Resolución de un Problema by Abel Avendaño Pérez

TAREA Nº: 5 RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA SIGUIENDO EL MÉTODO DE GEORGE POLYA

CURSO: 1º DE BACHILLERATO MODALIDAD: CIENCIA Y TECNOLOGÍA

ASIGNATURA: DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS

ALUMNO: ABEL AVENDAÑO PÉREZ D.N.I.: 79.101.356-D

TAREA Nº: 5

RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA SIGUIENDO EL MÉTODO DE GEORGE POLYA

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27-03-2012

ÍNDICE

PÁGINA

Introducción. ........................................................................................................................... 3 1.1

Elección del problema ................................................................................................... 3

1.2

Método de resolución de problemas de George Polya. ................................................ 3

Enunciado del Problema. ....................................................................................................... 3

Conclusiones generales al intentar generalizar el problema. .............................................. 12

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RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA SIGUIENDO EL MÉTODO DE GEORGE POLYA 1 Introducción. 1.1

Elección del problema

La tarea consiste en la realización de un problema siguiendo los cuatro pasos o etapas del Método de George Polya. Para ser consecuente con las tareas ya realizadas anteriormente he seleccionado un problema relacionado con el núcleo de contenidos IV “Análisis” de Matemáticas I (1º bachiller). El problema seleccionado pone en práctica las nociones dadas en la Unidad Didáctica nº: 10. Funciones, Límites y Continuidad, presentada en la anterior tarea y además incorpora la aplicación de derivadas y de inecuaciones a un contexto relacionado con la vida diaria. Como bien se especifica en la tarea, es un problema que necesita la realización de varios pasos para la resolución del mismo. 1.2

Método de resolución de problemas de George Polya.

George Polya, en sus estudios para involucrar a sus estudiantes en la solución de problemas, generalizó su método en los siguientes cuatro pasos: • • • •

Paso 1: Entender el Problema. Paso 2: Configurar un Plan Paso 3: Ejecutar el Plan. Paso 4: Mirar hacia atrás.

2 Enunciado del Problema. Un ganadero dispone de un terreno prácticamente llano cerca de Munera que quiere cercar (vallar) para criar caballos y vacas. Le han recomendado que realice un cercado circular para los caballos y un cercado cuadrado para las vacas. El pasado mes llamó a un topógrafo para que midiera la superficie y el perímetro de las zonas a vallar de cara a encargar el vallado en una cerrajería del pueblo. Los datos arrojados por el topógrafo fueron 56.750 m2 de superficie total y un perímetro total de 1.650 m. Cuando el ganadero llamó a la cerrajería del pueblo para encargar el vallado, le comentaron que no disponían de tantos metros lineales de vallado y que tenían en stock un vallado muy económico al precio de 12,50 € (material + mano de obra), pero que tan solo les quedaba material para realizar 550 m lineales. El ganadero decide encargar esos metros de vallado, siendo consciente que no puede vallar la totalidad de la parcela. El problema que se le plantea al ganadero es que desea cercar la máxima superficie posible con los metros lineales de vallado que ha encargado. ¿Cómo tendrá que dividir los metros de vallado que tiene para obtener la máxima superficie de vallado, sabiendo que la superficie para la cría de caballos debe ser al menos de 2.500 m2 y que la superficie mínima 2 para la cría de vacas es de 5.000 m tal y como establece la normativa? Procedemos a aplicar el método de Polya para la resolución del presente problema: Paso 1: Entender el Problema (Preguntas que nos debemos formular). 1. ¿Cuál es la incógnita? La incógnita es el reparto a realizar del vallado total encargado para cada una de las zonas de cría a vallar, con el objetivo de conseguir que la suma de ambas superficies sea máxima.

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2. ¿Cuál es dato? ¿Hay información extraña? Tenemos demasiados datos, algunos irrelevantes para el cálculo que nos piden como por ejemplo la superficie y el perímetro total de la parcela y el precio del metro lineal de vallado. Lo que debemos tener claro es que la superficie a vallar es menor que la superficie total del ganadero, pero nada más. El precio tampoco importa porque no nos preguntan nada relacionado con el coste total de vallado. Por tanto, los datos importantes son: • Longitud total de vallado: 550 m, que debemos repartir entre la valla circular (caballos) y la valla cuadrada (vacas). • La superficie mínima para criar caballos es de 2.500 m2. • La superficie mínima para criar vacas es de 5.000 m2. 3. ¿Hay suficiente información? Se puede ver que hay suficiente información para poder resolver el problema que se nos plantea. Aunque podamos pensar que tenemos dos incógnitas (las de las dos superficies a vallar) en realidad vamos a dejar todo en función de la porción de vallado destinado a vallar la zona de cría de caballos (variable x). 4. ¿Cuál es la condición que relaciona el perímetro con las áreas de las figuras objeto de vallado? Tenemos 550 m lineales de vallado. Si designamos con la variable x, la porción destinada a cercar la zona de cría de caballos (zona circular), nos quedan (550-x) m destinados a vallar la zona de cría de vacas (zona cuadrada). La suma de ambas superficies debe ser máxima, tal y como establece el problema. Zona circular: Perímetro circular = x; 2 R = x; R = x/2 2 2 Área circular = R = x /4 Zona cuadrada: Perímetro cuadrado = 550-x; 4l = 550-x; l = (550-x)/4 Área cuadrada = l2 = [(550-x)/4]2 = (x2 -1100x + 302500)/16 Área Total A = x2/4 + (x2 -1100x + 302500)/16; ésta superficie debe ser máxima 5. ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes? Este problema se podría asimilar a otros más simples donde se pongan en práctica las nociones de geometría de cursos anteriores. Ver qué figuras geométricas encierran más superficie para un mismo perímetro. Paso 2: Configurar un Plan ¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? 1. Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura). Vamos a realizar pruebas de ensayo-error, para ver cómo varía la solución obtenida: a) Consideremos que todo el vallado lo destinamos a cercar la zona para cría de caballos (zona circular) ¿Qué superficie obtendríamos?

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b) Consideremos que todo el vallado lo destinamos a cercar la zona para cría de vacas (zona cuadrada) ¿Qué superficie obtendríamos? c) Consideremos un punto intermedio. Vamos a cumplir con los dos condicionantes impuestos para las zonas a vallar. Fijamos una de las dos superficies (cría de caballos) al mínimo impuesto y vamos a calcular la otra. d) Consideremos el otro punto intermedio. Vamos a cumplir con los dos condicionantes impuestos para las zonas a vallar. Fijamos ahora la otra zona a vallar (zona de cría de vacas). 2. Resolver un problema similar más simple. Vamos a simplificar éste problema. Supongamos que solamente nos piden que realicemos un único vallado y que determinemos, qué figura geométrica encierra mayor superficie. Seleccionamos un número más cómodo para realizar las operaciones (por ejemplo: vallado 100 m) y realizamos una tabla donde aparezca la superficie que encierra la figura geométrica seleccionada. Figura Cuadrado Círculo Rectángulo (Lados a y b) Triángulo equilátero (**) (Base a y Altura b)

Perímetro P = 100 u. Lado = 25 u P= 100. Radio = 50/ P = 100 u. 2a + 2b = 100 a = 50 - b P = 100 u. 3a = 100 a = 100/3 b = 50√3/3 (***)

Área A = 25 x 25 = 625 u2 A = x (50/ )2 = 2.500/ A = (50 – b) x b (*) 2 A = 50b – b A = (b x a)/2 A = ((100/3) x 50√3/3)/2 A = 2.500√ /

(*) Esta ecuación se anula para b= 0 y para b= 50, lo que quiere decir que la superficie es 0 cuando b se aproxima a 0 o a 50. Es lógico ya que si b vale 0 la superficie es a x b = 0 y si b vale 50 es que a vale 0, por lo tanto pasa lo mismo. La función área del rectángulo no es más que un polinomio de 2º grado. Si derivamos e igualamos a cero obtenemos que A´ = 50 – 2b = 0; b = 25. Esto quiere decir que, cuando b = 25, la pendiente de la recta tangente a la función área tiene pendiente 0, lo que significa que hay un extremo (máximo o mínimo), para saber si es uno u otro realizamos la segunda derivada. A´´ = -2. Cómo A´´ < 0, en b = 25 la función tiene un máximo, es decir para b = 25, la función área del rectángulo es máxima, lo cual nos lleva al caso del cuadrado. (**) Se ha seleccionado el triángulo equilátero, porque se puede ver que cuando tenemos limitado el perímetro, el triángulo de mayor superficie es el equilátero, es decir, si elegimos cualquier otro triángulo (por ejemplo rectángulo) y dejamos dos lados muy grandes (base e hipotenusa) y el tercero (altura) muy pequeño (próximo a cero), nos dará una superficie muy pequeña, igual similitud se puede hacer en caso contrario (altura e hipotenusa muy grandes y base próxima a cero). (***) Aplicando Pitágoras se deduce b, que vale b2 = (100/3)2 – (100/6)2; b = 50√3/3 Por tanto, se puede deducir que la figura geométrica que encierra mayor superficie para un determinado perímetro o contorno es el círculo. Paso 3: Ejecutar el Plan. 1. Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso. Vamos a determinar mediante la prueba de ensayo-error, que opción cumpliría las condiciones impuestas.

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a) Consideremos que todo el vallado lo destinamos a cercar la zona para cría de vacas (zona cuadrada) ¿Qué superficie obtendríamos? Perímetro zona cuadrada = 550 m; 4 l = 550; l = 137,5 m Superficie zona de cría de vacas = l2 = 18.906,25 m2 Superficie total = 0,00 + 18.906,25 = 18.906,25 m2 2

Esta opción cumple la condición impuesta para la zona de cría de vacas (≥ 5.000 m ), en cambio no cumple la impuesta para la zona de cría de caballos (≥ 2.500 m2). b) Consideremos que todo el vallado lo destinamos a cercar la zona para cría de caballos (zona circular) ¿Qué superficie obtendríamos? Perímetro zona circular = 550 m; 2 R = 550; R = 275/ m Superficie zona de cría de caballos = R2 = 24.072,19 m2 2 Superficie total = 24.072,19 + 0,00 = 24.072,19 m Esta opción cumple la condición impuesta para la zona de cría de caballos (≥ 2.500 m2), en cambio no cumple la impuesta para la zona de cría de vacas (≥ 2.500 m2). Podemos apreciar cómo, a partir de la misma longitud de vallado, obtenemos más de 5.000 m2 de superficie para una zona circular que para una zona cuadrada. c) Consideremos una situación intermedia. Vamos a cumplir con los dos condicionantes impuestos para las zonas a vallar. Vamos a fijar una de las dos superficies al mínimo impuesto y vamos a calcular la otra. Fijamos la superficie de zona de cría de caballos en 2.500 m que es el mínimo recomendado. Superficie zona de cría de caballos = 2.500 m2; 2.500 = R2; R = 50√ / m Perímetro zona circular = 2 50√ / = 100√ = 177,25 m Perímetro zona cuadrada = 550,00 – 177,25 = 372,75 m; 372,75 = 4 l; l = 93,19 m Superficie zona de cría de vacas = l2 = 8.693,91 m2 2 Superficie total = 2.500,00 + 8.693,91 = 11.183,91 m Esta opción cumple las condiciones impuestas para ambas zonas de cría. d) Consideremos otra situación intermedia. Vamos a cumplir con los dos condicionantes impuestos para las zonas a vallar. Vamos a fijar ahora la otra zona a vallar (zona de cría de vacas). Fijamos la superficie de zona de cría de vacas en 5.000 m que es el mínimo recomendado. 2

Superficie zona de cría de vacas = 5.000 m ; 5.000 = l ; l = 70,71 m Perímetro zona cuadrada = 4 x 70,71 = 282,84 m Perímetro zona circular = 550,00 – 282,84 = 267,16 m; 267,16 = = 2 R; R = 42,52 m Superficie zona de cría de caballos = R2 = 5.679,80 m2 2 Superficie total = 5.679,80 + 5.000,00 = 10.679,80 m Esta opción cumple las condiciones impuestas para ambas zonas de cría. De todas las opciones probadas la que cumple todas las condiciones impuestas y tiene mayor superficie es la del apartado c. ¿Podemos pensar que pueda haber otra opción intermedia entre la penúltima y la última? Sí, pero vamos a razonar la respuesta. Sabemos que el valor de la función suma de áreas en un punto (apartado c) es superior al valor de la misma en otro punto (apartado d). Nos queda por conocer si la función discurre desde un punto (apartado c) a otro punto (apartado d), creciendo y decreciendo (máximo relativo) o decreciendo y creciendo (mínimo relativo).

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Si se trata de un máximo relativo, la mayor superficie suma de ambas zonas será en dicho punto, si por el contrario se trata de un mínimo, la mayor superficie de ambas zonas será en el punto del apartado c vistió anteriormente. Para hallar dicho extremo relativo vamos a hallar la función suma de ambas zonas en función de la variable x (porción destinada a vallar la zona circular). Zona circular: Perímetro circular = x; 2 R = x; R = x/2 Área circular = R2 = x2/4 Zona cuadrada: Perímetro cuadrado = 550-x; 4l = 550-x; l = (550-x)/4 Área cuadrada = l2 = [(550-x)/4]2 = (x2 -1100x + 302500)/16 Área Total A = x2/4 + (x2 -1100x + 302500)/16; ésta superficie debe ser máxima. Es un problema típico de aplicación de derivadas. La derivada de una función me define la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto. Calculamos la derivada de la función y la igualamos a 0, encontrando aquellos puntos donde la función tiene una recta tangente de pendiente 0, lo que significa que en dicho punto hay un extremo relativo. Vamos a proceder a derivar la función área total (f(x)). 2

A = f(x) = x /4 + (x -1100x + 302500)/16 f´(x) = x/2 + (2x -1100)/16; f´(x) = 0; x/2 + (2x -1100)/16 = 0; (8 + 2 ) x -1100 = 0 x = 1100 /(8 + 2 ); x = 241,95 m Nos queda saber si se trata de un máximo o de un mínimo. Para ello calcularemos la segunda derivada y si es inferior a cero, querrá decir que es se trata de un máximo y si es superior a 0, querrá decir que se trata de un mínimo. f´´(x) = 1/2 + 1/8; f´´(x) > 0; por lo tanto el punto que hemos hallado se trata de un mínimo. En realidad, lo que hemos calculado es la superficie total mínima que podría encerrarse a partir del vallado disponible. Si comprobamos el resultado tenemos: Zona circular: Perímetro circular = 241,95 m; 2 R = 241,95; R = 241,95/2 ; R = 38,51 m Área circular = R2 = (38,51)2 = 4.659,05 m2 (superior a la mínima impuesta). Zona cuadrada: Perímetro cuadrado = 550-241,95 = 308,05; 4l = 308,05; l = 77,01 m Área cuadrada = l2 = (77,01)2 = 5.930,54 m2 superior a la mínima impuesta). Área Total: A = 4.659,05 m2 + 5.930,54 m2 = 10.589,59 m2 Efectivamente se trata de la superficie más pequeña de las obtenidas hasta el momento, por lo que la superficie máxima obtenida es la del apartado c.

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2. ¿Podemos resolver el problema de otra forma? ¿podemos verificar el razonamiento? También podemos proceder a plantear el problema como un problema típico de optimización, representando todas las ecuaciones o inecuaciones que tengamos. Llamemos a la zona de cría de caballos y1, según el enunciado debe ser superior a 2.500 m2, por lo que podernos representarla como y1 ≥ 2.500. De esta ecuación y teniendo en cuenta el perímetro del círculo (zona de cría de caballos) que le hemos asignado la variable x (vallado) tenemos: Perímetro círculo = x; x = 2 R; R = x/2 Área circular = R2 ≥ 2500; x2/4 ≥ 2500; x ≥ 100√ ; x ≥ 177,25 m Llamemos a la zona de cría de vacas y2, según el enunciado debe ser superior a 5.000 2 m , por lo que podernos representarla como y2 ≥ 5.000 De esta ecuación y teniendo en cuenta el perímetro del cuadrado (zona de cría de vacas) que vale 500-x (vallado) tenemos: Perímetro cuadrado = 550-x; 4l = 550-x; l = (550-x)/4 Área cuadrada = l2 ≥ 5000; [(550-x)/4]2 ≥ 5000; x2 -1100x + 222500 ≥ 0 Esta inecuación es positiva cuando x ≤ 267,16 m y x ≥ 832,85 m, ésta última condición la descartamos porque x no puede ser mayor de 550 m, por lo que nos quedamos con la condición de x ≤ 267,16 m. Llamemos a la suma de ambas zonas y, que deberá ser superior a la suma mínima 2 impuesta a cada una de las zonas de crías, es decir a 7.500 m , por lo que podernos representarla como y ≥ 7.500 Anteriormente ya habíamos calculado la ecuación que define la superficie de la suma de 2 2 ambas zonas en función de la variable x. A = x /4 + (x -1100x + 302500)/16 También sabemos que x debe tomar un valor comprendido entre 0 y 550, es decir: x≥0 x ≤ 550 Vamos a representar todas y cada una de las inecuaciones y la ecuación de la parábola que me define la suma de las zonas a vallar en una gráfica. De la observación de la gráfica 1 se puede deducir que la máxima superficie se consigue al acercarnos a 0 o a 550 m, pero hay que tener en cuenta que no podemos acercarnos todo lo que queramos a dichos valores ya que si no, no se cumplirían las condiciones mínimas de parcela para las zonas de cría de caballos y de vacas. Tal y como se puede ver en la gráfica 1, el punto A (todo el vallado destinado a vallar la zona de cría de vacas) y B (todo el vallado destinado a vallar la zona de cría de caballos) se corresponden con los apartados a y b, que no cumplían las condiciones mínimas impuestas para las zonas de cría de caballos y de vacas respectivamente. El punto C se corresponde con el hallado al derivar la función área suma de las dos zonas (circular y cuadrada), y tal y como se aprecia corresponde a un mínimo (vértice de la parábola). Los puntos D y E se corresponden con los apartados c y d, que cumplían las condiciones mínimas impuestas para las zonas de cría de caballos y de vacas respectivamente. El punto E supone reservar lo mínimo para la zona cuadrada (cría de vacas) y el punto D supone reservar lo mínimo para la zona circular (cría de caballos). En éste punto es donde la función suma adopta su máximo valor para los datos impuestos.

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Gráfica 1 Lo que se nos pedía en el problema no era la superficie máxima que podía obtener el ganadero sino cómo debía repartir los metros lineales de vallado para lograr ese objetivo. Tras los cálculos realizados por varios caminos se llega a la conclusión que para conseguir la máxima superficie cercada destinada a la cría de caballos y a la de vacas, cumpliendo los condicionantes establecidos, el ganadero debe destinar 177,25 m lineales para cercar la zona destinada a la cría de caballos (circular) y, el resto, 372,75 m lineales para cercar la zona destinada a la cría de vacas (zona cuadrada). Paso 4: Mirar hacia atrás. 1. ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema? Tras los cálculos realizados, y según se puede apreciar en la gráfica 1 adjunta, se puede comprobar que la solución es correcta y lógica. Por supuesto que la respuesta satisface lo que demandaba el problema. 2. ¿Adviertes una solución más sencilla? En un principio se podría suponer otra solución más sencilla, pero tras comprobar la gráfica 1, queda claro que el reparto que satisface todas y cada una de las condiciones impuestas es el de 177,25 m lineales para cercar la zona destinada a la cría de caballos (circular) y, 372,75 m lineales para cercar la zona destinada a la cría de vacas (zona cuadrada).

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3. ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general? Se podría extender la solución a un caso más general, bastaría con asignar una variable al vallado total perimetral que el ganadero ha encargado. Vallado total = a, entonces el vallado será superior o igual a cero e inferior o igual a la variable a, es decir, x ≥ 0 y x ≤ a. A partir de la variable a, vamos a dejar los perímetros y las áreas en función de a, para ello suponemos, como en el caso particular, que seleccionamos una cantidad x del vallado total (a) para la zona circular y el resto, (a-x) se destina para la zona cuadrada. Perímetro circular = x; 2 R = x; R = x/2 Área circular = x2/4 ≥ 2.500; x ≥ 100√ ; x ≥ 177,25 Perímetro cuadrado = 4l = a-x; l = (a-x)/4 Área cuadrada = l2 ≥ 5000; [(a-x)/4]2 ≥ 5000; x2-2ax+a2-80.000 ≥ 0 Esta inecuación se cumple cuando x ≤ a-282,84 y x ≥ a+282,84, ésta última condición la descartamos porque x no puede ser mayor que a (vallado máximo), por lo que nos quedamos con la condición de x ≤ a-282,84. Faltaría ver que pasa al derivar la función suma de las dos áreas, es decir, cuando se anula la derivada (pendiente de la recta tangente es cero) y ver si en ése punto la segunda derivada es negativa o positiva. 2

A = f(x) = x /4 + (x -2ax+a )/16 f´(x) = x/2 + (2x-2a)/16; f´(x) = 0; x/2 + (2x-2a)/16 = 0; (8+2 ) x-2a = 0 x = 2a /(8+2 ); (Para éste valor en x la función tomará un valor máximo o mínimo). Nos queda saber si se trata de un máximo o de un mínimo. Para ello calcularemos la segunda derivada y si es inferior a cero, querrá decir que es se trata de un máximo y si es superior a 0, querrá decir que se trata de un mínimo. f´´(x) = 1/2 +1/8 (sale el mismo resultado anterior); f´´(x) > 0; por lo tanto el punto que hemos hallado se trata de un mínimo. En realidad, lo que hemos calculado es la superficie total mínima que podría encerrarse a partir del vallado disponible en función de la variable a (vallado perimetral total). Si realizamos todos los cálculos nos saldrá la superficie total en función de a: Zona circular: Perímetro circular = 2a /(8+2 ); 2 R = 2a /(8+2 ); R =a/(8+2 ); 2 2 2 2 Área circular = R = (a/(8+2 )) =( a )/(8+2 ) Zona cuadrada: Perímetro cuadrado = a - 2a /(8+2 ) = 8a/(8+2 ); 4l = 8a/(8+2 ); l = 2 a/(8+2 ) 2 2 2 2 Área cuadrada = l = (2 a/(8+2 )) = 4 a /(8+2 ) Área Total: A = ( a2)/(8+2 )2 + 4a2/(8+2 )2 = (4+ ) a2/(8+2 )2 Esta sería la superficie mínima que se puede cercar repartiendo a metros de vallado entre la zona circular y la zona cuadrada y que se corresponde con el punto C de la gráfica 2.

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Gráfica 2 Vamos a determinar el resto de puntos en función de la variable a que hemos designado para el vallado total a repartir. a) Consideremos que todo el vallado lo destinamos a cercar la zona para cría de vacas (zona cuadrada) ¿Qué superficie obtendríamos? (Es decir x = 0, por lo que la superficie destinada a la zona de cría de caballos sería 0) Perímetro zona cuadrada = a; 4 l = a; l = a/4 2 2 Superficie zona de cría de vacas = l = a /16 2 2 Superficie total = 0,00 + a /16 = a /16 Esta opción no cumple la condición impuesta para la zona de cría de caballos, que 2 debe ser al menos de 2.500 m . Esta opción se corresponde con el punto A. b) Consideremos que todo el vallado lo destinamos a cercar la zona para cría de caballos (zona circular) ¿Qué superficie obtendríamos? (Es decir x = a, por lo que la superficie destinada a la zona de cría de vacas sería 0) Perímetro zona circular = a; 2 R = a; R = a/2 Superficie zona de cría de caballos = R2 = a2/4 2 2 Superficie total = a /4 + 0,00 = a /4 Esta opción no cumple la condición impuesta para la zona de cría de vacas, que debe ser al menos de 5.000 m2. Esta opción se corresponde con el punto B.

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Podemos apreciar cómo la función suma adopta un valor superior en el punto B que en el A, para un valor de a perteneciente a los números naturales. c) Consideremos una situación intermedia, cumpliendo los dos condicionantes impuestos para las zonas a vallar, fijando una de las dos superficies al mínimo impuesto y calculando la otra. Fijamos la superficie de zona de cría de caballos en 2.500 m que es el mínimo recomendado y calculamos la de la zona de cría de vacas. Esta opción se corresponde con el punto D de la gráfica 2. 2

Superficie zona de cría de caballos = 2.500 m ; 2.500 = R ; R = 50√ / m Perímetro zona circular = 2 50√ / = 100√ = 177,25 m Perímetro zona cuadrada = a – 177,25; a – 177,25 = 4 l; l = (a–177,25)/4 2 2 Superficie zona de cría de vacas = l = ((a–177,25)/4) 2 2 Superficie total = 2.500,00 + ((a–177,25)/4) = 2.500,00 + ((a–177,25)/4) Para que esta opción cumpla todas las condiciones me falta imponer que ((a– 2 177,25)/4) ≥ 5000. Para ello, procederemos a resolver esa inecuación: ((a–177,25)/4)2 ≥ 5000; a2+31417,56-354,5a ≥ 80000; a2-48582,44-354,5a ≥ 0 Esta inecuación se cumple para valores de a ≥ 460,1 m. Consideremos la otra situación intermedia, cumpliendo con los dos condicionantes impuestos para las zonas a vallar, fijando la otra de las superficies mínimas impuestas y calculando la otra. Fijamos la superficie de zona de cría de vacas en 5.000 m que es el mínimo recomendado y calculamos la de la zona de cría de caballos. Esta opción se corresponde con el punto E de la gráfica 2. 2

Superficie zona de cría de vacas = 5.000 m ; 5.000 = l ; l = 70,71 m Perímetro zona cuadrada = 4 x 70,71 = 282,84 m Perímetro zona circular = a–282,84; a–282,84 = 2 R; R = (a–282,84)/2 Superficie zona de cría de caballos = R2 = (a–282,84)2/4 Superficie total = (a–282,84)2/4 +5000,00 = (a–282,84)2/4 +5000,00 Para que esta opción cumpla todas las condiciones me falta imponer que (a – 2 282,84) /4 ≥ 2500. Para ello, procederemos a resolver esa inecuación: (a–282,84)2/4 ≥ 2500; a2+80000-565,69a ≥ 10000 ; a2-565,69a+80000-80000 ≥ 0 Esta inecuación se cumple para valores de a ≥ 460,1 y para valores de a ≤ 105,60 m. Los valores de a inferiores o iguales a 105,60 m los descartamos porque no cumpliríamos las condiciones impuestas para las zonas de crías. El otro valor, a ≥ 460,1 cuadra con el obtenido anteriormente para el otro punto. 3 Conclusiones generales al intentar generalizar el problema. Tal y como hemos podido comprobar, se ha generalizado dicho problema a un caso general, de cara a poder asesorar a cualquier otro ganadero que estuviese en la misma situación, justificándole el vallado mínimo que debería comprar para al menos poder vallar las dos zonas de crías cumpliendo las condiciones mínimas impuestas por la normativa vigente o por el organismo que corresponda. Tras las comprobaciones realizadas, hemos visto que el vallado mínimo que debería disponer cualquier ganadero de cara a realizar la cría de caballos y vacas sería al menos de 460,1 m lineales, que se distribuirían en 177,25 m para cercar la zona de cría de caballos (circular) y 282,84 m para cercar la zona de cría de vacas (cuadrada).

ALUMNO: ABEL AVENDAÑO PÉREZ D.N.I.: 79.101.356-D 12 de 13

TAREA Nº: 5

RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA SIGUIENDO EL MÉTODO DE GEORGE POLYA

ASIGNATURA: DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS

27-03-2012

Observando la gráfica, podemos observar cómo el vértice de la parábola, queda desplazado con respecto al centro del tramo a, al estar dicho vértice en la coordenada x = 2a /(8 + 2 ) y tomar un valor aproximado de 0,44 a, que es un poco inferior a la mitad. Por ello la parábola corta más bajo al eje de ordenadas que a la recta x=a. La recta x = 177,25 viene fijada al ser el perímetro circular necesario para conseguir una superficie de 2.500 m (zona de cría de caballos). En cambio la recta x= a-282,84, varía en función del valor de a, con lo que la suma máxima de las superficies de las zonas de crías pueden variar, pudiendo ser el punto D o el punto E el punto donde la función suma de áreas adopta el máximo valor en función de la variable a. Si procederemos a resolver esta inecuación (que marca el valor del perímetro de la zona cuadrada en función de a y de x) (a–x)2/4 ≥ 2500; a2+x2-2xa ≥ 80000 ; a2-2ax+80000-80000 ≥ 0 Resolviendo esta inecuación tenemos que se cumple para valores de x ≤ a–282,84 y para valores de x ≥ a+282,84 Como además x ≥ 177,25 (por el condicionante de la zona circular), sustituyendo obtenemos dos condiciones para a: x ≤ a - 282.84; 177,25 ≤ a - 282.84; a ≥ 460,1 x ≥ a + 282,84; -105,60 ≥ a Esta última condición es imposible de cumplir, por lo que solamente hay una condición para a y es que sea superior a 460,1 m. Esto ya lo habíamos demostrado anteriormente. Por último queda ver en qué punto (D ó E) va a estar la máxima superficie. Como el punto D es semifijo, es decir depende de a, pero está contenido en la recta x = 177,25, vemos cuando el valor de la función suma en E adopta el mismo valor que en D. Como hemos visto anteriormente en el punto D la función suma de superficies adopta el valor 2 de f(177,25) = ((a–177,25)/4) y en el punto E, la función adopta el valor f(a-282,84) = (a– 2 282,84) /4 . Si procedemos a igualar los valores de la función veremos para qué valores de a la máxima superficie está localizada en el punto D y para cuales otros estará localizada en E. ((a–177,25)/4)2 = (a–282,84)2/4 2

a +31415,93 -354,5a = 4a +320000-2262,76a (4- )a2+320000-98696,00-548a = 0; (4- )a2-1149,07a + 221304 = 0 Los valores de a que satisfacen esta ecuación son a = 1105,38 y a = 233,23. El último valor de a no es válido ya que hemos demostrado que para cumplir los condicionantes mínimos especificados, al menos se debía disponer de 460,1 m de vallado perimetral. Hemos definido para qué valor de la variable a la función suma de áreas adopta el mismo valor en el punto D y en el punto E de la gráfica. Para un vallado inferior a 1105,38 m, la máxima suma de áreas estará localizada en el punto D y para un valor superior a 1105,38 m, la máxima suma de áreas estará localizada en el punto E de la gráfica. Al haber generalizado el problema podremos asesorar a cualquier otro ganadero que quiera dedicarse a la cría de caballos y vacas y podremos anticiparle el vallado mínimo que necesita, así como deducir la superficie máxima vallada que obtendrá con el mismo.

ALUMNO: ABEL AVENDAÑO PÉREZ D.N.I.: 79.101.356-D 13 de 13