Funciones by Cristina Elgorriaga

1. Pepe y Susana han medido y pesado a su hijo, David, cada mes desde que nació hasta los

21 meses. Estas son las gráficas de la longitud y del peso de David en función de la edad: a) ¿Cuánto medía y pesaba David cuando nació? b) ¿Cuánto creció David los seis primeros meses? ¿Y de los seis a los veintiún meses? ¿En qué meses fue mayor su crecimiento? c) ¿Cuánto aumentó de peso David los dos primeros meses? ¿Y del mes 12 al mes 18? d) ¿Cuánto pesaba David cuando medía 80 cm? ¿Qué edad tenía entonces?

2. Esta es la gráfica de la evolución de la temperatura de un enfermo:

a) ¿Cuánto tiempo estuvo en observación? b) ¿En qué día la temperatura alcanza un máximo? ¿Y un mínimo? c) ¿En qué intervalos de tiempo crece la temperatura y en cuáles decrece? d) ¿Qué tendencia tiene la temperatura? e) Elabora un pequeño informe interpretando tus resultados.

3. Hemos sacado de la nevera un vaso con agua y lo hemos dejado sobre la mesa de la cocina. Esta gráfica muestra la temperatura del agua en grados centígrados al pasar el tiempo.

a) ¿A qué temperatura está el interior de la nevera? b) ¿A qué temperatura está la habitación? c) Imagina que en ese mismo momento sacamos del microondas un vaso con agua a 98 °C y lo dejamos sobre la mesa. Dibuja una gráfica aproximada que muestre la temperatura del agua en este segundo vaso al pasar el tiempo.

4. Un nadador se deja caer desde un trampolín. Su entrenador ha medido el espacio que

recorre cada cuatro décimas de segundo mediante un método fotográfico. Obtiene la siguiente tabla: (El nadador se ha detenido a los 17 metros.) Tiempo (s) 0 0,4 0,8 1,2 Espacio (m) 0 0,78 3,13 7,05 a) Representa la gráfica espacio-tiempo. b) ¿Sabrías decir en qué momento entró en el agua? c) ¿Qué altura tiene el trampolín?

5. Indica las características de las siguientes funciones:

1,6 12,5

2 12,58

2,4 16,6

6. Dibuja una función que cumpla las siguientes propiedades: a. b. c. d.

pasa por los punto A ( -3, 2); B (1,-1); C ( 3, 3) Tenga un máximo relativo en el punto (-3,2) y otro en (3,3) Sea decreciente en los intervalos (- , -5), (-3,0), (0,1) y (3, Sea creciente en los intervalos (-5, -3) y (1,3)

)

El dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente x. Se designa mediante D (f). Estudio del dominio. Función polinómica: f ( x) a n x n a n 1 x n 1 ... a3 x 3 a 2 x 2 a1 x a a El dominio es R.

D f

Función racional: f x denominador. D f

Px Qx a, b

El dominio es R menos los valores que anulan el

Función irracional de índice par: f x

P(x) El dominio está formado por aquellos

valores que hace que el radicando sea mayor que cero. La imagen o recorrido de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable y. Se denota mediante Im (f) o R (f).

7. Determina el dominio de las siguientes funciones: a. f ( x) x 2 5 x 6 2x 5 b. f ( x) 2 x 5x 6 x 1 c. f ( x ) d. f (x) 2 x e. f ( x) x 1

f ( x)

h. i.

f ( x) f ( x)

f ( x)

x 2 6x 8 3x 6 2 x x 6 3 x 3x 1 2 2 x 2x 1

k. l.

f ( x) f ( x)

m. f ( x) n. o.

x2 9 x 2 x 1 x 4 2x 1 x2

f ( x)

5x 6 x 4

q. r.

f ( x) f ( x)

f (x)

f ( x)

3 x 4 x 1 x 0

x x 2 4 3 x5 x 3 5

Puntos de corte con los ejes El eje X f (x) 0 El eje Y y

f (0)

8. Indica los puntos de corte de las siguientes funciones: a.

f ( x)

2x 1 2

f ( x)

x x 1 x3 2 x 2x 2 x2 4 x3 4x 2

Simetría Par

f ( x) Impar f ( x)

x 3 x 1 x3 2 x x2 x2 1

f ( x) f ( x)

9. Estudia la simetría de las siguientes funciones: a. f ( x) 3x x b. f ( x) 4 x 2 x3 c. f ( x) 2x 2 3

x2 x3 1 3x 2 x x6

2x 2

Función opuesta de f (x) se define como

f (x) 1 Función inversa de f (x) se define como f ( x) La composición de las funciones f (x) con f g x f g x Recíproca de f (x) cumple que f 1 ( y ) x

g (x)

define

como

Se despeja la variable x en función del valor de y. Se intercambian las variables para expresar la función recíproca en función de x.

ff

x 1 x

10.

Calcula las funciones recíprocas de las siguientes funciones y comprueba el resultado: 5x 4 a. f ( x) 2 x 1 f. f ( x) 3 x 7 3 b. f ( x) x c.

f ( x)

x 1

f ( x)

2x 2 1 x 1 x 2

11.

Dadas las funciones f ( x) a. b. c. d.

f h x f h x 3h x 1 f x 3

x2 1 , h( x ) 2x e. f. g. h.

f x g f h x f g x g f x

f ( x)

3x y g ( x)

2x 3 x 4

x 3 , calcula:

3g h

12.

¿Es periódica esta función? ¿Cuál es su periodo? Averigua los valores de la función en los puntos de abscisas x = 1, x = 3,x = 20, x = 23 y x = 42.

13.

Dibuja una función periódica de periodo 5 con un máximo relativo en x = 3 y con un mínimo relativo en x = 6. 14. Las siguientes gráficas corresponden a funciones discontinuas. Relaciona cada función con el motivo de su discontinuidad.

Ejercicio 1 a) b)

c) d)

Medía 52cm. y pesaba 3’5Kg. De 0 a 6 creció 21cm. De 6 a 21 meses 18cm. Su crecimiento fue mayor de 0 a 6 meses. Aumentó 3’5Kg. los 2 primeros meses Del 12 al 18 mes, aumentó 0’5Kg. Pesaba 13Kg. y tenía 11 meses.

Ejercicio 2 a) b) c) d) e)

7 días en observación Máximo el 2º día y mínimo el 5º Crece: (1, 2) U (5, 5’5) Decrece: (2, 2’5) U (3’5, 5) A conseguir la normal del cuerpo humano de 36’5 º C El enfermo tiene una subida brusca de temperatura el primer día. Ésta se mantiene alta hasta el 4º día que empieza a remitir y consigue normalizarse después del 5º. El 7º día es dado de alta.

Ejercicio 3 a) b)

2º C 22º C

Ejercicio 4 b) c)

Entró en el agua a los 1’6 seg. El trampolín tiene una altura de 12’5m.

Ejercicio 5.1 a) b) c) d) e) f) g)

D (f) = R / Im (f) = R Simetrías no tiene, no es par ni impar Cortes con los ejes: P1(0, 0), P2(2, 0) y P3(4, 0) Es positiva en los intervalos: f(x) >0 si x ϵ {(1, 2) U (4, +∞)} Es negativa en los intervalos: f(x) <0 si x ϵ {(-∞, 0) U (2, 4)} Creciente en los intervalos: f(x) crece si x ϵ {(-∞,1) U (3, +∞)} Decreciente en los intervalos: f(x) decrece si x ϵ (1, 3) Máximo relativo en el punto P4(1, 3) y mínimo relativo en P5(3, -3) Es continua en todo su dominio

Ejercicio 5.2 a) b) c) d) e) f) g)

D (f) = R / Im (f) = R Simetrías no tiene, no es par ni impar Cortes con los ejes: P1(-1, 0), P2(1, 0) , P3(2, 0) y P4(0, 2) Es positiva en los intervalos: f(x) >0 si x ϵ {(-1, 1) U (2, +∞)} Es negativa en los intervalos: f(x) <0 si x ϵ {(-∞, -1) U (1, 2)} Creciente en los intervalos: f(x) crece si x ϵ {(-∞,0) U (1’5, +∞)} Decreciente en los intervalos: f(x) decrece si x ϵ (0, 1’5) Máximo relativo en el punto P5 (0 2) y mínimo relativo en P6(1’5, -1) Es continua en todo su dominio

Ejercicio 5.3 a)

D (f) = R / Im (f) = R+ = [0, +∞)

b) c) d) e) f) P3 (1’5,0) g)

Simetrías par: simétrica respecto al eje de ordenadas Cortes con los ejes: P1(-1’5, 0), P2 (1’5, 0) y P3 (0, 2) Es positiva en todo su dominio: f(x) >0 si x ϵ (-∞, +∞) Creciente en los intervalos: f(x) crece si x ϵ {(-1’5,0) U (1’5, +∞)} Decreciente en los intervalos: f(x) decrece si x ϵ {(-∞,-1’5) U (1’5, +∞)} Máximo relativo en el punto P3(0, 2) y mínimo absoluto en P1(-1’5, 0) y Es continua en todo su dominio

Ejercicio 5.4 a) b) c) d) e) f) g)

D (f) = R – {± 1} / Im (f) = R- (0, -1) Simetrías par: simétrica respecto al eje de ordenadas Cortes con los ejes: P1(0, -1) Es positiva en los intervalos: f(x) >0 si x ϵ {(-∞, -1) U (1, +∞)} Es negativa en los intervalos: f(x) <0 si x ϵ (-1, 1) Creciente en los intervalos: f(x) crece si x ϵ {(-∞,-1) U (-1, 0)} Decreciente en los intervalos: f(x) decrece si x ϵ { (0, 1) U (1, +∞)} Máximo relativo en el punto P1 (0, -1) Es continua en todo su dominio

Ejercicio 7 a) D (f) = R b) D (f) = R – {x = 3 Y x = 2} c) D (f) = [-1, +∞) d) D (f) = R e)D (f) = R – {1} f) D (f) = x ≤ 2 ∨ x ≥ 4 g) D (f) = R – {x = 3 y x = -2} h) D (f) = x ≤ 3 i) D (f) = R j) D (f) = R – { -1 } k) D (f) = {x ≤ -3 ∨ x ≥ 3} l) D (f) = R m) D (f) = R n) D (f) = {(-∞, -4) U (-4, 2] U [3, +∞)} o) D (f) = {(-∞, -2] U [2, +∞)} p) D (f) = R – {4} q) D (f) = R – {0} r) D (f) = R s) D (f) = {(-∞, 0] U [2, +∞)}; x ≤ 0 ∨ x ≥ 2 t) D (f) = R

Ejercicio 8 a) P1(-0’54, 0), P2(-1, 0) y P3 b) P1 (0, 0) (0, 1) d) P1 (0, 0) e) P1 (0, 0), P2 (2, 0) 3 h) P1 (0, 0) g) P1 ( 2 ,0)

c) P1 (3 2 ,0) f) P1 (-3, 0), P2 (0, -3)

Ejercicio 9 a) Impar d) Par g) Par

b) Impar e) No tiene simetría h)

c) Impar f) No tiene simetría

b) ( f

)( x)

x 3

c) ( f

)( x)

e) ( f

)(x)

2x 1 x 1

f) ( f

)(x)

Ejercicio 10 a) ( f

)(x)

d) ( f

)( x)

g) ( f

)(x)

Ejercicio 11

x 1 2 1 x 2 4x 3 x 2

7x 4 x 5

2x3

x2 d) 6x

5x 2 1 2x 1

( x 2) x 3 2( x 3) Ejercicio 12 g)

b) e) h)

2x3

c) 3x 2

2x x 3

( x 3)( x 2 1) f) 2

7x2 1 2x 2 x 1

6x 1 2x

a) Función periódica de periodo T=4

3 x 3 x( x 3)

b) Los puntos son: P1(1,2), P2(3, 2’5), P3(20, 1), P4(23, 2’5), P5(42, 2’5)

Ejercicio 14 I) Discontinuidad de salto finito en x=2 III) Discontinuidad de salto infinito

II) Discontinuidad evitable: no está definida en x=2 IV) Discontinuidad evitable