Escola de Ciências e Tecnologia UFRN – 2012.2 - Turma02
CÁLCULO I - Derivação VI Derivação Implícita (seção 3.6) Funções Inversas e Logaritmos (3.7) Profa. Judith Hoelzemann Contato:pelo SIGAA Bolsista REUNI: Neuber Araújo
Revis達o da Aula
Revisão da Aula -Derivação V- Definição de equações paramétricas -Exemplos -Reta tangente a uma curva em forma paramétrica -Derivada segunda de curvas parametrizadas -Parametrizações de curvas padrão
Equaçþes-paramÊtricas
Da mesma maneira podemos definir a derivada segunda de curvas parametrizadas como
Equações-paramétricas
Exemplo 4
Um projétil disparado de uma arma segue a trajetória
x at , y bt 16t
2
(a, b 0)
Mostre que o projétil sai da arma com um ângulo
b arctg ( ) a ab e cai a uma distância da origem. 16
Derivação Implicita
Derivação implícita
Para derivar usando os métodos até aqui desenvolvidos, precisamos ter uma fórmula para y em termos de x, por exemplo, y x 3 1 . Mas se tivermos uma relação implícita entre x e y ?
y xy x x 2 4
3
Pode ser até impossível, resolver y explicitamente como função de x, mas podemos encontrar dy/dx usando o método da derivação implícita.
OBS: na equação acima podemos passar todas as variáveis para um lado da equação e identificá-la por f ( x, y) 0.
Derivação implícita
Derivação implícita é usada para calcular dy/dx quando x e y estão relacionados por uma equação. Os passos a seguir ajudam a efetuar a derivação implícita: Passo1. tomamos a derivada de ambos os lados da equação em relação a x (ou a variável independente associada). Passo 2. resolvemos y ' dy / dx , agrupando os termos envolvendo y’ de uma lado e os demais termos do outro lado. OBS: lembre-se de incluir o fator dy/dx quando derivar expressões que envolvem y em relação a x
d dy sen y (cos y) regra da cadeia! dx dx
Derivação implícita
Ilustração 1: encontre dy/dx em
y xy x x 2 4
3
Passo1. tomamos a derivada de ambos os lados da equação em relação a x (ou a variável independente associada).
d 4 d 3 ( y xy ) ( x x 2) dx dx d 4 d d 3 d d ( y ) ( xy ) ( x ) ( x) (2) dx dx dx dx dx
Derivação implícita
d 4 d d 3 d d ( y ) ( xy ) ( x ) ( x) (2) dx dx dx dx dx
dy d d 2 (4 y ) [ x ( y) y ( x)] 3x 1 dx dx dx 3
(4 y y ) [ xy y] 3x 1 3
'
'
2
Derivação implícita
y ' dy / dx
Passo 2. resolvemos , agrupando os termos envolvendo y’ de uma lado e os demais termos do outro lado.
(4 y y ) [ xy y] 3x 1 3
'
'
2
y ( 4 y x) 3 x 1 y '
3
2
3x 1 y y 3 4y x 2
'
Derivação implícita
1
Derivação implícita
1
x 2 xy y x 2 xy y x y 2
2
2
2
d d 4 4 4 xy x y dx dx
4
dy 3 3 dy 4 y x 4 x 4 y dx dx 3 dy 4 x 4 y 3 dx 4 x 4 y
4
Derivação implícita
2
dy x2 resposta 2 dx 1, 2 y
(1, 2 )
1 4
A equação da reta tangente à curva dada é
( y 2) m( x 1) 1 ( y 2) ( x 1) 4
Derivação implícita
3
dy y sin( x) cos( y ) resposta dx cos( x) x(sin( y )
Derivação implícita
Exercício Sala 1
Encontre dy/dx para a função implícita abaixo
e sen( x 3 y) 2x
dy 2e cos( x 3 y ) 1 3 ; dx dy 1 2 x 2e sec( x 3 y ) 1 dx 3 2x
Derivação de Funções inversas
Função inversa
Vamos lembrar de algumas idéias já vistas.
Função inversa
OBS: A inversa de uma função quando existe é única! Ilustração 1. determine a função inversa de
Passo 1. Isole x como função de y
1 y x 1 2 2y x 2 x 2y 2
1 y x 1 2
Função inversa Passo 2. como x passa a ser imagem então troque x por y
y 2x 2
1 note que a função inversa de y f ( x) x 1 2 é a função y 1 f 1 ( x) 2 x 2
observe que uma desfaz a outra 1 1 f ( f ( x)) 2( x 1) 2 x 2 1 1 f ( f ( x)) (2 x 2) 1 x 2
Função inversa-trigonometria
As funções trigonométricas não são injetoras em todo o seu domínio, mas, podemos torná-las injetoras, restringindo o seu domínio adequadamente.
Função inversa-trigonometria
Função inversa-trigonometria
OBS1: Alguns autores usam a notação arcsen x, arccos x, etc para representar as funções trigonométricas inversas
Função inversa-trigonometria
Função inversa-trigonometria
OBS: As relações no triângulo retângulo nos ajudam muito a resolver problemas
envolvendo tais funções trigonométricas inversas.
Função trigonométrica inversa
Exemplo 4a: Dado que sen 1 (5 / 13) , determine cos α, tan α, sec α, cosec α e cotg α.
Função trigonométrica inversa
Exemplo 4b: Dado que sec 1 ( tan α, cosec α e cotg α.
5)
, determine sen α, cos α,