72
2.8 กฎของไซนและโคไซน กฎของไซนและโคไซน เปนกฎทางคณิตศาสตรที่นํามาใชหาความยาวของดานหรือ ขนาดของมุมของรูปสามเหลี่ยมใดๆ ซึ่งจะกลาวถึงความสัมพันธระหวางความยาวของดาน ขนาดของมุมและฟงกชนั ตรีโกณมิติ ของรูปสามเหลี่ยม ดังนี้ 2.8.1 กฎของไซน กฎของไซน รูปสามเหลี่ยม ABC ใดๆ ถา a, b, c เปนความยาวของดานตรงขาม มุม A, B และ C ตามลําดับจะได a b c sin A sin B sin C
พิสูจนกฎของไซน
รูป 2.14 ABC เปนรูปสามเหลี่ยมใดๆ รูป 2.14 (1) มุม B เปนมุมแหลม รูป 2.14 (2) มุม B เปนมุมปาน พิจารณารูป มุมฉาก ACD จากรูป 2.14 (1) และ 2.14 (2) h = b sin A
(เพราะวา sin A
h ) b
จากรูป 2.14 (1) จะได
h = a sin B
(เพราะวา sin B
h ) a
จากรูป 2.14 (2) จะได
h = a sin CBD
(เพราะวา
จะได พิจารณารูป มุมฉาก BCD
นั่นคือ ดังนั้น
h h จะได h a sin B
= = = =
h) sinCBD a
a sin (180– B) a sin B a sin B ทั้งสองรูป b sin A
บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)
ประจําสัปดาหที่ 6
73 a sin A
หรือ
=
b sin B
ในทํานองเดียวกัน ถาลากเสนตรงจากจุด B ไปตัง้ ฉากกับดาน AC a c sin A sin C
จะได
a b c sin A sin B sin C
สรุปไดวา
กฎของไซน ใชหาสวนตางๆ ของรูปสามเหลี่ยมเมื่อ 1. กําหนดความยาวของดานหนึ่งดาน และขนาดของมุมสองมุม 2. กําหนดความยาวของดานสองดาน และขนาดของมุมตรงขามกับดาน ที่กําหนดใหหนึ่งมุม ตัวอยาง 2.11 รูปสามเหลี่ยม ABC มีดาน b ยาว 10 หนวย มุม A และมุม B มีขนาด 30 และ 70 องศาตามลําดับ จงหาขนาดของมุม C และความยาวของดาน ที่เหลือ วิธีทํา
70
30
C
= =
ขนาดของมุม C โจทยกําหนดคา
B A,
180– (30+ 70) 80 องศา
และ b หาความยาว a a sin A a
จากกฎของไซน
sin 30
a
ดังนั้น
a
= = =
b sin B 10
sin 70 10. sin 30 sin 70
=
1 2 0.9397
5.32
10
บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)
หนวย ประจําสัปดาหที่ 6
74 หาความยาว C จากกฎของไซน
c sin C c
=
c
=
sin 80
ดังนั้น
c
=
b sin B 10
sin 70 10. sin 80 sin 70
=
10 0.9848 0.9397
10.48
หนวย
ตัวอยาง 2.12 รูปสามเหลี่ยม ABC มีดาน b และ c ยาว 5 และ 5 3 หนวย ตามลําดับ ถามุม B เทากับ 30 จงหาขนาดของมุม A และมุม C วิธีทํา โจทยกําหนดคา b, c และ จากกฎของไซน
B
หาขนาดของ
b sin B
5
sin 30
=
c sin C
=
5 3 sin C
sin C = = sin C = เนื่องจาก
sin 60 = C
=
5 3 sin 30 5 1 3 2 3 2
sin 120 =
3 2
60 หรือ 120
b=5
จะได
C
30 c5 3
ดังนั้น ถา หรือ ถา
C C
= 60 แลว = 120 แลว
A A
= 180– (30+ 60) = 90 = 180– (30+ 120) = 30
บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)
ประจําสัปดาหที่ 6
75 ตัวอยาง 2.13 ABC เปนรูปสามเหลี่ยม ถา a = 2 6 หนวย , b = 4 หนวย และ A = 60 จงหาขนาดของมุม B และ มุม C วิธีทํา โจทยกําหนดคา a, b และ จากกฎของไซน
A
หาขนาดของ B
a sin A
=
b sin B
2 6
=
4 sin B
sin 60
sin B =
4. sin 60
= sin B เนื่องจาก
=
sin 45 =
2 6
2 6 1
3 2
2
sin 135 =
1 2
จะได B = 45 หรือ 135 แตถา B = 135 แลว A B = 60+ 135 = 195 ซึ่งมากกวา 180 ทําใหหา C ไมได ดังนั้น B = 45 และ C = 180– (60+ 45) = 75
2.8.2 กฎของโคไซน กฎของโคไซน รูปสามเหลี่ยม ABC ใดๆ ถา a, b, c เปนความยาวของดาน ตรงขามมุม A, B และ C ตามลําดับ จะได a2 = b2 + c2 – 2bc cos A b2 = a2 + c2 – 2ac cos B c2 = a2 + b2 – 2ab cos C พิสูจนกฎของโคไซน
รูป 2.15 บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)
ประจําสัปดาหที่ 6
76 พิจารณารูป มุมฉาก BCD และรูป ABC จากรูป 2.15 (1) จะได a2 = h2 + DB2 = h2 + (c – AD)2 = h2 + c2 – 2cAD + AD2 = (h2+AD2) + c2– 2cb cos A a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
( AD = b cos A)
พิจารณารูป มุมฉาก BCD และรูป ABC จากรูป 2.15 (2) จะได a2 = h2 + BD2 = h2 + (AD – c)2 = h2 + AD2 – 2cAD + c2 = (h2+AD2) + c2– 2cb cos A ( AD = b cos A) a2 = b2 + c2 – 2bc cos A ดังนั้น สรุปไดวา a2 = b2 + c2 – 2bc cos A ทั้งสองรูป และ ในทํานองเดียวกัน b2 = a2 + c2 – 2ac cos B c2 = a2 + b2 – 2ab cos C กฎของโคไซน ใชหาสวนตางๆ ของรูปสามเหลีย่ ม ดังนี้ 1. หาความยาวของดาน เมื่อกําหนดความยาวของดานสองดาน และขนาดของมุม ระหวางดานทัง้ สอง 2. หาขนาดของมุม เมื่อกําหนดความยาวของดานสามดาน ตัวอยาง 2.14 รูปสามเหลี่ยม ABC ถา a = 10 หนวย , b = 8 หนวย และ จงหาความยาว c
C
= 60
วิธีทํา 60
โจทยกําหนดคา a, b และ
C
หาความยาว c
บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)
ประจําสัปดาหที่ 6
77 จากกฎของโคไซน
ดังนั้น
c2
c c c
2
= =
a2 + b2 – 2ab cos C 102 + 82 – 2(10)(8) cos 60
=
100 + 64 – 160 1
= = =
164 – 80 84
9.17
2
84
หนวย
ตัวอยาง 2.15 รูปสามเหลี่ยม ABC มีดาน a, b, c ยาว 7, 13 และ 15 หนวยตามลําดับ จงหาขนาดของมุม B วิธีทํา a= 7
โจทยกําหนดคา a, b และ c หาขนาดของ B จากกฎของโคไซน b2 = a2 + c2 – 2ac cos B จะได
cos B
cos B
=
a2 c2 b2 2ac
=
72 152 132 2(7)(15)
=
49 225 169 210
=
105 210 1 2 1 2
=
เนื่องจาก cos 60 = ดังนั้น
B
=
60
บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)
ประจําสัปดาหที่ 6
78
10
N
ตัวอยาง 2.16 แรงสองแรงขนาด 6 นิวตัน และ 10 นิวตัน กระทําตอวัตถุ โดยที่แรงทัง้ สอง ทํามุม 60 องศา จงหาขนาดของแรงลัพธ และมุมระหวางแรงลัพธกับแรง 6 นิวตัน วิธีทํา แรงเปนปริมาณเวกเตอร จึงสามารถเขียนรูปแสดงแรงลัพธจากแรงทัง้ สอง ในลักษณะรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน ไดดังนี้
120 60
หาขนาดของแรงลัพธ AC จากรูป ABC จากกฎของโคไซน AC2 = AB2 + BC2 – 2ABBC cos B = 62 + 102 – 2(6)(10) cos 120 cos 120 = – cos 60 = 36 + 100 + 120 cos 60 = = AC = AC = ดังนั้นแรงลัพธมีขนาด = 2
136 + 120 1 2
136 + 60 196 14 14 นิวตัน
หาขนาดของมุมระหวางแรงลัพธกับแรง 6 นิวตัน จากรูป ABC จากกฎของไซน
BC sin A 10 sin A
sin A sin 120 = sin 60
= = = = =
AC sin B
14
sin 120
10 sin 120 14
10 sin 60 14 10 3 14 2
( 3 1.732)
sin A 0.6186 เนื่องจาก A เปนมุมแหลม จะได A 38 10 ดังนั้น แรงลัพธทํามุม 38 10 กับแรง 6 นิวตัน บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)
ประจําสัปดาหที่ 6
79
บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)
ประจําสัปดาหที่ 6