Marte Oldervoll Totland og Einar Gustafsson
SINUS EL
Lærebok i matematikk 1P-Y for elektrofag og
datateknologi, vg1 yrkesfag
Bokmål
3.6
3.7
3.8
1. Tallregning
Vi møter tall i mange situasjoner i dagliglivet og arbeidslivet. I dag har vi ofte tilgang til kalkulator, men det er også viktig å kunne regne uten. I dette kapittelet skal vi øve på å regne i hodet, med blyant og papir og med digitale hjelpemidler. Vi skal også lære å bruke ulike måleenheter for å måle strøm, spenning, effekt og energi.
Dersom du i framtiden skal jobbe som elektromontør, vil du daglig gjøre beregninger og ta avgjørelser som vil bestemme hvor raskt og effektivt du får gjort oppdraget du er sendt ut på. Når du for eksempel beregner strømmen i en krets, dimensjonerer kabler eller sjekker om en komponent tåler belastningen, vil du få bruk for effektive strategier for tallregning. Det er også verdt å huske at du vil ha ansvaret for å utføre ganske kompleks installasjoner der din forståelse av matematikken bak beregningene vil gjøre deg i stand til å oppdage feil og mangler som er avgjørende for sikkerheten til deg selv og andre.
KOMPETANSEMÅL
Mål for opplæringen er at eleven skal kunne
• tolke og bruke sammensatte måleenheter i praktiske sammenhenger og velge egnet måleenhet
1.1 Positive og negative tall
Nedenfor ser du ei tallinje. På ei tallinje står alltid de høyeste tallene lengst til høyre.
–9–8–7–6–5–4–3–2–1
0123456789
Vi kan bruke tallinja når vi skal addere (+) eller subtrahere (–). Når vi skal regne ut 26, starter vi på 2 og flytter 6 hakk mot høyre. Svaret blir 4.
–9–8–7–6–5–4–3–2–1 + 6 – 3
0123456789
Når vi skal regne ut 23, starter vi også på –2, men nå flytter vi 3 hakk mot venstre. Svaret blir –5.
Å legge til et negativt tall er det samme som å trekke fra tallet. Altså er 25() det samme som 25. Å trekke fra et negativt tall er det samme som å legge til tallet. Altså er 5353 () . Oppsummert gir dette reglene nedenfor.
REGEL Å legge til et negativt tall er det samme som å trekke fra det positive tallet. Å trekke fra et negativt tall er det samme som å legge til det positive tallet.
EKSEMPEL Regn ut.
a) 35()
b) 74()
c) 25()
d) 52()
LØSNING a) 35352 ()
b) 747411 ()
c) 25257 ()
d) 52523 ()
OPPGAVER
1.10 Regn ut.
a) 76
b) 76
c) 76
1.11 Regn ut.
a) 76() b) 76()
c) 46() d) 46()
1.12 Ei varmepumpe er som regel mest effektiv når temperaturforskjellen mellom ute og inne er minst. Regn ut temperaturforskjellene.
Ute Inne
a) –5 °C22 °C
b) –10 °C16 °C
c) –18 °C23 °C
2.3 Prosent
Ordet prosent betyr «hundredel». Det betyr at 1 % er det samme som én hundredel. Derfor er
11 100 400400 100 %4 av400
5 % av et tall er det samme som 5 100 av tallet. Da er
55 100 4005400 100 2000 100 %20 av400
Vi kan også tenke slik: 5 % er fem ganger så mye som 1 %. Derfor er 5 % av 400 lik 5420 .
REGEL p % av et tall er 100 p av tallet.
Vi bruker som oftest en kalkulator når vi regner ut prosenten av et tall.
Da gjør vi først brøken 100 p om til et desimaltall i hodet. Når vi skal regne ut 12 % av 750 kr, gjør vi det slik på kalkulatoren:
EKSEMPEL a) Finn 15 % av 800 kr.
b) Finn 6 % av 120 kg.
LØSNING a) 15 % av 800 kr = 15 100 80001k5800 r,kr120kr
b) 6 % av 120 kg = 6 100 12000612072 kg,kg,kg
I eksempelet på forrige side brukte vi en kalkulator til utregningene. Hvis vi må gjøre prosentregning i hodet, kan det mange ganger være lurt å gå veien om 1 %, slik vi gjør i det neste eksempelet.
EKSEMPEL En dimmer koster 300 kr. Prisen øker med 7 %.
Hvor mange kroner øker prisen med?
LØSNING 1 % av prisen er 1
100 3003 krkr
7 % er sju ganger så mye som 1 %. Derfor er
7732 %1 av300krkrkr
Prisen på dimmeren øker med 21 kr.
OPPGAVER
2.30 Regn ut ved hjelp av kalkulator.
a) 12 % av 120 kg
b) 70 % av 3000 kr
2.31 Du har fått en deltidsjobb og må betale 24 % skatt. Hvor mye må du betale i skatt en måned du tjener
a) 13 000 kr
b) 7500 kr
c) 29 500 kr
2.32 Regn ut i hodet ved å gå veien om 1 %.
a) 6 % av 200 kr
b) 9 % av 80 kg
c) 7 % av 500 m
En IT-driftstekniker har ansvar for å overvåke en lokal server. Det er lagret 180 TB på serveren, og det utgjør 60 % av den totale lagringsplassen. Driftsteknikeren trenger å vite den totale lagringsplassen. Han må da finne 100 %. Her kan det være lurt å gå veien om 1 %. Dersom 180 TB tilsvarer 60 %, finner vi 1 % ved å dele på 60. Én prosent utgjør
180 60 T3BTB =
Da er hundre prosent
310030 T0 BTB
Serveren har altså en total kapasitet på 300 TB.
REGEL Når vi vet prosentandelen og vil finne ut hvor mye 100 % er, går vi veien om 1 %.
EKSEMPEL Thea kjøper en støvsuger som er nedsatt med 30 %. Hun får 960 kr i rabatt. Hvor mye kostet støvsugeren opprinnelig?
LØSNING Vi går veien om 1 %. Vi vet at 30 % av prisen er 960 kr. Én prosent utgjør
960 30 k32rkr =
Da er hundre prosent
323200 kr100kr
Støvsugeren kostet opprinnelig 3200 kr.
OPPGAVER
2.41 En elektriker installerer et solcelleanlegg og har målt at anlegget leverer 75 % av maks kapasitet midt på dagen. Anlegget leverer da 6 kW. Hva er den maksimale effekten anlegget kan levere?
2.42 Marie får tilbud om ei lærlinglønn på 210 000 kr. Hun får opplyst at det er 35 % av den gjennomsnittlige startlønna for en elektriker med fagbrev i denne bedriften.
Hva er den gjennomsnittlige startlønna for en elektriker med fagbrev?
3.2 Formler for strøm, spenning og resistans
Når vi kjenner strømmen I gjennom en motstand med resistansen R, kan vi finne spenningen U over motstanden ved hjelp av formelen
REGEL =⋅ URI
Denne formelen kaller vi Ohms lov. Spenningen U måles i volt (V), resistansen R måles i ohm (Ω), og strømmen I måles i ampere (A).
EKSEMPEL Det går en strøm = 1,4 A I gjennom en motstand med resistansen =Ω 12 . R Finn spenningen U over motstanden.
LØSNING Vi bruker Ohms lov.
URI
=⋅ =Ω⋅ = 12 1,4 A 16,8 V
Spenningen over motstanden er 16,8 V.
Når vi skal bruke formler, må vi bruke enheter uten prefikser. I eksempelet nedenfor gjør vi om mA og kΩ til A og Ω
EKSEMPEL I en strømkrets måler vi strømmen I = 20 mA gjennom en motstand med resistansen R = 2,4 kΩ. Finn spenningen U over motstanden.
LØSNING Før vi setter inn i Ohms lov, skriver vi strømmen og resistansen uten prefikser.
=== 20 20 mA A0,02 A 1000 I
=Ω=⋅Ω=Ω 2,4 k2,41000 2400 R
Deretter bruker vi Ohms lov til å finne spenningen.
2400 0,02 A 4,8 V URI =⋅ =Ω⋅ =
Spenningen over motstanden er 4,8 V.
OPPGAVER
3.20 Finn spenningen U når
a) =Ω 2,4 R og = 5,0 A I
b) =Ω 32 k R og = 5,0 mA I
c) =Ω 15 M R og = 12 mA I
d) =Ω 2,4 k R og = 5,0 µA I
Resistansen R i en metalltråd kan vi finne ved hjelp av denne formelen:
=⋅ ρ l R A
l er lengden av metalltråden målt i meter, og A er arealet av ledningens tverrsnitt målt i kvadratmillimeter (mm2). Størrelsen ρ (den greske bokstaven rho) kalles resistiviteten til tråden og er avhengig av hvilket metall tråden er lagd av. Resistiviteten måles i Ω⋅ 2 mm/m. l
Resistiviteten til metaller er en avgjørende faktor når man skal velge materiale i strømførende ledninger. Lav resistivitet gir lav resistans i ledningen. Kobber er et metall med lav resistivitet og blir derfor ofte brukt.
EKSEMPEL Resistiviteten til kobber er =Ω⋅ ρ 2 0,0175 mm/m. Finn resistansen R i en 2 m lang kobbertråd med tverrsnittsareal = 2 0,6 mm A
LØSNING Resistansen er =⋅ =⋅ = ρ 2 0,0175 0,6 0,06 l R A
Resistansen i kobbertråden er 0,06 Ω.
OPPGAVER
3.21 Finn resistansen R i en kobbertråd der =Ω⋅ ρ 2 0,0175 mm/m, når
a) = 15 m l og = 2 0,4 mm A
b) = 250 m l og = 2 2,5 mm A
c) = 5,2 km l og = 2 0,5 mm A
d) = 1,5 m l og = 2 0,9 mm A
3.22 En strømførende kobberkabel er 2000 m lang og har et tverrsnittsareal på 0,4 mm2. Resistiviteten til kobber er =Ω⋅ ρ 2 0,0175 mm/m
a) Finn resistansen R i kobberkabelen.
b) Strømmen i kabelen er = 800 A I . Hvor stor er spenningen over kabelen?
Hva skjer med resistansen i en metalltråd dersom
a) lengden av tråden øker
b) tverrsnittsarealet blir mindre
4.8 Sinuskurver og vekselstrøm
Nå skal vi se hvordan verdien til sin() v endrer seg når vi endrer vinkelen v. Vi setter opp en tabell og beregner sinus til noen vinkler fra °0 til °360 .
Koordinatsystemet nedenfor viser vinkelen v på førsteaksen og sin(v) på andreaksen. Vi markerer punktene fra tabellen og trekker en glatt kurve gjennom dem. Da får vi en sinuskurve.
For å tegne sinuskurven ovenfor har vi fullført én runde i enhetssirkelen. Vi kan øke vinkelen enda mer, og da starter vi på et nytt omløp i enhetssirkelen. Hvis vi lar vinkelen gå gjennom tre omløp, det vil si ⋅°=° 33601080 , får vi følgende kurve:
EKSEMPEL
Vi kan tegne en sinuskurve med en graftegner ved å skrive inn «y = sin(x°)». Merk at vi må bruke x i stedet for v når vi skal bruke en graftegner.
Vi ser at kurven har form som en bølge som gjentar seg med en periode på °360 . Vi sier at kurven er periodisk. Dette er egenskaper som gjør at sinuskurven kan brukes til å beskrive vekselspenning og vekselstrøm, som vi skal se seinere i kapittelet.
Bruk sinuskurven = sin()yx til å finne de vinklene x mellom °0 og °360 som er slik at = sin()0,5 x
Kontroller svarene ved hjelp av kalkulatoren.
LØSNING Vi tegner sinuskurven og leser av.
0,5 y = 0,5 y
x
Avlesningen viser at = sin()0,5 x når =° 30 x og når =° 150 x
Vi kontrollerer på kalkulatoren: °= 1 sin(30) 2 og °= 1 sin(150) 2
OPPGAVER
4.80 Bruk sinuskurven = sin()yx til å finne de vinklene x som er slik at =− sin()0,5 x
Kontroller svarene ved hjelp av kalkulatoren.
4.81 Bruk en graftegner til å tegne kurvene når x er mellom °0 og °360 a) =⋅4sin()yx b) =⋅+4sin()2yx c) =⋅3sin(2)yx d) =⋅4sin(0,5) yx
4.82 Beskriv hva som skjer med sinuskurven når vi endrer tallene a og b i kurven =⋅ sin()yabx .
Hvis vi studerer spenningen i en vanlig stikkontakt med et oscilloskop, ser vi at spenningen varierer med tiden. Kurven på oscilloskopet likner den på figuren nedenfor. 400
0 y (V) x (s) y = 230
0,010,020,030,040,05
Spenningen varierer med tiden, og vi kaller det vekselspenning. Vi gjenkjenner formen på kurven som en sinuskurve.
Den stiplede linja på figuren ovenfor markerer effektivverdien effU til nettspenningen. Den er på omtrent 230 V, og det er denne spenningen vi måler med et voltmeter. Den maksimale spenningen kaller vi maksU
REGEL Sammenhengen mellom effektivverdien og maksimalverdien til spenningen i en strømkrets er gitt ved =⋅ maks eff 2 UU
På det norske strømnettet er altså =⋅= maks 2230 V325 V U
Ved å lese av grafen kan vi se at spenningen bruker 0,02 s på å gjennomføre én svingning. Den tiden kaller vi perioden T . Når vi kjenner perioden, kan vi beregne antall svingninger per sekund. Vi observerer at ⋅=500,02 s1 s. Spenningen gjør altså 50 svingninger på 1 sekund, og vi sier at frekvensen er 50 Hz.
REGEL Når vi kjenner perioden T, finner vi frekvensen f ved hjelp av formelen = 1 f T
OPPGAVER
4.92 For en elektromotor får du oppgitt følgende verdier:
U 230 V
I 6 A
ϕ cos() 0,89
a) Regn ut den tilsynelatende effekten S
b) Finn fasevinkelen.
c) Finn elektromotorens aktive effekt P.
4.93 Effektivverdiene for strøm og spenning i en elektromotor er 230 V og 7,4 A. Elektromotoren har en fasevinkel på 41° .
a) Finn effektfaktoren.
b) Regn ut den aktive effekten til elektromotoren.
c) Tegn effekttrekanten og regn ut den tilsynelatende effekten.
d) En annen elektromotor har større tilsynelatende effekt, men den aktive effekten er den samme som ovenfor. Vurder hvordan det påvirker effektfaktoren.
4.94 En elektromotor har 3500 VA tilsynelatende effekt og 3000 W aktiv effekt.
a) Finn effektfaktoren.
b) Finn den reaktive effekten til elektromotoren.
c) Vi gjør endringer på elektromotoren slik at effektfaktoren blir mindre, men den tilsynelatende effekten forblir den samme. Vurder hvordan det påvirker den aktive effekten P
Sammendrag
Pytagorassetningen
I en rettvinklet trekant der hypotenusen har lengden c og katetene har lengdene a og b, er =+ 222 cab
Sinus, cosinus og tangens
I en rettvinklet trekant med en vinkel v er
= motstående katet til sin() hypotenus v v = hosliggende katet til cos() hypotenus v v
= motstående katet til tan() hosliggende katet til v v v
Arealsetningen
I en trekant der to av sidene har lengdene a og b og vinkelen mellom de to sidene er v, er arealet gitt ved
=⋅⋅⋅ 1 sin() 2 Aabv
Enhetssirkelen
La P være skjæringspunktet mellom enhetssirkelen og det andre vinkelbeinet til vinkelen v i grunnstilling. Da er cos(v) = x-koordinaten til P sin(v) = y-koordinaten til P
Vekselspenning
Sammenhengen mellom effektivverdien og maksimalverdien til spenningen i en strømkrets er gitt ved
=⋅ maks eff 2 UU
Periode og frekvens
Når T er perioden for en svingning målt i sekunder, finner vi frekvensen f ved hjelp av formelen = 1 f T
Faseforskyvning
Når strømtoppen i en strømkrets ikke nås samtidig som spenningstoppen, kalles det en faseforskyvning. Vi måler faseforskyvningen i grader med en fasevinkel. Fasevinkelen har symbolet ϕ (den greske bokstaven phi).
Effekttrekanten
Sammenhengen mellom fasevinkelen ϕ, den aktive effekten P, den tilsynelatende effekten S og den reaktive effekten Q kan vi framstille i effekttrekanten. Når faseforskyvningen er ϕ kan vi finne den aktive effekten med formelen ϕ =⋅⋅ cos PUI
Tilsynelatende effekt (S) Aktiv effekt (P)
Reaktiv effekt (Q)
ØV MER – 4.9 Faseforskyvning
4.190 Grafene nedenfor viser hvordan strømmen (rød kurve) og spenningen (blå kurve) varierer i en industristøvsuger.
a) Bruk grafene og punktene A og B for å bestemme faseforskyvningen til støvsugeren.
b) Etter 50 ms når spenningen maksimalverdien på 325 V. Da er strømmen 19,6 A.
Hva er effekten til støvsugeren etter 50 ms?
Maksimalverdien for strømmen er 22,6 A, og maksimalverdien for spenningen er 325 V.
c) Hva ville effekten vært dersom spenningen og strømmen oppnådde maksimalverdien samtidig?
4.191 Elektromotoren i en vinkelsliper har fasevinkelen ϕ =° 29,5 . Effektivverdiene for strøm og spenning er 6,8 A og 230 V, og effekttrekanten er tegnet nedenfor.
29,5°
S P
a) Hva er den tilsynelatende effekten S?
b) Hva er effektfaktoren til vinkelsliperen?
c) Hva er den aktive effekten P?
4.192 En kjøleskapskompressor er koblet til det vanlige strømnettet, og under drift måles følgende verdier:
• spenning U: 228 V
• strøm I: 1,85 A
• aktiv effekt P: 335 W
a) Tegn effekttrekanten.
b) Hva er den tilsynelatende effekten S?
c) Hva er effektfaktoren til denne kjøleskapskompressoren?
d) Hva er fasevinkelen ϕ?
4.193 Vi gjør følgende målinger på en induksjonsovn på maks effekt:
• spenning U: 231 V
• strøm I: 9,8 A
• aktiv effekt P: 2100 W
a) Hva er den tilsynelatende effekten S
b) Hva er effektfaktoren til induksjonsovnen?
c) Hva er fasevinkelen ϕ?
d) Hva er den reaktive effekten Q?
4.194 En elektromotor har tilsynelatende effekt S = 1200 W og reaktiv effekt
Q = 350 W.
a) Tegn en effekttrekant.
b) Hva er fasevinkelen til elektromotoren?
c) Hva er den aktive effekten P?
OPPGAVER – Uten hjelpemidler
5.200 Martin lurer på hvor mye av strømregningen som går til kjøleskap og fryser. Han lager regnearket nedenfor.
a) Hvilken formel skal stå i celle B6?
b) Hvilken formel skal stå i celle B7?
c) Hvilken formel skal stå i celle B8?
d) Hva blir de årlige energiutgiftene?
5.201 Adelina bruker ei varmepumpe til oppvarming av leiligheten. Hun lurer på hvor mye penger hun bruker på oppvarming. Etter å ha gjort noen undersøkelser lager hun regnearket nedenfor.
Husk at du finner energiforbruk i kWh ved å gange elektrisk effekt i kW med antall timer.
a) Hvilken formel skal stå i celle B6?
b) Hvilken formel skal stå i celle B7?
c) Hvilken formel skal stå i celle B8?
d) Hva blir energiutgiftene til oppvarming med varmepumpa i september 2025?
5.202 Sigrid er dataelektroniker og tjente 500 000 kr i årslønn uten feriepenger i 2025.
Feriepengene utgjør 12 % av lønna (uten feriepenger) året i forveien.
a) Hvor mye kommer hun til å få i feriepenger i 2026?
b) I 2025 fikk Sigrid 48 000 kr i feriepenger. Hvor mye tjente hun i 2024?
5.203 Gudmundur har begynt i ny jobb som industrioppmåler og vil finne ut hvor mye han skal ha utbetalt etter skatt. Økonomiansvarlig på jobben sier at han finner ut alt han trenger fra utregningen nedenfor.
⋅ 0 55 00 0,7 0
a) Hva tjener Gudmundur før skatt?
b) Hvor mange prosent skatt betaler Gudmundur denne måneden?
c) Hvor mye får Gudmundur utbetalt etter skatt?
5.204 Malin jobber som skipselektriker. Hun har 48 600 kr i fast månedslønn og bruker tabellkort for å beregne skatten av den faste inntekten.
Denne månedslønna tilsvarer ei timelønn på 300 kr. Når Malin jobber overtid, får hun 50 % tillegg for overtid på kveld og 100 % helgetillegg. Alt overtidsarbeid skattes med 30 %.
En måned jobber hun 10 timer overtid kveld og 5 timer overtid helg.
Til høyre ser du et utdrag av tabellkortet til Malin.
a) Hvor mye tjener Malin denne måneden før skatt?
b) Hvor stort er det totale skattetrekket denne måneden?
c) Hvor mye får Malin utbetalt etter skatt?
Tabellkort 8040 GrunnlagTrekk
48 00012 570
48 10012 609
48 20012 648
48 30012 686
48 40012 725
48 50012 764
48 60012 803
48 70012 841
48 80012 880
48 90012 919
5.205 Anne Lise tjente 1 000 000 kr i 2025 og måtte betale 35 % skatt før fradrag for renteutgifter og BSU-sparing. Hun har studielån, og i 2025 hadde hun 20 000 kr i renteutgifter på lånet. Hun sparte dessuten 15 000 kr på en BSU-konto. Det er 22 % skattefradrag på renteutgifter og 10 % skattefradrag på BSU-konto for innskudd inntil 27 500 kr.
a) Hvor store skattefradrag fikk Anne Lise i 2025?
b) Hvor mye skatt måtte Anne Lise betale i 2025?
c) Hva var lønna til Anne Lise etter skatt i 2025?
d) Hvor mye kan Anne Lise forvente å få i feriepenger i 2026?
5.206 Søylediagrammet nedenfor viser nedbetalingen av et boliglån over en tiårsperiode.
Terminbeløp Boliglån kr
500 000
400 000
300 000
200 000
100 000
Terminer 1 Renter Avdrag 23456789 10
a) Hva slags type lån er dette?
b) Hvor store er avdragene?
c) Hvor stort er den opprinnelige lånesummen?
5.207 Søylediagrammet til høyre viser nedbetalingen av et billån over en femårsperiode.
a) Hva slags type lån er dette?
b) Omtrent hvor stort er det første avdraget, og hvor mye renter må betales det første året?
Renta på dette lånet var på 10 %.
Billån kr
50 000 60 000
40 000 10 000 20 000
30 000
Terminer 1
Renter Avdrag 2345
c) Anslå hvor stort det opprinnelige billånet må ha vært.
5.208 Fatima skal kjøpe seg ny bil og tar opp et billån. Nedenfor ser vi nedbetalingsplanen.
ÅrRenter AvdragTerminbeløpRestlån
1kr 10 000,00kr 15 900,91kr 25 900,91kr 184 099,09
2kr 9 204,95kr 16 695,96kr 25 900,91kr 167 403,12
3kr 8 370,16kr 17 530,76kr 25 900,91kr 149 872,37
4kr 7 493,62kr 18 407,30kr 25 900,91kr 131 465,07
5kr 6 573,25kr 19 327,66kr 25 900,91kr 112 137,41
6kr 5 606,87kr 20 294,04kr 25 900,91kr 91 843,36
7kr 4 592,17kr 21 308,75kr 25 900,91kr 70 534,62
8kr 3 526,73kr 22 374,18kr 25 900,91kr 48 160,43
9kr 2 408,02kr 23 492,89kr 25 900,91kr 24 667,54
10kr 1 233,38kr 24 667,54kr 25 900,91 kr 0,00
a) Hva slags type lån er dette?
b) Hvor mye penger har Fatima lånt?
c) Hva er den årlige renta på dette lånet?
d) Hvor mye må Fatima totalt betale for dette lånet i løpet av ti år?
5.209 Lukas har kjøpt seg ny gaming-pc for 20 000 kr. Han har betalt med kredittkort og betaler ikke noe tilbake de første tre årene. Grafen nedenfor viser gjelden hans etter x måneder. 16
x, måneder
Hvilken eller hvilke av påstandene nedenfor er riktige?
A. Etter to år har Lukas mer enn 30 000 kr i gjeld.
B. Årsrenta på dette kredittlånet er 20 %.
C. Gjelden øker med flere kroner per måned etter 20 måneder enn etter 10 måneder.
D. Gjelden øker med flere prosent per måned etter 20 måneder enn etter 10 måneder.
E. Vekstfaktoren per måned er 1,20.
5.210 Nora har tatt opp et lån med ei fast årlig rente. Lånet skal betales tilbake i løpet av 5 år, med én termin i året. Figuren viser nedbetalingsplanen.
a) Er lånet et annuitetslån eller et serielån? Husk å begrunne svaret.
b) Hvor stort lån har Nora tatt opp?
OPPGAVER – Med
5.300 Brit lurer på hvor mye elektrisk energi vaskemaskinen hennes bruker per år. Hun setter opp regnearket nedenfor.
a) Hvilke formler må hun skrive inn i de grønne cellene?
b) Hvor store energiutgifter har Brit per år på vaskemaskinen?
c) Hva blir de årlige energiutgiftene dersom Brit kan redusere klesvasken til 3 ganger i uka?
5.301 Oda skal kjøre bil til Spania i sommerferien. Hun vil beregne bilkostnadene for turen og har begynt å sette opp et budsjett.
a) Fyll inn formlene som mangler i de grønne cellene.
b) Hva blir de totale bilkostnadene per person på denne turen?
c) Oda finner ut at hun kan droppe fergeturen, men da må hun i stedet kjøre 500 km ekstra. Hva blir kostnadene per person da?
5.302 Anatol vurderer å bytte ut gamle glødepærer med nye LED-pærer. Han vil derfor sammenlikne energiforbruket for de to typene og har startet på regnearket nedenfor.
Husk at vi har denne sammenhengen mellom energi, effekt og tid: =⋅ EPt .
a) Skriv formler i de grønne cellene i regnearket.
b) Hva er de årlige energiutgiftene for ei LED-pære og ei glødepære?
c) Anatol bestemmer seg for å bytte ut 12 glødepærer med LED-pærer. Hvor mye sparer Anatol årlig i energiutgifter på grunn av denne utskiftingen?
5.303 Mustafa jobber som tavlemontør og tjener 56 000 kr i fast månedslønn. Det tilsvarer ei timelønn på 340 kr. I tillegg får han 50 % tillegg for overtid kveld og 100 % tillegg for overtid helg.
En måned jobber Mustafa 15 timer overtid kveld og 24 timer overtid helg.
a) Hvor mye tjener Mustafa på overtidsjobbingen?
b) Hvor mye tjener han totalt før skatt?
c) Denne måneden får han utbetalt 52 780 kr. Hvor mange prosent har han betalt i skatt?
5.304 Jenny jobber som vaskerioperatør. Hun tjener 48 000 kr fast i måneden. Dette tilsvarer 300 kr i timelønn. Hun betaler 29 % skatt på den faste lønna. Hvis hun arbeider overtid på kveldstid, får hun 30 % tillegg. Hun må betale 35 % skatt på overtidsarbeid.
I mars 2025 jobber hun 47 timer overtid på kveldstid.
a) Hvor mye skatt må Jenny betale i mars 2025?
b) Hvor mange prosent skatt betaler Jenny totalt denne måneden?
c) Hvor mye får hun utbetalt denne måneden?
d) Hvor mye feriepenger opparbeider Jenny seg i mars 2025?
Mike Tyson tjente nesten sju milliarder kroner – så gikk han konkurs
Skrevet av Marie Olaussen
Instagram: @hvordan_bli_rik
Forfatter av «Hjelp, jeg flytter hjemmefra!»
Mike Tyson er en av verdens best betalte idrettsutøvere gjennom tidene. Bokseren fra New York kunne tjene 30 millioner dollar per kamp. Det er ca. 300 millioner norske korner. På et tidspunkt hadde han en formue på opp mot fire milliarder norske kroner. Likevel mistet han alle verdiene og satt igjen med stor gjeld.
Ikke engang fire milliarder kroner varer evig, for Mike Tysons elleville forbruk ble høyere enn inntektene hans. Dette er noe av det han brukte penger på:
• biler, klokker og andre dyre gaver til venner, familie og ansatte
• en bolig med 21 soverom
• egen nattklubb og et kasino
• et hus til – med 38 bad!
• tre hvite tigre
Tigrene fikk navnene Storm, Boris og Kenya, og de flyttet inn hos ham. Men hva er egentlig prisen for en tiger? 700 000 kroner for hver. Maten og alt det andre tigrene trengte, skal ha kostet to millioner kroner i året. Storm og Boris flyttet senere til et dyrereservat, men tigeren Kenya ble hos Tyson i 16 år.
En dag snek en fremmed kvinne seg inn på eiendommen for å leke med tigeren. Kenya satte tennene i armen hennes, og hun ble alvorlig skadd. Mike Tyson ga kvinnen 2,5 millioner kroner i erstatning, selv om hun tapte rettssaken mot ham fordi hun hadde tatt seg inn på eiendommen uten tillatelse.
Stjernebokseren hadde et par millioner kroner tilgjengelig som lommepenger hver måned –han kalte det selv «walking around money». Han brukte alle pengene han tjente (og mer enn det), på restaurantbesøk, smykker, klær, reiser og narkotika. For ikke å glemme gullbadekaret han kjøpte til kona for mer enn to millioner kroner.
Før han gikk konkurs, eide han seks luksusboliger og 110 dyre biler som måtte selges for å dekke gjeld. Fortsatt hadde han 200 millioner kroner i skattegjeld, og mange millioner i gjeld til advokater, leger, regnskapsførere og andre. Han skyldte også millioner av kroner i skilsmissegjeld. I et intervju forteller han:
– Da jeg vokste opp, hadde vi aldri penger. Jeg lærte ikke å håndtere penger hjemme. Da jeg etter hvert fikk så mye penger, var jeg bare ung og dum. Jeg hadde ikke noe støtteapparat rundt meg som kunne veilede meg, og det forstod jeg ikke da. Nå drømmer jeg ikke om å ha så mye penger, det livet har jeg lagt bak meg.
Mike Tyson slo seg bokstavelig talt ut av gjelden ved å delta i boksekamper som betalte godt. I dag har han en solid formue på rundt 300 millioner kroner.
Inntekter og utgifter
Vi trenger ikke å ha millionlønn for å få nok penger til å leve det livet vi ønsker oss. Personlig økonomi handler mest om hvilke vaner vi har i hverdagen. Bruker vi mindre enn vi tjener hver måned, blir det penger igjen. Og setter vi noe av det som blir igjen, på en sparekonto eller i et fond, kommer pengene til å vokse. Jo tidligere du begynner å spare litt hver måned, desto mindre trenger du å spare. Det er nesten magisk hvordan pengene vokser raskere og raskere etter hvert som tiden går.
Rentes rente –en økonomisk superkraft
Hvis du sparer 10 000 kroner og får 5 % renter hvert år, vil pengene utvikle seg til over 16 000 kroner uten at du setter inn mer penger. Beløpet vokser fortere og fortere fordi du også får renter på rentene. Tenk hva som skjer hvis du sparer litt hver måned fra den dagen du får lønn!
ÅrBeløp (kr)Renter (kr)
110 500500
211 025525
311 576551
412 155579
512 763608
613 401638
714 071670
814 775704
915 513739
1016 289776
Oppgave
1. Tenk deg at du får én million kroner i lommepenger hver måned, slik som Mike Tyson. Hva ville du brukt pengene på? Sett opp et budsjett med alle utgiftene.
2. Gjennomsnittslønnen for en elektriker er ca. 50 000 kr per måned før skatt. Sett opp en oversikt over alle de nødvendige utgiftene du kommer til å ha hver måned. Hvor mye kan du klare å sette av til sparing hver måned?
3. Som lærling vil du tjene 30 % av startlønnen til en ferdig utdannet. Hvilke dilemmaer kan du som nyansatt lærling møte på, når det kommer til å bruke mer penger enn du har?
Fakta: Mike Tyson (f. 1966)
• profesjonell bokser fra 1985 til 2005
• var bare 20 år gammel da han ble verdensmester
• har bokset 59 kamper, og vunnet 50 av disse
• en av verdens best betalte idrettsutøvere
• ble igjen superkjendis da han bokset og tapte mot YouTube- stjernen Logan Paul live på Netflix i 2024
REPETISJONSOPPGAVER – Uten hjelpemidler
OPPGAVE 1
Sanna jobber som sveiser og har 46 300 kr i fast månedslønn. Hun har tabellkort, og skatten trekkes ut fra tabell 8050, som vi ser et utdrag av nedenfor.
45 80011 507
45 90011 546
46 00011 585
46 10011 624
46 20011 662
46 30011 701
46 40011 740
46 50011 779
46 60011 817
a) Hvor mye skatt skal Sanna betale i måneder uten overtidsjobbing?
b) Hvor mye får Sanna utbetalt etter skatt?
OPPGAVE 2
Øyvind er flymotormekaniker med EASA-sertifisering og tjente 750 000 kr i årslønn uten feriepenger i 2025. Feriepenger utgjør 12 % av lønna (uten feriepenger) året i forveien.
a) Hvor mye kommer han til å få i feriepenger i 2026?
b) I 2025 fikk Øyvind 84 000 kr i feriepenger.
Hvor mye tjente han i 2024?
OPPGAVE 3
I 2025 hadde Ingeborg en årsinntekt på 500 000 kr. Gjennom året betalte hun 25 % i forskuddsskatt.
a) Hvor mye har Ingeborg betalt i forskuddsskatt?
b) Når skattemeldingen skal sendes inn, viser det seg at Ingeborg skulle betalt 136 000 kr i skatt. Hvor mye må Ingeborg betale i restskatt?
OPPGAVE 4
Nedenfor ser vi nedbetalingsplanen for to ulike billån med samme lånesum og lik rente presentert som søylediagrammer. Begge lånene har en nedbetalingstid på fem år med én termin per år.
2345
Avdrag
Renter Lån type 1
Termin 2345
Avdrag
Renter Lån type 2
a) Hva slags lån er «Lån type 1» og «Lån type 2»? Begrunn svaret.
b) Hva er renta på dette lånet?
c) Hvor stor er lånesummen?
d) Hvordan kan du enklest bestemme størrelsen på lånet basert på søylediagrammet for «Lån type 2»?
e) Er den totale summen vi betaler, den samme for de to lånetypene, eller er den størst for «Lån type 1» eller «Lån type 2»?
REPETISJONSOPPGAVER – Med hjelpemidler
OPPGAVE 5
Hedda skal kjøpe seg ny bil, og valget står mellom en elbil og en bensinbil. Etter å ha undersøkt ulike kostnader lager hun regnearket nedenfor.
a) Hjelp Hedda med å fylle ut de grønne cellene med formler. Husk å vise formlene i svaret ditt.
b) Hva blir de totale utgiftene til energiforbruk og trafikkforsikringsavgift for elbilen og bensinbilen?
Elbilen Hedda vurderer å kjøpe, koster 120 000 kr mer enn bensinbilen hun ser på.
c) Hvor mange år må Hedda ha bilen for at det skal lønne seg å kjøpe elbilen framfor bensinbilen?
OPPGAVE 6
Den 1. januar 2018 satte Anja 50 000 kr på en sparekonto. Hun fikk 3,5 % rente.
a) Hvor mye renter fikk Anja det første året?
b) Hvor mye hadde Anja på sparekontoen 1. januar 2022?
c) Hvor mye hadde Anja på sparekontoen 1. januar 2026?
d) Hvor mye har Anja fått i renter i løpet av de første 8 årene?
OPPGAVE 7
Aleksander jobber som signalmontør og tjente 580 000 kr i 2025. Han må betale 31 % inntektsskatt. Han har boliglån, og i 2025 hadde han 54 800 kr i renteutgifter på lånet. Det er 22 % skattefradrag på renteutgifter.
a) Hvor stort skattefradrag fikk Aleksander i 2025?
b) Hvor mye skatt måtte Aleksander betale i 2025?
c) Hva var lønna til Aleksander etter skatt i 2025?
Feriepenger utgjør 12 % av lønna året i forveien (ikke medregnet feriepengene dette året).
d) Hvor mye kan Aleksander forvente å få i feriepenger i 2026?
e) I 2025 fikk Aleksander 67 500 kr i feriepenger. Hva var lønna til Aleksander i 2024?
OPPGAVE 8
Vaskemaskinen til Ailu går i stykker, så han må kjøpe ny. Han har ikke satt av penger til et slikt kjøp og velger å bruke kredittkort. Vaskemaskinen koster 9500 kr. Hvis han ikke betaler det som er utestående på kredittkortet, innen forfall, må han betale 1,75 % rente per måned.
Vi antar at Ailu ikke betaler ned noe på kredittkortlånet.
a) Hva skylder han etter tre måneder?
b) Hva skylder han etter ett år?
c) Bruk svaret i oppgave b til å bestemme den årlige renta på dette kredittkortlånet.
d) Hvorfor er ikke den årlige renta ⋅=1221% 1,75% ?
1.10
a) -1 b) -13 c) 1
1.11
a) 1 b) 13 c) 2 d) -10
1.12
a) 27 °C b) 26 °C
c) 41 °C
1.13
a) 21 b) -6 c) 28 d) -24
1.14
a) 74 b) -140 c) 60 d) -10,12
1.15
a) 5,4 m b) 13,8 m c) 31,8 m
1.20
a) 90 b) 1400
c) -1750 d) 3,4 e) -0,008 f) 0,234
1.21
a) 3200 b) 72 000 c) 2 800 000
1.22
a) 16,96 b) 18 c) 49,6
1.23
a) 253 b) 4,8 c) 3,6 d) 1,08 1.24 280 1.25 396
1.26
a) 1440 kr b) 7200 kr
1.27
a) 6 panelovner
b) 16 strømuttak c) 20 personer Fasit
1.30
a) 64 b) 64 c) 1 d) -1 e) 16 1.31 a) 16 807 b) 78 125 c) 256 d) -512 1.32 a) 9 b) -27
c) 81 d) 25
e) -125 f) 625 1.33
(-2)4, (-4)2, 24 og 42 er like store
52 og (-5)2 er like store 1.34 a) 5 b) 10 c) 8 1.40 a) 12 b) 1 c) 2 d) 1 1.41
a) 16 b) 16 c) -4 d) 4 e) 9 f) 10 1.42
a) -14 b) -9 c) -15 1.43
a) 6 b) 42 c) -13 d) 6
1.50
a) 1,4 m b) 5400 m
c) 0,3 m d) 0,25 m 1.51
a) 670 g b) 3,7 kg
c) 0,25 kg d) 4,5 tonn
1.52
a) 2500 g b) 0,07 g
c) 470 g d) 140 g 1.53
a) 52,5 cm b) 35 cm
c) 0,025 cm d) 78 000 cm
1.54
a) 0,45 kg b) 0,45 kg
c) 450 000 kg d) 0,000 045 kg
1.55
a) 10 080 minutter
b) 33 300 sekunder
1.56
a) 0 år (11 dager)
b) 31 år (og 8 måneder)
1.60
a) 0,0051 A b) 1700 A
c) 0,000 000 2 A
1.61
a) 0,019 V b) 3900 V
c) 0,0094 V
1.62
a) 1,2 kΩ b) 100 kΩ
c) 2 kΩ d) 50 000 kΩ
1.63
a) 120 μA b) 1,3 kA
c) 4,7 μA
1.64
a) 9 GJ b) 3750 kr
1.65
a) 31 667 kWh b) 585 L
c) 13 455 kr
1.66
a) 16 Mbit b) 36 Gbit
c) 1,12 Gbit
1.67
a) 6,1 TB b) 67,5 B
c) 75 GB
1.68
a) 31,25 MB b) 8 sekunder
c) 16 personer
Øv mer
1.110
a) 2 b) -8
c) -8 d) -2
1.111
a) 0 b) -4
c) -4 d) 2
1.112
a) -5 b) 15
c) -5 d) -15
1.113
a) -35 b) 35 c) -24 d) 0
1.114
a) -10,5
b) 11,5 c) -9,9 d) -675
1.115
a) 19,2 °C
b) Temperaturen økte mest på Værnes. Økningen der var på 15,6 °C.
1.116 8,4 m
1.117 19,7 m
1.120
a) 1240 b) 0,124 c) -3,122 d) 150 000
1.121
a) 3,5 b) 0,0036
c) -12 000 000
1.122
a) 25 000 b) 720 c) 4800 d) 250 000
1.123
a) 600 b) 13,5 c) 1000 d) 300 e) 80
1.124
a) 372 b) 3720 c) 603 d) 495
1.125 12 100 kr
1.126 1500 W
1.127 8 stikkontakter
1.128 160 sekunder
1.130
a) 10 000 b) 16 c) -125 d) 81 e) 1
1.131
a) -1 b) 1 c) 64 d) 64 e) 64
1.132
a) 3125 b) 16 777 216 c) -2187 d) 161 051 e) -161 051
1.133
a) -4 b) 16 c) -64 d) 256 e) -1024
1.134
a) 25 b) 34 c) 210 d) 35
1.135 62, 53, 35, 44, 29 1.136
a) 7 b) 9
c) 1000
1.137
a) 42 og 24 b) 34 og 92
c) 10000og102
1.138 a) 43 b) 6
1.140 a) 11 b) 7 c) 0 d) -12
1.141 a) 190 b) -9 c) -12
1.142 a) 20 b) 21 c) -19 d) 0
1.143
a) -1 b) 125 c) -13 d) 0 e) 48
1.144
a) 12 b) 23 c) 22 d) -6 e) 111 111
1.145
a) 3
b) Kalkulatoren regner operasjon for operasjon fra venstre mot høyre, altså 4 (3 52) ⋅+ .
1.146
C. 3 (1315)8 −=−
D. 2 (1315)4 −=
B. og E. 22 (107)(710)9 −=−=
A. 2 (51)16 −=
1.147
a) -10 b) 5 c) 2 d) 2
1.150
a) 0,300 g b) 72 000 g
c) 320 g d) 720 g
1.151
a) 78 kg b) 13 kg
c) 0,0432 kg d) 500 kg
1.152
a) 50 dm b) 120 dm
c) 6,8 dm d) 120 000 dm
1.153
a) 13 000 m b) 5000 m
c) 4,5 m d) 0,55 m
1.154
a) 1000 km b) 1 000 000 m
c) 3 000 000 mm
d) 0,02 m
1.155
a) 188 min b) 11 280 s
1.156
a) 8760 timerb) 525 600 min
c) 31 536 000 s
d) 9 460 800 000 000 km (9,5 billioner kilometer)
1.157
a) 0,000 001 m til 0,005 m
b) 0,000 000 94 m
1.158
a) 5 000 000 000 000 B
b) 500 000 bilder
1.160
a) 35 A b) 0,025 A
c) 0, 000 65 A
1.161
a) 0,003 V b) 23 000 V
c) 0,000 010 V
1.162
a) 33,4 kV b) 4 mA
c) 3,5 μV d) 5 kΩ
1.163
a) 162 MJ b) 72 MJ
c) 3,00 kWh d) 833 kWh
e) 4,2 kWh
1.164
a) 45 000 000 J (45 MJ)
b) 72 000 000 000 J (72 GJ)
c) 1,08 1012 J (1,08 TJ)