Syncronization in Chua's Caotic Systems by Barbaro Marano

UniversitĂ degli studi di Catania FacoltĂ di Ingegneria Tesina del corso

Sistemi Complessi e Adattativi

Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua

Professore

Studente

Prof. Luigi Fortuna

Marano Barbaro

Anno Accademico 2007/2008

Indice 1 Introduzione

1.1

Sistemi Complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Sistemi Caotici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3

Il circuito di Chua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Metodi per quantificare il Caos

2.0.1

Gli esponenti di Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.0.2

Esponente di Lyapunov in una mappa discreta . . . . . .

2.0.3

Esponenti di Lyapunov per Sistemi dinamici Continui. . .

2.0.4

Algoritmo con ortonormalizzazione di Gram-Schmidt . . .

2.0.5

Divergenza tra due traiettorie . . . . . . . . . . . . . . . .

2.0.6

La dimensione frattale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Sincronizzazione di sistemi caotici

3.1

Concetto di sincronizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2

Sincronizzazione Pecora & Carroll. . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.1

Decomposizione x-driver . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.2

Decomposizione y-driver . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.3

Decomposizione z-driver . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sincronizzazione per accoppiamento . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.1

Accoppiamento mutuo tra due sistemi. . . . . . . . . . . .

3.3.2

Robustezza della sincronizzazione tra due circuiti mutua-

3.3

mente accoppiati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Accoppiamento unidirezionale tra due sistemi. . . . . . . .

Sincronizzazione impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.1

Sincronizzazione impulsiva al variare della frequenza . . .

3.4.2

Sincronizzazione impulsiva variando il Duty - Cycle

. . .

3.5

Sincronizzazione da Controllo Lineare . . . . . . . . . . . . . . .

3.6

Sincronizzazione da Controllo Adattativo . . . . . . . . . . . . . .

3.3.3 3.4

3.7

Effetti benefici del rumore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bibliografia

Elenco delle Figure

Elenco delle Tabelle

Capitolo 1

Introduzione 1.1

Sistemi Complessi

Il termine Sistema Complesso, si riferisce a parti di sistemi accoppiati in maniera non lineare, fino a formare una rete. Dalla cooperazione tra singoli elementi di questi sistemi, e grazie alla dinamica nonlineare, Emerge un comportamento complessivo che non è la semplice somma dei comportamenti individuali, ma che presenta delle caratteristiche molto interessanti. Dal post-illuminismo fino a qualche anno fa, l’approccio utilizzato allo studio di un problema era caratterizzato dalla suddivisione dello stesso in piccole sottoparti e dalla comprensione delle stesse. Questo metodo permetteva di risalire al comportamento del sistema complessivo, dalla sovrapposizione delle dinamiche dei sottosistemi. Già dall’avvento della Meccanica quantistica però, si capì che lo studio di un sistema reale naturale, non poteva essere sempre effettuato focalizzando gli aspetti microscopici, per poi risalire agli effetti Macroscopici. Con l’avvento dello studio dei Sistemi Complessi, le dinamiche degli oggetti in esame furono per la prima volta assimilate come Caratteristica Emergente del sistema, nella sua totale integrità.

1.2

Sistemi Caotici

Molte volte si indica con il termine Sistemi Complessi, quelli che sono i Sistemi Caotici. Comunque questo non è corretto, infatti un sistema caotico, in contrasto con i sistemi complessi, deve avere delle proprie caratteristiche che molte volte è difficile verificare. La parola Caos, è stata introdotta per la prima volta da Yorke nel 1975 [3], molti anni dopo la prima pubblicazione di Lorenz [4]. Sebbene il modello di Lorenz è considerato uno dei primi modelli caotici, questo tipo di comportamento fu incontrato dal Poincarè nel 1887. In quel periodo il 5

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

re di Svezia organizzò una competizione matematica con lo scopo di verificare la stabilità del sistema solare, una variazione del problema a tre corpi. Poincarè dimostrò che l’evoluzione di questi sistemi è spesso caotica, nel senso che una piccola perturbazione nelle posizioni iniziali dei corpi, portava ad una grande variazione negli stati successivi. Comunque, fu Lorenz (1917-2008), che per la prima volta focalizza a fondo il problema della sensibilità alle condizioni iniziali, a tal punto che nel 1972, dopo una relazione accademica discute del fatto che un battito di ali di una farfalla può condizionare, a seguito di dinamiche caotiche ma idealmente prevedibili (Flusso aperiodico deterministico [4]), un uragano a molti chilometri di distanza. E’ stato dimostrato da Poincarè e Bendixon [6], che per sistemi dinamici tempo continuo autonomi, affinchè si possa generare un comportamento caotico, il modello deve essere di ordine superiore a tre. Mentre per sistemi non autonomi continui, è possibile ottenere dinamiche caotiche anche con modelli del secondo ordine. Nei sistemi discreti invece, già con un modello del primo ordine che presenta una nonlinearità si può ottenere il caos e un esempio è la nota mappa logistica (R.May 1976).

1.3

Il circuito di Chua

Era l’autunno del 1983, quando Leon Chua, professore ordinario nel “Dipartimento di Ingegneria Elettrica e delle Scienze Informatiche” nell’Università della California, diede vita al famoso circuito che porta il suo nome. Successivamente, il professore propose a T.Matsumoto, un suo assistente, di studiarne a fondo le caratteristiche. Quest’ultimo dopo aver effettuato delle simulazioni al calcolatore ne verificò l’esistenza di un comportamento caotico. Il problema pratico, a questo punto, era progettare la nonlinearità richiesta affinchè il circuito potesse essere realizzato. É proprio con un telefono dell’ospedale di Tokyo che L.Chua suggerisce a K.Matsumoto di modificare il circuito di Rosenthal affinchè presentasse le caratteristiche richieste. In questo modo si potè realizzare la nonlinearità a tratti richiesta mediante l’uso di due soli transistor. Solo nell’agosto 1985, dopo la pubblicazione di K.Matsumoto e L.Chua [14] la comunità scientifica é al corrente dell’esistenza di un circuito che, data la sua semplicità progettuale e la sua robustezza, diventerà il paradigma del Caos. Un contributo sostanziale alla già tremenda diffusione del circuito, è stata data da M.P.Kennedy nel 1992 [13], il quale implementò il cosidetto Diodo di Chua mediante l’utilizzo di due amplificatori operazionali e sei resistori. In questo modo il circuito di Chua poteva essere realizzato in qualunque laboratorio con un costo inferiore ai 30 dollari. La pregevolezza del circuito però non risiede solo nella robustezza e nella facilità realizzativa, ma stà pure nel fatto che al variare dei parametri contenuti nel

1.3. IL CIRCUITO DI CHUA

modello, si osservano una molteplicità di comportamenti, passando dal comportamento caotico alla presenza di cicli limite fino ad arrivare ai punti di equilibrio stabili. Il circuito di Chua è raffigurato in figura (1.1): il resistore alla destra è il componente che presenta la non linearita raffigurata in (1.2). Scrivendo le equazioni di Kirchhoff ai nodi si ottengono tre equazioni differenziali che ne descrivono il comportamento nel tempo: ∂vC1 vC − vC 1 = 2 − g(vC1 ) ∂t R ∂vC2 vC − vC 2 C2 = 1 + iL ∂t R ∂iL L = −vC2 − iL Rp ∂t C1

dove vC1 , vC2 e iL , rappresentano la tensione sul condensatore C1 , la tensione sul condensatore C2 e la corrente sull’induttore L, rispettivamente, g(vC1 ) è la nonlinearità raffigurata in (1.2): 1 g(vC1 ) = Gb vC1 + (Ga − Gb )[|vC1 + E| − |vC1 − E|] 2 Per una più comoda trattazione numerica, tramite un cambio di variabili è possibile ottenere il modello adimensionale: ∂x = kα(x − y + f (x)) ∂τ ∂y = k(x − y + z) ∂τ ∂z = k(−βy − γz) ∂τ 1 f (x) = bx + (a − b)|x + 1| − |x − 1| 2 dove: x= y=

v1 E v2 E

C2 C1 2 β = R LC2 RR C γ = Lp 2

α=

R z = i3 E

( k=

a = RGa b = RGb τ=

if RC2 > 0;

−1

if RC2 < 0.

t |RC2 |

Nella pratica però vista la robustezza e la semplicità realizzativa, il diodo di Chua, viene implementato con il circuito di Kennedy. La figura (1.3) rappresenta il circuito completo utilizzato sovente nei laboratori. Come detto precedentemente, al variare dei parametri α, β e γ, si ottengono una molteplicità

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

Figura 1.1: Circuito di Chua

Figura 1.2: NonlinearitĂ presente nel modello.

3 resistance of size –R1, and the diodes provide nonlinearity.4 The left side of the circuit acts as an

1.3. IL CIRCUITO DI CHUA

RLC circuit, which would simply produce damped oscillations without the right-hand side.

Figure 1: Cross’s Version of Chua’s Circuit5

Figura 1.3: Circuito di Chua con nonlinearità Kennedy (blocco OP Amp sulla To derive the three differential equations for the system, we choose three variables that destra). change over time: V1, the voltage across capacitor C1; V2, the voltage across capacitor C2; and

di comportamenti interessanti. Si è visto che per valori:

I, the current through the inductor. We apply Kirchhoff’s first law—which states that the current entering a node equals the current leaving aαnode—to = 10; the nodes above C1 and C2 in the diagram.

β = 15; Next we apply Kirchhoff’s second law—which states that the sum of the voltage around a loop γ = 0.038; equals zero—to the loop containing the inductor and C2. Thus, Kirchhoff’s laws give the following equations for the circuit:

a = −1.27; b = −0.68;

C1(dV1/dt) = (V2-V1)/R – g(V1)

C2(dV2/dt) = -(V2-V1)/R +caotico. I il circuito presenta un comportamento L(dI/dt) = -rI – V2 4 5

Cross. http://www.cmp.caltech.edu/~mcc/chaos_new/Chua_docs/works.html. Grafico di Biforcazione This diagram comes from Cross’s website. http://www.cmp.caltech.edu/~mcc/chaos_new/Chua.html.

Un sistema che presenta comportamento caotico è caratterizzato da proprietà molto interessanti: una tra queste può essere compresa osservando il cosidetto Grafico di Biforcazione, rappresentato in figura (1.4). Come è possibile notare, al variare di un parametro e fissando gli altri opportunamente, esistono dei valori di tale parametro in cui il sistema presenta delle periodicità 1,2,4,8,16,32, etc. In particolare il grafico è stato ottenuto dall’intersezione della variabile y con il segmento [x = 0 : 1.5, y = 0, z = 0]. Per valori di α ≈ 8.27, si ha un solo punto nell’intersezione, quindi si osserva una periodicità unitaria (1.5a). Aumentando il valore di α si riescono ad ottenere le varie periodicità per poi passare al comportamento caotico in cui il segnale, per definizione, non presenta più alcuna periodicità. Nella tabella (1.1), sono riassunti i valori di

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

Figura 1.4: Grafico di biforcazione per il circuito di Chua, in cui alfa varia da 8.8 a 9.25 e beta e fissato a 16. Periodicità 1 2 4 8 16

Alfa 8.27920 8.87920 9.10502 9.15900 9.16990

no. Feigenbaum

4.1834 4.9523

Tabella 1.1: Valori di α per cui si osserva periodicità. α caratteristici per cui si osservano le suddette periodicità, mentre nelle figure (1.5a-e) sono rappresentati i vari cicli limite che si ottengono. Nella terza colonna è rappresentato il cosidetto Numero di Feigenbaum. Questo numero è stato scoperto da Mitchell Feigenbaum nel 1975 e rappresenta una costante universale ritrovata in molti sistemi che presentano comportamenti caotici. In particolare esso è dato dal rapporto tra le differenze dei valori di α che determinano le varie periodicità e viene espresso dalla seguente: δi = (αi−1 − αi−2 )/(αi − αi−1 ) In particolare si trova che questi numeri trovati sono uguali e asintoticamente tendono a 4.66901.

1.3. IL CIRCUITO DI CHUA

Periodicità = 1, α = 8.2792, (1/5)

Periodicità = 2, α = 8.8792, (2/5)

0.4

0.3

0.2

0.1

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4 0.4

0.6

0.8

1.2

1.4

1.6

1.8

2.2

-0.4 0.2

2.4

(a) Periodicità 1, α = 8.27920

0.4

0.6

0.8

1.2

1.4

1.6

1.8

2.2

(b) Periodicità 2, α = 8.87920

Periodicità = 4, α = 9.105, (3/5)

Periodicità = 8, α = 9.159, (4/5)

0.4

0.3

0.2

0.1

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

-0.3

0.5

1.5

-0.4

2.5

0.5

1.5

2.5

(d) Periodicità 8, α = 9.15900 Periodicità = 16, α = 9.1699, (5/5)

0.4

0.3

0.2

0.1

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4 -0.5

0.5

1.5

2.5

(e) Periodicità 16, α = 9.16990

Figura 1.5: Traiettorie nello spazio delle fasi di x e y per vari valori di α.

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

Capitolo 2

Metodi per quantificare il Caos 2.0.1

Gli esponenti di Lyapunov

Negli anni passati, approcci differenti sono stati applicati allo studio dei sistemi dinamici. Guckenheimer e Holmes nel 1983, svilupparono una teoria che si basava su concetti geometrici mentre, Eckmann e Ruelle nel 1985 hanno caratterizzato il comportamento dei sistemi dinamici con un approccio statistico. Quest’ultimo approccio, basato sulla teoria ergodica, cerca di caratterizzare il comportamento di un sistema dinamico mediante concetti come la dimensione, l’entropia, e gli esponenti di Lyapunov caratteristici. La dimensione indica il numero di gradi di libertà eccitati dal sistema e il grado di complessità dell’attrattore, mentre l’entropia di Kolmogorov-Sinai indica il grado di produzione di

Figura 2.1: Propagazione di una perturbazione iniziale e esponenti di Lyapunov. 13

CAPITOLO 2. METODI PER QUANTIFICARE IL CAOS

informazione nel sistema nellâ&#x20AC;&#x2122;unitĂ di tempo ed Ă¨ definita come: X

Îťi

(2.1)

Îťi >0

Dove i Îťi sono gli esponenti di Lyapunov positivi trattati nel proseguio. Gli esponenti di Lyapunov giocano un ruolo essenziale nella descrizione del comportamento di un sistema dinamico, infatti, essi misurano il tasso medio divergenza o di convergenza di traiettorie a partire da condizioni iniziali molto vicine tra loro. La trattazione analitica che permette di ricavare le espressioni degli esponenti di Lyapunov per un sistema, verrĂ esposta con due approcci differenti. Il primo metodo, molto intuitivo, verrĂ applicato a una mappa discreta unidimensionale, e servirĂ a comprendere meglio i risultati ottenuti nel secondo caso. Il secondo approccio Ă¨ piĂš rigoroso e verrĂ esposto nel caso di sistemi continui.

2.0.2

Esponente di Lyapunov in una mappa discreta

Consideriamo la seguente mappa discreta: xn+1 = f (xn )

(2.2)

Chiamiamo x Ë&#x153;(0) una condizione iniziale perturbata rispetto alla condizione iniziale x(0), e definiamo (n) = x Ë&#x153;(n) â&#x2C6;&#x2019; x(n), lâ&#x20AC;&#x2122;errore tra le due traiettorie generate dalle due diverse condizioni iniziali, allâ&#x20AC;&#x2122;istante n. Assumendo che (0) sia piccolo, si ha: (0) = x Ë&#x153;(0) â&#x2C6;&#x2019; x(0)

â&#x2C6;&#x201A;f

Âˇ (0) + o( 0 ) â&#x2C6;&#x201A;x n=0

â&#x2C6;&#x201A;f

(2) = x Ë&#x153;(2) â&#x2C6;&#x2019; x(2) = f (Ë&#x153; x1 ) â&#x2C6;&#x2019; f (x1 ) = Âˇ (1) = Âˇ Âˇ 0 â&#x2C6;&#x201A;x n=1 â&#x2C6;&#x201A;x n=1 â&#x2C6;&#x201A;x n=0 (1) = x Ë&#x153;(1) â&#x2C6;&#x2019; x(1) = f (Ë&#x153; x0 ) â&#x2C6;&#x2019; f (x0 ) =

ÂˇÂˇÂˇ (k) = x Ë&#x153;(k) â&#x2C6;&#x2019; x(k) = f (Ë&#x153; xkâ&#x2C6;&#x2019;1 ) â&#x2C6;&#x2019; f (xkâ&#x2C6;&#x2019;1 ) = f 0 (xkâ&#x2C6;&#x2019;1 ) Âˇ f 0 (xkâ&#x2C6;&#x2019;2 ) Âˇ Âˇ Âˇ f 0 (x0 ) Âˇ 0 (2.3) Dove nella seconda equazione sono stati trascurati i termini o( 0 ), ovvero i termini di ordini superiori. Facendo il rapporto | k / 0 |, se questo Ă¨ maggiore, uguale o minore dellâ&#x20AC;&#x2122;unitĂ , possiamo sapere se lâ&#x20AC;&#x2122;errore tra le due traiettorie Ă¨ aumentato, rimasto invariato o diminuito, rispetto allâ&#x20AC;&#x2122;istante iniziale. Possiamo

15 esprimere questo rapporto come:

k k kâ&#x2C6;&#x2019;1 1

0 0 0

Âˇ

(2.4)

Passando ai logaritmi si ha:

kâ&#x2C6;&#x2019;1

+ ln

ln = ln

0 kâ&#x2C6;&#x2019;1 kâ&#x2C6;&#x2019;2 0

(2.5)

PoichĂ¨ siamo interessati a stimare il tasso medio di divergenza delle traiettorie, dividiamo per k, ottenendo:

k 1

1 X

ln = ln

k 0 k i=1 iâ&#x2C6;&#x2019;1

(2.6)

Passando al limite per k che tende ad infinito, otteniamo lâ&#x20AC;&#x2122;esponente di Lyapunov cercato:

k k 1

1 X

1X ln = lim ln

= lim ln|f 0 (xkâ&#x2C6;&#x2019;1 )| (2.7)

kâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; k kâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; k kâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; k 0 iâ&#x2C6;&#x2019;1 i=1 i=1

Îť( 0 ) = lim

Questo limite esiste per quasi tutte le condizioni iniziali x0 (ovvero per tutto lo spazio di stato, tranne per insiemi di misura nulla), come dimostrato nel Teorema Moltiplicativo Ergodico di Oseledec [5]. Ed inoltre Îť non dipende dalle condizioni iniziali se il sistema Ă¨ ergodico. Dal secondo membro della (2.7), Ă¨ possibile notare che, lâ&#x20AC;&#x2122;errore allâ&#x20AC;&#x2122;istante k e dato dalla seguente espressione: | k | = eÎť(x0 )k | 0 |

2.0.3

(2.8)

Esponenti di Lyapunov per Sistemi dinamici Continui.

Cosideriamo il seguente sistema dinamico continuo n-dimensionale: â&#x2C6;&#x201A;x = f (x(t)) â&#x2C6;&#x201A;t

(2.9)

facendo riferimento alla notazione precedente, una perturbazione (0) sulle condizioni iniziali, evolverĂ nel tempo seguendo la dinamica descritta dalla seguente: â&#x2C6;&#x201A; = K(x) Âˇ (t) â&#x2C6;&#x201A;t

(2.10)

CAPITOLO 2. METODI PER QUANTIFICARE IL CAOS

indicando con K(x), lo Jacobiano calcolato per x = x(t). Possiamo definire con M, la matrice:   M= 

∂x1 (t) ∂x1 (t0 )

.. .

∂xn (t) ∂x1 (t0 )

··· .. .

∂x1 (t) ∂xn (t0 )

···

∂xn (t) ∂xn (t0 )

.. .

   

(2.11)

che indica la variazione dell’errore all’istante t rispetto all’errore all’istante iniziale t0 . Essa in pratica è una generalizzazione della (2.4) nel caso di sistemi continui e di dimensione n: in questo caso il prodotto di derivate viene sostituito da un prodotto di Jacobiani, ognuno calcolato per ogni istante di tempo t. L’evoluzione dinamica della matrice M è rappresentata dalla: ∂M = K(x) · M ∂t

(2.12)

Si dimostra che gli n autovalori di M, per valori di t molto grandi sono dati da eλi (t−t0 ) . Il Teorema Moltiplicativo Ergodico di Oseledec afferma che per quasi ogni valore di x0 esiste un set di vettori ortonormali vi (t0 ) tale che il limite: λi = lim

t→∞

1 ln kM(t, t0 )vi (t0 )k (t − t0 )

(2.13)

esiste. Un’interpretazione diversa del teorema di Oseledec si può trovare se si considera una decomposizione in valori singolari (SVD) della matrice M: M = WDVT

(2.14)

dove D è una matrice diagonale dove gli elementi di sono le radici degli autovalori di MT M e V, W sono matrici ortogonali con colonne vi di V autovettori ortonormali di MT M e wi autovettori ortonormali di MMT . Geometricamente questo risultato può essere compreso nel seguente modo: un set di condizioni iniziali che formano una ipersfera unitaria descritta dai vettori vi , viene mappata da M in una iperellissoide descritta dai vettori wi . I vettori vi , indicano le direzioni nel quale una perturbazione in questa direzione viene amplificata con un tasso descritto da λi . Sia wi che vi prendono il nome di autovettori di Lyapunov. In generale gli esponenti di Lyapunov vengono riordinati in ordine decrescente: il primo esponente di Lyapunov è il più grande: λ1 > λ2 > λ1 > · · · λn

(2.15)

In un attrattore caotico, il segno degli esponenti è tale da presentare una direzione di espansione (λ1 > 0), una direzione di contrazione (λn < 0) e una direzione in cui non si ha ne contrazione, ne espansione (λ = 0). Inoltre per

17 sistemi dissipativi la somma di tutti gli esponenti di Lyapunov deve essere negativa. L’applicazione diretta della formula (2.13), è numericamente instabile. Infatti, se il sistema ha una direzione di espansione e una di contrazione, allora il massimo esponente di Lyapunov λ1 (x0 ), può essere molto più grande dell’ultimo λn (x0 ). La precisione finita del calcolatore induce a un errore trascurabile per il calcolo del primo esponente ma non lo è per gli altri. Per evitare questo problema una tecnica molto utilizzata e l’utilizzo di una reortonormalizzazione periodica dei vettori che indicano le direzioni di espansione/contrazione. Di seguito viene spiegato questo algoritmo che è stato utilizzato anche per il calcolo degli esponenti di Lyapunov per tutte le simulazioni effettuate.

2.0.4

Algoritmo con ortonormalizzazione di Gram-Schmidt

Figura 2.2: (In alto) Data una sfera unitaria di condizioni iniziali, dopo un certo periodo di tempo viene mappata dalla matrice M in un ellissoide come dal teorema di Oseledec. (In basso) Procedura di ortonormalizzazione di GramSchmidt. Si nota che le aree prima e dopo l’ortonormalizzazione sono uguali. Consideriamo un sistema continuo n-dimensionale. L’algoritmo utilizzato nella pratica per il calcolo degli esponenti di Lyapunov è il seguente. 1. Si assegnano n vettori ortonormali, e si pone k=0: ek1 = (1, 0, . . . , 0) ek2 = (0, 1, . . . , 0)

(2.16)

ekn = (0, 0, . . . , 0) Questi vettori indicano n diverse perturbazioni delle condizioni iniziali nelle n direzioni.

CAPITOLO 2. METODI PER QUANTIFICARE IL CAOS 2. Per ogni vettore eki , si integra la traiettoria della equazione variazionale (2.10) per un tempo T arbitrariamente piccolo da non indurre troppi errori numerici nella divergenza della massima direzione di espansione. Si ottengono cosĂŹ n vettori di errore vik = i (T ) con (i=1,. . . n). 3. Si re-ortonormalizzano tali vettori ottenuti mediante il metodo di GramSchmidt, ottenendo una nuova base ortonormale k+1 [20]: i v1k ek+1 = 1 v k 1 v k â&#x2C6;&#x2019; (v2k Âˇ ek+1 )ek+1 1 1 ek+1 = 2k 2 v â&#x2C6;&#x2019; (v k Âˇ ek+1 )ek+1 2 1 1 2

(2.17)

k+1 v k â&#x2C6;&#x2019; (vnk Âˇ ek+1 )ek+1 â&#x2C6;&#x2019; Âˇ Âˇ Âˇ â&#x2C6;&#x2019; (vnk Âˇ ek+1 1 1 nâ&#x2C6;&#x2019;1 )enâ&#x2C6;&#x2019;1 ek+1 = n n vnk â&#x2C6;&#x2019; (vnk Âˇ ek+1 )ek+1 â&#x2C6;&#x2019; Âˇ Âˇ Âˇ â&#x2C6;&#x2019; (vnk Âˇ ek+1 )ek+1 1 1 nâ&#x2C6;&#x2019;1 nâ&#x2C6;&#x2019;1

I denominatori degli n vettori indicano i tassi di espansione/contrazione nelle n direzioni ortogonali della nuova base e vengono indicati con Nik . 4. Si ritorna al passo k e si ripete il processo per r volte. Gli esponenti di Lyapunov saranno dati da: Pr Îťi = lim

râ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

2.0.5

ln Nik rT

(2.18)

Divergenza tra due traiettorie

Consideriamo un sistema n-dimensionale continuo. Chiamiamo x Ë&#x153;(0) una condizione iniziale perturbata rispetto a x(0). Si trova che in un attrattore caotico, le due traiettorie generate divergono molto rapidamente nel tempo. Essendo perĂ˛ lâ&#x20AC;&#x2122;attrattore limitato si ha un continuo alternarsi di due moti differenti: ci saranno delle direzioni caratterizzate da uno stretching delle traiettorie e delle direzioni caratterizzate dal folding che tende a mantenere bounded lâ&#x20AC;&#x2122;attrattore. Se definiamo ||Î´(t)|| = ||Ë&#x153; x(t) â&#x2C6;&#x2019; x(t)||, si trova che lâ&#x20AC;&#x2122;andamento nel tempo della divergenza Ă¨ approssimativamente uguale a: ||Î´(t)|| = ||Î´(0)||eÎť1 t

(2.19)

Questo risultato Ă¨ di utilitĂ pratica notevole perchĂ¨ permette, mediante un grafico della distanza euclidea, di avere informazioni riguardo al primo esponente di Lyapunov, essendo: Îť1 â&#x2030;&#x2C6;

1 ||Î´(t)|| ln t t ||Î´(0)||

(2.20)

19 Quindi dalla pendenza di questo grafico si ottiene il valore approssimato dell’esponente cercato. 12

log(δ (t))

λ1

50 tempo

100

Figura 2.3: Metodo pratico per il calcolo del primo esponente di Lyapunov.

2.0.6

La dimensione frattale Perchè la geometria viene spesso indicata come arida e fredda? Una ragione è l’inabilità di descrivere la forma di una nuvola o di una montagna, una linea costiera o un albero. Le nuvole non sono delle sfere, le montagne non sono dei coni, le linee costiere non sono dei cerchi, il sughero non è liscio e i fulmini non si muovono lungo linee dritte. Benoît B. Mandelbrot

Così Mandelbrot nel suo libro “The Fractal Geometry of Nature”, descrive l’inadeguatezza della geometria euclidea, nella descrizione della Natura. Mandelbrot

Figura 2.4: Insieme di Mandelbrot (1979)

CAPITOLO 2. METODI PER QUANTIFICARE IL CAOS

è il padre fondatore della teoria dei frattali e l’inventore del famoso insieme che porta il suo nome Figura (2.4). Poichè gli strange attractors hanno delle caratteristiche frattali, ad esse è associata una dimensione legata agli esponenti di Lyapunov e che assieme ad essi permette di distinguere una traiettoria caotica rispetto ad un ciclo limite o a un punto di equilibrio stabile. In particolare si dimostra che: • in un attrattore caotico suddetta dimensione è compresa tra 2 e 3; • in un ciclo limite è circa unitaria; • un punto di equilibrio stabile è nulla. Il metodo per calcolare suddetta dimensione frattale, è dovuto alla congettura sviluppata da Kaplan-Yorke: P d=j+

λj >0

λj

|λj+1 |

(2.21)

dove, j indica l’interno più grande tale che la somma dei primi esponenti di Lyapunov sia positiva .

Capitolo 3

Sincronizzazione di sistemi caotici 3.1

Concetto di sincronizzazione

La sincronizzazione di oscillazioni tra due diversi sistemi Ă¨ un fenomeno non lineare che spesso si incontra in natura. La capacitĂ di molti oscillatori non lineari di sincronizzarsi lâ&#x20AC;&#x2122;un con lâ&#x20AC;&#x2122;altro Ă¨ alla base del funzionamento di molti processi naturali, quindi la sincronizzazione ha un ruolo fondamentale nelle scienze. Numerose applicazioni di sincronizzazione in meccanica, elettronica, comunicazioni, misure e in altri campi hanno dimostrato che la profonda conoscenza del fenomeno della sincronizzazione Ă¨ di estrema importanza in ingegneria. Uno dei primi esperimenti in cui venne studiata la sincronizzazione naturale tra due sistemi fu effettuato da Huygens nel 1665. Durante una banale gita in mare si accorse che, collegando due orologi a pendolo su uno stesso supporto e accoppiandoli in maniera tale da presentarsi una debole interazione tra di loro, le oscillazioni diventavano identiche a differenza di quando erano ubicati in posti diversi (fig. 3.1). In generale, comunque, la sincronizzazione Ă¨ intesa come la capacitĂ da parte di oscillatori autonomi accoppiati e con frequenze diverse, di cambiare il loro comportamento, da un regime di oscillazione indipendente a un regime di oscillazione periodica stabile, man mano che il coefficiente di accoppiamento diventa piĂš grande. Come facilmente intuibile, si riesce ad ottenere una sincronizzazione solo quando la differenza tra le diverse frequenze Ă¨ bassa. A dimostrazione di questo fatto, se indichiamo â&#x2C6;&#x2020;f = f1 â&#x2C6;&#x2019; f2 come la differenza tra le frequenze degli oscillatori interagenti, â&#x2C6;&#x2020;F = F1 â&#x2C6;&#x2019; F2 la differenza delle frequenze negli oscillatori non interagenti ed come il grado di interazione, si ottiene un grafico tipico che prende il nome di Lingua di Arnold. In generale 21

two clocks hanging on a wall (Fig. 1.2). Interestingly, in describing the discovered phenomenon, Huygens wrote about “sympathy of two clocks” (le ph´enom´ene de la sympathie, sympathie des horloges). Thus, Huygens had given not only an exact description, but also a brilliant qualiIntroduction tative explanation of this effect of mutual synchronization; he correctly understood that pounds the conformity of the rhythms of two clocks had been caused by an impercepbottom of the case was added a lead weight of over one hundred so that the instrument would better maintain a perpendicular orientation when tible motion of the beam. In modern terminology this would mean that the clocks suspended in the ship. were synchronized in anti-phase due to coupling through the beam. Although the motion of the clock was found to be very equal and constant in these experiments, nevertheless we made an effort to perfect it still further in In the middle of the nineteenth century, in his famous treatise The Theory of another way as follows. . . . the result is still greater equality of clocks than before. Sound, William Strutt (Fig. 1.3) [Lord Rayleigh 1945] described the interesting Furthermore, Huygens shortly, but extremely precisely, described his observation of synchronization in acoustical systems as follows. phenomenon of synchronization as follows.

CAPITOLO 3. SINCRONIZZAZIONE DIpitch SISTEMI two organ-pipes of the same stand side by CAOTICI side, complications ensue

. . . It is quite worth noting that when we suspended two clocks so constructed When from two hooks imbedded in the same wooden beam, the motions of each

which not unfrequently give trouble in practice. In extreme cases the pipes may Figure 1.2. Original drawing of Christiaan Huygens illustrating his experiments with two pendulum clocks placed on a common support.

Figure 1.1. Christiaan Huygens (1629–1695), the famous Dutch mathematician, astronomer and physicist. Among his main achievements are the discovery of the first moon and the true shape of the rings of Saturn; the first printed work on the calculus of probabilities; the investigation of properties of curves; the formulation of a wave theory of light including what is well-known nowadays as the Huygens principle. In 1656 Christiaan Huygens patented the first pendulum clock, which greatly increased the accuracy of time measurement and helped him to tackle the longitude problem. During a sea trial, he observed synchronization of two such clocks (see also the introduction to the English translation of his book [Huygens 1673] for a historical survey). Photo credit: Rijksmuseum voor de Geschidenis der Natuuringtenschappen, courtesy American Institute of Physics Emilio Segrè Visual Archives.

(a) Christiaan Huygens

(b) Schizzo originale fatto da Huygens per rappresentare lo schema dei due pendoli che si sincronizzano.

Figura 3.1: C.Huygens e l’esperimento dei pendoli.

Figura 3.2: Lingua di Arnold però, gli oscillatori cambiano le loro frequenze in modo tale da: • Renderle uguali tra di loro. In questo caso si parla di “Identical Synchronization” (IS); • Essere in un rapporto fisso tra le due: Phase Synchronization (PS); • Essere legate da una determinata funzione: Generalized Synchronization (GS). Quanto detto fino ad ora è di facile comprensione se si considerano oscillatori periodici in cui è semplice la definizione di periodo, fase e frequenza. Se consideriamo invece il caso di oscillazione caotica, la definizione di fase può essere difficile da applicare. Per ovviare a questa ambiguità che nasce nell’applicare la definizione di “fase” in questo tipo di circuiti (poichè le forme d’onda di un

3.1. CONCETTO DI SINCRONIZZAZIONE

segnale caotico è aperiodico), e considerando il fatto che la tipologia di sincronizzazione trattata in questo documento è la IS, si utilizza un altro tipo di approccio nel determinare se due sistemi sono sincronizzati. Questo metodo molto semplice consiste nel graficare gli andamenti di due variabili di stato nel tempo, nei due assi cartesiani: le figure che ne vengono fuori prendono il nome di Figure di Lissajous. Quando i due sistemi presentano una perfetta sincronizzazione delle variabili di stato il grafico che ottenuto è una bisettrice. Il vantaggio di questo metodo è che graficamente, ci si può rendere conto del grado di sincronizzazione tra due sistemi, tanto più la figura tende ad assomigliare ad una bisettrice. Analiticamente questo si esprime nel modo seguente. Consideriamo N sistemi n-dimensionali diversi (N ≥ 2): x˙ i = fi (xi )

i = 1, . . . N, xi ∈ R

(3.1)

diremo che le traiettorie si sincronizzeranno asintoticamente se accade: lim (xi − xj ) = 0

t→∞

i 6= j

(3.2)

La sincronizzazione di due o più circuiti in regime caotico, può essere perseguita mediante tre diversi approcci.

• Il primo metodo, sviluppato da Pecora e Carroll nel 1990, permette di ottenere una sincronizzazione tra due sistemi, in cui il secondo sistema (Slave), è una copia replicata esatta di una porzione del sistema Master.

• Il secondo, include dei sistemi accoppiati, in cui se il coefficiente di accoppiamento è nullo presentano entrambi un comportamento caotico. Mano a mano che il grado di accoppiamento cresce, i due circuiti tendono a sincronizzarsi. Il grado di accoppiamento può trovarsi su tutte le variabili di stato, ma può anche essere tra una sola delle variabili di stato per produrre sincronizzazione.

• Il terzo metodo, si basa principalmente sulle strategie classiche di controllo retroazionato.

3.2

CAPITOLO 3. SINCRONIZZAZIONE DI SISTEMI CAOTICI

Sincronizzazione Pecora & Carroll.

Synchronizing Chaotic Circuits Thomas L.Carroll and Louis M.Pecora Abstract - Although the motion of indipendent chaotic system are uncorrelated with each other, it is possible under some conditions to synchronize a subsystem of one chaotic system to the subsystem. We describe here the conditions necessary for synchronization and demonstrate synchronization with a chaotic circuits. Era il 19 febbraio 1990, quando Louis Pecora e Thomas Carroll aprivano, per la prima volta, le strade alla possibilità di sincronizzare due circuiti caotici. [1]. Da quel momento in poi, studiosi di tutto il mondo hanno sviluppato tecniche di sincronizzazione basandosi su questo metodo. In questo paragrafo vengono trattati i concetti teorici più importanti che svilupparono i due autori per ricavare le condizioni necessarie affinchè si possa realizzare la sincronizzazione di due sistemi. Inoltre vengono affrontate delle simulazioni a dimostrazione della validità della tecnica sviluppata. Si considera un sistema dinamico, autonomo n-dimensionale: u˙ = f (u)

(3.3)

Dividiamo il sistema, arbitrariamente, in due sottosistemi [u=(v, w)]: v˙ = f (v)

w˙ = f (w)

(3.4)

dove (v=u1 ,. . .,um ), w=(um+1 ,. . .,un ). Si avrà quindi: g = (f1 (u), . . . , fm (u))

(3.5)

h = (fm+1 (u), . . . , fn (u))

(3.6)

Adesso creiamo un sottosistema w0 identico al sistema w, sostituendo alle variabili v 0 , le corrispondenti v nella funzione h. Con questo nuovo sottosistema, otteniamo:

Driver

 v˙

= g(v, w)

w˙

= h(v, w)

3.2. SINCRONIZZAZIONE PECORA & CARROLL.

Figura 3.3: Schema di principio Driver - Response n Response w˙ 0 = h(v, w0 ) Analizziamo la differenza, ∆w = w0 − w. I sottosistemi w e w0 , si sincronizzeranno, se e solo se, ∆w → 0, quando t → ∞. Il limite infinitesimale induce alla seguente equazione variazionale per il sottosistema w: ξ˙ = Dw0 h(v(t), w0 (t))ξ

(3.7)

Dove Dw h è lo Jacobiano del sottosistema Response rispetto al solo w0 . Il comportamento dell’ equazione (3.7) dipende dagli esponenti di Lyapunov del sottosistema w. Si dimostra che: Teorema: I sottosistemi w e w0 si sincronizzeranno solo se gli esponenti di Lyapunov del sottosistema w sono tutti negativi. Il teorema di cui sopra, dà solo le condizioni necessarie ma non sufficienti, per aversi sincronizzazione. Esso non tiene conto delle condizioni iniziali del sistema w0 che si sincronizzerà con w. Da un altro punto di vista si può immaginare che le variabili v = (v1 , . . . , vm ), sono delle variabili pilota (Driver), mentre 0 w0 = (wm+1 , . . . , wn0 ) sono delle componenti in risposta (Response). Nella figura

(3.3) è rappresentato uno schema di principio.

3.2.1

Decomposizione x-driver

In questa sezione verranno esposti alcuni risultati teorici che dimostrano i risultati trovati da [1]. In particolare saranno analizzati tre diverse configurazioni di Driver-Response, applicati al circuito di Chua. Da notare che, in riferimento al paragrafo 1.3, la non linearità PWL presente nel circuito di Chua è stata approssimata con un polinomio del decimo ordine: questo ha permesso di ottenere un Jacobiano continuo, potendo così applicare il metodo di Wolf al calcolo

CAPITOLO 3. SINCRONIZZAZIONE DI SISTEMI CAOTICI Variabile di stato y1 (Driver) e y2 (Response) 0.4

0.3

0.2

y1,y2

0.1

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

Tempo

Figura 3.4: Andamento delle variabili di stato x1 e x2 , nel tempo.

degli esponenti di Lyapunov. Nel corso di questo set di simulazioni il valore dei parametri erano α = 8, β = 12.2 e γ = 0.016. Come affermato dal Teorema di cui sopra, si prova che una condizione necessaria affinchè il sistema in risposta si sincronizzi con circuito Driver, è che gli esponenti del sottosistema (Response) siano tutti negativi (gli autori chiamano questi esponenti sub-esponenti ). Durante questo set di simulazioni per il calcolo degli esponenti di Lyapunov si è fatto uso del Metodo sviluppato da Wolf et. al. nel 1984 [2]. Prendendo in considerazione le equazioni che descrivono il circuito di Chua, sono stati analizzati gli andamenti delle variabili di stato dei due sistemi, per le seguenti decomposizioni: x˙ 1 = α(y1 − x1 − g1 (x)) y˙ 1 = x1 − y1 + z1

y˙ 2 = x1 − y2 + z2

z˙1 = −βy1 − γz1

z˙2 = −βy2 − γz2

Da notare che in questo caso la variabile Driver proveniente dal sistema Master è la x1 . Facendo riferimento alla (3.2), si ha che v = (x1 ), w = (y1 , z1 ) e w0 = (y2 , z2 ). In questo caso, si nota che gli esponenti di Lyapunov del sotto sistema sono entrambi negativi (Fig. 3.6), e le variabili di stato x1 e x2 , si sincronizzano in tempo breve (Fig (3.4)).

3.2.2

Decomposizione y-driver

Successivamente sono state effettuate delle simulazioni in cui il segnale proveniente dal driver era la variabile y1 . Anche in questo caso, essendo i subesponenti negativi (Figura 3.9), si ottiene una completa sincronizzazione tra i

3.2. SINCRONIZZAZIONE PECORA & CARROLL.

Figura di Lissajous − (X−Driver) 0.4

0.3

0.2

Y−Response

0.1

−0.1

−0.2

−0.3

−0.4 −0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0 Y−Driver

0.1

0.2

0.3

0.4

Figura 3.5: Figura di Lissajous tra x1 e x2 .. Esponenti di Lyapunov del RESPONSE: X-Driver

Esponenti di Lyapunov del DRIVER 1

1 -1 Esponenti di Lyapunov

Esponenti di Lyapunov

-2

-1

-3 -2

λ1=0.26663 λ2=0.0047713 λ3=-2.7965

-4

-5

100

150

λ4=-0.49981 λ5=-0.50117

-3

-4

200

100

150

200

Tempo

Figura 3.6: Esponenti di Lyapunov del sistema driver e del sistema Response. X-DRIVER Variabile di stato x1 (Driver) e x2 (Response) 2.5

1.5

x1,x2

0.5

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

Tempo

Figura 3.7: Andamento delle variabili di stato x1 e x2 , nel tempo.

CAPITOLO 3. SINCRONIZZAZIONE DI SISTEMI CAOTICI Figura di Lissajous − (Y−Driver) 2.5

1.5

x−Response

0.5

−0.5

−1

−1.5

−2

−2.5 −2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0 x−Driver

0.5

1.5

2.5

Figura 3.8: Figura di Lissajous tra x1 e x2 .. Esponenti di Lyapunov del RESPONSE

1.5

Esponenti di Lyapunov

Esponenti di Lyapunov del DRIVER

-1

-2

-3

0.5

-0.5

λ1=0.28557 λ2=-0.00026821 λ3=-2.7964

-4

-5

λ4=-1.4771 λ5=0

100

200 300 Tempo

400

-1

500

-1.5

100

200 300 Tempo

400

500

Figura 3.9: Esponenti di Lyapunov del sistema driver e del sistema Response. Y-DRIVER Variabile di stato X1 (Driver) e X2 (Response) x1 x2 2

X1,X2

-1

-2

-3 0

50 Tempo

Figura 3.10: Andamento delle variabili di stato x1 e x2 , nel tempo.

3.2. SINCRONIZZAZIONE PECORA & CARROLL.

Figura di Lissajous − (Z−Driver) 1

x−Response

−1

−2

−3

−4

−5 −0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1 0 x−Driver

0.1

0.2

0.3

0.4

Figura 3.11: Figura di Lissajous tra x1 e x2 ..

Esponenti di Lyapunov del RESPONSE: Z-Drive

Esponenti di Lyapunov del DRIVER

1 0

λ1=0.31588 λ2=-0.0053173 λ3=-3.6031

-2

-1 Esponenti di Lyapunov

Esponenti di Lyapunov

-1

λ4=1.5814 λ5=-4.8743

-2

-3 -3

-4

-4 -5

-5

100 Tempo

150

200

-6

100 Tempo

150

200

Figura 3.12: Esponenti di Lyapunov del sistema driver e del sistema Response. Z-DRIVER

CAPITOLO 3. SINCRONIZZAZIONE DI SISTEMI CAOTICI

due sistemi (Figure 3.7 e 3.8). x˙ 1 = α(y1 − x1 − g1 (x))

3.2.3

y˙ 1 = x1 − y1 + z1

x˙ 2 = α(y1 − x2 − g2 (x2 ))

z˙1 = −βy1 − γz1

z˙2 = −βy1 − γz2

Decomposizione z-driver

L’ultimo set di simulazioni riguardanti il metodo di sincronizzazione di Pecora&Carroll, prevedeva che il segnale proveniente dal Driver fosse la variabile di stato z1 . In quest’ultimo caso si nota che gli esponenti di Lyapunov del sottosistema sono positivi, e come il Teorema sopra esposto prevedeva, non si riesce ad ottenere nessuna sincronizzazione tra i due sistemi. 3.8. x˙ 1 = α(y1 − x1 − g1 (x))

3.3 3.3.1

y˙ 1 = x1 − y1 + z1

x˙ 2 = α(y1 − x2 − g2 (x))

z˙1 = −βy1 − γz1

y˙ 2 = x2 − y2 + z1

Sincronizzazione per accoppiamento Accoppiamento mutuo tra due sistemi.

Altro metodo largamente studiato dalla comunità scientifica nel tentativo di sincronizzare più circuiti caotici è stato quello che fa uso di un accoppiamento mutuo tra i vari sistemi. Analiticamente si ha: x˙1 = α(y1 − x1 − f1 (x1 )) + kx (x2 − x1 ) y˙1 = y1 − x1 + z1 + ky (y2 − y1 ) z˙1 = −βy1 − γz1 + kz (z2 − z1 ) (3.8) x˙2 = α(y2 − x2 − f2 (x2 )) + kx (x1 − x2 ) y˙2 = y2 − x2 + z2 + ky (y1 − y2 ) z˙2 = −βy2 − γz2 + kz (z1 − z2 ) Fisicamente l’accoppiamento kx = C2 R/C1 Rx (vedi paragrafo 1.3 per la conversione del modello dimensionale al modello adimensionale) lo si realizza mediante un resistore Rx , mentre l’accoppiamento ky = R/Ry lo si realizza mediante un resistore Ry collegato tra i due condensatori le cui tensioni ai capi, rappresentano le seconde variabili di stato y1 e y2 . Chua et. al. [7] hanno ricavato i range di variazione dei parametri kx , ky e kz affinchè la sincronizzazione tra tra

3.3. SINCRONIZZAZIONE PER ACCOPPIAMENTO

kx 2 3 4

Livello Sincronizzazione NO sincronizzazione Debole sincr. Sincronizzazione

Figura 3.13a 3.13c 3.13e

ky 0.5 0.65 3

Livello Sincronizzazione NO sincronizzazione Debole sincr. Sincronizzazione

Figura 3.14a 3.14c 3.14e

kz 0.5 0.909:1.85 1.6 1.86

Livello Sincronizzazione Sincronizzazione instabile Sincronizzazione nel range 0.909:1.85 Massima Sincronizzazione Perdita di Sincronizzazione

Figura 3.15a 3.15c 3.15e 3.15g

Tabella 3.1: Livelli di sincronizzazione ottenuti per vari valori kz , kx e ky . ACCOPPIAMENTO MUTUO. i due stistemi fosse ottenuta. Limitandoci al caso in cui, di volta in volta, solo uno dei tre parametri di accoppiamento era diverso da zero, sono stati ottenuti i diversi range. Nelle tabelle che seguono sono stati riassunti i risultati ottenuti. Come è possibile vedere dalla terza parte della tabella (3.1) mentre, sia nel caso di kx 6= 0, e ky 6= 0, esiste una soglia minima dei parametri sopra il quale si ottiene sincronizzazione, nel caso kz 6= 0, esiste un range che va da kz = 0.909 a kz = 1.85 in cui le variabili si sincronizzano. Per valori di kz ≥ 1.86 si perde nuovamente la sincronizzazione.

3.3.2

Robustezza della sincronizzazione tra due circuiti mutuamente accoppiati

In questo paragrafo sono state analizzate le sincronizzazioni ottenibili tra due circuiti mutuamente accoppiati in cui sono stati aggiunti degli errori percentuali nei parametri del sistema Slave. Uno studio più accurato è stato fatto da G.Q.Zhong et. al. nel 1998 [19]. Lo schema base analizzato è il classico Master-Slave, dove l’unica differenza sta nel fatto che il valori di α, β e γ del secondo sistema presentano delle variazioni: questo studio serve a giustificare il fatto che si riesce comunque a sincronizzare due circuiti reali, in cui i parametri, a causa della non idealità, non sono mai identici tra il Master e lo Slave. Nell’articolo di G.Q.Zhong et. al., sono stati ricavati i valori massimi degli scostamenti nei parametri, per cui si riesce ad ottenere una debole sincronizzazione (gli autori suddividono in quattro classi le varie sincronizzazioni ottenibili, in

CAPITOLO 3. SINCRONIZZAZIONE DI SISTEMI CAOTICI

100

Strange Attractors

x 10

x1-x2

50 0 2 -50 -100

50 1

100

y1-y2

50 0

-50 -100

-1

300 200 z1-z2

100

-2

0 -100 -200 -300

25 t

-3 -6

-4

-2

8 4

x 10

(a) Errore Variabili kx =2

(b) Attrattore instabile kx =2 Figure di Lissajous

0.4

x1-x2

0.2 3

0 -0.2

2 -0.4

100

0.2

y1-y2

0.1 0

-0.1 -0.2

-1 0

100

1 -2

z1-z2

0.5 0

-3

-0.5 -1

50 t

-4 -4

100

-3

-2

-1

0 x1

(d) Figura di Lissajous kx =3 Figure di Lissajous

0.015

0.01 x1-x2

0.005 3

0 -0.005 -0.01

2 -0.015

100

0.015

0.01

y1-y2

0.005 0

-0.005 -0.01 -0.015

-1 0

100

0.06 -2 0.04 z1-z2

0.02 0

-3

-0.02 -0.04 -0.06

50 t

(e) Errore Variabilikx =4

100

-4 -4

-3

-2

-1

0 x1

(f) Figura di Lissajous kx =4

Figura 3.13: Vari livelli di sincronizzazione per valori di kx =2, kx =3, e kx =4. ACCOPPIAMENTO MUTUO.

3.3. SINCRONIZZAZIONE PER ACCOPPIAMENTO

Figure di Lissajous

x1-x2

2 -5

100

150

200

250

300

350

400

450

500

y1-y2

0.5 0

-0.5 -1

-1 0

100

150

200

250

300

350

400

450

500

6 -2 4 z1-z2

2 0

-3

-2 -4 -6

100

150

200

250 t

300

350

400

450

-4 -4

500

(a) Errore Variabili ky =0.5

-3

-2

-1

0 x1

(b) Figura di Lissajous ky =0.5 Figure di Lissajous

x1-x2

2 -5

100

150

200

250

300

350

400

y1-y2

0.5

-0.5

-1 0

100

150

200

250

300

350

400

6 -2 4 z1-z2

2 0

-3

-2 -4 -6

100

150

200 t

250

300

350

-4 -4

400

-3

-2

-1

0 x1

(d) Figura di Lissajous ky =0.65 Figure di Lissajous

x1-x2

0.5 3

0 -0.5

2 -1

100

y1-y2

0.5 0

-0.5 -1

-1 0

100

1 -2

z1-z2

0.5 0

-3

-0.5 -1

50 t

(e) Errore Variabiliky =3

100

-4 -4

-3

-2

-1

0 x1

(f) Figura di Lissajous ky =3

Figura 3.14: Vari livelli di sincronizzazione per valori di ky =0.5, ky =0.65, e ky =3. ACCOPPIAMENTO MUTUO.

CAPITOLO 3. SINCRONIZZAZIONE DI SISTEMI CAOTICI

Strange Attractors 6 2.5 4 x1-x2

2 2

0 -2 -4 -6

1.5 0

100 1

1 0.5 y1-y2

0.5 0 0

-0.5 -1

100 -0.5

10 -1

z1-z2

5 0

-1.5 -5 -10

50 t

100

-4

(a) Errore Variabili kz =0.5

-2

(b) Attrattore instabile kz =0.5 Figure di Lissajous

x1-x2

2 3

1 0

2 -1

100

0.6

0.4

y1-y2

0.2 0

0 -0.2 -0.4

-1 0

100

1 -2

z1-z2

0 -1

-3

-2 -3

50 t

-4 -4

100

-3

-2

-1

0 x1

(d) Figura di Lissajous kz =0.909 Figure di Lissajous

0.2

x1-x2

0 -0.2

-0.4 -0.6 2 -0.8

100

0.05

y1-y2

0 -0.05 0

-0.1 -0.15 -0.2

-1 0

100

0.6 -2

z1-z2

0.4 0.2

-3

0 -0.2

50 t

-4 -4

100

(e) Errore Variabili kz =1.6

-3

-2

-1

0 x1

(f) Figura di Lissajous kz =1.6 7

Strange Attractors

x 10

0 -2 x1-x2

4 -4 -6 3

-8 -10

100 2

0.5 0 y1-y2

1 -0.5 -1 0 -1.5 -2

100

-1

8 -2

z1-z2

6 4

-3

2 0 -2

50 t

(g) Errore Variabili kz =1.86

100

-4 -8

-6

-4

-2

10 x 10

(h) Attrattore instabile kz =1.86

Figura 3.15: Vari livelli di sincronizzazione per valori di kz =0.5, kz =0.909, kz =1.6 e kz =1.86. ACCOPPIAMENTO MUTUO.

3.3. SINCRONIZZAZIONE PER ACCOPPIAMENTO

relazione al grado somiglianza delle figure di Lissajous ottenute, rispetto alla bisettrice ideale). In questo documento ci limitiamo a ottenere dei range di variazioni di un parametro, quando gli altri sono posti nulli. Essendo un circuito non lineare, la variazione percentuale di un solo parametro, mantenendo gli altri nulli, non è molto affidabile come misura dello scostamento reale di tutti i parametri presenti in un setup sperimentale. Nonostante ciò le simulazioni che seguono, danno l’idea del fatto che la sincronizzazione può comunque essere ottenuta anche con parametri di poco diversi, avendo un opportuno coefficiente di accoppiamento tra i sistemi. In questo set di simulazioni si è fissato il valore kx = 16.1, mentre di volta in volta venivano variati i parametri α, β e γ, da un minimo del 20% a un massimo pari al 200%. Si è riscontrato che la variazione massima ammissibile si ottiene per ∆β = 200% e ∆γ = 200%. In questo caso infatti, anche se il valore dei parametri β, e γ del secondo sistema sono il d del corrispondente valore nel sistema Master, la sincronizzazione è comunque ottenuta. Nel caso di α invece, già con uno scostamento del 100% la sincronizzazione non si ottiene.

3.3.3

Accoppiamento unidirezionale tra due sistemi.

Questo tipo di sincronizzazione è un caso particolare del metodo precedentemente discusso. In questo caso infatti, si ha un accoppiamento unidirezionale tra i due sistemi. Questo è possibile realizzarlo fisicamente collegando un buffer a valle dei resistori Rx , Ry e Rz precedentemente trattati. Analiticamente stavolta si ha: x˙1 = α(y1 − x1 − f1 (x1 )) y˙1 = y1 − x1 + z1 z˙1 = −βy1 − γz1 (3.9) x˙2 = α(y2 − x2 − f2 (x2 )) + kx (x1 − x2 ) y˙2 = y2 − x2 + z2 + ky (y1 − y2 ) z˙2 = −βy2 − γz2 + kz (z1 − z2 ) anche in questo caso i parametri utilizzati sono stati α = 10, β = 14.87 e γ = 0. Anche in questo caso le tabelle riassumono i risultati riguardanti la sincronizzazione unidirezionale.

CAPITOLO 3. SINCRONIZZAZIONE DI SISTEMI CAOTICI

Errore tra le variabili di stato.Coefficienti: kx=5, ky=0, kz=0

Strange Attractors Coefficienti: kx=5, ky=0, kz=0

x1-x2

4 2

0 -2 2 -4

2 y1-y2

1 0

-1 -2 -3

-1 0

15 -2 10 z1-z2

5 0

-3

-5 -10 -15

25 t

(a) Errore Variabili kx =5

-4 -6

-4

-2

(b) Attrattore instabile kx =5

Errore tra le variabili di stato.Coefficienti: kx=6, ky=0, kz=0

Figure di Lissajous Coefficienti: kx=6, ky=0, kz=0

0.4

x1-x2

0.2 3

0 -0.2

2 -0.4

100

0.4

y1-y2

0.2 0

-0.2 -0.4

-1 0

100

1 -2

z1-z2

0.5 0

-3

-0.5 -1

50 t

-4 -4

100

-3

-2

-1

0 x1

(d) Figura di Lissajous kx =6

Errore tra le variabili di stato.Coefficienti: kx=8, ky=0, kz=0

Figure di Lissajous Coefficienti: kx=8, ky=0, kz=0

0.2

x1-x2

0.1 3

0 -0.1

2 -0.2

100

0.1

y1-y2

0.05 0

-0.05 -0.1

-1 0

100

0.4 -2

z1-z2

0.2 0

-3

-0.2 -0.4

50 t

(e) Errore Variabilikx =8

100

-4 -4

-3

-2

-1

0 x1

(f) Figura di Lissajous kx =8

Figura 3.16: Vari livelli di sincronizzazione per valori di kx =5, kx =6, e kx =8. ACCOPPIAMENTO UNIDIREZIONALE.

3.3. SINCRONIZZAZIONE PER ACCOPPIAMENTO

Errore tra le variabili di stato.Coefficienti: kx=0, ky=0.5, kz=0

Figure di Lissajous Coefficienti: kx=0, ky=0.5, kz=0

x1-x2

2 -5

100

y1-y2

0.5 0

-0.5 -1

-1 0

100

10 -2

z1-z2

5 -3 0

-5

50 t

-4 -4

100

(a) Errore Variabili ky =0.5

-3

-2

Errore tra le variabili di stato.Coefficienti: kx=0, ky=2, kz=0

x1-x2

0 x1

(b) Figura di Lissajous ky =0.5 Figure di Lissajous Coefficienti: kx=0, ky=2, kz=0

-5

-1

100

1 1 x2

y1-y2

0.5 0 -0.5 -1

100 -1

6 4 z1-z2

2 -2

0 -2 -4 -6

50 t

-3 -4

100

-3

-2

-1

0 x1

(d) Figura di Lissajous ky =2

Errore tra le variabili di stato.Coefficienti: kx=0, ky=5, kz=0

Figure di Lissajous Coefficienti: kx=0, ky=5, kz=0

0.8

x1-x2

0.6 0.4

0.2 0 2 -0.2

100

0.15

y1-y2

0.1 0.05

0 -0.05

-1 0

100

0.2 -2

z1-z2

0 -0.2

-3

-0.4 -0.6

50 t

(e) Errore Variabili ky =5

100

-4 -4

-3

-2

-1

0 x1

(f) Figura di Lissajous ky =5

Figura 3.17: Vari livelli di sincronizzazione per valori di ky =0.5, ky =2, e ky =5. ACCOPPIAMENTO UNIDIREZIONALE.

CAPITOLO 3. SINCRONIZZAZIONE DI SISTEMI CAOTICI

Errore tra le variabili di stato.Coefficienti: kx=0, ky=0, kz=0.5

Strange Attractors Coefficienti: kx=0, ky=0, kz=0.5

4 x1-x2

0.8

0 -2

0.6

-4 -6

100

0.4

1 0.2

y1-y2

0.5 0

-0.5 -0.2 -1

100 -0.4

z1-z2

-0.6

0 -0.8 -5 -10

50 t

100

-1 -4

(a) Errore Variabili kz =0.5

-3

-2

-1

(b) Attrattore instabile kz =0.5

Errore tra le variabili di stato.Coefficienti: kx=0, ky=0, kz=1.8

Figure di Lissajous Coefficienti: kx=0, ky=0, kz=1.8

x1-x2

2 5

0 -2

-4 -6

100

1 2

y1-y2

0.5 0

-0.5 0 -1

100 -1

6 4 z1-z2

-2 2 0

-3

-2 -4

50 t

-4 -4

100

-3

-2

-1

0 x1

(d) Figura di Lissajous kz =1.8

Errore tra le variabili di stato.Coefficienti: kx=0, ky=0, kz=3

Figure di Lissajous Coefficienti: kx=0, ky=0, kz=3

x1-x2

6 4 2

0 -2

100 0

1.5

y1-y2

1 0.5

-2

0 -0.5

100

-4

z1-z2

0 -6

-2 -4 -6 -8

50 t

-8 -4

100

(e) Errore Variabili kz =3

-3

-2

-1

0 x1

(f) Figura di Lissajous kz =3

Errore tra le variabili di stato.Coefficienti: kx=0, ky=0, kz=6

Strange Attractors Coefficienti: kx=0, ky=0, kz=6

x1-x2

30 20

10 0

100

120

140

160

180

200

-2

12 10 -4 y1-y2

8 6 4 -6 2 0

100

120

140

160

180

200 -8

z1-z2

0 -10

-10 -20 -30

100 t

120

140

160

(g) Errore Variabili kz =6

180

200

-12 -40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

(h) Attrattore instabile kz =6

Figura 3.18: Vari livelli di sincronizzazione per valori di kz =0.5, kz =1.8, kz =3 e kz =6. ACCOPPIAMENTO UNIDIREZIONALE.

3.4. SINCRONIZZAZIONE IMPULSIVA

kx 5 6 8

Livello Sincronizzazione NO sincr., secondo diventa instabile. Debole sincr. Sincronizzazione

Figura 3.16a 3.16c 3.16e

ky 0.5 2 5

Livello Sincronizzazione NO sincronizzazione Sincr. dopo lungo transitorio Sincronizzazione

Figura 3.17a 3.17c 3.17e

kz 0.5:1.7 1.8 3 6

Livello Sincronizzazione NO Sincr.Secondo Sist. instabile Sincronizzazione nel range 0.909:1.85 Massima Sincronizzazione Instabile in una direzione

Figura 3.18a 3.18c 3.18e 3.18g

Tabella 3.2: Livelli di sincronizzazione ottenuti per vari valori kz , kx e ky . ACCOPPIAMENTO UNIDIREZIONALE.

3.4

Sincronizzazione impulsiva

Come è stato largamente discusso in precedenza, la sincronizzazione riveste una importanza notevole perchè permette, mediante opportuni metodi, la trasmissione di segnali criptati, da un sistema sorgente a un sistema destinatario. Il metodo di sincronizzazione sperimentato da Pecora & Carroll nel 1990, permette la sincronizzazione del sistema destinatario (Slave), mediante un persistente segnale di controllo da parte del sistema sorgente (Master). Ovviamente, il segnale di sincronizzazione, che rappresenta l’analogo del segnale portante nel caso di classiche trasmissioni modulate in frequenza, non trasporta in se informazione utile. Questo porta inevitabilemente ad uno spreco della banda del canale disponibile. Il concetto introdotto per la prima volta da Yang & Chua nel 1997, è quello di ottenere la sincronizzazione completa, dei due sistemi, mediante un controllo da parte del segnale proveniente dal Driver (Master), che non sia continuo ma impulsivo. Questo permette di ottenere una sincronizzazione completa tra i due sistemi, mediante l’applicazione del segnale pilota in slot temporali di breve durata. In questo modo, il contributo di occupazione di banda del canale, da parte del segnale di sincronizzazione, è notevolmente ridotto e quindi permette una trasmissione del segnale con una efficienza maggiore. In un sistema di comunicazione sicura, basata sul metodo della sincronizzazione impulsiva, il segnale trasmesso consiste in una sequenza di slot temporali. Ogni slot di lunghezza T secondi, contiene una parte di segnale di lunghezza T1 utilizzato per ottenere una sincronizzazione impulsiva, mentre nel restante

CAPITOLO 3. SINCRONIZZAZIONE DI SISTEMI CAOTICI

slot T2 =T -T1 , è contenuto il segnale criptato da trasmettere. Sperimentalmente peró la sincronizzazione impulsiva é difficile da ottenere a causa dei seguenti motivi: • I mismatches dei parametri tra i due circuiti da sincronizzare sono inevitabili; • Il rumore dovuto alle non idealitá; • Il periodo dell’impulso non puó essere troppo stretto perché il rumore e le differenze nei parametri tendono a far desincronizzare i due sistemi. Nonostante ció, il primo esperimento di sincronizzazione impulsiva é stato realizzato da Panas et al., [17] nel 1998. In questo paragrafo saranno studiati diversi casi di sincronizzazione impulsiva, mediante l’uso del simulatore PSpice. Lo schema di sincronizzazione base é un caso particolare della sincronizzazione unidirezionale, in cui stavolta il segnale da parte del Driver giunge al Driven solo negli intevalli di tempo di lunghezza T1 . Si è trovato [15] che esistono dei valori di soglia di frequenza e duty-cycle del segnale si sincronizzazione, sotto il quale la sincronizzazione non si raggiunge. In figura (3.19) é rappresentato lo schema utilizzato. Come é possibile vedere in figura (3.19), sono stati presi in considerazione una coppia di circuiti di Chua, in cui i vari valori dei parametri tra loro risultavano uguali. Il primo circuito, che chiameremo Master, é collegato con il secondo (Slave), attraverso un amplificatore operazionale in configurazione a buffer. Questo permette di realizzare un accoppiamento unidirezionale, tra la seconda variabile di stato dei due sistemi, ovvero la tensione al condensatore C1 e la tensione ai capi di C8 . Il blocco in cascata al buffer, é uno switch CD4066B, pilotato da un segnale impulsivo. Come ampiamente disquisito nel paragrafo 1.3, la non linearitá PWL é realizzata dalla coppia di amplificatori operazionali. La non linearitá ottenuta é raffigurata in figura (3.20) a pagina 42. Le conduttanze hanno valori G1 =−0.5832 mS, G2 =−0.2877 mS e G3 =4.9275 mS, mentre E, il valore di tensione per cui si ha il cambio di pendenza della conduttanza vale 1.28 V. Si noti che la non linearitá reale, presenta dei tratti a pendenza G3 che non sono considerati nella trattazione teorica del circuito di Chua, essi sono introdotti dagli effetti di saturazione introdotti dai due amplificatori, che realizzano la PWL. Nonostante ció il comportamento rimane invariato rispetto alla trattazione teorica. I due circuiti considerati stand-alone, hanno dei valori dei componenti tali da presentare in entrambi un comportamento caotico, infatti nel diagramma delle fasi é presente il noto comportamento Double-Scroll (Figura 3.21).

R19 12

L1 18.5m IC = 1u

IC = 0.01

C1 6.8n

1895

R10

C2 58n

Vmeno

9Vdc

U1A

R3 4000

TL082

22k

R5 220 R6 3000

TL082

U2B

22k

220

Vmeno

OUT

Vpiu

Vmeno

OUT

Vpiu

OUT

Vmeno

VV+ 8

Vpiu

8 V+ V4

TL082 U6A

y1o V3 V1 = -9 V2 = 9 TF = 1n TD = 1n TR = 1n PW = 8800n PER = 55u

R20 12

IC = 1u

L2 18.5mH

3 pulse

1895

IC = 0.01

C9 58n

R15

Vmeno

Out

Vpiu

CD4066B

Vc Vss 5

4 Vdd

C8 6.8n IC = 0.01

(PER=1m; PW=0.5m)

(PER=10m; PW=5m)

si sincronizza poco

R9 4000

TL082

U5A

22k

Vmeno

OUT

Vpiu

1 -

R18 3000

TL082

U5B

220

R17

Vmeno

OUT

Vpiu

220

R16

si sincronizza abbastanza

Per f=1000 Hz

si sincronizza poco

Per f=1000 Hz

(PER=1m; PW=0.8m)

(PER=1m; PW=0.6m)

non sincronizzano per

Per f=1000 Hz

(PER=1m; PW=0.2m)

Per f=10 kHz si sincronizza (PER=0.1m; PW=0.05m)

Per f=1000 Hz

Per f=100 Hz non si sincronizza

V+ V4

8 V+ V4

Sincronizzazione impulsiva tra due circuiti di Chua

3.4. SINCRONIZZAZIONE IMPULSIVA 41

Figura 3.19: Schema utilizzato per ottenere la sincronizzazione impulsiva dei due circuiti di Chua

CAPITOLO 3. SINCRONIZZAZIONE DI SISTEMI CAOTICI

** Profile: "SCHEMATIC1-PWL_SWEEP" Date/Time run: 04/08/08 11:12:55 4.0mA

[ D:\Chua_pulsed\pwl-pspicefiles\schematic1\pwl_sweep.sim ]

2.0mA

0A E

-2.0mA

-4.0mA -10V

-5V

10V

I(V3:+) Date: April 08, 2008

V_V3 Page 1

Time: 12:19:41

Figura 3.20: PWL utilizzato per modellizzare il diodo di Chua

3.4.1

Sincronizzazione impulsiva al variare della frequenza

Il primo set di simulazioni sono state effettuate, facendo variare la frequenza del treno di impulsi che pilotano lo switch, da un minimo di 100 Hz a un massimo di 10 kHz. Il duty-cicle lo si é fissato ad un valore pari al 50% per tutto il primo set di simulazioni. Si é riscontrato che, per bassi valori frequenze i due circuiti non presentavano alcuna sincronizzazione. Come é possibile notare dalla Figura 3.22(a), solo negli istanti temporali in cui l’impulso é alto, si ha la sincronizzazione. Successivamente é stato analizzato il caso in cui la frequenza di switching era pari a 1 kHz. In questo caso, osservando il diagramma di Chua, si nota una leggera sincronizzazione del secondo rispetto al primo sistema. Passando ad una frequenza di 10 kHz, si nota che l’andamento della variabile di stato del secondo Oscillatore di Chua segue, perfettamente il segnale del Driver.

3.4.2

Sincronizzazione impulsiva variando il Duty - Cycle

In questo secondo caso, tenendo sempre presente lo schema di Figura (3.19), sono stati analizzati gli andamenti della variabile di stato Y2 dello Slave, al variare del Duty-Cycle δ, mantenendo fissata la frequenza a 1 kHz. La prima simulazione, assumendo un δ pari al 20%, ha rivelato la completa assenza di sincronizzazione tra i due, Figura 3.23(a). Nel caso in cui il valore di δ era superiore al 60%, si otteneva una sincronizazione perfetta. Una facile interpretazione scaturisce

3.5. SINCRONIZZAZIONE DA CONTROLLO LINEARE ** Profile: "SCHEMATIC1-Scroll_01" Date/Time run: 04/08/08 09:58:22 400mV

[ C:\Documents and Settings\Rino\Desktop\Nuova cartella\pulsed_freq-pspicefile... Temperature: 27.0

200mV

-200mV

-400mV -3.0V V(X1)

-2.0V

Date: April 08, 2008

-1.0V

-0.0V V(Y1) Page 1

1.0V

2.0V

3.0V

Time: 10:25:14

Figura 3.21: Double Scroll che presentano i due circuiti di Chua prima della sincronizzazione. dal fatto che un Duty-Cycle troppo basso comporta uno slot temporale troppo piccolo affinchè il sistema Slave possa sincronizzarsi con il sistema Master.

3.5

Sincronizzazione da Controllo Lineare

Molti schemi di sincronizzazione Master-Slave trattati in letteratura, utilizzano come segnale di controllo, una variabile del sistema master. Il segnale di controllo serve a sincronizzare il sistema Slave nel senso che, come spiegato precedentemente, le traiettorie dei due sistemi, asintoticamente tendono ad essere uguali. La stabilità della sincronizzazione è dimostrata numericamente tramite il calcolo degli esponenti di Lyapunov condizionali del sottosistema [1] o tramite la ricerca di una funzione di Lyapunov [11]. Nei paragrafi precedenti è stato dimostrato che si può ottenere sincronizzazione prelevando una delle variabili di stato del driver, e collegandola nella rispettiva variabile del sistema Slave mediante un opportuno accoppiamento. Superato un certo livello di soglia del coefficiente di accoppiamento, si osserva che le traiettorie asintotivamente tendono ad essere uguali. Schweizer et. al, nel 1995 hanno dimostrato che prelevando la seconda variabile di stato e la rispettiva derivata dal Master, e collegandola al sistema Slave, è stato dimostrato che è possibile ottenere la sincronizzazione tra i due. Effettuare l’operazione di derivazione numerica della variabile produce però significativi errori nella simulazione.

CAPITOLO 3. SINCRONIZZAZIONE DI SISTEMI CAOTICI

2.5

3 2

2 1 1.5

0 -1

-2 0.5 -3 0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

10 -0.5

-1

-1.5

-5

-2

-2.5 -2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1.5

2.5

(a) Diagramma di Chua per impulsi con frequenza f=100 Hz 2.5

-10 0.015

(b) Andamento temporale di Y1 e Y2 (in alto) e forma dâ&#x20AC;&#x2122;onda del segnale impulsivo 3 2

2 1 1.5

0 -1

-2 0.5 -3 0.0555

0.056

0.0565

0.057

0.0575

0.058

0.0585

0.059

0.0595

0.056

0.0565

0.057

0.0575

0.058

0.0585

0.059

0.0595

10 -0.5

-1

-1.5

-5

-2

-2.5 -2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1.5

2.5

-10 0.0555

(d) f=1 kHz

2.5

3 2

2 1 1.5

0 -1

-2 0.5 -3 0.014

0.0145

0.015

0.0155

0.016

0.0165

0.017

0.0145

0.015

0.0155

0.016

0.0165

0.017

10 -0.5

-1

-1.5

-5

-2

-2.5 -2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

(e) f=10 kHz

1.5

2.5

-10 0.014

(f) f=10 kHz

Figura 3.22: Vari livelli di sincronizzazione per valori di f =100 Hz, f =1 kHz, e f =10 kHz. SINCRONIZZAZIONE IMPULSIVA.

3.5. SINCRONIZZAZIONE DA CONTROLLO LINEARE

2.5

3 2

2 1 1.5

0 -1

-2 0.5 -3 5.5

6.5

7.5

8.5

9 -3

x 10 0

10 -0.5

-1

-1.5

-5

-2

-2.5 -2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1.5

2.5

-10 5.5

6.5

7.5

8.5

9 -3

x 10

(a) Diagramma di Chua per δ=0.2 Hz

2.5

(b) Andamento temporale di Y1 e Y2 (in alto) e forma d’onda del segnale impulsivo 3 2

2 1 1.5

0 -1

-2 0.5 -3 5.5

6.5

7.5

8.5

9 -3

x 10 0

10 -0.5

-1

-1.5

-5

-2

-2.5 -2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1.5

2.5

-10 5.5

6.5

7.5

8.5

9 -3

x 10

(d) δ=0.6

2.5

3 2

2 1 1.5

0 -1

-2 0.5 -3 5.5

6.5

7.5

8.5

9 -3

x 10 0

10 -0.5

-1

-1.5

-5

-2

-2.5 -2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1.5

2.5

-10 5.5

6.5

7.5

8.5

9 -3

x 10

(e) δ=0.8

(f) δ=0.8

Figura 3.23: Vari livelli di sincronizzazione per valori di δ=0.2 , δ=0.6, e δ=0.8. SINCRONIZZAZIONE IMPULSIVA.

CAPITOLO 3. SINCRONIZZAZIONE DI SISTEMI CAOTICI

Questo paragrafo, invece, si riferisce a un lavoro di Wang et. al del 1998 [12], in cui il segnale di controllo lineare retroazionato è prelevato dalla terza variabile di stato, e mediante dei coefficienti k è collegato a tutte tre le variabili del sistema Slave. Nello spazio delle fasi questo significa:    x˙   1 Master y˙ 1    z˙ 1

   x˙   2 Slave y˙ 2    z˙ 2

= α(y1 − x1 − f (x1 )) (3.10)

= x1 − y1 + z1 = −βy1

= α(y2 − x2 − f (x2 )) + k1 (z1 − z2 ) (3.11)

= x2 − y2 + z2 + +k2 (z1 − z2 ) = −βy2 + +k3 (z1 − z2 )

Si dimostra il seguente teorema. Teorema: In riferimento ai sistemi (3.10) e (3.11), supponiamo che il vettore di retroazione k=[k1 , k2 , k3 ]T è scelto come segue:    −1 − k1    k = k2  =  − βγ k3 1

γ β

− 1+γ β − β1 0

− β1



3θ



  0  3θ2  θ3 0

(3.12)

Allora, se θ è grande abbastanza, allora il sistema Slave si sincronizzarà globalmente con il sistema Master per qualunque valore di condizioni iniziali del secondo sistema. La dimostrazione del suddetto teorema è stata omessa. Nella pratica si ottiene sincronizzazione asintotica per valori di θ ≥ 1 anche se per valori di θ ≈ 0.5 si ottiene un errore asintotico costante piccolo. Per valori grandi di θ, il tempo di sincronizzazione è molto piccolo (dell’ordine di 10−4 secondi)

3.6

Sincronizzazione da Controllo Adattativo

Come precedentemente discusso nel paragrafo 3.1, un altro approccio utilizzato per ottenere sincronizzazione tra due sistemi operanti in regime caotico è quello che fa uso del controllo retroazionato. Ovviamente molti approcci tra cui quelli basati sul controllo lineare convenzionale oppure sul controllo nonlineare avanzato, sono stati ampiamente studiati da [8] e [9]. In molti di questi lavori esistenti, è essenziale la conoscenza dei parametri presenti nel modello. Nella pratica però questo non avviene mai a causa della incertezza dovuta alle non

3.6. SINCRONIZZAZIONE DA CONTROLLO ADATTATIVO

Errore tra le variabili di stato.

x 10

Figura di Lissajous - Z-driven

x 10

x1-x2

2 0

-2 -4

100

x 10

0 x2

y1-y2

1 0 -1 -2

-1

100

x 10

-2

z1-z2

0.5 -3

0 -0.5 -1

50 t

-4 -4

100

(a) Errore Variabili θ = 0

-3

-2

-1

0 x1

(b) Figura di Lissajous θ = 0

Errore tra le variabili di stato.

Figura di Lissajous - Z-driven

x1-x2

4 2 4 0 -2 -4

100

3 0

1 x2

y1-y2

0 -2

-1 -2

100 -4

15 10 z1-z2

5 -6 0 -5 -10

50 t

-8 -4

100

-3

-2

-1

0 x1

(d) Figura di Lissajous θ = 0.1

Errore tra le variabili di stato.

Figura di Lissajous - Z-driven

x1-x2

4 2 4 0 -2 -4

100

3 0

1 x2

y1-y2

0 -2

-1 -2

100 -4

15 10 z1-z2

5 -6 0 -5 -10

50 t

-8 -4

100

(e) Errore Variabili θ = 1

-3

-2

-1

0 x1

(f) Figura di Lissajous θ = 1

Errore tra le variabili di stato.

Figura di Lissajous - Z-driven

10 x1-x2

5 0 -5 0 -10

100

2 x2

y1-y2

-5

1 0 -1

100

15 -10

z1-z2

10 5 0 -5

50 t

(g) Errore Variabili θ = 5

100

-15 -4

-3

-2

-1

0 x1

(h) Figura di Lissajous θ = 5

Figura 3.24: Vari livelli di sincronizzazione per valori di θ=0, θ=0.1, θ=1 e θ=5. LINEARE Z-DRIVEN.

CAPITOLO 3. SINCRONIZZAZIONE DI SISTEMI CAOTICI

idealità presenti, quindi la progettazione di un controllore adattativo per il controllo e la sincronizzazione dei sistemi caotici è molto importante. L’approccio descritto per progettare questo controllore è stato sviluppato da Naseh e Haery nel 2005 [10]. Esso viene applicato per ottenere la sincronizzazione tra due circuiti di Chua, descritti nello spazio di stato dalle seguenti:    x˙ = α(y − x − f (x))   y˙ = x − y + z    z˙ = −βy dove, f (x) = bx + 0.5(a − b)(|x + 1| − |x − 1|)

(3.13)

In quest’ultima espressione, a = −0.72 e b = −1.13 rappresentano le pendenze della non linerità trattate nel primo capitolo. I valori di α = 9.35, β = 14.79 e γ = 0, sono tali che il sistema presenta un comportamento caotico. Consideriamo adesso due sistemi tipo (3.6) in cui uno viene chiamato Master e l’altro Slave. Il sistema Slave, è uguale al Master, ma presenta degli ingressi u1 , u2 e u3 ovvero i controllori adattativi da determinare.    x˙   1 Master y˙ 1    z˙

= α(y1 − x1 − f (x1 )) = x1 − y1 + z1 = −βy1

   x˙   2 Slave y˙ 2    z˙ 2

(3.14)

= α(y2 − x2 − f (x2 )) + u1 = x2 − y2 + z2 + u2

(3.15)

= −βy2 + u3

Definiamo i segnali errori come:    e   x ey    e z

= x1 − x2 = y1 − y2 = z1 − z2

Quindi il sistema dinamico errore sarà dato da:    e˙   x e˙ y    e˙ z

= αey − αex − α[f (x1 ) − f (x2 )] − u1 = ex − ey + ez − u2 = −βey − u3

(3.16)

3.7. EFFETTI BENEFICI DEL RUMORE

Considerando i sistemi dinamici Master, Slave e il sistema Errore si dimostra il seguente teorema: Teorema: Il sistema Slave (3.15) può essere sincronizzato con il sistema Master (3.14) usando la seguente legge di controllo u2 = u3 = 0 e u1 = kex , dove k˙ = Ae2 , A > 0. x

La dimostrazione del suddetto teorema e stata omessa ma può essere trovata in [10]. Sostanzialmente si trova che per questi valori di A e della legge di controllo utilizzata, la funzione di Lyapunov candidata: ˜ 2 V (e) = βe2x + αβe2y + βe2z − ney ez + D(k − k) è definita positiva, mentre la dV /dt < 0 nello spazio descritto dalle variabili errore (con D > 0, k˜ e n opportuni parametri). Sfruttando quindi i concetti di stabilità asintotica del sistema errore, descritti nella teoria di Lyapunov si ottiene la sincronizzazione richiesta. Nelle simulazioni effettuate sono stati analizzati i casi in cui A assumeva i valori 0, 0.1, 5 e 1000. Come affermato dal teorema di cui sopra, per A = 0, non si ha sincronizzazione mentre per valori di A > 0, le traiettorie del sistema Slave inseguono quelle del sistema Master. Incrementando il valore di A si ottiene una sincronizzazione in un tempo minore.

3.7

Effetti benefici del rumore

Si è osservato che due circuiti di Chua operanti in regime caotico, se sottoposti ad un medesimo segnale di rumore, presentano delle peculiarità interessanti. In particolare si è visto che in questo caso il rumore svolge una funzione sincronizzante tra i due sistemi. Poichè questo effetto è pur sempre piccolo, stavolta non verrà analizzato mediante l’uso figure di Lissajous, ma tramite la distribuzione dell’errore tra le due variabili da sincronizzare. Con riferimento alla figura (3.26) si è osservato tramite il simulatore PSpice che, quando i due sistemi sono completamente disaccoppiati le variabili sono visibilmente incorrelate (3.27). Diversamente accade quando entrambi i sistemi sono connessi ad una medesima sorgente di rumore. In questo caso infatti, analizzando l’andamento della distribuzione di errore, si osserva una maggiore probabilità di errore attorno allo zero rispetto al caso in cui il segnale errore non è presente. In questo caso infatti si osservano dei picchi molto più sostenuti nelle zone di +3 volts e −3 volts. Da un altro punto di vista questo si può esprimere dicendo che, nel caso in cui è presente una sorgente di errore in entrambi i circuiti, la permanenza in uno dei due lobi dell’attrattore caotico è più lunga l’andamento delle variabili di stato

CAPITOLO 3. SINCRONIZZAZIONE DI SISTEMI CAOTICI

Figura di Lissajous. x1 vs x2 A = 0 (1/4)

Dinamica degli Errori e di k. A = 0 (1/4) 5

2.5

-5

1.5 0

100

120

140

160

180

200

1 1

0.5 0

0.5

-1

100

120

140

160

180

200

-0.5

0 -5 -10

-1 0

100 tempo

120

140

160

180

200 -1.5

0.5 k

-2

-0.5 -1

100 tempo

120

140

160

180

-2.5 -2.5

200

(a) Errore Variabili A = 0

-2

-1.5

-1

0.5

1.5

2.5

Figura di Lissajous. x1 vs x2 A = 0.1 (2/4)

Dinamica degli Errori e di k. A = 0.1 (2/4)

0 x1

(b) Figura di Lissajous A = 0

-5

-0.5

100

120

140

160

180

200

0 -2 0

100

120

140

160

180

200

0 -4 20 -1

10 0 -2

-10 -20

100 tempo

120

100 tempo

120

140

160

180

200 -3

10 k

-4 5 0

140

160

180

-5 -2.5

200

-2

-1.5

-1

-0.5

0 x1

0.5

1.5

2.5

(d) Figura di Lissajous A = 0.1 Figura di Lissajous. x1 vs x2 A = 5 (3/4)

Dinamica degli Errori e di k. A = 5 (3/4) 2

2.5

1 2 0 -1

1.5 0

100

120

140

160

180

200

1 1

0.5 0

0.5

-1

100

120

140

160

180

200

-0.5

0 -2 -4

-1 0

100 tempo

120

140

160

180

200 -1.5

10 k

-2 5 0

100 tempo

120

140

160

180

-2.5 -2.5

200

(e) Errore Variabili A = 5

-2

-1.5

-1

-0.5

0 x1

0.5

1.5

2.5

(f) Figura di Lissajous A = 5 Figura di Lissajous. x1 vs x2 A = 1000 (4/4)

Dinamica degli Errori e di k. A = 1000 (4/4) 0.6

2.5

0.4 2

0.2 0 -0.2

1.5 0

100

120

140

160

180

200

0.4 1

0.2 0

0.5

-0.4

100

120

140

160

180

200

-0.2

-0.5

0 -1 -2

-1 0

100 tempo

120

140

160

180

200 -1.5

30 20

-2

10 0

100 tempo

120

140

160

180

(g) Errore Variabili A = 1000

200

-2.5 -2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0 x1

0.5

1.5

2.5

(h) Figura di Lissajous A = 1000

Figura 3.25: Vari livelli di sincronizzazione per valori di A=0, A=0.1, A=5 e A=1000. ACCOPPIAMENTO ADATTATIVO.

3.7. EFFETTI BENEFICI DEL RUMORE

sono più correlate, mentre nel caso in cui il rumore non è presente la permanenza nei due lobi dell’attrattore è molto più breve e le due dinamiche risultano essere incorrelate.

c:\pwlFile.in

R21 1895

R19 12

IC = 1u

L1 18.5m

+ 7

IC = 0.01

100000

R23

C1 6.8n

1895

R10

Vmeno

OUT

Vpiu

C2 58n

TL082

U7B

8 V+ V4

U1A

R3 4000

TL082

22k

Vpiu

OUT -

R5 220

22k R6 3000

TL082

U2B

Vmeno

220

Vpiu

OUT

Vmeno

R20 12

IC = 1u

L2 18.5mH

TL082

U6B

1895

R15

IC = 0.01

C9 58n

Vmeno

OUT

Vpiu

C8 6.8n IC = 0.01

100000

R22

22k

U5A

TL082

R9 4000

Due circuiti di Chua sottoposti a rumore

8 V+ V4

noise V3

8 V+ V4

Vpiu

22k

R18 3000

TL082

Vmeno

220

OUT

Vpiu

R16

U5B

OUT

V+ V4

8 V+ 220

R17

Vmeno

9Vdc

Vpiu

52 CAPITOLO 3. SINCRONIZZAZIONE DI SISTEMI CAOTICI

Figura 3.26: Due circuiti di Chua sottoposti a rumore.

3.7. EFFETTI BENEFICI DEL RUMORE

Dinamica Y1 e Y2 senza rumore 3 Y1 Y2

volts

1 0 -1 -2 -3 50

75 ms

100

Distribuzione errore tra Y1 e Y2 80 70

sampled points

60 50 40 30 20 10 0 -5

-4

-3

-2

-1

0 volts

(a) Variabili e Distribuzione errore senza rumore

Dinamica Y1 e Y2 con rumore 3 Y1 Y2

volts

1 0 -1 -2 -3 50

75 ms

100

Distribuzione errore tra Y1 e Y2 80 70

sampled points

60 50 40 30 20 10 0 -5

-4

-3

-2

-1

0 volts

(b) Variabili e Distribuzione errore in presenza di rumore

Figura 3.27: Confronto distribuzione errore e andamenti variabili di stato.

CAPITOLO 3. SINCRONIZZAZIONE DI SISTEMI CAOTICI

Elenco delle figure 1.1

Circuito di Chua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Nonlinearità presente nel modello. . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3

Circuito di Chua con nonlinearità Kennedy (blocco OP Amp sulla destra). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4

Grafico di biforcazione per il circuito di Chua, in cui alfa varia da 8.8 a 9.25 e beta e fissato a 16. . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5

Traiettorie nello spazio delle fasi di x e y per vari valori di α. . .

2.1

Propagazione di una perturbazione iniziale e esponenti di Lyapunov. 13

2.2

(In alto) Data una sfera unitaria di condizioni iniziali, dopo un certo periodo di tempo viene mappata dalla matrice M in un ellissoide come dal teorema di Oseledec. (In basso) Procedura di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Si nota che le aree prima e dopo l’ortonormalizzazione sono uguali. . . . . . . . . . . . . .

2.3

Metodo pratico per il calcolo del primo esponente di Lyapunov. .

2.4

Insieme di Mandelbrot (1979) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1

C.Huygens e l’esperimento dei pendoli. . . . . . . . . . . . . . . .

3.2

Lingua di Arnold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3

Schema di principio Driver - Response . . . . . . . . . . . . . . .

3.4

Andamento delle variabili di stato x1 e x2 , nel tempo. . . . . . .

3.5

Figura di Lissajous tra x1 e x2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6

Esponenti di Lyapunov del sistema driver e del sistema Response. X-DRIVER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7

Andamento delle variabili di stato x1 e x2 , nel tempo. . . . . . .

3.8

Figura di Lissajous tra x1 e x2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.9

Esponenti di Lyapunov del sistema driver e del sistema Response. Y-DRIVER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.10 Andamento delle variabili di stato x1 e x2 , nel tempo. . . . . . .

3.11 Figura di Lissajous tra x1 e x2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ELENCO DELLE FIGURE 3.12 Esponenti di Lyapunov del sistema driver e del sistema Response. Z-DRIVER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.13 Vari livelli di sincronizzazione per valori di kx =2, kx =3, e kx =4. ACCOPPIAMENTO MUTUO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.14 Vari livelli di sincronizzazione per valori di ky =0.5, ky =0.65, e ky =3. ACCOPPIAMENTO MUTUO. . . . . . . . . . . . . . . .

3.15 Vari livelli di sincronizzazione per valori di kz =0.5, kz =0.909, kz =1.6 e kz =1.86. ACCOPPIAMENTO MUTUO. . . . . . . . .

3.16 Vari livelli di sincronizzazione per valori di kx =5, kx =6, e kx =8. ACCOPPIAMENTO UNIDIREZIONALE. . . . . . . . . . . . .

3.17 Vari livelli di sincronizzazione per valori di ky =0.5, ky =2, e ky =5. ACCOPPIAMENTO UNIDIREZIONALE. . . . . . . . . . . . .

3.18 Vari livelli di sincronizzazione per valori di kz =0.5, kz =1.8, kz =3 e kz =6. ACCOPPIAMENTO UNIDIREZIONALE. . . . . . . . .

3.19 Schema utilizzato per ottenere la sincronizzazione impulsiva dei due circuiti di Chua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.20 PWL utilizzato per modellizzare il diodo di Chua . . . . . . . . .

3.21 Double Scroll che presentano i due circuiti di Chua prima della sincronizzazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.22 Vari livelli di sincronizzazione per valori di f =100 Hz, f =1 kHz,

e f =10 kHz. SINCRONIZZAZIONE IMPULSIVA. . . . . . . . .

3.23 Vari livelli di sincronizzazione per valori di δ=0.2 , δ=0.6, e δ=0.8. SINCRONIZZAZIONE IMPULSIVA. . . . . . . . . . . . . . . . .

3.24 Vari livelli di sincronizzazione per valori di θ=0, θ=0.1, θ=1 e θ=5. LINEARE Z-DRIVEN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.25 Vari livelli di sincronizzazione per valori di A=0, A=0.1, A=5 e A=1000. ACCOPPIAMENTO ADATTATIVO. . . . . . . . . . .

3.26 Due circuiti di Chua sottoposti a rumore. . . . . . . . . . . . . .

3.27 Confronto distribuzione errore e andamenti variabili di stato. . .

Elenco delle tabelle 1.1

Valori di α per cui si osserva periodicità. . . . . . . . . . . . . . .

3.1

Livelli di sincronizzazione ottenuti per vari valori kz , kx e ky . ACCOPPIAMENTO MUTUO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2

Livelli di sincronizzazione ottenuti per vari valori kz , kx e ky . ACCOPPIAMENTO UNIDIREZIONALE. . . . . . . . . . . . .

ELENCO DELLE TABELLE

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