UNIDAD: 1
MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS Y CIRCULARES. INTRODUCCIÓN A LA CINEMÁTICA
ÍNDICE 1. La percepción del tiempo y el espacio 2. Descripción del movimiento 2.1. Instante e intervalo de tiempo 2.2. Posición y trayectoria 2.3. Desplazamiento y espacio recorrido
3. Velocidad 3.1. El vector velocidad 3.2. Clasificación de los movimientos
4. Movimiento Rectilíneo y Uniforme (MRU) 4.1. Gráficas del MRU 4.2. Ecuación del MRU 4.3. Composición de movimientos rectilíneos y uniformes
5. Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA) 5.1. Aceleración 5.2. Gráficas del MRUA 5.3. Ecuaciones del MRUA 5.4. Estudio de un caso particular: la caída libre
6. Movimiento circular uniforme 6.1. Ángulo recorrido 6.2. Velocidad lineal y velocidad angular 6.3. Gráficas y ecuaciones del movimiento circular uniforme (MCU)
1. LA PERCEPCIÓN DEL TIEMPO Y EL ESPACIO Cinemática: parte de la Física que estudia los movimientos, independientemente de la causa que los produce. El movimiento se basa en dos magnitudes fundamentales: espacio y tiempo.
2. DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO Un móvil se encuentra en movimiento si cambia su posición al transcurrir el tiempo con respecto a un punto fijo e invariable que tomamos como referencia. Si esa posición se mantiene constante y no varía con el tiempo, el móvil se halla en reposo. El estado de reposo o movimiento de un objeto es relativo al punto que se tome como referencia.
2.1. INSTANTE E INTERVALO DE TIEMPO Tiempo: magnitud fundamental del SI., su unidad es el segundo (s) Instante de tiempo: valor que marca el aparato de medida en un momento dado. Intervalo de tiempo (Δt): tiempo que transcurre entre dos instantes determinados: tiempo final – tiempo inicial: Δt = tfinal - tinicial
Δ se utiliza para indicar la diferencia entre dos valores de una magnitud, es decir, su variación
2.2. POSICIÓN Y TRAYECTORIA
La posición es el lugar en que se encuentra el móvil respecto al punto tomado como referencia en un instante de tiempo dado. La trayectoria es la línea que une las posiciones sucesivas por las que pasa el móvil.
2.2. POSICIÓN Y TRAYECTORIA MAGNITUDES VECTORIALES Y ESCALARES Magnitudes escalares: basta con indicar su valor para comprenderlas. Magnitudes vectoriales: además de indicar su valor es necesario indicar la dirección y el sentido. Cinemática ≈ son magnitud vectoriales: posición, desplazamiento, velocidad y aceleración.
2.2. POSICIÓN Y TRAYECTORIA La posición del móvil viene determinada por el vector posición (r), cuyo origen es el punto de referencia y cuyo extremo se localiza en el lugar ocupado por el móvil. Si es una línea recta, necesitamos solamente un eje donde:
La posición es positiva (X > 0) si el móvil está a la derecha del punto de referencia. La posición es negativa (x < 0) si el móvil se sitúa a la izquierda del punto de referencia. La posición es cero (X = 0) si el móvil está exactamente en el punto de referencia.
2.3. DESPLAZAMIENTO Y ESPACIO RECORRIDO
El desplazamiento (Δr) de un móvil en un intervalo de tiempo es la diferencia entre las posiciones que ocupa en el instante final y en el instante inicial. El espacio recorrido (s) es la longitud que recorre medida sobre la trayectoria.
EJEMPLO
Un peatón recorre 200 m hacia el norte, 300 m hacia el este y 150 m hacia el oeste. Calcula el espacio recorrido y el desplazamiento realizado por el peatón.
EJERCICIOS
Realiza los ejercicios: 3, 5, 6, 7, 8 y 9 de la pรกgina 98 del libro de texto
3. VELOCIDAD La velocidad es una magnitud derivada que aparece cuando un móvil se mueve. La velocidad media (vm ) de un móvil se define como el cociente entre el desplazamiento que ha tenido lugar y el intervalo de tiempo empleado para ello. La velocidad instantánea (v) es la velocidad que tiene el móvil en un instante de tiempo dado.
3. VELOCIDAD La unidad de la velocidad en el SI es el metro por segundo (m/s), pero es muy frecuente observarlo en kilómetro por hora (km/h). Cálculo de la vm en una trayectoria rectilínea:
Signo de la velocidad:
Velocidad positiva → el móvil se desplaza hacia la derecha con respecto al punto de referencia Velocidad negativa →el móvil se mueve hacia la izquierda de dicho punto
3. VELOCIDAD ď&#x192;&#x2019;
Un ciclista se desplaza por una carretera recta. Utiliza los datos del dibujo para calcular la velocidad del ciclista en cada intervalo de tiempo.
Realiza el ejercicio: 5 de la pĂĄgina 82 del libro de texto
3.1.EL VECTOR VELOCIDAD Al ser el desplazamiento un vector, la velocidad también lo es. La velocidad instantánea es un vector tangente a la trayectoria cuyo sentido coincide con el movimiento. Si la trayectoria es una recta, el vector velocidad siempre mantiene la misma dirección. Si la trayectoria es una curva, la dirección del vector velocidad varía dependiendo del instante analizado.
3.2. CLASIFICACIÓN DE LOS MOVIMIENTOS Movimientos
Según su trayectoria
Rectilíneos
(trayectoria: línea recta)
Curvilíneos
(trayectoria: no línea recta)
Circulares
(trayectoria = circunferencia)
Según su velocidad
Uniformes (velocidad constante)
Variados
(velocidad NO constante)
Acelerados (aumenta su velocidad)
Retardados (disminuye su velocidad)
LÍMITES DE VELOCIDAD Cuando circulamos por una carretera en coche, en moto, o con cualquier otro vehículo, debemos adecuar nuestra velocidad a los límites establecidos por las normas de circulación. Multitud de señales nos avisan de los límites máximos permitidos (circulares en color rojo con fondo blanco) o de la velocidad aconsejada en determinados tramos, como puede ser una curva peligrosa (circular con fondo azul)
EJEMPLO
Calcula la velocidad media de estos móviles que se mueven con movimiento rectilíneo y asígnale su signo de acuerdo con los datos que se dan: a) b)
El móvil se ha movido 200 m hacia la izquierda y ha invertido 4 minutos El móvil se encuentra 10 m a la izquierda del punto de referencia en el instante t = 3 s, y en el instante t = 15 s, 30 m a la derecha de dicho punto
EJERCICIOS
Realiza el ejercicio: 7 de la pรกgina 83 del libro de texto
Realiza los ejercicios: 11, 14 y 15 de la pรกgina 98 del libro de texto
4. MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORME Se denomina MRU al movimiento cuya trayectoria es una línea recta y cuya velocidad es constante. El móvil recorre la misma distancia para intervalos de tiempo iguales. La velocidad media debe coincidir con la velocidad instantánea.
4.1. GRÁFICAS DEL MRU GRÁFICA POSICIÓN – TIEMPO Línea recta cuya pendiente coincide con su velocidad.
GRÁFICA VELOCIDAD – TIEMPO Es una línea horizontal ya que la velocidad no varía.
4.1. GRÁFICAS DEL MRU
Ejemplo:
Juan y Alicia trabajan en la misma oficina. La siguiente gráfica describe los movimientos realizados por Juan, tomando como punto de referencia la mesa de Alicia. Interpreta el significado de cada tramo. TRAMO A En el instante inicial, Juan se encuentra a 3 m a la derecha de la mesa de Alicia. Se desplaza con MRU hacia la derecha (recta ascendente). Su velocidad en ese tramo es: TRAMO B La posición no cambia con el tiempo, Juan se encuentra en reposo durante 25 s, a 8 m de Alicia.
4.2. ECUACIÓN DEL MRU
Consta de una dependencia lineal entre la posición y el tiempo:
Donde: X, es la posición del móvil en un instante de tiempo. (m) X0, es la posición inicial del móvil. (m) V, es la velocidad del móvil en ese instante. (m/s) t, es el tiempo. (s)
EJERCICIOS
Realiza los ejercicios: 10 y 11 de la pรกgina 85 del libro de texto
Realiza los ejercicios: 12 y 13 de la pรกgina 86 del libro de texto
IMPRESIONANTE En uno de sus vuelos experimentales, la NASA consiguió que su prototipo supersónico X – 43 A, impulsado por motores atmosféricos, alcanzara la velocidad de mach 9.8 durante unos 10 s. Para que te hagas una idea, piensa que 1 mach equivale a la velocidad del sonido, es decir, 340 m/s, lo que significa que el avión alcanzó la sorprendente velocidad de 3300 m/s, casi 12000 km/h. NASA: National Aeronautics and Space Administration
4.3. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS Y UNIFORMES Imagina que cruzamos un río en una barca con MRU. La posición que alcanzaremos tras cruzarlo, será una situación como la del dibujo:
Nuestro movimiento, y la trayectoria que describimos, es el resultado de la combinación de dos movimientos simultáneos e independientes: el de avance de la barca y el de la corriente de agua. Es decir, hablamos de composición de movimientos.
4.3. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS Y UNIFORMES Tenemos que tener presente que los desplazamientos se realizan en 2 direcciones (x e y), perpendiculares, en este ejemplo. Si X = X0 + V · t, como X0 = 0, tenemos: X = V · t Corriente: X = 0.5 · t Avance: Y = 3 · t Si el río tiene una anchura de 120, tenemos: 120 = 3 · t → t = 120 / 3 → t = 40 s En ese tiempo (40 s) la corriente habrá desplazado a la barca hacia la derecha: x = 0.5 · 40 = 20 m AMBOS MOVIMIENTOS SON INDEPENDIENTES, se calculan por separado. Pero, lo que nosotros observamos es un solo movimiento rectilíneo desde la posición inicial a la posición final, situada en la orilla opuesta y 20 m hacia la derecha.
EJERCICIOS
Realiza los ejercicios: 15, 16 y 17 de la pรกgina 87 del libro de texto
5. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MRUA)
Es aquel cuya trayectoria es una línea recta y cuya velocidad aumenta o disminuye de forma lineal con el tiempo.
5.1. ACELERACIÓN
Aceleración (a): magnitud que cuantifica la variación de la velocidad respecto al tiempo. Aceleración media (am): se define como el cociente entre la variación de la velocidad experimentada por el móvil y el intervalo de tiempo invertido en esa variación Donde: am → Aceleración media (m/s2) V → Velocidad (m/s) t → Tiempo (s) 2 → Situación final 1 → Situación inicial
5.1. ACELERACIÓN Si la velocidad aumenta → ΔV >0, es decir, la aceleración es positiva. Si la velocidad disminuye → ΔV <0, es decir, la aceleración es negativa. Si la aceleración del móvil es constante hablamos de un movimiento uniformemente acelerado (su velocidad varía de forma lineal respecto al tiempo). En este caso podemos clasificar a los movimientos en 2 tipos:
1. 2.
MRUA: donde la aceleración es constante y positiva MRUR: donde la aceleración es constante y negativa
EJERCICIOS
Realiza los ejercicios: 18, 19 y 20 de la pรกgina 88 del libro de texto
5.2. GRÁFICAS DEL MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO
Gráficas posición tiempo
A intervalos de tiempo iguales, el desplazamiento es cada vez mayor. El móvil va aumentando su velocidad: es un movimiento acelerado.
A intervalos de tiempo iguales, el desplazamiento es cada vez menor. El móvil va disminuyendo su velocidad: es un movimiento retardado.
5.2. GRÁFICAS DELMOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO
Gráficas velocidad – tiempo
La gráfica en un MRUA es una línea recta, ascendente si el movimiento es acelerado o descendente si es retardado. La pendiente de la gráfica proporciona el valor de la aceleración.
5.2. GRÁFICAS DEL MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO
Gráficas aceleración – tiempo
EJERCICIOS
Realiza los ejercicios: 21 y 22 de la pรกgina 89 del libro de texto
Realiza los ejercicios: 27 y 28 de la pรกgina 99 del libro de texto
5.3. ECUACIONES DEL MRUA
Donde: X → posición (m) X0 → posición inicial (m) V → velocidad en un instante (m/s) V0 → velocidad inicial (m/s) t → tiempo (s) a →aceleración (m/s2) S → desplazamiento (X – X0) (m)
EJEMPLO
Un móvil parte del reposo en línea recta a 30 m a la izquierda del punto de referencia con una aceleración constante de 5 m/s 2. Halla su velocidad cuando han transcurrido 0.3 minutos, y calcula la posición del móvil en ese mismo instante. V0 = 0 m/s X0 = - 30 m t = 0.3 min = 0.3 · 60 = 18 s a = 5 m/s2 V = V0 + a · t V = 5 · 18 = 90 m/s
X = X0 + V 0 · t + ½ · a · t2 X = - 30 + ½ · 5 · 182 X = 780 m
A los 0.3 minutos de iniciado el movimiento, el móvil se encuentra a 780 m a la derecha del punto de referencia, y su velocidad es igual a 90 m/s.
EJERCICIOS
Realiza los ejercicios: 23 y 24 de la pรกgina 90 del libro de texto
Realiza los ejercicios: 30, 31 y 33 de la pรกgina 100 del libro de texto
5.4. ESTUDIO DE UN CASO PARTICULAR: LA CAÍDA LIBRE La caída de un objeto es un MRUA, en el que el móvil parte con velocidad inicial cero (si se deja caer) o tendrá una determinada velocidad inicial si es lanzado. La aceleración de los cuerpos, es constante y presenta un valor de 9.8 m/s2, si el cuerpo desciende y - 9.8 m/s2, si el móvil sigue una trayectoria ascendente. Las ecuaciones son idénticas a las analizadas en el MRUA, salvo que donde pone a, se refiere a g.
EJEMPLO
Un objeto cae desde una altura de 7 m. Calcula el tiempo que tarda en alcanzar el suelo y la velocidad con la que llega. V0 = 0 m/s s=7m g = 9.8 m/s2 s = v0· t + ½ · a · t2 7 = ½ · 9,8 · t2 →
t = 1.2 s
V 2 = V0 + 2 · a · s V2 = 2 · 9,8 · 7 → V = 11.7 m/s
El objeto llegará al suelo en 1.2 s con una velocidad de 11.7 m/s.
EJERCICIOS
Realiza los ejercicios: 25, 26 y 27 de la pรกgina 91 del libro de texto
6. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU) ď&#x192;&#x2019;
Es el que posee una trayectoria circular y un valor de velocidad constante.
6.1. ÁNGULO RECORRIDO
En un MCU, un móvil recorre el mismo espacio sobre su trayectoria en intervalos de tiempo iguales. Pero al ser un movimiento circular, podemos hablar también de la situación interior del movimiento, es decir, el móvil barre un ángulo (φ) determinado en cada intervalo de tiempo.
6.1. ÁNGULO RECORRIDO En el S.I. la unidad es el radián (rad). La conversión entre grados y radianes se realiza gracias a la equivalencia: 360º → 2 · π rad Un radián es el valor del ángulo para el cual el radio mide igual que el arco que abarca.
0º
0 rad
45º
Π / 4 rad
90º
Π / 2 rad
180º
Π rad
270º
3 · π / 2 rad
6.1. ÁNGULO RECORRIDO EJEMPLOS Realiza la conversión de 40º a radianes:
Transforma 2.5 · π radianes en grados:
6.1. ÁNGULO RECORRIDO
Si medimos el ángulo en radianes, podemos relacionar el espacio recorrido por el móvil sobre la trayectoria (la longitud del arco) con el ángulo correspondiente, a través del radio de la circunferencia.
Donde: S – El arco recorrido por el móvil (m) R – El radio de la circunferencia (m) Φ – El ángulo recorrido por el cuerpo (rad)
EJERCICIOS
Realiza los ejercicios: 28, 29 y 30 de la pรกgina 92 del libro de texto
6.2. VELOCIDAD LINEAL Y VELOCIDAD ANGULAR
Podemos analizar dos tipos de velocidades: 1.
2.
Velocidad angular media (ω): es el cociente entre el ángulo que barre un móvil en un cierto intervalo de tiempo y el valor de ese intervalo. Unidad en el S.I. rad/s. ω= Δφ / Δt Velocidad lineal (v): se obtiene como el cociente entre el espacio o arco recorrido y el intervalo de tiempo empleado. Unidad en el S.I. m/s. V = ΔS / Δt
6.2. VELOCIDAD LINEAL Y VELOCIDAD ANGULAR Existe una ecuación que relaciona ambas velocidades: V=R·ω Ejemplo: Un móvil describe un movimiento circular uniforme con un radio de 20 m en el cual barre un ángulo de 3 radianes cada minuto. Calcula:
a) b) c)
La velocidad angular del móvil El ángulo que recorre en 50 segundos La velocidad lineal que lleva
6.2. VELOCIDAD LINEAL Y VELOCIDAD ANGULAR
o
Los movimientos circulares presentan otra particularidad: son periódicos, es decir repiten una y otra vez la misma trayectoria. Esta característica nos permite estudiar dos magnitudes muy importantes: La frecuencia (f): es el número de vueltas completas que da el móvil en la unidad de tiempo. Se mide en hercios (Hz).
ω=2·π·f o
El período (T): es el tiempo invertido por el móvil en completar una vuelta. Se mide en segundos.
f = 1 /T
ω=2·π/T Donde: f – es la frecuencia (Hz) T – es el período (s) ω - es la velocidad angular (rad/s)
EJERCICIOS
Realiza los ejercicios: 32 y 33 de la pรกgina 93 del libro de texto
6.3. GRÁFICAS Y ECUACIONES DEL MCU Si representamos el espacio (o el ángulo) recorrido por el móvil frente al tiempo, obtendremos líneas rectas, ya que ambas magnitudes son linealmente dependientes con el tiempo. Las pendientes equivalen a: velocidad lineal y velocidad angular, respectivamente.
6.3. GRÁFICAS Y ECUACIONES DEL MCU
Las ecuaciones de un MCU para el espacio recorrido y el ángulo en función del tiempo son: S = S0 + v · t S – espacio recorrido (m) S0 – espacio inicial (m) V – velocidad lineal (m/s) t – tiempo (s)
ϕ = ϕ0 + ω · t ϕ – ángulo recorrido (rad) ϕ0 - ángulo inicial (rad) ω – velocidad angular (rad/s) t – tiempo (s)
EJEMPLO Un objeto se mueve con MCU en una trayectoria de radio 1.5 m y con una velocidad angular de 0.2 rad/s, con ángulo inicial de cero. Escribe las ecuaciones del movimiento y calcula el ángulo y el espacio que ha recorrido después de 1 minuto. R = 1.5 m ω = 0.2 rad/s ϕ0 = 0 rad t = 1 min = 60 s
V=ω·R V = 0.2 · 1.5 = 0.3 m/s S = 0.3 · t ϕ = 0.2 · t
Ecuaciones del movimiento
S = 0.3 · 60 = 18 m ϕ = 0.2 · 60 = 12 rad (1.9 vueltas) En 1 minuto, el móvil recorre 18 m, equivalentes a un ángulo de 12 rad.
EJERCICIOS Realiza el ejercicio: 34 de la pรกgina 94 del libro de texto
Realiza los ejercicios: 38, 39 y 40 de la pรกgina 100 del libro de texto