Escola de Ciências e Tecnologia UFRN – 2012.2 - Turma02
CÁLCULO I - Derivação II Derivada como Função (seção 3.1) Regras de Derivação (seção 3.2) Profa. Judith Hoelzemann Contato:pelo SIGAA Bolsista REUNI: Neuber Araújo
Revis達o da Aula
Revisão da Aula -Derivação I-Retas Tangentes -Definição de tangente -Reta tangente e reta secante -Coeficiente angular e reta tangente -Reta normal e reta tangente -Derivada como função -Definição da função derivada -Notação das derivadas -Derivadas laterais -Diferenciabilidade de uma função -Teorema da diferenciabilidade
DEFINIÇÃO E INTERPRETAÇÕES. RETA TANGENTE E RETA NORMAL.TAXA DE VARIAÇÃO.
Prova no Quadro
OBS1: A recíproca do teorema 1 é falsa, ou seja, a função pode ser continua em um ponto e não ser derivável do mesmo.
Regras de derivação.
Nesta aula vamos sistematizar o uso da derivada, ou seja , vamos abandonar o cálculo de derivadas usando a definição em termos de limites e adotar regras que facilitem a manipulação de funções mais complicadas.
Ilustração:
se f ( x) 5, então df d (5) 0 dx dx
Regras de derivação.
Ilustração:
f ( x)
x
x2
x3
d ' 2 f ( x) f ( x) 1 2 x 3 x dx
x4 4x
3
OBS: Apesar de termos definido a regra para todo expoente inteiro diferente de zero esta regra vale para todo expoente real.
Regras de derivação.
Ilustração:
se f ( x) 5 x 2 , então df d d 2 2 (5 x ) 5 x 5.(2 x) 10 x dx dx dx
se f ( x) 6 x , então df d d 3 3 2 2 (6 x ) 6 x 6.(3x ) 18 x dx dx dx 3
Regras de derivação.
Ilustração:
dy d se y f ( x) 2 x 20 x , então [2 x 3 20 x 2 ] dx dx d d d 3 d 2 3 2 (2 x ) (20 x ) 2 ( x ) 20 ( x ) dx dx dx dx 2.(3x 2 ) 20.(2 x) 6 x 2 40 x 3
2
Regras de derivação.
Para o caso geral de n funções deriváveis podemos provar por indução matemática que:
d d d d [c1u1 c2u2 cnun ] c1 u1 c2 u2 cn un dx dx dx dx
Todos os polinômios são deriváveis em qualquer ponto.
Regras de derivação.
Vamos verificar o que ocorre quando aplicamos a definição de limite a função exponencial já vista no curso de f ( x) a x com a 0 fundamentos. h d x a xh a x a 1 x a lim lim a [ ] dx h h h 0 h 0
a 1 a lim [ ] h h 0 h
x
a 1 a a ' lim f (0) h h h 0 h
lim h 0
h
Note que
0
É a derivada em x=0
este ultimo limite fornece o coeficiente angular da curva em x=0
Regras de derivação.
A idéia aqui é obter uma função cuja derivada seja a própria função!! O limite L é aproximadamente 0,69 se a=2 e cerca de 1,1 se a=3. Parece que o valor de L=1 está entre a= 2 e 3. Esse valor é a=e=2,718281828. Com essa escolha da base, obtemos a função
f ( x) e x h d x e 1 x e e lim [ ] dx h h 0
1
Regras de derivação.
Pela figura ao lado isto ocorre quando a = e e assim h d x a 1 x a a lim [ ] dx h h 0
h d x e 1 x e e lim [ ] dx h h 0
Numericamente a base e é um número irracional que tem o valor e ≈ 2,728281828
1
Regras de derivação.
OBS: As únicas funções que obedecem a equação f ' ( x) f ( x) são as múltiplas constantes da função exponencial natural.
d d x x (ce ) c e ce x dx dx
f ( x) ce x
Regras de derivação.
Vimos que o limite do produto de duas funções é o produto dos limites de cada função, ou seja, lim (u.v) lim (u ). lim (v) x c
x c
x c
Cuidado ! as derivadas não obedecem esta regra!!
Pense mentalmente na regra: “a derivada do produto é igual a primeira vezes a derivada da segunda, mais a segunda vezes derivada da primeira.”
Regras de derivação.
Regras de derivação.
Pense mentalmente na regra: “a de baixo vezes a derivada da de cima, menos a de cima vezes a derivada da de baixo, sobre a de baixo ao quadrado.”
Memorize como um poema!!!
Regras de derivação.
s = (t2 + 5t – 1) / t2
Regras de derivação.
A regra de potenciação para inteiros negativos é a mesma para inteiros positivos.
Regras de derivação.
Vimos que se uma função f(x) pode ser derivada então existe f ' ( x) que também é uma função de x. Se f ' ( x) também for derivável podemos definir a derivada segunda como: f '' ( x) Assim
d y d dy dy ' '' 2 f ( x) 2 y D ( f )( x) dx dx dx dx 2
''
d y d d y dy ' ' ''' 3 f ( x) 3 2 y D ( f )( x) dx dx dx dx 3
2
'''
Continuando neste ritmo obtemos a derivada de ordem n ou enésima derivada.
y
(n)
f
n
(n)
d y ( x) n dx
Regras de derivação.
Lemos a notação da seguinte forma : y ' y linha ''
y y duas linhas d2y d dois y dx dois 2 dx ''' y y três linhas y
(n)
a derivada enésima de y
dny d n y dx n n dx
Regras de derivação.
Ilustração: se
y x x x x 1 4
3
2
Então:
y 4 x 3x 2 x 1 '
3
2
y 12 x 6 x 2 ''
2
y 24 x 6 '''
y
( 4)
24
y
(5)
0
Regras de derivação.
Exemplo 5: a) Encontre uma eq. para a reta perpendicular à tangente à curva: y = x3 - 4x +1 no ponto P0 (2,1) b) Qual o menor coef. angular e em que ponto?
Lista de exercícios: fazer os problemas solicitados do Thomas Seção 3.1: problemas: de 1 a 6. Seção 3.2, problemas: de 1 a 38 e os problemas: 39, 42, 45.