INSTITUCION EDUCATIVA SOLEDAD ROMAN DE NUÑEZ DEPARTAMENTO DE CIENCIAS ASIGNATURA: FÍSICA 10º Prof: Delci Pacheco Ch. Cifras significativas • Cifras correctas y cifras aproximadas . Imagine que realiza una medición, como sería, por ejemplo, la de la longitud de una barra (fig. 1-6). Considere que la menor división de la regla utilizada es de 1 mm. Al intentar expresar el resultado de esta medida, se da cuenta de que está comprendido entre 14.3 cm y 14.4 cm. La fracción de milímetro que deberá de aumentarse a 14.3 tendrá que ser aproximada, pues la regla no presenta divisiones inferiores a 1 mm. Para efectuar esta aproximación, deberá imaginar el intervalo entre 14.3 cm y 14.4 cm subdividido en 10 partes iguales, y, con ello, la fracción de milímetro que debe aumentarse a 14.3 cm se podrá obtener con una estimación razonable. En la figura 1-6 podemos apreciar, que la fracción mencionada es de 5 décimos de milímetro, y el resultado de la medición se podrá expresar como 14.35 cm
persona podría apreciar la cifra como 4 6 6, por ejemplo. Por ello, este número estimativo, se conoce también como cifra dudosa o incierta. Es claro que no tendría sentido tratar de ver qué número debería escribirse para la medida después del número 5. Para ello, sería necesario imaginar el intervalo de 1 mm subdividido mentalmente en 100 partes iguales, lo cual es obviamente imposible. Por lo tanto, sí el resultado de la medida se escribiera como 14.357 cm, por ejemplo, podríamos afirmar que la aproximación del número 7 (segunda cifra aproximada) no tiene significado, y por ello, no debe aparecer en el resultado. • Cifras significativas. Por lo ya visto, en el resultado de una medición sólo deben aparecer los números correctos y el primer número aproximado. Esta forma de proceder es adoptada convencionalmente entre los físicos, los químicos, y en general, por todas las personas que efectúan mediciones. Estos números (las cifras correctas y la primera dudosa) se denominan cifras significativas. Por lo tanto, las cifras significativas de una medidas son los números correctos y el primer número dudoso. De este modo, al realizar una medición debemos hacer aparecer en el resultado únicamente las cifras significativas. El resultado de la medición indicada en la figura 1-6 debe, entonces, expresarse como 14.35 cm. • Comentarios. Si cada división de 1 mm de la regla de la figura 1-6 realmente estuviera subdividida en 10 partes iguales, al efectuar la lectura de la longitud de la barra (empleando un microscopio, por ejemplo), el número 5 pasaría a ser una cifra correcta. pues correspondería a una división entera de la regla (fig. 1~7). En este caso, el número siguiente sería el primero aproximado y pasaría a ser, por lo tanto, la última cifra significativa. Si 1 aproximar se encontrara el número 7, por ejemplo, el resultado de la medida podría escribirse como 14.357 cm, siendo significativos todos los guarismos.
Observe que se está seguro respecto de las cifras 1, 4 y 3, porque se obtuvieron gracias a las divisiones señaladas en la regla, es decir, son cifras correctas. Por otra parte, el número 5 fue aproximado, esto es, no podemos estar bien seguros de su valor, y otra
1- Considerando la figura de este ejercicio: Por otro lado, si regla de la figura 1-6 no tuviese las divisiones de milímetros (fig. 1-8), únicamente los números 1 y 4 serían correctos. La cifra 3 sen el primer guarismo aproximado y el resultado dc la medida se expresaría por 14.3 cm, con sólo tres cifras significativas. Vemos, entonces, que el número de guarismos significativos que se obtienen en el resultado de la medición de una magnitud determinada, dependerá del aparato o instrumento empleado para tal fin. La convención de enunciar el resultado de una medida únicamente con las cifras significativas es adoptada de manera general, no sólo en la medición de longitudes, sino también en la de masas, temperaturas, fuerzas, etc. Esta convención también es empleada al expresar los resultados de cálculos en que interviene la medición de las magnitudes. Cuando una persona le informe, por ejemplo, que al medir (o calcular) la temperatura de un objeto obtuvo 37.820C, deberá entender que la medida (o el cálculo) se hizo de tal manera que los números 3, 7 y 8 son correctos, y el último número, en este caso 2, siempre es incierto. A partir de este momento podrá comprenderse que dos medidas expresadas, por ejemplo, como 42 cm y 42.0 cm no representan exactamente la misma cosa. En la primera, el número 2 se calculó en forma aproximada y no hay certeza acerca de su valor. En la segunda, el guarismo 2 es correcto, siendo el cero el número dudoso. De la misma manera, resultados como 7.65 kg y 7.67 kg, por ejemplo, no son fundamentalmente distintos, pues sólo difieren en el número estimativo.
EJERCICIOS
¿Cómo expresarìa usted la longitud de la barra AB? ¿Cuál es el número correcto de esta medida? ¿Y cuál el número aproximado? 2- ¿Cuáles son las cifras significativas de una medida? 3- Una persona sabe que el resultado de una medición debe expresarse únicamente con los guarismos significativos. Si esta persona afirma que la velocidad de un automóvil es de 123 km/h: ¿Qué cifras observa en el velocímetro (números correctos)? ¿Cuál fue el número que se apreció en forma aproximada (número dudoso)? 4- La temperatura de una persona se midió con el empleo de dos termómetros distintos, siendo los resultados 36.80C y 36.800C. ¿Cuál es el número dudoso de la primera medición? En la segunda medida, ¿el número 8 es correcto o dudoso? 1.4 Operaciones con cifras significativas • De acuerdo con lo expresado, los resultados de cálculos en que intervienen mediciones solamente deben tener números significativos. Al resolver ejercicios de física, química, etc., tenemos que realizar operaciones en que intervengan medidas, y los resultados de los ejercicios también deben expresarse únicamente con guarismos significativos. Para ello será necesario observar las reglas que presentamos a continuación. Si no se hiciera así, las respuestas podrían tener números que no fueran significativos. • Adición y sustracción. Supóngase que se desean sumar las siguientes cantidades: 2087.5 0.0648 83.645 525.35 Para que el resultado de la adición sólo presente números significativos, deberá observar, primero, cuál (o cuáles) cantidad(es) tiene(n) el menor número de cifras decimales. En nuestro ejemplo, tal valor es 2807.5, tiene solamente una cifra decimal. Dicha cantidad se mantendrá tal como está. Las demás deberán modificarse de modo que queden con el mismo número de cifras decimales que la primera que se eligió, eliminándose de ellas tantos guarismos como sea necesario. Así, en la expresión 0.0648 debemos omitir los números 6, 4 y 8. Al eliminar los guarismos de una cantidad, el último número conservado deberá aumentarse en una unidad si el número eliminado
contiguo era superior a 5 (regla del redondeo). Entonces, la cantidad mencionada (0.0648) debe escribirse como 0.1. En la expresión 83.645 hay que eliminar los números 4 y 5. Cuando el primer número eliminado sea inferior a 5, el último número conservado permanecerá invariable; así pues, la cantidad 83.645 queda reducida a 83.6. Por último, en la expresión 525.35 debemos eliminar el número 5. Cuando el primer número eliminado sea exactamente igual a 5, será indiferente aumentar o no una unidad al último número restante. De cualquier modo, las respuestas sólo diferirán generalmente en el último número, y esto carece de importancia, pues se trata de una cifra incierta. Entonces, la expresión 525.35 puede escribirse como 525.3, o bien, como 525.4. Veamos pues, como efectuaríamos la adición anterior: 2 807.5 Permanece invariable 2 807.5 0.0648 quedará como .............0.1 83.645 se reduce a .............83.6 525.35 se escribe como ........525.3 El resultado correcto
es 3 416.5
En la sustracción se seguirá el mismo procedimiento. • Multiplicación y división. Supóngase que deseamos, por ejemplo, multiplicar 3.67 por 2.3. Al realizar la operación en la forma acostumbrada, encontramos que 3.67 x 2.3 = 8.441 Por otra parte, al proceder de esta manen en el producto aparecerán números que no son significativos. Para evitar esto, debemos observar la regla siguiente: verificar cuál es el factor que tiene el menor número de guarismos significativos, y en el resultado, se conservará solamente un número dc cifras igual al de dicho factor. Así, en el ejemplo anterior, como el factor que tiene el menor número de guarismos significativos es 2.3, sólo deben mantenerse en el resultado dos cifras, es decir, el resultado debe escribirse de la siguiente manera: 3.67 x 2.3 = 8.4 En la aplicación de esta regla, al eliminar números del producto debemos seguir el mismo criterio de redondeo de cantidades que explicamos al estudiar la adición. Cuando se efectúe una división debe seguirse un procedimiento similar.
• Comentarios. Las reglas citadas para efectuar operaciones con cifras significativas no deben considerarse absolutamente rigurosas. Su único propósito es evitar que perdamos el tiempo trabajando inútilmente con un gran número de guarismos que no tienen significado alguno. Así pues, como estas reglas no son muy rígidas, en la multiplicación que acabamos de analizar sería razonable mantener un número más en el resultado. Por lo tanto, los resultados 3.67 x 2.3 = 8.4 o bien, 3.67 x 2.3 = 8.44 son igualmente aceptables. Al contar los guarismos significativos de una medida debemos observar que el número cero sólo es significativo si está colocado a la derecha de una cifra significativa. Así pues,
0.41
tiene solamente dos cifras significativas (4 y 1), ya que los ceros no lo son
40 100 tiene cinco cifras significativas, pues aquí los ceros sí son significantes. 0.000401 posee tres guarismos significativos, ya que los ceros a la izquierda del número 4 no son significativos. Cuando efectuemos un cambio de unidades, debemos tener cuidado de no escribir ceros que no sean significativos. Por ejemplo, supóngase que quisiéramos expresar en gramos (g) una medida de 7.3 kg. Observemos que esta cantidad tiene dos números significativos, y que el número 3 es dudoso. Si escribiésemos 7.3 kg = 7 300 gramos estaríamos dando la idea errónea de que el 3 es un número correcto, y que el último cero aumentado sería el número incierto. Para evitar este error de interpretación, echamos mano de la notación con potencias de 10 y escribimos 7.3 kg = 7.3 x 10 3 gramos De este modo, el cambio de unidades queda efectuado y se indica que el 3 es el número dudoso. Por último, queremos llamar la atención respecto de ciertos números que encontramos en fórmulas (de matemáticas o de física) que no son resultados de mediciones y para los cuales, por lo tanto, no tendría sentido hablar de número de guarismos significativos. Por ejemplo, en la fórmula que proporciona el área A de un triángulo de base b y altura h,
A=
b.h 2
si b se midiera con tres cifras significativas y h con cinco, el área, como ya sabemos, deberá expresarse con tres (o cuatro) guarismos. El número 2 no se obtuvo por medición, por lo cual no debe tomarse en cuenta al contar las cifras significativas del resultado. Los mismos comentarios se aplica a otras cantidades, como el número de placas (o matrícula) de un automóvil,’ un teléfono, etc. EJERCICIOS Recordando las “reglas del redondeo”, escriba las mediciones siguientes, con sólo tres guarismos significativos. a) 422.32cm2 b) 3.428g c) 16.l5s Una persona desea efectuar la siguiente adición, de modo que el resultado solamente tenga números significativos: 27.48 cm + 2.5 cm a) ¿Qué cantidad permanecerá inalterada? b) ¿Cómo deberá escribirse la otra? c) ¿Cuál es la suma total? Para efectuar la multiplicación 342.2 x 1.11
diga primero: a) ¿Cuál de los factores tiene el menor número de guarismos significativos? b) ¿Con cuántos números debemos expresar el resultado? c) Escriba el producto de la multiplicación con sus cifras significativas. d) ¿Seria conveniente escribir 379.8 como resultado de esta multiplicación? ¿Y 379.&4? ¿Cuántos números significativos hay en cada una de las medidas siguientes? a) 702cm b) 36.00kg c) 0.00815 m d) 0.05080 litro Al medir la longitud de una carretera se obtuvo 56 km. a) ¿Cuál es el número dudoso en está medición? b) ¿Convendría escribir tal medida como 56 000 m? c) ¿Cuál es la forma de expresar esta cantidad en metros, sin dejar dudas en cuanto a los guarismos significativos? El volumen de un cono está dado por la expresión
V =
A.h 3
donde A es el área de su base y h, su altura. Para un cono dado tenemos que A = 0.302 m2 y h = 1.020 m. ¿Con cuántas cifras debe expresarse el volumen de este cono?