Escola de Ciências e Tecnologia UFRN – 2012.2 - Turma02
CÁLCULO I - Derivação I Retas Tangentes e Derivadas (seção 2.7), Derivada como Função (seção 3.1) Profa. Judith Hoelzemann Contato:pelo SIGAA Bolsista REUNI: Neuber Araújo
Reta tangente e reta normal O que é uma tangente a uma curva? Para círculos C a reta L é uma reta tangente no ponto P, pois: L perpendicular ao raio; L toca apenas um ponto do círculo;
L passa por P e fica somente de um lado da curva.
Reta tangente e reta normal O que é uma tangente a uma curva?
A idéia de reta tangente funcionou para círculos mas, não tem sentido para uma curva qualquer, POIS: 1ª A maioria das curvas não tem centro. 2ª Uma reta que chamamos de “tangente” pode cortar a curva em mais de um ponto.
Retas tangentes e curvas gerais
Partir para uma definição mais intuitiva de tangente. Do comportamento dinâmico de uma reta secante em uma curva qualquer temos:
Reta tangente e reta secante
Como calcular a tangente a uma curva ?
Definição e interpretações. Reta tangente O processo dinâmico é usado para dar uma definição formal de tangente a uma curva em um ponto qualquer. Começamos calculando angular da secante PQ
o
coeficiente
Investigar o limite do Coeficiente Angular da secante quando Q P. Se o limite existe, então o tomamos como o coef. angular da curva em P e definimos a tangente à curva em P como a reta através de P com esse coeficiente angular. EXEMPLO 1:
f(x) = x2,
em P(2,4)
Definição e interpretações. Reta tangente
OBS: Alguns autores usam ∆x em vez de h na fórmula acima.
Definição e interpretações. Reta tangente
h
Definição e interpretações. Reta tangente
A TANGENTE à curva em P qualquer é a reta (circulada) através de P com o coeficiente angular m em P.
Definição e interpretações. Reta tangente
m 3x 3 2 0
A TANGENTE à curva em P qualquer é a reta (circulada) através de P com o coeficiente angular m em P.
Reta Tangente
Reta Normal
Definição: A reta normal a um gráfico em um dado ponto é a reta perpendicular à reta tangente naquele ponto. OBS: Lembre-se que a relação entre as inclinações é m.m’=-1 no ponto considerado.
DEFINIÇÃO E INTERPRETAÇÕES. RETA TANGENTE E RETA
Exemplo 3: Encontre a equação da reta normal no exemplo 2.
Definição e interpretações. Reta tangente e reta normal.Taxa de variação.
Exercícios (seção 2.7) Encontre o coeficiente angular das curvas nos pontos dados e a equação da reta tangente e normal à curva nesse ponto. Ex.: 12, 14, 16
DERIVADAS COMO FUNÇÃO.
• Definimos o coeficiente angular de uma curva como o limite dos coeficientes angulares da secante. • Esse limite, chamado de derivada, mede a taxa de variação de uma função e é um dos conceitos mais importante no cálculo. • As derivadas são usadas para: – – – – –
Calcular a velocidade e aceleração. Estimar taxa de disseminação de uma doença. Estabelecer níveis de produção mais eficientes. Calcular as dimensões ideais de uma lata cilíndrica. Determinar a idade de um artefato pré-histórico.
DERIVADAS COMO FUNÇÃO.
Razão incremental
OBS1: Se o limite acima existir em qualquer ponto do domínio de f, dizemos que a função f é derivável no ponto arbitrário x.
OBS2: Pela definição acima a existência do limite implica a existência dos limites laterais.
Derivada como função Se z = x + h então h = z – x, e x tende a z quando h tende a zero logo podemos escrever a definição em outra forma alternativa.
CÁLCULO DA DERIVADA = DERIVAÇÃO
Exemplos 1 e 2
CÁLCULO DA DERIVADA & NOTAÇÕES Existem varias maneiras (todas equivalentes do ponto de vista matemático) de representar a função derivada de y = f(x). De uma maneira geral
dy df d f ( x) y f ( x) Dx f ( x) dx dx dx '
Notação de Leibniz
'
dy dx Notação de Newton
y ' ( x)
f ' ( x)
Para indicar o valor da derivada em x = a escrevemos
dy f (a) dx '
x a
df dx
xa
d f ( x) dx xa
DERIVÁVEL EM UM INTERVALO: DERIVADAS LATERAIS Uma função é dita derivável em um intervalo fechado [a, b] se a derivada for definida em cada ponto do intervalo aberto (a, b). E se
Lim
f ( a h) f ( a ) h
Lim
f (b h) f (b) h
h 0
h 0
existem. Estes são os limites a direita de a e à esquerda de b respectivamente.
DERIVÁVEL EM UM PONTO = DERIVADAS LATERAIS NO PONTO IGUAIS
lim x x0
f ( x) lim f ( x) x x0
DEFINIÇÃO E INTERPRETAÇÕES. RETA TANGENTE
ela é derivável na origem?
QUANDO UMA FUNÇÃO NÃO APRESENTA DERIVADA EM UM PONTO ? Uma Função não terá derivada nos pontos em que o gráfico apresentar as seguintes características mostradas ao lado:
A diferenciabilidade ou a derivabilidade tem a ver com a “suavidade” do gráfico f.
QUANDO UMA FUNÇÃO NÃO APRESENTA DERIVADA EM UM PONTO ?
Uma função cujo gráfico é suave, pode não apresentar a derivada por vários motivos.
DEFINIÇÃO E INTERPRETAÇÕES. RETA TANGENTE E RETA NORMAL.TAXA DE VARIAÇÃO.
OBS1: A recíproca do teorema 1 é falsa, ou seja, a função pode ser continua em um ponto e não ser derivável do mesmo.