PROGRAMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
Sólidos geométricos
5° •
Poliedros Observa los siguientes sólidos geométricos:
Estos cuerpos geométricos son poliedros. Un poliedro es un sólido geométrico limitado por regiones poligonales.
Elementos de un poliedro Los elementos básicos de un poliedro son los siguientes: Caras: Son las regiones poligonales que limitan al poliedro y están compuestas por: - Base inferior: ABCD - Base superior: HGFE - Caras laterales: AHGB, BGFC, DEFC, AHED Aristas: Son los segmentos de recta que limitan las caras, son: - Aristas básicas: AB, BC , CD , DA, HG , GF , FE , EH - Aristas laterales: AH, BG, CF , DE Vértices: Son los puntos de intersección de tres o más aristas: A, B, C, D, H, G, F, E. Los principales poliedros son los prismas y las pirámides.
Teorema de Euler En un poliedro se cumple que su número de caras más su número de vértices es igual a su número de aristas más dos.
C+V=A+2
Donde: C: número de caras V: número de vértices A: número de aristas
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1. Poliedros regulares Un poliedro es regular cuando sus caras son polígonos regulares de igual número de lados, es decir, sus caras son congruentes. Sólo existen cinco poliedros regulares. Para un mejor estudio entendemos por: C: N° de caras, V: N° de vértices, A: N° de aristas. Nombre y descripción Tetraedro: Está limitado por cuatro triángulos equiláteros. El tetraedro es una pirámide triangular.
Hexaedro o cubo: Se encuentra limitado por seis cuadrados. El cubo es un prisma cuadrangular.
Octaedro: Está limitado por ocho triángulos equiláteros.
Dodecaedro: Se encuentra limitado por doce pentágonos regulares
Icosaedro: Se encuentra limitado por veinte triángulos equiláteros.
Figura
Desarrollo de su superficie
C V A
4
4
6
6
8
12
8
6
12
12 20 30
20 12 30
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•
Prisma Los prismas son sólidos geométricos que están limitados por dos bases paralelas que son polígonos congruentes y por caras laterales que son paralelogramos.
arista lateral
•
Observa el prisma de la izquierda y sus elementos. - Las bases son hexágonos. - Las caras laterales son rectángulos. - La altura de un prisma es la distancia entre las bases.
de la base Nº de lados
Nombre de los prismas Los prismas se nombran de acuerdo al número de lados que tiene el polígono de la base.
3 4 5 6 7 8
Nombre del prisma Prisma triangular Prisma cuadrangular Prisma pentagonal Prisma hexagonal Prisma heptagonal Prisma octagonal
Clasificación de los prismas Prisma recto. Las aristas laterales son perpendiculares a los planos de las bases.
Prisma oblicuo. Las aristas laterales no son perpendiculares a los planos de las bases.
Prisma regular. Este prisma es recto y su base es un polígono regular.
Nombre: Prisma pentagonal recto
Nombre: Prisma triangular oblicuo
Nombre: Prisma hexagonal regular
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Ejercicio resueltos Ejercicio 1 ¿Cuántos vértices tiene un prisma pentagonal? A) 30 B) 25 C) 20 D) 10 E) 15
Ejercicio 3 ¿Cuántas aristas tiene un prisma cuadrangular? A) 16 B) 10 C) 14 D) 8 E) 12
Resolución:
Resolución: : aristas básicas
A, B, C, D, E: Vértices de
AE, BF , CG , DH : aristas laterales
la base inferior M, N, P, Q, R: Vértices de
N° de aristas = N° de
la base superior N° de vértices = N° vér-
aristas básicas + N° de aristas laterales
tices base inferior + N°
N° de aristas = 8 + 4
vértices base superior
N° de vértices = 5 + 5 N° de vértices = 10
Rpta. D
Fórmula N° de vértices = 2 × N° de vértices de la base
N° de aristas = 12 Rpta. E
Fórmula de, DA aristas N°, HE de lados de la base AB, BCN° , CD , EF ,= FG3, × GH
Ejercicio 2 ¿Cuántas caras tiene un prisma hexagonal? A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 16 Resolución: Caras básicas: ABCDEF, MNPQRS:
Caras laterales: AMSF, AMNB, BNPC, CPQD, DQRE, ERSF
N° caras = N° caras laterales + N° caras básicas N° caras = 6 + 2 N° caras = 8
Rpta. B
Fórmula N° caras = N° de lados de la base + 2
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Pirámide La pirámide es un poliedro cuya base es una región poligonal y sus caras laterales son regiones triangulares que tienen un vértice común llamado vértice de la pirámide.
Altura Es la perpendicular que se traza del vértice de la pirámide al plano de su base.
Nombre de las pirámides Las pirámides se nombran de acuerdo al número de lados que tiene el polígono de su base.
Nº de lados de la base
Nombre de la pirámide
3 4 5 6
Pirámide triangular o tetraedro Pirámide cuadrangular Pirámide pentagonal Pirámide hexagonal
1 3
C) 200 cm2 D)
180
cm 2
E )
210 cm2 Resolución:
ASL = perímetro de
la base × altura Son aristas básicas:
Pirámide regular Una pirámide es regular cuando el polígono de su base es un polígono regular y la altura de la pirámide cae sobre el centro de su base. Apotema. La apotema de una pirámide regular es la perpendicular que se traza desde el vértice de la pirámide a una de las aristas básicas. Área de la superifice lateral: ASL = Perímetro de la base x apotema 2 Área de la superficie total: AST = ASL + área de la base Volumen: V =
área de la base × altura
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Volumen = × área de la base × altura ...... (1)
área
•
de
base=área
BCD B
área de la
la
Sólidos de revolución: cilindro, cono y esfera
Cilindro de revolución El cilindro de revolución es el sólido engendrado por un rectángulo cuando gira una vuelta completa alrededor de uno de sus lados. r: Radio de la base h: Altura r g2 r r h Área de 3 la superficie lateral: ASL = 2π × r × h Área de la superficie total: AST = 2πr(h + r)
b g
h
→
Volumen: ................................. V = π × r2 × h
r
Cono de revolución El cono de revolución es el sólido engendrado por un triángulo rectángulo cuando gira una vuelta completa alrededor de uno de sus catetos. g: Generatriz g
h
→
g
g
r Usando el teorema de Pitágoras. g2 = r2 + h2
h: Altura r: Radio de la base Área de la superficie lateral: ASL = r g
El teorema de Pitágoras se cumple en un triángulo rectángulo: “El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.
Área de la superficie total: AST = Volumen: V = (hipotenusa)2 = (cateto 1)2 + (cateto 2)2
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Esfera La esfera es el sólido engendrado por un semicírculo cuando gira una vuelta completa alrededor de su diámetro R: Radio
Área de la superficie de la esfera: A = 4 × R2 Volumen:
→
V=
× R3
base =
64 cm 6 cm 3 2
área de la base = 18 cm2
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