Vector 8

VECTOR MEI 2020 - nummer 8

TIJDSCHRIFT voor wiskundeonderwijs

CORONA: GEEN EFFECTIEVE TESTSTRATEGIEËN ZONDER KANSTHEORIE 17 EEN ‘STRING ART’-PROBLEEM 40 KOFFIE VOOR WISKUNDE, WISKUNDE VOOR KOFFIE

Met medewerking van Uitwiskeling, VVWL (Vlaamse Vereniging van Wiskundeleraars), GeoGebra Instituut, Vlaamse Wiskunde Olympiade en Pythagoras

3

2

VECTOR

INHOUD

3 CORONA

28 CRYPTOGRAFIE:

GEEN EFFECTIEVE TESTSTRATEGIEËN ZONDER KANSTHEORIE

VAN BROWSER TOT EID FREDERIK VERCAUTEREN

ELLEN VANDERVIEREN FILIP MOONS

HET DRAAIEND STOKJE 34

KAARTEN IN DE LES WISKUNDE (DEEL 2*) 10

38 BOEKRECENSIE

DIDIER DESES

17 EEN

'STRING ART'-PROBLEEM

MICHEL ROELENS

ADHEMAR BULTHEEL

KOFFIE VOOR WISKUNDE, WISKUNDE VOOR KOFFIE 40 GIOVANNI SAMAEY

ANNE SCHATTEMAN

PI EN WISKUNDE À LA EULER 21

42 DE DAG VAN DE WEEK STIJN DIERCKX

PAUL LEVRIE

VECTOR 2e jaargang - nummer 7 REDACTIE Nicolas Ruys, Tom Harteel, Katinka Steen, Anke Oderij, Ellemijn Van Puymbroeck - die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge, educatief@diekeure.be EXTERNE AUTEURS die occasioneel of op geregelde basis een bijdrage willen leveren, kunnen contact opnemen met educatief@diekeure.be. VECTOR Vector is gratis voor alle leerkrachten wiskunde in België. VERANTWOORDELIJKE UITGEVER die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge VORMGEVING EN DRUK Isabelle Tilleman - die Keure, Brugge REACTIES Al je reacties, suggesties en opmerkingen zijn welkom op educatief@diekeure.be

3

CORONA

GEEN EFFECTIEVE TESTSTRATEGIEËN ZONDER KANSTHEORIE 'TEST, TEST, TEST. ALLE LANDEN MOETEN IN STAAT ZIJN OM ALLE VERDACHTE GEVALLEN TE TESTEN, JE KAN DEZE PANDEMIE NIET GEBLINDDOEKT BESTRIJDEN', ALDUS TEDROS ADHANOM GHEBREYESUS, HOOFD VAN DE WERELDGEZONDHEIDSORGANISATIE. VELEN ZAGEN ER METEEN EEN OPROEP IN OM IEDEREEN MASSAAL OP COVID-19 TE TESTEN, WANT GEEF TOE: ALS EEN HEEL LAND ONDER HUISARREST GEBUKT GAAT, ZOU HET TOCH WEL AANGENAAM ZIJN OM TE WETEN WIE NU ÉCHT IN ZIJN KOT MOET ZITTEN. TOCH IS IEDEREEN TESTEN GEEN INTELLIGENTE TESTSTRATEGIE, EN DE REGEL VAN BAYES TOONT DUIDELIJK AAN WAAROM. OOK NU WEER GEBRUIKT DE MEDISCHE WERELD HET BAYES-KOMPAS OM TESTSTRATEGIEËN MEE UIT TE TEKENEN. MITS DE JUISTE DIDACTISCHE KEUZES EN AANGEPASTE GRAAD VAN ABSTRACTIE, KUN JE LEERLINGEN IN ALLE JAREN VAN HET MIDDELBAAR LATEN MEEDENKEN. E L L E N VA N D E RV I E R E N - F I L I P M O O N S

OPGAVE 1 - OPWARMERTJE Carl ging eind februari 2020 skiën met 5 vrienden in Ischgl (Oostenrijk), als ski-oord intussen bekend als broeihaard van coronabesmettingen. Van zijn 5 vrienden kwamen er 4 besmet terug. Terug in België laat Carl zich testen op corona. Het testresultaat is negatief. Mag Carl besluiten dat hij onbesmet is?

MEDISCHE TESTEN ZIJN KANSEXPERIMENTEN Weinig mensen staan stil bij de feilbaarheid van medische tests. Wat de uitslag van een test ook is, er is altijd een kans dat deze verkeerd is. De accuraatheid van medische tests wordt dan ook in vakjargon uitgedrukt in termen van sensitiviteit en specificiteit:

• Sensitiviteit is het percentage terecht positieve uitslagen. Het drukt uit hoeveel procent van de besmette mensen ook positief test. • Specificiteit is het percentage terecht negatieve uitslagen. Het drukt uit hoeveel procent van de niet-besmette mensen ook negatief test. De ideale COVID-19-test heeft zowel een sensitiviteit als specificiteit van 100%, wat betekent dat de uitslag van de test altijd overeenstemt met je COVID-19besmettingsstatus. Het enige probleem is dat zo'n ideale test niet bestaat en de kans is nihil dat deze er ooit zal komen. Zelfs zwangerschapstesten, die tot de meest betrouwbare medische tests worden gerekend, hebben een sensitiviteit en specificiteit van ongeveer 99%, wat betekent dat in 1% van alle gevallen je zwanger

4

bent en de test dat niet laat weten (vals negatief) of niet zwanger bent terwijl de test toch een kindje voorspelt (vals positief). In de meeste ziekenhuizen worden vandaag 'COVID-19PCR'-testen gebruikt: men neemt een uitstrijkje aan de achterkant van de neus of keel. Hoe dieper men dat uitstrijkje kan nemen, hoe betrouwbaarder het testresultaat is, maar ook het moment van besmetting zou een rol spelen: bij het begin of einde van een besmetting kan het virus soms onder de radar blijven omdat de virale lading dan te laag is om opgemerkt te worden. De meest recente medische literatuur schat onder andere daardoor de sensitiviteit van deze tests vrij laag in: deze zou niet boven de 71% komen. De sensitiviteit van de COVID-19-sneltests, waarbij het uitstrijkje niet naar het labo, maar meteen ter plaatste kan gecheckt worden, is allicht nog een stukje lager. Een sensitiviteit van 71% betekent dat minstens 29% van alle besmette mensen toch een negatief testresultaat krijgt en dat is natuurlijk gevaarlijk. Zonder het ervaren oog van een arts kan dit tot een vals gevoel van veiligheid leiden bij mensen die wel degelijk besmet zijn, maar een negatief testresultaat kregen. Als die dan vrolijk beslissen uit hun kot te breken, kunnen ze onbedoeld veel mensen besmetten. Daarom wordt momenteel ook gewerkt aan meer accurate testkits. De specificiteit van de PCR-test is dan weer wel vrij hoog: zo'n 98%. Van de niet-besmette personen krijgt slechts 2% toch verkeerdelijk een positief testresultaat te zien.

Niet-besmet

Totaal

3 000

97 000

100 000

We passen nu alle informatie over de sensitiviteit en specificiteit van de COVID-19-test en de COVID-19prevalentie toe op een groep van honderdduizend Belgen. Wanneer we uitgaan van een sensitiviteit van 71%, weten we dat 2 130 van de 3 000 besmette personen ook positief zullen testen (=3 000 • 0,71). De resterende 870 (=3 000 • 0,29) besmette personen krijgen verkeerdelijk een negatief testresultaat te zien. Indien de specificiteit 98% bedraagt, zullen 1 940 (=97 000 • 0,02) niet-besmette personen verkeerdelijk positief testen en de overige 95 060 (=97 000 • 0,98) niet-besmette personen testen terecht negatief. We vatten deze informatie samen in een tabel en een boomdiagram. Merk op dat in de takken van het boomdiagram waar de kleur verandert, er een vals negatief of vals positief resultaat optreedt. Hezelfde geldt voor de cellen in de tabel. Besmet

Niet-besmet

Totaal

Positieve test

2 130

1 940

4 070

Negatieve test

870

95 060

95 930

3 000

97 000

100 000

Totaal

t itei itiv s n Se 71 % ie nt le a ev 3 % Pr

Besmet: 3 000

29 %

Personen: 100 000

2%

97 %

BESMET OF NIET: THAT'S THE QUESTION Het percentage besmette personen in een populatie wordt in vakjargon de prevalentie genoemd. Op de prevalentie van COVID-19 heeft echter niemand momenteel een goed zicht. Geneeskundigen zijn het er over eens dat een grote groep besmette personen enkel milde symptomen of zelfs geen symptomen vertoont. Dat maakt het lastiger om het exacte aantal besmettingen te bepalen. Onderzoeken met steekproeven waarin mensen meerdere malen aan verschillende testen onderworpen worden, zullen hier allicht in de toekomst een antwoord op bieden, maar de medische wereld gaat intussen uit van een prevalentie die rond de 3% ligt. Per honderdduizend inwoners zijn er dan 3 000 besmettingen.

Totaal

Besmet

Niet-besmet: 97 000

Sp 98 % eci fici teit

Positieve test: 2 130

(VALS) Negatieve test: 870

(VALS) Positieve test: 1 940

Negatieve test: 95 060

5

Hoewel het bovenstaande boomdiagram alle informatie overzichtelijk weergeeft, is er iets vreemds aan de hand: we zien de wereld op zijn kop! Inderdaad, in realiteit zullen we vaak eerst het testresultaat kennen en op basis daarvan willen we dan achterhalen hoe groot de kans is dat iemand ook effectief besmet is met COVID19. In realiteit zijn de rollen van 'besmettingsgraad' en 'testresultaat' in het boomdiagram dus omgekeerd. Hier komt de regel van Bayes, de zogenaamde 'omkeerformule', in het spel om de volgende prangende vraag te beantwoorden: hoe groot is de kans dat ik besmet ben als mijn COVID-19-test positief is? Met andere woorden: wat is de predictieve waarde van een positieve test? Van de 4 070 positief geteste mensen per honderdduizend inwoners (= 2 130 + 1 940) zijn er slechts 2 130 ook effectief besmet, goed voor een percentage van 52,3% (= 2 130/4 070). Zelfs met een positieve test in de hand heb je als willekeurige Belg dus slechts de helft kans om effectief besmet te zijn. Ongeveer 48% van de positief geteste personen zal een vals positief resultaat krijgen; zij zullen niet besmet zijn maar zich door het positieve testresultaat waarschijnlijk onnodig zorgen maken.

Antwoord Je kan het boomdiagram van Carl ook opstellen zonder er aantallen op te kleven. Door de percentages die je op de takken in de boom tegenkomt (bv. 80% prevalentie, 71% sensitiviteit) te vermenigvuldigen, krijg je de gecombineerde kans van mensen die besmet zijn én een positief testresultaat kregen (productregel). 71 %

Positieve test: 80% · 71% = 56, 8%

29 %

(VALS) Negatieve test: 80% · 29% = 23, 2%

Besmet 80

%

2%

20 %

Conclusie: een prevalentie van 3% is te laag om iedereen te testen met de huidige generatie PCR-testen. Het aantal vals positieven zou te groot zijn, wat leidt tot onnodige paniek. De lage sensitiviteit (minstens 29% wordt niet opgemerkt) kan bovendien tot een vals gevoel van veiligheid leiden bij de vals negatieven. Als die vrolijk beslissen om de maatregelen naast zich neer te leggen, denkende dat ze niet besmet zijn, kunnen ze veel mensen aansteken.

OPGAVE 2 We keren terug naar Carl, die tot de risicogroep met prevalentie van 80% behoort. a) Indien zijn testresultaat negatief is, wat is dan de kans dat hij niet besmet is? b) Wat was zijn kans op besmetting, indien hij positief getest zou hebben?

(VALS) Positieve test: 20% · 2% = 0, 4%

Niet-besmet

98 %

Negatieve test: 20% · 98% = 19, 6%

a) In 42,8% van de gevallen (= 23,2%+19,6%) zal er negatief getest worden, maar slechts 19,6% zal terecht negatief testen. Carl heeft bij een negatief testresultaat dus maar 45,8% (= 19,6%/42,8%) kans om niet besmet te zijn! Zelfs bij een negatief testresultaat blijft het dus erg waarschijnlijk dat Carl toch besmet is geraakt met COVID-19 tijdens zijn skivakantie. b) Indien Carl positief test, dan is de kans op besmetting zeer groot; we bekomen een predictieve waarde van maar liefst 99,3% (= 56,8%/(56,8%+0,4%))!

6

'BLIJF IN UW KOT' ZODAT GERICHT TESTEN VOLSTAAT Uit de vorige opgave 2 (vraag b) blijkt duidelijk dat een hoge prevalentie de predictieve waarde van een test de hoogte in jaagt: bij een risicogroep met prevalentie van 80% stijgt ze na een positieve test door naar meer dan 99% kans op besmetting. We moeten dus vooral de verdachte gevallen gericht testen: mensen die duidelijke ziektesymptomen vertonen, met besmette mensen in contact kwamen of uit een risicogebied komen. Als die positief testen, is een besmetting ook zeer waarschijnlijk. En tot zolang we alle COVID-19-maatregelen naleven, zijn lang niet alle Belgen verdacht. Iedereen massaal testen heeft dan geen zin en dat is eigenlijk een grote geruststelling. EEN FUNCTIE MET DE PREVALENTIE ALS ONBEKENDE De prevalentie is in dit verhaal van cruciaal belang, maar tegelijkertijd ook de grote onbekende. Niemand heeft op dit moment enig zicht op de prevalentie van COVID-19, het is wachten tot betrouwbare steekproefonderzoeken hier licht op schijnen. De prevalentie is de pretestwaarschijnlijkheid: de kans op besmetting afhankelijk van de groep waartoe men behoort, zonder getest te zijn. De predictieve waarde na een positieve test (de kans op besmetting, gegeven een positief testresultaat) is een posttestwaarschijnlijkheid. Nu komt het: we kunnen de pretest- en posttestwaarschijnlijkheid uitzetten op een grafiek! Als we als prevalentie pretestwaarschijnlijkheid nemen, opnieuw uitgaan van 0,71 sensitiviteit en 0,98 specifiteit, dan kunnen we uit de kansboom snel het functievoorschrift halen van de die de predictieve waarde functie (posttestwaarschijnlijkheid) berekent op basis van . 1 0,7

Alle positief geteste gevallen vormen samen . Binnen deze groep vormt het aandeel van besmette personen dat (terecht) positief test. De predictieve waarde of posttestwaarschijnlijkheid (i.e. de kans op besmetting indien het testresultaat positief is) bedraagt dan: .

OPGAVE 3 , die Vind het functievoorschrift van de functie voor elke prevalentie , de posttestwaarschijnlijkheid drukt geeft bij een negatief testresultaat. de kans uit om toch besmet te zijn na een negatieve test bij een prevalentie . Antwoord

Positieve test:

Besmet

0,2 9 2 0,0 Niet-besmet

0,9 8

(VALS) Negatieve test: (VALS) Positieve test:

Negatieve test:

Figuur 1 Grafieken van de functies (kans op besmetting bij een positief testresultaat) en (kans op besmetting bij een negatief testresultaat) voor een COVID-19-test met sensitiviteit van 71% en specificiteit van 98%

7

OPGAVE 4 Welke sensitiviteit en specificiteit van een medische test zou ervoor zorgen dat pre- en posttestwaarschijnlijkheid gelijk zijn en we dus in het geval ? terechtkomen dat Antwoord Elke test waarbij de sensitiviteit en de specificiteit opgeteld exact 100% geeft, levert geen extra informatie op. Met andere woorden, een test waarbij de sensitiviteit de complementaire kans is van de specificiteit (bv. sensitiviteit / specificiteit: 70%/30%, 50%/50%,…) zorgt ervoor dat posttestwaarschijnlijkheid even groot is als de pretestwaarschijnlijkheid. Ook tests waarbij deze som ongeveer gelijk is aan 100%, zullen weinig extra informatie geven. Je kan dit nagaan door in het boomdiagram de sensitiviteit enspecificiteit als onbekenden te nemen. De prediciteve waarde moet gelijk zijn aan de prevalentie , waaruit volgt:

Het is natuurlijk verleidelijk om de kansen te berekenen van dit gecombineerd testen. We doen dit opnieuw voor willekeurige Belgen en gaan dus uit van een prevalentie van 3%. We mogen aannemen dat het resultaat van de CT-testen onafhankelijk is van het resultaat van de COVID-19-PCR-testen, aangezien beide testen onafhankelijk van elkaar afgenomen worden. We stellen het boomdiagram op:

71 % PCR Pos -> 3% · 96% · 71% = 2,0448 %

% 96

Besmet 4%

% 97

.

wachten omdat de test eerst naar het labo moet. Daarom wordt er bij elke patiënt meteen een CT-checkup van de longen gedaan door de radioloog. Je gaat als patiënt dan even onder de scanner en de radioloog velt op basis van het onderzoek van de longen een oordeel over jouw besmetting. De sensitiviteit en specificiteit van deze CT-test varieert van radioloog tot radioloog, maar gemiddeld genomen rapporteert de wetenschappelijke literatuur een sensitiviteit van 96% en een erg lage specificiteit van ongeveer 25%. De lage specificiteit heeft te maken met voorzichtigheid: een radioloog wil geen besmetting missen, maar ook vooral omdat elke virale longontsteking er op zo'n CT-scan hetzelfde uitziet: influenza, COVID-19, RSV, … zijn niet te onderscheiden.

3%

Figuur 1 toont de grafieken van de functies en Merk op dat bij een prevalentie van 20% de . predictieve waarde al doorstijgt tot 90%. De toont de theoretische situatie waarbij de rechte test geen extra informatie zou opleveren: in dat geval is de pretestwaarschijnlijkheid even groot als de posttestwaarschijnlijkheid, de test reproduceert gewoon de prevalentie. Het verschil tussen de grafieken van enerzijds en de rechte anderzijds, is een en maat voor de extra informatie die de test oplevert.

% 75

Nietbesmet

GECOMBINEERD TESTEN IN HET ZIEKENHUIS De meeste ziekenhuizen zijn op dit moment opgedeeld in een COVID- en een niet-COVID-zone. Alle patiënten, ook diegene die niet voor corona in het ziekenhuis worden opgenomen, moeten daarom getest worden om de triage mogelijk te maken. PCR-testen zijn schaars, niet perfect betrouwbaar en het resultaat laat op zich

25 %

CT Pos 29 % PCR Neg -> 3% · 96% · 29% = 0,8352 % 71 % PCR Pos -> 3% · 4% · 71% = 0,0852% CT Neg 29 % PCR Neg -> 3% · 4% · 29% = 0,0348 % 2 % PCR Pos -> 97% · 75% · 2% = 1, 455 %

CT Pos 98 %

PCR Neg -> 97% · 75% · 98% = 71, 295 %

2 % PCR Pos -> 97% · 25% · 2% = 0, 485 %

CT Neg 98 % PCR Neg -> 97% · 25% · 98% = 23, 765 %

Wat is de kans op besmetting als iemand zowel een positieve CT-scan als een positieve COVID-19-PCR-test

8

heeft gekregen? De kans op twee positieve testen bedraagt 2,0448% + 1,455% = 3,4998%. De kans op besmetting indien iemand voor elk van deze testen een positief resultaat behaalde, is gelijk aan 58,4% (= 2,0448%/3,4998%). Dit resultaat valt wat tegen aangezien het niet zo gek veel verschilt van de predictieve waarde van de PCR-test alleen (nl. 52, 3%). Bovendien verwatert het effect van gecombineerd testen nog verder als we uitgaan van een hogere prevalentie (zie opgave 5), wat zeker gerechtvaardigd is aangezien mensen die zich aanmelden in het ziekenhuis niet zomaar willekeurige Belgen zijn, maar zieke mensen, waarvan een groot deel expliciet met COVID-klachten naar het ziekenhuis komt.

OPGAVE 5 Veronderstel dat de prevalentie 60% bedraagt bij mensen die zich in het ziekenhuis aanmelden met mogelijke COVID-19. Hoe groot is de kans op besmetting bij (a) 2 positieve testen (zowel CT als COVID-19PCR) en (b) de COVID-19-PCR-test alleen? Antwoord (a) 98,5% ; (b) 98,2%.

Uit Opgave 4 weten we dat een medische test, waarvan de sensitiviteit en specificiteit samen ongeveer 100% geven, weinig extra informatie zal geven. Als we de sensitiviteit en de specificiteit van de CT-test optellen, komen we aan 121%, dat is niet zo gek veel verwijderd van 100%. De beperkte meerwaarde van de CT-test bij het detecteren van COVID-19 is ook grafisch duidelijk als en uitzetten (zie Figuur 2). we de functies leunt dicht aan bij de De grafiek van de functie , wat betekent dat na een positieve grafiek van CT-test, de kans op besmetting slechts een klein beetje hoger is dan de initiële prevalentie. Merk op dat de : iemand extra informatie vooral zit in de functie met een negatieve CT-scan, heeft effectief een veel lagere besmettingskans dan de prevalentie. Door de lage specificiteit, zullen er weinig patiënten een negatieve CT-test krijgen (25%), maar diegene die toch

Figuur 2 Grafieken van de functies

en

met een negatieve CT-test naar buiten lopen, mogen dus vrij gerust zijn. Dat is een constante in de medische wereld: de eerste test is meestal heel sensitief, maar heel weinig specifiek. De tweede test is meestal heel specifiek, maar weinig sensitief. Daarom worden in het ziekenhuis patiënten met een negatieve CT-test ook opgenomen op een afdeling met niet-besmette patiënten. Voor diegene met een positieve CT-scan, maar een negatieve PCR-test, wordt er na 24u opnieuw een PCR-test uitgevoerd: de virale lading kan gewijzigd zijn waardoor de PCR-test nu mogelijks positief is. EEN TOEKOMST VOOR IMMUNITEITSTESTEN? Om het normale leven en de economie na de lockdown terug op gang te trekken, adviseren denktanken om mensen een immuniteitstest te laten ondergaan vooraleer ze weer aan het werk mogen. Deze serologische test gaat in het bloed op zoek naar antilichamen tegen COVID-19 en verschilt fundamenteel van de eerder besproken PCR-test: PCR-testen gaan enkel 'besmetting' na, terwijl de serologische testen nagaan of er antilichamen zijn aangemaakt. De gerapporteerde sensitiviteit van de immuniteitstest die in de VS wordt

9

gebruikt, bedraagt 93,8% en de specificiteit bedraagt 95,6%. Er zit wel een addertje onder het gras: je kan COVID-19 hebben doorgemaakt, maar toch geen immuniteit hebben opgebouwd en ook omgekeerd: je kan immuniteit hebben opgebouwd, maar nog altijd drager zijn van het virus en zo mensen besmetten. Daarom wordt aangeraden om iedereen die positief test op de immuniteitstest, ook te testen via de PCR-test, die dan een negatief resultaat moet opleveren. Hoewel we dat zouden willen, is het op het moment van schrijven onmogelijk om de gecombineerde kansen hiervan in te schatten. Je moet de bevolking immers opdelen in vier groepen: WEL immuun/WEL besmettelijk, WEL immuun/NIET besmettelijk, NIET immuun/WEL besmettelijk en NIET immuun/NIET besmettelijk. We hebben al geen betrouwbaar idee van de prevalentie van COVID-19, laat staan dat we zouden weten hoe die groepen zich onderling verhouden. Zonder enig zicht hierop, lijkt deze teststrategie voorlopig gebaseerd op drijfzand... To be continued! CONCLUSIE Medische tests zijn nooit 100% betrouwbaar. Na een negatief testresultaat is er nog steeds een reĂŤle kans op besmetting en vice versa. Bovendien worden deze

kansen sterk beĂŻnvloedt door de prevalentie van een ziekte (bv. COVID-19). Als we ervoor zorgen dat het coronavirus zich niet massaal verspreidt onder de Belgische bevolking, is het overbodig om iedereen te testen: het aantal vals positieven zou de pan uit swingen en vele mensen onnodig ongerust maken. Anderzijds is het gericht testen van verdachte gevallen noodzakelijk om het virus te lijf te gaan en kan ook gecombineerd testen misschien een uitweg uit deze crisis bieden. Het subtiele samenspel tussen pretestwaarschijnlijkheid en posttestwaarschijnlijkheid kan mooi grafisch uitgezet worden. BRONNEN Bai, H., Hsieh, B., et al. (2020). Performance of radiologists in differentiating Covid-19 from viral pneumonia on chest CT. Radiological Society of North America. Developing and deploying tests for SARS-CoV-2 is crucial. The Economist. Issue of March 21st 2020. Dewatripont, M., Goldman, M., et al. (2020). Rapidly identifying workers who are immune to Covid-19 and virus-free is a priority for restarting the economy. VOX EU. John Hopkins Center for Health Security (2020). Serology-based tests for Covid-19. Medow, M., Lucey, C. (2011). A qualitative approach to Bayes' theorem. BMJ Evidence- Based Medicine (16), pp. 163-167. Moons, F., & Vandervieren, E. (2020). Wiskunde en Corona: Waarom iedereen testen geen goed idee is. Knack.be.

10 WISKUNDE & ONDERWIJS

KAARTEN IN DE LES WISKUNDE (DEEL 2*) DIDIER DESES

* Voor deel 1 en referenties : zie Wiskunde & Onderwijs, nr. 163, 245-251.

4. DRIEHOEK VAN PASCAL 4.1 Definitie en gebruik De driehoek van Pascal is een gekend onderwerp in de lessen wiskunde. De driehoek van Pascal is volgende getallendriehoek.

De getallen worden als volgt berekend. Op elke zijde van de driehoek staat telkens 1. De getallen in de driehoek zijn de som van de twee getallen erboven.

• In de combinatoriek wordt het aantal keuzen van p objecten geteld dat gemaakt kan worden uit een totaal van n verschillende objecten, zonder welbepaalde volgorde en zonder herhaling. Het aantal keuzen wordt gegeven door middel van combinaties of binomiaal­ coëfficiënten.

Voor de combinaties geldt volgende formule:

Deze driehoek heeft zeer vele eigenschappen. We geven hier enkele van de meest gekende. • De getallen in de nde rij van deze driehoek zijn de coëfficiënten van de uitwerking van

Deze formule is equivalent met de formule die de driehoek van Pascal genereert. De com­binaties zijn dus de getallen uit de driehoek van Pascal.

• Indien we beide vorige punten samenzetten, bekomen we de stelling die bekend staat onder de naam Binomium van Newton. Het bewijs ervan toont dat een stelling uit de analyse (het uitwerken van veeltermen) soms een combinatorisch bewijs kan hebben.

11

Bewijs.

Bij de uitwerking moet je in elke van de factoren ofwel ofwel kiezen. De wordt bekomen door keer een te kiezen (en dus keer een term . Dit kan op manieren. Aldus telt de term .keer mee in de uitwerking en bekom je dus een bijdrage van

aan de totale som.

□

• Pascal bestudeerde de driehoek in zijn "Traité du Triangle Arithmétique", maar hij was zeker niet de eerste die hem opschreef. De getallendriehoek kwam reeds voor in een Chinees handboek uit de 14de eeuw. Pascal was wel de eerste die het verband legde met de binomiaalcoëfficiënten.

• Indien je de even getallen uit de driehoek van Pascal weglaat en de andere zwart kleurt, bekom je een figuur die reeds op een andere plaats in dit artikel is opgedoken, de zeef van Sierpinksi.

Ook andere fractalen zitten verborgen in de driehoek van Pascal. Laat je bijvoorbeeld de 3-vouden of de 5-vouden weg, dan krijg je volgende resultaten.

In het algemeen krijg je altijd een fractaal indien je de p-vouden weglaat, waarbij p priem is. 4.2 Kaartspel Volgend solitaire kaartspel is gebaseerd op dezelfde regel als die voor de driehoek van Pascal. Je begint met tien kaarten te leggen in driehoek-

12

vorm. Daarnaast heb je een reserve van drie plaatsen waar je telkens één kaart opzij kan leggen. De bedoeling van het spel is om de tien lege plaatsen op te vullen aan de hand van de regel uit de driehoek van Pascal.

• Een open plaats wordt opgevuld met een kaart met een waarde die gelijk is aan de som van de waarden van de twee kaarten erboven. De eerste kaart bovenaan zou dus een 3 moeten zijn. • De waarden van de kaarten zijn als volgt : A , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , J , Q , K komt overeen met 1 , 2 , 3 , 4, 5 , 6, 7, 8, 9, 10, 11 , 12, 13. Indien een som groter is dan 13, wordt er 13 afgetrokken. We geven een voorbeeld.

• Een kaart mag slechts geplaatst worden indien de twee kaarten erboven aanwezig zijn. De tweede rij kan dus pas worden opgevuld als eerst de bovenstaande 3 geplaatst werd. • De kaarten uit de overblijvende stapel worden één voor één omgedraaid.

De nieuwe kaart kan ergens op de juiste plaats worden gelegd, ofwel wordt ze op één van de drie reserveplaatsen bewaard, ofwel wordt ze weggelegd en kan ze niet meer gebruikt worden. • Het spel wordt gewonnen als de volledige driehoek af is. • Soms is het onmogelijk om de driehoek af te werken. Wanneer bijvoorbeeld de bovenste twee kaarten azen zijn en alle 2's op de zijkanten staan, is het spel onmogelijk. Deze ge­vallen komen echter tamelijk zelden voor. • De beste strategie is om op voorhand in gedachten uit te rekenen welke kaarten je nodig hebt, zodat je de gepaste kaarten opzij kan houden. Gezien het om tien kaarten gaat, is dit een goede geheugentraining.

5. REKENEN MET KAARTEN 5.1 Een groep van kaarten In de vorige paragraaf werd een manier gegeven om waarden van kaarten op te tellen. We her­halen dat de waarden als volgt zijn : A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K komt overeen met 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. Indien een som groter is dan 13, wordt er 13 afgetrokken. Dit is eigenlijk wiskundig niet helemaal correct. Beschouw de volgende sommen :

Het is eenvoudig na te gaan dat dit ook geldt voor alle andere kaarten

13

i.p.v. 5. We herkennen hierin de eigenschap van het neutraal element voor de optelling. We kunnen dus beter stellen dat K = 0 i.p.v. 13. We zetten eventjes hetgeen we weten op een rijtje. • Elke twee kaarten kunnen worden opgeteld en de uitkomst zal een waarde zijn in {0 , 1 , 2 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12}. De som is dus overal gedefinieerd en inwendig. • De K is het neutraal element voor de optelling. • Elke kaart kan worden aangevuld tot een waarde 13 door een andere kaart, deze laatste is het symmetrisch element van de eerste.

• Je kan ook gemakkelijk zien dat de volgorde waarin drie kaarten opgeteld worden geen belang heeft, dit levert de associativiteit. • Ten slotte is deze optelling ook commutatief. We concluderen dat { A , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , J , Q , K } met deze optelling een (ein­dige) commutatieve groep is met dertien elementen. 5.2 Piramide-solitaire Bij dit spel wordt eerst een piramide gelegd van 28 overlappende kaarten.

• Twee kaarten kunnen verwijderd worden indien hun som 13 is, d.w.z. indien ze elkaars tegengestelde zijn in onze groep. • Indien een kaart onder een andere zit, mag je ze nog niet verwijderen. te verwijderen, deze heeft • Met bovenstaande kaarten begin je door en weg want sowieso een waarde 13. Daarna neem je

Nu is de vrij en kan je die wegomdat deze halen samen met ook elkaars tegengestelde zijn. • Wanneer geen kaarten meer weggehaald kunnen worden mag je de bovenste kaart van de overgebleven stapel omdraaien. Indien deze je niet verder helpt, moet je ze weggooien en neem je de volgende. Anders gebruik je ze om een kaart van de piramide weg te halen. • Je wint het spel als je de volledige piramide kan wegwerken. 5.3 Het spel Calculation Onze groep van kaarten wordt voortgebracht door A in die zin dat :

Een groep die voortgebracht wordt door één enkel element heet een cyclische groep. Voor elk positief geheel getal is er precies één cyclische groep (op een isomorfisme na), waarvan de grootte is, en is er precies één oneindige cyclische groep (de gehele getallen onder optelling). Vandaar dat de cyclische groepen de eenvoudigste groepen zijn en zij ook volledig zijn geclassificeerd. Onze ,+ (de groep is dus isomorf met gehele getallen modulo 13). We hebben net getoond dat A een voortbrenger is van onze groep. Wat met de andere elemen­ten? Elk element brengt op zich een deelgroep

14

voort. De stelling van Lagrange zegt dat het aantal elementen van een deelgroep een deler moet zijn van het totaal aantal elementen van de groep. Omdat onze groep 13 elementen telt en dit een priemgetal is, zijn de en de groep enige deelgroepen zelf. Hieruit volgt dat elk element de ganse groep voortbrengt. De volgorde waarin dit gebeurt, is steeds anders. We geven de voorbeelden met A, 2, 3 en 4.

Dit is de basis van het solitaire spel calculation. Eerst haalt men een aas, een twee, een drie en een vier uit het kaartspel. Dit zijn de voortbrengers. Naast deze kaarten moeten in juiste volgorde (zie hierboven) de andere kaarten geplaatst worden tijdens het spel. Daarnaast heb je plaats voor vijf reservestapels.

• De kaarten uit de overgebleven stapel worden één voor één getrokken. • Een kaart mag op één van de vier voortbrengerstapels gelegd worden indien ze volgt op de kaart

• • • •

die er al is. Anders moet de kaart geplaatst worden op één van de reservestapels. De bovenste kaart van een reservestapel mag altijd verhuisd worden naar een voortbrengerstapel indien het haar beurt is. Men wint het spel indien men alle vier voortbrengerstapels kan afwerken tot K. Dit spel is niet alleen een spel van geluk, een goede speler zal bijna twee keer op drie het spel kunnen winnen. Kleine tip : gebruik een aparte reservestapel om alle K weg te bergen. Leg deze nooit op een andere kaart want dan moet je eerst een volledige voortbrenger afwerken alvorens aan de onderste kaart te kunnen.

6. BLACKJACK OP DE TI-84 COLOR PLUS Onderstaand programma simuleert het kaartspel Blackjack op een TI-84 Color Plus. Het spelletje werd doelbewust eenvoudig gehouden, zodat de programmeertechnieken duidelijk zichtbaar zijn.

15

We overlopen het programma. 1-2 Het grafisch scherm wordt ingesteld. We gebruiken een groene achtergrond om een casinolook te bekomen. 3 Een pakje kaarten wordt in lijst L6 geplaatst. Elke kaart heeft een waarde (1 - 13) en een soort (Harten, Ruiten, Klaveren, Schoppen). Om deze beide elementen in één enkel getal te plaatsen gebruiken we volgende truc. De soorten komen overeen met de getallen na de komma (0,00 ; 0,25 ; 0,50 ; 0,75). Zo komt het laatste getal . (13,75) overeen met 5-7 Nu worden de kaarten gemengd. Dit gebeurt door een tweede lijst van willekeurige getallen te plaatsen in L5. Beide lijsten worden dan geordend afhankelijk van de waarden in L5, de kaarten in L6 staan daarna in een willekeurige volgorde. De variabele K

is de bovenste kaart, voorlopig de 52ste. 9-13 Het spel begint hier. De som S wordt op 0 gezet en het aantal kaarten P van de speler ook. Het grafisch scherm wordt leeggemaakt en de instructies verschijnen. 15-17 Deze drie regels zijn een trucje om te wachten tot de gebruiker een toets heeft ingedrukt. 18-20 Eenmaal een toets ingedrukt, wordt de kleur op zwart gezet. Indien echter het deel na de komma (fPart) van de bovenste kaart (K) kleiner is dan 0,50 gaat het om een rode kaart en wordt de tekstkleur aangepast. Hierna wordt met i Part de waarde van de kaart bepaald. Deze gebruikt men dan om het juiste symbool uit 123456789TBDK te selecteren (we schrijven hier T voor 10 zodat elke kaart juist één symbool nodig heeft). Op analoge

wijze wordt fPart gebruikt om de soort voor te stellen HRKS (Harten, Ruiten, Klaveren, Schoppen). De speler heeft P kaarten en elke lijn tekst is 15 pixels hoog, dus de kaart wordt weggeschreven op hoogte van het scherm. 21 De nieuwe som wordt bepaald. Door gebruik te maken van tellen alle beeldjes voor 10, de azen tellen in deze versie voor 1. 23-27 Indien de speler op de toets O heeft gedrukt (toetscode 102) wil hij stoppen. Naar­gelang de som S wordt een boodschap afgedrukt die aangeeft of dit de juiste beslissing was. 28-33 Indien de speler niet wenst te stoppen, krijgt hij de kaart. Er is nu één kaart minder op de en de speler stapel . heeft een kaart meer Indien de som minder dan 21 bedraagt, wordt er verder gespeeld. Indien niet, heeft de speler gewonnen of verloren en krijgt hij de passende boodschap. 35-37 Opnieuw een wachtlus. 38-40 Indien er nog meer dan tien kaarten over zijn, wordt een volgend spel begonnen, anders worden de kaarten opnieuw gemengd. Deze versie van Blackjack is verschillend van de versie in casino's, toch is een Hi-Lo count mogelijk. Als je speelt, wil je weten of je moet stoppen of niet. Indien er nog veel kleine kaarten zijn, loont het risico om verder te gaan. De count kan je dus als volgt beschrijven.

16

Natuurlijk garandeert dit geen winst! Let wel dat je de count terug op nul zet als de kaarten worden gemengd.

Indien de count positief is, zijn er al vele grote kaarten gevallen en blijven er dus kleine kaarten over. Het is dan in je voordeel om niet te snel te stoppen.

In deel 1 kwam het volgende aan bod 1. Kaarten mengen. 2. Hi-Lo count. 3. Torens van Hanoi.

DIDIER DESES D I D D E S E N @ G M A I L . C O M , M U I L E N S T R A AT 2 3 9 , 1 7 7 0 L I E D E R K E R K E . K A KO E K E L B E R G , F E L I X VA N D E S A N D E S T R A AT 1 7, 1 0 8 1 B R U S S E L .

'Wiskunde & Onderwijs' is het tijdschrift van de Vlaamse Vereniging Wiskundeleraars (VVWL). Meer info vind je op de website www.vvwl.be.

OEFENING 1 UIT PYTHAGORAS Hieronder staat een rechthoekige driehoek met zijden 25, 60 en 65. Verder ligt er in de driehoek een punt P met afstand 17 tot de rechte hoek en afstand 12 tot een ander hoekpunt. Bepaal de afstand tot het derde hoekpunt.

Oplossing: x = 55.

17

EEN 'STRING ART'-PROBLEEM

UITWISKELING

VOOR VADER- OF MOEDERDAG MOEST IK OOIT 'PSEUDO'KUNSTWERKJES IN ELKAAR KNUTSELEN DOOR TOUWTJES OM NAGELTJES TE SPANNEN. MISSCHIEN HEB JE DAT ZELF OOK NOG WEL GEDAAN? PROFESSIONELEN MAKEN DIT ECHTER TOT ECHTE KUNSTWERKEN DIE WE ‘STRING ART’ NOEMEN. HET PROBLEEM DAT IK IN DIT ARTIKEL BESPREEK, SITUEERT ZICH IN HET THEMA VAN DIE STRING ART. WIE EEN PROBLEMENWEDSTRIJD ORGANISEERT IN ZIJN KLAS, OF INSPIRATIE NODIG HEEFT VOOR EEN ‘PROBLEEM VAN DE MAAND’ KAN HIER MISSCHIEN GEBRUIK VAN MAKEN. A N N E S C H AT T E M A N

R E DAC T I E U I T W I S K E L I N G

PROBLEEMSTELLING We nemen een plank, tekenen er een cirkel op en kloppen nagels op de cirkellijn zo dat we de hoekpunten van een (regelmatige) veelhoek verkrijgen. We omspannen de nagels met een wollen draad door telkens een zelfde aantal nagels over te slaan, totdat we een symmetrische figuur verkrijgen. Soms lukt het om alle nagels te omspannen door maar één draad te gebruiken. Soms komen we echter vroeger dan verwacht terug aan in de eerste nagel; dan moeten we een nieuwe draad nemen en moeten we opnieuw vertrekken van de eerstvolgende nagel die nog niet omspannen werd. Kunnen we voorspellen hoeveel draadjes wol we zullen nodig hebben om alle nagels te omspannen?

Stel het aantal punten op een cirkel. We starten in één punt en verbinden dit punt met een volgend punt door punten over te slaan. We draaien hierbij in de richting van de klok. We herhalen deze handeling totdat we terug in het eerste punt zijn terechtgekomen. Als er nog punten overblijven die niet verbonden werden, starten we opnieuw met het eerste vrije punt rechts van het startpunt. We blijven deze handelingen herhalen tot alle punten verbonden werden door koorden. Afhankelijk van de keuze van en , hoeveel gesloten circuits (dat aantal noteren we met ) van koorden moeten er gemaakt worden totdat alle punten bereikt zijn?

18

ANALYSE VAN HET PROBLEEM Experiment 1 In onderstaand voorbeeld is . In termen van nageltjes en en wol, stellen we vast dat we met één ). draad toekomen (

Experiment 2 en In het geval we twee draadjes nodig (

Naarmate we meer begrijpen evolueert de keuze van de speciale gevallen zodat we tot ernstige hypothesen kunnen komen. Deze eerste fase van begrijpen en analyseren in het proces van problemen oplossen, werd door G. Polya benadrukt maar wordt zelden beleefd door leerlingen. Wiskundeproblemen moeten toch zo vaak al na enkele minuten opgelost zijn.

moeten we het totale aantal nageltjes, , delen door het aantal nageltjes per circuit, . Dit geeft . Dus

.

Experiment 4 We proberen opnieuw met en .

Het is duidelijk dat een aantal vragen zich opdringen: - Zijn alle gebruikte touwen even lang? - Wanneer zal één touw volstaan? Is dat wanneer geen deler is van ? - Zijn er bijzondere resultaten te verwachten als een deler is van ? hebben ).

Experiment 3 en We proberen met en stellen vast dat we vier draden nodig hebben. We komen tot een eerste hypothese:

Als

Zijn we klaar om een eerste hypothese te maken? Zeer zeker niet. Dit is een echt probleem dat een heus onderzoek vraagt. Om het probleem grondig te begrijpen en te analyseren moeten we verschillende speciale gevallen onderzoeken.

een deler is van .

, dan is

Nu moeten we beslissen: gaan we eerst voor dit deelprobleem en proberen we dit te verklaren of zijn we ambitieus en proberen we toch vat te krijgen op het ganse probleem? Het eerste is zeker haalbaar. Als een deler is van , dan telt het eerste circuit hoekpunten. Al deze circuits zijn even lang omdat ze er op een rotatie na hetzelfde uitzien. Om het aantal circuits te kennen,

We zien geen verschil met de allereerste situatie. We kunnen begrijpen waarom: we draaiden in het eerste voorbeeld drie achtsten van een cirkel in wijzerzin. In dit voorbeeld draaien we over vijf achtsten van een cirkel in tegenwijzerzin, wat overeen komt met een draaiing van drie achtsten van een cirkel in wijzerzin. Dus één draad moet opnieuw volstaan. We begrijpen nu waarom we dezelfde waarde verkrijgen, maar nog niet waarom het precies gelijk is aan 1. Nieuwe hypothese:

Als

dan geldt dat

De verklaring die we vonden in het voorbeeld kan onmiddellijk veralgemeend worden.

19

Experiment 5 We onderzoeken voor , situaties waarbij .

de en

De eerste situatie bevestigt onze eerste hypothese. Noch 3, noch 4 zijn een deler van hebben we 10. In het geval slechts één draad nodig, in het geval hebben we er twee nodig. Het zou dus fout zijn om te denken dat je maar één draad nodig hebt geen deler is van . als We proberen vat te krijgen op deze vraag door nog meer voorbeelden te onderzoeken: kleiner dan we kiezen alvast geen deler van . en Vraag: Speelt het een rol mocht priemgetal zijn? Experiment 6 Kiezen we en waarden.

een

, dan lijken ons interessante

,

20

Uit deze voorbeelden kunnen we de volgende conclusies trekken: - 4 is geen deler van 15 en 4 is niet priem; toch is het resultaat gelijk aan 1; - 6 is geen deler van 15 en toch is het resultaat niet gelijk aan 1; ; - 7 is geen deler van 15 en is wel priem. Het resultaat is gelijk aan 1.

gepasseerd zijn en wanneer we een veelvoud van nagels gepasseerd zijn. De eerste keer gebeurt dit als nagels gepaswe het seerd zijn. Elke de nagel werd omspannen, dus nagels dat betekent: werden door de draad omspannen. Het gekende verband

In deze gevallen valt het op dat de getallen 4 en 7 geen gemeenschappelijke delers hebben met 15. We noemen zowel 4 als 7 relatief priem met 15.

leert ons dat

Misschien kan men nu tot de volgende hypothese komen:

Dus

Als N en P relatief priem zijn, dan is er maar één draad nodig.

dan

nagels werden

door de draad omspannen. Om de draden te tellen die nodig zijn om nagels te omspannen moeten we dus delen door

In het algemeen:

als

.

.

.

We zouden kunnen experimenteren met priem en dan zou de hypothese versterkt worden. Wat zit hierachter? Er rijzen nieuwe vragen.

Besluit: we hebben draden nodig om de omspannen.

- Welke rol speelt ‘deelbaarheid’ in dit probleem? - Wanneer kom ik voor de eerste keer terug aan in de eerste nagel? - Hoeveel nageltjes worden er door één draad omspannen?

REFLECTIE In deze fase zijn we kritisch ten opzichte van de gevonden oplossing. We verifiëren onze bevindingen uit de experimenten met de gevonden oplossing.

OPLOSSING Deze essentiële vragen blijken pas nu belangrijk om tot de oplossing te komen. We komen de eerste keer terug in de startnagel aan wanneer nagels we een veelvoud van

Wordt het probleem moeilijker groter zou zijn dan ? indien Geen probleem: dan werken we met in plaats van .

nagels te

Het is misschien ook interessant om de meetkundige patronen te onderzoeken die verschijnen in plaats van het zuiver als een rekenkundig probleem te beschouwen. Je zou je bijvoorbeeld kunnen afvragen hoeveel verschillende regelmatige 15-puntige figuren er bestaan. En we zijn dan vertrokken voor een minstens even mooie zoektocht die leidt naar de totient-functie van Euler. Mijn oud-leerlingen zullen bij het eventueel lezen van deze tekst dit probleem waarschijnlijk herkennen als het Chokotoff-probleem, genoemd naar de beloning die ik uitreikte na het vinden van de oplossing.

BRONNEN http://www.mathcats.com/crafts/ stringart.html http://www.stringartfun.com/section. php/3/1/techniques http://www.youtube.com/watch?v=_ vBNQvKnGEU Dit artikel verscheen in Uitwiskeling 28/1. Benieuwd naar meer? Op de webstek www.uitwiskeling.be vind je alle info.

Op 14 maart was het π-dag, een feestdag voor de wiskundigen, maar dit jaar in mineur gevierd. Spijtig, want 14 maart 2020 was de eerste officiële Internationale dag van de wiskunde. Inderdaad, UNESCO heeft op 26 november 2019 beslist om 14 maart te verheffen tot die status. Maar niet getreurd, het is niet te laat om het uitgebreid over het getal π te hebben. Wist u bijvoorbeeld dat ...

21

. . . het getal 360, dat duidelijk wel wat te maken heeft met π en met de cirkel, al helemaal in het begin van de decimale ontwikkeling van π voorkomt en wel op de plaatsen: 359/360/361?

PI EN WISKUNDE À LA EULER 1−70

71−140

141−210 211−280 281−350

PAU L L E V R I E ,

351−361

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816 4062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317 2535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196442881097 5665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648 2133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643 67892590360 . . .

FAC U LT E I T T O E G E PA S T E I N G E N I E U R S W E T E N S C H A P P E N , U N I V E R S I T E I T A N T W E R P E N

. . . het Europees record memoriseren van decimalen van π sinds 7 maart 2020 in handen is van de Zweed Jonas von Essen (29 jaar), inmet 24063 decimalen? Heteerste wereldrecord Op 14 maart was het π-dag, een feestdag voor de Ter vergelijking: 1946 berekende ENIAC, de sinds 2015Spijtig, op naam de Indiër Suresh Kumar Sharma 24 jaar), met 70030 wiskundigen, maar dit jaar instaat mineur gevierd. wantvan echte elektronische computer, 2037(nu decimalen 14 maart 2020 was de eerste officiële Internationale van π in 70 uur. decimalen. dag van de wiskunde. Inderdaad, UNESCO heeft opnovember 26 . . . het π-record van 2016 sinds de vorige π-dag al twee keer gebroken is? In e november 2019 beslist om 14 maart te verheffen tot die 2016 berekende Peter Trüb π biljoen decimalen van π. Dus 22 459 157 718 361 cijfers. De status. Maar niet getreurd, het is niet te begon laat omdehet uitcomputer berekening op 29 juli en was ermee klaar op 11 november 2016. gebreid over het getal π te hebben. Wist je bijvoorbeeld Ter vergelijking: in 1946 berekende ENIAC, de eerste echte elektronische computer, 2037 dat... decimalen van π in 70 uur. • … het getal 360, dat duidelijk wel wat te maken heeft met π en met de cirkel, al helemaal in het begin van de decimale ontwikkeling van π voorkomt en wel op de plaatsen: 359/360/361? (zie figuur 1) • … het Europees record memoriseren van decimalen van π sinds 7 maart 2020 in handen is van de Zweed Jonas von Essen (29 jaar), met 24 063 decimalen? Het wereldrecord staat sinds 2015 op naam van de Indiër Suresh Kumar Sharma (nu 24 jaar), met 70 030 Daarbij werd de formule van Machin gebruikt: Daarbij werd toen de formule van Machin gebruikt: decimalen.

1

π

1

• … het π-record van november 2016 sinds de vorige = 4 · Bgtg − Bgtg . 4 5 239 π-dag al twee keer gebroken is? In 2016 berekende van π. Dus 459 157 weet wel, die formule diegetallen: te bewijzen is met comPeter Trüb πe biljoen decimalen (u weet wel, die 22 formule die te(Je bewijzen is met complexe inderdaad, omdat 718 361 cijfers. De computer begon de berekening op plexe getallen: inderdaad, omdat 29 juli en was ermee klaar op 11 november 2016. (5 + i)4 · (239 − i) = 22 134 (1 + i),

1

Figuur 1

22

ormule van Machin gebruikt: 1 1 π . = 4 · Bgtg − Bgtg 239 5 4

ormule die te bewijzen is met complexe getallen: inderdaad, omdat (5 + i)4 · (239 − i) = 22 134 (1 + i), volgt dit onmiddellijk uit de goniometrische schrijfwijze 1 getal, en de formule van De Moivre). van een complex Op π-dag 2019 werd bekendgemaakt dat Emma Haruka Iwao, Developer Advocate bij Google, in de cloud 31 415 926 535 897 (dus 31,4 biljoen) decimalen van π had berekend. Rekentijd: 121 dagen. Op 29 januari 2020 werd een punt gezet achter de berekening (en de controle) van de eerste 50 biljoen decimalen van π door Timothy Mullican. Het rekenen nam 303 dagen in beslag. Voor beide records werd de volgende formule van de gebroeders Chudnovsky gebruikt:

Deze twee formules, die ogenschijnlijk niet veel met elkaar gemeen hebben, kunnen toch bewezen worden op dezelfde manier. We doen dit hier à la Euler, dat wil zeggen: zonder ons al te druk te maken in convergentie en dergelijke. We maken hiervoor uitsluitend gebruik van een formule die vaak voorkomt op een integraalformularium: (1)

en van een formule die hieruit is afgeleid door herhaald gebruik van (1):

Deze laatste formule bewijzen is heel wat moeilijker, we wagen er ons dan ook niet aan. In plaats daarvan geven we hier het bewijs van 2 andere prachtige formules gerelateerd aan π, met name de productformule van John Wallis (van rond 1650):

(2)

Merk op dat de eerste formule ook werkt van rechts naar links, en dan wordt ze:

(Erg nuttig! Dit is de waarschijnlijk de kortste manier om te berekenen: neem de moeilijke integraal ) , maar ook met We kunnen starten met en doen beide, waarbij we (1) telkens opnieuw gebruiken:

en de formule die bekend is van het Bazelprobleem. Dit probleem dateert van 1644 (Pietro Mengoli) en werd opgelost door Leonhard Euler in 1735, toen hij bewees dat

23

of nog, na vermenigvuldiging van beide leden van de tweede met sin :

Dan integreren we tussen

en

wat erg vlot gaat door de aanwezigheid van de factor

Tot slot integreren we beide leden tussen

en

, en we gebruiken daarbij de volgende speciale gevallen (2):

Dit geeft dan:

Indien we de eerste delen door , dan vinden we de Bazel-formule:

De tweede delen we door

in elke term:

en herschikken we wat:

24

Merk op dat dit niet het product van Wallis is, maar wel een som. Maar bijna op magische wijze valt deze som als een kaartenhuisje (maar op een ordelijke manier) in elkaar:

en dit is wel degelijk de productformule van Wallis. En wees gerust, we kunnen bovenstaande allemaal ook wiskundig hard maken. Omdat π-dag niet bedoeld is als een ernstige feestdag, nog dit: wist je al dat ...

oplosbaar is met origami? Hieronder zie je een oplossing voor (1) (met dank aan Dmcq voor de figuur).

• … in het beruchte proces van O.J. Simpson de geloofwaardigheid van de FBI-getuige special agent Roger Martz (een scheikundige van de FBI Forensic Science Research Unit, in Quantico) in twijfel werd getrokken omdat hij niet in staat was om de waarde van het getal π te geven? • … indien je op de meest gebruikte rekentoestellen (0.5)! intikt, dat je dan een getal krijgt dat met π te maken heeft? Welke waarde krijg je dan? • … M38 een grote sterrenhoop is in het sterrenbeeld Auriga (Voerman) waar je in de constellatie van de helderste sterren de Griekse letter π zal herkennen? En dat Robert Matthews in 1995 de positie van de sterren aan de hemel heeft gebruikt om een benadering van π te vinden (titel van de publicatie: Pi in the sky)? • … van de drie Delische problemen uit de oudheid (enkel met passer en liniaal (1) een hoek in drie gelijke delen verdelen, (2) een ‘kubus verdubbelen’ d.w.z. construeren en (3) het getal π construeren) enkel (3), ook wel de kwadratuur van de cirkel genoemd, niet

• … men het getal π (of toch een benadering ervan) kan terugvinden in het alfabet? Schrijf het volledige alfabet op, in hoofdletters, maar begin bij de letter H (en eindigen doe je dus bij G). HIJKLMNOPQRSTUVWXYZABCDEFG Schrap dan alle letters die een verticale symmetrieas hebben. JKL N PQRS Z BCDEFG Tel dan het aantal letters in elk groepje dat overblijft.

25

• … er ook totaal oninteressante weetjes bestaan over het getal π (zoals het vorige)?

• … er varianten bestaan van wat wellicht de beroemdste formule is voor het getal π, namelijk

• … weerman Armand Pien dit jaar precies 100 jaar geleden geboren werd, en dat hij de BV is die het meeste gedaan heeft voor de bekendheid van het getal Pi? Als we stripfiguren bij BV’s mogen rekenen, dan zou het Piet Pienter zijn.

de formule van MadhavaGregoryLeibniz (Leibniz: rond 1670):

Die varianten vinden we zo:

Een beetje uitleg: het begint tegen de linkse kantlijn. Als je die getallen bij elkaar optelt, dan krijg je volgens Leibniz als som . Schuif dan één isgelijkteken naar rechts, waar we die getallen hebben herschreven met behulp van de identiteit:

Als we in die kolom de getallen die onder elkaar staan optellen, dan vallen er termen weg (zie doorhalingen). Wat er overblijft, zie je een kolom verder naar rechts. Dan herschrijven we de tweede factor van die getallen met behulp van de identiteit:

en bij optellen vallen er weer getallen weg. Wat overblijft, staat rechts. We vinden dus de volgende nieuwe reeks:

Als we op een gelijkaardige manier nog een stap zetten, dan vinden we deze nieuwe reeks:

en dat gaat zo voort.

26

Na dit zwaardere rekenwerk, dat overigens allemaal wiskundig legaal is, tot slot nog dit: wist je dat...

En ken je dit π-gedicht al? Het is van de hand van Amanda Gefter. (Een woord met 10 letters staat voor het cijfer 0.)

• … de eerste 127 decimalen van π gememoriseerd kunnen worden met behulp van het volgende gedicht (waarvan de auteur onbekend is)? (Vakoverschrijdend?)

• … in de 19de eeuw werd bewezen dat de kwadratuur van de cirkel (zie vroeger) onmogelijk is, maar er vóór die tijd heel wat grote koppen waren die het toch probeerden? Onder hen Leonardo Da Vinci, die in de kantlijn van een van zijn notaboeken schrijft dat hij klaar is met het probleem: “In de nacht van Sint-Andreasdag maakte ik een einde aan de kwadratuur van de cirkel.” Waarschijnlijk was dit in het jaar 1504. Hieronder zie je een detail (na wat draaien en spiegelen).

27

• … er in 2013 een roman is verschenen die in het teken staat van het getal π? Dit is de korte inhoud op de website van de uitgever:

Joachim, een student van de École Normale Supérieure Ulm, is de favoriet van Elsa Maarek, een filosofiedocente met een passie voor de Oudheid. De twee worden ingeschakeld om een reeks gruwelijke moorden op het onderwijzend personeel in de straten van Parijs te onderzoeken. De misdaden dragen het teken van het getal Pi en beantwoorden aan een ritueel dat bekend is bij Elsa, die haar scriptie schreef over de offers van de Eleusis religie. Bovendien verkoopt de vrouw van de eerste overledene een kostbare codex die is geïdentificeerd als een palimpsest. Er wordt beweerd dat het manuscript een geschrift is van Archimedes waarin hij de oplossing van Pi geeft, dat wil zeggen de oplossing van het mysterie van de schepping van de wereld...

• … er limericks zijn over π?

There once was a girl who loved pi I never could quite fathom why To her it’s a wonder To me just anumber Its beauty revealed by and by (Tom Wilson)

• …Picasso, ondanks zijn naam, geen schilderij heeft gemaakt van het getal π (links?), maar dat er wel andere kunstenaars geïnspireerd zijn door π (rechts Squared Circle (1968), Crockett Johnson)? (zie afbeeldingen onderaan) • …dat de erg populaire Mathologer (pseudoniem voor Burkard Polster) recent een youtube-filmpje postte waarin al de bekendste formules voor het getal pi (noot voor de corrector: als griekse letter) worden afgeleid. Je vindt het hier: https://www.youtube.com/ watch?v=WL_Yzbo1ha4 (2020 - zie ook jaarlijks op http://www.eoswetenschap.eu/wiskunde-sexy/)

28

CRYPTOGRAFIE: VAN BROWSER TOT EID F R E D E R I K V E R C AU T E R E N

I S P R O F E S S O R I N D E O N D E R Z O E K S G R O E P C O S I C (C O M P U T E R S E C U R I T Y A N D I N D U S T R I A L C RY P T O G R A P H Y )

VA N H E T D E PA R T E M E N T E S AT A A N D E K U L E U V E N . H I J D O E T O N D E R Z O E K N A A R T O E PA S S I N G E N VA N G E TA LT H E O R I E E N A L G E B R A I S C H E M E E T K U N D E I N P U B L I E K E S L E U T E L C RY P T O G R A F I E . F R E D E R I K .V E R C AU T E R E N @ E S AT. K U L E U V E N . B E

Cryptografie (afgeleid van het griekse kryptòs “verborgen” en graphein “schrijven”) is de wetenschap die zich bezighoudt met het beveiligen van informatie en communicatie. Het meest bekende voorbeeld van cryptografie is ongetwijfeld encryptie, waarbij een klaartekst onleesbaar wordt gemaakt door deze om te zetten in een cijfertekst. De invoer van het encryptie-algoritme is niet enkel de klaartekst maar ook een (encryptie)sleutel. Het omgekeerde proces waarbij een cijfertekst wordt omgezet in een klaartekst heet decryptie; en het decryptie-algoritme neemt als invoer een cijfertekst en een (decryptie)sleutel. De beschrijving van de algoritmes zelf is in moderne cryptografie nooit geheim, enkel de sleutel(s). Dit is het zogeheten principe van Kerckhoffs, een Nederlandse cryptograaf die dit principe al in 1883 formuleerde. Encryptie is maar een zeer klein onderdeel van de moderne cryptografie, waar behalve geheimhouding, ook andere toepassingen bestudeerd worden, zoals data-integriteit, authenticiteit van zowel gebruikers als data en onweerlegbaarheid, bv. door gebruik te maken van digitale handtekeningen.

Cryptografie heeft een zeer lange en boeiende geschiedenis, zie bv. “The Codebreakers – The Story of Secret Writing” van David Kahn (2) of “The Code Book: The Science of Secrecy from Ancient Egypt to Quantum Cryptography” van Simon Singh (4). Vóór 1976 bestonden er enkel symmetrische sleutelalgoritmen: hierbij is de encryptiesleutel gelijk aan de decryptiesleutel en deze ene sleutel moet gekend zijn (en geheim gehouden worden) door zowel de afzender als ontvanger van het bericht. Het meest gebruikte symmetrische sleutel encryptiesysteem is ongetwijfeld AES (Advanced Encryption Standard). AES heette oorspronkelijk Rijndael en werd in 1998 ontworpen door twee Belgische cryptografen, Joan Daemen en Vincent Rijmen, beide toen verbonden aan de onderzoeksgroep Cosic van KU Leuven. AES wordt werkelijk overal gebruikt zoals voor internetbankieren en online winkelen, beveiliging van wifi, versleutelen van bestanden … Het grote probleem van symmetrische cryptografie is sleutelovereenkomst: hoe kunnen de afzender en ontvanger de geheime sleutel met elkaar overeenkomen, zonder dat een derde partij (een aanvaller) deze

sleutel ook te weten kan komen. Dit probleem werd zeer elegant opgelost in 1976 door Diffie en Hellman door de uitvinding van publieke sleutel cryptografie (1) Dit algoritme is nu gekend als Diffie-Hellman sleutelovereenkomst en vormt nog steeds de basis van beveiligde communicatie over het internet; het zit bv. ingebakken in alle browsers (zie verder). In publieke sleutel cryptografie heeft elke gebruiker een sleutelpaar, bestaande uit een publieke sleutel voor encryptie en een private sleutel voor decryptie. Dit systeem kan best geïllustreerd worden aan de hand van de normale brievenpost: iedereen die het adres van de ontvanger weet (de publieke sleutel) kan deze een brief sturen, maar enkel de eigenaar van de sleutel van de postbus (de private sleutel), kan de brieven uit de postbus halen. (zie figuur 1) SLEUTELOVEREENKOMST Diffie en Hellman maken gebruik van elementaire algebra om commuterende éénwegsfuncties te construeren, waaruit hun algoritme voor sleutelovereenkomst volgt. Een éénwegsfunctie is een functie die makkelijk te evalueren is, maar moeilijk te inverteren, i.e. gegeven is het heel moeilijk om

29

een probleem: hoe weet Bob dat het bericht A dat hij ontvangt wel degelijk van Alice afkomstig is? Dit probleem kan opgelost worden aan de hand van een digitale handtekening (zie verder), die de authenticiteit van het bericht van Alice garandeert. In de praktijk gebruikt men dus altijd een combinatie van Diffie-Hellman en een digitaal handtekeningschema.

, die zowel door Alice als Bob kan berekend worden. In deze laatste stap wordt gebruikgemaakt van het feit dat de éénwegsfuncties commuteren. De gemeenschappelijke sleutel , kan dan gebruikt worden in combinatie met AES om alle verdere communicatie tussen Alice en Bob te beveiligen.

Alhoewel de multiplicatieve groep van een eindig veld nog steeds vaak gebruikt wordt voor sleutelovereenkomst, zien we recent een duidelijke verschuiving naar het gebruik van een ander type groep, nl. de groep van punten op een elliptische kromme over een eindig veld. Uit de beschrijving van het Diffie-Hellman protocol kan men inderdaad makkelijk zien dat elke eindige commutatieve groep waarin het discreet logaritme probleem moeilijk is, kan gebruikt worden.

Het Diffie-Hellman protocol zoals beschreven in Figuur 1 heeft echter

Een elliptische kromme bestaat van uit alle oplossingen

Figuur 1 Diffie-Hellman sleutelovereenkomst

te berekenen. De éénwegsfunctie die Diffie en Hellman gebruiken is machtsverheffing in een eindig veld 1 : gegeven een groot priemgetal p (in ) de huidige systemen is en een vaste generator van (een deelgroep van) de multiplicatieve , is de groep van het eindig veld functie gegeven door . Het inverteren van deze functie f is gekend als het discreet logaritme probleem (DLP). Figuur 1 geeft een gedetailleerde beschrijving van de resulterende Diffie-Hellman sleutelovereenkomst tussen twee partijen Alice en Bob. Elk van hen kiest een geheime exponent en berekent de éénwegsfunctie en resulterend in respectievelijk. Het is het private-publieke paar dat sleutelpaar van Alice en van Bob. De publieke sleutels worden uitgewisseld over een onbeveiligd kanaal. De gemeenschappelijke geheime sleutel is dan gegeven door

Figuur 2 Elliptische kromme 1

zie “Wat is een (eindig) veld?”

en de groepsbewerking

30

een vergelijking van de vorm waarbij constanten zijn in een bepaald veld. Figuur 2 (links) toont de kromme over het veld van de reële getallen .

uiteindelijk de raaklijn aan de kromme in het punt . Die raaklijn snijdt de kromme in een derde punt en dat , tenzij de is dan het punt raaklijn verticaal zou zijn, maar dan is

Verrassend genoeg kan men de verzameling van de punten op een elliptische kromme de structuur van een commutatieve groep geven! Hiervoor is er wel 1 extra punt nodig, dat we met 0 noteren en “het punt op oneindig” noemen. En natuurlijk is er een bewerking nodig. Vaak wordt die als een “optelling” (of som) ( ) genoteerd. Per definitie stellen we de som van de 3 snijpunten van een rechte met de kromme gelijk aan het neutraal element (“0”) van de groep. Hieruit volgt direct de constructie van de groepswet (" ") zoals beschreven in Figuur 2 (rechts), nl. startende van twee punten en , trekken we de rechte door en , die de kromme in een derde punt zal snijden. Na spiegeling ten opzichte van de x -as verkrijgen we dan het punt dat we de som van de punten en . Het noemen; we noteren derde snijpunt van de rechte door en met de kromme noteren we als . De rechte door de punten en is een verticale rechte en snijdt de elliptische kromme niet zichtbaar in een derde punt, maar dat zien we als “het punt op oneindig” zodat . Het neutraal element kan men zich dus inbeelden als het punt dat oneindig ver op de y-as ligt.

Als we een punt een aantal keer (bv. keer) bij zichzelf optellen bekomen we een ander punt . Deze operatie heet scalaire vermenigvuldiging en is het analogon van machtsverheffiing voor eindige velden. Het berekenen van de scalar gegeven de punten en . wordt dan ook het elliptische kromme discreet logaritme probleem (ECDLP) genoemd.

Hoe tel je dan een punt bij zichzelf op? Door de limiet te nemen voor wordt de rechte door en

In cryptografie werkt men niet met elliptische krommen over het veld maar met elliptische krommen over . De groep van de een eindig veld punten op de elliptische kromme is dan ook eindig en elk element kan efficiënt en exact voorgesteld worden . als een koppel elementen uit In Figuur 3 is de elliptische kromme weergegeven . In dit geval over het eindig veld bestaat de kromme, die we noteren , uit een eindige verzameals ling punten; de formules voor de groepswet, afgeleid voor het reële geval, blijven echter onverkort gelden omdat deze breuken van over veeltermen zijn. (zie figuur 3) Het grote voordeel van elliptische krommen is dat het ECDLP op een veel moeilijker is kromme ; zo zal bv. het dan het DLP in met p een 256-bit ECDLP voor priemgetal ongeveer even moeilijk met q een zijn als het DLP in

Figuur 3 Elliptische kromme over

3072-bit priemgetal. Dit verschil in grootte heeft ook een impact op de efficiëntie: voor de gegeven paramebijna ters zal de groepswet in tien keer sneller te berekenen zijn dan . die in DIGITALE HANDTEKENING Een digitaal handtekeningschema wordt gebruikt om de authenticiteit en integriteit van een digitaal document te garanderen, en omvat twee algoritmes: het digitaal (onder) tekenen van een document en het verifiëren van de digitale handtekening. Zoals in Figuur 4 aangegeven, is het onderteken-algoritme een functie van het document dat getekend moet worden en de private sleutel van de ondertekenaar (in dit geval Alice). In praktijk wordt niet het document zelf getekend (wegens te groot), maar wel de zgn. hashwaarde van het document, een soort vingerafdruk van het document van beperkte lengte bv. 256 bits. Iedereen die in het bezit is van de publieke sleutel van Alice, is in staat om de digitale handtekening te

31

verifiëren. Een geldige digitale handtekening garandeert de volgende eigenschappen: • de handtekening kan enkel gezet worden door de eigenaar van de private sleutel; • het document dat getekend werd, werd niet aangepast; • de persoon die de digitale handtekening gezet heeft kan niet ontkennen dat hij dat gedaan heeft, wat ervoor zorgt dat een digitale handtekening bindend is. Net zoals bij sleutelovereenkomst is er een subtiel probleem: bij verificatie van een handtekening moet men 100% zeker weten dat de publieke sleutel echt die van Alice is. In praktijk wordt dit probleem opgelost aan de hand van certificaten en een publieke sleutel infrastructuur. Een certificaat is een document waarin de identiteit van een bepaalde partij (bv. Alice) gekoppeld wordt aan de publieke sleutel van die partij. Dit document wordt op zijn beurt digitaal ondertekend door een zogeheten CA (certificaat authoriteit), een bedrijf dat effectief verifieert dat de identiteit en publieke sleutel bij elkaar horen. Een vaak gebruikt digitaal handtekeningschema is RSA, ontworpen in 1977 door Ron Rivest, Adi Shamir and Leonard Adleman (3). RSA maakt gebruik van het feit dat het makkelijk is om twee grote priemgetallen en met elkaar te vermenigvuldigen, maar gegeven het product het zeer moeilijk is om de priemfactorisatie te berekenen. Een publieke sleutel in RSA bestaat uit een product van twee grote priemgetallen

Figuur 4 Zetten en verifiëren van een digitale handtekening

en een encryptie-exponent e die onderling ondeelbaar gekozen wordt met . De private sleutel bestaat uit de decryptie-exponent . Om een document m te ondertekenen, zal Alice eerst de hashwaarde berekenen en dan de . digitale handtekening Iedereen die de publieke sleutel van Alice weet, kan dan de handtekening verifiëren door eerst te berekenen en deze waarde te vergelijken met de . Indien beide hashwaarde gelijk zijn, is de digitale handtekening een geldige handtekening. In de praktijk gebruikt men tegenwoordig priemgetallen van 1024 bits en dus . Een ander vaak gebruikt digitaal handtekeningschema maakt opnieuw gebruik van elliptische krommen over eindige velden en heet ECDSA: Elliptic Curve Digital Signature Algorithm.

Ook hier zijn de sleutelgroottes voor ECDSA veel kleiner dan voor RSA, bv. net als voordien komt 256-bits ECDSA ongeveer overeen met 3072-bit RSA. TOEPASSINGEN Iedere dag gebruikt iedereen, vaak zonder het te weten, cryptografie bv. om een beveiligde verbinding, een zogeheten HTTPS-verbinding, op te zetten met een webserver over het internet. Achter de schermen wordt de communicatie geëncrypteerd met het TLS-protocol (Transport Layer Security). Om een concreet voorbeeld te geven doorlopen we de verschillende stappen wanneer een klant naar https://www.coolblue.be/ surft. Nadat de verbinding met de webserver van Cooblue tot stand komt, start de server een Diffie-Hellman sleutelovereenkomst (gebruikmakende van eindige velden of elliptische krommen), en waarbij de input van de server (de A in Figuur 1) digitaal getekend wordt (met RSA of met ECDSA). De server stuurt dan de

32

Figuur 5 Beveiligde verbinding met Coolblue

volgende data door naar de browser van de klant: de Diffie-Hellman data, de handtekening op deze data en een certificaat dat de publieke sleutel van de server bevat. Bij ontvangst verifieert de browser van de klant het certificaat en de handtekening en genereert zelf input (de in Figuur 1) voor het Diffie-Hellman protocol, die naar de server wordt gestuurd. Op het einde van het Diffie-Hellman protocol wordt de gemeenschappelijke geheime sleutel K berekend die dan gebruikt wordt om alle verdere communicatie tussen de browser en de server te encrypteren met AES. Figuur 5 bevat een screenshot die de details van zo'n verbinding weergeeft als men surft met Mozilla Firefox. Indien men klikt op het hangslot naast de link ziet men dat de verbinding beveiligd is, en na klikken op > naast secure connection ziet men alle details van de verbinding. Deze verbinding is dus beveiligd met TLS en maakt gebruik van Elliptic Curve

Diffie-Hellman (ECDH) waarbij de input van de server digitaal ondertekend wordt met RSA, en waarbij nadien alle communicatie geëncrypteerd wordt met AES met sleutellengte 128 bits (dit is enkel de sleutellengte voor AES, niet voor ECDH noch RSA).

Figuur 6 Certificaat Coolblue

Het is ook mogelijk om de details van het certificaat van de webserver van Coolblue te bekijken, zoals weergegeven in Figuur 6. Daaruit blijkt dat Coolblue een RSA publieke gebruikt van 2048 bits en sleutel dat de encryptie-exponent gelijk is . Bovendien is aan dit certificaat digitaal getekend door de CA van Amazon, wiens publieke sleutel opnieuw in een certificaat zit. Dit is op zijn beurt getekend door de Amazon Root CA 1, wat een certificaat is dat standaard in Mozilla Firefox zit ingebouwd. Om de authenticiteit van een publieke sleutel te verifiëren is het dus nodig om de ganse keten van certificaten te verifiëren tot men uitkomt bij het ingebouwde certificaat. Een tweede veel gebruikte toepassing zijn de Belgische elektronische identiteitskaarten (eID). De eID bevat naast de gebruikelijke data zoals naam en voornaam, geboorteplaats

33

en -datum etc., een cryptografische chip die twee types sleutelparen bevat: een sleutelpaar voor authenticatie, dat bv. gebruikt wordt om in te loggen op een bepaalde website, en een sleutelpaar om digitale handtekeningen te zetten. Een digitale handtekening die gezet wordt met een eID is wettelijk gezien equivalent aan een handgeschreven handtekening en kan dus bv. gebruikt worden om een contract (of de belastingsaangifte) te ondertekenen. Beide sleutelparen zijn op de huidige eID's, RSA-sleutels die 2048 bits lang zijn en een levensduur hebben van 10 jaar. De sleutels worden bij initialisatie van de eID door de cryptografische chip zelf gegenereerd, en de private sleutels verlaten nooit het beveiligde geheugen van de chip. Met een eID-kaartlezer en de eID-viewer is het bovendien makkelijk om deze sleutelparen te bekijken. Vanaf 2021 zal er overgeschakeld worden op het ECDSA handtekeningschema, omwille van de eerder genoemde voordelen, nl. kortere sleutels en meer efficiënte algoritmen.

REFERENTIES 1

Diffie, Whitfield and Hellman, Martin New Directions in Cryptography, IEEE Transactions on In- formation Theory, 22 (6), pp. 644-654, 1976 2 Kahn, David The Codebreakers The Story of Secret Writing, 1967 3 Rivest, Ron and Shamir, Adi and Adleman, Leonard A Method for Obtaining Digital Signatures and Public-Key Cryptosystems, Communications of the ACM. 21 (2), pp. 120-126, 1978 4 Singh, Simon The Code Book: The Science of Secrecy from Ancient Egypt to Quantum Cryptography, Bantam Doubleday Dell Publishing Group Inc., 1999

WAT IS EEN (EINDIG) VELD? Onder een veld (Engels: Field) verstaan we in de algebra een verzameling uitgerust met twee bewerkingen: een som (“ ”) en een product (“ ”). Elke bewerking zorgt voor een voldoend goede structuur, met name de structuur van een groep. Voor de som is dat de ). Er is commutatieve groep ( een neutraal element (“0”) en elk element heeft een tegengesteld element. Voor het product is dat de . commutatieve groep ( Deze groep wordt ook wel genoteerd om te wijzen op het multiplicatieve aspect. Hier is het neutraal element “1”, en elk nietnul element van heeft een multiplicatief invers. Voorts zijn er de gewone distributiviteiten die rekenen met producten van sommen in goede banen leiden. De meest bekende voorbeelden van velden zijn het veld van de ), maar ook reële getallen ( ) en de rationale getallen ( ) zijn de complexe getallen ( velden. Minder gewoon, maar even praktisch is de verzameling van de gehele getallen modulo een priem . De elementen in die verzame, ling noteren we met 0, 1, 2, … en we hanteren de afspraak dat , … Het is rekenen als op een klok, met uren.

Zo kun je verifiëren dat ( ) , ook een veld vormt. Als bv. dat en dan geldt in dat ook . Typisch wordt geschreven dat . Het past dus en om te schrijven dat in dit veld . Er zijn oneindig veel priemgetallen, en dus oneindig veel eindige velden. Meer zelfs, bij elk priemgetal zijn er oneindig veel eindige velden waarin = 0. Een structuureigenschap van eindige velden zorgt ervoor dat ze erg makkelijk in een computer kunnen voorgesteld worden, onafgezien van hun aantal elementen. , met Let wel: ook in kan men rekenen. Deze verzameling vormt ook een optelgroep. Als niet priem is, is er echter geen multiplicatieve dat groep. Zo geldt bv. in . Algebra wordt zoveel leuker als je eens een vraagstukje mag oplossen voor de elementen van een eindig veld!

Paul Igodt

34 UITWISKELING

HET DRAAIEND STOKJE MICHEL ROELENS

R E DAC T I E U I T W I S K E L I N G

Ben je het filmpje ‘Straight pole, curved hole’ ook tegengekomen? Een stokje draait rond een as en passeert bij elke omwenteling door een gleuf (figuur 1). In onze lessen ruimtemeetkunde van de derde graad lijkt het vaak alsof de ruimte enkel bewoond wordt door punten, rechten, vlakken en bollen. Het lijkt me een goed idee om ook – heel eventjes maar – een ander oppervlak te bespreken. Een bijzonder boeiend oppervlak is de (een– bladige) hyperboloïde. Dit filmpje, of het hebbeding zelf, is een prima vertrekpunt om het over die koeltorenvormige figuur te hebben. Je kunt het speelgoedje maken met een 3D-printer (zie Myminifactory) of bestellen bij iemand die het ge-3D-print heeft (Devinmontes). Ik beperk mij tot het filmpje. Met de lesactiviteit hieronder laat ik zien hoe de hyperboloïde naar aanleiding van het filmpje in de klas kan worden besproken. Je kunt hierbij een GeoGebrafiguur of bordtekening maken die geleidelijk aan meegroeit met de

DE VORM VAN DE GLEUF Het stokje draait rond een verticale as. Het stokje is kruisend met de as, en schuin (niet loodrecht kruisend). De wentelas is een rand van een vlak schermpje waar een gleuf in uitgesneden is. In de opdrachten hieronder ga je uitzoeken welke vorm de gleuf precies moet hebben zodat de stok er bij het voorbijdraaien juist in past. In het filmpje zijn het stokje en de gleuf nogal breed; in het wiskundig model werken we met een lijnstuk en een flinterdunne kromme gleuf. We kiezen een assenstelsel zodat de wentelas samenvalt met de -as en het scherm een deel is van het -vlak.

stappen van de afleiding. We gaan ervan uit dat de leerlingen vertrouwd zijn met ruimtemeetkunde (vergelijkingen van rechten en vlakken) en met de as-vergelijking van een hyperbool. Een aanpak gebaseerd op goniometrie vind je in van Hoven e.a. (2017).

Figuur 1 Beeld uit het filmpje Straight pole, curved hole

35

De gleuf is symmetrisch ten opzichte van een vlak op halve hoogte; daarom plaatsen we de oorsprong op halve hoogte. Verder gaan we ervan uit dat de hoogte van het speelgoedje gelijk is aan 2 (zodat we op de -as van -1 tot 1 gaan). Om te beginnen draaien we het stokje naar frontale stand, aan de voorkant van de wentelas (zie foto en GeoGebrafiguur).

4. Noem het punt van het scherm waar het punt P terechtkomt wanneer het door het scherm passeert. Wat zijn de coördinaten van ?

Het scherm is (een stuk van) het halfvlak ┤ . Het punt van de cirkelvormige baan dat in dit halfvlak ligt, . is 5. Als we laten variëren, dan beschrijft een kromme op het scherm. Geef parametervergelijkingen van deze kromme. 1. Als het bovenste punt van het stokje in deze stand heeft, wat zijn dan de coördicoördinaten naten van het onderste punt en die van het midden van het stokje?

2. Neem een willekeurig punt van het stokje, op . Het stokje is nog steeds in hoogte dezelfde frontale stand. Wat zijn de coördinaten van ? 3. Als de stok ronddraait, welke baan volgt het punt dan? (Geef een concreet antwoord: niet enkel de vorm van de baan maar ook de afmetingen.)

6. Geef cartesiaanse vergelijkingen van deze kromme. Hiervoor moet de parameter geëlimineerd worden. ┤ Dit geeft:

7. Bewijs dat deze kromme een hyperbooltak is.

We werken vanaf nu in het vlak de vergelijkingen te vermelden:

zonder dit nog in

┤ Een cirkelvormige baan in het horizontaal vlak . Het middelpunt van de cirkel is en de straal . is

36

Dit is een hyperbooltak in het

-vlak.

8. Wat is het verband tussen deze kromme en de gleuf? De gleuf moet de vorm hebben van het stuk van deze . En natuurlijk moet de hyperbooltak, voor gleuf een bepaalde ‘dikte’ hebben om de stok, die geen wiskundig lijnstuk is, door te laten. 9. Als de rechte waar het stokje een stuk van is bij het wentelen een ‘spoor’ zou nalaten in de ruimte, dan ontstaat een oppervlak dat ‘eenbladige hyperboloïde’ heet. Verklaar de naam.

Hyperboloïde omdat de doorsnede met het -vlak, en evengoed met elk ander vlak door de wentelas, een hyperbool is. Of nog: omdat dit het omwentelingslichaam is dat ontstaat wanneer je in plaats van de kruisende rechte deze hyperbool laat wentelen rond dezelfde wentelas. Eenbladig omdat je de hyperbool ook rond de -as zou kunnen laten wentelen en in dat geval een oppervlak uit twee stukken krijgt, een ‘tweebladige hyperboloïde’.

De volledige hyperboloïde stopt niet waar het wentelende stokje eindigt. Het omwentelingslichaam (het ‘spoor’ in de ruimte) van een rechte die wentelt rond een as vormt een (eenbladige) hyperboloïde wanneer de wentelende rechte de wentelas kruist maar niet loodrecht kruist. De naam hyperboloïde heeft te maken met de vorm van de gleuf in het filmpje: een hyperbool. Je kunt de hyperboloïde ook verkrijgen door deze hyperbool te wentelen rond de as. Het is maar een kleine stap om een vergelijking van de hyperboloïde te bepalen. Met de notaties van de vorige werktekst: op hoogte hebben we een cirkel met middelen straal . Dit levert punt meteen een parametervoorstelling van de hyperboloïde op:

. Door te elimineren, vinden we een cartesiaanse vergelijking van de hyperboloïde: . Een dergelijke vergelijking kun je niet zondermeer in GeoGebra ingeven, maar wel in het gratis programma Surfer, bekend van de Imaginary-tentoonstelling die in 2015-2016 en (die door Vlaanderen reisde. Voor de parameters ik gewoon als en heb ingetypt) maakt het programma heb je een dan schuifbalken aan. Merk op: als een kegel. Als beide parameters nul cilinder en als zijn, dan krijg je de wentelas. Als beide parameters niet nul zijn, heb je een hyperboloïde. Uiteraard wordt ook hier maar een begrensd stuk van de hyperboloïde getekend. Dat er eventueel nog meer over de hyperboloïde te vertellen valt, kun je (her)lezen in Roelens, 2002.

Figuur 2 Hyperboloïde met Surfer

37

BRONNEN Devinmontes. https://www.devinmontes.com/store/straightpole-curved-hole (Hier is het te koop voor 30 dollar). Kircher, M. (2017). Allow Us to Explain How This Straight Pole Fits Through a Curved Hole. NYMag. https://nymag.com/intelligencer/2017/01/straight-pole-curved-hole-optical-illusionexplanation.html (Eenvoudige uitleg hoe het kan dat een rechte door een krom gat passeert). Myminifactory. https://www.myminifactory.com/object/3dprint-30750 (Bestanden om het voorwerp 3D te printen). Roelens, M. (2002). Wentelende lichamen en de hyperboloĂŻde. Uitwiskeling 19/1, 9-14.

Straight pole, curved hole. https://imgur.com/gkp04Gc (Het filmpje). Surfer. https://imaginary.org/program/surfer. van Hoven, M., Klok, M., Soto y Koelemeijer, G. (2017). Past precies. Euclides 93, 22-24. Dit artikel verscheen in Uitwiskeling 34/2. Benieuwd naar meer? Op www.uitwiskeling.be vind je alle info. Daar kun je ook de werkteksten uit het artikel downloaden.

38

BOEK RECENSIE A D H E M A R B U LT H E E L

- D E PA R T E M E N T C O M P U T E RW E T E N S C H A P P E N , K U L E U V E N

MATT PARKER DE EENZAAMHEID VAN Π. DE WISKUNDE DIE ONZE WERELD DRAAIENDE HOUDT. Uitgave: Nijgh & van Ditmar, 10 maart 2020. ISBN: 9789038808383 Matt Parker was een Australische wiskundeleraar, maar is nu een stand-upcomedian die in de UK woont en daar zijn roeping als

wiskunde- en wetenschapsmissionaris volgt. Hij is een veelgevraagde gast in televisieshows en is ook bekend door zijn video's op het het wiskundige Youtube Numberphile kanaal, en van zijn boek Things to make and do in the fourth dimension (2014). De ondertitel van dit nieuwe boek is "De wiskunde die onze wereld draaiende houdt" maar dat is eerder misleidend omdat het precies gaat over alles wat niet helemaal loopt zoals gepland omdat er "wiskundige" fouten zijn gemaakt bij het nemen van onderliggende beslissingen. Het zou grappig zijn ware het niet dat er soms dramatische gevolgen waren, zelfs met dodelijke afloop. Parker waarschuwt ons in zijn inleiding dat hij met opzet drie fouten heeft ingelast, die de lezer moet ontdekken. Op de omslag van het boek ziet men een vliegtuig met verkeerd bevestigde vleugels. Dit soort fout zal in de realiteit wel niet gebeuren, maar ongelukken met vliegtuigen komen helaas maar al te vaak voor en het is soms slechts een kleine programmeer- of constructiefout geweest die in de geschiedenis van de commerciële luchtvaart de dood van veel passagiers en bemanningsleden heeft veroorzaakt.

Dit boek bevat dus een overzicht van een aantal fouten met getallen of wiskundige fouten in berekeningen die in de loop der geschiedenis gemaakt zijn. Hiernaast komen ook softwarefouten voor in deze collectie. De "fouten tegen de wiskunde" moeten dus in bredere zin worden opgevat. Om een voorbeeld te geven: als gehele getallen in een computer worden weergegeven door één byte of 8 bits en dus hooguit 11111111 of 255 in decimale notatie kunnen zijn, zal er een overloopprobleem ontstaan wanneer 256 wordt bereikt, net zoals bij de gevreesde (maar verwachte) millenniumbug. Het 256-overloopprobleem is echter vaak over het hoofd gezien: vele fouten en zelfs rampen waren het gevolg van een telling die plotseling van de maximale 255 naar nul daalde. Dit zorgde ervoor dat Twitter, Minecraft en PacMan onderuitgingen bij het bereiken van niveau 256, maar het kan ook een medisch röntgeninstrument in een dodelijk wapen veranderen. Andere, bij benadering wiskundige fouten hebben bijvoorbeeld te maken met de ongewenste interpretatie die Excel geeft aan wat je typt: de nullen vooraan in telefoonnummers worden verwijderd wanneer ze als

39

een getal worden ingevoegd, als een hexadecimaal getal een E bevat, kan het worden geĂŻnterpreteerd als de wetenschappelijke notatie voor een decimaal getal, biologische informatie zoals namen voor enzymen zoals MARCH5 of SEP15 wordt omgezet in data, of strings van de vorm 6/11 worden delingen, enz. Het is ook duidelijk een slecht idee om Excelbladen met veel formules te gebruiken. Parker maakt een analyse van een grote set van Excelbladen die onderling verbonden zijn door een grote set van formules met onvermijdelijk een ontzaglijke hoeveelheid fouten. Nog een bron van fouten zijn kalenders. Kalenders zijn in de loop van de geschiedenis veranderd en dat is de reden waarom de Russische delegatie twee weken te laat kwam op de Olympische Spelen in 1908 omdat in Rusland de juliaanse kalender nog steeds in gebruik was terwijl de rest van de wereld was overgestapt op de gregoriaanse kalender. En dan hebben we natuurlijk de eenheden. De verschillende eenheden voor gewichten of volumes, en afstanden, leidden bijna tot de crash van een vliegtuig dat zonder brandstof viel midden in de lucht; een ander was veel te zwaar geladen en raakte amper nog op de bestemming (kg en lb zijn niet hetzelfde!). Maar er zijn natuurlijk ook de echte wiskundige problemen als ingenieurs tijdens de bouw van een brug of een gebouw niet de juiste berekeningen doen (of op het laatste moment wijzigingen aanbrengen en nalaten de berekeningen opnieuw te doen). De video van de Tacoma-brug is legendarisch, maar er zijn veel andere bruggen die stabiliteitsproblemen hadden,

zoals de wiebelige Millennium-brug in Londen. De Walkie-Talkie is een bijnaam voor een Londense wolkenkrabber met een parabolische glazen gevel die het zonlicht weerkaatste, dingen deed smelten en tapijten in brand stak die in het brandpunt van de parabool kwamen. Parker is ook de man achter een petitie die protesteert tegen de Britse verkeersborden die verwijzen naar voetbalstadions met het verkeerde voetballogo. De klassieke voetbal is een opgeblazen afgeknotte icosaĂŤder met 20 witte zeshoeken en 12 zwarte vijfhoeken. Het Britse logo bestond volledig uit zeshoeken. Afrondingen en statistische fouten veroorzaken regelmatig onrust op de financiĂŤle markten en worden misbruikt in de politiek. Niet-causale correlaties worden vaak als argument gebruikt door activisten of pressiegroepen. Het is niet allemaal strikt wiskundig, maar Parker blijft maar doorgaan. Een overvloed aan misverstanden en misinterpretaties, en voor een aaneenschakeling van toevalligheden leent Parker van James Reason het beeld van een Zwitserse kaas: er zitten gaten in elk niveau van veiligheidscontroles, zoals gaten in elk plakje kaas, maar de gaten moeten op een rijtje staan om de fout erdoorheen te laten glippen. Helaas gebeurt dat af en toe. Voor de nerds nog dit gadget: de pagina's van het boek zijn genummerd van 314 naar 1, en dalen verder voor het dankwoord en de lijst van illustraties via 0 en 4 294 967 295 (=232-1), een voorbeeld van onderloop bij een binaire aftelling. Merk op dat 314 verwijst naar een "bijna juiste" waarde voor honderd keer pi. In ieder

geval, als pi in de titel staat voor wiskunde, dan moeten ingenieurs, programmeurs en iedereen die wiskunde toepast als een nederig hulpmiddel in hun grote creatieve ontwerp zich bewust zijn van het belang van dit nederige hulpmiddel dat het leven kan redden van velen die niet zouden mogen sterven door een kleine misrekening zoals pi vervangen door 3.14. Al deze fouten en vergissingen, al dan niet met erge gevolgen, worden door Parker in het algemeen op een grappige manier verteld, ook al is het aantal doden dat in zijn verhalen valt niet echt grappig. De lijst van fouten en vergissingen in dit boek is lang, maar waarschijnlijk zijn er nog vele andere fouten gemaakt die nooit ontdekt zijn of die in de doofpot gestopt zijn tijdens of na een onderzoek, zodat we niet weten wat er echt is gebeurd. Nieuw ontdekte fouten zorgen voor nieuwe veiligheidsregels. Maar er zullen altijd nieuwe grenzen worden verkend, dat is nu eenmaal de aard van de mens, en missen is menselijk. We moeten gewoon leren om alert te zijn en de wiskunde goed te gebruiken. Lees het boek, je zal het leuk vinden! Wiskunde is nodig in het leven, maar niet om van dit boek te genieten.

40

KOFFIE VOOR WISKUNDE, WISKUNDE VOOR KOFFIE “EEN WISKUNDIGE IS EEN APPARAAT OM STELLINGEN TE MAKEN VAN KOFFIE.” DIE UITSPRAAK WORDT OVER HET ALGEMEEN TOEGESCHREVEN AAN PAUL ERDŐS, HOEWEL DE EER DE KOFFIEVERSLAAFDE HONGAARSE WISKUNDIGE ALFRÉD RÉNYI TOEKOMT. ER IS GESUGGEREERD DAT DEZE ZIN OORSPRONKELIJK IN HET DUITS WERD GEFORMULEERD, OMDAT DIT TOELAAT ER EEN EXTRA WOORDGRAPJE IN VAST TE STELLEN. HET DUITSE WOORD SATZ BETEKENT NAMELIJK ZOWEL “STELLING” ALS “KOFFIERESIDU”. TOCH IS HET WAARSCHIJNLIJKER DAT DE OORSPRONKELIJKE FORMULERING IN HET HONGAARS WAS. WAT ER OOK VAN ZIJ, KOFFIE IS BELANGRIJK VOOR WISKUNDIGEN. MISSCHIEN VERRASSENDER IS DAT WISKUNDIGEN OOK BELANGRIJK ZIJN VOOR KOFFIE. G IOVANNI SAM AEY, KU LEU VEN,

DEPARTEMENT COMP UT E RW E T E N S CH AP P E N , AF D E L I N G N UME RI E K E AN ALYS E E N TO EGE PAS T E W IS K U N DE

Koffie is een ongelofelijk complex drankje om te maken. Het hele proces vertrekt van de zaden (bonen) van de koffieplant. Die zaden worden gebrand en gemalen. Door het resulterende poeder wordt vervolgens een stroom heet water gestuurd, die de oplosbare inhoud aan het poeder onttrekt. Onopgeloste vaste stoffen worden gefilterd uit de opgeloste deeltjes en de resulterende vloeistof wordt het brouwsel dat een groot deel van de bevolking elke dag drinkt. Het eindproduct is samengesteld uit meer dan 1 800 chemische componenten en is met meer dan twee miljard kopjes per dag één van de meest geconsumeerde dranken ter wereld. Alsof dat nog niet genoeg is,

heeft ook iedereen zijn eigen mening over wat een kopje koffie perfect maakt. En ondanks de vele meningen van koffiesnobs en professionele koffiespecialisten blijft de definitie van de optimale koffiekop een subjectieve kwestie. Wat wel een objectieve realiteit is, is de fysica die elk van de stappen in het proces bepaalt. Om die fysica te begrijpen, kan wiskundige modellering zeker helpen. En wiskundigen vinden hun koffie duidelijk belangrijk genoeg om daar redelijk wat tijd in te stoppen. Er spelen veel factoren een rol: de oorsprong van de bonen, de manier van branden, de korrelgrootte van het poeder na malen, de tempe-

ratuur en druk van het water en het stromingsdebiet… Zelfs de hardheid van het gebruikte water blijkt een effect te hebben. Een recente studie1 bestudeert het effect van het branden op de samenstelling van de gebrande bonen. Tijdens het branden worden gedeeltelijk gedroogde (groene) koffiebonen eerst geel en vervolgens bruin. Het restvocht in de boon droogt op en er ontstaan cruciale aroma's en smaken. De chemische reacties die deze gewenste koffiekenmerken veroorzaken, zijn vaak gekoppeld aan de aanwezigheid (of afwezigheid) van water. Daarom kan inzicht in het vochtgehalte in een koffieboon op

1 https://sinews.siam.org/Details-Page/coffee-roasting-mathematical-modelling-and-asymptotic-analysis-2

41

een bepaald moment tijdens het branden ook inzicht geven in die smaken en aroma's die tijdens het branden zullen ontstaan. Tot voor kort modelleerden onderzoekers de koffieboon als een “bulk�-materiaal met een bepaalde vochtigheidsgraad, terwijl een koffieboon eigenlijk een poreus medium is, waar water en damp tegelijk in voorkomen. Met recent wiskundig onderzoek naar geavanceerde methoden voor computersimulatie wordt het nu mogelijk om effectief de inwendige structuur van de koffieboon in rekening te brengen tijdens het branden. Daarbij blijkt vooral de stijve cellulosestructuur van de koffieboon een groot effect te hebben op de branding. Een tweede aspect dat grondig bestudeerd wordt, is het brouwen zelf2. Volkswijsheid zegt dat koffie het best zo fijn mogelijk gemalen wordt. Een fijne maling zou namelijk meer oppervlakte blootstellen aan de brouwvloeistof, wat het makkelijker maakt om de gewenste stoffen op te lossen. Toen onderzoekers echter een wiskundig model ontwikkelden om het brouwproces te verklaren op basis van de factoren die een barista onder controle heeft - zoals de massa's water en droge koffie, de fijnheid of grofheid van de gemalen koffie, en de waterdruk - werd het duidelijk dat de relatie complexer is. Koffiepoeder bestaat uit miljoenen afzonderlijke korrels van verschillende vorm en grootte, die onregelmatig in een enkel filterbed vastzitten. Een model dat elk van die miljoenen korrels in rekening brengt, zou meer

rekenkracht nodig hebben dan bijvoorbeeld Google ter beschikking heeft. Daarom wordt de verdeling van korrelgroottes statistisch benaderd, en zelfs dat leidt nog tot zeer ingewikkelde berekeningen. Om het model verder te vereenvoudigen, maken onderzoekers vaak gebruik van nondimensionalisatie, een wiskundige techniek om de grootte van effecten in te schatten ten opzichte van fundamentele constanten die inherent zijn aan het probleem. Die techniek vermindert het aantal parameters, waardoor de onderzoekers de dominante termen van de vergelijkingen kunnen herkennen voordat ze actief op zoek gaan naar oplossingen. Dat wiskundige proces laat toe gemakkelijk typische trends te identificeren. Zo merkten de onderzoekers dat de oplossingssnelheid van koffie in het water in eerste instantie effectief bepaald wordt door het evenwicht

tussen de beschikbare oppervlakte van de koffiekorrels en de snelheid waarmee de koffie doorloopt. Dat stukje klopt met de volkswijsheid. Later in het proces wordt de extractie echter gedomineerd door een langzame verspreiding van de koffie uit de pitten van grotere korrels, die in het begin te verwaarlozen was. Ondanks al dit werk is het probleem verre van opgelost en onderzoekers blijven aan een gestaag tempo wetenschappelijke artikels publiceren over het zetten van de perfecte espresso. Hoezeer je lokale barista beweert dat het zetten van een perfecte espresso of latte macchiato een kunst is, uiteindelijk blijft het hele procedĂŠ gebonden aan de wetten van de fysica. Wetten die wiskundig gemodelleerd kunnen worden om ons inzicht te vergroten.

2 https://sinews.siam.org/Details-Page/the-mathematics-of-coffee-extraction-searching-for-the-ideal-brew

42 PYTHAGORAS

DE DAG VAN DE WEEK ST IJN D IERCK X,

FACULTEI T TOEGEPASTE I NGENI EURSWET E N S CH AP P E N , UAN T W E RP E N .

De dag van vandaag is het vrij eenvoudig om de weekdag van een bepaalde datum te vinden. Het volstaat namelijk om je smartphone uit je broekzak te nemen, je favoriete kalender-app te openen en die zal je in een oogwenk het juiste antwoord voorschotelen. Maar ook voor de tijd van de slimme telefoons of zelfs computers waren er elegante manieren om dit zelf uit te rekenen. Zo werden er honderden jaren geleden in verschillende steden over heel Europa astronomische klokken gemaakt, waarmee die berekening vaak kon gebeuren (onder andere, want er staat meestal nog veel meer informatie op deze klokken). In figuur 1, 2 en 3 zie je bijvoorbeeld details van het 15e-eeuwse Horologium mirabile Lundense, te vinden in de kathedraal van de Zuid-Zweedse stad Lund. Maar ook zonder retourticketje naar de dichtsbijzijnde stad met zo’n klok was het al een hele tijd mogelijk om de dag van de week uit het hoofd uit te rekenen bij een bepaalde datum. We bekijken de formule van Carl Friedrich Gauss en de doomsday rule van John Conway, maar keren eerst nog kort even terug naar de klok in Lund.

Figuur 2

Figuur 1

Figuur 3

DE KLOK IN LUND In figuur 1 zie je de legende van het midden van de klok waar informatie per jaartal gegeven wordt. Voor ons van belang is de buitenste ring met het jaartal zelf, en de ring ernaast met de Littera Dominicalis, de zogenaamde zondagsletter. Die letter duidt aan welke dagen van het jaar op een zondag vallen, waarbij 1 januari overeenkomt met de letter A, 2 januari met B, ..., 7 januari met G, 8 januari opnieuw met A, enzovoort. (Let op: 29 februari krijgt géén letter, aangezien die niet in elk jaar voorkomt.) In figuur 2 kan je aflezen dat 2019 een F-jaar is, waardoor we dus alvast weten dat de eerste zondag op 6 januari viel. Figuur 1

43

Voor een schrikkeljaar heb je twee letters nodig door het toevoegen van een extra dag in februari: de eerste letter duidt op de zondagen voor 29 februari, de tweede letter op de zondagen vanaf 1 maart. 2020 is volgens de klok een ED-jaar, en inderdaad, de eerste zondag is op 5 januari, maar vanaf maart zijn het de D-dagen die op zondag vallen, te beginnen met 1 maart. Figuur 3 geeft dan weer een detail van de informatie aan de buitenkant van de klok waar er per dag van het jaar van alles staat opgelijst, waarbij wij kijken naar de dag van de maand in de buitenste ring en de corresponderende letter (waarvan eerder al sprake) in de ring ernaast. Met behulp van die letter, in het geval van 13 augustus (de dag van mijn bezoek aan Lund) is dit de A, kunnen we dus de dag van de week bepalen, in combinatie met de zondagsletter van het jaar, de letter F in het geval van 2019. We weten al van de gouden letter dat die in dat geval de zondagen aanduidt, m.a.w. alle F-dagen vallen op zondag in een F-jaar. In figuur 3 kan je dan ook zien dat 11 augustus een zondag was. Bijgevolg was 12 augustus (G) een maandag en 13 augustus (A) een dinsdag. Het volstaat dus om door te tellen vanaf de dichtsbijzijnde zondag, maar in onderstaande samenvattende tabel kan je dit ook gemakkelijk aflezen: bovenaan staan de zondagsletters van het jaartal, links de letter van de datum waarvan je de dag wilt weten. A

B

C

D

E

F

G

A

zo

za

vr

do

wo

di

ma

B

ma

zo

za

vr

do

wo

di

C

di

ma

zo

za

vr

do

wo

D

wo

di

ma

zo

za

vr

do

E

do

wo

di

ma

zo

za

vr

F

vr

do

wo

di

ma

zo

za

G

za

vr

do

wo

di

ma

zo

Nogmaals met hetzelfde voorbeeldje als hierboven: 2019 is een F-jaar, dus we kijken in de kolom onder F. Aangezien 13 augustus een A-dag is, lezen we op de A-lijn af dat dit een dinsdag was. Ook voor schrikkeljaren kunnen we dit doen en gebruikmaken van deze tabel, al moeten we dan een beetje

opletten. Zoals eerder gezegd, bestaat de zondagsletter van een schrikkeljaar uit 2 letters, eentje die dient om te rekenen voor 29 februari, en eentje om te rekenen erna. 2020 is bijvoorbeeld een ED-jaar volgens de klok. We bekijken even hoe dit dan in z’n werk gaat: - 1 januari is per definitie een A-dag. Aangezien 1 januari voor 29 februari valt, gebruiken we de eerste letter van de zondagsletter, zijnde de E. Deze combinatie levert ons in bovenstaande tabel woensdag op, wat wil zeggen dat 1 januari 2020 op een woensdag valt. - 1 mei daarentegen is een B-dag (dat staat op de klok, al is dat niet zichtbaar op deze foto’s) en valt uiteraard na 29 februari. We zoeken dus in de kolom van de tweede zondagsletter, zijnde de D, op de B-rij, en vinden dat 1 mei 2020 een vrijdag moet zijn. - We haalden al aan dat 29 februari geen eigen letter krijgt (al is dat niet te zien op bovenstaande foto’s). Je kan uiteraard wel bovenstaande methode gebruiken om de dag van de week voor 28 februari (C) uit te rekenen in een schrikkeljaar aan de hand van de eerste zondagsletter en daaruit die van 29 februari afleiden. Of je rekent die voor 1 maart (D) uit met behulp van de tweede zondagsletter en leidt dan daar weer die van de dag ervoor af. Aan u de keuze, maar beide geven uiteraard hetzelfde resultaat. DE FORMULE VAN GAUSS Uiteraard is bovenstaande methode met behulp van een gigantische klok en een tabel niet heel efficiënt. Knappe wiskundige koppen hebben in de loop van de geschiedenis dan ook verschillende algoritmes ontwikkeld om de dag van de week te bepalen bij een gegeven datum. De meeste van deze algoritmes maken ook nog gebruik van een of andere tabel om getallen in op te zoeken, afhankelijk van het jaar of de datum die je zoekt. Maar er bestaan er ook volledig onafhankelijk van enig opzoekingswerk, die je dus (in principe) volledig uit het hoofd kan doen, zo ook de formule van Gauss. Die gaat als volgt:

waarbij - D is de dag van de datum die je wil uitrekenen (1 tot 31)

44

- M is de maand. Maar let op: we tellen hierbij zoals de Romeinen vanaf maart (dus maart = 1, april = 2, …, december = 10, januari = 11, februari = 12) - Y is het jaar, maar voor datums in januari of februari doe je dit nog min 1 is afronden naar boven - is de rest bij deling van a door b - Het resultaat w is dan een cijfer van 0 tot 6, wat staat voor de dagen van de week (0 is zondag, 1 is maandag, … , 6 is zaterdag). We proberen het te verduidelijken met een voorbeeldje, zijnde dezelfde datum als hierboven, 13 augustus 2019: 1. Met de definities van hierboven (denk eraan: M is het Romeinse maandgetal!): D = 13, M = 6 en Y = 2019 , want met 2. Hieruit volgt dat en rest 3. Analoog geldt dus ook dat . wat na afronden naar boven 16 wordt. 3. 4. De formule wordt dan . , wat na . een beetje rekenwerk uitkomt op 13 augustus 2019 was dus een dinsdag, zoals de kalender in Lund ook reeds aangaf. Of nog een tweede voorbeeldje met de sterftedatum van Gauss, zijnde 23 februari 1855: 1. D = 23, M = 12, Y = 1854 (want we moeten 1 van het jaartal aftrekken aangezien we een datum in februari willen uitrekenen) , en 2. Hieruit volgt dat . 3. 4. De totale formule: . Gauss stierf dus op een vrijdag. DE DOOMSDAY RULE Toegegeven, om deze formule vanbuiten te leren, laat staan dit helemaal uit het hoofd uit te rekenen, moet je toch al een klein rekenwonder zijn. Er zijn echter nog andere trucs om data uit het hoofd te bepalen. De bekendste is misschien wel de zogenaamde doomsday

rule, in 1973 ontwikkeld door de Britse wiskundige John Conway, vooral bekend van zijn Game of Life. Hij merkte op dat in eender welk jaar er bepaalde makkelijk te onthouden datums zijn die telkens op dezelfde dag vallen: 4/4, 6/6, 8/8, 10/10, 12/12 en de laatste dag van februari, maar ook 9/5 en 5/9 (te onthouden door een nine-to-five job) alsook 11/7 en 7/11 (bekend van een niet nader genoemde Japans-Amerikaanse winkelketen). Deze dag wordt dan de doomsday van het desbetreffende jaar genoemd. Voor 2019 is dit donderdag, voor 2020 een zaterdag. Vanaf de datum in kwestie kan je dus makkelijk vooruit of achteruit tellen naar de dichtsbijzijnde doomsday, om zo de dag van de week te berekenen. Tenminste, als je de doomsday van dat jaar kent. Ook daar zijn echter “simpele” algoritmes voor ontwikkeld, bijvoorbeeld:

waarbij - zijn de laatste twee cijfers van het jaartal is afronden naar beneden - is opnieuw de rest bij deling van a door b - - anchorday, oftewel de anker-dag van het jaartal, is specifiek voor elke periode van 100 jaar. Later meer hierover. Opnieuw een voorbeeldje om deze berekening te verduidelijken, nog steeds met 13/08/2019: gelijk aan 19. 1. In ons geval is 2. Deel dat cijfer door 4, en rond af naar beneden. We krijgen dan in ons voorbeeld 4. 3. Tel dit op bij het oorspronkelijke (tweecijferige) jaartal. De som van 4 en 19 is 23. 4. Neem de rest van deze som bij deling door 7. De rest van 23 gedeeld door 7 is 2. 5. Tel dit getal op bij de anker-dag van de eeuw waarin je datum zich bevindt. De anker-dag voor 2000-2099 is dinsdag. 2 dagen verder is dus donderdag, wat de doomsday is voor 2019. 6. We weten dat in augustus de achtste van de maand (8/8) op de doomsdag, donderdag dus, valt. 13 augustus is 5 dagen later, en is bijgevolg een dinsdag, wat we uiteraard al wisten. Het enige wat we dus nog moeten weten is de zoge-

45

naamde anker-dag van een eeuw (al is “eeuw” hier met een korrel zout te nemen, want voor deze berekeningen gaan eeuwen van 00 tot 99, wat niet overeenkomt met de traditionele definitie van een eeuw). Aangezien de gregoriaanse kalender zichzelf om de 400 jaar herhaalt, zullen ook de anker-dagen zich om de 400 jaar herhalen. Voor 2000-2099 zagen we al dat deze anker-dag een dinsdag is, en bijgevolg zal dat ook in de 16..-jaren geweest zijn. Dit tabelletje is dus voldoende om uit het hoofd te leren, om daarmee de doomsday van eender welk jaar uit te rekenen, en bijgevolg de weekdag van eender welke datum te kunnen bekomen: “Eeuw”

Anker-dag

1800-1899

Vrijdag

1900-1999

Woensdag

2000-2099

Dinsdag

2100-2199

Zondag

OEFENING 2 UIT PYTHAGORAS Een slang in een rooster wordt gevormd door een serie aan elkaar grenzende tegeltjes. Steeds geldt dat het volgende tegeltje links, rechts, boven of onder z’n voorganger geplaatst wordt. Bovendien mag een tegeltje nooit tweemaal gebruikt worden. De slang mag zichzelf dus niet doorsnijden. In de afbeelding is een figuur weergegeven met daarin een voorbeeld van een slang van lengte 7. Hoe lang is de langste slang die op dit figuur (op de groene hokjes) geplaatst kan worden?

Oplossing: zie volgende pagina.

TOT SLOT Mits wat oefening kunnen de twee algoritmes hierboven zeker en vast tot wat leiden. John Conway, de uitvinder van het doomsday-algoritme, kan meestal in minder dan 2 seconden het correcte antwoord bij een willekeurige datum geven. Er bestaat zelfs een tweejaarlijks wereldkampioenschap hoofdrekenen, waarbij een van de disciplines is om in een minuut zo veel mogelijk juiste weekdagen bij willekeurige datums (tussen 1600 en 2100) te plaatsen. Andere disciplines zijn onder andere het vermenigvuldigen van twee getallen met 8 cijfers of de vierkantswortel berekenen van getallen met 6 cijfers. Belgen deden nog nooit mee aan de eindronde. Nederlanders hebben wel al enkele mooie resultaten behaald met onder andere Jan van Koningsveld (die tegenwoordig voor Duitsland uitkomt) en Willem Bouman. Het volgende kampioenschap zou moeten plaatsvinden in 2020. Het wereldrecord kalenderrekenen? Dat staat op naam van de Amerikaan Yusnier Viera Romera, die in januari 2018 maar liefst 140(!) correcte antwoorden gaf, nog steeds binnen die ene minuut. Oefening baart kunst, zegt men dan.

46

OEFENING 3 UIT PYTHAGORAS We hebben een klok met een normale wijzerplaat. Een klokkenmaker in opleiding is gaan experimenteren met de wijzers van de klok. Aanvankelijk staan de grote, kleine en secondewijzer op de 12. De drie wijzers draaien alle drie op een alternatieve manier. De grote wijzer draait met een snelheid van 30° per minuut. De kleine wijzer draait met een snelheid van 45° per minuut. De secondewijzer draait tegen de klokrichting in met een snelheid van 60° per minuut. In de afbeelding staan de wijzers zoals de situatie is na één minuut. Hoeveel minuten na de start bevinden alle drie de wijzers zich voor het eerst tegelijkertijd in het gebied tussen de 6 uur en de 9 uur (in de afbeelding grijs gearceerd)?

11

12

1

10

2

9

3

8

4 7

6

5

OEFENING 4 UIT PYTHAGORAS Alex en Bianca hebben allebei een sok met daarin 4 knikkers. Bij Alex zijn twee knikkers rood en twee knikkers wit; bij Bianca zijn drie knikkers rood en één knikker is wit. Daarnaast hebben ze een speelbord met daarop 17 vakjes, genummerd van 1 tot en met 17. Alex en Bianca plaatsen elk een pion op vakje 1. Elke beurt halen Alex en Bianca beiden een knikker uit de sok en tonen die aan de andere speler. Vervolgens haalt elke speler net zo lang een knikker uit de sok totdat deze dezelfde kleur heeft als die van de tegenstander. Een knikker met de andere kleur stopt hij/zij terug in de sok die hij/zij dan schudt. De speler mag nu een aantal stappen vooruit overeenkomstig het aantal knikkers dat hij uit de sok haalde. Ten slotte doen Alex en Bianca hun knikkers terug in de sok. Wie heeft bij dit spelletje de grootste kans om te winnen? (De winnaar is degene die als eerste vakje 17 bereikt, of verderop ergens terecht zou komen).

Oplossing oefening 2: de lengte van de langste slang = 49. / Oplossing oefening 3: na 20 minuten. Oplossing oefening 4: we verwachten dat Bianca vaker wint dan Alex.

Max is een nieuwe methode wiskunde voor de B-stroom. De methode brengt begrippen, concepten, eigenschappen en methodes aan in betekenisvolle contexten. Zo ontdekken de leerlingen de samenhang en wisselwerking tussen wiskunde en de maatschappij waarin ze leven. MEER INFO? Surf naar www.max.diekeure.be

Van Basis tot Limiet is een totaalmethode wiskunde voor de 1e graad A-stroom en 2e en 3e graad ASO, TSO en KSO. VBTL is al jaar en dag dĂŠ referentie in wiskundeonderwijs in Vlaanderen. MEER INFO? Surf naar www.vbtl.diekeure.be

Nando

Wiskunde met pit

Nando is de nieuwe methode wiskunde voor de 1e graad A-stroom en voor de 2e en 3e graad ASO, TSO en KSO. Nando biedt vernieuwend en motiverend wiskundeonderwijs aan met een sterke focus op differentiatie. Het is een wiskundemethode met pit. MEER INFO? Surf naar www.nando.diekeure.be

Herbekijk de webinars over onze wiskundemethodes op www.webinarssecundair.diekeure.be