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考慮以下情況 ^服裝公司的行銷經理,想探求消費者對國貨與進口貨的態度是否與 愛國心有關。 ^某500大企業的總裁想量測該公司的形象。 ^行銷經理想量測銷售員的銷售能力。 ^高科技公司經理想量測妨礙技術革新的決定性因素。 以上問題都需要某種工具或問項(指示變數),以量測各種構念(②加加") (或稱建構),例如上述的態度、形象、愛國心、銷售能力及革新阻力 等。因素分析就是展開問項變數以量測構念【抽象的觀念)的方法之一。

雞因素分析的基本觀念與術語 因素分析源自^^^^("(^)解釋學生在各個學科的表現與其智 能是否相關的研究。以下將利用一個相近的例子,來討論因素分析的 概念。 假設學生在數學(^),物理(巧,化學(^),英文化),歷史(抝,法 文(巧的各科考試成績,與其一般智力水準④及其在各科的才能有關。 故可假設學生的各科成績是其一般智力水準④與其各科才能的函數, 其關係式假設為 ^ 0=0.907+^1

脚;? : ^:^ 0.601

//-0.501+厶;1^=0.651

(^.!)

上述方程式中 ①各科成績為可量測的變數,(^),(巧,((^,…,(巧等,稱為7的指示或 量測變數(化出^。" 0『!!!鄉!!!^)。 卩)0.8, 0.7, 0.9,…,0.65等係數,稱為型態負荷廿枕II 103^10^ 。 —般智力水準的變數7稱為共同因素或潛在因素^0111111011 0!" &"。耵)為不可觀察的構念(!!!^&站!^!)^ 001151:1*1!")。 各科才能厶,^…,々等,通稱為獨特因素或誤差項(!!!!^!^

0


因素分析1^

成绩與智商關係圖 用圖表示如圖5.1 ,其中 〇:表示不可觀察的變數【潛在因素或誤差項)。 0 :表示可觀察的〈顯性)指示變數。 ―:箭頭的起點是因,箭頭的終點是果。 易證〈見附錄八5.2 、八5.3及人5.4〉: 1.任一指示變數的變異數可分解為兩個部分: ^共同因素的變異數和,其值為型態負荷的平方和,稱為指示變數與 共同因素的共通性("!"!!!!!!!3"!^)。 ^獨特因素的變異數,其值為指示變數的變異數減去共通性,稱為唯 一性(!!!!^此)或獨特性^枕!^)或誤差―!^)變異數。

^

如上例,V虹(^/^^!"(乃+ 乂^/^), V&I^(/^) = V&1^(/) + V3I^04/^)等,其中 ^!^/)稱為风或尸)的共通性,^(或^^力)稱為风或巧的唯 一性(獨特性)或誤差。 2,指示變數與潛在因素的相關係數稱為結構負荷&!!&!!∼^^(!!!^)或 簡稱負荷(^^^!^)。結構負荷通常與型態負荷相同(兩者的不同,詳 見下節及附錄八5.2和八5.5.1的說明)。結構負荷的平方稱為指示變 數 與 該 因 素 的 共 享 變 異 數 ( 化 ^ ^ ^^^^!∼)。此值可用以評估該指 示變數是否是該因素良好的或可靠的量測(^。^ 011-611^16 !!^&!!^)。 而結構負荷本身,則亦可用來評估該指示變數量測該構念的〈相關) 程度。


蓄 襲 畫 分 栴 3^任兩指示變數的相關係數等於兩者型態負荷的乘積。 圖5.1的因素模式,可得表5.1的共通性、唯一性變異數、結構負荷、 型態負荷、共享變異數及相關係數矩陣。表5.1的計算,不失一般性 的假設:(^)指示變數、共同因素I及唯一性因素的均值均為0 ; (!?)指 示變數及共同因素的變異數為1 ; (^)唯一性因素及共同因素7零相關; (①唯一性因素之間零相關。 由上述討論,顯然指示變數的相關是由於有共同因素7。某一指示 變數的型態負荷為0 ,則其餘指示變數與該指示變數的相關係數為0 。 指示變數之間由於有共同因素7的連結而產生相關。反之,如果共同 因素7的影響被移去,則偏相關係數變為0 。又並非所有指示變數的 變異數都能被共同因素解釋。 因為共同因素是不可觀察的,我們無法直接量測之;然而可以藉 由不可觀察因素的指示變數及計算指示變數的相關矩陣而間接量測。 因此,給定指示變數的相關矩陣下,因素分析的目的為: 1.導出共同因素以解釋指示變數間的相關。 單因素模式的共通性、型態與結構負荷及相關矩陣 共通性 變數

? 0 II 總和

共通性

誤差

型態負荷

結構負荷

分享變異數

0.640 0.490 0.810 0.360 0.250 0.423 2.973

0.360 0.510 0.190 0.640 0.750 0.577 3.027

0.800 0.700 0.900 0.600 0.500 0.650

0.800 0.700 0.900 0.600 0.500 0.650

0.640 0.490 0.810 0.360 0.250 0.423 2.973

單因子模式的相關矩陣 ? 0 5 II \1 IV! 1.00 ? 0.56 1.00 0.72 0.63 1.00 0.48 0.42 0.54 1.00 II 0.40 0.35 0.45 0.30 1.00 0.52 0.46 0.59 0.39 0.33

1.00


因素分析

1.估計型態負荷、結構負荷、共通性、分享變異數及唯一性變異數。 因素分析是要由相關矩陣反推,看看能否導出〔5^的關係式,以 估計表5.1上的各種參數值。上述說明只用一個共同因素解釋指示變 數之間的相關結構,稱為單因素模式…!^"!" 0 1 ! " ^ ( ^ 则 ^ ) 。 下 節 將討論兩因素模式。 ^ 5.1.1^兩因素模式 假設學生各科成績受他的數理能力2與語文能力V兩個因素影 響,此兩因素模式如圖5.2描繪,則指示變數與因素的關係式可能如下: ^

0.8000十0.200 「 十 ? ^ 0.7000十0.300 「十^

0^ 0.6000十0.300 「十态;0.2000十0.800 「十^ ^

0, 150^十0.^207+^1

尸^ 0 . 2 5 0 0 十 0 . 8 5 0 ^ ^

^.!)

圖示如圖5.2所示。各科成績都是兩個共同因素0 、 「與唯一性因素的 線性組合。兩個共同因素若為不相關則稱為直交因素模式(。!!^^!^ 0【!!^^)。 如附錄人5.7 、八5.9與八5.13等方程式所示,可得: 1.任一指示變數的變異數,可分解為三個部分 ^與第一因素2共通的變異部分,其值等於其型態負荷的平方。 #與第二因素「共通的變異部分,其值等於其型態負荷的平方。


^與獨特因素共通的變異部分,其值等於指示變數的變異數減去 變數的共通性。 式的係數為型態負荷,而指示變數與因素的相關係數為結構負 荷,指示變數與因素的分享變異數等於其結構負荷的平方。如前, 分享變異數等於共通性。而式實為一組迴歸方程式,其中0 、 V為自變數,成績為應變數,迴歸係數為型態負荷。而迴歸係數等 於自變數與因變數的相關係數僅當自變數之間互為不相關。也就是 說,自變數之間互為相關則迴歸係數不等於自變數與應變數的相關 係數。因此,僅當兩因素互不相關時(即因素模式直交),型態負荷 與結構負荷才會相等。詳見附錄八5.2與/15.5.1 。 3^兩指示變數的相關係數等於其與各因素的型態負荷之乘積和(見附 錄八5.13〉。例如,數學與歷史的相關係數為 0.800 X 0.150 + 0.200 X 0.820 = 0.284 若指示變數與兩因素不相關〈即型態負荷為0】,則指示變數間的相關係 數等於0 。故指示變數間的相關是由於它們有共同因素2及「。表5.2 是兩因素模式的共通性、唯一性、型態與結構負荷及相關矩陣。 因此,因素分析的目標之一是要決定要取幾個共同因素,希望可 以找到最少的共同因素,而且可以解釋最多指示變數之間的相關。 有些研究需要估計各觀察點在潛在因素的值,潛在因素的值稱為 因素計分(^化"^∼)。因素計分的計算也是因素分析的目標之一。

^ 5 . 1 2 。共同因素的解釋 各指示變數與因素的相關係數的大小,可解釋各因素的意義。由 表5.2可知,「因素在《//, ^的共通性或分享變異數大,在凤/^(:的 共通性小,而&仏尸與「的分享變異數占總共通性的90.240/0 ^640^0.672 + 0.723)72.255 ,故「因素與英文6 、歷史77 、法文尸高相 關。可稱「因素為語文能力。同理2因素可稱為數理能力,因2與凤 ?, 0高相關,而其分享變異數占總共通性的92.200/0(0.64^ 1瑪。

0.49 + 0.367


因彙分析

兩因素模式的共通性、型態與結構負荷及相關矩陣 共通性 變數

IV! ?

總和

0 0.640 0.490 0.360 0.040 0.023 0.063 1.616

共通性 V

總和

唯一性

0.040 0.090 0.090 0.640 0.672 0.723 2.255

0.680 0.580 0.450 0.680 0.695 0.786 3.871

0.320 0.420 0.550 0.320 0.305 0.214 2.129

型態及結構負荷與分享變異數 變數 IV! ? 0

II ?

型態負荷 V 0.800 0.700 0.600 0.200 0.150 0.250

0.200 0.300 0.300 0.800 0.820 0.850

IV!

結構負荷 V 0.800 0.700 0.600 0.200 0.150 0.250

0.200 0.300 0.300 0.800 0.820 0.850

總和

分享變異數 V 0.640 0.490 0.360 0.040 0.023 0.063 1.616

0.040 0.090 0.090 0.640 0.672 0.723 2.255

相關矩陣

1.000 0.620 0.540 0.320 0.284 0.370

1.000 0.510 0.380 0.351 0.430

II

1.000 0.360 0.336 0.405

1.000 0.686 0.730

1.000 0.735

1.000

以上解釋可以得到下列假說或理論:「學生成績是兩個因素,即 語文能力與數理能力的函數」。數理能力因素2解釋了數學、物理、 化學等成績,而語文能力因素「解釋了英文、歷史、法文等成績。因 此,共同因素的解釋也是因素分析的目標之一。


^5.1.3

。超過兩個因素

將上述因素模式擴充至饥個因素,∼-因素模式如下: 夂1 ^义11^1十义12《2十",十义《1 乂2 二义21《1十义22^2

^义2"^!十6 2

~^^2^2 ^

1

"义/?","十^

(^-^)

此方程組表示;?個指示變數間的相關可用∼個因素(/"〈^來解釋。唯 一性因素的個數與指示變數的個數相同。若∼個因素不相關則稱為直 交模式,因素相關則稱為斜交模式。

^ 5 1 4 。因素解的不確定性 因素分析的解不是唯一 ! !因素的不確定性(!!^^!!!!!!!^力主要是 因:口)因素旋轉的問題;卩)共通性的估計問題,分述如下。 0因素旋轉的問題產生因素的不確定性 考慮下列關係式: ^

0.667^ ―

匚:0,615。一0267^十夂; ^

尸^ 0.6800 ̶ 0.343 「十^ 5=0.741^+0.361 ^ + ^

0 . 7 2 5 0 十 0 . 4 1 2 尸 ^ 0.8120十0.355 「十々

則可產生表5.3的數據。表5.3與表5.2比較,可以發現,(若忽略小數 點消去的誤差)兩模式的負荷,分享變異數及每一變數的共通性不同, 但 1.每一變數的總共通性相同。 1.每一變數的唯一性變異數相同。 3,變數間的相關矩陣相同。 因此,變數的總共通性分割成變數在各因素的共通性,在兩模式(^二) 式及^句式並不相同,但指示變數間的相關,兩模式相同。故因素解 不唯一。事實上,其解有多組解。而每一因素解的解釋不同。。巾式


因素分析&

(^^!另一兩因素模式的共通性、型態與結構負荷及相關矩陣 共通性 變數

總和

0 0.445 0.462 0.378 0.549 0.526 0.659 3.019

共通性 V

總和

唯一性

0.234 0.118 0.071 0.130 0.170 0.126 0.849

0.679 0.580 0.449 0.679 0.696 0.785 3.868

0.321 0.420 0.551 0.321 0.304 0.215 2.132

型態及結構負荷與分享變異數 變數 IV! ? 0 II

型態負荷 V 0.667 0.680 0.615 0.741 0.725 0.812

一 0.484 一 0.343 一 0.267 0.361 0.412 0.355

結構負荷 V 0.667 0.680 0.615 0.741 0.725 0.812

一 0.484 一 0.343 一 0.267 0.361 0.412 0.355

總和

分享變異數 V 0.445 0.462 0.378 0.549 0.526 0.659 3.019

0.234 0.118 0.071 0.130 0.170 0.126 0.849

1.000 0.735

1.000

矩陣 ? ?

1.000 0.620 0.540 0.320 0.284 0.370

1.000 0.510 0.380 0.351 0.430

5

1.000 0.360 0.336 0.405

1.000 0.686 0.730

的2因素由負荷大小可解釋為一般智能因素,因為各指示變數在2上 的負荷都大且其值差不多。「因素可解釋為數理能力與語文能力性向 上 的 對 比 或 差 別 , 因 為 「 因 素 在 风 0 的 負 荷 為 負 , 在 & //, ?的負 荷為正且絕對值大小相差不大。而總共通性中,0因素占78.05。、 卩^^^^) ,

V因素只占^!^^/一^^^^)。可以說學生成績主要

受其一般智能影響大,受課程性向的差別影響較小。

〈令


以上因素分析得到多組解的問題是因因素旋轉產生的問題(^)!" 1-0^11011 ^!^)。那麼哪一個解才是正確解答?若要找唯一解,則需 加上因素模式以外的限制條件。這些條件保證因素解具有最合理,最 可接受的解釋。例如:上述^刃式及^式兩模式,以理論上具有最 合理,最可接受的解釋之因素解,可視為「正確」解。 0共通性估計產生的因素不確定性 由於估計每一變數的共通性需先估計負荷,而估計負荷卻需先估 計共通性,這種循環性,使估計共通性變得不易進行而產生因素的另 一不確定性。因此,估計共通性的方法不同,可得不同的因素解。

&因素分析的主要目的 如前所述,共同因素是不可觀察的,需利用可量測的指示變數計 算其相關矩陣,因素分析的目的就是利用此相關矩陣: 1.找出最少個數的共同因素,以解釋最多原變數間的相關。 1經由旋轉軸,找出最合理的因素解。 3,對每一變數估計其在各個因素上的型態負荷及結構負荷,共通性 〔共用因素的變異數)及獨特性(唯一性)的變異數。 4,對共同因素提出解釋 5^若有需要,估計因素計分。 例如,利用表5.1及表5.2的相關矩陣分別估計對應的因素結構如 圖5.1及圖5.2 ,可得最合理的因素解。

設有兩個指示變數,兩個因素的模式, ^1 ~^\\^\十义12*^2十^1 乂2 ^义21*^1十义22*^2十^2 圖示如圖5.3 。


因素分析

《2 ^21久1 ^22

兩變數的兩因素模式 X,及^的"個觀察值,可形成兩個〃維的向量XI ^ 2 ,現在要在四維子 空間上,找4個直交的向量",使得向量^在其中三維子空 間&, I

&上,投影至的投影長最短。且向量乂, 2 在其中三維子空

間 " ^ , 6 2 上,投影至&時,投影長最短。因素分析就是在"-維空間 中,找這個直交的四維的子空間^&, " & 。

^^;34 。估計共通性問題 如圖5.4所示,^,、^為^^在^^^軸上的投影長^其中、,^ 即為負荷),^,、2, & 為 ^ ^ 在 ^ , ^ ^ 2 軸 上 的 投 影 長 。 由 畢 氏 定 理 得

^1

2

6


故 共 通 性 & ^?^2與8互為消長〈即其加總為固定數),而估計共通性, 需先估計負荷、,^2 ,而估計負荷,需先估計& 。要估計& ,卻要先估 計負荷^,^2 ,因此產生共通性不易估準的問題。

^5.3.2 。因素旋轉問題 若&,^2軸已確定而不變,則XV ^ 2 投 影 在 " ^ 的 子 空 間 的 投 影 向 量為^4

, XV,再投影至&,^2軸的圖示如圖5.5 ,其中、,、2即為

X!在"^的結構負荷,乜,;1 22 為^在&々的結構負荷。由畢氏定理易 知 14'一12=^+^2

^.!)

1^^1| 2 ^^1^^2

^局

今^固定不動,將因素^,^2旋轉,得^&為新因素,但因^^^^ 固定不動,1比」|2 , ||^|| 2 不變,即共通性不變,故^&為另一因素 解,如圖5.6所示。由圖易知,旋轉前後總共通性不變,但投影長^ 可不同,即各因素的個別共通性4不同。由於旋轉"^的角度有∼種 可 能 , 故 因 素 解 有 ~ 多 種 。 式 的 關 係 式 所 得 因 素 解 2 , 「及 式的關係式所得因素解『,^可作圖如圖5.7 ,顯然0#,"是0, 「旋 轉後的新軸。圖上點(:夕,风//,五,尸不動,是^ 「在旋轉而已,故因 素解有00個,而點在座標軸【或向量〉^, ^,^,产的投影長,即為各個 負荷值。


因素分析

1.0

0^

^6 ,75

7

^0

0? ^25 ~

^23

,50

^75

01^1因素解

^ 5.3.3 ^超過兩個因素 若有2個指示變數,加個因素,則〃個觀察點共有個"-維的向 量。今在〃維空間內,要找/" I

維的子空間(共柳個共同因素,尸個

獨特因素互為直交),使得^個〃維向量在此/" ― 維的子空間分別對 ;7個獨特因素向量的各別投影長為最短(即使共通性最大)。若有必要, 可對/"個共同因素做旋轉軸。

因素分析方法 萃取共同因素的方法主要有 : 0〗主成分因素法(^!^!^ 001111)0116018 &0101111^ ? ; 口)主軸因素法031^110115313X13 &。1014118, 2^10(^1^1111311 1976 , 111111111161 1970及1^000031(1 1985的論述)。今以表5.2的相關矩陣 為例,說明因素分析的方法,假設樣本大小為":200 。

^ 5 4.1 。主成分因素法(!^巧 首先給定共通性的初始值,?(:?假設所有變數的初始值均為1 。 再將相關矩陣的主對角線以初始值代換,然後做主成分分析。報表5.1 是8X8的主成分分析輸出。|:2】部分顯示6個主成分為 ^ ^ 0,368^十0.391尸十0.3720十0.4326十0.422/7十0.456尸 6 ^

0.510似十0.409尸十0.3830 ― 0.3756 ~ 0.421// 一 0.329尸


^~^261^4~

0.486尸十0.8320 — 0.0226 — 0.003/^— 0.023尸

^

0 . 7 2 8 ^ ^ 0.665尸一 0, 1520:十0.065^:十0.010.035尸

^5 ^

0力48#— 0.005尸一 0.003。 一 0.7426十0.667^十0.054尸

6 ^

0.042V十0.039尸十0.0240十0.343^:十0.447/7 一 0.824尸

6個主成分的變異數;I,分別為3.367 , 1.194 , 0.507 , 0.372 , 0.313和 0.247[!]。將主成分標準化,使主成分計分的變異數為1 ,即將每一《除 以其標準差。例如第一主成分變成6/^得 0,368^十0.391尸十0.3720十0.4325十0.4227/十0.456尸

73367 或

^ ^ 0.675肘十0刁17尸十0,683〔十0.793五十0刁74孖十0.837? 故得標準化的主成分為 ^ ^ 0,675^十0.717尸十0.6380十0.793五十0.7747^十0.837尸 ^

0,557^十0.447尸十0,418^:- 0.4103 — 0 . 4 6 1 / / - 0.359尸

6 ^ ~ 0 ^ 1 9 0 ^ ~ 0.346^ ^ 0.5920 ~ 0 . 0 1 ~ 0.00277 ~ 0.016尸 6 ^

0.444^1/— 0.405尸一 0.0930十0.0406十0.007^十0.021尸

^5 ^

0.027^ ~ 0.003尸一 0.0020 一 0.415五十0.373/7十0.030尸

^

0.021#十0.019尸十0.0120 ^ 0.171^: ^ 0.222^ ~ 0.409^ 表5.2的相關矩陣做主成分分析

0 卩&皿

特徵值 3.36689 1.19404 0.50701 0.37185 0.31312 0.24709

?111112 1113 ?111^4 1^5 ?^1116

差異 2 .17285 0 ,68703 0 .13516 0 ^05873 0 ,06602 #

比例 0 .561149 0 .199007 0 .084501 0 .061974 0 .052186 0 .041182

累計 0 ,56115 0 ,76016 0 ,84466 0 ,90663 0 ^95882 1 ,00000

④特徵值 11*1

? &

1112

0, 367802

0, 509824

0, 391381 0, 371982 0, 432206

0^ 409168 0^ 382542 374995 421447 328759

0^ 421900 0, 456476

垂 ― .#

#

?111144 ?111^5 11^6 ^266979 0^ 727665 0^ 047857 0, 041663 .485915 664648 005389 0^ 038775 0 ,831629 152048 003335 0, 023552 ,021560 0^ 065466 741529 0, 343453 ,002701 0, 011605 0, 666963 0, 446543 ,023047 0, 034749 0, 054439 ∼823921

― ,

― ^

―秦

―華


因 素 分 析 ⑩ ^ ^

上方程組,求解^卩^及尸,並將之寫成6,6,6,《4,6,&的函 數,得 ^

0.675^十0,557《2 - 0.190^十0.444^十0.027^十0.021 &

? ^ 0.717^十0.4476 ― 0.346^ ― 0.405^ 一 0.003^十0.019^ 0=0.683^十0.418^十0.592^ 一 0.093^ 一 0.002^十0.012^ ^ ^ 0.793^ 一 0.410^ 一 0.015^十0.040^ 一 0.415^十0.171 & 77=0.774^ 一 0.461^ 一 0.002^十0.007^十0.373^十0.222^ /^^0.837^ 一 0.359^ 一 0.016^十0.021^十0.030^ 一 0.409^

^卩)

注意^丄)式的列等於^.")式的行。 第二步決定應保留的主成分個數,如前章所述,今由特徵值大於 1 、陡坡圖或平行歩驟研判。利用(《口)式,&^1.237 ,1=1.105 , ;1.002及^14 = 0.919做平行步驟。圖5.8的陡坡圖或平行步驟保留兩個 主成分,即可合理解釋原6個變數的大部分總變異。故只取兩個共同 因素,由^.")式可得 3^

2

3

25

化簡資料

I

^

0

1

2

3

因素數 陡坡圖及平行步驟

平行步驟 。

4

5

6


^ 0 ^ 6 7 5 ^ ^ 0.557^ + 6^ 尸^ 0.7176十0.447^十^ 0=0.683^ ^ 0.418^ 0.793^ ~ 0.410^ ^ 0 ^ 7 7 4 ^ ~ 0.461^+6^ ^

0.837^ ~ 0.3596

其中 " 尸 -0.1906十0.444(4十0.027^十0.021 & ^03466 一 0.405^ 一 0.003^ + 0.019^ 0.592^ — 0.093^ 一 0.002^十0.012^ -0.0156+ 0.040^4-0.4156 + 0.171^ 甩002《3十0層《4十0.373&十0.222^ 0.0166十0.0216十0.030^ 一 0.409^ 在^^)式主成分模式將原始變數寫成兩部分的和。第一部分是前 兩個主成分的線性組合稱為共同因素,第二部分是剩餘四個主成分的 線性組合稱為唯一性因素。(^^)式的係數為型態負荷,因為因素模 ^表5.2的相關矩陣做主成分因素分析的摘要 因素負荷 共通性

變數 IV! ? 0

0.675 0.717 0.683 0.793 0.774 0.837

0.557 0.447 0.418 0.410 0.461 一 0.359 一

0.766 0.714 0.641 0.797 0.812 0.829

特定變異數^ 0.234 0.286 0.359 0.203 0.188 0.171

註 1 1. 《,的變異數是^^^三^即0,6752十0.7172十0石832十0.774^十^^!" ) 1. &的變異數是[^呶即0,557 2 十0,447 2 十0.418 2 十(—(^ 10》^(—(^^ 1? ^ ,6的總變異是4.559(^3.365+1.194〉 共 同 因 素 未 能 解 釋 的 變 異 數 是 1 . 4 4 ^ 即 0 . 2 3 4 + 0.286 + 0.359 + 0.203 + 0.188 0.170 資料的總變異數是6【即4.559^ 1.441〉


因素分析

式直交,型態負荷亦為結構負荷。表5.4為所求解因素模式式所 對應的共通性、負荷及獨特性。某一因素與所有變數之共通性的和等 於該因素的特徵值或該因素解釋的變異數,如6 、 &解釋的變異數分 別 為 3 . 3 6 5 及 1 . 1 9 4 。未被因素解釋的變異數即為唯一性變異數的和 1.441 。兩個共同因素可解釋總變異的4.559/6 = 75.980/8 。因素^可解釋 為一般智力,&可解釋為數理與語文性向的對比。 若 6 、 6 直 交 , 貝 ^ ^ ^ ∼ ^ 卜 ^ ^ + ^ ^ 。將^-^)式中^ , & 的 權 重代入。可求得二因素模式下",?,…,9,?的估計相關係數,成 為!VI, ?,…,9, ?的再生相關矩陣(!^!"0(11106(1

0011-61311011

^&^),此矩陣

的主對角線值即為每一指示變數的共通性,再生相關矩陣與原始相關 矩陣比較,兩者的差異矩陣,稱為殘差相關矩陣(!^"^"^^。!!!^。此矩陣的主對角線值即為唯一性變異數,非主對角線值為觀測 的相關係數與由因素結構估計的相關係數的差。上例的數值,計算如 表5.5 。顯然,良好的因素模式,殘差相關矩陣的元素值應該都很小, 其值大小的簡單指標常取去對角線元素的平方和之平均值的平方根來 呈現,稱為殘差均方根0*001 1116311 5^1131-6 ^5111|1319腹8尺),即

其中∼《為殘差矩陣上第I列第7行元素,2是變數個數。因素模式所 得結論合不合理,常看殘差均方根是否太大而定。由表5.5 ,本例中 XV朋:0.078值小,故上述因素解可接受。 顯然1^?法基本上是主成分分析,故假設共通性的估計值為1 , 而無唯一性因素,但希望只有少數個主成分就可解釋大部分的總變異 數,故將這些少數個主成分視為共同因素,其餘主成分視為唯一性因 素,而得因素解。

园5儿2 0主軸因素法 主軸因素法(?八?),先預估一共通性的初始值,再依所得因素解, 重估共通性,逐次疊代修正至共通性收斂至一固定值為止。疊代過程 如下。


^的再生與殘差相關 再生相關矩陣

IV!

0

2

II

0.766

0.733

0.694

0.307

0.266

0.365

0.733

0.714

0.677

0.385

0.349

0.440

0.694

0.677

0.641

0.370

0.336

0.422

0.307

0.385

0.370

0.797

0.803

0.811

0.266

0.349

0.336

0.803

0.812

0.813

0.365

0.440

0.422

0.811

0.813

0.829

0

2

II

註:主對角線的數值為共通性

殘差相關矩陣 ? 0.234

IV! ?

II

0.113

0.154

0.013

0.018

0.005

0.285

0.167

一 0.005

0.002

-0.010

0.359

-0.010

0.000

0.017

0.010

0.203

0.117

0.081

0.113

0.154

0.013

一 0.005

0.018

0.002

0.005

0.167

一 0 扁

0.000

0.117

0.188

0.079

0.017

0-081

0.078

0.171

註:主對角線的數值為唯一性變異數。

殘差均方根(!^^化^ 0.078 步 驟 1 :先設共通性的初始值為1 ,則可得?(:?的因素解,再利用保 留的主成分因素,估計負荷,以估計共通性。主成分因素解 已於上節介紹。 步 驟 2 :計算估計共通性中,數值變化最大的量。即將每一變數的初 始共通性與步驟1估計的共通性相減,求其中差異的最大值。 如上例中變數(:的共通性差異0.359【即1 - ( ^ ^ ) 值 最 大 。 步驟3 :若共通性變化的最大值大於事先的設定值,則初始相關矩陣 的主對角線元素以新的估計共通性代換,再做?(:?分析,重 複前述步驟,直到共通性變化的最大值小於事先的設定值為 止。 以上例而言,若事先的收斂標準設定為0.001 ,經過9次的疊代做 ?八?分析,所得共通性如表5.6 。


素分析&;、

^ 5^4,3 。哪種方法最好? 以上方法,那種最好? ?(:?與?法所得結果,大部分情況都相似,故大部分情況兩種 方法都可用。但?八?分別估計共通性與獨特性較符因素分析的精神, 故許多研究者選用?八?法。

1 5 4 . 4 。其他估計法 其他估計法主要的不同都在如何估計共通性,以下只做簡單描述。 有興趣的讀者可詳見!^!!!^""?^)及!^!!!蛾"?^))的論述。 3映象分析法 &^^^^),定義^的複相關係數平方^^&!^^^!!!!^!^ 化^)!!)為力的共通性,的複相關係數平方是指力對"…,不―,;^,…, &的迴歸模式所得複相關係數平方& 。故無共通性估計不確定的問題。 將原相關矩陣尺的主對角線取代成!^後,並調整非主對角線上的值 (通常是向下微調),使得新矩陣的特徵值恆正,再做主成分因素法的 後段,所得因素解稱為映象分析法(^昭^ ^ ^ ^ ) 。 848與8?88都有 映象分析求解法。 主軸因素法的疊代歷史 共通性 疊代

變化量

IV!

0

2

1

0.359

0.766

0.714

0.641

0.797

0.812

0.829

2

0.128

0.698

0.626

0.513

0.725

0.744

0.784

3 4

0.042

0.679

0.598

0.471

0.698

0.719

0.774

0.014

0.675

0.588

0.457

0.005 0.003 0.002 0.001

0.585 0.583 0.582 0.582

0.453 0.451 0.451

8 9

0.674 0.675 0.676 0.677

0.708 0.703 0.700 0.698

0.774

5 6 7

0.688 0.684 0.682 0.681

0.451

0.681

0.697

0.776 0.779 0.781 0.782

0.001

0.677

0.581

0.450

0.680

0.697

0.783

註:第一次叠代共通性變化I最大的是變數(:的0.359(^1—0.641》 第二次4代共通性變化1最大的也是變數(:的(^^^^即0.641—0.513〉


3 0因素分析 IX因素分析(^^&^!^!^)^)視手上已有資料為母體資料,視已 有;7個;^…,&變數為變數母體所抽的樣本,而0!因素分析,則在變 數的樣本中,找一組共同因素,使其與變數母體之共同因素(變數個數 尸—"所對應的共同因素)有最大的相關。也就是說,"因素分析的目 的不是做統計推論,而是將研究結果推廣至變數的母體。848與8?88 都有01因素分析法。

8?88與848都可做因素分析,用848以表5.2的相關矩陣做?^ 分析,說明如下。設樣本大小"^200 , 8 4 8 的 ? 1 ^ : 1 ^ 0 1 0 1 1 指 令 如 表5.7。

指令?^)。!^:丁0^之前的指令在輸入相關矩陣資料,指令!^61!"100要求用?!^化^即?八?主軸法)萃取因素。指令11017^2 : V 表 示 用^^!^!^"最大變異數轉換法)做旋轉軸,說明詳見5.6.6節。00^1, 1^18八,501^25112311)1;八【3, ?1^?1^07 9

?1.07分別表示,列印出相關係

數的矩陣、每一對變項間的偏相關、陡坡圖、獨特因子之間的相關係 數及其偏相關矩陣、轉軸前的因素負荷、轉軸後的因素負荷的圖。

胃3八3報表的解釋 相關矩陣做?^7分析的848報表,如報表5.2 。 3八3指令 11X1,2 ? 1 1 1 ^ 0 1 ? ^ ^ 1 3 6 7 ^ 1 0 & 1 8 ( 3 6 * 0 只 1 ^ 0? 1 ^ 3 1 2 5 . 2 ; 0 ^ 1 ^ 0 0 1 1 1 ^ 1 1 1 ( ! ^ ?^ ^ ^ ! ^ ) ; 1^1? 177 0 2 II 0^05;

111361^ 0011:6121七土 00

1113乜!:土乂

1^31011^1.3 ? 112?101 ? 1,01; I I ? 0 2 II ?;

116^6

001(1(111^.110^舰1&IX


因素分^

表5.2的相關矩陣做主軸因素法

0

1》

54000

0

0

0

0 0 0

0

X

0 0

X

0

0

37000

0

38000

0

35100

0

43000

0

36000

0

33600

0

40500

0

68600

0

73000 73450

0

62000

0 62000 1 00000

0

0

54000

0

51000

0 51000 1 00000

0

32000

0

38000

0

36000

1 00000

0

28400

0

35100

0

33600

0

68600

1 00000

0

0

37000

0

43000

0

40500

0

73000

0

1 00000

14

1 8 1 7 1 & 1 | 5*^0X011 ^ 5 7 8 0 0 : 1 X 2 1 ^ X 2 0

73450

?111^01?^ ?^0?011 ^ ^ 5 1 5

0^ ?

14

! 00000

0

44624

0 44624 1 00000

0

30877

0

0

01369

- 0 03195 0

0 ^

1351^3

0.768873

06094

0

0 30877

0

0

8

0

20253

0 20253 1 00000

0

0

05109

0

0

02594

0

0

09912

0

^^8111^

0? 3^0*1,1(16

0.812439

0.866916

1

0

2

-0

03195

0

05109

0

02594

0

09912

04784

0

03159

0

08637

04784

1 00000

0

31767

0

41630

03159

0

31767

1 00000

0

45049

08637

0

41630

0

1 00000

^0500^0^: 0 \ ^ - & I X

0.831666

45049

06094

854 。 0.81299762

0.812326

0.796856

3

4

5

51(351^1^

3.366893

1.194041

0.507006

0.371847

0.313119

01??2112^6:

6 .241095

2.172853

0.687035

0.135159

0.058728

0.066024

580?0871014

0.5611

0.1990

0.0845

0.0620

0.0522

0.0412

00*101^71^2

0.5611

0.7602

0.8447

0.9066

0.9588

1.0000

3011?1.07 0? 51(381^1^3

特 徵 值 乎行步驟

.1―^1.

數目


『511 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0 0 0 0 0 0 0 0

011&1461: 359385 127701 042178 013511 005153 002809 001871 001338 000928

00*041111&1.1X125 0 76582 0 71564 0 69839 0 62622 0 67947 0 59762 0 67488 0 58806 0 67444 0 58455 0 67510 0 58304 0 67594 0 58224 0 67671 0 58173 0 67735 0 58136

0 , 64061 0 , 51291 0 , 47073

!). 45722 0 , 45287 0^ 45140 0 , 45084 0^ 45059 0 , 45045

0 0 0 0 0 0 0 0 0

79685 72453 69818 68812 68398 68212 68120 68071 68043

0^ 81139 0^ 74431 0^ 71876 0^ 70800 0^ 70285 0^ 70004 0^ 69834 0^ 69725 0 , 69652

0 0 0 0 0 0 0 0 0

( ^ : 1021^/^1,1125 0? 7112 112011020 0 0 1 ^ 2 1 ^ 1 1 0 ^ 舰 ^ ^^1^02 ^

力28093 .187066 0.7826 0.7826

2&0?。&7108

2 .841027 ^^^^^^ 0.2174 1.0000

3 0.001562 0.000444 0.0004 1.0004

83061 78351 77359 77395 77646 77888 78075 78209 78302

3.86907 0.644845

4 5 6 0.001118 - 0 . 0 0 1 2 2 2 一 0 ^001508 0.002340 0.000285 0.0003 -0,0003 ^0.0004 1.0007 1.0004 1.0000

0^ 0X01^1 0.63584 ^65784 .59812 刁6233 刁4908 .83129

3.028093

0101^2 0.52255 0^,38549 0^^30447 垂 。 , .31509 一 ( ! . ^36797 一 0 ,^30329

0.841027

0^

3.869120

II 0.677354

0.581356

0 0.450447

2 0.680426

? 14

0 0 0 -0

? &

32265 00028 00059 00007

00001 ―0 00008 一0

0 0 1 舰 3 0 0 ^ 2

0.000297

0.000397

0 0 ―0 -0 0 0

00028 41864 00084 00003 00007 00006

0 -0 0 - 0 - 0 0

0 00059 00084 54955 00003 00000 00013

II 0.696517

2 00007 一 0 00003 一 0 00003 0 31957 一 0 00099 0 00072 -0

0.783020

11 一

一 一

0 0 0 0 0 0

0??~01&00^1 1^3100&13: 0 \ ^ 垂 & I X 0 0.000462

2 0.000548

9 0.000451

-0 ,00008 0 暑00006 0 ^00013 0 ,00072 0 ,00020 0 .21698

00001 00007 00000 00099 30348 00020 ^

0.00042458

? 0.000345


素 ^ ^

I (續)

1 0 0 -0 -0 一 0

VI

? 0

? 00000 00076 00141 00021 00004 00030

0 1 -0 -0 0 0

00076 00000 00174 00008 00020 00019

0 0 00141 - 0 00174 1 00000 一 0 00007 - 0 00001 0 00039

&001 1 4 2 ^ 301;0??~01^6014&1.

0.000734 ^ ^ 0 7

0 0.001017

0.000860

0? ?^07011

『08

-0 -0 -0 1 -0 0

8 00021 00008 00007 00000 00317 00275

-0 0 -0 -0 1 0

8 00004 00020 00001 00317 00000 00079

一0

0 0 0 0 1

11X1&1.3: 0 ^ 2 1 ^ 1 ^ ^ 0 . 0 0 1 2 6 9 5 7 2 0.001878

0X0111

II 0.001462

? 0.001301

^ 0 6^。10^2

5 0 8

.6-.1

0 .1

.1

^3

&

,4

,8 ,9

0 .01 0 2

、1 ,3

^4 ^5 ^6

,8

9

。8

0

^0

-15

8

^2

00030 00019 00039 00275 00079 00000


1 1 2

0.76668 ^0.64202

0 0 0 0

15200 25687 26309 78676 0, 81055 0 ^83205

? 0

&

2.126595 711^

&

0.64202 0.76668

0 0 0 0 0 0

80886 71790 61744 24786 19881 ,30118

1.742525

001^1;^1^1?^ 2 8 X 1 ^ 1 2 3 : 7 0 1 ^ ^

0.677354

0.581356

0.848437

0.769784

2

-0*15607 -0.06286 -0,02954 0.30267 0.34597 0.45373

0 0.450447

0 0 0 -0 -0 一0

53363 33912 21510 04518 09202 02863

3.869120

2 0.680426

II 0.696517

? 0.783020


因素分析

(纊) 8017^1011 ^71100: 乂&!^!^

^8

& 0

0

8

0 -1

.1

、9一,8、7—,6一,5—鲁4一,3一,2∼

,3

,4

,5

^6

^8

,9

0 2

5=8

0

5=0

2

5=0

II

。2

。?

鶴涵:^資料適合做因素分析暱? 研究者面臨的第一個問題為資料是否適合做因素分析。許多量測 法可解此問題。報表中的一部分提供了一些量測法。應注意的是被討 論的量測法是基本的啟發法還是經驗法則。


首先,主觀地檢查相關矩陣。高相關的變數可聚為一群,表示它 們具有共同因素,而可用來量測某種構面或構念。低相關的變數,則 反之,表示可能無共同因素,而不宜做因素分析。因此因素分析,可 視為對變數分群集的技術,使每一群集的變數代表某因素的指示變數。 在圖5.2中,由報表[巧部分知^户,(:成一群,疋//,尸成另一群,故適 合做因素分析。但若變數太多,相關矩陣太大,不易目視檢査,則本 法不宜。 其次,控制所有其他變數後,計算每一對變數間的偏相關係數, 此相關矩陣稱為負的反映像相關矩陣(!!绍^" 3111-111^6 ^^^。!!),此 偏相關值愈小,表示愈適合做因素分析。若獨特因素6間是互相獨立 的,則變數^經抽離/"個共同因素《後,所剩的獨特因素&間是互不 相關,因此由樣本估出的反映像相關係數應很小,才合理。但多小才 算小,基本上有些主觀。上例中,偏相關係數值小。【見報表1:2】部分) 第三,用凱沙^^3610量測值評估整體及每一指示變數抽樣的適當 性。^0量測值^^6卜1^^61^011^11 II1^35^1I^)(I^313^1^ 1970〗,是常用的 適當性量測指標。^10值提供一種評估變數是否均齊的成群而得以成 —構念的程度。1^1361^11(1 III化(^?々)提出的判定準則如下。 10\10值

建議

20.90

極佳的

0 修

良好的

0.70^

適中的

0 廉

普通的

0.50^ 〈0.50

欠佳的 不可接受的

顯然^0值愈大愈好。一般而言:^0^0.80最好,至少^,60才可 容忍。本例^(^-^^口^見報表【3】部分),故資料適合做因素分析。 115

變。應取多少個共同因素? 如主成分分析,最常用的準則是特徵值大於1者及陡坡圖法,但

^1119(1988)發現不能太依賴特徵值大於1準則,2^1(^如(!^^^ 1986〉 模擬發現,最小平均偏相關係數(爪^!!!!!!!!

!&^

00^0[&110^即

^?)、平行分析、陡坡圖表現最佳。但每一因素的指示變數很多時,


因素分析 旨法表現尤佳。 作者建議用平行分析並考慮因素的解釋性(只保留具解釋意義的因 素)來決定應取多少個共同因素。上例中估計的特徵值為、:1.237, 1 2 = 1 . 1 0 5 , ?13=1.002, ^4 = 0 . 9 1 9 ,

^ 5 = ^

= 0 。陡坡圖加平行分析的圖形劃

在報表5.2[化]部分,可以判定取兩個因素是合理決定。 9-5^;^因素解 ― 乂

一 —|^

'- |,一,,,'漏

?八?[习求解的疊代歷史,在848內建疊代次數為30次,收歛標準 為 變 化 量 小 於 0 . 0 0 1 。若有必要可以修改此值,但一般而言,30次仍 未收歛,可視為該資料不適合做因素分析。 上例中疊代9次收歛〈見報表[习部分),所得因素型態負荷見報表 [刀部分。型態負荷的平方為某變數在該因素的共通性。例如:變數^ 在因素1

,因素2的型態負荷分別為0.636及0.523 , 變 數 ^ 在 因 素 1

的共通性為0力36 2 ^ 0 . 4 0 4 ,在因素2的共通性為(^了呶即(^〕》2)。兩者 的和為變數"的(總)共通性(^?^^即0.274— ( ^ ( ^ ) , 見 報 表 5 . 6 ^ 的 部 分。 某因素與各變數的共通性的和,對應該因素的特徵值,或該因素 的變異數(見報表【6:1部分),因為因素無唯一解,故負荷值不唯一,共 通性的和不唯一,因素解的變異數不唯一〈見報表之上及【13&]之下), 因此,因素與變數間共通變異數的大小,不是評估因素的重要性的有 意義之量度值。即因素分析關心的不是因素解釋變異數的比例,而是 變數間相關性的解釋。 。5,6 4

。因素解有多良好?

下一個步驟是評量估計的因素解之合適性。 因素解的適合性評估,就問因素解釋了多少指示變數間的相關。 法1

禾(!用殘差均方根(尺。。!; 1^6311 391131^(06"-(!!绍。!!&。^"(!"? ^)

( ^ ^ ^ ) 或 殘 差 相 關 矩 陣 。 ^ 1 5 1 1 ,公式見^.^)式。〔譯者註:若模式 合 適 , 一 般 要 求 ^ 1 5 1 ^ 0.05才好。〕上例中,殘差矩陣見報表【9】部 分 , 易 知 殘 差 值 都 不 大 , 而 1 ^ 1 3 1 1 見 【 9 , 值 為 0 . 0 0 0 4 ,與表5.5?。? 法的11^511 ^

0.078比較,上例以?八?法分析似乎表現更佳。

法2:利用負的反映像相關矩陣,因為因素經抽離後,指示變數

《―吆


間已無事相連,故其相關係數應很小。上例中此矩陣見報表[^]部分, 其值均小,且此矩陣的1^311=0.001值亦小。表示本例估計的因素模 式是合適的。 0 1

蠻0因素描述了什麼? 因素分析最重要的問題可能是因素描述了什麼?也就是如何解釋

因素?怎樣對因素命名?某變數在因素上的負荷大,表示該變數與因 素有許多共同處(故高相關),因此用負荷大的變數來解釋該因素。一 般所謂「高負荷」是指負荷至少要達值0.6以上,許多研究者認為切 畫大小的準則值至少0.4 ,該負荷才有意義。 上例,由報表[力部分,因素1在各變數的負荷均大,故稱因素1 為一般智力水準;因素2在各變數的負荷雖不大,但值恰為一正一負 的對比,故稱因素2為數理與語文能力的對比。 將變數在因素的負荷畫在因素空間上【以因素為軸),點聚集成一 群的點即代表有共同性存在,再尋求其對因素軸的解釋意義。如上例, 報表【11】部分的圖與圖5.7相似,指示變數凤?, ^記作八,8,(:)與6, 仏尸(記作0, 2, ?)聚成兩群非常明顯。兩群點在因素1的座標幾乎等 高,且都接近座標軸,但在因素2的座標值為一正一負,故可解釋因 素1為一般智力水平,因素2為數理與語文能力的對比。若因素負荷 找不到好的解釋,則應設法旋轉因素軸〈因為因素解不唯一),以找到 最有意義的因素解釋。 6

6

圆 ^ ; 。旋轉軸 旋轉軸的目的在找到簡單易解釋的因素解。轉軸分為直交旋轉 ^ ^ ^ ^ ! !^^。!!)與斜交旋轉((^"(!朋。〖^(^)兩大類。直交旋轉後的 因素互為直交,斜交旋轉則否。斜交旋轉不易解釋,較不常用,在附 錄中再介紹。直交旋轉主要有變異最大旋轉法及四次方最大旋轉法等。 ^變異最大旋轉法 變異最大旋轉法(^!"!!!!^!^3^^!!)的目的在找一因素結構,使得 每一變數僅在唯一因素的負荷較高,其餘因素的負荷都接近0 ,這樣 的因素結構將使每一因素表示不同構念。


因素'

上例中,變異最大旋轉法的旋轉矩陣〔,見報表【12】的部分,新舊 因素軸的關係式為 ^ ^ 0 丌 6 7 厶 一 0.642/2 1^ = 0.6421^+0.16112

其中I』為舊座標,(;為新座標〈座標值:負荷),旋轉後的負荷見報表 【13的部分,旋轉後的負荷圖示如報表【13(1】,可見變數集中成兩群, 且均接近新因素軸,接近因素1軸的^ 、 ^ 、 ?,表示其因素2的負荷 小,且其因素1的負荷值高,故可解釋為語文能力因素。同理,變數 ^ 、 ?、(:,接近因素2軸,在因素2的負荷大,在因素1的負荷小, 故因素2可稱為數理能力因素。〔譯者註:變數^的(總)共通性 0.15240.80910.677與旋轉前一樣,其餘各變數亦同,故(總)共通性 3.869與旋轉前一樣,保持不變,但因素的共通性^因素的變異數,分 別為2.127, 1.742 ,與旋轉前不一樣,但其總和^ 2.127十1.742 ^ 3.869 ^ 總變異,旋轉前後保持不變(詳見報表【13&]之下)。〕 報表【13^:]亦有標準化權重或計分係數,用以計算因素計分,上例 中計算因素計分的方程式為 ^ ^ 一0.156"— 0.063尸一 0.0300+0.030^+0.346^+0.454^ 《2: 0.534/^+0.339尸十0.2150: — 0.045^" — 0.0927/— 0.029尸 其中6, 6 分 別 為 因 素 1 及 因 素 2 。估計因素計分的方法很多,最常用 的是複迴歸法,詳見附錄。 上式為指示變數的線性組合,可視為複迴歸的估計式,故迴歸模 式的複相關係數的平方值"可用以量測該組指示變數是否適當的展示 對應的因素或構念的一種指標。當然此複相關係數的平方值愈大愈好, 一般要求,至少〉0.6 。上例中,因素1,2對應的複相關係數的平方值 分別為0.848及0.770 ,值夠大,因此都是解釋性夠高的因素(詳見報表 【131^的部分)。 ^四次方最大旋轉法 此旋轉法易產生的負荷型態為: ^某一因素在所有變數均有相當高的負荷,此因素常稱為綜合因素。


#每一變數在另一因素上有高的負荷,在其餘因素上負荷近乎0 。 因此研究者若希望或懷疑有一綜合因素存在,則可採用此旋轉法。變 異最大旋轉法不會產生綜合因素。 在表5.7 8^8程式的?1100 ?^01011中指定110丁八12 ^ 01!^11丁1,則可得下列報表5.3 。其結果與變異最大旋轉法相似。對其他 資料,兩種旋轉法所得因素不一定相似。一般而言,旋轉所得因素解 要的是有意義的因素結構並符合理論期望。注意:旋轉後的因素解與 前不同,但變數的總共通性不變。 四次方最大旋轉法

0廳0(30117^

11^5?01^11011

0.77365 0.63361

II

0701^1 2.150071

0.63361 0.77365

^010111

^0X0112

0.16082 0.26469 0.26982 0.78942 0.81267 0.83529

0.80715 0.71505 0.61453 0.23925 0.18995 0.29207

010112 1.719049 3.869120

14 0.677354

? 0.581356

0 0.450447

2 0.680426

II 0.696517

? 0.783020


^識:^";:^' 因素分析

110*1'&1101^ ^7800:叫;^工^^ ? 1.01 0? ?^07011 1X21^4 ?011 5^10111 肌0 ?^0701^2

9 8

80

0 8 0 一1

一 , 9 一 , 8 響 门 一 —

一 ,2—嗎

.1

, 3 , 4 .1

』,9

0 2

。8

^0

2

^0

(!

^2

釋例說明 考慮以下列子。某產品經理想瞭解消費者用來評估清潔劑的主要 因素或構面。這些因素假設為隱性的,但經理相信清潔劑的各種特性 可做為這些因素的解釋變數。此研究有143位受訪者對3種品牌的清


潔劑的12種產品特性,依五級分語意差別尺度給評等。例如「清潔劑 的去污能力」,請受訪者勾選。 能去污

不能去污

表5.8列出12種產品特性,表5.9則是12種特性的相關矩陣。 檢視相關矩陣(表5.9〉,最小值0.17 ,最大值0.72 ,由於表大,不 易看出那些變數的相關大而能分出幾個群聚。 8 ? 8 8 的 因 素 分 析 , 指 令 見 表 5 . 1 0 。表中1^0:了0仗指令之前 的部分是基本的8?88指令,用以讀入相關矩陣,指令指 出資料中的變數清單,指令指出要分析的變數,2乂丁^(:丁1 0 1 ^ 指 出 萃 取 因 素 的 方 法 , ? 了 及 ? 1 0 丁 指 出 要 列 印 的 內 容 , 尺01^110^[指出旋轉軸的方法,8?88報表則見報表5.4 。 1問項清單 VI : 對 自 然 織 物 溫 和 VI

1

不會傷害颜色 乂3 , 不 會 傷 害 化 學 合 成 品 乂4

不會傷害亞麻品

乂5

強有力

乂6

能去污

乂7

使顏色明亮

乂8

能去油污

乂9

適於油膩油 VI。:有芳香 VII:能去衣領污物 乂12:能去頑污

1清潔劑研究的相關矩陣

〉:3^ :^ 乂乂乂:^ ^

VI 1.00000 0.41901 0.51840 0.56641 0.18122 0.17454 0.23034 0.30647 0.24051 0.21192 0.27443 0.20694

V〗 0.41901 1.00000 0.57599 0.49886 0.18666 0.24648 0.22907 0.22526 0.21967 0.25879 0.32132 0.25853

乂3 0.51840 0.57599 1.00000 0.64352 0.29080 0.34428 0.41083 0.34028 0.32854 0.38828 0.39433 0.36712

乂4

乂5

0.56641 0.18122 0.49886 0.18666 0.64325 0.29080 1.00000 0.38360 0.38360 1.00000 0.39637 0.57915 0.37699 0.59400 0.40391 0.67623 0.42337 0.69629 0.36564 0.43873 0.33691 0.55485 0.36734 0.65261

乂6 0.17454 0.24648 0.34428 0.39637 0.57915 1.00000 0.57756 0.70103 0.62280 0.62174 0.59855 0.57845

V, \9 VI。 VII 乂8 乂12 0.23034 0.30647 0.24051 0.21192 0.27443 0.20694 0.22907 0.22526 0.21967 0.25879 0.32132 0.25853 0.41083 0.34028 0.32854 0.38828 0.39433 0.36712 0.37699 0.40391 0.42337 0.36564 0.33691 0.36734 0.59400 0.67623 0.69269 0.43873 0.55485 0.65261 0.57756 0.70103 0.62280 0.62174 0.59855 0.57845 1.00000 0.67682 0.68445 0.54175 0.78361 0.63889 0.67682 1.00000 0.69813 0.68589 0.71115 0.71891 0.68445 0.69813 1.00000 0.58579 0.61637 0.69111 0.54175 0.68586 0.58579 1.00000 0.62250 0.63494 0.78361 0.71115 0.64637 0.62250 1.00000 0.63973 0.63889 0.71891 0.69111 0.63494 0.63973 1.00000


因素分析

(翡職1

指令

^ ? & 工 乂 0&I& 7 ^ 1 ^ 8 1 2 5 = ^ 1

1 0 V I 2 / ^ ^ ^ ^ ^ ^ ! ^ ^ ^ ! ^ / ^ ! 4 37?01^1^?111|1|

8 5 6 1 8 0&7&

?&070& /^&1.^515=^1 ^

10,

VI2

/^!^。!^。!^?^? /?&I"!^^皿2X11^0X10^

^ 0 X ^ 1 0 ^ 郎 ? & 腿 0

;?101^216211 ^01^710^1《1 , 2》 7皿311

^5丄

1

。辨識及評估因素解

報表卩]的部分,1^0:0.90^0.6 ,值相當大,表示資料適合做因 素分析。8?88另提供8^1^,5檢定以撿定相關矩陣是否適合做因素分 析,即檢定相關矩陣是否直交,直交矩陣的行列式為1 ,表示變數不 相關。檢定結果/?值〈0.00000 ,表示相關矩陣不直交【即變數相關), 故資料適合做因素分析。但如第4章所述,8 3 111 6 1^檢定對樣本大小 敏感,樣本個數〃大,則易於拒絕虛無假設仏,故不常用。 報表口]的部分為?/^法的初始統計量,包含共通性與特徵值。 8?88內建保留特徵值大於1的因素。【23】的部分的陡坡圖及平行歩驟 亦顯示,應保留2個因素。 報表闭的部分,8?88不計算1^511 ,但顯示殘差相關矩陣中,殘 差相關〉0.05的個數與百分比,本例中殘差相關係數66個中只有9個 (^。^)值〉0.05 ,表示因素結構合適。殘差值中有多少百分比〉0.05 才是不合宜?沒有定論。切割大小值的點一般取0.05 ,亦只是經驗法 則。以上討論,均表示本例取2個因素是合適的。 胃5.7.2 ^因素結構的解釋 報表[《[习為變異最大旋轉後的負荷值與散佈圖。第1因素在前四 個變數乂1~乂4負荷小,在其餘變數因素負荷大,第2因素則反之。 故可將第1因素解釋為清潔劑的洗淨能力〈功效),第2因素解釋為清 潔劑的溫和性。


清潔劑研究的8?88報表 ^90233

8^711571

1257 0? 3?11511101?^ 。 1 0 9 1 , 5 3 1 7 , 316111^10^0&

2X11^011011

1 ?0玖^^1.^815

, , ? 1 1 1 ^ 0 1 ? ^ ;0(13

,00000

070111146 (?&?)

0 1》 乂 乂 ! ; : : 〉 : : 〉 : : . . ' ^

123456789

0 0 1 ^ 1 0 狐 1 7 ? 1^ 010& ,42052 1 ― 1 ,39947 , !' 2 ,56533 ^ X 3 4 ,56605 4^ ^ 5 ,60467 1 ,57927 , 1. 6 ^ 7 ,69711 , ^ 8 ^74574 , ,66607 ^ ^ 9 ,59287, ^ X 10 ^ 11 ,71281 1 1. 12 ,64409 ^

VI0 VII

6.301

6.30111 1.81757 .66416 ,57155 ,55995 .44517 .41667 ,32554 ,27189 ,25690 ,19159 .17789

?0? 0? V 52.5 5.5 4.8 4.7 3.7 3.5 2.7 2.3 2.1 1.6 1.5

?01

52.5 67.7 73.2 78.0 82.6 86.3 89.8 92.5 94.8 96.9 98.5 100.0

1.818

平行步驟 ^60 1 1 1 1 1 8 9 10 II 12

^000

7 1 1 ^ 6

9《13'(^)

!1551011&13《站072 01^601^1^

111^7 ^ 2 〉 0.0!


因素分析^1

0

(續)

0 1 & 1 2 0 ?&01011股!^工乂:

0

1 2 3 4 5 6 7 8 91 1 1 ^

5*^01011 1 010& 2 ,12289 ^65101 .13900 ,64781 .24971 ,78587 ,29387 ^74118 ^73261 ,15469 ^73241 .20401 ,77455 ^22464 ,85701 ,20629 ,80879 ,19538 ,69326 ,23923 ,77604 ,25024 ,79240 ,19822 110&120^107011 1

11 10 612 8


因素分析與主成分分析兩者都是資料化約的方法,但主成分分析 目的在減少變數的個數為少數主成分,而這些主成分可以解釋最大量 的原始資料的變異;因素分析的目的則在找到或指出資料背後的因素 或潛在的構念,這些因素可以解釋變數間的相互關係。這兩種分析方 法有兩個主要的不同點:(!)主成分分析強調資料的變異的解釋,因素 分析則在解釋變數之間的相關;(力主成分分析在找變數的綜合指標(如 消費者物價指數,道瓊工業平均指數),如方程式 《1 二恥1:^十∼|2夂2十…十

稱變數"…,&為主成分6的構成變數0^^6111(11(^0!",這些變數 是構成綜合指標6的變數。因素分析的變數則在反映不可觀測的建構 或因素的存在。如下列方程組 乂 1 ^义11^1十义12《2十 义2 二义21《1十义22^2 ^

1

^

" 义 〇 1 ^2^01十6 2

^ ^ ^1^1十^2^2十…十十∼

變數^…,&是潛在因素6,…,^及唯一因素【獨特因素^,…,&的函 數,故"…,&在反映6,…,^的存在,稱為反映變數(!^&^^ !!!出0

&

探索性與驗證性因素分析的差别 做探索性因素分析時,研究者對因素的結構未知或只有極少的理 論根據。例如:量測某公司的卓越性,假設0〉量度卓越性的因素或構 面的「個數」;卩)構面直交或斜交;卩)每一因素的指示變數個數;〈4】 那些指示變數描述那些因素,都未知或只有極少的理論可以回答上述 問題。因此研究者收集資料,探求或尋找能解釋變間相關的因素結構 或理論。此稱為探索性因素分析(化!^!^&!^

。!^!!")^)。


因素分析

"画

15

13

^2

3

3^7

力0

16

力3

^7

18

力4 力5

3'!6

國卓越性驗證性因素分析模式 驗證性因素分析,則假設因素結構已知或已有假設性的先驗理論。 如圖5.9 ,卓越性為一般因子,它是8個子構面(犯^血加"。!^)或子因 素(^!)&(^)!")的函數,每一子構面各有各的變數量測,互不重疊。因 此,完整的因素結構及各別量測變數與負荷均已事先決定。驗證性因 素分析((^&!!^加巧^^!"抓""…的目的是要證實或確認這樣的因素 結構吻合手上蒐集的資料,在下一章予以討論。

行為與社會科學家,需要對態度、印象、智能、個性、愛國心等 不可觀察的建構發展出一套量度的方法。因素分析即為工具,並可用 以瞭解變數間相關的理由。 因素分析的方法主要有主成分因素法(!^?)及主軸因素法(?八?)。 ?(:?法假設所有變數的共通性是1 ,誤差(唯一因素)的變異數為0 ,因 此許多人認為?(:?不是真正的因素分析。?八?法先估共通性,再用逐 次疊代修正至共通性收斂為止。 因素分析與主成分分析相關,但觀念上兩者不同。主成分要將變 數組合成綜合指標,沒有理論或理由要求組成綜合指標的變數需要相 關,而因素分析假定變數間的相關是由於受共同因素的影響,共同因 素的存在是由於變數間相關的存在。


5.1考慮以下方程組的五個變數之單因素模式 7=0.65^

》0萬十仏 7=032^

+ 0^

2=0.28^ + ^ 2 設一般的模式假設成立,亦即假設指示變數、唯一性因素及共同 因素的均值均為0 ,指示變數及共同因素的變異數為1等均成 立,問 (&)指示變數「 、 ^ 、 2的型態負荷為何? (!?)用圖形描述模式並記上型態負荷於圖中。 (^)計算指示變數與共同因素巧的共通性。 (^)指示變數的唯一性變異數為何? (^)計算下列指示變數之間的相關係數(^, IV ; (!!)^^; (!!!)^, 2 ; ①指示變數與共同因素的共享變異數為何? (^)指示變數「 、 ^ 、义的總共享變異數的百分比為何? 5.2考慮以下方程組的六變數之兩因素模式: 5 = 0.74^+0.07^2 + ^3 0 . 2 1 ^ + 0 . 9 3 ^ + 170 ^ 0.05^+0.77尸 2 十^ 尸^ 0.08^+0.62尸 2 十^ 設一般的模式假設均成立,並設兩共同因素^ 、 ^2不相關,問 ( & ) 指 示 變 數 ] 、 0 、五在因素& 、 &的型態負荷為何? (!))指示變數^ 、 0 、 ^:在因素^ 、 &的結構負荷為何? (^)計算下列指示變數之間的相關係數①忒5 ; (!!)^/) ; (!!!)^,^


因素分析 (^)指示變數^4 、 0 尸 未 被 因 素 ^ 、 ?2解釋的變異數的百分比為 何? (^)指示變數與每一共同因素的共享變異數占總共享變異數的百分 比大於907。的指示變數集合各為何?由此指出哪些指示變數可 用來定義共同因素。 5.3重複習題5.2的(&),⑨^)"),但假設因素& 、尸2的相關係數為 (^,

^ ) ^ 012 = 0.20

5.4假設的相關矩陣如表05.1 。 表05.1 X:

X、 ^ 4

1.000 0.690

1.000

0.280 0.350

0.255 0.195

乂3

1.000 1.000

0.610

設由主軸法萃取的因素負荷估計值如下: 變數 0.80

0.20

0.70

0.15

^ 3

0.10

0.90

^ 4

0.20

0.70

X、 X:

計算並討論(&)獨特性變異數;(!))共通性;每一因素解釋的變異 數百分比;(①估計再生互變異矩陣;殘差矩陣。 5.5考慮以下兩因素直交模式 模式1 《 ^ 0.558/^+0.615尸2 + 6^ ^ 2 ^ 0.6045十0.748尸2十0

2

X、 ^ 0.469^十0.556,2十0 ^4=0.818^,-0.411^2 + ^ 4 ^ 5 ^ 0.8665 - 0.466尸2十0

5

^ 6 ^ 0.686^ 一 0.461/^2十0

6

3


模式2 ^0,104巧十0玉24尸 2 十^ ^ 2 ^ 0.065^十0.959尸2十仏 义3 : 0.065^十0.725尸2十卩3 ^ 4 ^ 0.906^ +0.134尸2十仏 ^

0.977^+0.116^2 + ^/5

^ 6 ^0.827^ +0.016尸2十0

6

(&)試證兩個模式指示變數的負荷、共享變異數雖不同,但總共通 性、唯一性變異數及相關矩陣相同。故可說明因素的不確定性。 (^)兩個模式的因素各應如何解釋? 5.6將習題5.5模式1的因素解作圖。水平與垂直軸分別取為尸^與尸 2 軸。順時針方向旋轉6 = 35。角所得新軸記作^^ , ? 2 。將習題5.5 模式2的因素解對新軸/^ , ^ 2 作 圖 。 (勾點&,^,&,&,^,^的位置由圖一至圇二有怎樣的改變? ⑨用(&)的答案證明,因素的不確定性是因因素旋轉問題。 5.7因素分析與主成分分析在觀念上有何不同? 在習題5.8至5.13 ,由所附資料或相關矩陣的檔案及資料的描述, 做下列問題。 1.做因素分析並指出能最佳解釋資料變異數時,因素個數最少應 取得幾個? 1.利用因素旋轉指出最合理的因素解。 3^對因素做適當命名,解釋並討論因素對資料描述了什麼。 《不要忘了檢查:(!)資料是否適合做因素分析;①)因素解的合適 性。 5.8檔案?8丫3八71\0^包含某大學各項運動的293個男運動員在下 列八個變數的數據。0〉身髙;②體重;卩)肩膀寬;…腿長;③ 跑一哩的時間;(^)跑10段階梯的時間;〈7)5分鐘內仰臥起坐的個 數;跑一哩後心跳律。 5.9檔案是412個高中生在下列12種測驗分數的相關矩 陣。12種測驗如下:(!)辨別在黑暗中的某物;^計數;^區別


因素'

平行與不平行線;簡單解碼速度;完成單字7句子;(^)理解 力;卩)閱讀;⑧一般知識;(力算術計算;(化)排列組合;(口)曰 常工作;(口)反覆性工作。 5.10分析習題4.8的八1^)10X^1資料,該資料的描述詳見習題4.8 。 5.11檔案8^^0^是儲蓄銀行對他們的53&8^信用卡做顧 客滿意度調査所得相關矩陣。540個受訪者對15個題目以同意或 不同意、滿意或不滿意的程度答題。詳細資料在檔案8皿.000 。 5.12分析在^\531\0八丁中的大眾運輸資料〈只分析10及^至^的變 數,忽略其餘變數),詳細資料的說明見檔案^^551;000 。 5.13檔案^1X1.0^是254個受訪者對營養的態度與意見。問卷的一部 分要求受訪者對46個日常活動的題目& 5 點 尺 度 答 題 。 非 常 不同意到5^非常同意),46個題目的內容見檔案^!^^。。 5.14檔案301^0X^1是對六個飮料的競爭廠牌做顧客認知調査所得 資料,^11-^(1)^61)310013 ; ^2)00^ ;

;(斗)八113口011 ;

口 1011 011810^1 163 ; ^)!^^^(資料是編造的)。 受訪者以7點尺度答題非常不同意而7^非常同意)。題目有10 題,內容見檔案^(^!!).!^)^每一題都用「 X」牌取代上述廠牌 名字)。做因素分析並指出能最佳解釋資料變異數時,因素的最少 個數及其命名,再利用因素計分作圖並解釋六個廠牌的知鹽圖。 附 錄

單因素模式 考慮^個指示變數的1個因素模式,可用下列方程組描述此模式

^ ^ ^ + ^

(八5.1〉


其中力,…6為《共同因素的指示變數,;^&,…^為型態負荷,&…, 』為唯一性因素。不失一般性的,假設: 1 . 指 示 變 數 、 共 同 因 素 及 唯 一 性 因 素 的 均 值 均 為 0 ,五(力^-五^): 2,指示變數及共同因素的變異數為1 ,即指示變數及共同因素均標準 化

使

1

1

3,唯一性因素及共同因素不相關,即《與6不相關,故玖《^力-^)且 唯一性因素6之間互不相關,即^^】^0 。 則 五0^耶乂十。2〗^船十购)十2^^》 「

(八5.2〉

故由^5.2〉可知,任一指示變數的總變異可分解為共通部分的變異义^ (為型態負荷量的平方),與獨特性因素。的變異數的和。 指示變數&與共同因素《的相關係數為 (:―》力=^^^=^(^+ ^ ^ ^ ( ^ + ^ ) ^ ^

(八5.3〉

指示變數與共同因素的相關係數稱為結構負荷^^!!&!!∼10^^ ,此 時結構負荷等於型態負荷。結構負荷的平方稱為指示變數與共同因素 的共享變異數(^^"^!"!^^^)。 任兩指示變數X』,^的相關係數等於兩者型態負荷的乘積,因 ∼

^

[^+⑤^十^)] ^蛇)十乓雕0十厶船》十^^) ^入

(八5.4〉

考慮^個指示變數的兩因素模式,則可用下列方程組描述此模式 ^1 ^ 义 1 1 ^ 1 十 义 《 1 ^1~^2\^\十义22^2十^2

(八5.5〉


在與單因素模式相似的假設條件下,省略下標可得

(八5.6〉 其 中 0 = ^ 0 V (^^6)=^(《《 2 )為"6的互變異數。 若兩因子6, 6直交(或不相關),0=0 ,則 (八5.7〉 故任一指示變數^的總變異,可分解為四個部分: 1.、為^與第一因素^共通的變異部分:(型態負荷〉 2 。 、為X與第二因素6共通的變異部分:(型態負荷〉2 3,

為兩個因素^2聯合影響X的共通變異部分:厶山X ,當6, ^2直交時,此值為0 。

4,獨特因素6的變異數,稱為獨特性。 前三項的和;1^+^ + 2 ; ^ ^ ,合稱指示變數X與諸因素的共通性, 故^的總變異可分解為共通性與獨特性的和。 指示變數與共同因素,如X與6的相關係數為 取0:職6十^十化] ( ^ ( ^ 入 + ^

(八5.8》

故結構負荷^型態負荷^〔在另一因素的型態負荷〗X 若6, 6直交,^5局式變成 (八5.9〉 即結構負荷等於型態負荷。 共享變異數:(山十;^)2

;# 2 十2^20

等於結構負荷的平方。故若^,6直交,則

(八5.10〉


共享變異數^;1?:共通性

(八5.11〉

若6, &斜交,則共享變異數^共通性。 任兩指示變數X』,^的相關係數為 ^ ^ 卜 雕 ^ 十 ^

2

十 吣 . ) ^ ^2^2+6^

+x^xx^^十V"聰十夺恥 00^^

^^,^,十1^十0^厶2十0

(八5 ^ 1 !)

若"6直交,(八5,12〉式可寫成 : ^,^,十4,7^*2

(八5 , 13〉

^81多因素模式 ^個指示變數,"個因素的多因素模式,具有下列關係式 ^1 二义11^1十义12《2十,"十义芒1 义2 :义21^1十义22(2十…十十〔2 ^ 义 ^ 十 ^ 2 十 … 十 十 ^

(八5.14〉

其中^&,…,:^為饥個因素的指示變數,^^為第卩個變數在第加 個因素的型態負荷,^是第^個變數的唯一性因素。用矩陣描述,得 \ ^ \ ^ 6

(八5.15〉

其中X是;7 X 1變數向量,人是;7 X柳型態負荷矩陣,《是切X 1不可觀 察的因素向量,6^/^X1唯一性因素向量。 假設①玖X〗:5(9 = 6 ( ^ = 0 卩)《與6不相關 ④ 主 對 角 線 矩 陣 , 即 6 , &不相關


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一變數的共通性不變的條件下,使負荷平方對「因素變化」而言的變 異數為最大。負荷平方在第/變數的變異為 。尸!^一^)

2

(八5 2 3 〉

其中4是第I變數在第7個因素的負荷平方,《是4的平均值,即第 ^個變數的負荷平方對「因素變化」的均值。∼是因素個數。 上方程式亦可寫成 ^ :切1义》―〈1^|02 "一 加2

(八5.24〉

故所有變數的總變異為

1=1

(八5.25〉

1=1

四次方最大旋轉法就是要找一轉換矩陣0 ,使得2為最大,且要 求每一變數的共通性不變,故5^ ^ 為 一 常 數 , 而 使 2 為 最 大 , 即 使 (八5.25〉式的前項 1. 2 4

(八5.26〉

1=17=1

為最大,故稱四次方最大旋轉法。 ^變異最大旋轉法 如本章所述,變異最大旋轉法的目的在找一因素結構,使得每一 變數僅在唯一因素的負荷較高,其餘因素的負荷都接近0 。要達成此 特 性 則 要 找 一 矩 陣 0 ,在每一變數的共通性不變的條件下,使負荷平 方對「變數變化」而言的變異數為最大。 負荷平方在第7因素的變異為 厂一 2^

― ^,)

2

声 4 严 ,

(八

其中是第7'個因素的負荷平方^對「變數變化」的平均值。所有因


素的總變異為 ^ ―^ 7=1 ^ 7=11

^

!^) ! ^ ^7=1^=1^ ― ^ 7 ( ^ " ! ^ ) 2

^

\

2

^八5 28、

^

因^為固定數,使(八5.28〉式最大相當於使下列(八5.29〉式為最大,故要 找矩陣(:,在每一變數的共通性不變的條件下,使 ;尽"^(!:^)

2

:"叫

(八5.29】

為最大。此稱為變異最大旋轉法 0其他直交旋轉法 如上所述,四次方最大旋轉,使負荷平方對「因素變化」而言的變異和 為最大。變異最大旋轉,使負荷平方對「變數變化」而言的變異和為 最大。合理的另一旋轉法,自然是以上兩者的加權平均,也就是要找 一矩陣0:,使 2 = ^+^/7^

(八5.30〉

為最大,也就是使 51:4-产,(^1々)2

(八5.31〉

為最大,其中丫-^^ + ^ 。 不 同 的 7 值 得 到 不 同 類 型 的 旋 轉 法 。 若 即 " = 1 , = 0)則得四 次方最大旋轉法;若7 : V即。:0,々:0則得變異最大旋轉法;若 7 = 7/7/2得等權重最大旋轉法(^叩���战!:。谳化!!) ; 7 = 0 . 5 ( 1 ! ] 1 , ^ = 1 ^ 雙 四 次 方 最 大 旋 轉 法 0 ^ 1 1 化 ^ ^ 101^10^ 。〔譯者註:哪一種旋轉法 最好?多方嘗試,找到最易解釋的因素解的旋轉法最好。〕 0變異最大旋轉法的示例說明 由於變異最大旋轉法最常用,特以一示例說明此方法。表人5.1是 報表5.2(7】未旋轉前的因素型態負荷,若因素結構逆時針方向旋轉角 60 ,如第2章2.7節所述,對新軸而言的座標 0 ?,^為


\0089

―81170

\81^6

0050 ^

(八5,32〉

3^ = 3 0

其中0:為正交轉換矩陣。表八5.1有逆時針旋轉350。後的新型態負荷, 其中每一變數的共通性並未改變,負荷平方在每一行內的變異和為 0.056 。表八5.2為不同旋轉角度所得負荷平方在每一行內的變異和, 可見旋轉320.057。時,其值最大。表八5.3是其所對應的型態負荷與轉 換矩陣。表八5.3的結果與報表5.2(133, 12】相同。 350"的變異最大旋轉 旋轉後結構

未旋轉結構 變數 ?

11 ,

因素1

因素2

共通性

因素1

因素2

共通性

0.636

0.523

0.677

0.535

0.625

0.677

0.658

0.385

0.581

0.581

0.494

0.581

0.598

0.304

0.450

0.536

0.404

0.450

0.762

0.315

0.680

0.805

0.178

0.680

0.749

一 0.368

0.697

0.802

一 0.232

0.697

0.831

一 0.303

0.783

0.871

0.154

0.783

轉換矩陣 0^

『0.985 0.174 0.174 0.985

^變異最大旋轉的負荷變異 負荷平方的變異數 旋轉角度

因素1

因素2

總和

350

0.038

0.018

0.056

340

0.066

0.038

0.104

330

0.087

0.054

0.142

320.057

0.092

0.058

0.149

320

0.092

0.058

0.149

310

0.077

0.047

0.124

300

0.051

0.027

0.078

290

0.023

0.009

0.032

280

0.005

0.003

0.008


薩 未旋轉結構 變數 IV!

因素1

因素2

0.636

0.658

0

0.598

旋轉後結構 共通性

因素1

因素2

共通性

0.523

0.677

0.152

0.809

0.677

0.385 0.304

0.581

0.257

0.718

0.581

0.450

0.263

0.450 0.680

0.762

0.315

0.680

0.787

0.617 0.248

0.749

一 0.368

0.697

0.811

0.199

0.697

0.831

一 0.303

0.783

0.832

0.301

0.783

轉換矩陣 ^ 0.767 0.642 0 ^ ^0.642 0.767 ^斜交旋轉 斜交旋轉所得新軸不直交,所得因素互為相關,即,其型態 負荷與結構負荷不相同。如圖八5.1所示,兩因素^ 、 ^ 2 不 直 交 。 圖八5.1的圖之I顯示,型態負荷為平行於^ 、 ^ ,做投影的投影長。 型態負荷的平方,表示該因素解釋某變數的變異數的數量〈大小)。 圖八5.1的圖之II顯示結構負荷為對巧、^ 2 做垂直線所得的投影 長,結構負荷為該因素與某變數的相關係數。結構負荷的平方為某變 數的變異數,被該因素及此因素與其他因素的交互作用共同解釋的部 分〈的數量大小)。因此應以型態負荷來解釋因素的意義。 向量或點對斜交因素的座標可用不同的座標系表示,如圖八5.2 。 原因素1 、 2兩向量稱為主要軸(!)!!!!^!^^^)。而通過原點並與原因素 1 、 2垂直的兩軸〈虛線)稱為參考軸(∼!^^∼^^)。點力對主要軸畫垂 直線與因素1, 2相交的點長,即為結構負荷;點^對參考軸畫垂直線 與因素1, 2相交的點長,即為型態負荷。 斜交旋轉主要使因素1, 2的向量,接近變數點的群聚處,以利簡 易化因素的解釋。因斜交因素相關,沒有輪廓分明的解釋意義,故斜 交旋轉並不常用。斜交旋轉相關理論詳見!^咖肪(^了^) , II腿!^^^了。) 及!^!)。!^^"^^)。


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