7
萬有引力 Universal Gravitational Force
長
久以來人類對於為什麼停留在地球上、月亮為什麼繞著地球及天體的運行，都有各 種「有趣」解釋。然而真正對這個現象做出正確解釋的人就是牛頓。 時至今日，我們已經知道這些現象背後的原因是重力讓銀河系無數個星球靠在一起 及宇宙中最神秘結構-黑洞的根本原因。藉由對萬有引力的發展歷史來引出大家對宇宙組成因 素有最基本的概念。
相關版權說明： 笑話集中的圖片來自彎彎的部落格 部分圖片來自各版本教科書或網路，版權仍屬原創者所有 講義內容採用創用授權，不得商業化(印給學生工本費除外) 阿 Samn 的物理課本 http://mysecretpark.blogspot.com/
7-2 阿 Samn 高中物理
7.1 萬有引力定律 萬有引力 Universal Gravitational Force 1.定義： 任一兩質點(均勻球體)之間都會互相 吸引 吸引力的大小與兩質點的質量乘積成 正比 ，和它們之間的距離成 平方反比 的關係。 2.公式：
F G
m1 m2 r2
G 6.67 1011[ N m 2 / kg 2 ] r：兩物體質心之間的距離
m1
r F
F
m2
3.性質： 引力是指向球體質心
M、m 都是假設為質點或均勻球體，但是實際上並非如此需改用微積分來運算了
長程力：作用範圍極大。例如：太陽吸引冥王星繞太陽運行 超距力：不需要與物體接觸，就有作用。例如：地球吸引人造衛星，不需接觸 萬有引力常數 G 在牛頓死後約 150 年，由卡文狄希以扭秤實驗計算出來(補充教材) 重力是非常微弱的力(與庫侖靜電力相比較) 4.萬有引力的應用 證實克卜勒行星運動定律，給予理論的基礎(稍後說明) 解釋天文學的雙星運動 解釋潮汐現象：海水受月球的萬有引力而有漲落潮之現象(詳細參考上課投影片)
笑話集 一天，小華上作文課，作文題目是：「我的願望。」 小美寫著：「我第一個願望是希望有個可愛的寶寶，第二個願望是希望 有個好丈夫．．．。」 作文簿發下來後，只見老師評語處寫到：「請注意先後秩序！」
萬有引力 Universal Gravitational Force 7-3
自研教材-卡文狄希實驗說明 1. G 為萬有引力常數，是一個普遍性的常數，不受時間地點而改變 2. 利用所測出的 G 值，卡文迪西是第一位推算出地球質量與密度的科學家。 3. 測量 G 的方法則由卡文狄西在 1798 年經由實驗測得，實驗裝置如下
扭線 小鉛球
小平面鏡
固定的 大鉛球
固定的 大鉛球
小鉛球 入射光線 反射光線
圖 7-1 卡文狄希實驗操作裝置
4. 實驗原理： 以兩等重的大鉛球(質量 M )置於兩小鉛球(質量 m )旁 ， M 和 m 的吸引使絲線扭轉一 小角 ，此時 M 和 m 距離 R。 由反射光線的角度變化，計算出扭轉的角度。 由絲線的平均扭角 及絲線對扭轉的彈性係數，可計算出 M 與 m 的吸引力，代入 公式即可得 G 值G=6.6710-11m3/kg.s2
範例
演練
例題1.：基本題 質量分別為 m1 與 m2 的二物體，相距 L，欲在 m1 與 m2 之連線上找到受兩者引力之和為零的 一點，這一點與 m1 的距離為： 解：
答： r1
m1 m1 m2
L r2
m2 m1 m2
L
7-4 阿 Samn 高中物理
類題：相距 d 的 A、B 兩靜止銅球之質心連線中點一小物體所受 A 之吸引力為 B 之 n2 倍，則 欲使小物體所受之淨力為零，則物體需置於具 A：
(A)
(n -1) (n -1)d nd (n 1)d nd d (B) (C) (D) (E) 2 n n 1 n -1 n n 1
答：E
例題2.：重力的向量和 在飄渺的宇宙中，有一個獨立的三星系統，繞著系統質心轉動，三星分 佈在正三角形三頂點上，如右圖，三星質量皆相等，若任兩星之間的萬 有引力為 F，則繞質心運行的向心力為______F。 解：
答： 3F
類題：四個質點排在正方形的角上，如圖所示，則圖中對角線交點 O 處放 置質量為 M 物體，該物體的重力大小？
答：
2GmM L2
例題3.：綜合運用-簡諧運動與萬有引力【進階題】 均勻的細圓環半徑為 R，質量為 M，在中心軸上距環中心 d 處有一質 點 m，則： (1) m 受的引力 F 的大小為何？ (2)當 m 落下經環心 O 瞬間受力 F 的大小為何？
(3)若 R d，則 m 會做何種運動？
萬有引力 Universal Gravitational Force 7-5
類題：兩物質量都是 M，固定且相距 2d，另一小質點 m，放在 二固定 M 的垂直平分線上，距兩物之中點為 x，m 會受到二個 M 的萬有引力而來回運動。當 x《d 時，此時運動為 S.H.M，求週 期。 答： T
2d 3 GM
7-6 阿 Samn 高中物理
7.2 地球表面的重力加速度 重力加速度 1.物理意義：具有質量的任一物體會在空間中建立重力加速度，另一物體在此範圍中則受到 萬有引力牽引。 F 2.數學定義：每單位質量的物體在某個位置受到的重力重力加速度 g m 單位：N/kg or m/s2 3.性質： 重力加速度，屬於向量，具有疊加性。 在地表附近，重力加速度可視為定值，因為這時重力加速度與位置無關 說明：
但當考慮對行、衛星系統而言(或更大的範圍)，因為討論距離遠大於星體體積，所有星 體都可視為質點，因此重力場隨距離改變。 F GM 說明： g 2 m r
g(r)
r 圖 7-2 地球的重力加速度分佈圖
課外閱讀-場(A field ) 1.場(Field)：當某些物體(或現象)出現時，會在它們四周的空間裡造成某些影響，場即代表這 些影響。場就是一種空間的分布，場可以是向量，也可以是純量場 純量場：溫度 等溫線 ，壓力 等壓線 ，高度 等高線 向量場： 重力場 、 電場 、 磁場 ，均為超距力。
萬有引力 Universal Gravitational Force 7-7
範例
演練
例題4.：重力場（重力加速度）【基本題】 已知月球中心和地球中心的距離大約是地球半徑的 60 倍，則月球繞地球運行的向心加速度與 地球表面上的重力加速度的比為(A) 1：1 (B) 1：60 (C) 1：600 (D) 1：3600 (E) 600：1
答：D 類題：某星球的平均質量密度與地球相同，半徑則為地球的兩倍，在地球上的重量為 64kgw 的人到該星球上，其重量為 答：128kgw 類題：將兩個一樣的金屬球球體融為一個大球，若密度變成原來的 1/4，則金屬球表面的重力 加速度變為原來的幾倍？答：1/2 類題：某星球之質量為地球的 5 倍，其半徑為地球之半，且密度均勻。則此星球之重力加速 度為地球表面重力加速度幾倍？ 答：20 例題5.：不均勻物體的重力場 質量 M、半徑 R 的鐵球，挖去直徑 R 的內切圓球部分，如附圖所示，挖去 部分的球心為 A，則剩餘部分在 A 點所產生的重力加速度強度為______。
答：
GM ，方向向左 2R2
類題：O 為地球 ( 質量 M ) 的球心，在地表 A 點 ( 如附圖 ) 的重力場強度 為 g，今若內切去質量 為原來若干？
1 的圓球 ( 斜線部分 ) 移去，則 A 點的重力場強度變 64 答：
195 g 196
7-8 阿 Samn 高中物理
例題6.：視重問題【基本題】 假定地球為正球形，今質量相同的 A、B 兩人分別站在北極與赤道。若地球的半徑為 R，自 轉的角速度為 ，且地表處的重力加速度為 g，則 (1)A、B 兩人受地球引力比為何？ (2)A、B 兩人的視重比為何？
答：(1)1：1 ，(2)g：g－ 2R 類題：：設地球為質量 M、半徑 R 的均勻球體。已知當小明立於赤道處時，磅秤的讀數為立 於北極處的 a 倍（a＜1），則地球自轉的角速度為何？
答：
GM (1－a ) R3
例題7.：重力場的應用 質量為 m1 的物體與另一由兩個 m 連結的物體的萬有引力作用(距離為 2d)，m1 與雙 m 物體的 質心距離為 R，則雙 m 系統與 m1 的萬有引力為何？若當 d << R 時，萬有引力為何？ 解：
答： (1)
2Gm1m( R 2 d 2 ) [ R 2 d 2 ]2
(2)
Gm1 (2m) R2
類題：兩個質量 m 的物體相距 2d，在其中垂線上距離 x 之 P 點，則(1)此位置重力場強度為多 少？(2)x >> d 重力場度為何？ (3) x << d 時，將質量為 M 的物體置於該處，求此物體的振 動週期？
答：(1) (1)
Gmx 2 ( x d 2 )3/2
(2)
2Gm x2
(3)
2d 3 Gm
課後 練習題
1. 某行星其平均密度與地球相同，半徑則為地球之 2 倍，在地球上 64 公斤的人到該星球上時，其體重為 多少公斤重？ 2. 將小球由地面鉛直上拋時，上升的高度為 h0；若在
萬有引力 Universal Gravitational Force 7-9
離地高度等於地球半徑的地方，將同樣的小球以相同 的速度鉛直上拋時，小球可以上升 的高度為何？ 3. 四個質點排在正方形的角上，如圖 所示，則圖中對角線交點 O 處的重 力場強度為何？
4. 質量 m 的質點擺在質量 M 的大球 外側，如圖所示，則 (1)質點所受 的引力為何？ (2)若將大球中之 直徑為 R 的虛線部分去掉，則質 點所受的引力又為何？ 5. 三個質點排在正三角形的角上，其質量 均為 m，則質點 p 所受的引力為何 6. 一個密度均勻的星球分裂為 8 個密度 不變，質量相等的星球。則每個星球表 面的重力加速度變為原來的幾倍？ 7. A 與 B 兩星球之半徑比為 2：1，密度比為 1：3，則 兩者表面之重力加速度比為若干？ 8. 將密度相同的大、小實心球靠在 一起，如右圖。已知小球的質量 為 m，則大、小兩球間的萬有引 力值為何？ 9. 將密度相同的大、小實心球靠在 一起。已知小球的質量為 m，將密度均勻的大球挖去 一部分，如右圖所示，則此時大、小兩球間的引力為 值何？(挖去的部分與小球等大) 10. 假設地球為均勻球體，又假設地球保持現有的密度不 改變，將半徑縮小一半，則地球上物體的重量變為原 來的幾倍？
答案
1. 128 kgw 6.
1 2
2. 4h0
7. 2：3
3.
2Gm L2
4. (1)
8.
8Gm 2 9R2
9.
1 GMm 4 R2
23Gm 2 36 R 2
(2)
7 GMm 5. 36 R 2
10.1/2
3(
Gm 2 )，方向朝下 L2
7-10 阿 Samn 高中物理
7.3 行星與人造衛星 克卜勒行星運動第二定律 Kepler’s Second Law (等面積定律) 1.定義：同一行星與太陽的連線在相同時間間隔內，掃過相 同的面積。 同一行星的平均面積速率：
A的面積 B的面積 定值 t2 t1 t 4 t3
圖 7-3 克卜勒行星第二運動定律
克卜勒行星運動第三定律(週期定律) 1.定義：不同行星距太陽的平均距離 R 的立方與行星 繞太陽週期 T 的平方之比值皆相同。
R13 R23 定值 T12 T2 2 軌道為橢圓：R 為行星的遠日點距離與近日點距 距離的算術平均數
R
1 rmax rmin 2
軌道如為圓形，則 R = 圓的半徑。 圖 7-4 克卜勒第三運動定律示意圖
2.以萬有引力定律證明克卜勒行星運動第三定律： 說明：
萬有引力 Universal Gravitational Force 7-11
天體運動與人造衛星 1.衛星質量 m，以軌道半徑 r 繞質量 M 的行星作等速率圓周運動 向心力就是地球吸引衛星的重力
量值：
GMm v2 4 2 r ma m m r2 r T2
速度的量值：
週期：
T 2
v
GM r
r 2 GM R
gR 2 r
r3 g
簡易證明：
2.雙星的介紹 雙星互繞：獨立系統的兩個星球，彼此以萬有引力為向心力，繞共同質心運動 說明：
3.同步衛星(synchronous satellite)的介紹 週期：與地球自轉同步，週期為 86400 秒。 位置：恆停留於赤道上某處的正上方。
7-12 阿 Samn 高中物理
範例
演練
例題8.：克卜勒第一定律與第二定律綜合運用 右圖為某一行星繞太陽運轉的橢圓軌道，其離心率為 e，週 期為 T，求： (1)在遠日點與近日點時，該行星的運轉速率比為多少？ (2)在遠日點與近日點該行星運轉角速率比為多少？ (3)行星由圖中短軸的端點 B 移至 D 點所經時間為若干？
(4)承上題，若由 D 點移動到 B 點時，所需時間若干？ 解：
答： (1)
1 e 1 e
1 e 2 (2)( ) 1 e
1 e (3)( )T 2
例題9.：克卜勒行星運動第三定律【基本題】 土星與地球質量比約 100：1，半徑比約 10：1，軌道半徑比 4：1，則土星上的一年約相當於 地球上的______年。 解：
答：8 年
類題：假定火星和太陽的平均距離與地球和太陽的平均距離的比為 3:2，求(1)火星繞太陽一 週的時間需要多少年？(2)火星與地球的公轉切線速率比為多少？ (3)火星與地球的公轉角速 率比為多少？ (4)火星與地球和太陽的連線在單位時間掃過面積比為多少？ 答：
3 (1)( )3/2 2
3 (2)( ) 1/2 2
3 (3)( ) 3/2 2
3 (4)( )1/2 2
萬有引力 Universal Gravitational Force 7-13
類題：甲、乙兩衛星分別環繞地球作等速率圓周運動，已知兩者的週期比值為 T1:T2=27，則 兩者的速率比值為若干？ 答：1/3 例題10.：行星運動與萬有引力-基礎題 一行星之旁有一質量為 m 的小衛星繞其轉動，軌道半徑為 r，週期為 T。試求： (1)此行星的質量。 (2)衛星向行星的加速度。 (3)衛星所受行星的引力。 (4)若行星的半徑為衛星軌道的十分之一，則此行星表面的 g 值若干？
答案： (1)
4 2 r 2 GT 2
(2)
4 2 r T2
(3)
4 2 mr T2
(4)
400 2 r T2
類題：半徑比為 1：2 之兩行星 A 與 B，分別有一表面衛星 a 與 b，若兩衛星之公轉週期比為 1：4，則 A 與 B 之密度比為______。 答案：16：1 例題11.：同步衛星運動 假設地球半徑為 R，其質量為 M，又自轉週期為 T。則永遠停留在地球赤道某處上空之人造 衛星，距離地球表面之高度為多少？
1
GMT 2 3 答： ( ) R 4 2 類題：地球半徑為 6.38106 公尺，質量為 5.981024 公斤，求：(1)距地球表面高度為 6.38106 公尺的人造衛星的速率？ 週期又為如何？
7-14 阿 Samn 高中物理
例題12.：雙星運動-相關特徵 外太空中，有相距 d，質量分別為 m1 及 m2 的雙星，在同一平 面上互繞其共同的質心做等速圓週運度，試求各星球的 (1) 軌道半徑 (2)受力 (3) 加速度 (4) 角加速度 (5)速度 (6) 週 期 解：
答：(1) r2
m1d m1 m2
(5) v1 m2
r1
m1 r 1
d r2
m m m m2 d (2) F G 1 2 2 (3) a1 G 22 d d m1 m2
G d (m1 m2 )
v2 m1
a2 G
m2
m1 (4) d2
G d3 (6) T1 T2 2 d (m1 m2 ) G (m1 m2 )
類題：質量為 m 與 3m 的 A、B 兩恒星成一雙星系統，與外界獨立無關。兩星相距 d 則：(1)A 星環繞的週期為何？ (2)B 星的軌道速率為何？
答：(1)
類題：三個質量同為 M 的質點，位於邊長為 L 的等邊三角形的頂點。 在萬有引力影響下，這三質點在外接此等邊三角形的圓形軌道運轉，且 仍保持彼此間的距離。求 (1)各質點所受的萬有引力的大小 (2)運轉 的角速度的大小。[82.夜大]
d3 m G (2) 2 d．m Gm
萬有引力 Universal Gravitational Force 7-15
課後 練習題
1. 一行星之旁有一質量 m 的小衛星繞其轉動，軌道半 徑 r，週期 T。求 (1) 此行星質量 (2) 衛星向行星 之加速度 (3) 衛星所受行星之引力 (4) 若行星的半 徑為衛星軌道半徑的 1/10，則此行星表面的重力加 速度為若干？ 2. 史波泥克一號衛星軌道為橢圓，已知該衛星離地最小 高度為 228 km，最大高度為 947 km，求此衛星的週 期。 3. 若地球密度加倍，半徑不變，則繞轉地球的衛星在原 來軌道上的 (1) 軌道速率 (2) 運轉週期 (3) 所受引 力 (4) 向心加速度 各變為原來幾倍？ 4. 假設萬有引力與兩物體間距離立方成反比，則 (1) 繞地球運轉的人造衛星與軌道半徑的關係為何？ (2) 繞星球表面的人造衛星，其週期與星球半徑關係為 何？ (星球密度一定 ) 5. 設有一行星之半徑 500 km，表面重力場強度為 3 m /s2，則此行星所有可能衛星中，最小的週期約幾分 鐘？ 6. 土星與地球質量比 100 : 1，半徑比 10 : 1，軌道半徑 比 9 : 1，則(1) 土星一年相當地球上幾年？ (2) 若一 太空人在地球上的重量為 70 kg，則在土星上的重量 為若干 ? 7. 設宇宙間另有一星球的質量、密度都和地球一樣，則 (1) 當兩球熔成一新地球後，密度不變 (2) 若兩球熔 成一新地球後，體積與地球相等 (3) 若兩球熔成一 新地球後，密度變為原來 1/4；求地表之重力場強度 各變為原來倍？ 8. 同步衛星繞地球運行時，相對於地面某處而言是靜止 於空中的，則下列何者正確？ (A) 衛星不受地球引 力的作用 (B) 衛星仍受地球引力的作用 (C) 衛星 受何力為零 (D) 衛星受到一對大小相等方向相反的 力作用。 9. 宇宙邊際有一星球，其半徑為 r，距其表面 3r 處有 一衛星繞其旋轉，週期為 T，則此被繞星球之密度 可推測為若干？ 10. 兩行星密度比為 d1：d2，則其表面衛星週期比為何？ 11. 地球繞日運動時，近日點與太陽相距為 r、運行速度
7-16 阿 Samn 高中物理
為 v，若太陽的質量為 M，則地球繞日的橢圓軌道於 近日點處的曲率半徑為何？ 12. 兩個繞地球作等速圓周運動之人造衛星，其軌道半徑 比為 4：9，則在軌道上運轉之 (1)速率比 (2)向心 加速度量值比各若干？ 13. 某行星之半徑為地球之兩倍，密度為地球之 3 倍，求 其表面運行的衛星與地球表面人造衛星的 (1)週期 比 (2)速率比 (3)向心加速度量值比。 14. 若繞日運轉之行星，其軌道平均半徑的立方與週期平 方之比值為 K，而萬有引力常數為 G，則太陽質量為 何？
答案
4 2 r 3 4 2 r 4 2 r 400 2 r 1. (1) (2) (3) m‧ 2 (4) T2 T T2 GT 2
2. 96.5 min 3.(1) 2 (2)
(4) 2 4. (1) V．R = 定值 (2) T 與 R 成正比 5.≒43 分 7. (1) 3 2 (2) 2 (3) 1/2
8. (B)
192 9. GT 2
6.(1) 27 年 (2) 70 kg
10. d 2 ： d1
rv 11.
(3)6：1
2
GM 4 k 14. G 2
12. (1)3：2 (2)81：16 13. (1)1： 3 (2)2 3 ：1
2 (3) 2 2
笑話集
老師： 「小新，妳的毛病就是用詞不當，現在考妳用一句成語來形容老 師很開心」 小新： 「含笑九泉！」