1
2
PRODUCTO CARTESIANO Sean A =-1 , 0 , 1 , 2 ; B =1,2,3;C =0,2,4; D= 1,0,4}.Determinar los productos indicados, obteniendo el Dominio, Contradominio y grafica de cada uno de ellos: 1. AXB 2. BXC 3. AXC 4. DXB 5. AXD 6. CXD 7. (B-C) X A 8. (AD) X B 9. C X (B-A) 10. (AB) X (AC) 11. Se lanzan dos dados legales, uno rojo y el otro azul, ¿cuántas y cuáles combinaciones pueden obtenerse? 12. Una fabrica produce pantalones de mezclilla en medidas de 30, 32, 34, 36, 38 y 40 pulgadas de cintura y con 28, 30, 32, 34 y 36 pulgadas de largo ¿Cuántas y cuáles son las diferentes tallas, cintura-largo, que puede producir esta fabrica? 13. Si se lanzan al mismo tiempo una moneda y un dado, ¿cuántas y cuáles combinaciones pueden obtenerse?
RELACIONES I.
Sea A = 0,1,2,3,4,5; B =0,1,3,5,9.Determine el Dominio y la Imagen de las siguientes relaciones: a) R1: AB =(x ,y) x = y b) R2: AB =(x ,y) x y c) R3: AB =(x ,y) y =x2 d) R4: AB =(x ,y) y x e) R5: AB =(x ,y) x + y = 5 f) R6: AB =(x ,y) la primera componente es 2 g) R7: AB =(x ,y) la segunda componente es 9
II.
Sea A = 0,1,2,3,4,5; B =0,1,3,5,9.Determine el Dominio y la Imagen de las siguientes relaciones: a) R1: AB =(x ,y) y = 3x+2 b) R2: AB =(x ,y) y x + 4 c) R3: AB =(x ,y) x +2 y =3 d) R4: AB =(x ,y) y-x = 3
III.
Sea A = 1,2,3,4,5.Determine el Dominio, la Imagen y la gráfica de las siguientes relaciones: a) R1: AA =(x ,y) y = x +1 b) R2: AA =(x ,y) y = 4-x c) R3: AA =(x ,y) y = 2(x-3) d) R4: AA =(x ,y) y = x2+1
3
FUNCIONES I.
Analizar los siguientes conjuntos de pares ordenados, y en aquellos que representen una función, determinar su Dominio y Recorrido: a) (1,2),(2,4), (3,6), (4,8), (5,10) b) (3,5),(0,-6), (1,9), (4,-7) c) (1,1),(-1,2), (1,3), (2,2), (2,3) d) (4,-8),(7,5), (1,12), (9,3) e) (2,3), (3,7), (5,15), (2,5),(10,35)
II.
Determine si las siguientes relaciones son funciones. Explique por qué? a) (x, y) y = 5-3x b) (x, y) y = 1/x c) (x, y) y2 = 4-x d) (x, y) x2+y2 = 4 e) (x, y) 9x2+16y2=144 f) (x, y) y = x2 -4x+5 g) (x, y) 5x+3y = 7
III.
Determine cuales de las siguientes graficas, representan una función
4
5
6
CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES I. Clasifique las siguientes funciones como Implícitas o Explicitas 1)2 x y 3 0 2) y x 2 5 x 1 4 x 3 2 4)3x 5 xy 7 x 6 y 8 0
3) y
5) y 1 x 2 6) x 2 8 y 0 7) x3 7 x 2 5 y 3
7
Exprese las siguientes funciones implícitas en explicitas 1. 3x + y – 5 = 0 2. x2 + 4x - 2y = 0 3. x + xy + y = 2 4. xy + x - 2y – 1 = 0 5. xy – x – y – 3 = 0 6. 3xy - 5x + 2y – 7 = 0 7. 5xy - 8y + 9x = 2 II. Clasifique cada una de las siguientes funciones como Inyectivas, Suprayectivas y Biyectivas. Justifique su respuesta
1 2 3 4
0 1
a b c
e f k
d
h
3
h
1 2 3 4
1 2 3
10
1 2 3 4
4
a
1 5
2 3 4
x
b c
y
d
z
III. Clasifique cada una de las siguientes funciones como Crecientes o Decrecientes 1. y x 2 5. y log( x) 2. y 5 x 4 6. y x
3. y 3 x
7. y 1 x3
4. y x 3
8. y 5 x 1
8
IV.
Para cada uno de los siguientes casos, indique el tipo de función y determine su Dominio 1. f ( x) x 1 2. f ( x) 3 x 5 3. f ( x) 5 4. f ( x) x 2 5 x 6 5. f ( x) 3 x 2 5 x 8 6. f ( x) x 3 4 x 3 7. f ( x) 7 x 3 x 2 16 x4 5 9. f ( x) 2x 3 x 2 3x 2 10. f ( x) 2 x 4x 5 x2 4 11. f ( x) 2 x 2x 3 3x 7 12. f ( x) 2 2x 5x 3 2 x 13. f ( x) 2 3 x 11x 4 4x 7 14. f ( x) 2 6 x 3x 5 8. f ( x)
15. f ( x) x 2 16. f ( x) 5 x 17. f ( x) 2 3 x 18. f ( x) 81 x 2 19. f ( x) 4 x 2 20. f ( x) x 2 9 21. f ( x) x 2 16 22. y senx 23. y 2 x 1 24. y cos(3 x ) 25. y log x
9
V.
Clasifique las siguientes funciones como continuas o discontinuas a) y x 2 b) y 3 x 2 6 x 4 c) y x 3 1 2 x 3 x5 e) y 2 x x6 3 x 2 f )y 2 4x x 3 2x 5 g) y 2 3 x 7 x 20 3 h) y 2 x 2 x 15 i) d)y
j)
10
EVALUACIÓN DE FUNCIONES
Deter min ar : f (3) f (1), f (0), f (4), f (8) 1. f ( x) x 2 2. f ( x) 3 x 1 3 f ( x) 4 x x 2 4. f ( x) 5 x 2 4 x 2 5. f ( x) x 3 2 x 2 3 6. f ( x)
x2 3x 1
7. f ( x) x 5 2x x2 2x 3 9. f ( x) x 1 3x 5 10. f ( x) 2x 4 8. f ( x)
GRAFICA DE FUNCIONES Determine el Dominio, rango y gráfica de las siguientes funciones: 1. f ( x) 2 2. f ( x) 5 3. f ( x) x 3 4. f ( x) 2 5 x 5.5 x y 6 0 6.2 x y 8 0 7. f ( x) x 2 10 x 16 8. f ( x) x 2 2 x 3 9. f ( x) x 2 6 x 8 10. f ( x) x 2 10 x 24 11. f ( x) x 2 2 x 8 12. f ( x) x 2 6 x 7 13. f ( x) x 2 4 x 6 14. f ( x) 2 x 15. f ( x) 4 x 6 16. f ( x) 2 x 5 17. f ( x) 2 3 x 18. f ( x) 7 x
11
FUNCIÓN INVERSA Determine la inversa de cada una de las siguientes funciones:
1. y x 3 2 . y 3 x 4 3. y 2 x 1
8. y
1 x2 3x 4 2x 3 2x 3 x4 3x 4 x2 3 x
9. y
2x 3
4. y 5. y 6. y 7. y
10. y
3x 4
APLICACIONES DE LAS FUNCIONES 1.Un estudio de productividad en el turno matutino en cierta fábrica indica que un trabajador promedio que llega al trabajo a las 8.00 AM habrá ensamblado: f(x)=-x3+6x2+15x radio transistores, x horas después. ¿Cuántos radios habrá ensamblado tal trabajador a las 10 AM? 2.Suponga que el costo total en dólares por la fabricación de x unidades de un cierto artículo viene dado por la función C(x)=x3-30x2+400x+500. a) Determine el dominio de la función b) Calcule el costo de fabricación de 20 unidades 3.Un objeto se lanza hacia arriba en línea vertical desde el piso con una velocidad inicial de 96 pies por segundo, si la altura del objeto es S pies después de t segundos, y se desprecia la resistencia del aire, S=96T-16T2 a) Calcular la altura alcanzada a los 2,3,4,5 segundos b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza y cuántos segundos después de su lanzamiento alcanza dicha altura? 4. Suponga que un taxi cobra $5.80 el “banderazo” y $0.85 por kilometro recorrido a) ¿Cuánto se tendría que pagar, si se viaja en taxi, por un recorrido de 28km? b) Escribir la regla de correspondencia del costo de viajar en taxi cuando se recorren x kilómetros c) ¿Cuál es el dominio de la función?
12
5. El número de unidades vendidas (v) cada semana de cierto producto depende de la cantidad x gastada en publicidad y está dada por v(x)=70+150x-0.3x2 a) ¿Cuál será el monto de las ventas si se invierten $80.00 en publicidad? b)¿Cuánto se deberá gastar en publicidad a la semana con objeto de tener un volumen de ventas máximo? c) ¿Cuál es el volumen de ventas máximo? 6. Una compañía obtiene una ganancia semanal de P dólares por la venta de x artículos de acuerdo a la fórmula P=-0.4x2+80x-200. Calcule el número de artículos que la compañía debe vender por semana para obtener una mayor ganancia, determine la ganancia máxima 7.Una empresa puede vender a un precio de 100 dólares por unidad todas las piezas de un artículo que produce. Si se fabrican x unidades, el monto del costo total de la producción diaria es x2+30x+700. ¿Cuántas unidades deben producirse por día a fin de que la empresa obtenga las máximas utilidades totales diarias? 8.Una compañía que hace y vende escritorios puede vender a un precio unitario de $400.00 todos los que fabrica. Si se construyen y venden x escritorios a la semana, entonces el importe del costo total de la producción semanal es 2x2+8x+3000. ¿Cuántos escritorios deben hacerse a la semana a fin de que el fabricante obtenga las máximas utilidades totales a la semana? 9.Con una hoja rectangular de cartón cuyas dimensiones son 12 pulgadas por 20 pulgadas, se va a construir una caja abierta recortando cuadrados iguales de lado x en cada una de las esquinas y luego doblando los bordes hacia arriba. Exprese el volumen de la caja como una función de x. 10. Un granjero ha destinado 24 pies de barda para cercar un chiquero rectangular. Exprese el área del chiquero en términos de su longitud x. ¿Cuál es la longitud que dará el área máxima? 11. El propietario de un edificio de departamentos con 60 viviendas sabe que puede rentar todos sus departamentos a $200 mensuales. Sin embargo, por cada incremento de $5 en la renta de un departamento perderá un inquilino. Exprese su ingreso como una función del número de aumentos de $5. ¿A qué precio debe rentar para obtener un ingreso máximo?
13
12. En un terreno rectangular de 23 metros de largo por 17 de ancho se va a construir una casa, dejando para el jardín una parte del terreno, que en la siguiente figura corresponde a la región sombreada
x
17m C
23m a)
Encuentre una expresión algebraica para el perímetro de la casa en función de x. Denota el perímetro por P(x) b) Encuentra una expresión algebraica para el área del jardín en función de x. Denota esta área por A(x) c) Encuentra el perímetro de la casa si x = 1m d) Encuentra el área del jardín si x = 2.5m INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA Expresar en unidades cíclicas los siguientes ángulos 1.
45°
11.
23°52’30’’
21.
85º
2.
15°
12.
245°12’42’’
22.
315º42’
3.
135°
13.
210°46’27’
23.
270º
4.
72°
14.
108°
24.
432º
5.
162°
15.
130°
25.
64º36’45’’
6.
16°12’
16.
510°
7.
37°30’
17.
12°
8.
143°14’32’’
18.
56°32’12’’
9.
248°56’18’’
19.
329°42’24’’
10.
18°
20.
46°48’36’’
14
Expresar en unidades sexagesimales los siguientes ángulos 3 1) 5 4 16) 24 11 2) 11 10 17) 6 13 3) 7 45 18) 18 7 4) 10 20 19) 9 6 5) 7 5 20) 12 6) 21) 4 24 9 22) 7) 21 11 2 7 23) 8) 15 30 3 9)7 24) 5 3 10) 4 8 25) 11 11)0.785rad 26)3 rad. 12)2.35rad 27)5.4 rad. 13)3.61rad 28)-1.36 rad. 14)0.03rad 29)0.45 rad. 15) 2.73rad 30)2.5 rad ÁNGULOS COTERMINALES Y ÁNGULOS DE REFERENCIA Determine dos ángulos positivos y dos negativos que sean coterminales a cada uno de los siguientes ángulos 1. 135° 6. 120° 11. 5/8 2. 3. 4. 5.
1. 2. 3. 4. 5.
290° 7. /6 12. 11/15 765° 8. 3/4 13. -112º 38° 9. 3 14. -/5 -225° 10. -/10 15. 438º Determinar el cuadrante en que está cada uno de los ángulos siguientes y su ángulo de referencia 135° 6. -256° 11. 253º -210° 7. 98° 12. 165º 300° 8. -350° 13. -330º 422° 9. -78° 14. 147º -118° 10. -240° 15. 548º
15
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Calcular las funciones trigonométricas de los siguientes ángulos 1. 138° 6. 250° 2. 205° 7. 100° 3. 323° 8. -400° 4. 422° 9. -200° 5. -240° 10. 438° Determinar los valores de las seis funciones trigonométricas del ángulo , que está en posición normal, si: 1. (-4,3) está en el lado terminal de 2. (2,5) está en el lado terminal de 3. (-3,-5) está en el lado terminal de 4. (-8,6) está en el lado terminal de 5. (5,-12) está en el lado terminal de 6. (4,-3) está en el lado terminal de 7. (-8,-15) está en el lado terminal de 8. (-2,-5) está en el lado terminal de 9. (-1,2) está en el lado terminal de 10. (6,-4) está en el lado terminal de Funciones trigonométricas en el triángulo rectángulo Dados los lados de un triángulo rectángulo, indicar las funciones trigonométricas de los dos ángulos agudos 1. 6,8,10 2. 10,24,26 3. 12,15,9 4. 80,150,170 5. 25,20,15 6. 3,6,45 7. 12,8,80 Dada una función trigonométrica, determine el valor de las otras para los dos ángulos agudos 5 1.SenA 7 9 2.SecB 5 63 3.CotA 16 21 25 17 5.CscB 6 8 6.TanA 15 4.CosB
16
Determine el valor exacto de las siguientes expresiones (No use calculadora) 1. 3. 5. 7. 9. 11.
sen60°cos45° 2tan60°tan30° 2cos45°sen30° cot30°sen245° 4tan60°tan30° csc245°-cot245° 19)2 sen 20) tan
3
3
21)2 sen 22)2sec
3 tan
cos
4
4
2. 4. 6. 8. 10. 12.
3sen245° tan45°sen260° 2sen230° (tan45°-tan60°)2 2cos30°sen45° 2cos60°cot245°
13) sen30ºcos60º 14) 4sen60º- 2cos30º 15) sen245º+cos245º 16) (sen45º + cos45º)2 17) tan245ºsen60ºtan30ºtan260º 18) 2sen30ºcos30ºcot60º
6
3
3 tan 4 cot
4
3
2 tan 45 cos 45 sen 45sen60 24) cos 45 cos 60 23)
1. 2. 3. 4. 5. 6.
TRIANGULOS RECTÁNGULOS Resolver los siguientes triángulos rectángulos B = 38°; a=20 7. A =36°12’; a=21 B = 61°18; b=32.4 8. B = 63°; b=64 B = 38°42’; a=24.3 9. A = 27°; b =42 A = 47°24’; c =62.8 10. a =48; B =52º c =15.2; B =67º 11. B = 58°; c =72 a = 67; A=42°30’ 12. a =17; B=32°
13. 14. 15. 16. 17. 18.
a=25; B=52º a=38; A=47º a=36; b=58 c=47; b=34 c=45; a=27 A=13; b=9
ANGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN 1. Dos edificios con techo plano se encuentran a una distancia de 60m. Desde el techo del edificio más bajo, de 40m de altura, el ángulo de elevación hasta el borde del techo del edificio más alto es de 40°.¿Cuál es la altura del edificio más alto?. 2. Desde la ventana de un edificio se observan la punta y la base de una torre que se encuentra a 80m del edificio; la punta con un ángulo de elevación de 23° y la base con un ángulo de depresión de 46°. Calcular la altura de la torre. 3. Desde lo alto de una torre de 58m de altura se observan en una misma dirección la base de un poste y la de un árbol; la del poste bajo un ángulo de depresión de 45° y la del árbol bajo un ángulo de depresión de 63°. Calcular la distancia del poste al árbol. 4. Calcular el ángulo de elevación del sol en el momento en que un árbol de 35.8m de altura proyecta una sombra de 65m.
17
5. A 57m del pie de una antena de radiodifusión, el ángulo de elevación en su extremo superior es de 29°36’. ¿Cuál es la altura de la antena si la del aparato con que se mide el ángulo es de 1.45m?. 6. Una mariposa se posa a 530 pies sobre el nivel del suelo sobre el monumento a Washington. Si el ángulo de elevación de la mariposa con respecto a un observador es 20°37’ , ¿A qué distancia está el observador de la base del monumento?. 7. Desde un punto situado a 50m sobre el nivel del piso, los ángulos de elevación y de depresión de la cima y la base de una torre son 25°32’ y 36°20’ respectivamente. Determine la altura de la torre. 8. Para medir el ancho de un río sin cruzarlo, un topógrafo se sitúa en una orilla y mira derecho hacia un árbol en la orilla opuesta. A continuación, el topógrafo camina 100 metros por la orilla y vuelve a mirar el mismo árbol, midiendo un ángulo de 50° desde la orilla hasta la línea de visión al árbol. ¿Cuál es el ancho del río?. 9. Desde su torre de observación de 225 pies sobre el suelo, un guarda bosques divisa un incendio forestal. Si el ángulo de depresión del fuego es de 10°, ¿A qué distancia de la base de la torre está localizado el fuego?. 10. El viento quiebra un árbol y la punta toca el suelo en un punto que está a 8m de la base del árbol. Si la parte superior del árbol forma un ángulo de 30° con el suelo, ¿Cuál era la altura original del árbol?. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15 16. 17. 18. 19. 20.
a =13 ; b =14 ; c =18 a =39 ; B =52° ; C =37° A =45°; B =67º; c =25 a =90 ; b =70 ; c =60 A =71°; B =54°; c =64 B =95°; C =44°; a =60.2 A =30°; b =17; c =15 a =18; c =15; B=68º a =10; b =11; C=57º A =36°; b =8.5; c =5.4 a =22; b =35; c =40 A =60º; b=20; c=30 B =40º; C=70º; c=42 A =38º; a =41; b=54 A =64º; a =50.8; b=35.9 a =17.16; b =14.15; B=42º b =7.3; c =6.4; C=27º a =16; b =32; c=23 b =28; c =36; A=86º b =18; A =46º; C=63º
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IDENTIDADES TRIGOMOMETRICAS Demostrar las siguientes identidades trigonométricas 1.Sen Sec Tan 2.Sec Cot Csc 3.Sen 2 1 2 Cos 2 4.(Cos Sen ) 2 1 2 Sen Cos 5.Sec 2 Cot 2 Cot 2 1 6.C ot (C os Tan Sen ) Csc 7.(1 Cos )(1 Cos ) Sen 2 8.(1 Sen 2 )(1 Tan 2 ) 1 9.Cos (Tan Cot ) Csc 10.( Sen Cos ) 2 ( Sen Cos ) 2 2 Cos Tan Sen 2Cos Tan Sec 2 1 12. Sen 2 Sec 2 Cos Tan Sen 13. 2Cos Tan 1 Sec 14. Csc Sen Tan Csc Cos 15. 2Cot Sec Sen 11.
1 Cosx 3Senx 16.Cos ( x) 3 2 3 17.Cos ( x) Senx 2 18.Cos ( x y ) Cos ( x y ) 2CosxCosy 1 Cos Sen 19.Cos ( ) 4 2 20.Sen(45 ) Sen(45 ) 2 Sen 21.Sen(30 ) Cos (60 ) Cos 22.Sen( ) Sen( ) Sen 2 Sen 2 Cos 4 x Sen 4 x 1 Tan 2 x 2 Cos x Senx 1 Cosx 24. 2Cscx 1 Cosx Senx 23.
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GRAFICA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Determine la amplitud, el periodo y la gráfica de las siguientes funciones trigonométricas
1. y 2 Sen 4 x
9. y 3sen(2 x ) 4
2. y 3Cos 2 x
3. y 4 Sen(2 x )
10. y 4 cos(3 x ) 2 11. y 6 sen5 x
4. y 3Cos ( x ) 3
5. y 5Cos ( x ) 6 6. f ( x) 3Sen( x ) 7. f ( x) 2Cos (3 x )
12. y cos(2 x ) 3
13. y 5cos( x ) 6 14. y cos 3 x
8. f ( x) 3Sen( x ) 2 FUNCIONES EXPONENCIALES Determine el Dominio, Rango y gráfica de las siguientes funciones 1. f(x) = 4x 2. f(x) = 2x+3 3. f(x) = 23-x 4. f(x) = (2/3)x 5. f(x) = 3x+2 6. f(x) = e2x 7. f(x) = 2e2x 8. f(x) = 4x+1-2 9. f(x) = 2–x+2 10. f(x) = 2x + 1 11. Cierto tipo de bacteria duplica el tamaño de su población cada hora. El número n de bacterias después de que se empiezan a observar está dado por n = (100)2t, en un tiempo t determinado. Determine el número de bacterias presentes después de: a) 1 hora b) 5.5 horas c) un día 12. Si se deposita P cantidad de dinero en un banco que paga i interés compuesto anualmente durante t años, entonces la cantidad de dinero A en la cuenta está dada por la fórmula: A = P(1+ i)t ¿Qué cantidad de dinero habrá en una cuenta después de cinco años, si la inversión inicial fue de $1000 y la tasa de interés de 5%? 13. Determine el valor de x en cada una de las siguientes ecuaciones: 1. 2x+1 =16 7. 5x/3 = 25 2. 9x = 27 8. 2-x = 1/16 x-2 3. 3 = 1 9. 23x = 256 4. 4x-3 = 64 10. 3x-3 = 1/27 x+1 5. 8 =4 11. 9x-1=3 6. 22x+1=32 12. 97-3x=243
20
LOGARITMOS Expresar las siguientes igualdades en forma logarĂtmica 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
43=64 27=128 10-3=0.001 tr =s 271/3=3 35=243 53=125 vw =u
Expresar en forma exponencial los siguientes logaritmos 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
log101000=3 log3(1/243)=-5 log381=4 log4(1/64)=-3 log71=0 log264=6 log61296=4 log5(1/5)=-1
Calcular los siguientes logaritmos 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
log232 =x log864 =x log4(1/16) =x log273 =x log48 =x log168 =x log3(1/81) =x log3243 =x log279 =x log525 =x log345 =x log749.6 =x
13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.
log6216 =x log464 =x log4256 =x log82 =x log813 =x log1632 =x log328 =x log5(1/125) =x log2(1/32) =x log4(1/1024) =x log8141 =x log51.843 =x
25. Log381 =x 26. log832 =x 27. Log27(1/3) =x 28. Log16128 =x 29. Log213 =x 30. Log59 =x 31. Log70.3 =x 32. Log162 =x 33. Log(4/3)(64/27) =x 34. Log(1/3)(1/27) =x 35. Log50.0016 =x
Determine el valor de la letra indicada en los siguientes ejercicios 1. 2. 3. 4. 5. 6.
log3N =5 log5N =3 log7N =4 log4N =5 log4N =5/2 log8N =7/3
7. 8. 9. 10. 11. 12.
log16N =3/4 log243N =4/5 log8N =-2/3 log6N =-2 log5N =-4 log27N =-4/3
13. 14. 15. 16. 17. 18.
logb81=2 logb216=3 logb256=4 logb324=2 logb8 =3/5 logb27=3/4
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Ecuaciones logarítmicas y exponenciales 1. log3(4x-7)=2 1. 65-2x = 4 21. 62x-3=0.077778 3x-4 2. log2(2x+1)=3 2. 10 =15 22. 0.7x2+4x=0.16807 3. log3(x + 2)=3 3. 97-3x=5 23. 0.4262x=6.724 x+2 2x 4. log5(2x+1)=2 4. 8 =2 24. 5.3364x=0.744 5. log2(x-3)=2 5. 2x=4x+1 25. 332.9x=5.178 2x 3x+1 6. log4(2x-7)=0 6. 5 =25 7. log3(4x+3)=3 7. e3x=12 2 8. log5(x +x+4)=2 8. 6e1-x=25 9. Log34+log3x=2 9. e3x+2/4=5 10. log4x+log4(x-3)=1 10. 5x+2=32x-1 11. log4(x+3)+log4(2-x)=1 11. 22x-1=6-x 12. log2x+log2(x-5)=4 12. e5x-2=30 13. log2x+log2(x-2)=3 13. 4x+3=7x 14. log3(x+3)-log3(x-1)=1 14. 2x-1=31+4x 15. log4(x-2)-log4(x+1)=1 15. 9x+3 = 27x+2 16. log2(2-x)+log2(3-x)=log26 16. 54x-1=25x+3 17. log3(x+1)+log3(x-5)=log3(x-6) 17. 27x-1 = 9x-2 18. log2x=4+log23 18. 33x = 9x-4 19. log9(2x+7)-log9(x-1)=log9(x-7) 19. 3x2-3x=81 20. log26+log2x- log2(x+2)=1 20. 2x2-2x=8 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN LOGARÍTMICA Determine el Dominio, la asíntota vertical, la intersección en el eje X y trazar la gráfica de cada una de las siguientes funciones 1. y =log(x-3) 2. y =log(2x+5) 3. y =ln(x+1) 4. y =log3(x-1) 5. y =log6(2x-3) 6. y =ln(x+5) 7. y =log(3x-1) 8. y =ln(x-4) 9. y =log2(x+3) 10. y =log4(x-5) 11. y=log2(x-1) 12. y=ln(3x-2) INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA 1. Calcular la distancia entre los siguientes pares de puntos: a) A(3,4) ; B(-2,7) f) A(-2,-5) ; B(3,-1) b) P(-4,-3) ; Q(2,7) g) A(4,2) ; B(5,0) c) M(3,7) ; R(5,-5) h) A(2,3) ; B(5,7) d) E(-2,0) ; B(3,7) i) A(2,-3) ; B(5,4) e) A(-7,-3) ; B(-1,-2) j) A(-2,4) ; B(3,-5) 2. Empleando la fórmula de la distancia, demuestre que los siguientes puntos son colineales a) A(-3,-5) ; B(-1,-1) ; C(3,7) b) A(12,1) ; B(-3,-2) ; C(2,-1) c) D(-3,-2) ; E(5,2) ; F(9,4) d) A(7,-1) ; B(9,4) ; C(13,14) e) A(-1,6) ; B(2,12) ; C(-4,0)
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3.
4.
5. 6. 7.
Compruebe que los triángulos que tienen los siguientes vértices son rectángulos: a) A(-2,2) ; B(1,-2) ; C(9,4) b) A(10,1) ; B(-4,3) ; C(-2,-3) c) A(8,5) ; B(1,-2) ; C(-3,2) d) A(6,-3) ; B(3,-5) ; C(-1,5) Calcular el perímetro de los siguientes polígonos: a) A(-2,3) ; B(1,2) ; C(-4,5) b) A(-2,4) ; B(5,7) ; C(-3,-2); D(4,1) Comprueba que el punto O(-1,-2) es el centro de la circunferencia que pasa por los puntos: A(4,-2); B(-5,1); C(2,2) A(3,1) y B(-1,-1) son los vértices de un triángulo equilátero. Calcular el tercer vértice. Determine las coordenadas del centro y la longitud del radio de la circunferencia que pasa por los puntos: A(10,4) , B(9,7) y C(6,10).
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Determine las coordenadas del punto medio del segmento AB 1. A(4,-3) : B(6,2) 2. A(-2,-5) : B(4,6) 3. A(-5,0) : B(-2,-2) 4. A(6,2) : B(6,-2) 5. A(7,-3) : B(3,-3) 6. A(-4,7) : B(0,-8) 7. Comprobar que las diagonales del paralelogramo cuyos vértices son : A(-2,-2); B(3,-2); C(5,1) y D(0,1) se cortan en su punto medio. 8. Hallar las longitudes de las medianas del triángulo cuyos vértices son: a) A(-2,5); B(6,7); C(6,-3) b) A(8,6); B(4,-2); C(-2,8) 9. Los puntos (-2,6) y (4,-2) son los extremos del diámetro de una circunferencia, encuentre las coordenadas del centro y la longitud del radio. 10. Hallar las coordenadas de los vértices de un triángulo, sabiendo que las coordenadas de los puntos medios de sus lados son: a) P(-2,1) , Q(5,2) , R(2,-3) b) P(2,1) , Q(1,-2) , R(-1,2) c) P(2,5) , Q(4,2) , R(1,1) DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA Determine las coordenadas del punto P(x , y) que divide al segmento AB en la razón indicada 1. A(-2,3) ; B(3,-2) ; r=2/5 2. A(-6,2) ; B(4,7) ; r=2/3 3. A(1,2) ; B(7,5) ; r=1/2 4. A(-3,8) ; B(7,-7) ; r=3/2 5. A(-5,0) ; B(7,-6) ; r=1/3 6. A(-5,3) ; B(7,-9) ; r=2/3 7. Hallar dos puntos R , S que dividan al segmento que une A(3,-1) con B(9,7) en tres partes iguales. 8. Hallar dos puntos R , S que dividan al segmento que une A(2,3) con B(8,12) en tres partes iguales.
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9. 10. 11.
Hallar dos puntos R , S que dividan al segmento que une A(-2,4) con B(4,7) en tres partes iguales. Encuentre las coordenadas de los puntos que dividan al segmento que une A(8,-3) y B(-2,6) en cuatro partes iguales. Encuentre las coordenadas de los puntos que dividan al segmento que une A(-6,3) y B(4,-2) en cinco partes iguales.
ÁREA Determinar el área de los siguientes polígonos 1. A(6,4) ; B(-2,4) ; C(2,7) 2. A(2,-1) ; B(3,4) ; C(-7,6) 3. A(-1,6) ; B(-3,-4) ; C(5,0) 4. A(-1,-4) ; B(2,-4) ; C(-1,8) ; D(-10,0) 5. A(10,4) ; B(9,7) ; C(6,10) ; D(-2,-4) ; E(3,-5) 6. A(-1,12) ; B(13,13) ; C(7,-8) ; D(-3,5) 7. A(2,5); B(7,3); C(6,1); D(0,0) 8. A(-3,4); B(0,1); C(2,-1); D(-1,-3) 9. A(1,1); B(6,6); C(9,5); D(12,0); E(0,-3) 10. A(-5,5); B(0,5); C(3,4); D(6,-2); E(2,-7); F(-8,1) PENDIENTE E INCLINACIÓN DE UNA RECTA Determine la pendiente y el ángulo de inclinación de cada una de las rectas que pasan por los siguientes pares de puntos 1. A(4,6) ; B(1,3) 2. A(2,3) ; B(1,4) 3. A(3,-2) ; B(3,5) 4. A(2,4) ; B(-2,4) 5. A(3,6) ; B(7,3) 6. A(-4,2) ; B(1,7) 7. A(10,4) ; B(-2,-2) 8. A(0,0) ; B(-3,-2) 9. A(1,3); B(-4,-3) 10. A(4,-2); B(-5,6) Graficar la recta que pasa por el punto dado y tenga la pendiente indicada 1. A(2,-1) ; m =3/5 2. A(3,4) ; m =-1/2 3. A(-2,-1) ; m =-4/5 4. A(-1,0) ; m =3 5. A(-4,2) ; m =1/4 6. B(5,-3); m=2/3 7. B(-4,-5); m=-2 8. B(-6,1); m=3/4 Determinar a través de las pendientes si los siguientes puntos son colineales 1. A(4,1) ; B(5,-2) ; C(6,-5) 2. A(2,5) ; B(-1,-4) ; C(7,-2) 3. A(0,5) ; B(5,0) ; C(6,-1) 4. A(1,3) ; B(4,-2) ; C(-2,8) 5. A(-2,6) ; B(1,2) ; C(4,-2)
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Clasificar los siguientes pares de rectas como paralelas, perpendiculares u oblicuas 1. La recta L1 pasa por A(2,1) y B(3,3) ; la recta L2 pasa por C(5,-2) y D(7,2) 2. La recta L1 pasa por A(2,7) y B(5,1) ; la recta L2 pasa por C(4,3) y D(0,5) 3. La recta L1 pasa por A(2,7) y B(5,1) ; la recta L2 pasa por C(4,7) y D(0,5) 4. La recta L1 pasa por A(4,6) y B(6,4) ; la recta L2 pasa por C(-3,1) y D(3,8) 5. La recta L1 pasa por A(3,2) y B(1,6) ; la recta L2 pasa por C(8,6) y D(6,2) 6. La recta L1 pasa por A(8,7) y B(4,1) ; la recta L2 pasa por C(2,3) y D(-1,5) 7. Probar que las diagonales del rombo cuyos vértices son: A(2,2); B(5,6); C(9,9); D(6,5) son perpendiculares 8. Demostrar que los puntos A(1,1); B(5,3); C(8,0); D(4,-2) son los vértices de un paralelogramo ÁNGULO FORMADO POR DOS RECTAS 1. Determine el ángulo que forma la recta que pasa por A(2,7) y B(-1,-2) con la que pasa por C(6,4) y D(-2,2) 2. Determine el ángulo que forma la recta que pasa por A(1,5) y B(7,3) con la que pasa por C(2,1) y D(6,4) 3. Determine el ángulo que forma la recta que pasa por A(-2,-6) y B(8,2) con la que pasa por C(2,3) y D(4,-2) 4. El ángulo que forma L1, cuya pendiente es –1/3 con L2 es de 135°. Calcular la pendiente de L2. 5. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 135°. Sabiendo que la pendiente de la recta final es –3, calcular la pendiente de la recta inicial 6. Determinar la pendiente de la recta L1 si el ángulo entre L1 y L2 es de 45°, y la pendiente de la recta L2 es –2 En los siguientes ejercicios, determine el ángulo entre las rectas L1 y L2 cuyas pendientes respectivas son: 1) m1 = -2 ; m2 = 3 2) m1 = 1 ; m2 = 4 3) m1 = -3 ; m2 = 2 4) m1 = 5 ; m2 = -1 5) m1 = 2 ; m2 = -3/2 6) m1 = 4/3 ; m2 = -2/5 Determine la medida de los ángulos interiores de los triángulos cuyos vértices son: 1. A(1,4) ; B(6,2) ; C(0,-3) 2. A(-4,3) ; B(5,2) ; C(-1,-6) 3. A(6,4) ; B(4,-1) ; C(-2,3) 4. A(5,3) ; B(-3,5) ; C(2,-1) 5. A(5,1) ; B(3,-2) ; C(-3,4)
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LUGARES GEOMÉTRICOS Discutir las siguientes ecuaciones: 1. x + y = 3 2. 2x + 3y – 12 = 0 3. x – y + 1 = 0 4. x2 + y2 = 9 5. x2 + y2 = 36 6. x2 +y2 = 169 7. y2 – 16x = 0 8. y2 – 4x = 0 9. xy + x – 3y -4 = 0 10. xy – x – y -3 = 0 Ecuación de un Lugar Geométrico Determine la ecuación de los siguientes Lugares Geométricos 1. Determine la ecuación del lugar geométrico de un punto que está a una distancia de 5 unidades de A (2,3). 2. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que está a seis unidades del punto C(-4,5) 3. Obtener la ecuación del lugar geométrico de los puntos equidistantes de cada uno de los siguientes pares de puntos: a) A(2,5) y B(6,2) b) C(-4,1) y D(-2,3) c) M(3,4) y N(-1,2) d) A(1,2) y B(-3,4) e) A(3,-4) y B(-4,5) 4. La suma de sus distancias de F(4,0) y F’(-4,0) es igual a 10 5. Obtener la ecuación del lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a los puntos A(3,0) y B(-3,0) es igual a 10. 6. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a los puntos J(2,0) y K(-2,0) es igual a 6 7. La diferencia de sus distancias a F(5,0) y F’(-5,0) es igual a 8 8. La diferencia de sus distancias a F(3,0) y F’(-3,0) es igual a 4 9. La diferencia de sus distancias a F(6,0) y F’(-6,0) es igual a 10 10. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve en tal forma que siempre es equidistante de la recta x = -2 y del punto F(2,0)
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LA LINEA RECTA I. Determine la ecuación general de la recta que cumple con las siguientes condiciones y grafique cada una de ellas 1. Pasa por el punto A(1,5) y su pendiente es m =3 2. Pasa por el punto B(-2,3) y su pendiente es m =-4 3. Pasa por el punto C(5,2) y su pendiente es m =2/3 4. Pasa por el punto P(2,3) y su pendiente es m =2 5. Pasa por el punto P(-3,-4) y su pendiente es m =-5/7 6. Pasa por el punto A(3,-1) y su pendiente es m =2/3 7. Pasa por los puntos A(1,3) y B(2,5) 8. Pasa por los puntos A(-3,2) y B(7,-4) 9. Pasa por los puntos A(-2,-3) y B(7,3) 10. Pasa por los puntos A(-1,4) y B(6,2) 11. Pasa por los puntos A(2,1) y B(5,6) 12. Pasa por los puntos A(-5,4) y B(-1,2) II. Determine la pendiente, la ordenada al origen y la grafica de cada una de las siguientes rectas 1. 2x+y-5=0 9. x+2y-1=0 2. 3x-2y+6=0 10. 2x-3y+24=0 3. 5x+3y-8=0 11. 4x+3y-5=0 4. y =-3x+2 12. 3x+4y+10=0 5. x+2y+4=0 6. 4x+7y+2=0 7. 3x-4y+1=0 8. y =2x-3 III. Determine la ecuación general de la recta que cumple con las siguientes condiciones y grafique cada una de ellas 1. Pasa por el punto A(4,2) y paralela a la que pasa por los puntos C(1,5) y D(3,8) 2. Pasa por el punto A(5,-6) y perpendicular a la que pasa por los puntos C(-4,-1) y D(6,3) 3. Pasa por el punto A(1,3) y perpendicular a la que pasa por los puntos C(2,5) y D(4,9) 4. Pasa por el punto A(5,-2) y paralela a la recta 2x-y=5 5. Pasa por el punto A(3,-2) y paralela a la recta 2x+y-4=0 6. Pasa por el punto A(-5,-2) y paralela a la recta 5x-y-4=0 7. Pasa por el punto A(4,-3) y perpendicular a la recta x-3y-8=0 8. Pasa por el punto A(5,-4) y perpendicular a la recta x+3y=7 9. Pasa por el punto A(1,-2) y perpendicular a la recta 6x-9y=5 10. Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: a. A(-3,2) ; B(1,-1) ; C(9,7) b. A(-4,2) ; B(6,4) ; C(-2,6) c. A(11,-3); B(-5,9); C(-10,-6) Determine para cada uno de ellos: a) las ecuaciones de sus lados b) Las ecuaciones de sus medianas y las coordenadas del Baricentro c) Las ecuaciones de sus alturas y las coordenadas del Ortocentro d) Las ecuaciones de sus mediatrices y las coordenadas del Circuncentro e) La ecuación de la recta de Euler f) Las ecuaciones de las bisectrices y las coordenadas del Incentro
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11. Los lados de un triángulo están sobre las rectas: 5x-7y+27=0 ; 9x-2y-15=0 y 4x+5y+11=0. Hallar los vértices 12. Los lados de un triángulo están sobre las rectas: x+2y-6=0 ; 2x-y-7=0 y 4x-9y + 3 = 0. Hallar los vértices 13. Los lados de un triángulo están sobre las rectas: 5x-2y-11=0 ; 4x+5y+11=0 y x7y+11=0. Hallar los vértices. 14. Los lados de un triángulo están sobre las rectas: x-3y+7 = 0 ; 3x-y-3 =0 y x+y-9=0. Hallar los vértices. IV. Determine la ecuación Simétrica de cada una de las siguientes rectas y trace su gráfica a partir de las coordenadas al origen. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
a =2 ; b =-3 a =-3 ; b =2 a =-5 ; b =-4 a =-6 ; b =4 a =-5 ; b =-7 2x-4y-12=0 3x+6y-18=0 3x+4y-12=0 4x-y-8=0 5x-9y+4=0
V. Determine la forma Pendiente- Ordenada al origen y la forma simétrica de cada una de las siguientes rectas. Graficar 1. 4x+3y+12=0 7. 5x+2y-10=0 2. 6x-9y-15=0 8. 2x-3y+6=0 3. 3x+8y=24 9. x-2y=8 4. x-5y=8 10. 3x+y=6 5. 3x+4y-18=0 6. 3x-4y+10=0 Calcular la distancia del punto P a la recta indicada en cada caso 1. P(4,5) a la recta 4x+3y-26=0 2. P(-5,3) a la recta 2x-y+1=0 3. P(-7,4) a la recta 5x+7y+1=0 4. P(5,-1) a la recta 3x-5y-5=0 5. P(-3,-4) a la recta 7x-y=3 6. P(9,2) a la recta 5x+12y-3=0 7. P(10,-2) a la recta y=2x-6 8. P(-3,-1/2) a la recta 3x+4y+12=0 Calcular la distancia entre las siguientes rectas paralelas 1. x+3y-25=0 ; x+3y-6=0 2. 2x-5y-10=0 ; 2x-5y+4=0 3. 2x-5y+3=0 ; 2x-5y+7=0 4. x+2y-2=0 ; x+2y+5=0 5. 3x+2y=0 ; 6x+4y-5
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Apolonio de Pérgamo estudió una serie de curvas que denominó Cónicas; en virtud de que las concibió como secciones obtenidas por la intersección de una superficie plana y un cono de revolución de dos mantos. Las secciones resultantes dependen de la forma en que se corte el cono, pudiéndose obtener: Círculos, Elipses, Parábolas e Hipérbolas. LA CIRCUNFERENCIA Determine la ecuación ordinaria y general de la circunferencia cuyo centro y longitud de su radio se indican en cada caso. Trace la gráfica correspondiente 1. C(2,-3) ; r =5 2. C(-3,1) ; r =2 3. C(-5,4) ; r =6 4. C(0,0) ; r =2 5. C(0,-3) ; r =6 6. C(-1,8) ; r =4 7. C(-1,-4) ; r =5
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8. C(7,0) ; r =1 9. C(4,3); r = 3 10. C(-3,4); r =7 11. C(-1,5); r =4 12. C(-3,-6); r =3 Determine si la siguiente ecuación representa una Circunferencia real, un punto o una Circunferencia imaginaria. Si la Circunferencia es real, encuentre las coordenadas del centro y la longitud del radio 1. x2 + y2+ 4x-6y+9=0 2. x2+ y2-6x + 8y+24=0 3. x2 + y2 + 8x-14y+65=0 4. x2 + y2-3x + 7y-14=0 5. x2 + y2 + 6x - 8y=0 6. x2 + y2-12x + 4y + 4=0 7. x2 + y2-20x + 6y + 100=0 8. x2 + y2+16x -16y + 64=0 9. 5x2+ 5y2 + 20x + 40y - 25=0 10. 3x2 + 3y2 - 18x - 15y + 12=0 11. 3x2 + 3y2 - 18x + 24y + 72=0 12. 2x2 + 2y2 - 16x + 12y - 10=0 Determine la ecuación general de la Circunferencia que cumple con las siguientes condiciones. 1. Tiene su centro en C(3,1) y pasa por el punto A(2,5) 2. Tiene su centro en C(-3,2) y pasa por el punto A(1,-4) 3. Tiene su centro en C(-3,-6) y pasa por el punto A(1,-1) 4. Tiene su centro en C(-2,1) y pasa por el origen A(2,5) 5. Uno de sus Diámetros une los puntos A(6,-8) y B(-2,4) 6. Uno de sus Diámetros une los puntos A(3,1) y B(-5,7) 7. Uno de sus Diámetros une los puntos A(-2,1) y B(6,5) 8. Tiene su centro en C(3,2) y es tangente a la recta x-3y+4=0 9. Tiene su centro en C(-4,1) y es tangente a la recta2x-3y+4=0 10. Tiene su centro en C(2,3) y es tangente a la recta 3x + 4y=-2 11. Encuentre los puntos de intersección de los círculos cuyas ecuaciones son: x2 + y2 - 14x + 6y – 42 = 0 y x2 + y2 - 8x - 2y – 8 = 0 12. Encuentre los puntos de intersección de los círculos cuyas ecuaciones son: 2x2 + 2y2 + x + y – 9 = 0 y x2 + y2 – 5 = 0 13. Encuentre los puntos de intersección de los círculos cuyas ecuaciones son: x2 + y2 + 6x - 12y + 9 = 0 y x2 + y2 + 6x + 4y + 9 = 0 14. Pasa por los puntos A(-6,-5), B(-8,3) y C(2,4) 15. Pasa por los puntos A(5,3), B(7,1) y C(8,2) 16. Pasa por los puntos P(2,-1), Q(-9,0) y cuyo centro está sobre la recta 3x – y + 6=0 17. Pasa por los puntos P(2,2), Q(-6,2) y cuyo centro está sobre la recta 6x + 5y18=0 18. Pasa por los puntos P(2,3), Q(3,6) y es tangente a la recta 2x + y-2=0 19. Pasa por los puntos P(8,-5), Q(4,2) y es tangente a la recta 2x – y + 4=0 20. Encontrar la ecuación general de la Circunferencia que es tangente a la recta 3x + 4y - 15=0 en el punto (5,0) y pasa por (-2,-1). 21. Tangente a la recta 3x-4y+10=0 en el punto (2,4) y su centro está sobre la recta 2x-5y-10=0
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LA PARABOLA I.
Determine las coordenadas del vértice, del foco, la ecuación de la directriz, la longitud del lado recto y la gráfica de las siguientes Parábolas 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
x2= 8y y2=-20x x2-8x+ 4y+12=0 y2-8x-2y+17=0 y2+ 12x-6y+45=0 x2-12x-10y+36=0 3y2-12x=0 y2-8x+ 14y+89 =0 x2+ 4x-4y=0 x2=-6y x2+ 6x-4y+1=0 x2-12y=0 y2-4y+ 4x+4 =0 y2=-20x y2-12 =12x x2+ 20y =10 y2-8x-2y+25=0 x2 + 4x + 16y – 76 =0 y2 + 12x - 2y + 25 =0 x2 + 4x - 4y =0
II. Determine la ecuación general de la Parábola que cumple con las siguientes condiciones 1. V(0,0) ; F(-6,0) 2. V(0,0) ; F(0,-1) 3. V(2,3) ; F(5,3) 4. V(3,1) ; Directriz y =3 5. F(4,-1) ; Directriz x =-1 6. F(4,-5) ; Directriz y = 1 7. F(-3,2) ; Directriz x = -7 8. V(0,0) ; Directriz y +4=0 9. V(0,0), Eje el de coordenadas X y pasa por el punto (-3,6) 10. V(0,0), Eje el de coordenadas X y pasa por el punto (-2,4) 11. V(0,0), Eje el de coordenadas Y pasa por el punto (4,-2) 12. V(2,3), Eje paralelo al eje Y pasa por el punto (4,5) 13. V(-3,5), Eje paralelo al eje X pasa por el punto (5,9) 14. Extremos del lado recto A(3,1) y B(3,5) abierta hacia la derecha 15. Extremos del lado recto A(-4,7) y B(-4,-1) eje paralelo al eje X 16. Extremos del lado recto A(-3,-2) y B(9,-2) eje paralelo al eje Y 17. Eje paralelo al eje X y pasa por los puntos A(-2,4), B(-3,2) y C(-11,-2) 18. Eje paralelo al eje X y pasa por los puntos A(2,1), B(6,2) y C(12,-1) 19. Eje paralelo al eje Y ; pasa por los puntos A(-2,1), B(4,-2) y C(-8,-2) 20. Eje paralelo al eje Y ; pasa por los puntos A(-1,0), B(5,0) y C(1,8)
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APLICACIONES DE LA PARÁBOLA 1.
Hallar la altura de un punto de un arco parabólico de 18 metros de altura y 24 metros de base, situado a una distancia de 8 metros del centro del arco. (10 metros) 2. Se lanza una piedra horizontalmente desde la cima de una torre de 185 metros de altura con una velocidad de 15 metros por segundo. Hallar la distancia del punto de caída al pie de la torre, suponiendo que el suelo es horizontal. (92.5 metros). 2v 2 2 x y ; x = distancia horizontal desde el lugar de lanzamiento g g = gravedad 9.81 m/seg2 v = velocidad de lanzamiento y = altura del punto de lanzamiento 3. Un arco parabólico tiene una altura de 25 metros y una luz de 40 metros. Hallar la altura de los puntos del arco situados a 8 metros a ambos lados de su centro (21 metros) 4. El arco de un puente de piedra tiene la forma de una parábola; la luz es de 12m y la altura máxima es de 3m. Determine la altura del arco a intervalos de 1.5m desde un extremo hasta el centro. 5. Se lanza una piedra horizontalmente desde la cima de una torre de 200m de altura con una velocidad de 12m/s. Hallar la distancia del punto de caída al pie de la torre, suponiendo que el suelo es horizontal. 6. El interior de una antena parabólica para TV es un disco en forma de paraboloide con un diámetro de 12 pies y una profundidad de 2 pies. Encuentre la distancia desde el centro del disco al foco. 7. Un faro de automóvil tiene un reflector parabólico de 6 pulgadas de diámetro y 3 pulgadas de profundidad. ¿A qué distancia de vértice debe colocarse el bulbo luminoso? LA ELIPSE I.
Determine las coordenadas del centro, de los vértices, de los focos de los puntos extremos del eje menor, la longitud del lado recto, la excentricidad y la gráfica de las siguientes elipses 1. 16x2 + 9y2=144 2. 4x2 + 25y2-100=0 3. 16x2 + 25y2+ 64x+ 50y-311=0 4. 25x2+ 9y2-200x+ 90y+400=0 5. 25x2+ 16y2+ 50x-64y-311=0 6. 169x2+ 25y2-338x+ 200y-3656=0 7. 64x2+ 16y2-1024=0 8. 5x2+ 4y2-20=0 9. 16x2+ 25y2+ 160x+ 200y+400=0 10. 25x2+ 4y2-250x-16y+541=0 11. 9x2+ 16y2+ 54x-32y-47=0 12. 4x2+ 9y2-32x-36y+64=0 13. 9x2+25y2+90x-150y+225=0 14. 16x2+25y2-160x+50y-1175=0 15. 25x2+9y2-300x-90y+225=0
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II.
Determine la ecuación ordinaria y general de la elipse que cumple con las siguientes condiciones 1. Focos F(6,0) y F’(-6,0) ; 2 a = 16 2. Vértices V(0,8) y V’(0,-8) ; Eje menor igual a 6 3. Vértices V(8,2) y V’(-2,2) ; un foco en F(6,2) 4. Vértices V(10,0) y V’(-2,0) ; puntos extremos del Eje menor en B(4,3) y B’(4,-3) 5. Centro en C(-2,3); Eje mayor igual a 8 y paralelo al eje Y. Eje menor igual a 2 6. Vértices en V(3,1) y V’(3,7) ; Lr = 2/3 7. Focos en F(3,8) y F’(3,2); excentricidad e = 3/4 8. Focos en F(2,3) y F’(8,3); Lr = 7/2 9. Extremos del eje menor en B(3,5) y B’(3,-3) un vértice en V(-2,1) 10. Focos en F(4,-1) y F’(-2,-1); longitud del eje mayor 10 unidades 11. Vértices V(3,0) y V’(-3,0) ; Lr = 8/3 12. Focos en F(0,4) y F’(0,-4); excentricidad e = 2/3 13. Focos en F(-4,-2) y F’(-4,-6); Lr = 6 14. Extremos del eje menor en B(-2,8) y B’(-2,-16) un foco en F(3,-4) APLICACIONES DE LA ELIPSE 1. La altura máxima de un auditorio cuyo techo tiene forma de elipsoide es de 8 metros y 20 metros de longitud. Si cae una pelota sobre un foco el ruido que produce se escucha claramente en el otro foco, ¿Qué distancia hay entre los focos? 2. La luna gira alrededor de la tierra según una órbita elíptica con la tierra en uno de sus focos. Si las longitudes de los ejes mayor y menor son 774000km y 773000km respectivamente, ¿cuáles son las distancias máxima y mínima (apogeo y perigeo) entre los centros de la tierra y la luna? 3. La órbita de la Tierra es una elipse con el Sol en uno de sus focos. La longitud del eje mayor es 186000000 de millas y la excentricidad es 0.0167. Hallar las distancias de los extremos del eje mayor al Sol. Estas son las distancias mayores y menores de la Tierra al Sol. (94553100 y 91446900). 4. La distancia mínima del planeta Mercurio al Sol es 45052000km y su excentricidad es e=1/5. Calcular la distancia máxima de Mercurio al Sol 5. Un arco de un paso subterráneo es una semielipse de 60 pies de ancho y 20 de altura. Hallar el claro en la orilla de un carril si la orilla esta a 20 pies del punto medio. (y = 14.9071) 6. Un arco de forma semieliptica subtiende un claro de 104m. Si la altura del arco es de 15 metros a una distancia de 4 metros, medida desde un extremo, ¿Cuál es la altura máxima del arco? 7. Un ebanista desea fabricar una mesa elíptica, la cual debe tener 120 pulgadas de longitud y 50 pulgadas en su punto más ancho. Usa dos clavos y un cordón para trazar el tablero. ¿Dónde debe fijar los clavos y qué longitud debe tener el cordón? 8. El perímetro de un triángulo mide 30 unidades y los puntos (0,-5) y (0,5) son dos de los vértices. Determine la grafica del tercer vértice. (y2/100 +x2/75=1) 9. Se va a construir un puente de arco de concreto, de forma semieliptica. Debe salvar un espacio de 20 pies y, los 14 pies centrales deben tener una altura mínima de 8 pies. ¿Qué altura máxima tiene el arco?
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LA HIPERBOLA I.
Determine las coordenadas del centro, de los vértices, de los focos, de los puntos extremos del eje conjugado, la longitud del lado recto, la excentricidad, las ecuaciones de las asíntotas y la gráfica de las siguientes Hipérbolas.
a)64 x 2 36 y 2 2304 0 b)9 y 2 25 x 2 225 ( x 2) 2 ( y 3) 2 1 16 9 d )25 x 2 144 y 2 100 x 864 y 4796 0
c)
( x 2) 2 ( y 5) 2 1 9 1 f )9 y 2 25 x 2 50 x 72 y 106 0
e)
g )25 x 2 144 y 2 3600 h)16 y 2 9 x 2 144 0 i )9 x 2 16 y 2 54 x 63 0 j )9 y 2 4 x 2 32 x 36 y 64 0 II.
Determine la ecuación ordinaria y general de la Hipérbola que cumple con las siguientes condiciones: 1. Vértices en V’(0,-7) y V(0,7); puntos extremos del eje conjugado B’(-5,0) y B(5,0) 2. Vértices en V’(-6,0) y V(6,0); focos F’(-9,0) y F(9,0) 3. Focos en F’(-6,2) y F(0,2); un extremo del eje conjugado en B’(-3,3) 4. Vértices en V’(0,2) y V(6,2); un foco en F(8,2) 5. Focos en F’(5,-1) y F(5,3); excentricidad e =2 6. Vértices en V’(-2,-2) y V(6,-2); Lado recto igual a 5 7. Centro en C(2,2), un foco en F(10,2) y un vértice en V(5,2) 8. Vértices en V’(-3,0) y V(-3,8); focos F’(-3,-1) y F(-3,9) 9. Vértices en V’(0,-3) y V(0,3) ; excentricidad e =4/3 10. Focos en F’(-3,-4) y F(5,-4); un vértice en V(4,-4) ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO
I.
Determine qué género y tipo de cónica representan las siguientes ecuaciones: 1. x2+ 4xy+ y2-3=0 2. x2-6xy+3 y2-8=0 3. 5x2 +6xy+ 5y2-8=0 4. 4x2-10xy+ 3y2-32=0 2 2 5. x + 3xy-2y + 3x+ 2y+5=0 6. 2x2-3xy+ 4y2+ 2x+ 3y-5=0 7. x2-7xy+ 3y2-y-10=0 8. 2x2-3xy+ 2y2-4x-2=0 2 2 9. 16x + 24xy+ 9y -60x+80y=0 10. 3x2+ 2xy+ y2+4x-2y+10=0
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SIMPLIFICACIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO
I.
Determine el género de las siguientes curvas y trasforme la ecuación dada en otra que carezca de términos de primer grado, (sólo uno un caso de parábolas). Graficar 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.
x2 + y2 + 2x-6y+6=0 x2 + y2 -6x +8y-11=0 4x2 +9y2 -8x+36y+4=0 16x2-25y2-64x+150y-561=0 16x2 +9y2-32x-36y-92=0 x2 + y2+ 2x-4y-20=0 9x2 + 16y2+72x-224y+784=0 x2 +12x-4y+48=0 x2-4x-8y-20=0 y2 -8x-2y+17=0 16y2 – 25x2-224y -150x+159=0 y2-6y-4x+5=0 x2 + 8x-3y+10=0 y2-4x-6y+17=0 x2-2x-4y+9=0 9x2-4y2+ 36x+ 8y-4=0
Rotación de ejes coordenados II Determina la naturaleza de las siguientes curvas y transforma la ecuación dada en otra que carezca de términos en xy. 1.52 x 2 72 xy 73 y 2 400 x 950 y 2725 0 2.9 x 2 24 xy 16 y 2 240 x 180 y 0 3.17 x 2 12 xy 8 y 2 46 x 28 y 17 0 4.4 x 2 24 xy 11y 2 56 x 58 y 95 0 5.4 x 2 12 xy 9 y 2 8 13x 14 13 y 117 0 6.11x 2 24 xy 4 y 2 26 x 32 y 5 0 7.9 x 2 24 xy 16 y 2 220 x 40 y 300 0 8.5 x 2 4 xy 8 y 2 10 5 x 4 5 y 11 0 9. x 2 2 xy y 2 6 x 14 y 39 0 10.x 2 2 xy 8 y 2 12 x 64 y 148 0