LAS REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS COMO HERRAMIENTA PARA LA COMPRENSIÓN SIGNIFICATIVA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y SUS OPERACIONES.
ÁNGELA MARÍA SALAMANCA RIVERA
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA FACULTAD SECCIONAL DUITAMA DUITAMA 2012
LAS REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS COMO HERRAMIENTA PARA LA COMPRENSIÓN SIGNIFICATIVA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y SUS OPERACIONES.
LAS REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS COMO HERRAMIENTA PARA LA COMPRENSIÓN SIGNIFICATIVA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y SUS OPERACIONES. ÁNGELA MARÍA SALAMANCA* ANA CECILIA MEDINA MARIÑO** Licenciatura en Matemáticas y Estadística – UPTC – Duitama
Resumen En el presente artículo se expone el análisis y valoración de la idoneidad didáctica de los procesos de enseñanza y aprendizaje propuesta a 39 estudiantes de grado octavo del Colegio Boyacá de la ciudad de Duitama, el cual pretendía mirar que concepciones previas tenían los estudiantes en cuanto al tema de expresiones algebraicas y sus operaciones y a partir de allí empezar a trabajar con representaciones geométricas como herramienta didáctica. En primer lugar se hace una exploración de los errores que cometen los estudiantes en el algebra; en segundo lugar se aplica una propuesta secuencial para la enseñanza de este tema y por ultimo se valoran los resultados obtenidos mediante los criterios de la idoneidad didáctica.
Palabras clave: expresión algebraica, monomio, binomio, polinomio, herramientas geométricas. Abstract This paper presents the analysis and assessment of the appropriateness of teaching the teaching - learning proposal to 39 eighth grade students of the College Boyacá Duitama City, aimed to see that students have preconceptions about the subject of algebraic expressions and operations and from there to working with geometric representations as a teaching tool. First is an exploration of the errors made by students in algebra, second proposal is applied sequentially to the teaching of this subject and finally the results are evaluated using the criteria of educational adequacy.
Keywords: algebraic expression, monomial, binomial, polynomial, geometric tools.
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1 INTRODUCCIÓN
A lo largo de la historia el álgebra ha ocupado un papel muy importante en las matemáticas y es la base fundamental para el avance y el desarrollo de la enseñanza de muchos otros temas, pero esa enseñanza se convierte en un conjunto de reglas y procedimientos que se deben aprender.Y es por ese motivo que los estudiantes cometen errores sin darse cuenta. Palarea y otros investigadores (1998) se han preocupado por esta problemática
y sugieren que el álgebra debe ser experimental,
teniendo en cuenta que los estudiantes son la base principal de la construcción del conocimiento que se puede adquirir mediante representaciones y relaciones que existen en los diferentes lenguajes: verbal, icónico, gráfico y simbólico. Y es que “la presencia de diferentes
sistemas
de
representación
contextualiza
mejor
el
aprendizaje del lenguaje simbólico” (Palarea 1998, pág. 522). Una de las áreas que permite relacionar estos lenguajes el la geometría porque se puede calcular el area, el perímetro, el volumen de terrenos, pisos, casas, etc.; pues mediante ellas el alumno puede construir un aprendizaje mas significativo. Con el desarrollo de este proyecto se pretende mostrar los resultados obtenidos mediante una propuesta secuencial de enseñanza basada en las
representaciones
geométricas
como
herramienta
para
la
comprensión significativa del concepto de expresiones algebraicas y sus operaciones abordando los siguientes temas: introducción a expresiones
algebraicas,
adición
y
sustracción
de
polinomios,
multiplicación de polinomios, productos notables y el desarrollo del juego “Tic- Talgebra”.
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Este articulo muestra los resultados del diagnostico, el marco teórico desde tres perspectivas: epistemológica, cognitiva
y didáctica; la
metodología empleada desde la investigación acción en el aula, la propuesta secuencial de enseñanza, los resultados de la investigación y algunas sugerencias y conclusiones.
2. DIAGNÓSTICO El presente Plan de Proyecto de Aula sobre concepciones previas que poseen los estudiantes sobre el concepto de expresiones algebraicas y sus operaciones
surge en el marco de la asignatura de proyecto
pedagógico VII; del XI semestre de Licenciatura en Matemáticas y Estadística de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia. La observación se realizo del 26 al 30 de Marzo de 2012 en el Colegio Boyacá de Duitama en grado 8:03 teniendo como profesor titular al Lic.: Leonardo Quintero. Para recopilar la información se aplicó una prueba a 38 estudiantes, consistió en una prueba de 5 ítems con el propósito de identificar las concepciones previas que deben tener los estudiantes para abordar el tema de expresiones algebraicas y sus operaciones. Se tendrá en cuenta la categoría de errores en álgebra según Socas (1997): Mal uso de operaciones aritméticas Pasaje del lenguaje natural al algebraico Errores al usar el signo menos Errores relativos a la asociación de términos semejantes y al suprimir paréntesis. Se señalan a continuación los resultados encontrados con la aplicación de la prueba diagnostica.
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PORCENTAJE DE LOS ESTUDIANTES QUE PRESENTAN ERRORES CON RESPECTO A LOS CONCEPTOS PREVIOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y SUS OPERACIONES. MAL USO DE OPERACIONES ARITMETICAS
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ERRORES
PASAJE DEL LENGUAJE NATURAL AL ALGEBRAICO
31
ERRORES AL USAR EL SIGNO MENOS
37
ERRORES RELATIVOS A LA ASOCIACION DE TERMINOS SEMEJANTES Y AL…
38 NÚMERO DE ESTUDIANTES
Se observa que los estudiantes presentan un menor porcentaje de error en el
mal uso de
operaciones aritméticas a
comparación de los otros errores. En el pasaje del lenguaje natural al algebraico el 81.57% de estudiantes tienen el error porque no se familiarizan con situaciones en el contexto; por ejemplo se les dio la siguiente tabla y lo que tenían que hacer era escribir la expresión algebraica. ENUNCIADO Cualquier numero mas tres un numero menos 3 la
cuarta
parte
de
un
numero la suma de un numero con 4 12 veces un numero
En este protocolo el estudiante no comprende el enunciado de forma correcta. Se le pregunto la cuarta parte de un número y escribió x.2.
un numero disminuido en 7
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El 97.36 % de los estudiantes tienen errores en operaciones en donde interviene el uso del signo menos, también tienen dificultades con la ley de los signos. El 100% de los estudiantes tienen errores relativos a la asociación de términos y al suprimir paréntesis
Se evidencia que los estudiantes a pesar de tener en cuenta que la primera operación a realizar está ubicada dentro de los paréntesis, no tiene en cuenta los signos que resultan de las operaciones aritméticas, además es frecuente encontrar errores en el uso de los paréntesis ya que muchos no los tienen en cuenta o por el contrario incluyen paréntesis en donde no es necesario e incluso los relaciones con operaciones que deberían, tampoco asocian términos semejantes, y otros no contestaron ese punto. 3. PLANTEAMIENTO Y FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
La enseñanza del álgebra
comienza desde los primeros años en la
escuela, cuando se plantean una serie de problemas de nuestro contexto, pero con el pasar de los años se nos olvida la importancia de esta; algo que recuerdo es cuando nos decían: “Si Pedro tiene dos manzanas y tres bananos y Valentina tiene 4 manzanas y dos bananos ¿Cuántas manzanas y cuantos bananos tienen entre ambos?”,este
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problema es muy curioso porque hay diversos estudiantes que suman todas las frutas, sin comprender lo que se les pregunta. En grado octavo sigue el estudio del ĂĄlgebra iniciando con expresiones algebraicas
y sus operaciones; en donde encontramos diversos
estudiantes que les gusta el ĂĄlgebra pero la gran mayorĂa no se interesan por descubrir su pensamiento algebraico. Los estudiantes tienen dificultades con el pasaje de la aritmĂŠtica al ĂĄlgebra porque no se familiarizan con problemas de la vida cotidiana, por ejemplo cuando se les da una situaciĂłn en lenguaje habitual “tres veces un numero disminuido en seisâ€? reflejan una apatĂa por las letras y prefieren que les den ejemplos como: 12đ?‘Ľ + 4, 5đ?‘Śđ?‘œđ?‘Ľ + 4đ?‘Ś. Esta es una de las mayores dificultades que se presentan en el desarrollo del pensamiento algebraico y por tal motivo es importante que el estudiante supere estas dificultades que se le presentan. Para ello se deben diseĂąar estrategias didĂĄcticas que ayuden a la construcciĂłn significativa de estos conceptos. ÂżCĂłmo ayudaran las representaciones geomĂŠtricas como herramienta para la comprensiĂłn significativa de expresiones algebraicas y sus operaciones? 4. OBJETIVOS GENERAL: Explorar la forma en que se pueden usar las representaciones geomĂŠtricas como herramienta para la comprensiĂłn significativa del concepto de expresiones algebraicas y sus operaciones. ESPECĂ?FICOS: Revisar la literatura referente a las estrategias que se utilizan para la enseĂąanza de expresiones algebraicas y sus operaciones. ANGELA MARIA SALAMANCA RIVERA
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Realizar
secuencias
didácticas
para
ayudar
significados asociados a los conceptos y
a
construir
procedimientos
mediante el uso de herramientas geométricas. Diseñar
instrumentos
que
permitan
la
recolección
de
información para luego organizarla, analizarla y representarla. Elaborar y socializar los resultados del proyecto. 5. MARCO TEÓRICO A continuación se presentara el marco teórico desde tres perspectivas las cuales comprenden la perspectiva epistemológica, la cual hace referencia al análisis histórico y epistemológico de expresiones algebraicas y sus operaciones, y configuración epistémica;, también la perspectiva cognitiva (Socas,1997) en donde se menciona la noción de aprendizaje, la noción de error y sus categorías en el aprendizaje de expresiones algebraicas y sus operaciones (Godino, Batanero y Font,2006) y por último la perspectiva didáctica en la cual menciono una propuesta didáctica y la noción de idoneidad didáctica 5.1 PERSPECTIVA EPISTEMOLÓGICA ANÁLISIS
HISTÓRICO
Y
EPISTEMOLÓGICO
DE
EXPRESIONES
ALGEBRAICAS Y SUS OPERACIONES. Según Socas (1997) la evolución de la matemática ha sido utilizada por la didáctica de la matemática bajo distintos puntos de vista: desde informaciones históricas que sirven para motivar un tema nuevo, hasta la construcción de secuencias didácticas inspiradas en la progresión histórica seguida en el desarrollo de algunas teorías. En cualquier caso, la historia nos ofrece diferentes ideas para la actividad didáctica e incluso puede ser utilizada por el profesor como referencia para anticipar
dificultades y errores posibles en el aprendizaje de los
alumnos. ANGELA MARIA SALAMANCA RIVERA
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En el siglo XVI aC. Los egipcios desarrollaron un álgebra muy elemental que usaron para resolver problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales. La historia del algebra de acuerdo con Puig (1998) aparece narrada como un “progreso lento pero inexorable en el descubrimiento de técnicas y formulas para la resolución de ecuaciones y en el descubrimiento de un lenguaje en el que esas técnicas y esa formulas aparecen, al final de la historia, verdaderamente expresadas”. Puig menciona las etapas de de este progreso como “algebra retorica”, la cual era primitiva porque los textos se escribían en un lenguaje vernáculo; EL algebra sincopada es la aritmética de Diofanto (S III) los textos se escribían en vernáculo pero con algunas abreviaturas y el “algebra simbólica” en la que se usaban símbolos tanto para la incógnita y sus potencias como las operaciones y relaciones. Según Meavilla un tipo especial de álgebra que sirve para obtener resultados interesantes es el algebra geométrica, la cual se origino en la escuela pitagórica y fue dada a conocer por Euclides de Alejandría en el libro II de sus famosos Elementos. Para Socas, Camacho y Hernández (1998) el algebra escolar influye considerablemente en el aspecto formativo debido a la simplicidad de sus registros formales. Según Palarea (1998) se introduce a finales del siglo XIX en los niveles de secundaria en los países europeos y americanos los contenidos que han permanecido hasta ahora. Palarea también menciona muchos cursos iniciales en Álgebra en diferentes países empiezan con términos literales y su relación con referencias numéricas dentro del contexto, primero expresiones algebraicas, luego
ecuaciones donde se realizan sustituciones
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numéricas en expresiones y ecuaciones, trabajando la simplicidad de expresiones y resolución de ecuaciones. Para muchos el álgebra causa pánico tanto que según Palarea (1998, pag 6) para muchos se ha convertido en mitos como: 10
Manipulación del lenguaje utilizado únicamente para símbolos y variables. Disciplina reservada al ciclo secundario Disciplina demasiado ardua y fuerte Sin embargo autores como Socas (1998) justifica la importancia del algebra escolar mencionando que los estudiantes deben adquirir: Habilidad para aplicar los conocimientos algebraicos ala resolución de problemas Habilidad para usar el lenguaje algebraico Habilidad para razonar y analizar información dada en lenguaje algebraico Conocimientos de conceptos y procedimientos Disposición positiva hacia el algebra. En este sentido el algebra escolar se interpreta como una aritmética generalizada y como tal involucra la formulación y manipulación de relaciones y propiedades. Una de las ramas que es de vital importancia para la enseñanza de expresiones algebraicas y sus operaciones es la geometría porque por medio de ella se puede utilizar herramienta para hallar áreas y volúmenes. Algebra geométrica:Pitágoras de Samos (580-520 a. C.) y sus seguidores (los pitagóricos) realizaron aportes significativos en Matemáticas, Astronomía y Música. Partiendo de la recopilación de hechos concretos que tenían como base los problemas prácticos
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relacionados con la necesidad de cálculos aritméticos, mediciones y construcciones geométricas, lograron producir resultados abstractos que unieron en sistemas teóricos. La Aritmética, como conjunto de conocimientos relacionados con las propiedades generales de las operaciones con números naturales se fue separando como una rama independiente y sometieron la Geometría a un proceso de abstracción y sistematización. El descubrimiento de la existencia de irracionales mediante la imposibilidad de expresar la diagonal de un cuadrado como múltiplo y/o parte de sus lados les indujo a considerar que existen más segmentos que números. Para dar respuesta a la necesidad de una teoría que abarca magnitudes racionales e irracionales crearon un método de cálculo geométrico general conocido como Álgebra Geométrica. Así la suma era interpretada como adición de segmentos, el producto de a por b como rectángulo de lados a y b, etc.
CONFIGURACIÓN
EPISTÉMICA
ASOCIADA
A
EXPRESIONES
ALGEBRAICAS Y SUS OPERACIONES. Para poder valorar la idoneidad epistémica es necesario establecer el significado de referencia que sirva de comparación. (Godino, Font y Wilhemi, 2006). Dicho significado de referencia es organizado en una configuración epistémica ( subsistemas de practicas institucionales ligadas a contextos de usos particulares, y de objetos emergentes ANGELA MARIA SALAMANCA RIVERA
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(Godino, Bencomo, Font y Wilhemi)), de tipo empĂrico: “se trata de una configuraciĂłn epistĂŠmica en la que los conceptos y las propiedades que se introducen, se intentan justificar por su acuerdo con una realidad extra matematicaâ€? o de tipo formal: “en esta configuraciĂłn se usa el mĂŠtodo axiomĂĄtico, es decir se eligen ciertos enunciados de la teorĂa como axiomas y se elige que todos los demĂĄs san probados a partir de ellos â€? (Godino, Font y Wilhemi, 2006). A continuaciĂłn describirĂŠ de manera sintĂŠtica los principales elementos sobre el significado de referencia: expresiones algebraicas y sus operaciones agrupĂĄndolos en seis tipos de entidades que propone el EOS: lenguaje, situaciones, acciones, conceptos propiedades y argumentos y se organizaran en una configuraciĂłn epistĂŠmica de tipo empĂrico LENGUAJE Verbal ExpresiĂłn algebraica, monomio, binomio, trinomio, polinomio, grado de un monomio, grado de un polinomio, tĂŠrminos semejantes, adiciĂłn y sustracciĂłn de monomios y polinomios, signos de agrupaciĂłn, multiplicaciĂłn de monomios y polinomios, productos notables. GrĂĄfico Dibujos o figuras geomĂŠtricas que ayuden ala comprensiĂłn significativa de expresiones algebraicas y sus operaciones. SimbĂłlico +, −, =,Ă—, (┤), [┤], đ?’™^đ?&#x;?, đ?’š, đ?’›, đ?&#x;’đ?’™ + đ?’š, (đ?’‚ Âą đ?’ƒ)đ?&#x;? ‌
SITUACIONES
CONCEPTOS PREVIOS
Problemas en los que se debe hallar area, perĂmetro, volumen, entre otros.
Propiedad distributiva con respecto a la suma Ley de los signos Operaciones bĂĄsicas de la aritmĂŠtica EMERGENTES Significado de expresiĂłn algebraica, Monomio, binomio,
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Trinomio, polinomio, Grado de un monomio Grado de un polinomio Adición de monomios y polinomios Sustracción de monomios polinomios Multiplicación de monomios polinomios Productos notables PROCEDIMIENTOS Contextualización de enunciados descontextualizados. Manejo de figuras geométricas para la comprensión de expresiones algebraicas y sus operaciones. Sumar, restar y multiplicar polinomios.
y y 13
PROPIEDADES Propiedad distributiva. Propiedad conmutativa Propiedad asociativa Propiedades de la potencia.
ARGUMENTOS Comprobación de las propiedades de expresiones algebraicas y sus operaciones. Manejo de figuras geométricas justificando las propiedades Argumentación para el desarrollo de las operaciones de expresiones algebraicas.
5.2 PERSPECTIVA COGNITIVA Noción de aprendizaje:
Según
el Enfoque
Ontosemiótico;
El
aprendizaje tiene lugar mediante la participación del sujeto en las comunidades de prácticas, el acoplamiento progresivo de los significados personales a los institucionales y la apropiación de los significados institucionales por los estudiantes (Godino J. D., Bencomo, Font, & Wilhelmi, 2006) Noción de error en matemáticas: Según Socas (1997), el error debe ser considerado como la presencia en un alumno de un esquema cognitivo inadecuado y no sólo la consecuencia de una falta específica de conocimiento o de una distracción. Los errores aparecen cuando se
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enfrentan a conocimientos nuevos que los obliga a hacer una revisión o reestructuración, y un uso de los que ya saben. Noción de conflicto semiótico: Según Godino y Font (2007) “un conflicto semiótico es cualquier disparidad o discordancia entre los significados atribuidos a una expresión por dos sujetos (personas o instituciones)”.Si una disparidad se produce entre significados institucionales es de tipo epistémico; Si la disparidad se produce entre prácticas que forman el significado personal de un mismo sujeto es de tipo cognitivo y si la disparidad se produce entre las practicas (discursivas y operativas) de dos sujetos diferentes en interacción comunicativa es de tipo interaccional. Errores en el aprendizaje de expresiones algebraicas y sus operaciones: En Socas (1997), se consideran tres ejes, que permiten analizar el origen del error. De esta forma, podemos situar los errores que cometen los alumnos en relación con tres orígenes distintos:
Obstáculos: conocimientos adquiridos que demuestran su afectividad en ciertos contextos pero no válidos en otros.
ausencia de sentido: relacionado en las distintas etapas de aprendizaje de un sistema de representación, semiótica, estructural y autónoma.
actitudes afectivas y emocionales: Los errores que tienen su origen en actitudes afectivas y emocionales tienen distinta naturaleza: faltas de concentración (excesiva confianza), bloqueos, olvidos, etc.
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Para esta investigación se adopto la siguiente categoría de errores propuesta por Socas (1997) : Paso del lenguaje natural al lenguaje algebraico Errores con el signo menos Errores relativos a la asociación de términos y
al suprimir
paréntesis Mal uso de operaciones aritméticas 5.3PERSPECTIVA DIDÁCTICA Socas, Camacho y Hernández (1998) señalan que “un objeto algebraico difícilmente puede interiorizarse sin reunir diversas representaciones del mismo, y de otro de dotar a estos sistemas de representación de diferentes fuentes de significado”. Estos autores proponen la enseñanza del algebra en la representación geométrica. Y es que la geometría constituye uno de los medios eficaces para aprender la matematica en forma experimental, recreativa y reflexiva, puesto que la importancia de figuras geométricas radica en el hecho de que forman un importante soporte intuitivo para el desarrollo de habilidades geométricas, es decir dejan ver mucho mas de lo que los enunciados dicen, permiten la ilustración de proposiciones, exploración heurística de situaciones complejas que posibilitan sinópticos sobre ellas y verificaciones subjetivas. La geometría da oportunidades para observar, comparar, medir, conjeturar,
imaginar,
crear,
generalizar
y
deducir.
Tales
oportunidades pueden ayudar a alumno a aprender como descubrir relaciones por ellos mismos y a solucionar problemas de su entorno. La relación de la geometría y el álgebra la encontramos vinculando dos áreas especificas: la lógica – matematica y la espacial, en donde el papel de la geometría es el de comunicación, y s que el tratamiento ANGELA MARIA SALAMANCA RIVERA
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de lo general, la exploración formulación y validación de conjeturas sobre propiedades aritméticas, la posibilidad de resolver problemas geométricos por medio del álgebra , todo esto basados en representaciones geométricas que ayudan al alumno a visualizar los procesos y a buscar relaciones existentes hasta llevarlos a una notación algebraica. Las representaciones geométricas permiten al estudiante acceder al mundo del algebra, lo que evita un temor para trabajar las expresiones algebraicas y sus operaciones, y con ello formar una base solida al trabajar con contenidos en donde se requiere la manipulación de símbolos (monomios, polinomios) ya que con el uso de estas herramientas el estudiante comprende que el utilizar letras no es mas que
representar relaciones aritméticas.
Marcarían y Moller (2007) IDONEIDAD DIDÁCTICA La idoneidad didáctica es el criterio sistemático de pertenencia o adecuación de un proceso de instrucción al proyecto educativo, cuyo principal indicador empírico
puede ser adaptación entre los
significados personales logrados por los estudiantes y los significados
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institucionales pretendidos. Para hacer activa esta definición se introducen seis criterios de idoneidad. Idoneidad empírica: Grado de representatividad de los significados institucionales implementados (o pretendidos),
respecto de un 17
significado de referencia. Idoneidad cognitiva: Grado en que los significados implementados (pretendidos) están en la zona de desarrollo potencial de los alumnos, así como la proximidad de los significados personales logrados a los significados pretendidos implementados. Idoneidad medicinal: Grado de disponibilidad y adecuación de los recursos materiales y temporales necesarios para el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje. Idoneidad
emocional:
Grado
de
implementación,
interés
y
motivación de los estudiantes. Idoneidad interaccional: Grado en que los modos de interacción permiten identificar y resolver conflictos de significado y favorecen la autonomía en el aprendizaje. Idoneidad
ecológica:
Grado
de
adaptación
curricular,
socio-
profesional y conexiones cintra e interdisciplinares. 6. METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓN
Esta investigación se desarrolla con 39 estudiantes de grado 8, los cuales oscilan en las edades de 13 - 15 años en donde se pretende enseñar las expresiones algebraicas y sus operaciones usando la geometría como herramienta didáctica para obtener un aprendizaje mas significativo. El proyectó se desarrolla con la metodología de investigación acción en el aula. ANGELA MARIA SALAMANCA RIVERA
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6.1 TIPO DE INVESTIGACIÓN El término Investigación Acción (IA) fue introducido por primera vez en el campo investigativo en el año 1944, por Kurt Lewin quien desde ese entonces fue considerado como padre de esta forma de investigación, según Lewin, la investigación acción describía una forma de encadenar el enfoque experimental de la ciencia social con programas de acción social y con el fin de que ambos respondieran a los problemas de entonces, proponían que mediante esta se podían lograr en forma simultanea avances teóricos y cambios sociales, conocimiento practico y teórico. Para Lewin la investigación acción consistía en un análisis diagnostico de una situación problema en la práctica con el fin de recolectar, conceptualizar y proponer estrategias de mejoramiento y así obtener una alta calidad educativa. Se presenta el siguiente cuadro para el proceso de la investigaciónacción
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Exploración – Fase Diagnostica: Esta etapa se llevó a cabo en las clases de matemáticas mediante observación participativa a los estudiantes del grado 8-03,
para mirar el desempeño de estos,
luego se diseñó y aplico un cuestionario inicial enfocado a determinar los conceptos previos que poseen los estudiantes con respecto a expresiones algebraicas y sus operaciones. Planificación: Las secuencias de enseñanza se trabajaron con el propósito de estudiar el tema relacionado a expresiones algebraicas y sus operaciones, las cuales consistieron en la implementación de representaciones geométricas para su comprensión significativa. Acción: La estrategia metodológica utilizada para el desarrollo de las secuencias de enseñanza es: El enfoque de los sistemas concretos, conceptuales y simbólicos, que desarrolla unos pasos específicos empezando por las situaciones concretas de las cuales se puede construir un sistema conceptual, que a la vez se puede simbolizar con palabras, letras, etc. Las etapas de de la dinámica de el enfoque de los sistemas es: partir por los sistemas concretos (sistemas pre-matemáticos o matemáticos que ya maneja el estudiante de alguna forma), seguir con los sistemas conceptuales (se elabora mentalmente y comprende el concepto, se abstrae) por último el sistema simbólico
(se escribe, se pinta o se habla; se
representa el concepto). Las secuencias que se llevaran a cabo son: introducción a expresiones algebraicas, adición y sustracción de polinomios, multiplicación de polinomios, productos notables y el desarrollo de un juego. Evaluación: Es un proceso continuo que se realizó luego de la sistematización, la cual se obtiene como objetivo recoger información que sea útil para el profesor para mejorar el desempeño de los alumnos, así como para tratar de mejorar la práctica docente del profesor, para la construcción y el desarrollo
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del Proyecto de aula, se hizo una retroalimentación y seguimiento permanentemente del trabajo realizado por los estudiantes del grado 8 en cada una de las clases, y esto mediante un proceso de sistematización de experiencias. Para la sistematización de la experiencia de aula, se consultaron puntos importantes acerca de que es sistematizar y para que se sistematiza una experiencia. También se realizaron planes de clase que sirvieron como guía para el desarrollo de las actividades en el aula y estas se presentaron con anterioridad al profesor titular Leonardo Quintero, quien dio algunas sugerencias para su ejecución. Se realizó un cuestionario final el cual pretendíamos identificar si los estudiantes recaían en los mismos errores que
presentaron
en
el
cuestionario
inicial
y
si
se
encontraban nuevos errores además de evaluar lo aprendido durante las sesiones de clase realizadas por medio de las secuencias didácticas sobre
expresiones algebraicas y sus
operaciones. 7 TÉCNICAS DE RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN
Observación participativa
Aplicación de pruebas diagnóstica inicial y final.
8 INSTRUMENTOS PARA LA RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN
Prueba diagnóstica
Matriz de observación y registro del desempeño de los
estudiantes en cada clase.
Guías de Talleres
Producciones o protocolos de los estudiantes
Prueba final
Encuestas al finalizar la experiencia en el aula aplicada a
estudiantes y profesor titular.
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9. PROPUESTA SECUENCIAL DE ENSEÑANZA
1.
DOMINIOS
CONCEPTUALES:
PENSAMIENTO
VARIACIONAL
Y
PENSAMIENTO MÉTRICO.
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2. ESTÁNDARES: PENSAMIENTO VARIACIONAL Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada. Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas. PENSAMIENTO MÉTRICO Generalizo procedimientos de cálculo válidos para encontrar el área de regiones planas y el volumen de sólidos. ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS GENERALES El enfoque de los sistemas concretos, conceptuales y simbólicos, que desarrolla unos pasos específicos empezando por las situaciones concretas de las cuales se puede construir un sistema conceptual, que a la vez se puede simbolizar con palabras, letras, etc. Las etapas de de la dinámica de el enfoque de los sistemas es: partir por los sistemas concretos (sistemas pre-matemáticos o matemáticos que ya maneja el estudiante de alguna forma), seguir con los sistemas conceptuales (se elabora mentalmente y comprende el concepto, se abstrae) por último el sistema simbólico
(se escribe, se pinta o se
habla; se representa el concepto). Las representaciones geométricas son objetos que sirven como apoyos visuales que nos permiten interactuar con los conocimientos en
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los procesos de enseñanza aprendizaje, principalmente en los contenidos algebraicos como medio de comunicación entre el docente, conocimiento y alumno. El término de representación se utiliza en varios ámbitos aquí se usa en la educación matematica, que de acuerdo con Rico, Castro y Romero (1996) las representaciones son aquellas herramientas que se utilizan por medio de gráficos para adquirir un mejor conocimiento.
SECUENCIA
ACTIVIDADES
Introducción a la noción de expresiones algebraicas
Adición y sustracción de polinomios por medio de figuras geométricas
Multiplicación de polinomios por medio de figuras geométricas.
Salto de la rana Términos de una expresión Grados de un polinomio Términos semejantes de una expresión algebraica. Adición y sustracción de polinomios con el uso de figuras geométricas.
Adición y sustracción de polinomios con el uso de figuras geométricas. Multiplicación de polinomios.
QUE SE PRETENDE Que el estudiante logre identificar que es una expresión algebraica. Que el estudiante logre identificar los términos semejantes de una expresión algebraica y a partir de allí resuelva las operaciones de adición y sustracción de polinomios por medio de figuras geométricas, hallando áreas y perímetros. Que el estudiante logre usar las propiedades de los números naturales para multiplicar polinomios, asociar productos de polinomios a través de áreas y volúmenes de figuras geométricas.
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Recordando la multiplicaciĂłn de polinomios. Productos de la forma đ?‘ĽÂąđ?‘Ž đ?‘ĽÂąđ?‘? Producto de la suma de dos cantidades por su diferencia. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades. Cubo dela suma de dos cantidades. Triangulo de pascal.
Productos notables
Aplicando lo aprendido
Que el estudiante se apropie de todos los conceptos y procedimientos que tienen los productos notables y logren representar los productos notables mediante figuras geomĂŠtricas.
Mirar e identificar si el estudiante se apropio de forma adecuada de la multiplicaciĂłn de expresiones algebraicas y mirar si el estudiante identifica los productos notables.
Tic –Talgebra
10 RESULTADOS DE LA SISTEMATIZACIĂ“N DEL PROYECTO La utilizaciĂłn de herramientas geomĂŠtricas para la enseĂąanza de expresiones algebraicas y sus operaciones fue de gran utilidad para los estudiantes de grado 8-03 del Colegio BoyacĂĄ ya que se familiarizaron con el algebra a partir de su vinculaciĂłn con la geometrĂa. El
interrogante
que
me
plantee
es:
ÂżCĂłmo
ayudaran
las
representaciones geomĂŠtricas como herramienta para la comprensiĂłn significativa de expresiones algebraicas y sus operaciones? DescripciĂłn del proceso de enseĂąanza-aprendizaje. El objetivo de la enseĂąanza consiste en que los estudiantes por medio de
las
representaciones
geomĂŠtricas
representen,
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interpreten
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consoliden, y formalicen los conceptos relativos a expresiones algebraicas y sus operaciones. También se le entrego a cada estudiante una guía de taller que contenían todas las actividades de cada tema a trabajar, se dejaban actividades extra clase para que los estudiantes las realizaran para luego socializarlas y evaluarlas.
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En este proyecto se presentan los resultados que obtuvimos a partir de los objetivos planteados. A medida que se muestran los datos sobre el análisis de los diferentes grados de idoneidad didáctica, surgen algunos elementos que los definen propuestos desde el enfoque Ontosemiótico estudiado por Godino (2006). IDONEIDAD EPISTÉMICA El aprendizaje de las expresiones algebraicas a partir de las representaciones
geométricas
despertó
el
interés
de
muchos
estudiantes porque podían argumentar, proponer y resolver ejercicios aplicados a nuestra vida cotidiana como áreas y perímetros de terrenos, pisos, etc. También se trabajo sobre las operaciones básicas de expresiones algebraicas (suma, resta y multiplicación), reduciendo así los términos semejantes de una expresión algebraica con el propósito de ejercitar las reglas del calculo y esto con el fin de buscar la representatividad de los significados institucionales. Se utilizaron las herramientas geométricas para facilitar el aprendizaje de
los estudiantes; el lenguaje que se utiliza fue el adecuado sin
embargo algunos estudiantes no comprendían muy bien el tema pero siempre se les aclaro las dudas; también se creo un juego para
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reforzar algunos de los temas vistos y asĂ ayudar a los estudiantes a comprender cada uno de los conceptos. Se puede concluir que existe conexiĂłn entre cada una de las sesiones lo cual genera un grado medio de idoneidad epistĂŠmica. 25
IDONEIDAD COGNITIVA P: Observe las siguiente figura y encuentre el ĂĄrea sombreada ÂżCĂłmo resolverĂa este ejercicio?
E: (el estudiante mira la guĂa y no responde) P: el profesor le pregunta Âżobserva la figura cual es el area del rectĂĄngulo grande? E: đ?&#x;’đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;’ P:y ÂżcuĂĄl es el ĂĄrea del rectĂĄngulo pequeĂąo? E: đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;? P: entonces Âżque operaciĂłn debes aplicar para hallar el ĂĄrea de la regiĂłn sombreada? E: profe una resta P: bien ÂżCuĂĄl es el resultado? E: 3đ?‘Ľ 2 + 2 P: eso es correcto
En el dialogo anterior se muestra como el profesor crea un conflicto cognitivo en el estudiante en donde este manifiesta un significado personal sobre el ejercicio que se esta trabajando. Ahora, atendiendo al seguimiento de las evaluaciones y de acuerdo a los resultados obtenidos en el cuestionario inicial, las evaluaciones
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que se hicieron y el cuestionario final se observa que los estudiantes disminuyeron los errores cometidos en expresiones algebraicas y sus operaciones. Sin embargo en el error relativo al pasaje del lenguaje natural al algebraico
todavía
persiste
el
error
por
algunos
estudiantes
evidenciando así un grado medio de idoneidad cognitiva. IDONEIDAD MEDIACIONAL En Godino, Contreras y Font (2006) se define la idoneidad mediacional como el grado de disponibilidad y adecuación de los recursos materiales y temporales necesarios para el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje. Para medir el grado de idoneidad mediacional se centra la atención en dos cosas: en los recursos materiales y el aprendizaje. El proceso de enseñanza se efectuó en el transcurso del segundo periodo las sesiones eran de una o dos horas, los estudiantes siempre estaban organizados en filas lo cual genero un poco de indisciplina por parte de algunos estudiantes. Aunque no se trabajo con medios informáticos se trabajo con guías de taller y con materiales manipulativos lo cual permiten que el estudiante se apropie de los conocimientos asociados a expresiones algebraicas y sus operaciones. Finalmente el tiempo fue apropiado ya que se concluyeron con éxito todas
las
actividades
pretendidas
en
cada
sesión
de
clase.
Considerando lo anterior se puede concluir un alto grado de idoneidad mediacional.
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IDONEIDAD EMOCIONAL Para analizar el grado de idoneidad emocional se tiene en cuenta la motivación de los estudiantes por querer aprender cosas innovadoras. La forma de organizar el trabajo hizo que cada estudiante se hiciera responsable de cada una de las actividades propuestas en cada sesión de clase, con el fin de resolver y socializar cada una de las actividades pero algunos de los estudiantes no asumieron responsabilidad por dichas actividades. Se asignaron tareas extra clase con el fin de reforzar los temas vistos en cada una de las sesiones de clase para luego socializarlas y evaluarlas de forma individual. Al revisar las guías de taller al comienzo los estudiantes mostraron gran interés por parte de ellos pero a medida que transcurría cada sesión algunos de los estudiantes mostraron apatía hacia las matematicas, lo cual genera un grado medio de idoneidad. IDONEIDAD INTERACCIONAL La idoneidad interaccional es el grado en que los modos de interacción permiten identificar y resolver conflictos de significado y favorecen la autonomía en el aprendizaje. Para valorar esta idoneidad se hizo una presentación adecuada del tema teniendo en cuenta algunas opiniones de los estudiantes se llego a un consenso con ellos. También se trabajaron actividades utilizando las herramientas geométricas para facilitar la comprensión y al final de cada tema se hacia una retroalimentación del tema. Cada actividad estaba diseñada para trabajar de forma individual y grupal cuando se llevo a cabo un juego llamado el “TIC TALGEBRA” facilitando la participación de todos. Al finalizar cada tema se les hizo una evaluación con el fin de medir que
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tanto habían aprendido. De lo anterior se puede decir que tiene un alto grado de idoneidad interaccional. 11 CONCLUSIONES 28
El uso de herramientas geométricas dentro del aula de clases facilita el aprendizaje en los estudiantes ya que ellos pueden comprender los conceptos de una forma innovadora. Las representaciones geométricas son una excelente herramienta para lograr el aprendizaje significativo de conceptos y además de esto desarrollar habilidades
no solo algebraicas sino también
geométricas. Las actividades basadas en representaciones geométricas ayudan a la construcción de conocimientos como las operaciones entre polinomios. Algunos estudiantes mostraron poco interés por el desarrollo de las guías de taller generando un poco de indisciplina y por tal motivo fue de vital importancia utilizar métodos como la exposición de algunos temas. Los estudiantes mostraron motivación ya que se les estaba enseñando el algebra con herramientas distintas a la forma tradicional.
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REFERENTES BIBLIOGRÁFICOS
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