N O I T U L O S A L S R E V AS P T I T UN PE Chacune des pièces représente une fraction. La plus grande représente ½, la moitié de la surface totale. Les autres continuent la suite avec des surfaces deux fois moins importantes que les précédentes.
1/2
1 1/32 1/16 1/4 1/8 1/64
Un nombre infini de pièces peut être inclus dans le grand carré… En divisant à chaque fois la taille de la surface de la plus petite pièce par 2 pour en obtenir une nouvelle, nous arrivons à des dimensions si infimes que les pièces ne sont plus manipulables… et deviennent invisibles! Et nous approchons de plus en plus la surface totale du rectangle sans jamais l’atteindre.
Le mot du mathematicien Chaque nouvelle pièce ajoute donc une fraction à la somme précédente : 1/2 +1/4 = 3/4 1/2 +1/4 + 1/8 = 7/8 1/2 +1/4 + 1/8 + 1/16 = 15/16 Le résultat de cette suite d’additions est donc de plus en plus proche de 1. En maths, on dit que la suite converge vers 1. Une suite infinie d’additions ne tend donc pas toujours vers l’infini !
Le mot de l archeologue On utilise la désintégration radioactive du Carbone 14 pour mesurer l’âge de certains objets ou ossements. La moitié des atomes de carbone se désintègrent en environ 5730 ans. La quantité de carbone radioactif dans l’échantillon diminue au cours du temps, mais n’atteint jamais une valeur nulle. Sa décroissance est infinie ! Le Puzzle sans fin
N O I T U L O S A L S R E V AS P T I T UN PE Chaque pièce subit une transformation. Les polygones sont ainsi réarrangés différemment. On passe d’une forme à une autre par une succession de translations et rotations.
Le mot du mathematicien Cette étonnante manipulation s’explique par le théorème de Bolyai : Si on considère deux polygones de même aire, il est toujours possible de décomposer l'une des deux en pièces polygonales permettant d'obtenir l'autre.
Le mot du designer Japp Van Der Vaart a créé une table articulée, qui peut s’agencer en forme de triangle, ou de carré !
Les Puzzles 2D
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Le mot de l historien John Horton Conway est un mathématicien britannique. Il a notamment travaillé sur les nombres, les jeux et le codage. Il est aussi à l’origine de nombreux casse-têtes.
Le cube de Conway
N O I T U L O S A L S R E V AS P T I T UN PE Les hexagones permettent de paver le plan. Ici, en plus, les 6 couleurs sont arrangées différemment sur chaque pièce. Les permutations vous aideront à trouver la bonne combinaison.
Le mot dU BIOLOGISTE Mais pourquoi les abeilles construisent-elles leurs alvéoles en hexagones ? Par économie : en effet c’est la forme de pavage ayant le plus petit périmètre, donc elles utilisent ainsi le minimum de cire !
Les alvéoles de couleurs
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mathematicien Le mot dU Mathematicien Une pyramide est un solide à faces triangulaires. Mais sa base peut être n’importe quel polygone. Vous venez de construire un tétraèdre, c’està-dire une pyramide à base triangulaire.
Le mot de l architecte La plupart des monuments pyramidaux ont une base carrée : en Egypte, au Louvre, en Amérique Latine…
La pyramide de boules
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mathematicien Le mot dU Mathematicien Une pyramide est un solide à faces triangulaires. Mais sa base peut être n’importe quel polygone. Vous venez de construire un tétraèdre, c’està-dire une pyramide à base triangulaire.
Le mot de l architecte La plupart des monuments pyramidaux ont une base carrée : en Egypte, au Louvre, en Amérique Latine…
La pyramide à 2 pièces
N O I T U L O S A L S R E V AS P T I T UN PE L’élasticité du film de savon l’oblige à prendre des formes surprenantes. La surface qu’il occupe est toujours la plus petite possible s’appuyant sur le contour imposé.
Le mot dU physicien Le film de savon est une couche d’eau coincée entre deux très fines couches de savon. La tension superficielle est très importante. Elle contraint le film à prendre une forme dont l’aire est la plus petite possible.
Le mot dU l architecte En architecture, les surfaces minimales ont l’avantage de faire apparaître les contraintes mécaniques les moins fortes et de diminuer la quantité de matériau utilisé. Frei Otto, architecte allemand né en 1925, est le concepteur du toit du stade olympique de Munich, qui met à profit la notion de surface minimale.
Stade Olympique de Munich/ Frei Otto/ 1972. Les contorsions du savon
N O I T U L O S A L S R E V AS P T I T UN PE Les œuvres d’Escher présentent ce que l’on appelle des transformations. Une même forme est utilisée et déplacée à plusieurs reprises selon des transformations géométriques particulières.
Le mot dU Mathematicien mathematicien On retrouve dans les œuvres d’Escher des translations (glissement dans une direction donnée), des symétries (retournement par rapport à un axe) ou encore des rotations (déplacement autour d’un point : le centre de rotation). Ces transformations géométriques conservent les mesures de la figure de départ.
Le mot dU biologiste On retrouve de nombreuses symétries dans la nature ! Les fleurs, les motifs formés par les pelages de certains animaux, les flocons de neige…
Les pavages d’Escher
N O I T U L O S A L S R E V AS P T I T UN PE Les différents éléments doivent être arrangés d’une certaine manière dans l’espace pour reproduire les modèles. Mais ils doivent également se superposer d’une manière précise dans le temps.
Le jeu des pochoirs
N O I T U L O S A L S R E V AS P T I T UN PE Avec 5 plaquettes de taille égale, la dernière de la pile dépasse totalement la longueur de la première. Pour que la pile ne s’effondre pas, il faut un subtil équilibre entre dépassement et position du centre de gravité ! La plus haute plaquette peut dépasser de 1/2 de celle sur laquelle elle repose, mais cette 2ème ne peut dépasser que de 1/4 pour que le centre de gravité de l’ensemble reste au-dessus de la 3ème, et cette 3ème doit dépasser au maximum de 1/6 et la 4ème de 1/8. Le surplomb vaudra ainsi 1/2 + 1/4 + 1/6 +1/8 ce qui donne un résultat supérieur à 1 !
mathematicien Le mot dU Mathematicien Est-il possible de continuer l’empilement indéfiniment ? Cette suite n’a aucune limite et sa somme augmente sans cesse. Théoriquement, l’empilement peut donc se continuer indéfiniment pour obtenir un dépassement aussi grand que l’on veut. 32 plaquettes seront nécessaires pour dépasser de deux fois la première. Et pour un surplomb de dix fois le premier, la pile serait plus haute que la Lune !
Le mot de l historien Le philosophe grec Zénon a été le premier à cerner le caractère déconcertant de l’infini il y a environ 2500 ans ; l’un de ses plus célèbres paradoxes étant « Achille et la tortue ».
L’escalier de la mort
N O I T U L O S A L S R E V AS P T I T UN PE Neuf carrés composent ce rectangle. On dit que ce rectangle est parfait car ses dimensions permettent de le décomposer seulement avec des carrés, qui sont tous de tailles différentes. Une seule disposition des pièces permet sa réalisation.
2a+b
3a+b 7a+b
4a
11a+b
b
a+b
a+2b
Le mot dU Mathematicien mathematicien
Si le plus petit carré a une surface « a » et celui dont la taille est juste supérieure « b », alors nous obtenons la répartition suivante.
2a+b
3a+b 7a+b
4a
11a+b
b
a+b
a+2b
Le mot de l historien Ce rectangle a été réalisé en 1925 par Z.Moron, avec pour dimensions d’origine 32 x 33 cm. Le rectangle parfait
N O I T U L O S A L S R E V AS P T I T UN PE A partir de formes géométriques 2D simples, on peut reconstituer des solides en 3D plus complexes. Chaque forme plane constitue une face du solide.
Le mot de l historien Il existe 5 solides de base que l’on appelle solides de Platon. Toutes leurs faces sont identiques, on les appelle des polyèdres réguliers. Platon les associait aux 5 éléments : le feu, la terre, l’air, l’eau, et pour le cinquième « le tout ». Polyédres les 5 solides de Platon
Sommets
Arêtes
Faces
Tétraèdre
4
6
4
Hexaèdre (ou cube)
8
12
6
Octaèdre
6
12
8
Dodécaèdre
20
30
12
Icosaèdre
12
30
20
Les polydrons
N O I T U L O S A L S R E V AS P T I T UN PE Les 7 morceaux s’inscrivent dans un grand carré… A partir de ceux-ci, une infinité de nouvelles formes complexes peut-être créée !
Le mot dU Mathematicien mathematicien La conservation de l’aire est indépendante de la forme. Si on utilise les mêmes pièces pour représenter deux objets de formes différentes, ils garderont la même surface.
Le mot dE L HISTORIEN Le TANGRAM, serait un jeu très ancien d’origine chinoise. La légende dit qu'un empereur chinois du 16ème siècle du nom de « Tan », fit tomber un carreau de faïence qui se brisa en 7 morceaux. Il n'arriva jamais à rassembler les morceaux pour reconstituer le carreau mais l'homme s'aperçut qu'avec les 7 pièces il était possible de créer des formes multiples, d'où l'origine du jeu de Tangram. Les 7 planches de la ruse
N O I T U L O S A L S R E V AS P T I T UN PE Dans la langue française, certaines lettres sont plus présentes que d’autres. C’est le « E» qui revient le plus souvent. Puis pour les consonnes, ce sont le « S » et le « T » que l’on retrouve le plus fréquemment.
Le mot dE L HISTORIEN Déchiffrer un message codé s’appelle la cryptanalyse. La méthode utilisée ici, découverte par Al-Kindi au IXe siècle, repose sur l’analyse de la fréquence d’apparition des lettres. Durant la seconde guerre mondiale, les Allemands utilisent les machines ENIGMA, qu’ils pensaient inviolables, pour coder des messages. En fait, s’inspirant largement des travaux des polonais, Alan Turing a mis au point des machines de cryptanalyse (les « bombes électromécaniques», ancêtres des premiers ordinateurs) qui ont permis aux britanniques de déchiffrer de nombreux messages allemands.
Enigma
Trouve le code
N O I T U L O S A L S R E V AS P T I T UN PE
Les classements et sériations sont à la base du raisonnement logique. Plus les critères de classement sont nombreux, plus celui-ci est complexe.
Les cylindres colorés
N O I T U L O S A L S R E V AS P T I T UN PE Le nombre de gratte-ciels visible change en fonction du point de vue choisi pour les observer. Placez-vous à des endroits stratégiques pour commencer ! Si un seul gratte-ciel est visible sur une ligne, c’est donc lui le plus haut de cette ligne.
Le mot dE L architecte Les architectes ou les dessinateurs industriels représentent des objets selon différents points de vue. Ils ne voient donc pas la même chose de face, de côté ou de dessus !
Les gratte-ciels
N O I T U L O S A L S R E V AS P T I T UN PE Avec un arrangement hexagonal, 13 boules entrent dans le cube. On peut faire entrer la 14ème grâce à l’arrangement cubique à faces centrées.
Le mot du mathematicien La proportion de volume occupé dans un espace donné est appelé «densité d’empilement ». Avec l’arrangement hexagonal, cette densité est de 68%. Avec l’arrangement cubique à faces centrées, elle est de 74%.
Le mot de l epicier Les épiciers le savent depuis longtemps par expérience !
Le mot du chimiste De nombreuses substances chimiques ont leurs atomes arrangés régulièrement : ce sont les structures cristallines. Les atomes du sel de cuisine, par exemple, suivent cet arrangement « cubique à faces centrées ». La boule manquante
N O I T U L O S A L S R E V AS P T I T UN PE Les solides peuvent rentrer dans le cube seulement s’ils y sont introduits d’une façon particulière. Pour certains, il existe plusieurs solutions.
Le mot du mathematicien La diagonale d’une face carrée vaut √2 fois le côté et la diagonale du cube vaut √3 fois le côté du cube. Toutes ces dimensions sont plus grandes que le côté.
1 √2
1
√3
1 1
1
Tout rentre dans le cube
N O I T U L O S A L S R E V AS P T I T UN PE Avec un nombre total de dés suffisamment grand, on arrive toujours au bout du serpent. La probabilité que la suite de dés rencontrés aboutisse au dernier dé du serpent augmente avec le nombre total de dés
Le mot du mathematicien La probabilité de tomber sur le dernier dé de la file correspond à la probabilité de tomber sur l’un des dés qui mène à celui-ci au cours du trajet. A chaque déplacement, dans les 6 dés suivants, il y en a toujours au moins un qui a été rencontré lors du premier trajet. Vous avez donc au maximum 5 chances sur 6 de ne pas tomber sur celui-ci. Pour une succession de 3 déplacements, la probabilité maximum de ne pas tomber sur un dé déjà rencontré est 5/6 x 5/6 x 5/6 0,58, soit 58%. Donc 42 % de tomber sur l’un d’eux. La probabilité diminue assez rapidement avec le nombre de déplacements. A l’inverse, celle de tomber sur un dé déjà rencontré augmente donc : 60% pour 5 déplacements, 84% pour 10 déplacements et plus de 97% pour 20 déplacements. Et justement, pour une file de 60 dés, vous effectuerez entre 10 et 20 déplacements !
Le mot du joueur Si vous jouez au 421, il y a 6 x 6 x 6 combinaisons possibles pour ces 3 dés. Vous avez donc 1 chance sur 216 de réussir ce coup de dés, soit moins de 0,5 % ! Si vous jouez au loto, 5 numéros et celui de la chance, vous avez 1 chance sur plus de 19 millions de gagner le gros lot… et à l’Euromillions 1 chance sur plus de 76 millions ! Alors bonne chance !!!
Le serpent de dés
N O I T U L O S A L S R E V AS P T I T UN PE Ce puzzle montre que l’aire du carré jaune ajoutée à celle du carré rouge est égale à celle du carré bleu. Après découpage et recomposition, deux surfaces égales ont la même aire. C’est le principe du puzzle ! Les côtés des carrés sont aussi les côtés du triangle rectangle témoin.
Le mot de pythagore Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Il existe plus de 300 démonstrations de ce théorème !
Le mot du macon Le triplet de Pythagore 3, 4, 5 est très utilisé pour vérifier, par exemple, que des murs sont « à l’équerre ». Il était déjà utilisé par les bâtisseurs égyptiens sous forme d’une corde à 13 nœuds.
Le mot de l historien Nous devons la première démonstration attestée de la propriété de Pythagore à Euclide (3e av. JC). On pense qu’il était déjà connu des babyloniens (vers 1800 avant JC), mais non prouvé.
Pythagore
N O I T U L O S A L S R E V AS P T I T UN PE Chaque dé a 2 faces rouges et 4 faces bleues. On s’attend à ce qu’un tiers des dés soit rouge à chaque fois. A la fin de l’expérience, les colonnes de dés devraient dessiner une fonction décroissante.
42
38
35
32
29
26
23
18
15
12
9
6
3
0
Le mot du mathematicien Le nombre de dés rouges décroît proportionnellement au nombre total de dés lancés, et le nombre de dés lancés décroît à chaque nouvelle étape. On appelle cela une décroissance exponentielle.
Le mot du biologiste En biologie, ce genre de courbe peut par exemple représenter l’élimination d’un produit dans le sang au cours du temps.
Le mystère des dés rouges