Əziz abituriyentlər ! Hörmətli müəllimlər ! Sizə təqdim etdiyimiz “HƏNDƏSƏ” kitabı abituriyentlər, orta məktəb və litseylərin yuxarı sinif şagirdləri, hazırlıq kurslarının dinləyiciləri üçün mükəmməl şəkildə hazırlanmış bir vəsaitdir. Kitabın həmçinin müəllimlər, repetitorlar, hazırlıq kurslarının müəllimləri, xüsusi ilə gənc müəllimlər üçün köməkçi bir vəsait kimi çox faydalı olacağı şübhəsizdir. Kitabdan riyaziyyat müəllimliyinə hazırlaşan pedoqoji fakültələrin tələbələri də istifadə edə bilərlər. Kitabda TQDK – nın riyaziyyat proqramına daxil olan mövzular kifayət qədər geniş və ətraflı olmaqla yanaşı, konkret, əsas məqsədi hədəfləyən, anlaşıqlı bir dildə şərh olunmuşdur. Mövzuların izahı zamanı aşağıdakı kimi ardıcıllıq gözlənilmişdir: 1. Nəzəri hissə. 2. İzahlı suallar və məsələ nümunələri. 3. Test tapşırıqları, o cümlədən açıq və uyğunluq sualları. Bu cür yanaşma, mövzuların daha asan başa düşülməsi, rahat yadda qalması, şagirdlərin test tapşırıqları və digər sual nümunələrini əlverişli üsulla həll edə bilmələrində əhəmiyyətli rol oynadığı qənaitdəyik. Ümumilikdə vəsaitin strukturu, mövzuların yerləşdirilmə ardıcıllığı, mövzular arası əlaqə kimi nüanslar da nəzərə alınmış və yüksək peşəkarlıqla verilmişdir. Bu da mövzuların daha dərindən öyrənilməsi, test tapşırıqları və digər tip məsələlərin həlli zamanı səmərəli həll metodları seçmə vərdişləri üçün çox əhəmiyyətlidir. Təcrübəli müəllif və redaktor heyətinin birgə işinin nəticəsi olan vəsaitin abituriyentlər, yuxarı sinif şagirdləri və ixtisas müəllimlərinin masaüstü kitabına çevriləcəyinə inanırıq. Hər birinizə uğurlar arzulayırıq!
İÇİNDƏKİLƏR HƏNDƏSƏNİN İLKİN ANLAYIŞLARI.......................................................................................12 Ən sadə həndəsi fiqurlar və onların xassələri...........................................................................12 Parça............................................................................................................................12 Yarımdüzxətt və ya şüa...................................................................................................12 Tamamlayıcı yarımdüzxətlər...........................................................................................12 Bucaq...........................................................................................................................12 Açıqbucaq.....................................................................................................................13 Üçbucaq........................................................................................................................13 Paralel düz xətlər...........................................................................................................13
Planimetriyanın aksiomları.....................................................................................................13 Bucaqların növləri...................................................................................................................14 Bucaqların müqayisəsi............................................................................................................15 Bucağın tənböləni....................................................................................................................15 Qonşu və qarşılıqlı bucaqlar....................................................................................................15 Perpendikulyar düz xətlər.......................................................................................................16 Mail və onun proyeksiyası.......................................................................................................17 İki düz xəttin üçüncü düz xətlə kəsişməsindən alınan bucaqlar...............................................18 Daxili birtərəfli bucaqlar.................................................................................................18 Daxili çarpaz bucaqlar....................................................................................................18 Uyğun bucaqlar.............................................................................................................18 Düz xətlərin paralellik əlamətləri.....................................................................................18 Uyğun tərəfləri paralel və perpendikulyar olan bucaqlar....................................................20 Bəzi əlavə qeydlər...........................................................................................................21
TEST – 1.................................................................................................................................22 TEST – 2.................................................................................................................................26 TEST – 3.................................................................................................................................29
ÜÇBUCAQLAR...............................................................................................................................32 Üçbucaq və onun əsas elementləri...........................................................................................32 Üçbucağın perimetri.......................................................................................................32 Üçbucağın hündürlüyü...................................................................................................32
Üçbucağın medianı.........................................................................................................33 Üçbucağın tənböləni.......................................................................................................34 Median, tənbölən və hündürlük arasındakı münasibət........................................................35 Üçbucağın orta xətti.......................................................................................................36
Bərabəryanlı üçbucaq..............................................................................................................36 Bərabərtərəfli üçbucaq............................................................................................................37 Üçbucaq bərabərsizliyi............................................................................................................38 Üçbucağın daxili bucaqlarının cəmi.........................................................................................38 Üçbucağın xarici bucağı və onun xassəsi..................................................................................39 Üçbucaqda tərəflər və bucaqlar arasındakı uyğunluq.............................................................39 Düzbucaqlı üçbucaq................................................................................................................41 Düzbucaqlı üçbucaqda bəzi metrik münasibətlər...............................................................42 Pifaqor teoremi..............................................................................................................43 Düzbucaqlı üçbucağın tərəfləri arasındakı münasibət.........................................................44
Üçbucaqların bərabərlik əlamətləri.........................................................................................46 Düzbucaqlı üçbucaqların bərabərlik əlamətləri.......................................................................46 Üçbucaqların həlli...................................................................................................................47 Kosinuslar teoremi.........................................................................................................47 Sinuslar teoremi.............................................................................................................47 Üçbucağın xaricinə və daxilinə çəkilmiş çevrələr haqqında..................................................48 Üçbucağın xaricinə çəkilmiş çevrə.............................................................................48 Üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrə.............................................................................49
TEST – 1.................................................................................................................................51 TEST – 2.................................................................................................................................55 TEST – 3.................................................................................................................................58
ÇEVRƏ.............................................................................................................................................62 Çevrənin əsas elementləri........................................................................................................62 Radius..........................................................................................................................62 Vətər............................................................................................................................62 Diametr.........................................................................................................................62 Toxunan........................................................................................................................62 Kəsən............................................................................................................................62
İki çevrənin qarşılıqlı vəziyyəti................................................................................................62 Çevrədə bucaqlar....................................................................................................................63 Mərkəzi bucaq...............................................................................................................63 Daxilə çəkilmiş bucaq.....................................................................................................64 İki vətərin əmələ gətirdiyi bucaq......................................................................................65 İki kəsənin əmələ gətirdiyi bucaq.....................................................................................65 İki toxunanın əmələ gətirdiyi bucaq..................................................................................66 Toxunanla vətərin əmələ gətirdiyi bucaq...........................................................................66 Toxunanla kəsənin əmələ gətirdiyi bucaq..........................................................................66
Çevrədə metrik münasibətlər..................................................................................................67 Çevrənin uzunluğu. ədədi...................................................................................................68 Bucağın radian ölçüsü.............................................................................................................69 Dərəcə ölçüsündən radian ölçüsünə keçid................................................................................69 Radian ölçüsündən dərəcə ölçüsünə keçid...............................................................................70 Çevrə qövsünün uzunluğu.......................................................................................................70 TEST – 1.................................................................................................................................72 TEST – 2.................................................................................................................................76 TEST – 3.................................................................................................................................80
DÖRDBUCAQLILAR.....................................................................................................................84 Dördbucaqlının əsas elementləri..............................................................................................84 Paraleloqram...........................................................................................................................85 Düzbucaqlı..............................................................................................................................87 Romb.......................................................................................................................................88 Kvadrat...................................................................................................................................89 Trapesiya.................................................................................................................................90 Fales teoremi...........................................................................................................................91 Dördbucaqlının daxilinə və xaricinə çəkilmiş çevrələr haqqında.............................................91 TEST – 1.................................................................................................................................94 TEST – 2.................................................................................................................................98 TEST – 3...............................................................................................................................102
ÇOXBUCAQLILAR......................................................................................................................106 Sınıq xətt...............................................................................................................................106 Qabarıq çoxbucaqlılar...........................................................................................................106 Düzgün çoxbucaqlılar............................................................................................................107 Düzgün çoxbucaqlının xaricinə və daxilinə çəkilmiş çevrələr haqqında.................................109 TEST – 1...............................................................................................................................111 TEST – 2...............................................................................................................................114 TEST – 3...............................................................................................................................118
FİQURLARIN SAHƏSİ................................................................................................................121 Üçbucağın sahəsi...................................................................................................................121 Tərəf və bu tərəfə çəkilmiş hündürlüyə görə....................................................................121 İki tərəf və onlar arasındakı bucağa görə........................................................................121 Üç tərəfə görə..............................................................................................................121 Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi.........................................................................................122 Bərabərtərəfli üçbucağın sahəsi.....................................................................................122 Üçbucağın sahəsi ilə əlaqədar bəzi mühüm təkliflər..........................................................123
Qabarıq dördbucaqlının sahəsi..............................................................................................125 Düzbucaqlının sahəsi.............................................................................................................125 Paraleloqramın sahəsi...........................................................................................................126 Tərəf və bu tərəfə çəkilmiş hündürlüyə görə....................................................................126 İki tərəf və onlar arasındakı bucağa görə........................................................................126 Diaqonallar və onlar arasındakı bucağa görə...................................................................126
Rombun sahəsi......................................................................................................................126 Tərəf və hündürlüyə görə..............................................................................................126 Tərəf və bucağa görə.....................................................................................................127 Diaqonallara görə.........................................................................................................127
Kvadratın sahəsi....................................................................................................................127 Tərəfə görə..................................................................................................................127 Diaqonala görə.............................................................................................................127
Trapesiyanın sahəsi...............................................................................................................128 Dairə və onun hissələrinin sahəsi...........................................................................................129 Dairənin sahəsi.............................................................................................................129
Dairə sektorunun sahəsi................................................................................................129 Dairə seqmentinin sahəsi...............................................................................................130 Dairə halqasının sahəsi.................................................................................................131
Oxşaq fiquların sahələri haqqında.........................................................................................131 Çoxbucaqlıların sahələrinin hesablanması haqqında.............................................................132 TEST – 1...............................................................................................................................134 TEST – 2...............................................................................................................................138 TEST – 3...............................................................................................................................141 TEST – 4...............................................................................................................................144
FİQURLARIN OXŞARLIĞI. SİMMETRİYA...........................................................................147 Oxşar çevrilmə......................................................................................................................147 Homotetiya çevrilməsi...........................................................................................................147 Hərəkət..................................................................................................................................147 Nöqtəyə nəzərən simmetriya..................................................................................................147 Düz xəttə nəzərən simmetriya................................................................................................148 Müstəvidə simmetriya ilə əlaqədar bəzi təkliflər....................................................................148 Fəzada simmetriya ilə əlaqəli bəzi təkliflər............................................................................150 Paralel köçürmə....................................................................................................................151 Üçbucaqların oxşarlıq əlamətləri...........................................................................................151 İki bucağa görə oxşarlıq əlaməti.....................................................................................151 İki tərəf və onlar arasındakı bucağa görə oxşarlıq............................................................151 Üç tərəfə görə oxşarlıq..................................................................................................152
Düzbucaqlı üçbucaqda mütənasib parçalar...........................................................................152 Çevrədə oxşarlıqlarla əlaqəli bəzi münasibətlər.....................................................................153 Oxşar fiqurların perimetrləri və sahələrinin nisbətləri haqqında..........................................154 TEST – 1...............................................................................................................................156 TEST – 2...............................................................................................................................159 TEST – 3...............................................................................................................................162 VEKTORLAR. KOORDİNATLAR METODU................................................................................165 Müstəvidə dekart koordinat sistemi.......................................................................................165 Parçanın ortasının koordinatlarının təyin edilməsi (müstəvidə) ...........................................165
İki nöqtə arasındakı məsafə düsturu (müstəvidə) .................................................................166 Təpə nöqtələrinin koordinatları verilmiş üçbucağın sahəsi düsturu......................................166 Fəzada Dekart koordinat sistemi...........................................................................................166 Parçanın ortasının koordinatlarının təyin edilməsi (fəzada) ..............................................167 Fəzada iki nöqtə arasındakı məsafə düsturu....................................................................167
Vektorlar: müstəvidə və fəzada............................................................................................167 Vektorun müstəvidə koordinatları.................................................................................168 Vektorun fəzada koordinatları.......................................................................................170 Vektorların toplanması və çıxılması................................................................................171 Üçbucaq qaydası..............................................................................................171 Paraleloqram qaydası.......................................................................................171 Vektorun ədədə vurulması............................................................................................174 Kollinear vektorlar.......................................................................................................174 Kollinearlıq şərti..............................................................................................174 Verilmiş vektora kollinear olan vahid vektorun tapılması......................................175 Vektorların skalyar hasili..............................................................................................176 İki vektor arasındakı bucağın təyin edilməsi....................................................................177
Düz xəttin tənliyi...................................................................................................................178 Düz xəttin ümumi şəkildə tənliyi....................................................................................178 Düz xəttin koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrinin koordinatlarının təyin edilməsi............178
İki düz xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarının təyin edilməsi...........................179 Tənlikləri ümumi şəkildə verilmiş iki düz xəttin qarşılıqlı vəziyyəti........................179 Düz xəttin bucaq əmsalı ilə tənliyi..................................................................................180 Tənlikləri bucaq əmsalı ilə verilmiş iki düz xəttin qarşılıqlı vəziyyəti......................182
İki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyi..........................................................................182 Düz xəttin ümumi şəkildə tənliyindən bucaq əmsallı tənliyə keçid......................................183
Çevrənin tənliyi.....................................................................................................................183 Çevrənin ümumi şəkildə tənliyi......................................................................................183 Bəzi xüsusi hallarda çevrə tənliyi....................................................................................184 Nöqtədən çevəyə qədər məsafə.......................................................................................187 Çevrədən çevrəyə qədər məsafə......................................................................................187
TEST – 1...............................................................................................................................188 TEST – 2...............................................................................................................................191
TEST – 3...............................................................................................................................194
FƏZADA DÜZ XƏTT VƏ MÜSTƏVİLƏR................................................................................197 Müstəvinin varlığına aid təkliflər..........................................................................................197 Fəzada düz xətlərin qarşılıqlı vəziyyəti..................................................................................197 Fəzada düz xətlərin paralellik əlaməti...................................................................................198 Fəzada düz xətt və müstəvilərin qarşılıqlı vəziyyəti...............................................................198 Düz xətt və müstəvinin paralellik əlaməti..............................................................................198 Fəzada müstəvilərin qarşılıqlı vəziyyəti.................................................................................199 Paralel müstəvilərin xassələri................................................................................................199 Fəzada perpendikulyarlıq......................................................................................................199 Fəzada düz xətlərin perpendikulyarlığı...........................................................................199 Düz xətlə müstəvinin perpendikulyarlığı.........................................................................199 Müstəvilərin perpendikulyarlığı.....................................................................................199
Perpendikulyar və mail.........................................................................................................200 Nöqtədən müstəviyə qədər məsafə.........................................................................................201 Çarpaz düz xətlər arasındakı bucaq və məsafə......................................................................201 Üç perpendikulyar haqqında teorem.....................................................................................202 Düz xətlə müstəvi arasındakı bucaq......................................................................................202 Müstəvilər arasındakı bucaq.................................................................................................203 Çoxbucaqlının ortoqonal proyeksiyasının sahəsi...................................................................203 TEST – 1...............................................................................................................................205 TEST – 2...............................................................................................................................208 TEST – 3...............................................................................................................................211
ÇOXÜZLÜLƏR..............................................................................................................................214 İkiüzlü, üçüzlü, çoxüzlü bucaqlar..........................................................................................214 Çoxüzlülər.............................................................................................................................214 Prizma........................................................................................................................215 Düz prizma..................................................................................................................215 Mail prizma.................................................................................................................216 Paralelepiped...............................................................................................................217 Düzbucaqlı paralelelipiped............................................................................................217
Kub............................................................................................................................217 Piramida.....................................................................................................................218 Oturacağı daxilinə və xaricinə çevrə çəkilə bilən piramidanın xassələri...................219 Piramidada paralel kəsiyin xassələri...................................................................220 Piramidanın səthinin sahəsi...............................................................................221 Piramidanın həcmi...........................................................................................222 Kəsik piramida............................................................................................................222 Kəsik piramidanın səthinin sahəsi......................................................................223 Kəsik piramidanın həcmi..................................................................................224 Düzgün çoxüzlülər.......................................................................................................224 Oxşar çoxüzlülərin həcmləri nisbəti...............................................................................225
TEST – 1...............................................................................................................................227 TEST – 2...............................................................................................................................229 TEST – 3...............................................................................................................................231
FIRLANMA CİSİMLƏRİ.............................................................................................................233 Silindr...................................................................................................................................233 Konus....................................................................................................................................235 Kəsik konus...........................................................................................................................235 Sfera, kürə və onun hissələri..................................................................................................236 Kürə sektoru...............................................................................................................237 Kürə seqmenti.............................................................................................................237 Kürə qatı və sfera qurşağı.............................................................................................237
Biri digərinin daxilinə və ya xaricinə çəkilmiş çoxüzlü və fırlanma cisimləri.........................237 TEST – 1...............................................................................................................................239 TEST – 2...............................................................................................................................242 TEST – 3...............................................................................................................................245