9. Euclide e la sua opera classica sviluppatasi in Alessandria

Sebbene privilegi la materia concreta, Aristotele deriva comunque le caratteristiche universali degli enti fisici mediante l’astrazione. In tal modo, la Matematica si occupa di concetti astratti dall’osservazione dei corpi, cioè i numeri e le figure geometriche. Il nostro introduce, in un modo molto prossimo a quello moderno, il concetto di definizione: è una proposizione che ci descrive una cosa, ma non ci assicura che questa esista. Da qui deriva l’esigenza di partire dall’introduzione di termini non definiti, cioè non ricavati da altri. Essi vengono accettati come verità generalizzate dall’esperienza e sono di due tipi: assiomi, verità comuni a tutte le scienze; postulati, principii primi di ogni singola scienza. I postulati non devono essere necessariamente auto evidenti: la loro verità deve essere confermata dalle conseguenze che se ne possono dedurre. In Geometria, esistono punti e rette; il punto è indivisibile (come un istante di tempo) ed ha una posizione spaziale: perciò, non può essere continuo con un altro punto e nessuna accumulazione di punti può dare una retta, che può essere invece generata dal moto di un punto nello spazio: questa è una definizione cinematica. Riguardo al concetto di infinito, Aristotele distingue tra infinito potenziale e infinito attuale, riconoscendo però soltanto la validità del primo. Ad esempio, i numeri interi sono potenzialmente infiniti, poiché è sempre possibile aggiungere 1 ad un qualsiasi numero, ottenendo il successivo; però l’insieme degli interi come infinito in quanto tale non esiste. La maggior parte delle grandezze non può neppure essere potenzialmente infinita; se lo fosse, sommandone una a se stessa ripetutamente si supererebbe il confine dell’universo. La maggiore realizzazione di Aristotele fu la fondazione della Logica, modellata sul ragionamento matematico. Gli assiomi fondamentali di essa sono: 1) il principio di identità, per cui ogni cosa è uguale a se stessa (A = A); 2) il principio di non-contraddizione, per cui una cosa non può essere uguale alla sua negazione (A non è non-A); 3) il principio del terzo escluso, per cui ogni affermazione deve essere o vera o falsa (tertium non datur). Questi tre principii sono il cuore della logica formale e costituiscono il metodo della dimostrazione deduttiva. Sul terzo, in particolare, si basa il metodo della dimostrazione indiretta o per assurdo. Su queste basi costruì pure il sillogismo, argomentazione (dimostrazione) dal generale al particolare.

9. Euclide e la sua opera classica, sviluppatasi in Alessandria

Tutta la matematica greca del periodo classico fu raccolta nelle opere di Euclide e Apollonio; si è così tramandata nei secoli successivi, giungendo fino ai nostri giorni. In particolare negli Elementi di Geometria di Euclide, trattato fondamentale per la cultura scientifica ed anche per la nascita della matematica moderna. Poco si sa della vita dell’autore, vissuto all’inizio del III secolo a.C., nato ad Atene (probabilmente nel 323 a.C.) e morto ad Alessandria d’Egitto nel 283 a.C. Da giovane aveva frequentato l’Accademia di Platone dove, a detta di Proclo (V secolo d.C.), era il più giovane dei discepoli. Alessandria diveniva allora il centro culturale più importante con la sua immensa Biblioteca, di cui Euclide fu direttore; inoltre,egli insegnò nel Museo, la scuola voluta da re Tolomeo I. Qui redasse la sua opera, che non è una semplice storia di tutta la matematica dei secoli precedenti. Infatti Euclide riordina tutta la materia che aveva a disposizione secondo il più rigoroso criterio logico-deduttivo, elaborando una trattazione della geometria razionale fondata sull’assunzione di alcuni concetti base e asserzioni elementari ammesse come vere. Sulla scia della tradizione, il Nostro ricava le proprietà essenziali delle figure dall’osservazione, costruendo le forme astratte sulle quali lavorerà l’intelletto. Per prima cosa, egli definisce gli oggetti dell’indagine: segmenti, angoli, triangoli, etc.; poi, riconoscendo che la Definizione di una cosa fa sempre uso di parole di cui sia noto il significato, ritiene necessario preporre pochi concetti come Enti primitivi o fondamentali, cioè non definiti a partire da altri. Per la Geometria sono: il punto, la retta, il piano.

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Per la verità, il Nostro dà all’inizio una definizione di questi oggetti in modo che siano a tutti riconoscibili intuitivamente. Così scrive: Punto è ciò che non ha parti; linea è lunghezza senza larghezza; linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai suoi punti, etc. Subito dopo enuncia cinque nozioni comuni o assiomi, verità valide per tutte le scienze e cinque postulati, sui quali fonda l’intera costruzione della Geometria. Gli assiomi sono i seguenti: 1) Cose (enti) uguali ad una stessa cosa sono uguali tra loro; 2) se a cose uguali si aggiungono cose uguali, le somme sono uguali; 3) se da cose uguali si sottraggono cose uguali, i resti sono uguali; 4) le cose che coincidono fra loro sono fra loro uguali; 5) il tutto è maggiore della sua parte. I postulati sono così enunciati: I) Da un punto qualsiasi si può condurre una retta ad ogni altro punto. II) Si può prolungare una linea retta finita continuamente in linea retta. III) Si può descrivere un cerchio con qualsiasi centro e qualsiasi raggio. IV) Tutti gli angoli retti sono uguali fra loro. V) Se una retta, venendo a cadere su altre due, forma gli angoli interni da una stessa parte minori di due angoli retti, allora le due rette prolungate indefinitamente si incontrano da quella parte.

I primi tre postulati affermano la possibilità di costruire rette e cerchi, pertanto sono asserzioni di esistenza per queste entità. Osserviamo che per Euclide la retta, definita nel I postulato, è il nostro segmento; però il II postulato ne afferma l’estensione infinita. Il V postulato afferma l’unicità della retta parallela ad una retta prefissata che passa per un punto esterno a questa. La formulazione data da Euclide, come vedremo più avanti, è utile per riconoscere le proprietà degli angoli formati da una coppia di rette parallele con una trasversale. Per quanto riguarda le nozioni comuni, è vero che esse valgono per qualsiasi disciplina scientifica, ma si attagliano particolarmente alla geometria. In particolare la quarta fonda il criterio di uguaglianza delle figure piane sulla congruenza, o sovrapponibilità di esse.

Come per le opere di tanti altri matematici e filosofi, anche di quella di Euclide non ci sono pervenuti manoscritti dell’autore. La sua opera è stata ricostruita sulla base di recensioni e commentari greci dei secoli successivi; la prima ben fatta si deve a Teone di Alessandria, matematico del IV secolo d.C., che fu poi tradotta in latino da Adelardo di Bath, filosofo e matematico britannico dell’XI secolo. Esistono anche altre traduzioni da commentari fatti dagli arabi. La versione completa oggi riconosciuta degli Elementi è composta di tredici libri. I primi quattro espongono tutta la geometria piana, come ancora si studia nella scuola media superiore. Dopo l’introduzione delle figure fondamentali, delle nozioni comuni e dei postulati, vengono i teoremi sui triangoli, le rette parallele, i parallelogrammi; poi, l’equivalenza dei poligoni, i teoremi di Pitagora ed Euclide e quelli sulla circonferenza. I libri V e VI trattano la teoria delle proporzioni e la similitudine; il VII, VIII e IX la teoria dei numeri; il X la classificazione delle grandezze incommensurabili; l’XI, XII e XIII la geometria solida e il metodo di esaustione per determinare le aree di figure curvilinee. Poiché la geometria euclidea è stata, come detto all’inizio, la base di tutta la matematica classica e moderna, e per la sua importanza fondamentale nella formazione culturale dell’individuo, cercheremo di darne un’esposizione che ne possa rendere il significato, pur nella sua incompletezza.

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