23
1.3 การหาคาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุมแหลม คาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุมแหลม (0 < < 90 หรือ 0 < <
2
เรเดียน)
เปนคาทางคณิตศาสตรที่สําคัญ สามารถนําไปประยุกตใชในศาสตรตางๆ ไดอยางมากมาย แตในเบื้องตนจะนําไปใชแกปญหาโจทยรูปสามเหลี่ยม เพื่อหาความยาวดานหรือขนาด ของมุม และจะนําไปใชอธิบายคาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุมที่มีขนาดใหญกวามุมแหลม 1.3.1 คาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุม 30( ) , 45( ) และ 60( ) 6
4
3
A 30 30
2
B
2
60
60
1
D 2
1
C
รูป 1.5 ABC เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา แตละมุมกางมุมละ 60 องศา กําหนดใหแตละดานมีความยาวดานละ 2 หนวย จากจุดยอด A ลากเสนตรงตั้งฉากกับ BC ที่จุด D จะไดความยาวดาน BD เทากับ DC = 1 หนวย เทากับ DAC = 30 องศา และ BAD พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABD หาความยาวดาน AD จากทฤษฎีบทของพีทาโกรัส AD2 = AB2 – BD2 = 22 – 12 AD2 = 3 AD = 3 ไดคาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุม 30 และ 60 ดังนี้ sin 30 = 1 = cos 60 , cosec 30 = 2 2
cos 30 = tan 30 =
3 2 1
3
, sec 30
=
2
= cot 60 , cot 30
=
3
= sin 60
บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)
3
= sec 60 = cosec 60 = tan 60 ประจําสัปดาหที่ 3
24 A
45 1
B
45
C
1
รูป 1.6 ABC เปนรูปสามเหลี่ยม มีมุม C เปนมุมฉาก และ A เทากับ B = 45 จะไดความยาวดาน AC = BC โดยกําหนดใหมีความยาวดานละ 1 หนวย หาความยาวดาน AB จากทฤษฎีบทของพีทาโกรัส AB2 = AC2 + BC2 = 12 + 12 AB2 = 2 AB = 2 ไดคาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุม 45 ดังนี้ 1 2 sin 45 = , cosec 45 = cos 45 = tan 45
=
2 1
2
1
,
sec 45
=
,
cot 45
=
2
1
สรุปคาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุม 30( ) , 45( ) และ 60( ) 6
4
3
30( )
45( )
60( )
sin
1 2
1
cos
3 2 1
2
3 2 1 2
1
3
มุม ()
6
อัตราสวนตรีโกณมิติ
tan
3
cosec
2
sec
2
cot
4
2 1
3
2
2
3
3
2
2
3
1
บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)
1 3
ประจําสัปดาหที่ 3
25 1.3.2 คาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุมแหลมจากตาราง คาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุมแหลม (0 < < 90 หรือ 0 < <
2
เรเดียน)
สามารถหาไดโดยการอานจากตารางคาฟงกชันตรีโกณมิติของมุมตั้งแต 0 – 90 องศา ที่อยู ในภาคผนวก พิจารณาตารางตัวอยางตอไปนี้ ตารางคาฟงกชันตรีโกณมิติของมุมตัง้ แต 0 – 90 องศา Angle Degrees
000
Radians
sin
cosec
tan
cot
sec
cos
0.0000
0.0000
No value
0.0000
No value
1.0000
1.0000
1.5708
9000
2200
0.3840
0.3746
2.6695
0.4040
2.4751
1.0785
0.9272
1.1868
6800
10 20
0.3869
0.3773
2.6504
0.4074
2.4545
1.0798
0.9261
1.1839
0.3898 0.3927
0.3800 0.3827
2.6316 2.6131
0.4108 0.4142
2.4342 2.4142
1.0811 1.0824
0.9250 0.9239
1.1810 1.1781
50 40
50
0.3956 0.3985
0.3854 0.3881
2.5949 2.5770
0.4176 0.4210
2.3945 2.3750
1.0837 1.0850
0.9228 0.9216
1.1752 1.1723
2300
0.4014
0.3907
2.5593
0.4245
2.3559
1.0864
0.9205
1.1694
6700
10
0.4043 0.4072
0.3934 0.3961
2.5419 2.5247
0.4279 0.4314
2.3369 2.3183
1.0877 1.0891
0.9194 0.9182
1.1665 1.1636
50
0.4102 0.4131
0.3987 0.4014
2.5078 2.4912
0.4348 0.4383
2.2998 2.2817
1.0904 1.0918
0.9171 0.9159
1.1606 1.1577
0.4160
0.4041
2.4748
0.4417
2.2637
1.0932
0.9147
1.1548
20 10
0.4189
0.4067
2.4586
0.4452
2.2460
1.0946
0.9135
1.1519
6600
30 40
20 30 40 50 2400
0.7071
1.4142
1.0000
1.0000
1.4142
0.7071
0.7854
sec
cot
tan
cosec
sin
Radians
4500
0.7854
cos
30 20 10
40 30
4500 Degrees
Angle
จากตาราง มุม ประกอบไปดวยมุมในหนวยองศา และมุมในหนวยเรเดียน ดานซายมือเปนมุมตั้งแต 0 – 45 องศา หรือ 0 – 0.7854 เรเดียน (45 = 4 เรเดียน 3.1416 เรเดียน 0.7854 เรเดียน ) 4 ดานขวามือเปนมุมตั้งแต 45 – 90 องศา หรือ 0.7854 – 1.5708 เรเดียน (90 = 2 เรเดียน 3.1416 เรเดียน 1.5708 เรเดียน ) 2 มุมดานซายมือและมุมดานขวามือ ในแถวเดียวกันรวมกันมีขนาดเทากับ 90 องศา ชื่อของอัตราสวนตรีโกณมิตทิ ั้ง 6 อัตราสวน อยูที่ดานบนสุดและดานลางสุด บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)
ประจําสัปดาหที่ 3
26 วิธีการอานคาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุมจากตาราง (1) การอานคาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุมตั้งแต 0 – 45 องศา ซึ่งเปนมุมที่อยูทาง ซายมือของตาราง ใหอานชื่อของอัตราสวนตรีโกณมิตินนั้ จากดานบนสุดลงมาใหตรงกับมุม ที่ตองการ เชน sin 23 = 0.3907 cos 23 20 = 0.9182 tan 23 50 = 0.4417 เปนตน (2) การอานคาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุมตัง้ แต 45 – 90 องศา ซึ่งเปนมุมที่อยู ทางขวามือของตาราง ใหอานชื่อของอัตราสวนตรีโกณมิตินั้นจากดานลางสุดขึ้นไปใหตรง กับมุมที่ตองการ เชน cos 67 = 0.3907 sin 66 40 = 0.9182 cot 66 10 = 0.4417 เปนตน ขอสังเกต 1. จากตารางจะเห็นความสัมพันธของอัตราสวนตรีโกณมิติแบบโคฟงกชัน เชน sin 23 = cos 67 = 0.3907 cos 23 20 = sin 66 40 = 0.9182 tan 23 50 = cot 66 10 = 0.4417 sec 24 = cosec 66 = 1.0946 เปนตน 2. จากตาราง คาของไซนและโคไซนของมุมระหวาง 0 และ 90 จะมีคาอยู ระหวาง 0 และ 1 ตัวอยาง 1.9 จงหาคาตอไปนี้ (1) 4 sin 30 tan 45 + 3 sec 60 (2)
3. sec2 2. cos
3
6
1
tan2
4
(3) cosec 15 30 – 5 cos 72 วิธีทํา (1) 4 sin 30 tan 45 + 3 sec 60 = = = บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)
4 1 (1) + 3(2) 2
2+6 8 ประจําสัปดาหที่ 3
27
3. sec
(2)
2. cos
2
1
6
3
2
tan2
=
4
= = = (3) cosec 15 30 – 5 cos 72
ตัวอยาง 1.10
= = =
2 3 1 3 1 2 (1)2 2
4 3 1 3 1 1 4 1 2 3 2
3.7420 – 5(0.3090) 3.7420 – 1.5450 2.1970
ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมีมมุ C เปนมุมฉาก มุม A เทากับ 60 องศา และดาน AB ยาว 8 หนวย จงหาความยาวดาน AC และ BC
60
วิธีทํา
หาความยาวดาน AC จากรูป
จะได
cos 60 1 2
= =
AC ความยาวดาน AC
= =
หาความยาวดาน BC จากรูป จะได sin 60
=
3 2
BC ความยาวดาน BC
= = =
บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)
AC AB AC 8 1 8 2
4
หนวย
BC AB BC 8 3 8 2
4 3
หนวย ประจําสัปดาหที่ 3
28 ตัวอยาง 1.11
วิธีทํา
ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมีมมุ B เปนมุมฉาก ดาน AB และ AC ยาว 9.1 และ 10 หนวย ตามลําดับ จงหาขนาดของมุม A และมุม C
จากรูป จะได cos A
=
9.1 10
cos A จากตาราง cos 24 30 ดังนั้น ขนาดของมุม A และ ขนาดของมุม C
= = = = =
0.91 0.9100 24 30 90 – 24 30 65 30
ตัวอยาง 1.12
30
จากรูป จงหาความยาวดาน DC เมื่อกําหนดดาน AB ยาวเทากับ 5 3 หนวย 63
5 3
วิธีทํา หาความยาวดาน BD จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABD จะได tan 30 = 1 3
BD ความยาวดาน BD
=
5 3
= =
หาความยาวดาน DC จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก BCD จะได sin 63 = 0.8910
=
DC
=
ความยาวดาน DC
BD AB BD
1 3
5 3
5
หนวย
BD DC 5 DC 5 0.8910
5.612 หนวย
บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)
ประจําสัปดาหที่ 3
29
บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)
ประจําสัปดาหที่ 3