Límites www.chilonunellez.blogspot.com 0 ∞ 1∞ ∞ − ∞ 0 ⋅ ∞ 0 ∞ No indeterminaciones
Indeteminaciones:
a =∞ 0
0+0 = 0 0 0 = 0 0 0 = 0 a+0 =a
0 =0 a
0 a = a
∞ 0
0 a = 0
∞ +∞ = ∞
=∞
0 ∞
∞ ∞ =∞
a +∞ =∞
∞
∞ a =∞
log 0 = ∞
a ∞ = ∞
log 1 = 0
∞ a = ∞
log ∞ = ∞
sen0 = 0 cos0 = 1 tan0 = 0
∞ a = ∞ donde a > 0 ∞ a = 0 donde a < 0
x →a
Definición de Límite al Infinito |f (x )| > M siempre que |x a| <
|f (x ) L| < ε siempre que |x | > M
x→ a
lim ln [F (x )] = ln x→ ∞
lim F (x ) x→ ∞
lim F ( x) =
lim
x→ a
x→ a
Radicales: Racionalizar / Factorizar / Simplificar / Sustituir
n
F (x )
lim F ( x )
La Raíz de un límite es igual al límite de la raíz El límite de una función exponencial es igual a la base elevada al límite del exponente
lim AF (x ) = Ax→a x→ a
x→ a
x→ a
El límite se distribuye en la suma
(a + b)
Exponenciales
x→a
x→a
lim [F (x) G (x)] = lim F (x ) lim G (x ) x→a
x→a
lim F (x)
lim x→a
F ( x) G ( x)
=
x→a
lim G (x) x→ a
El límite se distribuye en la resta
ax 1 x
lim
=1
0, 7x + ln x → ME = ln x 3
= ln a
x→0
x→ 0
lim ln [F (x)] = lim [F (x) 1]
( xn + a )
0 0
Sólo se aplica cuando F(x) → 1 en indeterminación
sen x x
=1
x
=1
arccot x = arctan
1 x
Paso Tres: Simplificar Paso Cuatro: Aplicar el límite apropiado 1 x
= arccos
arcsec x
x→ 0
x
=1
arccsc x = arcsen
1 x
x→ 0
√
1 y2 + y
arccos x + arccos y = arccos(xy +
√
1 x2
arctan x + arctan y = arctan
x→a
√ √
1 x2 )
1 y2 )
x+ y 1 xy
lim F ( x) G ( x ) = x→a
e
lim [ F (x ) 1 ] G (x ) x→a
1 xn
lim
lim
ln x
lim
x
donde n > 0 a ln x
lim
=0
=0
x→ ∞
se n x x
x→ ∞
lim x→ ∞
lim
=0
lim
cos x x
=0
x→ ∞
x ax
=0
donde a > 1
ax x
=0
donde 0 < a < 1
x→ ∞
1
lim (1 + x)x = x→ 0
=0
x→ ∞
x→ ∞
Indeterminación 1∞ El límite se distribuye en la división sólo si el denominador es distinto de cero
m → ME = ( xn ) = xn m
Paso Dos: Dividir el numerador y el denominador entre el mayor exponente
x→ 0
El límite se distribuye en la multiplicación
m
( xn + a ) (xm + b) → ME = xn xm = xn + m
Trigonométricas
lim arcsen x
1 √ √ x + 3 x+ 5 x→ ME = x2
x→a
x→a
lim
2
x2 + x + 1→ ME = x3
√
Logaritmos
x→ a
lim [F (x ) G (x )] = lim F (x ) lim G (x )
0, 5x + x → ME = x
a 6 a 5 b + a 4b2 a 3 b3 + a2 b ab5 + b6 = a 7 + b7
ex 1 x
lim
xn + 5x + 8x → ME = 8x
4
arcsen x + arcsen y = arcsen(x x→a
ln x + sen x → ME = ln x
x + sen x → ME = x
(a b) (a 4 + a3b + a 2b2 + ab3 + b4 ) = a 5 b5 (a b) a 6 + a5b + a 4b2 + a3b3 + a2 b4 + ab5 + b6 = a7 b7
lim arc tan x lim [F (x) + G ( x)] = lim F ( x ) + lim G (x )
x2 + x + 1 → ME = x2 x + ln x → ME = x a + ln x → ME = ln x
(a + b) (a 4 a3b + a 2b2 ab3 + b4 ) = a 5 + b5
|f (x)| > M siempre que | x| < P
Límite de un logaritmo es igual al logaritmo del límite
Paso Uno: Buscar el Mayor Exponente
(a b ) (a + b ) = a 2 b2 (a b) (a 2 + ab + b2) = a3 b3 (a + b) (a 2 ab + b2) = a3 + b3
Una constante puede salir fuera del límite sólo si está multiplicando a toda la función
x→a
Indeterminación ∞ ∞
Polinomios: Factorizar / Simplificar / Sustituir
El límite de una constante es la misma constante
lim cF (x ) = c lim F (x )
0 0
Indeterminación
Tal que |f(x) L | < siempre que 0 < |x a| <
csc0 = ∞ x→∞ sec0 = 1 x→∞ cot0 = ∞ L→∞ Teoremas
x→ a
n
00
Lim f (x ) = L ; Si ∀ > 0 existe > 0
L→∞
lim c = c
0
Definición de Límite
=0
∞∞ = ∞
=0
∞
a >1 a = ∞ donde ∞ = ∞ a0 = 1 ∞ a a = 0 donde 0 < a < 1
a =0 ∞
∞
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∞
1a = 1 a1 = a 0a = 0 a 0 = 1 0∞ = 0
a 0 =a
Límites
e
lim x→ ∞
1 + 1x
x
=
e