Calculo1-6-AplicacaoIntegral by Raulison Oliveira

Volumes por fatiamento e rota¸cão em torno de um eixo Uma se¸cão transversal de um s´ olido S é a região plana formada pela interse¸cão entre S e um plano. Em cada ponto x no intervalo [a, b], a se¸ cão transversal é uma região R(x) de área A(x), sendo A uma fun¸cão cont´ınua de x.

O volume do sólido é uma integral definida: 1. dividimos [a, b] em subintervalos de largura Δxk , 2. fatiamos o s´ olido por planos perpendiculares ao eixo x nos pontos 3. aproximamos a fatia entre os planos xk−1 e xk usando um s´ olido cil´ındrico com ´ area da base A(xk ) e altura Δxk = xk − xk−1 , 4. o volume dete s´ olido cil´ındrico é A(xk ).Δxk , 5. o volume do s´ olido inteiro é V ≈

n X k=1

Vk =

n X

A(xk )Δxk

k=1

que ´e a soma de Riemann para A(x) em [a, b].

(1)

Tomamos o limite n → 0:

A(x) dx

V =

(2)

que é o volume do sólido compreendido entre os planos x = a e x = b e cuja área da se¸cão transversal A(x) é integrável.

Exemplo: uma pirâmide com 3m de altura tem uma base quadrada com 3m de lado. A se¸cão transversal da pirâmide, perpendicular à altura x metros abaixo do vértice, é um quadrado com x metros de lado. Determinar o volume da pirâmide.

1. A se¸cão transversal possui área A(x) = x 2 pois é um quadrado com x metros de lado. 2. Os limites de integra¸cão são x = 0 e x = 3. 3. O volume é a integral V (x) = 0

3 x 3 2 x 2 dx = = 9 m 3 0

(3)

Exemplo: uma cunha curva foi obtida por meio de um cilindro de raio 3, cortado por dois planos. Um dos planos perpendicular ao eixo do cilindro e o segundo formando um ˆangulo de 45 graus no centro do cilindro. Determinar o volume da cunha.

1. A se¸cão transversal da cunha em x é um retângulo de área: 2 A(x) = (2 9 − x ).x = 2x 9 − x 2 (4)

2. Os limites de integra¸cão são x = 0 e x = 3. 3. O volume é a integral

3 2 2 2 32 3 2 V (x) = 2 x 9 − x dx = − (9−x ) 0 = 0+ (9) 2 = 18 3 3 0 (5) onde ﬁzemos a substitui¸c˜ao u = 9 − x 2 . 3

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Sólidos de Revolu¸cão: o método do disco

Prof. Josinaldo Menezes e Profa . Simone Batista Volumes por fatiamento e rota¸c˜ ao em torno de um eixo S´ olidos de Revolu¸c˜ ao: o m´ etodo do disco S´ olidos de Revolu¸c˜ ao: o m´ etodo do anel Comprimento de Curvas Planas ´ Areas de Superf´ıcies de Revolu¸c˜ ao

Um sólido de revolu¸cão é gerado pela rota¸cão de uma região plana em torno de um eixo no plano desse eixo. A ´ area de se¸cão transversal A(x) é um disco de raio R(x), ou seja, (6) A(x) = π [R(x)]2

O volume ´e a integral: V (x) = a

π [R(x)]2 dx

(7)

Exemplo: Um sólido √ de revolu¸cão é formado pela rota¸cão da região entre a curva y = x, 0 ≤ x ≤ 4 e o eixo x. Qual seu volume?

O volume do s´olido ´e V

= 0

√ 2 π [ x] dx = π

x 2 4 = π = 8π 0 2

x dx

(8)

(9)

Exemplo: O c´ırculo x 2 + y 2 = a2 ´e girado em torno do eixo x para gerar uma esfera. Qual seu volume?

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A área da se¸cão transversal é A(x) = πy 2 = π(a2 − x 2 )

S´ olidos de Revolu¸c˜ ao: o m´ etodo do disco S´ olidos de Revolu¸c˜ ao: o m´ etodo do anel

O volume ´e

Comprimento de Curvas Planas ´ Areas de Superf´ıcies de Revolu¸c˜ ao

(10)

π (a2 − x 2 ) dx

(11)

2 x 3 a 4 3 π a = π a x− = . −a 3 3

(12)

= −a

Exemplo: Determinar o volume do sólido de revolu¸cão obtido√com a rota¸cão em torno da reta y = 1, da região definida por y = x e pelas retas y = 1 e y = 4.

A área da se¸cão transversal é √ A(x) = π( x − 1)2

S´ olidos de Revolu¸c˜ ao: o m´ etodo do anel

(13)

Comprimento de Curvas Planas ´ Areas de Superf´ıcies de Revolu¸c˜ ao

O volume ´e V

= 1

√ π ( x − 1)2 dx =

x2 4 3 7π 2 − 3x + x 1 = . = π 2 6

√

π (x − 2 x + 1) dx(14) (15)

Exemplo: Determinar o volume do sólido obtido com a rota¸cão em torno do eixo y , da região compreendida entre o eixo y e a curva x = y2 , com 1 ≤ y ≤ 4.

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A área da se¸cão transversal é 2 2 dy A(x) = π y

Volumes por fatiamento e rota¸c˜ ao em torno de um eixo S´ olidos de Revolu¸c˜ ao: o m´ etodo do disco S´ olidos de Revolu¸c˜ ao: o m´ etodo do anel Comprimento de Curvas Planas ´ Areas de Superf´ıcies de Revolu¸c˜ ao

(16)

O volume ´e V

= 1

2 2 π dx y

(17)

4 = π 2 dx y 1 1 4 = 4 π − 1 = 3 π. y

(18) (19)

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Sólidos de Revolu¸cão: o método do anel

Prof. Josinaldo Menezes e Profa . Simone Batista Volumes por fatiamento e rota¸c˜ ao em torno de um eixo S´ olidos de Revolu¸c˜ ao: o m´ etodo do disco

Se ao rodarmos a região geramos um sólido que possui um orif´ıcio no meio, as se¸cões transversais são anéis. A ´ area de se¸cão transversal A(x) do anel é

S´ olidos de Revolu¸c˜ ao: o m´ etodo do anel

A(x) = π [R(x)2 − r (x)2 ]

Comprimento de Curvas Planas ´ Areas de Superf´ıcies de Revolu¸c˜ ao

(20)

onde R(x) ´e o raio maior e r (x) ´e o raio menor.

O volume ´e a integral: V (x) = a

π [R(x)2 − r (x)2 ] dx

(21)

Exemplo: A regi˜ao limitada pela curva y = x 2 + 1 e pela reta y = −x + 3 gira em torno do eixo x para gerar um s´ olido. Qual seu volume?

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Raio externo: R(x) = −x + 3.

Raio interno: r (x) = x 2 + 1.

Os limites de integra¸cão são os pontos de interse¸cão entre as curvas: (22) x 2 + 1 = −x + 3

S´ olidos de Revolu¸c˜ ao: o m´ etodo do disco S´ olidos de Revolu¸c˜ ao: o m´ etodo do anel Comprimento de Curvas Planas ´ Areas de Superf´ıcies de Revolu¸c˜ ao

que nos d´a x = −2 e x = 1.

O volume ´e V

= −2

π [(−x + 3)2 − (x 2 + 1)2 ] dx

= π (8 − 6x − x 2 − x 4 ) dx x 5 1 x3 117 π 2 − . = π 8x − 3x − = 3 5 −2 5

(23) (24) (25)

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Comprimento de Curvas Planas

Prof. Josinaldo Menezes e Profa . Simone Batista Volumes por fatiamento e rota¸c˜ ao em torno de um eixo S´ olidos de Revolu¸c˜ ao: o m´ etodo do disco Comprimento de Curvas Planas Comprimento de uma curva f (x) ´ Areas de Superf´ıcies de Revolu¸c˜ ao

Seja C uma curva dada parametricamente por x = f (t), y = g (t), sendo a ≤ t ≤ b. Assumindo que f e g s˜ ao cont´ınuas e não são simultaneamente nulas em [a, b] e C é percorrida exatamente uma vez, quanto t avan¸ca de t = a para t = b, então o comprimento de C é a integral definida L= a

[f (t)]2 + [g (t)]2 dt

(26)

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Volumes por fatiamento e rota¸c˜ ao em torno de um eixo S´ olidos de Revolu¸c˜ ao: o m´ etodo do disco

Prova 1. Unimos os pontos de A at´e B com segmentos de reta. 2. O comprimento de cada segmento de reta ser´ a p Lk = [f (tk ) − f (tk−1 )]2 + [g (tk ) − g (tk−1 )]2

(27)

Comprimento de Curvas Planas Comprimento de uma curva f (x) ´ Areas de Superf´ıcies de Revolu¸c˜ ao

3. Se Δ tk é pequeno, o comprimento de Lk é aproximadamente igual ao arco Pk−1 Pk. 4. De acordo com o Teorema do Valor Médio, existem n´ umeros t∗k e t ∗ ∗k em [tk−1 , tk ] tais que Δxk

f (tk ) − f (tk−1 ) = f (t∗k ) Δtk

(28)

Δyk

g (tk ) − g (tk−1 ) = g (t ∗ ∗k ) Δtk

(29)

O comprimento da curva ´e ent˜ao L = =

Comprimento de uma curva f (x) ´ Areas de Superf´ıcies de Revolu¸c˜ ao

lim

n→∞

lim

n→∞

= a

k=1 n

Lk = lim

n→∞

(Δxk )2 + (Δyk )2 (30)

k=1

[f (t∗k )]2 + [g (t ∗ ∗k )]2 Δtk

(31)

k=1

[f (t)]2 + [g (t)]2 dt

dx dt

2 +

dy dt

(32)

2 dt.

(33)

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A F´ormula Diferencial Resumida para o comprimento da curva ´e dada por

Volumes por fatiamento e rota¸c˜ ao em torno de um eixo

S´ olidos de Revolu¸c˜ ao: o m´ etodo do disco

Comprimento de Curvas Planas

dx dt dy dt

2 dt 2 dt

= =

dx dt dt dy dt dt

2 2

= dx 2

(34)

= dy 2

(35)

Comprimento de uma curva f (x) ´ Areas de Superf´ıcies de Revolu¸c˜ ao

(36) ou seja,

dx 2 + dy 2 =

onde ds =

(37)

dx 2 + dy 2 .

(38)

Exemplo: o comprimento do c´ırculo de raio r deﬁnido parametricamente por x = r cos t, y = r sen t, com 0 ≤ t ≤ 2π, ´e dado por

2π

L = 0

2π

= 0

= rt

√

2π 0

r 2 sen2 t + r 2 cos2 t dt r 2 dt =

(39)

2π

r dt

(40)

= 2π r .

(41)

Exemplo: o comprimento do astróide dado pela parametriza¸cão x = cos3 t e y = sen3 t, com 0 ≤ t ≤ 2π, é dado por

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Volumes por fatiamento e rota¸c˜ ao em torno de um eixo

S´ olidos de Revolu¸c˜ ao: o m´ etodo do disco Comprimento de Curvas Planas Comprimento de uma curva f (x) ´ Areas de Superf´ıcies de Revolu¸c˜ ao

dx dt dy dt

2 =

[3 cos2 t(− sen t)]2 = 9 cos4 t sen2 t

(42)

[3 sen2 t(cos t)]2 = 9 sen4 t cos2 t

(43)

dx dt

2 +

dy dt

= = =

√

9 cos2 t sen2 t(cos2 t + sen2 t)

9 cos2 t sen2 t 3| cos t sen t| = 3 cos t sen t.

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O comprimento da curva ´e

Volumes por fatiamento e rota¸c˜ ao em torno de um eixo

3 cos t sen t dt.

Usando a simentria da curva em rela¸c˜ao ao parˆametro t, temos:

Comprimento de uma curva f (x) ´ Areas de Superf´ıcies de Revolu¸c˜ ao

(44)

−2π

S´ olidos de Revolu¸c˜ ao: o m´ etodo do disco Comprimento de Curvas Planas

2π

L =

π 2

3 cos t sen t dt

0 π 2 3 = 4 sen(2t) dt 2 0 32 = −3 cos(2t) 0 = 6.

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Comprimento de uma curva f (x)

Se f for continuamente derivável no intervalo fechado [a, b], então o comprimento da curva y = f (x), de x = a até x = b, será 2 b dy 1+ dx (45) L = dx a b = 1 + [f (x)]2 dx (46) a

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Exemplo: o comprimento da curva y = 12 (e x + e −x ), onde 0 ≤ x ≤ 2.

Volumes por fatiamento e rota¸c˜ ao em torno de um eixo

S´ olidos de Revolu¸c˜ ao: o m´ etodo do disco Comprimento de Curvas Planas

dy dx

dy dx 2

1 x (e − e −x ) 2 1 2x (e − 2 + e −2x ) 4

= =

(47) (48)

Comprimento de uma curva f (x) ´ Areas de Superf´ıcies de Revolu¸c˜ ao

dy dx

1 2x (e + 2 + e −2x ) 4 2 1 x (e + e −x ) = 2 =

(49) (50)

L = =

1 x (e − e −x ) dx 0 2 1 2 1 x −x 2 (e − e ) 0 = (e − e −2 ) ≈ 3, 63. 2 2

(51) (52)

Exemplo: o comprimento da curva y =

x 23 2

, de x = 0 at´e x = 2.

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13 dy 2 11 1 2 = x− 3 = dx 3 2 3 x

S´ olidos de Revolu¸c˜ ao: o m´ etodo do disco Comprimento de Curvas Planas Comprimento de uma curva f (x) ´ Areas de Superf´ıcies de Revolu¸c˜ ao

A derivada de y com rela¸c˜ao a x ´e:

(53)

que não é definida em x = 0.

x 23 3 Reescrevemos y = 2 como x = 2 (y ) 2 , desde x(y = 0) = 0 at´e x(y = 2) = 1. Assim, 1 √ 3 dx 2 =2 (54) y = 3 y. dy 2

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O comprimento da curva ´e

Volumes por fatiamento e rota¸c˜ ao em torno de um eixo S´ olidos de Revolu¸c˜ ao: o m´ etodo do disco

´ Areas de Superf´ıcies de Revolu¸c˜ ao

1 + 9 y dy

(55)

Utilizamos a substitui¸c˜ao u = 1 + 9 y , com du = 9 dy .

Comprimento de Curvas Planas Comprimento de uma curva f (x)

u(y =1)=1+9.1=10

L = u(y =0)=1+9.0=1 10

= = =

√

1 1 u 2 du 9 1 1 3 10 u2 1 9 1 √ [10 10 − 1] ≈ 2, 27. 9

du 9

(56) (57) (58) (59)

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´ Areas de Superf´ıcies de Revolu¸c˜ao em Torno do Eixo x

Volumes por fatiamento e rota¸c˜ ao em torno de um eixo S´ olidos de Revolu¸c˜ ao: o m´ etodo do disco Comprimento de Curvas Planas ´ Areas de Superf´ıcies de Revolu¸c˜ ao ´ Areas de Superf´ıcies de Revolu¸c˜ ao em torno do eixo y ´ Area de Superf´ıcies de Revolu¸c˜ ao para Curvas Parametrizadas Forma Diferencial ´ para a Area de Superf´ıcies de Revolu¸c˜ ao

Se a fun¸cão f (x) ≥ 0 é continuamente derivável em [a, b], a área da superf´ıcie gerada pela rota¸cão da curva y = f (x) em torno do eixo x é 2 b dy 2πy 1 + dx (60) S = dx a b = 2πf (x) 1 + [f (x)]2 dx (61) a

C´ alculo I Aplica¸co ˜es das Integrais Deﬁnidas Prof. Josinaldo Menezes e Profa . Simone Batista Volumes por fatiamento e rota¸c˜ ao em torno de um eixo S´ olidos de Revolu¸c˜ ao: o m´ etodo do disco Comprimento de Curvas Planas ´ Areas de Superf´ıcies de Revolu¸c˜ ao ´ Areas de Superf´ıcies de Revolu¸c˜ ao em torno do eixo y ´ Area de Superf´ıcies de Revolu¸c˜ ao para Curvas Parametrizadas Forma Diferencial ´ para a Area de Superf´ıcies de Revolu¸c˜ ao

Exemplo: a ´area de √ superf´ıcie gerada pela rota¸c˜ao em torno do eixo x, da curva y = 2 x, 1 ≤ x ≤ 2:

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A derivada de y em relaÂ¸cË&#x153;ao a x Â´e

Volumes por fatiamento e rotaÂ¸cË&#x153; ao em torno de um eixo

dy 1 =â&#x2C6;&#x161; . dx x

(62)

SÂ´ olidos de RevoluÂ¸cË&#x153; ao: o mÂ´ etodo do disco Comprimento de Curvas Planas Â´ Areas de SuperfÂ´Äącies de RevoluÂ¸cË&#x153; ao Â´ Areas de SuperfÂ´Äącies de RevoluÂ¸cË&#x153; ao em torno do eixo y Â´ Area de SuperfÂ´Äącies de RevoluÂ¸cË&#x153; ao para Curvas Parametrizadas Forma Diferencial Â´ para a Area de SuperfÂ´Äącies de RevoluÂ¸cË&#x153; ao

Assim, 1+

dy dx

1 = 1+ x x +1 = x â&#x2C6;&#x161; x +1 â&#x2C6;&#x161; = . x

(63) (64) (65)

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A Â´area da superfÂ´Äącie Â´e:

Volumes por fatiamento e rotaÂ¸cË&#x153; ao em torno de um eixo

= 1

SÂ´ olidos de RevoluÂ¸cË&#x153; ao: o mÂ´ etodo do disco

Comprimento de Curvas Planas Â´ Areas de SuperfÂ´Äącies de RevoluÂ¸cË&#x153; ao Â´ Areas de SuperfÂ´Äącies de RevoluÂ¸cË&#x153; ao em torno do eixo y Â´ Area de SuperfÂ´Äącies de RevoluÂ¸cË&#x153; ao para Curvas Parametrizadas Forma Diferencial Â´ para a Area de SuperfÂ´Äącies de RevoluÂ¸cË&#x153; ao

4Ď&#x20AC;

â&#x2C6;&#x161;

2Ď&#x20AC;2 x

â&#x2C6;&#x161;

x +1 â&#x2C6;&#x161; dx x

x + 1 dx.

(66) (67)

Usando a substituiÂ¸cË&#x153;ao u = x + 1, com du = dx, temos que a integraÂ¸cË&#x153;ao vai desde u = 2 atÂ´e u = 3. Assim, S

1 2

3 2

4 Ď&#x20AC;u du = 4Ď&#x20AC;

8Ď&#x20AC; â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; 3 2 3 4Ď&#x20AC; 32 â&#x2C6;&#x2019; 22 = 3 3â&#x2C6;&#x2019;2 2 . 3 3

3 2

(68) 2

(69)

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´ Areas de Superf´ıcies de Revolu¸c˜ao em Torno do Eixo y

Se x = f (y ) ≥ 0 é continuamente derivável em [c, d], a área da superf´ıcie gerada pela rota¸cão da curva x = g (y ) em torno do eixo y é 2 d dx 2πx 1 + dy (70) S = dy c d = 2πg (y ) 1 + [g (y )]2 dy (71) c

Exemplo: A ´area da superf´ıcie lateral do cone formado pela rota¸c˜ao do segmento de reta x = 1 − y , 0 ≤ y ≤ 1 em torno do eixo y :

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A derivada de x em rela¸c˜ao a y ´e dx = −1. dy

S´ olidos de Revolu¸c˜ ao: o m´ etodo do disco

(72)

Comprimento de Curvas Planas ´ Areas de Superf´ıcies de Revolu¸c˜ ao ´ Areas de Superf´ıcies de Revolu¸c˜ ao em torno do eixo y ´ Area de Superf´ıcies de Revolu¸c˜ ao para Curvas Parametrizadas Forma Diferencial ´ para a Area de Superf´ıcies de Revolu¸c˜ ao

Assim, 1+

dx dy

2 =

√

1+1=

√

(73)

A ´area da superf´ıcie ´e: S

= 0

√

2 π 2 (1 − y ) 2 dy

2 1 √ √ 2 y (1 − y ) dy = 2 2 π y − = 2 2π 2 0 1 √ √ 1 = 2 2π 1 − = 2 π. 2

(74) (75) (76)

´ Area de Superf´ıcies de Revolu¸cão para Curvas Parametrizadas Se a curva lisa x = f (y ) e y = g (t), a ≤ t ≤ b, é percorrida exatamente uma vez quando t aumenta de a para b, então a área das superf´ıcies geradas pela rota¸cão da curva em torno dos eixos de coordenadas é calculada como se segue: 1. Rota¸cão em torno do eixo x (y ≥ 0): 2 b 2 dy dx 2πy + dt (77) S= dt dt a 2. Rota¸cão em torno do eixo y (x ≥ 0): 2 b 2 dy dx S= 2πx + dt dt dt a

(78)

Exemplo: Usando a parametriza¸cão do c´ırculo de raio 1 e centrado no ponto (0, 1), dada por x = cos t e y = 1 + sen t com 0 ≤ t ≤ 2 π, para determinar a área da superf´ıcie gerada pela rota¸cão do c´ırculo ao redor do eixo x.

A ´area da superf´ıcie ´e

2 π (1 + sen t) (− sen t)2 + (cos t)2 ) dt (79)

2π

= 0

2π

(1 + sen t) dt

(80)

= 2 π [t − cos t]2π 0 = 4π 2 .

(81) (82)

´ Forma Diferencial para a Area de Superf´ıcies de Revolu¸cão A forma diferencial para a área de superf´ıcies de revolu¸cão é S = 2 π ρ ds = 2 π ρ ds. onde ρ é o raio (x ou y ) e ds =

(dx)2 + (dy )2 .

(83)

(84)

Exemplo: A área da superf´ıcie gerada pela rota¸cão da curva y = x 3 , 0 ≤ x ≤ 12 em torno do eixo x é dada por

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Prof. Josinaldo Menezes e Profa . Simone Batista Volumes por fatiamento e rota¸c˜ ao em torno de um eixo

S´ olidos de Revolu¸c˜ ao: o m´ etodo do disco

O elemento de linha ds é dado por 2 2 ds = (dx) + (dy ) = (dx)2 + (3x 2 dx)2 4 2 = (1 + 9 x ) (dx) = 1 + 9 x 4 dx A área da superf´ıcie é S = 2π ρ ds = 2π y (dx)2 + (dy )2

2π

1 2

1 + 9 x 4 dx.

(85) (86)

(87) (88)

Usando a substitui¸c˜ao u = 1 + 9 x 4 e du = 36 x 3 dx, e integrando desde u(x = 0) = 1 + 9 x 4 at´e u(x = 1/2) = 25/16, temos 2 π 25/16 1 π 2 3 25 16 S = u 2 du = (89) u2 36 0 83 0 32 25 π 61 π . (90) = = 27 16 1728