CENTROIDES by jhony chilon

Centro de gravedad y centroide O BJ ETIVOS DEl CAPíTULO •

Anal izar el concepto de centro de g raveda d , centro de m asa, y centroide.

•

Mostra r cómo determ i na r la u bi cación del centro de g ravedad y

centroide para un sistema de partíc u l as d iscretas y u n cuerpo d e fo rma arb itra r i a .

•

U sa r los teoremas de Pappus y G u l d i n us para encontra r el á rea y el vol u men de u n a su perficie d e revol ución.

•

Presentar u n método para enco ntrar la resu ltante de u n a carga

genera l d i stri b u ida, y m ostrar cómo se a p l ica c u a n do es necesa rio dete r m i n a r la resu ltante de un f l u i d o .

9.1

Centro d e g ravedad y centro d e masa para u n s istema de partícu las Centro de g ravedad. El centro de gravedad G es un punto que ubica el peso resultante de un sistema de partículas. Para mostrar cómo deter minar este punto, considere el sistema de n partículas fijas dentro de una región del espacio como se muestra en la figura 9-1a. Los pesos de las partículas comprenden un sistema de fuerzas paralelas ' que puede ser reemplazado por un solo peso resultante (equivalente) que tenga el pun to G de aplicación definido. Para encontrar las coordenadas x, )I, z de G, debemos usar los principios delineados en la sección 4.9. *Esto no es estrictamente cierto, ya que los pesos no son paralelos entre sí; más bien son concurrentes al centro de la TIerra. Además, la aceleración g de la gravedad es realmen te diferente para cada partícula ya que depende de la distancia del centro de la Tierra a la partícula. Sin embargo, para todo fin práctico, generalmente estos dos efectos pueden ser ignorados.

437

438

•

CAPíTULO 9 Centro de gravedad y centroide

! ! lG Á

Esto requiere que el peso resultante sea igual al peso total de todas las n partículas; es decir,

La suma de los momentos de los pesos de todas las partículas con res pecto a los ejes x, y, y z es entonces igual al momento del peso de la resultante con respecto a esos ejes. Así, para determinar la coordenada x de G, podemos sumar momentos con respecto al eje y. Esto resulta en

z x_/ _�

xWR

XIWl

X2W2 +

... +

xnWn

De la misma manera, sumando momentos con respecto al eje x, pode mos obtener la coordenada y; es decir

yWR

YIWl + Y2W2 +

YnWn

Aunque los pesos no producen un momento con respecto al eje z, po demos obtener la coordenada z de G imaginando al sistema coordena do, con las partículas fijas en él, como si estuviera girado 90° con respec to al eje x (o al y), figura 9-1b . Sumando momentos con respecto al eje x, tenemos

(a)

Podemos generalizar estas fórmulas, y escribirlas simbólicamente en la forma

(9-1)

Aquí, representan las coordenadas del centro de gravedad G del sis tema de partículas. x, y, z representan las coordenadas de cada partícula presente en el sistema . LW es la suma resultante de los pesos de todas las partículas pre sentes en el sistema.

x, y, z

x (b) Fig. 9-1

Estas ecuaciones son recordadas fácilmente si se tiene en mente que sólo representan un balance entre la suma de los momentos de los pe sos de cada partícula del sistema y el momento del peso resultante para el sistema. Centro de masa. Para estudiar problemas que implican el movimien to de materia bajo la influencia de una fuerza, esto es, la dinámica, es ne cesario localizar un punto llamado centro de masa. Si la aceleración debida a la gravedad g para cada partícula es constante, entonces W = mg. Sus tituyendo en las ecuaciones 9-1 y cancelando g en el numerador y el de nominador resulta

(9-2)

SECCiÓN 9.2

Centro de g ravedad, centro de masa, y centroide para un cuerpo

•

Por comparación, entonces, la ubicación del centro de gravedad coincide con la del centro de masa: S· i n embargo, recuerde que las par tículas tienen "peso" únicamente bajo la influencia de una atracción

gravitatoria, mientras que el centro de masa es independiente de la gra vedad. Por ejemplo, no tendría sentido definir el centro de gravedad de un sistema de partículas que representasen los planetas de nues tro sistema solar, mientras que el centro de masa de este sistema sí es importante.

9.2

Centro de gravedad, centro de masa, y centroide para un cuerpo

Centro de gravedad. Un cuerpo rígido está compuesto de un núme ro infinito de partículas, y si los principios usados para determinar las ecuaciones 9-1 son aplicados al sistema de partículas que componen un cuerpo rígido, resulta necesario usar integración en vez de una suma dis creta de términos. Considerando la partícula arbitraria ubicada en (x, y, y con peso figura 9-2, las ecuaciones resultantes son

dW, JXdW x= JdW

JY dW JdW

JZdW JdW

(9-3)

Para aplicar estas ecuaciones apropiadamente, el peso diferencial debe ser expresado en términos de su volumen asociado Si 'Y repre senta el del cuerpo, medido como un peso por volumen unitario, entonces = 'Y y por tanto

peso específico dW dV, ¡X1'dV x= ¡1'dV

¡Y1'dV y= ¡1'dV

dV.

¡z1'dV z= ¡1'dV

(9-4)

Aquí la integración debe ser efectuada a todo el volumen del cuerpo.

densidad

Centro de masa. La p, o masa por volumen unitario, está relacionada mediante la ecuación 'Y = pg, donde g es la aceleración debida a la gravedad. Sustituyendo esta relación en las ecuaciones 9-4 y cance lando g en los numeradores y denominadores, se obtienen ecuaciones similares (con p reemplazando a 'Y) que se pueden usar para determinar el del cuerpo.

centro de masa

*Esto es cierto si se supone que el campo gravitatorio tiene las mismas magnitud y direc ción en todas partes. Esa suposición es apropiada para la mayor parte de las aplicaciones de ingeniería, ya que la gravedad no varía apreciablemente entre, por ejemplo, la base y la parte superior de un edificio.

x Fig. 9-2

439

440

CAPíTULO 9 Centro de gravedad y centroide

•

centroide

,� Í?t;� --=---·d�

y ;}l'------

Centroide del volumen Fig. 9-3

homogéneo, densidad o peso específico constante se cancelará

�,

�C

Centroide del área

---y

(9-5)

De manera similar, el centroide del área superficial de un objeto, como una placa o un cascarón, figura 9-4, se puede encontrar subdividiendo el área en elementos y calculando los "momentos" de esos elementos de área con respecto a cada uno de los ejes coordenados, esto es, Área.

Fig. 9-4

(9-6)

Línea. Si la simetría del objeto, tal como la de una barra delgada o la de un alambre, toma la forma de una línea, figura 9-5, el equilibrio de los momentos de los elementos diferenciales con respecto a cada uno de los ejes coordenados resulta en

� I n 3i y-ec I�

t� � Y O�

dV,

Si un objeto es subdividido en elementos de volumen figura 9-3, la ubicación del centroide C(x, y , z) para el volumen del objeto puede ser determinada calculando los "momentos" de los ele mentos con respecto a cada uno de los ejes coordenados. Las fórmulas resultantes son Volumen.

-'dA

centro geométrico

Centroide. El es un punto que define el de un objeto. Su ubicación puede ser'determinada a partir de fórmulas simi lares a las usadas para encontrar el centro de gravedad del cuerpo o cen tro de masa. En particular, si el material que compone un cuerpo es uniforme u la será en todo el cuerpo, y por tanto, este término saldrá de las integrales y a partir de los numeradores y denominadores de las ecuaciones 9-4. Las fórmulas resultantes definen el centroide del cuerpo ya que son indepen dientes del peso del cuerpo y dependen sólo de la geometría de éste. Con sideraremos tres casos específicos.

troide de la línea

Fig.9-5

(9-7)

SECCiÓN 9.2

Centro de g ravedad, centro de masa, y centroide para un cuerpo

•

441

Recuerde que al aplicar las ecuaciones de la 9-4 a la 9-7 es mejor ele gir un sistema coordenado que simplifique tanto como sea posible la ecuación usada para describir la frontera del objeto. Por ejemplo, las coordenadas polares generalmente son más apropiadas para áreas que tengan fronteras circulares. Los términos X, y, z en las ecuaciones se re fieren a los "brazos de momento" o coordenadas del usado. De ser posible, este elemen to diferencial debe elegirse de manera que tenga un tamaño diferencial o espesor en sólo Cuando se hace así, sólo es requerida una integración simple para cubrir toda la región.

centro de gravedad o centroide del elemento diferencial una dirección. Los centroides de algunas formas o perfiles pueden ser parcial o completamente especificados usando condiciones de simetría. En los ca Simetría.

sos donde la forma tenga un eje de simetría, el centroide de la forma se encontrará a lo largo de ese eje. Por ejemplo, el centroide e para la línea mostrada en la figura 9-6 debe encontrarse a lo largo del eje y, puesto que para toda longitud elemental a una distancia + x a la derecha del eje y hay un elemento idéntico a una distancia -x a la izquierda. Por tanto, el momento total para todos los elementos con respecto al eje de simetría se cancelará; esto es, Jx = O (Ecuación 9-7), por lo que x O. En los casos donde una forma tenga dos o tres ejes de simetría, se infiere que el centroide se encuentra en la intersección de esos ejes, figuras 9-7 y 9-8 .

Para determinar la ubicación del centro de gravedad de esta meta, debe ser usada la operación de integración.

----�---x x Fig. 9-6

Fig. 9-7

PUNTOS IMPORTANTES •

•

El centroide representa el centro geométrico de un cuerpo. Este punto coincide con el centro de masa o con el centro de grave dad sólo si el material que compone al cuerpo es uniforme u ho mogéneo. Las fórmulas usadas para localizar el centro de gravedad o el cen troide simplemente representan un balance entre la suma de momentos de todas las partes del sistema y el momento de la "re sultante" para el sistema. En algunos casos, el centroide se ubica en un punto fuera del ob jeto, como en el caso de un anillo, donde el centroide está en el centro del anillo. Además, este punto se encontrará sobre cual quier eje de simetría del cuerpo.

Fig. 9-8

442

•

CAPíTULO 9 Centro de g ravedad y centroide

PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS El centro de gravedad o centroide de un objeto o forma puede ser determinado mediante simples integraciones usando el siguiente procedimiento.

Elemento diferencial. •

•

Seleccione un sistema coordenado apropiado, especifique los ejes coordenados, y luego elija un elemento diferencial para la in tegración. Para líneas, el elemento ferencial de línea.

dL es representado como un segmento di

Para áreas, el elemento dA es generalmente un rectángulo de lon gitud finita y ancho diferencial. Para volúmenes, el elemento dV es o un disco circular con radio fi nito y espesor diferencial, o bien, un cascarón con longitud y radio finitos y espesor diferencial.

Localice el elemento en un punto arbitrario (x, y, z) sobre la cur va que define la forma.

Tamaño y brazos de momento. •

•

Exprese la longitud dL, el área dA , o el volumen dV del elemento en términos de las coordenadas de la curva usada para definir la forma geométrica. Determine las coordenadas o brazos de momento X, centroide o centro de gravedad del elemento.

y, z para el

Integraciones. •

Sustituya las formulaciones para X, y, z Y dL, dA , o dV en las ecua ciones apropiadas (Ecuaciones de la 9-4 a la 9-7) y efectúe las in tegraciones. •

•

Para efectuar la integración, exprese la función en el integrando en términos de la

elemento.

•

misma variable aplicada al espesor diferencial del

Los límites de la integral son definidos a partir de las dos ubicacio nes extremas del espesor diferencial del elemento, de manera que cuando los elementos son "sumados" o la integración es efectua da, la región completa queda cubierta.

Las fórmulas de integración están dadas en el apéndice A.

SECCIÓN 9.2

Centro de g ravedad, centro de masa, y centroide para un cuerpo

Localice el centroide de la barra doblada en forma de arco parabóli co y que se muestra en la figura 9-9.

Im ---l x=i I

"Yl �::-1 I-� dLo

y=y

x=x

Fig. 9-9

Sol ución

El elemento diferencial se muestra en la figu ra 9-9. Está localizado sobre la curva en el punto arbitrario (x,

Elemento diferencial.

y).

dx dy dL

Área y brazos de momento

La longitud diferencial del elemento puede ser expresada en términos de las diferenciales y usando el teorema de Pitágoras.

dL= V(dX)2 + (dy)2= (�;y + dy Como x= l, entonces dx/dy= 2y. Por tanto, expresando dL en tér minos de y dy, tenemos dL= V(2y)2 + dy El centroide está localizado en x= x, y = y. e integrando con res Integraciones. Aplicando las ecuaciones pecto a y mediante las fórmulas del apéndice A, tenemos ¡llV4l + dy ¡lV4l + ldy 1

9-7

Resp.

tyV4l + dy = ¡ V4y2 + dy

0.8484 1.479

0.574 m

Resp.

•

443

444

•

CAPíTULO 9 Centro de g ravedad y centroide

Localice el centroide del segmento circular de alambre mostrado en la figura 9-10.

Fig. 9-10

Solución

Usaremos coordenadas polares para resolver este problema ya que el arco es circular.

Elemento diferencial. U n elemento diferencial circular de arco se selecciona como se muestra en la figura. Este elemento interseca la curva en

(R, O). Longitud brazo de momento. La longitud diferencial del elemen to es dL = R dO, y su centroide está localizado en x R cos O Y' = R sen O. y

Integraciones. Aplicando las ecuaciones 9-7 e integrando con res

pecto a

x =

O, obtenemos

¡XdL ¡ dL ¡Y'dL ¡ dL

/2(R O)R dO 1' 1 /2 11' R dO /2(R O)R dO 1' 1 /2 11' R dO o

cos

sen

2R 11'/2 O dO 2R Resp. 2 / 1' R 1 dO 2 R2 11'1 O dO 2R Resp. 2 / R 11' dO cos

sen

SECCiÓN 9.2

Centro de gravedad, centro de masa, y centroide para un cuerpo

Determine la distancia Ji del eje x al centroide del área del triángulo mostrado en la figura 9-1 1.

..",...... y

L-________

�---b - ------� Fig. 9-11

Solución

Considere un elemento rectangular con espe sor dy que interseca la frontera en (x, y), figura 9-1 1 .

Elemento diferencial.

* (h - y) dy,

Área y brazos de momento

E l área del elemento e s dA =xdy=

Y su centroide está localizado a una distancia:Y

= y del

eje x. Aplicando la segunda de las ecuaciones 9-6 e inte grando con respecto a y, obtenemos

Integraciones

¡hy b h y) dy ¡:Y dA ¡;( y= ¡dA ¡h-bh (h - y) dy o

h 3

16 bh2 1bh 2

Resp.

•

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446

•

CAPíT U LO 9 Centro de g ravedad y centroide

Localice el centroide para el área de un cuadrante de círculo mostra do en la figura 9-12a. Solución I

Usaremos coordenadas polares ya que la fron tera es circular. Seleccionamos el elemento en forma de triángulo, figura 9-12a. (En realidad la forma es un sector circular; sin embar go, ignorando diferenciales de orden superior, el elemento resulta triangular). El elemento interseca la curva en el punto (R, e). Área y brazos de momento El área del elemento es

Elemento diferencial

y usando los resultados del ejemplo 9.3, el centroide del elemento

(triangular) está ubicado en x=� R cos e, y=� R sen e. Integraciones. Aplicando las ecuaciones 9-6 e integrando con res pecto a e, obtenemos

/2 cos ede {7T ) o (2 J 2 3R

1 o

7T/ de

4R 37T

Resp.

I I I -, I I -t I

4R 37T

Resp.

I I I I ;' I

SECCiÓN 9.2

Centro de g ravedad, centro de masa, y centroide para un cuerpo

--�--�-x -�---+---

%= �Rcos(J 3 (b)

( a)

Fig. 9-12

Solución 11

El elemento diferencial se puede elegir en for ma de un arco circular con espesor dr como se muestra en la figura 9-12b. El elemento interseca los ejes en los puntos (r, O) y (r, 'TT /2).

Elemento diferencial.

Área y brazos de momento. El área del elemento es dA = (2'TTr/4) dr.

Como el centroide de un arco circular de 90° fue determinado en el ejemplo 9.2, entonces, para el elemento '.X=2r/'TT, )í=2r/'TT.

Integraciones. to a

Usando las ecuaciones

r, obtenemos

9-6 e integrando con respec

¡ dA ¡ R �( 2:r ) dr ¡ dA ¡R 2'TT4 rdr ¡)ídA ¡R �( 2:r ) dr y= ¡ dA ¡R 2'TT4 r dr x=

'.X

¡Rr2dr R ; ¡ rdr ¡Rr2dr 'TT ¡ R r dr 2 o

4R 3 'TT Resp.

•

447

448

•

CAPíTULO 9 Centro de g ravedad y centroide

Localice el centroide del área mostrada en la figura 9-13a. y

Solución

Elemento diferencial. Un elemento diferencial de espesor dx se mues

tra en la figura 9-13a. El elemento interseca la curva en el punto arbi trario (x, y), y tiene entonces una altura y. Área y brazos de momento. El área del elemento es dA = Y dx, y su centroide está en = x, y = yj2. Integraciones. Aplicando las ecuaciones 9-6 e integrando con respec to a x resulta

I-----Im�

(a)

¡xdA x= ¡ dA ¡ dA ¡ dA y

Solución 11

1\1 YdX 11x3dx 0.250 0.75 1 ydx 1 \2dX 0.333 11(yj2)ydx 11(x2j2)x2dx 0.100 = 0.333 1 2 1 ydx 1\ dx =

Resp.

0.3 m Re�p.

El elemento diferencial de espesor dy se mues 9-13b. El elemento interseca la curva en el punto ar bitrario (x, y) y tiene entonces una longitud (1 - x). Área y brazos de momento. El área del elemento es dA = (1 - x) dy,

Elemento diftrencial. tra en la figura

y su centroide está ubicado en

��-I--- x

1----- 1

-L_x

� __ __ -L__

______

+O - x)-j

m ----l (b)

Fig. 9-13

x=x+

( 1 -2 x )

x 2 '

1 +

y = y

Integraciones. Aplicando las ecuaciones 9-6 e integrando con respec to a y, obtenemos

11 [(1 x)j2](l - x) dy 21 Jto (1 - y)dy 0.250 0.75 1 0.333 = dy 1 \ 1 x) dy 1 ( - vY) 1 1 1 1Y(1 - x) dy Jto 1 (y y3/2)dy = 0.100 = 0.3 1 (1 - x)dy 1 (1 - vY) dy 0.333 +

Resp.

y =

Resp.

SECCIÓN 9.2

Centro de gravedad, centro de masa, y centroide para un cuerpo

Localice el centroide x del área sombreada limitada por las dos curvas y = x y y = r-, figura 9-14.

Solución I

1---- I pie

Elemento diferencial Un elemento diferencial de espesor

muestra en la figura

dx se

----11

cr,nl

9-14a. El elemento interseca las curvas en pun

(Y2 - Yl)' El área del elemento es dA= (Y2 - Y1) dx,

tos arbitrarios (x, Yl) y (x, Y2), por lo que Área y brazo de momento.

•

tiene una altura

1pie

x= x. Integración. Aplicando la ecuación 9--6, tenemos

Y su centroide está ubicado en

�------�-L-X

¡\(Y2 - Yl) dx ¡ l(Y2 - Yl) dx

t x(x - X2) dx l. 12 = 05. pIes ' Jo =T Resp. 1 2 ¡ (x - x ) dx 6

(a)

Solución 11

Elemento diferencial. Un elemento diferencial con espesor dy se muestra en la figura 9-14b. El elemento interseca las curvas en los puntos arbitrarios (X2, y) Y (Xl> y), por lo que tiene una longitud

(Xl - X2)'

Área y brazo de momento

El área del elemento es dy, y su centroide está ubicado en

X = X2 + Xl -2 x2

�

dA = (Xl - X2)

1 pie

(X,Y)

Xl + x2 2

(b) Fig. 9-14

¡\(Xl + x2)/2](Xl - X2) dy ¡ \(VY + y)/2](VY - y) dy l ¡ (Xl X2) dy ¡ \VY - y) dy _

1 1 2 o (y

l) dy

¡ (VY - y) dy

l. ' = T12 = 05. ples

)

�----�-----L-X

Integración. Aplicando la ecuación 9--6, tenemos

(XI' y

Resp.

449

450

•

CAPíTULO 9 Centro de g ravedad y centroide

Localice el centroide y para el paraboloide de revolución, el cual es generado al girar el área sombreada que aparece en la figura 9-15a con respecto al eje y. z

100 mm

_L-�

�_ y

____

1---1- 00 mm ----1

Ca)

Fig.9-1 5

Solución I

Seleccionamos un elemento con la forma de un disco delgado, figura 9-15a. El elemento tiene un espesor dy. En este método de análisis de "disco", el elemento de área plana, dA, se toma siempre perpendicular al eje de revolución. Aquí, el elemento interseca la curva generatriz en el punto arbitrario (O, y, z) y su radio es r = z.

Elemento diferencial.

Área y brazo de momento.

El volumen del elemento es dV =

dy, Y su centroide está ubicado en y Integración. ciones

Aplicando la segunda ecuación del conjunto de ecua

9-5, e integrando con respecto a y resulta

1 100ldy 1007T 1 y dy

1007T

y =

(7TZ2)

� -::--:-: 1 00

66.7 mm Resp.

SECCiÓN 9.2

Centro de g ravedad, centro de masa, y centroide para un cuerpo

(100 y) -

---'--- y x

(b)

Solución

Como se muestra en la figura 9-1 5b, el elemento de volumen se puede elegir en la forma de un cascarón cilíndrico delgado, donde el espesor del cascarón es dz. En este método de análisis del "cascarón " , el elemento de área plana, dA , se toma siempre paralelo al eje de revolución. Aquí, el elemento interseca la curva generatriz en el punto (O, y, z), y el radio del cascarón es r= z.

E lemento diferencial.

Área y brazo de momen to El volumen del elemento es dV = 27Tr dA = 27Tz(100 - y) dz, y su centroide está ubicado en y = y + (100 - y)j2 = (100 + y)j2. Aplicando la segunda ecuación del conjunto de ecua ciones 9-5, e integrando con respecto a z resulta

Integraciones.

tOO

)1=

Jo [( 100

+ y)j2 ]27Tz( 100 - y) dz

tOO

Jo 27Tz(100 - y) dz

Resp.

•

45 1

452

•

CAPíTULO 9 Centro de gravedad y centroide

Determine la ubicación del centro de masa del cilindro mostrado en la figura si su densidad varía directamente con la distancia des de su base, es decir, p = kgjm3 .

9-16a

200z

/------w

i�1

(a) Solución

Por razones de simetría del material, x = y = O

(O,o,Z')

Elemento diferencial.

��, x

(b)

Fig. 9-16

Resp.

Para efectuar la integración se elije un ele mento en forma de disco, con radio de m y espesor como se muestra en la figura ya que la para un valor dado de El elemento se localiza a lo largo del eje en el (O, O,

0.5 dz,elemento es 9-16a, densidad de todo el constantez punto arbitrario z. z). Volumen brazo de momento El volumen del elemento es dV = 1T(0.5f dz, su centroide está ubicado en = z. Integraciones. Usando una ecuación similar a la tercera de las ecua ciones 9-4, e integrando con respecto a z, observamos que p = 200z, tenemos ¡ZP dV 1\(200Z)1T(0.5)2 dz z= ¡P dV 11 (200Z)1T(0.5 )2 dz 11z2 dz = 0.667 m Resp. 1 z dz Nota: No es posible usar un elemento cascarón para efectuar la in tegración como se muestra en la figura 9-16b ya que la densidad del material que compone al cascarón variaría con la altura de éste, y por ello la ubicación de Z para el elemento no podría ser especificada. y

PROBLEMAS

453

P R OBL E M A S 9-1. Determine la distancia x al centro de masa de la barra homogénea doblada en la forma que se muestra. Si la barra tiene una masa por longitud unitaria de 0.5 kg/m, determine las reacciones en el soporte empotrado O.

9-3. Localice el centro de masa de la barra homogénea doblada en forma de un arco circular.

f----- 1

m -----1

T �_-----,-I,

---t"----H¡- x

Prob. 9-3

Prob. 9-1

Determine la ubicación (x, :n del centroide del alambre. 9-2.

*9-4. Localice el centro de gravedad x de la barra homogénea doblada en forma de un arco semicircular. La barra tiene un peso por longitud unitaria de 0.5 Ib/pie. Determine también la reacción horizontal en el soporte liso B y las componentes x y y de reacción en el pasa dor A.

y 2 p ies

--!

pies

-----��-----�-- x

Prob. 9-2

Prob. 9-4

localice el centroide en las areas mostrtadas

454

CAPíTULO 9 Centro de gravedad y centroide 9-5. Determine la distancia x al centro de gravedad de la barra homogénea doblada en forma parabólica. Si la barra tiene un peso por longitud unitaria de 0.5 lb/pie, determine las reacciones en el soporte empotrado O.

*9-8.

Localice el centroide (x, ji) del área sombreada.

9-6. Determine la distancia ji al centro de gravedad de la barra homogénea doblada en forma parabólica.

y y

r l��_-+- x

1m ��------+---�--x 2m -----l

0.5 pies

1----- I pie -------1

Probs. 9-5/6

9-7.

Localice el centroide del área parabólica.

Prob. 9-8

9-9.

Localice el centroide del área sombreada.

y =ax2 -��-----+-l- x 1---b - ------1

Prob. 9-7

-��----+-LI----b----¡

Prob. 9-9