6. Importanza della scuola platonica. Eudosso e la proporzione tra grandezze

Egli non poteva rinnegare i suoi insegnamenti per evitare l’esecuzione della condanna; anzi, accettandola, testimoniava con la morte la giustezza del suo agire, ispirato dalla voce divina (il dàimon) che sentiva dentro di sé. Ovvero la coscienza, la voce dell’anima immortale che è in noi. Trascorsa così l’ultima notte e confortati i discepoli, bevve la cicuta. Questo avvenimento segnò in modo profondo Platone, che iniziò la costruzione del suo pensiero ispirandosi al maestro, posto al centro di molte delle sue opere scritte, i celebri Dialoghi. Nel 387 a.C. fondò la sua scuola di filosofia, la famosa Accademia, così denominata dal luogo ove sorse, che ricordava l’eroe ateniese Academo. Essa fu uno dei massimi centri culturali del mondo antico, durato oltre nove secoli; fu chiusa nel 529 d. C. da Giustiniano I, quando il Cristianesimo divenne religione di stato per l’impero bizantino. Per far capire quanto Platone ritenesse fondamentale la Matematica, sulla facciata della scuola fece scrivere: Non entri qui chi non sa di Geometria. Nel dialogo La Repubblica c’è una parte in cui discute quali siano le arti e le scienze più adatte all’educazione dei giovani, che inizia con la ginnastica (disciplina del corpo) e la musica. Le scienze migliori sono l’Aritmetica e la Geometria: esse sono sì utili nei commerci e nell’arte militare, ma soprattutto elevano l’uomo al grado di conoscenza più alto. Per Platone le idee sono innate, essendo state presenti nell’anima in una vita precedente; vengono poi dimenticate dopo la reincarnazione dovuta alla metempsicosi (concetto pitagorico). Pertanto la conoscenza si ottiene con l’anamnesi, lo sforzo di ricordarle, di riportarle alla luce. E’ affascinante il brano del Menone in cui Socrate interroga uno schiavo ignorante sul problema della duplicazione del quadrato di lato assegnato ; conducendo il discorso con domande opportune, che prevedono soltanto risposte affermative o negative, porta infine lo schiavo a concludere che il quadrato di superficie doppia è quello che ha per lato la diagonale del quadrato di partenza. Osserviamo che questo problema è proprio quello che esprime l’irrazionalità del rapporto tra la diagonale ed il lato del quadrato, che aveva messo in crisi la scuola pitagorica. Lo svolgimento del dialogo ha pure un tono brioso ed ironico, come è quasi sempre negli scritti di Platone, che sono anche opere di alto valore letterario.

6. Importanza della scuola platonica. Eudosso e la proporzione tra grandezze

La scuola platonica contribuì alla geometria migliorando le definizioni, ma soprattutto la dimostrazione delle proprietà delle figure per mezzo del procedimento della deduzione logica. Un suo allievo, Teeteto (il cui nome dà titolo ad un dialogo), fece un lavoro sugli irrazionali; il maggior progresso su questo argomento è però dovuto all’opera di Eudosso. Nato nel 408 a.C. a Cnido, città dorica dell’Asia Minore, anche questi si recò in Egitto per proseguire i suoi studi di matematica e astronomia. Tornato ad Atene, si unì all’Accademia nel 368. Poi tornò in patria, dove fece costruire un osservatorio astronomico. Morì nel 355 a.C. Allievo di Archita di Taranto, Eudosso fu il più grande matematico del periodo classico, secondo soltanto ad Archimede per gli storici. Introdusse i concetti fondamentali di: grandezza geometrica ( segmento, angolo, area, volume ), rapporto tra grandezze omogenee e proporzione, come uguaglianza tra due rapporti. Date due coppie di grandezze dello stesso genere, ad esempio: (A, B) appartenente all’insieme dei segmenti; (A, C) a quello degli angoli, si può scrivere: (1) A: B = C: D , ovvero : (1’) ! !

che si legge: “A sta a B come C sta a D”, se il rapporto tra due elementi del primo insieme è uguale al rapporto dei due elementi corrispondenti del secondo insieme.

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Nella definizione non si fa riferimento alla misura della grandezza, che sarà data dal rapporto di essa rispetto ad un elemento dello stesso insieme, scelto come campione; si dirà cioè: mis (A) = ! !!

, dove !! è il campione scelto come unità di misura della grandezza A ; ad esempio, per la lunghezza (segmento) si può scegliere come campione il centimetro oppure il pollice (feet), ottenendo così due diversi sistemi di unità di misura. Si noti però che i rapporti definiti nella (1’) sono adimensionali, sono cioè numeri puri, indipendenti dalle unità di misura che si vogliano scegliere per le grandezze geometriche (o fisiche). Dall’uguaglianza dei rapporti tra le grandezze A, B, C, D deriva poi quella tra i numeri che esprimono la loro misura : a, b, c, d, cioè : (2) a: b = c: d , da cui si ha : (3) a·d =b·c ;

“affinché quattro numeri costituiscano una proporzione numerica (2), è necessario e sufficiente che il prodotto degli estremi sia uguale a quello dei medi”. Se non si conosce uno di essi , ad esempio se : d = x , si ottiene l’equazione di primo grado:

(4) a·x = b·c ; risolvendola, si ricava il termine incognito tramite il rapporto : (5) x = !!! !

Ora, può accadere che due grandezze A, B siano commensurabili, cioè ammettano un sottomultiplo comune: in questo caso il loro rapporto è un numero razionale. Oppure, le due grandezze non hanno un sottomultiplo comune, quindi sono incommensurabili : in questo caso il loro rapporto è un numero irrazionale (in greco: álogos, “non pensabile”, “quindi “non razionale”) come nel caso della diagonale e del lato del quadrato, per cui: ! ! = ! . Scrivendo l’uguaglianza (1), o meglio la (1’) senza riferimento esplicito alla misura, Eudosso evita la definizione esplicita del numero irrazionale, ma afferma che esiste sempre un rapporto tra due grandezze omogenee: quindi riconosce la continuità degli enti geometrici (segmento, retta, piano) rispetto alla discontinuità propria dei numeri dell’aritmetica. L’opera di Eudosso sulla proporzione tra grandezze verrà poi inserita nel libro V degli Elementi di Euclide, influenzando tutto lo sviluppo successivo della Geometria. Ricordiamo ancora che il Nostro affermò in maniera ancora più esplicita dei suoi predecessori l’importanza della deduzione logica delle proprietà delle figure (cioè, la dimostrazione dei teoremi) sulla base di poche affermazioni iniziali, gli assiomi, definite e accettate come vere. Inoltre, fondò il cosiddetto metodo di esaustione per la determinazione di aree e volumi, che sarà poi sviluppato magistralmente da Archimede. Quando, molti secoli dopo – nel nostro Ottocento – si approfondirà la natura degli irrazionali, verrà definito l’insieme dei numeri reali, costituito dall’unione dei razionali e degli irrazionali. Si riconoscerà la continuità di codesto insieme e la sua corrispondenza biunivoca con i punti della retta geometrica, base per la costruzione della Geometria Analitica e dell’Analisi Matematica.

*da : ìper=sopra, e oìranios=celeste; il mondo delle idee è posto al di là del cielo. Urano è una divinità primitiva del pantheon greco.

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