62 για ποιό λόγο όλοι τελικά οι αριθμοί είναι απειροψήφιοι

ΓΙΑ ΠΟΙΟ ΛΟΓΟ, ΟΛΟΙ ΤΕΛΙ ΚΑ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ , είναι ΑΠΕΙΡΟΨ ΗΦΙΟΙ.

2/12/2015

2 Δεκεμβρίου 2015

ΓΙΑ ΠΟΙΟ ΛΟΓΟ, ΟΛΟΙ ΣΕΛΙΚΑ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ, ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟΨΗΦΙΟΙ.

2 Δεκεμβρίου 2015

ΓΙΑ ΠΟΙΟ ΛΟΓΟ, ΟΛΟΙ ΣΕΛΙΚΑ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ, ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟΨΗΦΙΟΙ.

Για ποιο λόγο, όλοι τελικά οι αρικμοί, είναι απειροψιφιοι. Γιάννης Π. Πλατάρος Μαθηματικός Ειςαγωγι: Κατϋαρχιν, πρζπει να γίνει κατανοθτό, ότι τελικά όλοι οι αρικμοί είναι απειροψιφιοι , κόντρα ςτθν κοινι κακθμερινι αντίλθψθ ότι ζχουμε πεπεραςμζνου πλικουσ ψθφίων αρικμοφσ και μάλιςτα αυτοί είναι και απείρου πλικουσ αφοφ λ.χ. το ςφνολο των Φυςικϊν  {1, 2,3, 4,5,6,7,8,....} ζχει άπειρουσ ςτο πλικοσ αρικμοφσ. Επομζνωσ ο τίτλοσ τθσ παροφςθσ εργαςίασ είναι ψευδισ είτε παραπλανθτικόσ; Σο εξετάηουμε:    

Οι φυςικοί ρθτοί και γενικότερα οι ακζραιοι γράφονται όλοι με απειροψιφια μορφι, αφοφ λ.χ.

1=0,999999….. , 2=1,9999999999…… , 3=2,999999…… κ.ο.κ. Οι ρθτοί δεκαδικοί που τερματίηονται, γράφονται και αυτοί με άπειρα ψθφία, αφοφ λ.χ.

1,24=1,2399999…. 3,4567=3,4566999999……. Οι ρθτοί που δεν είναι δεκαδικοί είναι περιοδικοί με περίοδο διαφορετικι από το 9 (που είναι θ προθγοφμενθ κατθγορία) και αυτοί είναι πρωταρχικά απειροψιφιοι, περιοδικοί αρικμοί. Οι άρρθτοι που είναι κι αυτοί απειροψιφιοι μθ περιοδικοί ΢χθματικά:

Πραγματικοί Αρικμοί

Ρθτοί

Ακζραιοι (Τποκλάςθ των Ρθτϊν) Μετατρζπονται ςε απειροψήφιουσ με περίοδο το 9 Δεκαδικοί τερματιηόμενοι (Τποκλάςθ των Ρθτϊν) Μετατρζπονται ςε απειροψήφιουσ με περίοδο το 9) Είναι τησ μορφήσ

   ,    2  5

και με το

κλάςμα ανάγωγο. Δεκαδικοί περιοδικοί (Τποκλάςθ Ρθτϊν) Ζχουν πρωτογενϊσ απειροψήφια μορφή με οποιαδήποτε περίοδο πλην του 9 . Είναι οποιοδήποτε ανάγωγο κλάςμα που γράφεται διαφορετικά από την προηγοφμενη μορφή.

Άρρθτοι



Ζχουν από την φφςη τουσ απειροψήφια μη περιοδική μορφή

2 Δεκεμβρίου 2015

ΓΙΑ ΠΟΙΟ ΛΟΓΟ, ΟΛΟΙ ΣΕΛΙΚΑ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ, ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟΨΗΦΙΟΙ.

Με τισ παραπάνω εξθγιςεισ αποδείξαμε ότι όλοι οι αρικμοί, ζχουν απειροψιφια παράςταςθ και επομζνωσ ο τίτλοσ τθσ παροφςασ εργαςίασ είναι ςωςτόσ. Ωςτόςο, πάλι ο τίτλοσ μοιάηει «δθμοςιογραφικόσ» δθλαδι υπερβολικόσ1. Εξακολουκοφν να υπάρχουν άπειροι ςτο πλικοσ αρικμοί με πεπεραςμζνθ παράςταςθ ςτο δεκαδικό ςφςτθμα αρίκμθςθσ. Απλϊσ εμείσ υπενκυμίςαμε, ότι μποροφν να μετατραποφν όλοι ςε απειροψιφιουσ, με μθ τετριμμζνθ περίοδο το 0. Η ζκφραςθ «όλοι τελικά» τι νόθμα ζχει; (Σο «Για ποιο λόγο…» δεν τον ζχουμε ακόμα διαπραγματευκεί) Χρθςιμοποιοφμε τισ προτάςεισ: (Α) «Σο ςφνολο των ρθτϊν είναι αρικμιςιμο και το ςφνολο των αρριτων υπεραρικμιςιμο» Η παραπάνω πρόταςθ, ζχει ςυνζπειεσ πρακτικζσ:  Οι άρρθτοι είναι «πιο άπειροι» από τουσ ρθτοφσ.  Η ζκφραςθ «πιο άπειροι» είναι κυριολεκτικι, κακϊσ οι ρθτοί ζχουν τθν ιςχφ του αρικμιςιμου απείρου 0 (Άλεφ μθδζν) και οι άρρθτοι τθν ιςχφ του 1 και ιςχφει 1  20  0





Σο ςφνολο των αρριτων, δεν μπορεί να μπει ςε 1-1 και επί αντιςτοιχία με το ςφνολο των ρθτϊν. Αν δεχκοφμε ότι αυτό είναι εφικτό, μποροφμε να καταλιξουμε ςε άτοπο («Διαγϊνιο επιχείρθμα» του Cantor) Σο να ςυγκρίνεισ το 0 με το 1 , (Άλεφ μθδζν με Άλεφ ζνα) είναι οιονεί ςφγκριςθ πεπεραςμζνου με 0 . Αυτό το «οιονεί» μπορεί να υποςτθριχκεί μακθματικά, αν κάνουμε νοθτικά πειράματα τφχθσ με πεπεραςμζνα ςφνολα και με απειροςφνολα. Α) Για παράδειγμα: Λαμβάνω ςτιγμιότυπο, ,απϋ ό,τι ζχει γραφεί ςτο διαδίκτυο. Όλεσ τισ πλθροφορίεσ. Είναι μια τεράςτια ςειρά από οκτάδεσ από τα ψθφία 0 και 1. Σα κείμενα, οι φωτογραφίεσ, οι ιχοι, τα βίντεο, τα κινοφμενα γραφικά, όλα ζχουν τθν κωδικοποίθςθ 0 και 1. Χαλάω και τισ οκτάδεσ και φτιάχνω με απίςτευτα μεγάλθ «ςοφπα» από 0 και 1. Πεπεραςμζνθ, αλλά εκφραηόμενθ με ζναν επίςθσ απίςτευτο αρικμό ψθφίων από 0 και 1. Αν αρχίςω να βγάηω διαδοχικά και εντελϊσ τυχαία τα 0 και 1 και να τα βάηω ςε οκτάδεσ, θ πικανότθτα να ξαναφτιάξω τα ίδιο ςτιγμιότυπο διαδικτφου, είναι πολφ μικρι μεν, κετικι δε. Σο ενδεχόμενο είναι απολφτωσ εφικτό και μετά από δοκιμζσ που κα γίνουν ςε πεπεραςμζνο χρόνο, κα το φτιάξω τελικά, με ςχεδόν απόλυτθ ςιγουριά, εντόσ πεπεραςμζνου χρόνου και απόλυτθ εντόσ απείρου χρόνου. Οςοδιποτε γριγοροσ και να είμαι ςτισ δοκιμζσ επαναφοράσ τθσ ςωςτισ διάταξθσ του διαδικτφου, θ πικανότθτα να το επιτφχω τθν πρϊτθ δοκιμαςτικι φορά είναι q=1/(28∙α!), όπου α ο αρικμόσ των οκτάδων (bytes) Αν ο χρόνοσ αυτόσ είναι απίςτευτα μικρόσ, ασ ποφμε όςο ο χρόνοσ t που κάνει το φϊσ να διαπεράςει τον μικρότερο πυρινα τθσ Φφςθσ, αυτόν του H2 2, τότε θ πικανότθτα να

1

Η υπερβολή γενικϊσ θεωρείται ότι είναι ςτοιχείο ςυςτατικό τησ Δημοςιογραφίασ. Για παράδειγμα βλζπετε ςτον ςφνδεςμο την γνϊμη ενόσ εμπείρου δημοςιογράφου, ενϊ η γνϊμη του δεν είναι μόνο προςωπική. Σε μια εργαςία όμωσ που διεκδικεί τον τίτλο «επιςτημονική» ζςτω και εκλαϊκευτική, δεν ζχει θζςη, εκτόσ ίςωσ από την περίπτωςη όπου καθίςταται αντιληπτή από όλουσ ανεξαιρζτωσ και δια μιασ. http://www.presspublica.gr/υπερβολική-δόςη/ 2

-6

-6

-9

-15

-18

5

Ο πυρινασ ενόσ ατόμου ζχει μζςθ διάμετρο 10 nm =10 10 m=10 m=10 Km. Αν το φωσ τρζχει με 3∙10 Km/sec , τότε για να -18 5 -23 -24 διαςχίςει ζναν πυρινα κζλει χρόνο t=s/v =(10 Km)/ (3∙10 Km/sec)=0,3333…∙10 sec≅ 3∙10 sec. Επομζνωσ ςε 1.000.000.000 12 12 12 12 12 12 19 χιλιετίεσ =10 ζτθ=10 ∙235 θμζρεσ=10 ∙235∙24ϊρεσ=10 ∙235∙24∙60 λεπτά=10 ∙235∙24ϊρεσ=10 ∙235∙24∙60∙60sec=3∙10 sec.

19 -24 43 12 43 Επομζνωσ, προλαβαίνουμε να πραγματοποιιςουμε (3∙10 sec)/( 3∙10 sec)= 10 δοκιμζσ. Δθλ. Σα 10 ζτθ δίνουν 10 δοκιμζσ 12.000.000.000.000 43.000.000.000.000 κ.ο.κ. 10 =10

2 Δεκεμβρίου 2015

ΓΙΑ ΠΟΙΟ ΛΟΓΟ, ΟΛΟΙ ΣΕΛΙΚΑ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ, ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟΨΗΦΙΟΙ.

μθν ζχει πραγματοποιθκεί θ επαναςφςταςθ του διαδικτφου ςε χρόνο 1.000.000.000 43 1043  0 1   43   q (1  q ) χιλιετιϊν (:= 1012 ζτθ) είναι b(1043,0,q)=  =1 1 (*) 1     8 2  a !

0     Κανονικά δεν γνωρίηουμε το α, άρα δεν μποροφμε να αποφανκοφμε. Μποροφμε να του δϊςουμε μια υπερεκτίμθςθ. Κάκε κάτοικοσ του Πλανιτθ, ζχει χρθςιμοποιιςει 1.000 Terabytes δεδομζνων ςτο διαδίκτυο, ιτοι 7.000.000.000 κάτοικοι πλανιτθ ΓθΧ1015 bytes/κάτοικο =7X1024bytes=α .

43

  1 Άρα το διϊνυμο πικανότθτασ (*) γίνεται 1  8  Σθν αρικμθτικι αυτι 24  2  (7 10 )!  παράςταςθ, δεν μπορεί να τθν υπολογίςει το Mathematica 10 , διότι μαηί με τουσ διψιφιουσ εκκζτεσ του 10 ζχουμε και το παραγοντικό (!) τα ο οποίο ςφμβολο του παραγοντικοφ, επελζγθ για τθν ζκπλθξθ που προκαλεί τθν φανταηόμαςτε ωσ εξισ : ΢τθν παρζνκεςθ υπάρχει ζνασ απειροελάχιςτα μικρότεροσ αρικμόσ από τθν μονάδα, όμωσ ςε μια τεράςτια δφναμθ, το 43 . Γνωρίηουμε ότι αν0 , με 0<α<1. ΢ε μια ιςοδφναμθ διατφπωςθ, αυτό μεταφράηεται ότι «για καταλλιλωσ και «επαρκϊσ μεγάλο» φυςικό ν, μποροφμε να πλθςιάςουμε τθν πικανότθτα όςο κζλουμε κοντά ςτο 0 . Δθλαδι, υπάρχει πεπεραςμζνοσ χρόνοσ, όπου λ.χ. θ πικανότθτα να μθν ζχει αναπαραχκεί το διαδίκτυο να είναι ςχεδόν απίκανθ. Μόνο ςε άπειρο επιτελεςμζνο χρόνο (:=ενεργεία άπειρο) ζχω βεβαιότθτα. Δεν κα αποφφγουμε τελικά τθν φιλοςοφικι αβεβαιότθτα, διότι πάντα υπάρχει πικανότθτα ζςτω και ςχεδόν μθδενικι να μθν ζχει αναςυςτακεί ςε όποιο χρόνο επιλζγω κάκε φορά οςοδιποτε μεγάλο και να τον επιλζξω κάκε ςυγκεκριμζνθ φορά. Από αυτό το παράδειγμα κρατάμε ότι για οποιοδήποτε απίθανο με τα ανθρϊπινα κριτήρια ενδεχόμενο όπωσ το να επαναςυςταθεί τυχαία το διαδίκτυο από μια τεράςτια ςοφπα με 0 και 1 που περιζχει «μόνο» 28Χ7Χ1024 ψηφία από 0 και 1 και μάλιςτα 0 και 1 με ιδιοταυτότητα το κάθε ζνα, δηλ. να πάνε τα αυθεντικά 0 και 1 ςτην αρχική θζςη που ήταν πριν αποδομήςουμε το διαδίκτυο ςε ςοφπα με 0 και 1, είναι θετική και όςο θζλουμε κοντά ςτο 1 (=βεβαιότητα) αρκεί να ζχουμε επαρκϊσ κατάλληλα μεγάλο χρόνο. Β) Ασ πάρουμε τον αρικμό των κόκκων άμμου που χωράει το ΢φμπαν αν δεν υπιρχαν τα τεράςτια κενά που υπάρχουν (΢φμπαν εννοοφμε μζχρι εκεί που ζχει φκάςει το Φωσ , από τθν ςτιγμι τθσ Μεγάλθσ ζκρθξθσ. Σο νοφμερο χωράει ςτο χαρτί και γράφεται με λίγα ψθφία. Είναι τθσ τάξθσ του 1064. Αν χαρτογραφιςω αυτι τθν άμμο ςυνδζοντασ όλουσ τουσ κόκκουσ τθσ με μια νοθτι κλωςτι ςαν κομπολόι φτιάχνοντασ ζνα ΢υμπαντικό κομπολόι. Αυτό το κομπολόι καταγράφει ζναν αρικμό από τον πρϊτο κόκκο άμμου, ωσ τον τελευταίο. (ο τελευταίοσ δεν μζνει ςτακερόσ, κακϊσ το ςφμπαν επεκτείνεται ακτινικά-ςφαιρικά, με ταχφτθτα φωτόσ . Παίρνουμε ζνα ςτιγμιότυπο) Ζτςι, κάκε κόκκοσ χαρακτθρίηεται από ζναν αρικμό που είναι και θ ςυντεταγμζνθ του ςτο κομπολόι ςτακεροφ ςχιματοσ νιματοσ. Αν ανακατζψω και πάλι νοθτά ατι τθσ ςοφπα άμμου και μετά εξαγάγω ζνα προσ ζνα κόκκουσ και τουσ βάηω ςτο κομπολόι ξεκινϊντασ από τθν αρχι, θ πικανότθτα να ξαναμποφν όλοι οι κόκκοι ςτθν ςωςτι κζςθ, είναι p=1/(1064!) Η πικανότθτα να το πετφχω αυτό 1.000 φορζσ ςερί και να μπουν οι κόκκοι τθσ άμμου χίλιεσ φορζσ ςτθν ςωςτι τουσ κζςθ κάνοντασ το πείραμα μόνο 1.000 φορζσ, είναι q= 1/[(1064!)]1.000 Φυςικά δεν υπάρχει άνκρωποσ που μπορεί να φανταςτεί πόςο κοντά ςτο 0 είναι ο προθγοφμενοσ αρικμόσ που με τόςθ αναπαραςτατικι λιτότθτα γράψαμε ι (όπερ το αυτό) πόςο μεγάλοσ είναι ο παρανομαςτισ αυτοφ του κλάςματοσ. Και φυςικά, μποροφμε να γράψουμε πολφ-πολφ μεγαλφτερουσ.

2 Δεκεμβρίου 2015

ΓΙΑ ΠΟΙΟ ΛΟΓΟ, ΟΛΟΙ ΣΕΛΙΚΑ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ, ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟΨΗΦΙΟΙ.

Από τα προηγοφμενα κρατάμε ότι για ζνα «πραγματικά απίθανο» ενδεχόμενο (=να βάλουμε τουσ κόκκουσ άμμου που χωράνε ςτο Σφμπαν ςτην ίδια θζςη 1.000 φορζσ ςερί, αφοφ πρϊτα τουσ ανακατϊςουμε καλά!) η πιθανότητα q, είναι μεγαλφτερη του μηδενόσ. Η Πικανότθτα όμωσ να βγάλω από το ςφνολο των Φυςικϊν αρικμϊν ζναν αρικμό από 64 το 1 ζωσ το 10 , είναι 0, όπωσ προκφπτει από το μζτρο τθσ πικανότθτασ που είναι θ   64 2 1 10 pϋ= lim  0 . H Πικανότθτα να βγάλω ηυγό φυςικό είναι q= lim    . Η πικανότθτα n      2   να βγάλω τζλειο τετράγωνο (είναι άπειρα τα τζλεια τετράγωνα) είναι r= lim    0 ,  



όπου *…+ θ ςυνάρτθςθ ακζραιο μζροσ . Η διαιςκθτικι κατανόθςθ του αποτελζςματοσ βοθκιζται από το γεγονόσ, ότι «υπάρχουν οςοδήποτε μεγάλα διαςτήματα διαδοχικϊν φυςικϊν, όπου κανείσ δεν είναι πρϊτοσ.» Αυτό φαίνεται από τθν ταυτότθτα (ν+1)2-ν2=2ν+1 . Για παράδειγμα ανάμεςα ςτον 1.000.0012 και ςτον 1.000.0002 υπάρχουν 2.000.001 διαδοχικοί φυςικοί, όπου κανείσ δεν είναι τζλειο τετράγωνο. Ανάλογο αποτζλεςμα – ςυμπζραςμα ιςχφει και για τουσ πρϊτουσ αρικμοφσ που κι αυτοί είναι άπειροι και θ πικανότθτα εξαγωγισ πρϊτου από τουσ Φυςικοφσ είναι 0, ενϊ και ςτουσ Φυςικοφσ, υπάρχουν οςοδιποτε μεγάλα διαςτιματα διαδοχικϊν Φυςικϊν, όπου κανείσ τουσ δεν είναι πρϊτοσ. (Βλζπε ΕΔΩ και εδϊ ) Σο πραγματικά εντυπωςιακό που καλείται να κατανοιςει ο αναγνϊςτθσ είναι το ίδιο το αποτζλεςμα: Πικανότθτα εξαγωγισ τελείου τετραγϊνου από τουσ Φυςικοφσ ίςθ με 0, ενϊ οι Φυςικοί με τα τζλεια τετράγωνα τίκενται ςε 1-1 και επί απεικόνιςθ όπωσ φαίνεται από το ςχιμα   2 (Δθλ. κάκε   αντιςτοιχίηεται ςτο  2 ςτουσ Σετράγωνουσ και κάκε  2 ςτουσ Σετράγωνουσ αντιςτοιχίηεται ςτο  . Ζτςι ζχουμε το 1-1 και επί τθσ αντιςτοίχιςθσ , όμωσ θ πικανότθτα εξαγωγισ τετράγωνου από τουσ Φυςικοφσ, είναι 0 ακριβϊσ. Η κεϊρθςθ τθσ δυνατότθτασ 11 αντιςτοίχιςθσ των ςυνόλων, υποδθλοί, ότι τα δφο άπειρα ςφνολα είναι ιςοπλθκικά τθσ πρϊτθσ τάξεωσ του απείρου, του άλεφ μθδζν (= 0 ) όπωσ παριςτάνουμε τθν ιςχφ του αρικμιςιμου απείρου του ςυνόλου των Φυςικϊν . Αν επιχειριςουμε να βροφμε τθν πικανότθτα εξαγωγισ ρθτοφ (ςτο

) αρικμοφ από το ( ) ςφνολο των Πραγματικϊν κα χρειαςτεί να υπολογιςτεί ο λόγοσ όπου το μ(…) ( ) είναι θ «ςυνάρτθςθ μζτρο» που μποροφμε να τθν φανταςτοφμε ωσ τθν ζννοια ενόσ μικουσ 0 του ςυνόλου. ΢φμφωνα με τθν Θεωρία μζτρου, είναι ο λόγοσ ίςοσ με  0 . ΢το ίδιο  αποτζλεςμα που είναι εντυπωςιακότερο, καταλιγω, αν υπολογίςω τθν πικανότθτα  (  ί  [0,1]) 0 εξαγωγισ ρθτοφ από το ςφνολο-διάςτθμα *0,1+ Ζχω p   0 .  ([0,1]) 1 Εδϊ βεβαίωσ το και το δεν τίκενται ςε 1-1 αντιςτοιχία.



΢υνοψίηουμε, επεκτείνουμε και παρακζτουμε περιςςότερα δεδομζνα και αποτελζςματα: Ζχω τθν ευκεία των Πραγματικϊν αρικμϊν. Πάνω τθσ υπάρχουν- απεικονίηονται, ρθτοί και άρρθτοι. Η ονοματοδοςία-παράςταςθ των αρικμϊν, μπορεί να γίνει ςφμφωνα με οποιοδιποτε ςφςτθμα αρίκμθςθσ.

2 Δεκεμβρίου 2015

 



 

ΓΙΑ ΠΟΙΟ ΛΟΓΟ, ΟΛΟΙ ΣΕΛΙΚΑ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ, ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟΨΗΦΙΟΙ.

Οι ακζραιοι απεικονίηονται με περατοφμενθ παράςταςθ. Από τουσ Ρθτοφσ, απεικονίηονται με περατοφμενθ παράςταςθ μόνο θ απειροελάχιςτθ  κλάςθ ρθτϊν τθσ μορφισ   προκειμζνου για το δεκαδικό ςφςτθμα αρίκμθςθσ και 25 όπου το κλάςμα ανάγωγο . Αν είχα δωδεκαδικό ςφςτθμα αρίκμθςθσ, με περατοφμενθ  παράςταςθ κα παριςτάνοντο οι αρικμοί τθσ κλάςθσ των ρθτϊν τθσ μορφισ   Δθλαδι, 23 ο παρονομαςτισ είναι οι διαφορετικοί πρϊτοι που προκφπτουν από τθν ανάλυςθ τθσ βάςθσ του ςυςτιματοσ αρίκμθςθσ ςε γινόμενο πρϊτων. Κάκε ρθτόσ , μπορεί να ζχει περατοφμενθ ι περιοδικι μορφι ανάλογα ςτο ςφςτθμα αρίκμθςθσ που ζχει γραφεί για παράδειγμα: 1 1  0,33333333333333..... ά 10     0,1 ά 3    3 ά 10  10 ά 3 Η Πικανότθτα εξαγωγισ Ρθτοφ από τουσ Πραγματικοφσ, είναι 0. Αν ειςάγω ςτουσ πραγματικοφσ , άπειρα διακριτά αρικμιςιμα αντίγραφα των Ρθτϊν, δθλαδι αν ειςάγω το ςφνολο  



 1

 



και επιχειριςω να εξαγάγω ζνα αρικμό, θ

πικανότθτα να εξαγάγω ρθτό, είναι πάλι….0! Η απειρία των Ρθτϊν ωσ προσ τθν απειρία των Αρριτων είναι όπωσ το  πεπεραςμζνο προσ το άπειρο, δθλ. 0. Σο ςφνολο του Cantor, είναι ζνα υποςφνολο του *0,1+ που ζχει «πιο άπειρα» (=περιςςότερα) ςτοιχεία από το  



 1



που ορίςαμε προθγουμζνωσ. Η καταςκευι του, ορίηεται ωσ εξισ: ξεκινά από ζνα ευκφγραμμο τμιμα -διάςτθμα. Σο χωρίηουμε ςε 3 ίςα τμιματα και αφαιροφμε το μεςαίο. ςτα δφο εναπομζνοντα, εφαρμόηουμε τον ίδιο κανόνα κ.ο.κ. επϋάπειρον. ΢το πρϊτο βιμα ζχουμε 2 τμιματα με μικοσ 1/3 ζκαςτο, ςτο δεφτερο 22 με μικοσ (1/3)2 ζκαςτο , επαγωγικά ςτο ν-οςτό βιμα 2ν τμιματα με μικοσ (1/3)ν ζκαςτον . Επϋ άπειρον όπου και ορίηεται το ΢φνολο Cantor, ζχουμε ςυνολικό μικοσ (2/3)ν 0. Δθλ. Σο μικοσ του ΢υνόλου Cantor, είναι 0. To μζτρο του είναι 0, ι ςυμβολικά μ(C) =0 . Μπορεί να αποδειχκεί και υπεραρικμιςιμο. Δθλ. ότι δεν τίκεται ςε 1-1 αντιςτοιχία με το , διότι ζχει παραπάνω ςτοιχεία από αυτό . Παραπάνω ακόμα και από το απίςτευτα μεγάλο  



 1



. Η ιδζα τθσ απόδειξθσ είναι εφκολθ και βαςίηεται

ςτο γνωςτό διαγϊνιο επιχείρθμα του Cantor. Για να γίνει κατανοθτι θ απόδειξθ, πρζπει να αποκρυπτογραφθκεί θ καταςκευι του ςυνόλου Cantor, ωσ εξισ: Φανταηόμαςτε, ότι ςτο αρχικό ςφνολο *0,1+ μετράμε όλουσ τουσ αρικμοφσ ςτο τριαδικό ςφςτθμα αρίκμθςθσ. Σο τριαδικό ςφςτθμα, χρθςιμοποιεί τα ψθφία 0,1,και 2 . Όταν ςτο πρϊτο βιμα πετάω το μεςαίο τμιμα, ςτθν ουςία, πετάω όλουσ όςουσ το δεφτερο ψθφίο τουσ είναι 2. ΢το δεφτερο βιμα , πετάω όλουσ όςουσ ζχουν ωσ δεφτερο δεκαδικό το 2. Σουσ ζχοντεσ μορφι 0,α2… όπου α=0ι 1 διότι τθν τιμι 2 τθν ζχω ιδθ αποκλείςει. ΢τθν πραγματικότθτα, το ςφνολο Cantor, ορίηεται και με τον ιςοδφναμο τρόπο . ότι το C είναι το ςφνολο των πραγματικϊν αρικμϊν ςτο *0,1+, όπου θ τριαδικι τουσ αναπαράςταςθ δεν περιζχεται το ψθφίο 2. Με

2 Δεκεμβρίου 2015

ΓΙΑ ΠΟΙΟ ΛΟΓΟ, ΟΛΟΙ ΣΕΛΙΚΑ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ, ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟΨΗΦΙΟΙ.

αυτι τθν καταςκευι ο Cantor, ζφτιαξε το ςφνολο C={ χ: χ= 0,α1α2α3α4…αν…. με το i να διατρζχει το και αi  {0,1}} Ο Cantror, χρθςιμοποίθςε τθν εισ άτοπον απαγωγι. Τπζκεςε ότι το C τίκεται ςε 1-1 και επί αντιςτοιχία με το και κατζλθξε ςε άτοπο. Να δοφμε πϊσ: Τπζκεςε ότι υπάρχει το παρακάτω ςχιμα, όπου τα ςτοιχεία του C, όντωσ αντιςτοιχίηονται με τα ςτοιχεία του ςε 1-1 και επί αντιςτοίχιςθ.

0, α11α12α13α14 α15α16α17α18 α17α110…α1,ν….

1

0, α21α22α23α24 α25α26α27α28 α29α210…α2,ν….

2

0, α31α32 α33α34 α35α36α37α38…α3,ν….

3

0, α41α42α43 α44 α45α46α47α48 α49α410…α4,ν….

4

0, α51α52 α5 3α54α55 α56α57α5,8α59α5,10…α5,ν….

5

0, α61α62α63 α64 α65 α66 α67α68α69α610…α6ν….

6

0, α71α72 α73α74 α75 α76 α77 α78α79α710…α7,ν….

7

0, α81α82α83α84 α85α86α87 α8,8 α89α810…α8,ν….

8

…………………………………………………………………..

…

……………………………………………………………………

…

0, 0,αν1αν2αν3αν4 αν5αν6αν7αν8 αν9 αν10…ανν……..

ν

……………………………………………………………………

…

…………………………………………… …………………….

…

Όλα τα παραπάνω αij είναι όλα 0 ι 1. Είπε ο Cantor: ΢χθματίηω ζναν αρικμό ωσ εξισ: Κοιτάω ςτον πίνακα το πρϊτο ψθφίο του πρϊτου αρικμοφ μετά τθν υποδιαςτολι. Σο α 11. Αυτό κα είναι 0 ι1. Αν είναι 0 γράφω 1, αν είναι 1, γράφω 0. Βλζπω τι είναι το α11, και λαμβάνω το «ςυμπλθρωματικό» του  11 Πάω ςτο δεφτερο ςτοιχείο, βλζπω το α22 και ςχθματίηω το  22 Πάω ςτο τρίτο ςτοιχείο, βλζπω το α33 και ςχθματίηω το  33 Πάω ςτο τζταρτο ςτοιχείο, βλζπω το α44 και ςχθματίηω το  44 …………………………………………………………………………………………………… Πάω ςτο ν-οςτό ςτοιχείο, βλζπω το ανν και ςχθματίηω το  ………………………………………………………………………………………………… ΢χθματίηω τον αρικμό :

2 Δεκεμβρίου 2015

ΓΙΑ ΠΟΙΟ ΛΟΓΟ, ΟΛΟΙ ΣΕΛΙΚΑ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ, ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟΨΗΦΙΟΙ.

0, 11 22  33 44 ... .... Ο παραπάνω αρικμόσ ανικει εκ οριςμοφ ςτο C, διότι τα ψθφία του είναι 0 ι 1. Ο παραπάνω αρικμόσ είναι διαφορετικόσ από όλουσ τουσ αρικμοφσ του πίνακα, διότι διαφζρει ςε ζνα τουλάχιςτον ψθφίο από ζκαςτο εξ αυτϊν εκ καταςκευισ. Άτοπο!3 Βρικαμε ψθφίο που δεν ζχει αντίςτοιχο ςτο . Άρα το C δεν τίκεται ςε 1-1 και επί αντιςτοιχία με το , κακϊσ ζχει παραπάνω ςτοιχεία. Επί μζρουσ ςυμπζραςμα από το ΢φνολο Cantor: Είναι ζνα γνιςιο υποςφνολο του *0,1+, μθδενικοφ μικουσ, που όμωσ ζχει παραπάνω ςτοιχεία από το  



 1







, ζτςι όπωσ το ζχουμε ορίςει.

Σο ςφνολο είναι ζνα ςφνολο τοπολογικϊσ «πυκνό» . Αυτό μεταφράηεται ςτο ότι μεταξφ οιωνδιποτε δφο ςτοιχείων του, που είναι διαφορετικά και οςοδιποτε κοντά, υπάρχει ζνα 11 12 γνθςίωσ ενδιάμεςο τρίτο. Για παράδειγμα: Μεταξφ του φαίνεται εκ πρϊτθσ όψεωσ να  17 17 110 120 μθν χωρά ενδιαμζςωσ άλλο κλάςμα –ρθτόσ . Όμωσ αν τα δοφμε ωσ που και αυτά  170 170 είναι ιςοδφναμα (=ίςα) κλάςματα με τα αρχικά φαίνεται να χωράνε άλλα 9 ενδιάμεςα κλάςματα 110 111 112 119 120 τα Και μεταξφ αυτϊν αν τα κεωριςουμε ωσ Χ10    ...   170 170 170 170 170 πολλαπλαςιαςμζνα ςτουσ όρουσ τουσ χωράνε άλλα 9 κ.ο.κ. επϋάπειρον, όςα κζλουμε. Σελικά, μεταξφ δφο ρθτϊν, υπάρχουν άπειροι άλλοι ρθτοί . Σο ςφνολο των δεκαδικϊν , που είναι μια ελάχιςτθ υποκλάςθ των Ρθτϊν, είναι κι αυτό πυκνό. Δθλ. πρακτικά ανάμεςα ςτο 2,345 και ςτο 2,346 μποροφμε να παρεμβάλουμε όςουσ δεκαδικοφσ κζλουμε. Για παράδειγμα, αν τουσ δοφμε ωσ 2,345000 και 2,346000 προςκζτοντασ 3 μθδενικά ςτον κακζνα όπωσ ζχουμε μάκει ιδθ από το Δθμοτικό, τότε μποροφμε να προςκζςουμε άλλουσ 999 με αφξουςα ςειρά, όπωσ φαίνεται εδϊ: 2,345  2,345001  2,345002  2,345003    2,345999  2,346.

999  ί ά 

Για να δοφμε καλφτερα τθν ελάχιςτθ κλάςθ των δεκαδικϊν ρθτϊν, τθν οποία χρθςιμοποιοφμε κακθμερινά με αποτζλεςμα να αναπτφςςουμε λανκαςμζνθ ιδζα για το πλικοσ τουσ και τθν ςθμαςία τουσ. Δεκαδικοί λοιπόν, είναι μόνο οι ανικοντεσ ςτθν κλάςθ  (1) με το κλάςμα ανάγωγο και ν1 και ν2 ςτο και μόνον αυτοί. Όλοι οι υπόλοιποι είναι θ 1 2  5 2 κλάςθ που δίνει μθ περατοφμενα πθλίκα διαιρζςεων. Πιο ςυγκεκριμζνα:

3

΢τθν βιβλιογραφία, ςυχνά θ παραπάνω απόδειξθ είναι καταχωριςμζνθ με τθν ζκφραςθ «Διαγϊνιο επιχείρθμα του Cantor» και όχι με τθν πιο φυςιολογικι ζκφραςθ «απόδειξθ του Cantor» Αυτό ζχει τθν εξιγθςι του, κακϊσ αμφιςβθτικθκε θ ίδια θ απόδειξθ από διάφορα μακθματικά ρεφματα και ΢χολζσ που αμφιςβθτοφν το «αξίωμα τθσ επιλογισ» του οποίου κάνει άμεςθ βαςικι κφρια χριςθ ο Cantor. Σι λζει το «αξίωμα τθσ επιλογισ;» Χωρίσ φορμαλιςμό, ςε εξωμακθματικι διατφπωςθ, λζει ότι αν ζχω άπειρουσ αρικμιςιμουσ αμμόλοφουσ όπου ζχει άπειρουσ κόκκουσ άμμου ο κάκε ζνασ, τότε μπορϊ να πάρω ζναν κόκκο από κάκε ζναν αμμόλοφο. (Αυτό ζκανε ο Cantor) (Η δε φυςικι εκλαϊκευτικι προςομοίωςθ του αξιϊματοσ ανικει ςτθν Κακθγιτρια του ΕΚΠΑ κα Βαςιλικι Φαρμάκθ.)

2 Δεκεμβρίου 2015

ΓΙΑ ΠΟΙΟ ΛΟΓΟ, ΟΛΟΙ ΣΕΛΙΚΑ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ, ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟΨΗΦΙΟΙ.

 (2) με το κλάςμα ανάγωγο, p πρϊτοσ τα νi ςτο 2  3  5  7 ...  p   ...  ..... 1

2

3

4

, και από το ν3 και

μετά δεν μπορεί να είναι όλοι οι εκκζτεσ ταυτόχρονα μθδενικοί. Αν ςκεφκοφμε, ότι ζκαςτοσ ακζραιοσ αναλφεται κατά μοναδικό τρόπο ςε γινόμενο πρϊτων, φαίνεται προφανισ θ μθδενικι πικανότθτα του να βρω περατοφμενθ διαίρεςθ διαιρϊντασ δφο τυχαίουσ φυςικοφσ. Σο ότι κακθμερινϊσ κάνουμε δεκάδεσ περατοφμενεσ διαιρζςεισ, οι οποίεσ περατϊνονται (εκτόσ από τθν ςτρογγυλοποιιςεισ ςτα μθχανάκια) από το ότι χρθςιμοποιοφμε για Ιςτορικοφσ πολιτιςμικοφσ και ςίγουρα βιολογικοφσ λόγουσ το δεκαδικό ςφςτθμα (ζχουμε 10 δάκτυλα) ½ ¼ ¾ είναι οριςμζνα κακθμερινά κλάςματα δεκαδικά που ο κειμενογράφοσ γράφει ςε ςωςτό μζγεκοσ με αυτόματθ προςαρμογι. Η ΢υμπαντικι Ανκυφαίρεςθ, τα ΢υνεχι κλάςματα, ο Ευκλείδειοσ αλγόρικμοσ και το ρθτόν ι άρρθτον ενόσ πραγματικοφ αρικμοφ. Ωσ «ςυνεχζσ απλό κλάςμα» ορίηεται μια παράςταςθ τθσ παρακάτω μορφισ, θ οποία προκφπτει από τον κλαςικό Ευκλείδειο αλγόρικμο. Ζχω τον ρθτό αρικμό

1345 403

Εκτελϊ Ευκλείδεια Διαίρεςθ και ζχω: 1345 136  3 403 403

΢υνεχίηω τθν διαίρεςθ κατά τθν παρακάτω ζννοια: 1345 136 1 1 1  3  3  3  3  403 131 1 403 403 2 2 136 136 136 131 1 1 1 1345  3  3  3  1 1 1 403 2 2 2 5 1 1 1 1 1 131 1 131 26  5 5

1345  [3; 2,1, 26]  [1345, 403] 403

Σα πρϊτα ψθφία από τα άπειρα, μθ περιοδικά ψθφία του π

Λόγω του πολυπλόκου τθσ ςυμφωνιςει να γράφουμε:

τελικισ

παράςταςθσ

ζχουμε

2 Δεκεμβρίου 2015

ΓΙΑ ΠΟΙΟ ΛΟΓΟ, ΟΛΟΙ ΣΕΛΙΚΑ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ, ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟΨΗΦΙΟΙ.

Αν εκτελζςω τον αναλυτικό λεπτομερι αλγόρικμο εφρεςθσ ΜΚΔ μεταξφ δφο αρικμϊν , ζχω το ςχιμα: 1345=3Χ403 +136 403= 2Χ136+131 136= 1Χ131+5 131= 26Χ5+1 Από τισ κόκκινεσ επιςθμάνςεισ , φαίνεται θ ςχζςθ μεταξφ ςυνεχοφσ απλοφ κλάςματοσ, ανκυφαιρζςεωσ και Ευκλειδείου αλγορίκμου για τθν εφρεςθ ΜΚΔ δφο αρικμϊν. ΢τθν ανκυφαίρεςθ ζχουμε ςθμαντικότατεσ προτάςεισ:

τισ

εξισ

Με τα άπειρα όμοια και όμοια ιςοςκελι τρίγωνα που υπάρχουν ςτο ςχιμα, ςυμβολίηοντασ με δ διαγϊνιο και α πλευρά, βλζπουμε ότι ςτο πρϊτο μεγάλο πεντάγωνο, το α ςτο δ χωράει 1 φορά και περιςςεφει δ1 <α. Σο δ1 ςτο α, χωρά 1 φορά και περιςςεφει α1<δ1. Φκάνουμε ζτςι ςτο πρϊτο εςωτερικό πεντάγωνο από τα άπειρα, όπου καλοφμαςτε να ςυνεχίςουμε τθν διαίρεςθ όπου διαιρζτθσ είναι πλζον θ πλευρά του πρϊτου εςωτερικοφ πενταγϊνου και διαιρετζοσ θ διαγϊνιόσ του. (δ/α=δ1/α1 λόγω ομοιότθτασ) ΢υνεπϊσ είμαςτε βζβαιοι, ότι το αποτζλεςμα με τισ μονάδεσ για πθλίκο, κα ςυνεχίηεται περιοδικά επϋ άπειρον.

1) Όλοι οι ρθτοί αρικμοί, ζχουν περατοφμενθ ανκυφαίρεςθ.

2) Όλοι οι άρρθτοι αρικμοί ζχουν άπειρθ ανκυφαίρεςθ. Ειδικά μάλιςτα, οι τετραγωνικοί άρρθτοι, δθλ. όλοι όςοι είναι ρίηεσ τριωνφμου με ακεραίουσ ςυντελεςτζσ (κλάςθ από αλγεβρικοφσ)και μόνον αυτοί, ζχουν περιοδικι ανκυφαίρεςθ. Οι μθ τετραγωνικοί άρρθτοι ζχουν μθ περιοδικι άπειρθ ανκυφαίρεςθ.

3) Δφο ίδια ανκυφαιρετικά αναπτφγματα αντιςτοιχοφν ςτον ίδιο και μοναδικό ρθτό. Αντιςτρόφωσ, ζνασ ρθτόσ εκφράηεται κατά δφο τρόπουσ α) για ακζραιο α, δφο τρόποι *α+=*α-1,1+ β) Για μθ ακζραιο, ζχω *α0,α1,…αν,αν+1+=* α0,α1,…αν,αν+1,-1,1 + Οπότε αν απαιτιςουμε τα τελευταία ςτοιχεία να μθν είναι άςςοι, ζχω μοναδικότθτα αναπτφγματοσ οποιουδιποτε πραγματικοφ. Ασ μθν ξεχνάμε, ότι και θ δεκαδικι ανάπτυξθ ενόσ ρθτοφ, δεν είναι μοναδικι Τπενκυμίηουμε λ.χ. το 0,999999999…….=1 όπωσ και 2,350000000000….=2,3499999999………

4) Κατά τα άλλα, αναλογικά ιςχφουν ανιςότθτεσ του τφπου *1,2,3,4,5+>*1,2,3,3,17+ κτλ όπωσ και με τουσ δεκαδικοφσ.

5) ΢τθν άπειρθ ανκυφαίρεςθ (δθλ. ςε παραςτάςεισ αρριτων) ζχουμε μοναδικότθτα του αναπτφγματοσ.

2 Δεκεμβρίου 2015

ΓΙΑ ΠΟΙΟ ΛΟΓΟ, ΟΛΟΙ ΣΕΛΙΚΑ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ, ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟΨΗΦΙΟΙ.

6) Χαρακτθρίηουμε τθν ανκυφαίρεςθ ωσ «΢υμπαντικι», διότι είναι μια παράςταςθ των αρικμϊν, ανεξάρτθτθ από τα ςυςτιματα αρίκμθςθσ. Οι άνκρωποι ανζπτυξαν το δεκαδικό ςφςτθμα γιατί απλϊσ ζχουν 10 δάκτυλα, το δυαδικό διότι εξυπθρετοφςε τον ςχεδιαςμό λογικϊν κυκλωμάτων μζςω τθσ Άλγεβρασ Boole και οι τριδάκτυλοι Αριανοί όπωσ τουσ Και ζνα κλαςικό παράδειγμα ειςαγωγισ αντιπαιδαγωγικισ παριςτάνει το Χόλυγουντ μάλλον κα παρουςίαςθσ αποτελζςματοσ, όπου αποκρφπτουμε ότι ζχουν το…εξαδικό! Ανεξαρτιτωσ λοιπόν γνωρίηουμε τθν ανάλυςθ και φτιάχνουμε τθν ςφνκεςθ παρουςιάηοντασ μια «μαγικι διαδικαςία» που αναφζρεται αν κάποιοσ μακθματικόσ είναι τθσ ςε «διάνοιεσ υψθλοφ επιπζδου», ϊςτε ο μακθτισ να Πλατωνικισ ΢χολισ (=: Σα Μακθματικά τρομοκρατείται ςκοπίμωσ είτε με αμζλεια, περί τα ανζκακεν προχπάρχουν ςτον κόςμο των Μακθματικά. Σο γράφουμε για το παρεμπίπτον μζροσ του κζματοσ, πλθν απολφτωσ ουςιαςτικό για τθν επαγγελματικι ιδεϊν και απλϊσ τα ανακαλφπτουμε) είτε μασ υπόςταςθ και ωσ λειτουργϊν. Δεν πρζπει επϋ ουδενί να τθσ Αριςτοτελικισ (=:Σα Μακθματικά τα παρουςιάηονται τα μακθματικά αποτελζςματα ωσ προϊόν καταςκευάηουμε, εφευρίςκουμε) είναι «μαγείασ» όπωσ κάνουν είτε οι πολφ καλοί ςίγουρο, ότι θ ανκυφαίρεςθ είναι ταχυδακτυλουργοί είτε οι κάκιςτοι Μακθματικοί. υπεράνω και ανεξάρτθτθ από ςυνικεισ μακθματικζσ παραδοχζσ των ανκρϊπων. Πικανόν , γι αυτό ζδωςαν μεγάλθ ςθμαςία ςτθν ανκυφαίρεςθ οι Αρχαίοι Ζλλθνεσ, όπου ακόμα και ο Πλάτων, μθ Μακθματικόσ ων, χρθςιμοποιεί ανκυφαιρετικζσ ςχζςεισ ςτα κείμενά του και ςτθν δομι του λόγου του, θ οποία μπορεί και να περικλείει (και μάλλον περικλείει) κάποια κωδικοποίθςθ θ οποία μπορεί να ζχει και μθ προφανι εμβάκυνςθ4 Παραδείγματα: *1,,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1…….+=φ=

1 5 1 5 =Ανκφ* ,1] 2 2

Ανκφ* 2 ,1]= *1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,…….+= 2 _____

*1,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2……+=*1,1,2 ]= 3 =ανκφ* 3 ,1] Επομζνωσ ιςχφει το ςχιμα : Πεπεραςμζνθ ανκυφαίρεςθ =Ρθτόσ Άπειρθ ανκυφαίρεςθ =Άρρθτοσ ΢τα παραπάνω, φαίνεται ακόμα και διαιςκθτικά το «απειροπλάςιον» των αρριτων ζναντι των ρθτϊν Με αυτι τθν κεϊρθςθ, θ πικανότθτα να επιλζξει κάποιοσ ρθτό από τουσ πραγματικοφσ είναι ζνα κλάςμα τθσ μορφισ .

4

Ο μζγιςτοσ Ζλλθνασ κακθγθτισ του Απειροςτικοφ Λογιςμοφ, Ανάλυςθσ Πραγματικϊν Αρικμϊν κτλ ομότιμοσ πλζον του ΕΚΠΑ κ. ΢τυλιανόσ Νεγρεπόντθσ τα τελευταία χρόνια αςχολείται πζραν των πολλϊν άλλων και με τθν Ιςτορία των Αρχαίων Ελλθνικϊν Μακθματικϊν, όπου ζχει βρει ςθμαντικά αποτελζςματα γφρω από το όλον κζμα «Ανκυφαίρεςθ» ςτον Πλάτωνα και όχι μόνον, που δεν ζχουν ακόμα δθμοςιευκεί, αλλά μζροσ τουσ αναδεικνφεται είτε από πρόχειρεσ ςθμειϊςεισ των Μεταπτυχιακϊν Φοιτθτϊν του Μακθματικοφ Σμιματοσ που τον ζχουν παρακολουκιςει ι και τον ζχουν ακοφςει προφορικϊσ να αναπτφςςει (τφχθ αγακι κι ο ςυντάκτθσ του παρόντοσ) είτε και πάρα πολφ καλϊν εργαςιϊν, ολοκλθρωμζνων, που ζχουν εκπονιςει Μεταπτυχιακοί Φοιτθτζσ, όπωσ λ.χ. ο κ. ΢ωκράτθσ Ντριάνκοσ εδϊ

2 Δεκεμβρίου 2015

ΓΙΑ ΠΟΙΟ ΛΟΓΟ, ΟΛΟΙ ΣΕΛΙΚΑ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ, ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟΨΗΦΙΟΙ.

 ή  έ  1 ί   . .  2  .  ...  Ό  έ  ή {( [ 1 ]  [ 1 , 2 ]  [ 1 , 2 , 3 ]  .....  [ 1 , 2 , 3 , 4 ,...  ])}  ή {[ 1 , 2 , 3 , 4 ,.......]} p

0 0 2 03 0 4  ....0 

0 1  1 0 1 0  1 0 1 0    0   (1) 0 0 0 0 00

Σο κλάςμα (1), ζχει προκφψει με κάποιον γενικϊσ επιρρεπι ςε λάκθ λογιςμό, αφοφ όταν κάνεισ πράξεισ με άπειρα μεγζκθ, υπάρχουν παγίδεσ, ςτισ οποίεσ ζχουν ιςτορικϊσ πζςει και πραγματικά μζγιςτοι εκ των Μακθματικϊν . Εδϊ όμωσ γνωρίηουμε, ότι κάνει 0 . Η Μακθματικι επιςτθμονικι προςζγγιςθ, γίνεται μόνο μζςω κεωρίασ Μζτρου. ΢τθν πραγματικότθτα, ο αρικμθτισ, ζχει το πλικοσ των μονοςυνόλων του , ςυν το πλικοσ των διατεταγμζνων ηευγϊν του , ςυν το πλικοσ των διατεταγμζνων τριάδων του κ.ο.κ. όμωσ, για πεπεραςμζνο πλικοσ ν-άδων, ενϊ οι τιμζσ που μπορεί να πάρει κάκε ν είναι ςτο πλικοσ Άλεφ μθδζν ( 0 ) Επίςθσ μπορεί να αποδειχκεί ότι και το

2

είναι αρικμιςιμο και επαγωγικά5 και το



  .

Άρα ο αρικμθτικισ του (1) ζχει τελικά ιςχφ 0 . Για τον παρονομαςτι ζχουμε 00  20  1  0 . Άρα το κλάςμα (1) ιςοφται με 0. Σελικά ςυμπεράςματα: Η τελικι , διαπίςτωςθ για το ότι όλοι τελικά οι αρικμοί είναι απειροψιφιοι ζχει καταςτεί ςαφισ: Α) Οι Δεκαδικοί ρθτοί που είναι οι μοναδικοί τερματιηόμενθ ςτο δεκαδικό ςφςτθμα είναι ελάχιςτοι, ουςιαςτικά «ανφπαρκτοι» μπροςτά ςτο πλικοσ των Ρθτϊν . Αν διαλζξουμε ζνα ρθτό από τουσ ρθτοφσ ςτθν τφχθ, θ πικανότθτα να επιλζξουμε δεκαδικό είναι 0. Β) Και οι τερματιηόμενοι γράφονται με απειροψιφια μορφι. Λ.χ. 2,34=2,339999… Γ) Η πικανότθτα να επιλζξουμε ρθτό από τουσ πραγματικοφσ είναι 0. Δ) Οι Ρθτοί ζχουν άπειρο πλικοσ 0 το άλεφ μθδζν, το άπειρο των αρικμιςιμων ςυνόλων. Οι πραγματικοί

ζχουν πλικοσ 0

Σο γιατί όμωσ ςυμβαίνει αυτό, ωσ διαιςκθτικι διαπίςτωςθ, όχι ωσ απόδειξθ, εδράηεται ςτα παρακάτω (που όμωσ παρουςιάηονται προθγουμζνωσ)  Σο υπεραρικμιςιμο που αντιπροςωπεφει τθν ιςχφ των Αρριτων 1 (, είναι πολφ μεγαλφτερο από τθν ιςχφ των Ρθτϊν 0 . 



5

6

Σο υπεραρικμιςιμο είναι «πολφ μεγαλφτερο» από το αρικμιςιμο. ( 1  20  0 ) Σο εάν υπάρχει ενδιάμεςθ τάξθ απείρου, δεν το ξζρουμε, ο Cantor, ιςχυρίςτθκε πωσ όχι, αυτό όμωσ είναι γνωςτό ωσ « υπόκεςθ του ςυνεχοφσ»6 Σο υπεραρικμιςιμο ζχει ςχζςθ με το αρικμιςιμο όπωσ το πεπεραςμζνο με το άπειρο. Κι όπωσ με το πεπεραςμζνο δεν μποροφμε να περιγράψουμε το άπειρο (το ολοκλθρωμζνο, όχι το «δυνάμει») φαίνεται, πϊσ κατά τον ίδιο τρόπο αποτυγχάνει το αρικμιςιμο να περιγράψει το υπεραρικμιςιμο.

Περιεκτικζσ ςθμειϊςεισ επί του κζματοσ, βρίςκουμε ςτθν ςφντομθ εργαςία του κ. Μιχάλθ Κολουντηάκθ εδϊ

Αξίηει τον κόπο ο αναγνϊςτθσ να διαβάςει το άρκρο του κ. ΢τάκθ Λειβαδά ςτθν θλεκτρονικι ζκδοςθ του «Βιματοσ» εδϊ

2 Δεκεμβρίου 2015

ΓΙΑ ΠΟΙΟ ΛΟΓΟ, ΟΛΟΙ ΣΕΛΙΚΑ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ, ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟΨΗΦΙΟΙ.

Δικτυογραφία του ιδίου επί ςχετικϊν : 1) «Οριςμζνεσ αποδείξεισ ότι 0,99999…=1 και το γιατί του εκπλιςςοντοσ αποτελζςματοσ» ΕΔΩ 2) «Μακθματικά αντικείμενα και ςχζςεισ ςτθν Τπθρεςία του Φιλοςοφικοφ και Μεταφυςικοφ ςτοχαςμοφ» ΕΔΩ 3) Εφαρμοηόμενα Μακθματικά ςε ζνα φφλο χαρτί Α4 ΕΔΩ 4) Η ανκυφαίρεςθ πλευράσ και διαγωνίου κανονικοφ πενταγϊνου και γιατί ο Φ είναι άρρθτοσ 5) τι είναι θ ανκυφαίρεςθ, απλά και κατανοθτά. Χειρόγραφεσ ςθμειϊςεισ.

6) Η άπειρθ πολλαπλαςιαςτικι ανκυφαιρετικι διαδικαςία τθσ αρµονίασ, ςτα ςχόλια του Φιλολάου.

7) Ανκυφαίρεςθ των ριηϊν των αρικµϊν 3, 13 , 19 µε τθν µονάδα Βιβλιογραφία επί ςχετικϊν: 1) Μια περιλθπτικι άποψθ –γνϊμθ-κζςθ του κ. ΢τυλιανοφ Νεγρεπόντθ για τθν επίδραςθ των Πυκαγορείων ςτθν διαμόρφωςθ του Ελλθνικοφ Πολιτιςμοφ 2) Αλίκθ Μπαςιάκου: «Ο Πολιτικόσ του Πλάτωνοσ και θ Παλινδρομικι Περιοδικιτα τθσ ανκυφαίρεςθσ των Σετραγωνικϊν Αρριτων» 3) †Βαςιλικι Κλεφτάκθ : «Ανάλυςθ του 10ου Βιβλίου του Ευκλείδθ και τεκμθρίωςθ τθσ περιοδικισ παλινδρομικισ ανκυφαίρεςθσ των τετραγωνικϊν αρριτων» 4) ΢ωτιρθσ ΢υριόπουλοσ : ΢χόλια επί άρκρου του D.B. Fowler «Ratio in Early Greek Mathematics» που δθμοςιεφκθκε ςτο BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY Volume 1, Number 6, November 1979 5) Χαράλαμπου ΢πυρίδθ (ΕΚΠΑ) Η Πυκαγόρειοσ Ανκυφαίρεςισ ι Ανταναίρεςισ