Qed 1 7 bind1 bla i bok by Cappelen Damm

Del I Matematikk – skolefag og kulturarv inneholder sju kapitler: Tall, Algebra, Funksjoner, Geometri og måling, Bevis og argumentasjon, Statistikk og Sannsynlighetsrening. Matematikken knyttes hele tiden til elevene du skal møte, og jobben du skal gjøre som matematikklærer.

Hinna, Rinvold og Gustavsen

QED 1-7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen – bind 1, dekker de 30 obligatoriske studiepoengene i matematikk rettet mot undervisning på 1.-7. trinn. Boka er delt inn i to hoveddeler, en matematikkfaglig og en matematikkdidaktisk del.

Del II Eleven – skapende sosialt individ i møtet med samfunn og kultur har ﬁre kapitler: Læring og læringsteorier, Dagens grunnskole, Didaktiske verktøy og Språk, representasjon og kommunikasjon. Denne delen tar også opp hva lærerkompetanse i matematikk kan være, og hvilke didaktiske tilnærminger man kan ha til undervisning i matematikk.

Kristin Ran Choi Hinna er høgskolelektor ved Høgskolen i Bergen, Avdeling for lærerutdanning. Hun underviser i førskolelærerutdanningen og i grunnskolelærerutdanningen. Reinert A. Rinvold er førsteamanuensis i matematikk ved Høgskolen i Hedmark, Avdeling for lærerutdanning og naturvitenskap. Han underviser i grunnskolelærerutdanningen. Trond Stølen Gustavsen er professor i matematikk ved Høgskolen i Buskerud, Avdeling for lærerutdanning. Han underviser i grunnskolelærerutdanningen.

ISBN 978-82-7634-888-0

9 788276 348880

QED 1-7

Både faget og didaktikken er knyttet opp mot LK06. Boka viser hvordan både ulike deler av matematikken og teorier om læring og undervisning henger sammen. Temaer som bruk av digitale verktøy, visualisering, bevis og argumentasjon og tilpasset opplæring er gjennomgående, men tas også opp særskilt i kapitler eller delkapitler. Flere temaer i denne boka tas grundigere opp enn det som har vært vanlig i litteratur for lærerutdanningen, blant annet visualisering, bevis og argumentasjon, det ﬂerkulturelle aspektet ved matematikklæring og kognitive kart.

Bind 1

KRISTIN RAN CHOI HINNA REINERT A. RINVOLD TROND STØLEN GUSTAVSEN

QED 1-7 MATEMATIKK FOR GRUNNSKOLELÆRERUTDANNINGEN Bind 1

0009 InnholdTOC.fm Page 5 Monday, February 27, 2012 8:55 AM

Innhold Velkommen til studiet ............................................................................................ Oppbygning ................................................................................................................ Sammenheng og helhet ........................................................................................... Pedagogisk struktur ................................................................................................. Lykke til med et spennende kurs ...........................................................................

13 15 16 17 19

DEL I

MATEMATIKK – SKOLEFAG OG KULTURARV

Kapittel 1

Tall ............................................................................................................................... 1.1 Hva er tall? ....................................................................................................... 1.2 Et historisk blikk på tallsystemets utvikling ............................................. 1.2.1 Additive tallsystemer ....................................................................... 1.2.2 Siffersystemer .................................................................................... 1.2.3 Multiplikative systemer ................................................................... 1.2.4 Posisjonssystemet ............................................................................ 1.2.5 Titallsystemet og andre baser ........................................................ 1.2.6 Posisjonssystemer med andre baser ............................................ 1.3 Det grunnleggende tallbegrepet ................................................................. 1.3.1 Kardinaltall .......................................................................................... 1.3.2 Invarianser for antall ......................................................................... 1.3.3 Telling og antallsbegrepet ............................................................... 1.3.4 Forutsetninger for antallsbegrepet ............................................... 1.3.5 Ordinaltall ............................................................................................ 1.3.6 Læring av tallene 1–9 ........................................................................ 1.3.7 Læring av posisjonssystemet ......................................................... 1.4 Ulike aspekter ved tall ................................................................................... 1.4.1 Tall som måltall .................................................................................. 1.4.2 Tall som identifikasjon ..................................................................... 1.4.3 Tall som mønstre ............................................................................... 1.5 Regneartene ..................................................................................................... 1.5.1 Forutsetninger for å kunne utføre regneoperasjoner ............... 1.5.2 Addisjon ............................................................................................... 1.5.3 Subtraksjon ......................................................................................... 1.5.4 Multiplikasjon .....................................................................................

25 25 30 32 34 35 37 40 44 52 52 55 56 59 59 61 62 66 67 68 69 72 73 74 95 102

0009 InnholdTOC.fm Page 6 Monday, February 27, 2012 8:55 AM

•

INNHOLD

1.5.5 Divisjon ................................................................................................ 1.5.6 Hoderegning ....................................................................................... Brøk .................................................................................................................... 1.6.1 Historisk tilbakeblikk på brøkbegrepet ........................................ 1.6.2 Hva er brøk? ........................................................................................ 1.6.3 Likeverdige brøker og addisjon ...................................................... 1.6.4 Likeverdige brøker og sammenligning ......................................... 1.6.5 Multiplikasjon av brøk ...................................................................... 1.6.6 Divisjon med brøk .............................................................................. Desimaltall og prosent .................................................................................. 1.7.1 Prosent ................................................................................................. 1.7.2 Overgang mellom desimaltall og brøk ......................................... Utvidelser av tallområdet .............................................................................

122 133 138 141 142 148 155 160 164 170 176 178 183

Kapittel 2

Algebra ....................................................................................................................... 2.1 Hva er algebra? ............................................................................................... 2.2 Begynneropplæring i algebra ....................................................................... 2.3 Tidlig algebra og prealgebra ........................................................................ 2.3.1 Geometri .............................................................................................. 2.3.2 Konvensjoner i matematikken ........................................................ 2.3.3 Regneark i algebralæring ................................................................. 2.4 Tallfølger og tallmønstre .............................................................................. 2.4.1 Visuelle tallmønstre .......................................................................... 2.4.2 Rekursive og eksplisitte formler ..................................................... 2.5 Regning med parenteser ............................................................................... 2.6 Negative tall ..................................................................................................... 2.7 Likhetstegnet og ligninger ............................................................................ 2.7.1 Likhet mellom tall .............................................................................. 2.7.2 Ligninger med én ukjent ................................................................... 2.7.3 Likhet mellom uttrykk ....................................................................... 2.7.4 Problemløsning og ligninger ........................................................... 2.7.5 Lineære ligningssystemer ............................................................... 2.8 Lineære ulikheter ............................................................................................ 2.9 Primtall og delelighet ..................................................................................... 2.9.1 Grunnleggende delelighet ............................................................... 2.9.2 Delelighetsregler ............................................................................... 2.9.3 Faktorisering .......................................................................................

189 189 195 197 202 204 205 208 209 217 226 231 238 238 241 249 250 254 268 272 274 278 283

Kapittel 3

Funksjoner ................................................................................................................. 3.1 Koordinatsystemer ........................................................................................ 3.2 Samvariasjon og grafiske fremstillinger ....................................................

293 293 299

1.6

1.7

1.8

0009 InnholdTOC.fm Page 7 Monday, February 27, 2012 8:55 AM

INNHOLD

3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10

Kapittel 4

•

GeoGebra ......................................................................................................... Proporsjonalitet .............................................................................................. Omvendt proporsjonalitet ............................................................................ Rette linjer ........................................................................................................ Funksjonsbegrepet ......................................................................................... Funksjonssammenhenger på barnetrinnet .............................................. Polynomfunksjoner ........................................................................................ Potenser og eksponentialfunksjoner ......................................................... 3.10.1 Grunnleggende om potenser .......................................................... 3.10.2 Negative eksponenter ...................................................................... 3.10.3 Standardform for tall ........................................................................ 3.10.4 Eksponentialfunksjoner .................................................................... 3.10.5 Utvidelse av potensbegrepet .......................................................... 3.10.6 Eksponentialfunksjonen for ulike grunntall .................................

302 306 313 317 332 344 348 361 361 371 374 378 379 382

Geometri og måling ................................................................................................. 4.1 Kort om geometriens historie ...................................................................... 4.2 Plane geometriske figurer ............................................................................ 4.2.1 Punkter og linjer ................................................................................. 4.2.2 Vinkler .................................................................................................. 4.2.3 Kurver, sirkler og områder ............................................................... 4.2.4 Konvekse områder ............................................................................ 4.2.5 Mangekanter ...................................................................................... 4.3 Tredimensjonale geometriske figurer ....................................................... 4.3.1 Polyedre ............................................................................................... 4.4 Van Hiele-modellen ....................................................................................... 4.4.1 Nivå 1 – Visualisering ........................................................................ 4.4.2 Nivå 2 – Analyse ................................................................................ 4.4.3 Nivå 3 – Abstraksjon og uformell deduksjon .............................. 4.4.4 Nivå 4 – Deduksjon ........................................................................... 4.4.5 Mer om van Hiele-modellen ........................................................... 4.4.6 Van Hiele-modellen, elever og lærere i norsk skole ................. 4.5 Den tidlige geometriopplæringen .............................................................. 4.6 Måling ............................................................................................................... 4.6.1 Måleenheter ....................................................................................... 4.6.2 Hva er måling? ................................................................................... 4.6.3 Måling i skolen ................................................................................... 4.6.4 Måling av lengde ................................................................................ 4.6.5 Måling av areal ................................................................................... 4.6.6 Måling av volum ................................................................................

385 386 388 388 391 393 397 399 408 410 418 418 420 422 423 423 424 425 431 432 433 434 434 442 446

0009 InnholdTOC.fm Page 8 Monday, February 27, 2012 8:55 AM

•

INNHOLD

4.6.7 Måling av tid ....................................................................................... 4.6.8 Måleusikkerhet .................................................................................. 4.6.9 Avrundning og usikkerhet ............................................................... Areal og omkrets ............................................................................................ 4.7.1 Areal av viktige plane figurer .......................................................... 4.7.2 Omkrets av mangekanter og andre figurer ................................. 4.7.3 Areal og omkrets av en sirkel ......................................................... Volum og overflate ......................................................................................... 4.8.1 Overflateareal til polyeder, sylinder og kjegle ............................ 4.8.2 Volum til polyeder, sylinder og kjegle .......................................... 4.8.3 Overflate og volum av kule .............................................................. Konstruksjon .................................................................................................... 4.9.1 Konstruksjon med passer og linjal i grunnskolen ...................... 4.9.2 Konstruksjon i GeoGebra ................................................................ Kongruensavbildninger ................................................................................. 4.10.1 Vektorer ............................................................................................... 4.10.2 De fire typer av kongruensavbildninger ....................................... Symmetri .......................................................................................................... Kongruenssetningene ................................................................................... Formlikhet ........................................................................................................ Pytagoras’ setning .......................................................................................... Papirbretting .................................................................................................... 4.15.1 Litt om origamiens historie ............................................................. 4.15.2 Origami i skolen ................................................................................. 4.15.3 Regulære mangekanter ved hjelp av origami ............................. 4.15.4 Geometriske figurer og symmetrier ved hjelp av origami ....... 4.15.5 Origami og halvering ........................................................................ Perspektivtegning ........................................................................................... Koordinatsystemer ........................................................................................

450 450 452 456 456 458 459 462 463 467 469 471 472 482 487 489 491 504 511 517 527 532 533 535 538 540 543 547 551

Bevis og argumentasjon ........................................................................................ 5.1 Hensikten med og sikkerheten til bevis .................................................... 5.2 Hva er matematisk argumentasjon? ......................................................... 5.3 Bevis av generelle påstander ....................................................................... 5.4 Intuitive bevis .................................................................................................. 5.5 Visuelle bevis ................................................................................................... 5.6 Algebraiske og formelle bevis ..................................................................... 5.7 Generiske bevis ............................................................................................... 5.8 Implikasjoner ................................................................................................... 5.9 Bevis av at noe er umulig ..............................................................................

557 558 559 561 565 568 570 572 575 579

4.7

4.8

4.9

4.10

4.11 4.12 4.13 4.14 4.15

4.16 4.17 Kapittel 5

0009 InnholdTOC.fm Page 9 Monday, February 27, 2012 8:55 AM

INNHOLD

•

5.10 Bevisdidaktikk .................................................................................................. 5.11 Bevis i geometri ............................................................................................... 5.11.1 Grunnleggende geometriske bevis ............................................... 5.11.2 Aksiomer ............................................................................................. 5.11.3 Deduktive geometriske bevis .........................................................

582 584 585 588 591

Kapittel 6

Beskrivende statistikk ........................................................................................... 6.1 Tabeller og diagrammer ............................................................................... 6.1.1 Diagrammer i regneark .................................................................... 6.2 Statistikk på småskoletrinnet ...................................................................... 6.3 Sentralmål ........................................................................................................ 6.3.1 Middelverdi ......................................................................................... 6.3.2 Typetall ................................................................................................ 6.3.3 Median ................................................................................................. 6.4 Spredningsmål ................................................................................................ 6.4.1 Variasjonsbredde .............................................................................. 6.4.2 Kvartilbredde ...................................................................................... 6.4.3 Normalfordeling og standardavvik ................................................ 6.4.4 Misbruk av statistikk .........................................................................

595 597 604 611 614 614 616 617 622 623 624 630 635

Kapittel 7

Sannsynlighet ........................................................................................................... 7.1 Sannsynlighetsbegrepet ............................................................................... 7.1.1 Teoretisk og empirisk sannsynlighet ............................................ 7.1.2 Subjektiv sannsynlighet ................................................................... 7.1.3 Tilfeldige forsøk ................................................................................. 7.1.4 Empirisk sannsynlighet og store talls lov ..................................... 7.1.5 Utfall med forskjellig sannsynlighet .............................................. 7.2 Sannsynlighetsmodeller ............................................................................... 7.2.1 Realistiske og urealistiske sannsynlighetsmodeller .................. 7.2.2 Simulering av tilfeldige forsøk ........................................................ 7.3 Erfaring, språk og læring ............................................................................... 7.4 Sammensatte forsøk ...................................................................................... 7.4.1 Multiplikasjonssetningen for sammensatte forsøk .................. 7.4.2 Komplement og komplementære hendelser .............................. 7.5 Sannsynlighetsregningens historie ............................................................ 7.6 Mengder og sannsynlighet ........................................................................... 7.7 Kombinatorikk ................................................................................................. 7.7.1 Rekkefølger ......................................................................................... 7.7.2 Ordnede utvalg med tilbakelegging .............................................. 7.7.3 Ordnede utvalg uten tilbakelegging .............................................. 7.7.4 Uordnede utvalg uten tilbakelegging ............................................

639 640 641 645 647 651 655 661 672 675 676 682 682 690 695 697 705 707 710 712 714

0009 InnholdTOC.fm Page 10 Monday, February 27, 2012 8:55 AM

•

INNHOLD

7.8 Binomisk sannsynlighetsfordeling ............................................................. 7.9 Hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling ..............................................

719 724

Litteratur ....................................................................................................................

729

ELEVEN – SKAPENDE SOSIALT INDIVID I MØTE MED SAMFUNN OG KULTUR .................................................

735

Kapittel 1

Læring og læringsteorier ....................................................................................... 1.1 Innledning – Et brev til leseren .................................................................... 1.2 Noen viktige spørsmål til deg som lærer .................................................. 1.3 Læreren – og lærerens pedagogiske plattform ....................................... 1.3.1 Generell pedagogisk plattform ....................................................... 1.3.2 Matematikkdidaktikk som del av den pedagogiske plattformen 1.3.3 Fagsynet i Kunnskapsløftet (LK06) .............................................. 1.4 Læring og teorier om læring ........................................................................ 1.4.1 Definisjoner av begrepet læring ..................................................... 1.4.2 Om læringsteorier ............................................................................. 1.4.3 Behaviorisme – læring som overføring (flaskepåfylling) ......... 1.4.4 Kognitivisme – læring som tilegnelse ........................................... 1.4.5 Sosiokulturelt perspektiv – læring som deltakelse .................... 1.4.6 Oppsummering om læringsteorier ............................................... 1.5 Den lærende .................................................................................................... 1.5.1 Forutsetninger for læring – Fornuft og følelser ........................... 1.5.2 Barn lærer på forskjellige måter ..................................................... 1.5.3 Oppsummering og avslutning ........................................................

737 737 741 744 746 751 752 757 757 760 762 770 783 805 806 808 811 814

Kapittel 2

Dagens grunnskole ................................................................................................. 2.1 Læreplanhistorie ............................................................................................. 2.2 Gjeldende læreplan og rammeverk ............................................................ 2.2.1 Generell del ......................................................................................... 2.2.2 Prinsipper for opplæringen ............................................................. 2.2.3 Grunnleggende ferdigheter ............................................................. 2.2.4 Matematisk kompetanse ................................................................. 2.2.5 Læreplanen i matematikk ................................................................ 2.2.6 Å kunne regne i andre fag ................................................................ 2.3 Matematikklærerens kompetanse ............................................................. 2.3.1 Matematikkfaglig kompetanse ...................................................... 2.3.2 Øvrig matematikklærerkompetanse ............................................

815 816 817 818 822 824 828 841 858 872 873 874

DEL II

0009 InnholdTOC.fm Page 11 Monday, February 27, 2012 8:55 AM

INNHOLD

•

Kapittel 3

Didaktiske verktøy .................................................................................................. 3.1 Kognitive kart .................................................................................................. 3.2 Diagnostisk undervisning ............................................................................. 3.2.1 Misoppfatninger ................................................................................ 3.2.2 Diagnostiske oppgaver .................................................................... 3.2.3 Oppfølging av diagnostiske oppgaver .......................................... 3.3 Tilpasset opplæring ....................................................................................... 3.3.1 Elever som sliter med matematikken ........................................... 3.3.2 Elever som lykkes med matematikk .............................................. 3.4 Undersøkelseslandskap ................................................................................ 3.4.1 Skovsmoses oppgavetyper ............................................................. 3.4.2 Didaktiske refleksjoner .................................................................... 3.5 Matematisk problemløsning ....................................................................... 3.6 Digitale verktøy ............................................................................................... 3.6.1 GeoGebra ............................................................................................ 3.6.2 Regneark .............................................................................................. 3.6.3 Å skrive formler i tekstbehandling ................................................ 3.6.4 Nettressurser for matematikkundervisning ................................ 3.7 Læringsarenaer ............................................................................................... 3.7.1 Valg av læringsarena ........................................................................ 3.7.2 Stasjonsundervisning ....................................................................... 3.7.3 Selvstendig arbeid .............................................................................

881 882 890 891 893 895 901 902 904 908 909 913 914 919 920 925 928 929 931 933 933 934

Kapittel 4

Språk, representasjon og kommunikasjon ...................................................... 4.1 Semiotikk .......................................................................................................... 4.2 Læring av tegn og begreper ......................................................................... 4.3 Representasjoner ........................................................................................... 4.4 Visualisering og konkretisering ................................................................... 4.5 Didaktiske refleksjoner om bruk av IKT .................................................... 4.6 Det flerkulturelle aspektet ............................................................................ 4.6.1 Flerkulturelle elever .......................................................................... 4.6.2 Telling og tallord ................................................................................ 4.6.3 Ord og symboler for brøk ................................................................ 4.6.4 Tid ......................................................................................................... 4.6.5 Hvor mye eller hvor mange? ........................................................... 4.6.6 Leseretning ..........................................................................................

937 937 945 952 955 963 966 966 969 972 973 975 977

Litteratur ....................................................................................................................

979

Presentasjon av forfattere og bidragsytere ....................................................

985

Bildeliste .....................................................................................................................

986

Stikkord ......................................................................................................................

987

0010 Innledning.fm Page 13 Monday, February 27, 2012 8:56 AM

Velkommen til studiet I grunnskolelærerutdanningen rettet mot undervisning på 1.–7. trinn er matematikk og norsk obligatorisk, som de eneste skolefagene. Grunnleggende ferdigheter i disse fagene er sentrale for elevenes læring også i andre fag. Det er mange grunner til matematikkfagets sentrale posisjon. Matematikk brukes overalt i samfunnet, også på mange områder hvor du ikke tenker over det. All moderne teknologi hadde vært utenkelig uten matematikk. Dessuten er matematikken nødvendig for å forstå verden rundt oss og for å delta i demokratiet. Derfor er matematikk et av de mest sentrale skolefagene. Gode og dyktige matematikklærere er til inspirasjon for elevene. På nettstedet «skole i praksis»1 kan du finne videoer med eksemplarisk matematikkundervisning som vi anbefaler. Det er viktig at du som matematikklærer er glad i faget og har en god faglig ballast. Mange, både voksne og barn, gir uttrykk for at matematikk er et fag som vekker mange følelser. Ber du dem fortelle hva de tenker på når de hører ordet matematikk, er det påfallende mange negativt ladede ord som blir nevnt. Ord som vanskelig, komplisert, kjedelig, frustrerende, avanserte tegn, abstrakt og pugging er noen ord som går igjen. Det er ikke slike ord vi ønsker at elevene våre skal assosiere matematikk med. Vi ønsker at du og elevene dine skal tenke på ord som spennende, givende, interessant, lek og fantasi, mønster, forståelse, vakre geometriske former, kjekt å prestere, lærerikt og viktig. Med en god faglig forankring er det lettere å improvisere, følge opp elevenes resonnementer og kunne tilrettelegge for alle elevene i klassen. Som lærer må du ha faglig innsikt for å kunne gi elever passende utfordringer slik at de opplever mestring, samtidig som de strekker seg mot ny kunnskap. Dette er en bok om matematikk og matematikklæring skrevet for å hjelpe deg til å bli en god lærer i faget. Du vil naturlig nok finne mye matematikk i boka, men vinklingen er hele tiden preget av det yrket du utdanner deg til. Mye fagstoff vil du gjenkjenne, men kanskje er det uvant at så mye oppmerksomhet rettes mot forståelse av faget. 1

http://www.skoleipraksis.no/matematikk-8-10/ (29.07.11)

0010 Innledning.fm Page 14 Monday, February 27, 2012 8:56 AM

•

VELKOMMEN TIL STUDIET

Kanskje har du tidligere sett på faget som en samling av formler som skal pugges og fremgangsmåter som skal drilles. Den russiske matematikeren Sofia Kovalevskja omtales i novellen «For mye lykke» i novellesamlingen med samme navn. Der sier hun følgende: Mange som ikke har studert matematikk, blander sammen faget med regning2 og tror at det er en tørr og gold vitenskap. I virkeligheten krever denne vitenskapen stor fantasi (Munro, 2009 s. 276).

Regning med de fire regneartene behøver ikke å være tørt, men mange forbinder dette med å følge puggede fremgangsmåter. Pugg og drill har sin plass, men dette må først komme etter at matematikken har blitt meningsfull og forståelig for elevene. Forståelse, begrunnelser, problemløsning og kreativitet er viktige sider ved matematikken som også styrker elevens ferdigheter, men som ikke minst gjør faget mer spennende og meningsfullt. Et emne som du trolig har lite erfaring med, er bevis og argumentasjon. Dette har vesentlig større plass i dagens læreplan LK06, Læreplanverket for Kunnskapsløftet (KD, 2006), enn i tidligere læreplaner. Også perspektivtegning er et nytt emne i denne planen. Emnet finnes også i kunst og håndverk og gjør det derfor naturlig å samarbeide med dette faget i skolen. Dagens læreplan legger opp til mer flerfaglighet i flere tilfeller, blant annet gjennom emnet «teknologi og design», som er et felles emne for fagene naturfag, matematikk og kunst og håndverk. Matematikk er ikke et fag du kan lære deg ved bare å følge forelesninger og gjøre de obligatoriske innleveringsoppgavene. Det kreves en solid arbeidsinnsats for å lære det. Menaikhmos var matematikklærer til Alexander den store og skal ha sagt til han: «Det finnes ingen kongevei til matematikken». 3 Selv om du forstår hva matematikklæreren din på høgskolen eller universitetet sier i timene, er det ikke sikkert at du får til oppgavene på egen hånd etterpå. Matematikklæring krever aktivitet og hardt arbeid. Dette gjelder også grunnskolematematikken, selv om du hadde en ganske bra karakter da du selv var elev. Du kan ha glemt en del, men viktigere er det at du må kunne fagstoffet på en helt annen og dypere måte som lærer enn da du var elev. Erfaringsmessig har mange studenter heller ikke gode nok ferdigheter i grunnskolematematikken når de begynner på studiet. Derfor må også teknikker øves på, og faktakunnskap pugges. 2 3

I den norske utgaven er det engelske ordet «arithmetic» oversatt med «aritmetikk». Vi har i stedet oversatt det med «regning». Det engelske ordet brukes i dagligtale om regning i de fire regneartene. http://www.snl.no/Menaikhmos (14.01.2012)

0010 Innledning.fm Page 15 Monday, February 27, 2012 8:56 AM

VELKOMMEN TIL STUDIET

•

Oppbygning Boka er delt i to hoveddeler: Del I: Matematikk – skolefag og kulturarv. Del II: Eleven – skapende sosialt individ i møte med samfunn og kultur. Del I har sju kapitler: Tall, Algebra, Funksjoner, Geometri og måling, Bevis og argumentasjon, Statistikk og Sannsynlighetsregning. Dette er den matematikkfaglige delen av boka, men matematikken knyttes hele tiden til elevene du skal møte, og jobben du skal gjøre som matematikklærer. Dessuten viser vi at matematikk er en menneskelig aktivitet som er en del av kulturen. Dette fremheves blant annet ved at vi trekker inn historiske eksempler og matematikk fra andre kulturer. Matematikk har utviklet seg over tid og til dels forskjellig i ulike kulturer. En viktig side ved faget er at det brukes eller anvendes på en rekke områder. Det gir vi eksempler på. I tillegg er matematiske beskrivelser av verden omkring oss en stor hjelp for elevene når de lærer matematikk. Faget kan ikke forstås hvis elevene utelukkende forholder seg til matematiske symboler og fremgangsmåter. Del II har fire kapitler: Læring og læringsteorier, Dagens grunnskole, Didaktiske verktøy og Språk, representasjon og kommunikasjon. I denne didaktiske delen av boka er utgangspunktet eleven og det samfunnet eleven er en del av. Vi ser på hvordan du som lærer kan tilrettelegge for elevers læring ved både å ta hensyn til eleven som individ og eleven som en del av kulturen. Eleven som skapende individ skal gjøre kunnskapen til sin egen og bruke den på skapende måter. Samtidig må eleven beherske kulturens koder og fellesarv av kunnskaper. For å sette deg i stand til dette ser vi både på ulike teoretiske verktøy og på dagens læreplanverk for grunnskolen. Selv om boka handler om undervisning og læring av matematikk, starter vi med et blikk på generell pedagogikk i lys av matematikkfaget. Dette fremhever at mye er felles i læringen av ulike fag, og at matematikk bare er ett av fagene elevene har i skolen. Dessuten skal du som lærer i matematikk ivareta elevenes personlige utvikling og møte elevene som hele mennesker. Del II avsluttes med Språk, representasjon og kommunikasjon. Her studerer vi hvordan tegn og andre kommunikasjonsformer er sentrale for læring av matematikk, og at disse tegnene er kulturavhengige. Du er vant til at matematikk har sine spesielle tegn og symboler, men vi utvider perspektivet og peker på at også kroppsspråk, visualisering og konkreter inngår i matematisk språk og tenkning.

0010 Innledning.fm Page 16 Monday, February 27, 2012 8:56 AM

•

VELKOMMEN TIL STUDIET

Kapitlene er nummerert fortløpende i hver del. Hvert kapittel har underkapitler, som igjen kan ha underkapitler. For eksempel har kapittel 2 i del II underkapitlet 2.2 (nivå 2), som igjen har underkapitlet 2.2.1 (nivå 3). I noen få tilfeller, som her, er det enda et nivå. Kapittel 2.2.1 er delt inn i 2.2.1.1 til 2.2.1.7. Kryssreferanser til samme del skrives ved å oppgi kapittelnummeret. Når vi henviser til et kapittel i den andre delen, skriver vi også del I eller del II.

Sammenheng og helhet Denne boka skal ikke leses som en roman i rekkefølge fra første til siste side. I teksten finner du mange referanser til andre deler av boka, nesten som om det skulle vært lenker på internett. På den måten ønsker vi å vise hvordan både ulike deler av matematikken og teorier om læring og undervisning (didaktikk) henger sammen. Vi knytter også både faget og didaktikken til LK06. Ved første gangs lesning er det naturlig å hoppe over de fleste kryssreferansene, men etter hvert som du kommer lenger ut i studiet, kan du styrke forståelsen din ved å slå opp stadig flere av dem. Det anbefales ikke å lese hele del I før du begynner på del II. For å få et godt lærerperspektiv på studiet bør du arbeide parallelt med faglige og didaktiske emner. Et eksempel er det didaktiske verktøyet kognitive kart som du finner i del II, kapittel 3.1. For at du skal erfare nytten av dette verktøyet, bør du bruke det i din egen læring av fagstoff. Vi ber deg om dette allerede i starten av del I, kapittel 1. Enkelte tema går igjen mange steder, blant annet bruk av IKT og digitale verktøy. I den faglige delen tas digitale verktøy opp der det naturlig inngår i det matematiske fagstoffet og læringen av det. I didaktikkdelen (del II) er digitale verktøy et delkapittel (kapittel 3.6), men temaet tas også opp i forbindelse med LK06 i kapittel 2 og visualisering i kapittel 4. Visualisering er også et gjennomgående perspektiv som du legger merke til gjennom bokas mange figurer. Det preger alle de faglige kapitlene og i noen grad også de didaktiske. Visualisering tas opp som eget tema i del II, kapittel 4.4. Et tredje gjennomgående tema er bevis og argumentasjon. Dette tas grundig opp i kapittel 5 i del I, men matematiske begrunnelser eller bevis finnes i alle de faglige kapitlene og noen steder i den didaktiske delen. Formelle algebraiske eller teoribaserte bevis er vanskelig tilgjengelig for grunnskoleelever, men visuelle bevis og annen intuitiv matematisk argumentasjon gjør det mulig å arbeide med temaet i skolen. Alle elever kan ut fra sitt nivå individuelt og i grupper argumentere muntlig og skriftlig for matematiske

0010 Innledning.fm Page 17 Monday, February 27, 2012 8:56 AM

VELKOMMEN TIL STUDIET

•

påstander og sammenhenger. Dette leder oss til et annet gjennomgående tema, nemlig tilpasset opplæring. Det tas opp spesielt i del II, kapittel 3.3. En form for tilpasning tar hensyn til at elever tenker og lærer på ulike måter. Visualisering og konkretisering er gunstig for en stor del av elevene, men bokas mange eksempler på dette er spesielt en ressurs for å ivareta elever som ikke lykkes så godt når de får tradisjonell formell undervisning. Vi gir deg også flere eksempler på hvordan elever som yter godt over gjennomsnittet, kan gis ekstra utfordringer, blant annet i kapitlet om bevis og argumentasjon. Vurdering av elever har ikke noe eget kapittel, men det er stoff om dette flere steder i del II, blant annet kapittel 3. Temaet vil bli tatt grundigere opp i bind 2.

Pedagogisk struktur Forklaringer Det brukes mye plass til forklaringer i form av tekst, bilder og figurer. Selvsagt vises det hvordan utregninger skal foretas og hvilken betydning ulike symboler har, men langt mer enn dette må forklares. Matematikk består av en rekke ideer og tenkemåter som ikke kan formidles bare ved å skrive ned matematiske symboler. I tillegg preges matematikken av en rekke begreper, som for eksempel primtall og kvadrat. Alle matematiske begreper har en definisjon, men de trenger også forklaring i tillegg til definisjonen. Historiske eksempler er et av bokas virkemidler til å formidle ideer som du ikke selv uten videre kan se fra en formell fremstilling av matematikken. I tillegg til matematikkens ideer, forklares også hvordan du kan legge til rette for elevers læring av de faglige emnene.

Eksempel Når et eksempel viser en fremgangsmåte, markeres det med «Løsning». Ofte er eksempler utgangspunktet for bokas forklaring av ideer. Ofte blir dette markert med «Diskusjon».

Definisjon Definisjoner klargjør den formelle betydningen av matematiske eller pedagogiske begreper og matematiske symboler. Teksten før og etter en defini-

0010 Innledning.fm Page 18 Monday, February 27, 2012 8:56 AM

•

VELKOMMEN TIL STUDIET

sjon trekker i tillegg frem intuisjon og ideer som er nødvendige for å bruke og forstå definisjonen.

Setning, aksiom og grunnleggende begreper Setninger er generelle sanne matematiske påstander eller rådende pedagogiske prinsipper. Aksiomer er en spesiell type matematiske setninger. De er grunnprinsipper som andre setninger kan utledes fra. Tilsvarende er grunnleggende begreper grunnlaget for alle andre definisjoner. Naturlig tall og rett linje er eksempler på grunnleggende begreper. Definisjoner, setninger, aksiomer og grunnleggende begreper er skilt ut med rammer.

Oppgaver Oppgaver kommer på slutten av delkapitler, enten på nivå 2 eller 3. Det betyr ikke nødvendigvis at du skal lese all teksten i et delkapittel før du arbeider med oppgaver. Noen få steder ber vi deg i selve teksten å tenke over noe før du fortsetter, men du bør ha en reflekterende tilnærming hele tiden. Læring av matematikk skjer gjennom en veksling mellom ulike arbeidsformer, der lesning av bokas tekst og arbeid med oppgaver er to av dem. En del oppgaver øver på teknikker og løsningsmetoder, men det er også mange oppgaver der du alene eller sammen med andre studenter blir bedt om å reflektere over, å forklare eller å lage egne eksempler, oppgaver eller undervisningsopplegg. Også du som student er et skapende individ i møtet med samfunn og kultur. Du skal både lære deg teknikker og metoder som inngår i den matematiske og pedagogiske kulturen, og selv aktivt gjøre kunnskapen til din egen og anvende den på nye situasjoner.

Undervisningen på høgskolen eller universitetet Sannsynligvis er du student på en høgskole eller et universitet når du bruker denne boka. Du møter matematikklærere og pedagogikklærere der og i tillegg praksislærere i grunnskolen. Studiestedet ditt har lagt opp et pedagogisk opplegg for deg der læreboka inngår. Kanskje er det ganske mange timer i matematikk der du studerer, men det er også mulig at deler av studiet er nettbasert. I det siste tilfellet er læreboka vanligvis svært sentral i studiet, men uansett vil lærerne dine sterkt påvirke bokas rolle. Trolig er denne boka ikke den eneste pensumlitteraturen, og kanskje er deler av boka utelatt fra pensum. Se det som en styrke at du møter alternative fremstillinger og syns-

0010 Innledning.fm Page 19 Monday, February 27, 2012 8:56 AM

VELKOMMEN TIL STUDIET

•

punkter. Umiddelbart kan det være forvirrende, men i lengden tjener du på at stoffet belyses fra flere sider. Gjennom arbeid og modning bygger du selv etter hvert opp ditt eget faglige og pedagogiske syn som du er trygg på, men som stadig brytes mot andre syn og utvikles gjennom yrket ditt som lærer.

Lykke til med et spennende kurs Foran deg har du et studium i matematikk på 30 studiepoeng, som kan være fordelt på opptil to år. Denne boka dekker hele dette kurset. Du vil kanskje oppleve frustrasjon og motgang underveis, men husk at det er ved å arbeide deg gjennom motgang at du kan oppleve virkelig fremgang. Vi håper at du får større glede og en videre oppfatning av faget, og at du bringer dette videre til elevene dine.

0100 Del1.fm Page 21 Thursday, March 1, 2012 1:01 PM

Del I

Matematikk â&#x20AC;&#x201C; skolefag og kulturarv

0100 Del1.fm Page 22 Monday, February 27, 2012 8:57 AM

atematikk er et av de sentrale fagene i skolen og har vært det lenge. Dessuten spiller matematikk en viktig rolle i samfunnet vårt, for eksempel i ingeniørfag, økonomi, forskning, offentlig forvaltning og media. Faget er nødvendig for å opprettholde et moderne teknologisk samfunn og for å forstå informasjon i media som trengs for å delta aktivt i demokratiet. Første setning under overskriften «Formålet med faget» i læreplanen LK06 er: «Matematikk er en del av vår globale kulturarv. Mennesket har til alle tider brukt og utviklet matematikk for å utforske universet, for å systematisere erfaringer og for å beskrive og forstå naturgitte og samfunnsmessige sammenhenger» (s. 23). Faget er en av pilarene i kulturen vår. Derfor er det rett og rimelig at faget har et høyt timetall og relativt høy status i skolen. Alt dette er imidlertid ikke like selvsagt for eleven. Som lærer skal du være en brobygger mellom elevens verden, matematikkfaget og samfunnets behov for matematisk kompetanse. Eleven trenger å se at skolefaget henger sammen med den virkeligheten eleven opplever, og at matematikk er nyttig både i arbeidslivet og for å fungere godt i samfunnet. For å forstå dagens matematikkfag i skolen er det nyttig å vite litt om den historiske utviklingen. Navnet på faget har ikke alltid vært som nå. I Normalplanen av 1939 (N39), heter det rekning. Faget har to mål: Ett innenfor tall og ett innenfor geometri (former og størrelser) (s. 136). De andre skolefagene var kristendomskunnskap, norsk, heimstadlære, geografi, naturfag, skriving, tegning, sang, handarbeid, kroppsøving og engelsk. I læreplanen for forsøk med 9-årig skole fra 1960 ble rekning erstattet med matematikk, men først for 7.–9. klasse. Etter denne planen skal elevene i 1.–4. klasse ha rekning, mens fra 5. klasse er faget delt inn i to hovedemner: «Rekning og algebra» og «Geometri og romlære». Mønsterplanen for grunnskolen (M74) har «Tall og tallregning» som et hovedemne. Her er matematikken delt inn i flere fagemner som algebra, ligninger og andre åpne utsagn, funksjoner, geometri samt anvendelse av matematikk (s. 132–133). Anvendelse av matematikk skal integreres i de andre emnene. Alt etter hvilket trinn de er på, har elevene fra 4 til 6 emner. Mønsterplanen for grunnskolen (M87) har også «Tall og tallregning» som et hovedemne. I tillegg har pro-

0100 Del1.fm Page 23 Monday, February 27, 2012 8:57 AM

DEL I MATEMATIKK – SKOLEFAG OG KULTURARV

•

blemløsning og datalære kommet inn som egne hovedemner. Planen har i alt 10 hovedemner. Læreplanverket for den 10-årige grunnskolen (L97) reduserte omfanget av emner fra 10 til 3–5, alt etter hvilket trinn man er på. Begrepet regning er tatt helt bort. I stedet finner vi emnet «Tall» fra 1.–7. trinn, og «Tall og algebra» på 8.–10. trinn. I Læreplanverket for Kunnskapsløftet, LK06 fra 2006, kommer «Tall og algebra» allerede fra 5. trinn. Totalt er det 5 hovedemner, men emnet funksjoner finnes bare på 8.–10. trinnet. Du finner mer om dagens læreplan i del II, kapittel 2. I de senere år har det blitt utviklet en teori om kompetanseområder i matematikk som har fått vesentlig innflytelse på læreplaner og matematikkfaget i skolen. Disse kompetanseområdene gjenspeiler en vid oppfatning av hva matematikk er, se del II, kapittel 2.2.4. Lenge ble rekning eller matematikk sett på som et fakta- og ferdighetsfag, men nå er også aspekter som problemløsning, anvendelser og modellering viktige. Begrunnelse, argumentasjon og bevis henger sammen med problemløsning og forståelse og er derfor også i ferd med å få en større plass. For å delta i denne typen matematikkfag må eleven ha forståelse og kunne bruke det matematiske språket selvstendig og aktivt. Elevene trenger ikke bare å beherske de vanlige matematikktegnene som 5, 718, + osv., men må også kunne lage og tolke tegninger, diagrammer og tabeller. Tante: Hvor mye er fem minus to? Maria: Kan du si det på en måte slik at det går an å forstå hva du spør om? Tante: Hvis du har fem og tar bort to? Maria: Tre. Goethe har en gang sagt i en samtale: «Matematikere er som franskmenn. Snakker man til dem, oversetter de til sitt eget språk, og så er det straks noe helt annet.» Matematikkens språk inngår i kulturen vår. Skal et barn lære, må undervisningen forholde seg både til kulturens og barnets eget språk. Læreren må ta utgangspunkt i elevens verden og derfra legge til rette for å føre eleven inn i skolefaget og kulturens matematikkspråk.

0101 Del1Kap1.fm Page 25 Monday, February 27, 2012 8:57 AM

Tall

Fra boken Den lille prinsen har vi hentet dette avsnittet om tall:

De voksne elsker tall. Hvis du forteller dem om en ny venn, spør de aldri om vesentlige ting. De spør aldri: «Hvordan var stemmen hans? Hva er det han helst leker med? Samler han på sommerfugler?» Nei, de spør: «Hvor gammel er han? Hvor mange søsken har han? Hvor meget veier han? Hvor meget tjener hans far?» Og først da tror de at de kjenner han. Dersom du sier til en voksen: «Jeg har sett et nydelig rødt steinhus med geranier i vinduet og duer på taket», så kan de slett ikke tenke seg hvordan det ser ut. Du skal si: «Jeg har sett et hus til hundre tusen franc.» Og da vil de rope: «Å, så nydelig det er!» Saint-Exupéry (1998)

Før du fortsetter: Bruk noen minutter til å skrive ned litt av det du vet om tall. I del II, kapittel 3.1 tar vi opp kognitive kart som et didaktisk redskap for å bevisstgjøre lærere eller elever om kunnskaper de har om et begrep eller fagområde. Dersom du ikke kjenner til kognitive kart, så les litt om det og bruk noen minutter på å lage et kognitivt kart over begreper knyttet til tall.

1.1

Hva er tall? Selv om tall er noe du møter i hverdagen og har kjent til i store deler av livet, er det likevel ikke helt liketil å forklare hva tall er. Du møter tall i skolens matematikktimer, og også i andre fag og utenom skolen. Mange elever har

0101 Del1Kap1.fm Page 26 Monday, February 27, 2012 8:57 AM

•

KAPITTEL 1 TALL

dessverre vansker med å se sammenhengen mellom matematikktimenes tall og hverdagstallene. Dette er synd, for da mister de både gleden ved å anvende matematikk og rike kilder til forståelse av faget. Vi skal se hvordan elevene kan møte tallene i skjæringspunktet mellom sin egen virkelighet, skolens matematikkfag og kulturen rundt oss. Tall har ulike funksjoner alt etter hvilken sammenheng eller kontekst de opptrer i. Telling er kanskje det første du forbinder med tall. Svært mange ting kan telles, for eksempel bøkene i et bibliotek. Det som telles, er knyttet til spørsmålet «hvor mange?». Temperatur oppgis også ved hjelp av tall, men temperaturer måles. De telles ikke. Spørsmålet som svarer til dette er «hvor mye?». Postnummer uttrykkes også ved tall. Det er et system innført av Posten for at brev effektivt skal komme dit de skal. For eksempel har steder nær hverandre ganske like postnummer. Vi finner imidlertid ikke frem til et steds postnummer verken ved å telle eller å måle. Alle norske statsborgere har også sitt eget tall med elleve siffer, nemlig personnummeret. Dette nummeret begynner med personens fødselsdato. I sitatet fra Den lille prinsen bruker forfatteren tall som antall, for eksempel «hvor mange søsken?». Spørsmålet «hvor meget veier han?» dreier seg derimot om målte tall. Det som måles, kalles ofte mengde. Bruker vi samme slags tallforståelse når vi teller, måler og regner? Et interessant filosofisk spørsmål er om tall er oppdaget eller oppfunnet. Det er ikke sikkert du har tenkt gjennom dette, men spørsmålet kan være et flott utgangspunkt for å samtale med elever om hva tall er. Det er en vanskelig problemstilling som neppe har et entydig svar. Hva betyr det så at et tall er oppdaget eller oppfunnet? Kan vi si at forholdstallet mellom omkrets og diameter, π, er oppdaget eller oppfunnet? Er tallet 3 oppdaget eller oppfunnet? Samlinger av tre objekter finnes uten tvil i verden rundt oss, for eksempel:

Kanskje har vi oppfunnet tallsymbolet 3 og det abstrakte begrepet tre, men oppdaget konkrete samlinger av tre objekter? I matematikken kaller vi samlinger av objekter med samme type for mengder, se Deﬁnisjon 1. Når ordet brukes i entall, mengde, kan det sammenblandes med størrelser som måles. Som nevnt ovenfor, kalles det også for mengde. Mengden av vann i Mjøsa betyr hvor mye vann det er i denne innsjøen. Sand kan kanskje i prinsippet telles, men «hvor mye?» er det naturlige spørsmålet å stille også i det tilfellet.

0101 Del1Kap1.fm Page 27 Monday, February 27, 2012 8:57 AM

1.1 HVA ER TALL?

•

Tallene har også ideologisk eller filosofisk betydning innenfor noen kulturer. Mest kjent er kanskje filosofien til de greske tallmystikerne, kjent som pytagoreerne. For dem var alt knyttet til det som kan telles. «Alt er ordnet i samsvar med tallene». Tall for dem var det som kan telles, eller som er et forhold mellom tall. De godkjente altså positive hele tall og brøker hvor teller og nevner er slike tall. En av deres egne oppdaget imidlertid at det finnes såkalte irrasjonale tall. Figur 1 2

Kvadratrota av 2, skrevet 2 , er lengden av siden i en rettvinklet trekant hvor sidene som møtes i en rett vinkel begge er en lengdeenhet lange. Vi skal se i kapittel 5 at 2 er et irrasjonalt tall, dvs. et tall som ikke kan skrives som en brøk eller et forhold mellom hele tall. En legende sier at oppdagelsen av irrasjonale tall fikk katastrofale følger. Det fortelles at oppdageren fikk en møllestein rundt halsen og ble kastet i Middelhavet. I gresk filosofi er det ikke bare pytagoreerne som er kjent for å ha vært opptatt av tall. Platon mente at tallene er universets harmoni, og Aristoteles hevdet at alle tings opprinnelse og substans er i tallene. Det samme finner vi igjen i hinduismen. Kirkefader Augustin er også kjent for å være en av historiens store filosofer. Han knyttet universets oppbygging til sitt platoniske syn, der tall er til før skapelsen.

Deﬁnisjon 1

Mengde (samling av objekter)

En mengde er en samling av objekter av samme type. Objektene kalles elementer.

0101 Del1Kap1.fm Page 28 Monday, February 27, 2012 8:57 AM

•

KAPITTEL 1 TALL

Poenget med mengder i grunnskolematematikken er at de inneholder ting som kan telles. Flere forutsetninger må være oppfylt for at noe kan telles. En av disse er at det som telles, må kunne ses som eksempler på samme type ting. Figur 2

Kronestykker er uten tvil samme type ting. Figuren viser ﬁre slike. Nedenfor ser du ﬁre mynter: Figur 3

Vi kan si at alle objektene har samme type, for de er alle mynter. Likevel er det langt mindre naturlig å telle disse myntene enn de ﬁre kronestykkene. Kanskje bare myntsamlere ville telle ﬁre forskjellige mynttyper. Når barn skal lære telling, bør vi passe på å telle ting barnet oppfatter som eksempler på det samme, for eksempel to bamser.

Deﬁnisjon 2

Naturlige tall

Naturlige tall, N, er det samme som de positive hele tall, altså de tallene vi kan bruke til å telle elementene i mengder. N0 er hele positive tall og 0. Null regnes noen ganger som et naturlig tall.

Vi vil, med ett unntak, videre i dette kapitlet holde oss til de naturlige tallene. Tallet null er spesielt og ble ikke akseptert før lenge etter de positive hele tallene. Vi kan nemlig ikke telle ingenting. Null er likevel nyttig som størrelsen på en tom mengde. Istedenfor å si «ingen mynter», kan vi si 0 mynter. Lengde før tallet 0 ble godtatt, ble 0 tatt i bruk som en plassholder,

0101 Del1Kap1.fm Page 29 Monday, February 27, 2012 8:57 AM

1.1 HVA ER TALL?

•

se kapittel 1.2.4. I tallet 20 er 0 en plassholder som betyr at det er ingen enere. Først når vi godtar 0 som et svar på regnestykker av typen 17 – 17 = 0, kan vi kalle 0 et tall. Også i barns læring av tall er det 0 som plassholder som bør komme først, selv om det ikke er uvanlig at 0 tidlig innføres som et synonym for «ingen».

Brøker og desimaltall er nødvendige for å utføre målinger. De brukes for å svare på spørsmålet «hvor mye?». Da dukker «mengde» i den andre betydningen opp.

Deﬁnisjon 3

Målbare størrelser (mengde)

Størrelser som kan måles, kalles målbare. De måles med brøker eller desimaltall. Hvor mye vi har av tid eller en tredimensjonal størrelse, kalles mengden av det vi snakker om.

Eksempler på målbare størrelser er lengde, areal, vekt, tid og volum. Vi sier «hvor mye bær?», «hvor mye tid?» og «hvor mye vann?». Svar på disse spørsmålene kan være «en mengde bær», «mengder av tid» eller «en mengde vann». Derimot er det vanlig å si «hvor lang?» eller «hvor stor ﬂate?» knyttet til det en- og todimensjonale. Da bruker vi heller ikke ordet «mengde». Men, vi kan si «hvor mye tau?» og «en mengde tau» når vi ser på tauet som noe fysisk og romlig. Hvordan vi bruker språk i forbindelse med matematikk, varierer mellom språk og kulturer, se del II, kapittel 4.6.

0101 Del1Kap1.fm Page 30 Monday, February 27, 2012 8:57 AM

•

1.2

KAPITTEL 1 TALL

Et historisk blikk på tallsystemets utvikling Hva er motivasjonen og behovet bak utviklingen av tallene? Forståelse av hvordan vårt tallsystem har utviklet seg, kan gi deg forståelse av den utviklingen som foregår hos barnet. Arbeid med utviklingen av tall og tallsystemer kan gi deg erfaring med hvor vanskelig og genialt dagens tallsystem er. I dagens multikulturelle klasserom er det stor sjanse for at du møter elever med ganske andre erfaringer enn dine egne, se del II, kapittel 4.6. Kunnskap om hvordan tallene har utviklet seg i ulike kulturer, er nyttig også for å møte elever med bakgrunn fra andre land. Erfaring med andre tenkemåter og uttrykksformer styrker muligheten til å kunne møte slike elever på en god måte.

Eksempel 1

Arabiske tallsymboler

Våre vestlige tall er helt forskjellige fra dagens arabiske tall, til tross for at våre tallsymboler stammer fra araberne.

••

Figur 4 Visittkort fra Iran

Folk har tidlig hatt behov for å få oversikt over eiendelene sine. I 1937 fant man i Tsjekkia et ulvebein med 55 hakk, gruppert i femmergrupper. Funnet er anslått til å være 30 000 år gammelt. Sannsynligvis har eieren av beinet lagd et hakk for hver eiendel, hvert byttedyr eller lignende. Koblingen mellom eiendeler og hakk i et bein er et eksempel på et fenomen vi i matematikken kaller en-til-en-korrespondanse.

0101 Del1Kap1.fm Page 31 Monday, February 27, 2012 8:57 AM

1.2 ET HISTORISK BLIKK PÅ TALLSYSTEMETS UTVIKLING

•

Figur 5

Her er det lagd en strek eller et hakk for hver geit. Hver strek korresponderer med en geit, og hver geit korresponderer med en strek. Derfor kalles det en-til-en-korrespondanse. På beinet som ble funnet i Tsjekkia, var det et dobbelthakk ved markering nummer 25. Kombinert med grupperingen i femmere har dette noe til felles med det vi i dag kaller et femtallsystem. Et slikt tallsystem er som vårt titallsystem, bortsett fra at basen eller grunntallet er fem i stedet for ti. I et femtallsystem er utgangspunktet grupperinger på fem. Figur 6

Her markerer sirkelen en gruppe på fem trekanter. I neste omgang kan vi danne en gruppe av fem slike sirkler:

Figur 7

I vårt tallsystem skriver vi dette som 25. Grunnen er at vi tenker trekantene gruppert i 2 tiere og 5 enere. Det er imidlertid mulig å holde seg utelukkende til gruppering i femmere, se kapittel 1.2.6. En hånd består av fem ﬁngre. Historisk har trolig kroppen vår hatt avgjørende betydning for hvordan vi grupperer.

0101 Del1Kap1.fm Page 32 Monday, February 27, 2012 8:57 AM

•

KAPITTEL 1 TALL

Eksempel 2

Kroppslig opphav til gruppering

Hender og føtter gir opphav til grupperinger i femmere (en hånd), tiere (begge hendene) og 20-ere (hendene og føttene). Figur 8 Hender som utgangspunkt for gruppering i 10

•• Alle disse grupperingene har vært brukt historisk. Gruppering i 20 ble brukt av mayaene. Også andre baser har imidlertid vært brukt. I dag har vi rester etter et sekstitallsystem, altså et system basert på grupper på 60. Et slikt system er fortsatt vanlig i dagliglivet vårt, særlig når vi måler tid. En time er delt inn i 60 minutter, og et minutt er delt inn i 60 sekunder. Noe lignende brukes i vinkelmåling. Vi skal dele utviklingen frem til dagens tallsystem inn i additive tallsystemer, siffersystemer og multiplikative systemer og posisjonssystemer. Langt på vei er dette en utvikling fra enklere til mer avanserte systemer, men det er ikke helt entydig. Eksempler og konkretiseringer som ligner på historiske tallsystemer kan brukes for å gi elever en enklere læringsvei. Det samme kan rester av gamle tallsystemer som fortsatt ﬁnnes i bruk.

1.2.1

Additive tallsystemer

I det gamle Egypt ble hieroglyfene utviklet ca. 3500 f.Kr. Tallene i dette skriftspråket hadde ti som base og egne symboler for enere, tiere, hundrere osv. som vist under: = 1,

= 10,

= 100 000,

= 100,

= 1 000,

= 1 000 000,

= 10 000, = 10 000 000

0101 Del1Kap1.fm Page 33 Monday, February 27, 2012 8:57 AM

1.2 ET HISTORISK BLIKK PÅ TALLSYSTEMETS UTVIKLING

Eksempel 3

•

Additive hieroglyfer

Tallet 1 234 567 skrives

••

Kjennskapet til disse tallene kommer fra to papyrusruller, Moskva-papyrusen som inneholder geometri, og Rhind-papyrusen som inneholder tallregning. Forskerne er ikke sikre på hva disse papyrusrullene ble brukt til, men kanskje har de vært lærebøker for skriverne til farao. I et additivt tallsystem legger man sammen verdiene til de enkelte tallsymbolene. Mynter er et eksempel på dette som fortsatt eksisterer. For å ﬁnne ut hvor mye penger dette er, har rekkefølgen av myntene ikke noe å si. Figur 9

Det egyptiske systemet er i prinsippet additivt, men egypterne valgte likevel ofte å oppgi de største symbolene til venstre og så de andre i synkende rekkefølge mot høyre. Eksempel 4

Ulike rekkefølger

Tallet 2 344 kunne skrives på ulike måter: eller

•• Greske attiske eller akrofone tallsymboler fra ca. 500 f.Kr. hadde også ti som base. Her er noen av symbolene: = 1, = 500,

= 5,

= 10, = 1 000,

= 50,

= 100,

= 5 000

Vi kan gjenkjenne den moderne greske bokstaven Δ: delta. Tegnet Γ ser ut som en stor gamma, men er et gammelt tegn for π, pi. Også romertallene var opprinnelig et additiv tallsystem med I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500 og M = 1 000. Romerne videreutviklet

0101 Del1Kap1.fm Page 34 Monday, February 27, 2012 8:57 AM

•

KAPITTEL 1 TALL

senere systemet med at de trakk fra talltegn til venstre for et tegn med høyere verdi. For eksempel erstattet IV = 5 – 1 = 4 det opprinnelige IIII, og VIIII ble erstattet med IX = 10 – 1 = 9. Eksempel 5

Estetiske hensyn

Ser du på en klokke med romertall på tallskiven, kan 9 være skrevet IX, men 4 som IIII. Dette er gjort av hensyn til det estetiske. Figur 10 Klokke med romertall

•• Romertallene egnet seg ikke til å regne med, bare til å skrive ned tall. Utregninger ble gjort med regnebrett eller kuleramme. Så skrev de svaret ned med romertall etterpå. Vårt tallsystem er overlegent romertallene ved at vi har enkle metoder til å regne med selve tallsymbolene.

1.2.2

Siffersystemer

Som nevnt i kapittel 1.2.1, hadde egypterne først et additivt tallsystem skrevet med hieroglyfer. De ble brukt på tempelvegger og gravert inn i kolonner. For å skrive på papyrus utviklet de ca. 2500 f.Kr. et enklere system, hieratisk skrift, hvor hvert av tallene fra 1 til 9 ﬁkk sitt eget siffer i stedet for like mange streker som antallet. Tilsvarende hadde hvert av tallene 10, 20 … 90 og 100, 200 … 900 hvert sitt siffer. Denne type system kalles et siffersystem. Under har vi oppgitt sifrene fra 1 til 7:

0101 Del1Kap1.fm Page 35 Monday, February 27, 2012 8:57 AM

1.2 ET HISTORISK BLIKK PÅ TALLSYSTEMETS UTVIKLING

Eksempel 6

•

Hieratiske hieroglyfer

Tallet 37 ble skrevet med symbolet for 7 ved siden av symbolet for 30. Siden 7 = og 30 = , får vi 37 = . Da 3 = og 40 = og 200 = , blir 243 = . Leseretningen til tallene er motsatt av vår. Enerne kommer til venstre, ikke til høyre som hos oss. Prikkene i symbolene for 30, 40 og 200 betyr ikke å multiplisere, men er en del av selve sifrene.

••

Noen ikke-vestlige kulturer leser samme vei som egypterne, se del II, kapittel 4.6.6. Hva som er leseretningen for tall, er imidlertid ikke entydig. Når vi regner sammen 12 + 34 med standardalgoritmen for addisjon, se kapittel 1.5.2, er det enerne vi leser først. Dette stammer fra at araberne leste fra høyre mot venstre, noe de gjør den dag i dag. I hoderegning begynner vi derimot ofte fra venstre og tar enerne til slutt, se kapittel 1.5.6. I Hellas ble det greske alfabetet brukt som et siffersystem:

α = 1, β = 2, γ = 3, δ = 4 … ι = 10, κ = 20, λ = 20, μ = 30,ν = 40, … Eksempel 7

Greske alfabetbaserte tall

Tallene 34 og 22 ble skrevet μδ og κβ . Hebraisk har et tilsvarende system. I lengden var ikke denne måten å gjøre det på holdbar, da stadig nye symboler måtte finnes opp for å uttrykke større tall. Et annet problem var at tall kunne leses som ord og ord som tall. Hva var tallet, og hva var selve teksten? Det måtte tolkes ut fra sammenhengen.

••

1.2.3

Multiplikative systemer

Det tradisjonelle kinesisk-japanske tallsystemet er et multiplikativt system med base 10. Systemet oppstod ca. 1600 f.Kr. Vi har rester av et multiplikativt system i norsk språk når vi for eksempel sier tre hundre og femti sju. Tre hundre betyr at vi har tre hundrere, dvs. at tre multipliseres med hundre. Tilsvarende vil femti si fem tiere, altså fem multiplisert med 10. Både vårt system og det kinesisk-japanske har symboler for tallene fra 1 til 9 og for potenser av 10. De første potensene av ti skrevet i vårt system, er 10 = 101 , 100 = 102 og 1 000 = 103. Eksponent

Figur 11 105 Grunntall

0102 Del1Kap2.fm Page 241 Monday, February 27, 2012 9:18 AM

2.7 LIKHETSTEGNET OG LIGNINGER

2.7.2

•

241

Ligninger med én ukjent

For at du skal se den langsiktige hensikten med innføring av skålvekstmodellen, skal vi nå se hvordan elever på ungdomstrinnet møter løsning av en enkel ligning ved hjelp av skålvekt. Eksempel 19

Ligning med melposer

Konkretiser og løs ligningen x + 5 = 2 x + 1. Figur 56

•• Diskusjon

Her er ikke verken høyre- eller venstresiden et svar. Likheten betyr at x er et tall slik at når vi legger 5 til tallet, så blir svaret det samme som når vi legger 1 til det dobbelte av tallet. Å løse ligningen vil si å finne det ukjente tallet. Likhetstegnet i ligninger kan forstås som en balanse mellom to sider. En skålvekt er i balanse hvis innholdet i de to skålene veier like mye.

Figur 57

Vi lar venstresiden x + 5 stå for den ukjente vekta av en melpose og fem kilolodd. Høyresiden 2 x + 1 står da for to melposer med den samme ukjente vekta og ett kilolodd. Rent praktisk er det nødvendig å ha flere slike identiske poser tilgjengelig, der vekt ikke er påført.

0102 Del1Kap2.fm Page 242 Monday, February 27, 2012 9:18 AM

242

•

KAPITTEL 2 ALGEBRA

Figur 58

Alle forekomster av x i ligningen står for det samme tallet eller den samme st ørrelsen, her vekta av en melpose. Ligningsløsningen foregår gjennom å trekke fra eller dele med det samme på begge sider av likhetstegnet. Her starter vi med å fjerne en melpose fra hver skål. Figur 59

Du kan se at skålvekta fortsatt balanserer. Med symboler kan vi skrive dette x + 5 − x = 2x + 1 − x Posen og vektene kan nå representeres med ligningen 5 = x +1

0102 Del1Kap2.fm Page 243 Monday, February 27, 2012 9:18 AM

2.7 LIKHETSTEGNET OG LIGNINGER

•

243

Ett kilolodd fjernes så fra hver skål. Figur 60

Med symboler blir det 5 −1 = x +1−1 Dermed står vi igjen med 4 = x. Takket være den konkrete situasjonen, har du neppe problemer med at melposen veier 4 kg, selv om x står på høyre side av likhetstegnet. Vi kan få x = 4 ved at skålvekta roteres 180 grader. Da bytter venstre og høyre side plass, og vekta vil selvsagt fortsatt balansere.

•••

I ligningen i eksempel 19 forekommer den ukjente x på begge sider av likhetstegnet: x + 5 = 2x + 1 På mellomtrinnet kan elevene arbeide med ligninger med én ukjent der den ukjente forekommer bare på den ene siden av likhetstegnet, for eksempel 2 x + 5 = 11 Problemet kan også skrives + + 5 = 11, men med understrekning av at samme tall skal stå i begge bokser. En muntlig formulering er at vi skal finne et tall slik at vi får 11 når vi legger 5 til det dobbelte av tallet. Eleven kan løse

0102 Del1Kap2.fm Page 244 Monday, February 27, 2012 9:18 AM

244

•

KAPITTEL 2 ALGEBRA

slike problemer ved hjelp av motsatte regneoperasjoner (kapittel 1.5.3 og 1.5.5.5). Første steg er å spørre hva det dobbelte tallet må være. Siden det dobbelte av tallet pluss 5 er lik 11, må det dobbelte tallet være 11 − 5 = 6. Dermed må tallet selv være halvparten av 6, dvs. 3. En annen beskrivelse av ligningene som er aktuelle på mellomtrinnet, er at det er de som kan løses selv om likhetstegnet oppfattes som en kommando, dvs. at likhetstegnet signaliserer at høyresiden er svaret på et regnestykke. I ligningen x + 5 = 2 x + 1 skal vi derimot finne et tall som gjør to regnestykker lik hverandre. Da må elevene tenke symmetrisk likhet. Når problemet er gitt visuelt eller konkret, kan også elever på mellomtrinnet løse noen slike ligninger: Eksempel 20

Ligning fra geometri

Hvilket tall står x for når begge figurene har likt areal? Figur 61 70

x x

= x

•• Diskusjon

Her kan arealet på venstresiden skrives 2 x + 70 og arealet på høyresiden skrives 6x. Det gir ligningen 2 x + 70 = 6 x Elevene kan imidlertid intuitivt gå rett til ligningen 4 x = 70, som gir at 70 1 x= = 17 . 4 2

•••

For å se læringen på mellomtrinnet som del av en større sammenheng skal vi nå se på hvordan oppstilte ligninger løses på ungdomstrinnet: Eksempel 21

Løse oppstilt ligning

Løs den oppstilte ligningen 7 x + 9 = 24 + 2 x

Diskusjon

Utgangspunktet er altså 7 x + 9 = 24 + 2 x

••

0102 Del1Kap2.fm Page 245 Monday, February 27, 2012 9:18 AM

2.7 LIKHETSTEGNET OG LIGNINGER

•

245

Strategien er å samle alle x-ene (de ukjente) på én side og alle tallene på en den andre siden. Vanligvis samles x-ene på venstre side, men det er egentlig det samme. For å få til dette anbefaler vi at elevene gjør samme regneoperasjon på begge sider av likhetstegnet. Vi begynner her med å trekke fra 2x på venstre og høyre side for å samle x-ene på venstre side. 7 x + 9 − 2 x = 24 + 2 x − 2 x Så trekker vi sammen og forenkler uttrykkene på hver side av likhetstegnet. 5 x + 9 = 24 Neste skritt er å samle tallene på høyre side. Her gjøres det ved å trekke fra 9 på begge sider. 5 x + 9 − 9 = 24 − 9 Det forenkles til 5 x = 15 Til slutt deler vi med 5 på begge sider for å få x alene på venstre side. 5 x 15 = 5 5 Dermed får vi x =5

•••

Metoden i Eksempel 21 er nært knyttet til konkretiseringer som skålvekta. Det er forståelig for elevene at løsningen av ligningen ikke endres når samme operasjon gjøres på begge sider av likhetstegnet.

Setning 2

Løsning av ligninger

Løsningen av en ligning endres ikke når det på høyre og venstre side av likhetstegnet i) adderes eller subtraheres samme tall. ii) multipliseres eller divideres med samme tall forskjellig fra null.

0102 Del1Kap2.fm Page 246 Monday, February 27, 2012 9:18 AM

246

•

KAPITTEL 2 ALGEBRA

Både i) og ii) kan forklares ved hjelp av skålvekta. En løsning vil si at vekta balanserer. Legger vi til eller tar bort det samme i begge skåler, er vekta selvsagt fortsatt i balanse. Hvis en verdi av x ikke gir løsning, er vekta ikke i balanse. Legger vi til eller tar bort det samme i begge skåler, er vekta fortsatt i ubalanse. Denne operasjonen kan derfor heller ikke føye til nye løsninger. Å multiplisere innholdet i begge skåler med et tall forskjellig fra null skaper heller ikke ubalanse der det er balanse eller motsatt. Dobles innholdet i hver skål, vil vi være i samme balansesituasjon som før. Hvis vi multipliserer med null på begge sider av likhetstegnet, vil hele ligningen forsvinne. Vi får 0 = 0. Dette gjør elever forvirret. Mange tror det betyr at ligningen ikke har noen løsning, men se oppgave 44. Legg merke til at multiplikasjon eller divisjon med x på begge sider kan endre løsningen av ligningen, se oppgave 44. Eksempel 22

Flytt og bytt

Kan løsningen av ligningen 7 x + 9 = 24 + 2 x i Eksempel 21 gjøres enklere?

••

Diskusjon

Mange ungdomsskoleelever løser ligninger ved hjelp av det som ofte kalles «flytt og bytt». I dette tilfellet flyttes for eksempel 2x over på venstre side og bytter fortegn. Dermed får vi 7 x + 9 − 2 x = 24 Dette forenkles så til 5 x + 9 = 24 Så flyttes 9 over til høyre side og bytter fortegn, dvs. 5 x = 24 − 9 Denne løsningsmetoden er matematisk korrekt, men den kan ikke begrunnes like enkelt og forståelig for elevene som å gjøre det samme på begge sider av likhetstegnet. Bruk av omvendte regneoperasjoner for å løse enkle ligninger som 5 x + 3 = 23 minner om flytt og bytt, men hindrer ikke fremveksten av forståelse. Det er først når den ukjente forekommer på begge sider av likhetstegnet, at balansemodellen kommer til sin rett.

•••

0102 Del1Kap2.fm Page 247 Monday, February 27, 2012 9:18 AM

2.7 LIKHETSTEGNET OG LIGNINGER

•

247

Oppgaver

40. I hver oppgave har begge ﬁgurene likt areal. Hvilket tall står x for? a) Figur 62

b) Figur 63 x

x 24

56 x

c) Figur 64 x

x x

49 x

(Oppgaven er hentet fra Regnereisen 9a.)

0102 Del1Kap2.fm Page 248 Monday, February 27, 2012 9:18 AM

248

•

KAPITTEL 2 ALGEBRA

41. Denne skålvekta er i balanse. Det ligger åtte like tunge kuler og en kasse på 38 hg i skålene.

Figur 65

a) Hvor mye veier hver kule? Tenk praktisk. b) Finn også svaret ved å skrive ned en ligning og løse den. (Fra Regnereisen 9a.) 42. På skålvekta ligger det åtte kuler med like stor masse.

Figur 66

a) Hvor mye veier hver kule? Tenk praktisk. b) Finn også svaret ved å skrive ned en ligning og løse den. (Fra Regnereisen 9a.)

0102 Del1Kap2.fm Page 249 Monday, February 27, 2012 9:18 AM

2.7 LIKHETSTEGNET OG LIGNINGER

•

249

43. Denne oppgaven er for en klasse av elever eller studenter. Læreren eller en annen leder skriver opp et tall på tavla. Så går elever sammen i grupper på en slik måte at summen av antallet bokstaver i elevenes første fornavn er lik det skrevne tallet. Det er også mulig å velge multiplikasjon. Dessuten kan det legges begrensninger på gruppestørrelse. Aktiviteten kan brukes til å arbeide med symmetrisk likhet. To grupper som sammenlignes, gir en likhet som kan skrives på tavla. 44. Ligningen x +1 = 2 har én løsning. Multipliser på venstre og høyre side med x. Undersøk hvilke løsninger den ligningen har. Hva sier det deg om multiplikasjon med variabler når vi løser ligninger? 45. Formuler med ord hva vi kan si om et tall som løser ligningen x x+2 = . Kan du ﬁnne et slikt tall? Undersøk hvilke brøker du får på 3 5 venstre og høyre side ved å velge heltallige verdier av x. x 2−x x = + 1. Løs den ved å begynne med å multi46. Gitt ligningen − 6 4 3 plisere begge sider av ligningen med et tall som er delelig med alle nevnerne, se kapittel 2.9.1.

2.7.3

Likhet mellom uttrykk

Også likhet mellom algebraiske uttrykk har to forskjellige betydninger. I ligninger er vi ute etter å finne den eller de verdiene av den ukjente som gjør venstresiden lik høyresiden. Ligningen x + 5 = 2 x + 1 fra Eksempel 19, gir likhet mellom tall bare når x = 4. Innsetting i ligningen gir da den sanne påstanden 4 + 5 = 2 ⋅ 4 + 1. For alle andre valg av x er høyre side forskjellig fra venstre side. For eksempel gir innsetting av x = 3 den usanne påstanden 3 + 5 = 2 ⋅ 3 + 1. Her er venstre side 8 og høyre side 7. Normalsituasjonen for en ligning er at de fleste valgte x-verdier ikke gir likhet mellom venstre og høyre side. Ligninger kan også ha flere ukjente, for eksempel x og y, se kapittel 2.7.5. Den andre betydningen av likhet mellom uttrykk, fører oss til det som kalles identisk likhet. Når vi starter med et uttrykk og endrer det med omformingsregler, får vi en likhet som gjelder for alle x.

0102 Del1Kap2.fm Page 250 Monday, February 27, 2012 9:18 AM

250

•

KAPITTEL 2 ALGEBRA

Eksempel 23

Omforming av uttrykk, identisk likhet

x 2 ( x + 5) ≡ x 3 + 5x 2 Diskusjon

••

Vi skriver noen ganger et likhetstegn med tre streker ≡ og leser det som «identisk lik». Dette betyr at de to uttrykkene er lik hverandre uansett hvilken verdi den variable har. Normalt skriver vi imidlertid et vanlig likhetstegn også i dette tilfellet, x 2 ( x + 5 ) = x 3 + 5 x 2 . Sammenhengen pleier å gjøre det klart hva slags likhet det er snakk om. Identisk lik brukes også i definisjoner. Når vi skriver f ( x ) = x 2 , mener vi at f er navnet på en funksjon som opphøyer tall i andre potens. Også her pleier vi å skrive det vanlige likhetstegnet fremfor det med tre streker.

•••

Gjennomgangen av de ulike betydningene av likhetstegnet er beregnet på deg som lærer. Det må gjøres tydelig for elevene hvordan likhetstegnet brukes i ulike situasjoner, men elevene trenger ikke å kjenne begreper som symmetrisk og identisk likhet.

2.7.4

Problemløsning og ligninger

En av de tradisjonelle tilnærmingene til ligninger er gjennom tekstoppgaver og problemløsning. Dette er fortsatt en mulig tilnærming, men den har noen utfordringer knyttet til seg. Ikke minst har en del elever problemer med å lese og tolke tekster. Dette dreier seg om det som i LK06 kaller «ferdigheten å lese i matematikk». Løsning av slike oppgaver ved å bruke formelle ligninger hører ungdomstrinnet til, men de enkleste slike tekstoppgaver kan elever på mellomtrinnet løse ved å prøve seg frem. Eksempel 24

Problemløsning og ligninger

Per og Kari er til sammen 20 år. Per er 4 år eldre enn Kari. Hvor gamle er Per og Kari?

••

Diskusjon

Per må opplagt være mer enn 10 år, da han er eldst. Hvis Per er 11 år, er Kari 7 år. Summen blir for liten, bare 18. Er derimot Per 12 år, er Kari 8 år, og dessuten er 12 + 8 = 20. Det må derfor være løsningen. La oss se hvordan det kan gjøres formelt. Pers alder er 4 år mer enn Kari. Dvs. at Pers alder er x + 4.

0104 Del1Kap4.fm Page 471 Monday, February 27, 2012 10:12 AM

4.9 KONSTRUKSJON

4.9

•

471

Konstruksjon Konstruksjon med passer og linjal har røtter lagt tilbake i historien. Euklid brukte slik konstruksjon i stor utstrekning, og konstruksjon har siden vært en viktig del av geometrien. I dag er passer og linjal fortsatt viktige i teknisk tegning selv om slik konstruksjon i større og større grad blir utført med dataverktøy. En blikkenslager bruker fremdeles passer når han for eksempel skal lage kjegleformede beslag.

0104 Del1Kap4.fm Page 472 Monday, February 27, 2012 10:12 AM

472

•

KAPITTEL 4 GEOMETRI OG MÅLING

Passer

I klassisk konstruksjon er en passer et redskap for å tegne sirkler og buer. En passer har en spiss og en stift. Du kan justere avstanden mellom spiss og stift, og denne avstanden forblir den samme inntil du justerer den på nytt.

I praksis må man med de ﬂeste passere være forsiktig slik at den ikke kommer ut av posisjon mens du tegner en sirkel eller en bue.

Linjal

I klassisk konstruksjon er en linjal et redskap for å tegne rette linjer. En slik linjal skal være umerket, og brukes ikke til å måle med.

4.9.1

Konstruksjon med passer og linjal i grunnskolen

Konstruksjon med passer og linjal er en del av skolematematikken, men i gjeldende læreplan er slik konstruksjon først nevnt i kompetansemålene for 10. trinn. Mange lærere velger likevel å starte med konstruksjon mot slutten av mellomtrinnet, og dette er gjenspeilet i læreverk som blir mye brukt. I dette kapittelet skal vi se på konstruksjoner med passer og linjal som er aktuelle i grunnskolen som helhet.

0104 Del1Kap4.fm Page 473 Monday, February 27, 2012 10:12 AM

4.9 KONSTRUKSJON

•

473

I dette kapittelet skal vi blant annet se på hvordan vi kan dele et linjestykke i to like deler ved å bruke passer og linjal. Hvorfor bruker vi ikke målene på linjalen, måler linjestykket og deler dette tallet på to? En vanskelighet i den klassiske geometrien var at Euklid ikke hadde aritmetikken som vi har i dag. Man arbeidet for eksempel ikke med desimaltall. Grekernes syn var at geometrien stod over aritmetikken, og geometriske løsninger ble foretrukket. Euklid perfeksjonerte geometrien i en slik utstrekning at ideene som er presentert i hans verk Elementer, fremdeles har en sterk posisjon over 2 000 år senere, se kapittel 4.1. Digitale verktøy kan gjøre at passer og linjal ikke blir like viktige redskaper i geometri som tidligere. Det er likevel ikke grunn til å fjerne passeren som verktøy i skolen. At eleven arbeider fysisk med passer og linjal, utfordrer motorikken på en annen måte enn ved bruk av digitale verktøy. Vi skal studere noen av de klassiske konstruksjonene. Følgende elementære konstruksjoner danner grunnlaget for konstruksjoner med passer og linjal: 1. 2. 3. 4. 5.

Trekke den rette linjen gjennom to punkter (linjal) Tegne en sirkel gjennom et punkt med sentrum i et annet punkt (passer) Avsette skjæringspunktet mellom to ikke-parallelle rette linjer Avsette skjæringspunktene (ett eller to) mellom en sirkel og en rett linje Avsette skjæringspunktene (ett eller to) mellom to sirkler

Dette er de lovlige operasjonene i klassisk konstruksjonsgeometri. Vi skal se hvordan disse kan settes sammen for å løse enkle konstruksjonsproblemer. For bedre å forstå disse konstruksjonene skal vi benytte oss av begrepet geometrisk sted.

Deﬁnisjon 18

Geometrisk sted

Et geometrisk sted er en samling av punkter som oppfyller ett eller flere angitte krav.

Vi skal se på eksempler på geometriske steder og konstruksjon med passer og linjal. Eksempel 38

Sirkelen som geometrisk sted

Sirkelen kan forstås som et geometrisk sted. Tar vi utgangspunkt i et punkt S, kan vi kreve at en samling av punkter skal bestå av punktene som

0104 Del1Kap4.fm Page 474 Monday, February 27, 2012 10:12 AM

474

•

KAPITTEL 4 GEOMETRI OG MÅLING

har en gitt avstand r til punktet S. Sirkelen med sentrum S og radius r er det geometriske stedet som svarer til dette kravet.

S r

•• Når vi skal forstå konstruksjoner som gjøres ved hjelp av passer og linjal, er det en fordel å tenke på sirkelen som geometrisk sted. Når vi bruker passeren til å tegne sirkler og sirkelbuer, bør du tenke på at du tegner punkter som har samme avstand til passerspissen. Eksempel 39

Parallelle linjer

Vi har gitt en linje l og et punkt P. Konstruer linjen som er parallell med l og som går gjennom P. P

Løsning

Skritt 1: Trekk en rett linje gjennom punktet P og et vilkårlig punkt på l. La oss kalle dette punktet for A.

0104 Del1Kap4.fm Page 475 Monday, February 27, 2012 10:12 AM

4.9 KONSTRUKSJON

•

475

Skritt 2: Sett spissen av passeren i punktet A tegn en sirkelbue gjennom P. Avsett skjæringspunktet B mellom sirkelbuen og linjen l.

l A

Skritt 3: Behold den samme passeråpningen, sett spissen i P og tegn en sirkelbue. Flytt deretter spissen til B og tegn en sirkelbue, fortsatt med den samme passeråpningen. De to sirkelbuene skjærer hverandre i et punkt som vi markerer som Q.

Skritt 4: Det gjenstår bare å legge linjalen gjennom punktene P og Q og trekke linjen m som vil være parallell med l.

m l

••

0104 Del1Kap4.fm Page 476 Monday, February 27, 2012 10:12 AM

476

•

KAPITTEL 4 GEOMETRI OG MÅLING

Legg merke til at dersom vi også hadde trukket linjen gjennom B og Q, så hadde vi fått en rombe. Eksemplet viser også hvordan vi konstruerer en rombe, og dette er også et utgangspunkt for å forstå hvorfor konstruksjonen virker:

Setning 10

Rombe

Enhver rombe (firkant hvor alle sidene er like lange) er et parallellogram, og dermed vil motstående sider være parallelle. Diagonalene i en rombe står vinkelrett på hverandre, og halverer respektive indre vinkler.

Neste konstruksjon kan også forstås ut fra setningen over, og er en veldig nyttig konstruksjon.

Deﬁnisjon 19

Midtnormal

Gitt at AB er linjestykket mellom to punkter A og B. Midtnormalen til AB er linjen som står normalt på AB og deler dette i to like lange stykker.

Eksempel 40

Konstruksjon av midtnormal

Konstruer midtnormalen til linjestykket AB. A

Løsning

Skritt 1: Velg en passeråpning som er større enn halvparten av linjestykket AB. Sett passerspissen i punktet A og tegn en sirkelbue.

0104 Del1Kap4.fm Page 477 Monday, February 27, 2012 10:12 AM

4.9 KONSTRUKSJON

•

477

Skritt 2: Vi flytter passerspissen til punktet B og tegner en sirkelbue med den samme passeråpningen. Vi avsetter så skjæringspunktene P og Q mellom de to sirkelbuene. P

Skritt 3: Den rette linjen gjennom P og Q vil stå normalt på linjestykket AB og skjæringspunktet R deler linjestykket AB i to like lange linjestykker AR og RB. P

•• Legg merke til at AB og PQ er diagonalene i en rombe. Fra Setning 10 står derfor linjestykkene vinkelrett på hverandre. Midtnormalen til linjestykket AB har en viktig egenskap: Punktene på midtnormalen ligger eksakt like langt fra A som fra B. I ﬁguren nedenfor ser vi på et punkt C på midtnormalen.

0104 Del1Kap4.fm Page 478 Monday, February 27, 2012 10:12 AM

478

•

KAPITTEL 4 GEOMETRI OG MÅLING

Da vil ABC være en likebeinet trekant med AC = BC. Med andre ord ligger C like langt fra A som fra B. Det samme ville vært tilfelle uansett hvor på midtnormalen C hadde ligget.

Deﬁnisjon 20

Positiv omløpsretning

Positiv omløpsretning i en mangekant er mot urviseren.

Når vi setter navn på hjørnene i en mangekant, er det vanlig å bruke bokstaver i alfabetisk rekkefølge i positiv omløpsretning slik vi har gjort det i trekanten over. Eksempel 41

Midtnormal som geometrisk sted

Anta at vi har gitt to punkter A og B. Vi vil kreve at et punkt ligger like langt fra A som fra B. Dette kravet definerer et geometrisk sted som vi kaller for midtnormalen.

••

Konstruksjonen gir en rett vinkel, men ikke alle vinkler kan konstrueres med passer og linjal. For eksempel er det ikke mulig å konstruere en vinkel på 20°. Dette kan bevises ved å bruke matematikk som er mer avansert enn det vi tar opp i denne boken.

0200 Del2.fm Page 735 Thursday, March 1, 2012 1:03 PM

Del II Eleven â&#x20AC;&#x201C; skapende sosialt individ i mĂ¸te med samfunn og kultur

0200 Del2.fm Page 736 Monday, February 27, 2012 9:51 AM

0201 Del2Kap1.fm Page 737 Monday, February 27, 2012 9:52 AM

Læring og læringsteorier 1.1

Innledning – Et brev til leseren

Kjære leser! Jeg husker godt enkelte episoder fra mine egne skoledager. Matematikkbøkene for eksempel la opp til en type læreprosesser der vi skulle løse et stort antall oppgaver til de var automatisert. Læreren viste oss på tavlen hvordan det skulle gjøres, og så regnet vi i vei. Det var side opp og side ned med addisjon,

Figur 1 Øve, øve jevnt og trutt …

subtraksjon, multiplikasjon og divisjon. Jeg for min del klarte meg godt til vi begynte med divisjon, men da var det stopp: Jeg klarte ikke å knekke divisjonskoden. Løsningen fra lærerens side var å pøse på med flere divisjonsoppgaver. «Øve, øve jevnt og trutt og tappert det er tingen», sang vi innimellom arbeidsøktene. Resultatet var at jeg dag etter dag gikk på nederlag. Ganske raskt forvitret den matematiske selvtilliten som var bygd opp gjennom arbeidet med de tre andre regningsartene. I tillegg vokste det en barriere i meg mot matematikk. Man kan si at jeg lærte noe annet enn det skolen la opp til: At jeg ikke hadde evner i matematikk, og at realfag ikke var veien for meg. Dette ble en stor sorg fordi jeg bar på en gryende drøm om å studere astrofysikk.

0201 Del2Kap1.fm Page 738 Monday, February 27, 2012 9:52 AM

738

•

KAPITTEL 1 LÆRING OG LÆRINGSTEORIER

Et spørsmål som har kommet til meg senere, er om læreren personlig hadde tro på opplegget, eller om hun bare kjørte det med tillit til at lærebokforfattere visste hva de drev med. Eksemplet kan bidra til å illustrere to vesentlige aspekter i skolesammenheng: a) Når vi snakker om læring, dreier det seg ikke bare om det man upresist kaller «skolelæring». Utgangspunktet her er at læring skjer på mange måter og til alle tider, enten det er snakk om boklig lærdom, følelsesreaksjoner, utvikling av selvbilde, praktiske ferdigheter, sosial kompetanse, m.m. b) For det andre gjelder det spørsmål om intendert (tilsiktet) og uintendert (utilsiktet) læring. Skolens intensjon (hensikt, forsett) er at elevene skal utvikle kompetanse innenfor mange fag og tema (se kapittel 2). Samtidig vet vi at elever ofte ikke lærer det skolen legger opp til, men noe annet eller det stikk motsatte av intensjonene.

Figur 2 Intendert og uintendert læring

Intendert og uintendert læring

I fortellingen om divisjon var lærerens intensjon (hensikt) å trene meg i divisjonsregning, men resultatet ble matematikkvegring og nederlagsfølelse. Læreren hadde gode intensjoner, og tro på at mye øving skulle gi resultater. Resultatet ble helt annerledes enn læreren ønsket: Jeg mistet interesse for matematikk, og det faglige selvbildet fikk en knekk. Læreren stilte tydeligvis ikke spørsmål ved metoden, men så meg mer som et håpløst tilfelle. I vurderingsboken ble dette bekreftet gjennom følgende kommentar: «Han klarer seg godt i de fleste fag, men må øve mer i matematikk.»

0201 Del2Kap1.fm Page 739 Monday, February 27, 2012 9:52 AM

1.1 INNLEDNING – ET BREV TIL LESEREN

•

739

Etter hvert som årene gikk, klarte jeg å knekke divisjonskoden, men det matematiske selvbildet ble aldri reparert. For å klare en anstendig karakter i gymnaset utviklet jeg en overlevelsesstrategi: Jeg pugget regler og eksempler slik at jeg kunne svare dersom jeg ble spurt. Fra tiden på ungdomsskolen husker jeg godt en episode der strategien slo gjennom. Vi hadde fått i lekse å lære den pytagoreiske læresetning13, og læreren valgte meg til å presentere den på tavlen. Frimodig tegnet jeg en rettvinklet trekant, føyde til kvadratene på sidene, skrev formelen a2 + b2 = c2 og deklamerte at summen av kvadratene på katetene er lik kvadratet på hypotenusen. Leksjonen var tatt rett fra boken, og læreren var mer enn fornøyd: «Slik skal det gjøres», sa han, mens jeg med en blanding av lettelse og engstelse satte meg ned. Jeg hadde berget ansikt, men poenget er at jeg ikke skjønte en tøddel av hva læresetningen betyr.

Figur 3 Den pytagoreiske læresetning c²

a²

b²

Historien bringer oss inn på det viktige spørsmålet om hva kunnskap er. Mine matematikkunnskaper var ufullstendige, men en liten kjerne var det likevel. Det meste av det jeg kunne på dette stadiet, lå innenfor det kognitiv pedagogikk, se kapittel 1.4.4, kaller områdespesifikk deklarativ kunnskap. Områdespesifikk betyr at kunnskapen er innenfor et spesielt tema (i dette tilfellet regningsartene). Deklarativ betyr at man kan lære noe utenat og gjengi det med ord, men uten å forstå det, eller kunne gjennomføre det i praksis (tabell 1).

Pytagoras’ setning er ikke et kompetansemål før på ungdomstrinnet i LK06, men poenget i episoden er likevel også relevant for undervisning på lavere trinn.

0201 Del2Kap1.fm Page 740 Monday, February 27, 2012 9:52 AM

740

•

KAPITTEL 1 LÆRING OG LÆRINGSTEORIER

Eksempel 1

Deklarativ kunnskap

Eleven lærer regelen for addisjon av to brøker med felles nevner: Du adderer en brøk med en brøk ved å summere tellerne og la nevnerne stå. Regelen kan sitte i hukommelsen hos eleven, men han vet ikke hvorfor det heter teller eller nevner, og har ikke noe begrepsinnhold for brøk.

••

Deklarativ kunnskap er det enkleste kunnskapsnivået i det kognitive kunnskapssynet. Det neste nivået kalles prosedural kunnskap. Det betyr at man kan utføre en prosedyre i praksis. Eksempel 2

Prosedural kunnskap

Eleven har prosedural kunnskap (ferdigheter) når han kan løse regnestykker i matematikkboken, men ikke ser noen annen hensikt med det enn at regning er en aktivitet som man gjør på skolen (som ikke har betydning andre steder). 1 2 3 + = 4 4 4

••

Det høyeste kunnskapsnivået kalles kondisjonal kunnskap. Når eleven når dette nivået, er han i stand til å anvende matematikk i situasjoner utenfor skolen uten å bli trigget av matematikkbøkene. Eksempel 3

Kondisjonal kunnskap

På skolen har du lært å beregne arealet av ulike firkanter. Hjemme skal du male en vegg. På malingsboksen står det hvor mye maling du trenger pr. m 2. Det er ikke noe problem for deg å finne ut hvor mye maling du må kjøpe.

••

Tabell 1 Tabellen viser de ulike kunnskapsnivåene Kunnskapsform

Generell kunnskap (eksempler)

Områdespesiﬁkk kunnskap (eksempler)

Deklarativ

Å kunne tall og telefonnumre

Å kunne regler for brøkregning

Prosedural

Å kunne håndtere en tabell

Å kunne utføre brøkregning

Kondisjonal

Å vite når du skal skumlese/finlese

Å kunne nyttiggjøre seg arealberegning

Inndelingen i kunnskapsnivåer kan være nyttig for læreren i arbeidet med vurdering og undervisning. Den kan være til hjelp når det gjelder å identifisere hvilket nivå elevene er på, og hvilken kunnskapstype de besitter. Når det gjelder brøkregning, for eksempel, er det et sprang mellom det å kunne

0201 Del2Kap1.fm Page 741 Monday, February 27, 2012 9:52 AM

1.2 NOEN VIKTIGE SPØRSMÅL TIL DEG SOM LÆRER

•

741

gjengi en brøkregel og å kunne løse et brøkstykke fra boken. Man kan altså ha en områdespesifikk deklarativ kunnskap uten å ha den prosedurale kunnskapen, og vice versa. Det er også et sprang fra det å beregne areal på skolen til det å kunne anvende dette i dagliglivet. Det handler om forholdet mellom forståelse og gjengivelse. I mitt eget tilfelle kom dette godt til syne gjennom den pytagoreiske læresetning. Om læreren gjennomskuet meg, vet jeg ikke, men episoden illustrerer noe jeg som lærer ofte har opplevd: At elevene kan gi inntrykk av å beherske et kunnskapsområde, mens forståelsen i virkeligheten mangler. Etter hvert som jeg er blitt eldre, har jeg forstått litt mer om divisjon og Pytagoras, men spørsmålet om hvordan forståelsen kom, er en gåte. Hvilken betydning hadde regneøvelsene? Er forståelse et resultat av modning? Må forståelsen komme først, eller kan man slå seg til ro med at den kommer etter hvert, bare eleven jobber hardt nok? Det finnes antakelig ikke noe entydig svar på disse spørsmålene, fordi elever fungerer ulikt, og lærer på ulike måter. De viser ulik grad av utholdenhet, konsentrasjon, interesse og flid, og har ulike forutsetninger for å akseptere skolens forventninger og krav til dem. Familiebakgrunn, sosiale og emosjonelle forutsetninger har også stor betydning i prosessene. Bevisstheten om alle disse faktorene er meget viktig for at læreren skal kunne komme elevene i møte. Likevel vil jeg understreke at forskning om barns læring i matematikk har vist at undervisningen bør legges opp til at barn lærer med forståelse. Det er bred enighet blant matematikkdidaktikere om at overlæring, det vil si pugging, har liten effekt for de fleste. Dette kommer vi tilbake til i punktet om kognitiv læringsteori, se kapittel 1.4.4.

1.2

Noen viktige spørsmål til deg som lærer Du har tatt mål av deg til å bli matematikklærer. Det innebærer blant annet at du gjennom studiet skal ruste deg slik at du skal kunne hjelpe elevene til å lære matematikk. Er det ikke dette som er hovedbetydningen av ordet lærer? En person som skal hjelpe en annen person til å lære? Det er viktig at du reflekterer over dette og betydningen av følgende tema: a) For det første å tenke over forholdet mellom ordene lærer, læring og den lærende; tre ord som vi bruker i dagligtale, men som innebærer et stort spekter av problemstillinger. Når det gjelder forholdet mellom læreren og den lærende, er det aktuelt å reflektere over forholdet mellom under-

0201 Del2Kap1.fm Page 742 Monday, February 27, 2012 9:52 AM

742

•

KAPITTEL 1 LÆRING OG LÆRINGSTEORIER

visning og læring. Lærerens oppgave er å undervise. Elevens jobb er å lære. Det er ikke sikkert at undervisning setter i gang læringsprosesser. Å få samsvar mellom intensjoner og realiteter er pedagogens evige utfordring. I tillegg innebærer forholdet mellom lærer og elev et dobbelt aspekt: Som lærer skal du være både leder og hjelper. På den ene siden har du en fagkunnskap, autoritet og lederrolle som gir deg en posisjon i klassen. På den andre siden skal du tjene elevene med omsorg, tålmodighet og forståelse: Leder og tjener. Balanse mellom rollene er viktig.

Lærerens jobb er å undervise

Elevens jobb er å lære

b) For det andre er bevissthet om hva læring er, og hvordan læring skjer noe av nøkkelkunnskapen din. Læringsteorier gir ikke direkte svar på hvordan du skal undervise, men de øker din forståelse av mangfoldet med hensyn til elevenes læring, tenkning og reaksjoner. Teoriene gir oss indirekte en undervisnings- og handlingskompetanse. Man kan godt si at læreryrket er et håndverk der man bruker ulike fysiske og psykologiske verktøy for å nå målene. Akkurat som snekkeren bruker regning og fysikk (psykologiske verktøy), hammer og sag (fysiske verktøy) i arbeidet sitt, har læreren sine verktøy i arbeidet: Psykologiske verktøy kan være teorier om læring og motivasjon, mens de fysiske verktøyene kan være bilder, kuleramme, kart, klosser og tabeller (se kapittel 4.4).

0201 Del2Kap1.fm Page 743 Monday, February 27, 2012 9:52 AM

1.2 NOEN VIKTIGE SPØRSMÅL TIL DEG SOM LÆRER

•

743

Teorier om læring er viktige verktøy for læreren

Viktig: Lærerens verktøybruk forutsetter teoretisk innsikt. Jo større innsikt du har i læringsteorier og metodikk, desto flere verktøy har du til praktisk planlegging og gjennomføring av undervisningen. I dette kapittelet skal vi se nærmere på de tre ordene lærer, læring og den lærende. De omfatter hver for seg og samlet dimensjoner som har stor betydning i læringsprosessene. Først skal vi se på læreren og lærerens psykologiske verktøy (dvs. teorier). Disse verktøyene har læreren i sitt hode, og summen av teorier utgjør hans pedagogiske plattform. Bevissthet om egen plattform er den absolutt viktigste innsikten som læreren har eller må ha om sitt yrke og sin yrkesutøvelse. Oppgave

Drøft forholdet mellom undervisning og læring. Hva kan grunnene være til at undervisningen av og til ikke setter i gang læringsprosesser?

Drøft forholdet mellom intensjoner og realiteter. Hvorfor er det ikke alltid samsvar mellom lærerens intensjoner og realiteter i en klasse?

0201 Del2Kap1.fm Page 744 Monday, February 27, 2012 9:52 AM

744

1.3

•

KAPITTEL 1 LÆRING OG LÆRINGSTEORIER

Læreren – og lærerens pedagogiske plattform Når vi skal snakke om pedagogisk plattform, kan det være nyttig å ta utgangspunkt i noe som filosofen Immanuel Kant (1724–1804) skrev i et verk om metafysikk (ontologi).14 Han var opptatt av forholdet mellom virkeligheten (eller verden) slik den er i seg selv, og hvordan vi som enkeltmennesker oppfatter denne virkeligheten. Han forstod at folk opplever virkeligheten svært forskjellig, og mente at det er grunn til å skille mellom en ytre (objektiv) og en indre (fenomenologisk) virkelighet. Den indre virkelighet, som han kaller das ding für mich (tingen slik den er for meg), er den forståelsen vi har i hodet vårt. Den ytre som han kaller das ding an sich (tingen i seg selv), er virkeligImmanuel Kant heten slik den er, uavhengig av våre tanker om den. Den indre virkelighet kalles gjerne virkelighetsforståelse eller livsverden. Det som er meget viktig å forstå, er at det er den indre virkelighet som betyr noe for et menneske. Det er måten jeg forstår den ytre virkelighet på som er virkelighet for meg. Av to grunner er det spesielt viktig for lærere å være bevisst på dette fenomenet: a) Elevene kommer til skolen med hver sin virkelighetsforståelse, og det er den som betyr noe for dem. Vi kan mene at elevene ser tingene galt eller forkjært, men det spiller ingen rolle hva vi måtte mene. De ser og opplever slik de gjør, og det skal mye til for å endre på det.

Eksempel 4

Elevens virkelighetsoppfatning

Martin har et negativt syn på voksne, lærere og skole. Han har opplevd mye kritikk og ukvemsord hjemme, og har en grunnleggende forestilling om at voksne er bare slemme og dumme. En slik holdning har naturligvis store konsekvenser for skolegangen. Mye erfaring viser at læreren må etablere en god relasjon med eleven før han kan ha håp om at eleven vil lære noe.

••

Metafysikk er et filosofisk fagområde der man spekulerer over hvordan virkeligheten egentlig er. Betyr det samme som ontologi.

0201 Del2Kap1.fm Page 811 Monday, February 27, 2012 9:52 AM

1.5 DEN LÆRENDE

•

811

Poenget med dette avsnittet har vært å peke på at barns tanker går sine egne veier, og tar retninger som ofte kan være vanskelig å se. Det er viktig at læreren skjønner dette, og engasjerer seg i elevenes livsverden.

1.5.2

Barn lærer på forskjellige måter

I løpet av de siste tjue årene har det blitt mer oppmerksomhet omkring elevperspektiver på læring. Tidligere var man mer opptatt av lærerstyrt virksomhet. Elevene skulle tilpasse seg lærerens opplegg. Det er særlig tre områder som fokuserer på læring i et elevperspektiv. Det har vært mye diskusjon om balansen mellom lærer- og elevstyring, men uansett bidrar de tre tenkemåtene til å gi oss større forståelse av elevens verden. Vi skal som sagt ikke utdype teoriene her, men peke på at også disse fenomenene har betydning i læringsprosessene. a) Howard Gardners tenkning om multiple intelligenser b) Dunn & Dunns tenkning om læringsstrategier og læringsstiler c) Begrepet metakognisjon a) Gardners teori om multiple intelligenser var en reaksjon på det gamle intelligensbegrepet, der IQ-testing stod sentralt. Hans tenkning om at mennesket har ulike former for intelligens, og at disse intelligensene er utviklet forskjellig fra menneske til menneske, forteller at vi må ta hensyn til dette når vi legger opp undervisningen. Dersom undervisningen følger samme spor hele tiden, vil vi i virkeligheten bare ta hensyn til de elevene som er tilpasset denne undervisningsformen. Sagt med andre ord vil ensporet undervisning bidra til å stimulere én type intelligens. Elever som har utviklet andre intelligenser, vil få problemer med å følge med. Noen har språklig intelligens, andre musikalsk intelligens, noen har matematisk logisk intelligens, mens andre har taktil. Poenget er at variert undervisning, der man tar høyde for barns ulike intelligenser, antakeligvis vil nå inn til Howard Gardner mange flere.

0201 Del2Kap1.fm Page 812 Monday, February 27, 2012 9:52 AM

812

•

KAPITTEL 1 LÆRING OG LÆRINGSTEORIER

Varierte arbeidsmåter – multiple intelligenser

Elevene lærer om tall og mengder. Ifølge Gardner er det større sjanse for gode resultater dersom man har øvelser gjennom skriving, tegning, regnefortellinger, sangleker, konkreter, butikklek, forelesning, pedagogisk programvare, bruk av kroppen og gruppeleker der elevene danner mengder. Variasjon i uttrykksformer stimulerer eleven på forskjellige måter, og treffer de ulike intelligensene.

Gardners multiple intelligenser

Livsklok

Ordklok

Selvklok

Tallklok

Menneskeklok

Naturklok

Musikk klok

Billedklok Kroppslig klok

Gardner legger vekt på at mennesket er utstyrt med alle intelligenser fra fødselen av, men at gjennom oppveksten blir noen stimulert mer enn andre. Følgelig utvikles noen intelligenser mer enn andre. Ved å drive variert undervisning kan skolen bidra til å stimulere hele spekteret av intelligenser (Gardner, 1997). Gardners teori har fått en praktisk oppfølger i Thomas Armstrongs bok Multiple intelligenser i klasserommet (Armstrong, 2009). Her er både et resymé av Gardners teori og praktiske eksempler på hvordan teorien kan anvendes i undervisningen. b) Rita og Kenneth Dunn var opptatt av at mennesker har ulike måter å lære på, såkalte læringsstrategier. I skolesammenheng dreier det seg om studieteknikk. Man kan lese lærebøker på forskjellige måter: Skumlesing, dybdelesing, detaljlesing eller oversiktslesing. Elevene gjør også notater på forskjellige måter: Tankekart, notater i margen eller referater. Noen foretrekker å lytte til undervisning, andre å drøfte tema i grupper. Et viktig poeng er at elevene kan lære ulike læringsstrategier, og at vi veileder dem om dette. I tillegg til læringsstrategiene snakker Rita og Kenneth Dunn om ulike læringsstiler. Noen foretrekker å jobbe alene, andre i grupper. Noen liker å jobbe om kvelden, andre om morgenen, noen trives best i godstolen, mens

0201 Del2Kap1.fm Page 813 Monday, February 27, 2012 9:52 AM

1.5 DEN LÆRENDE

•

813

andre vil sitte ved et skrivebord. Det handler altså om at man foretrekker å arbeide slik man selv finner det behagelig, nyttig eller effektivt. På skolen er det som oftest ikke anledning til så mye variasjon på dette området. Selv om de fleste elevene vil tilpasse seg skolens rammer, er det likevel et poeng at noen har større vansker med tilpasningen enn andre. Dette er også en side ved elevens verden som er verd å merke seg. Eksempel 22

Læringsstiler

Elevene skal tegne diagrammer. Det vanlige er at de sitter ved pultene med arbeidet. Av årsaker som det er vanskelig å gjennomskue, er det noen elever som trigges til innsats dersom de kan ligge på golvet, eller sitte i lotusstilling. Noen synes det er mer stimulerende å høre musikk, andre å sitte i stillhet på biblioteket, eller jobbe gruppevis i en sittekrok. Av en eller annen grunn foretrakk en elev å sitte på toppen av et skap. Det handler i stor grad om å føle seg vel eller føle seg fri.

••

Det har ikke vært gjort målinger som viser at fri utfoldelse med hensyn til læringsstil fremmer læring. Tvert om har det vært innsigelser som går på at elevene arbeider mindre effektivt og konsentrert hvis det foregår mange ting samtidig (multitasking) eller det er mye uro i omgivelsene. Dunns poeng er at elevene gir uttrykk for trivsel ved måten de jobber på, og at dette i sin tur kan fremme læring. Læreren bør likevel vurdere hvor stor grad av frihet elevene skal få i slike sammenhenger. c) I kapitlet om kognitive teorier var vi inne på begrepet metakognisjon. Metakognisjon er ikke noe som vi gjør automatisk. Vi må anspores til det og trene på det. Gjennom metakognisjon blir vi i bedre stand til å lære noe om hvordan vi lærer, og hva vi kan gjøre for å lære mer effektivt. Det innebærer at vi kan bli mer bevisst våre læringsstrategier og intelligenser. Når vi vet noe om dette, kan vi systematisk endre våre strategier. Aktivitet som fremmer metakognisjon

Det å lage regnefortellinger innebærer en viss grad av metakognitiv aktivitet. Det samme gjør målrettet bruk av loggbøker, elevsamtaler og fellesmøter mellom lærer, foreldre og barn. Når elevene utvikler sine egne algoritmer, har vi et godt utgangspunkt for metasamtaler.

0201 Del2Kap1.fm Page 814 Monday, February 27, 2012 9:52 AM

814

•

KAPITTEL 1 LÆRING OG LÆRINGSTEORIER

Setning 10

Metakognisjon må læres. Læreren kan fremme metakognitiv kompetanse gjennom øvelser, samtaler og undervisning om metakognisjon. Metakognisjon er et viktig redskap når elevene skal lære matematikk med forståelse.

1.5.3

Oppsummering og avslutning

I tillegg til det som er nevnt ovenfor, er det mange andre faktorer som påvirker læring: Elevens selvbilde, interesser, motivasjon, evne til konsentrasjon, grad av oppmerksomhet, utholdenhet, flid, arbeidsmoral, personlige mål, graden av mestring, språkforståelse, ordforråd og modenhet er noen viktige faktorer. I pedagogikk er det teorier for alle disse fenomenene. I avsnittene som du nå har lest om læring, har vi prøvd å beskrive hvor komplisert læring er. Samtidig har vi pekt på de tre hovedperspektivene på læring (behaviorisme, kognitivisme og sosiokulturelt perspektiv), og hvor viktige de kan være i din pedagogiske plattform. Alle perspektivene bidrar med viktig kunnskap på hvert sitt område. Sist, men ikke minst har hensikten med kapitlet vært å peke på viktigheten av refleksjon i arbeidet med elevene. Dine refleksjoner over egen praksis er viktige for din egenutvikling, men kunnskap om og refleksjoner over elevenes livsverden er viktig for elevenes utvikling. Samtidig er det viktig å anspore elevene til refleksjon. Det har betydning for elevens utvikling, læring og handlingskompetanse.

Setning 11

Elevenes livsverden er nøkkelen til hvordan de lærer. Derfor er innsikt i deres livsverden viktig når du legger opp undervisningen. Affektive og sosiale forhold spiller inn på læringsprosessene. Derfor handler undervisning i matematikk om mye mer enn matematikk. Din undervisning er styrt av dine praksisteorier. Derfor er selvinnsikt nøkkelen til god undervisning.

0202 Del2Kap2.fm Page 815 Monday, February 27, 2012 9:55 AM

Dagens grunnskole

Matematikk ses ofte på som et tidløst fag, men også matematikken utvikler seg. I de senere årene har datateknologien påvirket faget i ganske stor grad, slik også samfunnet som helhet har blitt det. Også synet på faget har endret seg. Flere og mer varierte arbeidsformer har kommet inn, i alle fall i læreplanene. Skolen er en stor organisasjon som det er vanskelig å endre. Ofte henger tanker og praksis fra tidligere tider igjen lenge etter at myndighetene har vedtatt at nye ideer skal settes ut i livet. Dagens gjeldende læreplan, Læreplanverket for Kunnskapsløftet (LK06), er omfattende. Det har en generell del felles for alle fag og én del med læreplaner for de enkelte fagene. I tillegg kommer et dokument som heter «Prinsipper for opplæringen». Planen gjennomsyres av noen begreper som må forstås for at lesningen av den skal gi mening. Særlig gjelder dette begrepene kompetanse og grunnleggende ferdighet. I de senere årene har det blitt utviklet flere teorier om hvilken kompetanse elever bør utvikle. I enda nyere tid har det kommet teorier om den kompetansen en lærer trenger for å gjøre en god jobb. En viktig hensikt med teoriene om elevers kompetanse er å sikre at flere aspekter ved faget blir vektlagt. I læreplanens fagdel knyttes ordene kompetanse og mål sammen til kompetansemål. Vi blir fortalt, riktignok med en del tolkningsmuligheter, hva eleven skal kunne etter at opplæringen er gjennomført. Kompetansen eleven skal oppnå, er beskrevet gjennom kompetansemål som skal være målbare. Det skal være mulig å finne ut i hvilken grad elevene har nådd målene. Grunnleggende ferdigheter er et begrep som er spesielt utviklet for LK06. Uttrykket «grunnleggende ferdighet» har vært brukt før, men det er tillagt en egen og presis betydning i læreplanen. Det er fem grunnleggende ferdigheter. Disse er med i alle skolefagene, og de er integrert i kompetansemålene. En av hensiktene med dette er tverrfaglighet. Ferdigheter som «å kunne lese» og «å kunne regne» kan tolkes som at henholdsvis norsk og matematikk skal ha en plass i alle fag, selv om den tolkningen må nyanseres noe. At de fem ferdighetene forekommer i alle fag, og at lærerne skal samarbeide om