UNIVERSITATEA TRANSILVANIA DIN BRASOV FACULATATEA DE INGINERIE MECANICA AUTOVEHICULUL ŞI MEDIUL
- REFERAT-
Disciplina: SISTEME DE SIGURANŢĂ PASIVĂ Tema: DETERMINAREA ANALITICĂ A LEGII DE VARIAŢIE A UNGHIULUI DE RABATERE A PIETONULUI MONOMASĂ PE CAPOTA UNUI AUTOTURISM
Îndrumător: Prof.dr.ing. ADRIAN OVIDIU ŞOICA
Student: MÎRZEA VASILE Grupa MR562 -1-
-2-
Cuprins: I.
Introducere ..............................................................................................................5
II. Definirea sistemelor de coordonate.........................................................................5 III. Expresia versorului axei y2 în urma rotirii corpului...................................................6 IV. Expresia vitezei şi acceleraţiei centrului de masă al corpului ..................................9 V. Determinarea unghiului de rabatere al pietonului pe capotă .................................10 VI. BIBLIOGRAFIE .....................................................................................................12
-3-
-4-
I.
Introducere
Pentru înţelegerea cinematicii interacţiunii autovehicul-pieton şi pentru simularea acesteia pe calculator este foarte importantă modelarea matematică a pietonului. Cel mai simplu model este acela al pietonului monomasă. În acest caz se consideră că pietonul este „congelat”, sub forma unui stâlp, având masa, momentul de inerţie în jurul axei ce trece prin centrul de masă, talia şi poziţia centrului de masă, egale cu ale unui bărbat adult definit statistic (figura I-1). Viteza de mers a pietonului, transversal pe direcţia de deplasare a autovehiculului se neglijează.
Figura I-1: Pietonul monomasă
Din momentul contactului dintre automobil şi pieton, viteza acestuia din urmă scade de la V10 la V1. În acelaşi timp, viteza pietonului a creşte de la 0 la v1. Mişcarea de translaţie impusă pietonului este însoţită şi de una de rotaţie în jurul axei ce trece prin centrul de masă al acestuia. II.
Definirea sistemelor de coordonate
In Figura II-1 este schiţat procesul prin care un corp solid este lovit intr-un punct O1=O2, excentric faţă de axa O2y2. Sistemul de axe xOyz este fix, legat de sol, sistemul x1O1y1z1 este mobil, aflat in mişcare de translaţie faţă de sistemul fix, iar sistemul x2O2y2z2 este legat de corpul al cărui centru de masă se află in punctul Cg. Punctul O1 = O2 este astfel centru instantaneu de rotaţie, in jurul acestuia corpul se roteşte cu unghiurile Y, θ şi φ. Sistemul xOyz este legat de sistemul mobil x1O1y1z1 prin vectorul de poziţie r0 şi de sistemul x2O2y2z2 prin vectorul de poziţie al centrului de masă rc. O1 este centrul instantaneu de rotaţie al pietonului in timpul impactului cu autovehiculul. Prin rotirea cu cele trei unghiuri menţionate anterior, in jurul axelor sistemului se determină versorii noilor poziţii ale axelor sistemului mobil, legat de corp, x2O2y2z2. -5-
Figura II-1: Coordonatele pietonului monomasă în procesul de impact
III.
Expresia versorului axei y2 în urma rotirii corpului
Se consideră că rotaţia corpului va avea loc în trei faze, după cum urmează: a) Rotire cu unghiul Y in jurul axei y (y1 = y1')
Figura III-2: Rotirea corpului (faza a)
-6-
Expresia versorilor pentru rotirea cu unghiul Y in jurul axei y (y1 = y1') este următoarea : G G G ⎧i' = −k ⋅ sin Ψ + i ⋅ cos Ψ ⎪ G JG ⎪ j' = j (III-1) ⎨ JG G G ⎪ ' ⎪⎩ k = k ⋅ cos Ψ + i ⋅ sin Ψ b) Rotire cu unghiul θ in jurul axei z (z1' = z1'')
Figura III-3: Rotirea corpului (faza b)
Expresia versorilor pentru rotirea cu unghiul θ in jurul axei z (z1' = z1'') este următoarea : G G G ⎧ i'' = i' ⋅ cos θ + j' ⋅ sin θ ⎪ JG G G ⎪ '' ' ' (III-2) ⎨ j = −i ⋅ sin θ + j ⋅ cos θ JJ G JG ⎪ k '' = k ' ⎪⎩ c) Rotire cu unghiul φ in jurul axei x (x1'' = x2) Expresia versorilor pentru rotirea cu unghiul θ in jurul axei z (z1' = z1'') este următoarea : JG G ⎧ i2 = i'' ⎪ JG JJG JG ⎪ '' '' ⎨ j2 = k ⋅ sin ϕ + j ⋅ cos ϕ JJG JG ⎪G '' k = k ⋅ cos ϕ − j'' ⋅ sin ϕ 2 ⎪⎩ (III-3)
-7-
Figura III-4: Rotirea corpului (faza c)
Având în vedere că Cg se găseşte pe axa y rezultă că versorul axei y este şi versorul vectorului ucg. In urma efectuării calculelor, utilizând succesiv relaţiile (III-1), (III-2) şi (III-3) se pot obţine relaţiile pentru versorii sistemului de coordonate x2O2y2z2. Astfel versorul axei y2 este j2 şi are următoarea expresie: y 2 = i ( sin Ψ sin ϕ − cos Ψ sin θ cos ϕ ) + jcos θ cos ϕ + k ( cos Ψ sin ϕ + sin Ψ sin θ cos ϕ )
(III-4)
Prin urmare j2, versorul axei y2 are faţă sistemul de coordonate xOyz următoarea poziţie: ⎧u ⎫ ⎧sin Ψ sin ϕ − cos Ψ sin θ cos ϕ ⎫ JG JJJG ⎪ x ⎪ ⎪ ⎪ j2 = ucg = ⎨uy ⎬ = ⎨ cos θ cos ϕ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪cos Ψ sin ϕ + sin Ψ sin θ cos ϕ ⎪ ⎭ ⎩uz ⎭ ⎩
(III-5)
Deoarece mişcarea in spaţiul tridimensional este mai dificil de studiat pentru corpuri, se va analiza doar mişcarea in planul yOx. Prin urmare vom avea doar o rotaţie in jurul axei Oz, cu unghiul θ, vezi Figura III-5, iar relaţia (III-5) devine: ⎧u ⎫ ⎧− sin θ ⎫ JG JJJG ⎪ x ⎪ ⎪ ⎪ j2 = ucg = ⎨uy ⎬ = ⎨ cos θ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎭ ⎩uz ⎭ ⎩
(III-6)
-8-
Figura III-5: Rotirea corpului în planul xOy
Vectorul de poziţie al centrului de masă al corpului rc va fi: JG JG JJJJJG JJJG rc = r0 + O2Cg ⋅ ucg
(III-7)
de unde rezultă ecuaţiile coordonatelor centrului de masă al corpului pe axele x şi y: ⎧⎪ x c = x 0 − O2Cg ⋅ sin θ ⎨ ⎪⎩ y c = y 0 + O2Cg ⋅ cos θ IV.
(III-8)
Expresia vitezei şi acceleraţiei centrului de masă al corpului
Pentru vectorul de poziţie al punctului de impact, care este in prima fază şi centru instantaneu de rotaţie (rO), se poate alege o lege de variaţie, dacă autovehiculul este în mişcare în momentul impactului, sau poate fi nul dacă în momentul impactului autovehiculul a fost frânat total. În ipoteza absenţei unei legi de mişcare pentru vectorul r0, prin derivarea relaţiei anterioare se vor obţine succesiv vitezele şi acceleraţiile centrului de masă al corpului.
Figura IV-1: Modelul impactului dintre autoturism şi pietonul monomasă
-9-
Aplicând relaţia (III-8) la modelul din figura (IV-1) avem:
⎧⎪ x c = 0 − ( c1 − h ) ⋅ sin α ⎧⎪ x c = − ( c1 − h ) ⋅ sin α =⎨ ⎨ ⎪⎩ y c = h + ( c1 − h ) ⋅ cos α ⎪⎩ y c = h + ( c1 − h ) ⋅ cos α
(IV-1)
Derivăm relaţia (IV-1) şi obţinem viteza de deplasare a Cg în funcţie de α=α(t) ⎧⎪ x c ' = −α ' ( c1 − h ) ⋅ cos α ⎨ ⎪⎩ y c ' = −α ' ( c1 − h ) ⋅ sin α
(IV-2)
Derivăm relaţia (IV-2) şi obţinem acceleraţia Cg în funcţie de (α) ⎧⎪ x c '' = −α '' ( c1 − h ) ⋅ cos α + α 2 ' ( c1 − h ) ⋅ sin α ⎨ 2 ⎪⎩ y c '' = −α '' ( c1 − h ) ⋅ sin α + α ' ( c1 − h ) ⋅ cos α
(IV-3)
Sistemul de ecuaţii (IV-3) se poate scrie matriceal sub forma:
⎡ ( c1 − h) ⋅ sin α ⎤ ⎧ x c ''⎫ ⎡ − ( c1 − h) ⋅ cos α ⎤ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎨ y c ''⎬ = ⎢ − ( c1 − h) ⋅ sin α ⎥ ⋅ {α ''} + ⎢ − ( c1 − h) ⋅ cos α ⎥ ⋅ α ' ⎪ α '' ⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 0 ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
{ }
(IV-4)
sau simplificat
{a} = [ A ] ⋅ {α ''} + [B] ⋅ {α2 '}
(IV-5)
unde [A] este matricea coeficienţilor acceleraţiei unghiulare a pietonului; [B] este matricea coeficienţilor pătratului vitezei unghiulare a pietonului; {a} este vectorul acceleraţiilor de translaţie şi rotaţie ale corpului. V.
Determinarea unghiului de rabatere al pietonului pe capotă
Figura V-1: Forţele şi momentele care acţionează asupra pietonului monomasă
- 10 -
În conformitate cu figura (V-1) ecuaţiile de echilibru sunt: ⎫ F ⎡m1 0 0 ⎤ ⎧ x c1 '' ⎫ ⎧ ⎪ ⎢ 0 m 0 ⎥ ⋅ ⎪ y '' ⎪ = ⎪ −G ⎬ 1 ⎢ ⎥ ⎨ c1 ⎬ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎣ 0 0 J1 ⎥⎦ ⎩ α '' ⎭ ⎩F ( C1 − h ) ⋅ cos α ⎪⎭
(V-1)
sau simplificat
[M] ⋅ {a} = {Q}
(V-2)
unde: [M] este matricea masei şi a momentului de inerţie a pietonului; [Q] este matricea forţelor care acţionează asupra pietonului; {a} este vectorul acceleraţiilor de translaţie şi rotaţie ale corpului. Înlocuim expresia lui {a} din relaţia (IV-5) în relaţia (V-2) şi obţinem
[M] ⋅ [ A ] ⋅ {α ''} + [M] ⋅ [B] ⋅ {α2 '} = {Q}
(V-3)
Pentru aflarea soluţiilor se înmulţeşte la stânga cu [ A ]
T
Obţinem:
[ A ] ⋅ [M] ⋅ [ A ] ⋅ {α ''} + [ A ] ⋅ [M] ⋅ [B] ⋅ {α 2 '} = [ A ] ⋅ {Q} = {Q}ext T
T
T
(V-4)
Relaţia (IV-9) se mai poate scrie sub forma simplificată:
[ A1 ] ⋅ {α ''} + [B1 ] ⋅ {α2 '} = {Q}ext
(V-5)
Relaţia (V-5) reprezintă forma simplificată a ecuaţiei diferenţiale in necunoscuta α=α(t). Pentru un pieton a cărui înălţime este de 1,80 m, cu masa de 73 kg şi înălţimea punctului de impact la 0,75 m de la sol, in urma reprezentării grafice a soluţiei ecuaţiei diferenţiale de ordinul doi s-a obţinut o curbă de regresie a cărei ecuaţie poate fi aproximată printr-o funcţie polinomială de ordinul doi a cărei expresie este:
α = 0.0011⋅ t 2 + 0.1363 ⋅ t
(V-6)
90 80 70
grade
60 50
Monomasa
40 30 20 10 0 1
21
41
61
81
101 121 141 161 181 201 Timpul (ms)
- 11 -
VI.
BIBLIOGRAFIE
1. Şoica, A, Caroserii şi sisteme pentru siguranţa pasivă - II -, Reprografia Universităţii „Transilvania”, Braşov, 2008
- 12 -