1
2
PROGRESIONES O SUCESIONES Determine los cinco primeros términos de la sucesión definida por an . 1.an 2n 1 2.an
1 n
n n 1 2n 4.an 2 n 1 3n 5.an n2 6.an (n 1)(n 2)(n 3) 3.an
3n 2 n2 1 8.an 1 (1) n 1 7.an
n2 n 10.a1 1; a n an 1 2 9.an (1) n 1
11.a1 3; a n 2an 1 4 12.a1 2; a n 3an 1 1
PROGRESIONES ARITMÉTICAS Determine los primeros cinco términos de las siguientes sucesiones aritméticas y escriba la expresión para el término general o n-ésimo an. 1. a1=3 , d =4 2. a1=8 , d =2 3. a1=-5 , d =2 4. a1=-8 , d =-3 5. a1=1/2 , d =3/2 6. a1=-5/3 , d =-1/3 Determine el número de términos en cada una de las siguientes sucesiones aritméticas 1. 1,4,7,10...,43 2. -8,-6,-4,-2...,42 3. -9,-5,-1,3...,27 4. 9,12,15,18...,93 5. –12,-16,-20...,-52 Determine el elemento indicado en cada una de las siguientes sucesiones 1. a1=4 , d =3 ; a7 2. a1=8 , d =-2 ; a6
3
3. 4. 5. 6. 7. 8.
a1=-6 , d =-1 ; a18 a1=-15 , d =3 ; a20 a1=1 , a9 =19 ; d a1=5 , a8 =-21 ; d a3=9 , a5 =-1 ; d a9=27 , a15 =45 ; d
Determinar los elementos desconocidos en las siguientes sucesiones aritméticas 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
a1= 1 ; n = 5 ; d = 2 a1= 1 ; n = 5 ; Sn = 25 an= -7 ; a1= -3 ; n = 6 an= 9 ; a1= -6 ; Sn = 9 an= 13 ; a1= -11 ; d = 4 an= 13 ; n = 5 ; d = 4 n = 6 ; d = -4 ; Sn = -18 a1= 2 ; an = 20 ; Sn = 55 an= -7 ; n = 6 ; Sn = 3 a1= 10 ; d = -2 ; S =24
11.
Hallar las edades de tres hermanos si la suma de los mismas es 27 y están en progresión aritmética de razón 2. Hallar la suma de los nueve primeros términos de la progresión aritmética cuyo tercer término es –1 y séptimo término 2. Hallar la suma de los once primeros términos de la progresión aritmética cuyo cuarto término es 2/3 y sexto término 1. Hallar tres números en progresión aritmética sabiendo que la suma del primero y el tercero es 16 y que el producto del primero por el segundo es 24. Hallar tres números en progresión aritmética cuya suma sea 12 y cuyo producto sea –80. Hallar la suma de los primeros 20 números naturales que sean múltiplos de 7. Hallar la suma de los primeros 80 números naturales múltiplos de 5. Hallar la suma de todos los números enteros múltiplos de cinco comprendidos entre 82 y 717. Hallar la suma de todos los números enteros impares comprendidos entre 18 y 104. Calcular los lados de un triángulo rectángulo de 54cm2 de superficie, sabiendo que están en progresión aritmética Calcular los ángulos de un triángulo sabiendo que están en progresión aritmética y que uno de ellos mide 100º El perímetro de un cuadrilátero es de 76m y las medidas de sus lados están en progresión aritmética de diferencia 6. Calcular los lados Si una mujer deposita 1 dólar en banco el primer día de Septiembre, 2 dólares el segundo día de Septiembre, 3 dólares el tercer día de Septiembre y así sucesivamente. ¿Cuánto dinero habrá depositado al final del mes?
12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23.
4
24. 25.
26.
27. 28.
29.
30.
La población de una ciudad está disminuyendo a una tasa de 500 habitantes por año. Si la población a principios de 1980 era de 20135 ¿Cuál será su población a principios de 1990? Un préstamo de $12000.00 se paga en 12 abonos mensuales iguales, durante la primea semana del mes siguiente. La tasa de interés es 2% mensual sobre saldos insolutos. (Los saldos insolutos es la cantidad que queda al final de un mes antes de pagar los 1000 pesos correspondientes a ese mes) a) Calcule el pago mensual de interés en cada uno de los primeros 3 meses. b) Calcule el interés total pagado en el año y la tasa anual de interés. Si una máquina que cuesta $8400.00 se deprecia un 29% durante el primer año, 24% en el segundo, 19% a lo largo del tercero y así hasta el sexto año de su vida útil. Encuentre su valor de desecho. Todas las depreciaciones son sobre el valor original Una persona ahorra $10.00 una semana y de ahí en adelante ahorra 50 centavos más que en la semana anterior. ¿Cuánta habrá ahorrado al finalizar el año? Un hombre compró un automóvil usado por $1100.00 y acordó con dar $100.00 como pago inicial y $100.00 por mes más un interés del 6% sobre saldos insolutos hasta que valor del automóvil sea pagado. ¿Cuánto le costará el carro? Interpolar o Insertar: a) 4 medias aritméticas entre –4 y 21 b) 3 medias aritméticas entre 4 y -8 c) 2 medias aritméticas entre –1 y 5/4 d) 6 medias aritméticas entre 1 y 4.5 e) 3 medias aritméticas entre x y 5x+8 Entre los 18 y 53 cm de una barra, se quieren efectuar cuatro divisiones de modo que queden segmentos iguales. ¿En qué puntos deben marcarse?
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Determine los primeros cuatro términos de las siguientes Sucesiones geométricas 1. a1=5 , r =3 2. a1=6 , r =1/2 3. a1=90 , r =1/3 4. a1=-12 , r =-1 5. a1=-15 , r =-2 6. a1=3 , r =3/2 Determine el término indicado en cada caso 1. a1=5 , r =2 ; a6 2. a1=-12 , r =1/2 ; a10 3. a1=18 , r =3 ; a7 4. a1=-20 , r =-2 ; a12 5. a1=5 , r =2/3 ; a9 6. a1=80 , r =1/3 ; a12
5
Determinar los elementos desconocidos en las siguientes sucesiones geométricas 1. a1=2 ; n =5 ; r =3 2. a1=1 ; an =1024 ; Sn =1365 3. r =-2 ; a1=1 ; n =6 4. an= -32 ; a1=-1/2 ; n =7 5. an= -1/2 ; a1=16 ; n =6 6. an=1/3 ; r =1/3 ; Sn =364/3 7. an =1 ; r =-1/2 ; Sn = 43 8. n =6 ; r =-2 ; an =-32 9. a1=2 ; r =3 ; S n=242 10. a1=1 ; r =4 ; Sn =1365 11. Hallar la suma de los siete primeros términos de la progresión geométrica cuyo tercer término es –20 y sexto término 160. 12. Hallar la suma de los seis primeros términos de la progresión geométrica cuyo segundo término es – 12 y quinto término 324. 13. Hallar la suma de los nueve primeros términos de la progresión geométrica cuyo tercer término es 96 y octavo término 3. 14. Hallar tres números en progresión geométrica sabiendo que su suma es 42 y su producto512. 15. Hallar tres números en progresión geométrica sabiendo que su suma es 21 y su producto216. 16. Hallar la cantidad total de dinero que ahorró una persona en 5 meses, si el quinto mes ahorró $1600 y en cada mes ahorró los 2/3 de lo que ahorró el mes anterior. 17. Hallar la cantidad total de dinero que gano una persona en 8 días de juego sí el octavo día gano $1.00 y en cada día gano 1/3 de lo que gano el día anterior. 18. Cierto cultivo bacteriano crece duplicando su cantidad cada día. Al finalizar el primer día hay 1000 bacterias, ¿Cuántas habrá después de 10 días? 19. Suponga que un automóvil se deprecia el 10% cada año, durante los primeros cinco años. ¿Cuánto vale después de 5 años si su precio original fue de $14280? 20. Un hombre desea ahorrar guardando un centavo el primer día, dos centavos el segundo, cuatro el tercero y así sucesivamente: a) Si continúa duplicando la cantidad guardada todos los días, ¿cuánto debe guardar el decimoquinto día? b) ¿Cuál es la cantidad total ahorrada al término de 30 días? Las sucesiones geométricas se usan para calcular interés acumulado. Recuerde que el dinero pagado por uso del dinero de otra persona se llama interés. Si éste se calcula sobre el capital original solamente, entonces se llama interés simple. En contraste, si se permite que el interés se acumule además, se dice que la inversión gana interés compuesto. La fórmula para el interés compuesto es: A = A0 (1+ i) n Donde A0 es la cantidad invertida, i es el interés, n es el número de periodos de pago y A es el monto de la inversión. 21. Un capital de $2000 se invierte al ocho por ciento de interés durante diez años. ¿Cuál es el monto acumulado si se compone: a) anualmente b) semestralmente
6 22. Encuentre el monto de una inversión de $ 5500 al final de tres años si se invirtió al ocho por ciento compuesto trimestralmente 23. ¿A qué tasa de interés, compuesta anualmente, estará deposita una inversión si el capital de $8000 pasará a $12000 al término de seis años 24. ¿Qué capital se debe invertir para que totalice $10000 al final de 20 años con un interés del ocho por ciento compuesto semestralmente 25. Si se hace un depósito de $100 el primer día de cada mes en una cuenta que paga 6% de interés compuesto mensual, indicar la cantidad en la cuenta después de 18 años Las sucesiones geométricas también se usan para predecir crecimientos poblacionales. Si una población P0 aumenta r por ciento cada año, entonces la población al final del primer año es P1 = P0 (1 + r), y al final del segundo año es P2 = P1 (1 + r) = P0 (1+ r)2, etc. En consecuencia, la población al final de n años es: Pn = P0 (1 + r)n 26. La población mundial en 1978 era aproximadamente de 4000 millones. Si la población aumenta 2% cada año, a) ¿cuál será la población mundial en el año 2010?,b) con esta tasa de crecimiento, ¿en qué tiempo se duplicaría la población? 27. El número de cierto tipo de bacteria se duplica cada hora. Si inicialmente existen 1000 bacterias, ¿cuánto tardaran las bacterias en ser 64000? 28. Cierto cultivo contiene 10000 bacterias al inicio y aumenta 20% cada hora, ¿Cuántas bacterias hay en el cultivo al término de 10 horas? 29. Un cultivo de bacterias se duplica cada 10 minutos. Si había cinco bacterias en el cultivo original, ¿cuántas habrá al término de dos horas? 30. Interpolar o Insertar: a). 4 medias geométricas entre –7 y -224 b). 3 medias geométricas entre 2 y 81/8 c). 2 medias geométricas entre 686 y 2 d). 3 medias geométricas entre 81 y 16 e). 6 medias geométricas entre 128 y 1.
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS INFINITAS DECRECIENTES Encuentre la suma de cada serie geométrica infinita 1. 3/2 + -1 + 2/3 + -4/9... 2. 2 + 1 + 1/2 + 1/4... 3. 6 + - 2 + 2/3 ... 4. 4 + - 8/3 + 16/9 ... 5. 1 + 0.1 + 0.01... 6. 2 + 2/3 + 2/9...
7 7. 1 + 1/3 + 1/9... 8. –1/2 + 1/4 + -1/8... 9. 25 + 5 +1+... 10. 5 + -3 + 9/5... Exprese cada decimal periódico como el cociente de dos enteros en su expresión mínima 1. 0.777... 2. 3.212121... 3. 1.898989... 4. 2.343434... 5. 0.147147147... 6. 4.121121121... 7. 5.454545... 8. 0.555... 9. 0.131313... 10. 1.020202...
PROGRESIONES ARMONICAS Encuentre el término que se indica en las siguientes progresiones armónicas 1. 8° término de la progresión armónica 1/2,1/5,1/8... 2. 6° término de la progresión armónica 1/4,1/8,1/12... 3.
9° término de la progresión armónica 1/2,1/6,1/10...
4.
¿Cuál es el décimo término de una progresión armónica cuyo primer y tercer término son 1/2 y 1/6 respectivamente
5.
El segundo término de una progresión armónica es 1/3 y el cuarto es 1/17. Encuentre el quinto término
6.
El tercer término de una progresión armónica es 3 y el quinto término es 4 Encuentre el octavo término
7.
¿Cuál es el primer término de una sucesión armónica cuyo tercer y noveno término es 1/5 y 1/8 respectivamente Inserte 4 medias armónicas entre 1/3 y 1/14 Inserte 2 medias armónicas entre 1/2 y 1/16
8. 9.
FUNCIONES. Determine el Dominio de las siguientes funciones 1. f ( x) 5
2. f ( x) 3 x 2 3. f ( x) x 2 2 x 1 4. f ( x) 3 x 2 5 x 8 5 f ( x) x 3 5 x 2 3 x 6
8 1 x4 2x 3 7. f ( x) 5x 7 x7 8. f ( x) 2 x 7x 6 x 2 3x 2 9. f ( x) 2 x 4x 5 3x 8 10. f ( x) 2 x 16 3x 7 11. f ( x) 2 2x 5x 3 2 x 12. f ( x) 2 3 x 11x 4 4x 7 13. f ( x) 2 6 x 3x 5 x2 4 14. f ( x) 2 x 2x 3 5 15. f ( x) 2x 3 6. f ( x)
16. f ( x) x 1 17. f ( x) 5 x 3 18. f ( x) 4 x 5 19. f ( x) 5 7 x 20. f ( x) 3 x 8 21. f ( x) x 2 9 22. f ( x) 4 x 2 23. f ( x) x 2 4 x 5 24. f ( x) 2 x 1 25. f ( x) e x 3 26. f ( x) 3senx
27. f ( x) 5 cos(3 x ) 6 28. f ( x) log( x 1) 29. f ( x) ln(2 x 3) 30. f ( x) 5sen( x )
9
EVALUACIÓN DE FUNCIONES 1. f ( x) x 2 5 x 6; encontrarf (1), f (0), f ( h), f ( x h) x2 3 ; encontrarf (0), f ( 4), f (2a), f ( x 3) x 1 3. f ( x) x 2 4 x 7; encontrarf (3a), f (b 1), f ( x h) 2. f ( x)
4. f ( x) x 2 16; encontrarf (4), f (0), f (5), f ( x 4) 1 5. f ( x) 4 x ; encontrarf (0), f ( ), f (2), f (3) 2 f ( x h) f ( x ) 6. f ( x) 2 x 6; encontrar ;h 0 h f ( x h) f ( x ) 7. f ( x) x 2 ; encontrar ;h 0 h f ( x h) f ( x ) 8) f ( x) x 3 x; encontrarf (6), f (1), ;h 0 h 1 9. f ( y ) log ; demostrarque, f (107 ) 7 y 10. f(x)= 3x Demostrar que:
a) f ( x 1) f ( x) 2 f ( x) b) f ( y ) * f ( z ) f ( y z ) c) f ( x 2) f ( x 1) d) 11.
26 f ( x) 3
f ( x 4) f (5) f ( x 1)
f(x)= 5x Demostrar que:
a) f ( x 1) f ( x) 4 f ( x) b) f ( x 3) f ( x 1)
624 f ( x) 5
f ( x 2) f (3) f ( x 1) 12.f(x)= logx2 Demostrar que: c)
f ( x h) f ( x) 2 log
xh x
10
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Determine el Dominio, Rango y gráfica de las siguientes funciones 1. f(x)=x+2 2. f(x)=–3x+8 3. f(x)=2-5x 4. f(x)= x2+2x+3 5. f(x)=x2+6x+8 6. f(x)=-x2+4x-6 7. f(x)=2x2+4x+1 8. f(x)=x2-2x-8 9. f(x)=-x2-6x+8 10. f(x)=3x 11. f(x)=ex-1 12. f(x)= 2x+3 13. f(x)=log(x-1) 14. f(x)=ln(2x+3) 15. f(x)=log2(3x-6)
OPERACIONES CON FUNCIONES Determinar f + g ; f – g ; f * g y f / g indicando el dominio de la función resultante 1. f ( x) 3 x 2 6; g ( x) 3 x 4
2. f ( x) 6 x 5; g ( x) 8 x 3 3. f ( x) x 2 6; g ( x) 3 x 7 4. f ( x) 5 x 3; g ( x) 4 x 8 5 f ( x) 2 x 2 x 15; g ( x) 3 x 2 8 x 3 6 f ( x) x 2 1; g ( x) 4 x 2 7 x 3 x 1 1 ; g ( x) x 1 x x2 x2 8. f ( x) ; g ( x) x 1 x 1 4 3 9. f ( x) ; g ( x) x x2 x5 2x 10. f ( x) ; g ( x) x3 x 1 11. f ( x) x 1; g ( x) 3 x 7. f ( x)
12. f ( x) x 4; g ( x) x 1
11 FUNCIÓN COMPUESTA Determine f o g ; g o f ; f o f ; g o g. Indique el dominio de la función compuesta 1. f ( x) x 2; g ( x) x 5 2. f ( x) 2 x 3; g ( x) 5 x 6
3. f ( x) 2 x 2 3 x 4; g ( x) x 2 9 4. f ( x) x 3; g ( x) x 2 2 x 7 5. f ( x) x 2 3 x 1; g ( x) x 5 6. f ( x) x 2 x; g ( x) x 2 4 7. f ( x) 2 x 2 4 x 5; g ( x) 3 x 6 1 x 1 ; g ( x) x 1 x 3 1 2 9. f ( x) ; g ( x) x 1 2x 3 x 1 x 10. f ( x) ; g ( x) x 1 x 3 FUNCIÓN INVERSA Determine la inversa de las siguientes funciones 8. f ( x)
1. f ( x) 2 x 1 x2 1 x 3. f ( x) x 1 2. f ( x)
4. f ( x) 3 1 x 5. f ( x) 3 x 4 6. f ( x) x 3 3 x2 x 3 8. f ( x) ln(3 x) 7. f ( x)
9. f ( x) ln( x 1) 10. f ( x) e 2 x 1 11. f ( x) e x 3 12. f ( x) 2 x 3 13. f ( x) 9 2 x 14. f ( x) 3 x 1 15. f ( x) ln(2 x 3)
12
APLICACIONES DE LAS FUNCIONES 1. Suponga que el costo total en dólares por la fabricación de q unidades de un cierto artículo está dado por la función C(q)=q3-30q2+400q+500 a) Determine el dominio de la función b) Calcule el costo de fabricación de 20 unidades c) Calcule el costo de fabricación de la vigésima unidad (costo marginal) 2. Un vendedor tiene un salario base de $1000 al mes más una comisión del 8% de las ventas totales que realiza por arriba de $6000 a) Exprese los ingresos mensuales del vendedor como una función de x, donde x representa el monto de sus ventas totales b) ¿Cuál es el dominio de la función? c) ¿Cuál será el salario total del vendedor cuando realiza ventas por $5000 y $8000? 3. Un electricista cobra $55 por una visita domiciliaria más $30 por hora de trabajo adicional. Exprese el costo C de llamar a un electricista a su casa como una función del número de horas x que dure la visita. 4. Un estacionamiento tiene una tarifa de $12.00 por la primera hora y $5.00 por cada hora adicional o fracción de ella. Exprese la tarifa del estacionamiento como una función del número de horas que un automóvil se encuentra estacionado 5. Una maquina que revela el tipo sanguíneo vale $24000 y se deprecia en $3000 al año. Empleando depreciación lineal, exprese el valor V de la maquina como una función del número de años t. 6. Suponga que con un cartón rectangular de 12 x 18 cm. se desea construir una caja sin tapa recortando cuadrados de igual tamaño en las esquinas y doblando para formar los lados. Si x representa la longitud de cada uno de los lados de los cuadrados recortados en las esquinas, expresar el volumen de la caja en función de x. 7. Un trozo de alambre de 50 cm. de longitud, se quiere doblar para formar un rectángulo de tal manera que su área sea máxima. Expresar el área en función de uno de los lados del rectángulo. 8. Se desea construir una lata de aceite en forma cilíndrica que tenga capacidad de 2 litros (2000 cm3. ). El material usado para hacer la tapa y el fondo cuesta $3.00 el cm2. y el material para hacer el costado cuesta $2.00 el cm2. Si r es el radio y h la altura de la lata, expresar el costo C de la lata en función del radio. 9. Un grupo de estudiantes desean hacer una excursión. La compañía de autobuses ofrece un camión para 100 personas, pero indica que debe haber un mínimo de 40 para que se pueda realizar el viaje. La compañía cobrará $350.00 por estudiante si viajan exactamente 40, pero reducirá el costo en $2.50 por cada persona adicional después de los 40. ¿ Cuántos estudiantes tendrían que viajar para que la ganancia de la compañía de autobuses sea máxima? 10. Se desea cercar tres costados de un campo rectangular, el cuarto lado no se cercará ya que se va a aprovechar la barda de un terreno contiguo; para la cerca se cuenta con 40m. De alambre. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del terreno para que el área sea máxima?
13 LÍMITES. Determine el límite de las siguientes funciones 1) lim x 1 2x 2 -5x+8 5
3
17)lim x 1 2
2) lim x 2 6x -8x +6x -9x+4 3) lim x 1
x2 1 x 1
x2 2x 1 x 2 3x 2 x 2 5x 6 5) lim x 2 2 x 12 x 20 x 2 14 x 45 6)lim x 9 2 x 13 x 36 x 2 3 x 10 7) lim x 2 2 3x 5 x 2 9+x 9 8) lim x 0 x 4) lim x 1
9) lim x 1
x+3 2 x 1
10) lim x 5
x 3 125 x 2 25
x3 8 11) lim x 2 x2 x+4 12) lim x 4 3 x 64 x 3 4 x 2 11x 30 13) lim x 3 x 3 4 x 5 x 3 7 x 2 41x 30 14) lim x 2 x2 3 2 x 2x x 4 15) lim x 1 x 1 16) lim x 1
x 3 2 x 2 11x 12 x 1
x2 7x 8 x2 1
33) lim
x
2 x2 5x 2 2x2 7 x 3
1 2
x 2 16 18)lim x 4 2 x 14 x 40 x2 9 19)lim x 3 2 x 6x 9
2 x 2 10 x 12 34) lim x 3 x2 x 6 6 x 2 7 x 10 35) lim 5 2 x 6 6 x 23 x 15
x 2 81 x 2 10 x 9 x 2 13 x 12 21)lim x 1 x 2 144 x 2 3 x 18 22)lim x 5 2 x 8 x 15 x2 9 23)lim x 3 2 x 5 x 24 x 2 8 x 15 24)lim x 3 x2 9
3 x 2 16 x 5 x 2 9 x 20 x 2 7 x 18 37)lim x 1 2 x 3x 2 6 x 2 23 x 4 38) lim x 4 2 x 2 5 x 12 2 x 2 7 x 15 39) lim x 5 3 x 2 13 x 10 5 x 2 7 x 24 40) lim x 3 2 x 2 3x 9
20)lim x 1
25)lim x 1
x2 7x 6 x2 1
26)lim x 5
x 2 11x 30 x 2 25
x 2 x 20 27)lim x 5 x 2 25 x 2 5 x 14 28)lim x 7 2 x 10 x 21 x 2 3 x 10 29)lim x 5 2 x 2 x 35 x 2 12 x 27 30)lim x 2 2 x 7 x 18 x 2 14 x 48 31)lim x 3 2 x 9 x 18 32)lim x 6
x 2 12 x 36 x 2 4 x 12
36) lim x 5
41) lim
x
42) lim
6 x2 x 1 6x2 5x 1
1 2
x
2 3
6x2 x 2 3x 2 4 x 4
2 x 2 2 x 24 43) lim x 4 4 x 2 20 x 16 2x2 7 x 3 44) lim x 3 x2 2x 3 x 2 7 x 18 45) lim x 2 5 x 2 15 x 10 2 x 2 6 x 36 46) lim x 3 2 x 2 16 x 30 6x2 7 x 5 47) lim 1 2 x 2 2x 5x 2 48) lim
x
1 2
6 x2 x 2 8x2 2 x 3
14 Determine el límite de las siguientes funciones 1.lim x 2 4 x 2 3 x 9 x2 3 x3 2 2.lim x 3 4 x 1 3 3.lim y 1 y 2 y 2 3 y 4 4.lim x 3 ( x 4)5 ( x 2 7) 6 x3 7 x 4 9 x4 6x2 2 2x2 x 3 6.lim x 1 x 1 3 x 8 7.lim x 2 x2 8x2 2 x 3 8.lim 1 x 2x 1 2 5.lim x 1
x3 x 4x 3 x 2 7 x 10 10.lim x 5 x5 2 x 10 x 24 11.lim x 4 2 x 8 x 16 6 x 2 24 x 24 12.lim x 2 3x 6 2 x 3x 2 13.lim x 1 2 x 4x 3 12 x 2 11x 2 14.lim x 2 3x 2 2 3 x 17 x 20 15.lim x 4 2 4 x 25 x 36 x4 16.lim x 4 3 x 64 9.lim x 3
2
17.lim x 0
2 x 2 x
18.lim x 0
3 x 3 x
19.lim x 0
5 x 25 x
20.lim x 1
x3 2 x 1
21.lim x 0
x 1 1 x
22.lim h 0
ah a h
x 2 x4 x 3 125 24.lim x 5 2 x 25 x 3 4 x 2 11x 30 25.lim x 3 x3 4 x 5 x 3 7 x 2 41x 30 26.lim x 2 x2 3 2 x 2x x 4 27.lim x 1 x 1 3 x 2 x 2 11x 12 28.lim x 1 x 1 3 x 3 x 2 x 18 29.lim x 2 x2 3 x 7 x2 x 9 30.lim x 1 x 1 4 x x5 31.lim x 1 x 1 1 x x 32.lim x 0 1 1 x x 6x 33.lim x 3 ( 2 ) x 3 x 9 1 4 34.lim x 2 ( 2 ) x2 x 4 x2 1 35.lim x 1 ( ) x 1 x( x 1) 23.lim x 4
15 LIMITES AL INFINITO Determine el límite de las siguientes funciones 1.lim x 2 x 3 20 x 3 2.lim x 1 x 2 x 3 3 x 4 2x2 x 3 3x 2 5 7 x 2 3x 5 4.lim x 5x2 9 x2 7 x 3 5.lim x 4 x3 8 x 3x3 2 x 2 1 6.lim x 7 x3 x 2 1 x x 7.lim x 1 2x x 6x 1 8.lim x 7 x2 5 3x 4 9.lim x 2x2 5 1 x 2 10 x 3 10.lim x 3 9 x 3x 2 6 x 5 8x2 2 x 3 11.lim x 3 2 x 3x 1 2 x 2 3x 4 12.lim x 2 5x 7 x 1 3.lim x
13.lim x ( x 2 x x) 14.lim x ( x 3 x ) x
15.lim x
x 1 2
x3 8 x2 2 x2 17.lim x ( 2 ) x x 1 3
16.lim x
16 18.lim x 19.lim x
x4 3 x2 1 6x 3 9x2 2x 1
20.lim x ( x 2 1 x) 21.lim x ( x 2 5 x x) 22.lim x ( x 2 9 x) 23.lim x ( x x 2 1) 24.lim x ( x 2 x 4 x 2 x 8) x2 4 x 2 x 12 2 x3 3x 2 4 26.lim x 5 x x 2 7 x3 x3 x2 27.lim x ( 2 ) 2x 1 2x 1 25.lim x
28.lim x ( x 2 x 1 x) 29.lim x (
x3 x) x2 1
x3 x 3 x 2 x2 3 3
30.lim x 31.lim x
32.lim x 5 x 4 12 x 3 3 x 2 x 2 33.lim x 34.lim x 35.lim x
x3 x 2 2 x 1 2 x 3 3 x 10 4 x 2 3x 1 2 x2 x 6 ( x 1) 2 2x2
CONTINUIDAD Determine si las siguientes funciones son continuas o discontinuas en el punto que se indica 1. 2. 3.
f(x)= x3-1 en x = 0 f(x)= 3x2-x +3 en x = 1 f(x)= 5x2 +4x-3 en x = -1
17
4. f ( x) 5. f ( x) 6. f ( x) 7. f ( x) 8. f ( x)
x2 1 .en, x 1 x 1 x 3 27 .en, x 3 x3 1 .en, x 2 x2 x2 2x .enx 0 x x3 x 2 5 x 6 .en, x 2, x 3 x2 x 6 2-x si x 1
9. f(x)=
en x = 1 si x 1
x x-2 10. f(x)=
si x 0 en x = 0
x +4 si x 0 Determine los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones 2
2 x4 3x 1 2. y 2 x 4x 3 5x 2 3. y 3 x 5x2 6 x 2x 4. y 2 x 4x 7 3x 5. y 2 x 4 6. y x 3
1. y
2x 6 4 x 13 x 3 2x 8 8. y 2 3 x 10 x 8 2x2 5x 2 9. y x3 8 2 x 2 3x 1 10. y 2 3x 5 x 2 7. y
2
18 LA DERIVADA Derivar por definición o regla de los cuatro pasos las siguientes funciones
1. y 2 x 3 2. y x 2 3. y x 2 5 x 4. y 4 x 2 2 x 7 5. y x 3 6. y ( x 5)(2 x 3) 7. y ( x 4) 2 8. y 3 x 5 x 2 9. y x 10. y x 5 11. y 2 5 x 12. y (3 x 2)( x 1) Derivar por regla o fórmula las siguientes funciones 1. y 5 x 3 6 2. y x 1 7 2 3.s 4t 9t 4. f ( x) 3 x 5 5 x 3 3 5.g ( x) x
1 x
4 3 x 2x 2 5 x 3 1 7. y 3 4 x x 8. y 3 x( x 3 1) 6. y
9. y (3 x 2) 2 10. y 3 x 5 2 x 3 11. y (2 x 3)3 12. y
x3 3x 2 4 x
19
2 x 3x 2 2 x 4 13. y 5x2 14. y x 2 x 3 4 1 t 3 t3
15.s 2 t
16. y x ( x 1) 17. y
x2 2 x x 1
18. y x x 4 3
19. y x x
x
2
x
2 3
20. y 5 x8 2 x 5 6 1 2 1 21. y 1 3 4 x x 2x 5
2
22. y x 3 x 3 x 2
23. y x 3
1 3 2
3 x4
x 2 1 1 24.s 2 3 t t 3t 2 25. y 2 x(3x 1)( x 2 2 x 3) Regla del producto 1. y (1 2 x)(3 x 2 ) 2. y ( x 2 x)(3 x 1) 3. y (3 x 2 2 x)( x 4 3 x 1) 4. y 9( x 1)(2 x 3) 5. y ( x3 3 x)(2 x 2 3 x 5) 6. y ( x 2 2 x 1)( x 3 1) 7. y ( x 1)(2 x 1)(3 x 1) 8. y ( x 2 1)( x 3 x)(3 x 4 2 x 1) 9. y 2 x(3x 2 1)( x 2 2 x 3) 10. y (4 x)(2 x x 2 )
20 Regla del cociente
x 2x 3 x2 x 2. y 2x 1 x2 x 2 3. y x2 x 2 3x 4. y 7x ax 5. y ax
1. y
a2 x2 a2 x2 x2 2x 5 7. y 2 x 2x 3 x3 5 x 8. y 2 x 3x 2 3x 2 9. y 2x 3 x3 3x 2 10. y x2 1 6. y
Regla de la cadena 1. y (2 x 1) 2 2. y ( x 2 a 2 )5 3. y ( x 4 5 x)3 4. y (1 5 x)
2 5
5. y ( x 5 x 3) 2
2 3
6. y (3 2 x 2 ) 4 7. y 3 2 9 x 8. y 5 x 2 3 x 6 9. y 3 3 x 2 5 x 10.s (t 5) 4
21 11. y x 2 2 x 1 12. y 2 4 x 2 13. y 2ax x 2 2
2 3
14. y ( a 3 x 3 ) 2 15.r 1 2 16.s (2 3t 2 )3 17. y 3 4 9 x 1
18. y
a x2 1 19. y (1 3 x) 4 2
20.s (t 4t 1) 2
3 2
21. f ( x) (4 x 9)5 22. f ( x) 7 x 2 2 x 3 2
23. f ( x) (8 x 2 3 x 1) 3 24. y 5 (2 x 7)3 25. y 3 (5 4 x 3 ) 2
Derivar las siguientes funciones 1. f ( x) (4 x 2 1)3
2. f ( x) (2 x 3 5 x 2 4) 10 3. f ( x) (2 x 1)3 4. f ( x) (10 5 x) 4 5. f ( x) ( x 2 4 x 5) 4 6. f ( x) (2 x 4 8 x 2 1)5 7. f ( x) ( x 2 4) 2 8. f ( x) (5 x 2 12 x 3)(4 x 2 8 x 5) 9. f ( x) ( x 2 3 x 8)(3 x 2 4) 10. f ( x) (5 x 2 7 x 6)(6 x 2 3 x 1) 11. f ( x)
2x 3 4x 1
22 12. f ( x)
2 x2 5x 8 x 2 3x 7
13. f ( x) (5 x 2 1) 3 x 2 2 14. f ( x) (2 x 5)5 ( x 2 1) 15. f ( x)
3
a bx a bx
16. f ( x)
5x 1 9 ; f ´( x) 4x 1 2 (5 x 1)(4 x 1)3
17. f ( x)
1 2x 2 ; f ´( x) 1 2x (1 2 x) 1 4 x 2
18. f ( x) 2 x 3 4 x 5 19. f ( x)
x x 1 2
20. f ( x) 1 4 x 2 21. f ( s ) 2 3s 2 2
22. f ( x) (5 3 x) 3 23.g ( x) 3 4 x 2 1 24. f ( x) (5 2 x 2 ) 25. y
1 3
1 3
1 25 x 2
26. f ( x) 3 4 x 2 1 27. f ( x)
1 25 x 2
28. f ( x) (5 2 x ) 2
29. f ( x)
2x 5 3x 1
30. f ( x) 3 2 x 3 5 x 2 x 31. f ( x) 3 (3 x 2 5 x 1) 2 32. f (t )
5t 6 5t 4
23 33. f ( x) 34. f ( x)
4
x3 1 x3 1 4x 6
x 2 3x 4 35. f ( x) (2 x 2 4 x 1) 60 1 36. f ( x) 5 (2 x 7)3 1 37. f ( x) 4 (3 x x 8)9 38. f ( x) (1 x)3 (1 2 x) 4 ; f ´( x) (1 x) 2 (1 2 x)(1 10 x) 39. y ( x 2 1) 4 ( x 2 2) 2 ; y´ 4 x( x 2 1)3 ( x 2 2)(3 x 2 5) 40. f ( x) (3 x 5) 2 (6 x 1)3 ; f ´( x) 6(3 x 5)(6 x 1) 2 (15 x 14) 41. f ( x) (4 x 7) 2 (2 x 3)5 42. f ( x) (5 x 6) 2 ( x 13)3 43. f ( x) ( x 2)3 ( x 5) 6 44. f ( x) x 2 ( x 4)5 45. f ( x) (2 x 3)3 (5 x 4) 2 46. f ( x) x(3 x 7) 4 47. y
1 cx c ; y' 1 cx (1 cx) 1 c 2 x 2
48. y
a2 x2 2a 2 x ; y ' a2 x2 (a 2 x 2 ) a 4 x 4
49.s
3
2 3t ds ; 2 3t dt
4 2 3
(2 3t ) (2 3t ) dy p 50. y 2 px ; dx y
4 3
24 Derivar implicitamente las siguientes funciones 1. y 2 4ax; y '
2a y
x2 y2 2x y 3.x 2 xy y 2 1; y ' 2y x 4x 4.2 x 2 3 y 2 ay; y ' a 6y 2.x 3 y 3 a 3 ; y '
5.
x2 y 2 b2 x 1; y ' a 2 b2 a2 y
6.2 x 2 3 xy 5 y 2 8 x 3 y; y '
4x 3y 8 3 x 10 y 3
ay x 2 7.x y 3axy 0; y ' 2 y ax 3
3
1
1
1
y x ax y 9.( x y ) 2 2ax; y ' yx
8.x 2 y 2 a 2 ; y '
10.x 4 2 x 2 y 2 y 4 4 y; y ' 11.x 2 y 2 r 2 12.x 3 2 x 2 y 3 xy 2 y 3 3 13.x 3 3 xy 2 y 2 2 xy 6 14.b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2 15.x 2 xy y 2 1 16.x 2 xy y 2 0 17.x 3 xy y 2 18.x 3 xy y 1 19.x 2 4 y 2 4 y 32 20.x 3 3 x 2 y y 3 8 21.x 3 y 2 xy 3 12 y 22.5 x 2 7 xy 3 2 x 7 x y 23.3 x 2 4 xy y 2 0 24.3 xy 5 xy 2 12 y 3 x
x 3 xy 2 x2 y y3 1
25 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR O DERIVADAS SUCESIVAS Determine la segunda derivada de las siguientes funciones 1. f ( x) 2 x 3 3 x 2 x 1 2. f ( x) 3 x 4 12 x 3 5 x 2 7 x 4 3. y x( x 1)3 4. y x( x 2 1) 2 5. f ( x) 2 x 3 3 x 2 6 x 87 6. f ( x) 5 x8 2 x 5 6 7. y 200 8 x 3 x 4 8. y x 2 (3 x 2)3 9. y x(3 x 5)3 10. y x( x 2 1) 2 (1 x) 2 x 2 12. y 4ax 11. y
13.x 2 4 xy 32 14.x 2 2 xy y 2 5 0 15.x 2 y 2 r 2 16. y x a 2 x 2 x2 1 x 18. y (4 x 1)(2 x 3) 17. f ( x)
2x 2x 3 20. y (3x 1)4 ; y '' 108(3x 1)2 Determine la tercera derivada de las siguientes funciones 1. y 5 x 4 3 x 3 x 2 19. y
2. y 4 x 3 9 x 2 12 x 3 3.s (t ) 2t 3 3t 2 6t 4 4. y x( x 1)3 ; y ''' 24 x 18 5. y (2 x 3) 4 6. y 7 x 4 2 x 3 8 x 5 7 y (2 x3 4 x 2 )(3 x5 x 2 ) 8. y (2 x 4 1)(5 x 3 6 x)
26 DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES Derivadas Trigonométricas 1. y cos 3 x; y ' 3sen3 x 2. y tan 2 ; y ' 2sec 2 2 3. y sen(2 x 5) 4. y sen(3 x 2 2 x) 5. y sen5 x cos 3 x 1 senx 1 senx 7. y cos 4 2 x; y ' 8cos 3 2 xsen2 x 6. y
8. y sen 2 3 x 9. y 3sec3 2 x 2 10. y x 2 cos 2 x 2 ; y ' 2 x(cos 2 x 2 2 x 2 sen 2 x 2 ) 11. y 1 sen3 x ; y '
3sen 2 x cos x
2 1 sen3 x 12. y sec 2 x tan 2 x; y ' 2sec 2 x(sec 2 2 x tan 2 2 x) 2 x 4 2 x ); y ' sec 2 ( ) 2 2 x (2 x) 2 x sex3 x 14. y 3 cos 3 x ; y ' 3 (cos 3 x) 2 13. y tan(
15. f ( x) sen3 2 x tan 2 3 x 16. f ( x) tan 3 2 x 17. f ( x) cos 2 3 x csc3 2 x 18. f (t ) sec 2 2t tan 2 2t sen2 x 1 cos 2 x cot 2 ax 20. f ( x) 1 x2
19. f ( x)
21. y 3 sec 2 x 22. y cos 2 (5 2 x) 23. y cos5 4 x 24. y 1 sen2 x 25. y sec3 5 x
27 DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
1. f ( x) sen 1 x 2 2. f ( x) cos 1 3 x 3. f ( x) tan 1 2 x 4. f ( x) cot 1 x 2 5. f ( x) tan 1 x 1 5 5 6. f ( x) sen 1 x; y ' 3 9 25 x 2 2x2 7. y x tan 1 x 2 ; y ' tan 1 x 2 4 1 x x 8. y sec 1 x 2 3; y ' 2 ( x 3) x 2 2 3 9. y sen 1 (3 x 2); y ' 1 (3 x 2) 2 10. y cos 1 ( sen3 x) 11. y sen 1 x 12. y (tan 1 2 x)3 ; y '
6(tan 1 2 x) 2 1 4 x2
sen 1 2 x x x 1 14. y sen 1 ; y ' 3 9 x2 x 15. y sen 1 2 x 16. y xsen 1 2 17. y (1 sen 1 3 x)3 13. y
18. y cos 1 7 x 2 19. y x 2 tan 1 2 x 20. y tan 1 (1 2 x) 21. y cos 1 ( sen3 x) 22. y cos 1 3 x 1 23. y tan 1 x cot 1 x
28 DERIVADAS LOGARITMICAS 1. y ln(1 2 x) 2. y ln(2 x 2 3 x 5) 3. y ln( x 2 3 x 2) 2x 1 4. y ln x3 5. y sen[ln(2 x 1)] 6. y ln
x 1 x 1
1 senx ; y ' sec x 1 senx ax 8. y ln ax 7. y ln
9. f ( x) ln x 2 1 2x 3 ) x x2 a2 11. y ln( ) xa 10. y ln(
12. y ln( x 1 x 2 ) 13. y ln sec 4 x 14. y ln sen(2 x 2 3 x 8) 15. y ln(sec x tan x); y ' sec x 16. y ln 9 2 x 2 ; y '
2 x 9 2x2
a bt ab ; y' 2 2 2 a bt a b t 18. y x ln x; y ' 1 ln x 17. y ln
2x 1 x2 20. y x 2 ln x 2 ; y ' 2 x(1 2 ln x)
19. y ln
21. y x ln x 1 22. y ln
x 1 x2
29 Derivadas de funciones exponenciales 1. y e3 x
2
2 x
2. y e sen 3 x 3. y 3e 4 x 1 4. y
e x e x 4 ; y ' x x 2 x x e e (e e )
5. y e
x2 x2
x2 4 ; y' e x2 ( x 2) 2
xe x x 2e x e2 x 6. y ; y' x ex ( x e x )2 7. y e x
2
4 x 3
; y ' (2 x 4)e x
2
4 x 3
8. y ( x 2 3 x 5)e5 x 9. y (1 3e x ) 2 10. y e 2 x
4
4 x
11. y e x ( x 2 2 x 2) 12. y tan e 2 x 13. y e3 x tan 4 x 14. y e tan 2 x 15. y e3 x
2
7 x 1
16. y (e3 x 1) 4 17. y e 2 x ln x 18. y (1 e 2 x ) 2 ; y ' 4e 2 x (1 e 2 x ) 1 ex 1 ex 20. y (e x e x ) 2
19. y
21. y tan 1 e 2 x 22. y x sec e x 23. y e x 2 24. y e x cos 5 x 25. y e tan x 26. y
1 e2 x
30 APLICACIONES DE LA DERIVADA I.
Calcular la pendiente de las siguientes curvas en los puntos que se indican:
1. y x 2 5 x 9;(2,5) 2. y x 3 4 x 2 ;(2,8) 3. y x 4;(5,3) 4. y x 3 4;(1, 3) 5. y ( x 2) 2 ;( 3,1) 6. y
(2 x 5) 2 ;(2,9) 6x 3
7. y 5 4 x 2 ;(1,3) 8.x 2 y 2 13;(2,3) 9.x 2 xy 2 y 2 28;(2,3) 10.x 3 3 xy 2 y 3 1;(2, 1) x ;(3,3) x2 12. f ( x) x 3 3 x;(1, 4) 11. f ( x)
II.
Hallar la ecuación de la recta tangente y la recta normal a las curvas siguientes en el punto indicado:
1. y x 3 3x;(2, 2).sol.9 x y 16 0; x 9 y 20 0 2. y
2x 3 ;(2, 7) 3 x
3. y x 1;(2,3) 4. y 4 x 3;(3,3) 5. y x 3 3x 2 5 x 3;(1, 2).sol.4 x y 2 0; x 4 y 9 0 6.2 x 2 xy y 2 16;(3, 2) 7. y 2 2 y 4 x 4 0;(1, 2) 8. y 2 2 x 8 y 12 0;(0, 2) 9.2 x 2 xy 3 y 2 18;(3,1) 1 10. y x3 ;(4,8) 8 11. y 64 x 2 ;(0,8) 12. y 3x3 4 x 2 5 x 18;(2, 0)
31 MÁXIMOS Y MÍNIMOS Aplicando el criterio de la primera derivada, determine los puntos máximos y máximos relativos de las siguientes funciones: 1. y x 3 3x 4 2. y x 3 3x 2 3. y 2 x 3 3 x 2 12 x 5 4. f ( x) 2 x 3 3x 2 72 x 3 3 5. f ( x) x3 x 2 18 x 5 2 3 6. y 2 x 9 x 2 5 7. y x 3 3x 2 9 x 8. f ( x) 3x 4 4 x3 36 x 2 1 9. f ( x) x3 3x 2 1 10. f ( x) x3 3x 2
Aplicando el criterio de la segunda derivada, determine los puntos máximos y mínimos relativos, los puntos de inflexión y la gráfica de las siguientes funciones: 1. f ( x) 2 x 3 3 x 2 12 x 2. f ( x) x 3 3 x 2 3 3. y x 3 6 x 2 9 x 1 4. y 2 x 3 15 x 2 36 x 20 5. y 10 12 x 3 x 2 2 x 3 6. y 2 x 3 3 x 2 12 x 7 7. y x 3 6 x 2 9 x 5 8. y 3 x 3 3 x 2 x 1 9. f ( x) x 3 3 x 10. f ( x) x 3 3 x 2 11. y x 3 3 x 2 2 12. f ( x) x 3 12 x 13. f ( x) 2 x 3 2 x 2 12 x 7 1 3 x x 2 3x 4 3 15. f ( x) x 4 6 x 3 24 x 2 x 2 14. f ( x)
32 APLICACIONES DE LOS MAXIMOS Y MINIMOS 1. Una caja de base cuadrada con tapa debe ser construida con 192 cm2 de material. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la caja para obtener el máximo volumen?, ¿Cuál es el máximo volumen? 2. Se intenta bardear un campo rectangular con 600 m. de material y después subdividirlo en dos partes con una barda paralela a uno de los lados. De todos los terrenos en los cuales se puede hacer esta operación, ¿Cuales son las dimensiones del que tiene área máxima? 3. Hallar las dimensiones de un recipiente cilíndrico de latón de 1200 plg3 de capacidad, que requiere la menor cantidad de material. 4. Un hombre puede arrendar sus 40 departamentos si la renta es de $100 mensuales cada uno. Sin embargo, por cada $5 en que aumente la renta, arrendará un departamento menos. ¿Qué renta debe cobrar para obtener el máximo ingreso? 5. Se debe construir una caja rectangular sin tapa de la siguiente manera: A una placa de estaño de 10x16 pulgadas se le hará un pequeño corte cuadrado en las esquinas y enseguida los bordes se doblan hacia arriba. ¿Cuál debe ser el tamaño de los cuadrados recortados para que la caja tenga un mayor volumen posible? 6. El departamento de recreación de una ciudad planea construir un campo de juego rectangular que tenga un área de 3600 m2 y rodearlo con un cercado. ¿Cuál sería la mínima cantidad de cerca requerida? 7. Se desea construir un recipiente cilíndrico metálico de base circular y de 125cm 3 de volumen; hallar las dimensiones que debe tener para que la cantidad de material sea mínima en caso de que: a) El recipiente sea abierto b) El recipiente sea cerrado. 8. Una caja cerrada con base cuadrada debe tener un volumen de 250cm3. El material para la base y la parte superior de la caja cuesta $2.00 dólares por cm2 y el material para los lados cuesta $1.00 dólar por cm2. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la caja para que el costo sea mínimo? 9.
Encuentre dos números no negativos cuya suma sea 10 y cuyo producto sea máximo
10.
La diferencia de dos números es 50. Elegir los dos números de modo que su producto sea mínimo
11. Hallar dos números positivos cuyo producto sea 192 y cuya suma sea mínima 12. ¿Qué número positivo x minimiza la suma de x y su reciproco? 13. Hallar dos números cuya suma es 12 y la suma de sus cuadrados sea mínima
33 14. Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba de modo que su altura sobre el suelo después de t segundos es: I. s= -16t2+96t+880 II. s= -16t2+48t+160 III. s=-16t2+128t+320 IV. s=-16t2+64t+80 V. s=-4.9t2+84t+245 VI .s=-4.9t2+98t+320 Determinar en cada caso: a) La velocidad y aceleración del objeto b) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada? c) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al piso? d) ¿Con que velocidad llega al piso? 15. Una carga de dinamita impulsa una roca pesada hacia arriba, con una velocidad de lanzamiento de 160 pies por segundo. Alcanza una altura de s = 160t-16t2 pies después de t segundos: a) ¿Qué tan alto llega la roca? b) ¿Cuál es la velocidad de la roca cuando está a 256 pies sobre el suelo yendo hacia arriba?, ¿yendo hacia abajo? c) ¿Cuál es la aceleración de la roca en cualquier instante t? d) ¿Cuándo toca el suelo la roca?
34 DETERMINE LA INTEGRAL INDEFINIDA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES 22) (2 x 3 4 x ) dx 8 1) x dx 1 3 23) ( 4 4 ) dx 2) 2 x15 dx x x 13
3) x 2 dx 1 dx x6 1 5) 5 dx x 11 7 6) 9 dx 2x 4 3 7) 4 dx x 4)
8) x dx 5
9)
6
1
dx x7 4 10) 8 dx 5 x 8
11) (8 x)dx 12) (7 3 x 2 x 2 ) dx 13) ( x 3 2 x)dx 14) (3 x 2 4 x 5) dx 2 x 4 8 x3 15) ( )dx 7 3 x 3x5 16) ( ) dx 7 6 17) (3 x 4 2 x 2 5) dx 18) (3 x 2 2 x 3 )dx 1 3 5 2 19) ( 2 3 4 ) dx x x x x 20) (3 x 4 8 x 3 2 x 2 5 x 3) dx 21) ( 3 x 4 x 5 x )dx
24) (
5
x 23 x ) dx 2 3 3
2
25) ( x 2 2 x 3 5 x 3) dx 26) (2 x 2 1)( x 2 3 x 2)dx 27) ( x 2 5)( x 3)dx 28) x 4 ( x 3 3 x 2 7)dx 29) x ( x 3) 2 dx 30) (2 x 1)3 dx 31) ( x 2 3)3 dx 32) x ( x 2 3 x 2 4 x 3 )dx 2
33) x 3 ( x 4 1) dx 34) ( 2 x 1)( x 2 x)dx 35) (5 x 2 3)( x 3 3 x)dx 36) 3 x 2 (5 x 2 6 x 8)dx 37) ( x 2 5 x 2)(3 x 2 6 x 4)dx (5 x 3)(7 x 4) dx x 4 x 3 7 x 2 9 x 2) 39) dx x ( x 2 5)3 40) dx x 38)
35
41. ( x 4 x 3)dx 42. (2 x 5 x 3 2 x 6) dx 1 2 3 43. (5 x 2 x 2 7 2 )dx x x 3 2x 44. dx x 3 1 1 45. ( 5 7 ) dx x x x
46. (1 2 x 2 3 x 3 )dx 3 2
47. ( x 3 x 4
48. ( x 2) 2 dx;
7 5)dx x x3 2x2 4x c 3
3 2
49. (2 x 4 x 3 x 2)dx; 50.
2 x3 4 x dx x
Resolver completando el diferencial ( x 2)3 1. ( x 2)5 dx; c 3 (2 x 3)3 2. (2 x 3) 7 dx; c 6
3. ( x 3)9 dx 4. 3 2 xdx 5. x(5 x 2 4)3 dx 6. 5 x(3 7 x 2 )9 dx 7. x(3 7 x 2 )164 dx 8. (2 3 x) 4 dx 9. (5 x 2)8 dx
5 2
3 2
4 x 8x 3x 2 2x c 5 3 2
36 10. (3 4 x) 2 dx 11. 3 2 3 ydy 12. 13.
dx 5 7x dx b 4x
14. y ( y 2 3) dy 15. y 2 (2 y 3 ) dy 16. x 2 x 2 5dx 17. y 3 5 y 2 4dy 2 x 3 dx ( x 4 3) 2 3ax 19. dx x2 5 y2 2 y 20. dy 3 y3 3 y 2 4 18.
21.
z dz ( z 1)3 2
22. 3w 4 w2 dw 23. 24.
dx (a bx )3 x 1 x2 2x
dx
25. x 2 (a bx 3 ) 2 dx 26.
x3 1 dx ( x 4 4 x) 2
27.
5 y 4 10 y dy y5 5 y 2
y2 dy 2 3 y3 zdz 29. 1 z2 x3 30. 2 dx x 6x 28.
37 31.
dy 1 y 3 2
32. ( x 2) dx x dx 3 2x2 4 w2 4 34. 3 dw w 3w 6 x 35. 2 dx 3x 2 2 x3 36. dx 1 x4 2x 1 37. dx x ( x 1) 33.
x2 5 dx x 3 15 x 2 dy 39. 5 2y 38
x 2 dx 5 x3 ydy 41. a by 2 2y 3 42. 2 dy y 3y Integración de funciones trigonométricas directas 1. sen(2 x)dx 40.
2. cos(3 y ) dy 3. tan(5 x)dx 4. csc(6 x) dx 5. sec(8 x) tan(8 x) dx 6. csc(6 x) cot(6 x) dx x 7. cot( ) dx 5 2 8. sen( x)dx 3
38 9. sec 2 (2 x) dx 10. csc 2 (3 x) dx 11. cos(5 x ) dx 12. cot(3 x 1) dx 13. csc 2 (5 x 2) 14. x 2 cos( x 3 ) dx x x 15. sec( ) tan( ) dx 2 2 16. xsen( x 2 ) dx dy cos 2 (4 y ) 2 2 18. csc( x ) cot( x ) dx 3 3 x 19. cos( ) dx 2 17.
20. x sec( x 2 ) dx 21.
dy sen 2 ( y )
22. sec(3 x ) tan(3 x ) dx 23. (tan( x) sec( x)) 2 dx 24. (tan( x) cot( x)) 2 dx 25. sec 2 (5 x) dx 26. csc 2 (2 3 x) dx 3 3 27. csc( x) cot( x) dx 4 4 dx 28. tan(3 x ) dx 29. cot(2 x ) dx 30. sen 2 (5 x ) 31. (sec( x) 1) 2 dx
39 Integración por sustitución (Funciones trigonométricas) 1. sen3 ( x) cos( x)dx 2 cos 2 ( x) sen( x)dx 3. tan 2 x sec 2 xdx 4. sec 2 (3 x) tan(3 x)dx 5. sen(5 x) cos(5 x)dx x x 6. cot( ) csc 2 ( ) dx 2 2 7. sec(2 x) sec(2 x) tan(2 x) dx 8. sec3 ( x) tan( x)dx 9. sen5 (2 x) cos(2 x) dx cos(2 x) dx sen3 (2 x) cos(3 x ) 11. dx sen(3 x ) 10.
12.
sen(3 x ) cos 4 (3 x)dx csc 2 ( z ) dz 3cot( z ) 2
13.
2 3 tan( x) dx cos 2 ( x) sen( x) 15. dx cos( x) 1 14.
3
sec 2 ( x) dx 1 2 tan( x) sen(3t ) 17. dt cos(3t ) 1 csc( x ) cot( x ) 18. dx 2 3csc( x) 16.
sec 2 (5 x) dx 2 3 tan(5 x) sec(3 x ) tan(3 x) 20. dx 2sec(3 x) 2
19.
40 Determine la integral indefinida de las siguientes funciones exponenciales 1. 12e 2 x dx 2. e5 x 7 dx 3. e 2 x 1dx 4.
dy e2 y
5. 2e9 x dx 6. xe x dx 2
7.
4 dx e3 x
8. 5e7 x dx 9. e 2 x dx 10. 8 x 3e x dx 4
11. e3 x e 2 x dx 12. (e x 1) 2 dx 13. (1 e x )3 dx 14. e 2 x 1dx 15. xe 4 x dx 2
16. esec(2 x ) sec(2 x) tan(2 x)dx sen( x) dx ecos( x ) ex 18. dx ex 3 e3 x 19. dx (1 2e3 x ) 2 17.
ex dx 1 ex ex 21. x dx e 2 ex 2 22. dx 2e x 4 x 20.
41 Integrales que producen funciones trigonométricas inversas dx 1. 2 x 4 dx 2. 2 dx x 9 19. 25 4 x 2 dx 3. dx 20. 16 x 2 16 9 x 2 dx 4. dx 21. x2 9 4 (1 2 x) 2 dx 5. 2 dx 4x 9 22. dx x x 2 16 6. dt 16 9 x 2 23. dx t 4t 2 9 7. 2 4x 1 24. 4 9t 2 dt dx 8. 25. (3 z 1) 2 2dz 9 4x2 4 x2 dy 9. dx 26. 2 y 4y 3 2 x6 dx dx 10. 27. 2 2 ( x 2) 4 x 4 x 13 dx dx 28. 2 11. x 2x 5 9 ( x 2) 2 dx 29. 2 dy 12. 2 x 8x 7 y 2y 5 dx 30. 4x2 4 2x x2 13. dx 6 4 9x dy 31. 5 14. 2 dx 1 y y2 9 x 25 2x 1 2 32. dx 15. dx 2 2 x 1 4 ( x 2) 3t 1 3 33. 2 dt 16. 2 dx 3t 9 4 x 16 7x 2 3 34. dx 17. 2 dx 1 5x2 x 25 dx 18. 16 ( x 6) 2
42
METODOS DE INTEGRACIÓN Integración por partes. Determine la integral indefinida de las siguientes funciones 1. x cos xdx 2. xsenxdx 3. cos 1 xdx 4. x ln xdx 5. tan 1 xdx 6. xe 2 x dx 7. xe x dx 8. se n 1 xdx 9. ln xdx 10. x sec 2 xdx 11. xe3 x dx 12. x x 1dx 13. tan 1 3 xdx 14. e x senxdx 15. x( x 3) 7 dx 16. x cos 3 xdx 17. x( x 9)5 dx 18. x 5 ln xdx 19. x x 5dx 20. x cos 4 xdx
43 Integración por fracciones parciales Caso I. Factores lineales no repetidos 3x 2 dx x x2 2 x 2x 3 2. 3 dx x x2 2x 1 3. dx 5x x2 1 4. 2 dx x 36 2x 1 5. dx 2 x( x 3 x 2) x 16 6. 2 dx x 2x 8 x2 1 7. dx x( x 2 4) 1 8. dx ( x 5)( x 3) 1 9. 2 dx 4 x 12 x 5 x2 x 1 10. dx ( x 1)( x 2))( x 3) 1 11. 3 dx x x x2 2 12. 3 dx x 4x 2x 3 13. 2 dx x 6x 7 5x 3 14. 2 dx x 2x 3 2x 1 15. dx ( x 1)( x 2)( x 3)
1.
3
44 Caso II. Factores lineales repetidos 1 1. 3 dx x 3x 2 4 x 2 3x 1 2. 2 dx x ( x 1) z 3. dz ( z 2) 2 3x 2 5 x 4. dx ( x 1)( x 1) 2 x 2 3x 7 5. dx ( x 1) 2 (2 x 3) 5x 3 6 2 dx x 4x 4 1 7. dx x ( x 1) 2 x2 8. 2 dx x ( x 1) 3x 2 6 x 2 dx x3 2 x 2 x 4 x3 2 x 2 x 1 10. dx ( x 2)( x 1)3 9.
INTEGRAL DEFINIDA 4
1. 2 xdx 1
1
2. ( x 2 x 1)dx 0
3
3. ( x 2 4 x 3)dx 1
4
4. (16 x x 3 )dx 0
3
5. (3 x 2 4 x 1)dx 0
3
6. (6 x x 2 ) dx 2 3
7. ( x 2 5)dx 2
1
8. ( x 4 3 x 3 1)dx 0
45 2
9. ( x 3 x 2 3 x 3)dx 0
10.
x
4
3
25 x 2
dx
3
11. x( x 2 4) 2 dx 0
1
12. 8 x( x 2 1)3 dx 0
x2 dx 2 5 x3 3 2x 14. dx 2 1 x2 13.
5
15.3 sec 2 xdx 4
Área bajo una curva Determine el área bajo la curva que tiene por ecuación la que se indica, desde x=a hasta x=b. 1.y=6x+4
x=2 ; x=8
2.y=1+x 2
x=-1 ; x=1
15 2 u 4 64 4. y x 2 x=0 , x=4 ; A= u 2 3 81 5. y 9 x x 3 ; x=0 , x=3 ; A= u 2 4 128 2 6. y 8 x x 2 ; x=4 , x=8 ; A= u 3 62 7. y 25 4 x ; x=0 , x=6 ; A= u 2 3 3.y=x 3
x=1 , x=2 ; A=
Área entre dos curvas Determine el área comprendida entre las curvas cuyas ecuaciones se indican 1. y 5 x 2 ; y=x-1 2. y 2 x x 2 ; y=-x 3. y 2 x 2 ; y=x
4. y x 2 ; 4y=3x 5. y x3 ; y=4x
9 sol. A= u 2 2
9 2 u 128 sol. A=8u 2 sol. A=
46
MATRICES SE AN:
1 2 3 A 5 0 2 1 1 1
3 1 2 B 4 2 5 2 0 3
4 1 2 C 0 3 2 1 2 3
Determinar: a) A+B b) A-C c) -2A d) Comprobar que A +(B-C)=(A +B)-C e) A'-B' f) C'-3A' g) Hallar la matriz D de forma que A+D=B h) -2A+5C i) 4C-2B +3A j) 2A-B +2C Determinar, si es posible, A B y BA en cada caso
2 6 5 2 B 3 4 1 7
A
4 2 2 1
A
2 1 4 2
B
3 0 1 A 0 4 2 5 3 1
1 5 0 B 4 1 2 0 1 3
1 4 6 A 2 3 5 1 0 4
2 3 5 B 1 0 6 2 3 1
1 3 2 A 2 1 3 4 3 1
1 4 1 0 B 2 1 1 1 1 2 1 2
47 1 3 2 A 2 1 3 4 3 1
2 1 1 2 B 3 2 1 1 2 5 1 0 5 1 B 1 0
2 1 1 0 A 3 2 0 5 2 1 4 2 1 2 3 A 4 5 6 7 8 9
3 1
2 0 0 4
2 3
1 2 3 B 2 3 1 3 1 2
DE TERMINANTE DE UNA MAT RIZ Calcular el determinante de las siguientes matrices
5 4 3 2
B
3 1 2 D 4 2 5 6 3 1
C
2 5 1 E 3 1 6 4 2 3
1 2 3 H 1 2 4 1 6 4
2 12 13 7 4 G 3 5 2 M 3 3 2 2 1
1 6 2 F 2 3 5 7 12 4 2 3 N 3 2
a a b b
6 4 3 2
A
3 2 4
2 1 2 2
3 4
4
0 5
MAT RIZ INV ERS A Determine la inversa de las siguientes matrices
2 3 1 4
A
2 4 1 3
B
3 2 4 5
C
5
1 0
0 3 0
2 1 6 4
2 0
48 1 3 1 D 2 5 0 3 1 2
1 2 1 E 1 1 2 2 1 1
2 3 4 F 4 3 1 1 2 4
1 2 3 G 2 4 5 3 5 6
Determine el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones, mediante el método de la matriz inversa.
2 x 3 y 7 1. 4 x y 21 3 x 2 y 4 2. 4 x 5 y 7 2 x 3 y 8 3. x y 1 2 x 3 y 4 z 4 4. x y 3 z 8 2 x 5 y z 9 x y z 7 5. x y z 1 x y z 3 2 x y 3z 5 6. x 2 y z 11 3 x y 2 z 4 x y z 11 7. 2 x y z 5 3 x 2 y z 24