INSTITUCIÓN EDUCATIVA SOLEDAD ROMAN DE NÚÑEZ DEPARTAMENTO DE CIENCIAS ASIGNATURA FÍSICA Prof: Delci Pacheco Ch. Variación lineal Ya vimos que en la variación proporcional directa, cuya ecuación es Y = a X cuando X = 0 tenemos, Y = 0, y a si , la gráfica Y – X es una recta que pasa por el origen. Por otra parte, hay casos en que esto no sucede, es decir, cuando X = 0 tenemos Y no es igual a cero, como vemos en el ejemplo siguiente.
• Qué es una variación lineal . Siempre que representemos gráficamente los valores de dos variables y obtengamos una gráfica rectilínea que no pase por el origen, diremos que ambas variables están relacionadas por una variación lineal. Así, en el ejemplo del resorte podemos decir que L varía linealmente con M.
Experimento con un resorte: Consideremos un resorte helicoidal como el de la figura 26ª, cuya longitud es de 6 cm. Al colocar en su extremo una masa M, su longitud L aumenta ( Fig. 26b). La tabla siguiente muestra los valores de L para diversos valores de M, obtenidos en el mismo experimento.
M(g) L(cm)
0 6
100 9
200 12
300 15
400 18
Con estos datos construimos el gráfico de la figura 27. obsérvese que cuando M = 0, entonces L = 6cm, y así la grafica L – M es una recta que no pasa por el origen. En consecuencia la relación entre L y M no es una proporción directa
Para obtener la relación matemática entre L y M, basta observar que si la recta de la figura 27 tuviese todos sus puntos desplazados 6 cm hacia abajo, pasaría por el origen. En este caso, la relación entre L y M seria L = 0.03 M, donde 0.03 cm/gr es la inclinación o pendiente de la recta. Como la gráfica de la figura 27 tiene sus puntos situados 6 cm arriba de la recta que pasa por el origen, es obvio que los valores de L estarán dados por L = 0.03M+6
Esta es, por lo tanto, la relación matemática entre L y M. Obsérvese que 0.03 es la pendiente del gráfico LM, y la constante 6 representa el valor inicial de L, es decir, el valor de L cuando M = 0
b) Con base en estos valores calcule la pendiente de la gráfica 11 Se comprobó que entre dos magnitudes X y Y existe la relación matemática siguiente: Y = 3x + 4 a) ¿Cómo se denomina este tipo de relación entre X y Y? b) ¿Cuál es el valor de Y cuando X = 0? c) Si trazáramos el gráfico YX, ¿Cuál sería su forma? d) ¿En qué punto cortaría esta gráfica al eje Y? e) ¿Cuál sería el valor de la pendiente? • Generalización . Acabamos de presentar 12 Observe la gráfica ilustrada y diga un ejemplo de dos magnitudes ligadas por una variación lineal. De modo genérico, siempre que dos magnitudes cualesquiera, X y Y, se relacionen de manera que el gráfico YX sea una recta que no pase por el origen, como en la figura 28, podremos concluir que: 1. Y varía linealmente con X 2. La relación matemática entre Y y X es Y = aX + b 3. La constante a está dada por la pendiente de la gráfica Y – X, y b es el valor de Y cuando X = 0
Ejercicios 8 Analizando la tabla con los valores de M y L presentada al inicio de esta sección, diga: a) Cuándo se duplica el valor de la masa M suspendida del resorte (por ejemplo, de l00 g a 200 g), ¿se duplicará el valor de la longitud L del resorte? b) Y cuando se triplica el valor de M, ¿se triplicará L? c) Entonces, ¿podemos decir que L α M? 9 a) Observando el gráfico de la figura 27, ¿por qué podemos afirmar que L no es directamente proporcional a M? b)¿Cómo se denomina la relación entre L y M? 10 En el gráfico de la figura 27, considere el primero y el último puntos señalados. á).Para estos puntos, ¿cuál es el valor de ∆M? y el de ∆L?
a)¿Es la relación entre las magnitudes Y y X del tipo Y = aX + b? b)Escoja dos puntos cualesquiera del gráfico. Determine para tales puntos los valores de ∆X y de ∆Y, y calcule la pendiente c)Cuál es el valor de la constante a? ¿y el de b? d)Escriba la relación matemática entre Y y X? e)Construye la gráfica de Y = 3X2 f)Construye la gráfica de Y = X2