Cuaderno de trabajo # 22 i.e. esCuela normal superior nuestra señora de Fátima sabanagrande atlántiCo Febrero 6 de 2012
publiCaCión virtual
EL AVANCE DIDACTICO Y PEDAGOGICO DEL PROYECTO HACIA UNA MATEMÁTICA LÚDICA REDACCIÓN:
JUAN DAVID ROMERO SERNA DOCENTE I.E. ESCUELA NORMAL SUPERIOR NUESTRA SEÑORA DE FÁTIMA
RECTORA: SOR ALDINA ALFARO SARMIENTO COORDINADOR DE INVESTIGACION: JUAN DAVID ROMERO SERNA
AGRADECIENTOS: L a coordinación de investigación de la I. E. Escuela Normal Superior Nuestra Señora de Fátima agradece a todos los integrantes de dicha comunidad interna y externa por sus aportes y el nivel profesional, con el cual desarrollan o han aportado a su labor pedagógica, pues lo índices de reflexión y construcción de un marco teórico contextual es la que hace posible el desarrollo inteligente de la institución. A: www.doc2pdf.net/es/ por posibilitar en forma gratuita su convertidor de texto de Word a a documento pdf y así masificar dicha publicación. A: Cesarea Sarmiento, Ena Maria sarmiento, Gustavo Fruto, Lettelier Castilla, Myrna Jimenez, Edelmira Castro, Consuelo Maria Olmos, Orlando Villarreal, Yolima Fernanadez y a la red de matemáticas del Departamento del Atlántico, por abrir espacios para continuar el debate didáctico pedagógico en la búsqueda del desarrollo del pensamiento matemático A: todas aquellas personas que de alguna forman han hecho posible el avance institucional.
1. EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO UN RETO PARA LA DIDÁCTICA Y LA PEDAGOGÍA DEL SIGLO XXI Por: Juan David Romero Serna
Desarrollar el pensamiento matemático es el compromiso o reto de todo sistema educativo, que implica poner a disposición del estudiante y del mismo maestro toda la observación humana de los fenómenos naturales bajo un ideal de unas regularidades que permiten conceptualizar estructuras, vaticinar otras regularidades y establecer el uso creativo de las mismas, para la solución de problemas reales o hipotéticos en contextos empíricos o científico desde un argumento teórico, demostrable y de replicas en diferentes circunstancias. El reto de desarrollar el pensamiento lógico matemático de los estudiantes. Con lleva a que la matemática no es un conjunto de lecciones, ni algoritmos para hacer operaciones, sino que son situaciones reales para observar, codificar
y decodificar, elementos esenciales en la formulación y solución de problemas. De allí que la búsqueda para todo maestro en educación matemática, no es la selección de personas para decir quién sabe o no sabe matemática, sino el establecimiento de una pedagogía y una didáctica que permita atrapar al estudiante en el desarrollo de su pensamiento en un mundo matemático, esto equivale a decir que hay que llevar la matemática a los espacios concretos, que le permitan al estudiante ver, palpar y sentir el mundo a través de sus ideas, la parte de la matemática que hace posible ese paso seguro del mundo sensible que construye percepción es la geometría. Para ello se necesita una exploración de la lengua materna, pues en ella se concentra el legado cultural con el cual la especie humana ha construido, denotado y simbolizado su realidad, de allí que es fundamental en el desarrollo del pensamiento matemático el juego con la lengua materna, su simbología, su notación y connotación, porque es precisamente allí donde se halla la forma como culturalmente percibimos un determinado
fenómeno natural y desde ese proceso la identificación y la manipulación donde se hallan las regularidades, se comunican y se demuestran sus propiedades. La comunicación lingüística sin una percepción mental o esquemas que permitan al hombre idealizar una situación determinada no le lleva a hallar regularidades, de allí que en el desarrollo del pensamiento matemático es imprescindible la generación de ideales que lleven al sujeto a un acercamiento al fenómeno natural y desde allí establecer relaciones que le permita inferir propiedades en espacios reales, virtuales o imaginarios, con lo cual las percepciones puedan pasar a ser sensibles y manipulables en contextos reales y viceversa, convirtiendo así la geometría como un puente seguro entre el mundo tangible sensible al perceptible o ideal, de allí su marcada importancia en este documento. Ese juego entre lo sensible y lo perceptible, hace necesario el reconocimiento de las NECESIDADES BASICAS de los estudiantes y del maestro Y LA ACCION FISILOGICA DEL SISTEMA NERVIOSO CENTRAL, pues en él, se hacen las percepciones de los individuos, de
allí que es necesario en el desarrollo del pensamiento matemático los intereses individuales de las personas, su forma como se relaciona y sus limitantes evolutivas, pues los lóbulos del cerebro alcanza su plena madurez en diferentes etapas de la vida del individuo, y es a través de este órgano que el sujeto alcanza su saber individual, se interesa y profundiza en sus percepciones de un fenómeno, lo experimenta en el espacio sensible y lo organiza para desarrollar desde sus necesidades estudios exploratorios, que le permitirán transformar sus propios esquemas mentales, con los cuales también cambia su realidad o forma de ver el mundo. Luego es allí en el juego entre el mundo sensible y el perceptible donde el sistema nervioso central aprende y convoca medios para la comunicación de la experiencia, genera recuerdos y mediatiza el fenómeno matemático, lo transforma y lo hace ciencia y tecnología al hallar su aplicabilidad en contextos tecnológicos y de transformación permanente. Es así como la utilización de los esquemas mentales en procesos de una determinada
búsqueda de un fenómeno matemático, puede una persona dar cuenta de sus regularidades y mediatizar estas con la facultad de poder prever y hallar usos creativos de una proyección mental, que le lleva a construir hipótesis de trabajo, desarrollar los esquemas en medios reales y experimentar para luego teorizar. En este medio de hipótesis, experiencia y valoración se generar el actuar matemático de la transformación permanente, porque se generar una nueva manipulación del fenómeno natural o artificial por diferentes motivos, estos pueden ser económicos, estético o funcional que permite la creación o adecuación a uno nuevo o innovo uso. De allí que se necesite nuevamente reiniciar el estudio de las percepciones En este acontecer en la experiencia en el aula es aconsejable que se aplique la didáctica de la matemática a cada concepto y ella debería estar acompañada de un discurso pedagógico que explore la lengua materna y desarrolle actitudes de análisis, desde muy corta edad, que permita desde la actuación en el evento pedagógico una experiencia del estudiante y
de su maestro proveniente de la observación, de la búsqueda de las regularidades, de la lectura creativa del medio y del ejercicio de racionalizar el medio o lo que se acostumbra a llamar matematizar el contexto. Esta didáctica construye relaciones entre el contexto y los conceptos teóricos, de allí que el estudio de la geometría, sus regularidades o propiedades de los objetos geométricos sean un vehículo esencial para el desarrollo del pensamiento matemático, y vincularla desde las mismas operaciones matemáticas, crea la sensación del espacio sensible al perceptible y viceversa, es así como la propuesta para los maestros de la básica primaria, pueden llevar a sus discípulos desde la linealidad al concepto de adición y desde las áreas de los rectángulos a las tablas de multiplicar de dos factores y desde luego el producto de n cantidades iguales a la construcción de objetos geométricos potencialmente perfectos. COMO INTERVIENE LA DIDACTICA Este proceso de geometrizar el contexto para matematizarlo, es el medio con el cual puede intervenir la didáctica, es decir, llevar todo a la geometría incluso las operaciones básicas de
la matemática, pasarlas al plano de las cualidades sustantivas de los objetos materiales, desde tres tipos de acciones, la acción constructora, la deconstructora y la de propiedades dimensionales de los objetos geométricos. En otras palabras esto constituye que la acción del aula de clase no es enseñar matemática, sino, en generar lecturas matemáticas del mundo circundante, para que el mismo estudiante problematice su medio. Este llevar el campo conceptual de la geometría al mundo de la didáctica hay que asumirla como una herramienta primordial para el desarrollo del pensamiento matemático, para generar en nuestros estudiantes ese puente entre el mundo real o de las formas de la tierra y el construido por él desde su saber en la interacción entre sus estructuras cognitivas, las formas que percibe y el desarrollo realizado por la humanidad. Es así como en la búsqueda de esa dinámica, acción, reflexión y transformación, las bases teóricas de la matemática hacen posible identificar tres grandes grupos de OPERACIONES MATEMÁTICAS desde la ejecución de una acción que son:
Las constructoras, las deconstructoras (desarman) y las de propiedades dimensionales de los objetos geométricos perfectos: Las constructoras como su nombre lo dice son acciones de construcción, ellas son: LA ADICIÓN, LA MULTIPLICACIÓN Y LA POTENCIACIÓN. Las deconstructoras (desarman) son: LA SUSTRACCIÓN, LA DIVISIÓN Y LA RADICACIÓN. La operación que denota las propiedades dimensionales de los objetos geométricos potencialmente perfecto es la LOGARITMACIÓN. La adición es una operación constructora de linealidad, esto plantea que es necesario partir de la cualificación de los objetos para establecer categorías de ellos que permitan ser aglutinados según la característica que lo hacen común para luego codificarlos en cifras para hacer su adición. Este proceso permite hallar algoritmos que generan reglas de aceptación social y una forma de generar conocimiento cultural, que permite hacer a los participantes gestores de ideas para argumentar y contra argumentar y desde esa pretensión generar transformaciones que
hacen posible empoderar a los estudiantes con un lenguaje especifico de la matemática que le permite salir a debatir con comunidades académicas más amplias que la inicial del aula de clase. Planteada la adición dentro de este marco geométrico se hace visible los problemas del entorno y sus posibles soluciones, se puede desarrollar abstracciones muy acordes con el desarrollo cognitivo y evolutivo del estudiante y desde allí generar una solida base cognitiva basado en el conocimiento del medio, de allí que los problemas que el educando plantea son reconocidos en su medio, ante inquietudes propias y formas de razonamientos que le llevan a situaciones hipotéticas de su realidad, de esta forma se genera un proceso de empoderamiento de las personas frente a su propio núcleo social, además de que se hace de la matemática no un conjunto de lecciones sino un método para la observación, lectura y construcción de los procesos culturales desde el entorno inmediato del estudiante.
De allí que se pueda percibir la adición como una acción constructora de linealidad, es así, que en todo aquello que la mente humana logre penetrar y se alcance a ordenar de tal forma que se establezca una relación biunívoca entre los elementos de un conjunto, que permita ordenar numéricamente dichos elementos, de inmediato se crea la sensación de una línea recta, por tal motivo, la adición construye dicha recta. La acción contraria el desarmar la línea recta (deconstructora) sería la operación inversa, la sustracción. Esto genera la problematización del entorno, no desde supuestos generados por otros, sino desde la acción propia del
pensamiento del sujeto en sus dimensiones, bajo sus estructuras lógicas y en la observación de su propio medio.
Es así como se puede hacer palpable la adición y la sustracción también es posible percibir la multiplicación, esta vez es como constructora de ortogonalidad (ángulo recto), esto conlleva a que es factible ver la multiplicación de dos factores, simple y llanamente como áreas de rectángulos, incluso se puede obtener explicaciones del porque, de las propiedades de esta operación y se puede desarrollar pensamiento en torno a tres, cuatro, cinco etc. Factores, que es posible ir
desarrollando en la medida en que el sistema nervioso central del estudiante evolucione cognitivamente.
5 X 3 = 15
Desde esta óptica se puede llevar al niño y al joven a desarrollar lectura simbólica de un determinado contexto, desde el saber matemático, a divisar la operación multiplicación y la construcción de sus propios problemas que involucran elementos de su entorno que le invitan a la comparación con patrones estandarizados, así se podría generar interrogantes desde lo que el estudiante observa y mediante este puede fomentar una escritura autónoma. En el impulso de racionalizar o desarrollar su pensamiento
matemático el siguiente es un ejemplo práctico para el aula de clases.
Principio para la construcción de la tabla de multiplicar del 7 Frente a este proceso cabe anotar que el estudiante visualizaría el concepto de multiplicación como la adición de cantidades iguales o simplemente como un conteo de n en n según la tabla que quiera desarrollar, así como puede palpar las propiedades de las operaciones, comprendería el porqué de estas en un espacio numérico, es así que observaría
la propiedad conmutativa como el área de un rectángulo, para la cual no interesa la posición siempre el área será la misma.
Además de comprender por qué, el resultado de la multiplicación se le denomina producto y como cada uno de los objetos que conforman el universo es un producto o en su defecto una multiplicación de n factores, según los elementos que lo conforman. En esta forma llegamos al análisis geométrico de la operación división la cual posee una doble naturaleza, en una de ellas estaría clasificada dentro de las operaciones deconstructoras (desarma) la ortogonalidad, es decir, toma el objeto geométrico (el producto o
multiplicación) desde el ángulo recto que lo forma y lo descompone en sus elementos constitutivos o raíces, de allí que el área de un rectángulo al ser divido por uno de sus lados o raíz dará el otro lado o raíz, así desde las áreas o producto de dos factores de los rectángulos se puede palpar la deconstrucción del ángulo recto. Los estudiantes y sus maestros pueden ver, palpar las tablas de multiplicar o dividir, y desde ese proceso generar situaciones problemáticas involucradas con situaciones de su entorno. Y para la lectura solo se necesita la comprensión de la deconstrucción del ángulo recto, como se propone en el siguiente gráfico, con la división del producto de una forma rectangular de 15 (quince) unidades cuadras entre el lado o raíz 5 (cinco) y la respuesta es el otro lado o raíz 3 (tres), sucede lo mismo si tomo nuevamente el producto rectangular 15 unidades cuadras y lo divido entre el lado o raíz 3 (tres)
Toda acción didáctica que no valore y conceptualice sobre una determina acción de índole cultural tradicional, puede generar en el ambiente una percepción individual y colectiva de falso aprendiza, de allí la necesidad de establecer nexos tangibles o concretos entre el algoritmo de la división en medios tradicionales y la propuesta de la división como deconstructora del ángulo recto, que se podría ajustar a dos etapas diferentes del desarrollo evolutivo del sistema nerviosos central y que justifican y visualizan el algoritmo tradicional para la división de dos cantidades, ejemplo gráfico para la primera etapa evolutiva.
En el ejemplo se desarrolla la división de 896 entre 7, desde el aspecto simbólico y desde una repartición concreta de objetos, donde queda claro el producto y la deconstrucción o desarme del ángulo recto, pero en una explicación concreta del algoritmo aplicado en la división tradicionalmente, este mismo proceso será abordado en otro capítulo de este mismo material para la escritura decimal de una fracción racional o división indicada.
Una propuesta para el algoritmo tradicional de la división desde lo esencialmente simbólico, que quita presión sobre lo memorístico mecánico la propuesta se ilustra en el siguiente
recurso a través de la división de 39457 entre 43
Aún cabe analizar otra naturaleza de la operación división que involucra las razones de cambio, es decir hay situaciones del contexto que nos dan la sensación de un cambio, en la medida que esto sucede la operación matemática involucrada es la división, de allí que para describir cualquier rapidez se asuma la división como la parte simbólica que explicaría ese fenómeno natural dentro de un argumento matemático. De esta forma las operaciones no únicamente son elementos
abstractos, sino entes matemáticos que permiten leer e interpretar el medio que rodea al estudiante.
De esta forma se puede divisar la división en diferentes contextos y ayudar al niño y al joven a palparla no únicamente con el sentido de la vista sino con los otros sentidos fenómenos matemáticos de tipo físico, estético o cultural, de allí que en el salón de clases se pueda hablar de la división que se escucha, que se siente con la piel, etc. Y para este fin desarrollar experiencias didácticas como contar palabras, leerlas teniendo en cuenta la unidad de tiempo dando origen a la rapidez de lectura, cual es la rapidez de un determinado objeto al ser halado por un niño, o de tipo cultural al establecer la unidad de cambio como lo ilustra el grafico anterior, esta visión permite llevar al
joven o al niño a la experimentación de la operación en relación consigo mismo, dando bases solidas para el estudio del teorema de tales y un desarrollo geométrico de la proporcionalidad.
Analizada la división en su doble naturaleza, es necesario observar la potenciación como una operación constructora, cuya base es la multiplicación, donde dichos factores tienen la propiedad de ser iguales, por lo tanto podemos afirmar que construye objetos geométricos perfectos, de allí que cuando hay dos factores lo que se obtiene son cuadrados, tres factores cubos y así sucesivamente. Esto lleva a la comprensión del fenómeno cotidiano en el cual se pueden hacer objetos geométricos en diferentes espacios dimensionales, claro está,
este se debe desarrollar en la medida que evoluciona el sistema nerviosos central del estudiante y teniendo muy en cuenta sus esquemas cognitivos.
Así el estudiante y su maestro pueden palpar las potencias perfectas y desarrollar esquemas mentales que le lleven a observar en ellas algunas propiedades o regularidades, que justifican el por qué de los desarrollos algebraicos denominados productos notables, que es en si factorizar y que conexiones hay entre estas y los cocientes notables, o hallar el sentido que tiene de hablar de una variable elevada a la n potencia, como también entrar al universos de las irregularidades y formular expresiones matemáticas para diversas actuaciones y acciones, se amplía el mundo de
las relaciones tanto para el estudiante como para su maestro.
Debido a este tipo de relación entre las operaciones matemáticas y la geometría se puede afirmar que la radicación es una operación deconstructora, que toma al objeto geométrico perfecto y como su nombre lo dice lo lleva a sus orígenes, génesis o raíz, es así como la raíz cuadrada de un objeto geométrico perfecto es el lado que origina el cuadrado, en otras palabras halla la magnitud del lado que lo hace posible, así mismo se hace la relación con el cubo y cualquier otro objeto geométrico perfecto que lleve a la consecución de la arista o segmento generatriz que lo construye, por lo tanto la radicación deja de ser la operación abstracta que el estudiante no puede tocar o
palpar para indispensable decodificación estudiante.
convertirse en un medio para la codificación y del medio que rodea al
Ese análisis desarrollado bajo esta didáctica crea la necesidad del estudio de los objetos geométricos bajo todas sus características, para localizar el número de raíces que lo hacen posible y generan objetos geométricos potencialmente perfectos, es decir desde las propiedades dimensionales de los objetos geométricos perfectos, se hace necesario el estudio de la operación logaritmo. De allí que ella se desarrolle como un estudio analítico del número de las dimensiones que conforman el objeto y lo hacen posible.
En diferentes diálogos sobre la operación logaritmo con personas de diferentes áreas o con estudiantes en el salón de clases para la comprensión del fenómeno matemático logarítmico se utiliza el siguiente ejemplo, “he observado a muchas personas que al probar una comida dicen <<este plato fue preparado con … (lista de ingredientes)…>> el número de ingredientes utilizados es el logaritmo”. Y en las expresiones algebraicas esta operación estaría dada por el grado del polinomio, sumamente importante para la factorización razonada de los polinomios. Si es posible para el maestro y su discípulo localizar conscientemente el logaritmo desde la esencia que generan los objetos geométricos pueden problematizar el medio y hallar la razón
por la cual podemos hablar en matemática de un objeto con dos, tres o más raíces iguales o diferentes, lo que hace posible el desarrollo geométrico del algebra bajo esquemas que lleven las percepciones individuales a los símbolos culturales, lo que daría para la codificación y decodificación del contexto o su matematización, desde una problematización con una o más solución o la utilización razonada del entorno. La compresión de este fenómeno geométrico de interpretación matemática crea las bases para comprender como el grado del polinomio genera el logaritmo, base fundamental para hacer de la factorización un elementos tangible para las estructuras cognitiva de los estudiantes, si didáctica y pedagógicamente logramos dar este salto, se hace posible que nuestros estudiantes empiecen a ver el universo desde las fórmulas matemáticas. Es a partir de estos elementos que se hace que el mundo de la realidad se pueda traducirse a caracteres simbólicos o abstractos, que hacen emerger el álgebra, la misma geometría, el
cálculo diferencial y el cálculo integral, se genera la disposición lógica para el desarrollo de la geometría analítica y fortalecen los procesos de comprensión del fenómeno lógico matemático desde las regularidades universales que puede presentar el mundo de la realidad. Este proceso desarrollado bajo esta didáctica crea la necesidad del estudio de los objetos geométricos bajo todas sus características, con una métrica que podría llegar hasta los objetos geométricos potencialmente no perfectos, lo que hace posible que el estudiante y su maestro puedan problematizar el medio y hallen la razón por la cual podemos hablar en matemática de un objeto con dos, tres o más raíces diferentes, lo que hace posible el desarrollo geométrico del algebra bajo esquemas que lleven las percepciones individuales a los símbolos culturales. Lo que nos llevaría a la búsqueda de una solución didáctica al problema que dificulta la comprensión de los fenómenos matemáticos
por parte del estudiante y la pretensión cultural de universalizarlas, y desde una acción pedagógica ayudar a nuestros jóvenes y niños al DESARROLLO DEL PENSAMIENTO MATEMATICO con lo cual se presentaría el medio como un recurso necesario para la observación, lectura, codificación y decodificación, que daría sentido, él para que estudiar matemáticas. Hasta aquí llegaría la acción constructora, deconstructora o de propiedades dimensionales de los objetos geométricos potencialmente perfectos base de las operaciones matemáticas básicas. Es esta visión de la matemática la que hace posible una didáctica y una pedagogía que permite la búsqueda de alternativas para dar respuesta a la necesidad de desarrollar el pensamiento matemático de los niños y jóvenes del siglo XXI en la misma experiencia del aula que permiten avanzar en esta ciencia, ampliado su círculo de discusión.
Todo esta actuación sin un discurso pedagógico que apoyado en la lengua materna explore las formas y los contextos analizando su generalización o fórmula matemática carecería de sentido, pues es a través de la búsqueda de los símbolos colectivos que se construyen discursos que permiten comunicar ideas, demostrar regularidades y establecer medios para hacerlos visible, cuando este aflora desde análisis razonados y no de procesos de mecanización, sino de uso intencionado de la razón podríamos decir que se ha alcanzado algún grado del desarrollo del pensamiento matemático desde la utilización de esquemas mentales que hacen uso de la memoria compresiva y analítica de los niños y jóvenes utilizando los fenómenos matemáticos. Desde luego este uso del razonamiento intrínseco de los fenómenos matemáticos GENERA PROCESOS EVALUATIVOS diferentes, pues su acción no se concentra en la memoria mecánica, para saber cuanta información recuerda una determinada persona y de hecho no se acepta la utilización del no saber del estudiante como un pretexto para evadir una participación, como tampoco el “yo no vine ayer” pues bajo esta acción siempre se
solicita el análisis de la situación planteada desde diferentes parámetros que pueden ir desde la simbología propia de la lengua materna hasta el icono geométrico de una idea y desde allí el impulso a la nueva transformación individual del esquema mental del estudiante incluso del mismo maestro, esta evaluación no admite calificación alguna, sino procesos de acompañamiento que estructuran o reestructuran permanentemente el PENSAMIENTO MATEMÁTICO, de tal forma que siempre hay situaciones que aprender. Como siempre hay elementos que necesitan ser analizados y observados desde diferentes parámetros cabe la pregunta ¿QUE SUCEDE CON LO COGNITIVO?, pues en el desarrollo del pensamiento lógico lo cognitivo o fundamental no es ¿cuánto se recuerda?, ni ¿cómo se recuerda?, sino ¿cómo se argumenta?, ¿cómo se plantean situaciones a los estudiantes y al mismo maestro, que le construyan desequilibrios cognitivos?, pues lo que se busca es un proceso de análisis y transformación permanente de ideas, algo muy difícil, para nuestra cultura escolar centrada más en las lecciones para aprender que en las estrategias para analizar, donde cualquier
argumento es válido, para argumentar o contra argumentar y parece mentira, las mejores clases dentro de este desarrollo problemático, son aquellas donde el estudiante pretende “sabotear”, pues se aprende que detrás de cada actuación humana hay implícitamente un desarrollo del pensamiento matemático. Es así que toda actividad en el aula de clases debería concentrarse en el desarrollo de ideas que lleven al sujeto a la reflexión sobre su cotidianidad, para generar los esquemas que le permitan identificar el medio como su entorno inmediato de estudio, pues es su mayor interés para la reflexión y transformación razonada, de allí que LA ACCION VALORATIVA Y SU RESPUESTAS A cuestionarios tipo TEST, son tan necesarios como mediación cultural para el reconocimiento de la forma como el estudiante está en condiciones de reconocer ideas en entornos académicos de interpretación simbólica y de uso de un lenguaje especifico, así como la realización de un proceso de observación del uso de las habilidades lectoras y de comprensión de una realidad y para el estado y sus administradores para planear y proyectar su desarrollo económico y social.
2. EL DISCURSO PEDAGOGICO EN EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO El discurso pedagógico para desarrollar el pensamiento matemático compromete la acción del maestro y para él implica repensar una actuación acompañada de un discurso que le lleve a poner a disposición del estudiante toda la observación de los fenómenos conceptualizados y divulgados desde unas ideas generalizadoras de unas regularidades que le lleven a desarrollar su propia creatividad y la de sus estudiantes, en este discurso se conceptualiza estructuras desde lo experimental, lo procedimental y algorítmico. Las ideas vinculadas al discurso pedagógico en el desarrollo del pensamiento matemático debería llevar al estudiantes a vaticinar regularidades y desarrollar un lenguaje apropiado para utilizar argumentos y contra argumentos desde el uso creativo de su imaginación, para que desde allí emerjan los problemas y sus variadas y posibles soluciones, bajo condiciones que le permiten al maestro y a sus estudiantes construir
relaciones entre los fenómenos del entorno y los símbolos culturales establecidos por el hombre desde el devenir histórico del conocimiento matemático. En si esta es la necesidad del aula de clases y su hecho imprescindible en la identificación de problemas reales o hipotéticos en contextos empíricos o científico, que le permitirá al maestro dentro del ejercicio democrático empoderar al estudiante para el acceso a comunidades de discusión cultural más amplias, con el dominio de argumentos teórico, demostrable y de aplicación en diferentes situaciones. Desde esta aproximación es como el discurso pedagógico le brinda al maestro el gran reto de desarrollar el pensamiento lógico matemático de los estudiantes. Esto con lleva a que hay una necesidad imperiosa de explorar la lengua materna desde este saber especifico, para convertir dicho análisis en una búsqueda incesante de conceptos, que implican formas de hacer y proceder es decir algoritmos para observar, detallada y ordenadamente un determinado fenómeno, que tanto individual y culturalmente se hace bajo un determinado
marco referencial. Este ordenamiento es el que hace posible el codificar y decodificar el entorno en el uso de una métrica, elemento esencial en la formulación y solución de problemas. De allí que la necesidad del estudio analítico de la lengua materna para generar inicialmente un marco referencial individual que lleve al estudiante y al maestro a la búsqueda incesante de regularidades en su entorno inmediato, avanzar en la comprensión de esas regularidades es la finalidad en la educación matemática. Esto debe construir un discurso pedagógico que empodere al estudiante y lo conduzca al establecimiento de una pedagogía y una didáctica que permita el acceso a espacios de disertación de mayor trascendencia académica, en un medio de uso del discurso pedagógico, analítico, comprensivo y partiendo de lo concreto para la etapa inicial del desarrollo evolutivo del pensamiento humano. Para ello se necesita además de la exploración de la lengua materna, un domino del marco conceptual que permita el reconocimiento del legado cultural, con el cual la especie humana
ha construido el saber especifico de la matemática, denotado y simbolizado una realidad y establecido formas de demostración que permiten vivificarla en diferentes contextos. De allí la necesita de un discurso pedagógico que argumente vivifique y desarrolle simbología, notación y connotación dentro de un lenguaje cotidiano y uno especifico, que ayude al estudiante y a su maestro a divisar dentro de un ambiente creativo la forma como culturalmente percibimos individual y colectivamente un determinado fenómeno natural en su tránsito a fenómeno matemático y como tal idealizarlo para ser identificado, manipulado desde unas regularidades que se comunican y se demuestran dentro de unas propiedades. La comunicación lingüística sin esa capacidad de evocación, es decir desde una percepción mental o esquemas que permite al estudiante y a su maestro idealizar una situación determinada, convocada desde un discurso pedagógico no le lleva a hallar regularidades, a problematizar el entorno, a generar hipótesis de trabajo y mucho menos a hallar medios para la comprobación, de allí que en el desarrollo del pensamiento matemático es imprescindible
la generación de ideales propiciada desde el discurso pedagógico en el análisis connotativo de la lengua materna, simplemente quien no identifica un problema desde un discurso oral o escrito no lo resuelve, o no idealiza un acercamiento al fenómeno natural que le lleve a una reflexión para desde allí establecer relaciones que le permita inferir propiedades en espacios reales, virtuales o imaginarios, con lo cual las percepciones desde cualquier espacio sensible le ayuden a hacer soluciones hipotética. Esa mezcla en una reflexión entre lo sensible y lo perceptible, se hace indispensable el reconocimiento de las necesidades básicas o intereses de los estudiantes por parte del maestro, para poder acompañar desde un discurso pedagógico apropiado y poder estimular LA ACCION FISILOGICA DEL SISTEMA NERVIOSO CENTRAL, en el uso y estimulación de la memoria semántica pues en él, esta memoria establece un vínculo entre el sujeto y el devenir histórico de la teoría se codifican y se decodifican las percepciones de los individuos y se empodera al estudiante para el acceso cultural a comunidades dialógicas más especializadas.
De allí que es necesario en el desarrollo del pensamiento matemático desatar desde el discurso pedagógico un descubrimiento del sujeto por sus propios intereses, o la motivación por el reconocerse así mismo en sus gusto y afinidades, tanto en lo individual, como en lo colectivo, esto crea la necesidad de construir sociedades altamente complementarias, pues se genera una actitud de observación para hallar regularidades en la forma como se relaciona el fenómeno matemático con el imaginario individual y colectivo, desde los intereses del estudiante. Desde luego los procesos y argumentos utilizados en ese desarrollo debe tener muy en cuenta las limitantes evolutivas, pues la comprensión del fenómeno matemático de las relaciones incluso sociales se generan en los lóbulos frontales del cerebro y estos alcanzan su plena madurez en etapas más avanzadas de la vida del individuo, y es a través de estos lóbulos que el sujeto alcanza su saber individual frente a las relaciones del sujeto con su entorno y su mundo social. Es así como el discurso pedagógico se debe interesar y profundizar en las diferentes formas
de llegar a las percepciones de un fenómeno matemático, sobre todo en la educación básica y acudir al máximo a lo experimental en el espacio sensible y para organizarlo desde la acción discursiva, para desarrollar desde las observaciones del entorno cotidiano los estudios exploratorios de los fenómenos matemáticos, que le permitirán transformar sus propios esquemas mentales, con los cuales también cambia su realidad o forma de ver el mundo y de allí la necesidad de organizar el fenómeno matemático desde una opción de estudio desde sus propios interese. Luego es allí en el juego entre el mundo sensible y el perceptible donde el discurso pedagógico debe despertar curiosidad al sistema nervioso central tanto del estudiante como de su maestro, en esa interacción se aprende y se convocan los medios para la comunicación de la experiencia, depende de lo riguroso del discurso se puede asegura que se está ante una acción empírica o científica de todos modos una observación de un determinado fenómeno matemático. La rigurosidad del discurso debe generar recuerdos y mediatizar la experiencia sensible
y perceptible del estudiante y su maestro, desde la notación y connotación de las palabras de allí la importancia de significación de ellas en el contexto cotidiano, en la lengua materna y en el lenguaje especifico, esa compresión es la que puede generar la predisposición de la persona para hacer las transformaciones necesarias de los esquemas mentales con los cuales se hace la ciencia y en el desarrollo de estas a través de la concreción de las ideas y aplicación de los fenómenos matemáticos se genera la tecnología, que en su constante uso de la facultad de prever usos creativos de una determinada herramienta, le lleva a explorar nuevas ideas en procura de una nueva transformación, que puede ser inspirada por la forma de uso de la herramienta, por la transformación estética o por busca de un interés económico, de todos modos un fenómeno matemático en acción. En este medio de interacciones discursivas de argumentos y contra argumentos mediatizados por esquemas metales que exponen los fenómenos matemáticos a la curiosidad humana y facilitan la construcción de hipótesis, se reflexiona y comunica la experiencia, se valora y se generar el actuar matemático de la
transformación permanente, porque se genera una nueva manipulación del fenómeno natural o artificial por diferentes motivos, estos pueden ser económicos, estético, funcional y dentro de este de adecuación o de un nuevo o innovo uso. De allí que se necesite nuevamente reiniciar el estudio de las percepciones en un contexto comunicativo, pues es allí en el uso del discurso donde se hace la validación, renovación y concertación de los fenómenos matemáticos. De allí la importancia en este acontecer de la experiencia humana en el aula de clases, connotar y simbolizar el fenómeno matemático a través del discurso pedagógico a cada concepto matemático que invite a la exploración de la lengua materna y desarrolle actitudes de análisis en el uso de un lenguaje especializado, desde muy corta edad, que permita desde la actuación en el evento pedagógico una experiencia del estudiante y de su maestro proveniente del análisis reflexivo del lenguaje, de la búsqueda de significación de las regularidades, de la lectura creativa del medio y de su expresión a través del discurso en el ejercicio de racionalizar el medio o lo que se acostumbra a llamar matematizar el
contexto incluso desde la acción práctica del discurso pedagógico. Este discurso pedagógico debe construir relaciones entre el contexto y los conceptos teóricos, de allí que el estudio de la geometría y su incidencia en los fenómenos matemáticos es fundamental, pues permite la comunicación de regularidades o propiedades de los objetos geométricos, lo cual se convierte en un vehículo esencial para el desarrollo del pensamiento matemático, y hacerla comunicativa visualmente desde una métrica (patrón de comparación) es indispensable para construir el fenómeno matemático que cuantifica y contextualiza una realidad de allí que asumir el conteo o los patrones de cuantificación de un fenómeno matemático construyen el espacio sensible e influyen en el perceptible o viceversa. Es así como en esta propuesta para los maestros de la educación básica y media, se puede llevar a los discípulos desde la acción discursiva y cualitativa de los fenómenos matemáticos a la construcción de una métrica que permita el emerger de la acción numérica
según la necesidad de comparación del estudiante y el desarrollo evolutivo del mismo. Para analizar sobre el uso del discurso pedagógico en el desarrollo del pensamiento matemático en la EXPERIENCIA EN EL AULA que mejor pretexto de reflexión que los conjuntos numéricos, su incidencia en la lectura de los fenómenos naturales y su transformación en patrones de comparación o medida que permite al maestro y a su discípulo hallar regularidades e irregularidades y a establecer relaciones bajo un ideal construido en la experiencia sensible y desarrollada en la perceptible, animada con una pretensión de universalidad. En toda percepción o interacción entre las personas y su entorno aparece necesariamente la necesidad de establecer cualidades de una “realidad”, muy ligada esta, a una imperiosa necesidad de comparar en diferentes direcciones (medir) o cuantificar, este no es un fenómeno nuevo ni propiamente del hombre únicamente, pues en unas simples observaciones históricas o del entorno natural podemos garantizar que ella se da en casi que todos los seres vivos microscópicos o
macroscópicos ya sea por una acción instintiva o por una razonada. Es así como es muy importante para la escuela asumir la acción discursiva que hace emerger la cuantificación de los elementos del entorno y generar reflexión hacia las teorías desde muy corta edad e ir ingresando poco a poco al niño y al joven en los procesos de empoderamiento en las comunidades de dialogo haciéndolos participe de un legado histórico cultural humano y unas formas propias de realizar el ejercicio en la descripción de un fenómeno matemático. Para generar esa descripción y cuantificarla se necesita desarrollar una métrica (patrón de comparación) que hace aparecer la acción simbólica del número, es decir una percepción netamente cultural, de allí que mejor espacio para tratarlos que bajo la importancia del discurso pedagógico en el establecimiento de las teorías y su conservación en la tradición cultural del hombre. Se puede observar como el hombre en un inicio en las diferentes culturas ejerció la acción del contar ya sea desde la descripción de un fenómeno natural tangible como los elementos
de su alrededor o intangible como aquellos que se presentan en forma cíclica o repetitiva. Para esto el hombre idealizo los primeros símbolos que poco a poco perfecciono y genero formas culturales de cuantificar, y como esta aparecen desde un discurso oral y simbólico en la escuela es necesario hacer partícipe al estudiante de la forma como ha cuantificado y generado esos símbolos la especie humana y buscar en el discursos argumentos pedagógicos que construyan razón de ellos. Así que cualquier símbolo de cualquier orden que se destinen para contar o cuantificar objetos que se presenten ante el observador en una forma natural es un número natural, la letra que simboliza el conjunto numérico es la , el argumento pedagógico que incide es que se representa con la letra n de naturales mayúscula doblemente rayada porque es un conjunto numérico, los símbolos utilizados actualmente para contar son de notación Induárabiga, que es un sistema de numeración que utiliza diez (10) dígitos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), es posicional porque agrupa unidades de una misma naturaleza en grupos de diez, lo que genera la aparición de una unidad de mayor
orden. (unidades, decenas, centenas, unidades de mil, decenas de mil, centenas de mil, ect.).
Desde allí se puede experimentar en el aula sobre las teorías del recorrido de los números naturales utilizando el sistema de numeración decimal en el primer acercamiento de corte empírico donde el cero es la construcción de un marco referencial invisible que invita al conteo de elementos. o desde el devenir de la teoría que hace visible el cero (marco referencia) desde el cardinal de un conjunto vacío o la ligada a la tecnología electrónica de corte binario entre la ausencia o presencia de energía, a partir de allí la experiencia en el aula se hace desde la utilidad del conjunto numérico en los procesos del conteo, y desde esta experiencia el estudiante descubrirá que los números pueden asumirse en su recorrido desde el uno al
infinito. Simbólicamente (1,∞( , o desde el cero al infinito. Simbólicamente (0,∞(. Analizar las operaciones matemáticas en su accionar en un conjunto numérico las clasifica en dos grupos las operaciones cerradas y las operaciones abiertas, las cerradas se dicen que cumplen con la Propiedad Clausurativa, es necesario analizar con los estudiante que significa en la lengua materna la palabra clausurar, y trasladar dicho análisis a un contexto físico ejemplo una caja cerrada con un objeto adentro, accionar con algún tipo de movimiento y mostrar que por mucho que se haga cuando un espacio está cerrado o clausurado los elementos accionados dentro de dichos espacios nunca estarán fuera de dicho espacio, este mismo ejemplo con un espacio abierto, para vivificar la experiencia que los elementos pueden estar fuera o dentro según el accionar. Y de esa forma ingresar al estudio de cada una de las propiedades de las operaciones en el conjunto numérico de los naturales que debe implicar el análisis de las palabras en la lengua materna, pues el aprendizaje desde un análisis de una determinada situación
desarrolla el pensamiento matemático, así sería necesario estudiar todas y cada una de las propiedades como la conmutativa, asociativa, modulativa, cancelativa, etc.
El concepto que presenta la adición como una constructora de linealidad es muy importante para desarrollar el algoritmo de la adición de números naturales bajo cualquier sistema numérico, pues solo se hace línea dentro de un determinado accionar cuando los elementos poseen las mismas características, de allí que aplicar el algoritmo tradicional de la adición de números sea necesario tener en cuenta el tipo de agrupación que hace el sistema numérico y proceder a reunirlas física o mentalmente para realizar su adicción, esto justifica el porqué en el algoritmo tradicional vertical se sugiere
colocar unidades simples bajo unidades simples, decenas bajo decenas, centenas bajo centenas, unidades de mil bajo unidades de mil, etc, además de coma bajo coma, decima bajo decimas, centésimas bajo centésimas, etc, en el cual la acción discursiva juega un papel fundamental.
Aun cuando se asumió la multiplicación de tres factores para graficar un poco la propiedad conmutativa de la multiplicación en los párrafos anteriores y que en el primer capítulo se escribe sobre el concepto de la multiplicación como constructora de ortogonalidad (ángulo
recto), en este se analizara un poco sobre el algoritmo de la multiplicación y la necesidad de hacer el ajuste didáctico y del discurso pedagógico que de libertad al estudiante para construir sus propios esquemas algorítmicos que agudizan las habilidades y la comprensión del fenómeno multiplicativo. Es así como se ilustra diferentes algoritmos de la multiplicación desde el conjunto numérico de los naturales, bajo el concepto de constructora de ortogonalidad (ángulo recto) y de análisis la intersección de rectas agrupadas desde una connotación simbólica de unidades, decenas, centenas, etc. y desde el algoritmo tradicional, que se asume después de lo visual porque justifica el tipo de agrupación que se hace para la ejecución del algoritmo tradicional de la multiplicación.
En el algoritmo de la multiplicación presentada desde la construcción de ángulos rectos y la intersección de estos en la agrupación de rectas paralelas, notamos que no es tan importante aprenderse las tablas de multiplicar como el tener conciencia propia de la linealidad de la adición, pues hallar el producto no es más que un conteo de vértices generada por intersección de rectas agrupadas por el producto de su valor posicional y luego la adición de los elementos de dicho conteo teniendo en cuenta la naturaleza de la agrupación. Otro proceso algorítmico distinto al tradicional que tiene también su origen en la construcción del ángulo recto es el siguiente.
Desde estos algoritmos que invitan al fenómeno matemático multiplicativo se puede comprender el algoritmo tradicional de la multiplicación en el proceso abstracto de la multiplicación de números, así como puede incitarse a la lectura del contexto desde el mismo fenómeno matemático. Presentado el fenómeno matemático multiplicativo desde procesos geométricos que implica el conteo de los vértices y la construcción de rectángulos en los números naturales es necesario analizar la siguiente operación matemática básica cerrada la potenciación por la forma de su construcción indudablemente es una operación cerrada, puesto que es el producto de un número natural tantas veces como lo indique otro numero natural, de allí que el producto final o potencia será también un numero natural, es decir no saldrá del conjunto numérico.
De allí que se pueda analizar que la potenciación construye objetos geométricos perfectos, pues elevado a la dos emergen cuadrados, elevado a la tres cubo, elevado a la cuatro serán objetos geométricos perfectos en cuatro dimensiones y así sucesivamente. Ahora observemos que sucede con las otras operaciones matemáticas en especial las deconstructoras en el conjunto numérico de los naturales, este conduce a que ella la sustracción, la división, la radicación y la logaritmación son operaciones abiertas. En los espacios abiertos se pueden observar que los elementos según una acción pueden entrar y salir, de allí que se puede ver cuando la operación sustracción da como resultados números naturales solo si el minuendo (término
a disminuir) es mayor que el sustraendo (término que se quita o sustrae), bajo esas condiciones la diferencia es un número natural y, cuando el minuendo es menor que el sustraendo la diferencia se sale del conjunto de los . Esta situación lleva a la necesidad de la construcción razonada de un nuevo conjunto numérico para dar respuesta a la limitante que presentan los números naturales , este conjunto numérico es un conjunto posicional que ubica los elementos según un marco referencial construido a partir del cero (0), en el aula de clases el discurso pedagógico debe hacer conciencia al estudiante de quien construye el marco referencial es el cero, por lo tanto todo número ubicado a la derecha del cero es positivo y ubicado a la izquierda es negativo, si su acción se hace sobre una recta numérica Es así como INTERVIENE LA DIDACTICA en el accionar discursivo del reconocimiento de los números enteros que se representan con la letra , el argumento didáctico y pedagógico para reconocer el símbolo es que la z es la ultima letra del alfabeto castellano, cuando se
menciona la ultima letra el alfabeto esta entero, se pueden hacer múltiples actividades que le permitan al niño y al joven establecer marcos referenciales para posicionarse frente a una cuantificación a la izquierda o a la derecha, pero el desarrollo geométrico es el que hace viva la experiencia del estudiante, sobre la recta numérica como el gráfico que sigue a continuación
Esto sin un discurso pedagógico y una actuación didáctica que empodere al estudiante y lo haga participe de la construcción de marcos referenciales arbitrarios pero arguméntales, que construyan sentido en el accionar cultural del joven hace posible llevar este fenómeno matemático a toda actividad humana de condiciones físicas o abstractas de tipo cultural o relacional intangible. Desde allí podemos relacionar espacios negativos o positivos desde una valoración sentimental etc. Pero también desde relaciones intangibles entre elementos físicos tales como tengo es positivo debo es negativo, como el
espacio es múltiple en relaciones este llevaría al joven o niño que todo absolutamente todo es susceptible de cuantificar los espacios utilizando los números enteros, es decir que no hay actividad humana que no se pueda mediatizar con dicha valoración cuántica, esto nos lleva a una direccionalidad del discurso pedagógico. EL PORQUE DEL DISCURSO PEDAGOGICO La necesidad de un discurso pedagógico relacionado con la matemática que permita la interpretación desde diferentes contextos se genera claramente en el producto de números enteros ( ), porque construye argumentos sobre los planos cuando intervienen dos factores y genera comprensión simbólica sobre el concepto de las áreas al construir marcos referenciales para ellas, este surge de el efecto de la multiplicación como constructora de ortogonalidad, (ángulo recto) es decirse genera el plano con cada uno de los cuatro cuadrantes.
Este esfuerzo discursivo y didáctico debería hacer conciencia en el maestro y en el estudiante de la necesidad de asumir al individuo como ser pensante constructor de un marco referencial que le permite analizar simbolizar y generar relaciones entre su sistema nervioso central y su contexto de allí que puede asumir figuras planas como positivo o como negativo según el signo de cada uno de los dos factores, que generan la ubicación en el esquema construido como producto.
Para establecer un nexo entre el esquema construido, concepto y la teoría se podría utilizar el siguiente gráfico de ejemplo
Este proceso didáctico cobra sentido desde la utilización del discurso pedagógico y se puede hacer visible como una figura geométrica puede ser positiva o negativa según el cuadrante en donde se ubica en una relación teórica construida por el estudiante y su maestro que tiene en cuenta el devenir histórico de la teoría. Para los objetos geométricos tridimensionales se genera los octantes o módulos que podemos ubicar en diferentes espacios que nuestros jóvenes y niños podrán observar desde un discurso pedagógico que les lleve a una didáctica concreta de dividir el espacio físico con tres planos y que le hagan palpar las ideas de los objetos geométricos asumidos como positivos o negativos.
En la ubicación didáctica de los objetos tridimensionales es fundamental la forma como se utiliza el discurso pedagógico y la didáctica, pues los objetos serán positivos o negativos según el marco referencial construido por el observador, de allí que la continuidad en la concentración y la práctica didáctica y pedagógica así como el uso adecuado del discurso pedagógico debe hacer vivencial la experiencia e interdisciplinaria en los esquemas mentales del estudiante. Desde esta perspectiva cobra sentido la operación división cuando se hace necesario fraccionar o quebrar objetos tridimensionales positivos o negativos, dando paso a el conjunto numérico de los racionales, que se simbolizan con la letra , para darle sentido a este símbolo para dicho conjunto se hace necesario acudir al discurso pedagógico en nuestro caso
particular la lengua castellana utilizando la palabra quebrar. Luego es necesario que el niño y el joven reconozcan la división de dos números enteros como un numero racional , para que dicha comprensión sea una acción cotidiana a la división de objetos concretos de la cotidianidad como frutas, pan, etc. Y en esta acción se demuestra al niño y al joven una forma diferente de accionar con esta operación y se le ingresan nuevos símbolos o formas de expresar dicha operación como se muestra a continuación.
En esta etapa de la acción didáctica y pedagógica y con un discurso pedagógico se debería buscar la experiencia vivencial de la operación división, de allí que se podrían generar obstáculos epistemológico que ayuden al niño y al joven a problematizar su entorno, localizando fenómenos naturales o culturales que lleven a fraccionar el mismo y hablar y
generar cálculos comparativos de la división, y a través de la experiencia generar la división que se ve, la que se escucha y la que se siente. Para involucrar el simbolismo propio de las matemáticas con las acciones físicas de la cotidianidad. De esta forma el estudiante puede percibir que el recorrido o rango de los números racionales es del infinito negativo, al infinito positivo, la diferencia entre el rango o recorrido de los enteros, es que entre entero y entero hay infinitos números racionales, de esta forma puede concluir que hay una relación de orden que es posible visualizar desde el espacio virtual y reconocer concretamente el fenómeno matemático de la tricotomía, “dado dos números a y b cualquiera puede suceder solo una de las siguientes condiciones a > b o, a = b o, a < b”. establecer esta relación se puede presentar como a continuación.
En esta forma se pueden establecer la relación de orden en los racionales y para hacer la lectura de los símbolos se aconseja tener en cuenta la forma cultural de leer en occidente y hacer el desarrollo espacial del símbolo así el > se lee mayor que, porque el espacio de la izquierda en el símbolo es mayor que el espacio de la derecha y en el símbolo < es claro que el espacio de la izquierda es menor que el de la derecha, por lo tanto la lectura es menor que. Mientras que en el símbolo = los segmentos son paralelos luego su lectura es igual que, estos argumentos son de corte pedagógico, para incentivar en el estudiante el análisis de todo tipo de situación bajo argumentos que priorizan la observación. Efectuar las operaciones básicas dentro de la acción constructora y deconstructora, así como el análisis de las propiedades dimensionales
de los objetos potencialmente perfectos se pueden analizar en igual forma que en los números enteros y en los naturales . Desde la característica de linealidad de la adición se obtiene que se puede realizar la adición de números racionales (divisiones de números enteros) sin interesar cual es el divisor, pues se puede hacer dentro de una división otras divisiones que no altere el número total, este proceso me permitiría llevar fracciones de diferentes denominadores (divisores) a un común denominador (un mismo número divisor) lo que llevaría fracciones heterogéneas a fracciones homogéneas, lo cual llevaría a la adición de diferentes características a una adición de elementos de igual características, paso necesario para generar la linealidad de elementos. La experiencia indica que toda esta acción debe hacerse con ayuda del espacio virtual, en el siguiente ejemplo se plantea la adición de ( ) en forma gráfica.
Presentar el proceso de amplificación desde el método gráfico implica utilizar el marco teórico del mínimo común múltiplo (m.c.m.), los números primeros y el teorema que todo número se puede escribir como el producto de números primos para utilizarlos simultáneamente, en la realización del siguiente ejemplo se ilustra el ejercicio desde la consecución del m.c.m., desde el proceso de hallar los múltiplos de dos números en forma consecutiva en este caso 4 y 6 como se ilustra a continuación.
luego 12 es el m.c.m. Utilizando la teoría de números primos y el teorema de todo número se puede escribir como el producto de factores primos se puede justificar la búsqueda del común denominador
desde la descomposición de los números en factores primos así:
Después de hallar el común denominador se procede en el método gráfico a volver a partir para llevarla al común denominador es decir cada pedazo del grafico partido en cuartos hay que fraccionarlo en 3 para que quede dividido todo en 12 partes y cada sexto en 2 para que quede esta quede dividido en 12, al hacer la nueva división de cada grafica nos deja una adición de fraccionarios homogéneos como se ilustra a continuación.
Es aconsejable que antes de hacer la adición de números racionales numérica se haga primero gráfica utilizando el espacio virtual, para luego proceder utilizando los procesos
analíticos de amplificación fracción por fracción y el de complificación, es aconsejable hacer el análisis de las expresiones desde la lengua materna, pues es fundamental para el desarrollo del pensamiento matemático que el estudiante reconozca las acciones u ordenes que desde ella se generan en un orden lógico. Así que el método de ampliación fracción por fracción debe generar unos números mayores pero conservando la misma fracción y ese paso debe hacerse evidente para el estudiante y se puede proceder como se ilustra a continuación.
Mientras que el método de complificación dentro del análisis de la lengua materna es la asociación de los elementos mediante una asociación y amplificación a la vez ese proceso se ilustra a continuación.
Se puede evidenciar el gran obstáculo epistémico de la adición de números racionales para los niños y los jóvenes, pero esta acción se obstaculiza más si no se emplea la teoría, sino que se establece la multiplicación de denominadores y luego la multiplicación entrecruzada de numeradores por denominadores, ella en si no muestra el fenómeno matemático y lo hace aparecer antes los niños y jóvenes como un proceso mágico, este puede llevarse a ser descubierto por el niño y el joven, pero dentro de un proceso heurístico en el cual no se utiliza el m.c.m. sino un múltiplo cualquiera que luego genera procesos de simplificación. Como puede observarse se cumple el principio de linealidad de la adición, ahora falta observar si se cumple la ortogonalidad (construcción del ángulo recto para la multiplicación) de allí que puede representar la multiplicación de dos factores ubicando uno de los factores en el eje
horizontal y el otro en el eje vertical, a continuación se representa el producto de dos números racionales.
Es verificable que se cumple el principio de la multiplicación como constructora de ortogonalidad y que la acción didáctica y pedagógica sería lo que haría claro para el estudiante que los números racionales se pueden utilizar para hacer lecturas de la realidad, en esta forma podemos hacer visible la radicación y potenciación, pues el joven y el niño comprende que puede hacer cuadrados, cubos etc. No únicamente con números enteros si no con cualquier otro número. Para desarrollar esquemas que permitan hacer retro alimentación del proceso algorítmico de la multiplicación podría utilizarse multiplicaciones de números naturales y pedir la escritura de esas mismas cantidades en forma racional, como es apenas lógico el denominador debe ser uno y el producto debe ser el mismo, con lo cual queda claro que el proceso algorítmico es
multiplicar numerador por numerador y denominador por denominador, como se ejemplifica a continuación.
Analizada la multiplicación desde el concepto de construcción de ángulos rectos (ortogonalidad) se tratara de hallar argumentos didácticos para argumentar sobre la división que le permita al niño y al joven generar reflexión establecer esquemas que le lleven a concretizar elementos básicos para la realización de dicha operación, pues se torna un poco compleja al tratarse de la división de divisiones, fenómeno matemático que es muy reprimido culturalmente por la acción misma del fenómeno matemático, pues desde muy temprana edad se nos asocia dicha operación a un proceso de destrucción, de allí que la didáctica y la pedagogía utilizada para razonar esta operación debe vencer los obstáculos culturales e individuales, esperando muy pacientemente la maduración del sistema nervioso central.
De allí que la propuesta para esta operación sea tratada muy conscientes de la necesidad de vencer miedos establecidos culturalmente. Y para ello se hace necesario apoyarse en la operación multiplicación que genera la aceptación dentro del marco cultural, por tratarse de una operación constructora de ortogonalidad (ángulo recto) y tener un concepto claro de las relaciones entre multiplicación y división, por eso es trabajar didáctica y pedagógicamente la división como el inverso multiplicativo lo que nos llevaría a un proceso algorítmico simplificado, como se ejemplifica a continuación.
En el anterior ejemplo se hace referencia a la realización de la división desde un concepto de división como operación inversa de uso
tradicional, al pasar esos esquemas a la notación de fracción racional, es decir donde el numerador y el denominador son fracciones racionales, se puede observar una regularidad para hacer dicha solución, la cual se ejemplifica a continuación.
Cuando se observa la relación de elementos desde una división de fracciones que ha establecido unos extremos y unos medios se hace necesario establecer la regularidad del orden en los números racionales, para establecer esta relación. En este contexto de divisiones de números enteros se puede observar que no toda división genera como resultado un número
entero sino que genera una fracción racional que puede ser escrita como fracción decimal. Este proceso y argumentar didáctico y pedagogico quedara pendiente para una proxima entrega del avance didáctico y pedagógico del proyecto HACIA UNA MATEMATICA LÚDICA, esperamos que nuestra comunidad educativa genere dialogo que hagan posible el ejercico teorico prático de nuestra actuación y el debate continue para seguir en el proceso de hacernos institución inteligente que posee su propia memoria cultural.