Synchronization in Caotic Systems by Barbaro Marano

Sommario

Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua Marano Barbaro Universit` a degli Studi di Catania http://www.unict.it

15 maggio 2008

Marano Barbaro

Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua

Sommario

1 Parte: I sistemi caotici 2 Parte: Come quantificare il Caos 3 Parte: La sincronizzazione

Sistemi caotici

Sistemi Caotici Il circuito di Chua Grafico di biforcazione

Marano Barbaro

Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua

Sommario

1 Parte: I sistemi caotici 2 Parte: Come quantificare il Caos 3 Parte: La sincronizzazione

Come quantificare il Caos

Quantificare il Caos Esponenti di Lyapunov Esponenti di Lyapunov: Mappa discreta unidimensionale Esponenti di Lyapunov: Sistema Continuo Algoritmo di Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt Metodo pratico per il calcolo del primo esponente di Lyapunov: la Divergenza Verifica dell’attendibilit` a nell’applicazione dell’algoritmo di Wolf.

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Marano Barbaro

Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua

Sommario

1 Parte: I sistemi caotici 2 Parte: Come quantificare il Caos 3 Parte: La sincronizzazione

La sincronizzazione

Metodi di sincronizzazione Decomposizione Pecora & Carroll X-driver Y-driver Z-driver

Sincronizzazione per Accoppiamento Accoppiamento Mutuo Robustezza nei parametri dei due sistemi Accoppiamento unidirezionale

Sincronizzazione Impulsiva Sincronizzazione impulsiva al variare della frequenza Sincronizzazione impulsiva al variare del Duty-Cicle

Sincronizzazione da controllo Lineare Sincronizzazione da controllo Adattativo Sincronizzazione in Noise

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Sistemi Caotici

Parte I Sistemi Caotici

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Sistemi Caotici

Il circuito di Chua Grafico di biforcazione

Sistema Complesso vs. Sistema Caotico

Il termine Sistema Complesso, si riferisce a parti di sistemi accoppiati in maniera non lineare, fino a formare una rete. Dalla cooperazione tra singoli elementi di questi sistemi, e grazie alla dinamica nonlineare, Emerge un comportamento complessivo che non è la semplice somma dei comportamenti individuali, ma che presenta delle caratteristiche molto interessanti. Molte volte si indica con il termine Sistemi Complessi, quelli che sono i Sistemi Caotici. Comunque questo non è corretto, infatti un sistema caotico, in contrasto con i sistemi complessi, deve avere delle proprie caratteristiche che molte volte è difficile verificare. La parola Caos, è stata introdotta per la prima volta da Yorke nel 1975 [3], molti anni dopo la prima pubblicazione di Lorenz [4]. Sebbene il modello di Lorenz è considerato uno dei primi modelli caotici, questo tipo di comportamento fu incontrato dal Poincarè nel 1887.

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Sistemi Caotici

Il circuito di Chua Grafico di biforcazione

Sistema Complesso vs. Sistema Caotico

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Sistemi Caotici

Il circuito di Chua Grafico di biforcazione

Sistema Complesso vs. Sistema Caotico

Eâ&#x20AC;&#x2122; stato dimostrato da Poincarè e Bendixon [6], che per sistemi dinamici tempo continuo autonomi, affinchè si possa generare un comportamento caotico, il modello deve essere di ordine superiore a tre. Mentre per sistemi non autonomi continui, è possibile ottenere dinamiche caotiche anche con modelli del secondo ordine. Nei sistemi discreti invece, gi` a con un modello del primo ordine che presenta una nonlinearit` a si pu` o ottenere il caos e un esempio è la nota mappa logistica (R.May 1976). Il modello utilizzato in questo documento per ottenere un comportamento caotico, è continuo, del terzo ordine, e presenta una nonlinearit` a a tratti (PWL:Piece Wise Linear): esso prende il nome di Circuito di Chua.

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Sistemi Caotici

Il circuito di Chua Grafico di biforcazione

Il Circuito di Chua: paradigma del â&#x20AC;&#x153;Caosâ&#x20AC;? Il circuito di Chua `e raffigurato in figura (1): il resistore alla destra `e il componente che presenta la non linearita raffigurata in (2).

Figura: Circuito di Chua Marano Barbaro

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Sistemi Caotici

Il circuito di Chua Grafico di biforcazione

Il Circuito di Chua: paradigma del â&#x20AC;&#x153;Caosâ&#x20AC;?

Figura: Nonlinearit` a presente nel modello.

. Marano Barbaro

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Sistemi Caotici

Il circuito di Chua Grafico di biforcazione

Il Circuito di Chua: paradigma del “Caos” Scrivendo le equazioni di Kirchhoff ai nodi si ottengono tre equazioni differenziali che ne descrivono il comportamento nel tempo: ∂vC1 vC − vC1 = 2 − g (vC1 ) ∂t R vC − vC2 ∂vC2 = 1 + iL C2 ∂t R ∂iL L = −vC2 − iL Rp ∂t C1

dove vC1 , vC2 e iL , rappresentano la tensione sul condensatore C1 , la tensione sul condensatore C2 e la corrente sull’induttore L, rispettivamente, g (vC1 ) `e la nonlinearit` a raffigurata in (2): g (vC1 ) = Gb vC1 +

1 (Ga − Gb )[|vC1 + E | − |vC1 − E |] 2

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Sistemi Caotici

Il circuito di Chua Grafico di biforcazione

Il Circuito di Chua: modello adimensionale Per una pi` u comoda trattazione numerica si ottengono le rispettive equazioni adimensionali del modello di Chua. ∂x = kα(x − y + f (x)) ∂τ ∂y = k(x − y + z) ∂τ ∂z = k(−βy − γz) ∂τ f (x) = bx +

1 (a − b)|x + 1| − |x − 1| 2

dove: x= y= z=

v1 E v2 E i3 RE

C2 C1 2 β = R LC2 RR C γ = Lp 2

α=

a = RGa b = RGb τ = |RCt 2 | Marano Barbaro

1 −1

if RC2 > 0; if RC2 < 0.

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Sistemi Caotici

Il Circuito di Chua: Strange Attractor Per opportuni valori il circuito presenta un comportamento Caotico: Strange Attractors 0.8

0.6

0.4

0.2

α = 10;

β = 15;

-0.2

γ = 0.038;

-0.4

-0.6

a = −1.27;

-0.8 -4

b = −0.68;

-3

-2

-1

Figura: Strange Attractor presente in regime caotico.

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Il circuito di Chua Grafico di biforcazione

Caratteristiche caotiche: Grafico di biforcazione Si osserva che per opportuni valori dei parametri presenti nel modello, il sistema passa attraverso zone di periodicit` a 1,2,4,8,etc nelle variabili, prima che ´ molto utile rappresentare quanto detto il regime caotico abbia luogo. E mediante un grafico che prende il nome di “Grafico di Biforcazione”. Per. 1 2 4 8 16

Alfa 8.27920 8.87920 9.10502 9.15900 9.16990

4.1834 4.9523

Tabella: Valori di α per cui si osserva periodicit` a.

Figura: Grafico di biforcazione per il circuito di Chua, in cui α varia da 8.8 a 9.25 e β e fissato a 16.

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Il circuito di Chua Grafico di biforcazione

Alfa 8.27920 8.87920 9.10502 9.15900 9.16990

4.1834 4.9523

Tabella: Valori di α per cui si osserva periodicit` a.

Figura: Grafico di biforcazione per il circuito di Chua, in cui α varia da 8.8 a 9.25 e β e fissato a 16.

biforcazione.m Marano Barbaro

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Sistemi Caotici

Il circuito di Chua Grafico di biforcazione

Caratteristiche caotiche: Numero di Feigenbaum

Un’altra peculiarit` a interessante è che si ripresenta in molti sistemi presenti in natura, è la presenza di una costante, chiamata Numero di Feigenbaum (Mitchell Feigenbaum,1975). Essa è una costante universale che tende asintoticamente al valore 4.66901, e che in questo caso rappresenta il rapporto tra le differenze dei valori di α che determinano le varie periodicit` a e viene espressa dalla seguente: δi = (αi−1 − αi−2 )/(αi − αi−1 ) I valori trovati dopo le simulazioni sono riportati nella terza colonna della tabella 1.

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Caratteristiche caotiche: Numero di Feigenbaum

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Il circuito di Chua Grafico di biforcazione

Caratteristiche caotiche: Period-Doubling Guardando il grafico di biforcazione da un altro punto di vista, si osserva al fenomeno chiamato “Period-Doubling” dal diagramma delle fasi per gli opportuni valori di α presenti nella tabella 1. Periodicità = 1, α = 8.2792, (1/5)

Periodicità = 2, α = 8.8792, (2/5)

0.4

0.3

0.2

0.1

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4 0.4

0.6

0.8

1.2

1.4

1.6

1.8

2.2

-0.4 0.2

2.4

0.4

0.6

Periodicità = 4, α = 9.105, (3/5)

1.2

1.4

1.6

1.8

2.2

Periodicità = 8, α = 9.159, (4/5)

0.4

0.3

0.2

0.1

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

0.8

-0.3

0.5

1.5

-0.4

2.5

Periodicità = 16, α = 9.1699, (5/5)

Marano Barbaro 0.4

0.5

1.5

2.5

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Quantificare il Caos

Parte II Metodi per quantificare il Caos

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Quantificare il Caos

Esponenti di Lyapunov Dimensione frattale

Approcci utilizzati per quantificare il Caos

Esistono molti metodi per stabilire quantitativamente grado di caoticit` a che presenta un determinato sistema. Guckenheimer e Holmes nel 1983, svilupparono una teoria che si basava su concetti geometrici mentre, Eckmann e Ruelle nel 1985 hanno caratterizzato il comportamento dei sistemi dinamici con un approccio statistico. Questâ&#x20AC;&#x2122;ultimo approccio, basato sulla teoria ergodica, cerca di caratterizzare il comportamento di un sistema dinamico mediante concetti come: Gli esponenti di Lyapunov caratteristici; Lâ&#x20AC;&#x2122;entropia; La dimensione frattale.

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Quantificare il Caos

Esponenti di Lyapunov Dimensione frattale

Gli esponenti di Lyapunov caratteristici Gli esponenti di Lyapunov giocano un ruolo essenziale nella descrizione del comportamento di un sistema dinamico, infatti, essi misurano il tasso medio divergenza o di convergenza di traiettorie a partire da condizioni iniziali molto vicine tra loro.

Figura: Propagazione di una perturbazione iniziale e esponenti di Lyapunov.

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Esponenti di Lyapunov Dimensione frattale

Gli esponenti di Lyapunov: Mappa discreta unidimensionale Consideriamo la seguente mappa discreta: xn+1 = f (xn )

(1)

Chiamiamo xË&#x153;(0) una condizione iniziale perturbata rispetto alla condizione iniziale x(0), e definiamo (n) = xË&#x153;(n) â&#x2C6;&#x2019; x(n), lâ&#x20AC;&#x2122;errore tra le due traiettorie generate dalle due diverse condizioni iniziali, allâ&#x20AC;&#x2122;istante n. Assumendo che (0) sia piccolo, si ha: (0) = xË&#x153;(0) â&#x2C6;&#x2019; x(0)

â&#x2C6;&#x201A;f

Âˇ (0) + o( 0 ) â&#x2C6;&#x201A;x n=0

â&#x2C6;&#x201A;f

(2) = xË&#x153;(2) â&#x2C6;&#x2019; x(2) = f (Ë&#x153; x1 ) â&#x2C6;&#x2019; f (x1 ) = Âˇ (1) = â&#x2C6;&#x201A;x

â&#x2C6;&#x201A;x

(1) = xË&#x153;(1) â&#x2C6;&#x2019; x(1) = f (Ë&#x153; x0 ) â&#x2C6;&#x2019; f (x0 ) =

n=1

Âˇ

â&#x2C6;&#x201A;f

Âˇ 0 â&#x2C6;&#x201A;x n=0

ÂˇÂˇÂˇ (k) = xË&#x153;(k) â&#x2C6;&#x2019; x(k) = f (Ë&#x153; xkâ&#x2C6;&#x2019;1 ) â&#x2C6;&#x2019; f (xkâ&#x2C6;&#x2019;1 ) = f 0 (xkâ&#x2C6;&#x2019;1 ) Âˇ f 0 (xkâ&#x2C6;&#x2019;2 ) Âˇ Âˇ Âˇ f 0 (x0 ) Âˇ 0 (2) Marano Barbaro

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Esponenti di Lyapunov Dimensione frattale

Gli esponenti di Lyapunov: Mappa discreta unidimensionale

Facendo il rapporto | k / 0 |, se questo `e maggiore, uguale o minore dellâ&#x20AC;&#x2122;unit` a, possiamo sapere se lâ&#x20AC;&#x2122;errore tra le due traiettorie `e aumentato, rimasto invariato o diminuito, rispetto allâ&#x20AC;&#x2122;istante iniziale. Possiamo esprimere questo rapporto come:

k k kâ&#x2C6;&#x2019;1

Âˇ

Âˇ Âˇ Âˇ 1 = |f 0 (xkâ&#x2C6;&#x2019;1 )| Âˇ |f 0 (xkâ&#x2C6;&#x2019;2 )| Âˇ Âˇ Âˇ |f 0 (x0 )| (3)

0 kâ&#x2C6;&#x2019;1 kâ&#x2C6;&#x2019;2

Passando ai logaritmi si ha:

+ ln kâ&#x2C6;&#x2019;1 + ln 1

= ln

0 kâ&#x2C6;&#x2019;1 kâ&#x2C6;&#x2019;2

Marano Barbaro

(4)

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Esponenti di Lyapunov Dimensione frattale

Gli esponenti di Lyapunov: Mappa discreta unidimensionale Poich`e siamo interessati a stimare il tasso medio di divergenza delle traiettorie, dividiamo per k, ottenendo:

k 1

1 X

ln = ln

k 0 k i=1 iâ&#x2C6;&#x2019;1

(5)

Passando al limite per k che tende ad infinito, otteniamo lâ&#x20AC;&#x2122;esponente di Lyapunov cercato:

k k

1 X

0 ln

= lim ln f (xkâ&#x2C6;&#x2019;1 )

Îť( 0 ) = lim ln = lim

kâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; k kâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; k kâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; k 0 iâ&#x2C6;&#x2019;1 i=1 i=1

(6)

Questo limite esiste per quasi tutte le condizioni iniziali x0 (ovvero per tutto lo spazio di stato, tranne per insiemi di misura nulla), come dimostrato nel Teorema Moltiplicativo Ergodico di Oseledec [5]. Ed inoltre Îť non dipende dalle condizioni iniziali se il sistema `e ergodico. Marano Barbaro

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Esponenti di Lyapunov Dimensione frattale

Esponenti di Lyapunov in un Sistema Continuo

Cosideriamo il seguente sistema dinamico continuo n-dimensionale: â&#x2C6;&#x201A;x = f (x(t)) â&#x2C6;&#x201A;t

(7)

facendo riferimento alla notazione precedente, una perturbazione (0) sulle condizioni iniziali, evolver` a nel tempo seguendo la dinamica descritta dalla seguente: â&#x2C6;&#x201A; = K(x) Âˇ (t) (8) â&#x2C6;&#x201A;t indicando con K(x), lo Jacobiano calcolato per x = x(t).

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Esponenti di Lyapunov Dimensione frattale

Esponenti di Lyapunov in un Sistema Continuo

Possiamo definire con M, la matrice:  ∂x (t) 1

∂x1 (t0 )

 M= 

.. .

∂xn (t) ∂x1 (t0 )

··· .. . ···

∂x1 (t) ∂xn (t0 )

.. .

∂xn (t) ∂xn (t0 )

   

(9)

che indica la variazione dell’errore all’istante t rispetto all’errore all’istante iniziale t0 . Essa in pratica `e una generalizzazione della (3) nel caso di sistemi continui e di dimensione n: in questo caso il prodotto di derivate viene sostituito da un prodotto di Jacobiani, ognuno calcolato per ogni istante di tempo t. L’evoluzione dinamica della matrice M `e rappresentata dalla: ∂M = K(x) · M ∂t

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(10)

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Esponenti di Lyapunov Dimensione frattale

Esponenti di Lyapunov in un Sistema Continuo

Si dimostra che gli n autovalori di M, per valori di t molto grandi sono dati da e λi (t−t0 ) . Il Teorema Moltiplicativo Ergodico di Oseledec afferma che per quasi ogni valore di x0 esiste un set di vettori ortonormali vi (t0 ) tale che il limite: 1 λi = lim ln kM(t, t0 )vi (t0 )k (11) t→∞ (t − t0 ) esiste.

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Esponenti di Lyapunov Dimensione frattale

Esponenti di Lyapunov in un Sistema Continuo

Un’interpretazione diversa del teorema di Oseledec si pu` o trovare se si considera una decomposizione in valori singolari (SVD) della matrice M: M = WDVT

(12)

dove D `e una matrice diagonale dove gli elementi di sono le radici degli autovalori di MT M e V, W sono matrici ortogonali con colonne vi di V autovettori ortonormali di MT M e wi autovettori ortonormali di MMT . Geometricamente questo risultato pu` o essere compreso nel seguente modo: un set di condizioni iniziali che formano una ipersfera unitaria descritta dai vettori vi , viene mappata da M in una iperellissoide descritta dai vettori wi . I vettori vi , indicano le direzioni nel quale una perturbazione in questa direzione viene amplificata con un tasso descritto da λi .

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Esponenti di Lyapunov Dimensione frattale

Esponenti di Lyapunov in un Sistema Continuo

Figura: Data una sfera unitaria di condizioni iniziali, dopo un certo periodo di tempo viene mappata dalla matrice M in un ellissoide come dal teorema di Oseledec.

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Esponenti di Lyapunov Dimensione frattale

Esponenti di Lyapunov in un Sistema Continuo

Figura: Interpretazione geometrica degli esponenti di Lyapunov. Marano Barbaro

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Esponenti di Lyapunov Dimensione frattale

Esponenti di Lyapunov in un Sistema Continuo

Si osserva che, data la sensibilit` a alle condizioni iniziali presente in un sistema caotico, la distanza tra due traiettorie vicine, nel tempo cresce con un tasso e Îť1 t , lâ&#x20AC;&#x2122;area con un tasso e (Îť1 +Îť2 )t , e il volume con un tasso e (Îť1 +Îť2 +Îť3 )t . Poich` e il tasso si espansione descritto da Îť1 domina gli altri, si trova che per tempi lunghi le direzioni descritte dai vettori â&#x20AC;&#x153;erroreâ&#x20AC;? tendono ad allinearsi con la direzione di ~ 1 . Questo problema fa si che lâ&#x20AC;&#x2122;applicazione diretta della (11) per calcolo degli esponenti non ` e possibile. Infatti, gli angoli formati tra i vettori errore che diventano molto piccoli e il tasso di crescita esponenziale dovuto al primo esponente comportano errori numerici non trascurabili. Questo problema viene risolto con una periodica ortonormalizzazione dei vettori errore. Questo è possibile farlo poichè, se il sistema è ergodico, gli esponenti non dipendono dallâ&#x20AC;&#x2122;errore iniziale.

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Esponenti di Lyapunov Dimensione frattale

Algoritmo di Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt Consideriamo un sistema continuo n-dimensionale. Lâ&#x20AC;&#x2122;algoritmo utilizzato nella pratica per il calcolo degli esponenti di Lyapunov `e il seguente. 1

Si assegnano n vettori ortonormali, e si pone k=0: e1k = (1, 0, . . . , 0) e2k = (0, 1, . . . , 0) enk

(13)

= (0, 0, . . . , 0)

Questi vettori indicano n diverse perturbazioni delle condizioni iniziali nelle n direzioni. 2

Per ogni vettore eik , si integra la traiettoria della equazione variazionale (8) per un tempo T arbitrariamente piccolo da non indurre troppi errori numerici nella divergenza della massima direzione di espansione. Si ottengono cos`Äą n vettori di errore vik = i (T ) con (i=1,. . . n).

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Esponenti di Lyapunov Dimensione frattale

Algoritmo di Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt

Si re-ortonormalizzano tali vettori ottenuti mediante il metodo di Gram-Schmidt, ottenendo una nuova base ortonormale k+1 [3]: i v1k e1k+1 = v k 1

e2k+1

v k â&#x2C6;&#x2019; (v2k Âˇ e1k+1 )e1k+1 = 2k v â&#x2C6;&#x2019; (v k Âˇ e k+1 )e k+1 2 2 1 1

(14)

k+1 k+1 vnk â&#x2C6;&#x2019; (vnk Âˇ e1k+1 )e1k+1 â&#x2C6;&#x2019; Âˇ Âˇ Âˇ â&#x2C6;&#x2019; (vnk Âˇ enâ&#x2C6;&#x2019;1 )enâ&#x2C6;&#x2019;1 enk+1 = k k+1 k+1 k+1 k+1 k vn â&#x2C6;&#x2019; (vnk Âˇ e )e â&#x2C6;&#x2019; Âˇ Âˇ Âˇ â&#x2C6;&#x2019; (v Âˇ e n 1 1 nâ&#x2C6;&#x2019;1 )enâ&#x2C6;&#x2019;1

I denominatori degli n vettori indicano i tassi di espansione/contrazione nelle n direzioni ortogonali della nuova base e vengono indicati con Nik .

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Esponenti di Lyapunov Dimensione frattale

Algoritmo di Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt

Figura: Processo di Ortonormalizzazione di Gram-Smidth. Marano Barbaro

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Esponenti di Lyapunov Dimensione frattale

Algoritmo di Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt

Si ritorna al passo k e si ripete il processo per r volte. Gli esponenti di Lyapunov saranno dati da: Pr k k ln Ni λi = lim (15) r →∞ rT

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Esponenti di Lyapunov Dimensione frattale

Divergenza tra le traiettorie: calcolo di λ1 Consideriamo un sistema n-dimensionale continuo. Chiamiamo x˜(0) una condizione iniziale perturbata rispetto a x(0). Si trova che in un attrattore caotico, le due traiettorie generate divergono molto rapidamente nel tempo. Essendo per` o l’attrattore limitato si ha un continuo alternarsi di due moti differenti: ci saranno delle direzioni caratterizzate da uno stretching delle traiettorie e delle direzioni caratterizzate dal folding che tende a mantenere bounded l’attrattore. Se definiamo ||δ(t)|| = ||˜ x (t) − x(t)||, si trova che l’andamento nel tempo della divergenza `e approssimativamente uguale a: ||δ(t)|| = ||δ(0)||e λ1 t

(16)

Questo risultato `e di utilit` a pratica notevole perch`e permette, mediante un grafico della distanza euclidea, di avere informazioni riguardo al primo esponente di Lyapunov, essendo: λ1 ≈

1 ||δ(t)|| ln t t ||δ(0)||

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(17)

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Esponenti di Lyapunov Dimensione frattale

Quantificare il Caos

Divergenza tra le traiettorie: calcolo di λ1 Quindi dalla pendenza di questo grafico si ottiene il valore approssimato dell’esponente cercato. 12

log(δ (t))

λ1

50 tempo

100

Figura: Metodo pratico per il calcolo del primo esponente di Lyapunov. Marano Barbaro

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Esponenti di Lyapunov Dimensione frattale

Verifica attendibilit`a algoritmo di Wolf

Durante il corso delle simulazioni effettuate è stato necessario calcolare gli esponenti di Lyapunov dei sistemi considerati per verificarne i risultati ottenuti nelle sincronizzazioni. Mentre il calcolo del primo esponente di Lyapunov per quantificare il grado di caoticit` a del sistema, è molto facile da eseguire (ad esempio applicando il metodo della divergenza sopra esposto), questo non è sempre vero per il calcolo degli altri esponenti. In genere per il calcolo di tutti gli esponenti (spettro di Lyapunov), si ricorre a determinati algoritmi sviluppati negli anni passati: i pi` u importanti sono stati sviluppati da A.Wolf et. al nellâ&#x20AC;&#x2122;1985 e da Eckmann & Ruelle nel 1986. Il problema è che non sempre è assicurata la convergenza e lâ&#x20AC;&#x2122;attendibilit` a dei risultati ottenuti soprattutto per gli esponenti negativi.

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Esponenti di Lyapunov Dimensione frattale

Verifica attendibilit`a algoritmo di Wolf

Nel set di simulazioni che seguono, `e stato applicato lâ&#x20AC;&#x2122;algoritmo sviluppato da A.Wolf et. al, il quale implementa il metodo dellâ&#x20AC;&#x2122;ortonormalizzazione di Gram-Schmidt precedentemente discusso: le prime simulazioni sono state effettuate per verificare se il primo esponente ottenuto risultava uguale, sia nel caso in cui si applicava il metodo della divergenza, sia nel caso in cui si applicava lâ&#x20AC;&#x2122;algoritmo di Wolf. Il secondo gruppo di simulazioni preliminari `e servito a verificare che i vari segni degli esponenti nel caso di un attrattore caotico fossero compatibili con i risultati teorici. Si s` a infatti, che un attrattore caotico presenta un esponente maggiore di zero, uno circa nullo e uno negativo. verificawolf.m

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Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua

Quantificare il Caos

Esponenti di Lyapunov Dimensione frattale

Verifica attendibilit`a algoritmo di Wolf

Marano Barbaro

Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua

Esponenti di Lyapunov Dimensione frattale

Quantificare il Caos

Verifica attendibilità algoritmo di Wolf Il primo test ha dato esito positivo, mentre nel secondo caso, a causa del fatto che la non linearit` a è discontinua e lo è pure lo Jacobiano, l’algoritmo da risultati errati. Per ovviare a questo problema si è sostituita la non-linearit` a PWL con un polinomio del decimo ordine. In questo caso infatti i segni degli esponenti erano compatibili con i risultati teorici. Traiettoria nello spazio delle fasi.

Dinamica degli esponenti di Lyapunov Chua Caotico ->PWL<-

Dinamica degli esponenti di Lyapunov - Chua Caotico -10th Order-

1 1

0 0

-1

-2 0.4 -3 0.2 -2

Esponenti di Lyapunov

-1 Esponenti di Lyapunov

-2

-4

λ1=0.3449 λ2=0.022274 λ3=-3.7133

-3

λ1=0.26728 λ2=0.26751 λ3=-4.1323

-0.2 1

-2

-3

0 -1 0

-1

-4

-0.4 y

(a) Attrattore caotico

-5

50 Tempo

100

(b) Esponenti di Lyapunov, PWL

Marano Barbaro

50 Tempo

100

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Quantificare il Caos

Esponenti di Lyapunov Dimensione frattale

Dimensione frattale Perchè la geometria viene spesso indicata come arida e fredda? Una ragione è l’inabilit` a di descrivere la forma di una nuvola o di una montagna, una linea costiera o un albero. Le nuvole non sono delle sfere, le montagne non sono dei coni, le linee costiere non sono dei cerchi, il sughero non è liscio e i fulmini non si muovono lungo linee dritte. Benoˆıt B. Mandelbrot Cos`ı Mandelbrot nel suo libro “The Fractal Geometry of Nature”, descrive l’inadeguatezza della geometria euclidea, nella descrizione della Natura.

Figura: Insieme di Mandelbrot (1979) Marano Barbaro

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Quantificare il Caos

Esponenti di Lyapunov Dimensione frattale

Dimensione frattale Mandelbrot è il padre fondatore della teoria dei frattali e l’inventore del famoso insieme che porta il suo nome Figura (10). Poichè gli strange attractors hanno delle caratteristiche frattali, ad esse è associata una dimensione legata agli esponenti di Lyapunov e che assieme ad essi permette di distinguere una traiettoria caotica rispetto ad un ciclo limite o a un punto di equilibrio stabile: essa prende il nome di Dimensione di Hausdorff (1918). In particolare si dimostra che: in un attrattore caotico suddetta dimensione è compresa tra 2 e 3; in un ciclo limite è circa unitaria; un punto di equilibrio stabile è nulla. Il metodo per calcolare suddetta dimensione frattale, è dovuto alla congettura sviluppata da Kaplan-Yorke: P λj >0 λj d =j+ (18) |λj+1 | dove, j indica l’interno pi` u grande tale che la somma dei primi esponenti di Lyapunov sia positiva. Marano Barbaro

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Quantificare il Caos

Esponenti di Lyapunov Dimensione frattale

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Metodi di sincronizzazione

Parte III La sincronizzazione tra sistemi Caotici

Marano Barbaro

Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua

contrary swings if it happened that they moved otherwise at first, and from this Decomposizione Pecora & Carroll Sincronizzazione Accoppiamento finally the motion of the beamper completely ceases. But this cause is not Sincronizzazione Impulsiva sufficiently powerful unless the opposite motions of the clocks are exactly equal Metodi di sincronizzazione Sincronizzazione da controllo Lineare and uniform.Sincronizzazione da controllo Adattativo Effetto Benefico del Rumore

The first mention of this discovery can be found in Huygens’ letter to his father of 26 February 1665, reprinted in a collection of papers [Huygens 1967a] and reproduced in Appendix A1. According to this letter, the observation of synchronization was made while Huygens was sick and stayed in bed for a couple of days watching two clocks on a wall (Fig. 1.2). Interestingly, in describingnon the discovered La sincronizzazione di oscillazioni trahanging due diversi sistemi è un fenomeno phenomenon, Huygens wrote about “sympathy of two clocks” (le phénoméne de la lineare che spesso si incontra sympathie, in natura. La capacit` a di molti oscillatori non sympathie des horloges). lineari di sincronizzarsi l’un conThus, l’altro è alla base funzionamento di molti Huygens had given not del only an exact description, but also a brilliant qualitative explanation of this effect of ruolo mutual synchronization; he correctly understood processi naturali, quindi la sincronizzazione ha un fondamentale nelle 2 Introduction that the conformity of the rhythms of two clocks had been caused by an impercepscienze. Uno dei primi esperimenti in cui venne studiata la sincronizzazione tible motion of the beam. In modern terminology this would mean that the clocks bottom of the case was added a lead weight of over one hundred pounds so that instrument would better maintain a perpendicular whensynchronized naturalethesuspended tra due sistemi fu orientation effettuato da Huygens nelto1665. una were in anti-phase due coupling Durante through the beam. in the ship. In theincollegando middle of the nineteenth century, in his famous treatise The Theory of Although the motion of the clock si was found to be very equal and constant banale gita in mare accorse che, due orologi a pendolo su uno these experiments, nevertheless we made an effort to perfect it still further in Sound, William Strutt (Fig. 1.3) [Lord Rayleigh 1945] described the interesting another way as follows. . . . the result is still greater equality of clocks than stesso supporto e accoppiandoli in maniera tale dainpresentarsi una debole before. phenomenon of synchronization acoustical systems as follows.

La sincronizzazione tra pi` u sistemi

Furthermore, Huygens shortly, but extremely precisely, described his observation interazione tra di loro, le oscillazioni diventavano identiche a differenza di of synchronization as follows. When two organ-pipes of the same pitch stand side by side, complications ensue quando erano ubicati in posti diversi (fig. 11). give trouble in practice. In extreme cases the pipes may which not unfrequently . . . It is quite worth noting that when we suspended two clocks so constructed from two hooks imbedded in the same wooden beam, the motions of each

Figure 1.2. Original drawing of Christiaan Huygens illustrating his experiments with two pendulum clocks placed on a common support.

Marano Barbaro

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Metodi di sincronizzazione

Decomposizione Pecora & Carroll Sincronizzazione per Accoppiamento Sincronizzazione Impulsiva Sincronizzazione da controllo Lineare Sincronizzazione da controllo Adattativo Effetto Benefico del Rumore

La sincronizzazione tra pi` u sistemi In generale, comunque, la sincronizzazione `e intesa come la capacit` a da parte di oscillatori autonomi accoppiati e con frequenze diverse, di cambiare il loro comportamento, da un regime di oscillazione indipendente a un regime di oscillazione periodica stabile, man mano che il coefficiente di accoppiamento diventa pi` u grande. Come facilmente intuibile, si riesce ad ottenere una sincronizzazione solo quando la differenza tra le diverse frequenze `e bassa. A dimostrazione di questo fatto, se indichiamo â&#x2C6;&#x2020;f = f1 â&#x2C6;&#x2019; f2 come la differenza tra le frequenze degli oscillatori interagenti, â&#x2C6;&#x2020;F = F1 â&#x2C6;&#x2019; F2 la differenza delle frequenze negli oscillatori non interagenti ed come il grado di interazione, si ottiene un grafico tipico che prende il nome di Lingua di Arnold.

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Metodi di sincronizzazione

La sincronizzazione tra pi` u sistemi

Quando i due sistemi presentano una perfetta sincronizzazione delle variabili di stato il grafico che ottenuto `e una bisettrice. Il vantaggio di questo metodo `e che graficamente, ci si pu` o rendere conto del grado di sincronizzazione tra due sistemi, tanto pi` u la figura tende ad assomigliare ad una bisettrice. Analiticamente questo si esprime nel modo seguente. Consideriamo N sistemi n-dimensionali diversi (N ≥ 2): x˙ i = fi (xi )

i = 1, . . . N, xi ∈ R

(19)

diremo che le traiettorie si sincronizzeranno asintoticamente se accade: lim (xi − xj ) = 0

t→∞

Marano Barbaro

i 6= j

(20)

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Metodi di sincronizzazione

La sincronizzazione tra sistemi caotici

La sincronizzazione di due o pi` u circuiti in regime caotico, pu` o essere perseguita mediante tre diversi approcci. Il primo metodo, sviluppato da Pecora e Carroll nel 1990, permette di ottenere una sincronizzazione tra due sistemi, in cui il secondo sistema (Slave), `e una copia replicata esatta di una porzione del sistema Master. Il secondo metodo, include dei sistemi accoppiati, in cui se il coefficiente di accoppiamento `e nullo presentano entrambi un comportamento caotico. Mano a mano che il grado di accoppiamento cresce, i due circuiti tendono a sincronizzarsi. Il grado di accoppiamento pu` o trovarsi su tutte le variabili di stato, ma pu` o anche essere tra una sola delle variabili di stato per produrre sincronizzazione. Il terzo metodo, si basa principalmente sulle strategie classiche di controllo retroazionato.

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Metodi di sincronizzazione

La sincronizzazione tra sistemi caotici

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Metodi di sincronizzazione

La sincronizzazione tra sistemi caotici

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Metodi di sincronizzazione

Tipi di Sincronizzazione

In generale per` o, gli oscillatori cambiano le loro frequenze in modo tale da: Renderle uguali tra di loro. In questo caso si parla di â&#x20AC;&#x153;Identical Synchronizationâ&#x20AC;? (IS); Essere in un rapporto fisso tra le due: Phase Synchronization (PS); Essere legate da una determinata funzione: Generalized Synchronization (GS). Considerando che la tipologia di sincronizzazione trattata in questo documento è la IS, un metodo utilizzato per verificare lâ&#x20AC;&#x2122;avvenuta sincronizzazione dei due sistemi è quello che fa uso delle Figure di Lissajous. Questo metodo molto semplice, consiste nel graficare gli andamenti di due variabili di stato nel tempo, nei due assi cartesiani: se le traiettorie percorse dalle variabili dei due sistemi sono uguali la figura risultante è una bisettrice.

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Metodi di sincronizzazione

Metodi di sincronizzazione Decomposizione Pecora & Carroll X-driver Y-driver Z-driver

Sincronizzazione per Accoppiamento Accoppiamento Mutuo Robustezza nei parametri dei due sistemi Accoppiamento unidirezionale

Sincronizzazione Impulsiva Sincronizzazione impulsiva al variare della frequenza Sincronizzazione impulsiva al variare del Duty-Cicle

Sincronizzazione da controllo Lineare Sincronizzazione da controllo Adattativo Sincronizzazione in Noise

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Metodi di sincronizzazione

Decomposizione Pecora & Carroll

Synchronizing Chaotic Circuits Thomas L.Carroll and Louis M.Pecora Abstract - Although the motion of indipendent chaotic system are uncorrelated with each other, it is possible under some conditions to synchronize a subsystem of one chaotic system to the subsystem. We describe here the conditions necessary for synchronization and demonstrate synchronization with a chaotic circuits. Era il 19 febbraio 1990, quando Louis Pecora e Thomas Carroll aprivano, per la prima volta, le strade alla possibilit` a di sincronizzare due circuiti caotici. [1]. Da quel momento in poi, molti ricercatori hanno sviluppato metodi di sincronizzazione basandosi su questa tecnica.

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Metodi di sincronizzazione

Decomposizione Pecora & Carroll Si considera un sistema dinamico, autonomo n-dimensionale: u˙ = f (u)

(21)

Dividiamo il sistema, arbitrariamente, in due sottosistemi [u=(v , w )]: v˙ = f (v )

w˙ = f (w )

(22)

dove (v =u1 ,. . .,um ), w =(um+1 ,. . .,un ). Si avr` a quindi: g = (f1 (u), . . . , fm (u))

(23)

h = (fm+1 (u), . . . , fn (u)) (24) Adesso creiamo un sottosistema w 0 identico al sistema w , sostituendo alle variabili v 0 , le corrispondenti v nella funzione h. Con questo nuovo sottosistema, otteniamo: ( v˙ = g (v , w ) Driver w˙ = h(v , w ) n Response w˙ 0 = h(v , w 0 ) Marano Barbaro

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Metodi di sincronizzazione

Decomposizione Pecora & Carroll

Analizziamo la differenza, ∆w = w 0 − w . I sottosistemi w e w 0 , si sincronizzeranno, se e solo se, ∆w → 0, quando t → ∞. Il limite infinitesimale induce alla seguente equazione variazionale per il sottosistema w : ξ˙ = Dw 0 h(v (t), w 0 (t))ξ

(25)

Dove Dw h `e lo Jacobiano del sottosistema Response rispetto al solo w 0 . Il comportamento dell’ equazione (25) dipende dagli esponenti di Lyapunov del sottosistema w . Si dimostra che: Teorema di Pecora & Carroll Teorema: I sottosistemi w e w 0 si sincronizzeranno solo se gli esponenti di Lyapunov del sottosistema w sono tutti negativi.

Marano Barbaro

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Metodi di sincronizzazione

Decomposizione Pecora & Carroll Il teorema di cui sopra, d` a solo le condizioni necessarie ma non sufficienti, per aversi sincronizzazione. Esso non tiene conto delle condizioni iniziali del sistema w 0 che si sincronizzer` a con w . Da un altro punto di vista si pu` o immaginare che le variabili v = (v1 , . . . , vm ), sono delle variabili pilota (Driver ), 0 mentre w 0 = (wm+1 , . . . , wn0 ) sono delle componenti in risposta (Response). Nella figura (13) `e rappresentato uno schema di principio.

Figura: Schema di principio Driver - Response

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Metodi di sincronizzazione

Pecora&Carroll applicato al modello di Chua In questa sezione verr` a dimostrato attraverso delle simulazioni il teorema di Carroll&Pecora. In particolare saranno studiate le tre decomposizioni applicabili al modello di Chua: x˙ 1 = α(y1 − x1 − g1 (x)) y˙ 1 = x1 − y1 + z1 z˙ 1 = −βy1 − γz1 Nel corso di questo set di simulazioni il valore dei parametri erano α = 8, β = 12.2 e γ = 0.016. Con questi parametri il circuito presenta un comportamento caotico. La nonlinearit` a g (x) `e un polinomio del 10mo ordine che implementa la PWL di figura 2 in modo da poter applicare efficientemente l’algoritmo di Wolf per il calcolo dello spettro di Lyapunov.

Marano Barbaro

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Metodi di sincronizzazione

Marano Barbaro

Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua

Metodi di sincronizzazione

X-Driver La prima decomposizione del sistema Master prevedeva che il segnale Driver fosse prelevato da x1 : x˙ 1 = α(y1 − x1 − g1 (x)) y˙ 1 = x1 − y1 + z1

y˙ 2 = x1 −y2 + z2

z˙ 1 = −βy1 − γz1

z˙ 2 = −βy2 − γz2 Variabile di stato y1 (Driver) e y2 (Response)

0.4

0.3

0.2

y1,y2

0.1

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

Tempo

Come `e possibile vedere dalla figura sopra e dalle due seguenti, si nota la sincronizzazione tra le variabili di stato dei due sistemi x1 e x2 . Marano Barbaro

Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua

Metodi di sincronizzazione

X-Driver Figura di Lissajous − (X−Driver) 0.4

0.3

0.2

Y−Response

0.1

−0.1

−0.2

−0.3

−0.4 −0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0 Y−Driver

0.1

0.2

0.3

0.4

Figura: Figura di Lissajous tra x1 e x2 .. Marano Barbaro

Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua

Metodi di sincronizzazione

X-Driver Esponenti di Lyapunov del RESPONSE: X-Driver

Esponenti di Lyapunov del DRIVER 1

1 -1 Esponenti di Lyapunov

Esponenti di Lyapunov

-2

-1

-3 -2

λ1=0.26663 λ2=0.0047713 λ3=-2.7965

-4

-5

100

150

λ4=-0.49981 λ5=-0.50117

-3

200

Tempo

-4

100

150

200

Tempo

Figura: Esponenti di Lyapunov del sistema driver e del sistema Response. X-DRIVER Marano Barbaro

Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua

Metodi di sincronizzazione

Y-Driver La seconda decomposizione del sistema Master prevedeva che il segnale Driver fosse prelevato da y1 : x˙ 1 = α(y1 − x1 − g1 (x)) y˙ 1 = x1 − y1 + z1

x˙ 1 = α(y1 −x2 − g2 (x2 ))

z˙ 1 = −βy1 − γz1

z˙ 2 = −βy2 − γz2 Variabile di stato x1 (Driver) e x2 (Response) 2.5

1.5

x1,x2

0.5

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

Tempo

Anche in questo caso si `e ottenuta la sincronizzazione cercata tra y1 e y2 . Marano Barbaro

Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua

Metodi di sincronizzazione

Y-Driver Figura di Lissajous − (Y−Driver) 2.5

1.5

x−Response

0.5

−0.5

−1

−1.5

−2

−2.5 −2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0 x−Driver

0.5

1.5

2.5

Figura: Figura di Lissajous tra y1 e y2 .. Marano Barbaro

Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua

Metodi di sincronizzazione

Y-Driver Esponenti di Lyapunov del RESPONSE

1.5

Esponenti di Lyapunov

Esponenti di Lyapunov del DRIVER

-1

-2

-3

0.5

-0.5

λ1=0.28557 λ2=-0.00026821 λ3=-2.7964

-4

-5

λ4=-1.4771 λ5=0

100

200 300 Tempo

400

-1

500

-1.5

100

200 300 Tempo

400

500

Figura: Esponenti di Lyapunov del sistema driver e del sistema Response. Y-DRIVER Marano Barbaro

Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua

Metodi di sincronizzazione

Z-Driver Infine la terza e ultima decomposizione considerata prevedeva che il segnale Driver fosse prelevato da z1 : x˙ 1 = α(y1 − x1 − g1 (x)) y˙ 1 = x1 − y1 + z1

x˙ 1 = α(y2 − x2 − g1 (x2 ))

z˙ 1 = −βy1 − γz1

y˙ 1 = x2 − y2 + z1 Variabile di stato X1 (Driver) e X2 (Response) x1 x2 2

X1,X2

-1

-2

-3 0

50 Tempo

Come `e possibile vedere dalla figura e in accordo con il teorema di Pecora&Carroll, poich`e gli esponenti condizionali del sottosistema non erano tutti negativi, non si riesce ad ottenere la sincronizzazione tra z1 e z2 . Marano Barbaro

Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua

Metodi di sincronizzazione

Z-Driver Figura di Lissajous − (Z−Driver) 1

x−Response

−1

−2

−3

−4

−5 −0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1 0 x−Driver

0.1

0.2

0.3

0.4

Figura: Figura di Lissajous tra z1 e z2 .. Marano Barbaro

Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua

Metodi di sincronizzazione

Z-Driver Esponenti di Lyapunov del RESPONSE: Z-Drive

Esponenti di Lyapunov del DRIVER

1 0

λ1=0.31588 λ2=-0.0053173 λ3=-3.6031

-2

-1 Esponenti di Lyapunov

Esponenti di Lyapunov

-1

λ4=1.5814 λ5=-4.8743

-2

-3 -3

-4

-4 -5

-5

100 Tempo

150

200

-6

100 Tempo

150

200

Figura: Esponenti di Lyapunov del sistema driver e del sistema Response. Z-DRIVER Marano Barbaro

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Metodi di sincronizzazione

Metodi di sincronizzazione Decomposizione Pecora & Carroll X-driver Y-driver Z-driver

Sincronizzazione per Accoppiamento Accoppiamento Mutuo Robustezza nei parametri dei due sistemi Accoppiamento unidirezionale

Sincronizzazione Impulsiva Sincronizzazione impulsiva al variare della frequenza Sincronizzazione impulsiva al variare del Duty-Cicle

Sincronizzazione da controllo Lineare Sincronizzazione da controllo Adattativo Sincronizzazione in Noise

Marano Barbaro

Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua

Metodi di sincronizzazione

Accoppiamento Mutuo tra due sistemi

Altro metodo largamente studiato dalla comunit` a scientifica nel tentativo di sincronizzare pi` u circuiti caotici `e stato quello che fa uso di un accoppiamento mutuo tra i vari sistemi. Analiticamente si ha:    x˙1 = α(y1 − x1 − f1 (x1 )) + kx (x2 − x1 )  x˙2 = α(y2 − x2 − f2 (x2 )) + kx (x1 − x2 ) y˙1 = y1 − x1 + z1 + ky (y2 − y1 ) y˙2 = y2 − x2 + z2 + ky (y1 − y2 )     z˙1 = −βy1 − γz1 + kz (z2 − z1 ) z˙2 = −βy2 − γz2 + kz (z1 − z2 ) (26) Fisicamente l’accoppiamento kx = C2 R/C1 Rx (vedi prima parte per la conversione del modello dimensionale al modello adimensionale) lo si realizza mediante un resistore Rx , mentre l’accoppiamento ky = R/Ry lo si realizza mediante un resistore Ry collegato tra i due condensatori le cui tensioni ai capi, rappresentano le seconde variabili di stato y1 e y2 .

Marano Barbaro

Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua

Metodi di sincronizzazione

Accoppiamento Mutuo tra due sistemi Nelle tabelle che seguono sono stati riassunti i risultati ottenuti. kx 2 3 4

Livello Sincronizzazione NO sincronizzazione Debole sincr. Sincronizzazione

Figura 4a 4c 4e

ky 0.5 0.65 3

Livello Sincronizzazione NO sincronizzazione Debole sincr. Sincronizzazione

Figura 5a 5c 5e

kz 0.5 0.909:1.85 1.6 1.99

Livello Sincronizzazione Sincronizzazione instabile Sincronizzazione nel range 0.909:1.85 Massima Sincronizzazione Perdita di Sincronizzazione

Figura 6a 6c 6e 6g

Tabella: Livelli di sincronizzazione ottenuti per vari valori kz , kx e ky . ACCOPPIAMENTO MUTUO.

Marano Barbaro

Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua

Metodi di sincronizzazione

Accoppiamento Mutuo tra due sistemi Nelle tabelle che seguono sono stati riassunti i risultati ottenuti. kx 2 3 4

Livello Sincronizzazione NO sincronizzazione Debole sincr. Sincronizzazione

Figura 4a 4c 4e

ky 0.5 0.65 3

Livello Sincronizzazione NO sincronizzazione Debole sincr. Sincronizzazione

Figura 5a 5c 5e

kz 0.5 0.909:1.85 1.6 1.99

Livello Sincronizzazione Sincronizzazione instabile Sincronizzazione nel range 0.909:1.85 Massima Sincronizzazione Perdita di Sincronizzazione

Figura 6a 6c 6e 6g

Tabella: Livelli di sincronizzazione ottenuti per vari valori kz , kx e ky . ACCOPPIAMENTO MUTUO.

mutual.m Marano Barbaro

Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua

Metodi di sincronizzazione

Accoppiamento Mutuo. kx variabile 4

Strange Attractors

x 10

Figure di Lissajous 4

3 2

-1 -1

-2

-2 -3

-3 -6

-4

-2

-4 -4

8 4

x 10

(a) Attrattore instabile kx =2

-3

-2

-1

0 x1

(b) Figura di Lissajous kx =3 Figure di Lissajous

-1

-2

-3

-4 -4

-3

-2

-1

0 x1

Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua

Metodi di sincronizzazione

Accoppiamento Mutuo: ky variabile Figure di Lissajous

Figure di Lissajous

-1

-2

-3

-4 -4

-3

-2

-1

0 x1

-4 -4

(d) Figura di Lissajous ky =0.5

-3

-2

-1

0 x1

(e) Figura di Lissajous ky =0.65 Figure di Lissajous

-1

-2

-3

-4 -4

-3

-2

-1

0 x1

(f) Figura di Lissajous ky =3 Marano Barbaro

Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua

Metodi di sincronizzazione

Accoppiamento Mutuo: kz variabile Strange Attractors

Figure di Lissajous 4

2.5

1.5

1 1

0.5 0

0 -1 -0.5 -2 -1

-3

-1.5

-4

-2

-4 -4

(g) Attrattore instabile kz =0.5

-3

-2

0 x1

(h) Figura di Lissajous kz =0.909 7

Figure di Lissajous 4

-1

Strange Attractors

x 10

3 2

2 1

1 0 0 -1 -1

-2 -2

-3

-4 -4

-3

-2

-1

0 x1

-4 -8

-6

-4

-2

10 x 10

(i) Figura di Lissajous kz =1.6 Marano Barbaro

(j) Attrattore instabile kz =1.99 Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua

Metodi di sincronizzazione

Robustezza nellâ&#x20AC;&#x2122;accoppiamento

Nelle simulazioni che seguono sono stati analizzati gli effetti di missmatches nei parametri presenti nei due modelli e che si ripercuotono nella sincronizzazione mutua dei due sistemi. Essi infatti sono inevitabili nella pratica, quindi questo studio `e di notevole importanza al fine di caratterizzare bene la sincronizzazione reale di due circuiti. In questo documento ci limitiamo a ottenere dei range di variazioni di un parametro, quando gli altri sono posti nulli. Essendo un circuito non lineare, la variazione percentuale di un solo parametro, mantenendo gli altri nulli, non `e molto affidabile come misura dello scostamento reale di tutti i parametri presenti in un setup sperimentale. Nonostante ci` o le simulazioni che seguono, danno lâ&#x20AC;&#x2122;idea del fatto che la sincronizzazione pu` o comunque essere ottenuta anche con parametri di poco diversi, avendo un opportuno coefficiente di accoppiamento tra i sistemi.

Marano Barbaro

Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua

Metodi di sincronizzazione

Robustezza nell’accoppiamento

In questo set di simulazioni si è fissato il valore kx = 16.1, mentre di volta in volta venivano variati i parametri α, β e γ, da un minimo del 20% a un massimo pari al 200%. Si è riscontrato che la variazione massima ammissibile si ottiene per ∆β = 200% e ∆γ = 200%. In questo caso infatti, anche se il valore dei parametri β, e γ del secondo sistema sono il d del corrispondente valore nel sistema Master, la sincronizzazione è comunque ottenuta. Nel caso di α invece, gi` a con uno scostamento del 100% la sincronizzazione non si ottiene.

Marano Barbaro

Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua

Metodi di sincronizzazione

Robustezza nell’accoppiamento

Marano Barbaro

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Metodi di sincronizzazione

Accoppiamento unidirezionale

Questo tipo di sincronizzazione `e un caso particolare del metodo precedentemente discusso. In questo caso infatti, si ha un accoppiamento unidirezionale tra i due sistemi. Questo `e possibile realizzarlo fisicamente collegando un buffer a valle dei resistori Rx , Ry e Rz precedentemente trattati. Analiticamente stavolta si ha:    x˙2 = α(y2 − x2 − f2 (x2 )) + kx (x1 − x2 ) x˙1 = α(y1 − x1 − f1 (x1 ))  (27) y˙1 = y1 − x1 + z1 y˙2 = y2 − x2 + z2 + ky (y1 − y2 )     z˙2 = −βy2 − γz2 + kz (z1 − z2 ) z˙1 = −βy1 − γz1 anche in questo caso i parametri utilizzati sono stati α = 10, β = 14.87 e γ = 0.

Marano Barbaro

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Metodi di sincronizzazione

Accoppiamento unidirezionale

Marano Barbaro

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Metodi di sincronizzazione

Accoppiamento unidirezionale kx 5 6 8

Livello Sincronizzazione NO sincr., secondo diventa instabile. Debole sincr. Sincronizzazione

Figura 11a 11c 11e

ky 0.5 2 5

Livello Sincronizzazione NO sincronizzazione Sincr. dopo lungo transitorio Sincronizzazione

Figura 12a 12c 12e

kz 0.5:1.7 1.8 3 6

Livello Sincronizzazione NO Sincr.Secondo Sist. instabile Sincronizzazione nel range 0.909:1.85 Massima Sincronizzazione Instabile in una direzione

Figura 13a 13c 13e 13g

Tabella: Livelli di sincronizzazione ottenuti per vari valori kz , kx e ky . ACCOPPIAMENTO UNIDIREZIONALE. Marano Barbaro

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Metodi di sincronizzazione

Accoppiamento unidirezionale Strange Attractors Coefficienti: kx=5, ky=0, kz=0

Figure di Lissajous Coefficienti: kx=6, ky=0, kz=0

-1

-2

-3

-4 -6

-3

-4

-2

-4 -4

(k) Attrattore instabile kx =5

-3

-2

-1

0 x1

(l) Figura di Lissajous kx =6

Figure di Lissajous Coefficienti: kx=8, ky=0, kz=0 4

-1

-2

-3

-4 -4

-3

-2

-1

0 x1

(m) Figura di Lissajous kx =8

Marano Barbaro

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Metodi di sincronizzazione

Accoppiamento unidirezionale Figure di Lissajous Coefficienti: kx=0, ky=0.5, kz=0

Figure di Lissajous Coefficienti: kx=0, ky=2, kz=0

2 2

1 0

0 -1

-1 -2

-2

-3

-4 -4

-3

-2

-1

0 x1

-3 -4

(n) Figura di Lissajous ky =0.5

-3

-2

-1

0 x1

(o) Figura di Lissajous ky =2 Figure di Lissajous Coefficienti: kx=0, ky=5, kz=0

-1

-2

-3

-4 -4

-3

-2

-1

0 x1

(p) Figura di Lissajous ky =5

Marano Barbaro

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Metodi di sincronizzazione

Accoppiamento unidirezionale Strange Attractors Coefficienti: kx=0, ky=0, kz=0.5

Figure di Lissajous Coefficienti: kx=0, ky=0, kz=1.8 6

0.6

0.4

0.2

0.8

-0.2

-0.4

-1

-0.6

-2

-0.8

-1 -4

-3

-2

-1

-4 -4

(q) Attrattore instabile kz =0.5

-3

-2

-1

0 x1

(r) Figura di Lissajous kz =1.8

Figure di Lissajous Coefficienti: kx=0, ky=0, kz=3 4

-2

-4

-6

-8 -4

-3

-2

-1

0 x1

(s) Figura di Lissajous kz =3

Marano Barbaro

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Metodi di sincronizzazione

Metodi di sincronizzazione Decomposizione Pecora & Carroll X-driver Y-driver Z-driver

Sincronizzazione per Accoppiamento Accoppiamento Mutuo Robustezza nei parametri dei due sistemi Accoppiamento unidirezionale

Sincronizzazione Impulsiva Sincronizzazione impulsiva al variare della frequenza Sincronizzazione impulsiva al variare del Duty-Cicle

Sincronizzazione da controllo Lineare Sincronizzazione da controllo Adattativo Sincronizzazione in Noise

Marano Barbaro

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Metodi di sincronizzazione

Sincronizzazione Impulsiva Il metodo di sincronizzazione sperimentato da Pecora & Carroll nel 1990, permette la sincronizzazione del sistema destinatario (Slave), mediante un persistente segnale di controllo da parte del sistema sorgente (Master). Ovviamente, il segnale di sincronizzazione, che rappresenta lâ&#x20AC;&#x2122;analogo del segnale portante nel caso di classiche trasmissioni modulate in frequenza, non trasporta in se informazione utile. Questo porta inevitabilemente ad uno spreco della banda del canale disponibile. Il concetto introdotto per la prima volta da Yang & Chua nel 1997, `e quello di ottenere la sincronizzazione completa, dei due sistemi, mediante un controllo da parte del segnale proveniente dal Driver (Master), che non sia continuo ma impulsivo. Questo permette di ottenere una sincronizzazione completa tra i due sistemi, mediante lâ&#x20AC;&#x2122;applicazione del segnale pilota in slot temporali di breve durata. In questo modo, il contributo di occupazione di banda del canale, da parte del segnale di sincronizzazione, `e notevolmente ridotto e quindi permette una trasmissione del segnale con una efficienza maggiore.

Marano Barbaro

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Metodi di sincronizzazione

Sincronizzazione Impulsiva

In un sistema di comunicazione sicura, basata sul metodo della sincronizzazione impulsiva, il segnale trasmesso consiste in una sequenza di slot temporali. Ogni slot di lunghezza T secondi, contiene una parte di segnale di lunghezza T1 utilizzato per ottenere una sincronizzazione impulsiva, mentre nel restante slot T2 =T -T1 , è contenuto il segnale criptato da trasmettere. In questo paragrafo saranno studiati diversi casi di sincronizzazione impulsiva, mediante lâ&#x20AC;&#x2122;uso del simulatore PSpice. Lo schema di sincronizzazione base Âé un caso particolare della sincronizzazione unidirezionale, in cui stavolta il segnale da parte del Driver giunge al Driven solo negli intevalli di tempo di lunghezza T1 . Si è trovato [3] che esistono dei valori di soglia di frequenza e duty-cycle del segnale si sincronizzazione, sotto il quale la sincronizzazione non si raggiunge. In figura (4) Âé rappresentato lo schema utilizzato.

Marano Barbaro

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Metodi di sincronizzazione

Sincronizzazione Impulsiva

Sincronizzazione impulsiva tra due circuiti di Chua Per f=100 Hz non si sincronizza

9Vdc

Vmeno

V+

OUT +

Vpiu TL082 U6A

0 9Vdc Vmeno

R10

22k

220

(PER=1m; PW=0.5m)

Vc Vss 5

Per f=1000 Hz

non sincronizzano per

Per f=1000 Hz

si sincronizza poco

Per f=1000 Hz

si sincronizza abbastanza

(PER=1m; PW=0.2m)

Vmeno

(PER=1m; PW=0.6m) (PER=1m; PW=0.8m)

Y2 R7

TL082

Vmeno

R16

1 -

TL082

R19 12

R3 4000

220

L2 18.5mH

Vmeno

R6 3000

IC = 1u

2 C9 58n IC = 0.01

C8 6.8n

TL082

Vmeno

Vpiu

V+

5 OUT

1 R5

22k

220

IC = 0.01 R2

2 OUT

U5B

OUT 6

TL082

V-

Vpiu

V+

22k U5A

V+

1895

U2B 5

V-

C1 6.8n

IC = 0.01

Out

CD4066B

V-

OUT

(PER=10m; PW=5m)

si sincronizza poco

Per f=10 kHz si sincronizza (PER=0.1m; PW=0.05m) 2

R15

Vpiu

2 C2 58n

4 Vdd

U1A

L1 18.5m IC = 1u

3 pulse

V3 V1 = -9 V2 = 9 TF = 1n TD = 1n TR = 1n PW = 8800n PER = 55u

Y1 1895

V+

V-

Per f=1000 Hz Vpiu y1o

V-

Vpiu

Vmeno

IC = 0.01 R8

R17

22k

R20 12 R9 4000

220 R18 3000

Marano Barbaro

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Metodi di sincronizzazione

Sincronizzazione Impulsiva

Come Âé possibile vedere in figura (4), sono stati presi in considerazione una coppia di circuiti di Chua, in cui i vari valori dei parametri tra loro risultavano uguali. Il primo circuito, che chiameremo Master, Âé collegato con il secondo (Slave), attraverso un amplificatore operazionale in configurazione a buffer. Questo permette di realizzare un accoppiamento unidirezionale, tra la seconda variabile di stato dei due sistemi, ovvero la tensione al condensatore C1 e la tensione ai capi di C8 . Il blocco in cascata al buffer, Âé uno switch CD4066B, pilotato da un segnale impulsivo.

Marano Barbaro

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Metodi di sincronizzazione

Sincronizzazione Impulsiva ** Profile: "SCHEMATIC1-PWL_SWEEP" Date/Time run: 04/08/08 11:12:55 4.0mA

[ D:\Chua_pulsed\pwl-pspicefiles\schematic1\pwl_sweep.sim ]

2.0mA

0A E

-2.0mA

-4.0mA -10V

-5V

10V

I(V3:+) V_V3 Page 1

Date: April 08, 2008

Time: 12:19:41

Figura: PWL utilizzato per modellizzare il diodo di Chua

Le conduttanze hanno valori G1 =â&#x2C6;&#x2019;0.5832 mS,G2 =â&#x2C6;&#x2019;0.2877 mS e G3 =4.9275 mS, mentre E, il valore di tensione per cui si ha il cambio di pendenza della conduttanza vale 1.28 V. Marano Barbaro

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Metodi di sincronizzazione

Sincronizzazione impulsiva al variare della frequenza

Il primo set di simulazioni sono state effettuate, facendo variare la frequenza del treno di impulsi che pilotano lo switch, da un minimo di 100 Hz a un massimo di 10 kHz. Il duty-cicle lo si é fissato ad un valore pari al 50% per tutto il primo set di simulazioni. Si é riscontrato che, per bassi valori frequenze i due circuiti non presentavano alcuna sincronizzazione. Come é possibile notare dalle Figure (21,22,23), solo negli istanti temporali in cui l’impulso é alto, si ha la sincronizzazione. Successivamente é stato analizzato il caso in cui la frequenza di switching era pari a 1 kHz. In questo caso, osservando il diagramma di Chua, si nota una leggera sincronizzazione del secondo rispetto al primo sistema. Passando ad una frequenza di 10 kHz, si nota che l’andamento della variabile di stato del secondo Oscillatore di Chua segue, perfettamente il segnale del Driver.

Marano Barbaro

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Metodi di sincronizzazione

Sincronizzazione impulsiva al variare della frequenza

Marano Barbaro

Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua

Metodi di sincronizzazione

Sincronizzazione impulsiva al variare della frequenza

2.5

3 2

2 1 1.5

0 -1

-2 0.5 -3 0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

10 -0.5

-1

-1.5

-5

-2

-2.5 -2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1.5

2.5

(a) Diagramma di Chua per impulsi con frequenza f=100 Hz

-10 0.015

(b) Andamento temporale di Y1 e Y2 (in alto) e forma dâ&#x20AC;&#x2122;onda del segnale impulsivo

Figura: Vari livelli di sincronizzazione per valori di f =100 Hz. SINCRONIZZAZIONE IMPULSIVA.

Marano Barbaro

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Metodi di sincronizzazione

Sincronizzazione impulsiva al variare della frequenza

2.5

3 2

2 1 1.5

0 -1

-2 0.5 -3 0.0555

0.056

0.0565

0.057

0.0575

0.058

0.0585

0.059

0.0595

0.056

0.0565

0.057

0.0575

0.058

0.0585

0.059

0.0595

10 -0.5

-1

-1.5

-5

-2

-2.5 -2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1.5

2.5

(a) f=1 kHz

-10 0.0555

(b) f=1 kHz

Figura: Vari livelli di sincronizzazione per valori di f =1 kHz. SINCRONIZZAZIONE IMPULSIVA.

Marano Barbaro

Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua

Metodi di sincronizzazione

Sincronizzazione impulsiva al variare della frequenza

2.5

3 2

2 1 1.5

0 -1

-2 0.5 -3 0.014

0.0145

0.015

0.0155

0.016

0.0165

0.017

0.0145

0.015

0.0155

0.016

0.0165

0.017

10 -0.5

-1

-1.5

-5

-2

-2.5 -2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1.5

2.5

(a) f=10 kHz

-10 0.014

(b) f=10 kHz

Figura: Vari livelli di sincronizzazione per valori di f =10 kHz. SINCRONIZZAZIONE IMPULSIVA.

Marano Barbaro

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Metodi di sincronizzazione

Sincronizzazione impulsiva al variare del Duty-Cicle

In questo secondo caso, tenendo sempre presente lo schema di Figura (4), sono stati analizzati gli andamenti della variabile di stato Y2 dello Slave, al variare del Duty-Cycle Î´, mantenendo fissata la frequenza a 1 kHz. La prima simulazione, assumendo un Î´ pari al 20%, ha rivelato la completa assenza di sincronizzazione tra i due (Figura 24). Nel caso in cui il valore di Î´ era superiore al 60%, si otteneva una sincronizazione perfetta. Una facile interpretazione scaturisce dal fatto che un Duty-Cycle troppo basso comporta uno slot temporale troppo piccolo affinch`e il sistema Slave possa sincronizzarsi con il sistema Master.

Marano Barbaro

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Metodi di sincronizzazione

Sincronizzazione impulsiva al variare del Duty-Cicle

Marano Barbaro

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Metodi di sincronizzazione

Sincronizzazione impulsiva al variare del Duty-Cicle

2.5

3 2

2 1 1.5

0 -1

-2 0.5 -3 5.5

6.5

7.5

8.5

9 -3

x 10 0

10 -0.5

-1

-1.5

-5

-2

-2.5 -2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1.5

2.5

-10 5.5

6.5

7.5

8.5

9 -3

x 10

(a) Diagramma di Chua per δ=0.2 Hz

(b) Andamento temporale di Y1 e Y2 (in alto) e forma d’onda del segnale impulsivo

Figura: Vari livelli di sincronizzazione per valori di δ=0.2. SINCRONIZZAZIONE IMPULSIVA.

Marano Barbaro

Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua

Metodi di sincronizzazione

Sincronizzazione impulsiva al variare del Duty-Cicle

2.5

3 2

2 1 1.5

0 -1

-2 0.5 -3 5.5

6.5

7.5

8.5

9 -3

x 10 0

10 -0.5

-1

-1.5

-2

-5

-2.5 -2.5

-10 5.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1.5

2.5

6.5

7.5

8.5

9 -3

x 10

(a) δ=0.6

(b) δ=0.6

Figura: Vari livelli di sincronizzazione per valori di δ=0.6. SINCRONIZZAZIONE IMPULSIVA.

Marano Barbaro

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Metodi di sincronizzazione

Sincronizzazione impulsiva al variare del Duty-Cicle

2.5

3 2

2 1 1.5

0 -1

-2 0.5 -3 5.5

6.5

7.5

8.5

9 -3

x 10 0

10 -0.5

-1

-1.5

-2

-5

-2.5 -2.5

-10 5.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1.5

2.5

6.5

7.5

8.5

9 -3

x 10

(a) δ=0.8

(b) δ=0.8

Figura: Vari livelli di sincronizzazione per valori di δ=0.8. SINCRONIZZAZIONE IMPULSIVA.

Marano Barbaro

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Metodi di sincronizzazione

Metodi di sincronizzazione Decomposizione Pecora & Carroll X-driver Y-driver Z-driver

Sincronizzazione per Accoppiamento Accoppiamento Mutuo Robustezza nei parametri dei due sistemi Accoppiamento unidirezionale

Sincronizzazione Impulsiva Sincronizzazione impulsiva al variare della frequenza Sincronizzazione impulsiva al variare del Duty-Cicle

Sincronizzazione da controllo Lineare Sincronizzazione da controllo Adattativo Sincronizzazione in Noise

Marano Barbaro

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Metodi di sincronizzazione

Sincronizzazione da controllo Lineare Molti schemi di sincronizzazione Master-Slave trattati in letteratura, utilizzano come segnale di controllo, una variabile del sistema master. Il segnale di controllo serve a sincronizzare il sistema Slave nel senso che, come spiegato precedentemente, le traiettorie dei due sistemi, asintoticamente tendono ad essere uguali. La stabilit` a della sincronizzazione `e dimostrata numericamente tramite il calcolo degli esponenti di Lyapunov condizionali del sottosistema [1] o tramite la ricerca di una funzione di Lyapunov [4].

Figura: Schema di principio utilizzato per il controllo lineare.

Marano Barbaro

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Metodi di sincronizzazione

Sincronizzazione da controllo Lineare

Questo paragrafo, invece, si riferisce a un lavoro di Wang et. al del 1998 [5], in cui il segnale di controllo lineare retroazionato `e prelevato dalla terza variabile di stato, e mediante dei coefficienti k `e collegato a tutte tre le variabili del sistema Slave. Nello spazio delle fasi questo significa:   x˙ 1 = α(y1 − x1 − f (x1 )) (28) MASTER y˙ 1 = x1 − y1 + z1   z˙ 1 = −βy1   x˙ 2 = α(y2 − x2 − f (x2 )) + k1 (z1 − z2 ) (29) SLAVE y˙ 2 = x2 − y2 + z2 + k2 (z1 − z2 )   z˙ 2 = −βy2 − γz2 + k3 (z1 − z2 )

Marano Barbaro

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Metodi di sincronizzazione

Sincronizzazione da controllo Lineare Si dimostra il seguente Teorema: Teorema di Wang Teorema: In riferimento ai sistemi (28) e (29), supponiamo che il vettore di retroazione k=[k1 , k2 , k3 ]T è scelto come segue:      −1 − βγ − 1+γ − β1 3θ k1 β k = k2  =  − βγ (30) − β1 0  3θ2  k3 θ3 1 0 0 Allora, se θ è grande abbastanza, allora il sistema Slave si sincronizzar` a globalmente con il sistema Master per qualunque valore di condizioni iniziali del secondo sistema. Nella pratica si ottiene sincronizzazione asintotica per valori di θ ≥ 1 anche se per valori di θ ≈ 0.5 si ottiene un errore asintotico costante piccolo. Per valori grandi di θ, il tempo di sincronizzazione è molto piccolo (dell’ordine di 10−4 secondi) Marano Barbaro

Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua

Metodi di sincronizzazione

Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua

Metodi di sincronizzazione

Sincronizzazione da controllo Lineare 9

Figura di Lissajous - Z-driven

x 10

Figura di Lissajous - Z-driven 6

-1

-2

-4

-3

-6

-4 -4

-3

-2

-1

0 x1

-8 -4

(a) Figura di Lissajous θ = 0.0

-3

-2

-1

0 x1

(b) Figura di Lissajous θ = 0.1

Figura di Lissajous - Z-driven

0 2

0 -5

-2

-4 -10

-6

-8 -4

-3

-2

-1

0 x1

-15 -4

-3

-2

-1

0 x1

(d) Figura di Lissajous θ = 5.0 Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua

Metodi di sincronizzazione

Metodi di sincronizzazione Decomposizione Pecora & Carroll X-driver Y-driver Z-driver

Sincronizzazione per Accoppiamento Accoppiamento Mutuo Robustezza nei parametri dei due sistemi Accoppiamento unidirezionale

Sincronizzazione Impulsiva Sincronizzazione impulsiva al variare della frequenza Sincronizzazione impulsiva al variare del Duty-Cicle

Sincronizzazione da controllo Lineare Sincronizzazione da controllo Adattativo Sincronizzazione in Noise

Marano Barbaro

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Metodi di sincronizzazione

Sincronizzazione da controllo Adattativo Un altro approccio utilizzato per ottenere sincronizzazione tra due sistemi operanti in regime caotico è quello che fa uso del controllo retroazionato. Ovviamente molti approcci tra cui quelli basati sul controllo lineare convenzionale oppure sul controllo nonlineare avanzato, sono stati ampiamente studiati da [1] e [2]. In molti di questi lavori esistenti, è essenziale la conoscenza dei parametri presenti nel modello. Nella pratica per` o questo non avviene mai a causa della incertezza dovuta alle non idealit` a presenti, quindi la progettazione di un controllore adattativo per il controllo e la sincronizzazione dei sistemi caotici è molto importante.

Figura: Schema di principio del controllo adattativo di Naseh. Marano Barbaro

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Metodi di sincronizzazione

Sincronizzazione da controllo adattativo

L’approccio descritto per progettare questo controllore `e stato sviluppato da Naseh e Haery nel 2005 [3]. Esso viene applicato per ottenere la sincronizzazione tra due circuiti di Chua, descritti nello spazio di stato dalle seguenti:  x˙ = α(y − x − f (x))  y˙ = x − y + z   z˙ = −βy dove, f (x) = bx + 0.5(a − b)(|x + 1| − |x − 1|)

(31)

In quest’ultima espressione, a = −0.72 e b = −1.13 rappresentano le pendenze della non linerit` a trattate nel primo capitolo. I valori di α = 9.35, β = 14.79 e γ = 0, sono tali che il sistema presenta un comportamento caotico.

Marano Barbaro

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Metodi di sincronizzazione

Sincronizzazione da controllo Adattativo

Consideriamo adesso due sistemi tipo (3) in cui uno viene chiamato Master e l’altro Slave. Il sistema Slave, `e uguale al Master, ma presenta degli ingressi u1 , u2 e u3 ovvero i controllori adattativi da determinare.   x˙ 1 = α(y1 − x1 − f (x1 )) MASTER y˙ 1 = x1 − y1 + z1 (32)   z˙ 1 = −βy1   x˙ 2 = α(y2 − x2 − f (x2 )) + u1 (33) SLAVE y˙ 2 = x2 − y2 + z2 + u2   z˙ 2 = −βy2 + u3

Marano Barbaro

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Metodi di sincronizzazione

Sincronizzazione da controllo Adattativo

Consideriamo adesso due sistemi tipo (3) in cui uno viene chiamato Master e l’altro Slave. Il sistema Slave, `e uguale al Master, ma presenta degli ingressi u1 , u2 e u3 ovvero i controllori adattativi da determinare.   x˙ 1 = α(y1 − x1 − f (x1 )) (32) MASTER y˙ 1 = x1 − y1 + z1   z˙ 1 = −βy1   x˙ 2 = α(y2 − x2 − f (x2 )) + u1 (33) SLAVE y˙ 2 = x2 − y2 + z2 + u2   z˙ 2 = −βy2 + u3 adattativo.m

Marano Barbaro

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Metodi di sincronizzazione

Sincronizzazione da controllo Adattativo

Definiamo i segnali errori come:   ex ey   ez

= x1 − x2 = y1 − y2 = z1 − z2

(34)

Quindi il sistema dinamico errore sar` a dato da:   e˙ x = αey − αex − α[f (x1 ) − f (x2 )] − u1 e˙ y = ex − ey + ez − u2   e˙ z = −βey − u3

Marano Barbaro

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Metodi di sincronizzazione

Sincronizzazione da controllo Adattativo Considerando i sistemi dinamici Master, Slave e il sistema Errore si dimostra il seguente teorema: Teorema di Haery & Naseh Teorema: Il sistema Slave (33) pu` o essere sincronizzato con il sistema Master (32) usando la seguente legge di controllo u2 = u3 = 0 e u1 = kex , in cui k˙ = Aex2 , A > 0. La dimostrazione del suddetto teorema e stata omessa ma pu` o essere trovata in [3]. Sostanzialmente si trova che per questi valori di A e della legge di controllo utilizzata, la funzione di Lyapunov candidata: ˜ 2 V (e) = βex2 + αβey2 + βez2 − ney ez + D(k − k) `e definita positiva, mentre la dV /dt < 0 nello spazio descritto dalle variabili errore (con D > 0, k˜ e n opportuni parametri).

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Metodi di sincronizzazione

Sincronizzazione da controllo Adattativo Sfruttando quindi i concetti di stabilit` a asintotica del sistema errore, descritti nella teoria di Lyapunov si ottiene la sincronizzazione richiesta. Nelle simulazioni effettuate sono stati analizzati i casi in cui A assumeva i valori 0, 5 e 1000. Come affermato dal teorema di cui sopra, per A = 0, non si ha sincronizzazione mentre per valori di A > 0, le traiettorie del sistema Slave inseguono quelle del sistema Master. Incrementando il valore di A si ottiene una sincronizzazione in un tempo minore. Figura di Lissajous. x1 vs x2 A = 0 (1/4)

Dinamica degli Errori e di k. A = 0 (1/4)

2.5

-5

1.5 0

100

120

140

160

180

200

100

120

140

160

180

200

100 tempo

120

140

160

180

200

100 tempo

120

140

160

180

200

1 1

0.5 0

0.5

-1

-0.5

0 -5 -10

-1

-1.5

0.5 0

-2

-0.5 -1

(a) Errore Variabili A = 0

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-2.5 -2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0 x1

0.5

1.5

2.5

(b) Figura di Lissajous A = 0

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Metodi di sincronizzazione

Sincronizzazione da controllo Adattativo Figura di Lissajous. x1 vs x2 A = 5 (3/4)

Dinamica degli Errori e di k. A = 5 (3/4) 2

2.5

1 2 0 -1

1.5 0

100

120

140

160

180

200

100

120

140

160

180

200

100 tempo

120

140

160

180

200

100 tempo

120

140

160

180

200

1 1

0.5 0

0.5

-1

-0.5

0 -2 -4

-1

-1.5

10 k

-2 5 0

-2.5 -2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0 x1

0.5

1.5

2.5

(d) Figura di Lissajous A = 5 Figura di Lissajous. x1 vs x2 A = 1000 (4/4)

Dinamica degli Errori e di k. A = 1000 (4/4) 0.6

2.5

0.4 2

0.2 0 -0.2

1.5 0

100

120

140

160

180

200

100

120

140

160

180

200

0.4 1

0.2 0

0.5

-0.4

-0.2

-0.5

0 -1 -2

-1 0

100 tempo

120

140

160

180

200

100 tempo

120

140

160

180

200

-1.5

30 20

-2

10 0

(e) Errore Variabili A = 1000

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-2.5 -2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0 x1

0.5

1.5

2.5

(f) Figura di Lissajous A = 1000

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Metodi di sincronizzazione

Metodi di sincronizzazione Decomposizione Pecora & Carroll X-driver Y-driver Z-driver

Sincronizzazione per Accoppiamento Accoppiamento Mutuo Robustezza nei parametri dei due sistemi Accoppiamento unidirezionale

Sincronizzazione Impulsiva Sincronizzazione impulsiva al variare della frequenza Sincronizzazione impulsiva al variare del Duty-Cicle

Sincronizzazione da controllo Lineare Sincronizzazione da controllo Adattativo Sincronizzazione in Noise

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Metodi di sincronizzazione

Effetto Benefico del Rumore

Si è osservato che due circuiti di Chua operanti in regime caotico, se sottoposti ad un medesimo segnale di rumore, presentano delle peculiarit` a interessanti. In particolare si è visto che in questo caso il rumore svolge una funzione sincronizzante tra i due sistemi. Poichè questo effetto è pur sempre piccolo, stavolta non verr` a analizzato mediante lâ&#x20AC;&#x2122;uso delle figure di Lissajous, ma tramite la distribuzione dellâ&#x20AC;&#x2122;errore tra le due variabili da sincronizzare. Con riferimento alla figura (29) si è osservato tramite il simulatore PSpice che, quando i due sistemi sono completamente disaccoppiati le variabili sono visibilmente incorrelate (30). Diversamente accade quando entrambi i sistemi sono connessi ad una medesima sorgente di rumore.

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Metodi di sincronizzazione

Effetto Benefico del Rumore

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analisirumore.m

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Metodi di sincronizzazione

Effetto Benefico del Rumore

Due circuiti di Chua sottoposti a rumore Vpiu

V-

Vmeno

7 100000

TL082

9Vdc

R22

OUT 100000

TL082

6 c:\pwlFile.in

V+

5 R23

OUT

Vpiu

V-

U6B

5 R21 1895

Vpiu

V+

U7B

V1 noise V3

9Vdc

Vmeno Vmeno

IC = 1u

IC = 0.01

Vmeno

TL082

R3 4000

22k

220

OUT L2 18.5mH

Vmeno

1 R2

R6 3000

IC = 1u

2 C9 58n IC = 0.01

C8 6.8n

TL082

Vmeno

Vpiu

V+

2 7

IC = 0.01

R19 12

220 U5B

OUT 6

TL082

V-

OUT

Vpiu

V+

1 6

V+

R16

22k U5A

TL082

2 C1 6.8n

V-

OUT

1895

Vpiu

V-

2 C2 58n

U2B

R7 Y2

220

Vpiu

V+

L1 18.5m

R15 X2

22k

U1A

V-

R1 Y1

1895

R10 X1

Vmeno

IC = 0.01 R8

R17

22k

R20 12 R9 4000

220 R18 3000

Figura: Due circuiti di Chua sottoposti a rumore. Marano Barbaro

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Metodi di sincronizzazione

Effetto Benefico del Rumore

Quando entrambi i sistemi sono connessi ad una medesima sorgente di rumore, analizzando l’andamento della distribuzione di errore, si osserva una maggiore probabilit` a di errore attorno allo zero rispetto al caso in cui il segnale errore non è presente. In questo caso infatti si osservano dei picchi molto pi` u sostenuti nelle zone di +3 volts e −3 volts. Da un altro punto di vista questo si pu` o esprimere dicendo che, nel caso in cui è presente una sorgente di errore in entrambi i circuiti, la permanenza in uno dei due lobi dell’attrattore caotico è pi` u lunga l’andamento delle variabili di stato sono pi` u correlate, mentre nel caso in cui il rumore non è presente la permanenza nei due lobi dell’attrattore è molto pi` u breve e le due dinamiche risultano essere incorrelate.

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Metodi di sincronizzazione

Effetto Benefico del Rumore

Dinamica Y1 e Y2 senza rumore

Dinamica Y1 e Y2 con rumore

3 Y1 Y2

volts

-1

-2

-3 50

Y1 Y2

75 ms

-3 50

100

50 40 30 20

75 ms

100

50 40 30 20

10 0 -5

Distribuzione errore tra Y1 e Y2 80

sampled points

Distribuzione errore tra Y1 e Y2 80

10 -4

-3

-2

-1

0 volts

(a) Variabili e Distribuzione errore senza rumore

0 -5

-4

-3

-2

-1

0 volts

(b) Variabili e Distribuzione errore in presenza di rumore

Figura: Confronto distribuzione errore e andamenti variabili di stato.

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Parte IV Bibliografia

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Bibliografia Pecora L.M., Carroll T.L. Synchronisation in chaotic systems Phys. Rev. Lett. 1990;64(8):821-4 Wolf A., Swift J., Vastano A., Swinney L. Determining Lyapunov exponents from a Time Series Physica 16D. 1985;16:285-317 T. Y. Li and J. A. Yorke, Period three implies chaos, Amer. Math. Monthly 82, 985-992, 1975. Edward Norton Lorenz. Deterministic nonperiodic flow. Journal of Atmospheric Sciences. Vol.20 : 130-141 V. I. Oseledec, A multiplicative ergodic theorem. Lyapunov characteristic numbers for dynamical systems, Trans. Moscow Math. Soc. 19 (1968) 197. L. O. Chua, L. Kocarev, K. Eckert, M.Itoh “Experimental Chaos Synchronization in Chua’s Circuits”, Int. J.Bifurcation Chaos, vol.2, pp 705-708, (1992). Marano Barbaro

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Bibliografia

B.R .Andrievskii, A.L. Fradkov, “Control of chaos: methods and applications”. Automation and Remote Control, vol. 65, no. 4, 2004, pp. 505-533. S. Boccaletti, C. Grebogi, Y.-C. Lai, H. Mancini, and D. Maza, “The Control of Chaos: Theory and Application”, Physics Reports, vol. 329, 2000, pp. 103-197. M. R. Naseh, M. Haery “An Adaptative Approach to Synchronization of Two Chua’s Circuit’s”, PWaset, vol. 6, 2005, pp. 134-137. C.W. Wu, L.O. Chua,“A unified framework for synchronization and control of dynamical system.” Int. J. Bifurcation and Chaos 4(4),979-998, 1994. X.F. Wang, Z.Q Wang,“Synchronization of Chua’s oscillators with the third state as the driving signal” Int. J. Bifurcation and Chaos 8(7), 1599-1603, 1998.

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Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua

Bibliografia M.P. Kennedy, “Robust OP Amp realization of Chua’s circuit”, Frequenz, vol 46, no. 3-4, pp. 66-80, 1992. T.Matsumoto, L.O. Chua, “The Double Scroll”, IEEE Transaction on circuits and systems. vol 32, no.8, 1985. L.Fortuna, M.Frasca, A.Rizzo, “Experimental pulse synchronisation of two chaotic circuits”, Chaos, Solitons and Fractals, Vol.17, pp.355-361, 2003. M.Itoh, T.Yang, L.O.Chua, “Experimental study of impulsive synchronisation of chaotic and Hyperchaotic Circuits”, International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol 9, no.7, pp.1393-1424, 1999. A.I.Panas, T.Yang, L.O.Chua, “Experimental result of impulsive synchronisation between two Chua’s Circuits”, International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol 8, no.3, pp.639-644, 1998. A. Nayfeh and Balanchandra, “Applied Nonlinear Dynamics”, John Wiley, New York, (1994). Marano Barbaro

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Bibliografia L.O.Chua, L.Pivka, C.W. Wu “A Universal Circuit For Studyng Chaotic Phenomena”, Philosophical Transactions: Physical Sciences and Engineering, Vol 353,no.1701, pp.65-85, 1995. G.Q.Zhong, K.T.Ko, K.F.Man “Robustness of synchronization in coupled Chua’s Circuits”, IEEE, pp.436-440, 1998. L.O.Chua, T.S.Parker “Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems”, Springer-Verlag, New York, 1989. A. Pikovsky, M.Rosenblum, J.Kurths “Synchronization - A Universal Concept in Nonlinear Science”, Cambridge, 2001. H.O.Peitgen, H.J¨ urgens, D.Saupe, “Chaos and Fractals - New Frontiers of Science”, Springer - 2nd. Ed. - 2004. S.Wiggins, “Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos”, Springer-Verlag - 1990. S.H.Strogatz, “Nonlinear dynamics and chaos”, Perseus Books - 1994. Marano Barbaro

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