高三物理 by Lin-shiung Chou

磁場 Magnetic field

本章的地位：在介紹過靜電及電流之後，本章要介紹電與磁之間的關係，這裡可以說和前面有關電與磁的關係不大，可是卻是許多同學覺得困難的地方，原因就在於公式很多並且代數也很多，更需要有很強的數學背景，所以在這一章不僅要認真聽講，更要自行整理公式，消化成為自己的東西才行。

相關版權說明：  笑話集中的圖片來自彎彎的部落格  部分圖片來自各版本教科書或網路，版權仍屬原創者所有  講義內容採用創用授權，不得商業化(印給學生工本費除外) 阿 Samn 的物理課本 http://mysecretpark.blogspot.com/

20-2 阿 Samn 高中物理

20.1 磁場與磁力線 磁場 Magnetic Field1 1. 說明：在磁鐵的周圍，磁力作用所及的區域，高中物理習慣以 B 來表示 2. 定義：單位磁極在真空中所受的力 F 單位：特士拉(Tesla) or 韋伯/公尺 2(weber/m2) B B m 3. 虛擬的磁力線(Magnetic lines of force)：來描述空間中的磁場形狀與強度。  在磁鐵外部由 N 極射出，指向 S 極；磁鐵內部由 S 極射向 N 極  磁力線是一條封閉曲線在磁鐵外部是平滑的曲線。  磁力線密度愈大，磁場愈強  任兩磁力線間有排斥的作用磁力線之間不會相交。  兩磁棒平行放置且同極相鄰時，磁力線如下圖

 兩磁棒平行放置且異極相鄰時，磁力線如下圖

4. 磁場方向的表示法（重要）  磁力線切線方向就是該點的  磁場的方向向外垂直於紙面，

磁場方向 磁場的方向向內垂直於紙面

圖 20-1 表示磁場穿出紙面

圖 20-2 表示磁場穿入紙面

磁化的現象 1.內部分子本來是混亂排列的，後來因為磁性物質的靠近，使得分子排列的整齊一些，使得整體帶有了磁性 2.這個磁性會隨著磁性物質的消失而回復原狀。

磁場的觀念源自於法拉第，只注重它的物理意義 20-2

磁場 Magnetic field 20-3

靜磁與靜電的相異點 1.單一電荷與雙極磁場  正、負電荷可以單獨存在  磁鐵的 N 極和 S 極總是成對存在 科學家至今仍未找到單獨存在的 N 極或 S 極2 2.固有性質的有無  磁性是磁鐵所具有的固有特性，  玻璃、琥珀等須經摩擦才帶有電性 3.使物質帶電、帶磁的能力  磁鐵僅能使部份物質(如鐵、鈷、鎳等元素或其合金等)磁化)  帶電體卻能使所有物質產生靜電感應。 4.屏蔽情形  磁鐵間的磁力不因一般物質阻隔而消失，僅能減弱  靜電現象則可能被某些物質(金屬)所阻隔 磁的庫侖定律(補充資料) 1.在 1785 年庫侖由實驗確定，對應於萬有引力的質量及電力的電量，磁力也必須有一個基本量稱為磁極強度 m （因為磁是 N、S 及必須同時存在的）， Km1m2 r2  上式中的 K 和電學中的 k 不一樣，m 也和質量 m 意義不同，請不要混淆了。 2.磁極 Magnetic poles：為磁鐵之磁性最強處同性極相斥，而異性極相吸。  N 極(指北極)：指向北方的磁極  S 極(指南極)：指向南方的磁極  靜磁的庫侖定律如下：

F

英國物理學家-狄拉克利用數學推論出磁單極存在的理論，但目前無法科學尚未能證實磁單極，且如果證明磁單極存在，那量子力學將要進行某種程度的修正。 20-3

20-4 阿 Samn 高中物理

地球磁場 The Earth’s Magnetic Field 1. 吉爾伯特將地球模擬成大磁鐵，在其周遭有磁場，稱為地磁。  地球的磁軸(即磁棒的中心線)方向和地球的極軸(即地理南北極的連線)方向之間的夾角約為 11°。  磁棒的 S 極靠近地理北極，而其 N 極靠近地理南極，地球外部的磁力線方向由地理的南方指向北方。

2. 磁偏角：若磁針可在水平面上自由轉動，則當磁針靜止時，其 N 極指示的方向稱為地磁北方。地磁北方和地理北方的方向並不一致，兩者之間的夾角 θ 稱為磁偏角，  因為磁極與地理南北極不同，故磁針所指方向不等於真正的南北方向  其值隨地球表面上的位置而異，磁偏角介於 0~180 度之間  航海圖上都標示磁偏角，是航海人員在航海過程中的重要資料

圖 20-3 磁偏角

3. 磁傾角：若磁針可在鉛直面上自由轉動，則磁針靜止時將順地球磁力線的方向上。此時磁針和水平面之間的夾角 ψ 稱為磁傾角。  在赤道附近，磁力線約成水平分佈，磁傾角=0  在北半球時候，指針 N 略微向上，越往北，磁傾角越大  地磁強度 B 在水平方向的分量，稱為水平地磁強度。  地磁強度 B 在鉛直方向的分量，稱為鉛直地磁強度。

勵志集：可口可樂總裁曾說：『我們每個人都像小丑，玩著五個球，五個球是你的工作、健康、家庭、朋友、靈魂，這五個球只有一個是用橡膠做的，掉下去會彈起來，那就是工作。另外四個球都是用玻璃做的，掉了，就碎了』 20-4

磁場 Magnetic field 20-5

20.2 電流的磁效應 電流磁效應的發展簡史 1.亨利羅蘭實驗：  公元 1876 年羅蘭使一個直徑約 20 公分的硬橡皮盤帶上儘可能多的電荷，然後，將盤以每秒 60 轉的速率迥轉。  結果：測出盤的附近有一個微弱的磁場 結論：運動中的電荷可以產生磁場。 2.在 1820 年，丹麥物理學家厄司特發現通有電流的導線附近有磁場

圖 20-4 電路形成通路之後，導線附近磁場產生變化

圖 20-5 電路斷路時候，導線附近的磁場不改變

3.必歐(Biot)-沙伐(Savart)實驗：必歐與沙伐於 1820 年發現：當一長直導線有一電流通過時，在相關空間某點之磁場幾全為鄰近之導線所產生，而遠處導線對該點所建立之磁場則甚微弱。  磁效應隨距離之增大而迅速減少。  磁力線環繞導線成同心環狀。 4.安培右手定則磁場方向之判定  載流直導線建立之磁場：若用右手握導  載流圓線圈(或螺線管)建立之磁場：線，拇指指向電流方向，則四指彎曲所若用右手握導線，四指彎曲方向指電流方指即為磁場方向。向，則姆指方向即為磁場方向

來自 Wiki 20-5

20-6 阿 Samn 高中物理

必歐-沙伐定律 Biot-Savart law 1.定義：一小段導線（長 Δℓ）通以電流 i 時，會在距導線 r 的 P 點產生磁場 ΔB   0 i     i  sin  向量式： B  ，純量式： B  0  2 4 r 4 r 2 方向可用安培右手定則來定 若 θ=0，則磁場為零，代表在電流的延伸線的方向上不會有磁場 μ0 是真空中的磁導率（常數），其值為 4π×10-7 特士拉-公尺/安培(T-m/A) 磁導率：物質因外加磁場而產生的磁化程度

2.磁場 B 單位  特士拉(tesla 或 T)(M.K.S.制)：在必歐-沙伐定律中，若電流 i 的單位為安培(Amp 或 A)，距離 r 的單位為公尺(m)，而真空中的磁導率 μ0= 4π ×10−7 特士拉-公尺/安培，則磁場 B 的單位為特士拉。  高斯(Gauss 或 G)(C.G.S.制)：取半徑 r =2π 公分之圓形線圈一圈，通以 10 安培的電流，線圈中心之磁場強度即為 1 高斯  1 Tesla = 10,000 gauss；地磁大小約為 0.5 gauss 3.常見物質的磁場大小  在地球表面的地球磁場約為 0.5 高斯(0.5×10-4 特士拉)，  一般小磁鐵棒的磁場約為 100 高斯，  大型的電磁鐵可達 20,000 高斯的磁場，  超導磁鐵可產生更強的磁場。

在馬克士威的方程式中 c 

1 c 為真空中的光速，ε0 為真空中的電容率 0   0

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磁場 Magnetic field 20-7

長直載流導線產生之磁場

1.長直載流導線中電流為 i 在距離導線 r 處的磁場： B 

0 i 2 r

簡易證明(屬補充資料，需要微積分的基礎)  其量值可由必歐-沙伐定律計算(作積分)得下式  i sin   i  sin  B  0  積分形式 dB  0 dy 2 4 r 4 R 2  式子中的 Δℓ 因為我們取無限長的導線，所以從-∞積到+∞，對應的也因為所取的角度從-π 到 π：

R  r 2  y2



sin   sin(   ) 

R y2  r 2

 由觀念可以知道導線上半部與下半部產生的磁場完全相同 

B   dB  2   0



dB 

0 i  sin  dy 4 R 2

0  i  r dy 2  2 0 ( y  r 2 )3/2



 只有一半長度的長直導線產生的磁場：

B

0 i 2 r

B

0 i 4 r

圓線圈的磁場 1. 半徑為 a 的圓線圈通以電流 i 時，則在圓線圈對稱軸上距離線圈平面為 R 的 P 點，其磁場 B 的量值

B

0ia 2



2 a2  R2



簡易說明：Δℓ1 所產生的磁場 ΔB1，由於對稱的原因水平分量會互相抵銷，我們指取它的垂直分量  i a B1 cos   0 2 cos  又 cos   4 r r

當我們取 Δℓ 來積分時會得到直接將 Δℓ 代入 2a：

B

0 i 2 a a 0ia 2 0ia 2   3 4 r 2 r 2r 3 2  a2  R2  2

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20-8 阿 Samn 高中物理

2. 上式中如果代入 R = 0（圓心處），則又可寫成：  若僅半圓時：

B

0i

B

0i 2a

 圓心角為 θ 之一段圓弧：

B

0i   2a 2

螺線管內的磁場分佈 Magnetic Field of a Solenoid 1.緊密纏繞，長度 L 遠大於半徑 a 之理想螺線管，管外與邊界：弱而不均勻，管內：磁場強且均勻

B  0  i  n

n

N L

2.說明：(需用安培定律)  螺線管可視為由許許多多個單一圓線圈所組成在內部，由於每一段導線所產生的磁場在內部的總和會是均勻且平行管的中心軸  在外部，因為各導線所產生的磁場有互相抵消的趨勢，所以不去討論它。 安培定律 Ampere's law (補充教材,大學普物) 1.定義：在一封閉的任意曲線內，其路徑與磁場強度的乘積等於 μ0 乘上內部所包圍的電流

 B  d   

i

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磁場 Magnetic field 20-9

範例

演練

例題1.：長直導線的磁場兩根很長之導線，彼此平行，相隔 10cm。其中一導線上有 10 安培之電流，另一導線有 20 安培之電流（如圖所示），試求圖上 P、Q、R 三點處磁場 B 之量值及方向。解：

答：P：6.7×10-5T，穿出紙面；Q：4.0×10-5T，穿出紙面；R：9.3×10-5T，穿入紙面類題：二長直導線平行排列，相距 0.20 公尺，各載電流 10 安培，方向相同，如右圖所示。試求圖中 A、B、C 三點，磁場的量值和方向。(設三點與二導線均在同一平面內)。答：A：2.7×10-5 T，垂直穿出紙面；B： 0；C：1.5×10-5 T，垂直穿入紙面例題2.：長直導線的磁場二長直導線相互平行，距離為 a，各載電流 i，但方向相反，如下圖所示。 2 0ia 試證在與二導線等距離之 P 點的磁場大小為 B  。  ( 4r 2  a 2 ) 解：

類題：四條長銅線互相平行，且排成邊長 2cm 的正方形，P、Q、S 通過 20A 的電流，電流方向如圖所示，R 流入 40A，求正方形中心處的磁場大小和方向？答： 6 2 ×10−4T，OS 方向 20-9

20-10 阿 Samn 高中物理

例題3.：圓形導線的磁場氫原子中，電子之軌道半徑為 5.3×10−11m，電子迴轉之頻率為 6.8×1015 次/秒，則(1)由於電子之轉動，在其軌道中心處所造成之磁場強度為若干？ (2)若氫原子改為重氫原子，而其他條件皆不變，則答案又為何？

答：(1)13 N/A-m (2)13 N/A-m 類題：一金屬圓環，半徑為 10cm，環上帶有 2×10−5 庫侖之電荷，此環繞其中心軸每秒轉動 100 次，則環中心處之磁場強度為若干？答：4π ×10−9 N/A-m 例題4.：圓形導線的磁場如下列四圖所示，環中心 O 點處的磁場 B 之量值為何？解：

1 1 i 答： (1) B  (  ) 0 2  2r 20-10

(2)0 (3)

0i 2r

(4)

0i(b  a) 4ab

磁場 Magnetic field 20-11

例題5.：螺旋管線圈的磁場

20m 長之細導線，以 10 cm 為半徑繞成管長 10cm 之螺線管，若通以電流 10A，則管中心處之磁場為多少？

答： 4π ×10−3T 類題：有 A、B 兩螺線管，均以緊密纏繞相同銅線而製成，且單位長度內所繞的匝數相同，已知兩螺線管的長度比為 3：1，管截面直徑比為 2：1，若分別在兩端加以相同電位差，則 A、 B 兩管內磁場的量值比為： (A)1：6 (B)1：3 (C)3：1 (D)2：3 (E)3：2。答：(A)

笑話集：電腦白癡的堅持有一天，貨運公司的阿龍正在用電腦打報表。嚼著檳榔的老闆走到他身旁，一看到電腦螢幕之後便搖著頭說：「阿龍啊，不是我要說你，雖然電腦是我批准買給你的，但你也不能把它占為己有嘛！」於是，在老闆的要求下，阿龍很無奈的，只好把電腦「桌面」上的「我的電腦」的圖示改成「公司的電腦」！ 20-11

20-12 阿 Samn 高中物理

課後練習題

1.下列三圖中 O 點之磁場量值。(其中 O 為三角形之重心，導線電流均為 I )

a a

2.兩平行長直導線 A、B，各負載同向電流 2I、3I，且兩導線相距為 d，則在距離 A 導線多遠處磁場強度為零？ 3.一形狀如上圖(1)所示之封閉線圈，兩半圓的半徑各為 a 和 b。若通以逆時鐘方向的電流 i 時，則圓心處 O 點的磁場為何? 4.如圖上(2)所示為一測量水乎地磁強度的方法。一長直導線鉛直懸掛，在導線的正北方，距離導線 2.0cm 處水平放置一磁針。今導線由下而上通以 3.0A 的電流時，量得磁針的偏轉角度為 37°，則由此推算該處地磁的水平分量為何? 5.兩單匝圓形線圈如上圖 (3)，半徑皆為 a，電流皆為 I，且同軸並立，電流方向相同，圓心相距亦為 a，求在兩圓心中點之磁場。 6.有兩個單匝線圈，其半徑均為 2πcm，兩者圓心重合，但圈面互相垂直，如上圖(4)所示。設 I1=3A，I2=4A，求中心處之磁場 20-12

磁場 Magnetic field 20-13

之量值。 7.半徑 R 的圓形電阻線，中心處有一電動勢 ε 的電池，用兩條導線分別接於 A、B 兩點，再分別接到電池兩極，則中心處磁場為若干？ 8.一細長直導線載有電流 i，被彎成如圖之形狀，其中兩直線部份互相垂直，圓弧部份半徑為 a，則在圓心 O 處磁場之量值為? 9.兩長度相等之同種導線截面積比 2：1，今將之繞成管長 2：1，管截面半徑比亦為 2： 1 之螺線管，欲使兩螺線管內之磁場大小相等，則其所需電功率之比為何? 10. 三條長直導線，分別與 x 軸、y 軸及 z 軸重疊，各載有電流 i，分別流向＋x、＋y 及＋z 方向，則在 xy 平面上的一點 p(其坐標如圖所示)的磁場為何？（答案以 i、d 及真空中的磁導率 μo 等表示之）

答案

1. (1)

0 I 4r

8 0 I 125a

(2)

 0 Ia  (a  x ) 2

，向左

(3)

3 0 I a

6. 5  10 T 5

2 2. d 5 7. 0

 0i 8a

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 0 i ( a  b) 4ab

9. 8：1 10.

4. 4  10 5 T

 0i (－ xˆ ＋ yˆ ) 4 d

20-14 阿 Samn 高中物理

20.3載流導線在磁場中所受的力 載流導線在磁場中所受的力 Magnetic Force on Current-Carrying Wire 1.1825 年，安培發表的論文中記載：由於電流的磁效應使載流導線周圍產生磁場，此磁場與外加磁場產生磁力的交互作用導致金屬導線受力偏移。

2.長度 L 導線，若帶有電流 i 在磁場 B 中，而電流與磁場方向相互垂直，則會有受力大小為

F  iBL  其中受力的方向可以用安培右手掌定則 Right-hand Rule (RHR)來決定  拇指方向為電流方向，四指（伸直）為磁場方向，手掌方向為導線的受力方向 3.用這個方法的條件是電流與磁場必須垂直，但若不是垂直呢？這裡還可    以用另一種向量的記法（外積）： F  L  i  B  F  i  L  B sin 

應用：兩載流平行長直導線受力

1.1825 年安培研究發現兩導線之間的力量與下列相關：

F

證明：先假設兩導線的電流為同方向（分別為 i1、i2），距離為 d，導線長為 L，則導線 1 在導線 2 的位置產生了磁場大小為：  i B 0 1 2 d 該磁場對導線 2 的作用力，運用安培定律可以得到：

  i   i i F '  i2  L  B1  i2 L  0 1   0 1 2 L  2  d  2 d

20-14

0 i1  i2  L  d 2

磁場 Magnetic field 20-15

 相反的討論，B 導線對 A 導線的施力大小也是相同，只是方向都是吸引的，所以上式也滿足牛頓第三運動定律。  若導線所帶的電流方向相反，則推論得到其間的作用力為排斥力。 2.結論：當兩條導線接通以電流時會產生相互排斥或吸引的作用力  這個作用力並不受金屬的屏蔽作用影響，  事實上也證實兩導線雖然有電流通過，卻不代表本身會帶電  這個作用力並非靜電的庫侖作用力磁力作用

前面第十九章時介紹過電流的單位為安培，卻沒有真正定義安培，在這裡可以用上面的公式來定義：兩載有相同電流的平行長直導線，在真空中相距 1 公尺，而導線上每公尺所受的作用力為 2×10-7 牛頓，則導線上的電流稱為 1 安培。

笑話集：找麻煩從前從前，有三個好兄弟，老大叫做劉氓，老二叫做蔡刀，老三叫做馬煩。有一天馬煩不見了，老大帶著老二急忙的到處找老三，可是卻怎麼找都找不到，於是老大便帶著老二去報警，進了警察局便喊道：我叫劉氓(流氓)帶著蔡刀(菜刀)來找馬煩(麻煩)! 20-15

20-16 阿 Samn 高中物理

範例

演練

例題6.：導線在均勻磁場中受力→純量形式一導線長 0.020m，質量 0.0060Kg，通以 100A 的電流，若置放於與導線垂直的均勻磁場中，磁場 B＝0.30T，則導線所受磁力及加速度為何？

答：0.6N，100m/s2 類題：重量為 0.25 公斤重/公尺之導線東西向置於有效強度 2.0N/A-m，向北之磁場中，則其電流大小及方向為何方可使導線"失重"？ (A)0.2A 向西 (B)0.5A 向東 (C)l.0A 向西 (D)l.25A 向東 (E)2.25A 向西。答：D 例題7.：導線在均勻磁場中受力→向量形式如圖中之正立方體木塊，每邊長 0.50m，置於磁場強度 B＝0.60T 向正 X 軸方向之均勻磁場中，有導線安置於其上，導線中通以 i＝4.0A 電流沿 a、b、c、d、e 方向流動，求 ab , bc , cd 三線段所受之磁力。（各導線間之作用力與地磁不計）

答：(1)1.2N 方向為向負 Z 軸 (2)1.2N 方向為向負 Y 軸 (3)1.2 2 N 方向為 ef 。 20-16

磁場 Magnetic field 20-17

例題8.：平行導線的磁力兩平行直導線，各載有 10 安培的電流，二電流方向相反。若兩導線間單位長度有 1.0 × 10－4 牛頓的排斥力，則兩者間的距離應為何？解：

類題：.有兩長平行導線，以 4cm 長之線從一共同軸下懸。兩導線之質量為 50g/m，帶同量而反向之電流，如果懸線與垂線成 30°角，則電流為若干？ (A)238 (B)23 (C)38 (D)328 (E)823 安培。例題9.：任意形狀導線在均勻磁場中受力如右圖，一段導線載有 I 之電流，所受磁力為多少？(半徑為 R)

答： 3IRB

類題：.導線 ACDE 置於垂直紙面的均勻磁場 B 中，導線上通有電流 i，AC、DE 為直導線， CD 為 1/4 圓弧，AC＝DE＝r，圓弧半徑亦為 r ，如圖所示，則導線 ACDE 所受之磁力量值為

______。

答案： 10irB 20-17

20-18 阿 Samn 高中物理

例題10.：長直導線與封閉線圈的受力右圖表示一載流 i1 的長直導線與一載流 i2 之長方形線圈的長邊平行，則長直導線施以線圈之淨磁力大小為何？

答：

例題11.：帶電滑動軌道的處理質量 m(kg) 之金屬線橫跨於水平面上之兩線相距 d 公尺，若強度為 B 特士拉之磁場垂直向上，依如圖方向流入 i 安培之電流，則不計摩擦力時，由靜止起第 t 秒的速度為若干 m/s ？ (A)iBdt2/m 向左 (B)idBt/m 向右 (C)idt/mB 向左 (D)idt/mB 向右。

類題：右圖中 ab、cd 為平行導線相距 d，與水平夾角 θ，bc 段質量 m，可自由滑動，問靜止時鉛直向下之磁場 B 之強度為何？

20-18

0 b  i1  i2  L  a ( a  b) 2

磁場 Magnetic field 20-19

例題12.：電流天平如下圖，若已知螺線管中為均勻磁場 B＝1.0×10−2N/A-m，電流 I1＝1.0A，bc 段長為 2cm，此裝置稱電流天平。則(1)此電流天平之 bc 端受力為若干 N？(2)欲使電流天平平衡，則另端懸吊質量 m 應為若干㎏？

答：(1) F＝2.0×10−4N (2) m＝2.0×10−5 ㎏

20-19

20-20 阿 Samn 高中物理

課後練習題

1.一長為  ，質量為 m 之均勻導線懸掛於一均勻磁場 B(由紙前向紙後)內。設每條勾線可耐住張力 T，則通過導線的電流大小應為多少?方向為何?才恰可使懸線斷裂 2.a、b、c 三平行導線，載有相同方向、相同大小之電流，相距 d 成一字排列如上方右圖所示，則 (A) b 導線所受磁力方向為向上 (B) a 導線所處磁場之磁場強度為度所受磁力為

0 I 2 4d

3 0 I 4d

(C)c 導線單位長

(D)a、c 兩導線間之磁力為斥力

(E)a、b 兩導線間之磁力為斥力。 3.垂直紙面之四平行長直導線，分別穿過紙面上邊長為 a 的正方形四頂點 A、B、C 及 D(如右圖)。導線上各通以電流 i。A、B 及 C 導線之電流方向穿入紙內，D 導線之電流方向穿出紙外。求： (1)中心軸線上一點 P 其磁場之量值及方向。 (2)在 D 導線上單位長度所受磁力之量值及方向 4.三條長直平行導線在同一平面上，其電流及導線距離如圖所示。則導線丙單位長度之受力為若干?

5.如右上圖，邊長為 0.50m 之正立方體，置於大小為 0.80T、方向向右的均勻磁場中。立方體表面繞有曲折之導線 abcde，若導線上電流為 0.30A，則 20-20

磁場 Magnetic field 20-21

(1) ab (2) bc (3) cd 導線所受的磁力為何? 6.有一導線彎成如下圖所示，將其置於垂直射出紙面的磁場 B 中，若導線中之電流為 i，則此導線所受的磁力為何? 7.載電流 i 的圓形導線，其上半圓與下半圓，跨於磁場量值相同，但方向不同的兩個區域內，如右圖所示。已知磁場為 B，則此線圈所受的磁力量值為若干？ 8.一攜帶電流的長直導線，與紙面垂直（O 為導線與紙面的交點）；電流由下往上，穿出紙面。紙面上有一封閉線圈 abcda，其 bc 與 da 邊是以 O 為圓心的同心圓弧，ba 及 cd 邊的延長線交於 O 點。封閉線圈攜帶有順時針方向的電流，如圖所示。若不考慮重力作用，則下列敘述何者為正確？ (A) 線圈將受到直導線的排斥，遠離 O 點而移動 (B)線圈將受到直導線的吸引，趨向 O 點而移動 (C)線圈將以直導線為軸，在紙面上依反時針方向轉動 (D)直導線對 ab 邊的施力方向為穿出紙面，垂直向上 (E)直導線對 bc 邊的施力方向為穿入紙面，垂直向下。

答案

2T  mg  B

2.(B)

3.(1)

3 2 0i 2 2 0 i ， // CD (2) ， // BD a 4a

5.(1)0.12N // ad (2)0.12N // cd (3)0.12N // da

20-21

14. 0

6. 2iB(  +R)↓ 7. 2RiB 8.(D)

20-22 阿 Samn 高中物理

20.4 載流線圈在磁場所受的力矩 導線在磁場中受力所產生的力矩 1.將一個矩形的線圈放置於固定磁場 B 中，線圈面積為 A    向量表示：   i  A  B A 的方向為法線方向 力矩大小為

  i  B  A  sin 

若線圈共繞總數 N 匝，則每匝都受到相同的力矩，總    力矩為：   N  i  A  B

2.簡易證明：  ef 段及 cd 段皆受力：

F  i  B b

 兩個力方向相反，對 O 點會產生相同方向（順時針）的力矩，且力矩的大小皆為：

 F

a sin  2

 總和的力矩為：

a 2

  2  F   sin   i  B  a  b  sin 

 ab 為矩形的面積 A，所以上式可以改寫成：

  i  B  A  sin 

3.公式的記法：  力矩與線圈匝數、線圈面積、電流、磁場都成正比，  最重要的是要判斷面積與磁場的夾角。  也可以擴展到其他非規則性線圈，只要把 A 代入線圈的總面積即可，這就可以利用到螺線管的題目上了。說明：一任意形狀的線圈，可視為許多細小的長方形構成，電流 i 可看成為許多細小長方形的導線圈組成，每相鄰兩小圈的共同邊內的電流，方向相反，效應互相抵消，故所有的小線圈的總效應和原來的線圈相等。

20-22

磁場 Magnetic field 20-23

應用：直流電動機 Direct-Current (DC)Motor 1.意義：將電能轉換成力學能的裝置。 2.構造  磁場鐵：產生磁場的裝置。可用永久磁鐵，亦可用電磁鐵。  電樞：可轉動的線圈，係繞在圓柱形鐵心上。  整流子：使線圈轉動半周後電流方向自動反轉的裝置，為二半圓形金屬，當線圈轉動時，兩環隨之轉動，經由電刷交替與電源的正、負極連接。 3.原理  電流流經導線 4 時所產生的力向下，流經導線 3 所產生的力向上，使得矩形線圈作時針方向的旋轉，  當轉過 1/4 週期後，由於電刷的作用使得導線上沒有電流通過，此時線圈依靠慣性繼續逆時針旋轉  當兩段導線互換位置後，電流卻又與原來方向相同，使線圈繼續以順時針方向旋轉，於是線圈便一直旋轉下去，將電能轉換為功而輸出。

電動機分為交流電動機及直流電動機兩種，二者構造完全相同，唯交流電動機使用之電源為交流電源且整流子與電刷係固定接著而非交替改變接觸。

20-23

20-24 阿 Samn 高中物理

電流計原理 1.構造：如圖所示，當電流流入匝數甚多之長方形線圈時，線圈即繞一固定軸轉動。鐵心和外部永久磁鐵之空隙間有一輻射形磁場，在此種磁場中，各點之強度幾為均勻不變。

2.原理：  由上節之內容知當 N 匝線圈有電流 i 通過時即會受到力矩作用，其量值 τ 為： τ＝N i BA sinθ 的 B 乃永久磁鐵的磁場，A 為線圈的截面積，θ 為線圈軸線與磁場 B 的方向的夾角，因 B 恆與線圈面的法線垂直，即 θ＝90o，故 sinθ＝1。  由虎克定律知渦形彈簧被扭轉 ψ 角(單位為弧度)所產生的回復力矩 τr 為 τr＝κψ 式中的 κ 乃渦形彈簧的扭轉常數  當 τ 與 τr 大小相等且反向而相消時，線圈達到平衡位置，故由(1)(2)得 N i BA＝κψ 因此指針偏轉的角度 ψ 與線圈的電流 i 成正比，即圈轉式電流計的刻度間隔是均勻的。

笑話集：客氣的老師有位高三學生要參加推薦甄試，便請了任課老師為他寫推薦函。任課老師拿到單子之後，非常困擾，因為這位學生平常上課都在打瞌睡，要不就是上課跟同學聊天…… 最後他在推薦單上寫了：「好沉思，且勇於發言… 」 20-24

磁場 Magnetic field 20-25

範例

演練

例題13.：載流線圈在磁場中所受的力矩一長度為 0.1 m、寬度為 0.05 m 之矩形線圈，緊密纏繞 20 匝，置於 0.5 T 的均勻磁場中，圈面與磁場方向夾角為 60?。當線圈通以電流 0.1 A 時，此線圈瞬間所受力矩大小為何？解：

答：2.510-3(m-N) 類題：如圖長方形迴線中，ab＝6 ㎝，bc＝8 ㎝，線的質量是每長 1 厘米為 0.1 克，並以 ab 邊作一無摩擦的支樞，線中的電流是 10 安培，方向如圖所示。若欲使此迴線上擺至與 y－z 平面成 37°角停止，問應加一與 y 軸平行的磁場其量值如何？指向如何？答：1.7510-2(T)，指向+y 例題14.：載流線圈在磁場中所受的力矩如圖所示為一質量 m、半徑 r、長度 L 的圓柱木頭，其上有 N 匝之線圈(圈面平行斜面)，將其放在斜角 θ 的斜面上，今將此裝置加以鉛直向上之均勻磁場 B，若此圓柱恰不轉動、不移動，則其上之電流大小 i 為______

答： i 

20-25

mg 2 NLB

20-26 阿 Samn 高中物理

課後練習題

1.如圖所示，一長度為 0.25m、寬度為 0.20m 之矩形線圈，緊密纏繞 100 匝，置於 0.5T、方向向右的均勻磁場中，圖面與磁場方向夾角為 60o。當線圈通以電流 0.4A 時，此線圈瞬間所受力矩大小為何? 2.由二直線段和半徑 a、b 的二同心半圓構成的導線，載電流 i，(1)由半圓 AED 部分導線在圓心 O 點產生的磁場為 ? (2)外加一垂直紙面向內的磁場 B，則導線 AB 所受磁力的量值為? (3)導線 BFC 所受磁力的量值為? (4)整個導線 ABFCDEA 所受磁力的量值為? (5)若外加磁場 B 為平行紙面向上，則整個導線所受力矩的量值為? 3.一長方形線圈長 15 公分，寬 10 公分，置於一強度為 0.5 特士拉的均勻磁場中。如線圈的平面與磁場方向(1) 垂直平行，(2)平行時，則線圈所受的轉矩之量值各為若干?假設線圈的電流為 10 安培。 4.平面上有一長直導線與一個線圈，其上的電流如右圖所示，則下列何者正確？ (A)線圈所受磁力為零 (B)線圈所受磁力為

0i 2 L 1 1 ( － ) 2 r r  L

(C)導線所受磁力為零 (D)線圈的磁矩為 iL，垂直離開紙面 (E)線圈所受磁力矩為零。 5.載電流 i 的正方形線圈，擺在均勻磁場內，如右圖所示。在圖中所示的四個軸中（虛線所示），此線圈可繞幾個軸轉動？ 6. 一柔軟的線圈接上交流電源後 (A)會使線圈包圍面積增大 (B)會使線圈包圍面積變小 (C)會使線圈包圍面積時而大、時而小 (D) 20-26

磁場 Magnetic field 20-27

加入外來的磁場時，會使線圈包圍面積增大 (E)加入外來的磁場時，會使線圈包圍面積變小。傾斜角為 30°的斜面上，有一個質量為 m 的均勻圓柱體，該圓柱體的截面半徑為 R，長度為 L，如右圖所示（此圖為圓柱體橫截面的側視圖）。今在圓柱體的表面上固定一條載流線圈，且線圈面與光滑斜面平行。已知在垂直於地面的方向施加一均勻磁場 B 時，恰可使圓柱靜止不動，(1)外加磁場的方向為向上或是向下？(2)外加磁場的量值為何？

答案

1. 0.5 N  m

2.(1)

(2) 7.5  10 2 N  m

0 I

1 (2)IB(a-b) (3)2Ibb (4)0 (5) IB (a 2  b 2 ) 2 4R 4.(C)(E)

5. 2

6.(A) 7. (1)由上而下 (2)

20-27

3. (1)0 mg 2 iL

20-28 阿 Samn 高中物理

20.5 帶電質點在磁場中所受的力 帶電質點在磁場中的受力-洛仁茲力 Lorentz Force

1.前面所討論的是載流導線在磁場中受力情形：

F  i    B  sin 

2.現在要討論帶電質點在磁場中的運動情形：將上式作一個技巧性的改變 q F  i    B  sin    l  B  sin   q  v  B  sin  t 3.將上式解釋為：帶電質點（電量為 q）在磁場 B 中以速度 v 運動時，所受到的力為：

F  q  v  B  sin  方向：依右手掌定則或右手螺旋定則判定 上式也可寫成向量式：    F  q v  B

常見的運動模式 1.帶電質點在均勻磁場中作直線運動 磁場方向始終與質點運動方向平行 2.帶電質點在均勻磁場中作等速率圓周運動  磁場方向始終與質點運動方向垂直  若質點質量為 m，則作以下計算：

v2 r

2mEk

 迴旋半徑：

r

mv  qB

 迴旋週期：

T

2 r 2 m  v qB

 迴旋頻率：

f 

1 qB  T 2 m

在相同磁場下，任何帶電粒子的

F  qvB  m

、

q 相同的話，則運動週期與頻率必然相同，與速度無關 m

From: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html ，我做適當修改 20-28

磁場 Magnetic field 20-29

3.螺旋運動 Helical Motion  質點之速度與磁場交一角度 θ：可將分為與磁場平行及垂直之兩分量

 垂直磁場方向：受力為 F  q  v  B  sin  ，質點在這方向作圓週運動  平行磁場方向：受力為 0 ，質點在這方向做直線運動  綜合上述兩點：質點進行「螺旋運動」 mv sin   圓周半徑： r  qB  週期：

T

2 r 2 m  v sin  qB

 螺距(質點旋轉一週時，在平行磁場方向行進之距離)：

d  v/ /T 

2 mv cos  qB

應用：速度選擇器 1.右圖中，當電量為 q(q＞0)的質點，以速度 v 水平射入均勻電場 E 中，如不計重力作用時，靜電力會使質點向上偏

2.在平行板間再加入垂直離開紙面的均勻磁場 B 時(Z 軸)，則帶電質點會同時受到磁力作用(方向向下) y  靜磁力與靜電力達成力平衡，帶電質點將沿水平方向 (即 x 軸)移動 - - - -- - - - - - - -

qvB  qE

q + + + ++ + + + + + +

 質點的速度 v、電場 E 與磁場 B 的關係： E v B

3.這樣的裝置可用於測量帶電粒子的速度，故稱為「速度選擇器」。

20-29

20-30 阿 Samn 高中物理

應用：質譜儀 Mass Spectrometer 1.質譜儀是近代物理實驗中，用以分析帶電粒子種類的儀器，右圖為該裝置的示意圖。

2.說明：  當質量 m、電量 q 的質點，以速度 v 直線通過速度選擇器時：

v

E B

 質點進入均勻磁場 B'後，在磁場中作半徑 R 、速率 v 的等速率圓周運動：

qv B  m

v2 R m

測量離子的圓週運動的半徑 R，則可以求出離子質量

q  B  R q  B  B  R  v E

3.離子電量、電性不同，則有不同圓週運動的軌跡與位置，可以用來分析「離子的種類及相關性質」 應用：迴旋加速器 cyclotron 1.原理：利用磁場使運動中之帶電粒子迴轉，並利用電極間交錯變換之正負電場，使粒子於迴轉中不斷地獲得能量

5 6

From: hyperphysics，我做適當修改圖片來自大英百科全書 20-30

磁場 Magnetic field 20-31

範例

演練

例題15.：基礎題

 若一電子以 v  2.0 106 iˆ  3.0 106 ˆj ，進入一磁場 B = 0.03iˆ − 0.15 ˆj 內，(1)求出作用在此電子上的力和方向？(2)若對質子以相同速度射入磁場，求其所受作用力和方向為何？

答：(1) 6.2×10−14 kˆ ；(2) − 6.2×10−14 kˆ 例題16.：速度選擇器

1500 伏特/公尺之電場與 4×103 高斯之磁場同時作用於一運動電子而不產生力時，電子之速率(以公尺/秒表示)為多少？

答：3750(m/s) 類題：有一互相垂直之電磁場，當電子以 5×105 m/s 之速度通過時，恰不受力作用，此時之電場強度為 5 伏特/公尺，則磁場強度為 (A)l×105 (B)1 ×10-5 (C)2×10-6 (D)2×10-5 (E)5×10-6 牛頓/安培-公尺。答：B 20-31

20-32 阿 Samn 高中物理

例題17.：設有一垂直指向紙內之均勻磁場 B 如有一動量為 p 之質子平行紙面以 θ 之角度進入此磁場，如圖所示。而質子的電量 q，求離開磁場位置及進入磁場位置兩點間的距離。

答：

2p sin  qB

類題：電量為 q 的電荷自靜止經電位差 V 加速後，垂直射入均勻的水平磁場 B 中，在射出磁場時，其運動方向與入射方向夾 30°，如圖示，測出其軌道半徑為 R。(1)求此電荷的質量。(2) 求此電荷在磁場中運動所經歷的時間。(3)在磁場所在的區域，另加一均勻電場，使電荷進入

qB 2 R 2 後作直線運動，求此電場強度的大小及方向各如何？答： (1) 2V

(2)

 BR 2 12V

(3)

2V R

類題：如下圖所示，在大區域的均勻磁場 B 中，一質量為 m、電量為-q 的電荷以大小為 v、方向與＋ x 軸夾成 30 度角的速度，垂直於磁場自原點 O 射出，則(1)經過多久時間此電荷首次通過 y 軸？(2)此時其與原點之間的距離為何

答： (1)

2 m qB

(2)

3mv qB

類題：一個質量 m、電量－e 的電子，進入一個均勻磁場 B 中，恰好離開磁場時，運動方向與磁場邊緣夾 60°角，如附圖所示，則電子穿越此均勻磁場的時間為多少？

答：

 m 3eB

例題18.：質譜儀將質子與 α 粒子經相同電壓加速後垂直射入磁場中，求：(1)動能比(2)動量比(3)速度比(4)旋轉半徑比(5)旋轉週期比各為若干？

20-32

磁場 Magnetic field 20-33

答： (1)1: 2 (2) 2 :1 (3)1: 2 (4)1: 2 類題：電子以某一動能在與其運動方向垂直之均勻磁場中，以頻率 f 作等速率圓周運動，若將電子的動能增為原來的 4 倍，則運動頻率為答：f 倍例題19.：螺旋軌跡的帶電質點一帶電質點由原點射入一平行於 x 軸的均勻磁場中，入射方向在 xy 平面，並與 x 軸夾 θ 角，質點軌跡為一螺旋線(如圖)。如 θ 為 60°，則螺旋線之半徑 r 與螺距 d 之比為何？

答：

3 2

類題：質量為 m，荷電量為 e 之電子以 p 之動量進入均勻磁場 B 內，其速度與 B 成 53° 時路徑將為螺旋線，若軸在 B 之方向，則(1)螺旋線半徑 r；(2)螺旋線之螺距；(3)t 秒內電子所經路徑長。答： (1)

4p 5eB

(2)

6 p 5eB

(3)

pt m

課後練習題

1.在 x=0 至 x=d 之間有均勻磁場 B 朝 y 方向(垂直進入紙面)，一質量為 m 的粒子，帶電荷 Q，以速度 v 由左方進入磁場區。此粒子剛進入磁場區時，運動方向與 x 軸夾角為 θ，當粒子穿過磁場區後，其運動方向與 x 軸的夾角也為 θ，則 (1)sinθ=? (2)在磁場中所經歷的時間？(m，Q，B，d，v 表示) 20-33

20-34 阿 Samn 高中物理

2.設有一垂直指向紙內之均勻磁場 B;如有一動量為 p，質量 m 電量 e 之質子平行紙面以 300 之角度進入此磁場，如右圖所示求：(1)離開磁場位置及進入磁場位置之距離 x。 (2)在磁場中所經歷的時間。 3.兩粒子的電荷相等，但質量相差一倍，較輕的粒子動能為 5000 電子伏特，另一粒子動能為 400 電子伏特;今兩粒子分別在相同的均勻磁場中做圓周運動，較輕粒子的軌道半徑與較重粒子的軌道半徑之比值約為? 4.如圖所示，yy'之兩側有強度 B 及 2B 之兩個均勻磁場，將質量 m 及電量 q 之帶電粒子，自二磁場之交界線上 A 點以速度 v 進入右方磁場迴轉半週後，又進入左方磁場後再迴轉半週時恰過 D 點，則(1)A、D 二點之間的距離為何?(2)又帶電粒子通過 D 點時的速率為何? 5.將一質子及 α 粒子，以相同速率及方向，分別射入相同之均勻磁場中。由於入射速度不與磁場方向垂直，因此質子及 α 粒子均做螺線形運動。設質子及 α 粒子所做螺線運動之螺距分別為 d1 及 d2，則 d1/d2 之值為? 6.如右圖所示，一長直的絕緣細棒沿鉛直方向固定放置；在一質量為 m、帶正電荷 q 的小球的直徑上穿孔，使其可以套在細棒上滑動；整個系統置於均勻、不變、沿水平方向的電磁場   中，電場 E 向右，磁場 B 垂直進入紙面。假如小球與細棒的動摩擦係數為

 ，且電場的量值、靜摩擦係數以及  都夠小，可以讓小球沿細棒由靜止起向下滑，試求 (1)所有施於小球的力（包括量值及方向）。 (2)小球的最大加速度。 (3) 小球的最大速度。 7.一粒子質量 m，帶電荷 q，以速度 v 進入均勻磁場 B 和均勻電場 E 的交叉區內，同時受電力及磁力的作用而保持等速度運動，則下列何者正確? (A) v 與 B 必定互相垂直 (B) E 與 B 必定互相垂直 (C)如將電荷加倍，其他不變，則粒子仍能維持等速度運動 (D) 20-34

磁場 Magnetic field 20-35

如將電場與磁場同時加倍，其他不變，則粒子仍能維持等速度運動 (E)如粒子由交叉區另一端，以-v 的速度進入，其他不變，則粒子也能維持等速度運動。 8.右圖為「迴旋加速器」的示意圖。當質量 m、電量－e 的電子，由中心 O 垂直射入磁場 B 中（只分布於兩個半圓區域內），在磁場中作圓運動。當電子通過兩半圓間的空隙帶時，會受到電場作用而加速，則 (1)此圖中的磁場方向為何？ (2)交流電源的頻率為何值時，才能使電子持續加速？ 9.一個射入均勻磁場的電子，速度垂直於磁場方向，在磁場中作圓周運動，半徑為 R。入射的動能增為原來動能的 9 倍，以原來的方向進入磁場，其圓周運動的半徑為多少？ 10. 有 5 種粒子以相同之速度垂直進入均勻磁場 B，其軌跡如圖所示。設此 5 種粒子為：碳原子 (12C)，氧離子(16O2－)，鈉離子(23Na＋)，鎂離子(24Mg2＋) 及氯離子(35Cl－)。若不考慮重力因素，則圖中 1、2、3、 4 及 5 之示意軌跡分別代表何種粒子？ 11. 如圖所示，一束帶電荷＋ q 的正離子受到電位差 V 加速後，進入一相互垂直的電場及磁場中，電場為均勻向下，磁場則為均勻射入紙面。如正離子通過電磁場後有點向下偏斜，欲使正離子沿水平方向筆直通過電磁場，則下列作法何者正確？ (A)適當的減小磁場的量值 (B)適當的減小電場的量值 (C)適當的增大加速電壓 V 的量值 (D)適當增強電場同時減小加速電壓 V 的量值 (E)適當的將電場及磁場的量值等比例增大。 12. 擺長為 L 的單擺，其擺錘質量為 m，且帶有電量＋q，則此單擺在均勻磁場 B 中小幅振盪時，其週期為為何？（重力加速 20-35

20-36 阿 Samn 高中物理

度為 g） 13. 將兩個相同的帶電粒子以相同的初速，分別射入兩均勻磁場中，作圓周運動。設甲粒子進入之磁場量值為 B，乙粒子進入之磁場量值為 2B，則下列敘述何者為正確？ (A)乙粒子所受磁力的量值為甲粒子所受磁力量值的兩倍 (B)乙粒子的動能為甲粒子動能的兩倍 (C)乙粒子的迴旋頻率為甲粒子迴旋頻率的兩倍 (D)乙粒子的軌道半徑為甲粒子軌道半徑的兩倍 (E)乙粒子對其軌道中心的角動量量值為甲粒子對其軌道中心角動量量值的兩倍。 14. 一電子槍將電子（質量 m，電量-e）加速為動能 K 後，垂直射向一面積為無限大之絕緣平板，槍口與絕緣平板之距離為 d。如果想避免電子打到絕緣平板，可在電子經過區域如一均勻磁場，則 (1)該此磁場的量值至少應大於多少？ (2) 承問題(1)，電子在磁場中運動的時間為何？ 15. 有甲、乙兩質點，其質量比為 1：2、電量比為 1：2，以相同的速率，垂直射入均勻磁場 B 中，則其半徑比為若干？

答案

QBd 2mv

2.(1)

m P (2) eB 3eB

5 2

4.(1)

3mv 1 (2)v 5. qB 2

6. (1)重力 mg(↓)、電力

qE(→)、磁力 qvB(→)、正向力 N(＝qE＋qvB)(←)、摩擦力 (qE＋qvB)(↑) (2)g－ (3)

mg E －  qB B

7.(B)(C)(D)

8. (1)垂直離開紙面 (2)

，12C，16O2－及 35Cl－ 11.(B)(C)

＋

12. 2π

20-36

L g

eB 2 m

 qE m

9. 3R 10. 23Na＋，24Mg2

13.(A)(C) 14.(1)

2mK m (2) eB ed