4º de ESO
MATEMÁTICAS Colegio Teresiano del Pilar
BLOQUE DE ÁLGEBRA
POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 1. Opera y simplifica el resultado. 4 1 1 (x – 3) 2 – (3x – 1)(3x + 1) – (4x 3 + 35) = 3 3 3
−
3x(x + y) – (x – y) 2 + (3x + y)y =
2x 2 + 8xy
3x(x + 5) (2x + 1) 2 (x – 4)(x + 4) − + = 5 4 2
x2 33 + 2x – 10 4
(3x 5 – 2x 3 + 4x – 1) : (x 3 – 2x + 1)
COCIENTE : 3x 2 + 4; RESTO : – 3x 2 + 12x – 5
(– 2x + 4x 5 + 3x 3 ) : (– x + x 2 + 1)
COCIENTE : 4x 3 + 4x 2 + 3x – 1; RESTO : – 6x + 1
4 3 5 2 2 x − x − 8x + 3 3 3
2. Saca factor común e identifica los productos notables como en el ejemplo. 2x 4 + 12x 3 + 18x 2
2 x 2 ( x + 3) 2
20x 3 – 60x 2 + 45x
5x(2x – 3) 2
27x 3 – 3xy 2
3x(3x + y)(3x – y)
3x 3 + 6x 2 y + 3y 2 x
3x(x + y) 2
4x 4 – 81x 2 y 2
x 2 (2x + 9y)(2x – 9y)
3. El polinomio x4 – 2x3 – 23x2 – 2x – 24 es divisible por x – a para dos valores enteros de a. Búscalos y da el cociente en ambos casos. Para a = -4 Cociente: x 3 − 6 x 2 + x − 6 Para a = 6
Cociente: x 3 + 4 x 2 + x + 4
4. Factoriza los siguientes polinomios y di cuáles son sus raíces: P(x) = x 3 – 2x 2 – 2x – 3
P(x) = (x – 3)(x 2 + x + 1)
P(x) = 2x 3 – 7x 2 – 19x + 60
P(x) = (x + 3)(x – 4)(2x – 5)
P(x) = x 3 – x – 6
P(x) = (x – 2)(x 2 + 2x + 3)
P(x) = 4x 4 + 4x 3 – 3x 2 – 4x – 1
P(x) = (x – 1)(x + 1)(2x + 1) 2
5. Simplifica: x 2 – 3x – 4 = x3 + x2
x–4 x2
6. Opera y simplifica:
x 3 – 3x 2 + 2x = 3x 2 – 9x + 6
x 3
3− x
x + 1 x2 – 1 ⋅ = (x – 1) 2 x
(x + 1)2 x( x − 1)
1 1 x + x : x − x ⋅ ( x − 1) =
x2 +1 x +1
2 1 1 ⋅ : = x x x −1
2( x − 1) x2
2 x −1 x −1 = 1 − ⋅ x x+3
−3 x+3
1 3 1 − : 2 = x x +3 x
x x+3
1 2 1 ⋅ − = 2x −1 x x2
4x2 −1 x2
x +1 3 x−2 + − 2 = x −1 x + 1 x −1
x 2 + 4x x2 −1
x2 2x + 3 + −3 = 2 x − 2x + 1 x −1
7x − 6 (x − 1)2
2x − 3 x +1 x + 2 − − = x2 − 9 x − 3 x + 3
− 2x2 − x x2 − 9
3 x 1 1 − : + = x 3 x 3
4−
7. Calcula m para que el polinomio P(x) = x 3 – mx 2 + 5x – 2 sea divisible por x + 1. m = -8 8. El resto de la siguiente división es igual a –8: (2x 4 + kx 3 – 7x + 6) : (x – 2)¿Cuánto vale k? K = -4
ECUACIONES Y SISTEMA DE ECUACIONES 9. Resuelve las siguientes ecuaciones: 3x + 2 4 x − 1 5 x − 2 x + 1 − + = x=0 5 10 8 4 (3 x + 2 )2 + 3(1 − 3x )x = 2(x − 11) x = -2
(2 x − 1) ⋅ (2 x + 1) + (x − 2 )2
3x + 4 x 2 x1 = 0 + 3 4 6 3 (5 x − 3)2 − 5 x(4 x − 5) = 5 x(x − 1) No tiene solución. x3 + 2 x2 − x = 2
=
x1 = 1
x 2 = −1
x2 =
x 3 = −2
x 4 + 10 x 2 + 9 = 0 No tiene solución. − 2x − 3 +1 = x No tiene solución. 2 x − 3 − x + 7 = 4 x = 114 y x = 2 (no vale) 2− x = x x = 1 y x = 4 (no vale) 1 1 3 x1 = 5'489 x2 = −1,822 + = x x + 3 10 4 2 ⋅ ( x + 1) 4 + =4 x1 = 3 x2 = x 3 ⋅ (x − 2) 5 −2 1 1 3 x1 = 2 x2 = + 2 = 3 x x 4 x = 162 log 4 x = 3 log 2 + 4 log 3 x = 52 log(2 x − 4) = 2 x = 1.2188 4 log(3 − 2 x) = −1 x=3 log( x + 1) + log x = log( x + 9)
10. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
6 5
2 x − y − 1 = 0 2 x − 7 = y + 2
x1 = 4
x 2 = −2
y1 = 7
y2 = −5
1 1 1 + = 1− xy x y x ⋅ y = 6
x1 = 2
x2 = 3
y1 = 3
y2 = 2
x 2 + xy + y 2 = 21 x + y = 1
x1 = −4
x2 = 5
y1 = 5
y2 = −4
5 x − 4 y + 3z = 9 2 x + y − 2 z = 1 4 x + 3 y + 4 z = 1
x =1 y = −1
2 x − 5 y + 4 z = −1 4 x − 5 y + 4 z = 3 5 x −3 z = 13
x = 2
z=0 1 5 z = −1 y =
2 2 x −3 8 3 y +2 = 2 2 3 x − 2 y = 17
x=5 y = −1 x=2
x y 3 − 2 = 1 x −1 y −2 3 = 2 + 1
y =3
log x + log y = 2 2 2 x + y = 5 log x + log y = 3 log x − log y = 1
No tiene solución real
x = 100 y = 10
INECUACIONES 11. Resuelve las siguientes inecuaciones: x+4 x + 10 x ≥ −16 +3≥ 3 6 9 x −1 x + 3 1 x<− − − >x 4 2 6 2
(
)
13 3 13 3 − ∨x> − 2 2 2 2 3 2 x ≤ −3 ∧ −2 ≤ x ≤ 1 x + x ≤ 6 − 4x 7 x−7 x ≤ − ∧ −2 < x ≤ 1 2x + ≤0 2 x+2 4 3 x < −1 ∨ x > 1 2( x + 1) − 8 x > 8( x + 3) − 8
3 x(1 + x ) − 2 x 2 − 1 > 3
x<−
x + 2 ≥ 0 x −1 1 ≥ x− 2 x − 3 3 x 3 − 2( x − 3) > 1
−1 ≤ x < 3
x 2 − 3x − 4 ≥ 0 2 x − 7 > 5
2 x − 3 y ≤ −3 x + y ≤ 11 x ≥ 2
x>6
x + y ≥ 11 − x + 2 y ≥ 10 y ≤ 2
12. Para la calificación de un curso, se decide que la primera evaluación cuente un 25%, la segunda, un 35%, y la tercera, un 40%. Una alumna ha tenido un 5 en la primera y un 7 en la segunda. ¿Qué nota tiene que conseguir en la tercera para que su calificación final sea 7? Ha de conseguir un 8,25. 13. Un comerciante compra 50 kg de harina y 80 kg de arroz, por los que tiene que pagar 66,10 €; pero consigue un descuento del 20% en el precio de la harina y un 10% en el del arroz. De esa forma, paga 56,24 €. ¿Cuáles son los precios iniciales de cada artículo? Un kilo de harina valía 0,65 € y un kilo de arroz 0,42 €. 14. La edad de un padre es el cuádruple de la de su hijo, pero dentro de 16 años será solamente el doble. ¿Cuál es la edad actual de cada uno? El padre tiene 32 años y el hijo 8 años. 15. La suma de un número par, el par anterior y los dos impares que lo siguen, es 34. Calcula ese número. Es el número 8. 16. Las dos cifras de un número suman 12. Si se in-vierte el orden de las mismas, se obtiene un número 18 unidades mayor. Calcula dicho número. Es el número 57.
17. Una tienda ha vendido 60 ordenadores, cuyo precio original era de 1 200 €, con un descuento del 20% a unos y un 25% a otros. Si se han recaudado 56 400 €, calcula a cuántos ordenadores se rebajó el 25%. Se vendieron 20 ordenadores con un 25% de descuento y 40 ordenadores con un 20% de descuento. 18. Una empresa de alquiler de coches cobra por día y por kilómetros recorridos. Un cliente pagó 160 € por 3 días y 400 km, y otro pagó 175 € por 5 días y 300 km. Averigua cuánto cobran por día y por kilómetro. La empresa cobra 20 € por día y 0,25 € por cada kilómetro recorrido. 19. Un triángulo isósceles mide 32 cm de perímetro y la altura correspondiente al lado desigual mide 8 cm. Calcula los lados del triángulo. Los lados iguales miden 10 cm, y el lado desigual, 12 cm. 20. Un grupo de amigos alquila una furgoneta por 490 € para hacer un viaje. A última hora se apuntan dos más y así se devuelven 28 € a cada uno de los otros. ¿Cuántos fueron de excursión y cuánto pagó cada uno? Van 5 amigos y pagan 98 € cada uno.
21. Tenemos una parcela rectangular. Si su base disminuye en 80 m y su altura aumenta en 40 m, se convierte en un cuadrado. Si disminuye en 60 m su base y su altura aumenta en 20 m, entonces su área disminuye en 400 m2. ¿Cuáles son las dimensiones de la parcela? La parcela tiene 160 m de base y 40 m de altura.