Escola de Ciências e Tecnologia UFRN – 2012.2 - Turma02
CÁLCULO I - Derivação IV Derivadas de funções trigonométricas (seção 3.4) A regra da cadeia e equações paramétricas (seção 3.5) Profa. Judith Hoelzemann Contato:pelo SIGAA
Bolsista REUNI: Neuber Araújo
Revis達o da Aula
Revisão da Aula -Derivação III- Aplicação das Regras de Derivação -A Derivada como Taxa de Variação -Taxa de Variação Média - Taxa de Variação Instantânea - Velocidade Instantânea / Aceleração -Aplicações
REGRAS DE DERIVAÇÃO-FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS.
Fenômenos periódicos: Campos eletromagnéticos Marés Tempo Alguns fenômenos climáticos Ritmo cardíaco Muitos modelos em física têm por base as funções periódicas com p. ex. em aplicações tecnológicas de aparelhos de localização global (GPS), na área de geociências: modelos de previsão de clima ou tempo, ou na área de saúde: máquinas de ressonância magnética.
REGRAS DE DERIVAÇÃO-FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS.
OBS: Vamos discutir aspectos importantes para a aula de hoje que envolve limites de funções trigonométricas. Ou seja, derivadas das seis funções trigonométricas básicas: sen θ, cos θ, tg θ, cotg θ, sec θ, cotsec θ
Apêndice B.3 do livro do Thomas: revisão das funções trigonométricas
REGRAS DE DERIVAÇÃO-FUNÇÕES ELEMENTARES.
lim
0
cos 1
0
REGRAS DE DERIVAÇÃO-FUNÇÕES ELEMENTARES.
O primeiro resultado importante desta aula é:
Prova no quadro
REGRAS DE DERIVAÇÃO-FUNÇÕES ELEMENTARES.
O segundo resultado importante desta aula é
REGRAS DE DERIVAÇÃO-FUNÇÕES ELEMENTARES.
REGRAS DE DERIVAÇÃO-FUNÇÕES ELEMENTARES.
REGRAS DE DERIVAÇÃO-FUNÇÕES ELEMENTARES.
Outras relações importantes são listadas abaixo.
Lembre-se que
OBS: As derivadas das funções seno e co-seno são fundamentais neste curso e precisam ser memorizadas, pois as derivadas das demais funções trigonométricas dependem do conhecimento destas. Saibam obter por derivação direta as identidades acima!!
REGRAS DE DERIVAÇÃO-FUNÇÕES ELEMENTARES.
Aplicação: Movimento Harmônico Simples
O movimento de um corpo oscilando livremente para cima e para baixo na ponta de uma mola é um exemplo de MHS.
Aplicação: Movimento Harmônico Simples
• EXEMPLO 4: Um corpo suspenso em uma mola é deslocado em cinco unidades da posição de repouso e solto, no instante t=0s. Sua posição (função) em qualquer instante é: s 5 cos(t ) • Quais são sua velocidade e aceleração no instante t ?
Aplicação: Movimento Harmônico Simples
s 5 cos(t )
• Sabemos diferenciar • Sabemos diferenciar
y f (u) sen(u), u x 2 4,
REGRA DA CADEIA
Como encontra a derivada de funções como:
y (4 x 1) ? 2
2
y sen( x 4) ? 2
• Uma solução na primeira função seria transformar a função em um produto u.v e usar a regra do produto. Mas, se o expoente fosse 100 em vez de 2? O cálculo seria muito complicado e enfadonho. • Na segunda função não podemos obter a derivada com as propriedades já vistas. • Existe uma regra que pode nos ajudar bastante, esta é a regra da cadeia.
REGRA DA CADEIA
A regra da cadeia diz que a derivada da composta de duas funções deriváveis é o produto de suas derivadas calculadas em pontos adequados.
REGRA DA CADEIA
REGRA DA CADEIA
Ilustração 1
y (4 x 1) 2
u
f (u) então
f (u) u
2
2
e u (4 x 1) 2
dy dy du . (2u ).(8 x) 2(4 x 2 1).8 x 16 x(4 x 2 1) dx du dx
REGRA DA CADEIA
Ilustração 2
y sen( x 4) 2
f (u) então
u
f (u) sen(u) e u ( x 4) 2
dy dy du . cos(u ).(2 x) 2 x cos( x 2 4) dx du dx
REGRA DA CADEIA
REGRA DA CADEIA
REGRA DA CADEIA
Exemplo 7: Encontre h’(x) para a função:
REGRA DA CADEIA
REGRA DA CADEIA
9
u sec( 2 x ) 2
yu ; 4
dy / du 4.u ; 3
du / dx sec( 2 x )tg (2 x )4 x; 2
2
dy / dx dy / du * du / dx 4.sec ( x ).sec( 2 x )tg (2 x )4 x; 3
y 16 x.sec (2 x 2).tg (2 x ); '
4
2
2
2
2
Exercícios para solucionar do livro de Thomas
Seção 3.4, problemas: de 1 a 30 . Seção 3.5: problemas: de 1 a 66. Seção 3.6: problemas: de 19 a 57.