1
2
FUNCIONES Determine el Dominio de las siguientes funciones 1. f ( x) 3 x 2 2. f ( x) x 2 2 x 1 3. f ( x) 3 4. f ( x)
1 x
5. f ( x)
2x ( x 2)( x 1)
2x2 7 x 3 x3 2 x 25 7. f ( x) x5 2 8. f ( x) 2 x 1 2x 1 9. f ( x) 2 x 2 x 15 x7 10. f ( x) 2 x 7x 6 x 1 11. f ( x) 3 x 4x2 x 6 6. f ( x)
12. f ( x) x 1 13. f ( x) 4 x 5 14. f ( x) x 2 4 15. f ( x) x 2 9 16. f ( x) x 2 4 x 5 17. f ( x) x 2 x 18. f ( x) 19. f ( x) 20. f ( x)
1 x 1 x x 2 x 1
9 x2 21. f ( x) 3senx 22. f ( x) e x 1 23. f ( x) log( x 1) 24. f ( x) ln(2 x 3) 25. f ( x) 5cos( x )
3
-6 si x-3 26. f(x)=
-2 si -3x3 4 si x3
-1/2 si x 4 27. f(x)=
1 si -1 x 4 3 si x -1
3x si x 1 28. f(x)= 3x+3 si x 2
CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES I. Expresar explícitamente las siguientes funciones implícitas 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
3xy - 8y - 9x – y =0 xy + x - 3y – 4 =0 xy - 3x + 2y – 4 =0 xy – x – y – 3 =0 xy + x - 2y – 1 =0 x + xy + y =2 x2 + y2=16 4x2 + 9y2 =36
II. Clasifique las siguientes funciones como Inyectiva, Suprayectiva o biyectiva 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
y=5 y = 2x-3 y = x2 y = x3 y = x2-4x+3 y=ln(x) y=2x y=1/x
4
6.
7.
2
4
-1
3
9
0
4
16
5
25
1 1
8.
-2
1
-1 2 0 1
5
2
III. Clasifique las siguientes funciones como crecientes o decrecientes 1. y= x-2 2. y=ex+1 3. y=5-2x 4. y=2 -x+4 5. y=x3 6. y=log(x+3) 7. y=x2 8. y=x2+4x-6 9. y=Sen(x) en el intervalo de [0,2Ď€] 10. y=Cos(x) en el intervalo de [0,2Ď€]
5 IV. Clasifique las siguientes funciones como continuas o discontinuas y determine el dominio de cada una de ellas 1. y=2 2. y=x2-5x+4 3. y=3x-1 x 1 4. y x3 2x 5 5. y 2 x 4x 3 1 6. y x 3 x 2 7. y 2 4x x 3 8. y Senx
EVALUACIÓN DE FUNCIONES 1. f ( x) x 2 5 x 6; encontrarf (1), f (0), f (h), f ( x h) x2 3 ; encontrarf (0), f (4), f (2a), f ( x 3) x 1 f ( x h) f ( x ) 3. f ( x) x 2 4 x 7; encontrarf (3a), f (b 1), ;h 0 h f ( x h) f ( x ) 4. f ( x) x 3 ; encontrar ;h 0 h 1 f ( x h) f ( x ) 5. f ( x) ; encontrar ;h 0 x h 2. f ( x)
6. f ( x)
x 2 16 ; encontrarf (4), f (0), f (5), f ( x 4)
1 7. f ( x) 4 x ; encontrarf (0), f ( ), f (2), f (3) 2 f ( x h) f ( x ) 8. f ( x) x 3 x; encontrarf (6), f (1), ;h 0 h 1 9. f ( y ) log ; demostrarque, f (107 ) 7 y x 10. f(x)= 3 Demostrar que: a) f ( x 1) f ( x) 2 f ( x) b) f ( y ) * f ( z ) f ( y z ) c) f ( x 2) f ( x 1) d)
f ( x 4) f (5) f ( x 1)
26 f ( x) 3
6 11.
f(x)= 5x Demostrar que:
a) f ( x 1) f ( x) 4 f ( x) b) f ( x 3) f ( x 1)
624 f ( x) 5
f ( x 2) f (3) f ( x 1) 12.f(x)= logx2 Demostrar que: c)
f ( x h) f ( x) 2 log
xh x
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Determine el Dominio, Rango y gráfica de las siguientes funciones 1. f(x)=x+2 2. f(x)=–3x+8 3. f(x)=x2+2x+3 4. f(x)= x2+6x+8 5. f(x)=-x2+4x-6 6. f(x)=3sen(x + / 3) 7. f(x)=2sen(x – π / 6) 8. f(x)=5cos(x-) 9. f(x)=|x| 10. f(x)=ex-1 11. f(x)=2x+1 12. f(x)=log(x-1) 13. f(x)=ln(2x+3) 14. f(x)=log2(3x-6) x2 15. f ( x) x 5 3x 2 16. f ( x) 4x 6 -3 si x 5 17. f(x)= 0 si 0 x 5 2 si x 0 2x-1 si x 0 18. f(x)= x2
si x 0
x2 si x 0 19. f(x)= x si x 0
7
OPERACIONES CON FUNCIONES Determinar f + g ; f – g ; f * g y f / g indicando el dominio de la función resultante
1. f ( x) 3 x 2 6; g ( x) 3 x 4 2. f ( x) 6 x 5; g ( x) 8 x 3 3. f ( x) x 2 6; g ( x) 3 x 7 4 3 ; g ( x) x x2 x5 2x 5. f ( x ) ; g ( x) x3 x 1 6. f ( x) x 1; g ( x) 3 x 4. f ( x)
7. f ( x )
x 4 ; g ( x)
x 1
x 1 1 ; g ( x) x 1 x x2 x2 9. f ( x ) ; g ( x) x 1 x 1 10. f ( x) 5 x 3; g ( x) 4 x 8 8. f ( x)
FUNCIÓN COMPUESTA Determine f o g ; g o f ; f o f ; g o g. Indique el dominio de la función compuesta 1. f ( x) x 2; g ( x) x 5 2. f ( x) 2 x 3; g ( x) 5 x 6 1 x 1 3. f ( x) ; g ( x) x 1 x 2 4. f ( x) x 3; g ( x) x 2 x 7
5. f ( x) x 2 ; g ( x)
1 x
6. f ( x) x ; g ( x) x 2 4 7. f ( x) 2 x 2 4 x 5; g ( x) 3 x 6 8. f ( x) x 2 1; g ( x)
1 x 1
1 ; g ( x) 2 x 3 x 1 x 1 1 10. f ( x) ; g ( x) x 1 x 9. f ( x)
8
FUNCIÓN INVERSA Determine la inversa de las siguientes funciones 1. f ( x ) 2 x 1 x2 1 x 3. f ( x ) x 1 2. f ( x )
4. f ( x ) 3 1 x 5. f ( x ) 3 x 4 6. f ( x ) x 3 3 x2 x3 8. f ( x) ln(3 x) 7. f ( x )
9. f ( x) ln( x 1) 10. f ( x) e 2 x 1 11. f ( x) e x 3 12. f ( x) 2 x 3 13. f ( x) 9 2 x 14. f ( x) 3 x 1 15. f ( x) ln( 2 x 3)
Demostrar que los siguientes pares de funciones son inversas x3 6 2 2. f ( x) x 9; g ( x) x 9
1. f ( x) 6 x 3; g ( x)
3. f ( x)
1 1 x ; g ( x) ;0 x 1 2 1 x x
APLICACIONES DE LAS FUNCIONES 1. Suponga que el costo total en dólares por la fabricación de q unidades de un cierto artículo está dado por la función C(q)=q3-30q2+400q+500 a) Determine el dominio de la función b) Calcule el costo de fabricación de 20 unidades c) Calcule el costo de fabricación de la vigésima unidad (costo marginal) 2. Un vendedor tiene un salario base de $1000 al mes más una comisión del 8% de las ventas totales que realiza por arriba de $6000 a) Exprese los ingresos mensuales del vendedor como una función de x, donde x representa el monto de sus ventas totales b) ¿Cuál es el dominio de la función? c) ¿Cuál será el salario total del vendedor cuando realiza ventas por $5000 y $8000?
9 3. Un electricista cobra $55 por una visita domiciliaria más $30 por hora de trabajo adicional. Exprese el costo C de llamar a un electricista a su casa como una función del número de horas x que dure la visita. 4. Un estacionamiento tiene una tarifa de $12.00 por la primera hora y $5.00 por cada hora adicional o fracción de ella. Exprese la tarifa del estacionamiento como una función del número de horas que un automóvil se encuentra estacionado 5. Una maquina que revela el tipo sanguíneo vale $24000 y se deprecia en $3000 al año. Empleando depreciación lineal, exprese el valor V de la maquina como una función del número de años t. 6. Suponga que con un cartón rectangular de 12 x 18 cm. se desea construir una caja sin tapa recortando cuadrados de igual tamaño en las esquinas y doblando para formar los lados. Si x representa la longitud de cada uno de los lados de los cuadrados recortados en las esquinas, expresar el volumen de la caja en función de x. 7. Un trozo de alambre de 50 cm. de longitud, se quiere doblar para formar un rectángulo de tal manera que su área sea máxima. Expresar el área en función de uno de los lados del rectángulo. 8. Se desea construir una lata de aceite en forma cilíndrica que tenga capacidad de 2 litros (2000 cm3. ). El material usado para hacer la tapa y el fondo cuesta $3.00 el cm2. y el material para hacer el costado cuesta $2.00 el cm2. Si r es el radio y h la altura de la lata, expresar el costo C de la lata en función del radio. 9. Un grupo de estudiantes desean hacer una excursión. La compañía de autobuses ofrece un camión para 100 personas, pero indica que debe haber un mínimo de 40 para que se pueda realizar el viaje. La compañía cobrará $350.00 por estudiante si viajan exactamente 40, pero reducirá el costo en $2.50 por cada persona adicional después de los 40. ¿Cuántos estudiantes tendrían que viajar para que la ganancia de la compañía de autobuses sea máxima? 10. Se desea cercar tres costados de un campo rectangular, el cuarto lado no se cercará ya que se va a aprovechar la barda de un terreno contiguo; para la cerca se cuenta con 40m. De alambre. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del terreno para que el área sea máxima? 11. Un analista de costos concluye que el costo de producción de x artículos está dado por una función de la forma C(x)= ax2+bx +c donde C es la cantidad en dólares. Hallar la función si el costo de producir 100 artículos es de 980dls; el costo de 300 asciende a 1060dls y el de 500 es de 1300dls. ¿Cuál será el nivel de producción que arroje el costo mínimo? 12. El costo de un recorrido en taxi en cierta área metropolitana es de $5.40 para cualquier recorrido de hasta un kilómetro. Después de esta distancia, el pasajero paga una cantidad adicional a razón de 78 centavos por km. Determine la función de costo total de un recorrido de x kilómetros. LÍMITES. Determine el límite de las siguientes funciones
10 1.lim x 2 4 x 2 3 x 9 x2 3 x3 2 2.lim x 3 4 x 1 3 3.lim y 1 y 2 y 2 3 y 4 4.lim x 3 ( x 4)5 ( x 2 7) 6 x3 7 x 4 9 x4 6x2 2 2x2 x 3 6.lim x 1 x 1 3 x 8 7.lim x 2 x2 8x2 2 x 3 8.lim 1 x 2x 1 2 5.lim x 1
x3 x 4x 3 x 2 7 x 10 10.lim x 5 x5 2 x 10 x 24 11.lim x 4 2 x 8 x 16 6 x 2 24 x 24 12.lim x 2 3x 6 2 x 3x 2 13.lim x 1 2 x 4x 3 12 x 2 11x 2 14.lim x 2 3x 2 2 3 x 17 x 20 15.lim x 4 2 4 x 25 x 36 x4 16.lim x 4 3 x 64 9.lim x 3
2
17.lim x 0
2 x 2 x
18.lim x 0
3 x 3 x
19.lim x 0
5 x 25 x
20.lim x 1
x3 2 x 1
21.lim x 0
x 1 1 x
22.lim h 0
ah a h
x 2 x4 x 3 125 24.lim x 5 2 x 25 x 3 4 x 2 11x 30 25.lim x 3 x3 4 x 5 x 3 7 x 2 41x 30 26.lim x 2 x2 3 2 x 2x x 4 27.lim x 1 x 1 3 x 2 x 2 11x 12 28.lim x 1 x 1 3 x 3 x 2 x 18 29.lim x 2 x2 3 x 7 x2 x 9 30.lim x 1 x 1 4 x x5 31.lim x 1 x 1 1 x x 32.lim x 0 1 1 x x 6x 33.lim x 3 ( 2 ) x 3 x 9 1 4 34.lim x 2 ( 2 ) x2 x 4 x2 1 35.lim x 1 ( ) x 1 x( x 1) 23.lim x 4
11 x 36.lim x 1
1 x 1
x 1 x 1 x 4 x 3 4 x 2 2 x 12 37.lim x 2 x2 3 x 2 38.lim x 0 x8 x 1 39.lim x 1 3 x 1 x3 2 x 2 3x 40.lim x 3 2 x 4 x 21 8 x3 1 41.lim x 1 2 6x 5x 1 x2 3 42.lim x 3 4 x x2 1 x 16 43.lim x 16 x 4 2 x2 5x 3 44.lim 1 2 x 6 x 7 x 2 2 x2 1 ) x 1 x 1 x3 8 46.lim x 2 4 x 16 1 1 y 3 47.lim y 3 y 3 45.lim x 1 (
x2-4 si x 2 48. limx2g(x) para g(x)=
x3-4x si x 2 (x2-9)/(x-3)
si x -3
2x-6
si x -3
49. limx3 f(x) para f(x)=
(x2-x-6)/(x +2) si x -2 50. limx-2f(x) para f(x)= 2x-3
si x -2
12
LIMITES LATERALES Determine los siguientes límites
1. lim x 5 ( x 2 25 3) 2. lim x 6 ( x 6 x) 1 2 x 10 x3 4. lim x 0 (4 x )
3. lim x 5
5. lim x 2 (1 x 2 ) x5 x 2 25 1 7. lim x 8 x 8 1 x2 8. lim x 1 1 x 6. lim x 5
9. lim x 3
x2 6x 9 x3 x +2 si x 5
10. f(x)= -x+10 si x 5 Determinar: a) limx5+f(x) b)limx5-f(x)
c) limx5f(x)
x2 si x 2 11. f(x)= 8-2x si 2 x Determinar: a) limx2+f(x) b)limx2-f(x)
c) limx2f(x)
2x+3 si x 1 12. f(x)= 2 si x = 1 7-2x si x 1 Determinar: a) limx1+f(x) b)limx1-f(x)
c) limx1f(x)
x2+3 si x -2 13. f(x)= 0 si x =-2 2 11-x si -2 x Determinar: a) limx-2+f(x) b)limx-2-f(x)
c) limx-2f(x)
13
LIMITES AL INFINITO Determine el límite de las siguientes funciones 1.lim x 2 x 3 20 x 3 2.lim x 1 x 2 x 3 3 x 4 2x2 x 3 3x 2 5 7 x 2 3x 5 4.lim x 5x2 9 x2 7 x 3 5.lim x 4 x3 8 x 3x3 2 x 2 1 6.lim x 7 x3 x 2 1 x x 7.lim x 1 2x x 6x 1 8.lim x 7 x2 5 3x 4 9.lim x 2x2 5 1 x 2 10 x 3 10.lim x 3 9 x 3x 2 6 x 5 8x2 2 x 3 11.lim x 3 2 x 3x 1 2 x 2 3x 4 12.lim x 2 5x 7 x 1 3.lim x
13.lim x ( x 2 x x) 14.lim x ( x 3 x ) x
15.lim x
x 1 2
x3 8 x2 2 x2 17.lim x ( 2 ) x x 1 x4 18.lim x 3 x2 1 6x 3 19.lim x 9x2 2 x 1 3
16.lim x
14 20.lim x ( x 2 1 x) 21.lim x ( x 2 5 x x) 22.lim x ( x 2 9 x) 23.lim x ( x x 2 1) 24.lim x ( x 2 x 4 x 2 x 8) x2 4 x 2 x 12 2 x3 3x 2 4 26.lim x 5 x x 2 7 x3 x3 x2 27.lim x ( 2 ) 2x 1 2x 1 25.lim x
28.lim x ( x 2 x 1 x) 29.lim x (
x3 x) x2 1
x3 x 3 x 2 x2 3 3
30.lim x 31.lim x
32.lim x 5 x 4 12 x 3 3 x 2 x 2 33.lim x 34.lim x 35.lim x
x3 x 2 2 x 1 2 x 3 3 x 10 4 x 2 3x 1 2 x2 x 6 ( x 1) 2 2x2
CONTINUIDAD Determine si las siguientes funciones son continuas o discontinuas en el punto que se indica f(x)= x3-1 en x = 0 f(x)= 3x2-x +3 en x = 1 f(x)= 5x2 +4x-3 en x = -1 x2 1 4. f ( x) .en, x 1 x 1 x3 27 5. f ( x) .en, x 3 x 3
1. 2. 3.
15
1 .en, x 2 x2 x2 2 x 7. f ( x) .enx 0 x x3 x 2 5 x 6 8. f ( x) .en, x 2, x 3 x2 x 6 2-x si x 1 9. f(x)= en x = 1 x si x 1 6. f ( x)
x-2
si x 0
10. f(x)=
en x = 0 x2+4 si x 0
Determine los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones 2 x4 3x 1 2. y 2 x 4x 3 5x 2 3. y 3 x 5x2 6x 3x 4. y 2 x 4 5. y x 3
1. y
2x 6 4 x 13 x 3 2x 8 7. y 2 3 x 10 x 8 2 x2 5x 2 8. y x3 8 2 x2 5x 3 9. y 2 6x 7x 2 x3 8 10. y 4 x 16 2x 11. y 2 x 4x 7 3 x 2 17 x 20 12. y 2 4 x 25 x 36 6. y
2
16 LA DERIVADA Derivar por definición o regla de los cuatro pasos las siguientes funciones
1. y 2 x 3 2. y x 2 3. y x 2 5 x 4. y 4 x 2 2 x 7 5. y x 3 6. y ( x 5)(2 x 3) 7. y ( x 4) 2 x 1 x 2x 5 9. y 1 x
8. y
10. y x 5 11. y 2 5 x 12. y (3 x 2)( x 1) Derivar por regla o fórmula las siguientes funciones 1. y 5 x 3 6 2. y x 1 7 2 3.s 4t 9t 4. f ( x) 3 x 5 5 x 3 3 5.g ( x) x
1 x
4 3 x 2x 2 5 x 3 1 7. y 3 4 x x 8. y 3 x( x 3 1) 6. y
9. y (3 x 2) 2 10. y 3 x 5 2 x 3 11. y (2 x 3)3 12. y
x3 3x 2 4 x
17
2 x 3x 2 2 x 4 13. y 5x2 14. y x 2 x 3 4 1 t 3 t3
15.s 2 t
16. y x ( x 1) 17. y
x2 2 x x 1
18. y x x 4 3
19. y x x
x
2
x
2 3
20. y 5 x8 2 x 5 6 1 2 1 21. y 1 3 4 x x 2x 5
2
22. y x 3 x 3 x 2
23. y x 3
1 3 2
3 x4
x 2 1 1 24.s 2 3 t t 3t 2 25. y 2 x(3x 1)( x 2 2 x 3) Regla del producto 1. y (1 2 x)(3 x 2 ) 2. y ( x 2 x)(3 x 1) 3. y (3 x 2 2 x)( x 4 3 x 1) 4. y 9( x 1)(2 x 3) 5. y ( x3 3 x)(2 x 2 3 x 5) 6. y ( x 2 2 x 1)( x 3 1) 7. y ( x 1)(2 x 1)(3 x 1) 8. y ( x 2 1)( x 3 x)(3 x 4 2 x 1) 9. y 2 x(3x 2 1)( x 2 2 x 3) 10. y (4 x)(2 x x 2 )
18 Regla del cociente
x 2x 3 x2 x 2. y 2x 1 x2 x 2 3. y x2 x 2 3x 4. y 7x ax 5. y ax
1. y
a2 x2 a2 x2 x2 2x 5 7. y 2 x 2x 3 x3 5 x 8. y 2 x 3x 2 3x 2 9. y 2x 3 x3 3x 2 10. y x2 1 6. y
Regla de la cadena 1. y (2 x 1) 2 2. y ( x 2 a 2 )5 3. y ( x 4 5 x)3 2
4. y (1 5 x) 5
2
5. y ( x 2 5 x 3) 3 6. y (3 2 x 2 ) 4 7. y 3 2 9 x 8. y 5 x 2 3 x 6 9. y 3 3 x 2 5 x 10.s (t 5) 4
19 11. y x 2 2 x 1 12. y 2 4 x 2 13. y 2ax x 2 2
2 3
14. y ( a 3 x 3 ) 2 15.r 1 2 16.s (2 3t 2 )3 17. y 3 4 9 x 1
18. y
a x2 1 19. y (1 3 x) 4 2
20.s (t 4t 1) 2
3 2
21. f ( x) (4 x 9)5 22. f ( x) 7 x 2 2 x 3 2
23. f ( x) (8 x 2 3 x 1) 3 24. y 5 (2 x 7)3 25. y 3 (5 4 x 3 ) 2
Derivar las siguientes funciones
1. f ( x) (4 x 2 1)3 2. f ( x) (2 x 3 5 x 2 4) 10 3. f ( x) (2 x 1)3 4. f ( x) (10 5 x) 4 5. f ( x) ( x 2 4 x 5) 4 6. f ( x) (2 x 4 8 x 2 1)5 7. f ( x) ( x 2 4) 2 8. f ( x) (5 x 2 12 x 3)(4 x 2 8 x 5) 9. f ( x) ( x 2 3 x 8)(3 x 2 4) 10. f ( x) (5 x 2 7 x 6)(6 x 2 3 x 1) 11. f ( x)
2x 3 4x 1
20
12. f ( x)
2 x2 5x 8 x 2 3x 7
13. f ( x) (5 x 2 1) 3 x 2 2 14. f ( x) (2 x 5)5 ( x 2 1) 15. f ( x)
3
a bx a bx
16. f ( x)
5x 1 9 ; f ´( x) 4x 1 2 (5 x 1)(4 x 1)3
17. f ( x)
1 2x 2 ; f ´( x) 1 2x (1 2 x) 1 4 x 2
18. f ( x) 2 x 3 4 x 5 19. f ( x)
x x 1 2
20. f ( x) 1 4 x 2 21. f ( s ) 2 3s 2 2
22. f ( x) (5 3 x) 3 23.g ( x) 3 4 x 2 1 24. f ( x) (5 2 x 2 ) 25. y
1 3
1 3
1 25 x 2
26. f ( x) 3 4 x 2 1 27. f ( x)
1 25 x 2
28. f ( x) (5 2 x ) 2
29. f ( x)
2x 5 3x 1
30. f ( x) 3 2 x 3 5 x 2 x 31. f ( x) 3 (3 x 2 5 x 1) 2 32. f (t )
5t 6 5t 4
21
33. f ( x) 34. f ( x)
4
x3 1 x3 1 4x 6
x 2 3x 4 35. f ( x) (2 x 2 4 x 1) 60 1 (2 x 7)3 1 37. f ( x) 4 (3 x x 8)9 36. f ( x)
5
38. f ( x) (1 x)3 (1 2 x) 4 ; f ´( x) (1 x) 2 (1 2 x)(1 10 x) 39. y ( x 2 1) 4 ( x 2 2) 2 ; y´ 4 x( x 2 1)3 ( x 2 2)(3 x 2 5) 40. f ( x) (3 x 5) 2 (6 x 1)3 ; f ´( x) 6(3 x 5)(6 x 1) 2 (15 x 14) 41. f ( x) (4 x 7) 2 (2 x 3)5 42. f ( x) (5 x 6) 2 ( x 13)3 43. f ( x) ( x 2)3 ( x 5) 6 44. f ( x) x 2 ( x 4)5 45. f ( x) (2 x 3)3 (5 x 4) 2 46. f ( x) x(3 x 7) 4 47. y
1 cx c ; y' 1 cx (1 cx) 1 c 2 x 2
48. y
a2 x2 2a 2 x ; y ' a2 x2 (a 2 x 2 ) a 4 x 4
49.s
3
2 3t ds ; 2 3t dt
4 2 3
(2 3t ) (2 3t ) dy p 50. y 2 px ; dx y 2 6 51. f ( x) ; f '( x) 3 (1 x) (1 x) 4
4 3
3 2 2
52. f ( x) ( x a ) ; f '( x) 3 x x 2 a 2 2
53. f ( x) 3 x 2 5; f ´( x)
3x 3x 2 5
5 2
54. f ( x) ( x 2 x) ; f ´( x) 5( x 1)( x 2 x) 2
55. f ( x) 2ax x 2 ; f ´( x )
2
ax 2ax x 2
3 2
22 Derivar implícitamente las siguientes funciones 1. y 2 4ax; y '
2a y
x2 y2 2x y 3.x 2 xy y 2 1; y ' 2y x 4x 4.2 x 2 3 y 2 ay; y ' a 6y 2.x 3 y 3 a 3 ; y '
5.
x2 y 2 b2 x 1; y ' a 2 b2 a2 y
6.2 x 2 3 xy 5 y 2 8 x 3 y; y ' 7.x 3 y 3 3axy 0; y ' 1
1
4x 3y 8 3 x 10 y 3
ay x 2 y 2 ax
1
y x ax y 9.( x y ) 2 2ax; y ' yx
8.x 2 y 2 a 2 ; y '
10.x 4 2 x 2 y 2 y 4 4 y; y ' 11.x 2 y 2 r 2 12.x 3 2 x 2 y 3 xy 2 y 3 3 13.x 3 3 xy 2 y 2 2 xy 6 14.b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2 15.x 2 xy y 2 1 16.x 2 xy y 2 0 17.x 3 xy y 2 18.x 3 xy y 1 19.x 2 4 y 2 4 y 32 20.x 3 3 x 2 y y 3 8 21.x 3 y 2 xy 3 12 y 22.5 x 2 7 xy 3 2 x 7 x y 23.3 x 2 4 xy y 2 0 24.3 xy 5 xy 2 12 y 3 x
x 3 xy 2 x2 y y3 1
23 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR O DERIVADAS SUCESIVAS Determine la segunda derivada de las siguientes funciones 1. f ( x) 2 x 3 3 x 2 x 1 2. f ( x) 3 x 4 12 x 3 5 x 2 7 x 4 3. y x( x 1)3 ; y '' 6( x 1)(2 x 1) 4. y x( x 2 1) 2 ; y '' 20 x 3 12 x 5. f ( x) 2 x 3 3 x 2 6 x 87 6. f ( x) 5 x8 2 x 5 6 7. y 200 8 x 3 x 4 8. y x 2 (3 x 2)3 ; y '' 4(3 x 2)(45 x 2 24 x 2) 9. y x( x 1)3 ; y '' 6( x 1)(2 x 1) 10. y x( x 2 1) 2 ; y '' 20 x 3 12 x (1 x) 2 2 11. y ; y '' 3 x x 2 12. y 4ax 13.x 2 4 xy 32 14.x 2 2 xy y 2 5 0 15.x 2 y 2 r 2 16. y x a 2 x 2 x2 1 x 18. y (4 x 1)(2 x 3) 17. f ( x)
2x 2x 3 20. y (3x 1)4 ; y '' 108(3x 1)2
19. y
Determine la tercera derivada de las siguientes funciones 1. y 5 x 4 3 x 3 x 2 2. y 4 x 3 9 x 2 12 x 3 3.s (t ) 2t 3 3t 2 6t 4 4. y x( x 1)3 ; y ''' 24 x 18 5. y (2 x 3) 4 6. y 7 x 4 2 x 3 8 x 5 7 y (2 x3 4 x 2 )(3 x5 x 2 ) 8. y (2 x 4 1)(5 x 3 6 x)
24 Límites de funciones trigonométricas sen3 x 1.lim x 0 x sen 4 x 2.lim x 0 x x 3.lim x 0 senx x 4.lim x 0 sen 2 x sen 2 x 5.lim x 0 sen6 x sen9 x 6.lim x 0 sen7 x senx 7.lim x 0 2x tan 5 x 8.lim x 0 x senx 9.lim x 0 2 x tan 2 x 10.lim x 0 x 1 cos 2 x 11.lim x 0 x ( x 3) tan( x 3) 12.lim x 3 x2 6x 9 1 cos x 13.lim x 0 5x2 1 cos x 14.lim x 0 4x2 sen 2 x 15.lim x 0 tan x sen 2 x 16.lim x 0 1 cos x 1 cos 2 x 17.lim x 0 2x2 cos 2 x 18.lim x 0 cos 3 x tan 2 x 19.lim x 0 sen3 x 2sec x 20.lim x 0 csc x
25 DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES Derivadas Trigonométricas 1. y cos 3 x; y ' 3sen3 x 2. y tan 2 ; y ' 2sec 2 2 3. y sen(2 x 5) 4. y sen(3 x 2 2 x) 5. y sen5 x cos 3 x 1 senx 1 senx 7. y cos 4 2 x; y ' 8cos 3 2 xsen2 x 6. y
8. y sen 2 3 x 9. y 3sec3 2 x 2 10. y x 2 cos 2 x 2 ; y ' 2 x(cos 2 x 2 2 x 2 sen 2 x 2 ) 11. y 1 sen x ; y ' 3
3sen 2 x cos x
2 1 sen3 x 12. y sec 2 x tan 2 x; y ' 2sec 2 x(sec 2 2 x tan 2 2 x) 2 x 4 2 x ); y ' sec 2 ( ) 2 2 x (2 x) 2 x sex3 x 14. y 3 cos 3 x ; y ' 3 (cos 3 x) 2 13. y tan(
15. f ( x) sen3 2 x tan 2 3 x 16. f ( x) tan 3 2 x 17. f ( x) cos 2 3 x csc3 2 x 18. f (t ) sec 2 2t tan 2 2t sen2 x 1 cos 2 x cot 2 ax 20. f ( x) 1 x2
19. f ( x)
21. y 3 sec 2 x 22. y cos 2 (5 2 x) 23. y cos5 4 x 24. y 1 sen2 x 25. y sec3 5 x
26 DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 1. f ( x) sen 1 x 2 2. f ( x) cos 1 3 x 3. f ( x) tan 1 2 x 4. f ( x) cot 1 x 2 5. f ( x) tan 1 x 1 5 5 6. f ( x) sen 1 x; y ' 3 9 25 x 2 2x2 7. y x tan 1 x 2 ; y ' tan 1 x 2 4 1 x x 8. y sec 1 x 2 3; y ' ( x 2 3) x 2 2 3 9. y sen 1 (3 x 2); y ' 1 (3 x 2) 2 10. y cos 1 ( sen3 x) 11. y sen 1 x 12. y (tan 1 2 x)3 ; y '
6(tan 1 2 x) 2 1 4 x2
sen 1 2 x x x 1 14. y sen 1 ; y ' 3 9 x2 x 15. y sen 1 2 x 16. y xsen 1 2 17. y (1 sen 1 3x)3 13. y
senx sen 1 x 19. y x 2 tan 1 2 x 18. y
2 x 1 ; y' 2 1 2x x 1 1 21. y cos ( sen3 x) 20. y tan 1
22. y csc 1 4 x 2 ; y ' 23. y cos 1 3x 1 24. y tan 1 x cot 1 x
2 x 16 x 4 1
27 DERIVADAS LOGARITMICAS 1. y ln(1 2 x) 2. y ln(2 x 2 3 x 5) 3. y ln( x 2 3 x 2) 2x 1 4. y ln x3 5. y sen[ln(2 x 1)] 6. y ln
x 1 x 1
1 senx ; y ' sec x 1 senx ax 8. y ln ax 7. y ln
9. f ( x) ln x 2 1 2x 3 ) x x2 a2 11. y ln( ) xa 10. y ln(
12. y ln( x 1 x 2 ) 13. y ln sec 4 x 14. y ln sen(2 x 2 3 x 8) 15. y ln(sec x tan x); y ' sec x 16. y ln 9 2 x 2 ; y '
2 x 9 2x2
a bt ab ; y' 2 2 2 a bt a b t 18. y x ln x; y ' 1 ln x 17. y ln
2x 1 x2 20. y x 2 ln x 2 ; y ' 2 x(1 2 ln x)
19. y ln
21. y x ln x 1 22. y ln
x 1 x2
23. y ln 5 2 x 3 x 4 24. y ln( senx)
28 Derivadas de funciones exponenciales 1. y e3 x
2
2 x
2. y e sen 3 x 3. y 3e 4 x 1 4. y
e x e x 4 ; y ' x x 2 x x e e (e e ) x2
5. y e x 2 ; y ' 6. y
x2 4 x2 e ( x 2) 2
xe x x 2e x e2 x ; y ' x ex ( x e x )2
7. y e x
2
4 x 3
; y ' (2 x 4)e x
2
4 x 3
8. y ( x 2 3 x 5)e5 x 9. y (1 3e x ) 2 10. y e 2 x
4
4 x
11. y e x ( x 2 2 x 2) 12. y tan e 2 x 13. y e3 x tan 4 x 14. y e tan 2 x 15. y e3 x
2
7 x 1
16. y (e3 x 1) 4 17. y e 2 x ln x 18. y (1 e 2 x ) 2 ; y ' 4e 2 x (1 e 2 x ) 1 ex 1 ex 20. y (e x e x ) 2
19. y
21. y tan 1 e 2 x 22. y x sec e x 23. y e x 2 24. y e x cos 5 x 25. y e tan x 26. y
1 e2 x
29 APLICACIONES DE LA DERIVADA I.
Calcular la pendiente de las siguientes curvas en los puntos que se indican:
1. y x 2 5 x 9;(2,5) 2. y x 3 4 x 2 ;(2,8) 3. y x 4;(5,3) 4. y x 3 4;(1, 3) 5. y ( x 2) 2 ;( 3,1) 6. y
(2 x 5) 2 ;(2,9) 6x 3
7. y 5 4 x 2 ;(1,3) 8.x 2 y 2 13;(2,3) 9.x 2 xy 2 y 2 28;(2,3) 10.x 3 3 xy 2 y 3 1;(2, 1) x ;(3,3) x2 12. f ( x) x 3 3 x;(1, 4) 11. f ( x)
II.
Hallar la ecuación de la recta tangente y la recta normal a las curvas siguientes en el punto indicado:
1. y x 3 3x;(2, 2).sol.9 x y 16 0; x 9 y 20 0 2. y
2x 3 ;(2, 7) 3 x
3. y x 1;(2,3) 4. y 4 x 3;(3,3) 5. y x 3 3x 2 5 x 3;(1, 2).sol.4 x y 2 0; x 4 y 9 0 6.2 x 2 xy y 2 16;(3, 2) 7. y 2 2 y 4 x 4 0;(1, 2) 8. y 2 2 x 8 y 12 0;(0, 2) 9.2 x 2 xy 3 y 2 18;(3,1) 1 10. y x3 ;(4,8) 8 11. y 64 x 2 ;(0,8) 12. y 3x3 4 x 2 5 x 18;(2, 0)
30 MÁXIMOS Y MÍNIMOS Aplicando el criterio de la primera derivada, determine los puntos máximos y máximos relativos de las siguientes funciones: 1. y 2 12 x x 3 2. y 2 x 4 4 x 2 5 3. y 2 x 3 3 x 2 12 x 5 4. f ( x) 2 x 3 3x 2 72 x 3 5. f ( x) 3 x 4 4 x 3 12 x 2 6. y 2 x3 9 x 2 5 7. y x 3 3x 2 9 x 8. f ( x) 3x 4 4 x3 36 x 2 1 9. f ( x) x3 3x 2 1 10. f ( x) x3 3x 2
Aplicando el criterio de la segunda derivada, determine los puntos máximos y mínimos relativos, los puntos de inflexión y la gráfica de las siguientes funciones: 1. f ( x) 2 x 3 3 x 2 12 x 2. f ( x) x 3 3 x 2 3 3. y x 3 6 x 2 9 x 1 4. y 2 x 3 15 x 2 36 x 20 5. y 10 12 x 3 x 2 2 x 3 6. y 2 x 3 3 x 2 12 x 7 7. y x 3 6 x 2 9 x 5 8. y 3 x 3 3 x 2 x 1 9. f ( x) x 3 3 x 10. f ( x) x 3 3 x 2 11. y x 3 3 x 2 2 12. f ( x) x 3 12 x 13. f ( x) 2 x 3 2 x 2 12 x 7 1 14. f ( x) x 3 x 2 3 x 4 3 15. f ( x) x 4 6 x 3 24 x 2 x 2
31 APLICACIONES DE LOS MAXIMOS Y MINIMOS 1. Una caja de base cuadrada con tapa debe ser construida con 192 cm2 de material. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la caja para obtener el máximo volumen?, ¿Cuál es el máximo volumen? 2. Se intenta bardear un campo rectangular con 600 m. de material y después subdividirlo en dos partes con una barda paralela a uno de los lados. De todos los terrenos en los cuales se puede hacer esta operación, ¿Cuales son las dimensiones del que tiene área máxima? 3. Hallar las dimensiones de un recipiente cilíndrico de latón de 1200 plg3 de capacidad, que requiere la menor cantidad de material. 4. Un hombre puede arrendar sus 40 departamentos si la renta es de $100 mensuales cada uno. Sin embargo, por cada $5 en que aumente la renta, arrendará un departamento menos. ¿Qué renta debe cobrar para obtener el máximo ingreso? 5. Se debe construir una caja rectangular sin tapa de la siguiente manera: A una placa de estaño de 10x16 pulgadas se le hará un pequeño corte cuadrado en las esquinas y enseguida los bordes se doblan hacia arriba. ¿Cuál debe ser el tamaño de los cuadrados recortados para que la caja tenga un mayor volumen posible? 6. El departamento de recreación de una ciudad planea construir un campo de juego rectangular que tenga un área de 3600 m2 y rodearlo con un cercado. ¿Cuál sería la mínima cantidad de cerca requerida? 7. Se desea construir un recipiente cilíndrico metálico de base circular y de 125cm3 de volumen; hallar las dimensiones que debe tener para que la cantidad de material sea mínima en caso de que: a) El recipiente sea abierto b) El recipiente sea cerrado. 8. Una caja cerrada con base cuadrada debe tener un volumen de 250cm3. El material para la base y la parte superior de la caja cuesta $2.00 dólares por cm2 y el material para los lados cuesta $1.00 dólar por cm2. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la caja para que el costo sea mínimo? 9. Encuentre dos números no negativos cuya suma sea 10 y cuyo producto sea máximo 10. La diferencia de dos números es 50. Elegir los dos números de modo que su producto sea mínimo 11. Hallar dos números positivos cuyo producto sea 192 y cuya suma sea mínima 12. ¿Qué número positivo x minimiza la suma de x y su reciproco? 13. Hallar dos números cuya suma es 12 y la suma de sus cuadrados sea mínima 14. Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba de modo que su altura sobre el suelo después de t segundos es:
32 I. s= -16t2+96t+880 II. s= -16t2+48t+160 III. s=-16t2+128t+320 IV. s=-16t2+64t+80 V. s=-4.9t2+84t+245 VI .s=-4.9t2+98t+320 Determinar en cada caso: a) La velocidad y aceleración del objeto b) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada? c) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al piso? d) ¿Con que velocidad llega al piso? 15. Una carga de dinamita impulsa una roca pesada hacia arriba, con una velocidad de lanzamiento de 160 pies por segundo. Alcanza una altura de s = 160t-16t2 pies después de t segundos: a) ¿Qué tan alto llega la roca? b) ¿Cuál es la velocidad de la roca cuando está a 256 pies sobre el suelo yendo hacia arriba?, ¿yendo hacia abajo? c) ¿Cuál es la aceleración de la roca en cualquier instante t? d) ¿Cuándo toca el suelo la roca?
INTEGRALES DIRECTAS Determine la integral indefinida de las siguientes funciones
33 1. x 7 dx 2. 3 x 4 dx 3. 7 x 2 dx 1
4. 2 x 3 dx 3
5. y 4 dy 6. (7 x) dx 7. (4 x 5 6 x 5) dx 5 2
8. ( x 14 x 9. (
3 x
2 3
4 x
3 4
3 ) dx x2
) dx
10. x (1 x 3 ) dx 2
11. x (2 3 x 2 ) 2 dx 1
12. x 3 ( x 2) dx (2 x 3) 2 dx x 1 2 1 14. ( 2 3 ) dx x x x 13.
15.
x3 3x 2 x 2 x dx x
16. ( x 3)( x 2 1)dx 17. (2 x )(3 x ) dx 18. x (7 x 2 5 x 3) dx 19. x( x 1) 2 dx 20. (1 x)3 dx 1 3
1 3
5x 2 x dx x 1 22. ( x 2 2 ) 2 dx x 21.
34 23. ( x 4 x 3)dx 24. (2 x 5 x 3 2 x 6) dx 1 2
25. (5 x x 7 2
2 3 )dx x x2
3 2x dx x 3 1 1 27. ( 5 7 )dx x x x 26.
28. (1 2 x 2 3 x 3 )dx 3 2
29. ( x 3 x 4
7 5)dx x
x3 30. ( x 2) dx; 2 x 2 4 x c 3 2
5 3 2
3
4 x 2 8 x 2 3x 2 31. (2 x 4 x 3 x 2)dx; 2x c 5 3 2 2 x3 4 x 32. dx x x3 3 33. ( 5 )dx 4 x 34. y ( y a ) 2 dy 35. x 2 ( 3 x x )dx
Integración por sustitución ( x 2)3 1. ( x 2) 2 dx; c 3 (2 x 3)3 2. (2 x 3) 2 dx; c 6
3. ( x 3)3 dx 4. 3 2 xdx 5. x(5 x 2 4)dx 6. 5 x(3 7 x 2 )9 dx 7. x(3 7 x 2 )164 dx 8. (2 3 x) 4 dx 9. (5 x 2) 2 dx
35 10. (3 4 x) 2 dx 11. 3 2 3 ydy 12. 13.
dx 5 7x dx b 4x
14. y ( y 2 3) dy 15. y 2 (2 y 3 ) dy 16. x 2 x 2 5dx 17. y 3 5 y 2 4dy 2 x 3 dx ( x 4 3) 2 3ax 19. dx x2 5 y2 2 y 20. dy 3 y3 3 y 2 4 18.
21.
z dz ( z 1)3 2
22. 3w 4 w2 dw 23. 24.
dx (a bx )3 x 1 x2 2x
dx
25. x 2 (a bx 3 ) 2 dx x3 1 26. 4 dx ( x 4 x) 2 27.
5 y 4 10 y dy y5 5 y 2
y2 dy 2 3 y3 zdz 29. 1 z2 x3 30. 2 dx x 6x 28.
36 31.
dy 1 y 3 2
32. ( x 2) dx x dx 3 2x2 4 w2 4 34. 3 dw w 3w 6 x 35. 2 dx 3x 2 2 x3 36. dx 1 x4 2x 1 37. dx x ( x 1) 33.
x2 5 dx x 3 15 x 2 dy 39. 5 2y 38
x 2 dx 5 x3 ydy 41. a by 2 2y 3 42. 2 dy y 3y 40.
Integración de funciones trigonométricas directas 1. sen(2 x)dx 2. cos(3 y ) dy 3. tan(5 x)dx 4. csc(6 x) dx 5. sec(8 x) tan(8 x) dx 6. csc(6 x) cot(6 x) dx x 7. cot( ) dx 5 2 8. sen( x)dx 3
37 9. sec 2 (2 x) dx 10. csc 2 (3 x) dx 11. cos(5 x) dx 12. cot(3 x 1) dx 13. csc 2 (5 x 2) 14. x 2 cos( x 3 ) dx x x 15. sec( ) tan( ) dx 2 2 16. xsen( x 2 ) dx dy cos 2 (4 y ) 2 2 18. csc( x ) cot( x ) dx 3 3 x 19. cos( ) dx 2 17.
20. x sec( x 2 ) dx 21.
dy sen 2 ( y )
22. sec(3 x ) tan(3 x ) dx 23. (tan( x) sec( x)) 2 dx 24. (tan( x) cot( x)) 2 dx 25. sec 2 (5 x) dx 26. csc 2 (2 3 x) dx 3 3 27. csc( x) cot( x) dx 4 4 dx 28. tan(3 x ) dx 29. cot(2 x ) dx 30. sen 2 (5 x ) 31. (sec( x) 1) 2 dx
38 Integración por sustitución (Funciones trigonométricas) 1. sen3 ( x) cos( x)dx 2 cos 2 ( x) sen( x)dx 3. tan 2 x sec 2 xdx 4. sec 2 (3 x) tan(3 x)dx 5. sen(5 x) cos(5 x)dx x x 6. cot( ) csc 2 ( ) dx 2 2 7. sec(2 x) sec(2 x) tan(2 x) dx 8. sec3 ( x) tan( x)dx 9. sen5 (2 x) cos(2 x) dx cos(2 x) dx sen3 (2 x) cos(3 x ) 11. dx sen(3 x ) 10.
12.
sen(3 x ) cos 4 (3 x)dx csc 2 ( z ) dz 3cot( z ) 2
13.
2 3 tan( x) dx cos 2 ( x) sen( x) 15. dx cos( x) 1 14.
3
sec 2 ( x) dx 1 2 tan( x) sen(3t ) 17. dt cos(3t ) 1 csc( x ) cot( x ) 18. dx 2 3csc( x) 16.
sec 2 (5 x) dx 2 3 tan(5 x) sec(3 x ) tan(3 x) 20. dx 2sec(3 x) 2
19.
39
Determine la integral indefinida de las siguientes funciones exponenciales 1. 12e 2 x dx 2. e5 x 7 dx 3. e 2 x 1dx 4.
dy e2 y
5. 2e9 x dx 6. xe x dx 2
7.
4 dx e3 x
8. 5e7 x dx 9. e 2 x dx 10. 8 x 3e x dx 4
11. e3 x e 2 x dx 12. (e x 1) 2 dx 13. (1 e x )3 dx 14. e 2 x 1dx 15. xe 4 x dx 2
16. esec(2 x ) sec(2 x) tan(2 x)dx sen( x) dx ecos( x ) ex 18. dx ex 3 e3 x 19. dx (1 2e3 x ) 2 17.
ex dx 1 ex ex 21. x dx e 2 ex 2 22. dx 2e x 4 x 20.
40 Integrales que producen funciones trigonométricas inversas dx 1. 2 x 4 dx 2. 2 dx x 9 19. 25 4 x 2 dx 3. dx 20. 16 x 2 16 9 x 2 dx 4. dx 21. x2 9 4 (1 2 x) 2 dx 5. 2 dx 4x 9 22. dx x x 2 16 6. dt 16 9 x 2 23. dx t 4t 2 9 7. 2 4x 1 24. 4 9t 2 dt dx 8. 25. (3 z 1) 2 2dz 9 4x2 4 x2 dy 9. dx 26. 2 y 4y 3 2 x6 dx dx 10. 27. 2 2 ( x 2) 4 x 4 x 13 dx dx 28. 2 11. x 2x 5 9 ( x 2) 2 dx 29. 2 dy 12. 2 x 8x 7 y 2y 5 dx 30. 4x2 4 2x x2 13. dx 6 4 9x dy 31. 5 14. 2 dx 1 y y2 9 x 25 2x 1 2 32. dx 15. dx 2 2 x 1 4 ( x 2) 3t 1 3 33. 2 dt 16. 2 dx 3t 9 4 x 16 7x 2 3 34. dx 17. 2 dx 1 5x2 x 25 dx 18. 16 ( x 6) 2
41 Integración de funciones trigonométricas. Casos especiales Caso I
a)
sen
m
n
(u)du; cos (u)du (donde n es un entero positivo impar)
1. sen3 ( x)dx 2. cos3 ( x) dx 3. sen5 ( x)dx 4. sen3 ydy 5. sen5 4 xdx 6. cos3 (5 y ) dy
Caso I b) (n es un entero positivo par) 1. sen 2 ( x)dx 2. cos 4 ( x)dx
3. sen 4 (3 x)dx 4. cos 2 (5 x) dx 5. cos 4 (2 x) dx 6. sen 6 ( x)dx
Caso II. a)
sen
m
( x) cosn ( x)dx Si m o n son enteros positivos impares y el otro exponente es
un número cualquiera 1. sen3 ( x) cos 4 ( x)dx 2. sen 2 ( x) cos3 ( x)dx 3. sen3 ( x) cos3 ( x) dx 4. sen 7 (3x) cos 2 (3x)dx 5. cos5 ( x) sen 2 ( x) dx 6. sen 4 (2 x) cos3 (2 x) dx
Caso II. b) Si tanto m como n son pares 1. sen 2 ( x) cos 4 ( x)dx 2. sen 4 (2 x) cos 4 (2 x)dx 3. sen 4 ( x) cos 2 ( x) dx 4. sen 2 (5 x) cos 4 (5 x)dx 5. sen 2 (3 x) cos 2 (3 x)dx
42 Caso III.
tan
n
( x)dx; cot n ( x)dx
1. tan 3 ( x) dx 2. cot 4 ( x) dx 3. tan 7 ( x) dx 4. tan 5 (3 x) dx 5. cot 6 (2 x) dx
Caso III.
sec
n
udu; cscn udu
1. sec 4 3 xdx 2. csc 4 3 xdx 3. sec6 7 xdx 4. csc 6 xdx
Caso IV. a)
tan
m
u secnudu; cot m u cscn udu a) n par; m cualquier número
1. tan 4 ( x) sec 4 ( x) dx 2.
sec 4 ( x) dx tan( x )
3. sec 4 ( x) tan 6 ( x) dx 4.
sec 4 ( x) dx tan 3 ( x)
5. cot 4 (3 x) csc 4 (3 x) dx Caso IV. b) M impar; n cualquier número 1. tan 5 ( x) sec3 ( x) dx 2. tan 3 (3 x) sec3 (3 x) dx 3. cot( x) csc3 ( x) dx 4. tan 3 ( x) sec 4 ( x) dx 5. tan 3 (2 x) sec(2 x) dx 6. tan 5 (3 x) sec 2 (3 x) dx
43 Caso V.
senmx cos nxdx; sexmxsennxdx; cos mx cos nxdx; m n 1. sen(5 x) sen(3 x)dx 2. sen(2 x) cos(4 x)dx 3. cos(4 x) cos(3 x)dx 4. sen(4 x) sen(3 x)dx 5. sen(7 x) cos(3 x)dx 6. cos(9 x) cos(5 x) dx
METODOS DE INTEGRACIÓN Integración por partes. Determine la integral indefinida de las siguientes funciones 1. x cos xdx 2. xsenxdx 3. cos 1 xdx 4. x ln xdx 5. tan 1 xdx 6. xe 2 x dx 7. xe x dx 8. se n 1 xdx 9. ln xdx 10. x sec 2 xdx 11. xe3 x dx 12. x x 1dx 13. tan 1 3 xdx 14. e x senxdx 15. x( x 3) 7 dx 16. x cos 3 xdx 17. x( x 9)5 dx 18. x 5 ln xdx 19. x x 5dx 20. x cos 4 xdx
44 21. x 2 e x dx 22. x 2 cos xdx 23. (ln x) 2 dx 24. sec3 xdx 25. e x cos xdx
Integración por sustitución trigonométrica x 1. dx 4 x2 dx 2. x 4x2 9 dx 3. 3 2 2 (9 x ) dx 4. 3 ( x 2 2) 2 5. x x 2 4dx 6. 7. 8.
dx 3
(5 x 2 ) 2 x2 x2 9 dx
dx
x2 5 x2 x2 9. dx 9 x2 dx 10. x2 x2 7 x2 11. dx 4 x2
Integración por fracciones parciales Caso I. Factores lineales no repetidos 1.
3x 2 dx x x2 2 x 3
45 2x 3 dx x x2 2x 1 3. dx 5x x2 1 4. 2 dx x 36 2x 1 5. dx 2 x( x 3 x 2) x 16 6. 2 dx x 2x 8 x2 1 7. dx x( x 2 4) 1 8. dx ( x 5)( x 3) 1 9. 2 dx 4 x 12 x 5 x2 x 1 10. dx ( x 1)( x 2))( x 3) 1 11. 3 dx x x x2 2 12. 3 dx x 4x 2x 3 13. 2 dx x 6x 7 5x 3 14. 2 dx x 2x 3 2x 1 15. dx ( x 1)( x 2)( x 3) 2.
3
Caso II. Factores lineales repetidos 1 1. 3 dx x 3x 2 4 x 2 3x 1 2. 2 dx x ( x 1) z 3. dz ( z 2) 2 4.
3x 2 5 x dx ( x 1)( x 1) 2
46 x 2 3x 7 dx ( x 1) 2 (2 x 3) 5x 3 6 2 dx x 4x 4 1 7. dx x( x 1) 2 x2 8. 2 dx x ( x 1) 5.
3x 2 6 x 2 dx x3 2 x 2 x 4 x3 2 x 2 x 1 10. dx ( x 2)( x 1)3 9.
Caso III. 4 1. 3 dx x 4x dx 2. 3 2x x 4x2 6 3. 3 dx x 3x 6 x 2 3x 1 4. dx (4 x 1)( x 2 1) 2 x2 8x 8 5. dx ( x 2)( x 2 4) x4 6. 3 dx x 4x
Caso IV. 6 x 2 15 x 22 1. dx ( x 3)( x 2 2) 2
2 x3 x 3 2. dx ( x 2 1) 2 x3 3x 3. 2 dx ( x 1) 2 x5 4. 2 dx ( x 4) 2 x5 4 x3 5. 2 dx ( x 2)3
47 INTEGRAL DEFINIDA 4
1. 2 xdx 1
1
2. ( x 2 x 1)dx 0
3
3. ( x 2 4 x 3)dx 1
4
4. (16 x x 3 )dx 0
3
5. (3 x 2 4 x 1)dx 0
3
6. (6 x x 2 ) dx 2 3
7. ( x 2 5)dx 2
1
8. ( x 4 3 x 3 1)dx 0 2
9. ( x 3 x 2 3 x 3)dx 0
10.
x
4
3
25 x 2
dx
3
11. x( x 2 4) 2 dx 0
1
12. 8 x( x 2 1)3 dx 0
x2 13. dx 2 5 x3 3 2x 14. dx 2 1 x2 5
15.3 sec 2 xdx 4
Área bajo una curva Determine el área bajo la curva que tiene por ecuación la que se indica, desde x=a hasta x=b. 1.y=6x+4
x=2 ; x=8
2
x=-1 ; x=1
2.y=1+x
15 2 u 4 64 4. y x 2 x=0 , x=4 ; A= u 2 3 81 5. y 9 x x 3 ; x=0 , x=3 ; A= u 2 4 128 2 6. y 8 x x 2 ; x=4 , x=8 ; A= u 3 62 7. y 25 4 x ; x=0 , x=6 ; A= u 2 3 3.y=x 3
x=1 , x=2 ; A=
48 Área entre dos curvas Determine el área comprendida entre las curvas cuyas ecuaciones se indican 1. y 5 x 2 ; y=x-1 2. y 2 x x 2 ; y=-x 3. y 2 x 2 ; y=x
4. y x 2 ; 4y=3x 5. y x3 ; y=4x Integrales múltiples 1
2
1. ( x 2)dxdy 0
0 2
y
2. 2 ydxdy 0
1 1
x2
3. ( x y )dxdy 0
1 3
4.
2
1
5
2
xy 2 dzdxdy
2 1 1
5. 0 y
2
1 x
0
1 1 x 1 y
6.
0 0
0
xdzdxdy
2
zdzdydx
9 sol. A= u 2 2
9 2 u 128 sol. A=8u 2 sol. A=