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直線運動 Linear Motion
物
理學的一個目的在於研究物體的運動：例如他們移動的多快，他們在指定時間內移動 多遠呢？日常生活中，我們會知道「運動」就是物體的位置不斷的隨時間而變。
在醫學研究上會需要這種物理學來測量與繪製動脈部分阻塞的病人身上血液流動情形及用來 描述地質學上板塊運動的快慢。 本章僅探討的物體沿單一軸線移動的現象。這種運動也被稱為一維運動(One-dimensional Motion)並為下一章作準備
相關版權說明： 笑話集中的圖片來自彎彎的部落格，Mr. Pig 漫畫集來自 http://godpig.com/blog/ 內頁部分圖片來自各版本教科書或網路，版權仍屬原創者所有 講義內容採用創用授權，不得商業化(印給學生工本費除外) 阿 Samn 的物理課本 http://mysecretpark.blogspot.com/
2 阿 Samn 高中物理
1.1 直線運動 運動學(Kinematics) 1. 限於研究運動的各種狀態，討論運動體的空間與時間的關係： 位 移 、速度 、加速度 等， 不涉及運動發生的原因。 2. 物體運動或靜止，視 參考座標 而定，是一個 相對的概念 不是 絕對的概念 3. 物體在空間的運動類型： 移動 、 轉動 、 振動(擺動) 4. 一般物體的運動模式可能為上述中的單一種，也可能兩者兼有或全有。 5. 在初期，我們都會忽略物體內部狀態-不考慮轉動及振動，將問題簡單化，稱之為「質點 模式」-將物體視為單一質點 時間坐標：用來指明事件所發生的時間 1. 時刻：事件發生的時候(某一時間點)，如第三秒，三秒末或四秒初。 2. 時距：事件經歷的長短(一段時間)，如三秒內、第三秒內。 第 n 秒末：時間 t=n 秒之瞬 時 第 n 秒內： (n－1)到 n 秒，時距t＝1 秒 圖 1-1 時間與時刻的關係 n 秒內： 0 到 n 秒，時距△t＝n 秒
位移 (Displacement)與路徑(Path) 1. 位置：質點相對參考點的空間關係，又稱為位置向量 2. 位移x：位置的變化量向量(vector) 質點從初位置 x1 移動到末位置 x2，位移大小： x = x2-x1 方向：由初位置指向末位置，必為 有向線段 其量值與原點的選擇無關，但與實際運動軌跡不一定一致 位移是反映運動的結果，即位置向量的變化，它和物體所經的運動路線無關 3. 路徑：物體實際運動軌跡之路線長，可為 直線 或 任意曲線 路徑長則是指物體沿軌跡所行經的長度，它和運動的路線有關 物體位置隨時間移動則時間與空間的函數關係： x = x (t) A 線為一直線(等速度運動)方程式為 x = v0 ×t → v0 為常數
x B
A
B 線為一拋物線(等加速度運動)方程式為 x=
C
1 g ×t 2 → g =常數 2 t 2
直線運動 Linear Motion 3 圖 1-2 位置對時間的關係圖
3
4 阿 Samn 高中物理
1.2 速度與速率 速度 (Velocity) 1. 可以用來同時表示 物體移動的快慢 及 物體移動的方向 的物理量 2. 定義：物體在單位時間內所經過位移，單位：m/s 或 cm/s 平均速度(Average Velocity)：
v v v v ∆ x x2 − x1 v= = ∆t t2 − t1
v > 0 物體往 正 x 軸 方向移動 、 v < 0 物體往 負 x 軸 方向移動 圖 1-3平均速度的示意
v v dx ∆x ⇒v= 瞬時速度(Instantaneous Velocity)：極短一段間的平均速度： v = lim dt ∆t →0 ∆t 當 Δt 逐漸變小時(也就是 B 逐漸靠近 A 時)，斜線(割線)會愈來愈逼近切線，但卻永遠不 可能超過切線，當我們令 Δt→0 時，就可以視為切線，也就是說瞬時速度就等於 x-t 圖 上該點的切線斜率，方向為圖形的切線方向 速率 (Speed)：描述物體運動的 快慢程度 之物理量，不涉及方向的物理量 1. 定義：單位時間內所經過的路徑長：
v=
∆x ∆t
2. 性質： 瞬時速率=瞬時速度的量值 速度相同的物體，其速率必定相同，但速率相同的物體，其速度不一定相同 一般來說，物體全程平均速率 大於 物體全程的平均速度
範例
演練
例題：平均速度、速率、加速度-基礎題 手錶的秒針長 2cm，求該針尖在 0 秒至 15 秒內的：(1)平均速度 (2)平均速率。 提示：請區分位移與路徑的差別 解：
答： (1) 4
2 2 π (cm / s ) (2) (cm / s ) 15 15
直線運動 Linear Motion 5
類題：人自某位置出發，先向東走 30 m，又向北走了 40 m，此人最後距出發點的位移為何？ 若此人向東走 10 秒，向北走了 8 秒，則全程之平均速度為多少 m / s 答：50 m，25/9 m/s 類題：令狐沖展輕功上恆山看儀琳小妹妹，上山速率為 6 km/hr，下山速率為 12 km/hr，往 返一趟，求：(1)平均速度大小 (2)平均速率。答：(1) 0 (2) 8 km/hour 類題：假日登山，上山速率 v，下山(循原路)速率 3v，則全程平均速率為何？答： 3v/2 類題：一火車以 60 公里/小時之速度行駛 0.52 小時，以 30 公里/小時之速度行駛 0.24 小時， 又以 70 公里/小時之速度行駛 0.71 小時，則此行程之平均速率約多少 答：約 59.93 km/h
速度可以視為 x-t 圖形上的斜率 1. 斜率為正速度為 正值 ，方向向右。斜率為負速度為 負值 ，方向向左 說明：
2. 如果斜率一定(圖形為斜直線)，則代表 等速度運動 。 3. 如果斜率非固定(圖形為曲線)，則代表 變速度運動 。 4. 常見 x-t 圖形與 v-t 圖的互換。
3.
位移可以視為 v-t 圖形上的面積 說明： 速度為正：表示向+x 方向移動，所包含的面積應取正 號 速度為負：表示向-x 方向移動，所包含的面積應取負 號 面積的量值：代表位移的 大小 面積的正負：代表位移的 方向
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6 阿 Samn 高中物理
範例
演練
例題：x-t 圖 請由下圖回答下列各問題： (1)最初 10 秒內之平均速度為何？ (2)最初 20 秒內之平均速度為何？ (3) 10～25 秒物體之瞬時速度為何？ (4)第 5 秒物體瞬時速度為何？ (5)第 30 秒物體瞬時速度為何？ (6) 40 秒內平均速度為何？ (7) 40 秒內平均速率為若干？ (8) t 為多少秒時，物體又返回原點？ 提示：x-t 圖:圖形斜率代表系統的瞬時速度。線下面積代表系統的位移 解：
答：(1)3 m/s (2)3/2 (m/s) (3) 0 (4)3 m/s (5) -2 m/s (6)0 (7) 3/2 m/s (8)40 s 類題：如圖為一物體之位置時間圖，則 (1)5 秒內平均速度 d( (2)10 秒內平均速度。(3)10 秒內之平均速率。 (4)第 10 秒內之 m)15 5 速度 答：(1)2 (2)-0.5 (3) 5.5 (4)15 5
類題：附圖為一質點作直線運動的位置(x)-時間(t)關係圖， 下 列何者正確？ (A)AB 區間速度為正，且量值漸大 (B)CD 區間速度為負，且量值漸小 (C)AB 區間加速度為正 (D)CD 區間加速度為正 (E)AB 區間位移為正。答：BDE
x
甲
7
89 10
t( s)
x
t A B C D E 類題：作直線運動的物體甲、乙、丙， 其 x-t 圖如右圖所示，則： (1)初速以 物最大。(2)相遇時速率以 物最
乙 丙
6 t
直線運動 Linear Motion 7
大。(3)相遇時誰走最多？ (4)乙是做 樣遠 (4)等速度 (5)甲 例題：v-t 圖 下圖為一直線運動體的 數圖形，若
運動。(5)誰的速度是愈來愈快？ 答：(1)丙 (2)甲 (3)一
v − t 函
t = 0
時物體的位置
x0=+10m，試求(A)0～4s 內的加速度，(B)第 6 秒 時的速度，(C)第 10 秒時物體的位置，(D)16 秒 內之平均速度，(E)16 秒內之平均速率。 解：
答：(A) 3 m/s2 (B) 8m/s (C)60 m (D)3/2 m/s (E) 6 m/s 類題：圖中所示為一沿 x 軸運動質點之速度 v 與時間 t 之關 係。若 t = 0 時該質點位於 x = 4 米處，則在 t = 12 秒時該質點 之位置 x 應為: (A) x =12 米 (B) x =16 米 (C) x =18 米 (D) x =22 米 (E) x = 24 米。【71 日大】答：(B)
課後 練習題 1. 自強號火車欲由台南至高雄，先以速率v行全程之 1/3，欲使全程平均速率為2v，求餘程之速率應為多 少？ 2. 小明身高 180cm，他雙手捧籃球鉛直向上拋出，球過 頭頂瞬間離手。3.0 秒後籃球落地反跳後又被他接住， 若球上升的最高點離地面 12.0m，手接球點離地面 90cm，求(1)球之總位移(2)運動總路徑長(3)平均速度 (4)平均速率 7
8 阿 Samn 高中物理
3. 甲與乙同時由早上六點出發，各從自己住處奔向對方 的住處，已知兩人中午十二點時相遇，而且甲於下午 四點抵達目的地，假設兩人所行路徑相同且均為等速 度運動，則乙於何時抵達目的地？ 4. 甲、乙兩人玩百米賽跑比賽，甲抵終點時，乙跑了 90 米。再比一次時，甲於起跑線後方 10 米處起跑，假設 其餘條件與第一次比賽相同，則第二次比賽誰贏？ 5. 某人靜止站在一往上的電扶梯上，需要 20 秒可到達 上一層樓，但是，如果電扶梯靜止，此人步行而上， 卻費時 30 秒。若此人在運行的電扶上，以同樣的速度 步行向上，則此人費時__秒即可到達上一樓層。 6. 某人乘百貨公司的電扶梯上樓需時 t1 秒，停電時步行 而上需時 t2 秒，若電梯一面上升人一面向上步行(速 率仍同前)，則需時 t=__ 7. 某人開車自甲鎮先到位於其西方 2 km 之乙鎮，再折 回至位於甲鎮東方 6km 之丙鎮共經 1/4 小時，在此時 間內，車之(1)平均速率為何？(2)平均速度為若干？ 8. 某同學在 100 米賽跑中，跑完全程所需時間為 12.5 秒 在中間時刻即 6.25 秒時的速度為 7.8，到達終點時的 速 度 為 9.2 ， 則 在 全 程 中 平 均 速 率 為 (A)8.1(B)7.8 (C)8.0 (D)9.2。 9. 甲 乙 兩 列 車 在 同 一 水 平 直 路 上 以 相 等 的 速 率 （30km/hr）相向而行。當它們相隔 60km 的時候，一 隻鳥以 60km/hr 的恆定速率離開甲車頭向乙車頭飛去， 一當到達立即回，如此來回往返不止，則理論上當兩 車頭相遇時，鳥往返了【∞】次，鳥共飛行了【1】小時 及【60】公里。
答案
1. 1. 4. 4.
4v 4v 2.(1) 2.(1) 0.90m 0.90m ，向下 ，向下 (2) (2) 23.10m 23.10m (3) (3) 0.30m/s 0.30m/s ，向下 ，向下 (4) (4) 7.70m/s 7.70m/s 3. 3. 9:00PM 9:00PM 甲 5. 12 6. t t /(t +t ) 7. (1)40km/hr ； (2)24km/hr 向東 8. C 9. 甲 5. 12 6. t11t22/(t11+t22) 7. (1)40km/hr ； (2)24km/hr 向東 8. C 9.
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直線運動 Linear Motion 9
設計師的左手
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笑話集
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10 阿 Samn 高中物理
1.3 加速度 加速度(Acceleration)：在單位時間內物體的速度變化量 1. 加速度的量值： 速度變化量值 除以 時距 可得到，單位：m/sec2、cm/sec2 v uuv uv v v ∆v v f − vi = 平均加速度(Average Acceleration)： a = ∆t t f − ti 瞬時加速度(Instantaneous Acceleration)：極短時間內的平均加 v v dv ∆v 速度： a = lim ⇒a= dt ∆t →0 ∆t
vf vi ti
tf
t
圖 1-4 平均加速度示意圖
2. 加速度方向(以正、負表示)決定於末速度減初速度，與 初速度的方向 無關 3. 加速度的大小決定速度 增加 或 遞減 的快慢程度 4. 加速度與速度的方向關係決定速度的改變情況 加速度與速度同方向將使速度的大小 增加 說明：
加速度與速度反方向將使速度的大小 減少 說明：
範例
演練
例題：平均加速度(基礎題) 棒球以 35 m/s 的水平速度飛向打擊者，打者揮棒將其以 45 m/s 的速度反向擊出，若球與棒 的接觸時間為 0.04 s，則球所受平均加速度值為何？
答：2000m/s2 類題：一直線上運動的物體，其速度在 10 秒內由向東 2m/s 變成向西 8m/s，則物體在這段時 10
直線運動 Linear Motion 11
間內的平均加速度大小______m/s2 答：1 m/s2 加速度可以視為 v-t 圖形上的斜率 1. 斜率為正加速度為 正值 ，方向向右。斜率為負加速度為 負值 ，方向向左 2. 如果斜率一定(圖形為斜直線)，則代表 等加速度運動 。 3. 如果斜率非固定(圖形為曲線)，則代表 變加速度運動 。 4. 常見 v-t 圖形與 a-t 圖的互換。
4.
速度變化量可以視為 a-t 圖形上的面積 加速度為正：所包含的面積應取正號 加速度為負：所包含的面積應取負號 面積的量值：代表速度變化量的 大小 面積的正負：代表速度變化量的 方向
範例
演練
例題：v-t 圖 有一質點沿 x 軸作週期 T 的直線來回運動，其速度 v 對時間 t 關係如右圖所示，則： (A)質點 於 T/4 與 3T/4 時通過同一點 (B)質點於 T/8 與 7T/8 時亦通過 同一點 (C)T/2 時，速度 v=0 但此時加速度量值 a 為最大 (D)0~T/4 期間，加速度方向與速度方向相反 (E)T/2~3T/4 期 間，速率漸增。
答：(A)(B)(C)(E) 右圖為一質點作直線運動的速度 v 對時間 t 的關係圖，下列敘述何者為正確？ (A)為一週期 運動 (B)週期為 T (C) 3T/8 與 5T/8 兩時刻，質點 通過同一點 (D)最初 T/8 秒內與最初 7T/8 秒內的 平均速度相同 (E)0~T/4 期間與 3T/4 ~T 期間質點 11
12 阿 Samn 高中物理
的加速度相同。答：(A)(B)(C)(E) 例題：a-t 圖 某物作直線運動之質點的 a-t 圖如右若 t＝0 時，速度為 –2 m/s，求：(1)第 2 秒時之速度 (2) 第 6 秒時之速度
類題：一直線運動物體自靜止開始運動，其中 a - t 關係如附 圖，則此物體 (A)在 10 秒時速率最大 (B)在 10 秒後即反向運 動 (C)在 15 秒時速率最大 (D)在 15 秒後即靜止不動 (E)在整個 運動過程中運動方向均不改變。答：ADE
課後 練習題 1.
某質點的速度與時間關係圖如右所示，已知質 點 在第 4 秒的 位置 為 ＋ 12 公 尺 ， 則 (A) 出 發點的位置為＋8 公 尺 (B) 出 發 點 的 位 置 為 ＋ 16 公 尺 (C) 運 動 全程改變 2 次方向 (D)全程的位移為－1 公尺 (E)全 程的平均速率為 2 公尺／秒。 右圖為一質點在 2. x軸上運動的位置與時 間關係圖，求： (1) 5 秒內平均速度 (2)第 7 秒內平均速率 (3) 7 秒 內平均速度 下圖表示一物 3. 體在一直線上運動， 初 速度 為 1.0m/ s ，其 a-t 圖 如 右 圖 所 示 ， 則 在 5 秒內的平均速率 為 (A)3.9 (B)4.5 12
直線運動 Linear Motion 13
(C)5.6 (D)6.7 (E)7.2 m/ s 下圖所示為某跑 4. 車在加速過程的速度對 時間的關係圖，Ｐ點為 切線Ｌ與函數圖的交點 ， 則該跑車在6秒末的瞬 時加速度量值為若干？ (A)1 (B)2 (C)5 (D)10 (E) 5/3 m/s2 四個質點作直線運動其函數圖形如下所示則下 5. 列結論中正確是： (A)四個質點在2秒內速度的變化 率都有相同 (B)在2秒末，質點乙離出發最遠 (C)在 第2秒內，質點甲、乙做加速運動 (D)在第2秒末，乙 丙質點出發位移相同。
答案
1. 1.AD AD 2.(1) 2.(1) 33 m/s m/s (2) (2) 99 m/s m/s (3)m/s (3)m/s 3. 3. A A 4.C 4.C 5. 5. D D
設計師的左手
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笑話集
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14 阿 Samn 高中物理
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直線運動 Linear Motion 15
1.4 直線等加速度運動 直線等加速度運動 1. 基本條件： 加速度的 方向 及 量值 一定，不隨時間而變 初速度平行加速度方向 2. 物理情境：若物體以一定的加速度 a 在一直線上運動，當時間 t = 0 時，位置座標在 x0 處，速度為 v0 。經時間 t 後，位置座標在 x 處，速度變為 v
公式：1st：
3.
v = v0 + a ×t
.、2nd：
1 S = v0 ×t + a ×t 2 2
、3rd：
v 2 = v0 2 + 2a ×S
簡易推導
等加速度運動的運動軌跡可以是直線或拋物線。 等加速度運動的運動軌跡可以是直線或拋物線。 (1) (1) 物體拋出時的初速度為零或與加速度方向平行，則運動軌跡為一直線。 物體拋出時的初速度為零或與加速度方向平行，則運動軌跡為一直線。 (2) (2) 物體拋出時的初速度與加速度方向不平行，則運動軌跡為一拋物線。 物體拋出時的初速度與加速度方向不平行，則運動軌跡為一拋物線。 補充資料 15
16 阿 Samn 高中物理
範例
演練
例題：等加速度運動-基礎題 物體在直線上作等加速運動，由 P 點向右出發，而加速度 6 m/s2 向左，若 1 秒末通過 Q 點， 再經 2 秒，又通過 Q 點， (1)物體向右的最大值位移為多少？ (A)9 (B)12 (C)15 (D)18 公尺。 (2)P、Q 之間的距離為多少？ (A)9 (B)8 (C)7 (D)6 公尺。 (3)出發時的速率為多少？ (A)0 (B)6 (C)9 (D)12 m/s。
答：(1)B (2)A (3)D 類題：一車以 16m/sec 等速前進，欲於 16m 之距離內完全停止，若其煞車為等加速度，則 其 (1)加速度為 (A)-6 (B)-8 (C)-10 (D)-12 (E)-14 。 (2)煞車需時 (A)10 (B)8 (C)6 (D)4 (E)2 秒。答：(1) B (2)E 類題：汽車以 36 公里/小時的速率行駛，若以 10 公尺/秒 2 的加速度煞車減速。則 (1)多久 時間車子停止？答：1sec (2)車子自煞車開始又前行多遠？ 答：5m 類題：某人駕駛汽車 72km/h 的速率在高速公路上直線前進，突然見到前方有交通事故發生， 立即踩煞車，以 10 公尺/秒 2 的加速度來減速，則車子完全煞住前將會滑行_?_公尺。答： 20(m) 例題：等加速度運動-追逐問題 直線道路上有 A、B 兩車，t =0 時，B 車在 A 車前方 30km 處，兩車之 v-t 圖如右，則： (1)A 車出發後若干小時追及 B 車？(2)A 車追到 B 車時，距離 B 車 之出發點若干 km？ 解：
答：(1)3hr；(2)120km 類題：甲車以 10 米/秒，乙車以 4 米/秒之速率在同一車道中同向前進。若甲車之駕駛員在離 16
直線運動 Linear Motion 17
乙車後方離 d 處發現乙車，立即踩剎車而使其車獲得負 2 米/秒 2 之定值加速度，為使兩車不 致相撞，則 d 之值至少應大於：答： 9 米 課後 練習題 1. 某質點作直線等加速度運動，每秒拍照 100 次，在 照片中發現某相鄰兩點距為 0.1 米，次相鄰兩點相 距 0.2 米，求此物加速度大小。 2. 一質點自靜止作等加速度直線運動，第 10 秒內的位 移比第 9 秒內多 10 公尺，求：第 10 秒內的位移若 干？(2)加速度若干？(3)第 10 秒末的速度為何？ 3. 下圖為一物在x軸上運動的v-t圖，若初位置x＝3米， 繪出其x-t圖。
4. 一質點在t=0時在原點靜止 起動，首3秒的加速度均為 +4.0 m/s2 ，其後3秒的加速 度為－6.0 m/s2 ，試繪出其 a-t；v-t及x-t函數圖形。 5. 某物沿一直線作等加速度運動，在其速度由v變為v/3 的時距內，其平均速度值與平均速率的比值為何? 6. 一物體從靜止開始作直線運動，已知該物體先以 2 公尺/秒2的等加速度運動，接著以等速運動 5秒後， 再以-2公尺/秒2的加速度減速到停止。若全程運動的 距離為100公尺，則此物體運動過程的最大速率為__ _公尺/秒；全程的總時間為_________秒。 7. 火車沿直線鐵道靜止於A站，以＋a之加速度出發， 到B站後，以等速 v 行駛至C，然後做-a加速度停於 D，若站間等距，則行駛全程歷時多久？ 8. A、B兩車速率各為36 km/hr及72 km/hr，A車在前， 相距20 m，B以等減速度2 m/s2 減速，求是否相撞， 若相撞何時相撞？ 9. 甲火車長300米，在鐵軌上等速40 m/s行駛，乙火車 長100米，靜止在另一平行鐵軌上，當甲火車尾超過 乙火車頭時，乙火車由靜止以加速2 m/s2 起動，且 當速度為60 m/s後便以等速行駛，則幾秒後乙火車 17
18 阿 Samn 高中物理
尾超過甲火車頭? 10. 甲、乙兩車在直線道路上同向 行駛。已知開始時乙車領先甲 車96公尺。若兩車的速度－時 間圖如右。則 (1)甲、乙兩車在 10 秒 內 的 位 移 量 值 之 比 為 何 ？ (2)甲車經過幾秒後，才能追上乙車？ 11. 一直線運動質點的位置x與時間t的關係為x＝－t ²＋ 2t(單位：SI制)則(1)畫出x-t圖。(2)質點於第幾秒時方 向發生改變？(3)質點於前4秒內移動的路徑長為何？ 12. 測定加速度之實驗中，用紙帶經過計時器打點，今 拉動紙帶，2秒鐘內得21個點，最初一部份如下圖所 示，則其加速度(㎝/sec2)大約為：
13. 正常人駕駛汽車時，以15(m/s)行駛時，安全煞車距 離為30(m)；以20(m/s)行駛時，安全距離為50(m)， 則 (1)正常人的反應時間為何？(2)汽車的加速度為 何？ 14. 一靜止的火車自A站以a1 ＝2m/s2 出發，當速度達 40m/s時改以a2 ＝-4m/s2 減速到B站而停止，求：(1) 從A站到B站共耗時多少？(2)兩站相距多少？(3)全 程平均速度？ 15. 一物體作直線運動，先以4的等加速度由靜止開始運 動，接著以-2的等加速度運動至停止。若運動的總距 離為150公尺，則此物體運動所需的時間為多少？ 16. 一作等加速度運動的物體，第6秒內，第9秒內位移 分別為30m、42m，則加速度與初速各若干？ 17. 自靜止起作等加速度運動之物體在第n秒之位移為 d，則其加速度為______
答案
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直線運動 Linear Motion 19 2 2 1. 1. 1000 1000 m/s m/s2 2.(1)95m 2.(1)95m (2)10m/s (2)10m/s2 (3)100m/s (3)100m/s 3. 3. 略 略 4. 4. 略 略 55 66 10 10 ， ， 15 15 77 8. 8. 9. 9. 65 65 22 秒 10. (1) 1 ： 2 (2) 24 11. (2)1 秒， (3)10 公尺 12. 7.5 13.(1)0.5(s) (2)-5(m/s ) 14. 秒 10. (1) 1 ： 2 (2) 24 11. (2)1 秒， (3)10 公尺 12. 7.5 13.(1)0.5(s) (2)-5(m/s ) 14. 2 (1)30 秒 (2)600(m) (3)20m/s (1)30 秒 (2)600(m) (3)20m/s 15. 15. 15 15 秒 秒 16. 16. 44 m/s m/s2 8m/s 8m/s 17. 17.
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20 阿 Samn 高中物理
1.5 自由落體、鉛直上拋及斜面上的運動 自由落體 free fall 1. 在地球表面附近，物體只受到地球引力的作用，忽略其它任何阻力的影響而從空中落下 的運動。 x-t 圖 v-t 圖 a-t 圖
說明：物體從靜止狀態 v0=0，受重力吸引自某高度 h 加速落下 落地時間：
t=
2h g
、落地瞬間的瞬時速度 v(大小)
v = 2 gh
補充資料： 重力加速度與地面高度有關，越高，重力加速度越小。 但在地球表面附近，均視為定值重力加速度 g=9.8 m/s2
範例
演練
例題：自由落體-應用題 某自由落體由靜止落下，在最後 1 秒及最後前 1 秒落下距離比為 3：2，求 (1)全部落下時間？ (2)落體之原來高度？ (3)落體著地時的速度？
答： (1) 3.5 秒 (2) 60.03m (3)34.3m/s 20
直線運動 Linear Motion 21
類題：某物作自由落體運動，若不考慮空氣阻力，則第 3 秒內的位移與 3 秒內的位移量值之 比為何？ (A)1：1 (B)5：9 (C)1：3 (D)1：5 (E)1：5。答：B
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22 阿 Samn 高中物理
鉛直上拋運動的處理 1. 以初速 v0 鉛直向上拋出，因受重力吸引，當達到一最大高度 H 後，開始落下 定向上為正，則加速度為 a = − g x-t 圖
v-t 圖
上升：速度與加速度反向 下降：速度與加速度同向
速度變 小 ，方向向上 速度變 大 ，方向向下
圖 1-5 鉛直上拋運動示意圖
2. 運動特徵 具有對稱性：上升時間=下降時間，在最高點，速度為零，加速度=-g。 上升達最大高度 H，全程運動時間 T (a ) v = v0 − gt
範例
(b) y = v0t −
1 2 gt 2
(c )v 2 = v02 − 2 gy
演練
例題：鉛直上拋-基礎題 在地面上以初速度 20m/s 鉛直上拋一石頭，若不計算空氣阻力的影響，則下列敘述何者正確 (g = 10m/s2) (A)石頭到達最高點需費時幾秒 半路程時的速率為多少 解：
(B)石頭最高離地多少公尺
(C)到最大高度一
答： (A)2 秒 (B)20(m) (C) v2 = 10 2(m / s ) 22
直線運動 Linear Motion 23
例題：綜合題 將某物鉛直上拋，在拋出點上方某處，物體經過該點的時間分別為 t1、t2，則： (1)此處距拋 出點之高度 h 為何？ (2)此物體之初速度 v0 為何？ (3)此物最高可上升 至距拋出點之高度 H 為何？ (4)落回拋出點共費時若干？
1 答： (1) gt1t2 2
1 1 (2) g (t1 + t2 ) (3) g (t1 + t2 ) 2 2 8
(4)t1 + t2
類題：.由地面鉛直上拋一物，若不計空氣阻力，而於拋出後 2 秒與 4 秒時，此物體高度相同 則：(1)所能到達的最大高度？(2)第 5 秒末的高度？(3)拋射時初速？(4)前 5 秒內平均速度？ (5)前 5 秒內平均速率？答：(1)44.1m；(2)24.5m；(3)29.4m/s↑；(4)4.9m/s↑；(5)12.74m/s 例題：綜合題 不計阻力，一球自高 5 米處自由落下，落至地面後反彈之最大高度為 3.2 米，g=102 m/s2，求： (1)球著地時之速度？(2)球反彈之初速度？(3)若球與地面接觸時間為 0.01 秒，則球與地面接 觸期間之平均加速度為何？ 解：
答：(1)10m/s↓；(2)8m/s↑； (3)1800m/s2↑ 類題：一球自 2.45 公尺的高度自由落到地面，反彈到 1.25 公尺的高度，若球與地面的碰觸 時間為 0.1 秒，則觸地期間，球的平均加速度為：(g=10 m/s2) 答：120 m/s2 ※類題：有一小石子自塔頂落下 a 公尺後，另一小石於離塔頂下方 b 公尺處自由落下，結果 兩石同時著地，則塔高為若干(公尺)？(但 b > a )
23
答： h =
(b + a )2 4a
24 阿 Samn 高中物理
※類題：一棒球發球機以每秒 19.6 公尺的初速把一棒球垂直往上發射。當球達到最高點時， 發球機又以同樣的初速往上發射第二個球。( g = 9.80 公尺/秒 2 ) (1)第一球發射後，最高點離 發球機多高？ (2)到達最高點需多少時間？ (3)如兩球在空中相撞，第二個球由發射到相撞需 多少時間？ (4)此時兩球離發球機多高？【指考】答：：(1)19.6 公尺；(2)2 秒；(3)1 秒； (d)14.7 公尺 沿光滑斜面之等加速度運動-配合實驗三 1. 物體在光滑斜面上的運動為直線等加速度運動 斜面的傾斜角如為 θ，則加速度的大小為 g sinθ 。 如以斜面方向為 x 座標，斜上為正，斜下為負 2. 物體在光滑斜面上的運動為等加速度直線運動 由靜止在斜面上下滑
範例
θ
演練
例題：物體在斜面上的運動-基礎題 以初速10 m/s，沿斜角 θ＝30°之光滑斜面上行，g＝10m/s2， 求：(1)最大位移值 (2)頂點加 速度值 (3)幾秒後回原點
類題：一物體從長24米的光滑斜面頂點靜止下滑，經4秒到達斜面底部。今將此物體以某初速 沿此斜面上行，經6秒後又滑回斜面底，則此初速值為何 答：9m/s
課後 練習題 1.
高度差為14.7公尺的甲球與乙球，同時靜止自由落 下，若甲球比乙球遲一秒鐘落地，則甲球原來的高度 為何？(g=9.8m/s2) 2. 塔頂一靜止下落之自由落體，已知最後兩秒內落下 的 高 度 塔 高 的 8/9 ， 試 求 ： (1) 落 地 時 間 (2) 塔 高 (g=9.8m/s2)一球由高處自由落下，在落地前最後1秒， 其位移為全程位移的1/4，則小球下落的總時間為何？ 24
直線運動 Linear Motion 25
(g＝10m/s2) 3. 一石 p 由頂樓自由下落距離 a 後，石子 q 始由頂 樓下方距離 b 處靜止下落。若兩石同時著地，則頂樓 的高度為何？ 4. 物體以初速 v 被鉛直上拋，重力加速度 g，則自拋 出上升到最大高度的一半處，所需時間為何？ 5. 若一網球從 5公尺高度由靜止落至地面，反彈至 1.25公尺的高度，若球與地面的接觸時間為 0.010秒 (重力加速度 g＝9.8 m/s2 )，則球在接觸時的平均加速 度值為何？ 6. 一石由頂樓向上鉛直拋出，其拋出速度為40(m/s)。 已知頂樓的高度為100(m)，則該石子經過多久落地(g ＝10m/s2)？ 7. 某物體從39.2 m 高的建築物頂端靜止自由落下時， 地面有一石子同時以19.6 m/s的初速鉛直上拋，則兩 者相遇的時間及高度為何？( g＝9.8m/s2) 8. 球自高 H 處自由落下，另一石同時自地面以初速 v0 鉛直上拋，結果球與石同時著地，則H 應為何？ 9. 升降機內有一螺絲釘自高2.45米的天花板自行掉落 至地板上，試求下列各情況下掉落的時間：(1)升降機 靜止 (2)升降機等速下降 (3)升降機以4.9 m/s2等加速度 上升 (4)升降機以4.9 m/s2 等加速度下降( g＝9.8 m/s2) 10. 設一電梯以等加速度 a 垂直上升，其內有乘客於 t ＝0 時，將一原靜止於其手中、距離電梯地板為 h 的物 體釋放，重力加速度 g，試求此物體抵達電梯地板之 時刻？ 11. 一氣球自地面由靜止以 g/8 的加速度上升，g為地 表之重力加速度，4 秒後由氣球上落下一小石子，再 經幾秒後小石子會落地？ 12. 小明乘坐熱氣球由地面以等速度12 (m/s)上升。當熱 氣球到達離地32(m)處，小明將手中的一只木箱靜止 釋放，此後熱氣球即以加速度 2 (m/s2)上升，則當木 箱著地時，小明的離地高度為 (m)，熱氣球當時的速 度為 m/s。(令 g＝10m/s2) 13. 有 兩 質 點 p 、 q 同 時 開 始運動，已知質點 p沿 著光滑斜面自由下滑； 質點q則自由下落，如 圖。則 p、q兩球著地時 間的比值為何？ 25
26 阿 Samn 高中物理
14. 有p、q兩球在傾斜角為 的光滑斜面上，已知p球 以速度v0由底端上滑，而q球則從頂端自由下滑。今兩 球同時運動，若兩球在p的出發點相遇，則v0 之值為 ；兩球相遇的時間為 。 15. 一木塊以速度 v0 由斜面底端上滑，當該木塊再度 v0 ，則該木塊上滑與下 2 滑的時間比為何？；該木塊上升與下降的加速度量值 之比為何？ 滑回出發點時，當時的速率為
答案
3 2 1. 1. 19.6 19.6 m m 2.(1)3 2.(1)3 秒 秒 (2) (2) 44.1 44.1 m m 3. 3. 4. 4. 5. 5. 1.48×10 1.48×103 m/s m/s2 6. 6. 10 10 (s) (s) 7. 7. 22 ss ； ； 19.6 19.6 m m 8. 8. 9.(1)0.71s 9.(1)0.71s (2)0.71s (2)0.71s (3)0.58s (3)0.58s (4)1s (4)1s 10. 10. 11. 11. 2s 2s 12. 12. 96 96 ， ， 16 16 13. 13. 14. 14. ， ， 15. 15. 11 ： ： 22 ， ， 44 ： ： 11
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笑話集
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直線運動 Linear Motion 27
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28 阿 Samn 高中物理
1.6 一維相對運動 參考座標 1. 以 觀察者之位置 為原點的所建立的座標，稱為 參考座標 2. 參考座標之選定原則 運動情形的簡單或複雜，端賴 參考座標 之選擇 在物理上，選擇參考座標以 簡便 為原則 習慣上，以 靜止座標 (通常是地面上某固定點)測量運動的狀態 一維相對運動 1. 在高中物理中，如果沒有指定的參考座標，多半以「靜止的地面」當作參考座標。 2. 相對速度： 說明：A、B、C 三人對地速度分別為 5 、10、15 m/s ， A 看 B 的速度： 5 m/s ，A 看 C 的速度： 10 m/s A 看 B代表以 A 當參考點：用 B 的對地速度減去 A 的對地速度： vB - vA 在物理中，稱為 B 相對於 A 的速度 3. 相對加速度： 說明：
範例
演練
例題：一維運動的相對速度 質點 A 以 2 米/秒之速度向東行，質點 B 以 6 米/秒向西行，則 B 看 A 之速度為何？若 A 以向 西 2 米/秒之速度，則 A 看 B 之速度又如何？
答：8 米/秒向東，4 米/秒向西 類題：A、B 兩物體同在 x 軸上運動，A、B 二物之位置時間關係為 xA=8t+3、xB=2t2+1（M.K.S 制），則 t=4 時，B 所 A 見之速度為何？ 答： -8 m/s 28
直線運動 Linear Motion 29
例題：相對座標 一升降機正以 12m/s 之等速度上升，其天花板上懸吊一小球，離升降機之高度 h=2.45 米，若 該球突然掉落，則歷時 t=______秒會碰到地板，若該球與地板碰撞時間為 0.01 秒，且撞後 球即停於升降機地板上，則碰撞時的平均加速度為______。(g=9.8 m/s2) 解：
答：(1)
1 秒 (2) 490 490 2 m/s2 2
類題：從以 a 之加速度上升降機天花板上，輕放一物，若升降機之高為 h，則此物落至升降 機地板需時______。 答： t =
2h g+a
課後 練習題 1. 設電梯恆以等速度 u 垂直上升，其內有乘客將一原 靜止於手中距電梯地板 h 的物體釋放，則此物抵達 電梯地板所需時間為何？(重力加速度 g) 2. 兩質點 A、B 由相同的位置先後自由下落，已知質點 A 比質點 B 早 to 出發時間。今以質點 A 出發的時刻為 零，且重力加速度為 g，則在時刻 t 時(t＞to)，兩質 點間的相對速度量值為何？當時兩質點間的距離為 何？ 3. 一升降梯由地面靜止起動，其加速度為 a。已知經過 時間 t 後，電梯內天花板上有一物體脫落，則該物體 相對於地面的初速為何？令電梯內部的高度為 h，重 力加速度為 g，則脫落物經過多少時間後，與電梯地 板碰撞？ 4. 將 p、q 兩球以相同的初速，由地面鉛直向上拋出。已 29
30 阿 Samn 高中物理
知 p 比 q 早 2(s)拋出，則兩球在空中相遇時的相對速 度量值為______(m/s)，兩球在空中運動時的相對加 速度量值為_____m/s2。(令 g＝10m/s2) 5. A、B 兩位觀察者以等速度作相對運動，則他們對於 下列那一件事情的看法是一致的？ (A)A、B 之相對 速度大小 (B)與 A、B 之相對運動的方向垂直之距離 (C)與另一作等加速度運動之 C 物之相對加速度 (D) 對於另一靜物 D 之相對速度 (E)對一自由落體落地 時間。
答案 2 1. 1. 2. 2. gt gt00， ， (2tt (2tt00－ － tt002)) 3. 3. at at ， ，
4. 4. 20 20 ， ， 00 5.ABCE 5.ABCE
30
直線運動 Linear Motion 31
1.7 微分在物理學的應用 (補充教材 ) 1.
定義：假設原函數關係式 f (x)，而 f’ (x)為另一函數，若在 f (x)之定義中之任一點 x=a 處之導數恰為 f’ (a)，則稱 f’ (x)為 f (x)的導函數 d f ( x) d = ×f ( x ) f ( x) 的導函數通常表示成 f ′( x ) 或 d ( x) dx
2.
導(函)數的幾何意義 當∆x → 0 時，在 [x, x + ∆x] 區間的函數曲線可以直線段近似之，而此直線段的斜率就是 f ( x ) = lim
∆x → 0
f ( x + ∆x) − f ( x) ∆x
可微分：由 f ( x) 求 f ′( x) 的計算過程，我們稱為將函數 f ( x ) 微分 第 n 階導函數(第 n 次微分)
3. 4.
第一次導函數
∆y f ( x + ∆x) − f ( x ) dy = lim ⇒ y′ = ∆x →0 ∆x ∆x → 0 ∆x dx
y ′ = f ′( x) = lim
∆y′ f ′( x + ∆x) − f ′( x) d2y = lim ⇒ y′′ = 2 ∆x →0 ∆x ∆x → 0 ∆x dx n n −1 多項式的微分： f ( x ) = a ×x ⇒ f '( x ) = n ×ax 導函數(微分)在運動學中的應用
第二次導函數 5. 6.
y ′′ = f ′′( x) = lim
導函數降階導函數降階 ( ) ( ) d f (t ) → d v d d f (t ) d 2 f (t ) → x = f (t ) ¬ v = a = = × = ¬ 反導函數升階反導函數升階 ( ) ( ) dt dt dt dt d2 t
微分微分 x(t) → v(t) → a(t) 求切線斜率 求切線斜率
積分積分 a(t) → v(t) → x(t) 求面積 求面積
31
32 阿 Samn 高中物理
直線運動之函數與函數曲線圖(總整理) 1. 函數關係 若位置隨時間變化之函數為 x(t)，則速度 v( x) = a(t)= 2.
3.
dx(t ) ，此為 t 秒時候的瞬時速度。而加速度 dt
dV (t ) ，此為第七秒時的瞬時加速度。 dt
函數圖的相依關係 x−t 圖： (a) 位置可由圖形直接讀出。 (b) 割線斜率=平均速度。 (c) 切線斜率=瞬時速度。 v−t 圖： (a) 速度可由圖形直接讀出。 (b) 割線斜率=平均加速度。 (c) 切線斜率=瞬時加速度。 (d) 曲線與 t 軸所圍面積為位移。 各種直線運動的函數圖形 直線等速度運動
a−t 圖： (a) 加速度可由圖形直接讀出。 (b) 曲線與 t 軸所圍面積為速度變化量
直線等加速度運動
x-t 圖
v-t 圖
a-t 圖
32
直線等加速度運動
直線運動 Linear Motion 33
範例
演練
例題：多項式微分-基本題 運動的位置與時間關係為 x( t )＝5＋4t－2 t2(MKS 制)，求：(1)初速度 (2)加速度 (3)最遠 的正向位置為何？在什麼時刻？(4) 4 秒末的位置 (5) 4 秒內的平均速度 (6) 4 秒內的平均 速率。
答：(1)4 m/s (2)-4 m/s2 (3) t =1 s 最遠位置是 7 m (4) -11 m (5)-4 m/s (6) 5 m/s 類題：已知位置與時間關係為 x=3t2－6t＋5(M.K.S 制)，何時距原點最近？此距離是多少？ 答：t=1(s)時候，離原點最近。
課後 練習題 1.
某 質 點 運 動 位 置 與 時 間 關 係 式 為 x(t) ＝ 3t2+6t+2(x：米，t：秒)，求：第2秒內位移 (2)3秒內 平均速率 2. 某直線運動質點位置與時間關係式為x(t)＝6t－t2 (x：米，t：秒)求：(1)速度與時間關係式 (2)運動方 向何時發生改變 (3)首3秒內的平均速度 (4)加速度與 時間關係式 (5)6秒內平均加速度 3. 一物體在直線上運動之位置(x)－時間(t)函數關係 為 x＝2＋4t－t2，x之單位為米，t之單位為秒，求此 物體前4秒內之平均速率為？ 4. 在x軸上運動的質點與時間t關係為x = 5 + 6t -t2，單 位x(m)，t(sec)。則(a)何時速度為零？(b)第5秒末速度？ 5秒內平均速度？(c)10秒內平均速度與平均速率？ 5. (1)一物體作直線運動，其位置與經歷時間之關係 為 ： x = 2t-5t 2 ， 幾 秒 後 ，物 體 回 至原 位： (A)0.2 (B)0.4 (C)0.5 (D)1 (E)不能求。 (2)出發後幾秒，物體離出發點最遠而後反向運動？ (A)0.2 (B)0.4 (C)0.5 (D)1 (E)不能求。 33
34 阿 Samn 高中物理
6.
一質點之位置x(m)與時間t(sec)為x=3+5t-At2 ，若2 秒內之位移為4(m)，則 (a)初速 (b)加速度 (c)式中之
A值各為若干? 7. 某物位置對時間的關係式為x = At2+B，則(A)其速 度為定值 (B)其速度為時間的一次函數 (C)其速度與 時間成正比 (D)其加速度為定值 (E)其加速度為時間 的一次函數。 8. 某物體沿 x 軸方向作直線運動，其位置對時間關係 為 x = At 2 + Bt + C，A、B、C均為不為零之定值常數， 則(A)物體路徑為拋物線 (B)物體位移為拋物線 (C) 位置對時間之數學關係為直線 (D)位置對時間之數 學關係為拋物線 (E)物體路徑與位移均為圓。
答案 2 1.(1) 1.(1) -3 -3 m m (2)5 (2)5 m/s m/s 2.(1) 2.(1) v=6 v=6 － － 2t 2t (2) (2) 第 第 33 秒 秒 (3)3 (3)3 m/s m/s (4)a(t)=-2 (4)a(t)=-2 (5)-2 (5)-2 m/s m/s2 3. 3. 22 m/s m/s 4.(a) 4.(a) 第 第 33 秒末； 秒末； (b)-4m/s (b)-4m/s ， ， 1m/s 1m/s ； ； (c)-4m/s (c)-4m/s ， ， 5.8m/s 5.8m/s 5. 5. (1)B (1)B (2)A (2)A 6. 6. (a)5m/s (a)5m/s ； ； (b)-3m/s2 (b)-3m/s2 ； ； (c)1.5 (c)1.5 7.BCD 7.BCD 8.D 8.D
設計師的左手
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