LAS REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS COMO INSTRUMENTO PARA LA ENSEÑANZA DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y SUS OPERACIONES
INFORME FINAL PROYECTO PEDAGÓGICO VII
MIGUEL ÁNGEL SIAUCHÓ
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA FACULTAD SECCIONAL DUITAMA DUITAMA 2012
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Miguel Ángel Siauchó López
LAS REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS COMO INSTRUMENTO PARA LA ENSEÑANZA DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y SUS OPERACIONES
INFORME FINAL PROYECTO PEDAGÓGICO VII
MIGUEL ÁNGEL SIAUCHO*
Presentado a la Profesora: ANA CECILIA MEDINA M.
En la Asignatura de: PROYECTO PEDAGÓGICO VII
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA FACULTAD SECCIONAL DUITAMA DUITAMA 2012
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Miguel Ángel Siauchó López
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Contenido 1.
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................. 5
2.
DIAGNÓSTICO.................................................................................................................... 6 2.1.
Resultados y análisis de la prueba diagnóstica................................................. 7
3.
PLANTEAMIENTO Y FORMULACIÓN DEL PROBLEMA ..................................................... 10
4.
MARCO TEORICO............................................................................................................. 11 4.1.
PERSPECTIVA EPISTEMOLOGICA ........................................................................... 11
4.1.1. 4.2.
PERSPECTIVA COGNITIVA .................................................................................... 17
4.2.1.
Noción de Aprendizaje ................................................................................ 17
4.2.2.
Noción de Error ............................................................................................. 17
4.2.3.
Categorías de Errores .................................................................................. 18
4.2.4.
Noción de Conflicto Semiótico: ................................................................. 19
4.3.
PERSPECTIVA DIDACTICA ..................................................................................... 20
4.3.1. 5.
6.
Enfoque Ontosemiótico ............................................................................... 21
METODOLOGÍA Y ORGANIZACIÓN .................................................................................. 23 5.1.
TIPO DE INVESTIGACIÓN ...................................................................................... 23
5.2.
TÉCNICAS DE RECOLECCIÓN DE LA INFORMACIÓN .......................................... 25
5.3.
INSTRUMENTOS PARA RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN. ................................ 25
5.4.
ORGANIZACIÓN ...................................................................................................... 25
PROPUESTA SECUENCIAL DE ENSEÑANZA ...................................................................... 26 6.1.
DOMINIOS CONCEPTUALES: ................................................................................. 26
6.2.
ESTÁNDARES .......................................................................................................... 26
6.3.
ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS GENERALES .................................................... 26
6.4. 7.
Configuración Epistémica............................................................................ 16
Propuesta secuencial de enseñanza. ............................................................ 28
RESULTADOS DE LA SISTEMATIZACIÓN DEL PROYECTO ................................................. 29
CAPÍTULO III ............................................................................................................................ 34 CONCLUSIONES.................................................................................................................. 34 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. .............................................................................................. 35
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LAS REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS COMO INSTRUMENTO PARA LA ENSEÑANZA DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y SUS OPERACIONES, EN ESTUDIANTES DE GRADO OCTAVO DEL COLEGIO GUILLERMO LEÓN VALENCIA. MIGUEL ANGEL SIAUCHÓ LÓPEZ* ANA CECILIA MEDINA MARIÑO**
Licenciatura en Matemáticas y Estadística – UPTC – Duitama ___________________________________________ Resumen
En este articulo se presenta una experiencia de investigación- acción en el aula, realizada en la asignatura Proyecto Pedagógico VII , de
la Licenciatura de Matemáticas y Estadística de la
Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia- Duitama, en la cual se aplico una estrategia didáctica basada en representaciones geométricas para la enseñanza de operaciones de expresiones algebraicas, con el fin de disminuir al máximo los errores que generalmente se cometen en el desarrollo de estas operaciones. Se describe el diseño, gestión y resultados de dicha propuesta de enseñanza que fue dirigida a estudiantes de grado octavo dos (802) del Colegio Guillermo León Valencia de Duitama, con el fin de que el estudiante adquiera un aprendizaje significativo, domine los concepto y desarrolle el pensamiento algebraico, además puedan superar los errores que se puedan presentar durante dicho proceso.
Palabras claves: expresión algebraica, errores, representaciones geométricas. Abstract This paper presents an action-research experience in the classroom,performed in the subject of Pedagogical Project VI,of the Bachelorof the Mathematics and Statistics Degree of the Pedagogical and Technological University of Colombia-Duitama,whichwas appliedina teaching strategybased ongeometric
representationsfor
teachingalgebraicoperations,
in
order
to
reducethe
maximumerrorsusuallycommitted inthe development of theseoperations.We describe the design, management
and
results
of
thisteaching
proposalthat
came
totwoeighth
gradestudents(802)CollegeofDuitamaGuillermo Leon Valencia, in order toprovide the student withsignificant learning,master theconceptand developalgebraic thinking, as well as to overcomethe mistakesthat may ariseduringthis process. Keywords: algebraic expression, errors, geometric representations.
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1. INTRODUCCIÓN
El estudio del algebra en la educación básica es de vital importancia para la formación de pensamiento matemático, en este proyecto se hace un análisis de los principales errores según estudios realizados por la comunidad científica (SOCAS M. , 2011)y se analizan a partir de una prueba diagnóstica aplicada a estudiante de grado octavo del colegió Guillermo león valencia de Duitama, con el propósito de aplicar la estrategia didácticadurante el segundo periodo del colegio. El proyecto da a conocer el resultado del análisis y la reflexión profunda de la experiencia significativa que se genera en la asignatura de Proyecto Pedagógico VI de la Licenciatura de Matemáticas y Estadística en
la
Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia, sede Duitama dirigida por la magister Ana Cecilia Medina Mariño. El mediante la observación
análisis se llevo a cabo
participativa y la aplicación de losdiferentes
planes de clase diseñados a partir de las representaciones geométricas, con el fin de superar los errores detectados en la prueba diagnóstica, este análisis se realiza bajo la perspectiva de la idoneidad didáctica. A partir del análisis de errores se presento una propuesta la cual involucra el uso de la geometría analítica como herramienta para la enseñanza de las expresiones algebraicas, los resultados de la investigación se obtienen atreves de valoración de la idoneidad didáctica. Godino
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(2006).
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2. DIAGNÓSTICO La prueba diagnóstica se realizó el 25 de abril del 2012, se aplicó a 34 estudiantes del grado octavo dos (802), del colegio Guillermo León valencia de Duitama. Consistió en una prueba de 5 ítems que pretendía determinar los errores y las concepciones iniciales de los estudiantes que tienen tanto de expresiones algebraicas como de sus representaciones geométricas, de esta manera incorporar al proceso de la clase la representaciones geométricas y abordar el desarrollo de las secuencias con mayor criterio. La importancia de la prueba diagnóstica es identificar los errores que los estudiantes cometen en la solución de expresiones algebraicas y en geometría plana,
este análisis se realiza por medio de la categoría de
errores planteada por socas (1997), desde una perspectiva del algebra y de errores en geometría, a partir de este análisis se implementa la propuesta didáctica para la enseñanza de las operaciones básicas de expresiones algebraicas como lo son la adición, la sustracción y la multiplicación.
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2.1.
Resultados y análisis de la prueba diagnóstica.
En primer lugar analizaremos el porcentaje de estudiantes por cada uno de los errores, con el criterio de la prueba diagnóstica y posteriormente se analizan los correspondientes protocolos.
porcentaje de estudiantes
porcentaje de estudiantes que cometen error 200,00% 100,00% 0,00%
Tipo de Error
Errore s de…
uso inad…
Errore s…
Errore s…
69,12%
97%
92,16%
22,55%
Errores de procedimiento En este error nos podemos observar que los estudiantes no tienen en cuenta las reglas de procedimiento para el desarrollo del ítem. Como observamos en el litera b, se proporcionan los datos para encontrar el área del rectángulo, pero él, se limita a sumar los valores de a y x, sin tener presente el resto del procedimiento. En este ítem el 69,12 % de los estudiantes cometieron el error, este ítem constaba de 4 literales, 4 estudiantes contestaron 3, 12 contestaron 2, 6 contestaron 1 solo literal, 11 contestaron todos mal y 1 niño no lo intento resolver.
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Errores que tienen su origen en el obstáculo En el ítem se diseño para observar si el estudiante en contextos diferentes, halla el valor numérico de la expresión. Como podemos observar el estudiante se confunde y no encuentra el valor de cada segmento, mucho menos el de las operaciones con los segmentos. El error se presenta en más del 90 % de estudiantes.
Uso inadecuado del signo menos
Este tipo de error es el que más cometen los estudiantes con un porcentaje del 97 %, como podemos observar en el protocolo siempre operan el signo con la cantidad siguiente al paréntesis, pero con el resto de las cantidades del paréntesis no las tienen en cuenta para operar.
Como podemos observar del paso 4 al 5 cambia de signo a todos los términos sin razón.
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Errores que tienen su origen en la ausencia de sentido
Si bien mas del 75% de los estudiantes respondieron correctamente, es importante tener en cuenta que están confundiendo (x * 8) con (8 + x) y optan por marcarlas a las dos opciones, lo que se clasifica en un uso inapropiado de las reglas de procedimiento, porque no es lo mismo multiplicar el número de lados de la figura por el diámetro de cada lado, que sumar el numero de lados con la medida de uno de ellos.
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3. PLANTEAMIENTO Y FORMULACIÓN DEL PROBLEMA El álgebra en la educación media es un eje fundamental de la matemática y es necesario aplicar estrategias que motiven a los estudiantes para lograr un aprendizaje significativo, el aprendizaje de las expresiones algebraicas no es sencillo de adquirir porque involucra que los estudiantes tengan un pensamiento abstracto al pasar de trabajar exclusivamente con números en aritmética a incluir letras en algebra, esto hace que el estudiante tenga confusiones en el desarrollo de las diferentes operaciones algebraicas. A partir del análisis de los errores más frecuentes que los estudiantes del grado 8 cometen en el desarrollo de las operaciones de expresiones algebraicas,se puede observar que en esta etapa del tema donde los estudiantes hacen el paso del aritmética al algebra, es importante tener mucho cuidado porque ellos en aritmética operan exclusivamente números, al incluir en las operaciones letras que antes no utilizaban fácilmente pueden entran en conflictos de carácter cognitivo, se puede observar en la prueba diagnóstica que se cometen errores como, al sumar (2x y b) dan respuestas como “2xb”,lo que indica que el pensamiento algebraico no ha sido desarrollado en el estudiante. Es importante indagar si la educación en estos temas se hace de forma mecánica y se realizan las operaciones con métodos memorísticos, antes que desarrollar un pensamiento matemático, y teniendo en cuenta esto se plantean la siguiente.
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¿Con ayuda de las representaciones geométricas se pueden desarrollar habilidades en la construcción de significados
matemáticos en el
tratamiento de las expresiones algebraicas y sus diferentes operaciones?
4. MARCO TEORICO A continuación se plantea
el marco teórico desde tres perspectivas, la
perspectiva epistemológica la cual hace referencia al análisis histórico y epistemológico del algebra y sus operaciones al igual que la geometría y su aporte al algebra, también la perspectiva cognitiva (Socas,1997) en donde se menciona la noción de aprendizaje, la noción de error y sus categorías en el aprendizaje de expresiones algebraicas y
la noción de conflicto
semiótico (Godino, Batanero y Font,2006) y por último la perspectiva didáctica en la cual mencionamos nuestra propuesta didáctica y la noción de idoneidad didáctica (Sandoval, 2010). 4.1.
PERSPECTIVA EPISTEMOLOGICA
La palabra “algebra” con la que se designa una parte de las matemáticas tiene su origen en el término al-jabr que aparece en el titulo de un texto del siglo IX, escrito por el matemático árabe Al-Khowarizmi.(Meavilla, 1995) El algebra así como su historia se inician en el antiguo Egipto y babilonia, desde sus inicios fue una parte inseparable de la aritmética la cual se ocupa de los objetos concretos (los números), ya que no generaliza las relaciones matemáticas, en cambio el algebra, es en esencia, la encargada de las operaciones matemáticas analizadas desde un punto de vista abstracto y genérico, independiente de los números u objetos concretos que en ellos se utiliza para la representación de relaciones aritméticas.
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En la historia del álgebra se suelen distinguir tres periodos bien diferenciados: Periodo retórico, en el que todas las expresiones se escribían utilizando el lenguaje ordinario. Periodo sincopado, en el que se empezaban a utilizar símbolos y abreviaturas para representar la incógnita, sus potencias y los signos de las operaciones elementales. Periodo simbólico, en el que se usaban símbolos especiales tanto para la incógnita y sus potencias como para las operaciones y relaciones. Para los pitagóricos el círculo era la más bella de todas las figuras planas y la esfera el más hermoso de todos los sólidos. El universo de Pitágoras era, por tanto, esférico e infinito. En el centro estaba el fuego central que dirigía la actividad y el movimiento. El vacío infinito ocupaba la parte exterior y permitía respirar al universo. Alrededor del fuego central, describiendo órbitas circulares, giraban los cuerpos siguientes (en este orden): la contra-tierra, la Tierra, la Luna, el Sol, los cinco planetas (Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno) y la esfera de las estrellas fijas. Entre los descubrimientos matemáticos atribuidos a Pitágoras sobresale el famoso teorema geométrico que lleva su nombre: El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. Dado que:
En virtud del teorema de Pitágoras resulta que:
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La Geometría Analítica es un poderoso instrumento de ataque de los problemas geométricos que utiliza como herramienta básica el Álgebra. La esencia de su aplicación en el plano es el establecimiento de una correspondencia entre los puntos del plano y pares ordenados de números reales, es decir, un sistema de coordenadas, lo que posibilita una asociación entre curvas del plano y ecuaciones en dos variables, de modo que cada curva del plano tiene asociada una ecuación f(x,y)=0 y, recíprocamente, para cada ecuación en dos variables está definida una curva que determina un conjunto de puntos en el plano, siempre respecto de un sistema de coordenadas. En particular queda establecida una asociación entre rectas del plano y ecuaciones de primer grado de la forma Ax + By +C=0. La Geometría Analítica es, pues, una especie de diccionario entre el Álgebra y la Geometría que asocia pares de números a puntos y ecuaciones a curvas.(Gonzalez) Es indiscutible que Fermat y Descartes son los verdaderos artífices de la Geometría Analítica. Descartes publica en 1637 La Geometría, junto con La Dióptrica y Los Meteoros como apéndices de su Discurso del Método o éste como prólogo de aquellos opúsculos Zeuthen hacia 1886, viene a ser una geometrización de los métodos algebraicos practicados por los babilónicos, una especie de Geometría algebraica, en la que los números son sustituidos por segmentos de recta y las operaciones entre ellos se llevan a cabo mediante construcciones
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geométricas –respetando escrupulosamente la homogeneidad de los términos– de la siguiente forma: • La suma de dos números se obtiene prolongando sobre el primero, un segmento igual al segundo. • La diferencia de dos números se obtiene recortando del primero un segmento igual al segundo. • El producto de dos números es el área del rectángulo cuyos lados tienen como longitudes esos números. • El cociente de dos números es la razón de los segmentos que los representan (según los principios del libro V de Los Elementos de Euclides). • La suma y la diferencia de productos se reemplaza por la adición y sustracción de rectángulos. • La extracción de una raíz cuadrada se establece mediante la construcción de un cuadrado de área equivalente a la de un rectángulo dado (Euclides II.14). Por ejemplo, el viejo problema mesopotámico en el que dada la suma o diferencia y el producto de los lados de un rectángulo, x·y=A ,x±y=b, se pedía hallar dichos lados, se interpretaba geométricamente de la siguiente forma:
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La solución geométrica lleva a la construcción sobre un segmento b de un rectángulo cuyaaltura desconocida x debe ser tal que el área del rectángulo en cuestión exceda del áreadada A (en el caso de signo positivo) en el cuadrado de lado x; o difiera del área dada (en elcaso de signo negativo) en el cuadrado de lado y.En su Álgebra Geométrica los griegos utilizaron principalmente dos métodos para resolvercierto tipo de ecuaciones, el método de las proporciones y el método de Aplicación de las Áreas. (Vinner, 1989) Recomienda que en la enseñanza de las Matemáticas debiera hacerse hincapié en la legitimidad del enfoque visual en las demostraciones y en la resolución de problemas. De este modo, se podría desterrar la creencia, tan extendida entre el alumnado, de que una demostración visual no es una demostración matemática. Este análisis histórico y didáctico del desarrollo del simbolismo algebraico y sus reglas de transformación lepermite hacer distinción entre: usar letras para representar incógnitas, en resolución de ecuaciones; usar letras para representar datos, expresando soluciones generales, y usar letras como herramientapara proveer reglas que expresen las relaciones numéricas, que surgen en Lenguaje Algebraico enmomentos históricos diferentes.
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4.1.1. ConfiguraciĂłn EpistĂŠmica Asociada a la NociĂłn de Expresiones Algebraicas y Operaciones BĂĄsicas LENGUAJE VERBAL
GRĂ FICO
ExpresiĂłn algebraica, parĂŠntesis, agrupaciĂłn de tĂŠrminos, monomio, binomio, trinomio, polinomio, representaciĂłn geomĂŠtrica.
Representaciones o figuras geomĂŠtricas como triĂĄngulos, rectĂĄngulos, donde se evidencia la factorizaciĂłn de polinomios, a travĂŠs del algebra geomĂŠtrica.
SITUACIONES CĂĄlculos de las dimensiones de magnitudes, lados, perĂmetros, ĂĄreas, volĂşmenes, de diferentes figuras geomĂŠtricas, en diferentes contextos.
  CONCEPTOS  PREVIOS:   Variable, tÊrminos incógnita, generalización, constante, coeficiente. 
SIMBĂ“LICO
+, −, ,∗, á,
,
,
Conmutativa de la suma
ďƒź
Distributiva de la multiplicaciĂłn
ďƒź Asociativa de la suma
ARGUMENTOS ďƒź
ConstrucciĂłn de expresiones algebraicas a partir de representaciones geomĂŠtricas.
ďƒź
JustificaciĂłn de las propiedades usando el ĂĄlgebra geomĂŠtrica.
ďƒź Resolver operaciones entre expresiones algebraicas con ayuda del algebra geomĂŠtrica.
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Miguel Ă ngel SiauchĂł LĂłpez
,‌
EMERGENTES: Grado Monomios Binomios Polinomios FactorizaciĂłn Suma y resta de Expresiones algebraicas MultiplicaciĂłn de expresiones algebraicas
PROPIEDADES ďƒź
, � 2 , �, � ,
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4.2.
PERSPECTIVA COGNITIVA En esta perspectiva se tiene en cuenta la noción de aprendizaje según el enfoque semiótico, la noción de error en algebra (Socas, 1997) y la noción de conflicto semiótico (Godino J. D., Bencomo, Font, & Wilhelmi, 2006).
4.2.1. Noción de Aprendizaje Según el Enfoque Ontosemiótico; El aprendizaje tiene lugar mediante la participación del sujeto en las comunidades de prácticas, el acoplamiento progresivo de los significados personales a los institucionales y la apropiación de los significados institucionales por los estudiantes (Godino J. D., Bencomo, Font, & Wilhelmi, 2006). 4.2.2. Noción de Error Una mirada a la historia de diversas disciplinas nos revela que muchos conceptos que se han aceptado como conocimiento válido, actualmente se consideran como errados. Por su parte, los matemáticos durante dos milenios consideraron como una verdad absoluta que la geometría euclidiana era la única geometría posible, lo que los llevó a empeñarse, infructuosamente, en tratar de demostrar el quinto postulado de Euclides partiendo de los cuatro primeros. El desarrollo del conocimiento científico ha estado acompañado de errores según puede constatarse al revisar su evolución en la historia. La identificación y análisis de estos errores ha permitido sustituir un conocimiento viejo e institucionalizado en la sociedad por uno nuevo que se revela lleno de fuerza y vigor, con el correspondiente esfuerzo y sacrificio de quienes han tenido el valor de exponerlo y defenderlo ante cualquier adversidad. Según Socas (1997), el error debe ser considerado como la presencia en un alumno de un esquema cognitivo inadecuado y no sólo la consecuencia de
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una falta específica de conocimiento o de una distracción. Los errores aparecen cuando se enfrentan a conocimientos nuevos que los obliga a hacer una revisión o reestructuración, y un uso de los que ya saben. 4.2.3. Categorías de Errores Las siguientes categorías de errores fueron propuestas por Martin Socas en el estudio que realizo en algebra y en geometría.
Socas (1997), considera
tres ejes, que permiten analizar el origen del error. De esta forma, podemos situar los errores que cometen los alumnos en relación con tres orígenes distintos:
Obstáculos: conocimientos adquiridos que demuestran su afectividad en ciertos contextos pero no válidos en otros.
ausencia de sentido: relacionado en las distintas etapas de aprendizaje de un sistema de representación, semiótica, estructural y autónoma.
actitudes afectivas y emocionales: Los errores que tienen su origen en actitudes afectivas y emocionales tienen distinta naturaleza: faltas de concentración (excesiva confianza), bloqueos, olvidos, etc. Según el autor, los errores en el aprendizaje de las matemáticas se deben a ciertas dificultades que se pueden agrupar en cinco categorías: dificultades asociadas a la complejidad de los objetos matemáticos, dificultades asociadas a los procesos del pensamiento matemático, dificultades asociadas a los procesos de enseñanza desarrollados para el aprendizaje de las matemáticas, dificultades asociadas a los procesos de desarrollo cognitivo de los alumnos y dificultades asociadas a las actitudes afectivas y emocionales hacia las matemáticas. Tomando en cuenta estas dificultades, clasifica los errores en el nivel secundario de acuerdo con su origen en: -Errores que tienen su origen en un obstáculo. Errores que tienen su origen en la ausencia de sentido: en esta categoría se encuentran los errores del álgebra que tienen su origen en la aritmética, los
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errores de procedimiento que se derivan del uso inapropiado que hacen los alumnos de las fórmulas o de las reglas de procedimiento y los errores de álgebra debidos a las características propias del lenguaje algebraico. -Errores que tienen su origen en actitudes afectivas y emocionales hacia las matemáticas. Presentamos a continuación algunos de los errores más frecuentes que los estudiantes cometen en el desarrollo del algebra según socas (1997).
pensamiento
categoría de error
Descripción
Variacional
Errores de procedimiento
Uso del signo menos
Este tipo de error se presenta cuando el estudiante no sabe distribuir el signo menos colocado delante de un paréntesis.
Errores que tienen su origen en un obstáculo:
Se considera al obstáculo como unconocimiento adquirido, no como una falta de conocimiento, que fue efectivo en algún contexto Especifico, pero que cuando el alumno utiliza dicho conocimiento en otro contexto, da lugar arespuestas inadecuadas como el uso inadecuado del paréntesis.
Variacional
Geométrico
Geométrico
Los alumnos usan inadecuadamente fórmulas o reglas deProcedimiento.
Errores que tienen su origen en la ausencia de sentido
Estos pueden dividirse en tres clase: Errores que tienen su origen en la aritmética, resultado de no haber asimilado elaciones y procesos en un contexto aritmético. Errores de procedimiento, es decir se producen cuando los alumnos usan de manera inapropiada fórmulas, definiciones o reglas. Errores debidos a la mala interpretación del leguaje matemático.
4.2.4. Noción de Conflicto Semiótico: Según Godino y Font (2007) “un conflicto semiótico es cualquier disparidad o discordancia entre los significados atribuidos a una expresión por dos sujetos (personas o instituciones)”.
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Si una disparidad se produce entre significados institucionales hablamos de conflictos semióticos de tipo epistémico, mientras que si la disparidad se produce entre prácticas que forman el significado personal de un mismo sujeto lo designamos como conflicto semiótico de tipo cognitivo. Cuando la disparidad se produce entre las practicas (discursivas y operativas) de dos sujetos diferentes en interacción comunicativa (por ejemplo, alumnoalumno,
alumno-profesor),
hablaremos
de
conflictos
semióticos
interacciónales”. Los autores propones tres tipos de significados personales. TIPOS:
Epistémico: Si una disparidad se produce entre significados institucionales
Cognitivo: Si la disparidad se produce entre prácticas que forman el significado personal de un mismo sujeto
Interacciónales: Cuando la disparidad se produce entre las practicas (discursivas y operativas) de dos sujetos diferentes en interacción comunicativa.
4.3.
PERSPECTIVA DIDACTICA El algebra debe concebirse como la rama de las matemáticas que trata de la simbolización de las relaciones numéricas generales, de las estructuras matemáticas, y de las operaciones de las estructuras. En este sentido, el algebra en el colegio se interpreta como una aritmética generalizada y como tal involucra la formación y la manipulación de relaciones y propiedades numéricas. Una de las áreas que se presta como herramienta de enseñanza es la geometría, Las representaciones geométricas son una herramienta importante para la enseñanza de expresiones algebraicas, ya que lleva lo abstracto de las operaciones algebraicas a un contexto grafico por medio de medidas de áreas, perímetros, volumen y superficies, a partir
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de estas operaciones tienen un mayor significado el desarrollo de operaciones en el algebra. (Sandoval, 2010) La propuesta tiene como objeto fortalecer en el estudiante el conocimiento en algebra en particular en las expresiones algebraicas así como también la operatividad de estas, específicamente se trabaja la adición, sustracción y multiplicación, y teniendo en cuenta que
estas son la base de toda el
algebra en el colegio, se quiere que el estudiante deje de lado los procesos mecánicos que han favorecido el memorismo antes que el desarrollo del pensamiento matemático, por lo que la enseñanza y la comprensión de sus contenidos se hacen difícil, debido a la abstracción que los caracteriza. De acuerdo a esto se toma como referencia un trabajo de tesis propuesto por (Sandoval, 2010) en este describe la importancia de la geometría en la escuela, y como utilizar todos los recursos que la geometría nos ofrece y que permite que los estudiantes manipulen y tengan un conocimiento tangible y útil. Otra investigación relacionada con el tema de estudio (Paralea, 1998) se estudian
y se
analizan
las habilidades cognitivas operacionales y
conceptuales en los procesos de comprensión y también el uso de lenguaje algebraico y la comprensión de los registro so sistemas de representación utilizados en dos tipos concretos: expresiones algebraicas y ecuaciones lineales; los resultados obtenidos se reflejan que para un acercamiento entre el estudiante y el lenguaje algebraico se debe integrar diferentes contextos tanto numérico como de las representaciones.
4.3.1. Enfoque Ontosemiótico El Enfoque Ontosemiótico (Godino J. D., Bencomo, Font, & Wilhelmi, 2006) permite articular de manera coherente diversos modelos teóricos usados habitualmente
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en
Educación
Matemática
Miguel Ángel Siauchó López
(fenomenología
didáctica,
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etnomatemática, teoría antropológica, teoría de situaciones, campos conceptuales, registros de representación semiótica, socio epistemología, etc.) LA IDONEIDAD DIDÁCTICA, como criterio general de adecuación y pertinencia de las acciones de los agentes educativos, de los conocimientos puestos en juego y de los recursos usados en un proceso de estudio matemático. El sistema de indicadores empíricos identificados en cada una de las facetas constituye una guía para el análisis y reflexión sistemática que aporta criterios para la mejora progresiva de los procesos de enseñanza y aprendizaje. La idoneidad didáctica de un proceso de instrucción se define
como
la
articulación
coherente
y
sistémica
de
las
siguientescomponentes. IDONEIDAD EMOCIONAL grado de implicación (interés, motivación,…) del alumnado en el proceso de estudio. La idoneidad afectiva está relacionada tanto con factores que dependen de la institución como con factores que dependen básicamente del alumno y de su historia escolar previa. IDONEIDAD EPISTÉMICA,es el grado de representatividad de los significados institucionales implementado (o pretendido), respecto de un significado de referencia. IDONEIDAD
COGNITIVA,
expresa
el
grado
en
que
los
significados
pretendidos/ implementados estén en la zona de desarrollo potencial de los alumnos, así como la proximidad de los significados personales logrados a los significados pretendidos/ implementados. IDONEIDAD ECOLÓGICA, grado en que el proceso de estudio se ajusta al proyecto educativo del centro, la escuela y la sociedad y a los condicionamientos del entorno en que se desarrolla. IDONEIDAD MEDIACIONALes la disponibilidad y adecuación de los recursos materiales y temporales necesarios para el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje.
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IDONEIDAD INTERACCIONALUn proceso de enseñanza-aprendizaje tendrá mayor idoneidad desde el punto de vista interaccional si las configuraciones y trayectorias didácticas permiten, por una parte, identificar conflictos semióticos potenciales, y por otra parte permitan resolver los conflictos que se producen durante el proceso de instrucción.
5. METODOLOGÍA Y ORGANIZACIÓN Esta investigación se desarrolla con 36 estudiantes de grado 802, los cuales oscilan en las edades de 13 - 15 años, se pretende identificar los errores que se presentan en las operaciones con expresiones algebraicas, a partir de ellos mejorar nuestra eficiencia como futuros docentes
evaluada a
partir de secuencias didácticas basadas en la ayuda de la geometría como una herramienta para enriquecer el aprendizaje de los estudiantes. 5.1.
TIPO DE INVESTIGACIÓN
La investigación acción es una forma de estudiar y explorar una situación socialoeducativa como en nuestro caso, con la finalidad de mejorarla. Según La definición de (Lewin, 1992)La investigación acción es una forma de cuestionamiento auto reflexivo, llevada a cabo por los propios participantes en determinadas ocasiones con la finalidad de mejorar la racionalidad y la justicia de situaciones, de la propia práctica social educativa, con el objetivo también de mejorar el conocimiento de dicha práctica y sobre las situaciones en las que la acción se lleva a cabo. El objeto de la investigación es explorar la práctica educativa tal y como ocurre en los escenarios naturales del aula y del centro; se trata de una situación problemática o, en todo caso, susceptible de ser mejorada. Los agentes, los que diseñan y realizan un proceso de investigación no son los
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investigadores profesionales, al menos no son sólo ellos. Las personas implicadas directamente en la realidad objeto de estudio son también investigadores; investigadores
los
profesores
que
exploran
son
la
docentes,
realidad
en
pero que
también
se
son
desenvuelven
profesionalmente. Queda atrás el docente “objeto” de estudio, ahora es el agente, el que decide y toma decisiones. La I-A siente predilección por el enfoque cualitativo y utiliza técnicas de recogida de información variadas, procedentes también de fuentes y perspectivas diversas. Todo aquello que nos ayude a conocer mejor una situación nos es de utilidad: registros anecdóticos, notas de campo, observadores
externos,
registros
en
audio,
video
y
fotográficos,
descripciones ecológicas del comportamiento, entrevistas, cuestionarios, pruebas de rendimiento de los alumnos, técnicas socio métricas, pruebas documentales diarios, relatos autobiográficos, escritos de ficción, estudio de casos, etc. La
finalidad última de la I-A es mejorar la práctica, (
Kemmis, 1988),al tiempo que se mejora la comprensión que de ella se tiene y los contextos en los que se realiza. Existen 9 etapas en las que se lleva a cavo la I-A en el aula. 1. Diseño General del Proyecto. 2. Identificación de un Problema Importante. 3. Análisis del Problema. 4. Formulación de Hipótesis. 5. Recolección de la Información Necesaria. 6. Categorización de la Información 7. Estructuración de las Categorías 8. Diseño y Ejecución de un Plan de Acción 9. Evaluación de la Acción Ejecutada.
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5.2.
TÉCNICAS DE RECOLECCIÓN DE LA INFORMACIÓN Las principales técnicas que se utilizan en este estudio son todos las formas en las cuales podemos dar evidencia a la investigación como por ejemplo, la observación participante que se hace antes y durante la práctica en la cual actuamos como agentes modeladores de los hechos en el aula, además las fotografías de los trabajos, la evidencia documental, las reflexión analíticas a partir de los registros realizados, en general toda la documentación obtenida.
5.3.
INSTRUMENTOS PARA RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN. Los principales instrumentos con los que se cuenta son: Informes de rendimiento de estudiantes Notas de campo Cuestionario Prueba diagnostica Evaluaciones continuas Guía de taller Protocolos de los estudiantes Planes de clase
5.4.
ORGANIZACIÓN Este proyecto se realiza con la profesora titular magister Ana Cecilia Medina el profesor encargado del curso 802, Henry Moreno, y el profesor practicante, Miguel Ángel Siauchó.
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6. PROPUESTA SECUENCIAL DE ENSEÑANZA COLEGIO GUILLERMO LEÓN VALENCIA DE DUITAMA, BÁSICA UNO GRADO 802 ASIGNATURA MATEMÁTICAS PROFESOR: Miguel Ángel Siauchó, TÍTULO: Las representaciones geométricas como instrumento para la enseñanza de las expresiones algebraicas y sus operaciones, 6.1.
DOMINIOS CONCEPTUALES:
PENSAMIENTO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO VARIACIONAL 6.2.
ESTÁNDARES Los estándares que propone
el ministerio de educación. Para el
grado
octavo en el pensamiento Variacional y sistemas algebraicos y analíticos han propuesto los siguientes: Pensamiento Variacional: o Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada. o Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas. o Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas. o Identifico diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales.(Ministerio de Educacion, 1998). 6.3.
ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS GENERALES Las diferentes secuencias se realizaran con la estrategia metodológica de taller constructivo, para aprender a estructurar conocimiento matemático mediante la construcción de los conceptos algebraicos. La estructura del taller constructivo considera la enseñanza como un proceso intencional y planeado, en donde el papel del maestro es crear o diseñar situaciones de
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aprendizaje apropiadas que le permitan al estudiante construir en forma individual y colectiva. Las fases del taller son: Revisión de conceptos previos: se indaga sobre los conocimientos anterioresa
través
de
actividades
para
rescatar
los
conceptos
y
preconcepciones que poseen los estudiantes sobre el tema. Construcción lógica mediante la acción cognitiva y reflexiva: trabajo individual. Toda actividad deba conducir a una reflexión. La acción son las actividades que propone el maestro, para reflexionar sobre ellas con el fin de construir el conocimiento lógico matemático mediante preguntas que susciten nuevas preguntas. Formulación: en esta etapa no se espera que los conceptos elaborados por los estudiantes
sean los correctos, se bebe valorar toda producción
personal y orientar en caso necesario. Validación: confrontación en grupos o en plenaria. Es la oportunidad para que
el
estudiante
escuche,
argumente
y
sustente
su
producción
cognoscitiva. Formalización: el maestro precisa en plenaria las nociones, conceptos, conclusiones, generalizaciones, etc. Aplicación: se proponen ejercicios donde pueda establecer relaciones y seleccionar los contenidos conceptuales y procedimientos para aplicarlos en nuevas situaciones que se presenten. Cada secuencia está diseñada para un tiempo aproximado de 4 horas en las cuales se pretende que el estudiante construya los significados de adición, sustracción y multiplicación de expresiones algebraicas.
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6.4.
Propuesta secuencial de enseñanza.
SECUENCIA
ACTIVIDADES
Introducción a las representaciones o Generalización de geométricas para la situaciones algebraicas. adición de expresiones algebraicas.
o Sustracción de expresiones algebraicaso Con ayuda de las figuras geométricas.
Multiplicación de expresiones algebraicas o a partir de áreas y volúmenes de objetos o geométricos.
Operaciones combinadas de expresiones algebraicas.
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o o
QUE SE PRETENDE Que el estudiante logre la traducción de expresiones escritas en lenguaje natural a expresiones de lenguaje algebraico.
Se pretende obtener Interpretación grafica de ecuaciones a partir de una expresión algebraica. diagramas, motivando la Propiedades de la adición. utilización de símbolos para cantidades desconocidas y a partir de allí construyan la noción de ecuación.
El área de polígonos regulares. Propiedades de la multiplicación
Resolución de problemas.
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Se pretende que el estudiante logre interpretar el concepto de multiplicación de expresiones algebraicas a partir de gráficos. El estudiante debe operar correctamente y hacer un uso apropiados de las reglas de signos y paréntesis en las expresiones algebraicas.
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7. RESULTADOS DE LA SISTEMATIZACIÓN DEL PROYECTO El análisis del proyecto a partir de la práctica de enseñanza y aprendizaje de las expresiones algebraicas y sus operaciones de adición, sustracción y multiplicación a partir del reconocimiento de conceptos previos y el modelo de representaciones geométricasmostró ser de gran utilidad en los estudiantes de grado octavo del Colegio Guillermo León Valencia de duitama. En el transcurso del segundo periodo se realizaron diferentes actividades dentro de las clases que nos permiten hacer un análisis de lo bueno y de lo que falto para mejorar cada día más. A continuación se presenta el análisis de la practica por medio del enfoque ontosemiótico estudiado por Godino (2006). 7.1. El
IDONEIDAD EPISTÉMICA:
grado
de
representatividad
de
los
significados
institucionales
implementados (o pretendidos), respecto de un significado de referencia. Respecto a la integración y articulación de saberes, a partir de las guías de trabajo se conduce al estudiante para que através de las representaciones geométricas construya, establezca sus propias conjeturas y efectúe
un
reconocimiento de la importancia de las expresiones algébricas. En este sentido cada paso de la construcción de los conceptos ofrecía la oportunidad para la discusión, argumentación, y formación de los conceptos y a la par se revisaba el manejo de un correcto vocabulario matemático. Para las situaciones de descubrimiento de conceptos matemáticos, el objetivo era construir el significado institucional de conceptos como la expresión algebraica, sus partes, la reducción de las expresiones y las propiedades que se involucran y es importante destacar que gran parte de los estudiantes crearon sus ideas que dentro de la clase se formalizaron.
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Se dio prevalencia al conjunto de representaciones visuales y graficas donde gracias a la interacción directa se induce a pensar en el significado de los conceptos tanto matemáticos como algebraicos puestos en juego, la naturaleza del los mismos, procurando argumentar y enfocando los saberes y significados hacia la construcción de las operaciones algebraicas y sus propiedades. Esto se indujo formulando al estudiante preguntas para que establecieran conjeturas y se contrastan con la definición formal, además al inicio de cada clase se realizo una síntesis breve de lo trabajado en la sesión anterior que permite tener los temas frescos. 7.2.
IDONEIDAD COGNITIVA
Se expresa el grado en que los significados pretendidos/ implementados estén en la zona de desarrollo potencial de los alumnosde acuerdo a los criterios de esta idoneidad, se evidencio que realizar una revisión de conceptos previos es fundamental para que los alumnos recuerden la clase anterior, para usar con mayor criterio y claridadlas herramientas para el tema nuevo, así como el uso de diferentes lenguajes contextos y representaciones los cuales complementen la noción de nuevos conceptos. Es fácil evidenciar que los estudiantes tienen errores y dificultades en los conceptos previos, y sin superar estos errores no pueden adquirir conceptos emergentes de ahí la importancia de emplear espacios donde se permita individualizar a cada estudiante reconociendo fortalezas y debilidades para que participen en el transcurso de la clase de manera más activa. Los conceptos previos analizados se relacionan con el manejo de los tipos de lenguaje que se utilizan en matemáticas, (lenguaje natural, lenguaje algebraico), y se observo que los niños tienen muchos vacios y falta de conocimiento, no identifican
la operación indicada cuando se utilizan
frases con palabras como: doble, triple, cuadrado o diferencia. Pero en el transcurso de las clases los estudiantes empezaron a dominar estos
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conceptos y a transcurso de las distintas actividades que realizaron fundamentadas en el taller constructivo se superaron las dificultades y además llegaron a la construcción de la noción de generalización, y a partir de ahí aplicar con más seguridad las diferentes guías de clase, cuestionarios, talleres, esto se evidencia en la participación y el interés que la mayoría fue despertando. Uno de los motivos de la participación es el ambiente de confianza donde los estudiantes
tienen la posibilidad de expresar sus conocimientos.
(Conjeturas, procedimientos, argumentaciones). También se les aplico un cuestionario final, en donde el propósito de este era mirar que tanto se habían disminuido los errores en ecuaciones según la categoría de Socas, encontrados en la aplicación del cuestionario inicial. Los
errores
encontrados
en
el
cuestionario
inicial
disminuyeron
favorablemente gracias al desarrollo de las secuencias didácticas basadas en el taller constructivista. 7.3.
IDONEIDAD EMOCIONAL
Mide el grado de implicación, interés y motivación de los estudiantes, la idoneidad emocional es alta ya que la mayoría de los estudiantes mostraron interés por el desarrollo de las actividades propuestas en las diferentes secuencias. Se plantearon diferentes actividades en las cuales los estudiantes mostraban interés como es el caso de la participación por puntos, en este tipo de actividades se les coloca puntos positivos a los estudiantes que realicen en el menor tiempo y correctamente los ejercicios, en este tipo de actividades se favorece la participación en un ambiente de igualdad, donde todos tienen la misma posibilidad de sumar puntos a la par con el crecimiento de la capacidad cognitiva en la solución de las operaciones con expresiones algebraicas.
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La selección de las tareas y actividades complementarias, se enfoca en valorar la utilidad de las matemáticas en contextos de la vida diaria, además resaltando la responsabilidad y la estética de la presentación de los trabajos. 7.4.
IDONEIDAD MEDIACIONAL
Es el Grado de disponibilidad y adecuación de los recursos materiales y temporales necesarios para el desarrollo del proceso de enseñanzaaprendizaje. En cuanto al tiempo de las clases es el apropiado para el desarrollo de las actividades propuestas, sin embargo el salón es pequeño para la cantidad de estudiantes lo que hace un poco incomodo la movilidad dentro del aula, el uso de carteleras y exposiciones favorecen el desarrollo investigativo, el empleo de el lenguaje matemático y las argumentaciones adaptadas a los significados pretendidos. El tiempo para el desarrollo de los temas apenas fue exacto debido a la cantidad de eventos y actividades realizadas por parte del colegio y que interrumpen la cotidianidad de las clases. El uso de las representaciones geométricas fue una herramienta que se utilizo al máximo para llegar a motivar y a investigar a los estudiantes para encontrar situaciones y modelos en los cuales puedan utilizar la expresiones algebraicas en el contexto de la vida cotidiana.
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7.5.
IDONEIDAD INTERACCIONAL
Es el Grado en que los modos de interacción permiten identificar y resolver conflictos de significado y favorecen la autonomía en el aprendizaje. Se realiza una presentación clara del tema en cada una de las secuencias, se tienen en cuenta a todos los niños y sus opiniones y se llegan a consensos del tema. Se fomenta el dialogo y la discusión entre los estudiantes y se favorece la inclusión
en el grupo, mostrando así una alta idoneidad
interaccional. Los estudiantes están en edades en las cuales su interés no es precisamente el estudio, esto lleva a que siempre estén pensando en muchas situaciones diferentes a las de la clase, unos de ellos tienen que trabajar, para otros las familias son disfuncionales o no viven con los papas, y en general están explorando un mundo lleno de tecnologías y consumismos que los invita a ser rebeldes, sin embargo se creó un ambiente de trabajo agradable y respetuoso en el cual todos tienen las mismas oportunidades por aprender, esto hace que vean a las matemáticas de una manera agradable y que evidentemente les sirve para la vida y para formarlos como personas útiles a la sociedad.
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CAPÍTULO III CONCLUSIONES En el desarrollo de la práctica nos ayudo a concluir que las representaciones geométricas ayudan a desarrollar competencias en la construcción de las nociones asociadas al concepto de expresión algebraica y sus operaciones básicas porque se tornan menos abstractos los objetos matemáticos. Además la planeación de la clase es muy importante porque ayuda a tener claros los conceptos y a organizar de una manera correcta el desarrollo de la clase, el taller constructivo es una herramienta recomendada para este fin, por que las diferentes etapas del taller establecen una secuencia idónea y optima para implementar las diferentes secuencias. Es importante seguir trabajando para mejorar cada día más y buscar nuevas estrategias que nos ayuden a la enseñanza de los diferentes temas que las matemáticas nos ofrecen.
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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. ARZAQUIEL, G. (1993). IDEAS Y ACTIVIDADES PARA ENSEÑAR ALGEGRA. SINTESIS. Franchi, L. H. (2004). Tipologia de Errores en el Área de la Geometria Plana. Investigacion arvitrada. Godino, J. D., Bencomo, D., Font, V., & Wilhelmi, M. (2006). Analisis Y Valoracion De La Idoneidad Didactica De Procesos De Estudio De Las Matemáticas. Madrid: Universidad de Granada. Godino, J. D., Bencomo, D., Font, V., & Wilhelmi, M. R. (2006). ANÁLISIS Y VALORACIÓN DE LA IDONEIDAD DIDÁCTICA DE PROCESOS DE ESTUDIO DE LAS MATEMATICAS. Madrid. Gonzalez, U. P. (s.f.). La Geometria de Descartes. 288-300. Kline, M. (1976). El fracaso de la matematica moderna. Madrid,: Siglo XXI de España Editores. Krutetskii, V. A. (1976). The psychology of mathematical abilities in schoolchildren.Chicago: The University of Chicago press. Lewin, k. (1992). La Investigación-Acción y los Problemas de las minorias. Salazar, M.C. Meavilla, S. (1995). Estudio Sobre El Comportamiento Visula En El Álgebra De Los Alumnos De Segmento Educativo 14-16. Ministerio de Educacion, N. (1998). lineamientos curriculares. bogota. Paralea, M. (1998). La Adquisición Del Lenguaje Algebraico Y La Detección De Errores Comunes Cometidos En Álgebra Por Alumnos De 12 A 14 Años. Tesis Doctoral Departamento de Análisis Matemático . Universidad de la Laguna, España. Sandoval, E. Y. (2010). Las Representaciones Geometricas Como Herramienta Para La Construccion De Significado De Expresiones Y Operaciones Matematicas. Tegucigalpa. SOCAS. (1997). INICIACION AL ALGEBRA. SINTESIS. Socas. (1997). Iniciación al Algebra. Sintesis. SOCAS, M. (2011). La enseñanza del Álgebra en la Educación Obligatoria. NUMEROS , 3. Vinner, S. (1989). The avoidance of visual considerations in Calculus students. focus on learnig problems in mathematics. , 149-156.
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LAS REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS COMO INSTRUMENTO PARA LA ENSEĂ‘ANZA DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y SUS OPERACIONES Anexo A. Escuela de MatemĂĄticas y EstadĂstica _ Uptc Duitama PRUEBA DIAGNOSTICA COLEGIO: Guillermo LeĂłn Valencia Ă REA: MatemĂĄticas FECHA: ______________ Nombres:___________________________________________________________ TEMA: paso del lenguaje natural al lenguaje algebraico, expresiones algebraicas. ACTIVIDAD GRUPAL. Indicaciones: Resuelva en forma clara y ordenada eld) procedimiento al respaldo de la hoja de los ejercicios que lo requiera, colocar la respuesta en la hoja de taller.
a=3
1.
Observa la siguiente
imagen y contesta lasb = 5 preguntas.
P=________ 4.
a. b. c.
2.
ÂżCuĂĄntos lados tiene? ____________ ÂżQuiĂŠn es la altura del triangulo? __________________ Âżcon que letra se representa la medida de la base del triangulo? ___________________
(a)
( ) x+x+x+x+x+x+x
(b)
( ) 3 por x
(c)
( ) 8+x
Resolver las siguientes operaciones, dados los segmentos:
Si a = 3, b = 2a - 1 y x = a + b hallar: a. a – 9 = __________ b. 2x+b = _______ c. X -2b = _______ d. a + b + x = _______ 3.
Relaciona las columnas escribiendo en el parĂŠntesis la letra que corresponda.
ÂżcuĂĄl es el perĂmetro (p) de las siguientes figuras si?
( ) X+6 ( ) X por 8
a) Y=2 P=______________
1.
b) a=5 x= 2 p=________
ď ś
c) p=________
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Elimina los sĂmbolos de agrupaciĂłn teniendo en cuenta el signo que lo preceda. Luego, reduce los tĂŠrminos semejantes en cada polinomio.
−3đ?‘š + −11đ?‘› − −10đ?‘š − 7đ?‘š − 9đ?‘› Respuesta: ______________________
Miguel Ă ngel SiauchĂł LĂłpez
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