11
1.2 อัตราสวนตรีโกณมิติของมุมจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มมี ุม C เปนมุมฉาก และ a, b, c เปนความยาวดานตรงขามมุม A, B, C ตามลําดับ
รูป 1.3 โดยทฤษฎีบทของพีทาโกรัส จะไดความสัมพันธระหวาง a, b, และ c คือ c2 a2 b2
การเรียกชื่อดานทัง้ สามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC AB เรียกวา ดานตรงขามมุมฉาก BC เรียกวา ดานตรงขามมุม A หรือ ดานประชิดมุม B AC เรียกวา ดานประชิดมุม A หรือ ดานตรงขามมุม B อัตราสวนตรีโกณมิติของมุม A คือ อัตราสวนของความยาวดาน 2 ดาน ซึ่งมี ทั้งหมด 6 อัตราสวน ดังนี้ (1) อัตราสวน (2) อัตราสวน (3) อัตราสวน (4) อัตราสวน (5) อัตราสวน (6) อัตราสวน
a c b c a b c a c b b a
เรียกวา ไซน (sine) ของมุม A
แทนดวย sin A
เรียกวา โคไซน (cosine) ของมุม A
แทนดวย cos A
เรียกวา แทนเจนต (tangent) ของมุม A
แทนดวย tan A
เรียกวา โคเซแคนต (cosecant) ของมุม A แทนดวย cosec A เรียกวา เซแคนต (secant) ของมุม A
แทนดวย sec A
เรียกวา โคแทนเจนต (cotangent) ของมุม A แทนดวย cot A
บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)
ประจําสัปดาหที่ 2
12
ดังนั้น เมื่อ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ทีม่ ีมมุ C เปนมุมฉาก สามารถหา อัตราสวนตรีโกณมิติของมุม A ไดดังนี้
บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)
a c
b c
a b
c a
c b
b a
ประจําสัปดาหที่ 2
13 ตัวอยาง 1.6 กําหนด ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มีมมุ C เปนมุมฉาก ดาน AC และ BC ยาว 6 และ 8 หนวยตามลําดับ ดังรูป
จงหาคาของ (1) อัตราสวนตรีโกณมิติของมุม A และมุม B (2) cos A + tan A sin A วิธีทํา (1) หาความยาวดาน AB จากทฤษฎีบทของพีทาโกรัส AB2 = AC2 + BC2 AB2 = 62 + 82 AB2 = 36 + 64 AB2 = 100 AB = 100 AB = 10 ความยาวดาน AB = 10 หนวย ดังนั้น คาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุม A คือ 8 sin A = = 4 , cosec A cos A
=
tan A
=
10 6 10 8 6
= =
5 3 5 4 3
, sec A
=
, cot A
=
และ คาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุม B คือ 6 sin B = = 3 , cosec B cos B
=
tan B
=
10 8 10 6 8
= =
5 4 5 3 4
=
=
, sec B
=
, cot B
=
บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)
10 8 10 6 6 8
10 6 10 8 8 6
= = =
= = =
5 4 5 3 3 4
5 3 5 4 4 3
ประจําสัปดาหที่ 2
14 3 5
(2) เนื่องจาก cos A = ดังนั้น
, tan A =
4 3
และ sin A =
4 5
3 4 4 5 3 5
cos A + tan A sin A =
3 16 5 15 9 16 15 25 15 5 3
= = = cos A + tan A sin A =
ความสัมพันธระหวางอัตราสวนตรีโกณมิติ อัตราสวนตรีโกณมิตทิ ั้ง 6 อัตราสวน ดังกลาวขางตน จะมีความสัมพันธพื้นฐาน ระหวางกันหลายคู และความสัมพันธเหลานีม้ ีความจําเปนตอการศึกษาตรีโกณมิติ พิจารณารูป 1.4
รูป 1.4 (1) ความสัมพันธสวนกลับ เนื่องจาก cosec A ดังนั้น
=
cosec A =
c a 1 sin A
=
1 a c
=
หรือ sin A =
1 sin A 1 cosec A
ในทํานองเดียวกัน สามารถหาความสัมพันธสวนกลับของอัตราสวนตรีโกณมิติ คูอื่นๆ และสรุปไดดงั นี้ ความสัมพันธสวนกลับ sin A =
1 cosec A
หรือ
cosec A
=
1 sin A
cos A =
1 s ec A
หรือ
sec A
=
1 cos A
tan A =
1 cot A
หรือ
cot A
=
1 tan A
บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)
ประจําสัปดาหที่ 2
15 (2) ความสัมพันธผลหาร เนื่องจาก
sin A cos A
ในทํานองเดียวกัน
a c a b b c cos A sin A
= tan A = cot A
ดังนั้นความสัมพันธผลหาร มีดงั นี้ ความสัมพันธผลหาร sin A cos A
tan A
cos A sin A
cot A
(3) ความสัมพันธแบบโคฟงกชัน (cofunction) มุม A และมุม B เปนมุมแหลมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ดังรูป 1.4 ดังนั้น A B = 90 เรียกมุม A และ มุม B วามุมประกอบมุมฉาก และจะไดวา sin A
=
cos A
=
tan A
=
a c b c a b
= cos B , cosec A
=
= sin B , sec A
=
= cot B , cot A
=
c a c b b a
= sec B = cosec B = tan B
การเทากันเหลานี้เกิดเปนคู คือ ไซนกับโคไซน แทนเจนตกับโคแทนเจนต และ เซแคนตกับโคเซแคนต ดังนั้นความสัมพันธแบบโคฟงกชัน มีดังนี้ sin A cos A tan A
ความสัมพันธแบบโคฟงกชัน , cosec A = = cos (90– A) , sec A = sin (90– A) = , cot A = cot (90– A) =
บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)
sec (90– A) cosec (90– A) tan (90– A)
ประจําสัปดาหที่ 2
16 ตัวอยาง 1.7 ถา A B = 90 และ sin A =
2 , 3
5 3
cos A =
จงหาคาอัตราสวนตรีโกณมิติทงั้ หมดของมุม A และมุม B วิธีทํา เนื่องจาก sin A = 2 จะได cosec A = 3
cos A = tan A = = tan A = และเนื่องจาก
B A
5 3 sin A cos A
3 2
จะได
sec A
=
3
จะได
cot A
=
5 2
5
2 3 5 3
2 5
= 90 ดังนัน้ คาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุม A และ B คือ
sin A
=
2 3
= cos B
,
cosec A
=
3 2
= sec B
cos A
=
5 3
= sin B
,
sec A
=
3
= cosec B
tan A
=
2
= cot B
,
cot A
=
5 2
5
5
= tan B
ตัวอยาง 1.8 กําหนด ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มีมมุ B เปนมุมฉาก ถา cos A =
5 6
จงหาคาของ
(1) อัตราสวนตรีโกณมิติของมุม A และมุม C (2) sin2 A + cos2 A วิธีทํา (1) เนื่องจาก cos A = 5 และมุม B เปนมุมฉาก 6
เขียนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ตามสิ่งที่กําหนด
บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)
ประจําสัปดาหที่ 2
17 หาความยาวดาน BC จากทฤษฎีบทของพีทาโกรัส BC2 = = = 2 BC = BC = ความยาวดาน BC = และเนื่องจาก
C A
AC2 – AB2 62 – 52 36 – 25 11 11
หนวย
11
90 ดังนั้น คาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุม A และ C คือ
sin A
=
11 6
=
cos C , cosec A =
6
cos A
=
5 6
=
sin C , sec A
=
6 5
tan A
=
11 5
=
cot C , cot A
=
(2) เนื่องจาก sin A = ดังนั้น
sin2 A + cos2 A
sin2 A + cos2 A
11 6
5 11
= sec C = cosec C = tan C
5 6
และ cos A = 2
2
=
11 5 6 6
=
11 25 36 36
=
36 36
=
1
บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)
11
ประจําสัปดาหที่ 2
18
บทเรียนวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานอุตสาหกรรม 2 (2000-1404)
ประจําสัปดาหที่ 2