– med manual for Excel og GeoGebra
Faktor Regelhefte Espen Hjardar • Jan-Erik Pedersen Matematikk for ungdomstrinnet
Bokmål
Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner
Faktor Regelhefte Bokmål
Bruken av heftet Faktor Regelhefte inneholder en oppsummering av lærestoffet fra 8. til 10. trinn. Bakerst i heftet er det en manual med aktuelle funksjoner for programmene Excel (regneark) og GeoGebra (dynamisk geometriprogram) . Regelheftet vil være en støtte i arbeidet med matematikk og ved løsning av matematikkoppgaver der en bruker Excel og GeoGebra. Heftet kan brukes på prøver, i del 2 der hjelpemidler er tillatt (i kapittelprøver, til tentamen og eksamen). Regelheftet omfatter ni emner: Tall og algebra, Likninger og ulikheter, Økonomi, Geometri, Måling og enheter, Romgeometri og massetetthet, Statistikk, Sannsynlighet og Funksjoner. I heftet er det satt av plass for egne notater og utregninger.
Lykke til med arbeidet!
Bruken av heftet
Espen Hjardar og Jan-Erik Pedersen
2
Innhold Bruken av heftet .............................2 Oppsummering Faktor 1–3 Tall og algebra ............................4 Likninger og ulikheter............... 15 Økonomi.................................... 20 Geometri ................................... 22 Målinger og enheter ................. 31 Romgeometri og massetetthet ........................ 34 Statistikk .................................... 36 Sannsynlighet............................ 40 Funksjoner................................. 42 Tabeller SI-prefikser................................. 47 Grunnleggende matematiske symboler............................... 48 Geometriske symboler .............. 49 Andre symboler......................... 50
Manual for Excel Hva er et regneark? .................. 54 Formler ...................................... 58 Formatere celler ........................ 64 Diagrammer .............................. 68 Skrive ut et regneark ................ 78 Manual for GeoGebra Menylinjer og de vanligste funksjonene .......... 82 Lineære funksjoner ................... 89 Kvadratisk funksjon................... 92 Rasjonal funksjon ...................... 93 Likninger.................................... 95 Geometri ................................. 100 Stikkordregister........................... 126
Innhold
3
Oppsummering Faktor 1–3 Tall og algebra Naturlige tall Naturlige tall er hele tall som er større enn 0. 1
2 3
4 5
6
...
Vi kan skrive naturlige tall på utvidet form. 1234 = 1 1000 + 2 100 + 3 10 + 4 1
Partall og oddetall
Oppsummering Faktor 1–3
Partall er hele tall som er delelige med 2.
4
2
4 6
8 10 ...
Oddetall er hele tall som ikke er delelige med 2. 1 3 5 7 9 11 ...
Primtall og sammensatte tall Primtall er naturlige tall som bare er delelige med 1 og seg selv. 2
3 5
7 11 13
17 ...
Sammensatte tall kan skrives som et produkt av naturlige tall som er større enn 1. 42 = 2 3 7
Faktorisering Når vi faktoriserer et tall, skriver vi tallet som et produkt med flere faktorer. 24 = 3 8
24 = 4 6
24 = 2 12
Primtallsfaktorisering: 24 = 2 2 2 3
Alle faktorene er primtall
Desimaltall Et desimaltall består av et helt tall og desimaler. Tallet 64,32 har to desimaler.
6 4,3 2
Den plassen et siffer har i et tall, er avgjørende for verdien til sifferet.
De fire regneartene Addisjon Ledd + ledd = sum
Subtraksjon Ledd – ledd = differanse
Multiplikasjon Faktor . faktor = produkt
Divisjon Dividend : divisor = kvotient
Potenser Når vi multipliserer tall eller variabler som er like store, kan vi skrive dem som en potens. 5 5 5 5 5 5 = 56 x x x = x3 Når vi multipliserer potenser som har samme grunntall, blir svaret en potens med det samme grunntallet. Eksponenten i svaret blir summen av eksponentene i de potensene vi multipliserer. 23 24 = 23 + 4 = 27 x3 x2 = x3 + 2 = x5 Når vi dividerer potenser som har samme grunntall, blir svaret en potens med det samme grunntallet. Eksponenten i svaret blir eksponenten i telleren minus eksponenten i nevneren. 56 : 52 =
56 = 56 -- 2 = 54 52
x6 : x2 =
x6 = x 6 -- 2 = x 4 x2
Oppsummering Faktor 1–3
5
Tall på standardform og på utvidet form Vi kan skrive naturlige tall og desimaltall på standardform. 250 000 =
2,5 105
Vanlig form
Standardform
0,0025 =
2,5 10 3
Vanlig form
Standardform
Vi kan skrive naturlige tall og desimaltall på utvidet form. 24 537 = 2 10 000 + 4 1000 + 5 100 + 3 10 + 7 1 = 2 104 + 4 103 + 5 102 + 3 101 + 7 100
Oppsummering Faktor 1–3
385,39 = 3 100 + 8 10 + 5 1 + 3 0,1 + 9 0,01
6
= 3 102 + 8 101 + 5 100 + 3 10 1 + 9 10 2
Kvadrattall Hvis x er et helt tall, kaller vi x 2 et kvadrattall. 5 5 = 52 = 25 25 er et kvadrattall.
Kvadratrot Kvadratroten av et tall x er det positive tallet som multiplisert med seg selv gir tallet x. pffiffiffiffiffi 25 = 5 fordi 5 5 = 25
Trekanttall Vi får trekanttall ved å summere naturlige tall fortløpende fra 1 og oppover. 1+2=3 1+2+3=6
3 er et trekanttall 6 er et trekanttall
Negative tall Negative tall er alle tall som er mindre enn 0. –4
–3
–2
–1
Negative tall
0
1
2
3
4
Positive tall
Regning med fortegnstall Å legge til et negativt tall er det samme som å trekke fra det tilsvarende positive tallet. 10 + ð--7Þ = 10 -- 7 = 3 Å trekke fra et negativt tall er det samme som å legge til det tilsvarende positive tallet. 10 -- ð--7Þ = 10 + 7 = 17 Når vi multipliserer eller dividerer et positivt tall og et negativt tall, blir svaret et negativt tall. 25 ð--5Þ = --125 25 : ð--5Þ ¼ --5 Når vi multipliserer eller dividerer to negative tall, blir svaret et positivt tall. --25 ð--5Þ = 125 --25 : ð--5Þ = 5
Romertall I romertallsystemet bruker vi bokstaver som symboler for tall. I
V
X
L
C
D
M
1
5
10
50
100
500
1000
Når et mindre romertall står foran et større tall, trekker vi det minste tallet fra det største. Når det største tallet står først, skal du addere tallene. Vi plasserer aldri romertallene V, L eller D foran et tegn med høyere verdi.
Oppsummering Faktor 1–3
7
Totallssystemet I totallssystemet bruker vi bare sifrene 0 og 1. Plassverdiene i dette tallsystemet er potenser av 2 (1, 2, 4, 8, osv.).
11011 16 (24)
8 (23)
4 (22)
2 (21)
1 (20)
Tallet 11011 i totallssystemet er 11011 = 1 24 + 1 23 + 0 22 + 1 2 + 1 1 = 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 27
Oppsummering Faktor 1–3
i titallssystemet.
8
Brøk En brøk består av teller, nevner og brøkstrek. Brøkstreken er det samme som divisjonstegn.
3 4
Teller Brøkstrek Nevner
Hvis telleren og nevneren er like store, er brøken lik 1. 5 =1 5
Uekte brøk og blandet tall 3 2
=
1
1 2
Uekte brøk Blandet tall
Utviding og forkorting av brøk Når vi utvider en brøk, multipliserer vi telleren og nevneren med det samme tallet. 1 1 3 3 = = 5 5 3 15 Når vi forkorter en brøk, dividerer vi telleren og nevneren med det samme tallet. 4 4:4 1 = = 16 16 : 4 4
Addisjon og subtraksjon av brøker Når vi skal addere eller subtrahere to eller flere brøker som har like nevnere, legger vi sammen tellerne og beholder nevneren. 7 5 7 -- 5 2 -- = = 9 9 9 9 Hvis brøkene ikke har lik nevner, må vi først finne fellesnevner. 2 1 2 4 1 3 8 3 8 + 3 11 + = + = + = = 3 4 3 4 4 3 12 12 12 12
Brøk og desimaltall En brøk kan skrives som desimaltall. Da dividerer vi telleren med nevneren. 3 = 3 : 5 = 0,6 5 Alle desimaltall kan skrives som en brøk med nevneren 10, 100, 1000 osv. 0,12 =
12 100
Mange brøker kan ikke skrives som et eksakt desimaltall. Da runder vi av til ønsket antall desimaler. 2 = 0,6666 . . . 0,67 3
Oppsummering Faktor 1–3
9
Brøk og multiplikasjon Vi multipliserer et helt tall med en brøk ved å multiplisere det hele tallet med telleren. 4
2 4 2 8 2 = = =2 3 3 3 3
Vi multipliserer to eller flere brøker med hverandre ved å multiplisere telleren med telleren og nevneren med nevneren. 1 2 1 2 2 = = 3 3 3 3 9
Brøk og divisjon Vi dividerer en brøk med en brøk ved å multiplisere med den omvendte brøken.
Oppsummering Faktor 1–3
4 1 4 2 8 : = = 9 2 9 1 9
10
4:
2 4 3 12 = = =6 3 1 2 2
Forhold Forholdet mellom to tall finner vi ved å dividere tallene med hverandre. Forholdet mellom 5 og 25 er 5 : 25 =
1 =1:5 5
Prosent Prosent betyr hundredeler. 5%=
5 100
Sammenhengen mellom prosent, brøk og desimaltall 5% =
5 = 0,05 100
Prosent Brøk Desimaltall
Prosenten av et tall Når vi skal regne ut prosenten av et tall, gjør vi om prosenten til desimaltall og multipliserer med tallet. 5 % av 500 kr er 0,05 500 kr = 25 kr
Å finne prosenten Vi finner ut hvor mange prosent 40 kr er av 250 kr slik: 40 kr = 0,16 250 kr 0,16 =
16 100
Det betyr at 0,16 = 16 % 40 kr er 16 % av 250 kr
Promille Promille betyr tusendeler. Vi regner med promille på samme måte som vi regner med prosent. 5‰=
5 = 0,005 1000
5 ‰ av 12 000 kr er 0,005 12 000 kr = 60 kr
Utregning av talluttrykk Når det er flere regnearter i et talluttrykk, regner vi i denne rekkefølgen: 1 2 3
parenteser multiplikasjon og divisjon addisjon og subtraksjon
5 + 3 (4 + 2) = 5 + 3 6 = 5 + 18 = 23
Bokstavuttrykk Regneuttrykk som inneholder bokstaver, kaller vi for algebraiske uttrykk eller bokstavuttrykk. Bokstaven står da i stedet for et hvilket som helst tall. Bokstaven kaller vi en variabel. A = g h O = 2a + 2b
Oppsummering Faktor 1–3
11
Sette inn tall i bokstavuttrykk Vi finner verdien av et bokstavuttrykk ved å sette inn tall for variablene og regne ut uttrykket som et talluttrykk. Hvis vi setter a = 4 og b = 6 inn i bokstavuttrykket 2a + 2b får vi: 2a + 2b = 2 4 + 2 6 = 8 + 12 = 20
Regning med bokstavuttrykk
Oppsummering Faktor 1–3
Når vi regner med bokstavuttrykk, kan vi bare trekke sammen ledd som har den samme variabelen. Hvis vi skal multiplisere eller dividere ulike bokstavledd med hverandre, multipliserer eller dividerer vi tall med tall og bokstavledd med bokstavledd.
12
5a + 3b + 2a -- 2b = 7a + b 3x 5y = 15xy 3a2 2a3 = 6a5 4x 7 : 2x 3 = 2x 4
Bokstavuttrykk og parenteser Når vi løser opp en parentes med plusstegn foran, endrer vi ikke fortegnene inne i parentesen. 4x + ð2x + 3Þ = 4x + 2x + 3 = 6x + 3 Vi løser opp en parentes med minustegn foran ved å endre fortegnene på alle leddene inne i parentesen. 6x -- ð3x -- yÞ = 6x -- 3x + y = 3x + y Hvis det står et tall eller et bokstavuttrykk foran parentesen, multipliserer vi tallet eller bokstavuttrykket med alle leddene inne i parentesen. Hvis tallet eller bokstavuttrykket er negativt, må vi bytte fortegn på alle leddene inne i parentesen. 2xð5 + 7Þ = 2x 5 + 2x 7 = 10x + 14x = 24x --2xð5 -- 7Þ = --2x 5 -- 2x ð--7Þ = --10x + 14x = 4x
Multiplikasjon av to parentesuttrykk Når vi multipliserer to parentesuttrykk med hverandre, multipliserer vi hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre parentesen. ða + 2Þ ð2a -- 3Þ = a 2a + a ð -- 3Þ + 2 2a + 2 ð -- 3Þ = 2a2 -- 3a + 4a -- 6 = 2a2 + a -- 6
Kvadratsetningene Første kvadratsetning: Andre kvadratsetning: Tredje kvadratsetning:
ða + bÞ2 = a2 + 2ab + b2 ða -- bÞ2 = a2 -- 2ab + b2 ða + bÞða -- bÞ = a2 -- b2
Faktorisering Vi kan faktorisere variabeluttrykk. Tallene skrives da som produkt av primtallsfaktorer. 15x 2 y = 3 5 x x y Vi faktoriserer før vi forkorter en brøk. 4x 2 y 2 2 x x y 2x = = 6xy 2 3 x y 3 Vi kan bruke tredje kvadratsetning til å faktorisere en differanse mellom to kvadrater. Da bruker vi setningen slik: a2 -- b2 = ða + bÞða -- bÞ
Sammentrekking av brøkuttrykk med ett ledd i nevner Vi kan trekke sammen brøkuttrykk som inneholder bokstavuttrykk. 3 5 2 + -= 4x 6x 3x 3 3 5 2 2 4 + -= 4x 3 6x 2 3x 4 9 10 8 + -= 12x 12x 12x 11 12x
Fellesnevner er 12x.
Oppsummering Faktor 1–3
13
Sammentrekking av brøkuttrykk med flere ledd i nevner a+1 2a + 2 + = 2a + 2 3a + 3 a+1 2a + 2 + = 2ða + 1Þ 3ða + 1Þ ða + 1Þ 3 ð2a + 2Þ 2 + = 2ða + 1Þ 3 3ða + 1Þ 2 3a + 3 + 4a + 4 = 6ða + 1Þ 7a + 7 = 6ða + 1Þ 7ða + 1Þ = 6ða + 1Þ
Oppsummering Faktor 1–3
7 6
14
Egne notater:
Fellesnevner er 6ða + 1Þ.
Skjermbildet og de vanligste funksjonene Angreknapp
Verktøylinje der aktivt verktøy er markert med blått omriss
Algebrafelt Innstillinger for akser og rutenett Grafikkfelt
Inntastingsfelt
Husk at du kan alltid angre handlinger ved hjelp av Ctrl + z.
(angreknappen) eller
Verktøylinja Verktøylinja inneholder mange knapper. Under hver knapp vil du få fram flere verktøy hvis du trykker på den lille pilen nederst i høyre hjørne. Når du holder musepekeren over et verktøy, kommer det fram en hjelpetekst.
Vi skal nå komme inn på de vanligste funksjonene som ligger under hvert verktøy på verktøylinja. Det fins mange flere verktøy enn de vi tar for oss her. Flytt Lar deg ta tak i et objekt og flytte det.
GeoGebra
83
Punkt Lar deg opprette et nytt valgfritt punkt.
Lar deg opprette et skjĂŚringspunkt. Lar deg opprette et midtpunkt eller sentrum i en regulĂŚr figur.
Linjer og linjestykker Lar deg opprette en linje gjennom to punkter. Lar deg opprette et linjestykke mellom to punkter. Lar deg opprette et linjestykke med gitt lengde. Lar deg opprette en strĂĽle fra ett punkt gjennom et annet punkt. Lar deg opprette en vektor (pil) fra ett punkt til et annet punkt.
GeoGebra
Normaler, halveringsstrĂĽler og parallelle linjer
84
Lar deg opprette normalen (90 ) mellom et punkt og en linje. Lar deg opprette en parallell linje gjennom et punkt. Lar deg opprette en midtnormal mellom to punkter. Lar deg halvere en vinkel.
Mangekanter Lar deg opprette en irregulær mangekant. Lar deg opprette en regulær mangekant. Lar deg opprette en mangekant som ikke kan forandres.
Sirkler, sirkelbuer og sirkelsektorer Lar deg opprette en sirkel ved hjelp av to punkter. Lar deg opprette en sirkel med mål (radius i cm). Lar deg opprette en sirkel ved hjelp av tre punkter.
Vinkler og størrelser Lar deg opprette en vinkel ved hjelp av tre punkter. Lar deg opprette en vinkel med angitt størrelse. Lar deg måle en avstand (cm). Lar deg måle et areal (cm2). Lar deg måle stigningen til en funksjon.
GeoGebra
85
Speiling og rotasjon Lar deg speile et objekt om en linje. Lar deg speile et objekt om et punkt. Lar deg rotere et objekt rundt et punkt.
Justeringer Lar deg flytte grafikkfeltet og justere aksene ved ü dra i dem. Hold musepekeren over aksen du vil justere. Da kommer det opp en dobbeltpil. Hold sü venstre museknapp inne og dra aksen i ønsket retning.
Husk at du kan alltid angre handlinger ved hjelp av eller Ctrl + z.
Konstruksjonsforklaring
GeoGebra
Velg Konstruksjonsforklaring fra Vis-menyen.
86
(angreknappen)
Konstruksjonsforklaringsfeltet vil vise seg.
Juster feltet i bredde slik at alt vises. Trykk på eksporter-knappen under Konstruksjonsforklaring. Skriv inn «Tittel» og «Laget av» og trykk på Eksporter.
Konstruksjonsforklaringen vil nå være tilgjengelig fra Utskrifts-menyen, se Utskrift. Velg «konstruksjonsforklaring» først etter at du er ferdig med konstruksjonen.
GeoGebra
87
Utskrift Velg Forhåndsvis utskrift fra Fil-menyen. Her velger du hva som skal skrives ut (Algebrafelt, Grafikkfelt, Konstruksjonsforklaring osv.)
Her velger du stående eller liggende papirretning.
Her justerer du størrelsen på det du skal skrive ut.
Husk at du kan angre handlinger ved hjelp av eller Ctrl + z.
GeoGebra
Egne notater:
88
(angreknappen) Se side 87 om hvordan du eksporterer konstruksjonsforklaringen slik at den vises i forhåndsvisningen for utskrift!
GeoGebra 2 Lineære funksjoner Velg Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved siden av Grafikkfelt 1 og merk av for Akser og Rutenett. Eksempel
Vis funksjonen y = 3x -- 2 i et koordinatsystem.
NB! Bruk punktum (.) og ikke komma (,) om du skal skrive desimaltall.
Løsning Skriv inn funksjonsuttrykket «y=3x–2» i inntastingsfeltet. Du kan også skrive inn «f(x)=3x–2».
Trykk Enter (linjeskift) og funksjonen vises. Resultat
Bruk
-verktøyet for å justere grafikkfeltet og aksene.
Velg til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja.
GeoGebra
89
To lineære funksjoner og merking av koordinatene til skjæringspunktet Velg Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved siden av Grafikkfelt 1 og merk av for Akser og Rutenett. Eksempel
Vis funksjonene f ðxÞ = 3x -- 2 og gðxÞ = --x + 6 i et koordinatsystem, og finn koordinatene for skjæringspunktet mellom de to grafene. Løsning Skriv inn funksjonsuttrykket «f(x)=3x–2» i inntastingsfeltet. Trykk Enter (linjeskift). Skriv deretter inn «g(x)=–x+6» og trykk Enter (linjeskift). Velg så Skjæring mellom to objekt.
Klikk på skjæringspunktet mellom de to grafene. Merk at skjæringspunktet A får koordinatene (2, 4) i algebrafeltet.
GeoGebra
Velg så Vektor mellom to punkt.
90
Punkt A: Skjæringpunkt mellom g.f
Opprett en vektor fra A (skjæringspunktet) til andreaksen. Den skal treffe andreaksen i 4. Opprett så en vektor fra A (skjæringspunktet) til førsteaksen. Den skal treffe førsteaksen i 2. Velg deretter ABC-verktøyet fra menyen og skriv inn teksten: «De to grafene skjærer hverandre i punkt A. Punkt A har koordinatene (2, 4).» Resultat
Bruk
-verktøyet for å justere grafikkfeltet og aksene.
Velg til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. Egne notater:
GeoGebra
91
Kvadratisk funksjon Velg Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved siden av Grafikkfelt 1 og merk av for Akser og Rutenett. Eksempel
Vis funksjonen f ðxÞ =
1 2 x -- 4 2
i et koordinatsystem.
Husk punktum og ikke komma ved desimaltall!
GeoGebra bruker ^ som regnetegn for potens.
Løsning Skriv inn «f(x)=0.5x^2–4» i inntastningsfeltet og trykk Enter (linjeskift).
GeoGebra
Resultat
92
Bruk
-verktøyet for å justere grafikkfeltet og aksene.
Velg til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja.