. Manuel, the youngest of the bunch, wants to get a new video game console so he can play the latest video games with his friends. Mr. and Mrs. Gonzalez are saving up to go on a family vacation during the summer. They encourage their three children to get part-time jobs to earn the money to buy the electronic devices they want. If they work a few hours after school and on the weekends, they should be able to earn enough money. After filling out several applications and going for a few interviews, each of the Gonzalez children is hired for a job. Mr. and Mrs. Gonzalez take Marco, Maritza, and Manuel to their community bank to help each of them open a checking and savings account. The children are very excited to earn their first paychecks.
Los estudiantes repasan contenidos anteriores o del grado actual para ayudar a apoyar su trabajo en el alcance actual y fortalecer las habilidades necesarias para alcances posteriores. 1
REVISIÓN EN ESPIRAL CENTRADA EN LA PREGUNTA • Pregunta 1
◦ Grado 8: Comprender que una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. La gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados que consiste en una entrada y la salida correspondiente.
Model Function Relationships
1.
• Pregunta 3 ◦ Grado 8: Interpretar la ecuación y = mx + b como definición de una función lineal, cuya gráfica es una línea recta; dar ejemplos de funciones que no son lineales.
Hours
4
3
5
6
Earnings
$34
$25.50
$42.50
$51
2.
The graph and the table show how much Manuel and Maritza earn for working various numbers of hours. Who has the greater rate of pay? What is the pay rate? Maritza. She earns Manuel $8.25 per hour. Maritza
Does the table represent a function? Explain your answer. Yes, this is a function. Each input has only one output.
• Pregunta 2 ◦ Grado 8: Comparar propiedades de dos funciones cada una representada de manera diferente.
The table shows the number of hours Marco worked and the amount of money he earned during his first week working.
3.
The amount of money Marco saves in his savings account can be represented by a linear function. Which graph best represents the amount Marco saves? A.
B.
C.
D.
4.
Hours
Money Earned
3
$24.75
8
$66
Maritza opened her savings account with a $25 deposit. Every week when she gets paid, she deposits $30 from her paycheck into the savings account. Represent this situation using an equation and a graph.
Graph:
Equation: y = 30x + 25
2
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
• Pregunta 4 ◦ Grado 8: Construir una función para representar una relación lineal entre dos cantidades. Determinar la tasa de cambio y el valor inicial de la función a partir de la descripción de una relación o a partir de dos (x, y) valores, incluyendo la lectura de estos a partir de una tabla o de un gráfico. Interpretar la razón de cambio y el valor inicial de una función lineal en términos de la situación que representa y en términos de su gráfica o de una tabla de valores.
PREPARACIÓN
• Imprima un documento «Folleto del estudiante» para cada uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada uno. 2. Anímelos a tratar de responder a las preguntas de forma independiente sin utilizar recursos externos para ver lo que saben. Invite a los estudiantes a anotar ideas o fragmentos que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas. 3. Utilice las preguntas de revisión en espiral como calentamiento en clase, o envíelas a casa como tarea. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos. 4. Consulte la sección «Revisión en espiral centrada en la pregunta» para evaluar los conocimientos de contenido de los estudiantes o su necesidad de una mayor intervención. Si es necesario repasar más, utilice los «Constructores de fluidez» en los alcances apropiados. 5. El proyecto final incluye una parte de este alcance para que los estudiantes vean la conexión y relevancia de su aprendizaje previo con el actual.
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 114
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GRADO 8: REPRESENTAR RELACIONES FUNCIONALES
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS ANALIZAR DATOS
CIENCIA DE DATOS b. «¿En qué intervalo(s) disminuyó la acumulación de nieve en Northville?». Entre las horas 27 y 42.
Ciencia de datos es una breve conversación en clase basada en un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. La parte I incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los estudiantes en contexto.
c. «¿Hay algún intervalo en el que la cantidad de nieve acumulada en Northville no haya cambiado? En caso afirmativo, ¿cuándo?». Sí, entre las horas 0 y 9.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizarán, interpretarán y generarán conjuntos de datos, además de responder a preguntas basadas en los datos.
d. «¿En qué intervalo aumentó más rápidamente la acumulación de nieve en Northville?». Entre las horas 42 y 60.
MATERIALES
e. «¿En qué intervalo disminuyó más rápidamente la acumulación de nieve en Northville?». Entre las horas 36 y 42.
IMPRESO
f. «¿En cuánto cambió la cantidad de nieve acumulada durante 60 horas en Northville?». Durante 60 horas, la acumulación de nieve en Northville aumentó en 5 pulgadas.
• 1 conjunto de datos (por clase) REUTILIZABLE • 1 proyector o cámara de documentos (por clase)
g. «Haz un croquis de la acumulación de nieve en Emory durante un período de 60 horas».
• 1 marcador (por clase) CONSUMIBLE • 1 hoja de papel de rotafolio (por clase)
Acumulación de nieve en Emory
PREPARACIÓN
• Reúna una hoja de papel de rotafolio y un marcador.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I 1. Proyecte el «Conjunto de datos» y prepárese para anotar las observaciones de los estudiantes. 2. Converse sobre las siguientes preguntas: a.
«¿Qué observas en este conjunto de datos?».
b.
«¿Qué representa este conjunto de datos?».
c.
«¿Qué categorías se incluyen en este conjunto de datos?».
a.
«¿Cómo te ayudan las etiquetas del gráfico a comprender la escenario?».
b.
«¿De qué dos formas diferentes podrías comparar los dos conjuntos de datos presentados?».
c.
«¿Qué preguntas tienes sobre los datos?».
PARTE II
1. Repase cómo describir cualitativamente una relación funcional entre dos cantidades analizando un gráfico, y escriba lo que los estudiantes recuerden en el papel de rotafolio. 2. Converse sobre las siguientes preguntas: a. «¿En qué intervalo(s) aumentó la acumulación de nieve en Northville?». Entre las horas 9 y 27 y entre las horas 42 y 60.
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Acumulación de nieve (pulgadas)
• Prepárese para proyectar el documento «Conjunto de datos» para la clase.
8 7 6 5 4 3 2 1 6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
Tiempo (horas)
h. «¿Qué ciudad tenía mayor acumulación de nieve al comienzo del período de 60 horas?». Northville. i. «¿Qué ciudad tuvo mayor acumulación de nieve al final del período de 60 horas?». Northville. j. «¿Qué ciudad tuvo el intervalo más largo sin cambios en la acumulación de nieve?». Emory. k. «¿Qué ciudad tuvo el mayor aumento en la acumulación de nieve durante cualquier período de tiempo?. Explícalo». Emory; la mayor tasa de cambio en la acumulación de nieve para Emory se produjo entre las horas 0 y 12, que fue de aproximadamente 0,58 pulgadas por hora. La mayor tasa de cambio en la acumulación de nieve para Northville se produjo entre las horas 42 y 60, que fue de aproximadamente 0,33 pulgadas por hora.
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GRADO 8: REPRESENTAR RELACIONES FUNCIONALES
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN
Model Function Relationships
EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS
LISTA DE CONTROL DE LA OBSERVACIÓN DESCRIPCIÓN Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede utilizarse como evaluación formativa para los maestros y como autoevaluación para los estudiantes.
MATERIALES
Model Function Relationships How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Describe qualitatively the functional relationship between two quantities by analyzing a graph (e.g., where the function is increasing or decreasing, linear or nonlinear). Sketch a graph that exhibits the qualitative features of a function that has been described verbally.
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Notes and Feedback
IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 folleto del maestro (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del maestro» y un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Folleto del estudiante» a cada uno. 2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Explorar» y «Explicar» del alcance, evalúe formativamente su progreso tomando notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
1
Model Function Relationships
Standards for Mathematical Practice
3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
Make sense of problems and persevere in solving them
4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje.
Model with mathematics
5. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el «Folleto del maestro».
Notes and Feedback
Reason abstractly and quantitatively Construct viable arguments and critique the reasoning of others
Use appropriate tools strategically
Attend to precision Look for and make use of structure Look for and express regularity in repeated reasoning
6. Las notas anecdóticas proporcionadas en el «Folleto del maestro» pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares.
Consider these reflection questions in this scope. ●
7. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la «Guía de instrucción andamiada» en la sección «Inicio» de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them?
●
What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
2
FOLLETO DEL MAESTRO
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GRADO 8: REPRESENTAR RELACIONES FUNCIONALES
EVALUAR: MAPA DE CALOR ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
MAPA DE CALOR DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
1. Dé un «Mapa de calor» a cada estudiante junto con lápices de colores rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s). 2. Los estudiantes utilizan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el «Mapa de calor». Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los estudiantes colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, los estudiantes colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, los estudiantes colorean el cuadro correspondiente de rojo.
MATERIALES
• 1 mapa de calor (por estudiante) • 1 lápiz de color rojo (por estudiante) • 1 lápiz de color azul (por estudiante) • 1 lápiz de color naranja (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Determine si los estudiantes analizarán su «Prueba de habilidades», la «Evaluación basada en estándares», o ambas.
3. Anímelos a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a utilizar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada.
• Imprima un «Mapa de calor» para cada estudiante.
4. Consulte la «Guía de instrucción andamiada» que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
• Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
Model Function Relationships
Model Function Relationships
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
1. Which skill did you feel most confident with? Why?
Skills Quiz Standards
Blue - miscalculation
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
2
Orange - explanation
Standards
3
4
5
6
7
8
9
3. Which type of error did you most commonly make?
Red - misconception
Standards-Based Assessment
Questions
1 Describe qualitatively the functional relationship between two quantities by analyzing a graph (e.g., where the function is increasing or decreasing, linear or nonlinear). Sketch a graph that exhibits the qualitative features of a function that has been described verbally.
Refer to your answers on the Standards-Based Assessment. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key.
Reflection Questions
Red – misconception
Model Function Relationships
Describe qualitatively the functional relationship between two quantities by analyzing a graph (e.g., where the function is increasing or decreasing, linear or nonlinear). Sketch a graph that exhibits the qualitative features of a function that has been described verbally.
4. How can you avoid those errors in the future?
10
Questions
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
MAPA DE CALOR
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GRADO 8: REPRESENTAR RELACIONES FUNCIONALES
INTERVENIR: REPASO Y PRÁCTICA DE DESTREZAS Model Function Relationships
REMEDIAR Y VOLVER A ENSEÑAR
REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES
Checkup Use the linear and nonlinear function graphs to answer questions 1–5.
DESCRIPCIÓN
2
Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para intervención.
4
3 1
1.
On the linear function, write 1 on top of the increasing segment.
2.
On the nonlinear function, write 2 on top of the increasing segment.
3.
On the linear function, write 3 on top of the decreasing segment.
• 1 revisión rápida (por estudiante)
4.
On the nonlinear function, write 4 on top of the decreasing segment.
• 1 repaso (por estudiante)
5.
What does the horizontal line segment on graph B mean?
MATERIALES IMPRESO
The temperature remained constant for a period of time. Horizontal lines mean no change in the y-axis (temperature).
• 1 revisión general (por estudiante) • 1 lista de verificación para el maestro (por maestro)
6.
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de la «Revisión rápida», el «Repaso» y la «Revisión general» para cada estudiante.
Sketch a graph below that models the following scenario relating speed and time. Mark each graph segment with its letter. A. The runner left the starting line and increased his speed at a constant rate. B. He noticed the person behind him was catching up, so he ran faster and faster. C. He was sufficiently far ahead that he kept his speed constant. D. He passed the finish line but slowed his speed down to cool off before stopping.
• Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar el «Repaso».
1
• Si lo desea, imprima un ejemplo del «Esquema de anclaje» de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que usen la «Libreta interactiva» como recurso. • Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayudas suplementarias para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
Model Function Relationships
7.
Sketch a graph showing distance (d) as a function of time (t) for the following scenario: Devon’s car broke down, and he had to walk 10 miles back home from the gym.
8.
If he walked slowly at about 2 miles per hour, how many hours would it take him to walk home?
9.
Below is a graph showing distance as a function of time in a race between runner A and runner B. Who won the race? Explain.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Dé una copia de la «Revisión rápida» a cada estudiante. 2. Cada uno debe completarla de forma independiente. 3. Use la rúbrica de habilidades al final de la «Revisión rápida» para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional.
5 hours
4. Distribuya una copia del «Repaso» a cada uno. 5. Cada estudiante debe completar el «Repaso» como actividad de intervención o de forma independiente. a. Si lo desea, reúna a los estudiantes en pequeños grupos para trabajar en las destrezas de repaso. Utilice el «Repaso» como ayuda para la reenseñanza.
Runner B won because they went the same distance in a shorter period of time.
10.
Describe the graph of both runners in this race in terms of linear and nonlinear segments right after runner A rested. After they rested, runner A continued to run at a constant rate until the end of the race; this is linear and presents as a straight line. However, runner B, at that same point, increased their speed more and more, which is not a constant rate (nonlinear and presents as a curved line).
6. Distribuya una copia de la «Revisión general» a cada uno. 7. Cada estudiante debe completarla de forma independiente.
2
COMPROBACIÓN CLAVE DE RESPUESTAS
8. Analice los resultados de la «Revisión general» al usar la «Lista de verificación para el maestro» para identificar quienes necesitan un repaso adicional y quienes han alcanzado el dominio de los conceptos.
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GRADO 8: REPRESENTAR RELACIONES FUNCIONALES
ACELERACIÓN: ¿QUÉ PREFERIRÍAS? Model Function Relationships
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
¿QUÉ PREFERIRÍAS?: CAMINANDO A CASA
Walking Home Use mathematical reasoning and creativity to justify your answer to the Would You Rather question. Izzy and Jack are discussing their walks home from school. Izzy starts walking home each day at a steady pace. She stops to get her brother at the elementary school before continuing on home at the same pace. Jack starts his walk home by jogging the first 6 blocks. He then stops at the library to work on homework with a friend. Then he continues home at a slower pace. Would you rather take Izzy’s or Jack’s walk home? Justify your reasoning with mathematics. Use the graphs to sketch a model of each walk home. Izzy
Jack
DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 rúbrica (por maestro)
PREPARACIÓN
Sample answers may include the following: I would rather be Izzy because she walks at a steady pace the whole way home. Plus, I like to walk home with my sibling every day.
I would rather be Jack because he starts at a faster pace and gets to stop to complete his homework before he gets home.
1
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno. • Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno.
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
2. Anímelos a mirar sus folletos de «Explorar» si necesitan repasar habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros. 4. Utilice la rúbrica proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
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GRADO 8: REPRESENTAR RELACIONES FUNCIONALES
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Model Function Relationships
Choose 6: ● Career Co (MUST INC ● Science Co ● Arts Conne ● Kitchen Co ● Create You ● Financial C ● Technology ● Analogies ● Mathematic ● Other - mu by PM!
OPCIONES PARA SEGUIR APRENDIENDO
TABLERO DE OPCIONES
Model Function Relationships
CAREER CONNECTION MUST be one of the choices. Youel can select any of the Los estudiantes explorarán las conexiones con other choices (listed in blue mundo real y las aplicaciones del contenido matemático box on the right). a través de interacciones con actividades atractivas.
DESCRIPCIÓN
MATERIALES IMPRESO
All parts that are highlighted should be changed and unhighlighted.
• 1 tablero de opciones (por estudiante) • 1 juego de hojas de actividades (por estudiante) • 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante) REUTILIZABLE
• Tecnología (si corresponde)
PREPARACIÓN
Choose one or more extension activities from the table below. Career Connection
Science Connection
Physical Therapist
Surgery Recovery
Research the career field of physical therapy. Your research must answer the provided questions. Create a presentation to relay your research to the class.
Analyze the data provided on the handout. Then, use the data and your own research to answer the questions.
Technology Connection
Create Your Own
Party Rental Time
Real-World Model
Use the graphing calculator to enter the data provided on the handout. Then, use the data and calculator to answer the questions.
Create your own graph. Follow the criteria on the handout to come up with a real-world scenario that goes along with your graph.
Mathematician Spotlight
Financial Connection
Joseph Fourier
Search out several news articles or research papers that involve Joseph Fourier’s work. Create an informational poster, diorama, or speech to convey this mathematician’s work as it relates to functions.
Stock Price
We use math every day in our financial world. Explore how modeling function relationships connects to our financial world by completing the handout.
• Imprima un «Tablero de opciones» y un juego de hojas de actividades para cada estudiante. • Imprima una «Autoevaluación del tablero» para cada estudiante.
1
TABLERO DE OPCIONES
• Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» a cada estudiante. 2. Dé tiempo a los estudiantes para examinar el «Tablero de opciones» y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anímelos a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del tablero, haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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GRADO 8: REPRESENTAR RELACIONES FUNCIONALES
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GRADO 8 TRANSFORMACIONES
GRADO 8
TRANSFORMACIONES ACTIVIDADES DE EXPLORAR EXPLORACIÓN 1: IDENTIFICACIÓN DE TRANSFORMACIONES
ESTÁNDARES CLAVE Comprender la congruencia y la semejanza mediante modelos físicos, transparencias o software de geometría. • Verificar experimentalmente las propiedades de las rotaciones, reflexiones y traslaciones. • Las rectas se convierten en rectas y los segmentos de recta a segmentos de recta de la misma longitud. • Los ángulos se convierten a ángulos de la misma medida. • Las rectas paralelas se convierten en rectas paralelas. • Describir el efecto de dilataciones, traslaciones, rotaciones y reflexiones en figuras bidimensionales al usar coordenadas.
ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: RELACIONA POR EL SALÓN Los estudiantes realizan un ejercicio de pareo para reforzar su comprensión de un estándar previo e identificar cualquier concepto erróneo. • Los estudiantes recorren la sala al hacer coincidir las tarjetas numeradas con sus correspondientes tarjetas con letras. • Anotan sus coincidencias en un papel y comentan sobre su razonamiento con sus compañeros. • La actividad está diseñada para descubrir conceptos erróneos, como el cálculo incorrecto de distancias. • Si los estudiantes tienen dificultades, se recomienda un apoyo básico adicional antes de avanzar. CAPTAR INTERÉS Los estudiantes exploran el concepto de factor de escala al examinar una fotografía ampliada. • Se presenta a los estudiantes una situación en la que interviene Ruby, que necesita determinar el factor de escala de una fotografía para enmarcarla. • Miden y dibujan las fotografías originales y ampliadas en un plano cartesiano para encontrar el factor de escala. • Mediante preguntas guiadas, los estudiantes aprenden que un factor de escala es la relación de los lados correspondientes y que todos los lados deben tener relaciones equivalentes para que exista proporcionalidad. • Después de completar las actividades de exploración relacionadas, los estudiantes vuelven a visitar la situación para consolidar su comprensión de los factores de escala y aplican sus conocimientos de forma creativa mediante un collage.
Los estudiantes investigan los conceptos de rotaciones, reflexiones y traslaciones de figuras bidimensionales. • Los estudiantes trabajan en parejas para explorar cómo se mueven las figuras con papel de calco y las tarjetas de «¿Cómo se movió?». • Trazan figuras y manipulan el papel de calco para identificar transformaciones como deslizamientos, giros y rotaciones. • A través de preguntas guiadas y debates, los estudiantes comparten estrategias y profundizan en su comprensión de las transformaciones geométricas. • La actividad concluye con una papeleta de salida para evaluar la comprensión y una oportunidad para reflexionar sobre el vocabulario y los conceptos nuevos. EXPLORACIÓN 2: ROTACIONES, REFLEXIONES Y TRASLACIONES Los estudiantes exploran las transformaciones geométricas en planos de coordenadas, centrándose en las rotaciones, reflexiones y traslaciones de figuras bidimensionales. • Los estudiantes trabajan en parejas para realizar transformaciones con el uso de las tarjetas de «Transforma el triángulo», para trazar puntos y colorear triángulos en un plano cartesiano. • Identifican y explican cada transformación en su diario del estudiante, al comentar sus observaciones y estrategias con sus compañeros. • La actividad incluye preguntas guiadas para profundizar la comprensión de las transformaciones y sus efectos sobre la posición, la orientación y el tamaño. • Los estudiantes concluyen al participar en un charla de matemáticas para compartir ideas y completar un «Boleto de salida» para la evaluación. EXPLORACIÓN 3: DILATACIONES Los estudiantes exploran el concepto de dilataciones en planos de coordenadas con la transformación de figuras bidimensionales y con el analisis de los cambios de tamaño. • Los estudiantes trabajan en parejas con tarjetas de dilatación y planos de coordenadas para dilatar rectángulos y cuadrados, al ampliar y reducir su tamaño. • Anotan los factores de escala y las nuevas coordenadas al comentar las observaciones y estrategias con sus compañeros. • La actividad incluye preguntas guiadas para profundizar en la comprensión de las dilataciones, los factores de escala y el papel del origen. • Los estudiantes concluyen con una charla de matemáticas para compartir sus ideas y completar un «Boleto de salida» para evaluar su comprensión. EXPLORACIÓN 4: TRANSFORMACIONES MÚLTIPLES Los estudiantes exploran las transformaciones múltiples de figuras bidimensionales en planos de coordenadas, incluidas rotaciones, reflexiones, traslaciones y dilataciones. • Los estudiantes trabajan en grupos para hacer coincidir los ángulos y lados correspondientes después de las transformaciones con tarjetas de transformaciones múltiples. • Identifican y registran las transformaciones que se han producido y comentan sus observaciones y razonamientos. • La actividad anima a los estudiantes a comprender la importancia del orden de las transformaciones y a explorar diferentes estrategias para trazar figuras. • Los estudiantes participan en una charla de matemáticas para compartir ideas y completan un «Boleto de salida» para evaluar su comprensión.
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES TRANSFORMACIONES GRADO 8
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES GEOMETRÍA TRANSFORMACIONAL Los estudiantes exploran conceptos claves mediante el uso de planos de coordenadas y actividades prácticas. Comienzan por realizar y analizar transformaciones como traslaciones, rotaciones y reflexiones para comprender cómo se mueven las figuras sin alterar su tamaño o forma. Estas transformaciones ayudan a comprender el concepto de congruencia, en el que los ángulos correspondientes y las longitudes de los lados permanecen iguales y semejantes, donde las figuras conservan sus proporciones pero cambian de tamaño debido a transformaciones como las dilataciones. A medida que los estudiantes investigan estas relaciones, observan que las medidas de los ángulos se conservan tanto en las figuras congruentes como en las semejantes durante las transformaciones, lo que refuerza la idea de que las relaciones angulares permanecen invariantes bajo transformaciones rígidas. Estas actividades proporcionan una base para la comprensión de las propiedades geométricas y los prepara para analizar y representar figuras y transformaciones más complejas en futuros estudios geométricos.
CONCEPTOS CLAVE • Puedo identificar que los lados, la forma, el tamaño y los ángulos de una figura se conservan cuando sufre una traslación, rotación o reflexión. • Puedo identificar que la forma y los ángulos se conservan, pero el tamaño de una figura cambia cuando la figura sufre una dilatación. • Puedo describir los efectos de dilataciones, traslaciones, rotaciones y reflexiones en figuras bidimensionales al utilizar coordenadas.
PREGUNTAS FUNDAMENTALES • Describa las diferencias entre traslaciones,
rotaciones, reflexiones y dilataciones.
• Explique cómo realizar una traslación en una figura al utilizar un plano cartesiano. • Explique cómo realizar una rotación en una figura al utilizar un plano cartesiano. • Explique cómo realizar una reflexión en una figura al utilizar un plano cartesiano. • Explique cómo realizar una dilatación en una figura al utilizar un plano cartesiano. • ¿Cómo cambian las transformaciones las coordenadas de una imagen?.
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO ¿QUÉ ENSEÑO?
CONTENIDO DE APOYO Comprender la congruencia y la semejanza mediante el uso de modelos físicos, transparencias o programas informáticos de geometría. • Comprobar experimentalmente las propiedades de las rotaciones, reflexiones y traslaciones: ◦ Las rectas se convierten a rectas y los segmentos de recta a segmentos de recta de la misma longitud. ◦ Los ángulos se convierten a ángulos de la misma medida. ◦ Las rectas paralelas se convierten en rectas paralelas. • Describir el efecto de dilataciones, traslaciones, rotaciones y reflexiones en figuras bidimensionales al usar coordenadas.
CONOCIMIENTOS PREVIOS En grados anteriores, los estudiantes desarrollaron una comprensión de congruencia y similitud. Crearon dibujos a escala y conversaron sobre la relación entre las figuras geométricas. Ser capaz de determinar estas relaciones será la base de las transformaciones a medida que los estudiantes descubren cómo las imágenes se mapean entre sí.
CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
EN ESTE ALCANCE En este alcance , los estudiantes verificarán las propiedades de las rotaciones, reflexiones y traslaciones mientras encuentran las congruencias de rectas y ángulos. Describirán el efecto que tienen las traslaciones y dilataciones en figuras bidimensionales al utilizar coordenadas. Empiezan a descubrir cómo ciertas figuras se corresponden con otras a través de la comprensión de los movimientos rígidos y sus propiedades. TÉRMINOS CLAVES
• ángulos congruentes: ángulos que tienen la misma medida. • figuras congruentes: figuras del mismo tamaño y forma. • ángulos correspondientes: ángulos en la misma posición en figuras planas diferentes. • lados correspondientes: dos lados que están en la misma posición en diferentes figuras planas; en los dibujos a escala estos lados tendrán una relación proporcional. • dilatación: tipo de transformación en la que se utiliza un factor de escala para ampliar o reducir las distancias en la imagen original. • equivalente: igual en valor o cantidad. • imagen: figura nueva en una transformación.
• Los estudiantes pueden confundir congruencia y semejanza. Mientras que todas las figuras congruentes son también semejantes, no todas las figuras semejantes son congruentes.
• rectas paralelas: rectas en el mismo plano que son equidistantes y no se intersecan.
• Los estudiantes pueden no darse cuenta de que ciertas figuras geométricas son congruentes si no se presentan con la misma orientación. Por ejemplo, las rotaciones y las reflexiones.
• reflexión: imagen especular de una figura; voltear una figura.
• Los estudiantes pueden confundir el sentido de las manecillas del reloj con el sentido contrario a las manecillas del reloj al momento de rotar. • Los estudiantes pueden creer que todas las rectas de reflexión deben ser horizontales o verticales. • Los estudiantes pueden creer que una rotación debe ser siempre alrededor del origen.
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• imagen preliminar: figura original en una transformación.
• rotación: giro de una figura alrededor de un punto fijo. • factor de escala: razón entre las longitudes de los lados correspondientes en un dibujo a escala y las de la figura original. • figuras similares: dos o más figuras que tienen la misma forma, pero diferentes tamaños. • transformación: cambiar una forma a través del movimiento en un plano cartesiano. • traslación: movimiento de una figura a lo largo de una línea a una distancia específica.
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1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: TRANSFORMACIONES
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO
APLICAR LAS PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes analizan y perseveran para determinar la serie de transformaciones ocurridas. Utilizan la información dada en la imagen preliminar y en la imagen final para ayudar a determinar las transformaciones que han tenido lugar. • MP.2 Razonamiento abstracto y cuantitativo: Los estudiantes analizan una serie dada de transformaciones, escritas y verbales, para que coincidan con una gráfica. Toman las transformaciones dadas y las aplican a una imagen preliminar para determinar la imagen resultante correcta. • MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros: Los estudiantes construyen argumentos viables mientras determinan si una imagen y su imagen preliminar son congruentes. Critican el razonamiento de otros al comentar qué transformaciones están presentes, si las hay. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes aplican sus conocimientos sobre factores de escala y dilataciones para determinar qué ocurre con el área y el perímetro de una figura cuando se ha dilatado. A continuación, pueden aplicar esos conocimientos para hallar áreas y perímetros de figuras futuras. • MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas: Los estudiantes utilizan herramientas como el papel transparente para determinar si las figuras son congruentes entre sí. • MP.6 Atender a la precisión: Los estudiantes prestan atención a la precisión cuando explican transformaciones y series de transformaciones. Describen con precisión el movimiento de la figura, al utilizar el lenguaje y los valores correctos. • MP.7 Buscar y utilizar la estructura: Los estudiantes buscan y determinan factores de escala y cómo afectan a una imagen y a las coordenadas de una gráfica. Determinan la regla y la aplican a imágenes a dilatar. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes buscan regularidades en razonamientos repetidos de transformaciones. Descubren las relaciones entre una imagen y su imagen preliminar y reconocen patrones en las propiedades de cada transformación individual.
ROTACIONES, REFLEXIONES, TRASLACIONES
DILATACIONES
Los estudiantes determinarán si las figuras bidimensionales han sido rotadas, reflejadas o trasladadas. Compararán y contrastarán lo que sucede en cada transformación.
Los estudiantes determinarán si las figuras bidimensionales se han dilatado. Reconocerán que la imagen y la imagen preliminar son similares y no congruentes entre sí.
Ejemplo: La siguiente figura sufrió una transformación desde la imagen preliminar (Figura 1) a la imagen (Figura 2). ¿Qué tipo de transformación fue?.
Ejemplo: El triángulo ABC está graficado en la siguiente cuadrícula. Si el triángulo ABC se dilata por un factor de escala de 2 con centro alrededor del origen, ¿cuáles serán las coordenadas del triángulo A'B'C', la imagen de ABC?. a. (1, 1), (2, 2), (-2, 1) b. (4, 2), (8, 6), (-8, 2) c. (4, 4), (6, 6), (-2, 4)
a. Dilatación b. Reflexión c. Rotación d. Traslación La respuesta correcta es la opción B. Los estudiantes deben ver que la Figura 1 se refleja sobre una recta de reflexión que está a la derecha de la figura. No hay forma de rotar o trasladar la Figura 1 para llegar a la Figura 2. Como las figuras parecen congruentes, no hay dilatación.
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d. (4, 4), (8, 8), (-8, 4) Los estudiantes deben reconocer que una dilatación que tiene un factor de escala mayor que 1 resultará en un triángulo agrandado. Por lo tanto, la opción A puede eliminarse ya que es una contracción. Una dilatación centrada en el origen significa que los estudiantes tendrán que multiplicar cada coordenada por 2. El vértice A está en el punto (2, 2) y (2 •2, 2 •2) = (4, 4) = A'. Al continuar esto, los estudiantes de matemáticas pueden encontrar que B = (4, 4), por lo que (4 •2, 4 •2) = (8, 8) = B'. C = (-4, 2) y (-4 •2, 2 •2) = (-8, 4) = C'.
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO
TRANSFORMACIONES MÚLTIPLES
y
Los estudiantes seguirán una imagen preliminar a través de transformaciones múltiples. Identificarán los lados y/o ángulos correspondientes después de la transformación. Ejemplo: La siguiente gráfica muestra una serie de transformaciones que mapean el triángulo A sobre el triángulo B. Si el triángulo A se reflejara sobre el eje X y luego se trasladara 6 unidades a la izquierda, ¿qué lado del triángulo B corresponde con el lado resaltado del triángulo A?.
8 7 6 5 4
A
3 2 1 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1
x 1 2 3 4
5 6 7 8
Reflexión
-2 B
-3 -4 -5 -6
-7 Traslación -8
AVANCES Las transformaciones conducen a los estudiantes a los fundamentos de la geometría. A medida que comprendan cómo se relacionan las figuras entre sí en términos de congruencia y semejanza, serán capaces de analizar transformaciones para demostrar teoremas de movimientos rígidos. En secundaria, los estudiantes utilizarán estos conceptos para crear construcciones y series de movimientos rígidos.
a. Lado 1 b. Lado 2 c. Lado 3 d. Ningún lado es congruente con el lado resaltado. La respuesta correcta es B. Los estudiantes notarán que una reflexión sobre el eje X cambiará la orientación de la figura, llevándola a mirar hacia abajo en lugar de hacia arriba. Después de trasladarla 6 unidades a la izquierda, llevará la figura del cuadrante IV al cuadrante III. El lado resaltado permanecerá en el lado izquierdo de la figura.
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO PROFUNDIZAR EN LAS NORMAS
CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES
• modelo: un ejemplo o representación de algo.
Comprender la congruencia y la semejanza mediante el uso de modelos físicos, transparencias o software de geometría.
• propiedad: cualquier atributo o característica.
• rectas paralelas: rectas en el mismo plano que son equidistantes y no se intersecan.
• Verificar experimentalmente las propiedades de las rotaciones, reflexiones y traslaciones:
• reflexión: imagen especular de una figura; voltear una figura.
◦ Las rectas se convierten a rectas y los segmentos de rectas a segmentos de rectas de la misma longitud.
• rotación: giro de una figura alrededor de un punto fijo.
◦ Los ángulos se convierten a ángulos de la misma medida.
• traslación: movimiento de una figura a lo largo de una línea a una distancia específica .
◦ Las rectas paralelas se convierten en rectas paralelas. • Describir el efecto de dilataciones, traslaciones, rotaciones y reflexiones en figuras bidimensionales al usar coordenadas.
DESGLOSAR EL ESTÁNDAR VERBOS: ¿QUÉ DEBERÍAN HACER LOS ESTUDIANTES?
• analizar: explorar y explicar. • describir: escribir o decir los detalles de. • experimentar: probar diferentes formas de hacer las cosas. • comprender: captar el significado. • usar: aplicar una estrategia. • verificar: determinar si algo es cierto. SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBEN CONOCER LOS ESTUDIANTES?
• ángulo: figura geométrica formada por dos semirrectas con el mismo punto final (vértice).
• similitud: característica o aspecto similar (misma).
• figura bidimensional: figura plana con dos dimensiones medibles.
IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA
• En grados anteriores, los estudiantes han usado ángulos suplementarios, complementarios, verticales y adyacentes para escribir y resolver ecuaciones simples para un ángulo desconocido en una figura. Los estudiantes han trabajado con dilataciones. • En este nivel de grado, se espera que los estudiantes usen el conocimiento de rectas y ángulos para descubrir experimentalmente las propiedades de las rotaciones, reflexiones y traslaciones. Los estudiantes deben descubrir que las transformaciones cambian las coordenadas de la imagen. Los estudiantes también analizan imágenes e imagenes preliminares para determinar qué transformaciones tuvieron lugar.
• congruencia: cualidad o estado de concordar, coincidir o ser congruente. • coordenadas: un par de números que proporcionan la ubicación de un punto a lo largo del plano cartesiano y que utiliza valores del eje x y del eje y. • dilatación: un tipo de transformación en la que se utiliza un factor de escala para ampliar o reducir las distancias en la imagen original. • longitud: medida de un objeto de punta a punta; distancia de un extremo al otro extremo de un objeto. • recta: elemento geométrico recto sin espesor que se extiende sin fin en ambas direcciones; la distancia más corta entre dos puntos. • segmento de recta: sección de una recta con dos puntos finales distintos. • medición: número de unidades que muestra la cantidad o el tamaño de algo.
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
ALINEACIÓN VERTICAL GRADO
ESTÁNDAR
5
Representar problemas matemáticos y del mundo real al graficar puntos en el primer cuadrante del plano cartesiano, e interpretar los valores de las coordenadas de los puntos en el contexto de la situación.
6
Dibujar polígonos en el plano cartesiano dadas las coordenadas de los vértices; usar coordenadas para encontrar la longitud de un lado que une puntos con la misma primera coordenada o la misma segunda coordenada. Aplicar estas técnicas en el contexto de la resolución de problemas matemáticos y del mundo real.
7
Dibujar (a mano alzada, con regla y transportador, y con tecnología) formas geométricas con condiciones dadas. Centrarse en la construcción de triángulos a partir de tres medidas de ángulos o lados, se observa cuándo las condiciones determinan un triángulo único, más de un triángulo o ningún triángulo.
7
Utilizar datos sobre ángulos suplementarios, complementarios, verticales y adyacentes en un problema de varios pasos para escribir y resolver ecuaciones sencillas para un ángulo desconocido en una figura. Verificar experimentalmente las propiedades de las rotaciones, reflexiones y traslaciones:
8
a.
Las rectas se convierten a rectas, y los segmentos de recta a segmentos de recta de la misma longitud.
b.
Los ángulos se convierten a ángulos de la misma medida.
c.
Las rectas paralelas se convierten en rectas paralelas.
8
Comprender que una figura bidimensional es congruente con otra si la segunda se puede obtener a partir de la primera mediante una secuencia de rotaciones, reflexiones y traslaciones; dadas dos figuras congruentes, describir una secuencia que muestre la congruencia entre ellas.
8
Describir el efecto de dilataciones, traslaciones, rotaciones y reflexiones en figuras bidimensionales al usar coordenadas.
8
Comprender que una figura bidimensional es similar a otra si la segunda puede obtenerse a partir de la primera mediante una secuencia de rotaciones, reflexiones, traslaciones y dilataciones; dadas dos figuras bidimensionales similares, describir una secuencia que muestre la similitud entre ellas.
8
Usar argumentos informales para establecer hechos sobre la suma de ángulos y el ángulo exterior de triángulos, sobre los ángulos creados cuando rectas paralelas son cortadas por una transversal, y el criterio ángulo-ángulo para la semejanza de triángulos.
HS
Representar transformaciones en el plano al usar, por ejemplo, transparencias y software de geometría; describir transformaciones como funciones que toman puntos en el plano como entradas y dan otros puntos como salidas. Comparar las transformaciones que preservan la distancia y el ángulo con las que no lo hacen (p. ej. traslación versus estiramiento horizontal).
HS
Dado un rectángulo, paralelogramo, trapezoide o polígono regular, describir las rotaciones y reflexiones que lo llevan sobre sí mismo.
HS
Desarrollar definiciones de rotaciones, reflexiones, y traslaciones en términos de ángulos, círculos, rectas perpendiculares, rectas paralelas, y segmentos de recta.
HS
Dada una figura geométrica y una rotación, reflexión, o traslación, dibujar la figura transformada al usar, por ejemplo, papel cuadriculado, papel de calco o software geométrico. Especificar una secuencia de transformaciones que llevará una figura dada a otra.
HS
Usar descripciones geométricas de movimientos rígidos para transformar figuras y predecir el efecto de un movimiento rígido dado en una figura dada; dadas dos figuras, usar la definición de congruencia en términos de movimientos rígidos para decidir si son congruentes.
HS
Verificar experimentalmente las propiedades de dilataciones dadas por un centro y un factor de escala.
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA CONTROLAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIONES La guía de instrucción andamiada se proporciona para que los maestros puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones del alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que ayuda a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de la evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos según los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere que todos los estudiantes experimenten con los elementos: «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades», ya que cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar. 0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
80 % - 100 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil pueden trabajar en contenido de nivel de grado con apoyos de instrucción.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 6. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» individual para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 7. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante de acuerdo con sus datos de evaluación. 8. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la sección «Scaffolded Instruction Guide» en el menú desplegable «Home» del alcance. 4. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Geometría Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
a. Las rectas se llevan a rectas, y los segmentos de recta a segmentos de recta de la misma longitud.
d
Los ángulos se toman a ángulos de la misma medida.
7 - Relaciones angulares
7 - Relaciones angulares
Repaso y práctica de habilidades
Repaso y práctica de habilidades
Constructor de fluidez
Constructor de fluidez
• Relaciones angulares • Desechos espaciales Prueba de destrezas 7 - Propiedades de los triángulos Repaso y práctica de habilidades
0 % - 25 %
Práctica interactiva
Constructor de fluidez • Propiedades de triángulos
(Refuerzo del grado anterior)
0 % - 25 %
Verifica experimentalmente las propiedades de las rotaciones, reflexiones y traslaciones.
(Refuerzo del grado anterior)
Verifica experimentalmente las propiedades de las rotaciones, reflexiones y traslaciones.
Práctica Interactiva
7 - Propiedades de los triángulos Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Propiedades de los triángulos
8 - Transformaciones
8 - Transformaciones
Acceso a conocimientos previos
Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales
Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (preguntas 1-4,6) • Repaso (secciones: transformaciones, dilataciones, transformaciones en varios pasos)
(Nivel de grado con apoyos)
Prueba de habilidades
25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyos)
25 % - 50 %
Libreta interactiva Constructor de fluidez • Transformaciones
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(Ampliación del nivel de grado)
80 % - 100 %
Tablero de opciones
Libreta interactiva Constructor de fluidez • Transformaciones Práctica interactiva Ciencia de datos
Ciencia de datos
¿Qué preferirías?
Vocabulario interactivo
• Voltear, girar y deslizar
• Voltear, girar y deslizar
Tareas de representación matemática
• Repaso (secciones: transformaciones, dilataciones, transformaciones en varios pasos)
Vocabulario ilustrado
Práctica interactiva
8 - Transformaciones
• Revisión rápida (preguntas 1-4,6)
8 - Transformaciones (Nivel de grado)
Vocabulario interactivo
Repaso y Práctica de Habilidades
• Revisión (preguntas 1-8,10)
• Revisión (preguntas 1-8,10)
50 % - 80 %
50 % - 80 %
Prueba de habilidades
Prueba de habilidades
Vocabulario ilustrado (Nivel de grado)
• Desechos espaciales
• La búsqueda del droide
8 - Transformaciones
(Ampliación del nivel de grado)
Práctica interactiva
Práctica Interactiva
• La búsqueda del droide
80 % - 100 %
• Relaciones angulares
8 - Transformaciones Tareas de representación matemática ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Las rectas paralelas se llevan a rectas paralelas. 7 - Relaciones angulares
• Relaciones angulares Práctica interactiva • Desechos espaciales Prueba de destrezas 7 - Propiedades de los triángulos Constructor de fluidez Práctica Interactiva • La búsqueda del droide
25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyos)
Prueba de habilidades 8 - Transformaciones Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales • Revisión rápida (preguntas 1-4,6)
Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Resolución de problemas en planos de coordenadas Práctica interactiva • Lluvia de gnomos Prueba de habilidades 8 - Transformaciones Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (preguntas 5,6) • Repaso (sección transformaciones) • Revisión (pregunta 9)
8 - Transformaciones
• Repaso (secciones: transformaciones, dilataciones, transformaciones en varios pasos) 8 - Transformaciones Vocabulario ilustrado
(Nivel de grado)
6 - Resolución de problemas en planos de coordenadas
Repaso y Práctica de Habilidades
• Revisión (preguntas 1-8,10)
50 % - 80 %
25 % - 50 %
• Propiedades de los triángulos
(Nivel de grado con apoyos)
Repaso y práctica de habilidades
Vocabulario interactivo
Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo 50 % - 80 %
(Refuerzo del grado anterior)
0 % - 25 %
Constructor de fluidez
0 % - 25 %
Repaso y práctica de destrezas
Libreta interactiva
(Nivel de grado)
b
Describir el efecto de dilataciones, traslaciones, rotaciones y reflexiones en figuras bidimensionales al usar coordenadas. (Refuerzo del grado anterior)
Verifica experimentalmente las propiedades de las rotaciones, reflexiones y traslaciones.
Constructor de fluidez
Libreta interactiva Constructor de fluidez • Dilataciones • Transformaciones Práctica interactiva • Voltear, girar y deslizar
• Transformaciones
Ciencia de datos Conexiones lingüísticas
Práctica interactiva
8 - Transformaciones Tareas de representación matemática ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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80 % - 100 %
80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
Ciencia de datos
(Ampliación del nivel de grado)
• Voltear, girar y deslizar
8 - Transformaciones ¿Qué preferirías?
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
ATRAER: ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS
EVALUAR PREVIAMENTE EL CONOCIMIENTO DEL ESTUDIANTE
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: RELACIONA POR EL SALÓN ESTÁNDAR PREVIO
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Dibujar polígonos en el plano cartesiano dadas las coordenadas para los vértices; usar coordenadas para encontrar la longitud de un lado que une puntos con la misma primera coordenada o la misma segunda coordenada. Aplicar estas técnicas en el contexto de la resolución de problemas matemáticos y del mundo real.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes harán coincidir tarjetas numeradas con tarjetas con letras coloquedas alrededor del salón para demostrar su conocimiento del estándar anterior. Este elemento está diseñado para descubrir los conceptos erróneos de los estudiantes; no se debe tomar para una calificación.
MATERIALES IMPRESO
• 1 juego de tarjetas de «Pareo alrededor del aula» (por clase).
PREPARACIÓN
• Imprima un juego de «Pareo alrededor del aula». • Cuélguelas en orden aleatorio por la clase.
1. Pida a los estudiantes que escriban los números 1, 2 y 3 en una hoja de papel. 2. Pida a los estudiantes que caminen por la sala con su papel. Mientras caminan por la sala, deben ver las tarjetas numeradas y hacerlas coincidir con las tarjetas con letras. 3. Permita que los estudiantes compartan su pensamiento con un vecino. a. La tarjeta 1 coincide con la tarjeta B. b. La tarjeta 2 coincide con la tarjeta A. c. La tarjeta 3 coincide con la tarjeta C. 4. Si los estudiantes tienen dificultades para completar esta tarea, continúe con el constructor de fundamentos para llenar este vacío en el conocimiento previo antes de pasar a otras partes del alcance.
IDENTIFICACIÓN DE CONCEPTOS ERRÓNEOS
• Los estudiantes pueden encontrar la longitud del lado equivocado. • Los estudiantes pueden contar mal la distancia o pueden sumar los valores de x y/o de y en lugar de restarlos para hallar la distancia.
Match around the Room – Card 3
Match around the Room – Card 2
Match around the Room – Card 1
Transformations
Transformations
Transformations
1
2
3
Transformations
Transformations
Transformations
Match around the Room – Card A
Match around the Room – Card B
Match around the Room – Card C
Length of 6
Length of 5
Length of 4
4
5
6
PARTIDOS EN LA SALA
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
ATRAER: CAPTAR INTERÉS
Transformations
LECCIÓN PARA CAPTAR INTERÉS
Blow It Up
CAPTAR INTERÉS DESCRIPCIÓN Los estudiantes encuentran el factor de escala de una fotografía que ha sido ampliada.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 «Amplíalo» (por clase) REUTILIZABLES
• 1 fenómenos (por clase)
PREPARACIÓN
• Planifique mostrar los fenómenos. • Prepárese para proyectar la diapositiva «Amplíalo» para que la vea toda la clase.
1
• Prepárese para presentar el escenario y anime a los estudiantes a pensar en cómo resolverlo. Prepárese para pasar a las actividades de exploración y regresar a la actividad «Captar interés» con los nuevos conocimientos adquiridos una vez que se hayan completado las exploraciones.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA AMPLÍALO
1. Presente esta actividad hacia el comienzo del alcance. La clase retomará la actividad y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades correspondientes a «Explorar». 2. Muestre los Fenómenos. Formule a los estudiantes las siguientes preguntas: «¿Qué observas? ¿Dónde puedes ver matemáticas en esta situación?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. 3. Explique el escenario a la clase: «A la abuela de Ruby le encantan las fotografías familiares. Tiene muchas en álbumes de fotos y cuelga muchas en las paredes de su casa. Para el día de los abuelos, Ruby le regaló a su abuela dos copias de la misma foto suya. Una de las fotos medía 5 pulgadas de largo y 3 pulgadas de ancho para el álbum de fotos de su abuela. La otra foto había sido ampliada, era más grande y estaba lista para ser enmarcada y colgada en la pared. Ruby quiere determinar el factor de escala de la foto más grande y sus dimensiones para poder comprar un marco adecuado para la foto. Para ello, decide medir ambas fotos y dibujarlas en un plano de cartesiano». 4. Deje que los estudiantes hagan preguntas y aclaren el contexto si es necesario. Anímelos a compartir sus ideas y experiencias con la clase al utilizar las siguientes preguntas:
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a.
«¿Has impreso alguna vez fotos con dimensiones diferentes?».
b.
«¿Por qué Ruby necesita medir la fotografía antes de comprar un marco?».
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
ATRAER: CAPTAR INTERÉS
5. Proyecto «Amplíalo». 6. Explique a los estudiantes que Ruby ha medido y dibujado un modelo de las dos fotos en un plano de cartesiano. Su foto original mide 5 pulgadas de largo y 3 pulgadas de ancho. La foto ampliada mide 15 pulgadas de largo y 9 pulgadas de ancho. Se pregunta cuál será el factor de escala. Converse lo siguiente con la clase: a. DOK-1 «¿Qué es un factor de escala?». Un factor de escala es la razón entre la longitud de un lado de una figura y la longitud de un lado correspondiente de otra figura.
3. Si el tiempo lo permite, dé tiempo a los estudiantes para que creen un pequeño collage sobre sí mismos. Pueden doblar una hoja de papel por la mitad. En la mitad superior, los estudiantes crean su collage con cuatro o cinco cosas sobre sí mismos (personas de su vida, aficiones, favoritos, etc.). En la mitad inferior, recrean su collage con el uso de transformaciones. Los estudiantes pueden cambiar los papeles con un compañero y averiguar qué transformaciones se utilizaron para recrear el collage.
b. DOK-1 «¿Todos los lados de dos rectángulos tienen que tener razones equivalentes para tener un factor de escala para una figura?». Sí, todos los lados tienen que tener la misma razón para que la figura sea proporcional y tenga un factor de escala. c. DOK-1 Si la foto es proporcionalmente más grande, «¿qué sabes sobre el factor de escala?». El factor de escala será mayor que uno. 7. Continúa para completar las actividades de «Exploración». PARTE II: DESPUÉS DE EXPLORAR
1. Después de que los estudiantes hayan completado las actividades de «Exploración» para este tema, muestra los Fenómenos nuevamente y repite el escenario. 2. Refiérete a «Amplíalo» y converse las siguientes preguntas con la clase: a. DOK-1 «¿Qué es un factor de escala?». Un factor de escala es la razón entre la longitud de un lado de una figura y la longitud de un lado correspondiente de otra figura. b. DOK-1 «¿Todos los lados de dos rectángulos tienen que tener razones equivalentes para tener un factor de escala para una figura?». Sí, todos los lados tienen que tener la misma razón para que la figura sea proporcional y tenga un factor de escala. c. DOK-1 Si la foto es proporcionalmente más grande, «¿qué sabes sobre el factor de escala?». El factor de escala será mayor que uno. d. DOK-1 «¿Cuáles son las proporciones usadas para comparar los lados de la foto ampliada 15 3 con la foto original?». La longitud es ____ o ___ . 5 1 9 3 ___ ___ La anchura es o 1 . 3
e. DOK-1 «¿Cuál es el factor de escala de la foto ampliada en comparación con la foto original?». El factor de escala es 3.
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 CONTROLAR Y AJUSTAR
EXPLORACIÓN 1: IDENTIFICAR TRANSFORMACIONES ESTÁNDAR(ES) • Comprender la congruencia y la semejanza mediante el uso de modelos físicos, transparencias o programas informáticos de geometría. Comprobar experimentalmente las propiedades de las rotaciones, reflexiones y traslaciones: • Las rectas se convierten a rectas y los segmentos de recta a segmentos de recta de la misma longitud. • Los ángulos se convierten a ángulos de la misma medida. • Las rectas paralelas se convierten en rectas paralelas. • Comprender la congruencia y la semejanza mediante el uso de modelos físicos, transparencias o programas informáticos de geometría. Describir el efecto de dilataciones, traslaciones, rotaciones y reflexiones en figuras bidimensionales al usar coordenadas. Ideas fundamentales Geometría transformacional
Estándares para la práctica matemática MP.3 Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros.
Conexiones de contenido CC4 Descubrir la forma y el espacio
Motores de investigación DI1 Dar sentido al mundo (Comprender y explicar) DI2 Predecir lo que podría ocurrir (Predecir)
MP.5 Usar herramientas apropiadas estratégicamente. MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes explorarán rotaciones, reflexiones y traslaciones de figuras bidimensionales.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de tarjetas «¿cómo se movió?» (por grupo) • 1 boleto de salida (por estudiante) REUSABLE
• 1 lápiz (por estudiante) • 1 bolsa resellable (por grupo) CONSUMIBLE
• 6 hojas de papel de calco o un cuarto de hoja de transparencias (por grupo)
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PREPARACIÓN
• Planifique dividir la clase en grupos de 2 para completar la actividad. • Imprima el «Diario del estudiante» y el «Boleto de salida» para cada estudiante. • Imprima un juego de tarjetas «¿Cómo se movió?» para cada grupo. Recorte las tarjetas y colóquelas en una bolsa con cierre. Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para utilizarlas en el futuro. • Reúna suficientes hojas de papel de calco para que cada grupo de estudiantes tenga 6 hojas. Si no dispone de papel de calco, puede utilizar un cuarto de hoja de papel transparente.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Lea la siguiente situación: Missy y su amiga Fay asisten esta semana a un campamento de verano para artistas. Hoy aprenderán diferentes formas de utilizar figuras bidimensionales en sus pinturas. La monitora, la Sra. Drawert, quiere mostrar a sus estudiantes que las formas pueden orientarse de muchas maneras para hacer los cuadros más interesantes. Ayuda a Missy y Fay a determinar cómo se movía cada una de las figuras.
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Transformations Explore 1
2. Entregue una bolsa con tarjetas «¿Cómo se movió?» y 6 trozos de papel de calco a cada pareja y un «Diario del estudiante» a cada uno. 3. Explique lo siguiente a los estudiantes: «Para determinar cómo se mueve cada figura, podemos trazar una de las figuras en el papel de calco y luego mover el papel de calco hasta que la segunda figura coincida con la primera figura que trazamos en el papel». Pida a los estudiantes que se turnen para trazar la primera figura de cada tarjeta en su papel de calco. A continuación, pida a los estudiantes que trabajen juntos para determinar el movimiento de la primera figura para crear la segunda.
How Did It Move? Complete the table by describing how the first figure on each card moved to become the second figure on the card. #
Describe the movement. Figure 1 flips.
2
Figure 3 flips.
b.
c.
Figure 4 slides.
3
4
Figure 5 rotates. 5
DOK-2 «¿Qué observaste sobre el movimiento de la primera figura de la tarjeta 1 para convertirse en la segunda figura?». En la tarjeta 1, la figura giró para convertirse en la nueva figura.
Figure 6 flips. 6
Figure 7 slides.
Figure 8 flips.
7
DOK-2 «¿Qué notaron sobre el movimiento de la primera figura de la tarjeta 5 para convertirse en la segunda figura?». La primera figura gira en el sentido de las manecillas del reloj para crear la segunda figura.
8
Figure 9 rotates. 9
DOK-2 «¿Qué notaste sobre el movimiento de la primera figura en la tarjeta 7 para crear la segunda figura?». La primera figura se desliza hacia abajo para crear la segunda figura.
Describe the movement. Figure 2 rotates.
1
4. Supervise y evalúe a los estudiantes mientras trabajan haciéndoles las siguientes preguntas orientadoras: a.
#
Figure 10 rotates. 10
Figure 11 slides. 11
Figure 12 slides. 12
1
5. Dé tiempo a los estudiantes para ver, conversar e identificar todas las transformaciones en las tarjetas «¿Cómo se movió?». 6.
Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas
Transformations Explore 1
CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-1 «¿Cómo te ayudó el papel de calco a determinar cómo se movió cada figura?». Puedo usar el papel de calco para trazar una figura. Luego puedo mover el papel de calco o voltearlo para determinar cómo se creó la segunda figura. • DOK-2 «¿De qué maneras se mueve la primera figura para crear la segunda figura en las tarjetas?». La primera figura se desliza, voltea o rota. ◦ Explique lo siguiente a la clase: «Los matemáticos llaman transformaciones a estos movimientos. Las reflexiones se producen cuando la figura se voltea a lo largo de una recta vertical u horizontal. Las traslaciones se producen cuando la figura se desliza. Las rotaciones son cuando la posición de la figura gira en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario».
Reflect 1.
How can you use tracing paper to help determine how each figure moved from figure 1 to become figure 2? I can use the tracing paper to trace the first figure. Then I can move the tracing paper around until I see how the figure moves.
2.
What are the ways that the first figure moved to create the second figure on the cards? The first figure either slides, rotates, or flips.
• DOK-2 «¿Qué traslación te resulta más fácil de identificar? ¿Por qué?». Las traslaciones me resultan más fáciles porque la figura simplemente se mueve vertical y/u horizontalmente. No hay recta de reflexión ni punto de rotación que averiguar. La posición cambia, pero la orientación es la misma. • DOK-2 «¿Por qué crees que utilizar transformaciones de una figura ayudaría a hacer un cuadro más interesante para el espectador?». Cuando una figura se transforma mediante rotación, reflexión o transformación, permite variedad para el ojo del espectador. Hace que su contemplación sea más interesante. 2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 136
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Transformations Explore 1
7. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
Transform It! Exit Ticket Look at each of the figures shown. Use one transformation (reflection, rotation, or translation) to change each figure’s position. Write the transformation used for each figure. Answers will vary.
Figure 1
Figure 2
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
Transformation Used
• Asegúrese de completar la tabla de anclaje como clase. Una vez completado, haga que los estudiantes lleven individualmente su «Libreta interactiva».
Rotation
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Los estudiantes a menudo confunden los términos traducción y transformación. Al presentar el término en la charla de matemáticas, puede ayudar dibujar un paraguas, escribir la palabra «Transformación» en la parte del dosel y debajo escribir los términos «Traslación», «Rotación», «Reflexión» y «Dilatación» para grabar las relaciones entre los términos en la mente de los estudiantes. Además, corrija con suavidad cuando los estudiantes empleen mal los términos.
Reflection
2. Aunque algunos estudiantes sean capaces de realizar con precisión la transformación, puede que les cueste expresar con palabras los movimientos que llevaron a cabo. Involúcrelos con el uso de acciones y lenguaje cotidianos para explicar el movimiento. Por ejemplo, puede decir: «Oye, ¿podrías deslizar el papel hacia mí?»." y, cuando el estudiante lo haga, señalar: «¿Es el mismo movimiento que hiciste con la forma? ¿Lo has deslizado?»."
Translation
1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
APOYOS A LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE Transformations Part 1
Se proporcionará apoyos previos a la lectura (organizadores gráficos, diagramas de formas y vocabulario preenseñado) para ayudarlos en la comprensión lectora.
Identifying Transformations Complete the table by describing how the first figure moved to become the second figure. Model
Description
Model
Translation
Description
Principiante: Como actividad previa a la lección, pida que creen cuadrados de vocabulario para el término «Transformación». Completa las siguientes secciones del cuadrado de vocabulario como clase: Definición, Ejemplo (problema matemático), No ejemplo, y haga que los estudiantes creen su propia imagen para el término.
Rotation
A Reflection
Reflection
A Rotation
Translation
1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS
La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias a continuación para conocer las formas de apoyar el desarrollo del lenguaje del estudiante.
Intermedio: Como actividad previa a la clase, pida que creen cuadrados de vocabulario para el término transformación. Los cuadros de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), No ejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes la definición y el ejemplo, pero anímelos a reescribir la definición con sus propias palabras. Avanzado: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que creen cuadrados de vocabulario para el término transformación. Los cuadrados de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), No ejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes la definición, pero anímelos a reescribirla con sus propias palabras.
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 2: ROTACIONES, REFLEXIONES Y TRASLACIONES ESTÁNDAR(ES) Comprender la congruencia y la similitud al utilizar modelos físicos, transparencias o software de geometría. Describir el efecto de dilataciones, traslaciones, rotaciones y reflexiones en figuras bidimensionales al usar coordenadas.
Ideas fundamentales Geometría transformacional
Estándares para la práctica matemática MP.3 Construir argumentos viables y comentar el razonamiento de otros.
Conexiones de contenido CC4 Descubrir la forma y el espacio
Motores de investigación DI1 Dar sentido al mundo (comprender y explicar) DI2 Predecir lo que podría ocurrir (predecir)
MP.4 Representrar con matemáticas. MP.5 Usar herramientas apropiadas estratégicamente. MP.6 Prestar atención a la precisión.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes explorarán las transformaciones de rotaciones, reflexiones y traslaciones de figuras bidimensionales en planos cartesianos, con el uso de coordenadas para describir los cambios y posiciones.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de tarjetas de «Transforma el triángulo» (por grupo) • 1 boleto de salida (por estudiante) REUTILIZABLE
• 1 caja de lápices de colores (por estudiante) • 1 bolsa resellable (por grupo)
PREPARACIÓN
• Planifique dividir la clase en grupos de 2 para completar la actividad. • Imprima una copia del «Diario del estudiante» y del «Boleto de salida» para cada estudiante. • Imprima un juego de las tarjetas de «Transforma el triángulo» para cada grupo. Recorte y coloque cada juego de tarjetas en una bolsa esellable. Si lo desea, imprima las tarjetas en cartulina y plastifíquelas para utilizarlas en el futuro. • Reúna un juego de lápices de colores para cada estudiante.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Lea la siguiente situación: «Hoy en el campamento de arte, Missy y Fay van a trabajar en sus primeras obras de arte. La Sra. Drawert quiere que todos sus estudiantes de arte comiencen a transformar un triángulo para crear su obra de arte de hoy. Ayuda a Missy y Fay a utilizar rotaciones, reflexiones y traslaciones de sus triángulos para crear sus cuadros». 2. Entregue una bolsa con las tarjetas de «Transforma el triángulo» a cada equipo. 3. Entregue un «Diario del estudiante» a cada uno. 4. Explique a los estudiantes que trabajarán con su equipo para realizar cada transformación mediante el trazo de los puntos de cada triángulo en el plano cartesiano y al colorear cada triángulo del color dado. Los estudiantes deben leer y seguir las instrucciones de cada tarjeta en orden. 5. A continuación, los estudiantes identificarán la transformación en cada tarjeta y escribirán una explicación de la identificación de la transformación en el Diario del estudiante.
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2
Transformations Explore 2
Transformations Explore 2
Fill in the information for each card below.
Rotations, Reflections, and Translations—Oh, My!
Card
Transformation
Reasoning
1
None
Original location given
2
Reflection
It was reflected across the x-axis. If you fold the coordinate plane on the x-axis, the yellow and blue triangles will match up.
3
Rotation
It was rotated around the origin (0, 0) 180°.
4
Translation
It was moved 5 spaces to the right and 3 spaces down.
5
Reflection
It was reflected across the x-axis with the (0, 0) point remaining in the same place. If you fold the coordinate plane on the x-axis, the red and green triangles will match up.
6
Translation
It was moved 2 spaces to the right. It was moved up 4 spaces.
Help Missy and Fay transform figures. Put the Transform the Triangle Cards in order. Read them. Plot each triangle on the coordinate plane. Label each triangle with the card number. Color each triangle correctly. For the table on the next page, fill in information about the transformations that occurred going from one triangle card to the next. See how the triangles make your colorful painting more interesting.
1
2
Transformations Explore 2
Reflect 1.
How can you tell if a figure has been reflected? You can find the line of reflection. That is the line that the figure was reflected across. It is like a line of symmetry in that if you fold on that line, the two figures will match up exactly. It will look opposite from the original figure because whatever part of the figure is closest to the line of reflection will also be closest in the reflected figure.
2.
How can you tell if a figure has been translated? It has been moved, but it is still oriented the same way.
3.
How can you tell if a figure has been rotated? It is oriented a different way since it has been turned around a point of rotation. Each coordinating point on the figure will be the same distance away from the point of rotation.
4.
When a figure is reflected, must the line of reflection be the x-axis or y-axis? No, it can be any line at all. It does not have to be an axis or even a horizontal or vertical line. It just has to be a straight line.
5.
When a figure is rotated, does it need to be rotated around the origin? No, it can be rotated around any point.
6.
In a translation, to what two parts of movement must you pay attention? There is movement both horizontally and vertically.
7.
Which transformation is easiest for you to identify? Why? Answers will vary. Translations are easiest for us to detect because the figure is oriented the same way and has just slid to a new location.
3
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Transformations Explore 2
6. Supervise y evalúe a los estudiantes mientras trabajan y hágale las siguientes preguntas guiadas: a. DOK-2 «¿Qué notaron acerca de las reflexiones?». Ambas reflexiones usaron el eje X como recta de reflexión. b. DOK-2 «¿Qué notaste acerca de las posiciones verticales y horizontales de los triángulos después de una traslación?». En este caso, tanto las posiciones verticales como las horizontales se movieron.
The Rhombus Transformation Exit Ticket Look at the rhombus on the coordinate plane below. Follow directions to change the position of the rhombus. Then circle what transformation occurred, and explain your reasoning. The new coordinates for the rhombus are as follows: (0, 2), (1, 0), (1, 4), and (2, 2).
c. DOK-2 «¿Qué notaste acerca del punto de rotación en este caso?». Era el origen. 7. Conceda a los estudiantes el tiempo suficiente para leer y seguir las instrucciones de cada tarjeta de «Transforma el triángulo» para responder a las preguntas de reflexión, y anotar todo su trabajo y sus respuestas en el «Diario del estudiante». 8. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. • Charla de matemáticasDOK-1 «¿Qué significan los términos posición, orientación y tamaño?». Posición significa en qué parte del plano cartesiano se encuentra la figura, por ejemplo, en qué cuadrante y cuáles son sus coordenadas.Orientación significa en qué dirección está orientada, por ejemplo, hacia dónde apuntan sus vértices. Tamaño significa cuán grande o pequeña es su área. • DOK-2 Cuando una figura experimenta una rotación, reflexión o traslación, «¿qué cambia potencialmente: posición, orientación o tamaño?». Cuando una figura sufre una rotación, la posición y la orientación cambian. Con la reflexión, cambian la posición y la orientación. Con la traslación, solo cambia la posición. • DOK-2 «¿Por qué crees que utilizar transformaciones de una figura ayudaría a hacer un cuadro más interesante para el espectador?». Cuando una figura se transforma mediante rotación, reflexión y transformación, permite variedad para el ojo del espectador. Hace más interesante su contemplación. • DOK-2 Cuando reflejas, rotas o trasladas los triángulos, «¿las medidas de los ángulos cambian o permanecen iguales?». Explica.La medida de los ángulos de los triángulos permanece igual para cada triángulo. Esto se debe a que se mueve el triángulo exacto a una nueva ubicación. Solo cambian la posición y la orientación del triángulo.
Transformation:
Rotation
Reflection
Translation
Explain. Answers will vary. It is a reflection because the rhombus is reflected across the vertical line x = −1. It is a translation because the rhombus is moved 4 spaces to the right.
1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Algunos estudiantes pueden tener dificultades con los reflejos a través de rectas de espejo que no son horizontales o verticales (por ejemplo, el reflejo del triángulo 1 en el triángulo 5). Para un problema aplicable, pregunte a los estudiantes: «Si esto fuera una reflexión, ¿dónde estaría la recta de espejo?». Si los estudiantes siguen con el intento de trazar una recta de espejo horizontal o vertical, muestre con el dedo la otra posibilidad y pídales que tracen la recta y reconsideren el problema. 2. Algunos estudiantes tendrán dificultades para visualizar la transformación. Permita a estos estudiantes que tracen el triángulo original en papel de calco o en una hoja de transparencias y que realicen las manipulaciones físicas que les ayuden a identificar la transformación.
9. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el boleto de salida para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de completar la esquema de anclaje como clase. Una vez realizado, pida a los estudiantes que completen individualmente su «Libreta interactiva».
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Transformations Part 2
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE
Rotations, Reflections, and Translations
La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias a continuación para conocer las formas de apoyar el desarrollo lingüístico del estudiante.
Jesse’s art class is learning how to create designs by making a shape and flipping it, turning it, and sliding it to different positions. The designs that Jesse and his classmates create will be used to make postcards. Determine the transformation that took place. Then, identify corresponding sides and angles.
Se proporcionará a los estudiantes apoyos previos a la lectura (organizadores gráficos, diagramas de formas y vocabulario previamente enseñado) para ayudarles en la comprensión lectora.
Circle the transformation that took place from figure ABCDEF to figure JKLMNO.
Translation
Reflection
Rotation
Principiante: Como apoyo previo a la lección, proporcione a los estudiantes una hoja resumen que incluya los términos, definiciones e imágenes de las palabras transformación, reflexión, traslación, y rotación. Haga que los estudiantes revisen la hoja y formulen preguntas antes de la lección.
JO Side AF corresponds to side _______. LM Side CD corresponds to side _______. M Angle D corresponds to angle ______. O Angle F corresponds to angle ______. parallel Side AF and DE are __________ lines. Is this true for their corresponding sides? Yes
1
Transformations Part 2
Circle the transformation that took place from figure QRST to figure WXYZ.
Translation
Reflection
Rotation
XY Side RS corresponds to side _______. YZ Side ST corresponds to side _______. W Angle Q corresponds to angle ______.
Intermedio: Como apoyo previo a la lección, proporcione a los estudiantes una hoja resumen que contenga las definiciones incompletas de las palabras transformación, reflexión, traslación, y rotación y un banco de palabras que incluya los términos y las palabras que faltan en la definición. La hoja también debe incluir las imágenes correspondientes a las definiciones. Pida a los estudiantes que trabajen con un compañero para utilizar las pistas del contexto y los conocimientos previos de la lección anterior para completar la hoja. Avanzado: Como apoyo previo a la lección, proporcione a los estudiantes una hoja resumen que contenga las definiciones incompletas de las palabras transformación, reflexión, traslación, y rotación y un banco de palabras que incluya los términos y las palabras que faltan en la definición. La hoja también debe incluir las imágenes correspondientes a las definiciones. Pida a los estudiantes que trabajen con un compañero para utilizar las pistas contextuales y los conocimientos previos de la lección anterior para completar la hoja.
Angle T corresponds to angle ______. Z
Circle the transformation that took place from figure CAT to figure DOG.
Translation
Reflection
Rotation
Side CA corresponds to side _______. DO Side AT corresponds to side _______. OG Angle T corresponds to angle ______. G Angle A corresponds to angle ______. O
2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 2) CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 3: DILATACIONES ESTÁNDAR(ES) • Comprender la congruencia y la similitud mediante el uso de modelos físicos, transparencias o software de geometría. Describir el efecto de dilataciones, traslaciones, rotaciones y reflexiones en figuras bidimensionales al usar coordenadas.
Estándares para la práctica matemática
Ideas fundamentales Geometría transformacional
MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución.
Conexiones de contenido CC4 Descubrir la forma y el espacio
Motores de investigación DI1 Dar sentido al mundo (comprender y explicar)
MP.3 Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros. MP.4 Representar con matemáticas. MP.5 Usar estratégicamente las herramientas apropiadas. MP.6 Prestar atención a la precisión.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes explorarán las transformaciones de dilataciones de figuras bidimensionales en planos cartesianos, al utilizar coordenadas para describir los cambios de tamaño.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de «Tarjetas de dilatación» (por grupo) • 1 boleto de salida (por estudiante) REUTILIZABLE
• 1 lápiz (por estudiante) • 1 bolsa resellable (por grupo) • 1 regla (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Planifique dividir la clase en grupos de 2 para completar la actividad. • Imprima el «Diario del estudiante» y el «Boleto de salida» para cada estudiante. • Imprima un juego de «Tarjetas de dilatación» para cada grupo. Recorte y coloque cada juego de tarjetas en una bolsa resellable. • Reúne suficientes reglas para que cada estudiante tenga una.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN CAMPAMENTO DE ARTISTAS: CLASE DE DIBUJO AL NATURAL
1. Lee la siguiente situación: A Missy y Fay les encantó su clase de pintura. Ahora se han apuntado a una clase de dibujo al natural. El maestro, el Sr. Salter, enseña a sus estudiantes cómo la creación de objetos de diferentes tamaños permite que los dibujos adquieran profundidad. Una figura más grande parece más cercana, mientras que una más pequeña parece más lejana. El Sr. Salter quiere empezar a abordar esta habilidad mediante el uso rectángulos. Tu trabajo hoy es ayudar a enseñar a Missy y Fay a dilatar rectángulos en sus dibujos. 2. Entrega un «Diario del estudiante» a cada uno y una bolsa con «Tarjetas de dilatación» a cada grupo.
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3
Transformations Explore 3
Transformations Explore 3
Help Missy and Fay dilate squares. The coordinates of the square RSTU are (–2, 2), (–2, –2), (2, 2), and (2, –2). Plot the points, and draw the rectangle.
Large or Small, Near or Far Help Missy and Fay dilate rectangles for their drawing assignment. Read and follow the instructions on the three Dilation Cards in order. Then, answer the questions.
Dilation drawings will vary, but one should be larger and one smaller than the original square. Both should be squares.
Enlarge RSTU to create R’S’T’U’. 1.
What was the scale factor of R’S’T’U’? Answers will vary. What were the coordinates of R’S’T’U’? Answers will vary.
1.
How did the scale factor affect rectangle A’B’C’D’? It is 3 times larger.
2.
What is the scale factor of rectangle A”B”C”D”?
3.
Are the three rectangles similar, congruent, both, or neither? Explain.
1 2
Use a reduction to dilate RSTU into R’’S’’T’’U’’. 2.
They are similar but not congruent. The angles have the same measures, and
What was the scale factor of your reduced square? Answers will vary. What were the coordinates? Answers will vary.
the corresponding side lengths have the same ratios.
2
1
Transformations Explore 3
Reflect 1.
What scale factors enlarge figures? A scale factor greater than one increases the size of a figure.
2.
What scale factors reduce the size of figures? A scale factor less than one reduces the size of a figure.
3.
Describe the process of a dilation. Look at the coordinates of the original figure. Find the scale factor. Multiply the coordinates for each vertex by the scale factor. Plot the new points. Connect the points to create a figure similar to the original.
4.
When dilating figures, which of the following attributes are affected: position, size, and/or orientation? Size is affected because the figure will become larger or smaller. Position is affected because the figure’s place on the coordinate plane is moved due to the size affecting where a figure’s vertices are.
5.
Why are congruent figures also similar figures, but similar figures are not necessarily congruent figures? Congruent figures are the same size and the same shape. Similar figures are the same shape, but they do not have to be the same size.
6.
When might dilating figures be necessary or helpful in real-world situations? Answers will vary. Architects might dilate figures to keep the same pattern in various features throughout a building.
3
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Transformations Explore 3
3. Explique a los estudiantes que trabajarán con sus compañeros para comprender cómo pueden transformarse las figuras mediante dilataciones. a.
Indique a los estudiantes que empiecen a coloquer las tarjetas de dilatación en orden y leer las instrucciones de la primera tarjeta.
b.
Pida a los estudiantes que construyan el rectángulo original en el plano cartesiano.
c.
Diga a los estudiantes que lean y sigan las instrucciones de las «Tarjetas de dilatación» 2 y 3 (en orden) para dilatar el rectángulo original de dos formas diferentes: haciéndolo más grande y haciéndolo más pequeño.
d.
Indique a los estudiantes que etiqueten cada rectángulo con el nombre apropiado.
e.
Informe a los estudiantes de que el centro está alrededor del origen en los tres rectángulos.
f.
A continuación, indique a los estudiantes que observen el segundo plano cartesiano en blanco y que representen gráficamente el cuadrado al utilizar las coordenadas dadas.
g.
Pida a los estudiantes que trabajen en grupos de 2 para realizar dos dilataciones: una para ampliar el cuadrado y otra para reducirlo.
h.
Después de cada dilatación, los estudiantes deben anotar el factor de escala y las coordenadas de la nueva figura.
i.
Cuando hayan terminado, comentarán sus observaciones sobre las dilataciones.
4. Si los estudiantes tienen dificultades para comprender las dilataciones, formule las siguientes preguntas orientadoras: a.
DOK-1 «¿Qué es una dilatación?». Un proceso que cambia el tamaño de una figura
b.
DOK-1 «¿Una dilatación hace una figura más pequeña o más grande?». Puede ser cualquiera de las dos cosas. Un factor de escala mayor que 1 da como resultado una figura más grande, mientras que un factor de escala menor que uno da como resultado una figura más pequeña.
c.
DOK-1 «¿Qué es un factor de escala?». Un factor de escala es la razón entre dos longitudes correspondientes de una figura. Indica si una figura, al ser dilatada, resultará en una figura mayor o menor.
d.
DOK-1 «¿Qué significa que el centro está alrededor del origen?». Significa que el origen es el punto de partida desde el cual se miden las distancias en una dilatación.
5. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-2 «¿El origen tiene que ser el centro de una dilatación?». No, el centro de una dilatación puede ser cualquier punto, pero a menudo se usa el origen. • DOK-2 «¿Cuál es la relación de un factor de escala con una dilatación?». Un factor de escala determina si una dilatación se hace más pequeña o más grande que la figura original y en cuánto. Si un factor de escala es mayor que 1, la figura se hace más grande. Si el factor de escala es menor que 1, la figura se hace más pequeña.
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Expand the Triangle Exit Ticket Look at the triangle. Dilate the triangle using a scale factor of 5. Then, fill in the table below with the coordinates.
Vertex and Coordinates from Original Figure
A (0, 2)
B (–2, –2)
C (2, –2)
Vertex and Coordinates from Dilated Figure
A’ (0, 10)
B’ (–10, –10)
C’ (10, –10) 1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
• DOK-1 «¿Afecta una dilatación a la orientación de una figura?». No, una dilatación solo afecta al tamaño de una figura, que también afecta a su posición, relacionada con las coordenadas de cada uno de sus vértices. No cambia la orientación de la figura. • DOK-2 «¿Cuál es la diferencia entre figuras semejantes y figuras congruentes? ¿A qué categoría pertenecen las figuras dilatadas?». Figuras semejantes significa que los ángulos correspondientes de las figuras tienen las mismas medidas mientras que la razon de las longitudes de sus lados correspondientes son iguales. Figuras congruentes significa que las figuras tienen el mismo tamaño y la misma forma. Los ángulos correspondientes tienen la misma medida y los lados correspondientes tienen la misma longitud. • DOK-2 Explique el proceso de dilatación de una figura con centro en el origen cuando se da el factor de escala. Observe la figura original y el factor de escala. Multiplique cada coordenada por el factor de escala, grafique los nuevos puntos y conecte los puntos mediante líneas rectas. 6. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen la Boleta de Salida para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Transformations Part 3
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
Dilations Mr. Sorrel is an art teacher at the local high school. Next week, he will be teaching his students how to enlarge and reduce objects to scale in a drawing. Cross out the diagram that does not represent triangle B as a dilation of triangle A.
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Luego, haga que los estudiantes completen individualmente su «Libreta interactiva».
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Algunos estudiantes pueden haber simplificado el significado de similitud a tener la misma forma y un tamaño diferente. Aunque esta comprensión no es falsa, es limitada. Para ayudar a los estudiantes a desarrollar un concepto más preciso de semejanza, descríbala en términos de una dilatación seguida de una transformación de congruencia (es decir, traslación, rotación, reflexión).
Explain your choice. In the first diagram, triangle B is not the same shape as triangle A. The triangles are not similar, so the diagram does not represent a dilation. In the second diagram, triangle B and triangle A have the same shape. Triangle B is larger that triangle A. The triangles are similar, so this diagram represents a dilation.
1
2. Algunos estudiantes pueden malinterpretar el concepto de factor de escala en el contexto de la dilatación, al interpretar el factor de escala como la distancia que se añade a la distancia original. Señale cómo los factores de escala que resultan en una reducción desafían su idea. Repase el concepto de factor de escala como razón y constante de proporcionalidad.
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE Transformations Part 3
Trapezoid ABCD was dilated to create trapezoid WXYZ.
Se proporcionará a los estudiantes apoyos previos a la lectura (organizadores gráficos, diagramas de formas y vocabulario preenseñado) para ayudarlos en la comprensión de la lectura.
Circle the word that describes this dilation. Reduction
Enlargement
Principiante: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que creen cuadrados de vocabulario para el término dilatación. Completa las siguientes secciones del cuadrado de vocabulario como clase: Definición, Ejemplo (problema matemático), No ejemplo, y haga que los estudiantes creen su propia imagen para el término.
What scale factor was used to dilate trapezoid ABCD? WX 6 units Image = = =2 Pre-image AB 3 units Scale factor = 2
Dilate figure JKLM by using a scale factor of
1 . 2
Intermedio: Como actividad previa a la clase, pida a los estudiantes que creen cuadrados de vocabulario para el término dilatación. Los cuadrados de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), No ejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes la definición y el ejemplo, pero anímelos a reescribir la definición con sus propias palabras.
Circle the word that describes this dilation. Reduction
Enlargement
What are the coordinates of the image? (–1, 4) J’ __________
(3, 4) K’ ___________
(1, 1) L’ __________
(–3, 1) M’ ___________
2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 3) CLAVE DE RESPUESTAS
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La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de Explorar. Consulte las estrategias a continuación para conocer las formas de apoyar el desarrollo del lenguaje del estudiante.
Avanzado: Como actividad previa a la lección, pida a los estudiantes que creen cuadrados de vocabulario para el término dilatación. Los cuadrados de vocabulario deben incluir las siguientes secciones: Definición, Ejemplo (problema matemático), No ejemplo e Imagen. Proporcione a los estudiantes la definición, pero anímelos a reescribirla con sus propias palabras.
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 4: TRANSFORMACIONES MÚLTIPLES ESTÁNDAR(ES) • Comprender la congruencia y la similitud mediante el uso modelos físicos, transparencias o software de geometría. Describir el efecto de dilataciones, traslaciones, rotaciones y reflexiones en figuras bidimensionales al usar coordenadas.
Ideas fundamentales Geometría transformacional
Estándares para la práctica matemática MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución.
Conexiones de contenido CC4 Descubrir la forma y el espacio
Motores de investigación DI1 Dar sentido al mundo (comprender y explicar) DI2 Predecir lo que podría ocurrir (predecir)
MP.3 Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros. MP.4 Modelar con matemáticas. MP.5 Usar estratégicamente las herramientas apropiadas. MP.6 Prestar atención a la precisión.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes explorarán las transformaciones que incluyen más de una transformación, como rotaciones, reflexiones, traslaciones y dilataciones, de figuras bidimensionales en planos de coordenadas. Los estudiantes serán capaces de hacer coincidir los ángulos y lados correspondientes después de las transformaciones y también serán capaces de identificar qué transformaciones han ocurrido.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de tarjetas de transformaciones múltiples (por grupo) • 1 boleto de salida (por estudiante) REUTILIZABLE
• 1 bolsa de plástico resellable (por grupo)
PREPARACIÓN
• Planee dividir la clase en grupos de 3 o 4 para completar la actividad. • Imprima un «Diario del estudiante» y un «Boleto de salida» para cada estudiante. • Imprima un juego de «Tarjetas de transformación múltiple» para cada grupo. Recorte y coloque cada juego de tarjetas en una bolsa resellable.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN CAMPAMENTO DE ARTISTAS: CLASE DE DIBUJO AVANZADO
1. Lee la siguiente situación: Missy y Fay eran las mejores alumnas en sus clases de pintura y dibujo al natural. Las han recomendado para una clase avanzada de dibujo. La maestroa, la Srta. Grey, enseña a sus estudiantes a utilizar múltiples técnicas para dar realismo a las obras de arte. La Srta. Grey espera que sus estudiantes utilicen las estrategias de rotación, reflexión, traslación y dilatación para aportar interés y realismo a los bocetos. Tu trabajo hoy es ayudar a enseñar a Missy y Fay cómo utilizar múltiples transformaciones con varias figuras en sus dibujos. 2. Entrega un «Diario del estudiante» a cada uno y una bolsa con tarjetas de transformaciones múltiples a cada grupo.
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4
Transformations Explore 4
Multiple Transformations Help Missy and Fay apply multiple transformations to their sketches. Draw a card. Read it aloud with your group. Determine the correct answer. Record the answers and your reasoning in the table below. Card
Answer
Reasoning
1
Side 2
The highlighted line in triangle ABC was on the bottom. When triangle ABC was reflected over the x-axis, the corresponding line became the top of triangle A’B’C’. Therefore, side 2 must be the same side as the highlighted side in triangle ABC.
2
a
We went through each answer choice and performed all of the transformations. Answer A mapped rectangle JKLM directly onto rectangle J’K’L’M’.
3
4
5
c
Transformations Explore 4
Card
Answer
Reasoning
6
c
Answer a is wrong because a dilation with a scale factor of 10 would not fit on the coordinate plane. Answer b doesn’t include a dilation. Answer c is correct because the scale factor is correct and it maps rhombus ABCD directly onto rhombus A’B’C’D’. Answer d forgets a translation down.
7
(–9, 3) (–6, 3) (–9, –4) (–6, –4)
We performed the transformations and discovered that the rectangle on the far left was rectangle B because the other rectangles either reflected across the wrong axis or forgot the translations. The coordinates for rectangle B are (–9, 3), (–6, 3), (–9, –4), and (–6, –4).
8
d
We performed the transformations for each answer choice. Answer a was correct because reflecting over the y-axis and translating down 6 units mapped arrow A onto arrow B. Answer b was correct because rotating arrow A 180° and translating up 6 units exactly mapped arrow A onto arrow B. Answer c was incorrect because the arrow was oriented the wrong way. So, the real correct answer was d, which says both A and B are correct.
9
1 2
Triangle B is smaller than triangle A, so the scale factor will be less than 1. The side lengths of triangle A are 6 for the vertical leg and 8 for the horizontal leg. The side lengths for triangle B are 3 for the vertical leg and 4 for the horizontal leg. We can check the ratios of the corresponding legs of the triangles, which are 6:3 and 8:4. Therefore, the scale factor is half.
10
Side 4
We performed the translations described in the situation. Side 4 is the only side orientated correctly after being rotated 270°. We double checked this by looking at the part of the trapezoid and the side with the shortest length was highlighted in trapezoid A and side 4 is also the side with the shortest length in trapezoid B.
When trapezoid QRST was reflected over the x-axis, the highlighted vertex flipped from top to bottom. Then, the trapezoid was translated 7 units to the left. This means that the coordinates of vertex Q’ are (–3, –10).
b
We performed the transformations in each answer. B is correct because triangle X’Y’Z’ is oriented correctly and is on the right coordinates.
d
Because triangle CDE was rotated 180°, every vertex is in an opposite position. Translations up and right did not change the orientation. The ordered pair (1, 4) is D’. 1
2
Transformations Explore 4
Reflect 1.
What were the hardest components to keep track of when following figures through a series of transformations? Why? Answers will vary. Rotations were the hardest to track because of how they changed the orientation of the figures and the sides and vertices. Reflections were the hardest to track because we had to keep track of which way figures were being reflected.
2.
Which were the easiest components to keep track of when following figures through a series of transformations? Why? Answers will vary. Translations were the easiest to track because they only went in four directions (up, down, left, or right) and never changed the orientation of a figure.
3.
How did you figure out the scale factor when other transformations were involved in a problem? The other transformations did not affect the dilation. We just looked at corresponding sides and found the ratios. That gave us the scale factor, no matter how the figures were moved or oriented.
4.
Did you need to perform the transformations in the order listed to find the correct location of where it was mapped? Yes, the transformations need to be performed in order.
5.
Why might a triangle or an arrow be easier to track than a square? A square is difficult to track regarding sides or vertices because they have equal sides and vertices. A triangle (unless equilateral) or an arrow has definite sides and vertices, making it easier to check.
6.
Is there more than one way to achieve mapping a figure from one location to another? Yes, a figure may be mapped to a new location using a combination of different transformations and there are many, many combinations that can have the same end location. 3
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Transformations Explore 4
3. Explique a los estudiantes que trabajarán en sus grupos para comprender cómo las figuras pueden sufrir transformaciones múltiples. a. Pida a los estudiantes que empiecen a mezclar las tarjetas de transformaciones múltiples y colocándolas en una pila. b. Pida a los estudiantes que, por turnos, saquen las tarjetas y las lean en voz alta.
A Series of Transformations Exit Ticket The graph shows triangle A before it went through a series of transformations. Triangle A was rotated 90° clockwise, reflected across the y-axis, and translated 2 units left and 7 units up. Draw triangle B. What are the coordinates of the 3 vertices on triangle B?
c. Después de leer cada tarjeta, los estudiantes deben trabajar juntos para resolver el problema y encontrar la respuesta correcta. Los estudiantes deben observar el plano cartesiano y las figuras de cada tarjeta, p[ara identificar las transformaciones que se han producido. d. A continuación, los estudiantes deben anotar la respuesta correcta de cada tarjeta en la tabla del Diario del estudiante, junto con el razonamiento de sus respuestas. e. Cuando los estudiantes hayan terminado, deben comentar sus observaciones sobre las transformaciones múltiples.
a. b. c. d.
(1, 1) (1, 4) (7, 4) (6, 0) (6, 6) (3, 6) (–6, 0) (–6, 6) (–3, 6) (0, –6) (6, –6) (6, 3)
4. Si los estudiantes tienen dificultades para comprender las transformaciones múltiples, formule las siguientes preguntas orientadoras:
1
a. DOK-1 «¿Cuáles son los diferentes tipos de transformaciones que has aprendido?». Rotaciones, reflexiones, traslaciones y dilataciones
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
b. DOK-1 «¿Influye el orden en que se realizan las transformaciones en el resultado de dónde se mapeará la figura?». Sí, el orden es importante. Las transformaciones deben realizarse en orden.
• DOK-2 «¿Cómo has calculado el factor de escala cuando en un problema intervenían otras transformaciones?». Las otras transformaciones no afectaron a la dilatación. Solo miramos los lados correspondientes y hallamos las proporciones. Eso nos dio el factor de escala, sin importar cómo se movieran u orientaran las figuras.
5. Dé a los grupos de estudiantes tiempo suficiente para leer y encontrar la solución a cada tarjeta de transformaciones múltiples y para anotar las respuestas y sus razonamientos en el Diario del estudiante. 6. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Cuáles fueron los componentes más difíciles de seguir al seguir figuras a través de una serie de transformaciones? ¿Por qué?». Las respuestas pueden variar. Las rotaciones fueron las más difíciles de seguir debido a cómo cambiaban la orientación de las figuras y los lados y vértices. Las reflexiones fueron las más difíciles de seguir porque tuvimos que estar pendientes de en qué dirección se reflejaban las figuras. • DOK-2 «¿Cuáles fueron los componentes más fáciles de seguir cuando seguimos figuras a través de una serie de transformaciones? ¿Por qué?». Las respuestas pueden variar. Las traslaciones eran las más fáciles de seguir porque solo iban en cuatro direcciones (arriba, abajo, izquierda o derecha) y nunca cambiaban la orientación de una figura.
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• DOK-2 «¿Tuviste que realizar las transformaciones en el orden indicado para encontrar la ubicación correcta de donde estaba mapeado?». Sí, es necesario realizar las transformaciones en orden. • DOK-2 «¿Hay más de una manera de lograr mapear una figura de un lugar a otro?». Sí, una figura puede ser mapeada a una nueva ubicación al usar una combinación de diferentes transformaciones y hay muchas, muchas combinaciones que pueden tener la misma ubicación final. • DOK-2 «¿Cambian las medidas de los ángulos en alguna de las transformaciones que realizaste?». No, ninguna de las medidas de los ángulos cambió al realizar la transformación. • DOK-2 Observa las rectas paralelas de la ficha 10. «¿Las rectas que forman las paralelas forman paralelas después de transformar el trapecio?». Explica. Sí, las rectas son paralelas. Esto se debe a que la orientación cambió y la posición cambió, pero la figura no cambió. 7. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 8. Vuelva al Captar interés e indique a los estudiantes que utilicen sus habilidades recién adquiridas para completar con éxito la actividad.
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Transformations Part 4
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
Multiple Transformations
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Luego, haga que los estudiantes completen individualmente su «Libreta interactiva».
Davina is an artist who is working with other artists in her neighborhood on a community beautification project. She makes clay sculptures by creating a figure out of clay. She duplicates the clay figure several times and rotates it, reflects it, translates it, and dilates it until she has created a work of art.
APOYOS PEDAGÓGICOS
Determine how the figure was transformed to create its images.
1. Algunos estudiantes pueden tener dificultades para visualizar una secuencia de transformaciones cuando se invierte la orientación. Muestre a los estudiantes un ejemplo en el que este sea el caso. Comenten cómo identificar qué transformación paso a paso se ha realizado. 2. Algunos estudiantes pueden multiplicar por factores de escala fraccionaria incorrectamente. Aunque se les hayan enseñado operaciones de procedimiento con fracciones, pueden tener dificultades para aplicar estos procedimientos con precisión, especialmente en un contexto nuevo. Guíe su proceso de razonamiento haciéndoles considerar primero si la dilatación daría lugar a una ampliación o a una reducción y, a continuación, pídales que evalúen la razonabilidad de sus cálculos.
Circle the transformation that took place from figure A to figure B. Translation
Reflection
Rotation
Dilation
Circle the transformation that took place from figure B to figure C. Translation
Reflection
Rotation
Dilation
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE
Describe the movement of figure A to figure C. Figure A was rotated 90° clockwise and then reflected across the x-axis. Look at the sets of parallel lines in Figure A. Are these sets of parallel lines the same sets in Figure B and C? Yes. 1
Transformations Part 4
Reflection What transformation created figure 3 from figure 2? Translation Describe the movement of figure 1 to figure 3. Figure 1 was reflected across the x-axis and translated 11 units to the right and 3 units down.
Intermedio: Como actividad previa a la clase, repase el vocabulario clave de este alcance y proporcione a los estudiantes definiciones incompletas y un banco de palabras correspondiente. Una vez que relacionen la palabra con la definición, pueden buscar la palabra en una sopa de letras adjunta. El vocabulario clave incluye las palabras transformación, traslación, rotación, reflexión, dilatación, factor de escala, similar, congruente, posición, orientación, tamaño, etc.
Are the parallel lines in Figure 1 the same as in Figure 2 and Figure 3. Yes, these are the same parallel lines. The orientation changed, but they are still parallel. What transformations created figure B from figure A? A reflection, a dilation, and a translation Describe how figure A was transformed to create figure B. Figure A was reflected across the y-axis, then dilated by using a 1 scale factor of , and finally 2 translated 3 units to the left.
2
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Los estudiantes utilizarán técnicas de aprendizaje como mapas conceptuales, dibujos, comparaciones, contrastes, memorización y repasos para adquirir vocabulario básico y de nivel de grado. Principiante: Como actividad previa a la clase, repase el vocabulario clave de este alcance y proporcione a los estudiantes definiciones incompletas y un banco de palabras correspondiente. Una vez que relacionen la palabra con la definición, pueden buscar la palabra en la sopa de letras adjunta. El vocabulario clave incluye las palabras transformación, traslación, rotación, reflexión, dilatación, factor de escala, similar, congruente, posición, orientación, tamaño, etc.
What transformation created figure 2 from figure 1?
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 4) CLAVE DE RESPUESTAS
La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias a continuación para conocer las formas de apoyar el desarrollo del lenguaje del estudiante.
Avanzado: Como actividad previa a la clase, repase el vocabulario clave de este alcance y proporcione un crucigrama. Los términos y frases para el crucigrama se determinarán a partir de las definiciones incompletas proporcionadas. Anime a trabajar en grupos de 2 y a utilizar sus notas si tienen dificultades para determinar la palabra del vocabulario. El vocabulario clave incluye las palabras transformación, traslación, rotación, reflexión, dilatación, factor de escala, similar, congruente, posición, orientación, tamaño, etc.
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE
ANCLAR EL APRENDIZAJE DE LOS ESTUDIANTES
Transformations
ESQUEMA DE ANCLAJE DESCRIPCIÓN Un esquema de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Se trata de una herramienta para apoyar la instrucción y anclar el aprendizaje de los estudiantes a lo largo del alcance.
D I L A T I O N S
A(−4, 4)
C(−4, 1)
B(−1, 1)
MATERIALES
• 1 hoja de papel cuadriculado • 1 juego de marcadores multicolores
A’(−8, 8)
C’(−8, 2)
B’(−2, 2)
Scale Factor of 2
PREPARACIÓN
B
A
• Imprima una copia del ejemplo de «Esquema de anclaje», si lo desea.
E
C E’
D
D’
A(−6, 7) B(−2, 7) C(−2, 3) D(−4, 2) E(−6, 3)
C’
A
1. El ejemplo de esquema de anclaje puede utilizarse como referencia antes de crear el de la clase. Esta actividad debe ser dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje.
Translation 6 right (All points must move the same distance and direction.)
B’
A’(0, 7) B’ (4, 7) C’ (4, 3) D’(2, 2) E’(0, 3)
A
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
A’
Rotation 90° clockwise
2. A medida que los estudiantes trabajen en el alcance, colaboren para añadir piezas al «Esquema de anclaje». Formule las siguientes preguntas orientadoras:
Transformations
a. «¿Qué estrategia utilizamos para resolver este problema?».
3. Continúe añadiendo habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada «Exploración» para resaltar el contenido importante. 4. Explique que pueden utilizar este gráfico como herramienta de apoyo para su aprendizaje. Los estudiantes también pueden pegar una copia del ejemplo del esquema en sus cuadernos para utilizarla como referencia a lo largo del año.
A’
A
b. «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?». C
B
B’
C’
A
C
B B’
C’
A’
A reflection flipped over a line of symmetry, the y-axis Rule: (x, y) (−x, y)
A reflection flipped over a line of symmetry, the x-axis Rule: (x, y) (x, −y)
5. Algunos esquemas de anclaje sólo se mostrarán durante un alcance o grupo de alcances concretos, mientras que otras permanecerán expuestas durante todo el curso escolar.
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DE LOS ESTUDIANTES
LIBRETA INTERACTIVA DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase al usar la actividad y la libreta.
1. Prepare una «Libreta interactiva» al usar un cuaderno de espiral o de composición para cada uno. Los estudiantes pueden utilizar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
2. Las instrucciones para cada actividad se proporcionan en el «Folleto del estudiante».
PREPARACIÓN
3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos.
• Imprima una copia del «Folleto del estudiante» para cada uno.
4. Las libretas interactivas pueden utilizarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
Transformations
Instructions ● Cut out all pages of the flipbook. ● Cut the flaps on the top page and fold back on solid lines. ● Glue or tape the bottom page into your notebook first. ● Place glue where it says “Place glue here.” Add the pages one on top of another, starting with the bottom page, to form the flipbook. ● Lift up the flaps, write the new coordinates, and draw the transformation on the coordinate plane.
Transformations
Transformations
Page 3: Cut border only.
Page 2: Cut border only.
B
Place glue here. Rotation
Top: Cut border and flaps.
Transformations
Place glue here.
(Original coordinates shown)
Reflection
Rotate around the origin 90° clockwise.
Changing a shape through movement on the coordinate plane The process of turning a figure around a fixed point
New Coordinates: Aʹ = Bʹ = Cʹ =
Type and Definition
Transformation
A
(Original coordinates shown)
The process of flipping a figure or creating a mirror image over an axis
Reflection over the x-axis.
The distance from each point to the axis is the same from the original figure as it is from the reflected figure.
Aʹ =
C
New Coordinates:
Bʹ = Cʹ =
Example
Transformations
Page 4: Cut border only.
Transformations
Bottom: Cut border only. A
Translation
A
A
Place glue here. (Original coordinates shown)
C
Place glue here. Dilation B
(Original coordinates shown)
C
B
The center is the origin.
The process of sliding or moving each point a specific distance in a given direction
Translate 5 units right and 2 units down.
New Coordinates: Aʹ = Bʹ = Cʹ =
A scale factor is used to enlarge or reduce the figure. Each point moves along a line and changes its distance from a fixed point (center). All original distances are multiplied by the same scale factor.
Scale Factor =
1 2
New Coordinates:
A’ = B’ = C’ =
FOLLETO DEL ESTUDIANTE
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1/9/26 2:00 PM
B
GRADO 8: TRANSFORMACIONES
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS APOYO A LOS ESTUDIANTES MULTILINGÜES
CONEXIONES LINGÜÍSTICAS DESCRIPCIÓN
• Permita que los estudiantes tengan acceso al vocabulario de imágenes para este alcance .
Los estudiantes tienen la oportunidad de utilizar sus conocimientos lingüísticos y culturales previos para apoyar las conexiones con nuevas destrezas, vocabulario y conceptos en sus niveles de competencia.
• Permita que los estudiantes tengan acceso a diversas herramientas matemáticas, como calculadoras y herramientas gráficas digitales o de papel.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
MATERIALES
1 Distribuya un «Folleto del estudiante» en el nivel de competencia adecuado a cada estudiante.
IMPRESO
• 1 folleto del estudiante según su nivel de competencia (por alumno) • 1 calculadora (por estudiante)
2 Utilice las instrucciones para las partes de escuchar, hablar, leer y escribir. Utilice gestos, señale objetos y elementos visuales según proceda. Consulte las sugerencias en las instrucciones.
• 1 juego de cuadrículas de coordenadas o herramientas gráficas digitales (por estudiante)
3 Deje tiempo a los estudiantes para que piensen con sus vecinos antes de responder.
REUTILIZABLE
4 Anime a los estudiantes a perseverar en su pensamiento y a utilizar herramientas y modelos matemáticos.
PREPARACIÓN
• Prepárese para que los estudiantes trabajen con compañeros cuando sea necesario.
5 Invite a los estudiantes a responder adecuadamente a cada dominio lingüístico.
• Determine el nivel de inglés de cada estudiante.
6 Pida a los estudiantes que utilicen la página final del «Folleto del estudiante» para establecer conexiones entre los conceptos matemáticos y el mundo real.
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada estudiante según su nivel de inglés.
Transformations B
Transformations I
Transformations B
Manuel and David are playing a strategy board game Determine which transformation occurred for each figure on the following coordinate planes. Then circle the transformations where congruence was preserved.
of translations first quadrant
or reflections
that allows pieces to be moved in a series
. David and Manuel already played a piece in the
and are not allowed to play in that quadrant
from an incorrect move to the first quadrant
Write which transformation occurred for each figure on the following coordinate planes, and describe the transformation. Then circle the transformations where congruence was preserved.
next. David loses his turn
and steps away while Manuel completes his second Manuel and David are playing video games. True / False
move. Did Manuel make correct moves, or does Manuel lose his turn? Manuel and David are playing a ____________________. board game / video games
David and Manuel already played a piece in the first quadrant. True / False
David and Manuel already played a piece in the _______ quadrant. first / second
The game allows pieces to be moved in a series of rotations or dilations. True / False
The game allows pieces to be moved in a series of _____________ or reflections. translations / dilations
Manuel’s first move would have been to J’(8, 4), K’(2, 4), L’(8, 2), M’(2, 2). True / False
Manuel’s first move was a _____________. dilation / reflection
Reflection Across the y-axis
Manuel’s first move would have been to __________________________________________. J’(8, 4), K’(2, 4), L’(8, 2), M’(2, 2) / J’(8, −4), K’(2, −4), L’(8, −2), M’(2, −2) Translation
Reflection
Rotation
Dilation 1 Dilation factor of
Translation Left 2, down 3
2
Rotation 180° rotation
Manuel’s second move to the final spot was a ____________.
Dilation
Transformations I
Manuel and David are playing a strategy board game that allows pieces to be moved in a series of translations or reflections. David and Manuel already played a piece in the first quadrant and are not allowed to play in that quadrant next. David loses his turn from an incorrect move to the first quadrant and steps away while Manuel completes his second move. Did Manuel make correct moves, or does Manuel lose his turn?
Manuel’s first move was a reflection. True / False Manuel’s second move to the final spot was a translation.
True / False
Manuel’s moves were incorrect. True / False
translation / reflection Manuel’s moves were ____________. correct / incorrect.
Transformations B
NEW Word Bank Enlarges
Slides
Up
(1, 2)
(2, −1)
(−2, 3)
2x
x−3
−x + 3
2y − 3
y
y+2
Transformations B
Transformations I
NEW Word Bank
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use transformations at home with your family or friends. Answers will vary.
Translate triangle BFH using the transformations described. The triangle BFH has the coordinates B(1, 5), F(1, 1), and H(4, 1). Then explain the rule and the effect each transformation will have on the coordinates of the triangle.
Enlarges
Slides
Up
(1, 2)
(2, −1)
(−2, 3)
2x
x−3
−x + 3
2y − 3
y
y+2
Transformations I
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use transformations at home with your family or friends. Answers will vary.
Translate triangle BFH using the transformations described. The triangle BFH has the coordinates B(1, 5), F(1, 1), and H(4, 1). Then explain the rule and the effect each transformation will have on the coordinates of the triangle.
A shift 3 units left and 2 units up can be represented by the rule
A shift 3 units left and 2 units up can be represented by the rule
x−3 y+2 (x, y) → (________, ________). The translated triangle has the
x−3 y+2 (x, y) → (________, ________). The translated triangle has the
(−2, 3) coordinates B’(−2, 7), F’__________ , and H’(1, 3). This
(−2, 3) coordinates B’(−2, 7), F’__________ , and H’(1, 3). This
slides transformation _________ each point 2 units up and 3 units left.
slides transformation _________ each point 2 units up and 3 units left.
A 90° clockwise rotation and a shift 3 units up can be represented
A 90° rotation and a shift 3 units up can be represented by the
y −x + 3 by the rule (x, y) → (_______, _________). The transformed (1, 2) triangle has the coordinates B’(5, 2), F’________, and H’(1, −1).
y −x + 3 rule (x, y) → (_______, _________). The transformed triangle (1, 2) has the coordinates B’(5, 2), F’________, and H’(1, −1). This
This transformation rotates each point 90° clockwise and then up slides it _______ 3 units.
up transformation rotates each point 90° and then slides it _______ 3 units.
A dilation by a scale factor of 2 and a translated 3 units down can
A dilation by a scale factor of 2 and a translated 3 units down can
2x 2y − 3 be represented by the rule (x, y) → (_______, ________). The
be represented by the rule (x, y) → (2x, 2y − 3). The transformed
(2, −1) , transformed triangle has the coordinates B’(2, 7), F’_________
triangle has the coordinates B’(2, 7), F’(2, −1), and H’(8, −1).
enlarges and H’(8, −1). This transformation ___________ the triangle so it
This transformation enlarges the triangle so it is 3 times larger and
is 3 times larger and slides it down 2 units.
slides it down 2 units.
PRINCIPIANTE FOLLETO DEL ESTUDIANTE
INTERMEDIO FOLLETO DEL ESTUDIANTE Transformations A
Write which transformation occurred for each figure on the following coordinate planes, and describe the transformation. Then write a rule for each transformation. Finally, circle the transformations where congruence was preserved.
Transformations A
Manuel and David are playing a strategy board game that allows pieces to be moved in a series of translations or reflections. David and Manuel already played a piece in the first quadrant and are not allowed to play in that quadrant next. David loses his turn from an incorrect move to the first quadrant and steps away while Manuel completes his second move. Did Manuel make correct moves, or does Manuel lose his turn? board game Manuel and David are playing a ___________. first David and Manuel already played a piece in the _________ quadrant. The game allows pieces to be moved in a series of ___________ translations or reflections. (8, 2) (8, 4) (2, 4) L’ ________, Manuel’s first move would have been to J’ _______, K’_______, (2, 2) M’________. Manuel’s first move was a _____________. reflection
Reflection Across the y-axis (x, y) → (−x, y)
Dilation 1 Dilation factor of 2 (x, y) → ( 1 x, 1 y) 2
2
Translation Left 2, down 3 (x, y) →(x – 2, y – 3)
Rotation 180° rotation (x, y) → (−x, −y)
reflection Manuel’s second move to the final spot was a___________. Manuel’s moves were ________. correct
Transformations A
NEW Word Bank Enlarges
Slides
Up
2x
x−3
−x + 3
(1, 2)
(2, −1)
(−2, 3)
2y − 3
y
y+2
Transformations A
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use transformations at home with your family or friends. Answers will vary.
Translate triangle BFH using the transformations described. The triangle BFH has the coordinates B(1, 5), F(1, 1), and H(4, 1). Then explain the rule and the effect each transformation will have on the coordinates of the triangle. A shift 3 units left and 2 units up can be represented by the rule (x, y) → (x − 3, y + 2). The translated triangle has the coordinates B’(−2, 7), F’(−2, 3), and H’(1, 3). This transformation slides each point 2 units up and 3 units left. A 90° rotation and a shift 3 units up can be represented by the rule (x, y) → (y, −x + 3). The transformed triangle has the coordinates B’(5, 2), F’(1, 2), and H’(1, −1). This transformation rotates each point 90° and then slides it up 3 units. A dilation by a scale factor of 2 and a translated 3 units down can be represented by the rule (x, y) → (2x, 2y − 3). The transformed triangle has the coordinates B’(2, 7), F’(2, −1), and H’(8, −1). This transformation enlarges the triangle so it is 3 times larger and slides it down 2 units.
AVANZADO FOLLETO DEL ESTUDIANTE 152
SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 152
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1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: TRANSFORMACIONES
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCUCHAR Y HABLAR PRINCIPIANTE Tenga calculadoras y herramientas gráficas digitales o físicas a disposición de los estudiantes. Lea las siguientes instrucciones de una en una: •
«Lee las instrucciones y comenta las cuatro transformaciones».
•
«Describe qué es una traslación». ◦
«Señala la figura que muestra una traslación».
•
«Con el uso de tus lápices, traza el camino para la coordenada C desde la imagen preliminar hasta la imagen».
•
«¿Cuál es el movimiento de la coordenada C que demuestra que encontró la traslación?».
«Traza una recta desde el gráfico hasta la palabra traslación».
•
«Describe qué es una reflexión».
«Señala la figura que muestra una reflexión».
•
«Escriba las coordenadas para el punto T en la imagen y la imagen preliminar».
•
«¿Cuál es el movimiento del punto T que demuestra que encontró la reflexión?». Haga que los estudiantes usen el siguiente fragmento de oración: La coordenada ____ se mueve ____.
•
«Dibuja una recta desde el gráfico hasta la palabra reflexión».
•
«Describe qué es una rotación». ◦
Tenga calculadoras y herramientas gráficas digitales o físicas a disposición de los estudiantes. Lea las siguientes indicaciones de uno en uno:
Haga que los estudiantes utilicen el siguiente fragmento de oración: Una reflexión es _______.
•
◦
Tenga calculadoras y herramientas gráficas digitales o físicas a disposición de los estudiantes para su uso. Lea las siguientes indicaciones de uno en uno:
Haga que los estudiantes usen el siguiente fragmento de oración: La coordenada ___ se mueve ____.
•
◦
AVANZADO
•
Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente fragmento de oración: Una traslación es _______.
•
◦
INTERMEDIO
Haga que los estudiantes usen el siguiente fragmento de oración: Una rotación es _______.
«Túrnate con tus compañeros para nombrar y escribir una de las transformaciones de cada gráfica». ◦
Haga que los estudiantes utilicen el siguiente fragmento de oración: Esta gráfica muestra una transformación ______.
•
Dé tiempo a los estudiantes para asignar a cada gráfica una transformación. Compruebe la comprensión a medida que trabajan con los cuatro gráficos.
•
Describa lo que es una traslación. ◦
Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente fragmento de oración: Una traslación es _______.
•
«Señala la figura que muestra una traslación.
•
«Con el uso de tus lápices, traza el camino para la coordenada C desde la imagen preliminar hasta la imagen».
•
«¿Cuál es el movimiento de la coordenada C que demuestra que encontró la traslación?». ◦
Haga que los estudiantes utilicen el siguiente fragmento de oración: La coordenada ___ se mueve ____.
•
«Escribe la descripción "izquierda 2, abajo 3" debajo de la traslación».
•
«Describe qué es un reflejo». ◦
Haga que los estudiantes utilicen el siguiente fragmento de oración: Una reflexión es _______.
•
«Túrnate con sus compañeros para nombrar y escribir una de las transformaciones para cada gráfica».
•
Dé tiempo a los estudiantes para asignar a cada gráfico una transformación. Comprueba la comprensión a medida que trabajan con las cuatro gráficas.
•
«Describe qué es una traslación».
•
«Con los lápices, traza el camino de la coordenada C desde la imagen preliminar hasta la imagen».
•
«¿Cuál es el movimiento de la coordenada C que demuestra que has encontrado la traslación?».
•
«Escribe la descripción "izquierda 2, abajo 3" debajo de la traslación».
•
«Convierte la descripción en una regla y escríbela».
•
«Describe qué es una reflexión».
•
«Señala la figura que es una reflexión».
•
«Escribe las coordenadas del punto T en la imagen y en la imagen preliminar».
•
«¿Cuál es el movimiento del punto T que demuestra que has encontrado la reflexión?».
•
«¿A través de qué eje se reflejó la figura que causó que el punto T cambiara como lo hizo?».
•
«Escribe "a través del eje Y" debajo de la reflexión».
•
«Usa el movimiento de T que anotaste, y que se refleja a través del eje Y, para escribir una regla para la reflexión».
•
«Describe lo que es una rotación».
•
«Señala la figura que muestra una rotación».
•
«Señala la figura que muestra una reflexión».
•
«Escribe las coordenadas para el punto W en la imagen y en la imagen preliminar».
•
«Señale la figura que muestra una rotación».
•
«Escriba las coordenadas para el punto W en la imagen y la imagen preliminar».
«Escribe las coordenadas del punto T en la imagen y en la imagen preliminar».
•
•
«¿Cuál es el movimiento del punto W que demuestra que encontraste la rotación?».
•
«¿Cuál es el movimiento del punto W que demuestra que encontró la rotación?».
«¿Cuál es el movimiento del punto T que demuestra que ha encontrado la reflexión?».
•
•
«¿Qué grado de rotación causó que el punto W cambiara como lo hizo?».
•
«Escribe "rotación de 180°" debajo de la rotación».
◦
•
«Trace una recta desde el gráfico hasta la palabra rotación».
•
«Describa qué es una dilatación». ◦
•
«Señala la figura que muestra una dilatación».
•
«Escribe las coordenadas del punto O en la imagen y en la imagen preliminar».
•
«¿Cuál es el movimiento del punto O que demuestra que ha encontrado la dilatación?».
•
Haga que los estudiantes utilicen el siguiente fragmento de oración: La coordenada ____ se mueve ____.
«¿A través de qué eje se reflejó la figura que causó que el punto T cambiara como lo hizo?». ◦
Haga que los estudiantes usen el siguiente fragmento de oración: Una dilatación es _______.
•
◦
◦
Haga que los estudiantes usen el siguiente fragmento de oración: La coordenada ____ mueve ____.
Haga que los estudiantes utilicen el siguiente fragmento de oración: La figura se reflejó a través del eje _____ porque ____.
«Escribe "a través del eje Y" debajo de la reflexión».
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de frase: La coordenada ____ se mueve ____.
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCUCHAR Y HABLAR (CONTINUACIÓN) PRINCIPIANTE • •
Traza una recta desde el gráfico hasta la palabra dilatación.
•
•
Haga que los estudiantes utilicen el siguiente fragmento de oración: Cuando las figuras son congruentes, significa _____.
Subraye los tipos de transformaciones en la parte inferior de la página donde se preservó la congruencia.
Haga que los estudiantes usen el siguiente fragmento de oración: La reflexión preserva la congruencia porque _____.
•
Encierre con un círculo el gráfico de reflexión.
•
«¿Cómo preserva la congruencia la traslación?». ◦
Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente fragmento de oración: La traslación preserva la congruencia porque _____.
•
Encierre con un círculo el gráfico de la traslación.
•
«¿Cómo preserva la congruencia la rotación?». ◦
Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente fragmento de oración: La rotación preserva la congruencia porque _____.
•
Encierre con un círculo el gráfico de rotación.
•
«¿Por qué no podemos rodear la dilatación como preservadora de la congruencia?». ◦
Pida a los estudiantes que usen el siguiente fragmento de oración: Las dilataciones no preservan la congruencia porque _____.
Escriba la regla para una rotación de 180° bajo la rotación.
•
Describa qué es una dilatación.
•
Señale la figura que muestra una dilatación.
•
Escriba las coordenadas para el punto W en la imagen y la imagen preliminar.
•
Escriba las coordenadas para el punto O en la imagen y la imagen preliminar.
•
«¿Cuál es el movimiento del punto W que demuestra que encontró la rotación?».
•
«¿Cuál es el movimiento del punto O que demuestra que has encontrado la dilatación?».
•
«¿Cuál es el factor de escala de la dilatación?».
•
" Escribe "factor de dilatación de ___ 2 debajo de la dilatación.
•
Escribe la regla para un factor de
◦ •
Haga que los estudiantes usen el siguiente fragmento de oración: La coordenada ____ se mueve ____.
«¿Qué grado de rotación causó que el punto W cambiara como lo hizo?». ◦
Haga que los estudiantes usen el siguiente fragmento de oración: Cuando una figura gira _____, las coordenadas cambiarán de _____ a ____.
1
1
dilatación de ___ bajo la dilatación. 2
•
Escriba "rotación de 180°" debajo de la rotación.
•
«¿Qué es la congruencia?».
•
Describa qué es una dilatación.
•
Encierra con un círculo los tipos de transformaciones en las que se ha preservado la congruencia.
•
«¿Cómo preserva la reflexión la congruencia?».
•
«¿Cómo preserva la traslación la congruencia?».
•
«¿Cómo preserva la rotación la congruencia?».
•
«¿Por qué no podemos encerrar con círculo que la dilatación preserva la congruencia?».
◦
Haga que los estudiantes utilicen el siguiente fragmento de oración: Una dilatación es _______.
•
Señale la figura que muestra una dilatación.
•
Escriba las coordenadas para el punto O en la imagen y la imagen preliminar.
•
«¿Cuál es el movimiento del punto O que demuestra que encontró la dilatación?». ◦
•
Haga que los estudiantes usen el siguiente fragmento de oración: La coordenada ____ se mueve ____.
«¿Cuál es el factor de escala para la dilatación?». ◦
Haga que los estudiantes usen el siguiente fragmento de oración: El factor de escala es _____. 1
•
Escriba "factor de dilatación de ___ " debajo de la dilatación. 2
•
«¿Qué es la congruencia?». ◦
Haga que los estudiantes usen el siguiente fragmento de oración: La congruencia es _____.
•
Subraye los tipos de transformaciones en la parte inferior de la página donde se preservó la congruencia.
•
«¿Cómo preserva la reflexión la congruencia?». ◦
Haga que los estudiantes usen el siguiente fragmento de oración: La reflexión preserva la congruencia porque _____.
•
Encierre en un círculo el gráfico de reflexión.
•
«¿Cómo preserva la congruencia la traslación?». Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente fragmento de oración: La traslación preserva la congruencia porque _____.
•
Encierre con un círculo el gráfico de traslación.
•
«¿Cómo preserva la congruencia la rotación?». ◦
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente secuencia de oraciones: La rotación preserva la congruencia porque _____.
•
Encierre con un círculo el gráfico de rotación.
•
«¿Por qué no podemos rodear la dilatación como preservadora de la congruencia?». ◦
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•
Señale la figura que muestra una rotación.
◦
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Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente fragmento de oración: Una rotación es _______.
•
«¿Cómo preserva la reflexión la congruencia?». ◦
AVANZADO
Describa qué es una rotación. ◦
«¿Qué significa que las figuras tengan congruencia?». ◦
•
INTERMEDIO
Pida a los estudiantes que usen el siguiente fragmento de oración: Las dilataciones no preservan la congruencia porque _____.
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
LEER Y HABLAR PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Lea la historia en grupo. Divida la historia en frases. Pida a los estudiantes que señalen cada palabra mientras leen. Pídales que encierren con un círculo las palabras que no conozcan y comente las palabras con todo el grupo.
Lea en coro la historia en grupo. Pida a los estudiantes que señalen cada palabra mientras leen. Invite a los estudiantes a encerrar con un círculo las palabras que no conozcan y a comentar las palabras con sus compañeros.
Pida a los estudiantes que lean la historia con sus parejas y que señalen cada palabra a medida que leen. Invite a los estudiantes a encerrear con un círculo las palabras que no conozcan y a comentarlas con sus compañeros.
•
Converse sobre el gráfico con los estudiantes.
•
«Comparte con tus compañeros de qué trataba la historia». «Comparte con tus compañeros una cosa sobre las reglas del juego».
◦
«¿Has jugado alguna vez a un juego de mesa?».
•
◦
«¿Qué notas sobre las reglas de este juego?».
•
«Describe el gráfico a tus compañeros».
◦
«¿Cómo prefieres determinar una transformación?».
•
«Explica a tus compañeros cómo determinar una traslación, una reflexión o una rotación».
•
«Lee en coro el primer enunciado. Señala la respuesta en la historia antes de marcar la afirmación como verdadera o falsa».
•
«Lee en coro la segunda afirmación. Señala la respuesta en la historia antes de marcar la afirmación como verdadera o falsa».
•
«Lee con un compañero la tercera afirmación. Conversa con tus compañeros para decidir si es verdadera o falsa».
•
«Lee en coro la cuarta afirmación. Conversa con tus compañeros para decidir si es verdadera o falsa».
•
«Lee en pareja las afirmaciones restantes antes de que los estudiantes respondan».
•
«Lea en coro el primer enunciado. Señale la respuesta en la historia antes de marcar su respuesta».
•
«Lea en coro el segundo enunciado». Recuerde a los estudiantes la conversación y las respuestas anteriores según sea necesario. «Señale la respuesta en la historia antes de marcar su respuesta».
•
«Lea en coro la tercera afirmación. Señale la respuesta en la historia antes de marcar su respuesta».
•
«Lea en coro la cuarta afirmación». Recuerde a los estudiantes la conversación y las respuestas anteriores según sea necesario. «Señale la respuesta antes de responder».
•
«Lea en coro la quinta afirmación. Señale las respuestas antes de contestar».
•
«Lea en coro la sexta afirmación. Señale las respuestas antes de responder».
•
«Lea en coro la última afirmación. Señale las respuestas antes de contestar»
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•
«Explica a tus compañeros de qué trataba el pasaje».
•
«Vuelve a contar las reglas del juego a tus compañeros».
•
«Conversa con tus compañeros lo que notas sobre el gráfico y las reglas».
•
«Lee cada enunciado y coment tus respuestas con tus compañeros».
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCRIBIR PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Disponga de calculadoras, herramientas gráficas digitales o físicas y tarjetas de vocabulario con imágenes para que los estudiantes las utilicen. Lea y comente las palabras del banco de palabras. Defina y proporcione ejemplos según las necesidades de los estudiantes. Mientras lee, use las siguientes pistas:
Ponga a disposición de los estudiantes calculadoras, herramientas gráficas digitales o físicas y tarjetas de vocabulario con imágenes. Lea en coro y conversen sobre las palabras del banco de palabras. Defina y proporcione ejemplos según las necesidades de los estudiantes.
Ponga a disposición de los estudiantes calculadoras, herramientas gráficas digitales o físicas y tarjetas de vocabulario con imágenes. Los estudiantes deben leer en coro las palabras del banco de palabras con sus compañeros. Pídales que comenten el significado de las palabras con sus compañeros. Defina y proporcione ejemplos según las necesidades de los estudiantes. Mientras los estudiantes leen, utilice las siguientes pistas:
•
•
Comente las transformaciones con los estudiantes.
•
Haga que los estudiantes conversen sobre las palabras del banco de palabras con sus compañeros.
•
Dobla la mitad inferior del papel para que solo se vea el banco de palabras. Señale una palabra del banco de palabras y, por turnos, explique las palabras con sus compañeros.
◦
«¿Qué le hace a la coordenada x la traslación de 3 unidades hacia la izquierda?».
◦
«¿Qué le hace a la coordenada y la traslación de 2 unidades hacia arriba?».
•
◦
«¿Qué operaciones aparecerían en una regla para una traslación?».
Toma nota de los estudiantes que explican con precisión matemática las palabras del banco de palabras.
•
◦
«¿Qué operaciones aparecerían en una regla para una dilatación?».
A continuación, señale una palabra del banco de palabras cuyo significado necesites aclarar.
•
En función de los estudiantes a los que haya oído dar explicaciones precisas desde el punto de vista matemático, pídales que ayuden a sus compañeros a aclarar las palabras seleccionadas: «Veo que varios estudiantes piden aclaraciones sobre la palabra ________. (Nombre del estudiante) pudo dar una explicación clara de la palabra _______ a su compañero. _____, ¿podrías compartir tu explicación?».
Lea en eco cada enunciado y pida a los estudiantes que consulten el banco de palabras y el gráfico antes de escribir su respuesta.
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•
«Lee cada enunciado con tus compañeros y utiliza las palabras del banco de palabras para completar cada enunciado. Ten en cuenta que algunas palabras pueden utilizarse más de una vez o no utilizarse en absoluto».
•
Recuerde a los estudiantes que consulten el banco de palabras cuando rellenen los espacios en blanco
•
Haga que los estudiantes comenten las palabras del banco de palabras con sus compañeros.
•
Haga que comenten las palabras del banco de palabras con sus compañeros. Cada persona debe dar una explicación o descripción de una palabra y, a continuación, pedir a su compañero que parafrasee el significado de la palabra. Continúa este proceso hasta que hayan comentado todas las palabras del banco de palabras.
•
«Lee las instrucciones con tus compañeros. ¿Qué plan seguirás para asegurarte de que utilizas la mayor cantidad posible de palabras del banco de palabras en tu redacción?. Si no estás seguro de cómo utilizar una palabra, encierralo con un círculo en el banco de palabras». Los estudiantes aún no deben empezar a escribir.
•
Esté atento a los estudiantes que tengan dificultades para crear un plan o que encierren con un círculo las palabras del banco de palabras. Ofrézcales apoyo y permita que los estudiantes que hayan podido crear un plan lo compartan con la clase. ◦
«Veo que varios de nosotros necesitamos aclaraciones sobre la palabra _______. Dirígete a alguien que no sea tu compañero y pídele que aclare o defina la palabra _______».
◦
«Veo que varios de nosotros necesitamos ayuda para diseñar un plan para utilizar palabras del banco de palabras. Dirígete a alguien que no sea tu compañero y pídele que explique cómo piensa utilizar la mayor cantidad posible de palabras del banco de palabras».
•
Pide a los estudiantes que escriban sus explicaciones una vez que se hayan aclarado todas las palabras y se hayan compartido los planes».
•
«Ahora, escribe tu explicación que incluya al menos cinco de las palabras del banco de palabras. Cuando termines de escribir, comparte tu escrito con tus compañeros».
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO PALABRAS QUE HAY QUE CONOCER
VOCABULARIO CON IMÁGENES Congruent Angles
Scale Factor
Similar Figures
Angles that have the same measure
The ratio of corresponding side lengths in a scale drawing to those of the original figure
Two or more figures that are the same shape but different sizes
2
11
12
Transformation
Translation
Congruent Figures
Changing a shape through movement on a coordinate plane
Moving a figure along a line for a specific distance
Figures with the same size and shape
13
Corresponding Sides (Proportional)
Two sides that are in the same position in different plane figures; in scale drawings, these sides will have a proportional relationship.
3
14
Dilation
Image
A type of transformation where a scale factor is used to enlarge or reduce the distances in the original image
The new figure in a transformation
4
5
6
Parallel
Preimage
Reflection
Existing in the same plane and equidistant and not intersecting
The original figure in a transformation
The mirror image of a figure; the flipping of a figure 8
7
9
Rotation
The turning of a figure around a fixed point 10
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ DESARROLLAR LA FLUIDEZ CONCEPTUAL
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: DILATACIONES DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes jugarán a un juego de concentración.
Concentration Instruction Sheet Play this game with a partner. You Will Need 1 Set of Concentration Cards (per pair)
How to Play 1. Shuffle the cards, and place them facedown to form a 4 × 6 array.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 hoja de instrucciones de «Concentración» (por pareja) • 1 juego de «Tarjetas de concentración» (por pareja) REUTILIZABLES
• 1 sobre o bolsa (por pareja)
PREPARACIÓN
• Haga copias a doble cara de las «Tarjetas de concentración».
2.
Player 1 flips over two cards to try to find a match. A match is a problem with its correct answer. Problems will need to be solved in order to determine matching answers.
3.
If player 1 matches a problem with the correct answer, then player 1 keeps the matched set and takes another turn.
4.
If player 1 does not find a match, then they place the cards facedown again, and it is the next player's turn.
5.
Players continue taking turns until all of the matches have been found.
6.
The player who collects the most cards wins.
• Lamínelas para que duren más. • Recorte las tarjetas individuales y colóquelas en un sobre o bolsa para facilitar su distribución y limpieza. • Coloque a los estudiantes en parejas.
HOJA DE INSTRUCCIONES DE CONCENTRACIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo mezclar las tarjetas y coloquerlas boca abajo en una matriz de 4 × 6. 2. Demuestre con un estudiante cómo jugar. a. El jugador 1 voltea 2 tarjetas para intentar encontrar una coincidencia. Una coincidencia es un problema con su respuesta correcta. Será necesario resolver los problemas para determinar las respuestas coincidentes. b. Si el jugador 1 encuentra un problema con la respuesta correcta, entonces el jugador 1 se queda con el conjunto coincidente y toma otro turno. c. Si el jugador 1 no encuentra una coincidencia, entonces vuelve a coloquer las tarjetas boca abajo y es el turno del siguiente jugador. d. Los jugadores tomarán turnos hasta que se hayan encontrado todas las coincidencias. e. Gana el jugador que reúna la mayor cantidad de tarjetas. 3. Distribuya los materiales. A continuación, pida a los estudiantes que mezclen las tarjetas y las coloquen boca abajo. 4. Vigile a los estudiantes para asegurarse de que encuentran las parejas correctas.
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ DESARROLLAR LA FLUIDEZ CONCEPTUAL
Coordinate Match Instruction Sheet
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: TRANSFORMACIONES
Play this game with a partner. You Will Need 1 Set of Coordinate Match Cards (per pair) How to Play 1. Shuffle the cards, and place them facedown in an array. 2.
Player 1 flips over two cards to try to find a match.
3.
If player 1 matches a card with an ordered pair to a corresponding description of the coordinate location, then they keep the matched set and take another turn. (All locations start from the origin.)
4.
If player 1 does not find a match, then they place the cards
5.
Players continue taking turns until all of the matches have
6.
The player who collects the most cards wins.
facedown again, and it is the next player's turn. been found.
DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes jugarán a un juego de «Pareo de coordenadas».
MATERIALES IMPRESOS
• 1 documento «Hoja de Instrucciones de pareo de coordenadas» (por pareja) • 1 juego de «Tarjetas de pareo de coordenadas» (por pareja) REUTILIZABLES
• 1 sobre o bolsa (por pareja)
PREPARACIÓN
• Haga copias a doble cara de las «Tarjetas de pareo de coordenadas».
• Lamínelas para que duren más. HOJA DE INSTRUCCIONES DE PAREO DE COORDENADAS
• Recorte las tarjetas individuales y colóquelas en un sobre o bolsa para facilitar su distribución y limpieza. • Coloque a los estudiantes en parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo mezclar las tarjetas y coloquerlas boca abajo en una matriz. 2. Demuestre con un estudiante cómo jugar. a. El jugador 1 voltea dos tarjetas para tratar de encontrar una coincidencia. b. Si el jugador 1 hace coincidir una tarjeta con un par ordenado con una descripción correspondiente de la ubicación de coordenadas, entonces se queda con el conjunto coincidente y toma otro turno. (Todas las localizaciones empiezan desde el origen.) c. Si el jugador 1 no encuentra ninguna coincidencia, vuelve a coloquer las tarjetas boca abajo y es el turno del siguiente jugador. d. Los jugadores siguen turnándose hasta que se hayan encontrado todas las coincidencias. e. Gana el jugador que reúna más tarjetas. 3. Distribuya los materiales. A continuación, pida a los estudiantes que barajen las tarjetas y las coloquen boca abajo. 4. Vigile a los estudiantes para asegurarse de que encuentran las parejas correctas.
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
ELABORAR: REVISIÓN EN ESPIRAL
Transformations
REVISAR CONCEPTOS PREVIOS
Charity Run
REVISIÓN EN ESPIRAL: CARRERA BENÉFICA
Kaitlyn and Beth love to exercise together. Their favorite activity is running. Every day, the girls like to push their limits and run just a little bit farther than the day before. Everyone who knows the girls understands their love for running, especially their track coach, Mrs. Peterson.
DESCRIPCIÓN
The time has come for Kaitlyn and Beth to put their running skills to good use. As they prepare for their 5 miles, friends and family from far and wide pledge money—a dollar here, $20 there. The girls are motivated to raise as much money as they can for the children’s hospital. With the pledges made and laces tightened, Kaitlyn and Beth are ready to make a difference with their running.
Los estudiantes repasan contenidos anteriores o del grado actual para ayudar a apoyar su trabajo en este alcance y fortalecer las habilidades necesarias para los alcances posteriores.
Mrs. Peterson wants to help the girls use their love of running to help their neighborhood. She encourages Kaitlyn and Beth to sign up for a charity run to help raise money for the local children’s hospital. Mrs. Peterson gave Kaitlyn and Beth all of the information to sign up and helped them set up their fundraising website page so people could pledge money for each mile they run. The girls set a goal to run at least 5 miles on the day of the run.
REVISIÓN EN ESPIRAL ENFOCADO POR PREGUNTAS
1
• Pregunta 1
◦ Grado 8: Comparar las propiedades de dos funciones cada una representada de una manera diferente.
Transformations
1.
The representations below show the rate at which each girl ran. Who ran at the faster rate of speed? What was her rate of speed? Kaitlyn. Her rate was 0.2 miles per minute. Beth
Kaitlyn Minutes
Miles
4
0.8
6
1.2
8
1.6
• Pregunta 2 ◦ Grado 8: Interpretar la ecuación y = mx + b como la definición de una función lineal cuya gráfico es una línea recta. • Pregunta 3 ◦ Grado 8: Construir una función para representar una relación lineal entre dos cantidades. Determinar la tasa de cambio y el valor inicial de la función a partir de la descripción de una relación o a partir de dos (x, y) valores, incluso leyéndolos a partir de una tabla o de un gráfico. Interpretar la razón de cambio y el valor inicial de una función lineal en términos de la situación que representa y en términos de su gráfico o de una tabla de valores. • Pregunta 4 ◦ Grado 8: Describir cualitativamente la relación funcional entre dos cantidades al analizar un gráfico.
PREPARACIÓN
• Imprimir una «Folleto del estudiante» para cada uno.
3.
Kaitlyn’s grandmother donated $50 to her cause. The money people pledged from Kaitlyn’s website averaged to $20 per mile. Represent the amount of money Kaitlyn raised per mile using an equation and a graph. Equation:
2.
The amount of money Beth raised per mile can be represented by a linear function. Which graph could represent that amount of money? A. B.
C.
4.
D.
The graph shows how many miles Beth has remaining to run over time. Describe Beth’s progress in the first hour.
Graph:
y = 20x + 50
The number of miles remaining decreases for the first 40 minutes. Then, over the next 25 minutes, the number of miles remaining stays steady.
2
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada uno. 2. Anime a los estudiantes a intentar responder a las preguntas de forma independiente, sin utilizar recursos externos, para comprobar lo que saben. Invite a los estudiantes a anotar ideas o cualquier fragmento que recuerden sobre los temas que aprendieron previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas. 3. Utilice las preguntas de repaso en espiral como calentamiento en clase, o envíelas a casa como tareas. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos. 4. Consulte la sección «Revisión en espiral enfocado por preguntas» para evaluar los conocimientos de contenido de los estudiantes o su necesidad de una mayor intervención. Si es necesario repasar más, utilice los «Constructores de fluidez» en los alcances apropiados. 5. La evaluació final incluye una parte de este alcance para que los estudiantes vean la conexión y relevancia de su aprendizaje previo con este alcance.
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS ANÁLISIS DE DATOS
CIENCIA DE DATOS Ciencia de datos es una breve conversación en clase basada en un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. La parte I incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los estudiantes en contexto.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizarán, interpretarán y generarán conjuntos de datos, además de responder preguntas basadas en los datos.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 conjunto de datos (por clase) REUTILIZABLES
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase) • 1 marcador (por clase) CONSUMIBLES
• 1 trozo de hoja de papelógrafo (por clase)
PREPARACIÓN
• Prepárese para proyectar el conjunto de datos para la clase. • Reúna un trozo de papel milimetrado y un rotulador.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Proyecte el conjunto de datos y prepárese para anotar las observaciones de los estudiantes. 2. Comente las siguientes preguntas: a. «¿Qué observa en este conjunto de datos?». b. «¿Qué representa este conjunto de datos?». c. «¿Qué categorías se incluyen en este conjunto de datos?». d. «¿Qué transformación(es) mantiene(n) la congruencia?».
PARTE II
10. Repasa los diferentes tipos de transformaciones en un plano cartesiano y escribe lo que los estudiantes recuerden en la hoja de papelógrafo. 11. Comente las siguientes preguntas: a. El paisajista quiere coloquer otra mesa de picnic en el cuadrante IV. Ella traslada la mesa de picnic hacia abajo 2 unidades y hacia la izquierda 2 unidades para hacer espacio para otra mesa. «¿Cuáles son las coordenadas del centro de la mesa de picnic después de moverla?». (2, -8) b. Después de mover la mesa de picnic, la paisajista decide coloquer la segunda mesa como reflejo de la primera a través de la recta y = -x. «¿Cuáles son las coordenadas del centro de la segunda mesa de picnic?». (8, -2) c. El jardín en el cuadrante III es un cuadrado con una longitud de lado de 2 unidades. El paisajista decide dilatar el jardín con un factor de escala de 2,4 desde la esquina inferior izquierda del jardín. «¿Cuáles son las coordenadas del centro del jardín después de dilatarlo?». (-6.6, -6.6) d. El paisajista quiere coloquer otro par de luces en el parque. Decide coloquer el nuevo par de luces que reflejan las luces actuales sobre el eje X y luego sobre el eje Y. «¿Cuáles son las coordenadas del nuevo par de luces?». (7, -1) y (9, -1) e. El paisajista Planee girar el estanque de peces 90º en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del origen. «¿Cuáles son las coordenadas del centro del estanque de peces después de la rotación?». (7, 7) f. «¿Interferirá la rotación del estanque de peces de esta manera con los jardines del cuadrante I?». Explícalo. No. El radio del estanque de peces es de 2,5 unidades. Por lo tanto, si está centrado en (7, 7), no interferirá con los jardines del cuadrante I.
e. «¿Qué transformación(es) da(n) como resultado figuras similares?». f. «¿Qué preguntas tienes sobre los datos?».
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN
Transformations
EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS
LISTA DE CONTROL DE LA OBSERVACIÓN DESCRIPCIÓN Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede utilizarse como evaluación formativa para los maestros y como autoevaluación para los estudiantes.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 folleto del maestro (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del maestro» y un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Transformations How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Verify experimentally the properties of rotations, reflections, and translations: a. Lines are taken to lines, and line segments to line segments of the same length. Verify experimentally the properties of rotations, reflections, and translations: b. Angles are taken to angles of the same measure. Verify experimentally the properties of rotations, reflections, and translations: c. Parallel lines are taken to parallel lines. Describe the effect of dilations, translations, rotations, and reflections on two-dimensional figures using coordinates.
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Notes and Feedback
1
1. Distribuya un «Folleto del estudiante» a cada uno. 2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Explorar» y «Explicar» del alcance, evalúe formativamente su progreso tomando notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
Transformations
Standards for Mathematical Practice
Make sense of problems and persevere in solving them
3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
Reason abstractly and quantitatively
4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje.
Use appropriate tools strategically
5. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el «Folleto del maestro». 6. Las notas anecdóticas proporcionadas en el «Folleto del maestro» pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares. 7. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la «Guía de instrucción andamiada» en la sección «Inicio» de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 162
Notes and Feedback
Construct viable arguments and critique the reasoning of others Model with mathematics
Attend to precision Look for and make use of structure Look for and express regularity in repeated reasoning
Consider these reflection questions in this scope. ●
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them?
●
What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
2
FOLLETO DEL MAESTRO
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1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: TRANSFORMACIONES
EVALUAR: MAPA DE CALOR ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
MAPA DE CALOR DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
1. Dé un «Mapa de calor» a cada estudiante junto con lápices de colores rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s). 2. Los estudiantes utilizan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el «Mapa de calor». Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los estudiantes colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, los estudiantes colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, los estudiantes colorean el cuadro correspondiente de rojo.
MATERIALES
• 1 mapa de calor (por estudiante) • 1 lápiz de color rojo (por estudiante) • 1 lápiz de color azul (por estudiante) • 1 lápiz de color naranja (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Determine si los estudiantes analizarán su «Prueba de habilidades», la «Evaluación basada en estándares», o ambas.
3. Anímelos a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a utilizar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada.
• Imprima un «Mapa de calor» para cada estudiante. • Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
4. Consulte la «Guía de instrucción andamiada» que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
Transformations
Transformations
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
1. Which skill did you feel most confident with? Why?
Skills Quiz Standards Verify experimentally the properties of rotations, reflections, and translations: a. Lines are taken to lines, and line segments to line segments of the same length.
Verify experimentally the properties of rotations, reflections, and translations: b. Angles are taken to angles of the same measure.
Verify experimentally the properties of rotations, reflections, and translations: c. Parallel lines are taken to parallel lines.
Describe the effect of dilations, translations, rotations, and reflections on two-dimensional figures using coordinates.
Refer to your answers on the Standards-Based Assessment. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key.
Reflection Questions
Red – misconception
Blue - miscalculation
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
2
4
5
1
2
1
7
2
8
Verify experimentally the properties of rotations, reflections, and translations: a. Lines are taken to lines, and line segments to line segments of the same length.
3. Which type of error did you most commonly make?
6
Verify experimentally the properties of rotations, reflections, and translations: b. Angles are taken to angles of the same measure.
4. How can you avoid those errors in the future?
3
9
Red - misconception
Standards
3
3
Orange - explanation
Standards-Based Assessment
Questions
1
Transformations
Verify experimentally the properties of rotations, reflections, and translations: c. Parallel lines are taken to parallel lines.
10
Describe the effect of dilations, translations, rotations, and reflections on two-dimensional figures using coordinates.
1
2
Questions
1
3
4
5
7
8
9
10
1
3
4
5
7
8
9
10
1
3
4
5
7
8
9
10
2
6
3
MAPA DE CALOR
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 163
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
INTERVENIR: REPASO Y PRÁCTICA DE DESTREZAS REMEDIAR Y VOLVER A ENSEÑAR
REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para intervención.
1. Dé una copia de la «Revisión rápida» a cada estudiante. 2. Cada uno debe completarla de forma independiente. 3. Use la rúbrica de habilidades al final de la «Revisión rápida» para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional.
MATERIALES IMPRESO
4. Distribuya una copia del «Repaso» a cada uno.
• 1 revisión rápida (por estudiante)
5. Cada estudiante debe completar el «Repaso» como actividad de intervención o de forma independiente.
• 1 repaso (por estudiante) • 1 revisión general (por estudiante)
a. Si lo desea, reúna a los estudiantes en pequeños grupos para trabajar en las destrezas de repaso. Utilice el «Repaso» como ayuda para la reenseñanza.
• 1 lista de verificación para el maestro (por maestro)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de la «Revisión rápida», el «Repaso» y la «Revisión general» para cada estudiante.
6. Distribuya una copia de la «Revisión general» a cada uno. 7. Cada estudiante debe completarla de forma independiente.
• Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar el «Repaso».
8. Analice los resultados de la «Revisión general» al usar la «Lista de verificación para el maestro» para identificar quienes necesitan un repaso adicional y quienes han alcanzado el dominio de los conceptos.
• Si lo desea, imprima un ejemplo del «Esquema de anclaje» de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que usen la «Libreta interactiva» como recurso. • Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayudas suplementarias para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
Transformations
Transformations
Identify the transformations that were applied to the following pairs of figures.
Checkup
4.
Transformations
8.
5.
Only dilation changes the dimensions of a figure by making a congruent figure that is smaller or larger. Rotation keeps the figure’s same size, but turns it. Reflection keeps the figure’s same size, but flips it. Translation keeps the figure’s same size, but slides it.
Complete the table below. Transform each figure the following three ways: rotation, reflection, and translation.
Figure
Any degree of rotation
Horizontal or vertical reflection/flip
Slide with same orientation
Rotation
Reflection
Translation
Which transformation changes the dimensions of a figure? Explain.
9.
Write the new coordinates after the following transformations. a.
(3, −3) reflection over the y-axis: (−3, −3)
1. b.
(4, 8) translation down 2 and right 5: (9, 6)
2. Reflection
Rotation
6.
7.
Translation
Dilation
10.
Sample student response shown. Responses will vary based on the original triangle.
3.
1
Draw a triangle on the coordinate plane below. Perform a rotation and a dilation on the triangle.
2
3
COMPROBACIÓN CLAVE DE RESPUESTAS
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1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: TRANSFORMACIONES
ACELERACIÓN: ¿QUÉ PREFERIRÍAS? Transformations
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
¿QUÉ PREFERIRÍAS?: REDECORAR UN DORMITORIO
Redecorating a Bedroom Use mathematical reasoning and creativity to justify your answer to the Would You Rather question. Arturo is redecorating his bedroom and is having trouble deciding where he should move his bed. He is considering either leaving his bed by the window or moving his bed next to the closet. Would you rather keep the bed by the window or move the bed next the closet? Justify your reasoning with mathematics. Explain the effect that is applied to the 2-D shape in the coordinate plane using an algebraic representation.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 rúbrica (por maestro)
PREPARACIÓN
Sample answers may include the following: I would rather leave my bed by the
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno.
window because I love having the Sun wake me up in the morning. I also enjoy the
• Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
view outside. I would rather move my bed next to the closet because I enjoy picking out my clothes as soon as I wake up in the morning. Rectangle ABCD is reflected across the y-axis image. The vertices of the reflected image, A’(6, 6), B’(2, 6), C’(6, 2), D’(2, 2), show that the x-coordinates of each reflected vertex are the opposite values of the x-coordinates for each corresponding vertex of the original image, and the two shapes are congruent. Blue: original image; green: reflected image. 1
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a mirar sus folletos de «Explorar» si necesitan repasar habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros. 4. Utilice la rúbrica proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
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1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: TRANSFORMACIONES
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Transformations
OPCIONES PARA APRENDER
TABLERO DE OPCIONES DESCRIPCIÓN Los estudiantes explorarán las conexiones con el mundo real y las aplicaciones del contenido matemático a través de interacciones con actividades atractivas.
MATERIALES IMPRESO
• 1 tablero de opciones (por estudiante) • 1 juego de hojas de actividades (por estudiante) • 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante) REUTILIZABLE
• Tecnología (si corresponde)
PREPARACIÓN
Transformations Choose one or more extension activities from the table below. Career Connection
Science Connection
Photographer
Crash Testing
Research the career field of photography. Your research must answer the provided questions. Create a presentation to relay your research to the class.
Analyze the crash test data provided on the handout. Then, use the data, and your own knowledge about transformations to answer the questions.
Analogies
Create Your Own
Corresponding Parts
Use the analogies to demonstrate your understanding of corresponding parts of figures after transformations.
Floor Plan
Create your own floor plan for an area that uses transformations on the interior design, decoration, or architecture of the structure.
Mathematician Spotlight
Arts Connection
Felix Klein
Perspective
Search out several news articles or research papers that involve Felix Klein’s work. Create an informational poster, diorama, or speech to convey this mathematician’s work as it relates to transformations.
Create a series of photographs that shoot the same shape as it gets closer and closer. Show how as the size changes, the proportions remain the same.
• Imprima un «Tablero de opciones» y un juego de hojas de actividades para cada estudiante. • Imprima una «Autoevaluación del tablero» para cada estudiante.
1
TABLERO DE OPCIONES
• Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» a cada estudiante. 2. Dé tiempo a los estudiantes para examinar el «Tablero de opciones» y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anímelos a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del tablero, haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 166
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GRADO 8: TRANSFORMACIONES
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GRADO 8 <<SCOPE NAME>>
GRADO 8
CONGRUENCIA Y SIMILITUD ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: CUATRO ESQUINAS
ESTÁNDARES CLAVE Comprender la congruencia y la similitud al usar representaciones físicas, transparencias o software de geometría. • Comprender que una figura bidimensional es congruente con otra si la segunda puede obtenerse a partir de la primera mediante una secuencia de rotaciones, reflexiones y traslaciones; dadas dos figuras congruentes, describir una secuencia que muestre la congruencia entre ellas. • Describir el efecto de dilataciones, traslaciones, rotaciones y reflexiones en figuras bidimensionales al usar coordenadas. • Comprender que una figura bidimensional es semejante a otra si la segunda puede obtenerse a partir de la primera mediante una secuencia de rotaciones, reflexiones, traslaciones y dilataciones: dadas dos figuras bidimensionales similares, describir una secuencia que muestre la similitud entre ellas.
Los estudiantes participan en un debate sobre cuatro esquinas para explorar su comprensión de las transformaciones en el plano de coordenadas. • Los estudiantes analizan cuatro descripciones de esquinas para determinar cuál explica mejor un triángulo transformado en el plano de coordenadas. • Se mueven a la esquina que coincide con su comprensión y debaten su razonamiento con sus compañeros. • La actividad tiene como objetivo descubrir y abordar los conceptos erróneos de los estudiantes sobre transformaciones tales como rotación, dilatación y reflexión. • Los maestros facilitan el debate y proporcionan apoyo adicional si los estudiantes tienen dificultades con los conceptos. CAPTAR INTERÉS Los estudiantes exploran el concepto de congruencia y transformaciones de triángulos a través de un escenario práctico que involucra arte con cuerdas. • Los estudiantes determinan si dos triángulos son congruentes e identifican las transformaciones usadas para mapear un triángulo sobre otro. • Se involucran en un escenario que involucra un proyecto de arte para comprender la congruencia y transformaciones tales como reflexión, rotación y traslación. • La actividad incluye fases previas y posteriores a la exploración, lo que permite a los estudiantes aplicar y revisar sus conocimientos tras completar las actividades relacionadas. • Se anima a los estudiantes a crear sus propios planes de transformación y a desafiar a sus compañeros a identificar las transformaciones aplicadas.
ACTIVIDADES DE EXPLORACIÓN EXPLORACIÓN 1: CONGRUENCIA Los estudiantes exploran el concepto de congruencia al usar transformaciones para determinar si pares de figuras son congruentes. • Los estudiantes trabajan en grupos para analizar pares de figuras al usar tarjetas de congruencia, cartulina y marcadores de borrado en seco. • Aplican transformaciones como la rotación, la reflexión y la traslación para mapear una figura sobre otra. • Los estudiantes registran sus hallazgos, al anotar las transformaciones y explicar la congruencia o la falta de ella. • La actividad concluye con una charla de matemáticas para debatir las observaciones y estrategias, seguida de un «Boleto de salida» para evaluar la comprensión. EXPLORACIÓN 2: SIMILITUD Los estudiantes exploran el concepto de similitud en figuras geométricas a través de factores de escala y transformaciones. • Los estudiantes trabajan en grupos para identificar factores de escala que producen figuras similares, al determinar si representan ampliaciones o reducciones. • Realizan y describen transformaciones, como rotaciones, traslaciones, reflexiones y dilataciones, para demostrar que las figuras son similares. • La actividad incluye tareas prácticas con tarjetas de similitud y fomenta la resolución de problemas en colaboración y el debate. • Los estudiantes completan un «Diario del estudiante» y un «Boleto de salida» para reflexionar sobre su comprensión y aplicar sus habilidades en contextos del mundo real.
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GRADO 8:<<SCOPE CONGRUENCIA Y SIMILITUD NAME>> GRADO 8
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES GEOMETRÍA TRANSFORMACIONAL Los estudiantes exploran conceptos clave a través del uso de planos de coordenadas y actividades prácticas. Comienzan al realizar y analizar transformaciones como traslaciones, rotaciones y reflexiones para comprender cómo se mueven las formas sin alterar su tamaño o forma. Estas transformaciones los ayudan a comprender el concepto de congruencia, en el que los ángulos correspondientes y las longitudes de los lados permanecen iguales, y el de similitud, en el que las figuras conservan sus proporciones pero cambian de tamaño debido a transformaciones como las dilataciones. A medida que investigan estas relaciones, observan que las medidas de los ángulos se conservan tanto en las figuras congruentes como en las similares durante las transformaciones, lo que refuerza la idea de que las relaciones angulares permanecen invariantes bajo transformaciones rígidas. Estas actividades proporcionan una base para la comprensión de las propiedades geométricas, al preparar a los estudiantes para analizar y representar figuras y transformaciones más complejas en futuros estudios geométricos.
CONCEPTOS CLAVE • Puedo utilizar lo que sé sobre transformaciones para determinar si dos o más figuras bidimensionales son congruentes. • Puedo describir cómo una figura bidimensional es congruente con otra al describir la secuencia de transformaciones utilizadas. • Puedo determinar la secuencia que sufrió una figura cuando se le dan dos figuras congruentes. • Puedo describir el efecto de dilataciones, traslaciones, rotaciones y reflexiones en figuras bidimensionales al usar coordenadas. • Puedo describir cómo se crean figuras similares mediante una serie de transformaciones.
PREGUNTAS FUNDAMENTALES • Describa las diferencias entre figuras congruentes y figuras similares. • «¿En qué se diferencia la dilatación de la traslación, la reflexión y la rotación?». • Dadas dos figuras congruentes, describa el proceso utilizado para determinar la secuencia de transformaciones que sufrieron las figuras. • Dadas dos figuras similares, describa el proceso utilizado para determinar la secuencia de transformaciones que sufrieron las figuras. • «¿Cómo cambian las transformaciones las coordenadas de una imagen previa?».
• Puedo crear figuras similares al usar una serie de transformaciones.
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GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
INICIO: CONTENIDO DE APOYO ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
CONTENIDO DE APOYO Comprender la congruencia y la similitud al usar representaciones físicos, transparencias o software de geometría. • Comprender que una figura bidimensional es congruente con otra si la segunda se puede obtener a partir de la primera mediante una secuencia de rotaciones, reflexiones y traslaciones; dadas dos figuras congruentes, describir una secuencia que muestre la congruencia entre ellas. • Describir el efecto de dilataciones, traslaciones, rotaciones y reflexiones en figuras bidimensionales al usar coordenadas. • Comprender que una figura bidimensional es similar a otra si la segunda se puede obtener a partir de la primera mediante una secuencia de rotaciones, reflexiones, traslaciones y dilataciones; dadas dos figuras bidimensionales similares, describir una secuencia que muestre la similitud entre ellas.
CONOCIMIENTOS PREVIOS En grados anteriores, los estudiantes aprendieron sobre ángulos y medidas de ángulos. Aprendieron sobre el plano de coordenadas y cómo graficar puntos para producir polígonos. En 7.º grado, los estudiantes comenzaron a crear figuras geométricas a través de dibujos a escala. Han tenido experiencia con que se les den ciertos lados y ángulos y con la determinación de longitudes. Todos estos conceptos les han preparado para las propiedades de congruencia y las transformaciones.
CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
• Los estudiantes pueden confundir Congruencia y similitud. Mientras que todas las figuras congruentes son también similares, no todas las figuras similares son congruentes. • No todas las combinaciones de tres lados o tres ángulos hacen que dos figuras sean congruentes. • Los estudiantes pueden confundir el sentido de las agujas del reloj con el sentido contrario al de las agujas del reloj al girar.
EN ESTE ALCANCE Alcance actual, los estudiantes describirán una secuencia de transformaciones como rotaciones, reflexiones y traslaciones que demostrarán que dos figuras son congruentes entre sí. Serán capaces de diferenciar entre figuras congruentes y similares al reconocer si existe una dilatación. A través de estas relaciones, desarrollarán una comprensión de los movimientos rígidos básicos al mover líneas a líneas y ángulos a ángulos en congruencia. TÉRMINOS CLAVE
• figuras congruentes: figuras con el mismo tamaño y forma • ángulos correspondientes: ángulos en la misma posición en diferentes figuras planas • lados correspondientes: dos lados que están en la misma posición en diferentes figuras planas; en dibujos a escala, estos lados tendrán una relación proporcional • dilatación: un tipo de transformación en la que se utiliza un factor de escala para ampliar o reducir las distancias en la imagen original • equivalente: igual en valor o cantidad • imagen: la nueva figura en una transformación • preimagen: la figura original en una transformación • reflexión: la imagen especular de una figura; el giro de una figura • rotación: el giro de una figura alrededor de un punto fijo • factor de escala: relación entre las longitudes de los lados correspondientes en un dibujo a escala y las de la figura original • figuras similares: dos o más figuras que tienen la misma forma pero tamaños diferentes • transformación: cambiar una forma mediante el movimiento en un plano de coordenadas • traslación: mover una figura a lo largo de una recta durante una distancia específica
• Los estudiantes pueden creer que todas las líneas de reflexión deben ser horizontales o verticales. • Los estudiantes pueden creer que una rotación debe ser siempre alrededor del origen. • Las dilataciones pueden agrandar o reducir una figura al depender de su factor de escala. Los estudiantes deben comprender que un factor de escala <1 reducirá una figura, mientras que un factor de escala >1 la agrandará. • Los estudiantes pueden confundir la relación entre una transformación y las coordenadas de la gráfica. Por ejemplo, necesitan saber que una traslación hacia la izquierda significa que restarán de la coordenada x.
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GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
APLICAR LAS PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes analizan diferentes imágenes para determinar la secuencia de transformaciones que llevan una imagen a otra. Consideran diferentes tipos de transformación (reflexión, traslación, rotación y dilatación) para encontrar la secuencia correcta. • MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes razonan de manera abstracta y cuantitativa al determinar si en un problema de transformación existe una congruencia, una similitud o ninguna de las dos. • MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros: Los estudiantes construyen argumentos viables al determinar si una imagen y su preimagen son congruentes. Debaten el razonamiento de otros al debatir qué transformaciones están presentes, si las hay. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes aplican sus conocimientos sobre el factor de escala al área y al perímetro y representan cómo un factor de escala afecta al perímetro y al área de una figura. • MP.5 Usar estratégicamente las herramientas adecuadas: Los estudiantes usan estratégicamente la cartulina y los marcadores de borrado en seco para mapear una imagen sobre otra. Al usar estas herramientas, pueden ver visualmente cómo coinciden los lados y los ángulos para determinar la congruencia. • MP.6 Prestar atención a la precisión: Los estudiantes usan un lenguaje preciso cuando explican secuencias de transformaciones a otros compañeros. Encuentran y justifican una secuencia de transformaciones que mapea una preimagen en una imagen. • MP.7 Buscar y utilizar la estructura: Los estudiantes buscan estructura en las figuras mientras hacen uso de las propiedades de las transformaciones. Usan estos conceptos para determinar cómo una imagen puede mapearse en su preimagen. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes generalizan que las figuras congruentes resultan de transformaciones rígidas. Usan esta información para evaluar si las figuras son congruentes.
FORMAS CONGRUENTES Los estudiantes etiquetarán formas y figuras como congruentes o no congruentes. Determinarán la congruencia basándose en transformaciones de movimientos rígidos. Ejemplo: «¿Cuál de los siguientes pares representa dos figuras congruentes?».
La respuesta correcta es la opción B. Los estudiantes deben reconocer que las figuras congruentes son idénticas en forma y tamaño. Todas las demás opciones representan figuras similares que no son idénticas en tamaño. La única opción que no ha pasado por una transformación de dilatación es la opción B.
IMÁGENES EN GRÁFICAS Los estudiantes determinarán la secuencia de transformaciones usadas para mapear una imagen congruente a otra. Mostrarán estas transformaciones a través de imágenes en un mapa. Ejemplo: La siguiente imagen representa dos rectángulos similares:
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GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
INICIO: CONTENIDO DE APOYO «¿Qué secuencia de transformaciones transforma el rectángulo ABCD en el rectángulo A'B'C'D'?». a. b.
Una reflexión sobre el eje y, y luego una dilatación 1 . por un factor de escala de __ 2
Una traslación 6 unidades a la izquierda, y luego una 1 dilatación por un factor de escala de __ . 2 1
c.
, y luego Una dilatación por un factor de escala de __ 2 una rotación de 90 grados en sentido antihorario
d.
Una reflexión sobre el eje y y luego una dilatación por un factor de escala de 2.
La respuesta correcta es la opción A. Los estudiantes notarán primero que A'B'C'D' es más pequeño que ABCD, por lo tanto, la dilatación debe ser en un factor de escala menor que uno. Con esto, pueden eliminar la opción D. Como A' no está en la esquina superior izquierda del rectángulo, se puede eliminar una traslación (opción B). Como A D está en el lado izquierdo del rectángulo y A′D′ está en el lado derecho del rectángulo, debe haberse producido una reflexión.
TRANSFORMACIONES CON FIGURAS Los estudiantes crearán figuras congruentes mediante transformaciones. Determinarán las coordenadas de una imagen dadas las coordenadas de la preimagen. Ejemplo: ΔABC se representa gráficamente con las coordenadas A(-7, -6), B(-4, -6), y C(-4, -2). «¿Cuáles son las coordenadas de ΔA'B'C', la imagen de ΔA'B'C', después de una reflexión sobre el eje y?». a. A(7, 6), B(4, 6), C(4, 2) b. A(-7, 6), B(-4, 6), C(-4, 2) c. A(7, -6), B(4, -6), C(4, -2) d. A(-7, -6), B(-4, -6), C(-4, -2) La respuesta correcta es la opción C. Una reflexión sobre el eje y significa que los valores x están negados. A'(-7 →7, -6), B'(4→4, -6), y C'(4→4, -2). Los estudiantes también pueden usar una gráfica para contar la distancia de ABC al eje y y reflejar esa distancia en el lado derecho del eje y para encontrar ΔA'B'C'.
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SIMILITUD Los estudiantes describirán el factor de escala que produce figuras similares. Determinarán si la nueva imagen es una ampliación o una reducción de la imagen previa. Ejemplo: «¿Cuál de los siguientes factores de escala podría representar una dilatación en la que la imagen es más pequeña que la imagen previa?». a. __ 4 3
b. 6.5 c. 2
d. __ 1 2
La respuesta correcta es la opción D. Los estudiantes deben reconocer que una imagen más pequeña representa una reducción y, por lo tanto, debe tener un factor de escala inferior a 1. Esto elimina inmediatamente las opciones B y C. Los estudiantes pueden a simple vista 4 ver que la opción A es una fracción, sin embargo, __ = 3 1.3 >1 por lo que la opción A es una ampliación, no una reducción
AVANCES En los próximos años, los estudiantes usarán su comprensión de las transformaciones para continuar la expansión de los movimientos rígidos. Los estudiantes ampliarán sus conocimientos más allá de las reglas básicas de transformación, como las rotaciones más allá de 90° y 180° y las reflexiones sobre rectas distintas de los ejes. En secundaria, los estudiantes utilizarán estas ideas para crear construcciones y series de movimientos rígidos.
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1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
ANÁLISIS PROFUNDO DE LOS ESTÁNDARES
CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES Comprender la congruencia y la similitud al usar representaciones físicas, transparencias o software de geometría.
• dilatación: un tipo de transformación en la que se usa un factor de escala para ampliar o reducir las distancias en la imagen original • modelo: un ejemplo o representación de algo
• Comprender que una figura bidimensional es congruente con otra si la segunda se puede obtener a partir de la primera mediante una secuencia de rotaciones, reflexiones y traslaciones; dadas dos figuras congruentes, describir una secuencia que muestre la congruencia entre ellas.
• reflexión: la imagen especular de una figura; giro de una figura
• Describir el efecto de dilataciones, traslaciones, rotaciones y reflexiones en figuras bidimensionales al usar coordenadas.
• figuras similares: dos o más figuras que tienen la misma forma pero diferentes tamaños
• Entender que una figura bidimensional es similar a otra si la segunda puede obtenerse a partir de la primera mediante una secuencia de rotaciones, reflexiones, traslaciones y dilataciones; dadas dos figuras bidimensionales similares, describir una secuencia que muestre la similitud entre ellas.
DESGLOSAR EL ESTÁNDAR VERBOS: ¿QUÉ DEBERÍAN HACER LOS ESTUDIANTES?
• describir: escribir o contar los detalles de • entender: captar el significado de • usar: aplicar una estrategia SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBEN CONOCER LOS ESTUDIANTES?
• congruencia: cualidad o estado de concordar, coincidir o ser congruente • congruente: tener exactamente la misma forma y tamaño; ser idéntico; los objetos congruentes coinciden cuando se superponen • figuras congruentes: figuras con el mismo tamaño y forma
• rotación: el giro de una figura alrededor de un punto fijo • secuencia: una disposición ordenada de números u objetos
• similitud: una característica o aspecto similar (igual) • traslación: mover una figura a lo largo de una recta por una distancia específica • figura bidimensional: una figura plana con dos dimensiones medibles
IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA
• En grados anteriores, los estudiantes han dibujado polígonos en el plano de coordenadas, al usar pares ordenados para formar los vértices. Han utilizado factores de escala para trabajar con dilataciones. Los estudiantes han trazado puntos en los cuatro cuadrantes de un plano de coordenadas. • En este nivel de grado, se espera que los estudiantes comprendan la Congruencia y similitud de figuras, así como los efectos de dilataciones, traslaciones, rotaciones y reflexiones. Los estudiantes deben ser capaces de explicar los cambios en las coordenadas a partir de transformaciones. Los estudiantes pueden explicar la secuencia de transformaciones para ir de la preimagen a la imagen.
• coordenadas: par de números que proporcionan la ubicación de un punto a lo largo del plano de coordenadas al usar los valores de los ejes x y y
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GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
ALINEACIÓN VERTICAL GRADO
ESTÁNDAR
6
Dibujar polígonos en el plano de coordenadas dadas las coordenadas para los vértices; usar coordenadas para encontrar la longitud de un lado que une puntos con la misma primera coordenada o la misma segunda coordenada. Aplicar estas técnicas en el contexto de la resolución de problemas matemáticos y de la vida real.
6
Resolver problemas matemáticos y de la vida real al representar gráficamente puntos en los cuatro cuadrantes del plano de coordenadas. Incluir el uso de coordenadas y valor absoluto para encontrar distancias entre puntos con la misma primera coordenada o la misma segunda coordenada.
7
Dibujar (a mano alzada, con regla y transportador, y con tecnología) formas geométricas con condiciones dadas. Centrarse en la construcción de triángulos a partir de tres medidas de ángulos o lados, al observar cuándo las condiciones determinan un triángulo único, más de un triángulo o ningún triángulo.
7
Utilizar datos sobre ángulos suplementarios, complementarios, verticales y adyacentes en un problema de varios pasos para escribir y resolver ecuaciones sencillas para un ángulo desconocido en una figura. Verificar experimentalmente las propiedades de las rotaciones, reflexiones y traslaciones:
8
a. Las líneas se toman a las líneas y los segmentos de línea a los segmentos de línea de la misma longitud. b. Los ángulos se toman como ángulos de la misma medida. c. Las rectas paralelas se toman como rectas paralelas.
8
Comprender que una figura bidimensional es congruente con otra si la segunda se puede obtener a partir de la primera mediante una secuencia de rotaciones, reflexiones y traslaciones; dadas dos figuras congruentes, describir una secuencia que muestre la congruencia entre ellas.
8
Describir el efecto de dilataciones, traslaciones, rotaciones y reflexiones en figuras bidimensionales al usar coordenadas.
8
Comprender que una figura bidimensional es similar a otra si la segunda puede obtenerse a partir de la primera mediante una secuencia de rotaciones, reflexiones, traslaciones y dilataciones; dadas dos figuras bidimensionales similares, describir una secuencia que muestre la similitud entre ellas.
8
Utilizar argumentos informales para establecer hechos sobre la suma de ángulos y el ángulo exterior de triángulos, sobre los ángulos creados cuando rectas paralelas son cortadas por una transversal, y el criterio ángulo-ángulo para la similitud de triángulos.
HS
Dada una figura geométrica y una rotación, reflexión o traslación, dibujar la figura transformada al usar, por ejemplo, papel cuadriculado, papel para calcar o software de geometría. Especificar una secuencia de transformaciones que llevará una figura dada a otra.
HS
Usar descripciones geométricas de movimientos rígidos para transformar figuras y predecir el efecto de un movimiento rígido dado en una figura dada; dadas dos figuras, usar la definición de congruencia en términos de movimientos rígidos para decidir si son congruentes.
HS
Verificar experimentalmente las propiedades de dilataciones dadas por un centro y un factor de escala.
HS
Dadas dos figuras, utilizar la definición de similitud en términos de transformaciones de similitud para decidir si son similares; explicar al usar transformaciones de similitud el significado de similitud para triángulos como la igualdad de todos los pares de ángulos correspondientes y la proporcionalidad de todos los pares de lados correspondientes.
HS
Utilizar las propiedades de las transformaciones de similitud para establecer el criterio AA para que dos triángulos sean similares.
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GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA MONITOREAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIONES La guía de instrucción andamiada se proporciona para que los maestros puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones del alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que ayuda a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de la evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos según los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere que todos los estudiantes experimenten con los elementos: «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades», ya que cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar. 0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
80 % - 100 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil pueden trabajar en contenido de nivel de grado con apoyos de instrucción.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» individual para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 2. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante de acuerdo con sus datos de evaluación. 3. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la sección «Scaffolded Instruction Guide» en el menú desplegable «Home» del alcance. 4. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Geometría Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Comprender que una figura bidimensional es congruente con otra si la segunda se puede obtener a partir de la primera mediante una secuencia de rotaciones, reflexiones y traslaciones; dadas dos figuras congruentes, describir una secuencia que muestre la congruencia entre ellas. 7 - Relaciones de ángulos Repaso y práctica de habilidades (Refuerzo del grado anterior)
0 % - 25 %
Constructor de fluidez • Relaciones de ángulos Práctica interactiva • Basura espacial Prueba de habilidades 7 - Propiedades del triángulo Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Propiedades de los triángulos Práctica interactiva • Misión del droide
25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyos)
Prueba de habilidades 8 - Congruencia y similitud Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (preguntas 1-3) • Repaso (sección figuras congruentes) • Revisión general (preguntas 1, 3, 5, 7-8,10)
(Nivel de grado)
50 % - 80 %
8 - Congruencia y similitud Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva Constructor de fluidez • Transformaciones Ciencia de datos
80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
Conexiones lingüísticas
8 - Congruencia y similitud Tarea de representación matemática ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
ATRAER: ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS
Describir el efecto de dilataciones, traslaciones, rotaciones y reflexiones en figuras bidimensionales al usar coordenadas.
6 - Resolver problemas en el plano de coordenadas Repaso y práctica de habilidades (Refuerzo del grado anterior)
0 % - 25 %
Constructor de fluidez • Resolver problemas en el plano de coordenadas Práctica interactiva • Lluvia de gnomos Prueba de habilidades 8 - Transformaciones Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Transformaciones Práctica interactiva • Voltear, girar y deslizar
(Nivel de grado)
25 % - 50 % 80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
50 % - 80 %
(Nivel de grado con apoyos)
Prueba de habilidades 8 - Congruencia y similitud Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (pregunta 6) • Repaso (sección figuras congruentes y figuras similares) • Revisión general (preguntas 1-10) 8 - Congruencia y similitud Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva Ciencia de datos Conexiones lingüísticas
8 - Congruencia y similitud Tarea de representación matemática Tablero de opciones
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GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Comprender que una figura bidimensional es similar a otra si la segunda se puede obtener a partir de la primera mediante una secuencia de rotaciones, reflexiones, traslaciones y dilataciones; dadas dos figuras bidimensionales similares, describir una secuencia que muestre la similitud entre ellas. 6 - Resolver problemas en el plano de coordenadas Repaso y práctica de habilidades
0 % - 25 %
(Refuerzo del grado anterior)
Constructor de fluidez • Resolver problemas en el plano de coordenadas Práctica interactiva • Lluvia de gnomos Prueba de habilidades 8 - Transformaciones Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Transformaciones Práctica interactiva • Voltear, girar y deslizar
(Nivel de grado con apoyos)
25 % - 50 %
Prueba de habilidades 8 - Congruencia y similitud Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (preguntas 4, 5, 7) • Repaso (sección figuras similares) • Revisión general (preguntas 2, 4, 6, 9)
(Nivel de grado)
50 % - 80 %
8 - Congruencia y similitud Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva Constructor de fluidez • Dilataciones • Transformaciones
(Ampliación del nivel de grado)
80 % - 100 %
Ciencia de datos
8 - Congruencia y similitud Tarea de representación matemática ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
ATRAER: ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS Congruence and Similarity
EVALUAR PREVIAMENTE EL CONOCIMIENTO DEL ESTUDIANTE
ACCESO A LOS CONOCIMIENTOS PREVIOS: CUATRO ESQUINAS
Four Corners – DATA TABLE
ESTÁNDAR PREVIO Verificar experimentalmente las propiedades de las rotaciones, reflexiones y traslaciones. Describir el efecto de las dilataciones, traslaciones, rotaciones y reflexiones en figuras bidimensionales al usar coordenadas.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes dialogarán con sus compañeros sobre su comprensión del estándar previo a través de un debate de cuatro esquinas. Este elemento está diseñado para descubrir los conceptos erróneos de los estudiantes; no debe tomarse para una calificación.
MATERIALES IMPRESO • 1 conjunto de diapositivas cuatro esquinas (por clase)
1
PREPARACIÓN
• Imprima un conjunto de «Diapositivas cuatro esquinas». • Cuelgue la diapositiva del plano de coordenadas en la pared frontal, visible para todos los estudiantes.
Congruence and Similarity
• Cuelgue las cuatro diapositivas restantes en cuatro áreas separadas del salón de clases, fácilmente visibles para todos.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Four Corners – Slide 1
Rotated 180° clockwise Dilated by a scale of 2
1
Pida a los estudiantes que miren las cuatro esquinas y piensen qué descripción de esquina explica mejor el plano de coordenadas con el triángulo que ha sufrido una o más transformaciones.
2
Conceda 2 minutos de tiempo para pensar.
3
Pida a los estudiantes que pasen a la descripción de la esquina que eligieron. Pida a cada grupo que comente con los demás por qué eligieron la descripción.
4
Conceda de 2 a 5 minutos de debate en las descripciones de las esquinas. Después de que los estudiantes comenten por qué eligieron su respuesta, hable sobre la respuesta con la clase y permita que los estudiantes expliquen su representación del problema.
5
Si los estudiantes tienen dificultades para completar esta tarea, pase a realizar el «Constructor de bases fundamentales» para llenar este vacío en el conocimiento previo antes de pasar a otras partes del alcance.
IDENTIFICAR CONCEPTOS ERRÓNEOS
• Diapositiva 1: Los estudiantes que eligen la diapositiva 1 pueden tener un malentendido sobre la orientación de la figura una vez que rota. Tampoco entienden que una vez dilatada, el tamaño de la figura sería mayor o menor que el de la figura original. • Diapositiva 2: Esta es la diapositiva correcta.
2
CUATRO ESQUINAS
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• Diapositiva 3: Los estudiantes que eligen la diapositiva 3 comprenden la reflexión a través de un eje, pero no comprenden el efecto de una rotación. • Diapositiva 4: Los estudiantes que eligen la diapositiva 4 no comprenden que las reflexiones a través del eje x darían vuelta a la figura. Mover a la derecha 9 unidades no dará la nueva figura. 179
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GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
ATRAER: ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS
Congruence and Similarity
Congruence and Similarity
Four Corners – Slide 2
Four Corners – Slide 3
Reflected over y-axis
Reflected over y-axis
Translated down 9 units
Rotated 90° clockwise
3
4
Congruence and Similarity
Four Corners – Slide 4
Reflected over x-axis Translated right 9 units
5
CUATRO ESQUINAS
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GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
ATRAER: CAPTAR INTERÉS
Congruence and Similarity
LECCIÓN MOTIVADORA
Shape Up!
CAPTAR INTERÉS DESCRIPCIÓN Los estudiantes determinan si dos triángulos son congruentes y, en caso afirmativo, qué transformaciones mapean el triángulo ABC en el triángulo A'B'C'.
MATERIALES IMPRESO
• 1 ¡fórmalo! (por clase) REUTILIZABLE
• 1 fenómeno (por clase)
PREPARACIÓN
• Planee mostrar el fenómeno. • Prepárese para proyectar «¡fórmalo!» para que lo vea toda la clase.
1
¡FÓRMALO!
• Prepárese para presentar el escenario y anime a los estudiantes a pensar en cómo resolverlo. Prepárese para pasar a las actividades «Explorar»r, al volver a la actividad «Captar interés» con los nuevos conocimientos adquiridos una vez finalizadas las exploraciones.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA 1. Presente esta actividad al principio del alcance. La clase retomará la actividad y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades «Explorar» correspondientes. 2. Muestre los fenómenos. Formule a los estudiantes las siguientes preguntas: «¿Qué observas? ¿Dónde puedes ver matemáticas en esta situación?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. 3. Explique el escenario a la clase: «Jett Planeeba su proyecto de arte para geometría. Había decidido construir rejillas de metal y crear figuras con cuerdas de colores. Planeeba hacer una serie de rejillas, cada una dedicada a un par de figuras bidimensionales. Decidió empezar con un par de triángulos rectángulos congruentes. Sometió el triángulo original a una serie de una o varias transformaciones. Cuando terminó de dibujar su plano en un plano de coordenadas, se preguntó cómo podrían saber sus espectadores si sus triángulos eran congruentes y también si podrían averiguar las transformaciones que había utilizado». 4. Permita que los estudiantes hagan preguntas y aclaren el contexto según sea necesario. Anímeles a compartir sus ideas y experiencias con la clase al usar las siguientes preguntas: a.
«¿Han hecho alguna vez arte con cuerdas?».
b.
«¿Qué significa congruente?».
c.
«¿Qué tipo de transformaciones podría haber utilizado Jett?».
5. Proyecto ¡fórmalo!
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GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
ATRAER: CAPTAR INTERÉS
6. Explique a los estudiantes que Jett necesita comprobar que los triángulos son congruentes. También quiere que los espectadores averigüen qué transformaciones utilizó para trazar el triángulo ABC sobre el triángulo A'B'C'. Haga las siguientes preguntas con la clase: a.
DOK-1 «¿Qué significa congruente?». Congruente significa que las figuras son idénticas en forma (tamaño y figura) y que coinciden exactamente cuando una figura se superpone sobre la otra.
b.
DOK-1 «¿Cuáles son las transformaciones que Jett podría haber utilizado en su proyecto?». Podría haber utilizado la reflexión, la rotación y la traslación.
c.
d.
DOK-2 «¿Por qué Jett no podría haber utilizado la dilatación en esta situación?». No podría haber utilizado la dilatación porque se supone que los triángulos son congruentes y la dilatación hace que se hagan más grandes o más pequeños. DOK-2 «¿Cómo podrían comprobar los espectadores si los triángulos ABC y A'B'C' son congruentes?». Para el plano dibujado, podrían utilizar papel para calcar para trazar el triángulo ABC y superponerlo al triángulo A'B'C' para ver si coinciden exactamente. También pueden utilizar las coordenadas en el plano de coordenadas para ver las longitudes de los catetos de los triángulos rectángulos y comprobar si son iguales.
e. DOK-1 «¿Son congruentes los triángulos ABC y A'B'C'?». Sí, he utilizado papel para calcar y he superpuesto la imagen del triángulo ABC sobre el triángulo A'B'C' y coincidían exactamente. Otra forma de averiguar las longitudes de cada cateto es al mirar la distancia entre los vértices. El cateto AB mide 5 unidades y el cateto A'B' 5 unidades. El cateto BC mide 7 unidades y el cateto B'C' mide 7 unidades. Como los ángulos son iguales (ángulos rectos), los catetos AC y A'C' también son equivalentes. f. DOK-2 «¿Qué transformaciones convierten el triángulo ABC en el triángulo A'B'C?». El triángulo ABC fue reflejado sobre el eje x. Luego se trasladó 5 unidades hacia abajo y 4 unidades hacia la derecha. 3. Si el tiempo lo permite, haga que los estudiantes creen sus propios planos como si crearan arte bidimensional con cuerdas sobre una cuadrícula de metal. Pídales que coloquen una figura bidimensional en una cuadrícula y que luego apliquen transformaciones para crear una segunda figura. Los estudiantes pueden cambiar con un compañero para averiguar qué transformación o transformaciones se aplicaron.
7. Continúa para completar las actividades de «Exploración». PARTE II: DESPUÉS DE LA EXPLORACIÓN
1. Después de que los estudiantes hayan completado las actividades de «Exploración» para este tema, muestra de nuevo los fenómenos y repite el escenario. 2. Consulte «¡Fórmalo!» y debate las siguientes preguntas: a. DOK-1 «¿Qué significa congruente?». Congruente significa que las figuras son idénticas en forma (tamaño y figura) y que coinciden exactamente cuando una figura se superpone sobre la otra. b. DOK-1 «¿Cuáles son las transformaciones que Jett podría haber utilizado en su proyecto?». Podría haber utilizado la reflexión, la rotación y la traslación. c. DOK-2 «¿Por qué Jett no podría haber utilizado la dilatación en esta situación?». No podría haber utilizado la dilatación porque se supone que los triángulos son congruentes y la dilatación hace que se hagan más grandes o más pequeños. d. DOK-2 «¿Cómo podrían comprobar los espectadores si los triángulos ABC y A'B'C' son congruentes?». Para el plano dibujado, podrían utilizar papel para calcar para trazar el triángulo ABC y superponerlo al triángulo A'B'C' para ver si coinciden exactamente. También pueden utilizar las coordenadas en el plano de coordenadas para ver las longitudes de los catetos de los triángulos rectángulos y comprobar si son iguales. 182
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GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 1: CONGRUENCIA Estándar(es) • Comprender la congruencia y la similitud al usar representaciones físicas, transparencias o software de geometría. Comprender que una figura bidimensional es congruente con otra si la segunda se puede obtener a partir de la primera mediante una secuencia de rotaciones, reflexiones y traslaciones; dadas dos figuras congruentes, describir una secuencia que muestre la congruencia entre ellas. • Comprender la congruencia y la similitud al usar representaciones físicas, transparencias o software de geometría. Describir el efecto de dilataciones, traslaciones, rotaciones y reflexiones en figuras bidimensionales al usar coordenadas. Ideas fundamentales Geometría transformacional
Estándares para la práctica matemática
Conexiones de contenido
Motores de investigación
MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente.
CC4 Descubrir la figura y el espacio
DI1 Dar sentido al mundo: Comprender y explicar
MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros.
DI2 Predecir lo que podría ocurrir: Predecir
MP.4 Representar con matemáticas. MP.7 Buscar y hacer uso de la estructura. MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes determinan si pares de figuras son congruentes al examinar figuras para ver si una figura puede ser mapeada en la otra figura al usar transformaciones, incluso rotación, reflexión y traslación.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 conjunto de tarjetas de congruencia (por grupo) • 1 boleto de salida (por estudiante) REUTILIZABLE
• 1 bolsa resellable (por grupo) • 1 marcador de borrado en seco (por grupo)
PREPARACIÓN
• Planifique que los estudiantes trabajen en grupos de 3 o 4 para completar la actividad. • Imprima el «Diario del estudiante» y el «Boleto de salida» para cada estudiante. • Imprima un conjunto de «Tarjetas de congruencia» para cada grupo. Recorte y coloque cada conjunto de tarjetas en una bolsa resellable. Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para utilizarlas en el futuro. • Reúna una hoja de cartulina para cada grupo. • Para los estudiantes que necesiten más ayuda para recordar la información, consulte nuestros elementos de «Ayudas suplementarias: Plano cartesiano de cuatro cuadrantes» en la sección «Intervenir».
CONSUMIBLE
• 1 hoja de cartulina (por grupo)
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GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Congruence and Similarity Explore 1
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Lea la siguiente situación a la clase: «Pablo siempre
ha querido ser detective. Su tío Jorge es detective. Jorge está de acuerdo en hacer un divertido "campamento de entrenamiento" para Pablo y sus amigos que están interesados en el trabajo de detective. Jorge dice que una de las habilidades más importantes para el trabajo de detective es ser lo suficientemente observador como para encontrar y darse cuenta de las pistas. Tu trabajo hoy es ser observador y mirar pares de figuras para determinar si son congruentes y así ayudar a Pablo. Luego debes explicar tu razonamiento, al compartir qué transformaciones se produjeron en cada figura original y si eso afectó la congruencia de las figuras».
2. Ayuda a los estudiantes a acceder a la tarea al formular las siguientes preguntas guías: a.
«¿Qué sabes ya sobre la palabra congruente?».
b.
«¿Qué recuerdas sobre las transformaciones?».
c.
«¿Qué quieres ser cuando seas mayor?».
3. Entregue un «Diario del estudiante» a cada uno. Entregue a cada grupo una hoja de cartulina, un marcador de borrado en seco y una bolsa con un conjunto de «Tarjetas de congruencia».
To Be or Not To Be Congruent Use the Congruence Cards to determine whether the figures on each card are congruent. Use patty paper to trace figures to determine whether they are congruent. Identify the transformations that are shown on each card. Answers may vary. Card 1 Are the figures congruent? yes
no
Which transformations are demonstrated? Rotation and translation
Reasoning: They are congruent because even though the original rhombus was rotated and translated, it is the same size and shape. We traced the original rhombus on patty paper, and it mapped exactly onto the other rhombus.
Card 2 Are the figures congruent? yes
no
Which transformations are demonstrated? Reflection
Reasoning: They are congruent because the original triangle was reflected across a vertical line and is the same size and shape. Both triangles have a base that is 3 inches and a height that is 3 inches, demonstrating that both triangles are the same size.
1
4. Explique a los estudiantes que trabajarán con sus grupos para determinar si los pares de figuras son congruentes. Observarán qué transformaciones se han producido en la figura original, como rotaciones, reflexiones y traslaciones. 5. Pida a los estudiantes que usen las «Tarjetas de congruencia» para trazar las figuras de las tarjetas a la cartulina al usar el marcador de borrado en seco e investiguen qué transformaciones se muestran. Después de trazar la figura, deben representarla en la segunda figura. Informe a los estudiantes de que las figuras originales siempre están a la izquierda o arriba. Después de trazar y dibujar las figuras, los estudiantes determinarán si son congruentes. A continuación, anotarán sus respuestas, las transformaciones que se han producido y sus explicaciones de por qué las figuras son congruentes o no. (Asegúrese de que los estudiantes comprenden que las transformaciones no pueden tener lugar si las figuras no son congruentes. Cuando se les pregunte por las transformaciones que se produjeron, los estudiantes deben escribir «Ninguna»). 6. Supervise y hable con los estudiantes según sea necesario para comprobar la comprensión al usar las siguientes preguntas guías: a.
b.
DOK-1 «¿Qué significa el término congruente?». Significa que las figuras son idénticas en forma (tamaño y figura) y coincidirán exactamente cuando el contorno de una figura se superponga sobre la otra.
Congruence and Similarity Explore 1
Card 3 Are the figures congruent? yes
no
Which transformations are demonstrated? Rotation and translation
Reasoning: They are congruent because the original arrow was rotated 180° and translated. When we traced the original arrow, it mapped exactly onto the other arrow.
Card 4 Are the figures congruent? yes
no
Which transformations are demonstrated? None
Reasoning: They are not congruent. The triangles are different sizes. If the figures are not the same size, there is no rigid motion that can map one of them onto the other.
DOK-2 «¿Qué transformaciones no afectan a la forma (tamaño y forma) de una figura?». Rotación, reflexión y traslación 2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
Congruence and Similarity Explore 1
Congruence and Similarity Explore 1
Card 7
Card 5 Are the figures congruent? yes
no
Are the figures congruent?
Which transformations are demonstrated?
yes
None
no
Which transformations are demonstrated? Reflection
Reasoning:
Reasoning:
The rectangles are not congruent. Although they have the same area, the side lengths are different, so the rectangles are different sizes. If the figures are not the same size, there is no rigid motion that can map one of them onto the other.
The triangles are congruent. The original triangle, triangle ABC, was reflected across the x-axis and is represented as triangle DEF. When the original triangle was traced on patty paper, it mapped exactly onto the second triangle.
Card 8
Card 6 Are the figures congruent? yes
no
Are the figures congruent?
Which transformations are demonstrated?
yes
Reflection
no
Which transformations are demonstrated? None
Reasoning:
Reasoning:
The trapezoids are congruent. The original was reflected over a horizontal line. When the original was traced on patty paper, it mapped exactly onto the second trapezoid.
They are not congruent. The pentagons are different sizes. If the figures are not the same size, there is no rigid motion that can map one of them onto the other.
3
4
Congruence and Similarity Explore 1
Congruence and Similarity Explore 1
Create a figure through a transformation.
Reflect
Use the coordinate plane to reflect Figure A over the x-axis. Label the image Figure B. Next, translate Figure B 4 units to the right, and label the image Figure C.
1.
What are some properties that are shared by congruent shapes? Congruent shapes have the same number of sides, same length sides, same angles, and same area.
2.
Why do the transformations of rotation, reflection, and translation not affect whether figures are congruent? Rotations, reflections, and translations of congruent shapes have equal dimensions. That means that these transformations do not change the size of the figure. If the size and shape of the figure is not changed, then the figures are congruent.
Are the figures congruent? Explain your reasoning. The figures are congruent. The original figure, Figure A, was reflected across the x-axis and is represented as Figure B. When Figure A is traced on patty paper, reflected, and drawn on the coordinate plane, it is represented as Figure B and is congruent because it still has the same size and shape. When Figure B is translated and becomes Figure C, it also has the same size and shape, which shows that all three shapes are congruent.
5
6
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Congruence and Similarity Explore 1
7. Explique lo siguiente a la clase: «Hoy has utilizado transformaciones para determinar si un conjunto de figuras son congruentes basándote en su tamaño y forma. Los matemáticos llaman a esto transformaciones rígidas. Las transformaciones rígidas significan que dos figuras, A y B, son congruentes si una es la imagen de la otra bajo una secuencia de transformaciones rígidas».
Am I Congruent? Exit Ticket Look at the two figures below. Use patty paper to determine congruence. Answer the questions to determine congruence.
8. Conceda tiempo a los estudiantes para que completen el «Diario del estudiante», incluidas las preguntas de reflexión. 9. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímelos a que se hagan preguntas y establezcan conexiones. Anime a los estudiantes a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias usadas para determinar si las figuras son congruentes. 10. Después de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje.
1.
Are the figures congruent? Yes
2.
What transformations has the original figure on the left undergone and how have the transformations affected the congruence?
CHARLA DE MATEMÁTICAS • Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: • DOK-2 «¿Por qué las transformaciones de rotación, reflexión y traslación no afectan si las figuras son congruentes?». Las rotaciones, reflexiones y traslaciones de figuras congruentes tienen dimensiones iguales. Esto significa que estas transformaciones no cambian el tamaño de la figura. Si el tamaño y la forma de la figura no cambian, entonces las figuras son congruentes. • DOK-2 «¿Por qué puede ser necesario que las figuras sean congruentes en el mundo real?». A veces, las mismas máquinas de una cadena de montaje necesitan piezas que encajen exactamente una y otra vez. A veces, los artistas necesitan patrones con figuras del mismo tamaño y forma. Los edificios grandes, como los edificios de oficinas, necesitan ventanas y puertas del mismo tamaño en todas partes. DESPUÉS DE EXPLORAR
1. Haga que los estudiantes completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 2. Completen el «Esquema de anclaje» como clase. 3. Haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva».
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Anime a los estudiantes a escribir o compartir su razonamiento para creer que dos figuras son congruentes. Recuerde a los estudiantes que suponer la congruencia con sólo mirar las figuras no es suficiente.
The figures are congruent. The original triangle was was rotated 180° and translated. Since rotation, reflection, and translation do not affect the form (size and shape) of figure, they are congruent. 3.
How can you confirm that the figures are congruent? I checked congruence by tracing the original triangle on the patty paper and mapping it onto the second triangle. Once it was oriented correctly, the outlines of the two figures matched exactly. That confirmed that the figures are congruent. 1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
4. Como ampliación, desafíe a los estudiantes a crear sus propias figuras congruentes al usar las tres transformaciones rígidas.
APOYOS LINGÜÍSTICOS Aclare los términos matemáticos rotación, traslación, y reflexión. Como actividad previa a la lección, guíe a los estudiantes para que completen el «Vocabulario interactivo» que se encuentra en la sección «Explicar» para el vocabulario nuevo. Proporcione a los estudiantes la definición y anímelos a reescribirla con sus propias palabras. Anime a los estudiantes a apoyar y defender sus respuestas y a mantener un discurso abierto cuando completen la actividad de las «Tarjetas congruentes». Ayude a los estudiantes a mantener debates críticos sin dar respuestas ni debatir duramente las respuestas de otros estudiantes.
2. Los estudiantes pueden utilizar las palabras voltear, girar, o deslizar. Anime a los estudiantes a utilizar los términos matemáticos para describir las transformaciones utilizadas. 3. Proporcione flexibilidad a los estudiantes que necesiten asignaciones reducidas al reducir la cantidad de «Tarjetas de congruencia» que deben analizar.
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GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
Congruence and Similarity Part 1
Congruence and Similarity Part 1
Congruence 1.
2.
Determine which of the following pairs of figures are congruent based on angles AND sides (must be same shape AND the same size).
Congruent Angles?
Congruent Figures?
No
Yes
No
Congruent Sides?
Congruent Angles?
Congruent Figures?
No
Yes
No
Congruent Triangle
Congruent Angles?
Congruent Figures?
Yes
Yes
Yes
Congruent Sides?
Congruent Angles?
Congruent Figures?
No
Yes
No
Congruent Sides?
Congruent Angles?
Congruent Figures?
No
Yes
No
Draw a shape pair below to match the answers in the table. Examples could be any two of the same shapes (same angles) but different sizes.
1
2
Congruence and Similarity Part 1
Congruence and Similarity Part 1
5.
Identify any congruent triangles in the coordinate plane below. Describe the transformation(s) for each congruent pair. Be sure to write the vertices in the correct order, such as △QRP.
Triangle
3.
Congruent Sides?
Congruent Sides?
Transform the blue parallelogram by translating it down 4 units and rotating it 90 degrees. Draw the final transformation in red.
Transformation(s)
△MNP
△DEF
△MNP was translated down 5 units and left 1 unit to form △DEF with the same shape and size.
△ABC
△JKL
△ABC was reflected over the x-axis to form △JKL with the same shape and size.
Which triangle is not congruent and why? △QRP is not congruent with any other triangle. Although it has a right-triangle shape like the other triangles, there are no other triangles with that same size.
4.
What transformation type(s) are not represented in the coordinate plane above? Rotation clockwise or counterclockwise (turning) and dilation (increase or decrease in size)
3
4
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 2: SIMILITUD Estándar(es) • Comprender la congruencia y la similitud al usar representaciones físicas, transparencias o software de geometría. Describir el efecto de dilataciones, traslaciones, rotaciones y reflexiones en figuras bidimensionales al usar coordenadas. • Comprender la congruencia y similitud al usar representaciones físicas, transparencias o software de geometría. Comprender que una figura bidimensional es similar a otra si la segunda se puede obtener a partir de la primera mediante una secuencia de rotaciones, reflexiones, traslaciones y dilataciones; dadas dos figuras bidimensionales similares, describir una secuencia que muestre la similitud entre ellas. Ideas fundamentales Geometría transformacional
Estándares para la práctica matemática
Conexiones de contenido
Motores de investigación
MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente.
CC4 Descubrir la figura y el espacio
DI1 Dar sentido al mundo: Comprender y explicar
MP.3 Construir argumentos viables y debatir el razonamiento de otros. MP.4 Representar con matemáticas. MP.6 Atender a la precisión. MP.7 Buscar y hacer uso
DESCRIPCIÓN Los estudiantes describen el factor de escala que produce figuras similares y determinan si representa una reducción o una ampliación. También realizan transformaciones que representan la similitud y demuestran que las figuras son similares.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 conjunto de tarjetas de similitud (por grupo) • 1 boleto de salida (por estudiante) REUTILIZABLES
• 2 bolsas resellables (por grupo)
PREPARACIÓN
• Planifique que los estudiantes trabajen en grupos de 3 o 4 para completar la actividad. • Imprima el «Diario del estudiante» y el «Boleto de salida» para cada estudiante. • Imprima un conjunto de «Tarjetas de similitud» para cada grupo. Recorte y coloque las tarjetas de la parte I en una bolsa resellable etiquetada como «Parte I». Recorte y coloque las tarjetas de la parte II en una bolsa resellable etiquetada como «Parte II».
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• Para los estudiantes que necesitan más apoyo para recordar la información, consulte nuestros elementos de «Ayudas suplementarias: Plano cartesiano de cuatro cuadrantes» en la sección «Intervenir».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Pablo y su equipo hicieron un gran trabajo al usar pistas para
determinar si dos figuras eran congruentes. Ahora, el tío Jorge quiere ver si Pablo puede utilizar pistas para seguir los pasos de un sospechoso. Para simularlo, quiere que Pablo y su grupo observen primero figuras similares para identificar el factor de escala y determinar si representa una ampliación o una reducción. Si ayudas a Pablo a hacerlo bien, ¡ambos habrán dominado una importante habilidad de detective!».
2. Ayude a los estudiantes a acceder a la tarea planteándoles las siguientes preguntas guías: a.
«¿Qué sabes ya sobre la palabra similar?».
b.
«¿Dónde has visto un objeto que tenga la misma forma pero diferentes tamaños?».
3. Entregue un «Diario del estudiante» a cada uno.
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GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2
4. Entregue un conjunto de «Tarjetas de similitud» de la parte I a cada grupo. 5. Explique a los estudiantes que trabajarán con sus grupos para describir el factor de escala que produce figuras similares y determinarán si representa una reducción o una ampliación. 6. Pida a los estudiantes que usen las «Tarjetas de similitud» para describir el factor de escala que produce figuras similares y que determinen si la figura representa una ampliación o una reducción. Utilizarán las coordenadas de las imágenes para hallar las longitudes de los lados de cada figura. A continuación, hallarán los cocientes de los lados correspondientes. (Asegúrate de que los estudiantes entienden que el factor de escala es la relación entre la longitud de la imagen y la longitud correspondiente en la figura original). 7. Supervise y hable con los estudiantes según sea necesario para comprobar la comprensión al usar las siguientes preguntas guías: a.
b.
DOK-1 «¿Cómo puedes hallar el factor de escala de una dilatación?». Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Para encontrar el factor de escala de una dilatación, primero debemos determinar la longitud de los lados de la preimagen y de la imagen. Luego, podemos determinar la razón de estas longitudes para encontrar el factor de escala. DOK-2 «¿Qué factores de escala conducen a ampliaciones?». Las respuestas de los estudiantes variarán. Si el factor de escala es mayor que 1, entonces representa una ampliación de la figura.
8. Conceda tiempo para que los estudiantes completen la parte I del «Diario del estudiante», incluidas las preguntas de reflexión. 9. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímelos a que se hagan preguntas y establezcan conexiones. Anime a los estudiantes a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias usadas para determinar el factor de escala de una dilatación.
• DOK-2 «¿Cómo se usan los factores de escala y figuras similares en el mundo real?». Un ejemplo del uso del factor de escala en el mundo real sería observar las medidas de un modelo de avión y compararlas con las medidas de un avión real. PARTE II 1. Lee el siguiente escenario: «Pablo y su equipo trabajan duro y aprenden mucho sobre figuras similares. El tío Jorge piensa que Pablo y su equipo están listos para conquistar otra habilidad de detective y aprender a usar pistas para determinar qué transformaciones ha sufrido la figura en la transformación de similitud. A continuación, Pablo debe explicar las secuencias de transformación que han tenido lugar. Si ayuda a Pablo a hacerlo bien, ¡ambos habrán dominado otra importante habilidad de detective!». 2. Ayude a los estudiantes a acceder a la tarea planteándoles las siguientes preguntas guías: a.
«¿Qué recuerdas sobre las transformaciones?».
b.
«¿Cuándo ha habido algún momento en tu vida en el que hayas tenido que describir los pasos que te ha llevado hacer algo o llegar a algún sitio?».
3. Explique a los estudiantes que trabajarán con sus grupos para describir una transformación de similitud. 4. Entregue un conjunto de «Tarjetas de similitud» de la parte II a cada grupo. 5. Pida a los estudiantes que describan una transformación de similitud al describir las transformaciones que tienen lugar para que una figura se corresponda con otra. También determinarán el factor de escala de la dilatación que tuvo lugar. 6. Supervise y evalúe a los estudiantes mientras trabajan al formular las siguientes preguntas guías: a.
DOK-1 «¿Cómo puedes determinar las transformaciones que se muestran?». Las respuestas de los estudiantes variarán. Si se produce una rotación, verán que gira la preimagen alrededor de un eje. Si se produce una reflexión, verás que invierte la imagen previa y produce la imagen especular. Si se produce una traslación, verás que se desliza o que desplaza la preimagen.
b.
DOK-2 «¿Cómo puedes determinar el tipo de dilatación que se produce?». Las respuestas de los estudiantes variarán. Si se produce una dilatación, verás que estira o encoge la preimagen.
10. Después de la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 Cuando las figuras son similares, «¿qué sabemos acerca de los ángulos correspondientes?». Figuras similares siempre tienen la misma forma pero no el mismo tamaño. Tienen ángulos iguales pero no longitudes de lado iguales. • Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: • DOK-2 «¿Cómo pueden las dilataciones probar que las figuras son similares?». Para que dos figuras sean similares, deben tener medidas de ángulos correspondientes congruentes (iguales) y lados proporcionales. Las dilataciones crean figuras similares porque al multiplicar por el factor de escala se crean lados proporcionales mientras que la medida del ángulo y la forma permanecen iguales.
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7. Conceda tiempo a los estudiantes para que completen la parte II del «Diario del estudiante», incluidas las preguntas de reflexión. 8. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímeles a que se hagan preguntas y establezcan conexiones. Anime a los estudiantes a fijarse en las similituds y diferencias entre las estrategias utilizadas para describir una transformación de similitud.
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GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Congruence and Similarity Explore 2
9. Después de la parte II, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
Similarity
CHARLA DE MATEMÁTICAS • Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: • DOK-2 Cuando figuras similares se transforman varias veces, «¿la imagen tiene la misma forma?». No importa cuántas veces se transforme o dilate una figura similar, siempre tiene la misma forma pero no siempre el mismo tamaño. • DOK-2 «¿Cómo se utiliza la transformación de similitud en el mundo real?». Un ejemplo podría ser mirar un mapa para rastrear la distancia entre ciudades en el mapa y aplicarlo a la distancia entre ciudades en el mundo real.
DESPUÉS DE EXPLORAR 1. Haga que los estudiantes completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
Part I Use the Similarity Cards to describe the scale factor of dilation and determine whether the new image is an enlargement or a reduction. Card 1 1.
Use the coordinates to find the lengths of the sides of each triangle. Triangle ABC: AC = 2 CB = 5 Triangle A′B′C′: A′C′ = 4, C′B′ = 10
2.
Find the ratios of the corresponding sides. A’C’ = AC
3.
4 2
=2
C’B’ CB
= 10
=2
5
What is the scale factor? Is the dilation an enlargement or reduction? The scale factor of the dilation is 2. This dilation is an enlargement.
2. Complete el «Esquema de anclaje» como clase. 3. Haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva».
1
4. Regrese al «Captar interés» e instruya a los estudiantes para que usen sus habilidades recién adquiridas para completar exitosamente la actividad.
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Anime a los estudiantes a escribir o compartir su razonamiento para creer que dos figuras son similares. Recuerde a los estudiantes que suponer la similitud con sólo mirar las figuras no es suficiente. 2. Los estudiantes pueden utilizar las palabras voltear, girar, o deslizar. Anime a los estudiantes a utilizar los términos matemáticos para describir las transformaciones utilizadas. 3. Proporcione flexibilidad a los estudiantes que necesiten menos tareas al reducir la cantidad de «Tarjetas de similitud» que deben analizar.
Congruence and Similarity Explore 2
Card 2 1.
Rectangle MNOP: MO = 4, OP = 6 Rectangle M′N′O′P’: M′O′ = 2, O′P′ = 3 2.
Aclare los términos matemáticos rotación, traslación, reflexión, dilatación, y factor de escala. Como actividad previa a la lección, guíe a los estudiantes para que completen el «Vocabulario interactivo» que se encuentra en la sección «Explicar» para el vocabulario nuevo. Proporcione a los estudiantes la definición y anímelos a reescribirla con sus propias palabras. Proyecte las preguntas de la charla de matemáticas. Forme parejas de estudiantes y pídales que se turnen para entrevistarse. Desafíe a los estudiantes a responder al usar las palabras de vocabulario matemático de la sección «Explorar», como factor de escala, ampliación, y reducción.
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 190
Find the ratios of the corresponding sides. M’O = MO
3.
2 4
=
O’P’ OP
1 2
=
3 6
=
1 2
What is the scale factor? Is the dilation an enlargement or reduction? The scale factor of the dilation is 1 . This dilation is a reduction.
4. Como ampliación, desafíe a los estudiantes a crear sus propias figuras similares al usar múltiples transformaciones, al incluir una dilatación.
APOYOS LINGÜÍSTICOS
Use the coordinates to find the lengths of the sides of each rectangle.
2
Card 3 1.
Use the coordinates to find the lengths of the sides of each triangle. Triangle ABC: AC = 4, AB = 5 Triangle A′B′C′: A′C′ = 12, A′B′ = 15
2.
Find the ratios of the corresponding sides. A’C’ AC
3.
=
12 4
=3
A’B’ AB
=
15 5
=3
What is the scale factor? Is the dilation an enlargement or reduction? The scale factor of the dilation is 3. This dilation is an enlargement.
2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2
Congruence and Similarity Explore 2
Card 4 1.
Congruence and Similarity Explore 2
Part II
Use the coordinates to find the lengths of the sides of each parallelogram.
Use the Similarity Cards to describe a similarity transformation.
Parallelogram WXYZ: WY = 8, YZ = 8
Card 1
Parallelogram W′X′Y′Z’: W′Y′ = 2, Y′Z′ = 2 2.
Find the ratios of the corresponding sides. W’Y’ WY
3.
Describe the similarity transformations that map trapezoid ABCD to trapezoid WXYZ.
=
2 8
=
1 4
Y’Z’ YZ
=
2 8
=
1 4
A similarity transformation that maps trapezoid ABCD to trapezoid WXYZ shows a reflection over the y-axis followed by a dilation with a scale factor of 1 . 3
What is the scale factor? Is the dilation an enlargement or reduction? 1
The scale factor of the dilation is 4 . This dilation is a reduction.
Reflect 1.
Card 2
How can you find the scale factor of a dilation?
Describe the similarity transformations that map triangle ABC to triangle DEF.
To find the scale factor of a dilation, first we must determine the length of the sides of the preimage and the image. Then, we can determine the ratio of these lengths to find the scale factor.
2.
A similarity transformation that maps triangle ABC to triangle DEF shows a rotation of 180° followed by a dilation with a scale factor of 2 and a translation to create triangle DEF.
How can dilations prove that figures are similar? In order for two figures to be similar, they must have congruent (equal) corresponding angle measures and proportional sides. Dilations create similar figures because multiplying by the scale factor creates proportional sides while leaving the angle measure and the shape the same.
3
4
Congruence and Similarity Explore 2
Reflect 1.
When similar figures are transformed multiple times, does the image still remain the same shape? No matter how many times a similar figure is transformed or dilated, it is always the same shape but not necessarily the same size.
2.
How is similarity transformation used in the real world? An example would be looking at a map to track the distance between cities on the map and applying it to the distance between cities in the real world.
5
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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191
1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2
Congruence and Similarity Part 2
Congruence and Similarity Part 2
Similarity 1.
Use a blue colored pencil to graph △ABC with vertices A (–4, 1), B (–2, 2), and C (–2, 1). Then, perform the transformations listed in questions 2 and 3.
4.
Identify the transformation steps from the pre-image of figure X to figure Y. Step 1. Figure X was reflected over the y-axis from right to left Step 2. Figure X was then dilated to a smaller size. Step 3. Figure X was translated 5 units upward. (Steps 2 and 3 can be done in reverse order.)
2.
5.
Use a red pencil to translate △ABC 5 units right and 1 unit up. List the coordinates of the image vertices for △A′B′C’. △A′B′C′ has vertices A′ (1, 2), B′ (3, 3), and C′ (3, 2).
3.
What scale factor was used to dilate figure X to figure Y? Explain. The length of the top, bottom, and right sides of figure X are 4 units each. Those corresponding sides in figure Y are only 2 units. Because there is a decrease in size, the scale factor is 1 . 2
Use a green pencil to dilate △A′B′C′ by using a scale factor of 2. List the coordinates of the image vertices for △A″B″C″. △A″B″C″ has vertices A″ (2, 4), B″ (6, 6), and C″ (6, 4).
1
2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 2) CLAVE DE RESPUESTAS
Congruence and Similarity Explore 2
Retrace Your Steps Exit Ticket Pablo and his team of detectives are looking at images to help retrace the steps that were found at the scene of a crime. Look at the figures below and describe the similarity transformations that map triangle ABC to triangle DEF.
Which sequence of transformations maps triangle ABC to triangle DEF? A reflection over the y-axis to create triangle A’B’C’, and then a dilation with a scale factor of 2 and a translation to create triangle DEF
1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
192
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GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE Congruence and Similarity
CONSOLIDAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
ESQUEMA DE ANCLAJE DESCRIPCIÓN
Movement: Reflection over the y-axis, translation 1 unit left and 9 units down
Movement: 90° clockwise rotation, dilation by a scale factor of 2
What will be the coordinates of the image if ⃤ ABC is translated 8 units to the left and reflected across the x-axis?
Congruent or similar? Congruent
Congruent or similar? Similar
Subtract 8 from the x coordinates A(7, 3) B(4, 8) C(4, 3) → A(−1, 3) B(−4, 8) C(−4, 3)
Determining Scale Factor x values y values New −6 4 Old = 2 = 2
−3
2
Change the new y values to their negative A(−1, 3) B(−4, 8) C(−4, 3) → A’(−1, −3) B’(−4, −8) C’(−4, −3)
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
Un esquema de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Se trata de una herramienta para apoyar la instrucción y anclar el aprendizaje de los estudiantes a lo largo del alcance.
MATERIALES
• 1 hoja de papel cuadriculado • 1 juego de marcadores multicolores
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del ejemplo de «Esquema de anclaje», si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. El ejemplo de esquema de anclaje puede utilizarse como referencia antes de crear el de la clase. Esta actividad debe ser dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje. 2. A medida que los estudiantes trabajen en el alcance, colaboren para añadir piezas al «Esquema de anclaje». Formule las siguientes preguntas orientadoras: a. «¿Qué estrategia utilizamos para resolver este problema?». b. «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?». 3. Continúe añadiendo habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada «Exploración» para resaltar el contenido importante. 4. Explique que pueden utilizar este gráfico como herramienta de apoyo para su aprendizaje. Los estudiantes también pueden pegar una copia del ejemplo del esquema en sus cuadernos para utilizarla como referencia a lo largo del año. 5. Algunos esquemas de anclaje sólo se mostrarán durante un alcance o grupo de alcances concretos, mientras que otras permanecerán expuestas durante todo el curso escolar.
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GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA Congruence and Similarity
DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DE LOS ESTUDIANTES
LIBRETA INTERACTIVA
Instructions ● Describe the movement from figure 1 to figure 2. Determine whether the figures are congruent or similar, and whether a dilation has been formed. Identify the scale factor. ● Cut out the shape along the dotted lines, and glue or tape it into your notebook.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase al usar la actividad y la libreta.
MATERIALES
Movement:
Congruent
or
Similar
or
Similar
IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
PREPARACIÓN
Movement:
• Imprima una copia del «Folleto del estudiante» para cada uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Congruent
Scale Factor =
1. Prepare una «Libreta interactiva» al usar un cuaderno de espiral o de composición para cada uno. Los estudiantes pueden utilizar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades. 2. Las instrucciones para cada actividad se proporcionan en el «Folleto del estudiante». 3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos. 4. Las libretas interactivas pueden utilizarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
Congruence and Similarity
Instructions ● Label the vertices of the triangle with their coordinates. ● Form the transformation. ● Record the coordinates of the vertices of the new figure. ● Cut out the shape along the dotted lines, and glue it into your notebook.
Coordinates of the original figure: A= B= C= Translate the triangle 8 units to the left, and form a reflection over the x-axis. Coordinates of the new figure: Aʹ = Bʹ = Cʹ =
FOLLETO DEL ESTUDIANTE
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1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS APOYO PARA ESTUDIANTES MULTILINGÜES
CONEXIONES LINGÜÍSTICAS DESCRIPCIÓN
• Permita que los estudiantes tengan acceso al vocabulario ilustrado para este alcance .
Los estudiantes tienen la oportunidad de utilizar sus conocimientos lingüísticos y culturales de base para apoyar las conexiones con nuevas habilidades, vocabulario y conceptos en sus niveles de competencia.
• Permita que los estudiantes tengan acceso a una variedad de herramientas matemáticas, tales como fichas de álgebra y rectas numéricas.
MATERIALES
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
IMPRESO
1. Distribuya a cada estudiante un «Folleto del estudiante» en el nivel de competencia apropiado.
• 1 folleto del estudiante según su nivel de competencia (por alumno)
2. Use las indicaciones para las partes de escuchar, hablar, leer y escribir. Utilice gestos, señale objetos y elementos visuales, según proceda. Consulte las indicaciones para obtener sugerencias.
REUTILIZABLE
• 1 conjunto de fichas de álgebra (por estudiante) • 1 conjunto de lápices o marcadores de colores azul y rojo (por estudiante)
3. Deje tiempo a los estudiantes para que piensen con sus vecinos antes de responder. 4. Anime a los estudiantes a perseverar en su pensamiento y a usar herramientas y representaciones matemáticas.
PREPARACIÓN
• Prepárese para que los estudiantes trabajen con compañeros cuando sea necesario.
5. Invite a los estudiantes a responder adecuadamente a cada dominio lingüístico.
• Determine el nivel de inglés de cada estudiante. • Imprima un «Folleto del estudiante» para cada estudiante según su nivel de inglés.
Congruence and Similarity B
Original Image (x, y)
Dilation ·2
(−4, 4)
(−4 · 2 , 4 · 2)
Dilated Image (2x, 2y)
6. Haga que los estudiantes usen la página final del «Folleto del estudiante» para formar conexiones entre los conceptos matemáticos y el mundo real.
Congruence and Similarity B
notebooks for school. The
Hannah needs some composition length of one of her
notebooks is 10, and the
width is 12. She
(−8, 8) backpack. The
wants to get a smaller size to fit in her
(4, 4)
(4 · 2 , 4 · 2)
(8, 8)
(4, −3)
(4 · 2 , −3 · 2)
8 –6 (__, __)
of the smaller
(−4, −3)
(–4 · 2 , −3 · 2)
–8 __) –6 (__,
was used to create the smaller
notebook is 5, and the
length
width is 6. What scale factor
notebook?
Congruence and Similarity I
Original Image (x, y)
Dilation ·2
(−4, 4)
Dilated Image (2x, 2y)
(−4 · 2 , 4 · 2)
(−8, 8)
(4, 4)
(4 · 2 , 4 · 2)
8 __) 8 (__,
(4, −3)
(4 · 2 , −3 · 2)
8 –6 (__, __)
(−4, −3)
(−4 · 2 , −3 · 2)
–8 __) –6 (__,
Congruence and Similarity I
Congruence and Similarity A
Original Image (x, y)
Hannah needs some composition notebooks for school. The length of one of her notebooks is 10, and the width is 12. She wants to get a smaller size to fit in her backpack. The length of the smaller notebook is 5, and the width is 6. What scale factor was used to create the smaller notebook?
(−4, 4)
(−8, 8)
(4, 4)
(8, 8)
(4, −3)
(8, −6)
(−4, −3)
(−8, −6) 10 by 12 The dimensions of Hannah’s original notebook are ____________.
The dimensions of Hannah’s original notebook are 5 by 6. True / False
The dimensions of Hannah’s original notebook are ____________. 5 by 6 / 10 by 12
5 by 6 The dimensions of Hannah’s new notebook are _____________.
The dimensions of Hannah’s new notebook are 5 by 6. True / False
The dimensions of Hannah’s new notebook are _____________. 5 by 6 / 10 by 12
reduction The new notebook is a ______________ of the original notebook.
The new notebook is a reduction of the original notebook. True / False
The new notebook is ______________ of the original notebook. an enlargement / a reduction
The ratio of the length of the new notebook to the length of the original notebook is _______.
Congruence and Similarity A
Hannah needs some new composition notebooks for school. The dimensions of one of her notebooks are 10 by 12. She wants to get a smaller-sized notebook to fit in her backpack. The dimensions of the smaller notebook are 5 by 6. What scale factor was used to create the smaller notebook?
Dilated Image (2x, 2y)
The ratio of the length of the new notebook to
The ratio of the length of the new notebook to
the length of the original notebook is 2.
2 the length of the original notebook is _______.
1
True / False
2 /1 2
Scale factor: 2
width of the original notebook is
width of the original notebook is ______.
Reduction
The scale factor that was used to create the new notebook was _______. 2/
Enlargement
Congruence and Similarity B
Word Bank angles points
congruent size
dilations rotations
1 2
A scale factor less than one increases / decreases the size of a figure. Is this dilation a reduction or enlargement?
Congruence and Similarity B
M(10, 1)
side two
Use the word bank and the example given to explain how to determine which triangles are congruent. Describe which triangles are congruent and the transformations used to show congruence.
A scale factor less than one __________________ the size of a figure. decreases
1 2
1
2 The scale factor that was used to create the new notebook was _______.
Is this dilation a reduction or enlargement?
Enlargement
Congruence and Similarity I
Points
Congruent Size
Dilations Rotations
Congruence and Similarity I
Congruence and Similarity A
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use congruence and similarity at home with your family or friends.
Word Bank Angles
Answers will vary.
What scale factor was used to create the new notebook?
Enlargement
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use congruence and similarity at home with your family or friends. translate
Reduction
2 width of the original notebook is ______.
A scale factor greater than one _________________ increases the size of a figure.
A scale factor greater than one increases / decreases the size of a figure.
2
1
Scale factor: 2
1 . 2
True / False
2/ 1
Is this dilation a reduction or enlargement?
The ratio of the width of the new notebook to the
The ratio of the width of the new notebook to the
The ratio of the width of the new notebook to the
Scale factor: 2 A scale factor greater than one increases the size of a figure. A scale factor less than one reduces the size of a figure.
M(10, 1) Translate
Side Two
Use the word bank and the example given to explain how to determine which triangles are congruent. Describe which triangles are congruent and the transformations used to show congruence.
To determine if triangles KTN, WHB, and MSR
To determine if triangles KTN, WHB, and MSR
are congruent, use rigid transformations like
are congruent, use rigid transformations like
rotations translations, ____________, and reflections.
translations, ____________, and reflections. rotations
Angles Answers will vary.
Points
Congruent Size
Dilations Rotations
Congruence and Similarity A
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use congruence and similarity at home with your family or friends.
Word Bank M(10, 1) Translate
Side Two
Answers will vary.
Use the word bank and the example given to explain how to determine which triangles are congruent. Describe which triangles are congruent and the transformations used to show congruence.
To determine if triangles KTN, WHB, and MSR
These transformations do not change the
These transformations do not change the
are congruent, use rigid transformations like
size _______ or shape of a figure, which means angles the triangles' side lengths and __________
size _______ or shape of a figure, which means
translations, rotations, and reflections. These
stay the same.
stay the same.
angles the triangles' side lengths and __________
transformations do not change the size or shape of a figure, which means the triangles' side lengths and angles stay the same.
translate First, ____________ triangle WHB down 5 and right 3 units so that point B
First, ____________ triangle WHB down 5 and right 3 units so that point B translate
matches point M(10, 1). After this translation, the other vertices align perfectly.
matches point M(10, 1). After this translation, the other vertices align perfectly. side This confirms that triangles KTN and MSR have the same _______ lengths and
First, translate triangle WHB down 5 and right 3 units so that point B matches
congruent angles so they are __________.
confirms that triangles KTN and MSR have the same side lengths and angles so
side lengths and This confirms that triangles KTN and MSR have the same _______ congruent angles so they are __________.
point M(10, 1). After this translation, the other vertices align perfectly. This they are congruent.
Next, test triangle KTN. Translate triangle KTN so that point K aligns with point
Describe how you would test triangle KTN. Translate triangle KTN so that point K
M(10, 1) points __________. After this translation, the other _________ do not match. Dilating
aligns with point M(10, 1). After this translation, the other points do not match.
Translate triangle KTN so that point K aligns with point M(10, 1). After this
two dilations KTN by a factor of ______ gets all of the points to align. However, ____________
Dilating KTN by a factor of two gets all of the points to align. However, dilations do
translation, the other points do not match. Dilating KTN by a factor of two gets all
do not preserve side lengths so the triangles KTN and MSR are not congruent.
not preserve side lengths so the triangles KTN and MSR are not congruent.
of the points to align. However, dilations do not preserve side lengths so the triangles KTN and MSR are not congruent.
PRINCIPIANTE FOLLETO DEL ESTUDIANTE
ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 195
INTERMEDIO FOLLETO DEL ESTUDIANTE
AVANZADO FOLLETO DEL ESTUDIANTE
195
1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCUCHAR Y HABLAR PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Disponga de tarjetas de «Vocabulario ilustrado» para que los estudiantes las usen. Lea las siguientes indicaciones de una en una:
Tenga a mano tarjetas de «Vocabulario ilustrado» para que las usen los estudiantes. Lea las siguientes indicaciones de una en una:
Tenga a mano tarjetas de «Vocabulario ilustrado» para que las usen los estudiantes. Lea las siguientes preguntas de una en una:
•
Cuando algo se dilata, se hace más grande o más pequeño. Use movimientos de la mano para enfatizar la diferencia entre más grande y más pequeño.
•
Señala la imagen original.
•
«¿Cómo sabe que es la imagen original?». •
Señala la imagen dilatada.
•
«¿Se ha hecho más grande o más pequeña?». Pida a los estudiantes que usen la siguiente secuencia: La imagen dilatada se convirtió en _____.
•
El factor por el que se hace más grande o más pequeña se llama factor de escala.
•
Mira la tabla.
•
«¿Qué observas en las coordenadas de la imagen dilatada en comparación con las coordenadas de la imagen original?». •
Haga que los estudiantes usen la siguiente raíz de frase: He observado que las coordenadas de la imagen dilatada son ____.
•
Señale el encabezamiento de la tabla, Imagen dilatada (2x, 2y).
•
«¿Qué nos dicen las coordenadas algebraicas (2x, 2y)?». •
•
•
Pida a los estudiantes que usen la siguiente raíz de frase: Las coordenadas algebraicas (2x, 2y) nos dicen ____.
«¿Cuál es el factor de escala?». •
Pida a los estudiantes que usen la siguiente raíz de oración: El factor de escala es ____.
Escriba el factor de escala en el recuadro. •
Cuando algo se dilata, sus coordenadas en el plano de coordenadas cambian.
•
Mira la tabla.
•
«¿Cómo cambian las coordenadas al pasar de la imagen original a la dilatada?». •
Pida a los estudiantes que usen la siguiente secuencia de frases: Sé que es la imagen original porque _____.
•
•
•
Pida a los estudiantes que usen el siguiente marco de frases: Las coordenadas de la imagen dilatada son _____ en comparación con la imagen original.
•
Señala el título de la tabla, Imagen dilatada (2x, 2y).
•
«¿Qué nos dicen las coordenadas algebraicas (2x, 2y)?». •
Pida a los estudiantes que usen el siguiente enunciado: Las coordenadas algebraicas (2x, 2y) nos dicen ____.
•
Completa el resto de la tabla.
•
Utiliza la información de la tabla para dibujar la imagen dilatada.
•
Etiqueta los vértices de la imagen dilatada A′B′C′D′.
•
«¿Cuál es el factor de escala?». Escribe el valor en el recuadro.
•
Pida a los estudiantes que señalen las palabras mientras leen el fragmento sobre el factor de escala. Haga una pausa para que los estudiantes encierren con un círculo la palabra que elijan. Termine de leer la propaganda.
•
La reducción es cuando las cosas se hacen más pequeñas. (Use movimientos de las manos para enfatizar).
•
La ampliación es cuando las cosas se hacen más grandes. (Usa movimientos de las manos para enfatizar).
•
«¿Es esta dilatación una reducción o una ampliación?». Encierra con un círculo tu respuesta.
•
Cuando algo se dilata, «¿cómo pueden cambiar las coordenadas de la figura dilatada?».
•
Mira la tabla.
•
«¿Cómo cambian las coordenadas al pasar de la imagen original a la dilatada?».
•
Señala el encabezamiento de la tabla, Imagen dilatada (2x, 2y).
•
«¿Qué nos dicen las coordenadas algebraicas (2x, 2y)?».
•
Completa la tabla.
•
Utiliza la información de la tabla para dibujar la imagen dilatada.
•
Etiqueta los vértices de la imagen dilatada A′B′C′D′.
•
«¿Cuál es el factor de escala?». Escribe el valor en el recuadro.
•
Pida a los estudiantes que señalen las palabras mientras lees el fragmento sobre el factor de escala. Haga una pausa para que los estudiantes puedan escribir la palabra que elijan. Ayúdeles con la ortografía si es necesario.
•
«¿Un factor de escala mayor que uno aumenta o disminuye el tamaño de una figura?».
•
«¿Un factor de escala menor que uno aumenta o disminuye el tamaño de una figura?».
•
«¿Qué significa reducción?».
•
«¿Cómo se relaciona la reducción con el factor de escala?».
•
«¿Qué significa ampliación?».
•
«¿Cómo se relaciona la ampliación con el factor de escala?».
•
«¿Esta dilatación es una reducción o una ampliación?». Escribe tu respuesta.
Haga que los estudiantes señalen las palabras mientras usted lee el fragmento sobre el factor de escala.
•
La reducción es cuando las cosas se hacen más pequeñas. (Use movimientos de las manos para enfatizar).
•
La ampliación es cuando las cosas se hacen más grandes. (Use movimientos de las manos para enfatizar).
•
«¿Es esta dilatación una reducción o una ampliación?». Encierra con un círculo tu respuesta.
196
SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 196
ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
LEER Y HABLAR
PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
Leer la historia en grupo. Divida la historia en frases. Pida a los estudiantes que señalen cada palabra mientras leen. Pídales que encierren con un círculo las palabras que no conozcan. Haga las palabras en grupo.
Lea en coro la historia en grupo. Pida a los estudiantes que señalen cada palabra mientras leen. Pídales que encierren con un círculo las palabras que no conozcan. Haga las palabras con sus compañeros.
•
Debate la situación con los estudiantes. Haga gestos con las manos y muestre imágenes cuando proceda mientras formula las preguntas. •
«¿Qué material escolar tienes hoy?». (Los estudiantes pueden decirlo o mostrarlo).
•
Lea la primera frase antes de pedir a los estudiantes que respondan. Señala la respuesta en el cuento. Encierra con un círculo tu respuesta.
•
Lea la segunda afirmación antes de que los estudiantes respondan. Señala la respuesta en la historia. Encierra con un círculo tu respuesta.
•
Lea la tercera afirmación antes de que los estudiantes respondan. Señala la respuesta en la historia. Encierra con un círculo tu respuesta.
•
«¿Cuál es la longitud del cuaderno original?».
•
Pida a los estudiantes que usen el siguiente marco de frases: •
La longitud del cuaderno original es de ________ pulgadas.
•
«¿Cuál es la longitud del cuaderno nuevo?».
•
Pida a los estudiantes que usen el siguiente enunciado: •
Comparta con sus compañeros de qué trataba la historia.
•
Explique a sus compañeros de qué trataba el pasaje.
•
Debate con tus compañeros,
•
Debate con tus compañeros,
•
Lee en coro el primer enunciado. Señala la respuesta en la historia antes de marcar la afirmación como verdadera o falsa.
•
Lee en coro la segunda afirmación. Señala la respuesta en la historia antes de marcar la afirmación como verdadera o falsa.
•
Lectura coral de la tercera afirmación. Debate con tus compañeros para decidir si es verdadera o falsa.
•
Pida a los estudiantes que usen los siguientes enunciados cuando compartan su estrategia con sus compañeros:
«¿Cuál es la relación entre la longitud del nuevo cuaderno y la del cuaderno original?».
•
Encontraré la respuesta en _____.
•
Pida a los estudiantes que usen el siguiente enunciado:
•
Estoy de acuerdo porque _______.
•
No estoy de acuerdo porque _______.
La relación entre la longitud del nuevo cuaderno y la del cuaderno original es de ________.
Lea el cuarto enunciado antes de pedir a los estudiantes que respondan.
•
«¿Cuál es el ancho del cuaderno original?».
•
Pida a los estudiantes que usen el siguiente marco de frases: •
El ancho del cuaderno original es de ________ pulgadas.
•
«¿Cuál es el ancho del cuaderno nuevo?».
•
Pida a los estudiantes que usen el siguiente marco de frases: •
•
Lee en coron el cuarto y el quinto enunciado. Debate con tus compañeros para decidir si es verdadera o falsa.
•
Lee en pareja la sexta afirmación. Debate con tus compañeros para decidir el factor de escala correcto.
•
«¿Qué sabes sobre el factor de escala?».
Lee cada enunciado y comenta las respuestas con tus compañeros.
El ancho del nuevo cuaderno es de ________ pulgadas.
•
«¿Cuál es la relación entre el ancho del nuevo cuaderno y el ancho del cuaderno original?».
•
Pida a los estudiantes que usen el siguiente marco de frases: La relación entre el ancho del nuevo cuaderno y el ancho del cuaderno original es ________.
•
Haga eco de la quinta afirmación antes de que los estudiantes respondan.
•
Lea la sexta afirmación antes de que los estudiantes respondan.
•
«¿Cuál es el factor de escala?». Encierra con un círculo tu respuesta.
•
«¿Cómo lo sabes?».
•
Pide a los estudiantes que usen la siguiente estructura de frases: •
•
«¿Qué sabes sobre el factor de escala?».
•
La longitud del nuevo cuaderno es de ________ pulgadas.
•
Pida a los estudiantes que lean la historia con sus compañeros y que señalen cada palabra mientras leen. Invite a los estudiantes a encerrar con un círculo las palabras que no conozcan y a comentarlas con sus compañeros.
•
•
•
AVANZADO
Sé que _____ es el factor de escala porque ________.
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197
1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCRIBIR
PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Disponga de tarjetas de «Vocabulario ilustrado» para los estudiantes. Lea y comente las palabras del banco de palabras. Defina y proporcione ejemplos según las necesidades de los estudiantes. Mientras lee, utilice las siguientes pistas:
Ponga a disposición de los estudiantes tarjetas de «Vocabulario ilustrado». Lectura coral y comente sobre las palabras del banco de palabras. Defina y proporcione ejemplos según las necesidades de los estudiantes. Utilice las siguientes pistas:
Ponga a disposición de los estudiantes tarjetas de «Vocabulario ilustrado». Los estudiantes deben leer coralmente el banco de palabras con sus compañeros. Debatir en parejas el significado de las palabras. Defina y ponga ejemplos si es necesario. Mientras los estudiantes leen, utilice las siguientes pistas:
•
•
Comente con los estudiantes las figuras congruentes. •
«¿Qué significa que dos figuras sean congruentes?».
•
«¿Qué tipos de transformaciones se pueden utilizar para mostrar la congruencia?».
•
«¿Qué ocurre con las longitudes de los lados y los ángulos de una figura después de una traslación?».
•
«¿Qué les ocurre a las longitudes de los lados y a los ángulos de una figura después de una dilatación?».
•
«¿Cuál es un ejemplo de transformación rígida que conserva el tamaño y la forma?».
•
Pida a los estudiantes que comenten las palabras del banco de palabras con sus compañeros.
•
Dobla la mitad inferior del papel para que sólo se vea el banco de palabras. Señale una palabra del banco de palabras y, por turnos, explica las palabras con tus compañeros.
•
Tome nota de los estudiantes que explican con precisión matemática las palabras del banco de palabras.
•
A continuación, señala una palabra del banco de palabras cuyo significado necesites aclarar.
•
Lea en eco de cada enunciado, y pida a los estudiantes que consulten el banco de palabras antes de escribir su respuesta.
•
•
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 198
En función de los estudiantes a los que hayas oído dar las explicaciones matemáticamente precisas, pide a los estudiantes que ayuden a aclarar las palabras seleccionadas a sus compañeros. Veo que varios estudiantes piden aclaraciones sobre la palabra___. (Nombre del estudiante) pudo dar una explicación clara sobre la palabra ________ a su compañero. _____, «¿podrías compartir tu explicación?».
•
Haga que los estudiantes comenten las palabras del banco de palabras con sus compañeros.
•
Haz las palabras del banco de palabras con tus compañeros. Cada persona debe dar una explicación o descripción de una palabra y, a continuación, pedir a su compañero que parafrasee el significado de la palabra. Continúa este proceso hasta que hayas comentado todas las palabras del banco de palabras.
•
Lee las instrucciones con tus compañeros. «¿Qué plan seguirás para asegurarte de que utilizas la mayor cantidad posible de palabras del banco de palabras en tu redacción?». Si no estás seguro de cómo utilizar una palabra, enciérrala con un círculo en el banco de palabras. Los estudiantes aún no deben empezar a escribir.
•
Esté atento a los estudiantes que tengan dificultades para crear un plan o que encierren con un círculo las palabras del banco de palabras. Ofrézcales apoyo y permita que los estudiantes que hayan podido crear un plan lo compartan con la clase.
Lee cada enunciado con tus compañeros y utiliza las palabras del banco de palabras para completar cada enunciado. Ten en cuenta que algunas palabras pueden usarse más de una vez o no usarse en absoluto. Recuerde a los estudiantes que consulten el banco de palabras cuando rellenen los espacios en blanco.
•
Veo que varios de nosotros necesitamos aclaraciones sobre la palabra _______. Dirígete a alguien que no sea tu compañero y pídele que aclare o defina la palabra _______.
•
Veo que varios de nosotros necesitamos ayuda para diseñar un plan para usar palabras del banco de palabras. Dirígete a alguien que no sea tu compañero y pídele que explique cómo piensa usar la mayor cantidad posible de palabras del banco de palabras.
•
Pide a los estudiantes que escriban sus explicaciones una vez que se hayan aclarado todas las palabras y se hayan compartido los planes.
•
Ahora, escribe tu explicación al usar al menos cinco de las palabras del banco de palabras. Cuando termines de escribir, comparte tu escrito con tus compañeros.
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1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO VOCABULARIO CLAVE
VOCABULARIO ILUSTRADO
Congruent Figures
Corresponding Angles
Figures with the same size and shape
Angles in the same position in different plane figures 2
Corresponding Sides (Proportional)
Two sides that are in the same position in different plane figures; in scale drawings, these sides will have a proportional relationship. 3
4
Dilation
Image
Preimage
A type of transformation where a scale factor is used to enlarge or reduce the distances in the original image
The new figure in a transformation
The original figure in a transformation
5
6
7
Reflection
Rotation
Scale Factor
The mirror image of a figure; the flipping of a figure
The turning of a figure around a fixed point
The ratio of corresponding side lengths in a scale drawing to those of the original figure
8
9
10
Similar Figures
Transformation
Translation
Two or more figures that are the same shape but different sizes
Changing a shape through movement on a coordinate plane
Moving a figure along a line for a specific distance
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GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ DESARROLLAR FLUIDEZ CONCEPTUAL
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: DILATACIONES DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes jugarán a un conjunto de Concentración.
Concentration Instruction Sheet Play this game with a partner. You Will Need 1 Set of Concentration Cards (per pair)
How to Play 1. Shuffle the cards, and place them facedown to form a 4 × 6 array.
MATERIALES IMPRESO
• 1 hoja de «Instrucciones de Concentración» (por pareja) • 1 conjunto de tarjetas de Concentración (por pareja) REUTILIZABLES
• 1 sobre o bolsa (por pareja)
PREPARACIÓN
2.
Player 1 flips over two cards to try to find a match. A match is a problem with its correct answer. Problems will need to be solved in order to determine matching answers.
3.
If player 1 matches a problem with the correct answer, then player 1 keeps the matched set and takes another turn.
4.
If player 1 does not find a match, then they place the cards facedown again, and it is the next player's turn.
5.
Players continue taking turns until all of the matches have been found.
6.
The player who collects the most cards wins.
• Haga copias a doble cara de las «Tarjetas de Concentración». • Lamínelas para que duren más. • Recorte las tarjetas individuales y colóquelas en un sobre o bolsa para facilitar su distribución y limpieza.
HOJA DE INSTRUCCIONES
• Coloque a los estudiantes en parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo barajar las tarjetas y coloquerlas boca abajo en una matriz de 4 × 6.
3. Distribuya los materiales. A continuación, pida a los estudiantes que barajen las tarjetas y las coloquen boca abajo. 4. Vigile a los estudiantes para asegurarse de que encuentran las parejas correctas.
2. Muestre cómo jugar con un estudiante. a. El jugador 1 voltea 2 tarjetas para tratar de encontrar un pareo. Un pareo es un problema con su respuesta correcta. Será necesario resolver los problemas para determinar las respuestas coincidentes. b. Si el jugador 1 empareja un problema con la respuesta correcta, entonces el jugador 1 se queda con el conjunto emparejado y toma otro turno. c. Si el jugador 1 no encuentra ningún pareo, entonces vuelve a coloquer las tarjetas boca abajo y es el turno del siguiente jugador. d. Los jugadores continúan tomando turnos hasta que se hayan encontrado todos los pareos. e. Gana el jugador que reúna la mayor cantidad de tarjetas.
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 200
ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ DESARROLLAR LA FLUIDEZ CONCEPTUAL
Coordinate Match Instruction Sheet
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: TRANSFORMACIONES
Play this game with a partner. You Will Need 1 Set of Coordinate Match Cards (per pair) How to Play 1. Shuffle the cards, and place them facedown in an array. 2.
Player 1 flips over two cards to try to find a match.
3.
If player 1 matches a card with an ordered pair to a corresponding description of the coordinate location, then they keep the matched set and take another turn. (All locations start from the origin.)
4.
If player 1 does not find a match, then they place the cards facedown again, and it is the next player's turn.
5.
Players continue taking turns until all of the matches have
6.
The player who collects the most cards wins.
been found.
DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes jugarán a un conjunto de Pareo de coordenadas.
MATERIALES IMPRESO
• 1 hoja de instrucciones de Pareo de coordenadas (por pareja) • 1 conjunto de tarjetas de Pareo de coordenadas (por pareja) REUTILIZABLES
• 1 sobre o bolsa (por pareja)
PREPARACIÓN
• Haga copias a doble cara de las «Tarjetas de Pareo de coordenadas». • Lamínelas para que duren más.
HOJA DE INSTRUCCIONES
• Recorte las tarjetas individuales y colóquelas en un sobre o bolsa para facilitar su distribución y limpieza. • Coloque a los estudiantes en parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo barajar las tarjetas y coloquerlas boca abajo en una matriz. 2. Muestre cómo jugar con un estudiante. a. El jugador 1 voltea dos tarjetas para tratar de encontrar un pareo. b. Si el jugador 1 hace coincidir una tarjeta con un par ordenado con una descripción correspondiente de la ubicación de coordenadas, entonces se queda con el conjunto emparejado y toma otro turno. (Todas las localizaciones empiezan desde el origen). c. Si el jugador 1 no encuentra ningun pareo, vuelve a coloquer las tarjetas boca abajo y es el turno del siguiente jugador. d. Los jugadores siguen turnándose hasta que se hayan encontrado todos los pareos. e. Gana el jugador que reúna más tarjetas. 3. Distribuya los materiales. A continuación, pida a los estudiantes que barajen las tarjetas y las coloquen boca abajo. 4. Vigile a los estudiantes para asegurarse de que encuentran las parejas correctas.
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GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
ELABORAR: REVISIÓN EN ESPIRAL
Congruence and Similarity
REVISAR CONCEPTOS PREVIOS
REVISIÓN EN ESPIRAL: ESPECTÁCULO
DE ARTE
DESCRIPCIÓN
Art Show Mrs. Galinda is an art teacher at a middle school in a small town. She has always loved art. When she was younger, she would always ask her parents to buy her art supplies as gifts. She especially loved to paint. She would paint pictures of her family members, animals she saw outside, and things in nature. This year, Mrs. Galinda decides to have a school-wide art show. This art show would allow the community to see how talented her students are, as well as raise money that she needs to purchase art supplies for the class. The day of the art show is drawing near, and there is a lot that Mrs. Galinda and her students need to do to prepare. Mrs. Galinda makes a task list to ensure that all of the work is completed in time. She is determined that this art show will be a success.
Los estudiantes repasan contenidos de grados anteriores o actuales para ayudar a apoyar su trabajo en el alcance actual y fortalecer las habilidades necesarias para alcance s posteriores.
REVISIÓN EN ESPIRAL CENTRADA EN LA PREGUNTA
1
• Pregunta 1
• Grado 8: Describir cualitativamente la relación funcional entre dos cantidades mediante el análisis de un gráfico (por ejemplo, si la función es creciente o decreciente, lineal o no lineal). Dibuje un gráfico que muestre las características cualitativas de una función que se ha descrito verbalmente.
Congruence and Similarity
1.
The graph shows the tasks that she completed in relation to the number of hours she worked. Describe Mrs. Galinda’s progress between hours 4 and 8.
2.
Dominique, one of Mrs. Galinda’s art students, created a picture by reflecting shapes on a plane. Which line segment corresponds to CD? YZ
Mrs. Galinda is not making any progress between hours 4 and 8. The graph is horizontal and has no rate of change.
• Pregunta 2 • Grado 8: Las líneas se toman a las líneas y los segmentos de línea a los segmentos de línea de la misma longitud.
3.
One of Mrs. Galinda’s art lessons taught students how to create designs by rotating shapes on paper. Which design shows the correct rotation of a triangle? A.
B.
C.
D.
4.
Mrs. Galinda made some signs to advertise the art show. She started by drawing a line and translating it 5 units right and 2 units down. Which graph shows how Mrs. Galinda started her signs? A. C.
• Pregunta 3 • Grado 8: Los ángulos se toman a los ángulos de la misma medida.
B.
2
• Pregunta 4 • Grado 8: Las rectas paralelas se toman a las rectas paralelas.
D.
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada uno. 2. Anime a los estudiantes a tratar de responder a las preguntas de forma independiente sin utilizar recursos externos para ver lo que saben. Invite a los estudiantes a anotar ideas o fragmentos que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas. 3. Utilice las preguntas de revisión en espiral como calentamiento en clase, o envíelas a casa como tareas. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos. 4. Consulte la sección «Revisión en espiral centrada en la pregunta» para evaluar los conocimientos de contenido de los estudiantes o su necesidad de una mayor intervención. Si es necesario repasar más, utilice los «Constructor de fluidez» en los alcances apropiados. 5. El capítulo final incluye una parte del alcance actual para que los estudiantes vean la conexión y relevancia de su aprendizaje previo con el alcance actual.
202
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GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS ANÁLISIS DE DATOS
CIENCIA DE DATOS Ciencia de datos es un breve debate en clase basado en un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. La parte I incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los estudiantes en contexto.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Proyecte el conjunto de datos y prepárese para anotar las observaciones de los estudiantes. 2. Haga las siguientes preguntas:
DESCRIPCIÓN
a. «¿Qué observas en este conjunto de datos?».
Los estudiantes analizarán, interpretarán y generarán conjuntos de datos, además de responder a preguntas basadas en los datos.
b. «¿Qué representa este conjunto de datos?». c. «¿Qué categorías se incluyen en este conjunto de datos?».
MATERIALES
d. «¿Qué objetos parecen haber cambiado de tamaño?».
IMPRESO
• 1 conjunto de datos (por clase)
e. «¿Qué observas en las alfombras?». f. «¿Qué preguntas tienes sobre los datos?».
REUTILIZABLE
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase)
PARTE II
• 1 marcador (por clase)
1. Repase los efectos de las transformaciones (como traslaciones, reflexiones, rotaciones y dilataciones) en figuras bidimensionales y escriba lo que los estudiantes recuerden en el papel milimetrado.
CONSUMIBLE
• 1 trozo de papel milimetrado (por clase)
2. Haga las siguientes preguntas:
PREPARACIÓN
• Prepárese para proyectar el conjunto de datos para la clase. • Reúna un trozo de papel milimetrado y un marcador.
Congruence and Similarity
Before
and
After
a. «¿Qué objetos son congruentes en las imágenes antes y después del dormitorio?». Los rincones de lectura y los escritorios son congruentes. b. Describe las transformaciones que podrían haberse usado para asignar cada objeto del antes a su objeto congruente del después. El rincón de lectura podría haberse reflejado en el eje y. El escritorio podría haberse reflejado en el eje x y luego en el eje y. c. «¿Qué objetos son similares en las imágenes antes y después del dormitorio?». Las camas y las alfombras son similares.
1
CONJUNTO DE DATOS
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d. Describa las transformaciones que podrían haberse usado para asignar cada objeto del antes a su objeto similar del después. La cama podría haber sido girada 90º en el sentido de las agujas del reloj alrededor del punto central, trasladada hacia abajo y dilatada por un factor de escala de 1.5. La alfombra podría haber sido trasladada hacia abajo y dilatada por un factor de escala de 1.5. La alfombra podría haber sido trasladada hacia arriba y hacia la izquierda, y dilatada por un factor de escala de 0.75.
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GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN
Congruence and Similarity
EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS
LISTA DE CONTROL DE LA OBSERVACIÓN DESCRIPCIÓN Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede utilizarse como evaluación formativa para los maestros y como autoevaluación para los estudiantes.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 folleto del maestro (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del maestro» y un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Congruence and Similarity Skill or Key Concept Understand that a two-dimensional figure is congruent to another if the second can be obtained from the first by a sequence of rotations, reflections, and translations; given two congruent figures, describe a sequence that exhibits the congruency between them. Describe the effect of dilations, translations, rotations, and reflections on two-dimensional figures using coordinates.
Understand that a two-dimensional figure is similar to another if the second can be obtained from the first by a sequence of rotations, reflections, translations, and dilations; given two similar two-dimensional figures, describe a sequence that exhibits the similarity between them.
How was the skill or concept observed?
❏ ❏ ❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving Discussion Written explanation
Notes and Feedback
1. Distribuya un «Folleto del estudiante» a cada uno. 2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Explorar» y «Explicar» del alcance, evalúe formativamente su progreso tomando notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo. 3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo. 4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje. 5. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el «Folleto del maestro». 6. Las notas anecdóticas proporcionadas en el «Folleto del maestro» pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares. 7. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la «Guía de instrucción andamiada» en la sección «Inicio» de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
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1
Congruence and Similarity
Standards for Mathematical Practice
Notes and Feedback
Make sense of problems and persevere in solving them Reason abstractly and quantitatively Construct viable arguments and critique the reasoning of others Model with mathematics Use appropriate tools strategically
Attend to precision Look for and make use of structure Look for and express regularity in repeated reasoning
Consider these reflection questions in this scope. ●
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them?
●
What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
2
FOLLETO DEL MAESTRO
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GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
EVALUAR: MAPA DE CALOR
Congruence and Similarity
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
Red – misconception
MAPA DE CALOR
Skills Quiz Standards
Questions
Understand that a two-dimensional figure is congruent to another if the second can be obtained from the first by a sequence of rotations, reflections, and translations; given two congruent figures, describe a sequence that exhibits the congruence between them.
Not Assessed
Describe the effect of dilations, translations, rotations, and reflections on two-dimensional figures using coordinates.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
1
2
3
4
6
7
8
9
MATERIALES
• 1 mapa de calor (por estudiante)
10 Understand that a two-dimensional figure is similar to another if the second can be obtained from the first by a sequence of rotations, reflections, translations, and dilations; given two similar two-dimensional figures, describe a sequence that exhibits the similarity between them.
• 1 lápiz de color rojo (por estudiante) • 1 lápiz de color azul (por estudiante) • 1 lápiz de color naranja (por estudiante)
5
1
Congruence and Similarity
• Determine si los estudiantes analizarán su «Prueba de habilidades», la «Evaluación basada en estándares», o ambas. • Imprima un «Mapa de calor» para cada estudiante.
Reflection Questions 1. Which skill did you feel most confident with? Why?
PREPARACIÓN
• Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
3. Which type of error did you most commonly make?
1. Dé un «Mapa de calor» a cada estudiante junto con lápices de colores rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s).
4. How can you avoid those errors in the future?
2
Congruence and Similarity
Refer to your answers on the Standards-Based Assessment. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue - miscalculation
Orange - explanation
Red - misconception
Standards-Based Assessment Standards Understand that a two-dimensional figure is congruent to another if the second can be obtained from the first by a sequence of rotations, reflections, and translations; given two congruent figures, describe a sequence that exhibits the congruence between them.
Describe the effect of dilations, translations, rotations, and reflections on two-dimensional figures using coordinates.
Understand that a two-dimensional figure is similar to another if the second can be obtained from the first by a sequence of rotations, reflections, translations, and dilations; given two similar two-dimensional figures, describe a sequence that exhibits the similarity between them.
Questions
1b
2
8
10
5
7
2. Los estudiantes utilizan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el «Mapa de calor». Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los estudiantes colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, los estudiantes colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, los estudiantes colorean el cuadro correspondiente de rojo. 3. Anímelos a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a utilizar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada. 4. Consulte la «Guía de instrucción andamiada» que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
1a
2
3a
6
9
3b
4
3
MAPA DE CALOR ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
INTERVENIR: REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES
Congruence and Similarity
CORREGIR Y VOLVER A ENSEÑAR
REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES DESCRIPCIÓN Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para intervención.
Checkup 1.
A. B. C. D. 2.
3.
• 1 repaso (por estudiante)
5.
• 1 revisión general (por estudiante)
The rectangles are similar. The rectangles are congruent. Rectangle ABCD is larger than rectangle EFGH. Rectangle ABCD is smaller than rectangle EFGH.
Triangle ABC is dilated with a scale factor of 1.5 to create triangle DEF. Which statement is true about the two triangles? A. B. C. D.
• 1 revisión rápida (por estudiante)
Reflection over the y-axis Translation 2 units right and a dilation with a scale factor of 2 Rotation 90° clockwise Dilation with a scale factor of one-fourth
Rectangle ABCD is reflected over the x-axis and translated 3 units up to form rectangle EFGH. Which statement is true about the two rectangles? A. B. C. D.
4.
Reflection over the x-axis Translation 4 units left and a dilation with a scale factor of 0.5 Rotation 45° counterclockwise Translation 3 units up and a reflection over the y-axis
Which transformations result in similar figures? Select all that apply. A. B. C. D.
MATERIALES IMPRESO
Which transformations result in congruent figures? Select all that apply.
The triangles are similar. The triangles are congruent. Triangle DEF is smaller than triangle ABC. Triangle ABC is larger than triangle DEF.
Rectangle WXYZ is reflected over the y-axis and then translated 5 units down to form rectangle KLMN. Are the rectangles similar or congruent? Explain your reasoning. They are congruent. They are the same size and same shape. 1
• 1 lista de verificación para el maestro (por maestro)
Congruence and Similarity
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de la «Revisión rápida», el «Repaso» y la «Revisión general» para cada estudiante.
6.
Triangle RST is reflected over the x-axis and dilated by a scale factor of 3 to create triangle R’S’T’. Are triangles RST and R’S’T’ similar or congruent? Explain your reasoning. They are similar. They are the same shape but different sizes.
7.
• Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar el «Repaso».
When triangle EFG is rotated 90° counterclockwise, it forms triangle IJH. Plot triangle IJH, and explain whether it is similar or congruent to triangle EFG.
• Si lo desea, imprima un ejemplo del «Esquema de anclaje» de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que usen la «Libreta interactiva» como recurso. • Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayudas suplementarias para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
It is congruent. It forms a triangle that is the same size and same shape. 8.
When triangle EFG (featured above) is transformed, triangle KLM is located at (3, 0), (2, −1), and (4, −1). Plot triangle KLM, explain the transformation that takes place, and explain whether triangle KLM is similar or congruent to triangle EFG. It is congruent. A translation 2 units down and 1 unit to the right takes place and forms a triangle that is the same size and same shape.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
2
1. Dé una copia de la «Revisión rápida» a cada estudiante. 2. Cada uno debe completarla de forma independiente. 3. Use la rúbrica de habilidades al final de la «Revisión rápida» para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional.
Congruence and Similarity
9.
4. Distribuya una copia del «Repaso» a cada uno.
Triangle HIJ is located at (−3, 6), (−3, 0), and (0, 0). Triangle KLM is located at (−1, 0), (−1, −2), and (0, −2). Plot the triangles, describe the transformation, and determine whether they are congruent or similar.
5. Cada estudiante debe completar el «Repaso» como actividad de intervención o de forma independiente. a.
Si lo desea, reúna a los estudiantes en pequeños grupos para trabajar en las destrezas de repaso. Utilice el «Repaso» como ayuda para la reenseñanza. A dilation from HIJ to KLM with a scale factor of one-third takes place, as well as a translation 2 units down. The triangles are similar because they are right scalene triangles that are proportional in size. Triangle KLM is one-third of the size of triangle HIJ. 2 1 Side LK is 2 units, and side IH is 6 units; = .
6. Distribuya una copia de la «Revisión general» a cada uno. 7. Cada estudiante debe completarla de forma independiente. 8. Analice los resultados de la «Revisión general» al usar la «Lista de verificación para el maestro» para identificar quienes necesitan un repaso adicional y quienes han alcanzado el dominio de los conceptos.
6
Side LM is 1 unit, and side IJ is 3 units; 1 .
3
3
10.
Triangle PQR is a reflection of triangle KLM over the y-axis. Plot triangle PQR, describe the transformation, and determine whether the triangles HIJ and PQR are congruent or similar. Triangles PQR and KLM are congruent, but triangle PQR is smaller than triangle HIJ and is the result of a dilation with a scale factor of one-third. It is therefore similar to triangle HIJ.
3
REVISIÓN GENERAL CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
ACELERACIÓN: ¿QUÉ ¿QUÉ PREFERIRÍAS?? Congruence and Similarity
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
¿QUÉ PREFERIRÍAS?: FOTO DE FAMILIA
Family Photo Use mathematical reasoning and creativity to justify your answer to the Would You Rather question. Zahara is redecorating her room and wants to create a gallery wall with some of her favorite photos. She currently has a 4 inch × 6 inch picture of her family but is thinking about changing the size of the photo. She’s having trouble deciding whether 1 to dilate the picture by a scale factor of or keep the picture the same size. Would 2 you rather dilate the family photo by a scale factor of 1 or keep the picture the 2 same size? Justify your reasoning with mathematics. Compare and contrast the attributes of the shape below.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 rúbrica (por maestro)
PREPARACIÓN Sample answers may include the following: I would rather dilate the family photo by a scale factor of
1 because a smaller picture (2 in. × 3 in.) would take up less space, 2
which means I can have more photos on my gallery wall. I would rather keep the
family photo the same size because a picture twice the size (4 in. × 6 in.) would mean that I would need to hang fewer photos and buy fewer picture frames to fill the gallery wall. Compare: Corresponding angles are congruent, same shape, polygons have 4 vertices. Contrast: Sides are different lengths, different sizes. 1
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno. • Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a mirar sus folletos de «Explorar» si necesitan repasar habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros. 4. Utilice la rúbrica proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
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GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Congruence and Similarity
OPCIONES PARA SEGUIR AL APRENDER
TABLERO DE OPCIONES DESCRIPCIÓN Los estudiantes explorarán las conexiones con el mundo real y las aplicaciones del contenido matemático a través de interacciones con actividades atractivas.
MATERIALES IMPRESO
• 1 tablero de opciones (por estudiante) • 1 juego de hojas de actividades (por estudiante) • 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante) REUTILIZABLE
• Tecnología (si corresponde)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Tablero de opciones» y un juego de hojas de actividades para cada estudiante. • Imprima una «Autoevaluación del tablero» para cada estudiante. • Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
Congruence and Similarity Choose one or more extension activities from the table below. Career Connection
Fashion Designer
Research the career field of fashion design. Your research must answer the provided questions. Create a presentation to relay your research to the class.
Kitchen Connection
Kitchen Remodel
Observe the original floor plan, and use transformations to move the appliances to different locations.
Arts Connection
Create Your Own
Custom Drawing
Real House/Clubhouse
Follow the instructions to create a piece of artwork ordered by a professor of geometry.
Create your own set of coordinating floor plans–one at regular size, and one on a smaller scale for a clubhouse.
Mathematician Spotlight
Analogies
Janos Bolyai
Similar or Congruent?
Search out several news articles or research papers that involve Janos Bolyai’s work. Create an informational poster, diorama, or speech to convey this mathematician’s work as it relates to congruence and similarity
Complete the analogies to demonstrate your understanding of similar and congruent shapes.
1
TABLERO DE OPCIONES
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» a cada estudiante. 2. Dé tiempo a los estudiantes para examinar el «Tablero de opciones» y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anímelos a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del tablero, haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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GRADO 8: CONGRUENCIA Y SIMILITUD
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GRADO 8 <<SCOPE NAME>>
GRADO 8
ÁNGULOS ACTIVIDADES DE EXPLORACIÓN EXPLORACIÓN 1: ÁNGULOS INTERIORES DE TRIÁNGULOS
ESTÁNDARES CLAVE Comprender la congruencia y la semejanza utilizando modelos físicos, transparencias o programas informáticos de geometría. • Utilizar argumentos informales para establecer hechos sobre la suma de ángulos y el ángulo exterior de triángulos, sobre los ángulos que se crean cuando las rectas paralelas son cortadas por una transversal, y el criterio ángulo-ángulo de semejanza de triángulos. Por ejemplo, disponer tres copias del mismo triángulo de forma que la suma de los tres ángulos parezca formar una recta, y argumentar en términos de transversales por qué es así.
Los estudiantes exploran las propiedades de los ángulos interiores de los triángulos mediante la investigación práctica y el razonamiento formal. • Los estudiantes trabajan en parejas para Recorter y manipular tarjetas de triángulos, utilizando tijeras y transportadores para medir los ángulos. • Reordenan los ángulos para formar una línea recta, lo que les lleva a descubrir que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°. • Los estudiantes participan en debates para generalizar el teorema de la suma de triángulos y resolver problemas en los que faltan las medidas de los ángulos. • La actividad concluye con una charla de matemáticas y un «Boleto de salida» para evaluar la comprensión y reforzar el aprendizaje. EXPLORACIÓN 2: ÁNGULOS EXTERIORES DE TRIÁNGULOS
ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: DOS VERDADES Y UNA MENTIRA Los estudiantes se comprometen con el pensamiento crítico identificando dos verdades y una mentira relacionadas con un estándar matemático previo. Este ejercicio ayuda a descubrir y abordar los conceptos erróneos de los estudiantes. • Los estudiantes leen tres afirmaciones y determinan cuáles son verdaderas y cuáles falsas. • Debaten su razonamiento con su compañero de al lado para profundizar la comprensión. • Los estudiantes justifican su elección de la mentira, promoviendo el pensamiento crítico y la aclaración de conceptos. • Si es necesario, se utiliza el «Constructor de bases fundamentales» para abordar los vacíos en los conocimientos previos antes de continuar. CAPTAR INTERÉS Los estudiantes exploran los ángulos formados por líneas paralelas y transversales, mejorando su comprensión de los conceptos geométricos a través de la aplicación práctica. • Los estudiantes analizan un mapa de calles para identificar y describir los ángulos formados por intersecciones. • Participan en debates para clasificar los ángulos como verticales, adyacentes, interiores alternos, exteriores alternos y correspondientes. • Los estudiantes calculan las medidas de los ángulos utilizando la información dada y las relaciones entre ángulos. • Crean sus propios mapas para aplicar sus conocimientos, midiendo ángulos con un transportador y verificando sus cálculos.
Los estudiantes exploran las relaciones entre ángulos exteriores y ángulos interiores remotos de triángulos a través de argumentos formales y mediciones prácticas. • Los estudiantes trabajan en parejas para medir ángulos en dibujos triangulares usando transportadores y registran sus hallazgos en un «Diario del estudiante». • Establecen hechos sobre el teorema del ángulo exterior, entendiendo que la suma de los ángulos interiores remotos es igual al ángulo exterior. • Los estudiantes participan en debates para compartir estrategias y puntos de vista, mejorando su comprensión de la relación entre los ángulos interiores y exteriores. • La actividad concluye con una charla de matemáticas y un «Boleto de salida» para evaluar la comprensión, alentando a los estudiantes a aplicar sus conocimientos a situaciones del mundo real. EXPLORACIÓN 3: TRANSVERSALES Los estudiantes exploran los ángulos formados por líneas paralelas y transversales para mejorar su comprensión de las relaciones geométricas. • Los estudiantes trabajan en parejas para identificar y describir ángulos utilizando un tapete de trabajo y papel de calco. • Participan en debates para revisar el vocabulario y los conceptos clave relacionados con las líneas paralelas, transversales y las relaciones entre ángulos. • Los estudiantes aplican sus conocimientos para resolver las medidas de ángulos desconocidos utilizando tarjetas de mapa de campo, reforzando sus habilidades en la identificación de ángulos congruentes y suplementarios. • La lección concluye con una charla de matemáticas para compartir observaciones y estrategias, seguida de una evaluación formativa a través de un «Boleto de salida». EXPLORACIÓN 4: SIMILITUD ÁNGULO-ÁNGULO Los estudiantes exploran el concepto de semejanza de triángulos utilizando medidas de ángulos. • Los estudiantes trabajan en parejas para determinar cuándo dos triángulos son semejantes comparando sus medidas de ángulos. • Utilizando herramientas como transportadores y reglas, los estudiantes dibujan y rotulan triángulos, practicando el criterio de semejanza ángulo-ángulo. • Mediante preguntas guiadas y debates, los estudiantes reflexionan sobre sus hallazgos y comparten estrategias para identificar triángulos semejantes. • La lección concluye con una charla de matemáticas y un «Boleto de salida» para evaluar la comprensión y reforzar el aprendizaje.
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GRADO 8: ÁNGULOS <<SCOPE NAME>> GRADO 8
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES GEOMETRÍA TRANSFORMACIONAL
Los estudiantes exploran conceptos claves mediante el uso de planos de coordenadas y actividades prácticas. Comienzan realizando y analizando transformaciones como traslaciones, rotaciones y reflexiones para comprender cómo se mueven las figuras sin alterar su tamaño o forma. Estas transformaciones ayudan a los estudiantes a comprender el concepto de congruencia, en el que los ángulos correspondientes y las longitudes de los lados permanecen iguales, y el de semejanza, en el que las figuras conservan sus proporciones pero cambian de tamaño debido a transformaciones como las dilataciones. A medida que los estudiantes investigan estas relaciones, observan que las medidas de los ángulos se conservan tanto en las figuras congruentes como en las semejantes durante las transformaciones, lo que refuerza la idea de que las relaciones angulares permanecen invariables bajo transformaciones rígidas. Estas actividades proporcionan una base para la comprensión de las propiedades geométricas, preparando a los estudiantes para analizar y modelar figuras y transformaciones más complejas en futuros estudios geométricos.
CONCEPTOS CLAVE
PREGUNTAS FUNDAMENTALES
• Puedo describir que todos los ángulos interiores de un triángulo suman 180°.
• ¿Cuál es la suma de ángulos de cualquier triángulo?
• Puedo calcular que el ángulo exterior de un triángulo es congruente con los dos ángulos interiores opuestos.
• ¿Cómo se encuentran los ángulos que faltan de un triángulo?
• Puedo describir las distintas relaciones angulares que se desarrollan cuando dos rectas paralelas son cortadas por una recta transversal. • Puedo determinar si dos triángulos son semejantes utilizando el criterio ángulo-ángulo.
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• Describir el teorema del ángulo exterior.
• Describir cómo se pueden utilizar las relaciones de ángulos para encontrar los valores de los ángulos que faltan cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal.
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GRADO 8: ÁNGULOS
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
CONTENIDOS DE APOYO Comprender la congruencia y la semejanza utilizando modelos físicos, transparencias o software de geometría. • Utilizar argumentos informales para establecer hechos sobre la suma de ángulos y el ángulo exterior de triángulos, sobre los ángulos creados cuando las rectas paralelas son cortadas por la transversal, y el criterio ángulo-ángulo para la semejanza de triángulos. Por ejemplo, disponer tres copias del mismo triángulo de manera que la suma de los tres ángulos parezca formar una recta, y dar un argumento en términos de transversales de por qué esto es así.
CONOCIMIENTOS PREVIOS En 7.º grado, los estudiantes aprendieron sobre los diferentes tipos de ángulos. Pudieron reconocer e identificar ángulos suplementarios, complementarios, verticales y adyacentes. Utilizaron relaciones de ángulos para determinar ángulos congruentes. Mediante el razonamiento deductivo, los estudiantes de 8.º grado pueden utilizar estas ideas para hallar las medidas de los ángulos que faltan.
CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS • Los estudiantes pueden suponer que el criterio ángulo-ángulo hace que dos triángulos sean congruentes y no semejantes.
• Los estudiantes pueden confundir congruencia y semejanza. Mientras que todas las figuras congruentes son también semejantes, no todas las figuras semejantes son congruentes. • Es posible que los estudiantes no vean inmediatamente los ángulos verticales como un par de ángulos congruentes, por lo que afirmarán que dos triángulos no son semejantes o congruentes.
ALCANCE ACTUAL En este alcance , los estudiantes establecerán hechos sobre la suma de ángulos y ángulos exteriores de triángulos utilizando argumentos formales. Debatirán los ángulos creados cuando las rectas paralelas son cortadas por una transversal, así como el criterio ángulo-ángulo para la semejanza de triángulos. Utilizarán las propiedades de los triángulos y los ángulos para hallar las medidas de los ángulos que faltan.
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 212
TÉRMINOS CLAVE
• ángulo agudo: un ángulo que mide menos de 90°. • ángulos adyacentes: dos ángulos que tienen el mismo vértice y una semirrecta común pero ningún punto común interior. • ángulo: una figura geométrica formada por dos semirrectas con el mismo punto final (vértice). • criterio ángulo-ángulo: el criterio que establece que si dos triángulos tienen dos pares de ángulos congruentes, entonces los triángulos son semejantes. • ángulos complementarios: dos ángulos agudos que, sumados, dan 90°; Dos ángulos cuya suma es 90°. • ángulos congruentes: ángulos que tienen la misma medida. • ángulos correspondientes: ángulos en la misma posición en diferentes figuras planas. • teorema del ángulo exterior de los triángulos: teorema matemático que afirma que un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores opuestos de un triángulo. • ángulo obtuso: ángulo que mide más de 90°. • líneas paralelas: líneas en el mismo plano que son equidistantes y no se cruzan. • líneas perpendiculares: dos líneas que se cruzan en un ángulo de 90°. • ángulo recto: un ángulo que mide 90°. • triángulos semejantes: dos o más triángulos que tienen ángulos congruentes y lados proporcionales. • ángulos suplementarios: dos ángulos adyacentes que, cuando se suman, dan como resultado uno ángulo de 180°; dos ángulos cuya suma es 180°. • transversal: una línea que corta a través de dos o más líneas en el mismo plano. • propiedad de la suma de ángulos de triángulos: la propiedad matemática de un triángulo que establece que los ángulos de un triángulo siempre suman 180°. • ángulos verticales: ángulos opuestos entre sí cuando dos rectas se cruzan; ángulos congruentes opuestos que se forman a ambos lados de rectas que se cruzan.
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GRADO 8: ÁNGULOS
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO
APLICAR LAS PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes trabajan continuamente para adquirir conocimientos sobre cómo encontrar las medidas de los ángulos que faltan para resolver un problema general. Le dan sentido al problema, adquieren los conocimientos necesarios a través de la exploración y luego vuelven a la pregunta para encontrar las medidas que faltan. • MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes razonan abstracta y cuantitativamente mientras encuentran las medidas de los ángulos faltantes. Identifican ángulos verticales y ángulos congruentes creados por transversales para resolver problemas matemáticos. • MP.3 Construir argumentos viables y analizar el razonamiento de otros: Los estudiantes construyen argumentos viables a medida que determinan las medidas de los ángulos que faltan. Utilizan teoremas y propiedades como el ángulo exterior de un triángulo y la propiedad de suma de ángulos de triángulos para exponer su razonamiento. • MP.4 Modelar con matemáticas: Los estudiantes modelan escenarios del mundo real utilizando relaciones angulares. Exploran relaciones angulares utilizando mapas de calles, rutas de senderismo y tiendas de campaña. • MP.5 Utilizar herramientas apropiadas estratégicamente: Los estudiantes usan herramientas estratégicamente para descubrir relaciones angulares. Utilizan transportadores, reglas y compases para determinar las medidas de los ángulos y profundizar en el conocimiento de propiedades como el ángulo exterior de un triángulo y la propiedad de la suma de ángulos de un triángulo. • MP.6 Prestar atención a la precisión: Los estudiantes calculan con precisión las medidas de ángulos que faltan. Encuentran matemáticamente los valores de los ángulos que faltan y utilizan herramientas como el transportador y el compás. • MP.7 Buscar y utilizar la estructura: Los estudiantes descubren y utilizan la estructura de las relaciones angulares en transversales y paralelas para hallar las medidas de los ángulos que faltan. • MP.8 Buscar y expresar regularidades en razonamientos repetidos: Los estudiantes forman una generalización durante la exploración de que la suma del ángulo exterior y el ángulo adyacente es igual a 180 grados.
SUMA DE ÁNGULOS INTERIORES La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°. Los estudiantes podrán encontrar la medida de un ángulo de un triángulo, dados los otros dos ángulos. Ejemplo: Las medidas de los ángulos en ΔABC se muestran a continuación.
¿Cuál es el valor de x? a. 126 b. 45 c. 39 d. 21 La respuesta correcta es la opción B. Los estudiantes deben comenzar observando que los ángulos en un triángulo suman 180°. Sabiendo esto, los estudiantes pueden plantear la siguiente ecuación: 30° + 24° + (3x - 9)° = 180°. Al restar los dos ángulos dados de 30° y 24° de 180°, los estudiantes quedan con (3x - 9)°= 126°. A través del uso de álgebra de dos pasos, los estudiantes pueden sumar 9 a 126 y luego dividir por 3 para obtener 3x = 135° y x = 45°.
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GRADO 8: ÁNGULOS
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO
ÁNGULO EXTERIOR Los estudiantes determinarán la medida de un ángulo exterior dados dos ángulos dentro del triángulo. Ejemplo: ΔQRS se muestra a continuación.
La respuesta correcta es la opción D. Los estudiantes deben ver que hay dos tipos de ángulos en esta figura, un ángulo agudo y un ángulo obtuso. Cuando una transversal corta dos rectas paralelas, crea ángulos tales que todos los ángulos agudos son iguales, y todos los ángulos obtusos son iguales. La opción A representa ángulos verticales de dos ángulos agudos, y son congruentes. La opción B representa ángulos exteriores alternos de dos ángulos obtusos, y son congruentes. La opción C representa ángulos interiores alternos de dos ángulos obtusos, y son congruentes. La opción D representa un ángulo obtuso y un ángulo agudo, y no son congruentes.
¿Cuál es el valor de x? a. 153 b. 80 c. 73 d. 27 La respuesta correcta es la opción A. Los estudiantes deben saber que el ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores opuestos de un triángulo. Por lo tanto, x = 80°+73° y x = 153°.
ÁNGULO-ÁNGULO Los estudiantes construirán varios triángulos con segmentos de línea de diferentes longitudes. Estos triángulos tendrán dos ángulos congruentes correspondientes haciéndolos similares. Ejemplo: ¿Cuál de las siguientes figuras no representa un par de triángulos semejantes?
TRANSVERSALES Los estudiantes construirán rectas paralelas y transversales. Examinarán la relación entre los ángulos creados por estas líneas. Ejemplo: En el siguiente diagrama, la línea x es paralela a la línea y con la transversal z. La respuesta correcta es la opción C. En la opción A hay un ángulo dado; sin embargo, el segundo ángulo congruente es el compartido ∠s. La opción B tiene dos ángulos dados y por lo tanto es semejante. La opción D tiene un par de ángulos dados; sin embargo, hay ángulos verticales en C. Por lo tanto son congruentes, y los dos triángulos son semejantes. Mientras que la opción C tiene ángulos verticales, no da otro par de ángulos congruentes ya que ∠x tiene dos líneas y ∠n tiene una. Por lo tanto, la opción C representa dos triángulos que no son semejantes. ¿Qué par de ángulos no son congruentes? a. b. c. d.
∠1 y ∠4
∠3 y ∠6 ∠4 y ∠5 ∠2 y ∠8
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AVANCES Los estudiantes continuarán su conocimiento de los ángulos a medida que avanzan en la escuela secundaria. Desarrollarán sus habilidades en congruencia y semejanza a medida que demuestren teoremas de congruencia de triángulos utilizando criterios como LAL, ALA, LLL, ALA y HL. La determinación de las medidas de los ángulos que faltan juega un papel importante en la geometría de la escuela secundaria, ya que se conecta a las pruebas congruentes.
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GRADO 8: ÁNGULOS
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
ANÁLISIS PROFUNDO DE LOS ESTÁNDARES
CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES Comprender la congruencia y la semejanza utilizando modelos físicos, transparencias o software de geometría. • Utilizar argumentos informales para establecer hechos sobre la suma de ángulos y el ángulo exterior de triángulos, sobre los ángulos creados cuando líneas paralelas son cortadas por una transversal, y el criterio ángulo-ángulo para la semejanza de triángulos. Por ejemplo, disponer tres copias del mismo triángulo de modo que la suma de los tres ángulos parezca formar una recta, y argumentar en términos de transversales por qué es así.
DESGLOSAR EL ESTÁNDAR
IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA
• En cursos anteriores, los estudiantes han clasificado figuras bidimensionales por sus atributos. Los estudiantes han dibujado polígonos en el plano de coordenadas y han utilizado el conocimiento de ángulos complementarios, suplementarios, verticales y adyacentes en problemas de varios pasos. • En este nivel de grado, se espera que los estudiantes usen conocimientos previos sobre ángulos y polígonos para hacer argumentos informales. Los estudiantes exploran las sumas de ángulos en un triángulo, los ángulos exteriores de triángulos y los ángulos que se crean por transversales. Los estudiantes también exploran el criterio ángulo-ángulo para triángulos semejantes.
VERBOS: ¿QUÉ DEBERÍAN HACER LOS ESTUDIANTES?
• establecer: establecer sobre una base firme o permanente. • comprender: captar el significado de • utilizar: aplicar una estrategia SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBEN CONOCER LOS ESTUDIANTES?
• ángulo: figura geométrica formada por dos rectas con el mismo punto final (vértice). • criterio ángulo-ángulo: el criterio que establece que si dos triángulos tienen dos pares de ángulos congruentes, entonces los triángulos son semejantes. • teorema de la suma de ángulos: teorema según el cual la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. • argumento: razón o conjunto de razones aducidas en apoyo de una idea, acción o teoría. • congruencia: cualidad o estado de concordar, coincidir o ser congruente. • teorema del ángulo exterior de los triángulos: teorema matemático según el cual un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores opuestos de un triángulo. • modelo: ejemplo o representación de algo. • líneas paralelas: líneas en el mismo plano que son equidistantes y no se cruzan. • semejanza: una característica o aspecto similar (igual). • transversal: una línea que corta dos o más líneas en el mismo plano. • triángulo: un polígono con exactamente tres lados rectos y tres ángulos.
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GRADO 8: ÁNGULOS
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
ALINEACIÓN VERTICAL GRADO
ESTÁNDAR
Verificar experimentalmente las propiedades de las rotaciones, reflexiones y traslaciones: 8
a.
Las rectas se transforman en rectas, y los segmentos de recta en segmentos de recta de la misma longitud.
b.
Los ángulos se transforman en ángulos de la misma medida.
c.
Las rectas paralelas se transforman en rectas paralelas.
8
Comprender que una figura bidimensional es congruente con otra si la segunda puede obtenerse a partir de la primera mediante una secuencia de rotaciones, reflexiones y traslaciones; dadas dos figuras congruentes, describir una secuencia que exhiba la congruencia entre ellas.
8
Comprender que una figura bidimensional es semejante a otra si la segunda puede obtenerse a partir de la primera mediante una secuencia de rotaciones, reflexiones, traslaciones y dilataciones; dadas dos figuras bidimensionales semejantes, describir una secuencia que exhiba la semejanza entre ellas.
8
Utilizar argumentos informales para establecer hechos sobre la suma de ángulos y el ángulo exterior de triángulos, sobre los ángulos creados cuando las rectas paralelas son cortadas por la transversal, y el criterio ángulo-ángulo para la semejanza de triángulos.
8
Utilizar triángulos semejantes para explicar por qué la pendiente m es la misma entre dos puntos distintos cualesquiera de una recta no vertical en el plano de coordenadas; deducir la ecuación y = mx para una recta que pasa por el origen y la ecuación y = mx + b para una recta que intercepta el eje vertical en b.
Preparatoria
Demostrar teoremas sobre rectas y ángulos. Los teoremas incluyen: los ángulos verticales son congruentes; cuando una transversal cruza rectas paralelas, los ángulos interiores alternos son congruentes y los ángulos correspondientes son congruentes; los puntos de una mediatriz de un segmento de recta son exactamente los que equidistan de los puntos extremos del segmento.
Preparatoria
Demostrar teoremas sobre triángulos. Los teoremas incluyen: las medidas de los ángulos interiores de un triángulo suman 180°; los ángulos de las bases de los triángulos isósceles son congruentes; el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y tiene la mitad de la longitud; las medianas de un triángulo se encuentran en un punto.
Preparatoria
Demostrar teoremas sobre paralelogramos. Los teoremas incluyen: los lados opuestos son congruentes, los ángulos opuestos son congruentes, las diagonales de un paralelogramo se bisecan, y a la inversa, los rectángulos son paralelogramos con diagonales congruentes.
Preparatoria
Utilizar las propiedades de las transformaciones de semejanza para establecer el criterio AA para que dos triángulos sean semejantes.
Preparatoria
Demostrar teoremas sobre triángulos. Los teoremas incluyen: una línea paralela a un lado de un triángulo divide a los otros dos proporcionalmente, y a la inversa; el Teorema de Pitágoras probado usando la semejanza de triángulos.
Preparatoria
Usar criterios de congruencia y semejanza para triángulos para resolver problemas y probar relaciones en figuras geométricas.
Preparatoria
Entender que por semejanza, las razones de lados en triángulos rectángulos son propiedades de los ángulos en el triángulo, llevando a definiciones de razones trigonométricas para ángulos agudos.
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GRADO 8: ÁNGULOS
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA CONTROLAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIONES La guía de instrucción andamiada se proporciona para que los maestros puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones del alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que ayuda a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de la evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos según los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere que todos los estudiantes experimenten con los elementos: «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades», ya que cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar. 0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
80 % - 100 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil pueden trabajar en contenido de nivel de grado con apoyos de instrucción.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» individual para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 2. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante de acuerdo con sus datos de evaluación. 3. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la sección «Scaffolded Instruction Guide» en el menú desplegable «Home» del alcance. 4. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Geometría Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 217
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GRADO 8: ÁNGULOS
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Utiliza argumentos informales para establecer hechos sobre la suma de ángulos y el ángulo exterior de triángulos, sobre los ángulos creados cuando rectas paralelas son cortadas por una transversal, y el criterio ángulo-ángulo para la semejanza de triángulos. Por ejemplo, disponer tres copias del mismo triángulo de forma que la suma de los tres ángulos parezca formar una recta, y argumentar en términos de transversales por qué es así. 7 - Relaciones de ángulos Repaso y práctica de habilidades
0 % - 25 %
(Refuerzo del grado anterior)
Constructor de fluidez • Relaciones de ángulos Práctica interactiva • Desechos espaciales Prueba de habilidades 7 - Propiedades de los triángulos Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Propiedades de los triángulos Práctica interactiva • Misión del droide
(Nivel de grado con apoyos)
25 % - 50 %
Prueba de habilidades 8 - Ángulos Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida • Repaso • Revisión general
(Nivel de grado)
50 % - 80 %
8 - Ángulos Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva Constructor de fluidez • Transversales, ángulos interiores y ángulos exteriores Ciencia de datos
(Ampliación del nivel de grado)
80 % - 100 %
Conexiones lingüísticas
8 - Ángulos Tarea de modelado matemático ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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GRADO 8: ÁNGULOS
ATRAER: ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS Angles
EVALUAR PREVIAMENTE EL CONOCIMIENTO DEL ESTUDIANTE
Two Truths and a Lie Read each statement. Identify the two truths with check marks and the one lie with an X.
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: DOS VERDADES Y UNA MENTIRA ESTÁNDAR PREVIO Usar hechos sobre ángulos suplementarios, complementarios, verticales y adyacentes en un problema de varios pasos para escribir y resolver ecuaciones simples para un ángulo desconocido en una figura.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes identificarán dos verdades y una mentira leyendo afirmaciones sobre el estándar previo. Este elemento está diseñado para descubrir los conceptos erróneos; no debe tomarse para una calificación.
Angles Y and Z are complementary angles.
Angles U and X are adjacent angles, while angles T, Y, and Z are supplementary angles.
MATERIALES IMPRESO
Angles W and T are adjacent angles, while angles U and V are complementary angles.
1
DOS VERDADES Y UNA MENTIRA
• 1 copia de «Dos verdades y una mentira» (por estudiante o grupo)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de «Dos verdades y una mentira» para cada estudiante o cada grupo. • Puede dividir a los estudiantes en grupos de dos o tres.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Lea la pregunta en voz alta a la clase. 2. Conceda 2 minutos para que los estudiantes lean las tres afirmaciones y determinen cuáles son las dos verdades y la mentira. 3. Pida a los estudiantes que compartan con sus compañeros cómo marcaron sus hojas y por qué. 4. Dé de 2 a 5 minutos para un debate . 5. Pida a los estudiantes que justifiquen su elección de la mentira. a. La tercera afirmación es una mentira porque los ángulos W y T no son ángulos adyacentes y los ángulos U y V son ángulos suplementarios, no ángulos complementarios. 6. Si los estudiantes tienen dificultades para completar esta tarea, realice el «Constructor de bases fundamentales» para llenar este vacío de conocimientos previos antes de pasar a otras partes del alcance.
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 219
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GRADO 8: ÁNGULOS
ATRAER: CAPTAR INTERÉS LECCIÓN MOTIVADORA
CAPTAR INTERÉS DESCRIPCIÓN Los estudiantes identifican y describen ángulos formados por líneas paralelas y transversales. También encuentran las medidas de los ángulos.
MATERIALES
6. Explique a los estudiantes que Aashna ha hecho un mapa para mostrar las direcciones desde su casa hasta la biblioteca. Sabe que cuando gira de la calle Crossy Lane hacia la Avenida Parallel, hace un giro de 128 grados. Sin embargo, no conoce ninguno de los otros ángulos de las intersecciones de su mapa. Comente las siguientes preguntas con la clase: a.
IMPRESOS
• 1 mapa de las calles (por clase) REUTILIZABLES
• 1 fenómeno (por clase)
PREPARACIÓN
• Planee mostrar el fenómeno. • Prepárese para proyectar el «Mapa de las calles» para que toda la clase lo vea. • Prepárese para presentar el escenario y anime a los estudiantes a pensar en cómo resolverlo. Prepárese para pasar a las actividades de «Explorar», volviendo a la actividad de «Captar interés» con los nuevos conocimientos adquiridos una vez finalizadas las «Exploraciones».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA
1. Presente esta actividad hacia el principio del alcance . La clase retomará la actividad y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades de la sección «Explorar» correspondientes. 2. Muestre el fenómeno. Formule a los estudiantes las siguientes preguntas: «¿Qué observas? ¿Dónde puedes ver matemáticas en esta situación?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. 3. Explique el escenario a la clase: «Aashna quiere hacer un mapa para mostrar las direcciones desde su casa hasta la biblioteca. Dibujará las calles que rodean su barrio». 4. Permita que los estudiantes hagan preguntas y aclaren el contexto según sea necesario. Anímeles a compartir sus ideas y experiencias con la clase utilizando las siguientes preguntas: a. «¿Has utilizado alguna vez un mapa?». b. «¿Qué te parece el mapa de las calles?». 5. Proyecte el mapa de las calles.
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b. c.
DOK-1 «¿Qué tipo de ángulos son ∠F y ∠G?». ∠F y ∠G son ángulos verticales.
DOK-1 «¿Qué tipo de ángulos son ∠E y ∠G?». ∠E y ∠G son ángulos adyacentes.
DOK-1 «¿Cuál es la medida de ∠E?». ∠E mide 128 grados.
7. Continúe para completar las actividades de la sección «Explorar». PARTE II: DESPUÉS DE EXPLORAR
1. Después de que los estudiantes hayan completado las actividades de la sección «Explorar» para este tema, muestre de nuevo el fenómeno y repita el escenario. 2. Consulte el «Mapa de las calles» y comente las siguientes preguntas con la clase: a. DOK-1 «¿Qué tipo de ángulos son ∠F y ∠G?». ∠F y ∠G son ángulos verticales.
b. DOK-1 «¿Qué tipo de ángulos son ∠E y ∠G?». ∠E y ∠G son ángulos adyacentes. c. DOK-1 «¿Cuál es la medida de ∠E?». ∠E mide 128 grados.
d. DOK-1 Nombra un par de ángulos interiores alternos. ∠C y ∠F o ∠D y ∠E
e. DOK-1 Nombra un par de ángulos exteriores alternos. ∠B y ∠G o ∠A y el ángulo de 128 grados f. DOK-1 «¿Qué tipo de ángulos son ∠A y ∠E?». ∠A y ∠E son ángulos correspondientes.
g. DOK-1 «¿Cuál es la medida de ∠C?». ∠C mide 52 grados.
h. DOK-1 «¿Qué tipo de ángulos son ∠E y∠F, y cuál es la suma de sus ángulos?». ∠E y ∠F son ángulos suplementarios, y la suma de sus ángulos es 180 grados. i. DOK-1 «¿Qué ángulos miden 128 grados?». ∠A, ∠D y ∠E miden 128 grados. j. DOK-1 «¿Cuál es la medida de los otros ángulos?». 180 - 128 = 52 grados
3. Si dispone de tiempo, pida a los estudiantes que creen mapas similares utilizando papel de cuaderno. Pídales que tracen dos líneas azules paralelas en el papel y creen una transversal. Indique a los estudiantes que elijan uno de los ángulos para medirlo con un transportador y que, a continuación, utilicen las relaciones angulares para determinar los demás ángulos. Después, pídales que utilicen el transportador para comprobar su trabajo y debatir cualquier discrepancia.
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GRADO 8: ÁNGULOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 1: ÁNGULOS INTERIORES DE TRIÁNGULOS Estándar(es) • Comprender la congruencia y la semejanza utilizando modelos físicos, transparencias o software de geometría. Utilizar argumentos formales para establecer hechos sobre la suma de ángulos y el ángulo exterior de triángulos, sobre los ángulos creados cuando las rectas paralelas son cortadas por la transversal, y el criterio ángulo-ángulo para la semejanza de triángulos. Por ejemplo, arreglar tres copias del mismo triángulo de manera que la suma de los tres ángulos parezca formar una línea, y dar un argumento en términos de transversales de por qué esto es así. Estándares para la práctica matemática
Ideas fundamentales Geometría de las transformaciones
MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente.
Conexiones de contenido CC4 Descubrir la forma y el espacio
MP.3 Construir argumentos viables y analizar el razonamiento de otros.
Motores de investigación DI1 Dar sentido al mundo: Comprender y explicar. DI2 Predecir lo que podría ocurrir: Predecir
MP.5 Usar estratégicamente las herramientas apropiadas. MP.6 Prestar atención a la precisión.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes usan argumentos formales para establecer hechos sobre los ángulos interiores de un triángulo.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de tarjetas de triángulo (por pareja) • 1 boleto de salida (por estudiante) REUTILIZABLE
• 1 par de tijeras (por pareja)
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Lea la siguiente situación a los estudiantes: «La familia de Tiffany y Roman decide ir a acampar para el viaje familiar anual de verano de este año. Cuando comienzan los preparativos para el viaje, Tiffany y Roman notan que la tienda de campaña de la familia tiene una abertura triangular. Después de medir la longitud de cada uno de los lados de la abertura triangular, Tiffany y Roman sienten curiosidad por los tres ángulos de la abertura triangular de la tienda. ¡Exploremos los ángulos interiores de un triángulo con Tiffany y Roman!». 2. Ayude a los estudiantes a acceder a la tarea formulando las siguientes preguntas orientadoras:
• 1 transportador (por pareja)
a.
«¿Qué sabes ya acerca de los ángulos?».
• 1 bolsa resellable (por pareja)
b.
«¿Dónde ves ángulos en tu vida cotidiana?».
PREPARACIÓN
• Planifique que los estudiantes trabajen en grupos de dos para completar esta actividad. • Imprima un «Diario del estudiante» y un «Boleto de salida» para cada alumno. • Imprima un juego de «Tarjetas de triángulos» para cada pareja. Cada estudiante necesitará su propia tarjeta de triángulo para coloquer en su «Diario del estudiante». Se necesitará un juego nuevo para cada clase, ya que los estudiantes cortarán estos triángulos. • Reúna suficientes pares de tijeras y transportadores para que cada pareja tenga uno de cada uno. • Para los estudiantes que necesiten más apoyo para recordar la información, consulte nuestro elemento «Ayudas suplementarias: Ángulos» en la sección «Intervención».
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 221
3. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 4. Entregue un juego de «Tarjetas de triángulo», un transportador y un par de tijeras a cada pareja. 5. Explique a los estudiantes que establecerán datos sobre la suma de los ángulos de un triángulo y aprenderán la relación entre las medidas de los ángulos interiores. 6. Pida a los estudiantes que recorten los triángulos de las «Tarjetas de triángulos». A continuación, pida a los estudiantes que corten las tres esquinas de los triángulos para que tengan 3 ángulos separados. (Observe que los triángulos tienen 3 vértices representados por ∠A, ∠B, y ∠C).
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GRADO 8: ÁNGULOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Angles Explore 1
7. Indique a los estudiantes que utilicen el espacio proporcionado en sus «Diarios del estudiante» para reorganizar los tres ángulos de los triángulos. Los estudiantes ordenarán los tres ángulos de modo que sus vértices estén alineados y adyacentes. Utilizarán un transportador para medir cada ángulo y comenzarán a generalizar que los tres ángulos de un triángulo forman una línea recta. Supervise y hable con los estudiantes según sea necesario para comprobar la comprensión utilizando las siguientes preguntas guía: a.
DOK-1 «¿Qué observas al disponer los vértices ∠A, ∠B, y ∠C?». Las respuestas de los estudiantes variarán. Me di cuenta de que forman una línea recta.
b.
DOK-1 «¿Cuál es la medida de un ángulo llano?». Un ángulo llano mide 180°.
c.
DOK-1 «¿Qué se puede concluir sobre la relación entre ∠A, ∠B, y ∠C?». (Tenga en cuenta que los estudiantes deben utilizar un transportador para llegar a esta conclusión). Las respuestas de los estudiantes variarán. ∠A + ∠B + ∠C = 180°
d.
DOK-2 «¿Qué fórmula y teorema podrían usarse para sustentar esta relación?». Las respuestas de los estudiantes variarán. El teorema de la suma de triángulos establece que para △ABC, m∠A + m∠B + m∠C = 180°.
8. Conceda tiempo a los estudiantes para que completen sus «Diarios del estudiante», incluidas las preguntas de reflexión. 9. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímelos a hacerse preguntas y establecer conexiones. Anime a los estudiantes a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias usadas para descubrir hechos sobre ángulos interiores de triángulos.
Tiffany and Roman’s Tent Exit Ticket Tiffany and Roman are measuring the angles of their triangular tent opening. Use the triangular tent opening to find the unknown angle measure.
Solve for x.
What is the m∠C?
59° + 67° + 6x° = 180° 6x + 126 = 180 – 126 – 126
6(9) = 54°
m∠C = 54°
6x = 54 6 6 x=9
1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
DESPUÉS DE EXPLORAR 1. Haga que los estudiantes completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
10. Después de realizar la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
2. Completen el «Esquema de anclaje» como clase.
CHARLA DE MATEMÁTICAS
3. Haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva».
• DOK-2 «¿Cómo se puede usar la propiedad de la suma de ángulos para determinar la medida de un ángulo faltante en un triángulo?». Podemos sumar los dos ángulos dados y luego restar esta suma de 180°, que es la suma angular de los tres ángulos de un triángulo. • DOK-2 «Si se dan dos medidas de ángulos interiores de un triángulo, ¿Cómo puedes determinar la medida del tercer ángulo?». Puedo restar la suma de los dos ángulos dados de 180° para determinar la medida del tercer ángulo. • Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: ◦ DOK-2 «Si sabes que la medida de uno de los ángulos de un triángulo rectángulo es 43°, ¿Cómo puedes determinar las medidas de los otros dos ángulos?». Como estamos trabajando con un triángulo rectángulo, una de las medidas de ángulo que falta es 90°. Usando la ecuación 43 ° + 90° + x ° = 180°, podemos determinar la medida del tercer ángulo que falta. 43 ° + 90° + x ° = 180°; 133 ° + x ° = 180°; x = 47 °.
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 222
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Antes de la lección, considere proporcionar a los estudiantes la oportunidad de practicar la resolución de ecuaciones de múltiples pasos para prepararlos para resolver medidas de ángulos. 2. Si los estudiantes necesitan apoyo adicional para usar un transportador, entonces considere proporcionarles hojas con instrucciones paso a paso para su uso. 3. Proporcione flexibilidad a los estudiantes que tienen diferentes niveles de destreza permitiéndoles completar la página 1 del «Diario del estudiante» sin Recorter los triángulos, y proporcióneselos pRecortedos. 4. Si los estudiantes necesitan apoyo adicional, entonces considere cambiar el primer problema de práctica en el «Diario del estudiante» para que dos de los ángulos estén representados por números enteros y el tercero por una sola variable. 5. Recuerde a los estudiantes que se aseguren de que las medidas de los ángulos sumen 180° después de encontrar las medidas faltantes. 6. Como extensión, haga que cada estudiante cree su propio triángulo con medidas faltantes para que otros compañeros de clase lo resuelva.
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1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: ÁNGULOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
Angles Explore 1
Angles Explore 1
Find the measure of each angle by using the information given.
Tents and Triangles
Triangle 1 Solve for x. 3x° + 3x° + 90° = 180° 6x + 90 = 180 – 90 = – 90 6x = 90 6=6
Cut a triangle from the Triangle Cards. Rearrange ∠A, ∠B, and ∠C of △ABC so that the three angles are adjacent to each other. Use the space provided to rearrange each set of triangles, and answer the questions.
x = 15 ∠H: 3(15) = 45° ∠J: 3(15) = 45° 45° m∠H: _______________
45° m∠J: _______________
Triangle 2 Solve for x. 1.
(2x + 6)° + 2x° + 78° = 180°
What do you notice when the three angles are joined together?
4x + 84 = 180 – 84 = – 84
When I joined each of the 3 angles for each triangle, I noticed that the angles formed a straight line.
2.
4x = 96 4 4 x = 24
What can be concluded about the relationship between ∠A, ∠B, and ∠C?
∠D: 2(24) + 6 = 54° ∠E: 2(24) = 48°
A straight angle has a measure of 180°, so the sum of the three angles of a triangle equals 180°. 54° m∠D: _______________
2
Angles Explore 1
Angles Explore 1
Reflect
Triangle 3 Solve for x.
1.
4x° + 5x° + 6x° = 180°
15x = 180 15 = 15
2.
x = 12
If two interior angle measures of a triangle are given, how can you determine the measure of the third angle? I can subtract the sum of the two given angles from 180° in order to determine the measure of the third angle.
∠X: 6(12) = 72° ∠Y: 5(12) = 60° ∠Z: 4(12) = 48° 3. 60° m∠Y: _____________
How can the triangle angle sum property be used to determine the measure of a missing angle in a triangle? We can add the two given angles together and then subtract this sum from 180°, which is the angle sum of a triangle’s three angles.
15x = 180
72° m∠X: _____________
48° m∠E: _______________
1
48° m∠Z: _____________
If you know the measure of one of the angles in a right triangle is 43°, how can you determine the measures of the other two angles? Since we are working with a right triangle, one of the missing angle measures is 90°. Using the equation 43° + 90° + x° = 180°, we can determine the measure of the third missing angle. 43° + 90° + x° = 180° 133° + x° = 180° x = 47°
Triangle 4 Solve for x. (5x + 4)° + x° + 68° = 180° 6x + 72 = 180 – 72 = – 72 6x = 108 6 6 x = 18 ∠M: 18° ∠N: 5(18) + 4 = 94°
18° m∠M: _______________
94° m∠N: _______________ 3
4
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: ÁNGULOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Angles Part 1
APOYOS LINGÜÍSTICOS Triangle 3
Aclare los significados matemáticos de los siguientes términos clave haciendo hincapié en ellos durante la «Exploración», como teorema de la suma de triángulos, ángulo llano, ángulo recto, ángulo interior, ecuación, y variable. Durante la «Charla de matemáticas», anime a los estudiantes a escribir y debatir sus respuestas con sus compañeros y, a continuación, a dar y recibir comentarios antes de compartir sus respuestas con el grupo.
Solve for x. 42 + 2x + 2x + 10 = 180 52 + 4x = 180 – 52 – 52 4x = 128 ÷4 ÷4 x = 32
42° m∠W = __________
Triangle 4 Solve for x.
Mientras los estudiantes trabajan y debaten ideas con sus compañeros, resuma lo que oye y repita las ideas clave y el vocabulario utilizando la entonación, el habla pausada y las pistas visuales. Proporcione murales de vocabulario y esquemas de anclaje que representen las palabras: teorema de la suma de triángulos, ángulo llano, ángulo recto, ángulo interior, ecuación, y variable. Los estudiantes pueden utilizarlos como guía cuando respondan a las preguntas, hablen con sus compañeros o completen el «Diario del estudiante» y el «Boleto de salida».
2(32) + 10 = 74° m∠V = ____________
2(32) = 64° m∠U = _____________
60 + 3x + 2x + 20 = 180 80 + 5x = 180 – 80 – 80 5x = 100 ÷5 ÷5 x = 20
60° m∠M = ___________
3(20) = 60° m∠L = _____________
2(20) + 20 = 60° m∠K = _____________
2
Angles Part 1
Angles Part 1
Triangle 5
Interior Angles of Triangles
Solve for x. 35 + x + 3x + 5 = 180 40 + 4x = 180 – 40 – 40 4x = 140 ÷4 ÷4 x = 35
Find the measure of each angle by using the information given. Triangle 1 Solve for x. 2x + 86 = 180 – 86 – 86 2x = 94 ÷2 ÷2 x = 47
35° 35 = 35° m∠S = ____________ m∠T = _____________
3(35) + 5 = 110° m∠U = _____________
Triangle 6 Solve for x.
86° m∠G = ____________
47° m∠E = ____________
2x + 2x + 3 + 3x + 2 = 180 5 + 7x = 180 –5 –5 7x = 175 ÷7 ÷7 x = 25
47° m∠F = ____________
Triangle 2 Solve for x. 118 + (x + 13) + (x + 9) = 180 140 + 2x = 180 –140 –140 2x = 40 ÷2 ÷2 x = 20
2(25) = 50° m∠C = _____________
+ 2 = 77° m∠D = 3(25) _____________
2(25) + 3 = 53° m∠E = _____________
7. The formula △ABC, m∠A + m∠B + m∠C = 180° is known as triangle sum theorem the _________________________________________________________.
20 + 13 = 33° m∠X = _____________
20 + 9 = 29° m∠Y = ____________
118° m∠Z = ___________
1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 224
3
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: ÁNGULOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 2: ÁNGULOS EXTERIORES DE TRIÁNGULOS Estándar(es) • Comprender la congruencia y la semejanza utilizando modelos físicos, transparencias o software de geometría. Utilizar argumentos formales para establecer hechos sobre la suma de ángulos y el ángulo exterior de triángulos, sobre los ángulos creados cuando las rectas paralelas son cortadas por la transversal, y el criterio ángulo-ángulo para la semejanza de triángulos. Por ejemplo, arreglar tres copias del mismo triángulo de manera que la suma de los tres ángulos parezca formar una línea, y dar un argumento en términos de transversales de por qué esto es así.
Ideas fundamentales Geometría de las transformaciones
Estándares para la práctica matemática
Conexiones de contenido
Motores de investigación
MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente.
CC4 Descubrir la forma y el espacio.
DI1 Dar sentido al mundo: Comprender y explicar.
MP.3 Construir argumentos viables y analizar el razonamiento de otros. MP.6 Atender a la precisión.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizan argumentos formales para establecer hechos sobre los ángulos exteriores y los ángulos interiores remotos de los triángulos.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por estudiante) REUTILIZABLE
• 1 transportador (por pareja)
PREPARACIÓN
• Planee que los estudiantes trabajen en grupos de dos para completar esta actividad. • Imprima un «Diario del estudiante» y un «Boleto de salida» para cada alumno. • Reúna suficientes transportadores para que cada pareja tenga uno. • Para los estudiantes que necesiten más ayuda para recordar la información, consulte nuestro elemento en «Ayudas suplementarias: Ángulos» en la sección «Intervención».
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PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Lea la siguiente situación a la clase: «Tiffany, Roman y su familia hacen un viaje familiar por carretera. La familia pasa unos días en el camping “Ardilla encantadora”. A Roman le encanta dibujar y hace un boceto rápido del campamento de su familia en su diario. Su dibujo incluye las dos tiendas de su familia. Incluye las sombras en el suelo proyectadas de cada tienda. Mirando su dibujo, Roman empieza a preguntarse si existe alguna relación entre los tres ángulos de cada uno de los dibujos de las tiendas de forma triangular y la sombra que hay junto a cada tienda. Ayudemos a Roman a explorar cada dibujo de tienda triangular y el ángulo exterior formado por la sombra proyectada por cada tienda». 2. Ayude a los estudiantes a acceder a la tarea formulando las siguientes preguntas orientadoras: a. «¿Te gusta dibujar como a Roman?». b. «¿Cómo te ayuda a comprender mejor nuevos conceptos el dibujar un diagrama o una imagen?». c. «¿Qué sabes ya acerca de los ángulos exteriores?». 3. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno y un transportador a cada pareja. 4. Explique a los estudiantes que establecerán hechos sobre el ángulo exterior de un triángulo y comprenderán la relación entre la medida de un ángulo exterior y las medidas de sus ángulos interiores remotos. También identificarán las medidas desconocidas de los ángulos exteriores de triángulos.
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GRADO 8: ÁNGULOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Angles Explore 2
5. Pida a los estudiantes que midan los cuatro ángulos de la tienda utilizando un transportador. Los estudiantes utilizarán la tabla proporcionada para anotar las medidas de sus ángulos. Los estudiantes comenzarán a generalizar que la suma de los dos ángulos interiores opuestos de un triángulo es igual a la medida del ángulo exterior del triángulo. Los estudiantes también generalizarán que la suma del ángulo exterior y el ángulo adyacente es igual a 180°.
Sundials and Exterior Angles Exit Ticket A sundial is located by the entrance to Charming Chipmunk Campground. The sundial is a device that tells campers the time of day using sunlight and the shadow cast on the circular base by a fixed triangular piece. Find the measure of each angle on the sundial.
6. Supervise y hable con los estudiantes según sea necesario para comprobar la comprensión utilizando las siguientes preguntas guía: a. DOK-2 «¿Cómo se puede utilizar el teorema de la suma de triángulos para encontrar las medidas desconocidas de los ángulos exteriores de los triángulos?». Las respuestas de los estudiantes variarán. Es importante entender que m∠A + m∠B + m∠C = 180° porque saber esto nos ayudará a entender la relación entre la medida de un ángulo exterior y las medidas de sus ángulos interiores remotos. b. DOK-2 «¿Cuál es la relación entre los ángulos interiores de un triángulo y un ángulo exterior?». Las respuestas de los estudiantes variarán. La suma de los dos ángulos interiores opuestos es igual a la medida del ángulo exterior del triángulo. c. DOK-2 «¿Qué observas en el ángulo exterior y en el ángulo interior adyacente?». Las respuestas de los estudiantes variarán. El ángulo exterior más el ángulo interior adyacente es igual a 180°. 7. Explique lo siguiente a la clase: «Hoy has determinado las medidas de los ángulos en triángulos con ángulos exteriores. Los matemáticos se refieren a esto como el uso del teorema del ángulo exterior. El teorema del ángulo exterior establece que la suma de los ángulos interiores alejados es igual al ángulo exterior no adyacente». 8. Conceda tiempo a los estudiantes para que completen sus «Diarios del estudiante» y las preguntas de reflexión. 9. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímelos a que se hagan preguntas entre ellos y establezcan conexiones. Anime a los estudiantes a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias usadas para determinar hechos sobre los ángulos exteriores de un triángulo. 10. Después de realizar la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
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Measures of a Sundial’s Interior and Exterior Angles (14z + 3)° + (9z – 3)° = 161° 23z = 161 23z = 161 23 23 z=7 ∠S: 14(7) + 3 = 101° ∠T: 9(7) – 3 = 60° ∠SUT: 180 – 161 = 19° 101° m∠S = __________
60° m∠T = __________
19° m∠SUT = __________ 1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 «¿Cómo puedes identificar el ángulo exterior de un triángulo?». El ángulo exterior es el ángulo formado al extender uno de los lados del triángulo más allá del interior del triángulo. • DOK-2 «¿Cómo puedes calcular la medida del ángulo exterior de un triángulo?». Puedes calcular la medida del ángulo exterior de un triángulo sumando los dos ángulos interiores opuestos. También puedes tomar el ángulo interior adyacente y restarlo de 180. • Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: ◦ DOK-2 «¿Cuál es un ejemplo del uso de ángulos exteriores en el mundo real?». Usar un mapa para ver la ruta que recorre un avión desde diferentes ciudades
DESPUÉS DE EXPLORAR 1. Haga que los estudiantes completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 2. Completen el «Esquema de anclaje» como clase. 3. Haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva».
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1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: ÁNGULOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2
Angles Explore 2
Angles Explore 2
Find the measure of each angle using the information given. Triangle 1
Tent Shadows and Exterior Angles
Solve for y.
Use the protractor to measure each angle, and put the angle measurements in the table. Answer the questions about the relationship between exterior angles and the interior angles.
(5y – 4)° + 2y°= 52° 7y – 4 = 52 +4 + 4 7y = 56 7= 7 y=8 ∠A: 5(8) – 4 = 36° ∠B: 2(8)= 16° ∠ACB: 180 – 52 =128°
1.
Angle A
Angle B
Angle C
Angle D
70°
58°
52°
128°
36° m∠A = ___________
16° m∠B = ___________
128° m∠ACB = ___________
Triangle 2 Solve for x.
What is the triangle sum theorem?
3x° + 2x° + x° = 180°
m∠A + m∠B + m∠C = 180°
6x = 180 2.
6x = 180 6 6
What type of angles do m∠C and m∠D form?
x = 30
Supplementary angles 3.
∠W: 2(30) = 60° ∠X: 3(30) = 90° ∠Y: 30°
Fill in the blanks to complete the equation.
∠WYZ: 150°
m∠C m∠C m∠A + m∠B + ____________ = ____________ + m∠D 60° m∠W = _________
150° 30° m∠Y = ________ m∠WYZ = ________ 2
Angles Explore 2
Angles Explore 2
Reflect
Triangle 3 Solve for b.
1.
(2b – 7)° + (3b + 5)° = 113°
5b = 115 5 = 5
2.
b = 23
How can you calculate the measure of a triangle’s exterior angle? You can calculate the measure of a triangle’s exterior angle by adding the two opposite interior angles.
∠P: 2(23) – 7 = 39° ∠Q: 3(23) + 5 = 74° ∠QRP: 180 – 113 = 67° 3. 74° m∠Q = __________
How can you identify the exterior angle of a triangle? The exterior angle is the angle formed by extending one of the triangle’s sides beyond the interior of the triangle.
5b – 2 = 113 +2 = +2
39° m∠P = __________
90° m∠X = _________
1
67° m∠QRP = __________
What is an example of using exterior angles in the real world? Using a map to see the route an airplane travels from different cities
Triangle 4 Solve for g. (5g + 4)° + (4g + 7)° = 146° 9g + 11 = 146 – 11 = – 11 9g = 135 9 9 g = 15 ∠F: 5(15) + 4 = 79° ∠G: 4(15) + 7 = 67° ∠GHF: 180 – 146 = 34°
79° m∠F = _________
67° m∠G = __________
34° m∠GHF = __________ 3
4
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 227
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1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: ÁNGULOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Angles Part 2
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Antes de la lección, considere proporcionar a los estudiantes la oportunidad de practicar la resolución de ecuaciones de varios pasos para prepararlos para resolver las medidas de ángulos.
Exterior Angles of Triangles 1.
sum The idea that an exterior angle is equal to the_______ of the two interior angles of a triangle is known as the exterior angles of opposite________ triangles theorem.
2. Si los estudiantes necesitan apoyo adicional para usar un transportador, considere proporcionarles hojas con instrucciones paso a paso para su uso. 3. Recuerde a los estudiantes que deben asegurarse de que las medidas de los ángulos suplementarios sumen 180° después de encontrar las medidas faltantes. 4. Como extensión, haga que cada estudiante cree su propio triángulo con medidas faltantes para que otros compañeros lo resuelva.
2.
APOYOS LINGÜÍSTICOS Llame la atención sobre el teorema del ángulo exterior y cómo se relaciona con el significado real. Descomponga el nombre para debatir cada palabra y cómo se relaciona con el significado del teorema.
Use the figure above to find the measure of each angle. a.
130° m∠ABC = ________
b.
32° m∠BCD = ________
c.
50° m∠CBD = ________
d.
82° 50 + 32 = 82 m∠CDE = ________ 2x – 2 + 32 = 130 98° 2x + 30 = 130 m∠BDC = ________ 2x = 100 x = 50
e.
180 – 130 = 50
2(50) – 2 = 98
Para las preguntas de reflexión, permita que los estudiantes expliquen sus pensamientos oralmente y que su compañero escriba en el papel por ellos. A continuación, pida al compañero que lea en voz alta lo que ha escrito. El estudiante puede decidir si su mensaje se comunicó claramente y ajustarlo según sea necesario. Proporcione murales de palabras y esquemas de anclaje que representen las palabras: teorema de la suma de los ángulos de un triángulo, ángulo interior, ángulo exterior, y adyacente. Los estudiantes pueden utilizarlos como guía cuando respondan a las preguntas, hablen con sus compañeros o completen el «Diario del estudiante» y el «Boleto de salida».
1
Angles Part 2
3.
Find the value for the missing angles. Show your work. Prove your solution.
Solution (Sum of 2 interior angles = exterior angle) x – 5 + 3x – 1 = 94 4x – 6 = 94 +6 +6 4x = 100 x = 25 (25) – 5 = 20 3(25) – 1 = 74 180 – 94 = 86 2 Proofs Missing angle = 180 – 94 = 86. Therefore, sum of all 3 angles 20 + 86 + 74 = 180. Also sum of 2 interior angles 20 + 74 = 94 (the exterior angle).
2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 2) CLAVE DE RESPUESTAS
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 228
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1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: ÁNGULOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 3: TRANSVERSALES Estándar(es) • Comprender la congruencia y la semejanza utilizando modelos físicos, transparencias o software de geometría. Utilizar argumentos formales para establecer hechos sobre la suma de ángulos y el ángulo exterior de triángulos, sobre los ángulos creados cuando las rectas paralelas son cortadas por la transversal, y el criterio ángulo-ángulo para la semejanza de triángulos. Por ejemplo, arreglar tres copias del mismo triángulo de manera que la suma de los tres ángulos parezca formar una línea, y dar un argumento en términos de transversales de por qué esto es así.
Ideas fundamentales Geometría de las transformaciones
Estándares para la práctica matemática MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente.
Conexiones de contenido CC4 Descubrir la forma y el espacio
Motores de investigación DI1 Dar sentido al mundo: Comprender y explicar.
MP.4 Modelar con matemáticas. MP.5 Usar herramientas apropiadas estratégicamente. MP.6 Prestar atención a la precisión.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes identifican y describen los ángulos formados por rectas paralelas y transversales. Los estudiantes también encuentran las medidas de los ángulos.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por estudiante) • 1 tapete de trabajo de líneas paralelas y transversales (por grupo) • 1 copia de tarjetas de líneas paralelas y transversales (por clase) • 1 juego de tarjetas de mapa del campamento (por grupo) REUTILIZABLE
• 1 marcador de borrado en seco (por grupo) • 1 protector de hojas transparente (por grupo) • 1 regla (por grupo) • 1 proyector o cámara de documentos (por maestro)
PREPARACIÓN
• Planee que los estudiantes trabajen en grupos de dos para completar esta actividad. • Imprima un «Diario del estudiante» y un «Boleto de salida» para cada alumno. • Imprima un «Tapete de trabajo de líneas paralelas y transversales» para cada grupo. Coloque una tapete de trabajo dentro de un protector de hojas transparente para cada grupo. • Imprima un juego de «Tarjetas de mapa de campamento» para la «Parte II» para cada grupo. Si lo desea, imprima en cartulina y lamine para un uso futuro. • Imprima una copia de las «Tarjetas de líneas paralelas y transversales» para la clase. Si lo desea, imprima en cartulina y plastifique para un uso futuro. • Esté preparado para proyectar las «Tarjetas de líneas paralelas y transversales» para que la clase la vea. • Reúna suficientes marcadores de borrado en seco, reglas y hojas de papel de calco para cada grupo. • Para los estudiantes que necesitan más apoyo para recordar la información, vea nuestro elemento de «Ayudas suplementarias: Ángulos» en la sección de «Intervenir».
CONSUMIBLE
• 1 hoja de papel de calco (por grupo)
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 229
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1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: ÁNGULOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Angles Explore 3
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: ENTENDIENDO LÍNEAS PARALELAS Y TRANSVERSALES 1. Lea el siguiente escenario a los estudiantes: «La familia de Tiffany y Roman decide ir de campamento para el viaje familiar anual de verano de este año. Cuando comienzan a hacer los preparativos, Tiffany y Roman miran un mapa con los senderos que hay cerca del camping. Se dan cuenta de que los senderos del mapa se parecen a distintos tipos de líneas. Vamos a explorar las líneas paralelas y transversales con Tiffany y Roman para ayudarles a entender el recorrido de cada sendero en el mapa».
Lines and Angles on the Campsite Map Part II
Use the Camp Map Cards to draw the parallel lines with a transversal, and answer the questions. Card 1 Draw the parallel lines and transversal. C 5
«¿Qué sabes ya acerca de las líneas paralelas?».
b.
«¿Has tenido que utilizar alguna vez un mapa?». Si es así, ¿Cuándo?».
3. Entregue a cada grupo un marcador de borrado en seco, 1 hoja de papel de calco y el tapete de trabajo líneas paralelas y transversales.
2 1
1.
2.
DOK-1 «¿Qué son las líneas paralelas?». Líneas que están siempre a la misma distancia una de otra.
b.
DOK-1 «¿Qué son las líneas que se cruzan?». Líneas que se cruzan.
c.
DOK-1 «¿Qué son líneas perpendiculares?». Líneas que se cruzan en un ángulo recto.
d.
DOK-1 «¿Qué son transversales?». Líneas que intersecan dos o más líneas.
e.
DOK-1 «¿Qué son ángulos correspondientes?». Ángulos que se encuentran en el mismo lado de la transversal en posiciones correspondientes.
f.
6. Proyecte la «Tarjeta de líneas paralelas y transversales». Pida a los estudiantes que etiqueten las rectas y numeren los ángulos que se han formado al intersecar las rectas paralelas. Observe el siguiente ejemplo.
What type of angles are ∠1 and the 72° angle?
4.
What type of angles are ∠3 and ∠5?
What is the measurement of ∠1? 72°
5.
What are the measurements of ∠2 and ∠3? 72° + ∠2 = 180° – 72 – 72 ∠2 = 108°
What type of angles are ∠1 and ∠6?
∠3 is also 108°.
These angles are alternate exterior angles. 1
Angles Explore 3
Card 2 Draw the parallel lines and transversal. A
B t
DOK-1 «¿Qué son ángulos interiores alternos y ángulos exteriores alternos?». Ángulos que se encuentran en lados opuestos de la transversal.
5. Pida a los estudiantes que dibujen dos rectas paralelas en su «Tapete de trabajo líneas paralelas y transversales». A continuación, pídales que dibujen una tercera recta que intersecte a las dos paralelas. (Asegúrese de que los estudiantes entienden que esta línea es la transversal).
7
These angles are alternate interior angles. 3.
T
6
3
These angles are vertical angles.
4. Guíe a los estudiantes a través de un debate para repasar términos de vocabulario sobre líneas y ángulos: a.
4
72°
2. Ayude a los estudiantes a acceder a la tarea planteándoles las siguientes preguntas orientadoras: a.
D
∠H = 4x°
E
∠J = 2x°
2x°
D C G
1.
4x°
What type of angles are ∠D and ∠E? These angles are same-side interior angles.
2.
3.
F
4.
What are the measurements of ∠H and ∠J? 4x° + 2x° = 180° 6x = 180°
What type of angles are ∠C and ∠E?
6x = 180 6 = 6
These angles are corresponding angles.
x = 30
What type of angles are ∠C and ∠F?
∠H: 4x° = 4(30) = 120° ∠J: 2x° = 2(30) = 60°
These angles are alternate exterior angles.
∠H = 120° ∠J = 60°
2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
230
SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 230
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1/9/26 2:00 PM
GRADO 8: ÁNGULOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Angles Explore 3
7. Explique a los estudiantes que van a identificar y describir los ángulos formados por rectas paralelas y transversales.
Card 3 Draw the parallel lines and transversals.
8. Pida a los estudiantes que utilicen su «Tapete de trabajo líneas paralelas y transversales para identificar los ángulos que se han formado. Supervise y hable con los estudiantes según sea necesario para verificar la comprensión utilizando las siguientes preguntas guía:
N 90° 127° 53° J 127° 53°
37° K 37° 37°
L
1.
∠L is congruent to which angle? ∠J
M
4.
x°
a. DOK-1 «¿Cuál es un ejemplo de ángulos correspondientes?». Las respuestas de los estudiantes variarán. ∠2 y ∠6
What is the value of x? Finding the missing angle in the triangle:
2.
∠M is congruent to which angle? ∠K
3.
What type of angles are ∠K and ∠M? These angles are corresponding angles.
b. DOK-1 «¿Cuál es un ejemplo de ángulos interiores alternos?». Las respuestas de los estudiantes variarán. ∠4 y ∠5
90° + 53° + x° = 180° 143° + x° = 180° – 143 – 143 x = 37°
c. DOK-1 «¿Cuál es un ejemplo de ángulos exteriores alternos?». Las respuestas de los estudiantes variarán. ∠2 y ∠7
Finding the angle measure for x°: x is also 37° since corresponding angles are congruent and vertical angles are also congruent.
d. DOK-1 «¿Cuál es un ejemplo de ángulos interiores del mismo lado?». Las respuestas de los estudiantes variarán. ∠3 y ∠5 3
Angles Explore 3
Reflect 1.
What type of angles are supplementary when two parallel lines are cut by a transversal? Same-side interior angles and same-side exterior angles are supplementary.
2.
9. Modele para los estudiantes las relaciones de ángulos que se muestran en la «Tarjeta de líneas paralelas y transversales». Pida a los estudiantes que usen el papel de calco para trazar el diagrama que está en el «Tapete de trabajo líneas paralelas y transversales» en el papel de calco. Supervise y evalúe la comprensión de los estudiantes mientras cada grupo colabora haciendo las siguientes preguntas guía: a. DOK-2 «¿Cuántos ángulos formaron las líneas paralelas y la transversal?». 8
On Card 3, how can the triangle angle sum property be used to determine the measure of a missing angle in a triangle? The top of the diagram where angle N is located is a triangle. We can use what we know about the various types of angles to determine the unknown angle measures. For example, we can identify the supplementary angles and find the missing angle measurement or use what we know about corresponding angles to find the missing measurement for the triangle. Once the unknown angle measures have been determined, we can add together and then subtract this sum from 180° to find the measurement of the unknown angle measure in the triangle.
3.
e. DOK-1 «¿Cuál es un ejemplo de ángulos exteriores del mismo lado?». Las respuestas de los estudiantes variarán. ∠1 y ∠7
Describe a real-life situation that uses parallel lines and a transversal. Some examples of real-life situations that include parallel lines and a transversal are railroad tracks, the edges of sidewalks, and building houses.
4
b. DOK-2 «¿Qué par de ángulos es un ejemplo de ángulos verticales?». Las respuestas de los estudiantes variarán. ∠2 y ∠3 son ángulos verticales. c. DOK-2 «¿Qué pares de ángulos son congruentes?». Las respuestas de los estudiantes variarán. ∠2 y ∠6, ∠4 y ∠5, ∠2 y ∠7 10. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímelos a que se hagan preguntas y establezcan conexiones. Anime a los estudiantes a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias usadas para encontrar relaciones angulares cuando se les dan líneas paralelas y una transversal. 11. Después de realizar la «Parte I», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
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GRADO 8: ÁNGULOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Qué tipo de ángulos se forman cuando una transversal cruza líneas paralelas?». Se forman ángulos congruentes. Ángulos correspondientes, ángulos interiores alternos, y ángulos exteriores alternos son todos ángulos congruentes. • Escoja una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: ◦ DOK-1 «¿Cómo identificaste los ángulos verticales del diagrama?». Los ángulos verticales se identificaron en el diagrama buscando los ángulos opuestos formados por dos rectas que se intersecan. PARTE II: ENCONTRAR LAS MEDIDAS DE ÁNGULOS DESCONOCIDOS CON RECTAS PARALELAS Y TRANSVERSALES 1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Tiffany y Roman están mirando el mapa de senderos cerca del campamento. Les gustaría medir los ángulos que aparecen en el mapa. Vamos a explorar las medidas de ángulos con rectas paralelas y transversales con Tiffany y Roman para ayudarles a encontrar las medidas de ángulos desconocidas de los ángulos que se muestran en el mapa»d. 2. Ayude a los estudiantes a acceder a la tarea haciendo las siguientes preguntas guía: a.
«¿Alguna vez han estado en un sendero para una caminata, paseo en bicicleta o paseo?».
b.
«¿Qué recuerdan acerca de las relaciones de ángulos?».
3. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 4. Explique a los estudiantes que ayudarán a Tiffany y Roman a utilizar sus conocimientos sobre líneas paralelas y transversales para identificar los tipos de ángulos que representan los pares de ángulos y determinar las medidas de ángulos desconocidos que se muestran en el mapa del campamento. 5. Entregue un juego de «Tarjetas del mapa del campamento» a cada grupo. 6. Pida a los estudiantes que utilicen las «Tarjetas del mapa del campamento» para identificar los tipos de ángulos que representan los pares de ángulos en el mapa del campamento. También determinarán las medidas de los ángulos desconocidos que aparecen en el mapa del campamento. Anime a los estudiantes a utilizar el «Tapete de trabajo líneas paralelas y transversales» para resolver las medidas de los ángulos desconocidos. Supervise y hable con los estudiantes según sea necesario para comprobar la comprensión utilizando las siguientes preguntas guía:
a. DOK-1 «¿Qué pares de ángulos son congruentes?». Las respuestas de los estudiantes variarán. ∠4 y ∠6 b. DOK-2 «¿Qué pares de ángulos son suplementarios?». Las respuestas de los estudiantes variarán. ∠D y ∠E
8. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímeles a que se hagan preguntas y establezcan conexiones. Anime a los estudiantes a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias usadas para encontrar medidas de ángulos cuando se dan líneas paralelas y una transversal. 9. Después de realizar la «Parte II», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-1 «¿Qué tipo de ángulos son suplementarios cuando dos líneas paralelas son cortadas por una transversal?». Los ángulos interiores del mismo lado y los ángulos exteriores del mismo lado son suplementarios. • Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: ◦ DOK-2 «En la “Tarjeta 3”, ¿Cómo se puede usar la propiedad de suma de ángulos de triángulos para determinar la medida de un ángulo faltante en un triángulo?». La parte superior del diagrama donde se encuentra el ángulo N es un triángulo. Podemos usar lo que sabemos sobre los distintos tipos de ángulos para determinar las medidas de los ángulos desconocidos. Por ejemplo, podemos identificar los ángulos suplementarios y hallar la medida del ángulo que falta o utilizar lo que sabemos sobre los ángulos correspondientes para hallar la medida que falta en el triángulo. Una vez determinadas las medidas de los ángulos desconocidos, podemos sumar y luego restar esta suma de 180° para hallar la medida del ángulo desconocido en el triángulo. • DOK-2 «¿Qué sucede cuando una transversal es perpendicular a dos rectas paralelas?». Todos los ángulos formados miden 90°. • DOK-2 «Describa una situación de la vida real que use líneas paralelas y una transversal». Algunos ejemplos de situaciones de la vida real que incluyen líneas paralelas y una transversal son las vías del tren, los bordes de las aceras y la construcción de casas.
DESPUÉS DE EXPLORAR 1. Haga que los estudiantes completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 2. Completen el «Esquema de anclaje» como clase. 3. Haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva».
7. Conceda tiempo para que los estudiantes completen la «Parte II» de sus «Diarios del estudiante», incluyendo las preguntas de reflexión. 232
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GRADO 8: ÁNGULOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Angles Explore 3
APOYOS PEDAGÓGICOS Camp Treasure Map Exit Ticket Tiffany and Roman have found a treasure map. They will use the treasure map to find the hidden treasure at their campsite. Use the treasure map to identify the different types of angles. Solve for x, and show your work by including the angle measurements in the diagram.
1. Antes de la lección, considere proporcionar a los estudiantes una hoja de repaso sobre la resolución de ecuaciones de varios pasos para prepararlos mejor para resolver las medidas de ángulos. Esta hoja debe proporcionar a los estudiantes una guía general, paso a paso, para resolver una ecuación de múltiples pasos. 2. Proporcione flexibilidad a los estudiantes que necesiten tareas reducidas pidiéndoles que completen sólo dos triángulos en la «Parte II».
1.
∠C is congruent to which angle?
3.
∠A 2.
What type of angles are ∠B and ∠D? These angles are corresponding angles.
3. Esta lección introduce mucho vocabulario nuevo, por lo que los estudiantes pueden necesitar apoyo adicional. Considere proporcionarles el «Vocabulario interactivo» que se encuentra en la sección «Explicar», donde pueden hacer anotaciones sobre cada nuevo término de vocabulario.
What is the value of x? Missing angle in the triangle: 90° + 58° + x° = 180° 148° + x° = 180° – 148 – 148
4. Recuerde a los estudiantes que deben asegurarse de que las medidas del ángulo sumen 180° si se trata de un ángulo suplementario.
x = 32°
1
APOYOS LINGÜÍSTICOS
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
Angles Part 3
Transversals 1.
2.
Write a capital I by the following angles considered to be interior angles created by a transversal (t) intersecting the two parallel lines (l and m). Write a capital E by the angles considered to be exterior angles.
What are the sums of
E ∠1____
I ∠5____
E ∠2____
I ∠6____
I ∠3____
E ∠7____
I ∠4____
E ∠8____
3. If ∠5 is 4x + 5 and ∠6 is 3x, what is
180° ∠1 and ∠2 _______
∠6 75° _____
180° ∠5 and ∠3 _______
∠3 75° _____
180° ∠4 and ∠6 _______
∠8105° _____
180° ∠5 and ∠6 _______
∠1105° _____
5. Como extensión, haga que cada estudiante cree sus propias rectas paralelas con una transversal con medidas faltantes para que su compañero las resuelva.
4x + 5 + 3x = 180 7x + 5 = 180 7x = 175 x = 25
4.
What angles are congruent with ∠2?
∠3, ∠6, and ∠7
5.
What angles are congruent with ∠4?
∠1, ∠5, and ∠8
6.
What type of angle do the congruent angles in question 4 have in common? All are acute angles (less than 90°).
7.
What type of angle do the congruent angles in question 5 have in common? All are obtuse angles (more than 90°).
Llame la atención sobre el nuevo vocabulario para ángulos y cómo se relacionan con la ubicación del ángulo. Descomponga el nombre para debatir cada palabra y cómo se relaciona con el significado del nombre. Por ejemplo, ayude a los estudiantes a entender por qué un ángulo se considera exterior alterno mostrándolo visualmente y comentando los significados de alterno y exterior. Proporcione imágenes visuales con frecuencia para reiterar las definiciones de términos clave como: ángulos correspondientes, ángulos interiores alternos, ángulos interiores del mismo lado, ángulos verticales, y líneas paralelas. Como actividad posterior a la clase, guíe a los estudiantes para que completen el «Vocabulario interactivo» (que se encuentra en la sección «Explicar») para el vocabulario nuevo. Proporcióneles la definición y anímeles a que la reescriban con sus propias palabras Cuando respondan a las preguntas de reflexión, pida a los estudiantes que se turnen primero para decir sus respuestas en voz alta a sus compañeros, para recibir comentarios de sus compañeros y, a continuación, para escribir sus respuestas en sus «Diarios del estudiante». Pueden revisarlas si es necesario.
1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 3) CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: ÁNGULOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 4: SIMILITUD ÁNGULO-ÁNGULO Estándar(es) • Comprender la congruencia y la semejanza utilizando modelos físicos, transparencias o software de geometría. Utilizar argumentos formales para establecer hechos sobre la suma de ángulos y el ángulo exterior de triángulos, sobre los ángulos creados cuando las rectas paralelas son cortadas por la transversal, y el criterio ángulo-ángulo para la semejanza de triángulos. Por ejemplo, arreglar tres copias del mismo triángulo de manera que la suma de los tres ángulos parezca formar una línea, y dar un argumento en términos de transversales de por qué esto es así. Estándares para la práctica matemática
Ideas fundamentales Geometría de las transformaciones
MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente.
Conexiones de contenido
Motores de investigación
CC4 Descubriendo la forma y el espacio.
DI1 Dar sentido al mundo: Entender y explicar.
MP.3 Construir argumentos viables y analizar el razonamiento de otros. MP.4 Modelar con matemáticas. MP.5 Usar herramientas apropiadas estratégicamente. MP.6 Atender a la precisión.
DESCRIPCIÓN
PREPARACIÓN
Los estudiantes determinan cuando dos triángulos son similares usando las medidas de los ángulos de los triángulos.
• Planee que los estudiantes trabajen en grupos de a dos para completar esta actividad.
MATERIALES
• Imprima un «Tapete de trabajo de similitud ánguloángulo» para cada pareja. Coloque el tapete de trabajo dentro de un protector de hojas transparente para cada pareja.
IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por estudiante) • 1 tapete de trabajo de similitud de ángulos (por pareja) REUTILIZABLE
• 1 marcador de borrado en seco (por pareja)
• Imprima un «Diario del estudiante» y un «Boleto de salida» para cada estudiante.
• Reúna un par de tijeras, una regla, un transportador y un marcador de borrado en seco para cada pareja. • Para los estudiantes que necesiten más ayuda para recordar la información, consulte nuestro elemento «Ayudas suplementarias: Ángulos» en la sección «Intervención».
• 1 protector de hojas transparente (por pareja) • 1 par de tijeras (por pareja) • 1 transportador (por pareja) • 1 regla (por pareja)
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GRADO 8: ÁNGULOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4
Angles Explore 4
Angles Explore 4
Determine whether the triangles in each set are similar by finding the unknown angle measure.
Similar Tents
Triangles Set 1 Solve for the unknown angle measures.
Draw triangles in the spaces below using a protractor and ruler. Both triangles should include the two angle measurements 65° and 40°. Answers are not drawn to scale. Draw a triangle, and label it ABC.
△JKL 42° + 68° + x = 180° 180° – 110° = 70°
Find the measure of the third angle.
A
65° + 40° + x = 180° 180 – 105 = 75°
△MNO 42° + 70° + x = 180° 180° – 112° = 68°
m∠A: 75°
B
65°
40°
C 70° m∠J = ________
Draw a larger triangle, and label it DEF. D
68° m∠O = ________
Yes Are both triangles similar? _________
Find the measure of the third angle. Triangles Set 2
65° + 40° + x = 180° 180 – 105 = 75°
Solve for the unknown angle measures. △PQR 54° + 69° + x = 180° 180° – 123° = 57°
m∠D: 75°
△STU 61° + 69° + x = 180° 180° – 130° = 50° E
65°
40°
F
What do you notice about both triangles? 57° m∠R = ________
Both triangles have the same angle measurements.
50° m∠U = ________
No Are both triangles similar? _________
1
2
Angles Explore 4
Angles Explore 4
Triangles Set 3
Reflect 1.
How can the triangle sum theorem be used to determine if a set of triangles are similar triangles? We can add the two given angles together and then subtract this sum from 180° to find the unknown angle measure. When we have the three angles for each set of triangles, we can compare the angle measures and determine if the angle measures are congruent and if the triangles are similar.
2.
What is an example of using similar triangles in a real-world situation? An example of using similar triangles includes measuring the heights of very tall objects such as trees, buildings, and mobile phone towers.
Solve for the unknown angle measures. △ABC 79° + 58° + x = 180° 180° – 137° = 43°
△GHI 51° + x + 65° = 180° 180° – 116° = 64°
△DEF 60° + 51° + x = 180° 180° – 111° = 69°
△JKL 79° + x + 43° = 180° 180° – 122° = 58°
43° m∠B = _______________
69° m∠F = _______________
64° m∠H = _______________
58° m∠K = _______________
△ABC and △JKL are similar triangles. Which two triangles are similar triangles? _____________________________
3
4
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: ÁNGULOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Lea la siguiente situación a la clase: «Tiffany y la familia de Roman están en el camping comparando las diferentes aberturas de cada tienda. Después de medir las medidas de los ángulos de cada abertura triangular, Tiffany y Roman sienten curiosidad por la similitud entre los tres ángulos de cada abertura triangular de la tienda. ¡Exploremos las medidas de los ángulos de triángulos similares con Tiffany y Roman!». 2. Ayude a los estudiantes a acceder a la tarea formulando las siguientes preguntas orientadoras: a.
«¿Qué recuerdas sobre los triángulos y sus ángulos?».
b.
«¿Has estado alguna vez en una tienda triangular?». Si es así, «¿Qué observaste en los ángulos?».
3. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 4. Entregue un «Tapete de trabajo de similitud ánguloángulo», un marcador de borrado en seco, una regla, un transportador y un par de tijeras a cada pareja. 5. Explique a los estudiantes que van a determinar la semejanza de los triángulos basándose en las medidas de sus ángulos. Hallarán las medidas angulares desconocidas de los triángulos basándose en su semejanza. 6. Pida a los estudiantes que utilicen una regla y un transportador para dibujar dos triángulos en sus «Diarios del estudiante» con medidas angulares de 65 ° y 40 °. Anime a los estudiantes a dibujar los triángulos en sus «Tapetes de trabajo de similitud ángulo-ángulo» para practicar el dibujo de un triángulo con las medidas de ángulo correctas. Los estudiantes deben nombrar el primer triángulo ABC y el segundo triángulo DEF. (Observe que el primer triángulo tiene 3 vértices que están representados por ∠A, ∠B, y ∠C, y el segundo triángulo tiene 3 vértices que están representados por ∠D, ∠E, y ∠F). Véase el siguiente ejemplo. Paso 1
10
0
180 170 1
20 60
15
30
12 0 13 60 0 50
01
40 40
80 7 0
65°
A
65°
40°
E
Paso 2 B
40°
C
D
65°
40°
F
a.
DOK-1 «¿Qué observas en △ABC y △DEF?». Las respuestas de los estudiantes pueden variar. He observado que ambos triángulos tienen las mismas medidas de ángulo.
b.
DOK-1 «¿Son △ABC y △DEF triángulos semejantes?». Las respuestas de los estudiantes variarán. Al observar las medidas de los ángulos, como todos los pares de ángulos correspondientes de ambos triángulos son iguales, son triángulos semejantes.
SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 236
10. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímeles a que se hagan preguntas y establezcan conexiones. Anime a los estudiantes a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias usadas para determinar si los triángulos son semejantes basándose en las medidas de los ángulos. 11. Después de realizar la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. Charla de matemáticas • Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: ◦ DOK-2 «¿Cómo se puede usar la propiedad de la suma de ángulos para determinar la medida de un ángulo que falta en un triángulo?». Podemos sumar los dos ángulos dados y luego restar esta suma de 180° para hallar la medida del ángulo desconocido. Cuando tenemos los tres ángulos para cada conjunto de triángulos, podemos comparar las medidas de los ángulos y determinar si las medidas de los ángulos son congruentes y si los triángulos son semejantes.
DESPUÉS DE EXPLORAR
7. Supervise y hable con los estudiantes según sea necesario para comprobar la comprensión utilizando las siguientes preguntas orientadoras:
236
9. Conceda tiempo a los estudiantes para que completen sus «Diarios del estudiante» y las preguntas de reflexión.
• DOK-2 «¿Cuál es un ejemplo del uso de triángulos semejantes en una situación del mundo real?». Un ejemplo del uso de triángulos semejantes incluye la medición de las alturas de objetos muy altos como árboles, edificios y torres de telefonía móvil.
90 100 110
170 180 160 0 10 0 15 20 0 30 14 40
80 70 60 110 100 0 50 12 0 13
8. Explica lo siguiente a la clase: «Hoy has determinado si los triángulos de un conjunto son semejantes basándote en las medidas de sus ángulos. Los matemáticos denominan a esta regla criterio de semejanza ángulo-ángulo. El criterio de semejanza ángulo-ángulo establece que si dos ángulos cualesquiera de un triángulo son respectivamente iguales a dos ángulos cualesquiera de otro triángulo, entonces deben ser triángulos semejantes».
1. Haga que los estudiantes completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 2. Completen el «Esquema de anclaje» como clase. 3. Haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva». 4. Regrese a la sección de «Captar interés» e instruya a los estudiantes a usar sus habilidades recién adquiridas para completar exitosamente la actividad.
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GRADO 8: ÁNGULOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Angles Explore 4
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Antes de la lección, considere proporcionar a los estudiantes una hoja de repaso sobre la resolución de ecuaciones de varios pasos para prepararlos para resolver las medidas de ángulos. Esta hoja debe proporcionar una guía general, paso a paso, para resolver una ecuación de pasos múltiples.
Similar Tent Openings Exit Ticket Tiffany and Roman are shopping at the outdoor store looking for new tents. They are comparing the tent openings to determine which tents they will purchase from the store. Determine whether the tent openings in the set are similar by finding the unknown angle measure.
2. Si los estudiantes tienen dificultades con el uso de un transportador, considere proporcionarles una hoja con instrucciones paso a paso para su uso.
Tent Openings at the Outdoor Store
3. Proporcione flexibilidad a los estudiantes que necesitan tareas reducidas eliminando uno de los triángulos en el conjunto 3 de triángulos. 4. Recuerde a los estudiantes que deben asegurarse de que las medidas de los ángulos sumen 180° después de encontrar las medidas que faltan en un triángulo.
△MNO 47° + 65° + x = 180° 180° – 112° = 68° △XYZ 47° + 68° + x = 180° 180° – 115° = 65°
68° m∠O = ______
65° m∠X = ______
Yes Are both triangles similar? ___________
1
APOYOS LINGÜÍSTICOS
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
Angles Part 4
Angle-Angle Similarity 1.
2.
Are ΔABC and ΔDEF similar? Show and explain your work.
Are ΔABC and ΔDEF similar? Show and explain your work.
5. Como extensión, pida a los estudiantes que creen un ejemplo de triángulos no semejantes. Pídales que lo hagan de forma que pueda engañar a un compañero haciéndole creer que los triángulos son semejantes. Rete a los estudiantes a considerar qué errores cometieron al crear su problema.
∠A + ∠B + ∠C = 180° 21° + 105° + ∠C = 180° 126° + ∠C = 180° Subtract 126° from both sides. ∠C = 54° ΔABC and ΔDEF are similar because they have two congruent angles. ∠C and ∠E =54° ∠A and ∠F = 21°
Llame la atención sobre la palabra similar y cómo se relaciona con este contexto y el mundo real. Anime a los estudiantes a encontrar conexiones entre cómo se utiliza la palabra dentro y fuera del aula de matemáticas. Pida a los estudiantes que se turnen para explicar las respuestas a las preguntas de reflexión. Cada vez que un estudiante explique su trabajo, su compañero debe reformular lo que ha dicho el estudiante y añadir sus ideas. Las siguientes estructuras de oraciones pueden ayudar a los estudiantes en este intercambio de ideas: • Te he oído decir _______. Estoy de acuerdo porque _________. • Te he oído decir _______. No estoy de acuerdo porque ________. Mientras los estudiantes trabajan y debaten ideas con sus compañeros, resuma lo que oye y repita las ideas clave y el vocabulario utilizando la entonación, el habla lenta y las señales visuales.
For ΔABC, ∠A + ∠B + ∠C = 180° 60° + ∠B + 79° = 180° ∠B + 139° = 180° Subtract 139° from both sides. ∠B = 41° For ΔDEF, ∠D + ∠E + ∠F = 180° 60° + 42° + ∠F = 180° 102° + ∠F = 180° Subtract 102° from both sides. ∠F = 78° ΔABC = 60° + 41° + 79° ΔDEF = 60° + 42° + 78° ΔABC and ΔDEF are NOT similar because only one pair of angles is congruent. ∠A and ∠D = 60° 1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 4) CLAVE DE RESPUESTAS
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237
1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: ÁNGULOS
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE
CONSOLIDAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
Angles
ESQUEMA DE ANCLAJE
Sum of Interior Angles
DESCRIPCIÓN
What is the value of x?
Un esquema de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Se trata de una herramienta para apoyar la instrucción y anclar el aprendizaje de los estudiantes a lo largo del alcance.
MATERIALES
• 1 hoja de papel cuadriculado • 1 juego de marcadores multicolores
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del ejemplo de «Esquema de anclaje», si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. El ejemplo de esquema de anclaje puede utilizarse como referencia antes de crear el de la clase. Esta actividad debe ser dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje. 2. A medida que los estudiantes trabajen en el alcance, colaboren para añadir piezas al «Esquema de anclaje». Formule las siguientes preguntas orientadoras:
∠A + ∠B + ∠C = 180° 2x + 24 + 20 + 32 = 180 2x + 76 = 180 2x = 104 x = 52
What is the measure of ∠A? A = 2x + 24 A = 2(52) + 24 A = 104 + 24 A = 128°
Exterior Angles What is the measure of ∠x? ∠x = 85 + 47 ∠x = 132°
Parallel Lines Cut by a Transversal Congruent Angles Supplementary Angles ∠1 and ∠4 ∠1 and ∠5 ∠3 and ∠6 ∠1 and ∠8
∠1 and ∠2 ∠4 and ∠6 ∠2 and ∠ 8
Angle-Angle Similarity What is the relationship between ∠C and ∠F? They are congruent. If a pair of triangles has 2 sets of congruent angles, the third set of angles is also congruent.
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
a. «¿Qué estrategia utilizamos para resolver este problema?». b. «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?». 3. Continúe añadiendo habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada «Exploración» para resaltar el contenido importante. 4. Explique que pueden utilizar este gráfico como herramienta de apoyo para su aprendizaje. Los estudiantes también pueden pegar una copia del ejemplo del esquema en sus cuadernos para utilizarla como referencia a lo largo del año. 5. Algunos esquemas de anclaje sólo se mostrarán durante un alcance o grupo de alcances concretos, mientras que otras permanecerán expuestas durante todo el curso escolar.
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 238
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1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: ÁNGULOS
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA Angles
DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE Instructions ● Cut out the top and bottom pages. ● Glue or tape the bottom of the flipbook into your notebook. ● Cut the flaps on the dotted lines of the top page, and fold back to the solid lines. ● Place glue where it says “Place glue here.” Attach it to the top of the flipbook. ● Lift up the flaps, and complete the information. Top
LIBRETA INTERACTIVA DESCRIPCIÓN Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase al usar la actividad y la libreta.
Interior Angles Angle Relationships
MATERIALES IMPRESO
Exterior Angles
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del «Folleto del estudiante» para cada uno.
Parallel Lines Cut by a Transversal
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Angle-Angle Similarity
1. Prepare una «Libreta interactiva» al usar un cuaderno de espiral o de composición para cada uno. Los estudiantes pueden utilizar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades. Angles
2. Las instrucciones para cada actividad se proporcionan en el «Folleto del estudiante». 3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos.
Bottom
Find the measure of ∠A.
4. Las libretas interactivas pueden utilizarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
Find the measure of ∠x.
Place glue here.
List all pairs of congruent angles. List all pairs of supplementary angles.
What is the relationship between ∠C and ∠F? Explain your reasoning.
FOLLETO DEL ESTUDIANTE
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 239
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GRADO 8: ÁNGULOS
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
APOYO PARA ESTUDIANTES MULTILINGÜES
CONEXIONES LINGÜÍSTICAS DESCRIPCIÓN
• Permita que los estudiantes tengan acceso al «Vocabulario ilustrado» para este alcance .
Los estudiantes tienen la oportunidad de utilizar sus conocimientos lingüísticos y culturales de base para apoyar las conexiones con nuevas habilidades, vocabulario y conceptos en sus niveles de competencia.
• Permita que los estudiantes tengan acceso a una variedad de herramientas matemáticas, tales como fichas de álgebra y rectas numéricas.
MATERIALES
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
IMPRESO
• 1 folleto del estudiante según su nivel de competencia (por alumno)
1 Distribuya a cada alumno un «Folleto del estudiante» en el nivel de competencia apropiado.
REUTILIZABLE
2 Utilice las indicaciones para las partes de escuchar, hablar, leer y escribir. Utilice gestos, señale objetos y elementos visuales, según proceda. Consulte las indicaciones para obtener sugerencias.
• 1 juego de fichas de álgebra (por estudiante) • 1 juego de lápices o marcadores de colores azul y rojo (por estudiante)
3 Deje tiempo a los estudiantes para que piensen con sus compañeros antes de responder.
PREPARACIÓN
• Prepárese para que los estudiantes trabajen con compañeros cuando sea necesario.
4 Anime a los estudiantes a perseverar en su pensamiento y a utilizar herramientas y modelos matemáticos.
• Determine el nivel de inglés de cada estudiante.
5 Invite a los estudiantes a responder adecuadamente a cada dominio lingüístico.
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada alumno según su nivel de inglés.
Angles B
directions on his Write the angle numbers that match the vocabulary. ∠2 and ∠4; ∠1 and ∠3; ∠5 and ∠7; ∠6 and ∠8 Vertical angles: _________________________ ∠2 and ∠8; ∠3 and ∠5 Alternate interior angles: _________________ ∠4 and ∠6; ∠1 and ∠7 Alternate exterior angles: _________________ ∠1 and ∠5 ; ∠2 and ∠6; ∠4 and ∠8; ∠3 and ∠7 Corresponding angles:______________________
Angles I
Angles B
school for the first time and looks up
Luis is walking to his new
Angle Matching and Vocabulary
Write the angle numbers that match the vocabulary.
getting confused. He remembers how to get to George and Rose
school. He
∠2 and ∠4; ∠1 and ∠3; ∠5 and ∠7; ∠6 and ∠8 Vertical angles: _________________________
Streets. Luis starts walking from Frederick Street to school. He finally
school on Princes Street. He is excited to find
Alternate interior angles: _________________ ∠2 and ∠8; ∠3 and ∠5
school and meet new
∠4 and ∠6; ∠1 and ∠7 Alternate exterior angles: _________________
friends!
George and Rose Streets are _______________ to each other. parallel / perpendicular
Using the exterior angle of triangles theorem, solve for ∠W.
Using the exterior angle of triangles theorem, solve for ∠W. ∠X + ∠D = ∠W 67.5° + 31.3° = W° 98.8° = W°
Walking down Frederick Street, Luis sees that two corners of the street form a
Angles B
Word Bank Interior
180°
Vertical
reaches his school on Princes Street. He is excited to find his school and
∠4 and ∠6; ∠1 and ∠7 Alternate exterior angles: _________________
meet new friends!
∠1 and ∠5 ; ∠2 and ∠6; ∠4 and ∠8; ∠3 and ∠7 Corresponding angles:______________________ ∠1 and ∠2; ∠4 and ∠3; ∠5
and ∠6; ∠8 and ∠7 Supplementary angles: _____________________
Answers will vary.
parallel Luis starts off to school and sees that George and Rose Streets are _________ to transversal each other. Hanover Street cuts George and Rose Streets like a ____________.
Word Bank Angle sum theorem Interior
180°
Exterior Vertical
Straight
perpendicular Hanover Street can also be called ______________ because it is 90°, which is also
Hanover can also be called perpendicular because it is 90°, which is also called an acute angle. True / False
Angles I
Angles B
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use angle relationships at home with your family or friends.
57° + 29° + m° = 180° (57° + 29°) + m° = 180° 86° + m° = 180° – 86° – 86° m° = 94°
Walking down Frederick Street, Luis sees that two corners of the street form an obtuse angle. True / False
____________ angle. straight / obtuse
Similar
∠2 and ∠8; ∠3 and ∠5 Alternate interior angles: _________________
Hanover Street is a real-world transversal between George and Rose Streets. True / False
Hanover and George Streets form a 90° or ________ angle, which means these right / acute two streets can also be called _______________. parallel / perpendicular
∠X + ∠D = ∠W 67.5° + 31.3° = W° 98.8° = W°
Congruent
and meet new friends!
getting confused. He remembers how to get to George and Rose Streets. Luis starts walking from Frederick Street to school. He finally
∠2 and ∠4; ∠1 and ∠3; ∠5 and
∠7; ∠6 and ∠8 Vertical angles: _________________________
George and Rose are Streets parallel to each other. True / False
Hanover cuts through George and Rose Streets as a _____________. transversal / straight
Angles
directions on his phone. All the street names are new to him, and he is
Write the angle numbers that match the vocabulary.
Using the angle sum theorem, solve for m.
57° + 29° + m° = 180° (57° + 29°) + m° = 180° 86° + m° = 180° – 86° – 86° m° = 94°
57° + 29° + m° = 180° (57° + 29°) + m° = 180° 86° + m° = 180° – 86° – 86° m° = 94°
Straight
Angles A
Using the angle sum theorem, solve for m.
Using the angle sum theorem, solve for m.
Exterior
Angle Matching and Vocabulary
reaches his school on Princes Street. He is excited to find his school
∠1 and ∠5; ∠2 and ∠6; ∠4 and ∠8; ∠3 Corresponding angles:______________________ and ∠7 ∠1 and ∠2; ∠4 and ∠3; ∠5 and ∠6; ∠8 Supplementary angles: _____________________ and ∠7
∠1 and ∠2; ∠4 and ∠3; ∠5 and ∠6; ∠8 and ∠7 Supplementary angles: _____________________
Angle sum theorem
Angles A
Luis is walking to his new school for the first time and looks up
directions on his phone. All the street names are new to him, and he is
phone. All the street names are new to him, and
Streets. Luis starts walking from Frederick Street to
his
Angles I
Luis is walking to his new school for the first time and looks up
Angle Matching and Vocabulary
he is getting confused. He remembers how to get to George and Rose
finally reaches his
6 Haga que los estudiantes utilicen la página final del «Folleto del estudiante» para formar conexiones entre los conceptos matemáticos y el mundo real.
Angles
Supplementary
Use the word bank to explain how to find the angle relationship with an example.
Angles _________ share a vertex and create several
Angles _________ share a vertex and create several
geometric relationships. Using the
geometric relationships. Using the
right called a _________ angle.
∠X + ∠D = ∠W 67.5° + 31.3° = W° 98.8° = W°
Luis walks down Frederick Street, stops at Princes Street, and notices that two
Angles I
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use angle relationships at home with your family or friends.
External angle of triangles theorem
Use the word bank to explain how to find the angle relationship with an example.
Using the exterior angle of triangles theorem, solve for ∠W.
straight angle, or 180°. corners of the street form a _______
Angles A
Word Bank Angle sum theorem 180°
Answers will vary.
Exterior
Vertical
Angles
Interior
Angles A
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use angle relationships at home with your family or friends.
Supplementary
Answers will vary.
External angle of triangles theorem
angle sum theorem ___________________, we know that the
angle sum theorem ___________________, we know that the triangle in this picture has three interior
180° triangle in this picture has three interior angles (∠1 + ∠2 + ∠3) that equal ____.
angles (∠1 + ∠2 + ∠3) that equal 180° _______.
The outside angle of a triangle is called the _______ exterior angle. Angle n equals angles
exterior angle. Angle n equals The outside angle of a triangle is called the _________
external angle of triangles theorem 1 and 2 and is proven by the _________________________________. The
angles 1 and 2 and is proven by the exterior angle of triangles theorem. The
vertical angles are equal and opposite of each other as shown by angles n in _________
vertical angles are equal and opposite of each other as shown by angles n in _________
Supplementary the image. __________________ angles are ∠1 + ∠3 + ∠n and equal 180°.
the image. These angles will also be congruent ________.
Applying this to the following image, I know the triangles are similar because
Applying this to the following set of triangles, we know that the triangles are
they have all congruent angle, and this makes the triangles similar.
Write a short description of angle relationships describing the picture to the left. Then apply the relationships to explain whether triangle ABC is similar to triangle DEF. Use all of the words in the word bank when writing your answer. Answers will vary. Angles are two line segments that form a vertex. From this picture, the angle sum theorem can be used to find a missing angle inside a triangle. Two of the interior angles must be given to use this theorem. All three angles in a triangle equal 180°. The outside angle of a triangle is called the exterior angle. Angle n equals angles 1 and 2 and is proven by the external angle of triangles theorem. This theorem also supports the finding of supplementary angles, which also equal 180°. An example of a supplementary angle is ∠1 + ∠3 + ∠n. Angles n are also called vertical angles, which are equal and opposite of each other.
similar congruent angles. ___________ because they have _________
PRINCIPIANTE FOLLETO DEL ESTUDIANTE
240
SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 240
INTERMEDIO FOLLETO DEL ESTUDIANTE
AVANZADO FOLLETO DEL ESTUDIANTE
ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: ÁNGULOS
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCUCHAR Y HABLAR
PRINCIPIANTE Disponga de tarjetas de «Vocabulario ilustrado» y lea las siguientes instrucciones de una en una:
INTERMEDIO
Tenga tarjetas de «Vocabulario ilustrado» y lea las siguientes instrucciones de una en una:
AVANZADO
Tenga tarjetas de «Vocabulario ilustrado» y lea las siguientes indicaciones de una en una:
•
Antes de que empiece la clase, utilice cinta de pintor para recrear la imagen de la relación del primer ángulo en el suelo. Si el aula no es lo suficientemente grande, créelo en el pasillo.
•
Antes de comenzar la clase, utilice cinta de pintor para recrear el primer cuadro de relación de ángulos en el suelo. Si el aula no es lo suficientemente grande, créelo en el pasillo.
•
Antes de que empiece la clase, utilice cinta de pintor para recrear la imagen de la primera relación de ángulos en el suelo. Si el aula no es lo suficientemente grande, créelo en el pasillo.
•
Cuando esté preparado para enseñar esta pieza, elija a ocho estudiantes para que representen los números de los ángulos. Muéstreles dónde deben pararse y use sus dedos para mostrarles el número donde están parados.
•
Cuando esté preparado para enseñar esta pieza, elija a ocho estudiantes para que representen los números de los ángulos. Muéstreles dónde pararse para que coincida con el diagrama en sus «Folletos del estudiante».
•
Cuando esté preparado para enseñar esta pieza, elija a ocho estudiantes para que representen los números de los ángulos. Muéstreles dónde coloquerse para que coincidan con el diagrama de sus «Folletos del estudiante».
•
Dígales a los estudiantes que levanten el número de dedos que va con los ángulos en los que están parados.
•
Dígales a los estudiantes que levanten el número de dedos que corresponde a los ángulos en los que están parados.
•
•
Repase el vocabulario:
•
Repase el vocabulario:
«Voy a nombrar pares de ángulos. Choca esos cinco o choca los puños con tu pareja. Cuando creas que sabes la relación que tienen todos los pares, levanta la mano».
◦
Ángulos verticales (Haga que cada grupo levante sus números de a uno por vez). 1 y 3, 2 y 4, 5 y 7, y 6 y 8
◦
Ángulos verticales (Haga que cada grupo levante sus números de a uno por vez). 1 y 3, 2 y 4, 5 y 7, y 6 y 8
◦
Haga esto para cada palabra del vocabulario:
◦
Haga esto para cada palabra del vocabulario:
• Ángulos interiores alternos
• Ángulos interiores alternos
• Ángulos exteriores alternos
• Ángulos exteriores alternos
• Ángulos correspondientes
• Ángulos correspondientes
• Ángulos suplementarios (Recuerde a los estudiantes que estos dos ángulos son iguales a 180 grados) Haga que los estudiantes digan: «Los ángulos suplementarios son iguales a 180 grados»
• Ángulos suplementarios (Recuerde a los estudiantes que estos dos ángulos son iguales a 180 grados). Haga que los estudiantes digan: «Los ángulos suplementarios son iguales a 180 grados».
◦
Algunos ángulos son congruentes. «Cuando diga tu número de ángulo, choca los cinco o el puño con cada ángulo con el que seas congruente».
◦
Haga que los estudiantes escuchen primero la palabra del vocabulario y luego repitan después de usted.
•
Repita esta actividad hasta que cada estudiante haya tenido su turno en la actividad de los ángulos en el suelo.
•
Mientras los grupos esperan para irse, haga que los estudiantes repasen los dos teoremas de la parte inferior de la página.
•
Cada vez que repita esto, haga que los estudiantes repitan las palabras del vocabulario.
•
Después de la actividad, repase los ángulos. ◦
•
Haga que los estudiantes trabajen con sus compañeros para revisar los ángulos y completar la parte superior de sus «Folletos del estudiante». ◦
Algunos ángulos son congruentes. «Cuando diga tu número de ángulo, choca los cinco o el puño con cada ángulo con el que seas congruente».
•
Si el tiempo lo permite, repita esta actividad hasta que cada estudiante haya tenido su turno en la actividad de los ángulos en el suelo.
•
Después de la actividad, repase los ángulos y deje tiempo para que los estudiantes completen la información que falta de cada uno.
Comenten con sus compañeros qué ángulos del folleto son ángulos verticales. • Haga que los estudiantes usen la siguiente estructura de oraciones mientras debaten con sus compañeros: Los ángulos ___ y ___ son ángulos verticales.
◦
«Comenta con tus compañeros qué ángulos del folleto de trabajo son ángulos suplementarios». • Haga que los estudiantes usen la siguiente estructura de oraciones mientras debaten con sus compañeros: Los ángulos ___ y ___ son ángulos suplementarios.
«¿Qué ángulos del folleto son ángulos verticales?». • Haga que los estudiantes usen la siguiente estructura de oración: Los ángulos ___ y ___ son ángulos verticales.
◦
Si el tiempo lo permite, repita esta actividad hasta que cada estudiante haya tenido un turno en la actividad de ángulos en el piso.
◦
«¿Qué significa suplementario?».
«Comenta con tus compañeros qué ángulos del folleto de trabajo son ángulos interiores alternos».
Lea todos los pares de ángulos de cada categoría del primer diagrama. Haga una pausa entre cada pareja para que los estudiantes choquen los cinco o choquen los puños y piensen qué relación puede haber entre los ángulos.
•
Algunos ángulos son congruentes. «Cuando diga tu número de ángulo, choca los cinco o el puño con cada ángulo con el que seas congruente».
•
«¿Qué son los ángulos verticales?». • Haga que los estudiantes usen la siguiente estructura de oración: Los ángulos verticales son ______________.
◦
◦
◦
•
◦
«¿Qué son los ángulos verticales?».
◦
Comenta con tus compañeros qué ángulos del folleto de trabajo son ángulos verticales. Escribe estos pares de ángulos en tu folleto de trabajo.
◦
«¿Qué significa suplementario?.
◦
Comenta con tus compañeros qué ángulos del folleto de trabajo son ángulos suplementarios». «Escribe estos pares de ángulos en tu folleto de trabajo».
◦
«¿Qué significa ángulo interior alterno?».
◦
«Comenta con tus compañeros qué ángulos del folleto de trabajo son ángulos interiores alternos». Escribe estos pares de ángulos en tu folleto de trabajo.
◦
«¿Qué significa ángulo exterior alterno?».
◦
«Comenta con tus compañeros qué ángulos del folleto de trabajo son ángulos exteriores alternos». «Escribe estos pares de ángulos en tu folleto de trabajo».
◦
«¿Qué significa correspondiente?».
◦
«Comenta con tus compañeros qué ángulos del folleto de trabajo son ángulos correspondientes». «Escribe estos pares de ángulos en tu folleto».
«Observa el teorema de la suma de ángulos. Comenta con tus compañeros cómo resolver m ¿Cuál es el valor de m?».
• Haga que los estudiantes usen la siguiente estructura de oración: Suplementario significa que los ángulos son iguales a _____.
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241
1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: ÁNGULOS
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCUCHAR Y HABLAR (CONTINUACIÓN) PRINCIPIANTE
•
«¿Qué ángulos de los que aparecen en el folleto son ángulos suplementarios?». • Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de oración: Los ángulos ___ y ___ son ángulos suplementarios.
•
INTERMEDIO
• Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de oración mientras debaten con sus compañeros: Los ángulos ___ y ___ son ángulos interiores alternos. ◦
«¿Qué significa ángulos interiores alternos?». • Haga que los estudiantes usen la siguiente estructura de oración: Ángulos interiores alternos significa ángulos que ___.
•
«¿Qué ángulos del folleto de trabajo son ángulos interiores alternos?». • Haga que los estudiantes usen la siguiente estructura de oración: Los ángulos ___ y ___ son ángulos interiores alternos.
•
•
◦
◦
«¿Qué ángulos del folleto de trabajo son ángulos exteriores alternos?».
•
«¿Qué ángulos del folleto de trabajo son ángulos correspondientes?». • Haga que los estudiantes usen la siguiente estructura de oración: Los ángulos ___ y ___ son ángulos correspondientes.
•
«Observa el teorema de la suma de ángulos. ¿Cuál es el primer paso para resolver m?».
•
«¿Cuál es el valor de W?».
«Comenta con tus compañeros qué ángulos del folleto de trabajo son ángulos exteriores alternos».
«Comenta con tus compañeros qué ángulos del folleto de trabajo son ángulos correspondientes.
«Mira el teorema de la suma de ángulos. Comenta con tus compañeros cómo resolver m». • Haga que los estudiantes usen las siguientes estructuras de oraciones: El primer paso para resolver m es __________. A continuación, para hallar m, haremos __________.
«¿Qué significa correspondiente?». • Pida a los estudiantes que usen la siguiente estructura de oración: Correspondiente significa que los ángulos ____.
Observa el teorema del ángulo exterior de los triángulos. Comenta con tus compañeros cómo resolver el ángulo W».
• Haga que los estudiantes usen la siguiente estructura de oraciones mientras debaten con sus compañeros: Los ángulos ___ y ___ son ángulos correspondientes.
• Haga que los estudiantes usen la siguiente estructura de oración: Los ángulos ___ y ___ son ángulos exteriores alternos. •
•
• Haga que los estudiantes usen la siguiente estructura de oración mientras debaten con sus compañeros: Los ángulos ___ y ___ son ángulos exteriores alternos.
«¿Qué significa ángulos exteriores alternos?». • Pida a los estudiantes que usen la siguiente estructura de oración: Los ángulos exteriores alternos son ángulos que ___.
AVANZADO
El valor de m es __________. ◦
«Mira el teorema del ángulo exterior de triángulos. Comenta con tus compañeros cómo resolver el ángulo W». • Haga que los estudiantes utilicen las siguientes estructuras de frases: Para hallar el ángulo W, primero sustituiremos _____ por el ángulo X y _____ por el ángulo D. A continuación, necesitaremos __________. La medida del ángulo W es __________.
• Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente enunciado: El primer paso para resolver m es __________. •
«¿Qué haremos después para hallar m?». • Pida a los estudiantes que usen la siguiente estructura de oración: A continuación, para hallar m, haremos __________.
•
«¿Cuál es el valor de m?». • Pida a los estudiantes que usen la siguiente estructura de oración: El valor de m es __________.
•
«Mira el teorema del ángulo exterior de triángulos. ¿Cuál es el primer paso que debemos dar para resolver el ángulo W?». • Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de enunciado: Para encontrar el ángulo W, primero sustituiremos _____ por el ángulo X y _____ por el ángulo D.
•
«¿Cuál es el siguiente paso para encontrar la medida del ángulo W?». • Haga que los estudiantes usen la siguiente estructura de enunciado: A continuación, necesitaremos __________.
•
«¿Cuál es la medida del ángulo W?». • Pida a los estudiantes que usen la siguiente estructura de oración: La medida del ángulo W es __________.
242
SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 242
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1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: ÁNGULOS
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
Leer la historia en grupo. Divida la historia en frases. Pida a los estudiantes que señalen cada palabra mientras leen. Pídales que rodeen con un círculo las palabras que no conozcan. Comente las palabras en grupo.
A coro, lean la historia en grupo. Pida que señalen cada palabra mientras leen. Invite a los estudiantes a rodear con un círculo las palabras que no conozcan. Comente las palabras con sus compañeros.
•
•
Comente la situación con los estudiantes. Haga gestos con las manos y muestre imágenes cuando proceda mientras formula las preguntas.
•
Comente el vocabulario sobre ángulos.
•
◦
Comente la situación con los estudiantes. Haga gestos con las manos y utilice elementos visuales cuando proceda mientras formula las siguientes preguntas.
• Las líneas paralelas son dos líneas que ____________. ◦
«¿Cómo se relacionan las calles con los ángulos?». Pida a los estudiantes que respondan utilizando las siguientes estructuras de oraciones: • Los ángulos son _____________. Las calles son un ejemplo de ángulos y líneas. Un mapa es _______ y es un ejemplo de ángulos en el mundo real.
•
A coro, lean la primera afirmación. «Señala la respuesta en la historia antes de contestar».
•
A coro, lean la segunda afirmación. «Señala la respuesta en la historia antes de responder».
•
A coro, lean la tercera afirmación. «Señala la respuesta en la historia antes de responder».
•
En forma de eco, lea la última afirmación antes de que los estudiantes respondan.
•
«Explica a tus compañeros de qué trataba la historia».
•
Comente las siguientes preguntas.
«¿Cuál es la diferencia entre paralelo y perpendicular?». Pida a los estudiantes que respondan utilizando la siguiente estructura de frases:
•
◦
«¿Cuál es la diferencia entre paralelo y perpendicular?».
◦
«¿Cómo se relacionan las calles con los ángulos?».
«Lee cada enunciado y comenta tus respuestas con tus compañeros».
«¿Cómo se relacionan las calles con los ángulos?». Pida a los estudiantes que respondan utilizando el siguiente enunciado: • Las calles están relacionadas con los ángulos porque ____
•
A coro, lean el primer enunciado. «Señala la respuesta en la historia antes de marcar la afirmación como verdadera o falsa».
•
A coro, lean la segunda afirmación. «Señala la respuesta en la historia antes de marcar la afirmación como verdadera o falsa».
•
«En parejas, lean la tercera afirmación». «Comenta con tus compañeros para decidir si es verdadera».
•
«Con tu compañero, lee la última afirmación. Comenta con tus compañeros para decidir si es verdadera».
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 243
Pida a los estudiantes que lean la historia con sus compañeros y que señalen cada palabra mientras leen. Invite a encerrar en un círculo las palabras que no conozcan y a debatir esas palabras con sus compañeros.
• La diferencia entre paralelo y perpendicular es _____.
• Las líneas perpendiculares se cruzan entre sí a ________ grados. ◦
AVANZADO
Comente el vocabulario sobre ángulos. ◦
«¿Cuál es la diferencia entre paralelo y perpendicular?». Haga que los estudiantes respondan usando las siguientes estructuras de oraciones:
LEER Y HABLAR
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1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: ÁNGULOS
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCRIBIR
PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Disponga de tarjetas de «Vocabulario ilustrado» para que los estudiantes las utilicen. Lea y comente las palabras del banco de palabras. Defina y proporcione ejemplos según las necesidades de los estudiantes. Comente las siguientes preguntas mientras lee:
Disponga de tarjetas de «Vocabulario ilustrado» para que los estudiantes las utilicen. A coro, lean y debatan sobre las palabras del banco de palabras. Defina y proporcione ejemplos según las necesidades de los estudiantes. Comente las siguientes preguntas mientras lee:
Ponga a disposición de los estudiantes tarjetas con el vocabulario ilustrado. Deben leer a coro las palabras del banco de palabras con sus compañeros. Pídales que comenten el significado de las palabras con sus compañeros. Defina y proporcione ejemplos según las necesidades de los estudiantes. Mientras los estudiantes leen, utilice las siguientes indicaciones:
•
•
Comente las relaciones entre ángulos: ◦
«¿Cuáles son algunos ejemplos de relaciones entre ángulos que has visto fuera de clase?».
◦
«¿Qué sabemos acerca de los tres ángulos dentro de un triángulo?».
◦
«¿Por qué puede ser importante saber acerca de las relaciones entre ángulos?».
Haga una lectura en eco de cada enunciado y pida a los estudiantes que consulten el banco de palabras antes de escribir su respuesta. Los estudiantes pueden volver a la página 1 para ayudar a identificar el significado de cada término de vocabulario.
244
SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 244
•
Comente los diagramas y el banco de palabras con los estudiantes. ◦
«¿Qué relaciones angulares ves en el diagrama superior?».
◦
«¿Qué teoremas necesitarás usar para el diagrama inferior?».
•
Haga que los estudiantes comenten las palabras del banco de palabras con sus compañeros.
•
«Dobla la mitad inferior del papel para que sólo se vea el banco de palabras. Señala cada palabra del banco de palabras y, por turnos, explica las palabras a tus compañeros».
•
Tome nota de los estudiantes que proporcionan explicaciones matemáticamente precisas de las palabras del banco de palabras.
•
A continuación, señale una palabra del banco de palabras cuyo significado necesite aclarar.
•
En función de los estudiantes a los que haya oído dar explicaciones matemáticamente precisas, pida a los estudiantes que ayuden a aclarar las palabras seleccionadas a sus compañeros. «Veo que nos vendría bien una aclaración sobre la palabra/frase ___. (Nombre del estudiante) pudo dar una explicación clara sobre la palabra ________ a su compañero. _____, ¿Podrías compartir tu explicación?».
•
«Lee cada enunciado con tus compañeros y utiliza las palabras del banco de palabras para completar cada enunciado. Ten en cuenta que algunas palabras pueden utilizarse más de una vez o no utilizarse en absoluto».
•
Recuerde a los estudiantes que consulten el banco de palabras cuando rellenen los espacios en blanco.
•
Haga que los estudiantes comenten las palabras del banco de palabras con sus compañeros.
•
«Comenta las palabras del banco de palabras con tus compañeros». Cada persona debe dar una explicación o descripción de una palabra y, a continuación, pedir a sus compañeros que parafraseen el significado de la palabra. «Continúa este proceso hasta que hayas comentado todas las palabras del banco de palabras».
•
«Lee las instrucciones con tus compañeros. ¿Qué plan seguirás para asegurarte de que utilizas el mayor número posible de palabras del banco de palabras en tu redacción?. Si no estás seguro de cómo utilizar una palabra, rodéala en el banco de palabras». Los estudiantes no deben empezar a escribir todavía.
•
Esté atento a los estudiantes que tengan dificultades para crear un plan o que marquen con un círculo las palabras del banco de palabras. Ofrezca apoyo y permita que los estudiantes que hayan podido crear un plan lo compartan con la clase. ◦
«Veo que varios de nosotros necesitamos aclaraciones sobre la palabra _______. Diríjete a alguien cercano que no sea tu compañero y pídele que aclare o defina la palabra ___________».
◦
«Veo que varios de nosotros necesitamos ayuda para diseñar un plan que utilice palabras del banco de palabras. Acércate a alguien que no sea tu compañero y pídele que explique cómo piensa utilizar el mayor número posible de palabras del banco de palabras».
•
Una vez aclaradas todas las palabras y compartidos los planes, pida a los estudiantes que escriban sus explicaciones.
•
«Ahora escribe una explicación en la que utilices al menos cinco de las palabras del banco de palabras. Cuando terminen de escribir, compartan sus escritos con sus compañeros».
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GRADO 8: ÁNGULOS
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO VOCABULARIO CLAVE
VOCABULARIO ILUSTRADO Acute Angle
Adjacent Angles
Angle
Angle-Angle Criterion
An angle that measures less than 90°
Two angles that have the same vertex and a common ray but no interior common points
A geometric figure formed by two rays with the same endpoint (vertex)
The criterion which states that if two triangles have two pairs of congruent angles, then the triangles are similar
2
4
3
Complementary Angles
Congruent Angles
Corresponding Angles
Two acute angles that, when added, make 90°; two angles whose sum is 90°
Angles that have the same measure
Angles in the same position in different plane figures
6
Exterior Angle of Triangles Theorem
The mathematical theorem which states that an exterior angle is equal to the sum of the two opposite interior angles of a triangle 8
7
Perpendicular Lines
Obtuse Angle
Parallel Lines
An angle that measures greater than 90°
Lines in the same plane that are equidistant and do not intersect 10
5
9
Right Angle
Two lines that intersect at a 90° angle
An angle that measures 90° 12
11
13
Similar Triangles
Supplementary Angles
Transversal
Triangle Angle Sum Property
Two or more triangles that have congruent angles and proportional sides
Two adjacent angles that, when added, make 180°; two angles whose sum is 180°
A line that cuts through two or more lines in the same plane
The mathematical property of a triangle which states that the angles of a triangle always add up to 180°
14
16
15
17
Vertical Angles
Angles opposite from one another when two lines cross; opposite congruent angles that are formed on either side of intersecting lines 18
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GRADO 8: ÁNGULOS
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ DESARROLLAR FLUIDEZ CONCEPTUAL
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: TRANSVERSALES, ÁNGULOS INTERIORES Y ÁNGULOS EXTERIORES DESCRIPCIÓN
Concentration Instruction Sheet Play this game with a partner. You Will Need 1 Set of Concentration Cards (per pair)
How to Play 1. Shuffle the cards, and place them facedown to form a 4 × 6 array.
En esta actividad, los estudiantes jugarán a un juego de «Concentración».
MATERIALES IMPRESOS
2.
a problem with its correct answer. Problems will need to be
• 1 hoja de «Instrucciones de concentración» (por pareja)
3.
• 1 juego de «Tarjetas de concentración» (por pareja)
4.
REUTILIZABLES
• 1 sobre o bolsa (por pareja)
PREPARACIÓN
Player 1 flips over two cards to try to find a match. A match is solved in order to determine matching answers. If player 1 matches a problem with the correct answer, then player 1 keeps the matched set and takes another turn. If player 1 does not find a match, then they place the cards facedown again, and it is the next player's turn.
5.
Players continue taking turns until all of the matches have been found.
6.
The player who collects the most cards wins.
• Haga copias a doble cara de las «Tarjetas de concentración». • Lamínelas para que duren más. • Recorte las tarjetas individuales y colóquelas en un sobre o bolsa para facilitar su distribución y limpieza.
HOJA DE INSTRUCCIONES
• Coloque a los estudiantes en parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo barajar las tarjetas y coloquerlas boca abajo en una matriz de 4 × 6. 2. Modele cómo jugar con un estudiante. a.
El jugador 1 voltea 2 tarjetas para tratar de encontrar una coincidencia. Una coincidencia es un problema con su respuesta correcta. Será necesario resolver los problemas para determinar las respuestas que coinciden.
b.
Si el jugador 1 encuentra un problema con la respuesta correcta, entonces el jugador 1 se queda con el conjunto coincidente y toma otro turno.
c.
Si el jugador 1 no encuentra una coincidencia, entonces vuelve a coloquer las tarjetas boca abajo y es el turno del siguiente jugador.
d.
Los jugadores continúan tomando turnos hasta que se hayan encontrado todas las coincidencias.
e.
Gana el jugador que reúna la mayor cantidad de tarjetas.
3. Distribuya los materiales. A continuación, pida a los estudiantes que barajen las tarjetas y las coloquen boca abajo. 4. Supervise a los estudiantes para asegurarse de que encuentran las parejas correctas.
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 246
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GRADO 8: ÁNGULOS Angles
ELABORAR: REVISIÓN EN ESPIRAL REVISAR CONCEPTOS ANTERIORES
Moving Day
REVISIÓN EN ESPIRAL: DÍA DE LA MUDANZA
It is moving day today! The Breit family is moving to a new town since Mr. Breit was promoted and they have to relocate. Jack and Charley are looking forward to their new school and making new friends. Mrs. Breit is also excited about their new house and all of the new stores that she will be able to shop at. Packing was not as fun. They have been packing for what has seemed like months. There are so many boxes. Each room had to be packed carefully. Jack packed his room on his own and used boxes that were all different sizes. Charley needed some help since he had to decide which toys to take and which toys to donate. Mrs. Breit did most of all of the other packing since Mr. Breit had to leave for his new job.
DESCRIPCIÓN
The movers followed the directions very carefully to their new house. The Breit family followed the moving van in their car. All of the new roads and turns made following the truck rather difficult. They almost got lost 3 times. The road trip took a few hours, but it was well worth it.
1
Angles
1.
The roads were very confusing. The movers had to call the Breit family once and tell them where they were when they got lost. The movers described their location from a coordinate grid, saying they were at (4, 6). They told the movers to rotate 90° clockwise around the origin, and that is where they are. Describe the location of the moving truck using an ordered pair.
2.
The movers got lost again! They are closer to the new house this time, but they are still not there. The Breit family called, and the movers said they were at (−3, −4). They decided to meet the movers at the reflection of where they are across the y-axis. Describe the location as an ordered pair.
4.
REVISIÓN EN ESPIRAL CENTRADA EN LA PREGUNTA • Pregunta 1
◦ Grado 8: Describir el efecto de dilataciones, traslaciones, rotaciones y reflexiones en figuras bidimensionales usando coordenadas.
The new town had 2 congruent parks, North Park and South Park, which are right across the street from each other. Sketch South Park as a reflection over the x-axis of the given North Park.
• Pregunta 2
The ramp for unloading the family’s SUV was in the shape of a right triangle. The ramp for the truck was also in a similar right triangle, but it was twice as big on all sides. What remained the same between the 2 similar right triangle ramps?
• Pregunta 3
◦ Grado 8: Entender que una figura bidimensional es congruente con otra si la segunda se puede obtener a partir de la primera mediante una secuencia de rotaciones, reflexiones y traslaciones; dadas dos figuras congruentes, describir una secuencia que muestre la congruencia entre ellas.
(6, −4)
3.
Los estudiantes repasan contenidos previos o actuales del grado para ayudar a apoyar su trabajo en el alcance actualy fortalecer las habilidades necesarias para alcance s posteriores.
◦ Grado 8: Describir el efecto de dilataciones, traslaciones, rotaciones y reflexiones en figuras bidimensionales usando coordenadas.
The angles stayed the same.
(3, −4)
• Pregunta 4 2
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
◦ Grado 8: Entender que una figura bidimensional es similar a otra si la segunda puede ser obtenida de la primera por una secuencia de rotaciones, reflexiones, traslaciones y dilataciones; dadas dos figuras bidimensionales similares, describir una secuencia que muestre la similitud entre ellas.
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anime a los estudiantes a tratar de responder a las preguntas de forma individual sin utilizar recursos externos para ver lo que saben. Invite a los estudiantes a anotar ideas o fragmentos que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas. 3. Utilice las preguntas de «Revisión en espiral» como calentamiento en clase, o envíelas a casa como tareas. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos. 4. Consulte la sección «Revisión en espiral centrada en la pregunta» para evaluar los conocimientos de contenido de los estudiantes o su necesidad de una mayor intervención. Si es necesario repasar más, utilice los «Constructores de fluidez» en los alcances apropiados. 5. El trabajo final incluye una parte de este alcance para que los estudiantes vean la conexión y relevancia de su aprendizaje previo con el de este alcance.
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GRADO 8: ÁNGULOS
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS
Angles
What’s Your Angle?
ANALIZAR DATOS
CIENCIA DE DATOS Ciencia de datos es un breve debate en clase basado en un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. La «Parte I» incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los estudiantes en contexto.
DESCRIPCIÓN
1
Los estudiantes analizarán, interpretarán y generarán conjuntos de datos, además de responder a preguntas basadas en los datos.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 conjunto de datos (por clase) REUTILIZABLES
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase) • 1 marcador (por clase) CONSUMIBLES
• 1 trozo de papel milimetrado (por clase)
PREPARACIÓN
• Prepárese para proyectar el «Conjunto de datos» para la clase. • Reúna un trozo de papel milimetrado y un marcador.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Proyecte el «Conjunto de datos» y prepárese para anotar las observaciones de los estudiantes. 2. Comente las siguientes preguntas: a. «¿Qué observan en este conjunto de datos?». b. «¿Qué representa este conjunto de datos?». c. «¿Qué categorías se incluyen en este conjunto de datos?». d. «¿Dónde ven líneas paralelas?». e. «¿Qué tipos de relaciones angulares observan?». f. «¿Qué preguntas tienen sobre los datos?».
CONJUNTO DE DATOS PARTE II 1. Repase las relaciones angulares que se forman cuando las rectas paralelas son cortadas por una transversal, y escriba lo que los estudiantes recuerden en el papel milimetrado. 2. Comente los siguientes enunciados: a.
«Determina la medida de cada ángulo con letras. Explica tu razonamiento». • El ángulo A es un ángulo interior del mismo lado que el ángulo de 32º, por lo que A = 180º - 32º = 148º. • El ángulo C y el ángulo de 32º son ángulos interiores alternos, por lo que C = 32º. • Las medidas de los tres ángulos de un triángulo suman 180º, por lo que B = 180º - 32º - 90º = 58º. • El ángulo D y el ángulo de 50º son ángulos interiores alternos, por lo que D = 50º. • Los ángulos D y F son ángulos interiores del mismo lado, por lo que F = 180º - 50º = 130º. • El ángulo D y el ángulo de 95º juntos forman un ángulo exterior al ángulo E. Como la medida del ángulo D = 50º, la medida de este ángulo exterior es 95º + 50º = 145º. La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores alejados, por lo que G + 50º = 145º, o G = 95 º. • Las medidas de los tres ángulos de un triángulo suman 180º, por lo que E = 180º - 50º - 95º = 35º. • Los ángulos A e I forman un ángulo recto y son suplementarios. Por lo tanto, I = 180º - 148º = 32º. • Las medidas de los tres ángulos de un triángulo suman 180º, por lo que H = 180º - 32º - 90º = 58º. • Los ángulos I, J y el ángulo de 48 º forman un ángulo recto. Por tanto, J = 180º - 48º - 32º = 100º. • Las medidas de los tres ángulos de un triángulo suman 180º, por lo que K + L + 100º = 180º. Los ángulos K y L se marcan como congruentes, por lo que K + K + 100º = 180º, o 2K + 100º = 180º. Entonces 2K = 80º, por lo que K = 40º y L = 40º.
b. «¿Qué triángulos, si los hay, son semejantes? Explícalo». El triángulo que incluye los ángulos B y C es semejante al triángulo que incluye los ángulos H e I porque ambos triángulos incluyen un ángulo de 32º y otro de 58º.
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GRADO 8: ÁNGULOS Angles
EVALUACIÓN DE HABILIDADES
Angles How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Use informal arguments to establish facts about the angle sum and exterior angle of triangles, about the angles created when parallel lines are cut by the transversal, and the angle-angle criterion for similarity of triangles. For example, arrange three copies of the same triangle so that the sum of the three angles appears to form a line, and give an argument in terms of transversals why this is so.
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN
LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN
Notes and Feedback
DESCRIPCIÓN ❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede utilizarse como evaluación formativa para los maestros y como autoevaluación para los estudiantes.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 folleto del maestro (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del maestro» y un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
1
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Folleto del estudiante» a cada uno.
Angles
Standards for Mathematical Practice
Notes and Feedback
Make sense of problems and persevere in solving them Reason abstractly and quantitatively
3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
Construct viable arguments and critique the reasoning of others Model with mathematics Use appropriate tools strategically
4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje.
Attend to precision Look for and make use of structure Look for and express regularity in repeated reasoning
5. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el «Folleto del maestro».
Consider these reflection questions in this scope. ●
●
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them? What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
2
FOLLETO DEL MAESTRO
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2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Explorar» y «Explicar» del alcance, evalúe formativamente su progreso tomando notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
6. Las notas anecdóticas proporcionadas en el «Folleto del maestro» pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares. 7. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la «Guía de instrucción andamiada» en la sección «Inicio» de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
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GRADO 8: ÁNGULOS
EVALUAR: MAPA DE CALOR
ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
MAPA DE CALOR DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
Angles
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
Red – misconception
Skills Quiz Standards
Questions
Use informal arguments to establish facts about the angle sum and exterior angle of triangles, about the angles created when parallel lines are cut by the transversal, and the angle-angle criterion for similarity of triangles. For example, arrange three copies of the same triangle so that the sum of the three angles appears to form a line, and give an argument in terms of transversals why this is so.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
MATERIALES
• 1 mapa de calor (por estudiante) • 1 lápiz de color rojo (por estudiante) • 1 lápiz de color azul (por estudiante) • 1 lápiz de color naranja (por estudiante)
PREPARACIÓN
1
• Determine si los estudiantes analizarán su «Prueba de habilidades», la «Evaluación basada en estándares», o ambas. • Imprima un «Mapa de calor» para cada estudiante.
Angles
Reflection Questions 1. Which skill did you feel most confident with? Why?
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
3. Which type of error did you most commonly make?
4. How can you avoid those errors in the future?
• Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Dé un «Mapa de calor» a cada estudiante junto con lápices de colores rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s). 2. Los estudiantes utilizan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el «Mapa de calor». Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los estudiantes colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, los estudiantes colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, los estudiantes colorean el cuadro correspondiente de rojo. 3. Anímelos a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a utilizar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada. 4. Consulte la «Guía de instrucción andamiada» que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
2
Angles
Refer to your answers on the Standards-Based Assessment. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue - miscalculation
Orange - explanation
Red - misconception
Standards-Based Assessment Standards
Use informal arguments to establish facts about the angle sum and exterior angle of triangles, about the angles created when parallel lines are cut by the transversal, and the angle-angle criterion for similarity of triangles. For example, arrange three copies of the same triangle so that the sum of the three angles appears to form a line, and give an argument in terms of transversals why this is so.
Questions
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
3
MAPA DE CALOR
250
SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 250
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GRADO 8: ÁNGULOS
Angles
Checkup
INTERVENIR: REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES REFORZAR Y VOLVER A ENSEÑAR
Strategies may vary.
REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES
What is the value of each interior angle? Solve for x. 1 1 x + 20 + 2(x + 8) + 2 1 x + 20 = 180 2 2 1 1 1 x + 20 + 2x + 16 + 2 x + 20 = 180 2 2
DESCRIPCIÓN
6x + 56 = 180 6x = 124
Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para intervención.
x = 20 2 ° 3
1.
m∠A = 2.5(20 2 ) + 20 = 71.67°
2.
m∠B = 1.5(20 2 ) + 20 = 51°
3.
m∠C = 2(20 2
3 3
3
+ 8) = 49.33°
MATERIALES
Use the interior angles to determine the exterior angle.
IMPRESO
Workspace: 30 + 75 = 105
4.
What is m∠a?
• 1 revisión rápida (por estudiante) • 1 repaso (por estudiante)
105° 1
• 1 revisión general (por estudiante) • 1 lista de verificación para el maestro (por maestro)
Angles
PREPARACIÓN
Determine the value of the unknown interior angle.
• Imprima una copia de la «Revisión rápida», el «Repaso» y la «Revisión general» para cada estudiante.
Workspace: The exterior angle is equal to the sum of the 2 given angles. x + 15 + 25 = 3x – 10 Solve for x. x + 40 = 3x – 10 50 = 2x 25 = x
• Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar el «Repaso».
Substitute the value of x. 3(25) – 10 = 65 5.
• Si lo desea, imprima un ejemplo del «Esquema de anclaje» de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que usen la «Libreta interactiva» como recurso.
What is the measure of the unknown interior angle? 115°
A transversal crossing a pair of parallel lines is shown. Use the given angle measure to determine the unknown angle measures. Explain your reasoning.
6.
• Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayudas suplementarias para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
∠a = 148° because it forms a supplementary angle with the 32° angle, and 180 – 32 = 148.
7.
∠b = 32° because it is opposite and congruent to the 32° angle.
8.
∠c = 148° because it forms an opposite exterior angle with ∠a, so it is equal to ∠a.
2
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Dé una copia de la «Revisión rápida» a cada estudiante.
Angles
9.
2. Cada uno debe completarla de forma independiente. 3. Use la rúbrica de habilidades al final de la «Revisión rápida» para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional.
Are ΔABC and ΔFDE similar? Justify your reasoning.
4. Distribuya una copia del «Repaso» a cada uno. 5. Cada estudiante debe completar el «Repaso» como actividad de intervención o de forma independiente.
Yes. ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180 21 + 105 + ∠BCA = 180
a.
126 + ∠BCA = 180 ∠BCA = 54° ΔABC = 21°, 105°, 54° and ΔFDE = 21°, 105°, 54° 10.
Are ΔABC and ΔDEF similar? Justify your reasoning.
Si lo desea, reúna a los estudiantes en pequeños grupos para trabajar en las destrezas de repaso. Utilice el «Repaso» como ayuda para la reenseñanza.
6. Distribuya una copia de la «Revisión general» a cada uno. No. ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180
∠FDE + ∠DEF + ∠EFD = 180
60 + 81 + ∠BCA = 180
40 + 81 + ∠EFD = 180
141 + ∠BCA = 180 ∠BCA = 39°
7. Cada estudiante debe completarla de forma independiente.
121 + ∠EFD = 180 ∠EFD = 59°
ΔABC = 60°, 81°, 39° and ΔDEF = 40°, 81°, and 59° 3
8. Analice los resultados de la «Revisión general» al usar la «Lista de verificación para el maestro» para identificar quienes necesitan un repaso adicional y quienes han alcanzado el dominio de los conceptos.
REVISIÓN GENERAL CLAVE DE RESPUESTAS ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 251
251
1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: ÁNGULOS
ACELERACIÓN: ¿QUÉ PREFERIRÍAS? Angles
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
¿QUÉ PREFERIRÍAS?: ESCALADA
Mountain Climbing Use mathematical reasoning and creativity to justify your answer to the Would You Rather question.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
Mark is going to climb a small mountain peak on the Matterhorn in Switzerland. As he is planning his adventure, he locates a diagram that shows the sides of the mountain peak and some of the approximate measurements of the interior angles of the peak. Would you rather climb the peak from Side A or Side B? Justify your reasoning with mathematics. Find the measure of each angle.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 rúbrica (por maestro)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno. • Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a mirar sus folletos de «Explorar» si necesitan repasar habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros.
Sample answers may include the following: I would rather climb the peak from Side A because the angle measurement is 61°. Since this angle is greater than Side B, this would be a more adventurous climb. I would rather climb the peak from Side B because the angle measurement is 44°. Since the angle is less than Side A, this would be an easier climb. 3x + x + 36 = 5x + 11; 4x + 36 = 5x + 11; x = 25. 3(25) = 75; 25 + 36 = 61°; 75° + 61° + y = 180°; 180° – 136° = 44°; y = 44°; angle measurements: (61° + 75° + 44° = 180°)
1
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
4. Utilice la rúbrica proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 252
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1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: ÁNGULOS
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Angles
OPCIONES PARA SEGUIR APRENDIENDO
TABLERO DE OPCIONES
Angles Choose one or more extension activities from the table below. Career Connection
Science Connection
Pro Baseball Player
Sundials
Research the career field of professional baseball. Your research must answer the provided questions. Create a presentation to relay your research to the class.
Read how ancient astronomers used sundials. Look at the sundial diagram and use the data and your knowledge to answer the questions.
Kitchen Connection
Analogies
Gingerbread House Roofs
Angle Relationships
Look at the diagrams of the gables made of gingerbread. Use the triangle sum theory to find the measurements.
Complete the analogies to demonstrate an understanding of different angle relationships.
Mathematician Spotlight
Art Connection
Eudemus of Rhodes
Search out several news articles or research papers that involve the work of Eudemus of Rhodes. Create an informational poster, diorama, or speech to convey this mathematician’s work as it relates to angles.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes explorarán las conexiones con el mundo real y las aplicaciones del contenido matemático a través de interacciones con actividades atractivas.
MATERIALES IMPRESO
• 1 tablero de opciones (por estudiante) • 1 juego de hojas de actividades (por estudiante) • 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante) REUTILIZABLE
Line Art
Follow instructions to create line art using a protractor, colored pencils, and paints.
• Tecnología (si corresponde)
PREPARACIÓN 1
TABLERO DE OPCIONES
• Imprima un «Tablero de opciones» y un juego de hojas de actividades para cada estudiante. • Imprima una «Autoevaluación del tablero» para cada estudiante. • Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» a cada estudiante. 2. Dé tiempo a los estudiantes para examinar el «Tablero de opciones» y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anímelos a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del tablero, haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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<<GRADO>> <<NOMBRE DEL ÁMBITO>>
GRADO 8
TEOREMA DE PITÁGORAS ACTIVIDADES DE EXPLORAR EXPLORACIÓN 1: REPRESENTAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS Y EL RECÍPROCO
ESTÁNDARES CLAVE Comprender y aplicar el teorema de Pitágoras.
Los estudiantes exploran el teorema de Pitágoras a partir de la representación y la aplicación prácticas. Trabajarán en parejas para profundizar su comprensión de los triángulos rectángulos y el recíproco del teorema.
• Explicar una demostración del teorema de Pitágoras y su recíproco.
• Usan modelos para demostrar el teorema de Pitágoras hallando el área de cuadrados conectados a triángulos rectángulos.
• Aplicar el teorema de Pitágoras para determinar longitudes laterales desconocidas en triángulos rectángulos en problemas matemáticos y del mundo real en dos y tres dimensiones.
• Aplican la inversa del teorema de Pitágoras para identificar triángulos rectángulos sin utilizar un transportador.
• Aplicar el teorema de Pitágoras para encontrar la distancia entre dos puntos en un sistema de coordenadas.
• La actividad consiste en Recorter y ordenar formas para representar visualmente conceptos matemáticos, fomentando el aprendizaje colaborativo. • Participan en debates para compartir estrategias y observaciones, mejorando su comprensión a través de la interacción entre iguales.
ESTÁNDARES DE CONEXIÓN
EXPLORACIÓN 2: ENCONTRAR UNA LONGITUD DE LADO DESCONOCIDA EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Trabajar con radicales y exponentes enteros.
Los estudiantes aplican el teorema de Pitágoras para resolver las longitudes laterales que faltan en triángulos rectángulos utilizando herramientas prácticas y la resolución de problemas en colaboración.
• Conocer y aplicar las propiedades de los exponentes enteros para generar expresiones numéricas equivalentes. 1 1 ___ Por ej., 32 × 3-5 = 3-3 = ___ . 3 = 3
27
• Utilizar los símbolos de raíz cuadrada y raíz cúbica para representar soluciones a ecuaciones de la forma x² = p y x³ = p, donde p es un número racional positivo. Evaluar raíces cuadradas de pequeños cuadrados perfectos y raíces _ cúbicas de pequeños cubos perfectos. Saber que √ 2 es irracional.
ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: ACUERDO O DESACUERDO Los estudiantes se involucran en el pensamiento crítico evaluando las respuestas de sus compañeros a una pregunta matemática y articulando su razonamiento. • Los estudiantes evalúan de forma independiente si están de acuerdo o en desacuerdo con las respuestas dadas por los estudiantes y explican su razonamiento. • Utilizan transportadores y reglas para apoyar sus evaluaciones. • Los estudiantes participan en una discusión dinámica en clase, formando parejas para compartir y discutir sus respuestas con sus compañeros. • La actividad concluye con una discusión en clase para abordar los conceptos erróneos y reforzar la comprensión de las propiedades y clasificaciones de los triángulos. CAPTAR INTERÉS Los estudiantes exploran el teorema de Pitágoras para resolver problemas reales relacionados con triángulos rectángulos. • Los estudiantes empiezan observando un escenario de golf y discutiendo los conceptos matemáticos implicados en el juego. • Se les presenta el teorema de Pitágoras y lo aplican para determinar los lados que faltan en triángulos rectángulos. • Después de completar las actividades exploratorias, los estudiantes vuelven a visitar el escenario para aplicar sus nuevos conocimientos. • Como ampliación, los estudiantes diseñan sus propios hoyos del campo de golf utilizando el teorema de Pitágoras para incorporar obstáculos y calcular distancias.
• Los estudiantes trabajan en parejas utilizando tableros geométricos para recrear triángulos rectángulos y calcular la hipotenusa midiendo y aplicando el teorema de Pitágoras. • Participan en debates guiados para profundizar en la comprensión y compartir estrategias para encontrar las longitudes de los lados que faltan. • Los estudiantes utilizan tarjetas para determinar los catetos que faltan en los triángulos rectángulos, aplicando la resta en el teorema de Pitágoras. • La actividad concluye con una charla de matemáticaspara reflexionar sobre el aprendizaje y una ficha de salida para evaluar la comprensión. EXPLORACIÓN 3: EL TEOREMA DE PITÁGORAS EN PRISMAS RECTANGULARES Los estudiantes exploran la aplicación del teorema de Pitágoras a prismas rectangulares tridimensionales. • Los estudiantes trabajan en parejas para construir prismas rectangulares utilizando los materiales proporcionados y calculan la longitud de la diagonal utilizando el teorema de Pitágoras. • Participan en discusiones guiadas y ejercicios de resolución de problemas para profundizar en su comprensión de los conceptos geométricos y sus aplicaciones en el mundo real. • La actividad incluye la construcción práctica, reflexiones en el diario y un Charla de matemáticas para facilitar el aprendizaje colaborativo y el intercambio de estrategias. • Los estudiantes completan un «Boleto de salida» para evaluar su comprensión de los conceptos clave de la lección. EXPLORACIÓN 4: EL TEOREMA DE PITÁGORAS EN UNA CUADRÍCULA DE COORDENADAS Los estudiantes exploran la aplicación del teorema de Pitágoras para determinar distancias en una cuadrícula de coordenadas. • Los estudiantes trabajan en parejas para trazar puntos y formar triángulos rectángulos en una cuadrícula de coordenadas, utilizando cubos numéricos para generar pares ordenados. • Calculan las longitudes de los lados de los triángulos utilizando el teorema de Pitágoras, con la ayuda de calculadoras. • La actividad incluye preguntas guiadas para facilitar la comprensión y la reflexión, seguidas de una charla de matemáticas para discutir observaciones y estrategias. • Los estudiantes completan un «Diario del estudiante» y un «Boleto de salida» para evaluar su comprensión y aplicar su aprendizaje a un escenario del mundo real.
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GRADODEL 8: TEOREMA DE<<GRADO>> PITÁGORAS <<NOMBRE ÁMBITO>>
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES INVESTIGACIONES CILÍNDRICAS
GEOMETRÍA TRANSFORMACIONAL
Los estudiantes aplican el teorema de Pitágoras para resolver problemas del mundo real que implican calcular las distancias o diagonales en formas tridimensionales. Por ej., al trabajar con prismas rectangulares, usan el teorema para hallar la longitud de la diagonal aplicando la fórmula a2 + b2 = c2, que ayuda a determinar si un objeto cabe en un espacio o a comprender cómo se relacionan ciertas dimensiones con la estructura general. Esta conexión entre el teorema de Pitágoras y las formas tridimensionales es esencial para resolver problemas relacionados con el volumen y la superficie de objetos cilíndricos y otras figuras geométricas.
Los estudiantes se comprometen con los conceptos fundamentales de transformación geométrica mediante el desarrollo de habilidades esenciales para la comprensión de las relaciones geométricas en el plano de coordenadas. Aprenden a determinar las distancias entre puntos con el teorema de Pitágoras, que permite trazar figuras en el plano de coordenadas. Esta habilidad fundamental es crucial para analizar posteriormente movimientos como traslaciones y rotaciones dentro del marco de la Geometría transformacional. Al relacionar las propiedades de los cuadrados con los triángulos rectángulos, los estudiantes se inician en el razonamiento proporcional. La aplicación de estos conceptos en contextos tridimensionales mejora el razonamiento espacial, necesario para visualizar transformaciones complejas en varias dimensiones. Esta comprensión apoya su capacidad para mantener las propiedades de congruencia o semejanza, esenciales para los principios de la transformación geométrica.
FORMA, NÚMERO Y EXPRESIONES
Los estudiantes usan el teorema de Pitágoras para calcular la diagonal de un cuadrado o un prisma rectangular y aplican estos cálculos al analizar problemas geométricos del mundo real relacionados con la forma, el área y el volumen.
EXPLORACIONES PITAGÓRICAS
CONCEPTOS CLAVE • Puedo explicar utilizando una demostración con un modelo del teorema de Pitágoras. • Puedo usar mis habilidades de razonamiento para determinar que la inversa del teorema de Pitágoras también debe ser cierta. • Puedo aplicar el teorema de Pitágoras para determinar el valor de un lado desconocido de un triángulo rectángulo bidimensional o tridimensional en problemas matemáticos o del mundo real.
Los estudiantes realizan investigaciones en el plano de coordenadas para comprender la aplicación del teorema de Pitágoras a los triángulos rectángulos. Con herramientas como las pizarras geométricas y las calculadoras gráficas, exploran cómo los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo suman el cuadrado de la hipotenusa, reforzando el concepto de relaciones geométricas. Esto se aplica a situaciones del mundo real, en las que resuelven las longitudes de los lados que faltan en los triángulos rectángulos y trabajan con números irracionales al tratar con raíces cuadradas. Este enfoque práctico profundiza su comprensión del teorema de Pitágoras y los prepara para resolver problemas geométricos más complejos.
PREGUNTAS FUNDAMENTALES • Define el teorema de Pitágoras. • Explica cómo sabes que la inversa del teorema de Pitágoras también debe ser cierta. • Explica el proceso de aplicación del teorema de Pitágoras. • Describe el proceso de utilización del teorema de Pitágoras para hallar la distancia entre dos puntos de un plano de coordenadas.
• Puedo usar el teorema de Pitágoras para calcular la distancia entre dos puntos en un plano de coordenadas.
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GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
INICIO: CONTENIDO DE APOYO ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
CONTENIDO DE APOYO Comprender y aplicar el teorema de Pitágoras. • Explicar una demostración del teorema de Pitágoras y su inversa. • Aplicar el teorema de Pitágoras para determinar longitudes desconocidas de lados en triángulos rectángulos en problemas matemáticos y del mundo real en dos y tres dimensiones. • Aplicar el teorema de Pitágoras para encontrar la distancia entre dos puntos en un sistema de coordenadas.
CONOCIMIENTOS PREVIOS En 6.ºgrado, los estudiantes aprendieron a calcular la distancia entre dos puntos en el plano de coordenadas. Hallaron la distancia de rectas horizontales y verticales mediante el conteo. En 7.º grado, descubrieron los triángulos singulares, explorando cómo los ángulos y lados de los triángulos representan su clasificación. Los estudiantes comprenden los números irracionales y racionales y han conocido las raíces cuadradas y su significado. Estos conceptos serán importantes cuando descubran el teorema de Pitágoras y su inverso.
CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
• Los estudiantes deberán tener confianza en su conocimiento de los números racionales e irracionales. • Pueden tener la impresión de que todos los triángulos rectángulos darán como resultado longitudes enteras. Deben practicar la resolución de problemas con longitudes racionales e irracionales, enteras y no enteras. • Mientras que las longitudes a y b son intercambiables, la longitud c debe ser la hipotenusa y no puede ser cualquiera de los tres números. • Pueden creer que el teorema de Pitágoras es válido para todos los triángulos. Deben recordar que sólo sirve para triángulos con un ángulo recto. • Hay que distinguir bien entre el teorema de Pitágoras y su inverso. La inversa invierte la idea de cualquier teorema. Por ejemplo, si llueve, jugaré dentro. Inverso: Si juego dentro, llueve.
EN ESTE ALCANCE En este alcance, los estudiantes serán capaces de explicar el teorema de Pitágoras y su inverso. Definirán el teorema de Pitágoras como dado un triángulo rectángulo con lados a y b e hipotenusa c, entonces a2 + b2 = c2. Comprenderán que su inversa es si un triángulo con lados a y b e hipotenusa c satisface la ecuación a2 + b2 = c2, entonces el triángulo es rectángulo. Utilizarán estos teoremas para calcular los lados desconocidos de un triángulo rectángulo, así como para hallar la distancia entre dos puntos en una cuadrícula de coordenadas. Los estudiantes serán capaces de expresar los lados de los triángulos en forma radical cuando sea necesario.
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TÉRMINOS CLAVE
• figuras congruentes: figuras con el mismo tamaño y forma. • inversa del teorema de Pitágoras: teorema que establece que si el cuadrado de la longitud del lado más largo de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces el triángulo es rectángulo; si c2 = a2 + b2, entonces es un triángulo rectángulo. • distancia: medida de la longitud entre dos puntos. • exponente: notación matemática que indica el número de veces que el número base se multiplica por sí mismo; también se llama potencia. • altura: distancia perpendicular de un vértice al lado opuesto de una figura. • hipotenusa: el lado más largo del triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto. • número irracional: un número decimal que no puede expresarse como fracción, no es imaginario y no se repite ni termina. • cateto: cualquiera de los dos lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto y son opuestos a los ángulos agudos. • cuadrado perfecto: un número entero que es el resultado de otro número entero multiplicado por sí mismo. • teorema de Pitágoras: teorema que establece que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados de un triángulo rectángulo; a2 + b2 = c2. • número racional: un número que puede escribirse como fracción de enteros a/b donde b ≠ 0; Un número que puede escribirse como cociente utilizando dos enteros. • ángulo recto: un ángulo que mide 90º. • triángulo rectángulo: un triángulo con un ángulo de 90º. • figuras similares: dos o más figuras que tienen la misma forma pero tamaños diferentes. • raíz cuadrada: un número que, al multiplicarse por sí mismo, produce el número dado.
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GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
APLICAR LAS PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes son capaces de identificar los dos catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo basándose en la longitud de cada lado. Cuando falta la longitud de uno de los lados del triángulo rectángulo, usan el teorema de Pitágoras para resolver el cateto o la hipotenusa que falta. • MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes descontextualizan problemas para usar el teorema de Pitágoras para hallar las diagonales en prismas rectangulares. Una vez halladas, aplican lo encontrado al contexto del problema. • MP.3 Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros: Los estudiantes construyen argumentos sobre la búsqueda de diagonales en prismas rectangulares. Aplican lo aprendido sobre diagonales de prismas rectangulares a otras situaciones y justifican su proceso de pensamiento. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes analizan cajas dadas en forma de prismas rectangulares tridimensionales y calculan la longitud de la diagonal del prisma. Usan ese conocimiento para determinar qué puede caber en las cajas. • MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas: Los estudiantes usan tableros geométricos para explorar la construcción de triángulos rectángulos. Con geotableros, siempre crean un ángulo de 90 grados con dos de los catetos del triángulo. • MP.6 Prestar atención a la precisión: Los estudiantes necesitan ser precisos a la hora de determinar si sus respuestas son racionales o irracionales. Son capaces de escribir números irracionales de diferentes formas, como radicales y símbolos como π. Encuentran la longitud precisa del lado de un triángulo prestando atención a teoremas y fórmulas. • MP.7 Buscar y hacer uso de la estructura: Los estudiantes hacen uso de la estructura del teorema de Pitágoras e identifican si los triángulos son rectángulos o no basándose en este teorema. También comprenden la diferencia entre los catetos y la hipotenusa para mantener la estructura de la fórmula. • MP.8 Buscar y expresar regularidades en razonamientos repetidos: Los estudiantes buscan regularidades al encontrar patrones en los triángulos pitagóricos. Observan la relación entre los cuadrados de los catetos y los cuadrados de la hipotenusa en un triángulo rectángulo. Determinan patrones que son válidos para triángulos rectángulos frente a triángulos no rectángulos.
DEMOSTRAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS Los estudiantes representarán la demostración del teorema de Pitágoras. Razonarán que la inversa del teorema de Pitágoras también es cierta. La siguiente figura muestra un triángulo rectángulo con lados j, k, y m.
La respuesta correcta es la opción C. Los estudiantes deben saber que la hipotenusa es el lado que está al otro lado del ángulo recto. Entonces deben seguir el teorema de Pitágoras coloquendo la suma del cuadrado de los dos catetos (m y k) en un lado de la ecuación con el cuadrado de la hipotenusa (j) en el otro lado.
«¿Cuál de las siguientes relaciones entre j, k, y m es verdadera?». a. j2 + k2 = m2 b. m2 + j2 = k2 c. j2 = m2 + k2 d. k2 = j2 + m2
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GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
INICIO: CONTENIDO DE APOYO Ejemplo 2: Existe un triángulo cuyos catetos miden 4 y 8 y cuya hipotenusa mide √ 80. «¿Es un triángulo rectángulo?». Explica tu respuesta. La respuesta correcta es la siguiente: sí, se trata de un triángulo rectángulo porque satisface el teorema de Pitágoras. (Ten en cuenta que las razones pueden variar.) Los estudiantes deben reconocer esto como la inversa pitagórica. Si los números cumplen el teorema de forma que a2 + b2 = c2 entonces_ es un 80 , los triángulo rectángulo. Introduciendo a = 4, b = 8 y c = √ _ estudiantes encontrarán que 42 + 82 =(√80 )2; 16 + 64 = 80; 80 = 80. Debido a que ambos lados de la ecuación son iguales, el teorema se cumple; por lo tanto, el triángulo es un triángulo rectángulo.
ENCONTRAR LA ALTURA OBLICUA Los estudiantes usarán el teorema de Pitágoras para encontrar las alturas oblicuas faltantes en figuras tridimensionales. Ejemplo: Halla la altura oblicua de la pirámide cuadrada con una longitud de 4 unidades y una altura de 10 unidades.
LONGITUD DESCONOCIDA Los estudiantes encontrarán una longitud desconocida en triángulos rectángulos. Usarán el teorema de Pitágoras para determinar la longitud que falta. Ejemplo: «¿Cuál es el valor de x en la figura de abajo?».
DISTANCIA ENTRE PUNTOS Los estudiantes hallarán la distancia entre dos puntos en un gráfico usando el teorema de Pitágoras. Ejemplo: «¿Cuál es la distancia entre los dos puntos de la siguiente gráfica?».
a. 8 b. 4 c. 64
_
d. √ 8
La respuesta correcta es la opción A. Como este es un triángulo rectángulo, los estudiantes necesitarán usar el teorema de Pitágoras para encontrar el lado faltante del triángulo. Sustituyendo a = 6, b = x, y c = 10, en la fórmula encontrarán que 62 + x2 =102 ; 36 + x2 =100. Después de restar 36 de ambos lados y sacar la raíz cuadrada, encontrarán que x2 = 64; x = 8.
TRIÁNGULOS SEMEJANTES Los estudiantes usarán el teorema de Pitágoras para resolver problemas de semejanza de triángulos. Ejemplo: Crea un triángulo que sea semejante al triángulo de abajo. (Pista: Usa el teorema de Pitágoras.)
Las respuestas pueden variar. Los estudiantes usarán el teorema de Pitágoras para determinar que el cateto que falta en el triángulo original es 9. (92 + 122 = 152). Un triángulo rectángulo con una hipotenusa igual al cateto de otro triángulo con un ángulo igual proporcionará dos ángulos semejantes mediante el Teorema de Semejanza Ángulo-Ángulo. Puedes ver a continuación que tanto el triángulo original como el nuevo triángulo comparten ∠A. Al compartir un ángulo y tener ambos triángulos un ángulo recto, se demuestra que estos triángulos son semejantes. Los estudiantes también podrían haber mostrado un triángulo con hipotenusa 12 (el triángulo verde) con ∠B compartido. 258
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a. 4 b. 5
_
c.
√29
d.
29
La respuesta correcta es la opción C Para encontrar la distancia entre los puntos A y B, los estudiantes necesitarán crear un triángulo rectángulo. A continuación, utilizarán el teorema de Pitágoras para hallar la hipotenusa del triángulo. Ésta será la distancia entre los puntos A y B. Después de crear el triángulo, pueden contar una distancia de dos para el cateto horizontal y una distancia de 5 para el cateto vertical. Sustituyendo esto en la fórmula encontrarán que 22 + 52 = c2; 4 + 25 = c2; 29 = c2; √29 = c.
AVANCES Los estudiantes usarán estos conceptos en los próximos alcances de 8.º grado cuando determinen el volumen de figuras tridimensionales. El teorema de Pitágoras también establece la base para la congruencia de triángulos que se ampliará en la escuela secundaria. Los estudiantes usarán esta entrada en las raíces cuadradas a medida que continúan trabajando con radicales y raíces cuadradas a medida que se extienden en la simplificación de radicales en álgebra 1. ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO ANÁLISIS PROFUNDO DE LOS ESTÁNDARES
CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES Comprender y aplicar el teorema de Pitágoras. • Explicar una demostración del teorema de Pitágoras y su inversa. • Aplicar el teorema de Pitágoras para determinar longitudes laterales desconocidas en triángulos rectángulos en problemas matemáticos y de la vida real en dos y tres dimensiones. • Aplicar el teorema de Pitágoras para hallar la distancia entre dos puntos en un sistema de coordenadas.
DESGLOSAR EL ESTÁNDAR VERBOS: ¿QUÉ DEBERÍAN HACER LOS ESTUDIANTES?
• aplicar: utilizar • determinar: resolver; averiguar • explicar: explicar acciones o sucesos explicando por qué. • encontrar: descubrir; resolver. • comprender: entender el significado de. SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBEN CONOCER LOS ESTUDIANTES?
• figura tridimensional: un sólido que tiene tres dimensiones medibles. • figura bidimensional: una figura plana con dos dimensiones medibles. • longitud desconocida de un lado: un lado que no tiene su longitud etiquetada con un número.
IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA
• En grados anteriores, los estudiantes han encontrado el área de triángulos, han representado objetos tridimensionales con triángulos y rectángulos, y han resuelto problemas del mundo real que involucran área, volumen y superficie. Los estudiantes han dibujado polígonos en un plano de coordenadas. • En este nivel de grado, se espera que los estudiantes expliquen una prueba del teorema de Pitágoras y su inversa. Los estudiantes aplican el teorema de Pitágoras para encontrar longitudes laterales desconocidas en triángulos rectángulos en problemas del mundo real. Los estudiantes exploran las longitudes laterales de triángulos rectángulos para comprender la fórmula a2 + b2 = c2.
• teorema de Pitágoras inverso: el teorema que afirma que si el cuadrado de la longitud del lado más largo de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces el triángulo es rectángulo; si c2 = a2 + b2, entonces es un triángulo rectángulo. • sistema de coordenadas: un sistema que usa uno o más números, o coordenadas, para determinar unívocamente la posición de los puntos. • distancia: una medida de la longitud entre dos puntos • problema matemático: un problema que puede ser representado, analizado, y posiblemente resuelto, con los métodos de las matemáticas. • punto: punto que representa un punto específico en una recta numérica o en un plano de coordenadas; objeto geométrico sin dimensión que se utiliza para indicar un lugar. • prueba: prueba o argumento que establece un hecho o la verdad de una afirmación. • teorema de Pitágoras: teorema que establece que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados de un triángulo rectángulo; a2 + b2 = c2. • problema del mundo real: un problema contextual que puede interpretarse, representarse y analizarse mediante la aplicación de las matemáticas. • triángulo rectángulo: un triángulo con un ángulo de 90º.
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GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
ALINEACIÓN VERTICAL GRADO
ESTÁNDAR
6
Encontrar el área de triángulos rectángulos, otros triángulos, cuadriláteros especiales y polígonos mediante la composición en rectángulos o la descomposición en triángulos y otras formas; aplicar estas técnicas en el contexto de la resolución de problemas matemáticos y del mundo real.
6
Hallar el volumen de un prisma rectangular recto con longitudes de arista fraccionarias empaquetándolo con cubos unitarios de las longitudes de arista fraccionarias unitarias apropiadas, y demostrar que el volumen es el mismo que se hallaría multiplicando las longitudes de arista del prisma. Aplicar las fórmulas V = lwh y V = bh para hallar volúmenes de prismas rectangulares rectos con longitudes de arista fraccionarias en el contexto de la resolución de problemas matemáticos y de la vida real.
6
Representar figuras tridimensionales utilizando redes formadas por rectángulos y triángulos, y utilizar las redes para hallar la superficie de dichas figuras. Aplicar estas técnicas en el contexto de la resolución de problemas matemáticos y de la vida real.
7
Resolver problemas matemáticos y de la vida real relacionados con el área, el volumen y la superficie de objetos bidimensionales y tridimensionales compuestos por triángulos, cuadriláteros, polígonos, cubos y prismas rectángulos.
8
Explicar una demostración del teorema de Pitágoras y su inversa.
8
Aplicar el teorema de Pitágoras para determinar longitudes laterales desconocidas en triángulos rectángulos en problemas matemáticos y del mundo real en dos y tres dimensiones.
8
Aplicar el teorema de Pitágoras para encontrar la distancia entre dos puntos en un sistema de coordenadas.
HS
Demostrar teoremas sobre triángulos. Los teoremas incluyen: una línea paralela a un lado de un triángulo divide a los otros dos proporcionalmente, y a la inversa; el Teorema de Pitágoras probado usando la semejanza de triángulos.
HS
Usar razones trigonométricas y el teorema de Pitágoras para resolver triángulos rectángulos en problemas aplicados.
HS
π Usar triángulos especiales para determinar geométricamente los valores del seno, coseno y tangente de __ 3 π π __ __ , 4 , and y usa la circunferencia unitaria para expresar los valores del seno, coseno y tangente para π – x, 6 π + x, and 2π – x en términos de sus valores para x, donde x es cualquier número real.
HS
Demostrar la identidad pitagórica sen² (θ) + cos² (θ) = 1 y utilizarla para hallar sen(θ), cos(θ) o tan(θ) dados sen(θ), cos(θ) o tan(θ) y el cuadrante del ángulo.
HS
Derivar la ecuación de una circunferencia de centro y radio dados utilizando el teorema de Pitágoras; completar el cuadrado para hallar el centro y radio de una circunferencia dada por una ecuación.
HS
Deducir la ecuación de una parábola dados un foco y una directriz.
HS
(+) Deducir las ecuaciones de elipses e hipérbolas dados los focos, utilizando el hecho de que la suma o diferencia de distancias desde los focos es constante.
HS
Usar coordenadas para demostrar algebraicamente teoremas geométricos similares.
HS
Usar coordenadas para calcular perímetros de polígonos y áreas de triángulos y rectángulos, por ejemplo, utilizando la fórmula de la distancia.
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GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA MONITOREAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA La guía de instrucción andamiada se proporciona para que los maestros puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones del alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que ayuda a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de la evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos según los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere que todos los estudiantes experimenten con los elementos: «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades», ya que cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar. 0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
80 % - 100 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil pueden trabajar en contenido de nivel de grado con apoyos de instrucción.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» individual para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 2. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante de acuerdo con sus datos de evaluación. 3. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la sección «Scaffolded Instruction Guide» en el menú desplegable «Home» del alcance. 4. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Operaciones y Pensamiento algebraico Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
7 - Propiedades de triángulos
Repaso y práctica de destrezas
Repaso y práctica de destrezas
Constructor de fluidez
Constructor de fluidez
• Propiedades de los triángulos • Entrega de drones Prueba de habilidades 7 - Área, superficie y volumen Repaso y práctica de habilidades
0 % - 25 %
Práctica interactiva
Constructor de fluidez • Área de figuras compuestas
(Refuerzo del grado anterior)
7 - Propiedades de los triángulos
(Refuerzo del grado anterior)
Aplicar el teorema de Pitágoras para determinar longitudes laterales desconocidas en triángulos rectángulos en problemas matemáticos y del mundo real en dos y tres dimensiones.
0 % - 25 %
Explica una demostración del teorema de Pitágoras y su inverso.
Acceso a conocimientos previos
(Nivel de grado con apoyo)
8 - Teorema de Pitágoras 25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyo)
25 % - 50 %
Prueba de habilidades 7 - Área, superficie y volumen Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Área de figuras compuestas
Prueba de habilidades
Prueba de habilidades
• Evaluación rápida (preguntas 1, 2) • Repaso: sección «El teorema de Pitágoras», «El teorema de Pitágoras inverso»
• Entrega de drones
• Hábitats de criaturas
• Hábitats de criaturas
Repaso y práctica de habilidades
Práctica interactiva
Práctica interactiva
Práctica interactiva
Constructor de bases fundamentales
• Propiedades de los triángulos
8 - Teorema de Pitágoras Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Evaluación rápida (preguntas 3, 4) • Repaso: sección «Hallar un lado desconocido», y «El teorema de Pitágoras», en la sección 3D • Revisión (preguntas 5-8)
• Revisión (preguntas 1-4)
Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva Conexiones lingüísticas
(Nivel de grado)
8 - Teorema de Pitágoras
50 % - 80 %
(Nivel de grado)
50 % - 80 %
8 - Teorema de Pitágoras Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva Constructor de fluidez • Teorema de Pitágoras Ciencia de datos
Tareas de modelado matemático Tablero de opciones
262
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(Ampliación del nivel de grado)
8 - Teorema de Pitágoras
80 % - 100 %
80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
Conexiones lingüísticas
8 - Teorema de Pitágoras «¿Qué prefieres?». Tablero de opciones
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GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Aplica el teorema de Pitágoras para encontrar la distancia entre dos puntos en un sistema de coordenadas. 7 - Propiedades de los triángulos Repaso y práctica de habilidades
(Refuerzo del grado anterior)
0 % - 25 %
Constructor de fluidez • Propiedades de los triángulos Práctica interactiva • Entrega de drones Prueba de habilidades 6 - Resolución de problemas en el plano de coordenadas Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Resolución de problemas en el plano de coordenadas Práctica interactiva • Lluvia de gnomos
(Nivel de grado con apoyo)
25 % - 50 %
Prueba de habilidades 8 - Teorema de Pitágoras Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Evaluación rápida (pregunta 5) • Repaso: sección «Hallar la distancia entre puntos en un plano de coordenadas» • Revisión (preguntas 9-10)
(Nivel de grado)
50 % - 80 %
8 - Teorema de Pitágoras Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva Práctica interactiva • Entrega de drones
80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
Conexiones lingüísticas
8 - Teorema de Pitágoras Tareas de modelado matemático Tablero de opciones
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GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
ATRAER: ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS
EVALUAR PREVIAMENTE EL CONOCIMIENTO DE LOS ESTUDIANTES
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: ACUERDO O DESACUERDO ESTÁNDAR PREVIO Dibujar (a mano alzada, con regla y transportador, y con tecnología) formas geométricas con condiciones dadas. Enfocarse en construir triángulos a partir de tres medidas de ángulos o lados, notando cuando las condiciones determinan un triángulo único, más de un triángulo o ningún triángulo.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes leerán diferentes respuestas a una pregunta sobre el estándar previo, decidirán si están de acuerdo o en desacuerdo y explicarán su razonamiento.
MATERIALES IMPRESO
• 1 documento de «Acuerdo o desacuerdo» (por estudiante) REUTILIZABLE
• 1 transportador (por estudiante) • 1 regla (por estudiante)
PREPARACIÓN
● Si no asigna el archivo de «Acceso a conocimientos previos» digitalmente, imprima udocumento de «Acuerdo o desacuerdo» por estudiante. ● Reúna los transportadores y las reglas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Pida a los estudiantes que completen el documento de «Acuerdo o desacuerdo» de forma independiente.
ACUERDO O DESACUERDO
8. Si los estudiantes tienen dificultades para completar esta tarea, pasen a realizar el constructor de cimientos para llenar este vacío de conocimientos previos antes de pasar a otras partes del alcance.
IDENTIFICACIÓN DE CONCEPTOS ERRÓNEOS • Puede ser útil recordar a los estudiantes que las medidas de tres ángulos en un triángulo suman 180°.
• Repasar la clasificación de los triángulos por sus ángulos (agudo, recto y obtuso) y por sus lados (escaleno, isósceles y equilátero).
2. Una vez que lo hayan completado, pídales que se pongan de pie. 3. Los estudiantes deben caminar por el aula con la mano levantada en posición de chocar los cinco. 4. A su señal, pídales que se detengan y choquen los cinco con la persona más cercana. Ésta será su pareja. 5. Conceda a un par de minutos para que acuerden juntos sus respuestas y justificaciones. 6. Luego, puede continuar tantas veces como quiera con diferentes parejas. 7. Converse las respuestas en clase. Permita que los estudiantes expliquen sus razonamientos para cada problema. Luego proporcione una clave de respuestas. a.
De acuerdo con Samantha
b.
En desacuerdo con Kyle
c.
De acuerdo con Danté
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GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
ATRAER: CAPTAR INTERÉS LECCIÓN PARA CAPTAR INTERÉS
CAPTAR INTERÉS DESCRIPCIÓN Los estudiantes determinan los lados que faltan en los triángulos rectángulos utilizando el teorema de Pitágoras.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 teorema de Pitágoras (por clase) TEOREMA DE PITÁGORAS
REUTILIZABLES
• 1 fenómenos (por clase)
PREPARACIÓN
• Planee mostrar los fenómenos. • Prepárese para proyectar la diapositiva teorema de Pitágoras para que la vea toda la clase. • Prepárese para presentar el escenario y anime a los estudiantes a pensar en cómo resolverlo. Prepárese para pasar a las actividades de exploración, regresando a la actividad para captar interés con los nuevos conocimientos adquiridos después de que se hayan completado las exploraciones.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA 1. Presente esta actividad hacia el comienzo del alcance. La clase retomará la actividad y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades explorar correspondientes. 2. Muestre los fenómenos. Formule a los estudiantes las siguientes preguntas: «¿Qué observas? ¿Dónde puedes ver matemáticas en esta situación?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. 3. Explique el escenario a la clase: «Oliver está jugando al golf con su familia. Lleva años jugando al minigolf y espera que sus habilidades se trasladen al campo grande. Lo primero que nota es lo lejos que está el hoyo de donde empieza. Sabe que tiene que golpear la bola en el menor número de golpes posible, así que tiene que decidir qué estrategia debe usar. Intenta elegir entre dos opciones. Puede ir a lo seguro y golpearla corta hacia la calle, o puede intentar golpearla por encima de los árboles hacia el green». 4. Deje que los estudiantes hagan preguntas y aclaren el contexto si es necesario. Anímeles a compartir sus ideas y experiencias con la clase con las siguientes preguntas:
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a.
«¿Has jugado alguna vez al golf?».
b.
«¿Qué significa un golpe en golf?».
c.
«¿Cuáles son las ventajas o desventajas de las dos opciones de Oliver?».
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GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
ATRAER: CAPTAR INTERÉS 5. Proyecte la diapositiva del teorema de Pitágoras. 6. Explique que el padre de Oliver le sugirió que intentara golpear la pelota por encima de los árboles hasta el green. Plantee las siguientes preguntas a la clase: a DOK-1 «¿Dónde ves las matemáticas en el golf?». Permita que los estudiantes compartan sus ideas. Las respuestas de los estudiantes variarán. Ejemplo de respuesta de un estudiante: Puedes medir la distancia desde la zona del tee hasta el hoyo para determinar el menor número de golpes hasta el hoyo. b
DOK-1 «¿Qué representa esta frase?». Permita que los estudiantes compartan sus ideas. Las respuestas de los estudiantes variarán. Este enunciado incluye variables, por lo que podemos identificar la información que ya conocemos y sustituir las variables para resolver el problema.
7. Continúe para completar las actividades de explorar. PARTE II: DESPUÉS DE LA EXPLORACIÓN
1. Después de que los estudiantes hayan completado las actividades de explorar para este tema, muestre nuevamente fenómenos y repita el escenario.
c. DOK-1 «¿Tiene más sentido este enunciado matemático después de las explicaciones?». Sí, se llama Teorema de Pitágoras. d. DOK-1 «¿Qué estrategias utilizarías para resolver la distancia desde la zona del tee hasta el hoyo?». Podemos ver el dogleg izquierdo del campo de golf como un triángulo rectángulo desde la zona del tee hasta el hoyo. Podemos medir la distancia de cada lado del triángulo rectángulo. Cada lado representaría la distancia. La distancia desde la zona del tee hasta el hoyo representaría la hipotenusa en un triángulo rectángulo. Podemos utilizar la distancia de los catetos de un triángulo rectángulo para hallar la hipotenusa. e. DOK-1 «¿Consideras que comprendes bien el uso del teorema de Pitágoras?». Las respuestas variarán en función del éxito de los estudiantes durante la actividad y de su nivel de confianza. 3. Si el tiempo lo permite, pida a los estudiantes que utilicen el teorema de Pitágoras para diseñar los hoyos de su propio campo de golf. Pueden añadir trampas de arena, árboles y otros obstáculos si lo desean.
2. Consulte la diapositiva teorema de Pitágoras y haga las siguientes preguntas a la clase: a. DOK-1 «¿Dónde ves las matemáticas en el golf?». Permita que los estudiantes compartan sus ideas. Las respuestas de los estudiantes variarán. Ejemplo de respuesta de un estudiante: Se puede medir la distancia desde la zona del tee hasta el hoyo para determinar el menor número de golpes hasta el hoyo. b. DOK-1 «¿Qué representa esta frase?». Permita que los estudiantes compartan sus ideas. Las respuestas de los estudiantes variarán. Esta frase incluye variables, por lo que podemos identificar la información que ya conocemos y sustituir las variables para resolver el problema.
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GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 1: REPRESENTAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS Y EL RECÍPROCO DEL TEOREMA DE PITÁGORAS Estándar(es) • Comprender y aplicar el Teorema de Pitágoras. Explicar una prueba del teorema de Pitágoras y su inverso.
Ideas fundamentales
Estándares para la práctica matemática
Conexiones de contenido
Investigaciones cilíndricas
MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en resolverlos.
CC3 Desarmar el todo, armar las partes
Forma, número y expresiones
MP.3 Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros.
CC4 Descubrir la forma y el espacio
Transformación geométrica
MP.4 Representar con matemáticas.
Motores de investigación DI1 Dar sentido al mundo (comprender y explicar)
MP.6 Prestar atención a la precisión.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes demuestran el teorema de Pitágoras utilizando modelos y hallarán el área de tres cuadrados conectados. Los estudiantes identifican triángulos rectángulos con la inversa del teorema de Pitágoras.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por estudiante) • 1 tarjetas de la inversa del teorema de Pitágoras (por pareja) • 1 tapete de trabajo del modelando del teorema de Pitágoras (por pareja) • 1 documento «Demostrando el teorema de Pitágoras (Trivia de triángulos)» (por pareja) REUTILIZABLE
• 1 tijeras (por pareja) • 1 pegamento en barra (por pareja) • 1 calculadora (por pareja)
PREPARACIÓN
• Planee que los estudiantes trabajen en grupos de dos para completar esta actividad. • Imprima un «Diario del estudiante» y una hoja de salida para cada estudiante. • Imprima un tapete de trabajo del modelando del teorema de Pitágoras y un documento «Demostrando el teorema de Pitágoras Trivia de Triángulos» por pareja.
• Imprima un tarjetas de la inversa del teorema de Pitágoras por pareja. • Reúna suficientes pares de tijeras, barras de pegamento y calculadoras para que cada pareja de estudiantes utilice una de cada para la parte II. • Para los estudiantes que necesiten más apoyo para recordar información, consulte nuestros elementos de «Ayudas complementarias» que incluyen papel cuadriculado en la sección de «Intervenir».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: REPRESENTAR DEL TEOREMA DE PITÁGORAS 1. Lea el siguiente escenario a la clase: «Mason Planee abrir un campo de minigolf dentro de unos meses. Comienza a planificar su nuevo campo investigando varios diseños en Internet. Mason observa que la mayoría de los 18 hoyos de cada campo tienen forma de triángulo rectángulo. Mason observa que hay un pequeño borde a lo largo del perímetro de cada uno de estos hoyos en forma de triángulo rectángulo. Después de observar el borde a lo largo de cada hoyo en forma de triángulo rectángulo, Mason siente curiosidad por saber si existe una relación entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Ayudemos a Mason a determinar la relación entre los 3 lados de un triángulo rectángulo mientras comienza a planificar su campo de minigolf». 2. Ayude a los estudiantes a acceder a la tarea haciéndoles las siguientes preguntas: a.
«¿Qué sabes sobre los triángulos rectángulos?».
b.
«¿Has jugado alguna vez al mini golf?».
c.
«¿Qué tipo de matemáticas se podrían utilizar al jugar al mini golf?».
3. Entregue un «Diario del estudiante» por alumno.
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GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 4. Entregue un tapete de trabajo del modelando del teorema de Pitágoras y un documento «Demostrando el teorema de Pitágoras Trivia de Triángulos» por pareja. 5. Pida a los estudiantes que usen el tapete de trabajo del modelando del teorema de Pitágoras y un documento «Demostrando el teorema de Pitágoras Trivia de Triángulos». Los estudiantes deben Recorter los triángulos de la hoja de trabajo «Demostrando el teorema de Pitágoras Trivia de Triángulos» y usar esos triángulos para coloquerlos en trabajo del modelando del teorema de Pitágoras. 6. Indique a los estudiantes que usen un documento «Demostrando el teorema de Pitágoras Trivia de Triángulos» para demostrar el teorema de Pitágoras. Coloquerán esos triángulos enel tapete de trabajo. Después de coloquer los triángulos en lel tapete de trabajo del modelando del teorema de Pitágoras, los estudiantes pueden dibujar un cuadrado para cada longitud lateral, con las longitudes laterales de cada triángulo elevado al cuadrado, y Recorter cada cuadrado para representar el lado². Supervise y hable con los estudiantes según sea necesario para comprobar la comprensión mediante las siguientes preguntas orientadoras: a.
DOK-1 «¿Qué es el teorema de Pitágoras?». Las respuestas pueden variar. El teorema de Pitágoras describe una relación especial entre los lados de un triángulo rectángulo. Al aplicar el teorema de Pitágoras, cada lado de los triángulos rectángulos es también un lado de un cuadrado que está unido al triángulo.
b.
DOK-1: «¿Cómo puedes determinar el área de un cuadrado?». Las respuestas pueden variar. El área de un cuadrado es cualquier lado multiplicado por sí mismo. (Por ejemplo, a × a = a2).
c.
DOK-1: «¿Cómo puedes usar los triángulos abc, def y mno para demostrar el teorema de Pitágoras?». Las respuestas pueden variar. Haz tres cuadrados con lados iguales a cada lado del triángulo. Recorte cada cuadrado para coloquerlo en cada lado del triángulo.
d.
DOK-1: Dada el área del cuadrado a, «¿qué operación permite determinar la longitud lateral del cuadrado a?». Las respuestas pueden variar. La raíz cuadrada permite hallar la longitud lateral de un cuadrado dada el área del cuadrado.
e.
DOK-2: «¿Es a2 + b2 = c2, lo mismo que b2 + a2 = c2? ¿Por qué sí o por qué no?». Las respuestas pueden variar. Sí, debido a la propiedad conmutativa de la suma, 2 + 4 da la misma respuesta que 4 + 2.
7. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para registrar todo su trabajo de la parte I de la exploración en el diario del estudiante. 8. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímelos a que se hagan preguntas y establezcan conexiones. Anímelos a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias usadas para representar el teorema de Pitágoras.
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DIARIO DEL ESTUDIANTE
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GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 9. Después de la parte I de la exploración, invite a la clase a un charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS
5. Supervise y hable con los estudiantes según sea necesario para comprobar la comprensión haga las siguientes preguntas: a.
DOK-1: «¿Cómo sabes qué medidas utilizar al aplicar el teorema de Pitágoras?». Las respuestas pueden variar. Necesitamos conocer las longitudes de los lados de ambos catetos para sustituir los valores de las variables, a y b. Luego sustituiremos la longitud de la hipotenusa por la variable c.
b.
DOK-2: «¿Qué sucede cuando el teorema de Pitágoras crea un enunciado verdadero?». Las respuestas pueden variar. Cuando la ecuación creada usando el teorema de Pitágoras genera un enunciado verdadero, entonces las tres longitudes de los lados forman un triángulo rectángulo.
c.
DOK-2: «¿Qué ocurre cuando el teorema de Pitágoras genera una afirmación falsa?». Las respuestas pueden variar. Cuando la ecuación creada usando el teorema de Pitágoras no genera un enunciado verdadero, entonces las tres longitudes laterales no forman un triángulo rectángulo. Sin embargo, las tres longitudes laterales podrían crear otro tipo de triángulo.
• DOK-1 Usando el área de cada cuadrado, describe el teorema de Pitágoras. El área de los cuadrados a y b juntos es igual al área del cuadrado c. • DOK-1 «¿Cómo puedes determinar la longitud del lado de un cuadrado dada su área?». Tendríamos que hallar la raíz cuadrada (√) del área para determinar la longitud de uno de los lados del cuadrado. • DOK-2 «¿Qué has observado en la suma del cuadrado a y del cuadrado b en comparación con el cuadrado c?». La suma del número de fichas que se necesitan para llenar el cuadrado a y el cuadrado b es la misma cantidad de fichas que se necesitan para llenar el cuadrado c. • Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: ◦ DOK-2 «¿Crees que el teorema de Pitágoras sólo se aplica a los triángulos rectángulos?». «¿Qué pasa con los triángulos no rectángulos?». Creo que el teorema de Pitágoras se aplica a todos los triángulos, incluidos los triángulos no rectángulos. PARTE II: EL RECÍPROCO DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
1. Lea la siguiente situación a la clase: «Al investigar en Internet, Mason se da cuenta de que muchos de los campos de golf contienen hoyos en forma de triángulo rectángulo, pero no está 100 % seguro de que cada uno de estos hoyos sea un triángulo rectángulo. Sin un transportador, no sabe cómo demostrar qué hoyos son triángulos rectángulos y cuáles no. Ayudemos a Mason a decidir si un triángulo es rectángulo aplicando el teorema de Pitágoras». 2. Entregue a cada pareja las tarjetas del teorema de Pitágoras, un par de tijeras y una barra de pegamento. También se puede darles una calculadora cuando evalúen el cuadrado de números más grandes. 3. Indique a los estudiantes que empiecen por identificar si el «Agujero 7» y el «Agujero 12» son triángulos rectángulos aplicando el teorema de Pitágoras. Pida a los estudiantes que rellenen los espacios en blanco con los catetos y la hipotenusa supuesta de cada triángulo. Pida a los estudiantes que resuelvan la ecuación simplificando los cuadrados. Indique a los estudiantes que encierren en con un círculo Sí si la ecuación es cierta, y que encierren con un círculo No si la ecuación no es cierta. 4. Pida a los estudiantes que dividan en dos la página de tarjetas del teorema de Pitágoras, de modo que cada estudiante reciba un juego de tarjetas. Indique a la clase que cada estudiante Recorterá su propio juego de 6 tarjetas. A continuación, pida a los estudiantes que trabajen juntos y apliquen el teorema de Pitágoras a cada triángulo y determinen si el triángulo es un ejemplo de triángulo rectángulo. Cuando los estudiantes lleguen a un consenso sobre cada triángulo, pegarán cada tarjeta en la columna correspondiente.
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6. Conceda tiempo a los estudiantes para que completen la parte II del diario del estudiante, incluidas las preguntas de reflexión. 7. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímelos a que se hagan preguntas y establezcan conexiones. Anímelos a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias utilizadas para determinar si un triángulo es rectángulo. 8 Después de la parte II de la exploración, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: ◦ DOK-2 «¿Cómo puedes determinar si un triángulo es rectángulo, dadas sólo las longitudes de cada lado?». Podemos aplicar el teorema de Pitágoras utilizando las longitudes de los lados del triángulo. Si el teorema de Pitágoras forma un enunciado verdadero, el triángulo es un triángulo rectángulo. • DOK-2 En tus propias palabras, describe el teorema de Pitágoras inverso. Se genera una afirmación verdadera cuando se utiliza el teorema de Pitágoras y las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo. Si se genera una afirmación falsa, entonces el triángulo no es rectángulo. • DOK-2 Un triángulo tiene longitudes laterales de 7, 9 y 10. «¿Es un triángulo rectángulo? ¿Es un triángulo rectángulo?». a2 + b2 = c2 72 + 92 = 102 49 + 81 = 100 130 ≠ 100 Estas longitudes laterales no forman un triángulo rectángulo. 269
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GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
DIARIO DEL ESTUDIANTE
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GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 5. Como extensión, pida a cada estudiante que cree su propio triángulo en su tapete de trabajo que muestre el teorema de Pitágoras. APOYOS LINGÜÍSTICOS Aclare que en matemáticas, el término área se refiere al espacio dentro de una figura bidimensional y no significa un espacio genérico. Proporcione elementos visuales con frecuencia para reiterar la definición de términos clave como triángulo, área, cuadrado, raíz cuadrada, y hipotenusa. Lea la boleto de salida en voz alta a los estudiantes y luego pídales que la reformulen con sus propias palabras. Proporcione estructuras de frases para apoyar a los estudiantes mientras comparten sus ideas verbalmente y por escrito. • La longitud del lado ____ (letra) es ______. • El cuadrado del lado ____ (letra) da un área de ______. • El área de ____ (letra) al cuadrado y el área de ____ (letra) al cuadrado juntas tienen un área total de ______. • Esto es lo mismo que el área de ____ (letra) al cuadrado. Anime a los estudiantes a participar en una charla de matemáticas durante el trabajo en grupo. Pídales que discutan cómo hallar el área de un cuadrado antes de responder a la segunda pregunta de reflexión en el diario del estudiante. BOLETO DE SALIDA
DESPUÉS DE LA EXPLORACIÓN 1. Haga que los estudiantes completen el boleto de salida para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 2. Completen el «Esquema de anclaje» como clase. 3. Haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva».
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Proporcione flexibilidad a los estudiantes que necesitan tareas reducidas haciéndoles completar sólo dos triángulos en la parte I y/o completar sólo un juego de tarjetas del del teorema de Pitágoras inverso en la parte II. 2. Proporcione flexibilidad a los estudiantes que tienen diferentes niveles de destreza permitiéndoles completar la parte I sin Recorter los triángulos y proporcionándoles cuadrados pRecortedos y/o pRecortendo las tarjetas del teorema de Pitágoras inverso en la parte II. 3. Ancle la instrucción vinculando y activando el conocimiento previo relevante, incluyendo triángulos rectángulos, área, cuadrados y raíces cuadradas. 4. Algunos estudiantes pueden describir el proceso para determinar el área de un cuadrado usando la multiplicación. Cuando vea o escuche a los estudiantes usar esta descripción, recuérdeles que multiplicar un número por sí mismo se llama elevar el número al cuadrado.
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MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1)
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GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 2: ENCONTRAR UNA LONGITUD DE LADO DESCONOCIDA EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS RECTÁNGULOS Estándar(es) • Comprender y aplicar el teorema de Pitágoras. Aplicar el teorema de Pitágoras para determinar longitudes laterales desconocidas en triángulos rectángulos en problemas matemáticos y del mundo real en dos y tres dimensiones. Ideas fundamentales Investigaciones cilíndricas Exploraciones Pitagóricas Forma, número y expresiones Transformación geométrica
Estándares para la práctica matemática MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución. MP.4 Representar con matemáticas.
Conexiones de contenido
Motores de investigación
CC3 Desarmar el todo, armar las partes
DI1 Dar sentido al mundo (Comprender y explicar)
CC4 Descubrir la forma y el espacio
DI2 Predecir lo que podría suceder (Predecir)
MP.5 Usar herramientas apropiadas estratégicamente. MP.6 Atender a la precisión.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes usan el teorema de Pitágoras para determinar la longitud del lado faltante de un triángulo rectángulo, cuando se dan ambos catetos o un cateto y la hipotenusa.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por estudiante) • 1 geotablero (por pareja) • 1 tarjetas para encontrar el cateto que falta en un triángulo rectángulo (por pareja) REUTILIZABLE
• 1 calculadora (por pareja) • 1 pegamento en barra (por pareja) • 1 tijeras (por pareja)
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 272
PREPARACIÓN
• Planee que los estudiantes trabajen en grupos de dos para completar esta actividad. • Imprima un «Diario del estudiante» y un «Boleto de salida» para cada estudiante. • Imprima un juego de tarjetas para encontrar el cateto que falta en un triángulo rectángulo por pareja. • Imprima un geotablero para cada pareja de estudiantes para la parte I. • Reúna una calculadora, un par de tijeras y una barra de pegamento para cada pareja. • Para los estudiantes que necesiten más ayuda para recordar la información, consulta los elementos de ayuda complementaria del papel cuadriculado en la sección «Intervenir». • ¡Hazlo digital! Haga que los estudiantes exploren o presenten sus soluciones utilizando manipulativos virtuales. Los manipulativos usados en esta lección se pueden encontrar en el menú desplegable de la sección «Explorar» y se pueden asignar digitalmente a los estudiantes. (Geotablero)
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GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: HALLAR LA HIPOTENUSA DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO 1. Lea la siguiente situación a la clase: «Gemma está construyendo un nuevo campo en Pacific Putt-Putt inspirado en su película de ciencia ficción favorita. Cada uno de los 18 hoyos del nuevo campo tiene forma de triángulo rectángulo y presentará varios obstáculos. Se coloquerá un fino borde a lo largo del perímetro de cada hoyo. Ayudemos a Gemma a crear varios diseños de triángulos rectángulos utilizando un geotablero. A continuación, utilicemos el teorema de Pitágoras y el geotablero para calcular la longitud de cada lado». 2. Entregue un «Diario del estudiante» por alumno. 3. Entregue un geotablero a cada pareja de estudiantes. 4. Pida a los estudiantes que recreen el «Agujero 1» utilizando el geotablero. Los estudiantes medirán la distancia vertical y horizontal entre las clavijas para determinar las longitudes de ambos catetos. Los estudiantes aplicarán el teorema de Pitágoras para resolver la hipotenusa. También pueden utilizar una calculadora para evaluar la raíz cuadrada. 5. Explique a los estudiantes que crearán tres triángulos rectángulos adicionales y resolverán la hipotenusa de cada uno. (Nota: los 3 triángulos rectángulos adicionales deben caber en el geotablero.) 6. Supervise y hable con los estudiantes según sea necesario para comprobar la comprensión mediante el uso de las siguientes preguntas guía: a.
DOK-1: «¿Cómo se puede determinar el valor de c, cuando se da c2?». Necesitaríamos determinar la raíz cuadrada (√) de c2.
b.
DOK-2: «¿Cuál crees que es el triángulo rectángulo más pequeño que puedes crear en el geotablero?». El triángulo más pequeño que puedo crear es un triángulo con catetos que miden 1 unidad cada uno.
c.
DOK-3: «¿Cómo sabes que has creado un ángulo recto usando los dos catetos de un triángulo rectángulo en el geotablero?». Los catetos de un triángulo rectángulo deben ser perpendiculares, por lo que uno de los catetos del geotablero debe incluir clavijas verticales y el otro cateto debe formarse utilizando clavijas horizontales.
7. Conceda tiempo a los estudiantes para que completen la parte I del diario del estudiante, incluidas las preguntas de reflexión. 8. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímelos a que se hagan preguntas y establezcan conexiones. Anime a los estudiantes a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias utilizadas para encontrar la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo.
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9. Después de la parte I, invite a la clase a una Charla de matemáticaspara compartir sus observaciones y aprendizajes.
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GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-3 «¿Cómo usaste el teorema de Pitágoras para resolver la hipotenusa que falta?». Identifiqué los valores de ambos catetos y los sustituí en el teorema de Pitágoras como las variables a y b. Luego elevé ambos números al cuadrado y los sumé. Luego encontré la raíz cuadrada de este total para resolver la hipotenusa que faltaba. • Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: ◦ DOK-2 «¿Qué notas sobre la hipotenusa del agujero 1, cuando la comparas con los agujeros 2-4?». La hipotenusa del agujero 1 es un número entero, mientras que los agujeros 2-4 tienen hipotenusas que son números irracionales que involucran decimales. • DOK-2 «¿Eres capaz de crear un triángulo rectángulo con medidas de catetos que involucren fracciones o decimales usando el geotablero? ¿Por qué sí o por qué no?». No, porque la distancia entre los geotableros representa una unidad, cada línea dibujada en el geotablero tiene que conectarse con cada clavija y no estar entre las clavijas para representar un número racional. • DOK-2 Un triángulo rectángulo tiene catetos que miden 10 pies y 17 pies. «¿Cuál es la longitud de la hipotenusa?». Redondea tu respuesta a la centésima más cercana, si es necesario. 102 + 172 = c2 100 + 289 = c2 389 = c2 _
√389 = c
c ≈ 19,72 pies PARTE II: ENCONTRAR EL CATETO QUE FALTA EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
1. Lea la siguiente situación a la clase: «Gemma tiene espacio para algunos hoyos más en su campo de minigolf. Crea tres diseños más pero se olvida de incluir una medida clave en cada uno de los tres diseños en forma de triángulo rectángulo. Utilicemos el teorema de Pitágoras para ayudar a Gemma a determinar la longitud de cada uno de los catetos que faltan». 2. Ayude a los estudiantes a acceder a la tarea planteándoles las siguientes preguntas: a. «¿Qué recuerdas sobre la determinación de las longitudes de los lados de los triángulos rectángulos?».
4. Pida a los estudiantes que dividan en dos la página de tarjetas para encontrar el cateto que falta en un triángulo rectángulo, de modo que cada estudiante reciba un juego de tarjetas. Cada estudiante Recorterá su propio juego de 12 tarjetas. Los estudiantes trabajarán juntos e identificarán el cateto y la hipotenusa dados de cada agujero en forma de triángulo rectángulo. (Nota: Sólo se utilizarán 9 de las 12 tarjetas. Cada tarjeta representa un cateto o una hipotenusa). A continuación, los estudiantes aplicarán el teorema de Pitágoras a cada triángulo para determinar el cateto que falta. Cuando los estudiantes lleguen a un consenso sobre cada triángulo, pegarán cada tarjeta en el espacio correspondiente. 5. Supervise y hable con los estudiantes según sea necesario para comprobar la comprensión mediante las siguientes preguntas orientadoras: a. DOK-1 «¿Cuáles son algunas de las diferencias en el uso del teorema de Pitágoras cuando se resuelve un cateto que falta en lugar de una hipotenusa que falta?». La mayor diferencia es usar la resta para resolver un cateto faltante en lugar de usar la suma para resolver una hipotenusa faltante. b. DOK-2 Aparte del valor de la raíz cuadrada, «¿cuál es la diferencia entre la raíz cuadrada de 16 y la raíz cuadrada de 20?». La raíz cuadrada de 16 es 4. 4 es un número entero. La raíz cuadrada de 20 es un número irracional, sin embargo podemos redondearlo a 4,47. c. DOK-3 Dado que a y b son las medidas de ambos catetos y c es la medida de la hipotenusa, «¿es c2 - a2 = b2 lo mismo que c2 - b2 = a2?». Sí, puesto que el valor de un cateto puede ser a o b siempre que el otro cateto sea la otra variable, ambas ecuaciones pueden utilizarse para resolver el cateto que falta. 6. Conceda tiempo a los estudiantes para que completen la parte II del diario del estudiante, incluidas las preguntas de reflexión. 7. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímelos a hacerse preguntas y establecer conexiones. Anime a los estudiantes a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias usadas para encontrar las longitudes de los lados faltantes de los triángulos rectángulos. 8. Después de la parte II, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
b. «¿Ha habido alguna ocasión en la que hayas olvidado anotar algo importante? ¿Cómo remediaste la situación?». 3. Distribuye las tarjetas para encontrar el cateto que falta en un triángulo rectángulo, un par de tijeras y una barra de pegamento a cada pareja de estudiantes. También se puede proporcionar una calculadora a los estudiantes cuando evalúen la raíz cuadrada de los números. 274
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GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 CHARLA DE MATEMÁTICAS
• Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: ◦ DOK-2 Has calculado el valor de un cateto que falta. Este valor es mayor que la longitud de la hipotenusa. «¿Es esto posible?». No, la hipotenusa debe ser la mayor longitud de los tres lados de un triángulo. Si esto ocurre, comprueba tu trabajo. • DOK-2 Un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide 11 pulgadas y una hipotenusa que mide 20 pulgadas. «¿Cuál es la longitud del cateto que falta?». c2 - a2 = b2 202 – 112 = b2 400 – 121 = b2 279 = b2 _
√279 = b b ≈ 16.70 pulgadas • DOK-3 «¿Por qué crees que no se utilizó un geotablero para representar la resolución del cateto que falta en un triángulo rectángulo?». Es mucho más difícil crear y medir las diagonales de las líneas en un geotablero que las medidas verticales y horizontales para cada cateto.
DESPUÉS DE LA EXPLORACIÓN 1. Haga que los estudiantes completen el boleto de salida para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 2. Complete el «Esquema de anclaje» en clase. 3. Haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva».
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BOLETO DE SALIDA
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GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Proporcione flexibilidad a los estudiantes que necesiten tareas reducidas pidiéndoles que completen dos agujeros para la tabla en la parte I y/o dos juegos de tarjetas de triángulos en la parte II. 2. Diferencie el grado de dificultad para la parte I, pregunta de reflexión 1, proporcionando las siguientes cuatro ecuaciones a los estudiantes. Pida a los estudiantes que determinen la ecuación que tiene un número entero como longitud de la hipotenusa. a.
4+4=8
b.
9 + 16 = 25
c.
16 + 16 = 32
d.
25 + 4 = 29
3. Proporcione tarjetas pRecortedas para los estudiantes con diferentes niveles de destreza. 4. Para los estudiantes que tienen problemas para crear un triángulo utilizando las tres tarjetas, explique que cada hipotenusa se ha simplificado en la tarjeta y que la hipotenusa es siempre el lado más largo de un triángulo rectángulo. 5. Algunos estudiantes pueden tener dificultades para encontrar el lado que falta del triángulo cuando no es la hipotenusa. Proporcione un esquema de anclaje que muestre una familia de hechos que los estudiantes puedan consultar. 6. Como desafío adicional, pida a los estudiantes que encuentren dos ejemplos de triángulos rectángulos en los que los tres lados sean números enteros.
APOYOS LINGÜÍSTICOS Aclare que el término piernas se refiere a los dos lados más cortos de un triángulo rectángulo y no se refiere a las piernas de una persona, animal o mueble. Mientras los estudiantes trabajan y discuten ideas con sus grupos, resuma lo que escucha y repita las ideas clave y el vocabulario a través de la entonación, el habla más lenta y las señales visuales. Las ideas y palabras que se deben escuchar incluyen triángulo, área, cuadrado, raíz cuadrada, catetos, y hipotenusa. Pida a los estudiantes que se turnen para leer en voz alta el escenario y las instrucciones para la parte II antes de que trabajen juntos para construir un modelo y resolverlo. Para la parte II, facilite una conversación estructurada entre parejas. Use las estructuras de frases proporcionadas para ayudar a los estudiantes a formular y responder preguntas. Permita que los estudiantes se turnen para ser el compañero A y el compañero B. • Compañero A: «¿Qué lado falta?». • Compañero B: Falta el lado _______. • Compañero A: «¿Es el lado _______ la hipotenusa?». • Compañero B: ____ (Sí/No). • Compañero A: «¿Qué proceso podemos utilizar para encontrar el lado que falta?». Al responder a las preguntas de reflexión, haga que los estudiantes se turnen primero para decir sus respuestas en voz alta a sus compañeros, para recibir comentarios de sus compañeros y luego para escribir sus respuestas en sus diarios del estudiante. Los estudiantes pueden hacer las correcciones necesarias. 276
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MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 2) CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 3: EL TEOREMA DE PITÁGORAS EN PRISMAS RECTANGULARES Estándar(es) ● Comprender y aplicar el teorema de Pitágoras. Aplicar el teorema de Pitágoras para determinar longitudes laterales desconocidas en triángulos rectángulos en problemas matemáticos y del mundo real en dos y tres dimensiones.
Ideas fundamentales Investigaciones cilíndricas Exploraciones Pitagóricas Forma, número y expresiones Transformación geométrica
Estándares para la práctica matemática MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución. MP.4 Representar con matemáticas.
Conexiones de contenido
Motores de investigación
CC3 Desarmar el todo, armar las partes
DI1 Dar sentido al mundo (Comprender y explicar)
CC4 Descubrir la forma y el espacio
DI2 Predecir lo que podría suceder (Predecir)
MP.5 Usar herramientas apropiadas estratégicamente. MP.6 Atender a la precisión.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes aplican el teorema de Pitágoras a prismas rectangulares tridimensionales.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por estudiante) • 1 cajas de putter (por pareja) REUTILIZABLE
• 1 calculadora (por pareja) • 1 tijera (por estudiante) CONSUMIBLE
• 1 rollo de cinta adhesiva (por pareja)
PREPARACIÓN
• Planifique que los estudiantes trabajen en grupos de dos para completar esta actividad. • Imprima un «Diario del estudiante» y un «Boleto de salida» ppor estudiante. • Imprima un documento de «cajas de putter» por pareja de estudiantes. • Reúne suficientes calculadoras y rollos de cinta adhesiva para que cada pareja tenga uno de cada. • Reúne suficientes pares de tijeras para que cada estudiante tenga uno. • Para quienes necesiten más apoyo para recordar información, consulte nuestros elementos complementarios como: papel cuadriculado y objetos tridimensionales con líneas de puntos en la sección «Intervención».
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PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Lea la siguiente situación a la clase: «Kyle vende palos de minigolf, conocidos como "putters", a propietarios y gerentes de campos de minigolf. Los putters vienen en una variedad de longitudes dependiendo de la altura del cliente. Kyle utiliza cajas de cartón en forma de prismas rectangulares para enviar sus putters a los clientes. Ayudemos a Kyle a determinar la longitud máxima de un putter que puede coloquer en la caja si el putter se coloque en la caja en diagonal». 2. Ayude a los estudiantes a acceder a la tarea planteándoles las siguientes preguntas orientadoras: a.
«¿Qué sabes ya sobre los prismas rectangulares?».
b.
«¿Qué cosas de tu vida compras adaptadas a tu estatura?».
3. Entregue un «Diario del estudiante» a cada uno. 4. Pídales que utilicen el prisma rectangular para rellenar los espacios en blanco de los pasos 1 y 2 con el fin de determinar la longitud diagonal desde la esquina delantera inferior izquierda hasta la esquina trasera superior derecha. Si lo desea, puede proporcionar a sus estudiantes calculadoras para que las utilicen cuando apliquen el teorema de Pitágoras. 5. Distribuye las cajas de putter y los rollos de cinta adhesiva a las parejas de estudiantes. 6. Entregue un par de tijeras a cada estudiante. 7. Pídales que usen la hoja de trabajo de las cajas de putter para Recorter las dos redes de las cajas Putter, A y B, y que usen la cinta para unir los lados de cada una y formar dos prismas rectangulares. Los estudiantes utilizarán las medidas de cada prisma para responder a las preguntas de la página 2 de su diario del estudiante. Pueden usar una calculadora cuando apliquen el teorema de Pitágoras. 277
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GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 8. Supervise y hable con los estudiantes según sea necesario para comprobar la comprensión utilizando las siguientes preguntas orientadoras: a. DOK-1 «¿Qué medidas se necesitan para determinar la longitud de la diagonal de un prisma rectangular?». Necesitaría conocer la longitud, anchura y altura del prisma rectangular para resolver la longitud de la diagonal. b. DOK-1 «¿Cómo sabes que se puede aplicar el teorema de Pitágoras al resolver la longitud de la diagonal de un prisma rectangular dado el tipo de ángulo que se forma entre la base del prisma y uno de sus lados laterales?». Las dos caras son perpendiculares entre sí y forman un ángulo de 90 grados. El teorema de Pitágoras sólo se puede aplicar a un triángulo con un ángulo de 90 grados. c. DOK-2 Cuando se proporcionan las medidas de la longitud y anchura de un prisma rectangular, «¿cuántas veces será necesario aplicar el teorema de Pitágoras al resolver la diagonal del prisma?». Tendremos que utilizar el teorema de Pitágoras dos veces, una para la diagonal de la base del prisma y otra para determinar la longitud de la diagonal del prisma. 9. Dé tiempo a los estudiantes para que completen el diario del estudiante, incluidas las preguntas de reflexión. 10. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímelos a que se hagan preguntas y establezcan conexiones. Anime a los estudiantes a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias utilizadas para encontrar las medidas que faltan en los prismas rectangulares utilizando el teorema de Pitágoras.
11. Después de que los estudiantes hayan completado el diario del estudiante, invite a la clase a una charla de matemáticaspara compartir sus observaciones y aprendizajes.
CHARLA DE MATEMÁTICA •
Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: ◦
•
DOK-2 «¿Cómo se aplica el teorema de Pitágoras a las figuras tridimensionales?». Podemos aplicar el teorema de Pitágoras para determinar la distancia de una de las esquinas inferiores del prisma a la esquina superior del lado opuesto.
DOK-2 «¿Cuál es la longitud diagonal de un prisma rectangular con una longitud de 12 pulgadas, un ancho de 5 pulgadas y una altura de 7 pulgadas?». Redondea tu respuesta a la centésima más cercana, si es necesario.
Diagonal de la base, d 122 + 52 = d2 169 = d2 _ √ 169 = d d = 13 pulgadas Prisma diagonal, x 13 2 + 7 2 = x 2 169 + 49 = x 2 _ √218 = x x ≈ 14.76 pulgadas •
DOK-2 Dada la caja de putter A o la caja de putter B, «¿qué prisma rectangular tiene mayor longitud diagonal y en cuánto?». Redondea tu respuesta a la pulgada más cercana. La caja de putter B tiene una diagonal mayor en aproximadamente 3 pulgadas.
(32.20 - 29.07 = 3.13)
DIARIO DEL ESTUDIANTE
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GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3
DESPUÉS DE LA EXPLORACIÓN 1. Pida a los estudiantes que completen el boleto de salida para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 2. Completen el «Esquema de anclaje» como clase. 3. Pida a cada estudiante que llene su «Libreta interactiva».
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Algunos estudiantes pueden tener problemas para visualizar lo que se está midiendo. Tenga a mano una caja y un palo o una barra para demostrar qué se está midiendo y cómo. 2. Proporcione prismas rectangulares pRecortedos para estudiantes con diferentes niveles de destreza. 3. Algunos pueden sentirse abrumados con la conversión de un triángulo a un prisma rectangular. Haga que se centren en el rectángulo de la primera sección. Puede ser beneficioso tener los lados previamente etiquetados para que los estudiantes sólo tengan que preocuparse de encontrar la hipotenusa que falta.
BOLETO DE SALIDA
4. Diferencie el grado de dificultad para la pregunta de reflexión 1 proporcionando las siguientes opciones para el mejor lugar para utilizar este conocimiento fuera del aula de matemáticas: a. Ir a la tienda b. Practicar un deporte c. Moverse d. Bajar por un tobogán 5. Como extensión, pida a los estudiantes que creen una caja en la que quepa un putter de tamaño medio de 34 pulgadas.
APOYOS LINGÜÍSTICOS Al repasar cada paso de la página 1, invite a los estudiantes a que se giren hacia un compañero y repitan lo que han oído utilizando lenguaje matemático. Aclare los significados de los términos matemáticos prisma rectangular y diagonal y del término no matemático putter, y proporcione ejemplos visuales.
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 3)
Lea las preguntas del «Diario del estudiante» en voz alta mientras los estudiantes señalan las palabras que están leyendo. Haga hincapié en los términos diagonal, rectángulo, y prisma rectangular. Invite a los estudiantes a presentar uno de sus prismas a la clase y a explicar verbalmente qué pasos siguieron para resolverlo. Llame la atención sobre el verbo girar en la pregunta de reflexión 2. Use un recuadro para mostrar las distintas formas en que se puede girar y, a continuación, formule la pregunta. Proporcione ejemplos visuales y aclare los términos matemáticos prisma rectangular y diagonal y el término no matemático putter.
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GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 4: EL TEOREMA DE PITÁGORAS EN UNA CUADRÍCULA DE COORDENADAS Estándar(es) • Comprender y aplicar el teorema de Pitágoras. Aplicar el teorema de Pitágoras para encontrar la distancia entre dos puntos en un sistema de coordenadas. Estándares para la práctica matemática
Conexiones de contenido
MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución.
CC3 Desarmar el todo, armar las partes
DI1 Dar sentido al mundo (Comprender y explicar)
CC4 Descubrir la forma y el espacio
DI2 Predecir lo que podría suceder (Predecir)
Ideas fundamentales Investigaciones cilíndricas Exploraciones Pitagóricas Forma, número y expresiones Transformación geométrica
MP.4 Representar con matemáticas.
Motores de investigación
MP.5 Usar herramientas apropiadas estratégicamente. MP.6 Atender a la precisión.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes determinan la distancia entre dos puntos en una cuadrícula de coordenadas utilizando el teorema de Pitágoras.
MATERIALES
2. Ayude a los estudiantes a acceder a la tarea planteándoles las siguientes preguntas: a.
«¿Qué recuerdas sobre el uso de una cuadrícula de coordenadas?».
b.
«¿Qué otra profesión podría necesitar conocer o usar el teorema de Pitágoras?».
IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno)
3. Entregue un «Diario del estudiante» a cada uno.
• 1 boleto de salida (por estudiante)
4. De una calculadora y un cubo numérico por pareja.
REUTILIZABLE
• 1 calculadora (por pareja) • 1 cubo numérico (por pareja)
PREPARACIÓN
• Planifique que los estudiantes trabajen en grupos de dos para completar esta actividad. • Imprima un «Diario del estudiante» y un «Boleto de salida» para cada estudiante. • Reúna suficientes calculadoras y cubos numéricos para cada pareja. • Para los estudiantes que necesiten más ayuda para recordar la información, consulte nuestros elementos de ayuda complementaria de Papel cuadriculado en la sección de «Intervenir».
5. Explique a los estudiantes que van a crear la suma 1. Indique que empiecen trazando el punto A en la cuadrícula de coordenadas. A continuación, pídales que usen el cubo numérico para generar los pares ordenados de los puntos B y C. Pídales que formen un triángulo con estos tres puntos. Pide a los estudiantes que anoten las medidas de cada lado utilizando la tabla proporcionada. Permita que los estudiantes utilicen calculadoras cuando apliquen el teorema de Pitágoras. A continuación, pida a los estudiantes que repitan este proceso creando la adición 2, un segundo triángulo rectángulo. 6. Supervise y hable con los estudiantes según sea necesario para comprobar la comprensión con las siguientes preguntas: a
DOK-1: «¿Cuántos pares ordenados se necesitan para crear un triángulo rectángulo en una cuadrícula de coordenadas?». Se necesitaron tres pares ordenados para crear los triángulos rectángulos.
b
DOK-1: «¿Cómo se miden los dos catetos perpendiculares de un triángulo rectángulo en una cuadrícula de coordenadas?». Podríamos contar el número de espacios de la cuadrícula entre los dos puntos que forman cada cateto.
c
DOK-2: «¿Qué tipos de números utilizaste al lanzar el cubo numérico para generar pares ordenados?». Números enteros y números enteros. Como el cubo numérico tiene números enteros del 1 al 6, no había forma de generar un par ordenado con fracciones o decimales.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Lea el siguiente escenario a la clase: «La diseñadora de campos de golf en miniatura Yvette está añadiendo varios hoyos en forma de triángulo rectángulo al campo de golf existente. Comienza la planificación usando una cuadrícula de coordenadas para determinar el trazado de cada hoyo. Ayudemos a Yvette trazando varios esquemas que pueda utilizar para sus adiciones». 280
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1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4
7. Deje tiempo para que los estudiantes completen el diario del estudiante, incluidas las preguntas de reflexión. 8. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímelos a hacerse preguntas y establecer conexiones. Indique que anoten las similitudes y diferencias entre las estrategias usadas para encontrar la distancia en una cuadrícula de coordenadas usando el teorema de Pitágoras. 9. Después de que hayan completado el diario del estudiante, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje.
• DOK-2 Se dibuja el triángulo rectángulo XYZ en una cuadrícula de coordenadas. El punto X está situado en (5, 5), el punto Y está situado en (10, 5), y el punto Z está situado en (5, 6). «¿Cuál es la distancia entre los puntos Y y Z?». Distancia del punto X al punto Y = 5 unidades Distancia del punto X al punto Z = 1 unidad Distancia del punto Y al punto Z = 52 + 12 = c2 25 + 1 = c2 26 = c2 _
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: ◦ DOK-3 «¿Cómo es útil usar la cuadrícula de coordenadas al crear triángulos rectángulos?». La cuadrícula de coordenadas es una guía útil cuando se dibujan líneas rectas, especialmente para los dos catetos de un triángulo rectángulo. Las líneas de la cuadrícula en el plano de coordenadas también nos ayudan a determinar las longitudes de ambos catetos.
√26 = c c ≈ 5.10 unidades • DOK-2 «¿Cuál de las dos sumas de tu grupo tenía la hipotenusa más pequeña?». «¿Y cuánto más pequeña?». Redondea tu respuesta a la centésima más próxima. Las respuestas pueden variar. La adición 2 tenía la hipotenusa más pequeña en 0,23 aproximadamente.
DIARIO DEL ESTUDIANTE
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GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4
DESPUÉS DE LA EXPLORACIÓN 1. Haga que los estudiantes completen el boleto de salida para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 2. Completen el «Esquema de anclaje» como clase. 3. Haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva». 4. Regrese la sección «captar interés» e instruya a los estudiantes a usar sus habilidades recién adquiridas para completar exitosamente la actividad.
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Proporcione flexibilidad a los estudiantes que necesitan tareas reducidas eliminando la segunda pregunta. 2. Algunos pueden tener problemas para contar los bloques entre puntos en el plano de coordenadas. Pídales que tracen la línea entre los puntos, contando cada cuadrado a medida que avanzan. 3. Para quines no conozcan la diferencia entre horizontal y vertical, cree un esquema de anclaje. Utilice la brújula para etiquetar esas direcciones. 4. Diferencie el grado de dificultad para la pregunta de reflexión 2 haciendo referencia al esquema de anclaje con horizontal y vertical etiquetadas en la brújula.
BOLETO DE SALIDA
5. Como extensión, haga que los estudiantes creen un campo de golf de nueve hoyos donde cada hoyo tenga un hoyo de forma triangular diferente.
APOYOS LINGÜÍSTICOS Aclare que el término adición en esta exploración se refiere al trazado de los hoyos de golf que están añadiendo al campo y no al proceso de sumar números. Recuerde a los estudiantes que el término piernas se refiere a los dos lados más cortos de un triángulo rectángulo y no se refiere a las piernas de una persona, animal o mueble. La palabra brújula tiene múltiples significados en inglés. Haga referencia a la brújula en el «Diario del estudiante» o cree un Esquema de anclaje que pueda mostrarse cuando se hable de la brújula. Para los estudiantes hispanohablantes, haga hincapié en la similitud entre el término las coordinadas y el término inglés coordinates.
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 4)
Durante la charla de matemáticas, muestre los tallos de las oraciones para que los estudiantes los utilicen: • Observé _______. • Me di cuenta _______. Permita que los estudiantes expliquen sus pensamientos verbalmente y que un compañero lo escriba en el papel por ellos. A continuación, pida al compañero que lea en voz alta lo que ha escrito. A continuación, el estudiante puede decidir si su mensaje se ha transmitido con claridad y hacer los ajustes necesarios.
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1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE
CONSOLIDAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
ESQUEMA DE ANCLAJE DESCRIPCIÓN Un esquema de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Se trata de una herramienta para apoyar la instrucción y anclar el aprendizaje de los estudiantes a lo largo del alcance.
MATERIALES
• 1 hoja de papel cuadriculado • 1 juego de marcadores multicolores
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del ejemplo de «Esquema de anclaje», si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. El ejemplo de esquema de anclaje puede utilizarse como referencia antes de crear el de la clase. Esta actividad debe ser dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje. 2. A medida que los estudiantes trabajen en el alcance, colaboren para añadir piezas al «Esquema de anclaje». Formule las siguientes preguntas orientadoras: a. «¿Qué estrategia utilizamos para resolver este problema?». b. «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?». 3. Continúe añadiendo habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada «Exploración» para resaltar el contenido importante. 4. Explique que pueden utilizar este gráfico como herramienta de apoyo para su aprendizaje. Los estudiantes también pueden pegar una copia del ejemplo del esquema en sus cuadernos para utilizarla como referencia a lo largo del año. 5. Algunos esquemas de anclaje sólo se mostrarán durante un alcance o grupo de alcances concretos, mientras que otras permanecerán expuestas durante todo el curso escolar.
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GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
LIBRETA INTERACTIVA DESCRIPCIÓN Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase al usar la actividad y la libreta.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del «Folleto del estudiante» para cada uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Prepare una «Libreta interactiva» al usar un cuaderno de espiral o de composición para cada uno. Los estudiantes pueden utilizar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades. 2. Las instrucciones para cada actividad se proporcionan en el «Folleto del estudiante». 3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos. 4. Las libretas interactivas pueden utilizarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
FOLLETO DEL ESTUDIANTE
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GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS APOYO PARA ESTUDIANTES MULTILINGÜES
CONEXIONES LINGÜÍSTICAS DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes tienen la oportunidad de utilizar sus conocimientos lingüísticos y culturales previos para apoyar las conexiones con nuevas destrezas, vocabulario y conceptos en sus niveles de competencia.
1. Distribuya a cada estudiante un folleto con el nivel de competencia adecuado. 2. Utilice las instrucciones para las partes de hablar, escuchar, leer y escribir. Utilice gestos, señale objetos y elementos visuales, según proceda. Consulte las sugerencias en las instrucciones.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante según su nivel de competencia (por alumno)
3. Deje tiempo a los estudiantes para que piensen con sus vecinos antes de responder. 4. Anime a los estudiantes a perseverar en su pensamiento y a utilizar herramientas y modelos matemáticos.
REUTILIZABLE
• 1 calculadora (por estudiante, opcional)
5. Invite a los estudiantes a responder adecuadamente a cada dominio lingüístico.
PREPARACIÓN
• Prepárese para que los estudiantes trabajen con compañeros cuando sea necesario.
6. Pida a los estudiantes que utilicen la página final del folleto del estudiante para establecer conexiones entre los conceptos matemáticos y el mundo real.
• Determine el nivel de competencia en inglés de cada estudiante. • Imprima un «Folleto del estudiante» para cada estudiante según su nivel de competencia en inglés. • Permita que los estudiantes tengan acceso al vocabulario ilustrado para este alcance.
Pythagorean Theorem B
Pythagorean Theorem B
Niko camina hacia el
¿Es un triángulo rectángulo?
pasar 2
horas en la
norte hasta el
el
refrigerio. Quiere volver a
este hasta la
✔ Sí
hasta la
Pythagorean Theorem I
Pythagorean Theorem A
¿Es un triángulo rectángulo?
Niko camina hacia el este hasta la arcada. Después de pasar 2 horas en supermercado para comprar un refrigerio. Quiere volver a casa por el camino más corto desde el supermercado. ¿Cuál es la distancia desde
casa por el camino más corto desde el
el supermercado hasta la casa de Niko?
supermercado
Niko va en bicicleta a la arcada y supermercado. Verdadero / falso
a2 + b2 = c2 122 + 92 = 152 144 + 81 = 225 225 = 225
casa de Niko?
a2 + b2 = c2
Va a la tienda a comprar un refrigerio y luego camina hasta su casa. Verdadero / falso ¿Dónde va Niko cuando sale de casa por primera vez? A. Lavandería B. Arcada C. Supermercado D. Banco
La arcada está a 3 cuadras de la casa de Niko. Verdadero / falso Niko ________________ a la arcada y supermercado. va en bicicleta / camina
a2 + b2 = c2 82 + 52 = 102 64 + 25 = 100 89 ≠ 100
✘ No
a2 + b2 = c2 82 + 52 = 102 64 + 25 = 100 89 ≠ 100
Va a la tienda a comprar un/una __________ y luego camina hasta __________. refrigerio / pizza su casa / la arcada
a2 + b2 = c2
La arcada está a 5 cuadras del supermercado. Verdadero / falso
¿A qué distancia y en qué dirección está la arcada de la casa de Niko? Utiliza el plano cartesiano para determinar tu respuesta.
Para saber a qué distancia está el supermercado de su casa, utiliza la fórmula a2 – b2 = c2. Verdadero / falso
La arcada está a _______ cuadras de la casa de Niko. 3/4/5 La arcada está a _______ cuadras del supermercado. 3/4/5
¿A qué distancia y en qué dirección está el supermercado de la arcada? Utiliza el plano cartesiano para determinar tu respuesta.
En la fórmula, c es la longitud desde el supermercado hasta la casa de Niko. Verdadero / falso
Para saber a qué distancia está el supermercado de su casa, utiliza la fórmula _____________________. a2 + b2 = c2 / a2 – b2 = c2
a2 + b2 = c2
Pythagorean Theorem A
Niko camina unas cuadras hacia el este hasta la arcada. Después de pasar 2 horas en la arcada, Niko camina unas cuadras hacia el norte hasta el supermercado para comprar un refrigerio. Quiere volver a casa por el camino más corto. Niko decide caminar desde el supermercado hasta su casa. ¿Cuál es la distancia desde el supermercado hasta la casa de Niko?
la arcada, Niko camina unas cuadras hacia el norte hasta el
supermercado para comprar un
supermercado. ¿Cuál es la distancia desde el
a2 + b2 = c2 12 + 92 = 152 144 + 81 = 225 225 = 225 2
Pythagorean Theorem I
¿Es un triángulo rectángulo?
arcada. Después de
arcada, Niko camina unas cuadras hacia
____ + ____ = ____
a2 + b2 = c2
a2 + b2 = c2
____ + ____ = ____
_______ es la longitud desde el supermercado hasta la casa de Niko. a/b/c 32 42 c2 ____ + ____ = ____
¿A cuántas cuadras está el supermercado de la casa de Niko si toma la distancia más corta?
El supermercado está a 5 cuadras de la casa de Niko. Verdadero / falso
____ + ____ = ____ El supermercado está a ________ cuadras de la casa de Niko. 5/7/9
Pythagorean Theorem B
Banco de palabras hipotenusa cateto
operaciones inversas raíz cuadrada
Pythagorean Theorem B
Pythagorean Theorem I
Banco de palabras
¡Conecta las matemáticas contigo! Dibuja o escribe sobre una conexión en la que puedas utilizar el teorema de Pitágoras en casa con tu familia o con tus amigos.
catetos
simplificar
a2 + b 2 = c 2
Utiliza el banco de palabras y el ejemplo para explicar cómo encontrar el lado que falta en un triángulo rectángulo, dadas las longitudes de los otros dos lados. Las palabras pueden repetirse.
hipotenusa
operaciones inversas
cateto
raíz cuadrada
Pythagorean Theorem I
Pythagorean Theorem A
Banco de palabras
¡Conecta las matemáticas contigo! Dibuja o escribe sobre una conexión en la que puedas utilizar el teorema de Pitágoras en casa con tu familia o con tus amigos.
catetos
simplificar
a2 + b2 = c2
Utiliza el banco de palabras y el ejemplo para explicar cómo encontrar el lado que falta en un triángulo rectángulo, dadas las longitudes de los otros dos lados. Las palabras pueden repetirse.
hipotenusa cateto
operaciones inversas raíz cuadrada
Pythagorean Theorem A
¡Conecta las matemáticas contigo! Dibuja o escribe sobre una conexión en la que puedas utilizar el teorema de Pitágoras en casa con tu familia o con tus amigos.
catetos
simplificar
a2 + b 2 = c 2
Utiliza el banco de palabras y el ejemplo para explicar cómo encontrar el lado que falta en un triángulo rectángulo, dadas las longitudes de los otros dos lados. Las palabras pueden repetirse.
El lado más largo de un triángulo rectángulo se llama ___________________. Los El lado más largo de un triángulo rectángulo se llama ___________________. Los dos lados más cortos se llaman _________________. Los lados de un triángulo rectángulo tienen una relación especial tal que __________________, donde a y b representan las longitudes de los __________ y c representa la longitud de la _______________. Si conocemos la longitud de la _____________ y la longitud de un ____________, podemos utilizar el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud del otro _____________. Para encontrar la longitud del otro cateto, primero introduce los valores conocidos en el teorema de Pitágoras, __________________. Eleva al cuadrado la longitud dada de la _____________ y la longitud del _____________________. Utiliza las ______________________ para aislar el valor desconocido x2 o b2. __________________ el lado numérico de la ecuación. Saca la ____________________ de ambos lados de la ecuación para aislar la variable; el valor resultante de x o b es la longitud del _________ que falta.
dos lados más cortos se llaman _________________. Los lados de un triángulo rectángulo tienen una relación especial tal que __________________, donde a y b representan las longitudes de los __________ y c representa la longitud de la _______________. Si conocemos la longitud de la ___________________ y la longitud de un ___________, podemos encontrar la longitud del otro _________ mediante ________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________
PRINCIPIANTE FOLLETO DEL ESTUDIANTE
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 285
INTERMEDIO FOLLETO DEL ESTUDIANTE
AVANZADO FOLLETO DEL ESTUDIANTE
285
1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCUCHAR Y HABLAR PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Tenga a mano el vocabulario con imágenes para que los estudiantes lo utilicen. Lea las siguientes frases de una en una:
Ponga a disposición de los estudiantes un vocabulario ilustrado. Lea las siguientes instrucciones de una en una:
Ponga a disposición de los estudiantes vocabulario con imágenes. Lea las siguientes preguntas de una en una:
•
Señale la hipotenusa del primer triángulo.
•
Señale la hipotenusa del primer triángulo.
•
Señala la hipotenusa del primer triángulo.
•
«¿Cómo sabe que es la hipotenusa?».
•
«¿Cómo sabes que es la hipotenusa?».
•
«¿Cómo sabes que es la hipotenusa?».
•
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente secuencia de frases:
•
Señala los catetos del primer triángulo.
•
«¿Cómo sabes que son los catetos?».
•
«¿Cómo sabes si un triángulo es rectángulo o no?».
•
Determina si cada uno de estos triángulos es un triángulo rectángulo. Muestra tu trabajo. Escribe tu respuesta, sí o no, en las casillas.
•
Comenta con tus compañeros qué triángulos son rectángulos.
◦
Sé que es la hipotenusa porque _____.
•
Señale los catetos del primer triángulo.
•
«¿Cómo sabe que son los catetos?».
•
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente raíz de frase: ◦
«¿Cómo podemos determinar si el primer triángulo es rectángulo?». Utilice el teorema de Pitágoras que se ha resuelto aquí (señale la página) para explicarlo.
•
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente raíz de frase:
•
Veamos el siguiente ejemplo. «¿Qué observas en este ejemplo que sea similar o diferente del primer ejemplo?».
•
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente secuencia de oraciones: ◦
Señale los catetos del primer triángulo.
•
«¿Cómo sabes que son los catetos?». ◦
•
•
Sí, el segundo triángulo no es un triángulo rectángulo porque el teorema de Pitágoras no describe la relación de los catetos con la hipotenusa.
•
«¿Es el tercer triángulo un triángulo rectángulo?». Utiliza el teorema de Pitágoras para demostrar si lo es. Escribe "sí" o "no" en el recuadro.
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente raíz de frase: El primer triángulo es un triángulo rectángulo porque _____.
•
Escribe tu respuesta, sí o no, en el recuadro.
•
«¿Es el segundo triángulo un triángulo rectángulo? ¿Cómo lo sabes?». ◦
He observado en el segundo triángulo que ____.
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente secuencia de oración: Sé que son los catetos del triángulo porque _____.
«¿Es el primer triángulo un triángulo rectángulo? ¿Cómo lo sabes?». ◦
Podemos determinar que el primer triángulo es un triángulo rectángulo porque ____.
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente secuencia de oraciónSé que es la hipotenusa porque _____.
•
Sé que son los catetos porque _____.
•
◦
◦
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente secuencia de oraciones: El segundo triángulo es/no es un triángulo rectángulo porque _____.
•
Escribe tu respuesta, sí o no, en el recuadro.
•
«¿Es el tercer triángulo un triángulo rectángulo?». Utiliza el teorema de Pitágoras para demostrar si lo es. Escribe sí o no en el recuadro.
•
«¿Cómo puedes saber si un triángulo es rectángulo o no?». ◦
LEER Y HABLAR
Pide a los estudiantes que utilicen el siguiente enunciado: Puedes saber si un triángulo es rectángulo o no si ____.
PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Lea la historia en grupo. Divida la historia en frases. Pida a los estudiantes que señalen cada palabra mientras leen. Pídales que rodeen con un círculo las palabras que no conozcan. Discuta las palabras con todo el grupo.
Coro: lea la historia en grupo. Pida a los estudiantes que señalen cada palabra mientras leen. Pídales que rodeen con un círculo las palabras que no conozcan. Discuta las palabras con sus compañeros.
Pida a los estudiantes que lean la historia con sus compañeros y que señalen cada palabra mientras leen. Invite a los estudiantes a rodear con un círculo las palabras que no conozcan y a comentarlas con sus compañeros.
•
•
Comparta con sus compañeros de qué trataba la historia.
•
Explique a sus compañeros de qué trataba el pasaje.
•
Comparta con sus compañeros lo que sabe sobre la sala de juegos.
•
Explique a sus compañeros cada uno de los puntos del plano de coordenadas.
•
Pregunte a su compañero: "«¿Qué lugares te gusta visitar en tu barrio?»."
•
Explique a sus compañeros cómo determinar la distancia entre dos puntos de un plano de coordenadas.
•
Lea cada enunciado y comente sus respuestas con sus compañeros.
«¿A dónde va Niko primero?». ◦
•
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente secuencia de oraciones: Niko va a _______.
«¿Has estado antes en un salón recreativo?». ◦
Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente marco oracional: Yo _____ he estado antes en un salón recreativo.
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◦
Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente marco de frases: Me gusta visitar el _______ de mi barrio.
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GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
LEER Y HABLAR (CONTINUACIÓN)
PRINCIPIANTE •
«¿Adónde va Niko después de ir a los recreativos? ¿Por qué?». ◦
•
«¿Cuál es tu merienda favorita?». ◦
• • •
• • • •
• • •
Eco-lee la primera afirmación. Señala la respuesta en la historia antes de marcar la afirmación como verdadera o falsa.
•
Lee la segunda afirmación. Señala la respuesta en la historia antes de marcar la afirmación como verdadera o falsa.
•
Lee la tercera afirmación. Señala la información útil de la historia.
•
Explica a tus compañeros cómo determinarías el número de manzanas que hay entre la sala de juegos y la casa de Niko.
•
Rodea con un círculo verdadero o falso.
•
Coro: lee la cuarta afirmación. Muestra a tus compañeros información útil de la historia.
•
Explica a tus compañeros cómo determinarías el número de manzanas a las que se encuentra la sala de máquinas recreativas de la tienda de comestibles.
•
Encierra en un círculo verdadero o falso.
•
Compañero-lee el quinto enunciado. Explica a tus compañeros qué fórmula utilizarías para hallar la longitud que falta. Explique cómo encontrará las respuestas. Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente secuencia de oraciones cuando compartan su estrategia con sus compañeros:
◦
Encontraré la respuesta en _____.
Coro: lea la sexta afirmación. Discuta con sus compañeros para decidir si es verdadero o falso.
•
Discuta con sus compañeros cómo rellenar los espacios en blanco para resolver el teorema de Pitágoras, y luego resuelva. ◦
Pida a los estudiantes que usen la siguiente raíz de oración: La forma que se forma es un ________.
Haga que los estudiantes usen las siguientes estructuras de oraciones: • Para el primer espacio en blanco, usaremos el __________ de ______ a ____.
Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente marco oracional: Es un _______ triángulo.
Haga que los estudiantes usen el siguiente marco de oración: Para hallar la distancia desde la tienda de comestibles hasta la casa de Niko, yo ___.
◦
•
• Para el segundo espacio en blanco, usaremos el __________ de ______ a ____.
«¿Qué puedes hacer para encontrar la distancia desde la tienda de comestibles hasta la casa de Niko? ¿Qué fórmula podrías utilizar?». Encierra en un círculo la fórmula correcta que usarías. ◦
•
•
«¿Qué tipo de triángulo es?». ◦
•
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente raíz de oración: Encontraría la distancia de la sala de juegos a la casa de Niko mediante _____.
Encuentra la distancia. Encierre en un círculo su respuesta. Lea el cuarto enunciado antes de que los estudiantes respondan. Encuentra la distancia. Rodea con un círculo tu respuesta. Lea el quinto enunciado antes de que los estudiantes respondan. Dibuje una línea desde la casa de Niko hasta la sala de juegos. Dibuje una línea desde la sala de juegos hasta la tienda de comestibles. Dibuje una línea desde la tienda de comestibles hasta la casa de Niko. «¿Qué forma se forma?». ◦
•
Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente marco oracional: Mi tentempié favorito es ________.
Pida a los estudiantes que rodeen con un círculo sus respuestas para las dos primeras afirmaciones. Haga eco de la tercera afirmación antes de pedir a los estudiantes que respondan. «¿Cómo encontrarías la distancia de la sala de máquinas recreativas desde la casa de Niko utilizando el plano de coordenadas?». ◦
• •
Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente marco de frases: Niko va a la _______ a por un _______.
INTERMEDIO
• El tercer espacio en blanco nos dirá el __________ de ______ a ____. •
Coro-lea la última afirmación. Discute con tus compañeros para decidir si es verdadera o falsa.
Coral-lea el siguiente enunciado. «¿Qué letra de la fórmula representaría la distancia desde la tienda de comestibles hasta la casa de Niko?». Encierra en un círculo la letra correcta. Ahora completa la ecuación para encontrar el lado que falta. Encuentra la distancia desde la tienda de comestibles hasta la casa de Niko. Encierra en un círculo tu respuesta.
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 287
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1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCRIBIR PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Disponga de tarjetas de vocabulario con imágenes para los estudiantes. Lea y comente las palabras del banco de palabras. Defina y ponga ejemplos según las necesidades de los estudiantes. Discuta las siguientes preguntas mientras lee:
Ponga a disposición de los estudiantes tarjetas de vocabulario con imágenes. Coro: lee y comenta las palabras del banco de palabras. Defina y proporcione ejemplos según las necesidades de los estudiantes. Discuta las siguientes preguntas mientras lee:
Ponga a disposición de los estudiantes las tarjetas de vocabulario con imágenes. Deben leer en coro las palabras del banco de palabras con sus compañeros. Pídales que comenten el significado de las palabras con sus compañeros. Defina y proporcione ejemplos según las necesidades de los estudiantes. Mientras leen, pídales que discutan las siguientes preguntas con sus compañeros:
•
•
Eco-lectura de las instrucciones.
•
Discuta las partes de un triángulo rectángulo con los estudiantes: ◦
«¿Qué valor tiene la longitud de la hipotenusa?».
◦
«¿Cómo sabes que es la hipotenusa?».
◦
Señala los catetos del triángulo.
◦
«¿Cómo sabes que son los catetos?».
◦
«¿Cuál es la fórmula del teorema de Pitágoras?».
Eco-lea cada enunciado y pida a los estudiantes que consulten el banco de palabras antes de escribir su respuesta.
•
Haga que los estudiantes discutan cada palabra del banco de palabras con sus compañeros.
•
Doble la mitad inferior del papel para que sólo se vea el banco de palabras. Por turnos, señale cada palabra del banco de palabras y explíquela a sus compañeros.
•
Tome nota de los estudiantes que proporcionan explicaciones matemáticamente precisas de las palabras del banco de palabras.
•
A continuación, señale una palabra del banco de palabras cuyo significado necesite aclarar.
•
En función de los estudiantes que haya oído dar explicaciones matemáticamente precisas, pida a los estudiantes que ayuden a aclarar las palabras seleccionadas a sus compañeros: Veo que nos vendría bien una aclaración sobre la palabra ___. (Nombre del estudiante) pudo dar una explicación clara sobre la palabra ________ a su compañero. _____, «¿podrías compartir tu explicación?».
•
•
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•
Pídales que discutan las palabras del banco de palabras con sus compañeros.
•
Discutan las palabras del banco de palabras con sus compañeros. Cada persona debe dar una explicación o descripción de una palabra y luego pedir a su compañero que parafrasee el significado de la palabra. Continúa este proceso hasta que hayas discutido todas las palabras del banco de palabras.
•
Lee las instrucciones con tus compañeros. «¿Qué plan seguirás para asegurarte de que utilizas el mayor número posible de palabras del banco de palabras en tu redacción?». Si no estás seguro de cómo utilizar una palabra, enciérrala en un círculo en el banco de palabras. Los estudiantes no deben empezar a escribir todavía.
•
Presta atención a los estudiantes que tengan dificultades para crear un plan o que encierren palabras en un círculo en el banco de palabras. Ofrezca apoyo y permita que los estudiantes que hayan podido crear un plan lo compartan con la clase.
Lee los enunciados con tus compañeros y utiliza las palabras del banco de palabras para completar cada enunciado. Tenga en cuenta que algunas palabras pueden utilizarse más de una vez o no utilizarse en absoluto. Recuerde a los estudiantes que consulten el banco de palabras cuando rellenen los espacios en blanco.
◦
Veo que varios de nosotros necesitamos aclaraciones sobre la palabra _______. Diríjase a alguien cercano que no sea su compañero y pídale que aclare o defina la palabra _______.
◦
Veo que varios de nosotros necesitamos ayuda para diseñar un plan que utilice palabras del banco de palabras. Acércate a alguien que no sea tu compañero y pídele que explique cómo piensa utilizar el mayor número posible de palabras del banco de palabras.
•
Pide a los estudiantes que escriban sus explicaciones una vez que se hayan aclarado todas las palabras y se hayan compartido los planes.
•
Ahora, escribid vuestras explicaciones utilizando al menos cinco de las palabras del banco de palabras. Cuando terminen de escribir, compártanlas con sus compañeros.
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1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO PALABRAS QUE HAY QUE CONOCER
VOCABULARIO ILUSTRADO Figuras congruentes
Teorema de pitágoras
Número racional
Figuras del mismo tamaño y forma
Teorema que establece que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados de un triángulo rectángulo; a² + b² = c²
Número que puede escribirse como una fracción de los números enteros a/b, donde b ≠ 0; número que se puede escribir como una razón con dos números enteros
2
11
12
Ángulo recto
Triángulo rectángulo
Figuras similares
Ángulo que mide 90°
Triángulo con un ángulo de 90º (triángulo recto)
Dos o más figuras que tienen la misma forma, pero diferentes tamaños
13
Raíz cuadrada
14
Recíproco del teorema de Pitágoras
Distancia
Teorema que establece que si el cuadrado de la longitud del lado mayor de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo; si c² = a² + b², entonces es un triángulo rectángulo.
Número que, cuando se multiplica por sí mismo, produce el número dado 16
15
Medida de la longitud entre dos puntos 3
4
Exponente
Altura
Hipotenusa
Notación matemática que indica el número de veces que el número base se multiplica por sí mismo; también llamado potencia
Distancia perpendicular de un vértice al lado opuesto de una figura
Lado más largo del triángulo rectángulo, opuesto al ángulo recto
5
6
7
Número irracional
Lado
Cuadrado perfecto
Número decimal que no puede expresarse como fracción, no es imaginario y no se repite ni termina
Cualquiera de los dos lados en un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto y son opuestos a los ángulos agudos
Número entero que es el resultado de otro número entero por sí mismo
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9
10
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GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ DESARROLLAR LA FLUIDEZ CONCEPTUAL
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: TEOREMA DE PITÁGORAS ¡DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes se turnan para sacar tarjetas de problemas de un tarro y adivinar la respuesta.
MATERIALES IMPRESOS • 1 hoja de instrucciones de ¡Bum! (por pareja) • 1 juego de ¡Bum! ¡(por pareja) REUTILIZABLES • 1 tarro u otro recipiente (por pareja) • 1 cronómetro (por maestro)
PREPARACIÓN
• Haga copias a doble cara de las tarjetas de ¡Bum! Si lo desea, puedes imprimirlas en cartulina para que duren más.
Hoja de instrucciones ¡Bum! Este juega es para jugar en pareja. Necesitarás 1 conjunto de tarjetas del juego ¡Bum! (por pareja) 1 frasco u otro recipiente (por par) Instrucciones del juego 1. Dobla las tarjetas por la mitad y colócalas en el frasco. 2. El jugador 1 saca una tarjeta del frasco y se la entrega al jugador 2. 3. El jugador 2 leerá la pregunta en voz alta para que la resuelva el jugador 1. 4. El jugador 2 puede verificar la respuesta del jugador 1 en la parte inferior de la tarjeta. 5. Si un jugador acierta un problema, se queda con la tarjeta. Si son incorrectos, el otro jugador se queda con la tarjeta. 6. Nota: Si la tarjeta contiene una imagen, como un gráfico o una recta numérica, el jugador que hace la pregunta puede mostrar la imagen mientras cubre la respuesta con la mano. 7. Si un jugador saca una tarjeta de ¡Bum! ilustrada, todas las tarjetas de ese jugador se devuelven al frasco. 8. Los jugadores toman turnos para sacar tarjetas del frasco y responder preguntas hasta que se agote el tiempo. 9. Los jugadores deben intentar obtener la mayor cantidad de tarjetas como puedan antes de que se agote el tiempo. 10. El jugador que termine con más tarjetas ganará el juego.
• Recorte las tarjetas individuales. • Ponga a los estudiantes en parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ HOJA DE INSTRUCCIONES
1. Muestre a los estudiantes cómo doblar las tarjetas y coloquerlas en el frasco. 2. Explique cómo jugar con un estudiante. a.
El jugador 1 saca una tarjeta del frasco y se la entrega al jugador 2.
b.
El jugador 2 leerá la pregunta en voz alta para que el jugador 1 la resuelva.
c.
El jugador 2 puede comprobar la respuesta del jugador 1 en la parte inferior de la tarjeta.
d.
Si un jugador acierta un problema, se queda con la tarjeta. ¡Si es incorrecta, el otro jugador se queda con la tarjeta!
e.
Nota: Si la tarjeta contiene una imagen, como un gráfico o una recta numérica, el jugador que hace la pregunta puede mostrar la imagen mientras tapa la respuesta con la mano.
f.
Si un jugador saca una tarjeta ¡Bum! todas las cartas de ese jugador vuelven al tarro.
g.
Se turnan para sacar cartas del tarro y responder a las preguntas hasta que se acabe el tiempo.
h.
Deben intentar conseguir tantas cartas como puedan antes de que se acabe el tiempo.
i.
El jugador con más cartas gana.
3. Establezca un límite de tiempo. Cuando se acabe, ganará el estudiante que tenga más tarjetas. 4. Distribuya los materiales e indique a los estudiantes que comiencen cuando empiece el cronómetro. 5. Supervise a los estudiantes para asegurarse de que resuelven los problemas correctamente.
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1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS Pythagorean Theorem
ELABORAR: REVISIÓN EN ESPIRAL REPASAR CONCEPTOS PREVIOS
El juego final
REVISIÓN EN ESPIRAL: EL JUEGO FINAL
¿Quién ganará el juego de campeonato hoy? Ha estado en la mente de todos durante la última semana. Ambos equipos han trabajado muy duro para llegar a este juego. Los Dragones están 12-1, mientras que los Espartanos invictos están 13-0. Los jugadores trabajan noche y día en los entrenamientos para mejorar aún más. Los entrenadores elaboran estrategias para hacer las mejores jugadas para su equipo. ¡Va a ser un gran juego! El juego comenzó con cada equipo en la ejecución de sus propias jugadas a la perfección. Los Espartanos tuvieron 4 tiros de 3 puntos seguidos. Los Dragones regresaron con algunos contraataques. Los entrenadores de los Espartanos hicieron jugadas que los Dragones no pudieron defender. Dos minutos para el final del partido, el marcador estaba empatado. La defensa de los Espartanos era tan fuerte que a los Dragones les costaba anotar. Se pasaban el balón por todos lados. El defensa de los Espartanos robó el balón y corrió por la cancha. Él hizo un movimiento en zigzag alrededor de los jugadores y anotó cuando sonó la bocina. ¡Los Espartanos ganan por 2!
DESCRIPCIÓN Los estudiantes repasan el contenido previo o actual del grado para ayudar a apoyar su trabajo en el En este Alcance y fortalecer las habilidades necesarias para alcances posteriores.
PREPARACIÓN 1
Pythagorean Theorem
1.
3.
Los Espartanos realizaron una jugada que puso a 4 de los jugadores en forma de trapecio. La jugada se llamaba TRAMPA. En la siguiente mitad, los Espartanos hicieron la misma jugada, pero fue un reflejo de TRAMPA. Si el ángulo en la posición M era de 47°, ¿cuál sería la medida del ángulo en la posición reflejada de M?
2.
Los jugadores de los Espartanos se pasaban el balón como profesionales. El entrenador dibujó un diagrama de la forma que crearon los pases. El entrenador notó que su equipo lo volvió a hacer más tarde, pero en un lugar diferente. Encierra con un círculo la(s) transformación(es) que describen lo que sucedió con la primera figura para crear la segunda figura.
4.
2.ª
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada uno.
Los Dragones ejecutaron una defensa de zona que se muestra a continuación. Dibuje la zona defensiva rotada 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj.
2. Anime a los estudiantes a tratar de responder a las preguntas de forma independiente sin utilizar recursos externos para ver lo que saben. Invite a los estudiantes a anotar ideas o fragmentos que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas.
El club de matemáticas Dragón veía el partido. Vieron al base driblar el balón en un triángulo isósceles. TJ le preguntó a Jaxon cuál era la medida del ángulo exterior d de ese triángulo.
Reflexión Rotación Traslación Dilatación
1.ª 2
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno.
3. Utilice las preguntas de repaso en espiral como calentamiento en clase, o envíelas a casa como deberes. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos. 4. Consulte la sección «Revisión en espiral centrada en la pregunta» para evaluar los conocimientos de contenido de los estudiantes o su necesidad de una mayor intervención. Si es necesario repasar más, utilice los Constructores de fluidez en los alcances apropiados. 5. Capstone incluye una parte del En este Alcance para que los estudiantes vean la conexión y relevancia de su aprendizaje previo con el En este Alcance.
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1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS
Pythagorean Theorem
¿Qué tan grande es la pantalla de tu televisor?
ANÁLISIS DE DATOS
CIENCIA DE DATOS La ciencia de datos consiste en un breve debate en clase sobre un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. La parte I incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los estudiantes en contexto.
DESCRIPCIÓN
1
Los estudiantes analizan, interpretan y generan conjuntos de datos, además de responder a preguntas basadas en los datos.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 conjunto de datos (por clase) REUTILIZABLES
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase)
CONJUNTO DE DATOS
PARTE II 1. Repasa el teorema de Pitágoras y escribe lo que los estudiantes recuerden en el papel milimetrado. 2. Discuta las siguientes preguntas: a.
«¿Cuál es la altura de la pantalla de televisión de 50"?». 502 - 43,62 = b2, por lo que 2,500 - 1,900.96 = 599.04. _ b2 = 599.04, por lo que √599.04 = 24,48".
b.
«¿Cómo se puede usar el teorema de Pitágoras para determinar la altura de una pantalla de televisión?». El teorema de Pitágoras se puede utilizar para hallar la altura de la pantalla de televisión elevando al cuadrado el tamaño de la pantalla desde una esquina hasta la esquina opuesta (el lado más largo de un triángulo) y restando el cuadrado de la longitud conocida del lado (la parte inferior de la pantalla).
c.
«¿Por qué alguien compraría una pantalla de televisión de 70" en lugar de una de 80"?». Las respuestas pueden variar. Alguien podría querer una pantalla de televisión de 70" en lugar de una de 80" si el soporte de su televisor no es lo suficientemente grande como para sostener la pantalla más grande.
d.
«¿Cuál es la diferencia de altura entre una pantalla de televisión de 40" y una de 50"?». 402 - 34.92 = b2, por lo que 1,600 – 1,218.01 = _ b2. b2 = 381.99, por lo que √381.99 = 19,54". 24.48 - 19.54 = 4.94
e.
Hay una diferencia de 4.94" entre la pantalla de 40" y la de 50".
f.
Según estos datos, «¿cuál sería el tamaño de la pantalla de televisión si la anchura de un televisor fuera de 37.5" y la altura de 21.1"?». 37,52 + 21,12 = c2, por lo que 1,406.25 + 445.21 = c2. _ c2 = 1.851.46, por lo que 1,851.46 = 43.03". La pantalla del televisor mediría 43.03".
• 1 marcador de borrado en seco (por clase) CONSUMIBLES
• 1 trozo de papel milimetrado (por clase)
PREPARACIÓN
• Prepárese para proyectar el conjunto de datos en la clase. • Reúna un trozo de papel milimetrado y un marcador de borrado en seco.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Proyecte el conjunto de datos y prepárese para anotar las observaciones de los estudiantes. 2. Plantee las siguientes preguntas: a. «¿Qué observas en este conjunto de datos?». b. «¿Qué representa este conjunto de datos?». c. «¿Qué categorías se incluyen en este conjunto de datos?». d. «¿Por qué podría ser útil conocer la medida diagonal, la anchura o la altura de la pantalla de un televisor?». e. «¿Qué tiendas de tu zona venden televisores con tamaños de pantalla adecuados para ti?».
√
f. «¿Qué preguntas tiene sobre los datos?».
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GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS Pythagorean Theorem
EVALUACIÓN DE HABILIDADES
Pythagorean Theorem How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Explain a proof of the Pythagorean Theorem and its converse.
Apply the Pythagorean Theorem to determine unknown side lengths in right triangles in real-world and mathematical problems in two and three dimensions. Apply the Pythagorean Theorem to find the distance between two points in a coordinate system.
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN
Notes and Feedback
DESCRIPCIÓN Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede utilizarse como evaluación formativa para los maestros y como autoevaluación para los estudiantes.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 folleto del maestro (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del maestro» y un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
1
Pythagorean Theorem
Standards for Mathematical Practice
Notes and Feedback
Make sense of problems and persevere in solving them Reason abstractly and quantitatively
Model with mathematics Use appropriate tools strategically
Look for and make use of structure Look for and express regularity in repeated reasoning
5. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el «Folleto del maestro».
Consider these reflection questions in this scope. ●
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them?
●
What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
2
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1. Distribuya un «Folleto del estudiante» a cada uno. 2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Explorar» y «Explicar» del alcance, evalúe formativamente su progreso tomando notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje.
Attend to precision
MATERIAL PARA EL MAESTRO
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
Construct viable arguments and critique the reasoning of others
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EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE OBSERVACIÓN
6. Las notas anecdóticas proporcionadas en el «Folleto del maestro» pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares. 7. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la «Guía de instrucción andamiada» en la sección «Inicio» de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
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GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
EVALUAR: MAPA DE CALOR ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
MAPA DE CALOR DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
MATERIALES
• 1 mapa de calor (por estudiante)
Pythagorean Theorem
Consulta tus respuestas en la tabla «Prueba de habilidades». Colorea de verde los cuadros de preguntas correctas y colorea según la siguiente clave los cuadros de preguntas incorrectas. Azul: Error de cálculo
Naranja: Explicación
Rojo: Error de concepto
Prueba de habilidades Estándares
Preguntas
Explica una demostración del teorema de Pitágoras y su inversa.
Aplica el teorema de Pitágoras para determinar las longitudes desconocidas de los lados de triángulos rectángulos en problemas matemáticos y de la vida real en dos y tres dimensiones.
1
2
3
4
5
6
7
8
• 1 lápiz de color rojo (por estudiante) • 1 lápiz de color azul (por estudiante) • 1 lápiz de color naranja (por estudiante)
Aplica el teorema de Pitágoras para encontrar la distancia entre dos puntos en un sistema de coordenadas.
9
10
PREPARACIÓN
• Determine si los estudiantes analizarán su «Prueba de habilidades», la «Evaluación basada en estándares», o ambas.
1
Pythagorean Theorem
• Imprima un «Mapa de calor» para cada estudiante. • Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
Preguntas de reflexión 1. ¿Con qué habilidad te has sentido más seguro? ¿Por qué?
2. ¿Qué habilidad te ha parecido más desafiante? ¿Por qué?
3. ¿Qué tipo de error cometiste con más frecuencia?
4. ¿Cómo puedes evitar esos errores en el futuro?
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Dé un «Mapa de calor» a cada estudiante junto con lápices de colores rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s). 2. Los estudiantes utilizan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el «Mapa de calor». Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los estudiantes colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, los estudiantes colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, los estudiantes colorean el cuadro correspondiente de rojo. 3. Anímelos a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a utilizar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada. 4. Consulte la «Guía de instrucción andamiada» que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
2
Pythagorean Theorem
Consulta tus respuestas en la tabla «Prueba de habilidades». Colorea de verde los cuadros de preguntas correctas y colorea según la siguiente clave los cuadros de preguntas incorrectas. Azul: Error de cálculo
Naranja: Explicación
Rojo: Error de concepto
Evaluación basada en estándares Estándares
Explica una demostración del teorema de Pitágoras y su inversa.
Aplica el teorema de Pitágoras para determinar las longitudes desconocidas de los lados de triángulos rectángulos en problemas matemáticos y de la vida real en dos y tres dimensiones.
Aplica el teorema de Pitágoras para encontrar la distancia entre dos puntos en un sistema de coordenadas.
Preguntas
3
6
1
2
8
9
4b
7
4a
5
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MAPA DE CALOR
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GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
INTERVENIR: REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES REFORZAR Y VOLVER A ENSEÑAR
REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para intervención.
1. Dé una copia de la «Revisión rápida» a cada estudiante. 2. Cada uno debe completarla de forma independiente. 3. Use la rúbrica de habilidades al final de la «Revisión rápida» para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional.
MATERIALES IMPRESO
• 1 revisión rápida (por estudiante)
4. Distribuya una copia del «Repaso» a cada uno.
• 1 repaso (por estudiante)
5. Cada estudiante debe completar el «Repaso» como actividad de intervención o de forma independiente.
• 1 revisión general (por estudiante) • 1 lista de verificación para el maestro (por maestro)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de la «Revisión rápida», el «Repaso» y la «Revisión general» para cada estudiante. • Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar el «Repaso». • Si lo desea, imprima un ejemplo del «Esquema de anclaje» de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que usen la «Libreta interactiva» como recurso. • Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayudas suplementarias para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
Pythagorean Theorem
6. Distribuya una copia de la «Revisión general» a cada uno. 7. Cada estudiante debe completarla de forma independiente. 8. Analice los resultados de la «Revisión general» al usar la «Lista de verificación para el maestro» para identificar quienes necesitan un repaso adicional y quienes han alcanzado el dominio de los conceptos.
Pythagorean Theorem
6.
Revisión
a. Si lo desea, reúna a los estudiantes en pequeños grupos para trabajar en las destrezas de repaso. Utilice el «Repaso» como ayuda para la reenseñanza.
Determina la longitud de la medida desconocida.
Usa el teorema de Pitágoras para determinar la distancia más corta entre los dos puntos de la cuadrícula de coordenadas. Redondea al décimo más cercano. 9.
Usa el teorema de Pitágoras para determinar si las longitudes de los lados formarán un triángulo rectángulo. Longitudes de los lados
a2 + b2
c2
¿Es a2 + b2 = c2?
Pythagorean Theorem
Distancia horizontal = _______ unidades Distancia vertical = ________ unidades a2 + b2 = c2
¿Triángulo rectángulo?
____2 + ____2 = ____2 1.
8, 14, 17
2.
20, 99, 101
7.
Se muestra una pirámide cuadrada. ¿Cuál es su altura inclinada al décimo más cercano si su altura es de 30 mm?
_______ + _______ = _______ ________ = ________ c = __________
Cada conjunto de números de las preguntas 3 y 4 representa las longitudes de los lados de un triángulo. Encierra con un círculo el conjunto de números que forman un triángulo rectángulo. Muestra tu trabajo. 3.
La distancia entre el punto A y el punto B: _____________
48, 55, 72
10. Distancia horizontal = _______ unidades 8.
4.
15, 36, 39
El prisma rectangular tiene una altura de 18 cm. La base del prisma tiene una longitud diagonal de 11 cm. ¿Qué longitud tiene la diagonal que va de la esquina superior izquierda a la esquina inferior derecha del prisma? Redondea al décimo más cercano.
Distancia vertical = ________ unidades a2 + b2 = c2 2
____ + ____2 = ____2 5.
¿Cuál es la distancia más corta entre la casa de Jamal y la arcada?
_______ + _______ = _______ ________ = ________ c = __________ La distancia entre el punto A y el punto B: _____________
1
2
3
EVALUACIÓN DE CONTROL
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GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
ACELERACIÓN: ¿QUÉ PREFIERES? Pythagorean Theorem
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
¿QUÉ PREFIERES?: RAMPA PARA MONOPATÍN DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
Skateboard Ramp Use mathematical reasoning and creativity to justify your answer to the Would You Rather question. Anya is building a new skateboard ramp in her backyard. There are two options for the design of the ramp, and both are in the shape of a right triangle. Option 1 has one piece that measures 6 feet in length, and the other piece measures 8 feet in length. Option 2 has one piece that measures 12 feet in length, and the other piece measures 15 feet in length. Would you rather build Option 1 or Option 2? Justify your reasoning with mathematics. Solve using the Pythagorean theorem.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 rúbrica (por maestro)
? feet
15 feet ? feet
6 feet
8 feet
12 feet
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno. • Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a mirar sus folletos de «Explorar» si necesitan repasar habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros.
1
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
4. Utilice la rúbrica proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
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GRADO 8: TEOREMA DE PITÁGORAS
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Pythagorean Theorem
OPCIONES PARA EL APRENDIZAJE CONTINUO
TABLERO DE OPCIONES
Teorema de Pitágoras Selecciona una o más actividades de extensión de la siguiente tabla.
Conexión profesional
Matemáticos en primer plano
Investiga la profesión de arquitectura. La investigación debe responder las preguntas proporcionadas. Crea una presentación para compartir la investigación con tu clase.
Investiga el trabajo de Pitágoras. Crea un póster informativo, un diorama o un discurso para presentar el trabajo de este matemático relacionado con el teorema de Pitágoras.
Conexión con las ciencias
Crear algo nuevo
Arquitecto
Travesía por el océano Utilizar el teorema de Pitágoras para determinar medidas es una habilidad muy útil en ciencias. Completa la actividad para aplicar tu comprensión del uso del teorema de Pitágoras.
Los estudiantes explorarán las conexiones con el mundo real y las aplicaciones del contenido matemático a través de interacciones con actividades atractivas.
Pitágoras
MATERIALES IMPRESO
• 1 tablero de opciones (por estudiante)
Arte pitagórico
• 1 juego de hojas de actividades (por estudiante)
Crea tu propio trabajo de arte al usar triángulos rectángulos para demostrar el teorema de Pitágoras.
Conexión con el arte
Analogías
Revisión de arte
Analogía desafiante
Muchos artistas han usado sus obras de arte para demostrar el teorema de Pitágoras. Completa esta actividad para comprender la influencia que Pitágoras ha tenido en el arte.
DESCRIPCIÓN
• 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante) REUTILIZABLE
• Tecnología (si corresponde)
Una analogía es un tipo de comparación. Completa la actividad de analogías al usar tu conocimiento del teorema de Pitágoras.
PREPARACIÓN
• Imprima un «Tablero de opciones» y un juego de hojas de actividades para cada estudiante.
1
TABLERO DE OPCIONES
• Imprima una «Autoevaluación del tablero» para cada estudiante. • Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» a cada estudiante. 2. Dé tiempo a los estudiantes para examinar el «Tablero de opciones» y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anímelos a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del tablero, haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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GRADO 8 <<SCOPE NAME>>
GRADO 8
VOLUMEN ACTIVIDADES DE EXPLORAR EXPLORACIÓN 1: CILINDROS
ESTÁNDARES CLAVE Resolver problemas matemáticos y de la vida real relacionados con el volumen de cilindros, conos y esferas. • Conocer las fórmulas de los volúmenes de conos, cilindros y esferas y utilizarlas para resolver problemas matemáticos o de la vida real.
ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: NO PERTENECE Los estudiantes se dedicarán a identificar qué prisma rectangular no pertenece a un grupo determinado para descubrir y abordar conceptos erróneos sobre el volumen. • Los estudiantes reciben un folleto con grupos de cuatro opciones, identifican la que no encaja y expliquen su razonamiento. • La actividad se centra en la comprensión de la aplicación correcta de la fórmula del volumen para prismas rectangulares. • Los maestros facilitan debates para aclarar conceptos erróneos, como confundir superficie con volumen o calcular incorrectamente el volumen. • Si es necesario, se proporciona apoyo básico adicional para reforzar la comprensión de los estudiantes antes de seguir avanzando. CAPTAR INTERÉS Los estudiantes exploran el concepto de volumen aplicando fórmulas para determinar el volumen de cilindros, conos y esferas. • Se presenta a los estudiantes una situación real relacionada con una escultura y se les pide que calculen la cantidad de arcilla necesaria.
Los estudiantes exploran y aplican la fórmula para el volumen de un cilindro a través de ejercicios prácticos y colaborativos. • Los estudiantes trabajan en parejas para construir un cilindro utilizando una red y cubos centimétricos, descubriendo cómo calcular su volumen relacionándolo con el volumen de un prisma rectangular. • Resuelven problemas matemáticos y del mundo real relacionados con el radio, la base, la altura y el volumen de los cilindros, utilizando preguntas guía y conversaciones estructuradas para profundizar en la comprensión. • Los estudiantes participan en una charla de matemáticas para compartir observaciones y estrategias, mejorando su comprensión de la fórmula del volumen y sus aplicaciones. • La actividad concluye con un «Boleto de salida» y una reflexión para evaluar la comprensión y reforzar el aprendizaje. EXPLORACIÓN 2: CONOS Los estudiantes exploran el concepto de volumen descubriendo la fórmula del volumen de un cono y aplicándola para resolver problemas. • Los estudiantes trabajan en grupos para crear modelos físicos de conos y cilindros utilizando redes, arroz y otros materiales para comprender la relación entre sus volúmenes. • A través de preguntas guiadas y experimentos prácticos, los estudiantes obtienen la fórmula para el volumen de un cono y la comparan con el volumen de un cilindro. • Los estudiantes aplican sus conocimientos resolviendo problemas del mundo real utilizando la fórmula del volumen, mejorando sus habilidades de resolución de problemas y razonamiento matemático. • La actividad concluye con una charla de matemáticas y una reflexión, permitiendo a los estudiantes compartir sus ideas y reforzar su aprendizaje. EXPLORACIÓN 3: ESFERAS
• Utilizan ayudas visuales y debates en clase para identificar conceptos matemáticos y estrategias de resolución de problemas.
Los estudiantes exploran el concepto de volumen centrándose en esferas y aplicando fórmulas matemáticas para resolver problemas.
• Después de completar las actividades de «Explorar», los estudiantes vuelven al escenario para aplicar sus conocimientos recién adquiridos para calcular volúmenes utilizando fórmulas específicas.
• Los estudiantes trabajan en grupos para descubrir la fórmula del volumen de una esfera utilizando arroz y formas geométricas, comparándolo con el volumen de conos y cilindros.
• La actividad fomenta el pensamiento crítico haciendo que los estudiantes experimenten cambiando las dimensiones y observando los efectos sobre el volumen.
• Realizan actividades prácticas para llenar una esfera con arroz y relacionarlo con el volumen de un cono y un cilindro, mejorando su comprensión mediante preguntas guiadas. • Los estudiantes aplican la fórmula del volumen de las esferas para resolver problemas del mundo real, utilizando «Tarjetas Exprímelo» para representar y calcular el volumen de frutas esféricas. • La lección concluye con una charla de matemáticas para discutir observaciones, estrategias y la relación entre los volúmenes de diferentes formas geométricas.
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GRADO 8: VOLUMEN <<SCOPE NAME>> GRADO 8
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES INVESTIGACIONES CILÍNDRICAS
FIGURAS, NÚMEROS Y EXPRESIONES
CONCEPTOS CLAVE
Los estudiantes exploran el volumen de los cilindros resolviendo problemas del mundo real. Utilizando la fórmula del volumen de un cilindro, V = 𝛑r2h, los estudiantes calculan el volumen de objetos cilíndricos, como latas, aplicando las relaciones entre el área de la base (un círculo) y la altura. Trabajan con modelos, como una red cilíndrica, y utilizan herramientas como el arroz para medir físicamente y visualizar cómo se distribuye el volumen dentro de las formas cilíndricas. Este enfoque práctico ayuda a los estudiantes a comprender cómo la estructura de un cilindro influye en el cálculo de su volumen, reforzando la conexión entre el volumen, la superficie y las propiedades geométricas de la figura.
Los estudiantes comparan formas, centrándose especialmente en la relación entre las formas circulares y los prismas. Analizando el volumen de cilindros, conos y esferas, exploran las conexiones entre exponentes enteros y cálculos de volumen. Por ejemplo, los estudiantes utilizan la fórmula para el volumen de un cilindro, V = 𝛑r2h, para relacionar el área de la base circular con la altura del cilindro, reforzando así cómo se utilizan los exponentes en los cálculos de volumen del mundo real. Esta comprensión se amplía a la comparación del volumen de varias formas, ayudando a los estudiantes a reconocer patrones en cómo las dimensiones afectan al volumen tanto en formas circulares como en prismas..
PREGUNTAS FUNDAMENTALES
• Puedo derivar la fórmula de volumen para conos, cilindros y esferas.
• Define las fórmulas de volumen para conos, cilindros y esferas.
• Puedo usar las fórmulas de volumen para conos, cilindros y esferas para resolver problemas matemáticos y del mundo real.
• «¿Cuándo podrían utilizarse las operaciones inversas para resolver las piezas que faltan en un problema de volumen?».
• Puedo usar operaciones inversas para resolver diferentes variables (por ejemplo, volumen, altura, radio) dentro de las fórmulas de volumen para conos, cilindros y esferas.
• Describe el proceso de utilización de las fórmulas de volumen para conos, cilindros y esferas.
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GRADO 8: VOLUMEN
INICIO: CONTENIDO DE APOYO ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
CONTENIDO DE APOYO Resolver problemas matemáticos y de la vida real que involucren el volumen de cilindros, conos y esferas. • Conocer las fórmulas para los volúmenes de conos, cilindros y esferas y usarlas para resolver problemas matemáticos y de la vida real.
CONOCIMIENTOS PREVIOS En años anteriores, los estudiantes aprendieron sobre figuras tridimensionales y sus secciones transversales. Aprendieron la relación entre la figura tridimensional y la sección transversal bidimensional formada a partir de ella. También han aprendido el área de las figuras. Conocer el área de una figura ayudará a los estudiantes a recordar la fórmula del volumen de una figura en función de su base.
CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
• Los estudiantes deben asegurarse de que comprenden el volumen y no se limitan a introducir números en una fórmula. Tienen que desarrollar la idea de que representa llenar una cantidad específica de espacio. • Al calcular los volúmenes de los objetos, se utilizarán números irracionales en las fórmulas y las respuestas. Los estudiantes deben tener cuidado de no redondear demasiado pronto. • Los estudiantes deberán tener cuidado de no confundir elevar al cuadrado versus elevar al cubo un radio de acuerdo a fórmulas específicas.
EN ESTE ALCANCE En este alcance, los estudiantes se familiarizarán con los volúmenes de conos, cilindros y esferas y los utilizarán para resolver problemas matemáticos y del mundo real. Utilizarán el teorema de Pitágoras para encontrar la altura y la longitud de las figuras según sea necesario para completar las piezas que faltan en las fórmulas de volumen. Los estudiantes comprenderán cuándo utilizar radicales frente a decimales para representar la solución de las ecuaciones. TÉRMINOS CLAVE
• base: la superficie sobre la que se apoya un objeto sólido • cono: forma sólida (tridimensional) que tiene una base plana y circular unida a un punto (vértice) por un lado curvo • cubo: figura sólida con seis caras cuadradas congruentes • cilindro: forma sólida (tridimensional) que tiene dos bases planas, circulares y paralelas unidas por una superficie curva a una distancia fija
• hipotenusa: el lado más largo del triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto • longitud: la medida de un objeto de extremo a extremo; la distancia de un extremo al otro extremo de un objeto • cubo perfecto: un número entero que es el resultado de otro número entero multiplicado por sí mismo tres veces • cuadrado perfecto: un número entero que es el resultado de otro número entero multiplicado por sí mismo • prisma: figura tridimensional que tiene al menos un conjunto de caras (bases) congruentes y paralelas que son polígonos con paralelogramos como caras restantes • teorema de Pitágoras: teorema que establece que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados de un triángulo rectángulo; a2 + b2 = c2 • radio: la distancia desde el centro de un círculo o una esfera a cualquier punto situado en el círculo o la esfera • número racional: un número que puede escribirse a como una fracción de enteros __ b , donde b ≠ 0; un número que puede escribirse como un cociente utilizando dos enteros • esfera: una figura redonda tridimensional en la que cada punto de la superficie es equidistante del centro de la figura • raíz cuadrada: un número que, al multiplicarse por sí mismo, produce el número dado • figura tridimensional: un sólido que tiene tres dimensiones mensurables • volumen: la cantidad de espacio que ocupa un objeto; la cantidad medida de unidades cúbicas que caben dentro de una figura sólida • anchura: cuántas unidades de anchura tiene algo • Fórmulas para saber ◦ volumen de un cilindro: V = πr2h ◦ Teorema de Pitágoras: a2 + b2 = c2 ◦ volumen de un cono: V = __ 1 π r2h 3
◦ volumen de una esfera: V = __ 4 πr3 3
◦ volumen de un prisma: V = Bh
• notación decimal/forma decimal: un número que utiliza un punto decimal seguido de dígitos que muestran valores menores que uno • altura (figura 3D): la distancia vertical desde la parte superior de un objeto o figura hasta su base
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GRADO 8: VOLUMEN
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
APLICACIÓN DE PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes perseveran mientras descubren el volumen de un cilindro usando manipulativos y conocimiento previo de la fórmula de un prisma rectangular. Una vez encontrada, determinan si la fórmula cambia si el cilindro está de lado. • MP.2 Razonamiento abstracto y cuantitativo: Los estudiantes razonan abstracta y cuantitativamente mientras aplican lo que saben sobre la estructura de las formas para perseverar en la resolución de problemas desafiantes. • MP.3 Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros: Los estudiantes justifican por qué las unidades de volumen son unidades al cubo. Expliquen cómo se encuentran las unidades para una figura tridimensional. • MP.4 Representar con matemáticas: Los estudiantes encuentran el volumen de cilindros, conos y esferas que se encuentran en el mundo real. Encuentran el volumen de latas de fruta, de una bolsa de palomitas en forma de cono y de una pelota. • MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas: Los estudiantes usan redes para descubrir y comparar volúmenes de cilindros, conos y esferas y aplican su conocimiento de fórmulas de volumen encontradas para descubrir otras fórmulas de volumen usando redes y arroz. • MP.6 Atender a la precisión: Los estudiantes prestan atención a la precisión al calcular el volumen de conos, cilindros y esferas. Determinan con precisión el volumen en las unidades dadas. • MP.7 Buscan y utilizan estructuras: Los estudiantes hacen uso de la estructura mientras descomponen formas tridimensionales en figuras con las que están familiarizados. Utilizan las fórmulas de estos volúmenes para resolver problemas matemáticos. • MP.8 Buscar y expresar regularidades en razonamientos repetidos: Los estudiantes descubren las fórmulas de los volúmenes de cilindros, conos y esferas. No pierden de vista el objetivo de encontrar la fórmula correcta mientras descomponen la forma dada en formas de volúmenes conocidos. A continuación, los estudiantes son capaces de reconstruir la fórmula deseada utilizando lo que saben.
CONOS
CILINDROS
Los estudiantes descubrirán la fórmula del volumen de los conos. Sabrán cuándo reconocer un cono frente a una pirámide.
Los estudiantes descubrirán la fórmula del volumen de los cilindros. Podrán diferenciar entre la fórmula para un cono y un cilindro.
Ejemplo: «¿Cuál es el volumen de un cono con un radio de 6 cm y una altura de 13 cm?».
Ejemplo: «Charlie tiene que encontrar el volumen de la siguiente figura. «Qué fórmula debe utilizar?».
a. 468π cm3 b. 156π cm3 c. 26π cm3 d. 234π cm3 La respuesta correcta es la opción B. Los estudiantes 1 sabrán que la fórmula del volumen de un cono es V = __ πr2h. 3
Completando r = 6 y h = 13, los estudiantes encontrarán que 1 1 π • 62 • 13. Tras multiplicar __ • 62 • 13, los estudiantes V =__ 3 3 hallarán que V = 156π.
a. V = πr2h 1 b. V= __ πr2h 3
4 c. V = __ πr3 3
1 d. V = __ πr2h 2
La respuesta correcta es la opción A. Los estudiantes deben saber que el volumen general de un prisma es V = Bh donde B representa el área de la base del prisma. En esta pregunta, la base es un círculo, por lo tanto, el área es A = πr2. Rellenando esa área para B en la fórmula del volumen, encontrarán que el volumen de un cilindro es V = πr2h.
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GRADO 8: VOLUMEN
INICIO: CONTENIDO DE APOYO
ESFERAS
RESOLVER EL VOLUMEN
Los estudiantes descubrirán la fórmula del volumen de una esfera. Comprenderán la relación entre una esfera y un círculo.
Los estudiantes resolverán problemas del mundo real para determinar el volumen de conos, cilindros y esferas.
Ejemplo: «Determina el volumen aproximado del siguiente sólido. Usa π = 3.14».
Ejemplo: «A continuación se describen dos figuras sólidas. • Una figura es un cono con un diámetro de 12 pulg. y una altura de 6 pulg. • La otra figura es una esfera con un diámetro de 12 pulg. ¿Cuál es la diferencia entre los volúmenes en términos de π?». a. 288π en3 b. 72π en3 c. 216π en3 d. 1.728π en3
a. 524,000 cm3 b. 11,000 cm3 c. 4,200,000 cm3 d. 131,000 cm3 La respuesta correcta es la opción A. Los estudiantes 4 usarán la fórmula para una esfera V = __ πr3 para resolver 3 este problema. Primero tendrán que dividir el diámetro por la mitad para obtener 100 ÷ 2 = 50. A continuación, pueden sustituir r = 50 en la ecuación para obtener V 4 4 = __ π • 503, V = __ (3.14) • 503, V = 523,333.333..., 3 3 3 V=524,000 cm .
La respuesta correcta es la opción C. Los estudiantes sabrán primero que tanto las fórmulas para un cono como para una esfera requieren un radio en lugar de un diámetro. Como un radio es la mitad de un diámetro, el radio para ambas figuras es 12 ÷ 2 = 6. Una vez que lo sepan, podrán completar la fórmula de cada figura. 1 1 Cono: V = __ πr2h, V = __ π • 62 •6, V = 72π 3
3
4 4 πr3, V = __ Esfera: __ π •63, V = 288π 3 3 Al restar, 288π - 72 = 216π.
AVANCES Aunque los estudiantes acaban de aprender las fórmulas para los volúmenes de cilindros, conos y esferas, no entenderán completamente las expliqueciones de estas fórmulas hasta más adelante en el bachillerato. A medida que continúen trabajando en volúmenes, empezarán a determinar el volumen de sólidos que no son figuras geométricas tradicionales. Los descompondrán en varios sólidos que reconozcan para resolverlos. Estos progresarán a medida que los estudiantes utilicen otras tácticas algebraicas para determinar los porcentajes de llenado de estos volúmenes.
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GRADO 8: VOLUMEN
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
ANÁLISIS PROFUNDO DE LOS ESTÁNDARES
CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES Resolver problemas matemáticos y del mundo real que involucren el volumen de cilindros, conos y esferas. • Conocer las fórmulas para los volúmenes de conos, cilindros y esferas y usarlas para resolver problemas matemáticos y del mundo real.
ALINEACIÓN VERTICAL GRADO
ESTÁNDAR
6
Entender la resolución de una ecuación o desigualdad como un proceso de respuesta a una pregunta: «¿qué valores de un conjunto especificado, si los hay, hacen que la ecuación o desigualdad sea verdadera?». Utilizar la sustitución para determinar si un número dado de un conjunto especificado hace que una ecuación o desigualdad sea verdadera.
7
Resolver problemas matemáticos y del mundo real que impliquen las cuatro operaciones con números racionales.
8
Utilizar los símbolos de raíz cuadrada y raíz cúbica para representar soluciones a ecuaciones de la forma x2 = p y x3 = p, donde p es un número racional positivo. Evaluar raíces cuadradas de pequeños cuadrados perfectos y raíces cúbicas de pequeños cubos perfectos. Saber que √2 es irracional.
8
Conocer las fórmulas de los volúmenes de conos, cilindros y esferas y utilizarlas para resolver problemas matemáticos y de la vida real.
Preparatoria
Argumentar informalmente las fórmulas de la circunferencia de un círculo, del área de un círculo, del volumen de un cilindro, de una pirámide y de un cono. Usar argumentos de disección, el principio de Cavalieri, y argumentos informales de límites.
Preparatoria
Dar un argumento informal usando el principio de Cavalieri para las fórmulas para el volumen de una esfera y otras figuras sólidas.
Preparatoria
Usar fórmulas de volumen para cilindros, pirámides, conos, y esferas para resolver problemas.
Preparatoria
Usar formas geométricas, sus medidas, y sus propiedades para describir objetos (por ejemplo, modelar el tronco de un árbol o un torso humano como un cilindro).
Preparatoria
Aplicar métodos geométricos para resolver problemas de diseño (por ejemplo, diseñar un objeto o una estructura para satisfacer restricciones físicas o minimizar costes; trabajar con sistemas de cuadrícula tipográfica basados en proporciones).
DESGLOSAR EL ESTÁNDAR VERBOS: ¿QUÉ DEBERÍAN HACER LOS ESTUDIANTES?
• conocer: la capacidad de identificar y comprender una idea, fórmula o habilidad • resolver: encontrar un valor que responda a una pregunta y/o haga verdadera una ecuación • usar: aplicar una estrategia SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBEN CONOCER LOS ESTUDIANTES?
• cono: una forma sólida (tridimensional) que tiene una base plana y circular unida a un punto (vértice) por un lado curvo • cilindro: una forma sólida (tridimensional) que tiene dos bases planas, circulares y paralelas unidas por una superficie curva a una distancia fija • fórmula: un enunciado o regla matemática escrita con símbolos • problema matemático: un problema que se puede representar, analizar, y posiblemente resolver, con los métodos de las matemáticas • problema del mundo real: un problema basado en el contexto que puede ser interpretado, representado y analizado a través de la aplicación de las matemáticas • esfera: una figura redonda tridimensional donde cada punto de la superficie es equidistante del centro de la figura • volumen: la cantidad de espacio que ocupa un objeto; la cantidad medida de unidades cúbicas que caben dentro de una figura sólida
IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA
• En grados anteriores, los estudiantes han resuelto ecuaciones e inecuaciones y han resuelto problemas del mundo real con números racionales y las cuatro operaciones. Los estudiantes han resuelto el volumen de cubos y prismas rectos en grados anteriores. • En este grado, se espera que los estudiantes exploren para descubrir las fórmulas para el volumen de conos, cilindros y esferas. Los estudiantes usan fórmulas para encontrar el volumen de conos, cilindros y esferas, incluyendo la resolución de problemas del mundo real.
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GRADO 8: VOLUMEN
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA MONITOREAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA La guía de instrucción andamiada se proporciona para que los maestros puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones del alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que ayuda a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de la evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos según los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere que todos los estudiantes experimenten con los elementos: «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades», ya que cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar. 0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
80 % - 100 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil pueden trabajar en contenido de nivel de grado con apoyos de instrucción.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» individual para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 2. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante de acuerdo con sus datos de evaluación. 3. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la sección «Scaffolded Instruction Guide» en el menú desplegable «Home» del alcance. 4. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Geometría Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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GRADO 8: VOLUMEN
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Conocer las fórmulas para los volúmenes de conos, cilindros y esferas y usarlas para resolver problemas matemáticos y del mundo real. 7 - Operaciones con números racionales Repaso y práctica de habilidades
0 % - 25 %
(Refuerzo del grado anterior)
Constructor de fluidez • Operaciones con números racionales Práctica interactiva • Tylz Prueba de habilidades
8 - Raíces cuadradas y raíces cúbicas Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Raíces cuadradas y raíces cúbicas Práctica interactiva • Lanzamiento
(Nivel de grado con apoyos)
25 % - 50 %
Prueba de habilidades 8 - Volumen Acceso a conocimientos previos Constructor de fluidez Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida • Repaso
• Revisión general 8 - Volumen Vocabulario ilustrado
(Nivel de grado)
50 % - 80 %
Vocabulario interactivo Libreta interactiva Constructor de fluidez • Volumen de conos y esferas • Volumen de cilindros Práctica interactiva • Tienda de impresión 3D Ciencia de datos
(Ampliación del nivel de grado)
80 % - 100 %
Conexiones lingüísticas
8 - Volumen Tarea de modelado matemático ¿Qué preferirías? Tablero de opciones
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GRADO 8: VOLUMEN
ATRAER: ACCEDER A CONOCIMIENTOS PREVIOS Volume
EVALUAR PREVIAMENTE EL CONOCIMIENTO DEL ESTUDIANTE
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: NO PERTENECE ESTÁNDAR PREVIO
Does Not Belong Determine which letter does not belong in each group, and explain your thinking.
A
Hallar el volumen de un prisma rectangular recto con longitudes de arista fraccionarias empaquetándolo con cubos unitarios de las longitudes de arista fraccionarias unitarias apropiadas,. Demostrar que el volumen es el mismo que se hallaría multiplicando las longitudes de arista del prisma. Aplicar las fórmulas V = lwh y V = bh para encontrar volúmenes de prismas rectangulares rectos con longitudes de arista fraccionarias en el contexto de la resolución de problemas matemáticos y del mundo real.
DESCRIPCIÓN
C
volume =
1 cubic units 8
B
volume = 19
1 cubic units 2
D
volume = 2
1 cubic units 2
volume = 15 cubic units
Letter ______ does not belong because ____________________________________
Los estudiantes examinarán una serie de prismas rectangulares y determinarán qué opción no pertenece al grupo. Este elemento está diseñado para descubrir los conceptos erróneos de los estudiantes; no debe calificarse.
____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________
1
MATERIALES NO PERTENECE
IMPRESO
• 1 no pertenece (por estudiante o por grupo)
PREPARACIÓN
IDENTIFICACIÓN DE CONCEPTOS ERRÓNEOS
• Imprima un «No Pertenece» para cada estudiante.
• Los estudiantes pueden olvidar utilizar unidades cúbicas al etiquetar el volumen.
• Puede elegir coloquer a los estudiantes en grupos de dos o tres.
• Los estudiantes pueden confundir superficie y volumen.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya los «No Pertenece» a cada estudiante o grupo.
• Los estudiantes pueden pensar que la base por la altura significa hallar el producto de sólo dos dimensiones, pero en realidad es el producto de tres dimensiones, ya que la base es el producto de la longitud y la anchura.
2. Explique que cada tabla del folleto contiene cuatro opciones. Tres de las opciones van juntas, mientras que una no pertenece. 3. Pida a los estudiantes que determinen qué letra no pertenece a cada grupo y que expliquen lo que piensan. a
B no pertenece. La respuesta es incorrecta. La fórmula del volumen es longitud por anchura 1 por altura. El volumen es el producto de 5(__ ) , 2 que omitió una dimensión. El volumen debería 1 __ ser el producto de 5(__ ) ( 1 ) en su lugar. 2 2
4. Concluya dirigiendo una conversación. 5. Si los estudiantes tienen dificultades para completar esta tarea, realice el ejercicio «Constructor de bases fundamentales» para llenar el vacío en los conocimientos previos antes de pasar a otras partes del alcance.
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GRADO 8: VOLUMEN
ATRAER: CAPTAR INTERÉS
Volume
LECCIÓN PARA CAPTAR INTERÉS
3-D Figures
CAPTAR INTERÉS DESCRIPCIÓN Los estudiantes determinan el volumen de cilindros, conos y esferas utilizando fórmulas.
Radius = 7 cm Height = 3 cm
Radius = 5 cm Height = 11 cm
MATERIALES
Radius = 8 cm
IMPRESOS • 1 figuras 3D (por clase) 1
FIGURAS 3D
REUTILIZABLES • 1 fenómenos (por clase)
PREPARACIÓN
• Planee mostrar los fenómenos. • Prepárese para proyectar Figuras 3D para que toda la clase las vea. • Prepárese para presentar el escenario y anime a los estudiantes a pensar en cómo resolverlo. Prepárese para pasar a las actividades de «Explorar», y regrese posteriomente a la actividad «Captar interés» con los nuevos conocimientos adquiridos una vez que se hayan completado las exploraciones.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA
PARTE II: DESPUÉS DE EXPLORAR
1. Presente esta actividad hacia el comienzo del alcance. La clase retomará la actividad y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades correspondientes a «Explorar»
1. Después de que los estudiantes hayan completado las actividades correspondientes a «Explorar» para este tema, muestre de nuevo los fenómenos y repita el escenario.
2. Muestre los fenómenos. Formule a los estudiantes las siguientes preguntas: «¿Qué observas? ¿Dónde puedes ver matemáticas en esta situación?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. 3. Explique el escenario a la clase: Alex quiere crear una escultura similar a la del vídeo. Piensa utilizar plastilina, pero no está seguro de cuánta necesitará. «¿Puede ayudarle a averiguar cuánta arcilla necesita?». 4. Permita que los estudiantes hagan preguntas y aclaren el contexto según sea necesario. Anímeles a compartir sus pensamientos y experiencias con la clase utilizando las siguientes preguntas: a.
Si has trabajado con arcilla, «¿por qué querrías tener una cantidad cercana a la que necesitas?».
b.
Cuando has creado algo a partir del ordenador o de una imagen, «¿con qué dificultades te has encontrado?».
5. Proyecte las figuras tridimensionales. 6. Explique a los estudiantes que Alex ha decidido las dimensiones de las figuras que va a esculpir, pero no está seguro de la cantidad de arcilla que necesitará. Comente las siguientes preguntas con la clase: a.
DOK-1 «¿Cómo sabemos que estamos encontrando el volumen?». Estamos buscando cuánta arcilla hay dentro de las figuras.
b.
DOK-1 «¿Qué tienen en común todas estas figuras?». Todas tienen bases circulares.
2. Refiérase a las Figuras 3D, y comente las siguientes preguntas con la clase: a.
DOK-1 «¿Cómo sabemos que estamos encontrando el volumen?». Estamos buscando cuánta arcilla hay dentro de las figuras.
b.
DOK-1 «¿Qué tienen en común todas estas figuras?». Todas tienen bases circulares.
c.
DOK-1 «¿Cómo puedes determinar el volumen del cilindro?». El volumen del cilindro se puede encontrar utilizando la fórmula V = Bh = 𝜋r2h = 𝜋(72)(3) = 𝜋(49)(3) = 147 𝜋 ≈ 461,58 cm3.
d.
DOK-1 «¿Cómo puedes determinar el volumen
del cono?». El volumen del cono se puede hallar 1
e.
1
1
utilizando la fórmula V = __ Bh = __ 𝜋r2h = __ 𝜋(52)(11) 3 3 3 275 1 ____ 𝜋 ≈ 287.83 cm3. = __ 𝜋(25)(11) = 3 3 DOK-1 «¿Cómo se puede determinar el volumen de la esfera?». El volumen de la esfera se puede hallar utilizando la fórmula 2,048 4 3 __ 4 V = __ 𝜋r = 43 𝜋(83) = __ 𝜋(512) = ______ 𝜋 ≈ 2,143.57 3 3 3 cm3.
3. A medida que el tiempo lo permita, anime a los estudiantes a dilatar las formas más grandes o más pequeñas y a determinar el nuevo volumen. Cuando se duplica el tamaño de las formas, «¿se duplica también el volumen?».
7. Pase a completar las actividades de «Explorar».
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GRADO 8: VOLUMEN
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 1: CILINDROS Estándar(es) • Resolver problemas matemáticos y de la vida real que involucren el volumen de cilindros, conos y esferas. Conocer las fórmulas para los volúmenes de conos, cilindros y esferas y usarlas para resolver problemas matemáticos y de la vida real. Ideas fundamentales Investigaciones cilíndricas Forma, número y expresiones
Estándares para la práctica matemática MP.2 Razonamiento abstracto y cuantitativo. MP.4 Representar con matemáticas. MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas.
Conexiones de contenido
Motores de investigación
CC3 Desmontando los enteros para crear las partes
DI1 Dar sentido al mundo: Comprender y explicar.
CC4 Descubrir la forma y el espacio
MP.7 Buscan y utilizan estructuras.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes descubrirán la fórmula para el volumen de un cilindro y resolverán problemas matemáticos y del mundo real para el radio, la base, la altura y el volumen de un cilindro.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de tarjetas de enlatar (por grupo) • 1 red de cilindros/matriz de trabajo del volumen de un cilindro (por grupo) • 1 boleto de salida (por estudiante) REUTILIZABLE
• 24 cubos de enlace (por maestro) • 160 cubos centimétricos (por grupo) • 1 bolsa resellable tamaño galón (por grupo) • 1 protector de hojas transparente (por grupo) • 1 bolsa resellable (por grupo) • 1 rotulador de borrado en seco (por grupo) • 1 tijeras (por grupo) • 1 pegamento de barra (por grupo)
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PREPARACIÓN
• Planee dividir la clase en grupos de 2 para completar la actividad. • Imprima el «Diario del estudiante» y el «Boleto de salida» para cada estudiante. • Prepare un modelo de un prisma rectangular usando cubos de enlace para demostrar a la clase con las siguientes medidas: 3 unidades de largo, 2 unidades de ancho y 4 unidades de alto. • Coloque los 160 cubos centimétricos en una bolsa resellable del tamaño de un galón para cada asociación. • Imprima un «Tapete de trabajo del volumen de un Cilindro» de una sola cara para cada asociación. Coloque la página 2 en un protector de hojas transparente para crear una superficie borrable. Si lo desea, imprímala en cartulina. Tenga en cuenta que esto forma parte del documento titulado «Red de cilindros/Tapete de Trabajo del volumen de un cilindro». • Imprima un juego de «Tarjetas de enlatar» para cada asociación. Si lo desea, imprima las tarjetas en cartulina y plastifícalas para utilizarlas en el futuro. Recórtalas y coloque cada juego en una bolsa con cierre. • Reúna suficientes rotuladores de borrado en seco, barras de pegamento y pares de tijeras para que cada grupo tenga uno de cada.
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GRADO 8: VOLUMEN
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: ENTENDER LA FÓRMULA DEL VOLUMEN DE UN CILINDRO 1. Lea el siguiente escenario: «Una de tus amigas y compañeras de clase se llama Madeline Dupont. La familia de Madeline es dueña de una planta procesadora de alimentos. Una de las ramas de la planta se dedica al enlatado de alimentos. Como hoy faltan muchos empleados, la madre de Madeline le ha preguntado si tiene algún amigo al que se le den bien las matemáticas y que pueda ayudar con el proceso de enlatado. Su tarea hoy es demostrar que entienden el volumen de cilindros y que pueden determinar el volumen de latas (cilindros) con una variedad de bases, tamaños y alturas». 2. Entregue una red para cilindros, un rotulador de borrado en seco, una barra de pegamento y unas tijeras a cada grupo. 3. Repase los conocimientos previos de los estudiantes sobre cómo hallar el volumen de un prisma rectangular formulando las siguientes preguntas: a.
DOK-1 «¿Cómo se halla el volumen de un prisma rectangular?». (Tenga en cuenta que debe mostrar a los estudiantes el prisma rectangular creado). Las respuestas de los estudiantes variarán. Encontramos el volumen multiplicando la longitud por la anchura por la altura.
b.
DOK-1 «Cuando utilizas la fórmula V = lwh, «¿qué fórmula se está utilizando cuando multiplicas la longitud por la anchura?. Explique por qué se utiliza esa fórmula. (Tenga en cuenta que debe señalar la base superior y la base inferior del prisma rectangular)». Las respuestas de los estudiantes variarán. Un prisma rectangular es una figura tridimensional y, para hallar el volumen, se puede multiplicar la longitud por la anchura y por la altura. La base de un prisma rectangular es un rectángulo, por lo que se utiliza la fórmula largo × ancho para determinar el área de la base.
c.
DOK-2 «¿Cuál es la fórmula que se utiliza para hallar el volumen de un prisma rectangular?». V = Bh donde B = área de la base Entonces V = B × altura, o largo × ancho × altura.
d.
DOK-2 «¿Cuál es el volumen de este prisma rectangular?». (Observe que los estudiantes deben reconocer que las dimensiones del prisma rectangular son 3 unidades de largo, 2 unidades de ancho y 4 unidades de alto). El volumen del prisma rectangular es 24 unidades al cubo.
4. Explique a los estudiantes que trabajarán con sus compañeros para entender cómo hallar el volumen de un cilindro utilizando lo que saben sobre hallar el volumen de un prisma rectangular. 5. Pida a los estudiantes que trabajen con sus compañeros para recortar la red del cilindro en el tapete de trabajo y creen el cilindro utilizando la página 1 de la «Red de cilindros/Tapete de Trabajo del volumen de un cilindro». (Tenga en cuenta que los estudiantes necesitarán dejar una base abierta para llenar la base con cubos centimétricos).
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6. Indique a los estudiantes que coloquen los cubos centimétricos en una sola capa en el fondo del cilindro y que hagan caber tantos cubos en la capa como sea posible. También tendrán que averiguar cuántas capas de cubos caben en el cilindro y tendrán que hacer una pila de cubos a lo largo del interior del cilindro. Los estudiantes utilizarán la página 2 de la «Red de cilindros/Tapete de Trabajo del volumen de un cilindro» para calcular el área de la base y el volumen del cilindro. (Tenga en cuenta que debe mostrar a los estudiantes cómo utilizar la base para determinar el radio y cómo determinar la altura del cilindro utilizando la fórmula). Supervise y evalúe la comprensión de los estudiantes mientras cada grupo colabora formulando las siguientes preguntas orientadoras: a. DOK-1 «¿Qué formas hay en un cilindro?». 1 rectángulo y 2 círculos b. DOK-1 «¿Cuál es la forma de las bases de un prisma rectangular y de un cilindro?». (Tenga en cuenta que debe referirse al prisma rectangular que se creó usando los cubos de enlace y al cilindro que se creó usando la “Red de Cilindros”)». Las bases de los prismas rectangulares son rectángulos, mientras que las bases de un cilindro son círculos. c. DOK-2 «¿En qué se parece hallar el volumen de un cilindro a hallar el volumen de un prisma rectangular?». Puedo hallar el área de la base y luego hallar el producto de la base y la altura. d. DOK-2 «¿En qué se diferencia hallar el volumen de un cilindro de hallar el volumen de un prisma rectangular?». La base de un prisma rectangular es un rectángulo, así que usaré la fórmula para el área de un rectángulo (l × w), y la base de un cilindro es un círculo, así que usaré la fórmula para el área de un círculo ( 𝜋r2). e. DOK-2 «¿Cuántas capas de cubos se necesitaron para llenar el cilindro?». 12
f. DOK-2 «¿Cuál es el área de la base del cilindro?». Expresa tu respuesta en términos de 𝜋. 4 𝜋
g. DOK-2 «¿Cuál es el volumen del cilindro?». Exprese su respuesta en términos de 𝜋. 48 𝜋
h. DOK-2 «¿Cómo puede determinar el número aproximado de cubos que caben en el cilindro? ¿Por qué es un número aproximado de cubos?». Puedes coloquer cubos en el cilindro hasta que los cubos se llenen hasta arriba. Esto representa una aproximación porque hay espacios vacíos alrededor de los cubos cuando están dentro del cilindro. i. DOK-2 «¿Cómo puedes calcular el volumen del cilindro?». Puedes mirar la base del cilindro para obtener el radio y luego usar el área de un círculo para hallar el área de la base: 12.56 cm². Utiliza el área de la base y multiplícala por la altura 12 para obtener un volumen de 150,72 cm³.
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GRADO 8: VOLUMEN
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Volume Explore 1
7. Después de la parte I de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje. CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Qué fórmula se utiliza para hallar el volumen de un cilindro?». V = Bh B representa el área de la base, o 𝜋r².
• DOK-2 «¿Qué proceso se utiliza para hallar el volumen de un cilindro?». Primero halla el área de una base circular. Luego, multiplícala por la altura. También se puede hallar el área de la base y expresar la respuesta en términos de 𝜋. A continuación, multiplica el área de la base por la altura para obtener el volumen expresado en términos de 𝜋, y luego multiplica por 𝜋 para obtener el volumen del cilindro.
• DOK-1 «¿Cómo calcularías el radio de un cilindro si te dieran el diámetro y la altura?». Dividiríamos el diámetro por la mitad porque el radio es la mitad del diámetro.
PARTE II: LA FÁBRICA DE CONSERVAS 1. Lea la siguiente situación: «La familia de Madeline estaba muy satisfecha de lo bien que podías determinar los volúmenes de los cilindros. En su planta se enlatan todo tipo de frutas, verduras, sopas y salsas. Hoy, un gran número de empleados están fuera en una sesión de formación, por lo que la familia de Madeline necesita ayuda con el enlatado. Tu trabajo hoy es calcular el volumen de varias latas e informar de los volúmenes a la supervisora para que pueda determinar cuántas latas se necesitan para cada uno de los productos que se enlatan».
Can It! Part II: The Cannery
Use the Can It Cards to complete the table. Draw a model of each cylinder, and label the dimensions. Use the workspace to represent the area of the base expressed in terms of 𝜋𝜋, and then find the volume. Use 3.14 as an approximation for 𝜋𝜋. Round to the nearest hundredth, if necessary. Card A Model:
4. Explique a los estudiantes que trabajarán con sus compañeros para determinar el radio, la altura, el área de la base o el volumen de cilindros utilizando información sobre las latas que se están utilizando en la fábrica de conservas.
V = 250𝜋𝜋 V = 785
Volume: 785 cm³ Card B Model:
b.
DOK-1 «¿Cómo sabes qué base utilizar para hallar el volumen del cilindro?». Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Podríamos usar cualquiera de las bases porque en un cilindro las bases son congruentes. DOK-2 «¿Cómo determinaste el área de la base de un cilindro?». Como la base es un círculo, encontramos el área del círculo usando la fórmula 𝜋r².
6. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para lear cada tarjeta, registrar la información dada, determinar la información que falta y dibujar un modelo en sus «Diarios del Estudiante».
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 310
Workspace: V = Bh
6 cm
B (Area of the Base): 𝜋𝜋3² = 9𝜋𝜋 h=8 V = 72𝜋𝜋 V = 226.08
8 cm
Volume: 226.08 cm³ 1
Volume Explore 1
Card C Model:
Workspace:
20 cm
V = Bh
B (Area of the Base): 𝜋𝜋10² = 100𝜋𝜋 h = 20 V = 2,000𝜋𝜋 V = 6,280
20 cm
Volume: 6,280 cm³
5. Pida a los estudiantes que dibujen un modelo y etiqueten las dimensiones de cada lata. También calcularán la dimensión que falta en cada cilindro. Supervise y evalúe la comprensión de los estudiantes mientras cada grupo colabora formulando las siguientes preguntas orientadoras: a.
V = Bh
B (Area of the Base): 𝜋𝜋5² = 25𝜋𝜋 h = 10
10 cm
2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 3. Entregue un juego de «Tarjetas de enlatar» a cada asociación.
Workspace:
5 cm
Card D Model: 6.2 cm 18 cm
Workspace: V = Bh
B (Area of the Base): 𝜋𝜋6.2² = 38.44𝜋𝜋 h = 18 V = 691.92𝜋𝜋 V = 2,172.63
Volume: 2,172.63 cm³
2
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1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: VOLUMEN
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Volume Explore 1
7. Deje tiempo para que los estudiantes completen la parte II del «Diario del estudiante» y sus preguntas de reflexión.
Card E Model:
Workspace:
8. Después de la parte II de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje
V = Bh
24 cm
B (Area of the Base): 𝜋𝜋12² = 144𝜋𝜋 h = 18
18 cm
V = 2,592𝜋𝜋 V = 8,138.88
CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-2 «¿Por qué las unidades de volumen están en unidades cúbicas?». El área de la base está en unidades cuadradas, como cm2. Luego se multiplica por la altura que está en unidades. Unidades cuadradas × unidades = unidades cúbicas. cm2 × cm = cm3.
Volume: 8,138.88 cm³
• DOK-2 «Si un cilindro estuviera de lado, ¿cómo sabrías qué medidas usar para las dimensiones para hallar el volumen del cilindro?». Al usar la fórmula V = Bh, necesitaríamos el radio para la medida r para encontrar B (área de la base) primero. La altura siempre representa la distancia entre las bases.
Card F Model:
Workspace: V = Bh
4 cm
B (Area of the Base): 𝜋𝜋4² = 16𝜋𝜋 h = 14
14 cm
V = 224𝜋𝜋 V = 703.36
• DOK-2 «Compara los dos cilindros y determina cuál tiene mayor volumen». Volume: 703.36 cm³
◦ Cilindro 1: diámetro 20 cm, altura 5 cm; Volumen del cilindro 1: 1.570 cm³ 3
◦ Cilindro 2: radio 5 cm, altura 10 cm; Volumen del cilindro 2: 785 cm³ ◦ El cilindro 1 tiene el mayor volumen.
Volume Explore 1
Reflect 1.
Why are the units of volume in cubic units? The area of the base is in square units, such as cm 2. Then, it is multiplied by height, which is in units. Square units × units = cubic units. cm 2 × cm = cm3.
2.
9. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de Salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
If a cylinder were on its side, how would you know which measurements to use for the dimensions to find the volume of the cylinder? When using the formula V = Bh, we would need the radius for the measurement r to find B (area of the base) first. The height will always represent the distance between the bases.
3.
Cylinder 1: diameter of 20 cm, height of 5 cm
1,570 cm³
○
Cylinder 2: radius of 5 cm, height of 10 cm
785 cm³
APOYOS PEDAGÓGICOS
Cylinder 1 has the greater volume.
1. Algunos estudiantes notarán que un cilindro tiene dos bases, y por lo tanto se preguntarán por qué la fórmula para su volumen no es V = 2BH. Ayúdeles a entender por qué esta fórmula es inexacta para el volumen relacionándola con el prisma rectangular: También tiene más de una base, por tanto, «¿por qué la fórmula de un prisma rectangular no es V = 2LWH?». Utilice cubos unitarios y una caja para explorar esta cuestión y ayudar a los estudiantes a profundizar en el concepto de volumen. 4
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ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Luego, pida a los estudiantes que completen individualmente su «Libreta interactiva».
Compare the two cylinders, and determine which cylinder has the greater volume. ○
• DOK-2 «¿En qué otras situaciones del mundo real necesitarías poder hallar el volumen de un cilindro?». Las respuestas pueden variar. ¿Cuánto aceite cabe en un barril de aceite? ¿Cuánta lluvia cabe en un barril de lluvia? ¿Cuánta sopa cabe en una olla de cocción lenta? ¿Cuánta agua cabe en una botella de agua para hidratarse? ¿Cuánta pintura cabe en una lata de pintura para asegurarse de que hay suficiente para pintar las paredes de un espacio?.
2. Si los estudiantes tienen dificultades para visualizar las dimensiones de un modelo, anímeles a dibujar el modelo y etiquetar sus dimensiones. Esta práctica les ayudará a visualizar correctamente el modelo y les dará una idea de cómo aplicar la información dada.
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1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: VOLUMEN
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Volume Part 1
APOYOS A LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias a continuación para conocer las formas de apoyar el desarrollo del lenguaje del estudiante. Los estudiantes utilizarán pistas visuales, compañeros y maestros para desarrollar el vocabulario, la estructura lingüística y los conocimientos previos necesarios para comprender un texto escrito.
Cylinders One of the main methods that a fruit company uses to distribute its fruit is in cans. Because the fruit company sells its canned fruit in different forms, it distributes its fruit in cans of different sizes. Label each can with the measurements described. Use those measurements to determine the volume. Use 3.14 as an approximation for 𝜋𝜋. Round to the nearest hundredth, if necessary.
Principiante: Como actividad previa a la lección, proyecte una imagen en la pizarra y resalte dentro de la imagen algo que tenga forma de cilindro. Pregunte a los estudiantes «¿Cuántas cosas con forma de cilindro puedes encontrar en esta imagen?». Ayude a los estudiantes a pronunciar los nombres que no conozcan. Intermedio: Como actividad previa a la clase, disponga de tres o cuatro objetos cotidianos con forma de cilindro (por ejemplo, una lata de judías, un rollo de papel higiénico, una taza, etc).. Deje que los estudiantes manipulen los objetos. A continuación, pregunte: «¿Qué tienen en común todos estos objetos?». (es decir, todos tienen forma de cilindro). Proyecte el nombre y la imagen de un cilindro en la pizarra y pregunte a la clase qué otros objetos conocen que tengan forma de cilindro. Avanzado: Como actividad previa a la clase, proporcione a los estudiantes, por parejas, una imagen con objetos de formas diferentes. Trabajarán con sus compañeros para enumerar todos los objetos con forma de cilindro que puedan identificar. Cronometre la actividad, si lo desea, y ganará el equipo que haya identificado más objetos en el tiempo asignado.
A can of pineapple pieces has a radius of 9 cm and a height of 4 cm. What is the volume of the can of pineapple pieces? V = 𝞹𝞹r²h V = 𝞹𝞹(9²)(4) V = 𝞹𝞹(81)(4) V = 324𝞹𝞹 V = 1,017.36 cm³
1,017.36 cm³ Volume = ____________
A small can of orange juice has a diameter of 3 inches and a height of 5 inches. What is the volume of the can of orange juice? V = 𝞹𝞹r²h V = 𝞹𝞹(1.5²)(5) V = 𝞹𝞹(2.25)(5) V = 11.25𝞹𝞹 V = 35.33 in.³
35.33 in.³ Volume = ____________ 1
Volume Explore 1
Volume Part 1
A can of assorted fruit has a height of 17 cm. Its diameter is 15 cm. What is its volume?
The Best Canned Pears Exit Ticket Madeline’s favorite thing to grow was pears. When they were ripe, she picked them, peeled them, and soaked them in a simple syrup she had made. She found the perfect can for them and ordered many cans in two different sizes for the cannery. Use the workspace to represent the area of the base expressed in terms of 𝜋𝜋, and then find the volume. Use 3.14 as an approximation for 𝜋𝜋. Round to the nearest hundredth, if necessary.
V = 𝞹𝞹r²h V = 𝞹𝞹(7.5²)(17) V = 𝞹𝞹(56.25)(17) V = 956.25𝞹𝞹 V = 3,002.63 cm³
Regular Can of Pears Workspace:
5 cm
3,002.63 cm³ Volume = ____________
V = Bh
B (Area of the Base): 𝜋𝜋5² = 25𝜋𝜋 h = 16 V = 400𝜋𝜋 V = 1,256
16 cm
A family-sized can of grape juice has a radius of 4.1 inches and a height of 11 inches. What is the volume of the can of grape juice?
Volume: 1,256 cm³ V = 𝞹𝞹r²h V = 𝞹𝞹(4.1²)(11) V = 𝞹𝞹(16.81)(11) V = 184.91𝞹𝞹 V = 580.62 in.³
Small Can of Pears Workspace: 3 cm
8.4 cm
V = Bh
B (Area of the Base): 𝜋𝜋3² = 9𝜋𝜋 h = 8.4 V = 75.6𝜋𝜋 V = 237.38
580.62 in.³ Volume = ____________ Volume: 237.38 cm³ 2
1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
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MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS
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1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: VOLUMEN
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 2: CONOS Estándar(es) • Resolver problemas matemáticos y de la vida real que involucren el volumen de cilindros, conos y esferas. Conocer las fórmulas para los volúmenes de conos, cilindros y esferas y usarlas para resolver problemas matemáticos y de la vida real. Ideas fundamentales Investigaciones cilíndricas Forma, número y expresiones
Estándares para la práctica matemática MP.2 Razonamiento abstracto y cuantitativo. MP.4 Representar con matemáticas. MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas. MP.7 Buscan y utilizan estructuras.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes descubrirán la fórmula para el volumen de un cono y resolverán problemas matemáticos y del mundo real para encontrar el volumen de un cono.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de tarjetas de conos (por grupo) • 1 redes para cilindros y conos (por grupo) • 1 boleto de salida (por estudiante) REUTILIZABLE
• 1 bolsa resellable (por grupo) • 1 par de tijeras (por maestro) • 1 pegamento en barra (por grupo) CONSUMIBLE
• 1 bolsa de arroz (por grupo)
PREPARACIÓN
• Planee dividir la clase en grupos de 3 o 4 para completar la actividad. • Imprima un «Diario del estudiante» y un «Boleto de salida» para cada estudiante. • Imprima «Redes para cilindros y conos» para cada grupo de estudiantes. Si lo desea, imprímalas en cartulina.
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Conexiones de contenido
Motores de investigación
CC3 Desmontando los enteros para crear las partes
DI1 Dar sentido al mundo: Comprender y explicar.
CC4 Descubrir la forma y el espacio
• Imprima un «Juego de tarjetas de conos» para cada grupo de estudiantes. Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para utilizarlas en el futuro. Recorte las tarjetas y colóquelas en una bolsa resellable para cada grupo.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: COMPRENDER LA FÓRMULA DEL VOLUMEN DE UN CONO
1. Lea la siguiente situación: «La familia de Madeline añadió otro componente divertido a su granja. La familia Dupont compró vacas lecheras y empezó a hacer helados. Construyeron una heladería en su granja. Envasan el helado en recipientes cilíndricos. Sólo lo sirven en cucuruchos y sólo llenan los cucuruchos hasta el nivel de la abertura porque así evitan goteos y líos. A los Dupont les gustaría saber cómo encontrar el volumen de los cucuruchos para saber cuántos cucuruchos se pueden servir de cada recipiente cilíndrico. Tu trabajo hoy es descubrir una fórmula para el volumen de un cono». 2. Entregue a cada grupo un ejemplar de las «Redes para cilindros y conos», unas tijeras, una barra de pegamento y una bolsa de arroz. 3. Explique a los estudiantes que trabajarán en sus grupos para descubrir la fórmula del volumen de un cono utilizando lo que saben sobre la fórmula del volumen de un cilindro. (Nota: Observarán modelos de un cono y un cilindro con bases congruentes y alturas idénticas).
313
1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: VOLUMEN
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Volume Explore 2
4. Haga que los estudiantes recorten las «Redes para cilindros y conos» para crear el cilindro y el cono. (Nota: Asegúrese de que los estudiantes entienden que la base del cono y una de las bases del cilindro deben estar abiertas para que se pueda verter arroz en ambas figuras). Una vez creados el cilindro y el cono, pida a los estudiantes que llenen el cono de arroz hasta arriba con una superficie nivelada y que lo viertan en el cilindro. Repetirán este proceso y verán cuántas veces tardan hasta que el cilindro esté lleno hasta arriba con una superficie nivelada. Supervise y evalúe la comprensión de los estudiantes mientras cada grupo colabora formulando las siguientes preguntas orientadoras»: a.
DOK-1 «¿En qué se parecen un cono y un cilindro?». Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Ambos son figuras tridimensionales y ambos tienen una base circular y son curvos.
b.
DOK-1 «¿En qué se diferencian un cono y un cilindro?». Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Un cono tiene una sola base y un vértice, mientras que un cilindro tiene dos bases.
c.
Cone It! Part II
Use the Cone It Cards to complete the table. Draw a model of each cone, and label the dimensions. Use the workspace to represent the area of the base expressed in terms of 𝜋𝜋, and then find the volume. Use 3.14 as an approximation for 𝜋𝜋. Round to the nearest hundredth, if necessary. Sample Cone Model:
Workspace:
DOK-1 «¿Qué observas en las alturas del cono y del cilindro?». Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Son iguales.
e.
DOK-1 «¿El cilindro y el cono contenían volúmenes iguales de arroz?. Si no es así, ¿cuál contenía más?». El cilindro y el cono no contienen el mismo volumen de arroz. El cilindro contiene más arroz que el cono.
f.
DOK-1 «¿Cuántas veces pudiste llenar el cilindro con arroz del cono?». Tres veces
V = 3 Bh
B (Area of the Base): 𝜋𝜋1² = 1𝜋𝜋 h=2
2 cm
V=
• •
𝜋𝜋
Volume: 2.09 cm³ Medium Cone Model:
14 cm
Workspace: V = 1 Bh 3
8 cm
B (Area of the Base): 𝜋𝜋7² = 49𝜋𝜋 h=8 V=
1 392𝜋𝜋 =130.67𝜋𝜋 3
V = 410.30
Volume: 410.30 cm³ 1
Volume Explore 2
5. Después de la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes. CHARLA DE MATEMÁTICAS
1 2 2𝜋𝜋 = 3 3
V = 2.09
DOK-1 «¿Qué observas en las bases del cilindro y del cono?». Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Son congruentes y son círculos.
d.
1
1 cm
Kiddie Cone Model:
Workspace: 3 cm
DOK-1 «¿Cuál es la fórmula para el volumen de un cilindro?». Volumen = Bh o V = 𝜋r2h
4 cm
V=
1 Bh 3
B (Area of the Base): 𝜋𝜋3² = 9𝜋𝜋 h=4 V=
DOK-2 «¿Cuál es el volumen de un cono comparado con el volumen de un cilindro de base congruente y altura igual?». Un
1 36𝜋𝜋 = 12𝜋𝜋 3
V = 37.68
1
cono tiene __ 3 el volumen de un cilindro de base congruente y altura igual. •
DOK-2 «¿Cuál es la fórmula del volumen de un cono?». Volumen
Volume: 37.68 cm³
1
= __ 3 𝜋r2h
PARTE II: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE VOLUMEN DE UN CONO 1. Lea la siguiente situación: «La familia Dupont está agregando un gran tablero de menú detrás del mostrador en su heladería en la granja. Se describirá cada elemento del menú. Es mitad publicidad y mitad información. El menú está casi listo para ser completado y colgado, pero a la familia le falta un dato sobre el tamaño de cada cucurucho. Tu trabajo consiste en utilizar la fórmula del volumen de un cono para determinar la información que falta sobre los diferentes tamaños de conos que vende la familia Dupont. La información que falta puede ser el radio o diámetro de la abertura, el área de la abertura, la altura del cono o el volumen de helado que contiene el cono cuando se llena exactamente hasta el nivel de la abertura. Esta información permitirá a los clientes seleccionar el tamaño de cucurucho que mejor se adapte a su situación, creando clientes más satisfechos».
Small Cone Model:
Workspace: 5 cm
V=
1 Bh 3
B (Area of the Base): 𝜋𝜋5² = 25𝜋𝜋 h=6 6 cm
V=
1 150𝜋𝜋 =50𝜋𝜋 3
V = 157
Volume: 157 cm³
2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada uno.
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1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: VOLUMEN
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Volume Explore 2
3. Entregue a cada grupo una bolsa con un juego de «Juego de tarjetas de conos».
Waffle Cone Model:
4. Explique a los estudiantes que trabajarán en sus grupos para hallar el volumen de un cono. Indique a los estudiantes que utilicen la información de las tarjetas y hallen el volumen de cada cono.
Workspace: 22 cm
12 cm
1 V= Bh 3
B (Area of the Base): 𝜋𝜋11² = 121𝜋𝜋 h = 12 V=
5. Pida a los estudiantes que dibujen un modelo del cono y etiqueten sus dimensiones y, a continuación, hallen el área de la base, expresen el área en términos de 𝜋, y hallen el volumen del cono. Supervise y evalúe la comprensión de los estudiantes a medida que cada grupo colabora formulando las siguientes preguntas orientadoras
1 1,452𝜋𝜋 = 484𝜋𝜋 3
V = 1,519.76
Volume: 1,519.76 cm³
Teeny Tiny Sundae Cone Model:
a.
DOK-1 «¿Qué ocurre con el volumen de un cono a medida que aumenta su altura?». Las respuestas de los estudiantes pueden variar. El volumen aumenta.
b.
DOK-1 «¿Qué sucede con el volumen del cono cuando aumenta el radio?». El volumen aumenta.
b
DOK-1 «¿Cómo se halla el volumen de un cono?». Usamos
Workspace: V=
8 cm
1 Bh 3
B (Area of the Base): 𝜋𝜋4² = 16𝜋𝜋 h=4
4 cm
1 64𝜋𝜋 =21.33𝜋𝜋 3
V=
c.
V = 66.98
1
la fórmula del volumen de un cono (__ 3 𝜋r2h) e introducimos el radio y la altura. DOK-2 «¿Cómo hallar la altura o el radio de un cono?». Usamos la fórmula del volumen pero resolvemos para el radio o la altura.
6. De tiempo para que los estudiantes completen el «Diario del estudiante», incluyendo las preguntas de reflexión.
Volume: 66.98 cm³
7. Después de la parte II, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje. 3
Volume Explore 2
What did you notice about the relationship between the height and the volume of a cone?
• DOK-2 «¿Crees que la relación entre el volumen de un cilindro y el volumen de un cono funcionaría si los radios y las alturas no fueran iguales?». Explique. No, para que el volumen de un cono represente 1/3 del volumen de un cilindro, el radio y la altura deben ser iguales.
The greater the height of the cone is, the greater the volume of the cone is. 2.
What did you notice about the relationship between the radius and volume of a cone? The greater the radius is, the greater the volume of the cone is.
3.
• DOK-2 «¿Qué afecta más el volumen de un cono: aumentar el radio o aumentar la altura? ¿Por qué?». Aumentar el radio afecta el volumen del cono más que aumentar la altura porque el radio se eleva al cuadrado para encontrar el volumen. • DOK-2 «¿Qué notaste sobre la relación entre la altura y el volumen de un cono?». Cuanto mayor es la altura, mayor es el volumen del cono.
Reflect 1.
CHARLA DE MATEMÁTICAS
Do you think the relationship between the volume of a cylinder and the volume of a cone would work if the radii and heights were not the same? Explain.
• DOK-2 «¿Qué otras situaciones del mundo real requerirían que la gente conociera el volumen, la altura o el radio de los conos?». Las respuestas pueden variar. ¿Cuál es la altura de los conos de tráfico para que la gente pueda verlos y no los atropelle? ¿Cuál es el radio/diámetro de un árbol de Navidad de coníferas para saber si cabe en un salón? ¿Cuál es el volumen de los vasos de agua de papel en forma de cono para asegurarnos de que servimos suficiente agua a los atletas que juegan en el calor?».
1
No, in order for the volume of a cone to represent of the volume of a 3 cylinder, the radius and the height must be the same.
8. Cuando los estudiantes hayan terminado, pídales que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 4
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 315
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Una vez que la clase lo haya terminado, pida a los estudiantes que completen individualmente su «Libreta interactiva». 315
1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: VOLUMEN
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 Volume Explore 2
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Si los estudiantes tienen dificultades para visualizar las dimensiones de un modelo, anímeles a dibujar el modelo y etiquetar sus dimensiones. Esta práctica les ayudará a visualizar correctamente el modelo y les dará una idea de cómo aplicar la información dada.
The Best Ice Cream Cone Exit Ticket The Duponts want to add a new cone to their menu. It’s called the Family Sundae Cone. Look at its dimensions in the model, use the workspace to represent the area of the base expressed in terms of 𝜋𝜋, and then find the volume. Use 3.14 as an approximation for 𝜋𝜋. Round to the nearest hundredth, if necessary.
2. Los estudiantes que se apresuran en el trabajo e introducen valores para el radio de memoria, pueden introducir erróneamente el valor del diámetro para el radio. Anime a los estudiantes a lear el problema con atención, dibujar y etiquetar sus diagramas en consecuencia, y luego resolver.
15 cm
25 cm
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias a continuación para conocer las formas de apoyar el desarrollo del lenguaje del estudiante. Los estudiantes utilizarán pistas visuales, compañeros y maestros para desarrollar el vocabulario, la estructura del lenguaje y los conocimientos previos necesarios para comprender el texto escrito. Principiante: Como actividad previa a la lección, proyecte una imagen en la pizarra y resalte dentro de la imagen algo que tenga forma de cono. Pregunte a los estudiantes: «¿Cuántas cosas con forma de cono puedes encontrar en esta imagen?». Ayude a los estudiantes a pronunciar los nombres que no conozcan.
Workspace V=
Volume
1 Bh 3
B (Area of the Base): 𝜋𝜋15² = 225𝜋𝜋 h = 25 V=
5,887.5 cm³
1 5,625𝜋𝜋 = 1,875𝜋𝜋 3
V = 5,887.5
Intermedio: Como actividad previa a la lección, disponga de tres o cuatro objetos cotidianos que tengan forma de cono (por ejemplo, un cono de helado, un cono de tráfico, un sombrero de fiesta, etc).. Deje que los estudiantes manipulen los objetos. A continuación, pregunte qué tienen en común todos estos objetos (es decir, todos tienen forma de cono). Proyecte el nombre y la imagen de un cilindro en la pizarra y pregunte a la clase qué otros objetos conocen que tengan forma de cilindro.
1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
Avanzado: Como actividad previa a la clase, proporcione a los estudiantes, por parejas, una imagen con objetos de formas diferentes. Trabajarán con sus compañeros para enumerar todos los objetos con forma de cono que puedan identificar. Cronometre la actividad si lo desea y ganará el equipo que haya identificado más objetos en el tiempo asignado.
Volume Part 2
Volume Part 2
Large
Cones
Height = 12 in.
Radius = 4 in.
A popcorn stand serves its popcorn in paper containers that are shaped like cones. It offers the snack in four different sizes. Use the measurements to determine the volume of each size of paper cone. Use 3.14 as an approximation for 𝜋𝜋. Round your answers to the nearest hundredth. Small Based on the measurements below, what is the volume of the small popcorn cone? Diameter = 6 in.
Height = 8 in. 1
V = 3 𝜋𝜋r²h 1
V = 3 𝜋𝜋(3²)(8) V = 13 𝜋𝜋(9)(8) 1
V = 3 𝜋𝜋(72) V =24𝜋𝜋
V = 75.36 75.36 in.³ Volume = _______________
Jumbo
Based on the measurements below, what is the volume of the large popcorn cone?
1
V = 3 𝜋𝜋r²h 1
V = 3 𝜋𝜋(4²)(12)
Medium Based on the measurements below, what is the volume of the medium popcorn cone? Radius = 4.2 in.
V = 13 𝜋𝜋(16)(12) V = 13 𝜋𝜋(192) V =64𝜋𝜋
Height = 10 in.
V = 200.96
1
V = 3 𝜋𝜋r²h
Based on the measurements below, what is the volume of the jumbo popcorn cone? Diameter = 12 in.
Height = 16 in.
1
V = 3 𝜋𝜋r²h 1
V = 3 𝜋𝜋(6²)(16) 1
V = 3 𝜋𝜋(36)(16) 1
V = 3 𝜋𝜋(576) V =192𝜋𝜋
V = 602.88
1
V = 3 𝜋𝜋(4.2²)(10)
1 V = 3 𝜋𝜋(17.64)(10) 1 V = 3 𝜋𝜋(176.4)
V =58.8𝜋𝜋
200.96 in.³ Volume = _______________
V = 184.63
602.88 in.³ Volume = _______________
184.63 in.³ Volume = _______________ 2
1
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 2) CLAVE DE RESPUESTAS
316
SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 316
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1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: VOLUMEN
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 3: ESFERAS Estándar(es) • Resolver problemas matemáticos y de la vida real que involucren el volumen de cilindros, conos y esferas. Conocer las fórmulas para los volúmenes de conos, cilindros y esferas y usarlas para resolver problemas matemáticos y de la vida real. Estándares para la práctica matemática
Conexiones de contenido
MP.2 Razonamiento abstracto y cuantitativo.
CC3 Desmontando los enteros para crear las partes
MP.4 Representar con matemáticas.
CC4 Descubrir la forma y el espacio
Ideas fundamentales Investigaciones cilíndricas Forma, número y expresiones
Motores de investigación DI1 Dar sentido al mundo: Comprender y explicar.
MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas. MP.7 Buscan y utilizan estructuras.
DESCRIPCIÓN
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Los estudiantes aprenderán la fórmula para el volumen de una esfera y resolverán problemas matemáticos y del mundo real para encontrar el volumen de una esfera.
PARTE I: COMPRENDER LA FÓRMULA DEL VOLUMEN DE UNA ESFERA
MATERIALES IMPRESO • 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de tarjetas exprímelo (por grupo) • 1 boleto de salida (por estudiante) REUTILIZABLE • 1 bolsa resellable (por grupo) • 1 rotulador de borrado en seco (por grupo) • 2 formas geométricas de volumen rellenables (por grupo) • cono • esfera • cilindro CONSUMIBLE • 1 bolsa de arroz
PREPARACIÓN
1. Lea el siguiente escenario: «La familia de Madeline tuvo tanto éxito cuando añadieron su heladería que sus padres decidieron confiar en la nueva idea de Madeline y añadir un bar de zumos a su lista de empresas. Madeline quiere llamarlo "Juguera de Esferas" y utilizar sólo frutas cultivadas en la granja de Dupont que crecen formando esferas perfectas. Para hacer el zumo, Madeline quiere utilizar todo el interior de la fruta: pulpa, zumo y la carne de la fruta. Así será más sano que el zumo puro. Para saber cuántas frutas cultivar y utilizar, Madeline quiere conocer el volumen medio de cada tipo de fruta. Tu tarea hoy es descubrir primero la fórmula del volumen de una esfera basándote en lo que sabes sobre la fórmula del volumen de un cono». 2. Reparta un rotulador de borrado en seco, un cono, una esfera, un cilindro y una bolsa de arroz a cada grupo de estudiantes. 3. Explique a los estudiantes que primero trabajarán en sus grupos para descubrir la fórmula del volumen de una esfera utilizando lo que saben sobre la fórmula del volumen de un cono y el volumen de un cilindro. Observarán modelos de cono, cilindro y esfera con radios/diámetros y alturas equivalentes. 4. Pida a los estudiantes que llenen un cono de arroz y luego viertan el arroz en la esfera. Repetirán este proceso y verán cuántas veces tardan en llenar la esfera hasta arriba. Supervise y evalúe la comprensión de los estudiantes mientras cada grupo colabora formulando las siguientes preguntas orientadoras:
• Planee dividir la clase en grupos de 3 o 4 para completar esta actividad.
a.
DOK-1 «¿Cuántas veces tardó el cono en llenar la esfera?». 2 veces
• Imprima un «Diario del estudiante» y un «Boleto de salida» para cada estudiante. Reúna 3 figuras geométricas de volumen rellenables (cilindro, cono y esfera) para cada grupo de estudiantes.
b.
DOK-1 «¿Cuál es la fórmula del volumen de un cono?». 1 __ 𝜋r²h 3
• Imprima un juego de «Tarjetas Exprímelo» para cada grupo de estudiantes. Recorte las tarjetas y colóquelas en una bolsa con cierre para cada grupo. Si lo desea, imprima las tarjetas en cartulina y plastifíquelas para utilizarlas en el futuro. • Reúna suficientes bolsas de arroz y rotuladores de borrado en seco para que cada grupo tenga uno de cada.
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c.
DOK-1 «¿Cuál es la altura de una esfera?». La altura de una esfera se representa por 2r (el doble del radio) o el diámetro.
d.
DOK-1 «¿Qué aspectos de un cono y de una esfera son similares?». Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Ambas figuras son sólidos tridimensionales. Ambas tienen un radio y una altura. La altura de una esfera es 2r (el doble del radio). Ambas figuras son curvas.
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1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: VOLUMEN
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Volume Explore 3
e.
DOK-1 «¿En qué se diferencian un cono y una esfera?». Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Una esfera no tiene caras, vértices ni aristas, mientras que un cono tiene una cara y un vértice.
5. Pida a los estudiantes que dividan el cilindro en tercios con rotuladores de borrado en seco. (Tenga en cuenta que los estudiantes deben etiquetar el cilindro en tercios). Llene la esfera con arroz y, a continuación, vierta el arroz en el cilindro. Supervise y evalúe la comprensión de los estudiantes mientras cada grupo colabora formulando las siguientes preguntas orientadoras: a. b. c.
d.
Sphere It!
Part II
Use the Juice It Cards to complete the table. Draw a model of each sphere, and label the dimensions. Use the workspace to find the volume. Use 3.14 as an approximation for 𝜋𝜋. Round to the nearest hundredth, if necessary. Navel Orange Model:
Workspace: V=
4 𝜋𝜋6³ = 43 𝜋𝜋216 3
6 cm
V=
2
DOK-1 «¿Qué aspectos de un cilindro y de una esfera son similares?». Las respuestas de los estudiantes variarán. Ambas figuras son sólidos tridimensionales. Ambas son figuras curvas.
Volume: 904.32 cm³ Personal Watermelon Model:
Workspace: V=
DOK-1 «¿Qué aspectos de un cilindro y una esfera son diferentes?». Las respuestas de los estudiantes pueden variar. Una esfera no tiene bases y un cilindro tiene dos bases.
6. Después de la parte I, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje.
4 216𝜋𝜋 = 288𝜋𝜋 3
V = 904.32
DOK-1 «¿Cuánto arroz se vertió en el cilindro?». __ 3
DOK-1 «¿Cuál es la fórmula para el volumen de un cilindro?». Bh o 𝜋r2h
4 𝜋𝜋r³ 3
4 𝜋𝜋r³ 3
4 𝜋𝜋12³ = 43 𝜋𝜋1,728 3
24 cm
4 1,728𝜋𝜋 = 2,304𝜋𝜋 3
V=
V = 7,234.56
Volume: 7,234.56 cm³ 1
CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-2 «¿Cómo descubrieron la fórmula para una esfera?». Descubrimos que una esfera con el mismo radio y altura que un cono tiene el doble del volumen del cono. Utilizamos la fórmula del volumen de un cono 1 V = __ 𝜋r2h. Como la altura de una esfera es equivalente 3 a su diámetro, que equivale a dos radios, sustituimos la h por 2r y simplificamos la fórmula. También
Volume Explore 3
Cantaloupe
2
de un cilindro. La descubrimos que una esfera llena __ 3
altura del cilindro es igual al doble del radio de la esfera.
Model:
V=
• DOK-1 «¿Cuál es la fórmula del volumen de una 4 esfera?». __ 𝜋r3 3 • DOK-1 «Si se da el radio de una esfera, ¿cómo se determina el diámetro de la esfera?». El radio de la esfera es la mitad del diámetro de una esfera. • DOK-2 «Si una esfera y un cilindro tienen el mismo radio, ¿qué figura tendría mayor volumen?». Dependería de la altura del cilindro. PARTE II: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE VOLUMEN DE UNA ESFERA 1. Lea la siguiente situación: La familia de Madeline ha finalizado el menú para mostrar las frutas que se utilizarán para los diferentes tipos de jugos que se preparan en el bar de jugos. Su siguiente tarea es utilizar la fórmula del volumen de una esfera para hallar el volumen de las piezas dadas de fruta esférica cultivada en la granja Dupont que se utilizará para hacer el zumo.
Workspace: 4 𝜋𝜋r³ 3
4 𝜋𝜋11³ = 43 𝜋𝜋 1,331 3
11 cm
V=
4 2 1,331𝜋𝜋 = 1,774 𝜋𝜋 3 3
V = 5,572.45
Volume: 5,572.45 cm³
Grape Model:
Workspace:
2 cm
4 V= 𝜋𝜋r³ 3 4 4 𝜋𝜋 1³ = 𝜋𝜋 1 3 3 4 V= 𝜋𝜋 = 43 𝜋𝜋 3
V = 4.19
Volume: 4.19 cm³
2. Entregue un «Diario del estudiante» a cada uno. 3. Entregue a cada grupo una bolsa que contenga un juego de tarjetas Juice It. 4. Explique a los estudiantes que trabajarán en sus grupos para determinar el volumen de cada pieza de fruta en forma de esfera utilizando la fórmula del volumen de una esfera.
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2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: VOLUMEN
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Volume Explore 3
5. Pida a los estudiantes que utilicen las tarjetas Juice It para dibujar un modelo y etiquetar sus dimensiones. A continuación, hallarán el volumen de cada esfera. Supervise y evalúe la comprensión de los estudiantes mientras cada grupo colabora formulando las siguientes preguntas orientadoras:
Clementine Model:
Workspace: 4 V= 𝜋𝜋r³ 3 4 4 𝜋𝜋 3³ = 𝜋𝜋 27 3 3 4 V= 27𝜋𝜋 = 36𝜋𝜋 3
3 cm
a.
DOK-1 Si se da el diámetro de una esfera, «¿cómo se determina el radio de la esfera?». Divide el diámetro por 2.
b.
DOK-2 «¿Cómo puedes hallar el volumen de una esfera?». Sustituye las dimensiones de cada esfera en la fórmula. Utiliza 3,14 como valor de 𝜋. Simplifique la fórmula.
V = 113.04
6. Deje tiempo para que los estudiantes completen la parte II del el «Diario del estudiante», incluidas las preguntas de reflexión.
Volume: 113.04 cm³
7. Después de la parte II, invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
Blueberry Model:
Workspace:
3 cm
CHARLA DE MATEMÁTICAS
4 V= 𝜋𝜋r³ 3 4 𝜋𝜋1.5³ = 43 𝜋𝜋3.38 3 4 V= 3.38𝜋𝜋 = 4.51𝜋𝜋 3
• DOK-2 «Si una esfera y un cono tienen el mismo radio y la misma altura, ¿qué figura tiene mayor volumen?». La esfera tendrá un volumen que es el doble del volumen del cono.
V = 14.16
• DOK-2 «¿Cuál es la relación entre el volumen de una esfera y el volumen de un cilindro?». La esfera ocupa dos tercios del volumen del cilindro.
Volume: 14.16 cm³
3
• DOK-2 «Si una esfera y un cilindro tienen el mismo radio, ¿qué figura tendría mayor volumen?». Dependería de la altura del cilindro.
Volume Explore 3
Volume Explore 3
Reflect 1.
The Best Orange Juice Exit Ticket
How do you determine the height of a sphere? The height of a sphere is the diameter, which is the same as the product of two and the radius, or the sum of two radii.
2.
The Duponts are famous for their freshly squeezed orange juice. They try to wait and harvest each orange when it is a perfect sphere and about the size of the orange pictured below. Find the volume of the orange below, and answer the questions.
What is the relationship between the volume of a sphere and the volume of a cylinder? The sphere takes up two-thirds of the volume of the cylinder.
3.
18 mm
What is an example of a real-world scenario where you would need to find the volume of a sphere? Answers will vary. How much air will fit in a beach ball? How much water do I use in a spherical water balloon? How much clay will an artist will need to use to create a sculpture in the shape of a sphere? How much gas is contained in a star or a gas giant planet? How much liquid can be injected into a hollow chocolate ball by a chocolatier?
Workspace
V=
4 𝜋𝜋r³ 3
4 𝜋𝜋18³ = 43 𝜋𝜋 5,832 3
V=
Volume
24,416.64 mm³
4 5,832𝜋𝜋 = 7,776𝜋𝜋 3
V = 24,416.64
4
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
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1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: VOLUMEN
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Volume Part 3
•
DOK-2 «¿En qué otros escenarios del mundo real necesitaría la gente conocer el volumen de una esfera?». Las respuestas pueden variar. ¿Cuánto aire cabe en una pelota de playa? ¿Cuánta agua cabe en un globo de agua esférico? ¿Cuánta arcilla necesita un artista para crear una escultura con forma de esfera? ¿Cuánto gas contiene una estrella o un planeta gigante gaseoso? ¿Cuánto líquido puede inyectar un chocolatero en una bola de chocolate hueca?.
8. Cuando los estudiantes terminen, pídales que completen el «Boleto de Salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 9. Regrese a la sección «Captar interés» e indique a los estudiantes que utilicen sus habilidades recién adquiridas para completar la actividad con éxito..
ESQUEMA DE ANCLAJE Y LIBRETA INTERACTIVA
• Asegúrese de completar el «Esquema de anclaje» como clase. Luego, pida a los estudiantes que completen individualmente su «Libreta interactiva».
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Si los estudiantes tienen dificultades para visualizar las dimensiones de un modelo, anímelos a dibujar el modelo y etiquetar sus dimensiones. Esta práctica les ayudará a visualizar correctamente el modelo y les dará una idea de cómo aplicar la información dada.
Spheres Mr. Kennedy is a physical education teacher at the neighborhood elementary school. He keeps several different kinds of balls in a bin so the students can play sports during their gym time. Use the information provided to determine the volume of each ball. Use 3.14 as an approximation for 𝜋𝜋. Round your answer to the nearest hundredth.
There are several baseballs in Mr. Kennedy’s bin. Each baseball has a radius of 3.7 cm. What is the volume of each baseball? V = 4/3 𝜋𝜋r³ V = 4/3 𝜋𝜋(3.7)³ V = 4/3 𝜋𝜋(50.653) V = 67.54𝜋𝜋 V = 212.08
212.08 cm³ Volume: _______________
The girls really enjoy playing volleyball during gym class. A volleyball has a diameter of 8 inches. What is the volume of a volleyball? V = 4/3 𝜋𝜋r³ V = 4/3 𝜋𝜋(4)³ V = 4/3 𝜋𝜋(64) V = 85.33𝜋𝜋 V = 267.94 267.94 in.³ Volume: _______________ 1
2. Los estudiantes que se apresuran en el trabajo e introducen valores para el radio de memoria, pueden introducir erróneamente el valor del diámetro para el radio. Anime a los estudiantes a lear el problema cuidadosamente, dibujar y etiquetar sus diagramas en consecuencia, y luego resolver.
Volume Part 3
3. Algunos estudiantes pueden tener dificultades con la 4
multiplicación por __ para calcular el volumen de una esfera. 3
Permita que los estudiantes utilicen una calculadora y sugiérales que multipliquen pi y el radio al cuadrado por cuatro y, a continuación, dividan el producto por tres. Es posible que entiendan el concepto de la fórmula pero necesiten una estrategia para los cálculos.
APOYOS PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE La siguiente estrategia de adquisición del lenguaje se apoya en esta actividad de «Explorar». Consulte las estrategias a continuación para conocer las formas de apoyar el desarrollo lingüístico del estudiante. Los estudiantes utilizarán pistas visuales, compañeros y maestros para desarrollar el vocabulario, la estructura del lenguaje y los conocimientos previos necesarios para comprender un texto escrito. Principiante: Como actividad previa a la lección, proyecte una imagen en la pizarra y resalte dentro de la imagen algo que tenga forma de esfera. Formule a los estudiantes la siguiente pregunta: «¿Cuántas cosas con forma de esfera puedes encontrar en esta imagen?». Ayude a los estudiantes a pronunciar los nombres que no conozcan. Intermedio: Como actividad previa a la clase, disponga de tres o cuatro objetos cotidianos con forma de esfera (por ejemplo, una pelota de baloncesto, un globo terráqueo, una naranja, etc).. Permita que los estudiantes manipulen los objetos. A continuación, pregunte qué tienen en común todos estos objetos (es decir, todos tienen forma de esfera). Proyecte el nombre y la imagen de un cilindro en la pizarra y pregunte a la clase qué otros objetos conocen que tengan forma de cilindro. Avanzado: Como actividad previa a la clase, proporcione a los estudiantes, por parejas, una imagen con objetos de formas diferentes. Trabajarán con sus compañeros para enumerar todos los objetos con forma de esfera que puedan identificar. Cronometre la actividad, si lo desea, y ganará el equipo que haya identificado más objetos en el tiempo asignado.
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 320
Most of the boys like to play basketball during gym class. Each basketball has a radius of 4.7 inches. What is the volume of each basketball? V = 4/3 𝜋𝜋r³ V = 4/3 𝜋𝜋(4.7)³ V = 4/3 𝜋𝜋(103.823) V = 138.43𝜋𝜋 V = 434.67
434.67 in.³ Volume: _______________
Mr. Kennedy has several beach balls that he uses for his lessons. He keeps them deflated until he needs to use them. When inflated, each beach ball has a diameter of 11 inches. What is the volume of one beach ball? V = 4/3 𝜋𝜋r³ V = 4/3 𝜋𝜋(5.5)³ V = 4/3 𝜋𝜋(166.375) V = 221.83𝜋𝜋 V = 696.55
696.55 in.³ Volume: _______________
2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: VOLUMEN
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE
ANCLAR EL APRENDIZAJE DE LOS ESTUDIANTES
Volume
ESQUEMA DE ANCLAJE r = 13
Cylinder v = 𝜋𝜋r²h 𝜋𝜋
h = 32
DESCRIPCIÓN
v = 𝜋𝜋r²h
v = (3.14)(13²)(32) v = (3.14)(13 · 13)(32) v = (3.14)(169)(32) v = (530.66)(32) v = 16,981.12 in.³
d = 30
r = 15
h = 27
v = ⅓𝜋𝜋r²h
Cone v = 1/3𝜋𝜋 𝜋𝜋r²h
v = ⅓(3.14)(15²)(27) v = ⅓(3.14)(15 · 15)(27) v = ⅓(3.14)(225)(27) v = ⅓(706.5)(27) v = ⅓(19,075.5) v = 6,358.5 in.³
r = 16
Sphere v = 4/3𝜋𝜋 𝜋𝜋r³
v = 4/3𝜋𝜋r³ v = 4/3(3.14)(16³) v = 4/3(3.14)(16 · 16 · 16) v = 4/3(3.14)(4,096) v = 4/3(12,861.44) v = 17,148.59 in.³
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
Un esquema de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Se trata de una herramienta para apoyar la instrucción y anclar el aprendizaje de los estudiantes a lo largo del alcance.
MATERIALES
• 1 hoja de papel cuadriculado • 1 juego de marcadores multicolores
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del ejemplo de «Esquema de anclaje», si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. El ejemplo de esquema de anclaje puede utilizarse como referencia antes de crear el de la clase. Esta actividad debe ser dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje. 2. A medida que los estudiantes trabajen en el alcance, colaboren para añadir piezas al «Esquema de anclaje». Formule las siguientes preguntas orientadoras: a. «¿Qué estrategia utilizamos para resolver este problema?». b. «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?». 3. Continúe añadiendo habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada «Exploración» para resaltar el contenido importante. 4. Explique que pueden utilizar este gráfico como herramienta de apoyo para su aprendizaje. Los estudiantes también pueden pegar una copia del ejemplo del esquema en sus cuadernos para utilizarla como referencia a lo largo del año. 5. Algunos esquemas de anclaje sólo se mostrarán durante un alcance o grupo de alcances concretos, mientras que otras permanecerán expuestas durante todo el curso escolar.
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GRADO 8: VOLUMEN
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA
DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
LIBRETA INTERACTIVA
Volume
Instructions ● Cut out the top and bottom of the flipbook. ● Cut the top page flaps on the dotted lines. Fold back flaps on solid lines. ● Glue or tape the bottom of the flipbook into your notebook first. ● Place glue where it says “Place glue here.” Add the top of the flipbook. ● Lift up the flaps, and calculate the volume. Substitute values, and follow the order of operations. Top
Volume
DESCRIPCIÓN Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase al usar la actividad y la libreta.
Cone
Cylinder
Sphere
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del «Folleto del estudiante» para cada uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Volume
Bottom
Place glue here. V=
1 3
𝜋𝜋 𝜋𝜋r²h
V = 𝜋𝜋 𝜋𝜋r²h
4
V = 3 𝜋𝜋r³ 𝜋𝜋
1. Prepare una «Libreta interactiva» al usar un cuaderno de espiral o de composición para cada uno. Los estudiantes pueden utilizar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades. 2. Las instrucciones para cada actividad se proporcionan en el «Folleto del estudiante». 3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos. 4. Las libretas interactivas pueden utilizarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
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FOLLETO DEL ESTUDIANTE
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GRADO 8: VOLUMEN
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
APOYO PARA ESTUDIANTES MULTILINGÜES
CONEXIONES LINGÜÍSTICAS DESCRIPCIÓN
• Permita que los estudiantes tengan acceso al vocabulario ilustrado para este alcance .
Los estudiantes tienen la oportunidad de utilizar sus conocimientos lingüísticos y culturales de base para apoyar las conexiones con nuevas habilidades, vocabulario y conceptos en sus niveles de competencia.
• Permita que los estudiantes tengan acceso a una variedad de herramientas matemáticas, tales como fichas de álgebra y líneas numéricas.
MATERIALES
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
IMPRESO
1 Distribuya a cada estudiante un «Folleto del estudiante» en el nivel de competencia apropiado.
• 1 folleto del estudiante según su nivel de competencia (por alumno)
2 Utilice las indicaciones para las partes de escuchar, hablar, lear y escribir. Utilice gestos, señale objetos y elementos visuales, según proceda. Consulte las indicaciones para obtener sugerencias.
REUTILIZABLE
• 1 juego de fichas de álgebra (por estudiante) • 1 juego de lápices o rotuladores de colores azul y rojo (por estudiante)
3 Deje tiempo a los estudiantes para que piensen con sus vecinos antes de responder. 4 Anime a los estudiantes a perseverar en su pensamiento y a utilizar herramientas y modelos matemáticos.
PREPARACIÓN
• Prepárese para que los estudiantes trabajen con compañeros cuando sea necesario.
5 Invite a los estudiantes a responder adecuadamente a cada dominio lingüístico.
• Determine el nivel de inglés de cada estudiante. • Imprima un «Folleto del estudiante» para cada estudiante según su nivel de inglés.
Volume B
Volume B
Match the shape with the formula.
Volume I
Formulas
stacked vertically. Each tennis ball has a radius of 4.5 inches. The
V = 1 Bh
Luciana plays tennis. Her coach has challenged her to determine the dimensions needed to build a cylinder that will hold 3 tennis balls stacked vertically. Each tennis ball has a radius of 4.5 inches. The cylinder’s width is 0.5 inches larger on each side of the tennis ball and 0.5 inches taller. Find the volumes of the 3 tennis balls and the cylinder.
Write the correct name and volume formula for each shape.
the dimensions needed to build a cylinder that will hold 3 tennis balls
Formula
Volume I
tennis. Her coach has challenged her to determine
Luciana plays
3-D Shape
6 Haga que los estudiantes utilicen la página final del «Folleto del estudiante» para formar conexiones entre los conceptos matemáticos y el mundo real.
cylinder’s
width is 0.5 inches larger on each side of the tennis ball
and 0.5 inches
taller. Find the volume of the 3 tennis balls and the
1
V = Bh
V = 3 Bh
V=
4 𝝅𝝅r3 3
Luciana is finding the dimensions of a tennis ball.
V = Bh
3 tennis balls have a total volume of 1,144.53 in.3
V = Bh
The formula to find the volume of one tennis ball is _________. V = 4 𝝅𝝅r3 / V = 1 Bh 3 3
Luciana uses the formula V = 4 Bh for the cylinder. 3
Cone
Three tennis balls have a total volume of ________________. 381.51 in. 3 / 1,144.53 in.3
The volume of the cylinder is 2,158.75 in.3
V = 1 Bh or 1 𝝅𝝅r2h 3
radius of 4.5 inches. The cylinder’s width is 0.5 inches larger on
4
V=
1 V = Bh / V = Bh 3
4 𝝅𝝅r3 3 4
V = 4 (𝝅𝝅)(125) 3
V = 523.3 in.3
V=
V = 4 (𝝅𝝅)(53)
V = 80.07 in.3
V = 523.3 in.3
3 V = 4 (𝝅𝝅)(125) 3
True / False
Word Bank Cones
Height
Three
Cylinder Volume
V = Bh to find the volume of the cylinder, which Luciana uses the formula _______ 2,158.75 in.3 equals __________
Sphere 4 V = 𝝅𝝅r3 3
Word Bank
The following are calculations for finding the volumes of a sphere and a cone. One has errors, and one is correct. Find the errors.
by a curved surface. To find the volume of a cylinder, we use the formula they have circles as the V=Bh _______. Cones and cylinders are similar because _____________________ 1
base. Three cones fit into a cylinder. Therefore, a cone has 3 of the volume ______________________________________________________________ of a cylinder, with a congruent base and an equal height. This is why the ______________________________________________________________
V = 80.07 in.3
1
Volume B
Cones
Height
Three
Volume
V = Bh
Answers will vary. Volume is the measure of the space occupied by a three-dimensional object. The formula for volume is V = Bh, where “big b” equals the area of the base and h equals the height of the shape. A cylinder has two Step 1: V = 4 𝝅𝝅r3
3 4 Step 2: V = (𝝅𝝅)(53) 3
Step 3: V = 4 (𝝅𝝅)(125) 3
Step 4: V = 523.3 in.3
1
circular bases connected by a curved surface. To find the volume of a cylinder, we
1 (𝝅𝝅)(8.52)(6) 3
use the formula V = Bh. Cones and cylinders are similar because they have
Step 1: V = 3 𝝅𝝅r2h Step 2: V =
Step 3: V = 1 (𝝅𝝅)(72.25)(6)
circles as the base. Three cones fit into a cylinder. Therefore, a cone has
Step 4: V = 18(𝝅𝝅)(72.25)
one-third of the volume of a cylinder, with a congruent base and an equal
Step 5: V = 4,083.57 in.3
height. This is why the volume of a cone is V = 3 Bh.
3
1
Volume I
Volume A
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can find the volume of things at home with your family or friends.
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can find the volume of things at home with your family or friends.
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can find the volume of things at home with your family or friends.
Answers will vary.
Answers will vary.
Answers will vary.
V = Bh 1 V = 3 Bh
Cylinder 1 V= Bh 3
Use the word bank to explain the volumes of cones and cylinders.
V = Bh The formula for volume is _________, where B = area of the base and
1 2 𝝅𝝅r h 3 1 (𝝅𝝅)(32)(8.5) 3 1 V = (𝝅𝝅)(9)(8.5) 3
V=
V=
volume of a cone is V = 3 Bh. ___________________________________________________________
Volume B
3
381.51 in. so 3 tennis balls have a volume of 1 tennis ball has a volume of __________, 1,144.53 in.3 __________
height of the shape. A _________ cylinder h = ________ has two circular bases connected 4 𝝅𝝅r3 3
V= V=
1 𝝅𝝅r2h 3 1 (𝝅𝝅)(32)(8.5) 3 V = 1 (𝝅𝝅)(9)(8.5) 3
V = 3 (𝝅𝝅)(53)
1 1 Bh or 𝝅𝝅r2h 3 3
Volume is the measure of the space occupied by a three-dimensional object. _______ Determine the volume of each figure. Circle the shape that has the largest volume.
The volume of the cylinder is ____________. 719.58 in.3 / 2,158.75 in.3 V=
V= 𝝅𝝅r3 3 Luciana can use the formula ____________ to find the volume of 1 tennis ball V = 4𝝅𝝅r3 to find the volume of all 3 tennis balls at one time. or __________
True / False
Word Bank
V = 3 𝝅𝝅r3
The formula to find the volume of a cylinder is ___________.
volumes of the 3 tennis balls and the cylinder. 4.5 in Each tennis ball has a radius of ________. Therefore, the cylinder 27.5 in. tall. 10 in. wide and ________ is _______
Cone
True / False
Cones Height Cylinder V = Bh 1 V= Bh Three Volume 3 Use the word bank to explain the volumes of cones and cylinders.
4
3
each side of the tennis ball and 0.5 inches taller. Find the
V = Bh
3
Sphere
V= 4 𝝅𝝅r3
hold 3 tennis balls stacked vertically. Each tennis ball has a
Cylinder
True / False
Cylinder
determine the dimensions needed to build a cylinder that will
Write the correct name and volume formula for each shape.
True / False
4 𝝅𝝅r3 for 1 tennis ball or 3 V = 4𝝅𝝅r3 to find the volume of all 3 at one time.
Luciana is finding the dimensions of the _______________. tennis ball / cylinder
Volume A
Luciana plays tennis. Her coach has challenged her to
Luciana can use the formula V =
cylinder.
3
Volume A
Use the word bank to explain the volumes of cones and cylinders. Words may be repeated.
Volume is the measure of the space occupied by a three-dimensional object. _______ V = Bh The formula for volume is _________, where “big b” equals the area of the cylinder has two circular height base and h equals the ________ of the shape. A _________ bases connected by a curved surface.
Cones and cylinders are similar because they both have circles as the _______ Three base. ________ cones fit into a cylinder. Therefore, a cone has one-third of cylinder height the volume of a __________, with a congruent base and an equal ________. 1 V = Bh This is why the volume of a cone is __________. 3
PRINCIPIANTE FOLLETO DEL ESTUDIANTE
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INTERMEDIO FOLLETO DEL ESTUDIANTE
AVANZADO FOLLETO DEL ESTUDIANTE
323
1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: VOLUMEN
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCUCHAR Y HABLAR PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Tenga a mano objetos del mundo real o figuras tridimensionales y rotuladores para que los estudiantes los utilicen. Lea las siguientes instrucciones de una en una:
Tenga objetos del mundo real o figuras tridimensionales a disposición de los estudiantes. Lea las siguientes instrucciones de una en una:
Tenga a mano objetos del mundo real o figuras tridimensionales y papel de borrador para que los estudiantes los utilicen. Lea las siguientes instrucciones de una en una:
•
Sostenga un cilindro.
•
Señale la figura de su papel que corresponda a este objeto.
•
•
Gire el cilindro de modo que la base circular mire hacia los estudiantes y señale el círculo.
El folleto nos da fórmulas de volumen para las figuras de su papel.
•
•
Esta es la base de mi cilindro. Con el rotulador verde, marque la base de tu cilindro.
Señale las fórmulas en el folleto del estudiante.
•
•
Señale con un gesto la altura/lateral de tu cilindro.
•
Ésta es la altura de mi cilindro. Utilizando tu rotulador azul, marque la altura de tu cilindro.
•
Señale la fórmula que hallaría el volumen de un cilindro.
•
Traza una línea desde el cilindro hasta V = Bh.
•
Levante un cono.
•
Señala la figura de tu papel que coincida con este objeto.
•
Gire el cono de modo que la base circular mire hacia los estudiantes y señala el círculo.
Observa que hay tres fórmulas y tres figuras. El primer compañero pedirá encontrar una de las figuras e identificar la fórmula, el segundo compañero señalará la figura e identificará la fórmula del volumen. Luego cambiarán. El segundo compañero le pedirá que busque una de las figuras e identifique la fórmula y, a continuación, el primer compañero señalará la figura e identificará la fórmula del volumen. Escriba sus respuestas a medida que trabaja con las tres figuras.
•
•
Ésta es la base de mi cono. Con tu rotulador verde, perfila la base de tu cono.
«¿Qué figuras se muestran debajo de la línea punteada de la página?».
•
Señala con un gesto la altura de tu cono.
•
Si pusiera un palo invisible en el centro de mi cono, mostraría la altura. Con tu rotulador azul, marca la altura de tu cono.
•
Señala la fórmula que hallaría el volumen de tu cono.
◦
•
3 Bh. Traza una línea desde el cono hasta V = __
•
Sostén una esfera.
•
Señala en tu papel la figura que corresponda a este objeto.
•
Señala con un gesto el centro y un lado de tu esfera.
•
Si pusiera un palo invisible desde el centro exacto hasta cualquier lado de mi esfera, mostraría el radio. Con tu rotulador azul, marca el radio en tu esfera.
•
Señala la fórmula que hallaría el volumen de tu esfera.
1
•
3 r3. Traza una línea desde la esfera hasta V = __
•
«¿Qué figuras se muestran debajo de la línea de puntos de la página?». Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente raíz de frase: Las cifras que se muestran son _______.
•
Utilizando su rotulador azul, subraye el radio tanto en la esfera como en la fórmula.
•
Después de completar la sustitución del radio en la fórmula, «¿qué paso se completó a continuación?». ◦
•
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente raíz de frase: El siguiente paso fue ____.
Utilizando su marcador azul, subraye el radio en el cono y en la fórmula para el cono.
•
Utilizando su marcador amarillo, subraye en el problema lo que se dio en lugar del radio.
•
«¿Cuál es la diferencia entre lo que se da en las medidas del cono y en la fórmula para el volumen?». ◦
•
◦
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente raíz de frase: Para calcular el volumen de la figura, ______.
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«¿Qué figuras se muestran debajo de la línea punteada de la página?».
•
Cubre el trabajo que se muestra debajo de las figuras con papel de borrador.
•
Tómate un tiempo para calcular los volúmenes de la esfera y el cono en un papel aparte.
•
•
Después de completar la sustitución del radio en la fórmula para la esfera, «¿qué paso se completó a continuación?».
Da tiempo a los estudiantes para calcular los volúmenes, ayudándoles si es necesario.
•
Explique tus pasos para calcular el volumen de la esfera.
•
«¿Cuál es la diferencia entre lo que se da en las medidas del cono y en la fórmula para el volumen?».
•
Explique tus pasos para calcular el volumen del cono.
•
Ajusta tu papel para comparar tu trabajo con el de la hoja. Hay errores en el trabajo de una de las figuras. Tómate un minuto para encontrar y rodear los errores.
•
«¿Dónde están los errores en el folleto?».
◦
•
•
Pida a los estudiantes que usen la siguiente raíz de oración: El siguiente paso fue ____.
«¿Cómo completaron el cálculo del volumen del cono?». ◦
•
Haga que los estudiantes usen la siguiente raíz de oración: Las medidas del cono y la fórmula son diferentes porque ____.
Después de completar la sustitución del radio en la fórmula, «¿qué paso se completó a continuación?». ◦
•
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente raíz de oración: Para calcular el volumen de la figura, ______.
«¿Cuál es la diferencia entre lo que se da en las medidas del cono y en la fórmula para el volumen?». ◦
•
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente raíz de frase: El siguiente paso fue ____.
«¿Cómo completaron el cálculo del volumen de la esfera?». ◦
Pida a los estudiantes que usen la siguiente raíz de oración: El siguiente paso fue ____.
«¿Cómo se calculó el volumen de la figura
•
Dé tiempo a los estudiantes para calcular los volúmenes, ayudándoles si es necesario.
Después de completar la sustitución del radio en la fórmula, «¿qué paso se completó a continuación?». ◦
•
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente raíz de oración: Las medidas del cono y la fórmula son diferentes porque ____.
Trabaje con sus compañeros para preguntar por turnos sobre cada figura. El primer compañero pedirá encontrar una de las figuras e identificar la fórmula, el segundo compañero señalará la figura e identificará la fórmula del volumen. Luego cambiarán. El segundo compañero le pedirá que busque una de las figuras e identifique la fórmula y, a continuación, el primer compañero señalará la figura e identificará la fórmula del volumen. Escribe tus respuestas a medida que trabajas con las figuras.
•
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente raíz de frase: Para calcular el volumen de la figura, ______.
•
•
Tómese un tiempo para calcular los volúmenes de la esfera y el cono.
«¿Cómo se calculó el volumen de la figura?». ◦
En el folleto hay tres figuras tridimensionales.
•
4
◦
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente secuencia de oraciones: Las figuras que se muestran son _______.
•
Pida a los estudiantes que usen la siguiente raíz de oración: Para calcular el volumen de la figura, ______.
Encierra con un círculo la figura con el mayor volumen.
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GRADO 8: VOLUMEN
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
LEER Y HABLAR
PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Lea la historia en grupo. Divida la historia en frases. Pida a los estudiantes que señalen cada palabra mientras leen. Pídales que rodeen con un círculo las palabras que no conozcan. Comente las palabras en grupo.
Lea la historia en grupo. Pida a los estudiantes que señalen cada palabra mientras lean. Pídales que rodeen con un círculo las palabras que no conozcan. Comente las palabras con un compañero.
Pida a los estudiantes que lean la historia con sus compañeros y que señalen cada palabra mientras lean. Invíteles a rodear con un círculo las palabras que no conozcan y a comentarlas con sus compañeros.
•
Comente la situación con los estudiantes. Haga gestos con las manos y muestre imágenes cuando proceda mientras formula las preguntas.
•
Comente la imagen con los estudiantes. ◦
Repase el vocabulario desconocido, como anchura, altura, radio, diámetro, esfera y cilindro.
◦
«¿Cuál es el radio de la pelota de tenis?».
◦
«¿Cuál es el diámetro del cilindro?».
◦
«¿Cuál es la altura del cilindro?».
•
Lea en voz alta el primer enunciado. Señale la respuesta antes de contestar.
•
Lea en voz alta la segunda afirmación. Recuerde a los estudiantes la discusión y las respuestas anteriores según sea necesario. Señale la respuesta antes de contestar.
•
Lea en voz alta la tercera afirmación. Señale las respuestas antes de contestar.
•
Lea en voz alta la cuarta afirmación. Recuerde a los estudiantes la discusión previa y las respuestas según sea necesario. Señale la respuesta antes de responder.
•
Lea en voz alta la última afirmación. Señale la respuesta antes de contestar.
•
Comente la situación con los estudiantes. Haga gestos con las manos y utilice elementos visuales cuando proceda mientras formula las siguientes preguntas. ◦
Por turnos, compartan las dimensiones de la pelota de tenis y del cilindro con sus compañeros.
◦
Compartan una cosa sobre el volumen de los cilindros con sus compañeros.
◦
Compartan una cosa sobre el volumen de las esferas con sus compañeros.
•
Lea en voz alta el primer enunciado. Señale la respuesta antes de contestar.
•
El compañero lee las últimas cuatro afirmaciones. Comente con sus compañeros para decidir si es verdadero o falso.
•
Explique a sus compañeros de qué trataba el pasaje.
•
Comenta con tus compañeros lo que observas en el cilindro.
•
«¿Cómo puedes simplificar el problema o las fórmulas para que te resulte más fácil encontrar la solución?».
•
Lea cada enunciado y comenta tus respuestas con tus compañeros.
ESCRIBIR
PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Tenga a disposición de los estudiantes tarjetas de vocabulario ilustrado y figuras tridimensionales. Lea y Comente las palabras del banco de palabras. Defina y proporcione ejemplos según las necesidades de los estudiantes. Comente las siguientes preguntas mientras lee:
Ponga a disposición de los estudiantes tarjetas de vocabulario ilustrado y figuras tridimensionales. Lea en voz alta y comente las palabras del banco de palabras. Defina y proporcione ejemplos según las necesidades de los estudiantes. Utilice las siguientes indicaciones:
Ponga a disposición de los estudiantes tarjetas de vocabulario ilustrado y figuras tridimensionales. Deben lear en voz alta las palabras del banco de palabras con sus compañeros. Pídales que comenten el significado de las palabras con sus compañeros. Defina y proporcione ejemplos según las necesidades de los estudiantes. Mientras los estudiantes leen, utilice las siguientes indicaciones:
•
•
Comente las figuras con los estudiantes: ◦
«¿Qué se está calculando al encontrar el volumen?».
◦
«¿En qué se parecen las fórmulas de volumen?».
◦
«¿En qué se parecen los volúmenes de un cono y un cilindro?».
Lea cada enunciado y pida a los estudiantes que consulten el banco de palabras y las figuras antes de escribir su respuesta.
•
Pida a los estudiantes que comenten las palabras del banco de palabras con sus compañeros.
•
Haga que los estudiantes comenten las palabras del banco de palabras con sus compañeros.
•
Doble la mitad inferior del papel para que sólo se vea el banco de palabras. Señale cada una de las palabras del banco de palabras y, por turnos, explíquelas a sus compañeros.
•
•
Tome nota de los estudiantes que ofrezcan expliqueciones matemáticamente precisas de las palabras del banco de palabras.
Comente las palabras del banco de palabras con sus compañeros. Cada compañero debe dar una expliqueción o descripción de una palabra y, a continuación, pedir a su compañero que parafrasee el significado de la palabra. Continúa este proceso hasta que hayas discutido todas las palabras del banco de palabras.
•
•
A continuación, señale una palabra del banco de palabras cuyo significado necesite aclarar.
Lee las instrucciones con tus compañeros. «¿Qué plan seguirás para asegurarte de que utilizas el mayor número posible de palabras del banco de palabras en tu redacción?». Si no estás seguro de cómo utilizar una palabra, rodéala con un círculo en el banco de palabras. Los estudiantes aún no deben empezar a escribir.
•
En función de los estudiantes a los que haya oído dar expliqueciones matemáticamente precisas, pidales que ayuden a aclarar las palabras seleccionadas a sus compañeros: Veo que nos vendría bien una aclaración sobre la palabra/ frase ___. (Nombre del estudiante) pudo dar una expliqueción clara sobre la palabra ________ a su compañero. _____, «¿podrías compartir tu explicación?».
•
Esté atento a los estudiantes que puedan tener dificultades para crear un plan o que encierren palabras con un círculo en el banco de palabras. Ofrézcales apoyo y permita que los estudiantes que hayan podido crear un plan lo compartan con la clase.
•
Lee cada enunciado con tu compañero y utiliza las palabras del banco de palabras para completar cada enunciado. Tenga en cuenta que algunas palabras pueden utilizarse más de una vez o no utilizarse en absoluto.
•
Recuerde a los estudiantes que consulten el banco de palabras cuando completen los espacios en blanco.
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◦
Veo que varios de nosotros necesitamos aclaraciones sobre la palabra _______. Dirígete a alguien que no sea tu compañero y pídele que aclare o defina la palabra _______.
◦
Veo que varios de nosotros necesitamos ayuda para diseñar un plan para utilizar palabras del banco de palabras. Dirígete a alguien que no sea tu compañero y pídele que explique cómo piensa utilizar el mayor número posible de palabras del banco de palabras.
•
Una vez aclaradas todas las palabras y compartidos los planes, pide a los estudiantes que escriban sus explicaciones.
•
Ahora, escribe una explicación que utilice al menos cinco de las palabras del banco de palabras. Cuando terminen de escribir, compartan sus escritos con sus compañeros.
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GRADO 8: VOLUMEN
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO VOCABULARIO CLAVE
VOCABULARIO ILUSTRADO Base
Cone
Cube
The surface that a solid object stands on
A solid (three-dimensional) shape that has a flat, circular base joined to a point (vertex) by a curved side
A solid figure with six congruent square faces
2
3
4
Cylinder
Decimal Form
Height (3-D Figure)
A solid (three-dimensional) shape that has two flat, circular, parallel bases joined by a curved surface at a fixed distance
A number that uses a decimal point followed by digits showing values less than one
The vertical distance from the top of an object or figure to its base
5
6
7
Length
Prism
Radius
The measure of an object from end to end; the distance from one end to the other end of an object
A three-dimensional figure that has at least one set of congruent, parallel faces (bases) that are polygons with parallelograms as the remaining faces
The distance from the center of a circle or a sphere to any point that lies on the circle or the sphere
8
9
10
Rational Number
Sphere
Three-Dimensional Figure
A number that can be written as a fraction of integers a/b, where b ≠ 0; a number that can be written as a ratio using two integers
A three-dimensional round figure where every surface point is equidistant from the center of the figure
A solid having three measurable dimensions
11
12
Volume
Width
The amount of space an object occupies; the measured amount of cubic units that fit inside a solid figure
How many units wide something is 14
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GRADO 8: VOLUMEN
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ
Go Fish! Instruction Sheet Play this game with a partner. You Will Need 1 Set of Go Fish! Cards (per pair) How to Play 1. Shuffle the Go Fish! Cards. 2.
Pass out five cards to each player.
3.
Place the rest of the deck in a pile on the table.
4.
Players take turns asking each other for either the answer to match one of the problem cards or the problem card to match one of the answer cards. If the opponent has the matching card, the opponent must give it to the player. If the opponent does not have the matching card, the other player must pick a card from the deck.
5.
The winner is the player with the most matches when all of the cards are gone.
DESARROLLAR LA FLUIDEZ CONCEPTUAL
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: VOLUMEN DE CONOS Y ESFERAS DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes jugarán a ¡A pescar! para resolver problemas matemáticos.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 hoja de instrucciones (por grupo) • 1 conjunto de cartas ¡A pescar! (por grupo) REUTILIZABLES
• 1 sobre o bolsa (por pareja)
PREPARACIÓN
• Haga copias a doble cara de las cartas ¡A pescar! a doble cara. • Lamínelas para que duren más.
HOJA DE INSTRUCCIONES
• Recorte las cartas individuales y colóquelas en un sobre o bolsa para facilitar su distribución y limpieza. • Coloque a los estudiantes en parejas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo barajar las cartas. 2. Represente cómo jugar al juego con un estudiante. a. Reparta cinco cartas a cada jugador. b. Coloque el resto del mazo en un montón sobre la mesa. c. Los jugadores se preguntan por turnos si la respuesta coincide con una de las cartas de problema o si la carta de problema coincide con una de las cartas de respuesta. Si el adversario tiene la carta correspondiente, debe dársela al jugador. Si el oponente no tiene la carta correspondiente, el otro jugador debe coger una carta del mazo. d. El ganador es el jugador con más coincidencias cuando se acaban todas las cartas. 3. Supervise a los estudiantes para asegurarse de que encuentran las coincidencias correctas.
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GRADO 8: VOLUMEN
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ DESARROLLAR LA FLUIDEZ CONCEPTUAL
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: VOLUMEN DE CILINDROS DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes jugarán ¡A pescar! para resolver problemas matemáticos
MATERIALES
Go Fish! Instruction Sheet Play this game with a partner. You Will Need 1 Set of Go Fish! Cards (per pair) How to Play 1. Shuffle the Go Fish! Cards. 2.
Pass out five cards to each player.
3.
Place the rest of the deck in a pile on the table.
4.
Players take turns asking each other for either the answer to match one of the problem cards or the problem card to match
IMPRESOS
one of the answer cards. If the opponent has the matching card, the opponent must give it to the player. If the opponent
• 1 hoja de instrucciones (por grupo)
does not have the matching card, the other player must pick a
• 1 conjunto de cartas ¡A pescar! (por grupo) REUTILIZABLES
card from the deck. 5.
The winner is the player with the most matches when all of the cards are gone.
• 1 sobre o bolsa (por pareja)
PREPARACIÓN
• Haga copias a doble cara de las cartas ¡A pescar! a doble cara. • Lamínelas para que duren más. • Recorte las cartas individuales y colóquelas en un sobre o bolsa para facilitar su distribución y limpieza. • Coloque a los estudiantes en parejas.
HOJA DE INSTRUCCIONES
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo barajar las cartas. 2. Represente cómo jugar al juego con un estudiante. a. Reparta cinco cartas a cada jugador. b. Coloque el resto del mazo en un montón sobre la mesa. c. Los jugadores se preguntan por turnos si la respuesta coincide con una de las cartas de problema o si la carta de problema coincide con una de las cartas de respuesta. Si el adversario tiene la carta correspondiente, debe dársela al jugador. Si el oponente no tiene la carta correspondiente, el otro jugador debe coger una carta del mazo. d. El ganador es el jugador con más coincidencias cuando se acaban todas las cartas. 3. Supervise a los estudiantes para asegurarse de que encuentran las coincidencias correctas.
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GRADO 8: VOLUMEN Volume
ELABORAR: REVISIÓN EN ESPIRAL REPASAR CONCEPTOS PREVIOS
Central City Art Show The time has come for the best art show to take place in Central City, and Sally is in charge of making sure it goes off without a hitch. Painters, sculptors, and artists come from far and wide to have their work displayed on the show’s large stage. This art show is truly one of a kind. To make sure that all of the art is safe and displayed appropriately, Sally works hard to see to it that every exhibit is built to perfection. She wants to ensure that all of the exhibits have lights and creative stands for the artists to present their masterpieces. Previously, Sally helped with setting up the art show, but this is the first year she is in charge.
DESCRIPCIÓN
Sally has been researching different companies to help her build the sets and stands for each individual piece of art. She finally contacted Beautiful World Construction to design and create the needed displays. It is time to make her vision of the art show come to life for Central City citizens to enjoy!
Los estudiantes repasan contenidos anteriores o del grado actual para ayudar a apoyar su trabajo en en este alcance y fortalecer las habilidades necesarias para alcances posteriores.
1
Volume
1.
The floor plan layout below will be used to create the different display areas for each artist. All of the painters should have the same amount of space to display their work. If one painter is placed in section A, list all of the other sections that could hold the various painters’ work.
2.
A right triangular stand was designed to hold a very important painting with clips that are placed at the top and bottom of the painting. The base of the stand is 8 ft., and the height is 6 ft. as pictured below. Will the stand be able to hold the 10 ft. painting where the clips would line up perfectly with the base? Explain. Yes, is would fit perfectly using the Pythagorean theorem. 62 + 82 = 102 36 + 64 = 100 100 = 100
The other sections are A, D, E, H. 3.
A sculpture is placed on top of a 5 ft. cylinder and uses a light that shines on it from 13 ft. away. How far away from the base of the cylinder does the light need to be placed? The light should be placed 12 feet away.
4.
As guests enter the art show, the ticket booth, brochure table, and snack stand are in the same area. Calculate how far Sally will need to walk to get from the ticket booth to the snack stand if the stations are set up as follows:
REVISIÓN EN ESPIRAL CENTRADA EN LA PREGUNTA • Pregunta 1
◦ Grado 8: Usar argumentos informales para establecer hechos sobre las sumas de ángulos y ángulos exteriores de triángulos, sobre los ángulos creados cuando líneas paralelas son cortadas por una transversal, y el criterio ángulo-ángulo para la semejanza de triángulos. • Pregunta 2 ◦ Grado 8: Explicar una prueba del teorema de Pitágoras y su inversa. • Pregunta 3 ◦ Grado 8: Aplicar el teorema de Pitágoras para determinar longitudes laterales desconocidas en triángulos rectángulos en problemas matemáticos y del mundo real en dos y tres dimensiones.
She will have to walk 15 yards. 2
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
REVISIÓN EN ESPIRAL: EXPOSICIÓN DE ARTE DE LA CIUDAD CENTRAL
• Pregunta 4 ◦ Grado 8: Aplicar el teorema de Pitágoras para determinar longitudes laterales desconocidas en triángulos rectángulos en problemas matemáticos y del mundo real en dos y tres dimensiones.
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada uno. 2. Anímelos a tratar de responder de forma independiente sin utilizar recursos externos para ver lo que saben. Invítelos a anotar ideas o fragmentos que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas. 3. Utilice las preguntas de repaso en espiral como calentamiento en clase, o envíelas a casa como tareas. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos. 4. Consulte la sección «Revisión en espiral centrada en la pregunta» para evaluar los conocimientos de contenido de los estudiantes o su necesidad de intervención adicional. Si es necesario repasar más, utilice los «Constructores de fluidez» en los alcances apropiados. 5. El objetivo final incluye una parte de este alcance para que los estudiantes vean en el contenido la conexión y relevancia de su aprendizaje previo.
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GRADO 8: VOLUMEN
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS
Volume
Top That Topiary!
ANALIZAR DATOS
CIENCIA DE DATOS Ciencia de datos es un breve debate en clase basado en un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. La parte I incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los estudiantes en contexto.
DESCRIPCIÓN
1
Los estudiantes analizarán, interpretarán y generarán conjuntos de datos, además de responder preguntas basadas en los datos.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 conjunto de datos (por clase) REUTILIZABLES
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase) • 1 marcador (por clase) CONSUMIBLES
• 1 trozo de papel milimetrado (por clase)
PREPARACIÓN
• Prepárese para proyectar el conjunto de datos para la clase. • Reúna un trozo de papel milimetrado y un rotulador.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Proyecte el conjunto de datos y prepárese para anotar las observaciones de los estudiantes. 2. Comente las siguientes preguntas: a. «¿Qué observa en este conjunto de datos?». b. «¿Qué representa este conjunto de datos?». c. «¿Qué categorías se incluyen en este conjunto de datos?». d. «¿Sabes qué es topiaria?». e. En caso afirmativo, «¿has visitado alguna vez un jardín topiario?».
CONJUNTO DE DATOS PARTE II
1. Repase las fórmulas para el volumen de un cilindro, un cono y una esfera, y escribe lo que los estudiantes recuerden en el papel milimetrado. 2. Comenta las siguientes preguntas: a Hay tres tipos de árboles en el jardín topiario triangular. «¿Cuál es el volumen de cada tipo de árbol?». Árbol cilíndrico: V = π(12)(6) ≈ 18.85 pies.3 1 Árbol cónico: V = (__ )(π)(1.72)(6) ≈ 18.16 ft.3 3 4 __ Árbol esférico: ( ) (π)(1.253) ≈ 8.18 ft.3 b
3
Hay dos tipos de árboles en el topiario circular. 4 «¿Cuál es el volumen del árbol esférico?». (__ ) (π) 3 (23) ≈ 33.51 ft.3
c. Uno de los tipos de árboles del jardín topiario circular consta de tres partes. «¿Cuál es el volumen de cada parte?». Parte cilíndrica inferior del otro árbol: V = π(2,52 ) (1.2) ≈23.56 ft3 Parte cilíndrica superior del otro árbol: V = π(2.252) (1) ≈15.90 ft3 1 Parte cónica del otro árbol: V = (__ )(π)(1.92) (1.8) 3 3 ≈6.80 ft d. «¿Cuál es el volumen total de los árboles en el topiario triangular?». V≈6 (18.85) + 2(18.16) + 2(8.18) ≈ 165.78 ft3. e. «¿Cuál es el volumen total de los árboles en el topiario circular?». V≈ 33.51 + 8(23.56 + 15.90 + 6.80) ≈ 403.59 ft3.
f. «¿Qué preguntas tienes sobre los datos?».
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GRADO 8: VOLUMEN Volume
ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
Volume How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Know the formulas for the volumes of cones, cylinders, and spheres and use them to solve real-world and mathematical problems.
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN
LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN
Notes and Feedback
DESCRIPCIÓN Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede utilizarse como evaluación formativa para los maestros y como autoevaluación para los estudiantes.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 folleto del maestro (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del maestro» y un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
1
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Folleto del estudiante» a cada uno.
Volume
Standards for Mathematical Practice
Notes and Feedback
Make sense of problems and persevere in solving them Reason abstractly and quantitatively Construct viable arguments and critique the reasoning of others
3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
Model with mathematics Use appropriate tools strategically
Attend to precision
4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje.
Look for and make use of structure Look for and express regularity in repeated reasoning
5. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el «Folleto del maestro».
Consider these reflection questions in this scope. ●
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them?
●
What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
2
FOLLETO DEL MAESTRO
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2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Explorar» y «Explicar» del alcance, evalúe formativamente su progreso tomando notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo.
6. Las notas anecdóticas proporcionadas en el «Folleto del maestro» pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares. 7. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la «Guía de instrucción andamiada» en la sección «Inicio» de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
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GRADO 8: VOLUMEN
EVALUAR: MAPA DE CALOR EVALUACIÓN DE HABILIDADES
MAPA DE CALOR
Volume
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
Standards
Questions
DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar.
Red – misconception
Skills Quiz
Know the formulas for the volumes of cones, cylinders, and spheres and use them to solve real-world and mathematical problems.
MATERIALES
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
• 1 mapa de calor (por estudiante) • 1 lápiz de color rojo (por estudiante) • 1 lápiz de color azul (por estudiante) • 1 lápiz de color naranja (por estudiante)
PREPARACIÓN
1
• Determine si los estudiantes analizarán su «Prueba de habilidades», la «Evaluación basada en estándares», o ambas.
Volume
• Imprima un «Mapa de calor» para cada estudiante. • Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
Reflection Questions 1. Which skill did you feel most confident with? Why?
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
3. Which type of error did you most commonly make?
4. How can you avoid those errors in the future?
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Dé un «Mapa de calor» a cada estudiante junto con lápices de colores rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s). 2. Los estudiantes utilizan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el «Mapa de calor». Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los estudiantes colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, los estudiantes colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, los estudiantes colorean el cuadro correspondiente de rojo. 3. Anímelos a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a utilizar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada. 4. Consulte la «Guía de instrucción andamiada» que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
2
Volume
Refer to your answers on the Standards-Based Assessment. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue - miscalculation
Orange - explanation
Red - misconception
Standards-Based Assessment Standards
Know the formulas for the volumes of cones, cylinders, and spheres and use them to solve real-world and mathematical problems.
Questions
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
MAPA DE CALOR 332
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GRADO 8: VOLUMEN
INTERVENIR: REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES Volume
CORREGIR Y VOLVER A ENSEÑAR
REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES
Checkup Write the formula for volume for each of the following figures. 1.
2.
DESCRIPCIÓN
3.
Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance. Utilícela como repaso o para intervención. V = Bh or 𝜋𝜋r2h 4.
V=
1 𝜋𝜋r2h 3
V=
4 3 3 𝜋𝜋r
MATERIALES
Which other 3-D figure has the same formula as the figure in question 1?
IMPRESO
Rectangular prism Find the volume for the following figures. Show the formula and your work.
• 1 revisión rápida (por estudiante)
5.
A cylinder with a radius of 4 cm and a height of 10 cm:
• 1 repaso (por estudiante)
V = 𝜋𝜋r2h
• 1 revisión general (por estudiante)
V = 3.14 × 42 × 10
• 1 lista de verificación para el maestro (por maestro)
V = 3.14 × 16 × 10 V = 50.24 × 10 = 502.4 cm3 6.
PREPARACIÓN
A cone with a radius of 8 mm and a height of 12 mm:
• Imprima una copia de la «Revisión rápida», el «Repaso» y la «Revisión general» para cada estudiante.
1 V= 𝜋𝜋r2h 3 1 V= × 3.14 × 82 × 12 3
V = 1.05 × 64 × 12 = 806.40 mm3 1
Volume
7.
• Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar el «Repaso». • Si lo desea, imprima un ejemplo del «Esquema de anclaje» de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que usen la «Libreta interactiva» como recurso. • Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de ayudas suplementarias para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
Find the volume of a sphere with a radius of 5 cm. Show the formula and your work. V = 4 𝜋𝜋r3 3
V = 4 × 3.14 × 53 3
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
V = 4.19 × 125 V = 523.75 cm3
1. Dé una copia de la «Revisión rápida» a cada estudiante. 8.
What is the relationship between the volume of a cone and the volume of a cylinder?
2. Cada uno debe completarla de forma independiente. 3. Use la rúbrica de habilidades al final de la «Revisión rápida» para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional.
1
A cone is 3 of the volume of a cylinder.
9.
4. Distribuya una copia del «Repaso» a cada uno.
How much of the volume of a cylinder is filled with a sphere? 2 3
10.
5. Cada estudiante debe completar el «Repaso» como actividad de intervención o de forma independiente.
What is the volume of a cylinder with a diameter of 10 mm and a height of 4 mm? Show the formula and your work.
a.
The diameter is 10, so the radius is 5. V = 𝜋𝜋r2h V = 3.14 × 52 × 4
Si lo desea, reúna a los estudiantes en pequeños grupos para trabajar en las destrezas de repaso. Utilice el «Repaso» como ayuda para la reenseñanza.
6. Distribuya una copia de la «Revisión general» a cada uno.
V = 78.5 × 4 = 314 mm3
7. Cada estudiante debe completarla de forma independiente. 2
8. Analice los resultados de la «Revisión general» al usar la «Lista de verificación para el maestro» para identificar quienes necesitan un repaso adicional y quienes han alcanzado el dominio de los conceptos.
CHECK UP CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: VOLUMEN
ACELERACIÓN: ¿QUÉ PREFERIRÍAS? Volume
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
¿QUÉ PREFERIRÍAS?: LA CESTA DE PICNIC PERFECTA DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
MATERIALES
The Perfect Picnic Basket Use mathematical reasoning and creativity to justify your answer to the Would You Rather question. Justin and his family are going tubing, and they are using picnic baskets to pack a lunch for the day. They have two different styles of picnic baskets to choose from. The base of Picnic Basket A has a diameter of 18 inches. The base of Picnic Basket B has a diameter of 20 inches. Would you rather pack your picnic in Picnic Basket A or Picnic Basket B? Justify your reasoning with mathematics. Find the volume of both containers. Picnic Basket A
Picnic Basket B
IMPRESOS
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
Diameter: 18 in. Height: 12 in.
• 1 rúbrica (por maestro)
Diameter: 20 in. Height: 12 in.
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno. • Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a mirar sus folletos de «Explorar» si necesitan repasar habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros.
Sample answers may include the following: I would rather use Picnic Basket A because it is has a larger volume and can hold more items. I would rather use Picnic Basket B because this picnic basket has a more modern design. If I am packing a small lunch for the family, this size would work. Volume of Picnic Basket A: V = 𝜋𝜋 × r² × h = 3.14 × 9 in.² × 12 in. = 3,052.08 in.³ 1 Volume of Picnic Basket B: V = 1 × 𝜋𝜋 × r² × h = × 3.14 × 10 in.² × 12 in. =
1,256 in.³
3
3
1
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
4. Utilice la rúbrica proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
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GRADO 8: VOLUMEN
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Volume
OPCIONES PARA SEGUIR APRENDIENDO
TABLERO DE OPCIONES
Volume Choose one or more extension activities from the table below. Career Connection
Removalist
Determine the dimensions of a cylinder, a cone, and a sphere, with equal volume. Create a clay sculpture with these solids.
Analogies
Kitchen Connection Choose an ice cream dessert based upon the volumes of containers, which are in the shapes of cylinders, cones, and spheres.
Mathematician Spotlight
Financial Connection
I.M. Pei
MATERIALES IMPRESO
• 1 tablero de opciones (por estudiante)
Ice Cream Desserts
Use the analogies to find the dimensions of a solid when all solids have the same volume. Use the formulas for cones, cylinders, and spheres to find solutions.
Search out several news articles or research papers involving I.M. Pei’s work. Create an informational poster, diorama, or speech to convey this math-savvy architect’s work as it relates to geometry and volume of 3-D solids.
Los estudiantes explorarán las conexiones con el mundo real y las aplicaciones del contenido matemático a través de interacciones con actividades atractivas.
3-D Sculpture
Research the career field of moving companies. Your research must answer the provided questions. Create a presentation to relay your research to the class.
Equivalent Volumes
DESCRIPCIÓN
Art Connection
• 1 juego de hojas de actividades (por estudiante) • 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante) REUTILIZABLE
• Tecnología (si corresponde)
Drink Decisions
We use math every day in our financial world. Explore how cylinders and cones connect to our financial world by completing the handout.
PREPARACIÓN
• Imprima un «Tablero de opciones» y un juego de hojas de actividades para cada estudiante.
1
TABLERO DE OPCIONES
• Imprima una «Autoevaluación del tablero» para cada estudiante. • Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» a cada estudiante. 2. Dé tiempo a los estudiantes para examinar el «Tablero de opciones» y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anímelos a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del tablero, haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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GRADO 8 <<SCOPE NAME>>
GRADO 8
PATRONES EN DATOS BIVARIADOS ACTIVIDADES DE EXPLORACIÓN EXPLORACIÓN 1: DATOS BIVARIADOS
ESTÁNDARES CLAVE Investigar patrones de asociación en datos bivariados. • Construir e interpretar diagramas de dispersión para datos de medición bivariados con el fin de investigar patrones de asociación entre dos cantidades. Describir patrones tales como agrupamiento, valores atípicos, asociación positiva o negativa, asociación lineal y asociación no lineal. • Saber que las líneas rectas se utilizan ampliamente para modelar relaciones entre dos variables cuantitativas. Para diagramas de dispersión que sugieren asociación lineal, ajustar informalmente una línea recta y evaluar informalmente el ajuste del modelo juzgando la cercanía de los puntos de datos a la línea. • Utilizar la ecuación de un modelo lineal para resolver problemas en el contexto de datos de medición bivariados, interpretando la pendiente y la intersección. Por ejemplo, en un modelo lineal para un experimento de biología, interpretar una pendiente de 1.5 cm/hr en el sentido de que una hora adicional de luz solar cada día está asociada con 1.5 cm adicionales en la altura de la planta madura. • Entender que los patrones de asociación también pueden ser vistos en datos categóricos bivariados mostrando frecuencias y frecuencias relativas en una tabla de doble entrada. Construir e interpretar una tabla de doble entrada que resuma datos sobre dos variables categóricas recogidos de los mismos sujetos. Utilizar las frecuencias relativas calculadas para filas o columnas para describir posibles asociaciones entre las dos variables. Por ejemplo, recoja datos de los estudiantes de su clase sobre si tienen o no horario de llegada en las noches los días de colegio y si tienen o no tareas asignadas en casa. ¿Existen pruebas de que los que tienen horario de llegada en las noches los días de colegio también tienden a tener tareas domésticas?».
Los estudiantes se involucran en la construcción e interpretación de datos bivariados a través de la exploración y el análisis práctico. • Los estudiantes trabajan en grupos para recopilar y trazar datos en gráficos de dispersión, identificando varios tipos de asociaciones como positivas, negativas, lineales y no lineales. • Analizan los gráficos de dispersión para entender las relaciones entre las variables, debatiendo conceptos como la agrupación y los valores atípicos. • A través de preguntas guiadas y debates, los estudiantes profundizan su comprensión de los datos bivariados y sus aplicaciones en el mundo real. • La actividad concluye con una charla de matemáticas y reflexión, permitiendo a los estudiantes compartir sus ideas y consolidar su aprendizaje. EXPLORACIÓN 2: LÍNEAS DE TENDENCIA Los estudiantes exploran las relaciones lineales modelando los datos en un gráfico de dispersión y construyendo las líneas de mejor ajuste. • Los estudiantes trabajan en grupos para medir las dimensiones de las manos y registrar los datos en una tabla de la clase. • Crean gráficos de dispersión y utilizan fideos para dibujar las líneas que mejor se ajustan a los datos. • Los estudiantes analizan el gráfico de dispersión para determinar la relación entre las variables y justificar la coloqueción de las líneas. • La actividad concluye con una charla de matemáticas para debatir las observaciones y estrategias, seguida de un «Boleto de salida» para evaluar la comprensión. EXPLORACIÓN 3: ECUACIONES LINEALES Los estudiantes crean y analizan gráficos de dispersión para comprender las relaciones lineales y predecir resultados. • Los estudiantes trabajan en pequeños grupos para crear gráficos de dispersión y dibujar Líneas de tendencia utilizando datos de una recaudación de fondos escolar. • Calculan la pendiente y la intersección y para escribir ecuaciones lineales, prediciendo futuros resultados de la recaudación de fondos.
ACTIVIDADES DE PARTICIPACIÓN
• Mediante preguntas guiadas y debates, los estudiantes exploran diferentes estrategias para analizar datos y hacer predicciones.
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: CUATRO ESQUINAS
• La actividad concluye con una charla matemática, en la que los estudiantes comparten observaciones y perfeccionan su comprensión de las ecuaciones lineales y la interpretación de datos.
Los estudiantes participan en un debate de «Cuatro esquinas» para explorar su comprensión de un estándar anterior e identificar conceptos erróneos. • Los estudiantes examinan cuatro poblaciones de muestra diferentes y eligen la que creen que representa mejor una muestra válida. • Se mueven a la esquina que representa su elección y debaten su razonamiento con sus compañeros. • La clase se reúne de nuevo para compartir ideas y aclarar malentendidos sobre la validez de la muestra. • Si es necesario, se proporciona apoyo adicional para abordar las lagunas en los conocimientos previos. CAPTAR INTERÉS Los estudiantes analizan un conjunto de datos en un gráfico para encontrar la línea de tendencia. • Se presenta a los estudiantes un escenario real con datos bursátiles y se debaten las tendencias y predicciones. • Examinan un «Gráfico de dispersión» y aprenden a identificar la línea de tendencia, debatiendo su pendiente y los valores atípicos.
EXPLORACIÓN 4: INTERPRETAR DATOS Los estudiantes participan en la construcción e interpretación de tablas de doble entrada y gráficos de barras segmentados para analizar datos categóricos. • Los estudiantes trabajan en grupos para registrar los datos de la encuesta en una tabla de doble entrada y calcular las frecuencias relativas. • Crean gráficos de barras segmentados para representar visualmente los datos e interpretar los resultados. • La actividad incluye preguntas guiadas para profundizar en la comprensión de la representación y asociación de datos. • Los estudiantes participan en debates para compartir estrategias y puntos de vista, mejorando sus habilidades analíticas.
• Después de completar las actividades de «Explorar» relacionadas, los estudiantes vuelven a analizar el escenario para profundizar en su comprensión y aplicar sus conocimientos. • La clase debate sobre otros escenarios en los que los diagramas de dispersión y las rectas de mejor ajuste podrían ser útiles, teniendo en cuenta diferentes tipos de relaciones y posibles valores atípicos.
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GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS <<SCOPE NAME>> GRADO 8
ALCANCE: IDEAS FUNDAMENTALES EXPLORACIONES DE DATOS
PENDIENTES Los estudiantes aplican sus habilidades en el análisis de bivariados utilizando herramientas para organizar E INTERSECCIONES datos e interpretar grandes cantidades de datos. Investigan
patrones de asociación en los datos, incluidos valores atípicos y conglomerados, y utilizan la tecnología para dar sentido a estas relaciones. Esto permite a los estudiantes aplicar los conceptos de análisis de datos bivariados a contextos del mundo real, mejorando su capacidad para interpretar datos y reconocer tendencias en grandes conjuntos de datos. Los estudiantes se centran en las relaciones lineales entre dos variables construyendo gráficos a partir de datos bivariados y analizando la pendiente y la intersección de la línea de regresión. Mediante actividades como el ajuste de una línea recta a un conjunto de puntos de datos, utilizan la pendiente y la intersección, que representan la tasa de cambio y el valor inicial en un modelo lineal. Esta comprensión de las pendientes y las intersecciones Ayude a los estudiantes a interpretar y predecir mejor los resultados basándose en las relaciones entre dos variables, como los fondos recaudados a lo largo del tiempo.
INTERPRETAR DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN
DATOS, GRÁFICAS Y TABLAS
CONCEPTOS CLAVE • Puedo construir e interpretar diagramas de dispersión de datos de medidas bivariadas para investigar patrones. • Puedo describir patrones como agrupaciones, valores atípicos, asociación positiva o negativa, asociación lineal y asociación no lineal. • Puedo describir cómo se utilizan las líneas rectas para modelar relaciones lineales entre dos variables cuantitativas. • Puedo ajustar informalmente una línea recta a puntos de datos y evaluarla informalmente juzgando la proximidad de los puntos de datos a la línea. • Puedo modelar relaciones lineales del mundo real en un gráfico. • Puedo utilizar una ecuación lineal para resolver problemas en el contexto de datos de medición bivariados.
Los estudiantes construyen e interpretan diagramas de dispersión de datos de medidas bivariados para explorar patrones como conglomerados, valores atípicos y asociaciones lineales o no lineales. Analizan las relaciones entre los datos e identifican si existe una correlación positiva o negativa entre dos variables, como la altura y el número de calzado, o las ausencias y las calificaciones de los exámenes. Examinando la proximidad de los puntos de datos a la línea de tendencia, los estudiantes comprenden cómo se comportan los datos y predicen tendencias basándose en estos patrones. Esta experiencia práctica les ayuda a comprender la importancia de los diagramas de dispersión para visualizar e interpretar las asociaciones de datos, una habilidad fundamental para analizar relaciones bivariadas.
Los estudiantes amplían su comprensión de los datos bivariados construyendo gráficos a partir de tablas de doble entrada, que resumen las relaciones entre dos variables categóricas. Mediante el cálculo de frecuencias relativas y la creación de gráficos de barras segmentados, analizan datos de encuestas y exploran asociaciones entre diferentes categorías, como por ejemplo si los estudiantes con horario de llegada en las noches los días de colegio también tienen tareas asignadas en casa. Este proceso Ayude a los estudiantes a ver cómo la representación gráfica y la tabulación de datos pueden revelar patrones, incluyendo asociaciones positivas o negativas, y apoya su capacidad para describir e interpretar las relaciones de datos a través de representaciones visuales.
PREGUNTAS FUNDAMENTALES • Describa lo que representa un gráfico de dispersión. • Describa cómo se verían, en un gráfico, los patrones tales como agrupamiento, valores atípicos, asociación positiva o negativa, asociación lineal y asociación no lineal. • ¿Por qué son importantes las frecuencias al recopilar datos y representarlos en un gráfico de dispersión? • Describa cómo interpretar los datos mostrados en tablas de doble entrada. • Describa qué hace que una línea sea un buen ajuste.
• Puedo interpretar la forma de una pendiente y la intersección de una línea de tendencia para datos bivariados. • Puedo entender cómo utilizar una tabla de doble entrada para mostrar datos categóricos bivariados. • Puedo construir e interpretar una tabla de doble entrada que resuma datos sobre dos variables categóricas recogidos del mismo sujeto. • Puedo utilizar frecuencias relativas calculadas para filas o columnas para describir posibles asociaciones entre las dos variables. ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO ¿QUÉ ESTOY ENSEÑANDO?
CONTENIDOS DE APOYO Investigar patrones de asociación en datos bivariados. • Construir e interpretar diagramas de dispersión para datos de medición bivariados con el fin de investigar patrones de asociación entre dos cantidades. Describir patrones tales como agrupamiento, valores atípicos, asociación positiva o negativa, asociación lineal y asociación no lineal. • Saber que las líneas rectas se utilizan ampliamente para modelar relaciones entre dos variables cuantitativas. Para gráficos de dispersión que sugieren una asociación lineal, ajustar informalmente una línea recta y evaluar informalmente el ajuste del modelo juzgando la cercanía de los puntos de datos a la línea.
ALCANCE ACTUAL En este alcance , los estudiantes investigarán patrones de asociación entre dos cantidades para construir e interpretar gráficos de dispersión de datos bivariados. Modelarán las relaciones entre dos variables utilizando una línea recta (la línea de tendencia) y evaluarán la cercanía de los puntos de datos. Los estudiantes interpretarán la pendiente y la intersección de las ecuaciones de los modelos lineales. TÉRMINOS CLAVE • datos bivariados: datos de dos variables que están emparejadas entre sí.
• Utilizar la ecuación de un modelo lineal para resolver problemas en el contexto de datos de medición bivariados, interpretando la pendiente y la intersección. Por ejemplo, en un modelo lineal para un experimento de biología, interpretar una pendiente de 1.5 cm/hr en el sentido de que una hora adicional de luz solar cada día está asociada con 1.5 cm adicionales en la altura de la planta madura.
• datos categóricos: un tipo de datos que pueden dividirse en grupos.
• Entender que los patrones de asociación también pueden ser vistos en datos categóricos bivariados mostrando frecuencias y frecuencias relativas en una tabla de doble entrada. Construir e interpretar una tabla de doble entrada que resuma datos sobre dos variables categóricas recogidos de los mismos sujetos. Utilice las frecuencias relativas calculadas para filas o columnas para describir la posible asociación entre las dos variables. Por ejemplo: recoja datos de los estudiantes de su clase sobre si tienen o no horario de llegada en las noches los días de colegio en las noches de colegio y si tienen o no tareas asignadas en casa. ¿Hay pruebas de que los que tienen horario de llegada en las noches los días de colegio también tienden a tener tareas?
• línea de tendencia (línea de tendencia): línea que mejor representa los datos en un gráfico de dispersión.
CONOCIMIENTOS PREVIOS En 7.º grado, los estudiantes aprendieron el concepto de estadística y la relación entre diferentes datos (7.SP.3). Los estudiantes descubrieron las medidas de centro y variabilidad que surgían de las muestras de diferentes poblaciones. Hicieron inferencias informales sobre estas poblaciones basadas en los conjuntos de datos, obteniendo una comprensión básica de los datos de medición bivariados.
CONCEPTOS ERRÓNEOS Y OBSTÁCULOS
• Al trazar la línea de regresión, los estudiantes pueden conectar accidentalmente los puntos en lugar de trazar una línea recta que los atraviese.
• conglomerado: un grupo de datos que aparecen muy juntos en un gráfico. • correlación: relación entre dos variables que varían juntas. • frecuencia: frecuencia con la que aparece un número en un conjunto de datos.
• asociación lineal: relación proporcional que crea una línea recta en un gráfico. • asociación negativa: una relación entre dos variables que se mueven en direcciones opuestas. • asociación no lineal: una relación que no crea una línea recta. • valor atípico: un número en un conjunto de datos que es mucho mayor o menor que otros números del conjunto. • asociación positiva: una relación en la que los valores de una variable tienden a aumentar a medida que aumentan los valores de la otra variable. • datos cuantitativos: datos numéricos o medidos que se analizan con fines estadísticos. • frecuencia relativa: frecuencia con la que un número aparece en un conjunto de datos dividido por el número total de resultados. • muestra: una parte de la población dada. • diagrama de dispersión: una serie de puntos trazados que muestran la relación entre dos conjuntos de datos. • estadística: el estudio de los datos y la recopilación, organización, representación e interpretación de los datos. • tabla bidireccional: un gráfico utilizado para mostrar la relación entre dos variables categóricas.
• Los estudiantes pueden pensar erróneamente que los diagramas de dispersión son la única forma de representar datos bivariados. • La estadística es uno de los pocos casos en matemáticas en los que puede haber más de una respuesta correcta. Los estudiantes pueden pensar que sus respuestas son incorrectas si no coinciden con las de sus compañeros. • La línea de tendencia informal de los estudiantes puede no ser idéntica a la línea de tendencia exacta. Esto hará que todas las líneas sean ligeramente diferentes. Sin el uso de la tecnología, sólo pueden hacer estimaciones.
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GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO
APLICAR LAS PRÁCTICAS MATEMÁTICAS
• MP.1 Dar sentido a los problemas y perseverar en su resolución: Los estudiantes analizan una descripción y datos para graficar puntos, dibujar la línea de tendencia, escribir la ecuación para la línea de tendencia y predecir valores futuros. Comienzan con puntos de datos y preservan a través del proceso para encontrar los valores futuros deseados. • MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente: Los estudiantes razonan abstracta y cuantitativamente mientras modelan datos bivariados como ecuaciones lineales interpretando la pendiente y la intersección. • MP.3 Construir argumentos viables y analizar el razonamiento de otros: Los estudiantes defienden su coloqueción de una línea de tendencia, así como explican por qué eligieron puntos de datos específicos para ser considerados como valores atípicos. • MP.4 Modelar con matemáticas: Los estudiantes modelan con matemáticas mediante la creación de gráficos de dispersión de datos bivariados. Muestran la relación entre dos variables de datos en tablas de frecuencias bidireccionales. • MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas: Los estudiantes crean y comprueban su línea de tendencia utilizando la tecnología durante la actividad PhET. Comprueban lo cerca que está su recta de la recta real de mejor ajuste creada utilizando la tecnología. • MP.6 Prestar atención a la precisión: Los estudiantes utilizan un lenguaje preciso cuando describen gráficos de dispersión. Utilizan palabras como positivo, negativo, lineal y no lineal para describir la correlación. • MP.7 Buscar y utilizar la estructura: Los estudiantes hacen uso de la estructura al crear asociaciones en datos bivariados. Buscan la estructura en agrupaciones a medida que describen los datos como asociaciones negativas o positivas. • MP.8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos: Los estudiantes toman sus conocimientos sobre tablas de doble entrada y gráficos de barras y los aplican para interpretar más conjuntos de datos. Aprenden a leer las tablas y los gráficos para encontrar frecuencias relativas.
DATOS BIVARIADOS
LÍNEAS DE TENDENCIA
Los estudiantes construirán e interpretarán datos bivariados. Determinarán y describirán asociaciones positivas, negativas, agrupaciones, valores atípicos, ninguna asociación, lineales y no lineales.
Los estudiantes modelarán relaciones lineales en un gráfico y construirán líneas rectas para ajustar informalmente los datos en un diagrama de dispersión. Justificarán estas líneas como un buen o mal ajuste.
Ejemplo: La siguiente tabla muestra el número de empleados de una cafetería local y la cantidad media de tiempo que tardan en servir un pedido. Número de empleados
3
4
5
6
7
8
Tiempo medio para servir un pedido (segundos)
180
138
120
108
96
84
Ejemplo: ¿Cuál de los siguientes gráficos representa una línea de tendencia?
a.
¿Cuál es la asociación entre el número de empleados y el tiempo medio que tardan en servir un pedido? a.
Asociación positiva
b.
Asociación negativa
c.
Sin asociación
d.
Asociación alterada
La respuesta correcta es la opción B. Los estudiantes observarán que a medida que aumenta el número de empleados (el valor x), disminuye el tiempo medio para servir el pedido (el valor y). Se trata de una asociación negativa. Los estudiantes pueden ver que estos puntos, cuando se representan gráficamente, crearán una pendiente negativa.
b.
c.
d. La respuesta correcta es la opción B. Aunque las otras tres opciones representan los datos de una forma u otra, la línea de tendencia tiene que ser una recta que pase por los puntos de datos, no que los conecte entre sí. Los estudiantes verán que la opción B es la única que lo hace. ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
INICIO: CONTENIDOS DE APOYO
ECUACIONES LINEALES Los estudiantes crearán un gráfico de dispersión para ajustar informalmente una línea a través de los datos. Crearán una ecuación lineal basada en esos datos usando la pendiente y la intersección. Ejemplo: Jenna hizo un estudio para determinar si los resultados de sus exámenes aumentan o disminuyen según la cantidad de horas que duerme la noche anterior. La siguiente tabla representa sus resultados. Horas de sueño
9
5
6
6
8
9
10
7
6
8
Puntuación del examen
93
70
77
81
88
91
76
78
68
100
Crea un «Gráfico de dispersión» a partir de los datos anteriores y determina una ecuación lineal basada en los datos. Las respuestas de los estudiantes deben ser similares a las siguientes. Observe que la línea de tendencia puede no ser idéntica a ésta; por lo tanto, sus ecuaciones lineales variarán.
Los estudiantes deben escribir sus ecuaciones lineales basándose en las rectas que crearon. En este caso, la-intersección con y es 40 y la pendiente es 6/1 = 6. Por lo tanto, la ecuación lineal de esta recta sería y = 6x + 40.
INTERPRETAR LOS DATOS
24
Los estudiantes construirán e interpretarán los datos dados en una tabla de doble entrada. También se pueden construir gráficos de barras segmentadas para interpretar los datos.
22
18
Hacer las tareas
Ejemplo: La siguiente tabla resume treinta niños a quienes se les preguntó si reciben una mesada y si hacen tareas.
16
No hacer las tareas
20
14 12
Reciben mesada
No reciben mesada
Hacen tareas
16
4
6
No hacen tareas
6
4
4
10 8
De los estudiantes que hacen tareas, ¿Qué porcentaje de ellos no recibe una mesada?. Utiliza la información anterior para crear un gráfico de barras segmentado. a.
20 %
b.
25 %
c.
13 %
d.
16 %
La respuesta correcta es la opción A. Los estudiantes deben fijarse primero sólo en la fila de estudiantes que hacen tareas. Hay 20 estudiantes que hacen tareas. De estos 20 estudiantes que hacen tareas, 4 no reciben asignación. Como 4 entra en 20 cinco veces, es el 20 % de 20. Los estudiantes que accidentalmente eligieron la opción B están determinando qué porcentaje es 4 de 16. A continuación se muestra un ejemplo del gráfico de barras segmentado:
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2
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AVANCES Los estudiantes adquieren una comprensión básica de los datos bivariados y los gráficos de dispersión en 8.º grado. A medida que avanzan a la escuela secundaria, aprenderán a crear una línea exacta de mejor ajuste con el uso de la tecnología. Esto les llevará a descubrir las regresiones lineales y los coeficientes de correlación. Mediante amplias interpretaciones de las tablas de frecuencias, podrán determinar posibles tendencias y asociaciones de los datos.
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GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
ANÁLISIS PROFUNDO DE LOS ESTÁNDARES
CONTENIDO DESGLOSADO ESTÁNDARES Investigar patrones de asociación en datos bivariados. • Construir e interpretar diagramas de dispersión para datos de medición bivariados para investigar patrones de asociación entre dos cantidades. Describir patrones como agrupamiento, valores atípicos, asociación positiva o negativa, asociación lineal y asociación no lineal. • Saber que las líneas rectas se utilizan ampliamente para modelar relaciones entre dos variables cuantitativas. Para gráficos de dispersión que sugieren una asociación lineal, ajuste informalmente una línea recta y evalúe informalmente el ajuste del modelo juzgando la cercanía de los puntos de datos a la línea. • Utilizar la ecuación de un modelo lineal para resolver problemas en el contexto de datos de medición bivariados, interpretando la pendiente y la intersección. Por ejemplo, en un modelo lineal para un experimento de biología, interpretar una pendiente de 1.5 cm/hr en el sentido de que una hora adicional de luz solar cada día está asociada con 1.5 cm adicionales en la altura de la planta madura. • Entender que los patrones de asociación también pueden ser vistos en datos categóricos bivariados mostrando frecuencias y frecuencias relativas en una tabla de doble entrada. Construir e interpretar una tabla de doble entrada que resuma datos sobre dos variables categóricas recogidos de los mismos sujetos. Utilice las frecuencias relativas calculadas para filas o columnas para describir la posible asociación entre las dos variables. Por ejemplo: recoja datos de los estudiantes de su clase sobre si tienen o no horario de llegada en las noches los días de colegio en las noches de colegio y si tienen o no tareas asignadas en casa. ¿Existen pruebas de que los que tienen horario de llegada en las noches los días de colegio también tienden a tener tareas domésticas?
DESGLOSAR EL ESTÁNDAR VERBOS: ¿QUÉ DEBERÍAN HACER LOS ESTUDIANTES? • evaluar: evaluar si algo parece correcto. • construir: construir a partir de dos o más partes. • describir: escribir o contar los detalles de.
SUSTANTIVOS: ¿QUÉ PALABRAS CONCRETAS DEBEN CONOCER LOS ESTUDIANTES? • asociación: la forma (lineal/no lineal), la dirección (positiva/ negativa/ninguna) y la fuerza (débil/moderada/fuerte) que se observa entre dos variables en un diagrama de dispersión. • datos categóricos bivariados: datos de dos variables no numéricas • datos bivariados: datos de dos variables que están emparejadas entre sí. • datos categóricos: un tipo de datos que pueden dividirse en grupos. • variable categórica: datos no numéricos representados por una letra o símbolo. • conglomerado: un grupo de datos que aparecen muy juntos en un gráfico. • columna: un grupo de números, objetos, valores o unidades mostrados verticalmente. • contexto: la situación en la que algo se encuentra o sucede. • datos: una colección de hechos organizados, normalmente en forma numérica, palabras, medidas o descripciones. • punto de datos: punto de un gráfico de dispersión que representa los datos. • ecuación: oración matemática que utiliza números, uno o más símbolos de operación y un signo igual. • frecuencia: frecuencia con la que aparece un número en un conjunto de datos. • intersección: punto en el que la línea de un gráfico cruza el eje x o el eje y. •
línea: elemento geométrico rectilíneo sin grosor, que se extiende sin fin en ambas direcciones; la distancia más corta entre dos puntos.
• asociación lineal: relación proporcional que crea una línea recta en un gráfico. • modelo lineal: relación que cuando se representa gráficamente es una línea recta. • modelo: un ejemplo o representación de algo. • asociación negativa: una relación entre dos variables que se mueven en direcciones opuestas. • asociación no lineal: una relación que no crea una línea recta.
• ajustar: trazar una línea recta a través de los puntos de datos en un «Gráfico de dispersión» para representar mejor la relación de los datos.
• valor atípico: un número en un conjunto de datos que es mucho mayor o menor que otros números del conjunto.
• interpretar: explicar el significado de.
• patrón de asociación: una relación entre conjuntos de datos.
• investigar: explorar una situación matemática.
• asociación positiva: una relación en la que los valores de una variable tienden a aumentar a medida que aumentan los valores de la otra variable.
• conocer: la capacidad de identificar y comprender una idea, fórmula o habilidad. • resolver: encontrar un valor que responda a una pregunta y/o haga cierta una ecuación. • resumir: expresar una idea concisa de la naturaleza o el carácter de alguien o algo.
• patrón: una disposición repetida de números o formas.
• problema: una cuestión que resolver. • variable cuantitativa: una variable numérica que representa una cantidad medible. • cantidad: un número o cantidad; una cantidad que dice cuánto.
• comprender: captar el significado de.
• relación: la regla en un patrón.
• utilizar: aplicar una estrategia
• frecuencia relativa: la frecuencia con la que un número aparece en un conjunto de datos dividido por el número total de resultados.
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GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
INICIO: CONTENIDO DESGLOSADO
• fila: un grupo de números, objetos o unidades mostrados horizontalmente. • diagrama de dispersión: una serie de puntos trazados que muestran la relación entre dos conjuntos de datos. • pendiente: la inclinación de una línea; representada como m en la ecuación pendiente-intersección. • línea recta: una línea sin curvas. • tabla de doble entrada: una tabla usada para mostrar la relación entre dos variables categóricas. • variable: una letra o símbolo que toma el lugar de un número que puede cambiar; una letra que puede representar un número desconocido o un conjunto de números.
IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA
• En grados anteriores, los estudiantes han resuelto problemas del mundo real graficando puntos en los cuatro cuadrantes. Los estudiantes han determinado la frecuencia y los valores atípicos. Los estudiantes también han modelado relaciones lineales en gráficas. • En este nivel de grado, se espera que los estudiantes construyan e interpreten gráficas de dispersión. Localizan relaciones lineales entre datos y utilizan ecuaciones lineales para resolver problemas. Los estudiantes comprenden patrones de asociaciones en datos bivariados. Los estudiantes analizan los datos mediante líneas de tendencia y la proximidad de los puntos de datos a la línea de tendencia. Los estudiantes interpretan la pendiente y los interseccións de las rectas con base en el contexto.
ALINEACIÓN VERTICAL GRADO
ESTÁNDAR
6
Resolver problemas matemáticos y del mundo real graficando puntos en los cuatro cuadrantes del plano de coordenadas. Incluir el uso de coordenadas y valor absoluto para encontrar distancias entre puntos con la misma primera coordenada o la misma segunda coordenada.
8
Construir e interpretar gráficos de dispersión para datos de medición bivariados para investigar patrones de asociación entre dos cantidades. Describir patrones tales como agrupamiento, valores atípicos, asociación positiva o negativa, asociación lineal y asociación no lineal.
8
Saber que las líneas rectas se utilizan ampliamente para modelar relaciones entre dos variables cuantitativas. Para gráficos de dispersión que sugieren una asociación lineal, ajustar informalmente una línea recta y evaluar informalmente el ajuste del modelo juzgando la cercanía de los puntos de datos a la línea.
8
Utilizar la ecuación de un modelo lineal para resolver problemas en el contexto de datos de medición bivariados, interpretando la pendiente y la intersección.
8
Comprender que los patrones de asociación también se pueden ver en datos categóricos bivariados mostrando frecuencias y frecuencias relativas en una tabla de doble entrada. Construir e interpretar una tabla de doble entrada que resuma datos sobre dos variables categóricas recogidos de los mismos sujetos. Utilizar frecuencias relativas calculadas para filas o columnas para describir la posible asociación entre las dos variables.
Preparatoria
Resumir datos categóricos para dos categorías en tablas de frecuencias de doble entrada. Interpretar frecuencias relativas en el contexto de los datos (incluyendo frecuencias relativas conjuntas, marginales y condicionales). Reconocer posibles asociaciones y tendencias en los datos.
Representar datos de dos variables cuantitativas en un «Gráfico de dispersión» y describir cómo se relacionan las variables. Preparatoria
a.
Evaluar informalmente el ajuste de una función trazando y analizando los residuos.
b.
Ajustar una función lineal para un «Gráfico de dispersión» que sugiera una asociación lineal.
Preparatoria
Interpretar la pendiente (tasa de cambio) y la intersección (término constante) de un modelo lineal en el contexto de los datos.
Preparatoria
Calcular (utilizando tecnología) e interpretar el coeficiente de correlación de un ajuste lineal.
Preparatoria
Distinguir entre correlación y causalidad.
Preparatoria
Construir e interpretar tablas de frecuencia de dos vías de datos cuando dos categorías están asociadas con cada objeto que se clasifica. Utilizar la tabla de doble entrada como espacio muestral para decidir si los sucesos son individuals y aproximar probabilidades condicionales.
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GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA MONITOREAR Y AJUSTAR
GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA La guía de instrucción andamiada se proporciona para que los maestros puedan planificar los siguientes pasos basándose en el rendimiento de los estudiantes en las evaluaciones del alcance o en los datos de su evaluación de medición de crecimiento MAP. Se trata de una herramienta integrada que ayuda a los maestros a buscar materiales basados en las necesidades de los estudiantes. Los materiales sugeridos están organizados por estándares. Dentro de cada estándar, los materiales se clasifican además por el rango de percentiles que mejor se adapta. Cuando se usa la guía de instrucción andamiada con los datos de la evaluación de medición de crecimiento MAP, cada tabla puede guiar a los maestros a los materiales sugeridos según los puntajes del área de instrucción de los estudiantes. Se sugiere que todos los estudiantes experimenten con los elementos: «Captar interés», «Exploración», «Muestra lo que sabes» y «Pruebas de habilidades», ya que cubren a fondo los estándares incluidos en el alcance. La guía se divide en cuatro rangos de percentiles para cada estándar. 0 % - 25 %
25 % - 50 %
50 % - 80 %
80 % - 100 %
Refuerzo del grado anterior
Nivel de grado con apoyos
Nivel de grado
Ampliación del nivel de grado
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan refuerzo del contenido del grado anterior.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil necesitan apoyo de intervención de nivel de grado.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil pueden trabajar en contenido de nivel de grado con apoyos de instrucción.
Los estudiantes con puntaje en este rango de percentil están listos para aplicar su conocimiento del contenido en una variedad de actividades.
Para interpretar y responder al rendimiento del estudiante en las evaluaciones de alcance, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos recopilados a través de la plataforma en línea o el «Mapa de calor» individual para determinar el rango percentil del estudiante para cada estándar evaluado. 2. Las tablas proporcionadas recomiendan un conjunto de materiales de instrucción para cada rango percentil dentro de cada estándar evaluado. Elija cuál de estos materiales usará para apoyar mejor al estudiante de acuerdo con sus datos de evaluación. 3. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material elegido para el estudiante. Para interpretar y responder al desempeño del estudiante en la evaluación de medición de crecimiento MAP, complete los siguientes pasos: 1. Revise los datos proporcionados para determinar el percentil, el área de instrucción y/o el desglose de estándares para cada estudiante. 2. Encuentre el alcance que incluye los estándares que necesitan enfoque o intervención. 3. Acceda a la sección «Scaffolded Instruction Guide» en el menú desplegable «Home» del alcance. 4. Haga clic en el enlace directo de la plataforma en línea para acceder al material recomendado para el estudiante. La guía es un plan sugerido y no se limita a los estándares y actividades incluidos. Además, no todas las actividades sugeridas necesitan ser completadas por cada estudiante. Área de instrucción: Estadística y probabilidad Todos los estudiantes: • Captar interés • Exploración • Muestra lo que sabes • Prueba de habilidades
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GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Construir e interpretar diagramas de dispersión de datos de medición bivariados para investigar patrones de asociación entre dos cantidades. Describir patrones tales como agrupamiento, valores atípicos, asociación positiva o negativa, asociación lineal y asociación no lineal.
Saber que las líneas rectas se utilizan ampliamente para modelar relaciones entre dos variables cuantitativas. Para gráficos de dispersión que sugieren una asociación lineal, ajustar informalmente una línea recta y evaluar informalmente el ajuste del modelo juzgando la cercanía de los puntos de datos a la línea.
Repaso y práctica de habilidades
6 - Resolución de problemas en el plano de coordenadas
Constructor de fluidez
Repaso y práctica de habilidades
Práctica interactiva • Lluvia de gnomos Prueba de habilidades 7 - Inferencias informales
0 % - 25 %
• Resolución de problemas en planos de coordenadas
Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez
(Refuerzo del grado anterior)
(Refuerzo del grado anterior)
0 % - 25 %
6 - resolución de problemas en planos de coordenadas
• Comparación de datos
• Lluvia de gnomos Prueba de habilidades 7 - Inferencias informales Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez
Acceso a conocimientos previos
8 - Patrones en datos bivariados
Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (Pregunta 1) • Repaso (Correlación en la sección de diagramas de dispersión, y en la sección de características de datos bivariados).
(Nivel de grado con apoyos)
Prueba de habilidades
Libreta interactiva Constructor de fluidez • Datos bivariados
(Nivel de grado)
Vocabulario interactivo
Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (Pregunta 2) • Repaso (Sección: Características de datos bivariados)
8 - Patrones en datos bivariados 50 % - 80 %
Vocabulario ilustrado
Acceso a conocimientos previos
• Revisión (Preguntas 5-6)
• Revisión (Preguntas 1-4, 6) 8 - Patrones en datos bivariados
(Nivel de grado)
Práctica interactiva
8 - Patrones en datos bivariados
25 % - 50 %
(Nivel de grado con apoyos)
25 % - 50 %
• Resolución de problemas en el plano de coordenadas
• Comparación de datos
Prueba de habilidades
50 % - 80 %
Constructor de fluidez
Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo Libreta interactiva Constructor de fluidez • Datos bivariados Conexiones lingüísticas
Ciencia de datos
Tarea de representación matemática Preferiría usted Tablero de opciones
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(Ampliación del nivel de grado)
8 - Patrones en datos bivariados
80 % - 100 %
80 % - 100 %
(Ampliación del nivel de grado)
Conexiones lingüísticas 8 - Patrones en datos bivariados Tarea de representación matemática Tablero de opciones
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GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
INICIO: GUÍA DE INSTRUCCIÓN ANDAMIADA
Constructor de fluidez • Comparar datos Prueba de habilidades
0 % - 25 %
Repaso y práctica de habilidades
(Refuerzo del grado anterior)
7 - Inferencias informales 7 - Inferencias informales Repaso y práctica de habilidades Constructor de fluidez • Comparar datos Prueba de habilidades
• Repaso (Sección: Características de datos bivariados) • Revisión (Preguntas 5, 7-10)
8 - Patrones en datos bivariados Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo
(Nivel de grado)
• Revisión rápida (Pregunta 3)
(Nivel de Grado Extendido)
Repaso y práctica de habilidades
50 % - 80 %
Constructor de bases fundamentales
25 % - 50 %
Acceso a conocimientos previos
(Nivel de grado con apoyo)
8 - Patrones en datos bivariados
80 % - 100 %
(Refuerzo del grado anterior) (Nivel de grado con apoyos) (Nivel de grado)
(Ampliación del nivel de grado)
80 % - 100 %
50 % - 80 %
25 % - 50 %
0 % - 25 %
Utilizar la ecuación de un modelo lineal para resolver problemas en el contexto de datos de medición bivariados, interpretando la pendiente y la intersección. Por ejemplo: en un modelo lineal para un experimento de biología, interpreta una pendiente de 1.5 cm/hr en el sentido de que una hora adicional de luz solar cada día está asociada con 1.5 cm adicionales en la altura de la planta madura.
Comprender que los patrones de asociación también pueden observarse en datos categóricos bivariados mostrando frecuencias y frecuencias relativas en una tabla de doble entrada. Construir e interpretar una tabla de doble entrada que resuma datos sobre dos variables categóricas recogidos de los mismos sujetos. Utilice las frecuencias relativas calculadas para filas o columnas para describir la posible asociación entre las dos variables. Por ej., recoja datos de los estudiantes de su clase sobre si tienen o no horario de llegada en las noches los días de colegio en las noches de colegio y si tienen o no tareas asignadas en casa. «¿Existen pruebas de que los que tienen horario de llegada en las noches los días de colegio también tienden a tener tareas?».
8 - Patrones en datos bivariados Acceso a conocimientos previos Constructor de bases fundamentales Repaso y práctica de habilidades • Revisión rápida (Pregunta 4) • Repaso (Sección: Tablas de doble entrada)
8 - Patrones en datos bivariados Vocabulario ilustrado Vocabulario interactivo
Libreta interactiva Conexiones lingüísticas
8 - Patrones en datos bivariados Tablero de opciones
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8 - Patrones en datos bivariados Tablero de opciones
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GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
ATRAER: ACCEDER A CONOCIMIENTOS PREVIOS Patterns in Bivariate Data
EVALUAR PREVIAMENTE EL CONOCIMIENTO DEL ESTUDIANTE
ACCESO A CONOCIMIENTOS PREVIOS: CUATRO ESQUINAS ESTÁNDAR PREVIO Entender que la estadística puede usarse para obtener información sobre una población examinando una muestra de la población. Las generalizaciones sobre una población a partir de una muestra son válidas sólo si la muestra es representativa de esa población. Comprender que el muestreo aleatorio tiende a producir muestras representativas y apoyar inferencias válidas.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes dialogarán con sus compañeros de clase sobre su comprensión del estándar anterior a través de un debate de «Cuatro esquinas». Este elemento está diseñado para descubrir los conceptos erróneos de los estudiantes; no debe tomarse para una calificación.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 juego de «Diapositivas de las cuatro esquinas» (por clase)
Four Corners – SCENARIO It is Teacher Appreciation Week at Adams Middle School. There are 78 teachers for 1,200 students. Mrs. Egger, the principal, wants to do something nice for her hard-working teachers. She decides to take a survey to help her make the best decision for her teachers.
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CUATRO ESQUINAS
PREPARACIÓN
• Imprima un juego de las «Diapositivas de las cuatro esquinas». • Cuelgue la diapositiva del escenario en la parte delantera del aula, fácilmente visible para todos los estudiantes. • Cuelgue las cuatro diapositivas restantes en cuatro áreas separadas del aula, fácilmente visibles para todos.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Pida a los estudiantes que observen las cuatro esquinas y piensen qué población de las esquinas define mejor una población de muestra válida. 2. Conceda 2 minutos de tiempo para pensar. 3. Pida a los estudiantes que pasen a la población de muestra de la esquina que eligieron. Pida a cada grupo que comente con los demás por qué eligieron la población de muestra.
IDENTIFICACIÓN DE CONCEPTOS ERRÓNEOS
• Diapositiva 1: Los estudiantes que seleccionan esta diapositiva pueden creer que mientras se pregunte a una parte de la población, la muestra es válida. Esta muestra puede no ser lo suficientemente grande o diversa como para ser representativa de la población. • Diapositiva 2: Los estudiantes que seleccionan esta diapositiva pueden creer que mientras se pregunte a una parte de la población, la muestra es válida. Esta muestra puede no ser lo suficientemente grande o diversa como para ser representativa de la población. • Diapositiva 3: Los estudiantes que seleccionan esta diapositiva pueden no comprender que preguntar sólo a los integrantes del Consejo Estudiantil es tomar una muestra muy pequeña y no representativa de la población. • Diapositiva 4: Esta es la diapositiva correcta.
4. Conceda de 2 a 5 minutos de debate en las poblaciones de muestra de las esquinas. Después de que los estudiantes hayan comentado por qué eligieron sus respuestas, hable sobre la respuesta con la clase y permita que los estudiantes expliquen su representación del problema. 5. Si los estudiantes tienen dificultades para completar esta tarea, realice el «Constructor de bases fundamentales» a fin de llenar este vacío en el conocimiento previo antes de pasar a otras partes del alcance.
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GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
ATRAER: ACCEDER A CONOCIMIENTOS PREVIOS
Patterns in Bivariate Data
Patterns in Bivariate Data
Four Corners – Slide 1
Four Corners – Slide 2
Mrs. Egger asked all of the math teachers to vote for their first choice.
Mrs. Egger asked all of the male teachers to vote for their first choice.
2
3
Patterns in Bivariate Data
Patterns in Bivariate Data
Four Corners – Slide 3
Four Corners – Slide 4
Mrs. Egger asked the students who were Student Council officers to vote for their first choice for the teachers.
There were two lunch periods, and Mrs. Egger asked the teachers who had first lunch period to vote for their first choice. 4
5
CUATRO ESQUINAS
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GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
ATRAER: CAPTAR INTERÉS
Patterns in Bivariate Data
LECCIÓN MOTIVADORA
Scatterplot
CAPTAR INTERÉS DESCRIPCIÓN Los estudiantes observan un conjunto de datos en un gráfico y encuentran una línea de tendencia.
MATERIALES IMPRESOS • 1 gráfico de dispersión (por clase) REUTILIZABLES
1
• 1 fenómeno (por clase)
PREPARACIÓN
• Planifique mostrar el fenómeno. • Prepárese para proyectar el «Gráfico de dispersión» para que toda la clase lo vea. • Prepárese para presentar el escenario y anime a los estudiantes a pensar en cómo resolverlo. Prepárese para pasar a las actividades de «Explorar», regresando luego a la actividad de «Captar interés» con los nuevos conocimientos adquiridos una vez que se hayan completado las «Exploraciones».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I: EXPLORACIÓN PREVIA 1. Presente esta actividad hacia el comienzo del alcance. La clase retomará la actividad y resolverá el problema original después de que los estudiantes hayan completado las actividades de la sección «Explorar» correspondientes. 2. Muestre el fenómeno. Formule a los estudiantes las siguientes preguntas: «¿Qué observas? ¿Dónde puedes ver matemáticas en esta situación?». Permita que los estudiantes compartan todas sus ideas. 3. Explique el escenario a la clase: «Jane ha recopilado muchos datos sobre el precio de una acción que ha estado siguiendo en el mercado de valores. La acción se ha calificado de "volátil", lo que ella ha deducido que significa que el precio cambia muchas veces al día. Después de seguir el precio de la acción durante el último mes, cree que tiene datos suficientes para ver una tendencia. Quiere intentar predecir lo que harán las acciones la semana que viene para decidir si debe comprar más o vender lo que ya tiene». 4. Permita que los estudiantes hagan preguntas y aclaren el contexto según sea necesario. Anímeles a compartir sus ideas y experiencias con la clase utilizando las siguientes preguntas: a.
«¿Has oído hablar del mercado de valores?».
b.
«¿Dónde has oído antes la palabra tendencia?».
c.
«¿Por qué crees que podría ser bueno invertir en el mercado de valores?».
5. Proyecte el gráfico de dispersión.
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GRÁFICO DE DISPERSIÓN 6. Explique a los estudiantes que Jane Planee crear una línea que se aproxime mejor a todos los datos que ha recopilado en lugar de conectar los puntos uno a uno. Comente las siguientes preguntas con la clase: a.
DOK-1 «¿Por qué esta línea podría ser una mejor manera de predecir el comportamiento futuro de las acciones?». El precio de las acciones sube y baja al azar, pero esta línea muestra más bien un promedio del precio de las acciones.
b.
DOK-1 «¿La línea creada por Jane tiene una pendiente positiva o negativa?». La línea tiene una pendiente positiva.
c.
DOK-1 «¿Hay algún punto que esté lejos del resto de los datos?». Hay un par de puntos que no están cerca del resto de los datos.
7. Continúe para completar las actividades de «Explorar».
PARTE II: DESPUÉS DE EXPLORAR 1. Después de que los estudiantes hayan completado las actividades de la sección «Explorar» para este tema, muestre nuevamente el fenómeno y repita el escenario. 2. Refiérase al «Gráfico de dispersión» y comente las siguientes preguntas con la clase: a.
DOK-1 «¿Por qué esta línea podría ser una mejor manera de predecir el comportamiento futuro de la acción?». El precio de las acciones sube y baja al azar, pero esta línea muestra más bien un promedio del precio de las acciones.
b.
DOK-1 «¿La línea creada por Jane tiene una pendiente positiva o negativa?». La línea tiene una pendiente positiva.
c.
DOK-1 «¿Hay algún punto que esté lejos del resto de los datos?». Hay un par de puntos que no están cerca del resto de los datos.
d.
DOK-1 «¿Cómo puedes encontrar la ecuación de la línea de regresión?». Eliges dos puntos de la recta, hallas la pendiente y luego hallas la intersección con el eje y. Introduces la pendiente y intersección con el eje y en la forma pendiente-intersección de la ecuación lineal.
e.
DOK-1 «¿Cuál es la ecuación de la recta?». Usé los puntos (0, 6) y (30, 60) encontré que la ecuación es y 9 x + 6. = ___ 5
f.
DOK-1 «¿Qué significan los puntos alejados?». Esos puntos son valores atípicos. Pueden descartarse de los datos.
3. Desafíe a la clase a debatir otro escenario en el que un gráfico de dispersión pueda ser útil. Guíe a los estudiantes para que piensen en escenarios que muestren un gráfico de dispersión positivo, negativo o sin relaciones. Amplíe el aprendizaje de los estudiantes preguntándoles qué posibles valores atípicos podría haber para cada escenario.
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GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 1: DATOS BIVARIADOS Estándar(es) • Investigar patrones de asociación en datos bivariados. Construir e interpretar diagramas de dispersión para datos de medición bivariados con el fin de investigar patrones de asociación entre dos cantidades. Describir patrones tales como agrupamiento, valores atípicos, asociación positiva o negativa, asociación lineal y asociación no lineal.
Ideas fundamentales
Estándares para la práctica matemática
Interpretar gráficos de dispersión
MP.4 Modelar con matemáticas.
Exploración de datos
MP.6 Atender a la precisión.
Pendientes e intersecciones
MP.7 Buscar y hacer uso de la estructura.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes construyen e interpretan datos bivariados. Determinan y describen asociaciones positivas, negativas, agrupaciones, valores atípicos, ninguna asociación, lineales y no lineales.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 juego de «hojas de recolección de datos» (por clase) • 1 juego de gráficos de dispersión en blanco (por clase) • 1 boleto de salida (por estudiante) REUTILIZABLE
• 1 cinta métrica (por clase) CONSUMIBLE
• 1 rollo de cinta (por maestro)
PREPARACIÓN
• Planifique que los estudiantes trabajen en 6 grupos para completar esta actividad. Numere los grupos del 1 al 6. • Imprima el «Diario del estudiante» y el «Boleto de salida» para cada alumno. • Imprima las «Hojas de recolección de datos» para cada clase. • Imprima los «Gráficos de dispersión» en blanco para cada clase y péguelos en la pared del frente. • Proporcione una cinta métrica para el grupo 2. • Para los estudiantes que necesitan más apoyo para recordar información, consulte nuestro elemento de «Ayudas suplementarias: plano de coordenadas del primer cuadrante» en la sección «Intervención».
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Conexiones de contenido
Motores de investigación
CC1 Razonar con datos
DI1 Dar sentido al mundo: Comprender y explicar.
CC2 Explorar cantidades cambiantes.
DI2 Predecir lo que podría ocurrir: Predecir.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «El general Zane ha llegado al planeta Tierra con la misión de aprender más sobre los estudiantes. Quiere abrir una escuela en su planeta natal, pero antes quiere explorar las relaciones entre las distintas variables humanas. El general Zane ha hecho algunas preguntas extrañas, y depende de tu grupo investigar y darle las respuestas que necesita. Recopila y analiza datos para completar el informe del general Zane». 2. Ayude a los estudiantes a acceder a la tarea formulando las siguientes preguntas orientadoras: a. «¿Qué sabes ya acerca del análisis de datos?». b. «¿Qué son las variables humanas? ¿Qué crees que puede preguntar el general Zane?». 3. Entregue a cada grupo la «Hoja de recolección de datos» correspondiente y una cinta métrica al grupo 2. 4. Explique a los estudiantes que trabajarán en sus grupos para recoger al menos 5 datos sobre el tema de la encuesta que se les ha asignado. A continuación, pida a los grupos que grafiquen sus datos en el correspondiente «Gráfico de dispersión» en blanco pegado en la pared de enfrente. 5. Una vez completados los gráficos de dispersión, entregue un «Diario del estudiante» a cada alumno. 6. Explique a los estudiantes que dibujarán rápidamente el «Gráfico de dispersión» de cada grupo en el «Diario del estudiante». Los estudiantes trabajarán con sus grupos para analizar los gráficos de dispersión y responder a las preguntas del general Zane. 349
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GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Patterns in Bivariate Data Explore 1
7. Supervise y hable con los estudiantes según sea necesario para comprobar la comprensión utilizando las siguientes preguntas orientadoras: a.
DOK-1 «¿Qué aspecto tendrían los puntos de datos en un gráfico de dispersión con una relación positiva?». Los puntos aumentarían a lo largo del gráfico.
b.
DOK-1 «¿Qué aspecto tendrían los puntos de datos de un gráfico de dispersión con una relación negativa?». Los puntos disminuirían a lo largo del gráfico.
c.
DOK-1 «¿Ves algún gráfico de dispersión que no aumente o disminuya? ¿Los considerarías positivos o negativos?». Los gráficos 1 y 6 tienen puntos de datos que están dispersos por la cuadrícula. No son ni crecientes ni decrecientes. No los consideraría ni positivos ni negativos.
d.
DOK-2 «¿Qué significa que los datos sean lineales? ¿Hay algún gráfico de dispersión que parezca lineal?». Lineal significa que los datos siguen una línea recta. Los gráficos 2, 3, 4 y 5 parecen ser lineales.
General Zane Visits Planet Earth Part I Sketch the scatterplot created by each group. Use the scatterplots to complete General Zane’s Report. Sample answers are provided. 1
2
3
4
5
6
8. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la «Parte 1» y responder a las preguntas que siguen. 9. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímeles a hacerse preguntas y establecer conexiones. Anime a los estudiantes a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias utilizadas para construir y analizar datos.
1
10. Después de completar la «Parte 1», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y lo aprendido hasta el momento.
Patterns in Bivariate Data Explore 1
CHARLA DE MATEMÁTICAS
Explique a los estudiantes: Cada grupo comparó 2 variables diferentes para analizar la relación entre ellas. Cada vez que los matemáticos comparan 2 variables entre sí, esto se denomina datos bivariados. • DOK-2 «Piensa en los términos bicicleta, bifocal y bipartito. ¿Por qué crees que los matemáticos utilizan el término datos bivariados?». Todas esas palabras empiezan con el prefijo bi-, que significa 2. Por lo tanto, bivariante debe significar comparar 2 conjuntos de datos o 2 variables. • DOK-2 «¿Cómo le describirías al general Zane la relación entre la altura y el número de calzado de un ser humano?». Le diría al general Zane que a medida que un ser humano crece en altura, su talla de zapatos aumenta. Existe una relación positiva entre estas dos variables. • Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: ◦ DOK-2 «¿Cómo le explicaría al general Zane la relación entre la cantidad de dinero gastado y la cantidad de dinero ahorrado?». Le diría al general Zane que a medida que un ser humano gasta más dinero, ahorra menos dinero. Existe una relación negativa entre estas dos variables.
General Zane’s Report 1.
Which scatterplots could be described as having a positive relationship? Graphs 2 and 3 have a positive relationship as the points are increasing.
2.
Which scatterplots could be described as having a negative relationship? Graphs 4 and 5 have a negative relationship as the points are decreasing.
3.
Which scatterplots could be described as having no relationship? Graphs 1 and 6 have no relationship as the points are scattered.
4.
Which scatterplots could be described as having a linear relationship? Graphs 2, 3, 4, and 5 have a linear relationship as the points are in a straight line.
5.
Which scatterplots could be described as having a nonlinear relationship? Graphs 1 and 6 have a nonlinear relationship as the points do not form a straight line Answers may vary slightly depending on class data.
2
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
350
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GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Patterns in Bivariate Data Explore 1
Part II
Analyze the scatterplot to determine the association between the number of absences and test scores. Then, complete Principal Zed’s report.
Explique a los estudiantes: «Cuando los matemáticos describen la relación entre dos variables, la llaman asociación. La asociación entre dos variables puede ser positiva o negativa, o puede no haber asociación». • DOK-1 «¿Viste algún gráfico de dispersión que fuera perfectamente lineal?». Explícalo. No, había gráficos de dispersión que se parecían a una línea perfectamente recta, pero nada con la misma pendiente exacta entre cada punto de datos. Explique a los estudiantes: «Las variables también pueden tener asociación lineal y asociación no lineal. Si los puntos de datos se parecen mucho a una línea, entonces la relación se describe como lineal. Debido al error humano en la recolección de datos, a menudo es difícil lograr un conjunto de datos perfectamente lineal».
Principal Zed’s Report 1.
PARTE II
Circle all of the terms that correctly describe the association between the number of absences and test scores. Positive
Negative Linear
Nonlinear
2.
Sometimes scatterplots show data points that are considered outliers. Draw a box around any point that could be considered an outlier.
3.
Are there any data points that are clustered together? If so, circle the cluster(s).
4.
Is the coordinate (2, 20) a good representation of the relationship between the number of absences and test scores? Explain. No, point (2, 20) is not a good representation of the relationship between the number of absences and test scores. This is because it is far from the rest of the data points. It is an outlier. 3
1. Lea el siguiente escenario a la clase: «El general Zane ha regresado a la Tierra con el director Zed para analizar un conjunto más de datos bivariados. Han estudiado una escuela para averiguar cómo afectan las ausencias a las puntuaciones de los estudiantes en los exámenes. Utiliza tus conocimientos sobre datos bivariados para analizar el gráfico de dispersión y completar el informe del director Zed». 2. Ayude a los estudiantes a acceder a la tarea planteándoles las siguientes preguntas orientadoras:
Patterns in Bivariate Data Explore 1
Reflect 1.
The association between students’ averages in math and averages in science are shown on the scatterplots below.
a. «¿Qué sabes ya acerca de los diagramas de dispersión?». b. «¿Existe alguna relación entre cuándo faltas a clase y tus notas?». En caso afirmativo, «¿Por qué sí o por qué no?». 3. Explique a los estudiantes que analizarán el «Gráfico de dispersión de ausencias verus las calificaciones de exámenes» y trabajarán con sus grupos para completar el informe del director Zed. 4. Supervise y hable con los estudiantes según sea necesario para comprobar la comprensión mediante las siguientes preguntas orientadoras:
Which class has a stronger relationship between the average in math and the average in science? Explain your reasoning. Class B has a stronger relationship because the data points are closer together (more linear) than the data points of Class A. 2.
Sketch a scatterplot that has a negative linear association with 2 outliers and no clusters. One sample answer is provided.
a. DOK-2 «Describe lo que crees que significa el término “valor atípico”». Creo que un valor atípico es un punto de datos que no encaja realmente con el resto de los datos. b. DOK-2 «¿Sería un valor atípico una buena representación de la relación entre las variables?.Explícalo». No, porque un valor atípico no encaja con el resto de los datos, no sería una buena representación. c. DOK-2 «Describe lo que crees que significa el término conglomerado». Creo que un conglomerado es un grupo de puntos de datos que están agrupados o muy juntos.
4
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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d. DOK-2 «Los puntos de datos no están en una línea perfectamente recta. ¿Significa esto que la relación no es lineal? Explica». La relación sigue siendo lineal aunque los datos no sean perfectamente rectos. La asociación lineal ocurre cuando los puntos de datos están cerca de la línea.
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GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Patterns in Bivariate Data Explore 1
5. Deje tiempo para que los estudiantes completen la «Parte II» del «Diario del estudiante», incluidas las preguntas de reflexión. 6. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímelos a que se hagan preguntas y establezcan conexiones. Anime a los estudiantes a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias usadas para describir asociaciones en los datos. 7. Después de realizar la «Parte II» de la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje. Charla de matemáticas • DOK-1 «¿Cómo determinaste si la asociación era positiva, negativa o ninguna de las dos?». A medida que me desplazaba por el gráfico de izquierda a derecha, los puntos de datos disminuían. Esto significa que la asociación es negativa. • Explique a los estudiantes: «Un valor atípico es un punto de datos que es mucho más grande o mucho más pequeño que el resto de los puntos de datos». • Explique a los estudiantes: «Un conglomerado es un grupo de datos que están muy juntos»d. • Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: ◦ DOK-2 «¿Cuál podría ser la razón del conglomerado que aparece en el gráfico de dispersión de «Ausencias vs. resultados de exámenes?». Las respuestas pueden variar. Tal vez hubo más estudiantes con menos ausencias, por lo que hubo más estudiantes con altas calificaciones en los exámenes.
DESPUÉS DE EXPLORAR 1. Pida a los estudiantes que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 2. Completen el «Esquema de anclaje» como clase. 3. Pida a cada estudiante que complete su «Libreta interactiva».
APOYOS PEDAGÓGICOS
Bivariate Data Exit Ticket
Analyze the scatterplots to determine the characteristics of each. Circle all that apply. Scatterplot
Type of Association Positive Negative None Positive Negative None Positive Negative None Positive Negative None Positive Negative None
Linear/ Nonlinear
Cluster/Outlier Present
Linear
Cluster
Nonlinear
Outlier
Linear
Cluster
Nonlinear
Outlier
Linear
Cluster
Nonlinear
Outlier
Linear
Cluster
Nonlinear
Outlier
Linear
Cluster
Nonlinear
Outlier 1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
5. Permita que los estudiantes utilicen un lenguaje y unos descriptores que pueden no ser precisos en esta «Exploración», ya que se perfeccionarán más adelante. Anímeles a encontrar tantas formas como sea posible para describir los datos que están viendo. 6. Haga que los estudiantes comenten cómo creen que deben determinarse los valores atípicos. Invíteles a presentar diferentes criterios para determinar si un punto de un gráfico de dispersión es un valor atípico y si los datos que no tienen una tendencia fuerte pueden seguir teniendo un valor atípico.
1. Antes de la exploración, revise con los estudiantes qué condiciones conducen a líneas con pendientes positivas o negativas para que estén preparados para debatir y razonar sobre la correlación positiva y negativa. 2. Antes de crear cada gráfico de dispersión, pida a los estudiantes que predigan cómo creen que será el gráfico y por qué. 3. Después de completar los gráficos de dispersión, pida a los estudiantes que observen los gráficos «edad vs. color de ojos» y «edad vs. deporte favorito» para debatir por qué los datos categóricos hacen más difícil encontrar una tendencia. 4. Anime a los estudiantes a debatir por qué llamamos lineales a ciertas relaciones incluso si los datos no forman una línea perfecta. «¿En qué sentido es útil esta descripción y en qué sentido es insuficiente o potencialmente confusa?».
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GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 1 Patterns in Bivariate Data Part 1
APOYOS LINGÜÍSTICOS Aclare los significados matemáticos de los siguientes términos clave haciendo hincapié en ellos durante la «Exploración»: diagrama de dispersión, lineal, no lineal, relación positiva, relación negativa, valor atípico, conglomerado, y asociación.
Bivariate Data 1.
Sketch the scatterplot created by each group of data.
Minutes Played
Baskets Made
18
4
24
6
32
8
32
6
35
10
A medida que los estudiantes trabajan y debaten ideas con sus grupos, resuma lo que escucha y repita las ideas y el vocabulario clave mediante la entonación, el habla más lenta y las pistas visuales, como diagrama de dispersión, lineal, no lineal, relación positiva, relación negativa, valor atípico, conglomerado, y asociación.
Age (years)
Hair Color
18
Brown
12
Red
25
Brown
36
Blonde
47
Black
Cree estructuras de frases para el «Diario del estudiante» para ayudar a los estudiantes a escribir sus respuestas para la «Parte I», como las siguientes: • El gráfico __(número)__ tiene una relación positiva/ negativa porque _______. • El gráfico __(número)__ tiene una relación lineal/no lineal porque _______.
1
Patterns in Bivariate Data Part 1
2.
Does the data on the first scatterplot show a positive or negative relationship? Does that make sense? The data shows a positive relationship. Yes, it makes sense because the more minutes you play in a game, the more opportunities you have to make baskets.
3.
Does the data on the second scatterplot show a linear relationship? Does that make sense? No, it shows a nonlinear relationship. Yes, that makes sense because hair color and age are not related to each other.
4.
Look at the data on the scatterplot below.
Invite a los estudiantes a presentar sus gráficos de la pregunta de reflexión 2 a la clase y a explicar qué hace que sea un gráfico con una asociación negativa y qué hace que sea un valor atípico. Colabore para crear un «Esquema de anclaje» hecho por los estudiantes que destaque las palabras y los conceptos clave utilizando representaciones visuales, como: diagrama de dispersión, lineal, no lineal, relación positiva, relación negativa, valor atípico, conglomerado, y asociación. Considere la posibilidad de añadir las palabras en la lengua materna de los estudiantes junto a las palabras en inglés.
Circle all of the terms that correctly describe the association between the temperature and the electricity bill. Positive 5.
Negative
Linear
Nonlinear
There is one outlier on the scatterplot. Give an explanation as to what would cause that outlier. Answers will vary. That outlier shows that even though the temperature was low, the electricity bill was also low. Perhaps the family decided to go on vacation that month, so they were not at home to use electricity. 2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 1) CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 2: LÍNEAS DE AJUSTE Estándar(es) • Investigar patrones de asociación en datos bivariados. Construir e interpretar diagramas de dispersión de datos de medición bivariados para investigar patrones de asociación entre dos cantidades. Describir patrones tales como agrupamiento, valores atípicos, asociación positiva o negativa, asociación lineal y asociación no lineal. • Investigar patrones de asociación en datos bivariados. Saber que las líneas rectas se utilizan ampliamente para modelar relaciones entre dos variables cuantitativas. Para gráficos de dispersión que sugieren una asociación lineal, ajustar informalmente una línea recta y evaluar informalmente el ajuste del modelo juzgando la cercanía de los puntos de datos a la línea.
Ideas fundamentales
Estándares para la práctica matemática
Interpretar gráficos de dispersión
MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente.
Exploración de datos
MP.3 Construir argumentos viables y analizar el razonamiento de otros.
Pendientes e intersecciones
Conexiones de contenido
Motores de investigación
CC1 Razonar con datos
DI1 Dar sentido al mundo: Comprender y explicar.
CC2 Explorar cantidades cambiantes
DI2 Predecir lo que podría ocurrir: Predecir.
MP.4 Modelar con matemáticas. MP.5 Utilizar estratégicamente las herramientas adecuadas.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes modelan relaciones lineales en un gráfico y construyen líneas rectas para ajustar informalmente los datos en un diagrama de dispersión. Los estudiantes justifican cada una de estas líneas como un buen o mal ajuste.
MATERIALES IMPRESO
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 tabla de datos de la clase (por clase) • 1 boleto de salida (por estudiante) REUTILIZABLE
• 1 cinta métrica (por grupo) • 1 fideos de espagueti duros (por estudiante) • 1 proyector o cámara de documentos (por maestro)
PREPARACIÓN
• Planifique que los estudiantes trabajen en grupos de 3 o 4 para completar esta actividad.
• Reúna suficientes fideos espaguetis duros para que cada estudiante tenga uno. • Para los estudiantes que necesiten más apoyo para recordar información, consulte nuestro elemento de «Ayudas suplementarias: Plano de coordenadas del primer cuadrante» en la sección «Intervención».
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Lea el escenario a la clase: «Debido a un brote viral, se imponen mayores medidas de seguridad en el Hospital Woodville. Los médicos no están contentos porque la nueva remesa de guantes de látex no es de la talla adecuada. El personal del Hospital Woodville necesita conocer la longitud y el ancho de la mano de cada médico para asegurarse de que se corrija el pedido de guantes. El hospital necesita que analices la relación entre la longitud y el ancho de la mano para ayudar a determinar las dimensiones que faltan para el pedido de guantes». 2. Ayude a los estudiantes a acceder a la tarea formulando las siguientes preguntas orientadoras: a.
«¿Qué recuerdas sobre los datos bivariados?».
• Imprima el «Diario del estudiante» y el «Boleto de salida» para cada alumno.
b.
«¿Qué tipo de unidad de medida sería mejor para medir la longitud y el ancho de la mano? ¿Por qué?».
• Prepárese para proyectar la« Tabla de datos de la clase» en la pizarra. Asegúrese de que se puede escribir sobre la superficie sobre la que se proyecta. Opcionalmente, imprima una copia para cada clase.
c.
«¿Crees que existe una relación entre la longitud y el ancho de la mano humana?».
• Reúna suficientes cintas métricas para que cada grupo tenga una.
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3. Proyecte la «Tabla de datos de la clase» en la pizarra frontal, o cuelga una «Tabla de datos de la clase» impresa en la pizarra frontal.
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GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2
Patterns in Bivariate Data Explore 2
Patterns in Bivariate Data Explore 2
Hospital Glove Order Use the Class Data Table to construct a scatterplot. Analyze the scatterplot to complete the Woodville Hospital Glove Order. Sample graph
5.
How well does your line fit the data points? I think the line fits the data points well because the points are closely packed around the line.
6.
Is there another line, different from what you drew, that could also represent the data well? Explain. Yes, I could have placed my line slightly steeper and still represent the data well.
7.
Why would it be useful to draw a line through the data points? The line can help me make predictions about other data points not graphed.
Use your scatterplot to predict the missing dimensions for each doctor’s glove order.
Woodville Hospital Glove Order
Doctor
Length of Hand (cm)
Width of Hand (cm)
Santo
20.5
13
1.
How would you describe the association between the length of a hand and the width of a hand? There is a positive linear association between the variables.
2.
What does this graph tell you about the relationship between the length and width of a hand? There is a positive correlation between the length and width of a hand. As the length of hand increases, the width of hand also increases.
Chen
18
11
Hawkins
22.25
14.5
3.
Circle the point or points that appear to be outliers. Outliers may vary if present.
Vygotsky
23
15
4.
Place your hard spaghetti noodle on the graph to show a line that best represents the data. Trace along the spaghetti noodle with your pencil. Make sure your line goes across the entire graph, not just through your data points.
Answers may vary. 1
2
Patterns in Bivariate Data Explore 2
Reflect 1.
3.
Draw a line that would be a good representation of the data in the scatterplot.
2.
Draw a line that would NOT be a good representation of the data in the scatterplot.
How do outliers affect the line that best represents the data? Outliers are data points that are much larger or much smaller than the rest. I ignore them when I am making my line as they are not good representations of the relationship between the variables.
4.
What are some strategies you can use to draw the line that best fits the data? I can draw a line that goes through the most data points. I can draw a line that has the same number of data points on both sides.
5.
Would it be useful to draw a line that best represents data with no correlation? Explain. The line helps you make predictions about data points. If there is no correlation between the variables, then you would not be able to make predictions.
3
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2 4. Explique a los estudiantes que trabajarán en sus grupos para medir la mano de cada miembro en centímetros. Los grupos registrarán los datos de cada persona en la «Tabla de datos de la clase» en la pizarra del frente.
Patterns in Bivariate Data Explore 2
Lines of Fit Exit Ticket In each of the questions below, circle the label of the line that best fits each set of data. 1.
2.
3.
5. Entregue un «Diario del estudiante» y un fideo de espagueti duro a cada alumno. 6. Una vez que se hayan recopilado todos los datos de la clase, haga que los estudiantes creen un gráfico de dispersión de los datos en el «Diario del estudiante». Pida a los estudiantes que trabajen con sus grupos para analizar el gráfico de dispersión para completar el pedido de los guantes para el hospital. 7. Monitoree y hable con los estudiantes según sea necesario para verificar la comprensión utilizando las siguientes preguntas guía: a. DOK-2 «¿Cómo describirías la asociación entre las dos variables?». Utilice los términos positiva, negativa, lineal, o no lineal. La asociación entre las dos variables es positiva y lineal. b. DOK-2 «¿Por qué sería útil trazar una recta a través de los puntos de datos?». La recta podría ayudarme a predecir el ancho o la longitud de una mano para personas que no están en los datos de nuestra clase. c. DOK-2 «¿Cómo determinas si tu recta se ajusta bien a los datos?». Las respuestas pueden variar. Me aseguré de tener el mismo número de puntos de datos a cada lado del fideo espagueti. Traté de que mi fideo espagueti pasara por la mayor cantidad de puntos de datos. d. DOK-2 «¿Afectarán los valores atípicos a la recta que mejor representa los datos?». Explica. Los valores atípicos son puntos de datos que son mucho más grandes o mucho más pequeños que el resto, por lo que no son buenas representaciones de la relación. Ignoraré los valores atípicos cuando haga mi recta. 8. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la «Exploración» y responder a las preguntas que siguen. 9. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímeles a que se hagan preguntas y establezcan conexiones. Anima a los estudiantes a observar las similitudes y diferencias entre las estrategias utilizadas para construir y analizar las líneas de tendencia. 10. Después de realizar la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
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1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
CHARLA DE MATEMÁTICAS
• DOK-2 «¿Cómo determinaste dónde coloquer tu fideo espagueti para representar mejor los datos?». Las estrategias variarán. Traté de que la línea pasara por la mayor cantidad de puntos de datos.Traté de tener la misma cantidad de puntos de datos a cada lado de la línea. • Explique lo siguiente a los estudiantes: «La línea recta que mejor representa los datos en un gráfico de dispersión se denomina línea de tendencia». • Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: ◦ DOK-2 «¿Qué significaría que todos los puntos de datos están cerca de la línea de tendencia?». Cuando los puntos de datos están más cerca de la línea, representan datos que se ajustan bien a la predicción. • DOK-2 «¿Qué significaría si los puntos de datos están más lejos de la línea de tendencia?». Cuando los puntos de datos están más lejos de la línea, representa datos que no se ajustan bien a la predicción. • DOK-3 «¿Puedes dibujar una línea de tendencia cuando no hay correlación?». Algunos gráficos de dispersión no tienen correlación. Esto significa que no se puede dibujar una línea de tendencia.
DESPUÉS DE EXPLORAR 1. Haga que los estudiantes completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 2. Complete el «Esquema de anclaje» como clase. 3. Haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva».
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1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS Patterns in Bivariate Data Part 2
APOYOS PEDAGÓGICOS
Lines of Fit 1.
1. Anima a los estudiantes a mover y ajustar sus fideos espagueti antes de decidirse por una línea que consideren la mejor. Pídales que compartan con sus compañeros cómo supieron que ya no tenían que ajustar más.
Look at the data on the scatterplots below. Draw a line to informally fit the data. A.
B.
C.
2.
How can you tell whether your line is a good or bad fit for the data? I can tell my lines are good fits because the points are closely packed around the line and there is an equal amount of points on either side of the line.
3.
Were there any outliers in the data? How can you tell? Scatterplot B had an outlier. I can tell it’s an outlier because it does not go along the line of fit.
2. Si los estudiantes necesitan apoyo adicional para crear líneas de mejor tendencia, muéstreles varios ejemplos de líneas que no hacen un buen trabajo de modelado de los datos y pídales que expliquen por qué esos modelos tienen menos éxito en la tendencia de los datos. 1
Patterns in Bivariate Data Part 2
4.
Look at the scatterplots below. Determine whether the line of fit is a good or bad representation of the data. If the line is a bad fit, draw a new line that is a good fit.
Good
Bad
Good
Bad
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 2
Good
Why is it useful to be able to draw a line of fit through data points? The line can help me make predictions about other data points that are not graphed.
6.
If two people are looking at the same data points, will their lines be exactly the same? The lines should be similar but not necessarily exactly the same. It’s possible that the lines could be more steep or less steep as long as they are still following the data points.
2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 2) CLAVE DE RESPUESTAS
4. Si los estudiantes están preparados para un reto adicional, pídales que recopilen o encuentren datos por su cuenta e intenten representarlos con una línea lo mejor que puedan. 5. Como ampliación, pida a los estudiantes que encuentren la pendiente de la línea de tendencia que han creado para que puedan practicar la búsqueda de una ecuación para una línea de regresión.
Bad
5.
3. A medida que los estudiantes trazan puntos en sus gráficos de dispersión, anímelos a decir en voz alta lo que las coordenadas x e y representan cada una para que el punto tenga significado dentro del contexto.
6. Como ampliación, comente con los estudiantes escenarios en los que una línea podría ser muy buena para los datos actuales pero no lo sería para hacer predicciones. Algunos datos pueden demostrar una relación lineal, pero un modelo lineal podría eventualmente volverse negativo de una manera que no tiene sentido en el contexto.
APOYOS LINGÜÍSTICOS Aclare que el término «tendencia» se refiere a la línea que mejor representa los datos y no a la ropa que se usa. Use ejemplos y no ejemplos de una línea de tendencia para resaltar la diferencia entre los dos. Para cada explicación que se comparta durante la «Charla de matemáticas», invite a los estudiantes a volverse hacia un compañero y reafirmar lo que escucharon usando lenguaje matemático. Use elementos visuales cuando estén disponibles para evitar malentendidos de términos no matemáticos, como hospital y guantes. Lea las preguntas del «Diario del estudiante» en voz alta mientras los estudiantes señalan las palabras que están leyendo y haga hincapié en los términos: asociación, relación, y línea de tendencia. Durante la charla de matemáticas, muestre las siguientes estructuras de oraciones para que los estudiantes las utilicen: • Observé _______. • Me di cuenta _______. • Esta es la línea de tendencia porque _______.
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1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 3: ECUACIONES LINEALES Estándar(es) • Investigar patrones de asociación en datos bivariados. Construir e interpretar diagramas de dispersión de datos de medición bivariados para investigar patrones de asociación entre dos cantidades. Describir patrones tales como agrupamiento, valores atípicos, asociación positiva o negativa, asociación lineal y asociación no lineal. • Investigar patrones de asociación en datos bivariados. Saber que las líneas rectas se utilizan ampliamente para modelar relaciones entre dos variables cuantitativas. Para gráficos de dispersión que sugieren una asociación lineal, ajuste informalmente una línea recta y evalúe informalmente el ajuste del modelo juzgando la cercanía de los puntos de datos a la línea. • Investigar patrones de asociación en datos bivariados. Utilizar la ecuación de un modelo lineal para resolver problemas en el contexto de datos de medición bivariados, interpretando la pendiente y la intersección. Por ejemplo: en un modelo lineal para un experimento de biología, interpretar una pendiente de 1.5 cm/hr en el sentido de que una hora adicional de luz solar cada día está asociada con 1.5 cm adicionales en la altura de una planta madura. Ideas fundamentales
Estándares para la práctica matemática
Interpretar gráficos de dispersión.
MP.2 Razonar abstracta y cuantitativamente.
Datos, gráficos y tablas.
MP.4 Modelar con matemáticas.
Exploración de datos.Pendientes e intersecciones.
Conexiones de contenido
Motores de investigación
CC1 Razonar con datos
DI1 Dar sentido al mundo: Comprender y explicar.
CC2 Explorar cantidades cambiantes
MP.5 Usar herramientas apropiadas estratégicamente.
DI2 Predecir lo que podría ocurrir: Predecir. DI3 Impactar en el futuro: Afectar.
MP.6 Atender a la precisión.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes crean un gráfico de dispersión para ajustar informalmente una línea a través de los datos. Crean una ecuación lineal basada en esos datos usando la pendiente y intersección «y».
MATERIALES IMPRESOS
• 1 diario del estudiante (por alumno) • 1 boleto de salida (por estudiante) REUTILIZABLE
• 1 regla (por estudiante)
PREPARACIÓN
• Planee que los estudiantes trabajen en grupos de 2 o 3 para completar esta actividad.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN PARTE I 1. Lea el escenario a la clase: «El Consejo Estudiantil de la Escuela Secundaria Tanaka decidió realizar una recaudación de fondos masiva de 20 semanas para recaudar dinero para la ayuda a los damnificados por el huracán en un condado vecino. Cada curso eligió una recaudación de fondos diferente y se fijó el objetivo de recaudar al menos 500 dólares por clase. Algunas de las clases empezaron con grandes donaciones de los padres, mientras que otras empezaron con 0 $. La clase de 9.º grado eligió vender galletas durante la hora de la comida, y ya se han recogido los datos de las primeras 8 semanas. Basándose en los datos, ¿Están bien encaminados para alcanzar el objetivo de al menos 500 dólares?. 2. Ayude a los estudiantes a acceder a la tarea formulando las siguientes preguntas orientadoras:
• Imprima el «Diario del estudiante» y el «Boleto de salida» para cada alumno.
a.
«¿Qué sabes ya acerca de ecuaciones lineales?».
b.
• Reúna suficientes reglas para que cada estudiante tenga una, y sean usadas como rectas.
«¿Qué sabes ya acerca de la pendiente de una recta?».
c.
«¿Has hecho alguna vez una recaudación de fondos para la escuela o un deporte?». Si es así, «¿Con qué objetivo trabajabas para ganar dinero?».
• Para estudiantes que necesitan más apoyo para recordar información, vea nuestro elemento de «Ayudas suplementarias: Plano de coordenadas del primer cuadrante» en la sección de «Intervenir».
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3. Entregue un «Diario del estudiante» y una regla a cada alumno.
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1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3
Patterns in Bivariate Data Part 3
Patterns in Bivariate Data Explore 3
Part II
Analyze the scatterplots and lines of fit for each class to determine an equation to represent the lines of fit. Use the equations to predict the profit after 20 weeks.
Hurricane Relief Fundraisers Part I
1.
What is the slope of the line of fit and what does it represent in the scenario? The slope is 25. This means that the funds raised increased by $25 each week.
2.
What is the y-intercept of the line of fit and what does it represent in the scenario? The y-intercept is 0. This means that the 10th graders started with $0 of funds raised.
3.
Write an equation to represent the line of fit. y = 25x
4.
Use your equation to predict the profit at the end of the 20-week fundraiser. y = 25(20) y = $500
Use the data in the table to construct a scatterplot representing the 9th-grade class’s cookie sales. Draw a line of fit, and analyze the scatterplot to answer the questions that follow. Week
1
2
3
4
5
6
7
8
Funds Raised ($)
175
175
225
225
250
275
300
250
1.
What is the slope of the line of fit? 25
2.
What does the slope tell you about the profit? This means that the funds raised increased by $25 each week.
3.
What is the y-intercept of the line of fit? 125
4.
What does the y-intercept tell you about the profit? This means that the 9th graders started with $125 of funds raised.
5.
Write an equation to represent the line of fit for cookie sales. y = 25x + 125
6.
1.
2.
3.
Use your equation to predict the profit at the end of the 20-week fundraiser. y = 25(20) + 125 y = $625
4.
1
What is the slope of the line of fit and what does it represent in the scenario? The slope is 12.5. This means that the funds raised increased by $12.50 each week. What is the y-intercept of the line of fit and what does it represent in the scenario? The y-intercept is 100. This means that the 11th graders started with $100 of funds raised. Write an equation to represent the line of fit. y = 12.5x + 100 Use your equation to predict the profit at the end of the 20-week fundraiser. y = 12.5(20) + 100 y = $350 2
Patterns in Bivariate Data Explore 3
1.
2.
3.
4.
What is the slope of the line of fit and what does it represent in the scenario? The slope is 37.5. This means that the funds raised increased by $37.50 each week. What is the y-intercept of the line of fit and what does it represent in the scenario? The y-intercept is 0. This means that the 12th graders started with $0 of funds raised. Write an equation to represent the line of fit. y = 37.5x Use your equation to predict the profit at the end of the 20-week fundraiser. y = 37.5(20) y = $750
Reflect 1.
Which classes should meet the goal of raising at least $500? The 9th-, 10th-, and 12th-grade classes should meet their goals.
2.
The teachers held their own fundraiser selling school supplies. The line of best fit for their profit over the first 8 weeks can be represented by the equation y = 20x + 150. a.
What does the 150 represent in this scenario? This means that the teachers started with an initial profit of $150.
b.
What does the 20 represent in this scenario? This means that the profit increases by $20 each week.
c.
If the teachers run their fundraiser for 35 weeks, what will their approximate profit be? y = 20(35) + 150 y = $850
3
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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359
1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Patterns in Bivariate Data Explore 3
4. Explique a los estudiantes que trabajarán en sus grupos para crear un gráfico de dispersión que represente los fondos recaudados por la clase de 9.º grado durante las primeras 8 semanas de la recaudación de fondos. Indíqueles que utilicen la regla para trazar la línea de tendencia. Pida a los estudiantes que trabajen con sus grupos para responder a las preguntas y determinar si la clase de 9.º grado va por buen camino para alcanzar su objetivo de recaudación de fondos.
Linear Equations Exit Ticket The scatterplot below shows the relationship between the number of hours watching TV and the test scores of different algebra students in first-period algebra. Use the scatterplot and line of fit to answer the questions.
1.
5. Supervise y hable con los estudiantes según sea necesario para comprobar la comprensión utilizando las siguientes preguntas orientadoras: a.
b.
DOK-1 «¿Cómo se determina la pendiente de una recta?». Escojo dos puntos en la recta y calculo el cambio en y dividido por el cambio en x.
2.
DOK-1 «¿Cómo identificas la intersección con el eje y?». La intersección con el eje y es el punto en el que la recta cruza el eje y.
c.
DOK-2 «¿Cómo puedes escribir una ecuación una vez que conoces la pendiente y la intersección con el eje y?». Sé que las ecuaciones lineales se pueden escribir de la forma y = mx + b, donde m es la pendiente y b es la intersección con el eje y, así que simplemente sustituyo mi pendiente calculada y intersección con el eje y en la ecuación.
d.
DOK-2 «¿Cómo puedes usar la ecuación para determinar los fondos recaudados previstos a las 20 semanas?». Sé que la variable x representa el número de semanas, así que puedo sustituir x por 20 en la ecuación y simplificar.
6. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la «Parte I» y responder a las preguntas que siguen. 7. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímelos a hacerse preguntas y establecer conexiones. Anime a los estudiantes a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias usadas para dibujar y crear ecuaciones para líneas de tendencia . 8. Después de completar la «Parte I», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje hasta el momento.
Circle the equation that best represents the line of fit. A.
y = –5x + 100
B.
y = –21x – 100
C.
y = –9x – 100
D.
y = –10x + 100
Use the equation to predict the test score of a student who watches 4 hours of TV. y = –10(4) + 100 y = 60
1
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
CHARLA DE MATEMÁTICAS • DOK-1 «¿Qué información necesitas de un gráfico para poder escribir una ecuación?». Necesito la pendiente y intersección con el eje y. • DOK-2 «¿Cómo determinas lo que representa la pendiente en el escenario?». Sé que la pendiente es el cambio en los valores de y dividido por el cambio en los valores de x, así que pienso en las variables de la misma manera. La pendiente 25
25 dólares
es ___ 1 o __________ . Esto me dice que la pendiente representa la 1 semana
cantidad de fondos recaudados por semana.
• Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta: ◦ DOK-2 «¿Podría haber habido una ecuación diferente para la línea de tendencia distinta de la que creó tu grupo?». Explica. Sí, la línea de tendencia de cada uno podría ser un poco diferente y podría tener diferentes pendientes e intersecciones con el eje y. Es probable que las ecuaciones de los diferentes grupos sean un poco diferentes, pero aún así cercanas a nuestros valores.
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GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 PARTE II
CHARLA DE MATEMÁTICAS
1. Lea el escenario a la clase: «Los estudiantes de 10.º, 11.º y 12.º grado también tienen curiosidad por saber si van por buen camino para alcanzar el objetivo de 500 $ al final de las 20 semanas. Utilicen sus conocimientos sobre datos bivariados y líneas de tendencia para predecir el total de ganancias de cada clase en las 20 semanas».
• DOK-2 «Cuando se te da una ecuación en la forma y = mx + b, ¿Cómo puedes identificar qué número representa la pendiente y qué número representa la intersección con el eje y?». En la forma pendiente-intersección, la pendiente es siempre el número que se multiplica por el término x. La intersección y es la constante que se suma o se resta.
2. Ayude a los estudiantes a acceder a la tarea haciéndoles las siguientes preguntas orientadoras:
• Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta:
a.
«¿Qué recuerdan sobre las líneas de tendencia?».
b.
«¿Alguna vez han ahorrado o recaudado dinero para comprar algo? Si es así, ¿Cómo hiciste para saber cuándo tendrías suficiente dinero?».
3. Explique a los estudiantes que trabajarán con sus grupos para analizar los datos de los fondos recaudados por cada clase durante las primeras 8 semanas de la recaudación de fondos. Los estudiantes escribirán una ecuación para representar cada línea de tendencia y utilizarán esas ecuaciones para predecir los fondos recaudados por cada clase después de 20 semanas. 4. Supervise y hable con los estudiantes según sea necesario para comprobar la comprensión utilizando las siguientes preguntas guía: a.
b.
DOK-2 «¿Qué significa en el escenario cuando la intersección y es 0?». Esto significa que esas clases no recibieron ninguna donación de los padres. Comenzaron la recaudación de fondos con un valor inicial de 0 $. DOK-2 «Para los datos de la recaudación de fondos del grado 12, veo que la línea tiene una subida de 3 y un recorrido de 2. ¿Significa esto que la 3 pendiente es ___ ?». Hay que tener en cuenta la 2 escala al calcular la pendiente. La recta sube 3 marcas de graduación, pero como la escala del eje y cuenta de 25 en 25, la elevación real es de 75. El desplazamiento horizontal es de 2. Como la escala del eje y cuenta de 25 en 25, la subida real es de 75. El recorrido es de 75. El recorrido es 2. Como la escala del eje x cuenta de uno en uno, el recorrido coincide con la cantidad de marcas de graduación. 75 La pendiente es ____ = 37.5. 2
5. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la «Exploración» y responder a las preguntas que siguen. 6. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímeles a hacerse preguntas y establecer conexiones. Anima a los estudiantes a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias utilizadas para analizar las líneas de tendencia y predecir valores utilizando la línea de tendencia. 7. Después de realizar la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizaje.
◦ DOK-3 «¿Por qué sería útil escribir una ecuación lineal para representar la línea de tendencia de un diagrama de dispersión?». La ecuación de una línea de tendencia puede usarse para predecir una salida para cualquier entrada dada. Esto significa que con sólo unos pocos puntos de datos, podría hacer predicciones sobre la relación entre las variables.
DESPUÉS DE EXPLORAR 1. Pida a los estudiantes que completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto. 2. Completen el «Esquema de anclaje» como clase. 3. Pida a cada estudiante que complete su «Libreta interactiva».
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. A medida que los estudiantes dibujan sus propias líneas de tendencia , es probable que las líneas tengan pendientes ligeramente diferentes. Pídales que comparen las rectas que han dibujado con las de sus compañeros para ver si cada una parece razonable basándose en los datos. 2. Anime a los estudiantes a debatir cómo creen que una computadora determinaría qué línea de tendencia es la mejor, y anote sus ideas. 3. Valore las diferentes formas de pensar animando a los estudiantes a empezar a escribir su línea de tendencia en forma de punto-pendiente si creen que es más eficiente basándose en la recta que han dibujado. Pídales que la conviertan a la forma pendiente-intersección para que puedan comparar su trabajo con el de sus compañeros. 4. Si los estudiantes necesitan apoyo adicional para crear la línea de tendencia en la «Parte II» cuando la tendencia no es claramente lineal, pídales que primero consideren si la línea de tendencia tendría una pendiente positiva o negativa. Pídales que consideren si hay otra forma o curva que crean que se ajustaría mejor que la línea que creen que es el mejor ajuste posible. 5. Si los estudiantes necesitan apoyo adicional para identificar lo que significa la pendiente en el contexto de los datos, pídales que elijan un punto de datos y que digan lo que representa cada una de las coordenadas x e y para ayudarlos a comenzar. 6. Como extensión, comparta con los estudiantes que la línea de tendencia para los datos rara vez tiene coeficientes enteros. Pregúnteles por qué creen que esto es así y muéstreles algunos ejemplos.
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1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 3 Patterns in Bivariate Data Part 3
APOYOS LINGÜÍSTICOS Como actividad previa a la lección, repase los términos «pendiente e intersección y» . Muestre un gráfico y permita que los estudiantes encuentren la pendiente y intersección con el eje y en ella. Pida a los estudiantes que se turnen para leer las preguntas en el «Diario del estudiante» con sus grupos. los estudiantes que no lean en voz alta deben seguir la lectura. los estudiantes verificarán entre ellos la comprensión después de que el escenario sea leído, haciendo que el estudiante a la izquierda del lector reafirme la información dada antes de que el grupo comience a trabajar en el problema. Cree estructuras de oraciones para el «Diario del estudiante» para ayudar a los alumnos a escribir sus respuestas, como las siguientes: • La línea de tendencia tiene una pendiente de ________. Esto representa ________.
Linear Equations MJ Junior High was conducting its annual canned food drive. The teachers donated 100 cans to get started. Use the data in the table to construct a scatterplot representing the junior high canned food drive. Draw a line of fit, and analyze the scatterplot to answer the questions that follow.
Week
1
2
3
4
5
6
7
8
Cans Collected
136
198
244
321
532
612
687
981
• La intersección con el eje y es _______. Esto representa _______. Proyecte las preguntas de la charla de matemáticas, y luego ponga a los estudiantes en parejas y pídales que se turnen para entrevistarse entre sí. Pídales que respondan utilizando el vocabulario matemático visto durante la exploración, como: pendiente, intersección y, y línea de tendencia . Permita que los estudiantes expliquen sus ideas oralmente y que un compañero escriba por ellos en el papel. A continuación, pida al compañero que lea en voz alta lo que ha escrito. El estudiante puede decidir si su mensaje se ha transmitido con claridad o puede realizar los ajustes necesarios.
1
Patterns in Bivariate Data Part 3
1.
What is the slope of the line of fit? 75
2.
What does the slope tell you about the profit? This means that the amount of cans donated increased by 75 cans per week.
3.
What is the y-intercept of the line of fit? 100
4.
What does the y-intercept tell you about the number of cans donated? These are the cans that the teachers donated to get the students started.
5.
Write an equation to represent the line of fit for the canned food drive. y = 75x + 100
6.
Use your equation to predict the number of cans at the end of the 10-week drive. y = 75(10) + 100 y = 850 cans
2
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 3) CLAVE DE RESPUESTAS
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1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 LECCIÓN PEDAGÓGICA
EXPLORACIÓN 4: INTERPRETA LOS DATOS Estándar(es) • Investigar patrones de asociación en datos bivariados. Comprender que los patrones de asociación también se pueden observar en datos categóricos bivariados al mostrar frecuencias y frecuencias relativas en una tabla de doble entrada. Construir e interpretar una tabla de doble entrada que resuma datos sobre dos variables categóricas recogidos de los mismos sujetos. Utilice las frecuencias relativas calculadas para filas o columnas para describir la posible asociación entre las dos variables. Por ejemplo, recoja datos de los estudiantes de su clase sobre si tienen o no horario de llegada en las noches los días de colegio y si tienen o no tareas asignadas en casa. ¿Hay evidencia de que aquellos que tienen horario de llegada en las noches los días de colegio también tienden a tener tareas? Ideas fundamentales Datos, gráficos y tablas Exploración de datos
Estándares para la práctica matemática MP.4 Modelar con matemáticas. MP.6 Atender a la precisión. MP.7 Buscar y hacer uso de la estructura.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes construyen e interpretan una tabla de doble entrada que resume datos sobre dos variables categóricas. También crean gráficos de barras segmentados para representar datos de tablas de doble entrada.
MATERIALES IMPRESO
Conexiones de contenido
Motores de investigación
CC1 Razonar con datos
DI1 Dar sentido al mundo: Comprender y explicar. DI2 Predecir lo que podría ocurrir: Predecir.
• Imprima un juego de «Tarjetas de datos de la encuesta» para cada grupo. Recorte y coloque cada juego de tarjetas en una bolsa resellable. Si lo desea, imprímalas en cartulina y plastifíquelas para utilizarlas en el futuro. • Imprima una «Tabla de doble entrada» y un «Tapete de trabajo para gráfico de barras» para cada grupo. Colóquelos dentro de un protector de hojas transparente para cada grupo. Si lo desea, imprímalos en cartulina y plastifíquelos para usarlos en el futuro.
• 1 diario del estudiante (por alumno)
• Imprima el «Ejemplo de tabla de doble entrada» para cada maestro.
• 1 juego de «Tarjetas de datos de la encuesta» (por grupo)
• Reúna marcadores de borrado en seco y 2 lápices de colores para cada grupo.
• 1 tabla de doble entrada y tapete de trabajo para gráficos de barras (por grupo)
• Esté preparado para proyectar la diapositiva del «Ejemplo de tabla de doble entrada» para que la clase la vea.
• 1 ejemplo de tabla de doble entrada (por maestro) • 1 boleto de salida (por estudiante) REUTILIZABLE
• 1 marcador de borrado en seco (por grupo) • 2 lápices de colores (por grupo) • 1 protector de hojas transparente (por grupo) • 1 bolsa resellable (por grupo) • 1 proyector o cámara de documentos (por maestro)
PREPARACIÓN
• Planee que los estudiantes trabajen en grupos de 3 o 4 para completar esta actividad. • Imprima el «Diario del estudiante» y el «Boleto de salida» para cada alumno.
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PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Lea el escenario a la clase: «El director de la Escuela Secundaria Spring Meadows ha realizado una encuesta sobre las actividades extracurriculares en las que participan los estudiantes del campus. La información se incluye en una tabla y se utilizará para elaborar gráficos. El director necesita su ayuda para interpretar los datos de la tabla y construir gráficos sobre las actividades extra-escolares de los estudiantes. 2. Ayude a los estudiantes a acceder a la tarea planteándoles las siguientes preguntas orientadoras: a. «¿Qué recuerdas de las tablas?». b. «¿En qué actividades extra escolares participas o te interesa participar?». 3. Entregue el «Diario del estudiante» a cada alumno.
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GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Patterns in Bivariate Data Explore 4
4. Distribuya las «Tarjetas de datos de la encuesta», una «Tabla de doble entrada» y un «Tapete de trabajo para gráficos de barras», y un marcador de borrado en seco a cada grupo de estudiantes. 5. Explique a los estudiantes que utilizarán las «Tarjetas de datos de la encuesta» y que trabajarán con sus grupos para registrar los datos en la tabla, calcular frecuencias relativas, construir gráficos de barras segmentados e interpretar los datos de la encuesta.
Survey Data Use the Survey Data cards to complete the tables and interpret the data. Record the survey results in the table and calculate the relative frequencies for each card.
Card 1 Survey Results
6. Explique a los estudiantes que una tabla de doble entrada muestra dos categorías de datos recogidos de la misma fuente. Proyecte la diapositiva «Ejemplo de tabla de doble entrada» y muestre a los estudiantes las categorías y por qué se denomina tabla de doble entrada. Pida a los estudiantes que utilicen el «Tabla de doble entrada» y el «Tapete de trabajo para gráficos de barras» para calcular las frecuencias relativas y crear el gráfico de barras segmentado. Formule a los estudiantes las siguientes preguntas para evaluar su comprensión de una tabla de doble entrada y de la frecuencia relativa: a.
b.
Band Member
Not a Band Member
Total
Takes Art
10
17
27
Does Not Take Art
12
6
18
Total
22
23
45
Survey Results—Relative Frequencies Band Member
DOK-2 «¿Qué puedes interpretar a partir de esta tabla de doble entrada?». Las respuestas de los estudiantes variarán. Puedes interpretar el número de chicos y chicas que beben jugo de piña y los que no beben jugo de piña.
Not a Band Member
Takes Art
≅ 0.45 or 45%
≅ 0.74 or 74%
Does Not Take Art
≅ 0.55 or 55%
≅ 0.26 or 26%
DOK-2 «¿Cómo puedes calcular la frecuencia relativa 1
utilizando este ejemplo?». Las respuestas de los estudiantes variarán. Representarás la cantidad
número en la categoría número total en la categoría
__________________________ como una razón usando y
convertirás a un porcentaje. Por ejemplo, 12 chicos
c.
__________ beben jugo de piña. 50 chicos
DOK-2 «¿Cómo se representan los datos en un gráfico de barras segmentado?». (Tenga en cuenta que debe mostrar a los estudiantes cómo hacerlo para asegurarse de que entienden cómo crear un gráfico de barras segmentado). Un gráfico de barras segmentado compara dos categorías dentro de un conjunto de datos. La barra completa representa todos los datos de una categoría. A continuación, cada barra se separa en partes (segmentos) que muestran el porcentaje de cada parte en la segunda categoría.
7. Haga que los estudiantes utilicen las «Tarjetas de datos de la encuesta» para registrar los datos de la tarjeta en la tabla de doble entrada, calcular frecuencias relativas, construir gráficos de barras segmentados e interpretar los resultados de los datos de la encuesta. (Nota: Los estudiantes deben utilizar 2 lápices de colores para representar las dos categorías en los gráficos de barras segmentados). 8. Supervise y hable con los estudiantes según sea necesario para comprobar la comprensión utilizando las siguientes preguntas guía: a.
b.
DOK-2 «¿Qué puedes interpretar de esta tabla de doble entrada?». Las respuestas de los estudiantes variarán. Puedes interpretar el porcentaje de estudiantes que son varones y juegan videojuegos. DOK-2 «¿Cómo podemos ver evidencia de una asociación en un gráfico de barras segmentado?». Comparando visualmente las proporciones (basadas en las frecuencias relativas) entre los dos grupos.
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 364
Patterns in Bivariate Data Explore 4
Use the survey results from Card 1 to create a segmented bar graph.
Use the survey results data from Card 1 to answer the questions to interpret the data. 1.
What percent of members of the band take art? 45%
2.
How many students are not band members? 23
3.
What percent of students who are not band members are also not art students? 26% 2
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1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4 Patterns in Bivariate Data Explore 4
Use the Survey Data cards to calculate the relative frequencies for Card 2, and include the results in the table. Create a segmented bar graph that reflects the survey results.
9. Conceda a los estudiantes tiempo suficiente para completar la «Exploración» y responder a las preguntas que aparecen a continuación. 10. Pida a los estudiantes que compartan sus estrategias y anímeles a que se hagan preguntas y establezcan conexiones. Anime a los estudiantes a notar las similitudes y diferencias entre las estrategias utilizadas para analizar las tablas de doble entrada y los gráficos de barras segmentadas.
Card 2
Survey Results—Relative Frequencies
Boys
Girls
Plays Video Games
0.60 or 60%
0.48 or 48%
Does Not Play Video Games
0.40 or 40%
0.52 or 52%
11. Después de realizar la «Exploración», invite a la clase a una charla de matemáticas para compartir sus observaciones y aprendizajes.
Charla de matemáticas • DOK-2 «¿Existe una asociación entre el número de estudiantes en la banda y el número de estudiantes que toman arte? Explica ». Hay más estudiantes que toman arte que no están en la banda. Hay pocos estudiantes que no toman arte y no son miembros de la banda. • Elija una rutina de conversación estructurada para facilitar la siguiente pregunta:
3
Patterns in Bivariate Data Explore 4
Use the survey results data from Card 2 to answer the questions to interpret the data. 1.
What percent of students who are boys do not play video games?
1. Haga que los estudiantes completen el «Boleto de salida» para evaluar formativamente su comprensión del concepto.
What percent of students who are girls play video games? 48%
2. Completen el «Esquema de anclaje» como clase. 3. Haga que cada estudiante complete su «Libreta interactiva».
Reflect 1.
4. Regrese a la sección «Captar interés» e instruya a los estudiantes para que usen sus habilidades recién adquiridas para completar exitosamente la actividad.
Explain to a peer how to read and interpret the data from the table. Boys
Girls
Total
In an After-School Club
42
16
58
Not in an After-School Club
28
36
64
Total
70
52
112
APOYOS PEDAGÓGICOS 1. Antes de la «Exploración», revise con los estudiantes cómo convertir un decimal a un porcentaje. 2. Si los estudiantes necesitan apoyo adicional, entonces pídales que usen resaltadores o que encierren con un círculo los valores en la tabla de doble entrada mientras la analizan para encontrar la información deseada.
Student responses will vary. There were 70 boys and 52 girls surveyed. There are more boys in the after-school club than girls. There are 42 boys and 16 girls. There are 64 boys and girls who are not in an after-school club. 2.
• DOK-2 «¿Cuál es un ejemplo de cómo se usan los datos bivariados en el mundo real?». Determinar cuántos estudiantes de 7.º y 8.º grado quieren ir al museo o al zoológico para la excursión de fin de año por cada jugador de un equipo de fútbol americano
DESPUÉS DE EXPLORAR
40% 2.
◦ DOK-2 «¿Cómo puede usar una tabla de doble entrada para hacer predicciones?». Si las categorías de la tabla tienen una asociación positiva o negativa, entonces se puede hacer una predicción. Asociación positiva significa que cuando una categoría aumenta, la otra categoría aumenta. Asociación negativa significa que a medida que una categoría aumenta, la otra categoría disminuye.
How can you use a two-way table to make predictions? If the categories in the table have a positive or negative association, then a prediction can be made. Positive association means as one category increases, the other category increases. Negative association means as one category increases, the other category decreases. 4
DIARIO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 365
3. Si los estudiantes están listos para un desafío adicional, pídales que recopilen o encuentren datos por su cuenta e intenten representarlos con un gráfico de barras segmentado. 4. Como extensión, pídales a los estudiantes que creen su propia pregunta de encuesta, una tabla de doble entrada y un gráfico de barras segmentado para representar sus hallazgos.
365
1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
EXPLORAR: EXPLORACIÓN 4
Patterns in Bivariate Data Part 4
APOYOS LINGÜÍSTICOS
Interpret Data
Proporcione ejemplos y aclare lo que significa hallar frecuencias relativas.
Use the survey data cards to complete the tables, and interpret the data. Record the survey results in the table, and calculate the relative frequencies for the survey results. Card 1
Utilice una estrategia de pensamiento en voz alta para modelar un lenguaje matemáticamente preciso mientras verbaliza la estrategia de un estudiante. Por ejemplo, puede decir: «Veo que has utilizado la división para hallar la frecuencia relativa de los estudiantes que estudian arte y están en la banda».
64 eighth-grade students at Morton Valley Middle School took a survey about whether they prefer math or English. ● ● ● ●
Facilite una conversación estructurada entre parejas de estudiantes. Utilice las siguientes estructuras de frases para ayudar a los estudiantes a formular y responder preguntas. Permítales que se turnen para ser el compañero A y el compañero B.
34 students prefer English. 13 boys prefer math. 17 girls prefer math. 36 boys were surveyed.
Boys
Girls
Total
English
23
11
34
Math
13
17
30
Total
36
28
64 1
• Compañero A: ¿Cuál es la frecuencia relativa de _________? • Compañero B: Es ______. • Compañero A: ¿Cómo encontraste la respuesta? • Compañero B: Para encontrar la respuesta, yo _________.
Patterns in Bivariate Data Part 4
• Compañero A: Te oí decir __________. ¿Es correcto? ¿Es correcto?
Survey Results – Relative Frequencies Boys
Anime a los estudiantes a participar en el discurso matemático durante el trabajo en grupo, y pídales que comenten cómo volver a comprobar que sus frecuencias relativas son correctas.
Girls
Prefer English
≅ 0.64 or 64%
≅ 0.39 or 39%
Prefer Math
≅ 0.36 or 36%
≅ 0.61 or 61%
Patterns in Bivariate Data Explore 4
Field Trip Survey Data Exit Ticket
2
The principal at Spring Meadows Middle has surveyed the 7th- and 8th-grade students in the band about where they would like to go for their end-of-year field trip. Use the survey results to calculate the relative frequencies and create a segmented bar graph based on the results. Choose two colors to use to represent 7th- and 8th-grade on the graph. 7th Grade
8th Grade
Total
Art Museum
52
48
100
Zoo
28
42
70
Total
80
90
170
Patterns in Bivariate Data Part 4
Use the data from the survey results to answer the questions and interpret the data. 1.
What percent of students are boys who prefer math? 20%
7th Grade
8th Grade
Art Museum
0.65 or 65%
≅0.53 or 53%
Zoo
0.35 or 35%
≅0.47 or 47%
2.
How many students prefer English? 34
3.
What percent of students are girls who prefer math? 27%
4.
How many girls were surveyed? 28
What can you interpret about this data?
Student responses may vary.
The 7th and 8th graders would prefer to go to the art museum. 65% of 7th graders would like to go, and 53% of 8th graders would like to go. 1 3
BOLETO DE SALIDA CLAVE DE RESPUESTAS
366
SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 366
MUESTRA LO QUE SABES (PARTE 4) CLAVE DE RESPUESTAS
ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
EXPLICAR: ESQUEMA DE ANCLAJE
CONSOLIDAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
Patterns in Bivariate Data The chart below shows the number of points scored in each quarter of a high school girls basketball game.
(Positive correlation)
Quarter of the Game
1
2
3
4
Number of Points Scored
6
13
10
20
ESQUEMA DE ANCLAJE DESCRIPCIÓN Un esquema de anclaje destaca las ideas principales del alcance. Se trata de una herramienta para apoyar la instrucción y anclar el aprendizaje de los estudiantes a lo largo del alcance.
MATERIALES
• 1 hoja de papel cuadriculado • 1 juego de marcadores multicolores
3
6
9
12
15
56
54
61
79
81
100
• Imprima una copia del ejemplo de «Esquema de anclaje», si lo desea.
60 70 80 90
Hrs. Tips
PREPARACIÓN
50
Romona works at her neighborhood restaurant. She wants to determine if it is the number of hours worked that increase her tips or particular days. She is starting with number of hours.
3
6
9
12 14 16 18 20
Create a scatterplot using the data above, and determine a linear equation based on that data.
EJEMPLO DE ESQUEMA DE ANCLAJE
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. El ejemplo de esquema de anclaje puede utilizarse como referencia antes de crear el de la clase. Esta actividad debe ser dirigida por los estudiantes para promover que se apropien de su aprendizaje. 2. A medida que los estudiantes trabajen en el alcance, colaboren para añadir piezas al «Esquema de anclaje». Formule las siguientes preguntas orientadoras: a. «¿Qué estrategia utilizamos para resolver este problema?». b. «¿Qué vocabulario necesitamos conocer para poder resolver este problema?». 3. Continúe añadiendo habilidades o estrategias importantes aprendidas después de cada «Exploración» para resaltar el contenido importante. 4. Explique que pueden utilizar este gráfico como herramienta de apoyo para su aprendizaje. Los estudiantes también pueden pegar una copia del ejemplo del esquema en sus cuadernos para utilizarla como referencia a lo largo del año. 5. Algunos esquemas de anclaje sólo se mostrarán durante un alcance o grupo de alcances concretos, mientras que otras permanecerán expuestas durante todo el curso escolar.
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 367
367
1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
EXPLICAR: LIBRETA INTERACTIVA Patterns in Bivariate Data
DOCUMENTAR EL APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE
LIBRETA INTERACTIVA DESCRIPCIÓN Los estudiantes toman notas, expresan ideas y/o procesan la información presentada en clase al usar la actividad y la libreta.
Instructions ● Cut out the rectangle along the dotted lines, and glue it into your notebook. ● Complete the scatterplot and questions that follow. Romona started training to work at the neighborhood restaurant. She is determining if the number of hours she works affects her tip earnings. She kept the following data over a 5-week period. Hours
3
6
9
12
15
Tip Value ($)
56
54
61
79
81
Create a scatterplot for Romona’s data:
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia del «Folleto del estudiante» para cada uno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Prepare una «Libreta interactiva» al usar un cuaderno de espiral o de composición para cada uno. Los estudiantes pueden utilizar las primeras páginas para crear una tabla de contenidos con números de página para realizar un seguimiento de las actividades. 2. Las instrucciones para cada actividad se proporcionan en el «Folleto del estudiante».
Fit and draw a straight line to informally assess the data set. Write an equation of the line. ________________________ Which type of correlation do you see? Circle one. Negative / Positive / None Are there any outliers in this data set? Explain your reasoning.
Romona is scheduled to work an 8-hour shift on Monday. What do you predict her earnings will be? Explain your reasoning.
FOLLETO DEL ESTUDIANTE
3. Dé tiempo a los estudiantes para que completen la actividad y peguen las piezas en sus cuadernos. 4. Las libretas interactivas pueden utilizarse como referencia para los estudiantes durante el trabajo independiente y pueden enviarse a casa al final del año como registro de su aprendizaje.
368
SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 368
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1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
APOYO PARA ESTUDIANTES MULTILINGÜES
CONEXIONES LINGÜÍSTICAS DESCRIPCIÓN
• Permita que los estudiantes tengan acceso al «Vocabulario ilustrado» para este alcance .
Los estudiantes tienen la oportunidad de utilizar sus conocimientos lingüísticos y culturales de base para apoyar las conexiones con nuevas habilidades, vocabulario y conceptos en sus niveles de competencia.
• Permita que los estudiantes tengan acceso a una variedad de herramientas matemáticas, tales como fichas de álgebra y rectas numéricas.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
MATERIALES
1 Distribuya a cada alumno un «Folleto del estudiante» en el nivel de competencia apropiado.
IMPRESO
• 1folleto del estudiante según su nivel de competencia (por alumno)
2 Utilice las indicaciones para las partes de escuchar, hablar, leer y escribir. Utilice gestos, señale objetos y elementos visuales, según proceda. Consulte las indicaciones para obtener sugerencias.
REUTILIZABLE • 1 juego de fichas de álgebra (por estudiante)
3 Deje tiempo a los estudiantes para que piensen con sus vecinos antes de responder.
• 1 juego de lápices o marcadores de colores azul y rojo (por estudiante)
4 Anime a los estudiantes a perseverar en su pensamiento y a utilizar herramientas y modelos matemáticos.
PREPARACIÓN
5 Invite a los estudiantes a responder adecuadamente a cada dominio lingüístico.
• Prepárese para que los estudiantes trabajen con compañeros cuando sea necesario.
6 Haga que los estudiantes utilicen la página final del «Folleto del estudiante» para formar conexiones entre los conceptos matemáticos y el mundo real.
• Determine el nivel de inglés de cada estudiante. • Imprima un «Folleto del estudiante» para cada estudiante según su nivel de inglés.
Patterns in Bivariate Data B
Patterns in Bivariate Data B
Julia plays Listen to sort the scatterplots. Then match the scatterplots with the descriptions given by your teacher.
Word Bank
piano. She is memorizing her
how many bars she has memorized correctly. She records the data in her and it produces the
Linear association No association Negative association Positive association
Draw
Plot
Same
x
y
Patterns in Bivariate Data B
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use bivariate data at home with your family or friends.
Word Bank
graphing calculator,
scatterplot shown. Describe the relationship, and determine how long it will
take Julia to memorize all 260 bars.
Nonlinear association
Patterns in Bivariate Data B
sheet music for an upcoming recital. Julia is
trying to see how quickly she can memorize. So she records how many minutes she is practicing and
10.5
Right
Trend line
Up
Answers will vary.
Construct a scatterplot for the table. Then draw in the trend line. Use the word bank to explain the process you used to create the scatterplot and trend line. Then explain how to make a prediction using the trend line.
Julia is playing _________ for her upcoming recital. violin / piano
x
0
1
1
1
y
1
1
3
5
Julia has created a _________________ scatterplot. linear / nonlinear
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
6
6
8
3
4
6
8
4
7
7
10
5
8
10
12
10
draw a line that goes plot the points from the table on a graph. Next, _____ First, _____ same amount of data through the most points. The line should have about the _____
Julia’s scatterplot has a ______________ association. positive / negative
on each side of it.
The equation of Julia’s trend line is approximately ____________. y = 0.9x + 2 / y = 4x + 2
To make a prediction using the trend line, first determine whether you are y value. Then use the given value to find where it x trying to find the ____ or ____
It will take Julia approximately _________ minutes to memorize. 200 / 287
trend line lies on the ___________. For example, to find a prediction for when the x-value up to is 7, I would move to the ______ right on the graph to 7 and then move _____ where I am at the trend line. Then I determine where that is on the y-axis, 10.5 which is about _______ on my trend line.
FOLLETO DEL ESTUDIANTE NIVEL PRINCIPIANTE
Patterns in Bivariate Data I
Patterns in Bivariate Data I
Patterns in Bivariate Data I
Julia plays piano. She is working on memorizing a very long and complex classical piece that is new to Listen to sort the scatterplots. Then match the scatterplots with the descriptions given by your partner.
Word Bank
her for an upcoming recital. Julia is trying to see how quickly she can memorize. So she records how
y value
many minutes she is practicing and how many bars she has memorized correctly. She records the data
Draw Plot
Up
in her graphing calculator, and it produces the scatterplot shown. Describe the relationship, and determine how long it will take Julia to memorize all 260 bars.
10.5
Word Bank
x value Prediction Trend line
Patterns in Bivariate Data I
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use bivariate data at home with your family or friends.
Graph Same
Answers will vary.
Value
Construct a scatterplot for the table. Then draw in the trend line. Use the word bank to explain the process you used
Nonlinear association
to create the scatterplot and trend line. Then explain how to make a prediction using the trend line. Julia is playing a classical piece on her violin for her upcoming
Linear association
recital.
No association
True / False
Negative association
x
0
1
1
1
y
1
1
3
5
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
6
6
8
3
4
6
8
4
7
7
10
5
8
10
12
10
Julia has created a nonlinear scatterplot.
Positive association
True / False
draw a line that Plot the points from the table on a graph. Next, _____ First, _____
True / False
of data on each side of it.
True / False
first determine whether you are To make a prediction using the trend line, ___________________________
Julia’s scatterplot has a positive association.
same amount goes through the most points. The line should have about the _____
The equation of Julia’s trend line is y = x + 2. It will take Julia approximately 287 minutes to memorize.
trying to find the x or y value. Then use the given value to find where it lies _____________________________________________________________
True / False
on the trend line. For example, to find a prediction for when the x value is 7, _____________________________________________________________ I would move to the right on the graph to 7 and then move up to where I _____________________________________________________________ am at the trend line. Then I determine where that is on the y-axis, which is _____________________________________________________________ about 10.5 on my trend line. _________________________________________.
FOLLETO DEL ESTUDIANTE NIVEL INTERMEDIO Patterns in Bivariate Data A
Patterns in Bivariate Data A
Patterns in Bivariate Data A
Julia plays piano. She is working on memorizing a very long and complex classical piece that is new to her Listen to the description of each scatterplot given by your teacher. Then determine which missing set of data belongs with each scatterplot to correctly complete it.
Word Bank y value
for an upcoming recital. Julia is trying to see how quickly she can memorize. So she records how many
Up
10.5
x value Prediction Trend line
Graph Same
Answers will vary.
Value
Construct a scatterplot for the table. Then draw in the trend line. Use the word bank to explain the process you used
long it will take Julia to memorize all 260 bars.
to create the scatterplot and trend line. Then explain how to make a prediction using the trend line.
B.
Julia is playing _________ for her upcoming recital. A.
Piano
B.
Violin
C.
Drums
Julia has created a _________________ scatterplot. D.
A.
A.
Nonlinear
B.
Linear
C.
Both
Julia’s scatterplot has a ______________ association. A. C.
Draw Plot
minutes she is practicing and how many bars she has memorized correctly. She records the data in her graphing calculator, and it produces the scatterplot shown. Describe the relationship, and determine how
A.
Patterns in Bivariate Data A
Connect the math to you! Draw or write about a connection in which you can use bivariate data at home with your family or friends.
D.
Negative
B.
No
C.
Positive
The equation of Julia’s trend line is ____________. A.
y = 0.9x + 2
B.
y=x+2
C.
y = 4x + 2
It will take Julia approximately _________ minutes to memorize. B.
C.
A.
200
B.
238
C.
287
x
0
1
1
1
y
1
1
3
5
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
6
6
8
3
4
6
8
4
7
7
10
5
8
10
12
10
Answers will vary. First, plot the points from the table on a graph. Next, draw a line that goes through the most points. The line should have about the same amount of data on each side of it. To make a prediction using the trend line, first determine whether you are trying to find the x or y value. Then use the given value to find where it lies on the trend line. For example, to find a prediction for when the x value is 7, I would move to the right on the graph to 7 and then move up to where I am at the trend line. Then I determine where that is on the y-axis, which is about 10.5 on my trend line.
FOLLETO DEL ESTUDIANTES NIVEL AVANZADO ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 369
369
1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
ESCUCHAR Y HABLAR PRINCIPIANTE
Tenga el papel de borrador a disposición de los estudiantes. Lea las siguientes preguntas de una en una: •
«Los cuatro gráficos muestran dos tipos de relaciones.¿Qué tipos de asociaciones se muestran?». ◦
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de oraciones: Los tipos de relaciones en los gráficos son ______.
•
«Señala los gráficos que muestran una asociación lineal». Los estudiantes deben señalar el gráfico superior izquierdo.
•
«Señala los gráficos que muestren una asociación no lineal». Los estudiantes deben señalar los tres gráficos restantes.
•
«¿Cómo describirías la relación entre las variables de la asociación lineal?». ◦
• •
Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente enunciado: La variable x y la variable y muestran una ________.
«Observa el gráfico de la parte superior derecha». Señale el gráfico a los estudiantes. «¿Cómo describirías la relación entre las variables de la asociación no lineal?». ◦
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de oración: La variable x y la variable y muestran una _______.
INTERMEDIO
AVANZADO Tenga papel de borrador a mano para que los estudiantes lo utilicen. Lea las siguientes indicaciones de una en una:
Tenga papel de borrador a disposición de los estudiantes. Lea las siguientes preguntas de una en una: •
•
«Los cuatro gráficos muestran dos tipos de relaciones.¿Qué tipos de asociaciones se muestran?». ◦
«Señala los gráficos que muestran una asociación lineal». Los estudiantes deben señalar el gráfico superior izquierdo.
•
«Voy a describir la relación entre las variables de cada gráfico. Tienes que determinar qué pieza de la derecha podría completar correctamente el gráfico».
•
«Señala los gráficos que muestren una asociación no lineal». Los estudiantes deben señalar los tres gráficos restantes.
•
«En el gráfico A, la variable x y la variable y no muestran ninguna asociación».
•
•
«¿Cómo describirías la relación entre las variables de la asociación lineal?».
«¿Qué pieza que falta utilizarías para completar el gráfico de dispersión?».
◦
•
«Observa el gráfico de la parte superior derecha». Señale el gráfico a los estudiantes.
•
«¿Cómo describirías la relación entre las variables de la asociación no lineal?». ◦
◦
Pida a los estudiantes que utilicen el siguiente enunciado: La variable x y la variable y muestran una ________.
Cubra las dos gráficas inferiores con este papel.
•
Horas dedicadas a hacer contenidos en redes sociales y resultados de exámenes. Los estudiantes deben señalar la asociación negativa.
«Escribe una hipótesis para cada uno de los gráficos en la parte superior del papel de borrador. A continuación, lee tu escenario a tu compañero y comprueba si puede determinar el gráfico que estás describiendo».
•
Edad y número de calzado. Los estudiantes deben señalar que no hay asociación.
Lo siguiente se puede utilizar como modelo si un estudiante tiene dificultades para escribir un escenario.
•
Pases de zoológico vendidos y temperatura. Los estudiantes pueden señalar cualquiera de los dos gráficos restantes.
Horas dedicadas al contenido de las redes sociales y puntuaciones en los exámenes. Los estudiantes deben señalar la asociación negativa.
•
Edad y número de calzado. Los estudiantes deben señalar que no hay asociación.
•
«¿Por qué crees que los pases de zoológico y la temperatura muestran esa asociación?».
•
•
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de frases: Los pases del zoológico y la temperatura muestran una asociación _____ porque ______.
◦
•
«En el gráfico B, hay una asociación lineal donde a medida que la variable x aumenta, la variable y disminuye».
•
«¿Qué pieza faltante usaría para completar el diagrama de dispersión?».
En el gráfico C, existe una asociación no lineal en la que a medida que aumenta la variable x, aumenta la variable y.
•
«¿Qué pieza que falta utilizaría para completar el diagrama de dispersión?». ◦
SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 370
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de frase: Utilizaría esta pieza porque _______.
•
«En el gráfico D, existe una asociación lineal en la que a medida que aumenta la variable x, aumenta la variable y».
•
«¿Qué pieza que falta utilizarías para completar el diagrama de dispersión?». Haga que los estudiantes utilicen la siguiente estructura de frase: Utilizaría esta pieza porque _______.
•
Reparta papel de borrador.
•
«Escribe una situación para cada uno de los gráficos en la parte superior del papel. A continuación, lee tu escenario a tu compañero y comprueba si puede determinar el gráfico que estás describiendo».
•
Lo siguiente se puede utilizar como modelo si un estudiante tiene dificultades para escribir un escenario.
•
370
Pida a los estudiantes que usen la siguiente estructura de oración: Utilizaría esta pieza porque ______.
•
◦
Si el tiempo lo permite, haga que los compañeros compartan sus escenarios con otro grupo de compañeros para ver si pueden determinar el gráfico que se describe.
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de oración: Yo usaría esta pieza porque ________.
•
◦
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de frase: La variable x y la variable y muestran una _______.
•
◦
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de frase: Los tipos de relaciones que se muestran en los gráficos de dispersión son ______.
•
Reparta papel borrador.
«Voy a leerles una descripción. Tienen que decidir qué gráfico de dispersión se corresponde con la descripción. Señala la descripción cuando decidas».
◦
Pida a los estudiantes que utilicen la siguiente estructura de oración: Los tipos de relaciones en los gráficos son ______.
•
•
«A cada uno de los gráficos le falta una pieza. Sabemos que los gráficos de dispersión se clasifican en dos tipos de relaciones.¿Qué tipos de asociaciones se muestran en los gráficos de dispersión?».
◦
Horas dedicadas a hacer contenidos en redes sociales y puntuaciones en los exámenes. Los estudiantes deben señalar la asociación negativa.
◦
Edad y número de calzado. Los estudiantes deben señalar que no hay asociación.
Si el tiempo lo permite, pida a los compañeros que compartan sus escenarios con otro grupo de compañeros para ver si pueden determinar el gráfico que se describe.
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1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
EXPLICAR: CONEXIONES LINGÜÍSTICAS
PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
Leer la historia en grupo. Divida la historia en frases. Pida a los estudiantes que señalen cada palabra mientras leen. Pídales que rodeen con un círculo las palabras que no conozcan. Comente las palabras con todo el grupo. •
Comente el gráfico de dispersión»con los estudiantes. ◦
Repase el vocabulario desconocido como: asociación, lineal, no lineal, positivo y negativo.
◦
«¿Qué observas en el diagrama de dispersión?».
◦
«¿Cómo determinarías una línea de tendencia?».
◦
«¿Cómo predecirías un valor para el diagrama de dispersión?».
•
A coro, lean el primer enunciado. «Señala la respuesta antes de contestar».
•
A coro, lean la segunda afirmación. «Comenta con tus compañeros para determinar la respuesta».
•
A coro, lean la tercera afirmación. «Comenta con tus compañeros para determinar la respuesta».
•
A coro, lean la cuarta afirmación. «Comenta con tus compañeros para determinar la respuesta».
•
A coro, lean la última afirmación. «Comenta con tus compañeros para determinar la respuesta».
LEER Y HABLAR AVANZADO
A coro, lean la historia en grupo. Pida a los estudiantes que señalen cada palabra mientras leen. Invite a los estudiantes a rodear con un círculo las palabras que no conozcan. Haga que los estudiantes comenten las palabras con sus compañeros. •
«Comparte con tus compañeros de qué trataba la historia».
•
«Comparte con tus compañeros una cosa sobre las asociaciones de diagramas de dispersión».
•
«Comparte con tus compañeros algo sobre cómo predecir un valor en un diagrama de dispersión».
•
A coro, lean la primera afirmación. «Señala la respuesta antes de marcar la afirmación como verdadera o falsa».
•
Lea las últimas cuatro afirmaciones antes de que los estudiantes respondan en parejas. «Comenta con tus compañeros para decidir si es verdadero o falso».
Haga que los estudiantes lean la historia con sus compañeros y señalen cada palabra mientras leen. Invite a los estudiantes a encerrar con un círculo las palabras que no conozcan y a comentarlas con sus compañeros. •
«Explica a tus compañeros de qué trataba la historia».
•
«Comenta con tu compañero lo que ha observado en el gráfico de dispersión y en la línea de tendencia».
•
«Explica a tus compañeros cómo determinar la ecuación de una línea de tendencia».
•
«Lee cada afirmación y comenta tus respuestas con tus compañeros».
ESCRIBIR
PRINCIPIANTE
INTERMEDIO
AVANZADO
Ponga a disposición de los estudiantes tarjetas de vocabulario ilustrado, reglas y herramientas de gráficos digitales. Lea y comente las palabras del banco de palabras. Defina y proporcione ejemplos según las necesidades de los estudiantes. Comente las siguientes preguntas mientras lee:
Ponga a disposición de los estudiantes tarjetas de vocabulario ilustrado, reglas y herramientas de gráficos digitales. A coro, lean y comente las palabras del banco de palabras. Defina y proporcione ejemplos según las necesidades de los estudiantes. Utilice las siguientes indicaciones:
Ponga a disposición de los estudiantes tarjetas de vocabulario ilustrado, reglas y herramientas gráficas digitales. Los estudiantes deben leer a coro las palabras del banco de palabras con sus compañeros. Pídales que comenten el significado de las palabras con sus compañeros. Defina y proporcione ejemplos según las necesidades de los estudiantes. Mientras los estudiantes leen, utilice las siguientes pistas:
•
•
•
Comente la tabla con los estudiantes. ◦
«¿Cuáles son sus pensamientos iniciales sobre la tabla?».
◦
«¿Cómo se construye un gráfico de dispersión?».
◦
«¿Cómo se dibuja una línea de tendencia?».
◦
«¿Cómo se hace una predicción utilizando una línea de tendencia?».
Dé tiempo a los estudiantes para crear el gráfico de dispersión y la línea de tendencia. Recuerde a los estudiantes que no están completando ningún cálculo, sino escribiendo sobre el proceso de cómo crear un gráfico de dispersión y una línea de tendencia. En forma de eco, lea cada enunciado y pida a los estudiantes que consulten el banco de palabras y el gráfico antes de seleccionar y escribir sus respuestas.
•
Pida a los estudiantes que comenten las palabras del banco de palabras con sus compañeros.
•
«Dobla la mitad inferior del papel para que sólo se vea el banco de palabras. Señala cada palabra del banco de palabras y, por turnos, explica las palabras con tus compañeros».
•
Tome nota de los estudiantes que explican con precisión matemática las palabras del banco de palabras.
•
«A continuación, señala una palabra del banco de palabras cuyo significado necesites aclarar».
•
•
•
Haga que los estudiantes comenten las palabras del banco de palabras con sus compañeros.
•
«Comenta las palabras del banco de palabras con tus compañeros. Cada persona debe dar una explicación o descripción de una palabra y luego pedir a su compañero que parafrasee el significado de la palabra. Continúa este proceso hasta que hayas comentado todas las palabras del banco de palabras».
•
«Lee las instrucciones con tus compañeros. ¿Qué plan seguirás para asegurarte de que utilizas el mayor número posible de palabras del banco de palabras en tu redacción? Si no estás seguro de cómo utilizar una palabra, rodéala en el banco de palabras». Los estudiantes no deben empezar a escribir todavía.
•
Esté atento a los estudiantes que tengan dificultades para crear un plan o que marquen con un círculo las palabras del banco de palabras. Ofrezca apoyo y permita que los estudiantes que hayan podido crear un plan lo compartan con la clase.
Pida a los estudiantes que han dado explicaciones precisas desde el punto de vista matemático que ayuden a aclarar las palabras seleccionadas a sus compañeros: «Veo que varios estudiantes piden aclaraciones sobre la palabra ________. (Nombre del estudiante) pudo dar una explicación clara de la palabra _________ a su compañero. (Nombre del estudiante), ¿Podrías compartir tu explicación?». «Lee cada enunciado con tus compañeros y utiliza las palabras del banco de palabras para completar cada enunciado. Ten en cuenta que algunas palabras pueden utilizarse más de una vez o no utilizarse en absoluto». Recuerde a los estudiantes que consulten el banco de palabras cuando completen los espacios en blanco.
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SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 371
•
◦
«Veo que varios de nosotros necesitamos aclaraciones sobre la palabra _______. Diríjete a alguien cercano que no sea tu compañero y pídele que aclare o defina la palabra ___________».
◦
«Veo que varios de nosotros necesitamos ayuda para diseñar un plan que utilice palabras del banco de palabras. Dirígete a alguien que no sea tu compañero y pídele que explique cómo piensa utilizar el mayor número posible de palabras del banco de palabras».
•
Una vez aclaradas todas las palabras y compartidos los planes, pida a los estudiantes que escriban sus explicaciones.
•
«Ahora escribe una explicación que utilice al menos cinco de las palabras del banco de palabras. Cuando terminen de escribirla, compártanla con sus compañeros».
371
1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
EXPLICAR: VOCABULARIO ILUSTRADO VOCABULARIO CLAVE
VOCABULARIO ILUSTRADO Bivariate Data
Categorical Data
Cluster
Correlation
Data for two variables that are paired to each other
A type of data that can be divided into groups
A group of data occurring closely together on a graph
The relationship between two variables that vary together
2
3
4
5
Frequency
Line of Best Fit (Trend Line)
Linear Association
Negative Association
How often a number occurs in a data set
A line that best represents the data on a scatterplot
A proportional relationship that creates a straight line on a graph
A relationship between two variables that move in opposite directions
6
7
8
9
Nonlinear Association
Outlier
Positive Association
Qualitative Data
A relationship that does not create a straight line
A number in a set of data that is much larger or smaller than other numbers in the set
A relationship in which the values of one variable tend to increase as the values of the other variable increase
Information that is descriptive, not numeric
10
11
12
13
Relative Frequency
Sample
Scatterplot
Statistics
How often a number occurs in a data set divided by the total number of outcomes
One part of the given population
A series of plotted points that show the relationship between two sets of data
The study of data and collecting, organizing, representing, and interpreting data
14
15
16
17
Two-Way Table
A chart used to show the relationship between two categorical variables 18
372
SS CA-Math TE Grade 8 V2.indb 372
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1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
ELABORAR: CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ DESARROLLAR FLUIDEZ CONCEPTUAL
Bam! Instruction Sheet
CONSTRUCTOR DE FLUIDEZ: DATOS BIVARIADOS
Play this game with a partner. You Will Need 1 Set of Bam! Cards (per pair) 1 Jar or other container (per pair) How to Play 1. Fold the cards in half, and place them in the jar. 2. Player 1 pulls out a card from the jar and hands it to player 2. 3. Player 2 will read the question aloud for player 1 to solve. 4. Player 2 can check the answer from player 1 at the bottom of the card. 5. If a player gets a problem correct, they keep the card. If they are incorrect, the other player keeps the card. 6. Note: If the card contains an image such as a graph or a number line, the player asking the question can show the image while covering up the answer with their hand. 7. If a player pulls out a Bam! picture card, all of that player’s cards go back into the jar. 8. Players take turns pulling cards from the jar and answering questions until time is up. 9. Players must try to get as many cards as they can before time is up. 10. The player with the most cards wins.
DESCRIPCIÓN En esta actividad, los estudiantes se turnan para sacar tarjetas de problemas de un tarro y adivinar la respuesta.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 hoja de instrucciones ¡Bum! (por pareja) • 1 juego de ¡Bum! (por pareja) REUTILIZABLES
• 1 bote u otro recipiente (por pareja) • 1 cronómetro (por maestro)
PREPARACIÓN
• Haga copias a doble cara de las «Tarjetas ¡Bam!». Si lo desea, puedes imprimirlas en cartulina para que duren más. • Recorte las tarjetas individuales.
HOJA DE INSTRUCCIONES
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Muestre a los estudiantes cómo doblar las tarjetas y coloquerlas en el frasco. 2. Modele cómo jugar con un estudiante. a. El jugador 1 saca una tarjeta del bote y se la entrega al jugador 2. b. El jugador 2 leerá la pregunta en voz alta para que el jugador 1 la resuelva.
• Coloque a los estudiantes por parejas.
3. Establezca un límite de tiempo. Cuando se acabe el tiempo, ganará el estudiante que tenga más tarjetas. 4. Distribuya los materiales e indique a los estudiantes que empiecen cuando empiece el cronómetro. 5. Supervise a los estudiantes para asegurarse de que resuelven los problemas correctamente.
c. El jugador 2 puede comprobar la respuesta del jugador 1 en la parte inferior de la tarjeta. d. Si un jugador acxierta un problema, se queda con la tarjeta. Si es incorrecta, el otro jugador se queda con la tarjeta. e. Nota: Si la tarjeta contiene una imagen, como un gráfico o una recta numérica, el jugador que hace la pregunta puede mostrar la imagen mientras tapa la respuesta con la mano. f. Si un jugador saca una «Tarjeta ¡Bam!» todas las tarjetas de ese jugador vuelven al bote. g. Los jugadores se turnan para sacar tarjetas del bote y responder a las preguntas hasta que se acabe el tiempo. h. Los jugadores deben intentar conseguir tantas tarjetas como puedan antes de que se acabe el tiempo. i. El jugador con más tarjetas gana.
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GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
ELABORAR: REVISIÓN EN ESPIRAL
Patterns in Bivariate Data
REVISAR CONCEPTOS PREVIOS
REVISIÓN EN ESPIRAL: LABERINTO DE MAÍZ DESCRIPCIÓN
Corn Maze It’s that time of year again! Every year, the townspeople look forward to the corn maze that the local farmer makes for everyone to walk through. The farmer uses his tractor to make paths all through his corn field. People of all ages come to the farm, enter the corn field, and wander through the maze trying to find their way out. There are other things to do at the farm in addition to the maze. There is a petting zoo and pony rides, as well as an inflatable slide to use while people are waiting their turn to go in the maze. There is plenty to eat at the maze: candy apples, hot dogs, and of course, corn on the cob. Kristen and Laurie arrived at the maze at 6:00 p.m. The girls started the night with some food, and then they went on the slide. They entered the maze and ran through it, laughing and turning at all of the corners. They ran into a lot of dead ends. Sometimes Laurie picked the way to go, and other times Kristen did. Finally, after about an hour, they found their way out.
Los estudiantes repasan contenidos previos o actuales del grado para ayudar a apoyar su trabajo en el alcance actual y fortalecer las habilidades necesarias para alcance s posteriores.
REVISIÓN EN ESPIRAL CENTRADA EN LA PREGUNTA
1
• Pregunta 1
◦ Grado 8: Describir el efecto de dilataciones, traslaciones, rotaciones y reflexiones en figuras bidimensionales usando coordenadas.
Patterns in Bivariate Data
1.
• Pregunta 2 ◦ Grado 8: Entender que una figura bidimensional es similar a otra si la segunda se puede obtener a partir de la primera mediante una secuencia de rotaciones, reflexiones, traslaciones y dilataciones; dadas dos figuras bidimensionales similares, describir una secuencia que muestre la similitud entre ellas. • Pregunta 3 ◦ Grado 8: Aplicar el teorema de Pitágoras para determinar longitudes laterales desconocidas en triángulos rectángulos en problemas matemáticos y del mundo real en dos y tres dimensiones. • Pregunta 4 ◦ Grado 8: Aplicar el teorema de Pitágoras para encontrar la distancia entre dos puntos en un sistema de coordenadas.
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
Every year, the farmer carefully plans his maze on grid paper. This year, due to weather conditions, he had to move his rectangular maze. Last year, the opening to the maze was at (0, 7). The farmer translated the maze left 3 places and down 4 places. Where will the opening be this year?
2.
Last year, Kristen walked in the maze on path ABCD. This year, she wanted to walk in a similar shape but in a different place through the maze. Her path this year is marked on the graph as A’B’C’D’. What transformations took place?
The opening will be at (−3, 3). Reflection on y-axis, dilation of one-half, and a translation down 1 unit
3.
The pony-walking path was in the shape of a right triangle like the one below. What is the length of the third side?
4.
Tim watched the goat that he just petted walk to his mother. Use the coordinate plane below to determine how far the goat walked.
The goat walked 10.3 ft. The third side is 10 yd.
2
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
4. Consulte la sección «Revisión en espiral centrada en la pregunta» para evaluar los conocimientos de contenido de los estudiantes o su necesidad de intervención adicional. Si se necesita más repaso, utilice los «Constructores de fluidez» en los alcances apropiados. 5. El trabajo final incluye una parte del alcance actual para que los estudiantes vean la conexión y relevancia de su aprendizaje previo con este alcance .
1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anime a los estudiantes a tratar de responder a las preguntas de forma individual sin utilizar recursos externos para ver lo que saben. Invite a los estudiantes a anotar ideas o fragmentos que recuerden sobre los temas que han aprendido previamente. Reconozca que los errores son bienvenidos en esta actividad y en la clase de matemáticas. 3. Utilice las preguntas de «Revisión en espiral» como calentamiento en clase, o envíelas a casa como tareas. Proporcione a los estudiantes comentarios y oportunidades para corregir su trabajo y consolidar aún más sus conocimientos previos.
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GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
ELABORAR: CIENCIA DE DATOS ANALIZAR DATOS
CIENCIA DE DATOS Ciencia de datos es un breve debate en clase basado en un conjunto de datos. Esta actividad no está pensada para ser calificada. La «Parte I» incluye preguntas abiertas para ayudar a los estudiantes a interpretar y analizar los datos. Las partes siguientes son actividades opcionales para ampliar el aprendizaje de los estudiantes en contexto.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes analizarán, interpretarán y generarán conjuntos de datos, además de responder a preguntas basadas en los datos.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 conjunto de datos (por clase) REUTILIZABLES
• 1 proyector o cámara de documentos (por clase) • 1 marcador (por clase) CONSUMIBLES
• 1 trozo de papel milimetrado (por clase)
PREPARACIÓN
• Prepárese para proyectar el «Conjunto de datos» a la clase. • Reúna un trozo de papel milimetrado y un marcador.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
PARTE II
1. Repase la interpretación de los diagramas de dispersión y las relaciones de correlación entre variables, y escriba lo que los estudiantes recuerden en el papel milimetrado. 2. Comente las siguientes preguntas: a. «¿Cuál era el porcentaje de fumadores en 1,990?». 25.4 % b. «¿Parece que los datos tienen una relación fuerte, moderada o débil?». Fuerte c. «¿Los datos tienen una relación positiva o negativa?». Negativa d. En términos de las variables, «¿Qué significa una relación negativa?». A medida que ha aumentado el número de años desde 1,974, ha disminuido el porcentaje de fumadores. e. «¿Cuál es la diferencia entre el porcentaje de fumadores en 2,008 y el porcentaje de fumadores en 1,974?». 36.9 - 20.6 = 16.3 % f. «¿Parece que los datos tienen una relación lineal?. Explica». Sí, los datos parecen tener una relación lineal negativa. A medida que una variable aumenta, la otra disminuye. PARTE III
1. Elimine «Año» del «Eje x» y «Porcentaje de fumadores» del «Eje y» haciendo clic en x junto a la etiqueta del eje.
PARTE I
2. Arrastre «Porcentaje de fumadores» al «Eje x».
1. Proyecte el «Conjunto de datos TUVA» y prepárese para anotar las observaciones de los estudiantes.
3. Arrastre «Tasa de mortalidad por enfermedades cardiacas» al «Eje y».
2. Haga clic en «Punto». 3. Arrastre «Año» al «Eje x». 4. Arrastre «Porcentaje de fumadores» al «Eje y». 5. Comente las siguientes preguntas: a. «¿Qué observas en este conjunto de datos?». b. «¿Qué representa este conjunto de datos?». c. «¿Qué representa un punto sobre estos datos?». d. «¿Qué categorías se incluyen en este conjunto de datos?». e. «¿Cómo nos ayuda la reducción de los datos a comprender mejor el conjunto de datos?».
4. Comente las siguientes preguntas: a. «¿Qué representa un punto en estos datos?». Cada punto representa un caso. b. «Describe el tipo de correlación que se muestra en el diagrama de dispersión». Fuerte, positiva, lineal c. «Basándote en los datos, ¿Qué se puede concluir sobre las dos variables?». A medida que aumenta el porcentaje de fumadores, también aumenta la tasa de mortalidad por enfermedades cardiacas.
f. «¿Qué preguntas tienes sobre los datos?».
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GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
EVALUAR: LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN
Patterns in Bivariate Data
Patterns in Bivariate Data
EVALUACIÓN DE HABILIDADES
LISTA DE VERIFICACIÓN DE LA OBSERVACIÓN DESCRIPCIÓN Este elemento proporciona un desglose de los conceptos y destrezas clave del alcance de aplicación. Puede utilizarse como evaluación formativa para los maestros y como autoevaluación para los estudiantes.
MATERIALES IMPRESO
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 folleto del maestro (por estudiante)
How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Construct and interpret scatter plots for bivariate measurement data to investigate patterns of association between two quantities. Describe patterns such as clustering, outliers, positive or negative association, linear association, and nonlinear association. Know that straight lines are widely used to model relationships between two quantitative variables. For scatter plots that suggest a linear association, informally fit a straight line, and informally assess the model fit by judging the closeness of the data points to the line. Use the equation of a linear model to solve problems in the context of bivariate measurement data, interpreting the slope and intercept. For example, in a linear model for a biology experiments, interpret a slope of 1.5 cm/hr as meaning that an additional hour of sunlight each day is associated with an additional 1.5 cm in mature plant height.
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Notes and Feedback
1
PREPARACIÓN
Patterns in Bivariate Data
• Imprima un «Folleto del maestro» y un «Folleto del estudiante» para cada alumno.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Folleto del estudiante» a cada uno. 2. A medida que los estudiantes trabajen en las actividades de «Explorar» y «Explicar» del alcance, evalúe formativamente su progreso tomando notas anecdóticas sobre cómo se observaron los conceptos y habilidades clave. Pueden plantearse preguntas de reflexión para medir el impacto de las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo. 3. Haga que los estudiantes reflexionen sobre las formas en que pueden demostrar su comprensión y autoevaluar su progreso en cada concepto o habilidad clave a medida que trabajan en las actividades tanto en grupo como en pequeño grupo. 4. Los estudiantes pueden reflexionar sobre su pensamiento, aprendizaje y trabajo en el alcance; identificar las formas en que han mejorado; y establecer nuevos objetivos de aprendizaje. 5. Los colegas que proporcionan apoyo de instrucción a los estudiantes pueden estar equipados con las adaptaciones y modificaciones señaladas en el «Folleto del maestro». 6. Las notas anecdóticas proporcionadas en el «Folleto del maestro» pueden usarse como documentación para los boletines de calificaciones basados en estándares. 7. Una vez que se hayan recopilado los datos de los estudiantes después de la evaluación, consulte la «Guía de instrucción andamiada» en la sección «Inicio» de este alcance para diferenciar la instrucción para cada estudiante.
Patterns in Bivariate Data How was the skill or concept observed?
Skill or Key Concept Understand that patterns of association can also be seen in bivariate categorical data by displaying frequencies and relative frequencies in a two-way table. Construct and interpret a two-way table summarizing data on two categorical variables collected from the same subjects. Use relative frequencies calculated for rows or columns to describe possible associations between the two variables. For example, collect data from students in your class on whether or not they have assigned chores at home. Is there evidence that those who have a curfew also tend to have chores?
❏ ❏ ❏
Physical modeling Pictorial modeling Problem solving
❏ ❏
Discussion Written explanation
Notes and Feedback
2
Patterns in Bivariate Data
Standards for Mathematical Practice
Notes and Feedback
Make sense of problems and persevere in solving them Reason abstractly and quantitatively Construct viable arguments and critique the reasoning of others Model with mathematics Use appropriate tools strategically
Attend to precision Look for and make use of structure Look for and express regularity in repeated reasoning
Consider these reflection questions in this scope. ●
Is this student proficient in the skills addressed in this scope? ○ If so, what is next for them? ○ If not, how can I support them?
●
What activities worked well for this student, and what would I do differently next time?
3
FOLLETO DEL MAESTRO 376
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GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS Patterns in Bivariate Data
Refer to your answers on the Skills Quiz. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue – miscalculation
Orange – explanation
EVALUAR: MAPA DE CALOR
ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN
Red – misconception
MAPA DE CALOR
Skills Quiz Standards
Questions
Construct and interpret scatter plots for bivariate measurement data to investigate patterns of association between two quantities. Describe patterns such as clustering, outliers, positive or negative association, linear association, and nonlinear association.
1
Know that straight lines are widely used to model relationships between two quantitative variables. For scatter plots that suggest a linear association, informally fit a straight line, and informally assess the model fit by judging the closeness of the data points to the line.
6
Use the equation of a linear model to solve problems in the context of bivariate measurement data, interpreting the slope and intercept. For example, in a linear model for a biology experiments, interpret a slope of 1.5 cm/hr as meaning that an additional hour of sunlight each day is associated with an additional 1.5 cm in mature plant height.
7
Understand that patterns of association can also be seen in bivariate categorical data by displaying frequencies and relative frequencies in a two-way table. Construct and interpret a two-way table summarizing data on two categorical variables collected from the same subjects. Use relative frequencies calculated for rows or columns to describe possible association between the two variables. For example, collect data from students in your class on whether or not they have a curfew on school nights and whether or not they have assigned chores at home. Is there evidence that those who have a curfew also tend to have chores?
2
DESCRIPCIÓN
5
3
Los estudiantes analizan los resultados de su evaluación y determinan qué hicieron bien y en qué pueden mejorar. 8
10
9
MATERIALES
• 1 mapa de calor (por estudiante) • 1 lápiz de color rojo (por estudiante)
4
• 1 lápiz de color azul (por estudiante) • 1 lápiz de color naranja (por estudiante) 1
Patterns in Bivariate Data
• Determine si los estudiantes analizarán su «Prueba de habilidades», la «Evaluación basada en estándares», o ambas. • Imprima un «Mapa de calor» para cada estudiante.
Reflection Questions 1. Which skill did you feel most confident with? Why?
PREPARACIÓN
2. Which skill did you feel most challenged by? Why?
• Reúna lápices de color rojo, azul y naranja para cada estudiante.
3. Which type of error did you most commonly make?
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN
4. How can you avoid those errors in the future?
1. Dé un «Mapa de calor» a cada estudiante junto con lápices de colores rojo, azul y naranja. Los estudiantes deben tener a mano su(s) evaluación(es) corregida(s).
2
Patterns in Bivariate Data
Refer to your answers on the Standards-Based Assessment. Color the correct question boxes green, and color incorrect question boxes according to the following key. Blue - miscalculation
Orange - explanation
Red - misconception
3. Anímelos a buscar patrones en sus datos, como un determinado estándar que se omitió con mayor frecuencia o un estándar que dominan claramente, y a utilizar esta información para reflexionar y establecer objetivos en la tabla proporcionada.
Standards-Based Assessment Standards Construct and interpret scatter plots for bivariate measurement data to investigate patterns of association between two quantities. Describe patterns such as clustering, outliers, positive or negative association, linear association, and nonlinear association. Know that straight lines are widely used to model relationships between two quantitative variables. For scatter plots that suggest a linear association, informally fit a straight line, and informally assess the model fit by judging the closeness of the data points to the line. Use the equation of a linear model to solve problems in the context of bivariate measurement data, interpreting the slope and intercept. For example, in a linear model for a biology experiments, interpret a slope of 1.5 cm/hr as meaning that an additional hour of sunlight each day is associated with an additional 1.5 cm in mature plant height. Understand that patterns of association can also be seen in bivariate categorical data by displaying frequencies and relative frequencies in a two-way table. Construct and interpret a two-way table summarizing data on two categorical variables collected from the same subjects. Use relative frequencies calculated for rows or columns to describe possible association between the two variables. For example, collect data from students in your class on whether or not they have a curfew on school nights and whether or not they have assigned chores at home. Is there evidence that those who have a curfew also tend to have chores?
Questions
1
3
4
6
7
8
5
9
2. Los estudiantes utilizan su(s) evaluación(es) corregida(s) para colorear el «Mapa de calor». Para cada pregunta no contestada por error de cálculo, los estudiantes colorean de azul la casilla correspondiente. Para cada pregunta no contestada por una explicación, los estudiantes colorean la casilla correspondiente de naranja. Para cada pregunta omitida por un concepto erróneo, los estudiantes colorean el cuadro correspondiente de rojo.
4. Consulte la «Guía de instrucción andamiada» que se encuentra en la sección «Inicio» para proporcionar extensión o apoyo adicional.
10
2
3
MAPA DE CALOR ACCELERATE LEARNING INC. TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS.
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GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
INTERVENIR: REVISIÓN Y PRÁCTICA DE HABILIDADES Patterns in Bivariate Data
REFORZAR Y VOLVER A ENSEÑAR
REPASO Y PRÁCTICA DE HABILIDADES DESCRIPCIÓN Esta actividad está diseñada para repasar los conceptos clave del alcance . Utilícela como repaso o para intervención.
Checkup 1.
For the scatterplot on the right, what is the relationship between variables x and y? The pattern is a downward sloped line, which is a negative correlation. As x increases, y decreases.
2.
Identify any outliers on this scatterplot. One data point at (15, 10) is much smaller in value than the other data points and very separated from the diagonal cluster.
3.
Interpret the bivariate data below. Describe any trends.
MATERIALES
There is no pattern in this bivariate data because all of the dots are widely scattered. There is no correlation between the two variables.
IMPRESOS
• 1 revisión rápida (por estudiante)
4.
• 1 repaso (por estudiante) • 1 revisión general (por estudiante) • 1 lista de verificación del maestro (por maestro)
PREPARACIÓN
• Imprima una copia de «Revisión rápida», « Repaso» y «Revisión general» para cada estudiante.
5.
Create a scatterplot for this data on the age (in weeks) of a tadpole and the length of its tail (in mm). Age (weeks)
0
1
2
3
4
Tail Length (mm)
70
55
40
26
9
Draw a best line of fit, and write an equation for this relationship. y = −15x + 70 y-intercept = 70 Change in y = 55 – 70 = −15 = −15 Change in x 1–0 1
• Si lo desea, coloque a los estudiantes en grupos de 3 o 4 para completar el «Repaso». • Si lo desea, imprima un ejemplo del «Esquema de anclaje» de la sección «Explicar» o pida a los estudiantes que utilicen la «Libreta interactiva» como recurso. • Opcionalmente, imprima cualquiera de los materiales de «Ayudas suplementarias» para que los estudiantes los utilicen mientras trabajan.
1
Patterns in Bivariate Data
6.
Describe the correlation between the x and y variables on this scatterplot.
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya una copia de la «Revisión rápida» a cada estudiante. 2. Cada estudiante debe completar la «Revisión rápida» de forma individual. 3. Utilice la rúbrica de habilidades al final de la «Revisión rápida» para identificar qué estudiantes necesitan ayuda adicional en las habilidades.
The best line of fit shows an upward slope, so this is a positive correlation. As x increases, y increases. 7.
4. Distribuya una copia del «Repaso» a cada estudiante. 5. Cada estudiante debe completar el «Repaso» como actividad de intervención o como actividad individual. a.
Si lo desea, reúna a los estudiantes en grupos pequeños para trabajar en las destrezas de repaso. Utilice el «Repaso» como ayuda para la reenseñanza.
6. Distribuya una copia de la «Revsión general» a cada estudiante. 7. Cada estudiante debe completar la «Revsión general» de forma individual. 8. Analice los resultados de la «Revsión general» utilizando la «Lista de verificación del maestro» para identificar qué estudiantes necesitan un repaso adicional y qué estudiantes han alcanzado el dominio de los conceptos.
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What is the slope of the line of fit? Change in y = 500 – 400 = 100 = 100 Change in x 5–4 1
8.
What does that slope tell you about the relationship between x and y if x represented the number of months and y represented the amount of money in savings? That savings increased at a rate of $100 per month.
9.
What does the y-intercept tell you about the relationship between months and the amount of money saved? Because the y-intercept is also $100, that means that the savings account started with $100 already in the account.
10.
Write an equation for the line of fit for the scatterplot above. y = 100x + 100 2
REVISIÓN GENERAL CLAVE DE RESPUESTAS
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1/9/26 2:01 PM
GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
ACELERACIÓN: ¿QUÉ PREFERIRÍAS? Patterns in Bivariate Data
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
¿QUÉ PREFERIRÍAS?: ESTUDIAR EN UNA CAFETERÍA
Coffee Shop Studying Use mathematical reasoning and creativity to justify your answer to the Would You Rather question. Ronald is about to begin studying for his final exams. He finds studying more effective when having a cup of coffee at the local coffee shop. Ronald is debating whether to study on Saturday morning or Saturday afternoon. Would you rather go to the coffee shop to study in the morning or in the afternoon? Justify your reasoning with mathematics.
DESCRIPCIÓN Los estudiantes utilizan el razonamiento matemático y la creatividad para justificar una respuesta.
MATERIALES IMPRESOS
• 1 folleto del estudiante (por alumno) • 1 rúbrica (por maestro)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Folleto del estudiante» por alumno.
Sample answers may include the following: The scatterplot shows that on average
• Planifique que los estudiantes trabajen en parejas para completar esta actividad, si lo desea.
there are more customers earlier in the day. Although it may be more crowded, I would rather study at the coffee shop in the morning. Drinking coffee earlier in the day will help to wake me up so that I can study better. I would rather study at the coffee shop in the afternoon because on average there are fewer customers there during that time. It would be a quieter setting to be able to study and concentrate. 1
FOLLETO DEL ESTUDIANTE CLAVE DE RESPUESTAS
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Entregue un «Folleto del estudiante» a cada alumno. 2. Anímelos a mirar sus folletos de «Explorar» si necesitan repasar habilidades. 3. Invite a los estudiantes a compartir respuestas y justificaciones con sus compañeros. 4. Utilice la rúbrica proporcionada para evaluar las habilidades de comprensión, cálculo y razonamiento de los estudiantes.
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GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
ACELERACIÓN: TABLERO DE OPCIONES Patterns in Bivariate Data
Choose ● Car (MU ● Scie ● Arts ● Kitc ● Cre ● Fina ● Tec ● Ana ● Mat ● Othe by P
OPCIONES PARA SEGUIR APRENDIENDO
TABLERO DE OPCIONES
Patterns in Bivariate Data
DESCRIPCIÓN
CAREER CONNECTION MUST be one of the choices. Los estudiantes explorarán las conexiones con el mundo You can select any of the real y las aplicaciones del contenido matemático través(listed in blue other a choices de interacciones con actividades atractivas. box on the right).
MATERIALES IMPRESO
• 1 tablero de opciones (por estudiante)
All parts that are highlighted should be changed and unhighlighted.
• 1 juego de hojas de actividades (por estudiante) • 1 autoevaluación del tablero de opciones (por estudiante) REUTILIZABLE
• Tecnología (si corresponde)
PREPARACIÓN
• Imprima un «Tablero de opciones» y un juego de hojas de actividades para cada estudiante.
Choose one or more extension activities from the table below. Career Connection
Census Bureau Worker Research the career field of demographics. Your research must answer the provided questions. Create a presentation to relay your research to the class.
Science Connection
Electric Vehicles
Analyze the data provided on the handout. Then use the data, and your own research, to answer the questions.
Technology Connection
Create Your Own
Fore!
Survey Says
Use the graphing calculator to enter the data provided on the handout. Then, use the data and calculator to answer the questions.
Create your own survey, and then survey your classmates. Create a two-way table, and graph your data.
Mathematician Spotlight
Financial Connection
Gertrude Cox
Search out several news articles or research papers that involve Gertrude Cox’s work. Create an informational poster, diorama, or speech to convey this mathematician’s work as it relates statistics.
Card Collection
We use math every day in our financial world. Complete the handout to explore how scatterplots and correlation connect to our financial world.
• Imprima una «Autoevaluación del tablero» para cada estudiante. • Planifique con antelación el uso de la tecnología. Puede ser necesario investigar para algunas actividades del «Tablero de opciones».
1
TABLERO DE OPCIONES
PROCEDIMIENTO Y PUNTOS DE FACILITACIÓN 1. Distribuya un «Tablero de opciones» a cada estudiante. 2. Dé tiempo a los estudiantes para examinar el «Tablero de opciones» y seleccionar las actividades que les gustaría explorar. 3. Anímelos a intentar al menos tres actividades. 4. Distribuya las hojas de actividades correspondientes según las elecciones de los estudiantes. 5. Al finalizar cada actividad del tablero, haga que los estudiantes completen una «Autoevaluación del tablero de opciones» para revisar su propio pensamiento matemático y sus esfuerzos en su proyecto.
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GRADO 8: PATRONES EN DATOS BIVARIADOS
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