Calculo1-5-IntegralDefinida by Raulison Oliveira

C´ alculo I - Integral Deﬁnida

´ Area

Prof. Josinaldo Menezes e Profa . Simone Batista Somas Finitas ´ Area Aproxima¸c˜ ao do ponto m´ edio Nota¸c˜ ao Sigma e Limites de Somas Finitas Regras Alg´ ebricas de Somas Finitas Algumas somas importantes Soma de Riemann Integral Deﬁnida ´ Area sob uma curva O Teorema Fundamental do C´ alculo

Qual a ´area da regi˜ao sombreada R que se encontra acima do eixo x, abaixo da curva de y = 1 − x 2 , e entre as retas verticais x = 0 e x = 1?

C´ alculo I - Integral Deﬁnida Prof. Josinaldo Menezes e Profa . Simone Batista Somas Finitas ´ Area Aproxima¸c˜ ao do ponto m´ edio Nota¸c˜ ao Sigma e Limites de Somas Finitas Regras Alg´ ebricas de Somas Finitas Algumas somas importantes Soma de Riemann Integral Deﬁnida ´ Area sob uma curva O Teorema Fundamental do C´ alculo

Como não há uma f´ ormula geométrica simples para calcular a área exata de R, vamos aproximá-la utilizando a aproxima¸cão da soma superior: 7 1 3 1 A ≈ 1. + . = = 0, 875 2 4 2 2

(1)

Dividindo em 4 partes: 7 1 25 1 15 1 3 1 = 0, 78125 A ≈ 1. + . + . + . = 4 16 4 4 4 16 4 32

(2)

Por outro lado, se utilizarmos a aproxima¸c˜ao por soma inferior 7 1 1 17 15 1 3 1 . + . + . + 0. = = 0, 53125 A≈ 16 4 4 4 16 4 4 32

Soma de Riemann Integral Deﬁnida ´ Area sob uma curva O Teorema Fundamental do C´ alculo

A conclus˜ao ´e que 0, 53125 < A < 0, 78125.

Por fim, utilizamos a aproxima¸cão do ponto médio: 63 1 55 1 39 1 15 1 . + . + . + . = 0, 671875. A≈ 64 4 64 4 64 4 64 4

C´ alculo I - Integral Deﬁnida

Aproxima¸c˜ao do ponto m´edio

Se o intervalo [a, b] for subdividido em n subintervalos de igual largura Δx, b−a (3) Δx = n e se, f (ck ) for o valor de f em dado ponto ck no k-ésimo subintervalo, esse processo resultará em uma soma finita com a seguinte forma f (c1 )Δx + f (c2 )Δx + f (c3 )Δx + ... + f (cn )Δx.

(4)

C´ alculo I - Integral Deﬁnida

Nota¸c˜ao Sigma e Limites de Somas Finitas

A nota¸c˜ao sigma expressa uma soma com muitos termos em forma compacta: n ak = a1 + a2 + a3 + ... + an , (5) k=1

Integral Deﬁnida ´ Area sob uma curva O Teorema Fundamental do C´ alculo

onde

Σ signiﬁca soma

k ´e o ´ındice do somat´orio (pode ser outra letra).

C´ alculo I - Integral Deﬁnida Prof. Josinaldo Menezes e Profa . Simone Batista

Exemplo 1: 1.

Somas Finitas ´ Area Aproxima¸c˜ ao do ponto m´ edio Nota¸c˜ ao Sigma e Limites de Somas Finitas Regras Alg´ ebricas de Somas Finitas Algumas somas importantes

k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

(6)

(−1)k = (−1)1 + (−1)2 + (−1)3 = −2

(7)

1 2 1 1 7 k = + = + = k +1 1+1 2+1 2 3 6

(8)

42 52 16 25 139 k2 = + = + = k −1 4−1 5−1 3 4 12

(9)

k=1

Soma de Riemann

3 k=1

Integral Deﬁnida ´ Area sob uma curva

O Teorema Fundamental do C´ alculo

2 k=1

5 k=4

C´ alculo I - Integral Deﬁnida Prof. Josinaldo Menezes e Profa . Simone Batista

Exemplo 2: Expressar a soma 1 + 3 + 5 + 7 + 9 em nota¸c˜ao sigam 1. Come¸cando com k = 0, 4

Somas Finitas ´ Area Aproxima¸c˜ ao do ponto m´ edio Nota¸c˜ ao Sigma e Limites de Somas Finitas Regras Alg´ ebricas de Somas Finitas Algumas somas importantes

(2k − 1).

(11)

(2k − 3).

(12)

(2k + 7).

(13)

2. Come¸cando com k = 1, 5 k=1

Integral Deﬁnida

O Teorema Fundamental do C´ alculo

(10)

k=0

Soma de Riemann

´ Area sob uma curva

(2k + 1).

3. Come¸cando com k = 2, 6 k=2

4. Come¸cando com k = −3, 1 k=−3

C´ alculo I - Integral Deﬁnida

Regras Alg´ebricas de Somas Finitas

Regra da Soma/Diferen¸ca: n

(ak ± bk ) =

k=1

Soma de Riemann

ak ±

k=1

(14)

k=1

Integral Deﬁnida ´ Area sob uma curva O Teorema Fundamental do C´ alculo

Regra da Multiplica¸c˜ao: n

c ak = c

k=1

para qualquer constante c.

n k=1

(15)

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Exemplos: 1.

Somas Finitas ´ Area Aproxima¸c˜ ao do ponto m´ edio Nota¸c˜ ao Sigma e Limites de Somas Finitas Regras Alg´ ebricas de Somas Finitas Algumas somas importantes

(3k − k 2 ) = 3

k=1

k−

k=1

(−ak ) = −1

k=1

Soma de Riemann

(16)

k=1

ak = −

k=1

(17)

k=1

Integral Deﬁnida ´ Area sob uma curva

O Teorema Fundamental do C´ alculo

3 k=1

(k +4) =

3 k=1

4 = (1+2+3)+(4+4+4) = 18 (18)

k=1

n 1 1 =n =1 n n k=1

(19)

C´ alculo I - Integral Deﬁnida

Algumas somas importantes

Prof. Josinaldo Menezes e Profa . Simone Batista Somas Finitas ´ Area

1. A soma dos primeiros n inteiros:

Aproxima¸c˜ ao do ponto m´ edio Nota¸c˜ ao Sigma e Limites de Somas Finitas Regras Alg´ ebricas de Somas Finitas Algumas somas importantes Soma de Riemann

n k=1

n(n + 1) k= 2

(20)

2. A soma dos primeiros n quadrados:

Integral Deﬁnida ´ Area sob uma curva O Teorema Fundamental do C´ alculo

k2 =

k=1

n(n + 1)(2n + 1) 6

(21)

3. A soma dos primeiros n cubos: n k=1

k =

n(n + 1) 2

2 (22)

C´ alculo I - Integral Deﬁnida

Soma de Riemann

Prof. Josinaldo Menezes e Profa . Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Deﬁnida ´ Area sob uma curva O Teorema Fundamental do C´ alculo

Consideremos uma fun¸cão arbitrária f definida em um intervalo fechado [a, b], Definimos os subintervalos de [a, b], n˜ ao necessariamente da mesma largura. Escolhemos n − 1 pontos {x1 , x2 , x3 , ..., xn−1 } entre a e b: x0 = a ≤ x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn−1 ≤ xn = b.

(23)

O conjunto P = {x0 , x1 , x2 , ..., xn−1 , xn } ´e chamado parti¸c˜ao de [a, b].

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A parti¸c˜ao P divide [a, b] em n subintervalos fechados:

Soma de Riemann

[x0 , x1 ], [x1 , x2 ], [x2 , x3 ], ..., [xn−1 , xn ]

Integral Deﬁnida ´ Area sob uma curva O Teorema Fundamental do C´ alculo

(24)

O k-ésimo subintervalo de P é [xk−1 , xk ], onde k é um inteiro entre 1 e n. A largura do primeiro intervalo [x0 , x1 ] é Δx1 , e a largura do k-ésimo subintervalo é Δxk , onde Δxk = xk − xk−1

(25)

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´ Area sob uma curva O Teorema Fundamental do C´ alculo

Selecionamos um ponto em cada subintervalo, sendo ck o ponto escolhido no k-ésimo subintervalo. Cosntruimos um retângulo em cada subintervalo com base no eixo x e que toca a curva em (ck , f (ck )). Em cada subintervalo tomamos o produto f (ck , Δxk ), que pode ser negativo, positivo ou nulo. O m´ odulodo valor encontrado é a área do retângulo desenhado em cada subintervalo.

C´ alculo I - Integral Deﬁnida Prof. Josinaldo Menezes e Profa . Simone Batista

Somamos todos esses produtos e obtemos

Somas Finitas Soma de Riemann Integral Deﬁnida ´ Area sob uma curva O Teorema Fundamental do C´ alculo

SP =

f (ck ) Δxk

k=1

que ´e uma soma de Riemann para f no intervalo [a, b].

(26)

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Outras escolhas de parti¸c˜ao d˜ao-nos outras somas de Riemann.

Deﬁnimos a norma de uma parti¸c˜ao P, que chamamos ||P||, como a maior de todas as larguras dos subintervalos.

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Exemplo: O conjunto P = {0; 0, 2; 0, 6; 1; 1, 5; 2} ´e uma parti¸c˜ao de [0, 2]. Os subintervalos s˜ ao: [0; 0, 2], [0, 2; 0, 6], [0, 6; 1], [1; 1, 5] e [1, 5; 2]. Os comprimentos deles s˜ ao: Δx1 = 0, 2, Δx2 = 0, 4, Δx3 = 0, 4, Δx4 = 0, 5 e Δx5 = 0, 5.

A parti¸c˜ao tem norma ||P|| = 0, 5.

C´ alculo I - Integral Deﬁnida

Integral deﬁnida - Limites da Soma de Riemann

Prof. Josinaldo Menezes e Profa . Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida Integral definida Limites da Soma de Riemann Nota¸c˜ ao da Integral Definida Propriedades das Integrais Definidas

Seja f (x) uma fun¸cão definida em um intervalo fechado [a, b]. Dizemos que um n´ umero I é a integral definida de f em [a, b] e que I é o limite das somas de Riemann n

(27)

k=1

´ Area sob uma curva O Teorema Fundamental do C´ alculo

f (ck )Δxk

se a seguinte condi¸cão é satisfeita: Dado qualquer n´ umero ≥ 0, existe um n´ umero correspondente δ ≥ 0, tal que, para qualquer parti¸cão P = {x0 , x1 , ..., xn } de [a, b] com ||P|| ≤ δ e qualquer escolha de ck em [xk−1 , xk ], temos |

n k=1

f (ck ) Δxk − 1| ≤ .

(28)

C´ alculo I - Integral Deﬁnida

Integral deﬁnida - Nota¸c˜ao

Prof. Josinaldo Menezes e Profa . Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Deﬁnida

O s´ımbolo para a integral deﬁnida ´e

Integral definida Limites da Soma de Riemann Nota¸c˜ ao da Integral Definida Propriedades das Integrais Definidas ´ Area sob uma curva O Teorema Fundamental do C´ alculo

f (x) dx a

onde

a ´e o limite inferior de integra¸c˜ao

b ´e o limite superior de integra¸c˜ao

f (x) ´e o integrando

dx indica que a variável de integra¸cão é x. é o sinal de integral.

(29)

C´ alculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa . Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida Integral definida Limites da Soma de Riemann Nota¸c˜ ao da Integral Definida Propriedades das Integrais Definidas ´ Area sob uma curva O Teorema Fundamental do C´ alculo

As somas de Riemann de f em [a, b] convergem para a integral deﬁnida b f (x) dx. (30) I = a

Assim, f ´e integr´avel no intervalo [a, b].

Quando o limite existe, lim

||P||→0

n k=1

f (ck ) Δxk = I =

f (x) dx. a

(31)

C´ alculo I - Integral Deﬁnida Prof. Josinaldo Menezes e Profa . Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann

Se pensarmos em termos do n´ umeros de subintervalos n, temos

Integral Definida Integral definida Limites da Soma de Riemann Nota¸c˜ ao da Integral Definida Propriedades das Integrais Definidas ´ Area sob uma curva O Teorema Fundamental do C´ alculo

lim

n→∞

n k=1

f (ck ) Δxk = I =

f (x) dx.

(32)

A integral depende da fun¸cão e não da letra que usamos para a variável, sendo chamada de variável artificial. Uma fun¸cão cont´ınua é integrável. Isto é, se uma fun¸cão f é cont´ınua em um intervalo [a, b], então sua integral definida em [a, b] existe.

Propriedades das Integrais Definidas Quando f e g são integráveis no intervalo [a, b], a integral definida satisfaz as regras: Ordem de integra¸ cão: a b f (x) dx = − f (x) dx (33) a

´ Area sob uma curva

Intervalo de largura zero:

f (x) dx = 0

O Teorema Fundamental do C´ alculo

(34)

Multiplica¸c˜ao por constante: b k f (x) dx = k a

para qualquer constante k. Soma e Subtra¸c˜ao: b [f (x) ± g (x)] dx = a

f (x), dx

f (x) dx ±

g (x) dx. a

(35)

(36)

C´ alculo I - Integral Deﬁnida

Aditividade

Prof. Josinaldo Menezes e Profa . Simone Batista

f (x) dx +

f (x) dx =

Somas Finitas

f (x) dx.

(37)

Soma de Riemann Integral Definida Integral definida Limites da Soma de Riemann Nota¸c˜ ao da Integral Definida Propriedades das Integrais Definidas

Desigualdade max − min: (min f ).(b − a) ≤

´ Area sob uma curva O Teorema Fundamental do C´ alculo

f (x) dx ≤ (max f ).(b − a)

(38)

Domina¸c˜ao 1. Se f (x) ≥ g (x) em [a, b], ent˜ ao Z Z b f (x) dx ≥ a

g (x) dx. a

2. Se f (x) ≥ 0 em [a, b], ent˜ ao Z b f (x) dx ≥ 0. a

(39)

(40)

C´ alculo I - Integral Deﬁnida

Exemplo: Suponha que

Prof. Josinaldo Menezes e Profa . Simone Batista

f (x) dx = 5, −1

Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida Integral definida Limites da Soma de Riemann Nota¸c˜ ao da Integral Definida Propriedades das Integrais Definidas

Ent˜ao, 1.

f (x) = −2,

f (x) dx = −

h(x) dx

(41)

−1

f (x) dx = 2

(42)

´ Area sob uma curva O Teorema Fundamental do C´ alculo

[2 f (x) + 3 h(x)] dx = 2 −1

f (x) dx + 3 −1

h(x) dx = 31 −1

(43)

f (x) dx = −1

f (x) dx + −1

f (x) dx = 5 − 2 = 3

(44)

C´ alculo I - Integral Deﬁnida

´ Area sob uma curva

Prof. Josinaldo Menezes e Profa . Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Deﬁnida ´ Area sob uma curva Valor M´ edio de uma fun¸c˜ ao cont´ınua O Teorema Fundamental do C´ alculo

Se y = f (x) for não negativa e integrável em um intervalo fechado [a, b], então a área sob a curva y = f (x) em [a, b] será a integral de f de a até b: b

f (x) dx.

A= a

(45)

C´ alculo I - Integral Deﬁnida Prof. Josinaldo Menezes e Profa . Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Deﬁnida ´ Area sob uma curva Valor M´ edio de uma fun¸c˜ ao cont´ınua O Teorema Fundamental do C´ alculo

Exemplo: Calcular a f (x) dx e determinar a ´area A sob y = x no intervalo [0, b], sendo b ≥ 0.

C´ alculo I - Integral Deﬁnida Prof. Josinaldo Menezes e Profa . Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann

Integral Deﬁnida

Consideramos uma parti¸c˜ao P que subdivide [0, b] em n subintervalos de igual largura Δx, sendo

´ Area sob uma curva

b b−0 = . Δx = n n

Valor M´ edio de uma fun¸c˜ ao cont´ınua

(46)

O Teorema Fundamental do C´ alculo

Situamos ck na extremidade direita de cada subintervalo nb b 2b = b} P = {0, , , ..., n n n onde ck =

kb n .

(47)

C´ alculo I - Integral Deﬁnida Prof. Josinaldo Menezes e Profa . Simone Batista

Assim, n

Somas Finitas

f (ck )Δx

k=1

Soma de Riemann

n n kb b kb 2 . = = n n n2 k=1

´ Area sob uma curva Valor M´ edio de uma fun¸c˜ ao cont´ınua O Teorema Fundamental do C´ alculo

Quando n → ∞,

k=1

n b 2 n(n + 1) b2 k = 2. 2 n n 2 k=1 2 b 1 1+ 2 n

Integral Deﬁnida

(48)

b2 x dx = 2

(49) (50)

(51)

Como a integral, nesse caso, ´e a ´area, temos que bh b2 A= = . 2 2

(52)

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Podemos generalizar o exemplo para

x dx a

´ Area sob uma curva

O Teorema Fundamental do C´ alculo

onde a ≤ b.

x dx 0

x dx + 0

x dx, onde a ≤ 0.

x dx +

= −

Integral Deﬁnida

Soma de Riemann

Valor M´ edio de uma fun¸c˜ ao cont´ınua

(53)

−a2 + b 2 , (54) x dx = 2

C´ alculo I - Integral Deﬁnida Prof. Josinaldo Menezes e Profa . Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Deﬁnida ´ Area sob uma curva Valor M´ edio de uma fun¸c˜ ao cont´ınua

Similar ao exemplo anterior, podemos encontrar 1.

O Teorema Fundamental do C´ alculo

c dx = c(b − a)

(55)

b3 a3 x dx = − 3 3

(56)

onde c ´e uma constante. 2.

Z a

onde a ≤ b.

C´ alculo I - Integral Deﬁnida

Valor M´edio de uma fun¸c˜ao cont´ınua

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Se f for integrável em [a, b], então seu valor médio em [a, b] será

Soma de Riemann Integral Deﬁnida ´ Area sob uma curva Valor M´ edio de uma fun¸c˜ ao cont´ınua O Teorema Fundamental do C´ alculo

1 M(f ) = a−b

f (x) dx. a

(57)

Exemplo: o valor m´edio de f (x) = por 1 M(f ) = 2 − (−2) onde usamos

−2

√

4 − x 2 em [−2, 2] ´e dado

4 − x 2 dx =

4 − x 2 dx = 2π

π 1 .2π = 4 2

(58)

(59)

que ´e a ´area do semic´ırculo centrado na origem e com raio 2.

C´ alculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa . Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida ´ Area sob uma curva O Teorema Fundamental do C´ alculo Teorema Fundamental do C´ alculo - Parte 1 Exerc´ıcios Teorema Fundamental do C´ alculo - Parte 2 Exerc´ıcios Integrais Definidas de Fun¸co ˜es Sim´ etricas ´ Area entre Curvas Exerc´ıcios

O Teorema do Valor Médio para Integrais Definidas Se f for cont´ınua em [a, b], então em algum ponto c em [a, b], b 1 f (x) dx. (60) f (c) = b−a a

Uma fun¸cão pode não assumir seu valor médio. Por exemplo,

C´ alculo I - Integral Deﬁnida Prof. Josinaldo Menezes e Profa . Simone Batista Somas Finitas

Exemplo: o valor m´edio de f (x) = 4 − x em [0, 3] ´e

Soma de Riemann Integral Deﬁnida ´ Area sob uma curva O Teorema Fundamental do C´ alculo Teorema Fundamental do C´ alculo - Parte 1 Exerc´ıcios Teorema Fundamental do C´ alculo - Parte 2 Exerc´ıcios Integrais Deﬁnidas de Fun¸co ˜es Sim´ etricas ´ Area entre Curvas Exerc´ıcios

M(f ) =

1 a−b

f (x) dx

(61)

a 3

1 (4 − x) dx = 3−0 0 3 3 1 4 dx − x dx = 3 0 0 2 2 0 3 1 − = 4(3 − 0) − 3 2 2 5 3 = 4− = . 2 2

(62) (63) (64) (65)

O ponto do dom´ınio dado em que f realmente assume esse valor é dado por 5 (66) 4−x = 2 ou seja, x = 32 , que é o ponto c do teorema do valor médio.

Teorema Fundamental do C´alculo - Parte 1

Se f (t) for uma fun¸cão integrável em um intervalo finito I , a integral de a ∈ I até x ∈ I define uma nova fun¸cão F (x): x f (t) dt. (67) F (x) = a

Se f é cont´ınua em [a, b], então F (x) = a f (t) dt é cont´ınua em [a, b] e derivável em (a, b) e sua derivada é f (x). d F (x) = dx

f (t) dt = f (x) a

(68)

C´ alculo I - Integral Deﬁnida Prof. Josinaldo Menezes e Profa . Simone Batista Somas Finitas

Prova:

Usamos a defini¸cão da derivada de F (x), quando x e x + h estão em (a, b):

F (x) = = = = =

F (x + h) − F (x) lim h→0 h

x x+h 1 f (t) dt − f (t) dt lim h→0 h a a

a x+h 1 f (t) dt + f (t) dt lim h→0 h a x

x+h a 1 lim f (t) dt + f (t) dt h→0 h x a 1 x+h f (t) dt lim h→0 h x

(69) (70) (71) (72) (73)

C´ alculo I - Integral Deﬁnida Prof. Josinaldo Menezes e Profa . Simone Batista

Somas Finitas Soma de Riemann Integral Deﬁnida

Usamos o teorema do valor m´edio: x+h x+h 1 1 f (t) dt = f (t) dt = f (c) x +h−x x h x

(74)

´ Area sob uma curva O Teorema Fundamental do C´ alculo Teorema Fundamental do C´ alculo - Parte 1 Exerc´ıcios Teorema Fundamental do C´ alculo - Parte 2 Exerc´ıcios Integrais Deﬁnidas de Fun¸co ˜es Sim´ etricas ´ Area entre Curvas Exerc´ıcios

Tomamos o limite h → 0, que signiﬁca x + h → x e c → x, ou seja, f (c) → f (x), lim f (c) = f (x).

h→0

(75)

Conclus˜ao:

x+h 1 f (t) dt F (x) = lim h→0 h x = lim f (c) = f (x). h→0

(76) (77)

C´ alculo I - Integral Deﬁnida

Exerc´ıcios

Prof. Josinaldo Menezes e Profa . Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Deﬁnida ´ Area sob uma curva O Teorema Fundamental do C´ alculo Teorema Fundamental do C´ alculo - Parte 1 Exerc´ıcios Teorema Fundamental do C´ alculo - Parte 2 Exerc´ıcios Integrais Deﬁnidas de Fun¸co ˜es Sim´ etricas ´ Area entre Curvas Exerc´ıcios

Usar o Teorema Fundamental do C´alculo para determinar: 1. x d cos t dt = cos x dx a 2.

d dx

1 1 dt = . 2 2 1+t 1+t

(78)

(79)

C´ alculo I - Integral Deﬁnida Prof. Josinaldo Menezes e Profa . Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Deﬁnida ´ Area sob uma curva

Calcular dy /dx, se 5 1. y = x 3t sen t dt: dy dx

O Teorema Fundamental do C´ alculo Teorema Fundamental do C´ alculo - Parte 1 Exerc´ıcios Teorema Fundamental do C´ alculo - Parte 2 Exerc´ıcios Integrais Deﬁnidas de Fun¸co ˜es Sim´ etricas ´ Area entre Curvas Exerc´ıcios

2. y = 3. y =

x d d = 3t sen t dt = 3t sen t dt (80) − dx x dx 5 x d 3t sen t dt = −3x sen x. (81) = − dx 5

cos dt:

1 4 1 2 1+3x 2+e t

dt:

C´ alculo I - Integral Deﬁnida

Teorema Fundamental do C´alculo - Parte 2

Se f (t) é cont´ınua em qualquer ponto de [a, b] e se F é qualquer primitiva de f em [a, b], então a

f (x) dx = F (b) − F (a)

(82)

C´ alculo I - Integral Deﬁnida Prof. Josinaldo Menezes e Profa . Simone Batista

Prova:

Somas Finitas Soma de Riemann Integral Deﬁnida

A parte 1 do Teorema Fundamental do C´alculo nos diz que x f (t) dt (83) G (x) = a

sendo G (x) a primitiva de f .

Para alguma constante C , temos que F (x) = G (x) + C .

Assim, F (b) − F (a) =

[G (b) + C ] − [G (a) + C ]

= G (b) − G (a) b = f (t) dt − a

(84) (85)

f (t) dt − 0 =

f (t) dt

f (t) dt. a

(86) (87)

O Teorema Fundamental do C´alculo pode ser reescrito como

f (x) dx a

= F (b) − F (a)

b = F (x) a

(88) (89) (90)

C´ alculo I - Integral Deﬁnida Prof. Josinaldo Menezes e Profa . Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann

Exemplos: 1.

Integral Deﬁnida ´ Area sob uma curva

cos x dx

sen x

sen π − sen 0 = 0 − 0 = 0.

(91) (92)

2. 0

1 2

dx √ 1 − x2

arcsen x

arcsen

12 0

(93)

π π 1 − arcsen 0 = − 0 = . (94) 2 6 6

C´ alculo I - Integral Deﬁnida Prof. Josinaldo Menezes e Profa . Simone Batista Somas Finitas

Exerc´ıcios 1. Usando o Teorema Fundamental do C´alculo, calcule 1.1

„

Soma de Riemann

Integral Deﬁnida ´ Area sob uma curva

1.2

« dx

p 3x x 3 − 1 dx 2

−1

1.3

3√ 2 x− 2 x

ln 2

(95)

(96)

e 3x dx

(97)

tg x dx

(98)

1.4

π/4 π/4

2. Determinar a área delimitada pelo eixo x e pela parábola y = 6 − x − x 2. 3. Considere o gráfico da fun¸cão f (x) = sen x entre x = 0 e x = 2π. Calcular: 3.1 a integral definida de f (x) em [0, 2π] 3.2 a ´ area entre o gr´ afico de f (x) e o eixo x em [0, 2π].

4. Determinar a área da região entre o eixo x e o gráfico de f (x) = x 3 − x 2 − 2x, sendo −2 ≤ x ≤ 2.

C´ alculo I - Integral Deﬁnida

Integrais Deﬁnidas de Fun¸co˜es Sim´etricas

Seja f cont´ınua no intervalo sim´etrico [−a, a].

Se f ´e par, ent˜ao

f (x) dx = 2 −a

f (x) dx.

(99)

Se f ´e impar, ent˜ao

f (x) dx = 0. −a

(100)

C´ alculo I - Integral Deﬁnida Prof. Josinaldo Menezes e Profa . Simone Batista Somas Finitas

Prova:

Soma de Riemann Integral Deﬁnida

f (x) dx

´ Area sob uma curva

−a

f (x) dx + −a

f (x) dx 0

−a

= − f (x) dx + f (x) dx 0 0 a −a −f (x) dx + f (x) dx = 0

(102) (103)

Utilizando a substitui¸c˜ao: u = −x e du = −dx, a a a f (x) dx = f (−u) du + f (x) dx. −a

(101)

(104)

C´ alculo I - Integral Deﬁnida Prof. Josinaldo Menezes e Profa . Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann

Integral Deﬁnida ´ Area sob uma curva O Teorema Fundamental do C´ alculo Teorema Fundamental do C´ alculo - Parte 1 Exerc´ıcios Teorema Fundamental do C´ alculo - Parte 2 Exerc´ıcios Integrais Deﬁnidas de Fun¸co ˜es Sim´ etricas ´ Area entre Curvas Exerc´ıcios

Se f ´e par, ent˜ ao f (−x) = f (x), Z a Z a Z a f (x) dx = f (u) du + f (x) dx −a 0 0 Z a f (x) dx. = 2

(105) (106)

Se f ´e ´ımpar, ent˜ ao f (−x) = −f (x), Z a Z Z a f (x) dx = − f (u) du + −a

f (x) dx

(107)

(108)

Exemplo: a integral de uma fun¸c˜ao par

−2

(x − 4x + 6) dx

(x 4 − 4x 2 + 6) dx (109)

x 4x − + 6x 5 3 0 32 32 − + 12 = 2 5 3 232 = . 15

(110) (111) (112)

C´ alculo I - Integral Deﬁnida Prof. Josinaldo Menezes e Profa . Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann

´ Area entre Curvas Se f e g são cont´ınuas com f (x) ≥ g (x) ao longo de [a, b], então a área entre as curvas y = f (x) e y = g (x) de a até b é a integral de (f − g ) desde a até b:

Integral Deﬁnida

A= a

[f (x) − g (x)] dx

(113)

C´ alculo I - Integral Deﬁnida

Exerc´ıcios

1. Determinar a área da região compreendida entre a parábola y = 2 − x 2 e a reta y = −x. 2. Calcular a área √ da região do primeiro quadrante que é limitada acima por y = x e abaixo pelo eixo x e pela reta y = x − 2.