Escola de Ciências e Tecnologia UFRN – 2012.2 - Turma02
CÁLCULO I - Integração I-
Primitivas (4.8) Regra da substituição (na seção 5.5)
Profa. Judith Hoelzemann Contato: pelo SIGAA
INTEGRAL INDEFINIDA
Nesta aula vamos aprender o conceito integral indefinida de f(x) conhecida também por ser o conjunto de todas as primitivas ou antiderivadas F(x) + C. Ilustração: Suponha que lhe peçam para encontrar uma função F cuja derivada seja: então a primitiva dessa função é F(x)
d 3 F ( x) x por que x 3x 2 dx
3x 2
3
Equação Diferencial
Então F ( x) x3 é uma primitiva de f ( x) 3x 2
Integral indefinida OBS:
Ilustração: F(x) é a primitiva por que dF(x)/dx = f(x)
d 3 F ( x) x C por que ( x C ) 3x 2 dx 3
F贸rmulas de Primitivas
Regras de Primitivas
f ( x) x5 1 g ( x) x h( x ) sen( 2 x ) 2 i ( x ) cos x j ( x ) e 3 x k ( x) 2
x
Problemas de valor inicial e equações diferenciais. • Encontrar uma primitiva para uma função f(x) é o mesmo problema de encontrar uma função y(x) que satisfaça a equação:
dy f (x) dx • Essa equação é chamada de equação diferencial, pois envolve uma equação desconhecida y(x) que esta sendo derivada (diferenciada). • Para resolve-la precisamos encontrar a primitiva de f(x).
Problemas de valor inicial e equações diferenciais.
• Exemplo 2: Determine a curva cujo coeficiente angular no ponto (x,y) é 3x 2 sabendo que ela deve passar pelo ponto (1,-1). SOLUÇÃO: Usaremos a analise de problemas de valor inicial:
3
A equação diferencial é dy 3x 2 y 3 x C
dx
A condição inicial é: y(1)= -1, logo:
y x3 C 1 (1) C 3
C 2 A curva que desejamos é : y x3 2
3
Primitiva geral
Integral indefinida
d f ( x ) dx f ( x ) dx A diferenciação é a “inversa” da integração
du u C
propriedade
INTEGRAL INDEFINIDA
INTEGRAL INDEFINIDA Uma tabela mais completa envolvendo integrais indefinidas imediatas
Integral indefinida
Exemplo 4: Encontre a primitiva de 3x verifique sua resposta por diferenciação:
Integral indefinida
Exemplo 5: Encontre a primitiva mais geral ou integral indefinida de
( 2 x 5 x 7 ) dx 3
Integral indefinida Exemplo 6: Encontre a primitiva mais geral ou integral indefinida de
( x  x ) dx ďƒ˛ 3
Integral indefinida Exemplo 7: verifique a fórmula abaixo por diferenciação
1 ( ) dx ln( x 1 ) C x 1 x 1
Método de Substituição
INTEGRAL INDEFINIDA
Vamos agora ver um método muito útil para calcular integrais indefinidas de funções compostas. Este método é denominado método da substituição:
OBS: Nunca esqueça de colocar a constante de integração quando resolver uma integral indefinida.
Integral indefinida Exemplo 8: Calcule por substituição a integral indefinida abaixo
( sen 3 x ) dx
Integral indefinida Exemplo 9: Calcule por substituição a integral indefinida abaixo
2
9r dr 1 r
3
Integral indefinida Exemplo 10: Calcule por substituição a integral indefinida abaixo
sec x.tgx ( ) dx sec x
Integral indefinida Exemplo 11: Calcule por substituição a integral indefinida abaixo
tg
2
2
x. sec xdx
Integral indefinida Exemplo 12: Calcule por substituição a integral indefinida abaixo
x
3
x 1dx 2