Innhold 1 Potenser og tallsystemer 1.1 Potenser 1.2 Potensene a 0 og a n 1.3 Regneregler for potenser 1.4 Tall på standardform 1.5 Tallsystemene våre 1.6 Det oktale tallsystemet 1.7 Det binære tallsystemet 1.8 Omgjøring mellom binære og oktale tall 1.9 Det heksadesimale tallsystemet Sammendrag
9 10 12 14 16 20 24 26 28 30 32
2 Tabeller og diagrammer 2.1 Frekvenstabeller 2.2 Kumulative frekvenstabeller 2.3 Digitale tabeller 2.4 Kurvediagram 2.5 Søylediagram 2.6 Sektordiagram 2.7 Digitale diagrammer Sammendrag
35 36 39 41 45 47 51 53 60
3 Sentralmål og spredningsmål 3.1 Gjennomsnitt og typetall 3.2 Median 3.3 Variasjonsbredde og kvartilbredde 3.4 Varians og standardavvik 3.5 Sentralmål og spredningsmål digitalt 3.6 Histogram 3.7 Sentralmål i gruppert materiale 3.8 Gruppert materiale digitalt 3.9 Spørreundersøkelser Sammendrag
63 64 67 71 74 77 80 85 89 92 94
4 Matematiske modeller 4.1 Modeller 4.2 Rette linjer 4.3 Digital graftegning 4.4 Lineære modeller 4.5 Lineær regresjon 4.6 Polynomfunksjoner 4.7 Polynomregresjon 4.8 Potensfunksjoner 4.9 Potensregresjon Sammendrag
97 98 101 105 110 115 118 123 128 131 136
5 Eksponentiell vekst 5.1 Prosentfaktorer 5.2 Vekstfaktorer 5.3 Prosentvis endring i flere perioder 5.4 Eksponentialfunksjonen 5.5 Eksponentialregresjon 5.6 Kjennetegn ved funksjoner Sammendrag
139 140 143 147 150 154 158 164
Oppgaver
166
1
Potenser og tallsystemer
167
Kategori 1 Kategori 2 Blandede oppgaver
167 170 175
Tabeller og diagrammer
178
Kategori 1 Kategori 2 Blandede oppgaver
178 184 190
Sentralm책l og spredningsm책l
195
Kategori 1 Kategori 2 Blandede oppgaver
195 202 208
Matematiske modeller
216
Kategori 1 Kategori 2 Blandede oppgaver
216 222 230
Eksponentiell vekst
236
Kategori 1 Kategori 2 Blandede oppgaver
236 240 245
2
3
4
5
Lommeregnerstoff Texas Casio
249 250 257
Fasit
264
Stikkord
000
1
Potenser og tallsystemer Mål for opplæringen er at eleven skal kunne •
regne med potenser og tall på standardform med positive og negative eksponenter og bruke dette i praktiske sammenhenger
•
gjøre rede for noen plassverdisystemer og gi praktiske eksempler på slike
Aktivitet 1 Finn ut hvordan du kan bestemme tykkelsen på et vanlig kopipapir. Ta et kopipapir og se hvor mange ganger du klarer å brette det. Du skal brette det slik at det blir dobbelt så tykt for hver gang du bretter. Hvor mange millimeter tykt er det hvis du bretter det fire ganger? Hvordan kan du regne ut hvor tykt det hadde blitt hvis du hadde klart å brette det ti ganger? Det høyeste huset i Norge er Hotel Plaza i Oslo. Det er 117 m høyt. Hvor mange ganger måtte vi brette et kjempestort ark for at det skulle bli høyere enn 117 m? Avstanden fra jorda til månen er 384 400 km. Måtte vi brette mer enn 50 ganger for å nå månen?
1.1 Potenser Med vårt tallsystem må vi bruke potenser når vi skal arbeide med spesielt små og spesielt store tall. Hvis vi for eksempel skal regne med massen av hele jorda i kilogram, må vi skrive et tall med 24 siffer. Massen til et hydrogen atom i kilogram får på tilsvarende måte 26 nuller etter kommaet. Dette tallet klarer vi ikke å regne med hvis vi ikke bruker en potens med en negativ eksponent. Det skal vi lære om nå. Men først repeterer vi noen av potens reglene fra ungdomsskolen. Vi skal også se på hvorfor reglene er riktige. Uttrykket 24 kaller vi en potens. Denne potensen betyr 2 · 2 · 2 · 2. Eksponenten 4 forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet 2 med seg selv. ← Eksponent Grunntall → 24 Potens Hvis vi skal regne ut 24 · 23, får vi
4 + 3 faktorer
24 · 23 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 24 + 3 = 27
4 faktorer
3 faktorer
Denne regelen gjelder:
am · an = am + n
Eksempel Regn ut 54 · 52.
Løsning:
54 · 52 = 54 + 2 = 56
35 Hvis vi skal regne ut __ , får vi 33
3 · 3 · 3 · 3 · 3 _____ 35 ____________ 3·3 = ___ = = 32 = 9 3 3 · 3 · 3 1 3
10
Sinus 2P > Potenser og tallsystemer
Vi ser at 35 = 35 – 3 = 32 = 9 ___ 33 Vi har denne regelen: an ___ = an – m am Her må vi foreløpig forutsette at n er større enn m. Siden skal vi utvide potensbegrepet slik at formelen gjelder for alle n og m.
Eksempel Regn ut. 52 · 54 b) ______ 53
47 a) ___ 45
Løsning: 47 a) ___ = 47 – 5 = 42 = 16 45 52 + 4 ___ 56 52 · 54 _____ = = = 56 – 3 = 53 = 125 b) ______ 53 53 53
?
Oppgave 1.10 Regn ut. a) 32
b) (–3)2
c) 33
d) (–3)3
Oppgave 1.11 Trekk sammen som én potens. a) 32 · 33 b) 24 · 26 c) 53 · 5 d) 102 · 103 · 105 e) (2 · 104) · (5 · 103) Oppgave 1.12 Regn ut. 105 24 ____ a) ___ b) 23 103
43 · 42 c) ______ 44
38 · 36 d) ______ 35 · 37
2 · 105 · 6 · 102 e) _____________ 4 · 104
11
1.2 Potensene a0 og a –n Hittil har vi studert potensen an der n er et naturlig tall. Vi skal nå innføre potenser der eksponenten er null eller negativ. Hva skal vi mene med 20? Det gir ingen mening å multiplisere 2 med seg selv null ganger. Vi ønsker at regnereglene for potenser skal gjelde for alle heltallseksponenter. 23 Vi regner ut __ på to måter: 23
8 23 __ 23 = = 1 ___ = 23 – 3 = 20 ___ 3 8 2 23 Vi forutsatte at potensregelen for brøker gjelder her. For at de to utregnings måtene skal gi samme svar, må vi ha at 20 = 1. Vi kan gjennomføre det samme resonnementet for potensen a0 der a er et positivt tall. For å få regnereglene til å passe må vi ha at a0 = 1.
a0 = 1
Hva skal vi mene med uttrykket 2–4? Vi kan jo ikke forestille oss at vi multipliserer 2 med seg selv –4 ganger. Vi definerer 2–4 på en slik måte at regnereglene for potenser gjelder for negative eksponenter: 20 1 1 2–4 = 20 – 4 = ___ 4 = ___ 4 = ___ 16 2 2 Vi velger derfor å definere a–n slik:
1 a–n = ___ n a
Eksempel Regn ut. a) 30
b) 500
Løsning: a) 30 = 1 1 1 2 = __ c) 3–2 = ___ 9 3 =
12
Sinus 2P > Potenser og tallsystemer
c) 3–2
d) 7 · 10–3
b) 500 = 1 7 1 3 = _____ d) 7 · 10–3 = 7 · ____ 1000 10 =
Eksempel Skriv tallet 1,7 · 10–4 som et desimaltall.
Løsning:
1,7 1 1,7 · 10–4 = 1,7 · ____ 4 = _______ = 0,00017 10 000 10
Vi kan vise at regnereglene for potenser også gjelder for eksponenter som ikke er positive. Reglene gjelder altså også når eksponentene er negative eller null.
Eksempel Regn ut. a) 24 · 2–3
37 · 3–1 c) _______ 3–3 · 36
33 b) ___ 35
Løsning: a) 24 · 2–3 = 24 + (–3) = 21 = 2 33 1 1 = 33–5 = 3–2 = ___ 2 = __ b) ___ 9 35 3 37 + (–1) ___ 36 37 · 3–1 _______ = –3 + 6 = 3 = 36 – 3 = 33 = 27 c) _______ –3 6 3 ·3 3 3
?
Oppgave 1.20 Regn ut og skriv svaret som en brøk eller et helt tall. a) 50 b) (–2)0 c) 5–1 –2 0 e) 10 f) 10 g) 10–4 Oppgave 1.21 Regn ut. a) 23 · 2–4 2–3 · 25 d) _______ 23 · 2–1
b) 3–4 · 35 a4 · a–3 e) _______ a–2 · a
d) 2–4
3–2 c) ____ 3–3
13
1.3 Regneregler for potenser
( )
2 3 , kan vi gjøre det slik: Hvis vi skal regne ut __ 3
( )
8 2 3 2 __ 2 2 2 · 2 · 2 ___ 23 = __ · · __ = _______ __ = 3 = ___ 3 3 3 3 3·3·3 3 27 Vi har denne regelen for alle hele tall n:
( )
a n an = ___ n __ b b
Eksempel Regn ut.
( ) ( )
( )
3 4 x 3 b) __ __ 2 3
2 3 a) __ 5
Løsning:
( ) ·x 3 3 3 ·x 3 3x x x ) ( __ ) = ___ · ___ = ______ = ________ = ____ b) ( __ 2 3 16 2 3 2 ·3 2 8 2 3 23 ____ a) __ = ___ 3 = 5 125 5 = 4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4–3
3
3
4
Uttrykk som (2x)3 kan vi regne ut uten å kjenne noen potensregel:
(2x)3 = 2x · 2x · 2x = 2 · 2 · 2 · x · x · x = 23x3 = 8x3
Vi ser at (2x)3 = 23x3. Tilsvarende gjelder for alle produkter ab og alle eksponenter n:
(a · b)n = an · bn
Eksempel Regn ut. a) (3x)2
14
Sinus 2P > Potenser og tallsystemer
b) (2x)–1 · 4x
Løsning: a) (3x)2 = 32 · x2 = 9x2 b)
! ?
(2x)–1
· 4x =
2–1
·
x–1
2
4x 1 1 · 4x = __ · __ = 2 · 4x = ___ 2
2x
x
I eksempelet ovenfor så vi at (3x)2 = 9x2. Det er dermed stor forskjell på (3x)2 og 3x2. I 3x2 skal vi bare kvadrere x og ikke 3-tallet. I (3x)2 kvadrerer vi 3-tallet også.
Oppgave 1.30 Regn ut. 1 3 a) __ 2
2 3 b) __ 3
Oppgave 1.31 Regn ut. 2 3 a) __ · 33 3
5 3 25 __ b) ___ · 52 2
( ) ( )
( )
( )
2 3 d) – __ 3
( )
x 4 d) 35 · __ 3
1 3 c) ___ 10
( )
x 2 c) __ 2
( )
( )
Vi skal nå finne en regel vi kan bruke når vi skal regne ut en potens der grunntallet er en potens. Uttrykket (23)4 er av den typen.
(23)4 = 23 · 23 · 23 · 23 = 23 + 3 + 3 + 3 = 23 · 4 = 212
For to vilkårlige eksponenter m og n får vi:
(am)n = am · n
Eksempel Regn ut. a) (32)3
b) (2x–2)–1
Løsning: a) (32)3 = 32 · 3 = 36 = 729 1
1
b) (2x–2)–1 = 2–1(x–2)–1 = __ 2 x (–2)(–1) = __ 2 x 2
15
!
?
Du må ikke blande sammen (a2)4 og a2a4.
(a2)4 = a2 · 4 = a8 a2a4 = a2 + 4 = a6
Oppgave 1.32 Regn ut og skriv svaret som et desimaltall eller et helt tall. a) (5 · 103)3 b) (2 · 102)–1 5 · 10–2 · 9 · 104 c) (3 · 103)2 · (3 · 10–2)–1 d) ______________ 3 · 103 Oppgave 1.33 Skriv enklest mulig. a) x7 · (x–2)3
b) (2x–2)–1 · 2x–3
1.4 Tall på standardform Store tall med mange siffer er uoversiktlige. Ofte gjør vi regnefeil når vi skal regne med slike tall, for det er lett å glemme et siffer. Hvis vi i stedet skriver tallet ved hjelp av tierpotenser, får vi bedre styring med utregningene.
Eksempel Skriv tallet 8 700 000 ved hjelp av tierpotenser.
Løsning:
8 700 000 = 8,7 · 1 000 000 = 8,7 · 106
Til vanlig skriver vi direkte 8 700 000 = 8,7 · 106. Eksponenten 6 forteller oss hvor mange plasser vi har flyttet kommaet mot venstre.
Når vi skal regne med svært små desimaltall, er det lett å gjøre kommafeil. Vi regner mye sikrere hvis vi skriver tallene ved hjelp av tierpotenser med negative eksponenter. Nå skal vi regne ut noen tierpotenser med negativ eksponent så vi ser hvordan systemet er.
16
Sinus 2P > Potenser og tallsystemer
1 1 10–1 = ____ 1 = ___ = 0,1 10 10 1 1 ____ –2 10 = 2 = ____ = 0,01 100 10 1 1 10–3 = ____ 3 = _____ = 0,001 1000 10 1 1 = 0,0001 10–4 = ____ 4 = _______ 10 000 10
Eksempel Skriv tallene ved hjelp av tierpotenser og regn ut
0,00012 · 0,000037.
Løsning: Vi omformer 0,00012:
0,00012 = 1,2 · 0,0001 = 1,2 · 10–4
Den negative eksponenten –4 forteller hvor mange plasser vi har fl yttet kommaet mot høyre. For tallet 0,000037 får vi
0,000037 = 3,7 · 10–5
Nå finner vi produktet. 0,00012 · 0,000037 = 1,2 · 10–4 · 3,7 · 10–5 = 1,2 · 3,7 · 10–4 · 10–5 = 4,44 · 10–4 + (–5) = 4,44 · 10–9 = 0,00000000444 Legg merke til hvordan vi bytter om rekkefølgen på desimaltall og potenser, og hvordan vi så ganger sammen tallene for seg og poten sene for seg.
Et tall er skrevet på standardform når det er skrevet som
±a · 10n
der 1 ≤ a < 10 og n er et helt tall.
17
Eksempel Skriv tallene 230 000 og 0,0000000167 på standardform.
Løsning:
?
230 000 = 2,3 · 105
0,0000000167 = 1,67 · 10–8
Oppgave 1.40 Skriv som hele tall eller som desimaltall. a) 2,3 · 103 b) 7,1 · 10–2 c) 8,44 · 106
d) 2,92 · 10–5
Oppgave 1.41 Skriv på standardform. a) 0,000153 b) 14 300
d) 0,00000275
c) 937 000 000
Mange lommeregnere har en egen tast som vi bruker når vi skal legge inn tall på standardform. Den heter vanligvis EE eller EXP. Hvis vi skal legge inn tallet 2,3 · 105, trykker vi for eksempel 2,3 EE 5. Finn ut om dette går an på din lommeregner. Bak i boka finner du framgangsmåten for den grafiske lommeregneren. Når vi har en oppgave der tallene er skrevet på standardform, er det ofte lurt å regne slik vi gjør i dette eksempelet:
Eksempel a) Regn ut (2,3 · 108) · (1,6 · 10–6). b) Bruk lommeregneren og regn ut
(8 · 106) · (6 · 10–3) _________________ (4 · 103) · (3 · 10–2)
Løsning: a) Vi samler desimaltallene og tierpotensene hver for seg.
18
(2,3 · 108) · (1,6 · 10–6) = 2,3 · 1,6 · 108 · 10–6 = 3,68 · 108 + (–6) = 3,68 · 102 = 368
Sinus 2P > Potenser og tallsystemer
b) På figuren har vi vist regnestykket på en grafisk lommeregner. Du kan sikkert gjøre det på en tilsvarende måte på din lomme regner.
!
Legg merke til at vi setter parentes om telleren og om nevneren på lommeregneren.
?
6
–3
8 · 10 · 6 · 10 ______________ = 400 3 –2 4 · 10 · 3 · 10
Oppgave 1.42 Regn ut både med og uten lommeregner. Skriv svaret som desimaltall. a) (5 · 103) · (3 · 10–6) b) (2 · 10–1) · (5 · 10–1) (5 · 10–2) · (9 · 104) 8,4 · 10–2 _________________ d) c) _________ 2,1 · 10–3 3 · 103 Oppgave 1.43 Regn ut både med og uten lommeregner. Skriv svaret på standardform. a) (4 · 10–4) · (2 · 102) b) (8 · 106) · (3 · 10–2) 5 –2 (2 · 107) · (4 · 105) (3,2 · 10 ) · (4 · 10 ) ________________ d) c) __________________ 1,6 · 10–3 (4 · 10–2)2 Oppgave 1.44 Gjør om til standardform og regn ut. a) 12 000 000 · 0,0000023 b) 0,00075 · 0,000000017 0,00045 · 0,0012 4 600 000 000 d) _______________ c) _____________ 0,000002 27 000 000 Oppgave 1.45 Jordradien er 6 400 000 m. Bruk formelen
4
V = __ 3 r3
og regn ut volumet av jorda i kubikkmeter.
19
1.5 Tallsystemene våre Når vi regner, bruker vi vanligvis titallssystemet. Hvordan det er bygd opp, kan vi finne ut ved å dele opp for eksempel tallet 2347:
2347 = 2 · 1000 + 3 · 100 + 4 · 10 + 7
Det siste sifferet er enere, det nest siste er tiere, det tredjesiste hundrere, osv. Dette tallsystemet har ti tallsymboler (0, 1, 2, …, 9). Fordi det er plasseringen av sifrene som forteller om det er enere, tiere, hundrere osv., sier vi at dette er et plassverdisystem. Tallet 10 er grunntallet i titallssystemet. Hvis vi bruker potenser, får vi
2347 = 2 · 103 + 3 · 102 + 4 · 10 + 7
Vi kan også skrive desimaltall ved hjelp av tierpotenser.
?
725,49 = 7 · 102 + 2 · 10 + 5 + 4 · 10–1 + 9 · 10–2
Oppgave 1.50 Skriv ved hjelp av tierpotenser. a) 361 b) 4167
c) 10 345
d) 145 247
Oppgave 1.51 Skriv ved hjelp av tierpotenser. a) 25,7 b) 145,23
c) 2345,08
d) 12 356,582
Tid måler vi i timer, minutter og sekunder. Ett minutt er 60 sekunder, og én time er 60 minutter. Dermed er
1 time = 60 minutter = 60 · 60 sekunder = 602 sekunder = 3600 sekunder
Når vi skal finne ut hvor mange sekunder det er i 3 timer, 35 minutter og 17 sekunder, kan vi gjøre det slik:
3 h 35 min 17 s = 3 · 602 s + 35 · 60 s + 17 s = 12 917 s
Dette likner på det vi gjør i titallssystemet, men her bruker vi 60 i stedet for 10. Vi regner altså i sekstitallssystemet. Dette tallsystemet ble tatt i bruk av babylonerne for ca. 4000 år siden. Vårt vanlige tallsystem, titallssystemet, ble innført i Europa for rundt 800 år siden, men det fikk ikke sitt endelige gjennombrudd før på 1500-tallet. På datamaskiner skriver vi ofte 3 timer, 35 minutter og 17 sekunder som 3:35:17. Da finner vi antallet sekunder på denne måten:
20
3:35:17 = 3 · 602 + 35 · 60 + 17 = 12 917
Sinus 2P > Potenser og tallsystemer
Skrivemåten 3:35:17 er et plassverdisystem. Det er plasseringen av tallene som avgjør om det er timer, minutter eller sekunder. Hvis vi skal regne om fra sekunder til timer, minutter og sekunder, tar vi utgangspunkt i at 1 time er 3600 sekunder, og at 1 minutt er 60 s. Når vi skal regne ut hvor mange timer, minutter og sekunder det er i 9753 s, kan vi gå fram på denne måten: Vi bruker lommeregneren og regner ut 9753 _____ = 2,71 3600 Altså er det litt mer enn 2 timer. Hvor mange sekunder over 2 timer det er, finner vi ut på denne måten:
9753 s – 2 · 3600 s = 9753 s – 7200 s = 2553 s
Nå er 2553/60 = 42,55. Dermed er 2553 s litt mer enn 42 minutter. Hvor mye mer finner vi slik:
2553 s – 42 · 60 s = 33 s
Dermed er 9753 s det samme som 2 timer, 42 minutter og 33 sekunder.
Eksempel a) Hvor mange sekunder er det i 5 timer, 56 minutter og 12 sekunder? b) Hvor mange timer, minutter og sekunder er det i 1) 2470 s 2) 12 500 s
Løsning: a) 5 timer, 56 minutter og 12 sekunder er
5 · 602 s + 56 · 60 s + 12 s = 21 372 s
b) 1) Ettersom 1 time er 3600 s, er 2470 s mindre enn 1 time. Nå er 2470 _____ = 41,17 60 2470 s er dermed litt mer enn 41 minutter. Antallet sekunder over 41 min er
2470 s – 41 · 60 s = 10 s
2470 s er 41 minutter og 10 sekunder.
21
2) Ettersom 12 500 _______ = 3,47 3600 er 12 500 s litt mer enn 3 timer. Nå er
12 500 s – 3 · 3600 s = 1700 s
Det er altså 1700 s over 3 timer. Videre er 1700 = 28,33 _____ 60 og
?
1700 s – 28 · 60 s = 20 s
12 500 s er 3 timer, 28 minutter og 20 sekunder.
Oppgave 1.52 Regn om til sekunder. a) 23 min 12 s b) 2 h 45 min 30 s
c) 3 døgn 14 h 32 min 10 s
Oppgave 1.53 Regn om til timer, minutter og sekunder. a) 3250 s b) 14 440 s
c) 72 245 s
Oppgave 1.54 Hvor mange år er du når du er 1 000 000 000 s gammel?
I sekstitallssystemet legger vi sammen og trekker fra omtrent som i titalls systemet. En film begynner kl. 19.35 og varer i 1 time og 45 minutter. Vi skal finne ut når den slutter. Da setter vi opp dette regnestykket: 1 19.35 + 1.45 = 21.20 Når vi legger sammen 35 minutter og 45 minutter, får vi 80 minutter. Det er 1 time og 20 minutter. Dermed setter vi 20 nede og 1 i mente. Filmen slutter altså kl. 21.20.
22
Sinus 2P > Potenser og tallsystemer
En annen film varer i 1 time og 47 minutter. Den slutter kl. 22.22. Vi kan finne ut når filmen begynte på denne måten: 21 60 22.22 – 1.47 = 20.35 Ettersom 47 er mer enn 22, må vi låne. Vi låner dermed 1 time, som er 60 minutter. For å finne minuttene, regner vi nå slik:
60 – 47 + 22 = 13 + 22 = 35
Filmen begynte kl. 20.35.
Eksempel a) En skiløper startet på en 30 km kl. 11.45.15 og brukte 1 time, 23 minutter og 52 sekunder. Når kom han i mål? b) En annen skiløper startet kl. 11.52.45 og kom i mål kl. 13.20.53. Hvor lang tid brukte denne løperen? c) Hvor mye kortere tid brukte løperen i oppgave a enn løperen i oppgave b?
Løsning: a) Vi setter opp dette regnestykket: 1 1 11.45.15 + 1.23.52 = 13.09.07
Løperen kom i mål kl. 13.09.07.
b) Dette regnestykket blir slik: 12 60 13.20.53 – 11.52.45 = 1.28.08
Løperen brukte 1 time, 28 minutter og 8 sekunder.
27 60 c) 1.28.08 – 1.23.52 = 4.16
Han brukte 4 minutter og 16 sekunder kortere tid.
23
?
Oppgave 1.55 a) Håkon dro hjemmefra kl. 19.42 og var borte i 2 timer og 45 minutter. Når kom Håkon hjem? b) Kristin var borte i 3 timer og 25 minutter og kom hjem kl. 22.12. Når dro hun hjemmefra? c) Anne dro hjemmefra kl. 21.48 og kom hjem på natta kl. 01.12. Hvor lenge var hun borte? Oppgave 1.56 a) Petter startet i et skirenn kl. 11.46.45 og kom i mål kl. 14.11.57. Hvor lang tid brukte han? b) Markus startet kl. 11.51.15 og kom i mål kl. 14.16.03. Hvor lang tid brukte Markus? c) Tobias gikk i mål kl. 14.19.12 og hadde brukt 2.15.27. Når startet Tobias?
1.6 Det oktale tallsystemet Vi kan også lage et tallsystem med 8 som grunntall. Da bruker vi symbolene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 og 7. Hvis 463 er et tall i åttetallssystemet eller det oktale tallsystemet, så er det det samme som
463 = 4 · 82 + 6 · 8 + 3 = 4 · 64 + 6 · 8 + 3 = 307
Tallet 463 i åttetallssystemet er det samme som tallet 307 i titallssystemet. For å skille de to tallene skriver vi helst 4638 når vi bruker åttetallssystemet.
?
Oppgave 1.60 Tallene
5618, 7208, 23568, 62008 og 120208
er skrevet i åttetallssystemet. Oversett dem til vanlige tall.
Oppgave 1.61 a) Hva er det største tallet vi kan skrive med to siffer i åttetallssystemet? b) Hva er det største tallet vi kan skrive med tre siffer?
Hvordan kan vi oversette et tall fra titallssystemet til åttetallssystemet? Vi viser framgangsmåten i et eksempel.
24
Sinus 2P > Potenser og tallsystemer
EKSEMPEL Oversett tallet 6206 til det oktale tallsystemet.
Løsning: Vi lager en tabell med potenser som har grunntallet 8. 85
84
83
82
81
80
32 768
4096
512
64
8
1
Vi finner det største tallet i tabellen som er mindre enn 6206. Det er 4096. Hvis vi dividerer 6206 med 4096, blir svaret litt mer enn 1. Ved hjelp av lommeregneren finner vi at
6206 − 1 · 4096 = 2110
Altså er
6206 = 1 · 4096 + 2110 6206 = 1 · 84 + 2110
Det neste tallet i tabellen er 512. Hvis vi dividerer 2110 med 512, blir svaret litt mer enn 4. Lommeregneren gir
2110 − 4 · 512 = 62 2110 = 4 · 512 + 62 2110 = 4 · 83 + 62
Innsatt i uttrykket for 6206 gir det
6206 = 1 · 84 + 2110 6206 = 1 · 84 + 4 · 83 + 62
Tallet 62 er mindre enn 64 eller 82, som er det neste tallet i tabellen på forrige side. Dermed er
6206 = 1 · 84 + 4 · 83 + 0 · 82 + 62
Når vi dividerer 62 med 8, går det en 7-gang. Videre er
62 − 7 · 8 = 6 62 = 7 · 8 + 6
Dermed er
6206 = 1 · 84 + 4 · 83 + 0 · 82 + 7 · 8 + 6
Tallet 6206 skrevet i åttetallssystemet er 140768.
25
?
Oppgave 1.62 Skriv tallene i åttetallssystemet. a) 347 b) 1289 c) 5714 d) 89 123 Oppgave 1.63 Vi kan lage tallsystemer med andre hele tall som grunntall. I femtalls systemet bruker vi bare symbolene 0, 1, 2, 3 og 4, altså fem ulike siffer. a) Tallene 235, 2415, 24125 og 121035 er skrevet i femtallssystemet. Skriv dem som vanlige tall. b) Skriv tallene 47, 129, 708 og 4215 i femtallssystemet.
1.7 Det binære tallsystemet I en datamaskin eller lommeregner kan vi tenke oss at alle tall blir lagret ved at en bryter er av eller på. Da har vi bare to mulige tallsymboler: 0 når bryteren er av, og 1 når den er på. Vi må derfor bruke et tallsystem med bare to symboler, 0 og 1. Dette tallsystemet kaller vi totallssystemet eller det binære tallsystemet. Alle tall i dette systemet består dermed bare av nuller og enere. Tallet 10102 er et eksempel på et binært tall. Det er ikke lik tusen og ti. Når vi skal finne ut hvilket tall det er, gjør vi slik:
10102 = 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 2 + 0 = 1 · 8 + 0 · 4 + 1 · 2 + 0 = 10
Det binære tallet 10102 er det samme som tallet ti. Vi ser at det binære tall systemet virker på samme måten som titallssystemet. Forskjellen er at for binære tall bruker vi potenser av to i stedet for potenser av ti. Alle datamaskiner og lommeregnere bruker totallssystemet til all regning uten at vi oppdager det. Når du skriver et regnestykke ved hjelp av tastaturet, blir tallene automatisk oversatt til totallssystemet. Alle utregningene blir så gjort i totallssystemet. Svaret blir deretter oversatt til titallssystemet før det blir skrevet ut på skjermen. Vi skal nå lære å oversette tall mellom totallssystemet og titallssystemet.
EKSEMPEL Regn om fra binære tall til vanlige tall. a) 1012 b) 11012 c) 100112
26
Sinus 2P > Potenser og tallsystemer
Løsning: a) 1012 = 1 · 22 + 0 · 2 + 1 = 4 + 0 + 1 = 5 b) 11012 = 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 2 + 1 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 c) 100112 = 1 · 24 + 0 · 23 + 0 · 22 + 1 · 2 + 1 = 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 19
?
Oppgave 1.70 Regn om fra binære tall til vanlige tall. a) 1102 b) 11102 c) 101102
d) 1110012
Oppgave 1.71 Fyll ut tabellen. Binærtall
02 12 102 112 1002 1012 1102 1112 10002 10012 10102 10112
Vanlige tall
Hvordan kan vi oversette fra vanlige tall til binære tall? Vi tar da utgangs punkt i denne tabellen med potenser av 2. 210
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
1024
512
256
128
64
32
16
8
4
2
1
Hvis vi skal skrive tallet 23 som et binært tall, leter vi oss fram til den største toerpotensen som er mindre enn 23. Det er 16. Videre er
23 = 16 + 7
Nå finner vi den største toerpotensen som er mindre enn 7. Det er 4. Ettersom 7 = 4 + 3, får vi
23 = 16 + 4 + 3
eller
23 = 16 + 4 + 2 + 1
Dermed er
23 = 1 · 16 + 0 · 8 + 1 · 4 + 1 · 2 + 1
23 = 1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + 1
Tallet 23 er altså det samme som det binære tallet 101112.
27
EKSEMPEL Skriv 37 som et binært tall.
Løsning: Tallet 37 kan vi skrive slik:
37 = 32 + 5 = 32 + 4 + 1
Dermed er
?
37 = 1 · 32 + 0 · 16 + 0 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 1 = 1001012
Oppgave 1.72 Skriv tallene som binærtall. a) 13 b) 23
c) 42
d) 70
Oppgave 1.73 Skriv tallene fra 1 til 16 som binærtall.
1.8 Omgjøring mellom binære og oktale tall Det er enklere å oversette mellom totallssystemet og åttetallssystemet enn det er å oversette mellom titallssystemet og åttetallssystemet eller mellom titalls systemet og totallssystemet. Når vi oversetter mellom totallssystemet og åttetallssystemet, bruker vi denne tabellen: Totallssystem Åttetallssystem
0002 0012 0102 0112 1002 1012 1102 1112 08
18
28
38
48
Vi viser framgangsmåten med et eksempel.
EKSEMPEL a) Tallet 2418 er skrevet i åttetallssystemet. Skriv tallet i totallssystemet. b) Tallet 110101102 er skrevet i totallssystemet. Oversett tallet til åttetallssystemet.
28
Sinus 2P > Potenser og tallsystemer
58
68
78
Løsning: a) Når vi skal oversette fra åttetallssystemet til totallssystemet, bruker vi tabellen på forrige side og oversetter hvert siffer til totallssystemet.
010100001
2
4
1
Tallet er 101000012 skrevet i totallssystemet.
b) Når vi skal oversette fra totallssystemet til åttetallssystemet, deler vi tallet opp i tre og tre siffer. Begynn bakerst! Hvis oppdelingen ikke går opp, legger vi til nuller foran som vist nedenfor.
011010110
3
2
6
Deretter bruker vi tabellen på forrige side og oversetter tre og tre siffer til åttetallssystemet.
?
Tallet er 3268 i åttetallssystemet.
Oppgave 1.80 Oversett fra åttetallssystemet til totallssystemet. a) 728 b) 3458 c) 16538
d) 124538
Oppgave 1.81 Oversett fra totallssystemet til åttetallssystemet. a) 1101012 b) 101110112 c) 10001001012 d) 101110011012 Oppgave 1.82 a) Tallet 873 er skrevet i titallssystemet. Oversett det til totallssystemet. b) Oversett svaret i oppgave a til åttetallssystemet. c) Oversett svaret i oppgave b til titallssystemet. Fikk du 873? Oppgave 1.83 I firetallssystemet bruker vi symbolene 0, 1, 2 og 3. a) Tallene 234, 1134, 21034 og 121004 er skrevet i firetallssystemet. Skriv dem i titallssystemet. b) Skriv tallene 37, 145, 337 og 536 i firetallssystemet. c) Finn ut hvordan du enkelt oversetter tall mellom totallssystemet og firetallssystemet.
29
1.9 Det heksadesimale tallsystemet De binære tallene inneholder mange siffer. Når vi skriver tallet 211 som et binærtall, blir det 110100112. Det er fort gjort å gjøre feil når vi skal skrive et slikt tall, eller når vi skal si tallet til en annen person. Vi kunne ha delt opp tallet i tre og tre siffer og oversatt til åttetallssystemet. Men i datateknologien er det vanlig at binære tall inneholder 16 siffer, 32 siffer, 64 siffer osv. Det blir derfor lettere hvis vi leser fire og fire siffer om gangen. I tillegg bruker vi denne tabellen: Binært tall Vanlig tall
Symbol
Binært tall Vanlig tall
Symbol
00002
0
0
10002
8
8
00012
1
1
10012
9
9
00102
2
2
10102
10
A
00112
3
3
10112
11
B
01002
4
4
11002
12
C
01012
5
5
11012
13
D
01102
6
6
11102
14
E
01112
7
7
11112
15
F
Tallet 110100112 deler vi opp i to deler og leser det på denne måten:
11010011
D
3
Når vi så skal ha tilbake binærtallet, bruker vi tabellen og erstatter D med 1101 og 3 med 0011. Da får vi tilbake tallet 11010011. Når vi skal finne ut hvilket tall D3 er, kan vi gjøre slik: I tabellen ser vi at D er tallet 13. Da er D3 det samme som
13 · 16 + 3 = 211
Tallet 101110010012 har elleve siffer. Når vi skal lese dette tallet, setter vi en 0 foran slik at det blir tolv siffer. Da kan vi sette sammen fire og fire 0 og 1 på denne måten:
010111001001
5
C
9
Vi leser tallet som 5C9. Hvilket tall er så det?
30
Sinus 2P > Potenser og tallsystemer
Vi skriver 5C9 ved hjelp av potenser av 16. Husk at C er det samme som 12.
5C9 = 5 · 162 + 12 · 16 + 9 = 5 · 256 + 12 · 16 + 9 = 1481
Tallet 5C9 er skrevet i sekstentallssystemet (det heksadesimale tallsystemet) og er det samme som 1481 i titallssystemet.
EKSEMPEL a) Skriv det binære tallet 10110110012 i det heksadesimale tallsystemet. b) Skriv tallet i det vanlige tallsystemet.
Løsning: a) 10110110012 = 001011011001 = 2D916
2
D
9
b) Ettersom D er tallet 13, blir dette
?
2D916 = 2 · 162 + 13 · 16 + 9 = 2 · 256 + 13 · 16 + 9 = 729
Oppgave 1.90 a) Skriv det binære tallet 111001012 i det heksadesimale tallsystemet. b) Hvilket tall er det i vårt tallsystem? Oppgave 1.91 a) Skriv det binære tallet 11110101002 i det heksadesimale tallsystemet. b) Hvilket tall er det i vårt tallsystem? Oppgave 1.92 a) Skriv tallet 729 i det binære tallsystemet. b) Skriv svaret i oppgave a i det heksadesimale tallsystemet. c) Kontroller om svaret i oppgave b gir tallet 729. Oppgave 1.93 Finn ut hvordan du enkelt kan oversette tall mellom firetallssystemet og det heksadesimale tallsystemet.
31
Sammendrag Definisjon av a0 For alle tall a ≠ 0 er
a0 = 1
Definisjon av a –n For alle tall n og alle tall a ≠ 0 er
1 n a–n = ___ a
Regneregler for potenser For alle tall m og n er
am · an = am + n an ___ m = an – m a (a · b)n = an · bn a n an __ = ___ n b b m n (a ) = am · n
( )
Tall på standardform Et tall er skrevet på standardform når det er skrevet som
±a · 10n
der 1 ≤ a < 10 og n er et helt tall.
Titallssystemet Titallssystemet er det tallsystemet med grunntall 10 som vi bruker daglig. Tallet 247 betyr
247 = 2 · 102 + 4 · 10 + 7
Totallssystemet Totallssystemet (det binære tallsystemet) har 2 som grunntall. Alle tall skriver vi der ved hjelp av sifrene 0 og 1. Det binære tallet 11012 er det samme som
32
11012 = 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 2 + 1 = 13
Sinus 2P > Potenser og tallsystemer
Åttetallssystemet Åttetallssystemet (det oktale tallsystemet) har 8 som grunntall. Alle tall skriver vi der ved hjelp av sifrene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 og 7. Tallet 25738 i åttetallssystemet er det samme som
25738 = 2 · 83 + 5 · 82 + 7 · 8 + 3 = 1403
Sekstentallssystemet Sekstentallssystemet (det heksadesimale tallsystemet) har 16 som grunn tall. Alle tall skriver vi der ved hjelp av sifrene 0, 1, ..., 9, A (10), B (11), C (12), D (13), E (14) og F (15). Tallet 8D316 i sekstentallssystemet er det samme som
8D316 = 8 · 162 + 13 · 16 + 3 = 2259
33
2
Tabeller og diagrammer Mål for opplæringen er at eleven skal kunne •
beregne kumulativ hyppighet, finne og drøfte sentralmål og spredningsmål
•
representere data i tabeller og diagrammer og drøfte hensiktsmessighet og hvilke inntrykk ulike dataframstillinger kan gi
Aktivitet 2 Elevene i klassen går sammen to og to. Kast to terninger 100 ganger og skriv opp summen av øynene for hvert kast. Tell opp hvor mange ganger dere fikk hver sum. Hvilken sum fikk dere flest ganger? Sammenlikn med de andre parene i klassen. Kan dere forklare det dere finner ut?
2.1 Frekvenstabeller I matematikkgruppen 2P-1 er det 27 elever. På en prøve fikk de disse karakterene:
3, 5, 4, 1, 3, 4, 2, 3, 1, 4, 3, 6, 3, 3, 2, 4, 5, 2, 4, 3, 4, 3, 2, 5, 2, 4, 5
Her er det 27 karakterer. Hvert tall kan vi kalle en observasjon. Her er det 27 observasjoner. Vi bruker ofte symbolet N om tallet på observasjoner. Her er altså N = 27. Det er 6 forskjellige karakterer: 1, 2, 3, 4, 5 og 6. Disse tallene kaller vi observasjonsverdiene. Dermed har vi 6 mulige observasjonsverdier. Vi lager nå en tabell der vi bruker tellestreker til å finne ut hvor mange elever som har hver av karakterene. Karakter
Tellestreker
Frekvens
1
||
2
2
||||
5
3
|||| |||
8
4
|||| ||
7
5
||||
4
6
|
1
Sum
27
Det er 8 elever som har fått karakteren 3. Vi sier at karakteren 3 har hyppigheten 8 eller frekvensen 8. I tabellen ovenfor har vi skrevet inn frekvensen for hver karakter. Denne frekvenstabellen gir en god oversikt over karakterfordelingen. Når vi summerer alle frekvensene, skal vi få antallet observasjoner N. Vi ser at det stemmer, for her er N = 27.
!
Vi summerer alltid kolonnen med frekvensene og kontrollerer at vi har fått med alle observasjonene. Summen skal alltid være lik N. Vi skal finne ut hvor stor del av elevene som hadde karakteren 3. Det var 8 ___ = 0,296 27 Dette tallet kaller vi den relative frekvensen eller den relative hyppigheten for karakteren 3. Hvor mange prosent som fikk karakteren 3, kan vi finne slik:
0,296 · 100 % = 29,6 %
29,6 % av elevene fikk karakteren 3.
36
Sinus 2P > Tabeller og diagrammer
Nå lager vi en tabell med de relative frekvensene og de relative frekvensene i prosent for alle de seks karakterene. Karakter
Frekvens
Relativ frekvens
Relativ frekvens i prosent
1
2
2 ___ = 0,074 27
7,4 %
2
5
5 ___ = 0,185
18,5 %
3
8
8 ___ = 0,296 27
29,6 %
4
7
7 ___ = 0,259 27
25,9 %
5
4
4 ___ = 0,148 27
14,8 %
6
1
1 ___ = 0,037 27
3,7 %
N = 27
Sum = 0,999
Sum = 99,9 %
27
Når vi summerer kolonnen med de relative frekvensene, skal vi få summen 1. På grunn av avrundinger får vi 0,999. Kolonnen med relative frekvenser i prosent skal gi summen 100 %, men her blir det da 99,9 % på grunn av avrunding. Ovenfor var observasjonsverdiene tall. Men observasjonsverdiene kan være mye annet. Vi har 50 baller i en kurv. Ballene er røde, grønne eller blå. Da kan observasjonsverdiene være fargene på ballene, og vi kan ha denne frekvenstabellen: Farge
Frekvens
Relativ frekvens
Relativ frekvens i prosent
Rød
19
19 ___ = 0,38 50
38 %
Grønn
22
22 ___ = 0,44 50
44 %
Blå
9
9 ___ = 0,18
18 %
Sum
50
1,00
100 %
50
Vi ser at 44 % av ballene er grønne.
37
?
Oppgave 2.10 En dag teller læreren fraværet i matematikkgruppen 2P-1. Timefraværet for elevene er
0, 4, 1, 0, 5, 2, 0, 5, 1, 3, 6, 2, 0, 2, 3, 1, 0, 1, 4, 2, 0, 0, 2, 1, 4, 0, 2
a) Hvor mange observasjoner er det? b) Lag en frekvenstabell som viser fraværet. c) Utvid tabellen slik at den også viser relative frekvenser og relative frekvenser i prosent.
Oppgave 2.11 En vennegjeng er på fisketur. Her er antallet fisker som hver av dem fikk:
5, 0, 4, 2, 8, 2, 2, 1, 6, 0, 3, 0, 6, 1, 2, 0
a) Lag en frekvenstabell som viser antallet fisker. b) Utvid tabellen slik at den også viser relative frekvenser og relative frekvenser i prosent. c) Hvor mange prosent av vennene fikk ikke fisk?
Oppgave 2.12 I en fotballcup ble det spilt 15 kamper. Ettersom dette var cupkamper, ble det ekstraomganger hvis det var uavgjort etter ordinær tid. Resultatene etter ekstraomgangene var: 1. runde: Kvartfinaler: Semifinaler: Finale:
2–0 2–3 4–2 2–1 0–1 3–0 1–3 2–0 1–2 3–0 4–0 0–1 1–2 3–2 4–2
a) Lag en frekvenstabell som viser tallet på mål i hver kamp. b) Utvid tabellen slik at den også viser relative frekvenser og relative frekvenser i prosent. c) I hvor mange prosent av kampene ble det skåret 3 mål?
Oppgave 2.13 Stortingsvalget i 2009 gav dette resultatet: Arbeiderpartiet fikk 949 049 stemmer, SV 166 361, Rødt 36 219, Senterpartiet 165 006, KrF 148 748, Venstre 104 144, Høyre 462 458, FrP 614 717, og andre fikk 36 201. a) Hvor mange stemte i dette valget? b) Lag en tabell som viser frekvenser, relative frekvenser og relative frekvenser i prosent. c) Hvor mange prosent stemte på de rødgrønne partiene A, SV og Sp?
38
Sinus 2P > Tabeller og diagrammer
2.2 Kumulative frekvenstabeller I kapittel 2.1 så vi på karakterene i gruppen 2P-1. Vi hadde denne frekvens tabellen: Karakter
Frekvens
1
2
2
5
3
8
4
7
5
4
6
1
Sum
27
Tallet på elever som har karakteren 4 eller dårligere, kaller vi den kumulative frekvensen til karakteren 4. Ved hjelp av frekvenstabellen ovenfor kan vi finne de kumulative frekvensene for hver karakter på denne måten: Kumulativ frekvens
Karakter
Frekvens
1
2
2
2
5
2+5=7
3
8
7 + 8 = 15
4
7
15 + 7 = 22
5
4
22 + 4 = 26
6
1
26 + 1 = 27
I den nederste raden skal den kumulative frekvensen alltid bli lik tallet N på observasjoner. Det er 27, så det stemmer. Vi ser her at det er 22 elever som har karakteren 4 eller dårligere. Den 22 = 0,815. Dette er andelen av elevene som har 4 eller dårligere, er dermed ___ 27 den relative kumulative frekvensen for karakteren 4. Det er altså 81,5 % av elevene som har karakteren 4 eller dårligere. Det er den relative kumulative frekvensen i prosent. Nå regner vi ut alle de relative kumulative frekvensene og setter dem inn i tabellen på neste side.
39
Relativ kumulativ frekvens
Kumulativ frekvens i prosent
Karakter
Frekvens
Kumulativ frekvens
1
2
2
2 ___ = 0,074 27
7,4 %
2
5
7
7 ___ = 0,259 27
25,9 %
3
8
15
15 ___ = 0,556 27
55,6 %
4
7
22
22 ___ = 0,815 27
81,5 %
5
4
26
26 ___ = 0,963 27
96,3 %
6
1
27
27 ___ = 1,000 27
100,0 %
Hvor stor del av elevene fikk karakteren 4 eller bedre? Vi ser av tabellen at det var 55,6 % av elevene som fikk karakteren 3 eller dårligere på denne prøven. Dermed var det
100 % – 55,6 % = 44,4 %
som fikk 4 eller bedre. I tabellen på side 37 som viser antallet røde, grønne og blå baller, kan vi ikke lage noen kumulativ tabell, for vi kan ikke si et en farge er lavere eller mindre enn en annen.
! ?
Det er bare når observasjonsverdiene er tall at vi lager kumulative tabeller.
Oppgave 2.20 I en klasse ble det undersøkt hvor mange dager elevene hadde med seg matpakke hjemmefra i løpet av de 10 siste skoledagene. Her er resultatet: 10, 8, 7, 1, 5, 9, 10, 10, 8, 7, 6, 10, 9, 2, 10, 9, 8, 7, 1, 5, 6, 9, 10, 10, 4, 10, 8 a) Lag en tabell som viser frekvensene, de kumulative frekvensene, de relative kumulative frekvensene og de relative kumulative frekvensene i prosent. b) Hvor mange prosent av elevene hadde med seg matpakke høyst 7 dager? c) Hvor mange prosent av elevene hadde med seg matpakke minst 8 dager?
40
Sinus 2P > Tabeller og diagrammer
?
Oppgave 2.21 I den samme klassen som i oppgave 2.20 ble det undersøkt hvor mange dager elevene spiste den matpakken de hadde med seg. Elevene er her nevnt i samme rekkefølge som i oppgave 2.20.
10, 6, 5, 0, 5, 7, 7, 10, 8, 7, 5, 8, 9, 0, 10, 9, 8, 5, 0, 5, 5, 8, 9, 10, 0, 10, 6
a) Lag en tabell som viser frekvensene, de kumulative frekvensene, de relative kumulative frekvensene og de relative kumulative frekvensene i prosent. b) Hvor mange prosent av elevene spiste matpakken sin høyst 6 dager? c) Hvor mange prosent av elevene spiste matpakken mer enn 2 dager?
Oppgave 2.22 a) Bruk tallene fra oppgave 2.20 og 2.21 til å finne ut hvor mange dager hver av de 27 elevene ikke spiste den matpakken de hadde med seg. b) Lag en tabell ut fra tallene i oppgave a som viser frekvensene, de kumulative frekvensene, de relative kumulative frekvensene og de relative kumulative frekvensene i prosent. c) Hvor mange prosent av elevene spiste matpakken sin alle dagene? d) Hvor mange prosent av elevene spiste ikke matpakken sin mer enn én gang? Oppgave 2.23 Hvorfor kan vi ikke lage kumulative frekvenser i oppgave 2.13?
2.3 Digitale tabeller Vi skal nå se hvordan vi lager frekvenstabeller ved hjelp av regnearket Excel. Bak i boka ser du hvordan du kan lage frekvenstabeller ved hjelp av den grafiske lommeregneren. I kapittel 2.1 lagde vi denne tabellen som viste karakterene på en prøve i 2P-1: Karakter
Frekvens
Relativ frekvens
Relativ frekvens i prosent
1
2
0,074
7,4 %
2
5
0,185
18,5 %
3
8
0,296
29,6 %
4
7
0,259
25,9 %
5
4
0,148
14,8 %
6
1
0,037
3,7 %
Sum
27
0,999
99,9 %
41
Når vi skal lage denne tabellen i regnearket, skriver vi først inn overskriftene, karakterene og frekvensene. Regnearket ser da slik ut:
Her har vi tilpasset kolonnebreddene ved å dra i strekene mellom kolonneoverskriftene A, B, C, …. Vi har også midtstilt alle tall ved å markere hele tabellen som et område og deretter trykke på symbolet . I celle B8 skriver vi nå
= summer(B2:B7)
Frekvensene blir da summert. I celle C2 skriver vi så
= B2/B$8
Vi skriver tegnet $ foran 8 fordi vi vil at dette tallet ikke skal endre seg når vi kopierer formelen. Nå stiller vi oss i celle C2 og reduserer antallet desimaler til 3 ved å trykke på . Regnearket ser nå slik ut:
Nå skal vi kopiere formelen i C2 nedover til C7. Da stiller vi musepekeren i den svarte, lille firkanten nederst i det høyre hjørnet på markøren og trekker den ned til C7 mens vi holder venstre musetast nede. På tilsvarende måte kopierer vi formelen i B8 til C8. Da ser regnearket slik ut:
42
Sinus 2P > Tabeller og diagrammer
I celle D2 skriver vi nå
= C2
Denne formelen kopierer vi deretter helt ned til D8. Deretter høyreklikker vi på overskriften D og velger Formater celler. Der velger vi Prosent og setter desimaltallet til 1. Da er vi ferdige med tabellen, som nå ser slik ut:
Nå skal vi lage kumulative frekvenser. Da begynner vi med å legge inn disse overskriftene og tallene:
I C2 skriver vi så
= B2
I C3 setter vi inn formelen
= C2 + B3
43
Formelen i C3 kopierer vi så ned til C7. Regnearket ser nå slik ut:
Når vi nå skal lage de relative kumulative frekvensene, skriver vi først formelen
= C2/C$7
i celle D2. Deretter går vi fram på nøyaktig den samme måten som da vi laget de relative frekvensene på forrige side. Det gir dette resultatet:
?
Oppgave 2.30 Tabellen gir en oversikt over antallet hjemmeboende barn under 18 år i norske familier i 2009. Med familier med barn mener vi her alle eneforsørgere og alle par med barn. Barn
0
1
2
3
4
Familier 606 579 201 062 242 039 100 167 19 123
5
6
3715
1821
I denne oppgaven skal du lage tabellene digitalt. a) Lag en tabell med relative frekvenser og relative frekvenser i prosent. b) I hvor stor del av familiene er det 3 barn? c) I hvor mange prosent av familiene er det barn? d) Lag en tabell med kumulative frekvenser, med relative kumulative frekvenser og relative kumulative frekvenser i prosent. e) I hvor mange prosent av familiene er det høyst 3 barn? f) I hvor mange prosent av familiene er det minst 3 barn?
Oppgave 2.31 a) Lag tabellen i oppgave 2.20 digitalt. b) Lag tabellen i oppgave 2.21 digitalt.
44
Sinus 2P > Tabeller og diagrammer
2.4 Kurvediagram Tabellen nedenfor viser folketallet i verden i millioner x år etter 1950. Årstall
1950
1960
1970
1980
1990
2000
2010
x
0
10
20
30
40
50
60
Verden
2520
3021
3697
4444
5285
6073
6853
Dette kan vi framstille i et kurvediagram eller et linjediagram. Vi markerer da punktene i et koordinatsystem og trekker rette linjer mellom punktene. millioner y 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000
x 10 20 30 40 50 60 år
Dette diagrammet kan vi for eksempel bruke til å finne en tilnærmet verdi av folketallet i 1985, eller vi kan finne ut omtrent når folketallet passerte 4 milliarder.
Kurvediagrammer bruker vi til å vise en utvikling over tid.
Vi kan også bruke slike linjediagrammer til å sammenlikne utviklingen av to størrelser over tid. Tabellen nedenfor viser folketallet i tusen for Trondheim og for Bergen x år etter 1950. Årstall
1950
1960
1970
1980
1990
2000
2010
x
0
10
20
30
40
50
60
Bergen
112,9
115,8
115,7
208,9
211,8
229,5
256,6
Trondheim
56,5
59,3
126,2
134,7
137,3
148,9
170,9
Grunnen til den store økningen i folketallet i Trondheim på sekstitallet og i Bergen på syttitallet var en sammenslåing med nabokommuner.
45
Nedenfor er et linjediagram som viser hvordan folketallet økte i de to byene. Det er enklere for oss å se utviklingen i de to byene ut fra dette diagrammet enn ut fra tabellen. tusen y 300
Bergen
250 200
Trondheim
150 100 50
x 10 20 30 40 50 60 år
?
Oppgave 2.40 Tabellen viser hvor mange millioner mennesker på jorda som har hiv/aids. Årstall
1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008
Millioner
9
13
17
23
28
32
35
38
39
33
Lag et linjediagram som viser utviklingen.
Oppgave 2.41 Tabellen nedenfor viser hvor mange millioner tekstmeldinger (SMS) som ble sendt i Norge i et enkelt år etter 2000. Årstall
2000
2002
2004
2006
2008
2010
SMS
1241
2541
3649
5006
6180
6402
Lag et kurvediagram som viser utviklingen.
Oppgave 2.42 Tabellen viser hvor mange millioner minutter det i Norge ble ringt fra mobiltelefon til andre mobiltelefoner og til fasttelefoner. Årstall
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
Til mobil
2990
3790
4727
5823
7039
8072
8852
9828
Til fasttelefon 1547
1628
1694
1766
1850
1885
1926
1932
a) Lag et linjediagram som viser utviklingen. b) Omtrent hvor mange timer snakket hver nordmann i mobiltelefonen i 2003 og i 2010 etter å ha ringt selv? c) Omtrent hvor mange timer snakket hver nordmann i mobiltelefonen i 2003 og i 2010 totalt?
46
Sinus 2P > Tabeller og diagrammer
Oppgave 2.43 Tabellen nedenfor viser folketallet i tusen for Stavanger og Kristiansand i noen år etter 1950. Vis utviklingen for de to byene i et linjediagram. Årstall
1950
1960
1970
1980
1990
2000
2010
Stavanger
50,6
52,8
81,7
89,9
97,5
108,8
123,8
Kristiansand
25,7
27,7
56,1
60,7
64,9
72,4
81,3
2.5 Søylediagram I kapittel 2.1 så vi på karakterfordelingen i 2P-1. Den var slik: Karakter
Frekvens
1
2
2
5
3
8
4
7
5
4
6
1
Denne fordelingen kan vi framstille i et søylediagram eller et stolpediagram. Vi setter da observasjonsverdiene (karakterene) langs førsteaksen og frekvensene langs andreaksen. Vi lager så søyler eller stolper over observasjonsverdiene med en høyde som er lik frekvensen slik vi har gjort her: Karakterfordeling i 2P-1 9 8 7 Frekvens
?
6 5 4 3 2 1 1
2
3 4 Karakter
5
6
47
Vi kan også lage søylediagrammer der vi sammenlikner flere fordelinger. Gruppen 2P-2 hadde den samme prøven som 2P-1. Tabellen viser karakterene i de to gruppene. Karakter
2P-1
2P-2
1
2
3
2
5
6
3
8
4
4
7
7
5
4
5
6
2
2
Vi lager nå søylediagrammer der vi sammenlikner de to gruppene. Karakterfordeling i 2P-1 og 2P-2 9
2P-1 2P-2
8 Frekvens
7 6 5 4 3 2 1 1
2
3
Karakter
4
5
6
Søylediagrammer bruker vi når vi skal sammenlikne ett eller flere sett observasjonsverdier.
!
Normalt bruker vi kurvediagrammer når vi skal vise en utvikling over tid. Men vi kan også bruke søylediagram til å sammenlikne verdier i noen få år eller i noen få andre perioder. En bilselger sammenlikner salgstallene for en bilmodell med to konkurrerende modeller. Salgstallene er:
48
Bilmerke
A
B
C
Salgstall
1638
1170
1280
Sinus 2P > Tabeller og diagrammer
Bilselgeren lager dette søylediagrammet for å bruke det i reklamen:
Frekvens
1800 1600 1400 1200 1000
A
B Bilmerke
C
Ovenfor ser det ut som det er solgt mer enn dobbelt så mye av bil A som av både bil B og bil C. Bilselgeren har latt seg friste til å la andreaksen begynne ved 1000 solgte biler. Det gir et galt bilde av fordelingen. I søylediagrammer må alltid andreaksen begynne på 0. Et korrekt søylediagram ser slik ut: 1800 1600 Frekvens
1400 1200 1000 800 600 400 200 A
B Bilmerke
C
49
?
Oppgave 2.50 Tabellen viser hvor mange personer som bor i leilighetene i et borettslag. Personer
1
2
3
4
5
6
7
Frekvens
5
7
10
12
9
4
1
a) Hvor mange leiligheter er det i dette borettslaget? b) Lag et søylediagram som viser frekvensene. c) Lag en tabell med de kumulative frekvensene. d) Framstill de kumulative frekvensene i et søylediagram.
Oppgave 2.51 To håndballspillere noterer hvor mange mål de skårer i hver kamp, og de setter opp tallene i en frekvenstabell. Mål
Tonje
Marit
0
3
8
1
5
10
2
8
12
3
11
7
4
9
6
5
7
3
6
4
2
7
0
0
8
1
0
a) Hvor mange kamper har hver av dem spilt? b) Hvor mange mål har de skåret hver? c) Framstill frekvensene i et felles søylediagram. d) Lag en tabell med de kumulative frekvensene for hver av håndballspillerne. e) Framstill de kumulative frekvensene i et søylediagram.
Oppgave 2.52 Stortingsvalget i 2009 gav dette resultatet i Stavanger og Trondheim: A
SV
R
Sp
KrF
V
H
FrP
Stavanger 19 959 4645 386 1377 4495 4028 15 430 14 501
Andre 847
Trondheim 40 367 9561 1682 3121 2975 4064 15 377 18 172 1838 a) Lag et søylediagram som viser fordelingen av stemmene. b) Hva er den store forskjellen på resultatet i disse to byene?
50
Sinus 2P > Tabeller og diagrammer
2.6 Sektordiagram I kapittel 2.5 brukte vi søylediagram når vi skulle sammenlikne forskjellige observasjonsverdier. Vi kan også bruke et sektordiagram eller et kake diagram. Nå skal vi se hvordan vi lager et slikt diagram, og vi ser igjen på karakterfordelingen i 2P-1. Karakter
Frekvens
1
2
2
5
3
8
4
7
5
4
6
1
Sum
27
Hvor mange grader i sektordiagrammet skal svare til karakteren 3? Vi vet 8 8 ___ av elevene hadde karakteren 3. Dermed skal karakteren 3 dekke av at ___ 27 27 hele sirkelen. Den er på 360°. Den delen som skal svare til karakteren 3, må da være 8 8 ___ av 360° = ___ · 360° = 107° 27 27 Nå regner vi ut gradtallene for hver av karakterene og setter dem inn i tabellen. Karakter
Frekvens
Gradtall
1
2
2 ___ · 360° = 27°
2
5
5 ___ · 360° = 67° 27
3
8
8 ___ · 360° = 107° 27
4
7
7 ___ · 360° = 93° 27
5
4
4 ___ · 360° = 53° 27
6
1
1 ___ · 360° = 13° 27
Sum
27
360°
27
Når vi summerer kolonnen med gradtallene, skal summen bli 360°.
51
Nå bruker vi passeren og lager en passe stor sirkel. Vi merker av et punkt på periferien (kanten) av sirkelen. Ved hjelp av ei gradskive merker vi av 27°, som svarer til karakteren 1. Vi fargelegger denne sektoren og skriver karakteren 1 på sektoren. Ved siden av denne sektoren merker vi av 67° for karakteren 2, fargelegger denne sektoren med en ny farge og skriver tallet 2. Tilsvarende gjør vi for alle karakterene. Da kommer vi nøyaktig rundt sirkelen og får dette sektordiagrammet: Karakterfordeling i 2P-1 2 3
1 6 4
5
Vi bruker sektordiagram til å sammenlikne frekvenser i en fordeling. Observasjonsverdiene kan være tall eller noe annet. Diagrammet er ikke egnet til å sammenlikne flere sett av observasjonsverdier.
Sektordiagrammene er ikke egnet til å framstille kumulative frekvenser eller en utvikling over tid. Da bruker vi enten linjediagram eller søylediagram.
?
Oppgave 2.60 Elevene på vg2 har idrettsdag. De kan velge mellom håndball, fotball, fri idrett og orientering. Fordelingen var slik: Håndball
Fotball
Friidrett
Orientering
32
52
14
22
Elever
Lag et sektordiagram som viser fordelingen.
Oppgave 2.61 Tabellen viser barnetallene i hver leilighet i et stort borettslag. Barn
0
1
2
3
4
5
Leiligheter
14
12
21
8
4
1
Lag et sektordiagram som viser fordelingen.
52
Sinus 2P > Tabeller og diagrammer
?
Oppgave 2.62 Tabellen viser stemmefordelingen i Oslo ved stortingsvalget i 2009. Parti
A
SV
R
Sp
KrF
V
H
FrP
Andre
Stemmer 113 103 33 205 12 917 3126 8786 20 784 69 999 56 953 4243 Lag et sektordiagram som viser stemmefordelingen.
Oppgave 2.63 Hanne er kasserer i et idrettslag. Et år fikk laget inn 12 000 kr i medlemsavgift, 14 500 kr i aktivitetsavgift, 8000 kr fra sponsorer, 12 500 kr i overskudd fra løpet «Best på toppen» og 12 000 kr i offentlig støtte. Laget betalte 24 000 kr i startkontingenter, 15 400 kr for treningssamlinger, 4500 kr for transport og 1200 kr i kontorutgifter. Laget kjøpte videre tidtakerutstyr for 7400 kr. a) Lag et sektordiagram som viser fordelingen av inntektene. b) Lag et sektordiagram som viser fordelingen av utgiftene.
2.7 Digitale diagrammer I kapittel 2.4, 2.5 og 2.6 lagde vi linjediagrammer, søylediagrammer og sektordiagrammer. Slike diagrammer kan vi også lage digitalt. Bak i boka står det hvordan du kan lage noen av dem på den grafiske lommeregneren. Her viser vi hvordan vi går fram i regnearket Excel. Først lager vi et linjediagram. Da bruker vi tabellen fra kapittel 2.4 som viser folketallet i tusen for Trondheim og for Bergen i noen år etter 1950. Årstall
1950
1960
1970
1980
1990
2000
2010
Bergen
112,9
115,8
115,7
208,9
211,8
229,5
256,6
Trondheim
56,5
59,3
126,2
134,7
137,3
148,9
170,9
Vi legger inn tallene og markerer området som vist nedenfor.
53
Nå trykker vi på fanen Sett inn og velger Linje.
Vi velger der Linjediagram med indikatorer og får dette diagrammet:
Nå klikker vi på grafen. Da dukker det opp en fane som heter Diagramverktøy. Der velger vi Merk data. Der klikker vi på Rediger under teksten Vannrette (kategori) akseetiketter. Vi markerer der kolonnen med årstallene slik:
Vi klikker OK for å få satt årstallene på førsteaksen.
54
Sinus 2P > Tabeller og diagrammer
Deretter velger vi Diagramoppsett og klikker på dette symbolet:
Så klikker vi på Diagramtittel og endrer den til ‘Folketall i tusen’. Aksetittelen endrer vi til ‘tusen’. Nå ser det ferdige diagrammet slik ut:
?
Oppgave 2.70 Gunnar Gnier er glad i penger. Tabellen viser hvor mange kroner han hadde i banken ved årsskiftene fra 2003 til 2010. Årstall
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
Beløp (kr) 120 000 137 000 161 000 117 000 131 000 162 000 171 000 189 000 Lag et linjediagram som viser utviklingen.
Oppgave 2.71 Gunnar Gnier er gift med Sara Shopper. Tabellen viser årsinntekten for hver av dem i perioden fra 2004 til 2010. Årstall
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
Gunnar (kr) 291 000 312 000 342 000 360 000 378 000 382 000 402 000 Sara (kr)
260 000 295 000 330 000 352 000 395 000 412 000 440 000
Lag et linjediagram som viser lønnsutviklingen for dem begge.
55
Nå skal vi lage søylediagrammer digitalt og ser derfor på karakterfordelingen i gruppene 2P-1 og 2P-2 på side 48. Først legger vi inn karakterene og markerer så frekvensene som vist nedenfor:
Deretter velger vi Sett inn og velger Stolpe som vist her:
Tallene på førsteaksen er nå tilfeldigvis lik karakterene, og vi trenger ikke gjøre noe med dem.
56
Sinus 2P > Tabeller og diagrammer
Nå klikker vi på diagrammet, velger Utforming og deretter denne utformingen:
Vi legger der inn diagramtittelen ‘Karakterfordeling i 2P’. Videre legger vi inn teksten ‘Karakter’ på førsteaksen og ‘Frekvens’ på andreaksen. Da ser søylediagrammet slik ut:
Oppgave 2.72 Tabellen viser strømforbruket i kilowattimer for en enebolig for de fire kvartalene i 2009 og i 2010. (Et kvartal er tre måneder.) Kvartal
1
2
3
4
2009
8560
4460
3200
9800
2010
7400
3900
4400
11 200
Lag digitalt et søylediagram viser strømforbruket i perioden.
Oppgave 2.73 Løs oppgave 2.52 digitalt.
57
Nå skal vi lage et sektordiagram digitalt. Vi ser på salget av personbiler i Norge i november 2010: Volkswagen
1824
Toyota
1511
Ford
1331
Volvo
939
Peugeot
496
Skoda
666
Audi
560
BMW
647
Andre
3934
Vi legger inn tallene i regnearket og markerer hele området A1:B10 som vist til høyre ovenfor. Velg så Sett inn og deretter Sektor. Det gir dette diagrammet:
Nå klikker vi på diagrammet, velger Utforming og velger dette diagramoppsettet:
58
Sinus 2P > Tabeller og diagrammer
Da ser sektordiagrammet slik ut:
?
Oppgave 2.74 Tabellen viser salgstallene for de mest solgte bilmerkene i 2009. Volkswagen
17 874
Toyota
16 210
Ford
10 615
Volvo
9144
Peugeot
6764
Skoda
6165
Audi
6128
BMW
5155
Andre
39 563
Bruk et digitalt hjelpemiddel til å lage et sektordiagram som viser denne fordelingen.
Oppgave 2.75 Løs oppgave 2.62 digitalt.
59
Sammendrag Frekvens Frekvensen eller hyppigheten til en observasjonsverdi forteller hvor mange ganger observasjonsverdien forekommer. Relativ frekvens Den relative frekvensen til en observasjonsverdi forteller hvor stor del av observasjonene som har denne verdien. Kumulativ frekvens Den kumulative frekvensen til en observasjonsverdi forteller hvor mange observasjoner som er mindre enn eller lik denne verdien. Kurvediagram Et kurvediagram bruker vi til å vise en utvikling over tid.
Søylediagram Et søylediagram bruker vi til å sammenlikne ett eller flere sett av observasjonsverdier. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1
60
2
Sinus 2P > Tabeller og diagrammer
3
4
5
6
Sektordiagram Et sektordiagram bruker vi til å sammenlikne frekvenser til observasjonsverdier. Diagrammet er ikke egnet til å sammenlikne flere sett av observasjonsverdier.
61