PROGRAMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA Probabilidad Experimento aleatorio y espacio muestral Antes de “lanzar una moneda al aire” sabemos que, al llegar al piso, su parte superior puede presentar cara o sello; cara y sello son sus posibles resultados. Se trata de un experimento aleatorio.
IA
Antes de “hacer rodar un dado” sabemos que al detenerse su parte superior puede presentar 1; 2; 3; 4; 5 ó 6 puntos; 1; 2; 3; 4; 5 y 6 puntos son sus posibles resultados. Es un experimento aleatorio.
N C
Antes de “lanzar dardos a un disco giratorio de colores rojo, verde, azul, blanco y amarillo”
IS T
A
sabemos que el dardo puede caer en el sector rojo, verde , azul , blanco o amarillo. Los colores rojo, verde, azul, blanco y amarillo son sus posibles resultados. Es un experimento aleatorio.
C
IÓ N
A
D
Definición: Experimento aleatorio es un experimento cuyos posibles resultados se conocen antes de realizar el experimento. El resultado del experimento aleatorio se sabe después de realizado el experimento. Por muchas veces que se repita el experimento aleatorio, en iguales circunstancias, no se puede conocer el resultado antes de realizar el experimento.
D
Experimento aleatorio
E
ED
U
C
A
Definición: El espacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se simboliza con la letra S. Todo espacio muestral está asociado a un experimento aleatorio.
• S = {cara, sello} • S = {1; 2; 3; 4; 5; 6} • S = {sector rojo, sector verde, sector azul, sector blanco, sector amarillo}
PR
O
G
R
A
M
A
• Lanzar una moneda al aire. • Hacer rodar un dado. • Lanzar dardos a un disco giratorio de colores.
Espacio muestral
Sexto Grado de Primaria
PROGRAMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA Suceso o Evento Para el sorteo de una computadora entre 100 trabajadores de una empresa se imprimen boletos numerados del 001 al 100, y se desea que el número ganador sea múltiplo de 15. Entonces los resultados deseados son: 15; 30; 45; 60; 75 que forman el conjunto A = {15; 30; 45; 60; 75} que es un subconjunto del espacio muestral S = {001; 002; 003; 004; 005; … ; 100}. El conjunto A es un suceso o evento.
IA
1.
Considerando el espacio muestral
A
2.
N C
Suceso o evento es un subconjunto del espacio muestral.
IS T
S = {001; 002; 003; 004; 005; … ; 100} podemos determinar otros sucesos:
El número ganador es múltiplo de 37. Entonces B = {37; 74}, que es un subconjunto del espacio muestral.
C:
El número ganador es mayor que 95. Entonces C = {96; 97; 98; 99; 100}, que es un subconjunto del espacio muestral.
D:
El número ganador se encuentra entre 45 y 55. Entonces: D = {46; 47; 48; 49; 50; 51; 52; 53; 54}, que es un subconjunto del espacio muestral.
E:
Las dos cifras terminales del número ganador son ceros. Entonces E = {100}, que es un subconjunto del espacio muestral.
ED
U
C
A
C
IÓ N
A
D
B :
E
Probabilidad clásica o a priori
A
D
En el experimento “sortear una computadora entre 100 trabajadores de una empresa” no sabemos que persona resultará ganadora hasta que salga el boleto con el número ganador.
M
Si apostamos a que “el número ganador es menor que 51”, ¿qué posibilidad tenemos de ganar?
PR
O
G
R
A
Veamos, podemos ganar si el número ganador es: 001; 002; 003; 004; 005; … ; 50, éstos son los casos a favor. Los casos posibles o totales son: 001; 002; 003; 004; 005; … ; 100. En resumen, tenemos 50 casos a favor de un total de 100 casos. En conclusión, tenemos la mitad de las posibilidades de ganar. Pero, ¿de dónde salió “la mitad”? 50 casos a favor
Salió de dividir: 100 casos posibles y esto se denomina probabilidad del suceso. Probabilidad de un suceso es el cociente de dividir el número de casos a favor de que ocurra el suceso entre el número de casos posibles o número total de casos. Si el suceso es A, entonces P(A) =
Número de casos a favor de que ocurra A Número de casos posibles
Sexto Grado de Primaria
PROGRAMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA En nuestro ejemplo, podemos afirmar que la probabilidad de que el número ganador sea menor que 51 es
50 1 = o 0,5. 100 2
Esta probabilidad se ha calculado sin realizar al experimento aleatorio, es una Probabilidad a priori.
A
En el experimento aleatorio:
IS T
1.
N C
IA
Probabilidad a priori es la probabilidad que se calcula sin realizar el experimento aleatorio; solo se considera el número de casos a favor de que ocurra un suceso y se le divide entre el número de casos posibles o número total de casos. A priori significa antes de la experiencia.
Se extrae, sin mirar, una bola de una caja que tiene
IÓ N
A
D
4 bolas negras, 6 bolas blancas.
A
C
¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraida sea negra? Hay 4 casos a favor de que la bola extraida sea negra. Los casos posibles o totales son 4 + 6 = 10.
C
Entonces, la probabilidad de que la bola extraida sea negra es
4 = 0,4 . 10
Se numeran 10 tarjetas del 1 al 10, como se muestra:
M
A
D
E
2.
ED
U
Es una Probabilidad a priori porque se ha calculado sin realizar el experimento.
O
¿Cuál es la probabilidad de que el número mostrado sea par? Si el suceso es A: El número mostrado es par, entonces A = {2; 4; 6; 8} , n(A) = 4, y el espacio muestral es S = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, n(S) = 10. La probabilidad de que ocurra el suceso A es:
PR
a)
G
R
A
y se las coloca volteadas sobre una mesa. Luego se llama a Jorge y se le pide que coja una de ellas y muestre el número a las demás personas.
nA
4
P(A) = n S 10 0,4 Es una Probabilidad a priori.
Sexto Grado de Primaria
PROGRAMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA b)
¿Cuál es la probabilidad de que el número mostrado sea menor que 11? Si el suceso es B : El número mostrado es menor que 11, entonces B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} , n(B) = 10, y el espacio muestral es S = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} , n(S) = 10. La probabilidad de que ocurra el suceso B es: n B
10
IA
P(B) = n S 10 1
N C
Es una Probabilidad a priori.
A
Importante
A
¿Cuál es la probabilidad de que el número mostrado sea mayor que 10? Si el suceso es C : El número mostrado es mayor que 10, entonces C = { } = φ , n(C) = 0, y el espacio muestral es S = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} , n(S) = 10. La probabilidad de que ocurra el suceso C es: n C
A
C
IÓ N
c)
D
IS T
Qué “el número mostrado sea menor que 11” es seguro, por eso se llama suceso seguro, porque siempre ocurre. La probabilidad de un suceso seguro es 1.
Importante
U
ED
Es una Probabilidad a priori.
C
0
P(C) = n S 10 0
A
Don Alberto es un carpintero que tiene guardado 100 tornillos en una caja, de los cuales 25 son usados. Un día, sin mirar, coge un tornillo de la caja. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tornillo cogido sea usado? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tornillo cogido sea nuevo? Resolución a) Sea el suceso A: El tornillo cogido es usado, entonces n(A) = 25 Como n(S) = 100
PR
O
G
R
3.
M
A
D
E
Que “el número mostrado sea mayor que 10” es imposible, por eso se llama suceso imposible, porque nunca ocurre. ∴ La probabilidad de un suceso imposible es cero.
nA
25
1
P(A) = n S 100 4 0,25 ∴ La probabilidad de que el tornillo cogido sea usado es 0,25.
Sexto Grado de Primaria
PROGRAMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA b) Sea el suceso B : El tornillo cogido es nuevo, entonces n(B) = 75 Como n(S) = 100 n B
75
3
P(B) = n S 100 4 0,75 ∴
IA
Don Pascual tiene en su gallinero:
N C
4.
La probabilidad de que el tornillo cogido sea nuevo es 0,75.
D
IS T
A
3 gallos, 5 gallinas, 12 pollos.
A
IÓ N
C
5
ED
n A
U
C
a)
A
a) b) c)
Cierto día quiere almorzar caldo de gallina y para esto entra a su gallinero y, sin mirar, coge una ave. ¿Cuál es la probabilidad de que la ave cogida sea una gallina? ¿Cuál es la probabilidad de que la ave cogida sea un gallo? ¿Cuál es la probabilidad de que la ave cogida sea un pollo? Resolución Sea el suceso A: La ave cogida es una gallina, entonces n(A) = 5 Como n(S) = 3 + 5 + 12 = 20 1
E
P(A) = n S 20 4 0,25 ∴
A
D
La probabilidad de que la ave cogida sea una gallina es 0,25.
O
G
R
A
M
b) Sea el suceso B : La ave cogida es un gallo, entonces n(B) = 3 Como n(S) = 3 + 5 + 12 = 20
PR
∴
n B
3
P(B) = n S 20 0,15
La probabilidad de que la ave cogida sea un gallo es 0,15.
c ) Sea el suceso C : La ave cogida es un pollo, entonces N(C) = 12 Como n(S) = 3 + 5 + 12 = 20 P(C) = ∴
12 3 0,6 20 5
La probabilidad de que la ave cogida sea un pollo es 0,6. Sexto Grado de Primaria
PROGRAMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA Frecuencia Relativa Con respecto al siguiente conjunto de datos (edades, en años, de 10 niños): 3 5
5 3
3 9
5 3
E
ED
U
C
A
C
IÓ N
A
D
IS T
A
N C
se observa que: El dato 3 se presenta 5 veces. El dato 5 se presenta 3 veces. El dato 9 se presenta 2 veces. Se puede afirmar que: El dato 3 tiene frecuencia absoluta igual a 5. El dato 5 tiene frecuencia absoluta igual a 3. El dato 9 tiene frecuencia absoluta igual a 2. Esta información se puede presentar en una “tabla de frecuencias” como la siguiente:
IA
9 3
A
D
¿Qué parte del total son los datos 3? Los datos 3 son 5 de un total de 10.
5 del total. 10
A
M
Por lo tanto, los datos 3 son
G
R
5 se denomina frecuencia relativa del dato 3. 10
PR
O
Para obtener la frecuencia relativa del dato 3, se ha dividido su frecuencia absoluta entre el total de datos. En general, se puede afirmar, para un dato cualquiera lo siguiente: Frecuencia relativa =
Frecuencia absoluta Total de datos
Además: • La frecuencia relativa del dato 5 es
3 . 10
• La frecuencia relativa del dato 9 es
2 . 10
Sexto Grado de Primaria
PROGRAMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
A
N C
IA
Esta información la presentamos en una tabla de frecuencias (absolutas y relativas) como la siguiente:
IS T
Se observa que la suma de frecuencias relativas es 1 y siempre va a ser así.
D
Probabilidad a posteriori
A
1. Se lanza una moneda al aire 100 veces y 47 veces se obtiene CARA en la parte superior.
IÓ N
¿Cuál es la probabilidad de obtener cara en la parte superior?
C
Hay 47 casos a favor en los que se ha obtenido CARA en la parte superior, de un total de 100 veces que se ha realizado el experimento aleatorio, en las mismas circunstancias , es decir, en idénticas condiciones.
A
Por lo tanto, la probabilidad de obtener CARA en la parte superior es
47 o 0,47. 100
G
R
A
M
A
D
E
ED
U
C
Se trata de una “Probabilidad a posteriori” porque se ha obtenido después de realizar el experimento aleatorio. Veámoslo de otra manera:
PR
O
Se puede ver que la probabilidad de obtener CARA en la parte superior es la frecuencia relativa correspondiente al resultado CARA. Pero, la Probabilidad a priori de obtener CARA en un lanzamiento de la moneda es
1 o 0,50. 2
La Probabilidad a posteriori se basa en la “Regularidad Estadística” que establece que cuando mayor es el número de veces que se repite un experimento aleatorio, la Probabilidad a posteriori se irá acercando a la Probabilidad a priori. Cuando se lanza una moneda al aire 100 veces, la probabilidad de obtener CARA en la parte superior es 0,47. Si el experimento se repite 500 veces, 1 000 veces, 10 000 veces, etc., la probabilidad de obtener CARA en la parte superior se irá aproximando a 0,50. Sexto Grado de Primaria
PROGRAMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA La Probabilidad a posteriori se llama también probabilidad empírica debido a que se calcula después de realizar el experimento muchas veces, usando la siguiente igualdad: Número de veces que se presenta el evento A
P(A) = Número de veces que se realizó el experimento
N C
Por medio de una encuesta a 400 profesores del distrito San Juan de Lurigancho se averiguó que 160 eran profesores de matemática. ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar aleatoriamente a un profesor, éste sea profesor de matemática? Resolución Aleatoriamente significa “Al Azar”. Si el suceso es B : Es profesor de matemática, número de veces que ocurrió B = 160, número de veces que se realizó el experimento = 400
∴
160 2 0,4 400 5
C
Entonces P(B) =
IÓ N
A
D
IS T
A
2.
IA
P(A) = Frecuencia relativa del suceso A.
ED
Se realizó el examen médico a 180 personas y se determinó que 9 eran diabéticos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea diabética? Resolución Si el suceso es C: La persona es diabética, número de veces que ocurrió C = 9, número de veces que se realizó el experimento = 180
M
A
D
E
3.
U
C
A
La probabilidad de que sea profesor de matemática es 0,4.
9 0,05 = 5% 180
R
La probabilidad de que una persona elegida al azar sea diabética es 0,05 o 5%.
PR
O
G
∴
A
Entonces P(C) =
Sexto Grado de Primaria