Znali bomo
Æ pravila za deljivost z 4, 8, 25 in 125, Æ uporabiti omenjena pravila.
koreniti racionalna števila delno koreniti Æ racionalizirati imenovalec
a a2 ( )2 4 16 ( )2
32 = 9 = 3
( 3)2 = 3 3 = 3 3 =
= 9 = 3
Kvadriranje in korenjenje sta obratni računski operaciji, zato si pri korenjenju pomagamo z lastnostmi kvadratov.
Pri korenjenju si lahko pomagamo s tabelami ali z žepnim računalom. Kvadratni koren števila 36 izračunamo tako, da vtipkamo:
√ 3 6 =
Pozor
Korenjenje je obratna računska operacija od kvadriranja. Zapišemo jo s posebnim znakom.
vrednost kvadratnega korena
a = b
korenski znak korenjenec (osnova)
Kvadratni koren števila a je število b, ki ga moramo kvadrirati, da dobimo število a. Število, ki ga korenimo, imenujemo korenjenec. Korenjenec (x) in vrednost kvadratnega korena (y) sta vedno pozitivni števili, razen za število 0 ( 0 = 0).
1 = 1, ker je 12 = 1 36 = 6, ker je 62 = 36 121 = 11, ker je 112 = 121
Kvadratni koren nenegativnega števila a je nenegativno število b, ki ga moramo kvadrirati, da dobimo število a Računsko operacijo, s katero dobimo kvadratni koren, imenujemo korenjenje
Zapomnim si
a = b natanko tedaj, ko je a = b2
Kvadriranje in korenjenje sta obratni računski operaciji.
a2 = a in ( a)2 = a ∙ a = a
Kvadratni koren zmnožka
Pri korenu zmnožka si pomagamo s pravili, ki veljajo za zmnožek kvadratov:
36 ∙ 49 = 36 ∙ 49 = 6 ∙ 7 = 42, ker je (6 ∙ 7)2 = 62 ∙ 72 = 36 ∙ 49
Zapomnim si
Kvadratni koren zmnožka dveh števil je enak zmnožku kvadratnih korenov teh dveh števil (korenimo vsak faktor posebej).
a ∙ b = a ∙ b
Kvadratni koren količnika
Tudi pri korenu količnika si pomagamo s pravili za kvadriranje.
Množica iracionalnih števil
Če je korenjenec popolni kvadrat, lahko preprosto izračunamo kvadratni koren, npr: 81 = 9, ker je 92 = 81. Če pa korenjenec ni popolni kvadrat, kvadratni koren ni naravno število. Vrednosti teh kvadratnih korenov lahko ocenimo.
4 < 6 < 9 Najprej poiščemo številu 6 najbližja popolna kvadrata ter njune kvadratne korene.
2 < 6 < 3 Ugotovimo, da je 6 večji od 2 in manjši od 3.
Nekateri kvadratni koreni imajo neskončno decimalk, ki se ne ponavljajo.
V takšnih primerih uporabimo približek.
2 = 1,414213562 … 8 1,41
3 = 1,732050808 … 8 1,73
Kot že nekajkrat doslej, moramo množico števil, ki jo že poznamo, razširiti.
Množica racionalnih števil namreč ne vsebuje neskončnih neperiodičnih decimalnih števil. Dodamo ji množico neskončnih neperiodičnih decimalnih
števil, ki jo imenujemo množica iracionalnih števil. Racionalna in iracionalna števila skupaj sestavljajo množico realnih števil, ℝ.
3 1 8 0 –1 –5
3,2 –10,6 ℕ ℤ ℚ ℝ 1 2 2 7 5 I
ℕ , ℤ , ℚ , ℝ, I , ℝ
Zapomnim si
a + b ≠ a + b
16 + 9 ≠ 16 + 9
5 ≠ 4 + 3
Približek kvadratnega korena števila 6 na eno decimalko natančno je 2,4.
6 8 2,4
Če na številski premici s točkami prikažemo vsa racionalna števila, ostanejo na premici točke, ki niso slike nobenega racionalnega števila.
Te točke pripadajo slikam iracionalnih števil. Racionalna in iracionalna števila skupaj prekrijejo celotno številsko premico, ki jo lahko imenujemo tudi realna os
Množico iracionalnih števil sestavljajo števila, ki jih ne moremo zapisati s končno decimalno številko niti s periodično decimalno številko.
Množico realnih števil sestavljata množica racionalnih števil in množica iracionalnih števil skupaj.
Delno korenjenje in racionalizacija imenovalca (neobvezne vsebine) Pogosto bi radi le približno ocenili vrednost kvadratnega korena večjega števila, npr. 18. Če se da, število zapišemo kot zmnožek dveh števil in korenimo oba faktorja. Prvi je kvadrat racionalnega števila in ga lahko korenimo, drugi pa je iracionalno število in ga pustimo pod korenskim znakom. Takšno operacijo imenujemo delno korenjenje.
9 25 = 9 25 = 3 5 , ker je 3 52 = 9 25
Kvadratni koren količnika dveh števil je enak količniku kvadratnih korenov teh dveh števil (korenimo števec posebej in imenovalec posebej). a b = a b; b ≠ 0
Zapomnim si
Tudi pri korenjenju količnika ravnamo podobno. Da se znebimo korena v imenovalcu, si pomagamo tako, da števec in imenovalec pomnožimo z istim številom (s korenom iz imenovalca). Imenovalec smo tako racionalizirali.